Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler [6., überarbeitete Auflage] 9783110601718, 9783110601695

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Gert Heinrich Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler

Gert Heinrich

Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler 6., überarbeitete Auflage

ISBN 978-3-11-060169-5 e-ISBN (PDF) 978-3-11-060171-8 e-ISBN (EPUB) 978-3-11-060575-4 Library of Congress Control Number: 2018951326 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. © 2018 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston Druck und Bindung: CPI books GmbH, Leck www.degruyter.com

Vorwort Vorwort zur sechsten Auflage Bei dieser Neuauflage wurde das Grundkonzept dieses Buches nicht verändert. Entfernt wurden lediglich Druckfehler und Ungenauigkeiten im Text, in den Theorieteilen und den Aufgaben. Der Aufgabenteil wurde in vielen Kapiteln überarbeitet. Außerdem wurden an einigen Stellen didaktische Verbesserungen vorgenommen. Villingen-Schwenningen, im Juli 2018

Gert Heinrich

Vorwort zur vierten Auflage Die vierte Auflage dieses Buches erscheint mit neuem Titel „Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler“. Bedingt durch Änderungen und Erweiterungen der Studieninhalte in Bachelor-Studiengängen an Hochschulen und verbesserte oder neu entwickelte didaktische Methoden für komplexe mathematische Sachverhalte wurden große Teile des Werkes völlig neu verfasst beziehungsweise überarbeitet. Der Teil Mathematik erfuhr die geringsten Änderungen. Die Inhalte blieben vollständig erhalten und nur die Übungsaufgaben wurden durch moderne Varianten ersetzt oder ergänzt. Im Teil Statistik wurden im Kapitel Beschreibende Statistik die zentralen Beispiele durch aktuellere, durchgängige Beispiele ersetzt. Das Kapitel Wirtschaftsstatistik wurde völlig neu geschrieben. Zudem wurde der Abschnitt Indexzahlen um die betriebswirtschaftliche Herleitung der Indices erweitert. Außerdem wurden die drei wichtigsten Indices um drei weitere Indices ergänzt, um in der praktischen Anwendung eine größere Auswahl an Kennzahlen einsetzen zu können. Im Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung wurden die Beispiele zu Zufallsvariablen vollständig ausgewechselt und der Abschnitt Kombinatorik um viele neue Übungsaufgaben ergänzt. Der Teil Operations Research wurde vollständig neu verfasst und um vier Teilgebiete ergänzt. Er besteht jetzt aus den Kapiteln Operations Research in der BWL, Lineare Optimierung mit zwei Variablen, Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen einschließlich Sensitivitätsanalyse, Spieltheorie, Transportprobleme, Graphentheorie und Netzplantechnik. Beibehalten wurde das didaktische Prinzip, die mathematischen und statistischen Sachverhalte an Beispielen klarzumachen und auf überflüssige mathematische Formalismen und unnötige Beweisführungen zu verzichten. Die Übungsaufgaben, die jedes Kapitel abschließen, sind für vorlesungsbegleitende Übungen konzipiert. Da das Werk auch zum Selbststudium geeignet ist, werden zu allen Übungsaufgaben Lösungen angegeben, um die angefertigten Lösungen mit den richtigen Lösungen vergleichen zu können.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-005

VI

Vorwort

Bedanken möchte ich mich bei meiner Familie für Verzicht, Verständnis und Nachsicht. Mein besonderer Dank gilt dabei Frau Diplom-Psychologin Sabine Heinrich, die große Teile des Werks in ein modernes Textverarbeitungssystem übertragen hat und bei Frau Susanne Heinrich und Frau Felicitas Heinrich für die kritische Durchsicht des Manuskripts und das unermüdliche Korrekturlesen. Ebenfalls besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn Dr. Stefan Giesen und seinem Team vom Oldenbourg Wissenschaftsverlag für die angenehme Zusammenarbeit bei der Entstehung dieses Buches. Villingen-Schwenningen, im Juli 2012

Gert Heinrich

Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die der Autor wiederholt an der Berufsakademie Stuttgart für Studierende der Betriebswirtschaft abgehalten hat. Es soll mathematische und statistische Grundlagen schaffen, die in vielen wirtschaftswissenschaftlichen Teilgebieten unerlässliche Hilfsmittel sind. Dabei wurde dem didaktischen Prinzip gefolgt, die mathematischen und statistischen Sachverhalte an Beispielen klarzumachen und auf überflüssige mathematische Formalismen und unnötige Beweisführungen zu verzichten. Aus diesem Grund können die drei Teile Mathematik, Statistik und Operations Research in einen dreisemestrigen Vorlesungszyklus behandelt werden. Die Übungsaufgaben, die jedes Kapitel abschließen, sind für vorlesungsbegleitende Übungen konzipiert. Aus diesem Grund müsste man eigentlich auf ausführlich ausgearbeitete Lösungen verzichten, um den Studierenden die Möglichkeit zu geben, die Aufgaben wirklich selbstständig zu lösen. Dass diesem Weg hier nicht gefolgt wurde, hat mehrere wichtige Gründe. Zum einen können bei weitem nicht alle Aufgaben in den Übungen behandelt werden. Zum anderen ist die Nachfrage nach ausführlichen Lösungen von Seiten der Studierenden überaus groß und sollte befriedigt werden. Schließlich soll auch allen anderen interessierten Lesern die Möglichkeit gegeben werden, die angefertigten Lösungen mit den richtigen Lösungen zu vergleichen. Der erste Teil dieses Buches behandelt die vielfältigen Teilgebiete der Mathematik. Im zweiten Teil wird das immer wichtiger werdende Aufgabengebiet der Statistik besprochen. Im abschließenden dritten Teil wird eines der wichtigsten Aufgabenbereiche der Operations Research, die lineare Optimierung mit mehr als zwei Variablen ausführlich behandelt. Bedanken möchte ich mich bei allen Freunden und Menschen, die mich bei der Anfertigung dieses Buches tatkräftig unterstützt haben. Bei Herrn Diplom-Volkswirt M. Weigert vom Oldenbourg-Verlag möchte ich mich für die angenehme Zusammenarbeit während der Entstehungsphase bedanken. Mein allergrößter Dank gilt aber meiner Frau Susanne Heinrich für das unermüdliche Korrekturlesen des Manuskripts und das große Verständnis für diese wissenschaftliche und didaktische Arbeit. Gert Heinrich

Inhaltsverzeichnis Vorwort Abbildungsverzeichnis

V XIII

Teil I Mathematik

1

1

Elementare Grundlagen

3

1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3

Grundzüge der Mengenlehre ...................................................................................... 3 Darstellungsmöglichkeiten von Mengen.................................................................... 4 Mengenverknüpfungen .............................................................................................. 5 Produktmengen .......................................................................................................... 7

1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4

Zahlenbereiche und Rechenregeln ............................................................................. 8 Die natürlichen Zahlen ............................................................................................... 8 Die ganzen Zahlen ..................................................................................................... 8 Die rationalen Zahlen ................................................................................................. 9 Die reellen Zahlen ...................................................................................................... 9

1.3

Beträge ..................................................................................................................... 10

1.4

Potenzen und Logarithmen ...................................................................................... 11

1.5

Summen und Produkte ............................................................................................. 12

1.6

Binomische Formeln ................................................................................................ 13

1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4

Gleichungen und Ungleichungen ............................................................................. 14 Lineare Gleichungen ................................................................................................ 14 Quadratische Gleichungen ....................................................................................... 14 Andere Gleichungstypen .......................................................................................... 15 Ungleichungen ......................................................................................................... 15

1.8

Aufgaben.................................................................................................................. 17

2

Vektoren, Matrizen und Determinanten

2.1

Vektoren ................................................................................................................... 25

2.2

Matrizen ................................................................................................................... 31

2.3

Determinanten .......................................................................................................... 36

2.4

Aufgaben.................................................................................................................. 37

3

Lineare Gleichungssysteme

3.1

Einführung ............................................................................................................... 41

25

41

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.2

Lösungskriterien für lineare Gleichungssysteme ......................................................43

3.3

Lösungsmöglichkeiten für lineare Gleichungssysteme.............................................43

3.4 3.4.1 3.4.2

Spezielle Lösungsmethoden im Fall n = m .............................................................49 Lösung mittels inverser Matrizen .............................................................................49 Lösung mittels Determinanten ..................................................................................51

3.5

Lineare Gleichungssysteme mit Parametern .............................................................52

3.6

Aufgaben ..................................................................................................................54

4

Finanzmathematik

4.1

Arithmetische und geometrische Folgen ..................................................................57

4.2

Modelle mit einmaliger Einzahlung .........................................................................59

4.3

Modelle mit mehrmaligen Einzahlungen in konstanten Abständen ..........................61

4.4

Modelle mit mehrmaligen Abhebungen in konstanten Abständen (Tilgungsrechnung) ...................................................................................................64

4.5

Rentenmodelle ..........................................................................................................66

4.6

Aufgaben ..................................................................................................................67

5

Differentialrechnung

5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5

Elementare Funktionen .............................................................................................72 Potenzfunktionen ......................................................................................................72 Polynome ..................................................................................................................74 Gebrochenrationale Funktionen ................................................................................75 Exponential- und Logarithmusfunktionen ................................................................75 Trigonometrische Funktionen ...................................................................................76

5.2

Tangenten und Ableitungen ......................................................................................76

5.3

Kurvendiskussion .....................................................................................................79

5.4

Das Newton-Verfahren .............................................................................................83

5.5

Die Taylorentwicklung .............................................................................................87

5.6

Aufgaben ..................................................................................................................91

6

Integralrechnung

6.1

Integrale und Flächeninhalte .....................................................................................95

6.2

Stammfunktionen......................................................................................................96

6.3

Uneigentliche Integrale ...........................................................................................100

6.4

Aufgaben ................................................................................................................102

57

71

95

Inhaltsverzeichnis

IX

Teil II Statistik

103

7

Beschreibende Statistik

105

7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 7.1.6

Eindimensionale beschreibende Statistik ............................................................... 105 Stichproben und Merkmale .................................................................................... 105 Häufigkeitsverteilungen bei diskreten Merkmalen ................................................ 106 Häufigkeitsverteilungen bei Klassenbildungen ...................................................... 110 Lageparameter ....................................................................................................... 113 Streuungswerte....................................................................................................... 121 Konzentrationsmaße .............................................................................................. 124

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3

Korrelation und Regression ................................................................................... 131 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen........................................................... 131 Korrelation ............................................................................................................. 134 Regression.............................................................................................................. 143

7.3

Aufgaben zu Kapitel 7 ........................................................................................... 148

8

Wirtschaftsstatistik

8.1

Indexzahlen ............................................................................................................ 155

8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4

Zeitreihen ............................................................................................................... 159 Trendkomponente .................................................................................................. 161 Zyklische Komponente .......................................................................................... 162 Saisonkomponente ................................................................................................. 164 Zufällige Komponente ........................................................................................... 165

8.3

Aufgaben zu Kapitel 8 ........................................................................................... 167

9

Wahrscheinlichkeitsrechnung

9.1

Zufallsexperimente und Ereignisse ........................................................................ 169

9.2

Wahrscheinlichkeiten ............................................................................................. 170

9.3 9.3.1 9.3.2

Kombinatorik ......................................................................................................... 172 Anordnungen von n Elementen ............................................................................. 172 Anordnungen von k Elementen aus n verschiedenen Elementen mit Berücksichtigung der Reihenfolge ......................................................................... 173 Anordnungen von k Elementen aus n verschiedenen Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ......................................................................... 174

9.3.3 9.4 9.4.1 9.4.2 9.4.3 9.4.4 9.4.5 9.4.6 9.5

155

169

Zufallsvariablen und Verteilungen ......................................................................... 175 Zufallsvariablen ..................................................................................................... 175 Verteilungen ........................................................................................................... 176 Diskrete Verteilungen ............................................................................................. 176 Spezielle diskrete Verteilungen .............................................................................. 180 Stetige Verteilungen ............................................................................................... 182 Spezielle stetige Verteilungen ................................................................................ 185 Aufgaben zu Kapitel 9 ........................................................................................... 189

X

Inhaltsverzeichnis

10

Beurteilende Statistik

10.1

Punkt-Schätzungen .................................................................................................195

10.2 10.2.1 10.2.2

Intervall-Schätzung .................................................................................................197 Konfidenzintervalle bei der Normalverteilung .......................................................198 Konfidenzintervalle bei der Binomialverteilung.....................................................200

10.3 10.3.1 10.3.2

Das Testen von Hypothesen ....................................................................................202 Konstruktion eines Tests .........................................................................................202 Test eines Erwartungswertes bei bekannter Varianz und normalverteilter Grundgesamtheit .....................................................................................................202 Test eines Erwartungswertes bei unbekannter Varianz und normalverteilter Grundgesamtheit .....................................................................................................204

10.3.3 10.4

195

Aufgaben ................................................................................................................205

Teil III Operations Research

209

11

Operations Research in der BWL

211

11.1

Beispiele von charakteristischen Problemstellungen .............................................. 211

11.2

Vorgehensweise und Modellbildung .......................................................................215

11.3

Teilgebiete des Operations Research ......................................................................215

11.4

Aufgaben ................................................................................................................216

12

Lineare Optimierung mit zwei Variablen

12.1

Einführung, Beispiel und mathematisches Modell .................................................217

12.2

Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel ..................................................218

12.3

Aufgaben ................................................................................................................221

13

Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

13.1

Einführung, Beispiel und mathematisches Modell .................................................223

13.2 13.2.1 13.2.2 13.2.3

Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel ..................................................224 Vorüberlegungen zum Simplex-Algorithmus .........................................................224 Der primale Simplex-Algorithmus .........................................................................227 Der duale Simplex-Algorithmus .............................................................................232

13.3 13.3.1 13.3.2

Sensitivitätsanalyse .................................................................................................237 Änderung der Koeffizienten der Zielfunktion ........................................................237 Änderung der Koeffizienten auf den rechten Seiten ...............................................238

13.4

Aufgaben ................................................................................................................240

14

Spieltheorie

14.1

Beispiel, Grundbegriffe und mathematisches Modell .............................................243

14.2

Statische Spiele .......................................................................................................244

217

223

243

Inhaltsverzeichnis

XI

14.3

Dynamische Spiele ................................................................................................ 247

14.4

Aufgaben................................................................................................................ 254

15

Transportprobleme

15.1

Beispiel und mathematisches Modell .................................................................... 257

15.2 15.2.1 15.2.2 15.2.3 15.2.4

Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele ................................................ 259 Die Nordwest-Ecken-Regel (Ausgangslösung) ..................................................... 259 Die Stepping-Stone-Methode (optimale Lösung) .................................................. 262 Die MODI-Methode (optimale Lösung) ................................................................ 270 Das lineare Zuordnungsproblem ............................................................................ 275

15.3

Aufgaben................................................................................................................ 276

16

Graphentheorie

16.1

Beispiel, Grundbegriffe und mathematische Modelle ............................................ 279

16.2

Algorithmus von Dijkstra ...................................................................................... 281

16.3

Algorithmus von Kruskal ....................................................................................... 285

16.4

Aufgaben................................................................................................................ 287

17

Netzplantechnik

17.1

Beispiel, Grundbegriffe und mathematisches Modell ............................................ 291

17.2 17.2.1 17.2.2

Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele ................................................ 292 Strukurplanung....................................................................................................... 292 Zeitplanung ............................................................................................................ 293

17.3

Aufgaben................................................................................................................ 301

18

Lösungen zur Mathematik

18.1

Lösungen zu Kapitel 1 ........................................................................................... 303

18.2

Lösungen zu Kapitel 2 ........................................................................................... 309

18.3

Lösungen zu Kapitel 3 ........................................................................................... 311

18.4

Lösungen zu Kapitel 4 ........................................................................................... 313

18.5

Lösungen zu Kapitel 5 ........................................................................................... 316

18.6

Lösungen zu Kapitel 6 ........................................................................................... 323

19

Lösungen zur Statistik

19.1

Lösungen zu Kapitel 7 ........................................................................................... 327

19.2

Lösungen zu Kapitel 8 ........................................................................................... 332

19.3

Lösungen zu Kapitel 9 ........................................................................................... 334

19.4

Lösungen zu Kapitel 10 ......................................................................................... 339

257

279

291

303

327

XII

Inhaltsverzeichnis

20

Lösungen zu OR

343

20.1

Lösungen zu Kapitel 11 ..........................................................................................343

20.2

Lösungen zu Kapitel 12 ..........................................................................................344

20.3

Lösungen zu Kapitel 13 ..........................................................................................345

20.4

Lösungen zu Kapitel 14 ..........................................................................................349

20.5

Lösungen zu Kapitel 15 ..........................................................................................355

20.6

Lösungen zu Kapitel 16 ..........................................................................................366

20.7

Lösungen zu Kapitel 17 ..........................................................................................371

21

Statistische Tabellen

21.1

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ................................................373

21.2

Quantile der Standardnormalverteilung ..................................................................374

21.3

Quantile der t – Verteilung......................................................................................375

373

Literatur

377

Index

379

Abbildungsverzeichnis Abb. 1.1

Mengenverknüpfungen......................................................................................... 6

Abb. 5.1

Potenzfunktionen................................................................................................ 72

Abb. 5.2

Geraden .............................................................................................................. 73

Abb. 5.3

Hyperbeln ........................................................................................................... 74

Abb. 5.4

Polynom ............................................................................................................. 75

Abb. 5.5

Exponential- und Logarithmusfunktion ............................................................. 76

Abb. 5.6

trigonometrische Funktionen .............................................................................. 76

Abb. 5.7

Tangente und Sekante ........................................................................................ 77

Abb. 5.8

Schaubild eines Polynom ................................................................................... 81

Abb. 5.9

Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion .................................................. 82

Abb. 5.10 Schaubild einer transzentdenten Funktion.......................................................... 83 Abb. 5.11 Newton-Verfahren .............................................................................................. 85 Abb. 5.12 Kurvendiskussion und Newton-Verfahren ......................................................... 87 Abb. 5.13 Funktion und Taylorpolynome ........................................................................... 89 Abb. 5.14 Taylorpolynom und Nullstellenberechnung ....................................................... 91 Abb. 6.1

krummlinig berandete Fläche ............................................................................. 95

Abb. 6.2

Flächenberechnung............................................................................................. 99

Abb. 6.3

unbeschränktes Integrationsintervall und endlicher Flächeninhalt ................... 100

Abb. 6.4

unbeschränkter Integrand und endlicher Flächeninhalt .................................... 101

Abb. 7.1

Stabdiagramm .................................................................................................. 108

Abb. 7.2

Säulendiagramm ............................................................................................... 108

Abb. 7.3

Kreisdiagramm ................................................................................................. 108

Abb. 7.4

empirische Verteilungsfunktion ....................................................................... 110

Abb. 7.5

Histogramm bei Klassenbildung ...................................................................... 112

Abb. 7.6

empirische Verteilungsfunktion bei Klassen .................................................... 113

XIV

Abbildungsverzeichnis

Abb. 7.7

Lorenzkurve ..................................................................................................... 125

Abb. 7.8

Lorenzkurve bei Häufigkeitsverteilungen ........................................................ 126

Abb. 7.9

Gini-Koeffizient ............................................................................................... 128

Abb. 7.10 Berechnung des Gini-Koeffizienten ................................................................. 128 Abb. 7.11 Lorenzkurve mit G = 0.4 .................................................................................. 130 Abb. 7.12 Lorenzkurve mit G = 0.7 .................................................................................. 130 Abb. 7.13 Streuungsdiagramm ......................................................................................... 132 Abb. 7.14 Streuungsdiagramm mit r = 0.979.................................................................... 138 Abb. 7.15 Streuungsdiagramm mit r = −0.982 ................................................................. 138 Abb. 7.16 Streuungsdiagramm mit r = −0.055 ................................................................. 139 Abb. 7.17 vertikale Abstände............................................................................................ 143 Abb. 7.18 Regressionsgerade mit mäßiger Qualität.......................................................... 146 Abb. 7.19 Regressionsgerade mit guter Qualität .............................................................. 146 Abb. 7.20 Regressionsgerade mit ungenügender Qualität ................................................ 147 Abb. 8.1

Zeitreihendiagramm ......................................................................................... 160

Abb. 8.2

Zeitreihenpolygon ............................................................................................ 160

Abb. 8.3

Trendgerade ..................................................................................................... 162

Abb. 8.4

Zyklische Komponente .................................................................................... 163

Abb. 8.5

Saisonkomponente ........................................................................................... 165

Abb. 8.6

Zeitreihe und Komponenten............................................................................. 166

Abb. 9.1

Stabdiagramm .................................................................................................. 178

Abb. 9.2

Verteilungsfunktion (diskrete ZV) ................................................................... 179

Abb. 9.3

Dichtefunktion einer stetigen ZV ..................................................................... 183

Abb. 9.4

Verteilungsfunktion einer stetigen ZV ............................................................. 183

Abb. 9.5

Dichtefunktion der Gleichverteilung ................................................................ 186

Abb. 9.6

Verteilungsfunktion der Gleichverteilung ........................................................ 186

Abb. 9.7

Dichtefunktionen der Exponentialverteilung ................................................... 187

Abb. 9.8

Verteilungsfunktionen der Exponentialverteilung ........................................... 187

Abb. 9.9

Dichtefunktionen der Normalverteilung .......................................................... 188

Abb. 11.1 Netzplan für Routenplaner ............................................................................... 213

Abbildungsverzeichnis

XV

Abb. 11.2 Versorgungsnetz ............................................................................................... 214 Abb. 11.3 Vorgehensmodell bei OR-Verfahren ................................................................ 215 Abb. 12.1 zulässiger Bereich und Eckpunkte.................................................................... 220 Abb. 12.2 zulässiger Bereich und Zielfunktion ................................................................. 221 Abb. 14.1 Kundenbindungen ............................................................................................ 246 Abb. 16.1 Netzplan für Routenplaner ............................................................................... 279 Abb. 16.2 Versorgungsnetz ............................................................................................... 286 Abb. 16.3 minimal spannender Baum ............................................................................... 287 Abb. 17.1 Strukturplan ...................................................................................................... 293 Abb. 17.2 Netzplan ........................................................................................................... 300

Teil I Mathematik

1

Elementare Grundlagen

Im ersten Kapitel werden elementare Sachverhalte, Prinzipien und Formeln zusammengestellt, die in den folgenden Kapiteln immer wieder als mathematische Handwerkszeuge benötigt werden. Behandelt werden hier die Gebiete Mengenlehre, Zahlenbereiche und ihre Rechenregeln, Potenzen und Logarithmen, Summen, Produkte, binomische Formeln, Beträge, Gleichungen und Ungleichungen.

1.1

Grundzüge der Mengenlehre

Mengen sind in fast allen mathematischen Teilgebieten von zentraler Bedeutung. Sie gestatten es häufig, komplizierte und umfangreiche Probleme mathematisch strukturiert und deshalb meist übersichtlich darzustellen. Im täglichen Leben begegnet man häufig Mengen, ohne dies explizit zu bemerken. Als Beispiele sind hier genannt: • • • •

alle Einwohner der Stadt Stuttgart alle roten Autos in Europa ein Korb Kartoffeln alle Fische im Neckar mit mehr als 5 000 kg Körpergewicht.

Der Begründer der Mengenlehre, Georg Cantor, ist durch solche Beispiele motiviert worden, den Begriff der Menge mathematisch zu erfassen. Definition 1.1 Eine Menge 𝑀𝑀 ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedlichen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Bezeichnungen 1. Diese Objekte werden Elemente genannt. 2. Mengen werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, die Elemente dagegen mit kleinen lateinischen Buchstaben. 3. Gehört das Element 𝑥𝑥 zur Menge 𝑀𝑀, schreibt man: 𝑥𝑥 ∈ 𝑀𝑀 (𝑥𝑥 ist Element von 𝑀𝑀). Gehört das Element 𝑥𝑥 nicht zur Menge 𝑀𝑀, schreibt man: 𝑥𝑥 ∉ 𝑀𝑀 (𝑥𝑥 ist nicht Element von 𝑀𝑀).

https://doi.org/10.1515/9783110601718-019

4

1 Elementare Grundlagen

1.1.1

Darstellungsmöglichkeiten von Mengen

Mengen werden üblicherweise in beschreibender Form, in aufzählender Form oder mittels Venn-Diagrammen dargestellt. • • •

Bei der beschreibenden Form werden die Elemente der Menge durch Kennzeichnung ihrer Eigenschaften in Worten beschrieben. Bei der aufzählenden Form werden die Elemente in irgendeiner Reihenfolge zwischen zwei geschweiften Klammern aufgeschrieben. Bei Venn-Diagrammen werden die Elemente graphisch als Punkte innerhalb einer geschlossenen Kurve dargestellt.

In der Anwendung wird man diejenige Darstellung wählen, welche die darzustellende Menge am besten beschreibt. Beispiel 1.1 1. 𝑀𝑀 sei die Menge der Lottozahlen vom 1.1.1994. Für die beschreibende Form gilt: 𝑀𝑀 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ist Lottozahl vom 1.1.1994}. Die Sprechweise hierbei ist: 𝑀𝑀 ist die Menge aller 𝑥𝑥, für die gilt: 𝑥𝑥 ist Lottozahl vom 1.1.1994. Für die aufzählende Form gilt: 𝑀𝑀 = {5, 15, 38, 41, 42, 49}. Für das Venn-Diagramm gilt: 15

41

2.

5

42

38

49

M

𝑀𝑀 sei die Menge aller weiblichen Vornamen in der BRD. 𝑀𝑀 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ist ein weibl. Vorname in der BRD}. 𝑀𝑀 = {Sabine, Susanne, Elisabeth, Felicitas, … }. Sabine

Susanne

Elisabeth

......

Felicitas

M

Die beschreibende Form ist hier den beiden anderen Darstellungsmöglichkeiten vorzuziehen.

1.1 Grundzüge der Mengenlehre

5

Definition 1.2 1. Eine Menge 𝐴𝐴 heißt Teilmenge einer Menge 𝐵𝐵, falls jedes Element von 𝐴𝐴 auch zu 𝐵𝐵 gehört. Die Schreibweise ist: 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵. 2. Die Grundmenge 𝐺𝐺 ist eine Menge, die alle betrachteten Mengen als Teilmengen enthält. 3. Die leere Menge ist diejenige Menge, welche kein Element enthält. Sie wird mit ∅ bezeichnet. 4. Zwei Mengen heißen gleich, falls sie aus denselben Elementen bestehen. Die Schreibweise ist: 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵. Beispiel 1.2 Gegeben seien die Mengen 𝐺𝐺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 𝐴𝐴 = {1, 3, 5, 6}, 𝐵𝐵 = {2, 3, 4}, 𝐶𝐶 = {6, 3, 1, 5}, 𝐷𝐷 = {1, 3} und 𝐸𝐸 = ∅. Dann gilt:

𝐴𝐴 ⊆ 𝐺𝐺, 𝐵𝐵 ⊆ 𝐺𝐺, 𝐶𝐶 ⊆ 𝐺𝐺, 𝐷𝐷 ⊆ 𝐺𝐺 und 𝐸𝐸 ⊆ 𝐺𝐺, 𝐷𝐷 ⊆ 𝐴𝐴 und D ⊆ 𝐶𝐶,

𝐸𝐸 ⊆ 𝐴𝐴, 𝐸𝐸 ⊆ 𝐵𝐵, 𝐸𝐸 ⊆ 𝐶𝐶 und 𝐸𝐸 ⊆ 𝐷𝐷, 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 und

𝐴𝐴 ⊈ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ⊈ 𝐷𝐷, 𝐴𝐴 ⊈ 𝐸𝐸, 𝐵𝐵 ⊈ 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ⊈ 𝐶𝐶, 𝐵𝐵 ⊈ 𝐷𝐷, 𝐵𝐵 ⊈ 𝐸𝐸, 𝐶𝐶 ⊈ 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 ⊈ 𝐷𝐷,

1.1.2

𝐶𝐶 ⊈ 𝐸𝐸, 𝐷𝐷 ⊈ 𝐵𝐵, 𝐷𝐷 ⊈ 𝐸𝐸.

Mengenverknüpfungen

Genauso wie es für das Rechnen mit Zahlen Vorschriften gibt, werden für Mengen sinnvolle Rechenoperationen definiert. Beispiel 1.3 Fünf Schulkameraden treffen sich zufällig und man tauscht folgende Sachverhalte aus: Helmut, Tim und Doris studieren an der Dualen Hochschule, Sven ist Bankangestellter und Anita ist Friseurin. Dann interessieren z.B. die Fragen: Wer studiert an der Dualen Hochschule? Welche Frauen (Männer) studieren an der Dualen Hochschule? Welche Frauen (Männer) studieren nicht an der Dualen Hochschule? Solche und ähnliche Beispiele führen zur folgenden Definition. Definition 1.3 1. Die Schnittmenge zweier Mengen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 ist die Menge aller Elemente, die zu 𝐴𝐴 und zu 𝐵𝐵 gehören. Die Schreibweise ist: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 und 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}.

6

1 Elementare Grundlagen

2.

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 ist die Menge aller Elemente, die mindestens zu einer der beiden Mengen 𝐴𝐴 oder 𝐵𝐵 gehören. Die Schreibweise ist: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 oder 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}.

3.

4.

Dabei ist das hier verwendete oder ein einschließendes oder, also kein entweder oder. Die Differenzmenge 𝐴𝐴\𝐵𝐵 (Sprechweise 𝐴𝐴 ohne 𝐵𝐵) ist die Menge aller Elemente, die zu 𝐴𝐴, aber nicht zu 𝐵𝐵 gehören. Die Schreibweise ist: 𝐴𝐴\𝐵𝐵 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 und 𝑥𝑥 ∉ 𝐵𝐵}.

Die Komplementärmenge 𝐴𝐴 von 𝐴𝐴 bezüglich der Grundmenge 𝐺𝐺 ist die Menge aller Elemente von 𝐺𝐺, die nicht zu 𝐴𝐴 gehören. Die Schreibweise ist: 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 und 𝑥𝑥 ∉ 𝐴𝐴}.

Beispiel 1.3 (Fortsetzung) 𝐺𝐺 = {Anita, Doris, Helmut, Sven, Tim} ist die Grundmenge.

𝐴𝐴 = {Doris, Tim, Helmut} ist die Menge der Studierenden an der Dualen Hochschule und 𝐵𝐵 = {Doris, Anita} ist die Menge der Frauen. Dann gilt:

𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {Doris} ist die Menge der Frauen, die an der Dualen Hochschule studieren. 𝐷𝐷 = 𝐴𝐴\𝐵𝐵 = {Helmut, Tim} ist die Menge der Männer, die an der Dualen Hochschule studieren. 𝐸𝐸 = 𝐵𝐵\𝐴𝐴 = {Anita} ist die Menge der Frauen, die nicht an der Dualen Hochschule studieren.

𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {Sven} ist die Menge der Männer, die nicht an der Dualen Hochschule studieren.

In einem Schaubild sieht der Sachverhalt so aus: Sven

Helmut Tim

A

Doris

Abb. 1.1 Mengenverknüpfungen

Anita

B

1.1 Grundzüge der Mengenlehre

7

Beispiel 1.4 Gegeben seien die Mengen 𝐺𝐺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} und 𝐴𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}, 𝐵𝐵 = {1, 2, 6} und 𝐶𝐶 = {1, 3}. Dann gilt:

𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {1, 2}, 𝐴𝐴 ∩ 𝐶𝐶 = {1, 3}, 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶 = {1}. 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 𝐴𝐴 ∪ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶 = {1, 2, 3, 6}. 𝐴𝐴\𝐵𝐵 = {3, 4, 5}, 𝐵𝐵\𝐴𝐴 = {6}, 𝐴𝐴\𝐶𝐶 = {2, 4, 5}, 𝐶𝐶\𝐴𝐴 = ∅, 𝐵𝐵\𝐶𝐶 = {2, 6}, 𝐶𝐶\𝐵𝐵 = {3}. 𝐴𝐴 = {6, 7}, 𝐵𝐵 = {3, 4, 5, 7}, 𝐶𝐶 = {2, 4, 5, 6, 7}.

Für die oben definierten Mengenverknüpfungen gibt es viele Formeln und Eigenschaften. Einige der wichtigsten Zusammenhänge sollen hier erwähnt werden: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴 und 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∪ 𝐴𝐴. (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∩ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶) und (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∪ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶). (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∪ 𝐶𝐶 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐶𝐶) ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) und (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∩ 𝐶𝐶 = (𝐴𝐴 ∩ 𝐶𝐶) ∪ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶). 𝐴𝐴\(𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴\𝐵𝐵) ∩ (𝐴𝐴\𝐶𝐶) und 𝐴𝐴\(𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴\𝐵𝐵) ∪ (𝐴𝐴\𝐶𝐶). 𝐴𝐴 ∪ ∅ = 𝐴𝐴, 𝐴𝐴 ∩ ∅ = ∅ und A ∪ 𝐺𝐺 = 𝐺𝐺, 𝐴𝐴 ∩ 𝐺𝐺 = 𝐴𝐴. 𝐴𝐴 ∪ 𝐴𝐴 = 𝐺𝐺, 𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴 = ∅, 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴, 𝐺𝐺 = ∅ und ∅ = 𝐺𝐺.

𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 und 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵.

Definition 1.4 Eine Zerlegung einer Menge 𝐶𝐶 in zwei Mengen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 heißt disjunkt, falls gilt: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 und 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = ∅.

Beispiel 1.5 Es gilt: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴\𝐵𝐵) ∪ (𝐵𝐵\𝐴𝐴) ∪ (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵).

Deshalb sind die drei Mengen 𝐴𝐴\𝐵𝐵, 𝐵𝐵\𝐴𝐴 und 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 eine disjunkte Zerlegung von 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵.

Definition 1.5 Seien 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 Zahlen aus einer vorgegebenen Menge mit 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏. 1. [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] = {𝑥𝑥|𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏} heißt ein abgeschlossenes Intervall. 2. (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = {𝑥𝑥|𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏} heißt ein offenes Intervall. 3. (𝑎𝑎, 𝑏𝑏] = {𝑥𝑥|𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏} und [𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = {𝑥𝑥|𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏} heißen halboffene Intervalle.

1.1.3

Produktmengen

Eine ganz andere Verknüpfung als die oben eingeführten Operationen ist die Produktbildung von Mengen.

8

1 Elementare Grundlagen

Beispiel 1.6 Ein Automobilhersteller bietet 3 verschiedene Typen 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 und 𝐶𝐶 in den unterschiedlichen Farben 𝑟𝑟, 𝑔𝑔 und 𝑠𝑠 an. Dann gibt es neun verschiedene Möglichkeiten, sich für ein Auto zu entscheiden (𝐴𝐴, 𝑟𝑟), (𝐴𝐴, 𝑔𝑔), (𝐴𝐴, 𝑠𝑠), (𝐵𝐵, 𝑟𝑟), (𝐵𝐵, 𝑔𝑔), (𝐵𝐵, 𝑠𝑠), (𝐶𝐶, 𝑟𝑟), (𝐶𝐶, 𝑔𝑔) und (𝐶𝐶, 𝑠𝑠). Definition 1.6 Gegeben seien zwei Mengen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵. Dann heißt die Menge 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = {(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)|𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 und 𝑏𝑏 ∈ 𝐵𝐵} die Produktmenge von 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵.

Beispiel 1.7 1. [2, 5] × [5, 8] ist ein Rechteck mit den Eckpunkten (2, 5), (2, 8), (5, 5) und (5, 8). 2. [0, 2] × {−1, 0, 1} besteht aus drei Strecken der Länge 2.

1.2

Zahlenbereiche und Rechenregeln

Bei vielen praktischen Problemen sind Zahlen unerlässliche Hilfsmittel, etwa beim Abzählen, beim Festlegen von Reihenfolgen oder beim Messen.

1.2.1

Die natürlichen Zahlen

Der erste Zahlenbereich, mit dem schon Kinder in frühen Jahren konfrontiert werden, sind die natürlichen Zahlen. Sie treten besonders bei Abzählproblemen und Rang- bzw. Reihenfolgen auf. Definition 1.7 Die natürlichen Zahlen sind definiert durch: ℕ = {1, 2, 3, … }.

Oftmals benötigt man auch noch die Zahl 0. Diese Menge wird mit ℕ0 = {0, 1, 2, 3, … } bezeichnet.

1.2.2

Die ganzen Zahlen

Schon bei einfachen Berechnungen, wie der Differenz 5 − 7, stellt man fest, dass es keine natürliche Zahl gibt, die dieses Problem löst. Ebenso sollte es einen Weg geben, um zu unterscheiden, ob jemand 3€ Guthaben oder 3€ Schulden hat.

1.2 Zahlenbereiche und Rechenregeln

9

Definition 1.8 Die ganzen Zahlen sind definiert durch ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }.

Mit Hilfe der ganzen Zahlen kann 5 − 7 = −2 ebenso beschrieben werden wie das Guthaben (+3€) und die Schulden (−3€).

1.2.3

Die rationalen Zahlen

Sucht man eine Zahl 𝑥𝑥, welche die Gleichung 2𝑥𝑥 = 5 löst, oder will man einen Kuchen in 5 gleich große Stücke teilen, wird man keine ganzen Zahlen finden, welche die beiden Probleme lösen. Definition 1.9 Die rationalen Zahlen oder die Menge der Brüche sind definiert durch 𝑝𝑝 ℚ = � � 𝑝𝑝 ∈ ℤ, 𝑞𝑞 ∈ ℕ�. 𝑞𝑞

Mit Hilfe der rationalen Zahlen kann sowohl die Gleichung 2𝑥𝑥 = 5 durch 𝑥𝑥 = das Kuchenproblem durch die Zahl

1 gelöst werden. 5

5 als auch 2

Rechenregeln für Brüche 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎 1. = , 𝑏𝑏, 𝑘𝑘 ≠ 0 Kürzen bzw. Erweitern 𝑏𝑏 𝑘𝑘 ∙ 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑎𝑎 ± 𝑐𝑐 ± = Addition und Subtraktion mittels Hauptnenner 2. 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐 ∙ = , 𝑏𝑏, 𝑑𝑑 ≠ 0 Multiplikation 3. 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑏𝑏 ∙ 𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑 ÷ = , 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ≠ 0 Division. 4. 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐

Jede rationale Zahl lässt sich als endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl darstellen: 2 3 = 0.4 oder = 0. ���������� 428571. 5 7

1.2.4

Die reellen Zahlen

Obwohl die rationalen Zahlen den Zahlenstrahl sehr dicht bevölkern, gibt es doch sehr viele Zahlen, die nicht durch Brüche dargestellt werden können. Will man die Gleichung 𝑥𝑥 2 = 2 lösen, so stellt man fest, dass kein Bruch die Gleichung löst. Deshalb definiert man die reellen Zahlen.

10

1 Elementare Grundlagen

Definition 1.10 Die reellen Zahlen sind die Menge aller Dezimalbrüche. Sie füllen den Zahlenstrahl vollständig aus. Es gilt: ℝ = {𝑎𝑎|𝑎𝑎 = 𝑎𝑎0 , 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 … mit 𝑎𝑎0 ∈ ℤ und 𝑎𝑎𝑖𝑖 ∈ {0, 1, … , 9} für alle 𝑖𝑖 ∈ ℕ}. Für die verschiedenen Zahlenbereiche gilt: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.

1.3

Beträge

Beschäftigt man sich mit Abständen von Zahlen, so stößt man zwangsläufig auf den Begriff des Betrages. Definition 1.11 Der Betrag |𝑥𝑥| einer reellen Zahl 𝑥𝑥 ist |𝑥𝑥| = � 𝑥𝑥 für 𝑥𝑥 ≥ 0 −𝑥𝑥 für 𝑥𝑥 < 0. |𝑥𝑥| wird als Abstand der Zahl 𝑥𝑥 zur Null interpretiert.

Eigenschaften von Beträgen 1. |𝑥𝑥| ≥ 0 2. |−𝑥𝑥| = |𝑥𝑥|

3. 4. 5.

|𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥| ∙ |𝑦𝑦|

−|𝑥𝑥| ≤ 𝑥𝑥 ≤ |𝑥𝑥| |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ≤ |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦|.

Von großer Bedeutung sind noch zwei elementare Ungleichungen mit Beträgen, die besonders beim Lösen von Ungleichungen hilfreich sind. 1.

2.

Gesucht sind alle Zahlen 𝑥𝑥, deren Abstand zur Zahl 𝑎𝑎 kleiner ist als 𝑑𝑑. Dies führt auf die Ungleichung |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝑑𝑑 mit der Lösung

𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 < 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 für 𝑑𝑑 > 0. Im Spezialfall 𝑎𝑎 = 0 führt dies auf |𝑥𝑥| < 𝑑𝑑 mit der Lösung

−𝑑𝑑 < 𝑥𝑥 < 𝑑𝑑. Gesucht sind alle Zahlen 𝑥𝑥, deren Abstand zur Zahl 𝑎𝑎 größer ist als 𝑑𝑑. Dies führt auf die Ungleichung |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| > 𝑑𝑑 mit der Lösung

𝑥𝑥 < 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 oder 𝑥𝑥 > 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 für 𝑑𝑑 > 0. Im Spezialfall 𝑎𝑎 = 0 führt dies auf |𝑥𝑥| > 𝑑𝑑 mit der Lösung 𝑥𝑥 < −𝑑𝑑 oder 𝑥𝑥 > 𝑑𝑑.

1.4 Potenzen und Logarithmen

11

Beispiel 1.8 1. Gesucht sind alle Zahlen 𝑥𝑥, für die |𝑥𝑥 − 2| < 5 gilt. Die Lösung ist dann

2.

2 − 5 < 𝑥𝑥 < 2 + 5 oder −3 < 𝑥𝑥 < 7. Gesucht sind alle Zahlen 𝑥𝑥, für die |𝑥𝑥 − 2| < −5 gilt. Da Beträge nie negativ werden, gibt es solche Zahlen nicht.

1.4

Potenzen und Logarithmen

Definition 1.12 Sei 𝑎𝑎 ∈ ℝ und 𝑛𝑛 ∈ ℕ. Die Potenz 𝑎𝑎𝑛𝑛 ist dann definiert durch: 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ … ∙ 𝑎𝑎,

wobei das Produkt auf der rechten Seite aus 𝑛𝑛 Faktoren besteht. Dabei heißt 𝑎𝑎 die Basis und 𝑛𝑛 der Exponent. 1 Durch die zusätzliche Definition 𝑎𝑎 −𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 sind Potenzen auch für negative Exponenten 𝑎𝑎 erklärt. Die Erweiterung auf rationale Exponenten erfolgt mittels der Definition von Wurzeln. Definition 1.13 𝑛𝑛

Die Zahl 𝑥𝑥 = √𝑎𝑎 ist eine Lösung der Gleichung 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎, falls diese existiert. 𝑛𝑛

1

𝑚𝑚

𝑛𝑛

Setzt man √𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 und beachtet 𝑎𝑎 𝑛𝑛 = � √𝑎𝑎𝑚𝑚 �, so hat man Potenzen auch für rationale Exponenten erklärt.

Für alle 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ und alle 𝑟𝑟, 𝑠𝑠 ∈ ℚ gelten die fünf Potenzgesetze, sofern die auftretenden Potenzen erklärt sind: 1.

2. 3. 4. 5.

𝑎𝑎𝑟𝑟 ∙ 𝑎𝑎 𝑠𝑠 = 𝑎𝑎𝑟𝑟+𝑠𝑠

𝑎𝑎𝑟𝑟 ÷ 𝑎𝑎 𝑠𝑠 = 𝑎𝑎𝑟𝑟−𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑟𝑟 ∙ 𝑏𝑏 𝑟𝑟 = (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)𝑟𝑟

𝑎𝑎𝑟𝑟 ÷ 𝑏𝑏 𝑟𝑟 = (𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏)𝑟𝑟 (𝑎𝑎𝑟𝑟 ) 𝑠𝑠 = 𝑎𝑎𝑟𝑟∙𝑠𝑠 .

Beispiel 1.9 3𝑥𝑥 2 ∙ 𝑦𝑦 1.5 ∙ 𝑧𝑧 = 1.5𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 −2.5 ∙ 𝑧𝑧 0.7 . 2𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 4 ∙ 𝑧𝑧 0.3

Definition 1.14 Die Lösung der Gleichung 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 ist die Zahl 𝑥𝑥 = log 𝑎𝑎 𝑏𝑏 für alle 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 > 0 mit 𝑎𝑎 ≠ 1 (Sprechweise: Logarithmus von 𝑏𝑏 zur Basis 𝑎𝑎).

12

1 Elementare Grundlagen

Für alle 𝑎𝑎, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 > 0 und 𝑟𝑟 ∈ ℝ gelten die drei Logarithmengesetze:

1.

2.

3.

log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + log 𝑎𝑎 𝑦𝑦

log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ÷ 𝑦𝑦 = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − log 𝑎𝑎 𝑦𝑦 log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑟𝑟 = r ∙ log 𝑎𝑎 𝑥𝑥.

Außerdem gilt: log 𝑎𝑎 1 = 0 und log 𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 1.

Für das Rechnen mit Logarithmen zu verschiedenen Basen gibt es die folgende Umrechnungsformel. Sind die Logarithmen log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 zur Basis 𝑎𝑎 bekannt und die Logarithmen log 𝑏𝑏 𝑥𝑥 zur Basis 𝑏𝑏 gesucht, so gilt: log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 . log 𝑏𝑏 𝑥𝑥 = log 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Zwischen den Potenzen und den Logarithmen bestehen die Zusammenhänge log 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 und 𝑎𝑎 log𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥.

Logarithmen können näherungsweise mit numerischen Methoden berechnet werden. Außerdem können Logarithmentafeln oder Taschenrechner eingesetzt werden. Beispiel 1.10 1. 2𝑥𝑥 = 7 ⇒ 𝑥𝑥 = log 2 7 = 2.8073549 2.

3 ∙ log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 + log 𝑎𝑎 √𝑥𝑥 − log 𝑎𝑎 �

1.5

1

= log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 6 + log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 − log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 −4 + log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 −2 = 1

3.

1

1 1 � + log 𝑎𝑎 � = 4 𝑥𝑥 𝑥𝑥

1

= log 𝑎𝑎 �𝑥𝑥 6 ∙ 𝑥𝑥 2 ÷ 𝑥𝑥 −4 ∙ 𝑥𝑥 −2 � = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 10 = 10 ∙ log 𝑎𝑎 𝑥𝑥

6𝑥𝑥−2 = 52𝑥𝑥+3 . Nach Anwendung von log10 auf beiden Seiten folgt (𝑥𝑥 − 2) ∙ log10 6 = (2𝑥𝑥 + 3) ∙ log10 5 . 3 ∙ log10 5 + 2 ∙ log10 6 Diese lineare Gleichung hat die Lösung 𝑥𝑥 = = −5.8942865. log10 6 − 2 ∙ log10 5

Summen und Produkte

In diesem Abschnitt werden Kurzschreibweisen für Summen und Produkte eingeführt, die aus vielen Summanden bzw. Faktoren bestehen. Solche Summen kommen häufig in Formeln der Finanzmathematik, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie vor.

1.6 Binomische Formeln

13

Definition 1.15 𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 + 𝑎𝑎𝑚𝑚+1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚+2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑖𝑖=𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚+1 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚+2 ∙ … ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖 . 𝑖𝑖=𝑚𝑚

Beispiel 1.11 100

1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 = � 𝑖𝑖 = 5 050 𝑖𝑖=1

10

1 1 𝑖𝑖 2 047 1 1 1 = �� � = = 1.99902 1 + + + + ⋯+ 1 024 1024 2 2 4 8 49

𝑖𝑖=0

49 𝑖𝑖 1 1 2 3 ∙ ∙ ∙ …∙ =� = . 50 𝑖𝑖 + 1 50 2 3 4 𝑖𝑖=1

1.6

Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln lauten: 1. (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 2. 3.

(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ∙ (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 .

Die binomischen Formeln werden bei praktischen Zahlenberechnungen und besonders zum Faktorisieren von Summen eingesetzt. Beispiel 1.12 1. 712 = (70 + 1)2 = 702 + 2 ∙ 70 + 12 = 5 041 2. 125 ∙ 135 = (130 − 5) ∙ (130 + 5) = 1302 − 52 = 16 900 − 25 = 16 875 3. 56𝑎𝑎𝑎𝑎 + 16𝑎𝑎2 + 49𝑏𝑏 2 = 16𝑎𝑎2 + 56𝑎𝑎𝑎𝑎 + 49𝑏𝑏 2 = (4𝑎𝑎 + 7𝑏𝑏)2 (𝑎𝑎 − 1) ∙ 𝑏𝑏 5𝑎𝑎 + 2 (𝑎𝑎 − 1) ∙ 𝑏𝑏 2 5𝑎𝑎 + 2 2 −2 4. ∙ ∙ = ∙ ∙ = . (5𝑎𝑎 − 2) ∙ (5𝑎𝑎 + 2) 7(1 − 𝑎𝑎) 7 ∙ (5𝑎𝑎 − 2) 𝑏𝑏 25𝑎𝑎2 − 4 7 − 7𝑎𝑎 𝑏𝑏

Natürlich ist es unbefriedigend, nur die Potenz (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 berechnen zu können. Was ist zu tun, wenn man z.B. (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)1000 berechnen muss? Dies wird auf eine Verallgemeinerung der binomischen Formeln, den binomischen Lehrsatz führen.

14

1 Elementare Grundlagen

Definition 1.16

𝑛𝑛 Der Binomialkoeffizient � � für 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛, (𝑘𝑘, 𝑛𝑛 ∈ ℕ0 ) ist definiert durch 𝑘𝑘 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1) ∙ (𝑛𝑛 − 2) ∙ … ∙ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1) 𝑛𝑛 = . � �= 𝑘𝑘 𝑘𝑘! ∙ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑘𝑘 Beispiel 1.13 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)4 = 𝑎𝑎4 + 4𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + 6𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 + 4𝑎𝑎𝑏𝑏 3 + 𝑏𝑏 4 = 4 4 4 4 4 = � � ∙ 𝑎𝑎4 + � � ∙ 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + � � ∙ 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 + � � ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 + � � ∙ 𝑏𝑏 4 . 1 2 3 4 0

Dieses Beispiel führt auf den binomischen Lehrsatz. Für alle 𝑛𝑛 ∈ ℕ gilt: 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = � � ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏 0 + � � ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑏𝑏1 + ⋯ + � � ∙ 𝑎𝑎1 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 + � � ∙ 𝑎𝑎0 𝑏𝑏 𝑛𝑛 0 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 1 𝑛𝑛

𝑛𝑛 = � � � ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑘𝑘 . 𝑘𝑘 𝑘𝑘=0

1.7

Gleichungen und Ungleichungen

1.7.1

Lineare Gleichungen

Gesucht sind alle 𝑥𝑥 ∈ ℝ, welche die Gleichung 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 erfüllen. 𝑏𝑏 Ist 𝑎𝑎 ≠ 0, so folgt 𝑥𝑥 = . 𝑎𝑎 Ist 𝑎𝑎 = 0 und ist 𝑏𝑏 ≠ 0, so gibt es keine Lösung. Ist 𝑏𝑏 = 0 und ist 𝑎𝑎 = 0, so sind alle 𝑥𝑥 ∈ ℝ Lösung.

1.7.2

Quadratische Gleichungen

Gesucht sind alle 𝑥𝑥 ∈ ℝ, welche die Gleichung 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0, 𝑎𝑎 ≠ 0, erfüllen.

Die Anwendung der quadratischen Ergänzung führt auf die Lösungsformel für quadratische Gleichungen mit den Fallunterscheidungen 1. 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 < 0 ⇒ keine Lösung −𝑏𝑏 2. 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 2𝑎𝑎 −𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 3. 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0 ⇒ 𝑥𝑥1⁄2 = . 2𝑎𝑎

1.7 Gleichungen und Ungleichungen

15

Beispiel 1.14 1. 2.

4𝑥𝑥 = 13 ⇒ 𝑥𝑥 =

13 4

7𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥𝑥1⁄2 =

1.7.3

−2 ± √88 −1 ± √22 = . 14 7

Andere Gleichungstypen

Außer den oben beschriebenen linearen und quadratischen Gleichungen gibt es viele andere Typen. Ein Versuch, diese zu charakterisieren, wäre zum Scheitern verurteilt, ebenso wenig kann man Lösungswege für beliebige Gleichungen angeben. Das bedeutet, dass die meisten komplizierten Gleichungen mit Hilfe von Rechentricks oder aber mit numerischen Methoden gelöst werden.

1.7.4

Ungleichungen

Das Lösen von Ungleichungen verläuft ähnlich wie das Lösen von Gleichungen. Dennoch gibt es grundlegende Unterschiede: 1. 2.

Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl oder dividiert man eine Ungleichung durch eine negative Zahl, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Bildet man bei einer Ungleichung die Kehrwerte auf beiden Seiten, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Aus diesen Gründen führt das Lösen von Ungleichungen oftmals auf Fallunterscheidungen. Da das Lösen von Ungleichungen nicht schematisiert werden kann, werden einige charakteristische Beispiele vorgeführt, die viele Fälle abdecken. Beispiel 1.15 1. 2. 3.

5 2 −5 5 −2𝑥𝑥 < −5 ⇒ 𝑥𝑥 > ⇒ 𝑥𝑥 > −2 2 |𝑥𝑥 + 4| ≤ 8 ⇒ −8 ≤ 𝑥𝑥 + 4 ≤ 8 ⇒ −12 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4. 2𝑥𝑥 < −5 ⇒ 𝑥𝑥 < −

Beispiel 1.16 |𝑥𝑥 − 3| ≥ |−2𝑥𝑥 + 1| 𝑥𝑥 − 3 für 𝑥𝑥 ≥ 3 Wegen |𝑥𝑥 − 3| = � −𝑥𝑥 + 3 für 𝑥𝑥 < 3 −2𝑥𝑥 + 1 für 𝑥𝑥 ≤ 0.5 und |−2𝑥𝑥 + 1| = � 2𝑥𝑥 − 1 für 𝑥𝑥 > 0.5 müssen 3 Fälle unterschieden werden.

16

1 Elementare Grundlagen

1. Fall: 𝑥𝑥 ≤ 0.5 Für die Ungleichung gilt dann: −𝑥𝑥 + 3 ≥ −2𝑥𝑥 + 1 ⇒ 𝑥𝑥 ≥ −2.

Deshalb sind alle 𝑥𝑥 ∈ ℝ, für die gleichzeitig 𝑥𝑥 ≤ 0.5 und 𝑥𝑥 ≥ −2 gilt, Lösung, also ist 𝕃𝕃1 = [−2, 0.5] 2. Fall: 0.5 < 𝑥𝑥 < 3

Für die Ungleichung gilt dann: − 𝑥𝑥 + 3 ≥ 2𝑥𝑥 − 1 ⇒ 𝑥𝑥 ≤

4 . 3

Deshalb sind alle 𝑥𝑥 ∈ ℝ, für die gleichzeitig 0.5 < 𝑥𝑥 < 3 und 𝑥𝑥 ≤

4 also ist 𝕃𝕃2 = �0.5, �. 3 3. Fall: 𝑥𝑥 ≥ 3 Für die Ungleichung gilt dann: 𝑥𝑥 − 3 ≥ 2𝑥𝑥 − 1 ⇒ 𝑥𝑥 ≤ −2.

4 gilt, Lösung, 3

Da es keine 𝑥𝑥 ∈ ℝ gibt, für die gleichzeitig 𝑥𝑥 ≥ 3 und 𝑥𝑥 ≤ −2 gilt, ist 𝕃𝕃3 = ∅. 4 Insgesamt folgt dann 𝕃𝕃 = 𝕃𝕃1 ∪ 𝕃𝕃2 ∪ 𝕃𝕃3 = �−2, �. 3

Beispiel 1.17 2𝑥𝑥 − 2 ≤1 𝑥𝑥 + 1 Da der Nenner sowohl positiv als auch negativ werden kann, muss eine Fallunterscheidung 𝑥𝑥 < −1 und 𝑥𝑥 > −1 erfolgen.

1. Fall: 𝑥𝑥 < −1 Die Ungleichung wird mit 𝑥𝑥 + 1 durchmultipliziert. Da 𝑥𝑥 + 1 dann negativ ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen und es folgt 2𝑥𝑥 − 2 ≥ 𝑥𝑥 + 1. Also gilt: 𝑥𝑥 ≥ 3. Also ist 𝕃𝕃1 = ∅.

2. Fall: 𝑥𝑥 > −1 Die Ungleichung wird mit 𝑥𝑥 + 1 durchmultipliziert und es folgt 2𝑥𝑥 − 2 ≤ 𝑥𝑥 + 1. Also gilt: 𝑥𝑥 ≤ 3. Also ist 𝕃𝕃2 = (−1, 3].

Insgesamt folgt dann 𝕃𝕃 = (−1, 3].

Beispiel 1.18 |9𝑥𝑥 + 3| ≥ 3 ⇒ |9𝑥𝑥 + 3| ≥ 3 ∙ (1 + 𝑥𝑥 2 ) ⇒ |3𝑥𝑥 + 1| ≥ 1 + 𝑥𝑥 2 1 + 𝑥𝑥 2 1 3𝑥𝑥 + 1 für 𝑥𝑥 ≥ − 3 Wegen |3𝑥𝑥 + 1| = � 1 −3𝑥𝑥 − 1 für 𝑥𝑥 < − 3 muss eine Fallunterscheidung erfolgen.

1.8 Aufgaben

17

1. Fall: 𝑥𝑥 ≥ − 1⁄3 Für die Ungleichung gilt dann: 3𝑥𝑥 + 1 ≥ 1 + 𝑥𝑥 2 .

Dies ist eine quadratische Ungleichung: 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 ≤ 0.

Addiert man auf beiden Seiten 2.25, so folgt 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2.25 ≤ 2.25.

Dadurch ist auf der linken Seite eine binomische Formel entstanden. Es folgt (𝑥𝑥 − 1.5)2 ≤ 2.25 ⇒ −1.5 ≤ 𝑥𝑥 − 1.5 ≤ 1.5 ⇒ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3. Also ist 𝕃𝕃1 = [0, 3]. 2. Fall: 𝑥𝑥 < − 1⁄3 Für die Ungleichung gilt dann: −3𝑥𝑥 − 1 ≥ 1 + 𝑥𝑥 2 .

Dies ist eine quadratische Ungleichung: 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2 ≤ 0.

Addiert man auf beiden Seiten 0.25, so folgt 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2.25 ≤ 0.25.

Dadurch ist auf der linken Seite erneut eine binomische Formel entstanden. Es folgt (𝑥𝑥 + 1.5)2 ≤ 0.25 ⇒ −0.5 ≤ 𝑥𝑥 + 1.5 ≤ 0.5 ⇒ −2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ −1. Also ist 𝕃𝕃1 = [−2, −1]. Insgesamt folgt dann 𝕃𝕃 = [−2, −1] ∪ [0, 3].

1.8

Aufgaben

Aufgabe 1 Welche der folgenden Ausdrücke sind Mengen? a) 𝑀𝑀1 = {1, 3, 4} b) 𝑀𝑀2 = {♠, 𝐴𝐴,∗} c) 𝑀𝑀3 = (1, 2, 3) d) 𝑀𝑀4 = �{∅}� e)

f)

𝑀𝑀5 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑓𝑓, 𝑏𝑏, 𝑒𝑒}

𝑀𝑀6 = [5, 12].

Aufgabe 2 Stellen Sie die Menge 𝐴𝐴 = {𝑎𝑎, 𝑑𝑑, 11,⋆} auf andere Weisen dar.

Aufgabe 3 Gegeben seien die Mengen 𝐴𝐴 = {1, 4, 9}, 𝐵𝐵 = {3, 4, 5} und 𝐶𝐶 = {2, 4, 6, 8}. Berechnen Sie 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵, 𝐵𝐵\𝐶𝐶, 𝐶𝐶\𝐵𝐵 und 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶).

Aufgabe 4 Skizzieren Sie die Menge 𝐴𝐴 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)|𝑦𝑦 > 2 + 𝑥𝑥 und 𝑦𝑦 < 1 − 𝑥𝑥}.

18

1 Elementare Grundlagen

Aufgabe 5 Gegeben sei die Menge 𝐴𝐴 = [−3, 7]. Skizzieren Sie diese Menge auf dem Zahlenstrahl für die Grundmengen ℝ, ℤ und ℕ. Aufgabe 6 Zeichnen Sie in zwei verschiedene Venn-Diagramme die Mengen 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 und 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ein.

Aufgabe 7 Gegeben seien die Mengen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 als Teilmengen einer Grundmenge 𝐺𝐺. Stellen Sie in einem Venn-Diagramm die Menge 𝐶𝐶 = (𝐴𝐴\𝐵𝐵) ∪ (𝐵𝐵\𝐴𝐴) dar. Aufgabe 8 Gegeben seien die Mengen 𝐴𝐴 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏} und 𝐵𝐵 = {𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑}. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ≠ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ⊇ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵, ∅ ⊆ 𝐵𝐵, {𝑏𝑏, 𝑑𝑑} ⊆ 𝐵𝐵, 𝑏𝑏 ∈ 𝐴𝐴, 𝑑𝑑 ⊆ 𝐵𝐵, �𝑏𝑏, {𝑐𝑐, 𝑑𝑑}� ⊆ 𝐵𝐵.

Aufgabe 9 Gegeben seien die Mengen 𝐴𝐴 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑒𝑒, 𝑓𝑓}, 𝐵𝐵 = {𝑒𝑒, 𝑓𝑓}, 𝐶𝐶 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑔𝑔} und 𝐷𝐷 = {𝑒𝑒}. Geben Sie alle Teilmengenbeziehungen an. Aufgabe 10 Gegeben sei die Menge 𝐴𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}. Geben Sie alle möglichen Teilmengen von 𝐴𝐴 an.

Aufgabe 11 Gegeben seien die Mengen ℝ, ℚ, ℤ und ℕ. Bestimmen Sie alle möglichen Teilmengenbeziehungen. Aufgabe 12 Sei 𝐴𝐴 die Menge aller möglichen Augenzahlen des Würfels. Bestimmen Sie 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴.

Wie viele Elemente hat diese Menge?

Aufgabe 13 Seien 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥|2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ ℝ} und 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥|1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4, 𝑥𝑥 ∈ ℝ}. Zeichnen Sie die Menge 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 in ein Koordinatensystem ein.

1.8 Aufgaben

19

Aufgabe 14 Gegeben seien die Mengen 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥|0 ≤ 𝑥𝑥 < 2} und 𝐵𝐵 = {−2, −1, 0, 1}. Skizzieren Sie die Menge 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵.

Aufgabe 15 In einem Tierbestand, der auf Umwelteinflüsse untersucht wurde, waren 20% der Tiere gesund, 50% leicht belastet und 30% schwer belastet. 30% aller belasteten Tiere wurden nicht behandelt. 80% aller schwer belasteten Tiere wurden behandelt.

a) Welcher Anteil der leicht belasteten Tiere wurde nicht behandelt? b) Wie groß ist der Anteil der nicht behandelten schwer belasteten Tiere am gesamten Tierbestand? Aufgabe 16 Bei einer Umfrage unter Sportlern wurden 80 Personen, von denen jede mindestens eine der Sportarten Tennis, Fußball oder Schwimmen ausübt, befragt. 12 spielten nur Fußball, 17 schwammen nur und 14 spielten nur Tennis. 10 Personen betrieben genau 2 Sportarten und 50 spielten insgesamt Tennis. a) Wie viele Personen übten alle drei Sportarten aus? b) Wie viele Personen betrieben Fußball und Schwimmen? Aufgabe 17 Kürzen Sie: a)

407 777

b)

32𝑎𝑎𝑎𝑎 − 10𝑐𝑐𝑐𝑐 48𝑎𝑎𝑎𝑎 − 15𝑐𝑐𝑐𝑐

c)

Aufgabe 18 Berechnen Sie: 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 ∙ (𝑏𝑏 + 1) + + − b) a) − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 c)

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 𝑥𝑥 4𝑦𝑦 +4+ 𝑦𝑦 𝑥𝑥

Aufgabe 19 Stellen Sie betragsfrei dar: a) |2𝑥𝑥 + 25| b) |𝑥𝑥 − 0.33|

1 1 + 𝑎𝑎 𝑏𝑏 . d) 1 1 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏

3𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎 2𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏

d)

c)

3 2𝑧𝑧 2𝑦𝑦 48𝑎𝑎 + − �∙ 4𝑎𝑎 3𝑎𝑎 6𝑎𝑎 18 + 16𝑧𝑧 − 8𝑦𝑦

�

1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 − + 𝑥𝑥 2 − 1 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 1 . 1 𝑥𝑥 − + 𝑥𝑥 + 3 4𝑥𝑥 + 2

|𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2|

d)

|𝑢𝑢 − 𝑣𝑣|.

20

1 Elementare Grundlagen

Aufgabe 20 Lösen Sie die Ungleichungen: a) |3𝑥𝑥 + 7| ≤ 4 b) |2𝑥𝑥 − 3| > 10.

Aufgabe 21 Lösen Sie die Ungleichungen: a) |𝑥𝑥 + 2| ≤ |𝑥𝑥 − 7| b) |2𝑥𝑥 + 3| > |3𝑥𝑥|.

Aufgabe 22 Vereinfachen Sie: a)

33 ∙ 315

b)

Aufgabe 23 Berechnen Sie: a)

� 27

(−5)−12 ÷ (−5)4

3

�92

b)

c)

(−7)4

d)

−74 .

3 4

� �210 .

c)

Aufgabe 24 Entfernen Sie die Wurzeln im Nenner der Brüche: a)

1

√𝑥𝑥

b)

𝑎𝑎

√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏

c)

3

�𝑏𝑏 2 ∙ 𝑦𝑦 2 − √𝑎𝑎𝑎𝑎 4

3

�𝑏𝑏 ∙ 𝑦𝑦 + √𝑎𝑎𝑎𝑎

.

Aufgabe 25 Lösen Sie folgende Gleichungen: a)

𝑥𝑥 5 − 32 = 0

b)

Aufgabe 26 Berechnen Sie: a)

log 2 16

b)

log 3

Aufgabe 27 Fassen Sie zusammen: a)

5𝑥𝑥 12 = 0 1 27

5 ∙ log 𝑎𝑎 𝑣𝑣 − 3 ∙ log 𝑎𝑎 𝑤𝑤

c)

𝑥𝑥 7 − 34 = 0.

c)

log 0.5 0.5

b)

log 𝑎𝑎

d) log 𝑎𝑎 √𝑎𝑎.

𝑥𝑥 + 7 ∙ log 𝑎𝑎 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 ) − 2 ∙ log 𝑎𝑎 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 )3 . 𝑦𝑦

1.8 Aufgaben

21

Aufgabe 28 Berechnen Sie die Größe 𝑥𝑥:

a)

Aufgabe 29 Berechnen Sie: a)

6

� 𝑖𝑖=1

𝑖𝑖 + 3 𝑖𝑖

c)

b) log 5 (2𝑥𝑥 − 1) = −4

log 2 𝑥𝑥 = 16

b)

10

�(𝑖𝑖 2 + 5𝑖𝑖 − 2)

c)

𝑖𝑖=3

log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + log 𝑎𝑎 √𝑥𝑥 = 3 ∙ log 𝑎𝑎 2 .

9

1 𝑖𝑖 �� � . 2 𝑖𝑖=0

Aufgabe 30 Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens: a) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21

b) c)

d)

4 + 13 + 22 + 31 + 40 + 49 + 58 5 6 7 8 9 10 11 + + + + + + 6 7 8 9 10 11 12 3 + 8 + 15 + 24 + 35 + 48 + 63 + 80 + 99.

Aufgabe 31 Berechnen Sie: a)

7

� 𝑖𝑖

b)

𝑖𝑖=1

22

𝑖𝑖 � 𝑖𝑖 − 2

�√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦�

2

�(𝑖𝑖 2 − 36). 𝑖𝑖=5

𝑖𝑖=3

Aufgabe 32 Berechnen Sie: a) (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 c)

c)

100

b) d)

(4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏𝑏𝑏) ∙ (4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏𝑏𝑏) �√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦� ∙ �√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦�.

Aufgabe 33 Schreiben Sie folgende Summen mit Hilfe der binomischen Formeln als Produkte: a)

16𝑥𝑥 2 + 56𝑥𝑥𝑥𝑥 + 49𝑦𝑦 2

b)

−25𝑎𝑎2 𝑥𝑥 4 + 36𝑏𝑏 2 𝑦𝑦 6

Aufgabe 34 Vereinfachen Sie: a) (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ) ∙ (𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 ) − (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 )2

c)

b) −(2𝑎𝑎 − 8𝑏𝑏)2 + (4𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏)2 − (5𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏) ∙ (5𝑎𝑎 + 6𝑏𝑏).

4𝑥𝑥 + 12�𝑥𝑥𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦.

22

1 Elementare Grundlagen

Aufgabe 35 Kürzen Sie: 9𝑥𝑥 2 + 30𝑥𝑥𝑥𝑥 + 25𝑦𝑦 2 a) 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦

b)

𝑥𝑥 − 1

√𝑥𝑥 − 1

.

Aufgabe 36 Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten: 20 40 100 100 a) � � b) � � c) � � d) � �. 2 3 4 96

Aufgabe 37 Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes: a) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)9 b) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)10 .

Aufgabe 38 Berechnen Sie die folgenden Summen mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes: a)

𝑛𝑛

𝑛𝑛 �� � 𝑖𝑖 𝑖𝑖=0

𝑛𝑛

𝑛𝑛 b) �(−1)𝑖𝑖 ∙ � � . 𝑖𝑖 𝑖𝑖=0

Aufgabe 39 Lösen Sie folgende Gleichungen: a) 7𝑥𝑥 − 13 = 18 + 2𝑥𝑥 b) 2𝑥𝑥 + 5 = −3 + 2𝑥𝑥.

Aufgabe 40 Lösen Sie folgende Gleichungen: 1 2 2𝑥𝑥 − 1 2𝑥𝑥 + 9 a) = b) = 𝑥𝑥 + 6 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 6 𝑥𝑥 − 5 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 1 c) = d) 4 ∙ (2𝑥𝑥 − 3) + ∙ (𝑥𝑥 + 1) = (𝑥𝑥 − 1) ∙ 12. 𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 Aufgabe 41 Lösen Sie folgende Gleichungen: a) c)

𝑥𝑥 2 − 8 = −2𝑥𝑥

16𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 20.

b)

𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 1 3 + = −2 + 2 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 4

1.8 Aufgaben

23

Aufgabe 42 Lösen Sie folgende Gleichungen: a)

log 3 𝑥𝑥 = 9

b)

log 4 𝑥𝑥 = 14

Aufgabe 43 Lösen Sie folgende Gleichungen: 1 a) 3𝑥𝑥 = b) 10−𝑥𝑥 = 0.001 27

c)

log 2 (𝑥𝑥 2 − 4) = 5.

c)

5𝑥𝑥 = 12.

c)

2 ∙ 5𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥 .

Aufgabe 44 Lösen Sie folgende Gleichungen: a)

52𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥

b)

6𝑥𝑥+2 = 32𝑥𝑥−5

Aufgabe 45 Lösen Sie folgende Gleichungen: a)

22𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − log 2 (22 ) = 0

b) 7 ∙ 2𝑥𝑥 =

Aufgabe 46 Lösen Sie folgende Ungleichungen: 1 ≤4 a) 3𝑥𝑥 − 4 < 2𝑥𝑥 + 1 b) 𝑥𝑥 1 − 2𝑥𝑥 e) 𝑥𝑥 2 − 1 ≤ 𝑥𝑥 + 1 d) −𝑥𝑥 < 𝑥𝑥

Aufgabe 47 Lösen Sie folgende Ungleichungen: 2𝑥𝑥 + 3 a) |𝑥𝑥 − 5| < 2 b) ≥2 |4𝑥𝑥 − 5| 1 > 1. d) |𝑥𝑥| < 2𝑥𝑥 + 3 e) |𝑥𝑥| − 1

c)

Aufgabe 48 Lösen Sie folgende Ungleichungen: |4 + 12𝑥𝑥| 𝑥𝑥 − 11 ≥ 4 b) ≥ −1 c) a) 2 𝑥𝑥 − 1 1 + 𝑥𝑥

5𝑥𝑥−1 . 3

c) f)

5𝑥𝑥 + 2 ≥2 3𝑥𝑥 − 7 1 3 + ≥ 5. 𝑥𝑥 2𝑥𝑥

|𝑥𝑥 + 3| < |𝑥𝑥 − 7|

1 ≤ 2. 1 − 𝑥𝑥 2

2

Vektoren, Matrizen und Determinanten

Im zweiten Kapitel werden die wichtigsten Hilfsmittel aus der linearen Algebra besprochen. Dies sind Vektoren, Matrizen und Determinanten. Diese Grundelemente werden definiert und ihre Bedeutung anhand von Beispielen erläutert. Besonders zu erwähnen ist dabei die Tatsache, dass die Matrizenrechnung die mathematische Behandlung von zweidimensionalen Tabellen darstellt.

2.1

Vektoren

Vektoren spielen in der Mathematik eine große Rolle. Motiviert durch physikalische Anwendungen sind Vektoren gerichtete Größen, die durch Betrag und Richtung eindeutig definiert sind. Aber auch aus schreib- und darstellungstechnischen Gründen sind Vektoren nützlich. Häufig werden Vektoren zur Darstellung von Zeilen oder Spalten von Tabellen eingesetzt. Anhand der folgenden Beispiele und Definitionen werden Vektoren eingeführt und Rechenregeln für Vektoren erklärt. Beispiel 2.1 Ein Versand verschickt 7 verschiedene Artikel. Die Bestellmengen 𝑚𝑚1 , 𝑚𝑚2 , 𝑚𝑚3 , … , 𝑚𝑚7 sind in folgende Tabelle einzutragen: Artikelnummer 1 2 3 4 5 6 7

Bestellmenge 𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 𝑚𝑚3 𝑚𝑚4 𝑚𝑚5 𝑚𝑚6 𝑚𝑚7

Ist die Reihenfolge der 7 Artikel eindeutig vorgegeben, genügt die Angabe der Zahlen 𝑚𝑚1 , 𝑚𝑚2 , 𝑚𝑚3 , … , 𝑚𝑚7 zur Bestellung.

Definition 2.1 Sind 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 reelle Zahlen, so heißt

https://doi.org/10.1515/9783110601718-041

26

1.

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎⃗ = � ⋮ � ein Spaltenvektor und 𝑎𝑎𝑛𝑛

2. 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) ein Zeilenvektor. Die Zahlen 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 heißen die Komponenten des Vektors.

Beispiel 2.2

𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 Gegeben sei eine Bestellmenge 𝑚𝑚 ��⃗ = � ⋮ �. 𝑚𝑚𝑛𝑛

Wird die Bestellmenge für jeden Artikel um 25% erhöht, so wird jede Zahl 𝑚𝑚𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 mit 1.25 multipliziert. Auf diese Weise wird die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl erklärt. Definition 2.2 Sei 𝑘𝑘 ∈ ℝ und sei 𝑎𝑎⃗ ein Vektor. 𝑎𝑎1 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎2 �. Dann ist 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎⃗ = 𝑘𝑘 ∙ � ⋮ � = � ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Eine Zahl und ein Vektor werden multipliziert, indem jede Komponente des Vektors mit der Zahl multipliziert wird. Beispiel 2.3

𝑚𝑚1 𝑞𝑞1 𝑚𝑚2 𝑞𝑞2 Gegeben seien zwei Bestellmengen 𝑚𝑚 ��⃗ = � ⋮ � und 𝑞𝑞⃗ = � ⋮ �. 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑛𝑛

Dann muss für jeden Artikel 𝑖𝑖 die Menge 𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖 + 𝑞𝑞𝑖𝑖 im Auslieferungslager vorhanden sein. Auf diese Weise wird die Addition und die Subtraktion von Vektoren erklärt. Definition 2.3 Seien 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏�⃗ zwei Vektoren mit jeweils 𝑛𝑛 Komponenten. 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎1 ± 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏2 2 Dann ist 𝑎𝑎⃗ ± 𝑏𝑏�⃗ = � ⋮ � ± � � = � 2 � ⋮ ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 ± 𝑏𝑏𝑛𝑛

die Summe bzw. die Differenz der zwei Vektoren. Die Addition und die Subtraktion erfolgen komponentenweise.

2.1 Vektoren

27

Beispiel 2.4 Der Preis pro Mengeneinheit des Artikels 𝑖𝑖 sei 𝑝𝑝𝑖𝑖 . Für den Mengenvektor 𝑚𝑚 ��⃗ und den Preisvektor 𝑝𝑝⃗ können die Kosten der Bestellung gemäß 𝑚𝑚1 ∙ 𝑝𝑝1 + 𝑚𝑚2 ∙ 𝑝𝑝2 + ⋯ + 𝑚𝑚𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 berechnet werden. Auf diese Weise wird die Multiplikation zweier Vektoren erklärt, die als Ergebnis eine Zahl, also einen Skalar ergibt. Definition 2.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 und 𝑏𝑏�⃗, die aus jeweils 𝑛𝑛 Komponenten bestehen, ist gegeben durch 𝑏𝑏1 𝑏𝑏 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑏𝑏�⃗ = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) ∙ � 2 � = 𝑎𝑎1 ∙ 𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2 ∙ 𝑏𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏𝑛𝑛 . ⋮ 𝑏𝑏𝑛𝑛 Diese Multiplikation wird nur in der Form Zeilenvektor × Spaltenvektor erklärt, um mit der Matrizenmultiplikation konform zu sein.

Alle eingeführten Rechenregeln außer dem Skalarprodukt werden völlig analog für mehr als zwei Vektoren erklärt. Beispiel 2.5

1 Gegeben sei der Vektor 𝑎𝑎⃗ = � �. Dieser ist geometrisch nichts anderes als ein Pfeil, der vom 2 Punkt (0, 0) zum Punkt (1, 2) zeigt. Will man dessen Länge berechnen, so folgt nach dem Satz von Pythagoras |𝑎𝑎⃗| = �12 + 22 = √5.

Diese Eigenschaft wird auch auf Vektoren mit 𝑛𝑛 Komponenten übertragen. Definition 2.5

𝑛𝑛

|𝑎𝑎⃗| = �𝑎𝑎1 2 + 𝑎𝑎2 2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 2 = �� 𝑎𝑎𝑖𝑖 2 𝑖𝑖=1

heißt die Länge oder der Betrag des Vektors 𝑎𝑎⃗.

Oftmals ist es erforderlich, einen Vektor aus gegebenen Vektoren zusammenzusetzen. Dazu wird eine Menge von Vektoren vorgegeben, die zuerst einzeln mit reellen Zahlen multipliziert und anschließend addiert werden.

Definition 2.6 Gegeben seien 𝑛𝑛 Vektoren 𝑎𝑎 ����⃗, 𝑎𝑎2 … , ����⃗. 𝑎𝑎𝑛𝑛 1 ����⃗,

28

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten

Dann heißt jeder Vektor 𝑏𝑏�⃗ mit 𝑛𝑛

𝑏𝑏�⃗ = � 𝜆𝜆𝑖𝑖 ∙ ���⃗ 𝑎𝑎𝚤𝚤 = 𝜆𝜆1 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎1 + 𝜆𝜆2 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∙ ����⃗, 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝜆𝜆𝑖𝑖 ∈ ℝ, 𝑖𝑖=1

eine Linearkombination der Vektoren ����⃗, 𝑎𝑎1 𝑎𝑎 ����⃗, 𝑎𝑎𝑛𝑛 2 … , ����⃗.

Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren ����⃗, 𝑎𝑎1 ����⃗, 𝑎𝑎2 … , 𝑎𝑎 ����⃗ 𝑛𝑛 heißt lineare Hülle.

Beispiel 2.6 Ein Baumarkt verkauft Schrauben und Dübel in Sets. Set 1 beinhaltet 5 Schrauben und 7 Dübel, Set 2 dagegen 6 Schrauben und 3 Dübel. Ein Kunde kauft 6 Sets 1 und 4 Sets 2. 6 5 Seien 𝑎𝑎⃗ = � � und 𝑏𝑏�⃗ = � � die vektoriellen Darstellungen der beiden Sets. 3 7 6 5 54 Dann ist 𝑐𝑐⃗ = 6 ∙ � � + 4 ∙ � � = � � eine Linearkombination der Vektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏�⃗ . Diese 3 7 54 stellt vektoriell dar, wie viele Schrauben und Dübel der Kunde insgesamt gekauft hat. Beispiel 2.7 Eine weitere Aufgabenstellung im vorigen Beispiel ist die Frage, ob ein Kunde tatsächlich genau 54 Schrauben und 54 Dübel kaufen kann, ohne dass er beim Kauf von Sets etwas 54 übrig hat. Dazu muss es möglich sein, den Vektor � � als Linearkombination der beiden 54 6 5 �⃗ Vektoren 𝑎𝑎⃗ = � � und 𝑏𝑏 = � � darzustellen. 3 7 6 54 5 Gesucht sind also zwei Zahlen 𝜆𝜆1 und 𝜆𝜆2 mit � � = 𝜆𝜆1 ∙ � � + 𝜆𝜆2 ∙ � �. 3 54 7 Schreibt man diese Vektorgleichung in Komponenten aus, ergibt sich ein lineares Gleichungssystem: 5𝜆𝜆1 + 6𝜆𝜆2 = 54 7𝜆𝜆1 + 3𝜆𝜆2 = 54, dessen Lösung 𝜆𝜆1 = 6 und 𝜆𝜆2 = 4 ist. Definition 2.7 1. Ein Vektor, dessen Komponenten alle Null sind, heißt Nullvektor. 2. Vektoren, deren 𝑖𝑖 – te Komponente eins ist und alle anderen Komponenten Null sind, heißen Einheitsvektoren.

Es folgen zwei geometrische Eigenschaften von Vektoren: • •

Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind. Zwei Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

Die folgende Definition trennt Mengen von Vektoren, bei denen sich ein Vektor als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen lässt von Mengen von Vektoren, bei denen dies nicht möglich ist.

2.1 Vektoren

29

Definition 2.8 1. 𝑛𝑛 Vektoren 𝑎𝑎 ����⃗, ����⃗, ����⃗ 1 𝑎𝑎 2 … , 𝑎𝑎 𝑛𝑛 heißen linear unabhängig (l.u.), falls die Gleichung �⃗ 𝜆𝜆1 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎1 + 𝜆𝜆2 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 0 2.

nur richtig ist, wenn gilt: 𝜆𝜆1 = 𝜆𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝜆𝑛𝑛 = 0.

𝑛𝑛 Vektoren 𝑎𝑎 ����⃗, 𝑎𝑎2 … , ����⃗ 𝑎𝑎𝑛𝑛 heißen linear abhängig (l.a.), falls die Gleichung 1 ����⃗, �⃗ 𝜆𝜆1 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎1 + 𝜆𝜆2 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 0

mindestens eine weitere Lösung besitzt, bei der mindestens ein 𝜆𝜆𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, nicht gleich Null ist. Der Begriff linear abhängig lässt sich folgendermaßen deuten. �⃗ eine Lösung, bei der nicht alle 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 0 Hat die Gleichung 𝜆𝜆1 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎1 + 𝜆𝜆2 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛 ∙ ����⃗ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 0 sind, kann man eventuell nach einer Umsortierung 𝜆𝜆1 ≠ 0 annehmen. Dann kann aber die Gleichung nach ����⃗ 𝑎𝑎1 aufgelöst werden: 𝜆𝜆2 𝜆𝜆𝑛𝑛 ����⃗ 𝑎𝑎2 − ⋯ − ∙ ����⃗. 𝑎𝑎 𝑎𝑎1 = − ∙ ����⃗ 𝜆𝜆1 𝜆𝜆1 𝑛𝑛 Dies hat aber zur Folge, dass der Vektor ����⃗ 𝑎𝑎1 eine Linearkombination der Vektoren ����⃗, 𝑎𝑎3 … , ����⃗ 𝑎𝑎𝑛𝑛 ist, es also einen linearen Zusammenhang, eine Abhängigkeit der Vektoren gibt. 𝑎𝑎2 ����⃗, Beispiel 2.8

6 5 Die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = � � und 𝑏𝑏�⃗ = � � sind linear unabhängig, da kein Vektor ein Vielfaches 3 7 6 5 54 des anderen Vektors ist. Dagegen sind die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = � � , 𝑏𝑏�⃗ = � � und 𝑐𝑐⃗ = � � linear 3 7 54 6 5 54 abhängig, da 6 ∙ � � + 4 ∙ � � = � � ist. Dies hat insbesondere zur Folge, dass die Darstel3 7 54 lung einer Linearkombination bezüglich linear abhängiger Vektoren mehrdeutig wird. Möch6 5 54 te ein Kunde in einem Baumarkt, der die Sets 𝑎𝑎⃗ = � � , 𝑏𝑏�⃗ = � � und 𝑐𝑐⃗ = � � im Angebot 3 7 54 hat, 261 Schrauben und 252 Dübel kaufen, so gibt es z.B. die Möglichkeiten 261 6 261 6 5 54 5 54 � � = 3 ∙ � � + 5 ∙ � � + 4 ∙ � � oder � � = 9 ∙ � � + 9 ∙ � � + 3 ∙ � �. 252 3 252 3 7 54 7 54

Mit Hilfe von Vektoren können zwei der wichtigsten Grundgebilde der linearen Algebra, die Geraden und Ebenen, dargestellt werden. Definition 2.9 Ein Vektor, der vom Ursprung zum Punkt 𝑋𝑋 führt, heißt Ortsvektor: 𝑥𝑥⃗ = �����⃗ 0𝑋𝑋.

30

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten

Definition 2.10 Für die Parameterdarstellung einer Geraden, die durch den Punkt 𝑃𝑃 und den Richtungsvektor 𝑞𝑞⃗ definiert ist, gilt: �����⃗ = 𝑥𝑥⃗ = 𝑝𝑝⃗ + 𝜆𝜆 ∙ 𝑞𝑞⃗, 𝜆𝜆 ∈ ℝ. 0𝑋𝑋 Ist die Gerade durch die zwei Punkte 𝑃𝑃1 und 𝑃𝑃2 gegeben, so ist der Vektor 𝑞𝑞⃗ = ��������⃗ 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 ein Richtungsvektor und es gilt: ����⃗2 − 𝑝𝑝 ���⃗), 𝑥𝑥⃗ = ���⃗ 𝑝𝑝1 + 𝜆𝜆 ∙ (𝑝𝑝 1 𝜆𝜆 ∈ ℝ. Beispiel 2.9 Die Gerade durch die zwei Punkte 𝑃𝑃1 = (4, 6, 2) und 𝑃𝑃2 = (−2, 0, −1) lautet: 4 −6 𝑥𝑥⃗ = �6� + 𝜆𝜆 ∙ �−6�. 2 −3

Definition 2.11 Für die Parameterdarstellung einer Ebene, die den Punkt 𝑃𝑃 beinhaltet und die zwei linear unabhängige Richtungsvektoren 𝑞𝑞⃗ und 𝑟𝑟⃗ besitzt, gilt: �����⃗ = 𝑥𝑥⃗ = 𝑝𝑝⃗ + 𝜆𝜆 ∙ 𝑞𝑞⃗ + 𝜇𝜇 ∙ 𝑟𝑟⃗, 𝜆𝜆 ∈ ℝ, 𝜇𝜇 ∈ ℝ. 0𝑋𝑋

Ist die Ebene durch die drei Punkte 𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 und 𝑃𝑃3 gegeben, dann sind zum Beispiel die Vek��������⃗ toren 𝑞𝑞⃗ = 𝑃𝑃 ⃗ = ���������⃗ 𝑃𝑃1 𝑃𝑃3 zwei Richtungsvektoren und es gilt: 1 𝑃𝑃2 und 𝑟𝑟 𝑥𝑥⃗ = ���⃗ 𝑝𝑝1 + 𝜆𝜆 ∙ (𝑝𝑝 ����⃗2 − 𝑝𝑝 ���⃗) ����⃗3 − ���⃗), 𝑝𝑝1 𝜆𝜆 ∈ ℝ, 𝜇𝜇 ∈ ℝ. 1 + 𝜇𝜇 ∙ (𝑝𝑝

Aus dieser Parameterdarstellung kann die sogenannte Koordinatengleichung abgeleitet werden. Schreibt man diese Vektorgleichung als Gleichungssystem für die einzelnen Koordinaten, so folgt 𝑥𝑥1 = 𝑝𝑝1 + 𝜆𝜆 ∙ 𝑞𝑞1 + 𝜇𝜇 ∙ 𝑟𝑟1

𝑥𝑥2 = 𝑝𝑝2 + 𝜆𝜆 ∙ 𝑞𝑞2 + 𝜇𝜇 ∙ 𝑟𝑟2

𝑥𝑥3 = 𝑝𝑝3 + 𝜆𝜆 ∙ 𝑞𝑞3 + 𝜇𝜇 ∙ 𝑟𝑟3 . Eliminiert man die beiden Parameter 𝜆𝜆 und 𝜇𝜇, so bleibt eine Gleichung der Form

𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐 ∙ 𝑥𝑥3 = 𝑑𝑑 mit 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 ∈ ℝ übrig, welche die Parameter 𝜆𝜆 und 𝜇𝜇 nicht mehr enthält, sondern nur noch die Koordinaten (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) der Punkte der Ebene. Beispiel 2.10 Gegeben seien die Punkte 𝑃𝑃 = (1, 2, 1), 𝑄𝑄 = (−1, 1, −3) und 𝑅𝑅 = (2, −1, −4). Dann gilt für die Parameterdarstellung der Ebene, die diese drei Punkte enthält: 1 1 −2 𝑥𝑥⃗ = �2� + 𝜆𝜆 ∙ �−1� + 𝜇𝜇 ∙ �−3� , 𝜆𝜆 ∈ ℝ, 𝜇𝜇 ∈ ℝ. 1 −4 −5 Um die Koordinatengleichung zu ermitteln, muss das Gleichungssystem

2.2 Matrizen

31

𝑥𝑥1 = 1 − 2𝜆𝜆 + 𝜇𝜇 𝑥𝑥2 = 2 − 𝜆𝜆 − 3𝜇𝜇 𝑥𝑥3 = 1 − 4𝜆𝜆 − 5𝜇𝜇 auf eine Gleichung reduziert werden.

Multipliziert man die erste Gleichung mit 3 und addiert sie zur zweiten Gleichung, so folgt 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 5 − 7𝜆𝜆. Multipliziert man die erste Gleichung mit 5 und addiert sie zur dritten Gleichung, so folgt

5𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥3 = 6 − 14𝜆𝜆. Multipliziert man die erste Gleichung der zwei neuen Gleichungen mit −2 und addiert dann dazu die zweite Gleichung, so folgt −𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = −4 oder 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = 4.

2.2

Matrizen

Matrizen sind eine Verallgemeinerung der Vektoren. Sie werden besonders aus schreib- und darstellungstechnischen Gründen (Tabellen) und beim Lösen von linearen Gleichungssystemen eingesetzt. Beispiel 2.11 Aus einem Zentrallager werden 5 verschiedene Filialen mit insgesamt 7 verschiedenen Artikeln beliefert. Die Bestellungen können dann in einer Tabelle zusammengefasst werden: Artikelnummer 1 2 3 4 5 6 7

1. Filiale 𝑚𝑚11 𝑚𝑚21 𝑚𝑚31 𝑚𝑚41 𝑚𝑚51 𝑚𝑚61 𝑚𝑚71

Bestellmengen der 2. Filiale 3. Filiale 4. Filiale 𝑚𝑚12 𝑚𝑚13 𝑚𝑚14 𝑚𝑚22 𝑚𝑚23 𝑚𝑚24 𝑚𝑚32 𝑚𝑚33 𝑚𝑚34 𝑚𝑚42 𝑚𝑚43 𝑚𝑚44 𝑚𝑚52 𝑚𝑚53 𝑚𝑚54 𝑚𝑚62 𝑚𝑚63 𝑚𝑚64 𝑚𝑚72 𝑚𝑚73 𝑚𝑚74

5. Filiale 𝑚𝑚15 𝑚𝑚25 𝑚𝑚35 𝑚𝑚45 𝑚𝑚55 𝑚𝑚65 𝑚𝑚75

Ist die Reihenfolge der Artikel eindeutig vorgegeben, genügt die Angabe der 35 Zahlen 𝑚𝑚11 , 𝑚𝑚12 , 𝑚𝑚13 , 𝑚𝑚14 , … , 𝑚𝑚73 , 𝑚𝑚74 und 𝑚𝑚75 . Definition 2.12 Sind 𝑎𝑎11 , 𝑎𝑎12 , 𝑎𝑎13 , … , 𝑎𝑎𝑚𝑚−1,𝑛𝑛 , 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 reelle Zahlen, so heißt

32

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛

⎛ 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⎞ 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � = ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⎟

⎝𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑎𝑎𝑚𝑚3 … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ⎠ eine 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 – Matrix. 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 bezeichnet dabei den Typ der Matrix.

Eine Matrix ist also ein rechteckiges Zahlenschema mit 𝑚𝑚 Zeilen und 𝑛𝑛 Spalten. Dabei ist 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛, das Matrixelement, welches in der 𝑖𝑖 − ten Zeile und der 𝑗𝑗 − ten Spalte steht. Definition 2.13 Vertauscht man die Zeilen und die Spalten einer 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 − Matrix 𝐴𝐴, so entsteht eine 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 − Matrix 𝐴𝐴𝑇𝑇 , die transponierte Matrix.

Beispiel 2.12 Gegeben sei eine Bestellmenge wie in Beispiel 2.11 durch eine Matrix 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 �, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Werden alle Bestellungen um 25% erhöht, so wird jedes Matrixelement mit 1.25 multipliziert. Damit wird die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl erklärt. Definition 2.14 Sei 𝑘𝑘 ∈ ℝ und sei 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � eine Matrix.

𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎11 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎12 … 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎1𝑛𝑛

⎛ 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎21 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎22 … 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⎞ Dann ist 𝑘𝑘 ∙ 𝐴𝐴 = ⎜ . ⋮ ⋮ … ⋮ ⎟

⎝𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚2 … 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ⎠ Eine Zahl und eine Matrix werden multipliziert, indem jedes Matrixelement mit der Zahl multipliziert wird. Beispiel 2.13 Gegeben seien zwei Bestellmengen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 von zwei verschiedenen Tagen. Wird die Matrix gesucht, welche die gesamte Bestellmenge angibt, so müssen die Matrixelemente von 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵, die an der gleichen Position in den Matrizen stehen, addiert werden. Damit werden Addition und Subtraktion von Matrizen erklärt. Definition 2.15 Seien 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � und 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 − Matrizen.

Dann gilt für die Summe bzw. die Differenz von 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵:

2.2 Matrizen

33 𝑎𝑎11 ± 𝑏𝑏11 𝑎𝑎12 ± 𝑏𝑏12 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 ± 𝑏𝑏1𝑛𝑛

⎛ 𝑎𝑎21 ± 𝑏𝑏21 𝑎𝑎22 ± 𝑏𝑏22 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ± 𝑏𝑏2𝑛𝑛 ⎞ 𝐴𝐴 ± 𝐵𝐵 = ⎜ ⎟. ⋮ ⋮ … ⋮

⎝𝑎𝑎𝑚𝑚1 ± 𝑏𝑏𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 ± 𝑏𝑏𝑚𝑚2 … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ± 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑚𝑚 ⎠ Die Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise.

Beispiel 2.14 Eine Firma stellt aus 2 Rohstoffen über 3 Zwischenprodukte 3 Endprodukte her. Die Mengeneinheiten der Rohstoffe, die für die jeweiligen Zwischenprodukte benötigt werden, sind durch folgende Tabelle gegeben: 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2

𝑍𝑍1 1 4

𝑍𝑍2 2 1

𝑍𝑍3 3 5

Die Mengeneinheiten der Zwischenprodukte, die für die jeweiligen Endprodukte benötigt werden, sind durch folgende Tabelle gegeben: 𝑍𝑍1 𝑍𝑍2 𝑍𝑍3

𝐸𝐸1 4 3 2

𝐸𝐸2 1 1 3

𝐸𝐸3 2 1 0

Gesucht sind die Mengeneinheiten der Rohstoffe, die zur Herstellung der Endprodukte benötigt werden, also eine Tabelle, die den Rohstoffbedarf für die Endprodukte angibt. Gesucht sind die Mengeneinheiten der einzelnen Rohstoffe, die für die Herstellung der einzelnen Endprodukte benötigt werden. Also interessiert zum Beispiel die Frage, wie viele Mengeneinheiten von Rohstoff 1 zur Produktion von Endprodukt 1 notwendig sind.

Für 𝐸𝐸1 werden 4 Mengeneinheiten von 𝑍𝑍1 benötigt und für 𝑍𝑍1 wird 1 Mengeneinheit von 𝑅𝑅1 benötigt, also werden 1 ∙ 4 Mengeneinheiten von 𝑅𝑅1 benötigt, um über 𝑍𝑍1 zu 𝐸𝐸1 zu gelangen. Analog werden 2 ∙ 3 bzw. 3 ∙ 2 Mengeneinheiten von 𝑅𝑅1 benötigt, um über 𝑍𝑍2 bzw. 𝑍𝑍3 zu 𝐸𝐸1 zu gelangen. Insgesamt folgt dann, dass 1 ∙ 4 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 2 Mengeneinheiten benötigt werden, um von 𝑅𝑅1 zu 𝐸𝐸1 zu gelangen.

Dies ist aber gerade das Skalarprodukt der Vektoren 4 (1, 2, 3) und �3�, 2 also der Vektoren, die aus der ersten Zeile der ersten Matrix (Tabelle!) und der ersten Spalte der zweiten Matrix (Tabelle!) gebildet werden. Fasst man die erste Matrix als untereinander geschriebene Zeilenvektoren und die zweite Matrix als nebeneinander geschriebene Spaltenvektoren auf, so können alle möglichen Skalarprodukte von Zeilenvektoren der ersten Matrix mit Spaltenvektoren der zweiten Matrix gebildet werden.

34

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten

Damit ist die Multiplikation von Matrizen auf die Skalarmultiplikation von Vektoren zurückgeführt. Die Tabelle der Mengeneinheiten der Rohstoffe, die für die jeweiligen Endprodukte benötigt werden, wird durch eine Matrizenmultiplikation berechnet: 4 1 2 1∙4+2∙3+3∙2 1∙1+2∙1+3∙3 1∙2+2∙1+3∙0 1 2 3 � � ∙ � 3 1 1� = � � 4∙4+1∙3+5∙2 4∙1+1∙1+5∙3 4∙2+1∙1+5∙0 4 1 5 2 3 0 16 12 4 = � �. 29 20 9

Definition 2.16 Die Multiplikation 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 zweier Matrizen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 ist genau dann durchführbar, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix 𝐴𝐴 gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix 𝐵𝐵 ist. Ist 𝐴𝐴 eine 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 − Matrix und 𝐵𝐵 eine 𝑛𝑛 × 𝑟𝑟 − Matrix, so ist 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 eine 𝑚𝑚 × 𝑟𝑟 − Matrix und es gilt: 𝑛𝑛

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝑏𝑏𝑗𝑗𝑗𝑗 für alle 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑟𝑟. 𝑗𝑗=1

Beispiel 2.15 1 3 4 8 1 4 3 24 −1 0 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 = � 1 1 1 0� ∙ � � = � −1 7�. −1 4 −2 9 3 2 −10 10 2 2 Da 𝐴𝐴 eine 3 × 4 − Matrix und 𝐵𝐵 eine 4 × 2 − Matrix ist, ist 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 eine 3 × 2 − Matrix. Das Produkt 𝐵𝐵 ∙ 𝐴𝐴 dagegen ist nicht erklärt.

In der folgenden Definition werden einige spezielle Matrizen erklärt. Definition 2.17 1. Eine 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 − Matrix heißt quadratisch, falls 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 gilt.

2. 3.

4.

Die Nullmatrix 𝑂𝑂 ist eine Matrix mit 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 für alle 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Eine quadratische Matrix heißt Einheitsmatrix 𝐸𝐸, falls gilt: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 für 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 und 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 für 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Das bedeutet, dass die Hauptdiagonale der Matrix mit der Zahl 1 belegt ist und alle anderen Matrixelemente 0 sind. Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, falls gilt: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ≠ 0 für 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 und 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 für 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Das bedeutet, dass nur die Hauptdiagonale der Matrix mit von 0 verschiedenen Zahlen belegt ist.

2.2 Matrizen 5.

35

Eine quadratische Matrix heißt Dreiecksmatrix, falls nur die Matrixelemente auf und oberhalb bzw. auf und unterhalb der Hauptdiagonalen von 0 verschieden sind.

Für Matrizen gelten folgende Gesetze: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴 𝐴𝐴 + (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + 𝐶𝐶 𝐴𝐴 ∙ (𝐵𝐵 ∙ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵) ∙ 𝐶𝐶 𝐴𝐴 ∙ (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) = 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴 ∙ 𝐶𝐶 𝐴𝐴 + 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂 + 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 𝐴𝐴 ∙ 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

𝐴𝐴 ∙ 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂 ∙ 𝐴𝐴 = 𝑂𝑂 (𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵)𝑇𝑇 = 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝐴𝐴𝑇𝑇 .

Das nächste Beispiel zeigt einen Sachverhalt auf, der vom Rechnen mit reellen Zahlen nicht bekannt ist. Beispiel 2.16 1 4 5 2 � und 𝐵𝐵 = � �. Dann gilt: 2 1 −1 −2 1 4 1 −6 5 2 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 = � � ∙� �= � � 2 1 9 2 −1 −2 9 22 1 4 5 2 𝐵𝐵 ∙ 𝐴𝐴 = � �∙ � � =� �. 2 1 −5 −6 −1 −2 Hier gilt offensichtlich 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 ∙ 𝐴𝐴, d.h. die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.

Gegeben seien die Matrizen 𝐴𝐴 = �

Eine wichtige Anwendung der Matrizenrechnung wird im nächsten Kapitel beim Lösen von linearen Gleichungssystemen gezeigt. Dort werden auch die nächsten beiden Definitionen benötigt.

Definition 2.18 Der Rang 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Eine Möglichkeit, den Rang einer Matrix zu bestimmen, ohne auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, wird im nächsten Kapitel (im Abschnitt Gauß-Algorithmus) beschrieben. Definition 2.19 Sei 𝐴𝐴 eine quadratische Matrix. Existiert eine Matrix 𝐴𝐴−1 mit

𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 ∙ 𝐴𝐴 = 𝐸𝐸, so heißt 𝐴𝐴−1 die inverse Matrix von 𝐴𝐴.

36

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten

Beispiel 2.17 0 1 −1 2 −1 1 Sei 𝐴𝐴 = �−2 3 −2�. Dann ist 𝐴𝐴−1 = �2 −1 2�, −1 1 0 1 −1 2 was durch elementare Multiplikation leicht zu bestätigen ist.

Ein explizites Verfahren zur Berechnung von 𝐴𝐴−1 wird im nächsten Kapitel angegeben.

2.3

Determinanten

Die Determinante ist eine Abbildung, die einer 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 − Matrix eine reelle Zahl zuordnet. Die tiefere mathematische Bedeutung der Determinanten kann hier nicht aufgezeigt werden. Die Determinanten werden im nächsten Kapitel beim Nachweis der Lösbarkeit und beim expliziten Lösen von linearen Gleichungssystemen eingesetzt. Die Bezeichnung für Determinanten ist 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 det(𝐴𝐴) = |𝐴𝐴| = ��

Definition 2.20 Für 𝑛𝑛 = 2 gilt:

|𝐴𝐴| = �

Für 𝑛𝑛 = 3 gilt:

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12

𝑎𝑎21 𝑎𝑎22

𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮

⋮

⋮ …

�. ⋮ �

𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑎𝑎𝑚𝑚3 … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

� = 𝑎𝑎11 ∙ 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 ∙ 𝑎𝑎21 .

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13

|𝐴𝐴| = � 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 � = 𝑎𝑎11 ∙ 𝑎𝑎22 ∙ 𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎12 ∙ 𝑎𝑎23 ∙ 𝑎𝑎31 + 𝑎𝑎13 ∙ 𝑎𝑎21 ∙ 𝑎𝑎32 + 𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 −𝑎𝑎13 ∙ 𝑎𝑎22 ∙ 𝑎𝑎31 − 𝑎𝑎11 ∙ 𝑎𝑎23 ∙ 𝑎𝑎32 − 𝑎𝑎12 ∙ 𝑎𝑎21 ∙ 𝑎𝑎33 . Dies ist die Regel von Sarrus: Man fügt der Ausgangsmatrix die ersten beiden Spalten nochmals hinzu und subtrahiert von der Summe der 3 Produkte der Hauptdiagonalen die Summe der 3 Produkte der Nebendiagonalen. Für 𝑛𝑛 ≥ 4 wird die folgende Definition benötigt.

Definition 2.21 1. Entfernt man aus der Determinante einer 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 − Matrix die 𝑖𝑖 − te Zeile und die 𝑘𝑘 − te Spalte, so entsteht die Determinante einer (𝑛𝑛 − 1) × (𝑛𝑛 − 1) − Matrix, die sogenannte Unterdeterminante 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖 . 2.

Multipliziert man die Unterdeterminante 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖 mit (−1)𝑖𝑖+𝑘𝑘 , so ergibt sich die sogenannte Adjunkte 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = (−1)𝑖𝑖+𝑘𝑘 ∙ 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖 .

2.4 Aufgaben

37

Definition 2.22 Für 𝑛𝑛 ≥ 4 gilt:

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

𝑖𝑖=1

|𝐴𝐴| = � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖

für jedes feste 𝑖𝑖 bei der ersten Summe oder jedes feste 𝑘𝑘 bei der zweiten Summe. Es erfolgt eine sogenannte Entwicklung nach einer Zeile oder einer Spalte. Beispiel 2.18 1 5 a) � � = 1 ∙ 3 − 4 ∙ 5 = −17. 4 3 2 1 −1 b) � 5 12 −3 � = 2 ∙ 12 ∙ 5 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + (−1) ∙ 5 ∙ 8 − (−2) ∙ 12 ∙ (−1) −2 8 5 −8 ∙ (−3) ∙ 2 − 5 ∙ 5 ∙ 1 = 85. c)

4 1 −3 8 1 −3 8 4 −3 8 4 1 8 2 2 −5 2 � � = 5 ∙ � 2 −5 2 � − (−2) ∙ � 2 −5 2 � + 1 ∙ � 2 2 2 � 5 −2 1 1 −1 5 −1 3 5 −1 3 −1 −1 3 −1 5 −1 4 1 −3 −1 ∙ � 2 2 −5 � = 3 −1 5 = 5 ∙ (1 ∙ (−5) ∙ (−1) + (−3) ∙ 2 ∙ (−1) + 8 ∙ 2 ∙ 5 − (−1) ∙ (−5) ∙ 8 − 5 ∙ 2 ∙ 1 − (−1) ∙ 2 ∙ (−3)) +2 ∙ (4 ∙ (−5) ∙ (−1) + (−3) ∙ 2 ∙ 3 + 8 ∙ 2 ∙ 5 − 3 ∙ (−5) ∙ 8 − 5 ∙ 2 ∙ 4 − (−1) ∙ 2 ∙ (−3)) +1 ∙ (4 ∙ 2 ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ 3 + 8 ∙ 2 ∙ (−1) − 3 ∙ 2 ∙ 8 − (−1) ∙ 2 ∙ 4 − (−1) ∙ 2 ∙ 1)

−1 ∙ (4 ∙ 2 ∙ 5 + 1 ∙ (−5) ∙ 3 + (−3) ∙ 2 ∙ (−1) − 3 ∙ 2 ∙ (−3) − (−1) ∙ (−5) ∙ 4 − 5 ∙ 2 ∙ 1) =

= 5 ∙ 35 + 2 ∙ 156 + 1 ∙ (−56) − 1 ∙ 19 =

2.4

= 412.

Aufgaben

Aufgabe 1 1 0 1 Gegeben seien die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = �0� , 𝑏𝑏�⃗ = �0� und 𝑐𝑐⃗ = �2�. 3 0 2 �⃗ �⃗ �⃗ a) Berechnen Sie 5𝑎𝑎⃗, 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏, 3𝑐𝑐⃗ − 7𝑏𝑏 und 4𝑎𝑎⃗ + 3𝑏𝑏 − 5𝑐𝑐⃗. b) Berechnen Sie die Längen der Vektoren 𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗ und 𝑐𝑐⃗. c)

Berechnen Sie alle möglichen Skalarprodukte aus jeweils zwei der Vektoren 𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗, 𝑐𝑐⃗, 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 , 𝑏𝑏�⃗ 𝑇𝑇 und 𝑐𝑐⃗ 𝑇𝑇 .

38

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten

Aufgabe 2

𝑎𝑎 Bestimmen Sie 𝑎𝑎 ∈ ℝ so, dass der Vektor 𝑎𝑎⃗ = �2𝑎𝑎 � die Länge 5 hat. 2

Aufgabe 3

𝑎𝑎 1 3 Gegeben seien die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = � 2� , 𝑏𝑏�⃗ = �−1� und 𝑐𝑐⃗ = �𝑏𝑏�. −𝑐𝑐 0 1 Bestimmen Sie 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 und 𝑐𝑐 ∈ ℝ so, dass gilt: 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 0, 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑐𝑐⃗ = 0 und 𝑏𝑏�⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑐𝑐⃗ = 0. Aufgabe 4

𝑡𝑡 1 Für welche 𝑡𝑡 ∈ ℝ sind die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = �1� und 𝑏𝑏�⃗ = � 2� senkrecht zueinander? 1 2𝑡𝑡 Aufgabe 5

−2 −2 1 Sind die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = � 5� , 𝑏𝑏�⃗ = � 2� und 𝑐𝑐⃗ = �2� linear unabhängig? 17 3 0 Aufgabe 6

−1 2 1 Stellen Sie die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = � 5� , 𝑏𝑏�⃗ = � 12� und 𝑐𝑐⃗ = �2� 7 −3 0 1 1 1 als Linearkombination der Vektoren 𝑥𝑥⃗ = �0� , 𝑦𝑦⃗ = �1� und 𝑧𝑧⃗ = �1� dar. 0 0 1

Aufgabe 7

2 Für welche 𝑎𝑎 ∈ ℝ hat der Vektor 𝑥𝑥⃗ = �𝑎𝑎� die Länge 7? 3 Aufgabe 8

1 Geben Sie zwei linear unabhängige Vektoren 𝑥𝑥⃗ und 𝑦𝑦⃗ an, die auf 𝑎𝑎⃗ = �2� senkrecht stehen. 2

Aufgabe 9 Ein Gemüsehändler verkauft Tomaten, Paprika und Gurken in Sets. Set 1 beinhaltet 3 Tomaten, 4 Paprika und 2 Gurken. Set 2 beinhaltet 5 Tomaten, 2 Paprika und 6 Gurken. Die Großpackung (Set 3) beinhaltet 30 Paprika und 47 Tomaten.

2.4 Aufgaben

39

a)

Wie viele Gurken muss Set 3 enthalten, damit Set 3 als Linearkombination der Sets 1 und 2 darstellbar ist? b) Welche mathematische Eigenschaft folgt für die drei Sets, falls in Set 3 die Anzahl der Gurken gleich 112 ist? Aufgabe 10 Gegeben seien die vier Punkte 𝐴𝐴 = (1, 4, −2), 𝐵𝐵 = (3, 0, 1), 𝐶𝐶 = (−3, 12, −8) und 𝐷𝐷 = (−1, 10, 1). a) Warum wird durch die drei Punkte 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 und 𝐶𝐶 keine eindeutige Ebene bestimmt? Welches geometrische Objekt wird durch diese Punkte eindeutig bestimmt? Geben Sie dieses Objekt in Parameterform an. b) Geben Sie die Ebene, in der die drei Punkte 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 und 𝐷𝐷 liegen, in Parameterform und in einer Koordinatengleichung an. Aufgabe 11 Die drei Punkte 𝑃𝑃 = (0, −1, 2), 𝑄𝑄 = (1, 0, 1) und 𝑅𝑅 = (2, −1, 4) liegen auf einer Ebene. Geben Sie diese Ebene in Parameterdarstellung und in einer Koordinatengleichung an. Aufgabe 12 −2 −1 1 Gegeben ist die Matrix 𝐴𝐴 = � 1 −5 3�. Berechnen Sie 3 1 0 a) 𝐴𝐴2 − 3𝐴𝐴 b) 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝑇𝑇 c) 𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴𝑇𝑇 .

Aufgabe 13

Berechnen Sie 𝐷𝐷 = (𝐴𝐴 − 2 ∙ 𝐵𝐵)𝑇𝑇 ∙ 𝐶𝐶 für 𝐴𝐴 = � Aufgabe 14

2 3 1 2 1 0 2 � , 𝐵𝐵 = � � und 𝐶𝐶 = � �. 1 2 3 −1 −1 5 −2

5 1 7 5 −4 Gegeben seien die Matrizen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 durch 𝐴𝐴 = � 3 −5� und 𝐵𝐵 = � �. 12 0 1 −2 13 a) Welche der Matrizenprodukte 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴𝑇𝑇 ∙ 𝐵𝐵, 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝐴𝐴 und 𝐴𝐴𝑇𝑇 ∙ 𝐵𝐵𝑇𝑇 sind durchführbar? Geben Sie eine Begründung dafür an.

b) Berechnen Sie 𝐴𝐴𝑇𝑇 ∙ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵𝑇𝑇 .

Aufgabe 15

−1 1 4 3 0 1 3 4 0 1 0 Gegeben sind 𝑎𝑎⃗ = �1� , 𝑏𝑏�⃗ = �1� , 𝑐𝑐⃗ = � �, 𝐴𝐴 = �1 −1 6� , 𝐵𝐵 = �0 1 −1 0� und 3 4 2 2 2 7 2 0 −1 0 −2

40

2 Vektoren, Matrizen und Determinanten

3 −2 0 𝐶𝐶 = � 3 −3 1�. −1 4 4 a) Berechnen Sie 𝐷𝐷 = 2 ∙ (𝐴𝐴 − 𝐶𝐶). b) Berechnen Sie 𝑑𝑑⃗ = 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝐶𝐶, 𝑒𝑒⃗ = 𝐴𝐴 ∙ 𝑏𝑏�⃗ und 𝑓𝑓 = 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝐶𝐶 ∙ 𝑏𝑏�⃗. c)

Berechnen Sie 𝑔𝑔⃗ = 𝐵𝐵 ∙ 𝑐𝑐⃗, 𝐸𝐸 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐶𝐶, 𝐹𝐹 = 𝐶𝐶 ∙ 𝐴𝐴 und 𝐺𝐺 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵.

Aufgabe 16 Eine Firma stellt aus 3 Rohstoffen über 3 Zwischenprodukte 3 Endprodukte her.

Die Mengeneinheiten der Rohstoffe, die für die jeweiligen Zwischenprodukte benötigt werden, sind durch folgende Tabelle gegeben:

𝑍𝑍1 𝑍𝑍2 𝑍𝑍3 4 𝑅𝑅1 2 1 𝑅𝑅2 3 6 7 𝑅𝑅3 0 2 5 Die Mengeneinheiten der Zwischenprodukte, die für die jeweiligen Endprodukte benötigt werden, sind durch folgende Tabelle gegeben: 𝑍𝑍1 𝑍𝑍2 𝑍𝑍3 𝐸𝐸1 2 0 5 𝐸𝐸2 1 6 4 𝐸𝐸3 0 4 8 Geben Sie die Mengeneinheiten der Rohstoffe an, welche zur Herstellung der Endprodukte benötigt werden. Aufgabe 17 Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 aus Aufgabe 13. Aufgabe 18 Berechnen Sie die Determinante der Matrix 𝐴𝐴 aus Aufgabe 12.

Aufgabe 19 Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen 𝐴𝐴 und 𝐶𝐶 aus Aufgabe 15. Aufgabe 20 Berechnen Sie folgende Determinante: 2 0 −1 2 4 3 0 1 � �. 6 8 0 2 1 −1 7 −4

3

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme kommen in der Praxis häufig vor, da viele Aufgabenstellungen das Formulieren und Lösen von linearen Gleichungssystemen erfordern.

3.1

Einführung

Das folgende Beispiel zeigt den oben genannten Sachverhalt auf. Beispiel 3.1 Die Produkte 𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 , 𝑃𝑃3 und 𝑃𝑃4 werden auf 4 verschiedenen Maschinen produziert, wobei jedes Produkt von jeder Maschine bearbeitet werden muss. Die Fertigungszeiten (in min) sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: 𝑀𝑀1 𝑀𝑀2 𝑀𝑀3 𝑀𝑀4

𝑃𝑃1 5.0 4.0 5.0 2.5

𝑃𝑃2 2.5 4.5 3.5 2.5

𝑃𝑃3 4.5 3.0 4.0 2.0

𝑃𝑃4 2.0 3.0 2.0 5.5

Die Betriebszeit beträgt 4 Stunden für jede Maschine. Wie viel Stück von jedem Produkt können produziert werden, falls die Maschinen voll ausgelastet werden?

Die Anzahlen der hergestellten Produkte 𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 , 𝑃𝑃3 und 𝑃𝑃4 seien 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 und 𝑥𝑥4 . Dann gilt für die Betriebszeit der einzelnen Maschinen: Maschine 1: 5𝑥𝑥1 + 2.5𝑥𝑥2 + 4.5𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 = 240 Maschine 2: 4𝑥𝑥1 + 4.5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥4 = 240 Maschine 3: 5𝑥𝑥1 + 3.5𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 = 240 Maschine 4: 2.5𝑥𝑥1 + 2.5𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 + 5.5𝑥𝑥4 = 240. Gesucht sind vier Zahlen 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 und 𝑥𝑥4 , die alle vier Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Dieses Beispiel führt auf folgende Definition.

Definition 3.1 Ein lineares Gleichungssystem ist ein System vom 𝑚𝑚 linearen Gleichungen für 𝑛𝑛 Unbekannte der Form:

https://doi.org/10.1515/9783110601718-057

42

3 Lineare Gleichungssysteme 𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎13 𝑥𝑥3 + … + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1

𝑎𝑎21 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎23 𝑥𝑥3 + … + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2 𝑎𝑎31 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎32 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎33 𝑥𝑥3 + … + 𝑎𝑎3𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏3 ⋮

𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑚𝑚3 𝑥𝑥3 + … + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚,

wobei für die Zahlen 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 und 𝑏𝑏𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 gilt: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ ℝ, 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ.

Die Zahlen 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 werden die Koeffizienten genannt.

Betrachtet man die linken Seiten zusammen, so sieht man, dass es sich um eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor handelt: 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥1 𝑏𝑏1 ⎛ 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 ⋯ 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⎞ ⎛ 𝑥𝑥2 ⎞ ⎛ 𝑏𝑏2 ⎞ ∙ = oder 𝐴𝐴 ∙𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏�⃗. ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮⋮ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟

⎝𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑎𝑎𝑚𝑚3 ⋯ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ⎠ ⎝𝑥𝑥𝑛𝑛 ⎠ ⎝𝑏𝑏𝑚𝑚 ⎠ Dies ist die Matrixdarstellung eines linearen Gleichungssystems. 𝐴𝐴 heißt dabei die Koeffizientenmatrix, 𝑥𝑥⃗ der Lösungsvektor und 𝑏𝑏�⃗ der Vektor der rechten Seiten.

Im nächsten Beispiel wird die Anzahl der Lösungen untersucht, die ein lineares Gleichungssystem haben kann.

Beispiel 3.2 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 3 −𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 1. Addiert man beide Gleichungen, so folgt

2𝑥𝑥2 = 4 und daraus 𝑥𝑥2 = 2. Dies wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt und es folgt 𝑥𝑥1 = 1.

Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung: (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = (1, 2).

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 3 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 = 7. Multipliziert man die erste Gleichung mit −2 und addiert dazu die zweite Gleichung, so folgt 0 = 1. Da dies offensichtlich falsch ist, hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 3 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 = 6.

3.2 Lösungskriterien für lineare Gleichungssysteme

43

Multipliziert man die erste Gleichung mit −2 und addiert dazu die zweite Gleichung, so folgt 0 = 0. Da dies allgemeingültig ist und da die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind, ist eine Gleichung überflüssig. Es bleibt nur noch eine Gleichung mit zwei Unbekannten übrig. Diese kann auf unendlich viele Arten gelöst werden. Man gibt die eine Unbekannte als Zahl vor und berechnet dann die andere Unbekannte. Deshalb hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dieses Beispiel ist charakteristisch für die Lösungsvielfachheit der linearen Gleichungssysteme: Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

3.2

Lösungskriterien für lineare Gleichungssysteme

Definition 3.2 Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏�⃗. �⃗, so heißt das lineare Gleichungssystem homogen. Ist 𝑏𝑏�⃗ = 0

�⃗, so heißt das lineare Gleichungssystem inhomogen. Ist 𝑏𝑏�⃗ ≠ 0 Definition 3.3

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏�⃗.

Die Koeffizientenmatrix 𝐴𝐴 sei eine 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 − Matrix. Wird dieser Matrix als letzte Spalte der Vektor 𝑏𝑏�⃗ hinzugefügt, so erhält man eine 𝑚𝑚 × (𝑛𝑛 + 1) − Matrix, die erweiterte Matrix 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 . Mit Hilfe dieser Definitionen kann das Lösungskriterium für lineare Gleichungssysteme formuliert werden. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, falls 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ) = 𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛 gilt.

a)

Gilt zusätzlich 𝑟𝑟 = 𝑛𝑛, dann gibt es genau eine Lösung.

b) Gilt zusätzlich 𝑟𝑟 < 𝑛𝑛, dann gibt es unendlich viele Lösungen, die 𝑛𝑛 − 𝑟𝑟 freie Parameter enthalten.

Für den Spezialfall 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 (Anzahl der Gleichungen gleich Anzahl der Unbekannten) gilt, da dann auch Determinanten mit einbezogen werden können: Es gibt genau eine Lösung, falls 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑛𝑛 oder äquivalent |𝐴𝐴| ≠ 0. Ein Verfahren zur Rangbestimmung von Matrizen, ohne auf lineare Abhängigkeit zu prüfen, wird im nächsten Abschnitt als Nebenprodukt vorgestellt.

3.3

Lösungsmöglichkeiten für lineare Gleichungssysteme

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Als erstes seien das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren genannt. Diese sind bei kleineren

44

3 Lineare Gleichungssysteme

Systemen durchaus sinnvoll. Bei größeren Systemen ist das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren, das sogenannte Gauß’sche Eliminationsverfahren oder der Gauß-Algorithmus, vor allem vom Zeitaufwand her gesehen, vorzuziehen.

Der Gauß-Algorithmus Der Gauß-Algorithmus oder das Gauß’sche Eliminationsverfahren beruht auf folgenden Eigenschaften der Lösungen eines linearen Gleichungssystems. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht, falls zwei Gleichungen vertauscht werden, falls eine Gleichung mit einer Konstanten 𝑐𝑐 ≠ 0 multipliziert wird oder falls das Vielfache einer Gleichung zum Vielfachen einer anderen Gleichung addiert wird. Beispiel 3.3 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝐼𝐼 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 2 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = −6 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼. Der Gauß-Algorithmus verläuft nach folgendem Plan. Die erste Gleichung bleibt erhalten:

−𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝐼𝐼. Durch geeignetes Verknüpfen von jeweils zwei der drei Gleichungen werden neue Gleichungen gebildet, welche die Variable 𝑥𝑥1 nicht mehr enthalten.

Addiert man die ersten beiden Gleichungen, so folgt

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = −1 IV. Addiert man die erste und die dritte Gleichung, so folgt

3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 = −9 V. Es bleibt also ein reduziertes System übrig: 𝐼𝐼 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = −1 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 = −9 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ≙ 𝑉𝑉. Jetzt wird das obige Verfahren auf das (auf 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten) reduzierte System der Gleichungen IV und V angewendet. Multipliziert man die Gleichung IV mit 3 und addiert man diese zur Gleichung V, so folgt

VI. 2𝑥𝑥3 = 6 Es bleibt also wieder ein noch weiter reduziertes System übrig: 𝐼𝐼 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = −1 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 2𝑥𝑥3 = 6 3 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑉𝑉 ≙ 𝑉𝑉𝑉𝑉. Aus der letzten Gleichung folgt aber sofort 𝑥𝑥3 = 3.

3.3 Lösungsmöglichkeiten für lineare Gleichungssysteme

45

Setzt man 𝑥𝑥3 = 3 in Gleichung IV ein, so folgt 𝑥𝑥2 = 2.

Setzt man 𝑥𝑥2 = 2 und 𝑥𝑥3 = 3 in Gleichung I ein, so folgt 𝑥𝑥1 = 1.

Da sich bei den ganzen Umformungen die Berechnungen nur auf die Koeffizienten, nicht aber auf die Unbekannten auswirken, genügt die folgende Kurzschreibweise: −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 1 −1 1 2� 𝐼𝐼𝐼𝐼 1 1 −3 −6 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 −1 2 −2 −3 � 0 1 −1 � 𝐼𝐼𝐼𝐼 −1� 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉 0 3 −5 −9 −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 0 1 −1 −1� 𝐼𝐼𝐼𝐼 0 0 2 6 3 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑉𝑉 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉.

Die Vorgehensweise im letzten Beispiel kann auf beliebige lineare Gleichungssysteme angewendet werden. Das Ziel ist es, durch die oben genannten Umformungen möglichst viele der Unbekannten aus den Gleichungen zu entfernen. Dies bedeutet, dass man die Koeffizientenmatrix so lange umformen muss, bis sich unterhalb der Hauptdiagonalen lauter Nullen befinden. Dieses Verfahren wird der Gauß-Algorithmus genannt. Das Ausgangsschema 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛

⎛ 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 ⋯ 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⎝𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑎𝑎𝑚𝑚3 ⋯ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑏𝑏1

𝑏𝑏2 ⎞ ⋮⎟

𝑏𝑏𝑚𝑚 ⎠

wird mittels der Umformungen so lange bearbeitet, bis sich folgendes Endschema ergibt: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 … 𝑎𝑎1𝑟𝑟 𝑎𝑎1,𝑟𝑟+1 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑏𝑏1∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 𝑎𝑎2,𝑟𝑟+1 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑏𝑏2∗ ⎞ ⎛ 0 𝑎𝑎22 … 𝑎𝑎2𝑟𝑟 ∙ … ∙ ∙ ⎟ ⎜ ∙ ∙ … ∙ ⎜ ∙ ∙ … ∙ ∙ … ∙ ∙ ⎟ ∗ ∗ ∗ ⎜ 0 0 … 𝑎𝑎𝑟𝑟,𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑟𝑟,𝑟𝑟+1 … 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑏𝑏𝑟𝑟∗ ⎟ ⎜ ⎟. ⎜ ∗ ⎟ 0 … 0 𝑏𝑏𝑟𝑟+1 ⎜ 0 0 … 0 ⎟ ∙ … ∙ ∙ ⎟ ⎜ ∙ ∙ … ∙ ∙ ∙ … ∙ ∙ … ∙ ∙ ∗ ⎝ 0 0 … 0 ⎠ 0 … 0 𝑏𝑏𝑚𝑚

Dabei entsteht links oben eine 𝑟𝑟 × 𝑟𝑟 − Dreiecksmatrix und rechts oben eine 𝑟𝑟 × (𝑛𝑛 − 𝑟𝑟) − Matrix. Die Anzahl der Lösungen kann aus diesem Schema abgelesen werden.

46

3 Lineare Gleichungssysteme

1.

Ist mindestens eine der Zahlen 𝑏𝑏𝑖𝑖∗ , 𝑟𝑟 + 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 von 0 verschieden, so gibt es keine Lösung.

2. 3.

∗ ∗ ∗ = 𝑏𝑏𝑟𝑟+2 = ⋯ = 𝑏𝑏𝑚𝑚 = 0 und ist zusätzlich 𝑟𝑟 = 𝑛𝑛, so gibt es genau eine LöGilt 𝑏𝑏𝑟𝑟+1 sung.

∗ ∗ ∗ = 𝑏𝑏𝑟𝑟+2 = ⋯ = 𝑏𝑏𝑚𝑚 = 0 und ist zusätzlich 𝑟𝑟 < 𝑛𝑛, so gibt es unendlich viele Gilt 𝑏𝑏𝑟𝑟+1 Lösungen. Die Anzahl der freien Parameter ist dann 𝑛𝑛 − 𝑟𝑟.

Die Lösungen werden dann sukzessive von der letzten Gleichung ausgehend berechnet. Aus diesem Schema kann jetzt der Rang einer Matrix abgelesen werden.

∗ ∗ = 𝑏𝑏𝑟𝑟+2 =⋯= Der Rang der Matrix 𝐴𝐴 ist 𝑟𝑟 und der Rang der Matrix 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ist 𝑟𝑟 (falls 𝑏𝑏𝑟𝑟+1 ∗ ∗ 𝑏𝑏𝑚𝑚 = 0) bzw. 𝑟𝑟 + 1 (falls ein 𝑏𝑏𝑖𝑖 , 𝑟𝑟 + 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 von 0 verschieden ist).

An den folgenden fünf grundlegenden Beispielen wird der Gauß-Algorithmus vorgeführt. Beispiel 3.4 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem aus Beispiel 3.3 𝐼𝐼 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 2 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = −6 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼. Die Lösung erfolgt in Kurzschreibweise: −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 1 −1 1 2� 𝐼𝐼𝐼𝐼 1 1 −3 −6 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 −1 2 −2 −3 � 0 1 −1 � 𝐼𝐼𝐼𝐼 −1� 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉 0 3 −5 −9 −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 0 1 −1 −1� 𝐼𝐼𝐼𝐼 0 0 2 6 3 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑉𝑉 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉. Aus Gleichung VI folgt 2𝑥𝑥3 = 6 ⇒ 𝑥𝑥3 = 3.

Setzt man 𝑥𝑥3 = 3 in Gleichung IV ein, so folgt

𝑥𝑥2 − 3 = −1 ⇒ 𝑥𝑥2 = 2. Setzt man 𝑥𝑥2 = 2 und 𝑥𝑥3 = 3 in Gleichung I ein, so folgt

−𝑥𝑥1 + 2 ∙ 2 − 2 ∙ 3 = −3 ⇒ 𝑥𝑥1 = 1. Also hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung: (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) = (1, 2, 3).

3.3 Lösungsmöglichkeiten für lineare Gleichungssysteme

47

Beispiel 3.5 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝐼𝐼 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 2 𝐼𝐼𝐼𝐼 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 3 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼. Die Lösung erfolgt in Kurzschreibweise: −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 1 −1 1 2� 𝐼𝐼𝐼𝐼 2 −1 1 3 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 −1 2 −2 −3 � 0 1 −1 � 𝐼𝐼𝐼𝐼 −1� 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 2 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉 0 3 −3 −3 −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 0 1 −1 −1� 𝐼𝐼𝐼𝐼 0 0 0 0 3 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑉𝑉 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉. Die letzte Gleichung VI ist allgemeingültig. Daher muss die vorletzte Gleichung IV interpretiert werden: 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = −1. Es wird 𝑥𝑥2 = 𝜆𝜆 ∈ ℝ beliebig gesetzt. Aus 𝑥𝑥3 = 1 + 𝑥𝑥2 folgt 𝑥𝑥3 = 1 + 𝜆𝜆. Aus Gleichung I folgt dann

−𝑥𝑥1 + 2 ∙ 𝜆𝜆 − 2 ∙ (1 + 𝜆𝜆) = −3 ⇒ 𝑥𝑥1 = 1. Also hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen: (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) = (1, 𝜆𝜆, 1 + 𝜆𝜆), 𝜆𝜆 ∈ ℝ.

Da dies aber die Parameterdarstellung einer Geraden ist, liegen alle Lösungen auf dieser Geraden. Beispiel 3.6 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝐼𝐼 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 2 𝐼𝐼𝐼𝐼 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 5 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼. Die Lösung erfolgt in Kurzschreibweise: −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 1 −1 1 2� 𝐼𝐼𝐼𝐼 2 −1 1 5 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 −1 2 −2 −3 � 0 1 −1 � 𝐼𝐼𝐼𝐼 −1� 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 2 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉 0 3 −3 −1 −1 2 −2 −3 𝐼𝐼 � 0 1 −1 −1� 𝐼𝐼𝐼𝐼 0 0 0 −2 3 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑉𝑉 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉. Da die Gleichung 0 = −2 falsch ist, hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung.

48

3 Lineare Gleichungssysteme

Definition 3.4 Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit einer 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 − Koeffizientenmatrix 𝐴𝐴. 1.

2.

Falls 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛 gilt, heißt das lineare Gleichungssystem unterbestimmt. Die Anzahl der Gleichungen ist dann kleiner als die Anzahl der Unbekannten. Falls 𝑚𝑚 > 𝑛𝑛 gilt, heißt das lineare Gleichungssystem überbestimmt. Die Anzahl der Gleichungen ist dann größer als die Anzahl der Unbekannten.

Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme haben entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Der Fall, dass es genau eine Lösung gibt, ist nicht möglich. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme haben entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Beispiel 3.7 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝐼𝐼 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥4 = 2 4𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 = −9 𝐼𝐼𝐼𝐼. Die Lösung erfolgt wieder in der Kurzschreibweise: 2� 𝐼𝐼 � 2 2 4 −1 4 −3 1 2 −9 𝐼𝐼𝐼𝐼 2� 𝐼𝐼 � 2 2 4 −1 0 7 7 −4 13 2 ∙ 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼. Die letzte Gleichung wird interpretiert:

7𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥4 = 13. Da dies eine Gleichung mit drei Unbekannten ist, müssen zwei der Unbekannten beliebig vorgegeben werden. Es wird 𝑥𝑥2 = 𝜆𝜆 ∈ ℝ und 𝑥𝑥3 = 𝜇𝜇 ∈ ℝ beliebig gesetzt.

Aus der letzten Gleichung folgt dann 13 7 7 13 7 7 𝑥𝑥4 = − + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = − + 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇. 4 4 4 4 4 4 Aus Gleichung I folgt dann 1 1 13 7 7 𝑥𝑥1 = 1 − 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 = 1 − 𝜆𝜆 − 2 𝜇𝜇 + ∙ �− + 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇� = 2 2 4 4 4 9 5 1 = − − 𝜆𝜆 − 𝜇𝜇. 8 8 8 Also hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen 5 1 9 13 7 7 + 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇� , 𝜆𝜆 ∈ ℝ, 𝜇𝜇 ∈ ℝ. (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 ) = �− − 𝜆𝜆 − 𝜇𝜇, 𝜆𝜆, 𝜇𝜇, − 8 8 8 4 4 4 Da dies aber die Parameterdarstellung einer Ebene ist, liegen alle Lösungen auf dieser Ebene.

3.4 Spezielle Lösungsmethoden im Fall 𝑛𝑛 =𝑚𝑚

49

Beispiel 3.8 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝐼𝐼 3𝑥𝑥1 − 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 20 5𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −18 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥3 = −96 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 = 50 𝐼𝐼𝐼𝐼. Die Lösung erfolgt wieder in der Kurzschreibweise: 3 −4 1 20 𝐼𝐼 5 −3 −2 −18 𝐼𝐼𝐼𝐼 � � 1 6 −7 −96 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 1 −1 3 50 𝐼𝐼𝐼𝐼 3 −4 1 20 𝐼𝐼 0 −33 33 462 � 𝑉𝑉 � � 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 5 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 0 −22 22 308 𝐼𝐼 − 3 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉 0 7 −10 −146 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝐼𝐼 3 −4 1 20 14� 𝑉𝑉: 33 � 0 −1 1 (𝑉𝑉: 33) ∙ 7 + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 0 0 −3 −48 0 0 0 0 𝑉𝑉: 33 − 𝑉𝑉𝑉𝑉: 22. Die letzte allgemeingültige Gleichung entfällt. Aus den restlichen drei Gleichungen folgt sukzessive 𝑥𝑥3 = 16, 𝑥𝑥2 = 2 und 𝑥𝑥1 = 4.

3.4

Spezielle Lösungsmethoden im Fall 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚

Im Fall 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚, also wenn die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist, gibt es noch zwei weitere Lösungsmethoden, die auf inversen Matrizen oder Determinanten beruhen. Beide Methoden sind nur dann anwendbar, wenn das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung hat!

3.4.1

Lösung mittels inverser Matrizen

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝐴𝐴𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏�⃗. Da dies eine (Matrizen-) Gleichung ist, müsste diese formal nach dem unbekannten Vektor 𝑥𝑥⃗ aufgelöst werden. Dies ist mit Hilfe von inversen Matrizen möglich. Existiert zur Matrix 𝐴𝐴 die inverse Matrix 𝐴𝐴−1 , so wird die Ausgangsgleichung 𝐴𝐴𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏�⃗ von links mit der inversen Matrix 𝐴𝐴−1 durchmultipliziert: | 𝐴𝐴−1 ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏�⃗ 𝐴𝐴−1 ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝐴𝐴−1 ∙ 𝑏𝑏�⃗ (𝐴𝐴−1 ∙ 𝐴𝐴) ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝐴𝐴−1 ∙ 𝑏𝑏�⃗ 𝐸𝐸 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝐴𝐴−1 ∙ 𝑏𝑏�⃗ 𝑥𝑥⃗ = 𝐴𝐴−1 ∙ 𝑏𝑏�⃗.

50

3 Lineare Gleichungssysteme

Damit ist die Ausgangsgleichung nach dem unbekannten Vektor 𝑥𝑥⃗ aufgelöst worden. Die Lösung des linearen Gleichungssystems folgt jetzt mittels einer Multiplikation der Matrix 𝐴𝐴−1 mit dem Vektor 𝑏𝑏�⃗.

Dieses Verfahren ist nur dann möglich, wenn die Koeffizientenmatrix quadratisch ist und es genau eine Lösung gibt. Bei dieser Vorgehensweise muss die inverse Matrix 𝐴𝐴−1 entweder bekannt sein oder sie muss berechnet werden. Ein Verfahren, inverse Matrizen zu bestimmen, wird im nächsten Beispiel gezeigt.

Beispiel 3.9 1 2 �. Gesucht ist die Matrix 𝐴𝐴−1 . 3 4 a b 𝐴𝐴−1 ist ebenfalls eine 2 × 2 − Matrix, also kann 𝐴𝐴−1 = � � gesetzt werden. c d 1 2 a+2c b+2d 10 a b Aus 𝐴𝐴−1 ∙ 𝐴𝐴 = � �∙� �=� � = � � folgt dann 3 4 3a+4c 3b+4d 01 c d 𝑎𝑎 + 2𝑐𝑐 = 1 𝑏𝑏 + 2𝑑𝑑 = 0 3𝑎𝑎 + 4𝑐𝑐 = 0 3𝑏𝑏 + 4𝑑𝑑 = 1. Gegeben sei die Matrix 𝐴𝐴 = �

Dies ist ein lineares Gleichungssystem bestehend aus vier Gleichungen und vier Unbekannten. Es kann jedoch in zwei lineare Gleichungssysteme mit jeweils zwei Unbekannten zerlegt werden:

System 1: System 2: 𝑎𝑎 + 2𝑐𝑐 = 1 𝑏𝑏 + 2𝑑𝑑 = 0 3𝑎𝑎 + 4𝑐𝑐 = 0 3𝑏𝑏 + 4𝑑𝑑 = 1. Diese beiden linearen Gleichungssysteme unterscheiden sich, abgesehen von den unterschiedlichen Variablen, nur in den rechten Seiten, die Koeffizientenmatrix ist gleich. Deshalb können diese beiden linearen Gleichungssysteme simultan gelöst werden, beim Gauß-Algorithmus werden statt einer rechten Seite eben zwei rechte Seiten nebeneinander geschrieben. 1 0� 𝐼𝐼 �1 2 3 4 0 1 𝐼𝐼𝐼𝐼 1 2 1 0 � � 𝐼𝐼 0 2 3 −1 3 ∙ 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 1 0 −2 1 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝐼𝐼𝐼𝐼 � � 0 2 3 −1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 −2 1� 𝐼𝐼𝐼𝐼 �1 0 0 1 1.5 −0.5 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼: 2. −2 1 �. Also gilt: 𝐴𝐴−1 = � 1.5 −0.5 Die Vorgehensweise zur Bestimmung der inversen Matrix im vorhergehenden Beispiel kann für beliebige 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 − Matrizen angewendet werden.

3.4 Spezielle Lösungsmethoden im Fall 𝑛𝑛 =𝑚𝑚

51

Verfahren zur Bestimmung von 𝑨𝑨−𝟏𝟏 :

Man beginnt im Gauß-Algorithmus mit dem Ausgangsschema (𝐴𝐴|𝐸𝐸) und formt mit den aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme zulässigen Operationen solange um, bis statt der Matrix 𝐴𝐴 die Einheitsmatrix 𝐸𝐸 auf der linken Seite steht. Dann befindet sich auf der rechten Seite die gesuchte Matrix 𝐴𝐴−1 . Das Endschema sieht dann so aus: (𝐸𝐸|𝐴𝐴−1 ).

Beispiel 3.10 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem aus Beispiel 3.3 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝐼𝐼 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 2 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = −6 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼. Berechnung der inversen Matrix 𝐴𝐴−1 : −1 2 −2 1 0 0 𝐼𝐼 � 1 −1 1 0 1 0� 𝐼𝐼𝐼𝐼 1 1 −3 0 0 1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 −1 2 −2 1 0 0 � 0 1 −1 � 𝐼𝐼𝐼𝐼 1 1 0� 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉 0 3 −5 1 0 1 −1 0 0 −1 −2 0 𝐼𝐼 − 2 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉 � 0 1 −1 1 1 0� 𝐼𝐼𝐼𝐼 0 0 2 2 3 −1 � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 3 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑉𝑉 = −1 0 0 −1 −2 0 𝑉𝑉𝑉𝑉 � 0 2 0 4 5 −1� 2 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = � 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 0 0 2 2 3 −1 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 Nach drei Divisionen folgt 1 2 0 1 2 0 −3 1 𝐴𝐴−1 = �2 5/2 −1/2� und damit 𝑥𝑥⃗ = �2 5/2 −1/2� ∙ � 2� = �2�. 1 3/2 −1/2 1 3/2 −1/2 −6 3 Vergleicht man den Aufwand beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels des Gauß-Algorithmus mit der Methode der inversen Matrix, so wird der Gauß-Algorithmus die schnellere Methode sein. Hat man jedoch, was in der Praxis insbesondere bei Messreihen vorkommt, dasselbe lineare Gleichungssystem mit vielen verschiedenen rechten Seiten zu lösen, wird die Methode mit der inversen Matrix effektiver sein.

3.4.2

Lösung mittels Determinanten

Ein weiterer Lösungsweg ist die sogenannte Cramer-Regel. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏�⃗.

Sind 𝐷𝐷 = |𝐴𝐴| und 𝐷𝐷𝑖𝑖 = |𝐴𝐴𝑖𝑖 |, wobei die Matrix 𝐴𝐴𝑖𝑖 aus 𝐴𝐴 hervorgeht, indem die 𝑖𝑖 − te Spalte durch den Vektor 𝑏𝑏�⃗ ersetzt wird, so gilt für die Lösungen:

52

3 Lineare Gleichungssysteme 𝑥𝑥𝑖𝑖 =

𝐷𝐷𝑖𝑖 für alle 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛. 𝐷𝐷

Beispiel 3.11 Gegeben sei wieder das lineare Gleichungssystem aus Beispiel 3.3 𝐼𝐼 −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −3 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 2 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = −6 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼. Berechnung der notwendigen Determinanten: −1 2 −2 𝐷𝐷 = � 1 −1 1 � = 2 1 1 −3 −3 2 −2 𝐷𝐷1 = � 2 −1 1 � = 2 −6 1 −3 −1 −3 −2 𝐷𝐷2 = � 1 2 1 � = 4 1 −6 −3 −1 2 −3 𝐷𝐷3 = � 1 −1 2 � = 6. 1 1 −6 2 4 6 Daraus folgt 𝑥𝑥1 = = 1, 𝑥𝑥2 = = 2 und 𝑥𝑥3 = = 3. 2 2 2

3.5

Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

Beinhalten lineare Gleichungssysteme Parameter, so beeinflussen die Parameter nicht nur die explizite Gestalt der Lösung. Die Lösungsvielfachheit hängt ebenfalls von diesen Parametern ab. Im folgenden Beispiel wird der Sachverhalt beschrieben, zusätzliche mathematische Hilfsmittel werden dazu nicht mehr benötigt. Beispiel 3.12 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 𝑥𝑥3 = 4 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − −𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 2 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + (2𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 1) ∙ 𝑥𝑥3 = 𝑎𝑎 + 8 mit a ∈ ℝ.

𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

Für welche a ∈ ℝ hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung bzw. genau eine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen? Wie sehen die Lösungen im Falle der Existenz aus?

3.5 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

53

Die Lösung des linearen Gleichungssystems erfolgt in der Kurzschreibweise in Abhängigkeit von a: 1 1 −1 4 𝐼𝐼 �−1 2 4 2� 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑎𝑎 + 8 1 3 2𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 1 1 −1 4 � 0 3 � 𝐼𝐼𝐼𝐼 3 6� 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑎𝑎 + 10 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = � 𝑉𝑉 0 5 2𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 5 𝐼𝐼 1 1 −1 4 𝐼𝐼𝐼𝐼: 3 � � 0 1 1 2 2 (𝐼𝐼𝐼𝐼: 3) ∙ (−5) + 𝑉𝑉. 𝑎𝑎 0 0 2𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎 Die Interpretation der letzten Zeile liefert: (2𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎) ∙ 𝑥𝑥3 = 𝑎𝑎.

Danach muss eine Fallunterscheidung erfolgen, denn um die Gleichung nach 𝑥𝑥3 aufzulösen, muss durch 2𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 geteilt werden. Dies ist nur dann möglich, falls 2𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 ≠ 0 ist. 2𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 = 0 ⇒ 2𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 2) = 0 ⇒ 𝑎𝑎 = 0 oder 𝑎𝑎 = −2.

1. Fall: 𝑎𝑎 ∈ ℝ\{0, −2} Dann gibt es genau eine Lösung und nach Division folgt 𝑎𝑎 1 𝑥𝑥3 = 2 = . 2𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎 2𝑎𝑎 + 4 Daraus folgt dann 1 4𝑎𝑎 + 7 𝑥𝑥2 = 2 − 𝑥𝑥3 = 2 − = und 2𝑎𝑎 + 4 2𝑎𝑎 + 7 4𝑎𝑎 + 7 1 4𝑎𝑎 + 10 𝑥𝑥1 = 4 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 4 − + = . 2𝑎𝑎 + 7 2𝑎𝑎 + 4 2𝑎𝑎 + 4 2. Fall: 𝑎𝑎 = 0 Die letzte Zeile lautet dann 0 ∙ 𝑥𝑥3 = 0, also ist 𝑥𝑥3 = 𝜆𝜆 ∈ ℝ beliebig und es gibt deshalb unendlich viele Lösungen. 𝑥𝑥3 = 𝜆𝜆 ⇒ 𝑥𝑥2 = 2 − 𝑥𝑥3 ⇒ 2 − 𝜆𝜆 ⇒ 𝑥𝑥1 = 4 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 2 + 2𝜆𝜆. Also gilt: (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) = (2 + 2𝜆𝜆, 2 − 𝜆𝜆, 𝜆𝜆). 3. Fall: 𝑎𝑎 = −2 Die letzte Zeile lautet dann: 0 ∙ 𝑥𝑥3 = −2, also 0 = −2.

Also gibt es keine Lösung.

54

3 Lineare Gleichungssysteme

3.6

Aufgaben

Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen. a) d)

𝐴𝐴 = �

1 1 � 1 2

1 −2 −4 𝐷𝐷 = �−1 2 3� 2 −5 −8

b) 𝐵𝐵 = � e)

1 1.5 � 4 6

c)

1 2 1 1 𝐸𝐸 = � 3 4 1 1� . −2 0 −3 3

1 3 −2 𝐶𝐶 = �2 7 −5� 1 4 −3

Aufgabe 2 Ermitteln Sie den Rang der Matrix 𝐴𝐴 in Abhängigkeit von 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏. 2 4 0 3 −1 1 1 1 𝐴𝐴 = � �. −5 −1 3 𝑎𝑎 −1 4 2 𝑏𝑏 Aufgabe 3 Bestimmen Sie die inversen Matrizen von 2 3 1 0 a) 𝐴𝐴 = � � b) 𝐵𝐵 = � �. 5 7 4 2

Aufgabe 4 Bestimmen Sie die inversen Matrizen von 1 4 6 −1 −3 2 a) 𝐶𝐶 = �0 1 1� b) 𝐷𝐷 = � 1 5 −3�. 3 1 7 0 −1 1

Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme, ohne deren Lösung zu berechnen. 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 = 3 4𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥3 = −18 a) −10𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 = 19 b) −2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 = 7 18𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥3 = −54 −2𝑥𝑥1 + 14𝑥𝑥3 = 16.

Aufgabe 6 Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme aus Aufgabe 5.

3.6 Aufgaben

55

Aufgabe 7 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme. 3𝑥𝑥1 + 20𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 7 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 20 𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = 4 b) 6𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 30 a) 4𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 28. 𝑥𝑥1 + 7.5𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 5

Aufgabe 8 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme. 𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 + 16𝑥𝑥4 = 2 3𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 9 a) b) −2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = 3 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥4 = 4. Aufgabe 9 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme. 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥3 = 1 𝑥𝑥1 −𝑥𝑥1 − 4𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = 0 a) b) 2𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥3 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = 2 𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 3𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = 6

= 1 = 0 = −2 = 7.

Aufgabe 10 Die folgenden linearen Gleichungssysteme haben genau eine Lösung. Bestimmen Sie diese 1. 2. 3. a)

mit dem Gauß-Algorithmus mit Hilfe der Cramer-Regel mit Hilfe der inversen Matrix. 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = −7 −𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 10 b) 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 = −6

𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥3 = 5 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = 17 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = −6.

Aufgabe 11 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem 0.5𝑥𝑥1 − 1.5𝑥𝑥2 + 0.5𝑥𝑥3 = 𝑎𝑎1 𝑥𝑥1 − 0.5𝑥𝑥2 − 0.5𝑥𝑥3 = 𝑎𝑎2 −0.5𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑎𝑎3 . Lösen Sie dieses lineare Gleichungssystem für die 5 verschiedenen rechten Seiten:

a) b) c) d) e)

𝑎𝑎1 𝑎𝑎1 𝑎𝑎1 𝑎𝑎1 𝑎𝑎1

= 0, 𝑎𝑎2 = 1 und 𝑎𝑎3 = 1 = 5, 𝑎𝑎2 = 9 und 𝑎𝑎3 = 0 = −1, 𝑎𝑎2 = −2 und 𝑎𝑎3 = 21 = 1/2, 𝑎𝑎2 = 2/3 und 𝑎𝑎3 = 12 = 𝜋𝜋, 𝑎𝑎2 = 1 und 𝑎𝑎3 = 0.

56

3 Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 12 1 2 −3 39 � und 𝐵𝐵 = � �. −1 3 3 36 Zu berechnen ist die Matrix 𝑋𝑋 aus der Gleichung 𝑋𝑋 ∙ 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵. a) Welchen Typ oder welches Format hat die Matrix 𝑋𝑋 ? b) Erstellen Sie ein LGS und lösen Sie es. Gegeben seien die beiden Matrizen 𝐴𝐴 = �

Aufgabe 13 Für welche Werte von 𝑡𝑡 hat das lineare Gleichungssystem 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 = 0 −2𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 = −3 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 𝑡𝑡𝑥𝑥3 = 𝑡𝑡 genau eine, bzw. keine, bzw. unendlich viele Lösungen? Geben Sie im Falle existierender Lösungen diese an. Aufgabe 14 Für welche Werte von 𝑠𝑠 und 𝑡𝑡 hat das lineare Gleichungssystem 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = −200 −600 2𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥3 = 3𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑥𝑥3 = 50𝑡𝑡 − 500 genau eine, bzw. keine, bzw. unendlich viele Lösungen? Geben Sie im Falle existierender Lösungen diese an.

4

Finanzmathematik

In diesem Kapitel werden Modelle aus der Finanzmathematik, wie Zins- und Zinseszinsrechnung, Renten- und Tilgungsrechnung, behandelt.

4.1

Arithmetische und geometrische Folgen

Beispiel 4.1 Ein Sparer zahlt zu Beginn eines Jahres 200€ auf ein Konto ein. Jeden weiteren Monat zahlt er 5€ mehr ein als im Vormonat. Bezeichnen 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, die Einzahlungen des 𝑖𝑖 – ten Monats, so gilt: 𝑎𝑎1 = 200, 𝑎𝑎2 = 200 + 5 = 205, 𝑎𝑎3 = 200 + 2 ∙ 5, usw.

Allgemein gilt also: 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 5.

Definition 4.1 Eine Folge ist eine Abbildung, die jeder Zahl 𝑛𝑛 ∈ ℕ genau eine Zahl 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∈ ℝ zuordnet.

Definition 4.2 Sei 𝑑𝑑 ∈ ℝ und seien 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∈ ℝ.

Eine Folge der Form 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 𝑑𝑑, 𝑛𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑎1 ∈ ℝ,

heißt arithmetische Folge. Benachbarte Folgeglieder haben stets den gleichen Abstand. Beispiel 4.2 Wird in Beispiel 4.1 die Frage gestellt, wie viel der Sparer in den ersten 12 Monaten insgesamt eingezahlt hat, so ist die Summe gesucht.

𝑠𝑠12 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎12

Hierbei gilt: 𝑠𝑠12 = 𝑎𝑎1 + (𝑎𝑎1 + 𝑑𝑑) − (𝑎𝑎1 + 2𝑑𝑑) + ⋯ + (𝑎𝑎1 + 11𝑑𝑑) = 11

= 12𝑎𝑎1 + (𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 + ⋯ 11𝑑𝑑) = 12𝑎𝑎1 + 𝑑𝑑 ∙ � 𝑘𝑘. 𝑘𝑘=1

Also muss der Wert der Summe der ersten 𝑛𝑛 natürlichen Zahlen ermittelt werden.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-073

58

4 Finanzmathematik 𝑛𝑛

Diese Summe 𝑠𝑠 = � 𝑘𝑘 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

kann durch einen relativ einfachen Trick bestimmt werden: 𝑠𝑠 = 1 + 2 + … + (𝑛𝑛 − 1) + 𝑛𝑛 𝑠𝑠 = 𝑛𝑛 + (𝑛𝑛 − 1) + … + 2 + 1. Addiert man die beiden Zeilen, so ist die Summe der paarweise untereinander stehenden Zahlen auf der rechten Seite stets (𝑛𝑛 + 1). Da aber 𝑛𝑛 Summanden auf der rechten Seite vorhanden sind, folgt 𝑛𝑛 2𝑠𝑠 = 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) ⇒ 𝑠𝑠 = ∙ (𝑛𝑛 + 1). 2 Also folgt in Beispiel 4.2: 11 𝑎𝑎12 = 12 ∙ 200 + 5 ∙ ∙ (11 + 1) = 2 730. 2 Definition 4.3 Sei 𝑎𝑎𝑛𝑛 eine arithmetische Folge. Dann heißt 𝑛𝑛

𝑠𝑠𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑘𝑘=1

eine endliche arithmetische Reihe. 𝑛𝑛 𝑛𝑛 Für diese gilt: 𝑠𝑠𝑛𝑛 = ∙ (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) = ∙ (2𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 𝑑𝑑). 2 2

Beispiel 4.3 Ein Auto mit Nennwert 𝐾𝐾 soll in 𝑁𝑁 Jahren zu gleichen Raten voll abgeschrieben werden. Da die Jahresrate dann 𝐾𝐾/𝑁𝑁 ist, gilt für den Bilanzwert 𝐵𝐵𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝐾𝐾 𝐵𝐵𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 − ∙ 𝑛𝑛 für alle 1 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁. 𝑁𝑁 Definition 4.4 Sei 𝑞𝑞 ≠ 0.

Dann heißt eine Folge der Form 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑞𝑞 𝑛𝑛 geometrische Folge. Interessiert man sich auch hier für die endliche Reihe 𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝑞𝑞 0 + 𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞 2 + ⋯ + 𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 , so führt nun ein anderer Weg zur Lösung: = 𝑞𝑞 0 + 𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞 2 + … + 𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑞𝑞 ∙ 𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞 2 + … + 𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 + 𝑞𝑞 𝑛𝑛 .

4.2 Modelle mit einmaliger Einzahlung

59

Subtrahiert man beide Zeilen voneinander, so folgt 1 − 𝑞𝑞 𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 = . 𝑠𝑠𝑛𝑛 − 𝑞𝑞 ∙ 𝑠𝑠𝑛𝑛 = 1 − 𝑞𝑞 𝑛𝑛 ⇒ 𝑠𝑠𝑛𝑛 = 1 − 𝑞𝑞 𝑞𝑞 − 1 Definition 4.5 Sei 𝑎𝑎𝑛𝑛 eine geometrische Folge. Dann heißt 𝑛𝑛−1

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=0

𝑘𝑘=0

𝑠𝑠𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎𝑘𝑘 = � 𝑞𝑞 𝑘𝑘

eine endliche geometrische Reihe. 1 − 𝑞𝑞 𝑛𝑛 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 = . Für diese gilt: 𝑠𝑠𝑛𝑛 = 1 − 𝑞𝑞 𝑞𝑞 − 1 Geometrische Folgen und Reihen spielen bei prozentualen Zuwächsen in den nächsten Abschnitten eine entscheidende Rolle.

4.2

Modelle mit einmaliger Einzahlung

Modell 4.1 Ein Kapital 𝐾𝐾 wird zu Beginn eines Jahres eingezahlt. Am Ende eines jeden Jahres erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝%, wobei die Zinsen stets mit verzinst werden. Gesucht ist das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren.

Lösung 4.1

𝑝𝑝 𝑝𝑝 ∙ 𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 ∙ �1 + �. 100 100 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 2 𝐾𝐾2 = 𝐾𝐾1 + ∙ 𝐾𝐾1 = 𝐾𝐾1 ∙ �1 + � = 𝐾𝐾 ∙ �1 + � . 100 100 100

𝐾𝐾1 = 𝐾𝐾 +

Allgemein folgt also

Formel 4.1 Wird ein Kapital 𝐾𝐾 zu Beginn eines Jahres eingezahlt und am Ende eines jeden Jahres mit 𝑝𝑝% verzinst, wobei die Zinsen stets mitverzinst werden, so gilt für das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑝𝑝 . 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 mit 𝑞𝑞 = 1 + 100 Beispiel 4.4 Ein Kapital von 100€ wird mit 5% verzinst. Dann gilt:

60

4 Finanzmathematik 𝐾𝐾1 𝐾𝐾5 𝐾𝐾10 𝐾𝐾100 𝐾𝐾250

= = = = =

100 ∙ 1.051 100 ∙ 1.055 100 ∙ 1.0510 100 ∙ 1.05100 100 ∙ 1.05250

= 105.00€ = 127.63€ = 126.89€ = 13 150.13€ = 19 830 093.75€

Modell 4.2 Die Zinszahlung in Modell 4.1 erfolgt anteilmäßig nach 1/𝑟𝑟 Jahren (unterjährige Zinszahlung). Gesucht ist das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren.

Lösung 4.2 Nach Modell 4.1 folgt

2 𝑝𝑝 𝑝𝑝 � und 𝐾𝐾2 = 𝐾𝐾 ∙ �1 + � . 𝑟𝑟 ∙ 100 𝑟𝑟 ∙ 100 𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑝𝑝 � . Für 𝑠𝑠 ∈ ℕ gilt dann: 𝐾𝐾𝑠𝑠 = 𝐾𝐾 ∙ �1 + 𝑟𝑟 ∙ 100 𝑟𝑟 Also folgt für 𝑠𝑠 = 𝑟𝑟 ∙ 𝑛𝑛 (das sind dann 𝑛𝑛 Jahre) 𝑟𝑟∙𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ �1 + � . 𝑟𝑟 ∙ 100

𝐾𝐾1 = 𝐾𝐾 ∙ �1 +

Allgemein gilt also

Formel 4.2 Wird ein Kapital 𝐾𝐾 zu Beginn eines Jahres eingezahlt und anteilmäßig nach 1/𝑟𝑟 Jahren (𝑝𝑝% Jahreszins) verzinst, wobei die Zinsen stets mitverzinst werden, so gilt für das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑟𝑟∙𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ �1 + � . 𝑟𝑟 ∙ 100 Beispiel 4.5 Ein Kapital von 100€ wird für 100 Jahre zu 5% angelegt. Dann beträgt der Kontostand bei = 13 150.13€ jährlicher Zinszahlung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ 1.05100 halbjährlicher Zinszahlung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ 1.025200 = 13 956.39€ 400 vierteljährl. Zinszahlung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ 1.0125 = 14 388.41€ 1 200 5 � = 14 687.95€ monatlicher Zinszahlung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ �1 + 12 ∙ 100 5 200 5 � = 14 805.71€ wöchentlicher Zinszahlung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ �1 + 52 ∙ 100 36 000 5 � = 14 836.16€ täglicher Zinszahlung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ �1 + 360 ∙ 100 36 000∙24 5 � = 14 841.10€. stündlicher Zinszahlung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ �1 + 360 ∙ 24 ∙ 100

4.3 Modelle mit mehrmaligen Einzahlungen in konstanten Abständen

61

Abschließend stellt sich hier die Frage, wie sich eine stetige (= ständige) Verzinsung auswirken würde. 𝑟𝑟∙𝑛𝑛 𝑝𝑝 � die Zahl 𝑟𝑟 sehr groß werden. Dann müsste in der Formel 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ �1 + 𝑟𝑟 ∙ 100 𝑟𝑟∙𝑛𝑛 𝑝𝑝 � gesucht. Also ist lim 𝐾𝐾 ∙ �1 + 𝑟𝑟→∞ 𝑟𝑟 ∙ 100 1 𝑛𝑛 Aus dem bekannten Grenzwert lim �1 + � = 𝑒𝑒 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 𝑟𝑟 ∙ 100 𝑥𝑥 ∙ 𝑝𝑝 und der Substitution 𝑥𝑥 = �⇒ 𝑟𝑟 = � folgt 𝑝𝑝 100 𝑥𝑥∙𝑝𝑝∙𝑛𝑛

𝑟𝑟∙𝑛𝑛 𝑝𝑝 1 100 lim 𝐾𝐾 ∙ �1 + � = lim 𝐾𝐾 ∙ �1 + � = 𝑟𝑟→∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑟𝑟 ∙ 100 𝑥𝑥 𝑝𝑝∙𝑛𝑛

𝑝𝑝∙𝑛𝑛 1 𝑥𝑥 100 = lim 𝐾𝐾 ∙ ��1 + � � = 𝐾𝐾 ∙ 𝑒𝑒 100 . 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥

Bei stetiger Verzinsung beträgt das Guthaben nach 𝑛𝑛 Jahren 𝑝𝑝∙𝑛𝑛

𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑒𝑒 100.

Beispiel 4.6 In Beispiel 4.5 gilt bei stetiger Verzinsung: 𝐾𝐾100 = 100 ∙ 𝑒𝑒

5∙100 100

= 14 841.32€.

Diese Zahl unterscheidet sich nur unwesentlich vom Ergebnis der stündlichen Verzinsung aus Beispiel 4.5.

4.3

Modelle mit mehrmaligen Einzahlungen in konstanten Abständen

Modell 4.3 Ein Kapital 𝐾𝐾 wird zu Beginn eines jeden Jahres (also vorschüssig) eingezahlt. Am Ende eines jeden Jahres erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝%, wobei die Zinsen stets mit verzinst werden. Gesucht ist das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren.

Lösung 4.3 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 + 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 2 + 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 =

= 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 ∙ (𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 + 𝑞𝑞 𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑞𝑞 + 1) = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 ∙

𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 . 𝑞𝑞 − 1

62

4 Finanzmathematik

Formel 4.3 Wird ein Kapital 𝐾𝐾 zu Beginn eines jeden Jahres (also vorschüssig) eingezahlt und erfolgt am Ende eines jeden Jahres eine Verzinsung mit 𝑝𝑝%, wobei die Zinsen stets mit verzinst werden, so gilt für das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 . 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 ∙ 𝑞𝑞 − 1

Modell 4.4 Ein Kapital 𝐾𝐾 wird am Ende eines jeden Jahres (also nachschüssig) eingezahlt. Am Ende eines jeden Jahres erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝%, wobei die Zinsen stets mit verzinst werden. Gesucht ist das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren.

Lösung 4.4 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 + 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 + 𝐾𝐾 = 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 = 𝐾𝐾 ∙ (𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 + 𝑞𝑞 𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑞𝑞 + 1) = 𝐾𝐾 ∙ . 𝑞𝑞 − 1

Formel 4.4 Wird ein Kapital 𝐾𝐾 am Ende eines jeden Jahres (also nachschüssig) eingezahlt und erfolgt am Ende eines jeden Jahres eine Verzinsung mit 𝑝𝑝%, wobei die Zinsen stets mit verzinst werden, so gilt für das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 . 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 − 1

Beispiel 4.7 Zahlt man 1 000€ zu Beginn (Ende) eines jeden Jahres bei einer Verzinsung von 5% auf ein Konto ein, so beträgt das Kapital nach 10 Jahren 1.0510 − 1 = 13 206.79€ (vorschüssig) bzw. 𝐾𝐾10 = 1 000 ∙ 1.05 ∙ 1.05 − 1 1.0510 − 1 = 12 577.89€ (nachschüssig). 𝐾𝐾10 = 1 000 ∙ 1.05 − 1

Modell 4.5 Auf ein Konto wird 𝑚𝑚 − mal in Abständen von 1/𝑚𝑚 Jahren vorschüssig der Betrag 𝐸𝐸 eingezahlt. Es erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝% anteilmäßig am Jahresende.

Gesucht ist das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren.

Lösung 4.5 Zuerst wird der Kontostand nach einem Jahr berechnet.

4.3 Modelle mit mehrmaligen Einzahlungen in konstanten Abständen

63

Dieser ist: 𝐾𝐾1 = 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝐸 + 𝑍𝑍, wobei 𝑍𝑍 die anfallenden Zinsen sind. Für 𝑍𝑍 gilt:

𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑚𝑚 − 1 𝑝𝑝 𝑚𝑚 − 2 𝑝𝑝 1 + 𝐸𝐸 ∙ ∙ + 𝐸𝐸 ∙ ∙ + ⋯ + 𝐸𝐸 ∙ ∙ = 100 100 𝑚𝑚 100 𝑚𝑚 100 𝑚𝑚 𝑝𝑝 1 ∙ ∙ (𝑚𝑚 + (𝑚𝑚 − 1) + ⋯ + 1) = = 𝐸𝐸 ∙ 100 𝑚𝑚 𝑝𝑝 𝑝𝑝 1 𝑚𝑚 ∙ ∙ ∙ (𝑚𝑚 + 1) = 𝐸𝐸 ∙ ∙ (𝑚𝑚 + 1). = 𝐸𝐸 ∙ 200 100 𝑚𝑚 2 Dabei sind die einzelnen Summanden die Zinsen, die für die einzelnen Einzahlungszeiträume anfallen. 𝑍𝑍 = 𝐸𝐸 ∙

Also gilt: 𝐾𝐾1 = 𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝐸 + 𝐸𝐸 ∙

𝑝𝑝 𝑝𝑝 ∙ (𝑚𝑚 + 1) = 𝐸𝐸 ∙ �𝑚𝑚 + ∙ (𝑚𝑚 + 1)�. 200 200

Da dieser Betrag der einmaligen Einzahlung pro Jahr entspricht, folgt 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 = 𝐸𝐸 ∙ �𝑚𝑚 + ∙ (𝑚𝑚 + 1)� ∙ . 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐾𝐾1 ∙ 𝑞𝑞 − 1 𝑞𝑞 − 1 200

Formel 4.5 Wird auf ein Konto 𝑚𝑚 − mal in Abständen von 1/𝑚𝑚 Jahren vorschüssig der Betrag 𝐸𝐸 eingezahlt und erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝% anteilmäßig am Jahresende, so gilt für das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 ∙ (𝑚𝑚 + 1)� ∙ . 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐸𝐸 ∙ �𝑚𝑚 + 𝑞𝑞 − 1 200

Modell 4.6 Auf ein Konto wird 𝑚𝑚 − mal in Abständen von 1/𝑚𝑚 Jahren nachschüssig der Betrag 𝐸𝐸 eingezahlt. Es erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝% anteilmäßig am Jahresende.

Gesucht ist das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren. Lösung 4.6:

Völlig analog folgt 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐸𝐸 ∙ �𝑚𝑚 +

𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 ∙ (𝑚𝑚 − 1)� ∙ . 𝑞𝑞 − 1 200

Formel 4.6 Wird auf ein Konto 𝑚𝑚 − mal in Abständen von 1/𝑚𝑚 Jahren nachschüssig der Betrag 𝐸𝐸 eingezahlt und erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝% anteilmäßig am Jahresende, so gilt für das Kapital 𝐾𝐾𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 ∙ (𝑚𝑚 − 1)� ∙ . 𝐾𝐾𝑛𝑛 = 𝐸𝐸 ∙ �𝑚𝑚 + 𝑞𝑞 − 1 200

64

4 Finanzmathematik

Beispiel 4.8 Es werden monatlich 100€ vorschüssig (nachschüssig) bei 5% Verzinsung auf ein Konto eingezahlt. Dann folgt für den Kontostand nach 10 Jahren 5 1.0510 − 1 ∙ 13� ∙ = 15 502.25€ (vorschüssig) und 𝐾𝐾10 = 100 ∙ �12 + 1.05 − 1 200 5 1.0510 − 1 ∙ 11� ∙ = 15 439.36€ (nachschüssig). 𝐾𝐾10 = 100 ∙ �12 + 1.05 − 1 200

4.4

Modelle mit mehrmaligen Abhebungen in konstanten Abständen (Tilgungsrechnung)

Modell 4.7 Von einem Kapital wird jeweils am Jahresende der Betrag 𝐴𝐴 abgehoben. Gesucht ist bei einer Verzinsung von 𝑝𝑝% der Kontostand 𝑅𝑅𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren. Lösung 4.7 𝑅𝑅1 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 − 𝐴𝐴 𝑅𝑅2 = (𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 − 𝐴𝐴) ∙ 𝑞𝑞 − 𝐴𝐴

⇒ 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝐴𝐴 ∙ (𝑞𝑞 𝑛𝑛−1 + 𝑞𝑞 𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑞𝑞 + 1) = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝐴𝐴 ∙

𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 . 𝑞𝑞 − 1

Formel 4.7 Wird von einem Kapital jeweils am Jahresende der Betrag 𝐴𝐴 abgehoben und erfolgt eine Verzinsung von 𝑝𝑝% am Jahresende, so gilt für den Kontostand 𝑅𝑅𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 . 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝐴𝐴 ∙ 𝑞𝑞 − 1 Dieses Modell ist zur Tilgung einer Schuld 𝑆𝑆 in gleichen Jahresraten 𝐴𝐴 (Annuität) geeignet.

Beispiel 4.9 Ein Kredit von 50 000€ soll in gleichen Jahresraten von 3 000€ bei einer Verzinsung von 5% zurückgezahlt werden. Dann gilt für die Restschulden:

1.05 − 1 = 49 500€. 1.05 − 1 1.052 − 1 = 48 975€. 𝑅𝑅2 = 50 000 ∙ 1.052 − 3 000 ∙ 1.05 − 1 1.0510 − 1 = 43 711.05€. 𝑅𝑅10 = 50 000 ∙ 1.0510 − 3 000 ∙ 1.05 − 1 Hier kann man berechnen, wie lange es dauert, bis der Kredit abbezahlt ist. Man muss 𝑛𝑛 so finden, dass 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 0 ist. 𝑅𝑅1 = 50 000 ∙ 1.05 − 3 000 ∙

4.4 Modelle mit mehrmaligen Abhebungen in konstanten Abständen (Tilgungsrechnung) 65 1.05𝑛𝑛 − 1 . 1.05 − 1 ⇒ 0.05 ∙ 50 000 ∙ 1. 05𝑛𝑛 − 3 000 ∙ (1. 05𝑛𝑛 − 1) = 0 ⇒ (0.05 ∙ 50 000 − 3 000) ∙ 1. 05𝑛𝑛 = −3 000 3 000 ln 6 ⇒ 1. 05𝑛𝑛 = ⇒ 𝑛𝑛 = = 36.724 Jahre. 500 ln 1.05

0 = 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 50 000 ∙ 1. 05𝑛𝑛 − 3 000 ∙

Modell 4.8 Von einem Kapital 𝐾𝐾 wird 𝑚𝑚 − mal in Abständen von 1/𝑚𝑚 Jahren vorschüssig der Betrag 𝐵𝐵 abgehoben. Es erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝% anteilmäßig am Jahresende. Gesucht ist das Kapital 𝑅𝑅𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren.

Lösung 4.8 Zuerst wird der Kontostand nach einem Jahr berechnet. Dieser ist 𝑅𝑅1 = 𝐾𝐾 − 𝑚𝑚 ∙ 𝐵𝐵 + 𝑍𝑍, wobei Z die dabei anfallenden Zinsen sind. Für 𝑍𝑍 gilt:

𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + (𝐾𝐾 − 2𝐵𝐵) ∙ + ⋯ + (𝐾𝐾 − 𝑚𝑚𝑚𝑚) ∙ . 𝑚𝑚 ∙ 100 𝑚𝑚 ∙ 100 𝑚𝑚 ∙ 100 Dabei sind die einzelnen Summanden die für die 𝑘𝑘 − te Zeiteinheit anfallenden Zinsen. 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝐵𝐵 ∙ ∙ (1 + 2 + ⋯ + 𝑚𝑚) = 𝑍𝑍 = 𝑚𝑚 ∙ 𝐾𝐾 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 100 𝑚𝑚 ∙ 100 𝑝𝑝 𝑚𝑚 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝐵𝐵 ∙ ∙ ∙ (𝑚𝑚 + 1) = 𝐾𝐾 ∙ − 𝐵𝐵 ∙ ∙ (𝑚𝑚 + 1). = 𝑚𝑚 ∙ 𝐾𝐾 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 100 2 100 200 𝑚𝑚 ∙ 100 Also folgt 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑅𝑅1 = 𝐾𝐾 − 𝑚𝑚 ∙ 𝐵𝐵 + 𝐾𝐾 ∙ − 𝐵𝐵 ∙ ∙ (𝑚𝑚 + 1) = 100 200 𝑝𝑝 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 − 𝐵𝐵 ∙ �𝑚𝑚 + ∙ (𝑚𝑚 + 1)� . 200 𝑍𝑍 = (𝐾𝐾 − 𝐵𝐵) ∙

⇒ 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝐵𝐵 ∙ �𝑚𝑚 +

𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 ∙ (𝑚𝑚 + 1)� ∙ . 𝑞𝑞 − 1 200

Formel 4.8 Wird von einem Kapital 𝐾𝐾 𝑚𝑚 − mal in Abständen von 1/𝑚𝑚 Jahren vorschüssig der Betrag 𝐵𝐵 abgehoben und erfolgt eine Verzinsung mit 𝑝𝑝% anteilmäßig am Jahresende, so gilt für das Kapital 𝑅𝑅𝑛𝑛 nach 𝑛𝑛 Jahren: 𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 ∙ (𝑚𝑚 + 1)� ∙ . 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝐵𝐵 ∙ �𝑚𝑚 + 𝑞𝑞 − 1 200 Ein Beispiel dazu folgt im nächsten Abschnitt.

66

4.5

4 Finanzmathematik

Rentenmodelle

Sinnvolle Rentenmodelle gehen von dem durch den Versicherungsnehmer insgesamt angesparten Kapital 𝐾𝐾 aus. Es erfolgt eine weitere Verzinsung mit 𝑝𝑝%.

Die Rente wird üblicherweise monatlich in gleichen Raten 𝑀𝑀 ausbezahlt. Das Restguthaben ist dann nach Abschnitt 4.4

𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 . 𝑞𝑞 − 1 Danach gibt es drei theoretisch mögliche Fälle: 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝑀𝑀 ∙ (12 + 0.065 ∙ 𝑝𝑝) ∙

1. 2. 3.

𝑀𝑀 ist so gewählt, dass alle 𝑅𝑅𝑛𝑛 konstant sind, also dass das Restguthaben zinsbereinigt gleich bleibt. Diese Rente 𝑀𝑀𝑒𝑒 wird die ewige Rente genannt. 𝑀𝑀 < 𝑀𝑀𝑒𝑒 . Dann wird 𝑅𝑅𝑛𝑛 immer größer werden.

𝑀𝑀 > 𝑀𝑀𝑒𝑒 . Dann wird das Kapital irgendwann aufgebraucht sein.

Die ewige Rente 𝑀𝑀𝑒𝑒 kann berechnet werden: 𝑝𝑝 ∙ 𝐾𝐾 − 𝑀𝑀𝑒𝑒 ∙ 0.065 ∙ 𝑝𝑝 = 12 ∙ 𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑍𝑍 = 12 ∙ 𝑀𝑀𝑒𝑒 , also 100 𝑝𝑝 ⇒ ∙ 𝐾𝐾 = 𝑀𝑀𝑒𝑒 ∙ (12 + 0.065 ∙ 𝑝𝑝) 100 𝑝𝑝 ∙ 𝐾𝐾 𝑝𝑝 ∙ 𝐾𝐾 ⇒ 𝑀𝑀𝑒𝑒 = = . 100 ∙ (12 + 0.065 ∙ 𝑝𝑝) 1 200 + 6.5 ∙ 𝑝𝑝

Beispiel 4.10 Von einem Kapital von 800 000€ soll eine Rente ausbezahlt werden. Es erfolgt eine Verzinsung mit 5%. 5 ∙ 800 000 = 3 245.44€ ausbezahlt werden. Dann kann eine ewige Rente 𝑀𝑀𝑒𝑒 = 1 200 + 6.5 ∙ 5 Falls der Rentenempfänger 𝑀𝑀 = 5 000€ als monatliche Rente haben möchte, kann die Laufzeit, innerhalb der das Kapital aufgebraucht ist, berechnet werden. Gesucht ist 𝑛𝑛 so, dass 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 0 ist.

𝑅𝑅𝑛𝑛 = 0 = 800 000 ∙ 1.05𝑛𝑛 − 5 000 ∙ (12 + 0.065 ∙ 5) ∙

1.05𝑛𝑛 − 1 1.05 − 1

⇒ 0 = 800 000 ∙ 1.05𝑛𝑛 − 1 232 500 ∙ (1.05𝑛𝑛 − 1) 1 232 500 ⇒ 1 232 500 = 432 500 ∙ 1.05𝑛𝑛 ⇒ 1.05𝑛𝑛 = = 2.84971 432 500 ⇒ 𝑛𝑛 = 21.46 Jahre.

4.6 Aufgaben

4.6

67

Aufgaben

Aufgabe 1 Wie groß ist die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen, die durch 7 teilbar sind? Aufgabe 2 In einem Kino hat die erste Sitzreihe 20 Sitzplätze, die zweite 22, die dritte 24, usw. Wie viele Plätze hat das Kino, falls es 22 Sitzreihen hat? Aufgabe 3 Ein Mitarbeiter einer Firma erhält 500€ Urlaubsgeld. In den folgenden Jahren erhält er jedes Mal 50€ mehr als im Vorjahr. a) Zum wievielten Mal erhält er Urlaubsgeld, wenn dies 1 550€ sind? b) Wie viel Urlaubsgeld hat er dann insgesamt erhalten? Aufgabe 4 Welches Kapital muss bei einem Jahreszins von 8% angelegt werden, wenn man nach 5 Jahren einen Betrag von 10 000€ zur Verfügung haben will? Aufgabe 5 Nach welcher Zeit verdoppelt sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 7% pro Jahr? Aufgabe 6 Ein Kapital von 500€ wird auf 50 Jahre fest zu 7% Jahreszins angelegt. Welcher Betrag steht nach 50 Jahren zur Verfügung bei a) b) c) d) e) f) g) h) i)

jährlicher Zinszahlung halbjährlicher Zinszahlung vierteljährlicher Zinszahlung monatlicher Zinszahlung täglicher Zinszahlung stündlicher Zinszahlung Zinszahlung nach jeder Minute Zinszahlung nach jeder Stunde stetiger Zinszahlung?

Aufgabe 7 Ein Sparer legt einmalig vorschüssig 10 000€ an. Der Zinssatz in den ersten 9 Jahren beträgt 4%, anschließend sinkt dieser auf 2%. Nach 15 Jahren zahlt der Sparer 10 000€ ein, da er im Lotto gewonnen hat. Wie groß ist sein Kapital nach 25 Jahren?

68

4 Finanzmathematik

Aufgabe 8 Diese Aufgabe behandelt das berühmte Problem, wie man durch Anlegen eines einzigen Euros zum Millionär werden kann. a)

Ein Sparer legt (ein einziges Mal) 1€ zu 5% Zinsen zu Beginn eines Jahres an. Wie lange dauert es, bis er Millionär ist? b) Da dies offensichtlich zu lange dauert, muss der Sparer bessere Möglichkeiten suchen. Bei der ersten Variante wird sein Einzahlungsbetrag erhöht. Wie viel € muss er zu Beginn eines Jahres anlegen, um bei 5% Zinsen in 60 Jahren Millionär zu werden? c) Bei der zweiten Variante wird der Zinssatz erhöht. Der Sparer legt (ein einziges Mal) 1€ zu Beginn eines Jahres an. Welchen Zinssatz muss der Sparer bekommen, um in 60 Jahren Millionär zu werden? Aufgabe 9 Diese Aufgabe behandelt das etwas veränderte Problem, wie man durch mehrmaliges Anlegen eines einzigen Euros zum Millionär werden kann. a)

Ein Sparer legt jährlich vorschüssig 1€ zu 5% Zinsen an. Wie lange dauert es, bis er Millionär ist? b) In welchen Abständen muss der Sparer 1€ zu 5% Zinsen anlegen, damit er in 60 Jahren Millionär ist, wenn die Zinszahlung anteilmäßig am Jahresende erfolgt?

Aufgabe 10 Herr Rentenfuchs zahlt zu Beginn jeden Jahres seine Rentenversicherung ein. Ab 1.1.1950 zahlte er jährlich 8 000 DM ein. Anfangs betrug der Zinssatz 3% und stieg ab 1.1.1970 auf 3.5%. Herr R. geht am 31.12.1989 in Rente. a) Wie groß ist das Guthaben von Herrn R. am 1.1.1990? b) Welche ewige Rente steht ihm zu, wenn er mit 3% anteilmäßig verzinst wird? Aufgabe 11 Ein Sparer zahlt 20 Jahre lang monatlich vorschüssig 300€ auf ein Konto ein. a)

Wie viel € stehen ihm nach diesen 20 Jahren zur Verfügung, wenn die Zinsen 7% betragen und am Jahresende anteilmäßig verzinst wird? b) Welche monatliche ewige Rente steht ihm zu, falls mit 4% anteilmäßig verzinst wird? Aufgabe 12 Ein eifriger Sparer zahlt jeweils am Ersten jeden Monats 1 000€ auf ein Konto ein. a)

Berechnen Sie den Kontostand nach 20 Jahren, wenn mit 8% anteilmäßig am Jahresende verzinst wird. b) Berechnen Sie den Kontostand nach 20 Jahren, wenn mit 2% vierteljährlich verzinst wird. c) Berechnen Sie den Kontostand nach 20 Jahren, wenn mit 2/3% monatlich verzinst wird.

4.6 Aufgaben

69

Aufgabe 13 Eine Firma muss einem Mitarbeiter 5 Jahre lang monatlich vorschüssig 500€ bezahlen. Mit welchem Betrag könnte sie ihn bei 4% Zinsen jetzt abfinden? Aufgabe 14 Wie lange kann man von 100 000€ monatlich vorschüssig 5 000€ abheben, wenn mit 6% anteilmäßig verzinst wird? Aufgabe 15 Ein vorsorgender Vater zahlt 13 Jahre lang bei einem Zinssatz von 6% jeweils 300€ monatlich vorschüssig auf ein Konto ein. Nach 15 Jahren (also 2 Jahre später) beginnt der Sohn mit seinem Studium und darf über das Geld verfügen. Welchen Betrag kann er monatlich vorschüssig davon abheben, wenn das Studium 12 Semester (= 6 Jahre) dauern wird?

Aufgabe 16 Welcher Betrag muss monatlich vorschüssig 4 Jahre lang bei einem Zinssatz von 5% für die ersten 20 Jahre und 4.5% für die zweiten 20 Jahre auf ein Konto einbezahlt werden, um nach diesen 20 Jahren eine monatliche ewige Rente von 2 500€ bei 3% jährlicher Weiterverzinsung zu bekommen? Aufgabe 17 Auf einem Einfamilienhaus lastet eine Hypothek in Höhe von 35 000€. Die jährliche Belastung durch Verzinsung und Tilgung (Annuität) beträgt 2 500€. a) Wie viele Jahre dauert es bei 7% Zinsen, bis die Hypothek getilgt ist? b) Wie hoch müsste die Annuität sein, damit bei gleicher Verzinsung die Laufzeit 60 Jahre beträgt? Aufgabe 18 Mit welcher Annuität kann ein Kredit von 100 000€ bei 14% Zinsen in genau 10 Jahren zurückbezahlt werden?

5

Differentialrechnung

Funktionen sind in der Analysis das wichtigste Hilfsmittel, da sie insbesondere dazu dienen, den Zusammenhang zwischen mehreren Größen mathematisch durch Gleichungen zu beschreiben. Funktionen sind eine Verallgemeinerung der im vorigen Kapitel eingeführten Folgen. Definition 5.1 Eine Funktion ist eine Abbildung, die jeder Zahl 𝑥𝑥 ∈ ℝ genau eine Zahl 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∈ ℝ, den sogenannten Funktionswert, zuordnet. Beispiel 5.1 Auf einem Parkplatz hängt die Parkgebühr von der geparkten Zeit gemäß der Funktion 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 3𝑡𝑡 [€] ab. 𝑡𝑡 > 0 ist dabei die Zeitspanne, in welcher der Parkplatz in Anspruch genommen wird. Dann ist z.B. 𝑓𝑓(1) = 3€, 𝑓𝑓(2) = 6€ oder 𝑓𝑓(0.5) = 1.5€. Im Bereich der Wirtschaft spielen viele unterschiedliche Funktionen eine bedeutende Rolle:

• • • • • • • • • •

Kostenfunktionen Stückkostenfunktionen Angebots- und Nachfragefunktionen Erlösfunktionen Gewinnfunktionen Konsumfunktionen Kapazitätsfunktionen Investitionsfunktionen Nutzenfunktionen und Produktionsfunktionen.

Dabei gibt z.B. eine Kostenfunktion 𝐾𝐾(𝑥𝑥) die Kosten für die produzierte Menge 𝑥𝑥 an, während eine Nachfragefunktion 𝑁𝑁(𝑝𝑝) die Nachfrage in Mengeneinheiten in Abhängigkeit vom Preis 𝑝𝑝 angibt. In der weiteren Abhandlung werden eben solche Funktionen untersucht und Eigenschaften solcher Funktionen beschrieben, ohne dass dabei eine der oben beschriebenen Funktionen explizit herausgenommen wird. Wenn im Folgenden von einer Funktion 𝑓𝑓 gesprochen wird, so ist dies zwar eine abstrakte Funktion im Sinne der Mathematik, sie kann jedoch jede der oben genannten Anwendungsmöglichkeiten haben.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-087

72

5 Differentialrechnung

Neben der Darstellung durch Funktionsgleichungen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ist eine grafische Darstellung durch ein Schaubild eine angenehme Möglichkeit, sich das Verhalten und die Eigenschaften einer Funktion vor Augen zu führen. Deshalb werden in diesem Kapitel viele Sachverhalte untersucht, die es ermöglichen, ausgehend von der Funktionsgleichung 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) zu einer grafischen Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem zu gelangen.

5.1

Elementare Funktionen

In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Funktionstypen beschrieben.

5.1.1

Potenzfunktionen

Definition 5.2 Eine Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 heißt Potenzfunktion. Einige Spezialfälle spielen hier eine besondere Rolle: Fall 1: 𝑛𝑛 ∈ ℕ Die Schaubilder heißen Parabeln.

Für gerades 𝑛𝑛 haben die Schaubilder im Punkt (0, 0) ein Minimum und sind im Intervall (−∞, 0) monoton fallend und im Intervall (0, ∞) monoton wachsend.

Für ungerades 𝑛𝑛 haben die Schaubilder im Punkt (0, 0) einen Wendepunkt sind stets monoton wachsend. Die beiden Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 und 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 sind im folgenden Schaubild dargestellt. f ( x) = x 2

4

f ( x) = x 3

3 2 1

-2

-1

0

0

-1 -2 -3 -4

Abb. 5.1

Potenzfunktionen

1

2

5.1 Elementare Funktionen

73

Fall 2: 𝑛𝑛 = 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ist eine Gerade mit der Steigung 1, die sogenannte 1. Winkelhalbierende.

Etwas allgemeiner sind Geraden durch die Funktionsgleichung

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 erklärt. Dabei ist 𝑚𝑚 die Steigung und 𝑏𝑏 der 𝑦𝑦 − Achsenabschnitt.

Geraden spielen in der Differentialrechnung als Tangenten an andere Funktionen eine ausgezeichnete Rolle. Die beiden Geraden 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.5𝑥𝑥 − 1 und 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 + 1 sind im folgenden Schaubild dargestellt. 4 3 2

= f ( x) 0.5 x − 1

1

-3

0

-1

1

3

-1 -2 -3

Abb. 5.2

f (= x) − x + 1

Geraden

Fall 3: 𝑛𝑛 ∈ ℤ\ℕ Die Schaubilder heißen Hyperbeln. Sie haben an der Stelle 𝑥𝑥 = 0 eine Definitionslücke, die sich im Schaubild als Pol auswirkt.

74

5 Differentialrechnung 4 3 2

-4

0

-2

1 x 1 f ( x) = 2 4 x f ( x) =

1

0

2

-1 -2 -3 -4

Abb. 5.3

Hyperbeln

1 , 𝑘𝑘 ∈ ℕ 𝑘𝑘 Dies sind die Wurzelfunktionen, die aus den Schaubildern der Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ ℕ, durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden entstehen. Fall 4: 𝑛𝑛 =

5.1.2

Polynome

Definition 5.3 Eine Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 ∙ 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 heißt Polynom n − ten Grades. Dabei gilt: 𝑎𝑎𝑖𝑖 ∈ ℝ, 0 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1 und 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0.

Die Schaubilder von Polynomen werden durch die im Abschnitt 5.3 beschriebene Kurvendiskussion ermittelt. Das Polynom 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.5 ∙ ( 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 ) ist im folgenden Schaubild dargestellt.

5.1 Elementare Funktionen

75

5 4 3

= f ( x)

2

1 3 ⋅ x − 2 x 2 − 5x + 6 2

(

)

1

-3

-2

-1

0

0

1

2

3

4

-1 -2 -3

Abb. 5.4

5.1.3

Polynom

Gebrochenrationale Funktionen

Definition 5.4 Eine Funktion mit der Gleichung 𝑝𝑝(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑞𝑞(𝑥𝑥) heißt gebrochenrationale Funktion, falls 𝑝𝑝(𝑥𝑥) und 𝑞𝑞(𝑥𝑥) Polynome sind.

Die Schaubilder von gebrochenrationalen Funktionen werden durch die im Abschnitt 5.3 beschriebene Kurvendiskussion ermittelt.

5.1.4

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Definition 5.5 Eine Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎 ≠ 1 heißt Exponentialfunktion.

Exponentialfunktionen sind für 0 < 𝑎𝑎 < 1 monoton fallend und für 𝑎𝑎 > 1 monoton wachsend und stets positiv. Definition 5.6 Eine Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎 ≠ 1 heißt Logarithmusfunktion.

Logarithmusfunktionen sind für 0 < 𝑎𝑎 < 1 monoton fallend und für 𝑎𝑎 > 1 monoton wachsend und nur für 𝑥𝑥 > 0 definiert.

76

5 Differentialrechnung

Die beiden Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 und 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥 sind im folgenden Schaubild dargestellt. 3

f ( x) = e x 2

f ( x) = ln x

1

-3

-2

0

-1

0

1

2

3

-1 -2 -3

Abb. 5.5 Exponential- und Logarithmusfunktion

5.1.5

Trigonometrische Funktionen

Die beiden Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 und 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 heißen trigonometrische Funktionen oder Kreisfunktionen.

Da diese in wirtschaftlicher Hinsicht eher unbedeutend sind, werden hier nur die beiden Schaubilder angegeben. 2

f ( x) = sin x

1

-1

0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

f ( x) = cos x

-2

Abb. 5.6 trigonometrische Funktionen

5.2

Tangenten und Ableitungen

Das Grundproblem der Differentialrechnung ist: Man berechne bei gegebener Funktion 𝑓𝑓 an einer beliebigen Stelle 𝑥𝑥0 die Gleichung der Tangente. Da dann der Punkt (𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 )) vorliegt, genügt es, die Steigung der Tangente zu berechnen.

5.2 Tangenten und Ableitungen

77

Im folgenden Schaubild ist dieser Sachverhalt dargestellt. Tangente

Sekante

f (x)

f (x)

f ( x0 ) x0

Abb. 5.7

x

Tangente und Sekante

Um die Steigung 𝑚𝑚𝑡𝑡 (𝑥𝑥0 ) der Tangente im Punkt (𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 )) zu berechnen, wird ein zusätzlicher Punkt (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) auf der Kurve hinzugenommen.

Die Gerade durch die zwei Punkte �𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 )� und �𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)� heißt eine Sekante und hat die 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) Steigung 𝑚𝑚𝑠𝑠 (𝑥𝑥0 ) = . 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 Lässt man jetzt 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 wandern, so nähert sich der Punkt (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) dem Punkt (𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 )) beliebig und die Sekante dreht sich in die richtige Tangente. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) . Es gilt dann: 𝑚𝑚𝑡𝑡 (𝑥𝑥0 ) = lim 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 Wird 𝑥𝑥0 nicht mehr fest, sondern variabel gehalten, so wird das Problem global gelöst. Man erhält dann eine neue Funktion 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑡𝑡 (𝑥𝑥). Definition 5.7 Eine Funktion heißt differenzierbar an der Stelle 𝑥𝑥0 , falls 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) lim 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 existiert. Dann gibt es an der Stelle 𝑥𝑥0 eine eindeutige Tangente. Definition 5.8 Die Funktion

𝑓𝑓(𝑧𝑧) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 heißt die erste Ableitung der Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = lim 𝑧𝑧→𝑥𝑥

78

5 Differentialrechnung

Definition 5.9 Die n − te Ableitung einer Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ist gegeben durch ′

𝑓𝑓 (𝑛𝑛) (𝑥𝑥) = �𝑓𝑓 (𝑛𝑛−1) � (𝑥𝑥).

Damit wird das ursprüngliche Problem dahin transformiert, dass zu einer gegebenen Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) deren Ableitung 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) berechnet werden muss.

Das Berechnen von Ableitungen direkt mittels des Grenzwertes 𝑓𝑓(𝑧𝑧) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = lim 𝑧𝑧→𝑥𝑥 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 wird im Allgemeinen schwierig sein.

Deshalb wurden die sogenannten Ableitungsregeln entwickelt, die in den folgenden Tabellen angegeben sind. Ableitungsregeln für elementare Funktionen: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥

sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥

Ableitungsregeln für Verknüpfungen: ℎ(𝑥𝑥) 𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑔𝑔(𝑥𝑥))

ℎ′(𝑥𝑥) 𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥) 𝑔𝑔2 (𝑥𝑥) 𝑓𝑓′�𝑔𝑔(𝑥𝑥)� ∙ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)

Die letzten drei Regeln heißen Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Diese Ableitungsregeln sind relativ leicht mittels des ursprünglichen Grenzwertes herzuleiten und ermöglichen es jetzt, Ableitungen von Funktionen zu berechnen, die aus elementaren Funktionen und den bekannten Verknüpfungen aufgebaut sind.

5.3 Kurvendiskussion

79

Beispiel 5.2 1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 5 − 𝑥𝑥 1.5 + 2 ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 15𝑥𝑥 4 − 1.5𝑥𝑥 0.5 2 2 2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 −2 ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 −2 1 1 3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1) ∙ ln 𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1) ∙ + 1 ∙ ln 𝑥𝑥 = 1 + + ln 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 2 (𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 1 − 1) ∙ 2𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 + 1) ∙ 1 − 2𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = = 𝑥𝑥 − 1 (𝑥𝑥 − 1)2 (𝑥𝑥 − 1)2 2 2 2 5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin�𝑒𝑒 𝑥𝑥 −5 � ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = �cos�𝑒𝑒 𝑥𝑥 −5 �� ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 −5 ∙ 2𝑥𝑥 6.

5.3

𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ⇒ Umformung: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑒𝑒 ln 𝑥𝑥 � = 𝑒𝑒 𝑥𝑥∙ln 𝑥𝑥 1 ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥∙ln 𝑥𝑥 ∙ �𝑥𝑥 ∙ + 1 ∙ ln 𝑥𝑥� = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∙ (1 + ln 𝑥𝑥). 𝑥𝑥

Kurvendiskussion

Um aus einer Funktionsgleichung ein Schaubild zu erhalten, müssen einzelne Punkte des Graphen berechnet werden. Da das Berechnen von relativ vielen Funktionswerten mühsam ist und da ein einzelner Funktionswert das Verhalten der Funktion nur in diesem Punkt beschreibt und keinerlei Information über das Verhalten in einer näheren Umgebung liefert, ist es sinnvoll, ausgezeichnete Punkte zu berechnen oder bestimmte Eigenschaften von Funktionen auszunutzen. Hierbei hat sich der Formalismus der Kurvendiskussion durchgesetzt, der aus folgenden Punkten besteht: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

Bestimmung des Definitionsbereichs ⅅ. Bestimmung der Symmetrie. Gilt 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), so ist die Funktion symmetrisch zur 𝑦𝑦 − Achse. Gilt 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥), so ist die Funktion symmetrisch zum Punkt (0, 0). Bestimmung der ersten drei Ableitungen 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥), 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) und 𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥). Bestimmung der Nullstellen: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. Bestimmung der Extremwerte: 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0. Gilt zusätzlich noch 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) > 0, so liegt ein Minimum vor. Gilt zusätzlich noch 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) < 0, so liegt ein Maximum vor. Bestimmung der Wendepunkte 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 0. Gilt zusätzlich noch 𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) ≠ 0, so liegt sicher ein Wendepunkt vor. Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen und an den Definitionslücken, d.h. Berechnen der Grenzwerte lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) und lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑥𝑥𝑑𝑑 ∉ ⅅ. 𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑑𝑑

Graphisch beschreiben diese Grenzwerte die möglichen Asymptoten. Schaubild.

80

5 Differentialrechnung

Beispiel 5.3 1 ∙ (𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6). 2 Bestimmung des Definitionsbereichs ⅅ = ℝ.

Gegeben sei die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

1. 2.

3.

4.

5.

Bestimmung der Symmetrie. 1 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = ∙ (−𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6). 2 Also liegt keine Symmetrie vor.

Bestimmung der ersten drei Ableitungen. 1 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = ∙ (3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5) 2 1 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = ∙ (6𝑥𝑥 − 4) 2 𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥) = 3. Bestimmung der Nullstellen: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. 1 ∙ (𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0. 2 Durch Probieren findet man: 𝑥𝑥1 = 1 ist Nullstelle. (𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6) ÷ (𝑥𝑥 − 1) = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥𝑥2 = −2 und 𝑥𝑥3 = 3. Also gilt: 𝑁𝑁1 (1, 0), 𝑁𝑁2 (−2, 0) und 𝑁𝑁3 (3, 0). Bestimmung der Extremwerte: 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0.

1 4 ± √16 + 60 2 ± √19 ∙ (3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5) = 0 ⇒ 𝑥𝑥4⁄5 = = 6 3 2 2 − √19 28 19√19 Wegen 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥4 ) < 0 folgt Max � , + � = (−0.79, 4.10 ) und 3 27 27

6.

7. 8.

wegen 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥5 ) > 0 folgt Min �

2 + √19 28 19√19 , − � = (2.12, −2.03). 3 27 27

Bestimmung der Wendepunkte: 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 0. 1 2 ∙ (6𝑥𝑥 − 4) = 0 ⇒ 𝑥𝑥6 = . 2 3 2 2 28 Wegen 𝑓𝑓 ′′′ � � ≠ 0 folgt 𝑊𝑊 � , �. 3 3 27 Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen. lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ±∞. 𝑥𝑥→±∞

Schaubild.

5.3 Kurvendiskussion

81

5 4 3

1 3 ⋅ x − 2 x 2 − 5x + 6 2

(

= f ( x)

2

)

1

-3

-2

-1

0

0

1

2

3

4

-1 -2 -3

Abb. 5.8

Schaubild eines Polynom

Beispiel 5.4 𝑥𝑥 3 + 2 . 𝑥𝑥 3 + 4 Bestimmung des Definitionsbereichs ⅅ.

Gegeben sei die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3

3

𝑥𝑥 3 + 4 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = − √4 ⇒ ⅅ = ℝ\�− √4�.

Bestimmung der Symmetrie. −𝑥𝑥 3 + 2 . 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 3 + 4 Also liegt keine Symmetrie vor.

Bestimmung der ersten drei Ableitungen. (𝑥𝑥 3 + 4) ∙ 3𝑥𝑥 2 − (𝑥𝑥 3 + 2) ∙ 3𝑥𝑥 2 6𝑥𝑥 2 = 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 3 + 4)2 (𝑥𝑥 3 + 4)2 3 2 3 2 (𝑥𝑥 + 4) ∙ 12𝑥𝑥 − 2(𝑥𝑥 + 4) ∙ 3𝑥𝑥 ∙ 6𝑥𝑥 2 24𝑥𝑥 ∙ (2 − 𝑥𝑥 3 ) = 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 3 + 4)4 (𝑥𝑥 3 + 4)3 𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) ist zum Nachweis der Wendepunkte nicht notwendig. Bestimmung der Nullstellen: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. 3

𝑥𝑥 3 + 2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥1 = − √2. 3

Also gilt: 𝑁𝑁1 �− √2, 0�.

Bestimmung der Extremwerte: 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0.

6𝑥𝑥 2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 0. Wegen 𝑓𝑓 ′′ (0) = 0 liegt kein Extremwert vor. Bestimmung der Wendepunkte: 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 0.

3

24𝑥𝑥 ∙ (2 − 𝑥𝑥 3 ) = 0 ⇒ 𝑥𝑥2 = 0 und 𝑥𝑥3 = √2.

82

7.

5 Differentialrechnung Mit Hilfe der Punkte 5. und 7. liegen zwei Wendepunkte vor: 2 3 𝑊𝑊1 (0, 0.5) und 𝑊𝑊2 � √2, �. 3 Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen. lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1. 𝑥𝑥→±∞

8.

3

Untersuchung des Verhaltens an 𝑥𝑥𝑑𝑑 = − √4. lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∓∞ für 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥𝑑𝑑 bzw. 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥𝑑𝑑 . 𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑑𝑑

Schaubild.

3 2 1

-3

-2

-1

0

0

1

2

3

-1 -2 -3

Abb. 5.9

Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion

Beispiel 5.5 2 1 1 1 1 Gegeben sei die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥 − � ∙ 𝑒𝑒 4∙�2𝑥𝑥−1� . 2 4 1. Bestimmung des Definitionsbereichs ⅅ = ℝ.

2.

3.

Bestimmung der Symmetrie. 2 1 1 1 1 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = �− 𝑥𝑥 − � ∙ 𝑒𝑒 4∙�−2𝑥𝑥−1� . 2 4 Also liegt keine Symmetrie vor.

Bestimmung der ersten drei Ableitungen. 2 1 1 1 ∙ (𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 12) ∙ 𝑒𝑒 4∙�2𝑥𝑥−1� 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 32 2 1 1 1 ∙ (𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 36𝑥𝑥 − 56) ∙ 𝑒𝑒 4∙�2𝑥𝑥−1� 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 256

5.4 Das Newton-Verfahren

4.

5.

83

𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥) ist zum Nachweis der Wendepunkte nicht notwendig.

Bestimmung der Nullstellen: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. 1 1 𝑥𝑥 − = 0 ⇒ 𝑥𝑥1 = 2. 2 4 Also gilt: 𝑁𝑁1 (2, 0). Bestimmung der Extremwerte: 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0.

Die Gleichung 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 12 = 0 hat keine Lösung. Also gibt es keine Extremwerte.

6.

7. 8.

Bestimmung der Wendepunkte: 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 0.

𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 36𝑥𝑥 − 56 = 0. Die einzige Lösung 𝑥𝑥2 = 2 wird durch Probieren gefunden. ⇒ 𝑊𝑊1 (2, 0). Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen. lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ±∞. 𝑥𝑥→±∞

Schaubild.

3 2 1

-2

-1

0

0

1

2

3

4

5

6

-1 -2 -3

Abb. 5.10

5.4

Schaubild einer transzentdenten Funktion

Das Newton-Verfahren

Bei weitem nicht alle Gleichungen, die zum Beispiel bei der Kurvendiskussion auftreten, sind exakt lösbar. Deshalb wurden numerische Verfahren entwickelt, um die Lösung näherungsweise (im Prinzip beliebig genau) zu berechnen. Ein Standardverfahren ist das Newton-Verfahren. Es beruht auf einer Näherung der entsprechenden Funktion durch ihre Tangente. Zu lösen sei die Gleichung 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.

84

5 Differentialrechnung

Besitzt man eine grobe Näherung 𝑥𝑥0 für die gesuchte Nullstelle, so wird an dieser Stelle die Gleichung der Tangente berechnet. Diese Gerade geht durch den Punkt (𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 )) und besitzt die Steigung 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ).

Also gilt wegen 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏: 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ 𝑥𝑥0 + 𝑏𝑏 ⇒ 𝑏𝑏 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) − 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ 𝑥𝑥0 . Deshalb lautet die Gleichung der Tangente 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ 𝑥𝑥 + (𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) − 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ 𝑥𝑥0 ).

Die Nullstelle der Funktion wird durch die Nullstelle der Tangente genähert: 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ 𝑥𝑥 + (𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) − 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ 𝑥𝑥0 ) = 0 −𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ 𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 𝑥𝑥0 − ′ . ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 ) 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 )

Diese Nullstelle als erste Näherung ist in vielen Fällen besser als die grobe Näherung. Mit dieser ersten Näherung 𝑥𝑥1 als Startwert geht das Verfahren wieder von vorne los und man erhält eine zweite Näherung 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) . 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 − ′ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥1 ) Damit wird ein rekursives Verfahren durchgeführt und man erhält eine Folge von Zahlen 𝑥𝑥0 , 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , …, die in vielen Fällen gegen die gesuchte Nullstelle konvergiert: 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 −

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛 )

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥𝑛𝑛 )

, 𝑥𝑥0 ist ein geeigneter Startwert.

Konvergenzbetrachtungen werden hier nicht angestellt. In den meisten Fällen genügt es, einen Startwert nahe genug an der gesuchten Nullstelle zu benutzen. Beispiel 5.6 Gesucht ist die Nullstelle der Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2.

Diese wird mit dem Newton-Verfahren berechnet: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2 ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 2 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 2 = . ⇒ 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 1 Wegen 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) > 0 ist 𝑓𝑓(𝑥𝑥) monoton wachsend. Deshalb gibt es höchstens eine Nullstelle. Wegen 𝑓𝑓(0) = −1 und 𝑓𝑓(1) = 𝑒𝑒 − 1 liegt diese im Intervall (0, 1). Mit dem Startwert 𝑥𝑥0 = 0 folgt

𝑥𝑥1 = 0.500000000000

𝑥𝑥2 = 0.443851671995 𝑥𝑥3 = 0.442854703829 𝑥𝑥4 = 0.442854401002

𝑥𝑥5 = 0.442854401002.

5.4 Das Newton-Verfahren

85

Mit dem (alternativen) Startwert 𝑥𝑥0 = 1 folgt 𝑥𝑥1 = 0.537882842739

𝑥𝑥2 = 0.445616748526 𝑥𝑥3 = 0.442856724645 𝑥𝑥4 = 0.442854401004 𝑥𝑥5 = 0.442854401002

𝑥𝑥6 = 0.442854401002. ⇒ Eine Näherung dieser Nullstelle ist (0.442854401002, 0).

Das folgende Schaubild bestätigt diese Näherung. 2 1,5 1 0,5 -1

-0,75

-0,5

0 -0,25 0 -0,5

0,25

0,5

0,75

1

-1 -1,5 -2 -2,5 -3

Abb. 5.11

Newton-Verfahren

Zum Abschluss dieses Abschnitts wird noch ein Beispiel einer Kurvendiskussion vorgeführt, in der das Newton-Verfahren zur Anwendung kommt. Beispiel 5.7 Gegeben sei die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1.

2.

ln(𝑥𝑥 + 2) . (𝑥𝑥 − 1)2

Bestimmung des Definitionsbereichs ⅅ = (−2, ∞)\{1}. Bestimmung der Symmetrie. ln(−𝑥𝑥 + 2) . 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = (−𝑥𝑥 − 1)2 Also liegt keine Symmetrie vor.

86 3.

4.

5.

5 Differentialrechnung Bestimmung der ersten drei Ableitungen. 1 (𝑥𝑥 − 1)2 ∙ − (ln(𝑥𝑥 + 2)) ∙ 2 ∙ (𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 + 2 ′ (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 = (𝑥𝑥 − 1)4 2 ∙ ln(𝑥𝑥 + 2) 1 = + 3 (𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 2) ∙ (𝑥𝑥 − 1)2 6 ∙ ln(𝑥𝑥 + 2) 5𝑥𝑥 + 7 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = + 4 (𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 2)2 ∙ (1 − 𝑥𝑥)3 𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) ist kompliziert und überflüssig. Bestimmung der Nullstellen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.

ln(𝑥𝑥 + 2) = 0 ⇒ 𝑥𝑥 + 2 = 1 ⇒ 𝑥𝑥1 = −1. Also gilt: 𝑁𝑁1 (−1, 0). Bestimmung der Extremwerte 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0.

Die Gleichung (2𝑥𝑥 + 4) ∙ ln(𝑥𝑥 + 2) + 𝑥𝑥 − 1 = 0 hat keine Lösung, was allerdings nicht ganz offensichtlich ist. Also gibt es keine Extremwerte.

6.

Bestimmung der Wendepunkte 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 0.

Nach einer Multiplikation entsteht die Gleichung (6𝑥𝑥 2 + 24𝑥𝑥 + 24) ∙ ln(𝑥𝑥 + 2) − 5𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 7 = 0.

Diese ist nicht exakt lösbar.

Das Newton-Verfahren führt auf die Rekursionsgleichung (6𝑥𝑥𝑛𝑛 2 + 24𝑥𝑥𝑛𝑛 + 24) ∙ ln(𝑥𝑥𝑛𝑛 + 2) − 5𝑥𝑥𝑛𝑛 2 − 2𝑥𝑥𝑛𝑛 + 7 . 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − (12𝑥𝑥𝑛𝑛 + 24) ∙ ln(𝑥𝑥𝑛𝑛 + 2) + 2 ∙ (5 − 2𝑥𝑥𝑛𝑛 ) Mit dem Startwert 𝑥𝑥0 = −1 folgt 𝑥𝑥1 = −1.28571428571

𝑥𝑥2 = −1.30823730480

𝑥𝑥3 = −1.30831721131 𝑥𝑥4 = −1.30831721225 7.

𝑥𝑥5 = −1.30831721225. ⇒ 𝑊𝑊1 (−1.308, −0.0692). Die Bestätigung erfolgt durch 7.

Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen. lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. 𝑥𝑥→∞

Untersuchung des Verhaltens an 𝑥𝑥𝑑𝑑 = 1. lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∞ für 𝑥𝑥 > 1 und für 𝑥𝑥 < 1. 𝑥𝑥→1

8.

Untersuchung des Verhaltens in der Nähe von 𝑥𝑥 = −2. lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −∞ für 𝑥𝑥 > −2. 𝑥𝑥→−2

Schaubild.

5.5 Die Taylorentwicklung

87 4

3

2

1

-3

-2

-1

0

0

1

2

3

-1

Abb. 5.12

Kurvendiskussion und Newton-Verfahren

Die Asymptote an der Stelle 𝑥𝑥 = −2 wird sehr langsam erreicht. So ist zum Beispiel 𝑓𝑓(−1.99999) = −1.2792. Dieser Sachverhalt kann im Schaubild nicht dargestellt werden.

5.5

Die Taylorentwicklung

Häufig ist es nicht möglich, mit einer gegebenen Funktion eine erforderliche Berechnung durchzuführen. Dann ist es u.U. sinnvoll, die gegebene Funktion durch eine einfachere Funktion möglichst gut zu approximieren. Die Taylorentwicklung ist eine solche Approximationsmethode. Die einfacheren Funktionen sind dabei Polynome 𝑛𝑛 − ten Grades, die an einer festen Stelle 𝑥𝑥0 im Funktionswert und den ersten 𝑛𝑛 Ableitungen mit der Ausgangsfunktion übereinstimmen. Definition 5.10 Gegeben sei eine Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) und eine Stelle 𝑥𝑥0 im Inneren des Definitionsbereiches von 𝑓𝑓. Dann heißt ∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �

𝑘𝑘=0

𝑓𝑓 (𝑘𝑘) (𝑥𝑥0 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )𝑘𝑘 𝑘𝑘!

eine Taylorreihe, falls diese unendliche Reihe konvergiert. Die Stelle 𝑥𝑥0 heißt dabei Entwicklungsstelle.

Da eine Taylorreihe aus unendlich vielen Summanden besteht, ist sie zum direkten Rechnen nicht geeignet. Zur Approximation der Funktion 𝑓𝑓 wird deshalb diese Reihe nach einer endlichen Anzahl von Summanden abgebrochen. Ist der verbleibende Rest dann klein, so gilt: ∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≈ �

𝑘𝑘=0

𝑓𝑓 (𝑘𝑘) (𝑥𝑥0 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )𝑘𝑘 . 𝑘𝑘!

88

5 Differentialrechnung

Definition 5.11 Die Funktionen 𝑛𝑛

𝑇𝑇𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = �

𝑘𝑘=0

𝑓𝑓 (𝑘𝑘) (𝑥𝑥0 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )𝑘𝑘 𝑘𝑘!

heißen Taylorpolynome n − ten Grades.

Führt man jetzt eine Näherung 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≈ 𝑇𝑇𝑛𝑛 (𝑥𝑥) durch, möchte man natürlich wissen, wie gut diese Näherung ist. Bei der Taylorentwicklung gibt es eine Restgliedabschätzung, mit deren Hilfe der Fehler, der bei der Näherung entsteht, nach oben abgeschätzt werden kann: 𝑓𝑓 (𝑛𝑛+1) (𝜂𝜂) � max ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )𝑛𝑛+1 �. (𝑛𝑛 + 1)! 𝜂𝜂 ∈ (𝑥𝑥, 𝑥𝑥0 ) Die Taylorentwicklung wird beim näherungsweisen Berechnen von Funktionswerten, Nullstellen und Integralen verwendet. Fehler = |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑇𝑇𝑛𝑛 (𝑥𝑥)| ≤

Beispiel 5.8 Gesucht ist ein Näherungswert für die Zahl √5.

Dazu wird die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 4 in eine Taylorreihe um die Stelle 𝑥𝑥0 = 0 entwickelt. 1 −1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 4 ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = ⇒ 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 2 ∙ √𝑥𝑥 + 4 4 ∙ �(𝑥𝑥 + 4)3 3 −15 ⇒ 𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥) = ⇒ 𝑓𝑓 (4) (𝑥𝑥) = . 5 16 ∙ �(𝑥𝑥 + 4)7 8 ∙ �(𝑥𝑥 + 4) Für die Funktionswerte an der Stelle 0 gilt: 1 1 3 𝑓𝑓(0) = 2, 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = , 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = − und 𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥) = . 4 32 256 Daraus können die Taylorpolynome 1., 2. und 3. Grades berechnet werden: 1 1 𝑇𝑇1 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) = 2 + ∙ (𝑥𝑥 − 0) = 2 + 𝑥𝑥 4 4 1 ′′ ′ 2 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) + ∙ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) 2 1 1 1 1 1 2 = 2 + ∙ (𝑥𝑥 − 0) − ∙ ∙ (𝑥𝑥 − 0)2 = 2 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 4 2 32 4 64 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥0 ) 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) + ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 2 𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥0 ) + ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )3 6 1 1 1 1 3 = 2 + ∙ (𝑥𝑥 − 0) − ∙ ∙ (𝑥𝑥 − 0)2 + ∙ ∙ (𝑥𝑥 − 0)3 4 2 32 6 256 1 1 2 1 3 = 2 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 . 4 64 512 Die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) und die Taylorpolynome 𝑇𝑇1 (𝑥𝑥) und 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) sind im folgenden Schaubild dargestellt.

5.5 Die Taylorentwicklung

89

4

T1 ( x) 3,5

f (x) 3

T2 ( x)

2,5

2

0

1

Abb. 5.13

2

3

4

5

6

7

Funktion und Taylorpolynome

Dass die Taylorentwicklung nur in einer gewissen Umgebung der Entwicklungsstelle brauchbare Näherungswerte liefert, ist an der expliziten Gestalt des Restgliedes abzulesen, insbesondere wird der Anteil (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )𝑛𝑛+1 immer größer, je größer der Abstand von 𝑥𝑥 und 𝑥𝑥0 ist.

Für die Näherungswerte der Zahl √5 gilt dann wegen √5 = √4 + 1 = 𝑓𝑓(1): 1. Näherung mit 𝑇𝑇1 (𝑥𝑥): 9 √5 ≈ 𝑇𝑇1 (1) = = 2.25. 4 Für den Fehler gilt dann: −1 1 1 4 ∙ �(𝜂𝜂 + 4)3 ∙ (1 − 0)2 �� = = . Fehler = |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑇𝑇1 (𝑥𝑥)| ≤ max �� (1 + 1)! 4 ∙ 8 ∙ 2 64 𝜂𝜂 ∈ (0, 1)

2.

3.

Näherung mit 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥): 143 √5 ≈ 𝑇𝑇2 (1) = . 64 Für den Fehler gilt dann:

Fehler = |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥)| ≤

Näherung mit 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥): 1 145 √5 ≈ 𝑇𝑇3 (1) = . 512

max 𝜂𝜂 ∈ (0, 1)

3 3 1 8 ∙ �(𝜂𝜂 + 4)5 �� ∙ (1 − 0)3 �� = = . (2 + 1)! 8 ∙ 32 ∙ 6 512

90

5 Differentialrechnung Für den Fehler gilt dann: Fehler = |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥)| ≤ =

5 15 = . 16 ∙ 128 ∙ 24 16 384

max 𝜂𝜂 ∈ (0, 1)

−15 16 ∙ �(𝜂𝜂 + 4)7 �� ∙ (1 − 0)4 �� = (3 + 1)!

Die folgende Tabelle zeigt die Qualität dieser Näherungen. Taylorpolynom 𝑻𝑻𝟏𝟏 (𝒙𝒙) 𝑻𝑻𝟐𝟐 (𝒙𝒙) 𝑻𝑻𝟑𝟑 (𝒙𝒙)

Näherung 2.250000000 2.234375000 2.236328125

Maximaler Fehler 0.015625000 0.001953125 0.000305176

Tatsächlicher Fehler 0.0139320230 0.0016929780 0.0000260148

Beispiel 5.9 Gesucht sind die Nullstellen der Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 .

Versucht man, die Gleichung

cos 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = 0 zu lösen, wird man feststellen, dass dies mit analytischen Mitteln nicht möglich ist. Eine Möglichkeit zur näherungsweisen Berechnung ist das Newton-Verfahren aus Abschnitt 5.4. Eine zweite, wenn auch deutlich eingeschränkte Möglichkeit bietet die Taylorentwicklung. Dazu wird das Taylorpolynom 2. Grades (ab 𝑛𝑛 ≥ 3 können die Nullstellen von Polynomen nicht mehr berechnet werden) berechnet und dessen Nullstellen als Näherung für die Nullstellen der Funktion genommen. Die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 wird in ein Taylorpolynom 2. Grades um 𝑥𝑥0 = 0 entwickelt: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ⇒ 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = − sin 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = − cos 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 − 2 ⇒ 𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 . Aus 𝑓𝑓(0) = 2, 𝑓𝑓 ′ (0) = −1 und 𝑓𝑓 ′′ (0) = −2 folgt 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2. Für die Nullstellen des Taylorpolynoms 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) gilt: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 0 ⇒ −𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2 = 0 ⇒ −(𝑥𝑥 + 2) ∙ (𝑥𝑥 − 1) = 0 ⇒ 𝑥𝑥1 = 1 und 𝑥𝑥2 = −2.

Die Abweichung in 𝑥𝑥 − Richtung kann mit der Restgliedabschätzung nicht ermittelt werden. Man kann nur die Abweichung des Funktionswertes von 0 nach oben abschätzen: Fehler ≤

max |sin 𝜂𝜂 − 𝑒𝑒 −𝜂𝜂 | ∙ 𝜂𝜂 ∈ (0, 1)

(1 − 0)3 1 = , da 𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 wegen 3! 6

𝑓𝑓 (4) (𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 > 0 auf (0, 1) monoton wachsend ist.

Das folgende Schaubild zeigt diesen Sachverhalt.

5.6 Aufgaben

91 3 2 1

-2

0

-1

0

1

2

-1

f (x)

-2

T2 ( x)

-3

Abb. 5.14

5.6

Taylorpolynom und Nullstellenberechnung

Aufgaben

Aufgabe 1 Skizzieren Sie folgende Geraden: a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −0.3𝑥𝑥 + 1

c)

Aufgabe 2 Skizzieren Sie folgende Parabeln: a)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 1

b)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 2)2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 − 2

b)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5

c)

Aufgabe 3 Skizzieren Sie folgende Parabeln: a)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 10𝑥𝑥 − 5.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.5 ∙ (𝑥𝑥 − 1)2 + 1.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1)3 .

Aufgabe 4 Skizzieren Sie folgende Parabeln: a)

b)

c)

Aufgabe 5 Skizzieren Sie folgende Funktionen: 1 a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 −2 . 𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 6

d)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 7 .

92

5 Differentialrechnung

Aufgabe 6 Skizzieren Sie folgende Funktionen: a)

b)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 1

3

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 1.

Aufgabe 7 Skizzieren Sie folgende Funktionen: a)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥+1

2

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑒𝑒 𝑥𝑥 .

Aufgabe 8 Skizzieren Sie folgende Funktionen: a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(𝑥𝑥 + 2) b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(0.5𝑥𝑥) + 1.

Aufgabe 9 Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: 1 3 a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 − 3𝑥𝑥 4.3 − 3 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1.5 c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 . 𝑥𝑥 Aufgabe 10 Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 ∙ ln 𝑥𝑥

b)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ sin 𝑥𝑥

c)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 .

Aufgabe 11 Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 1 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = . a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 + 2 Aufgabe 12 Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen. a)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 2 − 1)25

b)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(𝑒𝑒 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 )

c)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin

Aufgabe 13 Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑥𝑥

−3

b)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 ∙ (2 − ln 𝑥𝑥)3

c)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

1 . 𝑥𝑥 − 1

1 . (2 − 3𝑥𝑥)2

5.6 Aufgaben

93

Aufgabe 14 Diskutieren Sie die folgenden Funktionen: 2 1 𝑥𝑥 + 1 a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 − 3 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 √𝑥𝑥 1 + ln 𝑥𝑥 d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ (1 − 2 ∙ √𝑥𝑥) 𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (ln(𝑥𝑥 + 1))2

c)

2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.25 ∙ (𝑥𝑥 2 − 4) ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 .

f)

Aufgabe 15 Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren mindestens jeweils eine Nullstelle der folgenden Funktionen: b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 + 5 c)

e)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(𝑥𝑥 + 1) + 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 + 1

d)

5

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 3.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1

Aufgabe 16 Bestimmen Sie die Taylorpolynome 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥), 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) und 𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) der folgenden Funktionen. a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 − 𝑥𝑥 2 − 2 mit 𝑥𝑥0 = 1 und 𝑥𝑥0 = 3 2 mit 𝑥𝑥0 = 0 und 𝑥𝑥0 = 5 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1 𝜋𝜋 c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 ∙ sin 𝑥𝑥 mit 𝑥𝑥0 = 0 und 𝑥𝑥0 = 2 d) (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 mit 𝑥𝑥0 = 0 und 𝑥𝑥0 = 1. Aufgabe 17

6

6 Gesucht ist ein Näherungswert für � � � . 5 5

a)

6

Entwickeln Sie dazu die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (1 + 𝑥𝑥)5 in ein Taylorpolynom 2. Grades 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) um 𝑥𝑥0 = 0. 5 6

6

b) Berechnen Sie damit einen Näherungswert 𝑁𝑁 für � � � . c)

𝑁𝑁 ist dabei als Bruch ( = rationale Zahl) anzugeben.

5

Schätzen Sie den Fehler ab, den Sie bei dieser Näherung maximal begehen.

Aufgabe 18 Gesucht sind die Nullstellen der Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 .

a) Entwickeln Sie diese Funktion in ein Taylorpolynom 2. Grades um 𝑥𝑥0 = 0. b) Berechnen Sie die Nullstellen dieses Taylorpolynoms. c) Um wie viel weicht 𝑓𝑓 an den Nullstellen aus b) von 0 höchstens ab?

6

Integralrechnung

Hauptbestandteil der Integralrechnung ist die Berechnung des Flächeninhalts von krummlinig berandeten Flächen. Häufig ist dabei der Flächeninhalt einer Fläche zu ermitteln, die vom Graphen einer Funktion, von der 𝑥𝑥 − Achse und von zwei zur 𝑥𝑥 − Achse parallelen Geraden berandet wird.

a

b

Abb. 6.1 krummlinig berandete Fläche

6.1

Integrale und Flächeninhalte

Gegeben sei eine Funktion 𝑓𝑓 mit 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0 für alle 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏. Gesucht ist der Inhalt der Fläche, der von der Funktion 𝑓𝑓, der 𝑥𝑥 −Achse und den Geraden 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 und 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 berandet wird (siehe Abbildung 6.1). Die Lösung dieses Problems geschieht mit Hilfe von Grenzwerten von Summen und führt auf das umgekehrte Problem, das in der Differentialrechnung betrachtet wurde. Auf eine ausführliche Abhandlung wird hier verzichtet. Definition 6.1 Die gesuchte Fläche wird symbolisch mit 𝑏𝑏

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑎𝑎

bezeichnet. Die Sprechweise ist: Integral von 𝑎𝑎 bis 𝑏𝑏 über 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Die Berechnung solcher Integrale erfolgt mit dem sogenannten Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung:

https://doi.org/10.1515/9783110601718-111

96

6 Integralrechnung

Ist 𝐹𝐹(𝑥𝑥) eine Funktion mit der Eigenschaft 𝐹𝐹 ′ (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), so folgt

𝑏𝑏

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝐹𝐹(𝑥𝑥)]𝑏𝑏𝑎𝑎 = 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎).

𝑎𝑎

Damit ist die scheinbar komplizierte Berechnung solcher Flächen auf das Berechnen zweier Funktionswerte reduziert worden. Als einziges Problem bleibt natürlich die Bestimmung der Funktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥).

Dieses Problem ist das umgekehrte Problem, das in der Differentialrechnung betrachtet wurde: eine Ableitung ist gegeben und die dazugehörige Funktion ist gesucht. Möglichkeiten zur Bestimmung von 𝐹𝐹(𝑥𝑥) werden in Abschnitt 6.2 behandelt. Eigenschaften von Integralen: 𝑏𝑏

∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =0 𝑏𝑏

𝑎𝑎

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑎𝑎 𝑏𝑏

𝑐𝑐

𝑏𝑏

𝑏𝑏

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 für alle 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 ≤ 𝑏𝑏

𝑎𝑎 𝑏𝑏

𝑎𝑎

𝑐𝑐

𝑏𝑏

𝑏𝑏

��𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑑𝑑 ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 ∙ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 ∙ � 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑.

𝑎𝑎

𝑏𝑏 ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑎𝑎

𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑑𝑑 stellt den orientierten Flächeninhalt ( = Inhalt der Fläche oberhalb der Die Zahl 𝑥𝑥 − Achse minus Inhalt der Fläche unterhalb der 𝑥𝑥 −Achse) dar, falls 𝑓𝑓(𝑥𝑥) auf [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] auch negativ ist. Dann wird die tatsächliche Fläche durch eine Integration von Nullstelle zu Nullstelle ermittelt, wobei von allen Flächeninhalten unterhalb der 𝑥𝑥 −Achse der Betrag genommen werden muss.

6.2

Stammfunktionen

In diesem Abschnitt werden Methoden beschrieben, um die Funktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥) zu bestimmen, falls die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) gegeben ist. Definition 6.2 Gegeben sei eine Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Eine Funktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥) heißt Stammfunktion von 𝑓𝑓(𝑥𝑥), falls gilt: 𝐹𝐹 ′ (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

6.2 Stammfunktionen

97

Stammfunktionen sind im Gegensatz zu Ableitungen nicht eindeutig, sie können sich durch eine additive Konstante unterscheiden. Während für das Ableiten Regeln aufgestellt werden konnten, die es dann erlaubten, die Ableitung aller Funktionen zu berechnen, die als Verknüpfung elementarer Funktionen dargestellt sind, wird die Bestimmung einer Stammfunktion so nicht immer möglich sein. Es gibt Funktionen, deren Stammfunktion sich nicht als Verknüpfung elementarer Funktionen darstellen lässt. Insbesondere wird es nicht gelingen, die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel generell umzukehren. Für fast alle elementaren Funktionen (außer 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥) und für einige Verknüpfungen gibt es Integrationsregeln. Integrationsregeln für elementare Funktionen: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 𝑛𝑛

𝑒𝑒 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥

𝐹𝐹(𝑥𝑥) 1 ∙ 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 , 𝑛𝑛 ≠ −1 𝑛𝑛 + 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 −cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥

Integrationsregeln für Verknüpfungen: ℎ(𝑥𝑥) 𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

Beispiel 6.1 1.

2.

𝐻𝐻(𝑥𝑥) 𝑐𝑐 ∙ 𝐹𝐹(𝑥𝑥) 𝐹𝐹(𝑥𝑥) ± 𝐺𝐺(𝑥𝑥)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 − 1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑒𝑒 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥

1 4 1 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 4 2 ⇒ 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 2𝑒𝑒 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥.

⇒ 𝐹𝐹(𝑥𝑥) =

Hier und im Folgenden wird stets die mögliche Konstante bei der Bildung der Stammfunktion gleich Null gesetzt. Das Integrieren von Produkten, Quotienten und Verkettungen von Funktionen gelingt teilweise mittels zweier spezieller Integrationsmethoden: der partiellen Integration und der Substitution, Die Formel für die partielle Integration entsteht aus der Produktregel der Differentialrechnung: � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)] − � 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑.

98

6 Integralrechnung

Ungünstigerweise beinhaltet diese Formel einige Schwierigkeiten: • •

Es ist keine Formel zur Berechnung von ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑. Das zu berechnende Integral hängt von einem weiteren anderen Integral ab. Nur wenn dieses Integral bestimmt werden kann, führt diese Methode zum Ziel.

Beispiel 6.2 1. Gesucht ist das ∫ 𝑥𝑥 ∙ sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.

Mit 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 und 𝑔𝑔′(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 folgt 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 1 und 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = − cos 𝑥𝑥. Also gilt:

� 𝑥𝑥 ∙ sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

2.

=

[𝑥𝑥 ∙ (− cos 𝑥𝑥)] − ��1 ∙ (− cos 𝑥𝑥)�𝑑𝑑𝑑𝑑 =

=

[𝑥𝑥 ∙ (− cos 𝑥𝑥)] + [sin 𝑥𝑥] = [−𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥].

=

[𝑥𝑥 ∙ (− cos 𝑥𝑥)] + � cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

Gesucht ist das ∫ ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑.

Mit 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥 und 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = 1 folgt 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = Also gilt:

1 und 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥. 𝑥𝑥

1 � ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [(ln 𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥] − � ∙ 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [(ln 𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥] − � 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝑥𝑥 ∙ ln 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥]. 𝑥𝑥

Die Integration durch Substitution beruht auf der Kettenregel der Differentialrechnung: � 𝑓𝑓(𝑔𝑔(𝑥𝑥)) ∙ 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑑𝑑. Beispiel 6.3 Gesucht ist das �(𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 3 )5 ∙ (5𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 2 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑.

Mit 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 3 folgt 𝑢𝑢′ (𝑥𝑥) = Also gilt:

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 5𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 2 und daraus 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 5𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 2

�(𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 3 )5 ∙ (5𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 2 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑢𝑢5 ∙ (5𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 2 ) ∙

1 1 = � 𝑢𝑢5 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � ∙ 𝑢𝑢6 � = � ∙ (𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 3 )6 � . 6 6

5𝑥𝑥 4

𝑑𝑑𝑑𝑑 = + 3𝑥𝑥 2

sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − sin 𝑥𝑥 und daraus 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − . Mit 𝑢𝑢 = cos 𝑥𝑥 folgt 𝑢𝑢′ (𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 sin 𝑥𝑥 Gesucht ist das � 2 ∙

6.2 Stammfunktionen

99

Also gilt: sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 2 ∙ ∙ �− � = � − 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −[2 ∙ ln|𝑢𝑢|] = 𝑢𝑢 sin 𝑥𝑥 𝑢𝑢 cos 𝑥𝑥 = −[2 ∙ ln|cos 𝑥𝑥|]. �2∙

Beispiel 6.4 Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die vom Graph der Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 , der 𝑥𝑥 −Achse und den Geraden 𝑥𝑥 = −2 und 𝑥𝑥 = 1 berandet wird.

Im folgenden Schaubild ist diese Fläche eingezeichnet. 6 5 4 3 2 1

-3

-2

-1

0

0

1

2

-1

Abb. 6.2

Flächenberechnung

Die Nullstelle ist 𝑁𝑁(0, 0). Da diese im Integrationsintervall liegt, folgt 0

1

𝐴𝐴 = � � 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 � + � 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥. −2

𝑥𝑥

0

Das Integral ∫ 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 wird mit partieller Integration ermittelt.

Mit 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 und 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 folgt 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 1 und 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 . Also gilt:

� 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ] − � 1 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ] − � 1 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 = [𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ].

Damit gilt: 𝐴𝐴

=

|[𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ]0−2 | + [𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ]10 =

=

|−1 + 2𝑒𝑒 −2 + 𝑒𝑒 −2 | + 1 = 2 − 3𝑒𝑒 −2 = 1.59399.

=

�(0 ∙ 𝑒𝑒 0 − 𝑒𝑒 0 ) − �(−2) ∙ 𝑒𝑒 −2 − 𝑒𝑒 −2 �� + �(1 ∙ 𝑒𝑒 1 − 𝑒𝑒 1 ) − (0 ∙ 𝑒𝑒 0 − 𝑒𝑒 0 )� =

100

6 Integralrechnung

6.3

Uneigentliche Integrale

Bei der Berechnung solcher Flächen können Schwierigkeiten auftreten, falls die Funktion 𝑓𝑓 unbeschränkt ist. das Integrationsintervall [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] ins Unendliche reicht.

• •

In diesen Fällen können die Flächen häufig durch Grenzwerte bestimmt werden. Definition 6.3 1. Sei 𝐼𝐼 = [𝑎𝑎, ∞]. Dann heißt 𝑏𝑏

∞

lim � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑏𝑏→∞

𝑎𝑎

𝑎𝑎

ein uneigentliches Integral, falls dieser Grenzwert existiert. Sei 𝑓𝑓 unbeschränkt an der Stelle 𝑎𝑎 (d.h. �lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = ∞) und sei 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏. Dann heißt

2.

𝑏𝑏

𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑏𝑏

lim � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑐𝑐→𝑎𝑎

𝑐𝑐

𝑎𝑎

ein uneigentliches Integral, falls dieser Grenzwert existiert. Solche uneigentlichen Integrale spielen in der Wahrscheinlichkeitstheorie (siehe Kapitel 9) bei stetigen Verteilungen eine entscheidende Rolle. Beispiel 6.5 𝑏𝑏

∞

1 1 𝑏𝑏 1 1 Es gilt: � 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim �− � = lim �− + 1� = 1. 𝑏𝑏→∞ 𝑏𝑏→∞ 𝑏𝑏→∞ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 𝑏𝑏 𝑥𝑥 1

1

Diese Fläche ist im folgenden Schaubild dargestellt. 4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

Abb. 6.3 unbeschränktes Integrationsintervall und endlicher Flächeninhalt

6.3 Uneigentliche Integrale

101

Im Gegensatz dazu gilt: 𝑏𝑏

∞

1 1 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim [ln|𝑥𝑥|]1𝑏𝑏 = lim (ln 𝑏𝑏 − 0) = +∞. 𝑏𝑏→∞ 𝑏𝑏→∞ 𝑏𝑏→∞ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1

1

Diese ähnlich aussehende Fläche ist hat einen unendlichen Flächeninhalt. Beispiel 6.6 1

Es gilt: � 0

1

√𝑥𝑥

1

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � 𝑐𝑐→0

𝑐𝑐

1

√𝑥𝑥

1

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim�2 ∙ √𝑥𝑥�𝑐𝑐 = lim�2 − 2 ∙ √𝑐𝑐� = 2. 𝑐𝑐→0

Diese Fläche ist im folgenden Schaubild dargestellt.

𝑐𝑐→0

4

3

2

1

0

0

0,5

1

1,5

2

Abb. 6.4 unbeschränkter Integrand und endlicher Flächeninhalt

Im Gegensatz dazu gilt: 1

1

1 1 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim[ln|𝑥𝑥|]1𝑐𝑐 = lim(0 − ln 𝑐𝑐) = ∞. 𝑐𝑐→0 𝑐𝑐→0 𝑐𝑐→0 𝑥𝑥 𝑥𝑥 0

𝑐𝑐

Diese ähnlich aussehende Fläche hat einen unendlichen Flächeninhalt. Diese beiden Beispiele zeigen, dass es ins Unendliche reichende Flächen (von der Ausdehnung her gesehen) gibt, die trotzdem einen endlichen Flächeninhalt besitzen.

102

6 Integralrechnung

6.4

Aufgaben

Aufgabe 1 Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion der folgenden Funktionen. a) c) e)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 1.5 + 5 ∙ √𝑥𝑥 3 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 ∙ √𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 1 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 − 3 . 𝑥𝑥 𝑥𝑥

b) d)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥)2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 2 ∙ cos 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −𝑥𝑥

Aufgabe 2 Berechnen Sie folgende Integrale durch partielle Integration. a) d)

𝜋𝜋

� 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

b)

� ln

e)

0 2 1

3

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 4

𝑒𝑒

2

�(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥) ∙ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

c)

� 𝑥𝑥 ∙ ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 2𝜋𝜋

1

0

� sin2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. 0

Aufgabe 3 Berechnen Sie folgende Integrale durch Substitution. a)

2

� 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 0

𝑥𝑥 2

𝑑𝑑𝑑𝑑

1

b)

� 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 0

−𝑥𝑥 2

𝑑𝑑𝑥𝑥

1

c)

� 0

𝑥𝑥 2

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. +1

Aufgabe 4 Berechnen Sie die Fläche zwischen der Funktion und der 𝑥𝑥 − Achse. a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 4𝑥𝑥 für 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜋𝜋 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 für − 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 3 𝑥𝑥 c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = für − 0.5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1. 1 + 𝑥𝑥 4 Aufgabe 5 Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale im Fall der Existenz. a) e)

∞

� 2 ∙ 𝑒𝑒 0 3

� 2

−2𝑥𝑥

𝑥𝑥

√𝑥𝑥 2

−4

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

b) f)

∞

2 � 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 1 1

� 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. 0

c)

∞

� 2

1

√𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑

d)

1

� 0

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 2

Teil II Statistik

7

Beschreibende Statistik

Die Aufgaben und Problemstellungen, die in der beschreibenden Statistik behandelt werden, sind vielfältig. Ein wichtiges Aufgabengebiet ist die Darstellung von statistischem Material, häufig von Zahlenmaterial. Die vorliegenden statistischen Daten, die zusammengefasst Stichprobe genannt werden, sind meistens Untersuchungsergebnisse oder Beobachtungen, anhand derer bestimmte Fragestellungen beantwortet werden. Die Darstellung erfolgt durch Strichlisten, Tabellen oder Schaubilder. Eine andere Aufgabe ist, durch die Berechnung statistischer Kenngrößen wie z.B. Mittelwert, Median oder Varianz Aussagen über die Eigenschaften der Stichprobe machen zu können. Mit Hilfe dieser Kenngrößen ist es dann möglich, Informationen über die Stichprobe zu geben, ohne die Stichprobe explizit angeben zu müssen.

7.1

Eindimensionale beschreibende Statistik

7.1.1

Stichproben und Merkmale

Beispiel 7.1 Für die Hörer einer bestimmten Vorlesung soll statistisches Material gesammelt werden. Man kann das Geschlecht, das Alter, die Körpergröße, das Körpergewicht und vieles andere mehr untersuchen. Dieses Beispiel zeigt, dass es unterschiedliche Merkmale gibt, die untersucht werden können. In der eindimensionalen Statistik wird nur ein einziges Merkmal betrachtet. In der folgenden Definition werden die Begriffe Stichprobe, Merkmal und Merkmalsausprägung, die oben schon erwähnt wurden, zusammengestellt. Definition 7.1 1. Eine Stichprobe ist eine Zusammenfassung von Beobachtungswerten bzw. Daten aus einer größeren Grundgesamtheit. Die Anzahl der Stichprobenwerte wird Stichprobenumfang genannt. 2. Die Ergebnisse, die das Beobachtungsmerkmal haben kann, werden Merkmalsausprägungen genannt. In der folgenden Definition werden Eigenschaften dieser Merkmalsausprägungen charakterisiert.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-121

106

7 Beschreibende Statistik

Definition 7.2 1. Ein Merkmal heißt nominal, falls nur die Verschiedenheit der Ausprägungen zum Ausdruck gebracht werden kann. Hier gibt es keine Rang- oder Reihenfolge. 2. Ein Merkmal heißt ordinal, falls die verschiedenen Merkmalsausprägungen in eine sinnvolle Reihenfolge gebracht werden können, jedoch die Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen keinen Sinn ergeben, also nicht interpretiert werden können. 3. Ein Merkmal heißt metrisch skaliert, falls die verschiedenen Merkmalsausprägungen in eine sinnvolle Reihenfolge gebracht werden können und die Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen miteinander verglichen werden können. Eine metrische Skala ist bis auf die Wahl der Einheit eindeutig. 4. Ein Merkmal heißt diskret, falls die Anzahl der verschiedenen Ausprägungen endlich oder abzählbar unendlich ist. 5. Ein Merkmal heißt stetig, falls die Ausprägungen in ein Intervall auf der Zahlengeraden fallen. Beispiel 7.2 • Nominale Merkmale: Farbe, Beruf, Hobby • Ordinale Merkmale: Tabellenplatz, Güteklassen, Bewertung im Kunstturnen oder beim Eiskunstlaufen • Metrische skalierte Merkmale: Alle Längen, Gewichte, alle messbaren Größen der Physik wie Gewichtskraft, Arbeit, Leistung, Stromstärke, Spannung, das Alter von Lebewesen • Diskrete Merkmale: Monatseinkommen, Alter in Jahren • Stetige Merkmale: Gewicht der Kartoffeln auf einem Acker, Alter, Körpergröße, Körpergewicht, falls diese Größen genau gemessen werden können. In den folgenden Ausführungen werden nur metrische skalierte und diskrete Merkmale betrachtet, da diese in der Praxis nahezu ausschließlich vorliegen.

7.1.2

Häufigkeitsverteilungen bei diskreten Merkmalen

In diesem Abschnitt werden Häufigkeitsverteilungen von diskreten Merkmalen betrachtet. Definition 7.3 1. Die 𝑘𝑘 verschiedenen Merkmalsausprägungen seien mit 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑘𝑘 bezeichnet. 2. Die Merkmalsausprägung der 𝑖𝑖 − ten Beobachtung sei mit 𝑥𝑥𝑖𝑖 bezeichnet, wobei jeder der 𝑛𝑛 Beobachtungswerte 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, mit einer der 𝑘𝑘 Merkmalsausprägungen übereinstimmt. 3. Das 𝑛𝑛 − Tupel 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) heißt Stichprobe.

In der folgenden Definition werden absolute und relative Häufigkeiten eingeführt.

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

107

Definition 7.4 1. Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 𝑎𝑎𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑘𝑘, ist die Anzahl derjenigen 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, die mit 𝑎𝑎𝑗𝑗 übereinstimmen. Die Bezeichnung für die absolute Häufigkeit ist ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 �. Also gilt:

2.

ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � = Anzahl aller 𝑥𝑥𝑖𝑖 , die mit 𝑎𝑎𝑗𝑗 übereinstimmen.

Dividiert man die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 𝑎𝑎𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑘𝑘 durch den Stichprobenumfang 𝑛𝑛, so erhält man die relative Häufigkeit. Diese wird mit 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) bezeichnet und es gilt: 1 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � = ∙ ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 �, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑘𝑘. 𝑛𝑛

Diese beiden Begriffe haben folgende Eigenschaften: 𝑘𝑘

0 ≤ ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ≤ 𝑛𝑛 und � ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � = 𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 𝑘𝑘

0 ≤ 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ≤ 1 und � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � = 1. 𝑗𝑗=1

Beispiel 7.3 Gegeben seien die Schuhgrößen von 7 Studierenden einer Mathematik-Vorlesung. Die Stichprobe 𝑥𝑥 ist gegeben durch: 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40). Dann gilt:

𝑛𝑛 = 7, 𝑘𝑘 = 5

𝑎𝑎1 = 36, 𝑎𝑎2 = 38, 𝑎𝑎3 = 40, 𝑎𝑎4 = 43, 𝑎𝑎5 = 47 ℎ(𝑎𝑎1 ) = 1, ℎ(𝑎𝑎2 ) = 1, ℎ(𝑎𝑎3 ) = 2, ℎ(𝑎𝑎4 ) = 2, ℎ(𝑎𝑎5 ) = 1 1 1 2 2 1 𝑟𝑟(𝑎𝑎1 ) = , 𝑟𝑟(𝑎𝑎2 ) = , 𝑟𝑟(𝑎𝑎3 ) = , 𝑟𝑟(𝑎𝑎4 ) = , 𝑟𝑟(𝑎𝑎5 ) = . 7 7 7 7 7

Durch Schaubilder können Stichproben (ähnlich wie Funktionen) graphisch dargestellt werden. Dafür stehen folgende Diagramme zur Verfügung: • • •

Stabdiagramm (Balkendiagramm) Säulendiagramm (Histogramm) Kreisdiagramm.

Beim Stabdiagramm werden die Häufigkeiten über den einzelnen Merkmalsausprägungen als dünne Stäbe abgetragen, deren Längen gerade die Häufigkeiten sind. Beim Säulendiagramm werden die Häufigkeiten durch Flächeninhalte von Rechtecken dargestellt.

108

7 Beschreibende Statistik

Beim Kreisdiagramm werden die Häufigkeiten als Kreissektoren dargestellt, wobei die Fläche der Sektoren proportional zu den Häufigkeiten ist. Beispiel 7.4 Die Stichprobe aus dem letzten Beispiel 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

soll nun graphisch dargestellt werden. 3 2 1 0

Abb. 7.1

36

38

40

43

47

Stabdiagramm

3 2 1 0

Abb. 7.2

36

38

40

43

Säulendiagramm

47

36 38

43 40

Abb. 7.3

Kreisdiagramm

47

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

109

Bei welcher Art der Darstellung von Stichproben welche Diagramme zu Einsatz kommen, wird auf den folgenden Seiten erklärt. Eine weitere Darstellung erfolgt mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion. Definition 7.5 Die verschiedenen Merkmalsausprägungen seien der Größe nach geordnet: 𝑎𝑎1 < 𝑎𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑎𝑘𝑘 . Dann heißt die Funktion 𝐴𝐴(𝑥𝑥) = � ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � 𝑗𝑗:𝑎𝑎𝑗𝑗 ≤𝑥𝑥

die absolute Summenhäufigkeitsfunktion. Definition 7.6 Mit Hilfe der absoluten Summenhäufigkeitsfunktion 𝐴𝐴(𝑥𝑥) erhält man die empirische Verteilungsfunktion 𝐸𝐸(𝑥𝑥): 1 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � = ∙ 𝐴𝐴(𝑥𝑥). 𝑛𝑛 𝑗𝑗:𝑎𝑎𝑗𝑗 ≤𝑥𝑥

Beispiel 7.5 Für die Stichprobe 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

soll nun die empirische Verteilungsfunktion berechnet werden. Es gilt:

𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 0 1 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 7 2 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 7 4 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 7 6 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 7 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 1

für

𝑥𝑥 < 36

für

36 ≤ 𝑥𝑥 < 38

für

40 ≤ 𝑥𝑥 < 43

für für für

38 ≤ 𝑥𝑥 < 40 43 ≤ 𝑥𝑥 < 47 𝑥𝑥 ≥ 47

In einem Schaubild wird die empirische Verteilungsfunktion als Treppenfunktion dargestellt.

110

7 Beschreibende Statistik

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

34

Abb. 7.4

7.1.3

36

38

40

42

44

46

48

50

empirische Verteilungsfunktion

Häufigkeitsverteilungen bei Klassenbildungen

Häufig ist es sinnvoll, die Elemente einer Stichprobe in Klassen einzuteilen. Die dafür notwendigen Begriffe werden in der folgenden Definition bereitgestellt. Definition 7.7 1. Eine Unterteilung des Intervalls, in dem alle Beobachtungswerte liegen, in disjunkte Teilintervalle heißt Klasseneinteilung, falls die Vereinigung dieser Teilintervalle eine Obermenge dieses Intervalls ist. 2. Diese Teilintervalle werden Klassen genannt. 3. Die 𝑠𝑠 verschiedenen Klassen werden mit 𝐾𝐾1 , 𝐾𝐾2 , … , 𝐾𝐾𝑠𝑠 bezeichnet.

4. 5.

Für das Teilintervall �𝑡𝑡𝑝𝑝 , 𝑡𝑡𝑝𝑝+1 �, 1 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑠𝑠 ist

𝑡𝑡𝑝𝑝 +𝑡𝑡𝑝𝑝+1 2

die Klassenmitte.

Die Zahlen 𝑏𝑏𝑝𝑝 = 𝑡𝑡𝑝𝑝+1 − 𝑡𝑡𝑝𝑝 , 1 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑠𝑠, stellen die Klassenbreiten dar.

Häufig findet man Klasseneinteilungen mit lauter gleichen Klassenbreiten. Man spricht dann von einer äquidistanten Einteilung. Beispiel 7.6 Die 7 Studierenden aus Beispiel 7.3 bekommen noch Socken. Diese gibt es aber nicht in festen Größen, sondern in Bereichen. Das Intervall, in dem die Beobachtungswerte liegen, ist [36, 47]. Eine mögliche Klasseneinteilung ist: Eine weitere Klasseneinteilung ist:

𝐾𝐾1 = (35, 41] und 𝐾𝐾2 = (41, 48].

𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48],

In der folgenden Definition werden die Häufigkeiten auf Klassen übertragen.

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

111

Definition 7.8 1. Die absolute Klassenhäufigkeit der Klasse 𝐾𝐾𝑝𝑝 , 1 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑠𝑠, ist die Anzahl der Beobachtungswerte, die in die Klasse 𝐾𝐾𝑝𝑝 fallen. Die Bezeichnung für die absolute Klassenhäufigkeit ist: 2.

ℎ�𝐾𝐾𝑝𝑝 � = ℎ𝑝𝑝 .

Dividiert man die absolute Klassenhäufigkeit durch den Stichprobenumfang 𝑛𝑛, so erhält man die relative Klassenhäufigkeit 𝑟𝑟𝑝𝑝 : 1 𝑟𝑟𝑝𝑝 = ∙ ℎ𝑝𝑝 . 𝑛𝑛 Diese beiden Begriffe haben folgende Eigenschaften: 𝑠𝑠

0 ≤ ℎ𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛 und � ℎ𝑝𝑝 = 𝑛𝑛 𝑝𝑝=1 𝑠𝑠

0 ≤ 𝑟𝑟𝑝𝑝 ≤ 1 und � 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 1. 𝑝𝑝=1

Beispiel 7.7 Die Sockengrößen der Studierenden aus Beispiel 7.3 werden in die 4 Klassen 𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48] eingeteilt. Nach der Einteilung gilt (die einzelnen Werte sind nicht mehr bekannt!): ℎ1 = 1, ℎ2 = 3, ℎ3 = 2 und ℎ4 = 1 1 3 2 1 𝑟𝑟1 = , 𝑟𝑟2 = , 𝑟𝑟3 = und 𝑟𝑟4 = . 7 7 7 7

Stellt man eine in Klassen eingeteilte Stichprobe graphisch durch ein Histogramm dar, so werden über den jeweiligen Intervallen Rechtecke gezeichnet, deren Flächeninhalt proportional zu den entsprechenden Häufigkeiten ist. Beim wichtigeren Histogramm für die relativen Klassenhäufigkeiten verwendet man die Klassenhöhen so, dass der Flächeninhalt aller Rechtecke des Histogramms aufsummiert gleich eins ergibt. Also gilt: 𝑟𝑟𝑝𝑝 Die Höhe 𝐻𝐻𝑝𝑝 des Rechtecks der Klasse 𝐾𝐾𝑝𝑝 ist dann . 𝑏𝑏𝑝𝑝 Für den gesamten Flächeninhalt 𝐴𝐴 gilt dann: 𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑝𝑝=1

𝑝𝑝=1

𝑟𝑟𝑝𝑝 𝐴𝐴 = � 𝑏𝑏𝑝𝑝 ∙ = � 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 1. 𝑏𝑏𝑝𝑝

Beispiel 7.8 Die in die 4 Klassen 𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48] eingeteilte Stichprobe (Beispiel 7.7) 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

112

7 Beschreibende Statistik

der Sockengrößen soll durch ein Histogramm dargestellt werden. Aus

0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

𝑏𝑏1 = 2, 𝑏𝑏2 = 3, 𝑏𝑏3 = 3 und 𝑏𝑏4 = 5, 1 3 2 1 𝑟𝑟1 = , 𝑟𝑟2 = , 𝑟𝑟3 = und 𝑟𝑟4 = folgen die Rechteckhöhen 7 7 7 7 1 1 3 1 2 2 1 1 𝐻𝐻1 = = , 𝐻𝐻2 = = , 𝐻𝐻3 = = , 𝐻𝐻4 = = 7 ∙ 2 14 7∙3 7 7 ∙ 3 21 7 ∙ 5 35.

35

Abb. 7.5

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

Histogramm bei Klassenbildung

Will man die in Definition 7.6 eingeführte empirische Verteilungsfunktion für eine in Klassen eingeteilte Stichprobe berechnen, so ist dies nicht mehr möglich, da die Lage der einzelnen Elemente innerhalb der Klassen nicht mehr bekannt ist. Deshalb muss man sich durch Näherungen behelfen. Zwei sinnvolle Möglichkeiten sind die folgenden: • •

Alle Werte einer Klasse werden durch die Klassenmitte repräsentiert. Alle Werte einer Klasse werden durch den rechten Eckpunkt repräsentiert.

Beispiel 7.9 Für die in die 4 Klassen 𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48] eingeteilte Stichprobe (Beispiel 7.7) 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

soll die empirische Verteilungsfunktion, bei der alle Werte einer Klasse durch die Klassenmitte repräsentiert sind, angegeben werden. Dies entspricht der empirischen Verteilungsfunktion der folgenden Stichprobe: 𝑎𝑎1 = 36, 𝑎𝑎2 = 38.5, 𝑎𝑎3 = 41.5 und 𝑎𝑎4 = 45.5, 1 3 2 1 𝑟𝑟1 = , 𝑟𝑟2 = , 𝑟𝑟3 = und 𝑟𝑟4 = . 7 7 7 7

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik Es gilt dann: 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 0 1 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 7 4 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 7 6 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 7 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 1

für

𝑥𝑥 < 36

für

36 ≤ 𝑥𝑥 < 38.5

für

41.5 ≤ 𝑥𝑥 < 45.5

für für

113

38.5 ≤ 𝑥𝑥 < 41.5 𝑥𝑥 ≥ 45.5.

Das folgende Schaubild zeigt diese Funktion. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

34

Abb. 7.6

36

38

40

42

44

46

48

50

empirische Verteilungsfunktion bei Klassen

Zum Abschluss sei noch bemerkt, dass eine Klassenbildung mit einem mehr oder weniger großen Informationsverlust verbunden ist. Dies liegt natürlich daran, dass nur noch bekannt ist, wie viele Werte in eine Klasse fallen, aber deren genaue Lage in der Klasse unbekannt ist. Je kleiner die Klassenbreiten sind, umso geringer wird dieser Informationsverlust. Die Klassenbildung kommt in der Praxis häufig vor. Mögliche Anwendungen sind: • • • • •

Einteilung in Altersklassen bei Sportwettkämpfen Telefoneinheiten Bußgeldklassen bei Geschwindigkeitsübertretungen Schulklassen Einkommensklassen.

7.1.4

Lageparameter

Oft ist es bei statistischen Problemen nicht sinnvoll, die ganze Stichprobe anzugeben. Mögliche Ursachen dafür sind, dass etwa der Stichprobenumfang zu groß ist oder dass die gesamte Häufigkeitsverteilung für die Problemlösung ungeeignet ist. Aus diesem Grund ist man an Kenngrößen interessiert, die eine Stichprobe ähnlich gut beschreiben. Da es eine große Zahl solcher Kenngrößen gibt, wird man sich bei einer geeigneten Auswahl am Problem orientieren müssen. Im Folgenden werden die Lageparameter Modalwert, Mittelwert, Median und die Quantile für Häufigkeitsverteilungen mit und ohne Klassenbildung vorgestellt.

114

7 Beschreibende Statistik

Definition 7.9 Der Modalwert (häufigster Wert) ist derjenige Beobachtungswert, der in einer Stichprobe die größte absolute (oder relative) Häufigkeit besitzt. Er wird mit 𝑥𝑥𝑀𝑀𝑀𝑀 bezeichnet.

Der Modalwert muss nicht eindeutig sein, es kann durchaus mehrere Modalwerte geben. In einer Stichprobe mit lauter verschiedenen Beobachtungswerten sind alle Werte Modalwerte. Bei nominalen Merkmalsausprägungen ist der Modalwert der entscheidende und einzig mögliche Lageparameter.

Definition 7.10 Das zu untersuchende Merkmal sei metrisch skaliert. Dann heißt die Größe 𝑛𝑛

𝑘𝑘

𝑘𝑘

𝑖𝑖=1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

1 1 𝑥𝑥̅ = ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 = ∙ � ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 , 𝑛𝑛 𝑛𝑛

wobei ℎ(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) und 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten aus Definition 7.4 sind, der Mittelwert oder das arithmetische Mittel. Der Mittelwert beschreibt den Durchschnittswert einer Stichprobe. Um auf die gesamte Summe der Stichprobe zu kommen, muss der Mittelwert nur mit dem Stichprobenumfang 𝑛𝑛 multipliziert werden. Möglich Anwendungen für Mittelwerte sind:

• • • •

Durchschnittliche Schuhgröße von Studierenden Pro-Kopf-Verbrauch in der Lebensmittelindustrie Durchschnittsalter einer Schulklasse Mittlerer Benzinpreis im Jahr 1993.

Definition 7.11 Das zu untersuchende Merkmal sei metrisch skaliert und die Stichprobe (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) sei der Größe nach geordnet: ′ ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛′ . 𝑥𝑥1′ ≤ 𝑥𝑥2′ ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 Ist 𝑛𝑛 ungerade, so heißt ′ 𝑥𝑥� = 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 2

der Median oder Zentralwert.

Ist 𝑛𝑛 gerade, so gilt: 1 𝑥𝑥� = ∙ �𝑥𝑥𝑛𝑛′ + 𝑥𝑥𝑛𝑛′ +1 �. 2 2 2 Der Median ist dadurch charakterisiert, dass er in der Mitte der geordneten Stichprobe liegt. Also sind mindestens 50% der Werte kleiner oder gleich dem Median und gleichzeitig mindestens 50% der Werte größer oder gleich dem Median.

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

115

Beispiel 7.10 Gegeben sei die Stichprobe 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

Es sollen Modalwert, Mittelwert und Median bestimmt werden. Dazu wird die Stichprobe zuerst geordnet: 𝑥𝑥 ′ = (36, 38, 40, 40, 43, 43, 47).

Da die Werte 40 und 43 am häufigsten vorkommen, gilt: 𝑥𝑥𝑀𝑀𝑀𝑀 = 40 und 𝑥𝑥𝑀𝑀𝑀𝑀 = 43.

Für die Berechnung des Mittelwertes muss die Stichprobe nicht geordnet sein, jedoch ist die Arbeit mit der geordneten Stichprobe angenehmer. 7

1 1 𝑥𝑥̅ = ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 = ∙ (36 + 38 + 40 + 40 + 43 + 43 + 47) = 41 oder 7 7

𝑥𝑥̅ =

𝑖𝑖=1 5

1 1 ∙ � ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 = ∙ (1 ∙ 36 + 1 ∙ 38 + 2 ∙ 40 + 2 ∙ 43 + 1 ∙ 47) = 41 oder 7 7 5

𝑗𝑗=1

1 1 2 2 1 𝑥𝑥̅ = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 = ∙ 36 + ∙ 38 + ∙ 40 + ∙ 43 + ∙ 47 = 41. 7 7 7 7 7 𝑗𝑗=1

Wegen 𝑛𝑛 = 7 gilt für den Median: 𝑥𝑥� = 𝑥𝑥4′ = 40.

Für die beiden Größen Mittelwert und Median gibt es keine allgemeine kleiner-größer Beziehung. Dies wird im folgenden Beispiel gezeigt. Beispiel 7.11 Gegeben seien die 3 Stichproben 𝑥𝑥 = (3, 6, 9), 𝑦𝑦 = (1, 6, 8) und 𝑧𝑧 = (3, 6, 12). Dann folgt

für die Stichprobe x: für die Stichprobe y: für die Stichprobe z:

𝑥𝑥̅ = 6 und 𝑥𝑥̅ = 5 und 𝑥𝑥̅ = 7 und

𝑥𝑥� = 6, also 𝑥𝑥� = 6, also 𝑥𝑥� = 6, also

𝑥𝑥̅ = 𝑥𝑥�. 𝑥𝑥̅ < 𝑥𝑥�. 𝑥𝑥̅ > 𝑥𝑥�.

Die drei Lageparameter Modalwert, Mittelwert und Median dienen der Beschreibung von Häufigkeitsverteilungen durch eine Zahl. Welcher dieser drei Werte die vorgelegte Stichprobe am besten charakterisiert, hängt stark von der Zusammensetzung der Stichprobe ab. Einige Faustregeln werden im Folgenden angegeben. Der Modalwert ist geeignet, falls • •

das Histogramm mehrere Spitzen hat. das Merkmal nominal skaliert ist.

116

7 Beschreibende Statistik

Der Mittelwert ist besser geeignet, falls • • • •

der Stichprobenumfang nicht sehr klein ist. die Verteilung nicht allzu asymmetrisch ist. es nicht zu viele Ausreißer gibt. der Durchschnittswert der Stichprobenwerte das gestellte Problem mit beschreibt.

Der Median ist besser geeignet, falls • • • •

der Stichprobenumfang klein ist. die Verteilung stark asymmetrisch ist. es viele Ausreißer gibt. das Merkmal ordinal skaliert ist.

Der Median teilt die Stichprobenwerte in zwei gleich große Bereiche ein. Oftmals ist es aber erforderlich, eine andere Einteilung zu wählen. Soll z.B. die Frage beantwortet werden, wie viele der Stichprobe zu den 𝑝𝑝% kleinsten oder 𝑝𝑝% größten Werten gehören, muss der Begriff des Medians verallgemeinert werden. Definition 7.12 Für jede Zahl 𝛼𝛼, 0 ≤ 𝛼𝛼 ≤ 1, ist das 𝛼𝛼 − 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑥𝑥𝛼𝛼 durch folgende Eigenschaft definiert:

Mindestens 𝛼𝛼 ∙ 100% der Stichprobenwerte sind kleiner oder gleich 𝑥𝑥𝛼𝛼 und gleichzeitig sind mindestens (1 − 𝛼𝛼) ∙ 100% der Stichprobenwerte größer oder gleich 𝑥𝑥𝛼𝛼 .

Ist das 𝛼𝛼 − 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑥𝑥𝛼𝛼 nicht eindeutig, so wird wie beim Median das arithmetische Mittel dieser beiden Stichprobenwerte als 𝛼𝛼 − 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 definiert. Beispiel 7.12 Für die Stichprobe 𝑥𝑥 ′ = (36, 38, 40, 40, 43, 43, 47) sollen die Quantile 𝑥𝑥0.2 , 𝑥𝑥0.4 , 𝑥𝑥0.5 und 𝑥𝑥0.75 bestimmt werden.

Dazu wird zuerst eine Tabelle erzeugt, die nur die Stichprobenwerte und die Prozentzahlen der Stichprobenwerte enthält, die kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich diesen Stichprobenwerten sind. Stichprobenwert wie viel % der Stichprobenwerte sind kleiner oder gleich diesem Stichprobenwert wie viel % der Stichprobenwerte sind größer oder gleich diesem Stichprobenwert

36

38

40

43

47

14.28

28.57

57.14

85.71

100.00

100.00

85.71

71.42

42.86

14.28

Für das Quantil 𝑥𝑥0.2 werden in dieser Tabelle in den %-Zeilen alle Werte markiert, die die Bedingungen mindestens 0.2 ∙ 100% = 20% der Stichprobenwerte sind kleiner oder gleich 𝑥𝑥0.2 und

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

117

mindestens 0.8 ∙ 100% = 80% der Stichprobenwerte sind größer oder gleich 𝑥𝑥0.2 erfüllen.

Deshalb werden in der zweiten Zeile alle Zahlen größer oder gleich 20 und in der dritten Zeile alle Zahlen größer oder gleich 80 markiert. Stichprobenwert wie viel % der Stichprobenwerte sind kleiner oder gleich diesem Stichprobenwert wie viel % der Stichprobenwerte sind größer oder gleich diesem Stichprobenwert

36

38

40

43

47

14.28

28.57

57.14

85.71

100.00

100.00

85.71

71.42

42.86

14.28

Gleichzeitig markiert ist nur die Spalte mit dem Stichprobenwert 38. Deshalb gilt: 𝑥𝑥0.2 = 38.

Völlig analog werden die anderen Quantile ermittelt. Es gilt: 𝑥𝑥0.4 = 40, 𝑥𝑥0.5 = 40 und 𝑥𝑥0.75 = 43.

Bei einer Klasseneinteilung müssen die Definitionen aller Lageparameter etwas modifiziert werden. Definition 7.13 1. Bei einer Klasseneinteilung werden alle Werte einer Klasse mit der Klassenmitte identifiziert. Danach wird der Mittelwert in der üblichen Weise berechnet. 2. Bei einer Klasseneinteilung wird der Median aus dem Histogramm berechnet. Es ist genau die Stelle, durch die das Histogramm in zwei gleich große Flächenstücke der Größe 0.5 eingeteilt wird. 𝑙𝑙

𝑙𝑙+1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

Gilt 𝑅𝑅1 = � 𝑟𝑟𝑗𝑗 < 0.5 und 𝑅𝑅2 = � 𝑟𝑟𝑗𝑗 ≥ 0.5

und hat die Medianklasse, die dadurch festgelegt wird, die Ränder 𝑧𝑧1 < 𝑧𝑧2 , so folgt 0.5 − 𝑅𝑅1 ∙ (𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 ). 𝑥𝑥� = 𝑧𝑧1 + 𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1

Beispiel 7.13 Für die in die 4 Klassen 𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48] eingeteilte Stichprobe (Beispiel 7.7) 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

sollen Mittelwert und Median bestimmt werden.

Nach Definition 7.13 wird der Mittelwert der folgenden Stichprobe berechnet: 𝑎𝑎1 = 36, 𝑎𝑎2 = 38.5, 𝑎𝑎3 = 41.5 und 𝑎𝑎4 = 45.5,

118

7 Beschreibende Statistik

1 3 2 1 𝑟𝑟(𝑎𝑎1 ) = , 𝑟𝑟(𝑎𝑎2 ) = , 𝑟𝑟(𝑎𝑎3 ) = und𝑟𝑟(𝑎𝑎4 ) = . 7 7 7 7 Also gilt: 4

𝑥𝑥̅ = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 = 𝑗𝑗=1

1 3 2 1 ∙ 36 + ∙ 38.5 + ∙ 41.5 + ∙ 45.5 = 40. 7 7 7 7

Wegen 𝑟𝑟1 = 1�7 = 𝑅𝑅1 < 0.5 und 𝑟𝑟1 + 𝑟𝑟2 = 𝑅𝑅2 = 4�7 ≥ 0.5 fällt der Median in die Klasse 𝐾𝐾2 = (37, 40]. Es folgt 1 0.5 − 0.5 − 𝑅𝑅1 7 ∙ (40 − 37) = 37 + 5 ∙ 3 = 39.5. ∙ (𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 ) = 37 + 𝑥𝑥� = 𝑧𝑧1 + 4 1 𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1 6 − 7 7 Diese beiden Werte unterscheiden sich von den in Beispiel 7.10 berechneten Werten ohne Klassenbildung. Völlig analog zu der Definition des Medians werden die Quantile bei Klasseneinteilungen definiert. Definition 7.14 Bei einer Klasseneinteilung wird das 𝛼𝛼 − Quantil 𝑥𝑥𝛼𝛼 aus dem Histogramm berechnet. Es ist genau die Stelle, durch die das Histogramm in zwei Flächenstücke der Größe 𝛼𝛼 (links) und der Größe 1 − 𝛼𝛼 (rechts) eingeteilt wird. 𝑙𝑙

𝑙𝑙+1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

Gilt 𝑅𝑅1 = � 𝑟𝑟𝑗𝑗 < 𝛼𝛼 und 𝑟𝑟2 = � 𝑟𝑟𝑗𝑗 ≥ 𝛼𝛼

und hat die Quantilklasse, die dadurch festgelegt wird, die Ränder 𝑧𝑧1 < 𝑧𝑧2 , so folgt 𝛼𝛼 − 𝑅𝑅1 𝑥𝑥𝛼𝛼 = 𝑧𝑧1 + ∙ (𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 ). 𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1

Beispiel 7.14 Für die in die 4 Klassen 𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48] eingeteilte Stichprobe (Beispiel 7.7) 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

sollen die Quantile 𝑥𝑥0.2 , 𝑥𝑥0.4 , 𝑥𝑥0.5 und 𝑥𝑥0.75 bestimmt werden. Aus den relativen Klassenhäufigkeiten 1 3 2 1 𝑟𝑟1 = , 𝑟𝑟2 = , 𝑟𝑟3 = und 𝑟𝑟4 = 7 7 7 7 folgen 1

2

3

4

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

1 4 6 � 𝑟𝑟𝑗𝑗 = = 0.143, � 𝑟𝑟𝑗𝑗 = = 0.571, � 𝑟𝑟𝑗𝑗 = = 0.851 und � 𝑟𝑟𝑗𝑗 = 1. 7 7 7

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

119

Wegen 𝑟𝑟1 = 1�7 = 0.143 = 𝑅𝑅1 und 𝑟𝑟1 + 𝑟𝑟2 = 𝑅𝑅2 = 4�7 = 0.571 ≥ 0.2 fällt das Quantil 𝑥𝑥0.2 in die Klasse 𝐾𝐾2 = (37, 40]. Es folgt

1 0.2 − 0.2 − 𝑅𝑅1 7 ∙ (40 − 37) = 37 + 2 ∙ 3 = 37.4. ∙ (𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 ) = 37 + 𝑥𝑥0.2 = 𝑧𝑧1 + 4 1 𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1 15 − 7 7 Völlig analog werden die anderen Quantile ermittelt. Es gilt:

𝑥𝑥0.4 = 38.8, 𝑥𝑥0.5 = 39.5 und 𝑥𝑥0.75 = 41.875.

In manchen Fällen ist der Mittelwert, das arithmetische Mittel, nicht geeignet, um durch eine Art Durchschnittswert die Stichprobe zu charakterisieren. Aus diesem Grund werden in der folgenden Definition zwei weitere Größen vorgestellt, die in speziellen Problemen hilfreich sind. Definition 7.15 Gegeben sei eine Stichprobe mit 𝑥𝑥𝑖𝑖 > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛. Dann heißt 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑥𝑥̅𝑔𝑔 = 𝑛𝑛�𝑥𝑥1 ∙ 𝑥𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 = �� 𝑥𝑥𝑖𝑖

das geometrische Mittel.

𝑖𝑖=1

Mit Hilfe von absoluten und relativen Häufigkeiten gilt: 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑘𝑘

𝑥𝑥̅𝑔𝑔 = �𝑎𝑎1 ℎ(𝑎𝑎1 ) ∙ 𝑎𝑎2 ℎ(𝑎𝑎2) ∙ … ∙ 𝑎𝑎𝑘𝑘 ℎ(𝑎𝑎𝑘𝑘 ) = �� 𝑎𝑎𝑗𝑗 ℎ(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) bzw. 𝑥𝑥̅𝑔𝑔 = 𝑎𝑎1 𝑟𝑟(𝑎𝑎1 ) ∙ 𝑎𝑎2 𝑟𝑟(𝑎𝑎2 ) ∙ … ∙ 𝑎𝑎𝑘𝑘

𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑘𝑘 )

𝑘𝑘

𝑗𝑗=1

= � 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) . 𝑗𝑗=1

Definition 7.16 Gegeben sei eine Stichprobe mit 𝑥𝑥𝑖𝑖 > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛. Dann heißt 𝑛𝑛 𝑥𝑥̅ℎ = 𝑛𝑛 1 � 𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 das harmonische Mittel.

120

7 Beschreibende Statistik

Mit Hilfe von absoluten und relativen Häufigkeiten gilt: 𝑥𝑥̅ ℎ =

𝑘𝑘

�

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

ℎ(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) 𝑎𝑎𝑗𝑗

=

𝑘𝑘

�

1

𝑗𝑗=1

. 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) 𝑎𝑎𝑗𝑗

Im folgenden Beispiel werden Anwendungen dieser Mittel gegeben. Beispiel 7.15 1. Jemand kauft dreimal einen Artikel zu den Preisen 1.05€, 1.10€, 1.60€. Man berechne den durchschnittlichen Preis. Hier kommt nur der Mittelwert in Frage. 1 1 Es gilt dann: 𝑥𝑥̅ = ∙ (1.05 + 1.10 + 1.60) = ∙ 3.75 = 1.25€. 3 3 2. Der Preis 𝑝𝑝 für einen Artikel wird hintereinander um 5%, dann um 10% und abschließend um 60% erhöht. Man berechne die mittlere Preissteigerung. Der Preis nach diesen drei Erhöhungen beträgt 𝑝𝑝 ∙ (1.05 ∙ 1.1 ∙ 1.60) = 1.848. Wird diese Preissteigerung durch drei gleich große Preissteigerungen 𝑞𝑞 erreicht, so gilt: 𝑞𝑞 3 = (1.05 ∙ 1.1 ∙ 1.60) ∙ 𝑝𝑝. 3

⇒ 𝑞𝑞 = √1.05 ∙ 1.1 ∙ 1.60 = 1.2272, was einer prozentualen Erhöhung von 22.72% entspricht.

3.

Offensichtlich ist hier das geometrische Mittel die richtige Größe, um die mittlere Preissteigerung zu bestimmen. Der Mittelwert 𝑥𝑥̅ = 1.25 unterscheidet sich vom geometrischen Mittel 𝑥𝑥̅𝑔𝑔 = 1.2272. Jemand kauft während eines Monats 3 mal für jeweils 10€ einen Artikel zu den Kilopreisen 1.05€, 1.10€ und 1.60€. Man berechne den Durchschnittspreis. Der Gesamtpreis 𝐺𝐺 beträgt 3 ∙ 10€ = 30€. Die 3 Mengen, die man erhält, sind: 10 10 10 𝑚𝑚1 = kg, 𝑚𝑚2 = kg, und 𝑚𝑚3 = kg. 1.05 1.10 1.60 10 10 10 Also ergibt sich eine Gesamtmenge 𝑚𝑚 = � + + � kg. 1.05 1.10 1.60 Damit folgt für den Durchschnittspreis 𝑝𝑝: 𝐺𝐺 3 ∙ 10 3 𝑝𝑝 = = = = 1.2065€. 10 1 10 10 1 1 𝑚𝑚 + + + + 1.05 1.10 1.60 1.05 1.10 1.60 Offensichtlich ist hier das harmonische Mittel die richtige Größe, um den Durchschnittspreis zu bestimmen.

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

121

Vergleicht man das harmonische Mittel 𝑥𝑥̅ℎ = 1.2065 mit dem Mittelwert 𝑥𝑥̅ = 1.25 und dem geometrischen Mittel 𝑥𝑥̅𝑔𝑔 = 1.2272. so stellt man fest, dass diese paarweise verschieden sind und dass gilt: 𝑥𝑥̅ℎ < 𝑥𝑥̅𝑔𝑔 < 𝑥𝑥̅ . Diese Ungleichung ist allgemeingültig, falls nicht alle Stichprobenwerte gleich sind.

7.1.5

Streuungswerte

Lageparameter sind Maßzahlen zur Kennzeichnung der Lage der Stichprobenwerte. Streuungswerte dagegen sind Hilfsmittel, um die Variabilität der Stichprobenwerte zu beschreiben. Dies wird durch Abweichungen der Stichprobenwerte von einem Lageparameter erreicht. Im Folgenden werden die Streuungswerte Spannweite, Quantilsabstand, mittlere Abweichung, Varianz und Standardabweichung vorgestellt. Definition 7.17 Das zu untersuchende Merkmal sei metrisch oder ordinal skaliert und die Stichprobe (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) sei der Größe nach geordnet: 𝑥𝑥1′ ≤ 𝑥𝑥2′ ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛′ . Dann heißt

𝑅𝑅 = 𝑥𝑥𝑛𝑛′ − 𝑥𝑥1′ die Spannweite der Stichprobe. Die Spannweite ist geeignet, falls • •

man sich für den gesamten Streubereich interessiert. die beiden Randwerte eine bedeutende Rolle spielen.

Die Spannweite ist nicht geeignet • • •

bei großen Stichprobenumfängen. beim Auftreten von Ausreißern. um die Streuung der Grundgesamtheit zu schätzen.

Definition 7.18 Für jedes 𝛼𝛼 − Quantil 𝑥𝑥𝛼𝛼 , 0 ≤ 𝛼𝛼 ≤ 0.5 heißt 𝑞𝑞𝛼𝛼 = 𝑥𝑥1−𝛼𝛼 − 𝑥𝑥𝛼𝛼 der Quantilsabstand.

Der Quantilsabstand ist die Länge des Intervalls, in dem 100 ∙ (1 − 2𝛼𝛼)% aller Stichprobenwerte (zentriert) liegen. Er ist im Gegensatz zu der Spannweite weit weniger empfindlich gegenüber Ausreißern.

122

7 Beschreibende Statistik

Definition 7.19 Das zu untersuchende Merkmal sei metrisch skaliert und 𝑧𝑧 ein fester Wert. Dann heißt

𝑛𝑛

𝑘𝑘

𝑘𝑘

𝑖𝑖=1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

1 1 𝑑𝑑𝑧𝑧 = ∙ �|𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑧𝑧| = ∙ � ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑧𝑧� = � 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑧𝑧�, 𝑛𝑛 𝑛𝑛

wobei ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � und 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten sind, die mittlere absolute Abweichung. Geeignete Werte für 𝑧𝑧 sind der Median und der Mittelwert, aber auch die beiden Randwerte.

Die mittlere absolute Abweichung ist zwar ein geeignetes Maß, um die Streuung der Stichprobenwerte zu beschreiben, sie hat jedoch ebenso wie die Spannweite die Eigenschaft, die Streuung in der Grundgesamtheit nur unzureichend zu schätzen. Aus diesem Grund ist die mittlere absolute Abweichung in der Praxis wenig verbreitet. In der folgenden Definition wird ein Streuungswert, die Varianz, vorgestellt, der viele Vorteile besitzt. Definition 7.20 1. Das zu untersuchende Merkmal sei metrisch skaliert. Dann heißt 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 𝑘𝑘

𝑖𝑖=1

1 1 𝑠𝑠 = ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2 = ∙ �� 𝑥𝑥𝑖𝑖 2 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ 2 � = 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1 2

𝑘𝑘

1 1 2 2 = ∙ � ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑥𝑥̅ � = ∙ �� ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ 2 � 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1 𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

𝑘𝑘

𝑘𝑘

𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 2 = ∙ � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑥𝑥̅ � = ∙ �� 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑥𝑥̅ 2 � , 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1

2.

wobei �𝑎𝑎𝑗𝑗 � und 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten sind, die Varianz. Das zu untersuchende Merkmal sei metrisch skaliert. Dann heißt 𝑠𝑠 = �

𝑛𝑛

1 ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2 𝑛𝑛 − 1 𝑖𝑖=1

die Standardabweichung. Beispiel 7.16 Für die Stichprobe

𝑥𝑥′ = (36, 38, 40, 40, 43, 43, 47) sollen die Spannweite, die Quantilsabstände für α = 0.05 und α = 0.2, die mittlere absolute Abweichung (für 𝑧𝑧 = 36, 𝑥𝑥̅ , 𝑥𝑥� und 47), die Varianz und die Standardabweichung bestimmt werden.

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

123

In Beispiel 7.10 wurden 𝑥𝑥̅ = 41 und 𝑥𝑥� = 40 schon ermittelt. 𝑅𝑅 = 𝑥𝑥7′ − 𝑥𝑥1′ = 47 − 36 = 11

𝑞𝑞0.05 = 𝑥𝑥0.95 − 𝑥𝑥0.05 = 47 − 36 = 11

𝑞𝑞0.2 = 𝑥𝑥0.8 − 𝑥𝑥0.2 = 43 − 38 = 5 𝑑𝑑36 =

𝑛𝑛

1 1 ∙ �|𝑥𝑥𝑖𝑖 − 36| = ∙ (|36 − 36| + |38 − 36| + |40 − 36| + |40 − 36| + 7 7 𝑖𝑖=1

+|43 − 36| + |43 − 36| + |47 − 36|) =

𝑑𝑑𝑥𝑥̅ = 𝑑𝑑41

7

1 20 = ∙ �|𝑥𝑥𝑖𝑖 − 41| = = 2.857 7 7

𝑑𝑑𝑥𝑥� = 𝑑𝑑40 = 𝑑𝑑47 = 𝑠𝑠 2 =

7

35 =5 7

𝑖𝑖=1 7

1 19 ∙ �|𝑥𝑥𝑖𝑖 − 40| = = 2.714 7 7 𝑖𝑖=1

1 42 ∙ �|𝑥𝑥𝑖𝑖 − 47| = =6 7 7 𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

7

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

1 1 1 ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2 = ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 41)2 = ∙ 80 = 13.333 6 𝑛𝑛 − 1 6

und 𝑠𝑠 = 3.651.

Definition 7.21 Bei einer Klasseneinteilung werden die Streuungsmaße der letzten 4 Definitionen modifiziert. 1. 2. 3.

Die Spannweite ist die Differenz aus dem rechten Eckpunkt der letzten Klasse und dem linken Eckpunkt der ersten Klasse. Der Quantilsabstand wird mit den aus dem Histogramm bestimmten Quantilen errechnet. Für die Berechnung der mittleren absoluten Abweichung, der Varianz und der Standardabweichung werden alle Werte in einer Klasse mit der Klassenmitte identifiziert. Danach wird die mittlere absolute Abweichung, die Varianz und die Standardabweichung in der üblichen Weise berechnet.

Beispiel 7.17 Für die in die 4 Klassen 𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48] eingeteilte Stichprobe (Beispiel 7.7) 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

sollen die Spannweite, die Quantilsabstände für α = 0.05 und α = 0.2, die mittlere absolute Abweichung (für 𝑧𝑧 = 35, 𝑥𝑥̅ , 𝑥𝑥� und 48), die Varianz und die Standardabweichung bestimmt werden. In Beispiel 7.13 wurden 𝑥𝑥̅ = 40 und 𝑥𝑥� = 39.5 schon ermittelt.

124

7 Beschreibende Statistik 𝑅𝑅 = 48 − 35 = 13

𝑞𝑞0.05 = 𝑥𝑥0.95 − 𝑥𝑥0.05 = 46.25 − 35.7 = 10.55

𝑞𝑞0.2 = 𝑥𝑥0.8 − 𝑥𝑥0.2 = 42.4 − 37.4 = 5 4

1 3 2 𝑑𝑑35 = � 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 35� = ∙ |36 − 35| + ∙ |38.5 − 35| + ∙ |41.5 − 35| + 7 7 7 𝑗𝑗=1

1 35 + ∙ |45.5 − 35| = =5 7 7 4

𝑑𝑑𝑥𝑥̅ = 𝑑𝑑40 = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 40� = 𝑗𝑗=1 4

17 = 2.428 7

𝑑𝑑𝑥𝑥� = 𝑑𝑑39.5 = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 39.5� = 4

𝑗𝑗=1

𝑑𝑑48 = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 48� = 𝑠𝑠 2 =

7.1.6

𝑗𝑗=1 4

56 =8 7

33 = 2.357 14

7 7 2 ∙ � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 40� = ∙ 8.214 = 9.583 6 6 𝑗𝑗=1

und 𝑠𝑠 = 3.096.

Konzentrationsmaße

In diesem Abschnitt soll die Aufteilung der Summe der 𝑛𝑛 Werte der Stichprobe auf die verschiedenen Merkmalsausprägungen untersucht werden. Sind alle Werte der Stichprobe ≥ 0, so spricht man von einer hohen Konzentration, falls ein relativ kleiner Anteil der 𝑛𝑛 Werte einen hohen Anteil an der Gesamtsumme hat. Definition 7.22 Gegeben sei eine geordnete Stichprobe mit 𝑥𝑥𝑖𝑖 > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛.

Für alle 𝑥𝑥𝑚𝑚 , 1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛, seien die Zahlen 𝑢𝑢𝑚𝑚 und 𝑣𝑣𝑚𝑚 definiert: 𝑢𝑢𝑚𝑚 =

𝑚𝑚 und 𝑣𝑣𝑚𝑚 = 𝑛𝑛

𝑚𝑚

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖

.

𝑢𝑢𝑚𝑚 beschreibt dabei den relativen Anteil der ersten 𝑚𝑚 Stichprobenwerte an den 𝑛𝑛 Stichprobenwerten und 𝑣𝑣𝑚𝑚 den relativen Anteil der Summe der ersten 𝑚𝑚 Stichprobenwerte an der Gesamtsumme aller Stichprobenwerte. Verbindet man nun in einem zweidimensionalen Koordinatensystem die (𝑛𝑛 + 1) Punkte (0, 0), (𝑢𝑢1 , 𝑣𝑣1 ), (𝑢𝑢2 , 𝑣𝑣2 ), … , (𝑢𝑢𝑛𝑛−1 , 𝑣𝑣𝑛𝑛−1 ), (1, 1) durch einen Polygonzug, so heißt diese Kurve die Lorenzkurve.

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

125

Beispiel 7.18 Für die Stichprobe 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

sollen die Punkte der Lorenzkurve bestimmt und die Lorenzkurve dann grafisch dargestellt werden. Dazu muss die Stichprobe geordnet werden: 𝑥𝑥 ′ = (36, 38, 40, 40, 43, 43, 47).

Die Gesamtsumme der Stichprobenwerte ist 287. Die Lorenzkurve besteht dann aus den Punkten 1 36 2 74 3 114 4 154 5 197 6 240 (0, 0), � , �,� , �,� , �,� , �,� , �,� , � und (1, 1). 7 287 7 287 7 287 7 287 7 287 7 287 Im folgenden Schaubild ist diese Kurve dargestellt. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Abb. 7.7

Lorenzkurve

Bei Häufigkeitsverteilungen und Klasseneinteilungen wird die Definition der Lorenzkurve modifiziert. Definition 7.23 a) Gegeben sei eine geordnete Stichprobe mit 𝑥𝑥𝑖𝑖 > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛.

ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � und 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 �, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑘𝑘, seien die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der 𝑘𝑘 verschiedenen Merkmalsausprägungen. Für alle 𝑎𝑎𝑚𝑚 , 1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 𝑘𝑘, seien die Zahlen 𝑢𝑢𝑚𝑚 und 𝑣𝑣𝑚𝑚 definiert: 𝑢𝑢𝑚𝑚 =

𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

1 ∙ � ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � = � 𝑟𝑟�𝑎𝑎𝑗𝑗 � und 𝑣𝑣𝑚𝑚 = 𝑛𝑛

𝑚𝑚

�

𝑖𝑖=1 𝑘𝑘

�

𝑖𝑖=1

ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 � ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗

.

126

7 Beschreibende Statistik Die 𝑘𝑘 + 1 Punkte (0, 0), (𝑢𝑢1 , 𝑣𝑣1 ), (𝑢𝑢2 , 𝑣𝑣2 ), … , (𝑢𝑢𝑘𝑘−1 , 𝑣𝑣𝑘𝑘−1 ), (1, 1) bestimmen nun die Lorenzkurve.

b) Sind bei einer Klasseneinteilung zusätzlich zu den Klassenhäufigkeiten noch die Summen der einzelnen Klassen gegeben, so lässt sich für jeden rechten Eckpunkt einer Klasse der Wert der Lorenzkurve bestimmen. ℎ𝑝𝑝 und 𝑟𝑟𝑝𝑝 , 1 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑠𝑠, seien die absoluten bzw. relativen Klassenhäufigkeiten der 𝑠𝑠 Klassen und 𝑆𝑆𝑝𝑝 , 1 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑠𝑠, seien die Summen der Werte der einzelnen Klassen. Für alle 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 𝑠𝑠, seien die Zahlen 𝑢𝑢𝑚𝑚 und 𝑣𝑣𝑚𝑚 definiert: 𝑢𝑢𝑚𝑚 =

𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑝𝑝=1

𝑝𝑝=1

1 ∙ � ℎ𝑝𝑝 = � 𝑟𝑟𝑝𝑝 und 𝑣𝑣𝑚𝑚 = 𝑛𝑛

𝑚𝑚

�

𝑝𝑝=1 𝑠𝑠

�

𝑝𝑝=1

𝑆𝑆𝑝𝑝 𝑆𝑆𝑝𝑝

.

Die 𝑠𝑠 + 1 Punkte (0, 0), (𝑢𝑢1 , 𝑣𝑣1 ), (𝑢𝑢2 , 𝑣𝑣2 ), … , (𝑢𝑢𝑠𝑠−1 , 𝑣𝑣𝑠𝑠−1 ), (1, 1) bestimmen nun die Lorenzkurve. Beispiel 7.19 Für die fünf verschiedenen Merkmalsausprägungen der Stichprobe 𝑥𝑥 ′ = (36, 38, 40, 40, 43, 43, 47)

gilt:

𝑎𝑎1 = 36, 𝑎𝑎2 = 38, 𝑎𝑎3 = 40, 𝑎𝑎4 = 43, 𝑎𝑎5 = 47 und

ℎ(36) = 1, ℎ(38) = 1, ℎ(40) = 2, ℎ(43) = 2, ℎ(47) = 1. Die Lorenzkurve besteht dann aus den Punkten 1 36 2 74 4 154 6 240 (0, 0), � , �,� , �,� , �,� , � und (1, 1). 7 287 7 287 7 287 7 287 1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Abb. 7.8

Lorenzkurve bei Häufigkeitsverteilungen

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

127

Die Lorenzkurven in den Abbildungen 7.7 und 7.8 sind gleich. Dies liegt daran, dass bei der aus allen einzelnen Stichprobenwerten berechneten Lorenzkurve die Punkte, die zu gleichen Merkmalsausprägungen gehören, auf einer Geraden liegen. Beispiel 7.20 Für die in die 4 Klassen 𝐾𝐾1 = (35, 37], 𝐾𝐾2 = (37, 40], 𝐾𝐾3 = (40, 43] und 𝐾𝐾4 = (43, 48] eingeteilte Stichprobe aus Beispiel 7.7 gilt: ℎ1 = 1, ℎ2 = 3, ℎ3 = 2 und ℎ4 = 1.

Die Summen der einzelnen Klassen sind gegeben durch 𝑆𝑆1 = 36, 𝑆𝑆2 = 118, 𝑆𝑆3 = 86 und 𝑆𝑆4 = 47.

Die Lorenzkurve besteht dann aus den Punkten 1 36 4 154 6 240 (0, 0), � , �,� , �,� , � und (1, 1). 7 287 7 287 7 287 Dies ist nicht die gleiche Kurve wie in den Abbildungen 7.7 und 7.8, da es Klassen gibt, in die verschiedene Merkmalsausprägungen fallen. Sind alle Stichprobenwerte gleich, so gilt für die Punkte der Lorenzkurve (𝑢𝑢𝑚𝑚 , 𝑣𝑣𝑚𝑚 ) = (𝑚𝑚⁄𝑛𝑛 , 𝑚𝑚⁄𝑛𝑛). Deshalb liegen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke der beiden Punkte (0, 0) und (1, 1), also auf der Diagonalen des Einheitsquadrats.

Gilt 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1 und 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≠ 0, so liegt eine maximale Konzentration vor. Die Lorenzkurve besteht dann aus den Punkten (0, 0), �𝑛𝑛 − 1�𝑛𝑛 , 0� und (1, 1).

Daraus ist ersichtlich, dass die Lorenzkurve immer unterhalb der Diagonalen des Einheitsquadrats verläuft und umso stärker durchhängt, je größer die Konzentration ist. Aus diesen Gründen ist die Fläche zwischen der Lorenzkurve und der Diagonalen des Einheitsquadrats als Konzentrationsmaß geeignet. Definition 7.24 Ist 𝐾𝐾 die Fläche zwischen der Lorenzkurve und der Diagonalen des Einheitsquadrats, so heißt 𝐺𝐺 = 2 ∙ 𝐾𝐾 der Gini-Koeffizient.

Dieser ist ein Maß für die Konzentration einer Stichprobe.

128

7 Beschreibende Statistik

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Abb. 7.9

Gini-Koeffizient

Die Herleitung einer Formel zur Berechnung des Gini-Koeffizienten erfolgt mit elementargeometrischen Mitteln. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Abb. 7.10 Berechnung des Gini-Koeffizienten

Für die Fläche 𝐴𝐴𝑚𝑚 , 1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛 der Trapeze unterhalb der Lorenzkurve gilt: 1 𝐴𝐴𝑚𝑚 = ∙ (𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑢𝑢𝑚𝑚−1 ) ∙ (𝑣𝑣𝑚𝑚 − 𝑣𝑣0 + 𝑣𝑣𝑚𝑚−1 − 𝑣𝑣0 ) = 2 1 = ∙ (𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑢𝑢𝑚𝑚−1 ) ∙ (𝑣𝑣𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑚𝑚−1 ). 2

7.1 Eindimensionale beschreibende Statistik

129

Dann gilt aber für den Gini-Koeffizienten: 𝑛𝑛

1 1 𝐺𝐺 = 2 ∙ � − � ∙ (𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑢𝑢𝑚𝑚−1 ) ∙ (𝑣𝑣𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑚𝑚−1 )� = 2 2 𝑛𝑛

𝑚𝑚=1

= 1 − � (𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑢𝑢𝑚𝑚−1 ) ∙ (𝑣𝑣𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑚𝑚−1 ). 𝑚𝑚=1

Beispiel 7.21 Für die Stichprobe 𝑥𝑥 = (40, 38, 43, 36, 47, 43, 40)

sollen die Punkte der Lorenzkurve bestimmt und die Lorenzkurve dann grafisch dargestellt werden. Dazu muss die Stichprobe geordnet werden 𝑥𝑥 ′ = (36, 38, 40, 40, 43, 43, 47). Die Punkte der Lorenzkurve sind in Beispiel 7.18 angegeben: 1 36 2 74 3 114 4 154 5 197 6 240 (0, 0), � , �,� , �,� , �,� , �,� , �,� , � und (1, 1). 7 287 7 287 7 287 7 287 7 287 7 287 Der Gini-Koeffizient wird aus diesen Punkten mit Hilfe folgender Tabelle berechnet: 𝑚𝑚 0 1 2 3 4 5 6 7

𝑢𝑢𝑚𝑚 0 1⁄7 2⁄7 3⁄7 4⁄7 5⁄7 6⁄7 7⁄7

𝑣𝑣𝑚𝑚 0 36⁄287 74⁄287 114⁄287 154⁄287 197⁄287 240⁄287 287⁄287

𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑢𝑢𝑚𝑚−1 1⁄7 1⁄7 1⁄7 1⁄7 1⁄7 1⁄7 1⁄7

𝑣𝑣𝑚𝑚 + 𝑣𝑣𝑚𝑚−1 36⁄287 110⁄287 188⁄287 268⁄287 351⁄287 437⁄287 527⁄287

Produkt 36⁄2 009 110⁄2 009 188⁄2 009 268⁄2 009 351⁄2 009 437⁄2 009 527⁄2 009

1917 1917 92 . Also ist 𝐺𝐺 = 1 − = = 0.0458. 2 009 2 009 2 009 Wird die Stichprobe durch eine Häufigkeitsverteilung beschrieben, bereitet die Berechnung des Gini-Koeffizienten weniger Aufwand als die Berechnung aus den Stichprobenwerten. Deshalb ist es oftmals günstiger, zuerst eine Häufigkeitsverteilung zu ermitteln, um damit dann den Gini-Koeffizienten zu berechnen. Die Summe der Produkte ist

Je größer die Konzentration ist, desto größer wird der Gini-Koeffizient. Dies wird im folgenden Beispiel gezeigt. Beispiel 7.22 Während eines Jahres mussten bei einem Auto 4 kleinere Reparaturen zu den Preisen 50€, 100€, 150€ und 200€ durchgeführt werden. Der Kostenvoranschlag für eine notwendige Inspektion betrug 500€. Gesucht sind der Gini-Koeffizient und die Lorenzkurve.

130

7 Beschreibende Statistik

Die Lorenzkurve besteht aus den Punkten (0, 0), (0.2, 0.05), (0.4, 0.15), (0.6, 0.3), (0.8, 0.5) und (1, 1). Dies ergibt einen Gini-Koeffizienten von 0.4. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Abb. 7.11

Lorenzkurve mit G = 0.4

Durch einen unvorhersehbaren Defekt betrugen die Kosten für die Inspektion 3 500€. Dann besteht die Lorenzkurve aus den Punkten (0, 0), (0.2, 0.0125), (0.4, 0.0375), (0.6, 0.075), (0.8, 0.125) und (1, 1).

Dies ergibt einen Gini-Koeffizienten von 0.7. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Abb. 7.12

Lorenzkurve mit G = 0.7

7.2 Korrelation und Regression

7.2

131

Korrelation und Regression

Bei vielen Problemstellungen ist es erforderlich, nicht nur ein Merkmal zu betrachten, sondern gleichzeitig 𝑛𝑛 Merkmale an jedem Element der Stichprobe zu untersuchen. Dann besteht die Stichprobe nicht mehr aus einzelnen Zahlenwerten. Jedes Element der Stichprobe wird dann durch ein 𝑛𝑛 − Tupel beschrieben. Betrachtet man die Komponentenstichproben, also die separaten Stichproben der verschiedenen Merkmale, so können diese mit Hilfe der eindimensionalen Methoden aus Abschnitt 7.1 beschrieben werden. Bei dieser Vorgehensweise werden diese 𝑛𝑛 Stichproben unabhängig voneinander betrachtet.

Andererseits ist man aber auch daran interessiert, ob sich die einzelnen Merkmale gegenseitig beeinflussen, also ob gewisse Abhängigkeitsstrukturen vorliegen. Ist eine solche Abhängigkeit zu erkennen, stellt sich die Frage, ob diese durch einen funktionalen Zusammenhang beschrieben werden kann. Beispiel 7.23 Für 5 Personen werden die Merkmale Beruf, Alter, Körpergröße und Körpergewicht untersucht. Die Beobachtungsreihe war: (Schreiner, 45, 175, 80), (Metzger, 25, 185, 100), (Physiker, 30, 165, 60), (Elektriker, 60, 170, 75) und (Kaufmann, 42, 190, 86).

In diesem Abschnitt 7.2 beschränken sich die Ausführungen der Einfachheit halber (insbesondere aus schreib- und darstellungstechnischer Sicht) auf den zweidimensionalen Fall, also auf 𝑛𝑛 = 2. In der Praxis ist dies fast völlig ausreichend. Mehrdimensionale Verallgemeinerungen (𝑛𝑛 ≥ 3) können direkt aus den zweidimensionalen Modellen abgeleitet werden.

7.2.1

Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen

In diesem Abschnitt werden zweidimensionale Verteilungen untersucht. Dabei wird im Gegensatz zu Abschnitt 7.1 nicht nur ein Merkmal untersucht, sondern 2 Merkmale am gleichen Individuum betrachtet. Die Beobachtungsreihe besteht dann aus 𝑛𝑛 Punkten.

Definition 7.25 An 𝑛𝑛 Merkmalsträgern bzw. Beobachtungseinheiten werden 2 Merkmale untersucht. Dabei besitze das erste Merkmal die Ausprägungen 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑚𝑚 und das zweite Merkmal die Ausprägungen 𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … , 𝑏𝑏𝑠𝑠 . Die Merkmalsausprägung der 𝑖𝑖 − ten Beobachtungseinheit sei mit (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) bezeichnet, wobei jeder Beobachtungswert 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, mit einer der 𝑚𝑚 Merkmalsausprägungen des ersten Merkmals und jeder Beobachtungswert 𝑦𝑦𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, mit einer der 𝑠𝑠 Merkmalsausprägungen des zweiten Merkmals übereinstimmt. Das 𝑛𝑛 − Tupel (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )� heißt dann zweidimensionale Stichprobe.

132

7 Beschreibende Statistik

Beispiel 7.24 Bei 10 Personen wurden die Merkmale Größe (in cm) und Gewicht (in kg) untersucht. Es ergab sich die zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = ((165, 79), (178, 70), (172, 75), (195, 100), (184, 75), (168, 60), (177, 78), (184, 92), (176, 70), (171, 71)).

Bei ordinal und besonders bei metrisch skalierten Merkmalen können die einzelnen 𝑛𝑛 Beobachtungseinheiten (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, als Punkte in einem sinnvoll gewählten Koordinatensystem graphisch dargestellt werden.

Definition 7.26 Werden die 𝑛𝑛 Beobachtungseinheiten (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, als Punkte in einem sinnvoll gewählten Koordinatensystem graphisch dargestellt, so heißt diese Darstellung ein Streuungsdiagramm. Dies sollte allerdings nur dann durchgeführt werden, wenn solche Punkte, die im Streuungsdiagramm mehrmals auftreten, irgendwie gekennzeichnet werden können. Beispiel 7.25 Die zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = ((165, 79), (178, 70), (172, 75), (195, 100), (184, 75), (168, 60), (177, 78), (184, 92), (176, 70), (171, 71)) soll in einem Streuungsdiagramm dargestellt werden. 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55

160 165 170 175 180 185 190 195 200

Abb. 7.13

Streuungsdiagramm

Genauso wie in der eindimensionalen Statistik jeder Merkmalsausprägung 𝑎𝑎𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑘𝑘 die absolute Häufigkeit ℎ(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) bzw. die relative Häufigkeit 𝑟𝑟(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) zugeordnet werden kann, wird in der zweidimensionalen Statistik für jedes Paar �𝑎𝑎𝑗𝑗 , 𝑏𝑏𝑘𝑘 �, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑠𝑠 eine absolu-

7.2 Korrelation und Regression

133

te und eine relative Häufigkeit erklärt. Wegen der Paarbildung ist eine Auflistung dieser Häufigkeiten in einer Tabelle naheliegend. Definition 7.27 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )�.

Dabei besitze das erste Merkmal die Ausprägungen 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑚𝑚 und das zweite Merkmal die Ausprägungen 𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … , 𝑏𝑏𝑠𝑠 . Die absolute Häufigkeit des Paares �𝑎𝑎𝑗𝑗 , 𝑏𝑏𝑘𝑘 �, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑠𝑠, ist ℎ�𝑎𝑎𝑗𝑗 , 𝑏𝑏𝑘𝑘 � = ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 .

Die relative Häufigkeit des Paares �𝑎𝑎𝑗𝑗 , 𝑏𝑏𝑘𝑘 �, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑠𝑠, ist 1 𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗 = ∙ ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 . 𝑛𝑛 Eine Tabelle der Gestalt 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ⋮ 𝑎𝑎𝑗𝑗 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Summe

𝑏𝑏1 ℎ11 ℎ21 ⋮ ℎ𝑗𝑗1 ⋮ ℎ𝑚𝑚1 ℎ∙1

𝑏𝑏2 ℎ12 ℎ22 ⋮ ℎ𝑗𝑗2 ⋮ ℎ𝑚𝑚2 ℎ∙2

… … … … … …

𝑏𝑏𝑘𝑘 ℎ1𝑘𝑘 ℎ2𝑘𝑘 ⋮ ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 ⋮ ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚 ℎ∙𝑘𝑘

… … … … … …

𝑏𝑏𝑠𝑠 ℎ1𝑠𝑠 ℎ2𝑠𝑠 ⋮ ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 ⋮ ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚 ℎ∙𝑠𝑠

Summe ℎ1∙ ℎ2∙ ⋮ ℎ𝑗𝑗∙ ⋮ ℎ𝑚𝑚∙ 𝑛𝑛

heißt Kontingenztafel oder Häufigkeitstabelle für die absoluten Häufigkeiten. 𝑠𝑠

Dabei beschreiben die Zeilensummen ℎ𝑗𝑗 . = �𝑘𝑘=1 ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑚𝑚 die absoluten Häufigkeiten der 𝑚𝑚 Merkmalsausprägungen des ersten Merkmals und die Spaltensummen ℎ∙𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 �𝑗𝑗=1 ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑠𝑠 die absoluten Häufigkeiten der 𝑠𝑠 Merkmalsausprägungen des zweiten

Merkmals.

Völlig analog heißt eine Tabelle der Gestalt 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 ⋮ 𝑎𝑎𝑗𝑗

⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Summe

𝑏𝑏1 𝑟𝑟11 𝑟𝑟21 ⋮ 𝑟𝑟𝑗𝑗1

⋮ 𝑟𝑟𝑚𝑚1 𝑟𝑟∙1

𝑏𝑏2 𝑟𝑟12 𝑟𝑟22 ⋮ 𝑟𝑟𝑗𝑗2

⋮ 𝑟𝑟𝑚𝑚2 𝑟𝑟∙2

… … … … … …

𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑟𝑟1𝑘𝑘 𝑟𝑟2𝑘𝑘 ⋮ 𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗

⋮ 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟∙𝑘𝑘

… … … … … …

𝑏𝑏𝑠𝑠 𝑟𝑟1𝑠𝑠 𝑟𝑟2𝑠𝑠 ⋮ 𝑟𝑟𝑗𝑗𝑗𝑗

⋮ 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟∙𝑠𝑠

Summe 𝑟𝑟1∙ 𝑟𝑟2∙ ⋮ 𝑟𝑟𝑗𝑗∙ ⋮ 𝑟𝑟𝑚𝑚∙ 1

Kontingenztafel oder Häufigkeitstabelle für die relativen Häufigkeiten.

134

7 Beschreibende Statistik

Beispiel 7.26 50 Personen wurden nach der Anzahl X ihrer Fernsehapparate und nach der Anzahl Y ihrer Kinder befragt. Das Ergebnis ist in der folgenden Kontingenztafel für die absoluten Häufigkeiten dargestellt (Die maximale Anzahl der Fernsehapparate war 3 und die maximale Anzahl der Kinder war 4).

0 1 2 3 Summe

0 4 9 0 0 13

1 5 8 0 0 13

2 0 2 2 1 5

3 0 2 2 3 7

4 3 1 5 3 12

Summe 12 22 9 7 50

Hier gilt: 𝑚𝑚 = 4, 𝑠𝑠 = 5

𝑎𝑎1 = 0, 𝑎𝑎2 = 1, 𝑎𝑎3 = 2, 𝑎𝑎4 = 3

𝑏𝑏1 = 0, 𝑏𝑏2 = 1, 𝑏𝑏3 = 2, 𝑏𝑏4 = 3, 𝑏𝑏5 = 4

ℎ11 = 4, ℎ12 = 5, ℎ13 = 0, ℎ14 = 0, ℎ15 = 3, …,

ℎ41 = 0, ℎ42 = 0, ℎ43 = 1, ℎ44 = 3, ℎ45 = 3 ℎ1∙ = 12, ℎ2∙ = 22, ℎ3∙ = 9, ℎ4∙ = 7

ℎ∙1 = 13, ℎ∙2 = 13, ℎ∙3 = 5, ℎ∙4 = 7, ℎ∙5 = 12 4 5 3 𝑟𝑟11 = , 𝑟𝑟12 = , 𝑟𝑟13 = 0, 𝑟𝑟14 = 0, 𝑟𝑟15 = , …, 50 50 50 1 3 3 𝑟𝑟41 = 0, 𝑟𝑟42 = 0, 𝑟𝑟43 = , 𝑟𝑟 = , 𝑟𝑟 = 50 44 50 45 50 12 22 9 7 𝑟𝑟1∙ = , 𝑟𝑟2∙ = , 𝑟𝑟3∙ = , 𝑟𝑟4∙ = 50 50 50 50 13 13 5 7 12 𝑟𝑟∙1 = , 𝑟𝑟∙2 = , 𝑟𝑟∙3 = , 𝑟𝑟∙4 = , 𝑟𝑟∙5 = . 50 50 50 50 50

An diesem Beispiel wird deutlich, dass sich die Darstellung einer Häufigkeitsverteilung durch eine Kontingenztafel immer dann anbietet, wenn viele Paare mehr als einmal in der Stichprobe vorkommen oder wenn der Stichprobenumfang groß, die Anzahl der verschiedenen Merkmalsausprägungen dagegen klein ist.

7.2.2

Korrelation

In diesem Abschnitt werden Methoden vorgestellt, um zu prüfen, ob zwischen den beiden Merkmalen ein Zusammenhang oder eine Abhängigkeit besteht. Mögliche Ursachen, die für diesen Zusammenhang verantwortlich sind, werden dabei nicht untersucht.

7.2 Korrelation und Regression

135

Definition 7.28 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )�.

Die beiden Stichproben 𝑥𝑥 und 𝑦𝑦 mit 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) und 𝑦𝑦 = (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , … , 𝑦𝑦𝑛𝑛 ) heißen die Komponentenstichproben.

Definition 7.29 Für die Komponentenstichproben werden die Mittelwerte 𝑥𝑥̅ und 𝑦𝑦� und die Varianzen 𝑠𝑠𝑥𝑥2 und 𝑠𝑠𝑦𝑦2 wie in der eindimensionalen Statistik definiert: 𝑛𝑛

𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1 𝑛𝑛

1 1 1 𝑥𝑥̅ = ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 = ∙ � ℎ(𝑎𝑎𝑗𝑗 ) ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 = ∙ � ℎ𝑗𝑗∙ ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑥𝑥2 =

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

1 1 ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2 = ∙ �� 𝑥𝑥𝑖𝑖2 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ 2 � = 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1 𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚

𝑚𝑚

1 1 2 = ∙ � ℎ𝑗𝑗∙ ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑥𝑥̅ � = ∙ �� ℎ𝑗𝑗∙ ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗2 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ 2 � 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1

𝑦𝑦� =

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

𝑠𝑠

𝑠𝑠

𝑘𝑘=1

𝑘𝑘=1 𝑛𝑛

1 1 1 ∙ � 𝑦𝑦𝑖𝑖 = ∙ � ℎ(𝑏𝑏𝑘𝑘 ) ∙ 𝑏𝑏𝑘𝑘 = ∙ � ℎ∙𝑘𝑘 ∙ 𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛

𝑠𝑠𝑦𝑦2 =

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

1 1 ∙ �(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�)2 = ∙ �� 𝑦𝑦𝑖𝑖2 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑦𝑦� 2 � = 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1 𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1 𝑠𝑠

𝑠𝑠

1 1 = ∙ � ℎ∙𝑘𝑘 ∙ (𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑦𝑦�)2 = ∙ �� ℎ∙𝑘𝑘 ∙ 𝑏𝑏𝑘𝑘2 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑦𝑦� 2 �. 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1 𝑘𝑘=1

𝑘𝑘=1

In der folgenden Definition wird eine Größe definiert, welche die beiden Komponentenstichproben miteinander in Verbindung bringt. Definition 7.30 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )�.

Dann heißt

𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑛𝑛

𝑛𝑛

1 1 = ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�) = ∙ �� 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ ∙ 𝑦𝑦�� = 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1 𝑖𝑖=1

𝑚𝑚

𝑠𝑠

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚

𝑠𝑠

1 1 = ∙ � � ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑥𝑥̅ �(𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑦𝑦�) = ∙ �� � ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 ∙ 𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ ∙ 𝑦𝑦�� 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 − 1

die Kovarianz.

𝑗𝑗=1 𝑘𝑘=1

𝑗𝑗=1 𝑘𝑘=1

136

7 Beschreibende Statistik

Die Kovarianz ist als Maß für den Zusammenhang der Merkmale nicht geeignet, da sie nicht invariant gegenüber Maßstabsveränderungen ist. Eine geringfügige Modifikation liefert in der folgenden Definition ein solches Maß. Definition 7.31 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )�.

Dann heißt

𝑟𝑟 = = = =

𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥

�𝑠𝑠𝑥𝑥2 ∙ 𝑠𝑠𝑦𝑦2 𝑛𝑛

=

𝑛𝑛

𝑛𝑛

�𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�) 2

2

���𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ ) � ∙ ��𝑖𝑖=1(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�) �

𝑛𝑛

�𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ ∙ 𝑦𝑦�

���𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖2

𝑛𝑛

− 𝑛𝑛 ∙

𝑥𝑥̅ 2 �

∙

𝑛𝑛

��𝑖𝑖=1 𝑦𝑦𝑖𝑖2

− 𝑛𝑛 ∙

𝑦𝑦� 2 �

𝑚𝑚 ∑𝑗𝑗=1 ∑𝑠𝑠𝑘𝑘=1 ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑥𝑥̅ �(𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑦𝑦�) 2

=

=

𝑚𝑚 ��∑𝑗𝑗=1 ℎ𝑗𝑗∙ ∙ �𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑥𝑥̅ � � ∙ (∑𝑠𝑠𝑘𝑘=1 ℎ∙𝑘𝑘 ∙ (𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑦𝑦�)2 )

=

𝑚𝑚 ∑𝑗𝑗=1 ∑𝑠𝑠𝑘𝑘=1 ℎ𝑗𝑗𝑗𝑗 ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 ∙ 𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ ∙ 𝑦𝑦�

𝑠𝑠 2 2 2 � 2) ��∑𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ℎ𝑗𝑗∙ ∙ 𝑎𝑎𝑗𝑗 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ � ∙ (∑𝑘𝑘=1 ℎ∙𝑘𝑘 ∙ 𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑦𝑦

der Korrelationskoeffizient 𝑟𝑟 nach Pearson.

Der Korrelationskoeffizient 𝑟𝑟 ist ein Maß für den linearen Zusammenhang der Merkmalsausprägungen. Je größer |𝑟𝑟| ist, umso mehr sind die Punkte in der Nähe einer Geraden konzentriert.

Ist 𝑟𝑟 > 0, so sind die Paare positiv korreliert. Die Punktewolke (Punkt im Streuungsdiagramm) verläuft dann von links nach rechts gesehen mit steigender Tendenz. Ist 𝑟𝑟 < 0, so sind die Paare negativ korreliert. Die Punktewolke verläuft dann von links nach rechts gesehen mit fallender Tendenz. Ist 𝑟𝑟 = 0, so sind die Paare unkorreliert.

Beispiel 7.27 Für die zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = ((165, 79), (178, 70), (172, 75), (195, 100), (184, 75), (168, 60), (177, 78), (184, 92), (176, 70), (171, 71)). sollen die Mittelwerte 𝑥𝑥̅ und 𝑦𝑦�, die Varianzen 𝑠𝑠𝑥𝑥2 und 𝑠𝑠𝑦𝑦2 , die Kovarianz 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 und der Korrelationskoeffizient 𝑟𝑟 nach Pearson bestimmt werden. 10

1 1 1 ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 = ∙ (165 + 178 + ⋯ + 171) = ∙ 1 770 = 177 𝑥𝑥̅ = 10 10 10 𝑖𝑖=1

7.2 Korrelation und Regression

137

10

1 1 1 𝑦𝑦� = ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 = ∙ (79 + 70 + ⋯ + 71) = ∙ 770 = 77 10 10 10 𝑖𝑖=1 10

𝑠𝑠𝑥𝑥2 =

1 1 ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 177)2 = ∙ ((165 − 177)2 + ⋯ + (171 − 177)2 ) = 9 9

𝑠𝑠𝑦𝑦2 =

1 1 ∙ �(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 77)2 = ∙ ((79 − 77)2 + ⋯ + (71 − 77)2 ) = 9 9

𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑖𝑖=1

=

10

1 ∙ 710 = 78.888 9

𝑖𝑖=1

=

1 ∙ 1 190 = 132.222 9

10

1 1 = ∙ �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 177)(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 77) = ∙ ((165 − 177)(79 − 77) + ⋯ + 9 9 𝑖𝑖=1

+(171 − 177)(71 − 77)) =

1 ∙ 680 = 75.555 9

680 9 𝑟𝑟 = = = 0.7398. �𝑠𝑠𝑥𝑥2 ∙ 𝑠𝑠𝑦𝑦2 �710 1 190 ∙ 9 9 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥

Das folgende Beispiel erklärt die Bedeutung des Korrelationskoeffizienten. Beispiel 7.28 Bei einer Klausur hatten 10 Studierende die 4 Teile A, B, C und D mit einer Maximalpunktzahl von jeweils 10 Punkten zu bearbeiten. Die erreichten Punkte sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. Teilnehmer Punkte Teil A Punkte Teil B Punkte Teil C Punkte Teil D

1 2 3 8 1

2 4 5 5 0

3 7 7 3 3

4 3 4 6 5

5 9 8 0 9

6 5 6 5 0

7 7 8 2 2

8 6 7 4 9

9 1 2 8 9

10 9 9 1 0

Betrachtet man die zweidimensionale Stichprobe der Teile A und B, so ergibt sich 𝑟𝑟 = 0.97868. Die Punktewolke hat steigende Tendenz. Zudem sind die Punkte in der Nähe einer Geraden angeordnet.

138

7 Beschreibende Statistik

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

Abb. 7.14

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

Streuungsdiagramm mit r = 0.979

Betrachtet man die zweidimensionale Stichprobe der Teile A und C, so ergibt sich 𝑟𝑟 = −0.98201. Die Punktewolke hat fallende Tendenz. Zudem sind die Punkte in der Nähe einer Geraden angeordnet. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

1

Abb. 7.15

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

Streuungsdiagramm mit r = −0.982

Betrachtet man die zweidimensionale Stichprobe der Teile 𝐴𝐴 und 𝐷𝐷, so ergibt sich 𝑟𝑟 = −0.05498. Die Punkte sind unregelmäßig verteilt und es ist kein linearer Zusammenhang zu erkennen.

7.2 Korrelation und Regression

139

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

1

Abb. 7.16

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

Streuungsdiagramm mit r = −0.055

Der Korrelationskoeffizient nach Pearson kann nur bei metrisch skalierten Merkmalen verwendet werden. Bei ordinal skalierten Merkmalen, bei denen es nur eine Reihen- oder Rangfolge gibt, kann ein anderer Korrelationskoeffizient mit Hilfe dieser Ränge berechnet werden. Dieser Korrelationskoeffizient wird in den zwei folgenden Definitionen beschrieben. Definition 7.32 Gegeben sei eine eindimensionale, geordnete Stichprobe 𝑧𝑧′ = (𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 , … , 𝑧𝑧𝑛𝑛 )

eines ordinal skalierten Merkmals mit einer Rangordnung. Für alle 𝑧𝑧𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, heißt dann die Platznummer, die 𝑧𝑧𝑖𝑖 in dieser geordneten Reihe einnimmt, der Rang oder die Rangzahl 𝑅𝑅(𝑧𝑧𝑖𝑖 ). Tritt dabei eine Merkmalsausprägung öfters auf, so wird dieser Ausprägung das arithmetische Mittel der entsprechenden Ränge zugewiesen.

Beispiel 7.29 In einer Mathematikklausur werden folgende Punktzahlen erreicht: 𝑧𝑧 = (22, 13, 21, 7, 13, 13, 15, 21, 3, 5). Die geordnete Stichprobe ist dann 𝑧𝑧′ = (3, 5, 7, 13, 13, 13, 15, 21, 21, 22).

Für die Ränge gilt dann: 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑅𝑅(𝑧𝑧𝑖𝑖 )

3 1

5 2

7 3

13 5

13 5

Also ist 𝑅𝑅(3) = 1, 𝑅𝑅(5) = 2, … , 𝑅𝑅(22) = 10.

13 5

15 7

21 8.5

21 8.5

22 10

140

7 Beschreibende Statistik

Definition 7.33 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )�.

Die Rangzahlen der Elemente der Komponentenstichproben 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) und 𝑦𝑦 = (𝑦𝑦1 , 𝑦𝑦2 , … , 𝑦𝑦𝑛𝑛 ) seien 𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) und 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑖𝑖 ), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛. Jedem Paar (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, der Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) wird nun das Paar (𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑖𝑖 ), 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑖𝑖 )) der entsprechenden Ränge zugeordnet.

Dann heißt der aus den Rangpaaren

(𝑅𝑅(𝑥𝑥), 𝑅𝑅(𝑦𝑦)) = �(𝑅𝑅(𝑥𝑥1 ), 𝑅𝑅(𝑦𝑦1 )), (𝑅𝑅(𝑥𝑥2 ), 𝑅𝑅(𝑦𝑦2 )), … , (𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑛𝑛 ), 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑛𝑛 ))�

berechnete Korrelationskoeffizient ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ∙ 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑖𝑖 ) − 𝑛𝑛 ∙ 𝑅𝑅� (𝑥𝑥) ∙ 𝑅𝑅� (𝑦𝑦) 𝑟𝑟𝑠𝑠 = = 2 2 ��∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑅𝑅2 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) − 𝑛𝑛 ∙ �𝑅𝑅�(𝑥𝑥)� � ∙ �∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑅𝑅2 (𝑦𝑦𝑖𝑖 ) − 𝑛𝑛 ∙ �𝑅𝑅� (𝑦𝑦)� � =

∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ∙ 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑖𝑖 ) −

��∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑅𝑅2 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) −

𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 + 1)2 4

𝑛𝑛 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 + 1)2 � ∙ �∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑅𝑅2 (𝑦𝑦𝑖𝑖 ) − ∙ (𝑛𝑛 + 1)2 � 4 4

der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient 𝑟𝑟𝑠𝑠 .

Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang der Rangzahlen der beiden beobachteten Merkmalswerte. Er ist dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson vorzuziehen, falls in einer Bewertungsskala die vergebenen Punktzahlen willkürlich sind, die daraus resultierenden Ränge aber eine sinnvolle Reihenfolge ergeben. Als Beispiele aus der Praxis sind zu nennen: Noten bei Klausuren, Noten beim Eiskunstlauf oder beim Kunstturnen, Ergebnisse von unabhängigen Gutachten. Beispiel 7.30 Zwei Gutachter bewerten 10 eingereichte Arbeiten bei einem Wettbewerb mit Hilfe einer Skala von 1 bis 15 (die erste Koordinate des Paares ist die Bewertung des Prüfers 1 und die zweite Koordinate die des Prüfers 2). (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(12, 9), (5, 8), (7, 7), (12, 14), (10, 6), (3, 11), (12, 11), (7, 9), (5, 6), (8, 10)�.

Die geordneten Komponentenstichproben sind dann: 𝑥𝑥 = (3, 5, 5, 7, 7, 8, 10, 12, 12, 12) und

𝑦𝑦 = (6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 14). Die Rangzahlen der beiden Komponentenstichproben sind dann: 𝑅𝑅(𝑥𝑥) = (1, 2.5, 2.5, 4.5, 4.5, 6, 7, 9, 9, 9) und

𝑅𝑅(𝑦𝑦) = (1.5, 1.5, 3, 4, 5.5, 5.5, 7, 8.5, 8.5, 10). Die dazugehörigen Rangpaare sind dann: (9, 5.5), (2.5, 4), (4.5, 3), (9, 10), (7, 1.5), (1, 8.5), (9, 8.5), (4.5, 5.5), (2.5, 1.5), (6, 7).

7.2 Korrelation und Regression

141

Es folgt dann 10

� 𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ∙ 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 9 ∙ 5.5 + ⋯ + 6 ∙ 7 = 329 𝑖𝑖=1 10

10

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

� 𝑅𝑅2 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 382 und � 𝑅𝑅2 (𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 383.5 𝑟𝑟𝑠𝑠 =

∑10 𝑖𝑖=1 𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ∙ 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑖𝑖 ) −

10 ∙ (10 + 1)2 4

10 10 10 2 2 2 2 ��∑10 𝑖𝑖=1 𝑅𝑅 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) − 4 ∙ (10 + 1) � ∙ �∑𝑖𝑖=1 𝑅𝑅 (𝑦𝑦𝑖𝑖 ) − 4 ∙ (10 + 1) � 329 − 302.5 = = 0.33023. �(382 − 302.5) ∙ (383.5 − 302.5)

Zum Vergleich dazu gilt: 𝑟𝑟 = 0.34880.

Die beiden Korrelationskoeffizienten unterscheiden sich kaum. Ihre Größenordnung bedeutet, dass sich die Leistungsabstufungen der beiden Gutachter stark unterscheiden. Im folgenden Beispiel treten viele Punkte mehrfach auf. Beispiel 7.31 Bei einer Prüfung in zwei Teilen A und B gab es folgende Ergebnisse. Jeder Teil wurde dabei mit den Noten 1, 3 oder 5 bewertet. (1, 1): 4 mal (3, 1): 2 mal (5, 1): 0 mal

(1, 3): 2 mal (3, 3): 5 mal (5, 3): 2 mal

(1, 5): 1 mal (3, 5): 3 mal (5, 5): 1 mal

Es soll eine Häufigkeitstabelle angegeben werden und Mittelwerte und Varianzen der Komponentenstichproben, die Kovarianz, der Pearsonsche Korrelationskoeffizient und der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman berechnet werden. Mit den oben aufgeführten Beziehungen gilt: 𝑎𝑎1 = 1, 𝑎𝑎2 = 3, 𝑎𝑎3 = 5, 𝑏𝑏1 = 1, 𝑏𝑏2 = 3, 𝑏𝑏3 = 5

ℎ11 = 4, ℎ12 = 2, ℎ13 = 1, ℎ21 = 2, ℎ22 = 5, ℎ23 = 3, ℎ31 = 0, ℎ32 = 2, ℎ33 = 1 ℎ1∙ = ℎ(𝑎𝑎1 ) = 7, ℎ2∙ = ℎ(𝑎𝑎2 ) = 10, ℎ3∙ = ℎ(𝑎𝑎3 ) = 3 ℎ∙1 = ℎ(𝑏𝑏1 ) = 6, ℎ∙2 = ℎ(𝑏𝑏2 ) = 9, ℎ∙3 = ℎ(𝑏𝑏3 ) = 5.

142

7 Beschreibende Statistik

Daraus ergibt sich folgende Häufigkeitstabelle: 𝑏𝑏1 = 1 4 2 0 6

𝑎𝑎1 = 1 𝑎𝑎2 = 3 𝑎𝑎3 = 5 Summe

𝑏𝑏2 = 3 2 5 2 9

𝑏𝑏3 = 5 1 3 1 5

Summe 7 10 3 20

Es folgen 1 1 ∙ (7 ∙ 1 + 10 ∙ 3 + 3 ∙ 5) = 2.6, 𝑦𝑦� = ∙ (6 ∙ 1 + 9 ∙ 3 + 5 ∙ 5) = 2.9 20 20 1 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = ∙ (7 ∙ (1 − 2.6)2 + 10 ∙ (3 − 2.6)2 + 3 ∙ (5 − 2.6)2 ) = 1.9368 19 ⇒ 𝑠𝑠𝑥𝑥 = 1.3917 1 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = ∙ (6 ∙ (1 − 2.9)2 + 9 ∙ (3 − 2.9)2 + 5 ∙ (5 − 2.9)2 ) = 2.30526 19 ⇒ 𝑠𝑠𝑦𝑦 = 1.51831

𝑥𝑥̅ =

1/19 ∙ (4 ∙ (1 − 2.6)(1 − 2.9) + 2 ∙ (1 − 2.6)(3 − 2.9) + 1 ∙ (1 − 2.6)(5 − 2.9) +2 ∙ (3 − 2.6)(1 − 2.9) + 5 ∙ (3 − 2.6)(3 − 2.9) + 3 ∙ (3 − 2.6)(5 − 2.9) +0 ∙ (5 − 2.6)(1 − 2.9) + 2 ∙ (5 − 2.6)(3 − 2.9) + 1 ∙ (5 − 2.6)(5 − 2.9)) = 0.8. 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 Daraus folgt dann 𝑟𝑟 = = 0.37860. 𝑠𝑠𝑥𝑥 ∙ 𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥

=

Für die Ränge der einzelnen Teile gilt:

Teil A: Aus 𝑎𝑎1 = 1 und ℎ(1) = 7 folgt 𝑅𝑅(𝑎𝑎1 = 1) = 1⁄7 ∙ (1 + 2 + ⋯ + 7) = 4.

Analog folgen 𝑅𝑅(𝑎𝑎2 = 3) = 12.5 und 𝑅𝑅(𝑎𝑎3 = 5) = 19.

Teil B: 𝑅𝑅(𝑏𝑏1 = 1) = 3.5, 𝑅𝑅(𝑏𝑏2 = 3) = 11 und 𝑅𝑅(𝑏𝑏3 = 5) = 18. 20

� 𝑅𝑅(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ∙ 𝑅𝑅(𝑦𝑦𝑖𝑖 ) − 𝑖𝑖=1

20 ∙ (20 + 1)2 = 4

= 4 ∙ 4 ∙ 3.5 + 2 ∙ 4 ∙ 11 + 1 ∙ 4 ∙ 18 + 2 ∙ 12.5 ∙ 3.5 + 5 ∙ 12.5 ∙ 11 +

+3 ∙ 12.5 ∙ 18 + 2 ∙ 19 ∙ 11 + 1 ∙ 19 ∙ 18 − 5 ∙ 441 = 221 10

� 𝑅𝑅2 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) − 𝑖𝑖=1 10

� 𝑅𝑅2 (𝑥𝑥𝑖𝑖 ) − 𝑖𝑖=1

10 ∙ (10 + 1)2 = 7 ∙ 42 + 10 ∙ 12.52 + 3 ∙ 192 − 5 ∙ 441 = 552.5 4 10 ∙ (10 + 1)2 = 6 ∙ 3.52 + 9 ∙ 112 + 5 ∙ 182 − 5 ∙ 441 = 577.5. 4

Daraus folgt dann 𝑟𝑟𝑠𝑠 =

221

√552.5 ∙ 577.5

= 0.39125.

7.2 Korrelation und Regression

7.2.3

143

Regression

Bei der Regressionsrechnung behandelt man die Frage, ob man von der einen Variablen 𝑥𝑥 auf die andere Variable 𝑦𝑦 oder umgekehrt mit Hilfe einer funktionalen Abhängigkeit schließen kann. Der Idealfall wäre eine vollständige Abhängigkeit 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), wobei 𝑓𝑓(𝑥𝑥) aus einer fest vorgegebenen Klasse von Funktionen stammt. Dann würden alle Wertepaare auf dem dazugehörigen Graphen liegen. Dieser Fall wird jedoch bei zufälligen Beobachtungen kaum vorkommen. Deshalb wird man sich häufig für eine Näherungsfunktion entscheiden, so dass die Wertepaare in der Nähe dieser Kurve liegen. In der Regressionsrechnung wird der Punktewolke eine möglichst einfache Funktion zugeordnet bzw. angepasst. Meist sind dies Geraden oder Parabeln. Beispiel 7.32 Würden alle Menschen das Idealgewicht 𝑦𝑦 (in kg) in Abhängigkeit ihrer Körpergröße 𝑥𝑥 (in cm) besitzen, so hätte man einen vollständigen Zusammenhang: 𝑦𝑦 = 0.9 ∙ (𝑥𝑥 − 100). Dass dies nicht der Fall ist, ist offensichtlich.

7.2.3.1 Regressionsgeraden von 𝒚𝒚 bzgl. 𝒙𝒙 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe:

(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )�.

Für diese 𝑛𝑛 Punkte soll eine Gerade 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 so gefunden werden, dass die Punkte möglichst „nahe“ an dieser Geraden liegen.

Eine erste Möglichkeit ist, die Summe der Abstandsquadrate der einzelnen Punkte zu dieser Geraden zu minimieren. Dieses Verfahren ist jedoch mit einem relativ großen Rechenaufwand verbunden und löst das gestellte Problem nur unzureichend.

Die zweite Möglichkeit, die dadurch motiviert wird, dass man aus den 𝑥𝑥 − Werten die 𝑦𝑦 − Werte berechnen will, beruht auf den „Abständen in 𝑦𝑦 − Richtung“. Man minimiert die Summe der vertikalen Abstandsquadrate. Diese Methode wird in der Regressionsrechnung fast ausschließlich verwendet und wird im Folgenden vorgestellt.

Abb. 7.17

vertikale Abstände

144

7 Beschreibende Statistik

Für einen beliebigen Punkt (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, der Stichprobe nimmt die Gerade an der Stelle 𝑥𝑥𝑖𝑖 den Funktionswert 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑏𝑏 an. Dann ist der vertikale Abstand dieses Punktes zur Geraden 𝑑𝑑𝑖𝑖 = |𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑏𝑏|.

Für die Summe 𝑆𝑆(𝑚𝑚, 𝑏𝑏) der Abstandsquadrate folgt dann 𝑛𝑛

𝑆𝑆(𝑚𝑚, 𝑏𝑏) = �(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑏𝑏)2 . 𝑖𝑖=1

Diese Funktion ist zu minimieren, d.h. es sind zwei Zahlen 𝑚𝑚 und 𝑏𝑏 zu finden, welche diese Funktion so klein wie möglich machen.

Mit Hilfe von Methoden aus der zweidimensionalen Analysis, die im Mathematik-Teil allerdings nicht besprochen wurde (siehe Senger (2009)) können zwei Bedingungen für die Zahlen 𝑚𝑚 und 𝑏𝑏 aufgestellt werden: 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

�(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑏𝑏) = 0 und �(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑏𝑏) ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0.

Aus der ersten Gleichung folgt 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

�(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑏𝑏) = � 𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 − � 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 ∙ 𝑦𝑦� − 𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥̅ − 𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏 = 0.

Aus der zweiten Gleichung folgt 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑛𝑛

�(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑏𝑏) ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖2 − � 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

= � 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑚𝑚 ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖2 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥̅ = 0.

𝑖𝑖=1

Diese zwei neuen Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem für die zwei Zahlen 𝑚𝑚 und 𝑏𝑏: 𝑏𝑏 + 𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥̅ = 𝑦𝑦�

𝑛𝑛 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥̅ + 𝑚𝑚 ∙

𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖2 𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

= � 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑦𝑦𝑖𝑖 . 𝑖𝑖=1

Dieses wird mit Hilfe des Gauß-Algorithmus gelöst. Es ergibt sich: 𝑚𝑚 =

𝑛𝑛

�

(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�)

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2

=

𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 ∙ und 𝑏𝑏 = 𝑦𝑦� − 𝑚𝑚𝑥𝑥̅ . 2 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑥𝑥

Definition 7.34 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), … , (𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛 )�.

Dann heißt die Gerade 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 mit

7.2 Korrelation und Regression

𝑚𝑚 =

𝑛𝑛

�

145

(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�)

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ )2

=

die Regressionsgerade von 𝑦𝑦 bezüglich 𝑥𝑥.

𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 ∙ und 𝑏𝑏 = 𝑦𝑦� − 𝑚𝑚𝑥𝑥̅ 2 𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑥𝑥

In der folgenden Definition wird ein Maß angegeben, das die Qualität dieser Anpassung beschreibt. Definition 7.35 Die Zahl 𝐵𝐵 = 𝑟𝑟 2 heißt Bestimmtheitsmaß.

Je näher 𝐵𝐵 bei 1 liegt, desto besser ist die Anpassung. Ist 𝑏𝑏 = 1, so liegen alle Punkte schon auf einer Geraden. Alternativ kann auch der Korrelationskoeffizient 𝑟𝑟 für die Interpretation der Qualität verwendet werden. Für beide Größen gibt es Intervalle zur Interpretation der Qualität. Beispiel 7.33 Für die zweidimensionale Stichprobe (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = ((165, 79), (178, 70), (172, 75), (195, 100), (184, 75), (168, 60), (177, 78), (184, 92), (176, 70), (171, 71)) soll die Regressionsgerade berechnet werden.

Aus Beispiel 7.27 sind bekannt:

𝑥𝑥̅ = 177, 𝑦𝑦� = 77, 𝑠𝑠𝑥𝑥2 =

710 1 190 = 78.888, 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = = 132.222, 9 9

680 = 75.555 und 𝑟𝑟 = 0.7398. 9 Daraus folgt aber 680 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 68 = −92.52. 𝑚𝑚 = 2 = 9 = 0.95775 und 𝑏𝑏 = 𝑦𝑦� − 𝑚𝑚𝑥𝑥̅ = 77 − 177 ∙ 710 𝑠𝑠𝑥𝑥 71 9 Also lautet die Gleichung der Regressionsgeraden 𝑦𝑦 = 0.95775𝑥𝑥 − 92.52. Das Bestimmtheitsmaß ist 𝐵𝐵 = (0.7398)2 = 0.5473. 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 =

Es handelt sich um eine Anpassung von mäßiger Qualität.

146

7 Beschreibende Statistik

105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55

160 165 170 175 180 185 190 195 200

Abb. 7.18 Regressionsgerade mit mäßiger Qualität

Beispiel 7.34 Der Zusammenhang der Teile A und B aus Beispiel 7.28 ergab die Punkte (2, 3), (4, 5), (7, 7), (3, 4), (9, 8), (5, 6), (7, 8), (6, 7), (1, 2), (9, 9).

Es folgt

𝑥𝑥̅ = 5.3, 𝑦𝑦� = 5.9, 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = 7.78889, 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = 5.43333 und 𝑟𝑟 = 0.97868.

Daraus folgt dann die Gleichung der Regressionsgeraden: 𝑦𝑦 = 0.81740𝑥𝑥 + 1.56776. Das Bestimmtheitsmaß ist 𝐵𝐵 = (0.97868)2 = 0.9578. Es handelt sich um eine Anpassung von guter Qualität. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

Abb. 7.19 Regressionsgerade mit guter Qualität

7.2 Korrelation und Regression

147

Der Zusammenhang der Teile 𝐴𝐴 und 𝐷𝐷 aus Beispiel 7.28 ergab die Punkte (2, 1), (4, 0), (7, 3), (3, 5), (9, 9), (5, 0), (7, 2), (6, 9), (1, 9), (9, 0). Es folgt

𝑥𝑥̅ = 5.3, 𝑦𝑦� = 3.8, 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = 7.78889, 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = 15.28889 und 𝑟𝑟 = −0.05498.

Daraus folgt dann die Gleichung der Regressionsgeraden:

𝑦𝑦 = −0.07703𝑥𝑥 + 4.20827. Das Bestimmtheitsmaß ist 𝐵𝐵 = (−0.05498)2 = 0.00302.

Es handelt sich um eine Anpassung mit ungenügender Qualität. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

Abb. 7.20 Regressionsgerade mit ungenügender Qualität

7.2.3.2 Andere Regressionsfunktionen von 𝒚𝒚 bzgl. 𝒙𝒙 Natürlich gibt es Fälle, in denen eine angepasste Gerade wenig Sinn macht. Dann müssen andere Funktionen angepasst werden. Dies geschieht normalerweise genauso durch Minimierung der Summe der vertikalen Abstandsquadrate, wobei häufig die dabei entstehenden Gleichungssysteme nur numerisch gelöst werden können. Viele solcher Funktionen lassen sich durch geeignete Transformationen auf das Geradenmodell zurückführen: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 2 mit 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 2 auf 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏√𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑧𝑧 = √𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 𝑥𝑥 durch Logarithmieren: ln 𝑦𝑦 = ln 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ∙ ln 𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ∙ 𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑏𝑏 durch Logarithmieren: ln 𝑦𝑦 = ln 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏.

148

7.3

7 Beschreibende Statistik

Aufgaben zu Kapitel 7

Aufgabe 1 Klassifizieren Sie die folgenden Merkmalsausprägungen. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

Körpergewicht eines Schweins Fahrgeschwindigkeit eines PKWs Ausgeübter Sport Güteklasse von Eiern Monatsnettoeinkommen Parteizugehörigkeit Intelligenz jährlich entrichtete Umsatzsteuer Konfessionszugehörigkeit Haarfarbe Vermögen Religionszugehörigkeit.

Aufgabe 2 a) Was bedeuten die Begriffe Mittelwert und Median? b) Welcher der beiden Begriffe aus a) ist bei einer Stichprobe von kleinem Umfang der aussagekräftigere Wert? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Eine Stichprobe vom Umfang 𝑛𝑛 = 10 besitzt den Median 3 und die Varianz 0. Geben Sie den Mittelwert und die Spannweite an. Aufgabe 3 a) Geben Sie 4 verschiedene ganze Zahlen 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 und 𝑥𝑥4 an, die, als Stichprobe aufgefasst, den Median 50, den Mittelwert 70 und die Spannweite 120 besitzen. b) Geben Sie 3 verschiedene Zahlen 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 und 𝑐𝑐 an, die, als Stichprobe aufgefasst, den Mittelwert 10, den Median 12 und die Varianz 84 besitzen. Aufgabe 4 Hühnereier werden in Güteklassen eingeteilt. Welche graphische Darstellungsmöglichkeit bietet sich an, wenn ein Händler die Anzahl der verkauften Eier in Bezug auf die Güteklassen erfassen will, das Stabdiagramm, das Histogramm oder die Lorenzkurve? Aufgabe 5 Die 32 Filialen einer Großhandelskette erzielen in einer Geschäftsperiode folgende Umsätze (in Millionen €). 5, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 6, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1, 4, 3, 2, 4, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 4, 3, 7, 5, 4. Berechnen Sie die absoluten und die relativen Häufigkeiten und zeichnen Sie ein Stabdiagramm.

7.3 Aufgaben zu Kapitel 7

149

Aufgabe 6 In einem Holzwerk wurden 4 Baumstämme mit folgenden Durchmessern angeliefert: 60, 70, 50, 75 cm. Berechnen Sie den mittleren Durchmesser, den Modalwert, den Median, die Varianz und die Quantile 𝑥𝑥0.25 und 𝑥𝑥0.75 . Bestimmen und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion.

Aufgabe 7 Ein Händler erzielte bei 4 Verkaufsaktionen an Weihnachten zweimal Gewinne in Höhe von 2 000€ und 10 000€. Zweimal erlitt er Verluste in Höhe von 1 000€ und 3 000€. a) Berechnen Sie den Mittelwert, den Median, die Spannweite und die Varianz. b) Ermitteln Sie die Quantile 𝑥𝑥0.25 und 𝑥𝑥0.7 . c) Ermitteln Sie den Quantilsabstand für 𝛼𝛼 = 0.25.

Aufgabe 8 In einem anderen Holzwerk werden 30 Stämme angeliefert und in Klassen eingeteilt: Durchmesser 00−20 20−50 50−70 70−100 100−120

Anzahl 03 12 06 05 04

Begründen Sie mathematisch, warum durch die Tabelle eigentlich keine Klasseneinteilung definiert ist. Was dürfte der praktische Grund dafür sein? Definieren Sie eine Klasseneinteilung und berechnen Sie den Mittelwert, den Median, die Varianz und die Quantile 𝑥𝑥0.25 und 𝑥𝑥0.75 . Zeichnen Sie ein Histogramm.

Aufgabe 9 In einem Krankenhaus gab es an einem Tag 6 Entbindungen mit den Gewichten 3 050, 3 520, 2 150, 2 800, 4 500 und 3 300 g.

Berechnen Sie den Mittelwert, den Median, die Standardabweichung, die Spannweite und die Quantile 𝑥𝑥0.25 und 𝑥𝑥0.75 .

Aufgabe 10 In einem Betrieb wurde die Betriebszugehörigkeit festgestellt und in Klassen eingeteilt. Dabei waren 12 Mitarbeiter weniger als 3 Jahre beschäftigt, 27 Mitarbeiter zwischen 3 und 8 Jahren beschäftigt und 41 Mitarbeiter zwischen 8 und 25 Jahren beschäftigt. Berechnen Sie die durchschnittliche Betriebszugehörigkeit.

150

7 Beschreibende Statistik

Aufgabe 11 Ein Abend im Spielcasino hat für 20 Arbeitskollegen folgende Gewinne ergeben (in €): 100, −50, 500, 200, −1 000, −3 000, −50, 250, 5 000, 100, −400, −800, 0, 1 000, 2 000, −10 000, −2 000, 0, 250, 1 900. a) Berechnen Sie den Mittelwert. b) Nehmen Sie eine Klasseneinteilung in folgende Klassen vor: Klasse 1: −10 000 ≤ 𝑔𝑔 < −5 000 Klasse 2: −5 000 ≤ 𝑔𝑔 < −1 000 Klasse 3: −1 000 ≤ 𝑔𝑔 < 1 000 Klasse 4: 1 000 ≤ 𝑔𝑔 ≤ 5 000 und berechnen Sie dann den Mittelwert, die Varianz, den Median und das Quantil 𝑥𝑥0.8 . Zeichen Sie ein Histogramm. Aufgabe 12 a) Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel zweier Zahlen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 stets ≥ dem geometrischen Mittel ist. b) Zeigen Sie, dass das geometrische Mittel zweier Zahlen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 stets ≥ dem harmonischen Mittel ist. Aufgabe 13 Jeden Freitag im Dezember (4 mal) kauft ein Studierender Orangen für 8€. Jedes Mal waren die Preise pro Kilogramm unterschiedlich: 2.40, 2.70, 2.90 und 2.80€. Welchen mittleren Preis zahlte der Studierende? Aufgabe 14 Ein Studierender kauft 4 mal im Oktober Bananen. Die ersten beiden Male kauft er für jeweils 5€ bei Kilopreisen von 1.80€ und 1.90€. Die letzten beiden Male waren die Bananen im Sonderangebot. Deshalb kaufte er für jeweils 10€ bei Kilopreisen von 1.50€ und 1.40€. Welches war der mittlere Preis? Aufgabe 15 Die Preise für einen Artikel betrugen in drei aufeinanderfolgenden Geschäftsperioden 50€, 100€ und 200€. a)

Berechnen Sie den Durchschnittspreis, falls in jeder Periode die gleiche Menge gekauft wurde. b) Berechnen Sie den Durchschnittspreis, falls in jeder Periode für den gleichen Betrag gekauft wurde. Aufgabe 16 Bestimmen Sie den mittleren Zuwachs bei tatsächlichen Jahreszuwächsen von 25%, 40%, 15% und 10%.

7.3 Aufgaben zu Kapitel 7

151

Aufgabe 17 Vier Studierende unterhalten sich über die Anzahl der Prüfungen, die sie in ihrer Studienzeit schon absolviert haben. Es waren 22, 5, 3 und 70 Prüfungen. Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten und interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 18 Ein Autohändler verkauft in einem Monat 10 Autos zu folgenden Preisen: 20, 18, 23, 49, 15, 98, 22, 27, 72, 36 T€. Berechnen Sie den Mittelwert, den Median, die Standardabweichung, die Spannweite, die Quantile 𝑥𝑥0.25 und 𝑥𝑥0.75 . Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten.

Aufgabe 19 In der metallverarbeitenden Industrie gab es in einem festen Jahr 122 600 Betriebe mit insgesamt 9.9 Millionen Beschäftigten. Die Konzentration der Beschäftigten auf die Betriebe war: Anzahl der Beschäftigten 10−20 20−100 100−1 000 1 000−10 0000

Anzahl der Betriebe 100 000 20 000 2 500 100

Anzahl der Beschäftigten in 1 000 1 200 1 000 3 850 3 850

Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten. Aufgabe 20 In einem Dorf leben 30 Familien mit unterschiedlichen Jahreseinkommen. Jahreseinkommen 0−30 30−50 50−100 über 100

Anzahl der Familien 5 7 15 3

Gesamteinkommen der Klasse 100 000 280 000 900 000 900 000

Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten.

152

7 Beschreibende Statistik

Aufgabe 21 5 Studierende werden auf Gewicht und Kondition untersucht: Gewicht in kg min Kondition in km

60

80

100

70

65

4.5

6

7

4

3.75

Berechnen Sie die getrennten Mittelwerte und Varianzen, die Kovarianz, den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten und den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman. Aufgabe 22 Gegeben sei eine zweidimensionale Stichprobe durch folgende Häufigkeitstabelle: 𝑎𝑎1 = 5

𝑎𝑎2 = 10

𝑏𝑏1 = 10 5 50

𝑏𝑏2 = 20 15 30

Berechnen Sie die getrennten Mittelwerte und Varianzen und die Korrelationskoeffizienten nach Pearson und Spearman. Aufgabe 23 Betrachtet man die Tabelle der ersten Fußball-Bundesliga vom 07.03.1994, so ergibt sich folgender Zusammenhang: Tabellenplatz Tordifferenz

1 25

3 10

4 11

5 8

13 −2

14 −4

Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman. Aufgabe 24 25 Studierende beteiligten sich an den Klausuren Mathematik und Statistik. Die Ergebnisse sind als Paare gegeben. (3, 2), (4, 3), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 1), (3, 4), (4, 3), (3, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (2, 3), (3, 4), (2, 1), (3, 3), (4, 3), (1, 1), (4, 2), (3, 3).

Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle und berechnen Sie die getrennten Mittelwerte und Varianzen, die Kovarianz, den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten und den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman. Interpretieren Sie die beiden Korrelationskoeffizienten.

7.3 Aufgaben zu Kapitel 7

153

Aufgabe 25 Bei 5 Studierenden wurden Gewicht und Lungenvolumen ermittelt. Es ergab sich folgende Stichprobe: Gewicht (in kg) Lungenvolumen (in Liter)

70 5.3

80 5.1

65 5.7

100 6.1

80 5.2

Berechnen Sie den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie diesen Wert. Berechnen Sie die Regressionsgerade und zeichnen Sie ein Bild der Punktewolke mit der Geraden. Aufgabe 26 Das Bruttosozialprodukt der BRD zu den Zeitpunkten 1960, 1970 und 1980 ist in folgender Tabelle dargestellt: Zeit nach 1960 (in Jahren) BSP (in Mrd. DM)

0

10

20

371

607

840

Berechnen Sie den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten und die Gleichung der Regressionsgeraden. Aufgabe 27 4 Studierende werden auf Körpergröße und Gewicht untersucht: Gewicht (in kg) Größe (in cm)

60 175

80 180

70 170

70 175

Berechnen Sie die getrennten Mittelwerte und Varianzen, die Kovarianz und den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten. Berechnen Sie die Regressionsgerade und zeichnen Sie ein Bild der Punktewolke mit der Geraden. Aufgabe 28 Passen Sie den 4 Wertepaaren 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖

1 2.2

2 2.3

3 2.8

4 3.6

ein Polynom 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 2 an, indem Sie dieses Problem mittels einer geeigneten Transformation auf ein Geradenmodell zurückführen.

154

7 Beschreibende Statistik

Aufgabe 29 Passen Sie den 4 Wertepaaren 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖

1

2

3

5

5.8

3.1

2.5

2.2

eine Funktion 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏�𝑥𝑥 2 an, indem Sie dieses Problem mittels einer geeigneten Transformation auf ein Geradenmodell zurückführen.

8

Wirtschaftsstatistik

In diesem Kapitel werden zwei ausgewählte Teile der Wirtschaftsstatistik behandelt, die Indexzahlen und die Zeitreihenanalyse.

8.1

Indexzahlen

Indexzahlen dienen dazu, Veränderungen mehrerer Größen durch eine Zahl zu beschreiben. Sie werden immer dann benötigt, wenn in wirtschaftlichen Modellen Kaufkraftveränderungen oder Preisänderungen eine Rolle spielen. Definition 8.1 Ein Warenkorb ist eine Zusammenfassung von 𝑛𝑛 Gütern. Betrachtet werden zwei unterschiedliche Zeitintervalle (oder auch Zeitpunkte), die Basisperiode und die Vergleichsperiode. Die Preise und die Mengen zu diesen beiden Zeitpunkten werden wie folgt bezeichnet: 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 ist der Preisvektor der Basisperiode

𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 ist der Mengenvektor der Basisperiode

𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 ist der Preisvektor der Vergleichsperiode

𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 ist der Mengenvektor der Vergleichsperiode.

Beispiel 8.1 Die Entwicklung des Kraftstoffverbrauchs im Fuhrpark einer Firma ist gegeben durch Kraftstoffart Diesel Normal Super

Verbrauch in 1 000 l 2006 2011 400 1 400 900 1 000 300 50

Mittlerer Preis in €/1 000 l 2006 2011 1 000 900 1 400 1 500 1 600 2 000.

Ist 2006 die Basisperiode und 2011 die Vergleichsperiode, so gilt: 𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 = (400, 900, 300)𝑇𝑇 𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 = (1 400, 1 000, 50)𝑇𝑇 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 = (1 000, 1 400, 1 600)𝑇𝑇 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 = (900, 1 500, 2 000)𝑇𝑇 .

https://doi.org/10.1515/9783110601718-171

156

8 Wirtschaftsstatistik

Definition 8.2 Die relative Preismesszahl von Gut 𝑖𝑖 bezüglich der beiden Zeitpunkte ist 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛. 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

Definition 8.3 Die durchschnittliche Preismesszahl aller Güter bezüglich der beiden Zeitpunkte ist 𝑛𝑛

1 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ � 𝐵𝐵 . 𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑖𝑖 𝑖𝑖=1

Der Nachteil dieser durchschnittlichen Preismesszahl ist, dass alle Güter gleichmäßig berücksichtigt werden. Durch Einführung einer Gewichtung entstehen die Indices. Definition 8.4 Gegeben sei eine Gewichtung 𝑔𝑔𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛. Der Preisindex bezüglich dieser Gewichtung ist dann 𝐼𝐼𝑃𝑃 =

�

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑔𝑔𝑖𝑖 ∙ 𝑔𝑔𝑖𝑖

𝑖𝑖=1

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

.

In der Praxis werden zwei unterschiedliche Gewichtungen verwendet: 𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 oder 𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 .

Die Gewichtung 𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 für auf den Preisindex nach Laspeyres: 𝑃𝑃𝐿𝐿 =

�

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑖𝑖=1

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

=

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

=

(𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 . (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵

Die Gewichtung 𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 für auf den Preisindex nach Paasche: 𝑃𝑃𝑃𝑃 =

�

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

=

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

=

(𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 . (𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵

8.1 Indexzahlen

157

Diese beiden Größen und drei weitere, eher technisch motivierte Indices werden in der folgenden Definition zusammengefasst. Definition 8.5 Für die Preisindices gilt: Preisindex nach Laspeyres Preisindex nach Paasche Preisindex nach Fisher

Preisindex nach Drobisch Preisindex nach Marshall-Edgeworth

𝑃𝑃𝐿𝐿 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 =

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

�

𝑖𝑖=1

𝑃𝑃𝐹𝐹 = �𝑃𝑃𝐿𝐿 ∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃 1 𝑃𝑃𝐷𝐷 = ∙ (𝑃𝑃𝐿𝐿 + 𝑃𝑃𝑃𝑃 ) 2 𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 =

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

=

(𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵

=

(𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 (𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵

( 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ) ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

( 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 + 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ) ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

.

Völlig analog dazu werden die Mengenindices erklärt. Definition 8.6 Für die Mengenindices gilt: Mengenindex nach Laspeyres

Mengenindex nach Paasche Mengenindex nach Fisher Mengenindex nach Drobisch Mengenindex nach Marshall-Edgeworth

𝑀𝑀𝐿𝐿 = 𝑀𝑀𝑃𝑃 =

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

𝑀𝑀𝐹𝐹 = �𝑀𝑀𝐿𝐿 ∙ 𝑀𝑀𝑃𝑃 1 𝑀𝑀𝐷𝐷 = ∙ (𝑀𝑀𝐿𝐿 + 𝑀𝑀𝑃𝑃 ) 2 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 =

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

=

(𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵

=

(𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ ( 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 + 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉 )

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵

∙(

𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

+

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉 )

.

158

8 Wirtschaftsstatistik

Definition 8.7 Der Wertindex ist das Verhältnis der Gesamtwerte des Warenkorbs in der Vergleichsperiode und in der Basisperiode 𝑊𝑊 =

𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

�

𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑉𝑉

𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵

=

(𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 . (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵

Beispiel 8.2 Für die Entwicklung des Kraftstoffverbrauchs im Fuhrpark der Firma aus Beispiel 8.1 gilt mit ��⃗𝐵𝐵 = (400, 900, 300)𝑇𝑇 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 = (1 400, 1 000, 50)𝑇𝑇 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 = (1 000, 1 400, 1 600)𝑇𝑇

𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 = (900, 1 500, 2 000)𝑇𝑇 für die 11 definierten Indices: (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 400 ∙ 900 + 900 ∙ 1 500 + 300 ∙ 2 000 = = 1.0794 𝑃𝑃𝐿𝐿 = 𝐵𝐵 𝑇𝑇 𝐵𝐵 (𝑚𝑚 ��⃗ ) ∙ 𝑝𝑝⃗ 400 ∙ 1 000 + 900 ∙ 1 400 + 300 ∙ 1 600 (𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 1 400 ∙ 900 + 1 000 ∙ 1 500 + 50 ∙ 2 000 = = 0.9931 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑉𝑉 𝑇𝑇 𝐵𝐵 (𝑚𝑚 ��⃗ ) ∙ 𝑝𝑝⃗ 1 400 ∙ 1 000 + 1 000 ∙ 1 400 + 50 ∙ 1 600

𝑃𝑃𝐹𝐹 = �𝑃𝑃𝐿𝐿 ∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃 = √1.0794 ∙ 0.9931 = 1.0353 1 1 𝑃𝑃𝐷𝐷 = ∙ (𝑃𝑃𝐿𝐿 + 𝑃𝑃𝑃𝑃 ) = ∙ (1.0794 + 0.9931) = 1.0362 2 2 (400 + 1 400) ∙ 900 + (900 + 1 000) ∙ 1 500 + (300 + 50) ∙ 2 000 𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 = (400 + 1 400) ∙ 1 000 + (900 + 1 000) ∙ 1 400 + (300 + 50) ∙ 1 600 = 1.0299 (𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 1 400 ∙ 1 000 + 1 000 ∙ 1 400 + 50 ∙ 1 600 = = 1.3458 𝑀𝑀𝐿𝐿 = (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 400 ∙ 1 000 + 900 ∙ 1 400 + 300 ∙ 1 600 (𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 1 400 ∙ 900 + 1 000 ∙ 1 500 + 50 ∙ 2 000 = = 1.2381 𝑀𝑀𝑃𝑃 = (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 400 ∙ 900 + 900 ∙ 1 500 + 300 ∙ 2 000

𝑀𝑀𝐹𝐹 = �𝑀𝑀𝐿𝐿 ∙ 𝑀𝑀𝑃𝑃 = √1.3458 ∙ 1.2381 = 1.2908 1 1 𝑀𝑀𝐷𝐷 = ∙ (𝑀𝑀𝐿𝐿 + 𝑀𝑀𝑃𝑃 ) = ∙ (1.3458 + 1.2381) = 1.2919 2 2 1 400 ∙ (1 000 + 900) + 1 000 ∙ (1 400 + 1 500) + 50 ∙ (1 600 + 2 000) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 400 ∙ (1 000 + 900) + 900 ∙ (1 400 + 1 500) + 300 ∙ (1 600 + 2 000) = 1.2899 𝑉𝑉 𝑇𝑇 𝑉𝑉 (𝑚𝑚 ��⃗ ) ∙ 𝑝𝑝⃗ 1 400 ∙ 900 + 1 000 ∙ 1 500 + 50 ∙ 2 000 = = 1.3364. 𝑊𝑊 = (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 400 ∙ 1 000 + 900 ∙ 1 400 + 300 ∙ 1 600

8.2 Zeitreihen

8.2

159

Zeitreihen

Zeitreihen sind spezielle Stichproben, bei denen die Beobachtungswerte an 𝑛𝑛 zeitlich geordneten Zeitpunkten ermittelt werden. Die wichtigste Fragestellung dabei ist: Wie geht diese Zeitreihe in der Zukunft weiter? Beantwortet wird dies dadurch, dass man eine Zeitreihe in vernünftige, in der Praxis sinnvoll erklär- und einsetzbare Komponenten zerlegt. Dazu gibt es viele unterschiedliche Modelle. Eines dieser Modelle wird im Folgenden vorgestellt. Definition 8.8 Ermittelt man zu 𝑛𝑛 geordneten Zeitpunkten oder Zeitperioden 𝑎𝑎1 < 𝑎𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑎𝑛𝑛 Beobachtungswerte 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, so heißt die Stichprobe 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , ⋯ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) eine Zeitreihe.

Beispiel 8.3 Zeitreihen treten in vielen Alltagssituationen auf: Strom-, Wasser- und Gasverbrauch Lufttemperatur um 12 Uhr an Folgetagen Zahl der offenen Stellen Umsätze in Betrieben Verläufe von Aktienkursen.

• • • • •

In der folgenden Definition wird das oben erwähnte Zerlegungsmodell angegeben. Definition 8.9 Die 𝑛𝑛 Werte einer Zeitreihe 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, sind additiv aus den folgenden vier Komponenten zusammengesetzt: 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑡𝑡𝑖𝑖 + 𝑧𝑧𝑖𝑖 + 𝑠𝑠𝑖𝑖 + 𝑟𝑟𝑖𝑖 .

Für die einzelnen Komponenten gilt: 𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖

Trendkomponente zyklische Komponente Saisonkomponente zufällige Komponente

stellt die langfristige monotone Entwicklung dar beschreibt die konjunkturellen (mittelfristigen) Einflüsse beschreibt periodentypische Schwankungen erklärt alle Einflüsse, welche die drei anderen Komponenten nicht beschreiben können.

Dieses Modell wird besonders dann in der Praxis eingesetzt, wenn die zufällige Komponente relativ klein ist. Die grafische Darstellung von Zeitreihen erfolgt durch Zeitreihendiagramme, in denen die Punkte (𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑖𝑖 ), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, eingezeichnet werden. Verbindet man diese Punkte, so entsteht ein Zeitreihenpolygon.

160

8 Wirtschaftsstatistik

Beispiel 8.4 Der Wasserverbrauch ( in m3 ) eines Haushalts in den Quartalen der Jahre 2008 bis 2011 ist in folgender Tabelle angegeben: Jahr 2008 2009 2010 2011

1. Quartal 29 36 40 44

2. Quartal 48 52 54 58

3. Quartal 60 65 69 74

4. Quartal 40 46 48 53

Die 16 Stichprobenwerte werden in einem Zeitreihendiagramm und einem Zeitreihenpolygon dargestellt. 80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

1

Abb. 8.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Zeitreihendiagramm

80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

Abb. 8.2

1

2

3

4

Zeitreihenpolygon

5

11

12

13

14

15

16

8.2 Zeitreihen

8.2.1

161

Trendkomponente

Die Trendkomponente stellt die langfristige monotone Entwicklung dar. In den meisten Fällen wird dies durch eine Gerade realisiert. In der Praxis stehen dazu zwei Varianten zur Verfügung. Die erste Möglichkeit dazu ist die Regressionsgerade, die in Kapitel 7 ausführlich beschrieben wurde. Deren Berechnung gestaltet sich häufig aufwändig. Deshalb wurde eine zweite Möglichkeit entwickelt, die Methode der Reihenhälftung. Diese Methode hat rechentechnische Vorteile und stellt den Trend in den meisten Fällen ähnlich gut wie die Regressionsgerade dar. Die Methode der Reihenhälftung verläuft folgendermaßen: Besteht eine Zeitreihe aus einer geraden Anzahl von Werten, so werden alle Werte verwendet. Besteht eine Zeitreihe aus einer ungeraden Anzahl von Werten, so wird der mittlere Wert entfernt. Danach wird die Zeitreihe in eine untere und eine obere Hälfte eingeteilt und alle Punkte der beiden Hälften durch den jeweiligen Schwerpunkt ersetzt. Aufgrund der Darstellung der Punkte (𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑖𝑖 ), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 gilt mit 𝑛𝑛 = 2𝑘𝑘 für diese beiden Punkte: 𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=𝑘𝑘+1

3𝑘𝑘 + 1 1 𝑘𝑘 + 1 1 , ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 � und 𝑄𝑄 � , ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 �. 𝑃𝑃 � 2 𝑘𝑘 2 𝑘𝑘

Beispiel 8.5 Für den in Beispiel 8.4 angegebenen Wasserverbrauch ( in m3 ) eines Haushalts in den Quartalen der Jahre 2008 bis 2011 Jahr 2008 2009 2010 2011

1. Quartal 29 36 40 44

2. Quartal 48 52 54 58

3. Quartal 60 65 69 74

4. Quartal 40 46 48 53

soll die Trendgerade nach der Methode der Reihenhälftung berechnet werden. Aus 𝑛𝑛 = 16 und 𝑘𝑘 = 8 folgen 8

9 1 8+1 1 , ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 � = 𝑃𝑃 � , ∙ (29 + 48 + ⋯ + 46)� = 𝑃𝑃(4.5, 47) und 𝑃𝑃 � 2 8 2 8 𝑄𝑄 �

𝑖𝑖=1 16

25 1 24 + 1 1 , ∙ � 𝑥𝑥𝑖𝑖 � = 𝑄𝑄 � , ∙ (40 + 54 + ⋯ + 53)� = 𝑃𝑃(12.5, 55). 8 2 8 2 𝑖𝑖=9

Setzt man die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 ein und löst das lineare Gleichungssystem, so folgt 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 42.5 oder 𝑡𝑡𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 42.5.

Die Trendkomponente ist in der folgenden Tabelle angegeben:

162

8 Wirtschaftsstatistik

𝒊𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8

𝑥𝑥𝑖𝑖 29 48 60 40 36 52 65 46

𝑡𝑡𝑖𝑖 43.5 44.5 45.5 46.5 47.5 48.5 49.5 50.5

𝒊𝒊 9 10 11 12 13 14 15 16

𝑥𝑥𝑖𝑖 40 54 69 48 44 58 74 53

𝑡𝑡𝑖𝑖 51.5 52.5 53.5 54.5 55.5 56.5 57.5 58.5

80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

Abb. 8.3

8.2.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

Trendgerade

Zyklische Komponente

Bei der Modellierung der zyklischen Komponente wird ein Wert 𝑥𝑥𝑖𝑖 der Zeitreihe durch einen Mittelwert von Werten ersetzt, die in einem Intervall um die Stelle 𝑖𝑖 liegen. Dies geschieht durch die Bildung von gleitenden Durchschnitten. Definition 8.10 Gegeben sei eine Zeitreihe 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , ⋯ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ). Dann heißen die Werte 1 1 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 = ∙ � ∙ 𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚 2 𝑖𝑖−𝑚𝑚

𝑘𝑘=𝑖𝑖+(𝑚𝑚−1)

�

𝑘𝑘=𝑖𝑖−(𝑚𝑚−1)

1 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖+𝑚𝑚 � , 𝑚𝑚 + 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 2

gleitende Durchschnitte gerader Ordnung. Dabei wird der Wert 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛/2 meist so gewählt, dass die Zahl 2𝑚𝑚 ein Vielfaches der Perioden- oder der Zyklenlänge ist.

Die gleitenden Durchschnitte beschreiben die glatte Komponente, die den Trend und die zyklische Komponente zusammenfasst. Damit folgt für die zyklische Komponente 𝑧𝑧𝑖𝑖 = 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 − 𝑡𝑡𝑖𝑖 , 𝑚𝑚 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚.

8.2 Zeitreihen

163

Beispiel 8.6 Für den in Beispiel 8.4 angegebenen Wasserverbrauch ( in m3 ) eines Haushalts in den Quartalen der Jahre 2008 bis 2011 Jahr 2008 2009 2010 2011

1. Quartal 29 36 40 44

2. Quartal 48 52 54 58

3. Quartal 60 65 69 74

4. Quartal 40 46 48 53

soll die zyklische Komponente berechnet werden. Sinnvollerweise ist die Zyklenlänge ein Jahr. Deshalb wird 𝑚𝑚 = 2 gewählt. Es folgen 1 1 1 1 1 1 𝑥𝑥̅3 = � ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + ∙ 𝑥𝑥5 � = � ∙ 29 + 48 + 60 + 40 + ∙ 36� 4 2 2 4 2 2 = 45.125 ⇒ 𝑧𝑧3 = 𝑥𝑥̅3 − 𝑡𝑡3 = 45.125 − 45.5 = −0.375 1 1 1 1 1 1 𝑥𝑥̅4 = � ∙ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 + ∙ 𝑥𝑥6 � = � ∙ 48 + 60 + 40 + 36 + ∙ 52� 4 2 2 4 2 2 = 46.5 ⇒ 𝑧𝑧4 = 𝑥𝑥̅4 − 𝑡𝑡4 = 46.5 − 46.5 = 0. Alle anderen 𝑧𝑧𝑖𝑖 , 5 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 14 werden analog berechnet in sind in folgender Tabelle angegeben. 𝒊𝒊 3 4 5 6 7 8

𝑥𝑥𝑖𝑖 60 40 36 52 65 46

𝑧𝑧𝑖𝑖 −0.375 0.000 0.125 0.500 0.750 0.500

𝑥𝑥̅𝑖𝑖

45.125 46.500 47.625 49.000 50.250 51.000

𝒊𝒊 9 10 11 12 13 14

𝑥𝑥𝑖𝑖 40 54 69 48 44 58

𝑥𝑥̅𝑖𝑖

51.750 52.500 53.250 54.250 55.375 56.625

𝑧𝑧𝑖𝑖 0.250 0.000 −0.250 −0.250 −0.125 0.125

75 65 55 45 35 25 15 5 -5 0 Abb. 8.4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

Zyklische Komponente

Offensichtlich spielt die zyklische Komponente in diesem Beispiel kaum eine Rolle.

164

8 Wirtschaftsstatistik

8.2.3

Saisonkomponente

Die Saisonkomponente beschreibt alle periodentypischen Einflüsse. Deshalb hat sie eine Periode der Länge 𝑝𝑝. Folglich gilt hier stets: 𝑠𝑠𝑖𝑖 = 𝑠𝑠𝑖𝑖+𝑝𝑝 . 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑡𝑡𝑖𝑖 + 𝑧𝑧𝑖𝑖 + 𝑠𝑠𝑖𝑖 + 𝑟𝑟𝑖𝑖 ⇒ 𝑠𝑠𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑡𝑡𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖 − 𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 − 𝑟𝑟𝑖𝑖 Hätte die Saisonkomponente keine Periode und unterstellt man, dass die zufällige Komponente 𝑟𝑟𝑖𝑖 klein ist, so sind alle einzelnen 𝑠𝑠𝑖𝑖 näherungsweise gleich der Differenz 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 .

Berücksichtigt man nun die Periode 𝑝𝑝, so werden die 𝑝𝑝 verschiedenen Bestandteile 𝑠𝑠𝑖𝑖 durch Mittelwertbildung aller Differenzen 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 gebildet, die zu diesem 𝑖𝑖 gehören.

Setzt man noch voraus, dass die Zyklen- und die Periodenlänge gleich sind, also 2𝑚𝑚 = 𝑝𝑝 gilt und dass 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 ∙ 2𝑚𝑚 ist, so folgt 𝑑𝑑−1

𝑠𝑠𝑖𝑖 =

⎧ 1 ∙ � 𝑥𝑥2𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅2𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑖𝑖 ⎪ 𝑑𝑑 − 1 𝑘𝑘=1 𝑑𝑑−2

falls 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚

⎨ 1 ∙ � 𝑥𝑥2𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅2𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑖𝑖 falls 𝑚𝑚 + 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 2𝑚𝑚. ⎪ ⎩ 𝑑𝑑 − 1 𝑘𝑘=0 Sind die beiden Voraussetzungen 2𝑚𝑚 = 𝑝𝑝 und 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 ∙ 2𝑚𝑚 nicht gegeben, so müssen die Formeln angepasst werden. Beispiel 8.7 Für den in Beispiel 8.4 angegebenen Wasserverbrauch ( in m2 ) eines Haushalts in den Quartalen der Jahre 2008 bis 2011 Jahr 2008 2009 2010 2011

1. Quartal 29 36 40 44

2. Quartal 48 52 54 58

3. Quartal 60 65 69 74

4. Quartal 40 46 48 53

soll die Saisonkomponente berechnet werden. Mit 𝑛𝑛 = 16, 2𝑚𝑚 = 𝑝𝑝 = 4 und 𝑑𝑑 = 4 folgt 4−1

1 1 𝑠𝑠1 = � 𝑥𝑥4𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥̅4𝑘𝑘+1 = ∙ �(𝑥𝑥5 − 𝑥𝑥̅5 ) + (𝑥𝑥9 − 𝑥𝑥̅9 ) + (𝑥𝑥13 − 𝑥𝑥̅13 )� = −11.582 3 4−1

𝑠𝑠2 = 𝑠𝑠3 =

𝑘𝑘=1 4−1

1 1 � 𝑥𝑥4𝑘𝑘+2 − 𝑥𝑥̅4𝑘𝑘+2 = ∙ �(𝑥𝑥6 − 𝑥𝑥̅6 ) + (𝑥𝑥10 − 𝑥𝑥̅10 ) + (𝑥𝑥14 − 𝑥𝑥̅14 )� = 1.958 3 4−1 𝑘𝑘=1 4−2

1 1 � 𝑥𝑥4𝑘𝑘+3 − 𝑥𝑥̅4𝑘𝑘+3 = ∙ �(𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥̅3 ) + (𝑥𝑥7 − 𝑥𝑥̅7 ) + (𝑥𝑥11 − 𝑥𝑥̅11 )� = 15.125 3 4−1 𝑘𝑘=0

8.2 Zeitreihen

165

4−2

1 1 𝑠𝑠4 = � 𝑥𝑥4𝑘𝑘+4 − 𝑥𝑥̅4𝑘𝑘+4 = ∙ �(𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥̅4 ) + (𝑥𝑥8 − 𝑥𝑥̅8 ) + (𝑥𝑥12 − 𝑥𝑥̅12 )� = −5.917. 3 4−1 𝑘𝑘=0

Die Saisonkomponente ist in der folgenden Tabelle angegeben: 𝒊𝒊 3 4 5 6 7 8

𝑥𝑥𝑖𝑖 60 40 36 52 65 46

𝑠𝑠𝑖𝑖 15.125 −5.917 −11.583 1.958 15.125 −5.917

𝒊𝒊 9 10 11 12 13 14

𝑥𝑥𝑖𝑖 40 54 69 48 44 58

𝑠𝑠𝑖𝑖 −11.583 1.958 15.125 −5.917 −11.583 1.958

75 65 55 45 35 25 15 5 -5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

-15 Abb. 8.5

8.2.4

Saisonkomponente

Zufällige Komponente

Die zufällige Komponente ergibt sich jetzt als Differenz 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑡𝑡𝑖𝑖 + 𝑧𝑧𝑖𝑖 + 𝑠𝑠𝑖𝑖 + 𝑟𝑟𝑖𝑖 ⇒ 𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑡𝑡𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖 − 𝑠𝑠𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 − 𝑠𝑠𝑖𝑖 .

Für die Zeitreihe aus Beispiel 8.4 folgt dann für die zufällige Komponente: 𝒊𝒊 3 4 5 6 7 8

𝑥𝑥𝑖𝑖 60 40 36 52 65 46

𝑟𝑟𝑖𝑖 −0.250 −0.583 −0.042 1.042 −0.375 0.917

𝒊𝒊 9 10 11 12 13 14

𝑥𝑥𝑖𝑖 40 54 69 48 44 58

𝑟𝑟𝑖𝑖 −0.167 −0.458 0.625 −0.333 0.208 −0.583

166

8 Wirtschaftsstatistik

Beispiel 8.8 Für den in Beispiel 8.4 angegebenen Wasserverbrauch ( in m3 ) eines Haushalts in den Quartalen der Jahre 2008 bis 2011 Jahr 2008 2009 2010 2011

1. Quartal 29 36 40 44

2. Quartal 48 52 54 58

3. Quartal 60 65 69 74

4. Quartal 40 46 48 53

werden jetzt alle Komponenten in einer Tabelle und in einem Schaubild angegeben. Dabei wird auf die Darstellung der zyklischen und der zufälligen Komponente verzichtet, da beide Komponenten kaum eine Rolle spielen. 𝒊𝒊 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

𝑥𝑥𝑖𝑖 60 40 36 52 65 46 40 54 69 48 44 58

𝑡𝑡𝑖𝑖 45.5 46.5 47.5 48.5 49.5 50.5 51.5 52.5 53.5 54.5 55.5 56.5

𝑧𝑧𝑖𝑖 −0.375 0.000 0.125 0.500 0.750 0.500 0.250 0.000 −0.250 −0.250 −0.125 0.125

𝑠𝑠𝑖𝑖 15.125 −5.917 −11.583 1.958 15.125 −5.917 −11.583 1.958 15.125 −5.917 −11.583 1.958

𝑟𝑟𝑖𝑖 −0.250 −0.583 −0.042 1.042 −0.375 0.917 −0.167 −0.458 0.625 −0.333 0.208 −0.583

75 65 55 45 35 25 15 5 -5 0

1

2

3

4

5

6

-15 Abb. 8.6

Zeitreihe und Komponenten

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

8.3 Aufgaben zu Kapitel 8

8.3

167

Aufgaben zu Kapitel 8

Aufgabe 1 Die Entwicklung des Verbrauchs des Verpackungsmaterials einer Firma ist gegeben durch Material Holz Kunststoffe Papier u. Karton

Verbrauch in t 2012 2017 40 100 600 100 200 400

Mittlerer Preis in €/t 2012 2017 500 600 10 000 25 000 1 000 1 200

Berechnen Sie alle Mengen- und Preisindices und den Wertindex, falls die Basisperiode 2012 ist. Aufgabe 2 Ein Privatanleger besaß zum 01.04.2017 und zum 01.07.2017 folgenden Aktien: Aktie Rot Grün Blau Lila

Anzahl 01.04.2017 01.07.2017 20 15 30 40 10 5 100 45

Preis in €/Stück 01.04.2017 01.07.2017 72.00 70.70 40.00 39.20 46.00 47.40 16.00 17.00

Berechnen Sie alle Mengen- und Preisindices und den Wertindex, falls die Basisperiode der 01.04.2017 ist. Aufgabe 3 Ein Familienvater stellt fest, dass sich die Lebenshaltungskosten von 2015 gegenüber 2017 deutlich vergrößert haben. a)

Mit welchem Index kann man die prozentuale Änderung der Lebenshaltungskosten beschreiben? b) Mit welchem Index kann man die prozentuale Änderung (im Durchschnitt) der Preise beschreiben, wenn man die Verbrauchergewohnheiten von 2015 zugrunde legt? c) Mit welchem Index kann man die prozentuale Änderung (im Durchschnitt) der Preise beschreiben, wenn man die Verbrauchergewohnheiten von 2017 zugrunde legt? d) Mit welchem Index kann man die prozentuale Änderung (im Durchschnitt) der Mengen beschreiben, wenn man die Preise von 2015 zugrunde legt? e) Mit welchem Index kann man die prozentuale Änderung (im Durchschnitt) der Mengen beschreiben, wenn man die Preise von 2017 zugrunde legt?

168

8 Wirtschaftsstatistik

Aufgabe 4 Von 𝑛𝑛 Gütern sind die Umsätze 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 in der Basisperiode und die Verhältnisse der Mengen der Vergleichsperiode zu den Mengen der Basisperiode gegeben. Welche Indices lassen sich damit berechnen? Was müsste zusätzlich bekannt sein, um noch andere Indices berechnen zu können? Aufgabe 5 Ein Handwerksbetrieb hatte 2012 einen Umsatz von 800 000€. Im Jahr 2017 betrug der Umsatz 1 200 000€. Der Preisindex nach Laspeyres im Jahr 2017 zum Basisjahr 2012 betrug 1.35. Wie groß ist der Mengenindex nach Paasche im Jahr 2017 zum Basisjahr 2012? Aufgabe 6 Der Wasserverbrauch ( in m2 ) eines Haushalts in den Quartalen der Jahre 2014 bis 2017 ist in folgender Tabelle angegeben: Jahr 2014 2015 2016 2017

1. Quartal 22 18 14 7

2. Quartal 36 32 30 26

3. Quartal 52 47 43 38

4. Quartal 31 26 24 18

Zerlegen Sie die Zeitreihe in die vier bekannten Komponenten. Aufgabe 7 Der Wasserverbrauch ( in m2 ) eines anderen Haushalts in den Quartalen der Jahre 2014 bis 2017 ist in folgender Tabelle angegeben: Jahr 2014 2015 2016 2017

1. Quartal 35 37 40 41

2. Quartal 42 40 44 44

3. Quartal 54 58 89 60

4. Quartal 40 38 43 47

Zerlegen Sie die Zeitreihe in die vier bekannten Komponenten. Beschreiben und erklären Sie den Unterschied zur Zeitreihe aus Aufgabe 6.

9

Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Vorgänge untersucht, deren Ergebnis nicht sicher vorausgesagt werden kann, d.h. das Ergebnis hängt vom Zufall ab. Die möglichen Ergebnisse seien dabei bekannt und werden Ereignisse genannt. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses. Im täglichen Leben werden solche Wahrscheinlichkeiten oft in % angegeben. Beispiele für Wahrscheinlichkeiten und zufällige Ereignisse sind: • • • • •

Ergebnis einer Lottoziehung Gewinnchancen bei Glücksspielen Ergebnisse bei Sportveranstaltungen Lebensdauern von Glühbirnen Geschlecht eines Kindes.

In diesem Kapitel wird der Begriff der Wahrscheinlichkeit definiert. Danach werden die Abschnitte Zufallsexperimente, Kombinatorik, Zufallsvariablen und spezielle Verteilungen folgen.

9.1

Zufallsexperimente und Ereignisse

Definition 9.1 Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem nicht mit absoluter Sicherheit vorausgesagt werden kann, welches der möglichen Ergebnisse eintreten wird. Definition 9.2 1. Die nach der Durchführung des Experiments möglichen Ergebnisse heißen Elementarereignisse. 2. Die Menge aller Elementarereignisse heißt die Ergebnismenge 𝛺𝛺. 3. Ein Ereignis ist eine Teilmenge von 𝛺𝛺. 4. Das Ereignis Ω tritt immer ein und heißt das sichere Ereignis. 5. Das Ereignis ∅ tritt nie ein und heißt das unmögliche Ereignis. 6. Das Ereignis 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 tritt ein, wenn 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 gleichzeitig eintreten. 7. Das Ereignis 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 tritt ein, wenn mindestens eines der Ereignisse 𝐴𝐴 oder 𝐵𝐵 eintritt. 8. Das Ereignis 𝐴𝐴̅ heißt das Komplementärereignis. Es gilt: 𝐴𝐴̅ = 𝛺𝛺\𝐴𝐴.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-185

170

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel 9.1 Gegeben sei ein echter Würfel. Da die möglichen Ergebnisse beim einmaligen Werfen die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 sind, gilt: 𝛺𝛺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mögliche Ereignisse sind: 𝐴𝐴 = {1} 𝐵𝐵 = {1, 3, 5} 𝐶𝐶 = {1, 2, 3} 𝐷𝐷 = {2, 3, 5} 𝐸𝐸 = {2, 3, 4, 5, 6}

: Man würfelt eine Eins. : Man würfelt eine ungerade Zahl. : Man würfelt eine Zahl kleiner als die Vier. : Man würfelt eine Primzahl. : Man würfelt eine Zahl größer als die Eins.

Mögliche Verknüpfungen sind: 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶 = {1, 3} : Man würfelt eine ungerade Zahl kleiner als die Vier. 𝐴𝐴 ∪ 𝐸𝐸 = Ω : Man würfelt eine Eins oder eine Zahl größer als die Eins. 𝐴𝐴̅ = E : Man würfelt keine Eins.

Beispiel 9.2 Beim Zahlenlotto werden 7 Zahlen aus den Zahlen 1, 2, 3, … , 49 zufällig gezogen. Dann gilt: 𝛺𝛺 = {(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 , 𝑥𝑥7 )|𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈ {1, 2, 3, … , 49}, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 7

9.2

und 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 < 𝑥𝑥3 < 𝑥𝑥4 < 𝑥𝑥5 < 𝑥𝑥6 < 𝑥𝑥7 }.

Wahrscheinlichkeiten

Die Chance für das Eintreten eines vorgegebenen Ereignisses soll durch eine Zahl 𝑃𝑃(𝐴𝐴) beschrieben werden.

Der Weg zum heutigen axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff verlief über zwei Vorstufen. Der erste Versuch war der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace: Anzahl der für 𝐴𝐴 günstigen Fälle . 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = Anzahl der möglichen Fälle Dieser war z.B. völlig ausreichend, um die Gewinn- oder Verlustwahrscheinlichkeiten von Glücksspielen zu berechnen. Die Grenzen dieses Wahrscheinlichkeitsbegriffs waren aber bei einfachen Problemen schon erreicht, wie z.B. der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten einer durch eine unregelmäßige Gewichtsverteilung verfälschten Münze. Die zweite Stufe der Entwicklung gelang von Mises mit Hilfe von relativen Häufigkeiten. Sei dabei 𝐴𝐴 ein Ereignis. Ein Zufallsexperiment werde 𝑛𝑛 mal hintereinander unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Das Ereignis 𝐴𝐴 trete ℎ𝑛𝑛 (𝐴𝐴) − mal auf. Dann ist die relative Häufigkeit 𝑟𝑟𝑛𝑛 (𝐴𝐴) gegeben durch: ℎ𝑛𝑛 (𝐴𝐴) . 𝑟𝑟𝑛𝑛 (𝐴𝐴) = 𝑛𝑛 Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von 𝐴𝐴 ist dann: 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = lim 𝑟𝑟𝑛𝑛 (𝐴𝐴). 𝑛𝑛→∞

9.2 Wahrscheinlichkeiten

171

Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff konnte ebenfalls nicht allgemein verwendet werden, da dieser Grenzwert aus einer unendlichen Beobachtungsserie ermittelt werden müsste, was natürlich nicht möglich ist. So könnten hier unterschiedliche Beobachtungsserien, die nach der gleichen Zahl 𝑛𝑛 abgebrochen werden, verschiedene relative Häufigkeiten ergeben. Beispiel 9.3 1. Das Werfen einer echten Münze kann mit der Definition von Laplace behandelt werden. 2. Das Werfen einer verfälschten Münze oder das Werfen eines Reißnagels können experimentell mit der Definition von von Mises behandelt werden, wenn man 𝑛𝑛 sehr groß wählt.

Der heute gültige Wahrscheinlichkeitsbegriff wurde von dem russischen Mathematiker Kolmogorow im Jahre 1933 entwickelt. Er definierte ein Axiomensystem, bestehend aus 3 widerspruchsfreien Minimalforderungen. Mit Hilfe dieser Axiome lassen sich zwar Wahrscheinlichkeiten nicht direkt berechnen, doch können damit unbekannte Wahrscheinlichkeiten beliebig genau geschätzt werden. Definition 9.3 Eine Wahrscheinlichkeit 𝑃𝑃 ist eine Funktion, die jedem Ereignis (d.h. jeder Menge 𝐴𝐴 ⊆ 𝛺𝛺) eine Zahl ∈ [0, 1] zuordnet mit folgenden drei Eigenschaften: • 0 ≤ 𝑃𝑃(𝐴𝐴) ≤ 1 • 𝑃𝑃(𝛺𝛺) = 1 •

∞

∞

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

Aus 𝐴𝐴𝑖𝑖 ∩ 𝐴𝐴𝑘𝑘 = ∅ für alle 𝑖𝑖 ≠ 𝑘𝑘 folgt 𝑃𝑃 �� 𝐴𝐴𝑖𝑖 � = � 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖 ).

Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff wird im Folgenden verwendet. Beispiel 9.4 Sei 𝛺𝛺 = ℕ und sei 𝑃𝑃({𝑛𝑛}) = 1⁄2𝑛𝑛 für alle 𝑛𝑛 ∈ ℕ. 1 Dann gilt: 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = � 𝑖𝑖 . 2 𝑖𝑖|𝑖𝑖∈𝐴𝐴

Diese Funktion ist eine Wahrscheinlichkeit, da alle Axiome erfüllt sind. ∞

∞

1 𝑖𝑖 1 1 𝑖𝑖 1 1 Insbesondere gilt: 𝑃𝑃(𝛺𝛺) = � � � = . � � � = . = 1. 2 2 1−1 2 2 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=0 2 Definition 9.4 Zwei Ereignisse 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 heißen unabhängig, falls gilt: 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) ∙ 𝑃𝑃(𝐵𝐵).

172

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel 9.5 Gegeben sei ein Würfel, der einmal geworfen wird. Außerdem seien 4 Ereignisse 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 und 𝐷𝐷 gegeben: 𝐴𝐴 = {1, 2}, 𝐵𝐵 = {2, 3}, 𝐶𝐶 = {1, 2, 3, 4} und 𝐷𝐷 = {3, 4, 5}. Wegen 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {2} und 𝐶𝐶 ∩ 𝐷𝐷 = {3, 4} gilt: 1 1 1 1 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃({2}) = ≠ = ∙ = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) ∙ 𝑃𝑃(𝐵𝐵). 6 9 3 3 Also sind die Ereignisse 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 abhängig. 1 2 1 𝑃𝑃(𝐶𝐶 ∩ 𝐷𝐷) = 𝑃𝑃({3, 4}) = = ∙ = 𝑃𝑃(𝐶𝐶) ∙ 𝑃𝑃(𝐷𝐷). 3 3 2 Also sind die Ereignisse 𝐶𝐶 und 𝐷𝐷 unabhängig.

9.3

Kombinatorik

Hauptziel der Kombinatorik ist die Bestimmung der Anzahl von Anordnungs- und Auswahlmöglichkeiten. Ein berühmtes Beispiel ist die Frage nach der Anzahl aller möglichen Tippreihen beim Zahlenlotto. Würde man nämlich alle möglichen Tippreihen abgeben, hätte man sich ganz sicher den Lebenstraum vieler Menschen erfüllt, einmal Sechs Richtige im Zahlenlotto zu haben. Mit Hilfe der Kombinatorik stellt man dann aber fest, dass die Gebühren für all diese Tippreihen deutlich höher wären, als die Summe aller Gewinne!

9.3.1

Anordnungen von 𝑛𝑛 Elementen

In diesem Abschnitt werden Formeln zur Bestimmung der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 𝑛𝑛 Elemente anzuordnen, angegeben. Wird dabei die Reihenfolge der Elemente in der Anordnung nicht berücksichtigt, gibt es nur eine einzige Möglichkeit. Satz 9.1 Die Anzahl, 𝑛𝑛 verschiedene Elemente mit Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen, ist

𝑛𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ 𝑛𝑛. Diese Anordnungen werden auch Permutationen genannt.

Beispiel 9.6 1. Will man 3 Bücher 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 und 𝐶𝐶 nebeneinander in ein Bücherregal stellen, so gibt es 3! = 6 verschiedene Möglichkeiten: (𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶), (𝐴𝐴, 𝐶𝐶, 𝐵𝐵), (𝐵𝐵, 𝐴𝐴, 𝐶𝐶), (𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐴𝐴), (𝐶𝐶, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵) und (𝐶𝐶, 𝐵𝐵, 𝐴𝐴). 2.

Ein kleiner Hörsaal hat genau 30 Plätze. Dann gibt es genau 30! = 2.653 ∙ 1032 verschiedene Möglichkeiten, 30 Studierende auf diese Plätze zu verteilen. An dieser Zahl wird ersichtlich, dass die Anzahl, 𝑛𝑛 verschiedene Objekte mit Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen, mit wachsendem 𝑛𝑛 sehr schnell riesig groß wird.

9.3 Kombinatorik

173

Satz 9.2 Gegeben seien 𝑛𝑛 Elemente. Unter diesen 𝑛𝑛 Elementen sind 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 paarweise voneinander verschieden und haben die absoluten Häufigkeiten 𝑛𝑛1 , 𝑛𝑛2 , … , 𝑛𝑛𝑘𝑘 , also 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑛𝑘𝑘 = 𝑛𝑛. Dann gibt es 𝑛𝑛! ∏𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑛𝑛𝑖𝑖 ! verschiedene Möglichkeiten, diese 𝑛𝑛 Elemente mit Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen.

Beispiel 9.7 Aus den 5 Buchstaben des Wortes essen sollen alle verschiedenen Anordnungen gebildet werden. Die absoluten Häufigkeiten der 3 verschiedenen Buchstaben 𝑒𝑒, 𝑠𝑠 und 𝑛𝑛 sind 2, 2 und 1. Deshalb gibt es 5!�2! ∙ 2! ∙ 1! = 30 verschiedene Möglichkeiten: eenss, eesns, eessn, eness, enses, ensse, esens, esesn, esnes, esnse, essen, essne,

neess, neses, nesse, nsees, nsese, nssee,

ssnee, ssene, sseen, snsee, snese, snees, sesne, sesen, sense, senes,

9.3.2

seesn, seens.

Anordnungen von 𝑘𝑘 Elementen aus 𝑛𝑛 verschiedenen Elementen mit Berücksichtigung der Reihenfolge

In diesem Abschnitt werden Formeln zur Bestimmung der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 𝑘𝑘 Elemente aus 𝑛𝑛 verschiedenen Elementen auszuwählen, angegeben. Dabei wird die Reihenfolge, in der diese 𝑘𝑘 Elemente angeordnet werden, berücksichtigt.

Satz 9.3 Aus 𝑛𝑛 verschiedenen Elementen werden 𝑘𝑘 Elemente ausgewählt. Dabei wird die Reihenfolge, in der diese 𝑘𝑘 Elemente angeordnet werden, berücksichtigt. 1.

2.

Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten ohne Wiederholungen ist 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1) ∙ … ∙ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1) = für 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛. (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten mit Wiederholungen ist 𝑛𝑛𝑘𝑘 für 𝑘𝑘 ∈ ℕ.

174

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel 9.8 Gegeben seien 4 Fruchtsorten 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 und 𝐷𝐷. Davon sollen zwei ausgewählt werden, die dann in der Reihenfolge der Auswahl gegessen werden. 1.

2.

Dann gibt es 4 ∙ 3 = 12 Möglichkeiten ohne Wiederholungen: (𝐴𝐴, 𝐵𝐵), (𝐴𝐴, 𝐶𝐶), (𝐴𝐴, 𝐷𝐷), (𝐵𝐵, 𝐴𝐴), (𝐵𝐵, 𝐶𝐶), (𝐵𝐵, 𝐷𝐷, ) (𝐶𝐶, 𝐴𝐴), (𝐶𝐶, 𝐵𝐵), (𝐶𝐶, 𝐷𝐷), (𝐷𝐷, 𝐴𝐴), (𝐷𝐷, 𝐵𝐵) und (𝐷𝐷, 𝐶𝐶).

Dann gibt es 42 = 16 Möglichkeiten mit Wiederholungen: Zu den 12 Möglichkeiten von Punkt 1. kommen noch die 4 Paare (𝐴𝐴, 𝐴𝐴), (𝐵𝐵, 𝐵𝐵), (𝐶𝐶, 𝐶𝐶) und (𝐷𝐷, 𝐷𝐷) hinzu.

9.3.3

Anordnungen von 𝑘𝑘 Elementen aus 𝑛𝑛 verschiedenen Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

In diesem Abschnitt werden Formeln zur Bestimmung der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 𝑘𝑘 Elemente aus 𝑛𝑛 verschiedenen Elementen auszuwählen, angegeben. Dabei wird die Reihenfolge der Anordnung der 𝑘𝑘 Elemente nicht berücksichtigt.

Definition 9.5 Für alle 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ, 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 heißt die natürliche Zahl 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1) ∙ … ∙ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1) 𝑛𝑛 = � �= 𝑘𝑘 𝑘𝑘! ∙ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! 1 ∙ 2 ∙ … ∙ 𝑘𝑘 Binomialkoeffizient.

Satz 9.4 Aus 𝑛𝑛 verschiedenen Elementen werden 𝑘𝑘 Elemente ausgewählt. Dabei wird die Reihenfolge, in der diese 𝑘𝑘 Elemente angeordnet werden, nicht berücksichtigt. 1.

2.

Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten ohne Wiederholungen ist 𝑛𝑛 � � für 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛. 𝑘𝑘 Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten mit Wiederholungen ist 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 − 1 � � für 𝑘𝑘 ∈ ℕ. 𝑘𝑘

Beispiel 9.9 Gegeben seien 4 Fruchtsorten 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 und 𝐷𝐷. Davon sollen zwei ausgewählt werden, um einen Fruchtsaft herzustellen. 4 1. Dann gibt es � � = 6 Möglichkeiten ohne Wiederholungen: 2 (𝐴𝐴, 𝐵𝐵), (𝐴𝐴, 𝐶𝐶), (𝐴𝐴, 𝐷𝐷), (𝐵𝐵, 𝐶𝐶), (𝐵𝐵, 𝐷𝐷) und (𝐶𝐶, 𝐷𝐷). 5 2. Dann gibt es � � = 10 Möglichkeiten mit Wiederholungen: 2 Zu den 6 Möglichkeiten von Punkt 1. kommen noch die 4 Paare (𝐴𝐴, 𝐴𝐴), (𝐵𝐵, 𝐵𝐵), (𝐶𝐶, 𝐶𝐶) und (𝐷𝐷, 𝐷𝐷) hinzu.

9.4 Zufallsvariablen und Verteilungen

175

Beispiel 9.10 Das berühmteste Beispiel für Anordnungen von 𝑘𝑘 aus 𝑛𝑛 Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist das Zahlenlotto 6 aus 49. 49 Hier gibt es � � = 13 983 816 verschiedene Möglichkeiten, eine Tippreihe auszuwählen. 6

9.4

Zufallsvariablen und Verteilungen

In diesem Abschnitt werden Zufallsvariablen eingeführt und deren Verteilungen beschrieben. Solche Größen sind wesentliche Hilfsmittel, um vom Zufall abhängige Vorgänge zu beschreiben. Verteilungen können wie in der beschreibenden Statistik durch geeignete Parameter beschrieben werden. In der Praxis treten oft spezielle Verteilungen auf. Von den diskreten Verteilungen werden die Binomialverteilung und die Poissonverteilung als wichtigste Vertreter vorgestellt, während von den stetigen Verteilungen die Gleichverteilung, die Exponentialverteilung und die Normalverteilung von großer Bedeutung sind.

9.4.1

Zufallsvariablen

Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden oft durch eine reelle Zahl dargestellt. Hat man andere Versuchsergebnisse, so werden aus diesen häufig reelle Zahlen zur Beschreibung des Versuchsergebnisses gebildet. Diese Beschreibung hat viele Vorzüge, wie man den folgenden Ausführungen entnehmen kann. Zur weiteren Beschreibung wird in der folgenden Definition der Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes eingeführt. Definition 9.6 Sei 𝛺𝛺 eine Menge von Elementarereignissen, ℱ ein System von Mengen mit speziellen Eigenschaften (∅ ∈ ℱ; das Komplement jeder Menge gehört auch zu Ƒ; mit 𝐴𝐴𝑖𝑖 ∈ ℱ, i ∈ ℕ gehört auch die Vereinigung aller 𝐴𝐴𝑖𝑖 zu ℱ), und 𝑃𝑃 eine Wahrscheinlichkeit. Dann heißt das Tripel (𝛺𝛺, ℱ, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition 9.7 Eine Abbildung 𝑋𝑋: 𝛺𝛺 → ℝ, die jedem Elementarereignis eine reelle Zahl zuordnet, heißt (reelle) Zufallsvariable. Beispiel 9.11 Bei einem Zufallsexperiment wird mit einem Würfel zweimal hintereinander gewürfelt. Dann gilt für die Ergebnismenge: 𝛺𝛺 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), ⋯ (2, 6) ⋮ ⋮ (6, 1), ⋯ (6, 6)}.

176

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hängen bei einem Glücksspiel die Gewinne ausschließlich von der Summe der Augenzahlen ab, so wird jedem Element aus (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ∈ 𝛺𝛺 die Augensumme 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 zugeordnet. Es gilt dann: 𝑋𝑋: (1, 1) → 1 + 1 = 2 𝑋𝑋: (1, 2) → 1 + 2 = 3 ⋮ 𝑋𝑋: (6, 6) → 6 + 6 = 12.

9.4.2

Verteilungen

Nun möchte man natürlich wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die verschiedenen Werte ( = Realisierungen) der Zufallsvariablen bei der Durchführung eines Zufallsexperiments angenommen werden, falls es überschaubar viele Versuchsausgänge gibt. Nimmt die Zufallsvariable dagegen Werte in einem ganzen Intervall oder sogar aus ganz ℝ an, so möchte man wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit 𝑋𝑋 in ein fest vorgegebenes Intervall fällt. Diese Fragestellungen werden mit dem Begriff der Verteilungen behandelt.

Definition 9.8 1. Die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable 𝑋𝑋 eine Realisierung 𝑥𝑥 annimmt, ist 2.

𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) = 𝑃𝑃({𝜔𝜔 ∈ 𝛺𝛺|𝑋𝑋(𝜔𝜔) = 𝑥𝑥}). Die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable 𝑋𝑋 eine Realisierung 𝑥𝑥 aus dem Intervall [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] annimmt, ist

𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏) = 𝑃𝑃({𝜔𝜔 ∈ 𝛺𝛺|𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋(𝜔𝜔) ≤ 𝑏𝑏}). Mit dieser Definition wird eine Verknüpfung von Mengen aus 𝛺𝛺 mit der Wahrscheinlichkeit 𝑃𝑃 hergestellt. Da die weiteren Überlegungen stark von der Gestalt des Wertebereichs der Zufallsvariablen 𝑋𝑋 abhängen, werden in der folgenden Definition Klassen von Zufallsvariablen erklärt, die sich durch die explizite Gestalt des Wertebereichs unterscheiden.

Definition 9.9 1. Besteht der Wertebereich einer Zufallsvariablen aus endlich vielen oder höchstens abzählbar unendlich vielen Werten {𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 ∈ ℕ}, so heißt die Zufallsvariable diskret.

2.

Ist der Wertebereich einer Zufallsvariablen ein Intervall oder bilden die gesamten reellen Zahlen den Wertebereich, so heißt die Zufallsvariable stetig.

9.4.3

Diskrete Verteilungen

Hat man eine diskrete Zufallsvariable vorliegen, so entspricht diese Situation fast vollständig derjenigen in der beschreibenden Statistik. Deshalb können durch geringfügige Modifikationen viele Sachverhalte der beschreibenden Statistik übertragen werden.

9.4 Zufallsvariablen und Verteilungen

177

Definition 9.10 Die diskrete Zufallsvariable 𝑋𝑋 besitze den Wertebereich {𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 ∈ ℕ}. Ferner seien die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Zufallsvariable 𝑋𝑋 eine Realisierung 𝑥𝑥𝑖𝑖 annimmt, 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 𝑃𝑃({𝜔𝜔 ∈ 𝛺𝛺|𝑋𝑋(𝜔𝜔) = 𝑥𝑥𝑖𝑖 }) > 0. Dann heißt die Menge aller Paare (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )), die Verteilung der Zufallsvariablen 𝑋𝑋. Aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeit folgt 1. 2.

𝑛𝑛

Bei endlichem Wertebereich: � 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 1. 𝑖𝑖=1

∞

Bei abzählbar unendlichem Wertebereich: � 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 1. 𝑖𝑖=1

Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable wird entweder durch eine Tabelle, bestehend aus den Punkten (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )), 𝑖𝑖 ∈ ℕ oder graphisch durch ein Stabdiagramm angegeben.

Beispiel 9.12 Bei einem Glücksspiel wird mit einem Würfel zweimal hintereinander gewürfelt. Der Einsatz beträgt 10€. Es erfolgt folgende Gewinnausschüttung:

• • •

Bei einer Summe von 7 erhält der Spieler 10€ Gewinn (zuzüglich seines Einsatzes von 10€). Bei einer Summe von 12 erhält der Spieler den Hauptgewinn von 100€ (zuzüglich seines Einsatzes von 10€). Bei allen anderen Summen hat der Spieler verloren.

Die Zufallsvariable 𝑋𝑋, die das Spiel aus mathematischer Sicht beschreibt, gibt den Gewinn in Abhängigkeit der gewürfelten Augenzahlen an. Die drei möglichen Spielergebnisse sind +10, +100 und −10. Es ist jetzt noch zu überlegen, welche Elementarereignisse auf welches Spielergebnis führen. Spielergebnis Elementarereignisse

10 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

100 (6, 6)

−10 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)

Alle Elementarereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 𝑃𝑃({(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)}) = . 36

Damit gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 10) = 𝑃𝑃({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) =

6 . 36

178

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die anderen beiden Wahrscheinlichkeiten werden analog bestimmt. Deshalb kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle angegeben werden: 𝑥𝑥𝑖𝑖

10 6 36

𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )

100 1 36

−10 29 36

Die grafische Darstellung erfolgt durch ein Stabdiagramm: 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Abb. 9.1

-10

10

100

Stabdiagramm

Beispiel 9.13 Eine Maschine fertigt ein Produkt an, das in 10% aller Fälle unbrauchbar ist. Es werden drei Produkte hergestellt. Diese werden anschließend gemeinsam verpackt und an die Kunden verschickt. Der Kunde akzeptiert die Sendung nur, wenn höchstens ein Produkt unbrauchbar ist. Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 1).

Für diese Wahrscheinlichkeit gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 1) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 0) + 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 1). Definition 9.11 Für jede Zufallsvariable heißt die Funktion

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) = � 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )

die Verteilungsfunktion.

𝑖𝑖|𝑥𝑥𝑖𝑖 ≤𝑥𝑥

Die Verteilungsfunktion von diskreten Zufallsvariablen ist stets eine monoton wachsende Treppenfunktion. Eine Verteilungsfunktion ist wegen lim 𝐹𝐹(𝑥𝑥 + ℎ) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) an jeder Stelle 𝑥𝑥 rechtsseitig stetig.

ℎ→∞,ℎ>0

9.4 Zufallsvariablen und Verteilungen

179

Beispiel 9.14 Für die Zufallsvariable 𝑋𝑋 (siehe Beispiel 9.12) mit der Verteilung 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )

−10 29 = 0.8056 36

10 6 = 0.1667 36

100 1 = 0.0277 36

lautet die Verteilungsfunktion 0 für 𝑥𝑥 < −10 0.8056 für −10 ≤ 𝑥𝑥 < 10 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 0.9723 für 10 ≤ 𝑥𝑥 < 100 1 für 𝑥𝑥 ≥ 100. Im folgenden Schaubild ist diese Treppenfunktion dargestellt. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

-50

Abb. 9.2

-30

-10

10

30

50

70

90

110

130

150

Verteilungsfunktion (diskrete ZV)

Diesem Schaubild entnimmt man weitere Eigenschaften der Verteilungsfunktion: lim 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 0 und lim 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 1.

𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥→∞

Wie in der beschreibenden Statistik kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die Angabe charakteristischer Parameter beschrieben werden. Die zwei wichtigsten Parameter sind der Erwartungswert und die Varianz. Der Median und die Quantile spielen in der beurteilenden Statistik eine zentrale Rolle. Definition 9.12 Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable 𝑋𝑋. Dann heißt 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = � 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖

der Erwartungswert der Zufallsvariablen 𝑋𝑋.

𝑛𝑛

∞

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

Dabei ist das Symbol � eine Abkürzung für die beiden möglichen Fälle � oder �. 𝑖𝑖

180

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition 9.13 Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable 𝑋𝑋. Dann heißt eine Zahl 𝑥𝑥𝛼𝛼 das 𝛼𝛼 − Quantil, falls gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥𝛼𝛼 ) ≥ 𝛼𝛼 und 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥ 𝑥𝑥𝛼𝛼 ) ≥ 1 − 𝛼𝛼. Definition 9.14 Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable 𝑋𝑋. Dann heißt

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝜇𝜇)2 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = � 𝑥𝑥𝑖𝑖2 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) − 𝜇𝜇2 𝑖𝑖

𝑖𝑖

die Varianz der Zufallsvariablen 𝑋𝑋.

Die zentrale Bedeutung des Erwartungswerts liegt darin, dass er für große Stichprobenumfänge im Prinzip mit dem arithmetischen Mittel übereinstimmt. Die Quantile 𝑥𝑥𝛼𝛼 und 𝑥𝑥1−𝛼𝛼 sind die Grenzen der Intervalle, in denen sich (1 − 2𝛼𝛼) ∙ 100% der Werte der Zufallsvariablen 𝑋𝑋 befinden, wenn die ersten 𝛼𝛼 ∙ 100% und die letzten 𝛼𝛼 ∙ 100% der Werte vernachlässigt werden.

Die Varianz ist ein Maß dafür, wie stark die Werte der Zufallsvariablen um den Erwartungswert streuen. Beispiel 9.15 Für die Zufallsvariable 𝑋𝑋 (siehe Beispiel 9.12) mit der Verteilung 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 )

gilt:

−10 29 = 0.8056 36 3

10 6 = 0.1667 36

𝜇𝜇 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 3

𝑖𝑖=1

100 1 = 0.0277 36

29 6 1 ∙ (−10) + ∙ 10 + ∙ 100 = −3.61 36 36 36

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖2 ∙ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) − 𝜇𝜇2 = 361.96 𝑖𝑖=1

9.4.4

𝑥𝑥0.1 = −10, 𝑥𝑥0.25 = −10, 𝑥𝑥0.85 = 10 und 𝑥𝑥0.99 = 100.

Spezielle diskrete Verteilungen

9.4.4.1 Die Binomialverteilung Die wichtigste diskrete Verteilung ist die Binomialverteilung.

9.4 Zufallsvariablen und Verteilungen

181

Definition 9.15 Ein Zufallsexperiment wird 𝑛𝑛 mal hintereinander durchgeführt. Bei jeder Ausführung ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Ereignisses 𝐴𝐴 gleich 𝑝𝑝. Die Zufallsvariable 𝑋𝑋 beschreibt die Anzahl des Auftretens des Ereignisses 𝐴𝐴 bei diesen 𝑛𝑛 Versuchen. 𝑛𝑛 Dann gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = � � ∙ 𝑝𝑝𝑘𝑘 ∙ (1 − 𝑝𝑝)𝑛𝑛−𝑘𝑘 für 𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛𝑛. 𝑘𝑘 Diese Zufallsvariable 𝑋𝑋 heißt binomialverteilt mit den Parametern 𝑛𝑛 und 𝑝𝑝. Man schreibt: 𝑋𝑋 ist 𝑏𝑏(𝑛𝑛, 𝑝𝑝) − verteilt.

Für die beiden wichtigsten Kenngrößen der Binomialverteilung gilt: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝑛𝑛𝑛𝑛 und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 𝑛𝑛𝑛𝑛 ∙ (1 − 𝑝𝑝).

Beispiel 9.16 Die von einer Maschine hergestellten Glühbirnen sind in 2% aller Fälle nicht funktionstüchtig. In einem Versandkarton sind 100 Glühbirnen.

Dann gilt: Die Zufallsvariable 𝑋𝑋, die die Anzahl der defekten Glühbirnen beschreibt, ist 𝑏𝑏(100, 0.02) − verteilt. 100 Also gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 0) = � � ∙ 0.020 ∙ 0.98100 = 0.1326. 0 100 Also gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2) = � � ∙ 0.022 ∙ 0.9898 = 0.27341. 2 Außerdem gilt: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 100 ∙ 0.02 = 2 und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 100 ∙ 0.02 ∙ 0.98 = 1.96. 9.4.4.2

Die Poissonverteilung

Definition 9.16 Eine Zufallsvariable 𝑋𝑋 heißt poissonverteilt, falls gilt:

𝜆𝜆𝑘𝑘 −𝜆𝜆 ∙ 𝑒𝑒 für 𝑘𝑘 ∈ ℕ und 𝜆𝜆 > 0. 𝑘𝑘! Die Poissonverteilung wird in erster Linie als Näherung für die Binomialverteilung verwendet. Ist 𝑛𝑛 groß und 𝑝𝑝 klein, so gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) =

𝑘𝑘

𝜆𝜆 𝑛𝑛 � � ∙ 𝑝𝑝𝑘𝑘 ∙ (1 − 𝑝𝑝)𝑛𝑛−𝑘𝑘 ≈ ∙ 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 . 𝑛𝑛→∞,𝑛𝑛𝑛𝑛=𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑘𝑘! Somit gilt für große 𝑛𝑛 und kleine 𝑝𝑝: (𝑛𝑛𝑛𝑛)𝑘𝑘 −𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 � � ∙ 𝑝𝑝𝑘𝑘 ∙ (1 − 𝑝𝑝)𝑛𝑛−𝑘𝑘 = ∙ 𝑒𝑒 . 𝑘𝑘 𝑘𝑘! Diese Näherung ist für 𝑛𝑛 ≥ 50 und 𝑝𝑝 ≤ 0.1 brauchbar. lim

Für die beiden wichtigsten Parameter der Poissonverteilung gilt: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝜆𝜆 und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 𝜆𝜆. Das wichtigste Beispiel für das Auftreten einer Poissonverteilung in der Praxis waren die Untersuchungen der Todesfälle durch Hufschlag in den preußischen Kavallerieregimenten.

182

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein anderes Beispiel ist die Anzahl der pro Zeiteinheit in einer Telefonzentrale eintreffenden Anrufe.

9.4.5

Stetige Verteilungen

Ist der Wertebereich einer Zufallsvariablen 𝑋𝑋 ein ganzes Intervall oder sogar ganz ℝ, so heißt die Zufallsvariable 𝑋𝑋 stetig, falls es eine Dichtefunktion 𝑓𝑓 gibt, mit deren Hilfe dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden kann. Definition 9.17 Eine Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) heißt Dichtefunktion, falls gilt: 1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0 für 𝑥𝑥 ∈ ℝ 2.

∞

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1.

−∞

Definition 9.18 Eine Zufallsvariable 𝑋𝑋 heißt stetig mit der Dichtefunktion 𝑓𝑓, falls gilt: 𝑏𝑏

𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 für alle 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏. 𝑎𝑎

𝑥𝑥

Für die Verteilungsfunktion gilt dann: 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑. −∞

Ganz im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen gilt bei stetigen Verteilungen: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥) = 0. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen ist somit durch die Angabe der Dichtefunktion eindeutig gegeben. Beispiel 9.17 Die Zufallsvariable 𝑋𝑋, welche die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils beschreibt, besitze die Dichtefunktion 1 2 für 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 72 𝑥𝑥 0 sonst. Dies ist tatsächlich eine Dichtefunktion, da gilt: 0

∞

6

∞

1 1 3 6 𝑥𝑥 � + 0 = 1. � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 0𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 0𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 + � 72 216 0

−∞

𝑥𝑥

Wegen 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 0

−∞

0

6

1 2 1 3 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 für 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6 gilt für die Verteilungsfunktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥): 72 216

9.4 Zufallsvariablen und Verteilungen

183

0 𝑓𝑓ü𝑟𝑟 𝑥𝑥 ≤ 0 1 3 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥 𝑓𝑓ü𝑟𝑟 0 < 𝑥𝑥 < 6 216 1 𝑓𝑓ü𝑟𝑟 𝑥𝑥 ≥ 6. Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion sind in den folgenden zwei Schaubildern dargestellt.

-2 Abb. 9.3

-2 Abb. 9.4

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0

2

4

6

8

4

6

8

Dichtefunktion einer stetigen ZV

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0

2

Verteilungsfunktion einer stetigen ZV

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Alter in das Intervall [3, 5] fällt, ist 1 1 49 𝑃𝑃(3 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 5) = 𝐹𝐹(5) − 𝐹𝐹(3) = ∙ 53 − ∙ 33 = . 216 216 108

Beim Übergang von diskreten Zufallsvariablen zu stetigen Zufallsvariablen wurde aus der Summe im Grenzübergang ein Integral. Auf die gleiche Weise werden die charakteristischen Parameter erklärt.

184

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition 9.19 Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable 𝑋𝑋. Dann heißt ∞

𝜇𝜇 = 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = � 𝑥𝑥 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 −∞

der Erwartungswert der Zufallsvariablen 𝑋𝑋, falls das Integral auf der rechten Seite existiert (absolut konvergiert). Definition 9.20 Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable 𝑋𝑋. Dann heißt eine Zahl 𝑥𝑥𝛼𝛼 das 𝛼𝛼 − Quantil, falls gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥𝛼𝛼 ) = 𝛼𝛼. Ist die Verteilungsfunktion streng monoton wachsend, so sind die 𝛼𝛼 − Quantile eindeutig, andernfalls werden sie aus den Mittelwerten der Plateauendpunkte berechnet. Definition 9.21 Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable 𝑋𝑋. Dann heißt ∞

∞

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = � (𝑥𝑥 − 𝜇𝜇) ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥 2 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 2 −∞

2

−∞

die Varianz der Zufallsvariablen 𝑋𝑋, falls das Integral auf der rechten Seite existiert.

Beispiel 9.18 Für die Zufallsvariable 𝑋𝑋, mit der Dichtefunktion 1 2 für 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 72 𝑥𝑥 0 sonst gilt: 6

6

1 1 1 4 6 1 296 𝑥𝑥 � = = 4.5. 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = � 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 72 72 288 288 0 0

6

0

6

1 1 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑟𝑟(𝑋𝑋) = � 𝑥𝑥 2 ∙ 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 20.25 = � 𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 20.25 = 72 72 0

0

1 5 6 7 776 =� 𝑥𝑥 � − 20.25 = − 20.25 = 21.6 − 20.25 = 1.35. 360 360 0 1 3 𝑥𝑥 = 0.1 berechnet: Das Quantil 𝑥𝑥0.1 wird aus der Gleichung 216 0.1 3 𝑥𝑥0.1 = √21.6 = 2.785.

9.4 Zufallsvariablen und Verteilungen Das Quantil 𝑥𝑥0.25 wird aus der Gleichung 3

𝑥𝑥0.25 = √54 = 3.800.

Das Quantil 𝑥𝑥0.75 wird aus der Gleichung 3

185 1 3 𝑥𝑥 = 0.25 berechnet. 216 0.25

1 3 𝑥𝑥 = 0.75 berechnet: 216 0.75

𝑥𝑥0.75 = √162 = 5.452. Damit ist der Quartilsabstand 𝑥𝑥0.75 − 𝑥𝑥0.25 = 1.652.

Die „mittleren 50% aller Werte“ liegen somit im Intervall [3.800, 5.452].

9.4.6

Spezielle stetige Verteilungen

9.4.6.1

Die Gleichverteilung

Definition 9.22 Die Zufallsvariable 𝑋𝑋 folgt einer Gleichverteilung auf dem Intervall [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], falls sie die Dichtefunktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) hat mit 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 für 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 0 sonst. Für die Verteilungsfunktion gilt dann: 0 𝑓𝑓ü𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑓𝑓ü𝑟𝑟 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 1 𝑓𝑓ü𝑟𝑟 𝑥𝑥 ≥ 𝑏𝑏. Für die beiden wichtigsten Parameter der Gleichverteilung gilt: (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = . 12 2 Beispiel 9.19 Die Zufallsvariable 𝑋𝑋 sei auf dem Intervall [0, 5] gleichverteilt. Dann gilt:

0 für 𝑥𝑥 < 0 1 𝑥𝑥 für 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5 für 0 ≤ 𝑥𝑥 < 5 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 5 und 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 5 0 sonst. 1 für 𝑥𝑥 ≥ 5. 25 5 Außerdem gilt: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = . 12 2 Die folgenden zwei Schaubilder zeigen die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung.

186

-2 Abb. 9.5

-2

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0

2

4

6

8

Dichtefunktion der Gleichverteilung

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0

2

4

Abb. 9.6

Verteilungsfunktion der Gleichverteilung

9.4.6.2

Die Exponentialverteilung

6

8

Definition 9.23 Die Zufallsvariable 𝑋𝑋 folgt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter 𝜆𝜆 > 0, falls sie die Dichtefunktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) hat mit 0 für 𝑥𝑥 < 0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝜆𝜆 ∙ 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 für 𝑥𝑥 ≥ 0. Für die Verteilungsfunktion gilt dann: 0 für 𝑥𝑥 < 0 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 1 − 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 für 𝑥𝑥 ≥ 0. Für die beiden wichtigsten Parameter der Gleichverteilung gilt: 1 1 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 2 . 𝜆𝜆 𝜆𝜆

9.4 Zufallsvariablen und Verteilungen

187

Beispiel 9.20 Gegeben seien die Exponentialverteilungen mit den Parametern 𝜆𝜆 = 0.25, 𝜆𝜆 = 0.75 und 𝜆𝜆 = 2. Die Dichtefunktionen und die Verteilungsfunktionen sind in den zwei folgenden Schaubildern dargestellt. 1,9 1,4 0,9 0,4

-2 Abb. 9.7

-2 Abb. 9.8

-0,1

-1

0

1

2

3

4

Dichtefunktionen der Exponentialverteilung 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

0

2

4

6

Verteilungsfunktionen der Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung wird häufig als Lebensdauerverteilung eingesetzt. Dann gilt für 𝜆𝜆 = 0.25: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 4. Dies bedeutet, dass die Lebensdauer im Mittel 4 Zeiteinheiten beträgt.

Möchte man die Wahrscheinlichkeit wissen, mit der die Lebensdauer zwischen 3 und 8 Zeiteinheiten ist, so gilt: 𝑃𝑃(3 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 8) = 𝐹𝐹(8) − 𝐹𝐹(3) = (1 − 𝑒𝑒 −0.25∙8 ) − (1 − 𝑒𝑒 −0.25∙3 ) = 0.3370.

9.4.6.3 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung. Ihre zentrale Bedeutung liegt darin begründet, dass viele andere Verteilungen durch Normalverteilungen approximiert werden können.

188

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition 9.24 Die Zufallsvariable 𝑋𝑋 folgt einer Normalverteilung mit den Parametern 𝜇𝜇 ∈ ℝ und 𝜎𝜎 > 0, falls sie eine Dichtefunktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) hat mit 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

1

∙ 𝑒𝑒

(𝑥𝑥−𝜇𝜇)2 − 2𝜎𝜎 2 .

√2𝜋𝜋𝜋𝜋 Die Schreibweise ist: 𝑋𝑋 ist 𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎) − verteilt.

Da die Verteilungsfunktion der Normalverteilung sich nicht als Verknüpfung elementarer Funktionen darstellen lässt, müssen die Funktionswerte mit Hilfe numerischer Methoden berechnet werden. Eine ganz entscheidende Eigenschaft der Normalverteilung ist: 𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 Ist 𝑋𝑋 𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎) − verteilt, so ist Z = 𝑁𝑁(0, 1) − verteilt. 𝜎𝜎 Die Normalverteilung 𝑁𝑁(0, 1) mit den Parametern 𝜇𝜇 = 0 und 𝜎𝜎 2 = 1 heißt Standard-Normalverteilung.

Da die Normalverteilung von großer Bedeutung ist und da alle Normalverteilungen auf die Standard-Normalverteilung transformiert werden können, sind sowohl die Verteilungsfunktion 𝛷𝛷(𝑥𝑥) als auch die Quantile 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 der Standard-Normalverteilung tabelliert, um nicht ständig numerische Integrationen durchführen zu müssen. Diese und weitere Tabellen sind in Kapitel 21 zu finden. Für die beiden wichtigsten Parameter der Normalverteilung gilt: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝜇𝜇 und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 𝜎𝜎 2 .

Beispiel 9.21 Gegeben seien die Normalverteilungen 𝑁𝑁(0, 1), 𝑁𝑁(3, 4) und 𝑁𝑁(−1, 0.16). Die Dichtefunktionen sind im folgenden Schaubild dargestellt.

-3 Abb. 9.9

-1

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

1

Dichtefunktionen der Normalverteilung

3

5

9.5 Aufgaben zu Kapitel 9

189

Gegeben sei eine 𝑁𝑁(0, 1) − verteilte Zufallsvariable. Dann ist

𝑃𝑃(−2 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 3) = 𝛷𝛷(3) − 𝛷𝛷(−2) = 𝛷𝛷(3) − �1 − 𝛷𝛷(2)� =

= −1 + 𝛷𝛷(3) + 𝛷𝛷(2) = −1 + 0.9987 + 0.9772 = 0.9759. Gegeben sei eine 𝑁𝑁(3, 4) − verteilte Zufallsvariable. Dann ist −2 − 3 𝑋𝑋 − 3 3 − 3 𝑃𝑃 � ≤ ≤ � = 𝛷𝛷(0) − 𝛷𝛷(−2.5) = 2 2 2 = −1 + 𝛷𝛷(0) + 𝛷𝛷(2.5) = −1 + 0.5 + 0.9938 = 0.4938.

9.5

Aufgaben zu Kapitel 9

Aufgabe 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 Stück Kuchen, 2 Stück Torte und 8 Muffins hintereinander zu essen? Aufgabe 2 Ein Autokennzeichen besteht neben dem Städtesymbol (pro Stadt bzw. Landkreis) aus einem oder zwei Buchstaben sowie aus bis zu drei Ziffern. Wie viele solche Kennzeichen gibt es, wenn 26 Buchstaben verwendet werden können? Aufgabe 3 Sechs Informatiker haben jeweils eine weiße und eine schwarze Mütze. Es werden Fotos mit allen Informatikern gemacht. a)

Wie viele verschiedene Fotos gibt es, wenn jeder Informatiker eine Mütze auf dem Kopf hat? b) Wie viele verschiedene Fotos gibt es, wenn die Informatiker nicht notwendigerweise eine Mütze tragen müssen? c) Wie viele verschiedene Fotos gibt es, wenn genau zwei Informatiker keine Mütze tragen? Aufgabe 4 Ein Supermarkt bietet an Weihnachten folgendes Sonderangebot an: Ein Kunde darf aus 4 verschiedenen Sorten Lebkuchen 6 Packungen auswählen und muss nur 5 Packungen bezahlen. Dabei ist in einer Packung natürlich nur eine Sorte Lebkuchen. a)

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus diesen 4 Sorten 6 Packungen auszuwählen? b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus diesen 4 Sorten 6 Packungen auszuwählen, falls jede Sorte mindestens einmal ausgewählt werden muss? Aufgabe 5 Der Internetanbieter mymüsli hat folgendes Angebot. Zu 12 verschiedenen Basistypen kann man aus 15 verschiedenen Zusätzen bis zu 3 Stück mit Wiederholung hinzufügen. Wie viele Müslivarianten sind dann möglich?

190

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 6 Aus 5 Mathematikern und 7 Informatikern sollen 2 Mathematiker und 4 Informatiker in eine Projektgruppe bestellt werden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, falls a) jeder ausgewählt werden kann b) ein bestimmter Informatiker dabei sein muss c) zwei bestimme Mathematiker nicht zur Verfügung stehen? Aufgabe 7 Auf einer privaten Party sind 3 Damen und 3 Herren. Es wird in Paaren getanzt, wobei ein Paar immer aus einer Dame und einem Herrn besteht. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Tanzfläche zu besetzen, falls mindestens ein Paar dort tanzen muss? Aufgabe 8 In einer Lostrommel befinden sich 3 000 Lose mit den Nummern 1 bis 3 000. Jedes Los, das mit der Nummer 1 beginnt, gewinnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus der vollen Trommel ein Los zu ziehen, das gewinnt? Aufgabe 9 Aus 5 Ehepaaren werden zufällig 4 Personen ausgewählt. Mit welcher WK ist kein Ehepaar darunter? Aufgabe 10 Bei einer Feier sitzen 10 Personen an einem runden Tisch. Die Tischordnung wird zufällig ausgelost. Herr K. möchte unbedingt neben Frau M. sitzen. Wie groß ist seine Chance? Aufgabe 11 Bei einem Glücksspiel wird mit drei Würfeln hintereinander gewürfelt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Augenzahlen verschieden sind? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Augenzahlen gleich sind? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahlen von Wurf zu Wurf größer werden? Aufgabe 12 Drei Zweier-Ruderboote sollen mit sechs Personen besetzt werden. a)

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die drei Boote zu besetzen, wenn die Reihenfolge im Boot keine Rolle spielt? b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die drei Boote zu besetzen, wenn die Reihenfolge im Boot eine Rolle spielt und die drei Boote rot, grün und blau sind? c) Drei Damen und drei Herren besetzen die Boote völlig zufällig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in allen drei Booten jeweils eine Dame und ein Herr sitzt?

9.5 Aufgaben zu Kapitel 9

191

Aufgabe 13 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Zahlenlotto (6 aus 49) eine Drei (Vier, Fünf, Sechs) zu tippen? Aufgabe 14 𝑛𝑛 Personen werden zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben? Aufgabe 15 Im amerikanischen Fernsehen konnte der Gewinner einer Vorausscheidung anschließend ein Auto gewinnen. Dazu musste er eine von drei Türen A, B oder C auswählen. Entscheidet er sich hierbei zufällig für eine der drei Türen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das Auto gewinnt, gleich 1⁄3. Der Modus war jedoch etwas anders: Nach seiner Auswahl erhielt der Kandidat eine scheinbar wertlose Zusatzinformation, indem ihm der Name einer von ihm nicht gewählten Türe gesagt wurde, hinter welcher das Auto nicht ist. Danach durfte er sich neu für eine Türe entscheiden. a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das Auto gewinnt, falls er seine Wahl nach dieser Zusatzinformation beibehält? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das Auto gewinnt, falls er sich umentscheidet, also weder die Türe möchte, die er zuerst gewählt hat, noch die Türe nimmt, hinter der das Auto aufgrund der Zusatzinformation nicht ist? Aufgabe 16 Beim Start des Gesellschaftsspiels „Mensch ärgere dich nicht“ muss so lange gewartet werden, bis man eine 6 gewürfelt hat. Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen 𝑋𝑋 an, welche die Anzahl der Würfe bis zum Start beschreibt.

Aufgabe 17 Bei einem Glücksspiel mit einem Würfel gewinnt man das Doppelte seines Einsatzes von 1€, wenn man bei 4 Würfen mindestens eine Sechs würfelt. Bei einem anderen Glücksspiel mit zwei Würfeln gewinnt man das Doppelte seines Einsatzes von 1€, wenn man bei 24 Würfen mindestens eine Doppel-Sechs würfelt. Beurteilen Sie die beiden Spiele im Hinblick auf die Gewinnerwartung des Spielers. Aufgabe 18 Bei einem Gewinnspiel mit zwei Würfeln wird die Augensumme berechnet. Bei einem Einsatz von 5€ erhält man bei einer gewürfelten Summe von 2 genau 20 € und bei einer gewürfelten Augensumme von 11 genau 18€ als Gewinn. Bei allen anderen Augensummen ist das Spiel und der Einsatz verloren. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen 𝑋𝑋, die den Gewinn pro Spiel beschreibt.

192

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 19 Beim Roulette setzt ein Spieler folgende Strategie ein: Er setzt zu Beginn 10€ auf Rot. Bei einem Gewinn fängt das Verfahren wieder von vorne an. Verliert er, so setzt er im nächsten Spiel das Doppelte ein, usw. Berechnen Sie die Gewinnerwartung des Spielers, falls der Höchsteinsatz 12 000€ beträgt. Aufgabe 20 Drei Spieler A, B und C spielen folgendes Gewinnspiel: Jeder Spieler setzt 10€ ein. Dann würfeln sie der Reihe nach. Wer zuerst eine 3 würfelt, erhält den gesamten Einsatz. Nach 2 Durchgängen (d.h. wenn Spieler C zum zweiten Mal gewürfelt hat) wird das Spiel abgebrochen, falls noch keine 3 gefallen ist. Den Einsatz erhält dann der Spieler C. a) Berechnen Sie die Gewinnerwartungen für jeden Spieler. b) Das Spiel werde nicht abgebrochen. Berechnen Sie wieder die Gewinnerwartungen für jeden Spieler. Aufgabe 21 Aus Erfahrungswerten sei bekannt, dass ein neugeborenes Kind mit Wahrscheinlichkeit 𝑝𝑝 = 0.52 ein Mädchen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Geburten die Anzahl der geborenen Mädchen mindestens 1, höchstens jedoch 8 beträgt? Aufgabe 22 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 − maligem Werfen einer echten Münze genau 4 mal Wappen zu erhalten? Aufgabe 23 Ein Multiple-Choice Test besteht aus 30 Fragen mit jeweils 6 verschiedenen Antworten. a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand genau 15 Fragen durch Raten richtig beantwortet? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand durch Raten keine einzige Frage richtig beantwortet? Aufgabe 24 Eine Münze werde so lange geworfen, bis zum ersten Mal Wappen erscheint, höchstens jedoch 4 Mal. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen 𝑋𝑋 an, welche die Anzahl der Würfe der Münze angibt. Berechnen Sie auch den Erwartungswert und die Varianz von 𝑋𝑋. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion.

9.5 Aufgaben zu Kapitel 9

193

Aufgabe 25 Die Funktion 𝑏𝑏 , 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 9 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � √𝑥𝑥 0 sonst ist die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen 𝑋𝑋.

a) b) c) d)

Bestimmen Sie 𝑏𝑏. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥) und skizzieren Sie dann 𝐹𝐹(𝑥𝑥). Berechnen Sie 𝐸𝐸(𝑋𝑋) und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋). Berechnen Sie 𝑃𝑃(4 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 12).

Aufgabe 26 Eine Maschine besteht aus 50 gleichen Komponenten. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Komponente 300 Betriebsstunden erreicht, ist 0.1. Die Betriebszeit der Maschine ist dann beendet, wenn alle Komponenten ausgefallen sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine eine Betriebszeit von 300 Stunden erreicht, a) exakt, b) näherungsweise mit Hilfe der Poissonverteilung. Aufgabe 27 Für eine normalverteilte Zufallsvariable 𝑋𝑋 gilt: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 25) = 0.3 und 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 75) = 0.7. Berechnen Sie 𝜇𝜇 und 𝜎𝜎.

Aufgabe 28 Gegeben sei eine 𝑁𝑁(10, 16) − verteilte Zufallsvariable.

Für welche 𝑎𝑎 gilt:

a) 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑎𝑎) = 0.75 b) 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥ 𝑎𝑎) = 0.3 c) 𝑃𝑃(10 − 𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 10 + 𝑎𝑎) = 0.9?

10

Beurteilende Statistik

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung arbeitet man mit bekannten Verteilungen. So kennt man z.B. beim Vorliegen einer Normalverteilung die Parameter 𝜇𝜇 und 𝜎𝜎.

In der beurteilenden Statistik werden Verfahren entwickelt, wie man aus den Daten einer Stichprobe, die aus einer viel größeren Grundgesamtheit stammen, auf das Verhalten der Grundgesamtheit schließen kann. Dabei interessieren folgende Fragestellungen: • • •

•

Wie kann man die Parameter einer Verteilung schätzen, falls der Verteilungstyp bekannt ist? Kann man ein Intervall angeben, in dem ein zu schätzender Wert mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt? Kann man beim Vorliegen einer bekannten Verteilung eine für einen Parameter aufgestellte Hypothese annehmen, z.B. gilt beim Vorliegen einer Normalverteilung 𝜇𝜇 ≤ 5? Wie kann man überprüfen, ob zwei verschiedene Stichproben dem gleichen Verteilungsgesetz unterliegen?

10.1

Punkt-Schätzungen

Häufig ist es erforderlich, einen unbekannten charakteristischen Parameter 𝜃𝜃 der Verteilung einer Grundgesamtheit möglichst genau aus einer Stichprobe zu ermitteln. Das Ziel von Punktschätzungen ist es deshalb, für diesen Parameter einen Schätzwert zu bestimmen. Beispiele für solche Schätzungen sind: • • • • •

der Stimmenanteil einer Partei bei einer bevorstehenden Wahl die Hotelbettenauslastung während der Feriensaison die durchschnittliche Lebenserwartung von Rauchern der Wert des Bruttosozialproduktes in den folgenden Jahren der Mittelwert und die Varianz der Gewichte bei der Herstellung von Flaschen, Bällen und Kartons.

Die 𝑛𝑛 Werte der Stichprobe 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) sind Realisierungen von 𝑛𝑛 Zufallsvariablen 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 . Aus diesen 𝑛𝑛 Werten wird dann der Schätzwert für den Parameter berechnet.

Im Folgenden wird stets vorausgesetzt, dass die Zufallsvariablen 𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 unabhängig und identisch verteilt sind.

Definition 10.1 Die Funktion 𝑇𝑇𝑛𝑛 = 𝑔𝑔𝑛𝑛 (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 ) heißt Schätzfunktion. Da 𝑇𝑇𝑛𝑛 eine Zufallsvariable ist, ist der zu schätzende Parameter eine Realisierung der Schätzfunktion.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-211

196

10 Beurteilende Statistik

Das Ziel wird es sein, Schätzfunktionen zu finden, die sich durch optimale Eigenschaften von anderen Schätzfunktionen unterscheiden. Definition 10.2 1. Eine Schätzfunktion heißt erwartungstreu für den Parameter 𝜃𝜃, falls gilt:

2.

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑛𝑛 = 𝜃𝜃. Eine Schätzfunktion heißt asymptotisch erwartungstreu für den Parameter 𝜃𝜃, falls gilt: lim 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑛𝑛 = 𝜃𝜃. 𝑛𝑛→∞

Definition 10.3 Eine Schätzfunktion heißt konsistent bezüglich 𝜃𝜃, falls für alle 𝜖𝜖 > 0 gilt: lim 𝑃𝑃(|𝑇𝑇𝑛𝑛 − 𝜃𝜃| ≥ 𝜖𝜖) = 0. 𝑛𝑛→∞

Schätzfunktionen sind immer dann konsistent, wenn gilt: lim 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇𝑛𝑛 ) = 0. 𝑛𝑛→∞

Definition 10.4 Eine Schätzfunktion 𝑇𝑇𝑛𝑛′ heißt effizient, falls gilt: 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉( 𝑇𝑇𝑛𝑛′ ) ≤ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇𝑛𝑛 ) für alle 𝑇𝑇𝑛𝑛 ≠ 𝑇𝑇𝑛𝑛′ .

Beispiel 10.1 Sei 𝜇𝜇 der Erwartungswert und 𝜎𝜎 2 die Varianz der Verteilung einer Grundgesamtheit. Aus einer Stichprobe vom Umfang 𝑛𝑛 sollen 𝜇𝜇 und 𝜎𝜎 2 geschätzt werden. Sei 𝑋𝑋� =

𝑛𝑛

1 ∙ � 𝑋𝑋𝑖𝑖 . 𝑛𝑛

Dann gilt:

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

1 1 1 𝐸𝐸𝑋𝑋� = 𝐸𝐸 � ∙ � 𝑋𝑋𝑖𝑖 .� = ∙ � 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑖𝑖 = ∙ 𝑛𝑛 ∙ 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛

Also ist 𝑋𝑋� =

𝑛𝑛

1 ∙ � 𝑋𝑋𝑖𝑖 eine erwartungstreue Schätzfunktion für 𝜇𝜇. 𝑛𝑛 𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Sei 𝑍𝑍𝑛𝑛 = ∙ �(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋� )2 . 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

Wegen 𝐸𝐸𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝜇𝜇, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖 ) = 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖2 ) − 𝜇𝜇2 und 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖2 ) = 𝜎𝜎 2 + 𝜇𝜇 2 gilt: 1 𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋𝑛𝑛 𝜎𝜎 2 𝜎𝜎 2 𝐸𝐸𝑋𝑋� = ∙ 𝑛𝑛 ∙ 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋�) = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 � + + ⋯ � = 𝑛𝑛 ∙ 2 = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛

10.2 Intervall-Schätzung und 𝐸𝐸(𝑋𝑋� 2 ) =

Also gilt:

197

𝜎𝜎 2 + 𝜇𝜇 2 . 𝑛𝑛 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

1 1 𝐸𝐸𝑍𝑍𝑛𝑛 = 𝐸𝐸 � ∙ �(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋� )2 � = ∙ � 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖 2 − 2𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑋𝑋� + 𝑋𝑋� 2 ) = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 =

𝑛𝑛

𝑛𝑛

1 𝜎𝜎 2 1 ∙ ��� 𝐸𝐸�𝑋𝑋𝑖𝑖 2 �� − 𝑛𝑛 ∙ 𝐸𝐸(𝑋𝑋� 2 )� = ∙ ��� 𝜎𝜎 2 + 𝜇𝜇 2 � − 𝑛𝑛 ∙ � + 𝜇𝜇 2 �� = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

2

𝜎𝜎 𝑛𝑛 − 1 2 − 𝜇𝜇 2 = ∙ 𝜎𝜎 . 𝑛𝑛 𝑛𝑛 Also ist 𝑍𝑍𝑛𝑛 keine erwartungstreue Schätzfunktion für 𝜎𝜎 2 . = 𝜎𝜎 2 + 𝜇𝜇 2 −

𝑍𝑍𝑛𝑛 ist eine asymptotisch erwartungstreue Schätzfunktion für 𝜎𝜎 2 . 𝑛𝑛

Dagegen ist 𝑍𝑍𝑛𝑛′ = 1�𝑛𝑛 − 1 ∙ �

𝑖𝑖=1

(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�)2 eine erwartungstreue Schätzfunktion für 𝜎𝜎 2 .

Aus diesem Grund wurde in Kapitel 7 die Varianz einer Stichprobe mit dem Vorfaktor 1� 1 𝑛𝑛 − 1 und nicht mit dem Vorfaktor �𝑛𝑛 definiert. Die in diesem Beispiel vorgestellten Schätzfunktionen sind natürlich intuitiv ermittelt worden. Spezielle Verfahren zur Bestimmung von Schätzwerten sind die Maximum-LikelihoodSchätzung, die Momenten-Methode und die Kleinste-Quadrate-Schätzer. Auf diese Verfahren wird hier nicht eingegangen.

10.2

Intervall-Schätzung

Bei der Punktschätzung wird der Schätzwert im Allgemeinen vom richtigen Parameter abweichen. Bei Intervall-Schätzungen ist das Schätzergebnis ein ganzes Intervall, das den zu schätzenden Parameter 𝜃𝜃 mit einer hohen Wahrscheinlichkeit enthält. Definition 10.5 Gegeben seien zwei Stichprobenfunktionen 𝐼𝐼𝑢𝑢 = 𝑔𝑔𝑛𝑛 (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 ) und 𝐼𝐼𝑜𝑜 = ℎ𝑛𝑛 (𝑋𝑋1 , 𝑋𝑋2 , … , 𝑋𝑋𝑛𝑛 ). Zu schätzen sei der Parameter 𝜃𝜃.

Ferner gelte 𝐼𝐼𝑢𝑢 ≤ 𝐼𝐼𝑜𝑜 für alle möglichen Realisierungen. Das Intervall [𝐼𝐼𝑢𝑢 , 𝐼𝐼𝑜𝑜 ] heißt Konfidenzintervall zum Niveau (1 − 𝛼𝛼), falls gilt:

𝑃𝑃(𝐼𝐼𝑢𝑢 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝐼𝐼𝑜𝑜 ) = 1 − 𝛼𝛼. Man wird bemüht sein, das Niveau 1 − 𝛼𝛼 möglichst groß zu wählen. Dabei ist es klar, dass eine Vergrößerung von 1 − 𝛼𝛼 eine Vergrößerung des Konfidenzintervalls nach sich zieht. Deshalb wird in der Praxis 1 − 𝛼𝛼 meist gleich 0.9 oder 0.95 gewählt. Die im Folgenden betrachteten Konfidenzintervalle sind stets zweiseitig, also abgeschlossene Intervalle. Intervalle der Form (−∞, 𝑎𝑎] und [𝑏𝑏,∞) werden nicht betrachtet.

198

10.2.1

10 Beurteilende Statistik

Konfidenzintervalle bei der Normalverteilung

Ist die Grundgesamtheit 𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎 2 ) − verteilt, dann ist die Zufallsvariable 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 ∙ √𝑛𝑛 𝑁𝑁(0, 1) − verteilt. 𝜎𝜎

10.2.1.1 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert bei bekannter Varianz (1 Die − 𝛼𝛼) − Quantile der Normalverteilung 𝑁𝑁(0, 1) seien mit 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 bezeichnet. Diese Quantile sind in Kapitel 21 tabelliert. 𝛼𝛼 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 𝛼𝛼 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 ∙ √𝑛𝑛 > 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 � = und 𝑃𝑃 � ∙ √𝑛𝑛 < 𝑧𝑧𝛼𝛼 � = gilt: Wegen 𝑃𝑃 � 2 𝜎𝜎 2 𝜎𝜎 2 2 � 𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 𝑃𝑃 �−𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ≤ ∙ √𝑛𝑛 < 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 � = 1 − 𝛼𝛼. 𝜎𝜎 2 2 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 𝜎𝜎 𝜎𝜎 Aus − 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ≤ ∙ √𝑛𝑛 < 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 folgt aber 𝑋𝑋� − 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ ≤ 𝜇𝜇 ≤ 𝑋𝑋� + 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ . 𝜎𝜎 2 2 2 √𝑛𝑛 2 √𝑛𝑛 𝜎𝜎 𝜎𝜎 , 𝑥𝑥̅ + 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ � ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 − 𝛼𝛼. Also ist �𝑥𝑥̅ − 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ 2 √𝑛𝑛 2 √𝑛𝑛 Beispiel 10.2 6 Teilnehmer eines wirtschaftswissenschaftlichen Seminars wurden nach der Anzahl ihrer Semester bis zum Studienabschluss befragt. Es ergab sich folgende Stichprobe: 𝑥𝑥 = (12, 10, 14, 9, 10, 11).

Gesucht ist ein Konfidenzintervall 𝐼𝐼, falls die Varianz 𝜎𝜎 2 = 2 bekannt ist. 1.

für 𝛼𝛼 = 0.1 folgt mit 𝑧𝑧0.95 = 1.64485 𝑧𝑧0.95 ∙ √2 𝑧𝑧0.95 ∙ √2 𝐼𝐼 = �11 − , 11 + � = [10.050, 11.950]. √6 √6 2. für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt mit 𝑧𝑧0.975 = 1.95996 𝑧𝑧0.975 ∙ √2 𝑧𝑧0.975 ∙ √2 𝐼𝐼 = �11 − , 11 + � = [9.868, 12.132]. √6 √6 3. für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt mit 𝑧𝑧0.995 = 2.57583 𝑧𝑧0.995 ∙ √2 𝑧𝑧0.995 ∙ √2 𝐼𝐼 = �11 − , 11 + � = [9.513, 12.487]. √6 √6 Durch Vergrößern des Stichprobenumfangs lässt sich die Länge des Konfidenzintervalls steuern. 𝜎𝜎 ist bei gegebenem 𝑙𝑙 die Anzahl 𝑛𝑛 zu ermitteln. Aus 𝑙𝑙 = 2 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ 2 √𝑛𝑛

10.2 Intervall-Schätzung

199

Beispiel 10.3 Gegeben sei die Stichprobe 𝑥𝑥 = (12, 10, 14, 9, 10, 11).

Gesucht ist der Stichprobenumfang 𝑛𝑛, der ein Konfidenzintervall der Länge 0.1 garantiert. Aus 𝑙𝑙 = 2 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙

1. 2. 3.

𝜎𝜎

folgt 𝑛𝑛 ≥ �

2 2𝜎𝜎 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 � . 𝑙𝑙 2

2 √𝑛𝑛 für 𝛼𝛼 = 0.10 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 2 165. für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 3 074. für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 5 308.

10.2.1.2 Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Ist die Varianz nicht bekannt, so wird sie durch die Varianz 𝑠𝑠 2 der vorliegenden Stichprobe geschätzt. Diese Stichprobenvarianz ist eine Realisierung von 𝑆𝑆 2 =

𝑛𝑛

1 ∙ �(𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�)2 . 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

Die Zufallsvariable 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 ∙ √𝑛𝑛 𝑆𝑆 ist nicht mehr 𝑁𝑁(0,1) − verteilt, sondern genügt einer sogenannten 𝑡𝑡 − Verteilung mit 𝑛𝑛 − 1 Freiheitsgraden. Da die mathematischen Werkzeuge zur Herleitung der 𝑡𝑡 − Verteilung in diesem Buch nicht bereitgestellt werden, muss hier der interessierte Leser auf die weiterführende Literatur, etwa Czado und Schmidt (2011), verwiesen werden. Die Quantile der 𝑡𝑡 − Verteilung können wie bei der Normalverteilung nicht explizit berechnet werden. Aus diesem Grund sind die Quantile 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 tabelliert (siehe Kapitel 21). 2

𝛼𝛼 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 𝛼𝛼 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 ∙ √𝑛𝑛 > 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 � = und 𝑃𝑃 � ∙ √𝑛𝑛 < 𝑡𝑡𝛼𝛼,n−1 � = gilt: Wegen 𝑃𝑃 � 2 𝑆𝑆 2 𝑆𝑆 2 2 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇 𝑃𝑃 �−𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 ≤ ∙ √𝑛𝑛 < 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 � = 1 − 𝛼𝛼. 𝑆𝑆 2 2 � 𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 𝑆𝑆 𝑆𝑆 Aus − 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 ≤ ∙ √𝑛𝑛 < 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 folgt 𝑋𝑋� − 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 ∙ ≤ 𝜇𝜇 ≤ 𝑋𝑋� + 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 ∙ . 𝑆𝑆 2 2 2 2 √𝑛𝑛 √𝑛𝑛 𝑠𝑠 𝑠𝑠 , 𝑥𝑥̅ + 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 ∙ � 𝑒𝑒in Konfidenzintervall zum Niveau 1 − 𝛼𝛼. Also ist �𝑥𝑥̅ − 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,n−1 ∙ 2 2 √𝑛𝑛 √𝑛𝑛

Beispiel 10.4 Gegeben sei die Stichprobe 𝑥𝑥 = (12, 10, 14, 9, 10, 11).

Gesucht ist ein Konfidenzintervall 𝐼𝐼, falls die Varianz 𝜎𝜎 2 nicht bekannt ist. Es gilt: 𝑥𝑥̅ = 11 und 𝑠𝑠 2 = 3.2.

200

10 Beurteilende Statistik

1.

für 𝛼𝛼 = 0.1 folgt mit 𝑡𝑡0.95,5 = 2.015 𝑡𝑡0.95,5 ∙ √3.2 𝑡𝑡0.95,5 ∙ √3.2 𝐼𝐼 = �11 − , 11 + � = [9.528, 12.472]. √6 √6 2. für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt mit 𝑡𝑡0.975,5 = 2.571 𝑡𝑡0.975,5 ∙ √3.2 𝑡𝑡0.975,5 ∙ √3.2 𝐼𝐼 = �11 − , 11 + � = [9.122, 12.878]. √6 √6 3. für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt mit 𝑡𝑡0.995,5 = 4.032 𝑡𝑡0.995,5 ∙ √3.2 𝑡𝑡0.995,5 ∙ √3.2 𝐼𝐼 = �11 − , 11 + � = [8.056, 13.945]. √6 √6 Durch Vergrößern des Stichprobenumfangs lässt sich auch hier die Länge des Konfidenzintervalls steuern. 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 ∙ 𝑠𝑠 2 ist bei gegebenem 𝑙𝑙 die Anzahl 𝑛𝑛 zu ermitteln. Aus 𝑙𝑙 = 2 ∙ √𝑛𝑛 Beispiel 10.5 Gegeben sei die Stichprobe 𝑥𝑥 = (12, 10, 14, 9, 10, 11).

Gesucht ist der Stichprobenumfang 𝑛𝑛, der ein Konfidenzintervall der Länge 0.1 garantiert (bei unbekannter Varianz). 2 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 ∙ 𝑠𝑠 2𝑠𝑠 2 folgt 𝑛𝑛 ≥ � ∙ 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 � . Aus 𝑙𝑙 = 2 ∙ 𝑙𝑙 2 √𝑛𝑛 1. für 𝛼𝛼 = 0.10 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 5 198. 2. für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 8 461. 3. für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 20 809.

10.2.2

Konfidenzintervalle bei der Binomialverteilung

Bei der Bestimmung von Konfidenzintervallen bei binomialverteilter Grundgesamtheit werden bei kleinem Stichprobenumfang die Grenzen direkt mit den Eigenschaften der Binomialverteilung bestimmt. Dies ist relativ aufwändig. Häufig kann jedoch mit Hilfe der Normalverteilung eine Approximation durchgeführt werden. Diese Approximation liefert brauchbare Ergebnisse, falls 𝑛𝑛 groß genug ist und 𝑛𝑛𝑛𝑛(1 − 𝑝𝑝) > 9 gilt. In diesem Fall lassen sich die Grenzen des Konfidenzintervalls direkt berechnen. Für großes 𝑛𝑛 und 𝑛𝑛𝑛𝑛(1 − 𝑝𝑝) > 9 ist 𝑋𝑋 − 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑍𝑍 = �𝑛𝑛𝑛𝑛(1 − 𝑝𝑝)

näherungsweise 𝑁𝑁(0,1) − verteilt. 𝑋𝑋� − 𝑝𝑝 Daraus folgt aber wegen 𝑍𝑍 = �𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝) 𝑛𝑛

10.2 Intervall-Schätzung

201

und der Schätzung 𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) für den Term 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)

𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) 𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) , 𝑥𝑥̅ + 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ � � 𝐼𝐼 = �𝑥𝑥̅ − 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 2

ist ein Konfidenzintervall zum Niveau 1 − α.

Beispiel 10.6 Im Hotelgewerbe interessiert die Frage nach der Wahrscheinlichkeit 𝑝𝑝, mit der ein Zimmer nicht belegt ist. Von 2 000 vorhandenen Zimmern sind 200 nicht belegt. 1.

2.

3.

für 𝛼𝛼 = 0.1 folgt mit 𝑧𝑧0.95 = 1.64485 1 1 1 1 1 �10 �1 − 10� 1 �10 �1 − 10� 𝐼𝐼 = � − 𝑧𝑧0.95 ∙ , + 𝑧𝑧0.95 ∙ � = [0.0890, 0.1110]. 10 10 2000 2000

für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt mit 𝑧𝑧0.975 = 1.95996 1 1 1 1 1 �10 �1 − 10� 1 �10 �1 − 10� 𝐼𝐼 = � − 𝑧𝑧0.975 ∙ , + 𝑧𝑧0.975 ∙ � = [0.0869, 0.1131]. 10 10 2000 2000 für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt mit 𝑧𝑧0.995 = 2.57583 1 1 1 1 1 �10 �1 − 10� 1 �10 �1 − 10� 𝐼𝐼 = � − 𝑧𝑧0.995 ∙ , + 𝑧𝑧0.995 ∙ � = [0.0827, 0.1173]. 10 10 2000 2000

Die Länge 𝑙𝑙 des Konfidenzintervalls ist: 𝑙𝑙 = 2 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ � 2

𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) 1 = 2 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ ∙ �𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ). 𝑛𝑛 2 √𝑛𝑛

Da �𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) von der Realisierung und vom Umfang 𝑛𝑛 abhängt, muss dieser Ausdruck nach oben abgeschätzt werden: 1 �𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) ≤ für 0 ≤ 𝑥𝑥̅ ≤ 1. 2 1 1 1 Damit folgt dann 1 ≤ 2 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ ∙ = 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ . 2 √𝑛𝑛 2 2 √𝑛𝑛 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 2 Also gilt: 𝑛𝑛 ≥ � 2 � . 𝑙𝑙

202

10 Beurteilende Statistik

Beispiel 10.7 Es interessiert wieder die Frage nach der Wahrscheinlichkeit 𝑝𝑝, mit der ein Zimmer im Hotelgewerbe nicht belegt ist, falls von 2 000 vorhandenen Zimmern 200 nicht belegt sind. Gesucht ist der Stichprobenumfang für ein Konfidenzintervall der Länge 0.01. 1. 2. 3.

für 𝛼𝛼 = 0.10 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 27 056. für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 38 415. für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt dann 𝑛𝑛 ≥ 66 350.

10.3

Das Testen von Hypothesen

Liegt über die Verteilung der Grundgesamtheit eine Hypothese vor, so kann anhand einer Stichprobe diese Hypothese überprüft werden. Eine solche Hypothese kann etwa die Aussage 𝜇𝜇 = 3 oder 𝜇𝜇 ≤ 3 sein. Eine Hypothese wird abgelehnt, falls das Ergebnis der Stichprobe deutlich anders ausfällt.

10.3.1

Konstruktion eines Tests

Zu Beginn wird eine Hypothese 𝐻𝐻0 aufgestellt, die es zu überprüfen gilt. Diese Hypothese wird die Nullhypothese genannt. Die daraus resultierende Alternativhypothese wird mit 𝐻𝐻1 bezeichnet.

Danach wird ein Signifikanzniveau 𝛼𝛼 festgelegt. 𝛼𝛼 ist die Wahrscheinlichkeit, zu einer Fehlentscheidung zu gelangen, also 𝐻𝐻0 zu unrecht abzulehnen. Je kleiner 𝛼𝛼 gewählt wird, desto kleiner wird auch die Wahrscheinlichkeit, eine Fehlentscheidung zu treffen. Ganz im Gegensatz dazu wird aber die Wahrscheinlichkeit, bei falschen 𝐻𝐻0 zu einer Ablehnung zu kommen, deutlich größer. Deshalb sollte 𝛼𝛼 nicht zu klein gewählt werden. 𝛼𝛼 = 0.1 oder 𝛼𝛼 = 0.05 sind häufig verwendete Signifikanzniveaus.

Zum Schluss wird mit Hilfe einer Entscheidungsregel überprüft, ob die Hypothese 𝐻𝐻0 abgelehnt wird oder nicht. Kommt man zu einer Ablehnung von 𝐻𝐻0 , so ist die Wahrscheinlichkeit, falsch zu liegen, gleich 𝛼𝛼. Kommt man dagegen zu keiner Ablehnung von 𝐻𝐻0 , so bedeutet dies nicht, dass 𝐻𝐻0 damit bestätigt ist, sondern dass die Stichprobendaten nicht ausreichen, um 𝐻𝐻0 abzulehnen.

10.3.2

Test eines Erwartungswertes bei bekannter Varianz und normalverteilter Grundgesamtheit

Gegeben sei eine normalverteilte Grundgesamtheit mit bekannter Varianz 𝜎𝜎 2 und unbekanntem Erwartungswert 𝜇𝜇. 𝑋𝑋� − 𝜇𝜇0 ∙ √𝑛𝑛 𝑁𝑁(0,1) − verteilt. Ist 𝜇𝜇0 der Erwartungswert, so ist 𝜎𝜎 Sei nun eine Stichprobe vom Umfang 𝑛𝑛 gegeben. Mit Hilfe der Quantile der Normalverteilung können 3 Tests samt ihren Ablehnungsbereichen angegeben werden:

10.3 Das Testen von Hypothesen 1. Fall: 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 ≠ 𝜇𝜇0 𝐻𝐻0 sollte dann abgelehnt werden, falls |𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 | „groß“ ist. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 Deshalb gilt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt, falls � ∙ √𝑛𝑛 � > 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 gilt. 𝜎𝜎 2 2. Fall: 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≤ 𝜇𝜇0 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 > 𝜇𝜇0 𝐻𝐻0 sollte dann abgelehnt werden, falls 𝑥𝑥̅ „deutlich“ größer als 𝜇𝜇0 ist. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 Deshalb gilt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt, falls ∙ √𝑛𝑛 > 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 gilt. 𝜎𝜎 3. Fall: 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≥ 𝜇𝜇0 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 < 𝜇𝜇0 𝐻𝐻0 sollte dann abgelehnt werden, falls 𝑥𝑥̅ „deutlich“ kleiner als 𝜇𝜇0 ist. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 Deshalb gilt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt, falls ∙ √𝑛𝑛 < −𝑧𝑧1−𝛼𝛼 gilt. 𝜎𝜎 Beispiel 10.8 Gegeben sei die Stichprobe 𝑥𝑥 = (12, 10, 14, 9, 10, 11).

Bei bekannter Varianz 𝜎𝜎 2 = 2 sollen Hypothesen getestet werden.

1.

2.

3.

4.

5.

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 = 12 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 ≠ 12 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 12 Aus � ∙ √𝑛𝑛 � = � ∙ √6 � = 1.732 und 𝜎𝜎 √2 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 = 𝑧𝑧0.975 = 1.95996 folgt: 𝐻𝐻0 wird nicht abgelehnt. 2

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 = 13 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 ≠ 13 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 13 Aus � ∙ √𝑛𝑛 � = � ∙ √6 � = 3.464 und 𝜎𝜎 √2 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 = 𝑧𝑧0.975 = 1.95996 folgt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt. 2

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≤ 12 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 > 12 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 12 Aus ∙ √𝑛𝑛 = ∙ √6 = −1.732 und 𝜎𝜎 √2 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 = 𝑧𝑧0.95 = 1.64485 folgt: 𝐻𝐻0 wird nicht abgelehnt.

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≥ 12 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 < 12 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 12 Aus ∙ √𝑛𝑛 = ∙ √6 = −1.732 und 𝜎𝜎 √2 −𝑧𝑧1−𝛼𝛼 = −𝑧𝑧0.95 = −1.64485 folgt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt.

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≥ 11.5 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 < 11.5 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 11.5 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ √𝑛𝑛 = ∙ √6 = −0.866 und 𝜎𝜎 √2 −𝑧𝑧1−𝛼𝛼 = −𝑧𝑧0.95 = −1.64485 folgt: 𝐻𝐻0 wird nicht abgelehnt.

203

204

10 Beurteilende Statistik

10.3.3

Test eines Erwartungswertes bei unbekannter Varianz und normalverteilter Grundgesamtheit

Gegeben sei eine normalverteilte Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz 𝜎𝜎 2 und unbekanntem Erwartungswert 𝜇𝜇. Völlig analog zu den Ausführungen bei den Konfidenzintervallen wird das Quantil 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 der Normalverteilung ersetzt durch das Quantil 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 der 𝑡𝑡 − Verteilung. Die Varianz 𝜎𝜎 2 wird durch die Stichprobenvarianz 𝑠𝑠 2 geschätzt. Die 3 Tests lauten dann:

1. Fall: 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 ≠ 𝜇𝜇0 𝐻𝐻0 sollte dann abgelehnt werden, falls |𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 | „groß“ ist. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 Deshalb gilt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt, falls � ∙ √𝑛𝑛 � > 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 gilt. 𝑠𝑠 2 2. Fall: 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≤ 𝜇𝜇0 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 > 𝜇𝜇0 𝐻𝐻0 sollte dann abgelehnt werden, falls 𝑥𝑥̅ „deutlich“ größer als 𝜇𝜇0 ist. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 Deshalb gilt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt, falls ∙ √𝑛𝑛 > 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 gilt. 𝑠𝑠 3. Fall: 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≥ 𝜇𝜇0 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 < 𝜇𝜇0 𝐻𝐻0 sollte dann abgelehnt werden, falls 𝑥𝑥̅ „deutlich“ kleiner als 𝜇𝜇0 ist. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 Deshalb gilt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt, falls ∙ √𝑛𝑛 < −𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 gilt. 𝑠𝑠 Beispiel 10.9 Gegeben sei die Stichprobe 𝑥𝑥 = (12, 10, 14, 9, 10, 11).

Bei unbekannter Varianz 𝜎𝜎 2 sollen Hypothesen getestet werden. 1.

2.

3.

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 = 12 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 ≠ 12 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 12 Aus � ∙ √𝑛𝑛 � = � ∙ √6 � = 1.3693 und 𝑠𝑠 √3.2 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 = 𝑡𝑡0.975,5 = 2.571 folgt: 𝐻𝐻0 wird nicht abgelehnt. 2

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 = 13 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 ≠ 13 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 13 Aus � ∙ √𝑛𝑛 � = � ∙ √6 � = 2.7386 und 𝑠𝑠 √3.2 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 = 𝑡𝑡0.975,5 = 2.571 folgt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt. 2

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≤ 12 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 > 12 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 12 Aus ∙ √𝑛𝑛 = ∙ √6 = −1.3693 und 𝑠𝑠 √3.2 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 = 𝑡𝑡0.95,5 = 2.015 folgt: 𝐻𝐻0 wird nicht abgelehnt.

10.4 Aufgaben 4.

5.

205

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≥ 12 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 < 12 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 12 Aus ∙ √𝑛𝑛 = ∙ √6 = −1.3693 und 𝑠𝑠 √3.2 −𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 = −𝑡𝑡0.95,5 = −2.015 folgt: 𝐻𝐻0 wird nicht abgelehnt.

Es soll 𝐻𝐻0 : 𝜇𝜇 ≥ 13 gegen 𝐻𝐻1 : 𝜇𝜇 < 13 bei 𝛼𝛼 = 0.05 getestet werden. 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇0 11 − 13 Aus ∙ √𝑛𝑛 = ∙ √6 = −2.7386 und 𝑠𝑠 √3.2 −𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 = −𝑡𝑡0.95,5 = −2.015 folgt: 𝐻𝐻0 wird abgelehnt.

10.4

Aufgaben

Aufgabe 1 Zwei unterschiedliche Herstellungsmethoden A und B für dasselbe Produkt wurden miteinander verglichen, um eine eventuelle Zeitersparnis herauszufinden. Die Herstellungszeiten von Methode B waren in allen Fällen länger. Es ergaben sich folgende Unterschiede (Zeit von B minus Zeit von A): 3.1, 0.4, 1.5, 1.8, 2.0, 1.2, 1.5, 0.2, 1.7, 4.0. Bestimmen Sie die Konfidenzintervalle (𝛼𝛼 = 0.05 und 𝛼𝛼 = 0.01) für den Erwartungswert, wenn die Grundgesamtheit normalverteilt ist:

a) bei bekannter Varianz von 𝜎𝜎 2 = 2 b) bei unbekannter Varianz.

Wie groß müsste der Stichprobenumfang mindestens sein, um in diesen Fällen Konfidenzintervalle der Längen 1 bzw. 0.1 zu erhalten?

Aufgabe 2 Ein Unternehmen erzielt in 15 Arbeitsperioden folgende Gewinne (in Mio. €):

27.0, 26.9, 26.3, 28.5, 30.4, 25.4, 26.0, 28.5, 26.9, 30.0, 32.4, 28.0, 27.8, 30.0 und 28.4. Bestimmen Sie die Konfidenzintervalle (𝛼𝛼 = 0.05 und 𝛼𝛼 = 0.01) für den Erwartungswert, wenn die Grundgesamtheit normalverteilt ist: a) bei bekannter Varianz von 𝜎𝜎 2 = 0.4 b) bei unbekannter Varianz.

Wie groß müsste der Stichprobenumfang mindestens sein, um in diesen Fällen Konfidenzintervalle der Längen 0.5 bzw. 0.2 zu erhalten?

Aufgabe 3 Eine Stichprobe (Grundgesamtheit normalverteilt) vom Umfang 𝑛𝑛 = 144 ergab einen Mittelwert 𝑥𝑥̅ = 20 und eine Varianz 𝜎𝜎 2 = 0.04. Zu welchen Konfidenzniveaus 𝛼𝛼1 bzw. 𝛼𝛼2 sind die Konfidenzintervalle 𝐼𝐼1 = [19.9, 20.1] bzw. 𝐼𝐼2 = [19.95, 20.05]?

206

10 Beurteilende Statistik

Aufgabe 4 Die von einer Maschine produzierten Wäscheklammern sind mit einer unbekannten Wahrscheinlichkeit 𝑝𝑝 fehlerhaft.

Berechnen Sie ein Vertrauensintervall für 𝑝𝑝, falls von 1 000 produzierten Klammern 25 fehlerhaft waren (𝛼𝛼 = 0.05). b) Wie viele Klammern müssten hergestellt werden, um ein 95% −Vertrauensintervall zu erhalten, dessen Länge höchstens 0.01 ist? a)

Aufgabe 5 Die von einer Maschine produzierten Schnürsenkel sind mit einer unbekannten Wahrscheinlichkeit 𝑝𝑝 fehlerhaft. a)

Berechnen Sie ein Vertrauensintervall für 𝑝𝑝, falls von 500 produzierten Schnürsenkeln 10 fehlerhaft waren (𝛼𝛼 = 0.05). b) Wie viele Schnürsenkel müssten hergestellt werden, um ein 95% − Vertrauensintervall zu erhalten, dessen Länge höchstens 0.01 ist?

Aufgabe 6 Der Inhalt einer Packung Fruchtbonbons wurde festgestellt. Es ergaben sich folgende Stückzahlen (Grundgesamtheit normalverteilt):

39, 37, 35, 36, 34, 36, 34, 36, 36, 37. Testen Sie die Hypothesen 𝜇𝜇 = 35 (36, 37) gegen 𝜇𝜇 ≠ 35 (36, 37) für 𝛼𝛼 = 0.1 bzw. 𝛼𝛼 = 0.05 bzw. 𝛼𝛼 = 0.01.

Aufgabe 7 Der Inhalt einer Packung einer anderen Sorte Fruchtbonbons wurde ebenfalls festgestellt. Es ergaben sich folgende Stückzahlen (Grundgesamtheit normalverteilt):

49, 47, 45, 46, 44, 46, 44, 46, 44, 39. Testen Sie die Hypothesen 𝜇𝜇 = 44 (45, 46, 47) gegen 𝜇𝜇 ≠ 44 (45, 46, 47) für 𝛼𝛼 = 0.1 bzw.

𝛼𝛼 = 0.05 bzw. 𝛼𝛼 = 0.01 bei bekannter Varianz 𝜎𝜎 2 = 4.

Aufgabe 8 Die Anzahl der in 6 Produktionseinheiten hergestellten unbrauchbaren Stücke waren bei normalverteilter Grundgesamtheit: 400, 399, 402, 404, 407 und 410. Testen Sie die Hypothese 𝜇𝜇 ≤ 400 gegen 𝜇𝜇 > 400 für das Niveau 𝛼𝛼 = 0.05 und 0.01, falls

a) die Varianz 𝜎𝜎 2 = 25 beträgt. b) die Varianz unbekannt ist.

10.4 Aufgaben

207

Aufgabe 9 Auf einer Maschine müssen Präzisionsteile hergestellt werden. Aus langjährigen Erfahrungen ist bekannt, dass die Längen dieser Teile normalverteilt sind mit einer Varianz 𝜎𝜎 2 = 0.01mm2 . Um eventuelle Fehler aufzuspüren, werden zu festen Zeitpunkten jeweils vier Teile entnommen und deren Mittelwert berechnet. Weicht dieser Mittelwert bei 𝛼𝛼 = 0.05 signifikant vom Sollwert 16 mm ab, wird eine Wartung der Einstellung vorgenommen. Bei welchen Mittelwerten ist eine Wartung notwendig: 15.95, 15.85, 16.03, 16.13, 15.7, 15.99, 15.90 und 16.09?

Teil III Operations Research

11

Operations Research in der BWL

Operations Research beschäftigt sich wörtlich übersetzt mit der Erforschung von Operationen. Ein Kurzbegriff als tatsächliche Übersetzung in die deutsche Sprache hat sich jedoch nicht durchgesetzt. Vorgeschlagen wurden hier Anwendung quantitativer Methoden zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen, Unternehmensforschung, Optimalplanung, Planungsforschung, mathematische Planungsrechnung oder Entscheidungsvorbereitung. Die wohl beste, aber viel zu lange Umschreibung ist: Mathematische Optimierungsmethoden zur bestmöglichen Entscheidungsfindung in der angewandten Betriebswirtschaftslehre. Die scheinbare Einschränkung auf die BWL ist keine wirkliche Schmälerung des Einsatzgebiets, nahezu alle derart betrachteten Optimierungsmodelle haben eine ökonomische Komponente oder Zielsetzung. In der Praxis hat sich die Abkürzung OR für Operations Research durchgesetzt. In den folgenden drei Abschnitten werden zuerst Beispiele von charakteristischen Problemstellungen vorgestellt. Danach werden die allgemeine Vorgehensweise und die Modellbildung aufgezeigt. Zum Schluss erfolgt eine Klassifizierung der Teilgebiete des Operations Research.

11.1

Beispiele von charakteristischen Problemstellungen

In diesem Abschnitt werden zahlreiche Praxisbeispiele vorgestellt, die mit Methoden des Operations Research beschrieben, modelliert und gelöst werden können. Die Beispiele 11.1 bis 11.7 stellen Optimierungsprobleme dar, die allesamt die gleichen Sachverhalte beinhalten. Gesucht ist das Minimum bzw. das Maximum einer zu erstellenden Funktion, deren Wertebereich durch eine gewisse Anzahl von Bedingungen oder Restriktionen eingeschränkt wird. Beispiel 11.1 Für eine Verkaufsaktion stellt eine Firma zwei verschiedene neue Produkte X und Y her. Aus Platzgründen können von beiden Produkten zusammen höchstens 500 Mengeneinheiten hergestellt werden, wobei von Produkt Y mindestens 100 Mengeneinheiten erforderlich sind. Für die Fertigung stehen insgesamt 40 Stunden zur Verfügung, wobei für Produkt X (pro Mengeneinheit) 8 Minuten und für Produkt Y (pro Mengeneinheit) 4 Minuten benötigt werden. Der Gewinn beim Verkauf einer Mengeneinheit von Produkt X beträgt 50€, derjenige beim Verkauf einer Mengeneinheit von Produkt Y beträgt 10€. Die Firma möchte ihren Gesamtgewinn maximieren.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-227

212

11 Operations Research in der BWL

Beispiel 11.2 Ein Industrieunternehmen stellt ein Produkt, bedingt durch den immer moderner werdenden Maschinenpark, durch drei verschiedene Verfahren X, Y und Z her. Der Produktionsprozess ist durch folgende Tabelle gegeben (Bedarf pro Mengeneinheit des Produkts in Abhängigkeit von den Verfahren):

Produktionszeit Rohstoffe Lagerraum

Produktion nach Verfahren X Y Z 5 10 5 15 5 10 5 10 10

Produktionszeit in h Rohstoffbedarf in kg Lagerraum in m2

Er unterliegt den folgenden Kapazitätsbeschränkungen: Die maximal verfügbare Einsatzmenge für die Produktionszeit ist Die maximal verfügbare Einsatzmenge für die Rohstoffe ist Die maximal verfügbare Einsatzmenge für den Lagerraum ist

800 h 700 kg 600 m2.

Der Gewinn beim Verkauf einer Mengeneinheit bei der Produktion nach Verfahren X beträgt 15€, derjenige beim Verkauf einer Mengeneinheit bei der Produktion nach Verfahren Y beträgt 20€ und derjenige beim Verkauf einer Mengeneinheit bei der Produktion nach Verfahren Z beträgt 15€. Die Firma möchte ihren Gesamtgewinn maximieren. Beispiel 11.3 Dem Eishockey-Club aus Schwenningen stehen drei Varianten für seine Verteidigung zur Verfügung. Die gegnerische Mannschaft aus Freiburg verfügt über drei verschiedene Angriffsformationen. Die Erfolgsaussichten für Schwenningen (WK, dass kein Tor fällt) sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Strategien für Schwenningen

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.6 0.7 0.1

0.2 0.6 0.7

0.3 0.4 0.2

Jede der beiden Mannschaften ist bestrebt, ihren Mindestvorteil zu maximieren bzw. den maximal möglichen Vorteil des Gegners zu minimieren.

11.1 Beispiele von charakteristischen Problemstellungen

213

Beispiel 11.4 Am Vatertag werden die Wanderer durch ein Gewitter überrascht und suchen deshalb in den nahegelegenen Ausflugslokalen Schutz. In den vier Lokalen ist aber nicht genügend Bier vorhanden. Dieses wird unverzüglich bei der zuständigen Brauerei angefordert, die über drei verschiedene Auslieferungslager verfügt, in denen insgesamt die gewünschte Menge zur Verfügung steht. Die vier Lokale 𝑁𝑁1 , 𝑁𝑁2 , 𝑁𝑁3 und 𝑁𝑁4 benötigen 10 hl bzw. 30 hl bzw. 15 hl bzw. 35 hl. Diese Gesamtmenge steht in den drei Auslieferungslagern 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 und 𝐴𝐴3 in folgender Weise zur Verfügung: in 𝐴𝐴1 25 hl, in 𝐴𝐴2 25 hl und in 𝐴𝐴3 40 hl. Die Transportkosten pro hl von den einzelnen Auslieferungslagern zu den jeweiligen Ausflugslokalen betragen

Auslieferungslager= Anbieter

Ausflugslokal = Nachfrager 𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3 𝑁𝑁4 20 90 30

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

80 0 60

40 50 80

70 70 10

Wie ist der Transport durchzuführen, damit die Transportkosten so klein wie möglich ausfallen? Beispiel 11.5 Gegeben sei folgender Plan, der die möglichen Wegstrecken und deren Längen zwischen sechs verschiedenen Orten angibt. Ein Backwaren-Betrieb beliefert mehrmals täglich von Ort 1 aus sämtliche Filialen, wobei für jede Filiale ein eigener Transporter zur Verfügung steht. Welches sind die kürzesten Wege von Ort 1 zu allen anderen Orten?

2

50

4

2

100

1

5

5

10

5 10

3 Abb. 11.1

70

Netzplan für Routenplaner

15

5

6

214

11 Operations Research in der BWL

Beispiel 11.6 Für die im folgenden Schaubild dargestellten 6 Orte soll ein Gas-Versorgungsnetz geplant werden, so dass je zwei Orte (direkt oder indirekt) durch Versorgungsleitungen miteinander verbunden sind. Verzweigungspunkte befinden sich nur in den Orten selbst. Die Baukosten sind ebenfalls im Schaubild angegeben. Gesucht ist ein Versorgungsnetz mit minimalen Erstellungskosten.

10

3 6

1

3

5 4

4

6 5

4

8

Abb. 11.2

7

2

5

6

Versorgungsnetz

Beispiel 11.7 Gegeben sei die Vorgangsliste aufgrund eines Angebots für den Einbau einer neuen EDVAnlage: Tätigkeit A B C D E F G H I

Beschreibung Systemanalyse und Design CPU-Anpassung Konsolengeräte auswählen Erstellen der Basisprogramme Erstellen der Plausibilitäten Erstellen der Individual-Software Prüfen und Testen Aufbau der gesamten Anlage Installation und Abnahme

Dauer in Wochen

Vorgänger

12 6 1 10 3 20 1 1 4

A A A D D B, C, E C F, G, H

Gesucht sind ein Strukturplan und ein Zeitplan, um die EDV-Anlage möglichst schnell zu realisieren. Die Suche nach Lösungen zu den Fragestellungen der angeführten Beispiele führt auf ein allgemeines Vorgehensmodell, das im nächsten Abschnitt vorgestellt wird.

11.2 Vorgehensweise und Modellbildung

11.2

215

Vorgehensweise und Modellbildung

In der Praxis hat sich ein Vorgehensmodell durchgesetzt, das im folgenden Schaubild dargestellt ist. Vorgehensmodell bei OR-Verfahren Erkennen eines Problems Formulieren BWL

Problemformulierung Abstraktion

Mathematik Mathematik

Mathematisches Modell

Informatik BWL

Problemstellung fehlerhaft Formeln Funktionen, usw. Modell fehlerhaft

Berechnung

exakte Berechnung möglich exakte Berechnung langwierig Näherungslösung erforderlich Simulationen erforderlich

Bestimmen von Zielen und Handlungsmöglichkeiten

Lösung für das Modell Interpretation Verifizieren des Lösungsvorschlags für das reale Problem Lösung akzeptiert

Datenbeschaffung Prognosedaten Simulationsdaten Daten fehlerhaft Bewertung der Lösung im Hinblick auf das gestellte Problem

Realisieren der Lösung

Abb. 11.3

Vorgehensmodell bei OR-Verfahren

Ersichtlich ist hier das notwendige Zusammenspiel der Disziplinen BWL, Mathematik und Informatik. Sollte beim Ablauf festgestellt werden, dass die gestellte Aufgabe nicht erfüllt werden kann, bricht das Verfahren an der entsprechenden Stelle ab.

11.3

Teilgebiete des Operations Research

Abhängig von den Aufgabenstellungen und den mathematischen Modellierungen bzw. Lösungswegen wird das gesamte Operations Research in Teilgebiete unterteilt. Die folgende Zusammenstellung zeigt alle in diesem Werk besprochenen Themen und erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

216

11 Operations Research in der BWL

Teilgebiet

Aufgabenstellung

Referenzbeispiele

Lineare Optimierung

Minimierung bzw. Maximierung einer oder mehrerer linearer Zielfunktionen unter einem System von linearen Nebenbedingungen. Untersuchung von Wettbewerbssituationen (Kampagnen, Werbe- und Marketingstrategien der Konkurrenz, militärische Schlachten). Transport von mehreren Ausgangsorten zu mehreren Bestimmungsorten um die Gesamttransportkosten zu minimieren. Verfahren und Modelle zur Bestimmung kürzester Wege oder maximaler bzw. kostenminimaler Flüsse in Graphen. Planungsmodelle zur Überwachung und Kontrolle von Abläufen oder Projekten.

11.1 11.2

Spieltheorie Transportprobleme Graphentheorie Netzplantechnik

11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Bei anderen Teilgebieten, die in der Tabelle nicht zu finden sind, wird der Leser auf Domschke/Drexl (2011), Heinrich (2013) und Heinrich/Grass (2006) verwiesen.

11.4

Aufgaben

Aufgabe 1 Erstellen Sie das mathematische Modell für Beispiel 11.2. Aufgabe 2 Erstellen Sie das mathematische Modell für Beispiel 11.4.

12

Lineare Optimierung mit zwei Variablen

Die lineare Optimierung beschäftigt sich mit der Maximierung bzw. Minimierung einer linearen Zielfunktion mit 𝑛𝑛 Variablen unter einem System von Nebenbedingungen, das in Form eines Systems von linearen Ungleichungen mit ebenfalls 𝑛𝑛 Variablen gegeben ist.

Da die mathematische Lösung bei nur zwei Variablen durchaus anders ist als bei Systemen, für die 𝑛𝑛 ≥ 3 gilt, wird in diesem Kapitel nur der Fall 𝑛𝑛 = 2 behandelt. Der Fall 𝑛𝑛 ≥ 3 wird dann im folgenden Kapitel besprochen.

12.1

Einführung, Beispiel und mathematisches Modell

Die Maximierung bzw. Minimierung einer linearen Zielfunktion mit 2 Variablen unter einem System von Nebenbedingungen, das in Form eines Systems von linearen Ungleichungen mit ebenfalls 2 Variablen vorliegt, ist das Aufgabengebiet der zweidimensionalen linearen Optimierung. Beispiel 12.1 Für eine Verkaufsaktion stellt eine Firma zwei verschiedene neue Produkte X und Y her. Aus Platzgründen können von beiden Produkten zusammen höchstens 500 Mengeneinheiten hergestellt werden, wobei von Produkt Y mindestens 100 Mengeneinheiten erforderlich sind. Für die Fertigung stehen insgesamt 40 Stunden zur Verfügung, wobei für Produkt X (pro Mengeneinheit) 8 Minuten und für Produkt Y (pro Mengeneinheit) 4 Minuten benötigt werden. Der Gewinn beim Verkauf einer Mengeneinheit von Produkt X beträgt 50€, derjenige beim Verkauf einer Mengeneinheit von Produkt Y beträgt 10€. Die Firma möchte ihren Gesamtgewinn maximieren. Bezeichnet man die Anzahl der hergestellten Produkte X mit 𝑥𝑥1 und die Anzahl der hergestellten Produkte Y mit 𝑥𝑥2 , so folgt aus den Angaben: Restriktion aus Platzgründen: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 500 Restriktion für Produkt Y: 𝑥𝑥2 ≥ 100

Restriktion für die Arbeitszeit: 8𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≤ 2 400

Gleichung für den Gesamtgewinn: 𝑧𝑧 = 50𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 = max.

Die drei Restriktionen stellen das System linearer Ungleichungen dar, die Gleichung für den Gesamtgewinn ist die Zielfunktion, die maximiert werden soll. Aus diesem Beispiel kann sofort das mathematische Modell abgeleitet werden.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-233

218

12 Lineare Optimierung mit zwei Variablen

Mathematisches Modell der linearen Optimierung mit zwei Variablen Gegeben sei ein lineares Ungleichungssystem mit 𝑚𝑚 Ungleichungen und zwei Variablen der Form 𝑎𝑎11 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 ∙ 𝑥𝑥2 ≤ 𝑏𝑏1 𝑎𝑎21 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 ∙ 𝑥𝑥2 ≤ 𝑏𝑏2 ⋮

𝑎𝑎𝑚𝑚1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 ∙ 𝑥𝑥2 ≤ 𝑏𝑏𝑚𝑚 Maximiere bzw. minimiere die lineare Zielfunktion 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐2 ∙ 𝑥𝑥2 mit 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 2, 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 und 𝑐𝑐𝑘𝑘 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 2 .

12.2

Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

Um ein Verfahren bzw. einen Algorithmus zur Lösung dieses Modells zu finden, genügen einige Vorüberlegungen. 1.

Die Lösung eines linearen Ungleichungssystems mit zwei Variablen wird ermittelt als Schnittmenge von Halbebenen. Hier kommen nur folgende Fälle in Betracht: • • • • • • • •

2. 3.

leere Menge ein Punkt eine Strecke eine Halbgerade eine Gerade ein 𝑛𝑛 − Eck ein Streifen oder ein unbeschränktes 𝑛𝑛 − Eck.

Da die Zielfunktion geometrisch eine Ebene darstellt, können die Extremwerte nur auf dem Rand der Lösungsmenge liegen. Alle gemeinsamen Punkte der Lösungsmenge und der Geraden mit der Gleichung 𝑐𝑐1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐2 ∙ 𝑥𝑥2 = 𝑐𝑐, 𝑐𝑐 ∈ ℝ führen auf den Funktionswert 𝑐𝑐 der Zielfunktion. Folglich erhält man die maximalen Werte für das größtmögliche 𝑐𝑐, für das die Gerade noch gemeinsame Punkte mit der Lösungsmenge hat. Analog dazu erhält man die minimalen Werte für das kleinstmögliche 𝑐𝑐, für das die Gerade noch gemeinsame Punkte mit der Lösungsmenge hat.

Algorithmus zur linearen Optimierung mit zwei Variablen Schritt 1: Definition der Variablen und Formulieren des linearen Ungleichungssystems und der Zielfunktion Schritt 2: Bestimmung der Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems. Dies geschieht mittels eines Schaubilds. Diese Menge wird der zulässige Bereich genannt.

12.2 Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

219

Schritt 3: Rechnerische Lösung: • Berechnung aller Eckpunkte des zulässigen Bereichs • Berechnung des Wertes der Zielfunktion in allen Eckpunkten • Liegt der Extremwert nur in einem Eckpunkt vor, so ist dies die einzige Lösung. Liegen die Extremwerte in zwei benachbarten Eckpunkten vor, dann sind alle Punkte auf der Strecke zwischen diesen Punkten die Extremwerte. Zeichnerische Lösung: Schiebt man eine Gerade mit der Steigung −

𝑐𝑐1 𝑐𝑐2

, 𝑐𝑐2 ≠ 0 von oben an den zuläs-

sigen Bereich heran, bis sie diesen berührt, so erhält man alle maximalen Werte. Schiebt man eine Gerade mit der Steigung −

𝑐𝑐1 𝑐𝑐2

, 𝑐𝑐2 ≠ 0 von unten an den zuläs-

sigen Bereich heran, bis sie diesen berührt, so erhält man alle minimalen Werte.

Für 𝑐𝑐2 = 0 schiebt man eine Gerade parallel zur 𝑥𝑥2 − Achse von links bzw. von rechts an den zulässigen Bereich heran, bis sie diesen berührt.

Beispiel 12.1 (Fortsetzung) Für eine Verkaufsaktion stellt eine Firma zwei verschiedene neue Produkte X und Y her. Aus Platzgründen können von beiden Produkten zusammen höchstens 500 Mengeneinheiten hergestellt werden, wobei von Produkt Y mindestens 100 Mengeneinheiten erforderlich sind. Für die Fertigung stehen insgesamt 40 Stunden zur Verfügung, wobei für Produkt X (pro Mengeneinheit) 8 Minuten und für Produkt Y (pro Mengeneinheit) 4 Minuten benötigt werden. Der Gewinn beim Verkauf einer Mengeneinheit von Produkt X beträgt 50€, derjenige beim Verkauf einer Mengeneinheit von Produkt Y beträgt 10€. Die Firma möchte ihren Gesamtgewinn maximieren. Lösung: 1.

Definition der Variablen: 𝑥𝑥1 sei die Anzahl der hergestellten Produkte X

𝑥𝑥2 sei die Anzahl der hergestellten Produkte Y.

Formulierung des linearen Ungleichungssystems: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 500

𝑥𝑥2 ≥ 100 8𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≤ 2 400.

Formulierung der Zielfunktion: 2.

𝑧𝑧 = 50𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 = max. Bestimmung der Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems:

Alle Ungleichungen werden nach 𝑥𝑥2 aufgelöst und die dazugehörigen Geraden bzw. Halbebenen in ein kartesisches Koordinatensystem eingezeichnet. Anschließend wird der zulässige Bereich ermittelt. 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 500 ⇒ 𝑥𝑥2 ≤ 500 − 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ≥ 100

220

12 Lineare Optimierung mit zwei Variablen 8𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≤ 2 400 ⇒ 𝑥𝑥2 ≤ 600 − 2𝑥𝑥1 . Im folgenden Schaubild sind der zulässige Bereich (gefärbt) und die Eckpunkte dargestellt:

600

E4 E3

200 100

E2 E1 100

Abb. 12.1

3.

200

500

zulässiger Bereich und Eckpunkte

Rechnerische Lösung: Berechnung aller Eckpunkte des zulässigen Bereichs: 𝐸𝐸1 ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden 𝑥𝑥1 = 0 und 𝑥𝑥2 = 100 .

Also ist 𝐸𝐸1 (0, 100).

𝐸𝐸2 ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden 𝑥𝑥2 = 100 und 𝑥𝑥2 = 600 − 2𝑥𝑥1 .

Aus 100 = 600 − 2𝑥𝑥1 folgen 𝑥𝑥1 = 250 und 𝑥𝑥2 = 100.

Also ist 𝐸𝐸2 (250, 100).

𝐸𝐸3 ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden 100 = 600 − 2𝑥𝑥1 und 𝑥𝑥2 = 500 − 𝑥𝑥1 . Aus 600 − 2𝑥𝑥1 = 500 − 𝑥𝑥1 folgen 𝑥𝑥1 = 100 und 𝑥𝑥2 = 400.

Also ist 𝐸𝐸3 (100, 400).

𝐸𝐸4 ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden 𝑥𝑥2 = 500 − 𝑥𝑥1 und 𝑥𝑥1 = 0.

Also ist 𝐸𝐸4 (0, 500).

Berechnung des Wertes der Zielfunktion in allen Eckpunkten: Eckpunkt 𝑧𝑧 = 50𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2

𝐸𝐸1 (0, 100) 1 000

𝐸𝐸2 (250, 100) 13 500

𝐸𝐸3 (100, 400) 9 000

Also liegt das Maximum im Eckpunkt 𝐸𝐸2 (250, 100) vor.

𝐸𝐸4 (0, 500) 5 000

12.3 Aufgaben

221

Stellt die Firma 250 Produkte X und 100 Produkte Y her, so ist der maximale Gesamtgewinn 13 500€. Zeichnerische Lösung: 5

Schiebt man eine Gerade mit der Steigung 𝑚𝑚 = − = −5 von oben an den zulässigen 1 Bereich heran, so trifft diese den Bereich im Eckpunkt 𝐸𝐸2 (250, 100). 600

E4 E3

200 100

E2 E1 100

Abb. 12.2

200

500

zulässiger Bereich und Zielfunktion

Also liegt das Maximum im Eckpunkt 𝐸𝐸2 (250, 100) vor.

Stellt die Firma 250 Produkte X und 100 Produkte Y her, so ist der maximale Gesamtgewinn 13 500€.

12.3

Aufgaben

Aufgabe 1 Ein Händler stellt auf einer Messe zwei neue Produkte vor. Dabei möchte er für das erste Produkt zwischen 10 m2 und 40 m2 seiner zur Verfügung stehenden Fläche verwenden. Für das zweite Produkt möchte er zwischen 12 m2 und 50 m2 seiner zur Verfügung stehenden Fläche verwenden. Es steht ihm eine Fläche von höchstens 70 m2 zur Verfügung. Für die gesamte Vorbereitung des Messestands stehen ihm 500 Stunden zur Verfügung, wobei er für das erste Produkt pro m2 Fläche 10 Stunden und für das zweite Produkt pro m2 Fläche 5 Stunden benötigt.

222

12 Lineare Optimierung mit zwei Variablen

Pro m2 Fläche für das erste Produkt erhofft er sich ein Kundeninteresse von 50 Kunden, pro m2 Fläche für das zweite Produkt erhofft er sich ein Kundeninteresse von 20 Kunden. Der Händler möchte das Kundeninteresse maximieren. a) Stellen Sie das mathematische Modell auf. b) Wie muss der Händler seinen Messestand (bezüglich der Flächen für die beiden Produkte) aufteilen, um möglichst viele Kunden für sich zu interessieren? Aufgabe 2 Der Automobilkonzern Fahrschnell stellt an zwei Fertigungsstätten PKWs und LKWs her. Im ersten Werk, in dem die Montage durchgeführt wird, werden 5 Manntage pro LKW und 2 Manntage pro PKW benötigt. Im zweiten Werk, in dem die Auslieferung vorbereitet wird, werden pro PKW und pro LKW jeweils 3 Manntage benötigt. Die gesamte Kapazität des ersten Werks beträgt 180 Manntage pro Woche und die des zweiten Werks 135 Manntage pro Woche. Pro LKW verdient der Konzern 3 000€ und pro PKW 2 000€. a) Stellen Sie das mathematische Modell auf. b) Wie viele PKWs und LKWs müssen pro Woche hergestellt werden, damit der Gesamtgewinn maximal wird? Wie groß ist dieser dann? Aufgabe 3 Ein Unternehmen bezieht Rohstoffe aus zwei Firmen A und B. Es muss von Firma A mindestens 50 Tonnen und von Firma B mindestens 60 Tonnen abnehmen. Firma A kann höchstens 400 Tonnen und Firma B höchstens 200 Tonnen liefern. Das Unternehmen hat eine maximale Aufnahmemenge von 500 Tonnen. a) Der Reingewinn beim Verkauf beträgt 900€ bzw. 600€ pro verarbeiteter Tonne Rohstoff aus Firma A bzw. B. Bei welchen Abnahmemengen ist der Gesamtgewinn maximal? b) Der Reingewinn beim Verkauf beträgt 900€ bzw. 900€ pro verarbeiteter Tonne Rohstoff aus Firma A bzw. B. Bei welchen Abnahmemengen ist der Gesamtgewinn jetzt maximal? Aufgabe 4 Für eine Investition werden mindestens 230 000€ Fremdkapital benötigt. Es liegen zwei unterschiedliche Kreditangebote vor: Angebot A: 3% Zinsen und 1% Tilgung Angebot B: 2.5% Zinsen und 2.5% Tilgung. Beim Angebot A ist der Kredit auf maximal 160 000€ beschränkt. Die jährliche Belastung darf 10 000€ nicht überschreiten. Wie sind die beiden Angebote zu kombinieren, so dass die Zinsen, die für das erste Jahr gezahlt werden müssen, minimal sind?

13

Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

In diesem Abschnitt wird der allgemeine Fall der linearen Optimierung mit drei und mehr Variablen betrachtet.

13.1

Einführung, Beispiel und mathematisches Modell

Die Maximierung bzw. Minimierung einer linearen Zielfunktion mit drei und mehr Variablen unter einem System von Nebenbedingungen, das in Form eines Systems von linearen Ungleichungen mit ebenfalls drei und mehr Variablen vorliegt, ist das Aufgabengebiet der mehrdimensionalen linearen Optimierung. Beispiel 13.1 Ein Industrieunternehmen stellt ein Produkt, bedingt durch den immer moderner werdenden Maschinenpark, durch drei verschiedene Verfahren X, Y und Z her. Der Produktionsprozess ist durch folgende Tabelle gegeben (Bedarf pro Mengeneinheit des Produkts in Abhängigkeit von den Verfahren):

Produktionszeit Rohstoffe Lagerraum

Produktion nach Verfahren X Y Z 5 10 5 15 5 10 5 10 10

Produktionszeit in h Rohstoffbedarf in kg Lagerraum in m2

Er unterliegt den folgenden Kapazitätsbeschränkungen: Die maximal verfügbare Einsatzmenge für die Produktionszeit ist Die maximal verfügbare Einsatzmenge für die Rohstoffe ist Die maximal verfügbare Einsatzmenge für den Lagerraum ist

800 h 700 kg 600 m2.

Der Gewinn beim Verkauf einer Mengeneinheit bei der Produktion nach Verfahren X beträgt 15€, derjenige beim Verkauf einer Mengeneinheit bei der Produktion nach Verfahren Y beträgt 20€ und derjenige beim Verkauf einer Mengeneinheit bei der Produktion nach Verfahren Z beträgt 15€. Die Firma möchte ihren Gesamtgewinn maximieren. Bezeichnet man die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten nach Verfahren X mit 𝑥𝑥1 , die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten nach Verfahren Y mit 𝑥𝑥2 und die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten nach Verfahren Z mit 𝑥𝑥3 , so folgt aus den Angaben:

https://doi.org/10.1515/9783110601718-239

224

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

Restriktion für die Produktionszeit: Restriktion für die Rohstoffe: Restriktion für den Lagerraum: Gleichung für den Gesamtgewinn:

5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≤ 800

15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 600

𝑧𝑧 = 15𝑥𝑥1 + 20𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥3 = max.

Die drei Restriktionen stellen das System linearer Ungleichungen dar, die Gleichung für den Gesamtgewinn ist die Zielfunktion, die maximiert werden soll. Aus diesem Beispiel kann sofort das mathematische Modell abgeleitet werden. Mathematisches Modell der linearen Optimierung mit drei und mehr Variablen Gegeben sei ein lineares Ungleichungssystem mit 𝑚𝑚 Ungleichungen und 𝑛𝑛 Variablen der Form 𝑎𝑎11 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏1 𝑎𝑎21 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏2 ⋮

𝑎𝑎𝑚𝑚1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏𝑚𝑚 Maximiere bzw. minimiere die lineare Zielfunktion 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ 𝑐𝑐𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≥ 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 mit 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛, 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 und 𝑐𝑐𝑘𝑘 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 .

13.2

Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

Im nächsten Abschnitt wird am Beispiel 13.1 ein Verfahren zur Lösung vorgestellt: der Simplex-Algorithmus.

13.2.1

Vorüberlegungen zum Simplex-Algorithmus

Beispiel 13.1 (Fortsetzung) 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≤ 800 15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 600 𝑧𝑧 = 15𝑥𝑥1 + 20𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥3 = max. Es wird ein Punkt (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) gesucht, der alle Ungleichungen erfüllt und die Zielfunktion möglichst groß macht.

Um im später vorgestellten Algorithmus nicht immer zwischen Maximierungs- und Minimierungsproblemen unterscheiden zu müssen, verwendet man den folgenden, aus der reinen Mathematik bestens bekannten Sachverhalt:

Das Maximum der Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ist im Falle der Existenz an der gleichen Stelle wie das Minimum der Funktion −𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Dadurch wird unser Problem bezüglich der Zielfunktion umgestellt:

13.2 Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

225

5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≤ 800 15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 600 𝑧𝑧 = −15𝑥𝑥1 − 20𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥3 = min.

Im nächsten Schritt wird aus dem Ungleichungssystem ein lineares Gleichungssystem konstruiert. Es müssen deshalb drei neue Variablen (die positiv oder gleich 0 sind) in das Gleichungssystem eingefügt werden: = 800 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧1 15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧2 = 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧3 = 600 𝑧𝑧 = −15𝑥𝑥1 − 20𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥3 = min.

Löst man das neue Gleichungssystem nach den neuen Variablen 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 und 𝑧𝑧3 auf, so erhält man 𝑧𝑧1 = 800 − 5𝑥𝑥1 − 10𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 𝑧𝑧2 = 700 − 15𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥3 𝑧𝑧3 = 600 − 5𝑥𝑥1 − 10𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥3 𝑧𝑧 = − 15𝑥𝑥1 − 20𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥3 . In diesem Gleichungssystem werden die neuen Variablen 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 und 𝑧𝑧3 in Abhängigkeit der alten Variablen 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 und 𝑥𝑥3 dargestellt. Dieser Sachverhalt wird im Simplex-Algorithmus eine wichtige Rolle spielen. Startet man nun in einem Iterationsverfahren in einem Punkt, der nachweislich das Ungleichungssystem erfüllt, etwa im Punkt 𝑃𝑃1 (0, 0, 0), so kann man im letzten Gleichungssystem sofort die Werte 𝑧𝑧1 = 800 𝑧𝑧2 = 700 𝑧𝑧3 = 600 𝑧𝑧 = 0 berechnen.

Im nächsten Schritt wird versucht, ausgehend vom Punkt 𝑃𝑃1 (0, 0, 0), eine der drei Variablen 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 und 𝑥𝑥3 so groß wie möglich zu machen, damit die Zielfunktion 𝑧𝑧 = −15𝑥𝑥1 − 20𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥3 so klein wie möglich wird.

Da der Koeffizient von 𝑥𝑥2 der kleinste ist, wird 𝑥𝑥2 so groß wie möglich gemacht. Als Folge davon müssen dann die beiden anderen Variablen gleich 0 sein: 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥3 = 0. Setzt man dies in das Gleichungssystem ein, so folgt 𝑧𝑧1 = 800 − 10𝑥𝑥2 𝑧𝑧2 = 700 − 5𝑥𝑥2 𝑧𝑧3 = 600 − 10𝑥𝑥2. Da die Variablen 𝑧𝑧1 , 𝑧𝑧2 und 𝑧𝑧3 positiv oder gleich 0 sind folgt 𝑧𝑧1 = 800 − 10𝑥𝑥2 ≥ 0 ⇒ 𝑥𝑥2 ≤ 80 𝑧𝑧2 = 700 − 5𝑥𝑥2 ≥ 0 ⇒ 𝑥𝑥2 ≤ 140 𝑧𝑧3 = 600 − 10𝑥𝑥2 ≥ 0 ⇒ 𝑥𝑥2 ≤ 60 . Damit alle drei Ungleichungen erfüllt sind, kann 𝑥𝑥2 höchstens gleich 60 sein.

226

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

Man gelangt also zum neuen Punkt 𝑃𝑃2 (0, 60, 0).

Da jetzt 𝑥𝑥2 = 60 und 𝑧𝑧3 = 0 gilt, haben diese beiden Variablen ihre Rollen im Gleichungssystem getauscht. Und genau dieser Austausch wird jetzt noch vollständig durchgeführt.

Die dritte Gleichung, aus der 𝑥𝑥2 = 60 bestimmt wurde, wird jetzt nach 𝑥𝑥2 aufgelöst: 1 1 𝑧𝑧3 = 600 − 5𝑥𝑥1 − 10𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥3 ⇒ 𝑥𝑥2 = 60 − 𝑥𝑥1 − 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥3 . 2 10 3 Dieser Ausdruck für 𝑥𝑥2 wird im Gleichungssystem noch in die beiden verbleibenden Gleichungen und in die Zielfunktion eingesetzt: 1 1 𝑧𝑧1 = 800 − 5𝑥𝑥1 − 10 ∙ �60 − 𝑥𝑥1 − 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥3 � − 5𝑥𝑥3 2 10 3 1 1 𝑧𝑧2 = 700 − 15𝑥𝑥1 − 5 ∙ �60 − 𝑥𝑥1 − 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥3 � − 10𝑥𝑥3 2 10 3 1 1 𝑧𝑧 = − 15𝑥𝑥1 − 20 ∙ �60 − 𝑥𝑥1 − 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥3 � − 15𝑥𝑥3 . 2 10 3 Zusammengefasst stellt sich das Gleichungssystem in neuer Gestalt vor: 200 + 𝑧𝑧3 + 5𝑥𝑥3 𝑧𝑧1 = 25 1 𝑧𝑧2 = 400 − 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 − 5𝑥𝑥3 2 1 2 3 1 1 𝑥𝑥2 = 60 − 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥3 2 1 10 3 𝑧𝑧 = −1 200 − 5𝑥𝑥1 + 2𝑧𝑧3 + 5𝑥𝑥3 Da 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥3 = 𝑧𝑧3 = 0 gilt, folgt sofort 𝑧𝑧1 = 200 400 𝑧𝑧2 = 60 𝑥𝑥2 = 𝑧𝑧 = −1 200 Formt man das neue Gleichungssystem noch so um, dass alle Variablen auf der linken Seite sind, so folgt = 200 − 𝑧𝑧3 − 5𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧1 1 25 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 + 5𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧2 = 400 2 3 2 1 1 1 𝑥𝑥1 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 = 60 10 3 2 𝑧𝑧 = −5𝑥𝑥1 + 2𝑧𝑧3 + 5𝑥𝑥3 − 1 200 = min. Aus diesem Gleichungssystem liest man jetzt ab: 𝑃𝑃2 (0, 60, 0) und 𝑧𝑧 = −1 200.

Man hat einen neuen Punkt 𝑃𝑃2 (0, 60, 0) erhalten. Der Wert der Zielfunktion ist besser als derjenige des Punktes 𝑃𝑃1 (0, 0, 0). Dieses Verfahren wird jetzt iterativ so lange durchgeführt, bis es keine negativen Koeffizienten in der Zielfunktion mehr gibt.

Unbefriedigend an der ganzen Sache ist allerdings die umfangreiche Berechnung, die auf das neue Gleichungssystem führt.

13.2 Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

227

Ausgangsgleichungssystem: = 800 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧1 15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧2 = 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧3 = 600 𝑧𝑧 = −15𝑥𝑥1 − 20𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥3 = min. Neues Gleichungssystem: = 200 − 𝑧𝑧3 − 5𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧1 1 25 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 + 5𝑥𝑥3 + 𝑧𝑧2 = 400 2 3 2 1 1 1 𝑥𝑥1 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 = 60 10 3 2 𝑧𝑧 = −5𝑥𝑥1 + 2𝑧𝑧3 + 5𝑥𝑥3 − 1 200 = min.

Deshalb werden beide Gleichungssysteme in einer kürzeren Darstellungsform, nämlich in einer Tabelle, geschrieben: 𝑥𝑥1

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

5 15 5

10 5 10

5 10 10

800 700 600

−15

−20

−15

0

𝑥𝑥1

𝑧𝑧3

𝑥𝑥3

0 25/2 1/2

−1 −1/2 1/10

−5 5 1

200 400 60

−5

2

5

1 200

Wünschenswert wäre jetzt ein Verfahren, das relativ zügig aus der ersten Tabelle die zweite Tabelle bestimmt. Dieses Verfahren, der primale Simplex-Algorithmus, wird im nächsten Abschnitt vorgestellt.

13.2.2

Der primale Simplex-Algorithmus

Mathematisches Modell der linearen Optimierung mit drei und mehr Variablen für den primalen Simplex-Algorithmus Gegeben sei ein lineares Ungleichungssystem mit 𝑚𝑚 Ungleichungen und 𝑛𝑛 Variablen der Form 𝑎𝑎11 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏1 𝑎𝑎21 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏2

⋮

𝑎𝑎𝑚𝑚1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏𝑚𝑚

228

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

und eine lineare Zielfunktion 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ 𝑐𝑐𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 mit 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ ℝ+ , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛, 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ+ , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 und 𝑐𝑐𝑘𝑘 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 . Gesucht ist das Minimum der Zielfunktion für 𝑥𝑥𝑗𝑗 ∈ ℝ+ 0 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Bemerkung: Beim primalen Simplex-Algorithmus sind alle Koeffizienten im Ungleichungssystem positiv oder gleich 0 und alle Ungleichungen sind ≤ − Ungleichungen. Es wird immer das Minimum gesucht, sollte jedoch das Maximum gesucht sein, so wird die Zielfunktion mit −1 multipliziert und anschließend das Minimum gesucht. Analog zu den Vorüberlegungen des letzten Abschnitts wird aus dem Ungleichungssystem durch Hinzufügen der Variablen 𝑧𝑧𝑖𝑖 ∈ ℝ+ 0 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 ein lineares Gleichungssystem erzeugt: = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑧𝑧1 𝑎𝑎21 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛

+ 𝑧𝑧2

⋮

= 𝑏𝑏2

𝑎𝑎𝑚𝑚1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑧𝑧𝑚𝑚 = 𝑏𝑏𝑚𝑚 + Die Ausgangsvariablen 𝑥𝑥𝑗𝑗 ∈ ℝ0 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 werden dabei Struktur- oder Nichtbasisvariablen genannt, die neuen Variablen 𝑧𝑧𝑖𝑖 ∈ ℝ+ 0 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 werden Schlupf- oder Basisvariablen genannt. Bei der Anwendung des Simplex-Algorithmus werden iterativ Eckpunkte berechnet. Der Wert der Zielfunktion nähert sich dem Minimum an, bis er es schließlich erreicht. Primaler Simplex-Algorithmus Vorbereitung: Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus 𝑧𝑧1

𝑥𝑥1

𝑎𝑎11

𝑥𝑥2

𝑎𝑎12

⋯ ⋯

𝑎𝑎2𝑛𝑛

𝑏𝑏2

⋯

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑏𝑏𝑚𝑚

𝑧𝑧2

𝑎𝑎21

𝑎𝑎22

𝑧𝑧𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑚𝑚1

𝑎𝑎𝑚𝑚2

⋮

𝑐𝑐1

𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑐𝑐2

⋯

𝑎𝑎1𝑛𝑛

𝑐𝑐𝑛𝑛

𝑏𝑏1

0

Danach erfolgen Iterationen mit jeweils 2 Schritten bis zum Abbruch. Berechnung des zweiten (der weiteren) Simplex-Tableaus Schritt 1: Suche des Pivot-Elements a) Bestimmung des kleinsten aller 𝑐𝑐𝑗𝑗 ∈ ℝ− , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛. Der dazugehörige Index 𝑠𝑠 bestimmt die Pivotspalte. Abbruch, falls alle 𝑐𝑐𝑗𝑗 ≥ 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛. b) Bestimmung des kleinsten aller Quotienten

𝑏𝑏𝑖𝑖

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖

für alle 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚.

Der dazugehörige Index 𝑟𝑟 bestimmt die Pivotzeile.

13.2 Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel c)

229

Das Pivotelement ist 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 .

Schritt 2: Aufstellen des neuen Tableaus a) Die Variablen von Pivotzeile und Pivotspalte werden vertauscht. b) Das Pivotelement 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 wird durch seinen Kehrwert c)

Alle restlichen Elemente der Pivotspalte werden mit −

d) Alle restlichen Elemente der Pivotzeile werden mit e)

1

𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 1

ersetzt.

𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟

1 multipliziert. 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟

multipliziert.

Alle anderen Werte werden spaltenweise ersetzt nach folgender Formel: Neue Spalte = Vektor01 – Zahl * Vektor02, wobei gilt: Vektor01 = Einträge dieser Spalte aus dem alten Tableau ohne den Wert der Pivotzeile, Vektor02 = Einträge der Pivotspalte aus dem alten Tableau ohne den Wert der Pivotzeile und Zahl = Zahl, die im neuen Tableau schon in dieser Spalte steht.

Abbruch: Sind alle Einträge in der letzten Zeile (ohne den Wert der Zielfunktion) positiv, so ist das Verfahren beendet. Sind im letzten Simplex-Tableau noch 𝑐𝑐𝑗𝑗 = 0 vorhanden, so gibt es unendlich viele Lösungen. Weitere Eckpunkte werden dann zusätzlich berechnet. Die Pivotspalte ist dann eine Spalte mit 𝑐𝑐𝑗𝑗 = 0.

Beispiel 13.1 (Fortsetzung) Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

5 15 5

10 5 10

5 10 10

800 700 600

−15

−20

−15

0

1. Iteration: Bestimmung des zweiten Simplex-Tableaus Schritt 1a: Suche unter allen negativen 𝑐𝑐𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 3 den kleinsten Wert: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

5 15 5

10 5 10

5 10 10

800 700 600

−15

−20

−15

0

Dies ist 𝑐𝑐2 = −20. Also ist die zweite Spalte die Pivotspalte und es gilt: 𝑠𝑠 = 2.

230

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

Schritt 1b: Suche unter den Quotienten

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

𝑏𝑏𝑖𝑖

𝑎𝑎𝑖𝑖2

5 15 5

10 5 10

5 10 10

800 700 600

−15

−20

−15

0

für alle 𝑎𝑎𝑖𝑖2 > 0 den kleinsten.

800 𝑏𝑏2 700 𝑏𝑏3 600 𝑏𝑏1 = = 80, = = 140 und = = 60. 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 𝑎𝑎32 10 5 10 𝑏𝑏3 Also ist = 60 der kleinste Quotient, die dritte Zeile ist die Pivotzeile, es gilt: 𝑟𝑟 = 3. 𝑎𝑎32 Es gilt:

Schritt 1c: Das Pivotelement ist deshalb 𝑎𝑎32 = 10. 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

5 15 5

10 5 10

5 10 10

800 700 600

−15

−20

−15

0

Schritt 2a: Die Variablen von Pivotzeile und Pivotspalte werden vertauscht. 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑧𝑧3

𝑥𝑥3

Schritt 2b: Das Pivotelement 𝑎𝑎32 = 10 wird durch den Kehrwert 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑧𝑧3

1/10

𝑥𝑥3

1

𝑎𝑎32

1

= 10 ersetzt.

13.2 Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

231

Schritt 2c: Alle restlichen Elemente der Pivotspalte werden mit − 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑧𝑧3

−1 −1/2 1/10

𝑥𝑥3

𝑥𝑥1 1/2

𝑧𝑧3

−1 −1/2 1/10

𝑥𝑥3 1

1

𝑎𝑎32

60

2

Vektor01 und Vektor02 werden aus dem ersten Tableau übernommen: 𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

5 15 5

10 5 10

5 10 10

800 700 600

−15

−20

−15

0

Zahl wird aus dem zweiten Tableau übernommen: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

𝑥𝑥1 1/2

𝑧𝑧3

−1 −1/2 1/10

𝑥𝑥3 1

60

2

0 10 5 1 Also gilt für die drei Werte: � 15� − ∙ � 5� = �25/2�. 2 −20 −15 −5

1

= 10 multipliziert.

Schritt 2e: Berechnung der restlichen Elemente der ersten Spalte.

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

1 = − 10 multipliziert.

2

Schritt 2d: Alle restlichen Elemente der Pivotzeile werden mit

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

1 𝑎𝑎32

232

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen 𝑥𝑥1

𝑧𝑧3

0 25/2 1/2

−1 −1/2 1/10

−5

2

𝑥𝑥3 1

60

Die restlichen beiden Spalten werden analog berechnet: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑥𝑥2

𝑥𝑥1

𝑧𝑧3

𝑥𝑥3

0 25/2 1/2

−1 −1/2 1/10

−5 5 1

200 400 60

−5

2

5

1 200

Aus diesem Tableau kann jetzt sowohl der neue Eckpunkt als auch der Wert der Zielfunktion abgelesen werden. Alle Variablen, die noch als Spaltenbeschriftungen dienen, sind gleich 0. Für die anderen Variablen, die als Zeilenbeschriftungen dienen, wird der Wert in der letzten Spalte abgelesen. Der negative Wert der Zielfunktion steht im letzten Feld der Tabelle: Also gilt: 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥3 = 0, 𝑥𝑥2 = 60 und 𝑧𝑧 = −1 200, also 𝐸𝐸2 (0, 60, 0). Das Verfahren ist noch nicht beendet, da es in der letzten Zeile noch negative Einträge gibt. 2. Iteration: Bestimmung des dritten Simplex-Tableaus Dieses Tableau wird völlig analog berechnet und es folgt 𝑧𝑧1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝑧𝑧2

𝑧𝑧3

𝑥𝑥3

0 2/25 −1/25

−1 −1/25 3/25

−5 2/5 4/5

200 32 44

2/5

9/5

7

1 360

Also gilt: 𝑥𝑥1 = 32, 𝑥𝑥2 = 44, 𝑥𝑥3 = 0 und 𝑧𝑧 = −1 360, also 𝐸𝐸3 (32,44,0).

Das Verfahren ist beendet, da es in der letzten Zeile keine negativen Einträge mehr gibt. Für das Maximierungsproblem gilt dann 𝑧𝑧 = 1 360.

13.2.3

Der duale Simplex-Algorithmus

Beim primalen Simplex-Algorithmus bestand das Ausgangsgleichungssystem ausnahmslos aus Ungleichungen der Form ≤. Dadurch konnten nur Beschränkungen nach oben erfasst werden. Da dies nicht immer der Fall sein muss, wird im Folgenden der SimplexAlgorithmus auch für Ungleichungen der Form ≥ erweitert. Dazu werden diese Ungleichungen durch eine Multiplikation mit −1 auf Ungleichungen der bekannten Form ≤ gebracht. Dadurch werden aber alle Koeffizienten in diesen Ungleichun-

13.2 Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

233

gen negativ, besonders auch der Koeffizient auf der rechten Seite! Somit werden im folgenden Modell die Nichtnegativitätsbedingungen für die Koeffizienten fallengelassen. Mathematisches Modell der linearen Optimierung mit drei und mehr Variablen für den dualen Simplex-Algorithmus Gegeben sei ein lineares Ungleichungssystem mit 𝑚𝑚 Ungleichungen und 𝑛𝑛 Variablen der Form 𝑎𝑎11 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏1 𝑎𝑎21 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏2 ⋮

𝑎𝑎𝑚𝑚1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏𝑚𝑚 und eine lineare Zielfunktion 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑐𝑐2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ 𝑐𝑐𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 mit 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛, 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 und 𝑐𝑐𝑘𝑘 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 . Gesucht ist das Minimum der Zielfunktion für 𝑥𝑥𝑗𝑗 ∈ ℝ+ 0 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Dazu wird analog zum primalen Simplex-Algorithmus im letzten Abschnitt aus dem Ungleichungssystem durch Hinzufügen der Variablen 𝑧𝑧𝑖𝑖 ∈ ℝ+ 0 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 ein lineares Gleichungssystem erzeugt: = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑧𝑧1 𝑎𝑎21 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛

+ 𝑧𝑧2

⋮

𝑎𝑎𝑚𝑚1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 ∙ 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛

Dualer Simplex-Algorithmus

= 𝑏𝑏2

+ 𝑧𝑧𝑚𝑚 = 𝑏𝑏𝑚𝑚

Vorbereitung: Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus Vorsicht: Alle Ungleichungen der Form ≥ müssen vorab durch eine Multiplikation mit −1 auf Ungleichungen der bekannten Form ≤ gebracht werden! 𝑧𝑧1

𝑥𝑥1

𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑧𝑧2

𝑎𝑎21

𝑎𝑎22

𝑎𝑎12

⋯ ⋯

𝑎𝑎2𝑛𝑛

𝑏𝑏2

𝑧𝑧𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑚𝑚1

𝑎𝑎𝑚𝑚2

⋯

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑏𝑏𝑚𝑚

⋮

𝑎𝑎11

𝑥𝑥2

𝑐𝑐1

𝑐𝑐2

⋯

𝑎𝑎1𝑛𝑛

𝑐𝑐𝑛𝑛

𝑏𝑏1

0

Danach erfolgen Iterationen zu jeweils 2 Schritten bis zum Abbruch.

234

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

Berechnung des zweiten (der weiteren) Simplex-Tableaus Schritt 1: Suche des Pivot-Elements Hier wird unterschieden, ob es noch negative Einträge in der letzten Spalte gibt oder nicht! Fall 1: Es gibt mindestens ein negatives 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚. a) Bestimmung des kleinsten aller 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ− , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚. Der dazugehörige Index 𝑟𝑟 bestimmt die Pivotzeile. b) Bestimmung des größten aller Quotienten

c)

𝑐𝑐𝑗𝑗

𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟

für alle 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 < 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Der dazugehörige Index 𝑠𝑠 bestimmt die Pivotspalte. Abbruch, falls kein 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 < 0. Dann gibt es keine Lösung, da die Lösungsmenge des Ungleichungssystems leer ist. Das Pivotelement ist 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 .

Fall 2: Alle 𝑏𝑏𝑖𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 sind positiv. Dann geht der duale Simplex-Algorithmus in den primalen Simplex-Algorithmus über. a) Bestimmung des kleinsten aller 𝑐𝑐𝑗𝑗 ∈ ℝ− , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛. Der dazugehörige Index 𝑠𝑠 bestimmt die Pivotspalte. Abbruch, falls alle 𝑐𝑐𝑗𝑗 ≥ 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛. Das Verfahren ist beendet und die optimale Lösung gefunden. Sind im letzten Simplex-Tableau noch 𝑐𝑐𝑗𝑗 = 0 vorhanden, so gibt es unendlich viele Lösungen. Weitere Eckpunkte werden dann zusätzlich berechnet. Die Pivotspalte ist dann eine Spalte mit 𝑐𝑐𝑗𝑗 = 0. b) Bestimmung des kleinsten aller Quotienten

c)

𝑏𝑏𝑖𝑖

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖

für alle 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚.

Der dazugehörige Index 𝑟𝑟 bestimmt die Pivotzeile. Abbruch, falls kein 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0. Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist unbeschränkt, deshalb gibt es kein endliches Minimum. Das Pivotelement ist 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 .

Schritt 2: Aufstellen des neuen Tableaus a) Die Variablen von Pivotzeile und Pivotspalte werden vertauscht. b) Das Pivotelement 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 wird durch seinen Kehrwert c)

Alle restlichen Elemente der Pivotspalte werden mit −

d) Alle restlichen Elemente der Pivotzeile werden mit e)

1

𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 1

ersetzt.

𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟

1 multipliziert. 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟

multipliziert.

Alle anderen Werte werden spaltenweise ersetzt nach folgender Formel: Neue Spalte = Vektor01 – Zahl * Vektor02, wobei gilt: Vektor01 = Einträge dieser Spalte aus dem alten Tableau ohne den Wert der Pivotzeile, Vektor02 = Einträge der Pivotspalte aus dem alten Tableau ohne den Wert der Pivotzeile und Zahl = Zahl, die im neuen Tableau schon in dieser Spalte steht.

13.2 Lösungsverfahren und durchgerechnetes Beispiel

235

Beispiel 13.2 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≤ 800 15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≥ 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≥ 600 𝑧𝑧 = 10𝑥𝑥1 + 20𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥3 = max. Es wird ein Punkt (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) gesucht, der alle Ungleichungen erfüllt und die Zielfunktion möglichst groß macht. Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

5 −15 −5

10 −5 −10

5 −10 −10

800 −700 −600

−10

−20

−15

0

1. Iteration: Bestimmung des zweiten Simplex-Tableaus Schritt 1a: Suche unter allen negativen 𝑏𝑏𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 3 den kleinsten Wert: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

5 −15 −5

10 −5 −10

5 −10 −10

800 −700 −600

−10

−20

−15

0

Dies ist 𝑏𝑏2 = −700. Also ist die zweite Zeile die Pivotzeile und es gilt: 𝑟𝑟 = 2. Schritt 1b: Suche unter den Quotienten

𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

𝑐𝑐𝑗𝑗

𝑎𝑎2𝑗𝑗

5 −15 −5

10 −5 −10

5 −10 −10

800 −700 −600

−10

−20

−15

0

für alle 𝑎𝑎2𝑗𝑗 < 0 den größten.

−10 2 𝑐𝑐2 −20 𝑐𝑐3 −15 3 𝑐𝑐1 = = , = = 4 und = = . 𝑎𝑎21 −15 3 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 −10 2 −5 𝑐𝑐2 Also ist = 4 der größte Quotient, die zweite Spalte die Pivotspalte und es gilt: 𝑠𝑠 = 2. 𝑎𝑎22

Es gilt:

236

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

Schritt 1c: Das Pivotelement ist deshalb 𝑎𝑎22 = −5.

Die restlichen Berechnungen dieser Iteration erfolgen wie im primalen Simplex-Algorithmus. Es folgt für das zweite Simplex-Tableau: 𝑧𝑧1 𝑥𝑥2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑧𝑧2

𝑥𝑥3

−25 3 25

2 −1/5 −2

−15 2 10

−600 140 800

50

−4

25

2 800

Also: 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 140, 𝑥𝑥3 = 0 und 𝑧𝑧 = −2 800.

Der zulässige Bereich ist noch nicht erreicht, da die letzte Spalte noch negative Einträge hat. Die restlichen Tableaus werden ohne die Berechnungen angegeben. 2. Iteration: Bestimmung des dritten Simplex-Tableaus 𝑥𝑥3 𝑥𝑥2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑧𝑧2

𝑧𝑧1

5/3 −1/3 25/3

−2/15 1/15 −2/3

−1/15 2/15 2/3

40 60 400

25/3

−2/3

5/3

1 800

Also gilt: 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 60, 𝑥𝑥3 = 40 und 𝑧𝑧 = −1 800.

Der zulässige Bereich ist erreicht und es gilt: 𝐸𝐸3 (0, 60, 40), nicht optimal.

3. Iteration: Bestimmung des vierten Simplex-Tableaus 𝑥𝑥3 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑧𝑧1

1 −5 5

2 15 10

1/5 2 2

160 900 1 000

5

10

3

2 400

Also gilt: 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 0, 𝑥𝑥3 = 160, 𝑧𝑧 = −2 400 und E4 (0 , 0, 160)

Das Minimum ist gefunden. Für das Maximierungsproblem gilt dann 𝑧𝑧 = 2 400.

Abschließend wird noch der Fall behandelt, falls im Ungleichungssystem Gleichungen auftreten.

13.3 Sensitivitätsanalyse

237

Simplex-Algorithmus mit Gleichungen Das erste Simplex-Tableau wird wie bisher aufgestellt und die Gleichungen werden direkt übertragen. Alle Basis- bzw. Schlupfvariablen 𝑧𝑧𝑖𝑖 ∈ ℝ+ 0 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚, die zu Gleichungen gehören, werden markiert.

Der Schritt 1 des dualen Simplex-Algorithmus wird nun abgeändert. Es müssen alle markierten Variablen aus der Basis entfernt werden, da diese ja alle gleich 0 sein müssen! Dies geschieht hintereinander in beliebiger Reihenfolge. Bei der Suche des Pivot-Elements wird eine beliebige markierte Basisvariable ausgewählt. Sie bestimmt die Pivotzeile. Als Pivotspalte wird eine Spalte gewählt, in der keine markierte Variable steht. Das sich dann ergebende Pivotelement muss von 0 verschieden sein. Diese Vorschleife wird solange durchgeführt, bis alle markierten Variablen aus der Basis entfernt wurden. Dann geht der Algorithmus in den dualen Simplex-Algorithmus über. Markierte Variablen dürfen dabei nicht wieder getauscht werden. Die Abbruchbedingung muss noch angepasst werden: Sind alle Einträge in der letzten Zeile (ohne den Wert der Zielfunktion), die zu nicht markierten Variablen gehören, positiv, so ist das Verfahren beendet. Einträge zu markierten Variablen können durchaus noch negativ sein!

13.3

Sensitivitätsanalyse

Bei einer Sensitivitätsanalyse untersucht man das Verhalten der optimalen Lösung auf Reaktionen gegenüber Veränderungen der Ausgangsdaten. Im Folgenden wird dies für die Koeffizienten der Zielfunktion und für die rechten Seiten des Ungleichungssystems durchgeführt.

13.3.1

Änderung der Koeffizienten der Zielfunktion

Es soll untersucht werden, in welchem Bereich [𝑐𝑐𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘− , 𝑐𝑐𝑘𝑘 + 𝑐𝑐𝑘𝑘+ ] sich der Zielfunktionskoeffizient c k , 1 ≤ k ≤ n ändern darf, ohne dass die optimale Lösung ihre Optimalitätseigenschaft verliert. In diesem Fall bleiben sowohl die Basisvariablen als auch deren Wertebelegung in der optimalen Lösung erhalten. Im Folgenden werden nur die Fälle betrachtet, bei denen sich genau ein Koeffizient ändert und alle anderen konstant bleiben. Nachstehend wird ein Satz angegeben, wie diese Grenzen aus dem letzten Simplex-Tableau ermittelt werden können. Satz: Bei der Sensitivitätsanalyse für die Änderung der Koeffizienten der Zielfunktion werden die Werte für 𝑐𝑐𝑘𝑘− und 𝑐𝑐𝑘𝑘+ folgendermaßen aus dem optimalen Simplex-Tableau ermittelt: Ist 𝑥𝑥𝑘𝑘 Nichtbasisvariable und sind 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏�𝑖𝑖 und 𝑐𝑐̃𝑗𝑗 die aktuellen Koeffizienten im optimalen

Tableau und ist 𝜑𝜑(𝑘𝑘) die Spalte im optimalen Tableau, in der diese Variable steht, so gilt: 𝑐𝑐𝑘𝑘− = 𝑐𝑐̃𝜑𝜑(𝑘𝑘) und 𝑐𝑐𝑘𝑘+ = ∞.

238

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

Ist 𝑥𝑥𝑘𝑘 Basisvariable und sind 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏�𝑖𝑖 und 𝑐𝑐̃𝑗𝑗 die aktuellen Koeffizienten im optimalen Tableau und ist 𝜑𝜑(𝑘𝑘) die Zeile im optimalen Tableau, in der diese Basisvariable steht, so gilt: 𝑐𝑐𝑘𝑘− = ∞ falls alle 𝑎𝑎�𝜑𝜑(𝑘𝑘)𝑗𝑗 > 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑘𝑘− = min �−

𝑐𝑐̃𝑗𝑗

𝑎𝑎�𝜑𝜑(𝑘𝑘)𝑗𝑗

, 𝑎𝑎�𝜑𝜑(𝑘𝑘)𝑗𝑗 < 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛� sonst.

𝑐𝑐𝑘𝑘+ = ∞ falls alle 𝑎𝑎�𝜑𝜑(𝑘𝑘)𝑗𝑗 < 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛

𝑐𝑐̃𝑗𝑗 , 𝑎𝑎� > 0, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛� sonst. 𝑐𝑐𝑘𝑘+ = min � 𝑎𝑎�𝜑𝜑(𝑘𝑘)𝑗𝑗 𝜑𝜑(𝑘𝑘)𝑗𝑗

Bemerkung: Bei einem Maximierungsproblem im Ausgangsproblem müssen die dadurch ermittelten Werte zurücktransformiert werden.

13.3.2

Änderung der Koeffizienten auf den rechten Seiten

Es soll geprüft werden, in welchem Bereich [𝑏𝑏𝑘𝑘 − 𝑏𝑏𝑘𝑘− , 𝑏𝑏𝑘𝑘 + 𝑏𝑏𝑘𝑘+ ] sich die Ressourcen-Beschränkung 𝑏𝑏𝑘𝑘 ändern darf, ohne dass die optimale Basislösung ihre Optimalitätseigenschaft verliert. In diesem Fall bleiben nur die Basisvariablen erhalten. Ihre Wertebelegungen in der optimalen Lösung ändern sich natürlich. Satz: Bei der Sensitivitätsanalyse für die Änderung der Koeffizienten auf den rechten Seiten werden die Werte für 𝑏𝑏𝑘𝑘− und 𝑏𝑏𝑘𝑘+ folgendermaßen aus dem optimalen Simplex-Tableau ermittelt: Ist 𝑧𝑧𝑘𝑘 Basisvariable und sind 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏�𝑖𝑖 und 𝑐𝑐̃𝑗𝑗 die aktuellen Koeffizienten im optimalen Tab-

leau und ist 𝜑𝜑(𝑘𝑘) die Zeile im optimalen Tableau, in der diese Basisvariable steht, so gilt: 𝑏𝑏𝑘𝑘− = 𝑏𝑏�𝜑𝜑(𝑘𝑘) und 𝑏𝑏𝑘𝑘+ = ∞.

Ist 𝑧𝑧𝑘𝑘 Nichtbasisvariable und sind 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏�𝑖𝑖 und 𝑐𝑐̃𝑗𝑗 die aktuellen Koeffizienten im optimalen Tableau und ist 𝜑𝜑(𝑘𝑘) die Spalte im optimalen Tableau, in der diese Variable steht, so gilt: 𝑏𝑏𝑘𝑘− = ∞ falls alle 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) < 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 𝑏𝑏�𝑖𝑖 , 𝑎𝑎� > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚� sonst. 𝑏𝑏𝑘𝑘− = min � 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) 𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) 𝑏𝑏𝑘𝑘+ = ∞ falls alle 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) > 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 𝑏𝑏�𝑖𝑖 , 𝑎𝑎� < 0, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚� sonst. 𝑏𝑏𝑘𝑘+ = min �− 𝑎𝑎�𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) 𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘)

Bemerkung: Bei allen Ungleichungen der Form ≥ im Ausgangsproblem müssen die dadurch ermittelten Werte zurücktransformiert werden.

13.3 Sensitivitätsanalyse

239

Die Anwendung dieser Formeln wird am Beispiel 13.1 gezeigt: 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≤ 800 15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 600 𝑧𝑧 = 15𝑥𝑥1 + 20𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥3 = max. Es wird ein Punkt (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) gesucht, der alle Ungleichungen erfüllt und die Zielfunktion möglichst groß macht. Das optimale Simplextableau lautet 𝑧𝑧1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝑧𝑧2

𝑧𝑧3

𝑥𝑥3

0 2/25 −1/25

−1 −1/25 3/25

−5 2/5 4/5

200 32 44

2/5

9/5

7

1 360

Die Lösung ist im Punkt 𝐸𝐸3 (32,44,0) mit 𝑧𝑧 = −1 360. Die dazugehörigen Basisvariablen sind 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 und 𝑧𝑧1 .

Zuerst werden die Änderungen der Koeffizienten der Zielfunktion betrachtet: 1.

Änderung von 𝑐𝑐1 :

Da 𝑥𝑥1 Basisvariable ist und in der zweiten Zeile steht, gilt mit 𝜑𝜑(1) = 2: 𝑐𝑐̃𝑗𝑗 9/5 , 𝑎𝑎�2𝑗𝑗 < 0� = min �− � = 45 und 𝑐𝑐1− = min �− 𝑎𝑎�2𝑗𝑗 −1/25 𝑐𝑐̃𝑗𝑗 2/5 7 35 𝑐𝑐1+ = min � , 𝑎𝑎� > 0� = min � , � = min �5, � = 5. 𝑎𝑎�2𝑗𝑗 2𝑗𝑗 2/25 2/5 2

Damit gilt: 𝑐𝑐1 ∈ [−15 − 45, −15 + 5] = [−60, −10].

2.

Dies gilt für den negativen Koeffizienten aus dem ersten Simplex-Tableau. Der entsprechende (positive) Koeffizient in der Ausgangszielfunktion ist im Intervall [10, 60].

Änderung von 𝑐𝑐2 :

Da 𝑥𝑥2 Basisvariable ist und in der dritten Zeile steht, gilt mit 𝜑𝜑(2) = 3: 𝑐𝑐̃𝑗𝑗 2/5 , 𝑎𝑎�3𝑗𝑗 < 0� = min �− � = 10 und 𝑐𝑐2− = min �− 𝑎𝑎�3𝑗𝑗 −1/25

𝑐𝑐̃𝑗𝑗 9/5 7 35 35 𝑐𝑐2+ = min � , 𝑎𝑎� > 0� = min � , � = min �15, �= . 𝑎𝑎�3𝑗𝑗 3𝑗𝑗 3/25 4/5 4 4

Damit gilt: 𝑐𝑐2 ∈ [−20 − 10, −20 + 35/4 ] = [−30, −45/4].

Dies gilt für den negativen Koeffizienten aus dem ersten Simplex-Tableau. Der entsprechende (positive) Koeffizient in der Ausgangszielfunktion ist im Intervall [45/4 ,30].

240 3.

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen Änderung von 𝑐𝑐3 :

Da 𝑥𝑥3 Nichtbasisvariable ist und in der dritten Spalte steht, gilt mit 𝜑𝜑(3) = 3:

𝑐𝑐3− = 𝑐𝑐̃3 = 7 und 𝑐𝑐3+ = ∞. Damit gilt: 𝑐𝑐3 ∈ [−15 − 7, −15 + ∞) = [−22, ∞).

Dies gilt für den negativen Koeffizienten aus dem ersten Simplex-Tableau. Der entsprechende (positive) Koeffizient in der Ausgangszielfunktion ist im Intervall (−∞, 22].

Als nächstes werden die Änderungen der rechten Seiten betrachtet: 1.

2.

3.

Änderung von b1 :

Da 𝑧𝑧1 Basisvariable ist, gilt mit 𝜑𝜑(1) = 1: 𝑏𝑏1− = 𝑏𝑏�1 = 200 und 𝑏𝑏1+ = ∞.

Damit gilt: 𝑏𝑏1 ∈ [800 − 200, 800 + ∞) = [600, ∞). Änderung von b2 :

Da 𝑧𝑧2 Nichtbasisvariable ist und in der ersten Spalte steht, gilt mit 𝜑𝜑(2) = 1: 𝑏𝑏�𝑖𝑖 32 𝑏𝑏2− = min � , 𝑎𝑎�𝑖𝑖1 > 0� = min � � = 400 und 𝑎𝑎�𝑖𝑖1 2/25 𝑏𝑏�𝑖𝑖 44 𝑏𝑏2+ = min �− , 𝑎𝑎�𝑖𝑖1 < 0� = min �− � = 1 100. 𝑎𝑎�𝑖𝑖1 −1/25 Damit gilt: 𝑏𝑏2 ∈ [700 − 400, 700 + 1 100 ] = [300, 1 800].

Änderung von b3 :

Da 𝑧𝑧3 Nichtbasisvariable ist und in der zweiten Spalte steht, gilt mit 𝜑𝜑(3) = 2: 𝑏𝑏�𝑖𝑖 44 1100 𝑏𝑏3− = min � , 𝑎𝑎�𝑖𝑖2 > 0� = min � �= und 𝑎𝑎�𝑖𝑖2 3/25 3 𝑏𝑏�𝑖𝑖 200 32 𝑏𝑏3+ = min �− , 𝑎𝑎�𝑖𝑖2 < 0� = min �− ,− � = min{200, 800} = 200. 𝑎𝑎�𝑖𝑖2 −1 −1/25 Damit gilt: 𝑏𝑏3 ∈ [600 − 1 100/3, 600 + 200 ] = [700/3, 800].

13.4

Aufgaben

Aufgabe 1 Für welche (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ), die das Ungleichungssystem 5𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 ≤ 100 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 ≤ 50 erfüllen, wird die Zielfunktion 𝑧𝑧 = 5𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 maximal?

Führen Sie eine Sensitivitätsanalyse für die Koeffizienten der Zielfunktion und die Koeffizienten auf den rechten Seiten durch.

13.4 Aufgaben

241

Aufgabe 2 Für welche (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ), die das Ungleichungssystem 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 11 𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 17 3𝑥𝑥3 ≤ 8 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 12 erfüllen, wird die Zielfunktion 𝑧𝑧 = 5𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 maximal?

Führen Sie eine Sensitivitätsanalyse für die Koeffizienten der Zielfunktion und die Koeffizienten auf den rechten Seiten durch. Aufgabe 3 Für welche (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ), die das Ungleichungssystem 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 11 𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 17 3𝑥𝑥3 ≤ 8 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 12 erfüllen, wird die Zielfunktion 𝑧𝑧 = 5𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 minimal?

Führen Sie eine Sensitivitätsanalyse für die Koeffizienten der Zielfunktion und die Koeffizienten auf den rechten Seiten durch. Aufgabe 4 Für welche (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥6 ), die das Ungleichungssystem + 20𝑥𝑥5 ≤ 300 20𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 40𝑥𝑥3 20𝑥𝑥2 + 20𝑥𝑥3 + 20𝑥𝑥4 + 10𝑥𝑥5 + 20𝑥𝑥6 ≤ 280 10𝑥𝑥1 + 40𝑥𝑥4 + 20𝑥𝑥6 ≤ 400 erfüllen, wird die Zielfunktion 𝑧𝑧 = 10𝑥𝑥1 + 15𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 + 20𝑥𝑥4 + 10𝑥𝑥5 + 15𝑥𝑥6 maximal?

Aufgabe 5 Ein Betrieb stellt vier Produkte A, B, C und D her. Die tägliche Fertigungssituation ist durch folgende Tabelle gegeben:

Rohstoffe Produktionszeit Lagerraum

A

Produkt B C

D

6 3 6

4 1 5

5 2 3

3 3 4

Rohstoffbedarf in kg Produktionszeit in h Lagerraum in m2

Die Fertigung unterliegt den folgenden Kapazitätsbeschränkungen: Die maximal verfügbare Einsatzmenge für die Rohstoffe ist

440 kg.

Die maximal verfügbare Einsatzmenge für die Produktionszeit ist

460 h.

Die maximal verfügbare Einsatzmenge für den Lagerraum ist

555 m2.

242

13 Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen

Der Gewinn beim Verkauf der Produkte A, B, C bzw. D beträgt 100€, 130€, 100€ bzw. 110€. Bei welchen Produktionsmengen wird der Gewinn maximal? Führen Sie eine Sensitivitätsanalyse für die Koeffizienten der Zielfunktion und die Koeffizienten auf den rechten Seiten durch. Aufgabe 6 Gegeben sind die folgenden beiden Simplex-Tableaus. Geben Sie alle Informationen für das weitere Vorgehen an, die Sie aus den Simplex-Tableaus ablesen können. a) 𝑥𝑥2 𝑧𝑧1 𝑥𝑥3

𝑥𝑥1

𝑧𝑧2

𝑧𝑧3

5 3 5

2 −1/5 −2

10 2 10

−60 20 100

5

−4

10

400

𝑥𝑥1

𝑧𝑧2

𝑧𝑧3

b) 𝑥𝑥2 𝑧𝑧1 𝑥𝑥3

−2 −4 −8

2 −1/5 −2

10 2 10

60 20 100

−5

4

10

400

14

Spieltheorie

Die Spieltheorie beschäftigt sich mit Konflikt- bzw. Wettbewerbssituationen. Hierbei sind Entscheidungen zu fällen, ohne dass das Verhalten der Gegenspieler bekannt ist. Bei Fragestellungen in der Praxis werden zwei grundsätzlich voneinander verschiedene Spielsituationen betrachtet: • •

Glücksspiele strategische Spiele.

Bei den Glücksspielen hängt das Ergebnis größtenteils vom Zufall ab. Zu deren Betrachtung und Analyse stellt die Mathematik das Teilgebiet Stochastik zur Verfügung. Diese Art von Spielen wird im Folgenden nicht betrachtet. Im Gegensatz dazu hängt bei strategischen oder rationalen Spielen das Ergebnis zu großen Teilen von den gewählten Strategien ab, welche die jeweiligen Gegenspieler auswählen. Und genau mit diesen Spielen beschäftigt sich die Spieltheorie.

14.1

Beispiel, Grundbegriffe und mathematisches Modell

Das folgende Beispiel verdeutlicht die Grundgedanken der Spieltheorie. Beispiel 14.1 Dem Eishockey-Club aus Schwenningen stehen drei Varianten für seine Verteidigung zur Verfügung. Die gegnerische Mannschaft aus Freiburg verfügt über drei verschiedene Angriffsformationen. Die Erfolgsaussichten für Schwenningen (WK, dass kein Tor fällt) sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Strategien für Schwenningen

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.6 0.7 0.1

0.2 0.6 0.7

0.3 0.4 0.2

Jede der beiden Mannschaften ist bestrebt, ihren Mindestvorteil zu maximieren bzw. den maximal möglichen Vorteil des Gegners zu minimieren. Dieses Beispiel ist charakteristisch für Spielsituationen von zwei Spielern. Die mathematische Beschreibung und Lösung wird im Folgenden betrachtet.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-259

244 • • • • • •

14 Spieltheorie Zwei Spieler X und Y treten gegeneinander an. Dem Spieler X stehen 𝑚𝑚 verschiedene Strategien zur Verfügung. Dem Spieler Y stehen 𝑛𝑛 verschiedene Strategien zur Verfügung. Jeder Spieler wählt ohne Kenntnis der Auswahl des anderen Spielers eine seiner Strategien aus. Eine Auszahlungs- oder Entscheidungsmatrix gibt das Ergebnis des Spiels für Spieler X in Abhängigkeit der von beiden Spielern gewählten Strategie an. Je größer die Zahlen in dieser Matrix sind, umso besser ist das Ergebnis für Spieler X. Das Ziel für beide Spieler ist es, ihren Mindestvorteil zu maximieren bzw. den maximal möglichen Vorteil des Gegners zu minimieren.

Mit diesen Voraussetzungen kann das mathematische Modell aufgestellt werden. Mathematisches Modell für Zwei-Personen-Spiele Einem Spieler X stehen 𝑚𝑚 verschiedene Strategien zur Verfügung, einem Spieler Y stehen 𝑛𝑛 verschiedene Strategien zur Verfügung. Eine Entscheidungsmatrix stellt das Ergebnis des Spiels für Spieler X in Abhängigkeit der gewählten Strategien dar:

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 ⋮ 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚

Strategien für Spieler X

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 ⋯ 𝑗𝑗 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚1

𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚2

⋯ ⋯ ⋯

𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

Gesucht ist für beide Spieler die optimale Strategie, um ihren Mindestvorteil zu maximieren bzw. den maximal möglichen Vorteil des Gegners zu minimieren. Die Lösung dieses Problems wird in den nächsten zwei Abschnitten vorgestellt.

14.2

Statische Spiele

In den folgenden Ausführungen wird das obige Beispiel 14.1 mit der gegebenen Entscheidungsmatrix betrachtet:

Strategien für Schwenningen

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.6 0.7 0.1

0.2 0.6 0.7

0.3 0.4 0.2

14.2 Statische Spiele

245

Suche nach der optimalen Strategie für den Spieler X (Schwenningen): Die Strategien von Spieler X sind in den Zeilen der Matrix abgebildet. Da Spieler X die Reaktion des Spielers Y einkalkulieren muss, wählt er seine Strategie so, dass er trotz des Bemühens von Spieler Y, auf sein Verlustminimum auszuweichen, seinen Gewinn maximiert. Also sucht er in all seinen Zeilen die „schlechteste“ Variante, den Mindestgewinn für sich, also das Zeilenminimum:

Strategien für Schwenningen

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.6 0.7 0.1

0.2 0.6 0.7

0.3 0.4 0.2

Abschließend wählt er das größte dieser Minima aus, also die Strategie 𝑖𝑖 = 2. Dies garantiert ihm einen Mindesterfolg von 0.4. Suche nach der optimalen Strategie für den Spieler Y (Freiburg):

Für den Spieler Y müsste man streng genommen die Tabelle in seine Sicht der Dinge übersetzen. Man kann dies aber umgehen, indem man die Ausgangstabelle so liest, dass sie die „Verluste“ des Spielers Y angibt. Die Strategien von Spieler Y sind in den Spalten der Matrix abgebildet. Da Spieler Y die Reaktion des Spielers X einkalkulieren muss, wählt er seine Strategie so, dass er trotz des Bemühens von Spieler X, auf sein Gewinnmaximum auszuweichen, seinen Verlust minimiert. Also sucht er in all seinen Zeilen die „schlechteste“ Variante, den größten Verlust für sich, also das Spaltenmaximum:

Strategien für Schwenningen

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.6 0.7

0.2

0.3

0.6

0.4

0.1

0.7

0.2

Abschließend wählt er das kleinste dieser Maxima aus, also die Strategie 𝑗𝑗 = 3. Dies garantiert ihm einen maximalen Misserfolg von 0.4. Bildet man nun beide Betrachtungen in einer Tabelle ab, so folgt

Strategien für Schwenningen

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.6 0.7

0.2

0.3

0.6

0.4

0.1

0.7

0.2

246

14 Spieltheorie

In dieser Tabelle sieht man, dass die beiden optimalen Strategien in einem Feld zusammen treffen, d.h. das Maximum der Minima aller Zeilen ist gleich dem Minimum der Maxima aller Spalten. Folglich ist es für beide Spieler hier optimal, immer nur konstant genau eine der zur Verfügung stehenden Strategien einzusetzen: Spieler X setzt die Strategie 𝑖𝑖 = 2 ein, während der Spieler Y die Strategie 𝑗𝑗 = 3 einsetzt. Jedes Abweichen von diesem Plan würde dem Gegenspieler den Einsatz einer besseren Strategie ermöglichen und somit den Gewinn des Spielers verringern! Diese Arten von Spielen werden statische Spiele oder Spiele mit Sattelpunkt genannt. Dass nicht alle durch das obige Modell beschriebene Spiele statisch sind, wird im nächsten Abschnitt gezeigt. Zuvor folgt noch ein anderes Praxisbeispiel. Beispiel 14.2 Zwei Warenhäuser Plus und Real möchten jeweils in genau einer der drei Städte A, B und C einen Supermarkt eröffnen. Positionen, Entfernungen und potentielle Käuferzahlen sind in folgender Grafik gegeben: 1000 Kunden

C 40 km

1000 Kunden

A

20 km

B 4000 Kunden

Abb. 14.1

Kundenbindungen

Folgende Beobachtungen über das Käuferverhalten liegen vor: 1. 2. 3.

Sind beide Warenhäuser in der gleichen Stadt bzw. gleich weit von dieser entfernt, so binden sie jeweils die Hälfte der potentiellen Kunden dieser Stadt. Liegt ein Warenhaus in einer Stadt, in der das andere Warenhaus nicht liegt, so bindet das dort liegende Warenhaus alle Kunden dieser Stadt. Liegt ein Warenhaus näher an einer Stadt als das andere Warenhaus (ohne dass eines der Warenhäuser dort liegt!), so bindet das näher liegende Warenhaus 80% der potentiellen Kunden dieser Stadt.

Gesucht werden die optimalen Standorte der beiden Warenhäuser, falls jedes möglichst viele Kunden binden will. Zuerst wird die Entscheidungsmatrix aufgestellt. Dazu wird untersucht, wie viele Kunden Plus in Abhängigkeit der verschiedenen Kombinationen der Standorte bindet:

14.3 Dynamische Spiele Standorte Plus Real A A A B B B C C C

A B C A B C A B C

247

Anzahl der Kunden für Plus aus Stadt A B C 500 1 000 1 000 0 500 800 0 200 500

2 000 0 3 200 4 000 2 000 4 000 800 0 2 000

500 200 0 800 500 0 1 000 1 000 500

Summe 3 000 1 200 4 200 4 800 3 000 4 800 1 800 1 200 3 000

Also lautet die Entscheidungsmatrix: Standorte für Real A B C Standorte für Plus

A B C

3 000 4 800 1 800

1 200 3 000 1 200

4 200 4 800 3 000

Markiert man hier wieder die Zeilenminima und die Spaltenmaxima, so gilt: Standorte für Real A B C Standorte für Plus

A B C

3 000 4 800 1 800

1 200 3 000 1 200

4 200 4 800 3 000

Folglich liegt auch hier ein statisches Spiel vor. Beide Warenhäuser müssen ihren Supermarkt in Stadt B eröffnen.

14.3

Dynamische Spiele

Betrachtet wird nun ein nur in den Einträgen der Entscheidungsmatrix abgeändertes Beispiel, das die Spielsituation der beiden Eishockeymannschaften an einem anderen Spieltag angibt. Beispiel 14.3 Dem Eishockey-Club aus Schwenningen stehen drei Varianten für seine Verteidigung zur Verfügung. Die gegnerische Mannschaft aus Freiburg verfügt über drei verschiedene Angriffsformationen. Die Erfolgsaussichten für Schwenningen (WK, dass kein Tor fällt) sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

248

Strategien für Schwenningen

14 Spieltheorie

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.8 0.4 0.4

0.2 0.5 0.7

0.4 0.6 0.3

Markiert man auch hier die Zeilenminima und die Spaltenmaxima, so gilt:

Strategien für Schwenningen

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Freiburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.8 0.4 0.4

0.2 0.5 0.7

0.4 0.6 0.3

Hier liegt kein statisches Spiel vor. Würde nämlich Schwenningen die Strategie 𝑖𝑖 = 2 und Freiburg die Strategie 𝑗𝑗 = 3 konstant spielen, so könnte jeder Spieler durch Ändern seiner Strategie seinen Vorteil verbessern, sobald ein Spieler versucht, auf eine andere Strategie auszuweichen. Freiburg würde sofort auf Strategie 𝑗𝑗 = 1 wechseln, Schwenningen dann auf Strategie 𝑖𝑖 = 1 und so weiter.

Solche Spiele können nicht mit konstanten Strategien bestritten werden. Hier muss ein optimaler Einsatz aller zur Verfügung stehenden Strategien untersucht werden. Herleitung der Strategie für Spieler X (Schwenningen): Schwenningen setzt seine drei Strategien mit den Wahrscheinlichkeiten 𝑝𝑝1 , 𝑝𝑝2 und 𝑝𝑝3 ein.

Dann folgt für das Ergebnis des Spiels in Abhängigkeit der von Spieler Y (Freiburg) gewählten Strategien: bei Strategie 𝑗𝑗 = 1: 0.8𝑝𝑝1 + 0.4𝑝𝑝2 + 0.4𝑝𝑝3 bei Strategie 𝑗𝑗 = 2: 0.2𝑝𝑝1 + 0.5𝑝𝑝2 + 0.7𝑝𝑝3 bei Strategie 𝑗𝑗 = 3: 0.4𝑝𝑝1 + 0.6𝑝𝑝2 + 0.3𝑝𝑝3 . Unabhängig von der von Spieler Y gewählten Strategie muss für Spieler X ein Mindestgewinn 𝑔𝑔 garantiert sein. Dies führt auf folgendes Ungleichungssystem: 0.8𝑝𝑝1 + 0.4𝑝𝑝2 + 0.4𝑝𝑝3 ≥ 𝑔𝑔 0.2𝑝𝑝1 + 0.5𝑝𝑝2 + 0.7𝑝𝑝3 ≥ 𝑔𝑔 0.4𝑝𝑝1 + 0.6𝑝𝑝2 + 0.3𝑝𝑝3 ≥ 𝑔𝑔. Fügt man hier noch die Grundbedingung für Wahrscheinlichkeiten

𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 + 𝑝𝑝3 = 1 hinzu und beachtet, dass 𝑔𝑔 = max gelten soll, so erhält man sehr schnell die Lösung für dieses Problem. Dividiert man das Ungleichungssystem und die Grundbedingung für Wahrscheinlichkeiten durch 𝑔𝑔 > 0, so folgt

14.3 Dynamische Spiele

249

𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 + 0.4 ∙ + 0.4 ∙ ≥ 1 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 𝑝𝑝1 0.2 ∙ + 0.5 ∙ + 0.7 ∙ ≥ 1 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 𝑝𝑝1 0.4 ∙ + 0.6 ∙ + 0.3 ∙ ≥ 1 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑔𝑔 1 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 = + + = min. 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 Substituiert man jetzt noch 𝑥𝑥1 = , 𝑥𝑥2 = und 𝑥𝑥3 = , so folgt 𝑔𝑔 𝑔𝑔 𝑔𝑔 0.8𝑥𝑥1 + 0.4𝑥𝑥2 + 0.4𝑥𝑥3 ≥ 1 0.2𝑥𝑥1 + 0.5𝑥𝑥2 + 0.7𝑥𝑥3 ≥ 1 0.4𝑥𝑥1 + 0.6𝑥𝑥2 + 0.3𝑥𝑥3 ≥ 1 1 𝑧𝑧 = = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = min. 𝑔𝑔 Damit hat man das spieltheoretische Problem auf das Verfahren der linearen Optimierung aus Kapitel 13 zurückgeführt. 0.8 ∙

Die Herleitung der Strategie für Spieler Y (Freiburg) erfolgt analog. Bevor dieses Beispiel mit Hilfe des Simplex-Algorithmus gelöst wird, wird das allgemeine Verfahren zur Lösung dynamischer Spiele angegeben. Verfahren zur Lösung dynamischer Spiele Einem Spieler X stehen 𝑚𝑚 verschiedene Strategien zur Verfügung, einem Spieler Y stehen 𝑛𝑛 verschiedene Strategien zur Verfügung. Eine Entscheidungsmatrix stellt das Ergebnis des Spiels für Spieler X in Abhängigkeit der gewählten Strategien dar:

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 ⋮ 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 ⋯ 𝑗𝑗 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚1

𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚2

⋯ ⋯ ⋯

𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

Gibt es in der Entscheidungsmatrix keinen Sattelpunkt (siehe statische Spiele), so erfolgt die Lösung mit dem Simplex-Algorithmus. Simplex-Algorithmus für Spieler X: Spieler X spielt seine Strategien mit den Wahrscheinlichkeiten 𝑝𝑝𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 Für den Gewinn gelte 𝑔𝑔 > 0. 𝑝𝑝𝑖𝑖 Substitution: 𝑥𝑥𝑖𝑖 = , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 𝑔𝑔

250

14 Spieltheorie

Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus für die 𝑥𝑥𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 𝑧𝑧1

𝑧𝑧2 ⋮ 𝑧𝑧𝑛𝑛

𝑥𝑥1

−𝑎𝑎11 −𝑎𝑎12

⋮ −𝑎𝑎1𝑛𝑛 1

𝑥𝑥2

−𝑎𝑎21

⋯

1

⋯

−𝑎𝑎22

⋮ −𝑎𝑎2𝑛𝑛

⋯ ⋯

𝑥𝑥𝑚𝑚

−𝑎𝑎𝑚𝑚1

−1

1

0

−𝑎𝑎𝑚𝑚2 ⋮ −𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

−1 ⋮ −1

Lösen dieses linearen Optimierungsproblems und Rücksubstitution mit 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑔𝑔, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚.

Simplex-Algorithmus für Spieler Y: Spieler Y spielt seine Strategien mit den Wahrscheinlichkeiten 𝑞𝑞𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 Für den Gewinn gelte 𝑔𝑔 > 0. 𝑞𝑞𝑗𝑗 Substitution: yj = , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 𝑔𝑔 Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus für die yj , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 𝑧𝑧1

𝑧𝑧2 ⋮ 𝑧𝑧𝑚𝑚

𝑦𝑦1

𝑎𝑎11

𝑎𝑎21 ⋮

𝑎𝑎𝑚𝑚1 −1

𝑦𝑦2

𝑎𝑎12

⋯

𝑎𝑎𝑚𝑚2

⋯

𝑎𝑎22 ⋮

−1

⋯ ⋯

𝑦𝑦𝑛𝑛

𝑎𝑎1𝑛𝑛

1

−1

0

𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

1 ⋮ 1

Lösen dieses linearen Optimierungsproblems und Rücksubstitution mit 𝑞𝑞𝑗𝑗 = 𝑦𝑦𝑗𝑗 ∙ 𝑔𝑔, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛.

Beispiel 14.3 (Fortsetzung) Betrachtet wird nun das oben entwickelte mathematische Modell: 0.8𝑥𝑥1 + 0.4𝑥𝑥2 + 0.4𝑥𝑥3 ≥ 1 0.2𝑥𝑥1 + 0.5𝑥𝑥2 + 0.7𝑥𝑥3 ≥ 1 0.4𝑥𝑥1 + 0.6𝑥𝑥2 + 0.3𝑥𝑥3 ≥ 1 1 𝑧𝑧 = = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = min. 𝑔𝑔

Die optimale Strategie für Spieler X (Schwenningen) erhält man durch die Anwendung des Simplex-Algorithmus:

14.3 Dynamische Spiele

251

Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

−0.8 −0.2 −0.4

−0.4 −0.5 −0.6

−0.4 −0.7 −0.3

−1 −1 −1

1

1

1

0

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

oder 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

−4/5 −1/5 −2/5

−2/5 −1/2 −3/5

−2/5 −7/10 −3/10

−1 −1 −1

1

1

1

0

Der zulässige Bereich ist noch nicht erreicht. 1. Iteration: Bestimmung des zweiten Simplex-Tableaus: 𝑥𝑥1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑧𝑧1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

−5/4 −1/4 −1/2

1/2 −2/5 −2/5

1/2 −3/5 −1/10

5/4 −3/4 −1/2

5/4

1/2

1/2

−5/4

Also gilt: 𝑥𝑥1 = 5/4, 𝑥𝑥2 = 0, 𝑥𝑥3 = 0 und 𝑧𝑧 = 5/4.

Der zulässige Bereich ist noch nicht erreicht, da die letzte Spalte noch negative Einträge hat. 2. Iteration: Bestimmung des dritten Simplex-Tableaus: 𝑥𝑥1 𝑥𝑥3 𝑧𝑧3

𝑧𝑧1

𝑥𝑥2

𝑧𝑧2

−35/24 5/12 −11/24

1/6 2/3 −1/3

5/6 −5/3 −1/6

5/8 5/4 −3/8

25/24

1/6

5/6

−15/8

Also gilt: 𝑥𝑥1 = 5/8, 𝑥𝑥2 = 0, 𝑥𝑥3 = 5/4 und 𝑧𝑧 = 15/8.

Der zulässige Bereich ist noch nicht erreicht, da die letzte Spalte noch negative Einträge hat.

252

14 Spieltheorie

3. Iteration: Bestimmung des vierten Simplex-Tableaus: 𝑥𝑥1

𝑥𝑥3 𝑥𝑥2

𝑧𝑧1

𝑧𝑧3

𝑧𝑧2

−27/16

1/2

3/4

7/16

−1/2

2

−2

1/2

11/8

−3

1/2

9/8

13/16

1/2

3/4

−33/16

Man hat den Eckpunkt 𝐸𝐸4 (7⁄16, 9⁄8 , 1⁄2) und 𝑧𝑧 = 33⁄16 erhalten. Die optimale Lösung ist gefunden. 1 16 Nach Rücksubstitution der Variablen gilt mit 𝑔𝑔 = = ∶ 𝑧𝑧 33 7 16 7 𝑝𝑝1 = 𝑥𝑥1 ∙ 𝑔𝑔 = ∙ = 16 33 33 9 16 18 𝑝𝑝2 = 𝑥𝑥2 ∙ 𝑔𝑔 = ∙ = 8 33 33 1 16 8 𝑝𝑝3 = 𝑥𝑥3 ∙ 𝑔𝑔 = ∙ = . 2 33 33 Die optimale Strategie für Spieler Y (Freiburg) erhält man ebenfalls durch die Anwendung des Simplex-Algorithmus: Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑦𝑦1

𝑦𝑦2

𝑦𝑦3

0.8 0.4 0.4

0.2 0.5 0.7

0.4 0.6 0.3

1 1 1

−1

−1

−1

0

𝑦𝑦1

𝑦𝑦2

𝑦𝑦3

oder 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

4/5 2/5 2/5

1/5 1/2 7/10

2/5 3/5 3/10

1 1 1

−1

−1

−1

0

Man befindet sich im zulässigen Bereich. Die optimale Lösung ist noch nicht gefunden.

14.3 Dynamische Spiele

253

1. Iteration: Bestimmung des zweiten Simplex-Tableaus: 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑧𝑧1

𝑦𝑦2

𝑦𝑦3

5/4 −1/2

1/4 2/5

1/2 2/5

5/4 1/2

−1/2

3/5

1/10

1/2

5/4

−3/4

−1/2

5/4

Man hat den Eckpunkt 𝐸𝐸2 (5⁄4 , 0, 0) und 𝑧𝑧 = − 5⁄4 erhalten. Die optimale Lösung ist noch nicht gefunden. 2. Iteration: Bestimmung des dritten Simplex-Tableaus: 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 𝑦𝑦2

𝑧𝑧1

𝑧𝑧3

𝑦𝑦3

35/24 −1/6 −5/6

−5/12 −2/3 5/3

11/24 1/3 1/6

25/24 1/6 5/6

5/8

5/4

−3/8

15/8

Man hat den Eckpunkt 𝐸𝐸3 (25⁄24, 5⁄6 , 0) und 𝑧𝑧 = − 15⁄8 erhalten. Die optimale Lösung ist noch nicht gefunden. 3. Iteration: Bestimmung des vierten Simplex-Tableaus: 𝑦𝑦1

𝑦𝑦3 𝑦𝑦2

𝑧𝑧1

𝑧𝑧3

𝑧𝑧2

27/16

1/2

−11/8

13/16

−1/2

−2

3

1/2

−3/4

2

−1/2

3/4

7/16

1/2

9/8

33/16

Man hat den Eckpunkt 𝐸𝐸4 (13⁄16 , 3⁄4 , 1⁄2) und 𝑧𝑧 = − 33⁄16 erhalten. Die optimale Lösung ist gefunden. Da das Ausgangsproblem ein Maximierungsproblem war, ist 𝑧𝑧 = 33⁄16. 1 16 Nach Rücksubstitution der Variablen gilt mit 𝑔𝑔 = = ∶ 𝑧𝑧 33 13 16 13 𝑞𝑞1 = 𝑦𝑦1 ∙ 𝑔𝑔 = ∙ = 16 33 33 3 16 12 𝑞𝑞2 = 𝑦𝑦2 ∙ 𝑔𝑔 = ∙ = 4 33 33 1 16 8 𝑞𝑞3 = 𝑦𝑦3 ∙ 𝑔𝑔 = ∙ = . 2 33 33

254

14.4

14 Spieltheorie

Aufgaben

Aufgabe 1 Gegeben seien die folgenden Entscheidungsmatrizen. Bestimmen Sie die optimalen Strategien beider Spieler. a)

Strategien für Spieler X b)

Strategien für Spieler X

c)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖

=1 =2 =3 =4 =5

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 −1 2

0 4

𝑗𝑗 = 1

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4

𝑗𝑗 = 1

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4

2 1 0

5 −1 0 3 6

−1 5 5

2 2 −1 8 −2

−1 0 −2

1 0 1 2 −1

3 2 0

−5 −2 4 3 3

Aufgabe 2 Gegeben seien die folgenden Entscheidungsmatrizen. Bestimmen Sie die optimalen Strategien beider Spieler. a)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 −1 2

1 −1

14.4 Aufgaben

255

b)

Strategien für Spieler X c)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖

=1 =2 =3 =4 =5

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4 3 2 1

𝑗𝑗 = 1 2 −1 0 3 6

−4 6 6

3 2 −1

4 3 1

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4 2 0 −1 0 −2

−2 0 1 2 −3

−5 −2 4 1 3

Aufgabe 3 Um Entscheidungen zufällig zu treffen, etwa wer bei einem Spiel beginnen darf, wird häufig das Auswahlspiel „Stein-Schere-Papier“ oder auch „Schnick-Schnack-Schnuck“ gespielt. Dabei zeigen beide Spieler gleichzeitig eines der Zeichen Stein, Schere oder Papier. Es gelten folgende Regeln: • • • • a)

Stein gewinnt gegen Schere und verliert gegen Papier. Schere gewinnt gegen Papier und verliert gegen Stein. Papier gewinnt gegen Stein und verliert gegen Schere. Gleiche Zeichen neutralisieren sich.

Stellen Sie die Entscheidungsmatrix auf und zeigen Sie, dass es keine statische Strategie gibt. b) Zeigen Sie, dass der Simplex-Algorithmus keine Lösung liefert. c) Addieren Sie zu jedem Element der Entscheidungsmatrix +1 und lösen Sie dann das Problem mit dem Simplex-Algorithmus.

256

14 Spieltheorie

Aufgabe 4 Dem Eishockey-Club aus Köln stehen drei Varianten für seine Verteidigung zur Verfügung. Die gegnerische Mannschaft aus Berlin verfügt über drei verschiedene Angriffsformationen. Die Erfolgsaussichten für Köln (WK, dass kein Tor fällt) sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Strategien für Köln

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Berlin 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.4 0.7 0.4

0.4 0.8 0.5

0.3 0.6 0.5

Bestimmen Sie die optimalen Strategien der beiden Mannschaften. Aufgabe 5 Dem Eishockey-Club aus Landshut stehen drei Varianten für seine Verteidigung zur Verfügung. Die gegnerische Mannschaft aus Hamburg verfügt über drei verschiedene Angriffsformationen. Die Erfolgsaussichten für Landshut (WK, dass kein Tor fällt) sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Strategien für Landshut

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Hamburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.4 0.7 0.4

0.4 0.8 0.5

0.3 0.6 0.8

Bestimmen Sie die optimalen Strategien der beiden Mannschaften.

15

Transportprobleme

Werden von 𝑚𝑚 Anbietern 𝐴𝐴𝑖𝑖 irgendwelche Mengen eines Transportgutes zu 𝑛𝑛 Nachfragern 𝑁𝑁𝑗𝑗 transportiert und sollen dabei die gesamten Transportkosten minimiert werden, so hat man die Aufgabenstellung von Transport- oder Verteilungsproblemen.

15.1

Beispiel und mathematisches Modell

Das folgende Beispiel verdeutlicht den oben beschriebenen Sachverhalt. Beispiel 15.1 Am Vatertag werden die Wanderer durch ein Gewitter überrascht und suchen deshalb in den nahegelegenen Ausflugslokalen Schutz. In den vier Lokalen ist aber nicht genügend Bier vorhanden. Dieses wird unverzüglich bei der zuständigen Brauerei angefordert, die über drei verschiedene Auslieferungslager verfügt, in denen insgesamt die gewünschte Menge zur Verfügung steht. Die vier Lokale 𝑁𝑁1 , 𝑁𝑁2 , 𝑁𝑁3 und 𝑁𝑁4 benötigen 10 hl bzw. 30 hl bzw. 15 hl bzw. 35 hl. Diese Gesamtmenge steht in den drei Auslieferungslagern 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 und 𝐴𝐴3 in folgender Weise zur Verfügung: in 𝐴𝐴1 25 hl, in 𝐴𝐴2 25 hl und in 𝐴𝐴3 40 hl. Die Transportkosten pro hl von den einzelnen Auslieferungslagern zu den jeweiligen Ausflugslokalen betragen

Auslieferungslager= Anbieter

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

Ausflugslokal = Nachfrager 𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3 𝑁𝑁4 20 90 30

80 0 60

40 50 80

70 70 10

Wie ist der Transport durchzuführen, damit die Transportkosten so gering wie möglich ausfallen? Aus diesem Beispiel kann sofort das mathematische Modell abgeleitet werden. Mathematisches Modell für Transportprobleme Gegeben seien 𝑚𝑚 Anbieter 𝐴𝐴𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 und 𝑛𝑛 Nachfrager 𝑁𝑁𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛. Dabei kann ein Transportgut von jedem Anbieter zu jedem Nachfrager transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Einheit des Transportgutes vom Anbieter 𝐴𝐴𝑖𝑖 zum Nachfrager 𝑁𝑁𝑗𝑗

https://doi.org/10.1515/9783110601718-273

258

15 Transportprobleme

betragen 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 . Jeder Anbieter hat eine Angebotskapazität von 𝑎𝑎𝑖𝑖 Mengeneinheiten und jeder Nachfrager eine Bedarfskapazität von 𝑏𝑏𝑗𝑗 Mengeneinheiten. Die zu transportierenden Mengen vom Anbieter 𝐴𝐴𝑖𝑖 zum Nachfrager 𝑁𝑁𝑗𝑗 werden mit 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 bezeichnet. Damit erhält man das folgende Minimierungsproblem: 𝑚𝑚

𝑛𝑛

Minimiere die Funktion 𝑧𝑧 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 unter den Nebenbedingungen

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1

𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 𝑚𝑚

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑏𝑏𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑗𝑗=1

� 𝑎𝑎𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 und 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0. Alternativ kann dieses Modell durch zwei Tabellen beschrieben werden:

Anbieter

Kostenmatrix:

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 ⋮ 𝐴𝐴𝑚𝑚

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

Nachfrager 𝑁𝑁3 ⋯

𝑐𝑐11 𝑐𝑐21 𝑐𝑐31 ⋮ 𝑐𝑐𝑚𝑚1

𝑐𝑐12 𝑐𝑐22 𝑐𝑐32 ⋮ 𝑐𝑐𝑚𝑚2

𝑐𝑐13 𝑐𝑐23 𝑐𝑐33 ⋮ 𝑐𝑐𝑚𝑚3

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

Nachfrager 𝑁𝑁3 ⋯

Anbieter

Auslieferungsmatrix mit Randsummen:

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 ⋮ 𝐴𝐴𝑚𝑚

Nachfragemengen

𝑥𝑥11 𝑥𝑥21 𝑥𝑥31 ⋮ 𝑥𝑥𝑚𝑚1 𝑏𝑏1

𝑥𝑥12 𝑥𝑥22 𝑥𝑥32 ⋮ 𝑥𝑥𝑚𝑚2 𝑏𝑏2

𝑥𝑥13 𝑥𝑥23 𝑥𝑥33 ⋮ 𝑥𝑥𝑚𝑚3 𝑏𝑏3

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

𝑁𝑁𝑛𝑛

𝑐𝑐1𝑛𝑛 𝑐𝑐2𝑛𝑛 𝑐𝑐3𝑛𝑛 ⋮ 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑛𝑛

𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑥𝑥3𝑛𝑛 ⋮ 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑏𝑏𝑛𝑛

Angebotsmengen 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎3 ⋮ 𝑎𝑎𝑚𝑚

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele 𝑚𝑚

259

𝑛𝑛

Minimiere 𝑧𝑧 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 unter den in der Tabelle abgebildeten Nebenbedingungen. 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1

Bei der Lösung des Transportproblems werden, ähnlich wie beim Simplex-Algorithmus, Basislösungen verwendet. Da das lineare Gleichungssystem aller Nebenbedingungen Abhängigkeiten beinhaltet, besteht hier eine Basislösung immer aus 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 − 1 Variablen. Alle anderen sind, ähnlich den Schlupfvariablen, gleich 0.

15.2

Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

Eine schon aus Kapitel 13 bekannte Lösungsmethode für diese Art von Problemen ist der Simplex-Algorithmus. Alle Nebenbedingungen sind dabei Gleichungen. Allerdings wird die Anzahl der Variablen schon bei kleineren Transportproblemen schnell groß und damit das ganze Verfahren sehr rechenintensiv. Aufgrund der speziellen Struktur der Transportprobleme sind deutlich schneller zum Ziel führende Verfahren entwickelt worden. Diese Verfahren bestehen im Normalfall aus zwei aufeinander folgenden Schritten: 1. Schritt: Ermittlung einer Ausgangslösung 2. Schritt: Ermittlung der optimalen Lösung durch ein iteratives Verfahren.

15.2.1

Die Nordwest-Ecken-Regel (Ausgangslösung)

Hier wird in der linken oberen Ecke der Auslieferungsmatrix begonnen und dann jeweils in der Zeile oder Spalte solange aufgefüllt, bis die entsprechende Kapazität erreicht ist. Dadurch erhält man eine Basislösung entlang einer Treppenformation. Algorithmus zur Nordwest-Ecken-Regel Es erfolgen Iterationen, die aus jeweils einem der optionalen Schritte 1 bis 3 bestehen, bis die Abbruchbedingung erreicht ist. Schritt 1: Falls 𝑎𝑎1 > 𝑏𝑏1 , setze 𝑥𝑥11 = 𝑏𝑏1 . Dadurch ist die Nebenbedingung in der ersten Spalte erfüllt. Dann schreitet man waagrecht nach rechts weiter und ermittelt 𝑥𝑥12 durch Vergleich von 𝑏𝑏2 und 𝑎𝑎1 − 𝑥𝑥11 (nach einem der drei Schritte).

Schritt 2: Falls 𝑎𝑎1 < 𝑏𝑏1 , setze 𝑥𝑥11 = 𝑎𝑎1 . Dadurch ist die Nebenbedingung in der ersten Zeile erfüllt. Dann schreitet man senkrecht nach unten weiter und ermittelt 𝑥𝑥21 durch Vergleich von 𝑎𝑎2 und 𝑏𝑏1 − 𝑥𝑥11 (nach einem der drei Schritte).

Schritt 3: Falls 𝑎𝑎1 = 𝑏𝑏1 , setze 𝑥𝑥11 = 𝑎𝑎1 . Dadurch ist die Nebenbedingung in der ersten Spalte erfüllt. Dann schreitet man senkrecht nach unten weiter und setzt 𝑥𝑥21 = 0. Danach schreitet man waagrecht nach rechts weiter und bestimmt 𝑥𝑥22 (nach einem der drei Schritte). Abbruch: Das Verfahren endet, wenn 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚 ermittelt wurde.

260

15 Transportprobleme

Beispiel 15.1 (Nordwest-Ecken-Regel) Gegeben sei das Transportproblem vom Anfang dieses Kapitels. Die Angebots- und Nachfragemengen sind in folgender Tabelle aufgelistet: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM 1.

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

AM

10

30

15

35

90

25 25 40

Vergleich von 𝑎𝑎1 und 𝑏𝑏1 : Da 𝑎𝑎1 = 25 > 10 = 𝑏𝑏1 , ist 𝑥𝑥11 = 𝑏𝑏1 = 10.

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

AM

10

30

15

35

90

10 -

25 25 40

Dadurch sind alle anderen Werte in der ersten Spalte gleich 0. Diese Nullen werden aber hier als Striche dargestellt, da die entsprechenden Variablen keine Basisvariablen sind. Nun schreitet man waagrecht weiter. 2.

Vergleich von 𝑎𝑎1 − 10 und 𝑏𝑏2 : Da 𝑎𝑎1 − 10 = 15 < 30 = 𝑏𝑏2 , ist 𝑥𝑥12 = 𝑎𝑎1 − 10 = 15.

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

-

𝑁𝑁4

AM

15

𝑁𝑁3

-

25 25 40

10

30

15

35

90

10 -

Dadurch sind alle Werte in der ersten Zeile, die sich weiter rechts befinden, gleich 0. Diese Nullen werden aber hier als Striche dargestellt, da die entsprechenden Variablen keine Basisvariablen sind. Nun schreitet man senkrecht weiter. 3.

Vergleich von 𝑎𝑎2 und 𝑏𝑏2 − 15: Da 𝑎𝑎2 = 25 > 15 = 𝑏𝑏2 − 15, ist 𝑥𝑥22 = 𝑏𝑏2 − 15 = 15.

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

AM

-

𝑁𝑁4 -

25 25 40

10

30

15

35

90

10 -

15 15 -

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

261

Dadurch sind alle Werte in der zweiten Spalte, die sich weiter unten befinden, gleich Null. Diese Nullen werden aber hier als Striche dargestellt, da die entsprechenden Variablen keine Basisvariablen sind. Nun schreitet man waagrecht weiter. 4.

Vergleich von 𝑎𝑎2 − 15 und 𝑏𝑏3 : Da 𝑎𝑎2 − 15 = 10 < 25 = 𝑏𝑏3 , ist 𝑥𝑥23 = 𝑎𝑎2 − 15 = 10.

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

AM

-

25 25 40

10

30

15

35

90

10 -

15 15 -

10

Dadurch sind alle Werte in der zweiten Zeile, die sich weiter rechts befinden, gleich 0. Diese Nullen werden aber hier als Striche dargestellt, da die entsprechenden Variablen keine Basisvariablen sind. Nun schreitet man senkrecht weiter. 5.

Vergleich von 𝑎𝑎3 und 𝑏𝑏3 − 10: Da 𝑎𝑎3 = 40 > 5 = 𝑏𝑏3 − 10, ist 𝑥𝑥33 = 𝑏𝑏3 − 10 = 5.

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

AM

-

25 25 40

10

30

15

35

90

10 -

15 15 -

10 5

Dadurch sind alle Werte in der dritten Spalte bestimmt. Nun schreitet man waagrecht weiter. 6.

Es bleibt noch 𝑥𝑥34 = 𝑎𝑎4 − 5 = 35.

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

10

30

15

35

90

10 -

15 15 -

10 5

Damit ist die Ecke rechts unten erreicht und die Ausgangslösung steht in obiger Tabelle. Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 10 ∙ 20 + 15 ∙ 80 + 15 ∙ 0 + 10 ∙ 50 + 5 ∙ 80 + 35 ∙ 10 = 2 650.

Bemerkung: Eine weitere Möglichkeit, eine Ausgangslösung zu bestimmen, ist das Vogelsche Approximationsverfahren. Bei dieser Methode wird im Gegensatz zur Nordwest-Ecken-Regel die Kostenmatrix verwendet. Häufig ist die Ausgangslösung, die durch das Vogelsche Approximationsverfahren ermittelt wurde, besser als diejenige, die durch die Nordwest-Ecken-Regel gefunden wurde. Der interessierte Leser findet dies in Heinrich (2007).

262

15.2.2

15 Transportprobleme

Die Stepping-Stone-Methode (optimale Lösung)

Die Vorgehensweise bei der Stepping-Stone-Methode ist eine nahe liegende Betrachtungsweise. Ausgehend von einer Anfangslösung, also einer ersten zulässigen Basislösung, wird diese dadurch verbessert, dass an genau einer freien Stelle die Ausgangsmenge von 0 auf 𝑎𝑎 ≥ 0 verändert wird. Damit alle Restriktionen nach wie vor ihre Gültigkeit behalten, wird ausschließlich an den Stellen der Basisvariablen ein entsprechender Ausgleich vorgenommen. Hierzu gibt es immer einen Weg in der entsprechenden Tabelle. Anschließend wird für den Fall 𝑎𝑎 = 1 geprüft, ob sich der Wert der Kostenfunktion durch diese Änderungen verkleinert. Ist dies der Fall, kann die Basislösung verbessert werden. Algorithmus zur Stepping-Stone-Methode Start: Man bestimme eine Ausgangslösung durch eines der beschriebenen Verfahren. Diese wird die erste Basislösung genannt. Danach erfolgen Iterationen zu jeweils 5 Schritten bis zum Abbruch. Schritt 1: An einem freien Feld der vorliegenden Basislösung wird 𝑎𝑎 ≥ 0 eingefügt.

Schritt 2: Danach werden Korrekturen der Form +𝑎𝑎 oder – 𝑎𝑎 an den Stellen der Basisvariablen vorgenommen, so dass alle Einschränkungen gültig bleiben. Es existiert immer ein solcher Pfad entlang der Basisvariablen. Schritt 3: Danach wird die Kostenänderung 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 für 𝑎𝑎 = 1 berechnet. Dabei werden alle Werte der Kostenmatrix mit positivem Vorzeichen berücksichtigt, falls 𝑎𝑎 = 1 addiert wurde und alle Werte der Kostenmatrix mit negativem Vorzeichen berücksichtigt, falls 𝑎𝑎 = 1 abgezogen wurde. Schritt 4: Die Schritte 1 – 3 werden für alle freien Felder der vorliegenden Basislösung durchgeführt. Schritt 5: a) Sind alle 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0, so ist die vorliegende Basislösung optimal und das Verfahren bricht ab.

b) Gibt es mindestens ein 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 < 0, so kann die vorliegende Basislösung verbessert werden. Dann wird der kleinste Wert dieser negativen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 ausgewählt und das größtmögliche 𝑎𝑎 ≥ 0 dazu ermittelt. Anschließend wird durch Einsetzen dieses 𝑎𝑎 ≥ 0 die neue verbesserte Basislösung bestimmt. (Hier kann es passieren, dass sich 𝑎𝑎 = 0 ergibt. Dadurch werden in der Basislösung nur zwei Nullen getauscht. Anschließend geht das Verfahren wie gewohnt weiter.) Danach erfolgt die nächste Iteration. c) Sind alle c� ij ≥ 0 und mindestens ein c� ij = 0, so existieren mehrere optimale Lösungen. Diese werden durch weitere Iterationen ermittelt.

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

263

Beispiel 15.1 (Stepping-Stone-Methode)

Anbieter

Kostenmatrix:

𝐴𝐴1

𝐴𝐴2

𝐴𝐴3

Nachfrager 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3

𝑁𝑁1

80

40

𝑁𝑁4

90

0

50

70

30

60

80

10

20

70

Auslieferungsmatrix mit Randsummen:

Anbieter

Nachfrager

𝐴𝐴1

𝐴𝐴2

𝐴𝐴3

Nachfragemengen

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑥𝑥11

𝑁𝑁3

𝑥𝑥12

𝑥𝑥13

𝑁𝑁4

Angebotsmengen

𝑥𝑥14

25

𝑥𝑥34

40

𝑥𝑥21

𝑥𝑥22

𝑥𝑥23

𝑥𝑥24

25

10

30

15

35

90

𝑥𝑥31

𝑥𝑥32

𝑥𝑥33

1. Iteration: erste zulässige Basislösung nach der NWE-Regel 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 15 15 30

𝑁𝑁3 10 5 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 10 ∙ 20 + 15 ∙ 80 + 15 ∙ 0 + 10 ∙ 50 + 5 ∙ 80 + 35 ∙ 10 = 2 650.

2. Iteration: Berechnung der zweiten verbesserten Basislösung Für alle sechs freien Stellen muss die Kostenänderung 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 berechnet werden.

264

15 Transportprobleme

Berechnung von 𝑐𝑐̃13 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

15 − 𝑎𝑎 15 + 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3

𝑎𝑎 10 − 𝑎𝑎 5 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃13 = 40 − 50 + 0 − 80 = −90.

Berechnung von 𝑐𝑐̃14 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

15 − 𝑎𝑎 15 + 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

15

35 − 𝑎𝑎

10 − 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎

AM

𝑎𝑎

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃14 = 70 − 10 + 80 − 50 + 0 − 80 = 10.

Berechnung von 𝑐𝑐̃21 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 10

𝑁𝑁2

15 + 𝑎𝑎 15 − 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3 10 5 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃21 = 90 − 20 + 80 − 0 = 150.

Berechnung von 𝑐𝑐̃24 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

10

30

10

15 15

𝑁𝑁3

10 − 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎 15

𝑁𝑁4

AM

35

90

𝑎𝑎 35 − 𝑎𝑎

𝑐𝑐̃24 = 70 − 10 + 80 − 50 = 90.

25 25 40

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele Berechnung von 𝑐𝑐̃31 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

10 − 𝑎𝑎

15 + 𝑎𝑎 15 − 𝑎𝑎

𝑎𝑎

NM

10

30

𝑁𝑁3

10 + 𝑎𝑎 5 − 𝑎𝑎 15

𝑁𝑁4

265

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃31 = 30 − 20 + 80 − 0 + 50 − 80 = 60.

Berechnung von 𝑐𝑐̃32 : 𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

10

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

15 15 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎

10

30

𝑁𝑁3

10 + 𝑎𝑎 5 − 𝑎𝑎 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃32 = 60 − 80 + 50 − 0 = 30.

Für die Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 gilt dann: 1

𝑖𝑖

1 2 3

2

150 60

𝑗𝑗

3

4

−90

10 90

30

Da es in der Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 negative Einträge gibt, ist die erste zulässige Basislösung nicht optimal. Das kleinste aller 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 ist 𝑐𝑐̃13 = −90: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

15 − 𝑎𝑎 15 + 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3

𝑎𝑎 10 − 𝑎𝑎 5 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

Aus dieser Tabelle erhält man 𝑎𝑎 = min(15,10) = 10.

Also lautet die zweite verbesserte Basislösung durch Einsetzen:

266

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

15 Transportprobleme 𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 5 25 30

AM

𝑁𝑁3 10

𝑁𝑁4

5

35

25 25 40

15

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 2 650 − 90 ∙ 10 = 1 750.

3. Iteration: Berechnung der dritten verbesserten Basislösung Für alle sechs freien Stellen muss die Kostenänderung 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 berechnet werden.

Berechnung von 𝑐𝑐̃14 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 5 25 30

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

5 + 𝑎𝑎

35 − 𝑎𝑎

10 − 𝑎𝑎 15

AM

𝑎𝑎

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃14 = 70 − 40 + 80 − 10 = 100.

Berechnung von 𝑐𝑐̃21 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 10

𝑁𝑁2

5 + 𝑎𝑎 25 − 𝑎𝑎 30

AM

𝑁𝑁3 10

𝑁𝑁4

5

35

25 25 40

15

35

90

𝑐𝑐̃21 = 90 − 20 + 80 − 0 = 150.

Berechnung von 𝑐𝑐̃23 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

5 + 𝑎𝑎 25 − 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3

10 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 5 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃23 = 50 − 0 + 80 − 40 = 90.

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele Berechnung von 𝑐𝑐̃24 : 𝑁𝑁1

10

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

10

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

5 + 𝑎𝑎 25 − 𝑎𝑎

10 − 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎

30

15

𝑁𝑁4

AM

35

90

𝑎𝑎 35 − 𝑎𝑎

267

25 25 40

𝑐𝑐̃24 = 70 − 10 + 80 − 40 + 80 − 0 = 180.

Berechnung von 𝑐𝑐̃31 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2 5 25

10 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎

NM

10

𝑁𝑁4

5 − 𝑎𝑎

35

25 25 40

35

90

10 + 𝑎𝑎

30

AM

𝑁𝑁3

15

𝑐𝑐̃31 = 30 − 20 + 40 − 80 = −30.

Berechnung von 𝑐𝑐̃32 : 𝑁𝑁1

10

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

10

𝑁𝑁2

5 − 𝑎𝑎 25 𝑎𝑎

𝑁𝑁4

5 − 𝑎𝑎

35

25 25 40

35

90

10 + 𝑎𝑎

30

AM

𝑁𝑁3

15

𝑐𝑐̃32 = 60 − 80 + 40 − 80 = −60.

Für die Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 gilt dann: 1

𝑖𝑖

1 2 3

150 −30

2

𝑗𝑗

3

4

90

100 180

−60

Da es in der Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 negative Einträge gibt, ist die zweite verbesserte Basislösung nicht optimal.

268

15 Transportprobleme

Das kleinste aller 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 ist 𝑐𝑐̃32 = −60: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

5 − 𝑎𝑎 25 𝑎𝑎 30

AM

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

5 − 𝑎𝑎

35

25 25 40

35

90

10 + 𝑎𝑎 15

Aus dieser Tabelle erhält man 𝑎𝑎 = min(5,5) = 5.

Also lautet die dritte verbesserte Basislösung durch Einsetzen: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 0 25 5 30

𝑁𝑁3 15

15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 1 750 − 60 ∙ 5 = 1 450.

4. Iteration: Berechnung der vierten verbesserten Basislösung Für alle sechs freien Stellen muss die Kostenänderung 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 berechnet werden.

Berechnung von 𝑐𝑐̃14 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

0 − 𝑎𝑎 25 5 + 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3 15

𝑁𝑁4

15

35 − 𝑎𝑎

AM

𝑎𝑎

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃14 = 70 − 10 + 60 − 80 = 40.

Berechnung von 𝑐𝑐̃21 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 10

𝑁𝑁2

0 + 𝑎𝑎 25 − 𝑎𝑎 5 30

𝑁𝑁3 15

15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃21 = 90 − 20 + 80 − 0 = 150.

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele Berechnung von 𝑐𝑐̃23 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

0 + 𝑎𝑎 25 − 𝑎𝑎 5 30

𝑁𝑁3

15 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃23 = 50 − 0 + 80 − 40 = 90.

Berechnung von 𝑐𝑐̃24 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

30

15

0 25 − 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎

15

𝑁𝑁4

𝑎𝑎 35 − 𝑎𝑎 35

AM 25 25 40 90

𝑐𝑐̃24 = 70 − 10 + 60 − 0 = 120.

Berechnung von 𝑐𝑐̃31 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎

10

𝑁𝑁2

0 + 𝑎𝑎 25 5 − 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3 15

15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

𝑐𝑐̃31 = 30 − 20 + 80 − 60 = 30.

Berechnung von 𝑐𝑐̃33 : 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

0 + 𝑎𝑎 25 5 − 𝑎𝑎 30

AM

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑎𝑎

35

25 25 40

35

90

15 − 𝑎𝑎 15

𝑐𝑐̃33 = 80 − 60 + 80 − 40 = 60.

269

270

15 Transportprobleme

Für die Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 gilt dann: 1

𝑖𝑖

1 2 3

2

𝑗𝑗

150 30

3

90 60

4 40 120

Da es in der Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 keine negativen Einträge mehr gibt, ist die dritte verbesserte Basislösung optimal.

Also lautet die optimale Lösung: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 0 25 5 30

𝑁𝑁3 15

15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 1 450.

15.2.3

Die MODI-Methode (optimale Lösung)

Die Berechnung der Kostenänderungen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 an den freien Stellen bei der Stepping-StoneMethode ist sehr mühsam, aufwändig und besonders bei etwas größerer Anzahl von Anbietern und Nachfragern sehr zeitintensiv. Durch eine intelligente mathematische Idee kann dieses Berechnungsverfahren erheblich verkürzt werden. Dazu werden bei jeder Iteration alle Einträge der Kostenmatrix an den Stellen der Basisvariablen mittels folgender Darstellung zerlegt: 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑖𝑖 + 𝑣𝑣𝑗𝑗 . Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem, das eine Variable mehr als Gleichungen beinhaltet. Gibt man nun eine Variable fest vor, etwa 𝑢𝑢1 = 0, so kann das lineare Gleichungssystem gelöst werden. Danach werden für alle anderen Variablen die Summen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑖𝑖 + 𝑣𝑣𝑗𝑗 berechnet. So erhält man eine neue Matrix mit den Größen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 . Die Einträge in der Matrix der Kostenänderungen werden jetzt ganz einfach durch 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 berechnet. Anschließend geht das Verfahren in den Schritt 2 der Stepping-Stone-Methode über. Dieser muss aber nur ein einziges Mal durchgeführt werden.

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

271

Algorithmus zur MODI-Methode Start: Man bestimme eine Ausgangslösung, etwa durch die NWE-Regel. Diese wird die erste Basislösung genannt. Danach erfolgen Iterationen zu jeweils 3 Schritten bis zum Abbruch. Schritt 1: Bestimmung der neuen Matrix der Größen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 : a)

An den Stellen der Basisvariablen werden die Werte der Kostenmatrix 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 übernommen. b) Danach werden die Zeilenbezeichnungen der neuen Tabelle (Matrix) mit 𝑢𝑢𝑖𝑖 und die Spaltenbezeichnungen mit 𝑣𝑣𝑗𝑗 vorgenommen. Das dadurch relativ einfach dargestellte lineare Gleichungssystem wird jetzt gelöst. Setze dabei 𝑢𝑢1 = 0. c) Abschließend werden die restlichen Einträge aus den in Teil b) berechneten Variablen ermittelt: 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑖𝑖 + 𝑣𝑣𝑗𝑗

Schritt 2: Berechnung der Matrix mit den Kostenänderungen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 : Diese ergeben sich durch 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 .

Schritt 3: Weiterbehandlung nach einem der folgenden Punkte: a)

Sind alle 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0 ist die vorliegende Basislösung optimal und das Verfahren bricht ab.

b) Gibt es mindestens ein 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 < 0, so kann die vorliegende Basislösung verbessert werden. Dann wird der kleinste Wert dieser negativen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 ausgewählt und das größtmögliche 𝑎𝑎 ≥ 0 dazu ermittelt. Dies geschieht durch den Schritt 2 der Stepping-Stone-Methode (Korrekturen der Form +𝑎𝑎 bzw. −𝑎𝑎 an den Stellen der Basisvariablen). Anschließend wird durch Einsetzen dieses 𝑎𝑎 ≥ 0 die neue verbesserte Basislösung bestimmt. (Hier kann es passieren, dass sich 𝑎𝑎 = 0 ergibt. Dadurch werden in der Basislösung nur zwei Nullen getauscht. Anschließend geht das Verfahren wie gewohnt weiter.) Danach erfolgt die nächste Iteration. c)

Sind alle 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 und mindestens ein 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 > 0, so existieren mehrere optimale Lösungen. Diese werden durch weitere Iterationen ermittelt.

Beispiel 15.1 (MODI-Methode)

Anbieter

Kostenmatrix:

𝐴𝐴1

𝐴𝐴2

𝐴𝐴3

𝑁𝑁1

Nachfrager 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3 80

40

𝑁𝑁4

90

0

50

70

30

60

80

10

20

70

272

15 Transportprobleme

Auslieferungsmatrix mit Randsummen:

Anbieter

Nachfrager

𝐴𝐴1

𝐴𝐴2

𝐴𝐴3

Nachfragemengen

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑥𝑥11

𝑁𝑁3

𝑥𝑥12

𝑥𝑥13

𝑁𝑁4

Angebotsmengen

𝑥𝑥14

25

𝑥𝑥34

40

𝑥𝑥21

𝑥𝑥22

𝑥𝑥23

𝑥𝑥24

25

10

30

15

35

90

𝑥𝑥31

𝑥𝑥32

𝑥𝑥33

1. Iteration: erste zulässige Basislösung nach der NWE-Regel 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

10

𝑁𝑁3

15 15

10

10 5

30

AM

𝑁𝑁4

15

35

25 25 40

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 10 ∙ 20 + 15 ∙ 80 + 15 ∙ 0 + 10 ∙ 50 + 5 ∙ 80 + 35 ∙ 10 = 2 650.

Anbieter

2. Iteration: ausführliche Berechnung der zweiten verbesserten Basislösung 1a. Schritt: Matrix der Größen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 nach Übernahme der Größen 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 für die Basisvariablen: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

𝑁𝑁1

20

Nachfrager 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3 80 0

50 80

𝑁𝑁4 10

1b. Schritt: Matrix der Größen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 und Berechnung der Größen 𝑢𝑢𝑖𝑖 und 𝑣𝑣𝑗𝑗 :

𝑢𝑢𝑖𝑖

0 −80 −50

20

80

20

80 0

2

3

𝑣𝑣𝑗𝑗

130

60

50 80

10

5

7

1 4 6

Die ganz rechte Spalte und die unterste Zeile geben die Reihenfolge an, in der die 𝑢𝑢𝑖𝑖 und 𝑣𝑣𝑗𝑗 berechnet werden.

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

273

1c. Schritt: Matrix der Größen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 nach Berechnung der noch fehlenden Matrizenelemente aus den in Schritt 1b) berechneten Größen 𝑢𝑢𝑖𝑖 und 𝑣𝑣𝑗𝑗 :

𝑢𝑢𝑖𝑖

0 −80 −50

20

80

20 −60 −30

80 0 30

𝑣𝑣𝑗𝑗

130

60

130 50 80

60 −20 10

2. Schritt: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 :

𝑢𝑢𝑖𝑖

0 −80 −50

20

80

0 150 60

0 0 30

𝑣𝑣𝑗𝑗

130

60

−90 0 0

10 90 0

Da es in der Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 negative Einträge gibt, ist die erste zulässige Basislösung nicht optimal. 3. Schritt: Auswahl und Stepping-Stone: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

15 − 𝑎𝑎 15 + 𝑎𝑎 30

𝑁𝑁3

𝑎𝑎 10 − 𝑎𝑎 5 15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

Aus dieser Tabelle erhält man 𝑎𝑎 = min(15,10) = 10.

4. Schritt: zweite verbesserte Basislösung durch Einsetzen: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 5 25 30

AM

𝑁𝑁3 10

𝑁𝑁4

5

35

25 25 40

15

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 2 650 − 90 ∙ 10 = 1 750.

274

15 Transportprobleme

3. Iteration: Berechnung der dritten verbesserten Basislösung Es wird im Folgenden keine ausführliche Berechnung wie in der 2. Iteration durchgeführt, da die Schritte 1a-1c gleichzeitig in einem Schritt erfolgen können. 1. Schritt: Matrix der Größen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 nach Übernahme der Größen 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 für die Basisvariablen, Berechnung der Größen 𝑢𝑢𝑖𝑖 und 𝑣𝑣𝑗𝑗 und Berechnung der fehlenden Matrizenelemente:

𝑢𝑢𝑖𝑖

0 −80 40

20

80

20 −60 60

80 0 120

𝑣𝑣𝑗𝑗

40

−30

40 −40 80

−30 −110 10

2. Schritt: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 :

𝑢𝑢𝑖𝑖

0 −80 40

20

80

0 150 −30

0 0 −60

𝑣𝑣𝑗𝑗

40

−30

0 90 0

100 180 0

Da es in der Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 negative Einträge gibt, ist die erste zulässige Basislösung nicht optimal. 3. Schritt: Auswahl und Stepping-Stone: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2

5 − 𝑎𝑎 25 𝑎𝑎 30

AM

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

5 − 𝑎𝑎

35

25 25 40

35

90

10 + 𝑎𝑎 15

Aus dieser Tabelle erhält man 𝑎𝑎 = min(5,5) = 5.

Also lautet die dritte verbesserte Basislösung durch Einsetzen: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 0 25 5 30

𝑁𝑁3 15

15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 1 750 − 60 ∙ 5 = 1 450.

15.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

275

4. Iteration: Berechnung der vierten verbesserten Basislösung 1. Schritt: Matrix der Größen 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 nach Übernahme der Größen 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 für die Basisvariablen, Berechnung der Größen 𝑢𝑢𝒊𝒊 und 𝑣𝑣𝑗𝑗 und Berechnung der noch fehlenden Matrizenelemente:

𝑢𝑢𝒊𝒊

0 −80 −20

2. Schritt:

𝑢𝑢𝒊𝒊

0 −80 −20

20

80

20 −60 0

80 0 60

𝑣𝑣𝑗𝑗

40

30

40 −40 20

30 −50 10

Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖 : 20

80

0 150 30

0 0 0

𝑣𝑣𝑗𝑗

40

−30

0 90 60

40 120 0

Da es in der Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 keine negativen Einträge mehr gibt, ist die dritte verbesserte Basislösung optimal. Also lautet die optimale Lösung: 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

10

10

𝑁𝑁2 0 25 5 30

𝑁𝑁3 15

15

𝑁𝑁4

AM

35

25 25 40

35

90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 1 750 − 60 ∙ 5 = 1 450.

15.2.4

Das lineare Zuordnungsproblem

Das lineare Zuordnungsproblem stellt einen Spezialfall der Transportprobleme dar. Hier werden 𝑛𝑛 verschiedene Aufgaben (Anbieter) durch 𝑛𝑛 verschiedene Ausführende (Nachfrager) durchgeführt. Jede Aufgabe wird genau einmal von genau einem der Ausführenden erledigt. Eine Kostenmatrix stellt die Kosten durch die einzelnen Ausführenden in Abhängigkeit von den Aufgaben dar.

276

15 Transportprobleme

Mathematisches Modell für lineare Zuordnungsprobleme Gegeben seien 𝑛𝑛 Aufgaben 𝐴𝐴𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 und 𝑛𝑛 Ausführende 𝑁𝑁𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛. Dabei kann eine Aufgabe von jedem Ausführenden erledigt werden. Die Kosten für die Erledigung der Aufgabe 𝐴𝐴𝑖𝑖 durch den Ausführenden 𝑁𝑁𝑗𝑗 betragen 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 . Jede Aufgabe muss erledigt werden und jeder Ausführende muss eingesetzt werden. Die Variablen 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 bezeichnen, ob die Aufgabe 𝐴𝐴𝑖𝑖 durch den Ausführenden 𝑁𝑁𝑗𝑗 erledigt wird oder nicht. Damit erhält man das folgende Minimierungsproblem: 𝑛𝑛

𝑛𝑛

Minimiere die Funktion 𝑧𝑧 = � � 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 unter den Nebenbedingungen

𝑖𝑖=1 𝑗𝑗=1

𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 𝑛𝑛

� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

und 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ {0,1}.

Die Lösung erfolgt mit den oben beschriebenen Methoden.

15.3

Aufgaben

Aufgabe 1 Gegeben sei ein Transportproblem mit zwei Anbietern und drei Nachfragern. Die Angebotsmengen der Anbieter 𝐴𝐴1 und 𝐴𝐴2 sind 20 und 30 Einheiten. Die Nachfragemengen der Kunden 𝑁𝑁1 , 𝑁𝑁2 und 𝑁𝑁3 sind 10, 20 und 20 Einheiten.

Die Transportkosten pro Einheit von den einzelnen Anbietern zu den jeweiligen Kunden betragen

Anbieter

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2

𝑁𝑁1 5 8

Nachfrager 𝑁𝑁2 10 5

𝑁𝑁3 8 8

a) Bestimmen Sie eine Basislösung mit der Nordwest-Ecken-Regel. b) Bestimmen Sie mit der Stepping-Stone-Methode und der MODI-Methode die optimale Lösung, um die gesamten Transportkosten zu minimieren. Benutzen Sie als Anfangslösung die Basislösung der Nordwest-Ecken-Regel.

15.3 Aufgaben

277

Aufgabe 2 Gegeben sei ein Transportproblem mit drei Anbietern und vier Nachfragern. Die Angebotsmengen der Anbieter 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 und 𝐴𝐴3 sind 20, 40 und 90 Einheiten. Die Nachfragemengen der Kunden 𝑁𝑁1 , 𝑁𝑁2 , 𝑁𝑁3 und 𝑁𝑁4 sind 30, 40, 60 und 20 Einheiten.

Die Transportkosten pro Einheit von den einzelnen Anbietern zu den jeweiligen Kunden betragen

Anbieter

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

𝑁𝑁1 5 4 6

Nachfrager 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3 8 6 3

10 2 5

𝑁𝑁4 2 10 6

a) Bestimmen Sie eine Basislösung mit der Nordwest-Ecken-Regel. b) Bestimmen Sie mit der Stepping-Stone-Methode und der MODI-Methode die optimale Lösung, um die gesamten Transportkosten zu minimieren. Benutzen Sie als Anfangslösung die Basislösung der Nordwest-Ecken-Regel. Aufgabe 3 Gegeben sei ein Transportproblem mit sieben Anbietern und sieben Nachfragern. Die Angebotsmengen der Anbieter 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 , 𝐴𝐴3 , 𝐴𝐴4 , 𝐴𝐴5 , 𝐴𝐴6 und 𝐴𝐴7 sind 300, 1 000, 600, 400, 800, 400 und 500 Einheiten. Die Nachfragemengen der Kunden 𝑁𝑁1 , 𝑁𝑁2 , 𝑁𝑁3 , 𝑁𝑁4 , 𝑁𝑁5 , 𝑁𝑁6 und 𝑁𝑁7 sind 500, 800, 300, 600, 700, 400 und 700 Einheiten.

Die Transportkosten pro Einheit von den einzelnen Anbietern zu den jeweiligen Kunden betragen

Anbieter

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

𝑁𝑁1

10 20 8 16 10 12 9

𝑁𝑁2 12 18 10 13 12 5 15

𝑁𝑁3 8 22 12 8 8 10 12

Nachfrager 𝑁𝑁4 𝑁𝑁5 12 15 11 11 13 7 10

10 13 9 7 15 12 11

𝑁𝑁6 7 17 12 10 11 9 13

𝑁𝑁7 11 18 10 12 7 13 11

a) Bestimmen Sie eine Basislösung mit der Nordwest-Ecken-Regel. b) Bestimmen Sie mit der Stepping-Stone-Methode und der MODI-Methode die optimale Lösung, um die gesamten Transportkosten zu minimieren. Benutzen Sie als Anfangslösung die Basislösung der Nordwest-Ecken-Regel.

16

Graphentheorie

16.1

Beispiel, Grundbegriffe und mathematische Modelle

Ein Graph besteht aus 𝑛𝑛 verschiedenen Punkten (Knoten), die zumindest teilweise verbunden sind. In der Praxis sind dies häufig Verkehrsnetze, Kommunikationsnetze oder auch Versorgungsnetze. Das folgende Beispiel zeigt einen solchen Graphen. Beispiel 16.1 Gegeben sind sechs verschiedene Städte. Alle möglichen Verbindungen sind im Schaubild dargestellt: 50

2

4

10

100

1

5

70

10

5 10

3 Abb. 16.1

5

15

6

5

Netzplan für Routenplaner

Im Folgenden werden Grundbegriffe und Sachverhalte für Graphen vorgestellt, die bei der Modellbildung eine wichtige Rolle spielen. Definition 16.1 Ein Graph 𝐺𝐺 besteht aus einer nichtleeren Knotenmenge 𝑉𝑉 und einer Kanten- oder Pfeilmenge 𝐸𝐸. Dabei ist jedem Element von 𝐸𝐸 genau ein Knotenpaar aus 𝑉𝑉 zugeordnet. Die Bezeichnung ist 𝐺𝐺 = (𝑉𝑉, 𝐸𝐸). Definition 16.2 Sind die Elemente aus 𝐸𝐸 nicht geordnet, so ist 𝐺𝐺 ein ungerichteter Graph und die Elemente von 𝐸𝐸 heißen Kanten. Eine Kante vom Knoten 𝑖𝑖 zu Knoten 𝑗𝑗 wird mit [𝑖𝑖, 𝑗𝑗] gekennzeichnet. Sind die Elemente aus 𝐸𝐸 geordnet, so ist 𝐺𝐺 ein gerichteter Graph und die Elemente von 𝐸𝐸 heißen Pfeile. Ein Pfeil vom Knoten 𝑖𝑖 zu Knoten 𝑗𝑗 wird mit (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) gekennzeichnet. https://doi.org/10.1515/9783110601718-295

280

16 Graphentheorie

Definition 16.3 Zwei Pfeile (Kanten) mit gleichen Anfangs- und Endknoten nennt man parallel. Ein Pfeil, bei dem der Anfangsknoten gleich dem Endknoten ist, heißt Schlinge. Ein Graph ohne parallele Kanten bzw. Pfeile und ohne Schlingen wird ein schlichter Graph genannt. Ein schlichter gerichteter Graph mit endlicher Knotenmenge heißt Digraph. Definition 16.4 In einem gerichteten Graphen heißt ein Knoten 𝑗𝑗 Nachfolger eines Knotens 𝑖𝑖, falls ein Pfeil (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) existiert. Die Menge aller Nachfolger wird mit 𝑁𝑁(𝑖𝑖) bezeichnet.

Definition 16.5 Ein Graph 𝐺𝐺 = (𝑉𝑉, 𝐸𝐸, 𝑘𝑘) heißt bewertet, falls für alle Kanten bzw. Pfeile eine Bewertung 𝑘𝑘(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) bzw. 𝑘𝑘[𝑖𝑖, 𝑗𝑗] existiert. Diese Bewertungen können Längen, Zeiten, Transportkosten, usw. sein. Bewertungen werden auch mit 𝑘𝑘𝑖𝑖𝑖𝑖 bezeichnet. Definition 16.6 Eine Folge von Pfeilen (𝑖𝑖0 , 𝑖𝑖1 ), (𝑖𝑖1 , 𝑖𝑖2 ), … , (𝑖𝑖𝑚𝑚−1 , 𝑖𝑖𝑚𝑚 ) nennt man Weg 𝑤𝑤 = (𝑖𝑖0 , 𝑖𝑖1 , … 𝑖𝑖𝑚𝑚 ). Die Zahl

𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑟𝑟=1

𝑟𝑟=1

𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 (𝑤𝑤) = � 𝑘𝑘(𝑖𝑖𝑟𝑟−1 , 𝑖𝑖𝑟𝑟 ) = � 𝑘𝑘𝑖𝑖𝑟𝑟−1,𝑖𝑖𝑟𝑟

heißt die Länge des Weges 𝑤𝑤 = (𝑖𝑖0 , 𝑖𝑖1 , … , 𝑖𝑖𝑚𝑚 ).

Definition 16.7 Ein Weg heißt der kürzeste Weg von Knoten 𝑖𝑖 zu Knoten 𝑗𝑗, falls die Zahl 𝑚𝑚(𝑤𝑤)

𝑚𝑚(𝑤𝑤)

𝑟𝑟=1

𝑟𝑟=1

𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 (𝑤𝑤) = � 𝑘𝑘(𝑖𝑖𝑟𝑟−1 , 𝑖𝑖𝑟𝑟 ) = � 𝑘𝑘𝑖𝑖𝑟𝑟−1,𝑖𝑖𝑟𝑟

minimal ist unter allen möglichen Wegen von 𝑖𝑖0 = 𝑖𝑖 nach 𝑖𝑖𝑚𝑚(𝑤𝑤) = 𝑗𝑗.

Im folgenden Abschnitt dieses Kapitels wird der Algorithmus von Dijkstra vorgestellt, mit dem die optimalen (minimalen) Wege zwischen je zwei Punkten eines Digraphen bestimmt werden können. Außerdem wird das Problem der Bestimmung von minimal kleinen Versorgungsnetzen (minimal spannende Bäume) besprochen. Das Problem vom Handlungsreisenden, der in einem geschlossenen Graphen in einem Punkt startet, alle Punkte anfährt und schließlich wieder im Ausgangspunkt landet, wird hier nicht behandelt. Der interessierte Leser findet dazu Ausführungen in Domschke/Drexl (2011) und Oberstenfeld (2007). Der Themenkomplex Netzplantechnik, der auch zur Graphentheorie gehört, wird im nächsten Kapitel getrennt betrachtet.

16.2 Algorithmus von Dijkstra

16.2

281

Algorithmus von Dijkstra

Mit dem Algorithmus von Dijkstra wird folgendes Problem gelöst: Gegeben sei ein Digraph mit 𝑛𝑛 Knoten und ein Startpunkt bzw. Startknoten. Gesucht sind alle kürzesten Wege zwischen dem Startpunkt und allen anderen 𝑛𝑛 − 1 Knoten, also nur die kürzesten Wege zwischen dem Startpunkt und jedem anderen Knoten. Der Startpunkt ist in diesen Betrachtungen immer der gleiche. Mathematisches Modell zur Bestimmung von kürzesten Wegen in Digraphen Gegeben sei ein Digraph mit 𝑛𝑛 Knoten und ein Startknoten 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. Alle existierenden Pfeile seien mit 𝑘𝑘(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) bewertet. Gesucht ist der kürzeste Weg vom Startknoten zu allen anderen 𝑛𝑛 − 1 Knoten. Ist dabei 𝑊𝑊 die Menge aller möglichen Wege 𝑤𝑤 = �𝑖𝑖0 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠, 𝑖𝑖1 , … , 𝑖𝑖𝑚𝑚(𝑤𝑤) �, so folgt: Gesucht ist für jeden Knoten 𝑗𝑗 ≠ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠, der von 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 aus erreichbar ist, ein 𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∈ 𝑊𝑊 𝑚𝑚(𝑤𝑤)

𝑚𝑚(𝑤𝑤)

𝑟𝑟=1

𝑟𝑟=1

mit 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 (𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) = � 𝑘𝑘�𝑖𝑖𝑟𝑟−1, 𝑖𝑖𝑟𝑟 � = � 𝑘𝑘𝑖𝑖𝑟𝑟−1,𝑖𝑖𝑟𝑟 = min

über alle 𝑤𝑤 ∈ 𝑊𝑊 mit 𝑖𝑖0 = 𝑖𝑖 und 𝑖𝑖𝑚𝑚(𝑤𝑤) = 𝑗𝑗.

Eine Lösungsvariante stellt der Algorithmus von Dijkstra zur Verfügung. Algorithmus von Dijkstra Gegeben sei ein Digraph mit 𝑛𝑛 Knoten und ein Startknoten 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. Alle existierenden Pfeile seien mit 𝑘𝑘(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) bewertet. Gesucht ist der kürzeste Weg vom Startknoten zu allen anderen 𝑛𝑛 − 1 Knoten.

Es werden zwei Vektoren mit folgenden Komponenten definiert: • 𝐷𝐷(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 • 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛.

𝐷𝐷(𝑖𝑖) stellt dabei die (zu einem bestimmten Zeitpunkt erreichte) kürzeste Entfernung vom Startknoten 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 zum Knoten 𝑖𝑖 dar. 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) bezeichnet den unmittelbaren Vorgänger von Knoten 𝑖𝑖 auf dem (zu einem bestimmten Zeitpunkt erreichten) kürzesten Weg vom Startknoten 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 zum Knoten 𝑖𝑖. Außerdem stellt die Menge 𝑀𝑀 die Menge einer bestimmten Auswahl von Knoten dar.

Startiteration: Es werden folgende Initialisierungen gesetzt: • 𝑀𝑀 = {𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠} • 𝐷𝐷(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 0 und 𝐷𝐷(𝑖𝑖) = ∞ für alle Knoten 𝑖𝑖 ≠ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 • 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) = − für alle Knoten 𝑖𝑖.

Danach erfolgen Iterationen zu jeweils 3 Schritten bis zum Abbruch.

Schritt 1: Es wird ein Knoten 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 ausgewählt mit 𝐷𝐷(𝑎𝑎) = min{𝐷𝐷(𝑖𝑖)|𝑖𝑖 ∈ 𝑀𝑀}. Schritt 2: Für alle 𝑗𝑗 ∈ 𝑁𝑁(𝑎𝑎) wird überprüft: Gilt 𝐷𝐷(𝑎𝑎) + 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝐷𝐷(𝑗𝑗), dann werden folgende Belegungen gesetzt:

282

16 Graphentheorie 𝐷𝐷(𝑗𝑗) = 𝐷𝐷(𝑎𝑎) + 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎 , 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑗𝑗) = 𝑎𝑎 und der Knoten 𝑗𝑗 wird in die Menge 𝑀𝑀 aufgenommen.

Schritt 3: Der ausgewählte Knoten 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 wird aus der Menge 𝑀𝑀 entfernt. Abbruch: Das Verfahren endet, falls gilt: 𝑀𝑀 = { }.

Nachfolgend wird der Algorithmus von Dijkstra am Beispiel 16.1 mit dem Startknoten 1 durchgeführt: 50

2

4

10

100

1

5

70

5

5

10

6

10 15

3

5

Verlässt ein Knoten die Menge 𝑀𝑀, so ist der gefundene Weg dorthin optimal. Diese Knoten werden grau unterlegt. An diesen Knoten muss keine weitere Prüfung mehr erfolgen. Startiteration: 𝑖𝑖 𝐷𝐷(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {1}.

1 0 -

2 ∞ -

3 ∞ -

4 ∞ -

5 ∞ -

6 ∞ -

1. Iteration: Auswahl: 𝑎𝑎 = 1 und 𝑁𝑁(1) = {2, 3} Prüfung für 𝑗𝑗 = 2:

Es gilt: 𝐷𝐷(1) + 𝑘𝑘12 = 0 + 100 = 100 und 𝐷𝐷(2) = ∞.

Da 𝐷𝐷(1) + 𝑘𝑘12 < 𝐷𝐷(2), wird gesetzt: 𝐷𝐷(2) = 100, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(2) = 1. Prüfung für 𝑗𝑗 = 3:

Es gilt: 𝐷𝐷(1) + 𝑘𝑘13 = 0 + 10 = 10 und 𝐷𝐷(3) = ∞.

Da 𝐷𝐷(1) + 𝑘𝑘13 < 𝐷𝐷(3), wird gesetzt: 𝐷𝐷(3) = 10, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(3) = 1.

𝑖𝑖 𝐷𝐷(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {2,3}.

1 0 -

2 100 1

3 10 1

4 ∞ -

5 ∞ -

6 ∞ -

16.2 Algorithmus von Dijkstra

283

2. Iteration: Auswahl: 𝑎𝑎 = 3 und 𝑁𝑁(3) = {4, 5} Prüfung für 𝑗𝑗 = 4:

Es gilt: 𝐷𝐷(3) + 𝑘𝑘34 = 10 + 70 = 80 und 𝐷𝐷(4) = ∞.

Da 𝐷𝐷(3) + 𝑘𝑘34 < 𝐷𝐷(4), wird gesetzt: 𝐷𝐷(4) = 80, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(4) = 3. Prüfung für 𝑗𝑗 = 5:

Es gilt: 𝐷𝐷(3) + 𝑘𝑘35 = 10 + 15 = 25 und 𝐷𝐷(5) = ∞.

Da 𝐷𝐷(3) + 𝑘𝑘35 < 𝐷𝐷(5), wird gesetzt: 𝐷𝐷(5) = 25, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(5) = 3. 𝑖𝑖 𝐷𝐷(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {2, 4, 5}.

1 0 -

2 100 1

3 10 1

4 80 3

5 25 3

6 ∞ -

3. Iteration: Auswahl:𝑎𝑎 = 5 und 𝑁𝑁(5) = {4, 6} Prüfung für 𝑗𝑗 = 4:

Es gilt: 𝐷𝐷(5) + 𝑘𝑘54 = 25 + 5 = 30 und 𝐷𝐷(4) = 80.

Da 𝐷𝐷(5) + 𝑘𝑘54 < 𝐷𝐷(4), wird gesetzt: 𝐷𝐷(4) = 30, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(4) = 5. Prüfung für 𝑗𝑗 = 5:

Es gilt: 𝐷𝐷(5) + 𝑘𝑘56 = 25 + 10 = 35 und 𝐷𝐷(6) = ∞.

Da 𝐷𝐷(5) + 𝑘𝑘56 < 𝐷𝐷(6), wird gesetzt: 𝐷𝐷(6) = 35, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(6) = 5. 𝑖𝑖 𝐷𝐷(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {2, 4, 6}.

1 0 -

2 100 1

3 10 1

4 30 5

5 25 3

6 35 5

4. Iteration: Auswahl: 𝑎𝑎 = 4 und 𝑁𝑁(4) = {2, 6} Prüfung für 𝑗𝑗 = 2:

Es gilt: 𝐷𝐷(4) + 𝑘𝑘42 = 30 + 50 = 80 und 𝐷𝐷(2) = 100.

Da 𝐷𝐷(4) + 𝑘𝑘42 < 𝐷𝐷(2), wird gesetzt: 𝐷𝐷(2) = 80, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(2) = 4. Prüfung für 𝑗𝑗 = 6:

Es gilt: 𝐷𝐷(4) + 𝑘𝑘46 = 30 + 10 = 40 und 𝐷𝐷(6) = 35.

Da 𝐷𝐷(4) + 𝑘𝑘46 > 𝐷𝐷(6), bleiben die Eintragungen erhalten. 𝑖𝑖 𝐷𝐷(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

𝑀𝑀 = {2,6}.

1 0 -

2 80 4

3 10 1

4 30 5

5 25 3

6 35 5

284

16 Graphentheorie

5. Iteration: Auswahl:𝑎𝑎 = 6 und 𝑁𝑁(6) = {4} Prüfung für 𝑗𝑗 = 4:

nicht nötig, da der Weg nach Knoten 4 schon optimal ist. 𝑖𝑖 𝐷𝐷(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {2}.

1 0 -

2 80 4

3 10 1

4 30 5

5 25 3

6 35 5

5 25 3

6 35 5

6. Iteration: Auswahl: 𝑎𝑎 = 2 und 𝑁𝑁(2) = {3}

Prüfung für 𝑗𝑗 = 3:

nicht nötig, da der Weg nach Knoten 3 schon optimal ist. 𝑖𝑖 𝐷𝐷(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

1 0 -

2 80 4

3 10 1

4 30 5

𝑀𝑀 = { }.

Damit ist die Abbruchbedingung erfüllt. Die optimalen Weglängen stehen in den Variablen 𝐷𝐷(𝑖𝑖). Der exakte Weg wird aus den Variablen 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) rückwärts, ausgehend vom Endpunkt, abgelesen.

Die kürzesten Wege sind: von 1 nach 2: 1 → 3 → 5 → 4 → 2 von 1 nach 3: 1 → 3 von 1 nach 4: 1 → 3 → 5 → 4 von 1 nach 5: 1 → 3 → 5 von 1 nach 6: 1 → 3 → 5 → 6

mit der Länge 80 mit der Länge 10 mit der Länge 30 mit der Länge 25 mit der Länge 35.

Bemerkung: Eine Alternative zum Algorithmus von Dijkstra stellt der FIFO-Algorithmus dar. Der einzige Unterschied besteht in der Auswahl im Schritt 1 aus dem Anfang einer Warteschlange. Der interessierte Leser findet dazu Ausführungen in Heinrich (2007). Mit dem TripelAlgorithmus findet man die kürzesten Wege zwischen allen paarweise verschiedenen Knoten eines Digraphen. Der interessierte Leser findet dazu Ausführungen ebenfalls in Heinrich (2007).

16.3 Algorithmus von Kruskal

16.3

285

Algorithmus von Kruskal

In diesem Abschnitt wird das Problem minimaler Flüsse besprochen. Dazu sind einige weitere Definitionen notwendig. Definition 16.8 Eine Verbindung zweier Knoten in einem ungerichteten Graphen heißt Kette, wenn es einen Weg zwischen diesen beiden Knoten gibt. Ein Weg in einem ungerichteten Graphen, bei dem der Anfangsknoten gleich dem Endknoten ist und der mindestens einen weiteren Zwischenknoten beinhaltet, heißt Kreis. Ein Graph heißt zusammenhängend, falls jedes Knotenpaar durch eine Kette verbunden ist. Definition 16.9 Ein kreisloser, zusammenhängender Graph heißt Baum. Ein kreisloser, zusammenhängender Teil eines Graphen heißt spannender Baum. Definition 16.10 Ein spannender Baum, dessen Summe aller Kantenbewertungen minimal ist, heißt minimal spannender Baum. Mit dem folgenden Algorithmus von Kruskal werden minimal spannende Bäume bestimmt. Diese lösen das Problem minimaler Flüsse. Algorithmus von Kruskal Gegeben sei ein bewerteter, zusammenhängender, schlingenfreier und ungerichteter Graph mit 𝑛𝑛 Knoten und 𝑚𝑚 Kanten. Gesucht ist ein minimal spannender Baum. Schritt 1: Alle Kanten werden nach aufsteigenden Bewertungen sortiert. Die aufsteigende Folge der Kanten sei 𝑘𝑘𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚.

Schritt 2: Die Startmenge für die zu bestimmenden Kanten sei 𝐸𝐸� = { }.

Schritt 3: Schleife 𝑖𝑖 = 1 bis 𝑚𝑚 Prüfung, ob das Hinzufügen der Kante 𝑘𝑘𝑖𝑖 einen Kreis erzeigt:

a) 𝑘𝑘𝑖𝑖 erzeugt keinen Kreis: Die Kante wird zur Menge 𝐸𝐸� hinzugefügt. b) 𝑘𝑘𝑖𝑖 erzeugt einen Kreis: Die Menge 𝐸𝐸� bleibt unverändert.

Abbruch: Die Menge 𝐸𝐸� enthält genau 𝑛𝑛 − 1 Kanten.

286

16 Graphentheorie

Beispiel 16.2 Für die im folgenden Schaubild dargestellten 6 Orte soll ein Gas-Versorgungsnetz geplant werden, so dass je zwei Orte (direkt oder indirekt) durch Versorgungsleitungen miteinander verbunden sind. Verzweigungspunkte befinden sich nur in den Orten selbst. Die Baukosten sind ebenfalls im Schaubild angegeben. Gesucht ist ein Versorgungsnetz mit minimalen Erstellungskosten.

10

3 6

1

5 4

4

3

6 5

4

8

Abb. 16.2

7

2

5

6

Versorgungsnetz

Die Lösung erfolgt mit dem Algorithmus von Kruskal. Es gilt: 𝑛𝑛 = 6, 𝑚𝑚 = 10.

Die Folge der Kanten, sortiert nach aufsteigenden Bewertungen, ist: [2, 4], [3, 4], [4, 5], [3, 6], [4, 6], [1, 4], [5, 6], [2, 5], [1, 3], [1, 2].

Schleife: Kante [2, 4] wird hinzugefügt.

Kante [3, 4] wird hinzugefügt. Kante [4, 5] wird hinzugefügt.

Kante [3, 6] wird hinzugefügt. Kante [4, 6] wird nicht hinzugefügt, da Kreis. Kante [1, 4] wird hinzugefügt.

Abbruch, da der Baum jetzt aus 5 Kanten besteht:

16.4 Aufgaben

287

2

5 3

6

1

4

4 4 5

3 Abb. 16.3

6

minimal spannender Baum

16.4

Aufgaben

Aufgabe 1 Gegeben sei der folgende bewertete Digraph, bestehend aus vier Knoten. 35

1 15

12 60

22 55 18

2

3

40 10

9

10

4

8

Geben Sie mit dem Algorithmus von Dijkstra die jeweils kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten an.

288

16 Graphentheorie

Aufgabe 2 Gegeben sei der folgende bewertete Digraph, bestehend aus sechs Knoten. 10

2

50

4

20 60

40

6

40 200

130

50

70

50 40

3

300

1

5

60

Geben Sie mit dem Algorithmus von Dijkstra die jeweils kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten an. Aufgabe 3 Gegeben sei der folgende bewertete Digraph, bestehend aus acht Knoten.

2

20

5

15 10

100

1

30

50

10

5 20

3 30

30

4

20

7 30

6

25

8

Geben Sie mit dem Algorithmus von Dijkstra die jeweils kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten an.

16.4 Aufgaben

289

Aufgabe 4 Gegeben sei der folgende Ausschnitt aus einer Landkarte mit 15 Orten. Alle eingezeichneten Straßen sind in beide Richtungen befahrbar. 6

H

6

B 10

8 4

A

C 4

4

5 4

D

8

3

3

J

3

3

2

4

4

N

2

3

F

2

2 5

2

P

3

K

4

G

2 5

6

4

2

6

L

4

I

10

M

E

Geben Sie mit dem Algorithmus von Dijkstra die jeweils kürzesten Wege von Ort A zu allen anderen Orten an. Aufgabe 5 Gegeben sei der folgende Ausschnitt aus einer Landkarte mit 8 Orten.

4

4

8

1

2

8

4 5

10

5

11

3

8 6

10 12

12

7

8

16

6

7

290

16 Graphentheorie

Für die 8 Orte soll ein Strom-Versorgungsnetz geplant werden, so dass je zwei Orte (direkt oder indirekt) durch Versorgungsleitungen miteinander verbunden sind. Verzweigungspunkte befinden sich nur in den Orten selbst. Die Baukosten sind ebenfalls im Schaubild angegeben. Geben Sie ein Versorgungsnetz mit minimalen Erstellungskosten an. Aufgabe 6 Gegeben sei der folgende Ausschnitt aus einer Landkarte mit 16 Orten.

C 13

11

15 14

10

14

A

J

7 8

H

10

N

6

2

E

5

2

2

M

L 3

D 14

20 4

3

G

13 12

K

4

11

10

B

11

F

10

8 9

9

7

8

Q

P

I

Für die 16 Orte soll ein Netzwerk geplant werden, so dass je zwei Orte (direkt oder indirekt) durch Glasfaserkabel miteinander verbunden sind. Verzweigungspunkte befinden sich nur in den Orten selbst. Die Baukosten sind ebenfalls im Schaubild angegeben. Geben Sie ein Netzwerk mit minimalen Erstellungskosten an.

17

Netzplantechnik

17.1

Beispiel, Grundbegriffe und mathematisches Modell

Ein wichtiger Teil der Graphentheorie ist die Netzplantechnik. Sie stellt ein bedeutendes Verfahren im Projektmanagement dar. Dabei geht es im Wesentlichen um die Struktur- und Zeitplanung von Projekten, deren einzelne Tätigkeiten durch eine Vorgangsliste gegeben sind. Das folgende Beispiel verdeutlicht diesen Sachverhalt. Beispiel 17.1 Gegeben sei die Vorgangsliste aufgrund eines Angebots für den Einbau einer neuen EDVAnlage: Tätigkeit A B C D E F G H I

Beschreibung Systemanalyse und Design CPU-Anpassung Konsolengeräte auswählen Erstellen der Basisprogramme Erstellen der Plausibilitäten Erstellen der Individual-Software Prüfen und Testen Aufbau der gesamten Anlage Installation und Abnahme

Dauer in Wochen

Vorgänger

12 6 1 10 3 20 1 1 4

A A A D D B, C, E C F, G, H

Gesucht sind ein Strukturplan und ein Zeitplan, um die EDV-Anlage möglichst schnell zu realisieren. Um eine Struktur- bzw. Zeitplanung durchzuführen, wird das folgende Modell benötigt. Mathematisches Modell Netzplantechnik Gegeben sei eine Vorgangsliste mit 𝑛𝑛 Tätigkeiten in Form einer Tabelle mit folgenden Einträgen:

• • • •

Nummer (Bezeichnung) der Tätigkeit eventuell eine Beschreibung in Wortform Dauer der Tätigkeit alle Vorgänger einer Tätigkeit

https://doi.org/10.1515/9783110601718-307

292 •

17 Netzplantechnik alle zeitlichen Mindestabstände (Wartezeiten) zum Vorgänger, falls diese nicht alle 0 sind.

Es werden die folgenden mathematischen Größen definiert: 𝑖𝑖, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛

Nummer der Tätigkeit

𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛

frühest möglicher Anfangszeitpunkt der Tätigkeit 𝑖𝑖

𝑡𝑡𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛

𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛

Dauer der Tätigkeit 𝑖𝑖 zeitlicher Mindestabstand der Tätigkeit 𝑗𝑗 zum Vorgänger 𝑖𝑖

frühest möglicher Endzeitpunkt der Tätigkeit 𝑖𝑖

spätest möglicher Anfangszeitpunkt der Tätigkeit 𝑖𝑖

spätest möglicher Endzeitpunkt der Tätigkeit 𝑖𝑖

gesamte Pufferzeit der Tätigkeit 𝑖𝑖. 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 Gesucht sind bei gegebenen 𝑛𝑛, 𝑡𝑡𝑖𝑖 , 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑗𝑗 und der Vorgängerliste die Größen 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖), 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖), 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖), 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) und 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑖𝑖).

Für Netzpläne mit günstigen Eigenschaften können sehr schnell Berechnungsformeln für die gesuchten Größen gefunden werden. Dabei ist es angenehm, wenn der Netzplan keine Zyklen beinhaltet, also solche Wege, die an einen gewissen Ausgangspunkt wieder zurückkehren und so unendlich oft durchlaufen werden könnten. Sind keine Zyklen vorhanden, kann man die Nummerierung der Tätigkeiten so auswählen, dass ein Vorgänger immer eine kleinere Nummer hat als ein Nachfolger. Meist sind die Tätigkeiten aber in der Vorgangsliste schon so vernünftig nummeriert.

17.2

Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

In diesem Abschnitt werden Berechnungsformeln für die im oben angegebenen Modell zu bestimmenden Größen sowie ein Algorithmus zur Berechnung bei größeren Netzplänen angegeben.

17.2.1

Strukurplanung

Ziel der Strukturplanung ist einzig und allein die graphische Darstellung der Tätigkeiten in Bezug auf den Fluss bzw. die Eigenschaften Vorgänger bzw. Nachfolger. Dies geschieht durch die Symbole

𝑖𝑖/𝑡𝑡𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖

Rechteck mit Nummer der Tätigkeit und deren Dauer Pfeil zwischen Vorgänger und Nachfolger, beschriftet mit dem zeitlichen Mindestabstand, falls dieser nicht 0 ist.

17.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

293

Der Strukturplan für das Beispiel 17.1 sieht so aus:

A / 12

C/1

H/1

B/6

G/1 E/3

D / 10

Abb. 17.1

I /4

F / 20

Strukturplan

Die Strukturplanung beinhaltet allerdings noch keine Zeitplanung.

17.2.2

Zeitplanung

Die Berechnung der gesuchten Zeiten im oben erstellten Modell geschieht mit den nachfolgend dargestellten Formeln. Berechnungsformeln Netzplantechnik Gegeben sei eine Vorgangsliste mit 𝑛𝑛 Tätigkeiten. Dabei gibt es nur einen Startknoten 1 (Knoten ohne einen Vorgänger) und einen Endknoten 𝑛𝑛 (Knoten ohne einen Nachfolger). Der Netzplan enthält keine Zyklen. Gegeben sind außerdem:

• • • •

Nummer 𝑖𝑖, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 der Tätigkeit Dauer 𝑡𝑡𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 der Tätigkeit alle Vorgänger einer Tätigkeit alle zeitlichen Mindestabstände 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 der Tätigkeit 𝑗𝑗 zum Vorgänger 𝑖𝑖.

Wird die Menge aller Vorgänger einer Tätigkeit mit 𝑉𝑉(𝑖𝑖) und die Menge aller Nachfolger einer Tätigkeit mit 𝑁𝑁(𝑖𝑖) bezeichnet, so gilt: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(1) = 0,

𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) = max{𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑎𝑎) + 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 | 𝑎𝑎 ∈ 𝑉𝑉(𝑖𝑖)}, 2 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) + 𝑡𝑡𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛,

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑛𝑛) = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑛𝑛),

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) = min�𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑝𝑝) − 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 | 𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁(𝑖𝑖)�, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1, 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) − 𝑡𝑡𝑖𝑖 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛,

𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑖𝑖) = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) − 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖), 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛.

Die Berechnung der Größen 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) und 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) wird Vorwärtsrechnung genannt, die Berechnung der Größen 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) und 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) dagegen wird Rückwärtsrechnung genannt.

294

17 Netzplantechnik

Ein Weg vom Startknoten zum Endknoten heißt kritischer Pfad, falls die Summe aller Pufferzeiten gleich 0 ist. Verzögerungen bei diesen Tätigkeiten wirken sich in jedem Fall negativ auf das Ende des gesamten Prozesses aus. Am einfachsten werden diese Zeiten anhand des Strukturplans ermittelt. Dabei werden die Rechtecke durch komplexere Darstellungen ersetzt, die eben alle zu bestimmenden Zeiten enthalten: 𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑖𝑖 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑖𝑖)

Beispiel 17.1 (Fortsetzung) Im Folgenden werden alle Zeiten für die Vorgangsliste für den Einbau einer neuen EDVAnlage berechnet. Tätigkeit A B C D E F G H I

Beschreibung Systemanalyse und Design CPU-Anpassung Konsolengeräte auswählen Erstellen der Basisprogramme Erstellen der Plausibilitäten Erstellen der Individual-Software Prüfen und Testen Aufbau der gesamten Anlage Installation und Abnahme

Dauer in Wochen

Vorgänger

12 6 1 10 3 20 1 1 4

A A A D D B, C, E C F, G, H

Vorwärtsrechnung: Bestimmung der Zeiten 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖)und 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖).

Dies geschieht in Schritten, wobei pro Schritt immer alle Zeiten derjenigen Tätigkeiten bestimmt werden, für die alle Zeiten aller Vorgänger schon bestimmt wurden.

17.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

295

1. Schritt: Setzen der Zeiten für den Startknoten:

A 12 0 12

C

1

H

1

B

6

G

1

E

3

F

20

I

4

I

4

D 10

2. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeiten B, C und D:

A 12 0 12

C 12 13

1

H

1

B 12 18

6

G

1

D 10 12 22

E

3

F

20

296

17 Netzplantechnik

3. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeiten E, F und H:

A 12 0 12

C 12 13

1

H 13 14

1

B 12 18

6

G

1 I

D 10 12 22

E 22 25

4

3

F 20 22 42

4. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeit G: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝐺𝐺) = max{13, 18, 25} = 25

A 12 0 12

C 12 13

1

H 13 14

1

B 12 18

6

G 25 26

1

D 10 12 22

E 22 25

3

F 20 22 42

I

4

17.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

297

5. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeit I: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝐼𝐼) = max{14, 26, 42} = 42

A 12 0 12

C 12 13

1

H 13 14

1

B 12 18

6

G 25 26

1

D 10 12 22

E 22 25

3

I 42 46

4

F 20 22 42

Rückwärtsrechnung: Bestimmung der Zeiten 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑍𝑍(𝑖𝑖) und 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖)

Dies geschieht in Schritten, wobei pro Schritt immer alle Zeiten der Tätigkeiten bestimmt werden, für die alle Zeiten aller Nachfolger schon bestimmt wurden. 1. Schritt: Setzen der Zeiten für den Endknoten:

A 12 0 12

C 12 13

1

H 13 14

1

B 12 18

6

G 25 26

1

D 10 12 22

E 22 25

3

F 20 22 42

I 4 42 42 46 46

298

17 Netzplantechnik

2. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeiten F, G und H:

A 12 0 12

C 12 13

1

H 1 13 41 14 42

B 12 18

6

G 1 25 41 26 42

D 10 12 22

E 22 25

3

I 4 42 42 46 46

F 20 22 22 42 42

3. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeiten B, C und E:

A 12 0 12

C 1 12 40 13 41

H 1 13 41 14 42

B 6 12 35 18 41

G 1 25 41 26 42

D 10 12 22

E 3 22 38 25 41 F 20 22 22 42 42

I 4 42 42 46 46

17.2 Lösungsmethoden und durchgerechnete Beispiele

299

4. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeit D: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝐷𝐷) = min{22, 38} = 22

A 12 0 12

C 1 12 40 13 41

H 1 13 41 14 42

B 6 12 35 18 41

G 1 25 41 26 42

D 10 12 12 22 22

E 3 22 38 25 41

I 4 42 42 46 46

F 20 22 22 42 42

5. Schritt: Setzen der Zeiten für die Tätigkeit A: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝐴𝐴) = min{35, 40, 12} = 12

A 12 0 0 12 12

C 1 12 40 13 41

H 1 13 41 14 42

B 6 12 35 18 41

G 1 25 41 26 42

D 10 12 12 22 22

E 3 22 38 25 41 F 20 22 22 42 42

I 4 42 42 46 46

300

17 Netzplantechnik

Nach Berechnung der Zeiten 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑖𝑖) sieht der fertige Netzplan so aus:

A 12 0 0 12 12 0

C 1 12 40 13 41 28

H 1 13 41 14 42 28

B 6 12 35 18 41 23

G 1 25 41 26 42 16

D 10 12 12 22 22 0

Abb. 17.2

E 3 22 38 25 41 16

I 4 42 42 46 46 0

F 20 22 22 42 42 0

Netzplan

Die Vorgangsliste dieses Beispiels hatte der Einfachheit halber keine zeitlichen Mindestabstände, d.h. es gab keinerlei Wartezeiten zwischen einzelnen Vorgängern. Die Berechnung der gesamten Zeiten bei der Vorwärts- und bei der Rückwärtsrechnung setzt eine genaue Kenntnis der Struktur des Netzplans voraus. Bei umfangreichen Netzplänen mit vielen Knoten und Verbindungen müsste die Struktur irgendwie in eine Logik umgesetzt werden. Da dies explizit vom Netzplan abhängt und deshalb große Mühe erfordern würde, werden die gesamten Zeiten in der Praxis mit einem FIFO-Algorithmus berechnet. Der interessierte Leser findet dazu Ausführungen in Heinrich (2007).

17.3 Aufgaben

17.3

301

Aufgaben

Aufgabe 1 Gegeben sei folgende Vorgangsliste für die Erstellung eines neuen IT-Systems: Tätigkeit A B C D E F G H I J K L a) b) c) d) e) f)

Beschreibung Anforderungskatalog erstellen Vorstudie durchführen Systementwurf grob Softwarearchitektur auswählen Hardware auswählen Softwareentwurf Prototyping für die Geräte Programmierung Test Hardware Test Software Installation Abschlusstest

Dauer in Wochen

Vorgänger

2 4 1 1 2 2 4 12 1 1 1 2

A, B C C C D, E D, F G H I, J K

Erstellen Sie einen Strukturplan. Berechnen Sie in einer Vorwärtsrechnung die Zeiten 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) und 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖). Berechnen Sie in einer Rückwärtsrechnung die Zeiten 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) und 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖). Berechnen Sie die gesamten Pufferzeiten 𝐺𝐺𝑃𝑃(𝑖𝑖). Geben Sie die kritischen Pfade an. Zeichnen Sie den gesamten Netzplan.

Aufgabe 2 Gegeben sei folgende Vorgangsliste für einen Auftrag im Handwerk: Tätigkeit

Dauer in Tagen

Vorgänger

Abstand vom Vorgänger

A B C

3 4 3

D

5

E

2

A A A B B C D

3 2 10 −2 3 −1 1

a) Erstellen Sie einen Strukturplan. b) Berechnen Sie in einer Vorwärtsrechnung die Zeiten 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) und 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖). c) Berechnen Sie in einer Rückwärtsrechnung die Zeiten 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) und 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖).

302

17 Netzplantechnik

d) Berechnen Sie die gesamten Pufferzeiten 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑖𝑖). e) Geben Sie die kritischen Pfade an. f) Zeichnen Sie den gesamten Netzplan. Aufgabe 3 Für die Herstellung einer Lauchtorte wurden die Angaben in einem Kochbuch in folgende Vorgangsliste übertragen: Tätigkeit

a) b) c) d) e) f)

Beschreibung

Dauer in Minuten

Vorgänger

Mindestabstand zum Vorgänger

1 2 1 1 4 5 6 1 1 3 9 8 10 7 11 1 12 13 14

30 -

1 2 3 4 5

Zutaten einkaufen Teigzutaten verkneten Teig kaltstellen Lauch putzen und zerkleinern Fett erhitzen

30 10 1 5 1

6

Lauch andünsten

2

7 8 9

Gewürze und Wein hinzufügen Schinkenspeck in Würfel schneiden Backform ausfetten

10 4 1

10

Teig auswellen und in die Form legen

3

11

Speck darauf verteilen

1

12

Lauch und Wein/Gewürze zugeben

1

13

Eier, Sahne und neue Gewürze verrühren

2

14

diese Mischung ebenfalls zugeben

1

15

Torte backen

45

Erstellen Sie einen Strukturplan. Berechnen Sie in einer Vorwärtsrechnung die Zeiten 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖) und 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹(𝑖𝑖). Berechnen Sie in einer Rückwärtsrechnung die Zeiten 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖) und 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑖𝑖). Berechnen Sie die gesamten Pufferzeiten 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑖𝑖). Geben Sie die kritischen Pfade an. Zeichnen Sie den gesamten Netzplan.

18

Lösungen zur Mathematik

18.1

Lösungen zu Kapitel 1

Aufgabe 1 𝑀𝑀1 , 𝑀𝑀2 , 𝑀𝑀4 und 𝑀𝑀6 sind Mengen. 𝑀𝑀3 ist keine Menge wegen falscher Klammern, 𝑀𝑀5 weil ein Element doppelt vorkommt. Aufgabe 2 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 oder 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑 oder 𝑥𝑥 = 11 oder 𝑥𝑥 =⋆} oder graphische Darstellung (VennDiagramm). Aufgabe 3 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {4}, 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {1, 3, 4, 5, 9}, 𝐵𝐵\𝐶𝐶 = {3, 5}, 𝐶𝐶\𝐵𝐵 = {2, 6, 8} und 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) = {4}. Aufgabe 4

5 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

0

0

1

-1 -2 -3

Aufgabe 5 Grundmenge ℕ: 𝐴𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Grundmenge ℤ: 𝐴𝐴 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Grundmenge ℝ: 𝐴𝐴 = [−3, 7].

https://doi.org/10.1515/9783110601718-319

304

18 Lösungen zur Mathematik

Aufgabe 6

I

A

II

III

B

𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 sind die Bereiche I, II und III, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ist nur der Bereich II.

Aufgabe 7 𝐶𝐶 = (𝐴𝐴\𝐵𝐵) ∪ (𝐵𝐵\𝐴𝐴) sind die Bereiche I und III im Schaubild von Aufgabe 6. Aufgabe 8 Richtig sind 𝐴𝐴 ≠ 𝐵𝐵, ∅ ⊆ 𝐵𝐵, {𝑏𝑏, 𝑑𝑑} ⊆ 𝐵𝐵, 𝑏𝑏 ∈ 𝐴𝐴.

Falsch sind 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ⊇ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵, 𝑑𝑑 ⊆ 𝐵𝐵, �𝑏𝑏, {𝑐𝑐, 𝑑𝑑}� ⊆ 𝐵𝐵. Aufgabe 9 𝐴𝐴 ⊆ 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ⊆ 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 ⊆ 𝐶𝐶, 𝐷𝐷 ⊆ 𝐷𝐷, 𝐵𝐵 ⊆ 𝐴𝐴, 𝐷𝐷 ⊆ 𝐴𝐴 und 𝐷𝐷 ⊆ 𝐵𝐵.

Aufgabe 10 Insgesamt gibt es 32 Teilmengen: ∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}.

Aufgabe 11 ℕ ⊆ ℕ, ℕ ⊆ ℤ, ℤ ⊆ ℤ, ℕ ⊆ ℚ, ℤ ⊆ ℚ, ℚ ⊆ ℚ, ℕ ⊆ ℝ, ℤ ⊆ ℝ, ℚ ⊆ ℝ, ℝ ⊆ ℝ.

Aufgabe 12 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), … , (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Diese Menge hat 6 ∙ 6 = 36 Elemente.

Aufgabe 13 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 ist ein Rechteck mit den Eckpunkten (2, 1), (2, 4), (5, 1) und (5, 4) und allen Rändern.

18.1 Lösungen zu Kapitel 1

305

Aufgabe 14 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 sind 4 Strecken zwischen den Punkten (0, −2) und (2, −2), … und zwischen den Punkten (0, 1) und (2, 1). Aufgabe 15 a) 36% b)

6%.

Aufgabe 16 Die Mengen I, II und III haben zusammen 10 Elemente.

I

T

a)

II

III

F

S

80 − (14 + 12 + 17 + 10) = 27

Aufgabe 17 11 2𝑏𝑏 ∙ (16𝑎𝑎 − 5𝑐𝑐) 2𝑏𝑏 a) b) = 21 3𝑑𝑑 ∙ (16𝑎𝑎 − 5𝑐𝑐) 3𝑑𝑑 Aufgabe 18 a)

c)

𝑐𝑐 − 1

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2 2 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦

Aufgabe 19

b)

d)

b)

c)

80 − 50 − (12 + 17) = 1. 3𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎 = −1 2𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 . 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

24𝑎𝑎 9 + 8𝑧𝑧 − 4𝑦𝑦 ∙ =2 9 + 8𝑧𝑧 − 4𝑦𝑦 12𝑎𝑎

𝑥𝑥 − 1 − 𝑥𝑥 − 1 + 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 3)(4𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 2 − 1 = . 2 −4𝑥𝑥 − 2 + 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 1 (𝑥𝑥 + 3) ∙ (4𝑥𝑥 + 2)

|2𝑥𝑥 + 25| = � 2𝑥𝑥 + 25 für 𝑥𝑥 ≥ −12.5 −2𝑥𝑥 − 25 für 𝑥𝑥 < −12.5 𝑥𝑥 − 0.33 für 𝑥𝑥 ≥ 0.33 b) |𝑥𝑥 − 0.33| = � −𝑥𝑥 + 0.33 für 𝑥𝑥 < 0.33 2 c) |𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2| = � 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 für 𝑥𝑥 ≥ 2 oder 𝑥𝑥 ≤ 1 −𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 2 für 1 < 𝑥𝑥 < 2 a)

d)

306

18 Lösungen zur Mathematik für 𝑢𝑢 ≥ 𝑣𝑣 für 𝑢𝑢 < 𝑣𝑣.

𝑢𝑢 − 𝑣𝑣 d) |𝑢𝑢 − 𝑣𝑣| = � −𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 Aufgabe 20 a)

b)

7 7 ⇒ 3𝑥𝑥 + 7 ≤ 4 ⇒ 𝕃𝕃1 = �− , −1� 3 3 7 11 7 11 2. Fall: x < − ⇒ −3𝑥𝑥 − 7 ≤ 4 ⇒ 𝕃𝕃2 = �− , − � ⇒ 𝕃𝕃 = �− , −1� . 3 3 3 3 7 13 𝕃𝕃 = �−∞, − � ∪ � , ∞� . 2 2 1. Fall: 𝑥𝑥 ≥ −

Aufgabe 21 a) 1. Fall: 𝑥𝑥 < −2 ⇒ −𝑥𝑥 − 2 ≤ −𝑥𝑥 + 7 ⇒ 𝕃𝕃1 = (−∞, −2) 2. Fall: − 2 ≤ 𝑥𝑥 < 7 ⇒ 𝑥𝑥 + 2 ≤ −𝑥𝑥 + 7 ⇒ 𝕃𝕃2 = [−2, 2.5] 3. Fall: 𝑥𝑥 ≥ 7 ⇒ 𝑥𝑥 + 2 ≤ 𝑥𝑥 − 7 ⇒ 𝕃𝕃3 = ∅. Also ist 𝕃𝕃 = (−∞, 2.5]. b) 𝕃𝕃 = (−0.6, 3). Aufgabe 22 a) 318 b)

(−5)−16

Aufgabe 23 a)

8 ∙ √2 √𝑥𝑥 𝑥𝑥

b)

Aufgabe 25 a)

2

b) 0

Aufgabe 28 a) 216 b)

c)

12

3 ∙ √3

4

3

�𝑏𝑏𝑏𝑏 − √𝑎𝑎𝑎𝑎 .

7

c)

b)

d) −74 .

�210 .

𝑎𝑎 ∙ (√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏) c) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

Aufgabe 26 a) 4 b) −3 Aufgabe 27 𝑣𝑣 5 a) log 𝑎𝑎 3 𝑤𝑤

74

3

b)

Aufgabe 24 a)

c)

√34.

c)

1

log 𝑎𝑎

d) 0.5. 𝑥𝑥 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 ) . 𝑦𝑦

0.5 ∙ (5−4 + 1)

c)

4.

18.1 Lösungen zu Kapitel 1

307

Aufgabe 29 a)

13.35

b)

624

1 023 . 512

c)

Aufgabe 30 a)

7

� 3𝑛𝑛

b)

𝑛𝑛=1

�(9𝑛𝑛 − 5)

c)

b) 231

0.

𝑛𝑛=1

Aufgabe 31 a) 7! = 5 040 Aufgabe 32 a)

7

2𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 (4𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦)2

b)

Aufgabe 34 a)

−2𝑏𝑏 4 − 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦

Aufgabe 36 a) 190 b)

b)

d)

�(𝑛𝑛2 − 1).

𝑛𝑛=2

𝑛𝑛=5

c)

10

𝑥𝑥 − 2 ∙ �𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

(5𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 6𝑏𝑏𝑦𝑦 3 )(−5𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 6𝑏𝑏𝑦𝑦 3 ) b)

Aufgabe 35 a)

𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 + 1

16𝑎𝑎2 𝑥𝑥 2 − 9𝑏𝑏 2 𝑦𝑦 2

b)

Aufgabe 33 a)

c)

11

c)

d)

𝑥𝑥 − 𝑦𝑦. 2

�2√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦� .

−13𝑎𝑎2 + 56𝑎𝑎𝑎𝑎 − 19𝑏𝑏 2 .

√𝑥𝑥 + 1.

9 880

c)

3 921 225

d)

3 921 225.

Aufgabe 37 a) 𝑎𝑎9 + 9𝑎𝑎8 𝑏𝑏 + 36𝑎𝑎7 𝑏𝑏 2 + 84𝑎𝑎6 𝑏𝑏 3 + 126𝑎𝑎5 𝑏𝑏 4 + 126𝑎𝑎4 𝑏𝑏 5 + 84𝑎𝑎3 𝑏𝑏 6 + 36𝑎𝑎2 𝑏𝑏 7 + 9𝑎𝑎𝑏𝑏 8 + 𝑏𝑏 9 b) analog. Aufgabe 38 a)

𝑛𝑛

𝑛𝑛 � � � ∙ 1𝑖𝑖 ∙ 1𝑛𝑛−𝑖𝑖 = (1 + 1)𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑖𝑖=0

b)

analog folgt (1 − 1)𝑛𝑛 = 0.

308

18 Lösungen zur Mathematik

Aufgabe 39 31 a) 𝑥𝑥 = b) 5

keine Lösung.

Aufgabe 40 a)

𝑥𝑥 = −13 b)

𝑥𝑥 = −

Aufgabe 41 a)

49 32

c)

𝑥𝑥 =

b) 𝑥𝑥 = −5

𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = −4

c)

8 9

d)

𝑥𝑥 =

1 . 7

𝑥𝑥1 = −1, 𝑥𝑥2 =

Aufgabe 42 a)

𝑥𝑥 = 39

b) 𝑥𝑥 = 414

Aufgabe 43 a) 𝑥𝑥 = −3 b)

𝑥𝑥 = 3

Aufgabe 44 a)

𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = 0

e)

7 ∙ ln 3 + 2 ∙ ln 2 = 22.3856 ln 3 − ln 2

b)

𝑥𝑥 =

ln 7 + ln 5 + ln 3 = 5.07913. ln 5 − ln 2

𝕃𝕃 = (−∞, 5) 𝕃𝕃 = [−1, 2]

Aufgabe 47 a) d)

𝑥𝑥 = log 5 12 = 1.544.

𝑥𝑥 =

Aufgabe 46 a)

c)

𝑥𝑥1 = 6, 𝑥𝑥2 = −6.

b)

Aufgabe 45 a)

c)

𝕃𝕃 = (3, 7)

𝕃𝕃 = (−1, ∞)

1 b) 𝕃𝕃 = ℝ\ �0, � 4 1 f) 𝕃𝕃1 = �0, � . 2 b) e)

20 . 9

5 13 𝕃𝕃 = � , � 4 6

c)

c)

𝑥𝑥 =

7 𝕃𝕃 = � , 16] 3

𝕃𝕃1 = (−2, −1) ∪ (1, 2).

c)

ln 2 = 2.06004. ln 7 − ln 5

d)

𝕃𝕃 = (0, ∞)\{1}

𝕃𝕃 = (−∞, 2)

18.2 Lösungen zu Kapitel 2 Aufgabe 48 a) 𝕃𝕃 = [−2, −1] ∪ [0, 3] c)

309

b)

1 1 𝕃𝕃 = (−∞, −1) ∪ �− ∙ √2, ∙ √2� ∪ (1, ∞). 2 2

18.2

𝕃𝕃 = ℝ\[1, 6)

Lösungen zu Kapitel 2

Aufgabe 1 a)

5 ∙ 𝑎𝑎⃗ = (5, 0, 10)𝑇𝑇 , 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗ = (2, 0, 5)𝑇𝑇 , 3 ∙ 𝑐𝑐⃗ − 7 ∙ 𝑏𝑏�⃗ = (−7, 6, −21)𝑇𝑇 und 4 ∙ 𝑎𝑎⃗ + 3 ∙ 𝑏𝑏�⃗ − 5 ∙ 𝑐𝑐⃗ = (7, −10, 17)𝑇𝑇 .

b) |𝑎𝑎⃗| = √5, �𝑏𝑏�⃗� = √10 und |𝑐𝑐⃗| = 2. c) 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑎𝑎⃗ = 5, 𝑏𝑏�⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 10, 𝑐𝑐⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑐𝑐 = 4, 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 𝑏𝑏�⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑎𝑎⃗ = 7, 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑐𝑐⃗ = 𝑐𝑐⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑎𝑎⃗ = 0 und 𝑏𝑏�⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑐𝑐⃗ = 𝑐𝑐⃗ 𝑇𝑇 ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 0. Aufgabe 2

√𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎2 + 4 = 5 ⇒ 𝑎𝑎1 = √4.2 und 𝑎𝑎2 = −√4.2.

Aufgabe 3 Aus 𝑎𝑎 − 2 = 0, 3𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = 0 und 3 − 𝑏𝑏 = 0 folgt 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 = 3 und 𝑐𝑐 = 12. Aufgabe 4

2 Aus 𝑡𝑡 + 2 + 2𝑡𝑡 = 0 folg: 𝑡𝑡 = − . 3

Aufgabe 5 ja. Aufgabe 6

𝑎𝑎⃗ = −6 ∙ 𝑥𝑥⃗ − 2 ∙ 𝑦𝑦⃗ + 7 ∙ 𝑧𝑧⃗, 𝑏𝑏�⃗ = −10 ∙ 𝑥𝑥⃗ + 15 ∙ 𝑦𝑦⃗ − 3 ∙ 𝑧𝑧⃗, 𝑐𝑐⃗ = −𝑥𝑥⃗ + 2 ∙ 𝑦𝑦⃗.

Aufgabe 7

Aus √4 + 𝑎𝑎2 + 9 = 7 folgt 𝑎𝑎1 = 6 und 𝑎𝑎2 = −6.

Aufgabe 8 𝑥𝑥⃗ = (−2, 1, 0)𝑇𝑇 und 𝑦𝑦⃗ = (0, −1, 1)𝑇𝑇 . Hier gibt es noch viele andere Möglichkeiten.

Aufgabe 9 a) 50 b) linear unabhängig.

310

18 Lösungen zur Mathematik

Aufgabe 10 a) �����⃗ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (2, −4, 3)𝑇𝑇 und �����⃗ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = (−4, 8, −6)𝑇𝑇 zeigen in die gleiche Richtung. Also liegen 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 und 𝐶𝐶 auf einer Geraden mit 𝑔𝑔: 𝑥𝑥⃗ = (1, 4, −2)𝑇𝑇 + 𝜆𝜆 ∙ (2, −4, 3)𝑇𝑇 . b) 𝐸𝐸: 𝑥𝑥⃗ = (1, 4, −2)𝑇𝑇 + 𝜆𝜆 ∙ (2, −4, 3)𝑇𝑇 + 𝜇𝜇 ∙ (−2, 6, 3)𝑇𝑇 oder 15𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = 43.

Aufgabe 11 𝐸𝐸: 𝑥𝑥⃗ = (0, −1, 2)𝑇𝑇 + 𝜆𝜆 ∙ (1, 1, −1)𝑇𝑇 + 𝜇𝜇 ∙ (2, 0, 2)𝑇𝑇 oder 3𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 4. Aufgabe 12 12 11 −8 a) � −1 42 −23� −14 −11 6

Aufgabe 13 5 −25 10 𝐷𝐷 = � �. −5 20 −10

−4 0 4 b) � 0 −10 4� 4 4 0

c)

6 6 −7 � 6 35 −2� . −7 −2 10

Aufgabe 14 a) 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 und 𝐴𝐴𝑇𝑇 ∙ 𝐵𝐵𝑇𝑇

−52 −116 b) 𝐴𝐴𝑇𝑇 ∙ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵𝑇𝑇 = � �. −116 50

Aufgabe 15 −4 12 6 a) 𝐷𝐷 = �−4 4 10� 6 −4 6 b) 𝑑𝑑⃗ = (−1, 13 17), 𝑒𝑒⃗ = (11, 12, 18)𝑇𝑇 und 𝑓𝑓 = 46. 12 −2 16 1 14 −3 6 5 −4 4 c) 𝑔𝑔⃗ = (1, −3, −5)𝑇𝑇 , 𝐸𝐸 = �−6 25 23�, 𝐹𝐹 = � 2 17 −2� , 𝐺𝐺 = �12 0 −2 4�. 5 18 30 11 0 49 14 4 −3 8 Aufgabe 16 24 24 36 𝑀𝑀 gibt die Rohstoff-Endprodukt-Matrix an: 𝑀𝑀 = �41 67 80�. 25 32 48 Aufgabe 17 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴) = 1, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐵𝐵) = −7.

18.3 Lösungen zu Kapitel 3

311

Aufgabe 18 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴) = 13.

Aufgabe 19 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴) = 13, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐶𝐶) = −22.

Aufgabe 20 −112.

18.3

Lösungen zu Kapitel 3

Aufgabe 1 a) 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 2

b)

𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐵𝐵) = 1

c)

𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐶𝐶) = 2

d) 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐷𝐷) = 3

Aufgabe 2 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 2 falls 𝑎𝑎 = 0 und 𝑏𝑏 = 3.5. 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 3 sonst. Aufgabe 3 −7 3 1 0 𝐴𝐴−1 = � � und 𝐵𝐵 −1 = � �. 5 −2 −2 0.5

Aufgabe 4

−2 −1 1 𝐶𝐶 −1 existiert nicht, da 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐶𝐶) = 2. 𝐷𝐷 −1 = � 1 1 1�. 1 1 2

Aufgabe 5 a) 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 3 und 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ) = 3 ⇒ genau eine Lösung b) 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 2 und 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ) = 3 ⇒ keine Lösung.

Aufgabe 6 a) 𝑥𝑥1 = −1, 𝑥𝑥2 = 1 und 𝑥𝑥3 = 4

Aufgabe 7 a) keine Lösung b)

b) keine Lösung.

𝑥𝑥1 = 3, 𝑥𝑥2 = 2 und 𝑥𝑥3 = 10.

e)

𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐸𝐸) = 3.

312

18 Lösungen zur Mathematik

Aufgabe 8 a) 𝑥𝑥⃗ = (12, 0, −27)𝑇𝑇 + 𝜆𝜆 ∙ (−3, 1, 10)𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑇𝑇 2 13 4 b) 𝑥𝑥⃗ = �4, 0, − , 0� + 𝜆𝜆 ∙ �−3, 0, − , 1� + 𝜇𝜇 ∙ �0, 1, − , 0� . 7 7 7 Aufgabe 9 a) 𝑥𝑥1 = −6, 𝑥𝑥2 = −3 und 𝑥𝑥3 = −7 Aufgabe 10

a)

b)

𝐴𝐴−1 𝐴𝐴−1

8 ⎛7 4 =⎜ ⎜7 5 ⎝7 −4 = �−3 −5

2 7 1 7 3 7 2 1 2

b)

keine Lösung.

−1

⎞ 6 24 37 und 𝑥𝑥3 = −1⎟ ⇒ 𝑥𝑥1 = , 𝑥𝑥2 = 7 7 7 ⎟ −1⎠

−1 0� ⇒ 𝑥𝑥1 = 20, 𝑥𝑥2 = 2 und 𝑥𝑥3 = 15. −1

Aufgabe 11 2 2 4 𝐴𝐴−1 = �1 1 3� 3 1 5 a) 𝑥𝑥1 = 6, 𝑥𝑥2 = 4 und 𝑥𝑥3 = 6 b) 𝑥𝑥1 = 28, 𝑥𝑥2 = 14 und 𝑥𝑥3 = 24 c) 𝑥𝑥1 = 78, 𝑥𝑥2 = 60 und 𝑥𝑥3 = 100 151 223 373 , 𝑥𝑥2 = und 𝑥𝑥3 = d) 𝑥𝑥1 = 3 6 6 e) 𝑥𝑥1 = 2𝜋𝜋 + 2, 𝑥𝑥2 = 𝜋𝜋 + 1 und 𝑥𝑥3 = 3𝜋𝜋 + 1. Aufgabe 12 a)

Typ 2 × 2

b) 𝑋𝑋 = �

6 9 �. 9 6

Aufgabe 13 1 2 −1 0 𝐼𝐼 �−2 −3 0 −3� 𝐼𝐼𝐼𝐼 1 3 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 1 2 −1 0 � 0 1 −2 −3� 0 −1 −1 − 𝑡𝑡 −𝑡𝑡

𝐼𝐼 2 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ≙ 𝑉𝑉

18.4 Lösungen zu Kapitel 4 1 � 0 0

2 −1 1 −2 0 −3 − 𝑡𝑡

313 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝑉𝑉

0 −3� −3 − 𝑡𝑡

Die Interpretation der letzten Zeile liefert: (−3 − 𝑡𝑡) ∙ 𝑥𝑥3 = −3 − 𝑡𝑡.

⇒ ∞ − viele Lösungen falls 𝑡𝑡 = −3 und 𝑥𝑥⃗ = (6, −3, 0)𝑇𝑇 + 𝜆𝜆 ∙ (−3, 2, 1)𝑇𝑇 .

⇒ genau eine Lösung falls 𝑡𝑡 ≠ −3 und 𝑥𝑥1 = 3, 𝑥𝑥2 = −1 und 𝑥𝑥3 = 1.

Aufgabe 14 1 2 1 −200 𝐼𝐼 � 2 8 6 −600� 𝐼𝐼𝐼𝐼 3 −2 𝑠𝑠 50𝑡𝑡 − 500 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 1 2 1 −200 � 0 −4 −4 200� 0 8 3 − 𝑠𝑠 −100 − 50𝑡𝑡 1 2 1 −200 � 0 1 1 −50� 0 0 −5 − 𝑠𝑠 300 − 50𝑡𝑡

𝐼𝐼 2 ∙ 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼 ≙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 3 ∙ 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ≙ 𝑉𝑉 𝐼𝐼 −0.25 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 2 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝑉𝑉

Die Interpretation der letzten Zeile liefert: (−5 − 𝑠𝑠) ∙ 𝑥𝑥3 = 300 − 50𝑡𝑡. 50(2𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 + 16) 50(6 − 𝑡𝑡) , 𝑥𝑥2 = − 50 ⇒ genau eine Lösung falls 𝑠𝑠 ≠ 5 und 𝑥𝑥1 = − 𝑠𝑠 + 5 𝑠𝑠 + 5 50(𝑡𝑡 − 6) . und 𝑥𝑥3 = 𝑠𝑠 + 5 ⇒ keine Lösung falls 𝑠𝑠 = −5 und 𝑡𝑡 ≠ 6. ⇒ ∞ − viele Lösungen falls 𝑠𝑠 = −5 und 𝑡𝑡 = 6 und 𝑥𝑥⃗ = (−100, −50, 0)𝑇𝑇 + 𝜆𝜆 ∙ (1, −1, 1)𝑇𝑇 .

18.4

Lösungen zu Kapitel 4

Aufgabe 1 105 + 112 + ⋯ + 994 = 7 ∙ 15 + ⋯ + 7 ∙ 142 =

Aufgabe 2

20 + 22 + ⋯ + (20 + 21 ∙ 2) =

128 ∙ (105 + 994) = 70 336. 2

22 ∙ (20 + 62) = 902. 2

Aufgabe 3 arithm. Folge 𝑎𝑎1 = 500 und 𝑑𝑑 = 50.

314 a)

18 Lösungen zur Mathematik 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 550 = 500 + (𝑛𝑛 − 1) ∙ 50 ⇒ 𝑛𝑛 = 22

b)

Aufgabe 4 𝐾𝐾5 = 10 000 = 𝐾𝐾 ∙ 1.085 ⇒ 𝐾𝐾 = 6 805.83.

𝑠𝑠22 =

22 ∙ (500 + 1 550) = 22 550. 2

Aufgabe 5 2𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 ∙ 1.07𝑛𝑛 ⇒ 𝑛𝑛 = 10.24.

Aufgabe 6 analog Beispiel 4.5 folgen a) 14 728.51 b) 15 595.70 f) 16 557.49 g) 16 557.72

c) h)

Aufgabe 7

16 064.00 d) 16 557.73 i)

16 390.21 16 557.73.

e)

16 552.10

𝐾𝐾25 = �(10 000 ∙ 1.049 ) ∙ 1.026 + 10 000� ∙ 1.0210 = 31 728.96. Aufgabe 8 a) 283.16 Jahre

b)

53 535,50€

a)

b)

𝑚𝑚 = 2 759.18 ⇒ alle

Aufgabe 9

220.76 Jahre

Aufgabe 10 a) b)

c)

25.89%. 360 ∙ 24 = 3.13 Stunden. 2 759.18

1.0320 − 1 1.03520 − 1 ∙ 1.03520 + 8 000 ∙ 1.035 ∙ = 674 718.67 0.03 0.035 𝑀𝑀𝑒𝑒 = 1 659.82. 8 000 ∙ 1.03 ∙

Aufgabe 11 a) b)

𝐾𝐾20 = 300 ∙ �12 +

𝑀𝑀𝑒𝑒 = 499.77.

7 1.0720 − 1 ∙ 13� ∙ = 153 179.66 0.07 200

18.4 Lösungen zu Kapitel 4

315

Aufgabe 12 a)

8 1.0820 − 1 ∙ 13� ∙ = 572 939.79 0.08 200 2 1.0280 − 1 = 1 000 ∙ �3 + ∙ 4� ∙ = 589 066.75 0.02 200 1 240 �1 + � −1 1 150 = 1 000 ∙ �1 + �∙ = 592 947.22. 1 150 150

𝐾𝐾20 = 1 000 ∙ �12 +

b)

𝐾𝐾20

c)

𝐾𝐾20

Aufgabe 13 𝐾𝐾 =

500 ∙ �12 +

Aufgabe 14

4 1.045 − 1 ∙ 13� ∙ 0.04 = 27 289.67. 200 1.045

0 = 100 000 ∙ 1.06𝑛𝑛 − 5 000 ∙ �12 + Aufgabe 15

6 1.06𝑛𝑛 − 1 ∙ 13� ∙ ⇒ 𝑛𝑛 = 1.748 Jahre. 0.06 200

1.0613 − 1 6 ∙ 13� ∙ ∙ 1.062 = 78 859.76 0.06 200 6 1.066 − 1 ∙ 13� ∙ ⇒ 𝐵𝐵 = 1 294.36. 𝑅𝑅6 = 0 = 78 859.76 ∙ 1.066 − 𝐵𝐵 ∙ �12 + 0.06 200

𝐾𝐾 = 300 ∙ �12 +

Aufgabe 16

𝐾𝐾 = 𝑀𝑀𝑒𝑒 ∙ (1 200 + 6.5𝑝𝑝) ∙ = 𝐸𝐸 ∙ ��12 +

1 = 1 016 250 = 𝑝𝑝

1.0520 − 1 4.5 1.04520 − 1 5 ∙ 13� ∙ ∙ 1.04520 + �12 + ∙ 13� ∙ � 0.05 0.045 200 200

⇒ 𝐸𝐸 = 742.60.

Aufgabe 17 a) b)

𝐴𝐴 ln 𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 1 𝐴𝐴 − (𝑞𝑞 − 1) ∙ 𝐾𝐾 ⇒ 𝑛𝑛 = = 57.82 0 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 − 𝐴𝐴 ∙ ln 𝑞𝑞 𝑞𝑞 − 1 𝑞𝑞 − 1 = 2 493.02. 𝐴𝐴 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 𝑞𝑞 − 1 𝑛𝑛

Aufgabe 18 𝐴𝐴 = 19 171.35.

316

18 Lösungen zur Mathematik

18.5

Lösungen zu Kapitel 5

Aufgabe 1 = f ( x) 10 x − 5

6

= f ( x) 2 x − 3

4 2

-2

-1

0

0

1

2

3

4

5

6

= f ( x) −0.3 x + 1

-2 -4 -6

Aufgabe 2 f= ( x) x 2 + 1

7

= f ( x) 0.5 ⋅ ( x − 1) 2 + 1

5

f= ( x) ( x − 2) 2 3

1 -2

-1

-1

0

1

2

3

4

Aufgabe 3 6 4

( x) x 3 − 2 f= 2

-3

f= ( x) ( x + 1) 3

-2

-1

0 -2 -4 -6

0

1

2

3

18.5 Lösungen zu Kapitel 5

317

Aufgabe 4 6

f ( x) = x 6 4

f ( x) = x 4

2

-2

0

-1

0

1

2

-2

f ( x) = x 5

-4

f ( x) = x 7 -6

Aufgabe 5 5

3

1 -5

-4

-3

-2

-1 0 -1

1

f ( x) =

2 x2

3

4

2

f ( x= ) − -3

5

1 x

-5

Aufgabe 6 3

= f ( x)

x +1

2

= f ( x) 1

-2

-1

0

-1

-2

0

1

2

3

4

5

6

3

x −1

318

18 Lösungen zur Mathematik

Aufgabe 7 5

f ( x) = e x +1

3

1 -3

-2

-1

0

-1

1

2

) −e x f ( x=

-3

2

-5

Aufgabe 8 3

= f ( x) ln( x + 2)

f ( x) = ln(0.5 x) + 1

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

b)

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

-1

-3

-5

Aufgabe 9 a)

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 4 − 12.9𝑥𝑥 3.3

−1.5 𝑥𝑥 2.5

Aufgabe 10 a) 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 c) 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 .

c)

b)

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = −

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 2 + 2)2

b)

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

3

3 ∙ √𝑥𝑥 2

.

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥

Aufgabe 11 a)

1

𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 2𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 2 . 𝑥𝑥 3

18.5 Lösungen zu Kapitel 5

319

Aufgabe 12 a) c)

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 25 ∙ (𝑥𝑥 2 − 1)24 ∙ 2𝑥𝑥 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = −

Aufgabe 13 a) c)

1 1 ∙ cos . (𝑥𝑥 − 1)2 𝑥𝑥 − 1 −3

𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 4 ∙ (1 − 3 ∙ ln 𝑥𝑥) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 6𝑥𝑥 4 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = . (2 − 3𝑥𝑥)3 ′ (𝑥𝑥)

b)

b)

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

2𝑒𝑒 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = (2 − ln 𝑥𝑥)2 ∙ (1 + ln 𝑥𝑥)

Aufgabe 14a

4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

0

3 4 − 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥 3 12 12 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 4 − 5 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ⅅ = ℝ\{0}, Pol bei 𝑥𝑥 = 0, 3 32 𝑁𝑁(0.5, 0), 𝐻𝐻 � , � , 𝑊𝑊(1, 1). 4 27 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

0

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

Aufgabe 14b 3

2

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) =

1

-1

0

-1

0

1

2

3

4

5

6

𝑥𝑥 − 1

2 ∙ √𝑥𝑥 3 3 − 𝑥𝑥

4 ∙ √𝑥𝑥 5 ⅅ = ℝ+ , Pol bei 𝑥𝑥 = 0,

𝑁𝑁(1, 0), 𝑇𝑇(1, 0), 𝑊𝑊 �3,

4

√3

− 2�.

320

18 Lösungen zur Mathematik

Aufgabe 14c 5 4

2 ∙ ln(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 1 2 − 2 ∙ ln(𝑥𝑥 + 1) 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1)2 ⅅ = (−1, ∞), Pol bei 𝑥𝑥 = −1,

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

3 2 1

-2

-1

0

0

1

2

3

4

5

𝑁𝑁(0, 0), 𝑇𝑇(0, 0), 𝑊𝑊(𝑒𝑒 − 1, 1).

6

-1

Aufgabe 14d 2 1

-1

0

0

1

2

3

4

5

− ln 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 −1 + 2 ∙ ln 𝑥𝑥 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + ⅅ = ℝ , Pol bei 𝑥𝑥 = 0, 1 3 𝑁𝑁 � , 0� , 𝐻𝐻(1, 1), 𝑊𝑊 �√𝑒𝑒, �. 𝑒𝑒 2 ∙ √𝑒𝑒 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

6

-1 -2 -3 -4

Aufgabe 14e 1

-1

0 -1 -2 -3 -4

0

1

2

3

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 1 − 3√𝑥𝑥 3 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = − 2√𝑥𝑥 + ⅅ = ℝ0 , kein Pol bei 𝑥𝑥 = 0, 1 1 𝑁𝑁1 (0, 0), 𝑁𝑁2 (0.25, 1), 𝐻𝐻 � , �. 9 27

18.5 Lösungen zu Kapitel 5

321

Aufgabe 14f 6

𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0.5𝑥𝑥 ∙ (𝑥𝑥 2 − 3) ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 2

𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 0.5 ∙ (2𝑥𝑥 4 − 3𝑥𝑥 2 − 3) ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 2

4

ⅅ = ℝ, 𝑁𝑁1 (2, 0), 𝑁𝑁2 (−2, 0), 𝐻𝐻(0, −1),

2

-3

-2

-1

0 -2 -4

0

1

2

3

𝑇𝑇1 �√3, −0.25 ∙ 𝑒𝑒 3 �, 𝑇𝑇2 �−√3, −0.25 ∙ 𝑒𝑒 3 �.

Die beiden Wendepunkte lauten �±�

√33 3 √33 3 √33 13 + ,� − � ∙ 𝑒𝑒 4 +4 �. 4 4 16 16

-6

Aufgabe 15 a)

b)

c)

d)

e)

𝑥𝑥𝑛𝑛3 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 5 . Mit 𝑥𝑥1 = −2 folgen 3𝑥𝑥𝑛𝑛2 − 1 𝑥𝑥2 = −1.909090909, 𝑥𝑥3 = −1.904174860 und 𝑥𝑥4 = −1.904160859. 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑥𝑥𝑛𝑛2 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 . Mit 𝑥𝑥1 = −1 folgen 𝑒𝑒 𝑛𝑛 − 2𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥2 = −0.7330436052, 𝑥𝑥3 = −0.7038077863, 𝑥𝑥4 = −0.7034674683 und 𝑥𝑥5 = −0.7034674225. ln(𝑥𝑥𝑛𝑛 + 1) + 𝑥𝑥𝑛𝑛3 + 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 1 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − . Mit 𝑥𝑥1 = −0.5 folgen 1 + 3𝑥𝑥𝑛𝑛2 + 1 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 1 𝑥𝑥2 = −0.4151607519, 𝑥𝑥3 = −0.4079912895 und 𝑥𝑥4 = −0.4079479523. sin 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 1 . Mit 𝑥𝑥1 = −2 folgen 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − cos 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 1 𝑥𝑥2 = −1.935951152 und 𝑥𝑥3 = −1.934563874. 𝑥𝑥𝑛𝑛5 − 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 3 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − . Mit 𝑥𝑥1 = −1.5 folgen 5𝑥𝑥𝑛𝑛4 − 1 𝑥𝑥2 = −1.372750643, 𝑥𝑥3 = −1.342786669, 𝑥𝑥4 = −1.341297066 und 𝑥𝑥5 = −1.342193532. 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 −

Aufgabe 16 a) 𝑥𝑥0 = 1: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = −2 + 3(𝑥𝑥 − 1) + 9(𝑥𝑥 − 1)2 , 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = −2 + 3(𝑥𝑥 − 1) + 9(𝑥𝑥 − 1)2 + 10(𝑥𝑥 − 1)3 ,

𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = −2 + 3(𝑥𝑥 − 1) + 9(𝑥𝑥 − 1)2 + 10(𝑥𝑥 − 1)3 + 5(𝑥𝑥 − 1)4 .

322

18 Lösungen zur Mathematik 𝑥𝑥0 = 3: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 232 + 399(𝑥𝑥 − 3) + 269(𝑥𝑥 − 3)2 , 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = 232 + 399(𝑥𝑥 − 3) + 269(𝑥𝑥 − 3)2 + 90(𝑥𝑥 − 3)3 ,

𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = 232 + 399(𝑥𝑥 − 3) + 269(𝑥𝑥 − 3)2 + 90(𝑥𝑥 − 3)3 + 15(𝑥𝑥 − 3)4 . b) 𝑥𝑥0 = 0: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 2 − 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 2 , 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = 2 − 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 3 , 𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = 2 − 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 4 . 1 1 1 𝑥𝑥0 = 5: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = − ∙ (𝑥𝑥 − 5) + ∙ (𝑥𝑥 − 5)2 , 3 18 108 1 1 1 1 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = − ∙ (𝑥𝑥 − 5) + ∙ (𝑥𝑥 − 5)2 − ∙ (𝑥𝑥 − 5)3 , 3 18 108 648 1 1 1 1 1 𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = − ∙ (𝑥𝑥 − 5) + ∙ (𝑥𝑥 − 5)2 − ∙ (𝑥𝑥 − 5)3 + ∙ (𝑥𝑥 − 5)4 . 3 18 108 648 3 888 1 1 c) 𝑥𝑥0 = 0: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥, 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 , 𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 . 3

3

𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 𝑥𝑥0 = : 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 2 − �𝑥𝑥 − � , 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = 2 − �𝑥𝑥 − � , 2 2 2 𝜋𝜋 2 1 𝜋𝜋 4 𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = 2 − �𝑥𝑥 − � + ∙ �𝑥𝑥 − � . 2 12 2 1 2 1 1 d) 𝑥𝑥0 = 0: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 3 , 2

2

6

1 1 1 4 𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 . 2 6 24 1 𝑥𝑥0 = 1: 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1) + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1)2 , 2 1 1 𝑇𝑇3 (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1) + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1)2 + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1)3 , 2 6 1 1 1 𝑇𝑇4 (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1) + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1)2 + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1)3 + 𝑒𝑒(𝑥𝑥 − 1)4 . 2 6 24

Aufgabe 17 a)

6

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (1 + 𝑥𝑥)5 , 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) =

9 24 ∙ (1 + 𝑥𝑥)− 5 125 6 6 6 3 2 ⇒ 𝑓𝑓(0) = 1, 𝑓𝑓 ′ (0) = , 𝑓𝑓 ′′ (0) = ⇒ 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 5 25 5 25

𝑓𝑓 ′′′ (𝑥𝑥) = − b)

c)

1 4 6 6 ∙ (1 + 𝑥𝑥)5 , 𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = ∙ (1 + 𝑥𝑥)− 5 und 5 25

6

6

6 6 6 5 1 3 778 � � � = � � = 𝑓𝑓 � � ≈ 𝑇𝑇2 (𝑥𝑥) = 1 + + = = 1.2448 25 625 625 5 5 5 5

Fehler ≤

24 1 1 3 1 24 1 1 max �− ∙ �= ∙ ∙ = 0.000256. 9∙� � ∙ 125 5 3! 125 125 3! 𝜂𝜂 ∈ (0, 1/5) (1 + 𝜂𝜂)5

18.6 Lösungen zu Kapitel 6

323

Aufgabe 18 a) b) c)

1 T2 (x) = 1 + x − x 2 2 T2 (x) = 0 ⇒ x1 = 1 − √3 und x2 = 1 + √3

an x1 : Fehler ≤

1 1 3 3 max �eη ∙ ∙ �1 − √3� � = e0 ∙ ∙ �−1 + √3� = 0.0653 6 6 η ∈ �1 − √3, 0�

1 1 3 3 max �𝑒𝑒 𝜂𝜂 ∙ ∙ �1 + √3� � = 𝑒𝑒 1+√3 ∙ ∙ �1 + √3� = 52.22 6 6 η ∈ �0,1 + √3� Folglich ist die Näherung 𝑥𝑥1 relativ gut; die Näherung 𝑥𝑥2 ist nicht zu gebrauchen.

an x2 : Fehler ≤

18.6

Lösungen zu Kapitel 6

Aufgabe 1 a) b) c) d) e)

𝐹𝐹(𝑥𝑥) =

1 4 2 2.5 10 1.5 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 4 5 3

1 3 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 + 6𝑥𝑥 3 + 9𝑥𝑥 2 ⇒ 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 3 5 2 4 1.5 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 6√𝑥𝑥 3 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 2 ∙ sin 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 1 1 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = − + 2 . 𝑥𝑥 2𝑥𝑥

Aufgabe 2 a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 𝜋𝜋

⇒ � 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ∙ sin 𝑥𝑥]𝜋𝜋0 = −2 0

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥, 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒

c)

⇒ � 𝑥𝑥 2 ∙ ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �− 1

𝑒𝑒

𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 3 ∙ ln 𝑥𝑥 2 1 + � = 𝑒𝑒 3 + 9 3 9 9 1

zweimalige partielle Integration jeweils mit 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 führt auf 1

�(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥) ∙ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [−𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ∙ (𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 3)]10 = 3 − 0

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 2

⇒ � ln 1

𝑥𝑥 3 4

, 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = 1

7 𝑒𝑒

𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝑥𝑥 ∙ ln 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 ∙ ln 2]12 = 4 ∙ ln 2 − 3 4

324 e)

18 Lösungen zur Mathematik ∫ sin2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ sin 𝑥𝑥 ∙ sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑. Mit 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 und 𝑔𝑔′ (𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 folgt 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 und 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = − cos 𝑥𝑥 ⇒ � sin2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [− sin 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥] +

+ � cos 2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [− sin 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥] + �(1 − sin 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = [− sin 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥] +

− � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⇒ 2 ∙ � sin2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [− sin 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥] ⇒ � sin2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋

1 1 ∙ [− sin 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥] ⇒ � sin2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∙ [− sin 𝑥𝑥 ∙ cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥]2𝜋𝜋 0 = 𝜋𝜋. 2 2 0

Aufgabe 3 a)

2

= � 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑢𝑢 ∙

b)

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = 2𝑥𝑥 folgt � 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = Mit 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 und 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

0

𝑥𝑥=2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 1 2 𝑥𝑥=2 1 4 1 = � 𝑒𝑒 𝑢𝑢 ∙ = � 𝑒𝑒 𝑢𝑢 � = � 𝑒𝑒 𝑥𝑥 � = 𝑒𝑒 − 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 2 2 2 𝑥𝑥=0 𝑥𝑥=0 0

1

𝑑𝑑𝑑𝑑 2 Mit 𝑢𝑢 = −𝑥𝑥 und = −2𝑥𝑥 folgt � 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

1

= � 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 𝑢𝑢 ∙ �−

c)

0

2

0

0

1

𝑥𝑥=1 𝑥𝑥=1 1 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 1 2 � = � −𝑒𝑒 𝑢𝑢 ∙ = �− 𝑒𝑒 𝑢𝑢 � = �− 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 � = − 2 2𝑒𝑒 2𝑥𝑥 2 2 2 𝑥𝑥=0 𝑥𝑥=0 0

1

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 Mit 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 + 1 und = 2𝑥𝑥 folgt � 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 1 2

1

1

0

1 1 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 1 2 =� ∙ =� = � ln 𝑢𝑢� = � ∙ ln(𝑥𝑥 + 1)� = ∙ ln 2. 2 𝑢𝑢 2𝑥𝑥 2𝑢𝑢 2 2 𝑥𝑥=0 0 0

𝑥𝑥=1

0

Aufgabe 4 a)

𝜋𝜋 𝜋𝜋 3𝜋𝜋 Nullstellen: (0, 0), � , 0� , � , 0� , � , 0� und (𝜋𝜋, 0) 4 2 4 𝜋𝜋 4

b)

𝜋𝜋 2

3𝜋𝜋 4

1

⇒ 𝐴𝐴 = � sin 4𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + �� sin 4𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 � + � sin 4𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � � sin 4𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 � = 4 ∙ 𝜋𝜋 4

0

Nullstelle: (0, 0) 0

2

𝜋𝜋 2

3𝜋𝜋 4

1 =2 2

1 4 1 ⇒ 𝐴𝐴 = � 𝑒𝑒 − 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 + �� 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 � = ∙ 𝑒𝑒 6 − 𝑒𝑒 2 + − 𝑒𝑒 −1 + ∙ 𝑒𝑒 −3 3 3 3 −1

𝑥𝑥

3𝑥𝑥

0

18.6 Lösungen zu Kapitel 6

c)

325 0

1

−0.5 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 3 1 4 Nullstelle: (0, 0) ⇒ 𝐴𝐴 = � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � + � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � ∙ ln(1 + 𝑥𝑥 )� + 1 + 𝑥𝑥 4 1 + 𝑥𝑥 4 4 0 −0.5

0

−0.5 1 1 17 + � ∙ ln(1 + 𝑥𝑥 4 )� = ∙ ln = 0.188442. 4 4 8 0

Aufgabe 5 a) b) c) d) e) f)

∞

� 2𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim [−𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 ]𝑏𝑏0 = lim (−𝑒𝑒 −2𝑏𝑏 + 1) = 1 0 ∞

�

1 ∞

� 2 1

� 0 3

�

2 ∞

𝑏𝑏→∞

2 1 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim �− � =1 𝑏𝑏→∞ 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 2 0 1

√𝑥𝑥

𝑏𝑏→∞

𝑏𝑏

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim �2√𝑥𝑥�2 = +∞ 𝑏𝑏→∞

1 11 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim �− � = +∞ 𝑎𝑎→0 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑥𝑥

√𝑥𝑥 2 − 4

3

𝑑𝑑𝑥𝑥 = lim ��𝑥𝑥 2 − 4� = √5 𝑎𝑎→2

𝑎𝑎

� 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim [−𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ]𝑏𝑏0 = 1. 0

𝑏𝑏→∞

19

Lösungen zur Statistik

19.1

Lösungen zu Kapitel 7

Aufgabe 1 a) metrisch skaliert/stetig b) metrisch skaliert/stetig c) nominal/diskret d) ordinal/diskret e) metrisch skaliert/diskret f) nominal/diskret g) ordinal/diskret h) metrisch skaliert/diskret i) nominal/diskret j) nominal/diskret k) metrisch skaliert/diskret l) nominal diskret Aufgabe 2 a) Mittelwert = arithmetisches Mittel einer Stichprobe, Median = mittlerer Wert einer geordneten Stichprobe b) Median, da stabiler gegenüber Ausreißern c) Aus 𝑠𝑠 2 = 0 folgt 𝑅𝑅 = 0 und 𝑥𝑥̅ = 𝑥𝑥� = 3.

Aufgabe 3 a) Aus 0.5 ∙ (𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ) = 50, 0.25 ∙ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 ) = 70 und 𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥1 = 120 folgen z.B. 𝑥𝑥1 = 30, 𝑥𝑥2 = 40, 𝑥𝑥3 = 60 und 𝑥𝑥4 = 150. Hier sind auch andere Lösungen möglich. b) Aus 1⁄3 ∙ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 10, 𝑏𝑏 = 12 und 0.5 ∙ ((𝑎𝑎 − 10)2 + (𝑏𝑏 − 10)2 + (𝑐𝑐 − 10)2 ) folgt 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 18, 𝑏𝑏 = 12 und 𝑎𝑎2 − 18𝑎𝑎 = 0, also 𝑎𝑎 = 0, 𝑏𝑏 = 12 und 𝑐𝑐 = 18.

Aufgabe 4 Da das Merkmal Güteklasse ordinal ist, eignet sich nur das Stabdiagramm.

Aufgabe 5 ℎ(1) = 2, ℎ(2) = 6, ℎ(3) = 10, ℎ(4) = 8, ℎ(5) = 3, ℎ(6) = 2, ℎ(7) = 1, 2 6 10 8 3 2 1 𝑟𝑟(1) = , 𝑟𝑟(2) = , 𝑟𝑟(3) = , 𝑟𝑟(4) = , 𝑟𝑟(5) = , 𝑟𝑟(6) = , 𝑟𝑟(7) = . 32 32 32 32 32 32 32 https://doi.org/10.1515/9783110601718-343

328

19 Lösungen zur Statistik

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

Aufgabe 6 𝑥𝑥̅ = 63.75, 𝑥𝑥𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = alle Werte, 𝑥𝑥� = 65, 𝑠𝑠 2 = 122.9167, 𝑥𝑥0.25 = 55 und 𝑥𝑥0.75 = 72.5. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

40

50

60

70

80

Aufgabe 7 a) 𝑥𝑥 ′ = (−3 000, −1 000, 2 000, 10 000),

𝑥𝑥̅ = 2 000, 𝑥𝑥� = 500, 𝑅𝑅 = 13 000, 𝑠𝑠 2 = 3.27 ∙ 107

b) 𝑥𝑥0.25 = −2 000 und 𝑥𝑥0.7 = 2 000 c) 𝑞𝑞0.25 = 𝑥𝑥0.75 − 𝑥𝑥0.25 = 6 000 − (−2 000) = 8 000.

Aufgabe 8 Fast alle Eckpunkte sind Elemente zweier Klassen. 𝐾𝐾1 = [0, 20], 𝐾𝐾2 = (20, 50], 𝐾𝐾3 = (50, 70], 𝐾𝐾4 = (70, 100] und 𝐾𝐾5 = (100, 120], 𝑥𝑥̅ = 55.833, 𝑥𝑥� = 50, 𝑠𝑠 2 = 951.868, 𝑥𝑥0.25 = 31.25 und 𝑥𝑥0.75 = 79. 0,015 0,012 0,009 0,006 0,003 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120

Aufgabe 9 𝑥𝑥̅ = 3 220, 𝑥𝑥� = 3 175, 𝑠𝑠 = 785.494, 𝑅𝑅 = 2 350, 𝑥𝑥0.25 = 2 800 und 𝑥𝑥0.75 = 3 520.

19.1 Lösungen zu Kapitel 7

329

Aufgabe 10 1 𝑥𝑥̅ = ∙ (12 ∙ 1.5 + 27 ∙ 5.5 + 41 ∙ 16.5) = 10.538. 80

Aufgabe 11 a) 𝑥𝑥̅ = −300 b) 𝑥𝑥̅ = −75, 𝑥𝑥� = 76.92, 𝑠𝑠 2 = 5 796 711, 𝑥𝑥0.8 = 1 000. 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0 -10000

-5000

0

5000

Aufgabe 12 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 a) ≥ √𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≥ 2 ∙ √𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ≥ 4𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ≥ 0 ⇒ 2 ⇒ (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 ≥ 0 2 2 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ √𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ ⇒ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≥ 2 ∙ √𝑎𝑎𝑎𝑎 richtig nach a). b) √𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ 1 1 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Aufgabe 13 harmonisches Mittel: 2.69€. Aufgabe 14 mittlerer Preis =

30

5 5 10 10 + + + 1.8 1.9 1.5 1.4

Aufgabe 15 a) 𝑥𝑥̅ = 116.67 €. b) harmonisches Mittel = 85.71 €.

= 1.56€. ∙

Aufgabe 16 𝑞𝑞 = (1.25 ∙ 1.4 ∙ 1.15 ∙ 1.1)0.25 = 1.219 ⇒ 21.9%.

330

19 Lösungen zur Statistik

Aufgabe 17 𝐺𝐺 = 0.545 und 𝑛𝑛 = 4, also liegt eine hohe Konzentration vor. Aufgabe 18 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

𝑥𝑥̅ = 38, 𝑥𝑥0.5 = 25, 𝑠𝑠 = 27.35771, 𝑅𝑅 = 83, 𝑥𝑥0.25 = 20, 𝑥𝑥0.75 = 49. Die Lorenzkurve besteht aus den Punkten: (0, 0), (0.1, 0.039474), (0.2, 0.086842), (0.3, 0.139474), (0.4, 0.197368), (0.5, 0.257895),

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Aufgabe 19 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

(0.6, 0.328947), (0.7, 0.423684),

(0.8, 0.552632), (0.9, 0.742105), (1, 1). 𝐺𝐺 = 0.3463.

Die Lorenzkurve besteht aus den Punkten: (0, 0), (0.81566, 0.12121), (0.97879, 0.22222), (0.99918, 0.61111), (1, 1). 𝐺𝐺 = 0.8267974.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Aufgabe 20 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Die Lorenzkurve besteht aus den Punkten: (0, 0), (0.16667, 0.04587), (0.4, 0.17431),

(0.9, 0.58716), (1, 1). 𝐺𝐺 = 0.4015293.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Aufgabe 21 𝑥𝑥̅ = 75, 𝑠𝑠𝑥𝑥 = 15.81139, 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = 250, 𝑦𝑦� = 5.05, 𝑠𝑠𝑦𝑦 = 1.39642, 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = 1.95, 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 = 20,

𝑟𝑟 = 0.90582, 𝑟𝑟𝑠𝑠 = 0.7.

19.1 Lösungen zu Kapitel 7

331

Aufgabe 22 𝑥𝑥̅ = 9, 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = 4.040, 𝑦𝑦� = 14.5, 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = 25, 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 = −3.030, 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑠𝑠 = −0.302.

Aufgabe 23 𝑟𝑟𝑠𝑠 = −0.94286.

Aufgabe 24

1 2 2 0 0 4

1 2 3 4 Summe

2 2 1 1 1 5

3 0 4 6 4 14

4 0 0 2 0 2

𝑥𝑥̅ = 2.6, 𝑠𝑠𝑥𝑥 = 1, 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = 1, 𝑦𝑦� = 2.56, 𝑠𝑠𝑦𝑦 = 0.86987,

Summe 4 7 9 5 25

𝑠𝑠𝑦𝑦2 = 0.75667, 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0.48333,

𝑟𝑟 = 0.55564, 𝑟𝑟𝑠𝑠 = 0.53831.

Aufgabe 25 6,2 6

𝑟𝑟 = 0.4874, Anpassung mit ungenügender Qualität,

5,8 5,6

d.h. es gibt keinen linearen Zusammenhang

5,4

Regressionsgerade:

5,2

𝑦𝑦 = 4.28403 + 0.015139𝑥𝑥.

5

60

70

80

90

100

110

Aufgabe 26 𝑟𝑟 = 0.99999, Regressionsgerade: 𝑦𝑦 = 23.45𝑥𝑥 + 371.5.

Aufgabe 27 185

𝑥𝑥̅ = 70, 𝑠𝑠𝑥𝑥 = 8.16497, 𝑠𝑠𝑥𝑥2 = 66.6667, 𝑦𝑦� = 175, 𝑠𝑠𝑦𝑦 = 4.0825, 𝑠𝑠𝑦𝑦2 = 16.6667,

180

𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 = 16.6667,

175 170 165

55

60

65

70

75

80

85

𝑟𝑟 = 0.5, 𝑟𝑟𝑠𝑠 = 0.5. Regressionsgerade: 𝑦𝑦 = 0.25𝑥𝑥 + 157.75.

332

19 Lösungen zur Statistik

Aufgabe 28 Die Transformation 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 2 führt auf das lineare Modell 𝑌𝑌 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ∙ 𝑋𝑋. Eine lineare Regression ergibt dann: 𝑦𝑦 = 2.00116 + 0.09651𝑥𝑥 2 .

Aufgabe 29

1 führt auf das lineare Modell 𝑌𝑌 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ∙ 𝑋𝑋. 𝑥𝑥 2 1 Eine lineare Regression ergibt dann: 𝑦𝑦 = 2.09797 + 3.717124 ∙ 2 . 𝑥𝑥

Die Transformation 𝑋𝑋 =

19.2

Lösungen zu Kapitel 8

Aufgabe 1 𝑃𝑃𝐿𝐿 = 2.4540, 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 2.0966, 𝑃𝑃𝐹𝐹 = 2.2683, 𝑃𝑃𝐷𝐷 = 2.2753, 𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2.3864,

𝑀𝑀𝐿𝐿 = 0.2331, 𝑀𝑀𝑃𝑃 = 0.1992, 𝑀𝑀𝐹𝐹 = 0.2155, 𝑀𝑀𝐷𝐷 = 0.2161, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0.2090, 𝑊𝑊 = 0.4887.

Aufgabe 2 𝑃𝑃𝐿𝐿 = 1.01362, 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1.00014, 𝑃𝑃𝐹𝐹 = 1.00685, 𝑃𝑃𝐷𝐷 = 1.00688, 𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀 = 1.00774,

𝑀𝑀𝐿𝐿 = 0.77234, 𝑀𝑀𝑃𝑃 = 0.76207, 𝑀𝑀𝐹𝐹 = 0.76719, 𝑀𝑀𝐷𝐷 = 0.76721, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0.76717, 𝑊𝑊 = 0.77245.

Aufgabe 3 a) Wertindex b) Preisindex nach Laspeyres c) Preisindex nach Paasche d) Mengenindex nach Laspeyres e) Mengenindex nach Paasche. Aufgabe 4 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 und

𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 bekannt ⇒ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝐵𝐵 berechenbar, also ist nur der Mengenindex nach 𝑚𝑚𝑖𝑖𝐵𝐵

Laspeyres berechenbar. Zusätzlich müssen ganze Summen aus den Indexformeln bekannt sein, um weitere Indices berechnen zu können. Aufgabe 5 (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 = 800 000 und (𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 = 1 200 000 und 𝑃𝑃𝐿𝐿 = 1.35 (𝑚𝑚 ��⃗𝑉𝑉 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 1 200 000 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝑉𝑉 = 1.35 ∙ (𝑚𝑚 ��⃗𝐵𝐵 )𝑇𝑇 ∙ 𝑝𝑝⃗𝐵𝐵 ⇒ 𝑀𝑀𝑃𝑃 = = = 1.1111. ⇒ (𝑚𝑚 𝐵𝐵 𝑇𝑇 𝑉𝑉 (𝑚𝑚 ��⃗ ) ∙ 𝑝𝑝⃗ 1.35 ∙ 80 0000

19.2 Lösungen zu Kapitel 8

333

Aufgabe 6 𝒊𝒊 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

𝑥𝑥𝑖𝑖 52 31 18 32 47 26 14 30 43 24 7 26

𝑡𝑡𝑖𝑖 34.5 33.5 32.5 31.5 30.5 29.5 28.5 27.5 26.5 25.5 24.5 23.5

𝑧𝑧𝑖𝑖 0.250 0.250 0.125 −0.125 −0.250 0.000 0.250 0.500 0.375 0.000 −0.125 −0.500

𝑠𝑠𝑖𝑖 16.71 −2.58 −15.58 1.88 16.71 −2.58 −15.58 1.88 16.71 −2.58 −15.58 1.88

𝑟𝑟𝑖𝑖 0.542 −0.167 0.958 −1.250 0.042 −0.917 0.833 0.125 −0.583 1.083 −1.792 1.125

Diese Zeitreihe ist durch Trend und Perioden gekennzeichnet. Zyklen und Zufall spielen keine Rolle. Aufgabe 7 𝒊𝒊 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

𝑥𝑥𝑖𝑖 54 40 37 40 58 38 40 44 89 43 41 44

𝑡𝑡𝑖𝑖 41.5 42.5 43.5 44.5 45.5 46.5 47.5 48.5 49.5 50.5 51.5 52.5

𝑧𝑧𝑖𝑖 1.500 0.500 −0.250 −1.000 −1.875 −2.000 1.375 4.875 4.625 3.750 −0.875 −5.000

𝑠𝑠𝑖𝑖 20.083 −6.917 −8.250 −5.458 20.083 −6.917 −8.250 −5.458 20.083 −6.917 −8.250 −5.458

𝑟𝑟𝑖𝑖 −9.083 3.917 2.000 1.958 −5.708 0.417 −0.625 −3.917 14.792 −4.333 −1.375 1.958

Hier ist offensichtlich, was der Ausreißer 𝑥𝑥11 = 89 für Auswirkungen hat. Die Zyklen haben in seiner Umgebung einen größeren Einfluss und auch die Saisonkomponente für das 3. Quartal erhöht sich. Dadurch spielt auch der Zufall eine weitaus größere Rolle.

334

19 Lösungen zur Statistik

19.3

Lösungen zu Kapitel 9

Aufgabe 1 Anzahl =

14! = 45 045. 4! ∙ 2! ∙ 8!

Aufgabe 2 Anzahl = (26 + 26 ∙ 26) ∙ 999 = 701 298. Aufgabe 3 a) 26 = 64 b) 36 = 729 6 c) � � ∙ 24 = 240. 2 Aufgabe 4

4+6−1 � = 84. 6 b) 4 aus 4 ohne Wiederholung, ohne Reihenfolge und 2 aus 4 mit Wiederholung, ohne 4 4+2−1 Reihenfolge, also � � ∙ � � = 10. 4 2 a)

6 aus 4 mit Wiederholung, ohne Reihenfolge, also �

Aufgabe 5

Anzahl = 12 ∙ ��

14 16 17 15 � + � � + � � + � �� = 12 ∙ 816 = 9 792. 0 2 3 1

Aufgabe 6 ohne Wiederholung, ohne Reihenfolge 7 5 a) Anzahl = � � ∙ � � = 10 ∙ 35 = 350 4 2 1 6 5 b) Anzahl = � � ∙ � � ∙ � � = 10 ∙ 1 ∙ 20 = 200 1 3 2 3 2 7 c) Anzahl = � � ∙ � � ∙ � � = 3 ∙ 1 ∙ 35 = 105. 0 4 2

Aufgabe 7

Für ein Paar gibt es

3 ∙ 3 = 9 Möglichkeiten 1 Für zwei Paare gibt es 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ = 18 Möglichk. (keine Reihenfolge der Paare) 2! 1 Für drei Paare gibt es 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ = 6 Möglichk. (keine Reihenf. der Paare) 3! Insgesamt sind dies 33 Möglichkeiten.

19.3 Lösungen zu Kapitel 9

335

Aufgabe 8 Es sind die Lose 1, 10 bis 19, 100 bis 199 und 1 000 bis 1 999, also insgesamt 1 111 Lose. 1 111 𝑃𝑃(Gewinn) = = 0.3703. 3 000 Aufgabe 9

𝑃𝑃(kein Ehepaar) = Aufgabe 10 𝑃𝑃(K. neben M.) = Aufgabe 11 a)

b) c)

10 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 8 = = 0.381. 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 21

10 ∙ 2 ∙ 8! 2 = = 0.222. 10! 9

6∙5∙4 5 = = 0.555 63 9 1 6∙1∙1 = = 0.028 𝑃𝑃(drei gleich) = 36 63 6 � � 20 𝑃𝑃(immer größer) = 33 = = 0.093. (siehe Zahlenlotto 3 aus 6) 6 216 𝑃𝑃(drei verschieden) =

Aufgabe 12 a) Im Boot ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge, Boote nicht unterscheidbar 6 4 2 1 Anzahl = � � ∙ � � ∙ � � ∙ = 15 2 2 2 3! b) Im Boot ohne Wiederholung und mit Reihenfolge, Boote unterscheidbar Anzahl = (6 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 1) = 720 c) 𝑃𝑃(pro Boot Dame und Herr) = 6 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 1�6! = 2�5 = 0.4. Aufgabe 13

6 43 � �∙� � 3 3 = 246 820 = 0.017675 𝑃𝑃(drei Richtige) = 43 13 983 816 � � 6 6 43 � �∙� � 4 2 = 13 545 = 0.000968 𝑃𝑃(vier Richtige) = 43 13 983 816 � � 6 6 43 � �∙� � 258 5 1 = = 0.00001845 𝑃𝑃(fünf Richtige) = 43 13 983 816 � � 6

336

19 Lösungen zur Statistik

6 43 � �∙� � 1 6 0 = 𝑃𝑃(sechs Richtige) = = 0.000000429. 43 3983 816 1 � � 6

Aufgabe 14 Ist 𝑛𝑛 ≥ 366, so ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 1. 365 ∙ 364 ∙ ∙∙∙ ∙ (365 − 𝑛𝑛 + 1) . Ist 𝑛𝑛 ≤ 365, so gilt: 𝑃𝑃(alle verschieden) = 365𝑛𝑛 365 ∙ 364 ∙ ∙∙∙ ∙ (365 − 𝑛𝑛 + 1) . Dann gilt aber 𝑃𝑃(mind. 2 gleich) = 1 − 365𝑛𝑛

Aufgabe 15 a) Die Wahrscheinlichkeit, das Auto direkt auszuwählen, ist 1⁄3. Also gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit 1⁄3 das Auto, falls er seine Wahl beibehält. b) Die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu verfehlen, ist 2⁄3. In diesen Fällen aber gewinnt er das Auto, falls er seine erste Auswahl verändert. Also gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit 2⁄3 das Auto, falls er sich umentscheidet. Aufgabe 16

1 5 1 5 𝑘𝑘−1 1 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 1) = , 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2) = ∙ , usw., also folgt 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = � � ∙ . 6 6 6 6 6 Aufgabe 17

5 4 𝑃𝑃(mindestens eine Sechs) = 1 − � � = 0.5177 ⇒ Spieler gewinnt auf Dauer. 6 35 24 𝑃𝑃(mindestens eine Doppel-Sechs) = 1 − � � = 0.4914 ⇒ Spieler verliert auf Dauer. 36 Aufgabe 18

1 2 und 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 11) = 36 36 1 2 33 124 ⇒ 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 15 ∙ + 13 ∙ + (−5) ∙ =− = −3.44 €. 36 36 36 36 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2) =

Aufgabe 19 Wegen 10 ∙ 211 = 20 480€ kann er höchstens 10 Mal verdoppeln, also pro Serie 11 mal spielen. Gewinnt er, so gewinnt er pro Serie 10€. Verliert er aber, so verliert er 211 − 1 = 20 470€. 10 + 20 + ⋯ + 10 240€ = 10 ∙ 2−1 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 11 Spielen keine rote Zahl erscheint, ist 19 11 � = 0.0006547. 37

�

19.3 Lösungen zu Kapitel 9

337

19 11 19 11 Also folgt: erwarteter Gewinn = �1 − � � � ∙ 10 + � � ∙ (−20 470) = −3.41 €. 37 37 Deshalb führt die Verdopplungsstrategie auf lange Sicht nicht zum Erfolg. Aufgabe 20 a)

b)

1 5 3 1 126 +� � ∙ = = 0.263 6 6 6 216 4 5 1 630 5 1 = 0.219 𝑃𝑃(𝐵𝐵 gewinnt) = ∙ + � � ∙ = 6 6 1 296 6 6 2 5 1 5 1 5 6 5 𝑃𝑃(𝐶𝐶 gewinnt) = � � ∙ + � � ∙ + � � = 0.518 6 6 6 6 6 A verliert im Mittel 2.11€, B verliert im Mittel 3.43€, C gewinnt im Mittel 5.54€. 1 5 3 1 5 6 1 1 1 𝑃𝑃(𝐴𝐴 gewinnt) = + � � ∙ + � � ∙ + ⋯ = ∙ = 0.3956 6 6 6 6 6 6 5 3 1−� � 6 5 𝑃𝑃(𝐵𝐵 gewinnt) = ∙ 𝑃𝑃(𝐴𝐴 gewinnt) = 0.3297 6 5 2 𝑃𝑃(𝐶𝐶 gewinnt) = � � ∙ 𝑃𝑃(𝐴𝐴 gewinnt) = 0.2747 6 A gewinnt im Mittel 1.87€, B verliert im Mittel 0.10€, C verliert im Mittel 1.77€. 𝑃𝑃(𝐴𝐴 gewinnt) =

Aufgabe 21 Sei 𝑋𝑋 die Anzahl der geborenen Mädchen. Dann gilt:

𝑃𝑃(1 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 8) = 1 − �𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 0) + 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 9) + 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 10)� = 10 = 1 − �0.4810 + � � ∙ 0.529 ∙ 0.48 + 0.5210 � = 0.9845. 9

Aufgabe 22 Sei 𝑋𝑋 die Anzahl der geworfenen Wappen. Dann gilt: 10 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 4) = � � ∙ 0.54 ∙ 0.56 = 0.20507. 4 Aufgabe 23 a) b)

Binomialverteilung, 𝑛𝑛 = 30, 𝑝𝑝 =

1 . 6

1 15 5 15 30 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 15) = � � ∙ � � ∙ � � = 0.0000214 15 6 6 5 30 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 0) = � � = 0.004213. 6

338

19 Lösungen zur Statistik

Aufgabe 24 1 1 1 1 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 1) = , 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2) = , 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 3) = und 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 4) = . 2 4 8 8 15 71 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = . 8 64

-1

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0

1

2

3

4

5

6

Aufgabe 25 a) b) c)

d)

9

� 1

𝑏𝑏

√𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 ⇒ 𝑏𝑏 =

1 . 4

0, 𝑥𝑥 < 1 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = �0.5 ∙ �√𝑥𝑥 − 1�, 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 9 1, 𝑥𝑥 > 1 9

9

13 13 2 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = � 0.25 ∙ √𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = und 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋) = � 0.25 ∙ �𝑥𝑥 3 − � � = 5.422 3 3 1

𝑃𝑃(4 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 12) = 1 − 𝐹𝐹(4) = 0.5.

1

Aufgabe 26 a) mit Binomialverteilung:

𝑃𝑃(Maschine erreicht 300 ℎ) = 1 − 0.950 = 0.994846 b) mit Poissonverteilung: 50 𝑃𝑃(Maschine erreicht 300 ℎ) = 1 − ∙ 𝑒𝑒 −5 = 0.99326 (𝜆𝜆 = 50 ∙ 0.1). 0!

Aufgabe 27 𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 25 − 𝜇𝜇 25 − 𝜇𝜇 𝑃𝑃 � ≤ � = 0.3 ⇒ = 𝑧𝑧0.3 = −0.5244, 𝜎𝜎 𝜎𝜎 𝜎𝜎 𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 75 − 𝜇𝜇 75 − 𝜇𝜇 𝑃𝑃 � ≤ � = 0.7 ⇒ = 𝑧𝑧0.7 = 0.5244 ⇒ 𝜇𝜇 = 50 und 𝜎𝜎 = 47.6735. 𝜎𝜎 𝜎𝜎 𝜎𝜎

19.4 Lösungen zu Kapitel 10

339

Aufgabe 28 𝑋𝑋 − 10 𝑎𝑎 − 10 𝑎𝑎 − 10 a) 𝑃𝑃 � ≤ � = 0.75 ⇒ = 𝑧𝑧0.75 = 0.67749 ⇒ 𝑎𝑎 = 12.6980 4 4 4 b) 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥ 𝑎𝑎) = 0.3 ⇔ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑎𝑎) = 0.7 ⇒ 𝑎𝑎 = 12.0976 10 + 𝑎𝑎 − 10 � = 0.95 ⇒ 𝑎𝑎 = 6.5794. c) 𝑃𝑃 �𝑋𝑋 ≤ 4

19.4

Lösungen zu Kapitel 10

Aufgabe 1 a) Stichprobe: 𝑥𝑥̅ = 1.74 und 𝑠𝑠 = 1.135488

für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt mit 𝑧𝑧0.975 = 1.95996: 𝑧𝑧0.975 ∙ √2

𝑧𝑧0.975 ∙ √2

� = [0.8636, 2.6164]. √10 √10 für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt mit 𝑧𝑧0.995 = 2.57583: 𝐼𝐼 = [0.5881, 2.8919]. b) für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt mit 𝑡𝑡0.975,9 = 2.262: 𝑡𝑡0.975,9 ∙ 1.135488 𝑡𝑡0.975,9 ∙ 1.135488 𝐼𝐼 = �1.74 − , 1.74 + � = [0.92778, 2.55222]. √10 √10 für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt mit 𝑡𝑡0.995,9 = 3.25: 𝐼𝐼 = [0.5730, 2.9070]. 𝐼𝐼 = �1.74 −

, 1.74 +

2 2𝜎𝜎 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 � 𝑙𝑙 2 Länge = 1: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 31, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 54.

zu a) 𝑛𝑛 ≥ �

Länge = 0.1: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 3 074, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 5 308. 2 2𝑠𝑠 ∙ 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 � . 𝑙𝑙 2 Länge = 1: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 27, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 55.

zu b) 𝑛𝑛 ≥ �

Länge = 0.1: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 2 639, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 5 448.

Aufgabe 2 a) Stichprobe. 𝑥𝑥̅ = 28.1667 und 𝑠𝑠 = 1.898746 für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt mit 𝑧𝑧0.975 = 1.95996: 𝑧𝑧0.975 ∙ √0.4

𝑧𝑧0.975 ∙ √0.4

� = [27.847, 28.487]. √15 √15 für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt mit 𝑧𝑧0.995 = 2.57583: 𝐼𝐼 = [27.746, 28.587]. b) für 𝛼𝛼 = 0.05 folgt mit 𝑡𝑡0.975,14 = 2.145: 𝑡𝑡0.975,9 ∙ 1.898746 𝑡𝑡0.975,9 ∙ 1.898746 𝐼𝐼 = �28.1667 − , 28.1667 + � √15 √15 = [27.115, 29.218] 𝐼𝐼 = �28.1667 −

, 28.1667 +

340

19 Lösungen zur Statistik für 𝛼𝛼 = 0.01 folgt mit 𝑡𝑡0.995,14 = 2.977: 𝐼𝐼 = [26.707, 29.626].

2 2𝜎𝜎 ∙ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 � 𝑙𝑙 2 Länge = 0.5: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 25, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 43.

zu a) 𝑛𝑛 ≥ �

Länge = 0.2: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 154, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 266.

2 2𝑠𝑠 ∙ 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 � . 𝑙𝑙 2 Länge = 0.5: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 265, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 512.

zu b) 𝑛𝑛 ≥ �

Länge = 0.2: Für 𝛼𝛼 = 0.05: 𝑛𝑛 = 1 659, für 𝛼𝛼 = 0.01: 𝑛𝑛 = 3 196. Aufgabe 3

1 1 ∙ √𝑛𝑛 𝛼𝛼 1 ∙ √𝑛𝑛 = ⇒ 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 = ⇒ 1 − = 𝛷𝛷 � �. 2𝜎𝜎 2𝜎𝜎 2 2 2 𝑛𝑛 √ Also folgt für 𝐼𝐼1 : 𝛼𝛼1 = 0.9974, 𝐼𝐼2 : 𝛼𝛼2 = 0.8664. Varianz bekannt: 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ 2

Aufgabe 4 a) 𝑥𝑥̅ = 0.025

𝐼𝐼 = �𝑥𝑥̅ − 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ �

b) 𝑛𝑛 = 38 415.

2

𝜎𝜎

𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) 𝑥𝑥̅ (1 − 𝑥𝑥̅ ) , 𝑥𝑥̅ + 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 ∙ � � = [0.01532, 0.03468]. 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2

Aufgabe 5 a) 𝑥𝑥̅ = 0.02 ⇒ 𝐼𝐼 = [0.007728, 0.03227] b) 𝑛𝑛 = 385.

Aufgabe 6 𝑥𝑥̅ = 36, 𝑠𝑠 = 1.490712 36 − 35 𝛼𝛼 = 0.1: 𝜇𝜇 = 35: � ∙ √10� = 2.1122 > 1.833 ⇒ ablehnen. 1.490712 36 − 36 ∙ √10� = 0 < 1.833 ⇒ nicht ablehnen. 𝛼𝛼 = 0.1: 𝜇𝜇 = 36: � 1.490712 36 − 37 ∙ √10� = 2.1122 > 1.833 ⇒ ablehnen. 𝛼𝛼 = 0.1: 𝜇𝜇 = 37: � 1.490712 36 − 35 ∙ √10� = 2.1122 < 2.262 ⇒ nicht ablehnen. 𝛼𝛼 = 0.05: 𝜇𝜇 = 35: � 1.490712 36 − 36 ∙ √10� = 0 < 2.262 ⇒ nicht ablehnen. 𝛼𝛼 = 0.05: 𝜇𝜇 = 36: � 1.490712 36 − 37 ∙ √10� = 2.1122 < 2.262 ⇒ nicht ablehnen. 𝛼𝛼 = 0.05: 𝜇𝜇 = 37: � 1.490712

19.4 Lösungen zu Kapitel 10 𝛼𝛼 = 0.01: 𝜇𝜇 = 35:

𝛼𝛼 = 0.01: 𝜇𝜇 = 36:

𝛼𝛼 = 0.01: 𝜇𝜇 = 37: Aufgabe 7 𝑥𝑥̅ = 45, 𝜎𝜎 = 2

45 − 44 ∙ √10� = 1.5811 < 1.64485 ⇒ nicht ablehnen. 2 45 − 45 = 0.1: 𝜇𝜇 = 45: � ∙ √10� = 0 < 1.64485 ⇒ nicht ablehnen. 2 45 − 46 ∙ √10� = 1.5811 < 1.64485 ⇒ nicht ablehnen. = 0.1: 𝜇𝜇 = 46: � 2 45 − 47 = 0.1: 𝜇𝜇 = 47: � ∙ √10� = 3.1623 > 1.64485 ⇒ ablehnen. 2 45 − 44 ∙ √10� = 1.5811 < 1.95996 ⇒ nicht ablehnen. = 0.05: 𝜇𝜇 = 44: � 2 45 − 45 ∙ √10� = 0 < 1.95996 ⇒ nicht ablehnen. = 0.05: 𝜇𝜇 = 45: � 2 45 − 46 = 0.05: 𝜇𝜇 = 46: � ∙ √10� = 1.5811 < 1.95996 ⇒ nicht ablehnen. 2 45 − 47 ∙ √10� = 3.1623 > 1.95996 ⇒ ablehnen. = 0.05: 𝜇𝜇 = 47: � 2 45 − 44 = 0.01: 𝜇𝜇 = 44: � ∙ √10� = 1.5811 < 2.57583 ⇒ nicht ablehnen. 2 45 − 45 ∙ √10� = 0 < 2.57583 ⇒ nicht ablehnen. = 0.01: 𝜇𝜇 = 45: � 2 45 − 46 ∙ √10� = 1.5811 < 2.57583 ⇒ nicht ablehnen. = 0.01: 𝜇𝜇 = 46: � 2 45 − 47 = 0.01: 𝜇𝜇 = 47: � ∙ √10� = 3.1623 > 2.57583 ⇒ ablehnen. 2

𝛼𝛼 = 0.1: 𝜇𝜇 = 44: � 𝛼𝛼

𝛼𝛼

𝛼𝛼

𝛼𝛼

𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼

𝛼𝛼

𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼

36 − 35 ∙ √10� = 2.1122 < 3.25 ⇒ nicht ablehnen. 1.490712 36 − 36 ∙ √10� = 0 < 3.25 ⇒ nicht ablehnen. � 1.490712 36 − 37 ∙ √10� = 2.1122 < 3.25 ⇒ nicht ablehnen. � 1.490712 �

341

342

19 Lösungen zur Statistik

Aufgabe 8 𝑥𝑥̅ = 403.667 a)

b)

403.667 − 400 ∙ √6 = 1.7965 > 1.64485 ⇒ ablehnen. 5 403.667 − 400 ∙ √6 = 1.7965 < 2.32635 ⇒ nicht ablehnen. 𝛼𝛼 = 0.01: 5 403.667 − 400 ∙ √6 = 2.125 > 2.015 ⇒ ablehnen. 𝑠𝑠 = 4.226898: 𝛼𝛼 = 0.05: 4.226898 403.667 − 400 ∙ √6 = 2.125 < 3.365 ⇒ nicht ablehnen 𝛼𝛼 = 0.01: 4.226898 𝜎𝜎 = 5: 𝛼𝛼 = 0.05:

Aufgabe 9 𝑥𝑥̅ − 16 � ∙ √4� > 1.95996 ⇒ 𝑥𝑥̅ > 16.0980 oder 𝑥𝑥̅ < 15.9020 0.1 ⇒ Wartung bei 15.85, 16.13, 15.7 und 15.90.

20

Lösungen zu OR

20.1

Lösungen zu Kapitel 11

Aufgabe 1 𝑥𝑥1 sei die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten nach Verfahren X. 𝑥𝑥2 sei die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten nach Verfahren Y. 𝑥𝑥3 sei die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten nach Verfahren Z. 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≤ 800 15𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 700 5𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥3 ≤ 600 𝑧𝑧 = 15𝑥𝑥1 + 20𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥3 = max. Aufgabe 2 Sei 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 die Transportmenge von Anbieter 𝐴𝐴𝑖𝑖 zum Nachfrager 𝑁𝑁𝑗𝑗 .

Dann können aus folgender Tabelle die Beschränkungen abgelesen werden.

Anbieter

Nachfrager

𝐴𝐴1

𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

Nachfragemengen

𝑁𝑁1

𝑥𝑥11

𝑁𝑁2

𝑥𝑥12

𝑁𝑁3

𝑥𝑥13

𝑁𝑁4

Angebotsmengen

𝑥𝑥14

25

𝑥𝑥34

40

𝑥𝑥21

𝑥𝑥22

𝑥𝑥23

𝑥𝑥24

25

10

30

15

35

90

𝑥𝑥31

𝑥𝑥32

𝑥𝑥33

𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥14 ≤ 25

𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥24 ≤ 25 𝑥𝑥31 + 𝑥𝑥32 + 𝑥𝑥33 + 𝑥𝑥34 ≤ 40 𝑥𝑥11 + 𝑥𝑥21 + 𝑥𝑥31 ≤ 10

𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥32 ≤ 30 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥33 ≤ 15 𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥24 + 𝑥𝑥34 ≤ 35

https://doi.org/10.1515/9783110601718-359

344

20 Lösungen zu OR

Maximiere die Zielfunktion 𝑧𝑧 = 10𝑥𝑥11 + 80𝑥𝑥12 + 40𝑥𝑥13 + 70𝑥𝑥14 + 90𝑥𝑥21 + 50𝑥𝑥23 + 70𝑥𝑥24 + 30𝑥𝑥31 + 60𝑥𝑥32 + 80𝑥𝑥33

+10𝑥𝑥34 .

20.2

Lösungen zu Kapitel 12

Aufgabe 1 𝑥𝑥1 sei die Fläche für das erste Produkt.

𝑥𝑥2 sei die Fläche für das zweite Produkt. 10 ≤ 𝑥𝑥1 ≤ 40

12 ≤ 𝑥𝑥2 ≤ 50 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 70

10𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 ≤ 500

𝑧𝑧 = 50𝑥𝑥1 + 20𝑥𝑥2 = max. Maximum für: 𝑥𝑥1 = 40, 𝑥𝑥2 = 20, 𝑧𝑧 = 2 400. Aufgabe 2 𝑥𝑥1 sei die Anzahl der hergestellten PKWs.

𝑥𝑥2 sei die Anzahl der hergestellten LKWs. 2𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 ≤ 180 3𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 135

𝑧𝑧 = 2 000𝑥𝑥1 + 3 000𝑥𝑥2 = max. Maximum für: 𝑥𝑥1 = 15, 𝑥𝑥2 = 30, 𝑧𝑧 = 120 000. Aufgabe 3 𝑥𝑥1 sei die Abnahmemenge aus Firma A.

𝑥𝑥2 sei die Abnahmemenge aus Firma B. 𝑥𝑥1 ≥ 50

𝑥𝑥2 ≥ 60

𝑥𝑥1 ≤ 400

𝑥𝑥2 ≤ 200

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 500. a) 𝑧𝑧 = 900𝑥𝑥1 + 600𝑥𝑥2 = max Maximum für: 𝑥𝑥1 = 400, 𝑥𝑥2 = 100, 𝑧𝑧 = 420 000. b) 𝑧𝑧 = 900𝑥𝑥1 + 900𝑥𝑥2 = max Maximum auf der Strecke zwischen den Punkten 𝑥𝑥1 = 400, 𝑥𝑥2 = 100 und 𝑥𝑥1 = 300, 𝑥𝑥2 = 200 mit 𝑧𝑧 = 450 000.

20.3 Lösungen zu Kapitel 13

345

Aufgabe 4 𝑥𝑥1 seien die aufgenommenen € von Angebot A.

𝑥𝑥2 seien die aufgenommenen € von Angebot B. 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 230 000

𝑥𝑥1 ≤ 160 000

0.04𝑥𝑥1 + 0.05𝑥𝑥2 ≤ 10 000

𝑧𝑧 = 0.03𝑥𝑥1 + 0.025𝑥𝑥2 = min. Minimum für: 𝑥𝑥1 = 150 000, 𝑥𝑥2 = 80 000, 𝑧𝑧 = 6 500.

20.3

Lösungen zu Kapitel 13

Aufgabe 1 1. Simplextableau: x1 x2 x3 z1 5.0 3.0 4.0 z2 3.0 4.0 3.0 -5.0 -6.0 -7.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 z=0.0

100.0 50.0 0.0

2. Simplextableau: x1 x2 z2 z1 1.0 -2.333 -1.333 33.333 x3 1.0 1.333 0.333 16.667 2.0 3.333 2.333 116.667 Punkt x1=0 x2=0 x3=16.667 z=-116.667, Max.problem: z=116.667

Sensitivitätsanalyse: 𝑐𝑐1− = ∞, 𝑐𝑐1+ = 2

𝑐𝑐2− = ∞, 𝑐𝑐2+ = 3.333

𝑐𝑐3−

= 2,

𝑐𝑐3+

Aufgabe 2

=∞

𝑏𝑏1− = 33.333, 𝑏𝑏1+ = ∞ 𝑏𝑏2− = 50, 𝑏𝑏2+ = 25.

1. Simplextableau: x1 x2 x3 z1 2.0 2.0 1.0 z2 1.0 6.0 2.0 z3 0.0 0.0 3.0 z4 3.0 2.0 0.0 -5.0 -4.0 -7.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 z=0.0

11.0 17.0 8.0 12.0 0.0

346

20 Lösungen zu OR

2. Simplextableau: x1 x2 z3 z1 2.0 2.0 -0.333 8.333 z2 1.0 6.0 -0.667 11.667 x3 0.0 0.0 0.333 2.667 z4 3.0 2.0 0.0 12.0 -5.0 -4.0 2.333 18.667 Punkt x1=0 x2=0 x3=2.667 z=-18.667 3. Simplextableau: z4 x2 z3 z1 -0.667 0.667 -0.333 0.333 z2 -0.333 5.333 -0.667 7.667 x3 0.0 0.0 0.333 2.667 x1 0.333 0.667 0.0 4.0 1.667 -0.667 2.333 38.667 Punkt x1=4 x2=0 x3=2.667 z=-38.667

4. Simplextableau: z4 z1 z3 x2 -1.0 1.5 -0.5 0.5 z2 5.0 -8.0 2.0 5.0 x3 0.0 0.0 0.333 2.667 x1 1.0 -1.0 0.333 3.667 1.0 1.0 2.0 39.0 Punkt x1=3.667 x2=0.5 x3=2.667 z=-39.0, Max.problem: z=39.0

Sensitivitätsanalyse: 𝑐𝑐1− = 1, 𝑐𝑐1+ = 1

𝑐𝑐2− = 0.667, 𝑐𝑐2+ = 1

𝑐𝑐3−

= 6,

𝑐𝑐3+

Aufgabe 3

=∞

𝑏𝑏1− = 0.333, 𝑏𝑏1+ = 0.625

𝑏𝑏2− = 5, 𝑏𝑏2+ = ∞

𝑏𝑏3− = 2.5, 𝑏𝑏3+ = 1

𝑏𝑏4− = 1, 𝑏𝑏4+ = 0.5.

1. Simplextableau: x1 x2 x3 z1 -2.0 -2.0 -1.0 z2 1.0 6.0 2.0 z3 0.0 0.0 3.0 z4 3.0 2.0 0.0 5.0 4.0 7.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 z=0.0

-11.0 17.0 8.0 12.0 0.0

20.3 Lösungen zu Kapitel 13 2. Simplextableau: x1 z1 x3 x2 1.0 -0.5 0.5 z2 -5.0 3.0 -1.0 z3 0.0 0.0 3.0 z4 1.0 1.0 -1.0 1.0 2.0 5.0 Punkt x1=0 x2=5.5 x3=0 z=22.0

3. Simplextableau: Z2 z1 x3 x2 0.2 0.1 0.3 x1 -0.2 -0.6 0.2 z3 0.0 0.0 3.0 z4 0.2 1.6 -1.2 0.2 2.6 4.8 Punkt x1=3.2 x2=2.3 x3=0 z=25.2

347

5.5 -16.0 8.0 1.0 -22.0

2.3 3.2 8.0 -2.2 -25.2

4. Simplextableau: z2 z1 z4 x2 0.25 0.5 0.25 1.75 x1 -0.167 -0.333 0.167 2.833 z3 0.5 4.0 2.5 2.5 x3 -0.167 -1.333 -0.833 1.833 1.0 9.0 4.0 -34.0 Punkt x1=2.833 x2=1.75 x3=1.833 z=34.0

Sensitivitätsanalyse: 𝑐𝑐1− = 6, 𝑐𝑐1+ = 24 𝑐𝑐2− = ∞, 𝑐𝑐2+ = 4

𝑐𝑐3−

= 4.8,

𝑐𝑐3+

Aufgabe 4

=∞

𝑏𝑏1− = 1.375, 𝑏𝑏1+ = 0.625 𝑏𝑏2− = 5, 𝑏𝑏2+ = 11

𝑏𝑏3− = 2.5, 𝑏𝑏3+ = ∞

𝑏𝑏4− = 1, 𝑏𝑏4+ = 2.2.

1. Simplextableau: x1 x2 x3 x4 x5 z1 20.0 10.0 40.0 0.0 20.0 z2 0.0 20.0 20.0 20.0 10.0 z3 10.0 0.0 0.0 40.0 0.0 -10.0 -15.0 -10.0 -20.0 -10.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 x4=0 x5=0 x6=0 z=0.0

x6 0.0 20.0 20.0 -15.0

300.0 280.0 400.0 0.0

348

20 Lösungen zu OR

2. Simplextableau: x1 x2 x3 z3 x5 x6 z1 20.0 10.0 40.0 0.0 20.0 0.0 z2 -5.0 20.0 20.0 -0.5 10.0 10.0 x4 0.25 0.0 0.0 0.025 0.0 0.5 -5.0 -15.0 -10.0 0.5 -10.0 -5.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 x4=10 x5=0 x6=0 z=-200.0 3. Simplextableau: x1 z2 x3 z3 x5 x6 z1 22.5 -0.5 30.0 0.25 15.0 -5.0 x2 -0.25 0.05 1.0 -0.025 0.5 0.5 x4 0.25 0.0 0.0 0.025 0.0 0.5 -8.75 0.75 5.0 0.125 -2.5 2.5 Punkt x1=0 x2=4 x3=0 x4=10 x5=0 x6=0 z=-260.0

300.0 80.0 10.0 200.0

260.0 4.0 10.0 260.0

4. Simplextableau: z1 z2 x3 z3 x5 x6 x1 0.044 -0.022 1.333 0.011 0.667 -0.222 11.556 x2 0.011 0.044 1.333 -0.022 0.667 0.444 6.889 x4 -0.011 0.006 -0.333 0.022 -0.167 0.556 7.111 0.389 0.556 16.667 0.222 3.333 0.556 361.111 Punkt x1=11.556 x2=6.889 x3=0 x4=7.111 x5=0 x6=0 z=-361.111 Max.problem: z=361.111

Sensitivitätsanalyse: 𝑐𝑐1− = 5, 𝑐𝑐1+ = 2.5

𝑐𝑐2− = 1.25, 𝑐𝑐2+ = 10

𝑐𝑐3− 𝑐𝑐4− 𝑐𝑐5− 𝑐𝑐6−

= = = =

∞, 𝑐𝑐3+ 1, 𝑐𝑐4+ ∞, 𝑐𝑐5+ ∞, 𝑐𝑐6+

= 16.667 = 20 = 3.333

𝑏𝑏1− = 260, 𝑏𝑏1+ = 640

𝑏𝑏2− = 155, 𝑏𝑏2+ = 520

𝑏𝑏3− = 320, 𝑏𝑏3+ = 310.

= 0.555

Aufgabe 5 𝑥𝑥1 sei die Anzahl der hergestellten Produkte A. 𝑥𝑥2 sei die Anzahl der hergestellten Produkte B. 𝑥𝑥3 sei die Anzahl der hergestellten Produkte C. 𝑥𝑥4 sei die Anzahl der hergestellten Produkte D. 6𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥4 ≤ 440 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 ≤ 460 6𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥4 ≤ 555

𝑧𝑧 = 100𝑥𝑥1 + 130𝑥𝑥2 + 100𝑥𝑥3 + 110𝑥𝑥4 = max. Maximum- bzw. Minimumberechnung: 1. Simplextableau:

20.4 Lösungen zu Kapitel 14

z1 z2 z3 Punkt

349

x1 x2 x3 x4 6.0 4.0 3.0 5.0 3.0 1.0 3.0 2.0 6.0 5.0 4.0 3.0 -100.0 -130.0 -100.0 -110.0 x1=0 x2=0 x3=0 x4=0 z=0.0

440.0 460.0 555.0 0.0

2. Simplextableau: x1 z1 x3 x4 x2 1.5 0.25 0.75 1.25 110.0 z2 1.5 -0.25 2.25 0.75 350.0 z3 -1.5 -1.25 0.25 -3.25 5.0 95.0 32.5 -2.5 52.5 14300.0 Punkt x1=0 x2=110.0 x3=0 x4=0 z=-14300.0

3. Simplextableau: x1 z1 z3 x4 x2 6.0 4.0 -3.0 11.0 95.0 z2 15.0 11.0 -9.0 30.0 305.0 x3 -6.0 -5.0 4.0 -13.0 20.0 80.0 20.0 10.0 20.0 14350.0 Punkt x1=0 x2=95.0 x3=20.0 x4=0 z=-14350.0, Max.problem: z=14350.0

Sensitivitätsanalyse: 𝑐𝑐1− = ∞, 𝑐𝑐1+ = 80

𝑐𝑐2− = 1.82, 𝑐𝑐2+ = 3.333

𝑐𝑐3− 𝑐𝑐4−

= =

2.5, 𝑐𝑐3+ = 1.538 ∞, 𝑐𝑐4+ = 20

𝑏𝑏1− = 23.75, 𝑏𝑏1+ = 4 𝑏𝑏2− = 305, 𝑏𝑏2+ = ∞

𝑏𝑏3− = 5, 𝑏𝑏3+ = 31.667.

Aufgabe 6 a) Es gibt es keine Lösung, da die Lösungsmenge des Ungleichungssystems leer ist. b) Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist unbeschränkt, deshalb gibt es kein endliches Minimum bzw. Maximum.

20.4

Lösungen zu Kapitel 14

Aufgabe 1 a)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 −1

0

2

4

350

20 Lösungen zu OR

Damit löst eine statische Strategie dieses Spiel: Spieler X spielt Strategie 𝑖𝑖 = 2 und Spieler Y spielt Strategie 𝑗𝑗 = 1. b)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4 2

−1

−1

5

0

1 0

5

−2

3 2 0

Damit löst eine statische Strategie dieses Spiel: Spieler X spielt Strategie 𝑖𝑖 = 2 und Spieler Y spielt Strategie 𝑗𝑗 = 3. c)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3 𝑖𝑖 = 4 𝑖𝑖 = 5

𝑗𝑗 = 1 5 −1 0

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4

3 6

2 2 −1

1 0 1

8 −2

2 −1

−5 −2 4 3 3

Damit löst eine statische Strategie dieses Spiel: Spieler X spielt Strategie 𝑖𝑖 = 4 und Spieler Y spielt Strategie 𝑗𝑗 = 3. Aufgabe 2 a)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 −1 2

1 −1

Keine statische Strategie löst das Problem. Anwendung des Simplex-Algorithmus liefert folgende dynamische Strategien: Für Spieler X gilt: 𝑝𝑝1 = 0.6 und 𝑝𝑝2 = 0.4.

Für Spieler Y gilt: 𝑞𝑞1 = 0.4 und 𝑞𝑞2 = 0.6.

Für den Gewinn des Spielers X gilt: 𝑔𝑔 = 0.2.

20.4 Lösungen zu Kapitel 14

351

b)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4 3 2 1

Keine statische Strategie löst das Problem.

−4 6 6

3 2

−1

4 3 1

Anwendung des Simplex-Algorithmus liefert folgende dynamische Strategien: Für Spieler X gilt: 𝑝𝑝1 = 4/11, 𝑝𝑝2 = 7/11 und 𝑝𝑝3 = 0.

Für Spieler Y gilt: 𝑞𝑞1 = 10/11, 𝑞𝑞2 = 1/11, 𝑞𝑞3 = 0 und 𝑞𝑞4 = 0. Für den Gewinn des Spielers X gilt: 𝑔𝑔 = 26/11. c)

Strategien für Spieler X

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3 𝑖𝑖 = 4 𝑖𝑖 = 5

Strategien für Spieler Y 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 𝑗𝑗 = 4 2 −1 0

2 0 −1

−2 0 1

3

0

6

−2

2 −3

−5 −2 4 1 3

Keine statische Strategie löst das Problem. Anwendung des Simplex-Algorithmus liefert folgende dynamische Strategien: Für Spieler X gilt: 𝑝𝑝1 = 1/8, 𝑝𝑝2 = 0, 𝑝𝑝3 = 0, 𝑝𝑝4 = 7/8 und 𝑝𝑝5 = 0.

Für Spieler Y gilt: 𝑞𝑞1 = 0, 𝑞𝑞2 = 3/4, 𝑞𝑞3 = 0 und 𝑞𝑞4 = 1/4 .

Für den Gewinn des Spielers X gilt: 𝑔𝑔 = 1/4. Aufgabe 3 a)

Die Entscheidungsmatrix lautet Strategien für Spieler Y Stein Schere Papier

Strategien für Spieler X

Stein

0

Schere

−1

Papier

1

1 0

−1

Damit löst keine statische Strategie das Problem.

−1 1 0

352

20 Lösungen zu OR

b) Der Simplex-Algorithmus liefert: 1. Simplextableau: x1 x2 x3 z1 0.0 1.0 -1.0 z2 -1.0 0.0 1.0 z3 1.0 -1.0 0.0 1.0 1.0 1.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 z=0.0

-1.0 -1.0 -1.0 0.0

2. Simplextableau: x1 x2 z1 x3 0.0 -1.0 -1.0 z2 -1.0 1.0 1.0 z3 1.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 1.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=1.0 z=1.0

1.0 -2.0 -1.0 -1.0

3. Simplextableau: z2 x2 z1 x3 0.0 -1.0 -1.0 x1 -1.0 -1.0 -1.0 z3 1.0 0.0 1.0 1.0 3.0 2.0 Punkt x1=2.0 x2=0 x3=1.0 z=3.0

1.0 2.0 -3.0 -3.0

Hier bricht der Algorithmus ohne Lösung ab. Der Grund hierfür ist 𝑔𝑔 = 0. c) Addiert man nun zu jedem Element der Entscheidungsmatrix +1, so liefert der SimplexAlgorithmus eine Lösung, da jetzt für das veränderte Spiel 𝑔𝑔 = 1 gilt: Für Spieler X gilt: 𝑝𝑝1 = 1/3, 𝑝𝑝2 = 1/3 und 𝑝𝑝3 = 1/3. Für Spieler Y gilt: 𝑞𝑞1 = 1/3, 𝑞𝑞2 = 1/3 und 𝑞𝑞3 = 1/3. Der Gewinn für Spieler X im veränderten Spiel ist 𝑔𝑔 = 1, also ist der Gewinn im Ausgangsspiel 𝑔𝑔 = 0.

Aufgabe 4

Strategien für Köln

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2 𝑖𝑖 = 3

Strategien für Berlin 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3 0.4

0.4

0.3

0.7 0.4

0.8 0.5

0.6 0.5

Damit löst eine statische Strategie dieses Spiel: Köln spielt immer Strategie 𝑖𝑖 = 2 und Berlin spielt immer Strategie 𝑗𝑗 = 3.

20.4 Lösungen zu Kapitel 14

353

Aufgabe 5 Strategien für Hamburg 𝑗𝑗 = 1 𝑗𝑗 = 2 𝑗𝑗 = 3

𝑖𝑖 = 1 𝑖𝑖 = 2

Strategien für Landshut

𝑖𝑖 = 3

0.4

0.4

0.7 0.4

0.8 0.5

Damit löst keine statische Strategie dieses Spiel.

0.3 0.6

0.8

Optimale Strategie für Landshut: Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

−0.4 −0.4 −0.3

−0.7 −0.8 −0.6

−0.4 −0.5 −0.8

−1 −1 −1

1

1

1

0

Die Berechnung liefert: 1. Simplextableau: x1 x2 x3 z1 -0.4 -0.7 -0.4 z2 -0.4 -0.8 -0.5 z3 -0.3 -0.6 -0.8 1.0 1.0 1.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 z=0.0

-1.0 -1.0 -1.0 0.0

2. Simplextableau: x1 z1 x3 x2 0.571 -1.429 0.571 1.429 z2 0.057 -1.143 -0.043 0.143 z3 0.043 -0.857 -0.457 -0.143 0.429 1.429 0.429 -1.428 Punkt x1=0 x2=1.429 x3=0 z=1.428 3. Simplextableau: x1 z1 z3 x2 0.625 -2.5 1.25 1.25 z2 0.053 -1.062 -0.094 0.156 x3 -0.094 1.875 -2.187 0.313 0.469 0.625 0.938 -1.563 Punkt x1=0 x2=1.25 x3=0.3125 z=1.5625

Für Landshut gilt: 𝑝𝑝1 = 0, 𝑝𝑝2 = 4/5 = 0.8 und 𝑝𝑝3 = 1/5 = 0.2.

354

20 Lösungen zu OR

Optimale Strategie für Hamburg: Aufstellen des ersten Simplex-Tableaus: 𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 𝑧𝑧3

𝑦𝑦1

𝑦𝑦2

𝑦𝑦3

0.4 0.7 0.4

0.4 0.8 0.5

0.3 0.6 0.8

1 1 1

−1

−1

−1

0

Die Berechnung liefert: 1. Simplextableau: x1 x2 x3 z1 0.4 0.4 0.3 z2 0.7 0.8 0.6 z3 0.4 0.5 0.8 -1.0 -1.0 -1.0 Punkt x1=0 x2=0 x3=0 z=0.0

2. Simplextableau: z2 x2 x3 z1 -0.571 -0.057 -0.043 x1 1.429 1.143 0.857 z3 -0.571 0.043 0.457 1.429 0.143 -0.143 Punkt x1=1.429 x2=0 x3=0 z=-1.429

1.0 1.0 1.0 0.0

0.429 1.429 0.429 1.429

3. Simplextableau: z2 x2 z3 z1 -0.625 -0.053 0.094 0.469 x1 2.5 1.063 -1.875 0.625 x3 -1.25 0.094 2.188 0.937 1.25 0.156 0.313 1.563 Punkt x1=0.625 x2=0 x3=0.9375 z=-1.5625

Für Hamburg gilt: 𝑞𝑞1 = 2/5 = 0.4, 𝑞𝑞2 = 0 und 𝑞𝑞3 = 3/5 = 0.6.

20.5 Lösungen zu Kapitel 15

20.5

355

Lösungen zu Kapitel 15

Aufgabe 1 a) erste zulässige Basislösung nach der NWE-Regel 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

10

20

20

10

10 10

AM 20 30

20

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 360.

b) Iterationen Stepping-Stone-Methode oder MODI-Methode 2. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 8

0 0

−5 0

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

10

20

20

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2

NM

10 0

0 20

AM

10 10

20 30

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 310. Abbruch wegen der 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 der nächsten Iteration. Aufgabe 2 a) erste zulässige Basislösung nach der NWE-Regel 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

20 10 30

𝑁𝑁2 30 10 40

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

60

20

60

20

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 770.

AM 20 40 90

356

20 Lösungen zu OR

b) Iterationen Stepping-Stone-Methode oder der MODI-Methode 2. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 5

1 0 0

1 −6 0

−8 1 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

60

0

60

20

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

30 30

10 30 40

20

AM 20 40 90

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 610. 3. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 8 0 5

9 0 0

9 −6 0

0 1 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

𝑁𝑁1

30 30

40

10 50

40

60

20 0 20

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 550.

AM 20 40 90

20.5 Lösungen zu Kapitel 15

357

4. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 2 0 −1

9 6 0

9 0 0

0 7 0

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

30

40

40 20

𝑁𝑁4

30

40

60

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3

NM

20 0

AM 20 40 90

20

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 520. Abbruch wegen der 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 der nächsten Iteration. Aufgabe 3 a) erste zulässige Basislösung nach der NWE-Regel 𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 𝑁𝑁3 𝑁𝑁4 𝑁𝑁5 𝑁𝑁6 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

300 200

500

800 0

800

300

300

300 300

600

100 600

700

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 53 400.

200 200 400

𝑁𝑁7

200 500 700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

358

20 Lösungen zu OR

b) Iterationen Stepping-Stone-Methode oder MODI-Methode 2. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 −4 4 −10 −6 −7

4 0 0 3 −6 −11 1

−2 2 0 −4 −12 −8 −4

3 −4 0 0 −6 −10 −5

5 −2 2 0 0 −1 0

6 6 9 7 0 0 6

6 3 3 5 −8 0 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

300 200

800 0

600 0 300

500

800

300

600

400 300

700

200 200

200 500

400

700

6 6 9 7 0 0 6

6 3 3 5 −8 0 0

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 49 800.

3. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 −4 4 −10 −6 −7

4 0 0 3 −6 −11 1

10 14 12 8 0 4 8

3 −4 0 0 −6 −10 −5

5 −2 2 0 0 −1 0

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

20.5 Lösungen zu Kapitel 15

359

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

300 200

𝑁𝑁2

800

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4 600 0

300

𝑁𝑁5 400 300

0 500

800

300

600

700

𝑁𝑁6

200 200

𝑁𝑁7

200 500

400

700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 49 800.

4. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 7 15 1 5 4

4 0 11 14 5 0 12

−1 3 12 8 0 4 8

−8 −15 0 0 −6 −10 −5

−6 −13 2 0 0 −1 0

−5 −5 9 7 0 0 6

−5 −8 3 5 −8 0 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

300 200

800

0 600

400 300

300 0 500

800

300

600

700

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 49 800.

200 200 400

200 500 700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

360

20 Lösungen zu OR

5. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 −8 15 1 5 4

4 0 −4 14 5 0 12

−1 3 −3 8 0 4 8

7 0 0 15 9 5 10

−6 −13 −13 0 0 −1 0

−5 −5 −6 7 0 0 6

−5 −8 −12 5 −8 0 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

400 100

400

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

300 200

600

0 600

300

200

200 500

800

200 500 300

600

700

400

700

8 8 7 7 0 13 19

−5 −8 −12 −8 −21 0 0

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 47 200.

6. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 −8 2 −12 5 4

4 0 −4 1 −8 0 12

12 16 10 8 0 17 21

7 0 0 2 −4 5 10

7 0 0 0 0 12 13

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

20.5 Lösungen zu Kapitel 15

361

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

300 200

𝑁𝑁2

500

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

0 600

𝑁𝑁5

300

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

400

100 100 500

400

700

400 300 300 500

800

300

600

700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 41 500.

7. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 −8 2 9 5 4

4 0 −4 1 13 0 12

−9 −5 −11 −13 0 −4 0

7 0 0 2 17 5 10

7 0 0 0 21 12 13

−13 −13 −14 −14 0 −8 −2

−5 −8 −12 −8 0 0 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

300 200

400

100 500

300

100 400

300

300

200

400 500 500

800

300

600

700

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 43 700.

400

700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

362

20 Lösungen zu OR

8. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 0 −8 2 −5 5 −10

4 0 −4 1 −1 0 −2

5 9 3 1 0 10 0

7 0 0 2 3 5 −4

7 0 0 0 7 12 −1

1 1 0 0 0 6 −2

9 6 2 6 0 14 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

300

400

300 300

300

300 400

300

100

400

400 200 500

300 800

300

600

700

400

700

−9 1 0 0 0 6 −2

−1 6 2 6 0 14 0

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 41 700.

9. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 10 2 12 5 15 0

−6 0 −4 1 −1 0 −2

−5 9 3 1 0 10 0

−3 0 0 2 3 5 −4

−3 0 0 0 7 12 −1

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

20.5 Lösungen zu Kapitel 15

363

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

200

𝑁𝑁2

400

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

300 300

𝑁𝑁5

300

𝑁𝑁6

100

𝑁𝑁7

300 400

300

500

400 300 500

200 800

300

600

700

400

700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 40 800.

10. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 0 1 −7 3 5 6 0

3 0 −4 1 8 0 7

−5 0 −6 −8 0 1 0

6 0 0 2 12 5 5

6 0 0 0 16 12 8

0 1 0 0 9 6 7

−1 −3 −7 −3 0 5 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

400

100 500

200 100

500

300 100

200 700

400 500 500

0 800

300

600

700

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 39 200.

400

700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

364

20 Lösungen zu OR

11. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 8 9 1 11 5 14 0

3 0 −4 1 0 0 −1

3 8 2 0 0 9 0

6 0 0 2 4 5 −3

6 0 0 0 8 12 0

0 1 0 0 1 6 −1

7 5 1 5 0 13 0

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

400

500 100

200 100

500

300 100

200 700

400 500 500

0 800

300

600

700

400

700

0 1 0 0 1 2 −1

7 5 1 5 0 9 0

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 37 600.

12. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 8 9 1 11 5 10 0

7 4 0 5 4 0 3

3 8 2 0 0 5 0

6 0 0 2 4 1 −3

6 0 0 0 8 8 0

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

20.5 Lösungen zu Kapitel 15

365

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

400

𝑁𝑁4

500 100

200 100

𝑁𝑁5

500

𝑁𝑁6

300

𝑁𝑁7

100 200 700

400 500 500

0 800

300

600

700

400

700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 37 600.

13. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 5 6 −2 8 2 7 0

7 4 0 5 4 0 6

3 8 2 0 0 5 3

6 0 0 2 4 1 0

6 0 0 0 8 8 3

0 1 0 0 1 2 2

7 5 1 5 0 9 3

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

𝑁𝑁7

100

400

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

500

500

300 100

200 100

200 700

400 400 500

100 800

300

600

700

400

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

700

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 37 400. Abbruch wegen der 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 der nächsten Iteration.

366

20 Lösungen zu OR

14. Iteration: Matrix der Größen 𝑐𝑐̃𝑖𝑖𝑖𝑖 7 6 0 8 2 9 0

7 2 0 3 2 0 4

5 8 4 0 0 7 3

8 0 2 2 4 3 0

8 0 2 0 8 10 3

0 −1 0 −2 −1 2 0

9 5 3 5 0 11 3

𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

𝑁𝑁3

𝑁𝑁4

𝑁𝑁5

𝑁𝑁6

300

𝑁𝑁7

200

400 100

100

neue Basislösung 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 𝐴𝐴4 𝐴𝐴5 𝐴𝐴6 𝐴𝐴7

NM

400

600

200 100

700

400 300

200

500

800

300

600

700

400

Für den Wert der Zielfunktion gilt: 𝑧𝑧 = 37 200.

20.6

Lösungen zu Kapitel 16

Aufgabe 1 Startiteration: 𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

1 0 -

2 ∞ -

3 ∞ -

4 ∞ -

1 0 -

2 15 1

3 40 1

4 60 1

𝑀𝑀 = {1}

1. Iteration: 𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

700

AM 300 1 000 600 400 800 400 500

20.6 Lösungen zu Kapitel 16

367

𝑀𝑀 = {2, 3, 4} 2. Iteration:

1 0 -

2 15 1

3 25 2

4 24 2

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {3}

1 0 -

2 15 1

3 25 2

4 24 2

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑖𝑖)

1 0 -

2 15 1

3 25 2

4 24 2

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

𝑀𝑀 = {3, 4}

3. Iteration:

4. Iteration:

Die kürzesten Wege sind: von 1 nach 2: 1 → 2 von 1 nach 3: 1 → 2 → 3 von 1 nach 4: 1 → 2 → 4 Aufgabe 2

mit der Länge 15 mit der Länge 25 mit der Länge 24.

Startiteration: 𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {1}

1 0 -

2 ∞ -

3 ∞ -

4 ∞ -

5 ∞ -

6 ∞ -

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

1 0 -

2 ∞ -

3 60 1

4 130 1

5 300 1

6 200 1

1. Iteration:

𝑀𝑀 = {3, 4, 5, 6}

368

20 Lösungen zu OR

2. Iteration: 1 0 -

2 100 3

3 60 1

4 120 3

5 300 1

6 200 1

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {4, 5, 6}

1 0 -

2 100 3

3 60 1

4 110 2

5 300 1

6 200 1

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {5, 6}

1 0 -

2 100 3

3 60 1

4 110 2

5 300 1

6 150 4

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) 𝑀𝑀 = {5}

1 0 -

2 100 3

3 60 1

4 110 2

5 200 6

6 150 4

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

1 0 -

2 100 3

3 60 1

4 110 2

5 200 6

6 150 4

𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

𝑀𝑀 = {2, 4, 5, 6} 3. Iteration:

4. Iteration:

5. Iteration:

6. Iteration:

Die kürzesten Wege sind: von 1 nach 2: 1 → 3 → 2 von 1 nach 3: 1 → 3 von 1 nach 4: 1 → 3 → 2 → 4 von 1 nach 5: 1 → 3 → 2 → 4 → 6 → 5 von 1 nach 6: 1 → 3 → 2 → 4 → 6

mit der Länge 100 mit der Länge 60 mit der Länge 110 mit der Länge 200 mit der Länge 150.

Aufgabe 3 Nach 8 Iterationen ergibt sich folgende Tabelle:

20.6 Lösungen zu Kapitel 16 𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖)

1 0 -

369

2 80 5

3 40 4

4 10 1

5 65 7

Die kürzesten Wege sind: von 1 nach 2: 1 → 4 → 6 → 7 → 5 → 2 von 1 nach 3: 1 → 4 → 3 von 1 nach 4: 1 → 4 von 1 nach 5: 1 → 4 → 6 → 7 → 5 von 1 nach 6: 1 → 4 → 6 von 1 nach 7: 1 → 4 → 6 → 7 von 1 nach 8: 1 → 4 → 6 → 7 → 8

6 30 4

7 60 6

8 85 7

mit der Länge 80 mit der Länge 40 mit der Länge 10 mit der Länge 65 mit der Länge 30 mit der Länge 60 mit der Länge 85.

Aufgabe 4 Nach 15 Iterationen ergibt sich folgende Tabelle: A 𝑖𝑖 0 𝑑𝑑(𝑖𝑖) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑖𝑖) -

B 8 C

C 6 A

D 4 A

E 7 D

Die kürzesten Wege sind: von A nach B: 𝐴𝐴 → 𝐶𝐶 → 𝐵𝐵 von A nach C: 𝐴𝐴 → 𝐶𝐶 von A nach D: 𝐴𝐴 → 𝐶𝐶 → 𝐷𝐷 von A nach E: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐸𝐸 von A nach F: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐹𝐹 von A nach G: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐺𝐺 von A nach H: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐺𝐺 von A nach I: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐹𝐹 von A nach J: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐹𝐹 von A nach K: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐺𝐺 von A nach L: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐺𝐺 von A nach M: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐹𝐹 von A nach N: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐹𝐹 von A nach P: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐹𝐹

F 8 D

G 9 D

H 13 G

→ 𝐻𝐻 → 𝐼𝐼 → 𝐽𝐽 → 𝐾𝐾 → 𝐿𝐿 → 𝐽𝐽 → 𝑀𝑀 → 𝐽𝐽 → 𝑁𝑁 → 𝐽𝐽 → 𝑁𝑁 → 𝑃𝑃

I 12 F

J 11 F

K 13 G

L 15 G

mit der Länge 8 mit der Länge 6 mit der Länge 4 mit der Länge 7 mit der Länge 8 mit der Länge 9 mit der Länge 13 mit der Länge 12 mit der Länge 11 mit der Länge 13 mit der Länge 15 mit der Länge 14 mit der Länge 13 mit der Länge 15.

M 14 J

N 13 J

P 15 N

Aufgabe 5 Mit dem Algorithmus von Kruskal werden nacheinander folgende Kanten geprüft: [2, 4], [4, 5], [2, 5], [5, 7], [6, 7], [1, 2], [5, 6], [7, 8], [3, 5], [5, 8], [2, 3], [1, 3], [4, 8], [3, 6].

Es ergibt sich folgender minimal spannender Baum:

370

20 Lösungen zu OR

4

4

4

2

8

8 5

1

8 6

10

3

7 7

6

Die minimalen Erstellungskosten sind 47. Aufgabe 6 Mit dem Algorithmus von Kruskal werden nacheinander folgende Kanten geprüft: [𝐺𝐺, 𝐻𝐻], [𝐺𝐺, 𝐽𝐽], [𝐻𝐻, 𝐽𝐽], [𝐺𝐺, 𝐿𝐿], [𝐽𝐽, 𝐿𝐿], [𝐺𝐺, 𝐾𝐾], [𝐾𝐾, 𝐿𝐿], [𝐿𝐿, 𝑁𝑁], [𝐽𝐽, 𝑁𝑁], [𝑁𝑁, 𝑄𝑄], [𝑃𝑃, 𝑄𝑄], [𝐼𝐼, 𝑃𝑃], [𝐽𝐽, 𝑃𝑃], [𝑁𝑁, 𝑃𝑃],

[𝐴𝐴, 𝐼𝐼], [𝐻𝐻, 𝐼𝐼], [𝐴𝐴, 𝐵𝐵], [𝐴𝐴, 𝐻𝐻], [𝐵𝐵, 𝐶𝐶], [𝐶𝐶, 𝐹𝐹], [𝐵𝐵, 𝐸𝐸], [𝐹𝐹, 𝐺𝐺], [𝐹𝐹, 𝐾𝐾], [𝐵𝐵, 𝐷𝐷], [𝐶𝐶, 𝐷𝐷], [𝐷𝐷, 𝐺𝐺], [𝐴𝐴, 𝐸𝐸], [𝐷𝐷, 𝐸𝐸],

[𝐸𝐸, 𝐻𝐻], [𝐸𝐸, 𝐺𝐺] und [𝐾𝐾, 𝑀𝑀].

Es ergibt sich folgender minimal spannender Baum: F

10

C

K

10

3

G 12

B

M

L 5

D 2

11

N

2

J

7

H

E

10

20

4

7

A

9

8

I

Die minimalen Erstellungskosten sind 120.

P

Q

20.7 Lösungen zu Kapitel 17

20.7

371

Lösungen zu Kapitel 17

Aufgabe 1 F 5 7 A C 0 2

2 2 4 2

B 0 4

2 5 7 0

C 4 -1 5

4 0 4

0

1 4 5

D C 5 6

1 6 7

J 1 19 19 20 20 0

G 4 7 15 11 19 8

I 1 11 19 12 20 8

K 1 20 20 21 21 0

1

E 2 C 5 13 7 15 8

0

H 12 7 7 19 19 0

L 2 21 21 23 23 0

Kritischer Pfad: 𝐵𝐵 → 𝐶𝐶 → 𝐹𝐹 → 𝐻𝐻 → 𝐽𝐽 → 𝐾𝐾 → 𝐿𝐿.

Aufgabe 2 A 3 0 0 3 3 0

D 5 C 13 13 18 18 0

10

3 2

B 4 6 11 10 15 5 C 3 5 17 8 20 12

Kritischer Pfad: 𝐴𝐴 → 𝐷𝐷 → 𝐸𝐸.

1

-2 3

-1

E 2 19 19 21 21 0

372

20 Lösungen zu OR

Aufgabe 3 9 1 30 70 31 71 40 2C 10 30 30 40 40 0

1 30 0 0 30 -1 30 0

10 3 71 71 74 74 30 0 3 1 40 40 41 41 0

11 1 74 74 75 75 0

8C 4 30 70 34 74 40 4C 5 30 58 35 63 28 5C 1 30 62 31 63 32

6 2 35 63 5 65 37 28

7 10 37 65 47 75 28

12 1 75 75 76 76 0

13 2 C 74 30 32 76 44

Kritischer Pfad: 1 → 2 → 3 → 10 → 11 → 12 → 14 → 15.

14 1 76 76 77 77 0

15 45 77 77 122

122

0

21

Statistische Tabellen

21.1

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

In der folgenden Tabelle ist die Verteilungsfunktion 𝛷𝛷(𝑥𝑥) der Standardnormalverteilung 𝑁𝑁(0, 1) angegeben. 0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554

0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591

0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628

0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664

0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700

0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736

0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772

0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808

0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844

0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159

0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186

0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212

0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238

0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264

0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289

0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315

0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340

0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365

0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192

0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207

0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222

0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236

0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251

0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265

0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279

0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292

0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306

0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713

0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719

0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726

0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732

0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738

0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744

0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750

0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756

0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761

0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918

0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920

0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922

0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925

0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927

0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929

0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931

0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932

0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934

0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936

2.5 2.6 2.7

0.9938 0.9953 0.9965

0.9940 0.9955 0.9966

0.9941 0.9956 0.9967

0.9943 0.9957 0.9968

0.9945 0.9959 0.9969

0.9946 0.9960 0.9970

0.9948 0.9961 0.9971

0.9949 0.9962 0.9972

0.9951 0.9963 0.9973

0.9952 0.9964 0.9974

𝑥𝑥

https://doi.org/10.1515/9783110601718-389

374

21 Statistische Tabellen 0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

2.8 2.9

0.9974 0.9981

0.9975 0.9982

0.9976 0.9982

0.9977 0.9983

0.9977 0.9984

0.9978 0.9984

0.9979 0.9985

0.9979 0.9985

0.9980 0.9986

0.9981 0.9986

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997

0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997

0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997

0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997

0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997

0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997

0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

𝑥𝑥

21.2

Quantile der Standardnormalverteilung

In der folgenden Tabelle sind die Quantile 𝑧𝑧1−𝛼𝛼 der Standardnormalverteilung 𝑁𝑁(0, 1) angegeben. 𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54

𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

0.00000 0.02507 0.05015 0.07527 0.10043

𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79

𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

0.67449 0.70630 0.73885 0.77219 0.80642

𝟏𝟏 − 𝜶𝜶

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59

𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

𝟏𝟏 − 𝜶𝜶

𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

0.950 0.955 0.960 0.965 0.970

1.64485 1.69540 1.75069 1.81191 1.88079

0.9975 0.9976 0.9977 0.9978 0.9979

2.80703 2.82016 2.83379 2.84796 2.86274

0.12566 0.15097 0.17637 0.20189 0.22754

0.80 0.81 0.82 0.83 0.84

0.84162 0.87790 0.91537 0.95417 0.99446

0.975 0.980 0.985

1.95996 2.05375 2.17009

0.9980 0.9981 0.9982 0.9983 0.9984

2.87816 2.89430 2.91124 2.92905 2.94784

0.60 0.61 0.62 0.63 0.64

0.25335 0.27932 0.30548 0.33185 0.35846

0.85 0.86 0.87 0.88 0.89

1.03643 1.08032 1.12639 1.17499 1.22653

0.9900 0.9905 0.9910 0.9915 0.9920

2.32635 2.34553 2.36562 2.38671 2.40892

0.9985 0.9986 0.9987 0.9988 0.9989

2.96774 2.98888 3.01145 3.03567 3.06181

0.65 0.66 0.67 0.68 0.69

0.38532 0.41246 0.43991 0.46770 0.49585

0.900 0.905 0.910 0.915 0.920

1.28155 1.31058 1.34076 1.37220 1.40507

0.9925 0.9930 0.9935 0.9940 0.9945

2.43238 2.45726 2.48377 2.51214 2.54270

0.9990 0.9991 0.9992 0.9993 0.9994

3.09023 3.12139 3.15591 3.19465 3.23888

21.3 Quantile der 𝑡𝑡 – Verteilung 𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74

21.3

𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

0.52440 0.55338 0.58284 0.61281 0.64335

𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 0.925 0.930 0.935 0.940 0.945

375 𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

1.43953 1.47579 1.51410 1.55477 1.59819

𝟏𝟏 − 𝜶𝜶

0.9950 0.9955 0.9960 0.9965 0.9970

𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

2.57583 2.61205 2.65207 2.69684 2.74778

𝟏𝟏 − 𝜶𝜶

0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999

Quantile der 𝑡𝑡 – Verteilung

𝒛𝒛𝟏𝟏−𝜶𝜶

3.29053 3.35279 3.43161 3.54008 3.71902

In der folgenden Tabelle sind die Quantile 𝑡𝑡1−𝛼𝛼,𝑛𝑛 der 𝑡𝑡 – Verteilung mit 𝑛𝑛 Freiheitsgraden (𝛾𝛾 = 1 − 𝛼𝛼) angegeben. 𝒏𝒏

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

𝜸𝜸 =0.9 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310

0.95

0.975

0.99

0.995

0.999

6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697

12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042

31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457

63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750

318.309 22.327 10.215 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385

376

21 Statistische Tabellen 𝒏𝒏

40 50 60 70 80 90 100 200 500 1000 ∞

0.9

0.95

0.975

0.99

0.995

0.999

1.303 1.299 1.296 1.294 1.292 1.291 1.290 1.286 1.283 1.282 1.282

1.684 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.653 1.648 1.646 1.645

2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.972 1.965 1.962 1.960

2.423 2.403 2.390 2.381 2.374 2.368 2.364 2.345 2.334 2.330 2.326

2.704 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626 2.601 2.586 2.581 2.576

3.307 3.261 3.232 3.211 3.195 3.183 3.174 3.131 3.107 3.098 3.090

Literatur Czado, Claudia und Schmidt, Thorsten, Mathematische Statistik, Berlin 2011. Domschke, Wolfgang und Drexl, Andreas, Einführung in Operations Research, 9.Auflage, Berlin 2015. Heinrich, Gert, Operations Research, 2. Auflage, München 2013. Heinrich, Gert und Grass, Jürgen, Operations Research in der Praxis, München 2006. Oberstenfeld, Wolfgang, T S P - Traveling Salesman Problem: Das Lösungsverfahren, München 2007. Senger, Jürgen, Mathematik: Grundlagen für Ökonomen, 3. Auflage, München 2009.

https://doi.org/10.1515/9783110601718-393

Index A Abbildung 57 Ableitung 77 Kettenregel 78 Produktregel 78 Quotientenregel 78 Ableitungsregeln 78 Abstandsquadrate vertikale 143 Abweichung mittlere absolute 122 Adjunkte 36 Algorithmus von Dijkstra 281 Beispiel 282 Algorithmus von Kruskal 285 Beispiel 286 Alternativhypothese 202 Anbieter 257 Anfangszeitpunkt frühest möglicher 292 spätest möglicher 292 Annuität 64 Anordnungen mit Reihenfolge 173 ohne Reihenfolge 174 Anzahl Anordnungsmöglichkeiten 172 Auswahlmöglichkeiten 172 Asymptote 79 Ausgangsdaten Veränderungen 237 Ausgangslösung 259 Auslieferungsmatrix 258 B Basis 11 Basisperiode 155 Mengenvektor 155 Preisvektor 155 Basisvariablen 228 Baum 285 minimal spannender 285 spannender 285 Bestimmtheitsmaß 145 Betrag 10 Eigenschaften 10

https://doi.org/10.1515/9783110601718-395

Binomialkoeffizient 14, 174 Binomialverteilung 180 Brüche 9 Addition 9 Division 9 Erweitern 9 Kürzen 9 Multiplikation 9 Rechenregeln 9 Subtraktion 9 C Cramer-Regel 51 D Definitionsbereich 79 Determinante 36 Diagonalmatrix 34 Dichtefunktion 182, 185, 187, 188 Differentialrechnung 71 differenzierbar 77 Differenzmenge 6 Digraph 280 diskret 106 Dreiecksmatrix 35 Durchschnitte gleitende 162 E Ebene Koordinatengleichung 30 Parameterdarstellung 30 Eckpunkte 228 Einheitsmatrix 34 Einheitsvektor 28 Element 3 Elementarereignis 169 Endzeitpunkt frühest möglicher 292 spätest möglicher 292 Entscheidungsmatrix 244, 249 Entscheidungsregel 202 Ereignis 169 sicheres 169 unmögliches 169 Ergebnismenge 169 Exponent 11

380 Exponentialfunktion 75 Exponentialverteilung 186 Extremwert 79 F FIFO-Algorithmus 284 Finanzmathematik 57 Flächeninhalt 95 Folge arithmetische 57 geometrische 58 Form aufzählende 4 beschreibende 4 Formeln binomische 13 Funktion 71 elementare 72 gebrochenrationale 75 Gleichungen 72 grafische Darstellung 72 trigonometrische 76 Funktionswert 71 G Gauß-Algorithmus 44, 45 Gerade 73 Achsenabschnitt 73 Parameterdarstellung 30 Steigung 73 Gewichtung 156 Gewinnmaximum 245 Gini-Koeffizient 127, 129 Gleichung lineare 14 quadratische 14 Gleichungssystem homogen 43 inhomogen 43 Koeffizientenmatrix 42 lineares 41 Lösungskriterium 43 Lösungsvektor 42 Lösungsvielfachheit 43 Parameter 52 rechte Seiten 42 überbestimmt 48 unterbestimmt 48 Gleichverteilung 185 Glücksspiele 243 Graph 279 bewerteter 280 gerichteter 279 schlichter 280 ungerichteter 279 zusammenhängender 285

Index Graphentheorie 279 Beispiel 279 Grundgesamtheit 105 Grundmenge 5 Güter 155 H Handlungsreisender 280 Häufigkeit absolute 107, 133 relative 107, 133 Häufigkeitstabelle 133 Häufigkeitsverteilung 106 Lorenzkurve 125 zweidimensionale 131 Histogramm 107 Hyperbel 73 Hypothese 202 Test 202 I Indexzahlen 155 Integral 95 Eigenschaften 96 uneigentliches 100 Integralrechnung 95 Integration partielle 97 Substitution 98 Integrationsregeln 97 Intervall abgeschlossen 7 halboffen 7 offen 7 Intervall-Schätzung 197 K Kante 279 Kantenmenge 279 Kaufkraftveränderungen 155 Kette 285 Klassen 110 Klassenbildung 110 Klassenbreite 110 Klasseneinteilung 110, 117 Lorenzkurve 125 Median 117 Mittelwert 117 mittlere absolute Abweichung 123 Quantil 118 Quantilsabstand 123 Spannweite 123 Standardabweichung 123 Varianz 123

Index Klassenhäufigkeit absolute 111 relative 111 Klassenmitte 110 Knotenmenge 279 Koeffizienten 42 Kombinatorik 172 Kommunikationsnetz 279 Komplementärereignis 169 Komplementärmenge 6 Komponentenstichproben 135 Mittelwerte 135 Varianzen 135 Konfidenzintervall 197 Binomialverteilung 200 Länge 198 Normalverteilung 198 Konfliktsituationen 243 Kontingenztafel 133 Konzentration 124 Konzentrationsmaße 124 Korrelation 131, 134 Korrelationskoeffizient 137 nach Pearson 136, 139 Kostenänderungen 270 Kostenmatrix 258 Kovarianz 135 Kreis 285 Kreisdiagramm 107 Kurvendiskussion 79 L Lageparameter 113 Lehrsatz binomischer 14 Lineare Optimierung 249 Beispiel 223 mathematisches Modell 233 mit drei und mehr Variablen 223 Lineares Zuordnungsproblem 275 mathematisches Modell 275 Linearkombination 28 Logarithmen Umrechnungsformel 12 Logarithmengesetze 12 Logarithmus 11 Logarithmusfunktion 75 Lorenzkurve 124 M Matrix 32 erweiterte 43 inverse 35, 49, 50, 51 Multiplikation 32 quadratisch 34 Rang 35

381 transponierte 32 Typ 32 Matrizen Differenz 32 Multiplikation 34 Summe 32 Maximierung 223 Maximum 228 Median 114 Menge 3 Darstellungsmöglichkeiten 4 disjunkt 7 leere 5 Mengenindex nach Drobisch 157 nach Fisher 157 nach Laspeyres 157 nach Marshall-Edgeworth 157 nach Paasche 157 Mengenlehre 3 Mengenverknüpfungen 5 Merkmalsausprägung 105, 106 Methode der Reihenhälftung 161 metrisch skaliert 106 Mindestabstände 292 Mindesterfolg 245 Mindestvorteil 244 Minimierung 223 Minimum 228 Misserfolg 245 Mittel arithmetisches 114 geometrisches 119 harmonisches 119 Mittelwert 114 Modalwert 114 MODI-Methode 270 Beispiel 271 N Nachfolger 280 Nachfrager 257 Netzplantechnik 280, 291 Beispiel 291, 292, 294 FIFO-Algorithmus 300 Newton-Verfahren 83 Nichtbasisvariablen 228 Nichtnegativitätsbedingung 233 nominal 106 Nordwest-Ecken-Regel 259 Algorithmus 260 Beispiel 260 Normalverteilung 187 Nullhypothese 202 Nullmatrix 34 Nullstelle 79

382 Nullvektor 28 O optimale Lösung iterative Verfahren 259 ordinal 106 Ortsvektor 29 P Parabel 72 Periode 164 Permutationen 172 Pfad kritischer 294 Pfeil 279 Pfeile parallel 280 poissonverteilt 181 Poissonverteilung 181 Polynom 74 Potenz 11 Potenzfunktion 72 Potenzgesetze 11 Preisänderungen 155 Preisindex 156 nach Drobisch 157 nach Fisher 157 nach Laspeyres 156, 157 nach Marshall-Edgeworth 157 nach Paasche 156, 157 Preismesszahl durchschnittliche 156 relative 156 Produkt 12 Produktmenge 8 Projektmanagement 291 Pufferzeit 292 Q Quantil 116, 184, 188 Quantilsabstand 121 R Rang 139 Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman 140 Rangzahl 139 Raten 66 Regression 131, 143 Regressionsgerade 143, 145, 161 Transformationen 147 Reihe arithmetische 58 geometrische 59 Rente ewige 66

Index Rentenmodelle 66 Ressourcen-Beschränkungen Änderung der 238 Restgliedabschätzung 88 Rückwärtsrechnung 294 Beispiel 297 S Sarrus 36 Säulendiagramm 107 Schätzfunktion 195 asymptotisch erwartungstreu 196 effizient 196 erwartungstreu 196 konsistent 196 Schlinge 280 Schlupfvariablen 228 Schnittmenge 5 Sekante 77 Sensitivitätsanalyse 237 Beispiel 239 Signifikanzniveau 202 Simplex-Algorithmus 249 Beispiel 229 dualer 232 mathematisches Modell 228 primaler 228 Skalarprodukt 27 Spaltenmaximum 245 Spaltenvektor 26 Spannweite 121 Spiele dynamische 247 statische 244, 246 strategische 243 Verfahren zur Lösung dynamischer 249 Spieltheorie 243 Beispiel 243, 246, 248 mathematisches Modell 244 Stabdiagramm 107 Stammfunktion 96 Standardabweichung 122 Standard-Normalverteilung 188 Startwert 84 Statistik beschreibende 105 beurteilende 179, 195 Stein-Schere-Papier 255 stetig 106 Stichprobe 105, 106 zweidimensionale 131 Stichprobenumfang 105 Strategie 245 Strategien 249 Streuungsdiagramm 132 Streuungswerte 121

Index Strukturplan Beispiel 293 Strukturplanung 291, 292 Strukturvariablen 228 Summe 12 Summenhäufigkeitsfunktion absolute 109 Symmetrie 79 T Tangente 73, 76, 84 Taylorentwicklung 87 Taylorpolynom 88 Taylorreihe 87 Entwicklungsstelle 87 Teilmenge 5 Test Erwartungswert 202, 204 Tilgungsrechnung 64 Transportgut 257 Transportprobleme 257 Beispiel 257 mathematisches Modell 257 Treppenfunktion 178 Tripel-Algorithmus 284 U unabhängig 171 Ungleichung 15 Ungleichungen lineare 223 Ungleichungssystem Koeffizienten 228 Unterdeterminante 36 V Varianz 122 Vektor 25 Betrag 27 Komponenten 26 Länge 27 Multiplikation 26 Vektoren Differenz 26 linear abhängig 29 linear unabhängig 29 Summe 26 Venn-Diagramm 4 Vereinigungsmenge 6 Vergleichsperiode 155 Mengenvektor 155 Preisvektor 155 Verhalten an den Definitionslücken 79 Gegenspieler 243 im Unendlichen 79

383 Verkehrsnetz 279 Verlustminimum 245 Versorgungsnetz 279 Verteilungen 175, 176 Verteilungsfunktion 185, 187, 188 empirische 109, 112 Verzinsung stetige 61 Vogelsches Approximationsverfahren 261 Algorithmus 261 Vorgangsliste 291, 292 Vorwärtsrechnung 294 Beispiel 294 W Wahrscheinlichkeit 171 Wahrscheinlichkeiten 248 Wahrscheinlichkeitsbegriff vom Kolmogorow 171 von Laplace 170 von Mises 170 Wahrscheinlichkeitsraum 175 Wahrscheinlichkeitstheorie 169 Wahrscheinlichkeitsverteilung 182 Warenkorb 155 Weg 280 kürzester 280 kürzester, mathematisches Modell 281 Länge 280 Wendepunkt 79 Wertindex 158 Wettbewerbssituationen 243 Wurzelfunktion 74 Z Zahlen ganze 9 natürliche 8 rationale 9 reelle 10 Zahlenbereiche 8 Zahlenlotto 175 Zeilenminimum 245 Zeilenvektor 26 Zeitplanung 291 Zeitreihe 159 Saisonkomponente 159, 164 Trendkomponente 159, 161 Zerlegungsmodell 159 zufällige Komponente 159, 165 zyklische Komponente 159, 162 Zeitreihendiagramm 159 Zeitreihenpolygon 159 Zielfunktion Änderung der Koeffizienten 237 lineare 223

384 Zufallsexperiment 169 Zufallsvariable 175 diskret 176, 177 Erwartungswert 179, 184 Quantil 180

Index stetig 176, 182 Varianz 180, 184 Verteilung 177 Verteilungsfunktion 178