Analytische Berechnung elektrischer Leitungen 9783486728347, 9783486728330

Citation preview

Analytische Berechnung

elektrischer Leitungen. Von Willy Hentze, Ingenieur.

Mit

J7 in den

Berlin. •Julius S p r i n g e r .

Text

gedruckten

1898.

Figuren.

München. R. O l d e n b o u r g .

Alle Rechte, insbesondere das der Uebersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.

Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

Vorwort Das Leitungsnetz ist einer der wichtigsten Bestandteile einer elektrischen Anlage, und machen sich Fehler, sowie rechnerische Ungenauigkeiten technisch und finanziell mitunter recht unangenehm fühlbar. Unsere technische Literatur besitzt schon verschiedene vorzügliche Bücher, die sich speciell mit der Berechnung von elektrischen Leitungen, theils graphisch, theils mathematisch befassen. Jedoch sind fast alle diese Werke entweder zu theoretisch oder zu weitläufig, um dem praktisch thätigen Ingenieur von reellem Vortheil zu sein. Vorliegendes Werkchen entstand nun in der Absicht, die zur theoretischen Berechnung von Leitungen und Leitungsnetzen erforderlichen analytischen Formeln und Erfahrungswerthe kurz zusammenzufassen, und habe ich mich bemüht, weiteren Kreisen eine Stromvertheilungsmethode vorzuführen, die sich durch besondere Schnelligkeit und Sicherheit der Eechnungen auszeichnet. Da das Werk speciell für Ingenieure und Studierende geschrieben ist, habe ich mich auch nur mit der Berechnung von Leitungen befasst und von den allgemeinen elektrischen Vorkenntnissen ganz abgesehen. B e r l i n , Januar 1898.

Willy Hentze.

Inlialtsverz eichniss. Seito . . III

Vorwort I. Gleichstrom

I

1. Konsumschätzung 2. Art dos zu wählenden Stromes

1 • . .

3. Berechnung der Einzelleitungen 4. Berechnung zusammengesetzter Leitungen

2 2

. . . .

10

5. Berechnung zusammengesetzter Leitungen mit mehreren Speisepunkten

14

II. Erwärmung und Feuersicherheit der Leitungen

3ti

I I I . Der Spannungsabfall in Knotenpunkten

47

IV. "Wechselströme 1. Einiges über die Schaltung der Generatoren

54 . . .

2. Mehrphasenleitungen ohne Abzweigungen 3. Selbstinduktion und Spannungsverlust V. Das Kupfervolumen bei Gleichstrom und Wechselströmen V I . Kraftübertragungen

54 57 66 75 77

I. Gleichstrom. 1. Konsumschätzung. Zu den Vorarbeiten für die eigentliche Berechnung gehört das Konsumschätzen. Auf möglichst grossen Plänen ist der an dem betreffenden Ort geschätzte Konsum in Lampen à 16 N. K. oder Ampère einzutragen. Ist eine Anlage nur als Kraftanlage für den Betrieb von Motoren bestimmt, so empfiehlt es sich, den geschätzten oder angemeldeten Konsum in P. S. zu notiren, um ihn dann im Bureau erst in Ampère oder Watt umzuwandeln. Vor allem ist aber darauf zu achten, dass auch sämmtliche Konsumzahlen an die Stelle gesetzt werden, wo sie sich später thatsächlich befinden, schon kleine Abweichungen können das Netz unnöthig vertheuern, oder was noch viel schlimmer ist, es zu schwach ausfallen lassen. Bei gemischtem Konsum empfiehlt es sich, die geschätzten Glühlampen, Bogenlampen, Motoren oder sonstige Apparate, mit besonderen Zeichen als solche versehen, auf dem Plan aufzutragen, um sie später sorgfältig in ein Aequivalent von Glühlampen oder Ampère umrechnen zu können. Die Konsumschätzung ist reichlich vorzunehmen, und sind Bauplätze, sowie im Abbruch befindliche Häuser und Baustellen mit einzurechnen. Den Gang einer Konsumschätzung zu schildern, würde uns zu weit führen, und muss es lediglich der Uebung und der Erfahrung des betreffenden Ingenieurs überlassen werden, möglichst der Wirklichkeit entsprechende Resultate zu erzielen. Hentze. 1

2

I. Gleichstrom.

2. Art des zu wählenden Stromes. Wenn nicht direkt eine bestimmte Stromart vorgeschrieben ist, oder die Verhältnisse einen gewissen Strom bedingen, so müssen wir ein System anwenden, welches technisch und finanziell die grössten Vortheile bietet. Von den in der Praxis gebräuchlichsten Stromarten, als: Gleichstrom, einphasicher Wechselstrom, monocyklischer und Drehstrom hat jeder seine speciellen Vortheile. Die Wechselströme können ohne besondere Schwierigkeiten hochgespannt auf weite Entfernungen übertragen werden, jedoch bedürfen sie immer zur Erregung der Magnete einer besonderen Gleichstrommaschine, wodurch sich die Betriebskosten erfahrungsgemäss erhöhen. Der Gleichstrom besitzt von allen anderen Systemen den Vortheil, sich akkumuliren zu lassen, was für eine Anlage mitunter ausschlaggebend sein kann. Das Gleichstromdreileitersystem bedarf nur eines geringen Anlage- und Betriebskapitals gegenüber den Wechselstromsystemen, und bietet f ü r den Betrieb die grösste Sicherheit. In neuerer Zeit ist es unserer Glühlampentechnik gelungen, Lampen für Spannungen bis zu 250 Volt herzustellen, und sind Zweileiteranlagen, wie sie die Firma Siemens & Halske, sowie die Allgem. Elektricitäts-Gesellschaft verschiedentlich mit 220 Volt Spannung hergestellt haben, um 10—15 °/0 billiger als Dreileiteranlagen von derselben Spannung zwischen den Aussenleitern.

3. Berechnung der Einzelleitungen. Um zu der Querschnittsberechnung schreiten zu können, ist es vor allem erforderlich, die Stromvertheilung und den maximalen Spannungsverlust rechnerisch genau zu ermitteln. Dr. E. M ü l l e n d o r f f giebt uns in seinem „Beitrag zur analytischen Behandlung von Stromvertheilungsproblemen" *) eine Methode, nach der man sicher und schnell ein gegebenes Netz berechnen kann, und soll nachstehende Berechnung sich im Wesentlichen auf diese Methode stützen. *) Elektr. Zschr. 1894, Heft 5.

Berechnung der Einzelleitungen.

3

Die einfachste Berechnung einer Leitung ist die von einem Aequipotentialpunkte A (Speispunkte) nach einem Konsumpunkte B gehende (Fig. 1). Bezeichnen wir also beim A O

B

Fig. 1.

J

\

Zweileitersytem mit J= die Belastung in Amp., 1 = Länge e i n e s Leiters, q = Querschnitt eines Leiters in qmm, e = Spannungsverlust in Volt, E = die Spannung am Anfang der Leitung, k = die Leitungsfähigkeit des Kupfers = 57 so berechnet sich bei gegebenem Querschnitt der Spannungsabfall s zu J.2.1 1 k.q und bei gegebenem Spannungsabfall e der Querschnitt J.2.1 k.E Beispiel: Von einer Centrale A soll ein in einer Entfernung von 300 m arbeitender Motor, der maximal 30 Amp. braucht, mit elektrischer Energie versorgt werden, und beträgt der zulässige Spannungsabfall 2°/0 der Gesammtspannung, E = 220 Volt, also ~ 5 Volt. (Fig. 2.) J1

1-300

0

£ 1 J3Ü Fig. 2.

Hiernach berechnet sich der Querschnitt einer Leitung zu: J.2.1 k.e

~

30.2.300 57.5 1*

I. Gleichstrom.

4

Die Spannung in B ergiebt sich zu: Et = E — £ = 220 — 5 = 215 Volt, und der Wattverlust würde betragen: W= J. t = 30 . 5 = 150 Watt. Die Station müsste also zusammen f ü r den Punkt B liefern: E. J+ e . J= 6600 + 150 = 6750 Watt. Greifen an einer Leitung, die von einem Ende aus gespeist wird, n Kräfte in ln Entfernungen an, so berechnet sich die Lage des Schwerpunktes zu: 3

2 (J.l) l= ± 2(J) i In Fig. 3 wäre demnach der Querschnitt q d 9 i k

Ii l

l t _ £ _ _ _ h _ _ B { — — r ~ i ) 4 i 4 —M Fig. 3.

bei dem bekannten Spannungsabfall e { J )

- 2 A A ^ + Jt + J J - Z - l k.e k.e

4

wenn l die L ä n g e eines Leiters bezeichnet. Der Spannungsverlust e ist folglich bei bekanntem q 5

c

f

{J) 2J

- __(J1 k.q

Anders gestalten sich Werthe f ü r q und e, wenn Gesammtstrom J1 J2 4- J3 aber nur noch J,2 J3, und dann sagen

+ J, + J3).2A k.q unsere in 4 und 5 gefundenen wir uns auf der Strecke l, den fliessend denken. Auf l2 fliesst auf l3 nur noch Ja. Wir können

Berechnung der Einzelleitungen. [(Jt +

J,

+

[(J, +

Jt

+ J3) •

Jt)

• h +

a

7

c

_

h

(J. + k.e

Ja) k +

+ (J8 + Ja)

5 J3.

k] • 2

+ Ja •

•2

k. q

Beispiel: Vom Speisepunkt A greifen in Entfernungen von 100, 130 und 50 m Kräfte von 20, 50 und 40 Amp. an. Der Spannungsverlust e betrage 10 Volt. (Fig. 4.) J

_

20

400

°

|

130

3

C

SO

i

ß

1

so Fig

vo

4.

Nach Formel 3 ist die mittlere L ä n g e n

f ( J - *) _ 2 Q , 100+50 . (100+130)+40 . ( 1 0 0 + 1 3 0 + 5 0 ) _ — » 20 + 50 + 40 ~~ f

=224,5 m

(J)

und der Querschnitt berechnet sich: n

2

f ( J ) • 2 • 1 _ (20 + 50 + 40). 2 . 224,5 = 86,6 qmm. k.e 57.10

Rechnen wir nach Formel 6, so ergiebt sich unser Querschnitt wie folgt: [(20 + 50 + 40). 100 + (50 + 40). 130 + 40 . 50]. 2 = 86 qmm. 57 . 10 Sind zwei Speisepunkte durch eine Leitung miteinander verbunden, so müssten wir, bevor zur Querdurchschnitts-

j

—

*

—

|

j

Zv

8

Fig. 5.

berechnung geschritten werden kann, die Komponentenströme Jj und Jn,

d. h. die Ströme berechnen, die von den Speise-

6

I. Gleichstrom.

punkten I und II zur Deckung des Gesammtbedarfs geliefert werden müssen (Fig. 5). Wir erhalten als Belastung- J2 des Punktes I Ji.l

i

+ J t . { l 1 + h) + J 1 . { l i + h +

und für Jn

k)

k + h + k + k

1

des Punktes II 11

==J1.1,

j-J,

.(k + k) + J 3 (k + k + h) h+k

+

k +

h

Befinden sich nun auf einer Strecke n Konsumstellen J, und beträgt die Gesammtentfernung zwischen den beiden Speisepunkten in_|_1, so erhalte ich die allgemeine Formel f ü r die Belastung J eines Speisepunktes: .

8

.

.

.

J = ^ [ J

i

. l

1

+ J,.(l

worin L =

i

+ k) + JAk

+ h + h)

+

M+l S(l) i

von I bis II bedeutet. Beispiel: In Fig. 6 greifen an der Verbindungsleitungzwischen den beiden Speisepunkten I und II in Abständen 30

I

o

I

_L

n

70

r

20

-O

so

Fig. 6.

von 80, 50, 70 und 30 m Kräfte von 20, 30 und 50 Amp. an. Gesucht werden die Querschnitte der Leitungen, sowie die Stelle des maximalen Spannungsverlustes e. Nach Formel 8 ist die Belastung J j des Punktes I J

i

=

50. 30 + 30 . (30+70) + 20 . (30 + 70 + 50) 30 + 70 + 50 + 80 ~

und ergiebt sich die Belastung Ju J n

32,6 Amp

"

des Punktes II zu:

_ 20. 80 + 30. (80 + 5 0 ) + 50. (80 + 5 0 + 70) ~ 80.50.70.30

07,4

Amp

'

Berechnung der Einzelleitungen.

7

oder einfacher J

u

= 2 { J ) - J

I

=

(20 -f- 30 - f 50) -

32,6 =

67,4

Amp.

Setzen wir e = 1, so erhalten wir unseren Querschnitt |Y32,6 . 80) + (32,6 - 20). 50]. 2 q= ^ = 100 qmm. D e r maximale Spannungsverlust e l i e g t in der Konsumstelle 30, denn von 30 angreifenden A m p è r e müssten J j — 20 =

12,6 Amp.

vom Punkte 1 und J

n

—

50 = 17,4 Amp.

von II geliefert werden. Beispiel:

Der Spannungsverlust

einer A n l a g e ,

die mit

500 Volt arbeitet, betrage 2 °/0 oder 10 Volt, und sind hierfür

H

4 - 130

I

Jz-30

o

J SO s

Ji,

90

'SO

_sL

C

17

-o

ls tso

70

lr

F

^

Fig. 7.

nach Fig. 7 die Querschnitte der Leitungen,

sowie der W i r -

kungsgrad der letzteren zu bestimmen. Denken wir uns zunächst die in E und F angreifenden K r ä f t e •Jl und J3 nach A resp. C verschoben, so berechnet sich die Belastung J z unseres Punktes I z u : J

_ 60 . 1 5 0 + 15 . (150 + 120) + 30 . (150 + 120 + 90) + 4 0

(150 + 120 + 90 + 50) _

150 + 120 + 90 + 50 + 100

~ =

79 Amp.

I. Gleichstrom

8

Es ergiebt sich also die Belastung des Punktes I zu: J

= 2{J) - J j = 145 - 79 = 66 Amp. i

Der grösste Spannungsverlust auf der Hauptstrecke I II befindet sich also im Punkt C, denn an seiner Speisung ist Speisepunkt I mit 9 und II mit 15—9 = 6 Amp. betheiligt, denn es fliessen von I nach A 79 Amp., wovon 40 Amp. nach E hin abgenommen werden. Die übriggebliebenen 39 Amp. kommen nun in B an, wo wiederum 30 Amp. die Leitung verlassen und für die Belastung des Punktes C also nur noch 9 Amp. übrig bleiben. Ebenso wie mit I C verhält es sich auch mit der Strecke II C. Punkt II hat zur gemeinsamen Speisung 66 Amp. beizutragen, die auf lb bis D fliessen, wo sie 60 Amp. verlieren. Die überschüssigen 6 Amp. kommen also in C an, vereinigen sich hier mit den von I kommenden 9 Amp., um dann gemeinschaftlich auf l^ nach Punkt F zu gehen. Daraus erklärt sich vollkommen, dass der Spannungsabfall von I bis C gleich dem von II bis C sein muss. Um die Leitung l^ nicht zu stark und dadurch zu theuer ausfallen zu lassen, muss bei ihr ein Verlust zugelassen werden. In Folge dessen dürfen wir von I und II bis C unseren Gesammtverlust von e = 10 Volt nicht vollständig zulassen, und nehmen deshalb in Anbetracht der kurzen Entfernung von C bis F e^ = 2 Volt Verlust an. Somit ergiebt sich auch der Spannungsabfall von I und II bis C zu £ = 10 — 2 = 8 Volt Es herrscht also in C, wenn wir eine Klemmenspannung von E — 500 Volt voraussetzen, eine Spannung von Ec= E — e = 500 — 8 = 492 Volt und im Punkt F Ef=E-e-ef=500-8

— 2= m

Volt.

Es berechnet sich nun der Querschnitt gy der Strecke zu: J 3 . 2.L 15 . 2 . 70 q f = -KIT = 57.2 = 1 7 , 5 q m m

Berechnung der Einzelleitungen, der der Hauptleitung- dagegen ist: [ J j - h + ( J j - J i ) • h Hb (Ji - J i ~ J*) U • 2

«=

^

"

[79. 100+(79 - 40). 50 + (79 — 40 — 30). 90]. 2 •L — — — — co 49 qmm 57 . 8 Um den Querschnitt QE der Strecke LT ermitteln zu können, müssen wir zunächst den Spannungsabfall von I bis A feststellen. um zu sehen, was auf le noch verloren werden kann, wenn die Spannung- EE in E = der in F = 490 Volt betragen soll. Bei dem Querschnitt von Q = 49 qmm wäre also mein Verlust e 0 in A Jj.2Jj 79.2.100 57.49 = 0 8 6,7 Volt und müssen wir noch auf le verlieren = e—

= 10 — 5,7 = 4,3 Volt.

Folglich ist der Querschnitt von l t K.S

40 . 2 .130 57 .4,3

oo 42 qmm

Der Wirkungsgrad der ganzen Anlage ergiebt sich aus: E,

490

Punkt 1 hat also im Ganzen zu liefern: JT.E 79.500 JT max. = — = - -7-— = 40 300 Watt, RJ o,yo während Punkt II belastet wäre mit: Jjj.E 66.500 JTT max. = — = -jTSö- = ~ 33 700 Watt. R> O.ao

10

I. Gleichstrom.

4. Berechnung zusammengesetzter Leitungen. Jedes Netz, mag es auch noch so viele Maschen besitzen, kann durch zweckmässig angebrachte Schnitte, die es in mehrere Einzelleitungen mit oder ohne Ausläufer zerlegen, schnell richtig berechnet werden. Bevor man zur Berechnung der Stromvertheilung übergeht, bringt ein kurzer Ueberblick bei einiger Uebung schon die gewünschte Klarheit in die vorzunehmende Operation. Diese Methode, das Netz so aufzuschneiden, dass es an den Schnittstellen denselben Spannungsabfall besitzt, soll an folgendem Beispiel erläutert werden. Denken wir uns in Fig. 8 die beiden Aequipotentialpunkte I und II durch zwei Leitungspaare verbunden, die

Fig. 8.

ihrerseits durch Verbindungsleitungen wiederum in Verbindung stehen, so können wir uns dieses Netz durch die willkürlich angenommenen Schnitte a —• — — a und b b in zwei Netzhälften zerlegt denken. Jede dieser Hälften kann nun allein als Leitung zwischen zwei Speisepunkten betrachtet werden, jedoch ist immer zu berücksichtigen, dass in den Schnittstellen der Spannungsabfall stets gleich sein muss.

Berechnung zusammengesetzter Leitungen.

H

Da sich nun bei den Verbindungsleitungen fast immer bei der Berechnung zwei verschiedene Querschnitte herausstellen würden, in der Praxis aber solche Leitungen nie abgesetzt werden, so müsste eigentlich bei dem in Ausführung zu bringenden Querschnitt die Stromvertheilung, und somit der Spannungsverlust, nachgerechnet werden. Ein zusammenhängendes Netz darf aber im höchsten Fall nur 1—2°/0 Spannungsdifferenz besitzen, und kann die etwa in den Schnittsteilen auftretende Differenz vernachlässigt werden. Schreiten wir zur Berechnung, so müssen wir, um die Ströme in A, £, C und D feststellen zu können, die Stromverteilung der Verbindun gsleitungen AD und BC bestimmen. Es ist die Belastung des Punktes A bez. der Strecke AD 30.20 = 600 10-50 = 500 40 1100 : 70 = co 16 = Ba — 16

Bi 24

In A greifen also zusammen an: 16 + 10 = 26 Amp. während Punkt D mit 40 — 16 = 24 Amp. belastet ist. Ebenso berechnet sich die Belastung von B zu 20 . 30 = 600 : 50 = 12 Amp. 12 -f- 20 = 32 Amp. und die des Punktes C ergiebt sich zu: 20 — 12 = 8 Amp. Da wir den Spannungsabfall von den Speisepunkten bis zu den Knotenpunkten noch nicht kennen, kann auch der Querschnitt der Verbindungsleitungen noch nicht berechnet werden. Wir wollen nunmehr die Belastungen der beiden Potentialpunkte ermitteln, und ergiebt sich für die Belastung Bn0, wenn wir zuerst den oberen Zweig berechnen:

I. Gleichstrom.

12

20. 5 0 = (10 + 16). 7 0 = 30.120= ( 2 0 + 12). 1 7 0 = 40.210= 148 -85 BIo = 63 Amp.

1000 1820 3600 5440 8400 20260 : 240 = co 85 Amp.

Die Belastung BJo der Punkte I ist also 63 Amp. Im unteren Zweig dagegen sind die Belastungen

BIU

10 . 20 = 40. 5 0 = 24. 7 0 = 20.110= 8.160= 10.196= _30 . 240 = 142 60 = 82 Amp.

200 2000 1680 2200 1280 1900 7200 16460 :280 = oo 60 Amp. =

BIIu

Folglich ist die Gesammtbelastung von I Bj = BIo + BIu = 63 + 82 = 145 Amp. und die von II Bn = BIIo + BIIU = 85 + 60 = 145 Amp. Der maximale Spannungsverlust liegt also bei A in der oberen Leitung, und zwar ist an seiner Unterhaltung Punkt I mit 60 —20 —26 = 17 Amp. betheiligt, während Punkt II 30 —17 = 13 Amp. zu liefern hat. Im untern Theile liegt der grösste Verlust bei Vi und erhält diese Konsumstelle von Punkt I 8, und von II 12 Amp.

Berechnung zusammengesetzter Leitungen.

13

Jetzt erst können wir mit der Berechnung der Hauptleitungen beginnen, die auch in diesem Falle den maximalen Verlust besitzen sollen. Für t = 2 berechnet sich der Querschnitt der oberen Leitung zu: qo =

(63 . 50 + 43 . 20 + 17 . 50). 2 h f z = co 85 qmm

und der der unteren ist Qu =

(82 . 20 4-1 72 . 30 -f 32 . 20 + 8 . 40). 2= ]pm °° 83 qmm

Wir haben also in A einen Spannungsabfall von £o =

(63.50 + 43. 20) = 57785

1 6 V0lt

'

und darf demnach der Verlust der Strecke AD nur 2 —1,6 = 0,4 Volt betragen.

Der Querschnitt hierfür wäre (16 . 20 4- 6 . 30). 2 57 ,0,4 = ~ 44 qmm

=

Der Verlust von II bis B beträgt _ (85 . 30 + 45 . 40). 2 57.85

~ 1,7 Volt

Auf BC dürfen also nur noch 0,3 Volt verloren werden, was einen Querschnitt von q

"

=

(12 . 20). 2 57.0,3 = ~

00 2 2 qmm

bedingt. In diesem Falle haben also die Haupt- und die Verbindungsleitungen je einen maximalen Verlust von 2 Volt. Mitunter muss einer Leitung aber ein geringerer Verlust gegeben werden, wenn das Kupfervolumen nicht riesige Dimensionen annehmen soll, was bekanntlich die Anlage vertheuert.

I. Gleichstrom.

14

5. Berechnung zusammengesetzter Leitungen mit mehreren Speisepunkten. Alle diese Berechnungen lassen sich auch für mehrere durch Leitungen untereinander verbundene Speisepunkte anwenden, und soll Nachstehendes die Entwickelung der dazu erforderlichen Formeln veranschaulichen. Nehmen wir zunächst drei Speisepunkte I, II und III, und verbinden dieselben mit dem beliebig liegenden Knoteni

n

punkt K (Fig. 9), so erhalten wir in I K, II K und III K Längen, die wir entsprechend den Speisepunkten mit , L2 und i 3 bezeichnen wollen. Auf der Strecke I K denken wir uns in Abständen von Ii, 11" i1(«i + 1) n Konsumstellen angreifend, die wir Ji, J" Jj(«i) nennen wollen. Ebenso verhält es sich mit den Strecken II K und III K, die in Entfernungen von i 2 ', i2" Z2(«2 + i) und i'3, l" J 3 («s) »2, resp. % Konsumstellen bei den Gesammtlängen L 2 und L a besitzen. Der Knotenpunkt K greift selbst mit der Last B0 an. Diese Be-

Berechnung zusammengesetzter Leitungen etc.

15

lastungen sollen nun bei konstanten Querschnitten q1, q., und q3 proportional den Belastungen und Längen der drei Leitungen auf die Speisepunkte vertheilt werden. Setzen wir in der Gleichung der Partialströme Pi+Pi+Pä=B0 so müssen wir auch eine Konstante C, die sogenannte Netzkonstante einführen. Es ist also J 1 ' . i 1 ' + J 1 ".i 1 » + J2' . Y 4- J2" . k" +

i i - £ i = 91.C p.2. ¿2 = q,. c

Jt'-V

Pi • L3 = qz . C

+ J"-h"+

Dividiren wir hierauf die linken Seiten der Gleichungen durch ihre Gesammtlänge L, so erhalten wir dieselben Formeln, die wir zur Berechnung einer Leitung zwischen zwei Speisepunkten angewendet haben. Es ist also die Belastung des Knotenpunktes K, wenn er mit I , II und III gleiches Potential besitzt: • J / . t . ' + J," Jt • ij

Jj' • Ii"-fL,

J* •

Ja" • h" L3

d. h. es ist allgemein. B =

+

+

+

worin L= ist.

+ J ' - ( l 1 + Ia +

...In_l)]

»+i 2 (l) l

Die Netzkonstante C ist dann: C • G* • S _ 1 was als Ausdruck für die magnetische Felddichte bekannt sein dürfte.

16

I. Gleichstrom.

Diese Belastungen von K, wollen wir zum Unterschied von seiner reellen Belastung B0 mit Bi, B„ und B3 bezeichnen und ideelle nennen. Unsere Gleichungen gestalten sich wie folgt:

ii-C ¿1

Bi+Pi'

g, - C Lx Bz+p3=q-^ Addiren wir nun die drei letzten Gleichungen, so erhalten wir aus dieser Summe. B0 + Bi + B2 + B3 = c

+ J + g)

und hieraus die Netzkonstante C=:B0

+ Bl + B2 + B3

Ii Lx

_)_ ßi L2

Ii La

Die Partialströme p sind wiederum:

„ - J ^ - a . p

3 =

^ - B

3

3

Diese Formeln lassen sich leicht zu allgemeinen Formeln zusammenfassen, denn es können von K mit seiner reellen Belastung B0 n Leitungen zu n Speisepunkten führen, die mit einer Energiemenge von n Amp. den Knotenpunkt K ideell belasten. Diese Längen und Querschnitte Lx, L2

Ln, bez.

?i. • • • • ?n, belasten K ideell mit Bi, B„ Bn. Aus obenstehenden Gleichungen erhalten wir also in K die Partialströme p1: pt . . pn.

Berechnung zusammengesetzter Leitungen.

17

9

und meine Netzkonstante ist n

10

c

2{B) 0

Man kann also mit Hilfe dieser Methode die Stromvertheilung eines gegebenen Netzes schnell und sicher berechnen. Wollen wir aber die Querschnitte berechnen, so müssen wir von vorn herein darauf Bedacht nehmen, ein Kupferminimum zu erzielen. Wir haben also für n Querschnitte n—1 Bedingungsgleichungen, die für jeden speciellen Fall eine besondere Stromvertheilung fordern. Aus der Formel für das gesammte Kupfergewicht geht deutlich hervor, dass, um ein Kupferminimum zu erhalten, für die grossen Längen möglichst kleine Querschnitte zu wählen sind. Es ist nämlich das Kupfervolumen

y= ¿i •ffi+ L.2 . q% +

L„ . qn

Aus dem Formelsystem für die Partialströme geht ferner hervor, dass jedes qv proportional

Lv(pv-\-Bv)

rein muss. Die grossen Längen möglicht klein zu dimensioniren kann aber nicht immer mit Vorteil verwandt werden, denn um einen guten Ausgleich zu erzielen, können bei starken Belastungen der Speisepunkte die Speiseleitungen leicht Dimensionen annehmen, die das im Vertheilungsnetz gesparte Material wieder benötigen. Hcntze.

2

18

I. Gleichstrom.

In Fig. 10 und 11 sind zwei Variationen des Systems veranschaulicht, wobei jede der von I ausgehenden und sich in K vereinigenden Leitungen als Leitungen mit je einem Speisepunkt zu bertrachten sind. Um den Einfluss der gewählten Bedingungen für die Querschnitte auf das gesainmte Netzvolumen besser beweisen zu können, sollen folgende Beispiele dienen.

Drei Speisepunkte I, II und III versorgen gemeinschaftlich die in K zusammenhängenden Leitungen mit Energie. (Fig. 12.) Die eingeschriebenen Konsumziffern bedeuten Glühlampen ä 16 N K, und soll die Spannung an den Speisepunkten £ = 2 2 0 Volt bei e = 2 Volt Verlust betragen. Es wären zunächst zu berechnen 0 d. h. die ideellen Belastungen des Knotenpunktes K, dessen reelle Belastung _B0 = 50 gegeben ist. Der Gesammtwerth von

2 (B) ist völlig unabhängig von den Querschnitten der einzel0 nen Leitungen, und berechnet sich die ideelle Belastung BL des Punktes K wie folgt zu:

Berechnung zusammengesetzter Leitungen.

B.2

19

1 0 0 . 5 0 = 5 000 200 . 50 = 10 000 300 15 000 :150 = 166,66 L a m p e n . ist: 50 . 50 = 2500 : 200 = 12,5

u n d Bs b e r e c h n e t sich z u : 150. 5 0 = 7 500 100.150 = 15 000 250 22 500:200 = 112,5 B 0 = 50.

i

Es ist also

n

B0 = 50 Bl = 166,66 £ , = 12,5 •B3 = 112,5

2{B) = 3 4 1 , 6 6 L a m p e n . 0 Die Gesammtlängen b e t r a g e n : Ll = 150 m Li = 200 „ ¿3 = 200 „

2*

20

I. Gleichstrom,

D a in diesem Falle alle drei Querschnitte gleich sein sollen, die Partialströme a b e r nicht von den Querschnitten selbst, sondern n u r von ihrem Verhältniss a b h ä n g e n , so n e h m e n wir q der Einfachheit halber z u : iL =

=

= 600

u n d erhalten demnach f ü r die W e r t h e y relative Primzahlen. J-J

Es ist also: 3i._600„ Li 150 5s 600

fl,_600 L3

KD

4

=

200

Folglich ist u n s e r e Netzkonstante £

(2) _ 341,66 MI RR _

3 M 6 6

10

u n d berechnen h i e r a u s die sich in K v e r e i n i g e n d e n Partialströme lh

= |> . C — Bi = 4 . 34,166 — 166,66 = — 30

pi=p-.C-B p3=

^.C—Ba

i

= 3.34,166—

12.5 = + 90

= 3 . 34,166 - 1 1 2 , 5 = -

10

+ 50 = B0 Durch diese Methode hat m a n also ein Mittel in d e r Hand, durch die Differenz der ideellen Partialströme e i n e falsche R e c h n u n g sofort kontrolliren zu können. Beträgt nun B 0 = 0, so w ü r d e die falls Null.

algebraische S u m m e der Partialströme

eben-

Berechnung zusammengesetzter Leitungen.

21

D e r Punkt des maximalen Spannungsverlustes liegt also da, wo sich der grösste negative Werth z e i g t , d. h. vom Knotenpunkt K müssen die sich vereinigenden Partialströme p die berechnete negative Strommenge in die L e i t u n g des grössten Spannungsverlustes hineindrücken. I n unserem Beispiel liegt dieser Punkt bei a a. Dieser P u n k t erhält also von Knotenpunkt K 30 und von Speisepunkt

I

200 — 30 = 170 Lampen. D e r Partialstrom p2 = 90 bedeutet, dass ausser den 50 a u f der Strecke K II befindlichen L a m p e n noch weitere 90 vom Speisepunkte II zu liefern sind, die zum Theil in Ii selbst, zum Theil auch in den anderen L e i t u n g e n verbraucht werden.

p3 = —10 bedeutet, dass der 150 m von III entfernte P u n k t 10 Lampen von K bekommt und folglich nur 150 - f (100 — 10) = 240 Lampen vom Speisepunkt zu liefern sind. D a wir die Belastungen der Konsumstellen mit Glühlampen k 16 N K a n g e g e b e n haben, so müssen wir, um nicht z u der B e r e c h n u n g mit Amp. überzugehen, den Querschnittsberechnungen den Energieverbrauch der Lampen in W a t t zu G r u n d e legen. Aus nachfolgender Tabelle ersehen wir, dass eine Glühlampe k 16 NK Hefner Einheit bei 220 Volt ca. 55 Watt verbraucht.

Leuchtkraft in HefnerKcrzen

Mittlerer "Wattverbrauch

10

13

16

20

25

32

26

34

42

52

65

84

31 3«? 42 36

40 70 55

50 58 67 58 50

62 72 84

58

72

Volt:

I

45H- 70
2 = pz = Pi =

2,25 .17,5 — 154 = 9 .17,5— 0 = 4 .17,5— 66,6 = 2,25 .17,5 — 75 =

— + + —

105,70 193,14 19,24 26,70 79,98 JS„.

Der maximale Spannungsverlust liegt diesmal auf den Strecken 1 K und IV K. Punkt 300 auf IK erhält demnach vom Aequipotentialpunkt 1 300 — (105,7 — 70) = 264,3 Amp. und Punkt 80 auf IV K 80 — 26,7 = 53,3 Amp. vom Speisepunkte III. Als Kriterium für den ersten Punkt erhalten wir und für den zweiten

264,3 . 70 = 18 501,0 60 . 9 0 = 5 400 5 3 , 3 . 1 2 0 = 6 396 11 796

Der Querschnitt für einen maximalen Verlust in I K ist =

und

= 453,8 qmm

q3 = qt = 340,4 qmm. Die Belastungen der Speisepunkte sind: T , = 264,3 Amp. r 2 = 193,14 „ T, = 282,54 „

2 (T) = 739,98 Amp. 1 Hentze.

I. Gleichstrom.

34

Die Speiseleitungen ergeben Querschnitte von - 231,8 qmm Qt = 406,6 „ § 3 = 396,5 „ und das Materialvolumen setzt sich zusammen aus: 2 { q . L ) = 2{Q.D) =

510,480 dm® 881,260 „

7 = 1 3 9 1 , 7 4 0 dm3 4. Es seien die Querschnitte umgekehrt proportional von der Centrale aus, und zwar sollen auf q 3 und q i t die doch einen gemeinsamen Speisepunkt haben, nur die halben Werthe entfallen. Wir bilden also: 250 X X Bi ~ 600 X X 400 Di X X ¿>4 400

A

Nehmen wir für X = 480 000 an, so erhalten wir:

Ii L« % I*

1920 200 — 800 100 1200 ~~ 150 1 ^00 200

fl)

=

.y/ Q

l / 1,125 —i—=

V