Basiswissen Maschinenelemente 9783486598544

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Basiswissen Maschinenelemente von Prof. Dr. Hubert Hinzen

Oldenbourg Verlag München

Prof. Dr. Hubert Hinzen studierte an der RWTH Aachen und promovierte dort über die "Funktionsfähigkeit und Gebrauchsdauer von Klemmkörperfreiläufen im Schaltbetrieb". Anschließend leitete er bei einem Nürnberger Unternehmen ein knappes Jahrzehnt die Entwicklung und Optimierung von Schleifmaschinen für die Halbleiterindustrie und war in diesem Rahmen vorübergehend auch in Japan tätig. 1994 wurde er als Professor für die Fächer Maschinenelemente und Werkzeugmaschinen an die Fachhochschule Trier berufen. Neben seiner Lehrtätigkeit in Trier und am Institut Universitaire de Technologie de Bourgogne in Dijon beschäftigt er sich mit vielfältigen Problemen der Antriebstechnik und des Werkzeugmaschinenbaus und widmet sich mit Vorliebe der Optimierung von Reifen für den Straßenradrennsport.

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Vorwort Das Fach Maschinenelemente … hat besonders im deutschsprachigen Raum eine lange Tradition: Bevor sich der Student mit der Komplexität einer vollständigen Maschine beschäftigt, macht er sich mit deren Komponenten vertraut. Dabei wird die Maschine in ihre leichter überschaubaren Elemente aufgegliedert, die in abgewandelter Form immer wieder Verwendung finden und deshalb das Basisrepertoire des Maschinenbaus darstellen. Im klassischen Maschinenbaustudium münden die Grundlagenfächer Mathematik, Physik, Mechanik mit ihren Teilbereichen Statik, Festigkeitslehre und Dynamik, technisches Zeichnen und Werkstoffkunde in das Fach Maschinenelemente ein, welches seinerseits als Wegbereiter für die meisten weiterführenden Fächer dient. Wie kaum ein anderes Fach des Maschinenbaustudiums treten die Maschinenelemente dabei in vielfältige Wechselwirkung mit anderen Lehrfächern. Diese zentrale Bedeutung hat dieses Fach auch in den Fokus benachbarter Ingenieurdisziplinen, wie z.B. Wirtschaftsingenieurwesen, Elektrotechnik, Mechatronik, Automatisierungstechnik, Mikrosystemtechnik, Versorgungstechnik und sogar der Informatik gerückt. Teilweise sind die Maschinenelemente als Pflichtfach im Lehrplan integriert, zuweilen werden sie auch als Wahlpflichtfach angeboten. Aus didaktischer Sicht ergeben sich dabei zwei Probleme:  Das Fach wird in teilweise erheblich reduziertem Umfang gelehrt, die sonst übliche Aufteilung auf mehrere Semester wird häufig auf ein einziges Semester konzentriert, wobei auf die konstruktive Komponente des Fachs weitgehend verzichtet werden muss.  Die oben erwähnten vorbereitenden und flankierenden Grundlagenfächer sind weniger ausgeprägt: Die Mechanik beispielsweise ist lediglich als ein Teilbereich der Physik bekannt. Hieraus ergibt sich eine Lücke in der Lehrbuchliteratur, die das vorliegende Buch zu schließen versucht, was besonders unter den Restriktionen der Bachelor-Studiengänge geboten ist. Ausgangspunkt dieser Ausführungen ist das zweibändige Werk über Maschinenelemente desselben Autors, welches für den Maschinenbaustudenten vorgesehen ist, aber bereits eine Differenzierung des Lehrstoffs nach Basis, Erweiterung und Vertiefung vornimmt. Die Basisabschnitte werden hier in einem einzigen Band konzentriert und in ihrer Struktur entsprechend angepasst.

VI

Einleitung

„Probieren geht über studieren“ So übertrieben diese Volksweisheit auch formuliert sein mag, sie bringt einen wichtigen Sachverhalt der Maschinenelemente auf den Punkt: Erst durch selbständiges Bearbeiten von Problemstellungen wird Wissen in Können überführt. Optimal ist der ständige Wechsel von Stoffvermittlung in Form der Vorlesung und Stoffverarbeitung als Übung. Aus diesem Grund ist jedem Kapitel ein Aufgabenteil angehängt, der sich genau auf diesen Lehrstoff bezieht und in ähnlicher Weise gegliedert ist. Im Vorlesungsteil sind auch entsprechende Hinweise angebracht, an welcher Stelle welche Aufgabe eingeschoben werden kann. Dabei sind die Aufgaben knapp und prägnant im Stil von Prüfungsaufgaben gehalten. Die Lösungen zu den Aufgaben werden auf der Internetseite des Buches über die Homepage des Verlages als "Zusatzmaterial" bereitgestellt: www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de Die Aufgaben können unter Zuhilfenahme des Normenwerkes leicht zu kleinen Konstruktionsübungen erweitert werden. Normen werden nur dort wiedergegeben, wo sie für die Vermittlung des Lehrstoffs unverzichtbar sind und für das Bearbeiten von Beispielaufgaben benötigt werden. Weiterhin ist am Ende eines jeden Kapitels ein ausführliches Verzeichnis an Fachliteratur und Normen angefügt.

Ein herzliches Dankeschön … gilt allen, die an der Entstehung dieses Buches mitgewirkt haben: Dabei haben sich vor allen Dingen die Studenten der Fachhochschule Trier und des „Institut Universitaire de Technologie de Bourgogne“ in Dijon hervorgetan, die mit zahllosen Anmerkungen, Fragen und Bildbeiträgen die Mosaiksteinchen geliefert haben, mit denen die Struktur dieses Lehrkonzepts ausgefüllt worden ist. Weiterhin sei den Kollegen anderer Hochschulen gedankt, die mit ihren zahlreichen Zuschriften zur zweibändigen Ausgabe manche Diskussion in Gang gebracht und viele Verbesserungsbeiträge geliefert haben.

Inhalt Vorwort Einleitung Literatur

V XIII 15

0 0.1 0.1.1 0.1.1.1 0.1.1.2 0.1.1.3 0.1.2 0.1.2.1 0.1.2.2 0.1.2.3 0.1.2.4 0.2 0.2.1 0.2.2 0.2.3 0.2.3.1 0.2.3.2 0.3 0.3.1 0.3.2 0.4

Grundlagen der Festigkeitslehre 1 Normalspannung ........................................................................................................ 2 Zug und Druck ........................................................................................................... 2 Zug- und Druckspannung........................................................................................... 3 Werkstoffverhalten bei Zug und Druck...................................................................... 3 Sicherheitsnachweis ................................................................................................. 11 Biegung .................................................................................................................... 12 Biegespannung ......................................................................................................... 12 Flächen- und Widerstandsmomente genormter Profile ............................................ 16 Axiales Flächenmoment und Widerstandsmoment eines Rechtecks Wax............... 19 Axiales Flächenmoment und Widerstandsmoment weiterer Grundmuster ............. 20 Tangentialspannung.................................................................................................. 21 Querkraftschub ......................................................................................................... 22 Werkstoffverhalten bei Schub .................................................................................. 23 Torsion ..................................................................................................................... 24 Torsionsschub........................................................................................................... 24 Polares Widerstandsmoment Wpol ............................................................................ 26 Anhang ..................................................................................................................... 28 Literatur.................................................................................................................... 28 Normen..................................................................................................................... 29 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre ............................................................. 30

1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3

Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit 41 Überlagerung von Spannungszuständen................................................................... 41 Zeitlich veränderliche Belastung.............................................................................. 44 Belastung von Achsen und Wellen........................................................................... 46 Lagerung von Achsen............................................................................................... 46 Lagerung von Wellen ............................................................................................... 48 Lagerung mit einem einzigen Lager......................................................................... 51

VIII

Inhalt

1.3.4 1.3.5 1.4 1.4.1 1.4.2 1.5 1.5.1 1.5.2 1.6

Fest-Los-Lagerung ................................................................................................... 52 Umlaufbiegung......................................................................................................... 53 Werkstoffkundlich zulässige Belastung bei zeitlich veränderlicher Beanspruchung 54 Betriebsfestigkeit...................................................................................................... 54 Dauerfestigkeitskennwerte ....................................................................................... 55 Anhang ..................................................................................................................... 58 Literatur.................................................................................................................... 58 Normen..................................................................................................................... 59 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit......................................................... 61

2 2.1 2.1.1 2.1.1.1 2.1.1.2 2.1.1.3 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.4

Federn und weitere elastische Bauteilverformungen 69 Grundbegriffe ........................................................................................................... 71 Federsteifigkeit......................................................................................................... 71 Steifigkeit einer Modellfeder.................................................................................... 72 Federkennlinie.......................................................................................................... 74 Zusammenschalten mehrerer Federn........................................................................ 74 Belastbarkeit von Federn.......................................................................................... 77 Federungsarbeit ........................................................................................................ 78 Federreibung (Hysterese) ......................................................................................... 79 Einige Bauformen metallischer Federn .................................................................... 81 Drehstabfeder ........................................................................................................... 83 Schraubenfeder als Zug-/Druckfeder........................................................................ 86 Belastbarkeit............................................................................................................. 86 Steifigkeit ................................................................................................................. 88 Anhang ..................................................................................................................... 90 Literatur.................................................................................................................... 90 Normen..................................................................................................................... 90 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen .............................. 92

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.4.1 3.1.4.2 3.1.4.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Verbindungselemente und Verbindungstechniken 103 Nieten ..................................................................................................................... 103 Querkraftschub eines einzelnen kaltgeschlagenen Niets ....................................... 105 Lochleibungsdruck eines einzelnen kaltgeschlagenen Niets ................................. 106 Zulässige Werkstoffbelastung eines kaltgeschlagenen Niets ................................ 107 Lastverteilung auf mehrere Nieten ......................................................................... 108 Querkraftbelastete Nietverbindung ........................................................................ 108 Momentenbelastete Nietverbindung....................................................................... 109 Überlagerung von Querkraft- und Momentenbelastung......................................... 111 Löten ...................................................................................................................... 112 Löttemperatur ......................................................................................................... 113 Lötverfahren ........................................................................................................... 113 Festigkeitsberechnung von Lötverbindungen......................................................... 115 Gestaltung von Lötverbindungen ........................................................................... 116

Inhalt

IX

3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5

Kleben .................................................................................................................... 118 Anhang ................................................................................................................... 121 Literatur.................................................................................................................. 121 Normen................................................................................................................... 123 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken ............................... 125

4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.7 4.7.1 4.7.2 4.8

Schrauben 133 Geometrie der Schraube ......................................................................................... 134 Kräfte und Momente beim Anziehen der Schraube ............................................... 138 Modellvorstellung reibungsfrei .............................................................................. 138 Gewindereibung ..................................................................................................... 139 Kopfreibung ........................................................................................................... 143 Selbsthemmung ...................................................................................................... 144 Festigkeitsnachweis von Schraubverbindungen ..................................................... 145 Vorspannen von Schraubverbindungen.................................................................. 148 Vorspannung und Verformung............................................................................... 149 Setzen der Schraube ............................................................................................... 153 Thermisches Anziehen und andere thermische Einflüsse....................................... 155 Betriebskraftbelastung der Schraube ...................................................................... 156 Querkraftbeanspruchte Schraubverbindungen........................................................ 156 Längskraftbeanspruchte Schraubverbindungen...................................................... 158 Gestaltung von Befestigungsschraubverbindungen................................................ 162 Schraubentypen ...................................................................................................... 162 Schraubensicherungen............................................................................................ 162 Unterlegscheiben.................................................................................................... 164 Torsionsfreies Anziehen......................................................................................... 164 Anhang ................................................................................................................... 165 Literatur.................................................................................................................. 165 Normen................................................................................................................... 167 Aufgaben: Schrauben ............................................................................................. 170

5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.1.1 5.2.1.2 5.2.1.3 5.2.2 5.2.2.1 5.2.2.2 5.2.3

Lagerungen 177 Lager mit Festkörperreibung (Bolzen) ................................................................... 179 Wälzlager ............................................................................................................... 182 Lageranordnungen.................................................................................................. 183 Fest-Los-Lagerung ................................................................................................. 183 Schwimmende Lagerung........................................................................................ 185 Angestellte Lagerung ............................................................................................. 187 Lagerbauformen ..................................................................................................... 188 Kugellager .............................................................................................................. 189 Rollenlager ............................................................................................................. 190 Dimensionierung eines einzelnen Lagers ............................................................... 195

X

Inhalt

5.2.3.1 5.2.3.2 5.2.3.3 5.2.4 5.2.4.1 5.2.4.2 5.2.4.3 5.2.4.4 5.2.4.5 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4

Belastung im Wälzkontakt ..................................................................................... 196 Lastverteilung auf die einzelnen Wälzelemente ..................................................... 198 Dimensionierung nach Tragzahlen......................................................................... 199 Gestaltung von Wälzlagerungen............................................................................. 206 Axiale Festlegung des Lagers................................................................................. 207 Schmierung............................................................................................................. 208 Abdichtung von Wälzlagerungen ........................................................................... 209 Konstruktionsbeispiele ........................................................................................... 211 Lagerauswahl ......................................................................................................... 214 Anhang ................................................................................................................... 215 Literatur.................................................................................................................. 215 Normen................................................................................................................... 217 Aufgaben: Lagerungen ........................................................................................... 220

6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.1.1 6.3.1.2 6.3.2 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5

Welle-Nabe-Verbindungen 229 Stoffschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen ........................................................... 230 Formschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen........................................................... 233 Keilwellenverbindungen ........................................................................................ 233 Passfederverbindungen........................................................................................... 236 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen.......................................... 237 Klemmverbindungen .............................................................................................. 239 Axialklemmverbindungen ...................................................................................... 239 Radialklemmverbindungen .................................................................................... 242 Zylinderpressverband ............................................................................................. 249 Anhang ................................................................................................................... 250 Literatur.................................................................................................................. 250 Normen................................................................................................................... 251 Aufgaben: Welle-Nabe-Verbindungen................................................................... 252

7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3

Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe 259 Anforderungen und Aufgaben................................................................................ 259 Momentenwandlung............................................................................................... 259 Drehzahlwandlung ................................................................................................. 262 Formschluss und Reibschluss................................................................................. 264 Getriebe als Wandler mechanischer Leistung ........................................................ 266 Reibradgetriebe (Wälzgetriebe).............................................................................. 270 Geschwindigkeiten im Wälzkontakt....................................................................... 271 Belastungen im Wälzkontakt.................................................................................. 271 Stufenlose Übersetzungsmöglichkeiten.................................................................. 275 Riemengetriebe....................................................................................................... 276 Seilreibung ............................................................................................................. 276 Treibscheiben ......................................................................................................... 280 Momentenübertragung und Vorspannung .............................................................. 281

Inhalt

XI

7.4 Zahnradgetriebe...................................................................................................... 288 7.4.1 Konstruktion der Evolvente.................................................................................... 290 7.4.2 Einzeleingriff zweier Evolventen ........................................................................... 291 7.4.3 Kopfkreis – Fußkreis .............................................................................................. 293 7.4.4 Mehrfacheingriff .................................................................................................... 294 7.4.5 Eingriffsstrecke – Überdeckungsgrad .................................................................... 296 7.4.6 Kopfspiel – Fußausrundung ................................................................................... 298 7.4.7 Zahnradherstellung................................................................................................. 299 7.4.8 Problem der minimalen Zähnezahl......................................................................... 301 7.4.9 Ermittlung der Zahnkräfte ...................................................................................... 302 7.4.10 Festigkeit der Evolventenverzahnung .................................................................... 303 7.4.10.1 Beanspruchung am Zahnfuß................................................................................... 303 7.4.10.2 Pressung an den Zahnflanken................................................................................. 305 7.4.10.3 Fressen der Zahnflanken ........................................................................................ 306 7.5 Anhang ................................................................................................................... 307 7.5.1 Literatur.................................................................................................................. 307 7.5.2 Normen................................................................................................................... 308 7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe ........ 313 Stichwortverzeichnis

331

Einleitung Bereits für den Maschinenbaustudenten ist die Anzahl und Vielfalt der Maschinenelemente nicht so einfach überschaubar. Eine simple Verdichtung dieses Stoffumfanges für andere Studienrichtungen würde ein schwer verdauliches Konzentrat ergeben, welches im Wahlfächerkatalog kaum berücksichtigt werden würde. Es ist vielmehr angebracht, die Vielfalt der Maschinenelemente auf die wesentlichen Basiskapitel zu reduzieren. Die dadurch bedingte Auswahl orientiert sich vorrangig an den folgenden Aspekten:  Es werden die Maschinenelemente ausgewählt, die für die „Methoden des Fachs“ besonders wichtig sind. Die spezielle Kenntnis eines einzelnen Maschinenelementes steht dabei weniger im Vordergrund als vielmehr das Bestreben, zentrale, allgemeingültige Aussagen zu erarbeiten, die sich mit gewissen Modifikationen auch auf andere Maschinenelemente übertragen lassen oder zumindest bei deren Erfassung hilfreich sind. Damit wird der Student gezielt darauf vorbereitet, sich ohne fremde Hilfe mit weiteren Maschinenelementen vertraut zu machen, auf die hier nicht gesondert eingegangen werden kann.  Ein Lehrbuch über Maschinenelemente muss in erster Linie auf die Befähigung hinwirken, mit weiterführender Fachliteratur umzugehen. Aus Zeit- und Platzmangel kann es aber nicht Ziel eines Grundlagenfachs sein, den Stoff im Stil vertiefender Fachliteratur zu behandeln.  Der Nutzen des Studiums kann nicht darin bestehen, Fertigkeiten zu erarbeiten, die auf ein Spezialgebiet beschränkt bleiben, sondern es geht vielmehr darum, Fähigkeiten von allgemeingültigem Nutzen zu vermitteln.  Im Sinne eines möglichst effizienten Studiums wird im vorliegenden Lehrbuch die Reihenfolge der Maschinenelemente so angelegt, dass zunächst von möglichst einfachen, für den Studienanfänger überschaubaren Zusammenhängen ausgegangen wird und dann bei jedem weiteren Schritt neue Sachverhalte in gezielter Dosierung hinzukommen. Einerseits ist zuviel Neues auf einmal schwer verdaulich, andererseits ist aber auch zuviel Redundanz langweilig bis einschläfernd. Das vorliegende Buch widmet sich besonders dem Problem, ingenieurmäßig sinnvolle Ansätze zu formulieren. Zu Beginn des Studiums wird mit den klaren, unzweifelbaren Aussagen der Mathematik vertraut gemacht. Die klassische Physik versucht, diese Vorgehensweise durch Modellbildung weitgehend aufrecht zu erhalten. Im Gegensatz dazu müssen im Fach Maschinenelemente zunehmend unschärfere Ansätze formuliert werden, was häufig zu einer Gratwanderung führt:

XIV

Einleitung

 Einerseits soll eine übertriebene „Verwissenschaftlichung“ vermieden werden, weil damit zuweilen sehr komplexe Ansätze und aufwendige Berechnungen verbunden sind, die für ingenieurmäßiges Arbeiten häufig untauglich sind.  Andererseits sind Dimensionierungsangaben, die auf „bewährten Größengleichungen“ beruhen und in der betrieblichen Praxis noch weit verbreitet sind, ebenfalls unbrauchbar. Solche „Erfahrungsformeln“ sind häufig in ihrem Anwendungsbereich stark eingeschränkt, verleiten zum bloßen „Formelmanagement“ und täuschen vielfach eine Sicherheit vor, die sich bei exakter Analyse häufig als zweifelhaft herausstellt. Sie sind deshalb für eine allgemeingültige Lehre kaum geeignet. Problematisch wird diese Gratwanderung bei komplexen Maschinenelementen (beispielsweise Wälzlager). Das vorliegende Buch diskutiert die Problematik zwar in seiner Vielschichtigkeit grundsätzlich an, für die weitere Behandlung des Sachverhaltes wird jedoch unter Verzicht auf allzu aufwendige rechnerische Beschreibungen eine ingenieurmäßig sinnvolle Vereinfachung gesucht: „Der Ingenieur muss nicht alles wissen, er muss sich aber zu helfen wissen.“ Der Aufwand muss schließlich immer im vernünftigen Verhältnis zum Nutzen stehen. Der Ingenieur strebt stets eine Maschine mit bestmöglichem „Wirkungsgrad“ (= Nutzen/Aufwand) an, dieses Streben muss aber schließlich auch seinen eigenen Arbeitsstil betreffen. Die moderne Datenverarbeitung gibt dem Studenten ein überaus präzises Rechenwerkzeug an die Hand, dessen numerisch akkurate Ergebnisse aber nicht selten für Missverständnisse sorgen: Tatsächlich sind die Eingangsgrößen für eine Berechnung (beispielsweise die Annahme oder die Messung der angreifenden Kraft) schon so ungenau, dass die rechnerisch mögliche Präzision bei der Darstellung des Ergebnisses häufig trügerisch ist. Das Fach Maschinenelemente eignet sich besonders dazu, den Umgang mit diesen Unschärfen zu erlernen, die für den weiteren Verlauf des Studiums und erst recht für die berufliche Praxis typisch sind. Auch wenn das konkrete Maschinenelement im Vordergrund steht, wird eine Isolierung auf das einzelne Element vermieden. Der Übergang zu den weiterführenden Lehrveranstaltungen gelingt dann am besten, wenn das einzelne Element so frühzeitig wie möglich im Zusammenspiel mit seinen Nachbarelementen bzw. seiner konstruktiven Umgebung betrachtet wird. Wenn beispielsweise eine Schraubverbindung erörtert wird, so sollte der Student erkennen, wo die Belastung herkommt. Eine Angabe wie „ … die Schraube wird mit soundsoviel Newton belastet“ fördert nicht das Erfassen übergeordneter Zusammenhänge, sondern verharrt in der Isolation des einzelnen Elementes. Im Eingangskapitel (Grundlagen der Festigkeitslehre) werden die Lastannahmen ganz einfach als Gewichts-, Seil- oder Kettenkräfte angebracht. Mit fortschreitendem Stoff können dann mehrere Maschinenelemente miteinander verknüpft werden, so dass das Zusammenspiel der Kräfte in einen komplexeren Zusammenhang gestellt werden kann. Wo immer es möglich und sinnvoll erscheint, wird das Zusammenspiel mit benachbarten Maschinenelementen betrachtet, denn das einzelne Maschinenelement ist eben nur Bestandteil der Maschine. Besonders die Übungsbeispiele betonen diese Grundsätzlichkeit immer wieder und werden damit zum integralen Bestandteil des vorliegenden Lehrbuchs.

Literatur Die einzelnen Kapitel verweisen in ihrem jeweiligen Schlussabschnitt auf die weiterführende Fachliteratur. In Ergänzung dazu versucht die folgende Auflistung, die Literatur zusammenzustellen, die die Gesamtheit der Maschinenelemente darstellt bzw. zu deren Verständnis beiträgt: [1]

Beitz; Küttner: Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer 1995

[2]

Böttcher; Forberg: Technisches Zeichnen. Teubner

[3]

Decker: Maschinenelemente. Hanser

[4]

Freund, H.: Konstruktionselemente, Band 1 und 2. BI Wissenschaftsverlag

[5]

Haberhauer; Bodenstein: Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer

[6]

Hinzen, H.: Maschinenelemente, Band 1 und 2, Oldenbourg

[7]

Hoischen: Technisches Zeichnen. Girardet

[8]

Hütte: Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften. Springer 1995

[9]

Klein: Einführung in die DIN-Normen. Teubner

[10]

Köhler; Rögnitz: Maschinenteile 1 und 2. Teubner

[11]

Konrad, K.-J.: Grundlagen der Konstruktionslehre. Hanser 1998

[12]

Künne: Einführung in die Maschinenelemente. Teubner

[13]

Mott, R. L.: Machine Elements in Mechanical Design. Prentice Hall 2004

[14]

Niemann, G.: Maschinenelemente, Band 1 und 2. Springer

[15]

Roloff; Matek: Maschinenelemente. Vieweg

[16]

Steinhilper, W.; Röper, R.: Maschinen- und Konstruktionselemente, Band 1–3. Springer

0

Grundlagen der Festigkeitslehre

Dieses Eingangskapitel hat eigentlich noch nicht viel mit dem Gegenstand dieses Buches zu tun, sondern greift vielmehr die Festigkeitslehre als den Wegbereiter der Maschinenelemente auf und wird deshalb mit einer Null klassifiziert. Für den Leser mit Vorkenntnissen in diesem Teilgebiet der Mechanik mögen diese Ausführungen möglicherweise überflüssig sein, aber sie schaffen allemal ein solides Fundament für die weiter unten folgenden eigentlichen Maschinenelemente. Jedes Maschinenelemente muss mit mehr oder weniger Aufwand „dimensioniert“ werden, d.h. dass seine Abmessungen in Zusammenhang mit den Daten seines Werkstoffs festgelegt werden: Die Funktionstauglichkeit und Betriebssicherheit eines einzelnen Bauteils hängt vor allen Dingen davon ab, ob es den Belastungen, denen es ausgesetzt ist, standhält. Dabei können zwei Modellfälle unterschieden werden:  Ist das Bauteil zu klein, zu schlank oder zu dünn ausgelegt, dann wird es der Belastung nicht standhalten und versagen (Unterdimensionierung).  Ist dieses Bauteil zu dick, zu wuchtig oder zu voluminös ausgelegt, dann wird nicht nur unnötig viel von möglicherweise teurem Material eingesetzt, sondern das Bauteil ist auch zu groß, zu schwer oder zu sperrig, was z.B. im Fahrzeugbau oder erst recht im Flugzeugbau nicht akzeptiert werden kann (Überdimensionierung). Ein Bauteil ist also optimalerweise genau so zu dimensionieren, dass die Belastungen ohne Versagen oder Schaden aufgenommen werden, andererseits aber auch der Materialeinsatz minimiert wird. Dazu müssen die Bauteile entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Festigkeitslehre ausgelegt werden. Im vorliegenden Kapitel wird vereinfachend angenommen, dass sich die Belastung im Laufe der Zeit nicht ändert. Diese sog. „statische“ Belastung ist einfacher zu beschreiben als eine solche, die sich zeitlich ändert und als „dynamisch“ bezeichnet wird. Im Gegensatz zum Bauingenieurwesen ist diese Randbedingung für den Maschinenbau zwar eher unzutreffend, aber für eine erste Betrachtung wird vorausgesetzt, dass die Belastung konstant ist bzw. so langsam aufgebracht wird, dass sie für das Bauteil als konstant angesehen werden kann. Eine solche Last wird als „quasistatisch“ bezeichnet.

2

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

0.1

Normalspannung

0.1.1

Zug und Druck

Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen ist ein einfaches Stahlseil. Wenn dieses Stahlseil beispielsweise unter einer gewissen Zugkraft F reißt, dann wird ein dickeres Stahlseil derselben Belastung u.U. widerstehen können. Die Kraft alleine ist also nicht ausschlaggebend für die Beschreibung des Lastzustandes im Seil, sondern entscheidend ist die spezifische Belastung, zu deren Kennzeichnung die sog. Spannung  („Sigma“) als Quotient von belastender Kraft und der (metallischen) Querschnittsfläche des Seils A formuliert wird: 

F A

Gl. 0.1

Elektrotechniker mögen entschuldigen, dass deren Verständnis von Spannung hier mit einer völlig anderen Bedeutung belegt wird. Die hier vorliegende mechanische Spannung wird meist in N/mm² angegeben, neuerdings wird auch vielfach die Einheit MPa verwendet, wobei die dabei ermittelten Zahlenwerte völlig identisch sind: 1 MPa  1  106

N N N  1  106 6 1 10 mm 2 m2 mm 2

Die vorstehende Definition der Spannung ist auch insofern einleuchtend, weil sich nach ihr die spezifische Belastung nicht ändert, wenn man beispielsweise bei doppelter Kraft gleichzeitig die Querschnittsfläche verdoppelt. Die spezifische Belastung und damit die Beanspruchung des Werkstoffs sind in beiden Fällen gleich. Man kann sich diesen Sachverhalt am hier vorliegenden Fall eines Seils auch folgendermaßen modellhaft vorstellen: Die Spannung wird als die Kraft aufgefasst, die eine einzelne Faser des Seils belastet. Verschieden dicke Seile unterscheiden sich dann nur dadurch, dass sie entsprechend ihrer Dicke mehr oder weniger dieser gleichartigen Fasern enthalten. Durch die Normierung der belastenden Kraft auf die lastübertragende Fläche wird übrigens auch klar, dass die Festigkeit des Bauteils bei dieser ersten Betrachtung unabhängig von der Formgebung dieser Fläche ist, der beim Seil vorliegende Kreisquerschnitt kann also auch durch andere geometrische Muster (z.B. Vielfachanordnung vieler kleiner Kreisquerschnitte oder auch Quadrate oder Rechtecke) ersetzt werden, ohne dass sich dabei die Beanspruchung ändert. Für die Formgebung dieser lastübertragenden Fläche sind meistens technologische oder auch konstruktive Erfordernisse maßgebend, so lässt sich beispielsweise ein Seil am einfachsten mit einem Kreisquerschnitt herstellen. Die hier vorliegende Spannung ist dadurch gekennzeichnet, dass sie als Folge der sie hervorrufenden Kraft normal auf der Querschnittsfläche A steht.

0.1 Normalspannung

0.1.1.1

3

Zug- und Druckspannung

Das Seil ist so beschaffen, dass es nur Zugkräfte als Zugspannung aufnehmen kann. Die Betrachtung an einem festen Körper wie z.B. einer zylindrischen Stange erlaubt auch noch eine weitere Belastung: Eine Druckkraft FD würde nach ähnlicher Definition eine Druckspannung D hervorrufen. Demzufolge kann eine Stange (in der Statik „Stab“) sowohl Zugkräfte FZ als Zugspannung Z als auch Druckkräfte FD als Druckspannung D aufnehmen. Dieser Zugund Druckspannungszustand lässt sich sinnbildlich folgendermaßen verdeutlichen: Zugkraft FZ ruft Zugspannung Z hervor

Druckkraft FD ruft Druckspannung D hervor

FZ

FD σZ

σD

σZ

σD

FZ Z 

FZ A

FD D 

FD A

Bild 0.1: Zug- und Druckspannung.

Damit ist also für diesen einfachen Fall der quasistatischen Belastung die entscheidende Lastkenngröße formuliert. Für eine beliebige Schnittebene im Stab lassen sich die dort wirkenden Spannungen nach dem Prinzip „actio = reactio“ sowohl in der einen als auch in der anderen Richtung auftragen. Wird ein Stab auf Druck belastet, so besteht im allgemeinen Fall auch die Gefahr, dass er ausknickt (mehr darüber im Abschnitt 0.3 der zweibändigen Ausgabe).

0.1.1.2

Werkstoffverhalten bei Zug und Druck

Die Kenntnis der im Bauteil wirkenden Spannung alleine gibt aber noch keine Auskunft darüber, ob das Bauteil der Belastung standhält oder nicht. Diese Frage erfordert vielmehr die Klärung der Belastungsfähigkeit des Werkstoffs. Dazu wird eine Werkstoffprobe mit standardisierten Abmessungen einer definierten Zugbelastung ausgesetzt und dabei ihr Verhalten beobachtet. Bild 0.2 zeigt den schematischen Aufbau einer dazu verwendeten Zugprüfmaschine.

4

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Bild 0.2: Zugprüfmaschine und standardisierte Zugprobe

Wird die auf den Stab einwirkende Zugspannung zunehmend größer, so wird dieser unter dem Einfluss der Belastung geringfügig länger werden. Diese Längung verbleibt zunächst im Promille-Bereich und ist mit dem bloßen Auge kaum wahrnehmbar. Ist die Belastung nicht allzu hoch, so ist sie rein elastisch, d.h. bei Zurücknahme der Zugbelastung nimmt der Zugstab wieder seine ursprüngliche Länge an, er federt in seine Ausgangslage zurück. Dieser Sachverhalt lässt sich anschaulich im sog. Spannungs-Dehnungs-Diagramm darstellen (Bild 0.3).

0.1 Normalspannung

5

Bild 0.3: Elastischer Bereich des Spannungs-Dehnungs-Diagramms

Auf der Abszisse ist die Längung des Zugstabes zunächst als absolute Längenänderung L aufgetragen. Zur Verallgemeinerung dieser Aussage ist es jedoch sinnvoll, auch diese Größe zu normieren: Die Längenänderung L wird auf die Ursprungslänge L bezogen und als „relative Längenänderung “ bezeichnet: 

L L

Gl. 0.2

Mit der Formulierung der Spannung  und der relativen Längenänderung  lässt sich das Verformungsverhalten eines Werkstoffes unabhängig von den speziellen Bauteilabmessungen ausdrücken. Die Steigung der Gerade im Spannungs-Dehnungs-Diagramm lässt sich als Geradengleichung der Form y = m  x auftragen. Mit den hier verwendeten Bezeichnungen für Abszisse und Ordinate ergibt sich die Formulierung =E

Gl. 0.3

Die Größe E wird dabei zunächst einmal als rein rechnerisches Steigungsmaß der dadurch entstandenen Geraden aufgefasst, die auch „Hookesche Gerade“ genannt wird. Der Zahlenwert von E ist ähnlich wie das spezifische Gewicht nur vom Werkstoff abhängig und wird mit „Elastizitätsmodul“ bezeichnet. Da  dimensionslos ist, muss der Elastizitätsmodul E die Dimension einer Spannung, also N/mm² bzw. MPa annehmen. Tabelle 0.1 beziffert den Elastizitätsmodul einiger im Maschinenbau verwendeter Werkstoffe (von dem in der rechten Spalte aufgeführten Schubmodul wird weiter unten noch die Rede sein).

6

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Tabelle 0.1: Elastizitätsmodul und Schubmodul Werkstoff Gummi Balsaholz (längs zur Faserrichtung) Teakholz (längs zur Faserrichtung) Magnesium Aluminium Gusseisen GG 20 Gusseisen GG 30 Gusseisen GG 40 Gusseisen GGG 38 – GGG 72 CuZn 37 nach DIN 17628 Grauguss CuSn 6 nach DIN 17628 Kupfer CuNi18Zn20 nach DIN 17663 nichtrostende Stähle nach DIN 17224 warmgeformte Stähle nach DIN 17221 Stahlguss GS kaltgezogene Drähte nach DIN 17223 kaltgewalzte Stahlbänder nach DIN 17222 Stahl allgemein Molybdän Wolfram

Elastizitätsmodul in N/mm² Schubmodul in N/mm² bis ca. 45 ca. 4.000 10.400–10.900 40.000–45.000 72.000 105.000 125.000 125.000–155.000 175.000–185.000 110.000 110.000 115.000 125.000 140.000 176.600 196.200 200.000–215.000 206.000 206.000 215.000 338.000 400.000

27.000 40.000 48.000 63.500–71.300 43.000 46.000

81.000

82.000 150.000

Eine grundsätzliche Forderung an Bauteile des Maschinenbaus kann darin bestehen, sich unter Belastung möglichst wenig zu verformen. Aus diesem Grund ist in vielen Fällen eine möglichst steile Gerade im Spannungs-Dehnungs-Diagramm erwünscht, was das Streben nach einem möglichst hohen Elastizitätsmodul bedeutet. Stahl nimmt diesbezüglich eine Spitzenstellung ein, was neben seiner Belastungsfähigkeit ein weiterer Grund dafür ist, dass dieser Werkstoff im Maschinenbau bevorzugt eingesetzt wird. Molybdän weist zwar einen noch deutlich höheren Elastizitätsmodul auf, wird aber wegen seiner hohen Kosten als Konstruktionswerkstoff nicht verwendet. Im Gegensatz zum Gusseisen ist der Elastizitätsmodul von Stählen annähernd konstant und lässt sich auch durch Legierung kaum beeinflussen. Gummi kommt als Konstruktionswerkstoff im Maschinenbau nur dann in Frage, wenn bewusst große Verformungen angestrebt werden. Dies trifft bei Federn zu (Kapitel 2) und in diesem Fall erweist sich ein geringer E-Modul als Vorteil. Andererseits sagt das Spannungs-Dehnungs-Diagramm auch aus, dass eine dem Bauteil aufgezwungene Verformung  eine Spannung  zur Folge hat. Die im obigen Diagramm skiz-

0.1 Normalspannung

7

zierte Hookesche Gerade gibt nur den rein elastischen Bereich des Werkstoffverhaltens wieder: Wird die belastende Spannung zurückgenommen, so federt der Werkstoff wieder in seine Ursprungslänge ( = 0) zurück. Analog dazu geht auch die im Werkstoff herrschende Spannung  wieder zurück, wenn die dem Werkstoff aufgezwungenen Deformation  zurückgenommen wird. Die Elastizitätsgerade des Spannungs-Dehnungs-Diagramms setzt sich allerdings nicht beliebig fort. In Bild 0.4 ist der weitere Verlauf dieses Diagramms für Baustahl modellhaft skizziert.

Bild 0.4: Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Zum besseren Verständnis wird die Deformation  als unabhängige Variable betrachtet. Bei weiter fortschreitender Dehnung weicht das reale Werkstoffverhalten zunehmend von der Hookeschen Geraden ab. Die Spannung, bei der die Elastizitätsgerade verlassen wird, wird Streckgrenze genannt und mit Re bezeichnet. Dabei wird die Bezeichnung R aus dem angelsächsischen „Resistance“ abgeleitet und der Index e deutet auf das rein elastische Verhalten hin. Wird der Zugstab über diese Streckgrenze hinaus gedehnt, so steigt zunächst je nach Werkstoff die Spannung kaum an bzw. fällt sogar etwas ab. Es schließt sich ein Bereich an, in dem sich die Spannung  bei fortschreitender Dehnung  nicht wesentlich ändert. Bei weiterhin ansteigender Dehnung erhöht sich die Spannung wieder bis zu einem Maximalwert, den man Zugfestigkeit Rm nennt, wobei der Index m so viel wie „maximum“ bedeutet. Nach Erreichen dieses Wertes fällt die auf den Ausgangsquerschnitt bezogene Spannung schließlich wieder ab. Dieser Spannungsabfall geht mit der Einschnürung (s. Bild 0.2) der Werkstoffprobe einher. Während der Zugstab über weite Teile seiner Erstreckung seine zylindrische Form und damit seine ursprüngliche Querschnittsfläche nur unwesentlich ändert, kommt es in einem lokal begrenzten Bereich zu einer deutlichen Verjüngung der Probenquerschnittsfläche. Da aber die in der Einschnürung verbleibende Restquerschnittsfläche messtechnisch nicht so ohne weiteres erfasst werden kann, beschränkt man sich in der Formulierung der Spannung  = F / A auf den ursprünglich vorhandenen Ausgangsquerschnitt im lastlosen Zustand A. Die so ermittelte „Nenn“-Spannung ist dann zunehmend kleiner als die im Einschnürungsbereich tatsächlich vorliegende „wahre“ Spannung, die weiterhin ansteigt. In diesem Bereich ist deshalb auch die Formulierung der Dehnung  als Quotient L / L

8

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

problematisch. Diese Differenzierung ist an dieser Stelle der Betrachtung jedoch noch gegenstandslos, weil damit ein Bauteilversagen herbeigeführt wird, welches im Rahmen der hier betrachteten Maschinenelemente ohnehin nicht zugelassen werden kann. Bereits unmittelbar nach dem Überschreiten der Streckgrenze ist die Dehnung  nicht mehr rein elastisch, sondern teilweise plastisch, was sich aus folgender Beobachtung ableiten lässt: Wird das Bauteil über die Streckgrenze hinaus belastet und anschließend wieder entlastet, so wandert der Belastungspunkt wegen der zwischenzeitlich eingetretenen teilplastischen Verformung nicht etwa auf dem gleichen Kurvenzug in den Koordinatenursprung des Diagramms zurück, sondern er bewegt sich parallel zur Elastizitätsgeraden abwärts, so dass schließlich bei völliger Entlastung ( = 0) eine plastische Dehnung  zurückbleibt, die nicht mehr zurückfedert. In diesem Fall setzt sich die dadurch bedingte Dehnung  nach Bild 0.5 aus einem elastischen und einem plastischen Anteil zusammen.

Bild 0.5: Elastische und plastische Dehnung

Kann eine plastische Verformung zugelassen werden, so kann der Werkstoff bei quasistatischer Belastung im Extremfall bis zum Wert Rm belastet werden. Diese für den Werkstoffkundler interessante Fragestellung ist für den Maschinenbauer allerdings nicht von vorrangiger Wichtigkeit. Da man im Maschinenbau meist plastische Dehnungen auszuschließen versucht, ist normalerweise die Streckgrenze der größtmögliche Spannungswert, den man dem Werkstoff unter optimalen Bedingungen (quasistatische, einmalige Belastung) zumuten kann. Für diese Spannung wird meist folgende Indizierung verwendet: zulässige Spannung für Zugbelastung:

Re

(Streckgrenze)

zulässige Spannung für Druckbelastung:

dF

(Quetschgrenze)

Der Index „dF“ steht für „Druckfließ“. Versuchstechnisch sind diese Werte aber nicht immer mit der gewünschten Genauigkeit zu ermitteln, da je nach Werkstoffbeschaffenheit eine ausgeprägte Streckgrenze nicht vorhanden ist. Insofern hat die sog. 0,2-Dehngrenze Rp0,2 als ein weiterer Werkstoffkennwert eine größere praktische Bedeutung erlangt. Dieser Wert gibt die

0.1 Normalspannung

9

Spannung an, bei der nach der Entlastung eine bleibende (plastische) Dehnung von 0,2 % noch zugelassen wird: zulässige Spannung für Zugbelastung:

z zul = Rp0,2

Die folgenden Tabellen nennen für einige im Maschinenbau übliche metallische Werkstoffe die 0,2-Dehngrenze Rp0,2: Tabelle 0.2: Dehngrenze wichtiger Konstruktionswerkstoffe

Gusseisen nach DIN 1693

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

GGG-40

0.7040

250

GGG-60

0.7050

380

GGG-70

0.7070

440

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

GS-38

1.0416

190

GS-45

1.0443

230

GS-52

1.0551

260

GS-60

1.0553

300

GS-62

1.0555

350

GS-70

1.0554

420

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

St 33

1.0035

175 – 180

RSt 37-2 (S 235)

1.0038

225 –235

St 44-3 (S 275)

1.0144

265 – 275

St 50-2 (E 295)

1.0050

285 – 295

St 52-3 (S 335)

1.0570

345 – 355

St 60-2 (E 335)

1.0060

325 – 335

St 70-2 (E 360)

1.0070

355 – 365

Stahlguss nach DIN 1681

Baustähle nach DIN 17100

10

0 Grundlagen der Festigkeitslehre Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

C35

1.0501

365

C45

1.0503

410

C60

1.0601

490

28Mn6

1.5065

490

34Cr4

1.7033

590

41Cr4

1.7035

665

34CrMo4

1.7220

665

42CrMo4

1.7225

765

34CrNiMo6

1.6582

885

30CrNiMo8

1.6580

1030

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

C10

1.0301

295

Ck15

1.1141

355

15Cr3

1.7015

440

16MnCr5

1.7131

590

20MnCr5

1.7147

700

25MoCr4

1.7325

685

15CrNi6

1.5919

635

18CrNi8

1.5920

800

17CrNiMo6

1.6587

785

20MoCrS4

1.7323

590

Vergütungsstähle nach DIN 17200

Einsatzstähle nach DIN 17210

Die bei GGG, GS und St nachgestellten Zahlenangaben geben die Zugfestigkeit in der historischen Einheit [kp/mm²] an. Die Dehngrenze als elastisch ausnutzbare Werkstoffspannung ist natürlich deutlich geringer. Aufgaben A.0.1 und A.0.2

0.1 Normalspannung

0.1.1.3

11

Sicherheitsnachweis

Ein Bauteil hält also einer quasistatischen Normalspannungsbelastung stand, wenn die tatsächliche Zug- oder Druckspannung tats kleiner ist als die zulässige, durch den Werkstoff vorgegebene Spannung zul, wobei der Wert für zul hier zunächst mit Re bzw. Rp0,2 gleichgesetzt wird. Bei der Konstruktion muss also in jedem Fall folgende Bedingung respektiert werden: tats  zul

Gl. 0.4

Meist ist jedoch eine differenziertere Information erwünscht: Es soll angegeben werden, wie weit der Belastungszustand noch von der Versagensgrenze entfernt ist. Dies führt auf die Definition der Sicherheit S: S

 zul  tats

Gl. 0.5

Diese Sicherheit drückt in anschaulicher Weise aus, wie viele „Reserven“ das Bauteil gegenüber einer möglichen Überlast hat:  Sicherheitsfaktoren von S  1 können nicht angewendet werden, weil in diesem Fall das Bauteil planmäßig versagen bzw. plastisch deformiert werden würde.  Ist S = 1 (d.h. tats = zul), so sind die Werkstoffreserven völlig erschöpft, eine auch nur geringfügige Überlast oder auch nur eine geringfügige Unsicherheit bei der Ermittlung von tats würde zum Versagen bzw. zu einer plastischen Deformation des Bauteils führen. Eine Sicherheit von 1 ist deshalb kaum praktikabel.  Es werden also stets Sicherheiten von über 1 angestrebt. Ist beispielsweise S = 2, so könnte das Bauteil eine doppelte Belastung aufnehmen, bevor es versagt. Da die Belastung in aller Regel nicht genau ermittelt werden kann, strebt man stets eine Sicherheit an, die größer als 1 ist. Andererseits führt eine hohe Sicherheit aber auch zu einem hohen Materialeinsatz, der mit überflüssigem Gewicht (Fahrzeug- und Flugzeugbau) oder hohen Kosten verbunden ist. Wie bereits eingangs bemerkt wurde, treffen die vorstehenden Betrachtungen und Festigkeitswerte nur für quasistatische, also weitgehend ruhende Belastung zu. Dieser Belastungszustand ist für den Werkstoff besonders vorteilhaft zu ertragen. Er tritt im Maschinenbau nicht häufig auf und ist eher typisch für den Stahlbau und das Bauingenieurwesen. Eine nicht quasistatische Belastung führt dazu, dass je nach Betriebsbedingungen wesentlich geringere als die oben angegebenen zulässigen Spannungen ertragen werden können (mehr darüber im Abschnitt 1.2 der zweibändigen Ausgabe). Aufgaben A.0.3 und A.0.4

12

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

0.1.2

Biegung

0.1.2.1

Biegespannung

Die vorangegangenen Betrachtungen orientierten sich am denkbar einfachsten Fall der reinen Zug- bzw. Druckbelastung, der in der Praxis eher selten auftritt. Wenn man mit bloßen Händen eine Holzleiste zerstören soll, so wird man nicht etwa an ihr ziehen, sondern sie biegen. Diese simple Beobachtung mag demonstrieren, dass für die Sicherheit eines Bauteils die Biegebelastung meist viel kritischer ist als die oben erwähnte Zugbelastung.

Bild 0.6: Biegebalken

Wird entsprechend Bild 0.6 ein „einseitig eingespannter Balken“ am freien Ende mit einer senkrecht auf den Balken gerichteten Kraft belastet, so erfährt der Balken eine Biegebeanspruchung. Der Begriff „Balken“ ist dabei nicht nur auf den Holzbalken beschränkt, sondern schließt im Sinne der Mechanik alle Bauteile ein, die mit Biegung belastet werden. Die maßgebende Schnittreaktion im Balken ist zunächst das Biegemoment Mb, welches sich als Produkt aus belastender Kraft F und Hebelarm h ergibt: Mb = F  h

Gl. 0.6

Der Balken ist in seiner Festigkeit vor allen Dingen an der Einspannstelle gefährdet, weil dort das Biegemoment wegen des maximalen Hebelarmes h am größten wird. Bereits mit dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm wurde dokumentiert, dass jede Belastung eine Verformung zur Folge hat. Während der Zugstab unter dem Einfluss einer Kraft gelängt wird, wird der Balken unter dem Einfluss des belastenden Biegemomentes gebogen:

0.1 Normalspannung

13

Bild 0.7: Absolute und relative Verformungen des Biegebalkens

a.

Absolute elastische Verformungen

Die Verformung des Balkens lässt sich an jedem beliebigen Punkt seiner Länge durch ein Kreisbogensegment mit dem an dieser Stelle vorliegenden Radius r beschreiben. Damit lassen sich zunächst folgende qualitative Schlussfolgerungen ableiten: An der Oberkante des Balkens wird der Werkstoff gedehnt, weil die Ursprungslänge des unbelasteten Balkenelementes L0 durch die Balkenkrümmung auf L0 + L vergrößert worden ist. An der Unterkante des Balkens wird der Werkstoff aus ähnlichen Gründen von L0 auf L0 – L gestaucht. In der Mitte des Balkens mit seinem in der Höhe symmetrischen Querschnitt wird der Werkstoff weder gedehnt noch gestaucht, so dass diese Linie als „neutrale Faser“ bezeichnet werden kann. Auf der Suche nach einem quantitativen Zusammenhang lässt sich der an beliebiger zKoordinate platzierte Kreisbogen L mit dem in der neutralen Faser befindlichen Kreisbogen L0 geometrisch ins Verhältnis setzen: L L  0 rz r

b.



L  L0 

rz r

Gl. 0.7

Relative elastische Verformungen

Die Verformung verhält sich proportional zum Abstand zur neutralen Faser: Ausgehend von der unverformten Länge der neutralen Faser tritt nach oben hin immer mehr Längung auf, bis die maximale Längung an der Balkenoberkante erreicht ist. Unterhalb der neutralen Faser wird der Werkstoff bis zur maximalen Stauchung an der Balkenunterkante gestaucht. Dadurch ergibt sich die dargestellte dreieckförmige Verformungsverteilung  = f(z). Setzt man für diesen Fall die relative Dehnung  = L / L0 an, so ergibt sich: L  L0  ε L0

L0 

rz  L0 zr zrr z r 1   = L0 r r r

Gl. 0.8

Durch Kürzen von L0 wird die Gleichung von der speziellen Länge des Balkenelementes unabhängig.

14

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Bild 0.8: Spannungen und Momentengleichgewicht am Balkenquerschnitt

c.

Spannungsverteilung

Geht man nun davon aus, dass diese Verformungen noch im elastischen Bereich liegen, so resultiert daraus nach der Gesetzmäßigkeit der elastischen Verformung ( = E  ) eine ebenfalls dreieckförmige Spannungsverteilung  = f(z). Damit lässt sich die Biegebeanspruchung mit der zuvor erörterten Zug- und Druckbeanspruchung in Zusammenhang bringen. Da die Werkstoffdehnung und damit die Werkstoffbelastung an der Randfaser am größten ist, wird ein Zusammenhang für die dort auftretende Spannung in Form von max = f(M) gesucht. Dazu kann in der dreieckförmigen Spannungsverteilung der Strahlensatz angesetzt werden:  max z max   z

d.

bzw.

σ  σ max 

z z max

Gl. 0.9

Momentengleichgewicht

Die auftretenden Spannungen müssen mit dem in den Balken eingeleiteten Biegemoment Mb im Gleichgewicht stehen, welches in der neutralen Faser des Balkens angreift und sich an den einzelnen Spannungsanteilen mit dem dazugehörenden Hebelarm z abstützt:

Mb 

z max



dF  z

 z max

Die Kraft dF lässt sich in Anlehnung an Gl. 0.1 als dF =   dA ausdrücken: Mb 

z max



  dA  z

Gl. 0.10

 z max

Führt man für  den Ausdruck nach Gl. 0.9 ein, so erhält man: Mb 

z max



 z max

 max 

z z max

z

 dA  z 

 max max  z²  dA z max  zmax

Gl. 0.11

0.1 Normalspannung

15

Sowohl max als auch zmax sind von der Integration nicht betroffen. Mit dieser Gleichung lässt sich nun die Frage nach der maximal im Balken auftretenden Spannung max beantworten:  max 

Mb z max



Gl. 0.12

z²  dA

 z max

z max

Der Nennerausdruck dieser Gleichung hängt nur von der Geometrie des Balkenquerschnitts ab und wird als das axiale oder äquatoriale Widerstandsmoment Wax bezeichnet. Damit gewinnt man einen übersichtlichen Ausdruck für die im Balken wirkende Biegespannung: z max

 b max

M  b Wax

mit

Wax 



z²  dA

 z max

z max

Gl. 0.13

So wie bei der Berechnung von Zug- und Druckspannungen die Querschnittsfläche A im Nenner steht, so muss bei der Berechnung der Biegespannung durch das „axiale Widerstandsmoment“ Wax dividiert werden. Im Gegensatz zur Zug- und Druckbelastung ist aber bei der Biegung nicht nur die Größe der Querschnittsfläche maßgebend, sondern auch ihre geometrische Anordnung. Die dadurch hervorgerufene Normalspannung  wird dann auch nicht mehr als Zugspannung Z an der Balkenoberseite bzw. Druckspannung D an der Balkenunterseite, sondern einfach als Biegespannung b bezeichnet.

F

F

Bild 0.9: Biegespannungsverteilung entlang eines einseitig eingespannten Biegebalkens

16

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Der in der Gegenüberstellung von Bild 0.9 oben abgebildete Zugstab weist an jeder Stelle die gleiche Spannung auf. Die Spannung im Biegebalken hingegen wächst nicht nur linear mit dem Hebelarm, sondern auch linear mit dem Abstand von der neutralen Faser. Die größte Spannung tritt in der Randfaser an der Einspannstelle auf. In Anlehnung an Gl. 0.4 lässt sich nun formulieren: b 

Mb   zul Wax

Gl. 0.14

Während diese Ungleichung nur das Standhalten oder das Versagen des Bauteils angibt, kann auch hier in Analogie zu Gl. 0.5 die Sicherheit S in einer differenzierteren Betrachtung als Quotient von zulässiger zu tatsächlicher Spannung formuliert werden: S

 zul b

Gl. 0.15

In Anlehnung an Gleichung 0.12 lässt sich aber nicht nur die maximale Biegespannung b, sondern auch die allgemein an irgendeiner Stelle des Balkenquerschnitts auftretende Spannung  in Funktion des Abstandes von der neutralen Faser formulieren: (z) 

Mb z max



z²  dA



Mb z Iax

mit

Iax 

z max



z 2  dA

Gl. 0.16

 z max

 z max

z

Iax wird als das axiale oder äquatoriale Flächenmoment bezeichnet. Nach Gleichung 0.13 lässt sich das axiale Widerstandsmoment Wax und nach Gleichung 0.16 das axiale Flächenmoment für jeden beliebigen Balkenquerschnitt berechnen. Die Festigkeitslehre als Bestandteil des Lehrgebietes Mechanik geht dieser Fragestellung weiter nach.

0.1.2.2

Flächen- und Widerstandsmomente genormter Profile

Genormte Walzprofile sind bezüglich ihrer Widerstands- und Flächenmomente tabelliert, so dass sich die rechnerische Auswertung der Gleichungen 0.13 und 0.16 erübrigt. Dabei ist allerdings zu beachten, dass bei Biegung um die y-Achse (also wenn die momentenerzeugende Kraft in z-Richtung angreift) Iax als Iy und Wax als Wy anzusetzen sind. Wird hingegen die Momentenbelastung um die z-Achse eingeleitet (also wenn die momentenerzeugende Kraft in y-Richtung angreift), so sind die entsprechenden z-Werte zu übernehmen.

0.1 Normalspannung

Bild 0.10: Rundkantiger, hochstegiger T-Stahl nach DIN 1024

17 Kurz-

h=b

s=t

A

zeichen

mm

mm

mm²

z

h

t

y s

Bild 0.11: Warmgewalzter I-Träger nach DIN 1025 T1

Wy 3

3

[10 ]

[10 ]

mm4

mm3

Iz

iy mm

Wz 3

3

[10 ]

[10 ]

mm4

mm3

iz mm

T20

20

3

112

3,80

0,27

5,8

2,00

0,20

T25

25

3,5

164

8,70

0,49

7,3

4,30

0,34

5,1

T30

30

4

226

17,20

0,80

8,7

8,70

0,58

6,2

T35

35

4,5

297

31,0

1,23

10,4

15,70

0,90

7,3

T40

40

5

377

52,8

1,84

11,8

25,80

1,29

8,3

4,2

T45

45

5,5

467

81,3

2,51

13,2

40,10

1,78

9,3

T50

50

6

566

121

3,36

14,6

60,6

2,42

10,3

T60

60

7

794

238

5,48

17,3

122,0

4,07

12,4

T70

70

8

1060

445

8,79

20,5

221,0

6,32

14,4

T80

80

9

1360

737

12,00

23,3

370,0

9,25

16,5

Kurz-

b

Iy

zeichen

h

b

t

A

mm

mm

mm

mm²

Iy

Wy

[103]

[103]

mm4

mm3

iy mm

Iz

Wz

[103]

[103]

mm4

mm3

iz mm

I 80

80

42

5,9

757

778

19,5

32,0

62,9

3,00

9,1

I 100

100

50

6,8

1060

1710

34,2

40,1

122

4,88

10,7

I 120

120

58

7,7

1420

3280

54,7

48,1

215

7,41

12,3

I 140

140

66

8,6

1820

5730

81,9

56,1

352

10,7

14,0

I 160

160

74

9,5

2280

9350

117

64,0

547

14,8

15,5

I 180

180

82

10,4

2790

14500

161

72,0

813

19,8

17,1

I 200

200

90

11,3

3340

21400

214

80,0

1170

26,0

18,0

I 220

220

98

12,2

3950

30600

278

88,0

1620

33,1

20,2

I 240

240

106

13,1

4610

42500

354

95,9

2210

41,7

22,0

I 260

260

113

14,1

5330

57400

442

104

2880

51,0

23,2

I 280

280

119

15,2

6100

75900

542

110

3640

61,2

24,5

I 300

300

125

16,2

6900

98000

653

119

4510

72,2

25,6

für h  240 mm: s = 0,03 h + 1,5 mm; für h  260 mm: s = 0,036 h

18

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

b

h

z

t

y s

Bild 0.12: Warmgewalzter I-Träger (breiter I-Träger) nach DIN 1025 T2

z

h

t

Kurz-

y s

b

Bild 0.13: Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl nach DIN 1026

Iy

Wy

[103]

[103]

mm4

mm3

2600

4500

89,9

3400

8640

144

12

4300

15100

8

13

5430

8,5

14

6530

Kurz-

h=b

s

t

A

zeichen

mm

mm

mm

mm²

IPB 100

100

6

10

IPB 120

120

6,5

11

IPB 140

140

7

IPB 160

160

IPB 180

180

Iz

Wz

iz

[103]

[103]

m

mm4

mm3

m

41,6

1670

33,5

2

50,4

3180

52,9

3

216

59,3

5500

78,5

3

24900

311

67,8

8890

111

4

38300

426

76,6

1360

151

4

iy mm

IPB 200

200

9

15

7810

57000

570

85,4

2000

200

5

IPB 220

220

9,5

16

9100

80900

736

94,3

2840

258

5

IPB 240

240

10

17

10600

112600

938

103

3920

327

6

IPB 260

260

10

17,5

11800

149200

1150

112

5130

359

6

IPB 280

280

10,

18

13100

192700

1380

121

6590

471

7

IPB 300

300

11

19

14900

251700

1680

130

8560

571

7

h

b

Iy

Wy

[103]

[103]

mm4

mm3

221 544

25,3 63,9

1,69 4,26

s

t

A

mm

mm

mm²

Iz

Wz

[103]

[103]

mm4

mm3

10,7 10,8

3,8 53,3

0,39 2,68

iy

iz

ez

mm

mm

4,2 9,9

5,2 13,1

zeichen

mm mm

U30x15 U30

30 30

15 33

4 5

4,5 7

U40x20

40

20

5

5,5

366

75,8

3,79

14,4

11,4

0,86

5,6

6,7

U40

40

35

5

7

621

141

7,05

15,0

66,8

3,08

10,4

13,3

U50x25

50

25

5

6

492

168

6,73

18,5

24,9

1,48

7,1

8,1

U50

50

38

5

7

712

264

10,6

19,2

91,2

3,75

11,3

13,7

U60

60

30

6

6

646

318

10,5

22,1

45,1

2,16

8,4

9,1

U65

65

42

5,5

7,5

903

575

17,7

25,2

141

5,07

12,5

14,2

mm

U80

80

45

6

8

1100

1060

26,5

31,0

194

6,36

13,3

14,5

U100

100

50

6

8,5

1350

2060

41,2

39,1

293

8,49

14,7

15,5

U120

120

55

7

9

1700

3640

60,7

46,2

432

11,1

15,9

16,0

U140

140

60

7

10

2040

6050

86,4

54,5

627

14,8

17,5

17,5

U160

160

65

7,5

10,5

2400

9250

116

62,1

853

18,3

18,9

18,4

U180

180

70

8

11

2800

13500

150

69,5

1140

22,4

20,2

19,2

U200

200

75

8,5

11,5

3220

19100

191

77,0

1480

27,0

21,4

20,1

Weitere Halbzeugprofile sind in den Normblättern [0.17 – 0.34] aufgeführt. Aufgaben Normprofile: Aufgaben A.0.5 und A.0.6 Suche nach der kritischen Stelle innerhalb eines Bauteils: Aufgabe A.0.7 Last ändert Kraftangriffspunkt: Aufgaben A.0.8 und A.0.9

0.1 Normalspannung

0.1.2.3

19

Axiales Flächenmoment und Widerstandsmoment eines Rechtecks Wax

Während die vorgenannten Normprofile vorwiegend im Stahlbau verwendet werden, müssen die Gleichungen 0.13 und 0.16 für die Belange des allgemeinen Maschinenbaus erneut aufgegriffen werden. An dieser Stelle soll nur auf einen Standardfall exemplarisch eingegangen und für den rechteckigen Balkenquerschnitt aus Bild 0.14 das axiale Flächenmoment und damit das Widerstandsmoment aus der elementaren Formulierung nach Gleichung 0.13 berechnet werden: z dA

zp

Da die Balkenbreite b konstant ist, lässt sich die Fläche dA einfach als Rechteckfläche ausdrücken: dA = dz  b

h

Der maximale Randfaserabstand entspricht dabei wegen der Querschnittsymmetrie genau der halben Balkenhöhe:

y

z max  b

h 2

Bild 0.14: Rechteckförmiger Balkenquerschnitt.

Damit ist das Integral des Flächenmomentes nach Gl. 0.16 einfach aufzulösen: Iax 

z max



z 2  dA 

h 2

z

2

 b  dz  b 

h  2

 z max

h 2

z

2

 dz

h  2

h

3 3  z3  2 b  h   h   b  h 3 Iax  b             12  3   h 3  2   2   2

Gl. 0.17

Das Widerstandsmoment ergibt sich nach Gl. 0.13 zu b  h3 2 Iax Wax   12  b  h z max h 6 2

Gl. 0.18

An diesem Ausdruck wird auch klar, dass ein auf Biegung belasteter Balken mit rechteckförmigem Querschnitt vorteilhafterweise „hochkant“ angeordnet werden sollte. Dann nämlich geht die Rechteckhöhe (größere Rechteckseite) quadratisch, die kleinere Rechteckbreite nur linear in das Widerstandsmoment ein. Würde man das Rechteck nicht hochkant anordnen, sondern rechtwinklig dazu belasten, so würde die relativ geringe Breite zwar quadratisch eingehen, die sehr viel größere Bretthöhe aber nur linear, es würde sich ein sehr viel geringeres Widerstandsmoment ergeben, der Balken wäre weniger belastungsfähig.

20

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

0.1.2.4

Axiales Flächenmoment und Widerstandsmoment weiterer Grundmuster

Grundsätzlich kann jeder beliebige Balkenquerschnitt in seinem Widerstandsmoment berechnet werden. Ist der Balken nicht rechteckig, so muss die Breite der Fläche dA in Funktion der Koordinate z formuliert werden, was die Auflösung des Integrals erschwert. In Bild 0.15 sind die Flächen- und Widerstandsmomente einiger weiterer Grundmuster aufgeführt. Querschnitt

Iax

z

Iy 

b  h³ 12

Wy 

b  h² 6

Iz 

h  b³ 12

Wz 

b²  h 6

h

y b z

Iy 

H h

y

Iz 

b

Wax

b   H³  h³  12

 H  h   b³ 12

Wy  Wz 

 H³  h³   b 6H

 H  h   b² 6

z y

I y  Iz 

  d4 64

Wy  Wz 

 3 d 32

d

z d

y

I y = Iz =

Wy = Wz =

   D4  d 4  64

 D4  d 4  32 D

D

Bild 0.15: Grundmuster axialer Flächen- und Widerstandsmomente

Die Unterscheidung nach der Belastungsrichtung ist bei kreisförmigen Querschnitten wegen der Rotationssymmetrie gegenstandslos. Die in dieser Zusammenstellung aufgeführten Gleichungen für Flächenmomente können addiert (oder subtrahiert) werden, wenn der Schwerpunkt der einzelnen Flächenanteile mit der neutralen Faser zusammenfällt. Die Widerstandsmomente können nur dann addiert werden, wenn der äußere Randfaserabstand für die einzelnen Flächenanteile gleich ist. Mehr darüber finden Sie im Abschnitt 0.1.2.5 der zweibändigen Ausgabe bzw. in Standardwerken der Mechanik.

0.2 Tangentialspannung

21

Wenn ein auf Biegung beanspruchter Kreisquerschnitt zu dimensionieren ist, lässt sich einerseits aus dem anliegenden Moment Mb die Biegespannung b berechnen: b 

M b 32  M b    d³ Wax

mit

Wax 

  d³ 32

Gl. 0.19

Andererseits kann auch danach gefragt werden, wie groß der Wellendurchmesser d sein muss, damit er bei einer vorgegebenen zulässigen Spannung zul der Biegebelastung Mb noch standhält. In diesem Falle werden ebenfalls die obigen Gleichungen angesetzt, allerdings so umgestellt, dass sich der minimal erforderliche Wellendurchmesser dmin als Funktion des Biegemomentes Mb und der zulässigen Spannung bzul ergibt:  bzul 

32  M b   d min ³

 d min 

3

32  M b    bzul

Gl. 0.20

Aufgabe A.0.10

0.2

Tangentialspannung

Nach Abschnitt 0.1 ist die Normalspannung dadurch gekennzeichnet, dass sie in Folge der sie erzeugenden Kraft normal auf der Querschnittsfläche A steht. Grundsätzlich kann aber die betrachtete Schnittfläche in einem beliebigen Winkel angelegt werden. Als zweiter Modellfall muss also die Spannung tangential zur Querschnittsfläche A betrachtet werden.

Bild 0.16: Gegenüberstellung Normalspannung – Tangentialspannung

Analog zur Normalspannung  wird die Tangentialspannung  („Tau“) formuliert zu 

F A

Gl. 0.21

Im Gegensatz zur Normalspannung , die ja nach Zugspannung Z und Druckspannung D unterscheidet, ist hier eine Differenzierung nach Vorzeichen zunächst nicht angebracht. Weiterhin lassen sich je nach Lage der Schnittebene Normalspannung  und Tangentialspannung  ineinander überführen. Diese Betrachtung soll jedoch einer Lehrveranstaltung „Festigkeitslehre“ vorbehalten bleiben.

22

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

0.2.1

Querkraftschub

Der einfachste Fall der Tangentialspannung liegt dann vor, wenn ein Bauteil mit einer Querkraft belastet wird:

τ

τ

F τ

F

F

τ

F Bild 0.17: Darstellung der Tangentialspannung

Die Spannungsvektoren sind in der linken Darstellung in der korrekten Richtung dargestellt. Daneben existiert aber auch noch die rechts skizzierte Darstellung, bei der die Tangentialspannungsvektoren eigentlich wirklichkeitswidrig senkrecht zur Querschnittsfläche eingezeichnet sind, aber in dieser Darstellung kann der Betrag der Tangentialspannung im Maßstab besser wiedergegeben werden. Im oben angedeuteten Fall wird die Tangentialspannung durch eine Querkraft Q hervorgerufen, das Bauteil wird mit „Querkraftschub“ belastet. Diese Querkraftschubspannung in reiner Form ohne weitere Belastungsanteile tritt allerdings sehr selten auf, da in diesem Fall die Kraft genau in der betrachteten Schnittebene angreifen und genau in dieser Ebene auch als Reaktion wieder abgeleitet werden müsste. Genau diesen Fall strebt man bei der Schere an:

FSch

a

FSt τ

b

FSt

FSch Bild 0.18: Querkraftschub an der Schere

Damit der Werkstoff möglichst gezielt durch Abscheren (also durch bewusstes Überschreiten einer zulässigen Schubspannung) getrennt werden kann, muss die Schnittkraft der beiden Schneiden FSch als „actio“ auf der einen Seite und als „reactio“ auf der anderen Seite möglichst in der gleichen Ebene eingeleitet werden. Um dieser Bedingung weitgehend zu entsprechen, muss eine Schere „scharf“ sein. Diese Forderung lässt sich jedoch nie ganz erfüllen, da das Kräftepaar FSch stets einen gewissen Abstand a zueinander aufweist, der als Hebelarm wirkt. Dadurch entsteht ein Moment, welches als Stützkraft FSt über den Hebelarm b abgeleitet werden muss. FSch  a = FSt  b

0.2 Tangentialspannung

0.2.2

23

Werkstoffverhalten bei Schub

Das Werkstoffverhalten bei Schubbeanspruchung lässt sich ähnlich wie im Falle der Normalspannungsbelastung durch ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm beschreiben:

Bild 0.19: Werkstoffverhalten bei Querkraftschub.

So wie jeder reale Körper unter Einfluss einer Normalkraft eine Verformung erfährt, so verformt er sich auch unter Einfluss einer Tangentialkraft. Um in diesem Fall eine elastische Verformung zu ermöglichen, muss das Kräftepaar einen gewissen Abstand zueinander aufweisen. Das dadurch entstehende Moment muss durch weitere Kräfte abgestützt werden, die senkrecht zur Schubspannung wirken und deshalb auf den Betrag der Schubspannung selber keinen Einfluss haben. Die Werkstoffverformung tritt in diesem Fall als Winkel  auf: L Gl. 0.22 L Während die Verformung bei Zugspannungsbelastung noch als  = L / L normiert werden musste, liegt hier die Verformung bereits als Winkel , also als normierte Größe vor. Die Proportionalitätskonstante zwischen der Tangentialspannung  und der Verformung  wird hier als der Schub- oder Gleitmodul G bezeichnet: tan    

=G Gl. 0.23 Der Zahlenwert von G ist für einige Werkstoffe in Tabelle 0.1 des Abschnitts 0.1.1.2 aufgeführt bzw. kann aus den einschlägigen Tabellenwerken entnommen werden. Wegen der erforderlichen Abstützung ist der Schubmodul G versuchstechnisch allerdings schwieriger zu ermitteln als der Elastizitätsmodul E. In den weitaus meisten Fällen reicht es jedoch völlig aus, für die hier verwendeten metallischen Werkstoffe eine Näherungsbeziehung zwischen Elastizitäts- und Schubmodul auszunutzen (näheres s. Werkstoffkunde): E : Querkontraktionszahl Gl. 0.24 G 2  (1  ) Für metallische Werkstoffe kann die Querkontraktionszahl mit  = 0,3 angesetzt werden, so dass sich näherungsweise ergibt: G  0,385  E

Gl. 0.25

Ähnlich wie es für Zug- und Druckspannungen zulässige Werte gibt, so sind auch Werkstoffkenndaten für die zulässige Schubspannung tabelliert, so dass für das Standhalten eines Bauteils analog zu Gl. 0.4 das Kriterium formuliert werden kann: tats  zul

Gl. 0.26

24

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Auch für diesen Belastungsfall ist eine differenzierte Betrachtung möglich: Entsprechend Gl. 0.5 kann eine Sicherheit formuliert werden, die die zulässige Spannung zul zu der tatsächlich auftretenden Spannung tats ins Verhältnis setzt: S

zul tats

Gl. 0.27

Aufgabe A.0.11

0.2.3

Torsion

0.2.3.1

Torsionsschub

In Abschnitt 0.1.2.1 wurde demonstriert, dass die Momentenbelastung eines Balkens in Form von Biegung eine Zug- und Druckspannung in der Querschnittsfläche hervorruft. In vergleichbarer Weise ist es auch möglich, die Momentenbelastung eines Bauteils in Form von Torsion auf eine Schubspannung in der Querschnittsfläche zurückzuführen. Der folgende Erklärungsversuch möge diesen Zusammenhang verdeutlichen. Dazu sei zunächst einmal ein Rohr betrachtet, welches mit einem Torsionsmoment belastet wird.

Bild 0.20: Torsionsschub

Die Wandstärke des Rohres t in der linken Darstellung sei gegenüber seinem mittleren Durchmesser Dm sehr klein. Unter dieser Annahme kann eine fiktive Querkraft Q eingeführt werden, die sich aus dem Moment Mt und dem halben mittleren Rohrdurchmesser Dm/2 als Hebelarm ergibt: Mt  Q 

Dm 2



Q  Mt 

2 Dm

Gl. 0.28

Diese Querkraft Q wird ihrerseits in der Querschnittsfläche der Rohrwandung A in Umfangrichtung als Schubspannung  wirksam: t 

Q 2  Mt  A Dm  A

Gl. 0.29

0.2 Tangentialspannung

25

Da t

FBQ τQ p

p

FBQ μ

FBQ

μ

FBQ

FBQ

Fv >

FBQ μ

Schraubverbindung mit Passschraube Schraubverbindung mit normaler Schraube bei Querkraftbelastung bei Querkraftbelastung

Bild 4.19: Querkraftbelastete Schraubverbindungen

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube

157

Eine Schraube kann die von außen in die Verbindung eingeleitete Querkraft nur dann tatsächlich als Querkraft im Schraubenschaft aufnehmen, wenn sie konstruktiv dazu besonders ausgebildet ist. Ähnlich wie bei einer kaltgeschlagenen Nietverbindung muss die Querkraft als Schubspannung (vgl. Bild 3.3) und Lochleibungsdruck (vgl. Bild 3.4) übertragen werden. Qtats  Qzul

und

ptats  pzul

Gl. 4.39

Dazu darf der Schaft der Schraube im kraftübertragenden Bereich kein Gewinde aufweisen und muss an der Wand der Bohrung fest anliegen. Dies führt zur Konstruktion der sog. Passschraube. Eine normale Schraube wäre zur Aufnahme von Querkraftschub aufgrund des Gewindes sehr kerbempfindlich und eine Pressungsübertragung an der Mantelfläche des Gewindes ist kaum möglich, da nur die Gewindespitzen als pressungsübertragende Fläche zur Verfügung stünden. In diesem Fall muss die Schraube so weit vorgespannt werden, dass die als Querkraft eingeleitete Betriebskraft durch die Reibung der verspannten Teile untereinander übertragen werden kann: FV 

FBQ 

Gl. 4.40

Die Schraube wird also nur mit der einmal aufgebrachten Vorspannkraft FV, nicht aber mit der aktuellen Betriebskraft FBQ belastet. Bild 4.20 zeigt eine nicht schaltbare Kupplung, die ein Torsionsmoment von einer linken Welle auf einen darauf befestigten Flansch und von dort aus über Schrauben auf einen gegenüber liegenden Flansch und weiterhin auf eine rechte Welle überträgt. Die Konstruktion ist in drei verschiedenen Varianten ausgeführt.

Bild 4.20: Flanschverbindung mit Schrauben

158

4 Schrauben



Befestigungsschraube (links): Die Schraube überträgt ihre Querkraft nicht an der Mantelfläche ihres Schaftes, sie braucht noch nicht einmal an der Bohrung anzuliegen. Die Schraube wird vielmehr so stark angezogen, dass die Querkraft durch Reibschluss an den Flanschflächen übertragen wird.



Passschraube (Mitte): Der Schraubenschaft ist so ausgebildet, dass er an der Bohrung anliegt, so dass die momentenbedingte Querkraft formschlüssig übertragen wird.



Scherbuchse (rechts): Die Querkräfte können auch durch eine Scherbuchse aufgenommen werden, die auf Scherung und Lochleibungsdruck dimensioniert wird. In diesem Fall liegt die Schraube nicht im Hauptkraftfluss und dient nur dazu, die Scherbuchse in Position zu halten.

Passschrauben werden jedoch wegen der folgenden Nachteile nur in Ausnahmefällen verwendet:  Die Schraube ist wegen der eng tolerierten Außenmantelfläche des Schaftes teuer.  Die Montage der Schraube ist sehr aufwendig. Wenn die Schraubverbindung aus nur einer einzigen Schraube besteht, so müssen die Bohrungen aufgerieben werden. Besteht die Verbindung aus mehreren Schrauben, so besteht zusätzlich das Problem, dass sich die Bohrlöcher der zu verbindenden Teile genau gegenüberstehen müssen, die Lage der Bohrlöcher untereinander muss also genau toleriert werden. Diese Forderung wird häufig dadurch erfüllt, dass die beiden Bauteile in Montageposition gemeinsam gebohrt und aufgerieben werden. Aufgaben A.4.3 und A.4.4

4.5.2

Längskraftbeanspruchte Schraubverbindungen

Fällt die Wirkungslinie der Betriebskraft mit der Schraubenachse zusammen, so wird die Betrachtung deutlich komplexer. Die Betriebskraft FBL darf nicht etwa zu der Vorspannkraft FV addiert werden, sondern die Schraubenbelastung hängt vom Verformungsverhalten der gesamten Schraubverbindung als Wechselwirkung zwischen Schraube und Zwischenlage ab. Für ein einführendes Beispiel wird ein unter Druck stehender Kessel angenommen, dessen Deckel durch eine Vielzahl von Schrauben befestigt ist. Eine einzelne Schraube dieser Verbindung ist links in Bild 4.21 skizziert. Es wird angenommen, dass die durch den Kesselüberdruck hervorgerufene Betriebskraft FBL an der gleichen Stelle angreift wie die Vorspannkraft FV.

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube FBL

159

ΔfB

F[N]

Cz

Cs ΔFBS

Fv FBL

FS

FBL

ΔfB

Schraube mit Zwischenlage

f [μm] fZB nach dem Vorspannen

nach dem Aufbringen der Betriebslast

Schraube – Zwischenlage

FZ = FRK

fZV

fSV fSB

ΔFBZ

Verspannungsdiagramm

Bild 4.21: Verspannungsdiagramm mit statischer Zugbetriebskraft

Die durch die Betriebskraft FBL verursachte Zusatzbelastung der Schraube ist nicht direkt zu ermitteln. Es lässt sich aber leicht erkennen, dass die Betriebskraft FBL an der bereits vorgespannten Schraubverbindung eine zusätzliche Verformung fB hervorruft. Der Betriebspunkt am Schnittpunkt von cS und cZ verschiebt sich durch die Aufbringung der Betriebskraft und der dadurch verursachten Verformung um fB. Schraube und Zwischenlage erfahren dabei die folgenden Veränderungen der auf sie wirkenden Kräfte: Verformung Die durch die Montage bereits um fSV gelängte

Schraube

Die Schraubenbelastung wandert auf der

Schraube wird zusätzlich um fB auf fSB gedehnt,

cS-Linie nach rechts oben, die die Schraube

was im Verspannungsschaubild eine Verlagerung des Betriebspunktes um fB nach rechts bedeutet:

belastende Kraft wird dadurch um FBS

fSB = fSV + fB Die Zwischenlage wird ebenfalls um den gleichen

Zwischenlage

Kraft

größer. Die Schraubenbelastung ergibt sich schließlich zu FS: FS = FV + FBS Die Belastung der Zwischenlage verlagert

Betrag fB gelängt, der Betriebspunkt wird also

sich auf der cZ-Linie nach rechts unten. Die

ebenfalls um diesen Betrag nach rechts verlagert.

die Zwischenlage belastende Kraft wird

Da die Zwischenlage aber zuvor durch die Vor-

dadurch um FBZ reduziert. Die Belastung

spannung um fZV gestaucht worden war, bedeutet

der Zwischenlage ergibt sich schließlich zu FZ:

die Längung um fB eine teilweise Reduzierung der ursprünglich aufgebrachten Stauchung auf nunmehr fZB. fZB = fZV – fB

FZ = FV – FBZ

160

4 Schrauben

In dem um fB verschobenen Betriebszustand muss auch das Gleichgewicht der Kräfte gelten: Aus diesem Grunde bildet sich zwischen den dadurch entstehenden Betriebspunkten für Schraube und Zwischenlage nun die Betriebskraft FBL in der dargestellten Weise ab. Normalerweise wird fB zunächst nicht bekannt sein, sondern es wird vielmehr die Betriebskraft FBL gegeben sein. Dazu wird die Betriebskraft in Bild 4.21 maßstäblich so zwischen die cSLinie und die cZ-Linie platziert, dass sich der Fußpunkt des Kraftvektors auf der Steifigkeitskennlinie der Zwischenlage befindet und die Spitze des Vektors gerade die Steifigkeitskennlinie der Schraube erreicht. Unterhalb von FBL bleibt noch die Restklemmkraft FZ = FRK übrig, mit der die Zwischenlage noch belastet wird. Bei steigender Betriebskraft FBL wird die Restklemmkraft FRK immer kleiner. Aus Gründen der Sicherheit der Schraubverbindung darf diese Restklemmkraft jedoch nicht verschwinden bzw. darf einen gewissen Betrag nicht unterschreiten, da andernfalls ein Klaffen der Fugen oder eine Undichtigkeit der Schraubverbindung auftritt. Wird die Betriebskraft als Druckkraft aufgebracht (z.B. Unterdruck im Kessel), so kann die gleiche Betrachtung angestellt werden, mit dem einzigen Unterschied, dass die betriebskraftbedingte Verformung fB in die umgekehrte Richtung (hier also nach links) aufgetragen werden muss: FBL

Cz

F[N]

ΔFBZ

ΔfB

Fv

Cs

FBL

ΔFBS

FZ

ΔfB

Fs FRK

FBL Schraube mit Zwischenlage

Schraube mit Zwischenlage

nach dem Aufbringen der Betriebslast

f [ μ m]

fZV

fSV fSB

fZB nach dem Vorspannen

Verspannungsdiagramm

Bild 4.22: Verspannungsdiagramm mit statischer Druckbetriebskraft

Die Restklemmkraft FRK bildet sich auch in diesem Fall unterhalb der Betriebskraft FBL ab und ist in diesem Fall genauso groß wie FS. Zur Sicherstellung der Klemmwirkung darf FS einen geforderten Mindestbetrag nicht unterschreiten. Die vorstehenden Überlegungen lassen sich rechnerisch erfassen, wobei auch hier die Gleichungen einfach als geometrische Beziehungen aus dem Verspannungsschaubild abgeleitet werden: F F und Gl. 4.41 cS  BS c Z  BZ f B f B

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube

161

Beide Gleichungen lassen sich nach fB auflösen und dann gleichsetzen: FBZ  cS = FBS  cZ

Gl. 4.42

Weiterhin gilt: FBL = FBS + FBZ

Gl. 4.43

Die Steifigkeiten cS und cZ lassen sich nach den Gleichungen 4.25 und 4.26 berechnen und die Betriebskraft FBL ist mit den Betriebsbedingungen bekannt. Damit enthalten die beiden Gleichungen 4.42 und 4.43 zwei Unbekannte. Um die Frage nach der kritischen maximalen Schraubenbelastung zu klären, wird FBS gesucht. Dazu wird Gl. 4.43 umgestellt: FBZ = FBL – FBS

Gl. 4.44

Durch Einsetzen von Gl. 4.44 in Gl. 4.42 ergibt sich: (FBL – FBS)  cS = FBS  cZ FBL  cS – FBS  cS = FBS  cZ

Gl. 4.45 

FBS  (cZ + cS) = FBL  cS

Damit gilt für die Zusatzbelastung der Schraube (Steigerung der Last gegenüber dem Vorspannungszustand): FBS  FBL 

cS c Z  cS

Gl. 4.46

Damit nimmt die Schraubenkraft FS folgenden Betrag an: FS  FV  FBS  FV  FBL 

cS c Z  cS

Gl. 4.47

Das Steifigkeitsverhältnis cS / (cS + cZ) wird auch als Verspannungsfaktor  bezeichnet: 

cS c Z  cS



FBS  FBL  

Gl. 4.48

Analog dazu lässt sich für die Belastungsänderung der Zwischenlage (Reduzierung der Last gegenüber dem Vorspannungszustand) formulieren: FBZ  FBL 

cZ c Z  cS

Gl. 4.49

Daraus ergibt sich unter Verwendung des Verspannungsfaktors : FBZ = FBL  (1 – ) Aufgaben A.4.5 bis A.4.7

Gl. 4.50

162

4.6

4 Schrauben

Gestaltung von Befestigungsschraubverbindungen

Das Normenwerk liefert eine umfassende Darstellung über die vielfältigen Bauformen von Schrauben. Weiterhin geben die Fachliteratur und die Firmenschriften vielfältige Hinweise für die konstruktive Gestaltung von Schraubverbindungen. Die nachstehenden Anmerkungen konzentrieren sich daher darauf, einige zusätzliche Aussagen zu machen, die mit dem Kraftübertragungsverhalten von Befestigungsschrauben in Zusammenhang stehen. Sie stellen damit eine übergreifende Ergänzung zu den voranstehenden Ausführungen dar.

4.6.1

Schraubentypen

Bild 4.23: Schraubentypen

Die Durchsteckschraube (Bild 4.23 links) wird bevorzugt verwendet, sie setzt jedoch die Zugänglichkeit sowohl von der Mutternseite als auch von der Schraubenkopfseite voraus. Die Kopfschraube (Mitte) und die Stiftschraube (rechts) erfordern die spanabhebende und möglicherweise kostenintensive Bearbeitung des Mutterngewindes am Bauteil.

4.6.2

Schraubensicherungen

Mit der Einführung des Verspannungsschaubildes wurde die Forderung erhoben, dass unter allen Umständen eine Restklemmkraft vorhanden sein muss, um die Selbsthemmungsbedingung    sicherzustellen und ein unbeabsichtigtes Lösen der Schraubverbindung zu verhindern. Wenn die Schraube hoch vorgespannt ist, dann können auch Setzbeträge durch Nachfedern der Schraube aufgenommen und damit unschädlich gemacht werden. Insofern sind alle Maßnahmen zur Erhöhung der Schraubenvorspannung auch gleichzeitig Maßnahmen zur Erhöhung der Sicherheit gegen Lockern. Aus diesem Grunde sind zusätzliche Sicherungen nicht erforderlich, häufig unwirksam und zuweilen sogar schädlich. Losdrehsicherungen sind nur dann sinnvoll, wenn  die Schraubverbindung querkraftbelastet ist und FBQ dynamisch wirkt.  die Schraubverbindung konstruktiv wenig nachgiebig ausgeführt werden muss (dies ist in der Regel der Fall, wenn das Klemmlängenverhältnis LK/d kleiner als 5 ist).  die bescheidene Festigkeit des Schraubenwerkstoffes (Schraubengüte unterhalb 8.8) keine hohen Vorspannkräfte zulässt.

4.6 Gestaltung von Befestigungsschraubverbindungen

163

Schraubensicherungen können formschlüssig, reibschlüssig, sperrend oder stoffschlüssig ausgeführt werden. Verliersicherungen sind gegen teilweises Losdrehen unwirksam, sollen aber zumindest verhindern, dass die Schraubverbindung vollständig auseinander fällt. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die besonderen Eigenschaften von gebräuchlichen Schraubensicherungen. Element bzw. Methode

mitverspannte Federelemente formschlüssig

Federring DIN 127, 128, 7980 Federscheibe DIN 137 Zahnscheibe DIN 6797 Fächerscheibe DIN 6798 Scheibe mit Außennase DIN 432 Kronenmutter DIN 935, 937, 979 Drahtsicherung

reibschlüssig

sperrend stoffschlüssig

Wiederverwendbarkeit

Beispiel

Mutter mit Polyamidstopfen Mutter mit Klemmteil DIN 980, 982, 985, 986, 6924, 6925 Schraube mit Kunststoffbeschichtung im Gewinde DIN 982, 985, 986, 6924 Kontermutter Sicherungsmutter DIN 7967 gewindefurchende Schraube Schraube/Mutter mit Verzahnung Schraube/Mutter mit Rippen mikroverkapselter Klebstoff Flüssigkeitsklebstoff Silikonpaste im Gewinde

Wirksamkeit

entfällt

unwirksam

nein ja, mit neuem Splint ja, mit neuem Draht entfällt ja

unwirksam bei Festigkeitsklasse 8.8 und darüber, sonst Verliersicherung

ja

Verliersicherung

entfällt

unwirksam, Losdrehen möglich Verliersicherung Losdrehsicherung, wenn die Oberfläche nicht gehärtet ist Losdrehsicherung Losdrehsicherung Verliersicherung

ja ja ja ja, 5 mal nein ja

unwirksam Verliersicherung

Mitverspannte Federelemente sind meist unwirksam, weil sie schon bei einem Bruchteil der Vorspannkraft auf Block liegen und dann nur noch als Unterlegscheiben dienen, die durch die zusätzliche Trennfuge den Setzbetrag unnötigerweise erhöhen. Federringe nach DIN 127 beispielsweise liegen schon nach 5% der Nennvorspannkraft von Schrauben der Festigkeitsklasse 8.8 auf Block. Sie können also erst dann wirksam werden, wenn 95% der Vorspannkraft bereits verloren gegangen sind. Die unwirksamen Sicherungselemente stammen noch aus einer Zeit, als es keine objektiven Prüfverfahren gab. Sie werden allerdings auch heute noch in großem Umfang eingesetzt, was vielleicht auch daran liegen mag, dass sie in der Norm verankert sind.

164

4.6.3

4 Schrauben

Unterlegscheiben

Unterlegscheiben gefährden durch eine zusätzliche Trennfuge und dem damit verbundenen Setzbetrag den Vorspannungszustand. Sie sollen nur dann verwendet werden, wenn  die Zwischenlage an der Kontaktfläche zur Schraube oder Mutter keine hohe Flächenpressung zulässt. Dies kann dann der Fall sein, wenn z.B. Holz- oder Kunststoffzwischenlagen verschraubt werden.  die Oberfläche der verschraubten Zwischenlage nicht beschädigt werden darf. Dies ist vor allen Dingen dann der Fall, wenn die Schraubverbindung häufig gelöst und dann wieder angezogen wird.  das Loch in der Zwischenlage ein Langloch ist. Die Unterlegscheibe dient dann dazu, die Krafteinleitung in den Schraubenkopf bzw. in die Mutter zu vergleichmäßigen und verhindert eine Deformation des Langlochs beim Anziehvorgang.

4.6.4

Torsionsfreies Anziehen

Werden Schrauben hoch beansprucht oder unterliegen sie besonderen Sicherheitsanforderungen, so wird häufig das torsionsfreie Anziehen praktiziert, um die daraus resultierenden Schubbelastungen von der Schraube fernzuhalten. Im Abschnitt 4.4.3 „Thermisches Anziehen und weitere thermische Einflüsse“ wurde bereits erläutert, wie durch Erwärmen vor der Montage die Schraube torsionsfrei vorgespannt werden kann. Das Bild 4.24 zeigt weitere drei Varianten, die dieses Ziel durch mechanische Hilfsmittel zu erreichen versuchen:

Bild 4.24: Torsionsfreies Anziehen mechanisch (aus Schraubenvademecum 1991)

 Im linken Fall endet der Schraubenschaft oben in einem Vierkant, an den ein zweiter Schraubenschlüssel angesetzt werden kann. Während des Anziehens wird dort mit dem Gewindereibmoment „gegen gehalten“. Diese Methode ist relativ unzuverlässig, da eine exakte gleichzeitige Kontrolle zweier unterschiedlicher Momente nicht ganz unproblematisch ist.  Im mittleren Fall wird das Gewindemoment über eine Kerbverzahnung an eine Zwischenhülse abgeleitet, die sich ihrerseits über einen Stift formschlüssig an der Umgebungskonstruktion abstützt. Der Abschnitt des Gewindebolzens unterhalb der Kerbverzahnung bleibt damit torsionsmomentenfrei.  Im rechten Beispiel wird die Torsionsbelastung über zwei Kerbverzahnungen gezielt in eine Hülse eingeleitet, die den nunmehr torsionsfreien Schraubenschaft umgibt.

4.7 Anhang

165

Bild 4.25: Torsionsfreies Anziehen hydraulisch (aus Schraubenvademecum 1991)

Bild 4.25 gibt eine Vorrichtung wieder, mit der Schrauben hydraulisch vorgespannt werden können: Nachdem die Schraube ohne nennenswertes Moment vorläufig montiert worden ist, wird die Vorrichtung über das überstehende Ende des Schraubenbolzens gestülpt. Das freie Schraubenende wird von einer Differentialmutter erfasst und mit einem Hydrauliksystem wird die gewünschte Vorspannkraft eingeleitet. Die Mutter der Schraubverbindung kann dann ohne Moment beigedreht werden. Nach dem Ablassen des Öldrucks kann die Vorrichtung wieder demontiert werden.

4.7

Anhang

4.7.1

Literatur

[4.1]

AD-Merkblatt W7: Schrauben und Muttern aus feritischen Stählen

[4.2]

AD-Merkblatt B7: Berechnung von Druckbehälterschrauben

[4.3]

Agatnonovic, P.: Beitrag zur Berechnung von Schraubenverbindungen; Draht-Welt 58 (1972), H.2

[4.4]

Bauer, C. O.: Sicherung von Schraubenverbindungen aus nichtrostenden Stählen; Z. Werkstoffe und Korrosion 1970, S. 463–473

[4.5]

Bauer, C. O.: Verhalten von Schrauben- und Mutterverbindungen aus nichtrostenden Stählen unter schwindenden Lasten. Konstruktion 24 (1972), H.7

[4.6]

Blume, D.: Einfluß von Gewindeherstellung und -profil auf die Dauerhaltbarkeit von Schrauben

[4.7]

Blume, D.; Strelow, D.: Gestaltung und Anwendung von Dehnschrauben. Verbindungstechnik H. 1 und 2, 1969. Maschinenmarkt 82 (1976), 22, S. 350–353

[4.8]

Blume, D.: Wann müssen Schraubenverbindungen gesichert werden? Verbindungstechnik (1969), H. 4

166

4 Schrauben

[4.9]

Blume, D.; Esser, J.: Mikroverkapselter Klebstoff als Schraubensicherung; Verbindungstechnik 5 (1973), H. 5 und 6

[4.10]

Boenik, U.: Untersuchungen an Schraubenverbindungen. Dissertation Universität Berlin 1966

[4.11]

Bossard, H.: Handbuch der Verschraubungstechnik. Expert-Verlag 1982

[4.12]

DIN-Taschenbuch 10: Mechanische Verbindungselemente – Schrauben. Beuth

[4.13]

DIN-Taschenbuch 45: Gewindenormen. Beuth 1988

[4.14]

DIN-Taschenbuch 140: Mechanische Verbindungselemente – Schrauben, Muttern, Zubehör. Beuth 1986

[4.15]

Illgner, K. H.; Blume, D.: Schraubenvademecum. Firmenschrift von Bauer & Schaurte Karcher GmbH

[4.16]

Illgner, K. H.; Beelich, K. H.: Einfluß überlagerter Biegung auf die Haltbarkeit von Schraubenverbindungen. Konstruktion 18 (1966), S. 117–124

[4.17]

Illgner, K. H.: Das Verspannungs-Schaubild von Schraubenverbindungen. DrahtWelt 53 (1967), S. 43–49 Junker, G.: Flächenpressung unter Schraubenköpfen. Maschinenmarkt (1961) Nr. 38, S. 29

[4.18] [4.19]

Junker, G.; Blume, D.; Leusch, F.: Neue Wege einer systematischen Schraubenberechnung. Michael Triltsch Verlag 1965

[4.20]

Junker, G.; Boys, I. P.: Moderne Steuerungsmethoden für das motorische Anziehen von Schraubenverbindungen. VDI-Bericht 220 (1974), S. 87–98

[4.21]

Junker, G.; Strehlow, D.: Untersuchungen über die Mechanik des selbsttätigen Lösens und die zweckmäßige Sicherung von Schraubenverbindungen. Drahtwelt (1966), H. 3

[4.22]

Junker, G.; Strehlow, D.: Reibung – Störfaktor bei der Schraubenmontage. Verbindungstechnik 6 (1974), S. 25–36

[4.23]

Junker, G.; Meyer, G.: Neuere Betrachtungen über die Haltbarkeit von dynamisch belasteten Schraubenverbindungen. Draht-Welt 53 (1967) H. 7

[4.24]

Junker, G.: Reihenuntersuchungen über das Anziehen von Schraubenverbindungen mit motorischen Schraubern. Draht-Welt 56 (1970), H. 3

[4.25]

Klein, H.-Ch.: Hochwertige Schraubenverbindungen, einige Gestaltungsprinzipien und Neuentwicklungen. Konstruktion 11 (1959), S. 201–212 und 259–264

[4.26]

Kübler, K.-H.; Mages, W. J.: Handbuch der hochfesten Schrauben. Girardet 1986

[4.27]

Paland, E. G.: Die Sicherheit der Schraube-Mutter-Verbindung bei dynamischer Axialbeanspruchung. Konstruktion 19 (1967), H. 12

[4.28]

VDI-Richtlinie 2230: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen. VDI-Verlag 1986

[4.29]

Weber, H.: Untersuchungen über die Schraubenbeanspruchungen bei exzentrischer Belastung. Konstruktion 23 (1971), H. 4

4.7 Anhang

167

[4.30]

Weber, H.: Die Ermüdungsfestigkeit von Schrauben bei kombinierter Zug- und Biegebeanspruchung. Konstruktion 23 (1971), S. 401–404

[4.31]

Wiegand, H.; Flemming, G.: Hochtemperaturverhalten von Schraubenverbindungen. VDI-Z 16 (1971), S. 1239–1244

[4.32]

Wiegand, H.; Kloos, K. H.; Thomala, W.: Schraubenverbindungen. Springer 1988

[4.33]

Wiegand, H.; Illgner, K. H.: Berechnung und Gestaltung von Schraubenverbindungen. Konstruktionsbuch 5. Springer 1962

[4.34]

Wiegand, H.; Illgner, K. H.; Junker, G.: Neuere Erkentnisse und Untersuchungen über die Dauerhaltbarkeit von Schraubenverbindungen. Konstruktion 13 (1961), S. 461–467

[4.35]

Wiegand, H.; Illgner, K. H.; Beelich, K. H.: Über die Verminderung der Vorspannung von Schraubenverbindungen durch Setzvorgänge. Werkstatt und Betrieb 98 (1965), S. 823–827

[4.36]

Wiegand, H.; Illgner, K. H.; Beelich, K. H.: Einfluß der Federkonstanten und der Anzugsbedingungen auf die Vorspannung von Schraubenverbindungen. Konstruktion 20 (1968), S. 130–137

[4.37]

Wiegand, H.; Illgner, K. H.; Beelich, K.H.: Die Dauerhaltbarkeit von Gewindeverbindungen mit ISO-Profil in Abhängigkeit von der Einschraubtiefe. Konstruktion 16 (1964), S. 485–490

[4.38]

Wiegand, H.; Strigens, P.: Die Haltbarkeit von Schraubenverbindungen mit Feingewinden bei wechselnder Beanspruchung. Industrie-Anzeiger 92 (1970), S. 2139– 2144

4.7.2

Normen

[4.39]

DIN 13 T1: Metrisches ISO-Gewinde; Regelgewinde von 1 mm bis 68 mm Gewindenenndurchmesser

[4.40]

DIN 13 T2: Metrisches ISO-Gewinde; Feingewinde mit Steigungen 0,2-0,25-0,35 mm von 1 mm bis 50 mm Gewindenenndurchmesser

[4.41]

DIN 76 T1: Gewindeausläufe, Gewindefreistiche für metrische ISO-Gewinde nach DIN 13

[4.42]

DIN 84: Zylinderschrauben mit Schlitz; Produktklasse A

[4.43]

DIN 93: Scheiben mit Lappen

[4.44]

DIN 103: Metrische ISO-Trapezgewinde

[4.45]

DIN 125: Scheiben; Ausführung mittel, vorzugsweise für Sechskantschrauben und muttern

[4.46]

DIN 126: Scheiben; Ausführung grob, vorzugsweise für Sechskantschrauben und muttern

[4.47]

DIN 127: Federringe, aufgebogen oder glatt, mit rechteckigem Querschnitt

[4.48]

DIN 128: Federringe, gewölbt oder gewellt

[4.49]

DIN 137: Federscheiben, gewölbt oder gewellt

168

4 Schrauben

[4.50]

DIN 202: Gewinde; Übersicht

[4.51]

DIN ISO 228 T1: Rohrgewinde für nicht im Gewinde dichtende Verbindungen

[4.52]

DIN ISO 273: Mechanische Verbindungselemente: Durchgangslöcher für Schrauben

[4.53]

DIN 405 T1: Rundgewinde

[4.54]

DIN 417: Gewindestift mit Schlitz und Zapfen

[4.55]

DIN 432: Scheiben mit Außennase (Sicherungsblech mit Nase)

[4.56]

DIN 433: Scheiben, vorzugsweise für Zylinderschrauben

[4.57]

DIN 435: Scheiben, vierkant, für -Träger

[4.58]

DIN 478: Vierkantschrauben mit Bund

[4.59]

DIN 479: Vierkantschrauben mit Kernansatz

[4.60]

DIN 480: Vierkantschrauben mit Bund und Ansatzkuppe

[4.61]

DIN 513 T1: Metrisches Sägezahngewinde

[4.62]

DIN 551: Gewindestift mit Schlitz und Kegelkuppe

[4.63]

DIN 553: Gewindestift mit Schlitz und Spitze

[4.64]

DIN 561: Sechskantschraube mit Zapfen und kleinem Sechskant

[4.65]

DIN 564: Sechskantschraube mit Ansatzspitze und kleinem Sechskant

[4.66]

DIN 609: Sechskant-Paßschrauben mit langem Gewindezapfen

[4.67]

DIN 653: Rändelschrauben, niedrige Form

[4.68]

DIN 835: Stiftschrauben

[4.69]

DIN 912: Zylinderschrauben mit Innensechskant; ISO 4762 modifiziert

[4.70]

DIN 913: Gewindestift mit Innensechskant und Kegelkuppe; ISO 4026 modifiziert

[4.71]

DIN 931 T1: Sechskantschrauben mit Schaft; Gewinde M1,6 mit M 39, Produktklassen A und B

[4.72]

DIN 931 T2: Sechskantschrauben mit Schaft; Gewinde M42 mit M 160x6, Produktklasse B

[4.73]

DIN 933: Sechskantschrauben mit Gewinde bis Kopf; Gewinde M1,6 mit M 52, Produktklassen A und B

[4.74]

DIN 934: Sechskantmuttern; Metrisches Regel- und Feingewinde; Produktklassen A und B

[4.75]

DIN 935 T1: Kronenmuttern; Metrisches Regel- und Feingewinde; Produktklassen A und B

[4.76]

DIN 936: Flache Sechskantmuttern; Gewinde M8 bis M52 und M8x1 bis M52x3; Produktklassen A und B

[4.77]

DIN 937: Kronenmuttern; niedrige Form

[4.78]

DIN 938 bis DIN 940: Stiftschrauben

[4.79]

DIN 962: Schrauben und Muttern; Bezeichnungsangaben; Formen und Ausführungen

4.7 Anhang

169

[4.80]

DIN 971: Sechskantmuttern

[4.81]

DIN 985: Sechskantmutter mit Klemmteil; mit nicht metallischem Einsatz; niedrige Form

[4.82]

DIN 1804: Nutmuttern; Metrisches ISO-Feingewinde

[4.83]

DIN 1816: Kreuzlochmuttern; Metrisches ISO-Feingewinde

[4.84]

DIN 2244: Gewinde; Begriffe

[4.85]

DIN 2509: Schraubenbolzen

[4.86]

DIN 2510: Schraubverbindungen mit Dehnschaft

[4.87]

DIN 2781: Sägegewinde 45°; eingängig; für hydraulische Pressen

[4.88]

DIN 2999 T1: Witworth-Rohrgewinde für Gewinderohre und Fittings; Zylindrisches Innengewinde und kegeliges Außengewinde

[4.89]

DIN 3858: Witworth-Rohrgewinde für Rohrverschraubungen; Zylindrisches Innengewinde und kegeliges Außengewinde

[4.90]

DIN ISO 6410: Technische Zeichnungen; Darstellung von Gewinden

[4.91]

DIN 6797: Zahnscheiben

[4.92]

DIN 6798: Fächerscheiben

[4.93]

DIN 6900: Kombischrauben

[4.94]

DIN 6912: Zylinderschrauben mit Innensechskant; niedriger Kopf mit Schlüsselführung

[4.95]

DIN 6914: Sechskantschrauben mit großen Schlüsselweiten; für HV-Verbindungen in Stahlkonstruktionen

[4.96]

DIN 6915: Sechskantmuttern mit großer Schlüsselweite für Verbindungen mit HVSchrauben in Stahlkonstruktionen

[4.97]

DIN 7967: Sicherungsmuttern

[4.98]

DIN 7968: Sechskant-Paßschrauben; ohne Muttern, mit Sechskantmutter, für Stahlkonstruktionen

[4.99]

DIN 7990: Sechskantschrauben mit Sechskantmuttern für Stahlkonstruktionen

[4.100]

DIN 17240: Warmfeste und hochwarmfeste Werkstoffe für Schrauben und Muttern

[4.101]

DIN 20400: Rundgewinde mit großer Tragtiefe

[4.102]

DIN 20401 T1: Sägengewinde mit Steigung 0,8 mm bis 2 mm

[4.103]

DIN 40430: Stahlpanzerrohr

170

4 Schrauben

4.8

Aufgaben: Schrauben

Befestigungsschrauben Vorspannen von Schraubverbindungen A.4.1

Winkelgesteuertes Anziehen

Es sind drei Stahlschrauben M8, M10 und M12 gegeben, die nach untenstehender Skizze zur Befestigung einer Deckelverschraubung dienen. Das Schraubenbohrloch misst im Durchmesser 1 mm mehr als der jeweilige Nenndurchmesser der Schraube. Die Steifigkeit der Zwischenlage beträgt in allen drei Fällen einheitlich 640 N/µm. Der Reibwert im Gewinde und am Schraubenkopf kann mit µ = 0,12 angenommen werden. Das Gewinde erstreckt sich annähernd bis zum Kopf der Schraube.

cS MGew anz MGew lös MKR Mges anz Mges lös fSV fZV  Z t V

[N/µm] [Nm] [Nm] [Nm] [Nm] [Nm] [µm] [µm] [°] [N/mm²] [N/mm²] [N/mm²]

Schraubengüte

3.6 – 4.6 – 4.8 – 5.6 5.8 – 6.8 – 8.8 10.9 – 12.9

3.6 – 4.6 – 4.8 – 5.6 5.8 – 6.8 – 8.8 10.9 – 12.9

3.6 – 4.6 – 4.8 – 5.6 5.8 – 6.8 – 8.8 10.9 – 12.9

4.8 Aufgaben: Schrauben

171

a) Berechnen Sie die Steifigkeit der Schraube cS. b) Die Schrauben sollen mit einer Vorspannkraft FV = 18 kN angezogen werden. Wie groß ist das Gewindemoment beim Anziehen MGewanz und beim Lösen MGewlös der Schrauben? Wie groß ist das Kopfreibungsmoment MKR? Welches Gesamtmoment muss aufgebracht werden, um die Schraube anzuziehen (Mgesanz) und zu lösen (Mgeslös)? c) Um welchen Betrag fSV wird die Schraube gelängt und um welchen Betrag fZV wird die Zwischenlage gestaucht? d) Um welchen Winkel  muss die Schraube beim Anziehen zwischen der ersten festen Berührung der Kontaktflächen und dem endgültigen Montagezustand verdreht werden? e) Welche Zugspannung Z, welche Schubspannung t und welche Vergleichsspannung V tritt in der Schraube auf? f) Markieren Sie durch Ankreuzen, welche Schraubengüte mindestens erforderlich ist! A.4.2

Verschraubung stromführender Leiterbahnen

Stromführende Leiterbahnen für Starkstromanlagen werden als Kupferschienen mit rechteckigem Querschnitt ausgeführt. Diese Leiterbahnen werden untereinander mit DINSchrauben M12 verbunden.

Es sind folgende weitere Daten gegeben: Reibwert im Gewinde und an der Kopfauflage: Elastizitätsmodul von Kupfer: thermischer Ausdehnungskoeffizient von Kupfer: thermischer Ausdehnungskoeffizient von Stahl:

µ = 0,12 ECu = 1,1  105 N/mm² Cu = 16  10–6 1/K St = 11  10–6 1/K

Es kann vereinfachend angenommen werden, dass die Zwischenlage eine durch das Anziehen der Schraube deformierte Querschnittsfläche aufweist, die so groß ist wie die 1,2-fache Querschnittsfläche der Schraube. Zur Dokumentation der Lösungen benutzen Sie bitte untenstehendes Schema. a) Sowohl die Schraube als auch die Zwischenlage sind der Raumtemperatur von 20 °C ausgesetzt. Die Schraube wird mit einem Gesamtmoment von 60 Nm angezogen. Wie hoch ist dann die Vergleichsspannung in der Schraube? b) Anschließend wird die Verbindung durch einen Kurzschlussstrom belastet. Es wird zunächst angenommen, dass sich dadurch nur die Kupferschiene auf 140 °C erwärmt, während die Schraube noch die Ursprungstemperatur beibehält. Wie hoch ist dann die Vergleichsspannung in der Schraube?

172

4 Schrauben

c) Es kann angenommen werden, dass nach einer gewissen Zeit sowohl die Schraube als auch die Kupferschiene auf 140 °C erwärmt sind. Wie hoch ist dann die Vergleichsspannung in der Schraube? Aufgabenteil a

Aufgabenteil b

Aufgabenteil c

Zwischenlage

20 °C

140 °C

140 °C

Schraube

20 °C

20 °C

140 °C

Z [N/mm²] = t [N/mm²] = V [N/mm²] =

Querkraftbeanspruchte Schraubverbindungen A.4.3

Wellenflansch mit einem Teilkreis

Zwei Wellenenden werden mit einer einfachen, nicht schaltbaren Kupplung untereinander verbunden. Zu diesem Zweck werden sie in der unten dargestellten Weise mit Flanschen versehen, die untereinander verschraubt werden.

Mit dieser Kupplung wird eine Leistung von 100 kW bei einer Drehzahl von 1.700 min-1 übertragen. a) In einer ersten Ausführung wird die Kupplung mit Passschrauben (obere Bildhälfte) ausgestattet. Wie groß ist in diesem Fall der Lochleibungsdruck pL zwischen Schraube und Flansch und der Querkraftschub Q in der Passschraube?

4.8 Aufgaben: Schrauben

173

Lochleibungsdruck

pL [N/mm²]

Querkraftschub

Q [N/mm²]

b) In einer zweiten Ausführung wird die Kupplung mit normalen metrischen Schrauben ausgestattet (untere Bildhälfte). An den Flanschflächen liegt eine Reibzahl von µ = 0,1 und im Gewinde ein Reibwert von µGew = 0,15 vor. Mit welcher Vorspannkraft FV muss jede einzelne der Schrauben angezogen werden? Wie groß ist das Schraubenanzugsmoment Manz, wenn angenommen werden kann, dass das Kopfreibungsmoment so groß ist wie das Gewindemoment? Welche Zugspannung Z, welcher Torsionsschub t und welche Vergleichsspannung V liegen dann in der Schraube vor? Vorspannkraft

FV [N]

Gewindemoment

MGew [Nm]

Kopfreibungsmoment

MKA [Nm]

Schraubenanzugsmoment

Manz [Nm]

Zugspannung

Z [N/mm²]

Torsionsschub

t [N/mm²]

Vergleichsspannung

V [N/mm²]

A.4.4

Wellenflansch mit drei Teilkreisen

Eine einfache, nicht schaltbare Kupplung verbindet zwei Wellenenden über die untenstehende Flanschverbindung. Die beiden Flansche werden so verschraubt, dass das Wellenmoment durch Reibschluss übertragen werden kann. Der Reibwert kann sowohl an dieser Kraftübertragungsstelle als auch im Gewinde mit µ = 0,1 angenommen werden.

174

4 Schrauben

a) Berechnen Sie das durch die Welle übertragbare Moment MtWelle, wenn alle Schrauben mit einer Kraft von FV = 12.000 N vorgespannt werden. Zur Dokumentation von Zwischenergebnissen differenzieren Sie danach, welcher Momentenanteil vom inneren, mittleren und äußeren Schraubenring übertragen wird. b) Entsprechend ihrer Lage müssen nicht alle Schrauben mit der unter a) erwähnten Kraft von 12.000 N vorgespannt werden. Auf welchen Betrag kann die Vorspannkraft FVmin vermindert werden, ohne dass dabei das übertragbare Moment Mtzul gegenüber a) reduziert wird? c) Welches Gewindemoment MGew ist erforderlich, um die Schrauben mit FVmin vorzuspannen?

a b c

d

MtWelle FVmin MGew Z t V Schraubengüte

e

Manz

innerer Lochkreis

mittlerer Lochkreis

äußerer Lochkreis

3.6 – 4.6 – 4.8 5.6 – 6.8 – 8.8 10.9 – 12.9

3.6 – 4.6 – 4.8 5.6 – 6.8 – 8.8 10.9 – 12.9

3.6 – 4.6 – 4.8 5.6 – 6.8 – 8.8 10.9 – 12.9

gesamt

[Nm] [N] [Nm] [N/mm²] [N/mm²] [N/mm²]

[Nm]

d) Welche Schraubengüte ist erforderlich? Berechnen Sie die Vergleichsspannung und markieren Sie die erforderliche Schraubengüte durch Ankreuzen. e) Mit welchem Anzugsmoment Manz müssen die Schrauben angezogen werden, wenn angenommen werden kann, dass das Gewindemoment MGew gleich dem Kopfreibungsmoment MKR ist?

Längskraftbeanspruchte Schraubverbindungen A.4.5

Betriebskraft im Verspannungsschaubild

Eine Schraubverbindung steht unter der Vorspannkraft FV = 120 kN. Dabei wird die Schraube um fSV = 60µm gelängt und die Zwischenlage um fZV = 20 µm gestaucht. a) Zeichnen Sie das maßstäbliche Verspannungsschaubild! b) Die auf Zug wirkende Betriebskraft FBL beträgt 80 kN. Tragen Sie diese Kraft ein und ermitteln Sie zeichnerisch die dann vorliegende Belastung der Schraube FSmax sowie die in der Trennfuge der Zwischenlage wirkende Restklemmkraft FRK! Tragen Sie die Werte in das untenstehende Schema ein! c) Welche zusätzliche Verformung fB wird durch die Betriebskraft FBL in die Schraube eingeleitet? d) Ermitteln Sie die unter b) und c) geforderten Werte rechnerisch!

4.8 Aufgaben: Schrauben

175 FSmax [kN]

FRK [kN]

fB [µm]

zeichnerisch rechnerisch

A.4.6

Druckbehälter statisch belastet

Der unten skizzierte Behälter aus Stahl steht unter einem statischen Innendruck von 24 bar. Die Abdeckplatte des Einstiegloches wird mit 20 Schrauben verschlossen.

Die Steifigkeit der Zwischenlage beträgt 1.700 N/µm. Die Restdichtkraft muss noch 25 % der Betriebskraft betragen. Der Reibwert sowohl im Gewinde als auch an der Kopfauflage beträgt 0,12. a) Skizzieren Sie qualitativ das Verspannungsschaubild und bezeichnen Sie die Betriebskraft FBL, die Restdichtkraft FRK, die maximale Schraubenkraft FSmax sowie die Vorspannkraft FV! b) Berechnen Sie die Steifigkeit der Schraube! c) Berechnen Sie die unter a) skizzierten Kräfte für eine einzelne Schraube! d) Wie groß ist das Gewindemoment MGew, das Kopfreibungsmoment MKR und das Schraubenanzugsmoment Manz? e) Wie groß sind die Zugspannung Z, die Schubspannung t und die Vergleichsspannung V in der Schraube? f) Ist die Festigkeit der Schraube ausreichend?

176 A.4.7

4 Schrauben Rohrleitungsflansch

Die einzelnen Rohre einer Rohrleitung werden mit den nachfolgend dargestellten Flanschverbindungen untereinander verbunden.

Es werden Schrauben M8 verwendet. Die Rohrleitung steht unter einem statischen Druck von 12 bar. Die Steifigkeit der Zwischenlage ist doppelt so groß wie die Schraubensteifigkeit. Die Restdichtkraft FRK soll aus Sicherheitsgründen das dreifache der Betriebskraft FBL betragen. Im Gewinde liegt ein Reibwert von µGew = 0,15 vor. Es kann weiterhin angenommen werden, dass das Anzugsmoment so groß ist wie das Gewindemoment. a) Berechnen Sie zunächst die an der einzelnen Schraube wirkende Betriebskraft FBL, die Restklemmkraft FRK, die maximale Schraubenkraft FSmax und die Vorspannkraft FV. b) Wie groß sind das Gewindemoment MGew, das Kopfreibungsmoment MKR und das Anzugsmoment Manz? c) Welche Schraubengüte muss mindestens gewählt werden? Kreuzen Sie in untenstehendem Ergebnisschema an! d) Auf welchen Betrag kann der Innendruck der Rohrleitung unter ansonsten gleichen Bedingungen gesteigert werden, wenn Schrauben der Festigkeitsklasse 12.9 verwendet werden? FBL FRK FSmax FV

Aufgabenteil a [N] [N] [N] [N]

MGew MKR Manz

Aufgabenteil b [Nm] [Nm] [Nm]

Aufgabenteil c Aufgabenteil d 3.6 – 4.6 – 5.6 – 5.8 – 6.8 – 8.8 – pmax [bar] = 10.9 – 12.9

5

Lagerungen

Das kennzeichnende Merkmal einer jeden Maschine ist die Bewegung: Entweder findet die Bewegung in der Maschine statt oder sie bewegt sich selbst (Fahrzeug). Insofern unterscheiden sich die Objekte des Maschinenbaus grundlegend von denen vieler anderer Ingenieurdisziplinen. Die Bewegung lässt sich grundsätzlich unterscheiden nach kreisförmig oder geradlinig Drehbewegung oder Geradeausbewegung Rotation oder Translation Entsprechend dieser Unterscheidung werden die Bewegungen konstruktiv als Lagerungen oder Führungen ausgeführt. In der technischen Realität treten Bewegungsformen häufig als reine Rotation oder als reine Translation auf, da man bemüht ist, den technischen Aufwand von Maschinen so gering wie möglich zu halten. Werden differenziertere Bewegungsabläufe nötig, so werden sie stets aus einer Überlagerung von einer oder mehreren Bewegungen dieser beiden Grundtypen zusammengesetzt (Beispiel: Erzeugung der Evolvente als Zahnflanke eines Zahnrades). So komplex reale Bewegungen auch sein mögen, sie lassen sich stets auf diese beiden Grundtypen Rotation und Translation zurückführen. Während die detaillierte Analyse von Bewegungsabläufen Gegenstand der Fachdisziplin Kinematik als einem Teilgebiet der Mechanik und Getriebelehre ist, besteht die Aufgabe des Fachgebietes Maschinenelemente vor allen Dingen darin, das Kraftübertragungsverhalten von Lagerungen und Führungen zu untersuchen, für die sich auch der etwas synthetisch anmutende Sammelbegriff „Bewegungskomponenten“ verwenden lässt. Bild 5.1 gibt einen generellen Überblick über die mechanischen und hydraulischen Prinzipien, die für Bewegungskomponenten ausgenutzt werden. Weiterhin gibt es noch weitere physikalische (pneumatische, magnetische und elektrische) Prinzipien, die in dieser Grundlagenbetrachtung aber keine Rolle spielen. Diese Zusammenstellung versucht weiterhin einige qualitative, modellhaft einfache Aussagen über Tragfähigkeit, Reibung und Verschleiß, die im weiteren Verlauf dieser Ausführungen jedoch noch differenziert werden müssen.

178

5 Lagerungen Festkörperreibung

Rollreibung

Flüssigkeitsreibung hydrodynamisch

Flüssigkeitsreibung hydrostatisch

translatorisch

FN FN

FN

FN

v v

v

v

Fb

FRR

FR

Fb

Ölzufuhr unter Druck

Verschleiß

Reibung

Tragfähigkeit

rotatorisch

Ölzufuhr drucklos

F n

basiert auf der zeitlich sich nicht ändernden Pressung an der lastübertragenden Fläche

F

Ölzufuhr unter Druck

Ölablauf

F

F

n

n

basiert auf der zeit- steigt mit der Gelich sich ständig schwindigkeit und verändernden Flä- der Viskosität („Zähchenpressung zwi- flüssigkeit“) des Öls schen Wälzkörper und Ring

hoch;

gering;

Reibkraft FR ist der Bewegung entgegengesetzt gerichtet (Coulombsches Gesetz)

Formulierung der Rollreibungskraft FRR kann modellhaft an das Coulombsche Gesetz angelehnt werden

hoch;

gering;

bei zu hoher Flächenpressung Fressen und Kaltverschweißung

bei jeder Überrollung werden winzige Partikel aus der Oberfläche herausgelöst

gering;

n

steigt mit der Höhe des Öldruckes

gering;

steigt mit der Gesteigt mit der Geschwindigkeit und schwindigkeit und der Viskosität („Zäh- der Viskosität („Zähflüssigkeit“) des Öls flüssigkeit“) des Öls im optimalen Fall verschleißfrei; in der An- und Auslaufphase wird jedoch Festkörperreibung wirksam

Bild 5.1: Wirkprinzipien Lagerungen und Führungen

verschleißfrei

5.1 Lager mit Festkörperreibung (Bolzen)

179

Besonders in der Historie des Maschinenbaus ließen sich Rotationen konstruktiv leichter ausführen als Translationen (Beispiel: Schraubstock, Kran). Wenn es sich nicht gerade um eine Schwenk- oder Pendelbewegung handelt, so können Drehbewegungen meist beliebig weit fortgeführt werden, während translatorische Bewegungen stets einen Endpunkt haben und dann umgekehrt werden müssen. Dies hat Beschleunigungen und damit Massenkräfte zur Folge und schränkt die erzielbaren Geschwindigkeiten vielfach erheblich ein, während rotatorische Bewegungen meist sehr viel höhere Geschwindigkeiten erlauben. Ein Beispiel aus der Fertigungstechnik möge das verdeutlichen: Eine Kreissäge bedient sich in ihrer Schnittbewegung der Rotation und lässt deshalb sehr hohe Geschwindigkeiten zu. Die Stich- und die Bügelsäge sind hingegen wegen der zyklisch umzukehrenden translatorischen Bewegung in der Höhe ihrer Geschwindigkeit eingeschränkt. Die Bandsäge versucht diesen Nachteil zu vermeiden, in dem sie die prozesstechnisch wirkende Translation ohne Richtungsumkehr aus einer Rotation mit relativ hoher Geschwindigkeit ableitet. Die vorliegenden Betrachtungen beschränken sich auf die Lager als rotatorische Bewegungskomponenten und konzentrieren sich dabei auf Lager mit Festkörperreibung und Wälzlager.

5.1

Lager mit Festkörperreibung (Bolzen)

Der Bolzen ist die einfachste Art einer Lagerung, mit der Gelenke für Schwenkbewegungen oder langsame Drehbewegungen ausgeführt werden können. Bild 5.2 stellt ein oberes, gabelförmiges Bauteil dar, welches relativ zu einem nach unten herausgeführten Bauteil verdreht werden kann. In beiden Ausführungen verteilt sich die zu übertragende Kraft F wegen der Symmetrie der Konstruktion je zur Hälfte auf die linke und rechte Gabelseite. Dennoch unterscheiden sich die beiden Ausführungen in einem wichtigen Konstruktionsmerkmal: Die Relativbewegung des Bolzens vollzieht sich im linken Beispiel im Kontakt zur unteren Lasche. Zur Vermeidung von „Kaltverschweißungen“ (s.u.) wird hier eine Buchse eingefügt. Damit die Relativbewegung tatsächlich zwischen Bolzen und Buchse und nicht etwa zwischen der Buchse und der nach unten herausragenden Lasche stattfindet, ist auf der Innenseite der Buchse eine Spielpassung, außen jedoch eine Presspassung erforderlich.

Die Relativbewegung des Bolzens vollzieht sich im rechten Beispiel im Kontakt zum oberen Gabelkopf. Zur Vermeidung von Kaltverschweißungen wird an jeder Seite des Gabelkopfes eine Buchse eingefügt. Damit die Relativbewegung tatsächlich zwischen Bolzen und Buchse und nicht etwa zwischen Buchse und dem Gabelkopf stattfindet, liegt auf der Innenseite der Buchse eine Spielpassung, außen jedoch eine Presspassung vor.

180

5 Lagerungen

F

S2

F

S1

P2

S2

S2

P2

P2

S2

S1

P2

P1

P1

Spielpassung F7/h6

F

Spielpassung F7/h6

F

Presspassung H7/n6

F 2

S1 4

Presspassung H7/n6

F 2

F 2

S1 4

S1 4

F 2

S1 4

S1 4 F 2

Mb

F 2

S1 4

S1 4

F 2

S1 4 F 2

Mb

Bild 5.2: Bolzen

Bei der Überprüfung der Festigkeit müssen grundsätzlich drei Kriterien kontrolliert werden: a.

Die Flächenpressung kann im einfachsten Fall wie beim Niet (s. Kap. 3.1.2) angesetzt werden, wobei auch hier die Kraft hintereinander an zwei Stellen übertragen werden muss: F F p1   p zul1 p2   p zul2 Gl. 5.1 d  s1 d  2  s2 Bei der Festlegung der Werkstoffkennwerte muss die o.g. Differenzierung berücksichtigt werden. Im linken Konstruktionsbeispiel soll die Relativbewegung bei s1 stattfinden (Gleitsitz), während sie bei s2 gezielt unterbunden wird (Festsitz). Im rechten Beispiel präsentiert sich dieser Sachverhalt genau umgekehrt. Beim Gleitsitz besteht die Gefahr des „Fressens“ oder der „Kaltverschweißung“, die nach einer vereinfachten tribologi-

5.1 Lager mit Festkörperreibung (Bolzen)

181

schen Modellvorstellung folgendermaßen erklärt werden kann: Der metallische Kontakt findet nicht gleichmäßig auf der gesamten Fläche statt, sondern konzentriert sich auf die Rauheitsspitzen der beiden in Berührung stehenden Kontaktflächen. Dadurch wird die tatsächliche, lokale Pressung an diesen Rauheitsspitzen deutlich höher als die hier als Mittelwert berechnete. Werden die beiden sich berührenden Flächen relativ zueinander bewegt, so kann an diesen Rauheitsspitzen so viel Reibungswärme entstehen, dass es zu einer lokalen Verschmelzung („Kalt“-Verschweißung als Verschweißung ohne äußere Energiezufuhr) kommt, die allerdings durch die fortschreitende Relativbewegung sofort wieder aufgebrochen wird. Obwohl dieser Effekt nur von lokaler Bedeutung ist, wird die Oberfläche dadurch langfristig beschädigt und damit in ihrer Funktion gestört. Wegen der Fressgefahr ist die zulässige Flächenpressung für Gleitsitze wesentlich geringer als die für unbewegliche Festsitze. Die Werkstoffpaarung Stahl-Stahl ist wegen der hoher Materialsteifigkeit und der damit verbundenen Konzentration der Lastübertragung auf die Rauheitsspitzen besonders fressgefährdet und damit für Gleitsitze grundsätzlich nicht geeignet. Die Verwendung weniger steifer Materialien verteilt aufgrund lokaler elastischer Deformationen die Last auf größere Flächen, womit die Fressneigung deutlich herabgesetzt wird. Die Geschwindigkeit der relativ zueinander bewegten Flächen muss jedoch stark eingeschränkt werden, so dass mit solchen Materialpaarungen meist nur Schwenkbewegungen oder sehr langsame Drehbewegungen realisiert werden können. Tabelle 5.1 gibt die zulässigen Pressungswerte für einige gebräuchliche Werkstoffpaarungen wieder. b.

Der Querkraftschub wird wie beim Niet (s. Kap. 3.1.1) formuliert, ist aber in den meisten Fällen unkritisch. Tabelle 5.2 gibt die zulässigen Schubspannungswerte für einige Bolzenwerkstoffe an.

c.

Darüber hinaus spielt die Biegemomentenbelastung des Bolzens eine wichtige Rolle. Dazu wird vereinfachend angenommen, dass die an den äußeren Laschen wirkende Pressung zur Kraft F/2 in Laschenmitte zusammengefasst werden kann und sich die an der inneren Lasche wirkende Pressung durch zwei Kräfte F/2 ersetzen lässt, die untereinander den Abstand s1/2 der inneren Laschenbreite zueinander aufweisen. Daraus ergibt sich die darunter skizzierte Biegemomentenverteilung entlang des Bolzens. Die maximale Biegemomentenbelastung formuliert sich zu:

b max

F  s1 s 2    M b max 2  4 2     bzul  d³ Wax 32

Gl. 5.2

In Tabelle 5.2 sind weiterhin die zulässigen Biegespannungswerte für einige Bolzenwerkstoffe aufgelistet.

182

5 Lagerungen

Tabelle 5.1: Zulässige Pressungswerte für einige gebräuchliche Werkstoffpaarungen pzul in [N/mm²]

pzul in [N/mm²]

für Festsitz

für Gleitsitz

quasistatisch

schwellend

wechselnd

Gleitsitz

St 50 / GG

70

50

32

5

St 50 / GS

80

56

40

7

St 50 / Rg, Bz

32

22

16

8

St 50 / St 37

90

63

45

nicht geeignet

St 50 / St 50

125

90

56

nicht geeignet

Tabelle 5.2: Zulässige Biege- und Schubspannungen für Bolzen zul [N/mm²]

bzul [N/mm²] quasistatisch

schwellend

wechselnd

quasistatisch

schwellend

wechselnd

9S20 (4.6)

80

56

35

50

35

25

St 50 (6.8)

110

80

50

70

50

35

St 60, C35, C 45 (8.8)

140

100

63

90

63

45

St 70

160

110

70

100

70

50

Aufgaben A.5.1 und A.5.2

5.2

Wälzlager

Grundprinzip aller Wälzlager ist es, die reibungs- und verschleißbehaftete Coulombsche Reibung durch die sehr viel vorteilhaftere Rollreibung zu ersetzen. Wälzlager bestehen im Allgemeinen aus zwei konzentrischen Ringen, zwischen denen Wälzkörper angeordnet sind. Die am meisten verwendete Bauform des Wälzlagers ist das Kugellager; Bild 5.3 zeigt darüber hinaus auch Wälzkörper anderer Geometrien.

5.2 Wälzlager

Kugel

183

Zylinderrolle

Nadelrolle

Kegelrolle

symmetr. Tonnenrolle

unsymmetr. Tonnenrolle

Bild 5.3: Wälzkörper

Entsprechend der Form der Wälzkörper handelt es sich dann um ein Kugellager, ein Zylinderrollenlager, ein Nadellager, ein Kegelrollenlager oder um ein Rollenlager (weitere Erläuterungen und spezielle Eignungen im Kap. 5.2.2). Das Wälzlager kann „vollrollig“ ausgeführt sein, so dass sich zwei benachbarte Wälzkörper unmittelbar berühren. Dadurch wird die Tragfähigkeit des Lagers maximiert, allerdings tritt dabei auch Reibung der Wälzkörper untereinander auf. In den meisten Fällen werden die Wälzkörper jedoch durch einen Käfig geführt, der sie untereinander auf Distanz hält und für eine gleichmäßige Teilung der Wälzkörper sorgt.

5.2.1

Lageranordnungen

Ein Lager soll aber nicht nur eine Drehung der beiden Lagerringe zueinander kinematisch ermöglichen, sondern auch Kräfte übertragen können. Wie bereits im Abschnitt 1.3.3 erläutert worden war, ist die Lagerung mit einem einzigen Lager nur dann möglich, wenn die Achse bzw. Welle nicht mit einem Biegemoment belastet ist. In den weitaus meisten Fällen ist diese Bedingung allerdings nicht erfüllt, so dass die folgende Erweiterung erforderlich wird:

5.2.1.1

Fest-Los-Lagerung

Im Kapitel 1.3.4 wurde im Zusammenhang mit der Dimensionierung von Achsen und Wellen bereits der Grundtypus der Fest-Los-Lagerung vorgestellt. Diese Lagerung kann nicht nur Radial- und Axialkräfte aufnehmen, sondern auch Biegemomente abstützen. Bild 5.4 zeigt eine Reihe weiterer konstruktiver Beispiele von Festlager/Loslager-Anordnungen.

184

5 Lagerungen

Bild 5.4: Beispiele von Festlager/Loslager-Anordnungen [nach Brändlein]

Bei den Beispielen c-h werden Zylinderrollenlager bzw. Nadellager als Loslager verwendet. Im Beispiel f wird die Kraftübertragung im linken Festlager durch konstruktive Maßnahmen folgendermaßen aufgeteilt: Die Radialkraft wird vom Zylinderrollenlager aufgenommen, welches aber aufgrund seiner Konstruktion der Axialkraft ausweicht. Die Axialkraft wird gezielt vom linken Vierpunktlager übertragen. Da dieses aber keine Radialkraft aufnehmen soll, wird die Gehäusebohrung am Außenring bewusst größer ausgeführt als der Außendurchmesser des Lagerringes. Im Gegensatz zu den nachfolgend aufgeführten Lagerungen ist das kennzeichnende Merkmal einer Fest-Los-Lagerung der Umstand, dass die Axialkraft stets vom gleichen Lager aufgenommen wird.

5.2 Wälzlager

5.2.1.2

185

Schwimmende Lagerung

Eine weitere Art von Lageranordnung ist die sog. „schwimmende Lagerung“, wobei zunächst beide Lager zu „Loslagern“ werden, deren axiale Bewegungsmöglichkeit allerdings durch konstruktive Maßnahmen eingeschränkt wird. Bild 5.5 zeigt diese Lageranordnung in Ergänzung zu den in Bild 1.10 aufgeführten Einbaufällen:

Bild 5.5: Schwimmende Lagerung

Bild 5.6: Angestellte Lagerung

 Auch bei dieser Art von Lageranordnung werden die Radialkräfte wie bei der Fest-LosLagerung übertragen, die Welle oder Achse kann als „drehbarer Balken“ betrachtet werden.  Die Übertragung der Axialbelastung hängt allerdings von deren Richtung ab: Wirkt die Axialkraft in der Welle nach rechts, so wird die Welle geringfügig nach rechts verschoben und das rechte Lager kommt nach Überbrückung des konstruktiv vorgesehenen Spiels außen zur Anlage, so dass darüber die Kraft übertragen werden kann. Bei nach links wirkender Axialkraft kommt entsprechend das linke Lager zur Anlage. Die schwimmende Lagerung hat also in jedem Fall ein axiales Spiel, welches je nach Lagergröße bis zu mehreren zehntel Millimeter beträgt. Im Gegensatz zu der obigen Darstellung wird in manchen Konstruktionszeichnungen das Axialspiel zeichnerisch nicht dargestellt, was zu Missverständnissen führen kann.  Für eine schwimmende Lagerung können nahezu alle Lagerbauformen verwendet werden, die nicht „angestellt“ (s.u.) werden müssen.  Die schwimmende Lagerung erlaubt gegenüber der Festlager-/Loslager-Anordnung einige fertigungstechnische Vereinfachungen und ist grundsätzlich dann möglich, wenn durch das axiale Spiel die Funktion der gesamten Lagerung nicht gestört wird. Das Bild 5.7 zeigt dazu ein Beispiel: Die Anordnung als schwimmende Lagerung auf einer Buchse ermöglicht den einfachen und schnellen Einbau des Kranlaufrades als komplette Baueinheit. Die in der oberen Bildhälfte dargestellte Ausführung mit kleineren Zylinderrollenlagern reicht für geringere Belastungen aus, bei hohen Lasten muss das Kranlaufrad mit größeren (und teureren) Zylinderrollenlagern (untere Bildhälfte) bestückt werden. Wegen der relativ geringen Geschwindigkeiten werden „vollrollige“ Lager (also solche ohne Käfig) eingesetzt, wodurch eine besonders hohe Tragfähigkeit erzielt wird.

186

5 Lagerungen

Bild 5.7: Kranlaufrad [Werksbild INA]

Die Lagerung des „Vibrationsmotors“ nach Bild 5.8 ist ebenfalls schwimmend ausgeführt. An dessen Wellenenden sind Unwuchtmassen angebracht, die bei Rotation Zentrifugalkräfte hervorrufen und damit Schwingungen erzeugen, die z.B. zum Betrieb eines Schüttelsiebes ausgenutzt werden.

5.2 Wälzlager

187

Bild 5.8: Schwimmende Lagerung eines Vibrationsmotors [Werksbild FAG]

5.2.1.3

Angestellte Lagerung

Ist eine genaue axiale Führung der Welle erforderlich, so reicht die schwimmende Lagerung nicht mehr aus, die Lagerung muss „angestellt“ werden. Wie Bild 5.6 zeigt, geht die angestellte Lagerung aus der schwimmenden Lagerung (Bild 5.5) dadurch hervor, dass das axiale Spiel durch Krafteinwirkung (hier Federkraft) eliminiert wird. Bild 5.9 zeigt die Lagerung eines kleinen Elektromotors, welche durch eine scheibenförmige Feder angestellt ist, die den Außenring des linken Lagers gegenüber dem Gehäuse abstützt. Auf diese Weise wird auch im Leerlauf eine Mindestbelastung auf die Lager aufgebracht, wodurch die Kugeln zu einem eindeutigen Abrollen gezwungen werden und damit die Geräuschentwicklung minimiert wird.

Bild 5.9: Angestellte Lagerung Elektromotor

188

5 Lagerungen

Die Kegelrollenlagerung in Bild 5.10 wird durch die Mutter am linken Wellenende angestellt. Diese Anstellung wird durch einen Zwischenring zwischen dem linken Lager und dem rechts daneben liegenden Wellenbund begrenzt, kann aber durch Abschleifen dieses Zwischenringes erhöht werden.

Bild 5.10: Angestellte Lagerung Ritzelwelle Kegelrad

Zur definierten Aufbringung der Vorspannung müssen die Lager selber mit der gesamten Umgebungskonstruktion als (harte) Feder betrachtet werden. Die hohe Steifigkeit dieser Feder erfordert gegenüber dem Beispiel in Bild 5.9 eine genaue Fertigung, eine präzise Montage und ggf. eine Kontrolle der thermischen Ausdehnungen.

5.2.2

Lagerbauformen

Bereits oben wurden einige Lagerbauformen vorgestellt. Es geht nun darum, die Vielfalt an Bauformen zu einer möglichst vollständigen Zusammenstellung zu ergänzen. Bei dieser Differenzierung spielen die folgenden Aspekte eine wesentliche Rolle:  Funktion  geforderte Genauigkeit  Fertigungs- und Montagemöglichkeiten  Belastung  Kosten Dementsprechend stehen eine ganze Reihe von Lagerbauformen zur Verfügung, die in vielfachen Ausführungsformen standardisiert und international genormt sind. Im geometrischen Modellfall berührt der Wälzkörper den Lagerring entweder in einem einzigen Punkt oder entlang einer Linie, so dass nach Punktberührung und Linienberührung unterschieden werden kann. Lager mit Punktberührung haben die Kugel als Wälzkörper und werden damit Kugellager genannt, während Lager mit Linienberührung eine Rolle als Wälzkörper verwenden und damit als Rollenlager bezeichnet werden. Diese Differenzierung ist in mehrfacher Hinsicht von Bedeutung:  Die Punktberührung zieht bei gleicher Belastung eine relativ hohe Pressung nach sich, wodurch das Lager insgesamt weniger tragfähig ist. Bei Linienberührung tritt bei gleicher äußeren Kraft eine deutlich geringere Pressung auf, wodurch die Tragfähigkeit des Lagers wesentlich gesteigert wird.  Der für die Punktberührung typische Wälzkörper Kugel lässt sich sehr präzise herstellen, was der Laufgenauigkeit des Lagers sehr zugute kommt.  Der für die Punktberührung typische Wälzkörper Kugel lässt sich sehr kostengünstig herstellen.

5.2 Wälzlager

5.2.2.1

189

Kugellager

Die häufigste Bauform des Wälzlagers ist das einreihige Rillenkugellager (Bild 5.11 links). Beide Ringe haben Laufrillen mit gleich hohen Schultern, der Radius der Rillen ist geringfügig größer als der Kugelradius. Es ist vor allen Dingen wegen seiner universellen Verwendbarkeit und seiner relativ einfachen und billigen Herstellung weit verbreitet. Das Kugellager kann nicht nur Radial- sondern in gewissem Maße auch Axialkräfte aufnehmen. Die Bauform als zweireihiges Rillenkugellager (Bild 5.11 rechts) erlaubt höhere Belastungen.

Bild 5.11: Radialrillenkugellager

Bild 5.12: Pendelkugellager

Pendelkugellager (Bild 5.12) sind am Innenring zweireihigen Rillenkugellagern sehr ähnlich. Der Außenring weist jedoch eine hohlkugelförmige Laufbahn auf. Dadurch können die Lager Winkelfehler bis zu 4° aufnehmen und sind deshalb zum Ausgleich von Fluchtungsfehlern und Wellendurchbiegungen sehr gut geeignet. Pendelkugellager können mittlere Radiallasten und nur geringe Axialbelastungen in beiden Richtungen aufnehmen.

Bild 5.13: Schrägkugellager

Während das Radialrillenkugellager symmetrisch aufgebaut ist und damit die Kraft vorzugsweise radial übertragen wird, sind beim Schrägkugellager (Bild 5.13 links) die Laufbahnebenen so angeordnet, dass die Kräfte vorzugsweise im sog. Druckwinkel zur radialen Ebene übertragen werden. Mit zunehmend größerem Druckwinkel (15°, 25°, 30° und 40°) können auch entsprechend größere Axialbelastungen aufgenommen werden. Durch den

190

5 Lagerungen

Druckwinkel entsteht selbst für den Fall, dass das Lager von außen nur mit Radialkraft belastet wird, eine in Axialrichtung wirkende Kraft, was meist eine angestellte Lagerung erforderlich macht. Das Lager ist zerlegbar, so dass Innen- und Außenring getrennt montiert werden können. Beide Lager können auch zu einem einbaufertigen zweireihigen, nicht zerlegbaren Schrägkugellager zusammengefasst werden (Bild 5.13 Mitte). Vierpunktlager (Bild 5.13 rechts) können Axialkräfte in beide Richtungen aufnehmen. Im Radialschnitt besteht die Kontur der Laufbahnen von Innen- und Außenring aus Kreisbögen, deren Krümmungsmittelpunkte so liegen, dass vier Berührpunkte zwischen Kugel und Laufbahn möglich sind und damit sozusagen ein doppelseitiges Schrägkugellager entsteht. Die Fertigung des Lagers erfordert eine Zweiteilung des Innenringes. Vierpunktlager sollen nur so eingesetzt werden, dass sie nicht in allen Berührpunkten gleichzeitig belastet werden, die Lager kommen also bei vorwiegend axialer Belastung in Frage. Wegen dieser Einschränkungen werden Vierpunktlager nur in Sonderfällen verwendet.

Bild 5.14: Axialrillenkugellager

Axialrillenkugellager nehmen nur reine Axialkräfte auf. Das einseitig wirkende Lager (Bild 5.14 links) darf nur in eine Richtung belastet werden, während das zweiseitig wirkende Lager Axialkräfte in beiden Richtungen erlaubt. Ist die Belastung gering, so besteht bei höheren Drehzahlen die Gefahr, dass die Kugeln infolge der Fliehkraft aus dem Rillengrund herauslaufen. Deshalb erfordern diese Lager stets eine axiale Mindestbelastung. Besteht die gehäuseseitige Scheibe aus zwei Ringen, die über eine kugelige Fläche untereinander in Kontakt stehen (Bild 5.14 rechts), so können Wellenschiefstellungen ausgeglichen werden.

5.2.2.2

Rollenlager

Beim Zylinderrollenlager (Bild 5.15) werden die Rollen entweder am Außenring (Bauform NU) oder am Innenring (Bauform N) durch Borde in axialer Richtung geführt.  Hat der jeweils gegenüberliegende Ring keinen Bord (Bauform N und NU), so kann das Lager nur als Loslager verwendet werden.  Hat er hingegen zwei Borde (Bauform NUP, NJ oder HJ), so ist das Lager auch als Festlager verwendbar.  Die Bauformen NJ, NU und HJ mit jeweils einem Bord auf der gegenüberliegenden Seite sind vorzugsweise für schwimmende Lagerung gedacht.

5.2 Wälzlager

191

Die Lager sind je nach Bauform teilbar, so dass sich Innen- und Außenring getrennt montieren lassen. Zylinderrollenlager nehmen hohe Radialbelastungen auf, sind jedoch für hohe Axialbelastungen ungeeignet.

Bild 5.15: Zylinderrollenlager

Bild 5.16: Nadellager

Nadellager (Bild 5.16) sind eine Sonderbauform des Zylinderrollenlagers mit langen, dünnen, also nadelförmigen Wälzkörpern. Sie werden durch Borde an einem der beiden Ringe geführt. Da sie wegen der kleinen Stirnfläche der Nadeln praktisch keine Axialkräfte aufnehmen können, werden sie ausschließlich als Loslager verwendet. Nadellager erfordern nur

192

5 Lagerungen

einen geringen radialen Bauraum. Aus diesem Grunde werden sie auch ohne Innenring (Beispiel 1, 2 und 4) oder als sog. „Nadelkränze“ gänzlich ohne Ringe (hier nicht dargestellt) geliefert. In diesen Fällen muss aber sichergestellt werden, dass die Welle bzw. das Gehäuse zur Aufnahme der Kontaktpressungen am Wälzkörper geeignet sind. Dies macht in aller Regel ein Härten und Schleifen erforderlich.

Bild 5.17: Kegelrollenlager

Kegelrollenlager (Bild 5.17) werden mit Wälzkörpern in Form eines Kegelstumpfes bestückt. Die Laufbahnen sind ebenfalls kegelig ausgebildet und sind in ihrer Neigung so orientiert, dass ein kinematisch eindeutiges Abrollen ohne Gleitbewegung zustande kommt. Dies setzt voraus, dass sich die verlängerten Mantellinien aller beteiligten Kegel (Wälzkörper und Ringe) in einem gemeinsamen Punkt auf der Rotationsachse der Welle schneiden (Bild 5.17, rechte Bildhälfte). Kegelrollenlager nehmen sowohl Radial- als auch Axialkräfte auf. Selbst dann, wenn das Lager nur rein radial belastet wird, wird durch den Druckwinkel eine axial wirkende Kraft hervorgerufen, die entsprechend abgestützt werden muss. Die Lager werden deshalb meist paarweise als angestellte Lagerung verwendet. Diese Forderung erübrigt sich allerdings, wenn sie in spiegelbildlicher Anordnung verwendet werden (Bild 5.17, Mitte). In ihrer Ursprungsform (Bild 5.17, links) sind Kegelrollenlager zerlegbar, so dass Innen- und Außenring getrennt montiert werden können. Pendelrollenlager (Bild 5.18) sind mit tonnenförmigen Wälzkörpern ausgestattet, die in zwei Reihen nebeneinander angeordnet sind. Weil die gemeinsame Außenlaufbahn der Abschnitt einer Hohlkugel ist, sind Pendelrollenlager bis ca. 4° winkeleinstellbar und damit ähnlich wie Pendelkugellager unempfindlich gegen Fluchtungsfehler und Wellendurchbiegungen.

5.2 Wälzlager

193

Lager auf Spannhülse

Lager auf Abziehhülse

Bild 5.18: Pendelrollenlager

Pendelrollenlager werden deshalb vorteilhafterweise bei langen Wellen verwendet und da sie dabei häufig auf einer Einheitswelle angebracht werden, sind sie wahlweise auch mit Spannund Abziehhülse lieferbar. Pendelrollenlager sind allerdings axial wenig belastbar. Das Pendant zum Axialrillenkugellager mit Punktberührung sind die Axialzylinderrollenlager mit Linienberührung (Bild 5.19). In ihrer Standardkinematik (ebene Scheiben, zylinderförmige Rollen) wird das Abrollen der Wälzkörper stets von einem „Bohr“-reibungsanteil begleitet: Ohne weitere Zwänge würde eine Zylinderrolle auf der Ebene geradeaus laufen. Die hier erzwungene Bewegung auf einer Kreisbahn führt jedoch dazu, dass bei jeder Umdrehung des Lagers der Wälzkörper nicht nur eine Geradeausstrecke zurücklegt, die dem Umfang des Kreises entspricht, sondern er muss sich dabei gleichzeitig zusätzlich einmal um seine Hochachse drehen. Dieser letzte Bewegungsanteil führt zu einer erzwungenen Relativbewegung zwischen Rolle und Laufbahn, der sog. Bohrreibung. Das Axialnadellager (Bild 5.19, Bauform 2) stellt eine spezielle Bauform des Axialzylinderrollenlagers dar, dessen Wälzkörper lang und dünn sind. Die Bohrreibung steigt mit der Länge der Berührlinie an. Soll dieser Reibungsanteil reduziert werden, so sind mehrere nebeneinander liegende kürzere Rollen vorteilhaft (siehe Bild 5.19, Bauform 3). Um weiterhin die Reibung der Rollen untereinander zu reduzieren, wird an jeder Kontaktfläche eine der beiden Rollen mit einer balligen Stirnfläche versehen. Soll die Bohrreibung gänzlich vermieden werden, so müssen sowohl die Wälzkörper als auch die Ringe kegelig ausgeführt werden (siehe Bild 5.19, Bauform 4). Da sich in diesem Fall der Wälzkörper mit seiner Außenstirnseite am Käfig abstützen muss, ist an dieser Kontaktstelle mit einer hohen Reibung zu rechnen.

1 Bild 5.19: Axialzylinderrollenlager

2

3

4

194

5 Lagerungen

Axialpendelrollenlager (Bild 5.20) sind mit Tonnenrollen bestückt, die unsymmetrisch und leicht kegelförmig ausgebildet sind und deren größere, nach außen gerichtete Stirnfläche durch einen Bord an der Welle abgestützt wird. Im Gegensatz zu praktisch allen anderen Axialwälzlagern können Axialpendelrollenlager auch Radialkräfte aufnehmen, deren Anteil allerdings 55 % der Axiallast nicht überschreiten darf. Die Wälzkörper können sich in der hohlkugeligen Laufbahn des Außenringes einstellen. Aus diesem Grunde lässt das Lager ein Winkelspiel bis ca. 2° zu, womit Fluchtungsfehler und Wellendurchbiegungen ausgeglichen werden können. Die Lager sind nur für geringe Drehzahlen geeignet und erfordern eine Mindestaxialbelastung.

Bild 5.20: Axialpendelrollenlager

Kreuzrollenlager (Bild 5.21) sind eine Sonderbauform von Rollenlagern: Die Rollen sind gegenüber der Lagerachse um 45° geneigt, wobei die Rotationsachsen von je zwei benachbarten Rollen um jeweils 90° (kreuzweise) versetzt angeordnet sind. Dazu ist sowohl der Innenals auch der Außenring mit jeweils zwei Laufbahnen ausgestattet. Mit dieser Wälzkörperanordnung kann ein einziges Lager nicht nur Radial- und Axialkräfte, sondern in Erweiterung zu den Eingangsbemerkungen auch Biegemomente übertragen. Aus diesem Grunde werden Kreuzrollenlager dann bevorzugt, wenn die Konstruktion keine axial ausgedehnte Welle mit einem zweiten Lager zulässt (z.B. Schwenklager von Turmdrehkranen, Roboter, Handhabungsgeräte).

Bild 5.21: Kreuzrollenlager

5.2 Wälzlager

195

Darüber hinaus werden noch eine ganze Reihe von Sonderlagern für spezielle Anwendungen (z.B. Lauf-, Stütz- und Kurvenrollen) angeboten. Viele der oben vorgestellten Lager sind auch mit Dichtung und umgebender Gehäusekonstruktion lieferbar und können als Stehlager oder Flanschlager mit einer vorbereiteten Stahlbaukonstruktion verschraubt werden. Dadurch wird vielfach eine sinnvolle Anbindung des Maschinenbaus an den gröber tolerierten Stahlbau ermöglicht (z.B. Fördertechnik, Landmaschinenbau).

5.2.3

Dimensionierung eines einzelnen Lagers

Der Abschnitt „Belastung von Achsen und Wellen“ (Kapitel 1.3) führte bereits in Ermittlung der radialen und axialen Lagerkräfte ein, die für die Dimensionierung des einzelenen Lagers von entscheidender Bedeutung sind. Dabei wird meist folgendermaßen vorgegangen: a) Zunächst sind die von außen auf die gesamte Lagerung wirkenden Belastungen zu klären. b) Vielfach sind die Abmessungen der Lagerung (Lagerabstände, Lage der äußeren Belastungen) noch nicht bekannt. In diesem Fall müssen provisorische Annahmen getroffen werden. c) Es muss festgelegt werden, ob die Axialkraft durch eine Fest- und Loslagerung, eine schwimmende oder eine angestellte Lagerung aufgenommen wird. d) Die Bauform der Lager wird nach den oben erwähnten Überlegungen festgelegt. e) Mit diesen Eckdaten lassen sich nach den Gesetzmäßigkeiten der Statik und Festigkeitslehre die Radial- und Axialkräfte auf das einzelne Lager bestimmen, wobei es meist hilfreich ist, die Welle oder Achse als „drehbaren Balken“ zu betrachten. f) In den meisten Fällen wird die Achse oder Welle zuvor nach den Hinweisen von Kapitel 1 dimensioniert. Mit dem so gewonnenen Außendurchmesser der Welle oder Achse ist dann der Inendurchmesser des Lagers festgelegt. Die vorstehend beschriebenen Überlegungen und Berechnungen sowie die nachfolgend vorgestellte Dimensionierung der Lager werden normalerweise in mehreren Iterationsschritten zu einem Optimum geführt. Ist die (möglicherweise zunächst provisorische) Belastung des einzelnen Lagers bekannt, so kann das Lager hinsichtlich seiner Tragfähigkeit dimensioniert werden. Zum Verständnis dieser Berechnung sind die folgenden Vorüberlegungen hilfreich.

196

5.2.3.1

5 Lagerungen

Belastung im Wälzkontakt

Ausgangspunkt für eine solche Betrachtung sind die Lastverhältnisse im einzelnen Wälzkontakt als Bestandteil des ganzen Lagers.

F

F

c

ε

σ Hz

Wälzkontakt unbelastet

Wälzkontakt belastet

Ist der Wälzkontakt unbelastet, so findet die Berührung tatsächlich in einem Punkt (Kugel) bzw. auf einer Linie (Rolle) statt. In diesem Zustand kann jedoch keine Kraft übertragen werden, weil dann die Flächenpressung als Quotient aus Kraft und der punktbzw. linienförmigen Fläche unendlich große Werte annehmen würde.

Der Wälzkontakt wird sich unter Einwirkung der Kraft elastisch zu einer Fläche ausweiten, wobei sowohl der Wälzkörper als auch die Ringe eine Deformation erfahren, die hier völlig übertrieben dargestellt ist. Da sich der Rand der Kontaktzone nicht verformt, kann auch hier kein Druck übertragen werden. Da in der Mitte die Verformung am größten ist, wird hier aufgrund der Proportionalität zwischen Verformung und Spannung die größte Spannung hervorgerufen. Am Wälzkontakt muss Kräftegleichgewicht herrschen: F =  Hz

Bild 5.22: Belastung im Wälzkontakt

f

Federkennlinie Wälzkontakt Die Verformung am Wälzkörper steigt mit der zu übertragenden Kraft. Der Zusammenhang zwischen Kraft F und dadurch bedingter Verformung f kann als Federsteifigkeit c aufgefasst werden. Da bei zunehmender Belastung des Wälzkontaktes immer mehr Fläche an der Lastübertragung teilnimmt, ist die Steifigkeitskennlinie progressiv.

5.2 Wälzlager

197

Die dabei entstehende parabelförmige Flächenpressungsverteilung wird „Hertzsche Pressung“ genannt und lässt sich aus einer Analyse der elastischen Verformungen für den Kontakt beliebig gekrümmter Flächen berechnen. Eine solch ausgreifende Betrachtung ist jedoch hier nicht erforderlich, weil sich die am Hertzschen Kontakt beteiligten Körper stets auf die Kreisgeometrie zurückführen lassen, was die vereinfachende Anwendung folgender Gleichungen erlaubt: 1

1,5  F  E²

 Hz    3  r ²  (1   ²)

Hz  

FE 2  r  L  (1   ²)

Kontakt Kugel – Ebene („Punkt“-Berührung)

Gl. 5.3

Kontakt Rolle – Ebene („Linien“-Berührung)

Gl. 5.4

Dabei bedeuten: Hz

maximale Hertzsche Pressung

F

die den Wälzkontakt belastende Kraft

E

Elastizitätsmodul

r

Radius des Wälzkörpers, der mit einer ebenen Fläche in Kontakt steht; berechnet sich bei Linienberührung als „Ersatzkrümmungsradius“ aus dem Radius des Wälzkörpers rW und dem Radius des Ringes rR: 1 1 1   r rW rR

Gl. 5.5

+ für Krümmung konvex – konvex am Innenring – für Krümmung konvex – konkav am Außenring L

Berührlänge bei Linienberührung



Querkontraktionszahl (bei Stahl  = 0,3)

Die Hertzsche Pressung müsste korrekterweise als negativer Zahlenwert formuliert werden, um anzudeuten, dass es sich hierbei um einen Druck handelt. Da dieser Sachverhalt sich aber von selbst versteht, wird meist nur der Absolutwert genannt, der dann den Maximalwert der Pressung in der Mitte des Kontaktes angibt.

198

5 Lagerungen

5.2.3.2

Lastverteilung auf die einzelnen Wälzelemente

Setzt man den zuvor betrachteten Wälzkontakt in Mehrfachanordnung zu einem vollständigen Lager zusammen, so kann entsprechend Bild 5.23 nach reinem Axiallager und reinem Radiallager unterschieden werden. bildliche Darstellung

modellhafte Darstellung

Fax

Axiallager

Fax

Fax

Fax

F

Radiallager

F

f1

f3 f2⫽f

F1

F3

F1

F2

Bild 5.23: Lastverteilung beim Axial- und Radiallager

F3

F2

5.2 Wälzlager

199

Für ein Axiallager (obere Bildzeile) lässt sich das Last- und Verformungsverhalten des gesamten Lagers als eine Parallelschaltung von einzelnen Wälzkontakten als progressive Federn auffassen, die konstruktionsbedingt gleiche Elastizitäten aufweisen, so dass sich die Gesamtbelastung gleichmäßig auf alle Wälzelemente verteilt. Beim Radiallager (untere Bildzeile) liegen zwar auch gleiche Elastizitäten mit progressiver Steifigkeit vor, aber aufgrund ihrer Stellung im Lager können sich die Wälzkörper konstruktionsbedingt nicht gleichmäßig an der Lastübertragung beteiligen, wodurch das Problem der Lastverteilung auf die einzelnen Wälzkörper erschwert wird.   



Da im einzelnen Wälzkontakt nur Druckkräfte übertragen werden können, sind die oberen drei Wälzkörper lastfrei. Die Frage nach der Lastaufteilung kann sich also auf die unteren drei Wälzkörper beschränken. Wenn man Reibeinflüsse zunächst einmal außer acht lässt, so stehen die Wirkungslinien der Kräfte der drei unteren Wälzelemente senkrecht auf der jeweiligen Berührfläche, also radial. Wird nun der Innenring gegenüber dem Außenring durch die von außen wirkende Kraft Frad um f ausgelenkt, so macht sich genau diese Verlagerung als Federweg f2 bemerkbar, wodurch in der Feder 2 eine Kraft F2 hervorgerufen wird. Bei der gleichen Auslenkung f erfahren die Federn 1 und 3 jedoch nur einen trigonometrisch bedingten geringeren Federweg f1 und f3 und reagieren deshalb nur mit geringeren Kräften F1 und F3. Die Vektorsumme Frad  F1  F2  F3 ergibt schließlich die Kraft Frad, die auf die Welle aufgebracht werden muss, um die Wellenverlagerung f erst hervorzurufen.

Diese Verhältnisse verändern sich mit der Drehung des Lagers ständig und wiederholen sich damit zyklisch. Mit dieser Betrachtung lassen sich grundsätzlich die folgenden Feststellungen treffen: 

Die Lastverteilung auf die einzelnen Wälzelemente ist berechenbar und damit ist das Lager als Gesamteinheit dimensionierbar.



Die Steifigkeit des gesamten Lagers lässt sich ermitteln, was besonders für den Präzisions- und Werkzeugmaschinenbau wichtig ist.

5.2.3.3

Dimensionierung nach Tragzahlen

Die voranstehenden Überlegungen machen zwar die grundsätzlichen Zusammenhänge für die Lagerdimensionierung modellhaft deutlich, zeigen allerdings auch, dass diese Vorgehensweise für die praktische Auslegung viel zu unhandlich ist. Da Wälzlager im großen Stil standardisiert sind, liegt es nahe, sie bezüglich ihrer Tragfähigkeit durch Kennzahlen, den sog. „Tragzahlen“, zu beschreiben. Dabei ist eine Differenzierung nach statischer und dynamischer Beanspruchung erforderlich, wobei diese Begriffe allerdings eine etwas andere Bedeutung haben als bei der im Kapitel 1 erörterten Betriebsfestigkeit.  Bei statischer Belastung führt das Lager lediglich Schwenkbewegungen aus bzw. läuft langsam um.  Die meisten Lager werden jedoch dynamisch beansprucht: Sowohl einer der beiden Ringe als auch die Wälzkörper drehen sich kontinuierlich unter der Belastung hinweg.

200

5 Lagerungen

Statisch beanspruchte Lager Bei statischer Beanspruchung des Lagers muss sichergestellt werden, dass die im Wälzkontakt hervorgerufene Pressung keine unzulässig hohen plastischen Verformungen verursacht. Zu diesem Zweck wird für jedes Lager die statische Tragzahl C0 formuliert. Diese statische Tragzahl gibt für zunächst standardisierte Erfordernisse die maximale Kraft P0 an, mit der das Lager belastet werden darf (Radialkraft für Radiallager und Axialkraft für Axiallager): P0  C0 Gl. 5.6 Die statische Tragzahl C0 wird definitionsgemäß so beziffert, dass in genau diesem Fall an der Berührstelle der Wälzkörper und Laufbahn eine plastische Gesamtverformung von etwa 1/10.000 des Wälzkörperdurchmessers auftritt. Unter diesen Bedingungen werden an der kritischen Stelle folgende Hertzsche Pressungen verursacht: Hz = 4.600 N/mm² bei Pendelkugellagern Hz = 4.200 N/mm² bei allen anderen Kugellagern Hz = 4.000 N/mm² bei Rollenlagern Für eine differenziertere Betrachtung wird die Kennzahl fs formuliert: fs 

C0 P0

Gl. 5.7

In Erweiterung der oben angestellten Modellbetrachtung für fs = 1 werden für folgende Ansprüche die entsprechenden fs-Werte angestrebt: fs = 0,5–1,0 für Lager, die nicht umlaufen und nur Schwenkbewegungen ausführen fs = 1,0–1,5 für langsam umlaufende Lager mit „normalen“ Ansprüchen an die Laufruhe fs = 1,5–2,5 für langsam umlaufende Lager mit „hohen“ Ansprüchen an die Laufruhe Das in Bild 5.24 dargestellte Axiallager eines Lasthakens gibt beispielhaft den Fall eines statisch beanspruchten Lagers wieder. Die Lasthaken von Kranen sind meist um die Hochachse drehbar ausgeführt, um bei Drehen der Last während des Hubvorganges ein Verdrillen der Seile zu verhindern. Da das Gewicht der Last ausschließlich nach unten wirkt, tritt eine reine Axiallast in nur einer Richtung auf, es genügt also ein einseitig wirkendes Axiallager. Es muss lediglich durch die Umgebungskonstruktion sichergestellt werden, dass die Wellenscheibe nicht abhebt, wenn der Lasthaken auf dem Boden abgesetzt wird.

5.2 Wälzlager

201

Bild 5.24: Lasthaken (nach INA)

Die bisherige Betrachtung ging davon aus, dass das Radiallager mit einer reinen Radialbelastung Fr und das Axiallager mit einer reinen Axialbelastung Fa beansprucht wird. Diese Belastung kann für diesen einfachen Fall als Lagerbelastung P0 in die obige Berechnung einbezogen werden. Im allgemeinen Fall wird das Lager jedoch mit einer gemischten Belastung beaufschlagt. In diesem Fall werden die Einzelkomponenten mit entsprechenden „Gewichtungsfaktoren“ versehen und zur „äquivalenten Lagerbelastung P0“ zusammengefasst: P0 = X 0 · Fr + Y 0 · Fa

Gl. 5.8

Die Faktoren X0 und Y0 können aus den Lagertabellen entnommen bzw. können nach den dort angegebenen Algorithmen ermittelt werden. Dynamisch beanspruchte Lager Das lastübertragende Werkstoffelement am Umfang des Wälzelementes oder des Wälzlagerringes wird durch die Bewegung des Lagers auch bei konstanter äußerer Last dynamisch beansprucht: Bei jeder Überrollung baut sich die Hertzsche Pressung zunächst auf, erreicht ihren Maximalwert und fällt dann wieder auf null zurück. Für eine Dimensionierung unter solchen Bedingungen muss aber auch noch eine werkstoffkundliche Versuchsbeobachtung berücksichtigt werden: Die Hertzsche Pressung kennt keine ausgeprägte Dauerfestigkeit, sie spielt sich vielmehr im Zeitfestigkeitsbereich ab: Je höher die Belastung, desto eher fällt die Kontaktstelle durch Materialschädigung aus. Wird eine lange Gebrauchsdauer gewünscht, so muss durch entsprechende Dimensionierung die Hertzsche Pressung herabgesetzt werden.

202

5 Lagerungen

Die Lebensdauerberechnung nach DIN ISO 281 geht zunächst von standardisierten Schmierstoff- und Materialbedingungen sowie von einer normalen statistischen Ausfallwahrscheinlichkeit aus. Das genormte Berechnungsverfahren beruht auf der Werkstoffermüdung (Pittingbildung) als Ausfallursache. Das ausgeprägte Zeitfestigkeitsverhalten von Wälzkontakten wird dabei durch folgenden Ansatz beschrieben: C L10    P

p

Gl. 5.9

Die Bezeichnungen C und P haben grundsätzlich die gleiche Bedeutung wie bei der Berechnung statisch belasteter Lager, zur Kennzeichnung der dynamischen Lagerbelastung sind jedoch die Indizes weggelassen. Im Einzelnen sind: L10:

Lebensdauer des Wälzlagers in 106 Umdrehungen, bis sich die ersten Materialermüdungen einstellen

C:

dynamische Tragzahl des Lagers, aus den Lagertabellen (Katalog) zu entnehmen

P:

Lagerlast

p:

Lebensdauerexponent für Kugellager (Punktberührung) p = 3 für Rollenlager (Linienberührung) p = 10/3

Bild 5.25 zeigt das Verschleißverhalten eines Wälzlagers am Beispiel des Innenringes eines Schrägkugellagers: Der fabrikneue Zustand der Laufbahn (links) weist bereits nach kurzer Gebrauchsdauer eine blanke, prägepolierte Fläche auf (Mitte). Gegen Ende der Gebrauchsdauer werden in der Laufbahn zunehmend Pittings sichtbar.

Bild 5.25: Kugellagerlaufbahn im Laufe ihrer Gebrauchsdauer

Da die Lebensdauerwerte stets einer deutlichen Streuung unterliegen, kann die obige Gleichung nur für eine bestimmte statistische Wahrscheinlichkeit gelten. Der Index „10“ bei L10 gibt an, dass mit zehnprozentiger Wahrscheinlichkeit dieser Lebensdauerwert nicht erreicht wird, 90 % der Lager aber diesen Wert z.T. beträchtlich überschreiten. Damit wird die Lebensdauer in Anzahl der Lagerumdrehungen formuliert. Für andere Anwendungsbereiche (z.B. Landfahrzeuge) ist es jedoch zuweilen sinnvoll, die Lebensdauer in zurückgelegter Fahrstrecke zu beziffern. Die Anzahl der Überrollungen und die zurückgelegte Fahrstrecke stehen dabei häufig in einem einfachen geometrischem Zusammenhang.

5.2 Wälzlager

203

In den meisten Fällen ist jedoch die Angabe der Lebensdauer in Betriebsstunden anschaulicher, was die folgende Umrechnung erforderlich macht: L h [h] 

L10 106 L10 106 bzw. L h   1  min   n  min 1  60  min   n  min  h  60   h

Gl. 5.10

Dabei bedeuten: Lh: n:

nominelle Lebensdauer in Betriebsstunden Drehzahl des Lagers in min-1

Daraus können am Beispiel des Lagers 6404 mit C = 30.500 N nach DIN 625 T1 die folgenden tendenziellen Aussagen abgeleitet werden (Bild 5.26):  Für ein Lager mit ansonsten konstanten Betriebsparametern sinkt die Lebensdauer mit zunehmender Belastung (Zeitfestigkeit).  Für ein Lager mit ansonsten konstanten Betriebsparametern sinkt die Lebensdauer mit zunehmender Drehzahl, weil mit zunehmender Drehzahl die Anzahl der Überrollungen pro Zeiteinheit proportional ansteigt.

Bild 5.26: Beispielhafte Lagerlebensdauerberechnung

Ähnlich wie im Fall des statisch belasteten Lagers wird in vielen Fällen das Lager nicht ausschließlich radial oder axial, sondern sowohl radial als auch axial belastet. In diesen Fällen wird nach folgender Gleichung eine „äquivalente dynamische Lagerlast“ formuliert, die sich aus der Radialbelastung Fr und der Axialbelastung Fa zusammensetzt: P = X · Fr + Y · Fa

Gl. 5.11

204

5 Lagerungen

Die „Gewichtungsfaktoren“ X und Y sind zur Kennzeichnung des allgemeinen dynamischen Lastfalles nicht indiziert und unterscheiden sich von den zuvor aufgeführten Werten für die statische Belastung. Sie können aus den Lagertabellen entnommen bzw. nach den dort angegebenen Algorithmen berechnet werden. Bei verschiedenartigen Konstruktionen werden höchst unterschiedliche Lebensdauerwerte gefordert. Die Aufstellung in Tabelle 5.3 gibt einige Anhaltswerte. Tabelle 5.3: Richtwerte Lebensdauer Wälzlager Anwendungsfall Kraftfahrzeug unter Vollast: Personenwagen PKW-Getriebe (außer 1. Gang) LKW-Getriebe (außer 1. Gang) PKW- und LKW-Getriebe im 1. Gang Lastwagen und Omnibusse

geforderte Lebensdauer in Stunden 900–1.600 500–1.000 1.000–5.000 10–20 1.700–9.000

Schienenfahrzeuge: Straßenbahnwagen Reisezugwagen Lokomotiven Getriebe von Schienenfahrzeugen

30.000–50.000 20.000–34.000 30.000–100.000 15.000–70.000

Landmaschinen Baumaschinen Elektromotoren für Haushaltsgeräte Elektromotoren bis ca. 4 kW mittelgroße Elektromotoren Großmotoren Werkzeugmaschinen Getriebe im allgemeinen Maschinenbau Schiffsgetriebe Ventilatoren, Gebläse Zahnradpumpen Brecher, Mühlen, Siebe Papier- und Druckmaschinen Textilmaschinen

2.000–5.000 1.000–5.000 1.000–2.000 8.000–10.000 10.000–15.000 20.000–100.000 15.000–80.000 4.000–20.000 20.000–30.000 12.000–80.000 500–8.000 12.000–50.000 50.000–200.000 10.000–50.000

Die Dimensionierung eines Wälzlagers ist in den meisten Fällen ein Kompromiss zwischen angestrebter hoher Lebensdauer einerseits (möglichst hohe Tragzahl) und dem zur Verfügung stehenden Konstruktionsraum sowie den Kosten andererseits (möglichst geringe Tragzahl). Aufgaben A.5.3 bis A.5.5

5.2 Wälzlager

205

Das oben angegebene Berechnungsverfahren ging zunächst davon aus, dass sich die Bedingungen während des Betriebes nicht ändern, dass also sowohl die Lagerdrehzahl als auch die Lagerbelastung konstant bleibt. Im allgemeinen Fall wird sich jedoch sowohl die Drehzahl als auch die Kraft ständig ändern. In diesem Fall wird das Lager mit einem Kollektiv aus Drehzahlen n1–nn und Kräften P1–Pn beansprucht, aus dem ein repräsentativer Wert für die Drehzahl nm und die Kraft Pm als Grundlage für die Dimensionierung ermittelt werden muss. Dazu wird die Gesamtbetriebsdauer in Zeitabschnitte q1, q2, q3 … qn unterteilt, für die jeweils sowohl die belastende Kraft P1, P2, P3 … Pn als auch die vorliegende Drehzahl n1, n2, n3 … nn als konstanter Wert angenommen oder zumindest gemittelt werden können. n4

n n1 n3

nm n2

t P2 P P1

P3 Pm P4

t q1

q2

q3

q4

100%

Bild 5.27: Zeitlich veränderliche Lagerlast und Drehzahl Daraus ergibt sich die mittlere Drehzahl nm zu nm 

Gesamtanzahl der Lagerumdrehungen Gesamtzeit

Die Gesamtanzahl der Lagerumdrehungen kann formuliert werden zu Anzahl der Lagerumdrehungen =  Drehzahl · Zeitspanne

206

5 Lagerungen

Daraus gewinnt die mittlere Drehzahl nm folgenden Ausdruck: nm 

 Drehzahl  Zeitspanne 

n m  n1 

Gesamtzeit

 Drehzahl  Zeitanteil

q [%] q1[%] q [%]  n2  2  n3  3  ... 100% 100% 100%

Gl. 5.12

p

Andererseits kann der Ausdruck P · n modellhaft als pro Zeiteinheit aufgebrachte Schädigung interpretiert werden. Für den Fall von sich verändernder Lagerlast und Drehzahl setzt sich die Schädigung aus mehreren Anteilen zusammen: Pm p  n m 

t t n

P

n

p

nn



Pm p 

t 0

t t n

P

p

n

t 0



nn nm

Die dynamisch äquivalente Belastung Pm ergibt sich dann zu Pm  p P1p 

n q3 % n1 q1  %  n q 2 %   P2p  2   P3p  3   ... n m 100% n m 100% n m 100%

Gl. 5.13

Der Exponent p beträgt (wie oben) 3 für Kugellager und 10/3 für Rollenlager. Für den Fall der veränderlichen Belastung bei konstanter Drehzahl ist der Quotient n/nm stets gleich 1, so dass Gleichung 5.13 vereinfacht werden kann: Pm  p P1p 

q1  %  100%

 P2p 

q 2 % 100%

 P3p 

q3 % 100%

 ...

für n = const.

Gl. 5.14

Die Werte für nm und Pm sind dann in die bereits oben erläuterte Lebensdauergleichung einzusetzen. Bei gleichzeitigem Vorliegen von Radialkraft Frn und Axialkraft Fan sind die Einzelanteile für Pn mit den entsprechenden Gewichtungsfaktoren X und Y zu versehen: Pn = X · Frn + Y · Fan

Gl. 5.15

Aufgaben A.5.6 bis A.5.9

5.2.4

Gestaltung von Wälzlagerungen

Die Gestaltung von Wälzlagerungen ist eine sehr umfangreiche und komplexe Problematik. Die folgenden Ausführungen konzentrieren sich auf die wichtigsten Aussagen. Weitere Aspekte finden sich in der Fachliteratur, z.B. Brändlein.

5.2 Wälzlager

5.2.4.1

207

Axiale Festlegung des Lagers

Entsprechend der Höhe der zu übertragenden Axialkraft müssen der Innenring gegenüber der Achse oder Welle und der Außenring gegenüber dem Gehäuse fixiert werden. Bild 5.28 zeigt modellhaft einige konstruktive Ausführungen für von a bis d ansteigende Axialkraft, wobei in allen Beispielen der Außenring stets durch je einen Deckel sowohl nach links als auch nach rechts abgestützt wird: a b c d

Fax = 0

Fax = klein

Fax = mittel

Fax = groß

Bild 5.28: Axiale Festlegung der Lagerringe

a) Ein Rollenlager der Bauform NU oder N (s. auch Bild 5.15) ist konstruktionsbedingt bereits ein Loslager, welches auch dann keine Axialkraft überträgt, wenn beide Ringe festgelegt sind. Der Innenring wird auf eine mit Übermaß gefertigte Welle aufgepresst, der rechts am Innenring anschließende Wellenabsatz dient lediglich als axialer Anschlag für die Montage. b) Wenn mit einem Rollenlager der Bauform NUP eine geringe Axialkraft übertragen wird, so sollte die reibschlüssige Presspassung durch einen formschlüssigen Federring unterstützt werden. c) Größere Axialkräfte werden hier durch ein Schulterkugellager übertragen. Das Aufbiegen des Federringes wird durch das Einfügen eines Zwischenringes verhindert. d) Große Axialkräfte werden durch ein Kegelrollenlager übertragen, dessen Innenring durch eine stirnseitige Verschraubung axial auf der Welle gesichert wird. Während die Kontaktfläche zwischen Lageraußenring und Gehäuse fast immer zylindrisch ist, kann der Lagerinnenring auch über eine kegelige Fläche mit der Welle verbunden werden (Bild 5.29): a

b

c

Bild 5.29: Lager mit kegeliger Innenfläche des Innenringes

d

208

5 Lagerungen

a) Der Lagerinnenring wird mit seiner kegeligen Bohrung unmittelbar auf einen kegeligen Wellenabschnitt aufgebracht und mit einer Wellenmutter festgezogen und gesichert. b) Die Welle selber ist aus fertigungstechnischen Gründen zylindrisch. Der Zwischenraum zwischen zylindrischer Welle und kegeliger Innenringbohrung wird durch einen entsprechenden Zwischenring ausgefüllt. Um die Anpresswirkung nicht zu behindern, muss sich der Zwischenring möglichst ungehindert verformen können und ist deshalb geschlitzt. Wirkt die Axialkraft nach links, so kann sie am linken Wellenabsatz formschlüssig abgestützt werden. Wirkt die Axialkraft in umgekehrter Richtung, so wird sie reibschlüssig übertragen. c) Bei Befestigung auf durchgehend zylindrischer Welle wird die Axialkraft in beiden Richtungen reibschlüssig abgestützt. d) Die geschlitzte Zwischenhülse wird mit der Wellenmutter unter den Lagerinnenring geschoben. Die Zwischenhülse ist ebenfalls mit einem Gewinde versehen, über die sie mit einer weiteren Wellenmutter leicht demontiert werden kann.

5.2.4.2

Schmierung

Schmierstoffe haben vor allen Dingen die Aufgabe, Reibung und Verschleiß im Wälzlager zu reduzieren. Vom Vorhandensein eines ausreichenden Schmierfilms hängt es ab, ob die nach den obigen Gleichungen ermittelte Lebensdauer in der Praxis auch tatsächlich erreicht wird. Etwa 90 % aller Wälzlager werden wegen der konstruktiven Einfachheit mit Fett geschmiert. Bei Fettschmierung ist zu beachten, dass nur so viel Fett eingefüllt werden soll, dass die Funktionsflächen ausreichend benetzt werden. Wird das Wälzlager voll befüllt, so stellt sich nur dann die notwendige Fettmenge von selbst ein, wenn das überschüssige Fett entsprechend verdrängt werden kann. Bei Fettschmierung ist keine Wärmeabfuhr durch das Schmiermittel möglich. Die Ölschmierung wird dann bevorzugt, wenn in der Umgebung des Lagers schon Ölschmierung vorhanden ist (z.B. Zahnräder) oder wenn Drehzahl oder Temperatur eine Fettschmierung nicht zulassen. Es wird nach folgenden Ölschmierungsarten unterschieden:  Bei Ölbad- oder Tauchschmierung soll die Ölmenge so bemessen werden, dass die Wälzkörper am unteren Punkt ihrer kreisförmigen Bahn etwa zur Hälfte in das Öl eintauchen.  Bei der Öleinspritzschmierung wird das Öl über Düsen auf die Funktionsflächen gespritzt.  Eine noch bessere Benetzung der Funktionsflächen wird durch die Ölnebelschmierung erzielt, bei der das Öl mittels Druckluft zerstäubt wird und damit den geringstmöglichen Bewegungswiderstand ergibt. In diesem Fall ist es aber aufgrund der geringen Wärmekapazität der Luft nur begrenzt möglich, die Lagerwärme durch das Öl abzuführen. Tabelle 5.4 gibt Empfehlungen zur Auswahl des Schmierverfahrens. Bei dieser Betrachtung wird der sog. Drehzahlkennwert formuliert, der sich als Produkt aus der Lagerdrehzahl n und dem mittleren Lagerdurchmesser dm ergibt und damit ein Maß für die Geschwindigkeit im Lager ist.

5.2 Wälzlager

209

Tabelle 5.4: Schmierverfahren Schmierverfahren Fettschmierung Fettschmierung mit Sonderfett Tropfölschmierung Ölbad- bzw. Öltauchschmierung Ölumlauf oder Öldurchlaufschmierung Öleinspritzschmierung Ölnebelschmierung

5.2.4.3

Drehzahlkennwert n·dm in (min-1 · mm) bis 0,5·106 bis 1,5·106 bis 0,5·106 bis 0,5·106 bis 0,8·106 bis 0,8…4,0·106 bis 1,5…3,0·106

Abdichtung von Wälzlagerungen

Dichtungen haben die Aufgabe, sowohl ein Austreten des Schmierstoffs aus der Lagerung als auch ein Eindringen von Fremdkörpern zu verhindern. Dabei ist anzustreben, sowohl die Reibung als auch den Verschleiß so weit wie möglich zu reduzieren. Bei der Auswahl der zweckmäßigsten Dichtung spielen viele Aspekte eine Rolle:  Art der Schmierung (Fett-, Tauchöl-, Spritzöl- oder Ölnebelschmierung)  Geschwindigkeit im Dichtspalt  Wellenanordnung waagerecht oder senkrecht  Konstruktionsraum für den Einbau der Dichtung  Konstruktionsaufwand und Kosten Bei Fettschmierung genügt häufig die Verwendung eines Lagers mit integrierter Dichtung (Bild 5.30).

Rillenkugellager mit Deckscheibe

Rillenkugellager mit Dichtscheibe

Y-Lager mit schleifender Dichtung und vorgeschalteter Schleuderscheibe (Schutz)

Bild 5.30: Lager mit integrierter Dichtung

Wird ein Lager ohne integrierte Dichtung verwendet, so kann nach berührender, schleifender Dichtung und berührungsloser, nicht schleifender Dichtung unterschieden werden. Berührende Dichtungen führen die Berührung der abzudichtenden Funktionsflächen durch eine geringe, definierte Andruckkraft über elastische, federnde Gestaltung der Dichtung herbei (siehe Bild 5.31).

210

5 Lagerungen a

b

c

d

e

Bild 5.31: Berührende Dichtungen

a) Federnde Blechscheiben sind kostengünstige Dichtungen, die vor allen Dingen für fettgeschmierte, nicht einstellbare Lagerungen mit nicht zu hoher Drehzahl in Frage kommen. b) Bei Fettschmierung und bei geringen Drehzahlen wird häufig die billige und einfache Filzringdichtung verwendet. c) Radialwellendichtringe sind einbaufertige Einheiten mit in der Regel metallisch versteifter oder in einem Blechmantel gefasster Dichtmanschette, deren Dichtlippe durch eine rundherum eingelegte Schraubenzugfeder leicht gegen die Dichtfläche gedrückt wird. Bei der Bearbeitung der Wellenoberfläche sind die Hinweise des Dichtungsherstellers zu befolgen. d) Muss besonders ein Eindringen von Fremdkörpern in das Lagerinnere befürchtet werden, so wird die Einbaulage der Dichtung im Gegensatz zu c) umgekehrt. In vielen Fällen wird dann aber auch eine doppelte, spiegelbildliche Anordnung praktiziert. e) V-Ring-Dichtungen sind gummielastische Rotationskörper, die fest mit der Welle verbunden werden und mit ihrer Dichtlippe axial an einer vorbereiteten Lauffläche am Gehäuse anliegen. Bei großen Wellenschiefstellungen oder bei hoher Drehzahl hebt die Dichtlippe von der Gehäusefläche ab und wird damit zur Schleuderscheibe einer berührungslosen Dichtung. Die nicht berührenden Dichtungen nach Bild 5.32 lassen bewusst einen Spalt zwischen den abzudichtenden Funktionsflächen frei und weisen deshalb nur ein geringes Reibmoment auf, ein Verschleiß kann in den meisten Fällen gänzlich ausgeschlossen werden. a

b

c

d

e

f

Bild 5.32: Berührungslose Abdichtung von Wälzlagern

a) Die Spaltdichtung (möglichst enger, glatter Spalt zwischen Welle und Gehäuse) stellt die einfachste Form der Dichtung dar. b) Die Dichtwirkung kann durch das Eindrehen von Rillen im Gehäusedeckel verbessert werden. Das durch bewusste Überfettung nach außen drängende Fett lagert sich in diesen Rillen ab und wird damit selbst zum Dichtmedium. c) Bei Ölschmierung können diese Rillen entweder auf der Welle oder im Gehäuse angebracht und schraubenförmig angeordnet werden. Bei Drehung der Welle tritt dann eine Pumpwirkung ein, die das an der Welle entlangkriechende Öl ständig nach innen beför-

5.2 Wälzlager

211

dert. Entsprechend der Drehrichtung der Welle muss die schraubenförmige Wendel entweder rechts- oder linksgängig angeordnet werden, wobei der Dichteffekt dann auch nur auf eine Drehrichtung beschränkt bleibt. d) Ein mehrgängiges Labyrinth steigert die Dichtwirkung erheblich. Bei ungeteiltem Gehäuse müssen die Rillen so angeordnet werden, dass eine Montage in axialer Richtung möglich ist. e) Bei geteiltem Gehäuse ist es meist einfacher, die Rillen radial anzuordnen. f) Muss mit erheblichen Wellenschiefstellungen gerechnet werden, so muss eine dadurch bedingte Verengung oder sogar ein Verklemmen des Spaltes vermieden werden. Abgeschrägte Labyrinthstege sind vorteilhaft, wenn dadurch der Spalt so angeordnet ist, dass die Wellenschiefstellung eine Verlagerung in Richtung des Spaltes, nicht jedoch eine Verengung des Spaltes ergibt. Berührungslose Dichtungen werden auch als einbaufertige Einheiten angeboten.

5.2.4.4

Konstruktionsbeispiele

Bild 5.33 zeigt beispielhaft ein Festlager mit konstruktiver Umgebung

9

Passmaß

Höchstmaß

Mindestmaß

70n6

70,039

70,020

62h11

62,000

61,810

50k6

50,018

50,002

1

8

7

2

Ø70 h6

Ø50 k6

Ø62 h11

DIN 6885 - A20*12*68

110 6

DIN 332 - B4*8,5

1. Gehäuse 2. Welle 3. Kugellager 4. Sechskantschraube 5. Unterlegscheibe

5

6. Sicherungsring 7. Radialwellendichtring 8. Flachdichtung 9. Gehäusedeckel

Bild 5.33: Wellenlagerung

3

4

212

5 Lagerungen

Die Lagerung der Kreissägewelle, siehe Bild 5.34, ist als Festlager-/Loslager-Anordnung ausgeführt. Links befindet sich das Sägeblatt, das rechte Wellenende trägt die Riemenscheibe für den Antrieb. Die Antriebsleistung beträgt 22 kW bei 6.000 min-1. Die Dichtung ist berührungslos .

Bild 5.34: Kreissägewelle [nach FAG]

Auch die dargestellte Messerwelle einer Hobelmaschine (Bild 5.35) ist als Fest-LosLagerung ausgebildet. Beide Lager werden von je einem Stehlagergehäuse aufgenommen, welches nach dem Baukastenprinzip mit verschiedenen Deckeln ausgestattet werden kann und dementsprechend Fest- oder Loslagerfunktion übernimmt. In diesem Fall werden Pendelkugellager verwendet, da mit Fluchtungsfehlern und Wellendurchbiegungen gerechnet werden muss. Die Antriebsleistung von 8,8 kW bei einer Drehzahl von 4.500 min-1 wird über einen Flachriemen aufgebracht. Die Abdichtung erfolgt über Filzringe.

Bild 5.35: Messerwelle Hobelmaschine [nach FAG]

Der in 5.36 abgebildete Drehstrom-Normmotor leistet 3 kW bei einer Nenndrehzahl von 2.800 min-1. Der Motor treibt durch sein linkes Wellenende an, während sich auf der rechten Seite das Lüfterrad befindet, welches die Verlustwärme des Motors abführen soll. Durch spielfreies Anstellen der Rillenkugellager durch ein Federelement auf der Antriebseite wird verhindert, dass es auf Grund der Lagerluft zu Geräuschentwicklungen kommt. Die Lager werden belastet durch das Läufergewicht, die Magnetwirkung zwischen Rotor und Stator, die

5.2 Wälzlager

213

Unwucht und die häufig schwierig zu erfassenden Belastungen, die durch die Antriebswelle (beispielsweise über Riemen oder Zahnrad) eingeleitet werden. Die Deckscheiben verhindern den Austritt von Fett und schützen das Lager gleichzeitig gegen Fremdkörper aus dem Motorraum. Um das Lager auf der Antriebsseite zusätzlich gegen Staub und Nässe zu schützen, ist der Wellendurchgang als langer Spalt ausgebildet und mit einer Schutzkappe abgedeckt.

Bild 5.36: Drehstrom-Normmotor [nach FAG]

Bild 5.37: Lagerung der Antriebstrommel eines Gurtförderers [nach FAG]

Die Lagerung der Umlenktrommel eines Förderbandes (Bild 5.37) muss auf die rauhen Umgebungsbedingungen besonders Rücksicht nehmen: Die Fest-Los-Lagerung wird mit besonders tragfähigen Pendelrollenlagern in Stehlagergehäusen ausgestattet, die die unvermeidlichen Fluchtungsfehler ausgleichen können. Zur Erleichterung von Montage und Demontage werden die Lagerinnenringe über Spannhülsen fixiert. Der Antrieb der gesamten Förderanlage („Gurtförderer“) erfolgt von der Trommelwelle über Spannsätze. Bei einer Bandbreite von 2.300 mm, einer Bandgeschwindigkeit von 5,2 m/s und einer Förderleistung von 7.300

214

5 Lagerungen

m³/h ist bei einem Trommeldurchmesser von 1.730 mm eine Leistung von 3 · 430 kW erforderlich, die mit drei Motoren auf zwei Antriebstrommeln aufgeteilt wird.

5.2.4.5

Lagerauswahl

Bei dem Versuch, die oben vorgestellten Lagerbauformen und ihre Verwendbarkeit tabellarisch gegenüberzustellen, ergibt sich nach SKF die Zusammenstellung in Bild 5.38.

Bild 5.38: Wahl der Lagerbauform

5.3 Anhang

215

5.3

Anhang

5.3.1

Literatur

[1]

Bartz, W.J.: Gleitlagertechnik; Expert-Verlag Grafenau/Württemberg 1981

[2]

Brändlein, Eschmann, P.; Hasbargen, K.: Die Wälzlagerpraxis; Handbuch für die Berechnung und Gestaltung von Lagerungen; Vereinigte Fachverlage Mainz 1995

[3]

Butenschön, H.-J.: Das hydrodynamische, zylindrische Gleitlager endlicher Breite unter stationärer Belastung; Dissertation TU Karlsruhe 1976

[4]

Dahlke, H.: Handbuch der Wälzlagertechnik; Deutsche Koyo WälzlagerVerkaufsgesellschaft Hamburg 1987

[5]

DIN-Taschenbuch 24: Wälzlager; Beuth-Verlag Berlin 1989

[6]

DIN-Taschenbuch 126: Gleitlager; Beuth-Verlag Berlin 1989

[7]

Fut, A.: Dreidimensionale thermodynamische Berechnung von Axialgleitlagern mit punktförmig abgestützten Segmenten; Institut für Grundlagen der Maschinenkonstruktion, ETH Zürich 1981

[8]

Gersdorfer, O.: Werkstoffe für Gleitlager; VDI-Bericht Nr. 141, Düsseldorf 1970

[9]

Hampp, W.: Wälzlagerungen; Springer-Verlag Berlin 1971

[10]

Hermes, G.F.: Die Grenztragfähigkeit hochbelasteter hydrodynamischer Radialgleitlager; Dissertation Institut für Maschinenelemente und Maschinengestaltung, RWTH Aachen 1986

[11]

Ioanides, E.; Beswick, J.M.: Moderne Wälzlagertechnik; Vogel-Verlag Würzburg 1991

[12]

Knoll, G.: Tragfähigkeit zylindrischer Gleitlager unter elastohydrodynamischen Bedingungen; Dissertation Institut für Maschinenelemente und Maschinengestaltung, RWTH Aachen 1974

[13]

Lang, O.R.; Steinhilper, W.: Gleitlager; Springer-Verlag Berlin 1978

[14]

Lundberg, G.: Die dynamische Tragfähigkeit der Wälzlager; Forsch. Ing.-Wesen 18, 1952

[15]

Mayer, E.: Axiale Gleitringdichtungen; 7. Auflage, VDI-Verlag Düsseldorf 1982

[16]

Motosh, N.: Das konstant belastete zylindrische Gleitlager unter Berücksichtigung der Abhängigkeit der Viskosität von Temperatur und Druck; Dissertation TH Karlsruhe 1962

[17]

Müller, H.K.: Abdichtung bewegter Maschinenteile; Medienverlag Waiblingen 1991

[18]

NN: Anwendungsbeispiele für Wälzlager; Druckschrift der Firma INA Wälzlager Schaeffler KG, Herzogenaurach

[19]

NN: SKF Hauptkatalog; Druckschrift der Firma SKF, Schweinfurt

216

5 Lagerungen

[20]

NN: Wälzlager, Bauarten, Eigenschaften, neue Entwicklungen; Verlag Moderne Industrie

[21]

Ott, H.H.: Elastohydrodynamische Berechnung der Übergangsdrehzahl von Radialgleitlagern; Z. VDI 118 (Mai 1976), Nr. 10, S. 456-459

[22]

Palmberg, A.: Grundlagen der Wälzlagertechnik; Francksche Verlagsbuchhandlung Stuttgart 1964

[23]

Palmberg, J.O.: On thermo-elasto-hydrodynamic fluid film bearings; Doctoral Thesis Chalmers University Gothenburg/Sweden 1975

[24]

Palmgren, A.: Grundlagen der Wälzlagertechnik; 3. Auflage Stuttgart 1963

[25]

Peeken, H.: Hydrostatische Querlager; Z. Konstruktion 16 (1964)

[26]

Peeken, H.: Tragfähigkeit und Steifigkeit von Radiallagern mit fremderzeugtem Tragdruck (Hydrostatische Radiallager); Z. Konstruktion 1 (1966)

[27]

Peeken, H.: Verformungsgerechte Konstruktion steigert die Gleittragfähigkeit; Z. Antriebstechnik 21 (1981) Nr. 11, S. 558-563

[28]

Peeken, H.; Benner, J.: Berechnung von hydrostatischen Radial- und Axialgleitlagern; in „Goldschmitt informiert“ 61 (1984), Nr. 2, S. 42-148

[29]

Peeken, H.; Knoll, G.: Zylindrische Gleitlager unter elastohydrodynamischen Bedingungen; Z. Konstruktion 27 (1975), S. 176-181

[30]

Rodermund, H.: Berechnung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität von Mineralölen aus dem Viskositätsgrad; Z. Schmiertechnik & Tribologie (1978), Nr. 2, S. 56-57

[31]

Schmitt, E.: Handbuch der Dichtungstechnik; Expert-Verlag Grafenau / Württemberg, 1981

[32]

Thier, B.; Faragallah, W.H.: Handbuch Dichtungen; Verlag und Bildarchiv W.H. Faragallah Sulzbach i.Ts., 1990

[33]

Trutnovsky, K.: Berührungsdichtungen an ruhenden und bewegten Maschinenteilen; 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin 1975

[34]

Trutnovsky, K.: Berührungsfreie Dichtungen; 4. Auflage, VDI-Verlag Düsseldorf 1981

[35]

VDI Richtlinie 2201 Bl 1: Gestaltung von Lagerungen; Einführung in die Wirkungsweise von Gleitlagern

[36]

VDI Richtlinie 2201: Gestaltung von Lagerungen; VDI-Verlag Düsseldorf 1980

[37]

VDI Richtlinie 2202: Schmierstoffe und Schmiereinrichtungen für Gleit- und Wälzlager; VDI-Verlag Düsseldorf 1970

[38]

VDI Richtlinie 2204: Auslegung von Gleitlagerungen; VDI-Verlag Düsseldorf 1992

[39]

VDI Richtlinie 2541: Gleitlager aus thermoplastischen Kunststoffen; VDI-Verlag Düsseldorf 1975

[40]

VDI Richtlinie 2543: Verbundlager mit Kunststofflaufschicht

5.3 Anhang

217

[41]

Vogelpohl, G.: Die Stribeck-Kurve als Kennzeichen des allgemeinen Reibungsverhaltens geschmierter Gleitflächen; Z. VDI 96 (1954) S. 261-268

[42]

Vogelpohl, G.: Betriebssichere Gleitlager; 2. Auflage; Springer-Verlag Berlin 1967

[43]

Zargari, P.: Einfluss der Makrogeometrie auf die Tragfähigkeit und Betriebssicherheit von Gleitlagern; Dissertation Institut für Maschinenelemente und Maschinengestaltung RWTH Aachen 1980

5.3.2

Normen

[44]

DIN 38: Gleitlager; Lagermetallausguß in dickwandigen Verbundgleitlagern

[45]

DIN ISO 76: Wälzlager; Statische Tragzahlen

[46]

DIN 118 T1: Antriebselemente; Stehgleitlager für allgemeinen Maschinenbau

[47]

DIN ISO 281: Wälzlager; Dynamische Tragzahlen und nominelle Lebensdauer

[48]

DIN 322: Gleitlager; Lose Schmierringe für allgemeine Anwendung

[49]

DIN ISO 355: Wälzlager; Metrische Kegelrollenlager

[50]

DIN 471: Sicherungsringe für Wellen

[51]

DIN 472: Sicherungsringe für Bohrungen

[52]

DIN 502: Antriebselemente; Flanschlager, Befestigung mit zwei Schrauben

[53]

DIN 504: Antriebselement; Außenlager

[54]

DIN 505: Antriebselemente; Deckellager, Lagerschalen, Lagerbefestigung mit zwei Schrauben

[55]

DIN 505: Antriebselemente; Deckellager, Lagerschalen, Lagerbefestigung mit vier Schrauben

[56]

DIN 615: Wälzlager; Schulterkugellager

[57]

DIN 616: Wälzlager; Maßpläne für äußere Abmessungen

[58]

DIN 617: Wälzlager; Nadellager mit Käfig

[59]

DIN 620 T1: Wälzlager; Meßverfahren für Maß- und Lauftoleranzen

[60]

DIN 620 T2: Wälzlager; Wälzlagertoleranzen; Toleranzen für Radiallager

[61]

DIN 620 T3: Wälzlager; Wälzlagertoleranzen; Toleranzen für Axiallager

[62]

DIN 620 T4: Wälzlager; Wältzlagertoleranzen; Radiale Lagerluft

[63]

DIN 620 T6: Wälzlager; Metrische Lagerreihen; Grenzmaße für Kantenabstände

[64]

DIN 623 T1: Bezeichnung für Wälzlager; Allgemeine Lagerreihenzeichen für Kugellager, Zylinderrollenlager und Pendelrollenlager

[65]

DIN 625 T1: Wälzlager; Rillenkugellager, einreihig

[66]

DIN 625 T3: Wälzlager; (Radial-)Rillenkugellager, zweireihig, mit Füllnuten

[67]

DIN 628 T1: Wälzlager; (Radial-)Schrägkugellager, einreihig und zweireihig

218

5 Lagerungen

[68]

DIN 628 T2: Wälzlager; (Radial-)Schrägkugellager, nicht selbsthaltend, einreihig

[69]

DIN 630 T1: Wälzlager; (Radial-)Pendelkugellager, zylindrische und kegelige Bohrung

[70]

DIN 630 T2: Wälzlager; (Radial-)Pendelkugellager, breiter Innenring; Innenring mit Klemmhülse

[71]

DIN 635 T1: Wälzlager; Pendelrollenlager; Tonnenlager, einreihig

[72]

DIN 635 T2: Wälzlager; Pendelrollenlager; Tonnenlager, zweireihig

[73]

DIN 711: Wälzlager; Axialrillenkugellager, einseitig wirkend

[74]

DIN 715: Wälzlager; Axialrillenkugellager, zweiseitig wirkend

[75]

DIN 720: Wälzlager; Kegelrollenlager

[76]

DIN 722: Wälzlager; Axial-Zylinderrollenlager, einseitig wirkend

[77]

DIN 728 T1: Wälzlager; Axial-Pendelrollenlager, einseitig wirkend, mit unsymmetrischen Rollen

[78]

DIN 981: Wälzlagerzubehör; Nutmuttern

[79]

DIN 983: Sicherungsringe mit Lappen für Wellen

[80]

DIN 984: Sicherungsringe mit Lappen für Bohrungen

[81]

DIN 620 T2: Wälzlager; Wälzlagertoleranzen; Toleranzen für Radiallager

[82]

DIN 1494 T1: Gleitlager; gerollte Buchsen für Gleitlager

[83]

DIN 1591: Gleitlager; Schmierlöcher, Schmiernuten und Schmiertaschen für allgemeine Anwendung

[84]

DIN 1850 T3: Buchsen für Gleitlager, aus Sintermetall

[85]

DIN E 1850 T5: Buchsen für Gleitlager, aus Duroplasten

[86]

DIN 2909: Mineralölerzeugnisse; Berechnung des Viskositätsindex aus der kinematischen Viskosität

[87]

DIN E 4381: Gleitlager; Blei- und Zinn-Gußlegierungen für Verbundgleitlager

[88]

DIN E 4382: Gleitlager; Kupferlegierungen

[89]

DIN E 4383: Gleitlager; Metallische Verbundwerkstoffe für dünnwandige Gleitlager

[90]

DIN 5412 T1: Wälzlager; Zylinderrollenlager, einreihig, mit Käfig, Winkelringe

[91]

DIN 5412 T4: Wälzlager; Zylinderrollenlager, zweireihig, mit Käfig

[92]

DIN 5412 T9: Wälzlager; Zylinderrollenlager, zweireihig, vollrollig, nicht zerlegbar

[93]

DIN 5417: Befestigungsteile für Wälzlager; Sprengringe für Lager mit Ringnut

[94]

DIN E 5418: Wälzlager; Maße für den Einbau

[95]

DIN 5425 T1: Wälzlager; Toleranzen für den Einbau; Allgemeine Richtlinien

5.3 Anhang

219

[96]

DIN 7473: Gleitlager; Dickwandige Verbundgleitlager mit zylindrischer Bohrung, ungeteilt

[97]

DIN E 31651 T1: Gleitlager; Kurzzeichen und Benennungen; Grundsystem

[98]

DIN E 31651 T2: Gleitlager; Berechnung und Konstruktion

[99]

DIN 31651 T1: Gleitlager; Hydrodynamische Radialgleitlager im stationären Betrieb; Berechnung von Kreiszylinderlagern

[100]

DIN 31651 T2: Gleitlager; Hydrodynamische Radialgleitlager im stationären Betrieb; Funktionen für die Berechnung von Kreiszylinderlagern

[101]

DIN 31651 T3: Gleitlager; Hydrodynamische Radialgleitlager im stationären Betrieb; Betriebsrichtwerte für die Berechnung von Kreiszylinderlagern

[102]

DIN E 31653: Gleitlager; Hydrodynamische Axial-Gleitlager im stationären Betrieb

[103]

DIN E 31654: Gleitlager; Hydrodynamische Axial-Gleitlager im stationären Betrieb

[104]

DIN E 31655 und DIN E 31655: Gleitlager; Hydrostatische Radial-Gleitlager im stationären Betrieb

[105]

DIN 31661: Gleitlager; Begiffe, Merkmale und Ursachen von Veränderungen und Schäden

[106]

DIN 31690: Gleitlager; Gehäusegleitlager; Zusammenstellung, Stehlagergehäuse

[107]

DIN 31693: Gleitlager; Gehäusegleitlager; Zusammenstellung, Flanschlagergehäuse

[108]

DIN 31696: Axialgleitlager; Segment-Axiallager; Einbaumaße

[109]

DIN 31697: Axialgleitlager; Ring-Axiallager; Einbaumaße

[110]

DIN 31698: Gleitlager; Passungen

[111]

DIN 53015: Viskosimetrie; Messung der Viskosität mit dem Kugelfall-Viskosimeter nach Höppler

[112]

DIN 53018 T1: Viskosimetrie; Messung der dynamischen Viskosität Newtonscher Flüssigkeiten mit Rotationsviskosimetern, Grundlagen

[113]

DIN 55519: Schmierstoffe; ISO-Viskositäts-Klassifikation für flüssige IndustrieSchmierstoffe

[114]

DIN 51561: Prüfung von Mineralölen, flüssigen Brennstoffen und verwandten Flüssigkeiten; Messung der Viskosität mit dem Vogel-Ossag-Viskosimeter: Temperaturbereich: ungefähr 10 bis 150 °C

[115]

DIN 51562 T1: Viskosimetrie; Messung der kinematischen Viskosität mit dem Ubbelohde-Viskosimeter, Normal-Ausführung

220

5.4

5 Lagerungen

Aufgaben: Lagerungen

Lager mit Festkörperreibung (Bolzen) A.5.1

Bolzen Gegeben ist der nebenstehend skizzierte Bolzen, der im linken Blech fest eingepresst ist. Auf das nach rechts herausragende Ende wird über eine Lasche eine quasistatische Kraft F eingeleitet, wobei sich die Lasche und damit die Krafteinleitungsrichtung in beliebige Richtung drehen lässt. Dieser Gleitsitz wird mit einer Buchse ausgestattet, die in die Lasche eingepresst wird und sich auf dem Bolzen drehen kann. Zwischen der Einspannung und der Lasche wird eine Distanzhülse montiert. Die Kraft wird in jedem Falle zentrisch in die Lasche eingeleitet. Werkstoff von Bolzen/Stift:

St50

Werkstoff der Gleitbuchse:

Rg bzw. Bz

Wie groß darf die quasistatisch belastende Kraft F maximal werden? Treffen Sie dabei die Unterscheidung, ob die Lasche und die damit eingeleitete Kraft nur minimale Schwenkbewegungen ausführt oder ob sich die Lasche dreht. Berüchsichtigen Sie dabei alle Festigkeitsaspekte und füllen Sie zweckmäßigerweise das untenstehende Schema aus.

aufgrund der Biegung von Stift/Bolzen aufgrund des Querkraftschubes im Stift/Bolzen aufgrund der Pressung in der Gleitbuchse insgesamt übertragbar

Fmax [N]

Fmax [N]

wenn die Lasche schwenkt

wenn sich die Lasche dreht

5.4 Aufgaben: Lagerungen

221

An der vorhandenen Konstruktion werden die unten aufgeführten Veränderungen vorgenommen. Überprüfen Sie, ob und wie sich dabei die übertragbare Kraft Fmax ändert. Lasche schwenkt

Lasche dreht sich

Fmax

Fmax

Fmax

Fmax

Fmax

Fmax

wird größer

bleibt gleich

wird kleiner

wird größer

bleibt gleich

wird kleiner

Durchmesser von Stift/Bolzen wird geringfügig vergrößert Länge der Gleitbuchse wird geringfügig vergrößert Distanzhülse wird geringfügig verlängert

A.5.2

Kranlaufrad

Welche Kraft kann mit dem untenstehenden Kranlaufrad übertragen werden, wenn die Belastung schwellend aufgebracht wird und folgende Werkstoffe verwendet werden: Bolzen:

St50

Anschlusskonstruktion:

St 37

Gleitbuchse:

Rg bzw. Bz

222

5 Lagerungen Fmax [N]

aufgrund der Biegung des Bolzens aufgrund des Querkraftschubes im Bolzen aufgrund der Pressung der Gleitbuchse aufgrund der Pressung des Festsitzes insgesamt übertragbar

An der vorhandenen Konstruktion werden die unten aufgeführten Veränderungen vorgenommen. Überprüfen Sie, ob und wie sich dabei die übertragbare Kraft Fmax ändert. Fmax

Fmax

Fmax

wird größer

bleibt gleich

wird kleiner

Der Durchmesser des Bolzens wird geringfügig vergrößert Die Gleitbuchse wird zu beiden Seiten hin geringfügig verlängert Der Festsitz des Bolzens wird zu beiden Seiten hin verlängert Die zulässige Flächenpressung am Festsitz wird erhöht Die zulässige Flächenpressung am Gleitsitz wird erhöht

Wälzlager Konstante Lagerlast A.5.3

Belastbarkeit und Gebrauchsdauer Wälzlager

Ein Kugellager 16013 mit C0 = 16.600 N und C = 21.250 N soll bezüglich Tragfähigkeit und Gebrauchsdauer untersucht werden. Mit welcher Kraft Frmax darf das Lager maximal belastet werden, wenn das Lager Frmax [N] nicht umläuft, sondern Schwenkbewegungen ausführt langsam umläuft und an die Laufruhe keine besonderen Ansprüche gestellt werden langsam umläuft und an die Laufruhe hohe Ansprüche gestellt werden

Bei schnell umlaufendem Lager ist die Gebrauchsdauer in Stunden für die in der untenstehenden Tabelle angegebenen Radiallasten Fr und Drehzahlen n zu ermitteln. Rechnen Sie die Gebrauchsdauerwerte ggf. in Tage, Wochen, Monate und Jahre um. Fr = 1.000 N -1

n = 1.000 min

n = 2.000 min-1 n = 4.000 min-1

Fr = 2.000 N

Fr = 4.000 N

5.4 Aufgaben: Lagerungen A.5.4

223

Motorradvorderradlagerung

Ein Motorrad hat mitsamt Fahrer und Gepäck eine Gesamtmasse von 335 kg, die sich je zur Hälfte auf Vorder- und Hinterrad verteilt. Da die Vorderradlagerung aus zwei symmetrisch angeordneten Kugellagern besteht, verteilt sich die Radlast gleichmäßig auf beide Lager. Es treten keine Axialkräfte auf. Die Brems- und Beschleunigungskräfte gleichen sich gegenseitig aus und können deshalb vernachlässigt werden. Die Lagerung ist für eine Fahrstrecke von 100.000 km zu dimensionieren. Die Bereifung des Vorderrades wird mit 2,75 x 18“ angegeben: Der Felgendurchmesser beträgt 18“ und die Reifenhöhe 2,75“ (1“ = 25,4 mm). Wie groß ist die Kraft, die auf ein einzelnes Lager wirkt?

N

Wie groß ist der effektive Raddurchmesser auf der Lauffläche des Reifens?

mm

Wie viele Umdrehungen erfährt das Lager im Laufe seiner Gebrauchsdauer?

-

Wie groß ist der Lebensdauerkennwert L10 ?

-

Welche dynamische Tragzahl ist erforderlich?

N

A.5.5

Seilscheibenlagerung

Die nebenstehend dargestellte Seilrolle wird mit zwei Rillenkugellagern des Typs 6007.2RS ausgestattet, die jeweils eine Tragzahl von 15.900 N aufweisen. Das unter einer Zugkraft von 12 kN stehende Seil umschlingt diese Umlenkrolle um 180°. Der effektive Seilrollendurchmesser beträgt 274 mm. Es gelten die folgende Betriebsbedingungen:  Die Hubhöhe beträgt 3,5 m.  Stündlich sind 25 Hubvorgänge (auf und ab unter Last) auszuführen.  An 220 Betriebstagen pro Jahr wird die Lagerung an 14 Stunden pro Tag betrieben.

224

5 Lagerungen

Wie groß ist die Last für das einzelne Lager?

P [N]

Wie groß ist die Anzahl der Überrollungen pro Hubvorgang? Wie groß ist die Anzahl der Überrollungen pro Jahr? Wie groß ist der Lebensdauerkennwert L10? Wie viele Jahre wird das Lager der Belastung standhalten?

a [-]

Zeitlich veränderliche Betriebsgrößen A.5.6

Fahrstuhl

Die Antriebslagerung eines Fahrstuhls ist zu berechnen. Die maximale Drehzahl beträgt 3.000 min-1, die volle radiale Belastung auf das Kugellager 1,0 kN. Die Lebensdauer des Lagers soll bei täglich zweistündiger Benutzung 10 Jahre betragen. Der Fahrstuhl fährt während 10 % seiner Lebensdauer mit halber Geschwindigkeit und voller Belastung, während 60 % seiner Lebensdauer mit voller Geschwindigkeit und ¾ Belastung und während 30 % seiner Lebensdauer mit halber Geschwindigkeit und halber Belastung. Welche Tragzahl muss das Lager mindestens aufweisen, damit die geforderte Lebensdauer erreicht wird? A.5.7

Schiffsdrucklager

Ein mit Wälzlagern ausgestattetes Schiffsdrucklager ist bezüglich seiner Lebensdauer zu berechnen.

Während das linke Pendelrollenlager die Radialkraft aufnimmt, überträgt das rechts angeordnete Axial-Pendelrollenlager die vom Propeller erzeugte Schubkraft auf das Schiff. Durch Federn werden die beiden Lager gegeneinander verspannt, die dadurch eingeleitete Axialkraft ist jedoch so gering, dass sie bei der Lebensdauerberechnung der Lager keine wesentliche Rolle spielt.

5.4 Aufgaben: Lagerungen

225

Das Axial-Pendelrollenlager soll bezüglich seiner Gebrauchsdauer dimensioniert werden. Es wird der Lagertyp 29328E mit C = 800 kN und C0 = 2.700 kN verwendet. Die Schiffsschraube erzeugt einen Schub von 0,27 kN/kW. Die Belastung des Antriebes kann mit den beiden Laststufen „Normallast“ und „Volllast“ beschrieben werden, die jeweils die Hälfte der gesamten Betriebszeit ausmachen. Bei Normallast läuft der Antrieb bei 296 kW und einer Drehzahl von 425 min-1, bei Volllast werden 354 kW bei 575 min-1 eingesetzt. Welche Lebensdauer kann für diese Lagerung erwartet werden? Orientieren Sie sich bei der Berechnung an dem untenstehenden Schema, welches auch die Zwischenergebnisse dokumentiert. Normallast

Volllast

50

50

Drehzahl

-1

[min ]

425

575

Leistung

[kW]

296

354

Axialschub

[kN]

Zeitanteil

[%]

mittlere Drehzahl nm mittlere Axialbelastung Pm

[min-1] [kN]

L10

[-]

Lh

[h]

A.5.8

Seilscheibe Fördertechnik

Die anschließend abgebildete Förderseilscheibe wird im Untertagebergbau eingesetzt und in den Fördertürmen über den Schächten angeordnet. Der Förderkorb ist an dem senkrecht von der Seilscheibe herunterhängenden Seilende befestigt. Auf der anderen Seite wird das Seil unter einem Winkel von 40° zur Fördermaschine geführt. Der Förderkorb wiegt insgesamt 30 t, bei der Aufwärtsbewegung müssen zusätzlich 10 t Kohle transportiert werden. Die Seilscheibe selber einschließlich der Welle wiegt 7,5 t. Der Durchmesser der Seilscheibe beträgt 6,3 m. Beschleunigungskräfte und Massewirkungen bleiben bei dieser Betrachtung unberücksichtigt. a) Wie groß sind die maximale und die minimale Kraft, die ein einzelnes Lager radial belasten? b) Wie groß ist die äquivalente Lagerlast? c) Der Förderkorb fährt auf 200 m Tiefe. Wie groß muss die dynamische Tragzahl eines einzelnen Lagers mindestens sein, wenn das Lager erst nach 50.000 Fördervorgängen erneuert werden soll?

226

A.5.9

5 Lagerungen

Hakenflasche Zur Reduzierung der Seilkräfte wird in der Fördertechnik vielfach das Prinzip des Flaschenzugs angewendet. Die Skizze links zeigt für den Kranbau prinzipiell eine solche Anordnung, bei der der Flaschenzugeffekt doppelt ausgenutzt wird. Die reale Konstruktion fasst die beiden unteren Laufrollen zur sog. „Unterflasche“ zusammen (rechte Darstellung).

5.4 Aufgaben: Lagerungen

227

Die nebenstehende Zusammenstellungszeichnung zeigt auch die Lagerung der Seilrollen. Um bei einer Drehung der Last die Hubseile nicht zu verdrillen, wird der Kranhaken über ein Axiallager mit der Unterflasche verbunden. Die Hubhöhe beträgt 10 m.

Für die Dimensionierung der Wälzlagerungen können folgende Annahmen getroffen werden: 

Der Kran wird zu je einem Viertel seiner Gebrauchsdauer unter Vollast von 10 t, unter halber Last und unter einer Last von 2 t betrieben. Im restlichen Viertel wird keine Last befördert (Leerfahrten).



fs = 1,0

Es sollen 25.000 Hubvorgänge ausgeführt werden können, bevor die Lager erneuert werden müssen. a)

Welche Tragzahl muss das Axiallager mindestens aufweisen?

b) Welche Tragzahl muss jedes der Lager der Seilrollenlagerung aufweisen?

6

Welle-Nabe-Verbindungen

Bewegung

Belastung

Lagerungen zielen bewusst darauf ab, eine Relativbewegung zwischen einer Welle oder Achse gegenüber der Umgebungskonstruktion zu ermöglichen, wobei im Idealfall zwischen Welle und Gehäusekonstruktion keinerlei Drehmoment übertragen wird. Es wird lediglich ein Reibmoment wirksam, welches jedoch durch konstruktive Maßnahmen minimiert wird. Da Wellen aber zur Übertragung von Drehmomenten dienen, muss dieses Drehmoment also von einem weiteren Bauteil in die Welle eingeleitet und schließlich wieder von der Welle in ein benachbartes Bauteil abgeleitet werden, wobei eine Relativbewegung gezielt ausgeschlossen werden muss. Diese Aufgabe wird von sog. Welle-Nabe-Verbindungen übernommen, wobei der Begriff „Nabe“ hier sehr weit gefasst wird: Mit Welle-Nabe-Verbindungen werden sämtliche momentenübertragenden Verbindungen einer Welle mit ihrer Umgebungskonstruktion bezeichnet. Wenn die Welle-Nabe-Verbindung neben dem Torsionsmoment auch noch eine zusätzliche Längskräft sicher übertragen kann, so liegt ein Festsitz vor. Wird die Welle-Nabe-Verbindung hingegen axial beweglich ausgeführt, so weicht sie gezielt der Axialkraft aus und es handelt sich um einen Schiebesitz. Lagerungen und Welle-NabeVerbindungen werden damit zu sich gegenseitig ergänzenden Komponenten der Antriebstechnik. Lager

Welle-Nabe-Verbindung

Torsionsmoment …

wird nicht übertragen (Reibmoment wird minimiert)

wird übertragen

Längskraft …

wird übertragen  Festlager wird nicht übertragen  Loslager

wird übertragen  Festsitz wird nicht übertragen  Schiebesitz

rotatorisch …

wird ermöglicht

wird verhindert

translatorisch …

wird verhindert  Festlager wird ermöglicht  Loslager

wird verhindert  Festsitz wird ermöglicht  Schiebesitz

Entsprechend ihrer konstruktiven Ausführung werden die Welle-Nabe-Verbindungen in stoffschlüssige, formschlüssige und kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen unterteilt.

230

6.1

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Stoffschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

Der Begriff „stoffschlüssig“ wird wie in der Verbindungstechnik (Kapitel 3) verwendet: Die Bauteile (hier Welle und Nabe) werden unter Hinzugabe eines zusätzlichen „Stoffes“ so miteinander verbunden, dass eine vollständige, also „nicht lösbare“ Materialverbindung entsteht. Der Ausdruck „stoffschlüssig“ wird damit auch hier zum Sammelbegriff für Schweißen, Löten und Kleben. Bild 6.1 gibt einen Überblick über die stoffschlüssigen Welle-NabeVerbindungen. Klebe- und Lötverbindungen:

Schweißverbindungen:

Bild 6.1: Stoffschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen In der oberen Bildzeile wird Klebstoff oder Lot zwischen Nabe und Welle eingebracht, wobei in den ersten beiden Beispielen die Trennfuge zylindrisch, im dritten Fall kegelig ist. In den beiden ersten Beispielen der unteren Bildzeile deuten die schwarzen Dreiecke Schweißnähte an, die hier nur im Schnitt zu sehen sind, aber über den ganzen Umfang verlaufen. Im dritten Beispiel handelt es sich um eine Reibschweißverbindung: Die rechts angedeutete

6.1 Stoffschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

231

Welle wird unter Drehung gegen die linke, stillstehende Nabe gepresst. Die dabei enstehende Reibungswärme schmilzt das Material an der Berührfläche so auf, dass nach dem Stillstand eine stoffschlüssige Verbindung entsteht. Die Modellbildung für die rechnerische Beschreibung dieser Welle-Nabe-Verbindungen kann sich dabei vielfach an die der Verbindungstechniken anlehnen (s. auch Aufgaben 3.5 und 3.6), die nachfolgenden Ausführungen konzentrieren sich deshalb auf einige zusätzliche Hinweise. Liegt die fertigungstechnisch einfache zylindermantelförmige Trennfuge zwischen Welle und Nabe vor, so lässt sich deren Geometrie nach Bild 6.2 mit dem Durchmesser d und der Länge L beschreiben. Die diesen Wellenabschnitt umgebende Nabe ist hier nicht dargestellt.

L

L

W ax

Wu

d 2 Ød

Fax

U

Ød

Mt

L

F ax

W res

Fres

U d 2

Mt

Ød

Fax

Bild 6.2: Rechenansatz zylindrische, stoffschlüssige Wellen-Nabe-Verbindung

232

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Entsprechend der Lasteinleitung könne drei Fälle unterschieden werden:  Längskraftbelastung Bei Längskraft- oder Axialkraftbelastung (oben links in Bild 6.2) wird davon ausgegangen, dass sich die Kraft weitgehend als Schubspannung an der Trennfuge überträgt: tats 

Fax  zul A

mit

A=d··L

Gl. 6.1

A bezeichnet die Fläche, an der die beiden Bauteile miteinander in stoffschlüssigem Kontakt stehen. Die Schubspannung tats darf den für das Verbindungsverfahren zulässigen Wert zul (Tabelle 3.2 für Lötverbindungen und 3.3 für Klebeverbindungen) nicht überschreiten, ggf. ist die Sicherheit als Quotient dieser beiden Werte zu formulieren.  Torsionsbelastung Die durch das Torsionsmoment Mt hervorgerufene Belastung (oben rechts in Bild 6.2) lässt sich zunächst durch eine fiktive Umfangskraft U ausdrücken, die sich ihrerseits als reale Schubspannung  auf der lastübertragenden Fläche verteilt. Mt  U 

d 2

mit

U=·A=·d··L

Gl. 6.2

Über diese Substitution lässt sich zwischen Lastmoment Mt und Schubspannung  eine Beziehung herstellen: Mt 

d²  L  2

M t max 

bzw.

d²  L zul 2

Gl. 6.3

 Kombinierte Längskraft- und Torsionsmomentenbelastung Sollen ein Torsionsmoment Mtmax und eine Axialkraft Fax gleichzeitig übertragen werden (Bild 6.2 unten), so setzt sich die insgesamt zu übertragende Kraft Fres als Vektorsumme aus der Umfangskraft U und der Axialkraft Fax zusammen. Mit U = 2 · Mt / d wird dann 2

 2Mt  Fres  U²  Fax ²     Fax ²  d 

Gl. 6.4

und die Schubspannungsbelastung 2

 2  Mt   d   Fax ² Fres      d  L A

Gl. 6.5

6.2 Formschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

233

Nach den vorgenannten Ansätzen steigt die übertragbare Belastung proportional mit der Länge der Verbindung L. Voraussetzung für diesen Ansatz ist die Annahme einer gleichmäßigen Schubspannungsverteilung. Tatsächlich kommt es jedoch zu einem Effekt, der in ähnlicher Weise bei den Klebverbindungen bereits erläutert worden ist (vgl. Bild 3.16): Auf der Seite, wo die Belastung in die Welle-Nabe-Verbindung eingeleitet wird, ist die Welle selber noch der vollen Belastung, also auch der vollen damit verbundenen Verformung ausgesetzt, während die sie umgebende Nabe an dieser Stelle noch keine Belastung aufzunehmen hat und sich demzufolge in diesem Bereich auch noch nicht verformt. Diese Ungleichmäßigkeit der Verformungen zweier benachbarter Bauteile verursacht eine Ungleichmäßigkeit der Schubspannungsverteilung, die mit zunehmender axialer Erstreckung der Welle-Nabe-Verbindung kritischer wird. Dieser Sachverhalt lässt sich nur durch eine Messung oder durch die FiniteElemente-Berechnung genauer quantifizieren. Entsprechende Auswertungen haben ergeben, dass man für den Normalfall diesen Einfluss vernachlässigen kann, wenn die Länge L nicht wesentlich größer ist als der Durchmesser d der Verbindung.

6.2

Formschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

Der Begriff „formschlüssig“ gibt an, dass die zu verbindenden Bauteile aufgrund ihrer Formgebung ineinander greifen und damit Kräfte und Momente übertragen können.

6.2.1

Keilwellenverbindungen D

L

b

U

Mt d

Bild 6.3: Keilwelle

Eine Keilwelle weist nach Bild 6.3 einen inneren Durchmesser d auf, aus dem konzentrische Vorsprünge mit der Breite b und der Eingriffslänge L bis zum äußeren Durchmesser D herausragen. Tabelle 6.1 gibt einen Auszug aus der Norm für Keilwellenverbindungen mit geraden Flanken wieder:

234

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Tabelle 6.1: Keilwellen

d

Leichte Reihe

Mittlere Reihe

Schwere Reihe

nach DIN ISO 14

nach DIN ISO 14

nach DIN 5464

Anzahl

Anzahl

Kurz-

D

b

Kurz-

D

zeichen

Keile

16

6x16x20

6

20

18

6x18x22

6

21

6x21x25

zeichen

Keile

b

Kurz-

Anzahl

D

b

zeichen

Keile

4

10x16x20

10

20 2,5

22

5

10x18x23

10

23

3

6

25

5

10x21x26

10

26

3

23 6x23x26

6

26

6

6x23x28

6

28

6

10x23x29

10

29

4

26 6x26x30

6

30

6

6x26x32

6

32

6

10x26x32

10

32

4

28 6x28x32

6

32

7

6x28x34

6

34

7

10x28x35

10

35

4

32 8x32x36

8

36

6

8x32x38

8

38

6

10x32x40

10

40

5

36 8x36x40

8

40

7

8x36x42

8

42

7

10x36x45

10

45

5

42 8x42x46

8

46

8

8x42x48

8

48

8

10x42x52

10

52

6

46 8x46x50

8

50

9

8x46x54

8

54

9

10x46x56

10

56

7

52 8x52x58

8

58

10 8x52x60

8

60

10

16x52x60

16

65

5

56 8x56x62

8

62

10 8x56x65

8

65

10

16x56x65

16

65

5

62 8x62x68

8

68

12 8x62x72

8

72

12

16x62x72

16

72

7

Während für den Festigkeitsnachweis der Welle der innere Durchmesser d maßgebend ist, vollzieht sich die Momentenübertragung zwischen Welle und Nabe über Flächenpressung an den Flanken. Zu deren Festigkeitsnachweis wird ähnlich wie bei der stoffschlüssigen WelleNabe-Verbindung zunächst eine Umfangskraft U eingeführt, die sich hier auf halbem Wege zwischen d/2 und D/2 abstützt: Mt  U 

Dd 22



U

4 Mt Dd

Gl. 6.6

Die Pressung p an den rechteckförmigen Flanken formuliert sich zu 4Mt U Dd p  A z  D  d  L  2

p

8 M t p  D  d    D  d   z  L  zul

für Keilwellen

Gl. 6.7

6.2 Formschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

235

Dabei bedeutet z die Anzahl der Keile und L die tragende Länge der Verbindung. Mit zunehmender Anzahl von Keilen stößt jedoch die präzise Anordnung der einzelnen Flanken zueinander auf fertigungstechnische Probleme, so dass die kraftübertragende Fläche um den Traganteil  reduziert werden muss. Dieser hängt von den konstruktiven Randbedingungen und von den Fertigungsgenauigkeiten ab, für Keilwellen kann etwa  = 0,75 angenommen werden. Für die Festlegung der werkstoffkundlich zulässigen Flächenpressung ist weiterhin folgende Differenzierung angebracht: 

Festsitz: Mit einer Keilwellenverbindung können nur Torsionsmomente übertragen werden, eventuell aufzunehmende Längskräfte müssen durch weitere konstruktive Maßnahmen (z.B. Wellenbund) gesondert abgestützt werden.



Schiebesitz: Sollen die Welle und die Nabe jedoch axial zueinander verschoben werden können, so wird die Welle-Nabe-Verbindung zum Schiebesitz. Unter diesen Umständen können nur deutlich geringere Flächenpressungen zugelassen werden.

Tabelle 6.2 gibt einen Überblick über die zulässige Flankenpressung für einige gebräuchliche Werkstoffkombinationen: Tabelle 6.2: zulässige Flankenpressung pzul für Festsitz

Drehmoment

Drehmoment

Drehmoment

konstant

schwellend

wechselnd

St/Messing, Bronze

40 N/mm²

30 N/mm²

12 N/mm²

St/G-AlSi

56 N/mm²

42 N/mm²

18 N/mm²

St/GG

72 N/mm²

54 N/mm²

22 N/mm²

St/AlCuMg

80 N/mm²

60 N/mm²

25 N/mm²

St/GS und St/St

120 N/mm²

75 N/mm²

32 N/mm²

236

6 Welle-Nabe-Verbindungen

6.2.2

Passfederverbindungen

L

b

t1

t2

U

Mt d

Die klassische Passfederverbindung nach nebenstehender Darstellung lässt sich bezüglich ihrer Belastbarkeit näherungsweise mit dem oben benutzten Ansatz beschreiben. Die Umfangskraft muss hier aber über zwei hintereinander geschaltete Stellen übertragen werden: Am Übergang zwischen der Passfeder und der Welle tritt die Pressung pW und an der Kontaktfläche zwischen der Passfeder und der Nabe tritt die Pressung pN auf. Wegen der unterschiedlichen Abmessungen und Werkstoffpaarungen müssen im allgemeinen Fall beide Kriterien abgeschätzt werden:

Bild 6.4: Rechenansatz Passfederverbindung

p

U A

pW 

2 Mt  p Wzul d  t1  L  

Verbindungungsstelle Welle-Passfeder

Gl. 6.8

pN 

2Mt  p Nzul d t2 L 

Verbindungungsstelle Passfeder-Nabe

Gl. 6.9

Für d kann näherungsweise der Nenndurchmesser der Welle gesetzt werden, obwohl der Hebelarm an der Nabe etwas größer und an der Welle etwas kleiner ist. Dabei bedeutet t1 die Eindringtiefe der Passfeder in die Welle und t2 die der Nabe. Von der konstruktiv vorhandenen Passfederlänge gelangt man zur rechnerisch ausnutzbaren Länge L durch das Abziehen der eventuell vorhandenen nichttragenden Ausrundungsradien. Der Traganteil kann nahezu   1 gesetzt werden, da hier nicht das Problem besteht, dass die Gesamtlast auf mehrere Lastübertragungsstellen aufgeteilt werden muss. Tabelle 6.3 gibt in Anlehnung an DIN 6885 die für die Dimensionierung wichtigen Abmessungen an.

6.3 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

237

Tabelle 6.3: Passfederverbindungen nach DIN 6885

Wellendurchmesser d über 10 bis einschließlich 12

12

17

22

30

38

44

50

58

65

75

85

17

22

30

38

44

50

58

65

75

85

95

Passfederbreite b [mm]

4

5

6

8

10

12

14

16

18

20

22

25

Passfederhöhe h [mm]

4

5

6

7

8

8

9

10

11

12

14

14

Wellennuttiefe t1 [mm]

2,5

3

3,5

4

5

5

5,5

6

7

7,5

9

9

Nabennuttiefe t2 [mm]

1,8 2,3 2,8 3,3 3,3 3,3 3,8 4,3 4,4 4,9 5,4 5,4

Die Norm enthält noch weitere zur Fertigung notwendige Maßangaben (Passungen, Ausrundungsradien, Passfederlängen usw.) und weitere Bauformen. 

Festsitz: Sowohl am Durchmesser als auch an den Flanken ist ein leichter Presssitz vorzuziehen, um mögliche Anlagewechsel auszuschließen. Die einwirkenden Kräfte sollen keine Verlagerungen hervorrufen können, so dass eine unvorteilhafte Ungleichmäßigkeit der Pressungsverteilung weitgehend vermieden wird.



Schiebesitz: In diesem Fall wird die Passfeder meist auf der Welle festgeschraubt und in der Nabe eine Spielpassung vorgesehen.

Aufgabe A.6.1

6.3

Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-NabeVerbindungen

Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen verklemmen Welle und Nabe miteinander und stellen die Momentenübertragbarkeit unter Ausnutzung der Coulombschen Reibung her. Die Funktionsflächen dieser Welle-Nabe-Verbindungen werden fertigungstechnisch besonders einfach als ebene Fläche oder in Form eines Zylinders ausgeführt. Die im folgenden Schema zusätzlich angeordnete Spalte mit kegeliger Funktionsfläche kann als Zwischenform angesehen werden. Kennzeichen der Kraftschlüssigkeit ist das Fehlen von ineinander greifenden Materialvorsprüngen und -vertiefungen. Weiterhin kann nach folgendem Schema unterschieden werden, ob direkt oder mit Zwischenelementen übertragen wird.

238

6 Welle-Nabe-Verbindungen

axial, eben ohne Zwischenelemente mit Zwischenelementen

axiales Verklemmen (6.3.1.1)

Übertragungsfläche kegelig radial, zylindrisch radiales Verklemmen (6.3.1.2) Kegelpresssitz Längspressverband (6.3.2) Druckölpressverband Querpressverband (6.3.2) Schrumpfscheibe Spannelement hydraulische Spannbuchse Spannsatz Spannhülse Spannscheibe Toleranzring Sternscheibe Zug-/Druckhülse

Die folgenden Ausführungen können nur einen repräsentativen Ausschnitt aus dieser Vielfalt behandeln. Das Schema enthält die Nummer des Abschnitts, in dem die Verbindung näher vorgestellt wird. Für die Dimensionierung von reibschlüssigen Welle-Nabe-Verbindungen ist die Kenntnis des Reibwertes von entscheidender Bedeutung. In Tabelle 6.4 sind für Querpressverbände die Reibwerte einiger gebräuchlicher Werkstoffkombinationen von Welle und Nabe nach DIN 7190 zusammengestellt. Tabelle 6.4: Reibzahlen reibschlüssiger Welle-Naben-Verbindungen nach DIN 7190

Werkstoffpaarung, Schmierung, Fügeverfahren Paarung Stahl/Stahl Druckölverbände normal gefügt mit Mineralöl Druckölverbände mit entfetteten Pressflächen, mit Glyzerin gefügt Schrumpfverbände, normal, nach Erwärmen des Außenteils bis 300 °C im Elektroofen Schrumpfverbände mit entfetteten Pressflächen, nach Erwärmen des Außenteils bis 300 °C im Elektroofen Paarung Stahl/Gusseisen Druckölverbände normal gefügt mit Mineralöl Druckölverbände mit entfetteten Pressflächen Paarung Stahl/Mg-Al, trocken Paarung St-Cu/Zn, trocken

Haftbeiwert µ 0,12 0,18 0,14 0,20 0,10 0,16 0,10–0,15 0,17–0,25

In Anlehnung daran können auch die Reibwerte für andere reibschlüssige Welle-NabeVerbindungen abgeschätzt werden.

6.3 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

6.3.1

Klemmverbindungen

6.3.1.1

Axialklemmverbindungen

239

Die einfachste Art der kraftschlüssigen Welle-Nabe-Verbindung besteht darin, die beiden Bauteile nach Bild 6.5 axial zu verklemmen.

Verklemmen durch eine einzelne zentral angeordnete Schraube

Verklemmen durch mehrere auf einem Lochkreis angeordnete Schrauben

Bild 6.5: Axiales Verspannen von Welle und Nabe

Bei der Dimensionierung dieser Klemmverbindung können drei Versagenskriterien in Erscheinung treten: a) Der Reibschluss kann überlastet werden, die Verbindung rutscht (Überlast im Betrieb). b) Die Flächenpressung an der reibschlussübertragenden Fläche kann überlastet werden (Überbeanspruchung bei der Montage). c) Die Vorspannkraft von n Schrauben ist nicht in der Lage, die für den Reibschluss erforderliche Axialkraft Fax aufzubringen (Überbeanspruchung bei der Montage). Die Beziehung dieser drei Festigkeitskriterien untereinander lässt sich nach Bild 6.6 qualitativ darstellen. übertragbares Reibmoment Mtmax Mt ≤ Mtmax

zulässige Vorspannkraft FVmax Anzahl der Schrauben n Fax ≤ FVzul · n

Bild 6.6: Grenzen des axialen Verspannens qualitativ

Überlast im Betrieb

werkstoffkundlich zulässige Pressung pzul p ≤ pzul

Überbeanspruchung bei der Montage

240

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Zur rechnerischen Beschreibung des Problems müssen für jede der im Schema markierten Verbindungen Gleichungen formuliert werden. Für die waagerechte Verbindungslinie zwischen der Axialkraft Fax und Flächenpressung p ist dies besonders einfach: p

Fax  pzul A

Gl. 6.10

Bei der Formulierung des übertragbaren Momentes Mtmax muss eine Fallunterscheidung nach Bild 6.7 getroffen werden.

schmaler Kreisring

breiter Kreisring

Bild 6.7: Kräfte, Momente und Pressungen bei axialer Klemmverbindung

 Handelt es sich um einen schmalen Kreisring, so wird eine formale Umfangskraft U eingeführt: Mt = U · rm Diese Vorgehensweise wurde bereits bei der Kopfreibung von Schrauben (Bild 4.7) praktiziert. Der wirksame Hebelarm rm reicht bis zur Mitte der kraftübertragenden Kreisringfläche: rm 

ri  ra 2

Andererseits wird die Umfangskraft U über Reibung durch axiales Verspannen mit Fax aufgebracht: 

U Fax

6.3 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

241

Es ergibt sich also der einfache Zusammenhang: Mtmax =  · Fax · rm

(schmaler Kreisring)

Gl. 6.11

 Liegt ein breiter Kreisring vor, so trifft der vorgenannte Ansatz nur noch sehr grob zu, weil jeder Flächenpressungsanteil mit seinem aktuellen Hebelarm r zum Gesamtmoment beiträgt: ra

ra





M t max  dU  r   p  dA  r ri

ri

µ und p sind von der Integration nicht betroffen. Die Kreisringfläche dA lässt sich durch dA = 2 ·  · r · dr ausdrücken:

M t max

ra

 r3    p  2   r dr   p  2    r  3 r ra

2

i

i

2 M t max   p    ra ³  ri ³  3

Gl. 6.12

Mit p = Fax /A und A =  · (ra²–ri²) folgt: M t max   Fax 

2   ra ³  ri ³ 

3   ra ²  ri ² 

(breiter Kreisring)

Gl. 6.13

Stellt man Gl. 6.11 und Gl. 6.13 gegenüber, so kann auch für den breiten Kreisring ein „mittlerer“ Radius rm formuliert werden: rm 

2   ra ³  ri ³ 

3   ra ²  ri ² 

(breiter und schmaler Kreisring)

Gl. 6.14

Somit lässt sich also auch für den breiten Kreisring eine einfache Gleichung angeben, bei der lediglich der effektive Radius rm nach Gleichung 6.14 modifiziert berechnet werden muss. Gl. 6.14 gilt damit auch für den Fall des schmalen Kreisringes und ergibt für diesen Grenzfall den gleichen Zahlenwert. Die Formulierung für den breiten Kreisring schließt also die für den schmalen Kreisring mit ein und lässt sich damit allgemeingültig verwenden. Das in Bild 6.6 skizzierte Schema lässt also nun mit Angabe der benötigten Gleichungen zu Bild 6.8 vervollständigen.

242

6 Welle-Nabe-Verbindungen übertragbares Reibmoment Mtmax Mt ≤ Mtmax Mtmax = µ · p · (ra2 – ri2) · π · rm mit

Mtmax = µ · Fax · rm mit

rm 

 3 r

2  ra3  ri3

zulässige Vorspannkraft FVzul; Anzahl der Schrauben Fax ≤ FVzul · i

2 a

r

2 i

 

rm 

F p  ax A

 

2  ra3  ri3 3  ra2  ri2

 

werkstoffkundlich zulässige Pressung pzul: p ≤ pzul

Bild 6.8: Grenzen des axialen Verspannens quantitativ

Aufgabe A.6.2

6.3.1.2

Radialklemmverbindungen

Bei Radialklemmverbindungen findet die reibschlüssige Übertragung von Momenten oder Axialkräften auf der Zylindermantelfläche zwischen Welle und Nabe statt, wobei die Nabe meist aus zwei schalenförmigen Hälften besteht, die untereinander verschraubt werden und damit auf die Welle gepresst werden. Bei der Dimensionierung der Radialklemmverbindung lassen sich wie im vorangegangenen Fall drei Kriterien ausmachen und ein dreieckförmiges Schema skizzieren, für dessen Verbindungslinien Gleichungen zu formulieren sind. (vgl. Bild 6.6 und 6.8): •

Bei Überschreitung des Momentes rutscht die Nabe auf der Welle.

•

Bei Überschreitung der Pressung wird die Kontaktfläche zwischen Welle und Nabe beschädigt.

•

Bei Überschreitung der Vorspannkraft wird die zulässige Belastung der Schrauben überschritten.

Zunächst sei die Klemmverbindung mit geteilter Nabe betrachtet. Zur rechnerischen Beschreibung dieser Klemmverbindung können drei verschiedene Ansätze formuliert werden: Ansatz „weites Spiel“ Es wird ein weites Spiel zwischen Welle und Nabe angenommen, so dass die Vorspannkraft 2 · FV · i (i: Anzahl der Schraubenpaare) nur in einem schmalen Bereich am oberen und unteren Scheitelpunkt der Verbindung eine Klemmwirkung hervorrufen kann.

6.3 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

243

2· FV · ␮

2· FV

FV

FV

Mt FV

2· FV

FV

2· FV · ␮

Bild 6.9: Radialklemmverbindung mit „weitem Spiel“

In diesem Fall ergibt sich das maximal übertragbare Moment zu zwei gleichen Anteilen aus unterer und oberer Nabenhälfte: M t max  2 

2  FV  i  d  2  d  i  FV 2

Gl. 6.15

i: Anzahl der Schraubenpaare Diese Einbauverhältnisse weisen die folgenden beiden Besonderheiten auf: •

An den kraftübertragenden Stellen zwischen Welle und Nabe entsteht örtlich begrenzt eine hohe Flächenpressung, was zu einer plastischen Verformung an diesen Kontaktzonen führt.

•

In der schalenförmigen Nabenhälfte selber kommt es durch die Vorspannkräfte zu einer hohen Biegemomentenbelastung.

Sowohl die Einbauverhältnisse als auch der daraus abgeleitete Ansatz sind also wenig brauchbar, die Betrachtung würde sich auf die linke Dreieckseite des Schemas reduzieren. Ansatz „Presspassung mit biegestarrer Nabe“ Wird die Passung als leichte Presspassung (H8/n7) ausgeführt und ist die Nabenhälften biegesteif, so kann angenommen werden, dass die Verspannung in den beiden Nabenhälften keine kritische Biegeverformung hervorruft. Unter diesen Umständen stellt sich an der Kontaktfläche zwischen Welle und Nabe eine weitgehend konstante Flächenpressung p nach Bild 6.10 ein.

244

6 Welle-Nabe-Verbindungen

FN = p·A

p·sinα

FN·μ dA

P p·cosα

dα α

α Fv

Fv

Mt

Bild 6.10: Radialklemmverbindung mit biegestarrer Nabe

Die Formulierung des Zusammenhanges zwischen Pressung und Moment Mt wird wesentlich erleichtert, wenn die in der gesamten Trennfuge wirksame Pressung zu einer Normalkraft FN zusammengefasst wird (rechte Bildhälfte): p

FN FN   p zul A  d  L

bzw.

FN =  · d · L · p

Gl. 6.16

Mit dieser Normalkraft FN kann eine Reibkraft FR = µ · FN und damit das Moment Mtmax übertragen werden: d M t max  FN  2 Führt man den Ausdruck für FN nach Gl. 6.16 ein, so ergibt sich das übertragbare Moment zu: M t max 

d²  L   p 2

Lässt man für die Pressung p einen maximalen Wert pzul zu, so ergibt sich für das maximal übertragbare Moment:   L  d²  p zul Gl. 6.17 2 Die Pressung muss durch die Schrauben aufgebracht werden. Ein Zusammenhang zwischen der Pressung p und der Vorspannkraft der Schrauben FV lässt sich herstellen, wenn das Kräftegleichgewicht in y-Richtung für die obere Nabenhälfte formuliert wird: M t max 

2  FV  i 

180

 p  sin   dA

 0

6.3 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen mit p = const.

und

d dA  d   L 2

2  FV  i 

p  d  L 180 pd L 180   sin   d     cos   0 2 2  0

2  FV  i 

pd L 2  pd L 2

FV 

245

dL p 2 i

Lässt man für die Pressung p einen maximalen Wert pzul zu, so kann die Schraubenvorspannkraft bis FVmax gesteigert werden: FV max 

dL  p zul 2i

Gl. 6.18

Damit wird die untere Dreieckseite im Schema des Bildes 6.12 geklärt. Dabei muss sichergestellt werden, dass die Schrauben auch tatsächlich diese Vorspannkraft aufnehmen können (s. Kap. 4). Unter diesem kritischen Aspekt lässt sich der letztgenannte Ausdruck so umstellen, dass die in Folge der zulässigen Schraubenvorspannkraft FVzul erzielbare Pressung pmax zum Ausdruck kommt: p max 

2i  FVzul dL

Gl. 6.19

Setzt man den Ausdruck nach Gl. 6.19 in Gl. 6.17 ein, so stellt man einen Zusammenhang zwischen der Schraubenvorspannkraft und dem übertragbaren Moment her und vervollständigt damit das Schema in Bild 6.12 auf der linken Dreieckseite: M t max   d  i  FV max

Gl. 6.20

Ist die Schraube konstruktiv bereits festgelegt, so kann die erforderliche Anpresswirkung über die Anzahl der Schraubenpaare angepasst werden. Dazu wird die obige Gleichung nach der Anzahl der erforderlichen Schraubenpaare imin aufgelöst: i min 

M t max  d  FV max

Gl. 6.21

Ansatz „biegeweiche Nabe“ Die zuvor verfolgte Annahme trifft nicht zu, wenn die Nabe selber nachgiebig ausgebildet ist, weil dann die Nabenhälften keinen seitlichen Druck auf die Welle ausüben. In diesem Fall stellt sich im Extremfall eine sinusförmige Flächenpressungsverteilung nach Bild 6.11 ein.

246

6 Welle-Nabe-Verbindungen

p·dA p·sinα

dR dA

P pmax

p·cosα

dα α

α Fv

Fv

Mt

Bild 6.11: Radialklemmverbindung mit biegeweicher Nabe

Im Gegensatz zur biegestarren Nabe müssen zur Formulierung des gesamten übertragbaren Momentes in Funktion der Pressung die einzelnen Reibkraftanteile integriert werden. Für die gesamte Welle-Nabe-Verbindung einschließlich der unteren Nabenhälfte ergibt sich dann: d 180 M t max  2     p  dA 2  0

mit

p = pmax · sin 

und

d dA  d   L 2

d 180 d M t max  2     p max  sin   d   L 2  0 2 d²  L  p max 180 d²  L  p max 180   sin   d    cos   0 2 2  0

M t max 

Mtmax = f(pmax) = d² · L · µ · pmax

Gl. 6.22

Damit ist die rechte Dreieckseite in Bild 6.12 geklärt. Der Zusammenhang zwischen der Pressung p und der Vorspannkraft der Schrauben FV lässt sich auch in diesem Fall durch die Formulierung des Kräftegleichgewicht in y-Richtung für die obere Nabenhälfte herstellen: 2  FV  i 

mit

180

 p  sin   dA

Gl. 6.23

 0

p = pmax · sin 

und

d dA  d   L 2

6.3 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen 2  FV  i 

p max  d  L 180   sin ²   d 2  0

2  FV  i  p max  FV 

mit

180

247 

 sin ² d  2  0

dL   2 2

d  L   p max 8i

Gl. 6.24

Diese Gleichung stellt die untere Seite im Schema von Bild 6.12 klar. Lässt man für den Höchstwert der Pressung pmax den werkstoffkundlich zulässigen Wert pzul zu, so ergibt sich die maximale Schraubenkraft FVmax, mit der die Verbindung montiert werden darf: FV max 

 dL   p zul 8 i

Ist hingegen die Schraubenvorspannkraft FV durch einen Wert FVzul begrenzt, so ergibt sich die damit maximal erzielbare Pressung pmax zu: p max 

8i  FVzul d  L 

Gl. 6.25

Setzt man Gl. 6.25 in die Gl. 6.22 ein, so wird auch die linke Seite im Schema von Bild 6.12 mit einer Gleichung belegt:

M t max 

8d  i  FVzul 

Gl. 6.26

Auch diese Gleichung lässt sich nach der Anzahl der erforderlichen Schraubenpaare umstellen: i min 

 M t max 8  d   FVzul

Gl. 6.27

Die Formulierungen nach Gl. 6.26 und 6.27 sind unabhängig von der Länge der Verbindung L.

248

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Gegenüberstellung der Ansätze Trägt man die Dimensionierungsgleichungen zusammen, so ergibt sich die folgende Übersicht: übertragbares Reibmoment Mtmax Mt  Mtmax weites Spiel: Mt  2 · µ · d · i · FV biegestarre Nabe: Mt  3,14 · µ · d · i · FV biegeweiche Nabe: Mt  2,55 · µ · d · i · FV

zulässige Vorspannkraft FVmax; Anzahl der Schraubenpaare i FV  FVzul

biegestarre Nabe: Mt  1,57 · L · d² · µ · pconst biegeweiche Nabe: Mt  L · d² · µ · pmax

biegestarre Nabe: i pconst  2   FV dL —

biegeweiche Nabe: i p max  2,55   FV dL

—

werkstoffkundlich zulässige Pressung pzul biegestarre Nabe: pconst  pzul biegeweiche Nabe: pmax  pzul

Bild 6.12: Dimensionierungsgleichungen radiale Klemmverbindung

Aus dieser Zusammenstellung geht hervor, dass die Rechnung für den Fall der „biegeweichen“ Nabe stets auf der sicheren Seite liegt. Bei nicht klar zu übersehenden Randbedingungen ist dieser Ansatz also stets zu bevorzugen. Der erste Ansatz (weites Spiel) reduziert die ganze Problematik unzulässigerweise auf die linke Dreieckseite und muss deshalb als unbrauchbar gelten. Die Flächenpressung p darf folgende zulässige Werte nicht überschreiten: für Stahlwelle / GG-Nabe

p zul 

R mNabe S

S = 2…3

Gl. 6.28

für Stahlwelle / Stahlnabe

p zul 

R e min S

S = 1, 2…3

Gl. 6.29

Aufgaben A.6.3 und A.6.4

6.3 Kraft- bzw. reibschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen

6.3.2

249

Zylinderpressverband

Ähnlich wie beim radialen Klemmverband nutzt auch der Zylinderpressverband die fertigungstechnisch einfache Zylindermantelfläche zwischen Welle und Nabe aus. Die Nabe wird allerdings weder geteilt noch geschlitzt, sondern Welle und Nabe werden als Presspassung ausgeführt: Vor der Montage ist der Durchmesser der Welle geringfügig größer als der Bohrungsdurchmesser der Nabe. Beim Fügen der Verbindung wird die Nabe aufgeweitet und die Welle zusammengedrückt. Durch diese meist elastischen Deformationen wird an der Kontaktfläche zwischen Welle und Nabe eine Pressung hervorgerufen, die die reibschlüssige Übertragung von Torsionsmomenten oder Axialkräften ermöglicht. Je nach Art des Fügens unterscheidet man zwischen Quer- und Längspressverband:  Längspressverband Der Längspressverband wird „längs“ (in Axialrichtung) gefügt, also durch Aufbringung von Axialkraft bei Raumtemperatur eingepresst. Dabei werden zwangsläufig die Spitzen der Oberflächenrauheiten plastisch eingeebnet. Da dadurch die Trennfuge beschädigt werden kann, ist die erzielbare Pressung und die Momentenübertragbarkeit eines solchen Verbandes eher gering. Unter Umständen kann der Längspressverband wieder gelöst und erneut montiert werden.  Querpressverband Der Querpressverband vermeidet diese Probleme, in dem er ohne den Einsatz von Axialkraft gefügt wird: Die Nabe wird erwärmt oder die Welle wird abgekühlt, so dass die dadurch hervorgerufenen thermischen Verformungen das Übermaß der Passung bei der Montage überbrücken. Erst beim Abklingen des Temperaturgefälles nach dem Fügen baut sich die Pressung auf. Eine Demontage bedeutet häufig eine Zerstörung des Querpressverbandes. Dieser Nachteil wird vermieden, wenn der Querpressverband als Druckölverband ausgeführt wird. Im Gegensatz zur radialen Klemmverbindung ist beim Zylinderpressverband die Differenzierung nach biegeweicher und biegestarrer Nabe gegenstandslos: Die Klemmwirkung ist stets radial gerichtet, so dass sich bei rotationssymmetrischer Nabe in jedem Fall eine konstante Pressungsverteilung ergibt. Der oben abgeleitete Zusammenhang zwischen dem maximal übertragbaren Moment Mtmax und der in der Fügefläche wirkenden Flächenpressung p kann also mit dem gleichen Ansatz ausgedrückt werden, Gl. 6.17 gilt also hier in gleicher Weise: M t max 

d²  L  p 2

bzw.

p min 

2 1  Mt  L  d² 

Gl. 6.30

Auch hier muss sichergestellt werden, dass aus den bereits bekannten Gründen die Länge (axiale Erstreckung) der Verbindung nicht wesentlich größer ist als ihr Durchmesser: L  1,2...1,5 d

Gl. 6.31

250

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Sollen ein Torsionsmoment Mtmax und eine Axialkraft Fax gleichzeitig übertragen werden, so sind die beiden am Umfang wirkenden Kraftanteile vektoriell zu addieren (vgl. Gl. 6.5). Damit erweitert sich der obige Ausdruck für die minimal erforderliche Flächenpressung zu 2

p min

 2  Mt   d   Fax ²     d  L 

Gl. 6.32

Aufgaben A.6.5 und A.6.6 Die so ermittelte Flächenpressung pmin stellt aber nur einen minimalen Wert dar, der auf jeden Fall vorhanden sein muss, um die reibschlüssige Übertragung des Momentes und der Axialkraft sicher zu stellen. Bei der weiteren Analyse des Problems treten zwei weitere Fragestellungen in den Vordergrund, die in diesem Rahmen nicht behandelt werden können: 

Eine höhere Flächenpressung wäre bezüglich des Reibschlusses zwar vorteilhaft, belastet aber sowohl die Nabe als auch die Welle zusätzlich. Ein Festigkeitsnachweis muss diesen Sachverhalt klären und eine festigkeitsmäßig zulässige Flächenpressung pmax formulieren (s. Abschnitt 6.3.2.2 der zweibändigen Ausgabe).



Die Flächenpressung muss über eine Presspassung definiert aufgebracht werden. Für diesen Zusammenhang zwischen Pressung p und Übermaß U kann eine Analogie zu Kapitel 2 (Federn) bemüht werden: Die Steifigkeit c einer Feder setzt die Kraft F zum Federweg f in Beziehung. Auch der Zylinderpressverband ist eine „Feder“ mit einer Steifigkeit, die einen Zusammenhang zwischen der Pressung p als Belastung und dem Übermaß U als „Federweg“ herstellt (Abschnitt 6.3.2.3 der zweibändigen Ausgabe).

6.4

Anhang

6.4.1

Literatur

[1]

Beitz, W.: Berechnung von Welle-Nabe-Passfederverbindungen; Z Antriebstechnik 16 (1977) Nr. 10

[2]

Eberhard, G.: Theoretische und experimentelle Untersuchungen an Klemmverbindungen mit geschlitzter Nabe; Dissertation Universität Hannover 1980

[3]

Findeisen, D.: Verspannungsschaubild der Welle-Nabe-Verbindung „rotierender Querpressverband“; Analogie zur Schraubenverbindung unter axialer Zugkraft mit Querkraftschub; Z. Konstruktion 30 (1978), H. 11

[4]

Hinzen, H.: Zylinderpressverband, die optimale Welle-Nabe-Verbindung für hochbelastete Klemmkörperfreiläufe; Konstruktion 41 (1989) Nr. 6, S. 173-181

[5]

Kollmann, Franz G.: Welle-Nabe-Verbindungen; Konstruktionsbücher Band 32, Springer-Verlag

[6]

Muschard, W.D.: Klebgerechte Gestaltung einer Welle-Nabe-Verbindung; Z. Konstruktion 36 (1984) H. 9

6.4 Anhang

6.4.2

251

Normen

[7]

DIN ISO 14: Keilwellenverbindungen mit geraden Flanken und Innenzentrierung

[8]

DIN 254: Kegel

[9]

DIN 748 T1: Zylindrische Wellenenden; Abmessungen, Nenndrehmomente

[10]

DIN 748 T3: Zylindrische Wellenenden für elektrische Maschinen

[11]

DIN 1448 T1: Kegelige Wellenenden mit Außengewinde; Abmessungen

[12]

DIN 1449: Kegelige Wellenenden mit Innengewinde; Abmessungen

[13]

DIN ISO 3040: Kegelverbindungen

[14]

DIN 5464: Keilwellenverbindungen mit geraden Flanken; Schwere Reihe

[15]

DIN E 5466 T1: Tragfähigkeitsberechnung von Zahn- und Keilwellenverbindungen

[16]

DIN 5472: Werkzeugmaschinen; Keilwellen- und Keilwellenprofile mit 6 Keilen

[17]

DIN 5480: Zahnwellenverbindung mit Evolventenflanken

[18]

DIN 5481: Zahnwellen

[19]

DIN 6881: Hohlkeil

[20]

DIN 6883: Flachkeil

[21]

DIN 6884: Nasenflachkeil

[22]

DIN 6885 T2: Passfedern

[23]

DIN 6886: Einlegekeil A; Treibkeil B;

[24]

DIN 6887: Nasenkeil

[25]

DIN 6888: Scheibenfeder

[26]

DIN 6889: Nasenhohlkeil

[27]

DIN 7157: Passungstabelle mit Vorzugsreihen

[28]

DIN 7178 T1: Kegeltoleranz- und Kegelpaßsystem für Kegel von Verjüngung C = 1:3 bis 1:500 und Längen von 6 bis 630 mm, Kegeltoleranzsystem

[29]

DIN 7190: Querpressverbände

[30]

DIN 7290: Preßverbände; Berechnungsgrundlagen und Gestaltungsregeln

[31]

DIN 32711: Antriebselemente; Polygonprofile P3G

[32]

DIN 32712: Antriebselemente; Polygonprofile P4C

252

6.5

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Aufgaben: Welle-Nabe-Verbindungen

Formschluss A.6.1

Vergleich formschlüssiger Welle-Nabe-Verbindungen

In der untenstehenden Darstellung sind sowohl eine Passfederverbindung als auch drei Keilwellenverbindungen aufgeführt. Keilwellenverbindung DIN ISO 14 leichte Reihe

d1

t1

t2

Passfederverbindung DIN 6885

Keilwellenverbindung DIN ISO 14 mittlere Reihe

Keilwellenverbindung DIN 5464 schwere Reihe

Es kann eine Flächenpressung von pzul = 60 N/mm² zugelassen werden. Für die Welle steht aus konstruktiven Gründen ein maximaler Durchmesser von 40 mm zur Verfügung und die Nabe ist 32 mm lang. Berechnen Sie für alle vier Varianten das übertragbare Torsionsmoment, wenn für die Passfederverbindung der Traganteil  = 1 und für die Keilwellenverbindungen der Traganteil  = 0,75 angenommen werden kann.

6.5 Aufgaben: Welle-Nabe-Verbindungen

253 Mtmax [Nm]

Passfederverbindung DIN 6885 Keilwellenverbindung DIN ISO 14 leichte Reihe Keilwellenverbindung DIN ISO 14 mittlere Reihe Keilwellenverbindung DIN 5464 schwere Reihe

Kraftschluss: Axialklemmverbindungen A.6.2

Hilfsantrieb I

axialer Überstand

6

Feder ungespannt

Die skizzierte Welle-Nabe-Verbindung eines Hilfsantriebes hat nur ein geringes Drehmoment zu übertragen. Insofern genügt es, die Welle axial gegen einen Wellenbund zu verspannen. Durch die axial aufgebrachte Verspannung wird sowohl an der linken als auch an der rechten Nabenstirnfläche Moment übertragen, welches jedoch wegen der Nachgiebigkeiten auf der rechten Seite sehr viel kleiner sein wird. Um einen einfachen Ansatz formulieren zu können, wird hier nur das links übertragene Moment berücksichtigt. Aus diesem Grunde wird auf der rechten Seite die Reibzahl µ formal zu null gesetzt. a) Wie groß ist das übertragbare Moment, wenn eine Flächenpressung von pzul = 40 N/mm² zugelassen werden kann und die Reibzahl µ = 0,15 beträgt? b) Um die Welle-Nabe-Verbindung auch ohne Drehmomentschlüssel definiert vorspannen zu können, wird zwischen der überstehenden Welle und der Nabe eine Tellerfeder montiert, die dadurch vorgespannt wird, dass die Schraube bis zum Anschlag in die Welle eingeschraubt wird. Die ungespannte Länge der Feder beträgt 6 mm, ihre Steifigkeit kann mit 4.000 N/mm angenommen werden. Wie groß muss der axiale Überstand der Welle sein?

254

6 Welle-Nabe-Verbindungen

Kraftschluss: Radialklemmverbindungen A.6.3

Schalenkupplung

Mit der unten dargestellten nicht-schaltbaren Kupplung werden zwei Wellenenden reibschlüssig miteinander verbunden. Die Schrauben werden mit einer Vorspannkraft von 19 kN angezogen. Aufgrund der konstruktiven Ausführung kann eine biegesteife Nabe angenommen werden. Zwischen Welle und Nabe liegt ein Reibwert µ = 0,08 vor.

a)

Welches maximale Moment kann übertragen werden, wenn die Verbindung nach der zulässigen Vorspannkraft der Schrauben dimensioniert wird?

b) Welche Flächenpressung tritt dann zwischen Welle und Nabe auf? c)

Es kann eine Flächenpressung zwischen Welle und Nabe von p = 60 N/mm² zugelassen werden. Kreuzen Sie in der folgenden Rubrik an, welche Maßnahme zur Erhöhung des übertragbaren Momentes sinnvoll ist.

6.5 Aufgaben: Welle-Nabe-Verbindungen

255 ja

nein

Verwendung von Schrauben höherer Festigkeit Verwendung einer Nabe höherer Festigkeit Verwendung von Schrauben größeren Durchmessers Erhöhung der Schraubenanzahl Verwendung einer Welle höherer Festigkeit

A.6.4

Variation der Ansätze

Die unten dargestellte nicht-schaltbare Kupplung verbindet zwei Wellenenden. Das Moment wird von der linken Welle auf die linke Hälfte der Kupplungsnabe übertragen, von dort auf die rechte Hälfte der Kupplungsnabe übergeleitet und schließlich auf die rechte Welle abgestützt. Wesentlicher Bestandteil der Kupplung sind zwei identische, hintereinander geschaltete Welle-Nabe-Verbindungen als radialer Klemmverband. In einer gegenüberstellenden Betrachtung wird die Kupplung sowohl mit biegesteifer als auch mit biegeweicher Nabe ausgeführt. Zwischen Welle und Nabe liegt ein Reibwert µ = 0,1 vor. Schnitt A-A

256

6 Welle-Nabe-Verbindungen Schnitt A-A

A

A

Die folgenden Berechnungen sind sowohl für die Annahme „biegesteife Nabe“ als auch für „biegeweiche Nabe“ anzustellen. Zur Dokumentation der Ergebnisse bedienen Sie sich der untenstehenden Schemata. a)

Dimensionierung nach der zulässigen Pressung: Es wird die Werkstoffpaarung verwendet, die eine Flächenpressung zwischen Welle und Nabe von pzul = 60 N/mm² zulässt. Welches Torsionsmoment Mt ist dann übertragbar und mit welcher Vorspannkraft FV muss die einzelne Schraube dann angezogen werden?

pmax = pzul [N/mm²]

Annahme „biegesteife Nabe“

Annahme „biegeweiche Nabe“

60

60

Mt [Nm] FV [kN]

b)

Dimensionierung nach dem zu übertragenden Moment: Es soll ein Torsionsmoment von Mt = 800 Nm übertragen werden. Mit welcher Vorspannkraft FV müssen dann die Schrauben angezogen werden? Wie groß ist in diesem Fall die tatsächlich auftretende maximale Pressung pmax? Annahme „biegesteife Nabe“

Annahme „biegeweiche Nabe“

800

800

pmax [N/mm²] Mt [Nm] FV [kN]

6.5 Aufgaben: Welle-Nabe-Verbindungen c)

257

Dimensionierung nach der maximalen Schraubenvorspannkraft: Die Vorspannkraft FV der einzelnen Schraube ist auf 44 kN (Schraubengüte 8.8) begrenzt. Wie groß ist in diesem Fall die tatsächlich auftretende maximale Pressung pmax? Welches Torsionsmoment Mt kann dann übertragen werden? Annahme „biegesteife Nabe“

Annahme „biegeweiche Nabe“

44

44

pmax [N/mm²] Mt [Nm] FV = FVmax [kN]

Kraftschluss: Zylinderpressverband A.6.5

Erforderliche Pressung bei Torsions- und Längskraftbelastung

Ein Zylinderpressverband hat einen Durchmesser von d = 38 mm und eine Fügelänge L = 32 mm. Es kann eine Reibzahl µ = 0,12 angenommen werden. a)

Welche Pressung ist erforderlich, wenn eine Axialkraft Fax = 10 kN übertragen werden soll? b) Welche Pressung ist erforderlich, wenn ein Torsionsmoment Mt = 500 Nm übertragen werden soll? c) Welche Pressung ist erforderlich, wenn sowohl die o.a. Axialkraft Fax als auch das Torsionsmoment Mt gleichzeitig übertragen werden sollen?

A.6.6

Erforderlicher Durchmesser bei Torsions- und Längskraftbelastung

Die Flächenpressung einer Querpressverbindung beträgt p = 70 N/mm², der Reibwert µ wird sicherheitshalber mit 0,08 angenommen. Die Pressverbindung soll zugleich ein Torsionsmoment Mt = 820 Nm und eine Axialkraft Fax = 42 kN übertragen. Das Längen/BreitenVerhältnis der Verbindung beträgt L/d = 0,9.

a) Bestimmen Sie den erforderlichen Fügedurchmesser d der Verbindung, wenn die Axialkraft so eingeleitet wird wie in der Skizze dargestellt. b) Bestimmen Sie den erforderlichen Fügedurchmesser d der Verbindung, wenn die Axialkraft in umgekehrter Richtung eingeleitet wird. Hinweis: Die Berechnung vereinfacht sich, wenn Sie iterativ vorgehen.

7

Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

7.1

Anforderungen und Aufgaben

Der Begriff „gleichförmig übersetzende Getriebe“ gibt an, dass bei Einleitung einer gleichförmigen Bewegung am Antrieb auch am Abtrieb eine gleichförmige Bewegung vorliegt. Diese Getriebe dienen dazu, eine Leistung zu übertragen und sie dabei in ihren Faktoren Drehmoment und Drehzahl zu wandeln. Die Ergänzung dazu bilden die „ungleichförmig übersetzenden“ Getriebe (z.B. Kurbeltriebe), die aber nicht Gegenstand der vorliegenden Betrachtung sind, sondern vielmehr dem Fach „Getriebelehre“ zuzuordnen sind. Die folgende Eingangsbetrachtung konzentriert sich auf die globale Funktion solcher Getriebe und soll anhand einiger einfacher Beispiele und Modellvorstellungen den Blick für die wesentlichen Kenngrößen gleichförmig übersetzender Getriebe schärfen. Schließlich kann ein Getriebe nur im Zusammenhang mit seiner antriebstechnischen Umgebung verstanden werden, das Getriebe dient stets als Bindeglied zwischen verschiedenen Gliedern einer Antriebskette. Erst in den folgenden Abschnitten soll das Augenmerk auf die konstruktive Ausführung und die Dimensionierung solcher Getriebe gerichtet werden.

7.1.1

Momentenwandlung

Aus den Grundlagen der Mechanik ist der Begriff des Momentes M als das Produkt aus Kraft F und Hebelarm h (Bild 7.1) bekannt. M=F·h

260

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

F

h M1

Bild 7.1: Einarmiger Hebel

h1 h2

F

F G M1 M2

Bild 7.2: Doppelanordnung zweier einarmiger Hebel

7.1 Anforderungen und Aufgaben

261

Ordnet man den Hebel doppelt an (Bild 7.2), so bewirkt die Kraft F in jeder der beiden Wellen ein im allgemeinen Fall unterschiedliches Moment: M1 = F · h1

und

M2 = F · h2

Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach F und Gleichsetzen gewinnt man: M1 M 2  h1 h2

bzw.

M 2  M1 

h2 h1

Gl. 7.1

Der Quotient h2/h1 wird auch als das „Übersetzungsverhältnis“ i bezeichnet: i

h2 h1



M 2  M1  i

Gl. 7.2

Zum Anheben einer Last ist ein Moment M2 als Produkt aus Gewichtskraft G und Trommelradius erforderlich. Ein gegebenes Moment M1 lässt sich in dieses geforderte Moment M2 wandeln, indem man die dazugehörenden Hebelarme h2 und h1 in das entsprechende Verhältnis i zueinander setzt. Die in Bild 7.2 skizzierte Anordnung erlaubt zunächst einmal nur eine Kraftübertragung in der dargestellten Hebelstellung. In Erweiterung dazu muss aber ein reales Getriebe in der Lage sein, die Momentenübertragung in jeder beliebigen Stellung der Wellen zu gewährleisten. Dazu werden die Hebel von Bild 7.2 durch Räder mit entsprechenden „Wirkradien“ nach Bild 7.3 ersetzt. Die Momentenwandlung findet auch dann statt, wenn das System in Bewegung ist, also die am Seil befindliche Masse auf oder ab bewegt wird, sie vollzieht sich also bei drehenden Rädern. Bei der konstruktiven Ausführung der Räderpaarung muss durch weiter unten noch vorzustellende Maßnahmen sichergestellt werden, dass die Kraft F von einem Rad auf das andere übertragen werden kann. h2

h1

Bild 7.3: Doppelanordnung von Hebeln wird zum Getriebe Die in Zusammenhang mit Bild 7.2 beobachtete Kraftübertragung von einem auf den anderen Hebel kann auch dann stattfinden, wenn zwischen den beiden Hebeln ein Seil im Sinne der Statik als Zwischenglied angebracht wird (obere Hälfte von Bild 7.4).

262

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Bild 7.4: Momentenübertragung über Zwischenglied

Auch hier muss die Momentenübertragung in jeder beliebigen Stellung der Wellen wirksam sein. Aus diesem Grunde wird das Zwischenglied endlos ausgeführt und beispielsweise als Seil, Kette oder Riemen über die beiden Räder geschlungen (untere Bildhälfte), wobei auch hier die ursprünglichen Hebelarme h1 und h2 zu entsprechenden Wirkradien werden. Die Kraftwirkung des Zugmittels greift dabei immer senkrecht zum Hebelarm bzw. Wirkradius an, weil das Zugorgan aus geometrischen Gründen tangential zum jeweiligen Rad angeordnet sein muss.

7.1.2

Drehzahlwandlung

An den in Bild 7.5 skizzierten Räderpaarungen lässt sich nicht nur das Zusammenspiel von Kräften und Momenten, sondern auch das von Bewegungen und Geschwindigkeiten betrachten. Dabei ist es unerheblich, ob die Räder direkt miteinander gepaart sind (z.B. Zahnrad) oder über ein Zwischenglied (z.B. Kette) miteinander in Verbindung stehen.

7.1 Anforderungen und Aufgaben

263

ohne Zwischenglied z.B. Zahnrad Drehrichtung gegensinnig

mit Zwischenglied z.B. Kettentrieb Drehrichtung gleichsinnig

1 und 2 gegensinnig

1 und 2 gleichsinnig

Bild 7.5: Geschwindigkeiten bei Räderpaaren ohne und mit Zwischenglied

Wird das Zahnrad 1 in der linken Darstellung um den Winkel 1 verdreht, so legt ein Punkt am Umfang des Rades 1 einen entsprechenden Bogenabschnitt zurück. Der gleiche Bogenabschnitt muss bei dieser Drehung jedoch auch am Umfang des Rades 2 überstrichen werden, so dass formuliert werden kann: 1 · r1 = Bogenabschnitt = 2 · r2 Dabei ist der Winkel  jeweils in Bogenmaß einzusetzen. Diese kinematische Verträglichkeitsbedingung muss auch dann erfüllt sein, wenn die beiden Räder über eine Kette (Bild 7.5, rechts) miteinander in Verbindung stehen. Werden die beiden Winkel zueinander ins Verhältnis gesetzt, so ergibt sich der Kehrwert des Übersetzungsverhältnisses:  2 r1 1   1 r2 i

Gl. 7.3

Wird diese Gleichung nach der Zeit abgeleitet, so ergibt sich die gleiche Verhältnismäßigkeit: d 2 dt  r1  1 d1 r2 i dt

Gl. 7.4

Dabei bedeutet der Ausdruck d/dt die „Winkelgeschwindigkeit“ , die in Bogenmaß pro Sekunde [1/s] angegeben wird.

264

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe 2 r1 1   1 r2 i

Gl. 7.5

Mit einer gegebenen Winkelgeschwindigkeit 1 lässt sich also eine weitere Winkelgeschwindigkeit 2 hervorrufen, indem man die dazugehörenden Scheibenradien r1 und r2 in das entsprechende Verhältnis zueinander setzt. Bei Getrieben ohne Zwischenglied sind die Winkelgeschwindigkeit von An- und Abtrieb gegensinnig, bei Getrieben mit Zwischenglied gleichsinnig. Die am Wirkradius des einen Rades auftretende, tangentiale Geschwindigkeit v ergibt sich als das Produkt aus Winkelgeschwindigkeit  und Radradius r: v=·r

Gl. 7.6

Die Geschwindigkeit v tritt bei Getrieben mit Zwischenglied als Absolutgeschwindigkeit dieses Zwischengliedes auch tatsächlich in Erscheinung (rechte Hälfte von Bild 7.5). Während die Angabe der Winkelgeschwindigkeit  mehr für die Physik typisch ist, wird im Maschinenbau häufig die Drehzahl n verwendet. Beide Größen stehen aber in unmittelbarem Zusammenhang: =2··f

f: Drehfrequenz

Gl. 7.7

Erweitert man diesen Ausdruck durch 1 min/60 s, so ergibt sich eine leicht zu handhabende Größengleichung:  s 1   2  f s 1  

7.1.3

1 1min  n  min   60 s 30

Gl. 7.8

Formschluss und Reibschluss

Die Momenten- bzw. Drehzahlübertragung von einem Rad auf das andere kann grundsätzlich auf zweierlei Arten vollzogen werden: Bei formschlüssigen Getrieben nach Bild 7.6 links sind die Ränder am Umfang mit Formelementen (z.B. Zähnen) besetzt, wobei das Formelement des einen Rades genau in eine entsprechende Aussparung des anderen Rades eingreift. In diesem Fall ergibt sich das Übersetzungsverhältnis i auch als das Verhältnis der Formelemente: i = z2/z1. Dadurch wird das Übersetzungsverhältnis in genau dieser Form reproduzierbar: Wenn man beispielsweise ein Zahnradgetriebe um eine gewisse Anzahl an Umdrehungen vorwärts bewegt und anschließend wieder um die gleiche Anzahl von Umdrehungen zurückdreht, so wird wieder exakt die Ausgangsstellung eingenommen.

7.1 Anforderungen und Aufgaben formschlüssiges Getriebe z.B. Zahnradgetriebe

265 reib- bzw. kraftschlüssiges Getriebe z.B. Reibradgetriebe

Bild 7.6: Gegenüberstellung formschlüssiges – reibschlüssiges Getriebe

Bei dem Getriebe nach Bild 7.6 rechts handelt es sich um ein reib- oder kraftschlüssiges Getriebe: Die beiden zylindrischen, scheibenförmigen Räder werden mit einer radial gerichteten Normalkraft FN so gegeneinander gedrückt, dass die momentenerzeugende Kraft als Reibkraft FR übertragen werden kann. Dabei tritt Schlupf auf: Da an der reibschlüssigen Kraftübertragungsstelle stets physikalisch notwendige Gleitvorgänge auftreten, bleibt das angetriebene Getriebeglied stets hinter dem treibenden Getriebeglied zurück, so dass die Getriebestellungen nie genau reproduzierbar sind. Wenn also ein Reibradgetriebe um eine gewisse Anzahl an Umdrehungen vorwärts bewegt wird und anschließend wieder um die gleiche Anzahl an Umdrehungen zurückgedreht wird, so wird nicht wieder genau der Ausgangszustand erreicht. Die Größe des Schlupfes hängt von der Höhe der zu übertragenden Kraft ab. Dieser systembedingte, unvermeidliche Fehler kann in manchen technischen Anwendungen nicht geduldet werden (z.B. Ventiltrieb eines Verbrennungsmotors). Die Gegenüberstellung in Tabelle 7.1 macht die charakteristischen Besonderheiten dieser beiden Kraftübertragungsmechanismen deutlich. Die gleichen Feststellungen gelten auch für Getriebe mit Zwischenglied. Hier kann ebenfalls zwischen Formschluss (z.B. Kette, Zahnriemen) und Reibschluss (z.B. Flachriemen, Keilriemen) unterschieden werden. Während formschlüssige Getriebe mit Zwischenglied keine große Vorspannung benötigen, muss bei reibschlüssigen Getrieben eine Normalkraftvorspannung zur Aufrechterhaltung des Reibschlusses aufgebracht werden.

266

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Tabelle 7.1: Gegenüberstellung formschlüssiges – reibschlüssiges Getriebe

Formschlüssiges Getriebe

Reibschlüssiges Getriebe

Vorteile:

Nachteile:

Reproduzierbare, winkelgetreue Übertragung der Drehbewegung, kein sog. Schlupf

Schlupfbehaftete, nicht exakt reproduzierbare, nicht exakt winkelgetreue Übertragung der Drehbewegung

Geringe Normalkraftbelastung: Neben der zur Momentenübertragung erforderlichen Kraft F tritt noch eine relativ geringe Kraft FN auf, die durch die kinematisch bedingte Schiefstellung der Zahnflanken im Berührpunkt verursacht wird; daher insgesamt kompakte Bauweise

Hohe Normalkraftbelastung: Neben der zur Momentenübertragung erforderlichen Kraft F ist zur Sicherstellung des Reibschlusses eine hohe Normalkraft FN erforderlich, was auch zu einer hohen Belastung von Wellen und Lagern führt; daher insgesamt platz- und gewichtsbeanspruchende Bauweise

Nachteile:

Vorteile:

Komplizierte Übertragungskinematik: Die Hebelarme der Räder sind als Radien konstruktiv nicht vorhanden; die komplizierte Formgebung der ineinandergreifenden Formelemente ist Gegenstand des Verzahnungsgesetzes

Einfache Übertragungskinematik: Hebelarme liegen als Radius der Räder konstruktiv vor

Überlast gefährdet die Festigkeit und führt ggf. zu Bauteilversagen, z.B. Zerstörung von Zähnen

Kurzzeitige Überlast kann ggf. durch Überschreiten der Haftreibung (Durchrutschen) schadlos aufgenommen werden

Übersetzungsverhältnis nur als (ganzzahli- In gewissen Grenzen jedes Übersetzungsverges) Verhältnis ineinandergreifender Form- hältnis realisierbar, je nach Bauart auch stuelemente (hier Zähne) möglich, daher Über- fenlos setzungsverhältnis nur in diskreten Stufen, nicht aber stufenlos möglich

7.1.4

Getriebe als Wandler mechanischer Leistung

Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen sei die nachstehende Modellvorstellung:

Motor

Zwischenglied: Kupplung oder Getriebe

Arbeitsmaschine

7.1 Anforderungen und Aufgaben

267

Der Motor gilt dabei ganz allgemein als „Antreiber“, der elektrische (z.B. Elektromotor), thermische (z.B. Verbrennungsmotor) oder Strömungsleistung (z.B. Turbine) in mechanische Leistung umsetzt. Die Arbeitsmaschine hingegen ist der „Verbraucher“ mechanischer Leistung. Dies kann z.B. eine Pumpe, ein Verdichter, ein Kranhubwerk, ein Fahrzeugantrieb oder auch ein Fertigungsprozess (z.B. Bohren) sein. Wird keine Drehzahl-Drehmomentenwandlung vorgenommen (n = const., M = const.), so ist das Zwischenglied eine Kupplung, bei Drehzahl-Drehmomentenwandlung wird ein Getriebe erforderlich. Diese Modellvorstellung erlaubt die übersichtliche Verallgemeinerung antriebstechnischer Problemstellungen. Aus den Grundlagen der Physik ist die mechanische Arbeit W für die geradlinige (translatorische) Bewegung als das Produkt aus Kraft F und Weg s bekannt: Wtrans = F · s Gl. 7.9 Bei der rotatorischen Bewegung wird der Weg s als Produkt von Winkel  und Wirkradius r zurückgelegt: s=·r Gl. 7.10 Setzt man Gl. 7.10 in Gl. 7.9 ein, so gewinnt man einen Ausdruck für die rotatorische Arbeit: Gl. 7.11 Wrot = F · r ·  = M ·  Die mechanische Leistung P formuliert sich in beiden Fällen als die Ableitung der Arbeit nach der Zeit: ds Ptrans  F  =F·v Translation Gl. 7.12 dt d = M ·  Rotation Gl. 7.13 dt Bei den zuvor betrachteten Getrieben liegt die Leistung am Antrieb mit den Kenngrößen M1 und 1 und am Abtrieb mit M2 und 2 vor: Prot  M 

P1 = M1 · 1 P2 = M2 · 2 Wird bei dieser vereinfachten Betrachtung zunächst angenommen, dass das Getriebe ohne Verluste arbeitet, so ist der Wirkungsgrad  als das Verhältnis von Nutzen (Leistung am Abtrieb) zu Aufwand (Leistung am Antrieb) genau 1: 1  P2 M 2 2 M1  i 1 i      1 P1 M1 1 M1 1

Gl. 7.14

Daraus ergibt sich die an sich triviale Konsequenz, dass Antriebs- und Abtriebsleistung des Getriebes gleich groß sind: P1 = P2. Das Getriebe verändert also nicht die Leistung, sondern es wandelt die sie bestimmenden Faktoren Moment und Winkelgeschwindigkeit untereinander. In der Elektrotechnik gibt es einen analogen Sachverhalt: Der elektrische Transformator ändert nicht die elektrische Leistung, wandelt sie allerdings in ihren Komponenten Spannung und Stromstärke. Das Getriebe der Mechanik und der Transformator der Elektrotechnik entsprechen sich also.

268

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Der Wirkungsgrad  ist aber nur im Idealfall 1, in der technischen Realität treten stets Wirkungsgradverluste auf. Dabei lässt sich folgende Differenzierung treffen:  Da bei formschlüssigen Getrieben das Verhältnis der Drehzahlen i = n1/n2 bzw. i = 1/2 fest vorgegeben ist, äußert sich der Wirkungsgradverlust ausschließlich darin, dass das Ausgangsmoment stets kleiner als das nach dem Übersetzungsverhältnis berechnete ist. Beispielsweise bedeutet die Angabe des Wirkungsgrades von 90 %, dass M2 = M1 · i · 0,90 ist.  Bei reibschlüssigen Getrieben treten außerdem noch zusätzliche Wirkungsgradverluste durch den schlupfbedingten Geschwindigkeitsverlust auf. Aus der alleinigen Angabe des Wirkungsgradverlustes kann also noch nicht auf das Abtriebsmoment oder den Schlupf und damit die Abtriebsdrehzahl geschlossen werden. Je nach Anwendungsfall wird man mit dem Getriebe mehr eine Drehzahlwandlung oder mehr eine Momentenwandlung beabsichtigen. Das Schema in Bild 7.7 und Tabelle 7.2 trägt die oben aufgeführten Kenngrößen rotatorischer Getriebe in der linken Spalte noch einmal zusammen und stellt sie dem translatorischen Getriebe in der rechten Spalte gegenüber. Das Schema wird in der mittleren Spalte vervollständigt durch Getriebe, die Rotation und Translation miteinander verbinden, wobei hier die wesentlichen Zusammenhänge am Beispiel der Bewegungsschraube aufgezeigt werden. Bei Schrauben kann der Quotient (d2·tan)/2 als Übersetzungsverhältnis i aufgefasst werden. rotatorisch Reibradgetriebe, Zahnradgetriebe M1

rotatorisch – translatorisch

translatorisch

Bewegungsschraube

Flaschenzug

α2

M,α

M2

α1 Riementrieb, Kettentrieb Fax

M1

F1 ,s1

h

α2

s2

Ritzel – Zahnstange

M2

α1

M,α

Schneckengetriebe

Fax

s2

α2

F2

Druckübersetzer Flüssigkeit

M2

M1

h

F2

α1 Bild 7.7: Gegenüberstellung Rotation – Translation gleichförmig übersetzender Getriebe; Konstruktionsbeispiele

F1 ,s1

7.1 Anforderungen und Aufgaben

269

Tabelle 7.2: Gleichförmig übersetzende Getriebe, wandelbare Größen

rotatorisch

rotatorisch–translatorisch

translatorisch

Moment M:

Moment M – Kraft Fax:

Kraft F:

M2 = M1 · i

M

d 2  tan   Fax 2

F2 = F1 · i

d 2  tan  i 2

Drehwinkel : 2 

1 i

Winkelgeschwindigkeit :

2 

1 i

Arbeit W:

Drehwinkel  – Strecke h: 

2 1 h  h d 2  tan  i

Winkelgeschwindigkeit d/dt – translatorische Geschwindigkeit dh/dt: d 2 dh 1 dh     dt d 2  tan  dt i dt

Arbeit W:

Strecke s: s2 

s1 i

Geschwindigkeit v:

v2 

v1 i

Arbeit W:

Wrot = Wtrans W = M1 · 1 = M2 · 2

W = M ·  = Fax · h

W = F1 · s1 = F2 · s2

Leistung P:

Leistung P:

Leistung P:

Prot = Ptrans P = M1 · 1 = M2 · 2

P = M · d/dt = Fax · dh/dt

P = F1 · v1 = F2 · v2

Bei den rein rotatorischen Getrieben ist neben den Aspekten der Drehzahl- und Momentenwandlung in vielen Fällen auch die Optimierung der Leistungsanpassung das entscheidende Kriterium: Das Übersetzungsverhältnis wird darauf ausgerichtet, dass der Motor im Bereich seiner maximalen Leistungsentfaltung betrieben wird (z.B. Gangschaltung eines Fahrrades oder eines Kraftfahrzeuges). Ausgangspunkt für die Festigkeitsbetrachtung eines jeden Getriebes ist das zu übertragende Moment (rotatorisch) oder die zu übertragende Kraft (translatorisch). In aller Regel sind zusätzliche Dynamikeinflüsse zu berücksichtigen, die häufig nicht so ohne weiteres zu erfassen sind und in erster grober Näherung in Anlehnung an DIN 3990 mit einem Anwendungsfaktor KA berücksichtigt werden: Mtmax = Mt · KA

Gl. 7.15

270

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Dieser Faktor KA gibt die für die Festigkeitsberechnung maßgebende Lastüberhöhung wieder. Er wird berechnet oder im Experiment gewonnen und kann nach Tabelle 7.3 häufig mit ausreichender Genauigkeit als Erfahrungswert ausgedrückt werden. Tabelle 7.3: Anwendungsfaktor KA

Motor

Arbeitsmaschine gleichmäßig Stromerzeuger, Gurtförderer, Lüfter, Gebläse, Rührer für homogene Gemische

mittlere Stöße Rührer für inhomogene Gemische, Mehrzylinderpumpen, Hauptantrieb Werkzeugmaschine

starke Stöße Einzylinderpumpen, Pressen, Stanzen, Walzwerkmaschinen, Scheren, Löffelbagger

gleichmäßig z.B. Elektromotor, Turbine, Hydraulikmotor

1,00

1,25

1,75

mittlere Stöße z.B. Verbrennungsmotor mit mehreren Zylindern

1,25

1,50

2,00 oder höher

starke Stöße z.B. Verbrennungsmotor mit einem Zylinder

1,50

1,75

2,25 oder höher

Aufgabe A.7.1

7.2

Reibradgetriebe (Wälzgetriebe)

Beim Reibradgetriebe sind die für das Übersetzungsverhältnis entscheidenden Wirkradien auf Scheiben, Zylindern oder Kegeln konstruktiv tatsächlich vorhanden und die Kraftübertragung lässt sich durch die Coulombsche Reibung relativ einfach beschreiben. Insofern sind Reibradgetriebe ein geeigneter Einstieg in das Verständnis der gleichförmig übersetzenden Getriebe.

7.2 Reibradgetriebe (Wälzgetriebe)

7.2.1

271

Geschwindigkeiten im Wälzkontakt

Zur Minimierung von Reibung und Verschleiß soll bei der Reibkraftübertragung eine kinematisch verursachte Relativbewegung der sich abwälzenden Reibräder vermieden werden, was sich jedoch je nach Konstruktion nicht immer ganz ausschließen lässt. Die folgende Gegenüberstellung (Bild 7.8) macht diesen Sachverhalt deutlich:

Bild 7.8: Umfangsgeschwindigkeit Wälzgetriebe a) Die Achsen der beiden Reibräder sind parallel: Es ist ein kinematisch eindeutiges Abwälzen möglich, ohne dass dabei eine Relativbewegung der beiden Scheiben untereinander im Wälzkontakt erzwungen wird. b) Die Achsen der beiden Reibräder schneiden einander: Da der wirksame Radius von Rad 2 durch die Konstruktion nicht genau festgelegt ist, sondern sich über einen gewissen Bereich erstreckt, wird zwangsläufig eine Relativbewegung im Wälzkontakt (sog. Bohrreibung) erzwungen. c) Die Achsen der beiden Reibräder schneiden auch hier einander, aber ähnlich wie beim Kegelrollenlager werden durch die Kegelgeometrie der Räder Relativbewegungen ausgeschlossen. Dies setzt voraus, dass sich die konstruktiv nicht vorhandenen Kegelspitzen in einem Punkt treffen.

7.2.2

Belastungen im Wälzkontakt

Um die Kraftübertragung und damit die Momentenübertragung erst zu ermöglichen, muss eine relativ hohe Normalkraft FN = FU/µ aufgebracht werden. Dies führt nicht nur zu einer hohen Materialbeanspruchnung im Wälzkontakt, sondern belastet auch Wellen und Lager. Alleine aus diesem Grunde sind reibschlüssige Getriebe schwerer und beanspruchen mehr Bauraum als formschlüssige, sie haben eine geringere Leistungsdichte.   tan  

FU FN



FN 

FU 

Gl. 7.16

Die Materialbelastung im Wälzkontakt ist nicht nur von der belastenden Kraft, sondern auch von der Krümmung der Räder abhängig. Würde ein Rad auf einer Ebene abrollen, so ließe sich dieser Sachverhalt ganz einfach durch den Durchmesser des Rades beschreiben. Da im Reibradgetribe aber zwei Räder im Kontakt stehen, muss nach Gl. 7.17 ein sog. „Ersatz-

272

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

krümmungsdurchmesser d0“ formuliert werden, der den Krümmungseinfluss der beiden Durchmesser d1 und d2 zusammenfasst. d0 

d1  d 2 d1  d 2

Gl.7.17

Die hier angegebene Gleichung gilt für konvex-konvexe Berührverhältnisse (wie in der linken Darstellung von Bild 7.8), für den sehr viel selteneren Fall der konvex-konkaven Berührung (Außenrad berührt Innenrad) steht im Nenner anstatt der Summe die Differenz. Bei der rechnerischen Beschreibung der Belastung im Wälzkontakt lässt sich nach Reibradgetrieben mit der Materialpaarung Stahl/Stahl einerseits und Gummi/Stahl andererseits unterscheiden:  Bei metallischen Werkstoffen wird die Werkstoffbelastung wie bei Wälzlagern in Form der Hertzschen Pressung ausgedrückt (vgl. auch Gl. 5.3 und 5.4): 6  FN  E² 1 Hz    3  d 0 ²  (1   ²) Hz  

Kontakt Kugel – Ebene („Punkt“-Berührung)

Gl. 7.18

FN  E Kontakt Rolle – Ebene („Linien“-Berührung)  d 0  L  (1   ²)

Gl. 7.19

Dabei bedeuten: Hz FN E L 

Hertzsche Pressung die den Wälzkontakt belastende Normalkraft Elastizitätsmodul Länge der Linienberührung (nur bei Linienberührung) Querkontraktionszahl (Stahl:  = 0,3)

Die tatsächlich auftretende Hertzsche Pressung ist gegenüber den in Tabelle 7.4 angegebenen zulässigen Werten abzuschätzen.  Bei nichtmetallischen Werkstoffen wird meist auf die historische Formulierung der „Wälzpressung k“ zurückgegriffen, die die belastende Kraft auf die Projektion des Wälzzylinders mit Ersatzkrümmungsradius bezieht: F k N Gl. 7.20 d0  L Bei der Festlegung der zulässigen Wälzpressung nach Tabelle 7.4 muss jedoch, noch ein weiterer Umstand berücksichtigt werden: Die Berührzonen am Umfang des Wälzkörpers wirken nicht nur als Federn, die verformt werden, wenn sie in die Laststellung hinein rollen und die zurück federn, wenn sie die Laststellung wieder verlassen. Da Gummi nicht nur Feder, sondern gleichzeitig auch Dämpfer ist, wird der Werkstoff mit zunehmender Geschwindigkeit immer mehr thermisch belastet, was seine mechanische Belastbarkeit reduziert. Die zulässige Wälzpressung wird deshalb nach Tabelle 7.4 in Funktion der im Wälzpunkt vorliegenden Umfangsgeschwindigkeit v formuliert. Bei Geschwindigkeiten von über 30 m/s wird die thermische Belastung so hoch, dass der Werkstoff nicht mehr mechanisch belastet werden kann, was einen praktischen Betrieb unmöglich macht.

7.2 Reibradgetriebe (Wälzgetriebe)

273

Obwohl die Zahlenwerte für Hz und k die gleiche Dimension [N/mm²] aufweisen, sind sie nicht untereinander vergleichbar. Eine Zusammenstellung der zulässigen Werkstoffbelastungen nach Tabelle 7.4 ist nicht ganz unproblematisch und beschränkt sich auf erste grobe Anhaltswerte. Diese Zahlenwerte sind nur als Richtwerte für Reibradgetriebe mit annähernd konstanter Übersetzung anzusehen und spielen sich in jedem Fall nur im Zeitfestigkeitsbereich ab. Ähnlich wie bei Wälzlagern gibt es auch bei Reibradgetrieben keine Dauerfestigkeit. Tabelle 7.4: Materialwerte für Reibradgetriebe

Materialpaarung



Hz zul [N/mm²]

kzul [N/mm²]

Gummi (aufvulkanisiert) – Stahl

0,6 – 0,8

0,48 für v  1 m/s 0,48 für 1  v  30 m/s 0,75  m  v      s 

Gummi (aufgepresst) – Stahl

0,6 – 0,8

0,48 für v  0,6 m/s 0,33 für 0,6  v  30 m/s 0, 75  m  v      s 

organischer Reibwerkstoff – Stahl (trocken)

0,3 – 0,6

0,8 – 1,4

St 70 – GG 21 (trocken)

0,08 – 0,12

350

Stahl – Stahl, gehärtet, geschmiert

0,02 – 0,04

650

Bild 7.9 zeigt in einer beispielhaften Gegenüberstellung die markanten Unterschiede der Materialpaarungen Stahl/Stahl und Gummi/Stahl.

274

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

16

12 Abtrieb

∅200

∅100

14 12 Antrieb

Man [Nm]

10

Stahl/Stahl μ = 0,04

8 6

v = 1 m/s

2

Gu

mm

Gumm

0 0

i/Stahl

i/St

1000

ahl

μ = 0,8

μ = 0,6

2000

3000

4000

v = 30 m/s

Stahl/Stahl μ = 0,02 4

5000 6000 nan [1/min]

7000

8000

Bild 7.9: Übertragbares Antriebsmoment Reibradgetriebe Stahl/Stahl und Gummi/Stahl

Es sei die oben rechts im Diagramm skizzierte Anordnung gegeben, die in gleichen Abmessungen sowohl in Stahl/Stahl als auch in Gummi/Stahl ausgeführt wird. Das Diagramm drückt die Belastbarkeit des Getriebes als übertragbares Antriebsmoment in Funktion der Antriebsdrehzahl aus. Aus dieser Darstellung lassen sich die folgenden Feststellungen ableiten:  Bei der Materialpaarung Stahl/Stahl ist das übertragbare Moment nahezu unabhängig von der Geschwindigkeit. Die im Wälzkontakt entstehende Verlustleistung wird durch das Schmiermittel abgeführt. Die relativ große Unsicherheit bei der Festlegung der Reibzahl (µ = 0,02–0,04), für die vor allen Dingen die Beschaffenheit des Schmierstoffs verantwortlich ist, führt zu einer großen Bandbreite bei der Bestimmung des übertragbaren Momentes.  Die Normalkraftbelastbarkeit von Gummi/Stahl ist zwar wesentlich geringer, aber wegen des hohen Reibwertes (µ = 0,6–0,8) kann mit diesem Getriebe bei geringen Geschwindigkeiten deutlich mehr Moment übertragen werden. Bei Umfangsgeschwindigkeiten von mehr als 1 m/s wird die elastische Verformung im Wälzkontakt zunehmend von der für Gummiwerkstoffe typischen Materialdämpfung begleitet, die zu einem Verlust an mechanischer Leistung und damit zu einer Erwärmung des Gummis führt. Wegen der Trockenreibung und wegen der geringen Wärmeleitfähigkeit des Gummis kann diese Wärme nur schlecht abgeführt werden. Um thermisch bedingte Materialschädigungen auszuschließen, muss mit steigender Geschwindigkeit die Normalkraftbelastung und damit das übertragbare Moment reduziert werden. Geschwindigkeiten von über 30 m/s schließen die Verwendbarkeit von Gummi völlig aus. Da die Unsicherheit der Schmierstoffbeschaffenheit hier entfällt, lässt sich der Reibwert genauer beziffern, so dass sich die Bandbreite des übertragbaren Momentes in engeren Grenzen hält.

7.2 Reibradgetriebe (Wälzgetriebe)

275

Aus dieser Gegenüberstellung lässt sich schlussfolgern, dass bei hohen Geschwindigkeiten nur die Materialpaarung Stahl/Stahl in Frage kommt, während bei geringen Drehzahlen Gummi/Stahl vorteilhaft eingesetzt werden kann. Bei diesen Getrieben muss zwar ein geringer Wirkungsgrad in Kauf genommen werden, aber sie erfordern wegen der trockenen Reibung nur einen vergleichsweise geringen konstruktiven Aufwand. Aufgaben A.7.2 bis A.7.5

7.2.3

Stufenlose Übersetzungsmöglichkeiten

Ein grundlegender Lehrsatz der Getriebelehre, der an dieser Stelle nicht weiter betrachtet werden soll, besagt, dass sich nur mit reibschlüssigen Getrieben stufenlose Übersetzungsverhältnisse realisieren lassen. Vielfach werden Reibradgetriebe nur dann eingesetzt, wenn dieser Vorteil auch tatsächlich ausgenutzt wird. Bild 7.10 zeigt wesentliche Unterscheidungsmerkmale bei der Konzeption eines solchen stufenlos verstellbaren Getriebes:

Bild 7.10: Prinzipien von Reibradgetrieben mit stufenloser Untersetzung

276

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

In der oberen Bildzeile wird das Moment in einer Stufe von der Antriebswelle auf die Abtriebswelle übertragen. Dadurch entsteht eine (konstruktiv nicht unproblematische) längsverschiebbare Welle-Nabe-Verbindung (s. Kap. 6.2.1, Schiebesitz). Die in der unteren Bildzeile dargestellten Getriebe nutzen jeweils zwei hintereinander geschaltete Stufen aus. Damit wird nicht nur der Übersetzungsbereich erweitert, sondern auch eine längsverschiebbare WelleNabe-Verbindung überflüssig: Im linken Fall wird das Moment von der Antriebsscheibe über das Zwischenrad direkt auf die Abtriebscheibe übertragen, im rechten Beispiel direkt vom Antriebskegel über das Zwischenrad auf den Abtriebskegel.

7.3

Riemengetriebe

Der Riementrieb dient zur Übertragung von Moment, Drehbewegung und Leistung von einer Welle auf die andere, wobei große Achsabstände kostengünstig überbrückt werden können. Er kann dabei zwei elementare Aufgaben der Antriebstechnik übernehmen:  Kupplung: Ist das Übersetzungsverhältnis 1:1, so nimmt der Riementrieb die Aufgaben einer nicht schaltbaren Kupplung wahr: Er ist in der Lage, Maßabweichungen im Achsabstand und geringe Schiefstellungen der Wellen untereinander auszugleichen. Unter gewissen Einschränkungen kann der Riementrieb auch als Sicherheitskupplung dienen: Bei Momentenüberlastung wird ein Gleitschlupf („Rutschen“) erzwungen, wodurch andere Maschinenteile vor Überlastung geschützt werden.  Getriebe: Der Riementrieb kann als drehzahl- und drehmomentenwandelndes Getriebe verwendet werden. Dazu müssen die Radien der Riemenscheiben in ein Verhältnis gesetzt werden, welches dem Übersetzungsverhältnis entspricht. Der Reibschluss zwischen Riemen und Scheibe erfordert eine Anpressung des Riemens auf die Scheibe und damit eine Vorspannung des Riementriebes.

7.3.1

Seilreibung

Wie beim Reibradgetriebe liegt auch zwischen Riemen und Scheibe ein Reibzustand vor, der mit dem Coulombschen Gesetz beschrieben werden kann. Die rechnerische Formulierung dieses Reibschlusses wird jedoch durch einige Umstände erschwert:  Die Kraftübertragung zwischen Scheibe und Riemen findet nicht an einer einzigen Stelle statt, sondern wird auf dem gesamten Umschlingungsbogen zwischen Riemen und Scheibe durch Pressung hervorgerufen.  Die Anpresswirkung zwischen Riemen und Scheibe ist nicht an allen Stellen gleich, sondern ändert sich entlang des Umschlingungsbogens.  Die reibschlüssige Kraftübertragung vollzieht sich zweimal (in Hintereinanderschaltung von der treibenden Scheibe zum Riemen und dann wieder vom Riemen auf die getriebene Scheibe). Da dieser Sachverhalt in gleicher Weise bei einem Seil auftritt, welches um eine Seilrolle geschlungen ist und dabei ein Moment überträgt, wird diese Reibung auch häufig als „Seilreibung“ bezeichnet. Mit der Modellvorstellung von Bild 7.11 und 7.12 sollen zunächst einmal die grundsätzlichen Einflussnahmen der Seilreibung qualitativ abgeklärt werden.

7.3 Riemengetriebe

Bild 7.11: Seilreibung und Reibzahl

277

Bild 7.12: Seilreibung und Umschlingungswinkel

Ein Seil wird über eine drehfest angeordnete Scheibe gelegt und an jedem Ende mit zunächst gleich großen Gewichtskräften SZ und SL belastet (Bild 7.11). Das System bleibt in jedem Fall im Gleichgewicht, das Seil rutscht nicht. Würde man jedoch die Kraft SZ wie hier dargestellt durch zusätzliche Gewichte zunehmend vergrößern, dann wächst damit auch der Quotient SZ /SL an. Dabei wird die größere der beiden Seilkräfte SZ als „Zugtrumkraft“ und die kleinere der beiden Kräfte SL als „Leertrumkraft“ bezeichnet. Bei weiterer Vergrößerung dieses Quotienten wird schließlich das Seil durchrutschen. Dieser Grenzfall wird bei geringer Reibzahl (z.B. Stahl/Stahl) früher eintreten als bei hohem µ (z.B. Gummi/Gummi). Dieser Grenzwert G1 für SZ /SL ist also offenbar von der zwischen Seil und Scheibe wirkenden Reibzahl  abhängig: SZ  G1  f( ) SL

Gl. 7.21

Auch in der Modellvorstellung von Bild 7.12 wird der Kraftquotient SZ /SL durch zusätzliches Auflegen von Gewicht auf der Zugtrumseite allmählich vergrößert. Wenn sich ein Durchrutschen ankündigt, wird der „Umschlingungswinkel“ , der in der bisherigen Betrachtung 180° betragen hat, durch eine weiteres Herumführen des Seils um die Scheibe um weitere 360° vergrößert. Man wird dann feststellen, dass sich anschließend der Kraftquotient SZ /SL deutlich erhöhen lässt, ohne dass ein Durchrutschen eintritt. Eine Vergrößerung von  erlaubt also eine Steigerung von SZ /SL. Der Seemann, der ein Schiff am Hafenpoller befes-

278

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

tigt, macht sich genau diesen Effekt zu Nutze: Er schlingt das Seil gleich mehrfach um den Poller und ist damit in der Lage, mit seiner sehr geringen Handkraft SL riesige Schiffe mit enormen Zugkräften SZ festzuhalten. Der Quotient SZ /SL kann also offenbar bis zu einem weiteren Grenzwert G2 gesteigert werden, der eine Funktion des Umschlingungswinkels  ist: SZ  G 2  f(  ) SL

Gl. 7.22

Zur quantitativen Beschreibung dieses Sachverhaltes wird ein infinitesimal kleines Riemenelement nach Bild 7.13 betrachtet.

Bild 7.13: Kräfte am Riemenelement

Das Riemenelement wird von der Scheibenmitte aus unter dem Winkel d gesehen. Am Riemenelement wirkt die Normalkraftkomponente dN, so dass unter Berücksichtigung des Reibwertes µ eine Horizontalkraft dH übertragen werden kann. An der rechten Seite des Riemenelementes liegt tangential die Seilkraft S an. Aufgrund der Reibkraft kann demzufolge auf der linken Seite S + dS als tangentiale Zugkraft zugelassen werden. Alle diese Kräfte stehen untereinander im Gleichgewicht, so dass sowohl das Kräftegleichgewicht in xRichtung als auch in y-Richtung formuliert werden kann:

 Fx  0  dH  S  cos

d d   S  dS  cos 2 2

Wegen der sehr kleinen Winkel kann cos (d / 2) = 1 gesetzt werden. Damit gewinnt man: dH + S - S - dS = 0



dH = dS

Gl. 7.23

Diese Gleichung weist zwei Unbekannte auf. Die zweite Gleichgewichtsbedingung liefert eine zweite Gleichung:

F

y

 0  dN  S  sin

d d   S  dS   sin 2 2

Da es sich hier um sehr kleine Winkel handelt, kann sin d = d gesetzt werden: dN  S 

d d   S  dS   0 2 2

oder

dN  S 

d d d  S  dS  0 2 2 2

7.3 Riemengetriebe

279

Der letzte Ausdruck dieser Gleichung dS · d/2 ist „von höherer Ordnung klein“, da zwei infinitesimal kleine Größen miteinander multipliziert werden. Dadurch verkürzt sich die letztgenannte Gleichung auf: d 0  dN = S · d Gl. 7.24 2 Setzt man das Coulombschen Reibungsgesetz am einzelnen Riemenelement an und führt für die Reibkraft dH den Ausdruck nach Gl. 7.23 und für die Normalkraft dN das Ergebnis nach Gl. 7.24 ein, so ergibt sich dN  2  S 



dH dS  dN S  d



dS   d S

Gl. 7.25

Diese letztgenannte Gleichung wird auch als „Differentialgleichung der Seilreibung“ bezeichnet. Bei deren Lösung muss über den gesamten Umschlingungswinkel  integriert werden, wobei an dem einen Seilende die größere Seilkraft SZ und am anderen die kleinere Seilkraft SL vorliegt: S SZ



S SL



dS   d S  0



Die Mathematik bietet für den Fall, dass im linken Integral im Zähler die Ableitung des Nenners steht, eine einfache Lösung an: S S



Z  ln S SS    0 L



ln SZ – ln SL = µ (–0)

Werden beide Gleichungsseiten in die e-te Potenz erhoben, so erhält man: e ln SZ  ln SL  e SZ  e  SL

 in Bogenmaß!!

Gl. 7.26

Diese Gleichung gibt genau den Fall wieder, dass die Reibzahl µ gänzlich ausgenutzt wird, sie beschreibt also den Grenzfall, dass SZ/SL maximal wird. Natürlich kann SZ/SL auch kleiner als der Grenzwert e sein. SZ  e SL

 in Bogenmaß!!

e = m

Gl. 7.27

Diese Gleichung wird als „Eytelweinsche Gleichung“ bezeichnet und ist von elementarer Bedeutung für die Seilreibung und damit auch für die Kraftübertragung zwischen Riemen und Scheibe. Die Handhabung dieser Gleichung ist besonders einfach, da bei einer einmal ausgeführten Konstruktion sowohl die Reibzahl  als auch der Umschlingungswinkel  konstant sind. Der Ausdruck e ist deshalb ebenfalls konstant und wird mit m bezeichnet.

280

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

7.3.2

Treibscheiben

In Erweiterung der oben vorgestellten Modellvorstellung der feststehenden Scheibe wird die Seilreibung nun an der drehenden Scheibe betrachtet. [d

[d

M

M

SL

SZ

SL

U

SZ

U

mL

SZ

mZ

SL

M

Bild 7.14: Treibscheibe Fördertechnik (links) und Momentenübertragung über zwei gleich großen Seilscheiben (rechts)

Die in der linken Bildhälfte dargestellte Konstellation findet in der Fördertechnik zum Heben und Senken von Lasten Verwendung: Eine Last mZ (z.B. Förderkorb) soll mit einem Seil angehoben werden. Wenn das Seil direkt auf die Hubtrommel aufgewickelt wird, so muss der Antriebsmotor die gesamte Hubarbeit aufbringen. Wird das Seil hingegen nach der skizzierten Anordnung über eine Scheibe geführt und am anderen Ende mit einer weiteren Masse mL verbunden, so wird das Antriebsmoment, welches der Motor auf die Scheibe aufzubringen hat, deutlich reduziert, weil nur noch die Differenz der beiden Massen angehoben werden

7.3 Riemengetriebe

281

muss. Es muss allerdings sichergestellt werden, dass das um die Scheibe geschlungene Seil der Eytelweinschen Gleichung genügt und damit nicht durchrutscht. In der Fördertechnik werden solche Anordnungen „Treibscheiben“ genannt. Das Antriebsmoment M errechnet sich zu M   SZ  SL  

d 2

Gl. 7.28

Die Seilkraftdifferenz (SZ – SL) kann auch durch die fiktive Umfangskraft U ausgedrückt werden, die im Bild formal am unteren Scheitelpunkt der Seilscheibe angetragen ist: U = SZ – SL

Gl. 7.29

Die Umfangskraft U erreicht dann ihren Maximalwert Umax, wenn der Betriebspunkt auf der Rutschgrenze liegt, wenn also SZ = SL · e oder SL = SZ / e ist: Umax = f(SL) = SL e–SL = SL (e–1) oder: Umax = f(SZ) = SZ 

SZ 1    SZ   1  µa  e µa  e 

Gl. 7.30 Das maximal übertragene Moment Mmax ergibt sich dann durch Einsetzen in Gl. 7.28: M max  U max 

d d 1   SL  e   1   SZ   1   2 2  e





 d  2 

Gl. 7.31

Aufgabe A.7.6

7.3.3

Momentenübertragung und Vorspannung

Die in der linken Hälfte von Bild 7.14 für eine einzelne Scheibe angestellten Überlegungen gelten natürlich auch dann, wenn die Zug- und Leertrumkraft über eine weitere Eytelweinsche Seilreibung auf eine weitere Scheibe übertragen werden und damit ein Seil- oder Riementrieb entsteht (rechte Bildhälfte). Der Einfachheit halber wird zunächst der Fall betrachtet, dass die Antriebs- und die Abtriebsscheibe gleichen Durchmesser aufweisen und damit ein Getriebe mit dem Übersetzungsverhältnis i = 1, also eine Kupplung entsteht. Bei der Klärung der Frage nach dem maximal übertragbaren Moment ist aber nicht nur die Rutschgrenze, sondern auch die Festigkeitsgrenze maßgebend: Der Riemen darf unter Einwirkung der anliegenden Kräfte nicht über seine werkstoffkundlichen Grenzen hinaus belastet werden. Diese Problematik stellt sich beim Riementrieb aber besonders einfach dar, weil im Wesentlichen nur Zugkräfte vorliegen und die größtmögliche Zugkraft im Zugtrum auftritt: SZmax = ARiemen · zul

Gl. 7.32

282

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Die spannungsübertragende Querschnittsfläche des Riemens ARiemen ergibt sich als Rechteckfläche aus Riemenbreite b und Riemenstärke s. Der Werkstoff des Riemens ist nicht dauerfest, die zulässige Spannung zul gibt an, dass bei diesem Wert eine bestimmte Anzahl von Lastwechseln ertragen werden kann, also eine gewisse Gebrauchsdauer möglich ist. Stellt man das Festigkeitskriterium (charakterisiert durch die zulässige Spannung nach Gl. 7.32) und die Rutschgrenze (charakterisiert durch Eytelwein nach Gl. 7.26) zusammen, so kann Gl. 7.31 erweitert werden:

1  M max  SZ max  1   e 

1  d    2  A Riemen zul  1   e  

 d  2 

Gl. 7.33

Im theoretischen Grenzfall (sehr große Reibzahl  und sehr großer Umschlingungswinkel ) kann der Riementrieb das Moment Mmax = ARiemen · zul · d/2 übertragen. Werden für  und  realistische Werte angenommen, so ergibt sich die in Bild 7.15 gezeigte Situation: Das übertragbare Moment steigt mit zunehmender Reibzahl und mit zunehmendem Umschlingungswinkel.

Bild 7.15: Übertragbares Moment Riementrieb

7.3 Riemengetriebe

283

Kleine Umschlingungswinkel sind sinnlos, weil dann keine Umfangskraft und damit kein Moment übertragen werden kann. Andererseits sind Umschlingungswinkel von mehr als 270° (Dreiviertelkreis) kaum realisierbar, wenn der Riemen seine ihm durch die Konstruktion zugewiesene Ebene nicht verlassen darf. Der zuvor zitierte Fall des Hafenpollers mit seiner Vielfachumschlingung ist ja nur praktikabel, weil die Seilgeschwindigkeit sehr gering ist und der damit verbundene Verschleiß keine wesentliche Rolle spielt. Für den allgemeinen Fall, dass zur Drehzahl- und Drehmomentenwandlung unterschiedlich große Riemenscheiben verwendet werden, müssen noch einige geometrische Beziehungen geklärt werden:

Bild 7.16: Geometrie Riementrieb mit unterschiedlich großen Scheiben

Bei einem „offenen“ Riementrieb nach Bild 7.16 erreicht der Riemen zuerst an der kleineren Scheibe seine Rutschgrenze, weil dort der kleinere Umschlingungswinkel vorliegt und nicht etwa wegen des kürzeren Umschlingungsbogens. Der Umschlingungswinkel  lässt sich geometrisch ermitteln: [°] = 180°– 2 · [°]

Gl. 7.34

Wenn die Scheibendurchmesser d1 und d2 und der Achsabstand a gegeben sind, so lässt sich der Winkel  am schraffierten Hilfsdreieck formulieren zu: sin  

d 2  d1 2 a



[]  180  2  arcsin

d 2  d1 2a

Gl. 7.35

An dieser Stelle wird der Umschlingungswinkel in Grad ausgewiesen und auch ausdrücklich so gekennzeichnet. Diese Unterscheidung ist deshalb angebracht, weil der Umschlingungswinkel in die Eytelweinsche Gleichung stets in Bogenmaß eingesetzt werden muss. Weiter-

284

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

hin ist die Länge des gesamten Riemens LRiemen von Interesse. Sie lässt sich als Summe der beiden freien Trumlängen und der auf den Riemenabschnitten aufliegenden Riemenbögen ausdrücken: LRiemen =

2 · freie Trumlänge + Umschlingungsbogen kleine Scheibe + Umschlingungsbogen große Scheibe

Da sich die Angabe der Riemenlänge auf die Riemenmitte als neutraler Faser bezieht, muss die Riemendicke s berücksichtigt werden. L Riemen  2  a  cos []    d1  s  

180  2 [] 180  2 []    d 2  s   360 360

Gl. 7.36

Diese Gleichung kann auch für Winkelangaben in Bogenmaß ausgedrückt werden: L Riemen  2  a  cos     d1  s   L Riemen  2  a  cos    d1  s  

  2    2     d 2  s   2  2 

  2    2   d2  s 2 2

Gl. 7.37

Meist ist der Riemen nur in gewissen gestuften Längen erhältlich, so dass auf die nächste Riemenlänge gerundet werden muss. In diesem Fall kann der dazu passende Achsabstand durch Umstellung der obigen Gleichung berechnet werden:

a

L Riemen    d1  s  

180  2   

   d 2  s  

360 2  cos  

180  2   360

Gl. 7.38

Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass durch die Anpassung des Achsabstandes auch die Winkel  und  geringfügig verändert werden, so dass je nach Genauigkeitsanforderung die Berechnung des Achsabstandes mit einem korrigierten  iterativ wiederholt werden muss. Die voranstehende Betrachtung gilt für den offenen Riementrieb. Andere Riementriebgeometrien mit möglicherweise zusätzlichen Spann- und Umlenkrollen erfordern entsprechend modifizierte Ansätze. Die Trumkräfte verursachen sowohl an der treibenden als auch an der getriebenen Scheibe eine Querkraft auf die Welle, die sich als Vektorsumme von SZ und SL ergibt. Ihr Betrag ist für den Festigkeitsnachweis von Wellen und Lagern von besonderer Bedeutung. Die an der Scheibe wirkenden Kräfte ergeben sich aus Bild 7.17.

7.3 Riemengetriebe

285

β

Sz Sz β –2

0° 18

β

β

α

β

Sz

SL

FWelle

SL

β

α

FWelle

Sz

SL

SL

β

Bild 7.17: Wellenbelastung der Riemenscheiben

Die Winkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt 180°, so dass der obere Winkel im Krafteck durch 180° – 2 ·  ausgedrückt werden kann. Dadurch lässt sich der Kosinussatz ansetzen und die auf die Welle wirkende Kraft FWelle berechnen: FWelle  S2Z  S2L  2  SZ  SL  cos 180  2    S2Z  S2L  2  SZ  SL  cos 

Gl. 7.39

Dabei ist es für den vorliegenden Fall nach Bild 7.17 übrigens unerheblich, ob der Umschlingungswinkel  der größeren oder der kleineren Scheibe eingesetzt wird, da deren Kosinuswert gleich ist. Die Belastung auf die beiden Wellen ist ja ohnehin nach dem Gleichgewichtsprinzip der Mechanik gleich. Während sich bei dem eingangs zitierten Beispiel der Treibscheibe aus der Fördertechnik in Ein-Scheiben-Anordnung die für die Momentenübertragung erforderliche Vorspannung im Seil quasi von selbst ergibt, muss sie bei der Zwei-Scheiben-Anordnung durch besondere konstruktive Maßnahmen gezielt eingeleitet werden. Dies kann konstruktiv sowohl durch eine Spannrolle, durch eine gelenkige Antriebswippe als auch durch Auflegevorspannung ausgeführt werden. Alle diese Möglichkeiten werden in der zweibändigen Ausgabe erläutert, aber an dieser Stelle soll nur auf die Spannrolle eingegangen werden. In einer ersten diesbezüglichen Betrachtung wird die Vorspannkraft durch eine Spannrolle aufgebracht, die auf den Leertrum wirkt (siehe Bild 7.18).

286

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

SZ

M

SL

FRolle

SZ

M

SL SL FRolle

SL

Bild 7.18: Spannrolle im Leertrum

Die bei der Momentenübertragung wirkenden Kräfte lassen sich besonders anschaulich darstellen, wenn SZ über SL aufgetragen wird (Bild 7.19).

Bild 7.19: SZ /SL-Diagramm Spannrolle im Leertrum

Wenn die Spannrolle mit konstanter Andruckkraft im Leertrum wirkt, so bleibt auch die Seilkraft im Leertrum SL konstant, sie ist unabhängig vom aktuell übertragenen Moment. Wird kein Moment übertragen (Leerlauf), so wirkt im Zugtrum eine Seilkraft SZ, deren Betrag genauso groß ist wie die Leertrumkraft SL. Dieser Leerlaufzustand wird durch die Winkelhalbierende in Bild 7.19 repräsentiert, wobei sich mit steigender Vorspannung der Lastpunkt auf dieser Winkelhalbierenden zunehmend nach rechts oben verlagert. Wenn bei konstanter Leertrumkraft zusätzlich ein Moment übertragen wird, so wird die Zugtrumkraft SZ um U größer als SL, der Betriebspunkt verlagert sich im Diagramm senkrecht nach oben. Dabei zeichnet sich zwischen der Winkelhalbierenden und dem Betriebspunkt die Umfangskraft U als Ordinatenabschnitt ab. Im gleichen Diagramm kann auch die Rutschgrenze eingetragen werden.

7.3 Riemengetriebe

287

Dazu wird die Eytelweinsche Gleichung SZ/SL = e (Gl. 7.26) umgeformt: SZ = SL · e = m · SL

Gl. 7.40

Diese Gleichung der Form y = m · x spiegelt sich als Geradengleichung ebenfalls in Bild 7.19 wieder. Weiterhin ist in diesem Diagramm die Festigkeitsgrenze des Riemens darstellbar: Die Zugtrumkraft SZ darf die Werkstofffestigkeit des Riemens nicht überschreiten und wird als waagerechte Gerade aufgetragen. Die Lage des Betriebspunktes wird also eingegrenzt durch:  die Winkelhalbierende als Leerlaufgerade  die Rutschgrenze (SZ = SL · e = m · SL) und  die Festigkeitsgrenze (bzw. Ermüdungsgrenze) Smax Der Betriebspunkt muss sich also innerhalb des schraffierten Bereiches befinden. Das Moment kann so weit gesteigert werden, bis die dazu gehörende Umfangskraft U das schraffierte Gebiet verlässt. Bei der Frage nach der optimalen Vorspannung des Riemens lassen sich grundsätzlich die folgenden Fälle unterscheiden:  Wird gering vorgespannt (SLklein), so kann die Zugtrumkraft SZ so weit gesteigert werden, bis die durch die Eytelweinsche Gleichung beschriebene Gerade erreicht ist. Bei weiterer Steigerung des zu übertragenden Momentes rutscht der Riemen durch.  Wird hoch vorgespannt (SLgroß), so kann die Zugtrumkraft SZ so weit gesteigert werden, bis die durch die Festigkeitsgrenze beschriebene horizontale Gerade erreicht ist. Bei weiterer Steigerung des zu übertragenden Momentes wird der Riemen durch übermäßige Zugspannung zerstört.  Um mit dem Riementrieb ein möglichst großes Moment zu übertragen, muss eine möglichst große Umfangskraft Umax zugelassen werden können. Im Diagramm Bild 7.19 ist zu erkennen, welche Vorspannung dafür optimal ist: SLopt wird so eingestellt, dass die dazugehörende Ordinate durch den Schnittpunkt der Rutschgrenze und der Festigkeitsgrenze verläuft. Wie Bild 7.20 zeigt, besteht eine weitere Möglichkeit der Riemenvorspannung darin, die Spannrolle im Zugtrum anzubringen. Dabei bleiben der Leerlauf als Winkelhalbierende, die Rutschgrenze und die Festigkeitsgrenze erhalten. Die Zugtrumkraft SZ bleibt durch die gleichbleibende Rollenbelastung konstant. Im Leerlauf sind Zugtrumkraft SZ und Leertrumkraft SL gleichgroß, der Betriebspunkt befindet sich wieder auf der Winkelhalbierenden. Wird Moment übertragen, so verlagert sich der Betriebspunkt nach links, bis er schließlich die durch SZ = SL · eµ beschriebene Rutschgrenze erreicht: Unabhängig vom Vorspannungszustand kann also keine mechanische Überlastung des Riemens eintreten, bei Überlast rutscht der Riemen vielmehr gezielt durch. Andererseits wird der Riemen aber unabhängig vom Lastzustand stets mit einer sehr hohen Kraft belastet, was beim zeitfesten Riemen eine Verkürzung der Gebrauchsdauer bedeutet.

288

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Bild 7.20: SZ/SL-Diagramm Spannrolle im Zugtrum

Aufgaben A.7.7 bis A.7.12

7.4

Zahnradgetriebe

Das Zahnradgetriebe ist das am weitesten verbreitete gleichförmig übersetzende Getriebe, was zuweilen dazu führt, dass im umgangssprachlichen Gebrauch der Begriff „Getriebe“ fälschlicherweise ausschließlich für das Zahnradgetriebe verwendet wird. Der besondere Vorteil des Zahnradgetriebes ist seine sehr kompakte Bauweise, die durch die formschlüssige Momentenübertragung ermöglicht wird. In der Technikgeschichte ist das Zahnradgetriebe allerdings relativ jung, da die für eine hohe Leistungsdichte erforderliche Präzision der Zahnflanken lange Zeit unüberwindbare fertigungstechnische Probleme aufwarf. Die folgenden Ausführungen beziehen sich ausschließlich auf das ebene Zahnradgetriebe, welches durch eine parallele Anordnung der Achsen der beiden Räder gekennzeichnet ist. Um den Einstieg in die komplexe Geometrie der Verzahnung zu erleichtern, soll zunächst einmal versucht werden, die formschlüssige Charakteristik der Verzahnungsgeometrie aus den bereits bekannten Sachverhalten des Reibradgetriebes abzuleiten. Beim Reibradgetriebe (Bild 7.21 links) weist jedes der beiden beteiligten Räder nur einen einzigen Durchmesser auf, so dass die Formulierung des Übersetzungsverhältnisses besonders einfach ist: i

d 2 1 M 2 z 2    d1 2 M1 z1

Gl. 7.41

7.4 Zahnradgetriebe

289

Ausgangspunkt Wälzgetriebe

„Mikroverzahnung“

Bild 7.21: Modellvorstellung „Mikroverzahnung“

Die erste Überlegung, aus dieser reibschlüssigen Anordnung eine formschlüssige abzuleiten, besteht darin, sich die Oberflächen der beiden in Kontakt stehenden Räder als „Mikroverzahnung“ (Bild 7.21 rechts) vorzustellen. Bei diesem Gedankenmodell wird unmittelbar klar, dass diese „Mikroverzahnung“ nur dann funktionsfähig ist, wenn der jeweilige Radumfang mit einer ganzzahligen Zähnezahl besetzt ist, wobei z2 und z1 die jeweilige Zähnezahl an den beiden Räder bezeichnen. Aus dieser Formulierung ergibt sich, dass keine beliebigen Übersetzungsverhältnisse mehr realisiert werden können, sondern dass sich das Übersetzungsverhältnis immer als Quotient der Zähnezahlen, also als Quotient zweier natürlicher Zahlen ausdrücken lassen muss. Der Bogenabschnitt zwischen zwei Zähnen wird mit „Teilung“ p bezeichnet und bezieht sich in einer ersten Betrachtung auf den sog. Wälzkreisdurchmesser dW, der als Konstruktionsmaß gar nicht vorhanden ist, sondern sich vielmehr ersatzweise als der Durchmesser des Wälzgetriebes darstellt (auf eine weitere Differenzierung wird später noch eingegangen). Der Umfang U des Wälzkreises dW lässt sich als Produkt aus Zähnezahl z und Teilung p ausdrücken: dW Gl. 7.42 z Zwei Räder können nur dann miteinander kämmen, wenn sie gleiche Teilung aufweisen. Es bleibt vor allen Dingen zu klären, welche Form die Zahnflanke aufweisen muss, damit ein kinematisch einwandfreies Kämmen der Zahnräder möglich ist. Dieses Problem möge durch die folgende, vereinfachte Modellvorstellung deutlich werden:

 · dW = U = z · p



p  

Man stelle sich ein einzelnes Zahnrad mit regelmäßig angeordneten, untereinander gleichen Zähnen vor. Nun bringt man dieses „harte“ Rad mit einem „weichen“, deformierbaren Radrohling aus Knetmasse in Eingriff. Wenn die beiden Räder so zueinander gedreht werden wie es dem Übersetzungsverhältnis i am fertigen Radpaar entspricht, dann würde das harte Rad in das weiche Rad die entsprechende Gegenflanke von selbst hineinformen. Damit ist eine wesentliche Forderung des „Verzahnungsgesetzes“ erfüllt: Jeweils zwei Zahnflanken, die miteinander in Kontakt stehen, dringen weder ineinander ein noch entfernen sie sich voneinander (mehr darüber in Kapitel 7.5.1 der zweibändigen Ausgabe). Unter gewissen Einschränkungen sind damit beliebige Zahnkonturen möglich. Aus der theoretisch unendlich

290

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

großen Vielfalt von geometrischen Zahnformen haben nur einige wenige Eingang in die industrielle Praxis gefunden. Bei der Optimierung der Zahnform spielen die folgenden Aspekte eine entscheidende Rolle:  Das oben zitierte „Knetmassenrad“ ist ja nur in genau dieser Paarung kinematisch verträglich. So wie eine Schraube nicht nur mit einer einzigen Mutter, sondern allgemein mit Muttern der entsprechenden Normabmessungen gepaart werden kann, so soll auch ein Zahnrad mit anderen Zahnrädern der gleichen Normabmessungen in Eingriff gebracht werden können.  Der Zahn soll fertigungstechnisch einfach herstellbar sein, was besonders im Hinblick auf eine angestrebte hohe Härte der Zahnflanken ein besonderes Problem darstellt.  Der Zahn soll festigkeitsmäßig möglichst hoch belastbar sein. Tatsächlich gibt es eine Reihe von Verzahnungsarten, die diesen einzelnen Forderungen mehr oder weniger entgegen kommen. Die sog. „Evolventenverzahnung“ stellt dabei eine besonders günstige Lösung dar, was dazu geführt hat, dass diese Verzahnungsart eine besonders breite Anwendung gefunden hat, so dass sich die folgenden Ausführungen ausschließlich mit dieser Konstruktionsvariante befassen.

7.4.1

Konstruktion der Evolvente

Zweckmäßigerweise wird die Evolvente zunächst nur als geometrische Figur erläutert, wobei wahlweise zwei geometrische Konstruktionen angewendet werden können:

Bild 7.22: Evolventenkonstruktionen

7.4 Zahnradgetriebe

291

 Die sog. Fadenkonstruktion ist besonders einfach zu übersehen (Bild 7.22a): Ein Faden wird mit dem einen Ende irgendwo am Umfang der Grundkreisscheibe befestigt, um diese herumgeschlungen und schließlich mit dem anderen Ende an diese Scheibe angelegt. An diesem Fadenende wird nun ein Stift befestigt und auf die darunterliegende Zeichenebene aufgesetzt. Wird der Stift von der Scheibe fortbewegt und dabei der Faden stets unter Zug gehalten, so entfernt sich der Zeichenstift zunächst im rechten Winkel von der Grundkreisscheibe und beschreibt im weiteren Verlauf eine Evolvente.  Ausgehend vom Punkt 0 (siehe Bild 7.22b) werden auf dem Grundkreis gleich lange Streckenabschnitte hintereinander aufgetragen, die jeweils durch die Endpunkte 1’, 2’, 3’ usw. markiert werden. Trägt man die gleichen Streckenabschnitte auf der im Punkt 0 in dieser Skizze waagerecht angelegten Tangenten ab, so ergeben sich auf dieser die Punkte 1“, 2“, 3“ usw. Wird die Tangente auf dem Grundkreis abgewälzt, so kommen nacheinander zunächst 1“ mit 1’, dann 2“ mit 2’ usw. zur Deckung. Der jeweilige Abstand 01'' bildet sich dabei auf der abgewälzten Tangenten als Abstand 11' ab und ergibt dabei den Punkt 1. Der weitere Abwälzvorgang liefert durch ähnliche Konstruktionen die Punkte 2, 3 usw., die schließlich die gesamte Evolvente beschreiben. Die Evolvente nimmt einerseits ihren Anfang am Grundkreis, hat aber andererseits kein Ende. Die Evolvente kann auch rechnerisch beschrieben und als Funktion tabelliert werden.

7.4.2

Einzeleingriff zweier Evolventen

Zur weiteren Analyse des Zahneingriffs stellt Bild 7.23 zwei Grundkreise mit ihrer jeweiligen Evolvente dar.

Bild 7.23: Schnurmodell

292

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Diese beiden Grundkreisräder sind drehbar gelagert und werden so positioniert, dass sich die beiden Evolventen auf der Verbindungslinie zwischen den Radmittelpunkten O1 und O2 berühren, der nunmehr mit „Wälzpunkt C“ bezeichnet wird. Für die weitere Betrachtung werden die beiden Evolventen nun vorübergehend wieder weggelassen.  Um den Mittelpunkt O1 des Grundkreises rb1 kann ein weiterer Kreis durch C mit dem Radius r1 angeordnet werden. Wird die gleiche Konstruktion für das Rad 2 wiederholt, so entsteht ein virtuelles Reibradgetriebe mit dem Übersetzungsverhältnis i = r2/r1 = d2/d1.  Wird um die beiden Grundkreisscheiben ein Seil in Form einer liegenden Acht geschlungen, so entsteht ein Schnurtrieb, der das gleiche Übersetzungsverhältnis aufweist wie das zuvor erwähnte Wälzgetriebe. Schnurtrieb und Reibradgetriebe sind dann zwei parallele, reibschlüssige Getriebe mit dem gleichen Übersetzungsverhältnis und dem gleichen Drehsinn, sie können also gleichzeitig in Betrieb sein, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.  Werden nun wieder die beiden Evolventen eingeführt, so entsteht parallel dazu ein drittes, nunmehr aber formschlüssiges Getriebe mit zunächst einmal nur einem einzigen Zahnflankenpaar. Der gerade Abschnitt des Schnurtriebs läuft ebenfalls durch C, steht in diesem Punkt senkrecht auf den Evolventen und wirkt dabei als „Eingriffslinie“: Werden die beiden Räder gedreht, so findet die Berührung der Zahnflanken (der „Eingiff“) stets auf dieser Linie statt. Bei der Evolventenverzahnung ist die Eingriffslinie ein Gerade (Eingriffsgerade). Man stelle sich vor, dass unter der Grundkreisscheibe von Rad 1 eine weitere, größere Scheibe befestigt wird. Befestigt man nun im Punkt C einen Zeichenstift an der Schnur und dreht das Getriebe langsam durch, so beschreibt dieser Stift auf der darunter liegenden Zeichenscheibe die Evolvente von Rad 1. In gleicher Weise kann die Evolvente von Rad 2 beschrieben werden. Die Eingriffsgerade ist gegenüber der Wälzkreistangente um den Winkel  geneigt, der auch als „Eingriffswinkel“ bezeichnet wird und für die Evolventenverzahnung eine ganz besondere Rolle spielt: Die zwischen den beiden Zahnflanken zu übertragende Kraft ist, wenn man von Reibeinflüssen zunächst absieht, stets normal zur Flankenkontur gerichtet. Unabhängig von der Stellung der beiden Zahnflanken liegt die Wirkungslinie der zu übertragenden Kraft also stets auf der Eingriffsgeraden und ist deshalb in ihrer geometrischen Lage bekannt. An Hand dieser Skizze lässt sich ein geometrischer Zusammenhang zwischen Eingriffswinkel, Grundkreis und Wälzkreis formulieren: cos  

rb1 d b1 d b 2   rw1 d w1 d w 2

Gl. 7.43

Der Eingriffswinkel  ist mit 20° genormt. In diesem Zusammenhang lässt sich auch eine einfache Gleichung für den Achsabstand der beiden Räder (Abstand O1-O2) als Summe der Wälzkreisradien formulieren: a

d w1  d w 2 2

Gl. 7.44

7.4 Zahnradgetriebe

7.4.3

293

Kopfkreis – Fußkreis

Der äußerste Punkt des realen Zahnrades und damit der Endpunkt des nutzbaren Abschnitts der Evolvente wird durch den Kopfkreis des Zahnrades festgelegt, der für die Fertigung des Rades von besonderer Bedeutung ist, weil ein Radrohling mit diesem Durchmesser durch Drehen für die weitere Fertigung des Zahnrades bereitgestellt werden muss. Der Kopfkreisradius ra1 ergibt sich zunächst einmal aus der Summe von Wälzkreisradius r und Kopfhöhe h a: ra1 = r1 + ha bzw. da1 = d1 + 2 · ha und

ra2 = r2 + ha

bzw.

da2 = d2 + 2 · ha

Gl. 7.45

Bild 7.24: Kopfkreis, Fußkreis und Teilung

Wenn der Flankeneingriff aber durch den Kopfkreis des Rades 1 begrenzt ist, so braucht auch die Evolvente des Rades 2 nicht jenseits dieses Punktes fortgeführt zu werden. Dadurch ergibt sich der Fußkreis der Verzahnung df: und

rf1 = r1 - hf

bzw.

df1 = d1 - 2 · hf

rf2 = r2 - hf

bzw.

df2 = d2 - 2 · hf

Gl. 7.46

Die Zahnkopfhöhe ha und die Zahnfußhöhe hf sind hier zunächst einmal gleich. Weiter unten wird dieser Sachverhalt jedoch mit Rücksicht auf weitere Aspekte noch erweitert.

294

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

7.4.4

Mehrfacheingriff

Nach der bisherigen Darstellung können sich die beiden Zahnräder zwar bewegen, können aber noch keinen vollständigen Umlauf ausführen. Spätestens dann, wenn ein Flankenpaar außer Eingriff geht, muss ein weiteres Flankenpaar in Eingriff kommen. Aus diesem Grund muss das Zusammenspiel mehrerer Zahnflankenpaare betrachtet werden. Nach einer gewissen Drehung muss der nächste, um die Teilung p versetzte Zahn die kinematische Kopplung übernehmen. Damit zwei Zahnräder überhaupt miteinander kämmen können, müssen die Teilungen der beiden Räder gleich groß sein: p 1 = p2 = p

Gl. 7.47

Mit der in Gl. 7.42 festgelegten Definition der Teilung p =  · d / z ergibt sich: 

d1 d   2 z1 z2

d1 d 2  z1 z 2



Gl. 7.48

Für den Quotienten d/z wird in der Verzahnungstechnik der Begriff „Modul“ m definiert: m

d z

und mit d 

pz  

m

p 

Gl. 7.49

Der Modul m ist nach DIN 780 gestuft:

Tabelle 7.5: Module Evolventenverzahnung 0,10 m [mm] 1,00 10

0,12 1,25 12

0,16 1,50 16

0,20 2,00 20

0,25 2,50 25

0,30 3,00 32

0,40 4,00 40

0,50 5,00 50

0,60 6,00 60

0,70

0,80 8,00

0,90

Gleicher Modul ist die Voraussetzung dafür, dass zwei Zahnräder miteinander kämmen können. Damit ist der Modul m ein Grundmaß, auf das alle übrigen Maße der Verzahnung bezogen werden. Wie aus der obigen Darstellung hervorgeht, verteilt sich die Teilung p zunächst einmal jeweils zur Hälfte auf die Zahndicke s und die Zahnlücke e: se

p m   2 2

Gl. 7.50

Es bleibt immer noch die Frage offen, wie groß der Kopfkreisdurchmesser da und der Fußkreisdurchmesser df bemessen werden müssen. Diese und weitere Fragen sollen anhand von Bild 7.25 erörtert werden, wobei aufgrund der einfacheren Darstellung ein Zahneingriff betrachtet wird, der bei unendlich großem Raddurchmesser vorliegt. In diesem Fall entartet die Evolvente zu einer Geraden, der Wälzkreis zur sog. „Profilbezugslinie“.

7.4 Zahnradgetriebe

295

Bild 7.25: Vereinfachtes Zahnstangenprofil Aus dieser Skizze erkennt man, dass die Teilung p und die Höhe des Zahnes in einer bestimmten Größenordnung zueinander stehen müssen: 

Ist bei vorgegebener Teilung die Zahnhöhe sehr klein, dann entstehen flache, stumpfe Zähne mit einer ungünstig kurzen Eingriffsstrecke.



Ist die Zahnhöhe sehr groß, so nimmt der Zahn die Form eines langen, schlanken Biegebalkens mit unnötig großem Hebelarm an.

Ein günstiger Kompromiss dieser beiden sich widerstrebenden Kriterien ergibt sich dann, wenn sowohl die Zahnfußhöhe hf als auch die Zahnkopfhöhe ha dem Modul gleich gesetzt werden: ha = hf = m

Gl. 7.51

Bringt man eine so gestaltete Zahnstange mit einem Rad in Eingriff, so entsteht ein Zahnstangengetriebe (Bild 7.26). d

O2

Evolvente für Rad 1

C

Wälzgerade Wä lzkr e

is

…db

Evolvente für Zahnstange

dw

Gr u

reis ndk

O1

A

Bild 7.26: Zahnrad (z1 = 18) im Eingriff mit Zahnstange (z2 = )

296

7.4.5

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Eingriffsstrecke – Überdeckungsgrad

Die Verzahnung erlaubt nur dann eine ordnungsgemäße Drehübertragung, wenn ein Flankenpaar erst dann außer Eingriff geht, wenn das nachfolgende Flankenpaar bereits in Eingriff gegangen ist. Bild 7.27 kennzeichnet die dafür maßgebenden geometrischen Größen.

P

rb2 E

ra1

O1

O2

C

° 20

20 °

T2

g ra2

A

rb1

T1 a

Bild 7.27: Eingriffsstrecke und Überdeckungsgrad So wie vom geometrischen Linienzug der Evolvente nur ein gewisser Abschnitt als Zahnflanke tatsächlich vorhanden ist, so wird auch von der Eingriffsgeraden nur ein bestimmter Abschnitt genutzt. Der Berührpunkt der beiden Flanken wandert zwar auf der Eingriffsgeraden entlang, er ist aber nur so lange existent, wie das Zahnflankenpaar auch tatsächlich im Eingriff ist. Da aber der Kontaktpunkt am Kopfkreis außer Eingriff geht, kann ein Kontakt nur innerhalb der beiden Kopfkreise eines Zahnradpaares stattfinden. Die beiden Kopfkreise schneiden also aus der Eingriffsgeraden den tatsächlich ausnutzbaren Abschnitt, die sog. „Eingriffsstrecke“ g heraus, die sich von A (Anfang) bis E (Ende) erstreckt. Die Eingriffsstrecke muss also mindestens so groß sein wie die Eingriffsteilung pe (s. auch Bild 7.26): Eingriffsstrecke  Eingriffsteilung

bzw.

g  pe

Gl. 7.52

Die Eingriffsteilung pe lässt sich als der Abschnitt der Eingriffsgeraden zwischen zwei gleichsinnigen Flankendurchgängen ausdrücken: cos  

pe p



pe = p · cos 

Gl. 7.53

7.4 Zahnradgetriebe

297

Zur rechnerischen Beschreibung der Eingriffsstrecke lassen sich anhand von Bild 7.27 die folgenden Gleichungen formulieren: g  T1E  T2 A  T1T2

Gl. 7.54

Diese Gleichung wurde so zusammengestellt, weil die darin vertretenen Einzelterme durch einfache geometrische Beziehungen ausgedrückt werden können:

  r  T A   r

Dreieck O1T1E:

rb21  T1E

Dreieck O2T2A:

rb22

2

2 a1

2

2

2 a2



T1E  ra21  rb21

Gl. 7.55



2 T2 A  ra22  rb2

Gl. 7.56

T1T2  O1P

O1P T1T2  T1T2  a  sin  Gl. 7.57  a a Setzt man die Gleichungen 7.55, 7.56 und 7.57 in Gleichung 7.54 ein, so ergibt sich die Länge der Eingriffsstrecke zu Dreieck O1O2P:

sin  

2 g  ra12  rb12  ra22  rb2  a  sin 

Gl. 7.58

Drückt man die Eingriffsstrecke in Funktion der Durchmesser aus, so folgt: g

1  2



2 d a1  d 2b1  d a2 2  d 2b2  2  a  sin 



Gl. 7.59

Diese Gleichung gilt in dieser Form nur für den Fall, dass die Zahnköpfe nicht abgerundet oder angefast sind. Andernfalls lassen sich auch ausreichend genaue Zahlen gewinnen, wenn der Zahlenwert für den Kopfkreisradius rk um den entsprechenden Betrag verringert wird. Die Bedingung g  pe liefert nur eine ja/nein-Information zur Übertragungstauglichkeit der Verzahnung und ist damit so aussagefähig wie die in Kap. 0 bei den Grundlagen der Festigkeitslehre getroffene Formulierung zul  tats. So wie die Sicherheit als Quotient aus zul und tats eine differenziertere Aussage ergibt, so lassen sich hier die Eingriffsverhältnisse durch den Quotienten der Eingriffsstrecke zur Eingriffsteilung definitionsgemäß als sog. „Überdeckungsgrad“ oder „Profilüberdeckung“  ausdrücken:  

g g  1 pe p  cos 

Gl. 7.60

In Ergänzung zur obigen Formulierung ist also eine einwandfreie Drehübertragung dann gewährleistet, wenn   1 erfüllt ist. Ersetzt man den Zähler von Gl. 7.60 durch Gl. 7.59, so folgt für den Überdeckungsgrad:  

2 d a1  d 2b1  d a22  d 2b2  2  a  sin 

2  p  cos 

Eine große Profilüberdeckung ist vorteilhaft, weil damit die Laufruhe steigt.

Gl. 7.61

298

7.4.6

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Kopfspiel – Fußausrundung

Die so ausgeführte Verzahnung weist noch zwei Unzulänglichkeiten auf:  Der Zahnkopfradius des einen Rades soll zwar mit dem Zahnfußradius des anderen Rades genau in Berührung kommen, aber in Folge von Toleranzen kann es zum radialen Verklemmen der beiden Zahnräder kommen.  Am Übergang von der Flanke zum Fußkreis entsteht eine festigkeitsmäßig ungünstige Kerbe. Aus diesem Grunde wird die tatsächlich ausgeführte Verzahnung mit einem Kopfspiel c versehen, wobei der Fußkreis und die Zahnflanke mit einer Rundung ineinander übergehen. Für das Kopfspiel wird ein Betrag von c = (0,1…0,3) · m

Gl. 7.62

gewählt. Dadurch kommt es zur Evolventen-Planverzahnung nach Bild 7.28.

Bild 7.28: Zahnstangenprofil nach DIN 867 Ersetzt man die Zahnstange durch ein zweites Zahnrad, so entsteht eine reale Zahnradpaarung als Kernstück eines Zahnradgetriebes. Damit sind in Erweiterung von Gl. 7.45 und 7.46 auch Kopf- und Fußkreis festgelegt: df = d – 2 · hf = d – 2 · (m + c)

Gl. 7.63

d a = d + 2 · ha = d + 2 · m

Gl. 7.64

7.4 Zahnradgetriebe

299

Bild 7.29: Zahnradpaar mit Evolventenverzahnung

7.4.7

Zahnradherstellung

Die Herstellung von Verzahnungen ist zwar nicht vorrangiger Gegenstand der vorliegenden Ausführungen, aber deren grundsätzliche Betrachtung trägt wesentlich zum Verständnis der Verzahnungskinematik bei. Dazu sei noch einmal auf das Bild 7.28 des Zahnstangenprofils nach DIN 867 verwiesen. Würde die dort dargestellte Zahnstange mit einem Radrohling aus Knetmasse kämmen und würden dabei die Drehung des Rades und die Bewegung der Zahnstange entsprechend synchronisiert werden, dann würde die Zahnstange das gewünschte Rad formen (siehe Bild 7.30).

300

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

s krei Wälz Wälzgerade Zahnstangenwerkzeug

Bild 7.30: Herstellung einer Evolventenverzahnung mit geradflankigem Zahnstangenwerkzeug Der besondere Vorteil dieser Vorgehensweise besteht darin, dass sich das Zahnstangenwerkzeug aus einer ganz einfachen Geometrie mit geraden Flanken zusammensetzt. Reale Zahnradfertigungsverfahren machen sich genau diese prinzipiell einfache Kinematik zu Nutze (siehe Bild 7.31). b) Wälzfräsen

a) Hobeln V

c) Stoßen

St

Sw

Sa

V

V Sw

Sr V Sa Sr St Sw

Schnittbewegung Axialvorschub Radialvorschub Tangentialvorschub Wälzvorschub

Sw

Sr

Sw

Bild 7.31: Prinzipien der Zahnradherstellung

7.4 Zahnradgetriebe

301

a) Die modellhafte Zahnstange wird dabei z.B. als Hobelkamm ausgeführt, der auf- und abbewegt wird und dabei in den metallischen Radrohling schrittweise die Zahnform hineinschneidet. Da die Zahnstange zusätzlich einer Längsbewegung ausgesetzt wird und dabei der Radrohling entsprechend dem vorgegebenen Übersetzungsverhältnis Zahnstange – Rad gedreht wird, entsteht zwangsläufig die Zahnflankenform der Evolvente. b) Eine andere weit verbreitete Möglichkeit zur Zahnradherstellung besteht darin, das Zahnstangenwerkzeug zu einem rotierenden Fräswerkzeug zu ergänzen, das mit einem Radrohling in Eingriff gebracht wird. Die Drehung des Fräswerkzeuges muss mit der Drehung des Radrohlings synchronisiert werden. Die von oben nach unten gerichtete Vorschubbewegung wird meist vom Fräswerkzeug ausgeführt. c) Das Stoßen von Zahnrädern vollzieht sich ähnlich wie das Hobeln, wobei allerdings der gerade Hobelkamm mit geraden Zahnflanken durch ein bereits rundes Stoßwerkzeug in Radform mit evolventenförmigen Zahnflanken ersetzt wird. Besonders zur Massenherstellung wird bevorzugt das Wälzfräsen angewendet, weil auf diese Weise eine ganze Reihe aufeinander gestapelter Radrohlinge in einer Aufspannung bearbeitet werden können. Hochbeanspruchte Zahnräder werden zunächst „vorverzahnt“ (z.B. durch Wälzfräsen): Dabei wird das Werkzeug so dimensioniert, dass an der Zahnflanke noch ein gewisses Übermaß stehen bleibt. Um die erforderliche Oberflächenhärte zu erzielen, werden die Zahnflanken anschließend einsatzgehärtet. Die endgültige Geometrie der Flanke wird schließlich durch ein Feinbearbeitungsverfahren (z.B. Schleifen) durchgeführt.

7.4.8

Problem der minimalen Zähnezahl

Die Berechnung der Festigkeit der Verzahnung wird zwar erst weiter unten angegangen, aber an dieser Stelle lässt sich bereits ein wichtiger Aspekt ausmachen: 

 

Der Überdeckungsgrad  muss zwar einerseits stets größer als 1 sein, erreicht aber nach den obigen Gleichungen nie den Wert 2. Aus diesem Grund muss sich die Festigkeitsberechnung auf einen einzelnen Zahnkontakt stützen. Dies gilt unabhängig von der Wahl des Moduls und damit von der Zahngröße. Der einzelne Zahn ist dann besonders belastungsfähig, wenn er besonders groß ist, weil dann der Einspannquerschnitt des Biegebalkens das größtmögliche Widerstandsmoment aufweist. Soll der Umfang eines vorgegebenen Raddurchmessers mit möglichst großen Zähnen besetzt werden, so wird die Anzahl der Zähne minimiert.

Die Zähnezahl kann aber aus geometrischen Gründen nicht beliebig reduziert werden, weil dann das Zahnstangenwerkzeug in den Grundkreis hineinschneidet, wo die Evolvente definitionsgemäß gar nicht mehr existiert. Die theoretische Mindestzähnezahl liegt bei 17 Zähnen. Praktisch kann die Zähnezahl jedoch bis auf 14 reduziert werden, ohne dass sich daraus nachteilige Konsequenzen ergeben. Eine weitere Reduzierung der Zähnezahl ist mit der sog. „Profilverschiebung“ möglich (s. 7.5.2.10 der zweibändigen Ausgabe). Aufgabe A.7.13

302

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

7.4.9

Ermittlung der Zahnkräfte

Die am Zahn wirkenden Kräfte sind nicht nur für die Festigkeit der Verzahnung von Bedeutung, sondern sind auch die Grundlage für die korrekte Dimensionierung von Wellen und Lagern. Aus dem in der Welle wirkenden Moment Mmax gewinnt man zunächst die Tangentialkraft am Wälzkreis Ft (vergleiche Bild 7.32). dw1

Fr

Fn

␣

h

Ft ␴ Hz dw2

Sf

␴ ges

τ

Bild 7.32: Belastungen am Zahn M t max  Ft 

dw 2



Ft 

2  M t max dw

Gl. 7.65

Diese Kraft wirkt auf den Zahn in Umfangsrichtung. Weiterhin ist jedoch aus den Betrachtungen zur Zahnradkinematik bekannt, dass die Zahnflanke um den Eingriffswinkel  zur Wälzkreistangente geneigt ist. Die am Eingriff übertragene Gesamtkraft Fn wird also normal

7.4 Zahnradgetriebe

303

auf dieser Flanke wirksam und deshalb mit n indiziert. Die oben ermittelte Tangentialkraft Ft ist also nur eine Komponente von Fn, als weitere Komponente tritt die Radialkraft Fr hinzu: Fn 

Ft cos 

Fr = Ft · tan 

Gl. 7.66 Gl. 7.67

Diese Kräfte sind maßgebend für jede Festigkeitsbetrachtung des Zahnes. Es sind zwar vorübergehend zwei Zähne im Eingriff (  1), aber die kritische Belastung liegt vor, wenn gerade nur ein Zahn im Eingriff ist.

7.4.10

Festigkeit der Evolventenverzahnung

Die Festigkeit der Verzahnung wird vor allen Dingen durch die folgenden Kriterien begrenzt:  Zahnfußtragfähigkeit: Am seinem Fuß wird der Zahn wie ein Biegebalken an seiner Einspannstelle belastet (vgl. auch Bild 0.8).  Zahnflankentragfähigkeit: Die Kraftübertragung von einer Zahnflanke auf die andere hat eine Pressungsbelastung in der Übertragungszone zur Folge (vgl. auch Bild 5.22).  Zahnfresstragfähigkeit: Da die Zahnflanken unter Pressung einer Gleitgeschwindigkeit ausgesetzt sind, muss im allgemeinen Fall mit Fressneigung gerechnet werden. Bei gehärteten Werkstoffen stellt die Zahnfußtragfähigkeit das entscheidende Festigkeitskriterium dar, hinter dem die beiden anderen Schadensbilder deutlich zurücktreten. Aus diesem Grunde wird vor allen Dingen dieses Kriterium betrachtet.

7.4.10.1

Beanspruchung am Zahnfuß

Die Beanspruchung im Zahnfuß wird dann am größten, wenn die in Gl. 7.66 und 7.67 berechneten Kräfte in Erweiterung der Darstellung von Bild 7.32 am äußeren Ende der Zahnflanke angreifen. Die Belastung besteht aus einem Biege-, einem Druck- und einem Schubanteil. Der dominante Biegeanteil formuliert sich nach der elementaren Festigkeitslehre zu b 

Mb F h 6h  t   Ft Wax b  sf ² b  sf ² 6

Gl. 7.68

Dabei bezeichnet b die axiale Erstreckung des Zahnfußes, die normalerweise gleichbedeutend mit der Breite des Zahnrades ist. Wird die Verzahnung normgerecht und festigkeitsoptimiert ausgeführt, so entspricht die Zahnhöhe h  2,25 · m (Zahnkopfhöhe + Zahnfußhöhe + Fußausrundung) und die Zahnfußdicke sf  2 · m. Daraus ergibt sich eine Biegebeanspruchung am Zahnfuß von

304

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe b 

6  2,25  m b  2  m 

2

 Ft 

3,375  Ft bm

Gl. 7.69

Die am Zahnfuß vorliegende Druckspannung formuliert sich unter den gleichen Annahmen zu d 

F  tan  0,182 Fr  t   Ft b  sf b2m bm

Gl. 7.70

Die an gleicher Stelle auftretende Schubspannung lässt sich auf ähnliche Weise ausdrücken durch 

Ft Ft 0,5    Ft b  sf b  2  m b  m

Gl. 7.71

Daraus setzt sich eine Vergleichsspannung F zusammen: F 

  b  d 

2

 3 ² 

 3,375  0,182 

2

 3  0,5² 

Ft F  3,661 t bm bm

Gl. 7.72

Der Vergleich der Faktoren für die Biegespannung (3,375) und die Vergleichsspannung (3,661) zeigt, dass auch hier die Biegung dominant ist. Tatsächlich muss dieser modellhaft ermittelte Faktor 3,661 noch modifiziert werden, um den folgenden Umständen Rechnung zu tragen:  Die oben formulierten Angaben (Zahnhöhe h  2,25 · m und Zahnfußdicke sf  2 · m treffen nur grob zu, sie sind vielmehr von der Zähnezahl z und weiteren Faktoren abhängig. Dies drückt sich durch den „Zahnformfaktor“ YF aus.  In der obigen Modellbetrachtung wurde zunächst angenommen, dass sich die Belastung nur auf einen Zahneingriff konzentriert ( = 1). Tatsächlich ist zeitweise mehr als ein Zahn im Eingriff (  1).  Weiterhin kommt es entlang der axialen Erstreckung der Berührlinie der beiden Zahnflanken zu einer Ungleichmäßigkeit der Lastverteilung. Wird der Faktor in Gl. 7.72 von 3,661 auf ca. 4,4 vergrößert, so ist dieser Ansatz für eine Näherungsrechnung in aller Regel ausreichend. Die DIN 3990, Teil 3 spezifiziert diese Formulierung zu  F  YF  Y  YS  K A  K V  K F  K F 

Ft bm

Gl. 7.73

Dabei berücksichtigen: YF  Y

die Verzahnungsgeometrie

YS

die Fußausrundung (Kerbe)

K A  K V  K F  K F

Belastungsverhältnisse, Fertigungsungenauigkeiten

7.4 Zahnradgetriebe

305

Die Festigkeit des Zahnfußes ist nur dann gewährleistet, wenn die so berechnete Zahnfußspannung F kleiner ist als die zulässige Zahnfußspannung FP: F  FP Gl. 7.74 Die zulässige Zahnfußfestigkeit FP ergibt sich aus der Schwellfestigkeit der Zähne Fl unter Berücksichtigung einer erforderlichen Sicherheit SF  Gl. 7.75  FP  Fl SF Bei praktisch ausgeführten normalen bis hochwertigen Getrieben können Zahnfußspannungen F = 450–500 N/mm² zugelassen werden.

7.4.10.2

Pressung an den Zahnflanken

Die Übertragung der Kraft Fn an der Zahnflanke vollzieht sich ähnlich wie die Kraftübertragung am Wälzkörper eines Zylinderrollenlagers: Auch hier liegt eine „Linien“-Berührung vor, aber die Kraft kann erst dann als Flächenpressung übertragen werden, wenn durch elastische Deformationen im Kontaktbereich eine entsprechende Fläche geschaffen worden ist. Auf dieser Fläche wird die Kraft mit einer nicht gleichmäßigen Flächenpressung übertragen. Die dabei auftretende maximale Hertzsche Pressung Hz lässt sich für den allgemeinen Fall zweier aus Stahl oder Leichtmetall bestehender Zylinder folgendermaßen ausdrücken: Hz 

0,175  Fn  E r b

Gl. 7.76

Darin bedeutet E den Elastizitätsmodul und r den „Ersatzkrümmungsradius“, der sich aus den Krümmungsradien der beiden beteiligten Zylinder ersatzweise ermitteln lässt. Für den Fall zweier im Wälzpunkt im Kontakt stehender Zahnflanken kann Gleichung 7.76 spezifiziert werden zu Hz  0,35 

i  1 Ft  E 1   i b  d1 cos ²  tan  W

Gl. 7.77

Dieser Ansatz ist für eine Näherungsrechnung in aller Regel ausreichend. Die DIN 3990, Teil 2 verallgemeinert diese Formulierung zu Hz 

i  1 Ft   Z H  Z   Z  Z E  K A  K V  K H  K H i b  d1

Gl. 7.78

Dabei berücksichtigen:

K A  K V  K H  K H ZE

Z H  Z   Z

die Zahngeometrie die Werkstoffelastizität Belastungsverhältnisse, Fertigungsungenauigkeiten

306

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Die Festigkeit an der Zahnflanke ist nur dann gewährleistet, wenn die vorliegende Hertzsche Pressung H kleiner ist als die zulässige Hertzsche Pressung HP Hz  HP

Gl. 7.79

Die zulässige Hertzsche Pressung HP errechnet sich aus dem entsprechenden Materialkennwert Hl unter Berücksichtigung einer erforderlichen Sicherheit SH HP 

Hl SH

Gl. 7.80

Wie bereits oben erwähnt worden ist, gilt dieser Nachweis für die Pressungsbelastung im Wälzpunkt. Da sich die Krümmungsverhältnisse jedoch entlang der Zahnflanke ändern, müsste dieser Nachweis für alle weiteren Punkte wiederholt werden. Die Praxis hat aber gezeigt, dass dies nicht nötig ist. Lediglich für Zähnezahlen unter 20 kann die Pressung auch im inneren Einzeleingriffspunkt des Ritzels kritisch werden, so dass für diese Stelle auch dort ein entsprechender Nachweis geführt werden muss. Während bei gehärteten Zahnrädern dieses Festigkeitskriterium eher unkritisch ist, treten Flankenschäden aufgrund zu hoher Pressung bei unbehandelten oder vergüteten Zahnradwerkstoffen auf.

7.4.10.3

Fressen der Zahnflanken

Werden zwei sich berührende Flächen aufeinander gepresst und dabei einer Relativbewegung unterworfen, so wird an der Kontaktfläche Wärme generiert, die sich nach einer vereinfachten tribologischen Modellvorstellung auf die sich berührenden Rauigkeitsspitzen konzentriert. Dadurch entstehen lokal begrenzt so hohe Temperaturen, dass es zu einem Anschmelzen der Materialien und zu einer „Kaltverschweißung“ (Verschweißung ohne Wärmezufuhr) kommt. Aufgrund der winzigen Verbindungsflächen ist diese Verschweißung jedoch nicht belastbar und bricht bei fortschreitender Bewegung der Flächen zueinander sofort wieder auf. Dauert dieser Vorgang an, so werden die Berührflächen zerstört. Dieses komplexe tribologische Problem ist nicht so einfach zu quantifizieren. Dabei spielt der Schmierstoff und die Art der Schmierung eine entscheidende Rolle: Die Reibung wird reduziert, im günstigsten Fall wird sogar ein hydrodynamischer Reibzustand erzielt. Weiterhin sorgt der Schmierstoff für die Verteilung und die Abfuhr der Wärme und vermeidet dabei das Zustandekommen der lokal hohen Spitzentemperaturen. Bei nicht zu hohen Belastungen und Geschwindigkeiten kann mit normalen Schmierverfahren (Tauchschmierung, Umlaufschmierung) eine langfristige Fresssicherheit der Zahnflanken sichergestellt werden. Extreme Verhältnisse erfordern jedoch weitere tribologische Betrachtungen und besondere Maßnahmen (Einspritzschmierung, Ölnebelschmierung). Aufgaben A.7.14 bis A.7.18

7.5 Anhang

307

7.5

Anhang

7.5.1

Literatur

[1]

Bauer/Schneider: Hülltriebe und Reibradgetriebe; 6. Auflage Leipzig 1975

[2]

Bausch, T.: Zahnradfertigung; Expert-Verlag Grafenau/Württemberg 1986

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[4]

Hinzen, H.: Unkonventionelles Spindelsystem für Werkzeugmaschine; Z. Antriebstechnik 8 (1989), S. 50-58

[5]

Krause, W.: Zahnriemengetriebe; Hüthig-Verlag Heidelberg, 1988

eine

High-Tech-

[6]

Kücükay, F.: Dynamik der Zahnradgetriebe; Springer-Verlag Berlin 1987

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Linke, H.: Stirnradverzahnung, Berechnung, Werkstoffe, Fertigung; Fachbuchverlag Leipzig/Carl Hanser Verlag 1996

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Pietsch, P.: Kettentriebe; Einbeck 1965

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Rachner, H.-G.: Stahlgelenkkette und Kettengetriebe; Konstruktionsbücher, Band 20, Berlin Göttingen Heidelberg 1962

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Roth, A.: Zahnradtechnik, Band 1 und 2; Springer-Verlag Berlin 1989

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Thomas, A.K.; Charcut, W.: Die Tragfähigkeit der Zahnräder; 7. Auflage München 1971

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VDI Richtlinie 2155: Gleichförmig übersetzende Reibschlussgetriebe; VDI-Verlag Düsseldorf 1977

[15]

VDI/VDE Richtlinie 2608: Einflanken- und Zweiflankenwälzprüfung von geradund schrägverzahnten Stirnrädern mit Evolventenprofil

[16]

VDI Richtlinie 2758: Riemengetriebe; VDI-Verlag Düsseldorf 1991

[17]

VDI Richtlinie 3336: Verzahnen von Stirnrädern; VDI-Verlag Düsseldorf 1984

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Winter, H.: Kegelradgetriebe; Expert-Verlag Ehningen 1990

[21]

Zirpke, E.: Zahnräder; Fachbuchverlag Leipzig 1989

[22]

Zollner, H.: Kettentriebe; München 1966

308

7.5.2

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Normen

[23]

DIN-Taschenbuch 106: Verzahnungsterminologie; Beuth-Verlag Berlin 1985

[24]

DIN-Taschenbuch 123: Zahnradfertigung; Beuth-Verlag Berlin 1987

[25]

DIN-Taschenbuch 173: Zahnradkonstruktionen; Beuth-Verlag Berlin 1986

[26]

DIN 37: Darstellung und vereinfachte Darstellung für Zahnräder und Räderpaarungen

[27]

DIN ISO 53: Bezugsprofil für Stirnräder für den allgemeinen Maschinenbau und den Schwermaschinenbau

[28]

DIN 109 T1: Antriebselemente; Umfangsgeschwindigkeiten

[29]

DIN 109 T2: Antriebselemente; Achsabstände für Riementriebe mit Keilriemen

[30]

DIN 111: Antriebselemente; Flachriemenscheiben; Maße, Nenndrehmomente

[31]

DIN ISO 701: Internationale Verzahnungsterminologie; Symbole für geometrische Größen

[32]

DIN 780: Modulreihe für Zahnräder

[33]

DIN 781: Werkzeugmaschinen; Zähnezahlen der Wechselräder

[34]

DIN 782: Werkzeugmaschinen; Wechselräder, Maße

[35]

DIN 867: Bezugsprofile für Evolventenverzahnungen an Stirnrädern (Zylinderrädern) für den allgemeinen Maschinenbau und den Schwermaschinenbau

[36]

DIN 868: Allgemeine Begriffe und Bestimmungsgrößen für Zahnräder, Zahnradpaare und Zahnradgetriebe

[37]

DIN 1825: Schneidräder für Stirnräder; Geradverzahnte Scheibenschneidräder

[38]

DIN 1828: Schneidräder für Stirnräder; Geradverzahnte Schaftschneidräder

[39]

DIN 1829 T1: Schneidräder für Stirnräder; Bestimmungsgrößen, Begriffe, Kennzeichen

[40]

DIN 1829 T2: Schneidräder für Stirnräder; Toleranzen, zulässige Abweichungen

[41]

DIN ISO 2203: Technische Zeichnungen; Darstellung von Zahnrädern

[42]

DIN 2211: Antriebselemente; Schmalkeilriemenscheiben

[43]

DIN 2215: Endlose Keilriemen; Maße

[44]

DIN 2216: Endliche Keilriemen; Maße

[45]

DIN 2217: Antriebselemente; Keilriemenscheiben

[46]

DIN 2218: Endlose Keilriemen für den Maschinenbau; Berechnung der Antriebe, Leistungswerte

[47]

DIN 3960: Begriffe und Bestimmungsgrößen für Stirnräder (Zylinderräder) und Stirnradpaare (Zylinderradpaare) mit Evolventenverzahnung

[48]

DIN 3961: Toleranzen für Stirnradverzahnungen; Grundlagen

7.5 Anhang

309

[49]

DIN 3962 T1: Toleranzen für Stirnradverzahnungen; Toleranzen für Abweichungen einzelner Bestimmungsgrößen

[50]

DIN 3961 T2: Toleranzen für Stirnradverzahnungen; Toleranzen für Flankenlinienabweichungen

[51]

DIN 3961 T3: Toleranzen für Stirnradverzahnungen; Toleranzen für TeilungsSpannenabweichungen

[52]

DIN 3963: Toleranzen für Stirnradverzahnungen; Toleranzen für Wälzabweichungen

[53]

DIN 3964: Abstandsmaße und Achslagetoleranzen von Gehäusen für Stirnradgetriebe

[54]

DIN 3965: Toleranzen für Kegelradverzahnungen

[55]

DIN 3966: Angaben für Verzahnungen in Zeichnungen

[56]

DIN 3967: Getriebe-Paßsystem; Flankenspiel, Zahndickenabmaße, Zahndickentoleranzen; Grundlagen

[57]

DIN 3968: Toleranzen eingängiger Wälzfräser für Stirnräder mit Evolventenverzahnung

[58]

DIN 3972: Bezugsprofile von Verzahnungswerkzeugen für Evolventenverzahnungen nach DIN 867

[59]

DIN 3971: Begriffe und Bestimmungsgrößen für Kegelräder und Kegelradpaare

[60]

DIN 3975: Begriffe und Bestimmungsgrößen für Zylinderschneckengetriebe mit Achswinkel 90°

[61]

DIN 3976: Zylinderschnecken; Maße, Zuordnung von Achsabständen und Übersetzungen in Schneckenradsätzen

[62]

DIN 3978: Schrägungswinkel für Stirnradverzahnungen

[63]

DIN 3979: Zahnschäden an Zahnradgetrieben; Bezeichnung, Merkmale, Ursachen

[64]

DIN 3990: T1: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Grundlagen und Berechnungsformeln

[65]

DIN 3990: T2: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Zahnformfaktor YF

[66]

DIN 3990: T3: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Lastanteilfaktor Y, Sprungüberdeckung 

[67]

DIN E 3990: T4: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Hilfsfaktor qL, Stirnlastverteilfaktor KF für Zahnfuß- und KH für Zahnflankenbeanspruchung

[68]

DIN 3990: T5: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Flankenformfaktor ZH

[69]

DIN 3990: T6: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Materialfaktor ZM

310

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

[70]

DIN 3990: T7: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Ritzel- Einzeleingriffsfaktor ZB, Rad-Einzeleingriffsfaktor ZD, Profilüberdeckung 

[71]

DIN 3990: T8: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Überdeckungsfaktor Z

[72]

DIN 3990: T10: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Schrägungswinkelfaktor Y

[73]

DIN 3990: T1: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Einführung und allgemeine Einflußfaktoren

[74]

DIN 3990: T2: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Berechnung der Grübchentragfähigkeit

[75]

DIN 3990: T3: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Berechnung der Zahnfußtragfähigkeit

[76]

DIN 3990: T4: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Berechnung der Freßtragfähigkeit

[77]

DIN 3990: T5: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Dauerfestigkeitswerte und Werkstoffqualitäten

[78]

DIN E 3990: T6: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Betriebsfestigkeitsberechnung

[79]

DIN E 3990: T12: Tragfähigkeitsberechnung von Stirn- und Kegelrädern; Anwendungsnorm für Industriegetriebe

[80]

DIN 3991 T1: Tragfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung; Einführung und allgemeine Einflußfaktoren

[81]

DIN 3991 T2: Tragfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung; Berechnung der Grübchentragfähigkeit

[82]

DIN 3991 T3: Tragfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung; Berechnung der Zahnfußtragfähigkeit

[83]

DIN 3991 T4: Tragfähigkeitsberechnung von Kegelrädern ohne Achsversetzung; Berechnung der Freßtragfähigkeit

[84]

DIN 3992: Profilverschiebung bei Stirnrädern mit Außenverzahnung

[85]

DIN 3993 T1: Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung; Grundregeln

[86]

DIN 3993 T2: Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung; Diagramme über geometrische Grenzen für die Paarung Hohlrad – Ritzel

[87]

DIN 3993 T3: Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung; Diagramme zur Ermittlung der Profilverschiebungsfaktoren

7.5 Anhang

311

[88]

DIN 3993 T4: Geometrische Auslegung von zylindrischen Innenradpaaren mit Evolventenverzahnung; Diagramme über Grenzen für die Paarung Hohlrad – Schneidrad

[89]

DIN 3994: Profilverschiebung bei geradverzahnten Stirnrädern mit 05-Verzahnung; Einführung

[90]

DIN 3995 T1: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Achsabstände und Betriebseingriffswinkel

[91]

DIN 3995 T2: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Fußkreisdurchmesser

[92]

DIN 3995 T3: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Kopfkreisdurchmesser

[93]

DIN 3995 T4: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Zahnweite

[94]

DIN 3995 T5: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Profilmaß Ma

[95]

DIN 3995 T6: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Zahndickensehne mit Zahnhöhe über der Sehne

[96]

DIN 3995 T7: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Überdeckungsgrade

[97]

DIN 3995 T8: Geradverzahnte Außen-Stirnräder mit 05-Verzahnung; Gleitgeschwindigkeiten am Zahnkopf

[98]

DIN 3998 T1: Benennung an Zahnrädern und Zahnradpaaren; Allgemeine Begriffe

[99]

DIN 3998 T2: Benennung an Zahnrädern und Zahnradpaaren; Stirnräder und Stirnradpaare (Zylinderräder und -radpaare)

[100]

DIN 3998 T3: Benennung an Zahnrädern und Zahnradpaaren; Kegelräder und Kegelradpaare, Hypoidräder und Hypoidradpaare

[101]

DIN 3998 T4: Benennung an Zahnrädern und Zahnradpaaren; Schneckenradsätze

[102]

DIN 3999: Kurzzeichen für Verzahnungen

[103]

DIN ISO 5290: Rillenscheiben für Verbund-Schmalkeilriemen

[104]

DIN E ISO 5294: Synchronriementriebe, Scheiben

[105]

DIN E ISO 5296: Synchronriementriebe, Riemen; Zahnteilungskurzzeichen

[106]

DIN 7721: Synchronriementriebe, metrische Teilung

[107]

DIN 7722: Endlose Hexagonalriemen für Landmaschinen und Rillenprofile der dazugehörigen Scheiben

[108]

DIN 7753 T1: Endlose Schmalkeilriemen für den Maschinenbau; Maße

[109]

DIN 7753 T2: Endlose Schmalkeilriemen für den Maschinenbau; Berechnung der Antriebe, Leistungswerte

[110]

DIN 7753 T3: Endlose Schmalkeilriemen für den Kraftfahrzeugbau; Maße der Riemen und Scheibenrillenprofile

[111]

DIN 8150: Gallketten

312

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

[112]

DIN 8153: Scharnierbandketten, Form S, Form D

[113]

DIN 8154: Buchsenketten mit Rollenbolzen; Amerikanische Bauart

[114]

DIN 8164: Buchsenketten

[115]

DIN 8187: Rollenketten; Europäische Bauart

[116]

DIN 8188: Rollenketten; Amerikanische Bauart

[117]

DIN 8195: Rollenketten, Kettenräder; Auswahl von Kettentrieben

[118]

DIN 8196 und DIN 8199: Verzahnung der Kettenräder für Rollenketten

[119]

DIN 58400: Bezugsprofil für Evolventenverzahnungen an Stirnrädern für die Feinwerktechnik

[120]

DIN 58405 T1: Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik; Gestaltungsbereich, Begriffe, Bestimmungsgrößen, Einteilung

[121]

DIN 58405 T2: Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik; Getriebepassungsauswahl; Toleranzen, Abmaße

[122]

DIN 58405 T3: Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik; Angabe in Zeichnungen, Berechnungsbeispiele

[123]

DIN 58405 T1: Stirnradgetriebe der Feinwerktechnik; Tabellen

[124]

DIN 58411: Wälzfräser für Stirnräder der Feinwerktechnik mit Modul 0,1 bis 1 mm

[125]

DIN 58412: Bezugsprofile für Verzahnungswerkzeuge der Feinwerktechnik; Evolventenverzahnungen nach DIN 5844 und DIN 867

[126]

DIN 58413: Toleranzen für Wälzfräser der Feinwerktechnik

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

7.6

Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

A.7.1

Gegenüberstellung formschlüssiges – reibschlüssiges Getriebe

313

In der folgenden Gegenüberstellung werden die wesentlichen Unterschiede zwischen formschlüssigen und reibschlüssigen Getrieben betrachtet. Ordnen Sie die folgenden charakteristischen Merkmale einer der beiden Getriebearten durch Ankreuzen zu.

Reibschluss Kurzzeitige Überlast kann ggf. durch Gleitschlupf schadlos aufgenommen werden Hohe radiale Belastung der Räder zur Sicherstellung der Momentenübertragung erforderlich Übersetzungsverhältnis nur in diskreten Stufen, nicht aber stufenlos möglich Einfache Übertragungskinematik: Hebelarme des Übersetzungsverhältnisses als Radius der Räder konstruktiv vorhanden In gewissen Grenzen jedes beliebige Übersetzungsverhältnis realisierbar, je nach Bauart auch stufenlos Schlupfbehaftete, nicht exakt reproduzierbare, nicht exakt winkelgetreue Übertragung der Drehbewegung Komplizierte Übertragungskinematik: Die Hebelarme des Übersetzungsverhältnisses sind konstruktiv nicht vorhanden. Hohe Belastung von Wellen und Lager, aus diesem Grund raum- und gewichtsbeanspruchende Bauweise Reproduzierbare, winkelgetreue Übertragung der Drehbewegung, kein Schlupf

Formschluss

314

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Reibradgetriebe A.7.2

Reibradgetriebe Gummi – Stahl

Die unten skizzierten drei Reibradpaarungen sollen vergleichend gegenüber gestellt werden.

Das angetriebene Rad (links) ist mit einer aufvulkanisierten Gummilage versehen. Die Anpresskraft soll dabei so aufgebracht werden, dass der Reibwert µ = 0,8 möglichst knapp ausgenutzt wird. Die hier dargestellte, antreibende Welle (rechts) hat ein Moment von 20 Nm zu übertragen. In der folgenden Bearbeitung sind sowohl das Übersetzungsverhältnis als auch die Antriebsdrehzahl der Getriebewelle zu variieren. a)

Berechnen Sie zunächst in der zweiten Spalte die zulässige Wälzpressung bei den verschiedenen Antriebsdrehzahlen.

b) Berechnen Sie in der zweiten Zeile den Ersatzkrümmungsdurchmesser für die verschiedenen Übersetzungsverhältnisse. c)

Ermitteln Sie schließlich die erforderliche Scheibenbreite L. i = 100 : 200 kzul [N/mm²]

i = 100 : 400

i = 100 : 800

d0 =

d0 =

d0 =

nan = 100 min

-1

L=

L=

L=

nan = 200 min

-1

L=

L=

L=

nan = 400 min

-1

L=

L=

L=

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe A.7.3

315

Wälzgetriebe mit Kettenabtrieb

Das unten dargestellte Getriebe ist oben mit einer Reibradpaarung und unten mit einem Kettentrieb ausgerüstet. Die Reibradpaarung ist als Kombination Stahl/Gummi (aufvulkanisiert) ausgeführt. Der Reibwert von 0,6 wird vollständig ausgenutzt, der dazu erforderliche Anpressmechanismus ist hier nicht dargestellt.

Die Berechnung soll sowohl für eine Drehzahl der Zwischenwelle (Bildmitte) von 900 min-1 als auch von 1.800 min-1 durchgeführt werden. Welche maximale Leistung kann mit dem Getriebe übertragen werden? Gehen Sie zweckmäßigerweise nach dem unten aufgeführten Schema vor und berechnen Sie die dort aufgeführten Zwischenwerte.

Drehzahl Zwischenwelle nZW

min-1

Ersatzkrümmungsdurchmesser d0

mm

zulässige Wälzpressung kzul

N/mm²

zulässige Normalkraft FN

N

übertragbare Umfangskraft FU

N

zulässiges Moment M Zwischenwelle

Nm

übertragbare Leistung P

W

900

1.800

316 A.7.4

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe Zweistufiges Wälzgetriebe Stahl/Gummi

Die Zwischenwelle des unten dargestellten Reibradgetriebes dreht mit 150 min-1. Beide Reibradpaarungen sind als Stahlrad/Gummirad (aufvulkanisiert) ausgeführt, der Reibwert von µ = 0,7 wird voll ausgenutzt. Der Mechanismus zur Aufbringung der Anpresskraft ist hier nicht dargestellt.

Welche maximale Leistung kann mit dem Getriebe übertragen werden? Differenzieren Sie dabei nach linker und rechter Stufe. Gehen Sie zweckmäßigerweise nach dem unten aufgeführten Schema vor und berechnen Sie die dort aufgeführten Zwischenwerte.

linke Stufe Umfangsgeschwindigkeit v

m/s

zulässige Wälzpressung kzul

N/mm²

Ersatzkrümmungsdurchmesser d0

mm

zulässige Normalkraft Fn

N

übertragbare Umfangskraft Ft

N

zulässiges Moment M Zwischenwelle

Nm

übertragbare Leistung P

W

rechte Stufe

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe A.7.5

317

Reibradgetriebe mit Wälzlagerung

Das unten dargestellte Reibradgetriebe wird an der unteren Welle mit einer Drehzahl von 414,7 min-1 angetrieben. 32

32

31

∅260.6

∅35

∅15

∅35 ∅40 ∅80

∅24

5

25

∅112

∅35

∅15

∅28

∅100

∅40

∅35

7

Variante Stahl/Stahl

Variante Stahl/Gummi

Dimensionierung der Reibräder Das Getriebe wird sowohl als Getriebe mit zwei Stahlrädern (links) als auch als Getriebe mit Stahlrad/Gummirad (rechts) ausgeführt. Der Reibwert für Stahl/Stahl beträgt 0,03, der für Gummi/Stahl 0,7. Berechnen Sie die in der untenstehenden Tabelle aufgeführten Kenngrößen der jeweiligen Getriebevariante. Stahl/Stahl Ersatzkrümmungsdurchmesser d0

mm

Umfangsgeschwindigkeit v

m/s

zulässige Belastung Hz zul bzw. kzul

N/mm²

zulässige Normalkraft FN

N

übertragbare Umfangskraft FU

N

zulässiges Antriebsmoment M1

Nm

übertragbare Leistung P

kW

Kraftresultierende im Wälzkontakt Fres

N

Stahl/Gummi

318

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

Dimensionierung der Wälzlagerung Das Reibradgetriebe soll mit Kugellagern gelagert werden. Alle Lager sind so angebracht, dass sich die auf das Reibrad wirkenden Kräfte gleichmäßig auf die beiden Lager verteilen. Die Anpresskraft ist so bemessen, dass der Reibschluss gerade für die Übertragung des Maximalmomentes ausreicht. Das Getriebe wird während 20 % seiner Betriebsdauer mit Maximallast und während 80 % der Betriebsdauer mit halber Last betrieben, wobei die Drehzahl ständig beibehalten wird. Das Getriebe soll eine Gebrauchsdauer von 8.000 h aufweisen. Mit welcher Tragzahl müssen die einzelnen Lager mindestens ausgestattet sein? Stahl – Stahl

Stahl – Gummi

Antriebs- Abtriebs- Antriebs- Abtriebswelle welle welle welle min-1

Drehzahl Belastung pro Lager bei Volllast FVL

N

Belastung pro Lager bei Teillast FTL

N

mittlere Belastung Pm

N

L10

-

erforderliche Tragzahl

N

414,7

414,7

Riemengetriebe A.7.6

Treibscheibe Förderkorb

Die hier skizzierte Fördereinrichtung besteht aus einem Förderkorb mit der Masse von 4 t, mit dem eine Nutzlast von 1 t befördert werden soll. Um das Lastmoment an der Antriebsscheibe zu minimieren, wird am gegenüberliegenden Seilende ein Gegengewicht von 4,5 t angebracht. Die Reibzahl zwischen Seil und Scheibe kann mit µ = 0,07 angenommen werden. Die Fördereinrichtung soll in vier verschiedenen Ausführungen a – d betrachtet werden.

Umlenkscheibe

4,5 t

a

Kettentrieb

Antriebscheibe

4,5 t

4t

1t

b

4t

1t

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe Antriebscheibe

308

158

Umlenkscheibe

319

zusätzliche Umlenkscheibe 4,5 t

4t

c

d

1t

Welches Verhältnis von Zugtrumkraft zu Leertrumkraft ergibt sich, wenn die Fördereinrichtung mit bzw. ohne Nutzlast betrieben wird? mit Nutzlast

ohne Nutzlast

SZ  SL

a) Die Mantelflächen der Treibscheiben sind zylindrisch und das Seil wird nach Skizze a geführt. Kreuzen Sie jeweils für den Fall „mit Nutzlast“ und „ohne Nutzlast“ an, ob die Last übertragbar ist oder der Seiltrieb durchrutscht. b) Die rechts angeordnete Antriebsscheibe wird nach Skizze b mit der linken Umlenkscheibe über einen Kettentrieb gekoppelt. Kreuzen Sie an, ob die Last übertragbar ist oder der Seiltrieb durchrutscht. c) Die Anordnung nach a wird dahingehend modifiziert, dass eine zusätzliche Umlenkscheibe angebracht wird. Kreuzen Sie an, ob nach dieser Konstruktionsänderung die Last übertragbar ist oder der Seiltrieb durchrutscht. d) In einer weiteren Parametervariation wird wieder von der ursprünglichen Kombination von Antriebscheibe und Umlenkscheibe nach a ausgegangen, wobei die Antriebsscheibe allerdings mit einer Keilrille ausgeführt wird. Kreuzen Sie an, ob nach dieser Konstruktionsänderung die Last übertragbar ist oder der Seiltrieb durchrutscht. a mit Nutzlast Last übertragbar Seiltrieb rutscht durch

b ohne Nutzlast

mit Nutzlast

c ohne Nutzlast

mit Nutzlast

d ohne Nutzlast

mit Nutzlast

ohne Nutzlast

320

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

A.7.7

Leertrumvorspannung, Übersetzung 1:1

Der unten dargestellte Riementrieb wird zur Kopplung von zwei Laufrollen einer Fördereinrichtung benutzt und wird bei einer Drehzahl von 48 min-1 betrieben. Der Riemen darf mit einer Spannung von maximal 25 N/mm² belastet werden. Der Reibwert beträgt µ = 0,6; Biege- und Fliehkrafteinflüsse bleiben unberücksichtigt. Die durch die Spannrolle bedingte Änderung des Umschlingungswinkels kann vernachlässigt werden.

a)

Die Belastbarkeit des Riementriebes soll voll ausgenutzt werden (linke Spalte des untenstehenden Schemas). Wie groß ist dann die Zugtrumkraft SZ, Leertrumkraft SL, die Umfangskraft U und das übertragbare Moment M? Welche Leistung kann mit diesem Riementrieb maximal übertragen werden?

b) Es wird ein Antriebsmotor verwendet, der bei gleicher Drehzahl 600 W leistet. Wie hoch sind die zuvor genannten Kenngrößen, wenn die Vorspannkraft beibehalten wird? c)

Bei Verwendung dieses Motors kann die in den Riemen eingeleitete Vorspannkraft reduziert werden. Wie hoch sind dann die zuvor genannten Kenngrößen? Belastbarkeit des Riementriebes voll ausgenutzt

Zugtrumkraft SZ

Antriebsmotor 600 W Vorspannkraft wie bei Volllast

Antriebsmotor 600 W Vorspannkraft minimiert

600

600

[N]

Leertrumkraft SL

[N]

Umfangskraft U

[N]

Moment M

[Nm]

Leistung P

[W]

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe A.7.8

321

Zugtrumvorspannung

Der unten dargestellte Riementrieb überträgt eine Leistung von 12 kW bei einer Antriebsdrehzahl von 1.480 min-1. Die auf den Scheiben angegebenen Pfeile geben nicht den Drehsinn, sondern die Richtung des Momentes an. Die Veränderung des Umschlingungswinkels aufgrund der Spannrolle kann vernachlässigt werden. Der Riemen ist 3 mm dick, kann mit einer Spannung von 18 N/mm² belastet werden und weist gegenüber der Scheibe einen Reibwert von µ = 0,7 auf.

∅15 H7 ∅6 0

5 ∅2

2

Abtrieb

∅

12

.6 ∅463

H7

Antrieb

5

297.8

∅15 H7

Benutzen Sie zur Dokumentierung der Ergebnisse das untenstehende Schema. a) b) c)

d) e)

Wie groß sind Zug- und Leertrumkraft, wenn der Riementrieb an der Rutschgrenze betrieben wird? Wie groß sind die Radialkraft Aan auf die Antriebswelle und die Radialkraft auf die Abtriebswelle Aab? Wie groß muss die durch die Spannrolle in den Riemen eingeleitete Vorspannkraft SV sein? Hinweis: Die Bearbeitung erleichtert sich möglicherweise, wenn Sie den Betriebszustand im SZ/SL-Diagramm darstellen. Wie breit muss der Riemen mindestens sein? Die Antriebsleistung wird unter Beibehaltung der Drehzahl auf 8 kW reduziert. Wie groß muss dann die in den Riemen eingeleitete Vorspannung sein? Wie breit muss dann der Riemen mindestens sein? Wie lang ist der Riemen?

a

SZ

[N]

SL

[N]

b

Aan

[N]

Aab

[N]

c

SV

[N]

b

[mm]

d

SV 8kW

[N]

b8kW

[mm]

e

LRiemen

[mm]

322

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

A.7.9

Minimaler Scheibendurchmesser eines Riementriebes

Ein Flachriementrieb soll bei einem Übersetzungsverhältnis von 1:1 eine Leistung von 5 kW bei einer Drehzahl von 3.000 min-1 übertragen und wird durch so vorgespannt, dass sowohl die Rutschgrenze als auch die Festigkeitsgrenze optimal ausgenutzt werden. Der Riemen ist 2 mm dick, 12 mm breit und darf maximal mit 20 N/mm² belastet werden. Welchen Durchmesser müssen die Scheiben mindestens aufweisen, wenn vier verschiedene Riemen mit gleicher Festigkeit, aber unterschiedlichen Reibwerten zur Verfügung stehen? Berechnen Sie zweckmäßigerweise zunächst eµ, die Zugtrumkraft SZ, die Leertrumkraft SL und die Umfangskraft U. µ = 0,5 µ

e

[-]

SZ

[N]

SL

[N]

U

[N]

dmin

µ = 0,6

µ = 0,7

µ = 0,8

[mm]

A.7.10

Riementrieb, kleinstmöglicher Achsabstand

Ein Flachriementrieb übersetzt 1:2,8 ins Langsame und soll dabei einen möglichst kleinen Achsabstand aufweisen. Der Riemen ist 3 mm dick und 50 mm breit, darf bis 24 N/mm² belastet werden und weist gegenüber den Scheiben einen Reibwert von µ = 0,45 auf. Es soll ein Antriebsmoment von 252 Nm übertragen werden. Wie groß müssen die Scheibendurchmesser mindestens sein, damit der Riemen weder überlastet wird noch durchrutscht? Tragen Sie im folgenden Schema die wesentlichen Kenngrößen des Riementriebs ein. SZ

[N]



[°]

d1

[mm]

SL

[N]



[°]

d2

[mm]

[-]

a

[mm]

U

[N]

µ

e

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

323

A.7.11 Riementrieb, Variation von Vorspannung und Moment Der Riemen des unten skizzierten Riementriebes darf mit einer maximalen Spannung von 20 N/mm² belastet werden und hat gegenüber der Scheibe einen Reibwert von 0,65.

Berechnen Sie zunächst die für die Rutschgrenze entscheidende Größe eµ und die zulässige Zugkraft im Riemen Szul. eµ

Szul [N]

Der Riementrieb wird im Leertrum mit den unten angegeben Kräften vorgespannt und mit den Momenten belastet. Kreuzen Sie an, ob die Rutschgrenze und die Festigkeitsgrenze nicht ausgenutzt, genau ausgenutzt oder überschritten werden.

SL = 48 N

SL = 218 N

SL = 388 N

M = 77,7 Nm Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O ausgenutzt O überschritten

M = 87,7 Nm Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O ausgenutzt O überschritten

M = 97,7 Nm Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O ausgenutzt O überschritten Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O genau ausgenutzt O überschritten Rutschgrenze O nicht ausgenutzt O ausgenutzt O überschritten Festigkeitsgrenze O nicht ausgenutzt O ausgenutzt O überschritten

324 A.7.12

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe Bandschleifer

Ein Bandschleifer wird vor allen Dingen zur planen Bearbeitung von Holzoberflächen benutzt: Entsprechend der untenstehenden Skizze wird ein Endlosband mit einer an der Außenseite abrasiven Oberfläche über zwei Hartgummiwalzen und über eine untenliegende Andruckplatte geführt, mit der das Band gegen das Werkstück gedrückt wird. Der Antrieb erfolgt über die rechte Walze, während die linke zum Spannen des Bandes genutzt wird. Sowohl die Antriebs- als auch die Spannrolle sind von der Arbeitsebene zurückversetzt, so dass sich der in der Skizze eingezeichnete Winkel von 7° ergibt. Der Motor eines Bandschleifers nimmt eine Leistung von 620 W auf und es kann angenommen werden, dass diese Leistung im Grenzfall vollständig vom Schleifprozess verwertet wird. Das Band wird mit einer Geschwindigkeit von 330 m/min betrieben. Zwischen Band und Hartgummiwalze kann ein Reibwert von µ = 0,5 ausgenutzt werden.

Zur Aufbringung der Spannung des Schleifbandes ist die Achse der Spannrolle in einer Horizontalführung längsbeweglich angeordnet, die Vorspannung selber wird durch eine Schraubenfeder eingeleitet. Da der Abtrieb der Schleifprozess selber ist und sich die linke Spannrolle im Leertrum befindet, handelt es sich hier um eine Leertrumvorspannung. a) Berechnen Sie die Zugtrumkraft SZ und die Leertrumkraft SL im Schleifband. b) Wie groß ist die Vorspannkraft SV, mit der das Band vorgespannt werden muss? Welche Kraft muss dazu durch die Feder eingeleitet werden? c) Die Spannfeder ist als Schraubenfeder ausgebildet (siehe Kap. 2.1.2). Der Federwerkstoff soll mit einer Schubspannung zul = 300 N/mm² belastet werden und weist einen Schubmodul G = 70.000 N/mm² auf. Der Windungsdurchmesser ist konstruktiv mit Dm = 10 mm festgelegt, der Drahtdurchmesser d ist auf halbe Millimeter zu runden. Wie groß ist der erforderliche Drahtdurchmesser d? d) Wie viele federnde Windungen iw müssen vorgesehen werden, wenn der mit einem Hebelmechanismus eingebrachte Vorspannweg 4 mm beträgt?

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

325

Zahnradgetriebe A.7.13 Überdeckungsgrad Evolventenverzahnung Mit einer nicht profilverschobenen Zahnradpaarung soll bei einem möglichst genau einzuhaltenden Achsabstand von 200 mm ein Übersetzungsverhältnis von möglichst genau 1:2,5 verwirklicht werden. Der Eingriffswinkel beträgt  = 20° und sowohl Kopf- als auch Fußhöhe sollen dem Modul entsprechen (ha = hf = m). Die Fußausrundung soll in diesem ersten Beispiel nicht berücksichtigt werden. Für die Module m = 1 mm, 2 mm, 4 mm und 6 mm sind die unten aufgeführten geometrischen Daten der Verzahnung zu ermitteln. m = 1 mm m = 2 mm m = 4 mm m = 6 mm Zähnezahl des antreibenden Rades z1 Zähnezahl des angetriebenen Rades z2 tatsächliches Übersetzungsverhältnis itats prozentuale Abweichung vom vorgegebenen Übersetzungsverhältnis i [%] Wälzkreisdurchmesser des antreibenden Rades dw1 [mm] Wälzkreisdurchmesser des angetriebenen Rades dw2 [mm] tatsächlicher Achsabstand atats [mm] Grundkreisdurchmesser des antreibenden Rades db1 [mm] Grundkreisdurchmesser des angetriebenen Rades db2 [mm] Kopfkreisdurchmesser des antreibenden Rades da1 [mm] Kopfkreisdurchmesser des angetriebenen Rades da2 [mm] Fußkreisdurchmesser des antreibenden Rades df1 [mm] Fußkreisdurchmesser des angetriebenen Rades df2 [mm] Teilung p [mm] Überdeckungsgrad 

326 A.7.14

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe Beanspruchung von Zahnfuß und Zahnflanke

Die Festigkeit eines Zahnradpaares mit normgerechter Evolventenverzahnung soll untersucht werden.

Die Zähnezahlen betragen z1 = 20 und z2 = 38 Zähne, der Modul m = 3 mm und die Zahnradbreite b = 18 mm. Bei einer Ritzeldrehzahl von n1 = 1.480 min-1 soll eine Leistung von 26 kW übertragen werden. Es kann angenommen werden, dass das Produkt der Faktoren YF·Y·YS·KA·KV·KF·KF = 4,4 ist. a) Wie groß wird die Spannung im Zahnfuß? b) Welche Zahnflankenpressung entsteht bei dieser Belastung?

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe A.7.15

327

Übertragbare Leistung Zahnradpaarung

Eine Zahnradpaarung mit normgerechter Evolventenverzahnung soll einen Achsabstand von 84 mm und ein Übersetzungsverhältnis von i = 3,2 aufweisen, wobei von diesen Werten im Rahmen der Rundung der Zähnezahlen geringfügig abgewichen werden darf. Das Verhältnis Zahnbreite zu Modul soll b/m = 25 betragen. Die Antriebsdrehzahl beträgt 2.800 min-1. Es kann angenommen werden, dass das Produkt der Faktoren YF·Y·YS·KA·KV·KF·KF = 4,4 beträgt. Es kann eine Zahnfußspannung von 380 N/mm² zugelassen werden. Berechnen Sie die übertragbare Leistung für die unten aufgeführten verwendeten Module. Modul m Zähnezahl z1 Zähnezahl z2 Wälzkreisdurchmesser d1 Wälzkreisdurchmesser d2 tatsächlicher Achsabstand atats Zahnbreite b zulässige Tangentialkraft Ft Antriebsmoment M1 Leistung P

mm mm mm mm mm N Nm kW

1,25

1,50

2,00

2,50

A.7.16 Erforderliche Zahnbreite Mit einem Zahnradpaar mit normgerechter, nicht profilverschobener Verzahnung soll bei einem möglichst genau einzuhaltenden Achsabstand von 132 mm ein Übersetzungsverhältnis von möglichst genau 3,8 verwirklicht werden. Die Antriebsdrehzahl beträgt n1 = 2.200 min-1. Es stehen die Module m = 2,5 mm, 3 mm, 4 mm, und 5 mm zur Auswahl. Prüfen Sie zunächst, ob die Verzahnung ohne Unterschnitt zu verwirklichen ist. Für die Module, bei denen diese Gefahr nicht besteht, ermitteln Sie die minimale Zahnbreite b, wenn die unten aufgeführten Leistungen übertragen werden sollen. Es kann eine Zahnfußspannung von FP = 420 N/mm² zugelassen werden und das Produkt der Faktoren YF·Y·YS·KA·KV·KF·KF mit 4,4 angenommen werden. m = 2,5 mm

m = 3 mm

m = 4 mm

m = 5 mm

Zähnezahl antreibendes Rad z1 Zähnezahl angetriebenes Rad z2 Unterschnitt? tats. Übersetzungsverhältnis itats i [ %] Wälzkreisdurchmesser dw1 [mm] Wälzkreisdurchmesser dw2 [mm] tats. Achsabstand atats [mm] a [mm] Teilung p [mm] min. Zahnbreite b [mm] bei 20 kW min. Zahnbreite b [mm] bei 30 kW

O ja O nein

O ja O nein

O ja O nein

O ja O nein

328 A.7.17

7 Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe Optimale Zahnbreite

Eine Leistung von 84 kW ist bei einer Antriebsdrehzahl von 1.240 min-1 und einem Übersetzungsverhältnis von 4,2 zu übertragen. Das normgerechte Zahnradpaar soll keine Profilverschiebung aufweisen. Es kann eine Zahnfußspannung von FP = 480 N/mm² zugelassen werden und das Produkt der Faktoren YF·Y·YS·KA·KV·KF·KF kann mit 4,4 angenommen werden. Die Abmessungen der Verzahnung sind so zu optimieren, dass ein möglichst kompaktes Getriebe entsteht. Die Zahnbreite b wird entsprechend der untenstehenden Tabelle variiert. Bestimmen Sie zunächst die vorzusehenden Zähnezahlen. Ermitteln Sie dann den erforderlichen Modul, die Wälzkreisdurchmesser und den Achsabstand. Um einen Anhaltspunkt für das Konstruktionsgewicht der jeweiligen Konstruktionsvariante zu gewinnen, berechnen Sie abschließend das Gesamtvolumen der jeweils beteiligten beiden Zahnräder VRäder als Zylindervolumen mit dem Wälzkreis als Durchmesser. b

[mm]

z1

[-]

z2

[-]

m

[mm]

d1

[mm]

d2

[mm]

a

[mm]

VRäder

5

10

20

30

40

50

60

70

80

[106 mm³]

Diskutieren Sie die optimale Zahnbreite im Hinblick auf ein möglichst geringes Konstruktionsgewicht! Berücksichtigen Sie dabei, dass der Stirnlastverteilfaktor KF nicht wie eingangs angenommen konstant ist, sondern mit zunehmender Zahnbreite immer ungünstiger wird. A.7.18

Getriebe mit zwei Übersetzungsverhältnissen

Das nachfolgend skizzierte Getriebe besteht aus einer links oben angeordneten Antriebswelle und einer Abtriebswelle rechts unten, die jeweils über zwei Wälzlager verfügen. An der Antriebswelle wird eine Leistung von 6 kW bei einer Drehzahl von 1.480 min-1 eingeleitet.

Abtrieb

Antrieb

7.6 Aufgaben: Grundsätzliche Bauformen gleichförmig übersetzender Getriebe

329

In der dargestellten Stellung ist das linke Zahnradpaar im Eingriff und das Getriebe überträgt 1:1. Werden die beiden Zahnräder auf der Abtriebswelle gemeinsam auf ihrer längsverschiebbaren Welle-Nabe-Verbindung nach rechts verschoben, so wird das linke Zahnradpaar außer Eingriff gesetzt und das rechte Zahnradpaar kommt in Eingriff, welches dann 1:2 übersetzt. Beide Zahnradpaare sollen mit dem Modul m = 1,5 mm ausgeführt werden. Das kleinste Rad hat 17 Zähne. Sämtliche Zahnräder werden ohne Profilverschiebung ausgeführt.Geometrie der Verzahnung Die kleinste (also kritische) Zähnezahl tritt beim Ritzel des Zahnradpaares 1:2 auf. Bestimmen Sie für dieses Zahnradpaar die in untenstehendem Schema aufgeführten geometrischen Kenngrößen der Verzahnung. Übersetzung 1:2

Rad 1

Zähnezahl

z

Teilung

p

[mm]

Wälzkreisdurchmesser

d

[mm]

Grundkreisdurchmesser

db

[mm]

Achsabstand

a

[mm]

Rad 2

Beim Übersetzungsverhältnis 1:1 muss konstruktionsbedingt der zuvor ermittelte Achsabstand beibehalten werden. Es kann in Kauf genommen werden, dass das dabei ausgeführte Übersetzungsverhältnis nicht genau 1:1 beträgt. Bestimmen Sie auch für dieses Zahnradpaar die in untenstehendem Schema aufgeführten geometrischen Kenngrößen der Verzahnung. Übersetzung 1:1

Rad 1

Zähnezahl

z

Teilung

p

[mm]

Wälzkreisdurchmesser

d

[mm]

Grundkreisdurchmesser

db

[mm]

Achsabstand

a

[mm]

Rad 2

Zahnbreite Es kann eine Zahnfußspannung von 420 N/mm² zugelassen werden und es kann angenommen werden, dass das Produkt der Faktoren YF·Y·YS·KA·KV·KF·KF = 4,4 beträgt. a)

Wie breit muss das Zahnradpaar werden, welches 1:2 übersetzt?

b) Wie breit muss das Zahnradpaar werden, welches 1:1 übersetzt? 1:1 minimale Zahnbreite b [mm]

1:2

Stichwortverzeichnis Abdichtung von Wälzlagerungen 209 absolute elastische Verformung Biegebalken 13 absolute Längenänderung 5 Abwälzen 271 Achsabstand (Verzahnung) 292 Achsabstand a 283 Achsen 41, 46 Lagerung von 46 Angestellte Lagerung 187 Anwendungsfaktor KA 269 äquivalente dynamische Lagerlast 203 äquivalente Lagerbelastung P0 201 Arbeit W 267 Arbeitsmaschine 267 Ausfallwahrscheinlichkeit 202 axiale Festlegung des Lagers 207 axiales Flächenmoment 20 axiales Widerstandsmoment 19 Axialklemmverbindungen 239 Axialnadellager 193 Axialrillenkugellager 190 Axialzylinderrollenlager 193 Badlöten 114 Balken 12 Balkenkrümmung 13 Bauteibelastung, dynamisch 54 Bauteilverformungen, elastische 69 Beanspruchung am Zahnfuß 303 Befestigungsschrauben 146 Befestigungsschraubverbindungen Gestaltung 162 Belastung allgemein veränderlich 45

zulässige, bei zeitlich veränderlicher Beanspruchung 54 Belastung im Wälzkontakt Wälzkontakt 196 Belastung, quasistatisch 44 Belastung, schwellend 45 Belastung, wechselnd 45 Belastungszustand 41 Berührende Dichtung 209 berührungslose Dichtung 212 Betriebsfestigkeit 41, 54 Betriebskraftbelastung der Schraube 156 Bewegungskomponente 177 Bewegungsschraube 145 Biegemoment 12 Biegemoment im Lager 47 biegenweiche Nabe 245 Biegeschwellfestigkeit 56 Biegespannung 12, 15 biegestarre Nabe 243 Biegesteifigkeit 73 Biegestreckgrenze 56 Biegewechselfestigkeit 56 Biegung 12 Blechverbindungen gelötet 116 Bohrreibung 193 Bolzen 179 Bolzenverbindungen gelötet 116 Dämpfung Materialdämpfung 274 Dauerfestigkeitsbereich 55 Dauerfestigkeitskennwert 55

332 Dehnung elastisch 4 plastisch 8 Drahtkrümmung 87 Drehmomentenschlüssel 70 Drehstabfeder 83 Drehstrom-Normmotor 212 Drehzahlkennwert von Wälzlagern 208 Drehzahlwandlung 262 Drillbohrer 133 Druckspannung 3 Druckwinkel 189, 192 Dünnblechverbindungen gelötet 116 Durchsteckschraube 162 dynamisch äquivalente Belastung Pm 206 Dynamisch beanspruchte Lager 201 Dynamische Beanspruchung 199 Eingriffsgerade 292, 296 Eingriffslinie 292 Eingriffsstrecke 296 Eingriffsteilung pe 296 Eingriffswinkel 292 Einkomponentenkleber 118 Einschnürung 7 einseitig eingespannter Balken 12 Einzeleingriff (Zahnrad) 291 Eisenbahnpuffer 81 Elastizitätsmodul 5, 6, 71 Elektronenstrahllöten 114 Energiespeicher 70, 78 Ersatzkrümmungsdurchmesser d0 272 Ersatzkrümmungsradius 197 Ersatzkrümmungsradius (Verzahnung) 305 Evolvente 290, 301 Evolventen-Planverzahnung 298 Evolventenverzahnung 290 Evolventenverzahnung, Festigkeit 303 Eytelweinsche Gleichung 279, 287 Fadenkonstruktion (Evolvente) 291 Feder reibungsbehaftet 79 Feder, Belastbarkeit von 86

Stichwortverzeichnis Federhysterese 81 Federkennlinie 74 Federkennlinie der Schraube 150 Federkennlinie der Zwischenlage 150 Federn 69 Belastbarkeit 77 metallische Bauformen 81 Federnachgiebigkeit 71 Federreibung 79 Federsteifigkeit 71 Federungsarbeit 78 Federwaage 70 Festigkeitsgrenze 287 Festigkeitshypothese 43 Festigkeitsklasse 147 Festigkeitslehre 1 Festigkeitsnachweis für Torsion 24 Festlager 190 Fest-Los-Lagerung 52, 183 Festsitz 181, 229, 235 Fettschmierung von Wälzlagern 208 Filzringdichtung 210 Finite-Elemente-Berechnung 112 Flächenmoment 16 Flächenmoment, axial 20 Flächenmoment, polar 27 Flächenpressung 106, 180, 234, 240, 243, 249, 305 Flammlöten 114 Flankendurchmesser 135, 147 Flankenpressung 235 Flussmittel 114, 115 Formschluss 268 Formschluss 264 Fressen der Zahnflanken 306 fs-Werte 200 Fugenlöten 114 Führung 177 Fußausrundung (Verzahnung) 298 Fußkreis 293 Gesamtspannung 41 Gesamtsteifigkeit 74 Gestaltänderungsenergiehypothese 43 Gestaltung von Wälzlagerungen 206

Stichwortverzeichnis Gewindereibung 139 Gewindespindeln 133 Gewindesteigung 134 gleichförmig übersetzende Getriebe Getriebe, gleichförmig übersetzend 259 Gleitmodul 23 Gleitschlupf 276 Gleitsitz 181 Grundkreis (Verzahnung) 291 Gurtförderer 213 Hartlöten 113 Hebelarm 12 Hertzsche Pressung 197, 200, 201, 272 Hertzsche Pressung Hz (Verzahnung) 305 Hintereinanderschaltung 75 Hinterradfederung 85 Hochtemperaturlöten 113 Hookesche Gerade 5, 69, 71 Hysterese 85 Induktionslöten 114 Käfig 183 Kaltnietung 104 Kaltverschweißung 181, 306 Kegelrollenlager 192 Kegelrollenlagerung 188 Keilwellenverbindungen 233 Kennzahl  44 Kennzahl fs 200 Kerndurchmesser 135, 146 Kleben 118 Klemmverbindungen 239 Kolbenlöten 113 Kontaktklebstoff 118 Kopfkreis 293 Kopfreibung 143 Kopfreibungsmoment 144 Kopfspiel c (Verzahnung) 298 Kranlaufrad 185 Kreissägewelle 212 Kreuzrollenlager 194 Kugellager 189 Labyrinthdichtung 211

333 Lager 46 Lageranordnung 183 Lagerbauform 214 Lagerbauformen 188 Lagerbauformen von Wälzlagern 214 Lagerung 177 beidseitig 46 fliegend 46 Lagerung mit einem einzigen Lager 51 Lagerung, statisch überbestimmt 50 Lagerung, Wärmeausdehnung 50 Länge des Riemens 284 Langloch 164 Längskraftbeanspruchte Schraubverbindung 156, 158 Längspressverband 249 Laserstrahllöten 114 Lasthaken 200 Lastüberhöhung 270 Lastverteilung 70, 108 Lastverteilung Wälzelemente 198 Lastverteilungsprobleme 112 Lebensdauer 202 Lebensdauerexponent 202 Leerlaufgerade 287 Leertrum 277 Leistung P 267 Leistungsdichte 271 Lichtbogenlöten 114 Linienberührung 188, 197 Liquidustemperatur 113 Lochleibung 105 Lochleibungsdruck 106, 158 Loslager 190 Löten 112 Löten mit Lötformstück 117 Lötkolben 113 Löttemperatur 113 Lötverbindungen Festigkeitsberechnung von 115 Gestaltung von 116 Lötverfahren 113 Mehrfacheingriff (Verzahnung) 294 Messerwelle Hobelmaschine 212

334 Messschrauben 133 Mikrometerschrauben 133 mittlere Drehzahl nm 205 Modellfeder 72 Modul (Verzahnung) 294 Momentengleichgewicht Biegebalken 14 Momentenwandlung Getriebe 259 Montageschrauben 133 Muffen gelötet 117 Nabe 229 Nachgiebigkeit 71, 149 Nadelkränze 192 Nadellager 184, 191 Nenndurchmesser 135, 146 Nenn-Spannung 7 neutrale Faser 13 Niet 103 Nietverbindung 109 Schwerpunkt S der 109 Nietverbindung, einschnittig 105 Nietverbindung, zweischnittig 105 nominelle Lebensdauer 203 Normalspannung 2, 41, 43 Ofenlöten 114 Ölbadschmierung 208 Öleinspritzschmierung 208 Ölnebelschmierung 208 Ölschmierung von Wälzlagern 208 Parallelschaltung 75, 85 Passfederverbindungen 236 Passschraube 157, 158 Pendelkugellager 189, 212 Pendelrollenlager 192, 213 Pittingbildung 202 Plastisol 118 Pressung an den Zahnflanken 305 Profilbezugslinie 294 Profilüberdeckung  297 Profilverschiebung 301 Pufferfeder 70 Punktberührung 188, 197 Querkontraktionszahl 272

Stichwortverzeichnis Querkraftbeanspruchte Schraubverbindung 156 Querkraftschub 22, 105, 181 Querpressverband 249 Quetschgrenze 8 Radialklemmverbindungen 242 Radialrillenkugellager 189 Radialwellendichtring 210 Regelgewinde 135 Reibradgetriebe Wälzgetriebe 270 Reibschluss 264, 268 Reibung Bohrreibung 271 Reibungshysterese 81 Reibwert von Pressverbänden 238 relative Dehnung 13 relative elastische Verformung Biegebalken 13 relative Längenänderung 5 Restklemmkraft 160 Riemendicke s 284 Riemengetriebe 276 Riementriebe 276 Rillenkugellager 189 Rohrverbindungen gelötet 117 Rollenlager 190 Rollreibung 182 Rotation 177, 267, 268 Rutschgrenze 287 Scherbuchse 158 Schere 22 Schiebesitz 229, 235 Schließkopf 104 Schlupf 265, 268 Schmelzklebstoff 118 Schmierung von Wälzlagern 208 Schnurmodell 291 Schrägkugellager 189 Schraube Anziehen der 138 Betriebskraftbelastung der 156 Geometrie der 134

Stichwortverzeichnis Schrauben 133 Schrauben hydraulisch vorgespannt 165 Schraubenabmessungen 135 Schraubenfeder als Zug-/Druckfeder 86 Schraubengüte 147 Schraubennormen 135 Schraubensicherungen 162 Schraubensteifigkeit 149 Schraubentypen 162 Schraubverbindung bei Erwärmung 155 Schraubverbindungen Festigkeitsnachweis von 145 Schubmodul 6, 23, 71 Schubspannung 232 Schubspannungsüberhöhung 121 Schubspannungsverteilung 121 Schwerpunkt S der Nietverbindung 109 schwimmende Lagerung 190 Schwimmende Lagerung 185 Seilreibung 276 Differentialgleichung der Seilreibung 279 Selbsthemmung 144 Setzbetrag 164 Setzbetrag einer Schraubverbindung 154 Setzen der Schraube 153 Setzkopf 104 Sicherheit 16, 24 Sicherheitsnachweis 11 Solidustemperatur 113 Spaltdichtung 210 Spaltlöten 114 Spannschrauben 133 Spannung 2 Spannungs-Dehnungs-Diagramm 4, 23, 69 Spannungsdurchmesser 147 Spannungsquerschnitt 147 Spannungsverteilung Biegebalken 14 Spannungszustände, Überlagerung 41 Statisch beanspruchte Lager 200 Statische Beanspruchung 199 statische Tragzahl C0 200

335 Stehlager 195 Steifigkeistkennlinie, progressiv 74 Steifigkeit 71, 88 Steifigkeit der Zwischenlage 149 Steifigkeitskennlinie, degressiv 74 Steifigkeitskennlinie, linear 74 Streckgrenze 7, 8 SZ/SL-Diagramm 286, 288 Tangentialspannung 21, 41, 43 Tauchlöten 114 Tauchschmierung 208 teilplastische Verformung 8 Teilung 289, 294 Thermisches Anziehen 155 Torsion 24 Torsionsfreies Anziehen 164 Torsionsmoment 24 Torsionsschub 24 Torsionsschwellfestigkeit 56 Torsionssteifigkeit 72 Torsionsstreckgrenze 56 Torsionswechselfestigkeit 56 Traganteil  235 Tragzahl 199 Translation 177, 267, 268 Trapezgewinde 135 Treibscheiben 280 Trennfuge 232 Tribologie 306 Trumlänge 284 Überdeckungsgrad 296 Überdimensionierung 1 überlegerter Spannungszustand 43 Überrollung 201 Übersetzung, stufenlos 275 Übersetzungsverhältnis 264 Übersetzungsverhältnis i 261, 263, 268, 288 Uhrfeder 70, 81 Umlaufbiegung 53 Umschlingungswinkel  277, 283 Undichtigkeit der Schraubverbindung 160 Unterdimensionierung 1

336 Unterlegscheiben 164 Verbindungselemente 103 Verbindungstechniken 103 Verformung 13 Vergleichsspannung 43 Verschlussschrauben 133 Verspannungsdiagramm 151 Verspannungsfaktor 161 Verzahnungsgesetz 289 Verzahnungskinematik 299 Vibrationsmotor 186 Vierpunktlager 184, 190 vollrollig 183, 185 Vorspannen von Schraubverbindungen 148, 149 Vorspannkraft 285 Vorspannung Riementrieb 281 V-Ring-Dichtung 210 Wahlscher Faktor K 87 wahre Spannung 7 Wälzkontakt 271 Wälzkörper 182 Wälzkreisdurchmesser dW 289 Wälzlager 182 Wälzpressung k 272 Walzprofile 16 Wälzpunkt 292 Wärmeausdehnung Schraube 156 Warmgaslöten 114 Warmnietung 104 Weichlöten 113 Wellen 41, 46 Wellen, Lagerung 48 Welle-Nabe-Verbindungen 85, 229 Welle-Nabe-Verbindungen, formschlüssig 233 Welle-Nabe-Verbindungen, kraft- bzw. reibschlüssig 237 Welle-Nabe-Verbindungen, stoffschlüssig 230 Werkstoffermüdung 202 Werkstoffverhalten bei Schub 23 Werkstoffverhalten bei Zug und Druck 3 Wicklungsverhältnis 87

Stichwortverzeichnis Widerstandslöten direktes 114 indirektes 114 Widerstandsmoment 15, 19, 20 Widerstandsmoment, axial 20 Widerstandsmoment, polar 27 Widerstandsmoment, polares 26 Widerstandsmomente genormter Profile 16 Winkelgeschwindigkeit  263 Wirkprinzipien Lagerungen und Führungen 178 Wirkradius (Getriebe) 261 Wirkungsgrad  267 Wöhlerdiagramm 55 Wöhlerlinie 83 Zahndicke s 294 Zahnflankentragfähigkeit 303 Zahnformfaktor YF 304 Zahnfresstragfähigkeit 303 Zahnfußdicke sf 304 Zahnfußhöhe hf 295 Zahnfußspannung F 305 Zahnfußtragfähigkeit 303 Zahnhöhe h 304 Zahnkopfhöhe ha 295 Zahnkräfte 302 Zahnlücke e 294 Zahnradfertigungsverfahren 300 Zahnradgetriebe 288 Zahnstangengetriebe 295 Zahnstangenprofil 298, 299 Zahnstangenprofil, vereinfacht 295 Zahnstangenwerkzeug 300 Zeitfestigkeitsbereich 55 Zeitfestigkeitsverhalten 202 Zugfeder 72, 149 Zugfestigkeit 7, 10 Zugprüfmaschine 3 Zugschwellfestigkeit 56 Zugspannung 3 Zugsteifigkeit 72 Zugstreckgrenze 56 Zugtrum 277

Stichwortverzeichnis Zugwechselfestigkeit 56 Zusammenschaltung von Federn 74 Zweikomponentenkleber 118

337 Zwischenlage 149 Zylinderpressverband 249 Zylinderrollenlager 184, 190