Über die Existenz der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen [Reprint 2019 ed.] 9783111677330, 9783111291949

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Sitzungsberichte der

Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters in Heidelberg.

Unmersitätsbuchhandlung

Im Verlag von Walter de Gruyter d gelten.

(x,y1 (x), ...,yn(x))

Das bedeutet gegenüber (2) für die yv (x) eine Einschränkung, weil (5) fv(x,yv...,yn)Zfv

Vv-,yn)>fv

ix,yv...,yn)^fvi%,yv;yn)-

Diese Begriffsbildungen gehen bekanntlich im wesentlichen auf R. BAIKE, Pariser Thèse (1899) = Ann. di mat. (3) 3 (1899), S. 72/4, 81/2; Acta math. 30 (1906), S. 21/22 zurück ; vgl. insbesondere auch H. HAHN, Theorie der reellen Funktionen I, Berlin 1921, S. 173/6. Bei endlichen Derivierten sowie bei den Derivierten totalstetiger Funktionen werden die Limesfunktionen durch Vernachlässigung der Nullmengen nicht geändert; vgl. H. LEBESGTJE, Leçons sur l'intégration, Paris 1904, S. 80; 2. éd. Paris 1928, S. 87, und C. CARATHÉODORY 3), S. 539 Fußnote.

6

A.

ROSENTHAL:

Sind die f* und f* durchweg beschränkt (oder auch nur durchweg endlich), so existieren wieder

6

) wegen (4) fast überall die Ablei-

dy v

4.

tungen

Da ebenso wie fv und fv auch f* und nach oben bzw. unten h a l b s t e t i g sind [vgl. 9)], so lassen sich die Überlegungen des Herrn n N A G U M O (a. a. O . , S. 2 1 8 — 2 2 1 ) wörtlich wiederholen [vgl. auch ) ] , und man erhält das analoge Resultat, d a ß n ä m l i c h d a s D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g s s y s t e m ( 1 ) w i e d e r in d e m b e i N A G U M O (S. 2 1 8 ) angegebenen Bereich Lösungen mit vorgeschriebenen A n f a n g s w e r t e n i m v e r s c h ä r f t e n S i n n e (4) b e s i t z t , w e n n d i e fv (x,yv ...,yn) b e s c h r ä n k t s i n d ; oder auch, was weniger fordert, w e n n d i e f* u n d b e s c h r ä n k t sind. Bei dem obigen Beispiel ergibt sich überall f* = f^ = 0; also sind die einzigen Lösungen: y = const. 10 ) 3. Um nachher nicht-beschränkte fv behandeln zu können, soll zuerst der H i l f s a t z 3 von N A G U M O (S. 216/18), der dort für s t e t i g e Funktionen formuliert ist, auf h a l b s t e t i g e Funktionen verallgemeinert werden. JB bezeichne den Bereich | x — x0 | < l, | yv — | k (v = 1 , . . . , n); J sei irgendein offenes oder abgeschlossenes Teilintervall von [x0 — l, l].n)

x0 +

Hilfsatz:

Es

sei ein System von

Folgen

stetiger

Funktionen

(v = 1,..n; ¿ = 1 , 2 , 3, ) gegeben, die bzw. deren obere Derivierte im Intervall J den Ungleichungen (6)

\yt\x)-fv\^lc

(7)

D±y%)

£ % {x,y{t\x),...,

t,%))

genügen, wobei die Funktionen