Analysis

Table of contents :
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Tabelle, Liste
Berichtigungen zu Band II.
C. Nachträge.
1. Algebraische Analysis. Von ALFRED PRINGSHEIM in München und GEORG FABER in Karlsruhe, jetzt in München. (Abgeschlossen im November 1908.)
Einleitung: Historisches
1. Potenzreihen. Der Konvergenzkreis
2. Verhalten von Potenzreihen auf dem Konvergenzkreise
3. Weitere Fundamentaleigenschaften von Potenzreihen
4. Rationale Funktionen und rekurrente Reihen
5. Der allgemeine binomische Satz
6. Die Exponentialreihe
7. Der natürliche Logarithmus und die allgemeine Potenz
8. Die logarithmische Reihe
9. Die Berechnung der Logarithmen
10. Die Funktionen sin x und cos x
11. Die zyklometrischen Funktionen
12. Unendliche Produkte für sin x und cos x
13. Partialbruchreihen für tg x, cot a x, cosec x, sec x
14. Potenzreihen für tg x, cot x, eosec x, sec x, lg ..., Ig cos a x
15. Die hypergeometrische Reihe
2. Numerische und graphische Quadratur und Integration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen. Von C. RUNGE in Göttingen und FR. A. WILLERS in Charlottenburg. (Abgeschlossen im Februar 1915.)
I. Numerische und graphische Quadratur.
1. Allgemeines
2. Methoden, die gegebene Abszissen verwenden
a) Allgemeines
b) Formeln von Newton-Cotes
c) Formeln von Mac Laurin
3. Methode von Gauß
a) Bestimmung der Abszissen
b) Die Koeffizienten
c) Fehlerabschätzung
4. Spezielle Fälle der Gaußschen Formel
a) ... (x)=1
b) ... (x) = (1 Â? x)...(1 +x)
c) ...
d) ...p(x) = ...
e) ...7
f) ... (x) = yx (x Â? cc)(x Â? ß)
g) ...(x) = ....
h) ...(x) = ...
6. Verallgemeinerung der Methode von Gauß
a) Formeln von August
b) Verallgemeinerung von Christoffel
c) Mehrfache Integrale
6. Methode von Massau
7. Methoden, bei denen die Koeffizienten gegeben sind
a) Allgemeines
b) g > (x) ist eine gerade Funktion
c) y (x) ist eine ungerade Funktion
8. Formeln, die durch Kombination entstehen
9. Die Eulersche Formel
10. Formeln der Differenzenrechnung
11. Annäherung durch mehrere Parabeln
12. Methoden der graphischen Quadratur
a) Allgemeines
b) Bestimmung der mittleren Ordinaten und Abszissen
c) Einzeichnung der Integralkurve . .
d) Erweiterungen und Ergänzungen
e) Einige Anwendungen der graphischen Quadratur
13. Kubatur
a) Kubatur durch einfache Quadratur
b) Allgemeine Betrachtungen
c) Bestimmte Begrenzungen
d) Zerlegung in Teilgebiete
e) Graphische Methoden
14. Differentiation
a) Die numerische Differentiation
b) Graphische Differentiation
II. Numerische und graphische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.
15. Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen
a) Methode von E. Czuber
b) Methode der Isokimen
c) Methode der Krümmungsradien
16. Eine Reihe mehr rechnerischer Methoden
a) Ältere Methoden
b) Methode von Runge-Heun-Kutta
c) Methoden der Differenzenrechnung
17. Asymptotische Integration
18. Methode der sukzessiven Approximation
a) Graphische Methode
b) Numerische Methoden
c) Methoden der Himmelsmechanik
III. Graphische und numerische Integration partieller Differentialgleichungen.
19. Partielle Differentialgleichungen mit reeller Charakteristik
a) Lineare Differentialgleichung
b) Differentialgleichungen zweiter Ordnung
c) System zweier simultanen linearen Differentialgleichungen
20. Zur Integration der partiellen Differentialgleichungen mit imaginären Charakteristiken
a) Methoden, die alle Randbedingungen approximieren
b) Methoden, die eine Randbedingung streng erfüllen und das Integrationsnetz durch endliche Stücke approximieren
c) Eine Methode, die alle Randbedingungen streng erfüllt und durch endliche Stücke approximiert
d) Methoden, die die Randbedingungen streng erfüllen und das Netz infinitesimal approximieren
21. Numerische Integration partieller Differentialgleichungen
a) Übertragung der Methoden von Runge-Heun-Kutta
b) Eine andere Methode ersetzt die Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung
c) Methode von Rayleigh-Ritz
22. Experimentelle Methoden
3. Neuere Entwicklung der Potentialtheorie. Konforme Abbildung. Von L. LICHTENSTEIN in Berlin, jetzt in Leipzig. (Abgeschlossen im Mai 1918.)
I. Definitionen und Bezeichnungen.
1. Allgemeines über zwei- und dreidimensionale Gebiete
2. Spezielle Klassen ebener und räumlicher Gebiete
3. Ortsfunktionen
4. Allgemeines über unendlich vielblättrige schlichtartige Gebiete
II. Allgemeine Sätze der Potentialtheorie.
5. Definition der Potentialfunktion
6. Potential einer einfachen Belegung
7. Potential einer Doppelbelegung
8. Logarithmisches Potential einer ebenen Flächenbelegung. Potential einer Volumladung
9. Newtonsches Potential einer einfachen Linienbelegung
10. Greensche Formeln. Allgemeine Eigenschaften der Potentialfunktionen
11. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
III. Besondere Methoden für einzelne Klassen zwei- und dreidimensionaler Gebiete. Spezielle Theorie der konformen Abbildung.
12. Die erste und die zweite Randwertaufgabe. Problemstellung und Unitätssätze
13. Explizite Lösung der ersten Randwertaufgabe für die Kreisfläche und den Kugelkörper
a) Die Poissonschen Integrale
b) Entwicklungssatz. Folgerungen
14. Kreisringfläche. Entwicklungssatz. Folgerungen
15. Positive Potentialfunktionen
16. Die Sätze von A. Harnack
17. Methode des arithmetischen Mittels
a) Allgemeine Ansätze und Resultate von C. Neumann und G. Robin
b) Die grundlegende Wendung durch H. Poincare
c) Weiterführung der Poincareschen Methoden
d) Zurückführung auf eine lineare Integralgleichung
18. Verhalten der Lösung des ersten Randwertproblems am Rande des Definitionsgebietes
19. Lösung des ersten Randwertproblems als Potential einer einfachen Belegung
20. Stetig gekrümmte Gebiete. Greensche Funktion. Greensche Formel
21. Stetig gekrümmte Gebiete. Greensche Punktionen zweiter Art
22. Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete der Klasse B in ... auf ein Kreisgebiet
23. Gebiete der Klasse D in ... . Konforme Abbildung
24. Kombinatorische Methoden
a) Alternierendes Verfahren. Drei Grund typen von Aufgaben
b) Ebene Gebiete der Klasse E und M. Das erste Randwertproblem
c) Gebiete der Klasse E und M in ... . Konforme Abbildung auf analytische Gebiete. Das zweite Randwertproblem
d) Lösungen mit vorgeschriebenen Periodizitätsmoduln
e) Zweidimensionale Gebiete auf einer Fläche im Räume. Konforme Abbildung auf ebene Gebiete
f) Gebiete in ... . Existenzsätze der Riemannschen Theorie
g) Weitere Anwendung des alternierenden Verfahrens
h) Strömungspotential. Abbildung auf ein Schlitzgebiet
i) Gemischte Randbedingungen
j) Weitere kombinatorische Methoden
25. Kreispolygonflächen. Polyeder
26. Konvexe Gebiete. Rundungsschranke. Bedingungen für die Schlichtheit einer Abbildung
27. Konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete
28. Das dritte Randwertproblem
29. Weitere Randwertaufgaben
30. Die Poissonsche Differentialgleichung
31. Einzelbetrachtang besonderer Gebiete
32. Wirkliche Bestimmung der Lösung von Randwertaufgaben. Besondere Ansätze
33. Lösung in Abhängigkeit von der Begrenzung
IV. Umfassende Methoden. Allgemeine Theorie der konformen Abbildung.
34. Leitgedanken. Heuristisches
35. H. A. Schwarz, Zur Theorie der Abbildung
36. Ergebnisse von A. Harnack. Methode de balayage von H. Poincaré
37. H. Poincaré, Sur un theoreme de la theorie generale des fonctions
38. Einfach zusammenhängende schlichte Gebiete. Greensche Funktion. Konforme Abbildung auf ein Kreisgebiet
39. Auflösung des ersten Randwertproblems in der Ebene
40. Einfach zusammenhängende Gebiete der allgemeinsten Natur
a) H. Poincaré, Sur l'uniformisation des fonctions analytiques
b) P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven
41. Zweidimensionale schlichtartige Gebiete der allgemeinsten Natur
42. Das Strömungspotential
43. Das iterierende Verfahren von P. Koebe
44. Konforme Abbildung eines p-fach zusammenhängenden Gebietes in ... auf ein Vollkreisgebiet
45. Variationsmethoden
a) Allgemeines
b) Die ersten Arbeiten von D. Hubert
c) Auflösung des ersten Randwertproblems in der Ebene und im Räume
d) Strömungspotential. Der Hilbertsche Ansatz. Konforme Abbildung auf ein Schlitzgebiet
46. Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung
47. Funktionentheoretische Richtung
48. Abbildung des Randes
a) Besondere Klassen schlichter Gebiete
b) Allgemeine Theorie
49. Variable Gebiete
4. Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen. Von LUDWIG BIEBERBACH in Frankfurt a. M., jetzt in Berlin. (Abgeschlossen am 1. Dezember 1920.)
Grundlagen der Theorie.
1. Definition des analytischen Charakters einer Punktion
2. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie
3. Die Integralformel
4. Erweiterungen
5. Begriff der analytischen Funktion
6. Kiemannsche Mannigfaltigkeiten
7. Uniformisierung
8. Begriff der singulären Stelle
9 Begriff der Umgebung einer singulären Stelle
10. Eindeutige isolierte Singularitäten
11. Mehrdeutige isolierte Singularitäten
12. Der Monodromiesatz
13. Verteilung der Singularitäten bei eindeutigen Funktionen
Der Picardsche Satz.
14. Der Picardsche Satz
15. "Elementare" Methoden
16. Der Landausche Satz
17. Verallgemeinerungen
18. Der Schottkysche Satz
19. Erweiterungen
Weiteres über das Verhalten in der Nähe wesentlich singulärer Stellen.
20. Grundbegriffe
21. Geradlinige Annäherung an singuläre Stellen
22. Sätze von W. Groß
23. Werteverteilung in Winkelräumen
24. Ränderzuordnung bei konformer Abbildung
25. Der Fatousche Satz
Ganze transzendente Funktionen.
26. Weierstraß
27. Laguerre
28. Poincare. Hadamard. Borel
29. Grundbegriffe
30. Ordnung und Koeffizienten
31. Ordnung und Grenzexponent
32. Ausnahmefälle
33. Bestimmung des Geschlechtes aus den Koeffizienten
34. Das Geschlecht von Summe und Ableitung
36. Funktionen unendlicher Ordnung und Funktionen der Ordnung Null
36. Beziehungen zwischen dem Maximalbetrag einer ganzen Funktion und dem Betrag des größten Gliedes ihrer Potenzreihenentwicklung
Analytische Fortsetzung.
37. Die erste Methode Mittag-Lefflers
38. Methode der konformen Abbildung
39. Modifikation der Methode durch Painleve
40. Der Hauptstern als Konvergenzstern
41. Zurückführung auf die Summation der geometrischen Reihe
42. Integraldarstellungen
43. Eine neue Methode Mittag-Lefflers
44. Verallgemeinerungen
Zusammenhang zwischen den Koeffizienten eines Fnnktionselementes und den Singularitäten der durch dasselbe definierten Funktion.
45. Die Singularitäten auf dem Konvergenzkreis
46. Der Hadamardsche Multiplikationssatz
47. Der Satz von Leau
48. Sätze von Lindelöf
49. Eekurrierende Reihen
50. Untersuchungen von Darboux
51. Die Lage der Pole
Die Potenzreihen an der Konvergenzgrenze.
52. Der Abelsche Grenzwertsatz
53. Die Hölderschen und die Cesäroschen Mittel
54. Weitere Summationsmethoden
55. Beziehungen zwischen den verschiedenen Summationsmethoden
56. Das Wachstum der Funktion bei Annäherung der Variablen an die Konvergenzgrenze
Reihen analytischer Funktionen.
57. Eigenschaften der Summen konvergenter Reihen von analytischen Funktionen
58. Der Vitalische Satz
59. Weiteres über Reihen analytischer Funktionen
Funktionenfamilien.
60. Die Taylorkoeffizienten beschränkter Funktionen
61. Jensens Verallgemeinerung des Schwarzsehen Lemmas
62. Die Funktionen M(r), ...(r), ...(r)
63. Schwankungen
64. Schlichte Familien
65. Familien, die schlicht und beschränkt zugleich sind
66. Konvexe Familien
Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen.
67. Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen
Analytische Funktionen von mehreren komplexen Yariabeln.
68. Definition des analytischen Charakters einer Funktion
69. Die Konvergenz der Potenzreihen in zwei komplexen Veränderlichen
70. Die singulären Stellen der analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen
71. Meromorphe Funktionen
72. Implizite Funktionen
73. Analytische Abbildungen
5. Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen. Von K. HENSEL in Marburg a. L. (Abgeschlossen im März 1921.)
I. Der Körper K(z) der rationalen Funktionen von z.
1. Untersuchung der rationalen Funktionen von z für eine Stelle dieser Variablen
2. Der Körper K(p) aller zur Stelle ... gehörigen Potenzreihen und der Unterkörper K(p) der zu p gehörigen konvergenten Potenzreihen
3. Untersuchung der rationalen Funktionen von z für alle Stellen der ganzen Kugelfläche. Die rationalen Divisoren
II. Der Körper K(u, z) der algebraischen Funktionen einer Variablen.
4. Allgemeine Sätze über die algebraischen Funktionen
5. Untersuchung der Funktionen des Körpers K(u, z) in der Umgebung einer Stelle p der unabhängigen Variablen
6. Die Grundgleichung ist für den Bereich K(p) irreduktibel
7. Allgemeiner Fall: Die Grundgleichung zerfällt innerhalb K(p) in mehrere irreduktible Faktoren
8. Die dem Körper K(u, z) zugeordnete Eiern an nsche Kugelfläche kz
9. Direkte Berechnung der zu einer Stelle p gehörigen Wurzelzyklen. Das zu p gehörige Diagramm
10. Untersuchung der algebraischen Funktionen des Körpers für alle Stellen der Riemannschen Kugelfläche .... Die algebraischen Divisoren
10 a. Die arithmetischen Begründungen des Punktbegriffes
11. Untersuchung der Funktionen des Körpers K(u, z) in bezug auf ihre Teilbarkeit durch einen beliebigen Divisor
12. Die algebraischen Systeme und ihre Elementarteiler
13. Die eindeutigen Transformationen des Körpers K(u, z) in den ihm gleichen K(y, x) bei beliebiger Annahme der unabhängigen Variablen x
14. Die Einteilung der algebraischen Divisoren in Klassen
15. Die Divisorenscharen und ihre Invarianten
16. Die ganzen Divisoren einer Klasse Q
III. Die zu dem Körper K (y, x) gehörigen Abelschen Integrale.
17. Die Abelschen Integrale
18. Die Differentiale der Elemente des Körpers K und die zugehörigen Divisoren
19. Die Differentialklasse W
20. Die Fundamentalaufgabe in der Theorie der Abelschen Integrale. Der Riemann-Rochsche Satz
21. Die Elementarintegrale erster, zweiter und dritter Gattung
22. Spezialisierung für die Integrale mit rationalem Integranden
IV. Die zum Körper K (y, x) gehörigen algebraischen Kurven.
23. Die ebenen algebraischen Kurven und ihre singulären Punkte
24. Der zur Kurve ... gehörige Divisor der Doppelpunkte
25. Auflösung der Singularitäten einer Kurve
26. Die zu einer Gleichung F(x, y) gehörigen Funktionenringe
27. Darstellung der zum Körper K gehörigen Kurven durch homogene Koordinaten
28. Die Differentialteiler einer Divisorenschar und ihre Anwendung in der Geometrie. Die Plückerschen Formeln
29. Theorie der algebraischen Raumkurven
V. Die Klassen algebraischer Gebilde.
30. Die Hauptkurve eines Körpers und ihre Weierstraßpunkte
31. Die Normalgleichungen und die Moduln der algebraischen Körper
32. Die Normalgleichungen und die Moduln der allgemeinen Körper vom Geschlecht p
VI. Algebraische Relationen zwischen Abelschen Integralen.
33. Algebraische Normierung der Fundamentalintegrale erster und zweiter Gattung
34. Die Integrale dritter Gattung und der Satz von der Vertauschung von Parameter und Argument
35. Einteilung aller Wege auf einer Riemannschen Fläche in Klassen
36. Die Fundamentalsysteme von Periodenwegen für eine Riemannsche Fläche
37. Die Periodenrelationen der Integrale erster und zweiter Gattung
38. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Fundamentalsytemen von Periodenwegen
39. Die Perioden der Integrale zweiter und dritter Gattung als Funktionen ihrer Unstetigkeitspunkte
40. Die Primfunktionen. Zerlegung der Funktionen des Körpers in Primfunktionen
41. Das Abelsche Theorem als Additionsprinzip der Integrale
42. Die aus dem Abelschen Theorem folgenden Eeduktionsprobleme
43. Das Umkehrproblem für die Abelschen Integrale
VII. (Anhang.) Arithmetische Theorie der algebraischen Zahlen.
44. Der Körper k(1) der rationalen Zahlen und der Körper K (p) der p-adi-schen Zahlen
45. Die algebraischen Zahlkörper und die ihnen isomorphen rationalen Kongruenzkörper
46. Untersuchung der rationalen Kongruenzkörper für den Bereich einer Primzahl p. Ihre Eeduktion auf die p-adischen Kongruenzkörper
47. Die p-adischen Kongruenzkörper und die ihnen isomorphen Körper K(ß) der sr-adischen algebraischen Zahlen
48. Der zu einer vorgelegten Gleichung F(x) = 0 zugehörige Galoissche n-adische Zahlkörper
6. Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen zweier unabhängigen Veränderlichen. Von HEINRICH W. E. JUNG in Halle a. S. (Abgeschlossen im April 1921.)
I. Einleitung.
II. Der Körper der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen.
1. Die Darstellung der Funktionen des Körpers in der Umgebung einer Kurve
2. Die Darstellung der Funktionen des Körpers in der Umgebung einer Stelle
3. Die Stellen des Körpers K(x, y, z)
III. Primteiler und Divisoren.
4. Die Primteiler erster Stufe
5. Die Einteilung der Primteiler erster Stufe in zwei Arten
6. Die Primteiler zweiter Stufe
7. Divisoren, Divisorenklassen
8. Grad und Geschlecht einer Klasse
9. Birationale Transformation
10. Fundamentalsysteme für die Vielfachen eines Divisors
IV. Die Zeuthen-Segresche Invariante und das numerische Geschlecht.
11. Die Fläche F
12. Die Zeuthen-Segresche Invariante
13. Das numerische oder arithmetische Geschlecht pa von F