Cultura Y Aprendizaje 05

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NUMEROS DECIMALES ¿PORQUE? ¿PARAQUE?

Colección: MATEMATICAS : CULTURA Y APRENDIZAJE

14. Proporcionalidad geométrica y semejanza GrupoBeta 15. Poliedros

1. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas Angel Gutiénez, BernardoGómezAlfonso, JuanDíaz Godino,Luis Rico RoÁe.o, M. SierraVázquez

2. Números y operaciones Luis Rico Romero, Encarnación Castro Mafínez, Enrique Castro Martínez

Gregoria Guillén Soler

16. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya

17. El problema de la medida Carmen Chamono Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

3. Numeración y cálculo Bernardo Gómez Alfonso

4. Fracciones Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria SánchezGarcía

5. Números decimales:por qué y para qué JulinCcnteno Pórez ó. Números enteros Jo¡é 1,, Conzdlcz Marf, M.'Dolores lriarte Bustos, Alfonso Ortiz Comas, Inmaculada VargasMnchuca, Manuela Jimeno Pérez,Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez

7. Dlvlslbilidad ModcstoSienaVázquez,AndrésGa¡cía,M." T. GonzálezAstudillo, Mario GonzálezAcosta

18. Circulando por el círculo Francisco Padilla Dfaz, Arnulfo Santos Herniíndez,Fidela Velázquez, Manuel Femández Reyes

19. Superfrcie y volumen M." Angeles del Olmo Romero, Francisca Moreno Carretero,Francisco Gil Cuadra

20. Proporcionalidad directa M."LuisaFiolMora,JoséM."Fortuny Aymemi 21. Nudos y nexos. Redes en la escuela Moisés Coriat Benarroch, JuanaSancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar Gonzalo Martín

22. Por los caminos de la lógica Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

8. Problemas aritméticos escolares Luis PuigEspinosa,FernandoCerdánPérez

23. Iniciación al álgebra

9. Estimación en cálculo y medida IsidoroSegoviaAlex, Encarnación CastroMafínez, EnriqueCastroMartínez, Luis Rico Romero

Z. Enseñanza dela suma y de la resta

Manuel Martln Socas Robayna, Matías Camacho Machín, M." Mercedes PalareaMedina, Josefa Hernández Domínguez

Carlos Maza Gómez

10. Aritmética y calculadora FredericUdinai Abelló

25. Enseñanza dela multiplicacién y de la división

Ll.. Materiales para construir la geometría CarmenBurguésFlamerich,ClaudiAlsinaCatalá,JosepM." Fofuny Aymemi

26. Funciones y gráficas

12. Invitación a la didáctica de Ia geometría ClaudiAlsinaCatalá,JosepM." FortunyAymemi,CarmenBurguésFlamerich

27, Azar y probabilidad

13. Simetríadinámica

28. Encuestasy precios

Rafael PérezGómez, Claudí Alsina Catalá, Ceferino Ruiz Garrido

Carlos Maza Gómez

Jordi Deulofeu Piquet, Carmen AzcárateGiménez

Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bemabéu, M." JesúsCañiza¡esCastellano

AndrésNortesCheca

29. Prensa y matemáticas Antonio Fernández Cano, Luis Rico Romero

30. ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso José A. Cajaraville Pegito

31.. Ordenar y clasificar Carlos Maza Gómez, Carlos Arce Jiménez

32. Juegos y pasatiempos en Ia enseñanza de ra matemática eremental JosefaFernández Sucasas,M." Inés Rodríguez Vela

33. Ideas y actividades para enseñar álgebra

NUM"EROS.f}EC ¿PORQUE? ¿PARA'Q

Crupo Azarquiel

34. Recursos en el aula de matemáficas Francisco HemánSiguero, ElisaCarrilloeuintela

Consejeeditor:

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I uis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis puig Espinosa

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-;'-' JULIA CENTENO PEREZ

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I del Departamento:deiMatd¿itied Logrons dp la.Uniye¡sidad 4q Zarugoza "dc

EDITORIAL

SINTESIS

A mi madrc, que no ha csc'ritt¡nin¡¡rinlihnt ni plantado arboles pero tiene diez hijos

Compra Canie techadeadqursrción AñoMesdeProcesamiento Fecha AñoMes Proveedor-

Donación

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Primera reimpresión:diciembre 1997 Diseño de cubierta:Juan JoséYázouez Reservadostodos los derechos.Está prohibido, bajo las sancionespenalesy el resarcimientocivil previstosen las leyes, reproduci¡ registrar o transmitir esta publicación,íntegrao parcialmente,por cualquiersistema de recuperacióny por cualquiermedio, seamecánico, electrónico,magnético,electroóptico,por fotocopiao por cualquier otro, sin la autorizaciónprevia por escrito de Editorial Síntesis,S. A. @ Julia Centeno Pérez

o EDIToRTAL sÍNTEsrs,s. A. Vallehermoso,34. 28015Madrid Teléfono {'91\ 593 20 98 http://www.sintesis.com Depósito le gal: M-43.829-1,997 ISBN: 84-7738-028-7 Impreso en España - Printed in Spain

I)eseo en estas líneas expresar mi agradecimientoa los amigo.t que mc han u.tutdadoy animado durante la redacciónde estelibro. ,4 Luis Rico, miembro del Comité Editorial, porque me propu.to lu idau dc harerlo,me apoyó con susconsejosy su confianzay ha aportadoalgunasmotlilicadoncs para mejorarlo. A Efraim Centenoque estuvocerca de mí desdelos comienzos,colaboró en la preparaciónde fichas bibliográficas y ha aportado algunas ideas para facilitar la letlura del texto. A BegoñaMelendo, y TeresaRodríguez. Sus observacionesme han sido muy ütila,r. A Francisco Javier Centeno que ha hecho con gran precisión y cuidado los dihttio,t. A Guy Brousseaude quien he aprendido mucho de lo que cuento en estelibro. tiul orientaciones fueron decisivaspara la redacciónJinal quepresento.Mi agradeciml.,nlo es grandepor haber aceptadohacer la presentaciónde estetexto. Muy particularmentea JoséManuel Calzada que ha consagradomuchashoras u lu lecturay mejora de laforma de presentarlo.Quiero expresarleaquí mi reconociHlento por su generosay competentecolaboración. l"inalmenle a todos los que cerca de mí han sufrido los efectosde estetrabajo y se alegranconmigo de susresuhados.

Indice

PRIMERA PARTE: ¿PORQUE LOS NUMEROS DECIMALES? Prólogo lntroducción l. La realidadsocialde los númerosdecimales 1.l. Usosy contextosmás signihcativosen los que aparecen 1.2. ¿Quésignihcanesosnúmeroscon coma?¿Paraqué sirven?.... los mismos conceptossin utilizar números 1.3. ¿Puedenexpresarse con coma? los númerosdecimales? 1.4. ¿Sonindispensables 1.5. Reflexionesy ejercicios

13 17 19 19 2l

2. Los decimalesen la EnseñanzaObligatoria 2.1. La educaciónmatemática:preparaciónpara la vida en la socied a d. . . 2.2. Los decimales y orientaciones en los cuestionarios oficiales..... 2.3. Los númerosdecimalesfiguran en todos los programasde Enseñ a nz aP r im ar ia. .... 2.4. Relaciónde los númerosdecimalescon otrasáreasdel currículo 2.5. Pistasde reflexión

27

22 22 25

27 29 32 34 35

SEGUNDA PARTE:¿QUESON LOS NUMEROS DECIMALES? 3. Antecedentes históricosde los númerosdecimales:desdela antigüedad hastael sigloxIx 3 .1 . In t r oduc c ión. . 3.2. Sistemababilónicode numeraciónde posición 3.3. El sistemaposicionalde los sabioschinos . 3.4. Sistemamaya de numeraciónde posición 3.5. El origendel sistemaposicionalindio .. 3.6. El sistemade numeraciónárabe:propagacióndel sistemade numeraciónindio .. 3.7. Consolidacióndel sistemade numeracióndecimal:los números decimalesde Stevin

39 39 40 4l 43

44

45 47 9

3.8. Establecimiento der SistemaMétrico Decimal:su interéspedagóg r c o. . . 3 .9 . Ref lex iones y ejerc i c i o s ...... 4. El número decimal: objeto de saber 4.1. Introducción 4.2. El número decimal:obieto de saber 4.3. Los númerosreales:Dedekind,Cantor v Hilbert 4 .4 . Pi s t as der ef lex ió n ....... . i.

El númerodecimal: conocimientopara enseñar 5.1. Insuficienciade los númerosnaturalespara resolveralgunosproblemas 5.2. Construcciónde los racionalesy de los decimales 5.3. Fraccionesdecimales:susventajas 5.4. Escrituradecimalde un número racional 5.5. Escriturasequivalentes: su importanciaen la enseñanza 5.6. Otrasescriturasdecimales 5.7. Relaciónde orden en el conjunto de los númerosdecimales.. . . 5.8. Adición y sustracción en el conjuntode númerosdecimales"-.. 5 .9 . Mu lt iplic ac ión de n ú me ro sd e c i m a l e s .......:.. 5 .1 0 .División de númerosdecimales 5 .1 1 .Ejercicios

50 52 53 53 54 55 58

1

l0

Materiales y ocasionesde la vida corrienteen las que puedenencontrarse los decimales 7 .1 . In tr oduc c ión. . 7.2. Las regletasde Cuisenaire 7.3. Bloquesaritméticosmultibasede Dienes 7.4. Ábacos 7.5. Minicomputadorde Papy 7.6. Introducciónde los decimalescon la calculadorade bolsillo . . . . 7.7. Otros materialesy situacionesde la vida corriente 7.8. Algunasreflexionessobrela utilizaciónde materiales 7.9. Pistasde reflexión

I lJ

ll3 l13 il5 ilf{ l19 l .1 l

t32

59 59 6l

66 69 70 72 73 74 t5 76 78

TERCERA PARTE: EL PROBLEMA DE LA ORGANIZACION DE LA ENSEÑANZA DE LOS NUMEROS DECIMALES Introducción 6. Primerasleccionespara introducirlos decimales 6.1. Como extensiónnaturaldel sistemade numeracióndecimal ... 6.2. A partir de la medida ó.3. Presentación a partir de funcionesnuméricas 6 .4 . Conc lus ión. . . . . . . 6.5. Pistasde reflexióny ejercicios

..... 8. Relacióncon el saber:las situaciones 8.1. Introducci ón.. y situacionesmatemáticas. . . " 8.2. Situacionespedagógicas didácticasde Brousseau las situaciones 8.3. La teoríade para seleccionary construir situacioncsdc 8.4. Algunassugerencias aprendizaje 8.5. Situacionesdidácticasque permitenanalizarlas condicioncstlcl " funcionamientodel conocimientosobrelos decimales-mcdida 8.6. C oncl usi ón... 8.7. Pistasde reflexión,actividadesy talleres

8l 83 83 ó) 90 93 93

9. Dificultades,errores' conflictos y obstáculos 9.1. Introducci ón.. 9.2. Erroresmás frecuentesrelacionadoscon el conceptode número decimal,con su escrituray con susoperaciones. . . . 9.3. Agrupar los errorespara identificarnivelesde comprensión' ' ' ' 9.4. ¿Sonútilesciertoserroresen los procesosde aprendizaje?' ' " ' ' 9.5. ¿Sonlos erroresúnicamenteíndicesde un aprendizajeincompleAlgunasreflexionesdidácticassobrelas cauio o de un fracaso?: sasde los errores 9.6. Dificultad, conflicto,obstáculo,error . en los nú9.7. Identificaciónde algunosobstáculosepistemológicos merosdeci mal es. . . . 9.8. Pistasde reflexión

135 135

progresión 10. Articulaciónde los aprendizajes: 10.1.Introducci ón. de los decimales 10.2.Objetivosde la enseñanza 10.3. Bosquejodel procesode articulaciónque proponey desarrolla Brousseau de los decimales' 10.4.Otra forma de articularlas enseñanzas 1 0s.. Conclusión y pistasde reflexrón r0 . 6Ejercicios .

151 l5l

136 138 140

t42 t44 t47 148

lti

r53 r57 l6l 162

CUARTA PARTE: SITUACIONES PARA ENSEÑAR DIFERENTES ASPECTOSDE LOS NUMEROS DECIMALES

95 95 95 97 99 105 109 110 lll l2

lnlrrducción significadoy lecturade decimales . . . I l, Situacionessobrerepresentación, I l.l. Juegosde estimaciónde medidas I 1.2. Adáptaciónde la situación) 11.3. Pasarde la escriturafraccionariade los racionalesdecimalesa su escrituradecimal.Juegossobrela rectanumérica ..... j uegossob r ela r ect anum ér ica. . . - . 11.4.D i versos de medida I 1.5.Instrumentos I 1.6. Utilizar la calculadorade bolsillo

165 167 168 168 168 172 175 175 ll

t.1. Sobreel uso del ceroy su signifrcación en la escritura.........

r. 8 Areas . de regionesde papel cuadriculado

1.9.Pas arde f r ac c ion eas d e c i m a l eys v i c e v e rs a .......... j . 1 .1 0 .Escriturasdecimalesequivalentes l .l L Sobreel orden en los decimales t.1 2 . Sobrela densidadde los decimales . . . r . l J . Algunaspreguntas abiertas¡....... 1 .1 4 .Adición, sustracción,multiplicación y división de números decimales* i l t 5 Sustracción de númerosdecimales I L l ó . Situacionesque permiten dar significadoal producto de dos decimales . |.1 1 , EI número decimal como factor de proporcionalidad,Proporcionalidad,porcentajes, escalas I l" ltl, Situaciones que permitendar signiñcadoa la divisiónde números decimales I l. I 9. Pistasde reflexión,ejerciciosy talleres BIBLIOGRAFiA

178 180 183 185 187 189 194

Prólogo

195

r9 8 199 201 205 206

209

¿Oshabéisfrjado algunavez en una rueda de bicicleta?Es un prodigio de ligereza, de robustezy, aparer'temente,de sencillez.¿Habéisapreciadoadecuadamente de itodala ingeniosidadde su construcción?Pesosconsiderablespuedensuspenderse los radiosque, en forma de tela de araña,endurecenla llanta y la mantienenen el ' planoque cortaa los dosconosque forman;los radiospenetrantangencialmente en el cubo para impedir la rotaciónde ésterespectode la llanta; pero como para ello debencruzarsese les insertaalternativamentea derechae izquierda del collarín del cubo,debiendotener ésteexactamenteel espesoradecuado;y ¿cómolograrque las roscasde los radiosno se aflojen nunca solas?... Nunca acabaríamosde enumerartodas las invencionesmecánicasde las quc csta maravilla es el resultado.Pero ¿quiéntiene necesidadde maravillarscdc su bicicleta?Bastacon que ruede. Los númerosdecimalesse parecenbastantea estosobjetosfamiliaresprctlados de matemáticas,de cienciay de tecnología,pero cuyo uso no exigeprácticamente ningúnconocimiento.Su invenciónempezóen el albade la historia-con el ojo de Horusy las medidasdecimaleschinas- y no se ha terminadoprácticamentehasta Dedekind v la matematizaciónde los reales. Se trata de una estructura muy ingeniosa, apta para resolver problemas muy contradictorios,a las puertas,alavez, complejosy a vecesinclusoaparentemente del álgebray del análisis.Por estoplanteanun problemaoriginal a la enseñanza. Por una parte, se parecen tanto a los naturales que es muy fácil emplearlos y Bprendermuy pronto una cierta manerade usarlos:fueron inventadospara eso. Pero, por otra parte, estaprimera comprensión se convierte en obstáculopara un para fundamentales, usomásrefinadoy parauna buenacomprensiónde cuestiones Glestudiode las matemáticas.Hace falta mucho tiempo para olvidar susprimeros reflejosy aprenderlo contrariode aquelloque nos ha permitido resolvernumerosos 'problemasprácticos.¿Cómo organizar, por tanto, la enseñanzaa lo largo de una ridad obligatoriaque,.hoy día -felizmente-, va más allá de la mera inicia-

t2 IJ

En estelibro, Julia Centenoseñalalas aportacionesmás recientesde los diversos tipos de investigación en esta materia y muestra los caminos que se abren ante profesoresy educadores.Esta obra seapoya en un importante trabajo de documentación, de orígenesmuy diferentes,cuya sÍntesis,a causade la variedad de puntos de vista, presentabadificultadesque me parecehan sido aquÍ felizmentesuperadas. Habiendo tenido accesoa fuentestodavía no publicadasy a investigacionespoco conocidas,la autora presentamuchas ideas nuevas e interesantespara todos los públicos,sin rechazartampoco los enfoquesmás clásicos.Ofrece ademásotras proposiciones, personales. resultadode reflexionese investigacionds No era tarea fiicil, habida cuenta de los torbellinos y reformasque no dejan de agitar la pedagogía,la psicologÍacognoscitivay la didáctica de las matemáticas.El resultadomuestraun muy loableesfuerzoalavez de eclecticismoy de precisión que merecerá,sin duda, la estimade los lectores. Debodecir,por último, que,en cuantotrabajode síntesis,resultade granactualidad ya que el problemaque hemosplanteadoal principio no se resolveráhasta que el conjunto de los interesados:profesoresde distintos niveles,matemáticos, organizadores de programasy evidentementetambién el público, no se hagaconscicntedc la naturalezacultural -y no solamentetécnica,administrativay científica- dc las solucionesa proponer. 4: Guy Brousseau

t4

PRIMERA PARTE:

¿PORQUE LOS NUMEROS DECIMALES?

Introducción

Los números decimalesse han convertido en los últimos años en protagonistas de todos los cálculos -hasta el punto de que en la práctica desplazancompletamente a las fracciones- debido a la disponibilidad crecientedel uso de calculadoras y de ordenadoresque hacen las operacionescon ellos. En opinión de BnowN ( 198l): sólo tendría sentido si la medida es un número entero, en la mayoría de las ocasionesel resultadode una medida no es un número entero. Por ejemplo, cuando escribimos2,07 m sabemosque significa2 vecesel metro y algo más que es menor que otro metro.

1.3. ¿PUEDENEXPREFARSE LOS MISMOS CONCEPIOS SIN UTILIZAR NUMEROS CON COMA? En cadauno de los ejemplostomadosde los periódicos¿serÍaposiblecomunicar la misma información sin utilizar números con coma?¿Quéventajastendría suprimirla? ¿Quéinconvenientes? En la frase , ya que es posible avanzarindefinidamente por él pero tiene lagunas. Aunqueel conocimientode los númerosrealesno forme partede la experiencia del hombre de la calle, un profesionalde la enseñanzaes capazdetener de él una intuición rica. 4.3.2. La construcciónde Cantor una segundaconstrucción de los números realeses la de Geoncns cnxroR ( I 854-l9 I 8) que partecomo Dporrluo de los racionales.c,cNroR partede la defrnición de las sucesiones fundamentalesde númerosracionales,conocidashoy con el nombrede sucesiones de cnucgv. A continuacióndefineuna relaciónde equivalenciaen el conjunto de sucesiones fundamentales y llama número real a una clase de equivalencia.El conjunto de las clasesde equivalenciaes para cRNron el conjunto de los númerosreales. Tanto Dro¡rrND como cnNroR llegana probar que si se reiterael procesode construcciónde R se llegaal mismo conjunto clc ntimeros,lo que muestiuqu" conjunto es completo. "sre También muestranexplÍcitamenteel isonrrlrfisnroque existeentre los números realesy los puntos de la recta.

56

U

4.3.3. El punto de vista de Hilbert

i

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t:é

Hllnpnr reconoceun gran valor a las construccionesde DepBrINo y de CnN'toR, a las que llama los métodosgenéticos,y les concedesobretodo un interés pedagógico.Pero él prefiereun método axiomático que es el que desarrolla( 1899). Paraello introduce una familia de números, notados x, y,... de tal forma quc cslll f'amiliaconstituye: de adiciÓny de multiplia) un cuerpoconmutativorespectode lasoperaciones cación; b) un cuerpo totalmente ordenado; c) un grupo ordenadoarquimediano; d) todo sistemaque cumpla las condicionesa), b) y c) no es posibleampliarlo, aunque se añadan nuevoselementos.

La construcción axiomática de los números reales resulta muy cómoda bajo muchos puntos de vista, pero enmascarala génesishistórica y el aspectoconstructivo. 4.3.4. Construcciónpor el procedimientodecimal Esle método consisteen: r Llamar número real positivo a una expresiónde la forma: k, x,x, ... Xn...,siendok un número natural, y xn perteneciendoal conjunto del tipo: 11,2,3,...9|paratodos los valoresde n. Admitiendo que las expresiones el mismo número real. 0,1999...y 0,20000...representan a Ordenar lexicográficamentelas expresionesque definen los reales. o Demostrar que: a'/b'. a/b-a'/b' > 0 La relación> sedefineen Q, y por tantoen D. No prese ninguna dihcultad probar que estarelación esreflexiva,antisimétrica y transiti lue cumple las propiedadesde un orden total y arquimediano. En la re1 rtación gráfrca,la expresiónp > q significaque el punto (p) estáa la derecha( rnto (.Tuvorugar en noviembre de 1945,riri¿, "t¿rir¡iá, árr"r"io ra segunda GuerraMundiar.Los.hombreldergenerarMac Arrhur seesforzaban endemostrar a ,;:rl:í"*t^ vencidosta superioíidadde tosmétodo, Áidi*ii L origen occi_ Er partidosedesarroróen cincotiemposqueprogresivamente íbanteniendoope_ ractonesarttméticas. más complicadas. El japonés_con su marcadorde bolas_ ganó4 a I, conyarioserrorespor partedel vencido. Actualmentees f,ácirencontraren er comercioargunos moderosde ábácosque se utilizan.enla escueray también como curiosidad un ¿uu"o que-io se ut¡liza en occidente. "rrino Los ábacosescolares.suelen estarformadospor un cuadrode maderacon alam_ bres horizontaleso verticaresy bolas móviles,que son con frecuenciade colores diferentes.De estaforma, se pretendedistinguirlos distintosórdenesde unidades por el lugar del alambrey por el color de rasiolas. por ejemplo, l0 bolasazulesen la primerafila puedencambiarsepor una bola amarillaen la segundafila; l0 bolas amarillasde la segundafila puedencambiarsepor una bola azulen la tercera,y así sucesivamente... Más interesantes para representar el principio de posiciónson los ábacosen los que las bolasson todasder mismo coloiy sólá cambiasu posiciónen las rrlas.por ejemplo'el número 1328podemosrepresentarlo con ocho ¡olu. * iu p¡mera fira de la derecha,dos en la segunda,tres en la terceray una en la cuarta.

ábacoes vertical);o de abajoa arriba o de arriba a abajo(si el ábacoeshorizontal). un pasoa la escrituraconvencional. y no deberÍaserexclusivamente El ábacoo el marcadorcon bolaschino esun instrumentoque seprescntilcolrt() un bastidorrectangularde madera.Estácompuestopor un determinadonútllcro tlc sietebolasmóviles.Una barra lraltsbarritaso palillossobrelos que hay ensartadas versaldivide el marco en dos partes,de forma que en cada palillo qucdan cirlt'tt a la barratransvcrsal.las bolasabajoy dos bolasarriba.Las bolaspuedenacercarse de abajo moviéndolashacia arriba y las de aniba bajándolashacia la barra.('ada palillo de esteábacocorrespondea un orden decimaly seadmite la convencióndc que un palillo situadoa la izquierdade otro poseeun valor diez vecessuperiora este último.

Figura 7.3

7.4.2. Introducciónde decimalescon ábacos Los distintos ábacosforman parte de los modos de representarcantidadesdiscretasque los niños conoceny se utilizan también en el momento de extenderel principio de la numeracióndecimala otros números. Sabemosque las adicionesy multiplicacionesimplícitasa la escrituracomprensivade los númerosenterosson una de lascausasprincipalesde la dificultadque los para poder niños tienen para aprenderlos.Estasdihcultadesdebenestarsuperadas ordenarlos,hacer operacionescon ellos y para planteary resolverproblemasquc tengansentidocon estosnúmeros.Por ello, antesde iniciar la extensióndcl sistenra de numeracióndecimala númerosmenoresque la unidad, el maestrodcbc ascgtrrarsede que los niños dominan el sistemade numeracióndecimal para ntittrcrtls enteros,es decir, que: o Son capacesde interpretarescriturascomo las siguientes: 100) +( 5xl0) +3 9653: (9x 1000)+ (6x

I 3 2 I

Figura7.2

Sesuelenutirizarestosábacospararepresentar los númerosy como preparación a la numeraciónescrita.por eilo, t. .onréruunlasmismas convenciones en el orden de representaciÓn de las unidades,aunquecon f.Lcuencialos niños tienen dificultadescuandoselespresentaun ábacohoiizontal. Sin embargo,.rt. o,"i.¡"1 sepresta a favorecerla comprensiónde rosagrupamientos de distiritóso.¿"n", qu, podnan representarse igualmentede derechaa izquierdao de izquierda a derecha(si el

r00

. Sabenpasarde la escriturapolinómicaa la escriturasintéticade un número entero. por ejemplo, . Sabenhacerdiversasdescomposiciones, : : :9000+ 600+ 50+ 3 et c. 9650+3, 9600+53 9653 Por interpretar coffectamentelas escriturasse entiende que hayan adquirido el significadode la numeraciónde posición: o Sabenagruparen paquetes,cuandolas cantidadesson pequeñas. o Sabenque el valor que se da a cada cifra tiene un significado relativo a las cifras más próximasa ella, lo que les permite dar a cada lugar diez vecesel valor atribuido al lugar que le sucedey la décimaparte del valor que le precede. 101

o saben que la unidad esla única posición que tiene signifrcadoindependientemente de los otros lugares. Los que eligen estemodo de introducción de los decimalessuelenempezarpor la lectura de mensajescodifrcadosen ábacosconocidos,por ejemplo: .Los números 1956y 1987los representande la manera;iguiente:

l l l l tJ ll || ||

et ¿;ol-l-l-Lde

Ene¡o de .l-ll-lno.¡¿

en Ener o det oño Figura 7.4

Luego proponen a los niños que se intercambien mensajeshaciendo intéi:venir estetipo de representaciones. Otros problemasque se.plantean: r ¿cuáles son los números que pueden representarseen un ábaco de cinco varillas utilizando tres f,rchassolamentey colocándolastodas en la misma varilla? Admitimos que situamoslas unidadesen la primera varilla de la derecha. observarán-quepueden representarlos números 3, 30, 300,3000 y 30000, t segúnel lugar donde decidamoscolocarlas fichas. o ¿Qué números puedesrepresentaren el mismo ábacocolocando 3 fichas en una varilla y dos en otra?

l l tl

llll

J2

23

t|

||

Itl ll tl llll

Figura 7.7

32

0

0

Figura7.5 Figura 7,8

Darán resultadoscomo 32,23;.1Ae,230,3200,2300,30 002,20003,etc. Estosy otros ejerciciossimilarespuedenfamiliarizar a los niños con el algoritmo de la numeracióndecimal,hastaahorautilizadasólo paraescribirnúmerosenteros. A continuación se planteanproblemasadaptadosa los niños cuya solución exija representar nuevosnúmeros.Por ejemplo,problemassencillosde división:se desea representaren el ábacoel resultadode repartir 3 entre 2. ¿Cómopodremoshacerlo? Se puededecidir representarlas unidadesen la segundavarilla -empezando por la derecha- y tendremostres fichasen estavarilla; tambión se puedenrepresentarcon dos fichasen la varillade lasunidadesy l0 fichasen la varillasituadaa la 102

n' ?

¿Y una hcha colocadaen la segundavarilla a la derechade la de las unidades?

|rl

0

2 .1 0x0 1

que hemos ¿Quérepresentaríantres fichascolocadasa la derechade la varilla en representadolas unidades?Los niños verán que siguiendoel mismo procedimiento que antes,.unafrcha situadaa la derechade otra representasiemprela décima parte de lo que representala anterior. En este caso el número representadoserá y para decidir bómo representarlobastaobservarel resultadodel ejercicio anterior 3, 30, 300,...Y adoptar una escrituraque permita situar también respecto del lugar de las unidades los lugares situados a la derecha de las unidades. La introducción de la coma puede aparecercomo una convenciÓnque nos permita distinguir el lugar de las unidades: escribiremos0,3 para significar que no hay unidadesy las tres hchasestánen el lugar inmediatamentea la derechadel lugar de las unidades.

llll l{il¿!--L .llll 32

lll{

||= |t l | t t |il

Figura 7.6

HJ I

mí po dre ¿Cu o'n tosoñ os c um pt e

ll l+ lr llll llll ll

derechade las unidades.Hemos descompuesto3 unidadesen dos unidadesy dicz décimas.Es fácil ahorahallar la mitad de (2+ l0 x 0,1) que seráuna unidad y cinco décimas. En un principio no se escribe con símbolos, sino que se hará co¡ cl material y los niños dirán lo que han representadoy lo que significa.

lll_l1l_l 0'01

0'0 0 1

el número 0,01. Hemos representado ¿Y una ficha colocadaen la tercera varilla a la derechade la de las unidades? el número 0,001 Hemos representado Se puedeseguirel procedimiento que no ofreceya ninguna dificultad, los niños pueden divertirse escribiendo un número de muchas formas, ya que una hcha puede siempre sustituirse por l0 de la varilla contigua a su derecha.Y podrán intercambiarsemensajesnuméricos que deben descifrar, representandonúmeros colocandofichas a la derechay a la izquierda del lugar de las unidades'

103

Se ve que no tiene razón de ser el limitarse a sólo hablar de milésimasporque el procedimiento de representaciónuna vez comprendido es el mismo hacia la derecha que hacia la izquierda, y permite representarnúmeros o muy grandes-hacia la izquierda- o muy pequeños-hacia la derecha.

3 t' t

Figura 7.9

Es interesantecombinar esta forma de encontrar los primeros decimalescon actividadesde medida.Por ejemplo,los niños disponende una cuerdade l0 m de longitud que se considera la unidad; pueden cortarla en l0 partes igualesy cada metro seráuna décima (0,1); a su vez, pueden dividir el metro en l0 partesiguales, para lo que pueden servirsede la regleta naranja (regletascursrNllne) o sencillamente de una regla dividida en dm. un dm será aquí la centésimaparte de la unidad(0,01). Se les proponen cuestionesdel tipo: é ¿cómo representaremos3 dm en el ábaco?¿En qué varilla colocaremoslas 3 fichas?observarán que tienen que decidir qué varilla representarálas unidades -en este caso l0 m-: I m se representaráen la casilla contigua a la derechay I dm en la contigua a estaúltima.

t0mlm3dm

7.5. MTNTCOMPUTADORDE PAPY 7.5.f. Descripción El minicomputador de Pnpv es un ábaco particular que combina el sistcnrl¡ decimalcon el sistemabinario. Sometidoa unasdeterminadasreglaso leyes.pcrrnide númerosnaturalesy decimales.Funcionacolrrrl te numerosasrepresentaciones un pequeñoordenador,con el que se realizade manera mecánicalo quc cn cl cálculo es automático.Propicia una situaciónexcepcionalde aprendizajepor las múltiplesactividadesde cálculoy de razonamientosobrelos cálculosque permite. El minicomputador consisteen placasque siguen las reglasde la numeración binaria (en cada placa)y decimal (de placa a placa).AsÍ, para representarlos números enteros-en el sistemadecimal- las unidadesse colocan en la primera placa de la derecha,las decenasen la segunda,las centenasen la tercera...,y asÍsucesivamente.

MME f f i

FiguraT.rrI | | | | | | | | l'lel Cada placa está dividida en cuatro casillas,cada una de un color: blanco (b)' rojo (r), rosa (R) y marrón (m). Estoscoloresson los correspondientesa las regletas de Culs¡NtlnE para representara los números 1,2,4 y 8, respectivamente. Cualquier distribución de fichas sobreel minicomputador representaun número. Para reducir una distribución a su formación -distribución que permite la lectura inmediata del número- basta aplicar las reglassiguientes: R,: Dos fichasen la casillablanca,equivalena una ltcha en la casillaroja'

Figura7.10 Fi g u r a T.l 2

7.4.3. Con ayuda del cuadro de valores que se ha utilizado en la numeración decimal Éstaesla situaciónclásicaque sueleapareceren muchoslibrosde texto,consiste en utilizar el cuadro de valoresque ha servido para escribir los números naturales en el sistemadecimal, y que se utiliza ahora prolongándolo hacia la derechadel lugar de las unidadespara representarunidadesfraccionarias:décimas,centésimas, milésimas,etc.

H= H I

l 'l

l 'l

I

Rr: Dos hchasen la casillaroja equivalena una ficha en la casillarosa.

l-Tl=E I I I I

FieuraT.t3l"l

Rr: Dos frchasen la casillarosaequivalena una en la marrÓn. Nombre de los lugares Valoresde los lugares

r04

Centenas

Decenas

Unidades

Décimas

Centésimas

TTi=M I | | | |

FiguraT.t4 | 100 100 l0x l0

l0 l0 l0

I I I

t/10 0 ,1 I l t0

1/100... 0,01 l /l 0x l 0

Ro: Una hcha en la casilla roja y otra en la niarrón equivalen a una ficha en la casillablancade la placasiguiente. 105

l-.T-l t-t-l: l' l

|

FFJ | I.l

TT+-l

|

|

|

F i g u ra T . t5

Toda distribución de fichas constituirá una formación, cuando sobre cada una de las placas: q) No haya más de una frcha por casilla. Ejemplo: La formación correspondientea lggg es la siguiente:

ffiffiffiffi

y susposibilidadesde acción con los números formen parte de su bagajede conoctmientos. El maestro plantea el problema de repartir 30 caramelosentre dos niños' Por Musupuesto,los niños interpretan que se trata de repartir en partes iguales. macslro 15. El y respuesta la dar de 30 mitad la hallar de son capaces niños chos puede introducir, si no lo ha hecho antes,una forma de escribir esa rcspttcsli 39= 15' 'áhoru '012)x plantea si es posible hacer esta operación sobre el minicomputaclor minicomEt proutemaconsisteen hallar la mitad de un número con ayuda del putador. Los niños representanprimero 30 de Ia manera slgulente:

Figura 7.1ó

'o=ffi H FiguraT.re

b) Si hubiera una ficha en la casilla marrón. no puede haber ficha ni en la casillarosani en la roia.

fn

r.tl 2

Figura 7.17

é

La reducción de una determinada distribución puede efectuarsede distintas formas.cada niño tendrá la libertad de buscar su propia estrategiade reducción. El minicomputador de encerado (para exposición y activiáades en el grupo clase)estácompuestode placasmetálicascubiertasde cuatro cuadradoscoloreados y como fichasseutilizan pequeñosimanes.Los niñospuedeninclusofabricar fiicilmente un minicomputadorde mesa hecho con cafulinas. como fichas pueden utilizarsebotones. multiplica. con el minicomputadorpuedenrealizarseadiciones,sustracciones, cionesy divisiones,ademásde numerososjuegosnuméricos lCeNrrNó, J., y otros, 198 4 ).

de 30 en (20 + l0)' Lo que signifrcaque han hechola descomposición una de las casillas? en cada fichas que d9s para hlva p-uede haier ¿Quese (2 x l0) + (2 x 5)' Üi atumno hacela descomposiciÓn una ficha Hallar ahora la mitad de 30 es muy sencillo,se reducea quedarsecon I' que^representa y una que representa4 que representa10, una ' partes igualesentre Seles plantea un segundoproblema: repartir 300 ptas. en

dos amigos. para lo que Los niños representanel número 300 sobre el minicomputador, poder hallar Para (200 100). + de 300 debenhacermentalmentela descomposiciÓn frrchasestén que haya donde haciendo la mitad van a jugar con las reglasdel M.C' la mitad se ahora Hallar (2 x 50). (2 100) x + resulta p",. p"r.:"r; de"esfaforma : 100 + 50' (112) x 300 resulta: casilla cada de qúitu. hcha una v u ;J";;

300= m f f im = Hf f

7.5.2. Númerosdecimalescon el minicomputadorde papy utilizando como sistema de representaciónnumérica el minicomputador de Papy, FneoeRreuEpApy ha probado que los niños descubr.n algunasfraccionesy en particular fraccionesdecimales,asÍ como"rponüneamente eicrituras de númerosdecimales.

F-Tl=mlEl I l' l

| |

lll'l

I

F i g u ra T .tS

Sesuponeque los niños han aprendidoa representar los númerosenterossobre el minicomputador -que siguesiendo un ábacoespecial-, sabencalcularcon este material y han realizadonumerososjuegos que hacenque la imagen de estetablero 106

Figura 7.20

l-,¡oo:1oo"5o=ffi ffi ffi

pueden Estasactividadesles han servidoa los niños para saberque con el M'C' número. un de hacer la mitad dos Despuésse planteael problema de ver si es posible repartir 3 pastelesentre qu€ uno enteros' los números entre M.C. ¿Existe si se puedehacer(li2) x 3 con el pr.¿u ¿u, la respuesia?Los niños représentan3 con dos ftchas, lo que signihce ponerlaspor pares 3 = 2 + 1, pero ven que para dividir entre dos deben llegar a pero esto le blanca, la casilla en hchas 3 colocar Lo primero-que suelen hácer es la mitad, ¡ coger que fácil es las par fichas de de po.q.r" un tienen p".pl"¡oi J.¡u qu( ;; á; t; saüendividir en dos. Cuando se hace esta actividad sueleocurrir e Si la derecha. placa a más que una pedir se añada urg,¡n nino tiene la idea de

l0;

maestrolo hace,argunosniños protestandiciendo que ahoraya no tenemos3 sino 30 -comportamienro interesanteporque significa;;; ;;; ;;;;;.;;ñ; bien que añadir un cero a un número entero lo muttlptica por l0-. surge ra necesidadde ponersede acuerdoy enconfrarun criterio qu. r.pu." de algunaio.-uiu placaque representarasunidadesde la nuevaplacaque hemosañadidoy que nos permitirá resolverel problema porqu.epodrembsrepresentar la décima parte de los números que repfesentamos en la placa de las unidades.Se suele.oroiu.-"r" ti"* amanlla -:^1:.."'io color- para hacerestaseparacián.'si no sele ocurrea ningún alumno -srempre que ro hemosutilizado,la idea ha nacidoen la crase-1.iüulrr.o pu.o. sugerirladirectao indirectamente, teniendo,por ejemplo,a la vistauna praca supre_ mentaria.una vezcolocadala nuevaplaca, iós niñosextiendenespontáneamente el principio.deposicióny lasreglasoe tvi.c. h;";; i; derechay apareceel númerode la manerasiguiente:

{

3xj :

lEl ffi

Z, l . ( dg. 0, 2) = 2, 1.

2, A?, . 2x 0 '2 F i g u r a T . 2 l

I'a escritura:(rl2) x 3 = 1,5es aquí inmediata.Los niños proponenencontrar un símboloque represent. tt* u-u.ilru, y como todoshan vistoescritosnúmeros ll con coma, sueleaparecer?icilmente estatonu.n.ión. Si no ,u.gi..u'r"rpontánea_ mente,el maestropuedeintroducirladiciendoque parasepararlasunidadesenteras Qelas decimalesse pone una coma. Este método permite hacer aparecermuy f,icilmente la escritura con coma: los números nuevosque han aparecidor. igual que i", v" y ros niños calculancon elloscon rapidez. "on'po.tun ""*"idos; otra ventajaes que las escriiurasequivalentes presentan no ningunadiñcultad. Por ejemplo,si el maestro.coloca una ;".uu;i;;u vacÍaa la derechade la placa de lasdécimas,los niñosescribirán(l/2) x: :'i.jO.

:r $ t

&

*,

# ;f g

tr E

€ ü

#

r h

g '!, jj

1 ^ Tl-l

7.'=l-T¡

t'

Figura 7.22

A partir de estemomento se puedenplantear operaciones con los númerossin referenciaa problemasconcretos.Sepuede,poiejemplo, pedir que representenl/4 de l, y obtienensin dificultad ta escritu.á bjs, ,. puedepasara nombrar estos nuevosnúmeros'a operarcon ellos.Todas las reglasdel M.C. funcionaráncomo con los enteros. Con estemétodoaparecenmuy fácilmentelos números 0,1, 0,01,0,001,...0,4, 0,8, etc', y se puede calcular decimaresaún antes de que los niños sepanescribirlos. "on "rto, "ñ;.;; otra ventajaque ofreceel minicomputadoresque lasdescomposiciones de estos númerosson inmediaras. por ejemploj0,g + 0,2 : l; 0,2 + 0,2 : g.4...

:

-i

*

& t f

108

CON

La calculadoraha podido servir para interrogarsepor primera vez sobrela signilicación de esosnúmerosque aparecenescritoscon un punto, debido a quc llts calculadorasutilizan la convenciÓnde los paísesde lengua inglesa.Hay muchas formasde organizaractividadesa pafir de la calculadora.Por ejemplo.pucdcscrvir paraexplorarel mundo de esosnúmeros,observarcómo secomportansr sc sum¿rn' restan,multiplican o dividen. también, qué números divididos por dos dan un número Puedeobservarse, cntero, y cuálesdan un número con coma o número decimal. La significaciÓn inmediaiaque aparecepor estecamino es la de concebirel número decimalcomo resultadode una división. A partir del primer contacto con estosnúmeros pueden organizarseactividades y juegos que lleven a nombrar o repr€sentarnúmeros decimales.La calculadora muy pronto a los niños unos númerosque no son enterosy que aparecen'en OfreCe la pantalá, escritoscon un punto. El maestropuede utilizar, si lo desea,estarealidai que estáhoy al alcancede todos los niños para hablar por primera vez de los

m i-n rnlr.rr =rTr trr=t-1.¡= üI 3:(2. 1):

7.6, INTRODUCCIÓN DE LOS DECIMALES DE BOLSILLO LA CALCULADORA

.t

númerosdecimales. Si se ha dado a los niños la posibilidad de trabajar con la calculadora para explorar propiedadesde los números,para hacerconjeturasy para verificar resultados; si han aprendido a interrogarsesobre las cosasnuevas que aparecen' muy pronto seencóntraránfrente a númerosque seescribencon un punto. Por ejemplo, ii r. propon.n el hacerla división (l :2) apareceen la pantalla0.5, que es nuevo para ellos porque no es un número entero. A partir de esta situaciÓnpuede el maestroproponera los niños actividadesque permitandar un sentidoa los números decimalés.Si los niños han comprendidobien el sistemade numeracióndecimal para los enterosencontraránpronto un significadopara 0,5 y podrán obtcncr estemismo número a partir de otras muchasdivisiones,lo que les llevaráa clcsctrbrir escriturasequivalentes: (18:3ó)= (8: 16)= (9: 1 8)= ( 2: 4) : '. : 0, 5 La utilizaciónde la coma o el punto aparececomo una convenciónde escritura. Se pueden proponer distintás formas de obtener con la calculadora0,1; 0,Ol,etc.; y también puede ser útil la calculadorapara consolidarlas reglasde funcionamientodel cuadrode la numeracióny de la codihcaciÓnde númeroscon coma. Una utilización adecuadade la calculadorapuedefamiliarizar muy pronto a los niños con los númerosdecimalesy con muchasde suspropiedades' pero si se ha utilizado para descubrirloses necesarioaportar otras situaciones para que estascodihcacionesadquieran el estatusde número y puedan servir para resolverproblemas. Es evldente que estepoderosoinstrumento que puede facilitar los aprendizajes numéricos debe utilizarse acompañado de cálculos escritosy mentales' No debe para utilizarse en estasedadesla calculadora para evitar el hacer cálculos, sino palauna en y verificar otras: propiedades poder para investigar poder hacer más, 109

rosarumnos. EnercapÍturo eproponemos :'[*lox'i"::3,?:,ffiXffi";,".*:de Es preciso,sin embargo,t"n.."n .u.nta que_conla calculadora no obtenemosel conjunto de todos los números ¿""i-ular,"Jiro únicamenteuna ( parte de

nen unas caractensrica, ,?;ill,,ll#I il| f #H.ff":i:i? j:l**.1:'' rre f,p."iusobre las reglasde la a¡tmetica

puede

reersecon interés el "o"lu'.ul."ladora iu'üiái i" ¿en. (re80), der ;Í:':l:.::*:3:ü:l'r?l?flo'u' "quiuo"an,, vrúne o Los ntimeros de ra carcuradora no se distribuyen de forma homogenea en ra recta numérica: esfdn muv concentrados atreaeao, ia"o;';:r;'; dispersandoa o ii r"""í

otradirección,-náríi oiío*o,etnúmero

f,:f!i"Xlíy'atejamos1¿

no forma parte de su entorno. Pero las medidasde longitud, pesoy capacidadsÍ que forman parte del bagajefamiliar de los niños y deben,por tanto, privilegiarseen el momento del aprendizajede los decimales,que por otra parte se aprendensimultáneamentecon la medida. También se puede proponer a los niños que inventen problemasen los c¡uc debanaparecerestosnúmeros que no son enteros.Serán problemasde repaños o problemasrelacionadoscon las medidas.

7.8. ALGUNAS REFLEXIONES DE MATERIALES

SOBRE LA UTILIZACIÓN

.u,,,,,"{i)!1,,nii:Kí:í:,:;:;í;í:::;;:,"ij!,i:;!#,,,runodetos En la mayor parte de los casosque hemos presentadoen este capítulo, las

';;i'##,";5:;:;::;;"de

númerosta iatcutadoia; l;;;',;;;;;'

)t ,ú*,,o o to

o Er conjuntode rosnúmeros de ra carcuradora no escerradopara ra adiciónya quela sumade dls n(ryeros ¿" n *liüo"ra puedesuperarsuslímites. d" ta simá'de r:,i;;;";;;';'ríiíí|,*ar*os ,",l,fflt/:simpttJicación obte_ . La suma n(ytergs.dela calculadorano esasociat¡va. -de n'i*"iol

,r:,"';#:"!:'l:',:;#'"

''

ñ'b

'o¡';i";;;';;';

asociativa i d¡,t,¡bu-

Aunqueesconvenienteque el maestro Iadora.esseguroque éstasaparecerán conozcabien rasrimitacionesde la calcu_ .u.un.,aniaen los cursosen que seintroducen los decimalesen la escuera-'El n,r,n.io ¿l'i!.,rur., con el que se puedejugar es, suficienreparaloscárcuros que

tosarumnosv muchosadurtosnecesita_

lllrTlill:

7.7. OTROS MATERIALES Y SITUACIONES DE LA VIDA CORRIENTE

."rái?x#ilJj::::¿ilt"*n

laintroducción delosdecimates conlautilización de

p"r .ü¿¡,Juáo ñlliü'e::T*il?filffii'*:;T::::*j:;:*l';iljl*

numéricas.Muchas de esras. siiuaciot"r;;;;;lacionadas con la medida y han sido tratadasen el libro EI problema ¿, to También existenaleunosjuegos ^il¡Ai,-ya .itaCo. en er comertio.(JonolEsrrv¡ y JoequiN JrurNez' 1987)'principalrient do-inór, q;;;;; srrvenpara relacionarfracciones

,13',o,'ffi il:l

dibuja¿u' rartes v ot-' iu'u-..ü.iona. d;;";;;

#ár.on.r.¡ -

El hechode que en nuestra,moneda no tengamosya en circulación una fracción decimal de la pesetanu.::l:lo.: Jiri""gan de estemo¿etocomo familiar que res facirite ra-comprensión oe atgo "ir* "áde rás primerosdecimales.Decirlesque anteshabÍa monedasde l0 céntimor en famiriar .ri" .""ria"¿, ya que "; ";;;;;e

u0

númerov> aparecenligadas a un material -particularcscriturasde los > El 43'5 % de los niños dan una respuestaerrónea. Todos los errores muestran una incomprensiónabsolutade las .r..ituru, decimales d" ," ;;;;;.' 0/o El 23'76 dan por respuesta100despuésde haber hechola ¿i"irio" o. 0,g00m entre 0,8 m. Lo que rnuestrauna desconexiónabsoluta entre los nrimeros y ta realidad. Los niños que dan estarespuestahacen una operación,dan un resurtado, pero son incapacesde compararlo con la realidad, lo que les p";;iiil;"orregrr er error (CeureNo. 1987).

9.6. DIFICULTAD, CONFLICTO, OBSTÁCUIO, ERROR dificurtades algoque impide ejecutarbien o entenderpronto ,.-uTu una cosa.Las dificultades pueden procederde diversascausas,reracionadas con qu. se aprende,con el método que utiliza el maestro, "t "on""pto con la preparacion ante¡or del alumno o con su propia disposiciónpara aprender. conflicto significa choque u oposición entre formas contradictoriasde interpretar una misma situación.Se hablade conflicto cognoscitivo cuandodos ideascon_ chocan y producen un desequilibrioque puedeprovocar duda y produllid^t-:l-""* clr errores. La noción de conflicto qqrgnoscitivohace referencia a la teoría de plnc¡t sobre la el valor 2,3, sin tener en cuentael ordenque apareceen la récta2 < 2,r 2 2,2. paraf dan con mayor frecuenciael valor 2,1, sincaeren la cuentade que estáentre2,1 y 2,2. El grado de dificultad aumenta cuando se propone a los niños encontrar el número escondidoen las casillasdel dibujo siguiente,en el que la unidad está dividida en cinco partesiguales.La mayor pu.te de los niños dan para g el número 2,9 y parah el número 5.2.

Figura ll.9

c

Si cadauna de laspartecitasen que estádividida la unidadfuera0, I (comoellos han interpretado),¿cuántasveceshacefalta sumar0, I parateneruna uniouot s" 1., puedeinvitara hacerlo0,1 + 0,1 * 0,1 + 0,1 + 0,1 - ? ¿Cuántasdivisioneshemoshechoentre 5 y 6? ¿eué pañe de la unidad es cada una de ellas? Es preciso dedicar a estasactividadesy a otras semejantesel tiempo necesario para que contar en décimas,centésimasy milésimastenga signifrcaciónpara los niños. Se les puede proponer escribir el número que correspondaa cada rayita, sumary restarprimero décimas,luegoscentésimas, etc. También puedeayudarlesasociara cadarayita el número correspondrente; _, con ello se darán cuentade que sólo llegaríana 5,5 y no a 6 como apareceen la recta dada. 174

1I.5.

INSTRUMENTOS

DE MEDIDA

Las escalasque puedenobservarse en algunosinstrumentosde medida accesinuméricasque se utilibles a los niños, debenformar parte de las representaciones en 4.oy 5.opor familiazan en los ejerciciosque selesproponen.Debecomenzarse rizar a los niños con los diversosinstrumentos de medida empezandopor los de longitud, tiempo, superficie,peso, capacidad...Deben aprender a manejar reglasy calibradores,con diferentesescalas. Una actividad interesantees la de hacer una lista de las diferentesbalanzasque se utilizan en el mercado, hacer fotografÍasy despuésdibujar sus escalasque, en general,no van más allá del gramo. Con los alumnos de ciclo superior se puede extenderla lista haciendoque haganprácticascon calibradoresde mayor precisión. Es aconsejableque sehaganvisitasa fábricasy talleresde mecánica,de carpintería, etc.,paraque los niños observendistintosinstrumentosde medida.También se puedeproponera los niños que preguntena suspadresqué medidasutilizan en el trabajo. De la puestaen común de lo que cadauno haya retenido puederesultarun aprendizajereal y más próximo a la vida. Insistiremosen que no es suficientehaber visto los instrumentos de medida y haber hablado de ellos, sino que es necesario que cada alumno o grupo de alumnos haya tenido la necesidadde utilizarlos, plantearseproblemascon ellose inclusofabricaruno que, aunqueno lleguea ser muy exacto,leshagacomprendermejor cómo debehacerseuna escalay qué dihcultades aparecenal fabricarla. No nos extenderemos en lasactividadesque sepuedenhacercon la medidasino que volvemosa remitir al lector -en lo que se refrerea estascuestiones- al libro ya citado de C. Csnvonno y J. M. BplvoNrE. Lo que nos interesadecir aquí es que no puedensepararse las situacionesque pretendenla elaboracióncon los niños con conceptosdel mismo del conceptode númerodecimalde aquellasrelacionadas campo conceptual,como son las actividadessobremedidas.

1I.6. UTILIZAR LA CALCULADORADE BOLSILLO Leer e interpretarescrituras,verihcar operaciones,organizarjrregosnuméricoso explorar el campo de los números, puede hacersehoy utilizando esteinstrumento que está al alcance de todos los niños y que de alguna forma rompe todos los esquemasde los maestros,porque los niños se encuentrancon númerosgrandesy pequeños,enterosy decimalesy puedenjugar con ellos mucho antesde darlessignihcado. Debemosservirnosde esteinstrumento como facilitador de aprendizajesnuméricos, pero para ello es preciso organizar una utilización sistemática.Podrá prestar una gran ayuda si sabemosinterrogarnossobre sus posibilidadesy vencer nuestras 175

proplas resrstenclaspor una especiede miedo a lo ((nuevo>,que de hecho ya no tiene nada de nuevo, pero que no llegamosa aceptaren la realidad de la clase. ll.ó.f . Rectanuméricay calculadora

asocian a la recta sobre la que han representadolos primeros números. Pronto dejan de representardiciendo que ya no se puede,pero sabenmuy bien que están subdividiendoun segmento.Siempreque hemoshechoesteejercicioha resultado de un interésmuy particularpara los niños. (El mismo juego puedehacerseutilizandocomo representación el minicomputador.)

volvamos a consideraralgunasactividadessobre la recta numérica útiles para combinar con el uso de la calculadora. 11.6.2. Comprobarlos cálculosque se han hechocon decimales -

Sedibujauna porciónde rectaen la pizarra.

La calculadorapuedeutilizarsetambién para que los alumnoscompruebenlos cálculosque han hechocon decimales.Por ejemploen los ejerciciossiguientes:

t

# 100

l. Escribe encadaunadelasseries quesiguen: dedecimales siguientes losdosnúmeros 900

Figurall.l0

Sedividela claseen dosequipos A y B. El equipoA haceaparecer un númeromayorde 100en la pantaila:por ejempro,167. El equipoB debehaceraparecer otro númeromuchomásgrande:pór e¡emlto,ars. Un.alum.no de cadagrupositúasu númeroaproximadam-ente soürefa rectanumérica. . A continuación sedanlasconsignas: El equipoA puedeutilizarsólola tecla( + ) y cualquiernúmero;el equipoB sóloutilizará la tecla(-) y cualquier número. cadaequiporealizará unaoperaciónde formaalternativacomenzando por el equipoA. El primerequipoqueencuentre el númerodel otro equipoo lo paseserriel perdedor. Reproducimos aquÍunade lassecuencias obtenidas al realizaresiejuegocon alumnosde 7.o(también lo hemoshechoconniñosde 5.oy de 6.0): EquipoA: 167+ 2OO= 367.Selocalizaen la rectanumérica. EquipoB: 835 - 50 : 785.Selocaljzasobrela rectanumérica. EquipoA: 367 + 3 : 370.Selocalizasobrela rectanumérica. EquipoB: 785- 414: 371.Selocalizasobrela rectanumérica. Y losalumnosdel equipoB proclamaron inmediatamente su victoria. El maestro interviene: >. -un alumno áel equipá A dice: número puede el escribir y se también hay centésimas, no El ejercicio6 ofreceráuna mayor dificultad, pero verbalizarlocorrectamente r79

ayudará a resolverlo: :..., o más f;icil: