Исследование крановых металлоконструкций [1(65)]

Citation preview

ТРУдЬI

ВСЕСОЮЗНОГО НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО И ПРОЕКТНО-КОНСТРУКТОРСКОГО ИНСТИТУТА ПОДЪЕМНО-ТРАНСПОРТНОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ, ПОГРУЗОЧНО-РАЗГР,VЗОЧНОГО И СКЛАДСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ И КОНТЕЙНЕРОВ

В Н ИИ П ТМА Ш

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАНОВЫХ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ ВЫПУСК 1

Под общей редтщией

ОТДЕЛ

к. т.

ИЗУЧЕНИЯ И ОБОБЩЕ!!ИЯ

н.

(65)

БОГУСЛАВСКОГО П. Е.

ОПЫТА

ОТЕЧЕСТВЕН!! - ОП

ТЕХНИКИ

МОСКВА 1966

11

ЗАРУБЕЖНОЙ

В сборнике изложены результаты исследований крановых металлоконструкций, п роведенных во ВН ИИПТМАШ в те 11ение 1 964-65 гг. В ста тье инж. Бененсона И. И. «Металлические стержни переменного сечения в статически неопределимых конструк­ циях» исследованы вопросы расчета деформаций тонкостен­ ных стержне й переменного сече ния. Даются расчетные фор­ м улы и таблицы; приведены числовые примеры. В статье инж. Концевого Е. М. и Розеншейна Б. М. «Исследование конце нтрации напряже ний в главных балках мостовых кранов» приведены результаты при менительно к опорным узлам главных балок мостов блочной конструкции з-да «Сибтяжма ш». Изучено влияние геометрических характеристик попереч­ ного сечения опорно й части балки на напряже нное состояние стенки и определены значения коэффициентов концентрации напряжений. Приведены расчетные таблицы. В статье к. т. н. Левитина Б. С. «Анализ принци пиаль­ ных схем главных балок 5-тонных мостовых кранов из алю­ миниевых сплавов» дано сравнение весовых данных мостов, выполненных из стали и алюминиевых сплавов. Рекомен­ дуется для крановых мостов грузоподъемностью 5 тонн при­ менять рациональную схему в виде ш пренгельной балки и, как весьма перспективную, однобалочную систе му с балкой коробчатого сечения. Сбdрник предназначен для инженерно-технических работ­ ников научно-исследовательских и проектных институтов, кон­ структорских бюро и заводов, п роектирующих и изготовляю­ щих крановые конструкции .

Инж. БЕНЕНСОН И. И .

М ЕТАЛ Л И Ч Е С К И Е СТ Е РЖ Н И ПЕ Р Е М Е Н Н О ГО С Е Ч Е Н И Я В СТАТ И Ч Е СК И Н ЕО ПР ЕДЕЛ И М Ы Х КОН СТ РУКЦ И Я Х

Основные трудности п р и расчете ра м н ы х С·И стем с о стержн я ­ м и перемен· н ого сечения связа н ы с необходимостью в ычисления для этих стержней всевозможных изгибных перемещений от действия концевых и п ролетных моменто в и сил. Воп росу определения перемещений при изгибе стержней пе­ ременного сечения посвящена обш и рная л и тература. Это прежде всего общетеоретические исследования, изложенные в некоторых главах р а бот [ ! ] и [2]; более конкретные про р аботк и , каса ющиеся вполне оп ределенных типов стержней [3], {4], [5], [6]; разл и ч ­ н ы е оригинальные р а счетные прием ы [7], {8], {9], { 1 О]; наконец, удобное практическое руководство с бол ь ш и м кол ичеством рас­ четн ых табл и ц [ 1 1 ] . Однако больши нство работ посвящено р а счету ·сплош ны х стержней п р я м оугольного и к ругового сечения ·Ил и же составных стержней с а бсолютно жесткой решеткой. Исследования же бо­ лее общего х а р а ктер а не доведены до вида, удобного для при­ менения в и н женерной п р актике. Поэтому л и ш ь нем ногие из упомянутых р а бот могут быть в той ил и иной степени примени­ мы к расчету тонкостенных металлических стрежней перемен­ ного сечения, котор ы е ·И спол ьзуются к а к элементы кра но в ых, строительных и других конструкций . Исследования, изложенные в да нной статье, касаются воп росов р асчета стержней и менно та кого тип а . П ри меняемые на практике металлические тонкостенные стержни переменного сечения в бол ьшинстве случаев и меют по­ перечное сечение двута врового и л и коробчатого профил я с од­ ной, а чаще - ·с двумя ося м и сим метри и . Обычно толщина элементов стержня остается постоян · н ой по всей длине стержня или на значительной ее части, а изменение жесткости осуществляется за счет перемен ности ш и р ин ы элемен­ тов. В общем случае м ожет п роисходить одновр е менное измене­ ние ш и р и н ы всех элементов стержня; такие балки, в основном коробчатого сечения, ш и роко п р и меняются в к ачестве опор пор­ тальных и других к ранов ( фиг. 1 ) . -

-

а)

б)

Фиг. 1. П риме р ы м еталлоконст р укций сечения: со сте р жнями п е р еменного а) портальный поворотный кран, й) полукоз· лово1"1 кран

Распространены также стержни, у которых изменяется толь­ ко ширина поясов при постоя нной высоте стенки, или, наоборот, из · м еняется только высота стенки; стержни последнего типа осо­ бенно часто я вляются эле ментами всевозможных р а м н ы х кон­ струкций. Следует отметить, что изменение ш ирины эле:\1ентов металли­ ческих ·стержней обычно· следует л инейному закону, что обуслов­ ТJсно простотой изготовления. Поэтому здесь будут рассм атри­ ваться и менно такие стержни.

АНАЛИТ И Ч ЕСКОЕ ВЫРАЖЕН И Е ЗАКОНА ИЗМЕН ЕН И Я ЖЕСТКОСТИ М ЕТАЛЛИЧ ЕСКОГО ТОНКОСТ ЕННО ГО СТЕРЖНЯ С П РЯ МОЛИ Н ЕЙН ЫМ И О БРАЗУЮЩИМИ Для двутавровой и л и коробчатой б а л к и , у которой изме­ няется тоJiько высота стешш (фиг. 2, а), КО\1'Г1актное и достато ч ­ но точное выражение закона изменения IIзги бной жесткости *

D

а)

б)

Фиг. 2. Балка п еременного сеченl!я: а) вид

сбоку,

6)

ССЧСНl!Я.

может быть получено в в иде степенной функции от в ысоты стенки, изменяющейся по линей ному закону,

(1 ) ит1

в безразмерном виде h (х) /то

1+

Теперь можно за · п исать 1 (х)

=

( �-1) --3/10

l

! [1+ ( �� - 1 ) f Г, 0

( 2)

(3)

'· Т . J обозначены соответствующие ве­ личины при х =О и x = l, т. е. на концах балки. После п одст а нов­ ки ( 1 3) в ( 9 ) п олучается 1 (х)

=

__!__ (h0 + а:х) 2 [(f0 + 6F0) + (k + 6К) х],

12

( 1 4)

а если ввести обозначени я : fo+6Fo= Фo - начальная п риведенн а я площадь сече н и я ; k-!-6 К = � - скорость изменения приведенной площади сечения, кото р а я и наче м ожет быть в ыражена как ( 1 5) то окончателыю запишется 1 (х)

=

1

12

-

(h0 + ах) 2 (Ф0 + �.х)

или, после вынесения з а скобки

(

1 (х) =' /0 1 -j-

;0

где под lo понимается величина

h�

Фо,

)2 ( 1 �о Х) , 2ф

Х

h

-°---0,

12

( 1 6)

+

( 1 6')

т. е. жесткость в н а ча.1ь-

ном сечении . Таким образом, для симметричных сечений закон ИЗ:\1енения жесткости получен в виде полинома 3-й степени с известны м и корнями. , Путем п ростых п реобразований с помощью ( 13) м огут быть получен ы и другие ф о р м ы записи закона ( 1 6) : l'

1Ш

=

/0 [ 1 + (h* -- 1 ) �]2 [ 1 + (Ф* - 1 ) G];

( 1 6" )

9

( 1 6"') где введен ы обозначения следующих безр азмерных величин :

е h* Ф*

х =

� ho

=

=

r= 1

l

1

-

Фк Фо -

- относите.'!Ьная величина абсциссы ;

-

отнощение ко�цевых значений высоты стенк и ( l 7) и приведеннои площади сечения;

� - относительная абсцисса. о тсчитываемая о т противоположного конца балки. z

б•О 5

---� а_

_____

-------

��-----­

------t

--.... __L_

-------------�""\

б=Z,О

у

Фиг. 4. Коробчат ая б а лк а переменного сеч ени я

Ниже п р иводится числовой пример определения жесткости балки, и зображенной на фиг. 4, с оценкой точности пр и исполь­ зова нии обеих п р едложен н ы х формул : ( 7 ) и ( 16) . Моменты инерции сечений о пределены относительно оси оу. а ) И спользование зависимости ( 7 ) :

1 0,0 - 2,0 8,0 см ; h0 Ь0 1 5,О - 0,5 1 4,5 см; 1 1 6,0 см 2; 00 = 8,О· 1 4,5 =

=

=

10

=

1 5 ,0·2,0· 8,02 + 2 + . О , 5 ·6 ,0 3 + Х 2 2 12 1 5 , О-2,оз 998 см4; х 12 =

=

=

ю

hк = 40,0 - 2 ,0 = 38,0 см; Ь" 30,0 - 0,5 29,5 см; О"= 38,0 ·29,5 = 1 12 1 ,0 см2 ; =

/

к

=

30,0·2,0 · 38,02 + 2 х 2 Х О , 5· 36 , 0 3 +2Х 12 Х 30,0 · 2,0 3 47 248 см4. 12

=

=

По фо р муле

(8) m=

log•""f". log""ltt6

= 1 ,70.

Далее, вычисля ются отношения l!3_

38, 0 8, 0

=

h0

=

4 ' 75·'

� = 29' 5 1 4,5 Ь0

=

2 ' 035 '

после чего, согласно ( 9 ) :

С1

=

4,75 +2,035 - 2,0 С2=3,75·1 ,035

и

Q (х)

Qo

=

1 + 4 ' 785

Окончател ьно

� l

=

+

=

4 ,785;

3,88

3 88 '

[

(�)2• l

. ( )2]1

7

х х 1 (х) = 998 1 +4,785 / + 3,88 -т

б ) Использова ние за виси мости ( 16") :

F0=1 5,0·2,О=30,0 см2 ; h10 = 8,0 - 3·2, О = 2 ,0 см ; ос= 1 ,0 см; fo 2,0· 1 = 2,0 см 2 ; Ф0 = 2,0 + 6·30,0 1 82 см 2; fo 18 2 · 8, 0 2 = 9 72 см 4· 12 . =

=

=

F" = 30·2,О 60,0 см2 ; h1" 38, 0 - 3·2,О = 32 см; ос = 1 ,0 см; f1, 32,0· 1 ,О 32,0 см 2 ; Ф1, = 32,0 + 6·60, 0 392 см 2 ; =

=

=

=

=

'

!!5- = 38, 0 = 4,75; h0 8 ,0 Окончател ьно

� Ф0

J (x)=97 2 1 +3,75 f

(

=

)2 ( 1

+

392

182

=

2 1 54 . '

l,154 f .

)

Резул ьтаты вычислений спеден ы в табл. 1. Как следует из табл. 1, х а ра ктер относительной пог р ешности, даваемой фор мул а'ш (7) и ( 16) , существенно р азл ичен: пр и использовании ( 7 ) концевые значения 1 (х) всегда точн ы и н а и ­ большая погрешность - в пролете; погрешность, даваемая фор­ м улой ( 16) , зависит, в основно м , от отношения толщины пояса к высоте сечения. 1:1

х

[ (Х)

Т очная величина

998

1 0/0 ош ибк и 1 вели чина 1 0/0 ош ибк и 1 величина

по ф-ле ( 7)

по ф-ле(16")

1

о

998 0, 0 9 72 2 ,6

1 1 1 1

1

4

2

4735

12 710

45 43 4' 1 4701 0,7

Таблица

1 1 1 1

12 2 09 4,0 12 6 70 0, 3

3 4

1 1 1 1

26 383 25 779 2 ,3 26 356

О, 1

1 1 1 1 1

47 2 48 472 03*

О, 1 47 239 0,0

* З десь должн а бы получиться точная ве личин а, не большая пог решност ь обуслов л ен а ош и бкам и п р иближенны х выч исл ений.

В общем же формула ( 1 6) дает существенно лучшие резу льтаты : даже в начал ьном сечении, где толщина пояса соста вляет 20% от высоты сечения, погрешность вели­ ч и н ы м омента инерции сечения всего 2,6% . ..;" П р и уменьшении· относительной толщины "'-.F1 пояса до 1 0% погреш ность уже порядка 0 ,5 %. х ц.т х Хорошая точность и удобн а я алгебраи­ ческая фор м а з акона изменени я ж�сткости, выражаемого форм улой ( 16), ·ПОЗВОJ1ИЛИ ис­ .,.,; 6, пользовать его в качестве основы дл я изл а­ гаемых ниже исследов а н и й . Остается только выяснить возможность п р именения формулы ( 1 6) для сечений, ..,, ... и меющих различные п о площади верхний Фиг. 5. С ечен ие с н е­ и ниж н и й пояса. од инаковы м и пояса ми Центр тяжести сечения с неодин аковым и ми поясами ( ф и г. 5 ) н аходится н а высоте

1-J/z

Уц

1 P1h + !.·2 h =

Р1 + Р2 + t

( 1 8)

где F1 и F2 - площади сечен и й верхнего и нижнего поясо в; f - площадь сечения стенки; h - высота сечения по ·средин н ы м плоскостя м поясов, и введено обозначение с12

(19)

Момент инерции площади сечения относительно центральной ХХ равен :

оси

l

=

F1(h-yц)2 + F2Y�+ Е_ +f (Уц - !!_)2

,,_, . ,h2[F1(1-C)2+F2:2+ Здесь f 1

-

2

12

/

=

(20)

f1+f(�-+n.

2

приведенная площадь стенки, равная

(2 1)

( 1 1)

где по а н алогии с

(22) Сравнение показывэет, что выражение (20) ·по своей форме аналогично ( 12) . Но для п ерехода от (20) к зависимости типа ( 16) необходи мо, чтобы выражение в квадратных скобках ф ор­ мул ы (20) было линейной функцией а бсциссы х ( при л инейном изменении F1; F2; f и f1) , а это возможно тол ько в случае � = const по всей дл ине стержня. И н ы м и словами, чтобы для стержня с неодин а ковы м и поясам. и можно было использовать закон тип а ( 1 6) , необходимо, чтобы относител ьное положение центра тяже­ сти по высоте было неизменны;v1 во всех сечениях. Н иже произ­ водится а нализ та кой возможности. Пусть F1, F2 и f суть линейные функции безразмерной абсцис­ х сы \; =

F1 =F10 [1 + (F� -1) �] ;

F2,.,., F20 [1+(F;-1) �]; f" f0 [ 1 + (f* - l )S].

Здесь F10, F20 и fо н ачал ьн ы е значения площадей элементов, и по аналогии с ( 1 7) введена запись: --

F•

F1к

1=-,

где

F1к, F21;

и

fк

F10

•

р*2:i3Zi::-F2к F20

, f*

fк

•

=-,

/о

значения площадей элементов н а ·стерж ня. Тогда, чтобы � = const, согласно ( 1 9 ) должно быть:

[

Fio 1 +

-

( F;

-

1

1

)�] + 2 fо [ ! + (l*

-

1) � J

--

F10

[ 1 + ( F;

-

1 ) ;]

+ F2о [ 1 + ( F ;

-

1) �]

+

f0 [!

+ ([*

-

1) �]

---

=

конце

const; 13

(F10 + + fo-'---) --=--(F10 ( F; - 1) + f - 1)�] F20 fo) + [F1o( F; - 1) + F20 ( F;- 1) + fo -

-------

(F10 + а

+

+ �

+

€

о

(f,*

(l*

----------

-

это возможно только в том случае, если

1

F10 + 2 fo F10 + F20 + fo

- 1) + 21

Fio ( F;

fо (l*

--

!) ]

=

const,

- 1)

откуда можно получить 1

F10 + 2 о / F10 + F20 + fo

F10F 1

*

1

1 Fiк + 2 fк

2 fol*

+

=

Fiк + F2к + fк

(23)

ИЛИ

�о = �к· И н ы м и слов а м и, чтобы � = const п о всей дл ине стержня, до­ статочно, чтобы б ыл и равны концевые значения �Путем •п ростых п реобразова н и й из ( 23) можно получить

откуда

(24)

где обозначено

т1

=

_lo_ -,

F10

п1�

"

=

о

f F 20

--

.

(25)

Поскол ьку тол щи н ы элементов сечен и й постоянны на рас­ сматриваемом участке дл и н ы, то вел ичи н ы F;, F; и f* можно за менить на соответственно р а вные +r'.1 вел ичины Ь �· ь; и h*, где

• _ Ь1к ь 1 --, Ь10

тогда

( 26)

•

получаетс я закон, связывающ ий величины относител ь­ ного изменения ш и р и н ы поясов и стенки,

и

=

Для коробчатой балки п р ям,оуголь ного сечения, очевидно, должно быть ь; ь;, вследствие чего из (24') следует 14

Ь*

=

h*

П р и л ю бы х з нач е н иях m1 и т2, т. е. б алка должна б ыть пи р а ми­ дальной, что В'полне п р иемлемо для п ра ктики. Для двута вровой балки, где пояса могут быть р азл ичны по ш ирине, у ра внение ( 24') определяет соотношение м ежду ь; и ь; в зависимо·сти от в ы б р а н н ы х вел и ч и н h*, т1 и т2• Р а зл ичие величин ь; и ь; пра ктически всегда будет небол ьш и · м . Пусть , н а п р и м е р , в начал ьном сечении некоторой балки ·поя­ са существен но разл ичны по ·площади, т а к что

т1 = 0 , 5 ; т2 = 0 , 2 . Полагая вначале, что, высота сечения постоянна, т . е . h* = 1, с помощью ( 24') получаем уравнен·и е

которому удовлетвор я ют, н а п р и м е р , такие пары Ь; и ь;: 0,5 и 0,56; 1,0 и 1 ,0; 2,0 и 1,88; 4,0 и 3,64. Пусть тепер ь высота балки значителыю нзменяется, так что h* = 4. Тогда

ь;

=

о,8sь;

+

о 48 , ,

откуда получаютс5! пар ы ч исел 1 ,0 и 1 ,36; 2,0 и 2,24; 4,0 и 4,0 и т. Д. Таким образом, п р и конструировании балок с неодин а ковы­ ми пояса ми имеются пр а ктически неог р а н иченные возможности варьирования р азмеров ее элементов с цел ью получения рациональных сечений п р и одновреме· н ном удовлетво рении зави­ симости ( 24' ) . П р и р а счете уже и меющейся кон ·с трукции необходима п р о­ верка н а выполнение условия (24' ) , а п роще (23) , и если оно н е удовлетворяется, т о сравнител ь н ы м подсчетом момента инерции в двух - трех точках п ролета п о действител ь н ы м сече н и я м и по формуле ( 16") надо определ ить ютносительную погрешность, которая даст возм ожность оценить погрешность дальнейшего -расчета в целом п р и испол ьзова н и и п риводимых н иже фор мул и таблиц. Как следует и з (20 ) , за п р иведенную площадь сечения Ф стержня с неодин аковыми понс а м и удобно п ри нять выражение в квадратных скобках . и записать 1 = h2Ф; соответственно

n

н ачальном сечении lo= h6 Фо.

Относительная вел и чина п р иведенной площади найдется форм уле

ф*

=

� Фо

=

+--f2 �

по

( +)2 ( - +)2

F11' (! - :)2 + F2к�2 f1к + fк � ----------------'-------'-. (27) F10 (! -()2 + F20:2 +

f10 + fo :

где вел ичина � соответствует л юбому сечению п р и собл юдении (24'). В случае несобл юдения (24') п р и вычислении Ф*, для п р и бл иженного расчета в числител ь и знамен�нел ь (27) следует подставить соответственно �1; и �о. Таким образом, · п олучены все необходим ые вел и чины для п редставления з а кона изменения жесткости в виде ( 1 6" ) или ( 16"') .

И НТ ЕГ Р И РОВАН И Е ДИ ФФ ЕРЕНЦИАЛЬНО ГО УРА В Н Е Н ИЯ И ЗГ И БА . М ЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Диффе, р енци(lл ьное ура внение поперечного .изгиба стержня переменного сечения для незагруженного у частка и м еет вид:

� dx2

[Е! (х)

d2y l dx 2

]

=

(28 )

О.

После двукратного интегрирова ния получается d2 dx

y EI(x) -=C1x +с2. 2

(29)

Постоянные интегри рова ния оп ределяются из начальных условий : (30 ) где Мо и Q0 -- изгибающий м.о мент и поперечн а я сила в нача­ ле координат. Переходя теперь к безразмерной координате по оси а бсцисс п утем за мены х = sl. и учитывая ( 30 ) , выражение ( 19) можно з а п исать в виде

!

(t) � .,, [2

или,

подставляя

Е10

-- .

16

/ (s)

d2y

---

по

dzy d�2

=

- (Мо + Qо Le)

(31 )

фор м ул е ( 1 6" ) ,

� + Q0l М0 --' "'---"-'--[ 1 + (h* - !) е]2 [1 + (Ф* - 1 ) �]

= - --

--

-

-

(32)

Первый и нтеграл уравнения ( 32) дает в ыражение для углов поворота сечений · с тержня:

=

-

z

у'

l E0

s

=

= -1-�

dy

1

dx

=

dy

+ Сз.

( М0+ Qoe)l de

--_+_ _Ф_* - - - - _[_I _+_(_h_* - - -( - 1)е ] 2[1 !)�]

(33)

Решение неоп ределенного и н теграла п роизводится с по­ мощью р азложения н а элемента р н ые д р об и : А

M0 + Q0et

[ ! +(h* --1)�)2 1 [ +( Ф* - !)�]

+

в

[ ! +(h* - !)s] 2

+

1 +(h* - !)�

+

с

1 +(Ф * - !) �

Постоя нные вел ичины в числителях дробей разложения ока­ зались равными: * 1 ) [ Q0l -M0 ( Ф* - l)J�. А= (h-

'

(h* Ф*)2

В= (h*-l)M0- Q0l .

'

h* -Ф*

С= _

( ( -1)] Ф* Ф* - 1 ) [Q0l - M0 (h* - Ф *) 2

Теперь можно за ·п исать у'= - _z_

{_A_

Е/0h*- 1

lп [I

+(Ф*-I)t"' ] -

+ (h* - l)S] + в

h* - 1

1 . 1 + (h* - IH

или, подставляя значения А и С, у,

=

[D

l _ Е/0

__

In

1 + (h*

Х 1 + (h - !) �

где обозначено

2

Труды 11нститута . Вып.

1

D= (65)

- IH

1 +Ф* ( -1) s

�

с

Ф*-1

J

+Сз,

* -1 ) Q0l-M0 ( Ф (h* Ф*)�

ln[I +

}+с

3'

в

--- х h* -1

(34)

(35) '17

(34)

И нтегриров а н и е в ы р ажен и я упругой л и н и и стержня : , y=

позволяет н а йти уравнение

d�S y'dx+c4 = l S y'ds+c4 =-_E_ [DJin zr. с 4S ds ] с3"'+ D( � {ln[l+(h*-l)S]-1}-

=

-

I +(h*-I)I; l+( Ф*-lH

Е/0

в

+

h*-l

l+(h*-lH l+( * IH h·-·l

-- 2l

E/0

I+( Ф*-l)E Ф* - 1

В

(ln[l+(Ф*-l)S]-1}-

D (h*- 1)2

)

Х

Х ln [1 +(h* -1) sJ + C3ls + С 4•

(36)

Постоянные Сз и С4 определя ются из условий: '

'

У �=О = Уо;

У�=О = Уо•

rде у� и Уо - угоJ.! поворота и ·прогиб в начале координ ат; эти условия дают:

С с4

.

з = Уо

-у+ о

-

2l D

_

, }

[t

_

"'

Е/0

M0l2 Е lo

{

.

h* - 1

;

h* - Ф* (h* - 1)( Ф*- 1)

•

( 34)

в

l

Elo

-

что после подстановки в следующим ура внениям :

у- Уо + Уо

-

и

(36)

{ s

приводит окончательно к _

h*- Ф*

[l +( Ф*-lHJ (h*- Ф*)2

1 + (Ф* - 1) s Е/0 (h*-Ф*) 2( Ф*-l) l+( Ф*-l)S Jn[l+(h*-lHJ s

Х l 1+ (h*- lH n

_

Q03l

(h* -!)Z( Ф* - 1)

[

ln

Х

l + (h* - 1) Е

l +( Ф*-lH

(h* - Ф*)(h*- 1)

}·

Ф*-· 1 h*- 1 1; . (h*-Ф*)2 Х l+(h*- 1)1; Е/0 !1"-Ф* 2 1 ln 1 +(h'' - 1 )!; ln l + (h* 1) 1; - Q 0l l+( Ф*-1)1; Е/0 ( h''- Ф*)2 Х I+( Ф* - 1)1; 1 ф-;;-. 1 + (h -l)S h* ,

'

у = Уо-

M0l -

]

[

:

]

( 3?)

'

(33>

.

П р и наличии распределенной н агрузки п р а в а я часть урав­ нения ( 28) будет равна q (т. е. и нтенсивности н а грузки ) . Соответствующие функции вл и я н ия для прогиба и угла поворота 18

могут быть получены · с помощью уже известны х функций влияния поперечной силы (см. ( 37) , ( 38) и ф иг. 6 ) . 11 Ф иг. 6. К определению функ­ ц и й jВлияния от р а в номерно­ распред еленно й нагрузки

Y

x

!

q

_ 1)--' -'-11 - ln --'- _*_r [-1- +_ (Ф

ql4

=

(h* -Ф*)2(Ф*- 1)

EI0 .J о

_

ln [!

+ (h* - ! ) 11 1 _

(h*-1)2 (Ф* -1)

1

]-

r

]

1J

(h*-Ф*)(h* -1)

. [l+(h*-1)€)ln[I +(h*-l)EJ (Ф*-l)(h*-1)

-(h* -1)2

1 + (h*- 1) 1J 1 + (Ф* -1) 'У/

d·fJ

-

_

_

q/4

Е/0

Х

l+ +(Ф*- I) (�-�)

ln[l +(Ф*-IHJ 2(h*-Ф*)2(Ф*-1)2

.

(h*_:_Ф*I�

[I

+

( Ф*

-

l ) tь ] 2 -

Е � 2 (11* -Ф*)(h*-1)(Ф* - 1) + (h*-1)2(Ф* -1)

Y

,

q

1J

qza

=

Elo

Х l-t-(fi*-1)·�

j' lо ]d

2(h'-Ф:;(h'-l)

�

1

(h* -Ф*)2

А

{

-

ln

)·

1 + (h* - 1 ) ТJ

1 + (Ф* -1) ·"!

--h* -Ф*

(Зg) х

Н-(Ф*-l)Е ln t+(h*-1)� (h*-Ф*)2(Ф*-1) 1-t-(Ф*-l)E In[l+(h*-l)sl i� . (40) (h*-1)2(Ф*-1) (h*-Ф*)(h*- 1) -

"fj-

Е/0

}

В ыражения (39) и ( 40) должны быть п риписа н ы соответст­ венно к ( 37) и ( 38) . Производя дальнейшее интегрировани е полученных функций ( 39) и (40) можно было бы получить функции влияния для тре­ угольной, пар аболической и т. д. расп ределенных на грузок. Одна ко на практике дл я ра сс:v1атриваемого типа стержней такие нагрузки встречаются редко и здесь не рассматриваются. В ы р ажения ( 37) и ( 38 ) с доб а влением ( 39 ) и (40) могут быть за писан ы в виде

�

' м [2 Y=Yo+Yol�- Е о

f1(s)-

;10

Q zз

f2(s)+

q/(

i E o

f3 (s);

(41) 2*

19

У

1

=

'

Уо

-

M0l

Eio

f4 (s)

-

Q0!2

ql3

f

Eio t. (s)+ Eio &_(s) r

(42)

и п редставл я ют собой уравнения м етода начальных пара метров для стержня переменного сечения , х а р а ктеризуемого вел ичинами h* и Ф*. П ри h* =Ф* = 1 функции fi (s) о б раща ются в известные из теории стержней постоянного сечения степенные функции:

а;

б) Ф иг. 7. Кранова я п ролет н а я б алка пе ременного сечения : а) схема нагружения, 6) сечение, в) упруга я л и н и я

Между ш естью функциями очевидные зависимост и :

f i (s)

существуют

следующие

п о м и м о этого, из вывода ( 39) и (40) следует

откуда, путем равенства

dfз Ш = d�

12(�)· '

dfв (s) d'g

сра внения с ( 43) ,

f{i (е)'

( 44)

п олучается

необходимость

=

что и и м еет м есто. Уравнения н ачальных п а р а метров примени м ы к расчету ста­ тически оп редел и м ы х и статически неоп редели м ых балок и рам. Н а практике же о бласть и х п р именения ограничивается расчетом перемещений для однопролетн ых балок. При.мер. Требуется построить упругую линию пролетной балки м остового крана от действия сосредоточенной ·с илы в сере­ дине пролета ( ф иг. 7, а) . Б ал к а и м еет коробчатое сечение пере­ менной высоты; верхний и н ижний пояса одинаковы ( фиг. 7, 6) . 20

Вслед: с твие сим метри и б а л к и и нагрузки р а ссм атри вается половина п ролета длиной ! = 800 см. Н ач ал о координат прини­ мается на левом конце. П риведенные высота и п лощадь стенк и согласно ( 1 1) :

hi=h

-

Зап; f1 ='Och1;

п ри t=O h1=40,О-3-0,8=37,6см; f1 = 0,5-37,6 · 2 = 3�,6см2; при �=1 h1=80, О-3·0,8=77,6см;

f1=0,5-77,6·2 = 77,6см2•

П риведенная площадь сечения ( 1 4)

Ф = f1 +6F; при �=О

Ф0 = 37,6 + 6-40,0-0,8

при s = 1

Фк=77,6+6-40,0 · 0 , 8 = 269,8см2•

=

229,8см2;

Момент инерции площади начального сечения ( 1 6)

/0 =-1- h� Ф0 = -1 - 40,02·229,8=0 ,307·1 05см4• •

12

12

Относител ьные вел ичины ( 17):

h* ф*

=

� h0

=

80 , О 2 О· 40 , 0= ' '

6 = ·� = 2 9 ,8 = 1 , 174. 229 ,8

Ф0

Граничные условия: при s

=

О Уо =О; М0

при s = 1

у�

=

=

О; Q0

=

1 2

-

Р;

О.

Используя последнее условие, с 'ПО�1ощью (38) можно з а·п и­ сать :

, ' Pt2 Ук = О =Уо - 2Е _ _0 -/

[

1 1 + (2 , 0-1 ) · 1 _ _1 )_ .-1 (2 , О - 1 , 1 74)2 ln _1 _ +_(1-, 1- 7_4_ 1 1 2,0-1 ,1 74 l-(2 ,0-1 ) · 1 ' °

]

откуда получается, что начальный угол поворота р авен

, pz2 Уо = - ·0,0878. Е/0 21

Теперь с п о мощью (37) можно записать уравнение упругой л инии балки на половине ее п р олет а :

Pl3_ {

pz2 0,0878! 1+( 1 , 1 74-IH 5 Е/0 2Е/0 ( 2 ,0- 1, 174)2( 1 , 174- 1) Х 1 t (2 ,0- 1 )� ln[l + (2 ,0- lHJ Х ln (2,0- 1)2 ( 1 , 174- 1) 1 + (1, 174- 1)� � = РР 0,08785- (4,211 + 0,73285) Х [(2 ,0- 1 , 174)(2 ,0- 1) Е/0 � 1 � � + + 2,8735 !n (l + 5 ) +0,6053� ' х ln 1+0, 174; У=

}

[

---

и окончател ьно, после п одста новки зна ченЕЙ у=

l

и 10,

� -16 700 [ 0,69315-(4,21 +О,73Щ) 1 +� ln + 2,8735Jn(l 5)] . 1+ 0, 174�

х

+

]

Х

Подставляя сюда численные значения 0�1;� 1 с некоторым ш а гом, можно построить упругую л1шию, вид которой изобр ажен на фи г. 7, в. Т а м же для сравнею1я штриховой л и н ией нанесена фор м а уп ругой л ин и и балки постоя нного сечения с такой же 'максим альной орди н а той. П р огиб в середине п р олета (5= !) р

Ymax = 0,840-

Е

•

Пр;.� иепол ьзова. н и и уравнений лачальны х п а р а метров воз­ можно появление малых разностей больших чисел . В этих случаях п р и в ыч ислени и всех функuий а ргумента 1; следует сох ра нять не менее ш ести знаков после за1 п ятой. Если кол ичество точек п о дл ине стержня, в котор ых необхо­ димо разыскать перемещение, невел и ко, то более эффективным я вляется р а счет с помощью интеграла Мора. Этот ·метод позво­ ляет также п р оизводить р а счет любых статически неоп редели­ м ых р а м ных систем с затратой труда лишь нем ногим большей, чем п р и р асчете систе м , состоящих из п р и з м атических 1 с тержней.

ВЫЧ ИСЛЕ Н И Е И Н Т ЕГРАЛА МОРА. РАСЧ ЕТ СТ ЕРЖН ЕВЫХ СИСТ ЕМ М ЕТ ОДОМ СИЛ

Здесь р ассматриваетс я выч исление «изгибного» и нтеграла Мора, и меющего вид l

A=S о

22

М (х)·т ( х) dx Е! (х)

где М (х) и т (х)

-

«пер е множаемые» эпю р ы изгибающих мо­ ментов в двух р ассм атриваемых состояниях нагрузки ( одно из которых обыч н о соответ­ ствует воздействи ю некоторой единичной о бобщенной сил ы ) . а ) Перемножение прямолинейных эпюр (фиг. 8). Такие эпюры имеют место при отсутствии п р олетной на грузки и воздей ­ стIJии на сте ржень только концевых моментов. З а кон изменения изгибающих моментов по длине стержня х относительно б ез размернои координаты ,.,!: - отсчитьшаемои" от "

=

левого конца, записы вается в виде

МШ т (s)

М0 (l

=

=

т огда

т0 ( I

-

М (x)·m (х) dx

\

о

t E

( 16//) интеграл s) + ткs· \

1

А =.

,

S) + М кs;

-

с учето м Мора р авен

l

Е!

1

S

о

(х)

м IO·m Ш ds 1(6)

Ф иг. 8. Эпюры изгиб а ющих моментов при отсутст в и и пролетной нагрузки (действуют только 1 концевые моменты);

Подинтегральное выражение легко раскладывается на эле­ мента рные дроби и интегри руется в степенных и лог а р ифмиче­ ских функциях. Здесь опущены громоздкие выкл адки и приво­ дится конечный резул ьтат:

где обозначено Р.о =

h* (2Ф* - h* -- h*2 Ф*) Jn h* !1* 2 * 2 h ) (h* Ф*) ( -- 1 ) + (h* - 1 (h* -Ф*) Ф*21n Ф * * Ф 1) (h* - Ф *)2 ( +

(46)

23

(h*2 - Ф*) lnh* fLoк = --'-------''---(h* - 1)2 (h* - Ф*)2

(h* - 1) (h* - Ф*)

Ф* lnФ* (Ф* - 1) (h* - Ф*)2 ' (Ф* + 1 - 2h*) ln h* 1 �= + + (h* - 1)2 (h* -Ф*)2 h* (h* - 1) (h* -Ф*) lnФ* + (Ф* - 1) {h*-Ф*)2

1

(46)

Как видно , структура фор мулы ( 45) аналогичн а таковой для призм атическог о стержня, где, как известно, fLo = Р·к =

1

3;

1

fLoк = б;

эти же величины можно получить, подставляя в (46)

h*

=

Ф*

= 1.

Для возможности практическог о использовани я формул ы (45) произведены числовые расчеты коэффициенто в µ при раз­ л ич н ых значениях h* и Ф* в диа пазонах О,1-7-1,0 и 1,0-7-6,0. ( В оо б ще говоря, достаточно бы­ ло бы п р овести р асчет для одно­ го и � з этих диапазонов; за то в данном случае отпадает необхо­ дим ость з аботиться в том, какой из к он цов стержня п р и н ять за начальн ый ) . Расчеты производи­ л ись по форм ул а м (46) н а ЭЦВМ Ур ал-2 с п омощью специальн о соста вленной прогр а м м ы . Ре­ зул ьтаты п ом е щены в табл. 2 и 2 а; дл я отыска н и я пром ежу­ точных з начений µ рекоменду ет­ Ф иг. 9. Эпюр ы изгиб ающих мо­ ся п р им е нять квадрати чную ин­ м ентов от действия р авномерно­ терполяцию.

р аспределен ной нагрузки и от в оздействия концевых моменто в

б) Эпюра моментов от рав­ номерно-распределенной нагруз­ ки умножается на прямолиней­

ную эпюру ( фит. 9 ) . Ура внение эпюры изгибающ их моментов от­

р авномерн о-расп р еделенно й н а грузки

т (х) = -1 qx(l - х), 2

или, относительно безразмерной а бсциссы, 1

24

m(s) = - ql2�(1-6). 2

�

Коэффициенты о.]

0,2

r-0; ?ок; 1-'-к

0,3

0 ,4

Т а б л иu а

(трой ками сверху вниз) 0,6

0 ,5

0 ,7

1 ,О

0,9

0,8

2

*

0 ,1

1 ,3 68 1 ,1 99 1 ,08 5 1 ,001 0 , 93 4 0 ,8 79 0 ,83 2 0 ,792 0 ,757 0 , 726 3 ,620 2 ,664 2 ,154 1 ,8 27 1 ,596 1 ,422 1 ,28 5 1 ,174 1 ,083 1 ,006 47 ,3 2 28 ,41 20 ,62 1 6 , 28 13 ,48 11 ,53 10 ,07 8 , 952 8 ,058 7 ,3 29

0,2

1 ,064 0 , 956 0 ,8 79 0 ,8 20 0 , 772 0 , 73 2 0 ,698 0 ,668 0 ,641 0 , 618 2 ,004 1 , 545 1 ,28 5 1 ,111 0 ,985 0 ,888 0 ,810 0 ,746 0 ,693 0 ,647 17 ,47 11 ,01 8 ,1 69 6 , 560 5 ,501 4 , 746 4 ,179 3 ,736 3 ,38! 3 ,090

0,3

0 ,8 92 0 ,813 0 ,755 0 ,709 0 , 672 0 , 640 0 , 61 2 0 , 588 0 ,566 0, 547 1 ,3 61 1 ,078 0 ,911 0 ,798 0 , 714 0 ,648 0 , 595 0 ,551 0 , 514 0 ,481 9 , 470 6 ,13 6 4 ,642 3 , 767 3 ,18 2 2 , 762 2 ,443 2 ,193 1 ,992 1 ,8 26

0,4 0,5 0 ,6

о ' 777 1 о' 715 0 , 668 0 , 631 0 , 600 0 , 574 0, 550 о ,53 0 0, 51 2 ! 0 ,495 1 ,016 0 ,8 20 О, 701 0 , 618 0, 557 0 ,509 0, 469 0 , 436 о ' 408 о ,383 6 , 070 4 ,009 3 , 067 2 ,506 2 ,1 29 1 ,8 55 1 ,64711 ,48 2 1 ,3 49 1 , 23 9 1 0 , 692 0 ,642 0 ,603 0 , 572 0 , 545 0 ,523 0 , 503 0 ,48 5 0 , 469 0 , 455 0 ,8 02 0 , 656 0 ,566 0 ,503 0 , 455 0 , 41 7 0 ,38 6 0 ,3 59 0 ,33 7 0 ,318 4 , 268 2 ,8 59 2 , 205 1 ,81 2 1 ,545 1 ,3 51 1 ,203 1 ,085 0 , 98 9 0 , 910 1 1 1 1 0 , 627 0 , 58 4 0 , 551 0 ,524 0 , 501 0 , 48 2 0 ,464 0 ,449 1 0, 43 5 0 ,422 0, 656 0 , 543 0 ,472 0 ,421 0 ,383 0 ,3 51 0 ,3 26 0 ,3 05 0 , 28 7 0 ,271 3 , 184 2,1 57 1,674 1 ,38 2 1 , 18311 ,03 7 0 , 925 0 ,835 0 , 764 0 , 704

1

1

,

1

1

1

1

0,7

0 ,575 0 , 538 0 , 509 0 , 48 5 0 , 465 0, 448 0 , 43 2 0 , 419 0 , 406 0 ,3 95 0 , 552 0 ,460 0 , 402 0 ,3 61 0 ,3 29 0 ,3 03 0 , 28 2 0 , 264 0 , 249 0 , 23 5 2 ,478 1 , 694 1 ,3 22 1 ,095 0 , 940 0,8 26 0 , 73 9 0 , 669 0 , 611 0 , 564

0,8

0 , 531 0 , 499 0 , 474 1 0 , 453 0 , 43 5 0 , 41 9 0 , 405 0 ,3 93 0 ,38 2 0 ,3 71 0 ,473 0,3 97 0 ,3 49 0,314 0 , 28 7 0 ,265 0 , 247 0 , 23 2 0 , 219 0 , 207 1 , 988 1 ,3 70 1 , 074 0 ,8 93 0 , 768 0 , 677 0, 606 0 , 549 0 , 503 0 , 464

0,9

0 , 495 0 , 466 0 , 444 0 ,41 2 0 ,3 48 0 ,3 07 1 ,63 6 1 ,134 0 ,8 93

1 ,0

1

1 1 \

1

0 ,425 о , 409 о ,3 95 о ,38 2 о ,3 71 0 ,3 61 0 ,3 51 0 , 277 о , 254 о , 23 5 о , 220 1 о , 207 О,1 95 О,18 5 0 , 744 0 , 642 1 0 ,5661 0 , 507 0 , 461 0 , 422 0 ,3 90 1 i

0 , 464 0 , 438 0 ,418 0 ,401 0 ,386 0 ,3 73 0,3 62 0 ,352 0 ,342 0 ,333 0 ,3 63 0 ,3 09 0, 273 0 , 247 0 , 227 0 , 211 0 ,197 0 ,18 6 О, 175 О, 167 1 ,3 72 0, 957 О , 756 0 , 631 0 , 545 0 , 48 2 0 , 433 0 ,3 93 0 ,3 61 0 ,333 25

Коэффициенты

1

. �

1 ,о

1 ,4

1,2

2 ,4

2,0

1,6

!J-0; !'-ок; !'-:< 2,8

0 , 2 927 0 , 2562 0 , 2727 0 , 2423 0 , 3333 0 , 3 1 80 0 , 30 45 О, 1 0 1 6 0 , 0920 0 , 1 2 95 О , 1 1 37 0 , 1 6 67 0 , 1 5 17 0 , 1 3 96 О, 1 660 0, 231 5 О, 1 932 О, 1 457 0 , 3333 0 , 2 902 0, 2580 0 , 2683 0 , 2507 0 , 2362 0 , 2238 0 , 3036 0 , 2 903 0 , 2786 1 ,2 0 ,1 086 0 ,0 956 0 , 0857 0 ,0779 0 , 1 38 4 0 , 1 26 4 0 , 1 1 67 0 , 1 273 о , 2530 0 , 1 768 0 , 1 47 9 0 , 1 1 20 о ' 1 962 о ,2208 0 , 2 483 0 , 2327 0 ,21 97 о , 2575 0 , 2086 о , 2800 о , 2676 0 ,073 9 0 ,0 930 1 ,4 0 , 08 22 0 , 0673 о , 0997 о ' 1 1 86 о ' 1 078 0 , 1 402 0 , 1 1 75 0 , 101 4 0 , 2020 0 , 1 7 45 0 , 1 55 4 0 , 08 93 0 , 23 1 6 0 , 21 75 0 , 2057 0 , 25 93 0 , 23 97 0 , 1 958 0 , 2 488 1 ,6 0 ,08 10 о ' 1 0 18 0 ,0647 0 ,0591 о , 0867 о , 0 936 о ,0718 0 , 1 1 43 0 ,0 960 0 , 0830 0 ,0732 0 , 1 620 0 , 1 41 9 0 , 1 265 0 , 20 48 0 , 1 932 0 , 1 750 0 , 1 83 4 0 , 2275 0 ,2189 0 , 21 1 5 0 , 0638 2,0 0 ,0568 0, 0794 0 , 051 4 0 , 0 471 0 , 0733 0 ,0681 0 , 0808 0 ,0681 0 , 0 5 90 0 , 0522 0 , 1 1 37 0 , 0 999 0 , 08 93 ��-----,����--�---,-� �--,----��---,-�--,---�����-1 0 , 2034 0 , 1 8 42 0 , 1 743 0 , 1 660 0 , 1 588 0 , 1 962 0 , 1 8 99 2,4 0 ,0521 0 , 0643 0 , 05 95 0 ,0555 0 , 0 466 0 , 038 9 0 , 0 423 0 ,0847 0 ,0606 0 ,0512 0 , 0 445 0 , 03 93 0 , 0746 0 ,0668 0 , 1 727 0 , 1 678 0 , 1 8 44 0 , 1 5 93 О, 1 520 0 , 1 457 0 , 1 781 2,8 0 , 0536 0 , 0 437 0 ,0357 0 , 0 497 0 , 0329 0 ,03 92 0 , 0 465 0 , 0658 0 , 0580 0 , 0521 0 , 0 473 0 ,0 40 1 0 , 03 48 0 , 0309 О , 168 9 О, 1 63 4 О , 1586 О , 1 5 44 О, 1 46 9 О, 1 405 О, 1 3 49 3,2 о , 0 455 о , 0307 о 0374 о 0397 о , 0337 о 0 42 4 о 0283 0 , 0527 0 , 0 466 1 0 : 0 118 0 , 0323 0 , 0281 0 , 0250 0 : 0380 О, 1 560 О, 1 46 9 0 , 1 43 1 О, 1 365 О, 1 307 О, 1 257 о ,151 1 3,6 0 ,0394 0 , 0367 0 , 0325 0 , 0 3 44 0 , 0293 0 , 0268 0 , 0248 0 , 0 433 0 , 0207 0 ,0344 0 , 03 1 3 0 , 0267 0 ,0383 0 , 0233 О, 1 335 0 , 1 45 1 О, 11 · 07 0 , 1 36 9 О, 1276 0 , 1 224 0 , 1 179 4, 0 0 ,0345 0 , 0307 0 , 0286 0 ,0322 0 , 0259 0 , 021 9 0 , 0237 0 , 0362 0 , 0263 0 , 0289 0 , 0 1 96 0 , 0321 0 ,0 1 7 4 0 ,0224 О, 1 357 О, 1 253 О, 1 3 17 О, 1 283 0 , 1 1 52 О, 1 198 0 , 1 1 10 0 ,0305 4, 4 0 , 0254 0 ,0 1 96 0,0286 1 0 ,026 9 0 , 02 1 2 0 , 0231 0 ,0308 0 , 0273 1 0 , 02 46 0 ,022 4 0 , 01 67 0 , 0 1 49 0 , 01 91 0 , 1 275 0 , 1 23 9 О, 1208 0 , 1 1 80 О, 1 088 О, 1 050 О, 1 1 3 1 4,8 0 , 0273 о ,0256 0 , 02 41 0 , 0228 0 , 0 1 77 0 , 01 91 0 , 0207 0 , 0265 0 , 02 1 2 0 , 0235 0 , 0 129 0 , 0 194 0 , 0 1 65 0 , 0 1 45 О, 1 20 4 0 , 1 1 70 0 , 1 1 42 О, 11 1 6 0 , 1 072 O, J032 0 , 0 997 5,2 0 ,02 46 0 , 0206 0 , 0230 0 ,021 7 0 , 0 1 60 0 , 0 1 73 0 , 0 188 0 , 0231 0 ,0205 0 , 0 1 85 1 0 , 0 1 6 9 0 ,01 1 3 0 , 0 1 27 0 ,0 1 45 О , 1 1 41 0 , 1 083 0,1 060 0 , 0 949 0 , 1 109 0 , 0 982 О , 1 01 8 5,6 0 , 0223 0 , 020 9 0 , 0 1 88 0 , 0 1 47 0 , 0158 0 , 0 1 98 0 ,0 1 71 0 , 0203 0 , 01 63 0 , 0 1 00 0 , 0149 0 ,0 1 8 1 0 ,0 1 28 0,01 1 2 О, 1 084 О , 1 030 О, 1 05 4 О, 1 00 9 0 , 0907 0 , 0 936 0 , 0 970 6,0 0 , 0203 0 , 0 1 91 0 , 0 1 72 0 , 01 8 1 0 ,0 1 35 0 , 0 1 57 0 , 0 1 44 0 , 0 180 0 , 0 1 60 0 , 01 32 0 , 01 45 0 , 0089 0 , 0 1 00 0 , 01 1 3 1 ,О

i 1 1 1 1 1 '

-·

26

1 1 1 1 1 1 1

1 1

1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 '

,

Таблиц а 2-а

(тройками сверху вниз) 3 ,2

3,6

4,0

4,8

4,4

5,2

5,6

6,0

0,2303 0,0778 0,2198 0,0724 0,2106 0,2023 0,194810,1881 0,1819 0,1763 0,0843 0,0677 0,0636 0,0600 0,0368 0,0540 0,1299 0,1173 0,1069 0,0983 0,0909 0,0846 0,0791 0,0743 0,213210,0662 0,203810,0616 0,181410,0513 0,175310,0486 0,169710,1646 0,195510,1881 10,0543 0,0715 0,0577 0,0462 0,1000 0,0903 0,0824 0,0758 0,0702 0,0654 0,0612 0,0575 1 0,1990 1 0,19061 0,1831 0,17641 0,17021 0,16471 0,15961 0,1549 0,0619 0,0573 0,0535 0,0502 0,0472 0,0447 0,0424 0,0404 0,0798 0,0722 0,0659 0,0607 0,0562 0,0524 0,0491 0,0461 1 , 1794 1 о, 1725 1 о, 1663 1 о, 1607 1 о, 1556 1 о, 1509 о,1466 0,1870 1 0,0544 0,0505 0,0472 0,0443 0,0417 0,0395 0,0375 0,0357 0,065510,1611 0,059310,0542 0,0499 0,0463 0,0432 0,0404 0,0380 0,15521 0,1500 о,1408· 1 Т!3671 О,1330 0,1676 о,14521 1 0,0405 0,0379 0,0357 0,0337 0,0319 0,0304 0,0290 0,0435 0,0424 0,0388 0,0358 0,0332 0,0310 0,0291 0,0274 0,0468 -' 1 0,14681 0,14171 0,1371 1 0,1329 0,1290 0,1255 0,1222 1 0,1524 10,025410,0242 0,0360 0,0336 0,0315 0,0297 0,0281 0,0267 0,0321 0,0271 0,0252 0,0235 0,0221 j 0,1133 0,0208 0,0353 о'0,0305 140110,0285 0,1213 6 10,122810,119410,1163 0,135110,0294 0,1306 1 0,0268 0,0253 0,0199 0,0239 0,0186 0,0227 0,0174 0,0217 0,0207 0,0278 0,0252 0,0231 0,0214 0,0164 ,129910,125510,121510,117810,114510,111410,108510,1059 о0,0263 0,0247 0,0232 0,0219 0,0208 0,0198 0,0189 0,0181 0,0225 0,0204 0,0188 0,0174 0,0161 0,0151 о ,0142 0,0134 j 10,117310,113610,1103 j 0,1073 0,104510,101910,0995 0,1213 0,0204 0,0193 0,0183 0,0174 0,0166 0,0159 0,0231 0,0216 0,0169 0,0156 0,0144 0,0134 0,0125 0,0118 0,01!1 0,0186 10,0148 10,0986 0,09621' 0,0940 О,0,0205 113810,110210,107010,103910,1011 0,0192 0,0181 0,0171 0,0163 0,0155 0,0142 0,0143 0,0131 0,0122 0,0113 0,0106 0,0100 0,0094 0,0157 09 2 1 о0,0128 ,0891 ,0957 1 0,0140 ,0934 11 оо,0134 о ,104010,0162 о,1о1о10,0154 о,098310,0146 0,107310,0172 0,0183 0,0123 о,0113 0,0104 0,0097 о,0091 о,0086 о,0081 0,0134 ! 0,090910,088710,086710,0848 0,1016 1 0,098610,0958 0,0933 1 0,0165 0,0147 0,0139 0,0132 0,0127 0,0121 0,0116· ,0106 О О0,0966 ,0098 О, 0091 0084 О ,0079 О ,0074 О0,0810 ,0070 О, ,01161О0,0155 1 1 0,0912 1 0,0938 О,08Е6 1 0,0846 1 0,0827 0,0888 ,0141 0,0086 О,0134 0,0080 О,01271О0,0074 ,0121 О0,0069 ,0116 0.0065 О,0111 0,0106 0,0150 О0,0093 0,0052 0,0102 0,0894 1 0,0870 1 0,0848 1 0,08281 0,0809 1, 0,0791 10,0775 0,0920 1 0,0129 0,0122 0,0116 0,0111 о,0106 0,0101 0,0097 0,0137 1 0,0082 0,0076 0,0070 1 0,0066 0,0062 0,0058 0,0055 0,0090 0,0749 0,08331 0,00;01078!210,00,01027931 0,0098 0,0855 \ 0,0113 0,07751 0,00,009475910,0090 0,0879 0,0119 ,012610,0073 00,0080 0,0068 0,0063 0,0059 0,0055 0,0052 0,0049 27

1������� -�

о

о

о

!

�'--�-'----'--�--'--_.с_�----''--��--'---'--�---"-�����---'--��-

.

П р я молинейная эпюра описывается уравнение м

М Ш = М0 ( 1

- е) + Мк�·

Тогда и нтеграл Мора з а п ишется в в иде

А

=

1

_я!_ r 2Е/0 J о

[Мо (! - 6) + Мк�] 6 ( 1 - s);d s [1 + (h* - 1)�]2 1 [ + ( Ф* - 1) 6

Ф иг. 1 0. моментов деленной грузки и

( 47)

•

Эпюры изгибающих от iдейств и я распре­ по треугольнику на­ от дейст ви я концев ых м оментов

В р езул ьтате интегрирования получено

А где обозначено

q/3 (v0M0 + vкМк), = --

(48)

2Е/0

h* (h*2 +h* - 2Ф*) 1 пh* + (h* - 1)3 (h* - Ф*)2

\10 =

2h* - li*Ф* - Ф * (h* - 1)2 (h* -Ф*) ( Ф* -- 1)

Ф*2 lnФ* . ( Ф* - 1)2 h ( * - Ф*) '

vк =

(!�*Ф* + Ф* - 2h*2) lnh* 2Ф* -h* - 1 + (h* - 1)2(h * - Ф*)(Ф* - 1) + (h*-l)�(h* - Ф*)2 Ф* lnФ*

+

)

� (49)

----( Ф* - 1)2(h* -Ф*)2

Коэффициенты v0 и Vн подсчита н ы дл я р анее указанных диапазонов и:;менения h* и Ф*; р езул ьтаты помещены в табл. 3 и За. Способ в ы числения не свя з а н с применением фор мул ( 49) и будет описан ниже. _!_ Подстановка h*=Ф* = 1 в (49) дает vo=V11= , как и должно 12

быть для п р изматического стержня. в ) Эпюра моментов о т треугольной распределенной нагрузки умножается на прямолинейную эпюру (фиг. 10). У р авнение моментов от треугольной нагрузки: т

(

qx (х) = б L

- -1

х2

)

,

Коэффициен ты

х

О, 1

0,2

0,3

'10

0,4

и

'lк

(парами с верху в низ )

0 ,5

0,6

0,7

0,8

Т а б л иц а 3

0,9

1.0

•

0,712 0,590 0,51210,457 0,414 0,380 0,353 0,329 0,309 0,292 0,1 ,1 2,733 1,978 1,577 1,322 1,142 1,008 0,904 0,820 0,752 0,694 0,423 0,374 0,337 0,309 0,286 0,267 0,251 0,236 0,224 0,2 0,496 1,459 1,096 О,894 0,761 0,665 0,593 0,536 0,489 0,450 0,418 0,384 0,332 0,297 0,270 0,249 0,232 0,217 0,205 0,194 0,184 0,3 0,955 0,734 0,607 0,522 0,460 0,412 0,374 0,343 0,317 0,295 0,274 0,247 1 0,226 0,209 0,195 0,184 0,174 О,165 О,157 0,4 1 0,313 10,690 0,539 0,45010,390 0,345 0,311 0,283 0,260 0,241 0,225 0,264 0,233 0,211 О,194 0,180 О,169 О,159 О,151 О,143 137 0,5 0,530 0,418 0,352 0,306 0,272 0,246 0,225 0,207 0,193 О,180 0,228 0,202 0,184 О,170 О,159 0,149 О,141 0,133 О,127 О,121 0,6 0,423 0,337 0,285 0,249 0,223 0,202 0,185 О,171 О,159 0,148 0,200 0,179 0,163 151 О,141 О,133 О,126 0,119 0,114 О,109 0,7 0,348 0,279 0,237 0,208 О,186 О,169 0,155 0,144 0,134 О,125 160 О,146 О,136 О,127 120 1 114 0,108 О,103 0,099 0,8 0,178 0,292 0,236 0,202 0,177 О,159 145 1 133 О,123 О,115 0,108 0,160 О,144 О,132 О,123 О,116 0,109 О,103 0,099 0,094 1 0,090 0,9 0,250 0,203 О,174 О,153 0,138 О,126 О,116 0,107 О,10010,094 О,145 0,131 О,121 0,112 0,106 0,100 0,095 0,091 0,087 0,083 1,0 0,216 0,177 0,152 О,134 0,121 0,111 0,102 0,095 0,088 0,083 29 _о ,

о,

о,

о'

о'

о'

о'

Коэффициенты

�1

h

l ,O

1 •2

1 4 •

1 •6 2 0 • 2 4 • 2 8 •

3 2 • 3,5

4 о . 4,4

4 ,8

5 2 • 5 6 • 5 о .

30 \О

1

.о

1 ,2

1 ,6

1 ,4

2,0

2,4

'10

и

'lк

1

2,8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ., 1 1 ) 1 1 1 1 '1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 . 1 1 1 \ / 8:8т�� 1 8:8т�6 8:8т:� 2:8П� 8:8n� 8:81g� \ 8: 8ь��6. 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

0 , 0771 0 , 0743

0 , 0720 0 , 0673

0 , 0676 0 , 06 1 6

0 , 0605 0 , 0529

0 , 0550 0 , 0464

0 , 0504 0 , 04 1 4

0 , 0665 0 , 0597

0 , 0622 0 , 054 2

0 , 0586 0 , 0497

0 , 0526 0 , 0427

0 , 0479 0 , 0376

0 , 0441 0 , 0336

0 , 0583 0 , 0492

0 , 0547 0 , 0448

0 , 051 6 0 , 04 1 1

0 , 0465 0 , 0355

0 , 0424 0 , 02 1 2

0 , 0391 0 , 0280

0 , 05 1 8 0 , 04 1 5

0 , 0487 0 , 0378

0 , 0460 0 , 0348

0 , 04 1 5 0 , 0300

0 , 0380 0 , 0265

0 , 0350 0 , 0238

0 , 0450 0 , 0342

0 , 04 2 1 0 , 0309

0 , 0397 0 , 0282

0 , 0376 0 , 0260

0 , 0341 0 , 0226

0 , 03 1 2 0 , 0200

0 , 0289 0 , 0 1 79

0 , 0375 0 , 0266

0 , 0352 0 , 024 1

0 , 0333 0 , 0220

0 , 03 1 6 0 , 0203

0 , 0287 0 , 0 1 77

0 , 0264 0 , 0 1 57

0 , 0245 0,0141

0 , 0320 0 ,0214

0 , 030 1 0 , 0 1 94

0 , 0285 0 , 0 1 78

0 , 0271 0 , 0 1 64

0 , 0247 0 , 0 1 43

0 , 0228 0 , 0 1 27

0 , 021 2 0 , 01 1 5

0 , 0244 0 , 0148

0 , 0230 0 , 0 1 35

0 , 02 1 8 0 , 0 1 24

0 , 0208 0 ,01 1 5

0 , 0 1 91 0 , 0 1 00

0 , 0 1 77 0 , 00896

0 , 0 1 65 0 , 008 1 0

0 , 02 1 7 0 , 0 1 26

0 , 0205 0 , 01 1 5

0 , 0 1 95 0 , 01 06

0 , 0 1 86 0 , 00983

0 , 0 1 70 0 , 00862

0 , 01 58 0 , 00770

0 , 0 1 48 0 , 00697

0 , 0 1 94 0 , 0 1 09

0 , 0 1 84 0 , 00996

0 , 0 1 75 0 , 009 1 8

0 , 01 67 0 , 00852

0 , 0 1 54 0 , 00749

0 , 01 43 0 , 00670

0 , 0 1 33 0 , 00607

0 , 0 1 75 о . 00955

0 , 0 1 66 о . 00872

0 , 01 58 о . 00804

0 , 0 1 51 о . 007 48

0 , 0 1 39 о . 00658

0 , 0 1 30 о . 00589

0 , 01 2 1 о . 00534

0 , 0 1 59 0 , 00843

0,0151 0 , 00770

0 , 0 1 44 0 , 0071 1

0 , 0 1 38 О , ООЕ62

0 , 0 1 27 0 , 00583

0 , 01 1 8 0 , 00522

0 , 01 1 1 0 , 00474

0 , 0 1 46 0 , 00750

0 , 0 1 38 0 , 00686

0 , 0 1 32 0 , 00634

0 , 0 1 26 0 , 00590

0 ,0 1 1 7 0 , 00520

0 , 0 1 09 0 , 00467

0 , 0 1 02 0 , 00424

0 , 0 1 34 0 , 00673

0 , 01 27 0 , 006 1 6

0 , 0 1 22 0 , 00569

0 ,01 1 6 0 , 00530

0 , 0 1 08 0 , 00468

0 , 0 1 00 0 , 00420

0 , 00944 0 , 00382

0 , 0 831 0 , 0831

0 , 07 1 5 0 , 0665

0 , 0626 0 , 0548 0 , 0555 0 , 0461

.

t а б л и ц а За (парами сверху вниз)

0 , 0467 0 , 0374 0 , 0409 0 , 0304 0 , 0363 0 , 0253 0 , 0326 0 , 02 1 6 0 , 0270 0 , 01 63 0 , 0229 0 , 0 1 29 0 , 0 1 98 0 , 01 05 0 , 0 1 74 0 , 00873 0 , 0 1 55 0 , 00740 0 , 0 1 39 0 , 00638 0 , 0 1 25 0 , 00556 0 ,01 1 4 0 , 00489 0 , 0 1 05 0 , 00435 0 , 00963 0 , 00389 0 , 00891 0 , 00351

1 1 1 1 1 1 1 1 j 1

3,2

1 1 1 1 1 1 1

3,6

0 , 0435 0 , 0341 0 , 0381 0 , 0278 0 , 0339 0 , 0232 0 , 0305 0 , 0 1 98 0 , 0253 0 , 0 1 50 0 ,0215 0 , 01 1 8

1 1 1 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1

4,0

4 ,4

0 , 0408 0 , 03 1 4

0 , 0384 0 , 0291

0 , 0358 0 , 0256 0 , 03 1 9 0,0214 0 , 0287 0 , 0 1 82 0 , 0238 0 , 0 1 38 0 , 0203 0 , 0 1 09

0 , 0 1 87 0 , 00964

0 , 0 1 76 0 , 00893

0 , 0 1 64 0 , 00804

0 , 0 1 55 0 , 00745

0 , 0 1 46 0 , 00683 0 , 01 31 0 , 00588

О , 01 1 9

0 , 005 1 3

0 , 0 1 08 0 , 00452 0 , 00991 0 , 00402 0 , 009 1 3 0 , 00360 0 , 00845 0 , 00324

0 , 01 38 0 , 00633 0 , 0 1 24 0 , 00546 0,01 1 3 0 , 00477 0 , 0 1 03 0 , 00420 0 , 00942 0 , 00374 0 , 00868 0 , 00335

0 , 00804 0 , 00302

1 1 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1

0 , 0337 0 , 0237 0 , 030 1 0 , 0 1 98 0 , 0271 0 , 0 1 69 0 , 0226 0 , 0 1 29 0 , 0 1 93 0 , 0 1 02 0 ,0167 0 , 00832 0 , 01 47 0 , 00695 0 ,0131 0 , 0059 1 0 , 01 1 8 0 , 005 1 0

О , 0 1 07 0 , 00446 0 , 00979 0 , 00393 0 , 00898 0 , 00350 0 , 00828 0 , 003 1 4 0 , 00767 0 , 00283

1 1

1 1 1 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1

5,2

4,8

0 , 0363 0 , 0271 0 , 031 9 0 , 0221 0 ,0285 0 , 01 85 0 , 0257 0 , 0 1 58 0 , 02 1 4 0 , 0 1 20 0 , 0 1 83 0 , 00954 0 , 0 1 59 0 , 00780 0 , 01 4 1 0 , 00652 0 , 0 1 25 0 , 00555 0 , 01 1 3 0 , 0 )479 0 , 0 1 02 0 , 004 1 9 0 , 00935 0 , 00369 0 . 00859 0 , 00329 0 , 00793 0 , 00295 0 , 00735 0 , 00266

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 , 0344 0 , 0254 0 , 0303 0 , 0207 0 , 0271 0 , 0 1 74 0 , 0245 0 , 0 1 48 0 , 0204 0 , 01 1 3 0 , 01 75 0 , 00897 о 0 1 52 0 , 00734 0 , 0 1 34 0 , 006 1 4 0 , 0 1 20 0 , 00523 0 , 0 1 08 0 , 0045 1

5,6

1 1 1 1 1 j 1 1 1 j

1

0 , 0328 0 , 0238 0 , 0289 0 , 0 1 95 0 , 0258 0 , 0 1 64 0 , 0233 0 , 0 1 40 0 , 0 1 95 0 , 0 1 07 0 ,01ы 0 , 00847 0 , 0 1 46 0 , 00693 0 , 0 1 29 0 , 00580 0 , 01 1 5 0 , 00494 0 , 0 104 0 , 00427

0 , 00941 О , 0098 1 0 , 00395 1 0 , 00374 0 , 00896 0 , 00349 0 , 00824 0 , 003 1 0 0 , 00760 0 , 00278

0 , 00705 0 , 00252

1 1 1 1

0 , 00861 0 , 00330 0 , 00791 0 , 00294 0 , 00731 0 , 00264 0 , 00678 0 , 00238

6,0

1 1 1 1 1 1 1 j 1 1 1 1 1 1 1

0 , 03 1 3 0 , 0225 .

0 , 0276 0 , 01 84 0 , 0247 0 , 0 1 55 0 , 0223 0 , 0 1 32 0 , 01 87 0 , 01 01 0 , 0 1 60 0 , 00802 0 , 0 1 40 0 , 00657 0 , 0 1 24 0 , 00550 0 , 01 1 0 0 , 00469 0 , 00996 0 , 00405 0 , 00905 0 , 00355 0 , 00828 0 , 003 1 3 0 , 00762 0 , 00279 0 , 00704 0 , 00251

0 , 00653 0 , 00227 31

или, относительной безразмерной а бсциссы, 11l (�)

=

1

- ql 2� (1 - �2). 6

П ря моли нейная эпюра описывается ур авнением

Тогда интеграл Мора запишется в виде

А-� 6EJ0

5 1

о

- 5) + м";1 5 ( 1 - 1;2) d s l [ 1 + (h * - l ) S ] 2 [ 1 + (Ф* - ) S ]

[Mo ( I

(50)

Анал итическое вычисление интеграла ( 50) приводило к весьма гром оздк и м , трудно подда ющимся ·п роверке результата м . Поэтому б ы л о решено произвести вы числение этого и нтеграла численным методом для значений h * и Ф* в указанных ранее диапазонах. Резул ьтат выч исления интеграла (50) можно п редста вить по а налогии с (48) в виде

А=

qZ

З

--

6E J0

()(0М0

+

х"М").

(5 1 )

Сопоставление ( 5 1 ) с ( 50) показы вает, что 1

Хо

=

S

о

1

)( " =

5 о

( 1 - Е) ( 1 - Е 2) ds 5 -'--=_(_ * l __(- -'-( l+ --'(*"--�] -t- h _ 1 ) -'S )2 - 1) e 2 ( 1 - 5 2) dl; _ +_( Ф_ * __l_] · '' -1 -1;_ ---(-'s) ] 2_[_ 1 [1 + h _ ) __

1

(52)

}

С точки зрения удобства п рогр а м м и рования п р едпочтитель­ н е й оказалась форм а записи закона изменения жесткости ( 16'") . Поэто м у и нтегралы ( 52) были п редста влены в виде

s 1

)(

где

32

[=: 1 - �-

о

=

о

-

5 Е 2 ( 1+ 5 ) d; ([ + h* s) 2 (5 + Ф'' s )

1

(52' )

Аналогично коэффициенты формулы могут б ыть п редставлены в виде

(48)

согласнd (47)

1

!

( 49 ')

Вычисление интегралов ( 4 9' ) и ( 52') производилось по спо­ собу трапеций с постоя н н ы м ша гом Лs = О ,05; п рогра м м а вычис­ лений осуществлялась на м а ш и�не Урал-2; результаты в ыч ислени я ut VL коэф. х помещены в табл. 4 и 4а, при использовании которой необхор димо помнить, что начальное сече - h0;r/J" I0-1м-т-т+n-r-rтт-r-т....,...,..1 hк ; Фк ние с тержня должно совпадать с точкой нулевой интенсивности н а ­ грузки; для отыскания промежуточ­ ных значений рекомендуется п р име­ нять квадратичную интерпол яцию. м" ....._...._,_..,_�...u..'-'-'..J...J...u Мк П р иведенные выше формул ы и таблицы позвол яют произ водить в ы ­ Ф иг. 1 1 . Эпюры изгибающих числение и нтеграла М о р а в с а м ы х моментов от действия сосредо­ различных случаях н а грузки, ос­ то•1енной ;енлы и концевых моментов новные из которых р а з б и р а ются ниже. г) Пролетная нагрузка в виде сосредоточенных сил и момен­ тов. В этом случае эп юра м о ментов - ломаная л иния. Что б ы перемножить ее с пря молиней ной эпюрой, пролет б а л к и должен быть разбит на участки с гра ница м и в местах изломов или скач­ ков ломаной эпюры. Р ассм атривая каждый такой участок к а к отдел ьный стержень со сво и м и з н а ч е н и я м и fo, h * и ф * ( з а начало можно принимать л ю бой и з концо в ) и пр именяя форм улу ( 45) , следует з а те м просум м и ровать получен ные величи н ы интегралов по всем участк а м . Таким же путем в случае необходи мости ломаная эпюра может быть ум ножена с а м а на себя или н а другую лом а ную эпюру. В качестве примера пр иводится один из н а и более часто встречающихся случ аев - сосредоточенная сила в п ролете ш а р ­ нир но-опертого стерж.н я ( фиг. 1 1 ) . В точке п р иложения силы ти

=

1

Pluv; М и M 0v + Мкu ; hu = h0v + hкu = h0 (v + h*u); Фи = Ф0v + Фкu = Ф0 (v + Ф * u); + (h [ l !и = /0 *- 1 ) и] 2 [ 1 + ( Ф * - 1 ) и] = 10 (v + h* u)2 (v +Ф*u) . 1 =

3

Труды института. Вып.

1

(65)

1 (53)

33

Для обоих и ме ющихся участков ul и vl в качестве начальной точки удобно п р и нять точку п р иложения силы. Тогда для участка ul:

(54) 2 соответствует тройка и и. и 110; !101+----

. -----

----�-

(

UJ

110 ;

U'::CO l. LJ

7

Фi!r. а)

1 3.

6) К

схема консгрукции, размеры в сы. U J э п юры изгиба ющих м о м с н 1 ов в осно вной системе и резул ы ирующа н

р а счету

полукозлового

;1вухбалоч ного

крана:

Все стержни конструкции - коробчатого сечения, типа, изо­ бражен,ного на фиг. 3, а ; обозначения размеров сечений - также согл асно фиг. 3, а, численные величины указа н ы н иже. Расчет п р оводится ·по уп рощенной схем е : а ) не учитывается п ростра нственная п р отяженность уз.'!оВ сопряжения стержней; б ) не учитывается угловое отклонение п родол ьных централь­ ных осей п р олетных балок от горизонтальной плоскости; то ж е

39

относительно отклонения осей стержней ноги из вертикальной плоскости, п р оходящей через подк р а новый рел ьс; в ) не учитывается небол ьшое м оментное взаимовлияние ниж­ них концов стержней ноги и связывающей их затяжки, а также эксцентриситет ходовых колес. П р и этих п р едпосылках р а счет сводится к рассмотрению один р а з статически неопределимой п р я моугол ьной Г-образной р а м ы . В ка честве л и шнего неизвестного п р ин и м а ется боковой распор Х. Рассматривается полови н а конструкции с воздействующей н а н е е силой Р/2. Э п ю р ы изгибающих моментов в основной системе от единич­ ного распора и от внешней н а грузки изображены н а фиг. 1 3, 6. В ыч исля ются основные геометрические х а р а кте ристики сече­ н и й п ролетной балки ( с м . ( 1 1 ) , ( 1 2) , ( 1 4) .

Сечение 1 .

h = 1 5,0 с.м; Ь

=

30,0 см; оп=0,8 см; ос = 0,8 см;

h1 = 1 5,0 - 3 · 0,8 = 1 2 ,6 см; f = l 2 , 6 - 0,8 = 1 0, l см2; F = 30, О - 0,8 = 24, О см2; Ф = 10, 1 + 6 · 24,0 = 1 54 , 1 см2; 1

1 5 02 • 12

=

- 1 54 , 1

=

2890 см4•

Сечение I I I .

h = 70,0 см; остальные размеры т е же. h1 = 70,0 - 3 · 0,8 = 67,6 см; f = 67,6 · 0,8 == 54, l с м2; Ф = 54, 1 + 6 · 24,0 = 1 98 , 1 см2•

За н ачало п ролетной балки п р и н и м ается сечен ие I. Тогда согл асно ( 1 7) относител ьные величины равны 7о , о 4 67· Ф* �� = 1 284· h* ' ' 1 54 , 1 ' ' 1 5 ,0 =

=

=

для этих з начений по табл. 2а на йдено µн = О ,0236. Дальнейшие обоз;н ачения соответствуют п р иняты м на фнг. 1 1 и в ( 53 ) ; в данном случае u = v = 0,5 . Согласно (54) 1 hи* 0,353; - О,5 + 4 ,67 - 0 , 5 1 ф. � = о ' 876 · и ' o ,5 + 1 , 2s4 . o , 5 для этих вел и ч и н по табл. 2 н а йдено µ � = 0,540. С огл асно (55) =

-

h: 40

ф�

4 ,67 . 0,353 1 ,65; 1 ,284 · 0,876 = 1 , 1 25;

=

=

=

д.'!я этих значений п о табл .

f-Lg

=

2а

0,249;

н айдено

!J-gк

=

0,0933.

Аналогичные расчеты п р оизводятся для стержня ноги. Сечение IV.

h = 80,0 см; Ь

Сечение V.

h = 20,0 см; Ь

=

60,0 см; оп

=

0,8 см; ос 1 ,0 см; h1 = 80,0 - 3 - 0,8 = 77,6 см; f = 77,6 - 1 ,0 = 77,6 см2; F = 60 - 0,8 = 48 ,0 см2; Ф = 77,6 + 6 - 48,0 = 365,6 см2• =

1 5,0 см;

=

тоJiщины те

же .

h1 = 20,0 - 3 · 0,8 = 17,6 см; f = 17,6 - 1 ,0 F = 1 5,0 - 0,8 1

=

=

1 2,0 с.м2;

Ф

=

=

1 7,6 см2;

1 7,6 + 6 - 1 2,0 = 89,6 см2 '

20 02 - 89,6 = 2990 с.м4• 12

' -

З а начало стержня п р и н и м а ется сечение V. Тогда согл асно ( 1 7)

h* = 80 ,q_ 20 , О

=

4 ' О '· Ф *

=

365 ,6 4 08 · = ' 89 ,6

'

по табл . 2а найдено µн = О ,0 1 29. В ыч исля ются перемещеаия в основной системе; п р и этом используются формул ы ( 45) и ( 56') :

650 1000 4 1 25 й11 = Е - 2890 · 6002 - 0,0236 + Е - 2990 - 6502 - 0 ' 0 1 29 Е ' 1 - - Р - 10002 2 . д 1Р [600 ( 0 ' 540 + о 2 49)+ 2Е - 2890 ( 1 + 4 ,67)2 · (1 + 1 , 284) р + 2 - 600 · 0,0933j = - 690 · Е •

�

=

= -

'

.

Распор р а вен Х

Л 1р

= -

-�

_ 690 -

4125 Р = O, I67P;

умножение эпюры o r еди нич н ого распора на полученную вел и­ ч и-ну и сум м ирование с нагрузочной эпюрой дает результирую­ щую эпюру моментов ( фиг. 1 3, 6) . Следует отметить, что о п ределение м омента соп ротивления л юбого сечения, необходимое для п р оверки п р оч ности, п р оизво41

дится весьма п росто, поскольку и меется следующая з а висимость (см . 16'" ) :

2/0 (� + h*6)2 (f + Ф''�) I I0 o , 5h (6 ) ho (s + h* ·�) � (f + h*6) (f +Ф*6) = W0 (f + h* 6) (� + Ф*�). ho W (�)

=

К

=

_

_

РАСЧ ЕТУ СТЕРЖН ЕВЫХ СИСТЕМ М ЕТОДОМ П ЕР ЕМЕЩЕН И И

К а к известно, дл я расчета р а м м етодом перемещений необ­ ходимо и м еть формул ы для концевых реакций в одноп ролетных б ал ках, вызванных различными ти­ п а м и п ролетных н а гр узок и переме­ щений КОНЦОВ. Такие формулы м огут быть по­ лучены с помощью уравнений ме­ тода н ачальных п а р а м етров ( 37 ) -7-7- ( 40) , однако в данном случае про­ ще воспол ьзоваться методом сил с п р им енением зависимостей ( 45) б) и т. п . Применяемое п р авило знаков z) дл я н а п ра вления м о ментов и углов поворота соответствует общеприня­ Ф иг. 14. К вы воду формул тому в м етоде перемещений. одиопролет ной дл я реакций а ) Концы з ащемленной б ал ки нной балки: з ащемле п олучают угловые и относител ьное а ) схема реакций и перемещений концов балки, 6) эпюра изгибаю· вертикальное смещения ( фиг. 1 4,а) . щих моментов, в), г) - эпюры изгибающих моментов в основной За1меняя отброшенные защемля­ системе от действия един и ч ны х ющие опоры концевы м и мом ента м и опорных моментов М0 и M i; и у м ножая э п ю р у ф и г . 1 4,б на эпюры моментов от единичных положительных концевых м о · м ентов ( фиг. 1 4, в , г) , с п о м ощью ( 45) м о ж н о з а писать

откуда

Е /0 l

- ,

•

-

Мк 42

=

аоf'-о к

+

aкflo -'} (!'·о + /J.ок)

6

fJ.o fLк - f1 к

.

Elo l

.

)1

!

( 58 )

Вертикальные реа кции опор р а в н ы Rк - - Rо _ Мо + Мк

_

ао

(fLк

+ Р·ок ) +

а

l

-

-

к (Р·о + /lок) - о/ (fLo+ f'·IC +

fLo:J.к - f'- 5к

21;0")

.

Е[2/0

-

.

(59)

б) З а щемленная по обоим конца м балка за гружена равно­ мерно-распределенной по всему п р олету н агрузкой. Для раскрытия статической неоп р едели мости п р ин и м ается основная систе м а в виде ша р н и р н о-опертой балки. Коэффици­ енты систе м ы ка нонических уравнений метода сил получаются путем перемножения эпюр моментов ф иг. 1 4, в, г и ф и г. 9: о22 Д

Iq

·

q/3

- -- v

2E I0

-

l

E fo

-

гк '

fL .

°'

Система уравнений относител ьно неизвестных опорн ы х моментов после ум ножения всех членов на Elo п р и н и м ает вид

откуда

Мо = - Vo/lк + 'l кf!ок

5

/l·oi!·к - /J. к

М = "кfLo - VofJ.oк к fJ.o :J·к - /J.5к

ql

2

2

2 ql

2

'

1

f

(60 )

1

}

ЛiОвая опор ная реакция равна R

о

=

!!}_

2

_

Мо + Мк l

=

[

!!}_ 1

2

_

Vкf'o - '1о:1·к + ('1к - "о ) :1 ок

fLof!·к - f'-о к 2

]

•

(61 )

Правая опор ная реакция

� = � - �·

��

в) За щемленная по обоим конца м балка загружена тре­ угольной расп ределен ной по всей дл ине н а грузкой. Нулевая интенсивность соответствует, как и п р ежде, концу балки с жесткостью Elo.

43

Сопоста вление ф о р м ул ( 48) и ( 5 1 ) показывает, что р асчет­ ные фор мул ы в данном случ ае м огут быть сразу записаны н а основ а н и и (60) и ( 6 1 ) с за меной v o и V к н а Хо и Х1;, а также .!!.!_ на _!!!._ : 2

6

( 63)

(64) п ра вая реакция

ql

Rк = z- - Ro ·

(65 )

г ) З а щемленная п о обоим концам балка за гружена сосредо­ точенной силой Р, ра сположенной на расстоян и и ul от конца балки с жесткостью Elo. Раскрытие статической нео п ределимости п роизводится путем, изложе н н ы м в п. 6. Грузовые перемещен и я здесь оказываются р а в н ы м и ( с м . ( 56) : Р l2uv

[

д 1 = -- v (UfJ- o + v11-ov) + UfL o к] ; р E lu

д2р -

[2uv

P - ----Ыи

и

и

[и (Иfl- o + viiv) + v1-1окv } o и

•

j

(66)

после чего м огут быть н а йдены реактивные м о менты : Мо = Мк =

- Л1рР·к + Л2рР.ок Р.о!Lк - Р.ок 2

Л2рР.о - Л1рl'-ок

44

=

Pv - Мо+ Мк ,. Rк l

( 67)

j

Р·оР.к - р" gк

и вертикал ьные р еа кции о по р :

Rо

;1

=

р-

Rо ·

д) Аналоги1ш ым nyteм могут быть млуlfеньt форму.11 ьt опор­ ных моментов и р е tl кций для одноп р олетных балок, у котор ы х одна из о п о р защемлен а , а другая ш а рн и р но-оперта. Так, н а п р и мер, для случая р а в номерно-распределенной нагрузки на балке с левым з а щемлен н ы м концо м

011

= Л

lq

l --

Elo

[ q З

- -- v -

отсюда

М0

-

-

012 = 622 = О ,·

•t0 "

г '

-

2Elo

Л1q

6 11

·

О•

-

-

� 11о

•

ql2

•

2

Таким же образом читател ь без труда сможет получить в се необходимые фор мулы и в других случаях нагрузки. В заключение следует отметить, что п р и необходимости массовых расчетов ра м ных систем по методу перемещений целе­ сооб р азно упростить расчетные формулы для концевых моментов и реа кций. Так, напри,мер, (58) можно переп исать в виде

/ :

Мо = [ еtоХк + 11кХок - IJl(Xк + Хок) ] • Е о

мк

=

-

f схоХок +

11кХо - ·Нхо + Х ок)]

.

Е

;j

о .

(58')

С м ы сл новых коэффициентов Хо, Х1> и Хо" ясен из сра внения с ( 58) , а т а блицу их численных значений следует получить пу­ тем соответственных пересчетов данных табл. 2 и 2 а . Таким же путем можно уп ростить и другие формулы. Л ИТЕРАТУРА 1 . М и к е л а д з е Ш . Е. Некоторые задач11 строительной механики. ОГИ3, Гостехиздат, М.-Л., 1 948. 2. У м а н с к и й А. А. С пециальный кур с строительной механики, ч. I. ОНТИ, M.-Jl , 1 935. 3. Ш а в о л о в С. Е. Расчет рам, имеющих элементы с непреры в но изме­ няющимся поперечным сечением. Труды Л енинградского технологического ин-та. М.-Л ., Гослесбумиздат, вып. 5, 1 958. 4. Ш а в о л о в С. Е. К расчету балок и р а м с элементами, осевой момент инерции поперечного сечени я которых изменяетс я по закон у прямой. Труды Ленинградского технологического ин-та, вып. 7, 1 959. 5. Kryпicki Е., Ma zurkiewicz Z . Устойчивость и изгиб решетчатых сос�:ав­ ных стержней переменной жесткости, B н l l . de Lacademie Polonaise d e s sc1en ­ ces. Serie des �cieпces techпiques, vol. XI, No 1 2, ! 963 . 6. Kryпicki Е., M a z u rkiewicz Z. Устойчивость и изгиб рам, составленных из стержней переменного сечения. B u l l . de L'academie Poloпaise des sciences. Serie des scieпces tec h n i q u es, vol. XI, No l 1 , 1 96:-1 7. Fertis D. G" Zobel Е. С. Эквив алентные с11стемы для прогибов стерж45

ней переменной Жесткости.

№ 6, 1 958. 8. Mittelstaedt

Jo11rnal of the Structura\ Division, Proc. ASCE, 84,

Ю. Определен ие деформаци й бал ок с р авномерным изме­ н ением момент а и нерции. «Stal1lbau», 3 1 , № 3, 1 962. 9. С е х н и а ш в и л и Э. А. Об определении прогибо в, изгибающ их мо­ м ентов и перерезывающих сиJ; длн изгибаемых элементов переменной жестко­ сти. Сообщение АН ГрузССР, 29, № 1, 1 962. 1 0. Б е н е н с о н И. И. Практически й метод расчета балок переменного сечения. Труды ВНИИПТМАШ, в ып. 2 (44 ) , 1 964. 1 1 . Cliaroп Р. Le calcul pгatique des coпstructioпs а i nertie variaЫe. Theorie et a p p l ications. Paris, Eyro l les, 1 96 1 . 1 2. Gere J., C a rter W. Критические силы дл я колон н переменного Jошп а l o f the Structural Division, Proc. ASCE, 88, № 2, 1 962.

сечения.

Инж. f(ОНЦЕВОй Е. М., РОЗЕНШЕйН Б. М.

И С СЛ ЕДО В А Н И Е КО Н Ц Е Н Т РА Ц И И Н А ПРЯ Ж Е Н И Й В ГЛ А В Н Ы Х БАЛ КАХ МОСТО В Ы Х К РА Н О В

В В ЕДЕН И Е Настоящая статья я вляется п родол жением и развитием исследования н а п р яженного состояния вертикальной стенки коробчатой балки в м есте резкого изменения ее высоты (пр и ме­ нител ьно к опорному узлу гл авной балки м остового крана ) . В ранее опубликован ной н а м и статье [ ! ] для определен ного соот­ ношения h/H (h и Н - соответственно высота балки в опорном сечении и в средней части п ролета ) м етодом фотоупругости была уста новлена ка ртина расп ределения н а п ряжений в стен ке в указанном р а йоне. Были п олучены з а виси м ости коэффициента концент р а ции напряжений от радиуса скругления ( R ) , фор м ы перехода балки от одной высоты к другой ( а) и отношения площади нижнего пояса к площади вертикальнои стенки - .

"

(FFнпст )

П р и этом изучению подвергались модел и балок с сим метр и ч н ы м попереч н ы м сечением т и п а двута в р . Н г основании этого иссле­ дования удалось выявить более выгодную форму перехода и рекомендовать целесообразный с точки зрения у м еньшения концентр ации н а п ряжений радиус скругления. Однако получен­ ные резул ьтаты огра ничены р а м к а м и оп ределен·н ых соотношений : h;H

=-=

0 ,274

=

const, F,шfРст

=

О -;- 0,87 и r/h

=

0,583

=

const.

Целью описы ваемого исследования явил ось более детальное изучение вли я н и я на напряженное состояние стенки геометриче­ ских характеристик поперечного сечения опорной части б ал к и : а) изменение отношения h/H = 0,25-;-О,55; б) изменение в ел и ч и н ы Fнп/.Fст в п р еделах от 1 ,0 до 1 ,7 ;

47

в) несимметричноёти поперечного сечени я б алки (наличие 11еодинаковых по площади нижнего и верхнего поясов) . И сследование проводилось методом фотоупругости на поля­ ризационно-о·п тической установке. 1.

М ЕТОДИ КА ИССЛ ЕДО ВА Н ИЯ . О П И СА Н И Е О БРА З ЦОВ

В н а стоящей ра боте м етодика экспери мента цел иком исполь­ зует положени е р а нее п роведенного исследования [ \ ], где подроб н ы м образо м р а зо б р а ны вопросы выбора м етода и ссле­ дования, теор и и подобия и техники п роведения ра бот. Поэтомv здесь опущено описание этих вопросов. с

200 точна сап яжени11

"

"

С(

335

с-с

Ф и r. 1 . Схема наг руже­ ни я образцо в

О бразцы м оделей балок вы пол нялись из эпоксидной смолы отл ивки блоков р а з м е р а м и 390Х250Х50 мм с после­ дующей механи ческой обработкой. Бла года р я специально р азра­ бота нной технологии по обра ботке м атериала ЭД6-М, п р и мени­ тельно к конкрет н ы м условиям, удалось изготовить обр азцы в строгом соответствии с техническими требованиями. О собое в н и м а ние п р и этом уделялось точности и ка чественному выпол­ нению моделей в зоне перехода . Так, действительные размеры тол щины стенки отступали от заданных (6 мм) не более чем на 0,1 мм. В сего было изготовлено ш есть, так н азываемых, базовых м оделей ( ф иг. 1) : три и з них и мели угол перехода а = 90° ( серия А) п р и различных отношениях h/H = 0,25; 0,4; 0,55, остальные модел и (серия В) отличались только углом перехода

ЭД-6 путем

48

а = 1 356. Все м одели

и мели· один аковый р адиус скругления, соответствующий в м асштабе 1 : 20 р адиусу н а турной балки мостового крана. В оо бще же геометрические соотношения м оде­ лей выбраны н а основе анализа п рименяемых н а заводе «Сиб­ тяжмаш» сечений концевых ч а стей гл авных балок. В п р оцессе эксперимента, последовательны м снятие•м поясов, были получены м одели с р азли ч н ы м и соотношениями Fнп/F ст = = 1 ,0-7- 1 ,70. Действител ьные р аз м е р ы м оделей и соотношение между элемента м и п р едставлены в таблице 1 . Для удобства наименования м оделей в таблице 1 и в дальнейшем п р и н ята следующая систе м а и ндексации. Серия м оделей с углом пере­ хода 90° обозн ачается буквой А, а модел и с угло м пере­ хода 1 35° В . После буквенного обозначения следуют два номер а. Первый из н и х п р едста вляет собой высоту широкой части балки в мм, второй - номер модификации. Перед началом испыта н ия б ыла -п роведе н а та рировка м ате­ р иала м оделей и поперечного экстензомет р а . В резул ьтате т а р и ­ ровки уста новлено: цена полосы м атер и а л а : "( 1 ,OJ 9 55 кг/см 2/на 1 см толщины/ ; -

=

't(IJ

=

, 1 5,95 � 1 6

кг/см 2 /при толщине

6

мм/ ;

цен а деления экстензометр а : aU>

=

12

кг/см 2 •

Нагружение м оделей осуществлялось по схеме двухопорной балки ( фиг. 1 ) . Нагрузка, в виде сосредоточенной силы, п рикл а ­ дывалась н а р а сстоя н и и 200 м м от левой опор ы . В ел и ч и н а н агрузки подби р алась в з а висим ости от момента и нерции узкой части балки и в а р ьировалась от 80 кг до 400 кг. П р и з а мере сумм ы гл а в н ы х н а п р яжен и й она у меньшалась в два раза по сравнению с н а грузкой, при которой з а р исовывал ась картина полос. В дальнейшем, на картине полос, п р и указании н агрузки Р, следует поним ать как внешнюю н а грузку, п риложенную согл а сно фиг. 1 . В отличие от р а боты [ ! ], где для п олучения и зокли н и споль­ зовались м одели из органического стекл а , здесь изокл и н ы снимались с м оделей из эпоксидной смолы , ч то снижало о ш и б к и возникавшие в результате н а л и ч и я некоторого несоответстви я в геометрии м оделей из эпоксидной смолы и органического стекла. Ф иксация картины ·полос и изокл и н производилась непосред­ ственной за рисовкой ·с экрана с пятикратным увел ичением. П р и этом за положительное н а п р а вление угл а е ( п а раметра изокл и н ы ) п р и н и м алось в ращение против ч а совой стрелки с н ачалом отсчета от гор изонтал и.

4

Труды института . Вып.

1

(65)

49

Действительн ые размеры моделей

h, ЛIМ

И нд�кс моде л и

Н.

ь , . лш

м,11

ь, .

мм

f, М,\1

1 20.О 45, 0 45, 0 А. 75. О А. 54. О 45, 0 i

1 35, 1 90, 1 69, 6

45 ,00 1 50, 1 0 50, 1 0 45, 05 50 , 1 8 45, 00

5 , 99 5 , 97 6, 1 0

75. 1 А. 54. 1

42, 75 42, 75

87, 90 67, 45

33, 70 32, 95

42, 65 41 , 90

5 , 97 6 , 10

75. 2 54. 2

41 , 1 6 41 ,О!

86 ,31 65 ,71

25, 50 25 ,50

36 , 1 0 36 , 00

Л.7 5. 3 54. 3

39 ,40 39, 25

84, 40 64 , 00

1 6 , 55 1 6 , 50

45, 00 45 , 1 5 45 , 07

135 , 16 90 , 1 2 69 , 60

44 , 90 44 , 90 44 , 80

42,70 42, 60 4 1 , 25 42,68

1 18731 ,,8090

1 20.2 В. 75. 2 В. 54. 2

41 , 12 4 1 , 04 4 1 , 14

1 30 , 32 86, 24 65 , 66

1 20.3 75. 3 54. 3

39, 30 39,35 39, 40

1 29 , 35 84, 40 63, 90

А.

1

А.

А. А.

А.

в.

1 20.0 В. 75. О в. 54. о в.

1 20. 1 В. 75. 1 В. 75!а в. 54. 1 в.

В.

в.

в.

50

86 ,30 67, 20

!

1

1

01

1

02' ,и,и

, Л-t-1.f

9 , 06 9,05 9 , 08

6,05 6 , 08 5 , 98

6 , 75 6 ,85

6 , 08 5 ,98

5 , 97 6,10

5, 16 5,11

6 , 08 5,98

30,00 29, 95

5 , 97 6, 10

3 , 35 3 , 39

6 , 08 5,98

50 , 1 5 50, 00 50, 09

5 , 96 5 ,94 6 , 00

9 , 09 9 , 04 9 , 06

6 , 05 6 , 03 6 , 06

33, 75 42, 1 5 33, 75 42,00 25, 60 4 2 , 1 0 33, 75 1 42, 10

5 , 96 5 , 94 5 , 94 6 , 00

25, 50 25 , 50 25 ,50

36, 1 0 36, 1 0 35, 90

5 , 96 5,94 6 , 00

5 , 16 5,12 5, 1 1

6 , 05 6 , 03 6 , 06

29 ,95 30 , 1 0 29, 95

5 , 96 5 , 94 6 , 00

3 , 35 3 , 27 3 ,33

6 ,05 6 , 03 6 , 06

1 6 , 50 1 6 , 55 1 6 , 45

1

1

1

i

1

6,74 6 , 68 5, 15 6 , 65

1

6 , 05 6 , 03 6 , 03 6 ,06

Таблица 1 и соотн ошения их элемен тов lz/H

Площ а дь Площадь с е че ния по пе реч нога се ч е - ве р хнего ни я стен ки пояса Fс т , CJ-t 2 FВ П • с,и 2

Площадь сечени я ниж него пояса Fн 1н с а2

Fвп /Fст

Fнп / Fст

Fвп / Fнп

Fвп+ Fнп FC T

0 , 247

1 , 790

4 , 08

3 , 04 6 _

2 , 28

1 ' 70

1 , 34

3 , 98

0 , 399

1 , 782

4 , 08

3 , 045

1 '71

1 , 34

4 , 00

0 , 55

1 , 825

4 , 09

з, 1 00

2 , 29 2 , 24

1 , 70

1 , 32

3 , 94

0 , 398

1 , 787

2 , 275

2 , 590

1 , 27

1 ,45

0 , 88

2 , 72

0 , 548

1 , 825

2 , 258

2 , 504

1 , 24

1 , 37

0 , 90

2 ,6 1

0 , 398

1 , 787

1 , 315

2 , 1 95

0 , 74

1 , 23

0 , 60

1 , 96

0 , 548

1 , 823

1 , 302

2, 1 53

0 , 72

1 , 18

0,61

1 , 89

0 , 400

1 , 788

0 , 555

1 , 822

0 , 31

1 , 02

0 , 30

1 , 33

0 , 548

1 , 82 1

0, 540

1 , 790

0 , 30

0 , 98

0 , 30

1 , 28

0 , 248

1 , 780

4 , 08

3 , 03

2 , 29

1 , 70

1 , 35

3 , 99

0 , 40 1

1 ,785

4 , 06

3,015

2 , 27

1 , 69

1 , 35

3 , 96

0 , 550

1 , 795

4 , 06

3 , 04

2, 26

1 , 69

1 , 33

3 , 96

1

- --

0 , 25 1

1 , 780

2 , 273

2 , 548

1 , 28

0 , 398

1 , 775

2 , 254

2 , 530

1 , 27

0 , 400

1 , 784

1 , 31 8

2 , 540

0 , 74

1 , 42

1 , 796

2 , 240

2 , 550

1 , 25

1 ,42

0 , 550

1 , 43 1 , 42

1 1 1

0 , 89

2 ,70

0 , 89

2 , 69

0 , 52

2, 16

0 , 88

2 , 66

0 , 60

1 , 96

0 , 60

1 , 96

0 , 69

1 , 94

0,31

1 , 33

0 , 25 1

1 , 780

1 , 31 5

2 , 1 80

0 , 74

1 , 225

0 , 398

1 , 774

1 , 304

2 , 1 80

0 , 735

1 , 23

0 , 550

1 , 797

1 , 303

2 , 1 76

0 , 73

1 , 21

0 , 250

1 , 780

0 , 553

1 ,810

0 ,31

1 , 02

0 , 400

1 , 784

0 , 54 2

1 ,8 1 5

0 , 30

1 , 02

0 , 30

1 , 32

0 , 548

0,815

0 , 30

1 ,01

0 , 30

1 , 31

0 , 550

1 , 800

1

4*

51

2

f аб л и ц а

З начения теоретических нормал ьных и касательн ых н апряжений в рас чет ном сечении (х = 70 мм, Р=400 кг, из гибающи й м омент М = 1 127 кгсм) :r

t:: о

о " И11де1>, до 1 ,372. Н а всем протяжен и и кривол и нейного контура н а п ря жение а1 по з н а ку соответствует растяжению. Изменение же н ап ряжений а2 носит з н а коперемен н ы й х а р а к­ тер. По своему значению о н и н е п ревышают вел и ч и н ы а2/а0 1 ,2 . Интересно здесь отметить т о о бстоятел ьство, ч т о точки м а ксиму­ ма напряжений а1 и а2 не совпадают. Даже более того, т а м , где а2 достигает своего ма кси м � �

/

7 1 1

'1

;;

.._'\ \

/

q f

е

а)

d

с

6/ц, 1,В

/ ,...,__

/

д. 75. 1

/ / д. 75. 0 / д. 75. 2 tx / /- 11. 75.3 r-.'-\ у /

!;

1

2,2

_,, ......

"\ ,.

\

а

линия контура

/ __,.,

l/f

�V/ _.....; r,....-V 1,D v

0,6 0,2 о

- 0,2

-0,4 - 0,6

.,,?-

, _,

, ,....

-

-

/,...
з

м ежду указан н ы м и р анее перемещени я м и . Для крановых балок грузоподъемностью Q = 5- I O т; с = О,88-;-- 0 ,92. П р и ближенные значения р а счетны х силовых воздействий, получе н н ы е при с = О,9, приведе н ы в т а бл ице 6. 80

С> -3 "'

:

.., "' .., '< ..,

�

txi о:

:"'

Таблица 4

���

1

ба

Схема балки

t·

*

f18�1

1

�

t �t

s

Ila

Ilб

1 ш 00 -

К о эффициенты �. к0 и уравнения кривых изменении ордин ат линии влиян ия распора шпренгельн ых балок

1

�·

-�

4

� �1t1·4::1 Е 18 . �3 . --: t =

1 �т�� 1

4

(

3 8

(х

1

-

--

(

l

- -

l

'

хз 333 [3

хз 1 778 ' l3

)

)

1 xz х - - - - 0 021 2 z ' 12

11

-1

-1

3

в

-

(х

--

l

(

)

(

)

1 хз х - -1 53 l ' [3 1 х2 х - - - - 0 037 2 l ' 12 15 х хз -- 616 l l , zз

(

11

1/н

Ко

1 х - -- 1

--

11

1 1

�

1 3

-

-

2 3

)

-

-

5 9

)

-

(

l хз х о ,75 · с · -,;- - - 1 ,333 13 1

(

l х хз 0 ,563 · С · h - - l ,778 ls 1

J

)

( ) l ( хз ) 0 6 · С• - х ' h l ' zз l ( х ) х2 0 9 · С · - - - - - 0 037 ' h l l2 ' хз ) l (х О ,652 · с · h ,6 ls 1 l ( х х2 0 783 · с · - - - 0 667 ' h z ' z2 хз - 0 ,444 - - 0 ,014 ). zэ l х х2 0 75 · С · - - - - - 0 021 h z 12 ' ' - -

1

-

23 3 2 х х О 667 - -0 444 -- 0 014 48 12 ' ' . ' zз

)

5· -

l

�

Тип ба лк и

1

Схема ба лк и

�t/?зJ!J А .

IV

I -11

ш

.;;ч1Е =1ЬРJ4 1

Ч исло п ане лей

n>6

П р и м е ч а н и е:

К 1 1 ( ) 667· 3 1 1( 73 --О 455· --О 758 --0, 006) 30 1 35 1 ( - - -0 04 ) 2 35 ( --1 714 - -) 108 37 ( --О 324-- 0 973· --О 003) 8 1 08 15 5 ( -- О 8 --0 267· --О 022) 12 -

11

ш

--

х

-- -

l

х

,

l

!

xz /2

l

,

,

l

х

,

l

(

х2 [2

-

х3 /3

,

х2 [2

х

х3 /3

,

х l

х3 13

,

х2 12

х

---

о1

�

--

1

v

VI

1 1 У ч асток

,

,

х3 [3

,

х3 [3

_1_ �-2 . � + х4 /3 [4 3 l

,

)

х - координ а та точ ки при ложения единичной с ил ы.

-

8 15

-

П р о д о л ж е н и е т а б л. "Гjн

4

( ) l 0 678 ·С· - ( - - О 455· - 0,758 13- О,006 ) О 925 ·с· - ( -- - -- 0 04 ) О 608 ·с· -- ( -- 1 714 · -) О 642 - с· - ( -- О 324 · -003 ) 973 . 0 78 1 · С· - ( - -- 0 8 · -- 0,267 · - 0,022 ) ( ) 0 625 ·С· - ---2 · l

х

h

l

3

х 0 , 6 J 6 · C · - -- J , 667· /3

х2 /2

х

,

h

l хз

l

х

х2

,

h

l

l2

,

,

/1

l

х

,

х3 l3 х2

,

-о

l

l

х

h

l

,

х3 [3 х

,

l

,

,

,

/1

l х3

[2

- о,

,

х2 12

/з

l

x

h

l

х4 х3 + /4 l3

-

•

х

Наименование показателей

hx

О, 1

'1н (х) 'IJ0м(x ) 1

0,3

-

'IJн(x ) '1)0Л! ( Х ) hx

'IJн(x )

"i0м(х)

0 ,4

со w

Т.

1

примечание:

'IJ н( x ) о

м( х >

hx

'1 н( х )

'fiOЛ!( х )

'

Тип балок

1

IV

ш

Ilб

Ila

1

v

5

vr

0 , 3h 0,333h 0 , 4h 0, 3h 0 , 333h 0,36h l l l l l l l О,0553 ·с· - О, 0591 ·с · - О , 061 5 · с· - О,0606 · с· - 1 0,0597·с· - О , 0613 ·с· о 0740 ·сh h h h h h h 0 , 09! 0 , 6h 0, 667h 0 , 8h 0 , 622h 0 , 6h 0 , 4h 0, 64h l l l l l l l О, 1 1 28 · С · - О, 1 1 70 · С • - О, 1 1 50·С· - О, 1 1 38 · С · - О, 1 160 ·С· О, 1420·С· - О, 1 046 ·С· h h h h h h h О , 1 61 0 ,9h h 0 ,833h 0 ,8h 0 ,822h ,6h 0 ,84h 0 l l l l l l l о , 198О · с · т 0 , 14 1 7 ·С · h 0 , 1 557 · C • h О , 1676 · с· т 0 , 1577 ·C · h о , 1 55О · с · т о , 1588 ·с · т 0 , 2h

•

-

". \ �� '

.

hx

0,5

1

hx

0,2

а> *

Т а блица

Исходные данные д.�я построен ия линий влияния моментов

1

1

1

1

i

,.

,.

о ,21l

-

h о 9h 11 0 , 933h 0, 96h l l l l l l l О ,2360 · c · -h 0 , 1642 •C · h 0 , 1827 ·C· h 0 , 1964 ·C· h о , 1849 ·с· т о , 181 9 ·с· т о , 1859 · с · т 0 ,24/ h l l\ l 1 1 О , 2065 · с · т 1 1 О · 1719 ·С· т\ О , 1917 · с · т 1 1 0 , 1910 ·С· т 0 , 1953 ·С· т О , 2500 · с · т О, 1942 ·С · h 0 ,8h

h

"

х-коо р дината точ ки приложения единичнои разгрузки.

о ,251

11

00 "'"

Т а б л и ц а 6

Приближенные значения расчетных силовых возде йстви й

Величины расчетных силовых воздействий Наименование силовых воздействий

в

1 . Изгибающий момент в наиболее загруженном се­ чении балки жескости (х = 0 , 21) : от подвижной на грузки ( считая давление равномерно распре.целенным между хо.цовыми колесами) ; от собственного веса

в сечении с максимальным моментом

3.

Максимальное усилие в затяжке

М р(тах)

::::;

О , 32"1;Dl

Mg ::::; (0 , 08-0 ,6Зc;g) · g · l2

l Нтах ::::: 0 , 39D h

2. Распор : максимальный (.х = 0 , 21)

5-1 0 m ( С= О , 9 )

для крапов грузоподъемностью

общем виде

с

( l + 0 , 32�o)

l Н0 , 21 ::::: 0 , 23D h c (c

S max

:::::

О , 39D _!_

h

с

+ О , 55�0)

1 + О , 32f30 cos а1

Mp(max) :::::

0 , 1 9eDl

Mg ::::: O , Olgl2

l Н тах ::::: О , 35D · h

( 1 + О ,32�0)

l Н0 , 21 ::::: 0 , 21 D h (� + o , 55�0)

Sm ax ::::;

l О , 35D __ .

h

1 + О ,32�0 COS а1

В формул а х табл. 6 : в е с полезного груза ; Q g - погон н а я н а грузка ( вес м оста без концевых балок ) , приходящаяся н а одну б а л ку; D давление н а ходовое колесо ; для к р анов р ассматри вае­ мого типа -

-

D � ( 0,25f1 + 0,06) Q;

l и h µ

-

-

v1

61 , б2, бз

пролет и расчетн а я в ысота шпрен гел ьной балки посередине п ролета ; Т а бл и ц а 7 дина мический коэффициент ; Величи на коэффи циен тов �g

=

-

1

-

О,453с;

Тип балки

перемещения узлов п р иложения си.1ы Н 1 от дефор м аций соответ­ ственно б алки жестко­ сти, з атяжки и стоек; коэффициент, п р и н и м а ­ емый по т а б л . 7 =

Sg

-

IIa IIб ш

IV VI

о, 1 56 О, 1 1 1 О , 122 О , 1 32 0 , 1 24 о , 1 25

в ·' e = l - 2'5 l

�о = _ff}_ D

G� - отношение Q

=

G� Q

.

0 , 45 0 , 25:.1. + О , Об

собственного веса моста ( без конце­

вых балок) с гла в н ы м и б а л к а м и коробчатого сечени я к в есу полезного груз а ; прибл иженные значения для сери й н о в ы пускаемых кранов при­ водятся в р а ботах ( ! ], {2]; для 5-тонн ы х кранов р ассм атриваемого типа п р и м ен ительно к проек­ тировке 1 96 1 г. величина этих отношений м ожет б ыть получена п о графикам, изо б р а же н н ы м н а фиг. 4 . Достаточно полное использование н есущей спосо б ности м а ­ териала ш п ренгельных балок может б ыть достигнуто в т о м слу­ чае, когда м а кс и м альное ф ибровое н а п ряжение, возникающее в балке ж есткости, м ало отл и ча ется от н апряжения в затяжке. Одновременно с этим следует стрем иться к р а венству ( по а б · салютной величине) н апряжен и й в верхней и н ижней ф и б р а х н а и более загруженного сечени я балки жесткости. Указ а н н ы е 85

соображения были учтены п р и в ыборе соотношения м ежду площадью сечения балки жесткости ( Fб ) и затяжки ( Fз) , а так­ же п р и уста новлении степени асим метри и сечения балки жесткоzв сти - , р ассматривав ш и хся типов шпренгельных балок. h5

G'н(А) 2,8

�

-7

2,'f 2,2 2,0 1,8 1,8

1,'f f,2 1,0

цв 0,6

�40,2

,7

v - .... /

[...._.....

.... .....

.�... T � 5 Q'= Q=20T• �-

- �

�с

Q•5UТ

11

.......

-�

20

1__.. -

- -

-

-

17

L/ • [....о /

-�i..-

� =---- "

_,,.

23

_а.

�

26

;

v

�

--

29

32

-

..,...

/...{м)

Ф иг. 4. Отношение веса алюминиевых м остов 1