Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie: Band 1 Einführung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Raume [3., verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111430409, 9783111064963

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ANWENDUNG DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG AUF

GEOMETRIE VON

GEORG SCHEFFERS

ERSTER BAND EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER KURVEN IN DER EBENE UND IM RÄUME

BERLIN UND LEIPZIG 1923

W A L T E R D E G E U Y T E R & CO. VORMAL8 ß . J. GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG • J . GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG . GEORG REIMER • KARL J . TRÜBNER • VEIT A COMP.

EINFÜHRUNG IN DIE

THEORIE DER KURVEN IN DER EBENE UND IM RÄUME VON

GEORG

SCHEFFERS

DRITTE VERBESSERTE

AUFLAGE

MIT 107 FIGUREN IM TEXT

BERLIN UND L E I P Z I G 1923

W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. VORliALS Q. J. OOSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG • J. GUTTENTAG, VERLAGSBUCHHANDLUNG • GEORQ REIMER • KARL J. TRÜBNER • VEIT & COUP..

Aas dem Vorworte zar ersten Auflage. Bei der Ausarbeitung des Werkes suchte ich stets dessen eingedenk zu sein, daß es denen dienen soll, die soeben zum ersten Male einen guten Kursus in der Differential- und Integralrechnung durchgemacht haben. Deshalb habe ich fast alle überhaupt besprochenen Probleme in größter Ausführlichkeit bis zu ihrem Abschlüsse behandelt, was vielleicht gewandten Lesern lästig sein wird. Aus gleichem Grunde sind die Ergebnisse in besonders hervortretenden Sätzen formuliert, sehr zahlreiche Rückverweisungen angebracht, ferner viele Beispiele in kleinerem Drucke eingeschaltet und viele Figuren beigegeben worden. Außerdem ist zum Schiasse eine Reihe von Formeltafeln und ein ausführliches alphabetisches Sachregister angehängt worden. Durcli die Formeltafeln wie auch durch die Art der Behandlung der Probleme, wobei Kunstgriffe möglichst vermieden wurden, suchte ich zu erreichen, daß der Leser bald eine gewisse Fähigkeit zu selbständigen Forschungen in ähnlichen Problemen erlange; und ich möchte sogleich anfügen, daß es bei einem elementaren Lehrbuche meiner Ansicht nach nicht sowohl auf eine möglichst große Bereicherung des Studierenden mit neuen Sätzen als vielmehr auf eine möglichst weitgehende Unterweisung des Studierenden zu eigener Arbeit ankommt Einige Punkte, auf die ich besonderes Gewicht lege, seien erwähnt: Zunächst die gesonderte und ziemlich ausführliche Behandlung der ebenen Kurven vorweg, was vielleicht die Theoretiker tadeln werden. Dabei habe ich schon hier die krummlinigen Koordinaten, die dem Anfänger erfahrungsgemäß in der Flächentheorie die meisten Schwierigkeiten bereiten, wenigstens für die Ebene einführen können. Ferner erwähne ich die grundsätzliche Mitberücksichtigung des Imaginären von vornherein. Wenn man späterhin — was kaum zu vermeiden ist — Anwendungen auf imaginärem Gebiete machen will, ist zu fordern, daß auch vorher die Beweise auf das imaginäre Gebiet erstreckt worden sind, was häufig nicht beachtet wird. Weiterhin versuchte ich die Theorie der Berührung höherer Ordnuflg analytisch möglichst exakt darzustellen, . was in unseren deutschen Lehrbüchern meist unterlassen wird. Die Versuchung, geometrische Beweise zu bringen, war groß; aber der Zweck des Buches, Anwendungen der Infinitesimalrechnung

VI

Aus dem Vorworte zur zueilen Auflage.

zu geben, wäre durch solche Beweisführungen nicht gefördert worden. Deshalb fUgte ich rein geometrische Betrachtungen nur da hinzu, wo sie zur Erleichterung des Yerstehens der analytischen Folgerungen Nutzen zu haben schienen oder besonders interessant waren. Die Figuren habe ich, soweit Räumliches darzustellen war, stets in axonometrischer Orthogonalprojektion entworfen. In bezug auf die in den Anmerkungen gegebenen geschichtlichen Hinweise muß ich um Nachsicht bitten. Ich habe mich zum Teil auf anerkannte Forscher im Gebiete der Geschichte der Mathematik gestützt, so auf MO&ITZ CANTOR und STÄCKEL; ferner benutzte ich literarische Bemerkungen von CHASLES, DABBOUX, LOBIA, D E SAINT-VENAMT, SALMON-FIEDLEB, SCHELL, STAHL-KOMME-

u. a. Wenn nun die Anmerkungen hier und da doch nicht die wirklichen Quellen nennen sollten und wenn an manchen Stellen die Zitate Qberhaupt fehlen, steht diesen Mängeln doch der erhebliche Gewinn gegenüber, daß der Anfänger — der gerade am meisten dessen bedarf — wenigstens einiges aus der Geschichte seiner Wissenschaft erlährt.

RELL

D a r m s t a d t , im Oktober 1900.

Aus dem Vorworte zur zweiten Auflage. Eine gründliche neue Bearbeitung hat sich dieses Buch gefallen lassen müssen, sind es doch schon neun Jahre her, seitdem es zuerst erschien. Aber der Gang der Entwicklungen und die gesamte Haltung ist wie früher geblieben; daran konnte die als zweckmäßig erkannte Umstellung einzelner Paragraphen sowie die Einfügung einiger neuer Betrachtungen nichts Wesentliches ändern. Größere neue Einschaltungen sind zunächst § 13 und § 19 des ersten Abschnittes. In § 13 werden Untersuchungen im Sinne von CESARO 8 natürlicher Geometrie angestellt, und § 1 9 bringt als nützliche Vorbereitung zu den drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie im zweiten Bande den Begriff und die Auswertung der einzigen Fundamentalgleichung, die in der Ebene bei krummlinigen Koordinaten besteht. Da die ebenen Kurvennetze ohne Umwege inzwischen auch anderwärts Eingang in ein Lehrbuch gefunden haben, trug ich kein Bedenken, einen kurzen Abriß ihrer Theorie zu geben (in § 23 des ersten Abschnittes), zumal in der Flächentheorie auf sie zurückgegangen werden muß. Neu ist auch der § 7

Aus dem Vorworte zur zweiten Auflage.

vir

des zweiten Abschnittes über die ebenen Karren, aufgefaßt als Karren des Raumes. Neu ist ferner eine große Anzahl von Beispielen und Ausführungen in kleinerem Drucke, und außerdem wurden die Kurrenpaare mit denselben Hauptnormalen in § 10 des dritten Abschnittes eingehender behandelt, als es früher geschah. Gekürzt wurden dagegen die Betrachtungen über gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Unterschiede zwischen dem alten und neuen Texte haben im übrigen ihre Qaelle in dem Streben nach Verbesserung. Mit großem Danke habe ich dabei die Ratschläge und Hinweise vieler freiwilliger Mitarbeiter verwertet Erhebliche Ausstellungen hat Herr STUDY gemacht, der sich in den beiden auf S. 76 genannten Abhandlungen vielfach mit diesem Buche beschäftigt. Zunächst nämlich muß die Zweiwertigkeit derjenigen Größen, die ich nach dem Vorgänge von LIE als Differentialinvarianten benutzte, gehörig beachtet werden; zweitens waren die nicht geradlinigen imaginären Kurven in den Minimalebenen übersehen worden; und drittens hätten auch die Geraden als Ausnahmegebilde behandelt werden müssen, da ihnen kein begleitendes Dreikant zukommt. Die neue Auflage wird jetzt weniger Anlaß zu Beanstandungen geben, da ich-selbstverständlich die Kritik verwertet habe. Hoffentlich in hinreichendem Umfiange; das stete Mitschleppen von zum Teil trivialen Ausnahmefällen würde nämlich das Lesen manchmal geradezu ungenießbar machen. Man muß da gewisse Grenzen einhalten. Eine Schwierigkeit sei bei dieser Gelegenheit erwähnt: Für die nicht geradlinigen Kurven in Minimalebenen war ein Name nötig. Als Notbehelf dient die Bezeichnung als Minimalkurven zweiter Ordnung, die, falls sie nicht zusagt, leicht wieder fallen gelassen werden kann. Die Einführung eines Namens steht ja mir nicht zu, und Benennungen nach Autoren möchte ich wie in der ersten Auflage grundsätzlich vermeiden, soweit es irgend möglich ist. Das Figurenmaterial ist stark vermehrt worden. Auch alle neuen Abbildungen habe ich, soweit sie Bäumliches und Metrisches betreffen, in senkrechter Projektion, aber — der größeren Anschaulichkeit halber — bei schiefer Stellung des Achsenkreuzes gegenüber der Zeichenebene entworfen. Schließlich sei noch ausdrücklich erwähnt, daß die klein gedruckten Partien des Werkes in der Regel durchaus nicht überschlagbar sind; vielmehr soll durch sie nur eine bessere Gliederung des Stoffes bewirkt werden. B e r l i n - S t e g l i t z , im März 1910.

VIII

Vorwort zur dritten Auflage.

Vorwort zur dritten Auflage. Vor zwei Jahren war von diesem Bande ein anastatischer Neudruck in kleiner Anzahl hergestellt worden, weil das Buch vergriffen war. Die Folge dieses Umstandes ist, daß erst jetzt die neue, dritte Auflage des ersten Bandes herauskommt, nachdem die des zweiten Bandes schon erschienen ist. Diese Umkehrung der natürlichen Reihenfolge ist jedoch ohne Einfluß auf beide Teile des Werkes: sie gehören in der dritten Auflage zusammen. Die Ungunst der Zeiten zwang auch diesmal dazu, nur die unbedingt notwendigen Verbesserungen vorzunehmen und nur geringfügige Neuerungen zu machen, weil der Text der wohlfeileren Herstellung der neuen Auflage halber möglichst zu schonen war. Aber alle mir bekannt gewordenen Druckfehler und Versehen sind ausgebessert worden. Wo es der Platz erlaubte, wurden kleinere Zusätze gemacht. Eine Einzelheit muß hier noch zur Sprache kommen: Auf S. 296 fand sich in der zweiten Auflage ein Rechenfehler, auf den mich Herr L O B I A aufmerksam machte. Ich nahm bei der Herstellung der dritten Auflage des zweiten Bandes die Gelegenheit wahr, dort im Anhange auf S. 582 darauf hinzuweisen. Leider' beging ich dabei einen neuen Irrtum. Jetzt aber ist die Stelle im vorliegenden Bande auf S. 296 in Ordnung gebracht; man möge daher die am Schlüsse des zweiten Bandes angehängte Bemerkung als nicht vorhanden betrachten. Berlin-Dahlem, im Februar 1923. Georg Scheffers.

Inhalt. E r s t e r Abschnitt. Kurven In der Ebene.

§ § § § § §

8«tl* Analytische Darstellung ebener Kurven 1 Die BogenlBnge einer ebenen Karre 8 Die Bewegungen in der Ebene 13 Tangenten einer ebenen Kurve 18 Berührung cwischen Karren in der Ebene 27 Merkmale für. die Berührung bei besonderen DaisteUungsformen der Kurven 38 Berührung von Kurve und Kreis 38 Krümmung ebener Kurven 45 Einhallende Kurven in der Ebene 58 Evolute und Evolventen 60 Differentialinvarianten einer ebenen Kurve 74 Die natürliche Gleichung einer ebenen Kurve 84 Begleitende Kurven 91 Singul&re Stellen ebener Kurven 104 Funktionen des Ortes in der Ebene 119 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung in der Ebene 127 Trajektorien einer Knrvenschar in der Ebene 182 Parameterlinien in der Ebene 148 Die Fundamentalgleichung der Ebene in krummlinigen Koordinaten 151 Kurvennetee in der Ebene 158 Fllchentreue Abbildung der Ebene 166 Isothermen in der Ebene 170 Ebene Kurvennetee ohne Umwege 180

1. 2. 3. 4. 5. 6.

§ 7. § 8. § 9. ft 10. §11. §12. § 13.' § 14. § 15. § 16. §17. § 18. § 19. § 20. § 21. § 22. § 28.

Zweiter Abschnitt Kurven im Räume. § § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Einleitung, insbesondere Geraden im Baume 189 Die Bewegungen im Baume 194 Analytische Darstellung von Baumkurven 203 Berührung zwischen Baumkurven 214 Daa begleitende Dreikant bei einer Baumkurve • 219 Formeln für die Bichtungskosinus des Dreikants . . . . . . . 227 Die ebenen Kurven als Baumkurven 239 Die Krümmungskreise einer Baumkurve 249 Oskulierende gemeine Schraubenlinien 254 1

Dieser Paragraph kann später gelesen werden.

X

Inhalt. Seite

§ 10. § 11. § 12. §13. §14. §15. §16. §17. § 18. § 19.

Schraubung des begleitenden Dreikants Differentialinvarianten einer Kurve im Baume Die natürlichen Gleichungen einer Raumkurve Bestimmung aller Knrven mit gegebenen natürlichen Gleichungen Beispiele zu den natürlichen Gleichungen einer Kurve . . . . Berührung zwischen Kurve und FlSche Die Schmiegungskugel bei einer Kurve . . . . . . . . . . Sphärische Abbildung der Kurven Nachträge zur sphärischen Abbildung der Kurven Drei einem Kurvenpunkte zugeordnete Kegel

262 269 278 287 299 306 316 326 338 341

D r i t t e r Abschnitt. Kurven und abwickelbare Flächen. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. § 12. § 13.

Die Tangentenflfiche einer Kurve Einiges Uber geradlinige Flächen Einhüllende einer Ebenenschar Abwickelbare Flächen Filarevolventen Planevolventen und Planevoluten Die Polarfläche einer Kurve Die rektifizierende Fläche einer Kurve Verallgemeinerung des Begriffes der Schraubenlinien Kurven mit denselben Hauptnormalen Das Doppel Verhältnis Die Minimalgeraden Die Mimmalkurven

- 351 366 376 382 391 395 404 415 426 432 445 453 457

Anhang. Tafel „

I. Änderung des Koordinatensystems II. Beziehungen zwischen den Richtungskosinus des begleitenden Dreikants einer Kurve III. RichtungBkosinus des begleitenden Dreikants einer Kurve und ihre Ableitungen nach der Bogenlänge IV. Bestimmung einer Kurve aus der sphärischen Indikatriz ihrer Tangenten V. Bestimmung einer Kurve aus der sphärischen Indikatrix ihrer Hauptnormalen VI. Bestimmung einer Kurve aus der sphärischen Indikatrix ihrer Binormalen ,, VII. Elemente der Filarevolventen einer Kurve „ VIII. Elemente der Parallelkurven einer Kurve . „ IX. Elemente der Gratlinie der Polarfläche einer Kurve . . • „ X. Elemente der Gratünie der rektifizierenden Fläche einer Kurve Sachregister

465 466 466 468 468 489 470 471 472 473 474

Erster Abschnitt.

Kurven in der fibene. § 1. Analytische Darstellung ebener Kurven. Wir legen unseren Betrachtungen ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde, in der Ebene also rechtwinklige Punktkoordinaten x und >/. Ein Punkt [x,y) beschreibt eine L i n i e oder K u r v e 1 , wenn sich seine Abszisse x ändert und dabei seine Ordinate y als eine Funktion von x gegeben und demnach ebenfalls veränderlich ist: y = m Diese am nächsten liegende Darstellung der Kurve durch eine Gleichung hat einen Nachteil, da die beiden Koordinaten x und y ungleiche Behandlung erfahren. Außerdem sind die Kurven x = kon9t., nämlich die zur y-Achse parallelen Geraden, nicht in dieser Art darstellbar. Beide Nachteile werden nun zwar vermieden, wenn man die Gleichung der Kurve in einer nicht gerade nach y aufgelösten Form schreibt:

(1)

(2)

F{x, y) = 0,

aber diese ist viel unbequemer als die Form (l).2 Will man weder x noch y bevorzugen und doch eine für die Rechnung bequeme analytische Ausdrucksweise für eine Kurve haben, so nehme man an, daß sich x und y etwa mit der Zeit t gesetzmäßig ändern, d. h. daß x und y Funktionen einer dritten Veränderlichen t seien: (3)

I =

.'/ = V'W-

1 Das Wort L i n i e wird oft (z. B. in der sogenannten Liniengeometrie) nur fiir Geraden gebraucht. Wir ziehen deshalb den Namen K u r v e vor. * Der Erste, der systematisch die analytische Betrachtungsweise bei Kurven einführte, war bekanntlich DESCAUTXS in seiner „ G é o m é t r i e " (Leyden 1637, Neudruck Paris 1886, deutsche Übersetzung von SCHLESINGER, Berlin 1894).

SCHKKFEFS, Ditf. I.

Aull.

1

Erster Abschnitt: Kurven in der Ebene.

2

Ob man diese dritte Veränderliche t anschaulich als die Zeit auffassen will oder nicht, ist übrigens für die Gestalt der Kurve einerlei; es genügt, u n t e r t eine u n a b h ä n g i g v e r ä n d e r l i c h e G r ö ß e zu v e r s t e h e n . Man' nennt sie die H i l f s v e r ä n d e r l i c h e oder den P a r a m e t e r 1 der Kurve, und (3) heißt eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der Kurve. Uber die hier und später auftretenden F u n k t i o n e n von einer oder von mehreren Veränderlichen machen wir ein für allemal gewisse Voraussetzungen. Für Bolche Leser, denen die Theorie der analytischen Funktionen in ihren Grundzügen schon bekannt ist, lassen sich die Voraussetzungen kurz so formulieren: Es soll stets ein Wertebereich der unabhängigen Veränderlichen vorhanden sein, innerhalb dessen die Funktionen e i n w e r t i g a n a l y t i s c h (monogen) sind. Für solche Leser, denen die genannten Kenntnisse noch fehlen, sei dies kurz erläutert. Wenn z. B. eine Parameterdarstellung (3) einer Kurve vorliegt, setzen wir voraus, daß es einen Wertebereich von t von folgender Beschaffenheit gebe: Wird irgend ein Wert t0 innerhalb des Bereiches bestimmt gewählt, so sollen rp und y sowie ihre sämtlichen Ableitungen für t =» t0 bestimmte endliche Werte haben und die MACLAUBIN sehen Reihen * = ? Co) +

¥ C«) C

'{t0) = 0, aber y'[t0) 4= 0, so gelangt man bei derselben Schlußfolgerung, indem man die Rollen von x und y vertauscht, zu einer Darstellung von der Form x = /'(y). Wenn aber 9>' Co) = 0 und auch ip' (f0) = 0 ist, läßt uns der erwähnte Satz im Stiche. In diesem Falle soll der zu t = t0 gehörige Punkt der Kurve (3) s i n g u l ä r heißen. Wir können entsprechend schließen, wenn die Kurve in der Form (2) vorliegt: Es sei (x0, w0) ein Punkt der Kurve (2), also F{:r0, y0) = 0. Falls nun die Ableitung Fx°, d. h. die Ableitung 1\ für x = x0, y = y0, n i c h t verschwindet, gibt es eine Funktion y — f[x\ die für x = x0 den Wert y0 annimmt und der Gleichung (2) genügt, sobald x hinreichend wenig von x0 abweicht. Wenn dagegen F° = 0, aber F ° 4 1 0 ist, gelangen wir ebenso zu einer Funktion x = f{y), indem wir die Bollen von x und y vertauschen. Ist aber sowohl Fx° als auch Fy° gleich Null, so läßt uns der Satz über das Vorhandensein einer unentwickelten Funktion im Stiche. In diesem Falle soll der Punkt (x0, y0) der Kurve (2) s i n g u l ä r heißen. In der Umgebung eines nicht singulären P u n k t e s hat s o m i t s o w o h l die K u r v e (2) a l s a u c h d i e K u r v e (3) e i n e D a r s t e l l u n g von d e r F o r m y = /'(*) o d e r x = f(y), also eine Darstellung, die sich der Form (l) oder derjenigen Form unterordnet, die aus (1) durch Vertauschen der Rollen der beiden Koordinaten hervorgeht. 3 Für die singulären Punkte haben wir zwei verschiedene Definitionen in den Fällen (3) und (2) aufgestellt; auf sie kommen wir in § 14 zurück. W e n n k ü n f t i g von e i n e m K u r v e n p u n k t e s c h l e c h t h i n .die R e d e i s t , s o l l e n s t e t s s i n g u l ä r e P u n k t e a u s g e s c h l o s s e n sein. Übrigens kann man z. B. die Darstellungsform y = f{.r) leicht in eine Parameterdarstellung (3) verwandeln. Am einfachsten geschieht dies, indem man x = t annimmt und also die Glcichung y = f{x) durch das Gleichungenpaar _ _ _ _ _ 1

* =

y = /"W

Hierbei wird der Satz der Funktionentlieorie benutzt, nach rfcrh eine einwertige analytische Funktion einer Veränderlichen eine derartige Funktion bleibt, sobald man die Veränderliche durch eine einwertige analytische Funktion einer anderen Veränderlichen ersetzt. 5 In dem Vorhergehenden ist nur das- Eine bewiesen worden, daß sich die Definitionen (I), (2) und (3) von Kurven miteinander decken, sobald man eich auf eine hinreichend kleine Umgebung eines Kurvenpunktes beschränkt. Es ist also durchaus nicht gesagt, daß sich z. lt. die Kurve (3) in ihrem Gesamtverlaufe durch eine Gleichung von der Form y = f(x) oder % = f(y) darstellen lasse.

§ 1. Analytische Darstellung ebener Kurven.

5

ersetzt. B e i d e r D a r s t e l l u n g s f o r m y = f(x) s p i e l t d e m n a c h die A b s z i s s e x die R o l l e des P a r a m e t e r s . Liegt eine Kurve in der F o r m (1) vor, so soll (x0) denjenigen Punkt der Kurve bedeuten, dessen Abszisse gleich x0 und dessen Ordinate also gleich f(x0) ist. Liegt die Kurve in der Form (3) vor, so soll (f0) denjenigen Punkt der Kurve bedeuten, dessen Koordinaten sich aus (3) für t = t0 ergeben. E s kann übrigens sein, daß !>'{t)-dt.

10

Erster Abschnitt: Kurven in der EI>ene.

(6)

s=fY¥W+VW dt, h weil s für t = t0 verschwindet. Schreibt man etwa vor, daß die Bogenlänge s f ü r t > t0 positiv und f ü r t < t0 negativ sein soll, so ist die Quadratwurzel positiv zu wählen. Die speziellere Formel (3) geht aus (6) hervor, wenn man x als den Parameter t benutzt und demnach

wenn allgemein .tö» y = v W» so definiert die erste Gleichung t als Funktion von x, so daß nach der zweiten auch y eine Funktion von x ist. Dabei wird / _ dy __ dy . dx^ _ y'(0 dx dt ' dt V(0 Setzen wir dies in (3) für die Stelle (t0) der Kurve ein. so finden wir als Gleichung der Tangente in diesem Punkte: J

; - *o = ') - y» ¥ (W tj - v (tn) (0» i/ = Formel -*'(0-

=

die

tat

besteht, können wir daraus nach (8) folgern: tgr = tgf, d. h. t = t + n n, wo n eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Ist n gerade, so dürfen wir alsdann direkt t als den Tangentenwinkel bezeichnen; ist aber n ungerade, so bedeutet t denjenigen Winkel der Tangente mit der x-Aclise, der sich ergibt, wenn man die bisherige Orientierung der Kurve in die entgegengesetzte verwandelt. Ferner bedeutet der Parameter t den Winkel, den die positive oder negative Tangente der Kurve mit irgend einer festen Richtung in der Ebene bildet, sobald es eine Konstante a derart gibt, daß

JE-

oder: ist, d. h. wenn

a r c t g ^

'

}/o u s w - d i e A b l e i t u n g e n von x und y n a c h t und j0', t)0' usw. die von j u n d g nach t f ü r den g e m e i n s a m e n P u n k t b e i d e r Kurven. Hierbei haben wir An+J, An+3, . . . ohne weiteres gleich Null annehmen dürfen, weil ja diese Zahlen in den Gliedern der Reihen bis zu den (n + l),"'n Potenzen von A t gar nicht vorkommen. Weil Aj 0 sein soll, folgt aus (5), daß auch umgekehrt At als Potenzreihe von At dargestellt werden kann. Man schließt daraus leicht, daß die für eine Berührung in gerade n ter Ordnung hervorgehenden Merkmale dieselben bleiben müssen, falls man 'die beiden Kurven miteinander vertauscht. Da die ursprünglich für eine solche Berührung formulierten Bedingungen vom Koordinatensystem und der Parameterdarstellung der beiden Kurven unabhängig sind, schließt man ferner, daß die hervorgehenden analytischen Merkmale ebenfalls eine vom Koordinatensystem und der Parameterdarstellung unabhängige Bedeutung haben müssen. Folgerichtig wäre es zu sagen, daß zwei Kurven, die einen Punkt gemein haben, dort stets eine Berührung von mindestens n u l l t e r Ordnung miteinander eingehen. Man spricht jedoch nur dann von einer Berührung, wenn die Ordnungszahl n m i n d e s t e n s gleich E i n s ist, d. h. wenn es Werte t0 und t0 von t und t gibt, für die nicht nur (8) *o = io» Va = ist, sondern nach Satz 9 für n = 1 auch eine Zahl ^ + 0 vorhanden ist, derart, daß(9)

«o'-W-O,

Vo~ h

0

32

Erster Abschnitt:

Kurcen in der Ebene.

wird, d. h. wenn //„': x 0 'gleich t}0': j 0 ' ist, anders ausgedrückt: wenn d i e K u r v e n im g e m e i n s a m e n P u n k t e d i e s e l b e T a n g e n t e h a b e n (vgl. S. 22). Soll die Berührung von m i n d e s t e n s z w e i t e r O r d n u n g sein, so muß es nach Satz 9 a u ß e r d e m eine Zahl ^ derart geben, daß oder (10)

- K So' + V - ¿i 2 Jo" = ° . • x0" = v

fo"

+ ;.3 f o \

- K %' + %" ~

2

V =

0

t/0" = v 1 , 0 ' ' + ^ %'

wird. Noch umständlicher werden die Bedingungen für eine Berührung in mindestens dritter Ordnung. Wird als zweite Kurve c die Tangente der ersten Kurve c im Punkte (x0, //„) angenommen, so hat sie nach (7), S. 22, die Gleichungen: (11)

y = x0 + x 0 't,

1} - y 0 + yo'

so daß t0 = 0 wird. Hier ist j 0 ' = x0', t)0' = y0', also (9) für = 1 erfüllt, was daher besagt, d a ß d i e T a n g e n t e die K u r v e in m i n d e s t e n s e r s t e r O r d n u n g b e r ü h r t . Auf S. 20 haben wir (vgl. Fig. 7) solche Punkte A und 21 der Kurve c und ihrer Tangente c einander zugeordnet, denen dieselbe Abszisse x zukommt, so daß damals die Strecke Ail nichts anderes als die Ordinatendifferenz war. Die dort angestellte Betrachtung lehrt somit, d a ß die K u r v e y =s /'(x) -an d e r S t e l l e (x0) von i h r e r T a n g e n t e in g e r a d e nUl O r d n u n g b e r ü h r t w i r d , w e n n y", . . . »/"> f ü r x = x0 v e r s c h w i n d e n , d a g e g e n y"+'> f ü r x = x0 von N u l l v e r s c h i e d e n ist. Nach S. 20 erhellt ferner, d a ß m a n d i e W e n d e p u n k t e d e r K u r v e c a l s d i e j e n i g e n S t e l l e n d e f i n i e r e n k a n n , an d e n e n s i e i h r e T a n g e n t e in m i n d e s t e n s z w e i t e r O r d n u n g b e r ü h r t . Diese Definition ist sogar umfassender als die frühere, weil sie auch für den Fall anwendbar ist, wo die Tangente zur y-Achse parallel i s t Das allgemeine Kennzeichen der Wendepunkte ergibt sich, weil schon Aj = 1 hervorging und j 0 " = t)0" = 0 nach (11) wird, aus (10) so: =

X

0>

Vo ~

Vo '

Elhnination an X2 liefert also den Satz 10: D i e K u r v e x = tp{t), y = y>{t) w i r d von i h r e n T a n g e n t e n an d e n j e n i g e n S t e l l e n in m i n d e s t e n s z w e i t e r O r d n u n g b e r ü h r t , d. h. sie h a t a n d e n j e n i g e n S t e l l e n W e n d e p u n k t e , wo d i e B e d i n g u n g e r f ü l l t i s t : 1

'ff f t» A y —y* =

§ 6. Merhnale für die Berührung

usw.

33

B e i s p i e l : Die Kurve y = j / z geht durch den Anfangspunkt und hat dort einen Wendepunkt, dessen Tangente die y-Achse ist, wie man sofort aus x y' und dem ersten Beispiele auf S. 21 sieht. In Parameterdarstellung könneu wir schreiben: x = t', y = t, so daß wir nach Satz 10 die Bedingung

3i5»0 - 1 • 6i = 0 anzusetzen haben, die für t = 0 in der Tat erfüllt ist.

§ 6. Merkmale für die Berührung bei besonderen Darstellungsformen der Kurven. Liegen die Gleichungen der Kurven c und c in der Form vor: .'/ = /'(*)

und

i) = «7 (r)

uud haben die Kurven den P u n k t mit der Abszisse gemein, d. h. ist /'(r 0 ) = g(i' 0 ) = .'/„» so vereinfachen sich die Bedingungen für eine Berührung in mindestens n t e r Ordnung bedeutend. Jetzt nämlich sind x und £ die Parameter t und t, da sich die Kurven so darstellen lassen.: x = // = /'(*) und £ — t, i ) = y ( t ) . Die Reihen des - Satzes 9. S. 30, lauten hiernach in diesem Falle wie folgt:

(1}

1 x - £ = At -

t

- l> = n

At,

M A' ~ ^

A

+

s?!

At

'~


=W" ) -

Beachten wir, daß t = x, t = j ist, so können wir demnach sagen: Satz 11: H a b e n die b e i d e n e b e n e n K u r v e n : . ' / = / » u n d ») = /7 (?) d e n P u n k t m i t d e r A b s z i s s e x0 g e m e i n , so b e r ü h r e n sie e i n a n d e r in d i e s e m P u n k t e in m i n d e s t e n s n Ur O r d n u n g , wenn die A b l e i t u n g e n von y n a c h x m i t d e n e n t s p r e c h e n d e n A b l e i t u n g e n von t) n a c h j b i s zu d e n e n n ter O r d n u n g e i n s c h l i e ß l i c h f ü r x = j = x0 ü b e r e i n s t i m m e n . Der Punkt mit der Abszisse x0 + A .r hat bei der ersten Kurve die Ordinate .'/ = .'/o +

+

+

9 =.'/„+?'jAx +

+

bei der zweiten die Ordinate: . tTO

Hierin aber stimmen jetzt die Glieder bis zur n überein, so daß

y-

=

w-+11 - v

+

Potenz von Ax •••

ist Wie wir auf S. 20 zur Ableitung des Satzes 6 schlössen, können wir also auch hier folgern: Liegen r e e l l e Kurven vor und wechselt A x sein Zeichen, so gilt dasselbe von der Ordinatendifferenz y — ij. wenn n gerade ist, sonst nicht, vorausgesetzt, daß der absolute Betrag von A x hinreichend klein gewählt wird. Daher ergibt sich der Satz 12: W e n n zwei r e e l l e e b e n e K u r v e n e i n a n d e r in g e r a d e n Ur O r d n u n g b e r ü h r e n , d u r c h s e t z e n sie e i n a n d e r an d e r B e r ü h r u n g s s t e l l e , f a l l s n e i n e g e r a d e Z a h l i s t , sonst nicht. Wir sehen hieraus wieder (wie auf S. 32), daß wir in Satz 6 des § 4 tatsächlich die Berührung n 1 " Ordnung zwischen einer Kurve und einer Geraden vor uns hatten. Wenn wir von der Annahme ausgehen, daß die Punktkoordinaten der beiden Kurven durch B o g e n l ä n g e n s und 3 als Parameter ausgedrückt seien: *

=

t

P M»

(*)

und

e = /'(§), 9 = 0(*)»

§ 6. Merkmale für die Berührung usw.

35

vereinfachen sich ebenfalls die Bedingungen für die Berührung in höherer Ordnung bedeutend. Wenn nämlich die Kurven einander in P überhaupt berühren, also dieselbe Tangente haben, sind einerseits dx dy / ~ ds ' y = ds und andererseits dt) t di ' y = dä Kosinus und Sinus des Tangentenwinkels. Da aber der Winkel für beide Kurven verschiedenartig gemessen sein kann, ist dann an der gemeinsamen Stelle e n t w e d e r x = j' und ;/ = g' o d e r x = — j', 1/ = — t)'. Liegt der zweite Fall vor, so kommt man doch zu dem ersten zurück, wenn man bei der zweiten Kurve den Parameter — 5 einführt, da ja mit § auch — » die Bogenlänge vorstellt, weil sie von einer Quadratwurzel abhängt Wir nehmen also vorläufig r 0 ' — pü'. .'Aj ~ *>o' a n der gemeinsamen Stelle an. Die Bedingungen (9), S. 31, für die Berührung in mindestens erster Ordnung geben dann = 1. Da nun nach Satz 1, S. 11, für alle Werte von s bzw. # (3)

.r'- + / / - = l ,

s'M-9's=l

ist, folgt hieraus durch Differentiation nach s bzw. 3 (4)

x'x" +' y'f

= 0,

i 1 + t)' X)" = 0.

Die Bedingungen (10) auf S. 32, die für die Berührung in mindestens zweiter Ordnung noch hinzutreten, nehmen wegen Aj = 1 die Form an: x

o" = fo" + K £o'> i/o" =

+

V-

Beachten wir aber die Gleichungen (3) und (4), so folgt k, = 0 und.: H _ H /J _ ^ x o _ to» y0 ~ "0 • Daß dasselbe einfache Ergebnis auch für Berührung in beliebig hoher Ordnung gilt, können wir durch den Schluß von n — 1 auf n dartun: Wir nehmen an, wir hätten bewiesen, daß die beiden Kurven einander in mindestens (n — l) ter Ordnung berühren, wenn:

1

x

(5)

o — £0 '

ffo = V»

x

o — £•••

//o" = %"> • • •

x in

~ r 0 (n

.'/o'"

=

o

ist, und es hätte ¿, = sich 1, Aaußerdem Ä,ergeben: = 0, . . . 3 = 0,

9o(" - 1 J

).n_t — 0. 3*

36

Erster Abschnitt:

Kurven in der Ebene.

Soll nun Berührung in mindestens nl" Ordnung eintreten, so gelten zunächst diese Formeln. Danach ist:

-

»)+... +

+ ^

¡^TiÄ W" " : " w

'-1 -

A

l

)

(y0w A *» - p0(») A 8») + . . . ,

worin nun (6)

AI = As + A- As" + . . .

.

zu setzen ist. Dann aber zeigt sich, daß beide Entwicklungen erst mit Gliedern von nUr Ordnung beginnen. Wir haben deshalb zu fordern, daß diese beiden Glieder verschwinden. Dadurch ergibt sich: also: (7)

-

to + V

*0(,° n )

=

fo00 =

fo"" +

0,

K So',

-

A „ +

y0(n) =

V '

y0)o'V" + KMan erkennt jedoch durch fortgesetzte Differentiation der Formeln (4) nach £ bzw §, daß sich x x1"' + )/'y«'

und

f' j'"' + i/1)

x

o"' = ± io'" • • • ^

= (±

W " .

M

//.' = ± !f 0 " = W» .'/„"' = ± %"'»• • • Vo = ( ± "*•)" 9o!n)> und zwar g i l t d a b e i e n t w e d e r ü b e r a l l d a s obere o d e r Uberall das untere Vorzeichen. Da in diesem Falle, wie sich ergab, A, = 1, dagegen A, = 0, . . . }.n — 0 ist und da wir alle übrigen Zahlen A gleich Null annehmen können (vgl. S. 31), dürfen wir jetzt nach (G) insbesondere J§—Js oder = — As wählen. Die Definition der Berührung in mindestens ntor Ordnung in § 5 gibt folglich den Satz 14: B e r ü h r e n zwei K u r v e n c u n d c e i n a n d e r in einem g e m e i n s a m e n P u n k t e P in g e r a d e n*4' O r d n u n g , so h a b e n sie in P z u n ä c h s t d i e s e l b e T a n g e n t e . T r ä g t man d a n n auf den K u r v e n c und c von P a u s n a c h d e r s e l b e n R i c h t u n g d e r T a n g e n t e hin g l e i c h l a n g e Bogen auf bis zjj P u n k t e n A und ül, so v e r s c h w i n d e t die S t r e c k e AIt i n der («+l) teD O r d n u n g , s o b a l d der a u f g e t r a g e n e B o g e n in der e r s t e n Ordnung verschwindet. Noch sei ein Satz angegeben, der sofort aus Satz 11 folgt: Satz 15: B e r ü h r t eine K u r v e c zwei a n d e r e K u r v e n Cj und c, in einem g e m e i n s a m e n P u n k t e P in n 4 " O r d n u n g , so b e r ü h r e n a u c h Cj und c2 e i n a n d e r d o r t in m i n d e s t e n s nUr Ordnung. Überhaupt gilt der Satz 16: W e n n d r e i K u r v e n ein und d e n s e l b e n P u n k t g e m e i n h a b e n und e i n a n d e r d o r t b e r ü h r e n , so sind von den O r d n u n g s z a h l e n d e r d r e i B e r ü h r u n g e n zwei e i n a n d e r gleich, w ä h r e n d die d r i t t e e n t w e d e r a u c h j e n e n b e i d e n g l e i c h oder a b e r g r ö ß e r ist. Haben zwei Kurven z. B. in P dieselbe Wendetangente, so berühren sie einander dort in mindestens zweiter Ordnung. Aus der Definition der Berührung nter Ordnung oder auch aus Satz 14 folgt noch, daß, wenn eine reelle Kurve a zwei andere

38

Erster Abschnitt: Kurven in der Ebene.

reelle Kurven b und c in demselben Punkte P in nUr bzw. (n + m),er Ordnung berührt, sie alsdann in der Umgebung von P der Kurve c am nächsten ist. Von zwei Kurven, die einander in höherer als erster Ordnung berühren, sagt man wohl auch, daß sie einander o s k u l i e r e n . Doch steht dieser Sprachgebrauch nicht fest (siehe S. 45). An einer späteren Stelle, in § 10, werden wir in der Lage sein, dem allgemeinen Satze über die Berührung n 1 " Ordnung zwischen zwei Kurven noch eine neue Fassung zu geben. § 7.

Berührung von Kurve und Kreis.

Wir wenden die allgemeine Theorie des § 5 auf eine beliebige Kurve (1)

x = (f[t),

,, =

y{t)

und einen K r e i s an. Der Kreis habe die laufenden Koordinaten a. l], und es seien a, b seine Mittelpunktskoordinaten, r der Radius. Mit Hilfe des Zentriwinkels t lauten die Gleichungen des Kreises (vgl. 2. Beispiel, S. 8) so: (2)

J = a + r cos t,

i) = h -f- r sin t.

Hier ist j ' = — rsint,

t)' = r c o s t ,

f " = — rcost,

— rsint.

Verlangen wir, daß der Kreis die Kurve in mindestens zweiter Ordnung berühre, so haben wir nach § 5 zu fordern, daß es ein Wertepaar t, t gebe, für das die Werte (1) mit den Werten (2) übereinstimmen und die Gleichungen (9) und (10) auf S. 31, 32 bestehen. Wir haben also die sechs Bedingungen: (f, =

a

+ rcost,

i/i = b -f- r s i n t ;

J - .'/ = .'/(£ -

x)

senkrecht steht, in den laufenden Koordinaten j , >) - . ' / = ~ yii

die Gleichung:

~ *)•

Setzt man hierin die Werte von a und b aus (3) für 5 und l; ein, so wird die Gleichung erfüllt, so d a ß a l s o der M i t t e l p u n k t des Krümmungskreises auf der Normalen liegt. Die Formeln (3) kann man auch mit Hilfe des Satzes 11, S. 34, finden, indem man von der Kurvengleichung // = f[x) und der Kreisgleichung: (5) fc - of + (l) - bf = rausgeht. Zweimalige vollständige Differenziation von (5) nach j gibt nämlich: j _ a + (l) - b) \j = 0, 1 + 1f- + (1) - b) 1," = 0 . Vorlaugt man nun, daß der Punkt (x, y) der Kurve und dem Kreise (5) gemein sei und daß daselbst 1/ = y und t)" = y" werde, so gehen die drei Gleichungen (r - af + (1) - bf = r-, •v-a

+ (// - % ' = 0 ,

1 +.//'- + (y - b)y" = 0

hervor, deren Auflösung nach a, b und r a in der Tat die Formeln (3) liefert.

42

Erster Abschnitt: Kurien in der Ebene.

Wir untersuchen nun, unter welcher Bedingung der Krümmungskreis die Kurve in noch höherer als zweiter Ordnung berührt. Für eine Berührung in mindestens dritter Ordnung ist zu fordern, daß auch an der Stelle (x = 5) mit y " übereinstimmen. Nun ergibt sich q'" aus deijenigen Gleichung, die durch dreimalige vollständige Differentiation Ton (5) nach j hervorgeht, nämlich aus: s w

+

fo-W'-o.

Mithin müßte an der betrachteten Stelle (x) noch 3y'y" + (.»/ - %"'

= 0

sein, woraus wegen des Wertes (3) von b hervorgeht: (6) 3 y . ' / " 2 - ( l + i r ) ! i " = 0Somit gilt der Satz 21: Die K u r v e y = /'(x) w i r d n u r an s o l c h e n S t e l l en (z) von i h r e n K r ü m m u n g s k r e i s e n in h ö h e r e r a l s zweiter O r d n u n g b e r ü h r t , an denen: Syy-fl+y'5)*'" = 0 ist. Weil y, y", y" Funktionen von x sind, ist dies eine Bedingung für x, die bei einer beliebigen Kurve, wenn überhaupt, nur für einzelne Stellen (x) erfüllt sein wird. An solchen Stellen — sie heißen S c h e i t e l — wird die Berührung im allgemeinen von nicht höherer als dritter Ordnung sein. Nach Satz 12, S. 34, wird dort also der Krümmungskreis die Kurve im allgemeinen n i c h t durchsetzen, wenn eine reelle Kurve vorliegt. 1. B e i s p i e l : Ist eine Kurve hinsichtlich einer Geraden symmetrisch, so werden ihre Schnittpunkte mit der Geraden, sobald sie nicht singulär sind, Scheitel sein. Denn wenn jene Gerade zur y-Achse gewählt wird, muß die Funktion y — f(x) die Eigenschaft haben, daß für jedes x

V = fix) = /"(- x) ist, woraus durch Differentiation folgt: Tf = / ' ( * ) =

- / ' ( - * )

y" = / " W = + / " ( - * )

y'-= /"'(*) =

-/•"'(-*)•

Für x = 0 ergibt sieb hieraus y' = y'" «= 0, so daß (6) erfüllt ist.

Fragen wir, ob es vorkommen kann, daß a l l e Punkte einer Kurve Scheitel sind. Es müßte für jede Stelle (x) der Kurve die Bedingung (6) erfüllt sein. Nun aber sind die Bestimmungsstücke a, b, r des Krümmungskreises nach (3) Funktionen von x, für die

§ 7. Berührung da dz db dx '' dr» dx

von Kurve und

Kreis.

43

[3////' 2 - ( i + y 2 ) ; / " ] ,

- ^

2(1+ »/'»)*

[3//'//"2 - (1 + » / > ' " ]

ist, so daß aus (6) folgen würde, daß a, b und r l für a l l e Punkte (x der Kurve konstante Werte hätten, d. h. die Kurve hätte überall denselben Krümmungskreis, wäre also mit dem Kreise identisch. Satz 22: A u ß e r den K r e i s e n g i b t es k e i n e K u r v e , die Uberall von i h r e n K r ü m m u n g s k r e i s e n in h ö h e r e r als ¿ w e i t e r O r d n u n g b e r ü h r t wird. Zu de« Kreisen gehören insbesondere natürlich auch alle G e r a d e n , die keine Minimalgeraden sind. Nach Satz 17 wird der Eadius des Krümmungskreises unendlich groß, wenn tf ' •»//' -

y' ff " =

0,

also der Berührungspunkt nach Satz 10, S. 32, ein W e n d e p u n k t ist. Der Kreis geht dann in die W e n d e t a n g e n t e über. Der Radius kann andererseits nur dann gleich Null werden, wenn f f ' 2 -f i,'1'2 = 0 ist. Dies aber tritt nur in singulären und Minimalpunkten ein, für die der Begriff der Berührung nach S. 28 überhaupt versagt. Die Krümmungskreise und zwar insbesondere diejenigen, die zu den etwa vorhandenen Scheiteln gehören, dienen ebenso wie die Tangenten zum angenäherten Zeichnen einer Kurve. Hierfür zwei Beispiele. 2. B e i s p i e l : ergibt sich nach (3):

Bei der S i n u s k u r v c y = sin x

a = x + ctgx(l + cos'x),

b= —

2cos*x sin x

Fig. 11.

(l+cosJx)3

44

Erster Abschnitt:

Kurven

in der Ebene.

Die Stellen x = 0, ± ± 2n . . . auf der x-Achse sind Wendepunkte (y" = 0), deren Tangenten die Winkel ± } n mit der x Achse bilden. Die Punkte x = ±in, ± J n . . . mit den Ordinaten y = ± 1 sind Scheitel mit dem Krümmungsradius 1, für die der Mittelpunkt des Krümmungskreises auf der x-Achse liegt (siehe Fig. 11). Auch für die Stellen x und die periodisch wiederkehrenden analogen Stellen ist der Krümmungskreis leicht zu konstruieren. Denn für x --= i n ist a = x + |f b = - }/:I, r* = 3. B e i s p i e l : Zuweilen genügt es, nur die Scheitel und ihre KrUmmungskreise, die Wendepunkte und ihre Wendetangeuten sowie die Asymptoten zu konstruieren, um eine Kurve mit großer Annäherung zeichnen zu können. Dies gilt z. B. bei der sogenannten W a h r s c h e i n l i c h k e i t s k u r v e y = e-*' der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einer Kurve, die man ihrer Gestalt wegen auch die G l o c k e n k n r v e nennt. Nach dem 1. Beispiele hat sie, weil die «/-Achse eine Symmetriegerade ist, den Scheitel (x = 0, y = 1), siehe S0 in

Fig. 12, und der Mittelpunkt A'0 des zugehörigen Krümmungskreises liegt auf der y-Achse und hat die Ordinate Aber es gibt noch zwei andere reelle Scheitel 5, und S,, denn die Bedingung (b) lautet hier: xe-**[(16x 4 - 12x* + 6)e-2x' + 3 - 2»*] = 0 und wird, wie man mittels Fehlerrechnung ermittelt, außer von x = 0 noch von x = ± 1,394 befriedigt. Zu diesen Abszissen gehört die Ordinate y = 0,143. Die Krümmungskreise dieser beiden Scheitel S, und S, haben Mittelpunkte A\ und K, mit den Koordinaten o = ± 1,954 und b = 1,545. Die Bedingung y" = 0 für die Wendepunkte gibt (4*' - 2 ) e - * ' = 0 und wird befriedigt durch x -- ± oder ± 0,707. Daher sind zwei Wendepunkte 1F, und W t vorhanden; sie haben die Ordinate 0,607. Man berechnet leicht die Ordinate 2: ]/e oder 1,213 für den gemeinsamen Schnittpunkt der Wendetangenten mit der «/-Achse, so daß sie sich danach zeichnen lassen. Die angegebenen Zahlenwerte sind auf drei Dezimalen abgerundet. Schließlich ist noch zu bemerken, daß die x-Achse eine Asymptote ist.

Die Ermittelung des Krümmungskreises ordnet sich einem a l l g e m e i n e n P r o b l e m unter: Es liege eine Kurve y = f{x) vor. Eine zweite Kurve sei durch eine Gleichung 9 = ^(E> c i» c *. ••• O

§ 8. Krümmung

ebener Kurven.

45

gegeben, die noch n Konstanten cx, c 2 , ... cn enthält, über deren Werte wir verfügen können, so daß also eigentlich eine S c h a r von unendlich vielen Kurven vorliegt Z. B. enthält die Gleichung eines Kreises drei Konstanten a, b, r, und wir haben oben das Problem gelöst, unter allen Kreisen denjenigen zu bestimmet, der die gegebene Kurve y = f[x) an einer gegebenen Stelle in möglichst hoher (nämlich mindestens zweiter) Ordnung berührt. So stellen wir uns hier das Problem, die Konstanten e2,... cn so zu wählen, daß die Kurve \) = y (j) die Kurve y = f{x) an der Stelle (x) in möglichst hoher Ordnung berühre. Nach Satz 11, S . 3 4 , muß man c l f c2, ... cn so bestimmen, daß möglichst viele von den Gleichungen:

/ » = *(*),

/ » =

rw=*"(»•)•••

erfüllt werden. Da wir über n Konstanten verfügen können, so werden wir n derartige Bedingungen erfüllen können, als letzte diese: /'"-»(.r) = ,2)-+ n(i's" + W ) = 0 .

Da aber 8 die Bogenlänge von c' bedeutet, ist nach Satz 1, S. 12: und daher auch:

l' 2 + t>'* = 1 f'f"

+ t/i," = 0 ,

so daß die Bedingung einfach n' = — 1 liefert. w = — 8 -f a

Hieraus folgt:

(a — Konst.).

Setzen wir dies in (2) ein, so kommt: (4) x*=i-(8-a)j', ,y = 9 - ( 8 - a ) 9 ' .

62

Eruier Abschnitt: Kurven in der Ebene.

Dies also siud die Gleichungen einer Kurve, die alle Tangenten der gegebenen Kurve c unter rechten Winkeln schneidet. Solche Kurven heißen o r t h o g o n a l e T r a j e k t o r i e n der Tangentenschar. Daher: Satz 36: D i e o r t h o g o n a l e n T r a j e k t o r i e n d e r T a n g e n t e n einer Kurve ! = «»(*), m i t d e r B o g e n l ä n g e 3 s t e l l e n sich m i t t e l s des P a r a m e t e r s i> so d a r : y = 0 — (& — a) 1)'. x = j-(ä-a)j', D a b e i b e d e u t e t a eine w i l l k ü r l i c h e K o n s t a n t e . Die zu einem b e s t i m m t e n W e r t e von a g e h ö r i g e T r a j e k t o r i e s c h n e i d e t auf d e r T a n g e n t e des P u n k t e s (3) der u r s p r ü n g l i c h e n K u r v e die S t r e c k e a — 8 ab. In den Punkten, in denen alle Trajektorien ein und dieselbe Tangente von c treffen, haben sie lauter parallele Tangenten. Außerdem ist der Abschnitt, den zwei Trajektorien, sagen wir die zu a = a1 und a — a2 gehörigen, auf den Tangenten von c bestimmen, konstant, da bei der einen n = n1=al—i, bei der anderen n = n2 = a2 — 3, also — v, = ^ — a2 = koust ist. Alle oo1 Trajektorien haben ferner dieselbe Normalenschar, nämlich die Schar der Tangenten von c. Wenn wir also irgend eine Trajektorie konstruiert haben und auf allen ihren Normalen eine konstante Strecke auftragen, erhalten wir wieder eine der Trajektorien. Eine Kurve aber, die man erhält, wenn man auf den Normalen einer Kurve konstante Strecken aufträgt, heißt eine P a r a l l e l k u r v e dieser Kurve. Es haben sich also mehrere Sätze ergeben: Satz 37: D i e o r t h o g o n a l e n T r a j e k t o r i e n der T a n g e n t e n e i n e r e b e n e n K u r v e liegen so, d a ß j e zwei von i h n e n eine k o n s t a n t e S t r e c k e auf a l l e n d i e s e n T a n g e n t e n a b s c h n e i d e n . Satz 38: Die P a r a l l e l k u r v e n e i n e r e b e n e n K u r v e c sind die o r t h o g o n a l e n T r a j e k t o r i e n d e r T a n g e n t e n d e r j e n i g e n K u r v e , die von den N o r m a l e n d e r K u r v e

r ** y" (1 + yy

ferner entsprechend: d>m = 2 L >V _ lOy' y - + 3y"' 18yy dt 1 (i +1r>y"N (i + t1? (i + y-r usw. Hieraus erkennt man leicht: Die Differentialinvariante, die sicli durch (n — 2) malige Differentiation von k2 nach »» ergibt, ist eine rationale gebrochene Funktion von y, y",. . . y'n) allein. Sie wird deshalb eine D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e nter O r d n u n g genannt, und wir wollen sie mit Jn bezeichnen : l11)

n-

'

Der Nenner dieser rationalen gebrochenen Funktion enthält bloß Faktoren von der Form 1 + y"1 und y", die nicht überall längs der Kurve verschwinden. Denn wir setzten voraus, daß der Tangenten-

§ 11. Differentialinvarianten

einer ebenen

Kurve.

81

winket r längs der Kurve veränderlich sei, d. h. d a ß die K u r v e k e i n e Gerade, insbes. keine M i n i m a l g e r a d e sei. F e r n e r e n t h ä l t die F u n k t i o n d i e n , e A b l e i t u n g von y nur linear i m Z ä h l e r , m i t k o n s t a n t e n F a k toren oder F a k t o r e n von der F o r m 1 - f y' 2 b e h a f t e t D i e s gilt aber

nicht

m e h r für n = 2 ,

invariante zweiter Ordnung k d i e (12)

denn

die

Differential-

wir J2 n e n n e n w o l l e n :

= A»,

ist in >/" nach (5) quadratisch. Offenbar ist j e d e F u n k t i o n d e r s c h o n g e f u n d e n e n Differentialinvarianten J2, J3, Jit . . . ebenfalls e i n e Differentialinvariante. M a n k a n n sogar b e w e i s e n , d a ß es sonBt k e i n e g i b t , doch bedürfen wir dieses Satzes nicht Der Beweis wird so geführt: Wegen der beschriebenen Form von «/„ 11 läßt sich y(n) als rationale gebrochene Funktion von i / , y", . . . und Jn darstellen. Da das entsprechende fiir y'", y'7, : . . y f ~ v gilt, kann man schließlich y[n) auch als rationale gebrochene Funktion von y", J,, Jit... J. ausdrücken, nnd zwar gilt dies für alle Ordnungen n > 2. Soll nun J (y', y", ... y*"1) irgendeine Differentialin Variante n 1 " Ordnung sein, und denken wir iiii3 darin für y"', y,Y, . . . yM diese rational gebrochenen Funktionen sabstituiert, so geht aus J eine Funktion Si von ¡/, y" nnd V,, Jf, . . . J» hervor. Weil sie eine Differentialinvariante sein soll und weil andererseits Js, Ji%... J„ Differentialinvariantcn sind, muß dann infolge von (3) und (4) f ü r j e d e n D r e b w i n k e l u: y", J„ Jt, ••• J«) =

y", J„ Jt, •••

J.),

also auch: Si(y',

y", J,,

J.) - SKT/, 7i", J„ a

1 J.) — B nU

sein. Nach (3) aber werden y' und y" für a = 0 gleich 2/, y"\ also verschwinden Zähler und Nenner auf der linken Seite dieser Gleichung für a = 0. Demnach ergibt sich beim Grenzübergange lim « — 0 (was'bedeutet, daß man eine Bewegung mit einem nach Null strebenden Drehwinkel ausübt): 1|m

dn(y',y",Js,Jt,

a=0

•••J.)_0 Sa

Hierfür kann man schreiben: 0 = 0 \ dy

«a

öy

da !

Differenziert man aber die Werte (3) und (4) nach a, so gibt der Grenzübergang limo = 0 die Werte - (1 und — 8 y ' y " oder, weil dann yf, yf' mit y', y" übereinstimmen, die Werte — (1 + y'*) und — Zy1 y". Daher maß gefordert werden:

Scheffxks, Dlff. I. 3. Aul.

6

82

Erster Abschnitt:

Kurven

in der

Ebene.

Weil Jt — k% eine Differentialinvariante zweiter Ordnujg ist, gilt diese Formel insbesondere für S2 = kr, was man auch leicht direkt mittels Substitution des Wertes (5) bestätigt. Da somit auch:

ist und da 1 + %(* und i j y" nicht beide längs der betrachteten Kurve überall gleich Null sind, folgt aus den beiden letzten Gleichungen, daS dSl Bii ! ¿J >/ ö y" I / . = 0 ! o J , 6 J-, I b >j tiy' sein muß. Hier aber steht die Funktionaldeterminante von £1 und Jf hinsichtlich y' und y", deren Verschwinden bekanntlich bedeutet, daß Si als Funktion von y' und y" von J 4 a b h ä n g i g sein muß. Deshalb hat Si notwendig die Form einer Funktion von Jt und von den übrigen in Sl schon vorher aufgetretenen Argumenten J3, J , , . . . J„, was zu beweisen war. Wir formulieren daher den Satz 5 0 : D i e j e n i g e n K u r v e n y = f(x) d e r E b e n e , d i e k e i n e Geraden sind, haben hinsichtlich aller Bewegungen der Ebene n u r s o l c h e D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e n , d i e b l o ß F u n k t i o n e n d e r in S a t z 49 a n g e g e b e n e n D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e n d(kjl d- q1) ' d r ' d x- ' ' " ' s i n d , d . h . m i t H i l f e d e s D i f f e r e n t i a l p a r a m e t e r s dJ:di gewinnt m¡> • a u s d e r D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e n i e d r i g s t e r O r d n u n g k* n a c h und nach jede wesentliche Differentialinvariante. Natürlich nennen wir Jt, J3, Jt, . . . deshalb alle w e s e n t l i c h e n Differentialinvarianten, weil jede andere bloß eine Funktion von ihnen ist.

Die Reihe der Differentialinvarianten 12

d(k'-)

dHk*)

d'(lñ

läßt sich durch manche andere Systeme von Differentialinvarianten ersetzen. Man erkennt nämlich leicht, daß sie sich rational durch ^

"ST*

rfl«'

d

!»»•••

ausdrücken lassen. Da ferner der Krümmungsradius r der reziproke Wert von k ist, lassen sich diese rational durch ,.n (15)

ausdrücken. S. 46:

4 r-,

dr r - ,

d*r r--xt,

d3r r - s , . . .

Ferner ist, wenn s die Bogenlänge bedeutet, nach (1), ds

1

§ 11. Differentialinvarianten einer ebenen Kurve.

83

mithin für jede Funktion f: df = dt .

I df k ds

=

r

df ds

Demnach lassen sich die Differentialinvarianten (14) auch als rationale Funktionen von h (16) k2, * r > •• • v ' ' d s d s- ' d s' ' darstellen, indem also der Faktor k nur bei den geradzahligen Ableitungen von k auftritt Ebenso lassen sie sich als rationale Funktionen von r mJ ^

rr*

'

—r — ds ' ' ds"

— de*

schreiben, indem ebenfalls der Faktor r nur bei den geradzahligen Ableitungen von r vorkommt. Aus (15) folgt noch eine andere Darstellung, die uns gestattet, die gefundenen Differentialinvarianten geometrisch zu deuten: Wir bilden von der Kurve, die allen Bewegungen unterworfen wird, die erste, zweite usw. Evolute (vgl. S. 66) und bezeichnen mit r1, r " , . . . die Krümmungsradien dieser Evoluten in denjenigen Punkten, die dem gerade betrachteten Punkte der Urkurve entsprechen. Nach (14), S. 67, ist dann allgemein r'"' = d r1" - 1 1 : r. Mithin sind die Funktionen (15) identisch mit diesen: (18)

r-,

rr\

rr",

rr™, . . .

und lassen sich daher rational durch ,m ri rii (19) r*f ausdrücken. Demnach gilt der Satz 51: Die in S a t z 49 a u f g e s t e l l t e n D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e n und a l l e F u n k t i o n e n von i h n e n sind F u n k t i o n e n des Q u a d r a t e s d e s K r ü m m u n g s r a d i u s r und d e r V e r h ä l t n i s s e , in d e n e n die K r ü m m u n g s r a d i e n r1, r u , . . . d e r e r s t e n , zweiten usw. E v o l u t e der K u r v e zu r s t e h e n . Wir nahmen bisher an, diejenige Kurve, die allen Bewegungen in der Ebene unterworfen wird, sei in der Form y — f{x) gegeben. Wenn sie in einer allgemeinen Parameterdarstellung: * = 9>(')>

y - v M

vorliegt, kann man natürlich auch die Differentialinvarianten als Funktionen von t darstellen. Denn nach (3), S. 47, ist 6-

Erster Abschnitt: Kurven in der Ebene.

84

A2 =

(20)

und wegen

"-WT

+

W*

V R

x dy , V) z = arc tg - r - = arc tg , °

( y = V>(«), kann man auch hier die beiden Differentialinvarianten, die bei ihr jund J3 heißen mögen, als Funktionen von t berechnen: (9)

J2 = Kl),

Ja =

p[l).

Beide Kurven sind nun kongruent, falls es zu jedem Werte t einen Wert l derart gibt, daß infolge von (8) und (9) wird. Die Beziehung zwischen t und i muß dabei eine einwertige a n a l y t i s c h e sein, d. h. t muß sich als einwertige analytische Funktion von i und auch umgekehrt l als einwertige analytische Funktion von t darstellen. Demnach kann man das Kennzeichen der Kongruenz so fassen: Satz 53: S c h l i e ß t man G e r a d e n und K r e i s e aus, so sind zwei m i t t e l s j e eines P a r a m e t e r s t bzw. t d a r g e s t e l l t e Kurven in der E b e n e e i n a n d e r dann und n u r dann kong r u e n t , wenn es eine einwertige a n a l y t i s c h e Beziehung zwischen t und i gibt, infolge deren die beiden Gleichungen k2 =

¿2

'

W

di

=

dm di

b e s t e h e n , worin k und k die K r ü m m u n g e n und r und r die T a n g e n t e n w i n k e l der beiden Kurven bedeuten. 1. B e i s p i e l : Im 2. Beispiele, S. 17, wurde direkt gezeigt, daß die beiden iin Beeilen durchaus verschiedenartigen Kurven y — x — log x

und y = x + log x

einander kongruent sind. Nach Satz 53 wird der Beweis dafür methodisch so geführt: Im vorliegenden Falle sind x und x die Parameter t und 1. Wie die Formeln (5), S. 77, und (10), S. 80, zeigen, ist nun bei der Kurve y = x + e log sc, wo s gleich + 1 oder gleich — 1 sei: =

(2x* + 2ex + l)3

§ 12.

Die natürliche

Gleichung

und:

(2x- 4- 'lex + I)2

einer ebenen

Kurve.

89

3 (x + t) (¡ix1 + ¡Sex + 1)'i»

Wird jetzt f = — 1 gewählt, so sind dies die DifTercntialinvarianten J. und ./, der ersten gegebenen Kurve; wird dagegen e — + 1 gewählt und x statt x geschrieben, so sind es die DifTercntialinvarianten Jt und J3 der zweiten Kurve. Die Gleichung J, = J, oder (2x- -

'¿x + l):l

(2xs +

+ 1)"

wird in allgemeinster Weise befriedigt, wenn man: x --• Q'X,

2X* - 2x + 1 = (¡*-(2x- + 2x + 1)

setzt, woraus durch Substitution des ersten Wertes in die zweite Gleichung sofort p = — 1 folgt, weil x beliebig sein soll und o nicht verschwinden darf. Demnach wird die Bedingung Jj — J. einzig und allein durch die Annahme x = — x befriedigt. Wenn aber x. - —x gewählt wird, nimmt J3 genau den Wert J3 an, so daU auch die zweite Bedingung erfüllt ist Mithin sind die beiden vorgelegten Kurven in der Weise einander kongruent, daß homologe Punkte entgegengesetzt gleiche Abszissen haben.

G e r a d e n u n d K r e i s e wurden bisher ausgeschlossen. Hierüber ist zu sagen, daß sich zwei G e r a d e n , die k e i n e M i n i m a l g e r a d e n s i n d , stets durch eine Bewegung ineinander überführen lassen, während eine M i n i m a l g e r a d e bei allen Bewegungen immer nur in solche Minimalgeraden verwandelt wird, die denselben Richtungskoeffizienten, nämlich i oder — i, haben (vgl. S. 15). Demnach zerfällt die Gesamtheit aller Minimalgeraden in zwei Scharen untereinander kongruenter Linien x—j't/= konst. und x+iy= konst.. so daß keine Gerade der einen Schar einer der anderen Schar oder überhaupt irgend einer anderen Geraden der Ebene kongruent ist. Die Differentialinvariante k2 hat für eine Gerade, die keine Minimalgerade ist, den Wert Null, während sie für eine Minimalgerade jede Bedeutung verliert. Die Gleichung /)• Dies ist die n a t ü r l i c h e G l e i c h u n g d e r E l l i p s e (10) in derjenigen Form, die sich der Gestalt (7): T unterordnet. Wie man sieht, wird hier S2 eine s e c h s w e r t i g e Funktion. Selbst wenn man sich auf r e e l l e Kurven beschränkt, ist Sl noch zweiwertig, indem dann zwar die dritte Wurzel einwertig wird, aber immer noch eine Quadratwurzel mit beiden Vorzeichen auftritt. Dies findet seine geometrische Erklärung in Fig. 27, worin auf der Ellipse vier symmetrisch gelegene Punkte P , , P , , Pt, Pt markiert sind, für die sowohl der Krümmungsradius r der Ellipse denselben absoluten Wert hat als auch der zugehörige Krümmungsradius r 1 der eingezeichneten Evolute. Durchläuft man die Ellipse in dem angegebenen Sinne und beachtet man, daß die positive Normale zur positiven Tangente gerade so liegen soll wie die positive y-Aclise zur positiven x-Achse, und ferner, daß die Evolute überall den Sinn haben soll, der aus dem der Normale der Fig. 27. Ellipse hervorgeht, so erkennt inan, daß die Normalen der Ellipse und der Evolute die in der Figur angegebenen positiven Richtungen haben. Daraus ergeben sich für die Krümmungsradien r und r 1 diejenigen Vorzeichen, die in der Figur für an den vier Stellen P „ P „ P3, P , der Ellipse und für r1 an den vier zugehörigen Stellen P, 1 , P t ' , P, 1 , P 4 ' der Evolute angegeben sind. Folglich haben r und r' längs der Bogen A B und C D dasselbe, dagegen längs der Bogen B C und D A verschiedenes Vorzeichen. Ersetzt man den Sinn, in dem die Ellipse durchlaufen wird, durch den umgekehrten, so ändern r und r 1 Überall ihr Vorzeichen, so daß sich doch wieder ergibt, daß sie längs- A B und C D dasselbe, dagegen längs B C und D A verschiedenes Vorzeichen haben. Mitbin gilt die Gleichung (11), falls die Quadrat-

§ Iii. Begleitende Kurven.

91

wurzel positiv angenommen wird, für die Bogen AB und CD, andernfalls für die Bogen Ii C und D A- Dabei ist a' > b' vorausgesetzt. Bei der Quadratwurzel in (II) gilt somit das Pluszeichen für diejenigen beiden Ellipsenviertel, die man von den Hauptscheiteln aus in dem in der Ebene festgesetzten positiven Drehsinne bis zu den Nebenscheiteln durchläuft. Die beiden anderen Bogen sind nur zu ihnen symmetrisch. Ist E die Exzentrizität der Ellipse und p die Länge der halben im Brennpunkte auf der Hauptachse senkrecht stehenden Sehne, so hat man

" ' zu setzen.

(12)

" f . ,

•

-

r

^

Dann geht die Gleichung (XI) über in:

- 3| / f l - -L^ii

( i - i ' p - p - l) .

In dieser Form gilt sie auch für die H y p e r b e l n (f 2 > 1) und für die P a r a b e l n («-=!). Dies ist die n a t ü r l i c h e G l e i c h u n g a l l e r K e g e l s c h n i t t e .

§ 13.

Begleitende Kurven. 1

Wenn eine orientierte ebene Kurve c vorliegt, kann man sich vorstellen, daß der Scheitel P eines rechten Winkels die Kurve c durchläuft, während seine beiden Schenkel dabei beständig mit der jeweiligen positiven Tangente t und positiven Normale n des Kurvenpunktes P zusammenfallen. Nebenbei bemerkt, kann man übrigens auf Grund derjenigen Überlegungen, die zu dem Satze 26, S. 50, führten, diese Bewegung dadurch herstellen, daß man den zweiten Schenkel des rechten Winkels auf der Evolute von c ohne Gleiten abrollen läßt. Die beiden Geraden t und n bilden in jeder Lage ein rechtwinkliges Achsenkreuz; man nennt es d a s die K u r v e c o d e r d e n K u r v e n p u n k t P b e g l e i t e n d e A c h s e n k r e u z (t, n). Nun werde angenommen, daß die Kurve c nur durch ihre natürliche Gleichung gegeben sei. Nach Satz 52, S. 86, hat sie dann eine ganz bestimmte Form, dagegen eine willkürliche Lage innerhalb der Ebene. Dem Kurvenpunkte P sei ferner ein Punkt P dadurch gesetzmäßig .zugeordnet, daß man die Koordinaten £ und % die P in bezug auf das den Punkt P begleitende Achsenkreuz (t, n) hat, siehe Fig. 28, als Funktionen der Differentialinvariante zweiter Ordnung Jt oder k2 gibt. Beschreibt P die Kurve c, so wird der b e g l e i t e n d e P u n k t P eine neue Kurve s zurücklegen, die man e i n e d i e K u r v e c b e g l e i t e n d e K u r v e nennt. Abgesehen von 1

Dieser Paragraph kann später gelesen werden.

92

Erster Abschnitt:

Kurven

in der

Ebene.

einem Umstände, auf den wir sogleich zurückkommen, wird diese Kurve c, weil | und i; Funktionen der Differentialinvariante k2 sind, die sich j a bei beliebigen Bewegungen innerhalb der Ebene nicht ändert, immer dieselbe Form haben, wie auch die Kurve c in der Ebene liegen mag, so daß sich die Aufgabe ergibt, d i e n a t ü r l i c h e G l e i c h u n g d e r b e g l e i t e n d e n K u r v e c zu b e r e c h n e n . 1 Der störende Umstand ist folgender: Wenn die Kurve c nur durch ihre natürliche Gleichung gegeben ist, hat sie zwar eine ganz bestimmte Form, wie sie auch immer innerhalb der Ebene liegen mag, aber ihre Orientierung ist noch willkürlich. Das begleitende Achsenkreuz ist nun e r s t ' dann völlig bestimmt, wenn die Kurve c orientiert ist. Wird der Fortsclireitungssinn längs c durch den umgekehrten ersetzt, so tritt an die Stelle des begleitenden P u n k t e s / 1 ein anderer Punkt Q (siehe Fig. 28), weil dann die beiden Koordinatenachsen t und « ihren Sinn ändern. D e m n a c h e r g e b e n s i c h zwei v e r s c h i e d e n e b e g l e i t e n d e K u r v e n . Dies läßt sich vermeiden, wenn man £ und j; nicht als Funktionen von k2, sondern als solche Funktionen der Krümmung k selbst wählt, die mit k ihr Zeichen wechseln, denn wenn man dann die Orientierung ändert, geht zwar das Achsenkreuz (t, n) in das entgegengesetzte über, aber auch k in — k und daher £ in — £ und in — »;, so daß der Punkt P auch im neuen Achsenkreuze die alte Lage in der Ebene behält, daher nur e i n e begleitende Kurve entsteht. Wenn man z. B. £ = 0 und y = 1 : h annimmt, ist der begleitende Punkt P auf der Normalen n von P gelegen und zwar der zu P gehörige Krümmungsmittelpunkt, also die begleitende Kurve einzig und allein die E v o l u t e von c. Dennoch wollen wir die Annahme, daß | und rj Funktionen von k seien, die mit k ihr Zeichen wechseln, also sogenannte u n g e r a d e Funktionen von k seien, im folgenden nicht ausschließlich 1

Diese Aufgab« löste C F B X R O in den „ L c z i o n i di g e o m e t r i a int r i n s e c a " (Neapel 1896). Wir zitieren bequemer die deutsche Ausgabe „Vorl e s u n g e n ü b e r n a t ü r l i c h e G e o m e t r i e " von KOXVALEWSKI (Leipzig 1901), insbes. S. 21—25. Statt eines begleitenden Punktes kann man auch z. B. eine bugleitende Gerade and ihre Eiuhülleiide betrachten. Näheres darüber an der angegebenen Stelle. Das Werk von C E S A R O enthält ebenso wie die große Zahl seiner früheren Abhandlungen in Zeitschriften überaus viele Untersuchungen aus dem Gebiete der natürlichen Geometrie.

§ 13. Begleitende Kurven.

93

machen, weil sonst manche interessante begleitende Kurven unmöglich würden. So z . B . die P a r a l l e l k u r v e n , denn wenn man | = 0 und 1) = a ( = konst.) annimmt, ist ij keine ungerade Funktion von k\ in diesem Falle liegt P auf der Normalen n von P in dem konstanten Abstände a, so daß P eine Parallelkurve von c beschreibt. Nach allem diesen erscheint es angebracht, vorauszusetzen, d a ß | u n d i; i r g e n d w e l c h e g e g e b e n e F u n k t i o n e n d e r K r ü m m u n g k o d e r d e s K r ü m m u n g s r a d i u s r seien. S i n d d a n n | u n d i] n i c h t beide, u n g e r a d e F u n k t i o n e n , so g e h e n zwei verschiedene begleitende Kurven hervor; a n d e r n f a l l s erg i b t s i c h n u r eine. Um die natürlichen Gleichungen der begleitenden Kurven zu berechnen, denken wir uns die Kurve c, deren Form j a durch die als gegeben angenommene natürliche Gleichung vollständig bestimmt ist, in irgend eine bestimmte Lage gebracht und in irgend einer Weise orientiert Wie immer bezeichnen wir dabei mit r den Tangentenwinkel des Kurvenpunktes P gegenüber irgend einer bestimmten Abszissenachse. Wenn r um A x wächst, wander.i P auf der U r k u r v e c nach Pv und es sei (ij, 7^) das zu P, gehörige begleitende Achsenkreuz, siehe Fig. 29. Da k als Funktion von r zu betrachten ist und dasselbe also auch von £ und ?/ gilt, mögen dabei £ und ?; um Jij und Ai) wachscn. Dann sind £ + und i] + Atj die Koordinaten des zu P1 gehörigen begleitenden Punktes Pv bezogen auf das n e u e Achsenkreuz (i,, jij). Dem Bogenstücke PP X der Urkurve c gehört ein Bogenstück P P l der begleitenden Kurve c zu. Der Punkt P\ hat in bezug auf das a l t e Achsenkreuz (t, n) gewisse Koordinaten, die für Ax = 0 verschwinden und deshalb mit J J u n d A Y bezeichnet sein mögen. Schließlich üat auch der Punkt P1 in bezug auf das a l t e Achsenkreuz [t, n) gewisse Koordinaten, die für A x — 0 mit | und ?/ zusammenfallen und daher mit | - f Vit V + V»/ bezeichnet sein mögen. Wir müssen nämlich hier ein anderes Zeichen V für die Inkremente benutzen als das schon verwertete Zeichen A. Wenn nun R, S, S1 und T die Fußpunkte der Ordinaten AY, ?/, 17+J17 und y + W sind, ist PXP1SlP1TP ein geschlossenes Polygon, desso i Projektion auf die Tangente t oder auf die Normale n den Wert Null hat (vgl. S. 13, 14). Hieraus folgt:

94

Erster Abschnitt:

Kurven in der Ebene.

AX-f

(I -f J | ) c o s Ar - (»/ -!- jj?)sin Ar - . ( £ + V | ) = 0 ,

AY

(| +

sin Ar + (»;

Ay)cos Ar - (tj -¡- V v) = 0 .

daher:

(

V $ = AX -+- | ( c o s At — 1) — »/sin AR + V»; = ^

cos J r — Ar, sin AR,

+ | s i n J r + »/(cos J r — 1) + J f sin A r + AIJ cos AR.

Nun wollen wir diese Formeln mit Ar dividieren und dann den Grenzübergang lim Ar = 0 ausfuhren. Dabei ist zu beachten, daß lim 4* At

(2)

di

lim

4 * = ^ At dt

wird. Bezeichnet man überdies den Bogen P P , mit As, so ist außerdem:

der Urkurve c

,• AX ,. äX As l lim —— - lim — = — = r7, Ar As At k V AY ,. AY As „ lim —— = lim—— • -— = 0 , At As At denn die Grenzwerte von AX:As und AY:As sind Kosinus und Sinus des Winkels, den die Tangente mit der Tangente t für lim Ar = 0 bildet (vgl. (10), S. 23), während As . Ar nach (1), S. 46, in den reziproken Wert r der Krümmung k übergeht. Die Grenzwerte, die sich aus (1) nach Division mit Ar für sjg:Ar und S7tjiAr ergeben, wollen wir Sg:dr und drj'.dr nennen. Die Bezeichnungen dj-'.dr und drj:dr dürfen ,wir ja hier nicht anwenden, weil dies die Ableitungen der beiden gegebenen Funktionen £ und ij nach r Bind. Da schließlich bekanntlich noch lim

cosJ t -

1

=

At At ist, liefert der Grenzübergang die Formeln 1 : I9\

l

S

1

b i

1

dr

>

Diese Formeln bedeuten: Die Koordinaten eines v e r ä n d e r l i c h e n Punktes P von c, genommen in bezug auf das Achsenkreuz [t, n) des b e s t i m m t e n Punktes P von c, sind solche Funktionen von At, die für lim Ar = 0 die Ableitungen (3) haben. Es empfiehlt sich, zur Abkürzung der kommenden Formeln die Bezeichnungen : (4)

— S + J j 1

Diese Gleichungen nennt Cialno a_ a. 0. S. 21 (siehe die Anm. zu S. 92) die F u n d a m e n t a l f o r m e l n für die natürliche Analysis der ebenen Kurven.

§13.

einzuführen, so daß (5 v

Begleitende

Äf — = u,1

'

il i

wird.

95

Kurven.

Stj -r~ = v df

Die begleitende Kurve c orientieren wir so, wie sie von P durchlaufen wird, wenn P die gegebene Kurve c in dem einmal festgesetzten Sinne zurücklegt. Die Gerade P P t geht nun beim Grenzübergange lim A r = 0 in die Tangente der begleitenden Kurve c an der Stelle P über, und wenn die positive Tangente von P mit der positiven Tangente t von P den Winkel 6 bildet, so ist: tgO ö = lim—^ =lim"":J' C Vf also nach (5): Differentiation nach r gibt, falls die Striche diese Differentiation andeuten: d0 dx

(7)

u v' — v u' u- + v*

Wächst T um Ar, so liefert (6) den Wert von tg(ö + A 6). Dabei bedeutet 6 + A 6 wohlverstanden den Winkel der Taugente von c in Px mit der Tangente ij von c in P,. Weil die Tangente tt von c in Pl mit t den Winkel Ar einschließt, ist mithin 6+ Ad + Ar der Winkel, den die Tangente von Pl mit t bildet. Beim Durchwandern der begleitenden Kurve von P bis P1 dreht sich demnach ihre Tangente um den Winkel (i0 + A0+Ar)-0

oder

AO+Ar.

Bedeutet nun dr den zu dem Differential «fr gehörigen K o n t i n g e n z w i n k e l (vgl. S. 46) und ds das zugehörige B o g e n e l e m e n t der begleitenden Kurve e, so ist zunächst: dt dx

AO + At At

— = lim—also nach (7): (8)

Ferner wird:

dt

dt

Ad At

m v' — v u' + ü1 + u1 + r 1

mithin nach (5): (9)

(£)'=

,

= l i m — + 11,

+

96

Erster Abschnitt:

Kurven

in der

Ebene.

Bedeutet schließlich noch r den Krümmungsradius der begleitenden Kurve c in P, so ist r = ds:dr, also nach (8) und (9): (10) v

.

'

2

Weiterhin ist

_ -

(u* + »v

(u V — V u + u- + P*)s n. Wenn wir ferner nur r e e l l e Kurven mit r e e l l e n Parameterdarstellungen ins Auge fassen wollen, dürfen wir uns auch a u f die A n n a h m e u > 0 und ß > 0 b e s c h r ä n k e n . Die anderen Möglichkeiten gehen nämlich sofort aus dieser durch Vertauschen der positiven und negativen Achsenrichtungen hervor. Das Verhalten der Kurve (5) in der Umgebung des singulären Anfangspunktes er-

§ 14. Singulare Stellen ebener Kurven.

107

hellt nun aus dem der Hilfskurve (6). Wenn n bzw. m ungerade ist, wird j bzw. t) mit t positiv oder negativ. Wenn dagegen n bzw. m gerade ist, wird j bzw. l) stets positiv. Deshalb ergeben sich die vier Gestalten in Fig. 35. Wenn n ungerade ist, bieten sie nichts Anderes dar als diejenigen Eigentümlichkeiten, die bei einer Berührung höherer OrdnuDg zwischen einer Kurve und der Abszissenachse im Anfangspunkte vorkommen (siehe S. 20, 21). Daß trotzdem etwas Besonderes auftritt, sieht man erst, falls man auch das Imaginäre berücksichtigt: Zu einem reellen Werte von j gehören nach der ersten Gleichung (6) insgesamt n verschiedene Werte von t, von denen allerdings bei ungeradem n nur einer reell ist, und zu diesen n Werten von t gehören nach der zweiten Gleichung (6) IllUVjtia&l:

Fig. 35.

insgesamt n Werte von t), von denen dann allerdings bloß einer reell ist Entsprechendes gilt bei der Kurve (5), d. h. eine der y-Achse hinreichend nahe und parallele Gerade trifft die Kurve (5) in insgesamt n Punkten, von denen allerdings bloß einer reell ist Rückt die Parallele in die y-Achse hinein, bo fallen alle n Schnittpunkte in dem singulären Anfangspunkte zusammen. Neue Formen bieten sich dagegen nach Fig. 35 dar, falls n gerade ist. Wenn m dabei ungerade ist, weist die Kurve im Anfangspunkte eine sogenannte S p i t z e auf, indem sich zwei reelle Kurvenzweige der positiven x-Achse im Anfangspunkte von oben und unten her anschmiegen. Ist m gerade, so ergibt sich eine sogenannte S c h n a b e l s p i t z e , indem dann die beiden Zweige von derselben Seite her an die ar-Achse herankommen. Man nennt die Spitzen und Schnabelspitzen

108

Erster Abschnitt: Kur cm in der Ebene.

auch R ü c k k e h r p u n k t e 1 ; durchläuft nämlich ein Punkt die Kurve, indem er zunächst längs des einen Zweiges bis zum Anfangspunkte eilt und darauf den anderen Zweig zurücklegt, so kehrt sich seine Bewegungsrichtung im singulären Punkte um. Wir machten vorhin der Bequemlichkeit halber die Annahme m > n. Sehen wir davon ab, so wird man es als den einfachsten Fall oder als den am meisten vorkommenden Fall zu betrachten haben, wenn n und m die kleinsten erlaubten Werte haben, also m = n = 2 ist. Dann hat der singulare Anfangspunkt denjenigen Strahl zur Tangente, dessen Richtungskoeffizient ß : u ist. Macht man aber diesen Strahl durch eine geeignete Drehung des Achsenkreuzes zur neuen x-Achse, so geht der Fall n = 2, m = 3 hervor. Mithin können wir als den e i n f a c h s t e n F a l l denjenigen bezeichnen, in dem sich die Kurve im Anfangspunkte wie die Kurve x =

y = t3

verhält. Diese ist in Fig. 36 dargestellt, worin die Längeneinheit nicht angegeben ist, weil sie einen zu großen Wert hat, nämlich 5 cm beträgt. Fig. 36. Schon auf S. 63 begegneten uns bei den E v o l v e n t e n einer Kurve Rückkehrpunkte da, wo sie die Evolute treffen, siehe Fig. 20 und 21. Wir wenden uns jetzt zur Betrachtung der singulären Stellen einer Kurve, die in der Form F(x, t,) = 0 gegeben ist. Für Funktionen von mehr als einer Veränderlichen haben wir nun keine so bequemen Sätze wie den oben bei den Reihenentwicklungen von

/ = ßf'

+ l>m+lt'"+1

+ . .

u n d d a b e i wird m a n die B e d i n g u n g e n a^O u n d ß =f=,0 m a c h e n . Für den Fall, daß man zwei derartige Entwicklungen (12), die der Gleichung (9) genügen, schon kennte, würde man weiterhin schließen, daß sich der Kurvenzweig (12) der H i l f s k u r v e (13)

f

= « in der Form ß',-h

A-I,

konst. -f konst. ^R—.- 4- . . . + konst. ¿R—- = 0 darstellt, wobei

k - l, = _ l, - /, = n /;, — ''' k i — A", »i ist. M i t h i n ist die B e d i n g u n g f ü r a und ß eine a l g e b r a i s c h e G l e i c h u n g f ü r die U n b e k a n n t e ß":am. Daß einer der beiden Koeffizienten ce und ß beliebig bleibt, liegt in der Natur der Gleichungen der Hilfskurve (14) l = ccl% t) = ß t m ,

da man ja ein konstantes Vielfaches von t als neuen Parameter anwenden kann. Man kann auch so sagen: Weil nach (14) £ B"

=

51 £M

ist, s t e l l t sich die H i l f s k u r v e in d e r F o r m e i n e r a l g e b r a i s c h e n G l e i c h u n g f ü r t) n :£ m dar. Die markierten Gitterpunkte, die zu den vorkommenden Exponenten kn + lm gehören, liegen wegen A + / = £ r auf der Fläche des rechtwinklig gleichschenkligen D r e i e c k s , dessen Katheten die Strecken r auf den Koordinatenachsen in der Bildebene sind. Deshalb heißt das erörterte graphische Verfahren die M e t h o d e des analytischen Dreiecks.1 1

Natürlich kann man die Hilfsfigur in der Bildebene auch in irgend einem schiefwinkligen Achsenkreuze einzeichnen. Die Methode wurde zuerst von NSWTOX in einem Briefe vom Jahre 1 6 7 6 (abgedruckt in W A L L I S „ T r e a t i s e

8*

Erster

lie

Abschnitt:

Kurven

in der

Ebene.

1. B e i s p i e l : Die Glcicliung des sogenannten CARTESIsehen einer gewissen algebraischen Kurve dritter Ordnung, lautet: (15) F = x» + y* - 3xy = 0 . Weil F, F., und

Fig.

3S.

Blattes,

alle drei nur für x = y = 0 verschwinden, ist hier der Anfangspunkt die einzige singulare Stelle. Ersetzt man x uud y durch a tn und ßtm, so bekommt t die drei Exponenten 3 « , 'Am, n + vi. Zu ihnen gehören die in Fig. 38 markierten drei Gitterpunkte (3,0), (0, 3) und (1,1), und es gibt zwei Geraden g von den auf S. 114 angegebenen Eigenschaften; die eine enthalt den ereten und dritten, die andere den zweiten und dritten Punkt. Also ist entweder 3 » = n + vi oder 3?« = n + m,

d . h . entweder m = 2n oder n — 2m zu setzen. Weil n und m teilerfremd sind, ist daher entweder n — 1, vi — 2 oder n = 2, vi — 1. Im ersten Falle k kommt nur das erste uud dritte, im zweiten uur das zweite und dritte Glied der Gleichung F = 0 in Betracht. Sie liefern die Bedingung

/

\V

/ /'

/

N

S

\

/'

[

\

\

\ \ \ V \ S \ \\

er« - 3 « 0 = 0 bzw. ß' -3aß = 0 für a und ß oder, da « 0 und ß^O ist, entweder ß = J o* bzw. a = J ß5. Daher sind nach (14) i = at,

1) =

! « ' / ' und

oder 0 ~ 1 ï'

und

= j

s

ï

i,

ß*

J

die Hilfskurven. Diese beide Parabeln sind V in Fig. 39 zusammen mit dem CARTESI sehen Fig. 3 9 . Blatte eingezeichnet. Die Kurve muli sich den Parabeln im Anfangspunkte anschmiegen, der daher ein D o p p e l p u n k t ist. Die eingezeichnete Gerade x + y — — 1 ist eine Asymptote. S

o f a l g c b r a etc", London 1685) und auch in seiner „ M c t h o d u s f l u x i o n u m e t s e r i c r u i n i n f i n i t a r u m " (NEWTONS O p u s c u l a , 1. Bd., London 1736, S. 31—199) gelehrt und nach ihm die des NswTONBchen P a r a l l e l o g r a m m s genannt. Alsdann hat DE GUA in seinem „ U s a g e de l ' a n a l y s e de D e s c a r t e s etc.' 1 (1740) statt einer wagerechten und einer senkrechten Achse Geraden gewühlt, die unter 45° geneigt sind. CRAUER macht in der „ I n t r o d u c t i o n à l ' a n a l y s e d e s l i g n e s c o u r b e s a l g é b r i q u e s " (Genf 17.">0) ausgiebig Gebrauch davon. Das L o b , das er DE Gl*A in der Vorrcdg erteilte, veraulaBte KÄSTNER in seinen „ A n f a n g s g r ü n d e n d e r A n u l y s i s e n d l i c h e r G r ö ß e n " (Güttingen 1760) zu der launigen Bemerkung (S. 35G), daß CRAMER den Einfall DE GCAS einen sehr glücklichen nenne, \tcil er ein Ding auf die Spitze gestellt habe, das bisher auf einer Seite gestanden hatte. Man sollte aber nicht, wie es REUSCULE in der „ P r a x i s d e r K u r v e n d i s k u s s i o n " (Stuttgart 1SSG) auf S. 6 tat, von dem analytischen Dreiecke von CHAUEU sprechen. Im übrigen erwähnen wir das Buch KEUSCIII.ES, weil es sehr viele lehrreiche Beispiele enthält und auch noch weiter den Nutzen des analytischen Dreiecks auseinandersetzt. Das dritte Beispiel des Textes ist ihm entnommen.

§14.

Singulare

Stellen

ebener

Kurven.

117

2. B e i s p i e l : Eine Strecke von der (positiven) Länge a bewege sich so, daß ihr einer Endpankt die x-Achse durchläuft, wahrend ihre Gerade beständig durch den Punkt (y = b) der y-Aclise geht. Dabei sei b positiv. Der zweite Endpankt der Strecke beschreibt alsdann die sogenannte K o n c h o i d e mit der Gleichung: (16)

F

x» rf- + (j> - a1) (y - 6)* = 0.

Man erkennt leicht, daß F, F, und F„ nur für x - 0, y = b alle drei verschwinden. Danach ist der gegebene Punkt (y — ~b) der y-Achse die einzige singulare Stelle. Um die Theorie anwenden zu können, müssen wir ihn in den Anfangspunkt verlegen, indem wir das Achsenkreuz verschieben, nämlich y — b als Ordinate y benutzen. Dann hat die Kurve die Gleichung, dio aus (16) hervorgeht, wenn darin y + b statt y geschrieben wird: (11)

x,yt

+ 2bzJy

+ b,z'-l

y* + 26 if + (i» - » V = 0.

Die zugehörigen Exponenten sind: 2 » + 2»», 2n + m, 2 n, im, 3 m, 2 m, also die zugehörigen Gitterpunkte die in Fig. 40. Der Fig. 40. letzte Punkt ist dabei anders markiert, weil der Koeffizient 6 ! — ar des letzten Gliedes in (17) für b = a verschwindet und d e r P u n k t d a h e r n u r f ü r b ^ - a in B e t r a c h t k o m m t . Ist also zunächst ¿ 4 = 1 , so gibt es hier nur die eine Gerade g, auf der die Punkte (2,0) und (0,2) liegen. Daher wird 2 n = 2?«, also n = m = 1, und die beiden zugehörigen Glieder der Gleichung (17), nämlich das dritte und letzte, ergeben: 62 n* + ( i ' - a') ß l = 0

6 oder . ^ = ± • a. ]/a- - b"-

Die Hilfskurven (14) sind daher die beiden G e r a d e n : je

\/a • - b *

Aber es muß noch die vorhin angewandte Schiebung des Achsenkreuzes rückwärts ausgeführt werden. Dem singulären Punkte (x = 0, y = b) der Konchoide (16) gehören also im Falle a ^ b die beiden Hilfsgeradcn 1)-b

,

b Va - - b '-

zu. Ist a > b, so sind sie reell; dann ist der singulare Punkt also ein D o p p e l p u n k t , siehe Fig. 41. Ist dagegen a < b,-so sind sie imaginär; dann ist der singuläre Punkt also ein i s o l i e r t e r P u n k t . Erläuternd ist noch bei der Fig. 41 zu bemerken, daß die Konchoide auch einen unterhalb der x-Achse verlaufenden Ast hat, der uns hier allerdings nicht interessiert. Im Falle o = b zählt, wie gesagt, der zum letzten Gliede der Gleichung (17) gehörige Gitterpunkt nicht mit, so daB als Gerade q die. iu Fig. 40 gestrichelte dient. Hier kommt 2n = Um, also « = 3, m — 2, und die zugehörigen Glieder von (17), nämlich das »dritte und fünfte, geben: oder, da jetzt b - a ist:

i1«* + 2b ß3 = 0 aa- + -¿jt1 = 0.

118

Erster Abschnitt:

Kurven in der Ebene.

Da ea nur auf das Verhältnis von a* zu ß' ankommt uud da j in den Gleichungen der Hilfskurve 3 t) = ßt* E = «< , mit t das Zeichen wechselt, da»f a positiv und etwa gleich 4 a gewfihlt werden. Dann wird ß - — 2a, so daß £ = 4a f ,

1) = - 2a J«

die Hilfskurve ist. Ihre Gleichungen erinnern an die Gleichungen x = ) = v die Gleichung der Kurve der anderen Schar durch diesen Punkt [x, y). Zu j e d e m P u n k t e (x, y) g e h ö r t also ein W e r t e p a a r u, v. Auf Grund eines Satzes der Funktionentheorie, nämlich der Verallgemeinerung des auf S. 3 erwähnten Satzes über das Vorhandensein einer unentwickelten Funktion, läßt sich erkennen, daß auch umgekehrt zu jedem Wertepaare u, v ein Punkt (x, y) gehört. Es sei nämlich x 0 , y0 ein Wertepaar von x, ?/, in dessen Umgebung die Funktionen

dann und nur dann, wenn der Ausdruck (11) ein vollständiges Differential ist, d. h. wenn E, F, G die Bedingung erfüllen: d_ EyFG— dv

GUFE

+ 2EG(E,.-F„)

EGyEG

- F'-

d_ G.FE-EVFG ö«

+ 2EG(GU-

E G y E i r ^ ~ F

FJ

_

Q

154

Erster Abschnitt: Kurven in der Ebene.

Sie lautet, ausführlich geschrieben, so: i (12)

2{EG-F*){2Fu.-Evv-Guu) + £(GJ

(

+

Et Gv - 2 G v F J + G{E* + Eu Gu - 2 E u F v )

+F(EuGv-Ei!Gu-2FuGu-2FtEv

+ 4FuFc) = 0

Ist (12) erfüllt, so sind o und a vorhanden, nach (8) auch A und // und nach (4) auch ) werden die Tangenten an die hindurchgehenden Kurven (u) konstruiert, siehe Fig. 52. Diese Tangenten schar hat eine Einhüllende, und zu jedem Punkte P der Kurve (v) gehört ein Punkt der Einhüllenden. Nach Satz 33, S. 57, ergibt sich als Grenzpunkt so: Man wählt auf der Kurve (i>) einen P benachbarten Punkt P 1 und konstruiert in P und Pj an die hindurchgehenden Kurven (u) die Tangenten. Ihr Schnittpunkt strebt nach 5Plf wenn P, längs der Kurve (t>) nach P strebt. Die Länge der Strecke P5ßt ist nun diejenige Größe, die wir berechnen wollen und von der sich von vornherein sagen läßt, daß sie sich allein durch die Fundamentalgrößen und ihre Ableitungen ausdrücken wird. Wenn P die rechtwinkligen Koordinaten x, y und die von P ausgehende Tangente an die durch P gelegte Kurve (7«) dio laufenden rechtwinkligen Koordinaten j, t) hat, ist

oder nach (1) und (8): 1

j- x

=.tgT 0 " = ll'vf

/'„£ -

~

Die oben erwähnte Schar von Tangenten wird durch diese Gleichung dargestellt, wenn man v festhält und u variieren läßt Der gesuchte Punkt der Einhüllenden der Tangenten hat demnach rechtwinklige Koordinaten y1, tj1( die erstens der Gleichung V'.ii -

f

f , l)i =

'f ~ (f v

§ 20. Kurvametxe in der Ebene.

161

und zweitens derjenigen Gleichung genügen, die sich hieraus durch Differentiation nach « ergibt: Ans beiden Gleichungen folgt: +

, = v + Vf yn l Y9 *fu•r Vi Vu» Yv *Pu» Wird die Strecke Pißj mit Rücksicht auf den Sinn gemessen, der infolge der Orientierung der Tangente der durch P gehenden Kurve (u) zukommt, so ist andererseits: f, = x + P) gehenden beiden Pararieterlinien (») und («) durch E, F, G und ihre Ableitungen auszudrücken. Da nämlich längs der Kurve (») die Größe u die Veränderliche ist, kommt nach Satz 23, S. 47: W + Vu' 8 r tpu y>uu - V» «j = m2 + a(« 2 )t, . . . gehören. F ü r lim« = 0 geht die Schar a l l e r Parameterlinien («) hervor, a b e r i n e i n e r d u r c h d i e - g e w ä h l t e F u n k t i o n a(u) b e d i n g t e n D i c h t i g k e i t Entsprechendes gilt von den Parameterlinien (»), wenn man von einer Zuwachsformel J » = /J(t)t ausgeht, worin ß(v) eine irgendwie gewählte, aber von Null verschiedene Funktion von v bedeutet. Vorerst lassen wir t noch nicht bis zur Grenze Null gehen, so daß infolge der Vorschriften: (13)

Au = «(«)£,

Av = ß{v)e

ein Netz mit M a s c h e n von endlichen Ausdehnungen hervorgeht, siehe Fig. 53. Zieht man alle Diagonalen der Maschen etwa geradlinig, so bilden sie in ihrer Gesamtheit die D i a g o n a l e n d e s Netzes. F ü r lim« = 0 gehen aus ihnen die D i a g o n a l k u r v e n d e s u n e n d l i c h e n d i c h t e n N e t z e s hervor. Nach den letzten Bemerkungen des § 18 werden sie wie jede Kurve durch Gleichungen zwischen u und v darstellbar sein, und zwar ist die Beziehung zwischen « und v so beschaffen, daß,

§ 20.

Kurvennetze in der Ebene.

163

falls u um du = a(u)lim £ wächst, w das Differential dv = ß(»)lim e oder das Differential dv — — ß(v)lim t bekommt, d. h. die beiden Scharen der Diagonalkurven des unendlich dichten Netzes werden durch die Forderungen fl

du

dv

„

du

, dv _

A

bestimmt Längs jeder Diagonalkurve der einen bzw. der anderen Schar ist demnach

(15)

/^-/^

= konst

bzw

- f^+fm

= k0DSt

'

falls man die Integrale jedesmal von einem bestimmten Punkte (i/0, v0) der betreffenden Kurve an rechnet. Da die Annahme der Funktionen a (u) und ß (v) zur Bestimmung der Diagonalkurven wesentlich ist, gibt es bei einem durch zwei Gleichungen (1) gegebenen Kurvennetze [u), (v) nicht nur ein Netz von Diagonalkurven; vielmehr g i b t es u n e n d l i c h v i e l e N e t z e von D i a g o n a l k u r v e n , die wesentlich von der durch die Wahl der Funktionen a («) und ß (v) bedingten Dichtigkeit der Kurven (u) und (v) des gegebenen Netzes abhängen. In jedem Falle aber h a t d a s Netz der D i a g o n a l k u r v e n wieder die K u r v e n des u r s p r ü n g l i c h e n N e t z e s zu D i a g o n a l k u r v e n . Um diese Gegenseitigkeit analytisch vollkommen darzustellen, fragen wir daher nach solchen krummlinigen Koordinaten, bei denen die Diagonalkurven (15) die Parameterlinien sind. Das sind offenbar die Größen:

denn V = konsi und V = konst. stellen die Kurven (15) dar. Da « und v nach (1) Funktionen von x und y sind, gilt dasselbe von U und F. Ferner sind U und V nach (16) voneinander unabhängige Funktionen von u und v, denn ihre Funktionaldeterminante ist: U- F" - U» V« = —Ar-a (u) ß (r)• Nach Satz 63, S. 148, bilden die ursprünglichen Kurven (u), (u) dann und nur dann ein Orthogonalsystem, wenn

§ 21. Flächentreue Abbildung der Ebene.

169

Verstehen wir anter co irgend eine Funktion von u und x, so geben die Gleichungen (4) für v und y Werte, die der Bedingung (3) genügen. Die Gleichung (3) aber ist nur eine andere Form der Bedingung (2). Wenn wir also schließlich die Gleichungen (4), in denen links v und y, rechts u und x auftreten, nach x und y auflösen, finden wir die ilächentreuen Abbildungen (1). Beispiel:

Wir wählen u = ux*.

»«•»',

Dann kommt nach (4):

y = — 2u x,

and Auflösung nach x and y gibt:

x - Vv,

y - — 2m]/t,

und dies igt eine flSchentreae Abbildung der uv-Ebene auf die xy-Ebene. Die Geraden w = konst. bilden sich als die Geraden y: x >= konst durch den Anfangspunkt und die Geraden v konst. als die Geraden x = konst ab.

Die Funktion co muß wohlbemerkt so gewählt werden, daß die Gleichungen (4) auch x und y als Funktionen von u und v bestimmen. Die zweite ist schon nach y aufgelöst Es ist also zu verlangen, daß die erste rechts auch x enthalte, d. h:

Noch ein Einwand ist zu machen: Wir nahmen an, daß die Gleichungen (1) nach y und v auflösbar seien. Da die zweite schon in einer nach y aufgelösten Form vorliegt, kommt diese Annahme auf die hinaus, daß die Funktion

) nach u, so daß in der Tat die Bedingung (2) entsteht Nun muß noch umgekehrt gezeigt werden, daß die Gleichung (3) infolge von (2) besteht: Nach (2) sind y E und die partiellen Ableitungen einer Funktion Si{u,v) nach u bzw. v. Mithin läßt sich (3) so schreiben: v + Av

u+ du

r d\Sl(u, V + Jt) - S2(u, r)] ^ U

_

C d{il(u + Au, r) - Sj(n, r)] V

Hier aber ist die linke Seite gleich [ ß (u + Au, v + Av) -

il (m + Au, »)] - [ ß (?/, v + Av) - ii («, w)]

oder also gleich ii [u + Au, v + Av) — ii (a -f Au, v) — ii (u, v + J » ) + ii (a, v). Dasselbe aber ergibt sich rechts. Jede Masche des Netzes hat demnach infolge von (2) die charakteristische Eigenschaft eines Kurvennetzes ohne Umwege. Da man die Masche durch Einschaltung anderer Parameterlinien in kleinere Maschen zerlegen kann, für die dasselbe gilt, folgert man hieraus ohne Mühe die Richtigkeit des zu beweisenden Satzes 77. Die Formel (2) war der analytische Ausdruck einer Eigenschaft, die einem Kurvennetze ohne Umwege in der Umgebung eines Punktes zukommt. Soeben haben wir gesehen, daß diese Eigenschaft zur Charakterisierung solcher Netze ausreicht. Daher gilt der Satz 7 8 : 1 E i n K u r v e n n e t z in d e r E b e n e i s t d a n n und 1

Dieser Satz wurde vom Verf. in seiner auf S. 181 genannten Abhandlung von 1905 auf anderem Wege bewiesen, als es hier geschehen ist.

§ 23. Ebene Kurvennetze ohne Umwege.

187

n u r d a n n ein N e t z o h n e Umwege, wenn ihm die im f o l g e n den a n g e g e b e n e E i g e n s c h a f t z u k o m m t : Man k o n s t r u i e r e a u ß e r den d u r c h einen b e l i e b i g e n P u n k t P g e h e n d e n b e i d e n K u r v e n c, u n d c2 d e s N e t z e s zwei zu ihnen b e n a c h b a r t e K u r v e n c^ und c2' des N e t z e s ; a l s d a n n sei ^ d e r g e m e i n same P u n k t d e r j e n i g e n T a n g e n t e n , die Cj u n d c,' in i h r e n S c h n i t t p u n k t e n mit c2 z u k o m m e n , und der gemeinsame P u n k t d e r j e n i g e n T a n g e n t e n , die c2 u n d ct' in i h r e n S c h n i t t punkten mit z u k o m m e n . Die G r e n z l a g e n von ?J3j u n d iß2 f ü r den F a l l , wo sich die K u r v e d e r K u r v e Cj u n d die K u r v e r„' d e r K u r v e c2 u n e n d l i c h n ä h e r t , m ü s s e n von P g l e i c h e E n t f e r n u n g e n haben. Siehe Fig. 60. Man kann diese charakteristische Eigenschaft auch so aussprechen: Die unendlich kleinen Maschen des Netzes müssen Vierecke sein, bei denen die Schnittpunkte der beiden Paare von Gegenseiten gleich weit vom Orte des Vierecks entfernt sind. Der Gleichung (4) {fxdx+fvdy)* = dx*+dy*,

Fig. 60.

die nach Satz 7G ein allgemeines Kurvennetz ohne Umwegen definiert, kann man, wie schließlich noch gezeigt werden soll, eine rein geometrische Deutung geben: Wir betrachten die Gesamtheit derjenigen K r e i s e in der Ebene, deren Mittelpunkte (x, y) beliebig liegen, während ihre Radien r gleich der gegebenen Ortsfunktion f{x,y\ sind. Dies ist eine z w e i f a c h u n e n d l i c h e S c h a r von K r e i s e n . Die beiden zu den Mittelpunkten (x, y) und (jr + J x , y -f- Ay) gehörigen Kreise der Schar mit den Radien f(x,y) und f(x+ Ax, //+Ay) berühren einander dann und nur dann, wenn [/'(* + Ax, y + Ay) - f{x, y)^ =Jx'+

Atf-

ist. Hieraus aber geht die Bedingung (4) hervor, wenn der zweite Mittelpunkt unendlich nahe an den ersten heranrückt Deshalb sind die Kurven des Netzes ohne Umwege so zu charakterisieren: Die Kreise, deren Mittelpunkte auf einer derartigen Kurve c liegen, haben die Eigenschaft, daß je zwei unendlich benachbarte einander berühren. Wenn aber zwei Kreise einander berühren, also eine gemeinsame Tangente haben, enthält die gemeinsame Normale beide Mittelpunkte. Da nun die Kreise, die zu den Punkten einer der-

188

Erster Abschnitt:

Kurven

in der Ebene.

artigen Kurve c gehören, eine Einhüllende y haben und diese E i n hüllende nach Satz 3 3 , S. 5 7 , der Ort der gemeinsamen P u n k t e unendlich benachbarter Kreise ist, müssen also die Normalen von y die Tangenten von c sein, d. h. die Kurve c muß die Evolute von y sein, nach Satz 3 5 , S. 60. Dieser Schluß läßt sich leicht u m kehren. Daher gilt der Satz 7 9 : 1 A l l e e b e n e n K u r v e n n e t z e o h n e U m w e g e e r geben sich aus allen zweifach unendlichen Scharen von K r e i s e n in der E b e n e so: M a n b e s t i m m t a l l e K u r v e n y, die zu K r ü m m u n g s k r e i s e n l a u t e r K r e i s e der S c h a r haben. Die Evoluten c dieser Kurven y überdecken die Ebene doppelt und bilden ein Kurvennetz ohne Umwege. B e i s p i e l : AU Ortsfunktion f(x,y), d . h . als Radius r des Kreises mit dem Mittelpunkte (x, y) sei eine Funktion von x* + y"- gewählt. Dann gehören zu allen Mittelpunkten, die gleiche Entfernung vom Anfangspuukte haben, gleich große Kreise. Die gesamte zweifach uncndliclie Kreisschar hat daher die Eigentümlichkeit, durch Drehungen um den Anfangspunkt immer in sich selbst überzugehen. Außerdem sieht man, daß sie auch dann in sich selbst übergeht, wenn man die Ebene um die «-Achse umlegt, also y mit — y vertauscht Hieraus folgert mau ohne weiteres: Wenn eine Kurve c0 so beschaffen ist, daß die zu ihren Punkten (x, y) als Mittelpunkten gehörigen Kreise der Schar die Krümmungikreiso einer Kurve vorstellen, gilt dasselbe von jeder Kurve, die aus e0 durch Drehung um den Anfangspunkt hervorgeht, und ebenso von derjenigen Kurve a» ~

2

+

A

+ / V + /22) - K

=

~

+ßißa

+ rx r,)2-

Die Bewegungen im Räume.

Die Bemerkungen zu Beginn des § 3, S. 13, über die Relativität von Lagenänderungen oder B e w e g u n g e n gelten auch im Räume. Daher betrachten wir wie dort auch hier zunächst die Ä n d e r u n g des K o o r d i n a t e n s y s t e m s : Das dreifach rechtwinklige Achsenkreuz (Oxyz) sei aus seiner ursprünglichen Lage in eine neue Lage übergeführt worden, so daß der Anfangspunkt alsdann an der Stelle Ö liegt. Die Achsen seien in ihrer neuen Lage als die x-, y- und z-Achse bezeichnet. Die Richtungen der neuen p o s i t i v e n Achsen bilden mit den Richtungen der alten p o s i t i v e n Achsen Winkel, deren K o s i n u s ßx, a t> ßi> J^i a3> &> Ys seien, so daß aus der Tafel x * V *

y

z

«i ßi n «2 ßi Vi «« f;3 r 3

zu entnehmen ist, welche Kosinus mit «¡, ß{, yi bezeichnet werden sollen. Ferner habe der neue Anfangspunkt Ö im ursprünglichen System die Koordinaten a, b, c. Ein Punkt P des Raumes kann auf beide Koordinatensysteme bezogen werden. Es fragt sich, wie sich seine Koordinaten x, y, z und x, y, z vermöge einander ausdrücken. Dies ergibt sich leicht, wenn man davon Gebrauch macht, daß die Summe der Projektionen der Seiten eines räumlichen geschlossenen Polygons auf eine beliebige Gerade gleich Null ist. Ein solches Polygon stellen wir so

195 her (Fig. 62) Das Lot von P auf die xy-Ebene treffe diese in A, das Lot von A auf die ¿-Achse diese in B, Ferner sei C der Fußpunkt des Lotes von P auf die y z - E b e n e , D der Fußpunkt des Lotes von C auf die z-Achse. Endlich treffe das Lot von Ö auf die xy-Ebene diese in E und das Lot von E auf die x-Achse diese in F. Jetzt ist OFEOBAPCDO

ein geschlossenes räumliches Vieleck. SeiDe Seiten haben die Längen: a,

b,

c,

x,

y,

z,

— x,

— y,

— z,

bei gehöriger Beachtung der ßichtung des Umlaufes, die bei den drei letzten Seiten den Richtungen der positiven Achsen entgegen sind. Aus der Tafel entnehmen wir die Kosinus der Winkel, die von den Seiten des Vielecks mit den alten und neuen Achsen gebildet werden. Projizieren wir dasPolygon nacheinander auf die drei alten und auf die drei neuen Achsen, so gehen die sechs GleiFig. 62. chungen hervor: a+ x + a2y + a3 z — x = 0, b + ß,x + ßty + ß3z-y c + rx *

+

YIV + YS * -

= 0, Z

=

a + ß1 b + n e + i - a1 x - ßt y - yx z = 0, u2 a + ß2 b + yt c + y - a2 x - ßzy - y2 z =-• 0, «3 a + ß3 b + y3 c + z - a s x - ß3y - y3 z _ 0. 1

Will man das Achsenkreuz in der Ebene folgerichtig zu einem Achsenkreuze im Räume erweitern, so bat man die positive x-Achse nach deijenigen Seite der xy-Ebene hin zu ziehen, von der aus die positive Drehung in der Ebene, d. h. von der positiven x-Achse zur positiven y-Achse hin, in der gewohnten Weise als Linksdrehung erscheint. Deshalb ziehen wir die z-Achse nach links, die y-Achse nach rechts und die »-Achse nach oben. 13»

Zweiler Abschnitt: Kurven im Räume.

196 Oder:

x = «j x + «j y + a3 z + a,

(1)

und

x = ax (x - a) + ßl (y - A) + y1 (z — c), y = cf8 (x - a) + [y - b) + y2 (z - c), z = a,(x - a) + ßs[y - Ä) + y s (z - c).

(2)

Von diesen Formeln müssen die einen die Auflösungen der anderen sein. Setzen vir die Werte (1) von x, y, z in (2) ein, so folgt also, daß die Gleichungen bestehen: et* + / V + n * - 1, « a l + A 2 + r,' = 1 1 «b' + A ' + y » ' - 1 ;

(3)

+ A A + 7 t r 3 = o, «»«x + A A + «i«i + A A + y i y » - o -

Bei umgekehrter Substitution ergeben sich diese Gleichungen: I (4)

+ « 2 2 + a3» = i , s

2

1

fcn

! A* + A + A = > l r , 2 + r22 + y8a = i ;

+ A r2 + A

-

riai + y . ^ + y . ^ ^ o , « i A + «2 A + « i A =

Zwischen den neun Richtungskosinus bestehen somit diese zwölf Bedingungen. Aber noch mehr: Aus den beiden unter (4) auftretenden Gleichungen: A a i + A a i + A «3 ™ /i «i + aa + r3 aa = 0 folgt, da sie linear und homogen in ax, a2, ces sind: (5) a^iiß.Ys-ß3r2),

«.-¿(Ari-A/a).

«»^(A^-A*),

wobei X ein noch unbekannter Faktor ist. Setzen wir diese Werte in die erste Gleichung (4) ein, so kommt: *2 KA r3 ~ A Y2)% + ( A ? i - A rsT- + ( A y a - A ft)2! =

1

oder nach der Identität (11), S. 194: *'{(A 2 + A 2 + A W

+ r*2 + J O - (A r» + A r . + A K.)2} =

Nach (4) aber reduziert sich diese Gleichung auf: (6)

A8 = 1 .

§

2.

D i e

Bewegungen

im

197

R ä u m e .

Der Faktor X ist also gleich + 1 oder — 1. Ehe wir zwischen beiden Werten entscheiden, beachten wir noch, daß (7)

ce,

ßi

Y

x

a .

ß ,

r

t

ß»

r

3

=

X

ist, wie man sofort findet, wenn man die Determinante nach der ersten Eeihe entwickelt und die Werte (5) einsetzt. Nach (6) ist mithin die Determinante der Richtnngskosinus gleich + 1 oder — 1. Nun soll das nene Achsenkreuz durch stetige Bewegung aus dem alten hervorgehen. Während der Ausführung der Bewegung werden sich die RichtungskosiGus der neuen Achsen gegen die alten stetig ändern. Die Determinante muß also in jeder Lage des Systems gleich + 1 oder in jeder Lage gleich — 1 sein. Es genügt daher zu entscheiden, welchen Wert sie zu Beginn der Bewegung hat Zu Anfang fallen die neuen positiven Achsen mit den alten positiven Achsen zusammen, so daß = ß3 = ~/3 = 1 und alle anderen Richtungskosinus gleich Null sind, mithin die Determinante den Wert + 1 hat. Demnach ist X = + 1 zu setzen, so daß die Formeln (5), denen sich sofort sechs analoge durch zyklische Vertauschung von a, ß, y anschließen, ergeben: (

(8)

«i

=

ß t r

2

,

ßl

i r s

,

ßz

=

= ß i r z - ß » Y i - ,

ßi

=

^=ß *

«3

s

a r i

- ß

-ß

3

r

= 7 i «

s

.

Y u * % - r % * \ \

Yl

=

Yi

=

Y 3 = " l ß l ~

U

2 ß l >

während aus (7) folgt: (9)

«I

ßl

Yl

«2

Ä

Yi

«3

ßi

Yi

= 1.

Natürlich sind unter den 22 Formeln (3), (4), (8) und (9), die zwischen den neun Richtungskosinus bestehen, eine große Anzahl Folgen der übrigen. Da wir einen Teil dieser Formeln häufig gebrauchen werden, sind sie des bequemen Nachschlagens halber am Schlüsse dieses Bandes im Anhange in der Tafel I unter (J) bis (F) zusammengestellt. Wir zitieren sie künftig einfach als I (J) bis I (.f). Die Formeln für die Einführung eines neuen rechtwinkligen Achsenkreuzes ( O x y z ) gestatten nun eine zweite Deutung: Liegt eine s t a r r e F i g u r vor. so können wir uns vorstellen, ein mit ihr

198

Zweiter Abschnitt:

Kurven im

Räume.

f e s t v e r k n ü p f t e s A c h s e n k r e u z (Oxyz) falle ursprünglich mit dem im Baume fest gewählten Achsenkreuze (Oxyz) zusammen. Vermöge einer B e w e g u n g gehe die starre Figur in eine neue Lage über, so daß das mit ihr verbundene Achsenkreuz {Oxyz) dann irgendwo im Räume ist. Alsdann liegt gerade die Beziehung zwischen beiden Achsenkreuzen vor, die wir soeben betrachteten. Dabei bedeuten x, y, z die Koordinaten eines Punktes der Figur in ihrer u r s p r ü n g l i c h e n L a g e , bezogen auf das im Baume feste Achsenkreuz, und x, y, z die Koordinaten desselben Punktes der Figur n a c h der Bewegung, bezogen auf dasselbe im Baume feste Achsenkreuz. Vgl. hierzu S. 15. M i t h i n d r ü c k e n die G l e i c h u n g e n (1) oder (2) d a s E r g e b n i s e i n e r a l l g e m e i n e n B e w e g u n g im B a u m e aus, bei d e r ein P u n k t (x, y, 5) d e r in B e w e g u n g g e s e t z t e n F i g u r in einen P u n k t (x, y, z) ü b e r g e h t , und zwar sind b e i d e P u n k t e auf ein und d a s s e l b e A c h s e n k r e u z bezogen. Dabei bedeuten z. B. alf ßx, yl die Bichtungskosinus derjenigen Geraden, die zuerst in der x-Achse lag, n a c h der ausgeführten Bewegung. Man sieht leicht, daß bei einer Bewegung im A l l g e m e i n e n kein im Endlichen gelegener Punkt in sich übergeht, denn sonst müßten die Gleichungen (1), sobald man darin statt x, y, z auch x, y, z schreibt, durch drei Werte x, y, z erfüllbar sein; und dies ist im allgemeinen unmöglich, weil dann drei in x, y, z lineare, aber nicht homogene Gleichungen vorliegen, deren Determinante a

(10)

i — 1 «Ï

A Yi

a

s

A - ift Y2 r3

=° i

-

ist. Dies nämlich erkennt man, wenn man die Determinante entsprechend den in ihr auftretenden Differenzen zerlegt und die Formel (9) sowie die unter (8) in der Diagonale stehenden Formeln anwendet. Wohl aber lehrt das Verschwinden der Determinante (10), daß es drei endliche und nicht sämtlich verschwindende Konstanten u, v, u> gibt, für die: («! — 1) u + «, v

aa to =

0,

(Ii)

7xu + r»v + (y3 - 1 )

w

=

0

ist. Wenn wir diese drei Gleichungen mit alf ßlt y1 multiplizieren

§ 2. Die Bewegungen im Baume.

199

und dann addieren, geht eine Gleichung hervor, die sich wegen (3) sehr vereinfacht Ebenso, wenn wir sie mit a2, ßt, yt oder av ßv y3 multiplizieren. Es kommt nämlich:

1

(0^

1)« + ßl V + / j w = 0 , + l)r + y i W = 0, a 3 n + ß 3 v + b ' 3 - l)«c = 0 . -

Umgekehrt folgen hieraus rückwärts leicht wie'der die Formeln (11). Das Vorhandensein der drei Eonstanten u, v, w hat eine wichtige geometrische Bedeutung. Ehe wir sie geben, machen wir noch einige rein rechnerische Beobachtungen: Die Gleichungen (11) bestimmen die Verhältnisse v . v . w eindeutig, sobald nicht alle zweireihigen Unterdeterminanten der Determinante (10) gleich Null sind. Diese sind nur dann sämtlich gleich Null, wenn « , = / ? , = = 1 und a3 + y, = ßt + a3 — yi + ßs = 0 ist. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die in der Diagonale von (8) stehenden Formeln, daß c^ = ßt = y3 = 1 und alle anderen a, ß, y gleich Null sind, daß mithin die Punkte (x, y, z) nur die S c h i e b u n g x = x — a, y — y — b, 5 = z — c erfahren, bei der alle Richtungen ungeändert bleiben. Sobald mithin die Bewegung nicht bloß eine Schiebung ist, bestimmen die. Gleichungen (11) oder (12) die Verhältnisse u:v:v> eindeutig. Aus je zwei Gleichungen (11) oder (12) folgen nach (8) verschiedene Ausdrucksformen für die Verhältnisse, nämlich diese: (13)

| u:v:w = (1 + - ßt j = 0?, + « 2 ): (1 -

'

r%):

(«, + ft): (a3 + yx) + ßt - rs): [ß, + yt)

= (Ti + «.): (r, + ft): (l - «1 - A + r,)t

die natürlich wegen der zwischen den Richtungskosinus bestehenden Beziehungen miteinander gleichwertig sind. Wenn man entsprechende Gleichungen (11) und (12) voneinander subtrahiert, so kommen drei Gleichungen, aus denen noch folgt: (14)

u:v:w = (yt-ß3):(a3-yl):(ß1

- a j .

In besonderen Fällen kann es eintreten, daß die eine oder andere Ausdrucksform versagt, indem sie 0 : 0 : 0 liefert Eine ü t aber stets vorhanden, die nicht versagt, denn alle in (13) und (14) rechts stehenden Ausdrücke verschwinden nur im Falle einer Schiebung.

200

Zweiter Abschnitt: Kurven im Baume.

Jetzt kommen wir zur geometrischen Deutung: Eine G e r a d e , deren Richtungskosinus proportional u, v, w sind, hat die Gleichungen (nach S. 190): (1ä)

x = % + ut,

y = tj + » i ,

z = ä + tof.

Vermöge der Bewegung geht der Punkt (5, tj, j) der Geraden nach (1) in den Punkt mit den .Koordinaten

a = Yi s + r» 9 + r3} + c über und mithin der allgemeine Punkt (f, y, z) der Geraden (15) in den Punkt mit den Koordinaten: * = y + («1" + «2 v + a3 w ) t » y = l) + 0 2

+

= 5 + (/l

u

ßt» + ßau>)t, +

0

+ Ys

die wegen (11) die Werte haben: (17)

x = Tc + ut,

y = \) + vt,

z = 1+

wt.

Vergleichen wir dies mit (15), so folgt: Die Gerade (15) wird bei der Bewegung in eine mit ihr parallele Gerade verwandelt. Wenn man umgekehrt die Bedingungen dafür aufstellt, daß eine Gerade (15) vermöge der Bewegung in eine zu ihr parallele Gerade (17) übergeht, kommt man auf die Bedingungen (11) für u, v, w. Mithin hat sich ergeben: S o b a l d die B e w e g u n g k e i n e S c h i e b u n g i s t , g i b t es e i n e u n d n u r e i n e R i c h t u n g (u:v:w) im R ä u m e ; die n a c h d e r B e w e g u n g die a l t e i s t . Weil es unendlich viele Geraden von dieser Richtung gibt, liegt die Frage nahe, ob nicht eine unter diesen Geraden in sich selbst übergeführt wird. Ist (5, tj, 3) ein Punkt auf ihr, so wird er vermöge der Bewegung in den durch (16) bestimmten Punkt (y, t), 5) verwandelt, von dem wir verlangen müßten, daß er auf der Geraden liege, anders ausgedrückt: Es müßten j — f , t) — ij, j — 3 proportional u, v, w sein; es müßte also einen Faktor t geben, derart, daß: J K - 1)5 + «2 9 + ß 3 5 +

a

= '» >

' n e + Yi 9 + (r8 - i)ä + c = t w wäre. Die Determinante dieser drei Gleichungen hinsichtlich 3 ist nach (10) gleich Null. F ü r beliebiges t haben sie also keine

§ 2. •Die Bewegungen im Baume.

201

Lösungen j , tj, j , da auch u, v, w nicht sämtlich gleich Null sind. Dagegen gibt es einen Wert von t, für den eine der drei Gleichungen eine Folge der beiden anderen ist. Multiplizieren wir nämlich die drei Gleichungen (18) mit u, », to und addieren sie, so kommt nach (12): a « + A w + c u> = i (u1 + t»* + w1). Sobald also ott + i r + etc MOv ' = u« + »• + ist, wird eine der drei in j, g, j linearen Gleichungen (18) eine Folge der beiden anderen. Dann wird den Gleichungen (18) durch die Punkte (£, tj |) einer G e r a d e n genügt, aber nicht etwa durch die einer Ebene, denn alle drei Gleichungen (18) können sich nicht auf nur eine Gleichung reduzieren, weil sonst die Größen den Größen und den Größen

«! — 11 «a » ßi» »

ßi ~ 1» ra>

Ys ~

ßs 1

proportional sein müßten, was wegen der zwischen den a. ß, y aufgestellten Beziehungen wieder zu dem beiseite gestellten Falle einer Schiebung führen würde. Es gibt folglich nur eine Gerade im Kaume, die bei der Bewegung in sich übergeführt wird. Das ist die den drei Ebenen (18) für den Wert (19) von t gemeinsame Gerade. Ihre Richtungskosinus sind proportional «, v, w. Bringt man die Gerade in starre Verbindung mit der in Bewegung gesetzten Figur, so wird sie nach der Bewegung wieder dieselbe Lage haben und nur in sich verschoben sein. Daher läßt sich das Ergebnis der Bewegung dadurch erreichen, daß man diese Gerade der Figur festhält, d. h. die Figur längs der Geraden verschiebt und um die Gerade dreht. Eine solche Bewegung heißt eine S c h r a u b u n g . Wir könnten also sagen, daß jede Bewegung im Baume entweder durch eine S c h i e b u n g oder durch eine S c h r a u b u n g hinsichtlich ihres Ergebnisses ersetzbar sei, wenn nicht noch eine Ausnahme vorkommen könnte. Der Wert (19) von t wird unbrauchbar, wenn (20)

u* + v2 + to2 = 0

i s t Dann ist die Gerade (15) eine M i n i m a l g e r a d e (siehe S. 191). Bei einer reellen Bewegung im Baume sind die a, 8. y und also

202

Zweiter Abschnitt: Kurven im Räume.

auch die Verhältnisse u:v:u> reell, so daß diese Ausnahme nicht möglich ist, wohl aber bei einer imaginären Bewegung. Auf diesen Ausnahmefall gehen wir nicht näher ein. Wenn man beachtet, daß sich eine Schraubung, da sie aus einer Schiebung und aus einer Drehung um eine Gerade zusammengesetzt ist, insbesondere auf eine Schiebung — ebenso wie auf eine Drehung — reduzieren kann, so findet man: Satz 1: J e d e r e e l l e B e w e g u n g im R ä u m e l ä ß t sich h i n s i c h t l i c h i h r e s E r g e b n i s s e s s t e t s durch e i n e S c h r a u b u n g ersetzen. Nur wenn die S c h r a u b u n g bloß e i n e S c h i e b u n g ist, wird ihre A c h s e u n b e s t i m m t 1 Außerdem: Satz 2: D i e B e w e g u n g , bei der die P u n k t e (x, y, z) d e s R a u m e s in die P u n k t e (x, y, z) Übergehen, für die X=

X + uty + asz + a,

y = ß1x + ßty + ßiz + b, z = y1x + yty + yaz + c i s t , l ä ß t sich durch e i n e S c h r a u b u n g e r s e t z e n , sobald d i e Summe der Q u a d r a t e d r e i e r Größen u, v, tc, d e r e n V e r h ä l t n i s s e durch (a, — 1) u + at v + « j ic => 0, +

- l)o + /93«» = 0 ,

u

7i + rt* + (y3 - i) «> = o b e s t i m m t sind, n i c h t g l e i c h N u l l ist. Und zwar i s t A c h s e der S c h r a u b u n g die den drei E b e n e n 1

die

Dieser Satz rührt her von Uozzt, „Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi", Neapel 1763. Doch blieb Mozzis Entdeckung unbeachtet. Ehler („Formulae generale« pro translatione quacunque corporum rigidorum", Novi Commentarli Acad. Petropolitanae, a. 1775, T. XX, Petersburg 1776) stellte den Satz auf, daß ein starrer Körper auf unendlich viele Weisen durch eine Drehung und eine Schiebung in eine beliebige andere Lage übergeführt werden kann, wobei aber wohlbemerkt die Richtung der Schiebung nicht mit der Sichtung der Drehachse zusammenfiel. Er bemerkte nicht, daß unter diesen Möglichkeiten eine ist, die den Satz von Mozzi geliefert hätte. Erst Chasles fand diesen Satz von neuem in seiner „Note sur les propriétés générales du système de deux corps semblables placés d'une manière quelconque dans l'espace, et sur le déplacement fini on infiniment petit d ' a n corps solide libre", Bulletin de Férussac, T. XIV (1830).

§ 3. Analytische Darstellung von Raumkurven.

203

- l)y + et, ^ + a3 j + a - tu = 0, ÄS + ( f t -

+

n i + Yt 9 + (r3 bei der A n n a h m e =

g e m e i n s a m e Gerade.

+ b-tv l

)i +

c

~

tv}

=0, -

0

a « + 4 f + «w M» + »» + U'

§ 3. Analytische Darstellung von Raumkurven. Bezeichnet t eine beliebig veränderliche Größe und werden die Punktkoordinaten x, y, z als Funktionen von t gegeben: (1)

* = ?(.

z

= 9{y)

hervor, die geometrisch bedeutet, daß die Baumkurve durch ihre beiden Projektionen auf die xy-Ebene und auf die y z-Ebene definiert wird. Wenn schließlich

t0 positiv und für t. Das begleitende Dreikant bei einer Raumknrve

225

Wir wollen nun die besondere Bedeutung des Dreikants für den Verlauf der Kurve in der Umgebung der betreffenden Stelle erläutern. Zu diesem Zwecke denken wir uns z. B. das Dreikant des Punktes (/ = 0) als Achsenkreuz gewählt Für Punkte der Kurve, die dem Anfangspunkte [t — 0) hinreichend nahe sind, lassen sich dann die Koordinaten als Potenzreihen nach t entwickeln: x = a, t + t- + c, t3 + . . . , y = a, t + b21 - + cä t3 + . .. , z = fl3 t + ¿3 t3 + c, ts + Nach Satz 9 sind die Richtungskcsinus der Tangente des Anfangspunktes proportional a,, a.,, ar Da sie jetzt, weil diese Tangente die .r-Achse selbst sein soll, gleich 1, 0, 0 sind, ist a 1 a, = a., = 0 anzunehmen. Die Richtungskosinus der Binormale des Anfangspunktes sind nach demselben Satze proportional 0,

- 2 axb„

2 a^b,.

Weil die r-Achse die Binormale sein soll, siud sie andererseits gleich 0, 0, 1. Also ist wegen a, 0 notwendig b3 = 0, b2 ^ Ö. Wir haben somit die Reihen: | * = (7)

j y \x =

/+ V

2

+ ' - T r v (33)

Dies sind die Rekursionsformeln, vermöge derer man nacheinander durch wiederholte Differentiationen nach s die Koeffizienten in den Werten (32) berechnen kann, wenn man noch bemerkt, daß für k = 0 nach der ersten Formel (31) insbesondere: (34)

F1 = 0 ,

Vl = 1 ,

Wx = 0

ist. Hiernach läßt sich der Satz 10 in folgender Weise präzisieren, wenn wir k in (33) durch k — l ersetzen: Satz 11: D i e A b l e i t u n g e n Ater O r d n u n g d e r r e c h t winkligen K o o r d i n a t e n x, y, z d e r P u n k t e e i n e r B a u m k u r v e hinsichtlich der Bogenlänge sind lineare homogene F u n k t i o n e n der R i c h t u n g s k o s i n u s a, /, X bzw. ß, m, fi bzw. y, n, v, die von dem b e g l e i t e n d e n D r e i k a n t e mit d e r r - A c h s e bzw. y - A c h s e bzw. z - A c h s e b e s t i m m t w e r d e n : *»>=

uku + rki +

wkx,

y»> = Ukß + vkm + / / > , zW = Vky + Vkn +

H'kv.

D a b e i sind die d r e i K o e f f i z i e n t e n (Jk, Vk, f f \ F u n k t i o n e n der K r ü m m u n g l : r u n d d e r T o r s i o n 1: p u n d d e r A b l e i tungen dieser Größen hinsichtlich der Bogenlänge. Die W e r t e d e r K o e f f i z i e n t e n e r g e b e n sich m i t t e l s der R e kursionsformeln: U "k = uU' k-l

——V 'i-1» r

Vk = rV k-l

U ~4- — r ^t-l

t4- —

H "

a u s den W e r t e n f ü r h = 1: i/, = 1,

Vx = 0,

W\ = 0.

239 § 7. Die ebenen Kurven als Raumkurven. Eine Kurve c in einer Ebene E, die keine Minimalebene ist, hat diese Ebene nach der Definition auf S. 222 an allen Stellen zur Schmiegungsebene. Folglich sind die Binormalen der Kurve die Lote, die man in den Punkten P von c auf die Ebene E errichten kann, also die Hauptnormalen diejenigen Geraden, die im ersten Abschnitte, wo die ebenen Kurven innerhalb ihrer Ebene selbst betrachtet wurden, schlechtweg die Normalen hießen (S. 24). Vgl. Fig. 71. Mithin sind die RichRn Dn* tungskosinus A, (i, v der Binormalen konstant, daher ).', /i', v gleich Null, woraus nach III(C) folgt, daß die T o r s i o n 1 : « v e r s c h w i n d e t . Nach I I I ( £ ) ist daher (1)

v

.v

= o,

y

Fig. 71.

wobei die Striche die Differentiation nach der Bogenlänge s andeuten. Wenn man nun annimmt, dieselbe ebene Kurve sei in irgend einer Parameterdarstellung (2)

* =

y = x W.

z

= v> M

gegeben, so kann man die in (1) auftretenden Ableitungen nach der auf S. 227, 228 entwickelten Methode durch Ableitungen nach dem Parameter t ersetzen. Dabei gelangt man zu genau derselben Bedingung (1), worin also dann die Differentialquotienten nach t vorkommen. Statt dies ausführlich zu zeigen, schlagen wir einen etwas anderen Weg ein: Die Bedingung (1) ging aus der Forderung hervor, daß A, fi, v konstant sein sollen. Deshalb fragen wir, unter welcher Bedingung eine Baumkurve (2) lauter parallele Binormalen hat. Nach S. 230, 231 stellen wir jedoch noch besser die Frage nach denjenigen K u r v e n (2), die l a u t e r p a r a l l e l e S c h m i e g u n g s ebenen haben. Nach (4), S. 222, ist (3)

wfe - x) + o(l) - y) + w() - z) = 0

in den laufenden Koordinaten y, t), 3 die Gleichung der Schmiegungs-

240

Zweiter Abschnitt:

Kurven im

Räume.

ebene des P u n k t e s (r, ;/, z) der Kurve (2), wenn dabei //, v, u- die Größen vorstellen: (4)

>i — y z" — z'n",

v = z' x" — x' z",

w = x y" — y x"'.

Die Striche deuten hier die Differentiation nach dem P a r a m e t e r t an. Alle Schmiegungsebenen sind parallel, wenn u, v, w konstante Verhältnisse haben, d. h. wenn sich die Ableitungen ri, v , w gerade so zueinander verhalten wie u, v, w. Der F a l l , daß w, v, to alle drei verschwinden, ist ausgeschlossen, wenn wir voraussetzen, d a ß d i e K u r v e (2) k e i n e G e r a d e s e i , vgl. S. 216, 217. D a also etwa « 4 = 0 ist» können wir u ' : « = a setzen. Dann aber geben die Forderungen: (5)

U = (TU,

V — (TV,

w' = (TW

oder also nach (4): t 'it _t tt> t t tt r fi\ y z - z y = (T{;, z - z y ) sowie die beiden durch zyklische Vertauschung von x, y, z hieraus hervorgehenden Gleichungen. Multiplizieren wir sie der Reihe nach mit x", y", z" und addieren wir sie dann, so wird die rechte Seite gleich Null, die linke dagegen entgegengesetzt gleich der Determinante in (1). Mithin ergibt sich die Bedingung (1). D a ß sie hinreicht, zeigen wir nun dadurch, daß wir umgekehrt beweisen: Satz 12:

Die Kurve * = ?(')>

y = /( * = • V' mit u, v, w, so ist also das Verschwinden der Determinante

! tv

W

w" I

die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß zwischen den drei Funktionen u, v, w von t eine Gleichung von der Form konst. u + konst. v + konst. w = 0 mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten besteht oder daß, wie man auch sagt, die drei Funktionen u, v, w v o n e i n a n d e r l i n e a r a b h ä n g i g sind. Ein entsprechendes Kennzeichen gibt es für mehr als drei Funktionen, und es läßt sich leicht durch den Schluß von n — 1 auf n nachweisen, so daß wir uns damit begnügen wollen, den Satz darüber bloß zu formulieren: Satz.19: n F u n k t i o n e n u1? ut, . . . « n von e i n e r V e r änderlichen t sind dann und nur dann voneinander linear a b h ä n g i g , d h. es b e s t e h t zwischen i h n e n d a n n u n d n u r d a n n eine G l e i c h u n g konst. ux -f konst u2 + . . . + konst un = 0 m i t n i c h t s ä m t l i c h v e r s c h w i n d e n d e n K o e f f i z i e n t e n , wenn die D e t e r m i n a n t e 1 a u s den F u n k t i o n e n u n d i h r e n A b l e i t u n g e n bis z u r (n—l) ten O r d n u n g i d e n t i s c h g l e i c h Null i s t : 1 Die Determinante dea Satzes pflegt man neuerdings als WBONSEiBche zu bezeichnen. Sie kommt nämlich vor in WBONSKIS der Pariser Akademie 1810 vorgelegter, aber nicht gedruckter Abhandlung „ P r e m i e r p r i n c i p e des m é t h o d e s a l g o r i t h m i q u e s comme b a s e de la t e c h n i e a l g o r i t h m i q u e " . Beweise dea Satzes gaben viele, z. B. BRIOSCHI in seiner „ T h e o r i c a dei

§ 8. Die Krümmungskreise einer Raumkurve. «1.




„ ••• _ VO ~~

rt

1

Also ist nach Satz 6, S. 218, zu fordern: o in ß x ~ r*~> y ~ fT 1 1

i "' — 00 ~ /// ~ ~

rI

1 '

Y ^r'

Bei' einer reellen Kurve in der x y-Ebene stimmt jedoch das Vorzeichen von r , das ja im Räume positiv angenommen wird, nur dann mit dem auf S. 48 festgesetzten Vorzeichen von r überein, wenn der Mittelpunkt des KrümmungBkreises auf derjenigen Seite der Kurve liegt, nach der ihre positive Normale (vgl. S. 24) gerichtet ist. Vgl. die Erläuterungen auf S. 247. * D. h. an einer Stelle, die nicht singulär oder ein Minimalpunkt ist.

§ 8. Die Krümmungskreise einer- Raumkurve.

253

d. h. nach 1II(G): r'Ql + rk rq

=

r' gm + r (i = 0 r ~Q

0

r' q t i + r v = 0. ro

Multiplizieren wir diese Formeln der Reihe nach mit l, m, n oder mit A, (t, v und addieren sie nachher, so kommt nach II(

%' = *!/o'>

äo' =

t2

o

ist, wo t = i ) sein darf, und zweitens " fri " —. •»# " . " z r n r " ¿0 — r*o > vo ~ Vo > So ~ o

256

Zweiter Abschnitt:

Kurven im

Räume.

ist Der Index Null deutet dabei an, daß die Ableitungen nach 3 bzw. s für 8 = 0 bzw. s = 0 zu bilden sind. Nach (2) und (1) gehen daher die Forderungen hervor: (4)

f u2 cos < l

-f a, sin fr = e, ß, cos & + ß, sin fr = 0, y2 cos fr + y3 sin fr = 0,

Weil die Summe der Quadrate von /?, und y1 gleich Eins sein muß, folgt aus (5), daß ßx = + 1 oder — 1 ist. Wir verstehen daher unter tj (wie vorhin unter «) eine der beiden Zahlen ± 1 und setzen ßx = — tj, also r = i\r cos2 fr. Die beiden letzten in I (C) rechtsstehenden Formeln liefern ß2=ß3 = 0, und es bleiben von den Formeln I(C) nur noch die folgenden übrig: l

«33 + J'33 =

«s* + Yss ** >

1

U

i U3 + "2 Ys = °>

-

während I(F) ergibt: li

2 Y3

c

-3 Y-> — V-

Diese Bedingungen aber werden in allgemeinster Weise erfüllt, wenn man setzt: er, = cos«, y2 = s i n « , a3 = — 17 sin « , y3 = »; cos « . Nun lehrt (4), daß s i n « = — £ r, sin fr, cos« = haben sich die Werte ergeben: «1 = a2 = s cos

fr,

ßx = - n, ß2 = 0,

k s = « sin

fr,

ß3 == 0,

bcos fr

wird. Mithin

Yx = 0, s Q y2= — tr\ i y3 = t j; cos fr,

r = 17 r cos2 fr. Außerdem folgt aus (3): b = r C03 2

a — 0,

fr,

c =

0.

Wir erinnern daran, daß e eine der Zahlen + 1 und — 1 ist und dasselbe von 77 gilt. Wenn wir alle Werte in (2) einsetzen, kommt: rc = e r c o s 3 « 9 - 8 i n — + 3sin2i9- , l

reoi»

2

n «= — r cos fr cos — + ' r cos &

'

2

r cos fr, '

*=•«»; — rcos 2 fr sin t ^ s i n — — + Sain^cosiM . I r cos 9 I

§ .9.

Oskulierendc

gemeine

Schraubenlinien.

257

Man kann nun leiclit einsehen, daß man sich auf die Annahme « = 1 , ii = 1 beschränken darf. Denn statt § darf ja auch — 3 als Bogenlänge auf der Schraubenlinie eingeführt werden. Tut man dies, so ändern £ und j das Vorzeichen. Daher dürfen wir den bei j und $ vorkommenden Faktor £ = + 1 annehmen. Ist dann zunächst »/ = -f 1, so kommt: cr

= r cos 3 >9- sin — + r cos fr

5 sin 2 >7.

n = — cos 2 i7 cos — '

r cos

x = — r cos 3 i7 sin »7 sin

+ r cos3 i7, r cos

r

-f ä sin »7 cos »7.

Wenn dagegen = — 1 ist, gelangt man doch wieder zu den Formeln (6), falls man darin 7 das Zeichen wechselt, aber sin & ungeändert bleibt. Mithin stellen die Formeln ((j), worin i7 eine willkürliche Konstante bedeutet, a l l e diejenigen gemeinen Schraubenlinien dar, die im Anfangspunkte mit der Raumkurve eine Berührung von mindestens zweiter Ordnung eingehen, und zwar sind diese Schraubenlinien auf das begleitende Dreikant des betrachteten Punktes der Raumkurve als Achsenkreuz bezogen. Weil sich ergab, daß y, — + 1 gewählt werden darf, ist ferner (7) t = r cos 2 i7 der Radius des Zylinders der Schraubenlinie. Dabei bedeutet r den Krümmungsradius der Raumkurve an der betrachteten Stelle. Weil der Steigwinkel i7 beliebig gewählt werden kann, stellt (6) eine e i n f a c h u n e n d l i c h e S c h a r von gemeinen Schraubenlinien dar. Man könnte nun versuchen, den Steigwinkel i7 insbesondere so zu wählen, daß die Berührung von mindestens dritter Ordnung würde. Nach Satz G, S. 218, wäre zu fordern: ir

tu

h

. "'

i "'

•

¿0 — xo > vo I/o ' on o ' (Hier stehen rechts keine Minuszeichen, da wir nach dem Vorhergehenden jetzt f = + 1 anzunehmen haben). Diese Forderungen liefern aber mit Rücksicht auf (1) die beiden Bedingungen: r*

r-

ro

von denen sich zwar die zweite durch geeignete Wahl von i7 befriedigen läßt, die erste jedoch nur dann, wenn an der betrachteten Stelle der Kurve r = U oder 1 : r — 0 ist. Also gilt der SCIIEFFKKS, Diir. I. 3. Aull.

258

Zweiter Abschnitt:

Kurven im

Räume.

SatzZl:1 Es gibt eine einfach unendliche Schar von gem e i n e n S c h r a u b e n l i n i e n , d i e e i n e K u r v e in e i n e m P u n k t e v o n a l l g e m e i n e r . L a g e in z w e i t e r O r d n u n g b e r ü h r e n . U n t e r i h n e n i s t n u r d a n n e i n e v o r h a n d e n , d i e e i n e B e r ü h r u n g in dritter Ordnung mit der Kurve e i n g e h t , f a l l s die Krümmung o d e r d i e A b l e i t u n g d e r K r ü m m u n g d e r K u r v e n a c h der B o g e n l ä n g e an d e r b e t r a c h t e t e n S t e l l e v e r s c h w i n d e t . Vom Anfangspunkte, den wir als Punkt der Raumkurve mit P bezeichnen wollen, werde das Lot auf die Achse einer der Schraubenlinien (6) gefällt. Wie schon oben erwähnt wurde, hat der Fußpunkt Q die Koordinaten a, b, c, von denen a = c = 0 und b = r cos 2 ßist. Demnach liegt Q auf der Hauptnormalen des Kurvenpunktes P. Ist die Kurve reell und wird auch {>, d. h. auch die Schraubenlinie reell gewählt, so liegt Q irgendwo zwischen dem Kurvenpunkte P und dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkte K. Die Richtungskosinus der Schraubenachse sind «3 = s i n ß

3

= 0,

y3 = cos .9-,

Wegen ß3 = 0 ist die Schraubenachse zur Hauptnormalen von P (zur y-Achse) senkrecht und liegt also in einer zur Ebene der Tangente und Binormalen parallelen Ebene. Sie läßt sich mittels eines Parameters t in den laufenden Koordinaten X, Y, Z so darstellen: X = a + «,i, also so: (8)

X=/sin#,

Y=b

+ ß3t,

Y = r cos 2 &,

Z=c

+

y3t,

Z=tcos&.

Dabei bedeutet t die Strecke von Q bis zum Punkte (X, Y, Z) der Achse. Wählt man t = r, so bestimmen die Koordinaten (9)

J=rsinö-,

Y=rcos2&,

Z=rcos&

einen der Schnittpunkte ^ß der Schraubenachse mit dem geraden Kreiszylinder, dessen Achse die Hauptnormale von P und dessen Radius der Krümmungsradius r i s t Da der Steigwinkel fr variieren kann, ist (9) eine Parameterdarstellung der K u r v e c, in der alle Schraubenachsen diesen Zylinder treffen, und zwar mittels des Parameters u. Die Gestalt von c erkennt man leichter, wenn man den Anfangspunkt in die Mitte 2R zwischen dem Punkte P und dem Krümmungs1 Diese Schar von (¡skalierenden gemeinen Schraubenlinien wurde wohl, zuerst von SCHELL betrachtet, und zwar synthetisch. Siehe sein auf S. 2 2 3 genanntes Buch, in der 3. Aufl. auf S. 135, 136.

§ 9. Oskulierende genuine Schraubenlinien. mittelpunkte K verlegt, siehe Fig. 75. die Kurve c die Gleichungen:

Im neuen Achsenkreuze hat

X = rsin fb, $ = 4rcos2i9-,

(10)

259

3 = rcostf-.

Die 3E3-Ebene schneidet den Zylinder in einem Kreise I, und auf I sei 21 der Punkt der Halbierenden des Winkels der positiven X-Achse und 3-Achse. Nun treffe die Mantellinie eines Punktes oder (X, % 3) der Kurve c den Kreis ! in D. Dann wird Strecke D $ Bogen VI £L

5). _ ( | n - Ü) r

—

_ | c o s 2 # _ sin

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- it ~

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71 - 2 »)

~'i!t

Rollt man den Zylinder auf einer Ebene ab (wie auf S. 212), so geht f in eine Gerade über, siehe Fig. 76 und die Kurve Fig. 75. (10) wird nach der vorstehenden Proportion eine S i n u s k u r v e , deren Abszissenachse jene Gerade ist (vgl. das 2. Beispiel S. 43). Dabei wird jedoch die Periode der Sinuskurve, d. h. der zu einem Wellenberge und einem Wellentale gehörige Teil der Abszissenachse, gleich der h a l b e n Länge des Kreis-

Fig. 76.

umfanges, so daß also eine einmalige Abrollung des Zylinders zwei Perioden der Kurve gibt, wie es Fig. 76 zeigt. Wenn man die Ebene auf den Zylinder aufwickelt, geht aus der Sinuskurve die in Fig. 75 angegebene Kurve c oder (10) hervor. Die Achsen der 1 Wegen Platzmangels ist Fig. 76 auf °/T der wahren Größe verkleinert worden; der in der Figur angedeutete Kreis sollte denselben Durchmesser wie der Kreis ( haben, also die Hauptachse der Ellipse in Fig. 75. 17*

260

Zweiter Abschnitt:

Kurven im

Räume.

Schraubenlinien sind nun alle Geraden, die die Hauptnormale von P (die y-Achse) senkrecht treffen und außerdem c schneiden. Ihre Gesamtheit bildet eine F l ä c h e , die ein Z y l i n d r o i d 1 heißt. Um

Fig.

77.

eine Vorstellung von ihr zu geben, ist sie in F i g . 77 in vier ver1

Diese Fluche, eine geradlinige' Fläche dritter Ordnung, trat zuerst und zwar bei anderen geometrischen Untersuchungen bei I'lücker auf, siehe: ,,On a n e w g e o m e t r y of s p a c e " , Proceedings of the K. Soc. vol. 14, 1865, und Philos. Transactions vol. 155, 1865, S. 756, sowie „ N e u e G e o m e t r i e d e s B a u m e s " , 1. A b t Leipzig 1868, S. 97. Auf den Vorschlag von Cayley hat Ball, der die Bedeutung dieser Fläche iu der Mechanik bemerkte, sie als das Z y l i n d r o i d bezeichnet, vgl. „ T h e t h e o r y of s c r e w s , a g e o m e t r i c a l s t u d y etc.", Transactions of the R. Irish Acad. vol. 25, 1871, S. 157, und „ T h e o r y of s c r e w s " , Dublin 1876. Siehe auch Belthami: „ D e l m o t o ' g e o m e t r i c o di u n s o l i d o c h e r u z z o l a s o p r a un a l t r o s o l i d o " , Giornale di Matem. vol. 10, 1872. Das Zylindroid wird gelegentlich auch als Plückebsches K o n o i d bezeichnet.

§ 9. OskulUrtnde gemeine Schraubenlinien.

261

schiedenen Lagen dargestellt, in denen die Binormale von P immer dieselbe Neigung zur Bildebene hat. Die Fläche schneidet sich selbst längs der Zylinderachse. Sie erstreckt sich bis ins unendliche, während die Abbildungen nur ihren innerhalb des Zylinders gelegenen Teil zeigen. Zu den Geraden der Fläche gehört die Tangente von P, eine andere ist die Parallele zur Binormalen von P durch den Krümmungsmittelpunkt K. Der Punkt SD? heißt aus naheliegendem Grunde der Mittelpunkt des Zylindroids. Einige von diesen Ergebnissen fassen wir zusammen in dem Satz 22: D i e A c h s e n d e r j e n i g e n g e m e i n e n S c h r a u b e n l i n i e n , die e i n e K u r v e in e i n e m P u n k t e P von a l l g e m e i n e r L a g e in z w e i t e r O r d n u n g b e r ü h r e n , b i l d e n ein Z y l i n d r o i d , d e s s e n Z y l i n d e r a c h s e die H a u p t n o r m a l e von P ist und dessen Z y l i n d e r die E b e n e der T a n g e n t e und B i n o r m a l e n von P in d e m j e n i g e n K r e i s e s c h n e i d e t , d e r P als M i t t e l p u n k t und den K r ü m m u n g s r a d i u s von P als R a d i u s hat. D e r M i t t e l p u n k t des Z y l i n d r o i d s liegt in d e r M i t t e zwischen P u n d dem K r ü m m u n g s m i t t e l p u n k t e von P. Nach Satz 21 gibt es im allgemeinen keine gemeine Schraubenlinie, die mit der Raumkurve an der betrachteten Stelle P eine Berührung in höherer als zweiter Ordnung eingeht. Deshalb sind die bisher untersuchten Schraubenlinien als die in P o s k u l i e r e n den g e m e i n e n S c h r a u b e n l i n i e n zu bezeichnen. Jede von ihnen hat nach S. 236 eine konstante Krümmung und eine konstante Torsion, nämlich nach (29) ebenda die Krümmung cos2