Allgemeine Relativitätstheorie : Eine Einführung in die Theorie des Gravitationsfeldes [2 ed.] 3326000839, 9783326000831

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H. Stephani Allgemeine Relativitätstheorie

Hochschulhücher für Physik Herausgegehen von Rohert Rompe und Ernst Schmutzer Band 43

Dieses Buch soll eine Einführung in die Grundlagen der Einsteinschen Theorie geben und einen überblick über ihre Fragestellungen, Begriffe und Methoden vermitteln. Bei der stürmischen Entwicklung der relativistischen Physik in den letzten Jahren war eine Beschränkung und Auswahl des Stoffes unumgänglich; durch die jedem Kapitel beigefügten Liter8.tul'hinweise wurde jedoch versucht, die Lücke bis zur modernen Forschung möglichst weitgehend zu schließen. Einige etwas anspruchsvollere Abschnitte, die man beim ersten Lesen auslassen kann, wurden mit einem Stern gekennzeichnet. Beim Leser wird die Kenntnis der theoretischen Mechanik, der Elektrodynamik und der Speziellen Relativitätstheorie vorausgesetzt. Die für die Allgemeine Relativitätstheorie benötigten Grundbegriffe der Riemannschen Geometrie werden in den ersten Kapiteln dargestellt. )lein Dank allen Kollegen der von Prof. SCHMUTZER geleiteten Jenaer Arbeitsgruppe, mit denen und von denen ich die Relativitätstheorie lernte, und allen namentlich erwähnten oder auch ungenannten Autoren von Büchern und Zeitschriftenartikeln, deren Ideen dieses Buch enthält. Besonders verpflichtet bin ich meinen Kolle· gen Dr. G. KLUGE und Dr. D. KRAM ER für zahlreiche kritische Hinweise zur Ge3taltung des Manuskripts sowie Prof. Dr. E. SCBM"GTZER und Dr. F. GEHLHAR für Ab· änderungsvorschläge. '\Veiterhin habe ich zu danken Frau U. KASCHLIK für das sorgfältige Schreiben des Manuskripts, Herrn TB. ELSTER für Hilfe bei den Korrekturen und nicht zuletzt dem Verlag für die angenehme Zusammenarbeit.

Jena. 1977

HANS STEPHJ,XI

Inhaltsverzeichnis

Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .

13

1.

Die kriütefreie Bewegung von 31assenpunkten in der Newtonschen Mechanik. .

14

1.1 1.2. 1.3. 1.4.

Koordinatensysteme. . Bewegungsgleichungen . . . Die Geodätengleichung . . . Die geodätische Abweichung

14 16 18 19

Grundlagen der Riemannschen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . 23 Geometrie~

2.

Warum überhaupt Riemannsche

3.

Der Riemannsche Raum .

24

3.1. 3.2. 3.3. :3.4. 3.5.

Die Metrik . . . . . . . Geodäten und Christoffel-Symbole Koordinatentransforma tionen Spezielle Koordinatensysteme Physikalische Bedeutung und Interpretation von Koordinatensystemen

24

4.

Tensoralgebra

34

4.1.

35 36 39

4.4. 4.5. 4.6.*

Skalare und Vektoren Tensoren und andere geometrische Objekte Rechenregeln für Tensoren. . . . . . . . Symmetrien von Tensoren . . . . . . . . Algebraische Eigenschaften der Tensoren 2. Stufe Tetraden- und Spinorkomponenten von Tensoren

5.

Kovariante Ableitung und Parallelverschiebung .

49

5.1. 5.2.

Partielle und kovariante Ableitung . . . . . . Kovariantes Differential und Parallelität im Kleinen.

49 51

4.2. 4.3.

23

25

28 30 33

41

42 45

8

Inhaltsverzeichnis

5.3. 5.4. 5.5.

Parallelverschiebung längs einer Kurve und Parallelpropagator Fermi -"\Valk er-Transport . Lie-Ableitung

6.

Der !{rümmungstensor

6.l. 6.2. 6.3. 6.4.

Innere Geometrie und Krümmung Krümmungstensor und Fernparallelismus von Vektoren Krümmungstensor und zweite Ableitungen des metrischen Tensors Eigenschaften des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . .

...I .

Differentialoperatoren, Integrale und Integralsätze .

65

7.l. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

Aufgabenstellung . . . . . . . . . ·Wichtige Differentialopemtoren Volumen-, Flächen-, Kurvenintegrale Integralsätze . . . . . . Integrale Erhaltungssätze . . . . .

65 65

8.

Grundgesetze der Physik in Riemannschen Räumen

71

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. S.6. 8.7.

vVie findet man die physikalischen Grundgesetze? Punktmechanik . . . . . Elektrodynamik im Vakuum Geometrische Optik . . . . Thermodynamik . . . . . Ideale Flüssigkeit und inkohärente Materie Andere physikalische Grundgesetze . . . .

71 74 77 81 83 85 86

Grundlagen der Einst('insch('D GravitatioDstheorie . . .

87

9.

Die Grundgleichungen der Einsteinsehen Gravitationstheorie

87

9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

Die Einsteinschen Feldgleichungen Der N ewtonsche Grenzfall Die Bewegungsgleichungen von Testteilchen Das Variationsprinzip der Einsteinschen Theorie

87 89 91

95

10.

Die Schwarzschild.Lösung

98

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.

Aufstellung der Feldgleichungen Die Lösung der Vakuumfeldgleichungen Allgemeine Diskussion der Schwarzschild-Lösung Planetenbewegung und Perihel drehung . Lichtausbreitung im Schwarzschild-Feld

53 54 55

5, 58 60

62

66 6S 70

98 101 102 104 106

9

Inhaltsverzeichnis

10.6. 10.7.

Ergänzungen zur Schwarzschild-Metrik . . . . . . . Experimente zur Bestätigung der Schwarzschild-Metrik

111 112

11.

Die innere Schwarzschild-Lösung . . . . .

115

Il.I. 1l.2. 11.3. 1l.4.

Die Feldgleichungen . . . . . . . . . . 115 der Feldgleichungen Die allgemeine 116 tJbergangsbedingllngen und Anschluß an die äußere Schwarzschild-Lösung . • 118 Diskussion der inneren Schv.'arzschild-Lösung . . . . . . . . . . . . · 120

12.

Die Reissner-"Teyl-Lösung . . . . . . . . .

121

Linearisierte Gravitationstheorie, Fernfelder und Gravitationswellen

123

13.

Die !inearisierte Einsteinsehe GraTitationstheorie

123

13.1. 13.2. 13.3.

Berechtigung und Gültigkeitsbereich einer linearisierten Theorie Die Grundgleichungen der linearisierten Theorie . . . . . . . Diskussion der Grundgleichungen und Vergleich mit der speziell-relativistischen Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Fernfeld einer zeitabhängigen Quelle . . . . . . . . . . . Diskussion der Eigenschaften des Fernfeldes (linearisierte Theorie).

123 124

13.4. 13.5.

125 127 130

14.

Fernfelder beliebiger l\IaterieTerteilungen und BiIanzgleichungen für Impuls und 132 Drehimpuls

14.1. 14.2. 14.3. 14.4.

Was sind Fernfelder? Der Energieimpulskomplex des Gravitationsfeldes Die Bilanzgleichungen für Impuls und DrehimpuJf;-Jl wir ab, daß sie geometrische Objekte,

Zweipunkttensoren. Zweipunkttensoren sind keine .ZE'vmetrischen Objt:·kte im gen"n Sinne. Sie treten in der Beschreibung physikalischer Vorgänge auf. bei dene!: hervorruft. Ihre Indizer:ehw im Punkt P gelegene Ursache im Punkt fi eine beziehen sich auf den Punkt P (normale Schreibweise) bz'f,~-. auf den Punkt P (Quer-

100

Grundlagen der Einsteinsehen Gravitationstheol'ie

vergleicht und die Christoffel-Symbole abliest. Mit den Abkürzungen' == , == eIer lauten die GIn. (10,4) in unserem Fall 2 r 1 (dr)2 eA[d --+- ,..l ' dt'2 2 dt'

d2{) r2 - -

e

v

[ddt'2x

2 4

-1

('-d{})2 -rsm . 2 {} (d - 91 )2 dt'

dt'

(d

dr d{} . )2 2r- - r2 Sln{) cos{} - 91 = 0,

+

dt'2

4

d?' dx ;] +---,.. dt' dt'

dt' dt'

V

(dx

4

+"2 dt'

(10,6)

dt'

) 2

dxdt' TT dr] T e1l .~ (dr) dt' 4

+

I

V

I

alact,

i.

2 _

-

o.

Von den insgesamt 40 unabhängigen Christoffel-Symbolen sind also nur die folgenden 12 von Null verschieden (Xl = r, x 2 = {), x 3 = 91, Xi = ct):

r l14= 2' j

).' l - 2' r 11-

rä3 rL rti

- r sin2 {) e-Ä,

r~=

-sin# cos#,

r lS

j

rt4 =

"2 e

Ä-V

,

3

1

eV-Äv',

1 =-, r

v'

2'

ris =

-r e-",

ri2 = .!.-, r rgs =

r~

(10,7)

cot#,

=:.

Da Ricci-Tensor. Aus der allgemeinen Definitionsgleichung (10,8)

folgt unter Berücksichtigung von (10,7)

Rlmln r~n.I rLn,n + rhr~n + r~4r~n - r~nr~l' R2 m2n = r!n.2 - r~m.n + r~2r:nn - r;nr~2' RS m3n = - rgm,n + risr~n + r~3r!n - r~nr':n3' R4m4n = r~n,4 - rtm.n + rt4r~n + r~4rinn - r:nr~4' Alle diese Komponenten haben die Eigenschaft, nur für m = n oder (m, n) nicht zu verschwinden. Auch R 1234 ist Null.

(10,9)

=

(1,4)

10. Die Schwarzschild-Lösung

107

verwenden [vgl. (3,9)]. Wir gelangen dann zu der Feststellung, daß bei geeigneter Koordinatenwahl die Lichtstrahlen in der Schwarzschild-Metrik in der Fläche {) = const = 7ti2 verlaufen und der zu (10,30) analogen Differentialgleichung d 2u -d '> q:-

+

1l

= 3Mu 2 ,

== l/r

U

(10,40)

genügen. Im flachen Raum (M = 0) sind die Lichtstrahlen natürlich Geraden. Bei unserer Koordinatenwahl werden diese Geraden durch

1 1. (10,41; (rp - rpo) o = - r = -sm D dargestellt. Sie laufen in den Richtungen rp = rpo bzw. rp :;= rpo + 7t ins Unendliche ('u = 0) und haben vom Zentrum (r = 0) den Abstand D. Um eine Näherungslösung u 1 der GI. (10,40) zu erhalten, ersetzen wir das in 1), quadratische Glied durch seinen Newtonschen \Yert (10,41) und lösen U

d 2u 1

+

drp2

U1

=

3M . 2 D2 8m (rp - rpo)'

(10,42 j

\Vie man durch Einsetzen bestätigen kann, i8t bei geeigneter \Vahl von