Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen, Teil 2 [Reprint 2019 ed.] 9783111698793, 9783111310510

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Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich. Lanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse •) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg. Im Verlag von Walter de Qruyter es auch f ü r n >

1 in

für n = 1

und z w a r

etwas v e r ä n d e r t e r Gestalt;

man

1 genau erhalten, w e n n in ( 2 ) b e i d e M a l e

n

=1

"

PERRON3)

auf-

von der A r t des Satzes I setzt,

was

V

statt ^

würde Max

stände.

v=1 Das

allgemeinste

vorher

bekannte,

gestellte Eindeutigkeitskriterium

von

Herrn

von g r o ß e m E i n f l u ß auf die A r t der zugelassenen F u n k t i o n e n ist, die Stetigkeit v o n ¡2 ( x , z ) auch n o c h auf der G e r a d e n kann so f o r m u l i e r t II. I m

x = 0 voraus

und

werden:

Bereich 0 ^ x < a ,

zig0

s e i d i e F u n k t i o n £ 2 ( x , z ) s t e t i g u n d SäO, u n d d i e D i f f e r e n t i a l gleichung z' = Q ( x , z ) möge

in

Punkt

dem

0,0

Gerade

angegebenen

gehende

Bereich

Integralkurve

z = 0 f ü r das g a n z e

Intervall

nur

eine

haben,

und

durch zwar

den die

0 ^ x < a .

Erst nach Erscheinen der beiden in Fußnote 1 auf S. 3 genannten Darstellungen habe ich gesehen, daß dieses Kriterium für den Fall n = 1 im wesentlichen schon von Herrn IYANAGA [Japanese Journal of Mathematics 5 (1928) 253—-257] bewiesen ist. Herr IYANAGA beweist insofern etwas weniger, als er in ( 2 ) die Gleichheit ausschließt, insofern etwas mehr, als diese veränderte Ungleichung ohne Absolutzeichen und nicht für den ganzen Bereich (1) gefordert wird. Für n > 1 versagt sein Beweisverfahren. Einen kürzeren Beweis für Herrn IYANAGAS Satz hat Herr SHTMTZP [Proceedings of the Imperial Academy 4 (1928) 327] skizziert. In dieser Beweisskizze ist auf S. 327 am Ende der Zeile 23 hinzuzufügen: ,,at a point u, where v ( u ) = TJI (u)" (Mitteilung des Verf.), außerdem sind in der nächsten Zeile die Worte „ v ( e ) . . . small g" besser zu ersetzen durch „ v (e^) > i|) ( s v ) für eine gegen Null konvergierende Folge positiver Zahlen e v " . 2)

Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 5 (1909) Nr. 2. —

Japa-

nese Journal of Mathematics 3 (1926) 107—112. — Mathematische Zeitschrift 28 (1928), 216—219. s ) Mathematische Annalen 95 (1926) 98—101. diese Berichte, Jahrg. 1927: 9. Abhandlung, S. 24 f .

Vgl. auch M. MÜLLE E

Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen.

5

S i n d nun fi ( * , yi, • • yn), • • • X (x, yi, • • y n ) F u n k t i o n e n , d i e in dem B e r e i c h (1)

| x — % | < a, | Vj — % | < b , . . | y n — v)n | < b

d e f i n i e r t s i n d und d i e (3)

Ungleichungen

i fv O , yi, • • - yn) -

fv (x,

. . y n ) | ^ ö (i x - 1 1 , z)

für (4)

z

=

M a x

ly^—y^l

und v = 1 , . . . , n e r f ü l l e n , so h a t d a s S y s t e m (S) in d e m B e r e i c h (1) h ö c h s t e n s e i n e d u r c h d e n P u n k t rm g e h e n d e Integralkurve. Für n = 1 ist das Kriterium I I in I enthalten. Für n > 1 ist dagegen in I nur eine modifizierte Form IIa des Kriteriums I I enthalten, deren Wortlaut aus dem Wortlaut I I entsteht, wenn man die Relationen (3) und (4) durch n

(3a) und (4a>

y„) — f v (x, y v . . ., y n ) | g Q ( | x —

^ | f v (x, y x , . . V=1

|, z)

n

z

=

£

V= 1

I yv — yv |

ersetzt. Nachträglich sehe ich, daß sich mit der gleichen Beweismethode, die das Kriterium I lieferte, noch ein allgemeineres Eindeutigkeitskriterium ableiten läßt, das u. a. als Spezialfall den genauen Wortlaut I I enthält und zugleich zeigt, daß auch in I die Ungleichung (2) durch die n Ungleichungen (3) mit der durch (4) festgelegten Bedeutung von z ersetzt werden kann 1 ). Das Kriterium enthält überhaupt mit geringen Ausnahmen alle bisher bekannten Eindeutigkeitskriterien 2 ), soweit sie nicht auf speziellere Systeme von Differentialgleichungen zugeschnitten sind. Insbesondere scheint das für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung von Herrn NAOUMO3) angegebene Eindeutigkeitskriterium in ihm nicht enthalten zu sein, bei dessen Beweis *) Diese letzte Tatsache ist inzwischen (auf andere Weise) auch von Herrn NAGUMO [Japanese Journal of Mathematics 7 (1930) 158] bewiesen. 2 ) Näheres darüber findet man am Schluß dieser Arbeit. 3 ) Japanese Journal of Mathematics 4 ( 1 9 2 7 ) 3 0 7 — 3 0 9 . Vgl. auch FÜKUHARA, ebenda 6 (1930) 289.

6

E. Kamkb:

auch wesentlich von der speziellen Bauart des mit der Differentialgleichung n-ter Ordnung äquivalenten Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung Gebrauch gemacht wird. 2. Die Grundlage bilden zwei allgemeine Abschätzungssätze. S a t z 1: E s s e i 2 (x, z) s t e t i g in dem a b g e s c h l o s s e n e n Gebiet +

— coi.(x)^Q(x,(x)) 4>(x)^4>(x) f ü r % — a ^ x ^ ,

wenn j e t z t (x) die d u r c h k u r v e von (6) b e d e u t e t .

Z, g e h e n d e m i n i m a l e I n t e g r a l -

Der Beweis hierfür ist fast wörtlich der gleiche wie für den Satz selber. In entsprechender Weise ergibt sich auch der Zusatz 2: (5) durch (5*)

Der Satz i (x)

b l e i b t a u c h r i c h t i g , wenn man Q (x, 4> (x))

und z u g l e i c h m a x i m a l d u r c h m i n i m a l und (7) d u r c h (7*)

$(X)^i.(x)^Ö(x,0>(x)),

m i n i m a l d u r c h m a x i m a l und (7a) d u r c h (7 a*) ersetzt.

(x) e i n e f ü r 0 $ x ; < a s o w o h l nach rechts wie nach l i n k s d i f f e r e n z i e r b a r e F u n k t i o n , f ü r die 0 ( 0 ) = 0 , 0 ' ( 0 ) ^ 0 und 2 ) (13)

$;(x)gß(x,i)(x))

gilt.

für

0' • ; Yn), • •

fn

(x, J j , • •

yn)

F u n k t i o n e n , die in dem B e r e i c h (19)

+

I j j —% | < b , . . . , | y„ —r^l < b

Diese Bedingungen sind natürlich erfüllt, wenn S ( u l f . . . , un) eine lineare homogene Punktion ist. Aber sie sind, was wir später benutzen werden, auch erfüllt für S(u x ui) = | u x | + . . . + |un| sowie für S ( u 1 ; . . U n ) = Max (ux un) und S u n ) = Max( | u, | | Un | ).

Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen.

11

d e f i n i e r t sind und die U n g l e i c h u n g S & 0 , Yi, • • y n ) — fi 0 , 7 i , • • 7 n ) , • •

(20)

f„ (x,

. . . , y n ) — f n (x, y x , . . y n ) ) ^ Q ( x - l , 8 ( S l - 7 l

für Punkt (21)

yn-7n))

1

+ a e r f ü l l e n ) , so g i l t f ü r je z w e i d u r c h v)n g e h e n d e I n t e g r a l k u r v e n

den

j ! = 9! (x),..., y n = cpn (x) u n d y x = ^ ( x ) , . . . , y„ =