Über lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und einer Störungsfunktion [Reprint 2019 ed.] 9783111560694, 9783111190068

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Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg. Im Verlag von Walter de Qruyter & Co. vormals 0. J. Göschen'sehe Verlagshandlung — J. Outtentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin, erschienen:

Abteilung A.

Mathematisch-physikalische Wissenschaften.

J a h r g . 1 9 2 2 : 3 Hefte. — J a h r g . 1 9 2 3 : 5 Hefte. — J a h r g . 1 9 2 4 : 11 Hefte

Abteilung B.

Biologische "Wissenschaften.

J a h r g a n g 1 9 2 3 : 1 Heft. Von Jahrgang 1925 ab findet die Trennung in Abteilung A und B nicht mehr Matt.

Jahrgang 1 9 2 5 .

1 . H E F F T E R , LOTHAK. Zur absoluten Geometrie I I . Reichsm.0.50 2. ROESER, ERNST. Die komplementären Figuren der nichteuklidischen Ebene.

Reichsmark 0.50 KUNO. Neuer Beweis f. d. Zuordnung von rechtwinkligem Dreieck und Spitzeck in der hyperbolischen Elementargeometrie. Reichsmark 0.30 4 . SALOMON, W I L H E L M . Beobachtungen über Harnische. Reichsmark 0 . 7 0 5. LOEWY, A. Beiträge zur Algebra. 1—4. Reichsmark 1 . — 6. H E L L P A C H , W I L L T . 2. Mitteilung zur Physiognomik der deutschen Volksstämme. Reichsmark 0.30 7 . L O E W Y , A L F R E D . Neue elementare Begründung u. Erweiterung der Galoisschen Theorie. Reichsmark 2 . — 8.

FLADT,

8 . CURTIUS, THEODOR, u . BERTHO, A L F R E D .

Einwirkung von

Stickstoffkohlen-

oxyd und von Stickstoffwasserstoffsäure unter Druck auf aromatische Kohlenwasserstoffe. Reichsmark 0.40 9 . R O E S E R , E R N S T . Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie Reichsmark 0.70 10. RASCH, G. Über die Ausnützung der Gezeiten des Meeres, zur Energiegewinnung. Reichsmark 0.80 11. SALOMON, WILHELM. Magmatische Hebungen. Reichsmark 1.20 12. PÜTTER, A. Altersbestimmungen an Drachenbäumen von Tenerife. Rm. 0.90 1 3 . VOLK, OTTO. Über geodätische rhombische Kurvennetze auf krummen Flächen, insbesondere auf Flächen konstanter Krümmung. Reichsmark 1.10 14. ROESER, ERNST. Die Fiindamentalkonstruktion der hyperbolischen Geometrie. Reichsmark 1.40 1 5 . RÜOER.L., U. RÜGER-HAAS, P .

Palaeosemaeostoma geryonides v . Huene sp.,

eine sessile Meduse aus dem Dogger von Wehingen i. W., und Medusina liasica nov. sp., eine coronatenähnliche Meduse aus dem mittleren Lias von Hechingen i. Württemberg. Reichsmark 1.50

Jahrgang 1 9 2 6 . 1 . K R T J L L , WOLFGANO. Theorie und Anwendung der veiallgemeinerten Abel sehen Gruppen. Reichsmark 1.70 2 . K L E B S , G E O R G . Über periodisch wachsende tropische Baumarten. Rm. 1 . 2 0 3. M Ü L L E R , M A X . Über die Oberfläche von Flächenstücken. Reichsmark 1.20 4 . E R N S T , M A X . Über Anlagen von Organen, die nicht zur Ausbildung gelangen. Reichsmark 0.50 5. E R N S T , E M I L . Die optischen Eigenschaften des Andesins von Bodenmais. Reichsmark 1.10 6 . L I E P M A N N , W I L H E L M . Leichengeburt bei Ichthyosauriern. Reichsmark 0 . 9 0 7 . K L E B S , G E O R G . Über die Längenperiode der Internodien. Reichsmark 2 . 4 0 8. JOST, L . , u. v. UBISCH, G. 9.

Zur Windefrage.

Reichsmark 0.80

Gibt es Gesteine, die für bestimmte Erdperioden charakteristisch sind? Reichsmark 0.30 (.Fortsetzung siehe 3. ümschlagseitr) SALOMON, W I L H E L M .

* ) Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-naturw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind, nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse Jahrgang 1980. 16. Abhandlung.

Uber lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und einer Störungsfunktion Von

Karl Boehm in Karlsruhe.

Eingereicht am 20. Juli 1930.

B e r l i n und L e i p z i g

1931

Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sehe Verlagshandlung / J. G u t t e n t a g , V e r l a g s buchhandlung / Georg Reimer / K a r l J. Trübner / V e i t & Comp.

Über lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und einer Störungsfunktion. Nr. 1. — Einführung. Auf den folgenden Blättern gibt der Verfasser die Vorarbeit zu einer Untersuchung, welche er später vorzulegen beabsichtigt. Es wird ein Verfahren aufgezeigt, welches die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ohne jede vorhergehende Theorie zu ermitteln gestattet und für die Praxis an Einfachheit nichts zu wünschen übrig läßt, darüber hinaus aber auch eine Begründung aller Sätze der elementaren Theorie und einige allgemeine Formeln liefert, welche der Beachtung nicht unwert erscheinen. Daß es möglich wird, die übliche Methode der „Variation der Konstanten" durch ein weit natürlicheres Verfahren der Iteration zu ersetzen, nach welchem die allgemeine Differentialgleichung (1) c0y+ciy' + Czy" + ...+ cny™= ip{x) grundsätzlich ebenso einfach erscheint als die besondere Differentialgleichung i/(n) = ip(x), verdankt man der symbolischen Behandlungsweise. Obgleich diese sehr bekannt ist1), möge der Versuch gestattet sein, in einem vorbereitenden Abschnitt ihr Wesen in der Terminologie der modernen Algebra schärfer zu kennzeichnen, als es vielfach zu geschehen pflegt. Nr. 2. — Das Wesen der symbolischen Methode. Die mit einer beliebig, aber fest gewählten Funktion y = y(x)

zu

formenden linearen Differentialausdrücke (i)

ZciyV

= c0yW + c1y,+

c2y"+...

+ cnyW,

[y^ = y],

worin die c» beliebige komplexe Zahlen bedeuten, bilden einen InteMan vergleiche etwa die Darstellung bei C H . - I . D E LA VALLÉE POUSSIN, „ C o u r s d ' a n a l y s e i n f i n i t é s i m a l e " , tome II, cinquième édition (1925) chapitre V I I , sowie das jüngst (Leipzig 1930) von E. K A M X E veröffentlichte Lehrbuch „ D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n r e e l l e r P u n k t i o n e n " , V I I I . Kapitel.

4

KARL

BOEHM:

gritätsbereich I y , wenn als Addition die gewöhnliche Zahlenaddition eingeführt wird, als Multiplikation (Zeichen O) aber eine Veiknüpfung 1 ), welche kommutativ, assoziativ und mit der Addition distributiv verbunden ist, und durch welche die zwei Differentialausdrücke y® und y{k) verknüpft werden zu dem Differentialausdruck O yW = y^ + k\

(2)

zwei Zahlen aber zu dem gewöhnlichen Zahlenprodukt. Dieser Integritätsbereich ist isomorph mit dem Integritätsbereich I', welcher aus dem Körper der komplexen Zahlen durch Erweiterung mit einem Symbol D entsteht, wobei der Isomorphismus durch die Bestimmung festgelegt wird, daß dem Ausdruck y' eben das Symbol D entsprechen soll. Bezeichnet man mit f(D)y das Element aus Iy, welches dem E l e m e n t e / ( D ) aus T entspricht, so gilt der Satz: (3)

C/i(D) Of2(D))y

= MD)

(/ 2 (Z>)y),

dessen Inhalt so ausgesprochen werden kann: Bilden wir den Integritätsbereich Iy2 für diejenige Funktion y2 =f2(D)y, welche in Iy dem Elemente / 2 ( D ) aus I' zugeordnet war, und suchen nun in diesem neuen Integritätsbereich die Funktion, welche dem Elemente fx (Z)) aus T zugeordnet ist, so ist dies dieselbe Funktion aus Iv, welche dem Elemente fi(D) O/ 2 (-D) aus 1' entsprach. Wegen des kommutativen Charakters der Multiplikation O gilt dann auch (4) MD)

'

x

j

i

p

( u )

d u

a

geführt, niedrigte

welche

denselben Typus hat wie ( 5 ) , aber eine um 1 er-

Ordnung, während in die rechte

Seite eine

Integrations-

konstante eingetreten ist. Die Wiederholung dieses Verfahrens liefert uns, ohne jede Theorie, die allgemeine Lösung von ( 5 ) , und

es gibt vielleicht keinen W e g ,

welcher dieses Ziel mit geringerer Mühe zu erreichen gestattet. Um zu allgemeinen Ergebnissen zu gelangen und im besonderen die bekannten Sätze der Theorie zu gewinnen, betrachten wir zunächst

6

KARL

den Fall, in welchem

BOEHM:

die rechte Seite der Differentialgleichung

die Gestalt hat

(5)

i=i p

(14)

=

[ ? i + AJ t = 2

und gi(x), bedeuten.

(x),

. . . irgendwelche ganze rationale Funktionen von x

Warum hier das Glied mit dem Exponentialfaktor e?-iX von

den ganz gleichartigen Summanden mit e®» =j=

abgetrennt worden

ist, leuchtet ein, sobald man den Ausdruck für ip(x)

in ( 1 3 ) einführt.

Es ergibt sich (15)

fx (D) y=G1

(x) e^ + ^

worin (16)

M*)

^

i= 2 * ( * ) - / < ( « ) -(Qi — h) (ii-Aj)2

+

9"i(z) (ei—Ax)3

•••

und {17)

G1(x) = J g ^ x ^ d x . Für das Folgende sind zwei offenbare Tatsachen wichtig: 1. Der Grad der Funktion G1(x)

ist um 1 höher als der von

der Koeffizient von x° in Gt(x)

ist die bei der Auflösung der

gi(x);

linearen Differentialgleichung (10) eintretende

Integrationskonstante.

2. Der Grad jeder Funktion -'x Jdx _ 1 jdx, —2 • • • I dx1 ^ i p (11) du. "m Hl a

™i

Cm,—1

"i

«

8

KARL

BOEHM:

Da nun zwei Lösungen der Differentialgleichung (5) sich nur um eine Lösung der homogenen Differentialgleichung (24)

f ( D ) y =

0

unterscheiden, deren allgemeinste Gestalt wir bereits kennen (Nr. 4), so genügt es uns, wenn wir irgendeine Lösung der Differentialgleichung (5) anzugeben vermögen. W i r dürfen daher in (23) die unteren Grenzen der mx Integrale einander gleich annehmen und setzen (25)

ax = a 2 = . . . = a m , _ i = amt = a.

Dann aber läßt sich nach einer bekannten Formel das j^-fach iterierte Integral in (23) durch ein einfaches Integral ersetzen, und wir erhalten die Darstellung X

(26)

(zfi^ y =/feSrreAl(2~u) Hu)du+e;"XWi(x)> a

worin w ^ x ) eine willkürliche ganze Funktion vom Grade m x — 1 bezeichnet. Nr. 6. — Lösung der allgemeinen inhomogenen Differentialgleichung. Besitzt nun f ( D ) noch eine andere Wurzel A2 von der Vielfachheit m2, so ergibt sich auf dieselbe Weise: X

»

+

worin wx(x)

und w2(x)

e'-^w^x)

-

/

ei,xw2(x),

+

willkürliche Polynome von den Graden

und wi2— 1 sind, während (28) yl(a.) = - ^ | L -

y {

m^—1

X X

) - e h *

W 1

{ X ) = I

H u ) d u

a

eine Abkürzung für das bestimmte Integral auf der rechten Seite von (26) ist. Das Doppelintegral auf der rechten Seite von (27) bezeichnen wir mit y2(x). Es gestattet die folgende Umformung: X

(29)

X\

y . ^ J ^ ^ ' V i ' - ^ d x . f ^ ^ ' V ^ ^ d u x - J e a

a

x ^(uiduj u

a

( m i

_

1 } !

«

Ü b e r l i n e a r e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n m i t k o n s t a n t e n K o e f f i z i e n t e n usw.

9

Die Vertauschung der Integrationsfolge, welche hier vorgenommen wurde, läßt sich im Beeilen deuten als zweifache Darstellung des Flächenintegrals über das Dreieck mit den Eckpunkten (o, a), (a, x), (x, x) in der (m, a; 1 )-Ebene, ist aber, unabhängig von dieser Deutung, auch für komplexe Integrale gestattet. Nun können wir wiederum von (27) aufsteigen zu der Gleichung f (

)

D

( D — ( Ü — X