Die Ausbreitung der ultrakurzen Wellen [Reprint 2021 ed.] 9783112484388, 9783112484371

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BÜCHEREI DER HOCHFREQUENZTECHNIK HERAUSGEGEBEN

VON

H. FRÜHAUF DRESDEN

BAND 15

DIE A U S B R E I T U N G DER U L T R A K U R Z E N WELLEN VON

PETR B E C K M A N N

LEIPZIG 1963 AKADEMISCHE

VERLAGSGESELLSCHAFT

G E E S T & P O R T I G K. - G.

DIE A U S B R E I T U N G DER U L T R A K U R Z E N W E L L E N VON

PETR BECKMANN DOKTOR DER T E C H N I S C H E N

WISSENSCHAFTEN

PRAG

MIT 86 B I L D E R N U N D 16 T A B E L L E N

LEIPZIG AKADEMISCHE

1963

VERLAGSGESELLSCHAFT

GEEST&PORTIG

K.-G.

Alle Rechte bei der Akademischen Yerlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig ©

Petr Beckmann, Prag. 1963

Printedin Germany. Lizenz-Nr. 276 — 105/36/63 Gesamtherstellung: Druckerei Fortschritt, Erfurt, Werk II

Vorwort Dieser Schrift liegen Vorlesungen zugrunde, die der Verfasser im Jahre 1959 an der Hochschule für Elektrotechnik Ilmenau hielt. Das Werk befaßt sich mit den Grundlagen der Ausbreitung der Radiowellen von weniger als 10 m Wellenlänge. Es soll den Wissenschaftlern und Technikern die Möglichkeit geben, einen Überblick über die Grundprobleme der UKW-Ausbreitung zu gewinnen, um dann die einzelnen speziellen Probleme dieses Faches an Hand der zahlreichen, meist in der periodischen Literatur enthaltenen kurzen Arbeiten weiterstudieren zu können. In den letzten zehn Jahren ist besonders die Ausbreitung der UKW jenseits des Horizontes Gegenstand vieler Forschungsarbeiten und praktischer Anwendungen gewesen. Die Behandlung dieses Gebietes allein würde schon die Abfassung eines Buches rechtfertigen1); das Ziel der vorliegenden Schrift ist es jedoch, einen allgemeinen Überblick über die gesamte UKW-Ausbreitung zu bieten. Deshalb sind die allgemeinen Prinzipien der UKW-Ausbreitung jenseits des Horizontes in einem einzigen Kapitel zusammengefaßt worden; dagegen enthält dieses Buch u. a. auch die Prinzipien der Ausbreitung auf freie Sicht, der Streuung an Meteorenspuren und der Ausbreitung im Weltall. Die Forschung auf dem Gebiet der UKW-Ausbreitung hat in den vergangenen Jahren einen großen Aufschwung erfahren, wobei es zu einer regen internationalen Zusammenarbeit kam. Der Verfasser gedenkt hier des Erfahrungsaustausches und der Zusammenarbeit mit den Wissenschaftlern in anderen Ländern, besonders mit den Kollegen des Instituts für Radiotechnik und Elektronik der Sowjetischen Akademie der Wissenschaften, des Geophysikalischen Instituts der Bulgarischen Akademie der Wissenschaften, des Forschungsinstituts für Fernmeldewesen (TKI) Budapest, des Meteorologischen Observatoriums (jetzt Observatorium für Ionosphärenforschung) Kühlungsborn, des Rundfunk- und Fernsehtechnischen Zentralamts (Außenstelle Kolberg), des Heinrich-Hertz-Instituts der Deutschen Akademie der *) Seit Abschluß des Manuskriptes ist ein solches Buch erschienen (Du Propagation tropospherique et faisceaux hertziens transhorizon, Paris 1961).

CASTEL,

F.:

6

Vorwort

Wissenschaften, des Fernmeldetechnischen Zentralamts Darmstadt, des Département Transmissions des C.N.E.T. Paris, der D.S.I.R. Radio Research Station, Slough, England, des National Bureau of Standards, Boulder, Colorado, USA, und aller anderen Wissenschaftler, mit denen die tschechoslowakische Forschung auf diesem Gebiet zusammengearbeitet hat, von denen sie viel erfahren konnte und denen sie ihre bescheidenen Beiträge zur Verfügung stellte. Möge die Freundschaft, die durch gemeinsame Interessen auf diesem Gebiet zustandegekommen ist, erhalten bleiben und als Vorbild für alle Arten der menschlichen Tätigkeit dienen. Der Verfasser dankt Herrn Professor Dr. H. F R Ü H A U F für die gewissenhafte Durchsicht des Manuskriptes und dem Verlag für die Mühe, die er sich mit dèr Herausgabe des Buches gegeben hat. Er hofft, daß der vorliegende Überblick über die UKW-Ausbreitung Wissenschaftlern und Technikern nützlich sein wird. Prag, im April 1962

PETR

BECKMANN

Inhalt 1. Einleitung 2. Die Ausbreitung auf freie Sicht 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Die einfache Reflexionsformel Die Ausbreitung über gekrümmter Erde Das Antennenrichtdiagramm über ebener Erde Die Funkortungsgleichung Polarisationseffekte

3. Die atmosphärische Brechung 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Ableitung der Brechungsindexformel Der modifizierte Brechungsindex Der äquivalente Erdradius Die Strahllaufbahn Die Arten der Brechung Statistik des Brechungsindexes

4. Der Einfluß des Geländes 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Geländeschnitte und Fresnel-Zonen Nichtoptische Strecken. Beugung an Bergkämmen und anderen Hindernissen Optische Strecken. Die Streuung an rauhen Oberflächen Die statistische Verteilung der Amplitude und Phase eines gestreuten elektromagnetischen Feldes 4.5. Experimentelle Ergebnisse bei Ausbreitung in unregelmäßigem Gelände 5. Die troposphärische Ausbreitung jenseits des Horizontes 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Ausbreitung durch Diffraktion und Brechung Die Turbulenztheorien Die Theorien der partiellen Reflexion Die Schwunderscheinungen der troposphärischen Fernausbreitung Antennengewinn und Bandbreite bei der Streuausbreitung Praktische Berechnung einer Streustrecke

9 10 10 15 20 22 25 33 33 39 44 45 48 50 59 59 62 73 80 96 103 103 104 109 119 128 130

6. Die troposphärische Dämpfung der UKW 136 6.1. Dämpfung durch meteorologische Niederschläge 136 6.2. Dämpfung in der Nähe der Spektrallinien von Sauerstoff und Wasserdampf . . 140

8

Inhalt

7. Die ionosphärische Ausbreitung von Meterwellen 142 7.1. Reflexion durch die normale F 2 -Schicht, die sporadische G-Schicht und Aurora Borealis ' 142 7.2. Ausbreitung durch ionosphärische Streuung 144 7.3. Streuung an ionisierten Meteorenspuren 149 8. Perspektiven der UKW-Ausbreitung im Weltall 8.1. Kosmische Relaisverbindungen für irdische Strecken 8.2. Gedanken zum Problem der Radioverbindung im Sonnensystem

161. 161 170

Anhang: Gesundheitsschäden durch starke UKW-Strahlung

178

Literatur

180

Namenregister

193

Sachregister

195

1. Einleitung Die Radiowellen unter 10 m Wellenlänge, die wir als ultrakurze Wellen bezeichnen, haben zwei besondere Eigenschaften, die sie bezüglich der Ausbreitung von den Wellen des restlichen Radiospektrums unterscheiden: a) Sie werden (bis auf die in Kap. 7 angeführten Ausnahmen) von der Ionosphäre wenig oder gar nicht beeinflußt. b) Ihre Wellenlänge ist vergleichbar mit Geländegebilden, Bäumen, Sträuchern, Häusern, Flugzeugen usw. oder kleiner als diese. Von besonderer Wichtigkeit ist es, daß die Wellenlänge üblicherweise viel kleiner ist als die Antennenhöhe des Senders und Empfängers über der Erdoberfläche. Als Folge der ersten Eigenschaft wird die Reichweite der UKW auf der Erdoberfläche begrenzt; dies ist im allgemeinen ein Vorteil, da sich zwei geographisch weit auseinanderliegende Sender auf derselben Frequenz nicht stören. Als Folge der zweiten Eigenschaft ergibt sich, daß man in vielen Fällen das elektromagnetische Feld mit den Methoden der geometrischen Optik berechnen kann. Dies trifft besonders bei der Berechnung der Feldstärke zu, die von hoch über dem Erdboden befindlichen Antennen erzeugt wird, wobei die Höhe der Antenne über dem Erdboden in Wellenlängen gemessen wird. Die kleine Wellenlänge ermöglicht auch die Anwendung der U K W auf die Funkortung, da z. B. die Wirkfläche eines Flugzeuges nur bei U K W groß genug ist, um eine meßbare Leistung zum Funkortungsgerät zurückzustreuen. Schließlich ist dieselbe Eigenschaft die Ursache dafür, daß im UKW-Bereich der Einfluß des Bodens nicht mehr so sehr durch seine elektrischen Eigenschaften (Leitfähigkeit, Dielektrizitätskonstante) als durch die geometrische Form des Geländes und der darauf befindlichen Gegenstände (Bäume, Sträucher, Häuser usw.) zur Geltung kommt. Eine eigentliche Bodenwelle im Sinne der längeren Wellen des Funkspektrums tritt aus mehreren Gründen nicht auf: Erstens kommt es nur selten vor, daß sich eine UKW-SenderAntenne — in Wellenlängen gemessen — praktisch auf dem Boden befindet. Ausnahmen sind z. B. in Kraftwagen (Polizeiwagen, Sanitätswagen) eingebaute Senderanlagen auf Meterwellen. Zweitens werden auch in diesem

10

1. Einleitung

Fall die Streuung, Beugung und Reflexion an Hindernissen der Erdoberfläche eine größere Rolle spielen als die elektrischen Eigenschaften der Bodenmaterie. Drittens ist auch bei glattem Gelände die Dämpfung der eigentlichen Bodenwelle wegen der hohen Frequenz groß. Dabei ist zu beachten, daß die van der Polsche Formel [Doluchanow 1956] für den UKW-Bereich nicht immer genau zutrifft, da sie unter Annahme einer großen komplexen Dielektrizitätskonstante |e£| = | e ' - i-60Aff|» 1 (1.1) abgeleitet ist, wo s' die reelle relative Dielektrizitätskonstante, A die Wellenlänge und o die Leitfähigkeit (alles in MKS-Einheiten) sind. In den meisten Fällen ist ö des Erdbodens von der Größenordnung 10~2 bis 10 - 3 S/m, so daß nur der reelle Teil von e'k im UKW-Bereich von Bedeutung ist. Nun ist aber z. B. bei trockenem Boden e' nur etwa 4 bis 5, so daß (1.1) nicht mehr zutrifft. Aber auch wenn (1.1) gilt, zeigt die van der Polsche Formel, daß die Dämpfung der Bodenwelle im UKW-Bereich sehr groß ist. Im allgemeinen kann man jedoch die Bodenwelle (im Sinne der längeren Wellen) im Meterbereich meist und im Dezimeter- und Zentimeterbereich praktisch immer vernachlässigen. Eine für die Funktechnik unangenehme (und für die Radiometeorologie vorteilhafte) Folge der Eigenschaft b) ist die Dämpfung und Streuung der Zentimeterwellen an meteorologischen Niederschlägen (Regen, Schnee, Hagel) und an Wassertröpfchen und Eiskristallen in Gewitterwolken. Diese Erscheinung wird in Kapitel 6 behandelt werden. Die Tatsache, daß als Trägerwelle für Modulatoren mit großer Bandbreite, wie z. B. das Fernsehen und die Mehrkanaltelefonie, nur ultrakurze Wellen wegen ihrer hohen Frequenz in Betracht kommen, ist keine Folge der Ausbreitungserscheinung. Trotzdem muß man diese Anwendungen eigens bei der Ausbreitung berücksichtigen, da z. B. eine Reflexion durch ein Objekt in der Nähe einer Empfangsantenne die Güte eines Fernsehbildes beträchtlich vermindern kann. Beim Farbfernsehen kann sogar die Phasenverschiebung, die bei der Reflexion eintritt, die übertragene Farbe ändern. Die Besonderheit der UKW-Ausbreitung besteht also in der Art, wie diese Wellen von der Erdoberfläche und der Atmosphäre beeinflußt werden.

2. Die Ausbreitung auf freie Sicht 2.1. Die einfache Reflexionsformel Unter Ausbreitung auf freie oder „optische Sicht" versteht man oft die Ausbreitung auf einer Funkstrecke, bei der der Sender am Empfangspunkt optisch sichtbar ist. In Wirklichkeit ist eine so einfache Definition ungenügend, da unter Umständen schwierige Beugungseffekte an Gegenständen in der Nähe des geradlinig und dünn gedachten Funkstrahles auftreten können. F

Bild 2.1. a Ausbreitung auf freie Sicht; b nichtoptische Strecke

Unter „Ausbreitung auf freie Sicht" werden wir daher die Ausbreitung auf einer Strecke verstehen, bei der das erste Fresnelsche Ellipsoid 1 ) frei ist (Bild 2.1 d); wenn Hindernisse in das erste Fresnelsche Ellipsoid eindringen (Bild 2.1b), kann man die entsprechenden Beugungseffekte nicht mehr vernachlässigen. Die Frage wird in Kapitel 4 besprochen werden. Vorläufig setzen wir voraus, daß die erste Fresnelzone zwischen Sender S und Empfangspunkt E frei ist und daß sich die Punkte S und E so hoch (in Wellenlängen X gemessen) über dem Erdboden befinden, daß man aus den in der Einleitung erwähnten Gründen die geometrische Optik anwenden kann. Wir nehmen vorerst ebenen und glatten Boden an; dann können wir die empfangene Feldstärke als die Vektorensumme des direkten und des am *) Das n-te Fresnelsche Ellipsoid ist der geometrische Ort aller Punkte F, für die nach Bild 2.1a

SF + FE = konst. = SE + n gilt, wobei X die benutzte Wellenlänge ist (s. Abschn. 4.1 und 4.3).

2. Die Ausbreitung auf freie Sicht

12

Erdboden reflektierten Strahles berechnen. Der Sender mit der Leistung P und dem Antennengewinn D (in Richtung zum Empfänger gemessen) befinde sich im Punkte A (Bild 2.2). Im Empfangspunkt B ist dann offensichtlich E - E„(l + |«|c»>.+

wo

(2.1) (2.2)

r

die Feldstärkeamplitude des direkten Strahles (im freien Raum) und R der Fresnelsche Reflexionskoeffizient ist; 01 ist die Phasenverschiebung, die bei

' Bild 2.2. Geometrische Größen bei der Ausbreitung auf freie Sicht über glatter, ebener Erde A

der Reflexion eintritt und @2 der Phasenunterschied, der durch die unterschiedliche Weglänge AB und ACB verursacht wird. Die Fresnelschen Reflexionskoeffizienten werden in der Theorie des elektromagnetischen Feldes abgeleitet (s. z. B. [STRATTON 1941]) für Vertikalpolarisation ((£ in der EbeYie ACB) ist der Reflexionskoeffizient

R+

Y sin y Y sin y +

cos2 y yV- cos2 y

(2.3)

und für Horizontalpolarisation (de senkrecht zur Ebene ACB) sin y - y y ^ cos2 y sin y + Y Y - cos2 y

(2.4)

13

2.1. Die einfache Reflexionsformel

Hierbei ist Y die normalisierte (bezogene) Admittanz ebenen Grenzfläche (des Erdbodens)

[BECKMANN

Y =

1956] der

(2.5)

wo e' die relative Dielektrizitätskonstante ( e ' = e/e 0 = e/36^-10 - 9 ), / ¿ ' { = 1) die relative Permeabilität des Erdbodens und a die spezifische Leitfähigkeit (Siemens/Meter) des Erdbodens sind. Der Streifwinkel y, der zur Bestimmung von R ± und 01 notwendig ist, ist gemäß Bild 2.2

+

„.

hl ha y = arc tan — — - . r

(2.6)

¿i, h2 < r.

(2.7)

In der Praxis ist meist

Den Unterschied Ar in der Weglänge AB und ACB bestimmt man dann, indem man AB = r x und A'CB = r2 durch den Pythagoräischen Satz ermittelt; nach Reihenentwicklung und Vernachlässigung der Größen zweiter Ordnung erhält man (2.8) Folglich ist der Phasenunterschied zwischen den zwei Strahlen „ 2 =

27t , T

4jc h-, h9 '

W

Wird dies in (2.1) eingesetzt, dann ergibt sich für den Effektivwert der Feldstärke die „Reflexionsformel"

In außergewöhnlichen Fällen, wo (2.7) nicht erfüllt ist (z. B. bei Funkverbindungen zwischen nicht weit voneinander entfernten Flugzeugen), ist die Ableitung von @ 2 noch einfacher, als hier angegeben wurde, da dann y ein recht großer Winkel wird. Auf der anderen Seite ist folgendes zu beachten: Bei großen Streifwinkeln muß der Antennengewinn D in Richtung AB nicht mehr derselbe sein wie in Richtung AC, so daß dann (2.1) die Form

annimmt. Weiter ist zu beachten, daß bei vertikaler Polarisation die Ê-Vektoren der beiden Strahlen räumlich einen Winkel bilden. Bei großen y muß

14

2. Die Ausbreitung auf freie Sicht

man also die zwei Feldstärken nicht nur phasenmäßig, sondern auch noch räumlich vektoriell zusammenzählen. Bei horizontaler Polarisation fällt diese Bemerkung natürlich weg, da dann beide 6-Vektoren im Räume dieselbe (waagerechte) Richtung haben. In der Praxis wird der eben erwähnte Fall nur selten vorkommen; dagegen wird (2.7) meist so weit erfüllt sein, daß der Winkel y~kl

+

h

*

(2.12)

genügend klein ist, so daß man von der Beziehung lim R = - 1

(2.13)

y 0

Gebrauch machen kann. (Hierbei ist zu bemerken, daß bei horizontaler Polarisation R seinem Grenzwert schneller zustrebt als bei vertikaler.) Setzen wir nun (2.13) in (2.10) ein, erhalten wir nach einfachen trigonometrischen Transformationen 2 l/30 P D 2 K h 1 h 2 (2.14) ßeff = Ar

Der absolute Betrag kommt dadurch zustande, daß die Wurzel in (2.10) immer positiv genommen werden muß, da es sich ja um einen Effektivwert handelt. Wenn nun schließlich der Winkel y so klein wird, daß man in (2.14) den Sinus durch sein Argument approximieren kann, was man allgemein bei 2 JE Aj /I2 Ar

K

d. h.

annimmt, dann erhalten wir die von „quadratische" Formel

, , 1

Ar 2

~ Í8

WWEDENSKI

(2.15)

schon 1929 abgeleitete (2.16)

Es ist bemerkenswert, daß die Feldstärke sowohl nach (2.10) als auch nach (2.14), nicht aber nach (2.16) mit r oszilliert. Die Oszillationen werden durch Phaseninterferenz zwischen direktem und reflektiertem Strahl hervorgerufen. Eine einfache Berechnung des Argumentes im Kosinus in (2.10) bzw. Sinus in (2.14) zeigt, daß mit zunehmendem r die Interferenzperioden immer langsamer durchlaufen werden: Der Gang von E t i f als Funktion von r ist in

2.2. Die Ausbreitung über gekrümmter Erde

15

Bild 2.3 symbolisch dargestellt. Wird nun r so groß, daß das Argument kleiner als 7i wird, d. h., 2k

h1h2

(2.17)

so kann sich kein Wert wiederholen. Die Funktion oszilliert nicht mehr, sondern nimmt nur noch monoton ab. In diesem Bereich, wenn r nach (2.15) ici

Bereich der Wnedenslti-Formel Bild 2.3. Symbolische Darstellung der Feldstärke als Funktion der Entfernung mit Interferenzmaxima

noch 9mal größer als der Grenzwert in (2.17) ist, gilt erst die quadratische Formel (2.16). Die hier abgeleiteten Formeln bilden die Grundlage für die UKW-Ausbreitung auf freie Sicht bei der (ziemlich unreellen) Annahme einer glatten und ebenen Erdoberfläche sowie einer brechungsfreien Atmosphäre. 2.2. Die Ausbreitung über gekrümmter Erde Die Formeln des vorhergehenden Abschnitts kann man auf den Fall der kugelförmigen Erde verallgemeinern, indem man 1. die im Reflexionspunkt tangierende Ebene, 2. die Streuung der Energie an einer konvexen Oberfläche betrachtet. Nach Bild 2.4 ist geometrisch die Situation der ebenen Erde äquivalent, wenn wir die tangierende Ebene DCE als flache Erde annehmen und statt der wirklichen Antennenhöhen h^ und h2 die effektiven Antennenhöhen h[ und h'2 über dieser Ebene nehmen. (Da die Winkel ip1 und q>z bei UKW-

2.2. Die Ausbreitung über gekrümmter Erde

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Bild 2.3 symbolisch dargestellt. Wird nun r so groß, daß das Argument kleiner als 7i wird, d. h., 2k

h1h2

(2.17)

so kann sich kein Wert wiederholen. Die Funktion oszilliert nicht mehr, sondern nimmt nur noch monoton ab. In diesem Bereich, wenn r nach (2.15) ici

Bereich der Wnedenslti-Formel Bild 2.3. Symbolische Darstellung der Feldstärke als Funktion der Entfernung mit Interferenzmaxima

noch 9mal größer als der Grenzwert in (2.17) ist, gilt erst die quadratische Formel (2.16). Die hier abgeleiteten Formeln bilden die Grundlage für die UKW-Ausbreitung auf freie Sicht bei der (ziemlich unreellen) Annahme einer glatten und ebenen Erdoberfläche sowie einer brechungsfreien Atmosphäre. 2.2. Die Ausbreitung über gekrümmter Erde Die Formeln des vorhergehenden Abschnitts kann man auf den Fall der kugelförmigen Erde verallgemeinern, indem man 1. die im Reflexionspunkt tangierende Ebene, 2. die Streuung der Energie an einer konvexen Oberfläche betrachtet. Nach Bild 2.4 ist geometrisch die Situation der ebenen Erde äquivalent, wenn wir die tangierende Ebene DCE als flache Erde annehmen und statt der wirklichen Antennenhöhen h^ und h2 die effektiven Antennenhöhen h[ und h'2 über dieser Ebene nehmen. (Da die Winkel ip1 und q>z bei UKW-

2. Die Ausbreitung auf freie Sicht

16

Reichweiten auf optische Sicht sehr klein sind, haben natürlich in Wirklichkeit AD, bzw. BE, praktisch dieselbe Richtung wie AA', bzw. BB'.) Bis auf die Berücksichtigung der Streuung an einer konvexen Kugelfläche bleiben

also nur die Größen h[, h'2 und r1 oder r 2 = r — ri zu berechnen. Die letzteren brauchen wir, um den Streifwinkel y zu bestimmen:

i

r

Wir berechnen zunächst wo Ahx = E/A'. Es ist

=

i

r

h'1 = h1-Ah1,

(2.18)

(2.19)

mit R e = 6370 km als Erdradius; folglich ist

Re + Ahx Da nun bei UKW-Ausbreitung aller Art (mit Ausnahme der Satellitenoder kosmischen Quellen) der Winkel y immer sehr klein ist, ist sin

schreiben. In beiden Formeln tritt die Wellenlänge A in etwas irreführender Form auf. Man muß beachten, daß D und F bei gegebenen Ausmaßen der Antenne bzw. des Zieles rasch abnehmende Funktionen von X sind. Der Streuquerschnitt F läßt sich streng nur bei einigen Körpern berechnen, wenn nämlich in deren Koordinatensystem die Veränderlichen in der Wellengleichung getrennt werden können (Zylinder, Kugel, Ellipsoid, Paraboloid usw.), und auch dann oft nur bei unendlicher Leitfähigkeit des streuenden Körpers. Bei komplizierten Zielen, wie z. B. Flugzeugen und Schiffen, läßt sich der Streuquerschnitt nur experimentell ermitteln (bei einem Flugzeug ist er selbst von der Propellerumdrehungszahl abhängig [ K E R R 1951]). Sind jedoch die Ausmaße und die Krümmungshalbmesser des Streukörpers groß gegen die Wellenlänge, kann man den Streuquerschnitt annähernd durch die Kirchhoffsche Methode wie folgt ermitteln: Wir gehen aus vom Helmholtzschen Integral

wo E eine Lösung der Wellengleichung ist (in unserem Falle die Feldstärke). S ist die Oberfläche eines Körpers, P ein Punkt (der Empfangspunkt) außerhalb dieses Körpers (Bild 2.8) und y> ist die Funktion aikr

V= —

r

;

(2.56)

hier ist r der Radiusvektor von P zum Laufpunkt auf S; rt ist die Normale zu S, k =

>

(2-57)

und es sei r0 = -

(2-58)

der Einheitsvektor in der Richtung von r. E s sei die einfallende Welle

E1=E0e kr.

(2.59)

24

2. Die Ausbreitung auf freie Sicht

Wenn die Krümmungshalbmesser des Zieles groß gegen die Wellenlänge sind und das Ziel als vollkommen leitfähig angenommen werden darf, dann gilt auf dem beleuchteten Teil S' der Oberfläche S annähernd ¡dE\

„/d^O

rn ei kr

(2.60)

Bild 2.8. Zur Ableitung des Streuquerschnittes

so daß sich nach Einsetzen von (2.60) und (2.56) in (2.55) ergibt ikEa

E(P)

kr

cos (n, r) d S .

(2.61)

Da nach der Definition des Streuquerschnittes (2.48) gilt F = - L ! = 4jcr a

E(P)

(2.62)

erhalten wir aus (2.61) und (2.62) schließlich die Näherung cos (n, r) dS

F=^-\JJeiikr

(2.63)

s So ist z. B. bei einem Körper, dessen beleuchteter Teil eine Ebene ist, die senkrecht zum Funkortungsgerät steht, cos (n, r) = |e2i*r| = 1 ,

(2.64)

so daß nach (2.63) der Streuquerschnitt eines solchen Körpers F =

4tu

X2

ff-

-

4

* A«

(2.65)

wird, wo A der geometrische Flächeninhalt der beleuchteten Oberfläche ist.

2.5. Polarisationseffekte

25

2.5. Polarisationseffekte Die Art der Polarisation der U K W spielt oft eine wichtige, noch nicht immer voll anerkannte Rolle. Darüber sollen im folgenden einige qualitative Bemerkungen gemacht werden. Zunächst über die Frage, ob vertikale oder horizontale Polarisation für UKW-Rundfunk, Fernsehen und andere Verbindungen zweckmäßiger ist. Was die empfangene Feldstärke betrifft, ist aus den Formeln des Abschnittes 2.1 bzw. 2.2 zu sehen, daß die Polarisation nur durch den Fresnelschen Reflexionskoeffizienten R eingeht, der ja von der Polarisation abhängt. In fast allen praktischen Fällen ist der Streifwinkel y sehr klein, so daß der Reflexionskoeffizient seinem Grenzwert —1 zustrebt. Wie man jedoch aus den Fresnelschen Formeln leicht nachweisen kann, strebt der Reflexionskoeffizient bei horizontaler Polarisation diesem Grenzwert viel schneller zu als bei vertikaler, d. h., ein gegebener Wert, der nahe bei —1 liegt, wird bei horizontaler Polarisation schon bei größeren Winkeln y, also bei kleinerem r erreicht als bei vertikaler Polarisation. Da nun der reflektierte Strahl etwa gleich stark wie der direkte, aber in Gegenphase ist, ist er im allgemeinen als schädlich zu betrachten, und auf den ersten Blick würde es daher scheinen, als ob vertikale Polarisation günstiger wäre, da sie — wenigstens bei kleinen Entfernungen, also bei größeren Streifwinkeln — eine größere Feldstärke liefert. Diese Behauptung bleibt im wesentlichen auch wahr, wenn das reflektierende Gelände nicht glatt, sondern rauh ist. Dieser Vorteil der vertikalen Polarisation wird jedoch von einem anderen Nachteil aufgehoben. Reflexion findet nicht nur am Erdboden, sondern auch an Gegenständen wie Häusern, Masten, Bäumen usw. statt. Diese Reflexionen sind besonders für das Fernsehen nachteilig, da sie „Geisterbilder" verursachen. Sofern es sich um reflektierende Flächen handelt, stehen diese meist senkrecht (Häuser, Mauern usw.), so daß die vertikale Polarisation (in bezug auf den Erdboden) zur Horizontalpolarisation (in bezug auf diese reflektierenden Flächen) wird und folglich besser reflektiert wird. Von diesem Standpunkt aus ist also die vertikale Polarisation (in bezug auf den Erdboden) nachteilig. Sofern es sich um schmale Gebilde handelt (Mäste, Türme, Kandelaber, Drähte, Baumstämme usw.), sind senkrechte Gegenstände häufiger anzutreffen als waagerechte (Drähte, Leitungen). Die vertikale Polarisation ist also auch von diesem Standpunkt aus nachteilig. Ein bedeutender Nachteil der Vertikalpolarisation beim Fernsehen und UKW-Empfang ist es, daß industrielle Störungen (Kraftfahrzeugzündung, elektromedizinische Geräte, elektrische Haushaltsgeräte usw.) vorwiegend vertikal polarisiert sind. Außerdem läßt sich bei Horizontalpolarisation eine günstige Richtcharakteristik der

2. Die Ausbreitung auf freie Sicht

26

Empfangsantenne einfacher erzielen. Deswegen wird in den meisten Ländern für das Fernsehen horizontale Polarisation benutzt, obwohl beide Polarisationsarten Vor- und Nachteile haben und daher die Wahl der Polarisationsart nicht allzu kritisch ist. Hingegen kann man bei der heute beginnenden Uberfüllung der Fernsehkanäle die Polarisation zur Trennung zweier Fernsehsender auf demselben Kanal benutzen. In England und anderen Ländern weitgehend durchgeführte Messungen haben gezeigt, daß im Bereich von 30 bis 300 MHz im Mittel ein Störabstand von 18 db erzielt werden kann; in 90% der untersuchten Orte überschritt der Störabstand 10 db. Ähnliche Ergebnisse wurden auch im Dezimeterwellenband festgestellt1). Die Art der Polarisation macht sich auch in der Form des Richtdiagramms einer Antenne über dem Erdboden bemerkbar. Die Keulen des Richtdiagrammes werden bei horizontaler Polarisation scharf ausgeprägt, bei vertikaler Polarisation aber verschmiert, da die Minima zwischen den Keulen nach Abschnitt 2.3 durch Interferenz zweier Wellen entstehen, von denen die eine durch den Fresnelschen Reflexionskoeffizienten bestimmt ist. Eine bedeutende Rolle kommt der Polarisation in der Funkortung zu, da man durch entsprechend gewählte Polarisation unerwünschte Echos von kugelförmigen Wassertröpfchen (Wolken, Regen usw.) unterdrücken kann. Der Grundgedanke hierbei ist, daß Kreispolarisation im Uhrzeigersinn als Kreispolarisation im entgegengesetzten Sinne von Wassertröpfchen zurückgestreut wird und also nicht in die Empfangsantenne eindringen kann [ K E R R 1951; Bouix, C L E M E N T und F R E M I O T 1956; M C F E E und M Ä H E R 1959; C H Y T I L 1961]. Eine wichtige und bisher noch ungenügend untersuchte Erscheinung ist die Depolarisation, d. h. die Änderung der Polarisation einer elektromagnetischen Welle im Verlauf der Ausbreitung, besonders im Verlauf der Reflexion. Die Depolarisation ist nicht nur in der Funkortung wichtig, wo sie zu einer bedeutenden Verminderung der Eingangsspannung des empfangenen Signales führen kann, sondern auch bei UKW-Funkverbindungen aller Art. Als einfaches Beispiel der Depolarisation betrachte man Bild 2.9, auf dem wir der einfallenden Welle entgegensehen; der elektrische Vektor G^ ist horizontal polarisiert (in bezug auf die Erdoberfläche) und wird von einer vollkommen leitfähigen, um 45° geneigten Ebene reflektiert. Wir nehmen streifenden Einfall an, um die Geometrie dieses Falles nicht noch durch die Vorwärtsneigung des Vektors (aus der Bildebene heraus) zu komplizieren. Wir zerlegen in eine normale (n) und eine tangentiale (t) Komponente. Die Randbedingungen fordern Eln = £2„, Elt = E2t; nachdem man die reflekl

) Bericht No.

u n d HARDEN

122

1956].

des CCIR, IX. Vollversammlung, Los Angeles

1959;

s. auch

[SAXTON

27

2.5. Polarisationseffekte

tierten Komponenten E 2 n und E 2 t addiert hat, findet man die reflektierte Welle ©2 vertikal polarisiert. Dieses einfache Beispiel, das in der Praxis der Reflexion von Fernsehsignalen durch leitfähige, schiefe Dächerflächen entspricht, zeigt, daß sogar eine Ebene eine horizontal-polarisierte Welle in eine vertikal polarisierte umwandeln kann. Wenn nun die Polarisation allgemein elliptisch, der

Bild 2.9. Depolarisation an einer schiefen Ebene, z. B. einem Dach

Streifwinkel nicht gleich Null und die Leitfähigkeit endlich sind, dann wird das Problem ziemlich kompliziert, besonders wegen der unübersichtlichen dreidimensionalen Geometrie. Fast alle Depolarisationsprobleme kann man jedoch leicht durch Anwendung eines Depolarisationsfaktors lösen [ B E C K M A N N 1961f]. Wir führen ein rechtwinkliges Koordinatensystem x, y, z mit Einheitsvektoren x0> Vo' 3ö e i n - Die einfallende Welle breitet sich in der Richtung des Vektors f x aus, der in der rrz-Ebene liegt, so daß _L t)0 (Bild 2.10). Weiter führen wir die Einheitsvektoren e* und e^ ein, wobei c7 -L 3o und c j _L ¿1, so daß I 1 } Cj, e j zueinander senkrecht stehen. Die Vektoren e j und c^ definieren zwei Grundpolarisationen. Wenn wir die ¡ry-Ebene parallel zur Erdoberfläche wählen (was oft vorteilhaft, aber nicht unbedingt notwendig ist), dann definiert t\ vertikale und t\ horizontale Polarisation. Wir nehmen an, daß die einfallende Welle zeitharmonisch ist; wenn wir den Faktor exp(—itoi) weglassen, können wir schreiben «!=£•»• + £;«;,

(2.66)

2. Die Ausbreitung auf freie Sicht

28

wo E* und E\ die komplexen Skalarwerte des Vektors ej und Cj sind. E s s e i

in den Richtungen

P ^ M e ^ P - l j ;

(2.67)

der komplexe „Polarisationsfaktor" der Welle. Dieser Faktor bestimmt eindeutig die Polarisation der einfallenden Welle. So z. B. bedeuten Im p > 0 Im p < 0 Im p = 0 p = 0 p = oo p — ±i

rechtsdrehende Polarisation linksdrehende Polarisation Linearpolarisation Horizontalpolarisation Vertikalpolarisation Kreispolarisation.

Mit Hilfe des Polarisationsfaktors p erhalten wir alle anderen Größen, die mit der Polarisation zusammenhängen. So ist z. B. die. Polarisationsellipse in ein Rechteck mit den Seiten E\ und pE~l eingeschrieben; die Achsen der Ellipse sind gegen die Achsen des Rechtecks um einen Winkel y> verschoben, wobei man leicht findet, daß 2]p| tan v = { _ | cos (arg p). (2.68) Den augenblicklichen Winkel tx zwischen (£1 und c^ erhalten wir, indem wir das Verhältnis der reellen Teile von E + und E~ bestimmen: tan a(t) = Re p + Im p tan VP m 1 •a" vp »3 vp VP CO *H CS 00 m VP VP vp vP © S 00 C © «a< CS O CO co O vp CS CO CO CO co •«H in CS os os co co es es VP V P os © m CO CS CS es es © co © O S es •«H ^00 H es es

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3.2. Der modifizierte Brechungsindex Ci

n

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30,6 28,6 26,8 25,1 23,4

00 t>

21,9 20,5 19,1 17,8 16,6

C^ IM M IM fo f«5 i J/i) der beliebige Empfangspunkt sei (x2, y2) (Bild 3.4). Wir wollen die Strahllaufbahn y = y{x) finden. Die Geschwindigkeit der Welle ist v

(

= J f -

3 /

*9)

Wenn also die Länge der Laufbahn s ist, dann ist die Laufzeit x, t

=

V

=

C

—

= C

I

f N(y) .

i / r r y ^ .

(3.50)

x1

Nach dem Fermatschen Prinzip muß sich der Strahl auf derjenigen Laufbahn y(x) ausbreiten, auf der die durch das Integral (3.50) gegebene Laufzeit minimal ist. Bezeichnen wir den Integranden mit F, dann berechnen wir die Funktion y(x) aus der Euler-Lagrangeschen Differentialgleichung der Variationsrechnung dF

d

dy

dx

IdF

\

\dy'/

^

Die atmosphärische Brechung

Q*

Bild 3.3. *•

Physikalische Bedeutung des äquivalenten Erdradius. Die relative Krümmung zwischen wirklichem Strahl und wirklicher Erde bleibt erhalten, wenn der Strahl auf eine Gerade ausgerichtet wird. a positive Brechung; b keine Brechung; c negative Brechung; d kritische Brechung; e Wellenleiterkanal

Bild 3.4. Die Strahllaufbahn als Extremale

3.4. Die Strahllaufbahn

47

Durch Auflösung der Klammern entsteht Fy-

Fsu, -

Fm.

-

Fvv.

y" = 0 .

(3.52)

Da wir annehmen, daß sich der Brechungsindex nur mit der Höhe y, nicht mit der Entfernung x ändert, verschwindet das zweite Glied in (3.52); multiplizieren wir beide Seiten mit y', dann sieht man, daß (3.52) — wenn F nicht von x abhängig ist — in der Form d da;

(F-yFr)

= 0

(3.53)

geschrieben werden kann. Durch Integration erhalten wir dann F — y' Fy, = Clt

(3.54)

wo C1 die Integrationskonstante ist. Als Beispiel nehmen wir einen linearen Verlauf von N(y) an: N(y) = ay + b.

(3.55)

F = (ay + b) j / I + 7 * .

(3.56)

Dann ist

Durch Einsetzen in (3.54) erhalten wir

oder nach einfachen Umformungen

yi +

(3.57)

y2

ay + b = Ciyr+^.

(3.58)

Nach (3.55) ist a der Gradient des Brechungsindexes (g) und b der Wert an der Erdoberfläche y — 0, den wir mit N0 bezeichnen werden. Weiter ist nach (3.58) C1 der Wert von N, wenn y' = 0 ist, also im Wendepunkt W der Laufbahn (Bild 3.4). Es ist also gy+

N0 = 1TTYK

(3.59)

Die Lösung dieser Gleichung ist y

=

8

Na

g

(3.60)

Die Integrationskonstanten Nw und C werden aus der Bedingung gefunden, daß die Strahllaufbahn (3.60) durch die Punkte (a^, y^, (x2, y2) gehen muß, d. h. aus den Bedingungen J/(*i) = 2/il (361) = 2/s J

48

3. Die atmosphärische Brechung

Nun ist (3.60) eine Kettenlinie, und man kann durch zwei gegebene Punkte zwei Kettenlinien der Art (3.60) legen; wie in [ B E C K M A N N 1953a] gezeigt wird, ist nur die Kettenlinie mit der kleineren Krümmung eine Extremale. 3.5. Die Arten der Brechung Durch Ableitung von (3.43) erhalten wir du dy

Da n

1 ist, können wir nach (3.48) diese Gleichung auf ±

Re

= ^ + A dy

/?

(3.63)

K

'

umschreiben, wobei wir y/R gegen eins vernachlässigt haben. Aus (3.63) folgt Re

dy

(3-64)

Wir führen nun den Faktor k ein: k == k

(3.65)

R

Dann folgt aus (3.64) k=

i-- . dn 1 + 7?—

(3.66)

dy

In der Atmosphäre kommen nun verschiedene Gradienten dn/dy und auch dementsprechende Faktoren k vor. Nehmen wir einen adiabatischen Gradienten der Troposphäre an, so erhalten wir — = — 4-10~2 m _ 1 dy

(3.67)

und nach (3.66) mit R = 6370 km (3.68) Bei diesem Zustand der Atmosphäre, der meistens angenommen wird, spricht man von der „Standardatmosphäre" und der „Standardbrechung". Bei k > — bzw. k < — spricht man von „Überstandardbrechung" bzw.

48

3. Die atmosphärische Brechung

Nun ist (3.60) eine Kettenlinie, und man kann durch zwei gegebene Punkte zwei Kettenlinien der Art (3.60) legen; wie in [ B E C K M A N N 1953a] gezeigt wird, ist nur die Kettenlinie mit der kleineren Krümmung eine Extremale. 3.5. Die Arten der Brechung Durch Ableitung von (3.43) erhalten wir du dy

Da n

1 ist, können wir nach (3.48) diese Gleichung auf ±

Re

= ^ + A dy

/?

(3.63)

K

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umschreiben, wobei wir y/R gegen eins vernachlässigt haben. Aus (3.63) folgt Re

dy

(3-64)

Wir führen nun den Faktor k ein: k == k

(3.65)

R

Dann folgt aus (3.64) k=

i-- . dn 1 + 7?—

(3.66)

dy

In der Atmosphäre kommen nun verschiedene Gradienten dn/dy und auch dementsprechende Faktoren k vor. Nehmen wir einen adiabatischen Gradienten der Troposphäre an, so erhalten wir — = — 4-10~2 m _ 1 dy

(3.67)

und nach (3.66) mit R = 6370 km (3.68) Bei diesem Zustand der Atmosphäre, der meistens angenommen wird, spricht man von der „Standardatmosphäre" und der „Standardbrechung". Bei k > — bzw. k < — spricht man von „Überstandardbrechung" bzw.

49

3.5. Die Arten der Brechung

„Unterstandardbrechung". Solange k > 1 ist, wird die Strahllaufbahn von dn oben gesehen konvex, siehe Bild 3.3 a. Bei k = 1 ist

= 0; dies entspricht

dem Fall einer homogenen Atmosphäre ohne Brechung, siehe Bild 3.3 b. Wird > 0, ist k < 1; die Strahllaufbahnen sind von oben gesehen konkav; dies ist die „negative Brechung" nach Bild 3.3c. Der Faktor b wird unendlich, wenn nach (3.66) dn dy

1 R

(3.69)

ist. Die Krümmung der Strahllaufbahn hat dann ihren Mittelpunkt im Erdmittelpunkt, der Strahl läuft parallel zur Erdoberfläche, siehe Bild 3.3 d. Dies ist die „kritische" Brechung. Hierbei wird nach (3.62) (3.70)

N'(y)=0. dw Wird schließlich der Gradient—— noch steiler als (3.69), d. h., dy

dn

_ 1

(3.71)

dann wird die Krümmung der Strahllaufbahn größer als die der Erdoberfläche. Es entsteht ein Wellenleiterkanal nach Bild 3.3e. In diesem Falle ist N'(y)< 0.

(3.72)

Die Theorie des Wellenleiterkanales, engl, „duct", muß mit Hilfe der Wellenoptik behandelt werden, da die Ausbreitung frequenzabhängig ist. Ausführlich ist diese Frage in [ K E R R 1951] behandelt, jedoch ist auch aus der hier angegebenen geometrisch-optischen Behandlung der Mechanismus des Wellenleiterkanales zu erkennen. J e nachdem, ob der Gradient des modifizierten Brechungsindexes —— bei der Erdoberfläche (Bild 3.5 a) oder in höheren Schichten (Bild 3.5b) negativ wird, entsteht ein Oberflächenkanal (surface duct) oder ein erhobener Kanal (elevatedduct). 4

Beckmann, Ausbreitung der ultrakurzen Wellen

ZVBild 3.5. Verlauf von N(y) bei Vorhandensein eines Wellenleiterkanals

50

3. Die atmosphärische Brechung

Man sieht, daß für die Unterscheidung der verschiedenen Arten der Brechung die Benutzung verschiedener Parameter, nämlich TV', n' oder k vorteilhaft ist. Deshalb sind in der Tabelle 3.2 die verschiedenen Brechungsarten und die entsprechenden Parameter zusammengestellt worden. T a b e l l e 3.2 Arten der Brechung k

dn dy

Brechungsart

< o

Wellenleiterkanal

oo

kritische Brechung

> 3

4

4 3~ 4 < 3 1

< 1

dJV dy

< 0 positive Brechung (konvex)


0

kein Wellenleiterkanal

Unterstandard

0

keine Brechung

negative Brechung

> 0

keine Brechung (gerade) negative Brechung (konkav)

3.6. Statistik des Brechungsindexes Wie aus den vorhergehenden Abschnitten zu ersehen ist, bestimmt der Gradient des Brechungsindexes die Krümmung der Strahllaufbahn und somit auch die folgenden Faktoren: Den Einfallswinkel zum Erdboden und auch zu Schichten in der Troposphäre; den Radiohorizont, denn nach (2.34), Abschnitt 2.2, ist r , = p k Rh;

(3.69)

die Phasenverschiebung des reflektierten Strahles in bezug auf den direkten Strahl;

50

3. Die atmosphärische Brechung

Man sieht, daß für die Unterscheidung der verschiedenen Arten der Brechung die Benutzung verschiedener Parameter, nämlich TV', n' oder k vorteilhaft ist. Deshalb sind in der Tabelle 3.2 die verschiedenen Brechungsarten und die entsprechenden Parameter zusammengestellt worden. T a b e l l e 3.2 Arten der Brechung k

dn dy

Brechungsart

< o

Wellenleiterkanal

oo

kritische Brechung

> 3

4

4 3~ 4 < 3 1

< 1

dJV dy

< 0 positive Brechung (konvex)


0

kein Wellenleiterkanal

Unterstandard

0

keine Brechung

negative Brechung

> 0

keine Brechung (gerade) negative Brechung (konkav)

3.6. Statistik des Brechungsindexes Wie aus den vorhergehenden Abschnitten zu ersehen ist, bestimmt der Gradient des Brechungsindexes die Krümmung der Strahllaufbahn und somit auch die folgenden Faktoren: Den Einfallswinkel zum Erdboden und auch zu Schichten in der Troposphäre; den Radiohorizont, denn nach (2.34), Abschnitt 2.2, ist r , = p k Rh;

(3.69)

die Phasenverschiebung des reflektierten Strahles in bezug auf den direkten Strahl;

3.6. Statistik des Brechungsindexes

51

die effektiven Antennenhöhen; den Divergenzfaktor; alle anderen Größen, die vom Erdradius R (der bei Brechung durch kR zu ersetzen ist) mitbestimmt werden. Deswegen ist der zeitliche und geographische Verlauf des Brechungsindexgradienten von großem Interesse für die sogenannte Radioklimatologie. Da der wirkliche Verlauf des Brechungsindexes der Atmosphäre mit der Höhe an individuellen Tagen zu kompliziert ist, als daß er statistisch verarbeitet werden könnte, begnügt man sich mit der „durchschnittlichen Refraktivität", die als AN = [n (j/ 0 + 1000) - n (y0)] 10« NE/km

(3.70)

definiert ist, wo y0 die Höhe der Erdoberfläche (in Metern) über dem Meer ist, und NE „N-Einheiten" sind, deren Anzahl gleich (n — 1) 10® ist 1 ). Die Größe (3.70) kann man aus Radiosonden durch die Beziehung (3.28) berechnen oder mit einem Radiorefraktometer messen, in dem die Frequenz eines Hohlraumresonators durch Luftproben verstimmt und mit einem Vakuumhohlraumresonator verglichen wird [CRAIN 1953, 1954, 1955; BUSSEY u n d BIRNBAUM 1 9 5 3 , 1 9 5 5 ; THOMPSON u n d VETTER 1 9 5 6 ;

STEFFEN

1961].

Diese Messungen werden in Isogradienten-Karten verarbeitet. Auf diese Weise entstand eine neue Disziplin der Radiowissenschaft, die Radioklimatologie. Grundlegende Arbeiten auf diesem Gebiet wurden von BEAN und von MISME verfaßt (s. Literaturverzeichnis). Für das mitteleuropäische Klima kann man folgende allgemeine Tendenzen feststellen: 1. J e weiter man sich vom Meer entfernt, desto kleiner wird der Mittelwert von A N und desto größer wird seine Streuung. 2. Über See und nahe der Küste kommt es selten zu Wellenkanalbildungen, im Innenland fast überhaupt nicht. 3. Negative Brechung tritt nur ganz ausnahmsweise ein. 4. Die Mittel- und Streuwerte Von AN liegen im Sommer höher als im Winter. Der Name „iV-Einheiten" (eHHHHijH N, N-units) ist in der technischen Literatur eingebürgert. Wir haben diesen Ausdruck früher nicht benutzt, um Verwechslungen mit dem (ebenfalls eingebürgerten) Symbol N für den modifizierten Brechungsindex zu vermeiden. 4*

52

3. Die atmosphärische Brechung

5. Die Mittelwerte liegen in der Nacht höher als am Tage. Die statistische Verteilung von AN ist in erster Näherung normal, d. h., seine Wahrscheinlichkeitsdichte ist (AN- af p(AN) = exp (3.71) 2 a2 wo a den Mittelwert und o die Standardabweichung von A N bedeuten. Als Beispiel sind in Tabelle 3.3 die Werte angeführt, die nach den Angaben der Radiosonde Prag in den Jahren 1951 bis 1955 berechnet wurden [ B E C K MANN 1 9 5 7 b ] .

T a b e l l e 3.3 Mittlere Refraktivität nach der Radiosonde Prag [NE/km]

Februar Mai August November Jahreswert

1500 M E Z

0300 MEZ

Monat

a

— — — — —

a

34,9 36,3 40,1 34,3 36,4

a

— — — — —

4,7 7,3 9,6 6,0 6,9

33,5 35,2 36,0 35,5 35,0

a

5,3 8,1 9,6 6,5 7,4

Durch Kenntnis der Statistik des Brechungsindexes kann man die Statistik der von ihm beeinflußten Größen berechnen; als Beispiel berechnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Höhenfehlers bei der Funkortungsmessung [BECKMANN 1958 a].

Wir nehmen an, daß der modifizierte Brechungsindex sich linear mit der Höhe nach (3.44) ändert, so daß wir den äquivalenten Erdradius Re nach (3.48) benutzen können. Es läßt sich leicht zeigen, daß N als Funktion der Höhe h die lineare Form N(h) =cth+

N0

(3.72)

nur dann haben wird, wenn der Brechungsindex n(h) die Form n{h)

ah + N0

(3.73)

1+R hat. Jedoch selbst für h = 10 km unterscheidet sich der Nenner dieses Ausdruckes von eins nur um weniger als 1,6 •10 - 3 , so daß wir die Methode des äquivalenten Erdradius ohne bedeutenden Fehler auch dann benutzen können, wenn n(h) linear ist, also wenn ^

ah

= konst.

(3.74)

3.6. Statistik des Brechungsindexes

53

ist. In diesem Falle läßt sich die Berechnung des Höhenfehlers eines Funkortungsgerätes sehr vereinfachen. Es sei im Punkte 0 (Bild 3.6) ein Funkortungsgerät, welches die Entfernung r und den Elevationswinkel 0 eines Zieles Z mißt. OA ist die (glatte) Erdoberfläche und A der Fußpunkt des

r

Bild 3.6. Zur Bestimmung des Höhenfehlers bei der Funkortung

Zieles. Die wirkliche Höhe des Zieles über A ist AZ = h; wegen der Strahlenkrümmung OZ mißt jedoch das Funkortungsgerät die falsche Höhe AZ' = hm. Wir können jedoch nach Abschnitt 3.3 die geradlinige Strahllaufbahn OZ' annehmen, vorausgesetzt, daß wir statt mit der wirklichen Erde OA mit der äquivalenten Erde OA' rechnen. Der Radius dieser äquivalenten Erde ist nach Abschnitt 3.3 R

Wie aus Bild 3.6 zu ersehen ist, ist die gemessene (unkorrigierte) Höhe des Zieles r® ros® 6 hm=rs i n O + 2 R , (3.76) worin R — 6370 km der wirkliche Erdhalbmesser und das zweite Glied gleich AB ist. Die wirkliche Höhe h = AZ ist gleich der Höhe des äquivalenten Zieles Z' über der äquivalenten Erde, also h — A'Z'. Der Höhenfehler ist also he = Z'Z = A'A = BA — BA' (3.77)

54

3. Die atmosphärische Brechung

oder nach (3.76) und (3.75) r 2 cos 2 0

(3.78)

2R

Von (3.75) und der Definition des modifizierten Brechungsindexes (3.42), Abschnitt 3.2., bekommen wir nach Vernachlässigung der Größen zweiter Ordnung

so daß nach Substitution von (3.79) in (3.78)

Da im mitteleuropäischen Klima dn/dh praktisch immer negativ ist, erhalten wir schließlich die Formel für den Höhenfehler bei linearem Verlauf von n(h): r 2 cos 2 0

drc

(3.81)

dh

Bei nicht linearem Verlauf von n(h) läßt sich der Höhenfehler entweder durch eine Integralgleichung oder durch Aufspaltung des Profils in mehrere lineare Abschnitte berechnen [ B E C K M A N N 1958a]. Wenn wir statt mit dem wirklichen Erdhalbmesser (k = 1) die äquivalente Erdkugel der Standardbrechung (k = k0 = 4/3) benutzen, erhalten wir einen kleineren Fehler, nämlich

oder

wo (dn/d/i)0 = — 4-10 - 8 k m - 1 der Standardgradient ist. Wenn wir n in ,,N-Einheiten" (NE) messen, deren Anzahl gleich (n — 1) 10® ist, erhalten wir dann die Formel h'e = r 2 cos 2

^

- 2 0 ) 10-3

[km; km, N E / k m ] .

(3.84)

In der Praxis ist es nicht möglich, den Wert von dn/dh überall und zu jeder Zeit zu messen. Auch ist die Standardbrechung nicht typisch für Mitteleuropa (s. Tab. 3.3). Es ist deshalb besser, eine Statistik des Brechungsindexgradienten von der Art der Tabelle 3.3 zu benutzen. Wenn man eine

55

3.6. Statistik des Brechungsindexes

Standardatmosphäre annimmt, um die wirkliche Höhe mit Hilfe von (3.84) zu berechnen, ergibt sich ein Fehler, dessen Größe von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von dn/dh abhängt. Die „durchschnittliche Refraktivität" AN nach (3.70) ist in erster Näherung normalverteilt [Gaußsche Verteilung, s. Gl. (3.71)], so daß die Wahrscheinlichkeit

— oo

ist. Hier ist a der Mittelwert der zufälligen Größe An/Ah und er2 ihre Streuung. Setzen wir nun gemäß (3.84) y = r 2 cos2 0 dann ist nach (3.85)

- 20) 10-», /

(3.86)

2 • 103 v \

und folglich P\\K\ o œ co «a oo œ vp oo O O O O tT tH -ri o

O" »3" CS C eS 00 VI O IO^H ^ 03 O! •Í.'H ai œ oo o) o O © o" O •rt

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70

4. Der Einfluß des Geländes

Wenn das Gelände vor und hinter dem Hindernis eben ist, kommt es in beiden Gebieten zur Reflexion. E s sind dann vier Strahlen zu berücksichtigen, nämlich die Strahlen AC, AD, BC und BD auf Bild 4.4a. In diesem Falle sind vier Felder zu berechnen, da man vier verschiedene Höhen h nach Bild 4.4 b erhält. Die Amplituden sind natürlich mit E0, RXEQ, R2E0 und

R-LR^EQ anzusetzen, wo R t der Fresnelsche Koeffizient für die Reflexion vor und R 2 hinter dem Hindernis ist. Die vier so erhaltenen Felder sind phasenmäßig zusammenzuzählen, so daß man bei der numerischen Berechnung besser (4.20) anwendet; kann die Reflexion vernachlässigt werden (z. B . wegen Rauheit des Geländes), dann ist (4.22) vorteilhafter. Eine vereinfachte Methode der Berechnung der Fresnelschen Beugung an scharfkantigen Hindernissen wurde von A N D E R S O N und T R O L E S E [1958, 1959] •entwickelt. Bei längeren Strecken muß man die Kugelförmigkeit der Erde bei der Bestimmung der Überschattungshöhe in Rechnung stellen. E s sei h x die Höhe ü. M. der Sendeantenne S, h2 die Höhe ü. M. des Empfangspunktes P

4.2. Nichtoptische Strecken. Beugung an Bergkämmen

71

und h' die Höhe des Hindernisses. Dann folgt aus einer elementaren Berechnung nach Bild 4.5 die Uberschattungshöhe h=

h

'-h

1

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2

-h

1

).

(4.23)

Die Uberschattungshöhe und somit die empfangene Feldstärke ist also vom äquivalenten Erdhalbmesser Re, d. h. vom Brechungsindexgradienten abhängig. Dies ist physikalisch leicht verständlich, da der Gradient des Brechungsindexes eine verschiedene Krümmung der Strahlen bewirkt, so daß der direkte (durch das Hindernis unterbrochene) Strahl auf das Hindernis näher oder weiter von seinem Gipfel entfernt auftrifft. Die Welle, die von einem scharfkantigen Hindernis gebeugt wird, ist viel stärker als die Welle, die in gleicher Entfernung hinter dem Horizont empfangen wird; diese Erscheinung ist als „Hindernisgewinn" 1 ) bekannt, eine nicht sehr glückliche Benennung, denn die durch ein scharfkantiges Hindernis gebeugte Welle ist natürlich im Schatten des Hindernisses schwächer als die Welle, die vor dem Horizont ohne Hindernis auf freie Sicht empfangen würde. Die Funktion | f(v) | = |£/£0| ist eine monoton abnehmende Funktion von v. Führen wir gemäß Bild 4.6 den Einfalls- bzw. Beugungswinkel h

a 1 = arc tan — , «i

a2 — a r c

Russ. BHHrpran n p e n H T C T B H H , engl, obstacle

gain.

tan

h

t~ d2

., „ .

72

4. Der Einfluß des Geländes

ein, dann können wir (4.21) in der Form

v =

(4.25)

schreiben. Hieraus ist zu ersehen, daß mit zunehmendem Beugungswinkel a 2 der Parameter v zunimmt und folglich die Feldstärke (s. Tab. 4.2) abnimmt. Dies ist die Erklärung, warum hinter einem Hindernis die Feldstärke mit wachsender Entfernung vom Sender bzw. Hindernis zunimmt. Aus der Fernsehversorgung ist z. B. bekannt, daß von den Punkten A, B, C auf Bild 4.6

I—«fr—I Bild 4.6.

Die Rolle des Beugungswinkels im Gelände

der Punkt C die größte Feldstärke hat, obwohl er vom Sender am weitesten entfernt ist. Die Größe der Winkel

3 32 sin

y

(4.37)

die Oberfläche rauh ist und also streut. Das Rayleighsche Kriterium (4.36) ist das Resultat einer sehr vereinfachten Betrachtung und ist nur qualitativ, d. h., es ermöglicht festzustellen, ob

?////////////// Bild 4.9, Zur Ableitung des Rayleighschen Kriteriums

Reflexion oder Streuung eintritt, nicht aber, wie groß die Streuung in einer gegebenen Richtung ist. Außerdem ist der Fall, in dem die Unregelmäßigkeiten nur durch eine einzige Höhe h gegeben sind (Bild 4.9), in der Praxis sehr selten. Das Gelände und andere rauhe Oberflächen kann man am besten als statistische Größen betrachten, z. B. als stochastischen Prozeß, der durch seine Wahrscheinlichkeitsverteilung und Körrelationsfunktion gegeben ist. Es sei z. B. die Höhe des Geländes um einen Mittelwert (Null) normal verteilt; die maßgebende Abweichung (Effektivwert der Höhe, d. h. Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung vom Mittelwert) sei hett. Wir nehmen weiter an, daß die rauhe Oberfläche vollkommen leitfähig ist, denn es ist eine bekannte Tatsache, daß der Charakter der Streuung von einer rauhen Oberfläche wenig von den

78

4. Der Einfluß des Geländes

elektrischen Konstanten, aber sehr vom Rauhigkeitsgrad der Oberfläche abhängt. Dann läßt sich zeigen [ B E C K M A N N und S P I Z Z I C H I N O 1962, Kap. 5.3], daß der Mittelwert des Reflexionskoeffizienten in der Richtung der spiegelartigen Reflexion durch die Formel ' Aelf sin y \21 = e x p [ - 8 ^ ( ^ p i ) ]

(4.38)

1,0

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h-f-0,1

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