Anleitung zum Selbstfinden der reinen Mathesis: Teil 1 Die Arithmetik [Reprint 2022 ed.] 9783112630563

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Selbstfinden der reine«

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nach Platonischer Weise für

die obern Classen in Gymnasien von Friedrich Schmeißer, Doctor der Philosophie, Lehrer bet der Nitteracademie zu Dke-den, Mitglieds der lateinischen Gesellschaft zu Jena.

Erster Theil.

Die Arithmetik.

Erster Lehrgang.

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f e r.

Berlin, 1317. Realschnlbuchhandlnns.

Anleitung zum Selbst finden der

Arithmetik nach

Platonischer Weise für

die obern Classen in Gymnasien

von Friedrich Schmeißet/ Doktor ver Philosophie, Lehrer bet der Altteracademle zu Dresden, Mitgltede der lateinischen Gesellschaft zu 2ena.

Erster Lehrgang. Mit i Kupfer. Berlin, 18 > 7» Realschulbuchhandlung.

Archimedes und der Schüler. Iu Archimedes kam ein wißbegieriger Jüngling, Weihe mich ein, sprach er zu ihm, ein in die göttliche Kunst, Die so herrliche Frucht dem Daterlande getragen Und die Mauern der Stadt vor der Sambuca beschützt. „Göttlich nennst du die Kunst? Sie ist's, versetzte der Weise, Aber das war sie, mein Sohn, eh' sie dem Staat noch gedient. Willst du nur Früchte von ihr, die kann auch die sterblich« zeugen, Wer um die Göttin freit, suche in ihr nicht das Weib."

Schiller.

Einleitung.

Begriffe, welche die Mathesis voraussetzt. $. i — 20.

Von den Dingen der Natur. §. 1.

Qualität und Quantität. §. 2. 3) Qualität. §.5.

b) Quantität. §.5.

Homogen und hetrogen. §. 4. Positiv und negativ. §. 6.

Größe. §. 7. Gleich und ungleich. §. g. Stetig u. unstetig. §. 9. Endlich und unendlich. §. 10.

Zeit und Raum. K. 11.

Reine Größe. §. 12.

Mathematik. §. 13. §- 15. Evidenz. §. 16.

reine. §. 14.

Heuristik. §.17.

angewandte

Nutzen derselb. §. iß.

Geschichte der Mathematik. §. 19 — 20.

Erster Theil.

Die Arithmetik.

Von dem Denken der Größen, Zahlen und Verhältnisse. Erster Abschnitt. Von den Größen. H. si — 63. Einleitung- §. 21.

Inhalt.

VIII

JL Größenlehre. §. SS — 45.

Von dem Denken der Größen.

1) Vergleichung zweier und mehrerer Größen. §. S2.

Ganzes und Theil. §. 25.

durch einander bedingt. H. 24.

Addition und Subtraetion. §. 25, tz. 26.

Differenzbeziehung.

Gleiches mit Gleichem addirt und subtrahirt. tz. 27.

2) Größe als Maaß und Vielfache derselben (Zah­ len). §. 2g. Gemeinschaftliches Maaß. §. 29.

Cvmmensurabel Md. inkommensurabel. §. 30. Multiplikation und Division. §. 31. Regeln. §. 32. Gleiches mit Gleichem multiplicirt und dividirt. §. 53. Summen und Differenzen multiplicirt u. dividirt, §. 34.

Coefficienten. §. 35. Ganze Zahl und Bruch. §. 36.

Verhältniß. §. 37.

Rational und irrational. §. zg.

Name oder Exponent. §. 39.

Proportion. §. 40.

3) Verhältniß al« Maaß und Vielfache dessel« den (Potenzen). §. 41 —44’

Potenzen. §. 42. Wurzeln. §. 43.

Nerhältnißzahlen ober Logarithmen. §. 44. Schluß, (Uebersicht der ganzen Betrachtung). §. 45. B. Combinationslehre. Syntaktik. §.46—63. Einleitung, tz. 46.

Verbindungsarten. §. 47.

1) Verbindung (Combinatio). §. 4g. Ihre Gesetze. §. 49 — 54. a) ohne Wiederholungen. §.49 — 51.

b) mit Wiederholungen. §. 52 — 54.

Inhalt.

IX

s) Versetzung (permutatio ). §- 55-

Ihre Gesetze. §. 56 — 57a) ohne Wiederholungen. §. 56. b) mit Wiederholungen. §. 57.

5) Versetzung aller Verbindungen (variatio).

Ihre Gesetze. §. ZZ — 6>. a) ohne Wiederholungen. §. 53.

b) mit Wiederholungen, tz. 59 — 6». Geschichte der Combinationslehre. §. 62 —6z.

Zweiter Abschnitt. Von den Vielfachen der Grö­ ßen oder von den Zahlen. §.64— 136.

Einleitung. §. 64.

A. Von den Zahlen in Beziehung auf ihre Einheit. §. 65 -S71) Von den Zahlen an sich. §. 65 — 76.

Denken der Zahlen. §. 65. fern). §. 66. Zahlenordnung. §. 67.

Ihre Bezeichnung (Zif­

Zahlensystem. §. 63.

Steigende und fallende Ordnungen. §. 69.

Decimalzahlen steigender und fallender Ordnun­ gen (Decimalbrüche). K. 70. Numeriren. §, 71. Stammzahlen. §. 73. Primzahlen. §. 74. Fünf. §. 75- Neun. §. 76. s) Rechnung mit Decimalzahlen. §.77—97.

a) Addition der Deeimalzahlen. § 77.

b) Subtraktion der Decimalzahlen. §. 73. Allgemeine Formen der Addition, .und Subtrak­ tion §. 79,

x

Inhalt.

Allgemeine Formen benannter Zahlen. §. gc>. c) Multiplikation der Decimalzahlen. §. gr — 87.

1) der Hauptzahlen. §. g>. 2) zusammengesetzter. §. Z2.

3) der Ordnungszahlen. §. 834) nach Ordnungen zusammengesetzter Zah­ len. §. 84-

») ganzer Decimalzahlen mit ganzen. §. 85-

ß) der Decimalbrüche mit Decimalbrüchen. §- 86. ■y) der Decimalbrüche mit ganzen und umgekehrt. §. 87.

d) Division drir Decimalzahlen. §. 88 — 94. 1) der Hauptzahlen. §. 88. 2) zusammengesetzter überhaupt. §. 89.

3) der Ordnungszahlen. §. 90.

4) nach Ordnungen zusammengesetzter $.91. «) ganzer durch ganze. §. 92. ß) Decimalbrüche durch Decimalbrüche. §. 93.

y) Decimalbrüche durch ganze u. umgekehrt. §. 94. Fortgesetzte Division (inkommensu­ rabel) §. 95.

Multiplikation und Division mit benannten Zahlen. §. 96.

Rechnungsvortheile mit einigen Zahlen. §. 97. B. Don den Zahlen in Beziehung auf andere oder ihrem Verhältnisse, tz. 98 — 136. Einleitung. §. 98. r) Von den Gliedern der Verhältnisse.

§> 99.

a) Ein Verhältniß. §. 100 — 105.

Größe des Verhältnisses durch die Glieder. §. 100. Veränderung der Glieder durch die Rechenopera­

tionen. §. 101 — 102.

Inhalt.

XI

Bedingung des Glcichbleibens der Verhältnisse. §. 103.

b) Verhältnisse. §. 104— 115. Vergleichung zweier Verhältnisse nach dem Grund­

sätze der Grüßensehre. §. 104. Gleiche Verhältnisse oder Proportion. §, 105. Versetzung der Glieder derselben. §.106 —107.

Vierte Proportionalgrüße. §. 109. Regel de tri. §. 109.

Fälle ihrer Anwendung.

§. iio — 111. Anwendung

der

Rechnungsoperationcn

auf die

Glieder der Proportionen. §.112—115.

c) Proportionen. 1) gleiche. §. 116 — iig. «) mit ebendenselben Vorder- und Hintergliedern §. 16.

ß) mit wechselnd ebendenselben Vorder- und Hinterglicdern. §. "77) mit einerlei äußern und innern Gliedern- §.118. 2) ungleiche. §. 119— 120. «) mit andern verbundene und ß) getrennte. §. 119.

Verbindung der Proportionen mit sich selbst. §. 120.

Stetige Proportion.

§. 121.

Fortsetzung dersel­

ben (Verhältnißreihe). a) Ein Glied derselben zu bestimmen. §. 123. b) Summe derselben. §. 124.

2) Don den Werthen der Verhältnisse oder

Brüchen, tz. 125 — 136.

Einleitung. §. 125. «) Don den Faktoren der Brüche. §. 126 — 134. 1) Vergrößerung und Verkleinerung derselben- §. 126.

«) eines Faktors. Z. 127.

XII

Inhalt. ß) beider Faktoren- §. 123. 1) Brüche auf andere Nenner. §. 129. 2) Brüche aufgehoben (reducirt). §. izo. 5) Brüche |u einerlei Benennung gebracht. 131. Brüche in Decimalbrüche verwandelt- §-132. Pe­ rioden der Decimalbrüche. §. »33Decimalbrüche in gewöhnliche verwandelt. §- »34b) glechnung mit Brüchen. §. »35. 1) Addition und Subtraktion. §. 135. 2) Multiplikation und Diviiivn- §. »z6.

Dritter Abschnitt. Don den Vielfachen der Ver­ hältnisse. §.139—159. Einleitung. §. iZ7A. Von den Potenzen und Wurzeln. §.138—171.

1) Bon den Potenzen und Wurzeln an sich. §. 130 — 159a) Betrachtung der Potenzen. §. 139 — 149. 1) der ersten Polen». §-1392) der »weiten Potenz (Huadratzahl). §., 140. «) einfacher Zahlen.

ß) »weitheiliger Zahlen-

7) dreitheiliger Zahlen- §. 14». 8) viertheiliger Zahlen. §. »42.

3) der dritten Potenz (Kubiczahl). §.143. «) einfacher Zahlen. ß) »weitheiliger Zahlen.

7) dreitheiliger Zahlen. Binomium. §. 144. 4) der utcn Potenz zweitheiliger Zahlen. §. 145. Binominalcoefficienten. §. »46Abkürzung dersel­ ben- §- »47-

Inhalt.

XIII

Bestimmung jedes Bestandtheils außer der Reihe§. 148Geschichte der Binoiuinalcoeffiki'enten- §. 149.

b) Betrachtung der Wurzeln. §. 150 — 154. 1) Srundrahl.

2) 2u»dratwurlel- §-150—154. «) einfacher Zahlen. §. 150.

ß) iweitheiliger Zahlen-

Ihre Kenninchen. §, 151.

Austiehung. §-152. v) dreitheiliger Zahlen.

§. 153.

Annäherung.

§- 154-

3) Kubikwurrel- §. 155. «) einfacher Zahlen. §. 155ß) iweitheiliger Zahlen.

AuSriehung ders. §. 156.

7) dreitheiliger Zahlen. §. 157.

Annäherung. §- 158.

4) Allgemeines Gesetz. §. 159. 2)

Rechnung

mit

Potenzen

§. 160 — 171.

a) mit Potenzen. §. 160 — 165. 1) Addition. §. 161.

1) Subtraktion3) Multiplikation. §. 162.

4) Dunston. §- 168.

5) Potenriren. §. 164. 5) Depotenjiren. §. 165.

b)

mit Wurzeln. §. 166 — 171.

1) Addition. 167. 2) Subtraktion.

3) Multiplikation. §. 163. 4) Dunston. §- 169.

5~) Potenriren- §- 171. 6) Dcpotenuren. §- »7>-

und Wurzeln.

Inhalt.

xiv

B. Von

den Vethältnißjahlen oder Loganthmen. §. 172 — 187.

1) Don den Logarithmen an sich. §. 173 — igs. Bildungswelse derselben. §. 174- Lvgarithmensy-em. §. 175. Berechnung derselben- 5- »76. Berechnung des Logarithmus 2. §. 177. Logarithmen aus Logarithmus 2. §. 17g.

Berechnung des Log. 5- §- »79Logarithmen der Brüche. §. igo. der Decimalbrüchr. §- »8». Geschichte der Logarithmen. §. ige. 2) Rechnung mit Logarithmen. §, iß5 — 187.

a) Addition. §. 184b) Subtraktion, tz. »85. c) Multiplikation. §. 136. d) Diviöon- §-187. Schluß'. §. i8Ö