2016. Том 4. Вып. 2 Геометрия и графика

Citation preview

Г Е О М Е Т Р И Я И Г РАФ И К А

ISSN 2308-4898

Научно-методический журнал

2016. Том 4. Вып. 2

Scientific and methodological journal

2016. Vol. 4. Issue 2

G E O M E T RY & G R A PHI C S

СОДЕРЖАНИЕ

Выходит 4 раза в год Издается при поддержке: Московского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

DOI 10.12737/issn.2308-4898

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ Козневски Э.

Новые методы автоматизированного проектирования скелетов крыш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Графский О.А.

Об установлении взаимной связи ряда и пучка второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Сальков Н.А.

Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Часть 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Свидетельство о регистрации средства массовой информации от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523 Издатель:

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА‑М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) Факс: (495) 280‑36‑29 E‑mail: books@infra‑m.ru http://www.infra‑m.ru Главный редактор: Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) Выпускающий редактор: Путкова А.В. Отдел подписки: Назарова М.В.

Тел.: (495) 280‑15‑96, доб. 249 e-mail: [email protected]

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ Иванов Г.С.

Предыстория и предпосылки трансформации начертательной геометрии в инженерную. . . . . . . . . . . 29

Сальков Н.А.

Начертательная геометрия — база для компьютерной графики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Ерцкина Е.Б., Королькова Н.Н.

Геометрическое моделирование в автоматизированном проектировании архитектурных объектов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Тен М.Г.

Применение мультимедиатехнологий при формировании профессиональных компетенций студентов технического вуза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Овчаренко О.

Взаимная поддержка и использование CAD-программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Информация для авторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181 © ИНФРА-М, 2016 Подписано в печать 17.06.2016. Формат 60x90/8. Бумага офсетная. Тираж 1000 экз. Заказ № САЙТ: www.naukaru.ru E-mail: [email protected]

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева (Россия). D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow (Russia). Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор. Тульский государственный университет, Тула (Россия). Tula State University, Tula (Russia). Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, кавалер ордена и медали Франциска Скорины. Витебский государственный университет имени П.М. Машерова (Беларусь). Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus). Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия). Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. Petersburg (Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород (Россия). Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, Nizhny Novgorod (Russia). Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия). Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia). Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, Innsbruck (Austria). Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna (Austria). Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор. Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь (Россия). Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia). Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия). Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). Moscow Technological University (Russia).

Weiss Günter, Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna (Austria).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University of Kassel, Kassel (Germany).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, первый зам. гл. редактора (Россия).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор. Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия). Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, Simferopol (Russia).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ), зам. гл. редактора (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия). Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ), ответственный секретарь (Россия).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). Moscow Technological University (Russia).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). Moscow Technological University (Russia). Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор. Софийский технический университет, София (Болгария). Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria). Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). Moscow Technological University (Russia). Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel). Ariel University, Science Park, Ariel (Israel). Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия). Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow (Russia).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Присланные рукописи не возвращаются. Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых материалов. Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с авторами. Поступившие в редак­цию материалы будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования редакции. Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции. При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна. Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ УДК 004.92:514.174.3

DOI: 10.12737/19827

Э. Козневски Д-р техн. наук, профессор, Белостокский технологический университет, Польша, г. Белосток, ул. Вейска, 45 Е

Новые методы автоматизированного проектирования скелетов крыш Аннотация. Проблема эффективного проектирования крыш является актуальным направлением исследований, это подтверждают научные работы [1–5]. Информационные технологии, компьютер и специальные программы активно используются во всех сферах жизни [6; 12; 15]. В статье предложены способы моделирования геометрических форм сложных крыш, так называемых «крыш с соседями», с которыми сталкиваются, например, при возведении пристроек к уже существующим зданиям. Крыши рассматриваются как особый класс полиэдральных поверхностей. Особые трудности проектирования формы крыш возникают при усложнении их основания. При большом количестве внутренних и внешних углов плоского основания крыши решение традиционным способом становится очень сложным. Предложенный в статье метод ускоряет проектирование формы кровли помещений со сложным периметром. В САПР закладываются параметры формирования геометрии полиэдральной поверхности кровли. Закладываемые в программу параметры выводятся из необходимых свойств крыши. При проектировании формы кровли необходимо учитывать направление стока воды. В статье приведены иллюстрации полученных с помощью САПР геометрических форм кровли помещений со сложным многоугольным основанием. Для получения изображений в статье использованы методы ортогонального проецирования и военной перспективы. Ключевые слова: регулярный каркас крыши, геометрия скелетов крыши, крыши с соседями, форма крыши.

E. Koniewski Doctor of Engineering, Professor, Bialystok University of Technology Wiejska St. 45E 15-351 Bialystok, Poland

New Methods of the Computer Aided Design of Roof Skeletons Abstract. The problem of efficient design of roofs is a topical area of research. This is confirmed by scientific studies [1–5, etс.]. Today, in the times of information technology in all areas of actively using the computer and specific programs [6; 12; 15, etc.]. The author presents a proposal of geometric design (geometric solutions) for roofs with restrictions, so-called "roof with its neighbors."Roofs are treated as a special class of polyhedral surfaces. Construction includes a corresponding attachment roof with restrictions on the roof on a simple connection of the polygon, designing a conventional roof and perform the appropriate logic

operation. Fig. 1. The Boolean operations are useful tools in geometrical designing of roof skeletons. Solving roofs with neighbors is much easier if we bring them to solve simple roofs over simpleconnected polygon base. The difficulty comes to the design of an appropriate polygonal base. This method essentially involves applying geometric design of a regular roof to design a roof with constraints, which can be relatively easily performed with a CAD program [13]. The elements of a roof: a) a roof with its elements in the orthographic projection, b) the roof with its elements in a military axonometry, c) the line of disappearing ridges of the roof in the orthographic projection [9]. Keywords: regular roof skeleton, geometry of roof skeletons, roofs with neighbours, shape of roof.

1. Introduction

Fig. 1. The elements of a roof: a) a roof with its elements in the orthographic projection, b) the roof with its elements in a military axonometry, c) the line of disappearing ridges of the roof in the orthographic projection [9]

The paper contains results of the next stage of research into the shape of roofs. Roofs are treated as a special class of polyhedral surfaces. The author proposes a new approach to some problems of Descriptive Geometry concerning the geometry of roofs. The author presents a proposition of geometric design (geometric determination) of roofs with constraints, the so called «roofs with neighbours» and its influence to the teaching of Descriptive Geometry. The multi-surface roof with neighbours is spanned over such a polygon that a portion of the base does not belong to the line of eaves. In other words the line of eaves does not cover the base of the roof (Fig. 2, [16]; Fig. 3, [17]). The design involves the appropriate embedding of a roof with constraints in a roof over a simple-connected polygon, designing a regular roof and performing appropriate Boolean operations.

3

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7

2. The case of completing the roof without corrections

Fig. 2. An example of a building with multi hipped roof ([16], available 21.01.2016)

The traditional roof design (Fig. 4r) requires the introduction of additional hipped roof ends, thus additional eaves, so that water can be removed from “the neighbour’s roof” or in parallel line with neighbour’s roof ridge (in Fig. 4r, r1 the arrows indicate this direction) [4]. In the proposed method the introduction of additional hipped roof ends (eaves) is achieved through natural extending (without using apparent eaves) the polygon of the base of a roof (i.e. building’s design) (Fig. 4r1).

Fig. 5. A simple connected roof: r2) the extended polygon as the base of a roof over a simple-connected polygon, r3) the solution of the roof

Fig. 3. An example of a building with multi hipped roof with constraints ([17], available 21.01.2016)

In order to illustrate the discussed problems, with the use of terminology and symbols from papers [7–10] (Fig. 1) the author shall review the main theorem concerning regular roofs. Theorem. (Euler's formula for regular roofs) If the base of a regular roof is a k-connected generalized v-polygon, then the number r of the ridges of this roof is 2v + 3(k – 2), the number t of the top points of this roof is v + 2(k – 2), the number d of the disappearing ridges of this roof is v + 3(k – 2).

Thus set task (a standard roof over a simple-connected polygon) is traditionally solved in a way applied in descriptive geometry [4; 14] and also, which is of great importance here, with CAD program [13] (Fig. 5r3). Having completed Boolean operation (subtraction, intersection, union) (Fig. 6r4, r5) the resulting roof is obtained (Fig. 7). This method essentially involves applying geometric design of a regular roof to design a roof with constraints, which can be relatively easily performed with a CAD program [13].

Fig. 6. The Boolean operations on the roof over the simple-connected polygon: r4) the base of an auxiliary prism, r5) the result of the intersection of two solids: the roof and the prism

Fig. 4. The base of a roof with constraints: r) the base of the roof with constraints (double lines), r1) the roof embedded in a regular simple-connected roof

The Graph Theory view point of roofs corresponds with a graph theoretical description of architectural objects presented by Mitchell [11].

4

Fig. 7. The solved roof and its four projections

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7

3. The case of completing a roof with a niche through hipped roof end correction If the additional hipped roof end is not attached to its eaves (Fig. 8rc) the method described above requires correction at the end of the algorithm of roof solution. The extension of roof base is performed through anticipation of additional hipped roof end location, so that its eaves are perpendicular to the direction of water drainage and also so that its terminal section of water drainage at the same time was attached to the neighbouring hipped roof end (Fig. 8rc1). This induces the solution shown in figures 8, 9. The final stage requires removal of redundant roof ridges (Fig. 9rc3) and hence requires reduction of the number of additional hipped roof ends. Apparently similar situation in figure 4f is, however, totally different and does not require any corrections. Here the eaves are not apparent, although they are reduced to a point.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

4. Determination of roofs with constraints and with downspout points If the eaves of a roof are geometrically reduced to a point, then such eaves (a point) we call a downspout point. In Fig. 10 we see three bases of roofs which can be generated by limit operation which leads to coincident two eaves and vanishing third eaves (the length of one of three neighbour eaves convergent to zero — these eaves are infinitesimal). Fig. 11–13 show the idea of the proposed method of determination of roofs with constraints. This method can be interpreted in the following sense. A design of roofs with constraints is realized in two steps. In the first we design the roof over an appropriate simple-connected polygon, next we place the required window onto the projection of designed proper regular roof.

Fig. 10. The bases of roofs with constraints (double lines): a) with one downspout point, b) with two natural downspout points, c) with complete constraints and with five downspout points Fig. 8. The roof with two apparent eaves: rc) the base of the roof with neighbor (the asterisks show the water fly direction)

Fig. 9. The solution with the correction of hipped roof ends. Two hipped roof ends with apparent eaves

Fig. 11. The determination of a roof with constraints generated by the base in Figure 10a: a1) the base of the roof embedded in regular simple-connected polygon with one infinitesimal eaves (length of which is very little), a2) the received simple-connected polygon with one downspout point, a3) the determination of the roof, a4) Boolean operation (intersection of obtained roof and prism built on the base from Figure 10a)

5

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7

Fig. 14. The obtained roofs with different constraints

Fig. 12. The determination of a roof with constraints generated by the base in Figure 10b: b1) extended polygon as the base of the simple-connected roof with two downspout points as the base of the simple-connected base of the roof with two infinitesimal eaves, b2) the determination of simple-connected base of the roof, b3) Boolean operation (intersection of obtained roof and prism built on the base from Figure 10b), b4) the determined roof with two downspout points

Fig. 15. Pictorial view of the roof model with a base from Fig. 10a obtained in AutoCAD

Fig. 16. Pictorial view of the roof model with a base from Fig. 10c obtained in AutoCAD

4. Conclusions Fig. 13. The determination of a roof with complete constraints generated by the base in Figure 10c: c1) extended polygon as the base of the simple-connected roof with five downspout points as the base of the simple-connected base of the roof with five infinitesimal eaves, c2) the determination of simple-connected base of the roof, c3) the determined roof with complete constraints and with five downspout points, c4) Boolean operation (intersection of obtained roof and prism built on the rectangular base from Figure 10c)

References 1. Aleksandrova E.P., Kochurova L.V., Nosov K.G., Stolbova I.D. Intensifikaciya graficheskoy podgotovki studentov na osnove geometricheskogo modelirovaniya [Intensification of Graphics Training of Students on the Basis of the Geometric Simulation]. Problemy kachestva graficheskoy podgotovki studentov v tehnicheskom vuze: tradicii i innovacii. 2015. V. 1, p. 213– 223. (in Russian)

6

The Boolean operations are useful tools in geometrical designing of roof skeletons. Solving roofs with neighbors is much easier if we bring them to solve simple roofs over simple-connected polygon base. The difficulty comes to the design of an appropriate polygonal base. The key to solve the roofs with downspout (chute) points is a handy adoption of eaves with appropriate short length.

2. Domaski T. The Impact of Loads on Fire Safety of Timber Roofs in Mountain Region in Poland. Bezpieczenstwo i technika pozarnicza, 2015, Volume 37, р. 87–96. (in Polish) DOI: 10.12845/bitp.37.1.2015.7. 3. Elovikova A.V., Demeneva N.V. Reshenie zadachi optimizacii rashoda krovelnogo materiala dlya chetyryohskatnoy kryshi [Solving Problems Optimization Flow Hipped Roofing Material for Roof]. Molodyojnaya nauka 2015: tehnologii, innovacii, 2015, p. 91–94. (in Russian)

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7

4. Grochowski B. Descriptive Geometry from an Applied Perspective. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995 (in Polish) 5. Istomin B.S., Turkina E.A. Arhitekturniy potencial prostranstva krysh mnogoetajnih jilyh zdaniy [Architectural Potential Roof Space High-rise Housing]. Jilichnoe stroitelstvo, 2013, no. 10, p. 28–31. (in Russian) 6. Korotkiy V.A., Khmarova L.I. Nachertatelnaya geometriya na ekrane kompyutera [Descriptive geometry on computer screen]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013. V. 1, I. 1, p. 32–34. (in Russian). DOI: 10.12737/2083. 7. Koniewski E. O vozmojnosti primeneniya teorii grafov v geometrii krysh [On the possibility of the application of graph theory to the roof geometry]. Mejdunarodnaya konferenciya «Potencial nauki – razvitiyu promyshlennosti, ekonomiki, kultury, lichnisti», Minsk, 5–8 fevral 2002. 8. Koniewski E. Euler’s Formula for Geometry of Roofs with Applications to Architectural Design. Proceedings of Dresden Symposium Geometry: constructive & kinematic. Dresden, 27.02–1.03.2003, p. 156–163. 9. Koniewski E. Geometry of Roofs from Graph Theory View Point. Journal for Geometry and Graphics, V. 8 (2004), no. 1. 10. Koniewski E. On Existence of Shapes of Roofs. Journal for Geometry and Graphics. V. 8 (2004), no. 2. 11. Mitchell W.J. Computer-Aided Architectural Design. Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1977.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

12. Petukhova A.V. Ingenerno-graficheskaya podgotovka studentov ctroitelnyh specialnostey s vspolzovaniem sovremennyh programmnyh kompleksov [Engineering Graphics Course Using Modern Software Systems for Students of Civil Engineering University]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015. V. 3, I. 1, p. 47–58. (in Russian). DOI: 10.12737/10458. 13. Piko A. AutoCAD 2014. Wydawnictwo Helion, Katowice, 2014. 14. Przewłocki S. Geometria wykrelna w zastosowaniach dla budownictwa i architektury [Descriptive Geometry for Civil Engineering and Architecture]). Wydawnictwo Uniwersytetu Warmisko-Mazurskiego, Olsztyn, 2000 (in Polish). 15. Volkov V.Y., Kaygorodtseva N.V., Panchuk K.L. Sovremennye napravleniya i perspektivy razvitiya nauchnyh issledovaniy po geometrii i grafike: obzor dokladov na Mejdunarodnoy koferencii ICGG 2014 [Modern Direction and Prospects for Development of Scientific Research on the Geometry and Graphics: A Review of Reports of the International Conference ICGG 2014]. Problemy kachestva graficheskoy podgotovki studentov v tehnicheskom vuze: tradicii i innovacii. 2015. V. 1, p. 99–110. (in Russian) 16. www. archipelag.pl, available 21.01.2016. 17. www.projekty.ign.com.pl, available 21.01.2016.

7

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

УДК 514.14:517.53

DOI: 10.12737/19828

О.А. Графский Д-р техн. наук, профессор, Дальневосточный государственный университет путей сообщения (ДВГУПС), Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47

Об установлении взаимной связи ряда и пучка второго порядка Аннотация. В соответствии с программой дисциплины «Спецразделы аффинной, проективной и вычислительной геометрии» для подготовки магистров по профилю «Системы мультимедиа и компьютерная графика» при ДВГУПС, рассматривается тема «Проективная теория кривых второго порядка» [4; 14; 18]. В указанных источниках, а также учебном пособии [11], применяется проективный способ образования кривых второго порядка как ряда второго порядка, а также двойственная его форма – пучок второго порядка (принимая во внимание известные теоремы, следствия, включая теоремы Паскаля и Брианшона). Однако представленные графические интерпретации в указанных выше источниках имеют общий теоретический характер: для построения ряда второго порядка задаются два проективных пучка первого порядка с соответственными прямыми, а при конструировании пучка второго порядка – два проективных ряда с соответственными точками. Более значимые приемы можно наблюдать при построении обводов кривыми второго порядка: здесь, в зависимости от значений инженерного дискриминанта, можно строить эти кривые как при помощи прямых Паскаля, так и используя свойство самого инженерного дискриминанта, т.е. принимая во внимание, что проводимые касательные к кривым второго порядка и составляют пучок второго порядка. Естественно, возникает желание не задавать соответственные точки на проективных рядах, а получать их построением, при этом обнаружить закономерности при конструировании различных кривых второго порядка (первый аспект исследования). Второй аспект заключается в рассмотрении конкретных примеров, которые бы имели определенные пучки второго порядка, тогда бы задача заключалась в моделировании ряда второго порядка как двойственной формы пучка. Таким образом, можно было бы достичь взаимной связи конкретного пучка и ряда второго порядка. Ключевые слова: ряды и пучки первого и второго порядков, прямая Паскаля, инженерный дискриминант, тригонометрические функции комплексного переменного, визуализация в математическом пакете Maple.

O.A. Grafskiy Doctor of Engineering, Professor, Far Eastern State Transport University (FESTU), 47, Seryshev St., Khabarovsk, 680021, Russia

On the Interconnection of a Range and the Second-Order Cluster Abstract. In accordance with “Specialized sections of affine, projective and computational geometry” syllabus for Master’s degree program in “Multimedia systems and computer graphics” developed at the Far Eastern State Transport University, the subject “Projective theory of the second-order curves” is considered [4; 14; 18]. Both at the sources mentioned and the textbook [11] pro-

8

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

jective method of the second-order curves formation as a range of the second order and its dual form – a second-order cluster (with regard to well-known theorems and relations, including Pascal and Brianchon theorems) is discernible. However, the graphical interpretations represented at the sources mentioned have general abstract character: to form the secondorder range two projective clusters of the first-order with the corresponding right lines are defined, and to design the second-order range – two projective series with the corresponding points. Techniques of high value can be observed when constructing outlines with the second-order curves; in this case, depending on engineering discriminant values, these curves can be constructed both using Pascal lines and qualities of the engineering discriminant itself, that is paying attention to the fact that tangents to the second-order curves makes the second-order cluster. Naturally, intent arises not to set the corresponding points on projective ranges, but to get them by elaboration, disclosing upon that regularities when constructing different second-order curves (the first aspect of research). The second aspect is in the consideration of the particular cases which would have definite secondorder clusters. In this case the task would be to model the secondorder range as a dual form of cluster. Thus it would be possible to get the interconnection of the definite cluster and the second-order cluster. Keywords: second-order curves and ranges, Pascal line, engineering discriminant, trigonometric functions of complex variable, visualization tools in Maple package.

В соответствии с программой дисциплины «Спецразделы аффинной, проективной и вычислительной геометрии» для подготовки магистров по профилю «Системы мультимедиа и компьютерная графика» при ДВГУПС, рассматривается тема «Проективная теория кривых второго порядка» [4; 14; 18]. В указанных источниках, а также учебном пособии [11], прослеживается проективный способ образования кривых второго порядка как ряда второго порядка, а также двойственная его форма — пучок второго порядка (принимая во внимание известные теоремы, следствия, включая теоремы Паскаля и Брианшона). Однако представленные графические интерпретации в указанных выше источниках имеют общий теоретический характер: для построения ряда второго порядка задаются два проективных пучка первого порядка с соответственными прямыми, а при конструировании пучка второго порядка — два проективных ряда с соответственными точками. Более значимые приемы можно наблюдать при построении обводов кривыми второго порядка: здесь, в зависимости от значений инженерного дискриминанта, можно строить эти кривые как при помощи прямых Паскаля, так и используя свойство самого инженерного дискриминанта, т.е. принимая во внимание, что проводимые касательные к кривым второго порядка и составляют пучок второго порядка.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

Естественно, возникает желание не задавать соответственные точки на проективных рядах, а получать их построением, при этом обнаружить закономерности при конструировании различных кривых второго порядка (первый аспект исследования). Второй аспект заключается в рассмотрении конкретных примеров, которые бы имели определенные пучки второго порядка, тогда бы задача заключалась в моделировании ряда второго порядка как двойственной формы пучка. Таким образом, можно было бы достичь взаимной связи конкретного пучка и ряда второго порядка. Раскрытие первого аспекта Известно, что ряд второго порядка (кривая второго порядка) может быть образован двумя проективными пучками S1 и S2 [14; 15; 18] (рис. 1).

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

и a2 ⊃ (S2, A2). Тогда точки взаимного пересечения соответственных прямых этих пучков будут принадлежать конструируемому ряду второго порядка k2, например, a1 ∩ a2 = A, где A ∈ k2.

Рис. 1. Определение ряда второго порядка

Так как соответственные прямые заданных проективных пучков S1 и S2 проводятся хоть и произвольно, но именно таким образом, чтобы действительно получилась кривая, как геометрическое множество точек пересечения соответственных прямых указанных пучков (на рис. 1 ряд второго порядка проходит через точки A, B, C). Условие распадения ряда второго порядка рассмотрено в работах [4; 14]. Обоснование того, что конструируемый ряд второго порядка обязательно должен пройти через центры S1 и S2 приведено в работе [4]. На основании поставленной выше задачи первого аспекта представим следующее обоснование конструирования ряда второго порядка [5; 7; 16] (рис. 2). Рассмотрим два произвольных пересекающихся проективных (и перспективных) ряда точек s1 и s2, которые являются сечением одного пучка с центром O (например, a ⊃ O, a ∩ s 1 = A 1, a ∩ s 2 = A 2, таким образом, A1 ∈ s1 и A2 ∈ s2). Эти же ряды точек будем рассматривать как сечения двух других пучков соответственно с центрами S1 и S2, например, a1 ⊃ (S1, A1)

Рис. 2. Предлагаемый способ построения ряда второго порядка

Отметим следующие особенности полученного ряда второго порядка k2: • ряд второго порядка k2 проходит через центры проективных пучков S1 и S2; • ряд второго порядка k2 пересекает каждый ряд точек s1 и s2 в двух точках, одна пара из которых определяется прямыми OS1 и OS2 (т.е. OS1 ∩ s2 = M и OS2 ∩ s1 = N), другая пара точек является общей (двойной): K = s1 ∩ s2, k2 ⊃ K. Тем самым отмеченные пять точек (S1, S2, K, M, N) вполне определяют кривую второго порядка (построение других точек кривой k2 понятно из рис. 2). Если через точки M и N провести прямую (рис. 3), то пучок S1 будет перспективен ряду точек s , т.е. S1 ∧ s , аналогично S2 ∧ s . Следовательно на прямой образуется два проективных ряда: A1, … ∧ A2 , … . Поэтому еще раз убеждаемся, что ряд k2 будет рядом

(

) (

)

9

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

второго порядка, так как ряды прямой s имеют две двойные точки M и N как точки пересечения прямой s с рядом k2. Можно рассматривать различные частные случаи взаимного расположения точек O, S1, S2 и прямых s1, s2, но в любом случае ряд k2 обязательно будет проходить через точки S1 и S2, даже если этот ряд, как кривая второго порядка, распадется на две прямые линии (одна прямая пройдет через точки S1 и S2). Для моделирования коник наложим условия: кривые проходят через начало координат и единичные точки осей координат, таким образом, коники имеют общую ось симметрии в качестве биссектрисы 1 и 3 квадрантов. Рассматривая конику как ряд второго порядка, отметим известный факт: ряд может быть образован двумя проективными пучками S 1 и S 2. В качестве сечений этих пучков сформируем проективные прямые, которые будем рассматривать как ряды первого порядка, находящиеся в перспективном соответствии с центром пучка Q. Тогда общая точка пересечения двух рядов первого порядка будет инцидентна конике (примем эту точку за начало координат O). Эти проективные ряды имеют еще по одной общей точке с коникой (точки S1 и S2) — примем эти точки за единичные точки осей координат. Тогда проективными рядами будут служить оси координат. Поскольку конструируемые коники симметричны биссектрисе 1 и 3 квадрантов, то центр пучка Q будет инцидентен ей (рис. 4). Дополнительно отметим, что пучок прямых центра Q можно рассматривать как прямые Паскаля [16]. Остается исследовать положение центра пучка Q, от которого зависит вид и форма коники. Из известного общего выражения, аналитически описывающего уравнение кривой линии второго порядка, перейдем к следующему [9; 14; 16]:

a1(x2 + y2) + a2xy + a3(x + y) + a4 = 0.

из условия, что a4 = 0). Только три конкретных значения a5 = 0, a5 = 2 и a5 = –2 определяют (в соответствии с табл. 1, приведенной для значения a7 = 1) фиксированные линии: для a5 = 0 — окружность; для a 5 = 2 — пару параллельных прямых линий; для a5 = –2 — параболу.

Рис. 3. Ведение проективных рядов на прямой

s

(1)

Принимая в уравнении (1) коэффициент a4 = 0, будем иметь кривые второго порядка (коники), инцидентные началу координат. Поделив каждый член уравнения на коэффициент a1, получим уравнение только при двух неизвестных коэффициентах (параметрах):

x2 + y2 + a5xy + a6(x + y) = 0.

(2)

Заменим в уравнении (2) коэффициент a6 на коэффициент a7 = –a6. Такая замена оправдана тем, что кривые линии при любых значениях коэффициента a5 будут пересекать ось абсцисс и ординат именно в точках с координатами x = y = a7 (а также x = y = 0,

10

Рис. 4. Геометрический аппарат конструирования коник

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Таблица 1 Коники квадратичного поля, инцидентные началу координат Параметр a7 = 1 Параметр a5

Изображение кривых линий

Параметр a5

6

–1

3

–2

Изображение кривых линий

a5 → –∞) стремится занять положение своих координатных осей. Для значений 0 < a5 < 2 будут иметь место эллипсы с полуосями a < b (и с полуосями a > b для значений –2 < a5 < 0). Взаимный переход от одной кривой линии к другой обусловлен плавным изменением параметра a5. Таким образом, получена система перехода одних коник в другие с фиксированными тремя точками, всегда инцидентными этим кривым: O(0; 0), S1(a7 = 1; 0) и S2(0; a7 = 1). В результате анализа построений установлено [13], что коэффициент a5 определяет положение точки Q, через которую проходит пучок прямых, перспективных осям координат. Прямая линия SQ = j во всех случаях является осью симметрии конструируемых кривых. Точки S и Q находятся в гомотетичном соответствии. В данном случае (рис. 4) это обратная гомотетия, так как эти точки расположены по разные стороны относительно центра гомотетии O — начала координат. Коэффициент гомотетия kH будет равен:

kH =

OS OS1 OS2 = = = a5 . OQ OQx Oy

Таким образом, для параболы 2

–3

kH =

OS OS1 OS2 = = = OQ OQx Oy

2 −

2 2

=

1 1 = = −2, 1 1 − − 2 2

или, зная kH = a5, можно определить положение точки Q: 1

–6

OQ =

OS OS = . kH a5

Тогда, например, для параболы имеем

OQ =

2 2 OS OS . = = =− 2 k a5 −2

Для удобства можно воспользоваться отрезками OS1 = OS2 = 1 и соответственно отрезками OQx = OQy: 0

–30

Необходимо отметить, что коэффициенты a5 и a7 могут принимать значения любых иррациональных чисел. Для значений параметра a5 > 2 (и соответственно a5 < –2) кривая линия будет являться гиперболой, которая при a5 → ∞ (и соответственно при



OQx = OQy =

OS1 OS2 1 1 = = =− . 2 a5 a5 −2

Построение параболы представлено на рис. 5. Поскольку парабола имеет несобственную точку C ∞j , инцидентную прямой j (биссектрисе 1 и 3 квадрантов), то в этой точке должны пересекаться соответственные параллельные прямые S2Cx и S1Cy. Тогда прямая Паскаля должна пройти именно через точки: Cx ∈ Ox и Cy ∈ Oy, а Q = CxCy ∩ j.

11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

При моделировании двух параллельных прямых центр Q будет расположен симметрично такому же центру относительно начала координат O, как при построении параболы. Одна прямая пройдет через точки S 1 и S 2, другая — через начало координат (рис. 7). Проверкой правильности рассуждений и конструирования может служить аналитический вид алгоритма построения коник.

Рис. 5. Построение параболы

Рассмотрим моделирование окружности (рис. 6). В этом случае центр пучка прямых Паскаля является несобственной точкой Q∞ ∈ j. На примере прямой Паскаля a показано построение точки A, инцидентной искомой окружности; здесь соответственные прямые пучков S1 и S2 взаимно перпендикулярны (a1 ⊥ a2) и A = a 1 ∩ a 2.

Рис. 7. Построение двух параллельных прямых

В соответствии с рис. 4 аналитический вид коник (2) можно представить и параметрическим уравнением [16]: x = n(m — 1); y = n(m + k), (3) где m = c(1 — k); n =



m

. m +k Полученные результаты исследования сведены в табл. 2. 2

Таблица 2 Численные значения для определения положения точки Q Конструируемые кривые второго порядка

Рис. 6. Построение окружности

12

Коэффициент a5

Определение точки Q C = OQx = OQy OQ

Гипербола

–3

−

1 3

−

2 3

Парабола

–2

−

1 2

−

2 2

Эллипс

–1

–1

− 2

Окружность

0

∞

∞

Эллипс

1

1

2

Пара параллельных прямых линий

2

1 2

2 2

Гипербола

3

1 3

2 3

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Таблица 3

В представленных выражениях величина определяет положение центра Q(x = c, y = c); k — тангенс угла наклона прямых пучка (прямые Паскаля) с центром Q. По полученным уравнениям посредством математического пакета Maple выполнена визуализация коник, которые находятся в соответствии с табл. 2. Необходимо отметить, что компьютерная визуализация графика окружности для выражения (3) имеет приближенный вид, так как параметр c следует принимать бесконечно большим значением. Для решения этой проблемы выполнен вывод другого уравнения в параметрическом виде специально для окружности [1]:

x = t(d — 1), y = t(d + 1),

где параметр t =

d

Уравнения образов плоскости πw(Ouv) Функция Прямые линии координатной сетки плоскости πz(Oxy) w = f(z) fx ⊥ Ox hy ⊥ Oy w = sin z w = cos z w = sh z

w = ch z

u2

1

sin 2 x

u2

2

2

cos x

u2

3

2

sh x u2

4

ch2 x

−

−

+

+

v2 cos 2 x

v2 2

sin x

v2 2

ch x v2 sh2 x

=1

=1

=1

=1

u2

4

2

ch y u2

4

5

2

ch y −

u2 cos 2 y

2

cos y

v2 sh2 y

+

+

u2 2

+

v2 sh2 y v2

sin 2 y −

v2 sin 2 y

=1

=1

=1

=1

(4)

, d — величина отрезков, от-

1+ d2 секаемых пучком параллельных прямых Паскаля на осях координат. Существует еще одна проблема: как и для уравнения (3), окружность визуализируется разомкнутой в области точки S. В графическом построении эта проблема отсутствует (см. рис. 6). Задача второго аспекта заключается в определении ряда второго порядка по заданному пучку второго порядка. Для конкретизации, или примера такого решения, рассмотрим тригонометрические функции комплексного переменного w = f(z): w = sin z; w = cos z; w = sh z; w = ch z [9; 12]. Для этого в табл. 3 помещены аналитические выражения образов, которые получены при отображении рассматриваемыми тригонометрическими функциями взаимно перпендикулярных прямых линий координатной сетки (fx ⊥ Ox и hy ⊥ Oy) плоскости πz(Oxy), а в табл. 4 — их компьютерная визуализация (реализация в математическом пакете Maple). В каждом из отображений образами fw и hw плоскости πw(Ouv) являются софокусные гиперболы и эллипсы. Фокусы этих линий имеют координаты (1; 0) и (–1; 0) для функций w = sin z, w = cos z, w = ch z; для функции w = sh z координаты фокусов равны (0; 1) и (0; –1). Полуоси полученных гипербол и эллипсов определяются конкретными значениями переменных x = xo (для прямых fx) и y = yo (для прямых hy) через тригонометрические функции (табл. 3). Причем полуоси гипербол определяются значениями тригонометрических круговых функций (sin x, cos x, sin y, cos y), а полуоси эллипсов — значениями гиперболических функций (sh x, ch x, sh y и ch y). В табл. 3 все кривые линии пронумерованы. Номер в двойном кружочке означает наличие в этой таблице еще одной такой же кривой линии (с тем же номером).

Анализ таблицы позволяет сделать вывод о том, что, например, картины ортогональных сеток функций w = cos z и w = ch z принимают одинаковый вид, но при следующей особенности: гиперболы функции w = cos z являются в плоскости πw образами прямых линий fx ⊥ Ox, а функции w = ch z — образами прямых линий hy ⊥ Oy. Аналогичная картина складывается и для эллипсов этих функций.   ) на основании выВ квадратичном поле π q (Ouv 2 2 ражений u = u и v = v образами гипербол и эллипсов будут являться прямые линии [9; 12], которые составляют пучок прямых второго порядка (табл. 4). При конструировании ряда второго порядка, который взаимно соответствует этому пучку, следует рассматривать как геометрическое место точек соприкосновения с ним моделируемой кривой второго порядка. Построение касательных к кривым второго порядка рассматривались многими авторами, включая работы [6; 8; 10; 17]. Но в данном случае рассматривается обратная задача: определение и построение ряда второго порядка по заданному пучку второго порядка. Рассмотрим функцию w = sin z. Поскольку

w = f(z) = sin z = sin(x + iy),

где z = x + iy , w = u + iv, получаем sin(x + iy) = = sin x ⋅ cos iy + sin iy ⋅ cos x. Освобождаясь в аргументах от i, приходим к выражению

sin(x + iy) = sin x ⋅ ch y + i ⋅ cos x + sh y,

где u = sin x ⋅ ch y, v = cos x + sh y. Применяя известные тригонометрические выражения

ch2 y – sh2 y = 1, sin2 x + cos2 x = 1,

13

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

получаем выражения первой строки табл. 3. Аналогичным образом получены все остальные выражения для других тригонометрических функций.

болы KJ K = OK и что прямая K 1K 2 ⊥ j, определяет положение точек K1 ∈ Ou , K 2 ∈ Ov .

Таблица 4 Образы координатных сеток Функция w = f(z)

Плоскость πw(Ouv)

 ) Поле π q (Ouv

w = sin z

w = cos z

Рис. 8. Определение точек K, K1, K2, S1, S2

w = sh z

Подтверждением того, что биссектриса j является осью конструируемой параболы, служат прямые 4 (6) u − 4v = 1, 3 4 (7) 4u − v = 1, 3

w = ch z

  ) в табл. 4, Несложный анализ картины поля π q (Ouv позволяет сделать вывод о том, что рядом второго порядка является парабола, которая будет располагаться в четвертом квадранте. Осью симметрии этой кривой служит прямая j — биссектриса 2–4 квадрантов. Оси координат Ou и Ov , как предельные прямые, также являются касательными к параболе. Точки касания K1 ∈ Ou , K 2 ∈ Ov определяются из того, что вершина параболы K принадлежит прямой k

2u − 2v = 1,

(5)

которая перпендикулярна биссектрисе j (рис. 8). Точка O, как начало координат, служит и точкой пересечения осей координат как касательных. Исходя из условия инженерного дискриминанта для пара-

14

симметричные этой оси, которые получены в аналитическом виде при реализации задачи в математическом пакете Maple. Построение точки S1 можно выполнить при помощи прямой Паскаля ps (ps || k1). Эта прямая пересекает прямые k1 и k2 (как противоположные стороны полного шестиугольника) в двух точках Ps = k2 ∩ ps и Ps∞ = k1 ∩ ps . Тогда S1 = PsK1 ∩ ks, где ks || ps. Аналогично можно построить точку S 2. Прямые s 1 ⊃ (S 1, K) и s2 ⊃ (S2, K) следует рассматривать как проективные ряды, перспективные пучку с центром в точке Q (рис. 9). Так как точка K = s1 ∩ s2, то вершина параболы проходит через эту точку (на рис. 5 ей соответствует точка O, как точка пересечения проективных рядов Ox и Oy). Точки S1, S2 следует рассматривать как носители двух проективных пучков (как и при конструировании кривых второго порядка на рис. 2–6).

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

На рис. 9 показано построение точки 2 параболы при помощи произвольной прямой Паскаля p 2 : p2 ⊃ Q, p2 ∩ s1 = 21, p2 ∩ s2 = 22, 21S2 ∩ 22S1 = 2. В качестве проверки выполнено построение точки 1, которая совпадает с точкой K (1 = K1). Таким образом, цель исследования с конструктивных позиций достигнута.

u + 5v − 1 = 0

и k S = K 2S 1

1 2 u − v − 1 = 0, 3

которые получены при рассмотрении прямых k1, k2 и p s: – прямая k1 ⊃ (K, K1) u − 3v − 1 = 0;



– прямая k2 ⊃ (K, K2) 3u − v − 1 = 0;

– прямая ps || k1

Рис. 9. Геометрический аппарат построение точек параболы

Для получения аналитического вида конструируемой кривой достаточно иметь 5 инцидентных ей точек (например, K, K 1, K 2, S 1, S 2), или 5 прямых пучка второго порядка (касательные к кривой: Ou , Ov и прямые выражений (5)–(7) картины поля   ) ), или 5 параметров приведенного уравнения π q (Ouv кривой второго порядка:

  + Du + Ev + 1 = 0 . Au 2 + Bv 2 + Cuv



 1 1 K  , −  , K1 (1, 0 ), K 2 (0, − 1).  4 4

Аналогично определены координаты точки S2. Подставляя значение координат u и v точек выражений (9)–(10) в уравнение конструируемой параболы (8), получаем 5 линейных уравнений (11)–(15), а их совместное решение позволит определить значения коэффициентов A, B, C, D, E:  1 1 – для точки K  , −  ,  4 4

(9)

A + B – C + 4D – 4E + 16 = 0;

(11)

– точек K1(1, 0) и K2(0, –1), соответственно

(8)

Исходя из выше изложенного и уравнения (5) прямой k, соотношений KJk = OK, KJS = QK, координаты точек K, K1, K2 имеют следующие значения:

u − 3v = 0.

A + D + 1 = 0, B – E + 1 = 0;

(12) (13)

 9 1  1 9 – аналогично для точек S1  , −  и S2  , −  :  4 4  4 4

81A + B – 9C + 36D – 4E + 16 = 0, A + 81B – 9C + 4D – 36E + 16 = 0.

(14) (15)

Освобождаясь от коэффициента A, совместно решим выражения (11) и (12):

Координаты точек S1 и S2 получены со следующими значениями:  9 1  1 9 (10) S1  , −  , S2  , −  .  4 4  4 4



Координаты точки S1 определены аналитически, при совместном решении уравнений указанных выше прямых PSK1



B – C + 3D – 4E + 15 = 0,

(16)

а совместно решая выражения (12) и (13), затем (12) и (14), соответственно получаем зависимости (17) и (18): A + D = B – E, B – 9C – 45D – 4E – 65 = 0.

(17) (18)

15

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

Совместное решение выражений (14) и (15) приводит к соотношению

5(B – A) = 2(D + E),

(19)

а с учетом выражения (17) определяются соотношения между коэффициентами A, B и коэффициентами D, E:

A = B, D = –E.

(20)

Освобождаясь от коэффициента E, совместно решая выражения (16) и (20), а также (18) и (20), соответственно имеем зависимости

B – C + 7D + 15 = 0, B – 9C – 41D – 65 = 0,

Рис. 10. Визуализация результата решения задачи

(21) (22)

совместное решение которых позволяет освободиться от коэффициента B:

C + 6D + 10 = 0.

(23)

Из выражения (17) с учетом зависимости (2), получаем, что D = –A – 1. Принимая во внимание, что в выражении (20) B = A, из выражений (20) и (23) определяем, что A = 1. Тогда последовательно с помощью зависимостей (20), (12), (23) устанавливаем, что остальные коэффициенты будут иметь следующие значения: B = 1, D = –2, C = 2, E = 2. Таким образом, уравнение (8) примет следующий вид: или

  − 2u + 2v + 1 = 0 , u 2 + v 2 + 2uv

(u + v )2 − 2 (u − v ) + 1 = 0.



Рис. 11. Отображение параболы (24) в поле πri

Полученные прямые можно рассматривать и как предельный случай для овалов Кассини при их мнимом продолжении в поле πri моделирования мнимых элементов [13] (рис. 12). Прямые проходят через фокусы овалов [2; 3]. В квадратичном поле эти овалы отображаются в семейство парабол (рис. 13).

(24)

Визуализация в математическом пакете Maple (рис. 10) подтверждает правильность полученного решения. В системе координат ( Ou1v1 ) , в которой ось ординат Ov1 = j , уравнение (24) запишется

1 u12 = − 2v1 − . 2

(25)

Искомая кривая является параболой со значени2 . ем параметра p = 2 В поле моделирование мнимых элементов π ri [9; 12] парабола (24) отобразится в две пары изотропных прямых (рис. 11).

16

Рис. 12. Овалы Кассини линейных полей

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

Рис. 13. Образы овалов Кассини в квадратичном поле

Литература 1. Геометрический анализ алгебраических кривых в плоскости [Текст]: отчет о НИР. № ГР 02201000538, инв. № 01201000315 (промежуточный) / ВНТИ-Центр; рук. О.А. Графский. — Хабаровск, 2009. — 86 с. 2. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — С. 3–8. — DOI: 10.12737/5583. 3. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — С. 4–17. — DOI: 10.12737/14415. 4. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 344 с. 5. Графский О.А. Анализ построения кривых второго порядка [Текст] / О.А. Графский, С.С. Доронина, Н.Х. Галлиулин // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: Материалы Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, 22–24 апреля 2009 г. — В 6 т. — Т. 6. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2009. — С. 165–168. 6. Графский О.А. Касательная к окружности [Текст] / О.А. Графский, О.В. Саенко // Научно-технические проблемы транспорта, промышленности и образования: тр. Всерос. науч.-практ. конф. — Т. 6. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2010. – С. 190–192. 7. Графский О.А. К вопросу обоснования конструирования ряда второго порядка [Текст] / О.А. Графский, Н.Х. Галлиулин // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании ‘2008: Материалы Междунар. науч.-практ. интернет-конф., 15–25 декабря 2008 г. — Одесса: Черноморье, 2008. — С. 59–63. 8. Графский О.А. К вопросу построения касательной к гиперболе [Текст] / О.А. Графский, Н.А. Насонова // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI в.: тр. Всерос. молодежной науч.-практ. конф. с междунар. участием, 20–22 апреля 2011. — Т. 5. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС. — С. 205–209.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

В соответствии с табл. 4 точно такая же парабола будет иметь место для функций w = cos z, w = ch z, w = sh z. Только для функции w = sh z она будет располагаться во втором квадранте. Аналогичные суждения будут справедливы и для функции Жуковского, для которой ортогональная полярная сеть плоскости πz отображается в ортогональную сетку софокусных эллипсов и гипербол [8; 11]. В заключение можно отметить, что представленные исследования по установлению взаимосвязи пучка и ряда второго порядка выполнены. Задача решена графически и аналитически, проверена программно в математическом пакете Maple.

9. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости [Текст]: монография / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. — 161 c. 10. Графский О.А. Обоснование построения касательной к окружности и эллипсу [Текст] / О.А. Графский, О.В. Саенко // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI в.: тр. Всерос. молодежной науч.-практ. конф. с междунар. участием, 20–22 апреля 2011. — Т. 5. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС. — С. 209–211. 11. Графский О.А. Основы аффинной и проективной геометрии [Текст]: учеб. пособие [Текст] / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2013. — 135 с. 12. Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях [Текст]: дис. ... д-ра техн. наук / О.А. Графский. — М., 2004. — 406 с. 13. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст]: учеб. пособие / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 157 с. 14. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — С. 3–8. — DOI: 10.12737/12163. 15. Инновации при изучении студентами проективной геометрии / Инновации в теории геометрического моделирования при изучении студентами технических вузов фундаментальных и специальных дисциплин [Текст]: отчет о НИР. № ГР 02201361138, инв. № 01201364859 (промежуточный). Ч. 2 / ВНТИ-Центр; рук. О.А. Графский. — Хабаровск, 2012. — 106 с. 16. Отображения, преобразования и геометрический анализ плоских алгебраических кривых / Инновации в теории геометрического моделирования при изучении студентами технических вузов фундаментальных и специальных дисциплин [Текст]: отчет о НИР. № ГР 02201000539, инв. № 01201000316 (промежуточный) / ВНТИ-Центр; рук. О.А. Графский. — Хабаровск, 2010. — 73 с.

17

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

17. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013 — Т. 1. — № 1. — С. 35–37. — DOI: 10.12737/2084. 18. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст]: учебник для пед. ин-тов / Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969. — 368 с.

References 1. Grafskiy O.A. Geometricheskiy analiz algebraicheskikh krivykh v ploskosti [Geometric analysis of algebraic curves on a plane. А research report]. Khabarovsk, 2009. 86 p. 2. Girsh A.G. Mnimosti v geometrii [Imaginaries in Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. V. 2, I. 2, pp 3–8. (in Russian). DOI: 10.12737/14415. 3. Girsh A.G. Fokusy algebraicheskikh krivykh [Focuses of algebraic curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. V. 3, I. 3, pp 4–17. (in Russian). DOI: 10.12737/14415. 4. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1963. 334 p. 5. Grafskiy O.A., Doronina S.S., Galliulin N.Kh. Analiz postroeniya krivykh vtorogo poryadka [Analysis of the construction of second-order curves]. Nauchno-tekhnicheskoe i ekonomicheskoe sotrudnichestvo stran ATR v XXI veke: Materialy Vserossiyskoy nauchno-prakticheskoy konf. s mezhdunarodnym uchastiem, 22–24 aprelya 2009 g. [Scientific and technical and economic cooperation between Asia-Pacific countries in the XXI century: Proceedings of All-Russian ScientificPractical Conference. with international participation, 22–24 April 2009]. Khabarovsk, DVGUPS Publ., 2009, V. 6, pp. 165–168. (in Russian). 6. Grafskiy O.A, Saenko O.V. Kasatel'naya k okruzhnosti [The tangent to the circle]. Nauchno-tekhnicheskie problemy transporta, promyshlennosti i obrazovaniya: tr. Vseros. nauch.prakt. konf. [Scientific and technical problems of transport, industry and education: the works of the All-Russian scientific-practical conference]. Khabarovsk, DVGUPS Publ., 2010. V. 6, pp. 190–192. (in Russian). 7. Grafskiy O.A, Galliulin N.Kh. K voprosu obosnovaniya konstruirovaniya ryada vtorogo poryadka [On the question of justification of the construction of a number of secondorder]. Sovremennye problemy i puti ikh resheniya v nauke, transporte, proizvodstve i obrazovanii 2008: Materialy mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy Internet-konferentsii 15–25 dekabrya 2008 g. [Modern problems and their solutions in science, transport, manufacturing and education, 2008: Proceedings of the International scientific and practical Internet-conference on December 15–25, 2008.]. Odessa, Chernomor'e Publ, pp. 59-63. (in Russian). 15. Grafskiy O.A., Nasonova N.A. K voprosu postroeniya kasatel'noy k giperbole [The problem of constructing a tangent to the hyperbola]. Nauchno-tekhnicheskoe i ekonomicheskoe sotrudnichestvo stran ATR v XXI veke: tr. Vseros. molodezhnoy nauch.-prakt. konf. s mezhdunar. uchastiem 20–22 aprelya 2011 g. [Scientific and technical and eco-

18

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18

nomic cooperation between Asia-Pacific countries in the XXI century: Russian youth learn how to work and practical conference with participation international April 20–22, 2011]. Khabarovsk, DVGUPS Publ., 2011, V. 5, pp. 205–209. (in Russian). 8. Grafskiy O.A. Modelirovanie mnimykh elementov na ploskosti [Simulation imaginary elements in the plane]. Khabarovsk, DVGUPS Publ., 2004. 161 p. 9. Grafskiy O.A., Saenko O.V. Obosnovanie postroeniya kasatel'noy k okruzhnosti i ellipsu [Rationale for constructing a tangent to the circle and ellipse]. Nauchno-tekhnicheskoe i ekonomicheskoe sotrudnichestvo stran ATR v XXI veke: tr. Vseros. molodezhnoy nauch.-prakt. konf. s mezhdunar. uchastiem 20–22 aprelya 2011 g. [Scientific and technical and economic cooperation between Asia-Pacific countries in the XXI century: labor Vserossosiyskoy youth scientific and praktticheskoy conference with international participation 20–22 April 2011]. Khabarovsk, DVGUPS Publ., V. 5, pp. 209–211. (in Russian). 10. Grafskiy O.A. Fundamentals of affine and projective geometry. Tutorial. Khabarovsk, DVGUPS Publ., 2013. 135 p. 11. Grafskiy O.A. Osnovy affinnoy i proektivnoy geometrii. Kand. Diss. [Theoretical and constructive problems of modeling of imaginary elements in descriptive geometry and its applications. Cand. Diss.]. Moscow, 2004. 406 p. 12. Ivanov G.S. Teoretiko-konstruktivnye problemy modelirovaniya mnimykh elementov v nachertatel'noy geometrii i ee prilozheniyakh [Theoretical foundations of descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ. 1998. 157 p. 13. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noy geometrii [On the tasks of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, no. 2. Pp. 3–8. (in Russian). DOI: 10.12737/12163. 14. Grafskiy O.A. Innovatsii pri izuchenii studentami proektivnoy geometrii/Innovatsii v teorii geometricheskogo modelirovaniya pri izuchenii studentami tekhnicheskikh vuzov fundamental'nykh i spetsial'nykh distsiplin [Innovations in the study of projective geometry by students / Innovation in geometric modeling theory in the study of students of technical colleges the basic and special disciplines]. Khabarovsk, 2012. 106 p. 15. Grafskiy O.A. Otobrazheniya, preobrazovaniya i geometricheskiy analiz ploskikh algebraicheskikh krivykh / Innovatsii v teorii geometricheskogo modelirovaniya pri izuchenii studentami tekhnicheskikh vuzov fundamental'nykh i spetsial'nykh distsiplin [The mappings, transformations, and geometric analysis of plane algebraic curves / Innovation in geometric modeling theory in the study of students of technical colleges the basic and special disciplines]. Khabarovsk, VNTITsentr Publ., 2010, 73 p. 16. Sal'kov N.A. Ellips: kasatel'naya i normal' [Ellipse: tangent and normal]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, I. 1, pp. 35–37. (in Russian). DOI: 10.12737/2084. 17. Chetverukhin N.F. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1969. 386 p.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

УДК 519.853.32:514.18

DOI: 10.12737/19829

Н.А. Сальков Канд. техн. наук, профессор, Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Часть 1 Аннотация. Придание плавных очертаний различным изделиям обусловлено аэродинамическими, прочностными, эстетическими и т.д. требованиями. Поэтому рассмотрение темы кривых второго порядка входит во многие учебники по начертательной геометрии и инженерной графике. Эти кривые могут использоваться как переходные от одной линии к другой с первым, а то и со вторым, порядком гладкости. К сожалению, в современных учебниках по инженерной графике не всегда даются построения коник в полном объеме. Несмотря на то что все кривые второго порядка аналитически объединяются единым уравнением, геометрически объединяются условием их принадлежности квадрике, проективно объединяются общностью их построения, в учебной литературе для каждой из этих кривых предлагаются свои индивидуальные графические построения. Рассматривая закономерности, связанные с циклидой Дюпена, можно обратить внимание на следующую особенность: центр сферы, соприкасающийся по окружности с циклидой Дюпена, при изменении радиуса этой сферы перемещается по кривой второго порядка. При этом окружность соприкосновения сферы с циклидой Дюпена всегда расположена в плоскости, проходящей через одну из двух осей циклиды, а каждая из этих плоскостей пересекает циклиду по двум окружностям соприкосновения. Это свойство легло в основу графического построения, общего для всех кривых второго порядка. Кроме того, рассматриваемое построение имеет связь с таким преобразованием, как гомотетия, или центральное подобие. В данной работе рассмотрены способы построения кривых второго порядка, являющиеся линиями центров касательных к циклиде сфер, применен системный подход. Ключевые слова: сопряжение, начертательная геометрия, инженерная графика, циклические поверхности, каналовые поверхности, циклида Дюпена.

N.A. Salkov Candidate of Technical Sciences, Professor, Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov 30 Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia

Dupin Cyclide and Second-Order Curves. Part 1 Abstract. Making smooth shapes of various products is caused by the following requirements: aerodynamic, structural, aesthetic, etc. That’s why the review of the topic of second-order curves is included in many textbooks on descriptive geometry and engineering graphics. These curves can be used as a transition from the one line to another as the first and second order smoothness. Unfortunately, in modern textbooks on engineering graphics the building of Konik is not given. Despite the fact that all the second-order curves are

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

banded by a single analytical equation, geometrically they unites by the affiliation of the quadric, projective unites by the commonality of their construction, in the academic literature for each of these curves is offered its own individual plot. Considering the patterns associated with Dupin cyclide, you can pay attention to the following peculiarity: the center of the sphere that is in contact circumferentially with Dupin cyclide, by changing the radius of the sphere moves along the second-order curve. The circle of contact of the sphere with Dupin cyclide is always located in a plane passing through one of the two axes, and each of these planes intersects cyclide by two circles. This property formed the basis of the graphical constructions that are common to all second-order curves. In addition, considered building has a connection with such transformation as the dilation or the central similarity. This article considers the methods of constructing of second-order curves, which are the lines of centers tangent of the spheres, applies a systematic approach. Keywords: pairing, descriptive geometry, engineering graphics, cyclic surfaces, canal surface, Dupin cyclide.

1. Общие положения Придание плавных очертаний изделиям обусловлено различными требованиями: аэродинамическими, прочностными, эстетическими и т.д. Поэтому рассмотрение темы кривых второго порядка входит во многие учебники по начертательной геометрии и инженерной графике. Эти кривые могут использоваться как переходные [18] от одной линии к другой. К сожалению, в современных учебниках по инженерной графике не всегда даются построения коник в полном объеме. Так, например, в [1] присутствует только пояснение, что кривые второго порядка имеют место быть при сечении квадрики плоскостью, но ни одного построения не предлагается. Такое положение дел можно принять для учебника [3], написанного для школьников, но никак не для учебника для вуза. В работах [6; 29], задекларированных как учебники для технических направлений обучения, среди лекальных кривых даются только номинальные сведения об эллипсе. В учебнике для строителей [4; 11] есть не только пояснения, но предлагается и по одному-два из самых известных построений коник. Тут же возникает вопрос: почему для строителей построение, хотя бы одно, есть, а для механиков отсутствует? А вот в справочнике [26] о кониках ничего не сказано. В работе [8; 13; 27] рассказано обо всех кониках, но построение дается не для всех возможных случаев. Вообще-то складывается впечатление, что все примеры построения взяты из [16] или же из более ранних источников. Сказанное относится и к работам [9; 14; 15; 21; 22; 24; 25]. В журнале «Геометрия и графика» уже были работы [23] по построению кривых второго порядка.

19

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

В предлагаемой к рассмотрению работе приводится систематизированный единый принцип построения коник на основе свойств циклид Дюпена [7; 10; 12; 30]. В работах [19–22] были рассмотрены основные свойства циклид Дюпена, а также применения циклид в технике и строительстве. В данной работе рассмотрены способы построения кривых второго порядка, являющихся линиями центров касательных к циклиде сфер. Алгебраическим уравнением второй степени в плоскости [5; 10] является всякое уравнение вида

Ах2 + Вxу + Су2 + Dх + Еу + F = 0.

(1)

Линия, представленная уравнением (1), называется алгебраической линией второго порядка (кривой 2-го порядка). При преобразовании уравнения (1) можно получить относительно новой системы координат со смещенным началом и повернутыми осями одно из следующих канонических уравнений: x 2 y2 (2) + = ± 1 ; a2 b2

x2

−

y2

= 1. a2 b2 y2 = 2px,

(3) (4)

что свидетельствует о том, что всякая кривая 2-го порядка является эллипсом (действительным или мнимым) (2), гиперболой (3) или параболой (4), в частных случаях двумя параллельными, двумя пересекающимися или двумя совпавшими прямыми. Эти кривые называются коническими сечениями, или кониками, поскольку, как известно, их можно получить, рассекая конус второго порядка плоскостями. С точки зрения проективной геометрии [10] эллипсом является кривая второго порядка, не имеющая ни одной несобственной точки; параболой — имеющая одну несобственную точку; гиперболой — две несобственные точки. Известно, что для построения множества точек кривой второго порядка [10] или вывода ее уравнения [17] из общего уравнения второй степени (1) достаточно иметь графическое задание пяти точек, принадлежащих кривой второго порядка, или задание координат этих пяти точек. Несмотря на то что все кривые второго порядка аналитически объединяются единым уравнением [10], геометрически объединяются условием их принадлежности квадрике, проективно объединяются общностью их построения, в учебной литературе для каждой из этих кривых предлагаются свои индивидуальные графические построения.

20

Как уже было сказано в [19], линиями центров касательных к циклиде Дюпена сфер являются кривые второго порядка. Рассмотрим, как их можно построить исходя из свойств циклиды. Рассматривая закономерности, связанные с циклидой Дюпена, можно обратить внимание на следующую особенность: центр сферы, соприкасающийся по окружности с циклидой Дюпена, при изменении радиуса этой сферы перемещается по кривой второго порядка. При этом окружность соприкосновения сферы с циклидой Дюпена всегда расположена в плоскости, проходящей через одну из двух осей циклиды, а каждая из этих плоскостей пересекает циклиду по двум окружностям соприкосновения. Это свойство легло в основу графического построения, общего для всех кривых второго порядка. Кроме того, рассматриваемое построение имеет связь с таким преобразованием, как гомотетия или центральное подобие [2]. Напомним основные положения этого преобразования. Гомотетией с центром S2 (рис. 1) называется такое преобразование, когда любые соответственные в гомотетии точки А1 и А2 лежат на одном луче, проходящем через центр S2, и их удаление от этого центра связано формулой S2А2 = kS1А1, где k — отличное от нуля число, называемое коэффициентом подобия.

Рис. 1

Гомотетия (рис. 1) преобразует окружность m1 в окружность m2, прямую O1B1 — в параллельную ей прямую O2B2, угол А1O1B1 — в равный ему угол А2O2B2. Рассмотрим (рис. 1) задание гомотетии двумя окружностями, построение центра подобия, а также соответствие между радиальными прямыми этих окружностей. Пусть m1 и m2 — две непересекающи-

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

еся окружности. Они задают два преобразования. Одно из них — прямая гомотетия с внешним центром S 2, а второе — обратная гомотетия с внутренним центром S1. Гомотетию с центром S2 предлагаем сравнить с [19, с. 19, рис. 9, горизонтальная проекция], а также с [20, с. 10, рис. 2]. Нетрудно убедиться, что рис. 1 напоминает задание крайних сфер циклиды Дюпена. Для построения центра подобия достаточно провести параллельные радиусы заданных окружностей. При этом обычно пользуются радиусами O1А1 и O2А2 или O1А3 и O2А2, перпендикулярными линии центров O1O2. Полученные соответственные в гомотетии точки А1 и А2 или точки А3 и А2 соединяют прямой линией и продолжают ее до пересечения с линией центров O1O2 в точке S2 — внешнем центре подобия или в точке S1 — внутреннем центре подобия. Характерно, что если провести через центр подобия S2 (или S1) произвольный луч (рис. 1), то в общем случае он пересечет окружность m1 в двух точках А1 и В1, а окружность m2 — в соответственных точках А2 и В2. В результате получим две пары соответственных в данной гомотетии лучей O1А1 || O2А2 и O1В1 и O2В2. Нас интересует другое преобразование. В этом преобразовании будут сохраняться базовые окружности m1 и m2 и построенный с их помощью центр преобразования S2 (или S1). Но соответственными между собой назовем несоответственные в гомотетии пары прямых: O 1А 1 и O 2В 2, O 2А 2 и O 1В 1. При этом прямые O1А1 и O2В2, (или O2А2 и O1В1) представляют перспективные ряды точек, так как являются сечением пучка S2 [28]. Перспективные ряды — прямые O1А1 и O2В2 — имеют один общий элемент: двойную точку К1 ≡ К2, полученную в результате их пересечения. Множество лучей пучка S2 (или S1), пересекающих базовые окружности, дают в конечном итоге удвоенное количество таких двойных точек, совокупность которых представляет собой кривую второго порядка, что будет видно из последующих примеров. Но, прежде всего, сформулируем теорему о несоответственных в гомотетии радиусах двух окружностей.

2. Теорема о несоответственных в гомотетии радиусах двух окружностей Докажем следующую теорему. Теорема. Две пары не соответственных в гомотетии радиусов двух окружностей, построенных с помощью одного луча, при своем пересечении определяют положение двух точек кривой второго порядка. Рассмотрим рис. 2 и 3. В первом случае взят внутренний центр подобия S1, во втором — внешний S2. При этом для определения внешнего центра подобия

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

служат касательные к окружностям (рис. 3; 5), а для определения внутреннего — соответственные радиусы F2G || F1D (рис. 2, а; 4). Тогда пересечение GD с F2F1 дает искомый центр S1.

Рис. 2

На всех рисунках, относящихся к коникам, внутренние центры гомотетии обозначены как S 1 , а внешние — как S2. Известно, что гомотетия с центром подобия S преобразует одну окружность в другую, прямую — в параллельную ей прямую, угол — в равный ему угол [2]. В соответствии с этим равнобедренный треугольник F224 преобразуется в подобный ему треугольник F113 (рис. 2, а и 3). Рассмотрим случай, когда для проведенного луча t берутся несоответственные в гомотетии пары прямых. Так, для рис. 2, а возьмем не прямые F11 и F24; F13 и F22, а F11 и F22; F24 и F13. Согласно равенству отмеченных на рис. 2, а углов, равнобедренным треугольникам F113 и F224 подобны треугольники М 112 и М 234. Откуда М 11 = М 12 и М23 = М24.

Рис. 3

21

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Из рис. 2 видно, что F1M1 + M1F2 = R1 + R2, так как М12 = М11. Это свидетельствует о принадлежности точки М1 эллипсу. Конфигурация на рис. 2 (тонкие линии окружностей) идентична очерку циклиды Дюпена на [21 (с. 5, рис. 4) и 19 (с. 19, рис. 9, фронтальная проекция)]. Ранее в [20, п. 1] было доказано, что линия центров внутреннего множества сфер циклиды является эллипсом, а линия центров множества наружных сфер циклиды — гиперболой. Действительно, на рис. 3 (сравните с [19, c. 19, рис. 9, горизонтальная проекция]) равнобедренным треугольникам F113 и F224 подобны треугольники М114 и М223. Откуда М11 = М14 и М22 = М23. Тогда из равнобедренного треугольника М 114, учитывая, что четырехугольник F1M1F2M2 представляет собой параллелограмм, следует:

М11 – M14 = R2 – R1 = 2a,

а из равнобедренного треугольника М223 следует:

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

Рис. 4

б) с внешним центром подобия S2 (рис. 5). Вершины гиперболы определяются из условия R1 – R2 = 2a. Базовые окружности взяты те же, что и на рис. 4. 2. Окружности — одинакового радиуса и не пересекаются. В результате получим: а) с внутренним центром подобия S1 — гиперболу, вершины которой определяются из условия 2R = 2a. Если F1 F2 = 2 2R , то в результате будем иметь равнобочную гиперболу;

М2F1 – M2F2 = R2 – R1 = 2a.

Полученные результаты свидетельствуют о принадлежности точек М1 и М2 гиперболе, фокусы которой совпадают с центрами данных окружностей. Случай для параболы, когда одна из окружностей имеет несобственный центр, рассматривался в [20, c. 10, рис. 3]. Таким образом, теорема о пересекающихся несоответственных в гомотетии парах радиусов двух окружностей доказана.

3. Варианты построения коник Основным условием при построении коник является расположение центров окружностей в фокусах кривой. Окружности могут быть одинакового или разного радиуса, пересекаться или нет, касаться друг друга. Отсюда получаем восемь случаев построения. Рассмотрим различные варианты получения гиперболы. 1. Базовые окружности — разного радиуса и не пересекаются (рис. 3–5). В результате преобразования имеем гиперболу: а) с внутренним центром подобия S 1 (рис. 4). Вершины гиперболы определяются из условия:

R2 + R1 = 2a,

где а — расстояние между вершинами гиперболы: А 1А 2. Если F1 F2 = 2 ( R1 + R2 ) , то получим равнобочную гиперболу;

22

Рис. 5

б) с внешним центром подобия центр гомотетии находится в бесконечности S∞, получаем две совпавшие прямые — ось симметрии окружностей, перпендикулярную линии центров F1F2. 3. Окружности — разного радиуса, пересекающиеся (рис. 2). В результате имеем: а) с внутренним центром подобия S1 (см. рис. 2, а) получаем эллипс, большой диаметр которого определяется из условия R2 + R1 = 2a, где 2а — большой диаметр эллипса; б) с внешним центром подобия S2 получаем гиперболу, расстояние между вершинами которой определяются из условия R1 – R2 = 2a. 4. Окружности — одинакового радиуса, пересекающиеся. В результате имеем: а) с внутренним центром подобия S1 получаем эллипс, большой диаметр которого определяются из условия 2R = 2a;

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

б) с внешним центром подобия S∞ получаем две совпавшие прямые — ось симметрии окружностей. 5. Одна из окружностей — прямая линия (радиус окружности равен ∞). Центр подобия S в этом случае находится в точке касания окружности и прямой, параллельной заданной (рис. 6). Рассматриваются два случая:

а)

б) Рис. 6

а) с внутренним центром подобия S1 (рис. 6, а) получаем параболу, расстояние p/2 от вершины которой до ее фокуса F определяются из условия p/2 = R/2; б) с внешним центром подобия S2 (рис. 6, б) получаем параболу, расстояние p/2 от вершины которой до ее фокуса F определяются из условия p/2 = R + S1O/2. 6. Одна из окружностей — прямая линия, касающаяся действительной окружности радиуса R. Рассматриваются два случая: а) с внутренним центром подобия S1 получаем выродившуюся в точку F конику; б) с внешним центром подобия S2 получаем параболу, расстояние p/2 от вершины которой до ее фокуса F определяются из условия p/2 = R. 7. Окружности — разного радиуса, касаются друг друга. В результате имеем: а) с внутренним центром подобия S1 получаем вырожденную гиперболу: две точки F1 и F2; б) с внешним центром подобия S2 получаем гиперболу, вершины которой определяются из условия R2 – R1 = 2a. 8. Окружности — одинакового радиуса, касаются друг друга. В результате имеем: а) с внутренним центром подобия S1 получаем вырожденную гиперболу: две точки F1 и F2; б) с внешним центром подобия S∞ получаем две совпавшие прямые — ось симметрии окружностей, перпендикулярную линии их центров и проходящую через точку касания. Теперь рассмотрим конкретные случаи построения коник.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

4. Построение эллипса Эллипс можно построить, имея в наличии следующие параметры. 1. Даны два фокуса и точка, принадлежащая эллипсу. 2. Даны два диаметра эллипса (интерпретация классического построения эллипса). 3. Даны большой диаметр эллипса и фокусы. 4. Даны малый диаметр эллипса и фокусы. 5. Даны большой диаметр эллипса и точка, принадлежащая эллипсу. 6. Даны малый диаметр эллипса и точка, принадлежащая эллипсу. 7. Дано уравнение эллипса. 8. Дан контур циклиды Дюпена. Рассмотрим все эти построения. Построение эллипса по заданным фокусам и точке на эллипсе Пусть заданы фокусы эллипса F1, F2 и точка М, принадлежащая эллипсу (рис. 7, а). Построим эллипс, используя свойства циклиды Дюпена. В принципе, достаточно задать очерк циклиды Дюпена, чтобы решение было очевидным (рис. 7, б). Для этого через точку М проводим две окружности m1 и m2 с центрами в точках F1 и F2 и радиусами R1 = F1М; R2 = F2М соответственно. Понятно, что эллипс пройдет через точку М (рис. 7, б; см. также рис. 2, б). При помощи точек D и E находим центр гомотетии S1. Построение точек эллипса не должно вызывать затруднений (см. рис. 2): проводим прямую через центр гомотетии S1, при этом несоответственные в гомотетии лучи, пересекаясь, дадут искомые точки эллипса (см. рис. 2, б).

Рис. 7

Построение эллипса по заданным диаметрам Пусть заданы большой АВ и малый CD диаметры эллипса (рис. 8). Фокусы эллипса находятся известным способом: построением дуги окружности с R = S1A = S1B, которая, пересекаясь с большим диаметром эллипса АВ, дает искомые фокусы F1 и F2.

23

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Рис. 8

Построение точек эллипса не вызывает затруднений: строятся базовые окружности m1 и m2, проходящие через точки С и D и являющиеся на самом деле очерками циклиды Дюпена, при помощи лучей, проходящих через центр гомотетии, находящийся в данном случае в центре эллипса, строятся точки пересечения несоответственных в гомотетии радиусов базовых окружностей. На рис. 9 показано построение одной из точек эллипса.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

При задании (рис. 10, а) большого диаметра АВ (или его половины) и фокусов F1 и F2 (или хотя бы одного) поступаем следующим образом. Для построения малого диаметра эллипса проводим дугу окружности радиусом, равным половине большого диаметра: R = AO = BO до пересечения с направлением малого диаметра — прямой, перпендикулярной большому диаметру и проходящей через центр эллипса О (рис. 10, б). Построение собственно точек эллипса представлено в предыдущем примере. Построение эллипса по малому диаметру и фокусам Данное построение ничем не отличается от предыдущего: достаточно определить большой диаметр согласно представленному на рис. 11 построению. На рис. 11, а дано само задание, на рис. 11, б — решение.

Рис. 11

Рис. 9

Для этого проведем произвольный луч S11, который пересечет окружности m1 и m2 в точках 1 и 2. Несоответственные радиусы F11 и F22 пересекутся в искомой точке М. Окружность m при этом будет являться очерком касательной к циклиде Дюпена внутренней окружности. Построение эллипса по большому диаметру и фокусам

Как в предыдущем примере, так и в этом берется расстояние, равное половине большого диаметра эллипса. Построение произвольных точек эллипса берем из построения их по двум диаметрам эллипса (см. рис. 9). Построение эллипса по большому диаметру и точке на эллипсе Пусть заданы (рис. 12, а) большой диаметр АВ эллипса и точка М, ему принадлежащая. Построение производим в следующей последовательности (рис. 12, б).

Рис. 12

Рис. 10

24

Проводим окружность большого диаметра, затем из точки М проводим вертикальную прямую до пе-

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

ресечения с построенной окружностью, получаем точку 1. Далее соединяем точку 1 с центром эллипса О, а из точки М проводим горизонтальную прямую до пересечения с О1 в точке 2. Отрезок О2 будет искомым радиусом малого диаметра эллипса. Стрелками показана последовательность построения. Построение произвольных точек эллипса берем из построения их по двум диаметрам эллипса (см. рис. 9). Точка О является и центром гомотетии S1. Построение эллипса по малому диаметру и точке на эллипсе Пусть задан малый диаметр CD эллипса и точка М, ему принадлежащая (рис. 13, а).

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

На рис. 14 показано, что для одного и того же эллипса можно построить разные базовые окружности, представляющие разные очерки циклид Дюпена. Построена точка М эллипса при прохождении базовых окружностей m1 и m2 через точку С малого диаметра, а также показано применение базовых окружностей m1′ и m2′ , проходящих через точку 1 эллипса, лежащую на луче S12, что было сделано для построения той же точки М. При этом надо отметить, что лучи S12 и S1′2 ′ параллельны, что видно из рис. 14. Рассмотрим еще два рисунка. Пусть задан (рис. 15 и 16) эллипс е. Фокусы F1 и F2 находятся традиционно (см. рис. 8). Возьмем на эллипсе е любую точку М и построим окружность m с центром в М произвольного диаметра. Соединим фокусы F1 и F2 с точкой М. Полученные прямые пересекут окружность m в точках 1 и 2 (рис. 15) и в точках 3 и 4 (рис. 16: здесь взяты те же эллипс е и окружность m).

Рис. 13

Построение производим в следующей последовательности. Проводим окружность малого диаметра, затем из точки М проводим горизонтальную прямую до пересечения с построенной окружностью, получаем точку 1. Далее соединяем точку 1 с центром эллипса О, а из точки М проводим вертикальную прямую до пересечения с О1 в точке 2. Отрезок О2 будет искомым радиусом большого диаметра эллипса. Стрелками на рис. 13, б показана последовательность построения. Построение произвольных точек эллипса берем из построения их по двум диаметрам эллипса (см. рис. 9). При этом точка О будет и центром гомотетии S1.

Рис. 14

Рис. 15

Отрезки F11 и F22 являются радиусами двух очерковых окружностей циклиды Дюпена на рис. 15, а отрезки F13 и F24 являются радиусами двух очерковых окружностей другой циклиды Дюпена, показанной на рис. 16. То, что полученные окружности суть очерки циклиды Дюпена, вытекает из построения этих окружностей. Получается, что для одного и того же эллипса мы можем построить множество циклид Дюпена. Исследуя рис. 14–17, можно сформулировать следующую теорему. Теорема. Внутренний центр гомотетии S1 ( S1′ ) при вычерчивании эллипса принадлежит оси j циклиды Дюпена. Действительно, если учесть, что окружности m1 и m2 ( m1′ и m2′ ) являются очерками циклиды Дюпена, а окружность m (рис. 17) — очерком внутренней

25

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

сферы, касающейся циклиды по окружности 12 (рис. 17), то, сравнивая рис. 14–17 и [19, с. 22, рис. 14], видим тождественность построений. Исходя из этого, можно сделать вывод: найдя при вычерчивании эллипса внутренний центр гомотетии S1, мы одновременно находим и ось j соответственной циклиды Дюпена.

Рис. 16

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

всех предыдущих примерах. Рассмотрим их нахождение. Большой диаметр определяем следующим образом.

Рис. 18

Точка А находится как середина отрезка 12. Точка В находится как середина отрезка 34.

Рис. 17

Построение эллипса по его уравнению Если задано действительное уравнение эллипса (2), мы имеем величины большого (2а) и малого (2b) диаметров. Поэтому построение проводим по заданным диаметрам (см. рис. 8). Построение эллипса как внутренней оси центров касательных сфер циклиды Дюпена Пусть задан очерк циклиды Дюпена двумя окружностями (рис. 18 и 19). Здесь можно построить эллипс е разными способами. В первую очередь, следует найти внутреннюю ось j циклиды, которая находится посредством точек 5 и 6. Так как центр гомотетии S принадлежит оси j и в данном случае его проекция совпадает с проекцией оси, то любую точку эллипса е уже можно построить. Интерес представляют лишь нахождение большой АВ и малой CD осей (диаметров) эллипса, как и во

26

Рис. 19

Теперь найдем точку D. Для этого от точки j проведем перпендикуляр к АВ, который пересечет базовые (очерковые) окружности m1 и m2 циклиды в точках К1 и К2 соответственно. Соединив их с фокусами F1 и F2 (центрами окружностей m1 и m2), получим прямые F1К1 и F2К2 , которые пересекутся в точке D. Докажем, что точка D является одной из вершин эллипса е. Рассмотрим рис. 18 (доказательства для построений на рис. 19 будут идентичны). Ранее было доказано, что точка D является точкой эллипса, т.е. DК1 = DК2 и ∠DК1К2 = ∠DК2К1 = ∠jК2F2. Так как ∠ОDF 1 = ∠jК 1D, а ∠ОDF 2 = ∠jК 2F 2 как соответственные углы, то, ∠ОDF1 = ∠ОDF2. И, естественно, DF1 = DF2. Такое положение возможно лишь

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

в одном случае — когда точка находится на малом диаметре эллипса. Таким образом, доказано, что точка D является вершиной эллипса, лежащей на малом диаметре, т.е.

Литература 1. Анисимов Н.Н. Черчение и рисование [Текст] / Н.Н. Анисимов, Н.С. Кузнецов, А.Ф. Кириллов. — М.: Стройиздат, 1983. — 368 с. 2. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. — М.: Учпедгиз, 1957. — 267 с. 3. Ботвинников А.Д. Черчение. 9 класс [Текст] / А.Д. Ботвинников, В.Н. Виноградов, И.С. Вышнепольский. — М.: АСТ, Астрель, 2015. 4. Будасов Б.В. Строительное черчение [Текст] / Б.В. Будасов, В.П. Каминский. — М.: Стройиздат, 1990. — 464 с. 5. Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский. — М.: Физматгиз, 1963. — 523 с. 6. Вышнепольский И.С. Техническое черчение [Текст] / И.С. Вышнепольский. — М.: Юрайт, 2014. — 319 с. 7. Гильберт Д. Наглядная геометрия [Текст] / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. — М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция общетехнич. литературы и номографии, 1936. — 302 с. 8. Гордон В.О. Черчение для плоских и пространственных фигур [Текст] / В.О. Гордон. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1951. — 264 с. 9. Зеленин Е.В. Начертательная геометрия и черчение [Текст] / Е.В. Зеленин. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. — 524 с. 10. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. — М.-Л.: ГОНТИ, 1939. — 400 с. 11. Короев Ю.И. Черчение для строителей [Текст] / Ю.И. Короев. — М.: КНОРУС, 2015. — 256 с. 12. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: ЛИБРОКОМ, 2010. — 560 с. 13. Левицкий В.С. Машиностроительное черчение [Текст]: учебник для студентов втузов / В.С. Левицкий. — М.: Высшая школа, 1988. — 351 с. 14. Ломоносов Г.Г. Инженерная графика [Текст] / Г.Г. Ломоносов. — М.: Недра, 1984. — 287 с. 15. Михайленко В.Е. Инженерная графика [Текст] / В.Е. Михайленко, А.М. Пономарев. — Киев: Вища школа, 1980. — 280 с. 16. Могильный И.М. Техническое черчение [Текст] / И.М. Могильный. — Киев: Гостехиздат: Украинское отделение, 1954. — 388 с. 17. Надолинный В.А. Аналитические методы в конструировании поверхностей [Текст] / В.А. Надолинный. — Киев: Изд-во КПИ, 1981. — 136 с.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

одним из его концов. Точка С находится симметрично точке D относительно большой оси. В следующей части рассмотрим построение гиперболы и параболы.

18. Сальков Н.А. О рациональном графическом решении задач по теме «Сопряжения» [Текст] / Н.А. Сальков // Сб. научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. — М.: Высшая школа, 1985. — Вып. 12. — С. 42–47 19. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — С. 16–25. –DOI: 10.12737/10454. 20. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — С. 9–23. — DOI: 10.12737/12164. 21. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 3: сопряжения [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 4. — С. 3–14. — DOI: 10.12737/17345. 22. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Часть 4: приложения [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — С. 21–32. — DOI: 10.12737/17347. 23. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 35–37. — DOI: 10.12737/2084. 24. Сберегаев Н.П. Краткий справочник по начертательной геометрии и машиностроительному черчению [Текст] / Н.П. Сберегаев, М.А. Герб. — М.-Л.: Машиностроение, 1965. — 264 с. 25. Симонин С.И. Инженерно-топографическое черчение и наглядные изображения / С.И. Симонин. — М.: Недра, 1979. — 192 с. 26. Справочник по инженерно-техническому черчению [Текст] / Н.Л. Русскевич, Д.И. Ткач, М.Н. Ткач. — Киев: Будiвельник, 1980. — 512 с. 27. Техническое черчение [Текст] / Е.И. Годик, В.М. Лысянский, В.Е. Михайленко, А.М. Пономарев — Киев: Вища школа, 1983. — 440 с. 28. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. — М.: Учпедгиз, 1961. — 360с. 29. Чумаченко Г.В. Техническое черчение: учебник [Текст] / Г.В. Чумаченко. — М.: КНОРУС, 2013. — 296 с. 30. Dupin Ch. Développements de géometrié. — P., 1813.

References 1. Anisimov N.N., Kuznecov N.S., Kirillov A.F. Cherchenie i risovanie [The drawing and painting]. Moscow, Strojizdat Publ., 1983. (in Russian). 2. Argunov B.I., Balk M.B. Geometricheskie postroenija na ploskosti [Geometric constructions on the plane]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1957. (in Russian).

27

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

3. Botvinnikov A.D., Vinogradov V.N., Vyshnepol'skij I.S. Cherchenie. 9 klass [Drawing. Grade 9]. Moscow, AST Publ., Astrel' Publ., 2015. 4. Budasov B.V., Kaminskij V.P. Stroitel'noe cherchenie [Construction drawing]. Moscow, Strojizdat Publ., 1990. (in Russian). 5. Vygodskij M.Ja. Analiticheskaja geometrija [Analytical geometry]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. (in Russian). 6. Vyshnepol'skij I.S. Tehnicheskoe cherchenie [Technical drawing]. Moscow, Jurajt Publ., 2014. (in Russian). 7. Gil'bert D., Kon-Fossen S. Nagljadnaja geometrija [Visual geometry]. Moscow, Leningrad, Obyedinennoe nauchno-tehnicheskoe izdatel'stvo NKTP SSSR, Glavnaja redakcija obshhetehnicheskoj literatury i nomografii Publ., 1936. 8. Gordon V.O. Cherchenie dlja ploskih i prostranstvennyh figur [For drawing of plane and solid figures]. Moscow, Gosudarstvennoe uchebno-pedagogicheskoe izdatel'stvo ministerstva prosveshhenija RSFSR, 1951. (in Russian). 9. Zelenin E.V. Nachertatel'naja geometrija i cherchenie [Descriptive geometry and drawing]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1953. (in Russian). 10. Klein F. Vysshaja geometrija [Higher geometry]. Moscow, Leningrad, GONTI Publ., 1939. 11. Koroev Ju.I. Cherchenie dlja stroitelej [Drawing for builders]. Moscow, KNORUS Publ., 1915. (in Russian). 12. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Jenciklopedija analiticheskih poverhnostej [Encyclopedia of analytical surfaces]. Moscow, LIBROKOM Publ., 2010. (in Russian). 13. Levickij V.S. Mashinostroitel'noe cherchenie: Uchebnik dlja studentov vtuzov [Machine drawing]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1988. (in Russian). 14. Lomonosov G.G. Inzhenernaja grafika [Engineering graphics]. Moscow, Nedra Publ., 1984. (in Russian). 15. Mihajlenko V.E., Ponomarev A.M. Inzhenernaja grafika [Engineering graphics]. Kiev, Vishha shkola Publ., 1980. (in Russian). 16. Mogil'nyj I.M. Tehnicheskoe cherchenie [Technical drawing]. Kiev, Gostehizdat: Ukrainskoe otdelenie, 1954. (in Russian). 17. Nadolinnyj V.A. Analiticheskie metody v konstruirovanii poverhnostej [Analytical methods in engineering surfaces]. Kiev, KPI, 1981. (in Russian).

28

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 9–28

18. Salkov N.A. O racional'nom graficheskom reshenii zadach po teme "Soprjazhenija" [About rational graphical solution of problems on the subject of "Pairing"]. Moscow, Vysshaja shkola Publ., 1985, I. 12, pp. 42–47. (in Russian). 19. Salkov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie. Chast' 1 [Properties cyclid of Dupin and their application. Part 1]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 1, pp. 16–25. DOI: 10.12737/10454. (in Russian). 20. Salkov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie. Chast' 2 [Properties cyclid of Dupin and their application. Part 2]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 2, pp. 9–23. DOI: 10.12737/12164. (in Russian). 21. Salkov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie. Chast' 3 [Properties cyclid of Dupin and their application. Part 3]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 4, pp. 3–14. DOI: 10.12737/17345. (in Russian). 22. Salkov N.A. Svojstva ciklid Djupena i ih primenenie. Chast' 4 [Properties cyclid of Dupin and their application. Part 4]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 1, pp. 21–32. DOI: 10.12737/17347. (in Russian). 23. Sal'kov N.A. Jellips: kasatel'naja i normal' [Ellipse: tangent and normal]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, pp. 35–37. DOI: 10.12737/2084. (in Russian). 24. Sberegaev N.P., Gerb M.A. Kratkij spravochnik po nachertatel'noj geometrii i mashinostroitel'nomu chercheniju [A brief guide on descriptive geometry and engineering drawing]. Moscow, Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1965. (in Russian). 25. Simonin S.I. Inzhenerno-topograficheskoe cherchenie i nagljadnye izobrazhenija [Engineering and topographical drawing and descriptive image]. Moscow, Nedra Publ., 1979. (in Russian). 26. Russkevich N.L., Tkach D.I., Tkach M.N. Spravochnik po inzhenerno-tehnicheskomu chercheniju [Reference engineering drawing]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1980. (in Russian). 27. Godik E.I., Lysjanskij V.M., Mihajlenko V.E., Ponomarev A.M. Tehnicheskoe cherchenie [Technical drawing]. Kiev, Vishha shkola Publ., 1983. (in Russian). 28. Chetveruhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1961. (in Russian). 29. Chumachenko G.V. Tehnicheskoe cherchenie [Technical drawing]. Moscow, KNORUS Publ., 2013. (in Russian). 30. Dupin Ch. Développements de géometrié. P., 1813.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

УДК 515(075)

DOI: 10.12737/19830

Г.С. Иванов Д-р техн. наук, профессор, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1

Предыстория и предпосылки трансформации начертательной геометрии в инженерную Аннотация. В последнее десятилетие широко обсуждается проблема геометрографической подготовки студентов технических вузов России. В 1980–2005 гг. возникли противоречия между традиционной и инновационной методиками преподавания начертательной геометрии и инженерной графики. Этому положила статья проф. А.П. Тунакова, в которой начертательную геометрию отнесли к умирающим наукам. Радикальное заявление в последующие годы в той или иной форме поддержали В.А. Рукавишников и А.Л. Хейфец. Дополнительный импульс дискуссии дали разработчики федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования (ФГОС ВО), провозгласившие компетентностный подход к процессу обучения и оценки знаний выпускников вузов. Внедрение в учебный процесс компьютерной графики и появление технологии 3D-моделирования побудило некоторых представителей кафедр инженерной графики к радикальным заявлениям: • начертательная геометрия как графическая дисциплина стала «умирающей», «морально устаревшей»; • следует отказаться от метода проецирования, так как «принципиально важным является соответствие размерности трехмерной компьютерной модели и моделируемого объекта». В статье обосновывается некорректность этих заявлений. Предыстория и предпосылки трансформации начертательной геометрии в инженерную показываются: 1) ссылками на динамику изменения тематики докладов на Московских семинарах по начертательной геометрии и инженерной графике за 1944–1965 гг., тем диссертаций по специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика» (до 1977 года – «Прикладная геометрия и инженерная графика»); 2) требованиями компетентностной модели обучения к установлению: • внутрипредметных связей (сочетание синтетических и аналитических способов решения задач); • межпредметных связей путем расширения предмета дисциплины многомерными формами; 3) некорректностью противопоставления «радикалами» 2Dи 3D-моделей, ибо они являются взаимодополняющими видами моделирования единого метода двух изображений. Ключевые слова: начертательная геометрия, инженерная геометрия, моделирование, синтетический и аналитический методы, многомерные формы.

G.S. Ivanov Doctor of Engineering, Professor, Bauman Moscow State Technical University, 5/1 2 Baumanskaya st., Moscow, 105005, Russia

Previous History and Background of Transformation of the Descriptive Geometry in the Engineering Geometry Abstract. In the past decade is widely discussed the problem of geometric and graphic training of students of technical universities in Russia. In 1980-2005 arose contradictions between traditional and innovative methods of teaching for descriptive geometry and engineering graphics. This marked the article Professor P.A. Tunakov, in which descriptive geometry was carried to a dying science. This radical statement in subsequent years was supported by V.A. Rukavishnikov [15; 16] and A.L. Kheifets. An additional impetus to discussions was given by the developers of the Federal state educational standards of higher education (FSES), which declared the competence approach to the process of learning and evaluation of knowledge of graduates. Introduction in educational process of computer gra­phics and the appearance of technologies of 3D modeling prompted some representatives of the departments of engineering graphics towards the radical statements: • descriptive geometry as a graphic discipline became "moribund", "morally obsolete"; • it is necessary to refuse from the method of projection, as "fundamentally important is a matter of conformity to the dimension of the three-dimensional computer model and the modeled object". The article proves the incorrectness of these statements. History and background of transformation of the descriptive geometry in the engineering geometry are shown: 1) references to the dynamics of change subjects of presentations at the Moscow seminars on descriptive geometry and on engineering graphics during 1944–1965; the themes of dissertations on the specialty 05.01.01 engineering geometry and computer graphics (up to 1977 – applied geometry and engineering graphics); 2) the requirements of competence-based learning model to establish: • intrasubject links (combination of synthetics and analytical methods of problem solving); • interdisciplinary connections by expanding the subject of the discipline of the multidimensional shapes; 3) the incorrectness of opposing the "by the radicals" of 2D and 3D models, for they are complementary the types of modeling single method of two images. Keywords: descriptive geometry, engineering geometry, modeling, synthetic and analytical methods, multidimensional forms.

В последнее десятилетие широко развернулась дискуссия о проблемах геометро-графической подготовки (ГГП) студентов технических вузов России. Этому положила статья [22] проф. А.П. Тунакова,

29

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

в которой начертательную геометрию отнесли к умирающим наукам. Это радикальное заявление в последующие годы в той или иной форме поддержали В.А. Рукавишников [15; 16] и А.Л. Хейфец [25]. Дополнительный импульс дискуссии дали разработчики федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования (ФГОС ВО), провозгласившие компетентностный подход к процессу обучения и оценки знаний выпускников вузов [1]. Ход обсуждения, точки зрения авторов на научное, методическое и организационное обеспечение ГГП, конкретные результаты, в частности, внедрения компьютерной графики в учебный процесс и т.д. нашли отражение в материалах научнопрактических интернет-конференций, проводимых в последние годы Пермским государственным политехническим университетом, Всероссийского совещания заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов (п. Дивноморское, 26–28 мая 2015 г.), а также в публикациях в журнале «Геометрия и графика». Целью настоящей статьи является обоснование актуальности трансформации начертательной геометрии в инженерную. Анализ материалов по теме настоящей статьи дает основание для следующих утверждений. Что касается инженерной графики, то можно отметить процесс устойчивого, набирающего темпы внедрения компьютерных технологий в учебный процесс. Стимулирует этот процесс зарубежный опыт [6] и требования выпускающих кафедр изучать основные разделы инженерной графики (составление эскизов и чертежей деталей сборочных единиц) на примерах специализированных изделий. С позиций компетентностного подхода к установлению междисциплинарной интеграции планируется: • знакомство с практикой проектной деятельности при разработке специализированных изделий; • использование информационных технологий при создании проектно-конструкторской документации [19; 20]. Очевидно, что ориентация на компетентностную модель обучения требует внесения изменений в преподавание традиционных разделов курса, таких как геометрическое и проекционное черчение. Они непосредственно связаны с темами курса начертательной геометрии. Если в отношении инженерной и компьютерной графики среди преподавательского состава принципиальных разногласий нет, то мнения о начертательной геометрии диаметрально противоположны. Радикалы считают ее умирающей наукой [15; 22; 25], а специалисты (как теоретики, так и прикладники) относят ее к числу базовых дисциплин, составляющих

30

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

интегрированный курс математического моделирования [3; 4; 17; 26]. Доводы радикалов наиболее полно и емко отражены в статье [22]. Приведем несколько цитат из этой статьи. «Одной из ненужных наук в вузовских программах является «Начертательная геометрия». Издавна она конкурировала с аналитической геометрией. В создавшихся условиях аналитическая геометрия победила окончательно и бесповоротно, а начертательная геометрия стала умирающей наукой». «Давно пора полностью выбросить из программы те (разделы), в которых излагаются (графические) методы решения метрических и позиционных задач вместе с соответствующими учебными чертежами. Важным и пока необходимым разделом является проецирование». «Опыт преподавания показывает, что пространственное мышление студентов проще всего вырабатывается при изучении трехмерной компьютерной графики и технического рисования. Их и надо использовать, а не возлагать несбыточные надежды на начертательную геометрию». В.А. Рукавишников предлагает даже отказаться от метода проецирования, так как «принципиально важным является соответствие размерности трехмерной компьютерной модели и моделируемого объекта» [15]. В статье [16] автор, анализируя «причины, приведшие к несоответствию подготовки специалистов требованиям современных высокотехнологичных производств», и призывая «определить пути их преодоления», формулирует ряд вопросов и дает ответы на них. С темой настоящей статьи перекликаются: «Вопрос 3. Что первично — 2D или 3D?» «Вопрос 4. Что первично — изучение черчения или начертательной геометрии? Что их связывает и каковы их роль и место?» В конечном итоге, в качестве цели модернизации ГГП в вузе предлагается замена начертательной геометрии «единой целостной учебной дисциплиной модульного типа “Инженерное геометрическое моделирование”, изучаемой с первого курса до дипломного проектирования». Аналогичного взгляда на модернизацию начертательной геометрии, правда, в более скромном и реальном виде, придерживается и автор статьи [25]. «Методы начертательной геометрии в решении позиционных и метрических задач сводятся к проекционным построениям на основе циркуля и линейки». «Современной альтернативой этому являются компьютерные методы оперирования с реалистичной 3D-моделью объекта, основанные на программном обеспечении компьютерных графических редакторов САПР. Компьютерные 3D-методы активно внедряются в практику и учеб-

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

ный процесс, делая ненужными проекционные преобразования». Автор на примерах «характерных учебных задач» сравнивает варианты их решения методами НГ и 3D. На базе такого сравнения он делает свой вывод: «НГ как учебная дисциплина является морально устаревшей и требующей замены в учебном процессе на современный курс теоретических основ 3D-моделирования». Следует отметить, что появлению этих радикальных заявлений предшествовал 25–30-летний период после кончины общепризнанных лидеров отечественной начертательной и прикладной геометрий Н.Ф. Четверухина и И.И. Котова. Если в 80–90-х гг. прошлого века исследования в прикладной геометрии и защиты диссертаций еще продолжались достаточно активно, то учебно-методическая работа по линии научно-методического совета по начертательной геометрии и инженерной графике (НМС) фактически замерла. Научно-методические семинары прекратили свою работу. Редко проводимые под руководством НМС совещания заведующих кафедрами по составу участников, уровню и тематике докладов не сравнимы с масштабными Тбилисской (1954), Рижской (1957), Харьковской (1964), Казанской (1967), Ярославской(1968), Омской (1974) и других конференций. В нашей стране дискуссии о начертательной геометрии (названии, цели преподавания, расширении ее предмета, сочетании графических и аналитических способов решения геометрических задач и т.д.) начались в 50-х гг. прошлого века на Московских семинарах по начертательной геометрии и инженерной графике, основанных и руководимых академиком АПН СССР, доктором физ.-мат. наук Н.Ф. Четверухиным. Они были вызваны научными исследованиями в области начертательной геометрии, начавшимися в эти годы в СССР, и касались: • развития теории изображений (Н.Ф. Четверухин, И.И. Котов, Н.М. Бескин, Е.А. Глазунов, З.А. Скопец, К.И. Вальков, И.С. Джапаридзе и др.); • расширения ее предмета формами линейчатых, многомерных и неевклидовых пространств (З.А. Скопец, В.Н. Первикова, Н.В. Наумович и др.); • приложения методов начертательной геометрии к решению геометрических задач проектирования в области самолетостроения, машиностроения, строительства и архитектуры, физико-химического анализа и т.д. (И.И. Котов, А.М. Тевлин, В.Н. Первикова, А.Г. Климухин, Н.Н. Рыжов, С.М. Колотов и др.). Список докладов, заслушанных на Московских научно-методических семинарах по начертательной геометрии и инженерной графике за 1944–1965 гг.,

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

содержится в [18]. Эти семинары ежемесячно проводились в Московском технологическом институте пищевой промышленности (МТИПП). Здесь же проходили заседания объединенного ученого совета по прикладной геометрии и инженерной графике. Так как эти мероприятия были многолюдными, собирая не только преподавателей вузов г. Москвы, но и других городов СССР, их местом проведения являлся актовый зал МТИПП. Также регулярно работали семинары И.И. Котова «Кибернетика графики», В.Н. Первиковой по многомерной (начертательной) геометрии, Н.Н. Кузнецова и А.Г. Климухина по строительной и архитектурной тематике. Следует обратить внимание на тенденции в изменении методов исследования. Если вначале задачи решались только графическим способом, то по мере перехода к прикладным задачам они стали решаться графо-аналитическими и аналитическими методами. Эти тенденции легко прослеживаются при рассмотрении составленного проф. С.М. Куликовым списка диссертаций по начертательной геометрии и черчению, защищенных в 1954–1962 гг. [12]. При этом разработанные ранее графические приемы решения задач легли в основу их аналитических реализаций, а в дальнейшем с появлением и развитием вычислительной техники трансформировались в алгоритмы и пакеты программ. Зав. кафедрой прикладной геометрии МАИ проф. И.И. Котов в 60–70-е гг. прошлого века, прекрасно понимая эти тенденции, стал инициатором преподавания интегрированного курса начертательной и аналитической геометрий с упором на решение задач прикладного характера. В эти годы пришло понимание того факта, что ориентация только на графические способы решения геометрических задач существенно ограничивает возможности начертательной геометрии как учебной, так и прикладной дисциплины. В частности, предлагался вариант переименовать ее в конструктивную геометрию. По инициативе проф. В.С. Левицкого в МАИ от кафедры инженерной графики «отпочковалась» кафедра прикладной геометрии. В Ленинградском инженерно-строительном институте была организована кафедра геометрического моделирования. Наконец, вспомнили слова основателя начертательной геометрии Г. Монжа [13]: «Наше сравнение начертательной геометрии с алгеброй не бесцельно: обе науки имеют самую тесную связь. Нет ни одного построения в начертательной геометрии, которое нельзя было бы перевести на язык анализа: следует пожелать, чтобы обе эти науки изучались вместе: начертательная геометрия внесла бы присущую ей наглядность в наиболее сложные аналитические операции: анализ, в свою очередь, внес бы в геометрию свойственную ему общность…»

31

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Этот завет является законом, так как отражает диалектическое единство и противоположность синтетических (конструктивных, в частности, графических) и аналитических способов решения, в нашем случае, задач прикладной геометрии. Формообразование технических кривых и поверхностей, оптимизация параметров разрабатываемых конструкций, технологических процессов, экономических зависимостей и т.д. требует широкого сочетания, совместного использования методов различных ветвей математики, в частности, геометрии (алгебраической, дифференциальной, вычислительной, начертательной…) Однако среди членов кафедр инженерной графики есть достаточное число преподавателей (как рядовых, так и остепененных), считающих графику синонимом геометрии и относящих аналитические методы исключительно к математическим и не имеющим никакого отношения к начертательной геометрии. По-видимому, таким пониманием предмета начертательной геометрии объясняется фраза: «…в области математизации графических методов начертательной геометрии» [10], содержащаяся в автореферате диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук. Другое направление в начертательной геометрии как прикладной науке связано с моделированием многомерных пространств: «Геометрия многомерных пространств приобретает все возрастающую роль и широкое применение не только в математике, но и в физике, механике, химии и других прикладных науках» [14]. Как известно, многие задачи проектирования, оптимизации параметров изделий и технологических процессов, моделирования экономических зависимостей и т.д. являются многомерными. Поэтому является естественным в современных условиях расширение предмета начертательной геометрии формами многомерного пространства, что позволяет установить межпредметные связи с линейной алгеброй, рядом разделов высшей математики в терминах и понятиях многомерной геометрии [9; 17]. Таким образом, школа прикладной геометрии МАИ, основанная Н.Ф. Четверухиным и И.И. Котовым, заложила базу для трансформации начертательной геометрии в инженерную, точнее, прикладную геометрию. К сожалению, эти наработки НМС по начертательной геометрии и инженерной графике не смог своевременно внедрить в учебный процесс технических вузов по ряду причин. По-видимому, к ним следует отнести инертность системы образования: • сопротивление «старых» преподавательских кадров нововведениям, умеющих лишь графически решать

32

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

учебные позиционные и метрические задачи начертательной геометрии; • отсутствие у «молодых» руководителей кафедр базовых знаний в теории изображений и рассчитывающих поднять уровень геометро-графической подготовки студентов лишь за счет компьютеризации без повышения их общегеометрических знаний и т.д.; • упор председателя НМС проф. В.И. Якунина, преемника И.И. Котова на посту зав. кафедрой прикладной геометрии МАИ, на научно-исследовательскую работу; он как представитель авиационной промышленности, далекий от проблем начертательной геометрии и инженерной графики, не увидел тенденций модернизации начертательной геометрии в инженерную. Это привело к появлению вышеприведенных радикальных заявлений о начертательной геометрии как учебной дисциплины. Кафедры инженерной графики всегда «страдали» из-за дефицита квалифицированных кадров, имеющих профессиональную подготовку по специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика». Если раньше их руководящий состав пополнялся кандидатами и докторами технических наук, подготовленными на выпускающих кафедрах, то в настоящее время все чаще можно встретить представителей педагогической науки. Многие из них, начавшие свою профессиональную и научную карьеру на кафедрах инженерной графики, вносят свой достойный вклад в подготовку инженерных кадров. Других отличает стремление решать глобальные задачи методологического характера [7]: «…традиционные методологические подходы к организации инженерной подготовки… нуждаются в существенном пересмотре. Причем необходимо не очередное переходящее решение, а принятие, по сути, новой фундаментальной структуры инженерной подготовки вообще… В условиях информатизации ГГП и других дисциплин процесс естественной интеграции может проявиться за счет постепенного трансферинтегративного воздействия графических технологий и средств и соответствующих результатов ГГП на смежные и последующие дисциплины». С вышеприведенным видением роли ГГП согласуется понимание профессиональной геометро-графической компетентности [26] как уровня «осознанного применения геометро-графических знаний и умений, опирающихся на понимание функциональных и конструктивных особенностей моделируемых объектов (в частности технических), опыт геометрографической профессионально ориентированной деятельности, а также свободную ориентацию в графических информационных технологиях».

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

Завершая этот обзор, в котором автор попытался показать истоки идеи трансформации начертательной геометрии в инженерную как соответствующей названию специальности 05.01.01 («Инженерная геометрия и компьютерная графика»), отметим следующее: - в настоящее время даже самый консервативный преподаватель кафедры инженерной графики является сторонником преподавания компьютерной графики; дискуссии идут в области разумного сочетания ручной и машинной графики, 2D- и 3D-моделирования; - сторонников радикального предложения о ликвидации начертательной геометрии, под которой они понимают лишь чертеж Монжа, объединяет одно: они не являются специалистами в обсуждаемой предметной области, поэтому при оценке их высказываний следует руководствоваться положениями статьи академика А. Мигдала «О психологии научного творчества»1. Слова проф. А.П. Тунакова о том, что аналитическая геометрия победила начертательную геометрию окончательно и бесповоротно, отчасти справедливы лишь для трехмерного пространства. Это утверждение также догматично, как и представление проф. В.О. Гордоном начертательной геометрии как сугубо графической дисциплины. Аналитическому решению той или иной геометрической задачи предшествует составление плана ее решения. Составление плана решения многомерной задачи путем геометрической интерпретации ее условий представляет собой достаточно сложную проблему. В трехмерном пространстве это происходит на интуитивном уровне в силу естественной развитости у человека пространственного представления. Поэтому говорить о победе аналитических способов решения задач над синтетическими не корректно. Отметим еще раз, что в приведенных выше рассуждениях речь идет не о сопоставлении графических и вычислительных способов решения задач, а о диалектическом единстве и противоположности синтетических и аналитических способов их решения. Очевидно, ушли из инженерной практики графические геометрия и алгебра, дифференцирование и интегрирование [2], но разработанные здесь графические алгоритмы нашли применение и развитие в вычислительной математике и, как следствие, в соответствующих программах и пакетах. Абсолютное большинство выпускников технических вузов страны не имеют представления о многомерной геометрии, хотя их учат решать системы линейных уравнений, дифференцировать и интегрировать уравнения от многих переменных. Учат их только вычислять, а геометрический смысл 1

Наука и жизнь. — 1976. — № 2. — С. 100–107.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

алгоритмов решаемых задач объясняют в лучшем случае на примерах функций от одной и двух переменных. Такое же положение сложилось и с пониманием предмета геометрического моделирования. «Геометрическое моделирование изучает методы построения кривых линий, поверхностей и твердых тел, методы выполнения над ними различных операций и методы управления численными методами» [5]. Логика компетентностного подхода требует установления межпредметных связей, в нашем случае, начертательной геометрии не только с инженерной и компьютерной графикой, но и со смежными разделами математики. Последнее невозможно без моделирования многомерных форм. Поэтому тезис о равенстве размерностей объекта и модели [15] не состоятелен. Также не корректен вопрос о первичности 2D- или 3D-модели [16]. Во-первых, в математике первичным является элемент множества, например, точка — в точечном пространстве, а прямая — в линейчатом пространстве. Во-вторых, чертеж Монжа (2D-модель), аксонометрия, линейная или перцептивная перспектива (3D-модель) — это разные виды одного метода двух изображений [8] моделирования трехмерного пространства. Раньше, в эпоху «ручного» черчения, аксонометрический чертеж в силу относительной трудоемкости использовался как дополняющий к чертежу Монжа для обеспечения наглядности изображаемого объекта. Теперь, в эпоху компьютерной графики, вопрос трудоемкости отпал, поэтому во многих случаях преимущества 3D-модели очевидны. На различных этапах «жизненного цикла» изделия (проектирования, расчета, оптимизации его параметров, подготовки производства и т.д.) базовая модель претерпевает неоднократные модификации. Поэтому нет никакой объективной причины догматически противопоставлять 2D- и 3D-модели. Эти разговоры совершенно теряют смысл при построении математических (геометрических) моделей многомерных, многопараметрических зависимостей, например, экономических, решении задач математической статистики и т.д. Таким образом, предметом геометрической модели как составной части математической являются линейные и нелинейные формы многомерных пространств различной структуры. И, наконец, краткий комментарий к выводам статьи [25]. Убедительный и хорошо аргументированный ответ своему коллеге по ЮУрГУ (г. Челябинск) дали авторы статьи [11]. От себя добавим лишь следующее: название статьи [25] свидетельствует о непонимании автором теоретических основ начертательной геометрии как научной, так и учебной дисциплины.

33

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Таким образом, из вышеизложенного следует: • необходимость модернизации курса начертательной геометрии; • заявления некоторых представителей кафедр инженерной графики о начертательной геометрии, под которой они понимают чертеж Монжа, как умирающей науке, не состоятельны. Авторы этих заявлений, очевидно, не понимают, что отображение относится к фундаментальным понятиям математики, а начертательная геометрия изучает теорию и методы конструктивных способов отображения пространств различных размерностей и структур друг на друга [8]. Они наряду с аналитическими и аксиоматическими способами отображения служат для понижения размерности решаемой задачи (см. статью «Гаусса метод». Математическая энциклопедия. Т. 1. — М., 1977). Поэтому говорить о начертательной геометрии как умирающей науке абсолютно некорректно, а речь может (должна) идти о ее модернизации в

Литература 1. Байденко В.И. Компетентностный подход к проектированию государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования (Методологические и методические вопросы) [Текст]: методическое пособие [Текст] / В.И. Байденко. — М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2005. 2. Берлов М.Н. Техническая графика [Текст] / М.Н. Берлов. — М.-Л.: Госмашметиздат, 1934. 3. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование как перспектива преподавания графических дисциплин [Текст] / Д.В. Волошинов, К.Н. Соломонов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — Вып. 2. — С. 10–13. — DOI: 10.12737/778. 4. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее инструментария [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — Вып. 1. — С. 15–21. — DOI: 10.12737/3844. 5. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. — М.: Физматгиз, 2002. 6. Горнов А.О. ГГП — состояние, тенденции, прогнозы [Текст] / А.О. Горнов, Е.В. Усанова, Л.А. Шацилло // Материалы III научно-практической интернет-конференции. — Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2013. — С. 39–47. 7. Горнов А.О. Междисциплинарные аспекты ГГП и инженерной подготовки [Текст] / А.О. Горнов, Л.А. Шацилло // Всероссийское совещание заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов. — Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2015. — С. 27–35. 8. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1988.

34

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

условиях компетентностного подхода для обеспечения не только курса инженерной и компьютерной графики, но и смежных разделов студенческого курса высшей математики. Учитывая ее прикладное значение, следует перейти от задач с участием простых геометрических форм к составным (техническим) формам в виде одномерных и двумерных обводов. Это обеспечит, по нашему мнению, геометрическое сопровождение при изучении последующих дисциплин инженерного образования (САПР, математическое моделирование и др.). Предлагаемая модернизация начертательной геометрии в инженерную может быть достигнута за счет: 1) усиления внутрипредметных компетенций в виде рационального сочетания синтетических и аналитических способов решения геометрических задач; 2) установления междисциплинарных компетенций на базе расширения предмета начертательной геометрии многомерными формами [17].

9. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. — 3-е изд. [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. 10. Кайгородцева Н.В. Определение содержания и технологии геометро-графической подготовки будущих инженеров на основе интеграции информационных сред [Текст]: автореф. дис. … д-ра пед. наук / Н.В. Кайгородцева. — Омск, 2015. 11. Короткий В.А., Хмарова Л.И. Ломоносов и компьютерные технологии в обучении начертательной геометрии [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Всероссийское совещание заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов. — Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2015. — С. 64–73. 12. Куликов С.М. О диссертациях по начертательной геометрии и черчению [Текст] / С.М. Куликов // Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. — Вып. 2. — М., 1963. — С. 318–324. 13. Монж Г. Начертательная геометрия [Текст]: пер. с фр. / Г. Монж. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. 14. Первикова В.Н. Многомерная начертательная геометрия и геометрические методы исследования многокомпонентных систем [Текст] / В.Н. Первикова [и др.] // Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. — Вып. 3. — М.: Изд-во МАИ, 1972. — с. 23–34. 15. Рукавишников В.А. Геометро-графическая подготовка инженера: время реформ [Текст] / В.А. Рукавишников // Высшее образование в России. — 2008. — № 5. — С. 132–136. 16. Рукавишников В.А. Геометро-графическая подготовка в вузе: проблемы модернизации [Текст] / В.А. Рукавишников, В.В. Халуева, Т.Л. Ахмеров // Всероссийское

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

совещание заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов. — Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2015. — С. 132–138. 17. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин [и др.] // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — Вып. 3–4. — С. 8–12. — DOI: 10.12737/2124. 18. Список докладов, заслушанных на Московском научно-методическом семинаре по начертательной геометрии и инженерной графике за 1944–1965 гг. [Текст] // Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. — Вып. 3. — М.: Изд-во МАИ, 1972. — С. 191–207. 19. Столбова И.Д. О создании учебно-методического комплекса для сопровождения графической подготовки студентов [Текст] / И.Д. Столбова [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — Вып. 2. — С. 29–37. — DOI: 10.12737/12166. 20. Столбова И.Д. Проектно-ориентированная деятельность студентов младших курсов [Текст] / И.Д. Столбова, Е.П. Александрова, К.Г. Носов // Всероссийское совещание заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов. — Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2015. — С. 149–158. 21. Тихонов-Бугров Д.Е. О некоторых проблемах графической подготовки в технических вузах (взгляд из СанктПетербурга) [Текст] / Д.Е. Тихонов-Бугров // Геометрия и графика, — 2014. — Т. 2. — Вып. 1. — С. 46–52. — DOI: 10.12737/3848. 22. Тунаков А.П. Зачем преподавать студентам умирающие дисциплины [Текст] / А.П. Тунаков // Поиск. — 2007. — 16 март. 23. Харах М.М. Конструирование сборочного чертежа изделия методом 3D-моделирования как завершающий этап изучения инженерной и компьютерной графики [Текст] / М.М. Харах, И.А. Козлова, Б.М. Славин // Гео-метрия и графика. — 2014. — Т. 2. — Вып. 3. — С. 36–40. — DOI: 10.12737/5588. 24. Харах М.М. Построение линии пересечения некоторых сложных поверхностей 2-го порядка в «Компас» с помощью 2D- и 3D-технологий [Текст] / М.М. Харах [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — Вып. 2. — С. 38–45. — DOI: 10.12737/12167. 25. Хейфец А.Л. Сравнение методов начертательной геометрии и 3D-методов геометрического моделирования [Текст] / А.Л. Хейфец // Всероссийское совещание заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов. — Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2015. — С. 175–186. 26. Якунин В.И. Геометро-графические дисциплины в вузе: сегодня, завтра [Текст] / В.И. Якунин, В.Н. Гузненков // Всероссийское совещание заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов. — Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2015. — С. 192–198.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

References 1. Baydenko V.I. Kompetentnostnyy podkhod k proektirovaniyu gosudarstvennykh obrazovatel'nykh standartov vysshego professional'nogo obrazovaniya (Metodologicheskie i metodicheskie voprosy) [Competence approach to the design of the sovereign-governmental educational standards of higher professional education (Methodological and methodical questions)]. Moscow, Issledovatel'skiy tsentr problem kachestva podgotovki spetsialistov Publ., 2005. 2. Berlov M.N. Tekhnicheskaya grafika [Technical schedule]. Moscow, Leningrad, Gosmashmetizdat Publ. 1934. 3. Voloshinov D.V., Solomonov K.N. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie kak perspektiva prepodavaniya graficheskikh distsiplin [Design geometric modeling as the prospect of teaching graphic disciplines]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, I. 2, pp. 10–13. (in Russian). DOI: 10.12737/778. 4. Voloshinov D.V. O perspektivakh razvitiya geometrii i ee instrumentariya [On the prospects of the development of geometry and its tools]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, I. 1, pp. 15–21. (in Russian). DOI: 10.12737/3844. 5. Golovanov N.N. Geometric modeling. Moscow, Fizmatgiz Publ. 2002. 6. Gornov A.O., Usanova E.V., Shatsillo L.A. GGP – sostoyanie, tendentsii, prognozy [GGP — status, trends, forecasts]. Materialy III nauchno-prakticheskoy internet-konferentsii [Proceedings of the III scientific and practical Internetconference]. Permian, PNIPU Publ. 2013, pp. 39–47. (in Russian). 7. Gornov A.O., Shatsillo L.A. Mezhdistsiplinarnye aspekty GGP i inzhenernoy podgotovki [Interdisciplinary aspects of TGP and engi-mountain training]. Vserossiyskoe soveshchanie zaveduyushchikh kafedrami inzhenerno-graficheskikh distsiplin tekhnicheskikh vuzov [All-Russia meeting of heads of departments of engineering-graphic disciplines of technical universities.]. Rostov-on-Don, DGTU Publ., 2015, pp. 27–35. (in Russian). 8. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noy geometrii [Theoretical foundations of descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1988. 9. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive geometry]. Moscow, FGBOU VPO MGUL Publ., 2012. 10. Kaygorodtseva N.V. Opredelenie soderzhaniya i tekhnologii geometro-graficheskoy podgotovki budushchikh inzhenerov na osnove integratsii informatsionnykh sred. Dokt. Diss. [The definition of the content and technologies of geometric and graphic training of future engineers through the integration of information environments. Doct. Diss.]. Omsk, 2015. (in Russian). 11. Korotkiy V.A., Khmarova L.I. Lomonosov i komp'yuternye tekhnologii v obuchenii nachertatel'noy geometrii [Lomonosov and computer technology in teaching descriptive geometry]. Rostov-on-Don, DGTU Publ.,2015, pp. 64–73. (in Russian).

35

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

12. Kulikov S.M. O dissertatsiyakh po nachertatel'noy geometrii i chercheniyu [Detail on descriptive geometry and plotting]. Trudy Moskovskogo nauchno-metodicheskogo seminara po nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike [Proceedings of the Moscow scientific-methodological seminar on descriptive geometry and engineering graphics]. Moscow, 1963, I. 2, pp. 318–324. (in Russian). 13. Monzh G. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive geometry]. Moscow, Leningrad, AN SSSR Publ., 1947. 14. Pervikova V.N., Naumovich N.V., Dmitrienko G.E., Zaytseva E.P., Podylina M.G. Mnogomernaya nachertatel'naya geometriya i geometricheskie metody issledovaniya mnogokomponentnykh sistem [The multidimensional descriptive geometry and geometric methods for studying multicomponent systems]. Trudy Moskovskogo nauchno-metodicheskogo seminara po nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike [Proceedings of the Moscow scientific-methodological seminar on descriptive geometry and engineering graphics]. Moscow, MAI Publ., 1972, I. 3, pp. 23–24. (in Russian). 15. Rukavishnikov V.A. Geometro-graficheskaya podgotovka inzhenera: vremya reform [Geometric-Graphic Engineer Training: during reforms]. Vysshee obrazovanie v Rossii [Higher education in Russia]. 2008, I. 5, pp. 132–136. (in Russian). 16. Rukavishnikov V.A., Khalueva V.V., Akhmerov T.L. Geometrograficheskaya podgotovka v vuze: problemy modernizatsii [Geometric-graphic preparation in high school: problems of modernization]. Vserossiyskoe soveshchanie zaveduyushchikh kafedrami inzhenerno-graficheskikh distsiplin tekhnicheskikh vuzov [All-Russia meeting of heads of departments of engineering-graphic disciplines of technical universities]. Rostov-on-Don, DGTU Publ. 2015, pp. 132–138. (in Russian). 17. Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav'ev K.A. Mezhdistsiplinarnye svyazi nachertatel'noy geometrii i smezhnykh razdelov vysshey matematiki [Interdisciplinary communication descriptive geometry and adjacent sections of higher mathematics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, I. 3, 4, pp. 8–12. (in Russian). DOI: 10.12737/2124. 18. Spisok dokladov, zaslushannykh na Moskovskom nauchnometodicheskom seminare po nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike za 1944–1965 gg. [List of lectures delivered at the Moscow Scientific-methodological seminar on descriptive geometry and engineering graphics for 1944– 1965 years]. Moskovskogo nauchno-metodicheskogo seminara po nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike [Proceedings of the Moscow scientific-methodological seminar on descriptive geometry and engineering graphics]. Moscow, MAI Publ., 1972, I. 3, pp. 191–207. (in Russian). 19. Stolbova I.D., Aleksandrova E.P., Kraynova M.N., Kochurova L.V. O sozdanii uchebno-metodicheskogo kompleksa dlya soprovozhdeniya graficheskoy podgotovki studentov

36

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 29–36

[On the creation of educational complex for maintenance of graphic preparation of students]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. Moscow, 2015, I. 2, pp. 29–37. (in Russian). DOI: 10.12737/12166. 20. Stolbova I.D., Aleksandrova E.P., Nosov K.G. Proektnoorientirovannaya deyatel'nost' studentov mladshikh kursov [Project-oriented activities of undergraduate students]. Vserossiyskoe soveshchanie zaveduyushchikh kafedrami inzhenerno-graficheskikh distsiplin tekhnicheskikh vuzov [AllRussia meeting of heads of departments of engineeringgraphic disciplines of technical universities]. Rostov-on-Don, DGTU Publ., 2015, pp. 149–158. (in Russian). 21. Tikhonov-Bugrov D.E. O nekotorykh problemakh graficheskoy podgotovki v tekhnicheskikh vuzakh (vzglyad iz SanktPeterburga) [On some problems of graphic preparation of the technical institutions (think of St. Petersburg)]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. Moscow, 2014, I. 1, pp. 46–52. (in Russian). DOI: 10.12737/3848. 22. Tunakov A.P. Zachem prepodavat' studentam umirayushchie distsipliny [Why teach students dying discipline]. Poisk [Search]. 2007, I. 11. (in Russian). 23. Kharakh M.M., Kozlova I.A., Slavin B.M. Konstruirovanie sborochnogo chertezha izdeliya metodom 3D-modelirovaniya kak zavershayushchiy etap izucheniya inzhenernoy i komp'yuternoy grafiki [Construction product assembly drawing by 3D-modeling as a final stage in the study of engineering and computer graphics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. Moscow, 2014, no. 3, pp. 36–40. (in Russian). DOI: 10.12737/5588. 24. Kharakh M.M., Kozlova I.A., Slavin B.M., Guseva T.V. Postroenie linii peresecheniya nekotorykh slozhnykh poverkhnostey 2-go poryadka v «Kompas» s pomoshch'yu 2Di 3D-tekhnologiy [Construction of the line of intersection of some complex surfaces 2nd order in the "Compass" using 2D and 3D technology]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. Moscow, no 2, pp. 38–45. (in Russian). DOI: 10.12737/12167. 25. Kheyfets A.L. Sravnenie metodov nachertatel'noy geometrii i 3D-metodov geometricheskogo modelirovaniya [Comparison of methods of descriptive geometry and 3D geometric modeling methods]. Vserossiyskoe soveshchanie zaveduyushchikh kafedrami inzhenerno-graficheskikh distsiplin tekhnicheskikh vuzov [All-Russia meeting of heads of departments of engineering-graphic disciplines of technical universities]. Rostovon-Don, DGTU Publ., 2015, pp. 175–186. (in Russian). 26. Yakunin V.I., Guznenkov V.N. Geometro-graficheskie distsipliny v vuze: segodnya, zavtra [Geometric and graphic disciplines in high school today, tomorrow]. Vserossiyskoe soveshchanie zaveduyushchikh kafedrami inzhenerno-graficheskikh distsiplin tekhnicheskikh vuzov [All-Russia meeting of heads of departments of engineering-graphic disciplines of technical universities.]. Rostov-on-Don, DGTU Publ., 2015, pp. 192–198. (in Russian).

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

УДК 514.123:378

DOI: 10.12737/19832

Н.А. Сальков Канд. техн. наук, профессор, Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

Начертательная геометрия – база для компьютерной графики Аннотация. Все знают, что начертательная геометрия — это наука, но никто не дал в существующей иерархии определения для компьютерной графики. Дело в том, что если компьютерная графика будет объявлена наукой, то можно продолжать называть начертательную геометрию устаревшей, отжившей свое и требовать ее упразднения. Но если компьютерная графика (именно графика) к науке не имеет отношения, если это только инструмент для выполнения процедур, описанных начертательной и другими ветвями геометрии, то все, кто пытался принизить начертательную геометрию, попадут в затруднительное положение: им будет нечего сказать, потому что заменять науку инструментом очень неразумно. Известно, что инженерная графика не имеет статуса науки. Она просто применяет законы геометрических наук. Возникает много вопросов, например: почему есть заявления, что начертательная геометрия — это 2D? Почему требуют признания, что начертательная геометрия — это проекция на одну плоскость? Разве начертательная геометрия не использует метод двух изображений или же метод двух следов? При этом метод двух изображений используется повсеместно! На первой же лекции мы заявляем студентам: проецирование ведется на две плоскости проекций, точку в пространстве можно закрепить только с помощью трех координат, у точки должны быть минимум две проекции. Значит, начертательная геометрия работает с тремя координатами, т.е. в пресловутом 3D. Более того, изображение, получаемое на экране дисплея в так называемом 3D, есть не что иное, как аксонометрическая проекция на плоскость — соответствующий раздел начертательной геометрии. В работе показывается, что компьютерная графика является инструментом, использующим все наработки, созданные начертательной геометрией. В заключение статьи предлагается компьютерную графику классифицировать как аппарат для реализации наработок всех ветвей геометрической науки, а не как отдельно стоящую над геометрией науку. Ключевые слова: педагогика, начертательная геометрия, компьютерная графика, инженерная графика, качество обучения.

N.A. Salkov Candidate of Technical Sciences, Professor, Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov, 30 Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia

Descriptive Geometry — the Base of Computer Graphics Abstract. Everyone knows that descriptive geometry is a science, but there is no definition of the computer graphics. If computer graphics is announced as a science, you can continue to call descriptive geometry outdated and to demand of its abolition. But if

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

the computer graphics has nothing to do with the science, and if it is only a tool to perform the procedures of descriptive geometry and other branches of geometry, everyone who tried to discredit descriptive geometry, will be in a difficult position: they will have nothing more to say, because in it is unwise to replace science on tool. It is known that engineering graphics so far does not have the status of science. It is a discipline that fully applies the laws of other geometrical sciences. There are many questions such as: why are there claims that descriptive geometry is 2D? Why do some specialists claim that descriptive geometry is a projection on a single plane? They forgot that descriptive geometry uses the method of two images or method of two traces. But this method of two images is used everywhere! On the first lecture we tell students: the projection is carried out on two planes of projection, a point in space can be fixed only by means of three coordinates and the point must have at least two projections. It means, that descriptive geometry works with three coordinates, in other words — in 3D. The image produced on the display screen in the so-called 3D, is neither more nor less than axonometric projection on the plane — appropriate section of descriptive geometry. In conclusion, the author offers to classify the computer graphics as a tool for the experience of all branches of geometrical science, but not as a free-standing science. Keywords: pedagogy, descriptive geometry, computer graphics, engineering graphics, the quality of education.

1. О соотношении начертательной геометрии и компьютерной графики Общеизвестно, что начертательная геометрия – это наука. Наука об изображениях и база для геометрического моделирования. Это бесспорно и не подлежит сомнению. При этом начертательная геометрия имеет в своем арсенале следующие разделы: проекции в ортогональных проекциях, развертки, аксонометрические проекции, перспективные проекции, проекции с числовыми отметками, теория теней (которая включает построение теней и в ортогональных проекциях, и в аксонометрии, и в перспективе, и в числовых отметках), многомерная начертательная геометрия, мнимая начертательная геометрия, номография. Как видим, проекции в ортогональных проекциях занимают довольно-таки скромное место в общем объеме интересов, попадающих в поле внимания начертательной геометрии. Чтобы узнать, какое – для этого достаточно полистать любой учебник для архитекторов. Скромное. Поэтому вызывает удивление тот факт, что, уцепившись за ортогональные проекции, некоторые наши партнеры изо всех сил пытаются доказать какую-то нелепость, ссылаясь на компьютерную графику. А что же такое компьютерная графика? Какое место среди учебных дисциплин занимает она? И какое место – среди научных дисциплин? Попробуем разобраться.

37

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Понятие computer в переводе на русский означает вычислитель, а слово display, опять же в переводе, значит «изображение». Тут можно было бы и закончить диспут, так как изображениями занимается начертательная геометрия, а вычислитель – это прибор для вычислений, а с недавних пор и для преобразования электронной записи в файле в изображение на дисплее, но все же продолжим. Известно, что инженерная графика – это свод упрощений с применением геометрических знаний, в том числе и начертательной геометрии, при вычерчивании. А компьютерная графика? Лет 25–30 назад у компьютера не было графических оболочек (по крайней мере, в России) и все довольствовались кульманом. Да и предназначение компьютера позиционировалось как ускорение операций, связанных с числами. Другими словами, компьютер предназначался для упрощения вычислений. Но вот компьютер приобрел графический интерфейс (Windows), затем появились такие графические монстры, как AutoCAD, КОМПАС, T-flex и др. Что изменилось? Вместо кульмана стал использоваться компьютер с графической системой AutoCAD, а потом и КОМПАС – исключительно в качестве электронных кульманов. А затем, в очень недалеком прошлом, возникла так называемая 3D-графика. Рассмотрим, что же это такое. Сначала разберемся в вопросе: почему периодически проскальзывают утверждения, что начертательная геометрия – это 2D [26]? Почему кто-то требует признания, что начертательная геометрия – это проекция на плоскость? На одну! Разве в классических учебниках не написано, что начертательная геометрия использует метод двух изображений или же метод двух следов [2]? При этом метод двух изображений на две (!) плоскости используется повсеместно. В том числе в компьютерной графике, в пресловутом 3D. Это же азбука начертательной геометрии. Ведь еще на первой лекции абсолютно всякий лектор заявляет студентам, что проецирование ведется на две плоскости проекций, что точку в трехмерном пространстве можно закрепить только с помощью трех координат, а на чертеже у точки должно быть минимум две проекции. То есть начертательная геометрия работает с тремя координатами. Единственное допущение – все плоскости проекций, сколько бы их не было при решении задачи (4 или 6), мы совмещаем в одну, т.е. имеем дело минимум с двумя полями проекций. Не с одной-единственной плоскостью, а с двумя полями! Таким образом, в действительности традиционная «школьная» начертательная геометрия является геометрией трехмерного пространства и работает с тремя координа-

38

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

ционными осями, а это – то самое пресловутое 3D. И это все наши партнеры прекрасно знают. Почему же, когда возникает вопрос о компьютерной графике, это старательно замалчивается? Это означает только одно: когда кто-то утверждает, что начертательная геометрия работает только в 2D, он совершает, вольно или невольно, грубую профессиональную теоретическую ошибку. Или же принципиально не желает видеть очевидное. В AutoCAD’е или КОМПАСе, как и в других графических системах, изначально заложены три координационные оси – они видны на экране дисплея. На этом основании разработчики (компьютерщики) AutoCAD’а объявили, что работа будет вестись в 3D. Однако, рассматривая картинку, созданную компьютером в AutoCAD’е, разве нельзя не заметить, что мы рассматриваем аксонометрическую проекцию? Что все координаты точек трехмерного пространства пересчитаны для двумерного изображения? На плоском экране? И для более удачного положения, чтобы рассмотреть все или большинство нюансов, разве не должен пользователь, поворачивая картинку, найти наиболее удачную ее проекцию? Или же «покачивать» картинку, чтобы полнее рассмотреть изображение – зачастую сразу можно не разобрать, что же представлено на экране дисплея. Таким образом, работая с аксонометрией, изображенной на дисплее, т.е., по сути, работая с начертательной геометрией (ведь это «изображение», как его ни крути!), кто-то полностью отрицает этот факт. Один экскурс в историю. Однажды я изобразил аксонометрическую проекцию без вторичной проекции. Мой старший товарищ объяснил, что это – просто-напросто картинка, поскольку на ней невозможно решать никаких не то что метрических – позиционных задач. Аксонометрическая проекция обязана иметь вторичную проекцию и репер. Изображение на экране компьютера, которое компьютерщики позиционируют как 3D, на самом деле является картинкой, поскольку не имеет вторичной проекции. Красивой, но картинкой. Будучи распечатанной на обычном принтере, эта картинка никуда не годна, исключительно лишь для созерцания. Для коллег, желающих узнать, кто же был моим «старшим товарищем», могу сказать: это был мой учитель, профессор Николай Николаевич Рыжов, который, в свою очередь, был учеником академика Н.Ф. Четверухина, одного из авторов книги «Аксонометрия» [4]. Думаю, что с его авторитетным мнением никто не посмеет спорить. Если же это не аксонометрическая проекция, как однажды было заявлено, то тогда что же? Тогда этому изображению следует присвоить понятие и дать ему определение. Но никак не 3D. Этот програм-

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

мистский казус не является геометрическим понятием, хотя и закрепился повсеместно и, видимо, навечно. Повторимся: и в AutoCAD’е, и в начертательной геометрии мы работаем с тремя координатными осями, а значит, работаем в трехмерном пространстве, которое издавна обозначалось, как R3 [15]. А может ли AutoCAD работать с четырехмерным или пятимерным пространством? И как тогда будет называться изображение? 4D, 5D? И какие способы построения пересечений геометрических фигур будут применяться? Вот вопросы, на которые у наших оппозиционных коллег нет ответа. А ведь многомерная начертательная геометрия уже существует, и довольно давно [25], и это все знают, в том числе и наши оппоненты, хотя предпочитают и этот факт замалчивать. Более того, существует и мнимая начертательная геометрия [5; 11]. Так почему же начертательную геометрию объявляют «устаревшей» а компьютерную графику – современной? Вряд ли только по незнанию. Ведь на самом-то деле получается, что компьютерная графика развивается не столь успешно, как нам это хотят представить. Более того, современными компьютерными графическими системами очень многие геометрические задачи решить чрезвычайно трудно, если не невозможно, и для их решения необходимо создать новый компьютер – геометрический [1]. Все сказанное означает только одно: начертательную геометрию следует изучать как науку, компьютерную графику – как способ визуализации.

2. Об аксонометрическом изображении на экране дисплея Итак, компьютерная графика, как и начертательная геометрия, в разделе ортогональных проекций работает с тремя координатами, т.е. в трехмерном пространстве. А изображение на экране дисплея (в так называемом 3D) является на самом деле аксонометрической проекцией, т.е. отображением этого трехмерного пространства на графическом уровне, называемом компьютерщиками 2D. Что же такое аксонометрия, как не раздел начертательной геометрии? Кто из наших коллег, уверенных, что начертательная геометрии устарела, сможет доказать, что компьютерное 3D-изображение на экране совершенно не имеет отношения к книге Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина [4]? И смогут ли они доказать, что законы построения компьютерного 3D-изображения разработчики взяли не у начертательной геометрии? Да, мы можем вращать картинку. Но что это такое, как не геометрическое преобразование, не получение новых изображений, чем занимается начертательная

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

геометрия, не получение нового поля проекций, не перманентное введение новых плоскостей проекций – один из способов преобразования, разработанный начертательной геометрией? Могут возразить: мы видим вращающуюся модель. Да что вы! Вы действительно так считаете? Тогда вы не знаете элементарных свойств человеческого зрения и того, как работает кинематограф. Нет же, мы видим не вращающуюся модель, а, как в кинематографе или телевидении, быстро меняющиеся кадры: скорость пересчета координат всех необходимых для визуализации объекта точек у компьютера стала настолько быстрой, что наш глаз совсем не замечает, как и в кинематографе, смены кадров. А попробуйте запустить процесс на Pentium-100. Уверяю, результат будет ошеломляющим. Опять-таки видим, что все движения взяты из начертательной геометрии, которые затем с помощью аналитической геометрии и последующего программирования визуализированы на экране дисплея в плоскую картинку-аксонометрию. Попробуйте доказать обратное. Еще в свое время, читая лекции студентам, профессор Н.Н. Рыжов говорил, когда объяснял студентам способы геометрических преобразований (преобразования чертежа): «Это удивительно – имея только две ортогональные проекции (а с чего начинается построение в 3D, как не с ортогональной проекции? – Н.С.), иметь возможность рассмотреть геометрический объект со всех сторон!» Так что рассмотрение геометрической модели со всех сторон также взято из начертательной геометрии. И не вина компьютерщиков, что они этого не знают – беда наших некоторых партнеров, что они не желают этого видеть.

3. О «нульмерности» компьютерной картинки Аксонометрическая проекция – это проекция на одну (в рассматриваемом случае) плоскость, т.е. изображение на двумерный носитель – плоскость, сферу, цилиндр и др. Поэтому, уподобляясь некоторым нашим коллегам, мы с тем же апломбом можем заявить, что их 3D вовсе не 3D, а всего-навсего 2D. То есть двумерная картинка на плоском (сегодня) экране дисплея. Об этом заявляет не только автор данной статьи, но и другие специалисты [8]. Если же углубиться в саму систему, как это делают наши оппоненты, обвиняя начертательную геометрию в «плоскостопии», то 2D-изображение на экране – это отображение тех вычислений, которые проводят процессор компьютера и графический процессор. А раз компьютер имеет дело исключительно с числами, то это – 0D.

39

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Объясню. Начертательная геометрия, работая в основном с двумерным носителем, на самом деле рассматривает трехмерные геометрические фигуры – с этим спорить бесполезно, это первая фраза, которую все лекторы выдают своим студентам на первой же лекции по начертательной геометрии. Если аппаратом начертательной геометрии является двумерный носитель, то у компьютера аппарат – нульмерный носитель, раз компьютер оперирует нулем и единичкой. Поэтому, если начертательную геометрию некоторые наши партнеры по незнанию уличают в «двумерности», то и компьютерную графику мы с тем же успехом обязаны уличать в «нульмерности», раз она работает с числами (а в пределе с ноликами и единичками), у которых нет измерения, – разве число (или цифра) может быть трехмерным? Ток идет или ток не идет – это вообще абстракция, не поддающаяся мерности.

4. Формирование поверхности – способ начертательной геометрии Рассмотрим, как получается поверхность в компьютерной графике. Твердотельная модель – это еще один казус в системе геометрических понятий. Разве мы ее можем пощупать? Ведь, по ассоциации, мы не можем назвать электронную книгу книгой на самом деле: она становится книгой, когда ее распечатают в бумажном виде. В электронной же памяти такая книга представляет собой (условно) набор единичек и ноликов. Так и здесь – модель, созданная с помощью компьютера, становится твердотельной только в тот момент, когда ее «распечатают» на трехмерном принтере. А для экранного случая скорее приемлем термин «электронная модель», тем более что она записана в электронной памяти в виде двоичного кода. Кстати. А знают ли апологеты «твердотельного моделирования», что металлическую деталь размером 400 × 400 × 400 мм 3D-принтер сможет «напечатать» за 2 недели непрерывной бесперебойной работы из мелкодисперсного металлического порошка? Да, это технология будущего, но сегодня такая деталь будет по стоимости равна слитку золота того же веса, что и сама деталь, если не больше – ведь, кроме принтера, для детали необходим еще и металлический порошок, который в настоящее время производится только за рубежом. А если производить детали в массовом количестве, то страна без вариантов в скором времени станет банкротом. Итак, вернемся к созданию картинки на экране. Сначала мы должны в какой-либо плоскости проекций задать образующую. Разве не похоже это на задание на чертеже образующей при получении элементарного чертежа поверхности [17; 18] в начерта-

40

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

тельной геометрии? А затем использовать или вращение, или выдавливание. А вот тут как раз имеет место кинематическое формирование поверхности, разработанное начертательной же геометрией: получение цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения. Так называемое «выдавливание» или «вращение» – это перемещение образующей, кинематический способ, присущий начертательной геометрии. Попробуйте опровергнуть. Подводя итоги, напомним, что изображение на экране дисплея – это графическая интерпретация визуализации электронной модели. А с графической информацией работает исключительно начертательная геометрия как теория изображений. Если попробовать отрицать, что начертательная геометрия – это не теория изображений, возникает вопрос: какая же теория тогда ею является? В любых учебниках по черчению, начертательной геометрии или инженерной графике – всюду говорится об изображениях, начиная со скальных рисунков. Да и художники в Московском государственном академическом художественном институте имени В.И. Сурикова изучают перспективу и тени в перспективе – разделы начертательной геометрии. Это лишнее доказательство, что начертательная геометрия – теория изображений.

5. Компьютерная графика – не наука Предположим, что наши оппоненты победили, и компьютерная графика стала в один ряд с математикой, геометрией, физикой, химией и другими фундаментальными науками. Возникает вопрос: «Какие же из геометрических теорем выдвинула и доказала компьютерная графика?» Понятно, что никакие.

6. Вопрос о точности построения Многие наши партнеры заявляют, что с приходом компьютеров исчезли проблемы с точностью построения. Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Изображение на рис. 1 представляет собой выполненный в AutoCAD’е чертеж эллипса. Рисунок 2 – это увеличенный левый кусок этого же эллипса. Как видим, кривая совершенно не эллипс, а ломаная, т.е. кривая второго порядка аппроксимирована даже не

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

окружностями. Кстати, об окружностях. На рис. 3 представлена выполненная опять же в графической системе AutoCAD окружность. На рис. 4 показана та же окружность в увеличенном виде. Опять тот же эффект: уже сама окружность аппроксимирована ломаной. Наконец, на рис. 5 представлен сплайн, а на рис. 6 – его увеличенная часть. Если сравнить рис. 5 и рис. 6, можно убедиться, что и сплайн также аппроксимирован при визуализации на экране посредством ломаной, что отнюдь не способствует геометрической (именно геометрической) точности. По-другому компьютер просто не может, а точность построений определена лишь шагом точек на линии. И понятно, что этот шаг не может быть бесконечно малым.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

причинам абсолютной точности добиться невозможно и в этом случае». Таким образом, компьютерная графика как инструмент, оперирующий конечными числами, является также неточным, как и любые другие инструменты. Рассмотрим еще один пример, касающийся точности построений. На рис. 7 представлено построение эллипса и одной из его нормалей в AutoCAD-12.

Рис. 4 Рис. 7

Рис. 5

Рис. 6

Профессор Д.В. Волошинов по вопросу неточности геометрии писал [1]: «Трудно упрекнуть геометрию как стройную систему знаний, основанную на аксиоматическом принципе и правилах логического вывода, в неточности. Как любая абстрактная система, она абсолютно точна, и с этим утверждением вряд ли кто-то станет спорить. Совершенно другая ситуация складывается, если абстрактная система подвергается моделированию средствами физическими. Происходят два явления, сопровождающие процесс моделирования: переход от бесконечных множеств к конечным и появление шума. Ограниченность ресурсов и шумы являются причиной неизбежного несовершенства физического инструментария, которое по недоразумению предписывают геометрии как неустранимый изъян ее метода вообще. Однако если непредвзято рассмотреть процессы аналитического моделирования, то и здесь мы обнаружим те же самые явления. Не придется говорить об особенной точности, если выполнять математические операции на счетах или арифмометре. Разрядная сетка регистров в процессорах вычислительных машин может быть сделана очень большой, но все же не бесконечной. А следовательно, по аналогичным

В работе [23] аналитически было доказано, что при известнейшем построении эллипса по двум окружностям каждая построенная точка действительно принадлежит эллипсу. Также аналитически было доказано построение нормали из точки, принадлежащей эллипсу. На рис. 7 все вроде бы так и обстоит. Однако рассмотрим рис. 8, на котором построения даны в сильно увеличенном виде. Видно, что действительная точка эллипса (точка двух пересекающихся прямых – вертикальной и горизонтальной) находится вне линии, построенной AutoCAD-12. К тому же нормаль, проведенная из внешней точки, также не проходит через точку эллипса. Это, вероятней всего, следствие того, что на экране дисплея система AutoCAD-12 построила не эллипс, а его аппроксимацию ломаной линией.

Рис. 8

41

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Теперь рассмотрим рис. 9, на котором приведено построение эллипса в системе КОМПАС-12. Известно, что построения в системе КОМПАС до некоторых пор являлись более точными. Непопадание точки на построенный эллипс (рис. 10) можно было бы оправдать низким разрешением дисплея, не могущего поспеть за разработчиками, если бы не одно но, о котором речь пойдет далее. Масштаб приведенного на рис. 10 изображения – 541000:1. При этом и касательные, и нормали, проведенные из внешней точки, проводятся точно через точку эллипса, найденную при помощи двух окружностей. Скорее всего, разработчики взяли на вооружение построения, приведенные в [23]. Видно, что КОМПАС более точен и более пригоден для простейших геометрических построений. Но не все так просто.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

Видно, что прямые, которые по всем законам проективной геометрии обязаны пересекаться, на самом деле не пересекаются. Это уже сложно оправдать слабым разрешением монитора. Это – ошибка при выполнении расчетов, как уже было сказано, при переходе от чисто геометрических построений к цифровому оформлению решения и наоборот.

Рис. 11

Рис. 9

Рис. 12

Рис. 10

На рис. 11 приведена простейшая система перспективного соответствия. Это рисунок, выполненный в КОМПАС-12, который имеется в любом учебнике по начертательной геометрии для строителей и архитекторов [6–10; 13; 18; 19]. Все вроде бы нормально и правильно. Но рассмотрим в увеличенном виде области точек F и F1. На рис. 12 и 13 приведены увеличенные фрагменты, полученные на рис. 11, для точек F и F1 соответственно.

42

Рис. 13

Все это создает следующее впечатление. На самом деле любая графическая система (вообще-то не зря все компьютерные графические системы назвали одним словосочетанием — «компьютерная графика», а не «компьютерная геометрия») должна восприниматься не как самодостаточная геометрическая панацея, а как некий электронный прибор, предназначенный для упрощения вычерчивания – такой электронный чертежный прибор (наподобие кульмана), на котором можно выполнять различные геометрические построения с допускаемой степенью точности. Никакой чертежный прибор не может заменить науку, поэтому не может заменить ту или иную ветвь геометрии ни AutoCAD, ни КОМПАС.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

Любой чертежный прибор имеет свою точность, свою погрешность, а также свой шум. Так и электронные графические системы имеют свои погрешности. Говоря о точности компьютерной графики, нашим оппонентам следовало бы прибавлять – точности, достаточной для современной промышленности, но никак не геометрической точности, которую они подразумевают или даже говорят напрямую, не понимая сути. У геометрии нет понятия точности – она точна изначально, как и всякая абстрактная наука. Понятие точности возникает только тогда, когда в дело вступает тот или иной чертежный прибор. И если наши партнеры хотят проводить соревнование между карандашом и компьютером – что ж, дело на любителя. В некоторых работах высказывается мнение, что машиностроение может обойтись без чертежей: детали для различных механизмов можно выполнять, так сказать, «с колес», т.е. минуя бумажный носитель: графический файл сразу поступает на станки с ЧПУ. Возникают следующие вопросы: в ГОСТах ЕСКД имеются разделы, регламентирующие такие элементы как шероховатость, посадки, отклонение от формы поверхности, отклонение от параллельности, перпендикулярности, указания о покрытиях и термической обработке и др. Известно, что для выполнения лопаток турбин все внимание направлено именно на проверку точности изготовления. Каким образом можно будет проверить то, что, может быть, присутствует в файле, но отсутствует в графическом исполнении? Или проверять будет сам станок? А разве у этого станка отсутствует его собственная погрешность? Многие говорят, что чертежу пришел конец. Приведу мнение одного из докладчиков на интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки: традиции и инновации» Алексея Александровича Бойкова, который в полемике по вопросу его доклада «Верифицируемость инженерно-графических задач как необходимое условие эффективной самостоятельной работы» высказал следующее мнение: «Мое отношение к 3D сугубо положительное – к 3d, 4d, ... Чертеж я считаю более удобным инструментом для отработки навыков формальных методов моделирования, а достоинства 3d-пакетов проявляются лишь в прикладной области предметного моделирования и автоматизации подготовки конструкторской документации. При использовании AutoCAD'а, если мы захотим чего-то большего, чем стандартные инструменты, мы будем вынуждены браться за LISP. Что далеко выходит за рамки отведенных часов и задач». И действительно, для некоторых направлений обучения дается всего 8 лекций и 8 практических

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

занятий. Если сюда втиснуть и компьютерную графику, и LISP, то на геометрию времени не останется. Может быть, этого и добиваются наши партнеры? А теперь по сути этого заявления о «точности»1. Когда мы учим студентов начертательной геометрии, то заявляем, что точки вообще не имеют никаких размеров, а линии и поверхности не имеют толщин. Все эти геометрические фигуры абстрактны. Отсюда – любые геометрические построения, в которых используются абстрактные геометрические фигуры, не могут иметь в принципе никакой конкретной «точности», поскольку для геометрии все результаты построений, повторяю, абстрактны и не воплощены в материале, а поэтому бесспорно точны. Речь о точности возникает тогда и только тогда, когда в дело вступают те или иные инструменты, каждый из которых имеет не только свою собственную точность, но и так называемый шум. Общеизвестно, что точность геометрических построений на компьютере гораздо выше, чем с помощью любых предшествующих инструментов. Это до такой степени очевидно, что возникает недоумение по поводу поставленных задач и выводов вышеупомянутой статьи. В этой работе автор блестяще доказал то, что и так общеизвестно и не вызывает сомнения, а именно: инструментами, коими являются карандаш и линейка, не достичь той точности, которая достигается инструментом по названию «компьютер». Поименованная статья не имеет научной или практической новизны, а посему совершенно бессмысленная. Это все равно, что сказать: «Расстояние до Хабаровска от Москвы в миллимертах гораздо точнее, чем в километрах». Кто будет спорить, да и зачем? Это как спорить о том, мокрая вода или нет. Бессмысленно!

7. О первородстве То, что геометрия первична, а компьютерная графика вторична, как вторично изображение по отношению к прообразу, спорить бессмысленно. Именно геометрия в качестве теории используется для компьютерной графики, а не наоборот. Да при помощи компьютерной графики можно рассмотреть некоторые нюансы, касающиеся геометрии, подтвердить теоретические выкладки. Но компьютерная графика по природе своей является, так сказать, практикой, в то время как геометрия есть теория. С помощью компьютерной графики можно проверять теоретические положения геометрии – это без сомнения. Но никогда компьютерная графика не сможет стать теоретической основой геометрии – это был бы нон1 Хейфец А.Л. Геометрическая точность компьютерных алгоритмов конструктивных задач [Электронный ресурс]. — URL: http://dgng.pstu. ru/conf2016/papers/74/

43

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

сенс: не может прибор быть теорией. Практическим дополнением к геометрии – да, теорией – нет. Именно геометрия выдвигает и доказывает, как абстрактная наука, геометрические теоремы. Графика же, используя те или иные приборы, с той или иной точностью подтверждает доказанное. Так как у компьютерной графики точность построений значительно выше по сравнению с другими инструментами для вычерчивания, то некоторые наши партнеры решили, что этого вполне достаточно для замещения геометрии компьютерной графикой. Но для построения геометрической машины [1] необходимы знания именно геометрических построений, а не искусство нажимать на кнопочки.

8. Об однобоком подходе к начертательной геометрии Повторюсь: автор совершенно не против компьютерной графики как прибора для визуализации трехмерных геометрических объектов. Однако, как говорят, каждый сверчок должен знать свой шесток. Автор, например, все свои восемь вышедших книг [14; 16–19; 21; 22; 24] и все статьи в журнале «Геометрия и графика» иллюстрировал чертежами, собственноручно выполненными средствами компьютерной графики: в графическом пакете КОМПАС, в том числе и в 3D. Кто же противопоставляет начертательную геометрию и компьютерную графику и пытается довести этот процесс до истребления геометрии? После опросов выяснилось, что среди противников начертательной геометрии нет специалистов – кандидатов и докторов наук, защищавшихся по направлению 05.01.01 «Прикладная геометрия и инженерная графика» или, как сейчас она называется, «Инженерная геометрия и компьютерная графика». Все противники обучались и защищались по другим техническим, технологическим или педагогическим дисциплинам, а затем какими-то путями попали на кафедры начертательной геометрии, скорее всего, из-за нехватки специалистов. И теперь, увидев, что на некоторых (но отнюдь не на всех) производствах стараются отойти от прямой связи с чертежами, решили, что и чертежи, и начертательная геометрия как прислужница этих чертежей стали вовсе не нужны на производстве. Вот как рассуждают противники геометрии: раз чертежи уже не нужны, а начертательная геометрия – всего-навсего их прислужница, то, значит, начертательная геометрия является отсталой наукой, ненужной производству. Только непонятно, почему начертательную геометрию они записали в прислужницы? Скорее всего, потому, что они не обучались по направлению 05.01.01, а поэтому слишком далеки от понимания действительной роли начер-

44

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

тательной геометрии для современного производства и науки. Такой однобокий подход очень опасен тем, что в результате мы получим «однобоких» специалистов, «приложения» к калькулятору и компьютеру, исключительно исполнителей, нажимающих на знакомые клавиши, но не творцов. Людей, знающих, для чего надо нажимать на ту или иную кнопку для получения нужного эффекта, но не понимающих, как этот результат получается геометрически. На фоне падающего геометрического образования [3; 12; 20] (можно сказать, на фоне повальной геометрической безграмотности среди молодежи) потерять еще и последний оставшийся бастион геометрического образования в стране – начертательную геометрию – будет настоящим крушением инженерного технического образования в России. Специалист технического профиля, ничего не понимающий в геометрии – катастрофа для производства и технических наук в целом.

9. О техногенных ситуациях А как быть в критических ситуациях: например, на Украине применяется веерное отключение электроэнергии – ситуация, о возможности которой я как-то намекал в одной из статей? В России изготовлен беспилотник, начиненный спецаппаратурой. Он может облететь США за минимальное количество часов, в результате Америка лишиться всех своих электронных средств. Кто знает, может быть, и у Америки имеется нечто похожее?

10. Где компьютерная графика не работает без геометрии Неоднократно ставился следующий вопрос на различных конференциях и страницах научных сборников: сможет ли компьютерная графика без участия начертательной геометрии (и вообще без участия геометрии как таковой) по заданным базовым точкам (рис. 14) получить 3D-модель дороги и построить ее изображение (рис. 15)? Ответа автор так и не услышал. Да, для массового выпуска стандартных деталей не нужно применять геометрическое моделирование: приказы на исполнение могут непосредственно поступать на станки от компьютера. Но для эксклюзивных, единичных, а также для протяженных сооружений, какими считаются автомобильные и железные дороги, чертежи необходимы. Они необходимы в архитектуре и строительстве: пока что не придумали станков с ЧПУ для строительства автомобильных и железных дорог, ГЭС и АЭС, для строительства доменных печей, плотин и аэродромов, гражданских зданий и сооружений.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

Рис. 14

Рис. 15

11. Вывод: начертательная геометрия служит базой для компьютерной графики 1. Начертательная геометрия – теория изображений. Компьютерная графика использует одно из этих изображений – аксонометрию. 2. Компьютерная графика не может считаться геометрически точным прибором. Точна абстрактная начертательная геометрия; компьютерная же графика, работающая с небесконечными регистрами своих процессоров, имеет погрешность, как и всякий прибор. Таким образом, начертательная геометрия первична по отношению к прибору – компьютерной графике. 3. Компьютерная графика взяла у начертательной геометрии (из аксонометрии как ее раздела) три взаимно перпендикулярные координатные оси. Пусть они позаимствованы у Декарта, но начертательная геометрия их применила первой. 4. Компьютерная графика позаимствовала у начертательной геометрии способ изображения – аксонометрию и перспективу. 5. Компьютерная графика позаимствовала у начертательной геометрии взятие для формирования поверхности образующую линию. 6. Компьютерная графика позаимствовала у начертательной геометрии способ формирования по-

Литература 1. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее инструментария [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

верхностей – кинематический. То есть поверхность формируется перемещением образующей. 7. Компьютерная графика позаимствовала у начертательной геометрии способы геометрических преобразований (преобразований чертежа) – введение новой плоскости проекций с целью рассмотрения изображаемой геометрической фигуры со всех сторон. В компьютерных играх также применяются и другие способы геометрических преобразований, разработанных начертательной геометрией. 8. Компьютерная графика позаимствовала у начертательной геометрии способы решения задач на взаимное пересечение геометрических фигур. Попробуйте доказать обратное – хотя бы, что применено математическое решение пересечения поверхностей двух торов (поверхностей четвертого порядка). Хотелось бы взглянуть на конечную формулу этой кривой восьмого порядка. 9. Компьютерная графика позаимствовала у начертательной геометрии задачи на взаимный порядок [4] (для определения видимости). 10. Начертательная геометрия – наука. Компьютерная графика не может считаться наукой, это – практическое приложение, применяющее все способы начертательной геометрии и других ветвей геометрии. По определению в [8], компьютерная графика – область деятельности, в которой компьютеры используются в качестве инструмента как для создания изображений, так и для обработки визуальной информации. Таким образом, все, что есть у компьютерной графики, начиная с построения изображения первой геометрической фигуры, компьютерная графика взяла у начертательной геометрии и у других ветвей геометрии. То есть, подводя итог, можно утверждать, что начертательная геометрия служит базой для компьютерной графики. Повторимся. Начертательная геометрия – это теория визуализации. Компьютерная графика – аппарат для расчета и визуализации. Не может быть теория заменена аппаратом. Начертательную геометрию следует изучать хотя бы только потому, что она является базой для компьютерной графики!

и графика: Научно-методический журнал. –2014. — Т. 2. — Вып. 1. — С. 15–21. — DOI: 10.12737/3844. 2. Вольберг О.А. Лекции по начертательной геометрии [Текст] / О.А. Вольберг. — Л.: Госпедиздат, 1947.

45

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

3. Вышнепольский В.И. Цели и методы обучения графическим дисциплинам [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — С. 8–9. — DOI: 10.12737/777. 4. Глазунов Е.А. Аксонометрия [Текст] / Е.А. Глазунов, Н.Ф. Четверухин. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. — 292 с. 5. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — С. 3–9. — DOI: 10.12737/777. 6. Климухин А.Г. Начертательная геометрия [Текст] / А.Г. Климухин. — М.: Стойиздат, 1978. — 334 с. 7. Короев Ю.И. Начертательная геометрия [Текст] / Ю.И. Короев. — М.: КНОРУС, 2011. — 432 с. 8. Короткий В.А. Начертательная геометрия: Конспект лекций. [Текст] / В.А. Короткий, В.А. Хмарова, И.В. Буторина — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2014. — 191 с. 9. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия [Текст] / Н.Н. Крылов [и др.]. — М.: Высшая школа, 1990. — 240 с. 10. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия [Текст] / Н.С. Кузнецов. — М.: Высшая школа, 1981. — 262 с. 11. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. — 104 с. 12. Пьянкова Ж.А. Формирование готовности студентов оперировать пространственными объектами в процессе изучения геометро-графических дисциплин [Текст]: автореф. дис. … канд. пед. наук / Ж.А. Пьянкова. — Екатеринбург, 2015. — 31 с. 13. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия [Текст] / Н.Л. Русскевич. — Киев: Вища школа, 1978. — 312 с. 14. Сальков Н.А. Задачник по начертательной геометрии [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2013. — 127 с. 15. Сальков Н.А. Кинематическое соответствие вращающихся пространств [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 28–31. — DOI: 10.12737/2074. 16. Сальков Н.А. Моделирование автомобильных дорог [Электронный ресурс] / Н. А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2012. — 120 с. 17. Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2013. — 174 с. 18. Сальков Н.А. Начертательная геометрия: Конструирование и задание геометрических фигур на чертеже [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. — М.: МИКХиС, 2008. — 96 с. 19. Сальков Н.А. Начертательная геометрия. Основной курс [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2014. — 235 с. — DOI: 10.12737/764. 20. Сальков Н.А. Проблемы современного геометрического образования [Текст] / Н.А. Сальков // Проблемы

46

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. — 2014. — Т. 1. — С. 38–46. 21. Сальков Н.А. Черчение для слушателей подготовительных курсов [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2016. — 128 с. 22. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение [Текст] / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2016. — 145 с. 23. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 28–31. — 10.12737/2084. 24. Сысоева Е.В. Архитектурные конструкции и конструирование малоэтажного жилого дома [Текст]: учеб. пособие / Е.В. Сысоева, Н.А. Сальков. — М.: МГАХИ им. В.И. Сурикова, 2014. — 101 с. 25. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения [Текст] / П.В. Филиппов. — Ленинград, 1979. — 280 с. 26. Хейфец А.Л. Реорганизация курса начертательной геометрии как актуальная задача развития кафедр графики [Текст] / А.Л. Хейфец // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — С. 21–23. — DOI: 10.12737/781.

References 01. Voloshinov D.V. About Prospects of Development of Geometry and Its Tools. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, V. 1, I. 2, p. 15–21. (in Russian). DOI: 10.12737/3844. 02. Vol'berg O.A. Lekcii po nachertatel'noj geometrii [Lectures on descriptive geometry]. Leningrad, Gospedizdat Publ., 1947. (in Russian). 03. Vyshnepolsky V.I., Salkov N.A. Tseli i metody obucheniya graficheskim distsiplinam [The aims and methods of teaching drawing]. Geomerija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 2, p. 8–9. DOI: 10.12737/777. 04. Glazunov E.A., Chetveruhin N.F. Aksonometrija [Axonometric view]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1953. 292 p. (in Russian). 05. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. O zadachah nachertatel'noj geometrii s mnimymi reshenijami [Descriptive geometry problems with imaginary solutions]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 2, p. 3–9. (in Russian). DOI: 10.12737/777. 06. Klimuhin A.G. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow, Stojizdat Publ., 1978. 334 p. (in Russian). 07. Koroev Ju.I. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry] Moscow, KNORUS Publ., 2011. 432 p. (in Russian). 08. Korotkij V.A., Hmarova V.A., Butorina I.V. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Cheljabinsk, JuUrGU Publ., 2014. 191 p. 09. Krylov N.N., Ikonnikova G.S., Nikolaev V.L., Lavruhina N.M. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1990. 240 p. (in Russian). 10. Kuznecov N.S. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow, Vysshaja shkola Publ., 1981. 262 p. (in Russian).

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 37–47

11. Peklich V.A. Mnimaja nachertatel'naja geometrija [Imaginary descriptive geometry]. Moscow, Izdatel'stvo Associacii stroitel'nyh vuzov, 2007. 104 p. (in Russian). 12. P'jankova Zh.A. Formirovanie gotovnosti studentov operirovat' prostranstvennymi ob#ektami v processe izuchenija geometrograficheskih discipline. Kand. Diss. [Formation of readiness of students to operate features in the process of studying the geometric-graphic disciplines. Cand. Diss]. Ekaterinburg, 2015. 31 p. (in Russian). 13. Russkevich N.L. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Kiev, Vishha shkola Publ., 1978. 312 p. (in Russian). 14. Salkov N.A. Zadachnik po nachertatel'noj geometrii [Book of problems in descriptive geometry]. Moscow, INFRA-M Publ., 2013. 127 p. (in Russian). 15. Salkov N.A. Kinematic compliance of rotating spaces. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, p. 4–10. (in Russian). DOI: 10.12737/2074. 16. Salkov N.A. Modelirovanie avtomobil'nyh dorog [Modeling of highways]. Moscow, INFRA-M Publ., 2012. 120 p. (in Russian). 17. Salkov N.A. Nachertatel'naja geometrija: bazovyj kurs [Descriptive geometry: Basic course]. Moscow, INFRA-M Publ., 2013. 184 p. (in Russian). 18. Salkov N.A. Nachertatel'naja geometrija: Konstruirovanie i zadanie geometricheskih figur na chertezhe [Descriptive geometry: Constructing and specifying the geometric shapes on the drawing]. Moscow, MIKHiS Publ., 2008. 96 p. (in Russian). 19. Salkov N.A. Nachertatel'naja geometrija. Osnovnoj kurs [Descriptive geometry. The main course]. Moscow, INFRA-M, 2014. 235 p. (in Russian).

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

20. Sal'kov N.A. Problemy sovremennogo geometricheskogo obrazovanija [Modern geometric problems of education]. Problemy kachestva graficheskoj podgotovki studentov v tehnicheskom vuze: tradicii i innovacii [Problems of quality of graphic training of students in technical College: traditions and innovations]. 2014, V. 1, pp. 38–46. (in Russian). 21. Sal'kov N.A. Cherchenie dlja slushatelej podgotovitel'nyh kursov [Drawing for students of preparatory courses in: proc. the allowance]. Moscow, INFRA-M, 2016. 128 p. (in Russian). 22. Sal'kov N.A. Ciklida Djupena i ee prilozhenie [Cyclide of Dupin and its application]. Moscow, INFRA-M, 2016. 145 p. (in Russian). 23. Salkov N.A. Ellipse: tangent and normal. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, p. 28–31. (in Russian). DOI: 10.12737/2084. 24. Sysoeva E.V., Sa'kov N.A. Arhitekturnye konstrukcii i konstruirovanie malojetazhnogo zhilogo doma [Architectural design and construction of low-rise residential building: a Training manual]. Moscow, MGAHI im. V.I. Surikova Publ., 2014. 101 p. (in Russian). 25. Filippov P.V. Nachertatel'naja geom. mnogomernogo prostranstva i ee prilozhenija [Descriptive geom. the multidimensional space and its applications]. Leningrad, 1979. 280 p. (in Russian). 26. Hejfec A.L. Reorganization of the course in descriptive geometry as an urgent task development departments graphics. Geometrija i grafika. [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 2, p. 21–23. (in Russian). DOI: 10.12737/781.

47

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

УДК 004.92:012.1

DOI: 10.12737/19833

Е.Б. Ерцкина

Канд. пед. наук, доцент, Хакасский технический институт – филиал ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», Россия, Республика Хакасия, 655017, г. Абакан, ул. Щетинкина, д. 27;

Н.Н. Королькова

Канд. техн. наук, доцент, Хакасский технический институт – филиал ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», Россия, Республика Хакасия, 655017, г. Абакан, ул. Щетинкина, д. 27

Геометрическое моделирование в автоматизированном проектировании архитектурных объектов Аннотация. Статья посвящена обзору программных средств, используемых в автоматизированном проектировании архитектурных объектов. Особое внимание обращается на особенности современных программных средств и возможности их использования в архитектурном проектировании. На примере графической системы AutoCAD рассмотрено содержание и методика внедрения современных САПР в учебный процесс в рамках изучения курса «Инженерная графика» для студентов строительных специальностей. Обосновывается выбор данных CAD-систем в качестве базовых для использования в преподавании графических дисциплин. В процессе выполнения задания студенты решают основные архитектурные задачи по определению формы и конструктивно-геометрических параметров объектов и параллельно осваивают 3D-моделирование в пакетах AutoCAD или ArchiCAD. Обосновано, что включение в учебный процесс графического задания, разработанного с учетом профессиональной направленности обучающихся, повышает его эффективность. Выполняемое задание способствует закреплению и углубленному изучению основ инженерной графики. Может быть использовано при изучении 3D-компьютерного геометрического моделирования для студентов технических направлений. Отмечено, что развитие идет в направлении компьютеризации курса и расширения объема применения 3D-методов моделирования и построения чертежа. Геометрическое моделирование в проектировании архитектурных объектов позволяет создать модель объекта на базе описания характеристик объекта, геометрии, пропорциональной зависимости и отношений, информационной оболочки, реализуемой в соответствующей программной среде, увеличить поиск новых архитектурных форм, выполнить анализ пространственной формы проектируемого объекта и разработать проекционную архитектурную модель здания. На основании проведенного анализа выявлена тенденция развития инженерно-геометрического моделирования в проектировании архитектурных объектов. Ключевые слова: инженерная деятельность, геометрическое моделирование, архитектурные объекты, проектирование.

48

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 48–54

E.B. Ertskina Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Khakass Technical Institute – branch of “Siberian Federal University”, 27, Abakan Shchetinkin St., Republic of Khakassia, 655017, Russia;

N.N. Korol'kova Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Khakass Technical Institute – branch of “Siberian Federal University”, 27, Abakan Shchetinkin St., Republic of Khakassia, 655017, Russia

Geometric Modeling in the Automated Designing of Architectural Objects Abstract. The article is devoted to overview of software used in the automated designing of architectural objects. Particular attention is paid to the features of modern software and the possibility of their use in the design of constructions. The technique of modern SAPR implementation in educational process within studying of «Engineering Graphics» course is considered by the example of AutoCAD graphic system for students of construction specialties. The selection of these CAD systems as the base for graphic disciplines teaching is validated. The architectural task consists in creation of one of two developed ways of modeling. In the course of task performance students solve the main geometrical objectives by definition of the form and constructive and geometrical parameters of the objects and in parallel master 3D modeling in AutoCAD or ArchiCAD packages. It is proved that inclusion in educational process of the graphic task developed taking into account a professional orientation trained, increases its efficiency. The task performed during the first semester promotes fixing and profound studying of fundamentals of engineering graphics. It can be used when studying 3D computer geometric modeling for students of the technical directions. Geometric modeling in design of architectural objects, you can create a model of the object based on the descriptions of the characteristics of the object, geometry, proportion and relationships, information membranes, implemented in an appropriate software environment. It also allows you to increase the search of new architectural forms, to perform the analysis of the spatial form of the designed object and the projection to develop an architectural model of the building. Based on this analysis the trend of engineering and development of geometric modeling for the designing of sites is showed. Keywords: engineering activities, geometric modeling, architectural objects, designing.

В настоящее время в проектно-конструкторской деятельности инженера наступил переходный период. В современных условиях непрерывного ускоренного совершенствования техники и технологии, бурного развития средств информационных технологий и компьютерных методов обработки графической информации увеличивается темп восприятия информации, информация становится реальной производственной силой, от количества и качества

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 48–54

зависит результат многих производственных процессов. В связи с этим возрастает востребованность специалистов в промышленности, строительстве, других областях деятельности, свободно владеющих и использующих системы компьютерной графики в инженерной деятельности. В инженерной деятельности вычислительная техника применяется для выполнения расчетов, автоматизации проектирования и для других целей. Компьютер исполняет роль инструмента в профессиональной деятельности, компьютерные технологии становятся неотъемлемой частью повседневной жизни современного человека. Инженерная деятельность предполагает регулярное применение научных знаний (т.е. знаний, полученных в научной деятельности) для создания искусственных технических систем — сооружений, устройств, механизмов, машин [14]. Таким образом, инженерная деятельность тесно связана с использованием информационных технологий. Одним из направлений сокращения объема трудозатрат времени при проектировании зданий является использование автоматизированных методов. При автоматизированном проектировании появляется возможность расширения объема задания в сторону многовариантного структурного и параметрического анализа проектируемого объекта, получить большое число вариантов проектов и возможность выбора оптимального. Таким образом, применение элементов САПР в проектировании позволяет экономить время проектировщика, избежать возможных ошибок. Проекты проходят жесткую экспертизу, характерным признаком которой являются изменения или дополнения деталей проекта. Технологические системы при изменении конструктивных параметров проекта должны количественно и качественно переналаживаться в сжатые сроки при минимальных затратах. Обеспечение гибкости и эффективности такого процесса возможно при внедрении интегрированных автоматизированных систем, включающих конструирование и проектирование. Актуальность данной статьи связана с тем, что современное проектирование развивается в направлении автоматизации с широким использованием программ, позволяющих быстро и эффективно обосновать и разработать инженерно-графическую модель процесса решения архитектурных задач. В современных условиях традиционные инструменты разработки замещаются новыми программно-аппаратными средствами и разнообразной периферией. Массовое внедрение информационных технологий вызвало появление, в свою очередь, и новых подходов к работе — автоматизации вычислений, САПР,

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

электронного документооборота. Об этом упоминается во многих статьях [1; 2; 4; 5; 9; 12; 18; 23]. Системы автоматизированного проектирования (САПР), основывающиеся на объемном моделировании, в настоящее время стали стандартом для создания конструкторской и технологической документации, что обусловливает специальные требования к подготовке обучающихся технического профиля в образовательном учреждении. Поэтому одним из важнейших требований при обучении студентов в высших технических учебных заведениях должно стать развитие важного компонента творческой деятельности — пространственного воображения [7; 8; 16; 17]. Достижения в области науки и техники позволили осуществлять трех- и четырехмерное геометрическое моделирование. Основные преимущества САПР: • удобство исправления: легко менять и убирать линии; свободно передвигать изображения по полю и копировать их; можно отменить неверно выполненные операции и пр.; • получение чертежей в цвете: цветные чертежи облегчают их чтение; • электронные чертежи удобно хранить на электронных носителях информации и для их передачи; • создание чертежа происходит без применения чертежных инструментов, позволяя экономить время проектировщика; • высокое качество чертежа. Совершенствование компьютерных графических систем, применяемых в процессе обучения, объективно ставит задачу развития визуальной грамотности (способности восприятия зрительной информации) и воспитания визуальной культуры обучающихся. Вместе с тем компьютеризация обучения направлена на развитие восприятия и формирование умений и навыков воспроизведения готовой инженернографической информации. Специалисты, занимающиеся инженерным геометрическим моделированием, должны быть способны к творческой деятельности, самостоятельности в принятии решений и владению научно-практическими навыками. При выборе средств моделирования геометрических задач предпочтение отдается аналитическим методам. Аналитическая модель структурно сложнее, она в сравнении с геометрической моделью требует большего числа операций для достижения поставленной цели, ибо в ней разница в размерностях моделируемого пространства и пространства картин больше [19]. Цель геометрического моделирования заключается в том, чтобы разработать объемно-пространственную концептуальную модель — композицию заданного

49

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

архитектурного пространства. Композиция основана на авторской интерпретации каждого из элементов и всей структуры в целом по принципу геометрического структурирования. Композиция не является копией реального пространства, а представляет собой самостоятельное произведение, выявляющее характер элементов и их взаиморасположение в пространстве [13]. Геометрическое моделирование — деятельность, направленная на создание геометрической модели, при котором формообразование происходит на основе композиционного построения объектно-пространственной структуры. Форма объекта зависит от достаточно широкого круга требований — функциональных, потребительских, используемых материалов и технологий. От проектировщика уже на этапе концептуальной разработки объекта требуется не только использование точных расчетов, инженерного подхода, рассматривающего объект как чисто техническую систему, ориентированного на осуществление рабочей функции объекта, позволяющего комплексно подойти к композиционному построению объекта в целом [20]. Структурная схема геометрического моделирования включает в себя 4 основополагающих компонента: 1) оригинал или объект моделирования. При моделировании трехмерного пространства на экране монитора получают ортогональные проекции, аксонометрию, перспективу, проекции с числовыми отметками. Кроме того, объектами моделирования могут являться и любые другие многообразия, но это уже будут многомерные и нелинейные модели, исследование которых является актуальной и до сих пор нерешенной до конца проблемой для современной науки; 2) область модели — это носитель модели, где осуществляется ее отображение. Как правило, она представляет собой экран монитора, однако для отображения также может быть выбрано любое многообразие; 3) аппарат моделирования определяет способы задания 3D-моделей. Выделяют: • аналитические (моделирование с явным заданием геометрии — задание оболочки), • кинематические (операции «Выдавить», «Сдвиг», «Вращать», «По сечениям» и некоторые другие), • конструктивные (использование базовых элементов формы и булевых операций над ними — «Объединение», «Вычитание», «Пересечение»), • параметрические (зависимые параметры, устанавливающие соотношение между размерными и геометрическими характеристиками),

50

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 48–54

• комбинированные способы; 4) и, наконец, модели по своему представлению подразделяют на каркасные, поверхностные и твердотельные [24]. Геометрическое моделирование на компьютере исследуемых конструкций и процессов является сложным алгоритмическим процессом, включающим в себя: • выбор или разработку математической модели описания геометрических объектов; • размещение геометрических объектов в сцене с учетом ориентации; • описание динамики объектов; • перевод математической модели в машинную модель в форматах, минимизирующих вычислительный процесс ее обработки; • преобразование математической и машинной моделей; • визуализацию машинной модели. Для ввода и коррекции геометрической информации создаются графические редакторы, которые содержат библиотеки геометрических примитивов — точки, линии, плоскости, поверхности, простейшие геометрические тела (куб, параллелепипед, сферу, цилиндр, конус, тор и их модификации). На рис. 1 показана технология геометрического моделирования и визуализации динамических трехмерных сцен, отражающая основные процессы по подготовке и обработке геометрической информации в компьютере в интерактивном режиме [10].

Рис. 1. Технология геометрического моделирования и визуализации динамических трехмерных сцен

В учебной программе ряда вузов предусмотрены курсовые работы [15] непосредственно у обучающихся по направлению «Строительство» в Хакасском

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 48–54

техническом институте — филиале СФУ, для первого курса бакалавриата предусмотрена курсовая работа по инженерной графике. По индивидуальному заданию студенты выполняют архитектурно-строительный чертеж общественного здания. На аудиторные практические занятия отведено 36 академических часов. При выполнении проекта выполняется план первого этажа, главный фасад, разрез здания, построение здания в перспективе, чертежи выполняются в программном продукте группы компаний Autodesk в графической системе AutoCAD, которая ориентирована на специалистов разной квалификации — конструкторов, инженеров, строителей, техников. Данная система при проектировании курсовых работ и выполнении выпускной квалификационной работы дает возможность формировать электронные архивы чертежей. Каждый из созданных файлов редактируется, что позволяет быстро получать чертежи-аналоги по чертежам-прототипам. Для процесса выпуска документации разработана «библиотека стандартных элементов». В качестве стандартных элементов выступают как целые файлы, так и их отдельные части. Архитектура всегда была искусством и всегда это связано с виртуальным представлением. Одно из самых распространенных определений визуализации — это процесс представления данных в виде изображений с целью максимального удобства их понимания, придания зримой формы мыслимому объекту, проекту или процессу [21]. Для визуального представления проектируемого объекта активно внедряются в практику компьютерные 3D-технологии, в которых первичным является построение реалистичной 3D-модели объекта, а создание чертежа является вторичным и уже во многом автоматизированным процессом [3]. Существует много взглядов на взаимосвязь геометрии и компьютерного моделирования, но нельзя отрицать, что 3D-графика является мощным инструментом, позволяющим усилить визуализацию геометрических образов [22]. Трехмерные компьютерные модели позволяют выполнить проектирование с высокой точностью особо сложных пространственных объектов в 3D, а также обладают неограниченными возможностями и легкостью в редактировании трехмерной модели в процессе проектирования и на любом этапе. Известно, что изучение систем автоматизированного проектирования должно развиваться в направлении изучения современных 3D-методов проектирования по реальным технологиям [6]. Устанавливается ассоциативная связь: модель изделия — чертеж — документация на изделие, что позволяет на любом этапе корректиро-

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

вать выполняемое задание. При внесении изменения в 3D-модель оно автоматически отображается в остальных документах, связанных с этой моделью, например, в чертеже и документации. В связи с этим достигается значительная экономия времени на проектирование. В проектировании архитектурных объектов для графического моделирования объектов в 3D используют систему ArchiCAD — профессиональный САПР для архитекторов, разработанная компанией Graphisoft, в основу которой заложена концепция «виртуального здания». Данная система позволяет строить чертежи и 3D-модели из привычных конструктивных элементов (стен, колонн, перекрытий), проектировать масштабные строительные объекты (жилые дома, общественные здания). Проектирование архитектурного объекта выполняется на основе подобранных конструкций, элементов, форм, с учетом пропорциональности и масштабности, функционального назначения и художественного образа. При проектировании в области архитектуры, строительства и дизайна, разработке архитектурных решений система ArchiCAD позволяет вести всю документацию по строительству от поэтажных планов и разрезов зданий до спецификации материалов и строительно-технической документации. Полученный трехмерный объект — это материально воплощенное здание, строительное сооружение или его часть, его фрагменты, узлы и детали. Суть ее состоит в том, что проект «ArchiCAD» представляет собой выполненную в натуральную величину объемную модель реального здания, существующую в памяти компьютера. Для ее выполнения проектировщик на начальных этапах работы с проектом фактически «строит» здание, используя при этом инструменты, имеющие свои полные аналоги в реальности: стены, перекрытия, окна, лестницы, разнообразные объекты [25]. Процесс этапов геометрического моделирования архитектурно-строительных объектов включает постановку задачи и анализ объекта моделирования, разработку модели объекта моделирования, сбор необходимой информации, составляющей информационную модель исследуемого объекта, определение набора и геометрию архитектурных форм или их частей, а затем выбор способа их моделирования, анализ результатов моделирования. После обработки полученных данных и их преобразования происходит формирование архитектурной модели объекта, ее геометризация (компьютерная визуализация) и выполнение геометрических построений. То есть в общем виде формирование архитектурного пространства представляет собой геометрическую комбинаторную задачу, учитывающую

51

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

различные аспекты функционирования архитектурного объекта. После завершения работ над «виртуальным зданием» обучающийся получает возможность извлекать разнообразную информацию о спроектированном объекте: поэтажные планы, фасады, разрезы, экспликации, спецификации. Архитектурное моделирование в 3D пользуется повышенным спросом, так как дает возможность оценить внешний вид здания до его постройки, в отличие от того же AutoCAD. В то же время создание 3D-объектов архитектуры доступно даже для начинающих пользователей. Процесс формирования архитектурного пространства можно представить в следующем общем виде: определить набор и геометрию исходных элементов (архитектурных форм или их частей), а затем выбрать способ их комбинирования (моделирования). То есть в общем виде формирование архитектурного пространства представляет собой геометрическую комбинаторную задачу, учитывающую различные аспекты функционирования архитектурного объекта [11].

Литература 1. Асекритова С.В. Методика преподавания курса «Графические редакторы САПР» [Текст] / С.В. Асекритова // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 46–48. — DOI: 10.12737/473. 2. Асекритова С.В. Решение прикладных задач с использованием САПР [Текст] / С.В. Асекритова, Ю.П. Шевелев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 49–51. — DOI: 10.12737/474. 3. Асекритова С.В. Специфика разработки конструкторской документации в условиях автоматизации производства [Текст] / С.В. Асекритова, А.В. Константинов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3/4. — C. 36–39. — DOI: 10.12737/2131. 4. Бойков А.А. Компьютерные средства поддержки учебных курсов графических дисциплин [Текст] / А.А. Бойков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — C. 29–31. — DOI: 10.12737/784. 5. Ваванов Д.А. Обзор компьютерных технологий, применяемых при обучении начертательной геометрии [Текст] / Д.А. Ваванов, А.В. Иващенко // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — С. 54–57. — DOI: 10.12737/792. 6. Вельтищев В.В. 3D-олимпиады и компьютерное проектирование в программах технических университетов [Текст] / В.В. Вельтищев// Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 52–59. — DOI: 10.12737/12169. 7. Гергей Т. Психолого-педагогические проблемы эффективного применения компьютера в учебном процессе.

52

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 48–54

Эффективность представления проектного замысла — одна из главных задач работы инженера, строителя, архитектора. AutoCAD/ArchiCAD предоставляют для решения этой задачи самые широкие возможности. В процессе выполнения задания студенты решают основные архитектурные задачи по определению формы и конструктивно-геометрических параметров объектов и параллельно осваивают 3D-моделирование в пакетах AutoCAD или ArchiCAD. Включение в учебный процесс графического задания, разработанного с учетом профессиональной направленности обучающихся, повышает его эффективность. Таким образом, геометрическое моделирование в проектировании архитектурных объектов, позволяет создать модель объекта на базе описания характеристик объекта, геометрии, пропорциональной зависимости и отношений, информационной оболочки, реализуемой в соответствующей программной среде, увеличить поиск новых архитектурных форм, выполнить анализ пространственной формы проектируемого объекта и разработать проекционную архитектурную модель здания.

[Текст] / Т. Гергей, Е.И. Машбиц // Вопросы психологии. — 1985. — № 3. — 41 с. 8. Горнов А.О. Базовая геометро-графическая подготовка на основе 3D-электронных моделей [Текст] / А.О. Горнов, Е.В. Усанова, Л.А. Шацилло // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — С. 43–49. — DOI: 10.12737/6524. 9. Гузненков В.Н. Информационные технологии в графических дисциплинах технического университета [Текст] / В.Н. Гузненков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3–4. — С. 26–28. — DOI: 10.12737/2128. 10. Дегтярев В.М. Компьютерная геометрия и графика: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования. [Текст] / В.М. Дегтярев. — М.: Академия, 2011. — 192 с. 11. Иевлева О.Т. Концепция и разработка методологии автоматизированного решения геометрических задач архитектурного проектирования [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук / О.Т. Иевлева. — Ростов н/Д, 2000. — 45 с. 12. Короткий В.А. Начертательная геометрия на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 32–34. — DOI: 10.12737/469. 13. Лекарева Н.А. Моделирование как творческий метод в высшем образовании архитектора [Текст] / Н.А. Лекарева // Фундаментальные исследования. — 2007. — № 7. — С. 97–99. 14. Научно-технический прогресс: Словарь. — М.: Политиздат, 1987. — 366 c. 15. Парвулюсов Ю.Б. Применение компьютерной графики при курсовом проектировании оптических приборов

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 48–54

[Текст] / Ю.Б. Парвулюсов // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 1. — C. 42–45. — DOI: 10.12737/3847. 16. Сальков Н.А. Искусство и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3–4. — С. 3–7. — DOI: 10.12737/2123. 17. Сальков Н.А. Курс начертательной геометрии Гаспара Монжа [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3–4. — С. 52–57. — DOI: 10.12373/2135. 18. САПР и компьютерное моделирование в машиностроении [Электронный ресурс]. — URL: http://sapr.km.ua/ olympiads (дата обращения: 12.03.2016). 19. Соломонов К.Н. Конструктивное геометрическое моделирование как перспектива преподавания графических дисциплин [Текст] / К.Н. Соломонов, Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — C. 10–13. — DOI: 10.12737/778. 20. Соснин Н.В. Дизайн как основа компетентностной модели инженерного образования [Текст] / Н.В. Соснин // Высшее образование в России. — 2009. — № 12. — С. 20–26. 21. Трухан И.А., Трухан Д.А. Визуализация учебной информации в обучении математике, ее значение и роль. [Электронный ресурс]. — URL: www.rae.ru/use/?section =content&op=show_ article&article_ id=10002174 22. Шахова А.Б. Качество графической подготовки студентов технических вузов в соответствии с современным состоянием единой системы конструкторской документации [Текст] / А.Б. Шахова, И.Д. Столбова // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 27–31. — DOI: 10.12737/5587. 23. Щеглова А.В. Применение компьютерных технологий в процессе изучения графических дисциплин [Текст] / А.В. Щеглова // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 73–74. — DOI: 10.12737/482. 24. Якубовская О.А. Научно-исследовательская работа со студентами как путь повышения качества инженерного образования [Текст] / О.А. Якубовская, В.П. Уласевич, З.Н. Уласевич // Инновационные технологии в инженерной графике. Проблемы и перспективы: Сб. науч. тр. — Брест, 2014. — С. 80–82 25. URL: http://www.archicad.ru/ (дата обращения: 20.01.2016).

References 1. Asekritova S.V. Technique of «SAPR Graphic Editors» course teaching. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, p. 46–48. (in Russian). DOI: 10.12737/473. 2. Asekritova S.V. Specifics of design documentation development inproduction automation conditions Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, p. 49–51. (in Russian). DOI: 10.12737/474. 3. Asekritova S.V., Konstantinov A.V. The solution of applied tasks with SAPR use. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 3/4, p. 36–39. (in Russian). DOI: 10.12737/2131.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

4. Bojkov A.A. Computer means of graphic disciplines’ training courses support. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 2, p. 29–31. (in Russian). DOI: 10.12737/784. 5. Vavanov D.A., Ivashhenko A.V. Overview of computer technologies in teaching descriptive geometry. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 2, p. 54–57. (in Russian). DOI:10.12737/792. 6. Vel'tishhev V.V. 3D-Olympics And Computer Design Competition in Technical Universities Programs. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, I. 2, p. 52–59. (in Russian). DOI: 10.12737/12169. 7. Gergej T., Mashbic E.I. Psychological and pedagogical problems of effective use of the computerin the learning process. Journal of guestions of psychology. Voprosy psihologii. 1985. no. 3, 41 p. (in Russian) 8. Gornov A.O., Usanova E.V., Shacillo L.A. Basic geometrical graphic preparation based on 3D-electronic models. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, V. 2, I. 3, p. 43–49. (in Russian). DOI: 10.12737/6524. 9. Guznenkov V.N. Information technologies in graphic disciplines of technical university. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 3–4, p. 26–28. (in Russian). DOI: 10.12737/2128. 10. Degtjarev V.M. Computergeometry and graphics. M.: Izdatel'skij centr «Akademija», 2011, 192 p. (in Russian) 11. Ievleva O.T. Koncepcija i razrabotka metodologii avtomatizirovannogo reshenija geometricheskih zadach arhitekturnogo proektirovanija. Doct. Diss. [The concept and development of methodology for automated solution of geometrical problems of architectural design. Doct. Diss.]. Rostov-na-Donu, 2000. 45 p. 12. Korotkij V.A., Hmarova L.I. Descriptive geometry on computer screen. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, p. 32–34. (in Russian). DOI: 10.12737/469. 13. Lekareva N.A. The modeling asa creative method of the architect in higher education. Fundamental'ny issledovanija. [Journal o fundamental research]. 2007, no 7, p. 97–99. (in Russian). 14. Nauchno-tehnicheskij progress: Slovar' [Scientific and technological progress. Dictionary]. M.: Politizdat, 1987, 366 p. (in Russian) 15. Parvuljusov Ju.B. Computer Graphics Use for Coursework of Optical Instruments. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, V. 2, I. 1, p. 42–45. (in Russian). DOI: 10.12737/3847. 16. Salkov N.A. Art anddescriptive geometry. Geometrija i grafika [Geometry andgraphics]. 2013, V. 1, I. 3–4, p. 3–7. (in Russian). DOI:10.12737/2123. 17. Salkov N.A. The course of descriptive geometry Gaspard Monge. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 3–4, p. 52–57. (in Russian). DOI: 10.12373/2135. 18. SAPR i komp'juternoe modelirovanie v mashinostroenii. [CAD and computer modeling in engineering]. Available: http:// sapr.km.ua/olympiads (Accessed 12 march 2016).

53

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

19. Solomonov K.N., Voloshinov D.V. Constructive geometric modeling as graphic disciplines’teaching prospect. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V.1, I. 2, p. 10–13. (in Russian). DOI: 10.12737/778. 20. Sosnin, N.V. The design as a basis of competence model of engineering education. Vysshee obrazovanie v Rossii. [Higher education in Russia], 2009, no. 12, p. 20–26. (in Russian) 21. Truhan I.A., Truhan D.A. Vizualizacija uchebnoj informacii v obuchenii matematike, ee znachenie i rol'. [Visualization of educational information in training in mathematics, itsvalue and a role] Available:www.rae.ru/use/?section=content& op=show_ article&article_ id=10002174 22. Shahova A. B., Stolbova I. D. tehnicheskih Students’Graphic Training Quality in Technical High EducationalInstitutions

54

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 48–54

According to Current State of DesignDocumentation’s Uniform System] Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, V. 2, I. 2, p. 27-31. (in Russian). DOI: 10.12737/5587. 23. Shheglova A.V. Using of computer technologies during the studying of graphic disciplines Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 1, p. 73–74. (in Russian). DOI: 10.12737/482. 24. Jakubovskaja O.A., Ulasevich V.P. Ulasevich Z.N. Collection of scientific papers. Innovacionnye tehnologii vinzhenernoj grafike. Problemy i perspektivy: Sb. nauch. tr. [Innovative technologies in engineering graphics. Problems and prospects]. Brest, 2014. p. 80–82. (in Russian) 25. Available at: http://www.archicad.ru/ (Accessed 20 January 2016). (in Russian)

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

УДК 378+514.18

DOI: 10.12737/17854

М.Г. Тен Доцент, Новосибирский государственный архитектурностроительный университет (Сибстрин), Россия, 630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, 113

Использование мультимедийных технологий при формировании профессиональных компетенций студентов технического вуза Аннотация. В статье раскрывается комплексный подход развития профессиональных компетенций студентов заочной формы обучения технического вуза. Сущность подхода заключается в инновационных способах обучения, дополняющих традиционные формы. Под инновационными формами нами понимается интерактивный контент преподавателя начертательной геометрии в среде мультимедиа, применение графических редакторов в процессе обучения. Инновационные формы обучения, дополняя традиционные формы, оказывают положительное влияние на процесс усвоения учебной информации студентами технического вуза. Происходит корреляция восприятия чувственными образами при обучении в сенсорно богатой среде. Существенно облегчается работа преподавателя, позволяя сосредоточиться на решении творческих задач и научной деятельности. Данные разработки появились в связи с ориентацией современного образования на приоритетное формирование творческих качеств студентов [6], развитие которых, по мнению многих специалистов, возможно в графической среде [10; 25]. С другой стороны, имеется проблематика усвоения курса начертательной геометрии студентами технического вуза, связанная с недостаточным уровнем пространственных представлений. Эта проблема усиливается у студентов заочной формы обучения. При сохраняющейся интенсификации учебного процесса заочная форма обучения имеет особенности учебных программ с ограничениями аудиторных часов на усвоение курса. Это выдвигает на передний план поиск путей решения проблемы улучшения восприятия курса в условиях самостоятельного обучения. Стремительное развитие информационного общества позволило существенно переработать методы преподавания, индивидуализировать образовательную траекторию. При разработке контента использовался комплексный подход, интегрирующий в себе различные средства взаимодействия со студентами с применением новых методик в процессе обучения. Применялись методы: эвристические, поощряющие, поддерживающие; приемы, коррелирующие абстрактное восприятие чувственным образом; мотивационные (успешность восприятия, создание ситуации успеха и самореализации в творчестве, обучение в сенсорно богатой среде) и т.д. Реализация разработанных мер педагогического воздействия показала, что усвоение курса начертательной геометрии существенно улучшилось без увеличения учебных часов. Ключевые слова: комплексный подход, мультимедиа-технологии, пространственное воображение, профессиональные компетенции, студенты заочной формы обучения, интерактивный учебный контент, развитие творческих качеств.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

M.G. Ten Associate Professor, Novosibirsk State University of Civil Engineering, 113, Leningradskaya St., Novosibirsk, 630008, Russia

Use of Multimedia Technologies in Formation of Professional Competence of Students of Technical University Abstract. This article presents the integrated approach of the professional competencies of students of the correspondence form of evening-technical college training. The essence of the approach is the use of traditional forms of education, complemented by innovative forms: interactive content of descriptive geometry teacher in multimedia environments, the use of graphical editors in the learning process. These developments were due to the orientation of modern education on the priority development of creative qualities of professional engineer, the development of which, according to many experts, is possible in a graphical environment [3; 9]. On the other hand, there are the problems of mastering the course of descriptive geometry for the students in absentia-evening form of a technical college education related to insufficient spatial representations. The intensification of the educational process, especially training programs with restrictions on hours of classroom courses assimilation, brought to the fore the search for ways to solve this problem. The rapid development of the Information Society have significantly revised teaching methods, individualizing the educational trajectory. Implementation of the developed pedagogical impact of the measures has shown that the uptake rate of descriptive geometry substantially improved without increasing the teaching hours. Keywords: a complex approach, multimedia technology, spatial imagination, professional competence, technical college students, interactive learning content, the development of creative skills.

В ходе обучения студентов начертательной геометрии мы столкнулись с рядом трудностей, связанных с недостаточным уровнем восприятия курса. Студенты недопонимают теоретический материал, излагаемый на лекциях, не могут самостоятельно выполнить обязательные учебные задания. Эти проблемы усугубляются у студентов-заочников, что связано со спецификой набора на эту форму обучения, особенностями учебных программ. Студенты-заочники закончили предыдущие ступени образования, как правило, несколько лет назад, потому нуждаются в особом учебном материале, позволяющем в сжатые сроки осмыслить теорию курса и, выполнив учебные задания, сдать экзамен. Вместе с тем количество лекций (в часах) сократилось у студентов направления «Строительство», согласно новым стандартам, до 6, а практических занятий — до 20. Таким образом, общее число аудиторных занятий — 26 часов, что недостаточно для эффективного усвоения учебного материла. Несмотря на то что итоговых часов по дисциплине — 108, многие студенты недопонимают дидактический материал при самостоятельном обучении. Лекции, проводимые

55

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

в период сессии, не могут обеспечить достаточного уровня усвоения, так как проводятся одномоментно, не давая возможности осмыслить преподносимую информацию. Это подтверждают результаты исследований (рис. 1).

Рис. 1. Восприятие начертательной геометрии в зависимости от типа обучения (в % от общего числа участников опроса)

Эксперимент по выявлению характера трудностей у студентов-заочников при освоении курса и поиску путей решения возникающих проблем проводился на базе кафедры начертательной геометрии архитектурно-строительного факультета НГАСУ (Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета) в 2015–2016 уч. г. В эксперименте участвовали 50 человек — студентов первого курса заочной формы обучения направления подготовки «Строительство». Проводилось экспериментальное исследование в следующих направлениях: опросы, беседы, анкетирование, исследование количественных и качественных показателей успеваемости, степени обученности, характеризующие эффективность разработанных педагогических условий формирования профессиональных компетенций студентов технического вуза заочной формы обучения. Мы выявили, что значительная часть студентовзаочников технического вуза испытывает существенные затруднения при обучении начертательной геометрии (рис. 2).

Рис. 2. Уровень понимания начертательной геометрии студентами заочной формы обучения (в % от общего числа участников опроса)

Для выявления характера трудностей, возникающих у студентов при обучении, использовались такие

56

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

методы исследования, как наблюдение, беседа, анкетирование. Можно выделить две категории трудностей, дающие ключ к пониманию затруднений студентов по освоению начертательной геометрии. Первая — неразвитость пространственного воображения, вторая — недопонимание дидактического материала (рис. 3).

Рис. 3. Характер трудностей при обучении в техническом вузе (по мнению студентов)

Мы пришли к выводу, что неразвитость пространственного воображения и недопонимание учебного материала взаимосвязаны, так как в учебных материалах представление информации ведется в стиле, предполагающем достаточный уровень развития пространственных представлений. Ситуация усугубляется условиями интенсификации учебного процесса при ограничении аудиторных часов. Анкетирование и опросы студентов показали, что большинство нуждается в повышении наглядности в процессе обучения, а также в увеличении аудиторных часов. Образовательные тенденции, связанные с реформированием системы образования в России, таковы, что в программах происходит сокращение аудиторных часов при увеличении самостоятельной работы. Например, в 2015–2016 учебном году у заочников количество установочных лекций сократилось на 2 часа по сравнению с 2014–2015 учебным годом, т.е. вместо 8 часов преподаватель вынужден преподносить сложнейший материал за 6 часов в виде единого блока лекций. Ряд исследователей отмечают, что переход на двухуровневое обучение привел к возникновению существенных проблем [1; 7; 8; 11; 16; 21]. Например, Д.Е. Тихонов-Бугров сообщает, что «отмечены трудности сохранения и развития проектно-конструкторского подхода к обучению в связи с переходом на заграничную двухуровневую подготовку и резкое сокращение аудиторных часов» [7, c. 47]. В.Я. Матусевич, Т.А. Жилкина полагают, что «в условиях дефицита лекционного времени, особенно для заочной формы обучения студентов, находящихся на отдаленных учебных точках, возникла необходимость внедрения новых методик препода-

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

вания, которые позволили бы сократить время изложения материала и сгруппировать разделы учебного материала без ущерба для обучающего эффекта» [11, с. 29]. Авторы предлагают свои подходы. Н.В. Сальков и Н.С. Кадыкова [12] считают, что решить проблему поможет расширение диапазона оценок знаний студентов высших учебных заведений. В.И. Серегин и др. [14] пишут о необходимости внесения ряда значительных поправок в термины и определения, используемые в существующих курсах начертательной геометрии. Я.Г. Скорюкова и др. [15] разработали методические приемы для адаптации традиционной системы обучения к существующему уровню подготовки студентов путем использования учебных тестов. Г.Н. Свичкарева и др., отмечая инертность современной системы образования, выдвигают на первый план модульно-компетентностный подход как концепцию организации учебного процесса [13]. Л.И. Хмарова с соавторами полагают, что «многие проблемы повышения качества освоения сложных курсов университетских программ могут быть решены путем использования эффективных форм обучения». Под эффективными формами исследователи понимают использование активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с самостоятельной работой студентов при использовании компьютерных графических заданий с элементами занимательности [24]. Следует отметить, что некоторые авторы обеспокоены замещением традиционных инструментов повсеместной компьютеризацией. Например, А.М. Башкатов сожалеет, что «фундаментальная подготовка как бы отошла на второй план, уступая место приобретению навыков работы с компьютером, изучению специализированных программ и приложений». Автор предостерегает от «безоглядного» внедрения информационных технологий [2, c. 22]. А.А. Бойков, считает, что начертательная геометрия как дисциплина находится в глубоком кризисе из-за повсеместного применения САПР-пакетов при решении задач, которые не адаптированы к целям и задачам начертательной геометрии [3]. Вместе с тем все больше исследователей считают, что для выхода из кризиса необходимо дополнять курс НГ методами 3D-геометрического моделирования. Г.С. Иванов сообщает, что «накопленный опыт позволяет утверждать, что никто из владеющих компьютерными 3D-методами не будет применять 2D-методы НГ в задачах теоретического плана» [9, c. 26]. Проанализировав сложившуюся ситуацию и проведя исследования, мы сделали вывод, что для улучшения качества образования и формирования компетенций студентов на первом курсе строительного

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

вуза в существующих условиях необходимо дополнить существующий учебный материал по начертательной геометрии новыми разработками, отражающими системное видение проблемы и повышающими наглядность при изложении учебного материала.

Рис. 4. Условия (по мнению студентов), способствующие лучшему освоению курса начертательной геометрии (в % от общего количества участников)

Поиск путей решения при анализе исследований в данной области привел нас к выводу о необходимости расширения возможностей современных технологий и коммуникаций в процессе преподавания. Е.В. Усанова полагает, что в сложившихся условиях средства мультимедиа могут сократить время на восприятие обучающей информации при обеспечении наглядности [22]. Нельзя не согласиться с мнением А.O. Горнова и др., рассмотревших психолого-педагогические аспекты комплексного применения медиатехнологий и CAD-систем в графической подготовке студентов. Авторы пишут, что для формирования профессиональных компетенций студентов технического вуза в условиях интенсификации учебного процесса и ограничений времени на обучение традиционные технологии являются малопригодными и «возрастает роль методически ясного понимания обучаемыми целей анализа и синтеза геометрических моделей. Поэтому 3D-геометрические модели технических объектов являются первичными в содержании курса» [5, с. 43]. Н.Е. Суфляева в своих исследованиях показывает преимущества преподавания графических дисциплин с применением CAD-систем. Она отмечает, что в группах, участвующих в эксперименте, «отмечен повышенный интерес студентов к изучаемым предметам, улучшение успеваемости и стремление к самостоятельному расширению знаний в области графических дисциплин по сравнению с группами, обучаемыми по традиционной методике» [17, c. 28]. К.А. Вольхин считает, что «формирование условий, максимально удовлетворяющих индивидуальные потребности каждого студента, несомненно, оказывает положительное влияние на качество обучения» [4, c. 24]. Анализ вышеприведенных работ, а также собственный педагогический опыт и авторские научные

57

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

исследования, позволили сделать вывод, что индивидуализировать образовательную траекторию студентов заочной формы обучения возможно при создании интерактивного обучающего контента преподавателя в среде мультимедиа в качестве учебно-методического обеспечения. В разработки необходимо ввести элементы синтеза геометрических моделей для формирования пространственных представлений [20]. Разработанный интерактивный контент включает в себя учебный комплекс: учебные курсы в системе Moodle (Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment), канал на YouTube, сайты преподавателя, электронные учебные пособия. При разработке контента использовался комплексный подход, интегрирующий в себе различные средства взаимодействия со студентами с применением новых методик в процессе обучения. Применялись методы: эвристические, поощряющие, поддерживающие; приемы, коррелирующие абстрактное восприятие чувственным образом; мотивационные (успешность восприятия, создание ситуации успеха и самореализации в творчестве, обучение в сенсорно богатой среде и т.д. Хочется особо остановиться на системе Moodle, которая обеспечивает дистанционное взаимодействие, актуальное для обучающихся заочной формы. А.А. Темербекова полагает, что эта система «дает для преподавателя обширный инструментарий для предоставления учебно-методических материалов курса, проведения теоретических и практических занятий, организации учебной деятельности студентов как индивидуальной, так и групповой» [18, с. 146]. Студенты могут присылать учебные задания для проверки, пройти тесты для выявления уровня усвоения учебного материала, задавать вопросы. Конечно, такая форма взаимодействия требует от преподавателя дополнительных временных затрат, но имеет много положительных значений: обеспечивает комфортную среду для учащихся, индивидуализирует обучение, снижает психологическую нагрузку на студентов и преподавателей. Для студентов заочной формы обучения в системе создано 2 учебных курса: «Начертательная геометрия и инженерная графика», «Основы автоматизированного проектирования объектов». В курсы помещена разнообразная информация: пособия, лекции, шаблоны для выполнения заданий, полезные ссылки, видеоуроки. Лекционный материал в форме мультимедийных презентаций позволяет студентам в удобное для себя время осмысливать теорию предмета. При разработке презентаций особое внимание уделялось повышению наглядности излагаемого материала, в том

58

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

числе за счет фрагментов видео, моделирующих учебные ситуации. Особо хочется выделить видеоуроки как перспективный элемент современных технологий. Видеоурок позволяет изменить классическую форму преподавания на дистанционную, но главным его преимуществом как формы обучения является синтез видео-, аудио- и текстовой информации. Этот способ подачи информации позволяет пошагово излагать учебные действия при обеспечении максимальной наглядности и доступности обучающего материала. Студент имеет возможность просматривать урок в любое возможное время и, что важно, на различных устройствах. Возможно, например, при поездке на работу или учебу открыть гаджет и просмотреть урок, выбрав нужный фрагмент. Единственный недостаток — отсутствие живого общения с преподавателем, но можно комментировать видео, задавать вопросы в любое удобное время. Видеоуроки мы создаем в программе Camtasia Studio, помещаем на файлообменник видео — YouTube. В системе Moodle видео встраивается именно с этого файлообменника. Студенты могут скачивать уроки к себе на компьютер, так как продолжительность видео не более 15 минут и видеофайл, даже в случае формата HD, занимает незначительный объем. Студенты имеют возможность подписываться на канал, комментировать видео, чем обеспечивается интерактивность и оперативность. На данный момент в авторский канал помещено около ста видеоуроков различного содержания, количество подписчиков — более 890 человек, просмотров — более 283 тыс. За три года существования канала разработаны видеоуроки различного содержания: по начертательной геометрии, основам работы в AutoCAD, AutoCAD Architecture. Актуальность разработки уроков по освоению средств машинной графики возникла в связи с тем, что в учебной программе не предусмотрены часы на обучение графическим редакторам для студентов всех форм обучения первого курса. Мы стараемся стимулировать студентов к самостоятельному освоению графических программ, считая, что выполнение заданий на компьютере освобождает студентов от рутины ручного вычерчивания, мотивирует к обучению. Особенно актуальны средства машинной графики для студентов-заочников, так как они нуждаются в интенсификации учебного процесса, не имея достаточно времени для выполнения заданий. Кроме того, работая на производстве или в проектных организациях, заочники становятся более конкурентоспособными в случае овладения графической программой. Ряд авторов, например А.Л. Хейфец [23], имеет разработки в области решения задач по начертатель-

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

ной геометрии и инженерной графике с применением графических редакторов, но мы не обнаружили видеоуроков по данной тематике. C другой стороны, в настоящее время в Интернете помещено множество уроков по освоению различных графических редактор, в том числе в формате видео, но в них не учтена специфика обучения начертательной геометрии в строительном вузе. В сложившихся условиях разработанные на кафедре видеоуроки достаточно актуальны и позволили студентам освоить графический редактор практически самостоятельно. В настоящее время в рамках интерактивного учебного контента преподавателя начертательной геометрии разработано учебное пособие «Компьютерная графика при выполнении заданий по начертательной геометрии и инженерной графике. Видеоуроки: AutoCAD для заочников» [19]. 23 видеоурока предназначены для студентов направления 270800 «Строительство» заочной и вечерней форм обучения с целью освоения начертательной геометрии и инженерной графики средствами AutoCAD. Пособие размещено в системе Moodle в курсе «Основы автоматизированного проектирования объектов» и разработано для освоения графического редактора. Курс включает в себя программу, список литературы, тестовые задания по AutoCAD, пособие с видеоуроками и в настоящее время дополнен уроками по средствам объемного моделирования. Курс «Начертательная геометрия и инженерная графика» содержит 32 видеоурока по теоретическим основам начертательной геометрии и инженерной графики, а также видеоуроки по выполнению обязательных учебных заданий. Например, первый эпюр — точки, прямые плоскости — поясняется пятью видеоуроками. Средняя продолжительность видеоурока 10–12 мин., что позволяет быстро находить нужную информацию. Незначительная продолжительность урока и облегченный формат удобны для скачивания файла, что немаловажно для заочников, проживающих в отдаленных районах с медленной скоростью Интернета. В видео «Основы начертательной геометрии» подробно и наглядно описан принцип создания чертежа Монжа, используются элементы анимации для пояснения учебного материала. Полагаем, что именно недопонимание принципов применения проекционных методов не позволяет студентам усваивать материал по начертательной геометрии. Материал подан с элементами юмора для эффективного запоминания на эмоциональном уровне. Количество просмотров видео в течение трех месяцев приблизилось к двум тысячам, что свидетельствует об актуальности его создания.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Последние разработки — «Наглядные изображения объектов на плоскости». В видео, вышедшее за рамки учебной программы для заочников, описаны способы воссоздания трехмерного пространства на двухмерной плоскости, их сходства и различия. Полагаем, что именно сравнительный анализ этих двух способов изображения позволит студентам лучше освоить сложные понятия аксонометрических и перспективных изображений. Кроме того, в системе Moodle, а также на сайте преподавателя, помещены задания, выполненные в формате применяемого графического редактора (AutoCAD), что избавляет студентов от рутинных операций, освобождает время на поиск решения. Примечательно, что анкетирование, проведенное в заочных группах, показало, что все студенты считают, что объемное моделирование на компьютере помогает им освоить курс наиболее эффективно. В курсе особое внимание уделено дополнению заданий объемными моделями объектов, что позволяет студентам, с одной стороны, осмыслить выполняемое задание, а с другой, мотивирует к освоению объемного моделирования в графическом редакторе, что является рациональным способом решения поставленных задач. Для студентов, успешно освоивших основной курс, разработаны творческие задания, мотивирующие к обучению при создании ситуации самореализации в творчестве. К ним также имеется открытый дистанционный доступ. Все составляющие интерактивного контента преподавателя находятся в динамическом взаимодействии, дополняя друг друга, и из одного блока можно переходить в другой с помощью ссылок. Опыт применения интерактивного учебного контента преподавателя в среде мультимедиа показал его широкие возможности в процессе преподавания начертательной геометрии. Студенты успешнее осваивают курс, индивидуализируя образовательную траекторию, и развивают пространственные представления. Успешное освоение курса создает перспективы компетентного развития. Опросы подтверждают положительный опыт применения мультимедиатехнологий в процессе обучения студентов заочной формы обучения, а также то, что студентам значительно помогло объемное моделирование на компьютере для осмысления задач по начертательной геометрии (рис. 5–7). Интерактивный учебный контент преподавателя начертательной геометрии в среде мультимедиа, дополняя традиционные способы обучения, оказывает положительное влияние на процесс усвоения учебной

59

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

информации студентами заочной формы обучения. Происходит корреляция восприятия чувственными образами при обучении в сенсорно богатой среде. Кроме того, существенно облегчается работа преподавателя, позволяя сосредоточиться на решении творческих задач и научной деятельности.

Рис. 5. Частота обращения к электронным средствам обучения в процессе освоения курса начертательной геометрии (в % от общего количества участников)

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

Для подтверждения достоверности результатов эксперимента был проведен анализ успеваемости по начертательной геометрии. Гипотезой стало следующее предположение: разработанный контент способствует эффективному развитию пространственного воображения, что существенно повышает уровень усвоения программного материала. В качестве показателей были взяты экзаменационные оценки по начертательной геометрии, полученные в период зимней сессии, т.е. после проведенного эксперимента. Для сравнения качества предметной подготовки рассматривались показатели качественной и абсолютной успеваемости, степени обученности в экспериментальных и контрольных группах. Было выявлено следующее: качественные показатели успеваемости в экспериментальных группах были существенно выше, степень обученности также возросла (рис. 8).

Рис. 8. Сравнительный анализ показателей успеваемости (в % от общего количества участников) Рис. 6. Насколько использование видеоуроков помогло при освоении курса начертательной геометрии (в % от общего количества участников)

Рис. 7. Насколько повышает уровень наглядности использование компьютерных программ при выполнении заданий по начертательной геометрии (в % от общего количества участников)

Литература 1. Арциховская-Кузнецова Л.В. О «головоломности» начертательной геометрии [Текст] / Л. В. Арциховская-Кузнецова // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — C. 31–35. — DOI: 10.12737/6523. 2. Башкатов А.М. Проблемы и решения при компьютеризации графических дисциплин в вузе [Текст] / А.М. Башкатов, Д.А. Котиц, Т.М. Юрочкина // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 4. — C. 22–27. — DOI: 10.12737/6528. 3. Бойков А.А. Геометрическое моделирование в системе дистанционного обучения [Текст] / А. А. Бойков //

60

Можно сделать вывод, что процесс усвоения курса начертательной геометрии студентами заочной формы обучения идет успешнее в группах, где реализованы интерактивные взаимодействия, дополняющие традиционные формы. Проведенное исследование не является исчерпывающим, и его необходимо продолжать, дополняя существующие разработки по мере изменения учебных программ и совершенствования средств мультимедиа. Возможно дальнейшее углубление исследований путем выявления психологических характеристик, оказывающих влияние на развитие пространственного воображения.

Геометрия и графика. — 2015. — Т. 2. — № 4. — C. 34–42. — DOI: 10.12737/8295. 4. Вольхин К.А. Проблемы графической подготовки студентов технического университета [Текст] / К.А. Вольхин, Т.А. Астахова // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — С. 25–30. — DOI: 10.12737/6522. 5. Горнов А.О. Базовая геометро-графическая подготовка на основе 3D-электронных моделей [Текст] / А.О. Горнов, Е.В. Усанова, Л.А. Шацилло // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — №. 3. — C. 46–52. — DOI: 10.12737/6524. 6. Государственная программа РФ «Развитие образования» на 2013–2020 гг. [Электронный ресурс] / Министерство образования и науки РФ. — URL: http://минобрнауки.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

рф/документы/3409/файл/2228/13.05.15-ГоспрограммаРазвитие_образования_2013-2020.pdf/ Основное мероприятие П.1.6. — С. 109 (дата обращения: 10.03.2014). 7. Грошева Т.В. К вопросу об организации самостоятельной работы студентов в процессе графической подготовки [Текст] / Т.В. Грошева, Л.В. Кочурова, И.А. Турицына // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 43–48. — DOI: 10.12737/5592. 8. Зеленовская Н.В. Резервы совершенствования геометрографической подготовки современного инженера [Текст] / Н.В. Зеленовская, О.В. Ярошевич // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 37–42. — DOI: 10.12737/5590. 9. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 26–27. — DOI: 10.12737/2081. 10. Лагунова М.В. Современные подходы к формированию графической культуры студентов в технических учебных заведениях [Текст] / М.В. Лагунова. — Новгород: Издво ВГИПИ, 2003. — 251 с. 11. Матусевич В.Я. Опыт использования дистанционного обучения при преподавании графических дисциплин для студентов инженерных строительных и экономических специальностей [Текст] / Т.А. Жилкина, В.Я. Матусевич // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3–4. — C. 29–32. — DOI: 10.12737/2129. 12. Сальков Н.А. Реформирование оценок геометро-графических знаний [Текст] / Н.А. Сальков, Н.С. Кадыкова // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 52–53. — DOI: 10.12737/2089. 13. Свичкарева Г.Н. Оптимизация структуры и содержания графических дисциплин с позиции модульно-компетентностного подхода [Текст] / Г.Н. Свичкарева, Т.В. Андрюшина, В.А. Ковалев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 77–79. — DOI: 10.12737/2098. 14. Серегин В.И. Геометрические преобразования в начертательной геометрии и инженерной графике [Текст] / В.И. Серегин [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 23–28. — DOI: 10.12737/12165. 15. Скорюкова Я.Г. Нулевой контроль как составная часть методики обучения геометро-графическим дисциплинам [Текст] / Я.Г. Скорюкова, А.Г. Буда, О.П. Мельник // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 32–36. — DOI: 10.12737/5589. 16. Столбова И.Д. Актуальные проблемы графической подготовки студентов в технических вузах [Текст] / И.Д. Столбова // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 1. — C. 30–41. — DOI: 10.12737/3846. 17. Суфляева Н.Е. Современные аспекты преподавания графических дисциплин в технических вузах [Текст] / Н.Е. Суфляева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 2. — № 4. — C. 28–33. — DOI: 10.12737/8294. 18. Темербекова А.А. Интерактивное обучение: опыт и перспективы [Текст] / А.А. Темербекова, Н.П. Гальцова // Информация и образование: границы коммуникации

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

INFO’15: сборник научных трудов. — Горно-Алтайск: Изд-во РИО Горно-Алтайского госуниверситета, 2015. — С. 146–154. 19. Тен М.Г. Компьютерная графика при выполнении заданий по начертательной геометрии и инженерной графике. Видеоуроки: AutoCAD для заочников [Электронный ресурс]: учеб. пособие / М.Г. Тен. — Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2012. 20. Тен М.Г. Формирование профессиональных компетенций студентов технических специальностей в процессе графической подготовки [Текст] / М.Г. Тен // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — C. 59–63. — DOI: 10.12737/10459. 21. Тихонов-Бугров Д.Е. Проектно-конструкторское обучение инженерной графике: вчера, сегодня, завтра [Текст] / Д.Е. Тихонов-Бугров, С.Н. Абросимов // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — C. 47–57. — DOI: 10.12737/14419. 22. Усанова Е.В. Психолого-педагогические аспекты геометро-графической подготовки в техническом вузе с использованием медиатехнологий и CAD-систем [Текст] / Е.В. Усанова // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 59–62. — DOI: 10.12737/2093. 23. Хейфец А.Л. Начертательная геометрия и компьютерное геометрическое моделирование [Текст]: учеб. пособие / А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2013. — Гл. 2. — С. 46–49. 24. Хмарова Л.И. Формирование и развитие профессиональных навыков студентов в курсе начертательной геометрии [Текст] / Л.И. Хмарова, А.Н. Логиновский, Е.А. Усманова // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 46–51. — DOI: 10.12737/12168. 25. Якиманская И.С. Психология математической деятельности учащихся при обучении геометрии [Текст] / И.С. Якиманская // Методика обучения геометрии. — 2004. — Вып. 4. — 34 c.

References 1. Arcihovskaja-Kuznecova L.V. Problemy i resheniya pri komp'yuterizatsii graficheskikh distsiplin v vuze [About "golovolomok of" descriptive geometry]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2014, no. 3, pp. 31–35. (in Russian). DOI: 10.12737/6523. 2. Bashkatov A.M., Kotic D.A., Jurochkina T.M. Problemy i resheniya pri komp'yuterizatsii graficheskikh distsiplin v vuze [Problems and solutions of graphic disciplines computerization at the University]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2014, no. 4, pp. 22–27. (in Russian). DOI: 10.12737/6528. 3. Bojkov A.A. Geometricheskoe modelirovanie v sisteme distantsionnogo obucheniya [Geometric Modelling in Distance Teaching System]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, I. 4, pp. 34–42. (in Russian). DOI: 10.12737/8295. 4. Vol'hin K.A., Astahova T.A. Problemy graficheskoy podgotovki studentov tekhnicheskogo universiteta [Problems of

61

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

graphic preparation of engineering students]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, I. 3, pp. 24–28. (in Russian). DOI: 10.12737/6522. 5. Gornov A.O., Usanova E.V., Shacillo L.A. Bazovaya geometro-graficheskaya podgotovka na osnove 3D-elektronnykh modeley [Basic Geometry and Graphics Training on the Basis of 3D Electronic Models]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, I. 3, pp. 46–52. (in Russian). DOI: 10.12737/6524. 6. Gosudarstvennaya programma RF «Razvitie obrazovaniya» na 2013–2020 gg. [RF State Program «Development of Education» for 2013–2020. Ministry of Education and Science of the Russian Federation]. Available at: http://minobrnauki.rf/ dokumenty/3409/fajl/2228/13.05.15-Gosprogramma-Razvitie_obrazovanija_2013-2020.pdf/ Osnovnoe meroprijatie P. 1.6. S. 109 (Accessed 10 March 2014). (in Russian). 7. Grosheva T.V., Kochurova L.V., Turicyna I.A. K voprosu ob organizatsii samostoyatel'noy raboty studentov v protsesse graficheskoy podgotovki [To a Question of Students’ Individual Work Organization in the Course of Graphic Training]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, I. 2, pp. 43–48. (in Russian). DOI: 10.12737/5592. 8. Zelenovskaja N.V., Jaroshevich O.V. Rezervy sovershenstvovaniya geometro-graficheskoy podgotovki sovremennogo inzhenera [Improvement Reserves of Modern Engeneer’s Geometrical and Graphics Training]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, I. 2, pp. 37–42. (in Russian). DOI: 10.12737/5590. 9. Ivanov G.S. . Perspektivy nachertatel'noy geometrii kak uchebnoy distsipliny [Descriptive geometry prospects as educational subject]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, I. 1, pp. 26-27. (in Russian). DOI: 10.12737/2081. 10. Lagunova M.V. Sovremennye podkhody k formirovaniyu graficheskoy kul'tury studentov v tekhnicheskikh uchebnykh zavedeniyakh [Modern approaches to the formation of graphic culture of students in technical schools]. Novgorod, VGIPI Publ., 2003. 251 p. 11. Matusevich V.Ja., Zhilkina T.A. Opyt ispol'zovaniya distantsionnogo obucheniya pri prepodavanii graficheskikh distsiplin dlya studentov inzhenernykh stroitel'nykh i ekonomicheskikh spetsial'nostey [User experience of distance learning during graphic disciplines teaching for students of engineering construction and economic specialties]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, I. 3/4, pp. 29–32. (in Russian). DOI: 10.12737/2129. 12. Salkov N.A., Kadykova N.S. Reformirovanie otsenok geometro-graficheskikh znaniy [Reforming of geometrical and graphic knowledge estimates]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2013, no. 1, pp. 52–53. (in Russian). DOI: 10.12737/2089. 13. Svichkareva G.N., Andrjushina T.V., Kovalev V.A. Optimizatsiya struktury i soderzhaniya graficheskikh distsiplin s pozitsii modul'no-kompetentnostnogo podkhoda [Optimization of structure and content of graphic courses from the perspective of modular and competence approach]. Geometrija i

62

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

grafika [Geometry and graphics]. 2013, I. 1, pp. 77–79. (in Russian). DOI: 10.12737/2098. 14. Seregin V.I., Ivanov G.S., Senctenkova L.S., Borovikov I.F. Geometricheskie preobrazovaniya v nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike [Geometric Transformations in Descriptive Geometry And Engineering Graphics]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, no. 2, pp. 23–28. (in Russian). DOI: 10.12737/12165. 15. Skorjukova Ja.G., Buda A.G., Mel'nik O.P. Nulevoy kontrol' kak sostavnaya chast' metodiki obucheniya geometro-graficheskim distsiplinam [Zero Control as Integral Part of Geometrical and Graphic Disciplines’ Instruction Technique]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, I. 2, pp. 32–36. (in Russian). DOI: 10.12737/5589. 16. Stolbova I.D. Aktual'nye problemy graficheskoy podgotovki studentov v tekhnicheskikh vuzakh [Actual Problems of Graphic Training of Students at Technical High Educational Institutions]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2014, I. 1, pp. 30–41. (in Russian). DOI: 10.12737/3846. 17. Sufljaeva N.E. Sovremennye aspekty prepodavaniya graficheskikh distsiplin v tekhnicheskikh vuzakh [Modern aspects of teaching of graphic disciplines in technical universities]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, I. 4, pp. 28–33. (in Russian). DOI: 10.12737/8294. 18. Temerbekova A.A., Gal'cova N.P. Interaktivnoe obuchenie: opyt i perspektivy [Interactive Learning: Experience and Prospects]. Informacija i obrazovanie: granicy kommunikacii INFO’15 [Information and education: border communication INFO'15]. Gorno-Altajsk, RIO Gorno-Altajskiy gosuniversitet Publ., 2015. 146 p. (in Russian). 19. Ten M.G. Komp'yuternaya grafika pri vypolnenii zadaniy po nachertatel'noy geometrii i inzhenernoy grafike. Videouroki: AutoCAD dlya zaochnikov [Computer graphics when performing tasks on descriptive geometry and engineering graphics]. Novosibirsk, NGASU Publ., 2012. (in Russian). 20. Ten M.G. Formirovanie professional'nykh kompetentsiy studentov tekhnicheskikh spetsial'nostey v protsesse graficheskoy podgotovki [Formation of Professional Competence of Students of Technical Specialties in the Graphic Preparation]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, I. 1, pp. 59–63. (in Russian). DOI: 10.12737/10459. 21. Tihonov-Bugrov D.E., Abrosimov S.N. Proektno-konstruktorskoe obuchenie inzhenernoy grafike: vchera, segodnya, zavtra [Design and Engineering Training in Engineering Graphics: Past, Present, Future]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2015, I. 3, pp. 47–57. (in Russian). DOI: 10.12737/14419. 22. Usanova E.V. Psikhologo-pedagogicheskie aspekty geometro-graficheskoy podgotovki v tekhnicheskom vuze s ispol'zovaniem mediatekhnologiy i CAD-sistem [Psychological and pedagogical aspects of geometrical and graphic training in technical higher education institution with use of media technologies and CAD-systems]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, I. 1, pp. 59–62. (in Russian). DOI: 10.12737/2093.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 55–63

23. Hejfec A.L., Loginovskij A.N. Nachertatel'naja geometrija i komp'juternoe geometricheskoe modelirovanie [Descriptive Geometry and Computer Geometrical Modeling: a Textbook]. Cheljabinsk, JuUrGU Publ., 2013, pp. 46–49. (in Russian). 24. Hmarova L.I., Loginovskij A.N., Usmanova E.A. Formirovanie i razvitie professional'nykh navykov studentov v kurse nachertatel'noy geometrii [Formation and Development of Professional Skills of Students When

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Studying Descriptive Geometry]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2015, I. 2, pp. 46–51. (in Russian). DOI: 10.12737/12168. 25. Jakimanskaja I.S. Psikhologiya matematicheskoy deyatel'nosti uchashchikhsya pri obuchenii geometrii [Psychology of mathematical activity of pupils in teaching geometry]. Metodika obuchenija geometrii. [Methods of teaching geometry]. 2004, I. 4. 34 p. (in Russian).

63

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

УДК 659.305

DOI: 10.12737/19834

О. Овчаренко

Центр естественных наук, Таллиннская высшая техническая школа, 62, ул. Пярну, Таллинн, 10135, Эстония

Взаимная поддержка и использование CAD-программ Аннотация. Говоря о современном высшем образовании, мы имеем в виду систему обучения, которая позволяет молодым специалистам быстро вписываться в рынок труда. Такие специалисты должны быть снабжены необходимыми знаниями и навыками не только для того, чтобы выполнить работу над проектом, но и творчески подойти к решению рабочего задания. Задача высшей школы состоит в том, чтобы обеспечить необходимый набор знаний и навыков, который позволит молодому специалисту успешно работать и развиваться. Язык общения инженеров — чертежи. Компьютерные рисунки позволяют значительно уменьшать рабочее время их производством, исправлением, передачей и сохранением. Поэтому способность специалиста использовать чертежные программы для работы с рисунками становится необходимой. Несмотря на все мощные средства проектирования и визуализации, ключевым моментом в компьютерном проектировании является именно получение документации продукта и ее оформление в соответствии с принятыми стандартами, что считается неотъемлемой частью процесса проектирования. После успешного освоения 2D-среды специалист может уверенно переходить на 3D-моделирование, которое облегчает получение чертежей модели в несколько раз и дает возможность провести проверку параметров виртуальной модели и при необходимости значительно их улучшить. Использование различных систем CAD для связей между инженерами-партнерами является реальностью. Поэтому владение различными программами становится очень полезным качеством специалиста. Современные графические программы (AutoCAD, Solid Edge) имеют много схожих возможностей, но содержат также определенные различия. Знание работы нескольких чертежных программ необходимо, и снижение расхода времени для развития навыков использования каждой системы CAD является проблемой будущего инженера. В статье сделано сравнение двух программ и возможностей взаимного использования систем CAD для работы с чертежами. Ключевые слова: графические программы, CAD-система, AutoCAD, Solid Edge.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 64–69

the ability to use drawing program for working with images is necessary. Despite all the powerful design tools and visualization, a key moment in computer design is the documentation of the product and its design in accordance with accepted standards that is considered to be an integral part of the design process. After the successful development of a 2D environment, the expert can confidently move on to 3D modeling that facilitates the receipt of drawings and models at times and gives you the opportunity to inspect the settings of the virtual model and, if necessary, to improve them significantly. Usage of different CAD-systems for communication engineers- partners is a reality. Therefore it is very useful for a specialist to be able to use different programs. Modern graphic programs (AutoCAD, SolidEdge) have many similar opportunities, but they also have some differences. Knowledge of several drawing programs is necessary and reduces the amount of time for the skills development for usage of each CAD-system is the problem of the future engineer. The article compares two different programs and the possibility of using the both CAD-systems for working with drawings. Keywords: graphic program, CAD-system, AutoCAD, SolidEdge.

1. Введение Говоря о современном высшем образовании, мы имеем в виду систему обучения, которое позволяет молодым специалистам быстро вписываться в рынок труда [7]. Другими словами, такие специалисты должны быть снабжены необходимыми знаниями и навыками не только для того, чтобы выполнить работу над проектом, но и творчески подойти к решению рабочего задания [2]. Весь процесс создания конкретного продукта состоит не только из технологических задач и их решений, эта цепь начинается с поиска заказа и общения с клиентом, а заканчивается оплатой счетов и снова общением с клиентом. Ведь положительные отзывы о продукте являются самой лучшей рекламой!

O. Ovcharenko

Centre for Sciences, TTK University of Applied Sciences, Pärnu mnt 62, Tallinn, 10135, Estonia

Mutual Support and Usage of CAD Systems Abstract. In speaking of modern higher education, we mean an educational system that allows young specialists to fit into the labour market. Such specialists need to be equipped with the necessary knowledge and skills not only to perform work on the project, but also to attack the problem creatively. The task of higher school is to provide the necessary set of knowledge and skills that will allow young specialists to work successfully and to be on the march. The language of communication of engineers is drawings. Computer drawings allow reducing the working time considerably in the development, production, remediation, transfer, and retention. Therefore,

64

Рис. 1. Схема создания продукта

То, в каком секторе этой длинной цепи выпускник высшего учебного заведения выберет работу, трудно предсказать. В конце концов, это только его выбор. Но задача высшей школы состоит в том, чтобы обеспечить необходимый набор знаний и навыков, который позволит молодому специалисту успешно работать и развиваться.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 64–69

И, конечно, в этом исходном наборе должно быть знание технического языка — способность понимать и создавать чертежи. Ценность этого знания очень высока — уметь увидеть за лаконичными линиями на бумаге объемные предметы и наоборот — объемную модель заменить понятными специалисту изображениями. Знание этого языка позволяет значительно уменьшать время передачи, дополнительной обработки и объем информации о любом объекте — имеющемся или проектируемом. Если параметры конкретного объекта представлены необходимыми изображениями — проекциями видов, разрезами, сечениями и размерами — т.е. имеется чертеж объекта, то специалист, читающий этот чертеж, может не только мысленно представить себе данный объект в пространстве с любого ракурса, но и умеет передать свое объемное и динамичное представление об объекте в виде эскиза, макета или виртуальной компьютерной модели. Трудно найти лучший способ обсудить продукт с коллегами или представить клиенту, потому что лучшая способность человека воспринимать окружающий мир в динамике и статике — визуальная [5]. Показать модель клиенту в объеме и цвете (эскиз это или компьютерная модель) означает получить преимущество перед конкурентами.

2. Основная часть Язык общения инженеров — чертежи. Компьютерные рисунки позволяют значительно уменьшать рабочее время их производством, исправлением, передачей и сохранением. Поэтому способность специалиста использовать чертежные программы для работы с рисунками становится необходимой [1]. Может показаться, что компьютер в качестве линейки и циркуля — довольно дорогое удовольствие, но теперь компьютер стал необходимым коммуникационным средством для повседневной жизни и, конечно, для работы. Это незаменимое средство для передачи, обработки и архивирования информации, независимо от того, что содержит эта информация — текст, числа, формулы, фотографии, эскизы или рисунки. Программы компьютерного дизайна — программы мощные, требующие внушительных финансовых ресурсов и серьезной интелектуальной подготовки. Каждый разработчик пытается предложить потенциальному пользователю очень интересные условия начального знакомства и использования своего продукта. Крупнейший в мире поставщик программного обеспечения для промышленного и гражданского

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

строительства, машиностроения, рынка средств информации — компания Autodesk, Inc. [3; 6]. И наиболее широко распространен программный пакет AutoCAD. Начиная с 1982 г., компанией Autodesk был разработан широкий спектр решений для специалистов разных отраслей промышленности, позволяющих им создавать цифровые модели, испытывать их в виртуальной среде и вносить необходимые изменения. Autodesc предлагает новым пользователям — студентам бесплатное использование программы в течение 3 лет, и это очень подходящее предложение для молодых специалистов, кому интересно исследовать возможности AutoCAD [8]. Также вводится онлайнподписка на лицензию пакета, стоимость которой невысока, а длительность использования начинается от 1 месяца, что очень удобно продлевать через Интернет. Компания Simens — владелец и разработчик Solid Edge — сделала очень разумный шаг к потенциальным пользователям: графическая часть программы (2D — двумерное черчение) доступна бесплатно, начиная с 2006 г. [9]. Есть связи на веб-сайте Simens, который поможет установить бесплатно ST-7 (название последней версии) или обновить ранее установленную программу. Это предложение было очень привлекательно и заставило многих специалистов области промышленного дизайна присмотреться к возможностям и преимуществам 2D Solid Edge [4]. 2.1. Сравнение возможностей AutoCAD и Solid Edge Учитывая доступность двумерного черчения Solid Edge, можно сказать, что теперь у каждой компании и каждого специалиста есть возможность значительно повысить уровень технической документации и снизить продолжительность ее обработки. Теперь рассмотрим аналогичные функции программ, приведенные в сравнительной табл. 1. При просмотре основных функций двух программ становится понятно, что навыки использования основных функций одной программы при необходимости существенно облегчат и сократят время на освоение и начальное использование другой программы. Сравнительная таблица немного поверхностно, но, тем не менее, позволяет увидеть простоту графической части Solid Edge в сравнении с этой средой AutoCAD. 2.2. Удобство и простота использования 2D Solid Edge Почему не требуется слишком много времени, чтобы изучить эту часть программы? Потому что: • внешний вид интерфейса знаком по наиболее используемым программам (Word, например);

65

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 64–69

Таблица 1 Сравнение функций программ Solid Edge и AutoCAD

командная строка

блоки

слои

черчение

Функции

66

Solid Edge

AutoCAD

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 64–69

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Окончание табл. 1 Solid Edge

AutoCAD

стили параметров

Функции

никает мысли, что освоение программы — трудная задача, так как кнопок с пиктограммами не очень много и доступного их количества вполне достаточно для начинающего;

Рис. 2. Внешний вид основного меню Word и Solid Edge

• расположение кнопок с пиктограммами запоминается довольно быстро, потому что их немного, они сгруппированы по своему назначению, а встроенная система подсказок в командной строке и всплывающих меню помогает успешно проводить процесс создания или редакции элемента чертежа. Нужно отметить, что при первом знакомстве с программой у пользователя не воз-



Рис. 3. Скрытая система подсказок в плавающем и раскрывающемся окнах под пиктограммами

• возможность сохранения файла в другие форматы — JPG, PDF, DWG, DXF — позволяет осуществ-

67

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

лять совместную работу с другими системами проектирования, т.е. для просмотра и редактирования чертежей в других форматах не нужна переподготовка специалистов;



GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 64–69

2.3. Использование различных CAD-программ при проектировании Solid Edge имеет одно очень существенное неудобство: если документ был создан и сохранен в новой версии (например, ST7), то открыть и редактировать в старых версиях (ST6 или ST5 и т.д.) невозможно. В этом случае можно использовать промежуточное сохранение документа в формате DWG (AutoCAD), что позволяет открывать и редактировать чертеж в любой версии Solid Edge и AutoCAD. То есть при разработке продукта возможно сотрудничество специалистов, работающих с разными программами!

Рис. 4. Возможности сохранения файлов в Solid Edge

• и, конечно, более основательное обучение для специалиста — необходимость. В любой версии программы есть упражнения для самообучения с подробными пошаговыми инструкциями.

Рис. 5. Упражнения для самообучения

Несмотря на все мощные средства проектирования и визуализации, ключевым моментом в компьютерном проектировании является именно получение документации продукта и ее оформление в соответствии с принятыми стандартами, что считается неотъемлемой частью процесса проектирования. В программе предусмотрены настройки стиля оформления чертежа в соответствии с мировыми стандартами. После успешного освоения 2D-среды специалист может уверенно переходить на 3D-моделирование, которое во многом облегчает получение чертежей модели и дает возможность провести проверку параметров виртуальной модели и при необходимости значительно их улучшить. Программа Solid Edge рассчитана на широкий круг пользователей с самым разным уровнем компьютерной подготовки и обеспечивает одинаково эффективную работу как в 2D, так и в 3D.

68

Рис. 6. Использование других программ для промежуточной обработки чертежа Solid Edge

Сохранение чертежей DFT в формате DWG и наоборот позволяет использовать преимущества обеих программ в работе как с 2D-чертежами, так и с 3D-моделями.

3. Заключение К сожалению, частой причиной неэффективного использования современной техники на производстве или просто невозможностью ее использования является низкий уровень подготовки специалистов. Задача руководства предприятия — не только обеспечить производство современным програмным продуктом, но и предоставить работникам возможность повысить свой уровень владения программой и оборудованием при помощи специализированных курсов или, как минимум, самостоятельной подготовки по упражнениям для самообучения CAD/CAMпрограммы.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 64–69

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

И, конечно, очень важна базовая подготовка специалиста. В данном случае — как хорошо он умеет использовать возможности CAD/CAM-программы. Но если мы говорим о молодом специалисте — выпускнике вуза, то умение читать чертежи, основа-

тельное знание одной CAD/CAM-системы и умение оперировать подобными функциями другой системы для работы значительно повышает его конкурентоспособность и успешность в современном мире.

Литература

References

1. Juodagalviene B., Grigorjeva T. Usage of Computer Aided Design systems in study process // In: Scientific Proceedings of the 12 th International Conference of Engineering and Computer Graphic BALTGRAF 2013. (Editor M. Dobrelis), June 5–7, 2013, Riga, Latvia, p. 113–120. 2. Ovcharenko O. Mutual support and usage of CAD systems // In: Scientific Proceedings of the 13th International Conference of Engineering and Computer Graphic BALTGRAF 2015. (Editor E. Timinskas), June 25–26, 2015, Vilnius, Lithuanian, p. 34–39. Available: http://baltgraf.vgtu.lt/uploads/ BALTGRAF-13_Scientific_Proceedings.pdf [access December 9, 2015]. 3. Ovcharenko O. Once again about CAD. Presentasion on the 12 th International Conference on Engineering Graphics BALTGRAF 2013. June 5–7, 2013, Riga, Latvia. 4. Ovtšarenko O. Drawing of the plan of floor 2d Solid Edge — abstract of lecture. Available: http://ekool.tktk.ee/pluginfile.php/56761/mod_resource/content/2/Moodud%2C%20 kihid%2C%20plokid.pdf [access March 27, 2015]. (in Estonian). 5. Ovtšarenko O. CAD kui inseneri põhioskus. Inseneeria, nr. 58, 2013, p. 12–13. (in Estonian) 6. Ovtšarenko O. Veel kord CADist. Noor Insener, nr. 74, 2013, p. 2–2. (in Estonian). 7. Soon A., Ruus A. From learning outcomes to the team of advisers // In: Scientific Proceedings of the 12th International Conference on Engineering Graphics BALTGRAF 2013. (Editor M. Dobrelis), June 5–7, 2013, Riga, Latvia, p. 199– 208. 8. Autodesk free 3-years lisence. Available: http://www.autodesk. com/education/free-software/autocad# [access March 27, 2015]. 9. Solid Edge free 2d. Available: https://www.plm.automation. siemens.com/en_us/products/solid-edge/free2d/index.shtml [access March 27, 2015].

1. Juodagalviene B., Grigorjeva T. Usage of Computer Aided Design systems in study process. In: Scientific Proceedings of the 12 th International Conference of Engineering and Computer Graphic BALTGRAF 2013. (Editor M. Dobrelis), June 5–7, 2013, Riga, Latvia, pp. 113–120. 2. Ovcharenko O. Mutual support and usage of CAD systems // In: Scientific Proceedings of the 13th International Conference of Engineering and Computer Graphic BALTGRAF 2015. (Editor E. Timinskas), June 25–26, 2015, Vilnius, Lithuanian, pp. 34–39. Available at: http://baltgraf.vgtu.lt/uploads/ BALTGRAF-13_Scientific_Proceedings.pdf (accessed 9 December 2015]. 3. Ovcharenko O. Once again about CAD. Presentasion on the 12 th International Conference on Engineering Graphics BALTGRAF 2013. June 5–7, 2013, Riga, Latvia. 4. Ovtšarenko O. Drawing of the plan of floor 2d Solid Edge abstract of lecture. Available at: http://ekool.tktk.ee/pluginfile.php/56761/mod_resource/content/2/Moodud%2C%20 kihid%2C%20plokid.pdf (accessed 27 March 2015). (in Estonian). 5. Ovtšarenko O. CAD kui inseneri põhioskus. Inseneeria, nr. 58, 2013, pp. 12–13. (in Estonian) 6. Ovtšarenko O. Veel kord CADist. Noor Insener, nr. 74, 2013, p. 2. (in Estonian). 7. Soon A., Ruus A. From learning outcomes to the team of advisers // In: Scientific Proceedings of the 12th International Conference on Engineering Graphics BALTGRAF 2013. (Editor M. Dobrelis), June 5–7, 2013, Riga, Latvia, pp. 199–208. 8. Autodesk free 3-years lisence. Available at: http://www.autodesk.com/education/free-software/autocad# (accessed 27 March 2015). 9. Solid Edge free 2d. Available at: https://www.plm.automation. siemens.com/en_us/products/solid-edge/free2d/index.shtml (accessed 27 March 2015).

69

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ АВТОРОВ В журнале публикуются статьи, соответствующие профилю журнала и его рубрикам. Статья должна быть оригинальной, нигде ранее не опубликованной, не нарушающей авторских прав третьих лиц. Рекомендуемый объем в пределах 20–40 тыс. знаков (с учетом пробелов).

Требования к оформлению статьи Текст статьи набирается в текстовом редакторе Microsoft Word, записывается с расширением .doc, .docx или .rtf. Название файла должно состоять из фамилии автора и названия статьи. Статья должна содержать: УДК (см., например, здесь: http://naukapro.ru/metod. htm); блок 1 — на русском языке: Ф.И.О. автора(-ов) (полностью); название статьи; аннотация (200—250 слов); ключевые слова (5—7 слов или словосочетаний, разделенных точкой с запятой); блок 2 — на английском языке: информация блока 1 в той же последовательности; блок 3 — данные об авторах на русском языке: фамилия, имя, отчество полностью; должность; ученая степень; ученое звание; адресные данные автора(-ов) (организация(-и), адрес организации(-й), электронная почта всех или одного автора), данные научного руководителя (для аспирантов и студентов); блок 4 — информация блока 6 в той же последовательности на английском языке; блок 5 — полный текст статьи на русском языке (шрифт основного текста — Times New Roman; размер шрифта основного текста — 12 пт; поля: верхнее и нижнее — 2 см, правое и левое — 3 см; межстрочный интервал — полуторный; отступ первой строки абзаца — 1,25 см; выравнивание текста — по ширине; ссылки на формулы даются в круглых скобках; формулы набираются в редакторе формул; рисунки — средствами Word; растровые иллюстрации предоставляются отдельными файлами в формате .jpg с разрешением не менее 300 dpi); блок 6 — список литературы на русском языке (название «Литература»). Списки литературы оформляются по алфавиту в соответствии с библиографическими требованиями (ГОСТ Р 7.0.5—2008 «Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Библиографическая ссылка. Общие требования и правила составления») в едином формате, установленном РУНЭБ. Отсылки к списку в основном тексте даются в квадратных скобках, например: [3, с. 25]. На все источники литературы должны быть ссылки в тексте работы; блок 7 — транслитерированный список литературы (название «References»), пример транслитерации источника: 11. Shchedrin N.V. Aktual’nye problemy bor’by s prestupnost’yu v Sibirskom regione [Topical Issues of Fighting Crimes in Siberian Region]. Krasnoyarsk, 2006, pp. 16—20. Для выделения в тексте допустимо полужирное и курсивное написание. Примеры рекомендуется выделять курсивом, новые термины и понятия — полужирным шрифтом.

70

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 70–70

Не рекомендуется использовать: такие выделения, как ПРОПИСНЫЕ БУКВЫ, р а з р я д к а через пробел и подчеркивание; подстрочные ссылки. С требованиями к оформлению статьи можно также ознакомиться в разделе «Информация для авторов» на странице журнала на сайте http://naukaru.ru/

Перечень дополнительных материалов, прилагаемых к статье Вместе с текстом статьи в редакцию должны быть переданы следующие материалы: - Иллюстративные материалы в форматах .tif, .jpg с разрешением не менее 300 dpi (если имеются). - Данные для заключения договора на публикацию статьи в форматах .doc и .docx: а) для граждан России: ФИО, дата рождения, паспортные данные (серия, номер, кем и когда выдан, код подразделения), адрес регистрации с почтовым индексом, адрес проживания с почтовым индексом, номер страхового свидетельства пенсионного страхования, адрес электронной почты (e-mail) для переписки, контактный телефон (мобильный), название статьи; б) для иностранных граждан: ФИО, дата рождения, паспортные данные, адрес местожительства, адрес элек­т ронной почты, название статьи. - Отзыв о статье (для аспирантов и студентов). Порядок предоставления материалов Материалы могут быть переданы в редакцию тремя способами: 1. через портал Naukaru.ru (naukaru.ru). С инструкцией по подаче заявки через портал Вы можете ознакомиться по ссылке naukaru.ru/articles/instruction; 2. по электронной почте [email protected] 3. по электронной почте [email protected] главному редактору Н.А. Салькову.

Прочие условия публикации Редакция оставляет за собой право тематического отбора и редактирования поступивших материалов. Мнения авторов, изложенные в статьях, необязательно совпадают с мнением редакции. Поступившие в редакцию рукописи не возвращаются. Авторы несут ответственность за содержание статей, сам факт их публикации, а также за ущерб, причиненный третьим лицам, если выяснится, что в процессе публикации статьи были нарушены чьи-либо права или общепринятые нормы научной этики. Автору может быть отказано в публикации, если: • его статья не оформлена в соответствии с данными правилами; • автор отказался от доработки статьи согласно требованиям редакционной коллегии и рецензента; • автор не выполнил в срок конструктивные замечания рецензента; • текст статьи содержит более 10% заимствований; • на статью написаны две отрицательные рецензии. Окончательное решение о публикации материалов принимает редакционная коллегия.