Cultura Y Aprendizaje 01

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ÁnE,t DE CONOCIMIENTO.

nnÁCTICA DE LA MATnvIÁTICA

(lolccción: M A'I'EMATICAS: CULTURA Y APREN DIZAJE

14. Proporcionalidad geómetrica y semejanza GrupoBeta

15. El mundo de los poliedros GregoriaGuillénSoler

l. Area de conocimiento:didácticade las matemáticas Angel Gutiénez, Bemardo Gómez Alfonso, Juan Diaz Gódino y Luis Rico Romero

16. Metodología activa y lúdica de la geometria AngelMartínezRecio.FranciscoJuanRivaya

2. Númerosy operaciones Luis Rico Romero,EncamaciónCastroMartínez,EnriqueCastroMartínez

t7. El problema de la medida CarmenChamorroPlaza.JuanM. Belmonte Gómez

3. Numeracióny cálculo BemardoGómez Alfonso

18. Circulando por el círculo Francisco PadillaDíaz,AmulfoSantos Hernández, FidelaVelázquez, ManuelFernández Reyes

4. Fracciones.I¿ relaciónparte-todo SalvadorLlinaresCiscar.M." VictoriaSánchezGarcía

19. Superficie. Volumen M." Angelesdel Olmo Romero,FranciscaMorenoCarretero, FrancicoGil Cuadra

5. Númerosdecimales Julia CentenoPérez

20. Proporcionalidad directa. La forma y el número M.' LuisaFiol Mora.JoséM." FortunyAymemi

ó. Númerosenteros JoséL. GonzálezMarí. M." DoloresIriarteBustos.AlfonsoOrtiz Comas,InmaculadaVargasMachuca.ManuelaJimenoPérez,Antonio Ortiz Villareio,EstebanSanzJiménez

21. Nudos y nexos: grafos en la escuela MoisésCoriatBenarroch. JuanaSancho Gil, AntonioMaríndelMoral, PilarGonzaloMartín

7. Divisibilidad ModestoSierraVázquez,Andrés García.M." T. GonzálezAstudillo,Mario González Acosta

8. Problemasaritméticos Luis Puig Espinosa.FemandoCerdánPérez

9. Estimaciónen cálculo y medida IsidoroSegoviaAlex. EncarnaciónCastroMartínez.EnriqueCastroMartínez,Luis Rico Romero

f0. Aritmética y calculadora Frederic Udina i Abelló

ll. Materialespara construirla geometría Carme BurguésFlamerich, Claudi Alsina Catalá, JosepM." Fortuny Aymemr

12. Invitacióna la didácticade la geometría Claudi Alsina Catalá. JosepM." Fortuny Aymemi, Carme BurguésFlamerich

13. Simetríadinámica Rafael PérezGómez. Claudi Alsina Catalá. Ceferino Ruiz Garrido

22. Por los caminos de la lógica InésSanzLerma.ModestoA¡rietaLiarramendi,ElisaPardoRuiz

23. Iniciación al álgebra ManuelMartínSocas Robayna, MatíasCamacho Machin,M."Mercedes Palarea Medina, JosefaHemándezDomínguez

u.

Enseñanza de la suma v la resta CarlosMazaGómez

25. Enseñanza del producto y de la diúsión Carlos Maza Gómez

26. Funcionesy gráficas Jordi Deulofeu Piquet, Carmen AzcárateGiménez

27. Azar y probabilidad J¡uanDiaz Godino, Carmen BataneroBernabéu,M." JesúsCañizaresCastellano

28. Encuestasy precios Andrés Nortes Checa

29. Prensay matemáticas Antonio FernándezCano. Luis Rico Rotnero

30. Ordenadory educaciónmatemática:algunasmodalidadesde uso JoséA. Cajaraville Pegito

31. Ordenary clasificar Carlos Maza Gómez, Carlos A¡ce Jiménez

32. Juegosy pasatiemposen la enseñanzade la matemáticaelemental JosefaFernándezSucasas,M." Inés RodríguezVela

DID

33. Ideasy actividadespara enseñarálgebra GrupoAzarquiel

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.

errcA;iilffiffia MATEMÁTI€A

l

34. Recursosen el aula de matemáticas J.DíAZ GODINO B. GÓMEZALFONSO . A. GUTIÉRREZ RODRÍGUEZ L. RICO ROMERO , ' M. STERRAV^ZQUEZ

FranciscoHernán Siguero,Elisa Carrillo Quintela

Consejoeditor: Luis Rico Romero,JoséM." FortunyAynlemi, Luis Puig Espinosa

EDITORIAL

SINTESIS

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Canie Gonr¡rrl techadeadqurl'¡ción MesAñotechadeProcesamiento Mes Año--

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Proveedor

Primerareimpresión:febrero 199

Diseñode cubierta:JuanJoséVázquez Estáprohibido,bajo las todoslosderechos. Resewados civil previstosen penalesy el resarcimiento sanciones Iasleyes,reproducir,registraro transmitirestapublipor cualquiersistemade cación,íntegrao parcialmente, y por cualquiermedio,seamecánico,elecrecuperación por fotocopiao por electroóptico, trónico,magnético, previapor escritode cualquierotro,sinla autorización S.A. EditorialSíntesis, @ J. DíazGodino,B. GómezAlfonso, A. GutiérrezRodríguez,L. Rim Romero, M. SierraVázquez O EDITORIAL SÍNTESIS,S.A. Vallehermoso,34.28015 Madrid Teléfono91 59320 98 http://www.sintesis.com -1999 Depósitolegal:M-2.681 37-2 ISBN:84-7738-1 Impresoen España- Printedin Spain

Indice

Día ---

La Comunidadde E¡lucadores Matemáticos. .. . .\. que se derivande las matemáticas. 1.1. Las profesiones 1.2. Profesores de Matemáticas. . 1.3. La Educación Matemática.... 1.4. ¿Quiénesconstituimosla Comunidadde EducadoresMatemáticos? 1.5. Movimiento Internacionalde Sociedades y Comisionesde Profesoresde Matemáticas:perspectivahistórica . . .. . . . . . 1.5.1. Desde1870hastala SegundaGuerraMundial . . . . . 1.5.2. De la SegundaGuerra Mundial hasta 1970 1.6. Movimientosde Profesoresy Sociedades de EducaciónMatemáticaen España 1.6.1. Antecedentes históricos:1900-1970 1.6.2. Antecedentes y actualidadde la EducaciónMatemática en España:197l-1991 1.7. Actividades 1.7.1. Congresosinternacionalesde la I.C.M.L 1.7.2. Reunionesy Congresosen España 1.7.3. La infraestructura de la difusión 1.8. Referencias

Las Matemáticasy el procesoeducativo 2.1. El procesoeducativo 2.1.1. Introducción:teoría versuspráctica 2.1.2. Desdenes, y anclajes desavenencias 2.1.3. ¿Quiénse ha interesadopor el procesoeducativo?. . 2.1.4. ¿Porqué seinteresala psicologíapor la Didácticade las Matemáticas?. 2.1.5. ¿Qué aporta a la Didáctica de las Matemáticasel punto de vista de la psicología''! .....

ll ll 15 18 2l

26 27 30 34 34 )I

44 45 48 50 56 59 59 59 60 6l

62 62

2.2.

2.3.

2.4.

2.5. 2.6.

2.1.6. ¿Quiénpuededecircómo deberíanenseñarse las Matemáticas?:..... Contrasteen la enseñanza de las Matemáticas. . 2.2.1. El contrasteepistemológico. . 2.2.2. El contrastemetodológico . .. . 2.2.3. El contrastepsicológico 2.2.4. Otros constrastes. Dos grandesteoríasdel aprendizaje. . 2.3.1. ¿Necesitan los profesoresconocerteorías? 2.3.2. Las grandesteoríasdel aprendizaje. . . lmplicacionesde las teoríasen la enseñanza: dos modelos 2.4.1. Bajo la teoiía conductista. 2.4.2. Debilidadesdel conductismo. 2.4.3. Bajo la teoríacognitiva.. 2.4.4. Debilidadesdel cognitivismo . . Epílogo Bibliografia

3. Hacia una teoríade la Didácticade la Matemática.. 3.1. Introducción 3.1.1. Componentesy relacionesde la Didácticade la Matemática con otras disciplinas 3.1.2. Interésde la TeorizaciónDidáctica... y Didáctica.... 3.2. Epistemología 3.2.1. Teoriascientíficasy sustipos 3.2.2. Corrientesepistemológicas. . 3.2.3. LaDidáctica de la Matemáticacomo disciplinacientífica . 3.3. Principalesprogramasde investigaciónen Didáctica de la Matemática 3.3.I. El programade investigación del grupo T.M.E. .. . . 3.3.2. Enfoquepsicológicode la Didácticade la Matemática. 3.3.3. Hacia una concepciónmatemáticay autónomade la Didáctica 3.3.4. Otras teoríasrelevantessobrela Didácticade la Matemática 3.4. La Didácticade la Matemáticacomo sabercientífico.tecnológico y técnico 3.4.t. Disciplina autónoma,pluridisciplinariedady transdisciplinariedad. . 3.4.2. Conexiónteoría-práctica .... 3.5. Conclusión 3.6. Referencias

63 63 63 67 70 74 74 74 75 90 90 93 94 100 101 r02 l0s 105 106 109 110 110 112 118 119 119

r24 130 t39 t4t t4l 143 144 t45

4. La investigaciónen Didáctica de las Matemáticas . 4.I. Introducción en Didácticade las Mate4.2. ¿Quéseentiendepor investigación máticas? 4.2.1. Delimitandoel campode actividad 4.2.2. El conceptode calidadde la investigación 4.3. Tipos y metodologíasde investigaciónen Didáctica de las Matemáticas 4.3.I. Tipos de investigación 4.3.2. Métodosde investigación. . 4.4. Herramientaspara la investigaciónen Didácticade las Matemáticas 4.4.1. Fuentes de documentación 4.4.2. Métodos de recogida de datos 4.5. Temas actuales de investigación . . . 4.6. Estado de la investigación en Didáctica de las Matemáticas en España 4.7. Bibliografía Anexo direcciones útiles . Editoriales y Librerías Revistas Basesde datos . Sociedades

149 149 152 152 155 159 160 167 I74 t74 179 182 190 19l 195 195 196 197 198

La Comunidad de Educadores Matemáticos LursRrco Universidad de Granada Mopnsro Srnnu Universidad de Salamanca . y elaborarconclusiones Antesde cerraresteapartadoqueremosseñalarotras formasde organizaciln importantesque se dan dentro de la Comunidadde Educadoresen España. En primer lugar estánlos Gruposde renovación,de los que anteshemos mencionadoalgunos de los más conocidos.La actividad de los grupos continúa siendomuy importanteen el impulso a la innovacióny mejoraen la enseñanzade la matemáticasy su actitud independientey, a veces,fuertementecrítica constituyeun estímulopermanentetanto para la Administración como para el resto de los compañeros. Con estructurasimilar a los Grupos,pero con un caráctermenospersonal y voluntaristaestánlos Seminariosde trabajo,potenciadosen los últimos años por la AdministraciónEducativacon pequeñasayudaseconómicas.La constituciónde un Seminariorespondea la necesidadcompartida de matemáticas,de coordinar SuS por varios profesores,no necesariamente actuacioneJenun aspectoconcretode su actividadprofesionaly desarrollar

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un estudiodetalladosobreel mism periódicas,unos objetivos,una disr desarrolloy ejecución.El trabaio dr mente,en un plazohjo y conllevala vecesderivaen su publicaciónen un nidadesel papelde los cE.p.'s comopromotores de la constitucióny trabajo de los Seminariosha sido determinante. La convocatoriaanualde ayudaspara Seminarios ha supuestoun impor_ tante estímulopara el trabajo y el intercamuioá" lnror,nacióny documentación "n "quipo entrerosprofesorer,!u'. ná rrao roseduca_ doresmatemáticos. "prou"";;JJ;;, rcionesde los educadoresmatemáticos anizaciónen otros colectivosdedicados nerales;tal es el caso del Movimiento r (M.C.E.p.),el colectivopedagógico Finarmente, aunqueajenosal movimientoasociativo, hay otros dos espaciosen los que confluyenprofesores de matemáti"u,*uüffiio pror.sonut_ mentey en dondeaparecenproblemasrelativos a la EducációnMatemática; se trata de los Centrosde profesores,popularmente C.E.p.,s,y los Equiposde Investigación, constituidosy financiaáálá. u"u".¿o con los planesde pro_ moción Generaldel Conoóimiento.S objetivosdiferentes, de actuaciones em cativapara promoverla FormaciónI cionarla Investigaciónen Didácticade espronto para hacerun balancedel rel actuaciones, pero tanto los objetivosp puestosa disposiciónpermitenp."u".i los Equipos de Investigaciónen el ful España.

1.7.1. Los Congresosinternacionalesde la I.C.M.I. de organizarCongresos Como ya hemosexplicadosesintió la necesidad internacionales dedicadosexclusivamente a la educaciónmatemática;la idea por Freudenthalal hacersecargode la presidenhrc lanzadaexplícitamente que el PrimerCongresoInternacional cia de la I.C.M.I. en 1967decidiéndose (Francia)en 1969.Alrededorde tuviese lugar Lyon con estenuevoestilo en seiscientoseducadoresde cuarenta y dos paisesasistieronal mismo; la con contribureuniónconstóde veinteponenciasplenariascomplementadas cionesde los miembroscongresistas. Este Congresoredactó una resoluciónque comprendíacinco puntos y de la I.C.M.I. Los puntos se referíana: dos recomendaciones y debenser objeto 1. Los contenidosy métodos,que son inseparables, de estudiopermanente. 2. Sedebellevar a cabo la colaboracióndel profesoradode matemáticasy de otras disciplinas. 3. Desarrollarla cooperacióninternacional. 4. La formaciónde los profesoresde matemáticasdebeser continua. 5. La pedagogiade las matemáticas,como ciencia autónoma,debe encontrarun lugar en los Departamentos universitariosde matemáticas o en los institutosde investigación. Las recomendaciones fueron:

1.7. ACTIVIDADES ¡ual que cualquier otra comunidad nas y medios de comunicaciónque ón entre susmiembrosy la transmi_ ico.Entre éstosdestacanlos Encuen_ ran a nivel local,regional,nacional o :ación matemática(informes,mono_ comunicación.

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mundo; sin embargo,sí nos pareceoportuno haceruna reseñade los CongresosInternacionales de la I.C.M.L por seréstospuntosde encuentro,cada cuatro años,de educadoresmatemáticosde todo el mundo que al volver a sus paísesde origen difundenlas ideasprincipalesque se hacensentir en Tambiénhacemosuna referencia al casode estosCongresosInternacionales. nuestropais deteniéndonos en los Congresosnacionalese internacionales. La infraestructurade la difusiónmerecela pena ser tratada con detenimiento puesva a ser clavedentro de los sistemasde comunicación.

..; l,;#*T I"i'rf" :T:.,'"lTÍ".."

a) Estudiar los problemasde información internacionalsobre la enseñanza de las matemáticas, en particularel de centrosinternacionalesde informacióny la creaciónde un boletíninformativo. b) Para el próximo Congresoatribuir más importanciaa la enseñanzaen preescolar,a la enseñanzaelemental,a la enseñanzade las matemáticaspara todos los jóvenes y a la de adultos

(r.c.M.r., 1969).

En estaresoluciónse establecían objetivosmuy ambiciosos,algunosde los cualesestánhoy por cumplir. 45

- Sesiones plenarias. - Gruposdi acción,que giraronen torno a los distintosniveleseducatiuos por edades,formacióndel profesorado,matemáticaspara adultos y para Ia formacióntécnicay vocacional. puntualescomo , ticas para todos>,,Reuísta de Educación, uol. 269, pirg- 55-76. GoNzLLnz,J. (1991):La enseñanzaen España: el desafiode los nouenta.Capítulo 8 de la obra España a debate, Tomo II, J. Vidal-Beneyto editor. (Tecnos: Madrid). Gnupo CBno (1976): Las matematicas en BUP, contribución a una enseñanzamenos aislada. (Indice: Madrid). HowsoN, G. (1979): en UNESCO: Nueuas tendencias en la enseñanzade las matemáticas, vol. IV, pág. 151-183. HowsoN, G. (198a):, Educational studies in Mathematics, uol. 15, pá9. 15-93. HowsoN, G., Kurnr, c., y Krrearmcx, J. (1983):Cufficulum Deuelopmentin Mathemaf ics. (Cambridge University Press: Londres). I.C.M.I. (1969):>,Educational Studies in Mathematics, uol. 2, pá9. 135-419. Oeuetopment in Mathematical Education (Procedings of the II LC.M.I. igll): (edit. A. G- Howson) Cambridge University Press. LC.M.E.) I.C.M.L (1977):Proceedíngsof the III I.C'M.E' (edit. H. Athen y H' Kunkle) (Z'D'M': Karlsruhe). (Birkhauser: y I.C.M.I. (1983):Proceedingsof the IV I.C.M.E. (edit. M. Zweng otros) Boston). I.C.M.I. (1986'l:Proceedingsof thel V I.C.M.E. (edit. M. Cars) (Birkhauser: Boston). I.C.M.L (1988\: Proceedingsof de VI I.C.M.E. (edit' Ann y Keith Hirts)' (1987):La ReJorma UniI¡rnnNnrroNnr COuNcIr non EouCatIoN¡I- DBveI-Oerr'rnNr uersifaria Española. Eualuación e Informe. Consejo de Uniuersidades.(Ministerio Educación y Ciencia: Madrid)' MrNrstnnlo on EouclctÓN y CrnNcre (1988): Estadística de la Enseñanza en Españu' Niuel no uniuersitarío 1985-86.(Centro de Publicaciones MEC: Madrid). MrNIsrBnro on EpuclCIÓN y CInNcll (1989): Diseño Curricular Base. Educacil¡n Primaria y Educación Secundaria Obligatoria. (Centro Publicaciones MEC: Madrid). MrNtsrnnlo EpuCeclót¡ Y CIENcIA. Coxsn¡o on UNIvnnsrpaons (1990): Anuario de Estadística (Jniuersitaria 1989.(Centro Publicaciones MEC: Madrid). Mouno, A. (1917):La reforma educatiuade la segunda República,Santillana, Madrid' pÉnnz Jrrr,rÉr.¡nz, A. (1990): Tendencias actuales en la enseñanza de las matemáticas. Actas IV Jornadas Andaluzas Educación Matemática. (SAEM Thales: Málaga). Pncnr, J., y otros (1955): L',enseignementdes mathematiques.(Delachaux y Nietlé: París). prucr, D. J. S. (1963):>. columbia un. Press.Rnvlsra os ENssñnNz¡ Mnue, añ,os1957-1971. Rrco, L. (1976): Diüctica de la Matemática. Actas Primera. Reunión-Coloquio de Didáctica de la Matemática. Cuadernos del Dpto. de Estadístican'o 2. Universidad de Granada.

57

F Rrco, L. (1982):Reflexionesen torno a ra conexiónEGB-BU\ en er Area de Matemati_ cas' seminariopermanentede Inspectores de Matemáti."r, c.unáá. Rtco, L. (1990):>, Bulletinde L,ApMEp, uot. 353,pág. l4l_155.

Las Matemáticas y el ProcesoEducativo BnnN,tnooGóunz A¡.r'oNso Departamentode Didácticade la Matemática Universidadde Valencia

2.I. EL PROCESOEDUCATIVO 2.1.1. Introducción:teoria versuspráctica Procesoeducativoes la expresiónque se sueleutllizar para referirsea y aprendizaje, enseñanza dualidadcuyostérminossehacencorresponderen el lenguajecoloquialcon teoríay práctica.En definitivala teoriadescribela forma en que seaprendey la prácticaprescribecómo las personasinfluimos para que se aprenda. Es de destacarqueestosdos aspectos de la educaciónno siemprevan por el mismo camino,ni siempreguardanla debidarelación,hastael punto de quedividena la propiacomunidadde profesionales en dosgrupostácilmente reconocibles: aquellos,los teóricos,que, como Davis (1987,pág. 97) señala humorísticamente, enseñanpoco y cobran mucho, y aquellosotros, los implicadosdirectamenteen la práctica,que enseñanmucho y cobran poco. Tanto en un grupo como en el otro se encuentranenfrentadoslos que defiendenque primero hay que perfilarla teoria y luego decidir cómo hay que aplicarlay los que argumentanque esla prácticala que debeconformar la teoría: (Van Hiele, 1986,pág. 8).

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2.1.2. Desdenes,desavenencias y anclajes a)

b)

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El hecho es que son muchos los profesores de Matemáticas que desdeñan aquello que huele a teoría, en particular si se trata de teorías que cuestionan su estilo docente.No debe extrañar que Skinner (1984, pá9. 2q señalara que (es de destacar que campea una despreocupacióngeneral por los métodos de enseñanza>. Las argumentaciones son variadas: unos cuestionan la utilidad de las teorías y otros su validez. Así, se dice que las teorías del aprendizaje no han aportado gran cosa, ni la pueden aportar, acerca de cómo hay que enseñar,ya que la enseñanzaes un árte en el que intervienen factores humanos impredecibles que dependen funáamentalmente de lo que hace el maestro en el aula y, por ello, como realmente se aprende a enseñar es enseñando y no pensando cómodamente sentado en una mesa de despacho. En otro orden de cosas,se considera que las teorías son ideales y de laboratorio, para pocos alumnos, y que la realidad es otra cosa. Hay quien afirma que las conclusiones teóricas le dejan perplejo, puesto que en su terreno, el de las Matemáticas, una ahrmación es fruto de consideracionesrigurosamente lógicas y formalmente probadas, mientras que las conclusiones teóricas educativas son especulaciones que manejan variables imprecisas (atención, actitud, motivación, ambiente, concepciones,disponibilidad, etapas o niveles cognitivos,...) deducidas de muestras experimentales particulares (lugar, tiempo y modelo social), limitadas (a un colectivo) y contaminadas (por la propia experimentación). En el fondo lo que subyace es la falta de adecuaciónentre las teorías descriptivasdel aprendizaje y las teorías prescriptivas de la instrucción y que (Hart, 1981, pág.216). Otro hecho evidente,es que cuanto más se mira lo que ocurre en la enseñanza de las Matemáticas más desavenenciasse ven entre los profesionales,los profesionalesy las autoridades, los profesionalesy los padres y entre todos ellos a la vez, en cuanto a la forma en que debe dirigirse la enseñanza.Ahí tenemos las campañas para enseñar Matemáticas mediante y anclajesen el pasadoson'en parte'fruto Desdén,desavenencias delafaltadeinformaciónqueacompañaalossereshumanos.Noes razonablecerrar los ojos y creer que sólo es válido Io que uno es capazde pensar.Otros han pensadosobrelo mismoy muchasveces con gran acierto. 2.1.3. ¿Quiénse ha interesadopor el procesoeducativo?

principalesrezan asi'. e intercambiarinformacióncien1. Promovercontactosinternacionales Matemática' Educación tífica en la Psicologíade la 6l

Promover y estimular la investigación interdisciplinar en la mencionada área con la cooperación de psicólogos,matemáticos y profesores de Matemáticas. 3. Avanzar en la profundizaciín y mejor comprensión de aspectospsicológicos de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas y las implicaciones de ello.

2.

2.1.4. Por qué se interesa la Psicologia por la Didáctica de las Matemáticas El intento conductista de explicar el aprendizaje humano en términos de estímulo-respuestay reforzamiento recibió un duro golpe a linales de los años 50 de la mano de la premisa de que entre estimulo y respuestaocurre algo importante. Se postula que es un error creer que la relación entre estímulo y respuestaexplica lo que ocurre en el aprendizaje.En realidad sólo 1o describe; la clave para comprenderlo reside en el fenómeno mental que interviene entre el estimulo y la respuesta. La Psicología se interesa por el aprendizaje,luego no debe extrañar que acuda allí donde se está produciendo por antonomasia: la escuela.En ese lugar hay entre otras cosasaprendizaje matemático, en gran parte relacionado con el razonamiento en la forma más pura (despegadode emociones y sentimientos). Es natural que la Psicología, interesada en comprender el fenómeno mental que interviene en el aprendizaje, sienta interés por el proceso de adquisición de los conocimientos matemáticos y en particular por la relación entre razonamiento y aprendizaje.

2.1.5. ¿Qué aporta a la Didáctica de las Matemáticas el punto de vista de la Psicología La psicología de la educación matemática mira la enseñanzay el aprendizzje de las Matemáticas desde un enfoque nuevo (de hecho es un campo de conocimientos relativamentejoven). A diferencia del enfoque tradicional en el que las Matemáticas escolares se inspiran en la lógica interna de las Matemáticas y en la incorporación de las nuevas ideas que se derivan de la propia evolución (piénseseen las ),el enfoque psicológico intenta comprender qué hacen los alumnos cuando se encuentran frente a las Matemáticas. Se asume que el aprendizaje de las Matemáticas tiene su propia psicología, que los estudiantes y profesores tienen ideas propias acercade las Matemáticas en las situacionesde aprendizajey que los profesores estarán mejor equipados para su tarea si pueden comprender cómo se ven las Matemáticas desde la perspectiva del que aprende. 62

Aunque es un hecho la falta de conocimientos de Psicología que tienen los matemáticos y la falta de conocimiento de Matemáticas que tienen los psicólogos, esto no debe justihcar la falfa de comunicación entre matemáticos o profesoresde Matemáticas y psicólogos de la educación matemática. Es paradójico que (un matemático que nunca aceplatia un teorema sin una demostración,es capazde presentar y defendercon fuerza sugerenciasdidácticas sobre las Matemáticas sin apoyarseen ninguna evidenciaexplícita de la investigación y sin sentir la necesidadde analizar objetiva y sistemáticamente los efectoseducativos de sus ideas> (Fischbein, 1990 a, pá9.2).

2.1.6. ¿Quién puede decir cómo deberían enseñarselas Matemáticas Para dar respuestaa esta pregunta ha aflorado en los últimos años gran cantidad de información, cuya dimensión se refleja en la multitud de publicaciones,congresos,jornadas y encuentrosdedicadosal tema. Sin embargo, y a pesar de lo mucho que se ha escrito sobre el particular, la mayoría de los mortales, incluso los que no han leído nada sobre la enseñanzade las Matemáticas emiten juicios, opinan y dictaminan sobre cómo debe o cómo no debe orientarse la cuestión.Y es que, todo el mundo es y se sienteconocedor, todo el mundo sabe,porque ha tenido experiencias,porque ha sido objeto de la Didáctica de las Matemáticas en algún momento de su vida. Estas opiniones se vierten fundamentalmente en tres líneas:la epistemológica (qué clase de Matemáticas queremos que aprendan los niños o cuáles deben ser las Matemáticas escolares),la psicológica (cómo creemos que se aprende o cómo se adquiere o produce el conocimiento) y la metodológica (cómo se debe enseñar o cómo llevar adelante la enseñanza).Cada una de estaslíneas se apoya en las otras y dentro de ellas el contraste de parecereses manihesto.

2.2. CONTRASTES EN LA ENSEÑANZA

DE LAS MATEMATICAS

Se pretende señalar aquí la evidencia de que existen pareceresen contraste cuando se trata de opinar acerca de la naturaleza de las Matemáticas que deben saber los estudiantes,la forma de enseñarlasy la forma en que las aprenden.

2.2.1. El contraste epistemológico Poca gente discute que lo importante es aprender las Matemáticas que uno va a necesitaren la vida diaria. En 1978 el Departamento de Ciencia y

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Educación del Reino Unido encargó un estudio detallado del estado de la educación matemática en ese pais bajo la supervición de Sir wilfred cockcroft. Las conclusiones se publicaron en 1982 en un documento de 300 páginas que es conocido desde entonces como el informe cockcroft (este informe ha sido traducido al español: crockroft, 1985).Entre las consideraciones del informe cabe señalar la recomendación de que las Matemáticas escolaresdeben enfocarsea las necesidadesmatemáticas de la mayoría de los estudiantesque sólo las quieren para usarlas en la vida diaria, más que para una pequeña minoría de estudiantesque necesitaránconocimientos matemáticos especializadosen sus estudios universitarios o en su vida profesional.

además debe adivinar que es lo que se desea que conteste, rechazando a veceslo que para él sería la respuestalógica. Por ejemplo, si a la pregunta un alumno respondeque queda 5, estará dando una respuestaque va a ser considerada errónea. Para él la respuesta es pertinente, pero no para el profesor que deseacomo r€spuesta4n. ¿Quiere esto decir que el alumno no sabe la respuesta?Para conocer la respuesta convendrá ser algo más cuidadoso y presentar la pregunta de otra manera; >'! (Cockcroft, 1985,pág. 13).

a) ¿Débe entenderse,bajo esta premisa, que es un error dedicar tiempo a aprendizajesque son socialmenteestérilesy que la educación debe atender únicamente a aquellos aprendizajes que son idénticos a los que realmente uno va a necesitar?Básicamente,contar, operar, hacer algunas mediciones, interpretar algunas tablas de datos o gráfrcasy algo de ecuaciones.Los que así piensan entienden que las Matemáticas son como una herramienta, algo para manejar y aplicar: símbolos y fórmulas, hechos básicos y algoritmos, técnicas bien memorizadas y adiestradas. No es extraño que se sientan satisfechoscuando contemplan a sus hijos esforzándosehora tras hora en hacer mecánicos y aburridos (haciendo algo que ellos no harían, por ejemplo, sin recurrir a una calculadora). Los niños, obedientes,sufren rutina a rutina un calvario plagado de , , hasta que, al lin, ¡Eureka! son capacesde dar la respuestaestipulada, por el procedimiento estipulado, en un tiempo razonable y un suficiente número de veces.

b) En contra de esta postura de (no hay diferentesformas de razonar ni hay dependenciade la cosa sobre la que se acostumbre a razonar). De ahí que la propuesta educativa de la época se dirija al desarrollo de un programa de duro trabajo intelectual. Se entiende que lo mejor para ello es un cóctel de lenguas clásicas (Latín y Griego), Filosofia y Matemáticas del tipo de geometría euclídea y cálculo aritmético automático (los libros de texto de la época llevan apéndices dedicados al cálculo rápido). No debe extrañar que a estas materias se las denominara ,pues realmente lo eran. El declive de esta teoría de la comienza cuando, en los años veinte, Thorndike presenta los resultados de su investigación con testsde inteligencia comparando estudiantesque han estudiado con estudiantesde educación fisica: las puntuaciones obtenidas eran similares. Este resultado lleva a Thorndike a formular su teoría de para la transferenciadel conocimiento: (Ausubel, Robinson, 1969,pág.136). Si se produce la transferen-

se puede utilizar para describir:

78

ütii\¡ [ii:,U;iij

i:i j . i

sisiti*l oi Bit'-l0I

*

.,

., lr i¿'-''*s 7s rnn*ii-qiólc:r E[45

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Una secuencia de aprendizaje o de comprensión que se da en el estudiante. Una secuenciade enseñanzaque usa el profesor. Una secuencialógica que se da en el tema.

Aunque estos tres usos no son lo mismo, Hart los considera interdependientes: La enseñanzaprogramada. Las máquinas de enseñar. La corriente conductista ha dado lugar a un efimero y breve movimiento conocido como ,patroneado por el psicólogo estadounidense B. F. Skinner, famoso por postular la necesidadesde las máquinas de enseñar:(Skinner, 1984, pág.35). Esta forma de enseñanzase organiza en pequeñasunidades de trabajo, de modo que los alumnos son responsablesde su propia instrucción. Cada unidad contiene un estímulo que necesita respuesta y la respuesta correcta da paso a la unidad siguiente (por lo que queda reforzada inmediatamente).De esta manera el ritmo de trabajo se lo marca el propio estudiante. Lo valioso de las máquinas de enseñar no hay que buscarlo en la mera sustitución del agente transmisor de la información, ni en el carácter individual de la instrucción, sino en que permite aplicar lo concluido en investigaciones de laboratorio y en experimentacionesrigurosas en las escuelas,tal cual, sin ninguna omisión ni mediatización. Con todo, este procedimiento ha tenido importantes repercusionesen el mundo laboral para adiestrar empleados que tienen que responder con rapidez ante un abanico limitado de posibilidades. Su plasmación la podemos encontrar hoy en algunos manuales del tipo se aplica con distintos sentidos y grados de generalidad. El filósofo de la ciencia E. Nagel l diferencia cuatro sentidospara el término teoría. En su signihcadomás general,una cs un sistema de enunciados,frecuentementeuniversalesy relativos a distintos aspectosde fenómenos complejos, capacesde explicar algunas regularidades empíricamente establecidasa partir de sucesosobservados y, en muchos casos, de predecir con distintos grados de precisión cierta clase de ocurrenciasindividuales. Ejemplos de esta clasede teorías serían la mecánica de Newton, la teoría de la evolución, etc. Un segundo sentido de teoria se rehere a (una ley o generalizaciónque aflrma alguna relación de dependencia entre variables> que puede adoptar una forma estrictamente universal o tener un alcance estadístico. Como ejemplo Nagel cita la ley de Boyle. Una tercera acepción no se reliere a un conjunto de enunciados sistemáticamente integrados ni a una única generalizaciín estrictamente formada, sino más bien a la identificación de (una clasede factores o variables que por distintas razones se suponen constituyen los determinantesprincipales de los fenómenosque se investigan en una disciplina determinada. La teoría económica de Keynes se puede citar como ejemplo. El cuarto sentido atribuido por Nagel a una teoría se refiere a cualquier

I Citado por Stanic (1988)

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Componentes básicos en el proceso de construcción de teorías

Figura 3.3. Componentesen la construcciónde teorias segúnRomberg.

formulación del problemu implica la identihcación de variables claves, usandoun vocabularioy un conjuntode enunciadoscausalessobreel fenómeno.Estosenunciadosse organizancon frecuenciaen términos de causales.Una predicciónes un enunciadosobrelos datos que seespera observarbajo las hipótesisde que el modelo sea verdadero.Estos datos puedenprovenirde diseñosexperimentales en que segaranticeel control de las variableso de observaciones naturalistas,y seráncomparadoscon los resultadoso hipótesisprevistas.La naturalezaesencialmenteestocásticade los fenómenoseducativosobligará al empleode métodosestadísticos para poder adoptar una decisión acercade la concordanciade los datos con el modelo. El esquemade Rombergcorrespondebásicamente al enfoqueclásicoo de la investigación,que ha estadogeneralmente asociado con los métodoscuantitativos.A vecesla complejidaddel problemahace necesario,una vez formulado éste y previamentea la construcciónde un modelo, una toma de datos, que se analrz;andesdetodas las perspectivas posiblesen un enfoque,buscandoteoríasque los expliquen. Generalmenteesteenfoqueseempleaen la investigacióncualitativa.Remitimos al lector al capítulo de estelibro dedicadoa los métodosde investigación para una descripciónmás detalladade los tipos y métodosde investigación.

3.2.2. Corrientesepistemológicas El análisisdel objeto y métodosde la Didácticade la Matemáticay su posibledemarcaciónde otros camposde conocirniento(didácticageneral, pedagogía, psicología,...)esun temapropio de la epistemología. Como seha indicado,estarama de la filosofiaestudia,precisamente, la constituciónde los conocimientoscientíficosque se consideranválidos,abarcandolos prott2

blemasde demarcaciónde la cienciay el estudiodel desarrollodel conocide las concepalgunosaspectos brevemente, mientocientífico.Expondremos, pueden y que servirnosde Bunge Lakatos, Kunh, de cionesepistemológicas guía en nuestro esbozode estudio del significadode la Didáctica de la Matemática.El lector interesadoen estascuestionespuedeencontraruna en Chalsintesisasequibley más completade las corrientesepistemológicas mers (1986),o en Benedito(1987)donde se aplica al estudiodel estatuto de la didácticageneral. epistemológico Los paradigmassegúnKuhn defendidapor Kuhn de la teoríaepistemológica Un rasgocaracterístico (1975)es la importancia que atribuye al carácterrevolucionariodel progreso científico,en el que una revolución suponeel abandono de una estructura teórica y su reemplazopor otra, incompatiblecon la anterior. La imagenque tieneKunh de cómo progresauna cienciasepuederesumiren el esquemade la frgura3.4:

Figura3.4. Progresode la ciencia(Kuhn). La nociónque guia la aportaciónde Kuhn a la Teoríade la Cienciaesla de . 113

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La formación de una ciencia se estructura finalmente cuando una comunidad cientifica se adhiere a un solo paradigma, pero va precedida por una fase de actividad relativamente desorganizadade pre-ciencia inmadura en la que falta un acuerdo en aspectosfundamentales.Según Kuhn, la pre-ciencia se caracteriza por el total desacuerdoy el constante debate de lo fundamental; habrá casi tantas teorías como investigadoreshaya en el campo y cada teórico se verá obligado a comenzar de nuevo y a justificar su propio enfoque. Otro rasgo de la concepción epistemológicade Kuhn es el carácter de que atribuye a los paradigmas. Los cientificos que comparten un cierto paradigma no pueden discutir las ideas de otro distinto de un modo imparcial y racional. Aunque una cierta teoría precursora pueda ser considerada como un caso especial de otra posterior, debe ser transformada de algún modo para poder ser comparada. Por ejemplo, los conceptos de y . Estos autores analizan y clasificandiferentesteorías y modelos instrucen tres tipos:interaccióncoginteraccionista cionalesdesdeuna perspectiva nitiva, socialy contextual.La >; ver Hart y otros (1989). 12 En Donaldson (1978)y Siegel,Brainerd (1983)se citan numerososejemplosde estetipo de investigaciones.

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Un trabajo riguroso debe estar organaado con claridad, especificando los objetivosy los resultadosobtenidos,describiendo las técnicasde análisisde datosutilizadasy las premisasasumidas,planteando el marco teórico en el que se inscribela investigacióny dando toda la información necesariapara que otros investigadorespuedan,si lo desean,repetirel estudioen las mismascondicionesl3. Kilpatrick (1981)haceuna interesante contraposiciónde las investigacionesestadounidenses y soviéticasde los años 70 en cuanto a sus nivelesde rigor y de significación.Af-rrmaque los investigadoresamericanosdisponende un aparatode análisisestadísticomuy perfeccionado (desarrolladopor los psicólogosde la educación),graciasal cual sus invetigacionestienen un alto grado de rigor, cosade la que carecenlos pero segúnKilpatrick (1981),. r La terceramedidade la calidadde las investigaciones es su puedendar una idea clara de cualesson estoscamposy las líneasque se siguenen cada uno de ellos;sin ánimo de ser exhaustivo,ni de aludir a ¡más importantes,en los siguientespárrafos haré unas brevespresentaciones de algunos de tales camposde investigación. o La investigaciónen ha sufrido durantemucho tiempo el mismo olvido que su enseñanza en Primaria y Secundaria, si bien en paralos últimosañosseobservaun relanzamiento de la investigación lelo al mayor pesode la geometríaen los nuevoscurrícula.Estehecho y mi gustopersonalson los motivospor los que aludo a la geometría en primer lugar. 184

Al igual que en otras áreasde las Matemáticas,la teoríade Piaget ha supuestohasta hnalesde los 70 la principal fuentede investigaciones,tanto para aplicar dicha teoría como para analizarlao criticarla. Pero, como indica Coxford (1978),la investigaciónsobre conceptos geométricos debeir más allá de la descripciónde qué comprendenlos niños a diferentesedadesy de la repetición o el refinamientode las teoríasde Piaget;debe ocuparse,por ejemplo,de relacionarla comprensión geométricacon el tipo de experienciasque adquieren los y con los tipos de enseñanza estudiantes dentro y fuerade las escuelas usadospor los profesores. El modelo de razonamientogeométricode Van Hiele da respuestas planteadaspor Coxford, por lo que está válidas a las necesidades implantado con fuerzacomo marco teórico en el que apoyar los trabajos de investigación y de innovaciónen la enseñanza: Seestánrealizando investigacionesde desarrollo curricular en diversas áreas de la geometríaasí como de profundizacióny mejoradel propio modelode Van Hiele3s. Dentro de la investigaciónen geometría,es necesariodestacarcoya espacial>>, autónomala dedicadaa la > de Profesoresde Matem. Soc.Canaria