Analysis

Table of contents :
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Tabelle, Liste
A. Analysis der reellen Größen (Fortsetzung).
10. Theorie der Kugelfunktionen und der verwandten Funktionen, insbesondere der Lamé'schen und Besselschen (Theorie spezieller durch lineare Differentialgleichungen definierter Funktionen). Von A. WANGERIN
I. Definition der allgemeinen Kugelfunktionen.
1. Definition der allgemeinen Kugelfunktionen mit zwei Veränderlichen
II. Die einfachen Kugelfunktionen Pn.
2. Die einfachen Kugelfunktionen Pn einer Veränderlichen und ihre Differentialgleichung
3. Verschiedene Reihen für Pn
4. Darstellung von Pn als Differentialquotient; Wurzeln von Pn = 0
5. Darstellung von Pn durch bestimmte Integrale
6. Integralsätze, Entwicklung ganzer Potenzen nach Kugelfunktionen, Rekursionsformeln
7. Verschiedene Ausgangspunkte der Theorie, Tafeln
III. Zugeordnete Kugelfunktionen.
8. Zugeordnete Kugelfunktionen; ihre Differentialgleichung, verschiedene Darstellungen
9. Integralsätze der Zugeordneten
10. F. Neumanns Definition dieser Funktionen
IV. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion.
11. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion durch Zugeordnete
12. Darstellung von Yn bei Maxwell und Thomson und Tait
13. Das Additionstheorem der einfachen Kugelfunktionen
14. Integralsätze der allgemeinen Kugelfunktionen
15. Entwicklung einer Funktion zweier Variabein nach Kugelfunktionen
16. Beweis für die Gültigkeit der Entwicklung nach Dini und Heine
17. Andere Beweise
18. F. Neumanns Entwicklung nach Kugelfunktionen auf Grund gegebener Beobachtungen
V. Kugelfunktionen zweiter Art.
19. Die Kugelfunktion zweiter Art Qn
20. Das F. Neumannsche Integral für Qn
21. Entwicklung von Qn nach steigenden Potenzen
22. Integraldarstellung von Qn
23. Zusammenhang zwischen Kugelfunktionen und Kettenbrüchen
24. Zugeordnete Funktionen der zweiten Art
25. Zugeordnete, deren Nebenindex den Hauptindex übersteigt
VI. Erweiterungen.
26. Kugelfunktionen, deren Index eine beliebige Zahl ist
27. Eingfunktionen
28. Mehlers Kegelfunktionen
29. Adjungierte Kugelfunktionen
30 Entwicklung einer Funktion nach Kugelfunktionen
31. Funktionen, die aus der Entwicklung von (1 Â? 2 ... X + ... 2)-v entstehen
32. Fall, in dem v ein Vielfaches von 1/2 ist. Kugelfunktionen höherer Ordnung
VII. Lamé'sche Funktion.
33. Definition. Lamé'sche Differentialgleichung
34. Darstellung der vier Klassen von Lamé'schen Funktionen erster Art
35. Die zugeordneten Kugelfunktionen als Grenzfälle der Lamé'schen Funktionen. Additionstheorern
36. Wurzeln der Gleichung E(...) = 0
37. Entwicklung einer Funktion nach Lamé'schen Produkten
38. Die Lamé'schen Funktionen zweiter Art
39. Hinweis auf Hermites Untersuchungen betreffs der Lamé'schen Gleichung
40. Lamé'sche Funktionen höherer Ordnung
41. Erweiterung des Begriffs der Lamé'schen Funktionen
42. Die Lamé'schen Funktionen mit mehr als drei singulären Punkten im Endlichen
43. Funktionen des elliptischen Kegels
VIII. Zylinderfunktionen oder Besselsche Funktionen.
44. Differentialgleichung. Reihen und Integrale für die Funktionen erster Art
45. Besselsche Funktionen zweiter Art
46. Ableitung dieser Funktionen aus denen erster Art durch einen Grenzübergang
47. Die Zylinderfunktionen als Grenzen der Kugelfunktionen
48. Integraldarstellungen der Funktionen zweiter Art
49. Semikonvergente Reihen
50. Rekurrente Relationen
51. Zusammenhang mit Kettenbrüchen
52. Wurzeln der Gleichung Jv(z) = 0
53. Additionstheorem der Funktionen erster und zweiter Art
54. C. Neumanns Funktion On
55. Entwicklung einer analytischen Funktion nach Besselschen Funktionen
56. Hinweis auf andere Reihen sowie auf Entwicklungen nach Quadraten und Produkten der Zylinderfunktionen
57. Die für die Aufgaben der Physik erforderlichen Entwicklungen
58. Die Reihe von Schlömilch
59. C. Neumanns Integraldarstellung einer Funktion mittelst Besselscher Funktionen
60. Bestimmte Integrale mit Besselschen Funktionen
61. Tafeln der Besselschen Funktionen
IX. Funktionen des elliptischen und parabolischen Zylinders.
62. Funktionen des elliptischen Zylinders
63. Funktionen des parabolischen Zylinders
11. Funktionaloperationen und -gleichungen. Von S. PINCHERLE in Bologna. (Abgeschlossen im Dezember 1905.)
Funktionaloperationen.
1. Definition der Funktionalrechnung
2. Die Funktionalrechnung von Leibniz bis Lagrange
3. Untersuchungen über das Rechnen mit Symbolen bis auf Servois
4. Prinzip des Rechnens mit Symbolen
5. Elemente des Operationskalküls
6. Einfache distributive Operationen
7. Ableitungen (Differentialquotienten) zu beliebigem Index
8. Die Generalisationsrechnung von Oltramare
9. Anwendungen des Rechnens mit Symbolen
10. Anwendungen auf Differentialgleichungen
11. Anwendungen auf Formen- und Zahlentheorie
12. Vektorielle Interpretation in einem Räume von n Dimensionen
13. Interpretation in einem Räume von unendlich vielen Dimensionen
14. Darstellung einer distributiven Operation durch eine Reihe
15. Darstellung einer Operation durch ein bestimmtem Integral
16. Die Transformation von Laplace
17. Andere distributive Operationen
18. Nicht-distributive Operationen
19. Funktionen von Linien
Funktionalgleichungen.
20. Allgemeines über Funktionalgleichungen
21. Die Gleichung von Babbage und ihre Anwendungen
22. Gleichungen von Abel und Schröder
23. Iterationsrechnung
24. Anwendung der Iterationsrechnung auf die Gleichung von Abel
25. Andere Anwendungen der Funktionen von Koenigs
26. Analytische Iteration
27. Verschiedene Funktionalgleichungen. Verallgemeinerung der Periodi-zität. Transzendentale Transzendenz
28. Integralgleichungen erster Art (Umkehrung der bestimmten Integrale); Allgemeines
29. Umkehrung bestimmter Integrale mit festen Grenzen
30. Umkehrung bestimmter Integrale mit veränderlichen Grenzen
31. Integralgleichungen zweiter Art
32. Symbolische Gleichungen
12. Trigonometrische Reihen und Integrale (bis etwa 1850). Von H. BURKHARDT + (in München). (Abgeschlossen im Mai 1914.)
Theorie der trigonometrischen Reihen und Integrale.
I. Entwicklung analytischer Funktionen in trigonometrische Reihen.
1. Erster Ausgangspunkt: Rekurrierende Reihen
2. Zweiter Ausgangspunkt: Autfassung von Reihen, die nach Potenzen einer komplexen Variabein fortschreiten, als Entwicklungen nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen des Arcus dieser Variabein
3. Dritter Ausgangspunkt: Umsetzung von Reihen, die nach Potenzen von cos x fortschreiten, in solche, die nach den Kosinus der Vielfachen von x geordnet sind
4. Divergente trigonometrische Reihen
5. Entwicklung der Potenzen von cos x und sin x nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen von x
6. Anhang zu Nr. 5
7. Trigonometrische Entwicklung rationaler ganzer Funktionen. Die Bernoullischen Funktionen
8. Mit iterierten Integralen rationaler Funktionen zusammenhängende Entwicklungen
9. Entwicklung der Potenzen der wahren Distanz zweier Punkte nach den Kosinus der Vielfachen der scheinbaren Distanz
10. Anhang zu Nr. 9
11. Entwicklungen der Sphärik
12. Entwicklungen aus der Theorie der elliptischen Bewegung
13. Entwicklung von trigonometrischen und von Exponentialfunktionen
14. Andere spezielle Reihenentwicklungen
15. Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen durch unendliche Reihen
16. Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen durch bestimmte Integrale
17. Reihen, die Kosinusglieder und Sinusglieder nebeneinander enthalten
18. Entwicklungen nach den Funktionen der ungeraden Vielfachen des Arguments
19. Umkehrung trigonometrischer Reihen
20. Verwandlung schlecht konvergierender trigonometrischer Reihen in besser konvergierende
21. Restglied einer trigonometrischen Reihe
22. Multiplikation trigonometrischer Reihen . .
23. Der Parsevalsche Satz
24. Eindeutige Bestimmtheit der Entwicklung
II. Entwicklung willkürlicher Funktionen in trigonometrische Reihen.
25. Die Hauptschwingungen eines Massensystems
26. Der Streit um das Problem der Saitenschwingungen
27. Fourier und seine Zeitgenossen
28. Exkurs betr. die Entwicklung des Begriffs einer willkürlichen Funktion
29. Exkurs betr. die Vertauschung der Reihenfolge von Grenzübergängen
30. Exkurs betr. die Diskussion über die den Zeichen cos ..., sin ... beizulegende Bedeutung
31. Ältere mißglückte Beweisversuche
32. Grenzübergang von den Interpolationsformeln her
33. Der Deflerssche Beweisansatz . .
34. Der Poissonsche Beweisansatz
35. Exkurs betr. die Entwicklungsgeschichte von Cauchys Residuentheorie
36. Der Cauchysche Beweisansatz aus der Residuentheorie
37. Der Dirichletsche Beweis
38. Beweis der Konvergenz durch partielle Integration in den Ausdrücken der Koeffizienten
39. Benutzung des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung durch O. Bonnet
40. Integral des Quadrats des beim Abbrechen einer trigonometrischen Entwicklung übrig bleibenden Fehlers
41. Differentiation und Integration trigonometrischer Reihen
42. Verhalten der Reihe an Sprungstellen der zu entwickelnden Funktion
III. Unharmonische trigonometrische Reihen.
43. Erste Beispiele solcher Reihen
44. Die Realität der Wurzeln der determinierenden Gleichungen
45. Beweise der Möglichkeit solcher Entwicklungen
IV. Mehrfache trigonometrische Reihen.
46. Mehrfache trigonometrische Reihen
47. Rechneu mit mehrfachen trigonometrischen Reihen
48. Mehrfache unharmonische trigonometrische Reihen
49. Das Verfahren von Liouville
50. Die Entwicklung der Störungsfunktion in der Theorie der Planetenbewegung
51. Entwicklung der Wärmemenge, die ein Teil der Erdoberfläche von der Sonne erhält, nach trigonometrischen Funktionen der Zeit
V. Das Fouriersche Integral.
52. Übergang von der trigonometrischen Reihe zum Fourierschen Integral
53. Die komplexe Form des Fourierschen Integrals
54. Die Auffassung der Integralrelation als Grenzgleichung
55. Andere Modifikationen der Integralrelation
56. Andere Versuche, den Fourierschen Integralsatz zu beweisen
57. Umgestaltungen der Fourierschen Integralformel
58. Das Fouriersche Integral für den Fall von Unstetigkeiten der darzustellenden Funktion
59. Paare reziproker Funktionen
60. Unharmonische Form des trigonometrischen Integrals
61. Differentiation und Integration trigonometrischer Integrale
62. Mehrfache trigonometrische Integrale
63. Das mehrfache Fouriersche Integral als Grenzformel
64. Paare reziproker Funktionen von mehreren Variabeln
65. Die sogenannte Poissonsche Hilfsformel
66. Eine Hilfsformel von Cauchy
Anwendungen der trigonometrischen Reihen und Integrale.
VI. Integration partieller Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen.
67. Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen, die nach den sukzessiven Ableitungen willkürlicher Funktionen fortschreiten
68. Allgemeines über Integration durch Reihen von Elementarlösungen
69. Ausgezeichnete Lösungen und Eigenfunktionen
70. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, von den in Nr. 67 besprochenen Reihenentwicklungen aus
71. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale: Integration des Produkts der Elementarlösung mit einer willkürlichen Funktion ihres Parameters nach diesem
72. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, in Übertragung der bei gewöhnlichen Differentialgleichungen angewendeten Methoden
73. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, vermöge der Darstellung der numerischen Koeffizienten ihrer Reihenentwicklungen durch solche Integrale
74. Übergang von der Lösung durch eine trigonometrische Reihe zur Lösung durch ein bestimmtes Integral
75. Diskussion über den Grad der Allgemeinheit der so erhaltenen Lösungen .
76. Ableitung der Hauptlösung aus der Lösung durch ein bestimmtes Integral
77. Ableitung der Lösung durch ein bestimmtes Integral aus der Hauptlösung
78. Anpassung der Lösung durch ein bestimmtes Integral an gegebene Anfangsbedingungen
79. Integration durch trigonometrische Integrale
80. Ableitung der Hauptlösung einer partiellen Differentialgleichung aus der Darstellung ihrer allgemeinen Lösung durch ein Fouriersches Integral
81. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zur Lösung durch ein einfaches Integral
82. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zu der von Integralzeichen freien Form der Lösung
83. Darstellung der Integrale durch die Formeln der Residuentheorie
84. Rückkehr von der Lösung durch Integrale zur Lösung durch trigonometrische Reihen
85. Ableitung des "Endverlaufs" aus den Reihenentwicklungen
86. Ableitung des "EndVerlaufs" aus der Integraldarstellung
87. Die mit einer partiellen Differentialgleichung verträglichen Unstetigkeiten
88 Variable Koeffizienten in den Grenzbedingungen
89. Mit der Zeit variable Grenzflächen
90. Sinn der Lösung für dem angenommenen Anfangszustand vorangehende Zeiträume
VII. Integration partieller Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.
91. Integration durch trigonometrische Reihen
92. Integration von Differentialgleichungen mit n + 1 unabhängigen Veränderlichen durch n-fache bestimmte Integrale
93. Integration durch mehrfache Fouriersche Integrale
94. Reduktion mehrfacher Fourierscher Integrale
95. Darstellung der Integrale durch die Formeln der Residuentheorie
96. Reduktion der Integration eines Systems partieller Differentialgleichungen auf die einer resultierenden Gleichung
97. Ableitung des Endverlaufs aus der Integraldarstellung
98. Das Spiegelungsprinzip
99. Die mathematische Formulierung des Huyghensschen Prinzips
VIII. Sonstige Anwendungen.
100. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale auf Grund der Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen
101. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale mit Hilfe der Fourier-schen Integralformel
102. Darstellung der Wurzeln von Gleichungen durch Integrale
103. Analytische Darstellung des reellen und des imaginären Bestandteils einer Funktion komplexen Arguments vermittelst ihrer Werte für reelle Argumente
104. Diskontinuitätsfaktoren
105. Restglied der Euler-Maclaurinschen Summenformel
106. Umformung von Reihen
107. Transformation der Thetafunktionen
108. Differentiation zu beliebigem Index
109. Funktionen großer Zahlen
110. Auflösung von Integralgleichungen
111. Integration von Gleichungen mit gemischten Differenzen
112. Gaußsche Summen
113. Sukzessive Evoluten ebener Kurven
Register zu Band II, Teil I
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