Teoria Aritmetica De Formas Cuadraticas

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Teor´ıa Ar´ımetica de Formas cuadr´aticas Hugo Castillo

´ Indice general 1. Formas Cuadr´aticas 1.1. Formas Cuadr´aticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Restos Cuadr´aticos y Reciprocidad cuadr´atica . . . . . . . . . . . 2. Clases de Formas 2.1. Formas reducidas . . . . . . . . . 2.2. El Caracter Cuadr´atico . . . . . . 2.3. Representaci´on de n´umeros primos 2.4. Mas all´a . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

5 5 9

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13 13 17 19 21 22

3. Ap´endice 3.1. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sistemas de Residuos . . . . . . . . . . . 3.3. Sistemas de Ecuaciones en Congruencias 3.4. Congruencias Polinomiales . . . . . . . .

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25 25 27 30 32

3

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Cap´ıtulo 1

Formas Cuadr´aticas 1.1.

Formas Cuadr´aticas binarias

Por forma cuadr´atica binaria entenderemos un polinomio homogeneo coeficientes enteros de grado 2, es decir un f ∈ Z[X, Y] de la forma f = aX 2 + bXY + cY 2 . De ahora en adelante llamaremos Q al conjunto dichos polinomios. En estas notas estudiaremos la teor´ıa de ecuaciones diof´anticas del tipo aX 2 + bXY + cY 2 = N donde N ∈ Z, la cual fue desarrollada por matem´aticos como Gauss, Euler, Lagrande, Legendre, entre otros. Denotemos Q al conjunto de formas cuadr´aticas, es decir Q = {aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Z[X, Y] / a, b, c ∈ Z} Definici´on 1 Diremos que n ∈ Z es representado por f ∈ Q si existen a, b ∈ Z coprimos tales que n = f (a, b). Si adem´as a y b son coprimos, diremos que n es propiamente representado por f . La representaci´on propia es una condici´on razonable ya que vamos a estar interesados en estudiar cuando un n´umero primo es representado por una forma cuadr´atica primo. 5

 a b/2 ∈ M2 (Q ). Es claro b/2 c
que f esta totalemente determinada por M f , es mas en M2 Q [X, Y] tenemos la igualdad !
X f = X, Y M f Y Para f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Q denotemos M f =



Definici´on 2 Dadas f, g ∈ Q se dir´an linealmente equivalentes, lo que denotare  p q mos f ∼ g, si existe una matriz invertible ∈ GL2 (Z) tal que r s f (X, Y) = g(pX + qY, rX + sY). Si adem´as ps − qr = 1 diremos que f y g son propiamente equivalentes lo que denotaremos por f ∼ p g. Si f, g son equivalentes para resolver la ecuaci´on g(X, Y) = n, bastar´ıa resolver f (X, Y) = n ya que si (u, v) ∈ Z2 es soluci´on de esta entonces (pu+qv, ru+sv) ser´ıa soluci´on de nuestro problema original. Para entender mejor este cambio lineal introduscamos la siguiente operaci´on: ∗

: GL2 (Z) × Q −→ Q (A, f ) 7−→ A∗ f

donde para A =



p r

 q ∈ GL2 (Z) definimos A∗ f = f (pX + qY, rX + sY). s

Lema 1 Si f ∈ Q y A ∈ GL2 (Z) entonces M A∗ f = At M f A. Basta notar que, A∗ f

= (pX + qY, rX + sY)M f



 pX + qY , rX + sY

  X = (X, Y)At M f A , Y por tanto M A∗ f = At M f A. Propocisi´on 1 La equivalencia lineal es una relaci´on de equivalencia.

Prueba: Para A, B ∈ GL2 (Z), de lo anterior para g = (AB)∗ f tenemos M g = (AB)t M f AB = Bt At M f AB = Bt M A∗ f B = M B∗ (A∗ f ) , por lo tanto (AB)∗ f = B∗ (A∗ f ), es decir la equivalencia lineal es transitiva. La reflexividad y simetr´ıa siguen de que f = I ∗ f y si g = A∗ f entonces (A−1 )∗ g = (AA−1 )∗ f = f .  Definici´on 3 (Discriminante) Dada f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Q definimos su discriminante como ∆( f ) = b2 − 4ac. Sea f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Q con a , 0 y D = ∆( f ), complentando cuadrados obtenemos: 1 b
f = a X + Y 2 − DY 2 , 2a 4a de aqui es claro que si a > 0 y D < 0 entonces fuera del origen f solo toma valores positivos y si a > 0 y D > 0 entonces f toma tanto valores positivos y negativos. Propocisi´on 2 El discriminate es invariante por equivalencia lineal, es decir si f, g ∈ Q y f ∼ g entonces ∆( f ) = ∆(g). Prueba: La prueba la dejamos como ejercicio para el lector.



Definici´on 4 Para f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Q dir´emos que: 1. f es primitiva si a, b, c son coprimos. 2. f es definida positiva si f (u, v) > 0 para todo (u, v) ∈ Z2 \ {(0, 0)}. Claramente si dos formas son linealmente equivalentes toman los mismos valores, en particular el hecho de ser definida positiva es un invariante por equivalencia lineal. Para ver que el ser primitiva tambi´en es invariante requerimos el siguiente lema: Lema 2 Sea p un n´umero primo impar y A ∈ Mn (F p ) sim´etrica. Si para todo u ∈ (F p )n , ut Au = 0 entonces A = 0. Prueba: Sean e1 , . . . , en los vectores can´onicos de (F p )n y A = (ai j ), como eti Ae j = ai j en particular tenemos que aii = 0. Por otro lado 0 = (ei + e j )t A(ei + e j ) = eti Ae j + etj Aei = ai j + a ji , Por simetr´ıa 2ai j = 0 por tanto como p , 2 sigues que ai j = 0.



Propocisi´on 3 Si una forma es primitiva, todas las formas linealmente equivalentes a esta son primitivas. Prueba: Sea f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Q primitiva g = A∗ f . Para p , 2, M f tiene sentido en M2 (F p ) y del hecho que f es primitiva sigue que M f , 0 en M2 (F p ). Por otro lado, como M g = At M f A y A es invertible M2 (F p ) sigue que M g , 0 en M2 (F p ) por tanto los coeficientes de g tienen maximo com´un divisor coprimo con p. Para el caso p = 2 bastar´ıa analizar las siguientes formas: X 2 + XY + Y 2 ,   a b X 2 + Y 2 , X 2 + XY, X 2 y XY. Por ejemplo para f = X 2 + XY + Y 2 y A = c d tenemos que en F2 [X, Y], A∗ f

=

f (a, c)X 2 + (ad + bc)XY + f (b, d)Y 2

=

f (a, c)X 2 + XY + f (b, d)Y 2 ,

el cual es primitivo. Los demas casos se dejan como ejercicio para el lector.



Notemos que para f ∈ Q, ∆( f ) ≡ b2 m´od 4 por tanto solo puede tomar los valores 0, 1 m´od 4. Esto nos motiva a definir: Definici´on 5 Para D ≡ 0, 1 mod 4 definimos Q(D) = { f ∈ Q / f es primitiva, definida positiva y ∆( f ) = D}. Hasta ahora hemos trabajado con equivalencia lineal, mas ahora vamos a detenernos a estudiar que pasa con la equivalencia propia. En este caso nos restringimos a S L2 (Z) × Q −→ Q bajo la operaci´on (A, f ) 7−→ A∗ f . Ya que las formas propiamente equivalentes son linealmente equivalentes, la equivalencia propia preserva formas primitivas, formas definidas positivas as´ı como al discriminante, por tanto preserva Q(D). Otra propiedad interesante de la equivalencia propia es su relaci´on con la representaci´on propia, la cual vamos a ver a continuaci´on. Lema 3 Una forma f ∈ Q representa propiamente a un entero m si y solo s´ı f es propiamente equivalenta a una forma mX 2 + bXY + cY 2 con b, c ∈ Z.   a b Prueba: Si para A = ∈ S L2 (Z) tenemos que A∗ f = mX 2 + bXY + cY 2 c d evaluando en (1, 0) obtenemos que f (a, c) = m. Por otro lado f (u, v) = m con u, v ∈ Z coprimos, como existen r, s ∈ Z tales que ru + sv = 1, podemos construir   u −s B= ∈ S L2 (Z) y f ∼ p B∗ f = f (u, v)X 2 + bXY + f (−s, r)Y 2 .  v r

Propocisi´on 4 Sea D ≡ 0, 1 mod 4 y m un impar coprimo con D. Entonces m es propiamente representado por una forma en Q(D) si y solo s´ı es D ≡ a2 mod m para alg´un a coprimo con m. Prueba: Si m es representado propiamente por f ∈ Q(D), del lema anterior f ∼ p g con g = mX 2 + bXY + cY 2 y por tanto D = b2 − 4mc ≡ b2 mod m. Por otro lado, si D ≡ b2 mod m como m es impar sigue que D y b tienen la misma paridad y como D y b2 solo pueden tomar los valores 0, 1 m´odulo 4 sique que D ≡ b2 mod 4. As´ı D ≡ b2 mod 4m y por tanto existe c ∈ Z tal que D = b2 − 4mc. Consideremos g = mX 2 + bXY + cY 2 . Es claro que ∆(g) = D adem´as si un primo p divide a m, b y c este debe dividir a m y D lo cual no puede ser por ser corpimos, por tanto g es primitiva.  En particular vamos a estar interesados en usar el resultado anterior para saber cuando un n´umero primo impar p es representado por una determinada forma, para esto debemos saber cuando el discriminante de dicha forma es un cuadrado mod p. La siguiente secci´on va a tratar en detalle dicho problema.

1.2.

Restos Cuadr´aticos y Reciprocidad cuadr´atica

Definici´on 6 Sea n ∈ N. Decimos que α ∈ Z coprimo con n, es un resto cuadr´atico m´odulo n si existe a ∈ Z para el cual α ≡ a2 mod n. El que un n´umero sea o no resto cuadr´atico depende realmente de clase de congruencia, por lo que a veces nos referiremos por resto cuadr´atico para referirnos a esas clases. Cuando hablemos de la cantidad restos cuadr´aticos m´odulo n, nos estaremos refiriendo a cuantas clases de (Z/nZ)× son cuadrados de otras. Definici´on 7 Para p primo y α ∈ Z \ pZ definimos el s´ımbolo de Legendre ! ( α 1 Si α es resto cuadrado m´odulo p = −1 Si α no es cuadrado m´odulo p p Es f´acil notar que si α, β ∈ Z \ pZ entonces ! ! ! αβ α β = p p p

! ! αβ2 α = p p

Sea p primo impar. Notemos que α2 ≡ β2 mod p =⇒ α ≡ ±β mod p

en particular para k ∈ {1, 2, . . . , (p − 1)/2}, k2 toma valores incongruentes entre s´ı, los cuales agotan todos los restos cuadr´aticos m´odulo p, esto es hay (p − 1)/2 de ellos. Si α es un cuadrado m´odulo p, α ≡ a2 mod p con (a, p) = 1 (ya que p|a =⇒ p|α) del teorema peque˜no de Fermat a p−1 ≡ 1 mod p, as´ı α

p−1 2

≡ 1 mod p.

p−1

Esto es, α es ra´ız m´odulo p de x 2 − 1, y como hay (p − 1)/2 restos cuadr´aticos m´odulo p, son justamente todas sus ra´ıces. Por otro lado 1, 2, . . . , p − 1 son todas p−1 p−1 las ra´ıces de x p−1 − 1 = (x 2 + 1)(x 2 − 1), por tanto los (p − 1)/2 restos restantes p−1 corresponden a las ra´ıces de x 2 + 1, es decir si β ∈ Z \ pZ no es resto cuadr´atico p−1 m´odulo p entonces β 2 ≡ −1 mod p. En resum´en hemos probado lo siguiente: Propocisi´on 5 Si α ∈ Z \ pZ entonces Para estimar α p,

p−1 2

! p−1 α ≡ α 2 mod p. p

consideremos el siguiente sistema completo de restos m´odulo −(p − 1)/2 . . . − 1, 1 . . . (p − 1)/2

as´ı para r ∈ {1, . . . , (p − 1)/2} existe εr ∈ {−1, +1} y mr ∈ {1, 2 . . . (p − 1)/2} αr ≡ εr mr mod p mr ≡ m s mod p =⇒ r2 ≡ s2 mod p =⇒ r = ±s mod p =⇒ r = s ya que r, s ∈ {1, 2 . . . (p − 1)/2}. As´ı m1 , . . . , m p−1 son incongruentes entre s´ı y por tanto 2 son congruentes a una permutaci´on de 1, . . . , (p − 1)/2, por tanto {(p − 1)/2}! ≡ m1 · · · m p−1 mod p 2

α

p−1 2

{(p − 1)/2}! = (α)(2α) · · · ({p − 1/2}α) ≡ ε1 · · · ε p−1 m1 · · · m p−1 mod p 2

por tanto α

p−1 2

2

≡ ε1 · · · ε p−1 mod p. 2

Lema 4 Sea α ∈ Z \ pZ. Consideremos los restos al dividir por p de p−1 α 2 ! α Si m de ellos son mayores de p/2 entonces = (−1)m . p α, 2α, . . . ,

Prueba: Para k ∈ {1, 2 . . . (p − 1)/2} sean qk , rk ∈ Z tales que kα = qk p + rk as´ı ( 1 si rk < p/2 εk = −1 si rk > p/2 j 2r k

esto es εk = (−1)

j

k p

2kα p

k

% $ % ! 2kα α 2rk + 2qk = por tanto = ya que p p p $

= (−1) (p−1)/2 X $ 2αk % (−1)N donde N = . Ahora si α es impar p + α es par p k=1

! ! ! ! 2α 2α + 2p 4(α + p)/2 (p + α)/2 = = = p p p p luego

! 2α = (−1)N con p N=

(p−1)/2 X $ k=1

% (p−1)/2 X $ αk % p2 − 1 (α + p)k = + p p 8 k=1

en particular para α = 1 obtenemos: Propocisi´on 6 Para todo p primo impar,

! p2 −1 2 = (−1) 8 . p

Prueba: Basta tomar α = 1 en la igualdad anterior. $ % $ % $ % α 2α p−1α Propocisi´on 7 Sea α ∈ Z \ pZ impar y M = + + ... + p p 2 p ! α = (−1)M p ! ! ! p2 −1 2 α 2α Prueba: Es inmediato de que = = (−1)M (−1) 8 . p p p





Teorema 1 (Ley de Reciprocidad Cuadr´atica) Si p, q son primos impares entonces ! ! p−1 q−1 p q 2 2 = (−1) q p

Prueba: Sean P = {1, 2, . . . , (p − 1)/2}, Q = {1, 2, . . . , (q − 1)/2} y R = P × Q. La recta y = (q/p)x al no pasar por ning´un punto de R lo divide en dos partes. Sean N, M la cantidad de puntos de la parte superior e inferior respectivamente, q−1 as´ı M + N = |R| = p−1 2 2 , por otro lado $ % $ % $ % $ % $ % $ % q 2q p−1q p 2p q−1 p + + ... + yN = + + ... + p p 2 p q q 2 q ! ! p−1 q−1 p q = (−1)M+N = (−1) 2 2 .  Del lema anterior q p M=

Definici´on 8 (S´ımbolos de Jacobi) Sea m > 1 impar y m = pα1 1 · · · pαr r su factorizaci´on en factores primos. Para n coprimo con m se define el simbolo de Jacobi !α !α n n 1 n r ··· = m p1 pr Los s´ımbolos de Jacobi si bien no determinan restos cuadr´aticos, dan la ventaja de ser muchos mas flexibles que los s´ımbolos de Legenre y a su ves comparten muchas de sus propiedades y cuadno el termino inferior sea primo coinciden con los s´ımbolos de Legendre. Veamos algunas propiedades del simbolo de Jacobi: Propocisi´on 8 Sean m, m0 > 1 impares y n, n0 corpimos con m y m0 . !   n n0 0 = . 1. Si n ≡ n mod m entonces m m !   0!  n   n  n  nn0 n n 2. = y = . m m m mm0 m m ! ! m−1 m2 −1 −1 2 = (−1) 2 y = (−1) 8 . 3. m m n m n−1 m−1 4. Si n, m ≥ 3 son impares = (−1) 2 2 . m n Prueba: Las pruebas se deja como ejecicio para el lector.



Cap´ıtulo 2

Clases de Formas 2.1.

Formas reducidas

En este cap´ıtulo estudiremos las clases de formas cuadr´aticas en Q(D) para D ≡ 0, 1 mod 4. Definici´on 9 Una forma cuadr´atica f = aX 2 + bXY + cY 2 es semireducida si |b| ≤ a ≤ c. Propiedad 1 En Q(D) toda clase contiene una forma semireducida. Prueba: Sean F ∈ Q(D) y f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ F . Si |b| ≤ m´ın{a, c} y   0 −1 ∗ a ≤ c no hay nada que probar y en caso c > a, notemos que g = f = 1 0 cX 2 − bXY + aY 2 ∈ F y claramente es semireducida. Si |b| > 2a, podemos escoger β ∈ Z de modo que b = 2aβ + b0 con |b0 | ≤ a.   1 −β Notemos que B = ∈ S L2 (Z) y para g = B∗ f tenemos 0 1 g = aX 2 + (b − 2aβ)XY + f (−β, 1)Y 2 , = aX 2 + b0 XY + c0 Y 2 luego |b0 | ≤ a, y por tanto estamos en el caso inicial.



Lema 5 Si f = aX 2 + bXY + cY 2 es semireducida y definida positiva entonces: 13

1. Para u, v ∈ Z, uv , 0 tenemos f (u, v) ≥ (a − |b| + c) m´ın{u2 , v2 }  2. a − |b| + c = m´ın f (u, v) / u, v ∈ Z, uv , 0}.  3. a = m´ın f (u, v) / u, v ∈ Z, (u, v) , (0, 0)}. Prueba: Antetodo notemos que para u, v ∈ Z con uv , 0 y m = m´ın{u2 , v2 } ≥ 1 tenemos que au2 ≥ am, cv2 ≥ cm y buv ≥ −|b|m luego f (u, v) ≥ (a − |b| + c) m´ın{u2 , v2 } ≥ a − |b| + c, por otro lado f (1, ±1) = a−|b|+c por tanto a−|b|+c es el m´ınimo buscado. Como  c ≥ |b| es claro que a − |b| + c ≥ a y f (1, 0) = a luego a ≥ m´ın f (u, v) / u, v ∈ Z, uv , 0 y tal m´ınimo debe alcanzarse cuando u = 0 o v = 0 correspondiendo a f (u, v) = cv2 y f (u, v) = au2 . De que a ≤ c es claro que dicho m´ınimo debe ser a.  Definici´on 10 Sea f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Q(D). Diremos que f es reducida si es semireducida y adem´as satisface una de las siguientes condiciones: 1. |b| < a < c. 2. |b| = a y b ≥ 0. 3. a = c y b ≥ 0. Por ejemplo en Q(−56) las formas 3X 2 − 2XY + 5Y 2 , 3X 2 + 2XY + 5Y 2 son ambas reducidas sinembargo en Q(−36), 2X 2 + 2XY + 5Y 2 es reducida pero 2X 2 − 2XY + 5Y 2 no lo es. Propocisi´on 9 Sean f, g ∈ Q(D) reducidas. Si f ∼ p g entonces f = g. Prueba: Sean f = aX 2 +bXY +cY 2 y g = a0 X 2 +b0 XY +c0 Y 2 en Q(D) reducidas. Si f ∼ p g sabemos que f y g toman los mismos valores, en particular los mismos valores no nulos, luego a=

m´ın

(u,v),(0,0)

f (u, v) =

m´ın g(u, v) = a0

(u,v),(0,0)

de la misma forma, a − |b| + c = m´ın f (u, v) = m´ın g(u, v) = a0 − |b0 | + c0 uv,0

uv,0

es decir a = a0 y c − c0 = |b| − |b0 |. Por otro lado de que ∆( f ) = ∆(g), (|b| − |b0 |)(|b| + |b0 |) = 4a(c − c0 ). Si c , c0 tendriamos que |b| + |b0 | = 4a, pero a ≥ |b|, |b0 | luego 2a ≥ |b| + |b0 |, por tanto c = c0 y |b| = |b0 |. Para determinar los signos de b y b0 estudiemos los distintos casos: 1. Si |b| < a < c. En este caso a < a − |b| + c, luego si f (u, v) = a entonces   p r uv = 0 es m´as (u, v) = (±1, 0). Sea A = ∈ S L2 (Z) tal que g = A∗ f . q s Como a = f (p, q), sigue que (p, q) = (±1, 0) y como ps − rq = 1 sigue que (r, s) = (0, ±1), por tanto A = ±I y f = g. 2. Si a = |b| o a = c y b ≥ 0. En ambos casos como g es reducida y a0 = |b0 | o a0 = c0 debe ocurrir que b0 ≥ 0, por tanto b = b0 y f = g. Definici´on 11 Sea D < 0 tal que D ≡ 0, 1 mod 4. Definimos el conjunto de clases C(D) como Q(D)/ ∼ p . Teorema 2 Las formas reducidas de discriminate D son representantes de clases de C(D). Prueba: Sabemos que las formas reducidas distintas no son equivalentes entre s´ı, luego basta probar que cada clase F ∈ C(D) contiene una forma reducida. Sea f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ F semireducida, consideremos los casos: 1. Si |b| < a < c es reducida y no hay nada que probar. 2. Si |b| = a. Si b < 0, es decir f = aX 2 − aXY + cY 2 , tomemos A =

1 1



0 −1 1 0





1 0

luego A∗ f = aX 2 + aXY + cY 2 la cual es reducida. 3. Si a = c. Si b < 0, es decir f = aX 2 − |b|XY + aY 2 , tomemos B =



luego B∗ f = aX 2 + |b|XY + aY 2 la cual es reducida. Por tanto siempre podemos encontrar una forma reducida en F como se queria demostrar.  Teorema 3 Sea D < 0 y D ≡ 0, 1 mod 4. El conjunto de clases C(D) es finito.

Prueba: Basta probar que hay una cantidad de formas reducidas para un discriminante D fijado, para esto tomemos f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ Q(D) reducida, luego |b| ≤ a ≤ c y −D = 4ac − b2 ≥ 4a2 − b2 ≥ 3a2 , r −D por tanto 0 < a ≤ , de ahi solo puede tomar finitos valores. Como |b| ≤ a 3 para cada valor de a hay finitos posibles valores para b y para asu vez para c ya que D = b2 −4ac, por tanto hay finitas posibles formas reducidas de discriminante D. Este resultado a su vez nos da un algoritmo para determinar conjuntos clases, por ejemplo para D = −4, si f es reducida y aX 2 + bXY + cY 2 , tenemos que q a < 43 < 2 por tanto a = 1 y b ≤ 1. Como b2 − 4c = −4, b debe ser par y por tanto nulo por lo cual c = 1. As´ı la u´ nica forma reducifa de discriminante 4 es X 2 + Y 2 y C(−4) = {[X 2 + Y 2 ]}. Combinando este resultado con el ultimo lema del cap´ıtulo anterior obetenemos, Propocisi´on 10 Si p es primo impar, p es suma de dos cuadrados si y solo s´ı p ≡ 1 mod 4. Prueba: Sabemos que para p! impar, p es representando por una forma de dis−1 = 1 y esto ocurre cuando p ≡ 1 mod 4. Por otro criminante −4 si y solo s´ı p lado en dicho caso, la forma que representa a p debe ser equivalente a X 2 + Y 2 , ya que hay una u´ nica clase en C(−4), por tanto p debe ser suma de cuadrados.  2 2 Para D = −20 haciendo el mismo q analisis para una aX + bXY + cY ∈ Q(D)

reducida obtenemos que 0 < a ≤

20 3 ,

luego a puede ser 1 o 2. En ambos casos

b es par por tanto para a = 1, b = 0 y c = 1 es decir f = X 2 + 5Y 2 . Por otro lado para a = 2, b = 2b0 donde b0 puede ser 0 o 1 y mirando el discriminante b20 − 2c = 5 por tanto |b| = 2, mas como f es reducida, b = 2 y c = 3 es decir f = 2X 2 + 2XY + 3Y 2 . Hemos probado que C(−20) tiene dos elementos, es mas C(−20) = {[X 2 + 5Y 2 ], [2X 2 + 2XY + 3Y 2 ]} Denuevo sabemos que un primo distinto! a 2 y 5 va aser representado por una −5 forma de discriminante -20 cuando = 1 lo cual ocurre cuando p ≡ 1, 3, 7 p o 9 mod 20, pero no sabemos a cual. Euler conjetur´o que p es representado por

X 2 + 5Y 2 cuando p ≡ 1 o 7 mod 20, los siguientes resultados nos van a permitir responder de manera afirmativa dicha conjetura.

2.2.

El Caracter Cuadr´atico

En esta secci´on introduciremos al caracter cuadr´atico χD : (Z/DZ)× −→ {±1}, el cual es un homomorfismo de grupos (multiplicativos) y est´a caracterizado por sus valores en las clases de los primos impares coprimos con D. Su importancia radica en que en su n´ucleo estan justamente las clases de aquellos n´umeros primos que son representados por formas cuadr´aticas primitivas y definidas positivas de discriminante D. Teorema 4 Para cada D ≡ 0, 1 mod 4 no nulo existe un u´ nico homomorfismo χD : (Z/DZ)× −→ {±1} tal que para todo p primo tal que p - 2D, ! D . χD (p) = p D Prueba: Basta definir para n impar coprimo con D, χD (n) como , mas hay n que ver que esta bien definido, as´ı automaticamente seria un homomorfismo por la multiplicatividad de los simbolos de Jacobi. Para esto debemos  D  probar  D  que para n, m impares y coprimos con D, si n ≡ m mod D entonces = . Considern m emos los siguientes casos: n m Caso I: Si D ≡ 1 mod 4 y D > 0. Es claro que = , por otro lado D D D−1 de la reciprocidad cuadr´atica para r impar coprimo con D, 2  es par y por tanto D r r D−1 r−1 = (−1) 2 2 = . En nuestro caso r D D D  n  m D = = = . n D D m Antes de continuar veamos que pasa si D ≡ 3 mod 4. En este caso D−1 es impar D  D 2 n−m = (−1) 2 . por tanto con el mismo argumento llegamos a que m n Caso II: Si D! ≡ 0 mod este caso! D = 2a d, con d impar y a !≥ 2, ! 4 y D > 0. En a D  D 2 d D d d luego = as´ı si a es par = , analogamente = . Si m m m m m n n

! ! d d = y si d ≡ 1 mod 4, reducimos el problema al caso anterior por tando m n ! ! n−m d d n−m d ≡ 3 mod 4, = (−1) 2 pero como 4|D, 4|(n − m) es decir es par m n 2 ! ! d d luego = . En ambos casos m n D m

=

! !   d d D . = = m n n

! ! ! D D m2 −1 2 d d Si a es impar tenemos que = = = (−1) 8 analogamente m m m m n ! D D n2 −1 m2 −n2 d , luego (−1) 8 = (−1) 8 . Por otro lado a ≥ 3 o equivalentemente n m n D D n ≡ m mod 8 y de ah´ı que = . m n Caso D < 0. En general para a impar y coprimo con D tenemos  D  III: Si a−1 −D = (−1) 2 . Si D ≡ 0 mod 4, −D tambi´en lo es, del caso anterique a a  −D   −D  or = , por otro lado n m D  −D   −D  D n−1 n−1 n−m = (−1) 2 = (−1) 2 = (−1) 2 n n m m D D como 4|(n − m), sigue que = . n m Ahora si D ≡ 1 mod 4 entonces −D ≡ 3 mod  −D   D4y como  D  −D > 0, de lo visto anterin−m −D ormente = (−1) 2 , por tanto = . m n n m D D En todos los casos para n ≡ m mod D, = luego χD esta bien definido y n m es un homomorfismo de grupos.  Corol´ario 1 Dado D ≡ 0, 1 mod 4. Aquellos primos impares representados por formas cuadr´aticas de discriminante D son justamente aquellos cuyas clases mod D estan en ker χ. Prueba: Sigue inmediatamente de la caracterizaci´on de dichos primos.



2.3.

´ Representaci´on de numeros primos

En esta secc´ıon daremos estudiaremos condiciones para que un n´umero primo sea representado por una forma, si bien no tenemos las herramientas para dar una caracterizaci´on total del problemas por lo menos seremos capaces de responderer la conjetura de Euler. Definici´on 12 Para D < 0, D ≡ 0, 1 mod 4, definimos las formas principales de discriminante D, fD ∈ Q(D) como: 1. Si D ≡ 0 mod 4, fD = X 2 +

−D 2 Y . 4

2. Si D ≡ 1 mod 4, fD = X 2 + XY +

1−D 2 Y . 4

En ambos casos definamos  HD = m ∈ (Z/DZ)× / m = f (u, v) para u, v ∈ Z Lema 6 Si D < 0 y D ≡ 0, 1 mod 4 entonces HD es un subgrupo de ker χD . Prueba: Estudiemos el caso D = −4n, luego fD = X 2 + nY 2 . Veamos que HD ⊆ ker χD para esto tomemos h ∈ HD , y sea m coprimo con D y representado por X 2 + nY 2 tal que h = m. Tomemos a, b tales que m = a2 + nb2 luego si c = (a, b) entonces a = ca0 , b = cb0 con a0 , b0 coprimos. Si m0 = a20 + nb20

entonces m = c2 m0 y χD (h) = χD c 2 χD m0 = 1 ya que m0 es representado 2 2 propiamente por X + nY , por tanto HD ⊆ ker χD . Ahora, como (Z/DZ)× es un grupo finito para probar que HD es un subgrupo de ker χD basta probar que que es cerrado multiplicativo. Para esto tomemos α, β ∈ HD , luego existen α = u 2 y β = v donde u, v son representados por X 2 + nY 2 , es √decir u = p2 + nq √ y 2 2 v = r + ns con p, q, r, s ∈ Z. Consideremos z = p + q −n y w = r + s −n, √ luego zw = pr − qsn + (pr + qs) −n y uv = zzww = zw(zw) = (pr − qsn)2 + n(pr + qs)2 . por tanto αβ = uv ∈ HD . El caso D ≡ 1 m´od 4 se deja como ejercicio al lector. Sea D < 0 y D ≡ 0, 1 mod 4. Para f ∈ Q(D) definamos H( f ) = {m ∈ (Z/DZ)× / m = f (u, v)}.

Como dos formas equivalentes toman los mismos valores, es claro que si f ∼ p g entonces H( f ) = H(g), por tanto para F ∈ C(D) podemos definir H(F ) = H( f ) si f ∈ F . Lema 7 Si f ∈ Q es primitiva y N ∈ Z es no nulo entonces existen u, v ∈ Z coprimos tales que f (u, v) es coprimo con N. Prueba: Sea f = aX 2 + bXY + cY 2 . Como f (1, 0) = a, f (1, 1) = a + b + c y f (0, 1) = c sigue que f (1, 0), f (1, 1) y f (0, 1) son coprimos luego para cada p primo uno de estos 3 valores debe ser coprimo con p. En general si N = pn11 · · · pnr r de lo anterior para cada divisor primo de N existen ui , vi ∈ Z coprimos tales que f (ui , vi ) . 0 mod pi . Consideremos el sistema de congruencias ( u ≡ ui mod pi v ≡ vi mod pi luego f (u, v) es coprimo con cada pi ya que f (u, v) ≡ f (ui , vi ) . 0 mod pi por tanto f (u, v) es coprimo con N. En caso de que u, v no fuesen coprimos podemos tomar u0 , v0 congruentes a u, v mod N respectivamente y siendo coprimos.  La utilidad del lema anterior radica en el siguiente hecho Lema 8 Dado f ∈ Q primitiva y definida positiva entonces existe g ∼ p f con primer coeficiente coprimo con ∆( f ). Prueba: Dado f ∈ Q primitiva y definida positiva, podemos escoger u, v coprimos tales que f (u, v) sea coprimo con ∆( f ) y por tanto podemos tomar g ∼ p f con coeficiente principal f (u, v) el cual es coprimo con ∆( f ).   Teorema 5 Si D < 0 y D ≡ 0, 1 mod 4 entonces ker χD /HD = H(F ) / F ∈ C(D) Prueba: Estudiemos el caso D = −4n, as´ı fD = X 2 + nY 2 y HD = H( fD ). Del lema anterior escogamos f ∈ Q(D) con primer coeficiente corpimo con D, adem´as como 4|∆( f ) el coeficiente intermedio de f debe ser par, es decir f = aX 2 + 2bXY + cY 2 con (a, D) = 1, luego a f = (aX + bY)2 + (ac − b2 )Y 2 = (aX + bY)2 + nY 2 . Tomemos h ∈ H( f ), luego h = m donde m es representado por f . De la igualdad anterior, am ∈ HD luego m ∈ a−1 HD y por tanto H( f ) ⊆ a−1 HD . Ahora, sean

h0 ∈ a−1 HD y m0 tal que h0 = m0 . Como am0 ∈ HD existen p, q ∈ Z tales que am0 ≡ p2 + nq2 mod D. Si m0 ≡ f (u, v) mod D, como antes am0 ≡ a f (u, v) ≡ (au + bv)2 + nv2 mod D para que esto suceda requerimos resolver el siguiente sistema de congruencias, ( au + bv ≡ p mod n v ≡ q mod m el cual es claramente resoluble desde que a es inversible mod D. Dichas soluciones verifican la congruencia am0 ≡ a f (u, v) mod D por tanto h0 ∈ H( f ), luego a−1 HD ⊆ H( f ) y por tanto H( f ) = a−1 HD como se queria demostrar. El caso cuando D ≡ 1 mod 4 se deja como ejercicio al lector.  Regresemos a la conjetura de Euler. En este caso C(−20) = {[X 2 + 5Y 2 ], [2X 2 + 2XY + 3Y 2 ]} y aquellos primos representados por estas formas son los 1, 3, 7, 9 mod 20, si p es representado por X 2 + 5Y 2 sigue que p es un resto cuadr´atico mod 5 luego p ≡ 1, 9 mod 20. Por otro lado si p no es representado por 2X 2 + 2XY + 3Y 2 sigue que 2p es representado por (2X + Y)2 + 5Y 2 es decir por X 2 + 5Y 2 , es decir 2p ≡ ±1 mod 5 por tando p ≡ ±3 mod 5 por tanto p ≡ 3, 7 mod 20 es decir  H−20 = 1, 9 con lo cual repondemos la conjetura de Euler! Inclusive podemos  decir un poco mas, por ejemplo H−20 es un subgrupo de ker χ−20 = 1, 3, 7, 9 y  por tanto la otra clase de ker χ−20 /H−20 debe ser H(2X 2 + 2XY + 3Y 2 ) = 3, 7 la cual es f´acil ver que coincide con 3H−20 como predice el resultado anterior (En −1 este caso 2 = 3).

2.4.

Mas all´a

La teor´ıa que hemos desarrollado en su mayor´ıa esta contenida en el libro de Gauss ”Disquisiciones Ar´ıtmeticas”[Gau86] en el cual profundiza mucho mas estas ideas, entre otras cosas induce una estrucctura de grupo del conjunto de clases. Con esta estructura las forma principales juegan el papel de identidad y la aplicaci´on H : C(D) −→ ker χD /HD se torna un homomorfismo sobreyectivo. Lastimosamente este homomorfismo no es inyectivo motivo por el cual nuestra teor´ıa no caracteriza cuando un primo es representado por una forma ya que puede darse

que H(F ) = H(G) para clases distintas. Esto lleva a la llamada teor´ıa del g´enero la cual estudia justamente que familias de clases pueden describir a los mismos primos. Historicamente hablando estos grupos definidos por Gauss estan entre los primeros grupos abstractos estudiados y en su estudio estuvo involucrado el desarrollo de distintas areas de las matematicas modernas, entre otras la teoria algebraica de n´umeros, la cual estudia los llamados anillos de enteros de extensiones finitas de Q. En este contexto los grupos de clases de formas estan intimamente ligados con la teor´ıa de factorizaci´on en estos anillos. E si uno puede hacer corresponder las clases de formas a ideales de ciertos anillos aritmeticos y asu vez estos ideales corresponden a ret´ıculos en C, los cuales pueden estudiarse analiticamente via sus funciones θ o las superficies de Riemann que gen´eran, las cuales son conocidas como curvas elipticas y tienen una profunda teor´ıa aritm´etica. Un buen punto de partida para adentrarse en estos temas es el libro de Cox [Cox89], ”Primes of the form X 2 + nY 2 ”, el cual tube como punto de partida para buena parte de estas notas.

2.5.

Ejercicios

    0 −1 α 0 1. Sea K un cuerpo. Para α, β ∈ K × definamos W = , Uα = −1 1 0 0 α   1 β y Tβ = . Pruebe que S l2 (K) tiene como generadores W, Uα , T β y T γt . 0 1  p q ∈ S L2 (K) r s pruebe que A∗ f = f (pX + rY, qX + sY) define una aci´on de S L2 (K) en Q2 (K).

2. Para f ∈ Q2 (K) = {aX 2 + bXY + cY 2 ∈ K[X, Y]} y A =



3. Para f = aX 2 + bXY + cY 2 ∈ K[X, Y] definamos ∆( f ) = b2 − 4ac. Pruebe que ∆(A∗ f ) = ∆( f ) (Sug. aproveche los generadores de S L2 (K)) 4. Para f = ax2 + bxy + cy2 definimos f op = ax2 − bxy + cy2 . Pruebe que si f ∼ p g entonces f op ∼ p gop . 5. Sea p primo impar. Si p es representado por f, g ∈ Q(D) pruebe que f ∼ p g. 6. Encuentre una forma reducida equivalente a 126X 2 + 74XY + 13Y 2 . 7. Para p primo impar y a cuadrado modulo p pruebe que para todo n ∈ N, a es cuadrado m´odulo pn .

8. Para m = pn11 · · · pnr r impar a es un cuadrado modulo m si y solo s´ı

a pi

= 1.

9. Para n ∈ N , definamos h(n) = |C(−4n)|. Pruebe que h(n) ≥ 2 si: a) Si n = ac con a, c coprimos. b) Si n = 2r , r ≥ 4. (Sug. pruebe que 4X 2 + 4XY + (2r−2 + 1)Y 2 es reducida). c) Si n = pr impar, n + 1 = ac y a, c coprimos (Considere aX 2 + 2XY + cY 2 ). d) Si n = pr impar y n + 1 = 2 s (Considere 8X 2 + 6XY + (2 s−3 + 1)Y 2 ). Concluya que h(n) = 1 entonces n ≤ 8, es mas h(n) = 1 ⇐⇒ n = 1, 2, 3, 4, 7. 10. Pruebe que C(−28) = {[X 2 + 7Y 2 ]}. Determine las clases modulo 28 donde estan los primos p , 2, 7 que son representados por X 2 + 7Y 2 . 11. Determine las formas reducidas de discriminante −24. Determine que primos son de la forma X 2 + 6Y 2 dando explicitamente las clases modulo 24. 12. Determine el kernel del caracter cuadr´atico modulo 24, el subgrupo H−24 y la correspondencia C(−24) −→ ker χD /H−24 . 13. Sea D > 0 un no cuadrado. Para f ∈ Q(D) pruebe que: a) f ∼ p aX 2 + bXY + cY 2 con |b| ≤ |a| ≤ |c|. √ b) |a| ≤ D/2. Concluya que C(D) es finito.

Cap´ıtulo 3

Ap´endice 3.1.

Congruencias

Definici´on 13 Sea n ∈ N. Diremos que a, b ∈ Z son congruentes m´odulo n, lo que denotaremos a mod b mod n, si n|b − a. De la definici´on sigue que para a, b, c, d ∈ Z y n, m ∈ N entonces 1. a mod a mod n y si b mod c mod n =⇒ c mod b mod n. 2. Si a mod b mod n y b mod c mod n entonces a mod c mod n. 3. Si (m, n) = 1 y a mod b mod n, a mod b mod n entonces a mod b mod mn 4. Si a mod b mod n y 0 ≤ a, b < n entonces a = b. Notemos que decir a mod b mod n es lo mismo que decir que existe k ∈ Z tal que a = kn + b. Ahora fijemos n ∈ N y para cada m ∈ Z denotemos qm , rm ∈ Z si m = qm n + rm con 0 ≤ rm < n, sigue que Propocisi´on 11 Para todo m, a, b ∈ Z 1. m mod rm mod n 2. a mod b mod n ⇐⇒ ra = rb 25

Prueba: La primera es inmediata y la segunda sigue de 0 ≤ ra , rb < n luego ra = rb ⇐⇒ ra ≡ rb mod n ⇐⇒ a ≡ b mod n.  Esto es, las congruencias m´odulo n quedan determinadas por los restos al dividir por n, los cuales solo pueden ser 0, 1, . . . , n − 1. Definici´on 14 Dado n ∈ N y m ∈ Z definimos la clase de congruencia de m m´odulo n como m + nZ = {a ∈ Z / a mod m mod n} = {m + kn / k ∈ Z} Si no hay confusi´on se suele denotar a la clase de m como [m] o m. Notemos que para todo m ∈ Z tenemos que rm = m´ın[m] ∩ Z+ y por tanto [a] = [b] ⇐⇒ ra = rb ⇐⇒ a ≡ b mod n En particular como [m] = [rm ] {[m] / m ∈ Z} = {[rm ] / m ∈ Z} = {[0], [1], . . . , [n − 1]} Al conjunto de clases de congruencia m´odulo n vamos a llamar Zn . Propocisi´on 12 Sean a, b, c, d ∈ Z y n, m ∈ N entonces 1. Si a ≡ b mod n y c mod d mod n entonces ac ≡ bd mod n

y

a + c ≡ b + d mod n

2. Si a ≡ b mod n entonces para p(x) ∈ Z[x], p(a) ≡ p(b) mod n. 3. Si ac ≡ bc mod n y d = (c, n) entonces a ≡ b mod n/d. Definici´on 15 Dado n ∈ N diremos que a ∈ Z es inversible m´odulo n si existe b ∈ Z tal que ab ≡ 1 mod n Si ab ≡ 1 mod n ⇐⇒ ab + kn = 1 para alg´un k ∈ Z ⇐⇒ (a, n) = 1, luego Propocisi´on 13 a es inversible m´odulo n si y solo s´ı (a, n) = 1 Corol´ario 2 Si a, b son inversibles m´odulo n entonces ab tambi´en lo es.

Ahora como (a, n) = (ra , n) sigue que a es inversible m´odulo n si y solo s´ı ra lo es, es decir si un entero es inversible m´odulo n todos los elementos de su clase su clase lo son, de ah´ı vamos a decir que una clase de congruencia es inversible si tiene un elemento inversible m´odulo n (y por tanto todos). Definici´on 16 Definimos Z∗n como el conjunto de clases inversibles, adem´as definimos la funci´on de Euler ϕ : N −→ N como ϕ(n) = |Z∗n |. Propocisi´on 14 a ∈ Zn es inversible ⇐⇒ existe b ∈ Zn tal que ab = 1. Prueba: ab = 1 ⇐⇒ αβ ≡ 1 mod n para α ∈ a y β ∈ b ⇐⇒ (α, n) = 1 esto es si α es inversible m´odulo n y por tanto a ∈ Z∗n 

3.2.

Sistemas de Residuos

Sabemos que para n ∈ N hay n clases de congruencia mod n, si tomamos de cada clase un representante conseguimos n enteros incongruentes entre s´ı y adem´as todo entero es congruente a alguno de ellos. Definici´on 17 Decimos que a1 , . . . , ar ∈ Z es un sistema completo de restos m´odulo n (para abreviar mod n), si 1. ai ≡ / a j mod n para i , j. 2. Para todo m ∈ Z, m ≡ ai mod n para alg´un i. Propocisi´on 15 Todo sistema completo de restos mod n est´a formado por n enteros. Asimismo n enteros forman un sistema completo de restos mod n si son incongruentes entre s´ı o si todo entero es congruente a alguno de ellos. Corol´ario 3 Si a1 , . . . , an es un sistema completo de restos mod n y α, β ∈ Z con (β, n) = 1 entonces α + βa1 , . . . , α + βan tambi´en es un sistema completo de restos mod n. Ahora, que a1 , . . . , an sea un sistema completo de restos mod n es equivalente a que la proyecci´on cano´nica π : {a1 , . . . , an } −→ ai 7 → −

Zn ai

sea una biyecci´on, por tanto si a01 , . . . , a0n es otro sistema completo de restos mod n tenemos otra biyecci´on π0 : {a01 , . . . , a0n } −→ Zn de ah´ı π−1 π0 : {a01 , . . . , a0n } −→ {a1 , . . . , an } tambi´en es una biyecci´on, bajo la cual a0i ≡ π−1 π0 (a0i ) mod n, mas a´un como {π−1 π0 (a01 ), . . . , π−1 π0 (a0n )} = {a1 , . . . , an } existe una perutaci´on σ ∈ S n tal que aσ(i) = π−1 π0 (a0i ) ≡ a0i mod n. Propocisi´on 16 Si a1 , . . . , an y a01 , . . . , a0n son sistemas de restos m´odulo n existe σ ∈ S n tal que aσ(i) ≡ a0i mod n. Ahora tomemos de cada una de las clases inversibles m´odulo n un entero conseguimos ϕ(n) enteros incongruentes entre s´ı y adem´as todo entero inversible m´odulo n es congruente a alguno de ellos. Definici´on 18 Decimos que a1 , . . . , aϕ(n) es un sistema reducido de restos m´odulo n, si 1. ai . a j mod n para i , j. 2. Para todo m ∈ Z inversible m´odulo n, m ≡ ai mod n para alg´un i. Por ejemplo si p primo, 1, 2, . . . , p − 1 es un sistema reducido de restos. Propocisi´on 17 Todo sistema reducido de restos mod n esta formado por ϕ(n) enteros, asimismo ϕ(n) enteros inversibles m´odulo n forman un sistema reducido de restos mod n si son incongruentes entre s´ı o si todo entero inversible m´odulo n es congruente a alguno de ellos. Propocisi´on 18 Si a1 , . . . , aϕ(n) es un sistema reducido de restos mod n y α ∈ Z con (α, n) = 1 entonces αa1 , . . . , αaϕ(n) tambi´en es un sistema reducido de restos mod n. Que a1 , . . . , aϕ(n) sea un sistema reducido de restos mod n es equivalente a que la proyecci´on π : {a1 , . . . , aϕ(n) } −→ Z∗n ai 7−→ ai

es una biyecci´on, por tanto si a01 , . . . , a0ϕ(n) es otro sistema reducido de restos mod n tenemos otra biyecci´on π0 : {a01 , . . . , a0ϕ(n) } −→ Z∗n de ah´ı π−1 π0 : {a01 , . . . , a0ϕ(n) } −→ {a1 , . . . , aϕ(n) } es una permutaci´on, por tanto obetenemos el siguiente resultado: Propocisi´on 19 Si a1 , . . . , aϕ(n) y a01 , . . . , a0ϕ(n) son sistemas sistema reducido de restos mod n existe σ ∈ S ϕ(n) tal que aσ(i) ≡ a0i mod n. Teorema 6 (Euler) Si (a, n) = 1 entonces aϕ(n) ≡ 1 mod n. Prueba: Sea a1 , . . . , aϕ(n) un sistema reducido de restos m´odulo n, luego aa1 , . . . , aaϕ(n) tambi´en lo es, por tanto existe σ ∈ S ϕ(n) , aai mod aσ(i) mod n aϕ(n) a1 . . . aϕ(n) = aa1 · · · aaϕ(n) ≡ aσ(1) · · · aσ(ϕ(n)) mod n como a1 . . . aϕ(n) = aσ(1) · · · aσ(ϕ(n)) es inversible m´odulo n, aϕ(n) mod 1 mod n.



Corol´ario 4 (Fermat) Si p es primo y p - a entones a p−1 ≡ 1 mod p Prueba: Sigue de que (a, p) = 1 y ϕ(p) = p − 1.



En adelante vamos a buscar como calcular ϕ(n) para n ∈ N, la clave es el siguiente resultado: Propocisi´on 20 Todo sistema completo de restos mod n contiene ϕ(n) enteros inversibles mod n los cuales forman un sistema reducido de restos mod n. Prueba: Como un sistema completo de restos mod n es un sistema de representas de las clases de congruencia mod n, debe contener ϕ(n) representantes de las clases inversibles, los cuales forman un sistema reducido de restos mod n.  Teorema 7 Dados m, n ∈ N coprimos entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Prueba: Consideremos el siguiente sistema completo de restos mod mn: 0 n .. .

1 n+1 .. .

... ... .. .

n−1 n + (n − 1) .. .

αn .. .

αn + 1 .. .

... .. .

αn + (n − 1) .. .

(m − 1)n (m − 1)n . . .

(m − 1)n + (n − 1)

para que la fila αn, αn + 1, . . . , αn + (n − 1) tenga enteros coprimos con mn, (α, m) = 1 por tanto va a haber ϕ(m) de estas filas. Cada una de ellas es un sistema completo de restos mod n por tanto tiene ϕ(n) enteros coprimos con n, es decir en este sistema completo de restos mod mn hay ϕ(m)ϕ(n) enteros coprimos con m y n y por tanto coprimos con mn. De ah´ı ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).  Por inducci´on obtenemos: Corol´ario 5 Si n1 , . . . , nk son coprimos dos a dos entonces ϕ(n1 · · · nk ) = ϕ(n1 ) · · · ϕ(nk ) Corol´ario 6 Dado n > 1 con descomposici´on n = pα1 1 · · · pαk k entonces ϕ(n) = pα1 1 −1 (p1 − 1) · · · pαk k −1 (pk − 1) Prueba: Como n = pα1 1 · · · pαk k sigue que ϕ(n) = ϕ(pα1 1 ) · · · ϕ(pαk k ).



Del resultado anterior sigue que si p1 , · · · , pk son los divisores primos de n ! ! 1 1 ··· 1 − ϕ(n) = n 1 − p1 pk

3.3.

Sistemas de Ecuaciones en Congruencias

Sean a, b ∈ Z y m, n ∈ N, consideremos el sistema ( x ≡ a mod n (1) x ≡ b mod m Vemos bajo que condiciones tiene soluci´on. De ser x0 ∈ Z soluci´on x0 = a + αn = b + βm luego b − a = αn − βm ⇐⇒ (n, m)|b − a. Por tanto si (m, n) = 1 el sistema anterior siempre tiene soluci´on sin importar cuales sean a y b. Propocisi´on 21 El sistema (1) tiene soluci´on si y solo s´ı (m, n)|b − a

Notemos que cuando (m, n) = 1, podemos tomar x1 , x2 ∈ Z de modo que ( ( x1 ≡ a mod n x2 ≡ 0 mod n x1 ≡ 0 mod m x2 ≡ b mod m para esto tomemos m0 , n0 ∈ Z tales que nn0 mod 1 mod m y mm0 mod 1 mod n luego x1 = amm0 y x2 = bnn0 satisfacen las condiciones requeridas y por tanto x0 = x1 + x2 es soluci´on de (1). Por otro lado es f´acil ver que las soluciones de (1) son u´ nicas m´odulo mn, esto es si x0 , x00 satisfacen (1) entonces x0 − x00 ≡ 0 mod n

y

x0 − x00 ≡ 0 mod n

soluciones de (1). En lenguaje de clases el resultado anterior nos dice que Zmn [a]mn

−→ 7−→

Zm × Zn ([a]m , [a]n )

es sobreyectiva y como Zmn y Zm × Zn tienen mn elementos, es una biyecci´on. Sean a1 , . . . , ak ∈ Z y n1 , . . . , nk ∈ N consideremos el sistema   x ≡ a1 mod n1      .. (2)  .      x ≡ ak mod nk Consideramos (ni , n j ) = 1 para i , j, podemos tomar x1 , . . . , xk ∈ Z de modo que xi ≡ ai mod ni y xi ≡ 0 mod n j para i , j. Sean N = n1 · · · nk y Ni = N/ni luego (ni , Ni ) = 1, por tanto existen Ni0 ∈ Z tales que Ni Ni0 ≡ 1 mod ni finalmente los xi = ai Ni Ni0 satisfacen las condiciones requeridas y por tanto x0 = x1 + . . . + xn es soluci´on de (2). es mas la clase m´odulo N de una soluci´on es el conjunto de las soluciones. Teorema 8 (Teorema de los Restos Chinos) Dados n1 , . . . , nk ∈ N tales que (ni , n j ) = 1 para i , j entonces para a1 , . . . , ak ∈ Z el sistema   x ≡ a1 mod n1      ..  .      x ≡ ak mod nk tiene soluci´on u´ nica m´odulo N = n1 · · · nk .

El resultado anterior nos dice que para n1 , . . . , nk ∈ N coprimos dos a dos la aplicaci´on Zn1 ···nk −→ Zn1 × · · · × Znk [a]n1 ···nk 7−→ ([a]n1 , . . . , [a]nk ) es una sobreyectiva y por tanto una biyecci´on. Como lleva k-uplas de clases inversibles en k uplas de clases inversibles, su restricci´on Z∗n1 ···nk [a]n1 ···nk

−→ 7−→

Z∗n1 × · · · × Z∗nk ([a]n1 , . . . , [a]nk )

tambi´en es una biyecci´on, en particular ϕ(n1 · · · nk ) = ϕ(n1 ) · · · ϕ(nk ).

3.4.

Congruencias Polinomiales

Vimos que si a mod b mod n entonces f (a) mod f (b) mod n para todo f ∈ Z[x], en esta secci´on vamos a estudiar dichas congruencias. Definici´on 19 Decimos que a ∈ Z es una ra´ız m´odulo n de f ∈ Z[x] si f (a) ≡ 0 mod n Claramente si a es una ra´ız de f ∈ Z[x] todos los elementos de su clase tambi´en lo son, de ah´ı vamos a decir que su clase a es una ra´ız de f en Zn . Teorema 9 (Lagrange) Sea p primo, si f = am xm + . . . + a1 x + a0 ∈ Z[x] con (a0 , p) = 1 no puede tener mas m ra´ıces incongruentes m´odulo p. Prueba: Procederemos por inducci´on sobre el grado de f . Si f = a1 x + a0 con (a1 , p) = 1, de tener f dos ra´ıces, como a1 es inversible a1 α + a0 ≡ a1 β + a0 mod p =⇒ α ≡ β mod p de ah´ı no puede tener dos ra´ıces incongruentes. Si el resultado vale para m < k con coeficiente principal coprimo con p, tomemos f = ak xk + . . . + a0 ∈ Z[x] con (ak , p) = 1. Si tuviera α0 , . . . , αk ra´ıces incongruentes entre s´ı f − f (α0 ) = ak (xk − αk0 ) + . . . + a1 (x − α0 ) = (x − α0 )g donde g =k xk−1 + . . . ∈ Z[x], como su coeficiente principal es coprimo con n y tiene grado k − 1 < k sigue que no puede tener mas de k − 1 ra´ıces incongruentes entre s´ı, sin embargo para α1 , . . . , αk (αi − α0 )g(αi ) = f (αi ) − f (α0 ) ≡ 0 mod n =⇒ g(αi ) ≡ 0 mod p

es decir g tendr´ıa k ra´ıces p incongruentes entre s´ı, lo que es una contradicci´on, por tanto f no puede tener mas de k ra´ıces incongruentes m´odulo p.  Corol´ario 7 Si f = am xm + . . . + a1 x + a0 ∈ Z[x] tiene mas de m ra´ıces incongruentes m´odulo p entonces p divide a todos sus coeficientes. Prueba: alguno de sus coeficientes fuese coprimo con p, tomemos k ≤ m el mayor ´ındice para el cual (ak , p) = 1 y consideremos g = ak xk + ak−1 xk−1 + . . . + a0 as´ı g las mimas ra´ıces m´odulo p que f las cuales son a lo mas k ≤ m, por tanto f a lo m´as puede tener m ra´ıces m´odulo p incongruentes entre s´ı.  Consideremos el polinomio f = (x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)) claramente sus ra´ıces m´odulo p son 1, 2, . . . , p − 1 por otro lado f = x p−1 − A p−1 x p−2 + A p−2 x p−3 + . . . − A1 x + A0 del teorema de Fermat x p−1 − 1 tiene a 1, 2, . . . p − 1 como ra´ıces m´odulo p incongruentes entre s´ı luego g = f − x p−1 + 1 = −A p−1 x p−2 + A p−2 x p−3 + . . . − A1 x + A0 + 1 tiene grado p − 2 y p − 1 ra´ıces incongruentes m´odulo p, por lo tanto para i ≥ 1 los Ai ≡ 0 mod p y A0 ≡ −1 mod p, como A0 = (p − 1)! obtenemos el teorema de Wilson.

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