Analysis

Table of contents :
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Tabelle, Liste
B. Analysis der komplexen Größen.
1. Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen a) einer und b) mehrerer komplexen Größen. Von W. F. OSGOOD in Cambridge, Mass.
Einleitende Bemerkungen
I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Größe.
1. Die Bereiche T, B, T
2. Funktionen eines komplexen Arguments; analytische Funktionen
3. Der Cauchysche Integralsatz; das Residuum
4. Die Cauchysche Integralformel; isolierte singuläre Punkte
5. Die konforme Abbildung im Kleinen
6. Gleichmäßige Konvergenz
7. Die Cauchy-Taylorsche Reihe nebst Anwendungen
8. Der Punkt z = ...
9. Der Laurentsche Satz; die rationalen Funktionen
10. Mehrdeutige Funktionen; Schleifenwege
11. Die Riemannsche Fläche; das Verhalten einer mehrdeutigen Funktion im Kleinen
12. Fortsetzung; algebraische Funktionen
13. Die analytische Fortsetzung; endgültige Definition der analytischen Funktion; das analytische Gebilde
14. Geometrische Deutung durch ebene und Raumkurven
15. Die Lagrange'sche Reihe
16. Funktionalgleichungen
17. Bestimmte und Schleifenintegrale
18. Die Umkehrfunktion und die konforme Abbildung im Großen
II. Die geometrische Fnnktlonentheorie.
19. Riemanns neue Grundlagen für die Funktionentheorie
20. Das Prinzip der Symmetrie; analytische Fortsetzung
21. Die konforme Abbildung analytisch begrenzter Bereiche auf den Kreis; geradlinige und Kreisbogenpolygone
22. Die Riemannsche Fläche als definierendes Element; algebraischer Fall
23. Die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Bereiche aufeinander; algebraischer Fall
24. Funktionen mit Transformationen in sich; periodische Funktionen
25. Der Fundamentalbereich; zunächst der Bereich ...; die Ecken
26. Fortsetzung; Funktionen auf ... Definition des Fundamentalbereiches
27. Der algebraische Fall; symmetrische Riemannsche Flächen
28. Parameterdarstellung durch eine uniformisierende Variable
29. Der Picardsche Satz
III. Untersuchung der analytischen Funktionen mittels ihrer Darstellung durch unendliche Reihen und Produkte.
30. Weierstraß
31. Der Weierstraßsche Satz
32. Der Mittag-Lefflersche Satz
33. Verallgemeinerung der Sätze von Nr. 31 und 32
34. Punktionen mit vorgegebenem Definitionsbereich
35. Auf dem Konvergenz kreis gelegene singuläre Punkte, insbesondere Pole, und die Koeffizienten der Potenzreihe
36. Die Nullpunkte einer analytischen Funktion, insbesondere einer ganzen Funktion
37. Die Stärke des Unendlichwerdens einer ganzen Funktion, die Koeffizienten der Taylorsehen Reihe und die Höhe der Funktion
38. Annäherungöformeln; Reihenentwickelungen nach Polynomen
39. Kettenbruchentwickelungen
IV. Analytische Funktionen mehrerer komplexen Größen.
40. Die Bereiche (T), (B), (T'); analytische Funktionen
41. Der Cauchysche Integralsatz; das Residuum
42. Die Cauchysche Integralformel; singuläre Punkte
43. Gleichmäßige Konvergenz; die Cauchy-Taylorsche Reihe
44. Implizite Funktionen
45. Der Weierstraßsche Satz und die Teilbarkeit im Kleinen.
46. Die Parameterdaratellung im Kleinen; implizite Funktionen
47. Das analytische Gebilde
48. Einige Sätze über das Verhalten im Großen
49. Homogene Variable
2. Algebraische Funktionen und ihre Integrale. Von W. WIRTINGER in Innsbruck, jetzt in Wien.
A. Allgemeines.
1. Definition
2. Die algebraische Funktion in der Umgebung einer einzelnen Stelle
3. Das algebraische Gebilde
4. Die Riemannsche Fläche
5. Zusammenhang und Geschlecht der Riemannschen Fläche
6. Zerschneidung der Riemannschen Fläche; Querschnitte
7. Spezialfälle und Normalfonnen
8. Funktionen am algebraischen Gebilde und der Riemannschen Fläche
9. Der Körper der rationalen Funktionen, Transformation des Gebildes und die Riemannsche Klasse. Erhaltung von p
10. Bedeutung des Klassenbegriffes .
11. Die Integrale der algebraischen Funktionen; ihre Perioden
12. Riemanns Problemstellung
13. Verallgemeinerung der Riemannschen Fläche
14. Die allgemeinsten Riemannschen Mannigfaltigkeiten
16. Potentiale und Funktionen auf der allgemeinen Riemannschen Fläche
16. Die drei Gattungen von Integralen
17. Relationen zwischen den Perioden
18. Die transzendent normierten Integrale
19. Darstellung der Funktionen der Fläche durch die Integrale der drei Gattungen
B. Besondere Darstellungen und Funktionen.
20. Darstellung der Integranden als rationale Funktionen von x, y
21. Fortsetzung. Homogene Variable. Die Formen
22. Definition des Geschlechtes auf Grund der Formen
23. Die Theorie von Weierstraß
24. Die Fälle p = 0, 1
25. Äquivalente Systeme von Stellen, Scharen von Stellen und Funktionen
26. Die algebraischen Kurven im Eaume von q Dimensionen
27. Die Darstellung der algebraischen Funktionen an der Baumkurve
28. Die Normalkurve der ...
29. Spezialfunktionen und Spezialscharen
30. Normalformen
31. Die Moduln einer Klasse von algebraischen Gebilden
32. Vertauschung von Parameter und Argument
33. Integrale zweiter Gattung, Normalkombinationen
34. Fortsetzung, die Weierstraßschen Periodenrelationen
36. Die Reduktion der allgemeinsten algebraischen Integrale
36. Die Integration durch algebraische Funktionen und Logarithmen
37. Kleine kanonische Kurven
38. Primfunktionen und Primformen
39. Fortsetzung
40. Wurzelfunktionen und -formen. Multiplikative Funktionen und Formen
C. Das Abelsche Theorem.
41. Das Abelsche Theorem
42. Das Abelsche Theorem für die drei Gattungen des Integrals; spätere Beweise
43. Die Differentialgleichungen des Abelschen Theorems
44. Die Umkehrung des Abelschen Theorems und die Erweiterung der Umkehrung
45. Anwendungen und Erweiterungen des Abelschen Theorems
D. Ergänzungen.
46. Die Abelschen Reduktionstheoreme
47. Das Problem der Transformation der Abelschen Integrale
48. Spezielle Reduktionsuntersuchungen
49. Binomische Integrale
50. Hyperelliptische Integrale
E. Korrespondenz und singuläre Gebilde.
51. Korrespondenzen auf dem algebraischen Gebilde
52. Die allgemeine Korrespondenztheorie von Hurwitz und die singulären Gebilde
53. Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich
54. Symmetrie und Realität
F. Mehrere Variable.
55. Algebraische Funktionen mehrerer Variablen
66. Die Geschlechtszahlen der Fläche
67. Untersuchungen nach transzendenter Richtung
3. Elliptische Funktionen. Mit Benutzung von Vorarbeiten und Ausarbeitungen der Herren J. HARKNESS in Montreal, Canada, und W. WIRTINGER in Wien von R. FRICKE in Braunschweig.
I. Ältere Theorie der elliptischen Integrale.
1. Definition und erstes Auftreten der elliptischen Integrale
2. Eulers Entdeckung der Additionstheoreme
3. Beziehungen zwischen Euler und Lagrange
4. A. M. Legrendres Bedeutung für die Theorie der elliptischen Funktionen
5. Legendres Normalintegrale
6. Legendres Gestalt der Additionstheoreme
7. Die Landensche Transformation und die numerische Berechnung der Integrale bei Legendre
8. Die vollständigen Integrale und die Legendresche Relation. Differential-gleichungen und Reihen
9. Die Vertauschung von Parameter und Argument bei Legendre
10. Reduktion höherer Integrale auf elliptische und Transformation dritter Ordnung
II. Die elliptischen Funktionen bei Abel, Jacobi und Gauß.
11. Die Umkehrung des Integrals erster Gattung und die doppelte Periodizität bei Abel
12. Die Multiplikation und die allgemeine Teilung der elliptischen Funktionen bei Abel
13. Die spezielle Teilung der elliptischen Funktionen bei Abel
14. Abels allgemeine Formeln für die Multiplikation der elliptischen Funktionen
15. Unendliche Doppelreihen und Doppelprodukte für die elliptischen Funktionen
16. Abels einfach unendliche Reihen und Produkte für die elliptischen Funktionen
17. Abels Transformation der elliptischen Funktionen
18. Abels Entdeckung der komplexen Multiplikation
19. Die weiteren Untersuchungen Abels. Das allgemeine Transformationsproblem
20. Jacobis erste Arbeiten
21. Die einführenden Abschnitte der "Fundamenta nova"
22. Jacobis Behandlung der Transformationstheorie auf Grund der Umkehrfunktion
23. Die supplementären Transformationen und die Multiplikation
24. Die Differentialgleichung der Modulargleichung. Die arithmetischen Relationen zwischen K und K' sowie A und A'
25. Jacobis Darstellung der elliptischen Funktionen als Quotienten einfach unendlicher Produkte
26. Die Integrale zweiter und dritter Gattung bei Jacobi
27. Jacobis Thetafunktionen
28. Die Integrale zweiter und dritter Gattung ausgedrückt durch die Thetafunktion
29. Die elliptischen Funktionen selbst ausgedrückt durch die Funktionen O, -H
30. Die fundamentalen Eigenschaften der Funktionen H (u) und O(u)
31. Die Reihenentwicklungen von O(u) und H (u)
32. Die Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet
33. Der Zusammenhang zwischen q und k2
34. Gauß' Entwicklungen über das arithmetisch-geometrische Mittel
35. Gauß' Entwicklungen über die lemniskatische Funktion
36. Die allgemeinen elliptischen Funktionen bei Gauß
37. Multiplikation, Division und Transformation der elliptischen Funktionen bei Gauß
III. Die elliptischen Funktionen in der Zeit zwischen Abel und Riemann.
38. Das Periodenparallelogramm und die eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen
39. Fortbildung der algebraischen Grundlage unter Cauchys Einfluß
40. Hermites erste Arbeiten über elliptische Funktionen
41. Hermites Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung
42. Spätere Arbeiten Hermites über doppeltperiodische Funktionen
43. Hermites Arbeiten über die Transformationstheorie
44. Arbeiten Jacobis und seiner Schüler
45. Untersuchungen von Eisenstein
IV. Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen nach neueren Anschauungen.
46. Zweiblättrige Riemannsche Flächen mit vier Verzweigungspunkten; Verzweigungsform
47. Normalgestalten der Verzweigungsform
48. Die algebraischen Funktionen und Integrale der F2
49. Gestalten der Normalintegrale
50 Abbildung der Fläche F2 durch das Integral erster Gattung
51. Die Funktionen der Fläche F2 in Abhl;ngigkeit von u betrachtet
52. Analytische Darstellungen für ?(u) ?(u) und ?(u)
53. Allgemeinste Zerschneidung der Fläche F, und lineare Transformation der Perioden
54. Independente Erklärung doppeltperiodischer Funktionen. Gruppentheoretische Auffassung
55. Die Weierstraß sehe Funktion ?(u)
56. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen durch G(U), ?(U) usw.
57. Darstellung des Integrals dritter Gattung durch die 6-Funktion
58. Die elliptischen Funktionen, betrachtet als Funktionen von drei Argumenten
59. Die Differentialgleichungen der Perioden
60. Kleins Prinzip der Stuf enteilung
61. Die Wurzelfunktionen y