Analytische Geometrie [Reprint 2019 ed.] 9783111362250, 9783111005027

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SAMMLUNG GÖSCHEN

ANALYTISCHE

BAND

65/65a

GEOMETRIE

von

DR. K A R L P E T E R Privatdozent

für Mathematik

an

GROTEMEYER

der Technischen

Universität

Berlin

Mit 73 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. Yormals G. J . Göschen'sehe Verlagshandlung • J . Gultentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner » Veit & Comp

BERLIN

1958

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 110065. — Satz und Druck: Mercedes-Druck, Berlin SW 61. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite Literaturverzeichnis I. Einleitung

6 7

II. Die Vektoralgebra 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Definition der gebundenen und freien Vektoren Die Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Subtraktion von Vektoren Beispiele Der Begriff der linearen Abhängigkeit Das innere Produkt (skalares Produkt) Das äußere Produkt (vektorielles Produkt) Das Spatprodukt Das dreifache Vektorprodukt Mehrfache Produkte

7 9 0 10 12 16 17 20 22 24 25

III. Das Koordinatensystem 1. Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel 2. Das Rechnen mit Spaltendarstellungen 3. Anwendungen und einfache Beispiele

26 28 30

IV. Geraden und Ebenen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Die Hessesche Normalform Ebene durch zwei sich schneidende Geraden Ebene durch Punkt und Gerade Schnitt von Ebene und Gerade Schnitt zweier Ebenen Das Ebenenbüschel, das Ebenenbündel Winkel zweier Ebenen Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Windschiefe Geraden Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden Das hyperbolische Paraboloid Projektion auf eine Ebene Spiegelung am Punkt, an der Geraden, an der Ebene

32 35 35 36 37 38 40 41 42 44 46 50 51

V . Kugeln 1. 2. 3. 4. 5.

Die Kugelgleichung Schnitt von Gerade und Kugel, Kugeltangenten Die Potenz eines Punktes für die Kugel Der Schnitt zweier Kugeln Die Potenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade

52 53 54 55 58

Inhaltsverzeichnis

4

S3ite

VI. Der Matrizenkalkül 1. Definition und Multiplikation von Matrizen 2. Die Addition von Matrizen, Multiplikation einer Matrix m i t einer Zahl 3. Die Nullmatrix, die Einheitsmatrix, das Transponieren 4. Determinante einer Matrix, adjungierte Matrix, inverse Matrix 5. Einige Folgerungen 6. Zeilen- und Spaltendarstellungen von Matrizen 7. Abriß über lineare Gleichungen

60 64 65 66 67 68 71

VII. Affine Abbildungen 1. 2. 3. 4.

Die Parallelverschiebung Definition der affinen Abbildung Einfache Eigenschaften der Affinität Weitere Eigenschaften der A f f i n i t ä t , Determinante der Abbildung, ausgeartete Affinitäten, Scherungsaffinitäten 5. Bestimmung einer Affinität durch Original- u n d Bildpunkte . . . . 6. Die Parallelprojektion 7. Die affine Gruppe

74 75 78 79 81 82 83

VIII. Bewegungen 1. Definition u n d Eigenschaften 2. Der Orthogonalisierungsprozeß, Konstruktion Matrizen 3. E i n f ü h r u n g eines neuen Koordinatensystems 4. Fixelemente von Bewegungen 5. Eigentliche Bewegungen 6. Uneigentliche Bewegungen (Umlegungen) 7. Tabellarische Übersicht 8. Die Gruppe der Bewegungen

orthogonaler

85 87 87 89 92 94 96 97

IX. Ähnliche (äquiforme) Abbildungen 1. Definition der ähnlichen Abbildung 2. Einfache Eigenschaften der ähnlichen Abbildung

98 99

X. Die Flächen 2. Ordnung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Definition der F2 Klassifikation und Aufzählung der F 2 Kurze Beschreibung der F i Schnitt von Gerade u n d Quadrik, Tangentialebene, Doppelpunkt Diametralebenen (Durchmesserebenen) einer Quadrik Mittelpunkte und Mittelpunktsquadriken Die Hauptachsentransformation Das charakteristische Polynom Eigenwerte und Eigenvektoren D u r c h f ü h r u n g der Hauptachsentransformation Beispiele Der B a n g orthogonal äquivalenter Matrizen Die Diskriminante Kennzeichnung der Quadriken durch Invarianten

100 101 105 110 112 113 115 116 118 120 122 124 125 126

5

Inhaltsverzeichnis

Seite 15. Spezielle Quadrikenklassen; Diametralebenengesamtheit Quadrik 16. Die Richtkegel und der Asymptotenkegel einer Quadrik 17. Ebene Schnitte einer Quadrik 18. Die Kreisschnittebenen einer Quadrik 19. Das System konzyklischer Quadriken 20. Geschichtliches über die Quadriken

einer

134 13G 138 143 151 152

X I . Einführung in die Projektive Geometrie des Raumes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Homogene P u n k t - und Ebenenkoordinaten, der projektive R a u m Das Dualitätsprinzip Kollineationen, Korrelationen Die Projektive Geometrie, einfache Invarianten Der H a u p t s a t z der Projektiven Geometrie Die linearen Gebilde des P a u n d projektive Koordinaten derselben Einstufige Gebilde, das Doppelverhältnis Weitere Eigenschaften des Doppelverhältnisses; harmonische Punktepaare 9. Involutionen

155 158 162 163 165 167 168 173 175

X I I . Behandlung der Quadriken im Rahmen der Projektiven Geometrie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1]. 12.

Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse Das singulare Gebilde einer F2 bzw. F%; der R a n g Tangente, Berührungsebene, Berührungspunkt Konjugierte Elemente in bezug auf ein quadratisches Gebilde . Pol und Polarebene Reziproke Polaren Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STAUDT Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S T E I N E R Die projektive Erzeugung von Quadriken nach MAGNUS Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S E Y D E W I T Z . . Der Trägheitssatz f ü r quadratische Formen Die projektive Einteilung der F2 bzw. F2

Namen- und Sachverzeichnis

177 177 179 182 184 186 187 189 192 193 195 196

200

6

Literaturverzeichnis Das folgende Verzeichnis gibt nur eine Auswahl deutschsprachiger Lehrbücher der Analytischen Geometrie. 1. Ludwig B i e b e r b a c h , Einführung in die Analytische Geometrie, 4. Aufl., Bielefeld 1950. 2. Wilhelm B l a s c h k e , Analytische Geometrie, 2. Aufl., Basel 1953. 3. Gerrit Bol, Elemente der Analytischen Geometrie, Teil 1 und Teil 2, Göttin gen 1948 und 1949. 4. Lothar H e f f t e r , Lehrbuch der Analytischen Geometrie, Berlin 1933. 5. Lothar H e f f t e r , Grundlagen und analytischer Aufbau der Geometrie, Leipzig 1950. 6. Karl K o m m e r e l l , Vorlesungen über Analytische Geometrie der Ebene, des Raumes, 2 Bände, Leipzig 1949. 7. Garhard K o w a l e w s k i , Einführung in die Analytische Geometrie, 4. verbess. Aufl., Berlin 1953. 8. Max L a g a l l y , Vorlesungen über Vektorrechnung, 3. Aufl., Lsipzig 1945. 9. Fritz Neiss, Analytische Geometrie, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950. 11. Günter P i c k e r t , Analytische Geometrie, Berlin 1955. 12. Artur S c h o e n f l i e s und Max D e h n , Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Baumes, 2. Aufl., Berlin 1931. 13. Emanuel S p e r n e r , Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra, 2 Bände, Göttingen 1948.

Formelverweise: Es bedeutet beispielsweise Vlil. 5. (16): Kapitel VIH, daraus Abschnitt 5 und darin Formel (16). Fehlt die römische Ziffer, so handelt es sich um das laufende Kapitel.

7

I. Einleitung Die Hauptaufgabe der Analytischen Geometrie besteht darin, Methoden und Verfahren anzugeben, mit deren Hilfe man geometrische Aufgaben durch Rechnung lösen kann. Obwohl schon in der M t i k e erste Ansätze in dieser Richtung vorlagen (schon die Ägypter benutzten bei der Landmessung Zahlen zur Festlegung von Punkten; auch A r c h i m e d e s von Syrakus (—287 212) bediente sich rechtwinkliger Koordinaten) und die Geometrie als erste Wissenschaft unter dem Einfluß P i a t o n s (—429 348) axiomatisiert wurde, konnte die eigentliche Analytische Geometrie erst nach dem weiteren Ausbau der Algebra entstehen 1 ). Diese beginnt daher erst, wenn auch in einer viel primitiveren Auffassung als heute, mit R. D e s c a r t e s (1596—1650) und P. de F e r m a t (1601 bis 1665)2). II. Die Vektoralgebra3) 1. Definition der gebundenen und freien Vektoren Vektoren dienen uns zur Festlegung der gegenseitigen Lage von Punkten. Wir definieren deshalb: Ein Vektor wird durch ein geordnetes Punktepaar bestimmt, durch seinen Anfangspunkt und seinen Endpunkt. Demgemäß können wir einen Vektor v e r a n s c h a u l i c h e n durch eine gerichtete Strecke E A (Fig. 1). Die in einem Endpunkt befestigten Vektoren heißen g e b u n d e n e Vektoren oder Ortsvektoren. Sieht man von der speziellen Lage im Raum ab, so spricht man von f r e i e n Vektoren oder kurz von Vektoren. Bei freien Vektoren wird also von allem außer Länge und Richtung abgesehen. Die systematische geometrische Deutung der einfachsten algebraischen Operationen geht auf FR. VIETE (1540—1603) zurück. Die Methoden VIETEK finden sich heute noch im elementargeometrischen Unterricht der Mittelstufe. a ) Hinsichtlich weiterer historischer Bemerkungen sei auf die im Literaturverzeichnis genannten Lehrbücher von W. BLASCHKE und G. BOL verwiesen. 3 ) Die Bezeichnung „Vektor" wurde um 1846 von W. R. HAMILTON (1805 bis 1865) etageführt. Die Vektorrechnung selbst wurde von H . GRASSMANN (1809 bis 1877) und HAMILTON entwickelt.

Die Yektoralgebra

8

Ein solcher Vektor erscheint daher als Klasse aller gleich langen und gleichgerichteten Strecken. Jede dieser gerichteten Strecken kann zur Darstellung des Vektors Verwendung finden. Zwei

£ Fig. 1. Vektor als geordnetes Punktepaar E , A ; gebundene Vektoren; drei gleiche (freie) Vektoren

gerichtete Strecken gleicher Länge und Richtung bestimmen denselben Vektor. Zum Gleichheitsbegriff führt also eine gewisse logische Abstraktion. Genauer wollen wir definieren: Zwei Vektoren sind gleich (Zeichen =), wenn sie durch eine Parallelverschiebung auseinander hervorgehen. Wir wollen Vektoren und Ortsvektoren durch kleine Frakturbuchstaben bezeichnen. Die Länge eines Vektors a heißt B e t r a g des Vektors und wird mit | a [ bezeichnet. Der Vektor der Länge Null heißt Nullvektor, wofür man o schreibt. Besitzt ein Vektor die Länge 1, so spricht man von einem E i n heitsvektor. Um den Gegensatz zwischen Vektoren und Zahlen zu betonen, werden die letzteren jetzt auch S k a l a r e genannt. Der Vektor ist ein neues geometrisches Hilfsmittel, das dazu dienen kann, viele physikalische Größen (z. B. Geschwindigkeiten, Kräfte, Feldstärken) zu kennzeichnen, bei denen es nicht genügt, ihre Intensität durch eine einzige Zahl anzugeben, sondern bei denen auch die Angabe ihrer Richtung notwendig ist. In der Geometrie selbst liefert die Vektorrechnung erhebliche Vereinfachungen bei Auffassung und Darstellung der Erkenntnisse.

Die Addition von Vektoren

9

Für die Kombination von zwei und mehr Vektoren werden neue Rechenregeln festgesetzt. Da diese mit den gewohnten Rechenregeln für Zahlen gewisse Analogien zeigen, so wollen wir auch die Worte Addition, Subtraktion, Multiplikation und ebenso die Zeichen + , — benutzen. Jedoch erhalten diese Begriffe neue Bedeutung bei den Vektoren bzw. Ortsvektoren. 2. Die Addition von Vektoren

Legen wir die beiden Vektoren a und b so aneinander (Fig. 2), daß der Endpunkt von 6 mit dem Anfangspunkt von a zusammenfällt, dann wird durch den Anfangspunkt von b und den Endpunkt von et der Vektor a + b erklärt. Um die K o m m u t a t i v i t ä t dieser Addition, d. h. um das Gesetz a + b = = b + a nachzuweisen, hat man lediglich die Figur der drei Vektoren a, b, a + b zu ergänzen durch die in Fig. 2 dünn gezeichneten Vektoren o und b. Dann liefert die Figur sofort die Behauptung. Die Gültigkeit des A s s o z i a t i v g e s e t z e s o + (b + c) = (o + b) + c für drei beliebig gewählte Vektoren folgt unmittelbar aus der Figur 3. Auf Grund dieser Regel können wir alle Klammern auflösen.

Fig. 2. Addition von Vektoren, Kommutativität

Fig. 3. Das Assoziativgesetz

3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Ist a eine positive Zahl 1 ), so versteht man unter a a einen V e k t o r , der die gleiche Richtung wie a besitzt und a-mal so lang ist: | a a | = a \ a |. 1

) Alle auftretenden Zahlen sollen, wenn nichts anderes gesagt i s t , s t e t s r e e l l sein.

10

Die Vektoralgebra

Unter — a wollen wir den Vektor verstehen, der gleiche Länge wie a, aber entgegengesetzte Richtung zu a aufweist: ] - a | = |a|.

Fig. 4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Jetzt können wir auch leicht mit a > 0 erklären, nämlich als Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung von a weist und den «-fachen Betrag von a besitzt aa| = a|a|. Offensichtlich gilt für den ..

,

°

Nullvektor o stets a o = Ferner gilt für die Zahl 0 stets 0 a = o.

o.

Aus Bequemlichkeit wollen wir auch festsetzen h a = ah. Wir geben die einfachen Rechenregeln für die Multiplikation mit Skalaren an, die man sich leicht an Figuren klar m a c h t : n (a + 6)

= n a + n b,

2.

(n + m) a

= n a + m a,

3.

n (m a)

=

4.

1 a

=

1.

(m m) a , a.

Bemerkulis: Ist a =t= o ein Vektor, so ist

\ a= ein EinIa I 1 et | heitsvektor. Man spricht dann auch von einem normierten Vektor. 4. Subtraktion von Vektoren Wie kann man a - B am einfachsten definieren? Nach 3. wird man sofort schreiben: a — b = a + (— 1) b = a + (— b ) . Damit haben wir schon die Subtraktion durch Zurückführung auf die Addition erklärt. (Vgl. Fig. 5.) Die zeichnerische Ausführung erläutert die Figur 6.

Die Subtraktion von Vektoren

Fig. 5. Definition der Subtraktion von Vektoren

11

Fig. 6. Ausführung der Subtraktion

Wir wollen jetzt noch die Frage prüfen, ob die so eingeführte Subtraktion vernünftig ist, d. h. ob die Regel

(a + i>) — b = a

Fig. 7.

richtig ist. Um die Gültigkeit dieser Formel einzusehen, braucht man nur die Figur 7 zu betrachten. Bemerkung 1: Die Vektoren bilden gegenüber der Addition eine Gruppe.1) Damit faßt man die folgenden Eigenschaften zusammen. Zunächst ist je zwei Vektoren durch die Addition wieder ein Vektor zugeordnet. Dazu kommt I. die Gültigkeit des Assoziativgesetzes; II. es gibt einen Vektor o (Nullvektor), so daß für jeden Vektor a gilt o + a = a; III. zu jedem Vektor a gibt es den Vektor — a so daß a + (— o) = o gilt. Da die Addition kommutativ ist, so spricht man auch von einer kommutativen oder abelschen 2 ) Gruppe. Bemerkung 2: Abstrahiert man von der Bedeutung der Größen a, b, c ... und fordert nur, daß sie, wie eben beschrieben, eine abelsche Gruppe SS hinsichtlich der Addition bilden, so wird man unmittelbar auf den Begriff des abstrakten Vektorraumes geführt. Sind a , b , c . . . ') Das Fachwort „Gruppe" ist 1830 von E. GALOIS (1811-1832) eingeführt worden. *) Nach N. H. ABEL (1802-1829).

12

Die Vektoralgebra

Elemente eines Körpers K (z. B. rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen), so h a t man zu fordern, daß a a stets wieder ein Element der Gruppe 58 ist. Sind dann noch die Formeln 1., 2., 3., 4. von Nummer 3 ausnahmslos gültig, so heißt 33 Vektorraum über K. 5. Beispiele a) Mittelpunkt einer Strecke. Die Strecke A B läßt sich durch die Ortsvektoren (bezüglich des Nullpunktes N) a und b ihrer Endpunkte beschreiben. Für den Ortsvektor m des Mittelpunktes findet man aus der Figur 8 sofort m = a +

(b — a) = i (a + b).

b) Gerade, gegeben durch Punkt und Richtung. Ist a der Ortsvektor des gegebenen Punktes bezüglich des Nullpunktes N und e ein Vektor in Richtung der Geraden, so muß sich der Ortsvektor j eines beliebigen Punktes der Geraden (vgl. Fig. 9) darstellen lassen

N Fig. 8. Mittelpunkt einer Strecke 1 m = — (a + b)

Fig. 9. Gerade gegeben durch Punkt und Richtung

2

als Summe des Ortsvektors a und eines geeigneten Vielfachen t e des Vektors e: 5 = a + t e. Lassen wir t alle reellen Zahlen durchlaufen, so beschreibt j alle Punkte der Geraden. Die Variable t heißt P a r a m e t e r der Geraden, und die vorstehende Gleichung nennt m a n Parameterdarstellung der Geraden. Schon an der Herleitung der Parameterdarstellung der Geraden zeigt es sich, wie durch die Vektorrechnung der geometrische Sachverhalt außerordentlich plastisch zum Ausdruck kommt.

Beispiele

13

c) Gerade, gegeben durch zwei Punkte. Sind a und b die beiden Ortsvektoren der beiden Punkte, und ist j der Ortsvektor des laufenden Punktes der Geraden, so ist die Parameterdarstellung der Geraden gegeben durch j = a + t (b - a) ; denn b — a ist ein Vektor in Richtung der Geraden (vgl. Fig. 10).

Fig. 10. Gerade, gegeben durch zwei Punkte

d ) Ebene, gegeben durch Punkt und zwei Richtungen. Es sei a der Ortsvektor des gegebenen Punktes, und e, f seien zwei Vektoren, die nicht parallel sind. Wie aus der Figur 11 zu entnehmen ist, läßt sich der Ortsvektor j eines beliebigen Punktes der Ebene, die durch den „Punkt" a geht und von den Vektoren e und f „aufgespannt" wird, darstellen in der Form j = a + i e + r f. Lassen wir die Parameter t, r unabhängig die reellen Zahlen durchlaufen, dann beschreibt j alle Punkte der Ebene. Damit haben wir eine Parameterdarstellung der Ebene gefunden.

Fig. 11. Ebene, gegeben durch Punkt und zwei Richtungen

Fig. 12. Ebene, gegeben durch drei Punkte

14

Die Vektoralgebra

e) Ebene, gegeben durch drei Punkte. Sind a, b, c die Ortsvektoren der drei gegebenen Punkte, dann sind die Vektoren b — a und c — a sicher nicht zueinander parallel, wenn die drei Punkte nicht in einer Geraden liegen. Da b — a und c — a, an a angeheftet, die Ebene „aufspannen", so folgt nach d) die gesuchte Parameterdarstellung: l = et + t (b — a) + r (e — a ) . •Ol.

Fig. 13 Einfache Eigenschaft des Parallélogrammes

f) Beweis eines einlachen Satzes über das Parallelogramm. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Wir wollen diesen Satz beweisen. In der Bezeichnungsweise der Figur 13 lauten die Parameterdarstellungen der beiden Diagonalen: (1) j = t (a + b) und (2) t) = a + r ( b - 0 ) .

Dabei sind j und ty die laufenden Punkte. Da der Schnittpunkt der beiden Diagonalen sowohl auf (1) als auch auf (2) liegt, so gilt und

§ = t0 (a + b),

3 = a + t 0 (b - a)

(1 - t0 — t 0 ) a = (i„ — r 0 ) b. Da die beiden Vektoren a und b nicht parallel sind, so kann diese Gleichung nur für 1 — t0 — r 0 = 0 und t0 — r0 = 0 bestehen. Daraus findet man aber unmittelbar tg = r0 = — . Somit haben wir schließlich § = - i (a + b), d. h. 3 ist Mittelpunkt von (1), § = a + j (b — o), d. h. § ist Mittelpunkt von (2). g) Das Teilverhältnis dreier Punkte einer Oeraden. Das Teilverhältnis X der drei Punkte mit den Ortsvektoren p2, j (vgl. Fig. 14) wird durch die Gleichung ( j — p j = A — j) definiert. Lösen wir nach j auf, so wird r

1 +

A +

0

-

Beispiele

15

Läßt man jetzt das Teilverhältnis X variieren, dann beschreibt je alle Punkte der Geraden. Dem Wert X = — 1 entspricht kein Punkt der Geraden. (Dieser Mangel wird erst später in der Projektiven Geometrie beseitigt.) Wir haben hier also eine Parameter-

Fig. 14. Das Teilverhältnis J: (J-pi) = >• -£) darstellung der Geraden durch die beiden Punkte gefunden, bei welcher der Parameter das Teilverhältnis zwischen dem laufenden und den beiden gegebenen Punkten ist. Übrigens liefert diejgebrochenlineare „Parametertransformation" t = .—•—-, durch die wir statt 1+ X X den Parameter t einführen können, die Parameterdarstellung der Geraden, wie wir sie unter c) gefunden hatten. (Der Leser mache sich die Lage der Punkte mit dem Ortsvektor j klar, wenn X alle reellen Zahlen #='—1 durchläuft. h) Schwerlinien und Schwerpunkt eines Dreiecks. Die Verbindungslinien der Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Seitenmitten (Schwerlinien oderMedianen) sehneiden sich in einem Punkt, der jede Schwerlinie im Verhältnis 1 : 2 teilt. Zum Beweis dieses Satzes stellen wir zuerst die Parameterdarstellungen der Schwerlinien auf. (Siehe Fig. 15.) Der Ortsvektor des Mittelpunktes M der Dreiecksseite A B ist nach a) . 15. Schnitt der Schwerlinien eines Dreiecks (a + &)• Die Schwerlinie durch C und M hat daher die Parametergleichung 1

Ia +

6

1

16

Die Vektoralgebra

Dabei ist

das Teilverhältnis der Punkte — ~ - , c, h .

Analog stellen sich die beiden anderen Schwerlinien dar: 1 (b + c , . )

Für Ax = g- erhalten wir den Punkt § =

(a + 6 + c) auf der

ersten Schwerlinie. Für A2 = i und X3 = i liegt derselbe Punkt auch auf der zweiten und der dritten Geraden. Die drei Schwerlinien schneiden sich daher in dem Punkt g. Da A2, die TeilVerhältnisse darstellen, so teilt der Punkt 3 jede der Schwerlinien in der angegebenen Weise. Man nennt den Punkt 3 den Schwerp u n k t des Dreiecks. 6. Der Begriff der linearen Abhängigkeit Zwei Vektoren a und b heißen linear abhängig, wenn es zwei Zahlen a und 6 gibt, die nicht beide versehwinden, so daß a a + b b = o gilt. Anschaulich gesprochen, besagt diese Gleichung die Parallelität der beiden Vektoren. Gibt es dagegen zwei solche Zahlen a, b nicht, dann nennt man die beiden Vektoren linear unabhängig. Die beiden Vektoren sind in diesem Fall beide keine Nullvektoren, und sie sind auch nicht parallel. Wir wollen diese Begriffsbildung jetzt auf n Vektoren ausdehnen und definieren: Die Vektoren a 1; a2, ..., an heißen linear abhängig, wenn es n Zahlen au a2, ..., an gibt, die nicht alle gleich Null sind, so daß ax a x + a.2a2+ ... + a„ an = o gilt. Gibt es solche Zahlen dagegen nicht, so heißen die Vektoren linear unabhängig. Wir können jetzt das Dimensionsaxiom der Ebene aussprechen : Es gibt in der Ebene zwei linear unabhängige Vektoren; mehr als zwei Vektoren sind stets linear abhängig. F ü r den Raum besagt das Dimensionsaxiom, daß es mindestens drei linear unabhängige Vektoren gibt; jedoch vier und mehr Vektoren sind stets linear abhängig.

Das innere Produkt (skalares Produkt)

17

7. Das innere Produkt (skalares Produkt) 1 )

Das innere Produkt zweier Vektoren a und b soll eine Zahl sein: = ] a | | 6 | cos cp. Dabei ist q> der Winkel zwischen a und b :

A-

= 0 und < i ) B (f - i) Ä )> = Oder ausgerechnet < f u W = < t n f> = Daraus folgt aber unmittelbar

-

0.

ils) f> = 0 oder = 0.

Damit ist der Satz aber schon bewiesen. 8. Das äußere Produkt (vektorielles Produkt) 1 ) Produkt

[ a b ] zweier

ein Vektor sein mit den

Das

äußere

Eigenschaften:

V j ) [ a b] steht senkrecht

auf

a und

F«) 1 [a S>] | = | a | • | b | sin a, b, [ a b] system Ein

sollen

in

dieser

v

Vektoren

a und

b

soll

b. 0 Reihenfolge

(o, b) < ein

n. Rechts-

bilden. R e c h t s s y s t e m l ä ß t sich m i t Hilfe der F u ß r e g e l

be-

schreiben : Man denke sich den Vektor [a b] als menschliche Figur (vgl. Fig. 21), deren Kopf in Richtung der Pfeilspitze zeigt, und deren Fersen im Endpunkt von [a b] stehen. E s soll dann der rechte Fuß auf dem ersten Vektor des Produktes, d. h. auf a stehen, und der linke Fuß auf dem zweiten Vektor, d. h. auf b stehen. Der Öffnungswinkel der Füße ist

b =

(TbT)

a

+ (ctlTc)

6

+ ( a M

C

"

III. Das Koordinatensystem 1. Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel Wir wollen jetzt ein k a r t e s i s c h e s (rechtwinkliges) Koordinatensystem im R a u m einführen. Wir wählen zu diesem Zweck drei paarweise aufeinander senkrechte Einheitsvektoren (orthonormiertes Dreibein) cx, e2, e3. Dann ist (1) !+-§ 4 = § { * > ! + - §

4

D a h e r

Anwendungen und einfache Beispiele

31

3. Von einem Dreieck mit den Eckpunkten /2\ /11\ / 6\ dj = 151; a 2 = I 31; a 3 = I 1 \o/ \ 8/ \11/ stimmt werden: § =

1

soll

der Schwerpunkt

s

be-

( t\I .

| a x + a 2 + a 3 J. Man findet 3 — I

\3/ 4. Man bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks von Aufgabe 3. Setzt man a 2 — a x = u, a 3 — a x = ti, dann ergibt sich der Flächeninhalt F aus 2 F = |[u o]|. Nun ist

—(l) — (-J) - « - ( ! Also wird (2 Ff = 100 + 75? + 302, F = 40,7. 5. Der Inhalt (mit Vorzeichen) des Tetraeders mit den Eckpunkten

l2\

pi = 121; p 2 = 131; i>3 = 151; p 4 = (21 soll bestimmt werden. Der Inhalt eines Tetraeders ist gegeben durch das Produkt: (Grundfläche x Höhe): 3. Unter Beachtung von II.8. und 11.9. finden wir für den Inhalt I die Formel / =

Da

*>2

- ft = |lj, *>

3

- Pi

=

-

px =

halten wir

'-i

100 130 131

2•

(o)

ist, so er-

Geraden und Ebenen

32

IV. Geraden und Ebenen 1. Die Hessesche Normalform Schon in I I . 5. hatten wir die Darstellung einer Ebene durch drei Punkte kennengelernt. Man kann diese Darstellung unmittelbar aus der Figur 27 entnehmen. E s seien p 2 , p 3 die drei verschiedenen Punkte (genauer: Ortsvektoren derselben). Fig. 27. Ebene durch p„ p, ^ _ ^ ^ _ ^ sind dann zwej in der Ebene liegende Vektoren. Nehmen wir einmal an, diese beiden Vektoren seien linear abhängig: (1) ß (Pa - Pi) + y Os - Pi) = o. Dabei ist wegen p 2 #= p 3 4= sicher ß 4= 0 und y 4= 0. Also folgt aus (1) pz =

ß , pi-^{p2~pi)-

Danach liegt der Punkt p 3 auf der Geraden durch und p 2 . Somit gilt: Liegen die drei verschiedenen Punkte pj, nicht auf einer Geraden, dann sind die Vektoren p 2 — und p 3 — p) linear unabhängig. Ist nun j der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene, so liegt der Vektor j — p ! in der Ebene und läßt sich aus den beiden linear unabhängigen Vektoren p2 — und p 3 — kombinieren: (2) % = p 1 + T 1 (p 2 + r 2 Os - Pi). Durchlaufen die Zahlen r1 und r 2 unabhängig voneinander die reellen Zahlen, so beschreibt j alle Punkte der Ebene. Die Wertepaare 0,0; 1,0; 0,1 für r 1 ; r 2 eingesetzt, liefern die drei gegebenen Punkte fo, p 2 , p 3 . Wir setzen jetzt „_

KP« ~ Pi) (fa ~

Ei)]

I [(»>. — PO (*>. — Pi)] I* Da die Vektoren p 2 — p 3 — p t linear unabhängig sind, so ist [(p, — pj) (p 3 — pj)] 4= 0. Die innere Multiplikation von l

j

Die Hessesche Normalform

(2) mit dem Vektor e liefert jetzt schon die Hessesche form, der Ebene: (4)

i) e> = 0.

Diese Darstellung der Ebene hängt von der Wahl des Punktes nicht ab. Ist p ein beliebiger anderer Punkt der Ebene, d. h. ist = 0, dann folgt daraus

=

, und nach (4) gilt für die Gleichung der Ebene < ( j — p ) e> = 0.

Der Einheitsvektor e heißt S t e l l u n g s v e k t o r der Ebene, weil er auf der Ebene senkrecht steht und somit die Ebenenstellung. charakterisiert. Kennt man einen Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht, so besitzt man nach der Normierung desselben den Stellungsvektor der Ebene. Durch den Stellungsvektor und einen beliebigen Punkt der Ebene ist diese nach (4) festgelegt. Umgekehrt kann man natürlich auch aus (4) sofort zur Parameterdarstellung der Ebene zurückkehren. Dazu wähle man zwei linear unabhängige Vektoren o x und a 2 , die auf e senkrecht stehen: = 0, < a a e > = 0. Sind Cj und c2 zwei beliebige Vektoren, die linear unabhängig sind, dann besitzen die beiden Vektoren dj = [e c x ] und a 2 = [e c 2 ] diese Eigenschaft und sind ebenfalls linear unabhängig.

Da nach (4) j — pj auch zu e orthogonal ist, so muß sich dieser Vektor aus a t und o 2 linear kombinieren lassen: S — h = i + + k = e> ist die Länge der Projektion des Ortsvektors ^ auf e und damit, abgesehen vom Vorzeichen, die Länge des Lotes von N auf die Ebene (vgl. Fig. 28). Weist e nach derjenigen Seite der Ebene, auf welcher N n i c h t liegt, dann ist e> positiv, im anderen Fall dagegen negativ. Man nennt e> auch den Stützalstand der Ebene von N. 3 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

34

Geraden und Ebenen

Wir wollen jetzt den Abstand eines beliebigen Punktes mit dem Ortsvektor a von der Ebene (4) bestimmen, (a = ö ist der eben behandelte Fall.) Zu diesem Zweck fällen wir vom Punkt a das Lot auf die Ebene, f sei der Lotfußpunkt (siehe Fig. 29). Der gesuchte Abstand wird dann durch [ et — f [ -ot

Fig. 28. Der Stützabstand = 0

Fig. 29. Bestimmung des Abstandes Punkt - Ebene

gegeben. Das Lot ist eine Gerade durch et, die senkrecht auf der Ebene steht. Diese hat demnach die Parameterdarstellung I = a + t e, wo l der Ortsvektor des laufenden Punktes der Geraden ist. Für den Lotfußpunkt f finden wir daher f = a + t0 e. Aus der Bedingung, daß f der Ebene (4) angehört, läßt sich t0 bestimmen: Also

= 0, d. h. = 0.

k = - . Daher ist nach Einsetzen des Wertes von ta: (5) f — a = - e. Da e ein Einheitsvektor ist, so gilt (6) | - f l - f | = ± . Zur Untersuchung des Vorzeichens wird Gleichung (5) skalar mit dem Vektor e multipliziert: (7) = . Liegt a auf der Seite der Ebene, nach welcher e weist, so ist positiv, und nach (7) gilt dasselbe auch für

Ebene durch zwei sich schneidende Geraden

35

. Dieser Ausdruck stellt nach (6) den gesuchten Abstand für diesen Fall dar. Ist dagegen et auf der entgegengesetzten Seite der Ebene gelegen, so ist, wie aus (7) folgt, — positiv und stellt in diesem Fall den gesuchten Abstand dar. Insgesamt gilt daher: Setzt man für den laufenden Punkt % in der EbenendarsteUung in Hessescher Normalform = 0, | e | = 1 den Ortsvektor a eines beliebigen Punktes ein, so stellt < (a - fc) e> den mit Vorzeichen versehenen Abstand des Punktes a von der Ebene dar. Dieser Abstand ist positiv, wenn a auf der Seite der Ebene liegt, nach welcher e weist. Liegt a auf der anderen Seite, so erhält der Abstand das negative Zeichen. Setzt man speziell den Nullvektor für a ein, d. h. bestimmt man den Abstand von N zur Ebene, so erhält man — e>, ein Ergebnis, das schon oben hergeleitet wurde. 2. Ebene durch zwei sich schneidende Geraden Sind 0! und g2 die Ortsvektoren zweier sich schneidender Geraden, und ist § der Schnittpunkt beider Geraden, dann lassen sich dieselben so darstellen: 8 i = 8 + -. Nach 2. haben wir damit schon b bestimmt:



Der Abstand des Punktes p von der Geraden wird durch | b | geliefert. Man findet

Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst. Bemerkung: Der (kürzeste) Abstand des Punktes p von der Geraden g = a + i b ist definiert durch den kleinsten Wert, den | p — g | für beliebiges t annehmen kann. Die Differentialrechnung lehrt, daß dazu notwendig

42 S1 * -

Geraden und Ebenen 01 =

5 )/ •

Geraden und Ebenen

44

Damit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst; denn durch Angabe von t0 und r 0 ist auch die Lage der kürzesten Verbindung beider Geraden bestimmt. Bemerkung: Die notwendigen Bedingungen (3) und (4) für den Vektor des kürzesten Abstandes lassen sich auch ohne Anleihe an die Anschauung direkt mit Hilfe der Differentialrechnung finden. 10. Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden Wir wenden uns jetzt einer anderen Fragestellung zu. E s seien g 1 = a 1 + i 6 i und g 2 = a 2 + r b2 zwei windschiefe Geraden, p sei ein Punkt, der nicht auf den Geraden liegt. Gibt es dann eine Gerade durch den Punkt p, welche die Gerade g t und die Gerade g2 trifft ? Die Lösung dieser Aufgabe läßt sich leicht angeben. Man lege durch p und sowie durch p und g2 je eine Ebene (vgl. Fig. 36). Diese beiden Ebenen schneiden sich in der gesuchten Geraden. Aus dieser einfachen geometrischen Überlegung folgt auch sofort die Eindeutigkeit der Lösung. Wir führen jetzt diese Überlegung analytisch durch.

Fig. 36. Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden

Da p nicht auf der Geraden g! liegt, so sind p — und bx linear unabhängig (vgl. 2.). Also ist f(p — a x ) b x ] 4= o und entsprechend auch [(p — a 2 ) b 2 ] 4= o. Wir setzen jetzt «1 =

[(P I [(P -

qQ K l «i) W] I

und u2

[(p -

6a]

| [ ( p - a 2 ) Btl!"

Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden

45

Dann lauten die Gleichungen der beiden Ebenen durch p und ßi sowie durch p und g 2 : (1)

= 0, = 0.

Nach 5. läßt sich sofort die Schnittgerade dieser Ebenen angeben : (2) S = p + er [ux u 2 ]. Bemerkung 1: Es ist stets [% u 2 ] =t= o; denn aus der linearen Abhängigkeit der beiden Vektoren Uj und u 2 folgt nach (1) das Zusammenfallen beider Ebenen. Dann können aber die Geraden gx und g2 nicht windschief sein, da sie einer Ebene angehören. Unter den gemachten Voraussetzungen gibt es also stets die Schnittgerade (2). Wir wollen jetzt die Punkte der Geraden (2) ermitteln, in welchen die Gerade 0! und die Gerade g2 getroffen werden. Dazu brauchen wir nur den Schnittpunkt von mit der Ebene = 0 bzw. den Schnittpunkt von g 2 mit der Ebene = 0 zu bestimmen (siehe Fig. 36). Für die Parameterwerte ta bzw. T„ dieser Schnittpunkte findet man (vgl. 4.): ¿o + = 0 bzw. 2 «i> r 0 + = 0. Man erkennt leicht, wann {bjUa) = 0 bzw. = 0 ist. Aus < 6 ^ 2 ) = 0 folgt, falls 110 | < oo ist, sofort = 0. In diesem Fall liegt der Punkt a t in der Ebene durch p und g2 und ist somit der Durchstoßpunkt der Geraden gx durch diese Ebene. Ist bei = 0 jedoch * 0, so muß 110 | = oo sein. Es ist jetzt die Gerade g] zur Ebene durch p und g2 parallel. Bemerkung 2: Es läßt sich jetzt leicht die Aufgabe lösen, durch alle Punkte einer R a u m k u r v e £ (s) (s = Parameter der Kurve) die Geraden zu legen, die zwei gegebene windschiefe Geraden treffen. Ist die Raumkurve p (s) selbst eine Gerade, die zu beiden gegebenen windschief ist, dann erhält man die Gesamtheit aller Geraden, die drei zueinander windschiefe Geraden treffen. Die Fläche, welche von diesen Geraden überstrichen (erzeugt) wird, ist eine Fläche 2. Ordnung und wird uns später als einschaliges Hyperboloid bzw. hyperbolisches Paraboloid begegnen [XII.9.].

46

Geraden und Ebenen

Wenn p (s) der vom Parameter s abhängige Ortsvektor einer Kurve im Raum ist, dann stellt (2') i(s,or) = i)(s) + a[u 1 (s)u i ! (s)] für festes s eine Gerade und bei variablem s die Gesamtheit der gesuchten Geraden dar. (2') ist daher die Parameterdarstellung der von diesen Geraden erzeugten Fläche. 11. Das hyperbolische Paraboloid E s seien g x = a1 + 1ü1; g 2 = a 2 + r t>2 die Parameterdarstellungen zweier windschiefer Geraden. Wir wollen jetzt die Punkte beider Geraden, die zu gleichen Parameterwerten gehören, einander zuordnen. Genauer: Der Punkt der Geraden mit dem Parameterwert t soll dem Punkt mit dem Parameterwert r = t der Geraden g 2 zugeordnet werden. Durch diese Zuordnung sind beide Geraden ä h n l i c h aufeinander abgebildet. (Ist | B t | = [ t>21, so werden die Geraden kongruent aufeinander abgebildet.)

Fig. 37. Hyperbolisches Paraboloid, erzeugt durch Verbindungen entsprechender Punkte zweier ähnlich aufeinander abgebildeter windschiefer Geraden

Wir verbinden jetzt zugeordnete Punkte beider Geraden durch gerade Linien (siehe Fig. 37). Diese Verbindungsgeraden lassen sich so darstellen: I = (Oj + t öj) + s { a 2 + t d2 — di —

t»!}.

Das hyperbolische Paraboloid

47

Für jedes t ergibt sich eine solche Gerade. Man spricht deshalb von einer e i n p a r a m e t r i g e n Geradenschar. Ordnen wir jetzt nach t, s, t- s, so gilt (1) j = Oi + / ü i + s { a 2 — ü i } + ts { »2 — üi}. Das ist die Parameterdarstellung derjenigen Fläche, die von den Geraden (t = const.) beim Entlangschieben an c^ und g2 überstrichen (erzeugt) wird. Die entstehende Fläche von der Form eines Sattels, heißt h y p e r b o l i s c h e s P a r a b o l o i d . Man nennt die Geraden, die die Fläche erzeugen, E r z e u g e n d e . (Eine solche Geradenschar wird auch R e g u l u s genannt, und die zugehörige Fläche nennt man deshalb R e g e l f l ä c h e . ) Setzt man in der Darstellung (1) des hyperbolischen Paraboloids s = const., so beschreibt j bei laufendem t eine Gerade. Zu jedem s-Wert gehört somit eine Gerade. Setzt man s = 0, so erhält man die Gerade gj; für s = 1 stellt je die Gerade g2 dar. Das hyperbolische Paraboloid kann also auch so erzeugt werden, daß man eine Gerade entlang der Geraden durch a l 5 a 2 (d. h. t = 0) verschiebt: j = ö! + s { a 2 — di } + t { Ui + s (u2 — Uj)}, wobei die Richtungen der Geraden durch ux + s (u2 — u^ gegeben sind. Das hyperbolische Paraboloid enthält also zwei

Fig. 38. Ausschnitt eines hyperbolischen Paraboloids mit Erzeugenden beider Regelscharen

48

Geraden und Ebenen

sich kreuzende Geradenscharen. Allgemein können wir die Darstellung eines hyperbolischen Paraboloids in der Form (2) j = r0 + t x± + s r 2 + ts r 3 angeben, worin t, s Parameter sind. Jeder Punkt der Fläche liegt durch Angabe von t und s fest. Betrachtet man die Gerade t = t0(s läuft), so wird diese von jeder Geraden der anderen Schar geschnitten. Der Schnittpunkt mit der Geraden s = s0 ist gerade der Punkt mit den Parameterwerten t0, s0. Bemerkung 1: Innerhalb der Theorie der Flächen 2. Ordnung werden wir auch später dem hyperbolischen Paraboloid wieder begegnen. Aus (2) läßt sich übrigens noch eine andere Gleichungsform dieser Fläche herleiten, die mit der späteren Darstellung der Flächen 2. Ordnung in engster Beziehung steht. Dazu bilden wir die Spatprodukte:

((E - *o) *a) = ' • * r3)> ((S - to) *2 = 1 (Ii Ts), ((S - to) ix) = s (ti r2 r3). Daraus folgt nach Elimination von t und s\

(3).((E-t«) t 2 t 3 ) ' ((s-t 0 )t 3 ti) - ((E-to)V 2 ) • (tit 2 t 3 ) = 0. Wir betrachten jetzt ein Vierseit, dessen vier Eckpunkte nicht alle in einer Ebene liegen. Ein solches Vierseit wollen wir windschief nennen, denn es sind in dem Vierseit gegenüberliegende Seiten zueinander windschief. Wären diese nämlich parallel oder würden sie sich schneiden, dann ließe sich durch diese beiden Seiten eine Ebene legen. In dieser würden dann entgegen der Voraussetzung alle vier Eckpunkte des Vierseits liegen. Es seien p2, p3, p4 die Eckpunkte eines windschiefen Vierseits. Nun soll ein hyperbolisches Paraboloid bestimmt werden, welches in das Vierseit eingespannt ist. Dazu betrachten

wir die beiden Geraden

«1 = P l + t (t>4 — Pl)> 92 = P2 + T (p 3 — P2)Jetzt muß die Zuordnung der Parameter t u n d r so eingerichtet werden, daß dabei (siehe Fig. 39) die Punkte und p2 sowie p4 und einander entsprechen. Verbinden wir dann entsprechende Punkte von t^ und t)2 durch Geraden, dann ent-

Das hyperbolische Paraboloid

49

steht ein hyperbolisches Paraboloid, welches alle vier Seiten des Vierseits als Erzeugende besitzt. Wählen wir t = r, so ist dem P u n k t t = 0, d. h. p 1( der P u n k t r = 0, d. h. p 2 , zugeordnet. Aber auch für t = r = 1 entsprechen sich dann die Punkte. p 4 und p 3 . Die Darstellung des gesuchten Paraboloids lautet daher, wenn man gleich nach t, s,t s ordnet: (4) E = * > ! + < (p 4 - pO + S (p 2 - p 0 + ts (p x - p 2 + p 3 - p 4 ) . Für l = 0 liegt die Seite p2, f ü r t = 1 die Seite p 3 , p 4 , f ü r s = 0 die Seite pX) p 4 und f ü r s = 1 die Seite p 2 , p 3 auf dem Paraboloid. Damit ist die gestellte Aufgabe gelöst. Auf die Frage der Eindeutigkeit wollen wir nicht eingehen. Die hier gewonnene Darstellung des hyperbolischen Paraboloids zeigt die völlige Gleichberechtigung der beiden Geradenscharen t = const. und s = const.

Fig. 39. "Windschiefes Viersen, in das ein hyperbolisches Paraboloid eingespannt werden soll

Wir wollen jetzt der bisher betrachteten Erzeugungsweise des hyperbolischen Paraboloids noch eine andere Form geben. Zu diesem Zweck bestimmen wir diejenige Ebene durch und p 2 , die von p 3 und p 4 den gleichen Abstand besitzt. Die Ebene besitzt eine Darstellung der Form (5) - p j e> = 0. Da p 2 in dieser Ebene liegt, so gilt (6)

= 0.

Ferner ist = i) e>, weil p3 und p 4 den gleichen Abstand von der Ebene besitzen sollen. Also gilt (7)

= 0.

4 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

50

Geraden und Ebenen

Aus (6) und (7) läßt sich aber der Vektor e bestimmen: [(Pi - P 2 ) (Ps - P«)] x ) [(Pl - P 2 ) (Ps - P 4 )] Damit ist uns die gesuchte Ebene vollständig bekannt. (8)

Jetzt wird der Abstand des P u n k t e s j des hyperbolischen Paraboloids (4) von dieser Ebene (5) berechnet. Man findet (9)

= i •

(»4 -

Pi) (Pi - Ps) (p s - Pl)) [(Pl - Ps) (Ps - Pl)]

Daraus erkennt man, daß der Abstand aller P u n k t e der Geraden t = const. von der Ebene gleich groß ist; die Gerade m u ß also zur Ebene parallel sein. E s sind daher insgesamt alle Erzeugenden der einen Schar des Paraboloids zu der Ebene (5) parallel. D a alle diese Geraden die beiden Geraden s = 0 (Gerade durch u n d p4) u n d s = 1 (Gerade durch p 2 u n d p 3 ) der anderen Schar von Erzeugenden treffen müssen, so gilt: Fig. 40. Erzeugung eines hyperbolischen Das hyperbolische Paräboloid Paraboloids durch eine Gerade, die sich parallel zu einer Ebene bewegt und sich kann von einer Geraden erzeugt dabei auf zwei windschiefe Geraden stützt werden, die sich parallel zu einer Ebene bewegt und sich dabei auf zwei windschiefe Geraden stützt. (Vgl: Fig. 40.) 12. Projektion au! eine Ebene Für manche Probleme ist es nützlich, die Parallelprojektion auf eine Ebene zu kennen. Die Projektionsrichtung sei durch den Vektor I gegeben. — 0 sei die Darstellung der Ebene, auf die M Die Vektoren p, — £t2 und £)3 — p 4 sind linear unabhängig, weil die Punkte Vi, Pa. p3. P4 ein w i n d s c h i e f e s Vierseit bilden.

Projektion auf eine Ebene

51

wir projizieren wollen. Bezeichnet man mit j den Bildpunkt des Punktes j , so gilt (siehe Fig. 41) t = S + /»I. und da j auch in der Ebene liegt, so wird = 0. Aus beiden Gleichungen finden wir den Wert von \i: + fi = 0. Wir sehen, daß wir nur im Falle =# 0 eine eindeutige Projektion des Punktes j erhalten; d.h. die Projektionsrichtung I darf nicht parallel zur Ebene sein. Für die Abbildung gilt also im Falle 4= 0:

13. Spiegelung am Funkt, an der Geraden, an der Ebene a) Spiegelung am Punkt a: j * sei der Spiegelpunkt bezüglich a des Punktes j . Es gilt dann (siehe Fig. 42): und daher

(" -

S) = ( i * - + a = 0

Die Kugelgleichung

53

vorgelegt, so liefert der Vergleich mit (2) die Beziehungen: m = — a, a = — r2, d. h. r2 = — a. Nur im Fall — a > 0 liegt daher eine reelle Kugel vor. Ist — a =-• 0, so spricht man von einer P u n k t - oder Nullkugel; denn sie enthält nur einen einzigen reellen Punkt. Für — a < 0 nennt man die Kugel n u l l t e i l i g . Eine solche Kugel besitzt keinen reellen Punkt. 2. Schnitt von Gerade und Kugel, Kugeltangenten

Es soll jetzt der Schnitt der Kugel — r2 = 0 mit der Geraden j = p + t u bestimmt werden. Für die gemeinsamen Punkte muß dann gelten: (4) - m)> - r2 + 2 t + i2 = 0. Da #= 0 ist, so gibt es stets zwei Schnittpunkte, deren Parameterwerte auf der Geraden sich aus dieser quadratischen Gleichung berechnen lassen. Sind die Wurzeln dieser Gleichung reell, dann gilt auch dasselbe für die Schnittpunkte. Sind und i2 die beiden Wurzeln, die auch gleich sein können, Fig. 45. Schnitt von Gerade und Kugel dann lassen sich die zugehörigen Schnittpunkte und s 2 angeben: = P + k u, h = £ + ¿2 u. Wir wollen jetzt den Fall betrachten, in welchem ö auf der Kugel liegt. Es gilt dann — r 2 = 0. Die quadratische Gleichung (4) erhält jetzt die Form t { t + 2 } = 0. Die Wurzel t = 0 derselben liefert den Punkt p. Soll auch der andere Schnittpunkt der Geraden mit der Kugel in den Punkt p fallen, so muß (5) = 0

54

Kugeln

sein. Eine solche Gerade, für welche beide Schnittpunkte mit der Kugel zusammenfallen, wollen wir T a n g e n t e nennen. (5) gibt daher die Bedingung für die Gerade (6)

S= p +

iu

an, damit diese im Punkte p Tangente an die Kugel ist. Aus (5) und (6) folgt jetzt (7)

) ( » > - m)> =

0

für alle Punkte j die auf einer T a n g e n t e der Kugel in p liegen. (7) stellt aber die Gleichung einer Ebene durch den Punkt p der Kugel dar. Der Stellungsvektor dieser Ebene ist durch - j ^

^

—^

gegeben.

Diese

Tangenten-

e b e n e in p ist also der geometrische Ort aller Tangenten in p an die Kugel. Bemerkung: Der Leser mache sich die analytisch gewonnene Tangentenbedingung (5) sowie die Lage der Tangentialebene geometrisch klar. 3. Die Potenz eines Punktes für die Kugel1) Wir legen durch einen beliebig gewählten Punkt p eine Gerade, die die Kugel reell treffen möge: (8)

% = p + t e , [ e | = 1.

( t mißt wegen | e | = 1 die Länge auf der Geraden.) Schneiden wir diese Gerade mit der Kugel (1), dann erhalten wir wie in 2. (9)

-r

!

+ 2 i < e ( D - m ) > + i ! = 0.

Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sollen mit t r , i 2 bezeichnet werden. Ihre geometrische Bedeutung als Länge von p bis zu den Schnittpunkten der Geraden mit der Kugel ist aus der Figur 46 ersichtlich. Auf Grund des Wurzelsatzes von Y i e t a erhalten wir nach (9) (10)

< ! . ( , = -

r2.

') Diese Bezeichnungsweise stammt von J . STEINER (1796—1863).

Die Potenz eines Punktes für die Kugel

55

Dieses Produkt hängt nur von der Lage des Punktes p hingegen n i c h t vom Vektor e, d. h. von der Richtung der Geraden ab 1 ). Man nennt diesen Ausdruck (11) P (p, K) = - r2 die Potenz des Punktes p für die Kugel K~ — r2.

Fig. 46. Potenz eines Punktes p für die Kugel

Liegt p innerhalb der Kugel, so gilt offenbar P (p, K) < 0. Ist p jedoch außerhalb gelegen, so gilt P (p, K) > 0. Wählt man die Gerade durch p so, daß sie Tangente ist, d. h. ist = 0 ') Dieses war schon den alten Griechen bekannt. ARCHYTAS ( —430 — - 345).

56

Kugeln

vorgelegt, (x, y sind dann kartesische Koordinaten in dieser Ebene.) Bringt man diese Ebene mit der Kugel (1) zum Schnitt, so ergibt sich sofort die allgemeine Kreisgleichung.

Betrachten wir jetzt zwei Kugeln mit verschiedenen Mittelpunkten irti 4= ttt2: (12) < ( s _ m i ) ( i _ m i ) > _ } . 1 2 = o, (13) - r.» = 0. Für ihren Schnitt müssen beide Gleichungen erfüllt sein. Subtraktion von (12) und (13) liefert: (14) 2 - - rx» - r22 = 0 sein. Dieser Gleichung kann man auch die Form (18') P (m2, KJ = r22 bzw. P (ml5 IQ = r2 geben. o. Die Fotenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade

Bestimmen wir jetzt diejenigen Punkte t), die für beide Kugeln , - P (t), IQ = 0 oder ausgerechnet (19') - 2 + - - j \ 2 + r f = 0. Haben Kt = 0 und K2 = 0 verschiedene Mittelpunkte, dann ist das eine Ebenengleichung mit dem Stellungsvektor t . Die Punkte t), für welche die Potenzen an beiden | mx — ms | Kugeln gleich sind, liegen in einer Ebene, der Potenzebene beider Kugeln. Schneiden sich K t = 0 und K 2 = 0 in einem reellen Kreis, so liegt dieser in der Potenzebene (vgl. 4. (14)). Es seien jetzt drei Kugeln Kx = 0, K,, = 0 und Ka = 0 gegeben. Dann gibt es drei Potenzebenen (1) B 1 ( j , ) = P ( l J , i : 1 ) - P ( i ) K i ) = 0, (20) (2) Et fo) = P (t>, Kr) - P (i), K3) = 0, (3) Ea(^P(t>,K2)-P(t),K3) = 0.

Die Potenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade

59

Subtrahiert man (20i) von (202), so gilt: (21) E3(t}) = E2(v,)-E1(t)). Nach IV. 6. gehören also die drei Ebenen = 0, E, --•- 0, E3 = 0 einem Ebenenbüschel an: Die drei Potenzebenen dreier Kugeln sind entweder parallel oder gehen durch eine Gerade, der sog. Potenzgeraden der drei Kugeln.1) Wann sind die Potenzebenen E1 = 0, E2 = 0, Ea — 0 der drei Kugeln — 0, K2 = 0, K3 = 0 parallel? Aus der Parallelität von Ex = 0 und _E2 = 0 folgt für die Stellungsvektoren dieser Ebenen /1 (nti — m2) = X (tTti — m3) und m2 + a m3 X m,1 = —r— , a = . 1 + s) = K

(Mv)

t»2 »a)-

Bilden wir jetzt 33 3t, so können wir dafür schreiben: (M1S) SB 2t = 33 { » ! m2 m 3 } = {33 n^ 33 m2 33 it>3}, weil die Zeilen von SB mit den Spalten von 9t multipliziert werden müssen. Analog gilt (Af„)

9te=

[üx'Gi o2'e .

Schreibt man 33 als Matrix von Zeilen und © als Matrix von Spalten, so lassen sich die Produktmatrizen 33 9t und 3t © in der Form (Mt) angeben. Wir geben jetzt eine Darstellung der adjungierten Matrix 3t-4 zu 9t, ohne die Determinantenrechnung explizit zu benutzen. Zu diesem Zweck bestimmen wir die Matrix,

Hl

so, daß X 3t = I 3t | g wird. Nach (M 1 5 ) und (Mt) gilt dann /ii'toi ii'tt>2 Ei'tt>3\ /] 9t | 0 0 \ Es'toi S 2 'to 2 is'tüs = 0 | 9t | 0 . \Sa' Wi Es' ">2 Es' » V \0 0 | 3t |/ Aus den drei Gleichungen Ei' tt»! = | 9t |,

Sl'

n>2 = 0,

s/ tt>, = 0

läßt sich bestimmen. Zunächst ist Ei = ^ [ t0 > w 3 ] auf Grund der beiden letzten Gleichungen 1 ). Wegen (Mu) folgt dann aus r l Sind lt» und tu linear abhängig, so setzt man = o. Dieser Vektor erfüllt 2 a dann wegen | = (I»! » 2 tt>s) = 0 auch die erste Gleichung.

Der Matrizenkalkül

70

der ersten dieser drei Gleichungen X = 1. Analog finden wir E2 = [«3 toi], Ja =

lt>2].

Daher ist i tt>2 K t t tt> j ] 3' ) 2 ro33 »hJi]' il'}. ) [ro tr»! to.l'J tt>. lfm, Wegen £ 8t = | 9t | © stellt £ die zu 9t adjungierte Matrix dar, die ja im Falle | 911 4= 0 eindeutig bestimmt ist. (Vgl. 4). Wir wollen daher für eine beliebige quadratische dreireihige Matrix 9t festsetzen (auch im Fall | 9t | = 0): io2 ttj. 91^ = m3 Wj ' j , wenn 9t = {mj it>2 tt)3} ist; (M tt»! w 2 oder X=

„)

(M 2 1 )

*» =

{[o 2 Ö3] [b3 öj] [öi Ö2]} , wenn 9t = J e / j ist.

(Man überzeugt sich leicht, daß 3H nach ( M n ) die Bedingung 9t 9H = | 9t | • @ erfüllt.) Bemerkung 1: Die Gesamtheit aller n-reihigen quadratischen Matrizen mit nicht verschwindender Determinante (sog. nichtsingwläre Matrizen) bilden bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe: Je zwei Matrizen 9t und 39 der genannten Menge ist eindeutig die Matrix 9t 33 zugeordnet. Weiter gilt I. Das Assoziativgesetz für irgend drei Matrizen der Menge: 9t (39 2tt>3}-Setzt man noch j = I x21 , dann schreibt sich (2) in der Form (2') t»! x1 + tt>2 z 2 + tu 3 xz = b. Aus dieser Darstellung lesen wir sofort ab: Wenn eine Lösung j existiert, so ist b Linearkombination der t o v tö2, tt>3- Umgekehrt gibt es auch eine Lösung j , wenn b sich durch die trij, tt>2, tt>3 linear darstellen läßt; wenn nämlich Wj Cj + tr>2 c2 + ft>3 c3 = b gilt, so ist

lcA W

die Spalte I c 2 1 eine Lösung von (2') oder (2). Damit haben wir das Ergebnis gefunden: Die inhomogene Gleichung 9t % = b besitzt dann und nur dann Lösungen, wenn sieh die Spalte b als Linearkombination der Spalten der Matrix 2t schreiben läßt. Ist | St | * 0, so sind die Spalten der Matrix St linear unabhängig, und j e d e r Vektor b läßt sich durch diese Spalten darstellen. Daher besitzt (2) oder (2') in diesem Fall stets eine Lösung, was wir auch bereits oben gesehen haben. Wenn | 911 = 0 ist, dann sind die Spalten von St linear abhängig, und nicht jeder Vektor b läßt sich i n der genannten Weise darstellen. Wir wollen jetzt, nachdem wir ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichung (2) oder (2') haben, die Gesamtheit aller Lösungen einer solchen Gleichung untersuchen. Nehmen wir etwa an, in j 0 hätten wir eine Lösung von (2) gefunden. Ist j eine beliebige andere Lösung dieser Gleichung, so gilt St j„ = b, St J = b und daher St ( j — J 0 ) = Also ist j — E0 Lösung der zu (2) gehörigen homogenen Gleichung St j = o. Zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung unterscheiden sich nur um eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

74

Affine Abbildungen

Stellt daher i) die allgemeineLösung dar, so erhalten wir mit

derhomogenenGleiehung% ¡ — o

(4) S = So + 5 die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung 9t £ = 6. J 0 ist dabei eine spezielle (;partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung. Da die homogene Gleichung zu (2) im Fall | 211 4= 0 nur die Nullösung besitzt, so stellt (3) in diesem Fall tatsächlich die einzige Lösung dar.

VII. Affine Abbildungen Bei der Untersuchung von kongruenten Dreiecken, bei der Behandlung der Ähnlichkeit, bei Fragen der Perspektive, immer handelt es sich um geometrische Figuren, die aufeinander bezogen sind, oder besser gesagt, die aufeinander a b g e b i l d e t sind. Diese Abbildung (in den genannten Beispielen wird sie durch eine „Bewegung", „Ähnlichkeit", „Perspektive" geliefert) überträgt Eigenschaften der einen Figur auf die andere. Wir wollen hier unter einer Abbildung eine Zuordnung verstehen, die jedem P u n k t des Raumes einen Bildpunkt zuordnet. Eine solche Abbildung heißt im Raum eindeutig. Entspricht jedem Bildpunkt nur ein Original, so nennt man die Abbildung eineindeutig.

Die Abbildung ist im allgemeinen nicht auf die Punkte einer bestimmten Figur beschränkt, wenn dieses nicht ausdrücklich gesagt wird. Es ist bequem, den Original- und Bildraum „aufeinander" zu legen, so daß man von einer Abbildung des Raumes in sich reden kann. Alle oder gewisse Punkte und Figuren des Raumes besitzen dann Bildpunkto und Bildfiguren, die stets wieder im gleichen R a u m liegen. 1. Die Parallelverschiebung Ist j der Ortsvektor eines beliebigen Punktes bezüglich des Nullpunktes N, so wollen wir die Abbildung (1)

l

S= i + c

Affine Abbildungen treten um 1748 bei L. EU1EK (1707—1783) auf.

Die Parallelverschiebung

75

betrachten, wo c ein fester Vektor ist. Dem Punkt j wird dadurch der P u n k t j = j + c zugeordnet. Wie lautet bei dieser Abbildung der Punkte (Ortsvektoren) das Abbildungsgesetz für Vektoren ? Ein beliebiger Vektor b ist durch seinen Anfangspunkt t x und seinen E n d p u n k t t 2 festgelegt: b =1^—r 2 . Nun ist t j ->- i i = t i + c, t , ->• v2 = r 2 + c. Daher gilt b --a*, heißt affineVektorabbildung, ivenn X a + /üb ->-A a* + fit>* (1) für beliebige Zahlen A, fi und beliebige Vektoren a, b gilt. Insbesondere haben gleiche Vektoren gleiche Bilder. Wie stellt sich eine solche Abbildung bezüglich der Basis {V; Cj, c,, e 3 } dar? Es seien

die Darstellungen der beiden Vektoren b und b* bezüglich der Basis. Weiter sei b->-b*. Nach III. 1. (4) und auf Grund der

76

Affine Abbildungen

gegebenen Definition der affinen Vektorabbildung erhalten wir nun (2)

3

3

3

t=l

i = l

i= l

t ) = Z v i t i ^ - E v i t i * = n* = Z v i * i i .

Wir stellen jetzt die Vektoren e *, d. h. die Bildvektoren von t'i (i = 1, 2, 3), in der genannten Basis dar: 3 ei* = I « i i c t , ( ¿ = 1 , 2 , 3 ) ,

(3)

/«li\ e

i

* = \ a

k = 1

i

i

\ .

\ a j

Aus (2) folgt dann 3

3

ö* = 27 Vi 27 a i=

l

3

k i

t

k

fc=i

3

= 27 (27 a

v() e*.

k i

k = l i = l

Damit haben wir die Darstellung von t>* gefunden: 27 a

u

v

{

ü12 v + a «u 3 \ /«U «1 + «12 27 V{ |1 == I «2i Vi++ «22^2 «22 + «23^3 I = Ii a2i2 i Vi / \ « 3 1 V i + « »32 3 2 V2 + «33 V 2

ti* = |

E

Also

a

3 i

l s

Vi

/ «11 «12 «13 \ IV l \ = I «21 «22 «23 I I ^2 I \ «31 «32 «33 / \ / l>!*\ t;s*j =

/üi 21

lv2

oder kurz (4)

b* = 21 ö.

Unter Beachtung von (3) läßt sich die Matrix 91 so schreiben: (5)

31= { e ^ e / e , * } .

77

D e f i n i t i o n der a f f i n e n A b b i l d u n g

Kennt man die Darstellung der drei Bildvektoren e / , e 2 *, e 3 * von e x , e 2 , e3 bezüglich der Basis {A7; elt e2, e 3 }, so kennt man nach (5) die Matrix der affinen Vektorabbildung. Wir wollen jetzt versuchen, von dieser affinen Vektorabbildung zu einer solchen für die Punkte (Ortsvektoren) des Raumes zu gelangen. Es seien j und r zwei Punkte des Raumes. Wir wollen dann ihre Bilder j * und t * geeignet bestimmen. Durch die Vektorabbildung allein lassen sie sich sicher nicht festlegen. Zweckmäßig dürfte es sein, die Punkte r * und t * so zu wählen, daß x* — t * der Bildvektor von j — r bei der Vektorabbildung (4) ist: i * - r* = St ( S - r), d. h. j * = 911 + t * — 91 r. Gibt man jetzt die Punkte t und t * nach beliebiger Wahl fest vor, so stellt (6) i * = 91 % + c mit c = t * — 911 eine Abbildung der Punkte j des Raumes auf die Punkte j * dar, während sich die Vektoren des Raumes nach (4) abbilden 1 ). Wir haben also gesehen, daß die affine Punktabbildung bei Vorgabe der affinen Vektorabbildung bis auf eine Parallelverschiebung bestimmt ist. Die Parallelverschiebung wurde dann durch Vorgabe eines Punktes und seines Bildes festgelegt. Fassen wir die gewonnenen Ergebnisse zusammen: Eine affine Abbildung der Vektoren (affine Vektorabbildung) liegt fest durch Angabe der Spalten der Bildvektoren ej*, e 2 *, e 3 * bezüglich der Basis { V ; eu e2, e 3 }. Es gilt dann für jeden Vektor b: (A) b* = 91 b; 91 = { e ^ e 2 * e 3 *|. Gibt man noch den Punkt t und seinen Bildpunkt

t*

willkürlich

aber festgewählt vor, so gewinnt man in (A2)

e* = 91 j + c, c = t * — 911

eine zu gehörige affine Punktabbildung).

Abbildung

der Punkte

(affine

Man kann sofort einsehen, daß aus der Punktabbildung (6) umgekehrt für Vektoren die Abbildung (4) folgt, da sich jeder Vektor als Differenz zweier Ortsvektoren schreiben läßt.

Affine Abbildungen

78

3. Einfache Eigenschaften der Affinität Auf Grund der Definition und der vorstehenden Untersuchung ist klar, daß bei einer Affinität des Raumes Punkte in Punkte und Vektoren in Vektoren abgebildet werden. Man zeigt dasselbe leicht auch f ü r Geraden bzw. Ebenen: a) Eine Affinität

bildet jede {^g^affe} wieder auf eine { ^ ^ ¿ g j

ab. Wir beweisen diesen Satz nur für den Fall der Geraden, da sich der entsprechende Satz für die Ebene analog nachweisen läßt. Es sei die Gerade (i)

i

=

vorgelegt. Dabei bedeutet % gemäß Il.ö.g) das Teilverhältnis der drei Punkte pj, p2, je. Unterwerfen wir jetzt diese Gerade der Affinität (/lj) (A2), dann ist j*=3tS+c, = 21 p! + c, p2* = « p 2 + c . Nun ist nach (1) Also gilt s* -

c

=

r

H

fri*

-

C+

a p

2

* - A C }

und

Da und p2* zwei feste Punkte sind, so durchläuft mit j auch x* wieder eine Gerade. Weiter erkennen wir: Das Teilverhältnis X der drei Punkte fo, j ist gleich dem Teilverhältnis (nämlich ebenfalls X) der drei Punkte p / , p2*, j*. b) Das Teilverhältnis dreier Punkte einer Geraden bleibt bei einer affinen Abbildung invariant. Insbesondere wird also der Mittelpunkt einer Strecke durch eine Affinität stets abgebildet auf den Mittelpunkt der Bildstrecke. Aber auch die Schwerlinien eines Dreiecks (II. 5. h)) oder Tetraeders werden abgebildet auf die Schwerlinien der Bildfigur. Die Eigenschaft einer Geraden, Schwerlinie zu sein, ist also eine affininvariante Eigenschaft.

Einfache Eigenschaften der Affinität Eine andere Eigenschaft der Affinität ist diese: c) Durch eine Affinität werden parallele Geraden algebildet auf parallele Geraden (Vektoren).

79

(Vektoren)

Öi = ai + ' UI> g 2 = Mr.

Die Parallelprojektion

83

Bezeichnet man noch den Winkel zwischen der Projektionsrichtung I und der Projektionsebene mit + i. e sin« sin« Schreiben wir statt das Matrizenprodukt e' j, so gilt (vgl. VI.6. Bemerkung 2) unter Benutzung des assoziativen Gesetzes für Matrizen i = e

s e

v

sin oc y e sina Es liegt demnach eine affine Abbildung j = iß j + c vor mit = (g _ J _ I e '), c = Iii« sin a Diese Abbildung ist natürlich ausgeartet (| | = 0). Für den Fall der orthogonalen Projektion (Normalriß) ot = I = e auf eine Ebene, die durch den Nullpunkt des Koordinatensystems geht (p = o), vereinfacht sich die Abbildungsformel wesentlich: S = E — e oder s = [ e [ j e ] ] und in Matrizen E = (© - e e') j . 7. Die affine Gruppe Die Gesamtheit der nichtsingulären affinen Abbildungen (A„) bildet eine Gruppe, d. h. sie erfüllen die folgenden Bedingungen : Das Hintereinanderausführen zweier nichtsingulärer affiner Abbildungen ZV S* = « I S + Cl T 2 : S +* = % I* + Co läßt sich durch eine affine Abbildung T 2 O 2 V I** = « 1 « 1 S + {% c x + c2) ersetzen, die wegen | 9t2 Sti | = | 9i21 • I 2li I =f= 0 ebenfalls nicht singulär ist. Weiter sind die Gruppenaxiome erfüllt: I. Sind Tx, T2, T3 drei nichtsinguläre affine Abbildungen, so gilt das assoziative Gesetz T1O(T,OT = (T1OT,)OT3. 3)

84

Affine Abbildungen

II. Es gibt eine nichtsinguläre affine Abbildung E, so daß f ü r alle nichtsingulären affinen Abbildungen T gilt: EoT=T. III. Zu jeder nichtsingulären affinen Abbildung T gibt es eine nichtsinguläre affine Abbildung T~x, so daß T~1o T = E gilt. Die Gültigkeit von I. folgt aus dem assoziativen u n d dem distributiven Gesetz der Matrizenmultiplikation (vgl.VI. 1. (M b ) und 2. (M 6 )). E wird durch die Abbildung j * = j (Identität) definiert. Es ist dann II. erfüllt. Ist schließlich T : j * = 91 c, so definieren wir T - 1 durch j = 9 l _ 1 j * — 9t - 1 c. Damit ist dann auch III. erfüllt. Die Gruppe der nichtsingulären affinen Abbildungen wird affine Gruppe genannt. Die Aufgabe der affinen Geometrie ist es, solche Eigenschaften zu untersuchen, die bei affinen Abbildungen erhalten, oder wie man auch sagt, i n v a r i a n t bleiben. In 3. und 4. haben wir einige solcher affinen Invarianten angegeben. Man rechnet einen Satz zur affinen Geometrie, wenn seine Voraussetzungen und Behauptungen affine Eigenschaften betreffen. So gehören beispielsweise die Sätze über Schwerlinien der affinen Geometrie an (vgl. 5.). Es lassen sich leicht einige Untergruppen der affinen Gruppe angeben. So bilden beispielsweise alle affinen Abbildungen S* = 91 j + c mit | 9t | = ± 1 die Gruppe der Scherungsaffinitäten. Betrachtet man alle affinen Abbildungen mit |9t| = + 1, so erhält man die Gruppe der eigentlichen Scherungsaffinitäten. Eine andere Untergruppe der vollen affinen Gruppe erhält man, wenn man die Gesamtheit der nichtsingulären affinen Abbildungen studiert, die den Nullpunkt festlassen : j * = 9t j . Die so erhaltene Gruppe wird als Gruppe der radial affinen Abbildungen bezeichnet. In VIII. werden wir die Gruppe der Bewegungen, die ebenfalls eine Untergruppe der affinen Gruppe ist, kennenlernen. Die Klassifikation der geometrischen Eigenschaften bezüglich dieser Gruppe liefert die euklidische Geometrie.

Die affine Gruppe

85

Allgemein läßt sich sagen, daß die Fragen nach Invarianzeigenschaften bezüglich der verschiedenen Gruppen von Abbildungen als ordnendes Prinzip in der Geometrie Verwendung finden. Diese grundlegende Erkenntnis verdankt man dem großen Göttinger Geometer F e l i x K l e i n (1849—1925) 1 ). Die volle affine Gruppe wird mit r X n bezeichnet, weil jede Abbildung der Gruppe von 12 Werten abhängt. Man spricht von einer 12-gliedrigen Gruppe. Die Scherungsaffinitäten bilden eine 11-gliedrige Gruppe r x r , und die Gruppe der radialen Affinitäten heißt r l x . Übrigens bilden auch die Parallelverschiebungen eine Gruppe, die 3-gliedrig ist und mit r j j 7 bezeichnet wird. VIII. Bewegungen 1. Definition und Eigenschaften Eine affine Abbildung (1) S*=®S+c, die die Entfernung | Pi — p 2 I bei jeder Wahl der P u n k t e invariant läßt, heißt Bewegung. Ist | 33 | > 0, so spricht man von einer e i g e n t l i c h e n Bewegung und im Fall | 33 | < 0 von einer U m l e g u n g oder uneigentlichen Bewegung. (Der Fall | 33 | = 0 kann, wie wir sehen werden, nicht eintreten.) Soll (1) eine Bewegung sein, so muß 58 gewisse Eigenschaften aufweisen, die wir jetzt herleiten wollen. E s m u ß für alle Punkte (2) (Pl ~ p2y (Pl - pt) = (Pl* - p*y (Pl* - p2*) gelten. Nun ist f i * - t>2* = 83 (Pl - pt) und (p* - p*)' = ( P l - P a ) ' 3 3 ' . Aus (2) folgt daher (2') ( P l - p2)' ( 8 ' » - g) ( P l - P a ) = 0. Da diese Gleichung für jede Wahl der Punkte P l und p 3 gelten muß, wenn (1) eine Bewegung sein soll, so muß (3) 33' 33 = @ Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen 1872. Diese grundlegende Schrift bezeichnet man auch kurz als das „Erlanger Programm".

86

Bewegungen

gelten1). Aus (3) folgt nun sofort 33' = 83 _ 1 und daher auch 33 33' = Man nennt nun eine Matrix 83, die die Eigenschaft 33' 33 = @ besitzt, orthogonal2). Aus (3) folgt weiter wegen | S | = | 83' | SB |2 = 1, d. h. (4) I » [ = ± 1. Schreiben wir (5) wo die s>L,

» = {«i die Spalten von 83 darstellen, so ist

und aus 83' SB = © erhalten wir die Bedingung (vgl. VI. 1. m ) : (6) »i'Sk = d{k, (i,fc=l,2,3). Die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix bilden also ein orthonormiertes Dreibein. Ist | 83 | = + 1, so bilden die drei Spalten §2, §3 in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem und im Falle | 33 | = — 1 ein Linkssystem. Im ersten Fall bleibt die Orientierung erhalten, die im zweiten Fall in die entgegengesetzte übergeht. Man sieht sofort, daß bei einer Bewegung (1) auch alle Winkel invariant bleiben. Zum Beweis genügt es, die Invarianz des inneren Produktes zweier Vektoren ux, it2 zu beweisen: Es gilt U l * = ® U l , U2 * = 83 u2, 83' 83 = Daher = Ui*' u2* = Un' 83' 83 u2 = u/ u2 = , womit schon alles bewiesen ist. (Bei eigentlichen Bewegungen bleiben, wie schon für Scherungsaffinitäten gezeigt (VII. 4. e)). die Spatprodukte invariant.) 1 ) Aus (2') folgt zunächst nur, daß © ' S — © eine schiefe Matrix ist. Durch Transponieren folgt aber dann das Verschwinden dieser Matrix. ( 9 5 ' S — @ ist symmetrisch). z) Orthogonale Matrizen treten schon um 1770 bei E U L E R auf.

Der Orthogonalisierungsprozeß, Konstruktion usw.

87

2. Der Orthogonalisierungsprozeß, Konstruktion orthogonaler Matrizen

Gemäß (ö) und (6) können wir eine orthogonale Matrix durch drei normierte und paarweise aufeinander senkrechte Vektoren (orthonormierte Vektoren) aufbauen. Geht man etwa von zwei beliebigen linear unabhängigen Vektoren a und b, [a &] =|= o aus, so sollen dazu drei orthonormierte Vektoren §3 bestimmt werden. Wir setzen jetzt =

[a6]

a | ^ - | [a b] I • §2 definieren wir durch §a = [§3 ê^. Wegen = 2].

>)

Es ist d a n n = 0, und wegen [tj x I)2] =f= o gilt: c = or ti + ft [ k f)2]. Nun ersetzen wir die Abbildung (1) durch die folgenden: (!')

i = » S + /M[iii,],

(1")

E * = S + ct«.

Die Abbildung (1') besitzt jetzt eine Fixebene u n d ist, da 33 =# (£ ist, nach 4. II) eine Spiegelung an dieser Ebene 2 ). ') » = [[di Wie [iiit,]]]. !

) Diese Fixebene besitzt (vgl. (14)) den Stellungsvektor: .j? 1 ?'?, .

|[f)i W|

Bewegungen

9G

Wegen [f^ t)2]> = 0 stellt (1") eine Parallelverschiebung parallel zur Fixebene von (1') dar. Man hat also zur Ausführung der Abbildung (1) alle Punkte an der Fixebene von (1') zu spiegeln und dann parallel zu dieser Ebene gemäß (1"J zu verschieben. Eine solche Abbildung wird Gleitspiegelung genannt. d„) Rang ( « - < £ ) = 0. Kann im Fall | © | = — 1 nicht eintreten; denn aus 33 = © folgt | SB | = + 1. 7. Tabellarische tbersicht Für eine Abbildung E * = 33 j + c mit orthogonaler Matrix 33 : 23' S = Gr, d. h. für eine Bewegung, gilt die folgende Tabelle:

Rang ( » - < £ ) =

3

2

1

0

|»| = + 1

—

| Schrau-| bung ;

-

Parallelverschiebung

1) Rang (33+©) = 2 D.-ehspiegölung | |*| = - 1

! 2) Rang (33+©) = oj Punktspiegelung

; j —

G,eit_

1 spiegeJun S

-

\ i

Die vorstehende Tabelle gibt eine vollständige Übersicht über die verschiedenen Typen von Bewegungen, Bemerkung: Es sei noch darauf hingewiesen, daß die Bewegungen durch Einführung eines neuen Koordinatensystems auf leichter zu übersehende Formen gebracht werden können, indem man die ausgezeichneten Geraden oder Ebenen zu Koordinatenachsen oder Koordinatenebenen macht. Ist E = S8 s + io,

t = » l* + W,

33 S8' = ©

97

Tabellarische Übersicht

eine Koordinatentransformation, so wird aus der Darstellung E* = 93 £ + c der Bewegung im alten Koordinatensystem die folgende Darstellung im neuen Koordinatensystem

j* = 93' 95 SB i + lt mit u = Sß' (93 W + c — to). Wählt man jetzt 58 und tn zweckmäßig, etwa wie oben angegeben, so wird die Darstellung der Bewegung in diesem neuen Koordinatensystem unter Umständen eine einfachere Form erhalten, in welcher man die Bewegung leichter geometrisch interpretieren kann. Wir haben hier auf dieses naheliegende Verfahren verzichtet und mit Hilfe der Fixelemente die Bewegungen in allgemeiner Form klassifiziert. 8. Die Gruppe der Bewegungen

Zwei Bewegungen, hintereinander ausgeführt, ergeben wieder eine Bewegung: i*=93li+c1, J * * = 932 S * + C 2 und daher s

* * =

93

2

9 3

i

S

+ ( ®

2

c

1

+

C2).

Jetzt ist zu zeigen, daß 932 93x wieder orthogonal ist, wenn 93j und 932 diese Eigenschaft besitzen. Es gilt nach YI. 3. (M7):

Weiter ist

(932 930' = » i ' »2'33^ 931 = g, 932' 932 =

Daher (932 93j)' (932

9 3 0 =

» 2

=

® i '

=

Damit ist aber schon die Orthogonalität der Matrix 932 bewiesen. Zwei nacheinander ausgeführte Bewegungen lassen sich also durch eine einzige Bewegung ersetzen. Da die Bewegungen spezielle nichtsinguläre Affinitäten sind, und da die Abbildung j* = j eine Bewegung ist, so erfüllt auch die Gesamtheit aller Bewegungen die Gruppenaxiome. Diese Gruppe der Bewegungen ist 6-gliedrig und wird mit r V i bezeichnet; denn jede orthogonale Matrix hängt wegen der sechs Orthogonalitätsbedingungen für die Spalten einer solchen Matrix nur von 3 Werten ab, wozu noch die 3 Werte von der Parallelverschiebung kommen. Die F j , t ist 7 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

Bewegungen

98

eine echte Untergruppe der r v / . Auch die eigentlichen Bewegungen bilden eine echte Untergruppe der Gruppe aller Bewegungen. Die uneigentlichen Bewegungen bilden jedoch k e i n e Gruppe, da das Produkt zweier orthogonaler Matrizen mit negativer Determinante eine Matrix mit positiver Determinante ist. Analog wie in VII. 7. für die affine Geometrie, so läßt sich auch die Aufgabe der Bewegungsgeometrie (oder euklidischen Geometrie) durch die Auffindung und Untersuchung von Invarianten gegenüber der Gruppe der Bewegungen definieren. Zwei Figuren, die durch eine Bewegung auseinander hervorgehen, heißen k o n g r u e n t bzw. s y m m e t r i s c h oder spiegelbildlich. Da die F v j eine Untergruppe der F X i r ist, so sind alle affinen Invarianten auch Invarianten der Bewegungsgeometrie. Natürlich gilt nicht die Umkehrung dieses Satzes. So sind beispielsweise Längen und Winkel nur gegenüber Bewegungen invariant. IX. Ähnliche (äquiforme) Abbildungen 1. Definition der ähnliehen Abbildung Eine affine Abbildung (1)

S*

=

(£E+C

nennt man ähnliche oder äquiforme Abbildung, wenn es eine Zahl X > 0 gibt, so daß für jede Wahl der Punkte p,. (2)

\Pi-Pt\

erfüllt ist. Alle Strecken werden also bei einer solchen Abbildung im gleichen Verhältnis gedehnt oder gestaucht. Um den Bau der Abbildungsmatrix (£ kennenzulernen, zerlegen wir die Abbildung (1) in 1-)

e = A j und ( 1 - - )

S*

=

j(£j+c.

Dann gilt für die Abbildung (1~~) wegen (2) (3)

I Pi* -

I = I »i -

P2 ;.

Definition der ähnlichen Abbildung

99

Weil p l t p 2 und damit auch pj, p 2 beliebig gewählt sind, so muß die Abbildung (1~~) eine Bewegung s e i n . j (S ist daher eine orthogonale Matrix: 1 = ® m i t ® ' ® = S. Die Abbildung (1) stellt genau dann eine ähnliche Abbildung dar, wenn © = X ® ist, wobei ® eine orthogonale Matrix und X > 0 eine Zahl sein muß. 2. Einlache Eigenschaften der ähnlichen Abbildung Man überzeugt sich leicht, daß die Ähnlichkeiten eine Gruppe bilden. Auch hier bilden wieder die orientierungstreuen ähnlichen Abbildungen eine Untergruppe. Invariante Eigenschaften gegenüber der Gruppe der Ähnlichkeiten heißen ä q u i f o r m . Alle Winkel und das Verhältnis zweier beliebiger Strecken sind bei ähnlichen Abbildungen invariant. Ist t) ein Vektor und D* sein Bildvektor, so gilt nach (2) ] ö* | = X ] ö |. Desgleichen erhalten wir für einen Vektor tu 4= o: | tt>* | = X \ tt> |. Daher gilt l»*l M iw*i i » r Damit ist schon der zweite Teil des Satzes bewiesen. Nun bilden wir t>*' tu*. Nach (1) gilt jetzt t>* = X ® t>, tt>* = X ® tu. Daraus wird wegen der Orthogonalität von ® o*' ro* = X2 o' tt>. Ist schließlich noch t> 4= o, tu =|= o, so gilt »*'tt>* »'tu i »>* 11 » * r • Aus der geometrischen Bedeutung der vorstehenden Produkte liest man aber die Winkelinvarianz ab. 7*

100

Die Flächen 2. Ordnung X. Die Flächen 2. Ordnung 1. Definition der Ft

Unter einer Fläche 2. Ordnung, kurz Quadrik oder F,, genannt, wollen wir die Gesamtheit von Punkten verstehen, deren Ortsvektor £ (als Spalte geschrieben) einer Gleichung der Form (1) s' « S + 2 a' E + a co = 0 genügt. Dabei ist 31 eine symmetrische dreireihige quadratische Matrix (9t = 91'); a ist eine Spalte und am eine reelle Zahl: /an a12 «i3\ ia01\ IXA 9t = I a 12 a 22 a 2 3 l, a = ia 0 2 J, j = | xA. \ilj3 $33/ \ Ausgeschrieben lautet (1) (1-)

flu

Xi + l al2 xx x2 + ft22 x2 + i a13 xx xs + A a23 x2 x3 ~t~ 2 aoi x1 2 0,^2 x2 2 x3 ct00 = 0. Wir wollen jetzt die Flächen 2. Ordnung im Rahmen der e u k l i d i s c h e n G e o m e t r i e (vgl. V I I I . 8.) untersuchen. Als erstes stellt sich daher die Frage nach der Gestalt der Flächen 2. Ordnung. D a wir euklidische Geometrie treiben wollen, so sind zwei Quadriken genau dann gleich (im R a h m e n dieser Geometrie), wenn sie durch eine Bewegung ineinander überf ü h r t werden können. Es ist daher sehr naheliegend, die Gleichung (1) einer Bewegung zu unterwerfen und zu versuchen, diese Bewegung so einzurichten, daß die Gleichung der bewegten Quadrik eine einfachere F o r m erhält als die Ausgangsgleichung (1). Nachdem man so die Quadrikengleichung vereinfacht hat, wird es leichter möglich sein, die Quadriken geometrisch zu beschreiben und zu klassifizieren. Der letzte Schritt schließlich wird die Aufgabe sein, die einzelnen Quadriktypen hinsichtlich der Gruppe der Bewegungen durch I n v a r i a n t e n zu kennzeichnen. Die hier angedeuteten Schritte werden wir jetzt einzeln genau durchführen. Bemerkung: Die Bewegungen, von denen eben die Rede war, können wir natürlich gemäß VIII.8. auch als Koordinatentransformationen ansprechen. Statt die Quadrik einer Bewegung zu unter1 ; Alle auftretenden Zählen, Vektoren und Matrizen werden, wenn nichts anderes gesag t ist, stets als reell vorausgesetzt.

101

Definition der F.

werfen, die diese in eine möglichst einfache Lage bezüglich des orthonormierten (festen) Koordinatensystems bringt, können wir ebensogut durch eine Koordinatentransformation ein neues orthonormiertes Koordinatensystem einführen, in welchem die Gleichung der (festen) Quadrik eine einfachere Form annimmt. 2. Klassifikation und Aufzählung der F2 Offenbar besitzt (1) dann eine einfache Gestalt, wenn die quadratische Matrix eine D i a g o n a l m a t r i x ist, d. h. wenn die Koeffizienten der gemischtquadratischen Glieder verschwinden. Daß sich dieses stets durch Ausführung einer Bewegung bzw. Koordinatentransformation erreichen läßt, bedarf einer genaueren Untersuchung, die wir auf später verschieben wollen (vgl. 10.). J e t z t nehmen wir also an, daß (1') schon die Form (2)

$11*

4

$

2 2

*

$33*

-J- 2 $02* ^2*

2 $03*

4"

2 $01*

^1*

4 $00* — 0

besitzt. E s sei etwa $ n * 4= 0. Dann führen wir die Parallel$ * Verschiebung x ¡ * =

—

aus, und wir erhalten aus (2) $n

eine Gleichung iß ä/g1^) in welcher das in x, lineare Glied fehlt. Ganz analog kann man für den Fall $ 2 2 * 4= 0 auch das in x2* lineare Glied zum Verschwinden bringen. Wir unterscheiden daher zunächst die drei Hauptfälle: I) $11* =1= o, $ 2 2 * 4 0, $,3* =(= 0. II) $ u * 4= 0, $ 2 2 * 4= 0, $33* = 0. III) an* 4= 0, $ 2 2 * = 0, «33* = 0. Durch Ausführung von Parallelverschiebungen (wie oben ausgeführt) erhalten wir die folgenden Unterteilungen der drei Hauptfälle, wobei wir der Einfachheit halber die Koordinaten mit Xu x2, x3 bezeichnen wollen und die Koeffizienten durch große Buchstaben angeben:

I«) Iß)

A xf + B z22 + G «32 + D = 0, D =|= 0. A xf + B xi + C x* = 0.

l ) U m eine gegebene Gleichung (2) in I), II) oder III) einzuordnen, hat man gegebenenfalls eine TJmbenennung vorzunehmen. Der Fall a n * = 0,a 2 a # = 0, a 3 3 * = 0 liefert keine quadratische Fläche.

102

Die Flächen 2. Ordnung

Im zweiten Hauptfall können wir (2) auf die F o r m bringen: (3)

- m) = 0. Es liegen daher mit jedem Punkt auch alle Punkte der Verbindungsgeraden dieses Punktes mit dem Doppelpunkt auf der Quadrik. Wenn | 211 4= 0 ist, so hat die Quadrik (18) nur einen Doppelpunkt und ist deshalb ein Kegel mit der Spitze m : Eine Mittelpunktsquadrik mit Doppelpunkt ist notwendig ein Kegel. Ist dagegen | 2t | = 0, so hat die Quadrik (18) im Fall Rang (2t) = 2 eine ganze Gerade, bestehend aus Doppelpunkten (Flächentypen © , ® ) ; für Rang (21) = 1 besitzt (18) eine ganze Ebene aus Doppelpunkten und ist daher eine Doppelebene

Die Hauptachsentransformation

115

7. Die Hauptachsentransformation In den nächsten Abschnitten wollen wir den Beweis des schon in 2. benutzten Ergebnisses erbringen, wonach durch Ausführung einer Bewegung (oder Wechsel des Koordinatensystems) (19) s = © S *, ©' S = {£ die Matrix der bewegten (transformierten) Quadrik (1) auf Diagonalgestalt gebracht werden kann. Aus (1) wird wegen (19) (1*) j * ' ©' 91 © j * + 2 a' S j * + «„o = 0Es muß jetzt die orthogonale Matrix © so bestimmt werden, daß die Matrix (20) 91* = ©' 21 S der bewegten Quadrik Diagonalform besitzt. (Offenbar ist auch 9t* wieder eine symmetrische Matrix.) Man spricht dann von einer Hauptachsengleichung der Quadrik, weil die Hauptachsenrichtungen der Quadrik parallel zu den Koordinatenachsen sind. (Vgl. © bis © ) . Wie lassen sich die Hauptachsen einer Quadrik bestimmen ? Denken wir beispielsweise daran, daß jede Hauptrichtung des Ellipsoids auf der konjugierten Diametralebene („Hauptebene") senkrecht steht! (Man beachte die Analogie zur Theorie der Kurven 2. Ordnung. Die Hauptachsen von Ellipse und Hyperbel sind solche konjugierten Durchmesser, die aufeinander senkrecht stehen.)

Die Flächen 2. Ordnung

116

Man kann dieser Überlegung auch eine andere Wendung geben. Eine Diametralebene einer Quadrik wird dann zur Symmetrieebene der Fläche, wenn die zur Diametralebene konjugierte Richtung auf dieser senkrecht steht. Macht man diese Symmetrieebene (oder „Hauptebene") z. B . zur xu x2Ebene eines neuen Koordinatensystems, so können in der transformierten Flächengleichung sicher nicht die Glieder «13 ®i «23 «03 auftreten, da sich wegen der Symmetrie die Flächengleichung nicht ändern darf, wenn man x3 durch — x 3 ersetzt. Soll nun u eine Hauptrichtung sein, so muß nach dem Gesagten u senkrecht sein zu der zu u konjugierten Diametralebene : j ' 91 u + a ' u = 0 ( j ist der laufende Punkt dieser Ebene). Da 21 u der Stellungsvektor der Diametralebene ist, so erhalten wir für die Hauptrichtung die Gleichung (21) 2t u = X u. Oder (21') (2t - X Aus diesem Widerspruch folgt ¡ i = ß . Damit ist aber gezeigt, daß fi eine r e e l l e Zahl ist.

120

Die Flächen 2. Ordnung

10. Durchführung der Hauptachsentransformation Wir beweisen zunächst: Für jede Quadrik (1) läßt sich durch Ausführung einer Drehung j = @ j* erreichen, daß die quadratische Matrix 9t* = ©' 9t @ der gedrehten Quadrik Diagonalgestalt besitzt. Die Matrix 9t besitzt drei Eigenwerte ¡u lt // 2 , fi 3 . Es sei u x ein Eigenvektor von 91 zum Eigenwert /u v Da mit u x auch oi Uj Eigenvektor zum Eigenwert ¡xx von 91 ist, so dürfen wir h x als Einheitsvektor annehmen. Wir ergänzen jetzt u x durch Hinzufügen von zwei Einheitsvektoren zu einem orthonormierten Dreibein (vgl. VIII. 2.) u l 5 b l5 b2, das in dieser Reihenfolge rechtsorientiert sei. Es ist dann die Matrix (o' b) = b (ro' b). Unter Beachtung von D =|= O gilt also \v =- q O. Damit ist (41)

91 = q b b'.

Ferner ist noch ("42)

Sp 21 = q b' b.

Wir unterscheiden jetzt wie unter II) die beiden Fälle IIIi= h 1 u, 9i W2 — 2 = hz u. Die erste dieser Gleichungen wird von links mit to2' multipliziert. Die zweite Gleichung wird transponiert und von rechts mit rt>i multipliziert. Beachtet man noch die Beziehungen u' = 0, u' it>2 = 0, so folgt nach Subtraktion beider Gleichungen (02 — Ol) n>i = 0. Wegen u 1 =)= cr2 ist dann to2' Wi = 0, wie behauptet wurde. Genau wie in 9. folgt auch hier aus der Orthogonalität der lDj, to2 für ffi 4= cr2, daß die Wurzeln der quadratischen Gleichung (51) stets reell sind. fflt (j2 sind gerade die Eigenwerte der von der Ebene (47) aus der Quadrik (1) ausgeschnittenen Kurve 2. Ordnung. Das erkennt man etwa dadurch, daß man die Quadrik und die Ebene der Bewegung j = 3ft j unterwirft, wo 9i = {tt>! ra2u}

142

Die Flächen 2. Ordnung

eine orthogonale Matrix ist (u, hJx, it>2 sind hier natürlich normiert). Die Matrix 91 = SR' 91 SR der bewegten Quadrik erhält jetzt unter Beachtung von (52') und der Orthogonalität der Vektoren toj, tt>2, u die Form

Da der Vektor u bei dieser Bewegung j = SR £ auf den Vektor e3 =

abgebildet wird, so lautet die Ebenengleichung der

bewegten Ebene: und

x 3 + d = 0,

ai + ff2 ®22 + 2 Ci x! + 2 c2 x 2 + c3 = 0 ist die Gleichung des ausgeschnittenen Kegelschnittes. Daraus folgt unmittelbar die behauptete Eigenschaft der Größen a ^ (T2. Bemerkung 4: Durch Wahl der Vorzeichen von tt^ und to2 ist es stets möglich, es so einzurichten, daß die drei Vektoren tOj, tü2, U in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Bemerkung 5: Falls man den Einheitsvektor tt>x nach (52) bestimmt hat, so kann man tt>2 direkt angeben durch tt>2 = [U Wj]. Bemerkung 6: Wir sind hier auf den Fall der Doppelwurzel c l — a 2 für die quadratische Gleichung (51) nicht eingegangen. Ganz analog wie in 10. läßt sich dann zeigen, daß zum doppelten Eigenwert a t des ausgeschnittenen Kegelschnittes zwei linear unabhängige „Eigenvektoren dieses Kegelschnittes" gehören. Falls die Doppelwurzel a 1 kein Eigenwert der Matrix 91 ist, kann man sofort mit tDj = ß i (91 — berechnen, den die Ebenen der beiden reellen Kreisschnittscharen miteinander bilden: coso»

Vi

+

n

n — v3

Nach (60) folgt dann (61)

cosco

— 2

+ /u3

/íi — IH Es lassen sich jetzt alle Quadriken angeben, die zwei verschiedene Scharen von reellen Kreisen besitzen. Da alle Eigenwerte verschieden sein müssen, so sind bei der nachfolgenden Aufzählung die Drehquadriken grundsätzlich ausgeschlossen. Nach 2. sind es die folgenden Flächentypen (reelle): ©. ©, ©, ©, ® . Das hyperbolische Paraboloid © und der hyperbolische Zylinder ® sind nicht darunter, weil der mittlere Eigenwert dieser Flächen gleich Null ist. Auch der parabolische Zylinder fehlt, weil dieser den zweifachen Eigenwert Null besitzt. Bei den anderen nicht aufgeschriebenen Flächen handelt es sich entweder um nullteilige Quadriken oder um solche, die aus Ebenen bestehen, für die also (58') nicht erfüllt ist. 2. Fall: Die Quadrik (1) besitzt einen zweifachen Eigenwert /¿2 = fi 3 =|= 0. Es handelt sich also um Drehquadriken. In diesem Fall ist (58) sicher erfüllt, und es gibt, da Rang (2( — (?)

und

(l)'

(—i)-

') Harmonische Elemente treten schon bei APOLLONIUS von P E E G E auf. Chr. von STAUDT (1798—1867) hat die lehre von den harmonischen Gebilden zur Grundlage tieferliegender Untersuchungen gemacht.

175

Involutionen

Diese bilden ein harmonisches Quadrupel. Die beiden ersten Spalten werden von den beiden anderen harmonisch getrennt. Bemerkung 1: Es ist (31) DV (a, — a, 0, oo) = — 1. Denkt man sich speziell die projektive Skala t auf einer Geraden im euklidischen Raum so gewählt, daß sie die euklidische Entfernung vom Punkte t = 0 angibt (< = oo ist der Fernpunkt der Geraden), so besagt (31), daß der Mittelpunkt einer Strecke durch ihre Endpunkte von ihrem Fernpunkt harmonisch getrennt wird. 9. Involutionen1) Eine Projektivität eines einstufigen Gebildes Gx auf sich, die Bild- und Urbildelemente vertauscht, heißt Ivolution. Wenn also fö)

'n (^i)

über

§eht'

so

so11

auf

abgebildet

werden. (20) vermittelt also dann eine Involution, wenn bei zweimaliger Ausführung von (20) alle Elemente von Gx festbleiben. Daraus folgt aber für die Matrix der Projektivität (20):

Diese Bedingung ist, wie man leicht durch Ausmultiplizieren findet, dann erfüllt, wenn a b + d b = 0 und ac + de = 0 ist. (20) stellt also genau dann eine Involution dar, wenn a— — d ist. Damit erhält eine Involution die Form

töK-Ufcj-

Man erkennt, daß die Bedingung (32) für beliebige Zahlen a, b, c erfüllt ist. Wir wollen jetzt die Fixelemente der Abbildung (33) aufsuchen. Diese finden wir, da die ¡n h o m o g e n e Koordinaten sind, aus der Beziehung

^

MfcHfö)') Begriff und Fachwort stammen von D E S A R G U E S (um 1639).

176

Einführung in die Projektive Geometrie des Raumes

Damit dieses homogene Gleichungssystem in den ^ Lösungen besitzt, muß (25)

¡ r i a - 2 i = °

sein. Wir finden aus dieser in X quadratischen Gleichung a c -a\

(36)

Im Falle

< 0 gibt es also zwei reelle Werte für X und

nach (34) zwei reelle Fixelemente. Eine solche Involution heißt ^ 1 > 0, so besitzt die c —a Involution zwei konjugiert komplexe Fixelemente. In diesem Fall spricht man von einer elliptischen Involution. Für hyperbolisch.

Ist

a

dagegen

a i = 0 heißt die Involution parabolisch oder ausgeartet. Eine solche Involution besitzt nur einen Fixpunkt, der reell ist.

Wir zeigen jetzt: Bei einer hyperbolischen Involution bilden die Fixelemente mit jedem, Paar durch die Involution einander zugeordneter Elemente ein harmonisches Quadrupel. Beweis: Da die Involution hyperbolisch ist, so gibt es genau zwei reelle Fixelemente. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dieses seien die Elemente

und ^ j .

Die Involution hat dann die Form

Nun berechnen wir das Doppelverhältnis

(sMsl'bt

1 i"o Oft 0(10 li«l

Damit ist aber schon der Satz bewiesen.

1 0 0 -Po 1 Pi

i. - i«0 ' i"0

Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse

177

XII. Behandlung der Quadriken im Rahmen der Projektiven Geometrie 1. Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse Es sei 3t eine reelle, vierreihige, quadratische und symmetrische Matrix (91 = 91') mit RangtSl) > 0. Dann 'bezeichnet man die Gesamtheit der reellen Viererspalten j, die der Gleichung (1) »'«8 = 0 genügen, als quadratisches Gebilde im P3. Deutet man die Spalten j als Punkte im P 3 , so nennt man die durch (1) dargestellte Fläche (als Punktort) eine Fläche 2. Ordnung oder F2. Stellen dagegen die Spalten 5 Ebenen im P3 dar, so heißt die durch (1) dargestellte Fläche (als Ebenenort), die von diesen Ebenen eingehüllt wird, Fläche 2. Klasse oder F 2 . Hierzu vergleiche man auch die Bemerkung 3 in X I . 2. Bemerkung 1: In X.l. (1) war die Gleichung einer Quadrik in kartesischen Koordinaten gegeben. Führt man darin gemäß XI.l. (1) homogene Koordinaten ein, so erhalten wir die genannte Gleichung sofort in der Form (1). Die vierreihige Matrix lautet dabei (a°° 9t) '

wenn

a

> aoo

in der Quadrikengleichung X.l. (1)

vorkommenden Größen sind. Ferner ist — A (vgl. X.13.) gerade die Determinante dieser vierreihigen Matrix. 2. Das singuläre Gebilde einer F2 bzw. F2; der Bang Diejenigen Spalten j, die der homogenen Gleichung (-2) 9t S = 0 (0 ist die Nullspalte) genügen, bilden das singuläre Gelilde, welches zum quadratischen Gebilde (1) gehört. Als Lösung einer homogenen Gleichung (2) ist das singuläre Gebilde zu (1) stets ein lineares Gebilde. Ist Rang (91) = r, so besitzt (2) 4 — r linear unabhängige Lösungsvektoren. In der Bezeichnungsweise von X I . 6. besitzt (1) in diesem Fall als singuläres Gebilde ein (3 — r ) - stufiges lineares Gebilde. Im Fall Rang (9t) = r = 4 besitzt (2) keine Lösung außer der Null12 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

178

Behandlung d. Quadriken i. Rahmen d. Projektiven Geometrie

spalte. D a diese n a c h X I . 1. keine geometrische B e d e u t u n g besitzt, so gehört in diesem Fall z u m q u a d r a t i s c h e n Gebilde (1) kein singuläres Gebilde. Multipliziert m a n (2) von links m i t 3', so erhält m a n 3' 21 3 = 0. D a s singuläre Gebilde g e h ö r t d e m n a c h ganz z u m quadratischen Gebilde (1). I n s g e s a m t k ö n n e n wir s a g e n : Das singulare Gebilde, welches zum quadratischen Gebilde 3' 91 3 = 0 gehört, findet man als Lösung der homogenen Gleichung 9t 3 = 0 und ist daher ein (3 — R a n g (%))-stufiges lineares Gebilde. Im Falle R a n g (91) = 4 besitzt das quadratische Gebilde Icein singulares Gebilde. Mit Hilfe des R a n g e s der M a t r i x 9t lassen sich also die verschiedenen T y p e n der q u a d r a t i s c h e n Gebilde hinsichtlich ihrer singulären Gebilde klassifizieren. D a m i t h a b e n wir gleichzeitig die geometrische B e d e u t u n g v o n R a n g (91) e r m i t t e l t . W i r wollen uns j e t z t noch v o n der I n v a r i a n z des Ranges bei projektiven Abbildungen ü b e r z e u g e n ; denn allein diese I n varianzeigenschaft r e c h t f e r t i g t unser Vorgehen, den Rang' geometrisch zu interpretieren. W i r u n t e r w e r f e n (1) der p r o j e k t i v e n A b b i l d u n g (vgl. X I . 3.)

(3) (1*) 3*' 91* 3* = 0 m i t (4) 91* = S ' 91 S . D a S nicht singular ist (| £ ] 4= 0), so folgt aus (4), wie wir in X . 12. (vgl. auch die zugehörige B e m e r k u n g ) bewiesen h a b e n : R a n g (91) = R a n g (91*). Bei projektiven Abbildungen des quadratischen ist der R a n g (91) eine Invariante.

Gebildes

(1)

Die Gleichung f ü r das singuläre Gebilde des q u a d r a t i s c h e n Gebildes (1*) l a u t e t : 91* 3* = 0. D. h. nach (4) &' 91 S 3* = 0. N a c h Linksmultiplikation m i t ß ' _ 1 folgt d a r a u s (2*) 91 ß 3* = 0.

Das singulare Gebilde einer Ft bzw. F2; der Rang

179

Unter Beachtung von (3) lesen wir daraus ab: Bei der -projektiven Abbildung (3) wird das singulare Gebilde des quadratischen Gebildes (1) durch diese Abbildung abgebildet auf das singuläre Gebilde, welches zum quadratischen Gebilde (1*) gehört. In der nachstehenden Tabelle geben wir für die F., und F2 die zugehörigen singulären Gebilde an. Die beiden Zeilen der Tabelle sind natürlich zueinander dual. Rang(8) = Singulares Gebilde der F2 : i>'9l*> = 0

4

-

3

2

1

Ebene als Gerade als ein Punkt Träger einer Träger eines PunktePunktreihe bündels

Gerade als Punkt als Singulares Träger eines Träger eines Gebilde eine Ebene EbenenEbenender F2: büschels bündels u'Stu = 0 Bemerkung 1: Eine Fz bzw. F2, die kein singuläies Gebilde besitzt, heißt nicht singulär. Bemerkung 2: In X. hatten wir die singulären Punkte Doppelpunkte genannt. 3. Tangente, Berührungsebene, Berührungspunkt Wir wollen jetzt diejenigen Spalten bestimmen, die sowohl dem quadratischen Gebilde (1) ¿' 9t j = 0, als auch dem linearen einstufigen Gebilde (ö) b = ^ io + h h angehören. Das führt auf die Gleichung V So' 9t ä„ + A, {äo' * h + hl 21 äo} + V dl' 21 h = o. Als quadratische Matrix, aus einem Element bestehend, ist So' 91 äi symmetrisch: j 0 ' 9t äi = (io äi)' = äi' 2t äoDaher gilt (6) V ä o ' 2 l ä o + 2 A 0 A l ä 0 ' 9 I ä 1 + V ä l ' 9 1 ä l = 0. Man nennt die symmetrische Bilinearform 9t äi die Polarform zu der quadratischen Form j' 91 j. 12*

180 Behandlung d. Quadriken i. Rahmen d. Projektiven Geometrie Da (6) eine quadratische Gleichung zur Bestimmung von Ä0: I i darstellt, so können wir die folgenden Fälle unterscheiden, wobei wir die Diskriminante der Gleichung (6) mit T) (äo> 3i) bezeichnen wollen: (TiTU*

, \_

1

äo'

äo äo' 9t äi I = (äo' 9t So) fei' 3t fc) -

a) Gilt ä„' 9t ä0 = 0, « fa = 0 und 8 l ' 9t ä l = 0, so ist (6) für alle A„, X1 erfüllt, und alle Spalten des linearen Gebildes (5) gehören dem quadratischen Gebilde an. In diesem Fall nennt man die Trägergerade des linearen einstufigen Gebildes (5) eine Erzeugende des quadratischen Gebildes (1). b) Ist D (ä 0) 5i) 4= 0) s o gibt es zwei verschiedene Spalten, die dem linearen Gebilde (5) und dem quadratischen Gebilde (1) angehören. Für D (ä0, < 0 sind diese Spalten reell und im Fall D ( jo> 8i) > 0 konjugiert komplex. c) Für D (ä„, = 0 fallen, wenn nicht der Fall a) vorliegt, die beiden gemeinsamen Spalten von (1) und (5) zusammen. In diesem Fall nennt man die Trägergeraden des linearen einstufigen Gebildes (5) Tangente des quadratischen Gebildes. Es sei jetzt § eine feste Spalte, die dem quadratischen Gebilde (1) nicht angehört. Wir fragen nach allen Spalten 3, für die die Trägergerade des linearen einstufigen Gebildes (8) nt+v* Tangente des quadratischen Gebildes (1) ist. Nach dem eben Gesagten ist das genau dann der Fall, wenn (9) ß(i,S) = 0 ist. Das ist eine Gleichung für 5, die wir in der Form (9') g'»j = 0 schreiben können mit der vierreihigen quadratischen und symmetrischen Matrix 33 = {(§' 9t §) 9t - 9t § 9t}. Gehört jetzt 3 dem quadratischen Gebilde (1) an, d. h. ist 9t 3 = 0, so erhält (9') die Form (9") g' St 8 = 0.

Tangente, Berührungsebene, Berührungspunkt

181

In diesem Fall hat das einstufige Gebilde (8) mit dem quadratischen Gebilde (1) nur die Spalte § gemeinsam (Berührungsspalte). Wenn § nicht dem singulären Gebilde von (1) angehört, d. h. wenn 2( s #= o ist, stellt (9") eine lineare Gleichung bei variablem j dar. Wir wollen jetzt die 3, j0, § als Punkte des P3 deuten, d. h. (1) als Gleichung einerF 2 und (5), (8) als Geraden (besser: Punktreihen oder Punktbüschel). Aus (6) finden sich dann die projektiven Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Punktreihe (5) und der F2. (9) bzw. (9') stellt die Fläche dar, die aus allen Tangenten der F2 gebildet wird, die durch den Punkt 5 gehen; d. h. es handelt sich um den Tangentenkegel von § an die F2. Wie (9') zeigt, ist dieser Kegel mit der Spitze 3 ebenfalls von 2. Ordnung. Selbstverständlich braucht dieser Kegel nicht reell zu sein. Soll der Punkt 3 der F2 angehören, jedoch nicht dem singulären Gebilde, so entartet der Kegel (9') in eine Doppelebene mit der Gleichung (9"). Bemerkung 1: (9") muß bei 8' 91S = 0 nach (7) genau heißen ii' 91 §)2 = 0 ; d. h. der Kegel entartet in eine Doppelebene. In der Ebene (9") mit der Spalte 91 3 liegen also genau alle Tangenten der F2, die mit dieser Fläche den Punkt § gemeinsam haben. 91 3 ist daher die Spalte der Tangential- oder Berührungsebene und § der zugehörige Berührungspunkt. Gehört 8 dem singulären Gebilde der F2 an, so ist (9") wegen 9t § = o für alle ä erfüllt. In einem Punkt des singulären Gebildes sind also alle Geraden Tangenten an die F2, die durch diesen Punkt gehen. Wir geben jetzt noch die duale Interpretation zur vorstehenden. Dazu haben wir j, § als Ebenen, (1) als Gleichung einer F2, sowie (5) und (8) als Ebenenbüschel aufzufassen. Die Gleichung (6) liefert dann die projektiven Koordinaten der gemeinsamen Ebenen des Büschels (5) und der F2. (9) bzw. (9') stellt die Gesamtheit aller Tangenten der F2 dar, die der Ebene § angehören. Da (9*) quadratisch in den Komponenten von j ist, so liefern diese Tangenten in der Ebene § eine Kurve 2. Klasse.

182

Behandlung d. Quadriken i. Rahmen d. Projektiven Geometrie

Bemerkung 2: In (9') sehen wir zum ersten Mal, daß eine Gleichung zweiten Grades in Ebenenkoordinaten des P 3 einen Kegelschnitt darstellen kann, wenn sie durch genau die Spalten der Ebenen erfüllt wird, die die Tangenten des Kegelschnittes enthalten.

Soll die Ebene § der F2 angehören, so entartet die Kurve 2. Klasse in der Ebene § zu einem Doppelpunkt (vgl. Bemerkung 1). Dieser hat die Gleichung (9") und 9t § ist seine Spaltendarstellung. Man nennt daher 91 § den Berührungspunkt, und § ist die zugehörige Tangential- oder Berührungsebene. Gehört die Ebene § dem singulären Gebilde der Fl an, so ist wegen 9t £ = o die Gleichung (9") für alle Ebenen j erfüllt, und jede Gerade, die der Ebene § angehört, ist Tangente der F2. 4. Konjugierte Elemente in bezug aul ein quadratisches Gebilde

Es seien g0 und ^ zwei linear unabhängige Spalten eines linearen Gebildes 1. Stufe, das wir so darstellen können: (5) i = ¿o io + h äiSo und ix sollen nicht dem quadratischen Gebilde (1) j' 9t g = 0 angehören. Aus der Gleichung (6) ergeben sich die projektiven Koordinaten derjenigen Spalten von (5), die dem quadratischen Gebilde (1) angehören. Diese beiden Spalten rufen auf dem linearen Gebilde (5) eine Involution hervor, deren Fixelemente gerade diese beiden Spalten sind: (10)

\ X j - \ äo'atao h ) UJOffenbar ist nach dem Gesagten diese Involution genau dann parabolisch, wenn die Trägergerade von (5) Tangente des quadratischen Gebildes (1) ist. (Vgl. auch 3. (7) und die folgende Fallunterscheidung.) Man nennt jetzt zwei Spalten von (5), die durch die Involution (10) einander zugeordnet sind, konjugiert bezüglich des quadratischen Gebildes (1). Nun besitzt j0 auf (5) die Spalte | Q | , und

läßt sich durch

darstellen. Aus (10)

erkennt man nun durch Einsetzen dieser Spaltendarstellungen, daß ä„ und ii genau dann konjugiert bezüglich (1) sind, wenn (11) äo' 9t äi = 0 ist.

Konjugierte Elemente in bezug auf ein quadrat. Gebilde

183

Halten wir ä0 fest und lassen ^ variieren, so daß (11) erfüllt ist, dann erhalten wir alle zu j0 konjugierten Spalten, die ein lineares Gebilde 2. Stufe bilden, wenn 91 =(= o ist, d. h. wenn So nicht dem singulären Gebilde von (1) angehört. Zusammenfassend stellen wir fest: (F., Jede reelle Gerade des P3, die nicht Erzeugende der j' 91 j = 0 ist, trägt in bezug auf diese eine aus konjugierten (Punkten , , , , , ,. , „. ¡punkte ,. , I Ebenen 9e"lldeie Involution, deren Fix- \^enen die von der der {^2 sind. Der geometrische Ort

Geraden getragenen {jg^^ „

(einem Punkt \einer Ebern

,

.

. .

(Punkte . , (eine Ebene \Ehenm ™ t ein Punkt

mn

¡¿er Gleichung ä „ ' 9 t j = 0. Dabei soll

(F angehören. nicht dem singulären Gebilde der Ipl Aus den vorangegangenen Betrachtungen folgt unmittelbar: Der Punkt ,.. , , , (F« (die 7.. . Die Ebene gehori 9emu dann der \F2 an' wmn {der zu'9ehon(Je (Polarebene Tangentialebene , (F2 . . [Pol Berührungspunkt(ter (F2 Da sich zwei konjugierte Spalten von (5) bezüglich (1) durch die Involution (10) entsprechen, so können wir unter Benutzung des Ergebnisses von X I . 9. die zu j0 bezüglich (1) konjugierten Spalten folgendermaßen kennzeichnen: Legt man durch die Spalte ä„ ein lineares Gebilde erster Stufe (5), so ist die vierte harmonische Spalte zu j„ und den beiden gemeinsamen Spalten des linearen Gebildes (5) und des quadratischen Gebildes (1) gerade die zu j0 konjugierte Spalte. Bemerkung 1: Legt man durch j0 alle möglichen linearen Gebilde 1. Stufe, so ist der geometrische Ort der vierten harmonischen Spalten zu j0 und den beiden gemeinsamen Spalten jedes linearen Grebildes durch j0 mit dem quadratischen Gebilde (1) gerade das lineare Gebilde (11).

184

Behandlung d. Quadrikeni. Rahmen d. Projektiven Geometrie

5. Pol und Polarebene Es sei jetzt die F 2 vorgelegt: (12) p' 9t p = 0. Zum P u n k t je des P3 gehört dann die Polarebene (13)

S'9tp

= 0

bezüglich der F2 (1'2). (13) ist nur dann eine Ebenengleichung, wenn St j 4= o ist, d. h. wenn j nicht dem singulären Gebilde von (12) angehört. (13') u = 9t S ist die Spaltendarstellung der Polarebene (13). Setzen wir jetzt voraus, daß die Quadrik (12) kein singulares Gebilde besitzt, d. h. daß | 9t | =f= 0 ist. Man kann dann (13') als (nicht singuläre) Korrelation ansprechen. Diese ordnet jedem P u n k t j die Polarebene u zu. Jetzt wollen wir die Gleichung p' 9t p = 0 der Quadrik in Ebenenkoordinaten schreiben. Zu jedem P u n k t p der F2 gehört nach vorstehendem eine Tangentialebene ü = 9tp. Bemerkung 1: Diese Darstellung der Tangentialebene ergibt sich natürlich auch sofort auf Grund der allgemein gültigen Formel (5) aus XI.2.: H (p) = p' 9tp = 0, Hp = 2 9t p . Weiter gilt dann p = 9t-11>. Aus der Darstellung (12) der F, wird dann (12')

»' 9t" 1 ö = 0 oder b' %A b = 0.

Damit ist gezeigt: Jede F2 p' 9t p = 0 mit \ 9t | =j= 0 ist auch eine F2 mit der Gleichung b' 9t" 1 b = 0. Die Tangentialebenen derF2 p' 9t p = 0 sind die Ebenen der F2 b' 9t _ 1 b = 0, die Berührungspunkte der F2 b' 9t _ 1 b sind die Punkte der F2 p' 9t p = 0. Die Erzeugenden beider Flächen sind identisch.

Pol und Polarebene

185

Man erkennt jetzt weiter: u = 91 j ist die Polarebene von % bezüglich p' 21 p = 0 und E = 9l -1 u ist der Pol von u bezüglich o' 91"1 b = 0. Daraus folgt, daß u = 91 j eine involutorische Korrelation ist: Wenn j in u übergeht, so geht u in je über (vgl. dazu XI. 3. (8) und (8')). Diese Eigenschaft der Korrelationen ist wesentlich durch die Symmetrie der Matrix 91 bedingt. Eine Quadrik p' 9Í p = 0 oder ö' 9l _1 D = 0 ohne singulares Gebilde bewirkt also eine „Paarung" aller Punkte des P3 mit allen Ebenen des P 3 in dem Sinn, daß jeder Punkt Pol einer bestimmten Ebene und diese seine Polarebene ist. Man nennt zwei derartig zusammengehörige Elemente des P3 polar. Insgesamt sprechen wir auch von der Polarität zwischen Punkten und Ebenen des P3, welche von der Quadrik als ,, Kernfläche" erzeugt wird. Über die Lage von Pol und Polarebene zueinander erhält man an Hand folgender Überlegung leicht Auskunft: Wir legen durch den Punkt j alle Tangenten an die Quadrik p' 91 p == 0. Diese bilden, wie in 3. gezeigt wurde, einen Kegel mit der Gleichung p' » p = 0, wobei 8 = (s'Sls)«-8[ss'« ist. Wir suchen jetzt alle Berührungspunkte der Tangenten durch £ an die Quadrik; d. h. wir suchen diejenigen Punkte p, für die sowohl p' 33 p = 0 als auch p' 91 p = 0 gilt. Für diese Punkte muß dann p' 91 £ e' 91 p = 0, d.h. p' 91 £ = 0 sein. Es liegen demnach alle Berührungspunkte der Tangenten durch % an die Quadrik p ' 91 p = 0 in der Polarebene zu j .

Eine andere Möglichkeit, sich die gegenseitige Lage von Pol und Polarebene zu veranschaulichen, liefert die Bemerkung 1 aus 4. Hiernach können wir sagen: Zieht man vom festen Punkt % aus alle möglichen Sekanten zur Quadrik p ' 9t p = 0, so ist der geometrische Ort der vierten

186 Behandlung d. Quadriken i. Rahmen d. Projektiven Geometrie harmonischen Punkte zu j und den beiden Schnittpunkten •jeder Sekante mit der Quadrik die Polarebene j ' 91 p == 0 zu j. Bemerkung 2: Man vergleiche die 1. Bemerkung von XI.8. und dazu den Abschnitt X.5. über die Diametralebenen. 6. Reziproke Polaren Zu den Punkten der Punktreihe (14) S = ^oio + ^iSi wollen wir die Polarebenen bezüglich der Quadrik (12) aufsuchen. u = 91 j ist die Spaltendarstellung der Polarebene zu j. Aus (14) folgt daher (14') u = A„ u0 + lix mit u0 = 9t j„, = 91 jj. Dies ist die Darstellung des von den Polarebenen dei Punkte j der Punktreihe (14) gebildeten Ebenenbüschels. Umgekehrt hat jeder Pol einer Ebene des Büschels (14') in bezug auf die Quadrik ö' 91"1 b = 0 nach 5. die Darstellung (14). Man bezeichnet die beiden Trägergeraden der Büschel (14) und (14') als reziproke Polaren an die F2 p' 9t p = 0 oder an die 1 ö ' 9 i - t ) = 0. Unser Ergebnis läßt sich so aussprechen: Bewegt sich ein Punkt x. auf einer Geraden, so dreht sich seine Polarebene u in bezug auf eine F2 oder F2 um eine zweite Gerade und umgekehrt. Diese beiden Geraden sind reziproke Polaren. Eine andere Formulierung ist die folgende: Der geraden Punktreihe (14) ist ein Ebenenbüschel (14') projektiv zugeordnet, dessen Trägergeraden die reziproke Polare des Trägers der Punktreihe ist. Bemerkung 1: Schneidet eine Gerade die Quadrik, so ist ihre reziproke Polare die Schnittgerade der beiden Tangentialebenen in den Schnittpunkten. lassen sich andererseits Tangentialebenen an die Quadrik durch eine Gerade legen, so ist die reziproke Polare die Verbindungsgerade der Berührungspunkte. Bemerkung 2: Im allgemeinen sind zwei reziproke Polaren und ct2 windschief. Wenn sie sich im Punkte j 0 schneiden, so geht die Polarebene von j 0 — als Punkt von gj betrachtet — durch g2. Da

Reziproke Polaren

187

E0 auch Punkt von g2 ist, so liegt jr0 in seiner Polarebene. Das kann aber nur dann eintreten (vgl. 4.), wenn j 0 zur Quadrik gehört und die Polarebene Tangentialebene ist. Zwei reziproke Polaren schneiden sich folglich nur dann, wenn sie Tangenten in demselben Punkt der Quadrik sind.

Bemerkung 3: Wann fallen zwei reziproke Polaren zusammen? Die Trägergeraden von (14) und (14') fallen offenbar dann zusammen, wenn jede Ebene des Büschels (14') die Punktreihe (14) enthält, d. h. wenn für alle A0, gilt u' j = 0. Wegen u = 1 p ist das genau dann der Fall, wenn alle Punkte j der Quadrik p' 31 p = 0 oder alle Ebenen u der F 2 ti' a = 0 angehören. Damit gilt: Fällt eine Oerade mit ihrer reziproken sie auf der Quadrik.

Polaren zusammen,

so liegt

7. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STAUDT1) Wir betrachten eine Korrelation im P3: (15) u = 58 s und wollen diejenigen Punkte j aufsuchen, die mit ihren Bildebenen, welche ihnen nach (15) zugeordnet sind, vereinigt liegen. Für diese Punkte je gilt: U'E =

0,

woraus nach (15) sofort folgt (16)

i ' 33 E =

0.

Wir schreiben jetzt noch 58 als Summe einer symmetrischen und einer schiefen Matrix: ® = y

(» +

» ' ) + "2 ( » -

»')•

Für jede Spalte t gilt nun r' (33 — 58') r = 0. Es ist nämlich r' (53 — 93') t als einzeilige und einspaltige Matrix symmetrisch (r' (58 - 58') r)' = t' (58 - 58') t. Ausgerechnet ergibt das t ' (58' - 58) r = r' (58 - 58') r, d. h. es ist t ' (58 — ©') t = 0, wie oben behauptet wurde. ') K. G. Chr. y. STAUBT (1798-1867) gab eine von BUKLID völlig unabhängige Begründung der projektiven Geometrie. Seine „Geometrie der Lage" (Nürnberg 1847) enthält weder Figuren noch Rechnungen.

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Behandlung d. Quadrikcn i. Rahmen d. Projektiven Geometrie

Hiernach können wir (16) mit Hilfe der symmetrischen Matrix 8 + 8 ' in der Form (17)

E

'(» +

8')S =

°

schreiben. Damit haben wir aber bereits die von S T A U D T angegebene projektive Erzeugung einer F2 gewonnen, wonach die Punkte j , die bei einer Korrelation mit ihren Bildebenen vereinigt liegen, eine Quadrik bilden. Mit der Korrelation (15) kann man natürlich auch e i n e F 2 verbinden. Dazu wird (15) von links mit SM multipliziert: (15') 1 8 11 = SS-* u. Wir suchen jetzt diejenigen Ebenen auf, die mit ihren Bildpunkten { vereinigt liegen. Man erhält für diese Ebenen die Gleichung u' 8 ^ u = 0. Genau wie oben wird auch hier wieder SM in einen symmetrischen und schiefen Bestandteil zerlegt. Der schiefe Anteil liefert wieder keinen Beitrag zur vorstehenden Gleichung, die daher die Form (17') u' (»-< + 8 ' ^ ) u = 0 erhält. Der Ort der gesuchten Ebenen ist demnach iinc F2. Insgesamt ist damit bewiesen: Bei einer Korrelation u = 8 e liegen diejenigen Urbildpunkte j , die mit ihren Bildebenen u vereinigt liegen, auf einer F2: l ' ( 8 + 8 ' ) j = 0. Die Ebenen u, die mit ihren Bildpunkten j vereinigt liegen, bilden eine F2: u' ( 8 ^ + 9ß'A) u = 0. Bemerkung 1: Nur im Fall einer involutorischen Korrelation 8 = ± 8 ' fallen beide Quadriken zusammen. Vgl. XI.3. (8) und (3'). Bemerkung 2: Im Falle einer involutorischen Korrelation vt = 8jr, wobei 8 = — 8 ' ist, erhält man keine Quadrik; denn alle Punkte bzw. Ebenen des P3 erfüllen die Gleichung (17) bzw. (17'). Bemerkung 3: Es lassen sich leicht alle involutorischen Ko relationen kennzeichnen: Die Korrelation u = SB j , | 38 1 4= 0 ist genau dann involutorisch (d. h. ergibt, zweimal angewendet, die Ruhalbildung), wenn SS' = ± SB ist. Durch u = 38 j ist nämlich jedem Punkt j eine Ebene u zugeordnet. Nach XI.3. wird diese Ebene u

Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STAUDT

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durch t) = SB' -1 u in einen Punkt t) abgebildet. Genau dann, wenn E und t) denselben Punkt darstellen, d. h. wenn t) = q j ist, dann ist die Korrelation involutorisch. Daraus folgt Q @ = SS' - 1 SB oder o 233' = 38. Durch Transponieren erhält man auch o SB = 28' und damit Q2 = 1, Q = ± 1. Damit ist die Behauptung bewiesen. Im Falle 28 = + 28' nennt man die involutorische Korrelation Polarität; und im Fall 28 = — SB' spricht man von einem Nullsystem. 8. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STEINER1) E s seien zwei Ebenenbüschel (18) u = < r „ u 0 + ffiUi und (19) ü = fr b0 + fr vorgelegt, die durch

projektiv Mit

aufeinander

abgebildet

sind.

Nun gilt

weiter:

u = fr (a u 0 + c Ui) + fr (b u„ + d u x ).

ra0 = a u0 + c u l5 töx = b u 0 + d Uj, erhält man daher (18') u = /t 0 l»0 + /ii K>1. Die beiden Ebenenbüschel (18') u = fr ro„ + fr und (19) ö = ,«„ »„ + ^ ^ sind jetzt durch g l e i c h e Werte der projektiven Koordinaten aufeinander projektiv bezogen. Wir suchen nun die Punkte y, der Schnittgeraden auf, in welcher sieh einander entsprechende Ebenen der beiden Büschel (18') und (19) schneiden. Für diese Punkte j muß gelten: j ' u = 0 und j ' ö = 0, d. h. (21) und daraus

Ho s' Wo + Hi Ho i »o + Hl e' (s' w„) ( j ' öj) -

K>1 = =

0, 0

( s ' »„) 0 ¡ < ) j = 0

schreiben. Natürlich gibt auch hier wieder der schiefe Teil der Matrix to0 o/ — ü0 to/ keinen Beitrag zur vorstehenden Gleichung. Mit Hilfe der symmetrischen Matrix (23)

91 = m0 b/ + öj tt>0' — b0 m/ — % b0'

können wir die Gleichung (22) in der Form (24)

j ' 9t j = 0, 91 = 9t'

schreiben, wodurch bereits die von S T E I N E R angegebene projektive Erzeugung der Quadriken gewonnen ist: (Schneidet [Verbindet

.

man

emander

. , . , projektiv aufeinander

,

. , , entsprechende

(Ebenen \PunUe zweier

, (Ebenenbüschel bezogener [p^^reihen '

so

erzeu9er'

iF diese Geraden eine \pl. Man bezeichnet eine solche Geradenschar als Regulus

(vgl. IV. 11.) oder Regelschar 2. Ordnung.

Bemerkung 1: In IV. 11. haben wir bereits eine spezielle Fläche zweiter Ordnung im Rahmen der euklidischen Geometrie nach der S T E I N E R s c h e n Methode erzeugt. Bemerkung 2: Gibt es eine Ebene, die beiden Büscheln angehört und sich selbst bei der Projektivität beider Büschel entspricht, so zerfällt die Quadrik (23) in ein Ebenenpaar. Zum Beweis nehmen wir etwa an, daß die Ebene b0 beiden Büscheln angehört. Im Büschel (19) besitzt sie die Spaltendarstellung

Soll b0 im Büschel (18')

sich selbst zugeordnet sein, so muß sie in diesem Büschel ebenfalls die Spaltendarstellung

j besitzen. Daraus folgt aber ti„ = 5 tu0

mit Q =# 0. Daher erhält (22) die Gestalt: d. h.

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