Cultura Y Aprendizaje 12

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DET,A,GEffiM

INVITACION A tA DIDACTICA DE tA GEOMETRIA

Colección: MATEMATICAS : CULIURA Y APRENDIZAJE 1 A¡€¡ de coDocimieDfo: di¿ictic{ de la5 mrt€miticas AnselGüt'érc, BenúidoG6M Alrors' ¡uú Díe codino Luir Rio R'* 2, Núú€m6 y op€r¡ciones Luis RicoRoI|Ñ. Er@ió¡

csfD M¡rfn-. E¡riqE ca¡trsM&dnez

3. Numer¡ción y cdlculo B'oardo cómz ^lrmo 4. Ff¡ccion€6 s¡lv!¡to.L¡i,es ct!ú, M.. victo¡is sósh.z c*f! 5. Núúerus deciúeleÉ: por qué y pera qué Jüli. CrdtenoPée 6. Númeroc eúteros ,osaL, G@dld M.d, M.' Dolñr l¡i.n! Bustos.AlfoM OrtizCoM, I¡M.1¡Ld. V¡¡C¡s Mochuca, MduelaJiMo P&É2,Alto¡io friz vilbFjo, astcba¡Sez Jináw

,14. Proporcionalidad geométrica y semejanza GrupoBeta 15, Poliedros c'!sdi.Gu¡[én so¡.. 1ó uns m€todologl¡ acdv¡ y lúdlcr p¡r¡ I¡ eÉ€ñ¡Da A¡g'l Mt¡tf¡e R@io'Foci$o Juú Fiv¡th 17. El problem¡ de l¡ m€(üds c¡¡'Mch.tt|o@P|U JMM Bclnútecó@ por el círcuto l& cirtul¡dlo FE¡ck@ P.diIÁ Df¡z,Anulfo Súto. Hd¡ln¡L¿, E&l¡ Vcl&qüe, MdEl Rmá¡d'¿ 1"6 19. SuDcrfici€ v voluDen ¡,¡..ie"ro d"r o* no*.,

E, pmbremrs ¡ritméticos RcDardo""col¡r., ¡nis hig Esp¡nosa. C.rdá! Pé¡E 9. ¡;$rin¡c¡ón cn cálct¡lo y medid¡ ls¡tun Scgovi!alcr, E r¡mión C¡de Maí¡ne, Eüiqre C¡r¡o MartlÉ, r.ui¡ R¡h Ro'Em 10. Aritmétic¡ y calcul¡dor¡ Frldc¡icud¡m i Ab.uó

¡-cú6

M.-o

cmr.o, FMcú@ cil cu¡d'

20. hoporciod¡lid.d tlir€ct¡ .¡r¡is Fiol M@, J6é M,, FdrunyAyirmi 21. Nudo6 y Dexos. RedeÉ en l¡ 6cuel¡

7. Divisibirid¡d ModoroSi.@ Vázq@,And¡&G@r¡, M.'T. Gonz{.¿Altud¡llq Múriooonrilc¿Ac6t¡

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2¿ Por 106coE¡nc d€ l¡ lógic¡ I¡& st' M'd*rÓ arie Li"-*di EliM Phñ16 Rriz '.m 23. Inici¡dd¡ ¡l dgebr¡ Mdud Martl¡ Sod Rob¡y¡4M.d6 C.ruho M.chfi, M.' McEr¡16P¡llM Mcdin4 ¡oFf. Hd¡Dd.z Donr¡s!@ A

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25. EDscñ¡Dza de l¡ mulfipficrción

y dc l¡ divi¡ión

11. Materi¡le p¡rs corBarülrl¡ geomca¡l¡ cu|c¡ Bu¡gu!¡FldFicll chudi Ak¡M c¡t¡lá, ¡@p M.'Fonuy Ar1tmi 12. Inüt¡ción ¡ l¡ ditác'tic¡ de la g€ometría cf,ddi Alsin¡ c.r¡r4 J@p M . Foruy ayÉni, canm Bu¡g!¿sFt@i.ü 13. SiúeÍríN diDlámicr

26' Furcione y 8ráfic¡3 ¡odi Da¡lof.! Piqet, G¡rM A.c*áÉcin&Éz 27' At¡r y prob¡bilid¡d t@ DlazGodino.Co¡|m BÁrúercBñabéu. M,'Jsú! CaÍtñ 2¡. Encu€5t¡s y pr€cioc André!Nor¡e!CIE¡

Caslellúo

29. Prensa y matemáticas Antonio Fernández Cano. Luis Rico Romero

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso

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JoséA. Cajaraville Pegito

31. Ordenary clasificar Carlos Maza Gómez, Ca¡los Arce Jiménez

32. Juegos y pasatiempos en la enseñarüzade la matemática elemental

INVITACION A tA DIDACTICA DE LA GEOMETRIA

JosefaFemández Sucasas,M." Inés Rodríguez Vela

33. Ideas y actividades para enseñar álgebra GrupoAzarquiel 34. Recursos en el aula de matemáticas Francisco Hemán Siguero, Elisa Carrillo Quintela

CLAUDI ALSINA CA'I'AI,A Catedráticode Matemáticas E.T.S.A.B. UniversidadPolitécnicade Cataluña

Consejoeditor: Luis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa

CARME BURGUÉSFLAMARICH ProfesoraTitular de Didácticade las Matemáticas EscuelaUniversitariade Formacióndel Profesoradode EGB Universidadde Barcelona JOSEPM." FORTUNY AYMEMMI Catedráticode Didácticade las Matemáticas EscuelaUniversitariade Formacióndel Profesoradode EGB UniversidadAutónoma de Barcelona

EDITORIAL

SINTESIS

\ t*r..uffilo\. ba¡'ras

g i ur\*\'r,* $a deadquisición: Fs¡'ma Donación Canje Compra deadqursrción Fecha DíaMesAñotechadeProcesanliento Día Mcs -Año: Proveedor por ftocesado # destinq. Biblioteca t _ t,o.¡D.t¿üF'

Primera reimpresión:octubre 1989 Segundareimpresión:octubre 1992 Tercerareimpresión:julio 1995 Cuarta reimpresión:noviembre 1997 Diseñode cubierta:JuanJoséVázquez Reservadostodos los derechosEstá prohibido, bajo las sancionespenalesy el resarcimientocivil previstosen las leyes,reproducir,registraro transmitir estapublipor cualquiersistemade cación,lntegrao parcialmente, recuperacióny por cualquiermedio,seamecánico,electrónico,magnético,electroóptico,por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización preüa por escrito de Editorial Síntesis,S.A. @ ClaudiAlsina Catalá Carme BurguésFlamarich JosepM.' Fortuny Aymemmi @ EDMORIAL SÑTESIS,S.A, Vallehermosq34.28015Madrid Teléfono(91) 59320 98 http://www.sintesis.com Depósito legal:M, 23,366-1997 ISBN: 84-7738-020-1 Impresoen España- Printed in Spain

A las gentes entusiastas de la Geometría

Indice

Presentación

It

l. Invltación a la Geometría

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l.l. Hacia la Geometría. 1.2. Finalidadesy objetivosen la enseñanza de la Geometría. 1.3. Algunasreflexioneshistóricas. 2. Entorno 2.1. Geometríay Naturaleza. 2.2. Geometría,Cienciay Tecnología. 2.3. Geometríay Arte. 3. Razonamiento 3.1. Procesosinductivos. 3.2. Procesosdeductivos. 4. Representación 4.1. Visualización. 4.2. La representacióngráfica. 4.3. Los modelosmanipulativos. 5. Aprendizaje 5.1. Conocimientoy comprensión. 5.2. Habilidadesy procesos.

l4 17 23

27 28 3l 35 4l 42 49 59

60 63 72 83 84 90

6. Enseñanza 6.1. Planificacióne instrucción. 6.2. Lenguaje,comunicacióne información. 6.3. Relacionary clasificar. 6.4. La resoluciónde problemas. 6.5. Diagnósticoy evaluación. EpíIogo APENDICE: Sugerencias y respuestas a ejerciciosseleccionados. Bibliografía Indice analítico

97 98

r03 107 lll 117 129

Presentación

133 137 139

El término rehabilitar está de moda. Recuperar la belleza escondida en nuestro entorno es un objetivo apetecible:descubrimos la casa, la calle y la ciudad tal y como eran, tal y como nunca deberían dejar de ser. La Geometría ha estado siempre ahí, en la enseñanzay en la investigación, pclo hoy a nivel educativo está pendiente de una completa rehabilitación. l)cnsando en este objetivo nació la idea de este libro. La enseñanzade la Geometría ha de ser un núcleo central en el currfculo escolar. Se trata de una disciplina útil, deseabley bella que ofrece tanto resultados interesantescomo razonamientos y metodologías de marcado carácter formativo. El presentetexto presuponedel lector un conocimiento de los contenidos elementalesde Geometría y centra su finalidad en orientar la enseñanza escolar de la misma. A lo largo de seis capítulos se desgranan temas tales como la historia, la intuición, la percepción, el entorno natural, social y artístico, el razonamiento, la representación, el aprendizaje y temas específicamente didácticos sobre el currículo, la simbolización, las clasificaciones, los problemas o la evaluación. En todos los apartados se incluyen propuestas y actividades que pueden orientar, por su carácter paradigmático, la dinámica en el aula. En cada caso se indican los niveles adecuados,que siempre están comprendidos en el intervalo de la enseñanza obligatoria. Los capítulos principales incluyen algunas investigacionesy ejerciciospara el lector con los cuales se pueden ampliar temas desarrollados anteriormente. Quisiéramos que los futuros enseñantes,o educadoresactuales interesados en el mundo de la Geometría, compartieran con nosotros a lo largo de estas próximas páginas muchas de las vivencias y experiencias que en este terreno hemos realízado, en los distintos niveles,durante los últimos quince años. Esperamos que la obra sea útil para una rehabilitación geométrica eficaz.

C. Alsina, C. Burgués, J. M." Fortuny l0

il

Invitación a la Geometría Pero puesto que queremos que la cosa resulle et'idente' no: serviremos en el escrilo, como se acoslumbra o decir, de utt tono muy sent'illo (LzoN B¡rrlsrn ALBERTI)

Un viejo poema dedicado a Euclidesdecía que Euclides,ya anciano, se :¡ a la orilla del mar y con un estileteiba marcando círculosy rectassobre : arena.Las olas borraban las figuras y Euclidesvolvía alrazarlas, siempre -nido en sus meditaciones.Añade el poema que un niño lo miraba diver:o desdedetrás de una roca, fascinadode ver cómo aquel anciano traza, sin parar, imágenesredondasde la luna...

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radamente los contornos y perfiles de cada nivel paisajístico' De hecho este modo de proceder es común en la mayoría de profesionesque necesitanestudiar lai relaciones espaciales.En este libro se pondrá énfasis a menudo en el espacio tridimensional, aunque sólo sea para contrarrestar la influencia que los medios de comunicación ejercen, al presentar siempre la informacíón uni y bidimensionalmente,por la utilización casi exclusiva de los medios tipográficos y telemáticos. En-ellonocimiento del espacio geométrico hay que distinguir dos modos de comprensión y expresión, el que se tealiza de forma directa, que corresponde a la intuición geométrica, de naturaleza visual y el que se realiza de forma reflexiva, es decir, lógica, de naturaleza verbul. Estos modos de conocimiento aunque muy distintos son complementarios. El primero es creativo y subjetivo, mientras que el segundo es analítico y objetivo. El primero está caracterizado por la intuición y el segundo por la lógica. La historia del desarrollo de las Matemáticas es Ia historia de la relación entre estosdos aspectosdel conocimiento. Ambos modos del conocimiento geométrico pueden considerarsecomo fases del desarrollo del pensamiento. La visualizacióncorrespondeal saber ver el espacioen el cual la intuición es el motor que hace arrancar y avanzar la comprensión de las distintas relacionesespaciales.Ahora bien, para que se tenga un conocimientocorrecto, hay que analizarlo con las leyes de la deducción lógica, para que así se pueda expresar y comunicar por medio del lenguaje. A este respecto es ilustrativa la siguiente cita de Einstein (en Hadamard, 1945): . Aquí ha resurgidocon fuerza el valor de la Geometríaen el currículo. Nuestra época, sumida en un eclecticismo integrador, ha reivindicado tanto valores antiguos (el cálculo mental por ejemplo) como nuevos enfoques (el material y el Iaboratorio como base de aprendizaje).Hoy la Geometría vive de nuevo un momento de esplendor: todo el mundo reconoce ru calidad y su conveniencia.No obstante el debate de su didáctica está hoy por hoy abierto.

-l

Entorno Hay que mirar mucho para llegar a ver (ANtotNE nE S¡.INI Exup¡ny)

La palabra entorno aglutina realidadessustancialmentediversas:hay un entorno natural ajeno a la creatividad humana y hay un entorno artificial que el hombre ha creado con su ciencia,su tecnologíay sus artes...,el viejo sueño de la Geometría fue precisamenteser el lenguaje adecuado para des-

cribir y transformar estos ent'ornos en sus vcrticntes más elementalesy a la vez más profundas: las dimensiones,las f ulrnas, los movimientos, las relaciones cualitativas y cuantitativas, etc. El entorno, en su sentido más amplio, ha sido y seguirásiendo, el gran reto, manantial y fuente de los estudios geométricos, no sólo para motivar descripcionesy modelos sino, lo más interesante, para que con dichos resultados geométricos pueda incidirse en la transformación de la realidad. En la enseñanza,demasiadoa menudo se ha confundido el entorno con el aula, la realidad con la pizarra. Este capítulo reivindica esencialmenteel uso de los entornos humanos como material para la educación geométrica.

2.I.

GEOMETRIA Y NATURALEZA

2.1.1. Los fenómenosnaturales EI entorno natural siempre ha sido fuente de estudio e inspiración de la actividad humana. Los orígenes de la Geometría hay que buscarlos en las situaciones y problemas del entorno, como los que tenían las antiguas civilizaciones egipcias con las crecidas e inundaciones de las tierras producidas por el río Nilo. Multitud de fenómenos naturales han hecho crecer, desarrollar y aplicar los conocimientos geométricos para su descripción, control y estudio. Entre ellos cabe destacar los problemas de medición del tiempo, de localización y situación geográfica, la descripción y reproducción de modelos de paisajes, la forma, el tamaño y el crecimiento de los seresvivos, el análisis de la constitución de la materia, la explicación del cosmos, etc. El estudio de los hechosnaturales desdeuna perspectivageométrica, además de tener un intrínseco interés cultural, tiene un enorme interés pedagógico de caÍa a motivar la enseñanza-aprendizajedg la Geometría. Se puede hablar en este sentido de una fenomenología didáctica tal como la define el profesor H. Freudenthal (véaseFreudenthal, 1983).

nes y proporciones y las de elección de sistemasde referencia, con el uso de coordenadas,etc. En cuanto al análisis figurativo, es el que hace referencia al tipo de forma independiente del tamaño y el material, como es el estudio de la regularidad, de la simetría, de las transformaciones geométricas,el caos, etc. Por último, en el análisis estructural nos ocupamos de la estructura formal de los objetos, analizando sus esquemasde constitución, sus propiedades cualitativas, como son las relaciones topológicas, proyectivas, afines y euclídeas. La actividad espacial puede enmarcarseen dos tipos de procesos:el que corresponde ala traducción en clave geométrica de los fenómenos y el que favorece el desarrollo de Ia intuición geométrica, La actividad espacial en el entorno constituye el soporte adecuado del proceso de conceptualización espacial, las observacionesy experimentaciones geométricascon los objetos y sistemasde la naturalezapropician el conocimiento operacional de las nociones espacialesy permiten estructurar las operaciones mentales que da lugar a la representación espacial (Fig. 2.1). El comportamiento espacial es distinto según el tamaño del espacio quc se considere. Se puede distinguir cuatro tamaños de espacio donde las acciones geométricas se realizan de distinta manera: . EI micro-espacio: Es el que corresponde a la Geometría con el uso del microscopio. Las actividades propias son las de creación de modelos teóri-

Representación mental

2.1.2. La actividadespacialen el entornonatural Básicamentepodemos enumerar tres tipos de accionesgeométricasreferentes a la actividad espacial en el entorno: el análisis cuantitativo, el análisis figurativo y el anólisis estructural. Por análisis cuantitativo entendemos operacionesen las que se realizan medidas numéricas, como son las longitudes, amplitudes, áreas,volúmenes; las que expresan relaciones numéricas, como son la determinación de razo-

28

Figura 2.1.

Esquema del proceso de conceptua[z¿gión del espacio.

i gT r i IT-AL U N i VEF r SlDünD tiI 105[ f'ALrJfrS FP'ANttSt0 lrlii:i'-A'i 1¡¡rili:;i 5iSTF¡flf,

29

cos. Es el ámbito de estudio de las cstlr¡ctr¡rasmicroscópicas:moléculas, virus, células, etc. o El meso-espacio:Es el espaciode los uh.ictt)sque se puedendesplazarsobre la mesa. Permite efectuar manualmcntc exploracionesgeométricasy transformaciones. Corresponde al estudio de rocas, plantas, flores, etc. ¡ El macro-espacio:Se trabaja con objetos entre 0,5 y 50 vecesel tamaño del sujeto. Se pueden efectuar representacionesgráficas. Es el ámbito de los trabajos de campo, cortes topográficos, etc. r El cosmo-espacio:Pone en juego los problemas de referencia y orientación. Su ámbito de estudio corresponde a los fenómenos ecológicos, geográficos, topográficos y astronómicos (Cuadro-ejemplo 2.1). CUADRO-EJEMPLO2.I Posibles actividades geométricas en el entorno natural

TAMAÑO DEL ESPACIO

6l

Micro-espacio

Meso-espacio

Macro-espacio Cosmo-espacio

Analizar las distanclas y proporc l o n e s l n te r a tómicas de un modelo molecular o vírico

An a liza r la se cu e n cia d e lo s ángulos de crecimiento de hojas de ramas de distintos árboles.

Tomar las medidas necesariasde un pequeño montículo de los alrededores para poder realizar su alza d o topográfi co .

D etermi nar l as medidas necesanas para construi r a escal a model os de l as distintas constelaciones.

Visualizar y estud i a r l o s e je s y planos de simet r í a d e u n a e structura cristalina o vírica.

Clasificar según lo s d istin to s tipos de simetría flo r e s, p la n ta s hojas, caracoles, animales. etc.

Co n s trui r una m a q ueta topográfica y analizar su forma, desniveles, cortes, fallos, etc.

Hacer una observaci ón astronómica para localizar en la esfera cel este di sti ntas constelaciones.

Construcción de m o d e l o s e str u cturales de cristal e s , o v i r us( l) .

Explorar y hacer un grafo de tipo de de distintas ramas de árbole s( 2 ) .

Diseñar e interpretar mapastopográficos(2)

Tomar las referencrasy onentacrón necesari a para colocar en una pequeña cúpul a geodési ca l os model os de l as di sti ntas constel aci ones(2).

(J

BO

o

(l) VéaseC. Alsinay J.M. Fortuny, 1988. (2) VéaseJ Giménezy J.M. Fortuny, 1987 (3) Véaseactividadtipo