Aritmetica și teoria numerelor

Citation preview

ffllllSTERUL lnuAJAmlnTULUI FACULTATEA DE fflATEfflATICA - fflECAnlCA

cont. conST Anli n P. PoPouI c1

ARITMETICA SI TEORIA. NUMERELOR

EDITURA DIDACTICA 81 PEDAOOOICII, BUCUREITI - 1888 ;

PREFAŢĂ

Acest manual constituie cristalizarea lecţiilor pe care le ţinem în faţa studenţilor anului I de la Facultatea de matematică şi mecanică a Universităţii din Bucureşti, începînd din toamna anului 1957. Durata cursului este de un semestru şi considerăm că această durată este întru totul suficientă pentru predarea acestui curs, care este în deplină concordanţă cu programa analitică aprobată de Ministerul lnvăţămtntului. Cursul este astfel scris încît cine are o pregătire matematică medie şi dorinţa de a învăţa poate să şi-l însuşească fără un efort prea mare, teoria fiind concretizată prin exemple adecvate. La sftrşitul fiecărui capitol, cu excepţia capitolului al doilea şi al celui de al patrulea se găsesc suficiente exerciţii prin a căror rezolvare conştiincioasă cititorul poate fi sigur că a ajuns la inţe- . legerea deplină a teoriei învăţate din acest manual. Nădăjduim că acest curs va contribui şi la dispariţia mentalităţii greşite pe care o mai au unii amatori de matematici, mai ales cei care ştiu doar tabla înmulţirii, că de problemele aritmeticii şi ale teoriei numerelor se pot ocupa chiar şi ei. Deşi, poate, pare voluminos, totuşi acest curs nu cuprinde decît minimul strict necesar referitor la fiecare noţiune tratată, co.nstituit într-un tot organic. Aproape fiecare din capitolele din acest curs ar putea fi dublat de cite un capitol dintr-un alt volum, în care să fie tratate multe alte probleme înrudite. AUTORUL

Capitolul I

ELEMENTE DE TEORIA

MULŢIMILOR. MULŢIMI

§ t.

FINITE

MULŢIHI

Noţiunea de număr natural se capătă, într-un mod firesc, pornini de la noţiunea de mulţime finită. De aceea vom da, în cele ce urmează, cîteva elemente de teoria mul'ţ,imilor, scoţînd în evidenţă proprietăţile mulţimilor finite necesare pentru demonstrarea în continuare a proprietă­ ţilor numerelor naturale. In viaţa de toate zilele înţelegem precis despre ce este vorba atunci cînd spunem o haită de lupi, o herghelie de cai, un cîrd de gîşte, un stol de vrăbii, o cireadă de vaci, o turmă de oi. O haită de lupi, o herghelie de cai etc ... sînt exemple de mulţimi care ne arată o înclinare firească a oamenilor de a-şi contura cunoştinţele despre lume dind denumiri sugestive diferitelor aspecte ale unei noţiuni care li se impune prin importanţa sa. Pornind de la asemenea exemple, fiecare matematician îşi făureşte noţiunea de mulţime, pe care însă se simte în imposibilitate de a o defini, mulţumindu-se să dea exemple sugestive de felul celor de ·mai sus pentru a descrie, ~estul de incomplet, noţiunea despre care este vorba. Numai îmbogă­ ţindu-ne cunoştinţele cu numeroase exemple de mulţimi ajungem la deplina înţelegere a acestei noţiuni, chiar dacă nu sîntem totdeauna în stare să exprimăm pe deplin înţelegerea la care am ajuns. Lupii dintr-o haită, caii dintr-o herghelie etc ... le vom numi elementele mulţimilor respective. Denumirile care se dau mulţimilor se stabilesc prin convenţie, fiind stabilite printr-o convenţie tacită intre oameni chiar şi denumirile sugestive de mai sus, ca haită de lupi, herghelie de cai etc .... ln matematici se stabileşte prin convenţie ca denumirile mulţimilor să fie, de exemplu, literele mari din alfabetul latin şi deoarece iniţiala cuvintului mulţime este m vom nota mulţimile incepînd cu litera M, adică vom nota mulţimile cu literele M, N, P etc .... Elementele unei mulţimi le vom nota cu litere mici din alfabetul latin, iar pentru a exprima că a este un element al unei mulţimi M vom spune că a aparţine lui M şi vom scrie acest lucru astfel

a E M,

ELEMENTE DE TEORIA

6

unde

e

este semnul de

arătăm, dimpotrivă, că

MULŢIMILOR. MULŢIMI

apartenenţă a a nu aparţine

FINITE

unui element la o lui };[ vom scrie

mulţime.

Ca

să

aEf.M. Submulţime a unei mulţimi. Definiţie. O mulţime în care fiecare element este element al unei mulţimi considerate se numeşte submulţime a mulţimii considerate. Exemplu. lntr-un stup de albine, o submulţime este formată, de exemplu, din albinele lucrătoare. ObserCJaţie. Pentru a Jrăta că mulţimea N este o submulţime a mulţimii M, adică pentru a exprima că pentru 'orice aeN avem aeJJ1, se utilizează următoarea notaţie · ...

N~M sau M2 N. Se mai spune, în acest caz, că mulţimea N este inclusă în mul• ln cazul cînd mulţimea N nu este inclusă în mulţimea M scrie[!! acestr lucru astfel

ţimea M.

Submulţime proprie a unei mulţimi. Dacă într-o mulţime există cel puţin un element care nu se află într-o submulţime a sa, pom spune că această submulţime este o submulţime proprie a mulţimii considerate.

a

Observaţie. mulţimii M

Pentru a arăta că mulţimea N este o se utilizează următoarea notaţie

submulţime

proprie

NCM sau M :::> N. Această notaţie tnseamnă că NS M şi că există un element a al lui M (a e M) astfel încît a El: N. Observaţie. Cu mulţimi se pot face diverse operaţii şi, de asemenea, intre mulţimi se pot stabili diverse relaţii. Ca să putem face acest lucru nu vom privi mulţimile cu care lucrăm ca fiind elementele unei alte mulţimi, ci vom considera o mulţime suficient de cuprinzătoare şi vom lucra cu submulţimile ei. E indicat să procedăm tn acest mod, deoarece, tn unele cazuri, atunci ctnd se alcătuiesc mulţimi ale căror elemente stnt, de asemenea, mulţimi, ajungem la contradicţii care au căpătat denumirea de paradoxuri. Un astfel de paradox este următorul. Considerăm mulţimea, notată cu R, ale cărei elemente slnt toate mulţimile M pentru care

MEEM. Acum, dacă RE R, obţinem REF. R, pentru că pentru orice mulţime M pentru oare M e M avem M El: R, iar dacă R Ef. R obţinem RER, pentru că pentru orice mulţime M pentru care ME~ M avem M e R şi cum avem numaiR e R sau R f R 1nseamnă că avem simultan Re R şi R El: R, ceea ce nu se poate, fiecare din aceste situaţii neglnd-o pe cealaltă. Fie deci o mulţime suficient de cuprinzătoare, iar M, N, P, ... submulţimile sale.

MULŢIMI

Definiţie. Mulţimile

dacă

şi Observaţie.

M t 'l'EOlUA MutTIMILOl.l. MULŢIMI FlNI'tE

aparţin aparţin lui

care

lui S şi cu N1 S, obţinem

mulţimea

R = M 1 UN11,

tuturor elementelor lui N care

s = M11 UN1,

mulţimile MI şi NII stnt disjuncte şi, de asemenea, mulţimile MII stnt disjuncte, deoarece MI ~M, N 11 ~N, MII ~.

41

UN' NOU ASPECT AL NUMERELOl. NATURALE

Convenţie.

Vom nota cu

o pereche de numere naturale pentru care «>~Pentru perechile de numere naturale {rt>.~), (y::-;--8), ... putem introduce următoarea relaţie:

Definiţie.

.,e află

Vom spune că perechile de numere naturale (a.>.~), (y:=;-8) în relaţia - şi vom scrie acest lucru astfel (rt::;- ~) - (y>.8)

dacă

a=b, unde a.-~=a, y-8=b, a şi b fiind numere naturale. Se constată că relaţia ~ dintre perechile de numere naturale (rt>.~), (y>.8), .... ·este o relaţie de echivalenţă, deoarece relaţia de egalitate pentru numere naturale, cu care este definită relaţia ~ dintre perechile de numere naturale (rt~~), (y::;-,8), ... , este o relaţie de echivalenţă. Di1' această cauză, dacă strîngem· la un loc toate perechile (y>.8), ••. echivalente cu o pereche (rt>.~) vom obţine o mulţime de astfel de perechi care este o clasă de echivalenţă, pe care o vom nota, ca de obicei, cu Cc«::-;,,P> .• Relaţia de egalitate pentru aceste clase de echivalenţă va fi definită ca de obicei, prin egalitatea lor ca mulţimi şi atunci se spune că Cc«>,P> şi

Ccv>,a> sînt egale

şi

se scrie

dacă

(rt::;,~) ~ (y:::8). Observaţie. Să reţinem,

pentru viitor,

că

din (rt~~) ~ (r;:•8),

adică

din

a=b, unde a.-~=a, y-8=b rezultă rt=a+~, y=b+8, deci «+8=a+~+ +8=~+a+8=~+b+8=~+y, adică rezultă

rt+8=~+y. Ac~m vom defini suma şi produsul a două astfel de clase de echivalenţă luînd drept sumă a claselor Cc«>'3> şi Ccv>a> o clasă Co,>11-l astfel încît, dacă «-~=a

.

şi

.

y-8=b, atunci A-µ=a+b

.

şi

.

vom scrie

.

c(A>p.) = Cc«>'3) + Ccy>B) '

.

iar drept produs al claselor Cc«>'3> şi Ccv>a> luînd o clasă Cca>s> astfel tneît, .

.

•

I

.. •

f

I

dac4:~~~ . a_ şi .y~·a=b,'_'a'iuncţ. 6~_e_=ţ1,b.şi vom seri~

.

.

· · ·Cco>s>. = OCi> Ccv>.a> : '

42

NUMERE tNTREGI

ŞI PROPRIETAŢILE

LOR

Acest lucru poate fi scris sub forma

.

.

Cc«+Y>a+a> = Cc«>a> .

+ Ccy>. >

,

.

.

deoarece avem

a+b=(rx.+y)-(~+3),

ab·= (rx.y + ~3)-( rx.3 + ~y), atunci cînd rx.-~=a şi y-3=b. lntr-adevăr, din «-~=a şi y-3=b, deducem rx.=~+a, y=3+ b, deci rx.+y=(~+a)+(3+b) sau «+y=(~+3)+(a+b), deci a+b=(rx.+y)-(~+3) şi· în cazul produsului rx.y=(~+a)(3+b) sau «y=~3+~b+a3+ab, sau a.y+ +~3=~3+~b+a3+ab+~3 sau a.y+~3=(~+a)3+~(3+b)+ab, sau a.y+~3= =(rx.3+~r)+ab, deci ab= (rx.y +~3)-(a.3 + ~y). şi

Observaţie. Să reţinem, pentru viitor, forma sub care pot fi scrise suma produsul claselor de echivalenţă Cc«>a> şi Ccy>a), anume Cc«+Y>a+a> pentru

.

sumă şi

produsul a conform

două

clase de

definiţiei

.

.

date,

>~+3)~(1>µ), pentru

echivalenţă dacă

că

.

.

şi să

Cc«yHB?-cc8Hy) pentru produs

Ccoc=:-a>

şi

.

Co,>1&) este suma

(«+y)-(~+3)=a+b

reţinem că

mai

şi

suma

Ccy-::;,a> sînt unice, deoarece considerată

şi

. .

avem (a.+y>

Â-µ=a+b şi dacă Cco>e>

.

.

este produsul considerat avem (rx.y+~3 >a.3 +~y) - (8 >e), pentru

că

(a.y+

+~3)-(«3+~y)=ab şi 8- e=ab, deci Cc«+Y>a+a> =Co,>11,) şi CcccyHB>cc8HY)= .,.

-.

•

■•

•

•

•

•

'

...:...c(8~e) •·

·,şp~-nem că mulţimea claselor de echivalenţă

Cc«-:;-a> , ... constituie

un nou. aspect al numerelor naturale sau, mai concis, că este izomorfă cu numerelor naturale, deoarece: · · 1) ·între mulţimea numerelor naturale şi mulţimea claselor de echivalenţă C , .•• poate fi stabilită o corespondenţă biunivocă prin formarea urmămulţimea

toarelor peree/ii (a, Cc«-::;-a> ), unde rx.-~=a. Intr-adevăr, în fiecare astfel de pereche se află cite un singur număr natural şi cite o singură clasă de echivalenţă şi apoi fiecare număr natural a se află într-o astfel de pereche, dar numai în una singură, deoarece există o singură clasă de echivalenţă Cc«~~> în care rx.-~=a, pentru că

orice clasă de echivalenţă Ccy>B) în care y-3=a este identică cu l'c«>[3) t

•

UN· NOU ASPECT

şi,

de asemenea, fiecare

clasă

AI;

de

43.

NUMERELOR: ·NATtJRALE

echivalenţă

Cc«~l3) se

află

într-o - astfel

de pereche, dar numai în una singură, deoarece dacă facem diferenţa«-~ găsim un nutnăr natural a care va fi egal cu diferenţa y-8 pentru orice· alt reprezentant (y? 3) al aceleiaşi clase de echivalenţă Cc«:=;,!3>; 2) în perechile formate pentru stabilirea corespondenţei biunivoce de mai sus, numărul natural care e. suma a două numere naturale este împerecheat cu clasa de echivalenţă care e suma claselor de echivalenţă împerecheate respectiv. cu cele două numere naturale şi tot astfel numărul natural care e produsul a: două numere naturale este împerecheat cu clasa de echivalenţă care e produsul claselor de echivalenţă împerecheate respectiv cu cele dbuă numere naturale, deoarece dacă avem perechile (a, Cc«>l3>), unde «-~=a şi (b, C(y>a)); .

t

unde

y-8=b,

atunci

avem

(ab, Cc«>l3) Ccy>a)), deoarece .•

t

Şl

avem

I

perechile

.

.

.

(a+b, Ccoc>(3)+Ccy>8)} şi

perechile (a+b, Cl3+a>), unde ,

(«+y)-·(~+8)=a+b şi (ab, Cc«Y+l3B~«BH-r)}, unde («y+~8}-(oc8+~y} . ab,

iar. CHa>=Cc«>l3>+CCY>a> şi Cc«-r+aa>«a+l3-r>=Cc«>l3> Ca>• · Observaţie. Aceste două proprietăţi pe care le-am pus în evidenţă pentr:u a arăta ce înţelegem prin aceea cînd spunem că mulţimea claselor de echh valenţă Cc«::;,ah . . . este izomorfă cu mulţimea numerelor naturale .- sau, t

'

,

•

.

•

,

mai explicit, că constituie un nou aspect al numerelor naturale justifică pe deplin efortul făcut pentru a scoate în evidenţă mulţimea claselor de echivalenţă C, ... , deoarece pe de o parte orice calcul făcut cu numere naturale poate fi

-obţinut

cu ajutorul claselor de

echivalenţă

Cc«~l3h ...

substituind fie~ăruinumăl' natural clasa de echivalenţă. cu.car.e este împerecheat a_cest număr natural atunci cînd se stabileşte corespondenţa bi:univocă de mai cu clasele de echivalenţă Cc«>Dh ~ .• . sus şi invers orice calcul făcut .

.

poate fi obţinut cu ajutorul numerelor ~aturale substituind fiecărei clase de echivalenţă numărul natural cu care este împerecheată această clasă de echivalenţă atunci cînd se stabileşte corespondenţa biunivocă de Iifai sus şi pe de altă parte constatăm că mai avem la dispoziţie mulţimi de perechi de numere naturale, pe care le · vom nota cu C

făcind

parte numai perechile de numere naturale,

pe care le vom nota cu («-;'.'.~), (y-;'.'.8), ... şi în care ix precum şi cu fiecare Cc«

şi

.

fiecare Cc« etc. . . . .

Peµtru a preîntîmpina această dificultate, vom merge pe o cale ocolită, indicată de constatările:făcute cu ocazia găsirii unui nou aspect al numerelor naturale, iar rezultatul va fi acelaşi cu acela în care adăugăm elementele Cc«::-13h •• ; şi Cc«~l3h ••• la mulţimea numerelor naturale şi definim, ln mod· convenabil, suma şi produsul pentru fiecare pereche de el€mente noi obţinute, pe care, de acum în colo, le notăm cu a, b, c, ... şi pe care le numim- numere întregi, astfel incit ecuaţia

a=b+x să admită

pentru fiecare pereche de numere întregi a şi b, şi 1n particular pentru fiecare pereche de numere naturale a şi b, cite o soluţie c care să fie număr întreg, nu neapărat natural. Expunerea o vom face în mai multe etape.

Etapa I. Vom forma toate perechile posibile de numere naturale («, ~).

Etapa II. Vom defini o relaţie între perechile formate, în felul următor: vom spune că două perechi («, ~), (y, 8) se află Zn relaţia ~ şi CJom scrie· (cc, ~)-(y, 8) dacă 0t

+ 8 = (3 + y.

Obser'1aţie. Această definiţie este inspirată de observaţia făcută cu

ocazia definirii

egalităţii

Etapa· III. Vom

din§ 8 dintre clasele de

arăta că relaţia definită

echivalenţă

.

Cc«>l3)•

tn ·etapa II este o

relaţie

de

echiPalenţă.

lntr-adevăr, fiind date perechile (ex, (3), (y,8), avem sau ex+8=(3+y sau «+3~(3+y, deci sau avem («, (3) - (y, 8) (se citeşte (ex, (3) este echivalent cu (y, 8)) sau nu avem (ex, (3)-(y, 8) (se scrie («,(3)-,c.(y, 8) şi·se citeşte (ex, (3) nu este echivalent cu (y, 8)). Deci a) relaţia de mai sus este determinată. Apoi b) relaţia de mai sus este reflexi"ă adică («, (3) ~ (ex, (3); lntr-adevăr, avem ex+(3=(3+ex; c) relaţia de mai sus este simetrică, adică

(ex , (3) ~ (y , 8)--.(y , 3) ~ (« , (3 ). lntr-adevăr, din cx+3=(3+y deducem y+(3=3+ex; d) relaţia de mai sus este tranzitiPă, adică

(ot; (3)- (y, 3) & (y, 3) ~ (i\, p.)-+(ot, .(3) - (i\, p.).

46

NUMERE INTREGI

ŞI PROPlllBTAŢILE

LOR

Într-adevăr, din «+8=~+r şi y+µ=8+Â prin adunarea .membru cri membru deducem «+3+y+µ=(3+y+3+11. şi reducîndu-1 pe 3+r. obţinem ot+µ=(3+A .. Observaţie. Din cauză că(«, (3) ~ ((3, «) doar dacă ot=(3, perechile («, (3), ... de numere naturale le vom numi perechi ordonate, punînd în evidenţă, prin aceasta, faptul că perechea («, (3) nu este echivalentă cu perechea ((3, «), indiferent de valoarea numerelor naturale 0t şi (3.

· :Etapa IV. Vom ·strînge la un loc toate perechile ordonate de numere naturale ec_hiPalente cu o pereche ordonată («, (3) dată şi vom obţine o mulţime de perecht ordonate care este o clasă de echivalenţă, pe care o vom nota, ca de obicei, cu Cc«, '3)• Vom repeta această operaţie pentru fiecare pereche ordonată. Mulţimea Cc«, '3> o vom numi clasă de perechi ordonate echivalente, ţar perechea (ex, (3) va fi numită, ca de obicei, reprezentant al clasei Cc«, '3)·

_ · Relaţia de egalitate pentru aceste clase de echivalenţă o vom defini, de obicei, prin egalitatea lor ca mulţimi şi atunci se spune _că clasele Cc«. '3) şi Cc-r, a) de perechi ordonate echivalente sînt egale şi se scrie

ca

Cca., 13> = Cer,

8) ·

dacă

(«, (3) ~ (y, 3).

·., · · ~ţapa_ .V! Vom cţefi1:1i suma. şi produsul a două "clas~ = Cc«, 13) +Ccv,

_ia_r produsul ,

este clasa Ccixy+a8, «s+av>

şi

vom scrie

CcixyH8,«8+(3y)=Cc«, (3)Ccv, 8)•

Observaţie. ·Modul în care am definit suma şi· produsul° a două clase de perechi ordonate echivalente a fost inspirat de modul în care am definit · în § 8 suma şi produsul claselor de echivalenţă Cc«>'3), .... Vom demonstra următoarele proprietăţi: '

. · a) suma a două clase de perechi ordonate echivalente este unică, adică

dacă schimbăm reprezentanţii sumă,

claselor care se

adună obţinem aceeaşi clasă

cu alte cuvinte

dacă Cc«; 13>=Cc«', '3'> şi Ccv, 8>=Ccy•, a'>, atunci Cc«+v, '3+a>=Cc«'+v', '3'+a'>• Într-adevăr, avînd -Cc«.~>=Cc«',13') şi Cc-r, 8>=Cc-r',a') avem(«, (3)~ ~ («: (3') şi (y, 3) ~ (y', 3') deci «+(3'=~+«' şi y+3'=3+r'. Aceste relaţii

prin adunare membru cu membru ne dau «+(3' +r+8'=(3+«' +a+y' sau (cx+r)+((3'+3')=((3+3)+(«'+r'), deci {ot+y, (3+3)-(«'+r', (3'+3'), ceea ce înseamnă că Cc«+-r, Ha>=Cc«;+-r', ·13•+a·>; · .· b) produsul a două clase de perechi ordonate _echiva(ente _este unic, radică dacă schimbăm reprezentanţii

produs, cu alte cu'1inte

c'laselor care se

tnmulţesc -obţinem ·aceeaşi„ clasă

·· ·

·'

· · . . ,:~

dacă Cc«, 13 >=Cc«•, a'> şi Cc-r, a>=Ccy', a•>, atunci Cc«y+as, ~a+l3v>=Cc«•y•+~•a•, «'a'H'r'>·

NUMERE lNTllEGI

lntr.;.adevăr, avind

~ (ot',

W)

şi

Cc«. ~>=Cc«·.~·>

şi

47

Cc-,•.&·>=Cc.,•, a'> avem («; ~)-

(y , 8) ~ (y' , 8') deci «+~'=~+«'

şi

y+8'=8+y'. Vrem

să

arătăm că

(«y+~8, ot8+~y)- («'y' +~'8', «'8' +~'y') sau

că

avem («y+~8)+(«'8' +~'y')=(«8+~y)+(ot'y' +~'8').

1n acest scop, din relaţia «+~'=~+«' vom deduce relaţiile («+Wh=(~+«')y

şi

(~+«')3=(«+W)3.

Din relaţia y+3'=3+y' vom deduce relaţiile (y+8')ot'=(8+y')ot' Aduntnd membru cu membru aceste

şi

(8+y')~'=(y+3')~'.

relaţii,

deducem

(«+~'h+(~+«')3+(r+8')«' +(8+y')W= =(~+«')r+(«+W)B+(a+r')«' +(r+8')~'. Reducind pe ~'y+«'3+y«' +3~', deducem. («y+~8)+(«'8' +Wr')=(«8+~r)+(«'y'+~'8'), 'deci am dovedit că produsul este unic. Etapa VI. Vom arăta, acum, că printre clasele de perechi ordonate echiPalente Cc«-~> regăsim toate clasele de echiPalenţă Cc«>~>· ln acest scop vom demonstra următoarea proprietate: Dacă («, ~) şi (y, 8) sînt perechi ordonate de numere naturale care fac parte dintr-o aceeaşi clasă de perechi ordonate echiPalente, oricare ar fi aceste perechi, apem sau«>~, y>8 ş·i a.-~=y-8; sau «=~, y=8; sau «8 şi y-8=a. lnsă şi a.-~=a, deci «-~=y-8. . . Il) Dacă ot=~ relaţia «+8=~+y devine ~+8=~+y şi reducindu-1 pe ~ o~inem y= a. . fil) Dacă ex.

Definiţia numerelor întregi. Un număr întreg este o clasă de perechi ordonate echivalente definite mai sus cu excepţia cazului lind clasa considerată este Cc«::;,-P> în care caz numărul tntreg este numărul natural corespunzător

a=«-~.

.

Substituind pe Cc«?f3> cu a=«-~ ori de cite ori îl intilni~ pe Cc«::;,-'3> în definiţia sumei şi produsului a două clase de perechi ordonate echivalente, obţinem definiţia sumei şi a produsului a două numere întregi.

Observaţie. Această

substituire a

fiecărui

Cc«::::'3> cu

numărul

natural

corespunzător

a=«-~ stabileşte un izomorfism intre mulţimea claselor de perechi ordonate echivalente şi m~ţimea numerelor întregi, deoarece 1) această substituire este, mai întti, o corespondenţă biunivocă între mulţimea claselor de perechi ordonate echivalente şi ·mulţimea numerelor întregi, fiecare Cc«::;,-P> fiind împerecheat cu numărul natural corespunzător a=«-~,

iar fiecare Cc«:.:'3>

şi

Cc«~CJ, fiind împerecheat cu el

însuşi,

nefiind nici o

dificultate de a arăta că fiecare clasă de perechi ordonate echivalente se află într-o pereche şi numai în una singură şi că fiecare număr întreg se află întţ-o pereche şi numai în una singură, mai ales că o parte din această demonstraţie a şi fost făcută atunci cînd am arătat în § 8 că mulţimea numerelor naturale ·este izomorfă cu_ mulţimea claselor de echivalenţă Cc«:::'3>, ••• ; 2) această substituire face, apoi, ca în perechile formate pentru stabilirea corespondenţei biunivoce de mai sus clasa de perechi ordonate echivalente care este suma a două clase de perechi ordonate echivalente să fie împerecheată cu numărul întreg care este suma numerelor întregi împerecheate respectiv cu cele două clase de perechi ordonate echivalente şi tot astfel clasa de perechi ordonate echivalente care este produsul a două clase de perechi ordonate echivalente să fie împerecheată cu numărul întreg care e produsul numerelor întregi împerecheate respectiv cu cele două clase de perechi · ordonate .echivalente. Din cauza acestui izomorfism, orice calcul făcut cu numere întregi poate fi obţinut cu ajutorul claselor de perechi ordonate echivalente, substituind_ fiecărui număr întreg clasa de perechi ordonate echivalente cu oare acest număr este împerecheat în corespondenţa biunivocă de mai sus şi invers, orice calcul făcut cu clase de perechi ordonate echivalente poate fi obţinut cu ajutorul numerelor întregi substituind fiecărei clase de perechi ordonate echivalente numărul întreg cu care această clasă este tmperecheat_ă 1n corespondenţa biunivocă de_ mai sus. , . Vom ·prefera să facem calculele cu clasele de perechi ordonat~ echiva-

lente, deoarece cu ·aceste clase calculele se fac mai comod dectt cu numere tntregi. · · ·

49

NUMERE lNTREGI

_şi

Primul calcul de acest gen să-l facem pentru a arăta că dacă Cccx.B> Ccy,a) sînt clase de perechi ordonate echif-•alente oarecare, atunci ecuaţia Cca,13> = Ccy,8) +x

admite o

soluţie

care este o

clasă

de perechi ordonate echiCJalente. Cccx+a, HYh atunci Ccy,B) + +C=Ccy+cx+a, a+Hy)=Cca,a>, deoarece (y+cx+8, 8+~+y) ~ (ex, ~), pentru că (y+cx+8)+~=(8+~+y)+cx. Observăm că procedeul prin care a fost stabilit faptul că ecuaţia Cca a>= =Ccy,a)+x are soluţii a fost acela de a da efectiCJ valoarea soluţiei şi de' a o verifica. Altfel nu are sens să căutăm această soluţie, deoarece dacă ne apucăm să transformăm ecuaţia Cca,a)=Ccy,8)+x pentru a găsi soluţia x lntr-adevăr, dacă punem în locul lui x pe

inseamnă că am admis că soluţia x există, pentru că altfel nu putem face transformări, deci dacă am admis că soluţia există fără să ştim că există, nu mai avem ce dovedi, iar dacă nu admitem că soluţia există nu avem

dreptul să facem transformări ale ecuaţiei Cca,a>=Ccy,8)+x, pentru că ar însemna să facem operaţii utilizind un element necunoscut x despre care nu ştim cum se comportă la transformările pe care le facem. Singura metodă de a dovedi existenţa lui x din Cccx.13>=Ccy,8)+x e.;te de a-l intui (ghici) pe x şi de a-l verifica. ln P,articular, ecuaţia de mai sus admite o soluţie dacă Cc«,!3> este Cc«::::13>, iar Ccy,a) este Ccy-;;:;a>, deci admite o soluţie şi în cazul cînd, trecind la numere întregi, locul lui Cca>,B) este iar locul lui Ccy-::;,-a> e luat de numerelor întregi

luat de numărul natural a=cx-~,

numărul

natural b=y-8, deci in cadrul

ecuaţia

a=b+x admite cite o soluţie c care este un număr întreg pentru fiecare pereche de numere naturale a şi b. Rezultatul la care am ajuns este acelaşi cu acela la care am fi ajuns adăugind la numere naturale mulţimile de perechi de numere naturale Cc«~a>,·· şi Cc«-;:::a>,··· şi definind, în mod convenabil,_ suma şi produsul pentru fiecare pereche de elemente noi obţinute, pe care le vom nota, de acum încolo, cu a, b, c, ... şi pe care le vom numi numere întregi, astfel . incit ecuaţia

a=b+x să aibă

pentru fiecare pereche de numere întregi a şi b, şi in particular pentru fiecare pereche de numere naturale a şi b, cite o soluţie c care să fie număr întreg, nu neapărat natural. Notaţiile utilizate în eazul numerelor întregi. Numerele naturale se notează ca şi mai înainte. Clasa Cc«=; !3) se notează cu simbolul O, c~re se numeşte

zero, iar clasa Cca~f3> se

natural, punind o liniuţă în - b va fi citit minus b. 4 - Aritmetica 1i teoria numerelor

faţa

notează

lui b,

cu -b, unde b=~-cx este

liniuţa

fiind

numită

minus

număr şi

deci

50

NUMERE lNTREGI

ŞI PROPRIETAŢILE ţ.OR

Numerele naturale le vom mai numi şi numere întregi pozitive, iar cla8ele de forma Cc«~ !3) le vom numi şi numere întregi negative. _ Conform obişnuinţei, notaţiile numerelor întregi vor fi considerate ca fiind chiar numerele întregi respective, explicaţia acestui mod de a privi lucrurile stînd în aceea că prin substituirea numerelor întregi cu notaţiile respective se stabileşte un izomorfism între numerele întregi şi notaţiile respective la fel cum între clasele de perechi ordonate echivalente şi numerele întregi s-a stabilit un izomorfism prin substituirea claselor Cc«-::; l3), . . . prin numere natural_e respective. . Numerele naturale şi zero le vom mai numi iar numerele negative şi zero le vom mai numi

şi şi

numere întregi nenegative, numere întregi nepozitive.

§ 10. PROPRIETĂŢI ALE Ol'ERAŢIILOR DE ADUNARE, DE ÎNMULŢIRE ŞI ALE RELAŢIEI DE EGALITATE PENTRU NfillERE ÎNTREGI. INELUL NfillERELOR lNTREGI

Vom stabili aceste proprietăţi cu ajutorul claselor de perechi ordonate echivalente, pe care, însă, le vom numi numere întregi. 1° Relaţia de egalitate între numere întregi este o relaţie de e~hivalenţă. Într-adevăr, fiind date două numere întregi Cca, !3) şi Ccy, a) avem sau (rt, ~)-(y, 8) sau (rt,~)"'-(y, 8), deci ~vem sau Cca,l3>=Ccy,a)sau Cc«t13)=/=Ccy,B) şi apoi a) relaţia de egalitate între numere întregi este reflexivă, adică Cca, 13> =Cca, 13> , deoarece (rt, ~) ~ («, ~); b) relaţia de egalitate între numere întregi este simetrică, adică dacă Cc«,l3>=Ccy,a>, atunci Ccy,a)=Cc«,B>, deoarece din («, ~) ~ (y, 8) rezultă (y, 8) ~ («, ~); c) relaţia de egalitate între numere întregi este tranzitivă, adică dacă Cc«tl3>=Ccy,a> şi Ccy,a)=Co.,v.> atunci Cca,l3)=Co,,v.h deoarece din (rt, ~) ~ (y, 8) şi (y, 8)- (A,µ.) rezultă (rt, ~)- ('.A, µ.). 2° Adunarea este asociati.vă, adică (Cc«,13>+Ccy,a>)+Co.,v.>=Cc«,13>+(Ccy,a>+Co,,v.>)Demonstraţie. (Cc«.13> +Ccy,a)) +ce>.,v.)=Cca+y,13+a>+Co,,i.c.>=C«a+y)H,Cl3+a>+1t>= =Cc«+("fH>,HCa+i.c.>>=Cc«,13>+c(YH, a+i.c.> =Cc«,13>+(Cc~.a)+Co.,i.c.>)30 Adunarea este comutativă, adică Cc«,(3)+C(y,a)=Ccy,8)+Cca,13)•

Demonstraţie. Cc«tl3>+Ccy,a>=Cca+y, 13+a>=Cc~"' a+l3>~CCY.a> +Cca,13>·

Ecuaţia Cccx,13)=Ccy,a)+x are o soluţie care este unică. Demoristraţie. Existenţa soluţiei o dovedim punînd in Cccx+&, 13+y) şi verificînd-o. Această verificare am făcut-o în

4°

. locul lui x pe §. 9.

51

INELUL NUMERELOR INTREGI

Unicitatea soluţiei o· dovedim prin reducere la absurd presupuntnd avem două numere întregi C şi Ccz, k) pentru care C-= C(y, &) + x. are o soluţie, care e număr întreg, oricare ar fi perechea de numere întregi Cc«, ah Cc-r, a>, fără _a pune în evidenţă şi faptul că această soluţie este unică, se spune că mulţimea numerelor întregi este grup pentru operaţia de adunare. Din cauză că operaţia de adunare are proprietatea de comutativitate se spune că mulţimea numerelor întregi este grup comutativ pentru operaţia de adunare. Din cauză că aici e vorba de operaţia de adunare, acest lucru se mai exprimă spunînd că mulţimea numerelor întregi este grup comutativ aditiv sau că mulţimea. numerelor întregi este grup abelian, adjectivul abelian provenind de la numele matematicianului Abel care a studiat pentru prima oară astfel de grupuri. 5° Jnmulţirea este asociativă, adică că

(Cccx. a>Cc-r, a>)Cc,•• 11 >=Cccx. ,n(Ccv, a>Cv., 11>)Demonstraţie.

(Cccx, a>C.+(3y1H&µ)•

reprezentanţii

claselor care

Cccx, 13)C(y, &)=Ccy, &)C(cx, 13)· Demonstraţie.

Cc«, 13 >C(y, &> = Cccxy+aa, ci&+13y), Ccy, &)Cca:, 13)= Ccyr.c+&13, y'3+&«>· Numerele întregi obţinute sînt egale, deoarece reprezentanţii claselor care sînt aceste numere întregi sînt identici. 7° Există un element Cc«+t,cx) neutru la înmulţire, adică Cc«+t,cx> Cc-r, a>=Cc-r, &>· Acest element neutru se mai numeşte unu. Demonstraţie.

Cc«+t,«> Ccy, a>=Cc«Y+Y+«a, cia+a+cxy) . Avem («y + y + «8, «8 + 8+ «y) ~ (y, 8). deoarece («y + y + a.8) + 8=(cx8 + 8 + cxy) +r, deci Cc«Y+-r+cx&,«&+&+cxy)=Cc-r, a>, . ~

52

NUMERE lNTREGl ŞI PROPRIEtAŢILE LOR

Obser{)a_ţie. Deşi produsul a două numere întregi este unic oricare ar fi aceste numere întregi şi deşi operaţia de înmulţire are proprietatea de asociativitate, totuşi mulţimea numerelor întregi nu este grup pentru operaţia de înmulţire, deoarece fiecare ecuaţie_ Cc«, rn=Ccy, &)X nu are- cite o soluţie, care să fie număr întreg, oricare ar fi perechea de numere întregi Cc«. a>, Ccv, &>• Ca să ne dăm seama de acest lucru să luăm ecuaţia Cca. rn=Ccv, &)X, unde Cc«, '3) şi Ccy, &) sînt numere naturale, astfel alese ca să nu putem găsi nici un număr natural Ccm, n> incit Cc«, r3)=Cc-r, &) Ccm, n>• Am arătat în § 8, cap Il, la operaţia de împărţire a numerelor naturale că există astfel de numere naturale Cca, '3) şi Cc-r, &)· Dacă admitem, acum, prin absurd că ecuaţia de mai sus, adică Cca, a>= =Ccv, &)X, are ca soluţie x un număr întreg Ccm, n), acest număr întreg trebuie să nu fie număr natural, deci trebuie ca m=n sau m este număr natural avem oc>~, deci şi ym+8n>yn+8m. lnsă Cc-r, &) este număr natural, deci y >8. ln cazul cînd m=n, obţinem ym+8n=yn+8m, iar în cazul cînd· 11,,=Ccv. &) x nu are ca soluţie x nici un număr natural, atunci această ecuaţie nu are ca soluţie nici un număr întreg, deci fiecare ecuaţie Cc«. a>=Ccv, &) x nu are cîte o soluţie rare să fie număr întreg, pentru orice pereche de numere întregi Cca. ,(3>, Ccv, &)· Vom arăta, mai tîrziu, că prin adăugare de elemente noi la mulţimea numerelor întregi, definind suma şi produsul pentru fiecare pereche de elemente noi.obţinute, vom căpăta elemente, pe care le vom nota cu a, b, c, ... şi pe care le vom numi numere raţionale, pentru care ecuaţia

a=bx

va avea, pentru fiecare pereche de numere raţionale a şi b, unde b =#=O, şi _în particular .pentru fiecare pereche de numere întregi a şi b,. unde b=#=O, cite o soluţie c care va fi număr raţional, nu neapărat întreg. 8° lnmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică Cca,

13>

(Ccy, &>+CcA, µ))=Cc«,

13>

Ccy, &>+Cccx, a> CcA, µ)•

Demonstraţie.

Cc«. (3)(C(y, &)+CcA,11)) =Cccx,(3)c(Y+A,&+JJ)=Cc«•,+rr.Ha&H11, cx8+«11HYHA) şi Cc«. (3)Ccv. &)+

+C(cr, (3) C(Â, µ) = C(ixy+(3&, «H(3Y) +CccrH(3µ, crµ+'3)..) = CCcryHa+rr.HP11, rr.8HY+«1&HÂ) • Numerele întregi obţinute sînt egale, deoarece reprezentanţii claselor care sînt a9este numere întregi sînt identici.

0

RELAŢIA

53

DE INEGALITATE lNTRE DOUA NUMERE lNTREGI

Observaţie. Proprietatea 4° care spune că e_cuaţia Cc«, p)=Cc-r, a> +x are o soluţie care e unică ne defineşte diferenţa a două numere întregi, anume Cc«+&, Hy)=Cc«. p)-C(y, &) şi ne mai arată că diferenţa a două numere intregi este unică. Pentru a exprima în mai puţine cuvinte toate proprietăţile de mai · sus ale operaţiilor de adunare şi de înmulţire ale numerelor intregi se spune că mulţimea numerelor întregi este un inel eomutativ cu element unu. : · Se .numeşte inel, pentru că adunarea, scăderea şi inmulţirea a două numere •întregi ne dă ca rezultat tot un număr întreg şi pentru fiecare pereche de numere întregi suma şi produsul sînt unice; inelul e denumit comutativ numai din cauză că operaţia de înmulţire este comutativă şi inelul e denumit cu element unu din cauză că există element neutru la înmulţire.

§ H. RELA'fIA DE INEGALITATE INTRE DOUĂ NU.MERE L'VTREGI

Definiţie. Un număr notează prin

întreg a este mai mare decît un

număr

întreg b,

ceea ce se

b'.A, deci există un număr natural c astfel incit µ=11.+c, deci avem rt+8+'.A=~+y+i..+c-şi reducîndu-1 pe  obţinem (X+8=~+y+c, deci ~+Y >Cc.,, &> , Cc«, B>, deci una şi numai una din relaţiile

a=b,

a>b,

a este (oe, ~), iar al lui Ccv, &) este (y, 8). Cu oricare pereche («', ~'), (y', 8') de ·reprezentanţi respectiv ai lui Cc«, B) şi Ccv, a>, obţinem aceeaşi relaţie dintre relaţiile a= b, a >b, ab, a< b. 2°, 3°. La ambii membri ai unei relaţii de inegalitate între două numere întregi putem aduna un acelaşi număr întreg fără ca sensul inegalităţii să se schimbe şi din ambii membri ai unei relaţii de inegalitate între două numere întregi putem scădea un acelaşi număr întreg fără ca sensul inegalităţii să se schimbe. · Observaţie. Proprietăţile 2° şi 3° le-am grupat împreună, deoarece în cazul numerelor întregi operaţia de scădere se poate efectua cu orice pereche de numere întregi. 4° Două relaţii de inegalitate între numere întregi de acelaşi sens se pot aduna membru ţu membru păstrînd sensul comun al inegalităţilor. Observaţia cu privire la efectuarea fără precauţii în plus a scădeţii membru cu membru a două relaţii de inegalitate de acelaşi sens se menţine în întregime şi în cazul numerelor întregi împreună cu exemplele date la numere naturale. · 5° Relaţia de inegalitate este tranzitivă. 6° Ambii membri ai unei relaţii de inegalitate între două numere întregi pot fi înmulţiţi cu un acelaşi număr natural, fără ca sensul inegalităţii să se schimbe. 7° Ambii membri ai unei relaţii de inegalitate între două numere întregi pot fi împărţiţi cu un acelaşi număr natr,iral, în cazul cînd împărţirea se poate efectua în ambii membri ai relaţiei de inegalitate fără ca sensul inegalităţii să se schimbe. ., Observaţie. ln cazul numerelor întregi, proprietatea 8°, § 7, cap. II, nu este adevărată şi din contra trebuie să ne ferim, fără a lua precauţii în plus, să efectuăm înmulţirea membru cu membru a două relaţii de inegalitate de acelaşi sens, în cazul numerelor întregi, deoarece sensul inegalităţii care rezultă nu este totdeauna nici cel comun sensului inegalităţilor date, nici contrar acestuia . . Pentru a dovedi că lucrurile stau într-adevăr în felul arătat în această observaţie, vom da două exemple, ·primul în care sensul inegalităţii care rezultă este comun sensului inegalităţilor date şi al doilea în care sensul inegalităţii care rezultă este contrar sensului inegalităţilor date. Primul exemplu îl constituie chiar - proprietatea 8°, § 7, cap: II, deoarece şi numerele naturale sînt numere întregi. Exemplul al doilea. Vom utiliza clasele de perechi ordonate echivalente şi vom lua următoarele inegalităţi

Cc«,a> < Ccy,a) şi Cc,.,11) < Cce,a> , unde °'=Cc«. i>Cc,•• "> şi Cc-ri+aµ, vµ+a>.>=Cc-r. &>Co.• 1,1), deci Cc«, ~>Cc,-, J.L>., 1,1) sau acb, atunci există o pereche de numere întregi q, ·denumit cit, şi r, denumit rest, astfel încît

a=bq+r

şi

O-c, deci avem am= =cm, ... , ak+i=ck+i, dar ak=f=ck, unQe 0~k~m. Putem avea· ak>ck sau ·, • . akc conform teoremei 2, deoarece 4>3. Dacă trecem aceste numere în baza opt, aplicînd algoritmul sistemelor ~e numeraţie, . 4588 =58 =28

=4

5731--;r,~

3994

8

=13

=5

8

8

=7

i I : 1~ 1

O

obţinem a=10754 şi c=7632 deci a>c conform teoremei 1, deoarece a este exprimat. cu mai multe cifre decît c. Din acest exemplu se vede că utilizarea teoremei 1 sau 2 pentru aceeaşi pereche a, c de numere naturale depinde de baza sistemului de numeraţie.

§ 24. UTILITATEA FOLOSmII SISTEMELOR DE NUMERAŢIE : 1N BAZE DIFERITE DE BAZA ZECE

ln tehnica calculului, maşinile electronice de calcul utilizează numerele întregi scrise în baza doi. Aceasta se datoreşte faptului că cifrele O şi 1 din baza doi pot fi materializate prin tensiuni electrice, anume cifra O se materializează printr-o te~siune joasă (sau lipsa oricărei tensiuni), iar cifra 1 se materializează printr-o tensiune înaltă. Aceste tensiuni acţio­ nează scheme electronice formate din tuburi electronice şi alte elemente, iar după felul cum e construită schema electronică şi după felul cum so produce acţionarea acestor scheme se realizează adunarea, înmulţirea etc .... a numerelor întregi scrise în haza doi. Rezultatul calculului maşina îl dă în baza zece datorită unor circuite electronice care fac trecerea rezultatului din baza doi în haza zece, iar rezultatul este imprimat cu ajutorul unei maşini de scris acţionată într-un mod corespunzător. Dacă maşina electronică de calcul nu are dispozitive pentru conversiunea rezultatului din haza doi în baza zece,. atunci imprimarea rezultatului se face cu ajutorul unei 1

I '

,.

.,

100

SISTEME DE

NUMERAŢIE

maşini

de scris care este acţionată de tensiunile electrice corespui:i,zătoare celor două cifre. Uneori rezultatul este vizualizat pe un panou ·cu ajutorul unor becuri cu neon în felul următor:

oo

oo

o o

Becurile aprinse ne indică cifra 1, iar cele stinse cifra O. Numărul obţinut este 010110=0·2 5 +1 ·24 +0·2 3 +1 ·2 2 +1 ·2 +0=1 . 24 + 0·2 3 + 1 ·2 2 + 1 ·2 +o= =10110 şi se vede că cifrele O care apar în faţa numărului obţinut pot fi suprimate astfel ca să obţinem un număr întreg în care prima cifră să fie o cifră semnificativă în cazul cînd numărul întreg nu este egal cu zero, deoarece dacă în cazul lui zero suprimăm toate zerourile nu mai rămînc nimic. Observaţie. Se constată că în maşinile electronice de calcul se face o dero. gare de la regula de a scrie numerele naturale sub forma amam-1 .\

•••

a2a1a0 , unde am=f=0.

ln aceste maşini, fie care cifră se datoreşte unei · scheme electronice şi în fiecare moment schema electronică respectivă se exteriorizează printr-o cifră, deci dacă exteriorizarea se face prin cifra O, această cifră apare, indiferent dacă este la începutul, în interiorul sau la sfirşitul numărului. · Nu e lipsit de interes de a arăta că se mai utilizează şi cu alte ocazii combinaţii de cifre în care prima cifră este cifra O (zero). · · Astfel din motive tehnice avem numărul de telefon 03, pe care dacă-l formăm, putem căpăta o informaţie. Formarea la telefon atît a numărului O cit şi a numărului 3 în ordinea indicată, face ca anumite circuite electrice să intre în funcţiune realizînd legătura cu serviciul de _informaţie al P .T .T .R. (poşta-telegraf-telefon-radio). Nefăcîndu-1 pe O ci doar pe 3, nu vom căpăta nici un fel de informaţie. . De asemenea, din cauza op~raţiei de înseriere a unor obiecte utilizăm combinaţii de cifre în care prima cifră poate fi O (zero). Astfel biletele de fotbal pentru stadionul 23 August, din cauză că acest stadion are o capacitate de aproximativ 100 OOO de locuri, au pe ele numere formate din cinci cifre, ca, de exemplu, 00336. Aceasta arată că mai mult de 99 999 de bilete nu au fost emise, 99 999 reprezentînd cel mai mare număr natural care se poate forma din cinci cifre. Scriindu-l pe O o dată sau de mai multe ori în faţa scrierii într-o bază a unui număr natural, acest număr natural nu se va mai exprima într-un singur fel, deoarece diversele sale exprimări vor avea un număr diferit de cifre. O modificare mai profundă a teoremei fundamentale a sistemelor de numeraţie o dă următoarea variantă a acesteia . . Teoremă. Orice număr întreg a diferit de zero poate fi scris sub forma' a=ambm +am-1 bm-1 + .•. +a2 b2 +a1 b +a0 ,

1·,,

'I

'

,/

UTILITATEA FOLOSIRII SISTEMELOR DE

NUMERAŢIE

101

unde b este un număr -~ntr~g diferit de O, 1 şi -1, iar am=f=.0, 1am I< lb I, lam-1 I< lb I, ... , ll½ I< lb I, I~ I< lb I, lao I< lb I, am, am-1, ... , l½, ~, a0 , fiind mimere întregi. _ . Demonstraţia acestei teoreme rezultă direct din demonstraţia teoremei . fundamentale a sistemelor d~. numeraţie, deoarece dacă a este un număr natural, obţinem mai întii

•. ·

a=cm lb lm+cm-1 lb 1m-1 +. • •+c2 lb l2 +c1 lb I+co, unde 0