Ausführliches Rechenbuch [4. Aufl., Reprint 2021] 9783112446089, 9783112446072

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Johann Friedrich Heynatz, ehemaligen Professors zu Frankfurt an -er Oder und Rektors der Oberschule -«selbst,

ausführliches Rechenbuch,

vorzüglich

zum Selbstunterricht.

Vierte Auflage.

Berlin,

1819.

Irr -er Sanderschen Buchhandlung.

Auszug aus dee Vorrede zur zweiten Auflage.

AJa das von mir in der Vorrede zu der ersten Auflage meines bekannten Handbuchs nur so Halb und halb versprochne Rechenbuch sowohl bey dem Verleger als auch bey yrir verschiednemal ver­

langt war, so mußte ich mich zur Ausarbeitung des­

selben entschließen,

Es erschien in der Michaelis­

messe 1776, und ward Unter einem doppelten Titel

verkauft, einmal als der zweite Theil des vorher er­

wähnten Handbuchs; und daneben auch als ein

besondres Werk, weiche Einrichtung jetzt bey der zweiten Auflage wieder beybehalten ist. Wer mehrere Rechenbücher kennt, wird leicht bemerken, daß ich weder in der gejammten Einrich­

tung, noch auch in den Worten, worin' die Re* 2

geln

II

V v r r e d e.

geht abgefaßt fttib, andere, ausgeschrieben, sondern alles aus eignem Nachdenken vorgetragen hake. Die Deutlichkeit ist mein Hauptzweck gewesen,,

und ich bin derselben zu Liebe hin und wieder et­

was weitläuftig geworden.

Besonderer gilt dies

von den vier oder fünf Specien, auf deren gut
st. 8. ©. 272, 3. 17: 80 der Centner 140 st. der Centner 14080. ©. 279, 3.7 : 3) st. 6). ©. 285,3.3: §. 4. st. §. 1. S. 326 in der Mitte: st. zz ©.352. 3.2, v.u. diese st. die. ©.389, 3- 3. v. «. 9 jlaft 19. S. 394, 3-1. nur st. nun.

©. 396, 3.1: i'x st- »V S. 410, 3.7. v.«. st. S. 457 unten M st. ZzH. Wer versichert ist, nicht die ächte zweite Auflage zu besitzen, und die jetzt hier angeführten Fehler nicht alle in seinem Exemplare findet, der hat einen

andern «nachten Abdruck.

V o r r e d e.

XI

In gegenwärtiger verbesserten Auflage habe ich

wenig Zusatze gemacht, aber doch viel berichtigt und

verbessert, daher ich das Zutrauen habe, daß die Käufer mit mir zufrieden seyn werden.

Um das

Buch immer noch in wohlfeilem Preise zu liefern, ist eS mit kleinern Buchstaben gedruckt, und also

etwas dünner geworden.

Man wird aber finden,

daß es mehr enthält, als die vorigen Ausgaben.

Geschrieben,

Frankfurt an der Oder,

den

iS«» September 1798.

Vor*

XII

Vorrede zur vierten Auflage.

Ungeachtet der großenAnzahl Rechenbücher, welche

seit der letztem Auflage des vorliegenden Werkes heraUögekommen sind, ist dennoch der Werth desselben

stets anerkannt geblieben, so daß gegenwärtig eine Neue Auflage nöthig geworden ist. In der That,nver

das Rechnen Nicht bloß Mechanisch- sondern mit dem Verstände erlernen will, dem kann Matt' kein Zweck­

mäßigeres Lehrbuch als das,deSverstorbenenRectors

Heynatz^ vorzüglich zum Selbstunterricht, empfehlen. Veränderungen in dem Werke vorzunehmen- schien uns.

Vorrede.

xin

uns, dader Inhalt desselben nicht veraltet ist, üherflüfsig, lind Zugleich für die Besitzer der altern Auf; lagen unbequem. Gegenwärtige Auflage stimmt daher mit der vom Jahre 1795 wörtlich überein. Berlin, im Februar 1819» Die VerlagöhandlUng.

XIV

Entwurf des ganzen Werks.

(Wenn in diesem Entwürfe sowohl als im Werke selbst ein Paragraph oder ein unter dem Paragraphen stehender Theil mit * bezeichnet ist, so bedeutet ei, daß Anfänger ihn ganz überschlagen tonnen.)

Vorerinnerungen von der Rechenkunst überhaupt. §. i.

Ä8as Rechnen sey. Arithmetik. Mathematisch« und

mechanische Rechenkunst. Wae Zahl heiße. S. i. 2. Zweierlei Art der Veränderung der Zahlen. S. 2. Vermehrung der Zahlen ist entweder Addiren »der Multipliciren. S. 2. 3. §. 4. Verminderung der Zahlen ist entweder Subtrahiren oder Dividiren. S. 3. §. 5. Die Anzahl der Specien ist vier. Ob das Numeriken mit dahin gehöre. S. 3. 4. §. 6. Ganze und gebrochene, benannte und unbenannte Zah­ len. S. 4. 5.

§. 2. §. 3.

Erstes Hauptstück, vom Numeriren oder der Erkennt­ niß der Zahlen. §. 1. Wie viel Stücke zum Numeriren gehkren. S. 6. §. 2. Regeln des Zählens.. Erleichterung des eigentlichen Zählens. Uebung nach gelerntem Zählen. @.6 — 9. 3. Zehn Ziffern. Einfache Zahlen. Null. Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern. S. 9. 10. S. 4.

Entwurf des ganzen Werks.

XV

§. 4. §. 5. §. 6. §. 7. §. 8. §. 9. §.

$. §. §.

Zusammengesetzte Zahlen. S. 10. Wahlen von zwei Ziffern. S. io. ir, Zahlen von drei Ziffern. S. n. Zahlen von vier Ziffern. S.u. 12. Zahlen von fünf Ziffern. S. 12.13. Zahlen von sechs Ziffern. S 13» Ls ist durch einen Druck­ fehler §. 9 unbezeichnet geblieben). 10. Zahlen von mehr als sechs Ziffern. ®. 13 — 16. * Nu, meration der Geübten. S. 16. * Alte Art auszusprechen. S. 16. 17. H. Anschreiben ausgesprochener Zahlen unter einer Million. S. 17. i8. i2. Anschreibung einer jeden Zahl unter hunderttausend mit sechs Ziffern. S. 18. 13. Anschreibung der Zahlen, die mehr als sechs Ziffern er­ fordern. S. 19. 20.

Zweites Hauptstück, von dem Addiren oder dem Hinzuthun.

Mas addiren sey. S. 21. Zeichen des Addirens. Zeichen der Gleichheit. S. 21. Ausdrucke beym Addiren. S. 22. Aussetzen eines Beyspiels vom Addiren. S. 22. 23, Regeln des AddirenS S. 23. 24. Nothwendigkeit und Gebrauch des sogenannten Lins und Eins. S. 24-— 26. § 7. Beyspiele einer Addition von zwey Reihen. S. 26. 27. §. 8. Beyspiele von mohrern Reihen. S. 27 — 31. §. 9. Theilung langer Beyspiele. DaS Transportiren oder Ue< Verträgen auf eine neue Seite. S. 31 — 33. *§. 10. Künstliche Art schnell zu addiren. S. 33 — 37. § 11. Proben der Addition. S. 37 — 40.

§. r. §. 2. §. 3. §. 4. 8- 5. §. 6.

Drittes Hauptstück, von dem Subtrahiren oder dem Abziehen.

§. 1. Was subtrahiren heiße. S. 41. 2. Zeichen de- Subtrahirens. Zeichen von größer und klei­ ner. S._4t. 4*. §. 3* Ausdrücke beym Subtrahiren. S. 42. §. 4. Aufsetzen eines Subtracrionsbeysplels. S. 42. 5. Regeln de- Subtrahirens. S. 42.

f*

XVI

Entwurf

j 6. Erleichternde Vorbereitung zum Subtrahiren. S. 43. $. 7. Beyspiele ohne Borgen. S. 4«. $. 8. Beyspiele mit Borge» sowohl oben als unten. Regeln des obern Borgens. Regel» des unter« Borgens. S. 44—47. $» 9. Proben des Subtkahirens. S. 48;

Viertes Haupt stuck, von dem Multipliciren, Verviel­ fältigen oder Vermehren. §. i. War multipliciren sey. S. 49. $. 2. Zeichen der Multiplication. S. 45- 50.. § 3- Ausdrücke beym Multipliciren. Wahl des Multiplica» tvrs. S. $0. 51. $. 4. Aufsehen eine- Beyspiels vom Multipliciren. S. 51. §. 5. Multiplicirtabclle oder da- gewöhnliche Einmaleinr. S. 51 — $3. > »Einmaleins ohne Auswendiglernen. S. 53. $4. $. 6. Regeln des Multiplicireiis. S. 54. §. 7. Beyspiele des Multiplicirens mit Einer Zahl nebst ihrer Abkürzung. S. -54 — 56. j. 8. Multipliciren mit einer Zahl, wenn Nulle« angehängt find. S. 56. §. 9. Multipliciren mit mehrer» Ziffern. so kann das Numeriren nicht als ein Theil des ei­ gentlichen Rechnens angesehen werden, ob bas, -Ker rechnen lernen will, muß vorher »umerire» rcn'mir" können, so wie derjenige, der tanzen zu lernen verlangt, d-tzin gk- erst das Gehen gelernt haben muß. Allein so wenig »«re. das Gehen zur Tanzkunst gehört, so wenig kann auch das Zählen oder Numeriren zur Rechenkunst gerechnet werden, ob cs gleich für einen Rechner eine höchst nö­ thige Sache bleibt. Aus der letzter» Ursache muß es in den Rechenbüchern mitgenommen werden, und wird also auch hier im ersten Hauptstücke abgehandelt. Die vier Spccion werde» pvn einigen Gelehrte» der Algorithmus genannt. '

§. 6. un»& vrochne ,sav en.

Die Zahlen werden eingetheilt in ganze und gebrochene. Ganze find I oder die Eittheil, ani) alles, was aus der Wiederholung der Einheit herkömmt (2, z u. f. w.). Gebrochene find solche, die entweder unter Eins, oder doch nicht durch die Wiederholung von Eins entstan­ den find, z. E. f, das ist ein Drittel, | d. t. ein halbes Drittel, if d. i. Ein und zwey Fünftel. Eine gebrochene Zahl heißt kürzet ein Bruch. Ferner

Von der Rechenkunst überhaupt.

z

Ferner theilt man die Zahlen ein in unbe-»«««««« nannte und in benannte. Unbenannte unbknald Zahlen sind solche, zu welchen kein Name der zusammengezahlten Dinge hinzugefügt ist; z. E. 16, ioo. Benannte Zahlen heißen dix> bey welchen man einen Namen nennt; E. 16 Thaler, ao Mispel,

A 3

Erstes

6 Erstes Hauptstück. Vom Numeriren

Erstes Hauptstück. Vom Numeriren oder der Erkenntniß der

Zahlen.

Mas,um

§. i. Numeriern gehören z Stücksi) dasZah-

i,nge,ri! len selbst, 2) das Aussprechen geschriebnerZahlen, und z) das Schreiben ausgesprochner Zahlen. §. 2. «ferm Das Zahlen selbst beruht auf folgenden Reknä?a6* geln: Man zahlt immer bis auf die Zahl N e u n, und sobald man so weit ist, fängt man wieder von Eins an; dieses neue Eins aber hat wieder einen eignen Namen. Die ersten neun Zahlen stndalso: Eins, zwey,-drey, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun; zu diesen kömmt nun noch zehn, welches aber wieder den Anfang Ritter neuen Klasse macht, nämlich r Zehn, zwanzig (anstatt zwey Zehen), dreyßig (anstatt drey Zehen), vier­ zig, fünfzig, sechzig, fiebenzig oder siebzig, achtzig, neunzig, hundert. Hu »hecht macht wieder den Anfang der folgenden Klasse: Einhundert, zweyhundert u., neun­ hundert, tausend. Eintausend, zweytausend rc., neun­ tausend, zehntausend. Zehn-

oder der Erkenntniß der Zahlen.

7

Zehntausend, zwanzigtausend re./ neunzig tausend, hunderttausend. Einhunderttausend, zweyHundert­ tau senkrrc., neunhunderttausend, zehn hunderttausend oder tausendmaltausend oder eine Million. Eine Million - - zehn Millionen. Zehn Millionen hundert Millio'nen. HundertMillionen-stausend Millionem Tausend Millionen - - zehntausend Millionen. Zehntausend Millionen--hundert­ tausend Millionen. z Hunderttausend Millionen - - taufendmaltausend Millionen oder ei'ne Billion. So wie eine Million Millionen eine Bil­ lion heißt (vom Lateinischen bis, zweimal), so nennt man eine Million Billionen eine Tril­ lion, eine Million Trillionen eine Quadrillion, und so weiter eineQuinquillion, ei­ ne Sexillion. eine Septillion, eineOctillion, eine Nonillion, eineDeeillion, eine Undecillion, eine Duödecilliom Man hüte sich ja, jemand an das Rechnen, »der ertMt« auch nur an die schweren Stücke des Numerirens ru ruug »es bringen, wen» er nicht vorher viel gezählt hat- Einem a,e3»b, Kinde muß man Korkpfropfen, Bohnen, Steine u. d. g. r«n«. geben, und es davon anfänglich ein paar Hundert, hernach auch wohl rin paar Taufend abzähle« lassen, undzwar auf die Art, daß «S immer zehn Stück zufammenleat, und zehn solche Haufen, deren jeder 10 enthält, wieder neben einander, so daß eS alsdann hundert in einer Reihe liege» sieht- Auch kann man «ine Anzahl läng­ licher Zettel verfertige», und auf jedem roo Punkte, S4 immer

8

Erstes Hauptstück. Vom Numeriren

immer io und io bey einander, machen, etwa auf fol­ gende Art: ,

io 20 30 40 50 60 70 8*0 90 ICO Nachdem das Kind einen solchen Zettel durchgezähtt hat, giebt man ihm einen- zweyten, und nun hat es ei­ nen Begriff von zweyhundert/ und denn immer so wei­ ter bis tausend. Nun lasse- man das Kind unter jedem dieser tausend einzelnen Punkte fiel) einen Haüsen von' tausend Punkten denken, so werden eben diese Ferrel hinreichen, ihm einen Begriff von einer Million zu machen. Denkt man sich unter jednn Punkt ein tau­ send Millionen,, so kömmt aus den zehn Zetteln eine .Billion heraus, u. si.w, vevun, Um dem Lehrlinge Hiebey einige Gelegenheit zum Nachdenken zu geben, so fragt man ihn, nachdem er rem 3M? zahlen gelernt hat, ob wohl eine Million Fenster, FentWt sterscheiben rc. in eiu?r gewissen Stadt sey, und macht ihm begreiflich, daß es deren entweder wirklich so viel gebe, oder nicht. Ist er dies zu fassen vor der Hand poch zu schwach, so vertröstet man ihn darauf, daß/ wenn man einmal das Rechnen von neuem mit. ihitr durchgehe, er alsdenn darüber gewiß werde urtheilen können. Hier sind noch einige solche Uebungen, die man wenigstens beym zweyten Durchgehen der Rechen­ kunst vornehmen kann. Eine Billion (eine 1 mit 12 Nullen) ist leicht aus­ gesprochen und leicht geschrieben; aber der reichste Kö­ nig hat nicht eine Billion Dreyer im Vermögen ; denn das würde über zehntausend Millionen Thaler machen. Des Assyrischen Königs Sardanapals Reichthum, -en er mit sich verbrannt haben soll, wird von jemand zu beynahe sechshunderttausend Millionen Pfund Sil­ ber angegeben. Wenn man das Pfund Silber auch nur zu 20 Thalern rechnete, so würde die ganze Summe doch über zehn Billionen Thaler ausmachen. So viel Geld ist jetzt in ganz Europa nicht, und es ist daher höchst unwahrscheinlich, daß sich der Reichthum Sarbapapalö so hoch sollte belaufen haben. Taufend Octillionen (eine i mit $1 Nullen) ist eine so ungeheure Zahl, daß einige glauben, so viel ganz kleine Sandkörner, zehntausend auf ein Mohnkorn ge­ rechnet, würden die ganze Welt bis an das Firmament füllen; doch erfordern andre dazu eine.größere Anzahl/ pgmlich tausend Decjlljonerr (1 mit 6z Nullen). Sechs*

oder der Erkenntniß der Zahlen.

9

Sechshunderttausend Trillionen (6 mit 23 Nullen)

ist eine große Anzahl, und doch können die 24 Buch­

staben des A B C noch mehr als so viermal versetzt rverden. Zehntausend Sexillionen sind bald geschrieben (in Zahlen eine 1 mit 40 Nllen); aber wenn so viele kleine striche sollten gemacht werden, so würden, wenn auch alle Menschen, dih, jemals gelebt, nichts gethan, als Srrrche geschrieben, und in jedem Augenblicke deren hundert gemacht hätten, sie dennoch damit nicht zn Ende gekommen seyn. Der Erfinder des Schachspiels Sessa Eben Dabrr sott von dem Könige Scheram als eine Beloh­ nung für seine Erfindung so vielWeizenkörner verlangt haben, als herauskommen würden, wenn man für das erste Feld des Schachbretts i Korn, für das zweyte % Körner, für das dritte 4, und so für jedes Held, deren zusammen 64 sind, noch einmal so viel rechnete, als für das vorhergehende. Die Summe betrug aber über achtzehn Trillionen, und man fand bald, daß der Kai­ ser so vielWeizen in allen seinen Magazinen nicht hatte. Man sehe davon unten das 12 Hauptstück von der geometrischen Progression, §. 4- Es har sich jemand die Mühe gegeben auszurechnen, daß mit so. vielem Weizen der sogenannte Kasten N.oah's über fünf Millionen mal hätte können angefnllt werden. Man hat noch einige eigene Benennungen, die an­ statt einer gewissen Anzahl von Dingen gesenet werden, So beißt z. E. ein Mandel so viel all fv nkz-.'tt n, vift Sckvck so viel als sechzig. Man sehe davon das $>te Hauptstück von benannten Zahlen überhaupt,

Dey dem Aussprechen angeschriebner Zahlest Zehn Z?;kömmt zuerst die Kenntniß der zehn Ziffern oder KsÄ Zeichen Der einfachen Zahlen vor. Diese sind: le«. Eins. -Zwey. Drey. Vier. Fünf. Sechs,

2.

3* -

4-

5.

6.

Sieben.

Acht,

Neun.

Nuss.

7.

8.

9*

o.

Die Nult (nicht Noll) ist eigentlich das Zeichen nmerder Abwesenheit einer Iaht. Es ist also eine UebereiLung, wenn man das Zeichen o zuweilen eine Zahl Nennt. Die Sache, ist eigentlich so: Es giebt zehn A 5

*

Ziffern

io Erstes Hauptstück. Vom Numeriren Ziffern oder Zeichen; unter diese» sind neun gültige Ziffer«/ nämlich i bis 9z und Eine ungültige, die Null. Die gültigen Ziffern kann man allenfalls Zah, len nennen; aber die ungültige nicht. Doch ist es best fer/ wen» man anstatt Zeichen immer Ziffer/ und nie Zahl sagt. Z. E. die Zahl tausend (1000) besteht aus 4 Ziffern; ;u einer Million gehören 7 Ziffern u. f. w. Namen Die Null fuhrt im Lateinischen den Namen Ziffer »er Null. (Ziphra, Srphra) allein; die gültigen Ziffern nennt man Figuren. Sonst heißt die Null auch das Zer». §. 4. Ziieam' Aus diesen zehn Ziffern werden nun alle wa'Ä mögliche Zahlen zusammengesetzt. Die zusamMenge setzten Zahlen werden eingethetlt in zehntheilige (dekadische)- die eine Null am Ende haben (io, 200, 3000, 480,51702c.)/ und in vermischte, wo keine Null am Ende sieht (z. E. 2i, 303, 4187, 100014). Man muß aber erst zwey, dann drey, dann vier, dann fünf, dann sechs Ziffern aussprechen ler­ nen; hernach ist man im Stande, alle zusam­ mengesetzte Zahlen auszusprechen, wenn sie auch aus noch so viel Ziffern bestehen sollten. Ueberhaupt heißt die Regel: Eine jede Zahl bedeutet immer zehnmal mehr, als vorher, sobald sie ei­ nen Schritt oder eine Stelle weiter von hinten sieht. §. 5. Zatzie« Eine Ziffer in der zweyten Stelle von hinten 2Mr»^ bedeutet zehnmal so viel, als wenn sie in der ' letzten stände, als» 2 zwanzig (z. E. 21, zwanzig und eins d. i. ein und zwanzig), 3, dreyßig rc. Oder auch so: dte zweyte Ziffer von hinten be­ deutet Zehner; also hieße 89 acht Zehner und neün Einer, d. i. neun und achtzig.

Di« Zahlen n eilf oder elf, 12 zwölf, 13 dreyzehn, i4 vierzehn, fünfzehn (in der gemeinen Aussprache fufzehni, ,6 sechzehn, 17 siebzehn, ig achtzehn, und 19 neunzehn werden am besten einzeln gelernt; von al■ len

oder der Erkenntniß der Zahlen.

II

fett übrigen aus zwey Ziffern zusammengesetzten gilt die Regel, daß die letzte zuerst ausgesprochen wird, hernach das Wörtchen und, und endlich die erst^ Zahl folgt; z. E. 23 drey und zwanzig, 78 acht und siebzig. JA hinten eine Null, so wird nur die erste Zahl allein aus­ gesprochen; ao zwanzig, 70 siebzig.

§. 6. Die dritte Ziffer von hinten bedeutet so viel wen Hunderte, als sie einfache Zahlen bedeuten Ziffern­ würde, wenn sie in der letzten Stelle stunde. 381 würde also weitlauftig ausgesprochen hei­ ßen: 3 Hundert 8 Zehnter i Einer; kür­ zer dreyhundert und einundachtzig.

Von drey Ziffern spricht man also zuerst, die erste, hernach die dritte, und zuletzt zweyte im Deutschen aus; z. E. von 546 erst die 5 hernach die 6 und endlich die 4. Steht in der zweyten Stelle eine Null, so spricht man nur die erste und dritte Ziffer aus, z. E. 307 dreyhundert und sieben, 902 neunhundert und zwey. Steht eine Null in der dritten Stelle von hinten, so spricht ckan nur die erste und zweyte aus; doch so, daß die zweyte mit der Endung der Zehner (zig oder ß i g) versehen wird; z. E. 320 dreyhundert und zwanzig, 430 vierhundert und dreyßig. Ist sowohl die zweyte als die dritte Stelle mit einer Null besetzt, so sind es bloße Hunderte, z. E. 30Q dreyhundert, 900 neun­ hundert. Man hüte sich, den ersten Anfängern solche Zahlen zum Aussprechen vorzuschreiben, die aus drey gleichen Ziffern bestehen, z. E- 444/ indem dies bey ihnen nur Gelegenheit zur Verwirrung giebt. Beyspiele zur Uebung: 189.198.918. 819. 981.89t.. 325.350.503. 530. 600. 608. 680. Es hat seinen Nutzen, wenn man auch auf folgende Art Zahlen vorschreibt: 006, 010, 093. Hier heißt die erste Zahl sechs, die zweyte zehn, die dritte drey­ undneunzig. Daß dergleichen Zahlen wirklich vorkom­ men, wird sich im Folgenden bald zeigen- Weil sie nun da manchem Anfänger Schwierigkeit machen, so muß man ihn im Voraus vor dieser Schwierigkeit be­ wahren. §. 7*

Die vierte Zahl vom Ende bedeutet Taufende. Man spricht also die vierte Zahl am Ende M"«n. für

i i Erstes Hauptstück. Vom Numeriren für sich rtsstin aus, setzt tausend hinzu, und spricht hernach zuletzt die übrigen drey Zahlen so aus, wie vorher (§. 6.) ist gelehrt worden. Z. E. 3459 hieße weitlauftig z Tausend s Hundert 5 Zehner 9 Einer; kürzer dreytausend vierhundert und neunundfunfzig.

Beysviele>zur Uebung 7896. 6798. 8976. 9867.9000. 4;oo. 4306, 9003 (9 Lausend und ?). 4030 (4 Lausend und 30). Bey dieselr letzter» drey Beyspielen wird sich der Nutzen der am Ende des vorigen sechsten Paragra­ phen gemachten Anmerkung zeigen. Zuweilen spricht man die Tausende durch Hunderte aus , z. E. noo elfhundert, 2400 vierundzwanzighundett, 1798 siehzehnhmrdert und acht und neunzig. §. 8. Acchlen Von fünf Ziffern werden zuerst die beyden von fünf Akftern. ersten (nach5.) ausgesprochen, hernach das

Wort tausend dazugesetzt, und endlich laßt man die drey letzten (nach §. 6.) folgen.

Beyspiele zur Uebung: 71386. 86713. 87000. 90213. 809 IO. 37006. 38090. JOOOO.30007. 30100. 80076. 50040. '30206. Man muß einen Anfänger, der nur einigermaßen' einen guten Kopf hat, nicht mit vielen Erleichterungen plagen, die am Ende die Sache nur erschweren- Ist aber jemand so schwachsichtig, daß er nach den oben gegebenen Regeln dennoch>bey Aussprechüng einer Zahl von fünf Ziffern noch Schwierigkeiten findet, so lasse man ihn vor der dritten Zahl von hinten einen kleinen Strich gerade herunter machen, der aber etwas langer als eine Eins seyn muß, damit ihn nicht etwa jemand für i ansehe; z. E. 38,79s- 80,005. 48I309. Was vor 'dem Striche steht, heißt tausend; die -erste Ziffer nach dem Striche heißt hundert. Folgt Sleich nach dem Striche eine Null, so sind keine Hun­ derte da. Man hat noch eine andere Art, schwachen Köpfen das Aussprechen der Zahlen zu erleichtern, und den fä­ higern es zu erschweren. Nach dieser zeichnet man die dritte

oder der Erkenntniß der Zahlen.

.13

dritte AM vom Ende mit einem Punkte unten, und die vierte mit einem Punkte oben, z. E.

Z8795.

80006.

48309.

Dazu giebt yran hernach die Regel: ein Punkt unts» bedeutet hundert, ein Durrkt oben tausend, ^ch widerrathe aber diese Art dj?r Erleichterung sehr, weil ich aus der Erfahrung weiß, das; sie, besonders bey größer» Zahlen, einem Anfänger oftVerwirrung macht. Erwirb sogar gut seyn, sie einem, der sich daran ge­ wöhnt hat, wieder abzugewöhnen.

Voy sechs Ziffern werden die ersten drey chit tausend, die letzten drey ohne tausend aus- Arm gesprochen; ^E. 364365 dreyhundert und vierAndsechzigtausend dreyhundert und fünfundsechzigExempel zur Uebung: 873874. v8-8?6. 776000. 756009. 813019. 982400. 750419. 890000. 890004. 900417. 900000. 90000?. Will man, so kann man auch hier den obenerwähn­ ten Strich gebrauchen, der bey sechs Zahlen auch eher zu verzeihen ist, als bey fünfen. Z. E. 387(982.700(003. Hier ist nun noch mehr, als oben (§- 6.), nöthig, -aß jemand solche Zahlen aussprechen lerne, denen int Anfänge so viel Nullen vorgesetzt sind, daß die Anzahl -er sämmtlichen Ziffern sechs beträgt. Z, E. oooooi heißt eins, 000049 neunundvierzig, 000312 dreyhundert und zwölf, 004172 viertausend ein­ hundert und zweyundsiebzig, 035809 fünft rrrrddreyßigtauseud achthundert und neun» icr.

Bey demAussprechen aller Zahlen von mehr Zabtm als sechs Ziffern wird auf einerley Art versah- a°-r?«ren. Man theilt dieselben zuerst von der Rech- 3iifecn* ten zue Linken vermittelst langer Striche in Klast sen, wovon jede sechs.Zissern enthalt; z. E. 7 635843* 87,594978* 867 894375 849435.

987654 Z2Ivos.

•i-r^?654Z2 18796z 845219 876354

Zwei»

14 Erstes Hauptstück. Vom Numeriren Zweytens macht man über dem ersten großen Striche (von hinten zu gerechnet) Einen kleinen Strich, über dem zweyten zwey, über dem drit­ ten drey, über dem vierten vier, über dem fünf­ ten fünf oder das Zeichen v, über dem sechsten sechs oder vi u.s.w., nämlich auf folgende Art:

7I635843»

87*594978»

867(894376|849435. Hfl

III

H

98?654!z2tooo. I

8|765432I187963:845219I876354. Nun spricht man die vor dem Strich /stehenden Zahlen als Millionen, die vor" stehenden als Billionen, die vorals Trillionen, die vor"" als Quadrillionen aus. So bedeutet weiter1,111 oder v Quinquillionen, vi Sepillionen, vir Septillionen, vm Octillionen, ix Nonillionen, x Decillionen, xi Undecillivnen, xn Duodecillionen, und so weiter bis ins Unendliche. Die'vorher «»geschriebenen Zahle« würde« also auf folgende Art müssen ausgesprochen werte«:

7 Millionen uudvierjig.

63$

tausend achthundert und drey,

87 Millionen 594 tausend neunhundert und achttindstebjig. 867 Billionen 894 tausend drryhundert und sechs­ und fiebrig Millionen 849 tausend vierhundert und fünfunddreyßig.

' 987 Tausend sechshundert und vierundfunsrig Mit» Uonen 321 tausend. 8 Quadrillionen 765 tausend vierhundert und rweyUnddreyKig Trillionen 187 tausend neunhundert und dreyundsechrig Billionen 845 tausend rweyhundert und «eunzehn Millionen 876 tausend drryhundert «ud vier, undfunfzig. Größere

v mt m tt ♦ «9456? 178901-1845678190123« I-9648031764523 Größere Beyspiele rur Hebung.

oder der E rkenntniß der Zahlen,

XA

894 tausend 569 Quinquillionen 789 tausend und 12 Quadrillionen 345 tausend 678 Trillionen 90- tausend 238 Billionen 964 tausend 803 Millionen 764 tausend fünf­ hundert und 23.

;.Sa

r- «» .5 8

Vr v m> ,,, „ > 8793100000010000011000023100020310010701100003 8 tausend 79? Sexillivnen Eine Quadrillivu 23 Trillionen 203 Billionen Eintau­ send und 70 Millionen loo tausend und drey. x

IX

VIII

VII

VI

V

„„

,

891754000180000010000051091000100700310000001 213007189590010000001000000

89 Decillioiien 754 tausend Nonillionen 800 tausend Octillionen 5 lSeptillionen 9- tausend Sexillioiieii 7 tausend und 3 LninquiÜionen 213 tausend und 7 Trillio­ nen 895 tausend und 900 Billionen^

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N cif*

i6 Erstes Hauptstück. Vom Numeriren vder35,867 [982/003^78,982 [700.,322.

Z5tausend 867 Trillionen 9^2 tausend und 3 Billionen 78 tausend 982 Millionen 700 tausend dreyhundert und zweyundzwanzig. «umera* Wer schon vollkommner. ist/ braucht weder die Gcübrern großen noch die kleinen Striche, sondern wenn er eine protze Zahl auszusprechen hat, z. E. 85976Z845659847Z2164859456 so zahlt er i) wie viel Ziffern es find ; hier sind es 28. A) dividirt er die Anzahl dieser Ziffern mit 6; was übrtq bleibt, giebt ihm die Anzahl der Ziffern, die er zuerst zusammen aussprechen muß. Wenn man 26 mit dividirt, bleiben 2 übrig, also muffen die ersten bey­ den Zahlen zusammen als fünfundachtzig ausgesprochen werden. Was als Quotient hercmökömmt, deutet dre Anzahl der Striche an, die hinter diesen Zahlen stehen so Ute«» Hier kam 4 heraus; folglich muß man hinter 85 sich vier Striche denken, und also sagen 85Quadrillionen. Die folgenden 6 Ziffern spricht man aus, als wenn Ein Strich weniger dahinter stände (also hier 3 Striche, folglich als Trillionen). Bey den folgende» 6 Ziffern« denkt man sich wieder Einen Strick) weniger, und so fahrt man fort, bis sechs Ziffern, hinter welche» kein Strich mehr folgt, übrig bleiben. Diese werde» alsdenn ohne weitere Benennung (nach §.9) ausgespro, chen. Geht die Anzahl der Ziffern mit ( auf, so spricht man die ersten sechs Zahlen zusammen aus, und denkt sich hinter denselben Einen Strich weniger; z. E. wenn der Ziffern 36 waren, so kömmt zwar 6 heraus, ma» spricht aber die ersten 6 Zahlen nicht als Sexillronen, sondern nur als Quinqu'illionen aus. Eure Uebung laßt sich hier am leichtesten mit solchen Zahlen anstellen, die vorn eine gültige Zahl und hinten lauter Nulle» haben, z. E. eine 3 mit 60 Nullen sind 3 Decillionen, eine 8 mit 50 Nullen sind 800 Octillionen, eine 9 mit 3$ Nullen 900 tausend Ouinquillionen. Acre Art *Weil man doch auch einen Begriff von dem altmolvrecven dischen Aussprechen großer Zahlen einen Begriff habe» ' muß, so theile man eine Zahl von der Rechten zur Lin­ ken durch Striche in Klassen, deren jede 3 Ziffern ent­ halt. Nun spreche man die Zahlen, die vor dem erste» Striche nach der linken Hand zu stehen, aus, und füge so vielmal das Wort tausend hinzu, als Striche da sind; nur l sage man bey den letzten beyden Striche» nicht

oder der Erkenntniß der Zahlen.

17

nicht tausend tausend, sondern lausend mal tausend. Hernach mache man er mit jeder einzelnen Klaffe eben so; nur daß man bey der vorletzten bloß tausend, und bey der letzten gar nichts hinzusetzt. Ein Beyspiel wird alles erläutern. ?84|8?7l94f|ooo|8?7|oo3|6f4|ooo|876|co7 Dies sprach man 384 tausend tausend tausend tausend tausend tausend tausend tausendmaltausend, ,8)7 tau­ send tausend tausend tausend tausend tausend rausendmaltausend, 945 tausend tausend tausend tausend tau­ send tausendmaltausend, 837 tausend tausend tausend tausendmaltausend, 3 tausend tausend tausendmaltau­ send , 654 tausend tausendmaltausend, 876 tausend und sieben. Man sieht leicht, daß diese Art des Ausspre­ chens sehr schwer und weitläustig ist. Noch mehr Schwierigkeit verursacht sie, wenn mau genöthigt ist, nach derselbe« etwas anzuschreibey. il.

Es ist noch das dritte Stück des Numeri-An,4,««. rens, nämlich das Anschreiben ausgesprochener Zahlen übrig. Zuerst muß matt solche Zahlen anschreiben lernen, die unter einer Million sind, unter und also nur aus höchstens 6 Ziffern bestehen. Die einfachen Zahlen von 1 bis 9 sind leicht. Alles was über 9 und unter hundert ist,, wird mit 2 Zahlen geschrieben. Davon schreibt man diejenige, welche Zehner andeutet, zur linken Hand, und die andere, welche Einer andeutet, zur Rechten darneben. Ist der Name der Zahl eine bloße einzelne Zahl mit der Endung zig oder ßig, so kömmt die gültigeZahl zur Linken, und zur Rechten eine Null; z. E. fünfundvierzig 45, achtzig 80. Nach hundert müssen im­ mer noch 2 Ziffern folgen. Wird keine oder nur Eine -gültige Zahl zu hundert hinzugesagt, so muß man keine Null zu wenig oder an den un­ rechten Ort setzen. Z. E. dreyhundert fünfund­ vierzig 345, fünfhundert und vier 504 (nicht 540; denn das hieße fünfhundert und vierzig). B Nach

18 Erstes Hauptststck. Vom Numeriren Nach tausend müssen vier Zahlen folgen; tau­ send an sich selbst kann aus Einer, zwey oder drey Zahlen bestehen, z.^E. dreytausend sieben­ hundert, fünfzig 3750, siebenunddreyßigtausend neunhundert fünfunddreyßig 37935, sechshun­ dert und siebenundzwanzigtauseud achthundert und sechsundfunfzig 627856. Kurz, was tau­ send heißt, braucht Eine, zwey oder drey Zah­ len nnd hat allemal drey Zahlen nach sich.

Der schwächere Anfänger darf nack tausend an­ fänglich noch einen Strich oder Komma machen (),75o.)7,9)5.6-7,856); aber der Geübtere muß es nicht mehr thun Es »erräth einigermaßen einen schwachen Verstand, wenn man die Einer früher hinschreibt als die Zehnen z. E. von 45 erst die 5 und hernach die 4 davor; so auch rn 545 zuerst die;, hernach die 5 und endlich erst die 4. Menn die Anzahl der Hunderte über 9 geht (f. §. 7. zu Ende), so werden sie mit 2 Ziffern geschrieben, z.E. elfhundert und dreyundsiebzig 1173. . §. 12.

«nkchrei, Wenn man große Zahlen schreiben will, die jed! N über eine Million gehen, so muß man vorher gelernt haben, eine jede Zahl, die weniger ist M't«3if-als 100000, mit 6 Ziffern zu schreiben. Das ' ' kann leicht geschehen. .Man denkt nach, wie viel die Zahlen Und für sich Ziffern nothwendig braucht, und setzt ihr alsdenn so viel Nullen vor, bis es 6 Ziffern werden. Z. E. die Zahl, Eins erfordert nur Eine Ziffer. Will man sie also mit 6 Ziffern schreiben, so müssen 5 Nullen davor kommen ('000001). Zwölf erfordert 2 Ziffern, also schreibt man es, .wenn deren 6 da seyn sollen^ 000012. Ferner dreyhundert und sieden 000307, viertausend fünfhundert und neunzig 004590, n'eunundneunzigtausend neun­ hundert und neunundneunzig 099999,

§.' 13-

oder der Erkenntniß der Zahlen.

19

§- rz. Sobald man eine Zahl zu schreiben hat, die «"wr-kmit Millionen, Billionen u. anfangt, schreibt gTet/n, man die zur ersten Benennung (Million, Bit-U-W lion, Trillion) gehörige Zahl mit so vielen Zis- S'ffmi fern, als L»azu nöthig find. Z. E. es hieße zu­ erst 36 Trillionen, so schreibt man 36 hm, ehe man hört, was weiter folgt; oder es hieße 1745 Octillionen, so würde 1745 hingeschneben. Al­ lein man muß hinter der zuerst hrngeschriebnen Zahl so viel Platz lassen, als nöthig ist, um die darauf noch folgenden Ziffern hinzubrtngen. Esanüssen nämlich noch folgen: nach einer Million 6 Ziffern; r— — Billion . 2 mal 6, d.i. 12; Trillion Z mal 6, d.i. iz — ,— Quadrillion 4 mal 6^ d.i. 24; — —Quinquillionz mal 6, d.i. zo; —r Sexillion 6 mal 6, d.i. 36; —Septillio» 7 mal6, d.i. 42; — Octillion 8 mal6, d.i. 48; -7-. Ronillion 9 mal 6, d.i. 54; — —Decillion io mal d.i. 60; v. s. w.

Hernach füllt man jede der folgenden Klassen mit 6 Ziffern. Z. E. wenn zuerst Octillionen hingeschrieben find, so werden hernach 6 Ziffern für die Septillionen geschrieben, 6 für die Se-, Mionen u. f. w., zuletzt noch 6 nach den Mil­ lionen»' Z. E. es hieße i Septiüion, so schriebe man 000001, und ginge dann weiter. Wird eine Klasse von dem Vorsagenden ganz übergan­ gen, so füllt man fie mit 6 Nullen; z. E. wenn auf die eine Septiüion gleich achtzehntausend Qulnquillionen folgten, so schriebe man anstatt der SeMionen 6 Nullen, und führe sodann B 2 fort

2o Erstes Hauptstück. Vom Numeriren rc.

fort oi gooo. Wenn nach einer solchen größer» Benennung gar nichts mehr folgt, so setzt man die gebührende Anzahl Ziffern in lauter Nullen hin, nach der Million 6, nach der Billion 12. u. s. w. Beyspiele zur Uebung: Sechshundertund zwey und neunzig Trillionen o6ooooiioooi24Qo3485r. Neunundneunzigsausend neunhundert und neunund­ neunzig SXtiUionen 99099 und 48 Nullen. . * Eine Septillion und eine Million 1 und 35 Nullendann wieder eine - und 6 Nulle». * Achtzehn Quadrillionen achtzig Billionen und acht Igoooooooooogoooooocfooooog,

. Eintausend siebenhundert und fünfundvierzig Octillionen, «ine Septillion, achrzehntausend Luinquillioüen 1747000001018 und 33 Nullen. - Findet jemand es nöthig, so kann er sich auch nach der zuerst hingeschriebenen Zahl so viel Striche oder Comma'S machen, als nöthig sind, -nämlich »ach einer Million Eine», nach einer Billion ,wey«.-s. w> Diese Striche oder Comma's müssen so gesetzt werden, daß zwischen zweyen immer 6 Ziffern Platz haben. Hinter dem letzten Strich vder Comma fiiußaber ebenfalls noch Platz zu 6 Ziffern bleiben. Will man,-so kann mau auch die gemachten Ziffern noch (nach §. 10.) zeichnen. >I. E. es finge jemand an uns in die Feder zu sagen: drey«ndfunfzig Quadrilliv«en, soschriebe man:

.

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Wen» er nun förtfnhre, sechshundert und fünftausend Neunhundert und dreyzehn Trillionen acbtundsechzig Millionen zweytausend vierhundert und einundneunzig, so schrieb« .man die übrige» Klassen auch voll, nämlich;

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■7, ,,, h $3160 $9131 ooöoop] 00006^ 1002491

Zwey-

Zweytes Hauptstück. Vom Äddiren oder dem Hlnzuthlm.

§. Xt 5lt>& iren oder Hiyzythun heißt aus zwey

«»•

oder mehr gegebnen Zahlen eine andere fin- °

*'

den, welche den gegebnen zufammengenommen gleich ist. Z. E. es werden gegeben 4 und 6, und es wird gefunden 10: so ist 10 so gm als 4 und 6 dazu.

Man vergleiche die Dörerinnerungen $. 3, §. 2« Man bedienet sich um anzuzeigen, daß zwey 'M»!, oder mehr Zahlen addirt werden sotten, eines «ne. stehenden Kreuzes 4-. Dieses Kreuz spricht man durch plus (t>. i. mehr odep dazu genom­ men) aus. Z. E. 4 4- 6 4- 7—17 heißt 4 und dazu 6 und dazu 7 macht zusammen 17.

Das Zeichen —, welches hernach bey allen Rech- ZE"» nungsarken wieder vorkommen wird, heißt so viel als Lf1“*' äqual oder gleich. Man spricht als» 4 4-64-7 ' — 17 auf folgende Art aus: 4 plus 6 plus 7 $qual 17. Die» Zeichen kann auch mehr als einmal wiederholt werden; z. E. 2 Rthlr. 18 Gr. — 1 Dur. — 66 Gr. — zz Louisd., heißt 2 Lbaler ig Groschen ist so viel als i Ducate», oder als 66 Groschen, oder n Zwanzigtheile eines Louisdors. B 3

§. 3.

LL

Zweytes Hauptstück. §.' 3.

AuzvrakDie Zahlen, welche beym Addiren gegeben Addireu. werden- heißen die addrrenden oder summirenden Zahlen oder Posten; diejenige, welche gefunden wird, heißt die Summe oder das Co llecr, bey einigen auch das Ag­ gregat.

Was man durch das Rechnen findet, hat bey jeder einzelnen Art des Rechnens seinen eigenen Namen. Die Unwissenden nennen es in allen Fällen die S n mi me oder wohl gar auf eine ungereimte Art das Facit. Hier ist also zu merken, daß Summe oder Aggre, g at nicht weiter gebraucht werden dürfe, als von dem, was beym Addiren herauskvmm. §.

4.

wwm Wenn uns ein Beyspiel zu addiren gegeben $ei6 b wird, so setzt man die Zahlen so unter einander, daß keine Zeile hinter der andern heraussteht. Es kommen also Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern, Hunderte unter Hunderten, Tausende unter Tausenden zu stehen. Z. E. man sollte fol­ gendes aufsetzen: 434 4- 485 4- 9872 4- 34 4198724-93: so jvürde man es so setzen müssen: 434 48? 987® 34 1987® 93

Bey einem Anfänger kömmt es sehr darauf an, daß et Zahl gerade unter Zahl setzen lerne, weil sonst die Verwirrung unvermeidlich rst, und er am Ende selbst nicht, weiß, welche Zahl er zur vorigen hinzu rechn«» soll. Mau betracht« folgendes Beyspiel. 89134 ?6 9 847 69 3 3 82 ? ?< 8 97

Es

Vom Addirett oder dem Hinzuchun. rz Es ist gleichgültig/ in welcher Ordnung man die Zahlen unter einander ordnet/ und man k-nnte datorlwr angeführte Beyspiel auch auf folgende Art auft sehen, ohne daß dadurch der Summe Eintrag geschähe; 19872 9872 434 485

34 93 oder auch noch anders.

Wenn Deekmalbruche da sind, so sieben die Zeilen ruweilen hinter einander heraus, Siche das letzte Hauptstück, §. 2. §.

5.

Die Regeln des Addirens heißen so: 1) Man .mache unter den addirenden Zahlen einen Querstrich, um die Summe von ihnen zu unter­ scheiden. 2) Man addire alles, was ünter ein­ ander in Einer Reihe steht, zusammen , und mache den Anfang von der letzten" Reihe zur Rechten, d. i. von den Einern, und gehe so wei­ ter gegen die Linke fort. 3) Wenn dasjenige, was aus einer zusammengerechneten Reihe her­ auskömmt, eine einzelne Ziffer ist, so wird fle, ohne daß weiter etwas zu bemerken ist, unten in die Summe gesetzt; kommen aber mehr als Eine Ziffer heraus, so wird nur diejenige unter­ gesetzt, die zur, rechten Hand stehen sollte, die andere aber, oder die andern ( denn es können, zuweilen 3 oder gar mehrere Ziffern herauskom­ men) rechnet man zur nächsten Klasse linker Hand zu. Z. E. aus der ersten Reihe rechter Hand käme >8, so wird 8 hingeschrieben, und 1 zur folgenden Reihe genommen. In dieser letzten Reihe linker Hand schreibt man die Zahl ganz aus, so daß die übrigen Ziffer» vorausgernckt werden. Anstatt, B4

24

Zweytes Hauptstück.

Anstatt, daß man die Zahle«, die linker Hand ste­ hen sollten, im Sinn behalt, kann man sie ganz fletn «nten zur Rechten neben der untersten Ziffer der folgenden Reihe setzen; alsdeim vergißt man, sie gewiß nicht. Andre schreiben die im Sinn zu behaltende« Zahlen irgendwo außerhalb de« auszurechnende« Bey­ spiels hin, und lische» sie wieder au-, so bald sie zugerechnet sind. Das erste ist aber weit bester. Es ist zwar gleichgültig, ob man die sogenannte im Sinn behaltne Zahl zur folgenden Meide zuerst oder zuletzt zurechnet; indessen ist das erste natürlicher und auch sicherer, weil sie zuletzt leicht vergessen wrrd. Wenigstens muß sich ein jeder an etwas gewisses gewöhnen, und nicht sie bald zuerst und bald zuletzt zurechnen. Die weitere Er­ läuterung der Untersetzung der im Sinn zu behaltenden Zahlen ist aus dem siebenten und achten Paragraphen leicht'herzunehmen. Wie man ohne unterzusetzen oder im Sinn zu behalten fertig werden könne, tft aus der zweyten Probe im eilften Paragraphen zu sehen. §, Norbr Ur und i>e? ft>«$ Ems m d Ems.

6,

Um zwey Zahlest vermittelst des Worts und zusammenzurechnen, bedienen sich viele des AbZahlens an den Fingern; z. E. wenn 8 und 6 Zusammenzurechnen ist, so nehmen sie 6 Finger, und fangen bey dem ersten an zu zahlen 9 (weil «ach 8 gleich 9 folgt); alsdenn weiter bis zum, letzten unter diesen 6 Fingern 10, u, 12,13, 14. Wenn zu 14 weiter 8 zu rechnen wären, so nehmen sie 8 Finger und zahlen weiter 15, 16, 17, i8, 19,20,21,22. Weil dieses aber sehr weitlauftig ist, und in der Geschwindigkeit dennoch zuweilen ein Finger überschlagen oder doppelt gezählt wird, so muß man sich gewöhnen, das Zählen an den Fingern ganz zu ent­ behren. Dies läßt sich bewerkstelligen, wen« man sich folgende Tabelle, das 1 und r ge­ nannt, bekannt macht.

Vom Addiren oder dem Hinzuthun. 25 Das Eins und Eins. i

i. 2.

3.

3.

und 3. 4. 5. 6. ist 5 6. 7.

2 und 'i, 3. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9ist 3, 4. 5. 6. 7. 8, 9.10.11,

7. 8. 9, 8. 9- io.

6 «Nd i. 4. 4. f. 6. 7. 8. 9. «K 7. 8. 9.10.11.13.13.14.19.

UNd und 1. L.J. 4- 5. 6. ?. 8. 9, 1. 3. 3. 4. s. 6. 7. 8. 9t ist ist 4. f. 6. 7. 8. 9.IC.11.12. 8. 9.I04H.IA.IZ.I4.I5.L6. 8 und und I. 3. 3. 4. £, 6. 7. 8. 9'. 1.». ?. 4.5. 98, 107,= in, ii5, 119, 123, 127, 134, 138, 147# 154, ,158, 167, 171, 173, 177, i85# 189,197, 204. Davon 41)111.20 im Sin»,

Bey-

Vom Addiren oder dem Hinzuthun. 29 Beyspiele zur Uebung, wo 'm jeder Reihe gleich viel Ziffern sind. ,.. rs7 »64854)21 + 8479825413254+9284765431264 — 26738955698839. 846748527968 + 943798976452+876538978495 2667086482915.

1)59802 + 2537018 + 3280535 + 4362184 — >1539539» 87-34 + 56789 + 12345 + 67891—224259,

189736948 + 292798436 + 398245321 + 487654932 — D68435637. 123456789 + 987654321 +102304056 + 31700783t + 980070031 Z2 »510493028. 894576348 + 276492564 + 872984769 + 984765431' + 892854398 + 725983762 — 4647657272.

98457)68 + 549-8395 + 57865947 + 88987868 + 5439.8759 + 42857639 + 84276548 — 481772524. 90765 + 54678 + 69543 + 34567 + 85376 + 60054 + 47010 + 58809 — 500802, 2

3587 + 8768 + 9786 + 8608 + 5786 + 8769 + 8769 + 8767 + 8707— 71547, 897543 + 685279 + 894763 + 459-86 + 542984 +l 958765 + , so würde» sie zur drit­ ten Seite geschrieben u. s. w. Man sehe Beyspiele davon in dem Kapitel vom Addiren mit benannten Zah­ len.

Vom Addirett oder dem Hirizuthtzn. ZZ kn. Man nennt die« dasTran«prrtiren (Ueber/ tragen) »nd da« Hinübergetragne den Transport oder Uebertrag, daher auch eine solche Summe, di« ru oberst einer neuen Seile odrrSpalte(Columne) steht, mit den Buchstaben Trlpt gezeichnet wird, welche Transport bedeuten.

* §. IO. Es giebt eine Art Beyspiele, unter die man die Summe sogleich unterschreiben kann, ohne f«>nen tu eine eigentliche Addition anzustellen. Z. E. es ”Mlten‘ legte sich jemand selbst folgende Aufgabe vor: 348765 74938$. 92365a v 250613 ' 651234 so wird er die Summe, nämlich 2923650, bett­ weitere Umstände, darunter zu schreiben im Stande seyn. Wie dies zugeht, werde ich nun erläutern, und hernach die Art zeigen,/'wie man bey solchen Beyspielen verfährt. Wenn ich fol­ gende addirende Zahlen hätte:

999999 .999999 923652 so sehe ich, um gewöhnlichermaßen von hinten anzufangen, daß ich zu den beiden Nennen grade zwey Einsen brauche, um zwey Zehner oder zwanzig herauszubekommen. Da nun unter den beiden Neunen nur eine 2 (d. t. zwey Einsen) steht, so kann in die Summe nur eine Null kommen, 2 aber, weil 20 herauskamen, behält man im Sinn. Diese im Sinn behaltene 2 giebt mit den beyden Neunen der folgenden Klasse wieder 20. Da nun noch eine 5 da steht, so muß diese yothwendig in die Summe oder in das Cvlleet gesetzt werden. Nun geht es bey C 'jeder

34

Zweytes Hauptstück,

jeder Klasse immer so weiter. Was im Siu« behalten wurde/ giebt jederzeit mit den Neunen zusammengerechnet 20, und also kann keine an­ dre Ziffer in das Collect gesetzt werden, als die in der Reihe, welche nicht aus Neunen besteht, schon befindlich gewesen. In der letzten Reihe snach der Linken zu) wird endlich die 2, die vor­ her immer im Sinn behalten wurde, vorgesetzt, «nd das Beyspiel ist fertig. Hieraus würde also die Regel folgen: Wenn ein Beyspiel lau­ ter aus Neunen bestehende Reihen hat, bis auf eine einzige Reihe, die aus andern Ziffern be­ stehet: so wird diese nicht aus Neunen bestehen­ de Reihe die Summe, wenn man von ihrer letz­ ten Zahl (zur Rechten) so viel Einer abzieht, als Reihen von Neunen da gewesen sind, und diese zur Rechten abgezogene Zahl vorn (zur Linken) wieder vorsetzt. Z. E. man hatte folgende Auf­ stabe vor sich 999999 873656 999999 999999 999999 so würde die Summe 4873652 seyn müssen ; denn wenn man von 873656 hinten so viel Ei­ ner wegnimmt, als Reihen von Neunen da sind (nämlich 4), so bleibt 873652, und wenn man hernach die hinten abgezogene 4 vorsetzt, so er­ hält man 4873652. Wenn man nun anstatt eines solchen aus fast lauter Neunen bestehen­ den Beyspiels ein anders setzt, wo'immer 2 Rei­ hen zusammen so viel ausmachen, als wenn eine einzige aus lauter Neunen bestände, so muß auch natürlich aus beyden einerley Collect heraus-

Vom Abdireir oder dem Hinzuthun. 55

herauskommen. wird dies zeigen. 999999 923653 999999

Die

Gegeneinanderstellung

348765-x

749386x \ 923652 ) ) 250613J )' 651234./

Hier machen in dem zweyten Beyspiele die erste und fünfte Reihe zusammen 999999 aus j so auch die zweyte und vierte. Also find beyde Beyspiele gleich, und die Summe oder das Collect muß ebenfalls gleich seyn. Nunmehr wird man folgende Regeln leicht anzuwenden im Stande seyn. 1) Man lasse sich von einem 'andern eMe Anzahl Reihen dictiren, und bedinge sich aus, zu denselben noch selbst einige hinzufügen zu dür­ fen. Man fügt aber immer Eine weniger hin­ zu, als gegeben sind; z. E. wenn der andere 6 Reihen jinS vorgesagt hat, so schreibe matt 5 hinzu. . 2) Unter den gegebenen Reihen wählet man sich eine zur Summenreihe, d. i. matt bestimmt sie, die Summe auszumachen'. Hernach nimmt matt die übrigen Reihen nach einander (itt wel­ cher Ordnung man will), subtrahirt jede ein­ zelne Ziffer derselben von 9, und schreibt das, was übrig bleibt, in eine Reihe, die also mit der vorigen zusammengenommen eine Reihe von lauter Neunen ausmachen würde. Z. E. wenn eine von den gegebnen Rechen 184372^ hieße, so würde die hinzugeschriebene 815627 heißen müssen, Senn 1 vott 9 bleibt 8, 8 von 9 bleibt 1, 4 von 9 bleibt 5 >t. ' 3) Man ziehe so viel Einfett, als Paare vott Reihen sind, von der Summenreihe hinten ab, C2 und

36

Zweytes Hauptstück,

ynb setze sie vorn hinzu. Z. E. wenn 6 Reihen gegeben und 5 dazugeschrieben sind, so sind es 5 Paare. Also müssen von der gewählten Summenreihe hinten 5 abgehen, und eben diese 5 vorn hinzukommen. Das Uebrige der Sum­ menreihe wird unverändert unten hin geschrieben.

Z. E. es giebt ein andrer folgende Reihen: 875594 982543 123658 453127 812342 571628 so kann man diejenige Reihe, welche mit 9 am fangt, nämlich die zweyte, zur Summenreihe wählen, und hernach folgende fünf Reihen hin­ zuschreiben : 123405 zur ersten. 876347 zur dritten. 546872 zur vierten. 187657 zur fünften. 428371 zur sechsten.

Alle ii Reihen machen 5 Paare; 5 von 43, als den letzten Zahlen der Summenreihe, abge­ zogen, läßt 38 übrig; wenn man nun die hin­ ten abgezogene 5 vorn wieder hinzusetzt, so muß 5982538 die Hauptsumme aller 11 Reihen seyn.

Wenn derjenige, der «ns dictiren soll, die Kunst auch versteht, so kann eruns das Unterschreiben dadurch erschweren, daß er mehrere oder gar alle Reihen mit 9 ««fangt, und sich ausbedingt, daß die neu hinzugeschriebenen Reihen aus eben so vielen Ziffer» bestehe» sollen als die dicrirten. Allein man kann sich auf eine dop­ pelte Art helfen. Man schreibt entweder ju einer 9 eine i hinzu und erspart diese 1 in einer andern Zeile; t.E.zu 9976)4 19847? 982765

Vom Addiren oder dem Hinzuthun. 37 . ! setzt man, indem man die dritte Reihe jttr Summen­ reihe annimmt, 10136$ 3oi$i6 116113

Hier steht in der ersten hinzugeschriebene» Reihe 1 für o, und folglich in der zweiten 3 für 4. Allenfalls kann man auch in der letzte« Reihe «ach der linken Hand zu 10 anstatt 9 annehmen, und alsdenir vorn zwey Zahlen anstatt Einer zurechnen, nämlich ia anstatt 1, 33 anstart 3, 44 anstatt 4 rc. Ich erkläre dies nicht weitläustiger. Wer es nicht ohne weitläuftige Erklärung verstehen kann, bedarf es auch nicht zu verstehe«. §. 11.

Bey der Addition giebt es mancherlei) Pro- »ros«,, den, wodurch man-versuchen kann, ob man tum?100 recht gerechnet habe, oder nicht. Wer ordent­ lich rechnen gelernt hat, braucht eigentlich gar keine Proben. Wer nicht so sicher ist/ rechnet lieber zweymal. Selten wird man zweymal ei­ nerley falsche Summe herausbringen. Sobald eine Verschiedenheit vorkömmt, muß man zum drittenmal rechnen, und überhaupt mit der Wiederholung so lange fortfahren, bis man ver­ sichert ist, daß etwas gewiß recht sey. Am leichtesten wird man diesen Zweck erreichen,' wenn man die Reihen, die vorher von unten herauf zusammengerechnet sind, hernach von oben her­ unter zusammenrechnet. Außerdem aber giebt es noch folgende, theils bequemere und untrüg­ lichere, theils schlechtere oder beschwerlichere Proben. 1. Die Eintheilung eines Beyspiels in meh­ rere. Diese geschieht nach der §. 9 gezeigten Art, «nd ist zwar sicher, aber weitlauftig.

C5

2, Das

38

Zweytes Hauptstück.

2. Das Addiren ohne etwas im Sinn zu be­ halten, es sey nun vorwärts oder rückwärts; j.E.

879'5' 5483 2453 9824

8796 5483 ?453 9824 oder

16 24 23 24 .26556

24 23 24' 16 26556

Dies ist eigentlich gar keine Probe, sonder» äur kill» bloße Wiederholung. 3. Das Subtrahiren. Man zieht eine Meihe nach der andern ab, so muß das, was-vor Ab­ ziehung der letzten Reihe übrig bleibt, der letz­ ten Reihe gleich seyn. z. E.

2.6.5.5 6

8796 I 7 7. 6. Q 5 4 8 3 1.2. 2 7 7 2 4 5 3 9824.

Diese Probe ist freylich die sicherste, aber auch die «eitläliftigstc; doch kann sie zugleich als eine Uebung im Subtrahiren gebraucht werden. 4. Das Zusammennehmen gleichgültiger Zah­ len. Man nimmt erst alle mehr als Einmal (doppelt, dreyfach rc.) vorkommende Neunen, dann alle doppelte (dreyfache re.) Achten re, in einer Coiumne, hernach die einfachen (auch von

Vom Addiren oder dem Hinzuchum. 3$ h herunter, (unt> rechnet so die ganze Columne zusammen; z. E. in folgendem Beyspiele 8 9 Z 2 7 9 5 6 8253 9ZZ6 8927 sind in der letzten Reihe 2 Sechsen (12)’ 2 Zweyen (4) und eine Sieben, also zusammen 23; in der vorletzten 2 Fünfen (10), .2 Dreyen (6), und weil 2 im Sinn behalten waren, auch 2 Zweyen (4), also zusammen 20 ; in der drit­ ten 3 Neunen (27) , eine Drey und mit den zu­ gerechneten 2 Zweyen (4), also 34; endlich in der vierten 3 Achten (24), eine Neun, eine Sie­ ben und die im Sinn behaltneDrey- also 43. Dies« Probe erfordert viel Aufmerksamkeit, 5. Die Wegwerfung der Zahl 9 und die Bemerkung des Rests. Man streicht zuerst in den gegebenen Zahlen immer diejenigen Zahlen weg, aus deren Zusammenrechnung 9 heraus­ kömmt, z. E. 6 und 3, 8 und i, 7 und 2, 5 und 2 und - *). Was zuletzt übrig bleibt, merkt man sich in der obern Hälfte eines neben daS Beyspiel gesetzten Kreuzes an. Hernach verfährt man eben so mit der Summe. Was übrig bleibt, schreibt man in die untere Hälfte des Kreuzes. Kömmt nun das Obere und Untere miteinan­ der überein, so hält man dieRechnnng für rich­ tig. Z. E. In dem vorher angeführten Bey­ spiele strich man unter den gegebenen summirenLen Zahlen zuerst die beyden Neunen aus, heknach die drey Achten und die 3 (welches zusamC4 »neu *) Die Nullen werden natürlich nicht geachtet, und allenfalls gleich vomufis vurchgeftrichen,

Zweytes Hauptstück.

Vom Addirm rc.

mm drey Neunen macht, ferner zweymal ein« 5 und eine 4, 7 und 2, 6 und 3. Nun bleiben noch 2 und 4, also 6 übrig; diese werden in dck obere Oeffnung des Kreuzes gesetzt. Unten in der Summe macht 2 und 6 und zwey Fünfen 18 oder zwey Neunen, und eine , §. 3-

Vom Subtrahiern oder dem Abziehen. 43

§. 6, Man könnte sich zwar eine Tabelle machen, das Eins von Zwey genannt, Heren Anfang folgender seyn würde. bic; 4 von 8 4; 8 von 124; r von 9 6; 6 von 15 9; 6 von 15 7; 5 von 8 5; 5 von 74; 8 von 12 4; 2 von 2 bleibt nichts. Wenn man oben zu borgen hat, und man kömmt an 9tr8 Punkt, allein man muß bey der folgenden gültigen Zahl auch »och einen Punkt machen. Eine Null mit einem Punkte bedeutet 9; j. E. 8.7.0.9.8.0.7 Hier heißt es: 9 von 7 kann id> 2759889 nicht, ich borge bey der 0, und weil «060017 die Null nichts gilt, auch bey der 8, >7 y y ' 9 von 17 bleibt 8; 8 von 9 (c> mit einem Punkt) bleibt 1; 8 von 7 kann ich nicht, ich borge bey der 9; 8 von 17 bleibt 9; 9 von 8 kann ich üicht, ich borge bey der o und rugleich bey der 7, 9 von 18 bleibt 9; 5 »08 9 bleibt 6; 7 von 6 kann ich nicht, ich borge bey der 8,7 »v» 16 bleibt 9 > 3 von 7 bleibt 5.

46

Drittes Hauptstück.

Auch wenn mehrere Nullen neben einander stehen, ttirb es so gehalten; man borgt bey allen, bis man an eine gültige Zahl kömmt, und aus den Nullen werde» lauter.Neunen; t. E. 3.0.0. o.o. o.o . 1 ) 4 5 6 7 8 1654322 Hier konnte 8 von 0 nicht abgezogen werden •> man macht bey alleipNullen und bey der 5 einen Borgepunkt, und sagt 8 von 10, 7 von 9 rc. tzltaeln Weil das Borgt» bey den Nullen jn der obern Reihe w * einigen Anfängern Schwierigkeiten verursacht, so kann gens " man solche an das Borge» in der untern Reihe gewöh­ nen. In der untern Reihe bedeutet eine Null mit ei­ nem Punkte i, eine 9 mit einem Punkte 10; z. E. * t k s l o « Hier heißt es t 8 von 17; looott 7.9.0.» 7.15. 8 »en 8; 8von 13; 1 von 10 r 795059 io von 17; 8 von 8. Uebrigens ist es völlig gleich, ob jemand sich ge­ wöhnt, oben oder unten zu borgen ; nur ist nöthig, daß Inan sich einevvn beyden Arten wähle und dabey bleibe'). Denjenigen Anfängern, denen es zu sauer wird, vo» einer Zahl, die über 10 ist, eine andre abzuziehe», kann man die Arbeit erleichtern, wenn man sie, so oft ge­ borgtwird, die unten stehende Zahl erst von der geborg­ te» 10 abziehe», und die andre Zahl hernach dazu addiren läßt **); z. E. 3 47 8 6 9 5 8 von 5 kann id) picht, 8 voll iö . 1.94.8.7.9.8 bleibt s, und 5 dazu ist7; »ovo» ~ "’g ~ 9 kann ich nicht, 10 von 10 bleibt 15-9-97 und 9 dazu ist 9; 8 von 6 kann ♦) Ein einziger Fall ist- wo dctS Unrenborqen für jedermann bequemer ist, wenn nämlich von einer Summe mehrere an­ dre htnweggenommen werden sotten; z. E. man verlang? zü wissen, wie viel 3120 mehr sey, alö 2537, 2217 und 19«. Dirsetzt man io auf: 3 i 2 d 2.5.3.-

5 8 3

Erste Differenz.

10 1.)

1103

Ztveyre Differenz»

1,9 1.2 1 2 0 8 Dritte Different Diese Art deS Abziehens ffndet ihre weirede ÄstwmVuNq kehlst Suhrrahiren veuannm Zahlen. S- Hauprstück iiv K. 2.

Vom Subtrahiren oder dem Abziehen. 47

kann ich nicht? 8 von 10 bleibt s und 6 ist 8; y von 10 bleibt i und 8 ist 9; 5 von 1 bleibt a; 9 von 10 bleibt i und 4 ist 5> 2von 3 bleibt 1. Derjenige Fehler, den man im Subtrahiren am leichteste» begehen kann, ist, daß man entweder deir Borgepunkt zu machen vergißt, oder daß man borgt, wo man nichts zu borgen nöthig hat. Beydes läßt sich durst- genaue Aufmerksamkeit leicht vermeiden; daher man diejenigen, die in einen dieser Fehler zu fallen w neigt sind, gleich anfänglich fleißig warne» muß, da, mit es nicht zu einer bösen Gewohnheit werde. Beyspiele zur Uebung. 87y64M5748)7645-7r954)«>i«97 —54y)68-4s6l9)457869)2587694218 — Z zo-749701290)06658569551 307679. 274929)6658695 -- 82754)9875468 ZZ 19217/ 496783227. 890007890004370000982736845'98 — 1703, 9584867345070106798305279 ZZ 7196120413309192999/ 1475379919. 962013301917?/ — 2984^76854267 ZI 663559533374/0. 9V369482 — 50387645—936981837*

In folgenden Beyspielen läßt man von der gesunde, nen Zahl immer wieder eine andre abziehen. 8567482379824569384598293698183/04 —7^254;/ 869425698245786498763215478zz12049385103988711/ 38811794934968226. Davon wieder abgezogen 982475486247983645298374598147658, bleibt Rest 22246302/ 4150887493513420336820568* Davon 1835947658437, 68527386572539017642 zz 388682583071189661268477, 97802926. Davon 958476254963459824769845908926» — 29283495757484367879149338713664» Davon 845< 6785492893945625982578924687 ZZ 2082671026459044 22253166759788977. Davon 89345684598654892468, 57986599824 — 1189214180472493300630877318915;* Davon 5970684786942854789648245698274 zz 592145, 7017782078216660527490879. Davon4857694832186, 543298634576984528 zz 1063762185595534918025950/ 506351»

Wenn jemand diese Beyspiele zu lang sind, so kann er sie in zwey oder drey Stucke zertheilen. Wer noch, mehrere Beyspiele verlangt, darf nur aus §. 7. der Ad­ dition einige Summen nehmen, wovon hernach eine von den addirenden Zahlen abgezogen wird, worauf die andre Zahl als Rest herauskommen muß,

9-

48 Drittes Hauptst. Vom Subtrahirett rc.

9Es sind zwey Probe« beym Subtrahire« rrahwens. möglich. Die erste geschieht durch die Addition. Man addirt die Differenz und die kleinere von den beyden gegebenen Zahlen zusammen. Ist die Ausrechnung richtig, so muß die größere gegebene Zahl wieder herauskommen; z. E.

s.8 9 7.) 6 8.4 T 8.9.7.6. ).4.5.3 8 ry8s7659)5999)7654 91460»53397696874 -897)68458976)4538 . Diejenigen, welche unten borgen, müssen sich in Acht nehmen, daß sie bey Versertigung der Probe di» Dorgepunkte nicht weiter in Betrachtung riehen, fon# der» die Zahlen so viel als gewöhnlich gelten lassen. Die zweyte Probe geschieht durch die Sub­ traktion. Man zieht die Differenz von der grösfern obern Summe ab, und wenn alsdenn die kleinere gegebne Zahl übrig bleibt, so urtheilt man, daß die Ausrechnung richtig sey; z. E.

5 8 976 5 L ) 8 - 5 l 3 5 i 5 14 8)8251 oder ' 9-8 7.6.5.) 4 5.6 7 8 9 39)8754-9768 6 9 ) 7 7 80 37 o s i -9)8754-9768 Man sieht aus dem letzter» Beyspiel zugleich, daß, »0 in der Ausrechnung geborgt worden, in der Probe ebenfalls wieder geborgt werden müsse. Es kann aber ganz wohl geschehen, daß man in der Ausrechnung ein? mal ru viel oder $u wenig geborgt hat, und es in der Probe nicht gewahr wird. Daher ist diese Probe für diejenigen, weiche oben borge», und nicht recht auf­ merksam sind, etwas betrüglich. Hingegen könne« sich die, welche unten borgcn, derselbe» mit mehrerer Si­ cherheit bedienen. Vier-

Viertes Hauptstück. Vom Multipliciren, Vervielfältigen oder Vermehren.

§. i. Ä^ultiplicireu, vervielfältigen oder Was vermehren, heißt aus zwey gegebnen Zahlen arm sey. eine dritte finden, in welcher die eine gegebne so oft steckt oder enthalten ist- als die Zahl Eins in der andern. Z. E.es werden gegeben 16 und 3, und es wird,gefunden 48; so ist 16 in 48 so oft enthalten, als in der andern gegebenen Zahl die Eins angetroffen wird, nämlich dreymal; oder 3 ist in 48 sechzehnmal enthalten.

Wenn man eine Zahl,mit 1 multipliciren soll, so bleibt sie unverändert. Man drückt dies so aus: Eins multiplicirt nicht. I. E. 16 mit 1 multiplicirt ist und bleibt 16. Aus allem, was mit 0 multiplicirt werden soll, kömmt gar nichts heraus, z.H./ mal 0 ist,». Das Multipliciren ist weiter niches, als eine abge, kürzte Addition. Z. E. für 5 mal 9 konnte man auch sagen 9+ 9 + 9 + 9 +9. Man bedient fich, um anzuzeigen, daß von gewn. zwey Zahlen Eine durch die andre multiplicirt werden soll, eines liegenden Kreuzes x. DieD ses

5o

Viertes Hauptstück.

ses Kreuz spricht man im Deutschen durch mal aus. Z. E. 14 x 24—3^6 heißt: 14 mal 24 macht zusammen 336.

§- ZDie Zahlen, welche beym Multipliciern geMnlnpli- geben werden, heißen die Factoren (Faäores) ; tlten" diejenige, welche gefunden wird, heißt das F a c t u m oder das P r 0 d u c t. Unter den Factvren heißt,die erstkke Zahl, welche man eine gewisse Anzahl male nehmen soll, der Multipli'randns (d. i. die zu vermehrende Zahl), die zweyte (durch welche man die erste vermehrt, oder welche anzeigt, wie oft man die erste nehmen soll) der Multiplicator oder Multi­ pli ca ns (der Vermehrer oder die vermehrende Zahl).-

Wavi der ist in Absicht auf das zu findende Factum völlig «lör«"'" gleich, welche von beyden gefundenen Zahle» man zum Multiplicandus oder Multiplicator macht; E. wenn mail ui mit 987 multipiicirt, kömmt eben so viel her, aus, als wenn man 987 mit m inulriplicirre. Man macht aber gewöhnlich diejenige Fahl zmn Multiplicator, die aus den wenigüen wirklich multiplicireuden Ziffern *) besteht. Folglich sel-t man lieber 987 x ui, 987? x 2s, i2?4 x 50°), 89423 x 135016, als in x 987 t 23 x 9873 reFolgende Beguemlrchkeit ist nur denen anzurathen, die schon im Multipliciren so geübt sind, daß sie nicht mehr leicht falsch rechnen- Wenn in einem Rultiplica, torEinerley Uster,mehr als einnml vorkommt, so hat man weniger Mühe, als wenn dir Ziffern alle verschie, den sind. Daher wchit man dergleichen Zahlen, worin eine oder mehrere wirklich multiplicirende Ziffern mehr­ mals wiederholt werden, gern zmuMultipticaror; z. E. man setzt lieber 8974 x 9889,. 137845 x 34334;, 98672 x 3363533, als 9889 x 8974 rc. Anfänger können das

Vom Mulkipliciren :c.

51

'das zwar auch thun; man muß ihnen aber trauen dür­ fen, -aß sie solche Reihen nicht abschreiben werden. Man vergleiche hier §. -11. von den Proben. §.4. Man setzt den Multiplicator so unter den «ufwn Multiplicandus, daß die letzte Ziffer des erstem unter der letzten Ziffer- des letztem zu stehey

9854326

8943

8

2.9

nicht 9854326 8

8943 29

Doch wird dabey vorausgesetzt, daß weder der Multiplicandus noch der Multiplicator am Ende Nullen habe; denn wenn dieses ist, so gilt die vorige Regel nicht, sondern die letzte gültige Ziffer des Multiplikators kommt unter der letzten gültigen Ziffer des Multiplicandus zu stehen; z. E.

38900 37

SI0" 8

77453 68000

93 80

Und wenn sowohl der Multiplicandus als der Multiplicator am Ende Nullen hat, so werden die Nullen des letztern nicht' unter bie' Nullen des ersterü gesetzt^ sondern noch weitir ausge­ rückt; z. E.

834000

89300

75

000

9

o

§. 5. Wer mnltipliciren will, muß vorher das MumonEin mal Eins fertig auswendig gelernt haben, indem es zu langweilig seyn würde, topm s>«.»>»> man dasselbe nur vor sich hinlegen, und jedesD2 mal

Viertes Hauptstück.

$2-

mal hineinsehen wollte, so oft man zwey ein­ zelne Zahlen multipliciren soll. Man ordnet dasselbe auf die für das Gedächtniß bequemste Art also:

< mal i ist l 4 mal 4 ist

2 --- 2 --- . 4 2 — 3 — 6 2 — 4—8 2 — 5 --- IO 2'--- 6 --- 12 2 — 7 —14 2 — 8 —16 2 — 9 —18 2 --- IO '—20 3 3 3 3 3

— — — — —

3 4 5 6 7

— 9 —12 —15 —18 —2i

4 — 5 4 — 6 4 7 4—8 4 — 9 4 —10

5 5 5 5 5 5 6 6

— 5 — 6 — 7 — 8 — 9 —10 — 6 — 7

— — — — — —

16 20 24 28 32 36 40

—'25 — 30 — 35 — 4° — 45 — 5° — 36 — 42

7 mal 7 7 — 8 7 — 9 7 —10. 8 — 8 8 — 9 8 —10

ist — — — — — —'

49 56 63 70 64 72 80

9 — 9 — 81 9 —io — 90 10 ---IO—IOO IO-IOO--IOOO

3 9 —27)6 — 9 — 54 3 —io —30,6 —io — 6o Sobald ein Anfänger das ganze Ein mal Cinö der /Reibe nach fertig auswendig weiß, nachdem er es Ab­ satz für Absatz gelernt hat, so muß man es ihn außer der Reihe fragen.. Doch kann man auch dabey anfangs lich eine anderweitige Ordnung beobachten, z. E. 2 mal ' 6, 3 mal 6, 4 mal 6, 5mal 6, 6 mal 6; 2 mal?, z mal 9 u. s. w. Das vornehmste aber bey den Fragen außer der Reihe ist, daß man die Zahlen auch versetze, z. E. 9 mal 3? 7 mal 4, 6 mal 5, 8 mal 2, weil diese Falle eben so oft vorkommen, als die andern (3 mal 9, 4 mal 7 re.). Man kann das 1 mal 1 auch wohl mitIahlpfennrgen, Bohnen, Punkten u. s. .w. vorsiellen; es hat aber keinen besondern Nutzen, so bald die herauskommende Zahl über »0 ist. Man

Vom Multiplicirerr re.

zz

*Man hat eine Art, das Ein mal Tins bloß durch Nachdenken herauszubringen, die man merken kann, ohne daß man die Absicht haben muß, sich oder einem andern das Auswendiglernen dadurch zu ersparen, Sie ist folgende: Die fragen von 2 mal 2 bis 2 mal 10 bringt man durch Adbiren heraus; z. E. anstatt 2 mal 8 sagt man 8 und 8 ist 16. Von 3 mal zbis zmal io werden eben­ falls durch Addiren heraus gebracht;. z. E. anstatt 3 mal 8 sagt man, 8 und 8 ist 16, und noch 8 dazu ist 24.

Die Fragen von $ mal 5 bis 5 mal 10 lassen sich durch Halbiren beantworten. Man nimmt die Halste der Zahl, die man durch 5 multipliciren soll, und hangt im Schreiben ein Null, Lm Aussprechen aber die Sylbe ß i g oder; i g daran, wofern sie eine grade Zahl ist. 3. E. 5 mal 6 ist 30, weil die Halste von 6 3 ift i 5 mal 8 ist 40; 5 mal 10 ist 50. Ist aber die durch 5 zu multiplicirende Zahl ungrade, so setzt man hinten noch 5 hinzu; z. E. 5 mal 5 ist 25 (denn die Halste von 5 ist 2, und weil eine 1 übrig bleibt, so wird dafür ei­ ne 5 am Ende hinzugefttzt); 5 mal 7 rst 30 und fünf, oder fünfunddreyßig, 5 mal 9 ist 45. Zieht man eine Zahl von der Multiplikation mit 5 ab, so ist sie mit 4 multiplicirt; z. E. $ mal 7 ist Z5- folglich ist 4 mal 7 3$ weniger 7/ d. i. 28.

Von 6 mal 6 bis 9 mal 9 beantwortet man sich die Fragen auf folgende Art. Man richtet so viel Finger der einen Hand in die Höhe, als die eine Zahl über 5 ist; z. E. wenn ich die Frage: wie viel ist 6 mal 6? be­ antworten will, so richte ich von jeder Hand Einen Fin­ ger in die Höhe: wenn ich wissen will, wie viel 7 mal 8 ist, so werden von der einen Hand 2, von der andern 3 Finger in die Höhe gerichtet. Nun heißt die Reget so: Ein jeder in dieHöhe stehender Finger bedeutet 10: die Anzahl der liegenden Finger der einen Hand wird mit der Anzahl der liegenden der andern Hand multiplicirt, und was herauskömmt zu dem, was die stehen­ den Finger ausmachen, zuaddirt, so hat man die Ant­ wort auf seine Frage. Z. E. wenn man wissen will^ wie viel ,8 mal 9 ausmache, so richtet man von der ei­ nen Hand 3, von der andern 4, also zusammen 7 Fin­ ger in die Höhe: das sind also 70. Nun ist von der einen Hand i, von der andern sind 2 Finger liegen geblie­ ben; i mal 2 ist 2, und 2 zu 70 zugerechnet giebt 72. Auf die Frage 6 mal 6 wird an jeder Hand Ein, also D z zusam-

Cinmar Ans ob­ wendiglernen.

54

Viertes Hauptstüef.

jtifammeit - Finger, in die Hohe gerichtet, das sind j2o. An jeder Hand liegen 4; 4 mal 4 ist 16, 16 und 20 ist;6. • Man hat nech eine andre Art, sich das Aliswendialernen des Ein mal Eins ;u ersvaren. Dies ge­ schieht vermittelst der Nevverscheu Stabe, wovon un­ ten §. 10. Nachricht ertheilt werden soll. Von dem sogenannten großen Ein mal Eins siehe unten §. 9« §. 6.

ripichtelld'

Die Regeln des Multiplicirens sind: 1) matt macht unter den Facteren einen Strich, um das Factum (oder die Facta) von ihnen zu un­ terscheiden. 2) Man annltiplicirt von der Rech­ ten. 3) Man schreibt nur immer Eine -Ziffer hin, wenn auch zwey herauskommen, nämlich die zur rechten Hand stehende (grade wie beym Addiren), z. E. von 12 die 2, von 63 die 3 rc. Die andre Zahl zur Linken wird im Sinn behal­ ten und zum Nächstfolgenden zugerechnet.

Wenn man auf der Schiefertafel rechnet, so kann man das im Sinn Behaltene wohl unter der Linie so lange hinschreiben, und es hernach wieder auslöscheu', indem man es ;urechnet. Es ist aber besser, wenn mau sich an dieses Hinschreiben gar nicht gewohnt.

§. 7mevkviel« Das Multipliciern mit Einer Zahl ist das tipücir1’ leichteste, und man muß sich darin so lange üben^ bis man eine vollkommene Fertigkeit er­ sah/. langt hat, indem das Wcitergehen nicht eher etwas Helsen samt. Hier sind ein paar Bey­ spiele: 8793658201340638 17587316402681276

Man sagt hier so: r mal 8 ist 16,« hin 1 im Sinn; mal; ist 6 und i ist 7; - mal 6 ist 1-, r hin 1 int Sinn;

Vom Multipliciren iu

55

Sinn; 2 malO istO undr istr*); 2 wat4 ist 8; 2mal 3 ist 6; 2 mal i ist 2 z 2 Mal b ist.o; 2 null 2 ifl 4; 2 mal 8 ist 16, 6 h'Ln i im Siurr; 2 mal 5 ist 10 nnd 1 ist ii, i hin. i im Sinn; 2 rna! 6 ist 12 mrd 1 ist 13, 3 vüi x im Sinn; 2 mal 3 ist 6 und 1 ist 7; 2 mal 9 ist 18/ 8 hin i im Sinn; 2 mal 7 ist 14 und 1 ist 15, 5 hin 1 im Sinn - 2 mal 8 ist r6 u. 1 ist 17# 7 hin u. i vorgerückt. 9586517402

________ 2 844-8656673 9 mal 2 ist 18/ 8 hin i im Sinn; 9 mal o ist o und r ist i; 9 mal 4 ist 3-6# 6 hin 5 im Sinn; 9 mal 7 ist 6z und 3 ist 66) V) hin 6 im Sinn; 9 mal I ist 9 und 6 ist ^5/ 5'hht i im Sinn; 9 mal 5 ist 45 und 1 ist 46, 6 hist 4 im Sinn; 9 ural 6 ist 54 und 4 ist 58; 9 mal 8 ist 72 und 5 lst 77; 9 mal 3 ifl-27 und 7 ist Z4; 9 mal 9 ist 81 und 3 ist 84z 4 hin und 8 vorgerückt.

Beyspiels zur Uebung. 897482569 x z'~ 1794965198. 9S4736,H0167 x*; — 2954209350501. 1829705-5986549 x 4 ~ ^318821; 7546196. 987654090210876543 x 5 "4938270151051 4382715. 83705168437025476 x 6 "502231010622152856.97605403178684052 X 7"683237822250788564. 8765432168503124 X '8 — 7012345734802499-. 9381 7056428079 x 9 — 84483507852711. In folgenden Beyspielen wird immer dar Factum wieder rum Multiplicandus. ' = 8079643826 x 2 " 16159287652 x 3 ~ 48477862956 X 4— 193911451824 X 6 — 1163 ken besteht, in 5 gleiche Theile theilen, so müssen auf jeden dieser 5 Theile 4 Stücke kommen. In beyden Fallen ist das Dividiren ein abgekürztes Subtrahiren ; doch ist dies von dem ersten Fall deutlicher, als von dem zweyten.

§. 2. Es giebt zweyerley Zeichen des Dividirens. Z.«»,» Das erste sind zwey über einander stehende Dünkte (tvie ein Colon), z. E. 4:16; das E2 zweyte

6g

Fünftes Hauptstück.

zweyte ist ein grader Querstrich, über welchem die Zahl gesetzt wird, in der eine andre enthal­ ten seyn soll,- und unter welchem diese andre steht, z. E. ¥. In beyden Fallen sagt man: 4 in 16.

Die beyde» Punkte solle» eigentlich durch r u au-«' gesprochen »erde»; gehe unten das Capitel vo» der Proportion. Viele setzen 16 :4 anstatt 4 : 16. Alsdenn spricht man die Punkte mit durch au-. Der Strich ist der bey den Brüchen gewöhnliche Strich; heißt eigentlich sechzehn Viertel, die- aber ist eben so viel, als wenn man sagt 4 in 16 oder der vierte Theil von 16. — §. 3. «urrrm. Von den gegebnen Zahlen wird diejenige, D'v.di, von der man fragt, wie oft sie in der andern M"‘ ' enthalten sey, der Divisor (Theiler oder die theilende Zahl), die andre aber derDividend u s (die zu theilende Zahl) genannt. Die ge­ fundene Zahl heißt der O.uotus oder der Quotient (die wievielste Zahl oder der wie­ vielste Theil). ’S. 4-

Dwwik'n Wenn der Divisor aus Einer Ziffer besteht, al#«!”* so kann man anders verfahren, , als wenn man mit mehrern Ziffern zu dividiren hat. Doch giebt es mehr als Eine Art, mit einer Ziffer zu dividiren? Man kann zusammen vier Arten annehmen, worunter aber die vierte diejenige ist, die ein eigentlicher Rechner einzig und allein beybehaltcn muß;' ob sie gleich im strengsten Verstände nur beym Dividiren mit Einer Ziffer allein statt findet. §. 5.

all«A» , Bey allen Arten des Dlvidirens ist die erste ©h>iöb Trage, wie vic.'mal? Die Antwort wird in den «n». Quotienten geschrieben. Zweytens fragt man, wie

Vom Dividiren oder dem Zertheilen.

69

wie viel übrig bleibt? Drittens nimmt man die nächstfolgende Ziffer des Dividendus dazu, und dann kömmt man wieder an die erste Frage.

§. 6. Man kann zuerst ein Dividirbeyspiel mit Einer Ziffer auf folgende Art herausbringen. Man w« iu schreibt den Dividendus hin, und laßt dahinter 0lul6utb so viel Platz, daß ein aus eben so viel Ziffern bestehender Quotient dahinter geschrieben wer­ den kann. Hinter der letzten Zahl des Dividen­ dus macht man «inen Strich, welcher der Di­ visionsstrich genannt wird, und dazu dient, den Quotienten vom Dividendus zu unterscheiden. Wenn die erste Ziffer des Dividendus eben so groß oder größer ist, als der Divisor, so fetzt man den Divisor unter diese erste Zahl des Di­ videndus. Ist sie aber kleiner, so wird er unter die zweyte Zahl gesetzt; z. E. .

Dividendus 8498765 J>5‘ Divisor 7 9827462] 9 I 182345| Nun fragt man: wie oft der Divisor in der über ihm stehenden Ziffer (oder auch zwey Ziffern) des Dividendus enthalten sey? setzt die Antwort in den Quotienten, multiplicirt den Quotienten mit dem Divisor, und zieht, was herauskömmt, von der über dem Divisor stehenden Ziffer (oder von den Ziffern,wenn es zwey sind) ab. DieZiffer oder die Ziffern, wovon man abgezogen hat, werden durchgestrichen, und was übrig bleibt, E3 dar-

no

Fünftes Hauptftück.

darüber geschrieben. Bleibt nichts übrig, so kann nichts darüber geschrieben werden. Nun schreibt man den Divisor unter die nächstfolgende Zahl des Dividendus, liest diese mit dem, was vorher übrig geblieben war, zusammen (z. E. wenn 3 übrig geblieben ist, uni) die folgende Zahl 2 heißt, so liest man 32) und fragt wieder wie oft? und so geht es weiter, bis man zu Ende ist. Z. E.

Hier sagt man so: 4 in 44444444 (Quotient). IS 3 ttlfls, 3 mal 4 ist i2, mit i2 geht auf; 4 in 92mal,, 2 mal 4 ist 8, von 9 bleibt i; 4 ül 17 4 mal, 4 mal 4 ist i6, von 17 bleibt 1; 4 in 14 3 mal, 3 mal 4 ist 12, von 14 bleibt 2; 4 in 26 6 mal, 6 mal 4 ist 24, von 26 bleibt 2; 4 in 2z 5 mal, 5 mal 4 ist 20, von 23 bleibt z; 4m Z2 8 mal, 4 mal 8 ist 52, mit 32 geht auf; 4 in 8 2 mal, 2 mal 4 ist 8, mit 8 gehr auf. Wenn man eine Zahl ausstreichen, und eben die/ selbe wieder darüber schreiben soll > so kaün man Aus/ streichen und Ueberscbreiben sparen, und braucht nur die Zahl, so wie sie da steht, zur folgenden zu nehmen. Dergleichen war in dem vorigen Beyspiele die 7, da es hieß 4 mal 5 ist 20, von 23 bleibt 3. Hier hätte die 3 nur dürfen stehen bleiben. In folgendem Beyspiele kömmt dieser Fall öfter vor. ,468516249. mmml

Wenn die Ziffer des Dividendus, in die man eben zu dividiren hat, kleiner ist als der Divisor, so schreibt man eine o in den Quotienten, streicht den Divisor aus, und geht alsdeun weiter; z. E. ? *7 SW4&3W4 9406092806.

$$$$$$$$$$

Vom Dividiren oder dem Zertheilen.

71,

Wenn bey der letzten Ziffer des Dividendus das Beyspiel nicht grade aufgeht, so wird das übrig blei« bende in einen Haken eingeschloffen oben hingesetzt; t. S. (4

mm*#

mm

i37°8p

Oder wenn grade die letzte Ziffer selbst übrig bleibt, so wird diese in den Hake»'gesetzt; E.

f.

4 3568715

Man muß aber hernach eigentlich die übrig geblie, bene Zahl zum Zahler eines Bruchs machen, wovon der Divisor der Nenner ist, und diesen Bruch bey demQuorienten hinten hinzufügen; z. E. im ersten Fall 137089? ch. i. 137 tausend 89 und 2 Fünftel; im zweyten Fall. 3568715$ d. i. 3 Millionen 568 tausend 715 und 3 Ach­ tet. Ein Anfänger im Dividiren sagt aber bloß: so viel kommt heraus, und so viel bleibt übrig. Man kann diese erste Art in so fern etwas atkürzen, daß man den Divisor nicht wiederholt, sondern ihn nur vorn vor dem Dividendus durch einen kleinen Strich abgesondert hinsetzt, z. E.

^5^3(4 91876^4J** 19843 813* Diese erste Art des Dividirens ist zwar die gewöhn­ lichste; ich rathe aber niemand, sich daran zu gewöh­ nen^ weil sie vielen Schwierigkelten unterworfen ist, die freylich nur geringe sind, wenn der Divisor aus Einer Zahl besteht, aber merklich größer werden, wenn er auö mehrern Ziffern zusammengesetzt ist. §. 7Die zweyte Art ist weitlauftiger. Man fetzt |wwe den Divisor durchweinen kleinen Strich abgeson- ’'' dert vor den Dividendus hin, streicht nicht aus, sondern setzt allemal was durch die MultiplicaE4 tion

72,

Fünftes Hauptstück.

ttott des Quotienten mit dem Divisor hermrskömmt, untenhin, mackt einen Querstrich, zieht es ab, und holt sich die folgende Zahl des Divi­ dendus durch einen Strich herab. Ist nach dem Herabziehen die Zahl noch kleiner, als der Di­ visor, so setzt man eine Null in den Quotienten, und zieht noch einmal ab; z. E. 4l2f2?o>4683|63076367a

-üii i2i I 3° j 28'

25 24

14 12 "26 24 28 28

3

Diese Art ist zwar beym Dividircn mit Einer Zahl tu weitläuftig; allein weil bey einem Divisor von zwey oder Murern Wahlen das Herunterziehen dem Ausstrei­ chen vorzuziehen ist, so muß man einem Anfänger diese Art wenjasterrö zeigen, damit er die Sache leichter be, greife. Es werden sich aber auch immer schwache Köpfe finden, denen alles Dividiren mir Ausstreichen zu schwer wird; kiese müssen, wenn man ihnen forthelfen will, vor der Hand an diese Art, und an keine andre, ge­ wöhnt werden, bis man sie hernach zur vierten Art bringen kann. §. Dritte Art.

8*

Die dritte Art ist eine Abkürzung der zwey­ ten, und kömmt hier, wo mit Einer Ziffer dividirt wird, mit der abgekürzten ersten ganz überein, nur daß das, waS dort oben hinge­ schrieben

Vom Dividiren oder dem Zertheilen. 73 schrieben wurde, hier unten hingeschrieben wird. Z. E. ’ | I 179703247.

Diese Art zu wissen ist darum nöthig, weil sie ehe4 Vorbereitung zu der kürzesten Art, mit mehrern Ial)< len zu dividiren / ist.

§. 9. Die feierte Art, mit Einer Ziffer zu dividirett, ist die einzige, die ein geübter Rechner ge- A«. brauchen, und wozu man stch durch die,3 vori­ gen nur vvrbereiten muß. Man macht unter den Divisor einen Strich, setzt den Divisor vorn in einen Haken hin, und behalt das, was übrig bleibt, bloß im Sinn, ohne eschinzuschreiben, außer am Ende, wo man den Rest zur Sekte hinsetzt; z. E.

7) , 98437654343 14062522048. 3x

6 (bleibt Rest)

89536246189

‘

29845415396.' 1.

§. 10. Decimalzahlen, die aus einer gültigen Ziffer Divnie«, und Einer-oder mehrern Nullen bestehen, diviViren eben so leicht, als einzelne Zahlen. Man streicht bloß hinten am Divisor die Nullen und meVt"« an dem Dividendus so viel Ziffern ab, als der UA Divisor Nullen hat. Hernach dividirt man or­ dentlich mit der gültigen Ziffer. Die abgestri­ chenen Zahlen setzt man an die übrigbletbenden an, und dies macht den ganzen Rest aus. Geht das Dividirte auf, so ist die abgestrichne Zahl der Rest. Hat sowvl der Dividendus als der E 5 Divi-

74

Fünftes Hauptstück.

Divisor am Ende Eine oder mehrere Nullen, so #ann man entweder von dem einen so viel Nul­ len ganz_wegsireichcn, als an dem andern-befindlich sind, oder man kann auch die Nullen des Dividendus eben so abstreichen, als man es mit gültigen Ziffern zu thun gewohnt ist *). 8. E. .1 x 5761523I5 3 P) ----------------------1920507. 25. $|ooo)

98753>624

3624.

1975°.

122044.

8-

573264I39

.9|oo) 63696.

3981376942580'0

400) 2034423564s. oder 2034423564 kömmt heraus, bleibt Rest.

und 200

Dwidikm ! Weil i nicht dividirt (f. §. 1.), so darf man, wenn 'm 'iooo eine Zahl mit 10 dividirt werden soll, nur die letzte Jift xv ' ' ser abstreichen, die als übrig geblieben angesehen tvird; i. E?3456 mit 10 dividirt, giebt 34s, und 6 bleibt übrig. Ist der Divisor 100, so streicht man zwey Aisfern ab ($. E-100:349865 ~ 3498 ; so bey 1000 drey, bey 10000 #ier u. s. w. Hat der Dividendus Nullen, so streicht man so viel weg, als der Divisor Deren hat; r E-

1000 [8978 543 20000.

Wenn ♦> Ov man Nullen am Ende deS Dividendus auSstreichew oder 'nur abstreichen müsse, kömmt 24 in 182 7 mal, *4 mal 7 ist 168 von i83 >5. 876954;

...X . So auch:

.zx 98437648 *6) —---------6152353.

§.

17.

Folgende Beyspiele kann man nun ausrech«en, nach welcher von den vorher beschriebenen Arten man es am besten findet. 1) :108610197522057 — 9875654;2yi87. 2) 12: »6862965592 zz 2238580466, 3) 12:107451862368^: 8954321864. 4) 19: 2041585385200 zz107451862368^. 5) 660 : 21722039504421513 zz 32912181067290^. 6) 36:967066761312 zz 26862965592. 7)3600:1074* S 4 r»»6,

88

Füttftes Hauptstück.

5186356800 zz 2984773988. 8) 91 * 1857$427OO34?6© ZZ 2041535)84992®!..9) 112: 2919442^0939289216 z: 26066^4740529368» 10)792:86388 s $80176456 zz 10? 97072702243. 11} 19800:260664474052938023 Z2 13« 164872426916^?^. 12) 202 : 19956792 zz 98796. 13) 488:977528384— 1912968. 14) 236:210308096 ZZ 891176. I)) 771:979146657 —2958147. 16) 708: 620869272 zz 876934. 17) 505 : 49891980 zz 98796. 18) 987:957213016 zz 965768. 19) 1323:870003400^ 5000071 zz 6'75989421768^3» 20) 1715 :1164448/ 9850016 '0^87740001508680355 zz67897900000097987/ 6000000879697* 21) 1745:64566390765r35708651390/ 76364565 ZZ 3700079700007777000079700037. 22) 34/ -600:677854674)2 ZZ i97856^Mö- 23) $234:2545/ 60824 zz 48636. 24) 9046 : 2457237348 zz 271638. L$) 15376:1003191744 ZZ 65244. 26) 938642:10652/ 7098103185380 ZZ 113490657890. 27) 9867543:9744^ 7907'■890*9207-60 ZZ 98/5600003 874^-|-J|^-J|. 28) 89s 754329: 3 E.

4859

Vom Dividiren oder dem Zertheilen. §9 485918.7-2.6 5 9 3 4 8 5 9 [

38675 3 4 Q' i 3 , 4 6.6.2 9 4 3 7 3 1 2 8 9. 8. 3 24295 4 6 8 8 8 4 3 7 3 »

17959 ___ 4859 t 161631 89795 143672 71836 87262781 3»57 . 87265938

3 15 7 Oder man 4>ividirt den Quotienten drrrch Bittest, den Dividendus, da alsdenn der Divisor wie­ der herauskpmmen muß; doch laßt sich diese Probe nur bey solchen Beyspielen ohne Wettlauftigkeit anbringen, wo nichts übrig geblie­ ben. Z. L,. man hat 185048640 mit 2345 dir vidirt, und 78912 heraus bekommen, so wird die Probe durch die Division folgende seyn. 78912,1 8.5.0 4 8 6 4 0(2345 1 5 7 8 2 4 | 1 7.2.3 46 236736

3 5.'5. i.o.J. 315648 394560 3 9 4 5 6 o

Wenn man nicht gern eine Probe machen will, und -och ungewiß ist, ob man den richtigen Quotienten herausgebracht habe, so muß man wenigstens das Bey­ spiel noch einmal untersuchen. Dies kann aber mit Si­ cherheit nur allein bey der §. iz. gezeigten zweyten Art der Division geschehen. Man sieht also zuerst, ob maw immer recht multiplicirt habe, rum andern/ ob

HS,

Sechstes Hauptstück.

inan recht subtrahirt, und zum dritten, ob man kecht hmnite^rzogcn habe, ebne eine Zahl ausiulaffen oder zu veränseri: Wenn man diese drey Stücke richtig pndet, so muß der Quotient nothwendig richtig seyn.

Sechstes Hanptstück. Don theilbaren und untheilbaren Zahlen, vom Aufheben, und vorü Zerfällen.

§. i. I* Eine Zahl, welche durch die Multiplikation l hf*-'oA03/ >°7/ >09/ >>3/ 127, izi, 137/ >39, >49- >57, 163, >67/ >73/ >79/ >8>/ >9>/ >93, >97, >99; SU, 223, 227, 229, 23z, 239, 241, 251, 257, 26z, 269, 271, 277, 281, 283/ 293; 307, zu, 317, 331/ 3Z7,. 347, 349/ 353, 359, 3^7, 373/ 3719/ 383,. 389, 397> 401, 409, 4>9, 421/ 43>/ 433, 439 , 443 / 449 , 457, 461, 463, 47/ 479', 487, 49>, 499; 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571 /577/. 587/593/ 599; 601, 607, .613, 617, 6'9, 631, 641, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691; 701, 709, 719, 727, 733, 739/ 743, 75>, 757/ 761 / 769, 773/ 787/ 797; 809, «n, 821, 827, 829, 839/ 853/ 857/ 859/ 863, 877, 881, 883, 887; 907, 9”, 919, 929, 937, 941, 947, ,953, 967, 97>/ 977, 983, 991, 997-

Man kann vermittelst der Huadratzahle» Cf. unten Hauptst. 19.) ausrechne», ob eine Zahl untheilbar sey »der nicht; e» ist aber das Verfahren dabey zuweilen sehr mühsam, daher man sich indessen mit diesem Vor,»eichniffe behelfen muß, dessen Nutzen sich bey dem Aufheben der Brüche zeigen wird, §-

3.

Aus waS für andern Zahlen eine zusammen- wwm. gesetzte Zahl zusammengesetzt sey, oder womit na®?4' man sie aufheben könne, lasst sich oft schwer, oft leichter entscheiden. Man kann folgende«»»tw Regeln merken. < 1) Eine jede gerade Zahl läßt sich mit 2 aufheben, oder ist unter andern auch aus 2 zusam­ men^

9»

mit A.

Sechste- Hauptstück.

mengesetzt. Gerade Zahlen sind, die sich aufo, 2, 4, 6 oder 8 enden; j. E. 360, 362, 3614) 3706, 5768. 2) Eine Zahl, deren einzelne Ziffern, wenn man sie zusammen addirt, mit 3 sich aufheben lassen, kann auch selbst mit 3 aufgehoben wer« deN. Z. C- 55452 kann mit 3 aufgehoben wer­ den ; denn wenn ich die einzelnen Ziffern dieser Zahl zusammen ahdire, nämlich 5 und 5 und 4 und 5 und 2, so kommen 21 heraus, und 21 ist nut 3 theilbar. Hingegen wenn ich die ein­ zelnen Ziffern einer Zahl zusammen addire, und die herauskommende Summe ist nicht mit 3theilbar, so kann die Zahl selbsi-ebenfalls nicht mit 3 aufgehoben werden; z. E. die Summ? der einzelnen Ziffer von 45784205 macht 35; 35 ist durch 3 mntheilbar, also auch die Zahl selbst. Wenn man Eine von den Ziffern um 1 erhöhte (für 4 5 setzte, oder für 5 6 re.), daß die Summe 36 würde) so wäre auch gleich die Zahl mit 3 theilbar; nämlich 55784205, oder 46784205, oder 45884205, oder 45794205, oder45785205,0^1.-45784305, ober45784215, oder 45784206.

Eben so viel als von der Summe der einjelnen Zah­ len »ach der Division mit 3 übrig bleibt, wird auch' allemal von der Zahl selbst »orig bleiben, $. E. von 4^784205 mnß 1 übrig bleiben/wenn man sie mit 3 dividnl; denn von 3$. als der Summe, bleibt - übrig. Dey Zusammenzählung der Summe der Ziffern kann man 3, 6 und 9 überhüpse»; z T- wenn die Zahl hieß« 437862987160963, so sagt man nur 4 und 7 und 8 und $ und.8 mit» i sind 335 da nun 33 mit 3 aufgeht, so muß auch die Zahl selbst damit aufgehe», weil es von" den überhüpsten oder ausgelassenen Zahlen nicht zwei, selhaft ist, daß sie mit 3 aufgehe». Auch kann mau immer wieder von fern zu zahlen anfanqen, sobald man im Zählen eine Zahl bekömmt, die mit 3 theilbar ist; z L. 42780936219. Hier kann man sagen 4 und 2 ist 4, 7 und 8 ist is, 6 und r ist 8 und 1 ist 9, und so ist erwiesen, daß die Zahl mit 3 aufgehe.

,)

Von Heilbaren u. untheilbaren Zahlen rc. 93 3) Wenn die Summen der einzelnen Ziffern m,t »• mit 9 theilbar ist, so wird die Zahl selbst mit 9 aufgehen. Z. E. 47052, 834520743, 21684?520163043.

Hier darf man aber keine andre Ziffer überhüvfeir, «ls 9. So viel von der Summe beym Dividiren übrig bleibt, f» viel wird auch von der Zahl selbst allemal übrig bleiben. Wen» eine durch y theiiLare Zahl im Znsamnienzählen herauskvmmt, darf man (wie bey 3) von neuem Anfängen. 4) Eine gerade Zahl, deren zusammen ad- '«ne, bitte Ziffern mit 3 theilbar sind, geht mit 6 auf; z.E. 984306 ist eine gerade Zahl, und die Sum­ me, wenn man 9, 3 und 6 überhüpft, betragt 12, und ist durch 3 theilbar; also geht sie mit 6 auf. Auch ist deutlich, daß jede gerade-Zahl, von mit * deren Ziffern die Summe mit 9 theilbar ist, mit J8 aufgehen müsse, z. E. 2641,4.

5) Eine Zahl, deren beyde Endziffern mitwit* 4 aufgehen, geht ganz mit 4 auf; die beyden. Endziffern müssen aber nickt einzeln, sondern als «ine aus 2 Ziffern bestehende Zahl betrach­ tet werden. ,Z. E- in 8435196 heißen die bey­ den Endziffern sechs und neunzig, 96 ist durch 4 theilbar (4 in 9 2 mal, bleibt 1, 4 in 16 4 mal, geht auf)., also auch die ganze Zahl. Folglich gehen auch auf 434700, 5704, 64352. Hin­ gegen gehen nicht mit 4 auf 8554/ 9754, 89702, 59246.

Man kann sich auch die Regel machen: wenn vor der Endziffer o, 4, 8 eine gerade, vor 2 und 6 hingegen eine ungerade vorhergeht, so ist die Zahl durch 4 theil, bar; , außerdem aber nicht. 6) Wenn die 3 letzten Ziffern einer Zahl mit 8 aufgehen, so geht die ganze Zahl mit 8 auf. Z. C. in 8974568 gehen die 3 letzten Ziffern mit

94

Sechstes Hauptstück.

8 auf (8 iu 56 7, 8 ttt 8 1 mal), also die ganze Zahl. In 18974 gehe« die 3 letzten Ziffer« nicht mit 8 auf, also auch die ganze nicht, mit R.

Man darf auch die beyden vorletzte» nufr mit 4 diobViren, ru dem Uebri-gebliebnen die letzte hinzunrhme» (nicht addiren) und zusehen, ob den» da- letzte mit t aufgeht. Z. C. 36934; hier sind die beyden vorletzte« 98, mit 4 dividirt bleibt 1 übrig, zur übrig gebliebe, nen a die letzte Ziffer 4, heißt zusammen 44, 24 geht mit 8 auf, also auch die ganze Zahl.

Mi»»-.

7) Wenn die beyden letzten Ziffern einer Zahl mit 4 aufgehen, und die Summe dtr Zip­ fern durch 3 theilbar ist, so geht die ganze Zahl mit i2 auf, z. E. 486732. Hier geht 32 mit 4 auf, die Summe betragt, wenn man 6 und 3 ausläfft, 2i; dies ist durch 3 theilbar, als» das Ganze durch 12.

mit 34.36 Hieraus ist klar, daß wenn die 3 letzten Ziffer» ek» «no 72. ner Zahl mit 8 und die Summe aller Ziffern mit 3 theil» dar ist, das Ganze mit 24 ausgehe, z. E. 83472. Fen­ ner wenn die beyden letzten Ziffern durch 4 theilbar find, die Summe aber durch -, so läßt sich da- Ganze durch 36 aufheben, z. E. 13417». Gehen die drey letzte» Ziffer» mit 8, die Summe aber mit 9 auf, so ist da» Ganze durch 7» theilbar; z. E. 13137». mjt $,w,

,8) Alle Zahlen, die fich mit 5 schließen, gehen mit 5 auf, z. E. 715; alle, die am Ende Eine Null haben, mit 10; die mit zwey Nulle« schließenden mit 100; die auf3 mit iooou.f.w.

mit 7.

9) Ob eine Zahl, die aus mehr als 3 Ziffer« besteht, mit 7 aufgehe oder nicht, kann man eben so geschwinde oder noch geschwinder durch wirkliches Probiren sehen, als aus Kennzeichen; besteht die Zahl aber nur aus 3 oder 2 Ziffern, so verfährt man, wie folget. Man multiplieirt die letzte Ziffer mit 2, was herauskömmt, zieht man von den beyden vorletzten Ziffern ab. Bleibt nichts übrig, so geht die Zahl mit 7 auf; bleibt

Von Heilbaren n. uncheilbaren Zahlen «!♦ 95 bleibt eine mit theilbare Zahl,Übrig (7, 14, 21/ 28/ 35/ 42/ 49/ 56, 6z,H>, 77, 84/

91, 98), so geht sie ebenfalls auf; ist aber bas Uebrigbleibende nicht mit 7 theilbar, so geht auch die Zahl nicht mit 7 auf. Wenn ich 931 habe, so sage ich: 2 mal 1 ist 2,2 von 93 bleibt 91, 91 ist durch 7 theilbar, also 931 auch. 189: 2 mal 9 ist 18, 18 von 18 geht auf, also tst 189 durch 7 theilbar. Wenn sich die verdop^ pelte letzte Zahl nicht von den beyden oder der Einen vorletzten abziehen laßt, so zieht man die vorletzten von ihr ab; übrigens ist alles eben so, als vorher gezeigt ist. Z. 98: 2 mal g 16 von 9 kann ich nicht abziehen, aber 9 Sv» 16 bleibt 7, 7 ist durch 7 theilbar, also 98 eben« falls. Ferner 119: 2 mal 9 ist 18, 11 von ig 7, also geht es mit 7 auf. 10) Ob eine Zahl mit n aufgehe, kann mir ». man auf folgende Art sehen. Man addirt di« «rste, dritte, fünfte, siebente, kurz alle Ziffern der ungeraden Stellen zusammen und merkt sich die Summe; hernach addirt man auch die gera­ den Ziffern, nämlich die zweyte, vierte, sechste «. s. w. Sind beyde Summen gleich, so geht die Zahl mit 11 auf. Ist aber die eine kleiner, die andre größer, so zieht mau die eine von der andern ab; bleibt alsdenw 11 oder eine andre durch 11 theilbare Zahl (22, 33 rc.), so ist das Ganze ebenfalls mit 11 theilbar. Z. E. in der Zahl 8948785494 machen die ungeraden Ziffer» (8, 4, 7/ 5f 9) jusammen 33, die geraden (9, 8, 8, 4, 4) ebenfalls, also muß sie mit 11 auf­ gehen. In 8245785493 machen die ungerade» 23, die geraden22; der Unterschied ist 11, als» ist die Zahl durch 11 theilbar. In 92837465545 machen die ungeraden Ziffern 40, die geraden 18# der Unterschied ist aa, also geht sie mit n auf. Mm»

96 Dmeichmft brr schweren aufamen -e,ehren Zahlen blS liaO.

Sechstes Hauptstück.

Man thut Mch wohl, wenn man sich ein Verzeich, niß der schweren zusammengesetzten ungeraden Tablett Merkt, die Md et mit 2 noch mit 7, noch mit ii aufgehen. Hier ia ist dergleichen bis3 hqo ' - . -'-—33X 13. 221 iz iz X 17. 347 ~ 13 X 19. 289 17 X 17. Z6I 19 x 19. 299 = J3 X 2Z. 333 = 17 x 19. X 29. 391 — 17 X 2Z. 403 13 X ZI. 377 = 13 481 ZZ IZ X Z7. 493 17 x 29. 437 = 19 X 23* I Zi X 41» 529—23 X 2Z. 527 — 17 X ZI 533 589 551 = 19 X 29- 559 — 13 X 43. 19 X 31. 611 ZZ 13 X 47. 629 ZZ 17 X Z7. 667 23 X 29. 697 — 17 x 41. 7ö 3 689 — 13' X 53 19 X 37» 713 = 23 X 3i. 731 — 17 X 43. 767 13 X 59. 779 — 19 X 4i. 793 — LZ X 61. 799 17 X 47. 851: 817 — einander. Die Ordnung ist willkührlich. Un­ ter jeder Reihe macht man einen Strich, und allemal die letzte Reihe (nicht eine der obern) wird dividirt. Z. C. es sollte 3978645 mit 72 dividirt, 72 aber in 8 und 9 zerfallt werden, so sieht das Beyspiel so aus: G 3 Z97-

los Siebentes Hcmptst. Vom praktischen 3978645 x 72. 31829160 (8 286462440 (9 Oder wenn man mit 9 zuerst multiplicirt:

3978645 x 72. 35807805 (9 286462440 (8 Ein anderes Beyspiel; 17452 multiplicirt mit 125. 17452 x 125. 87260 (5

436300 (5 2181500 (5 Wenn jemand mit n, 12, 16, 21, 44 und 31 nach Anleitung des grißernSin mal Eins (S. 60 ff.) nuiltu pliciren gelernt hat, so kann er auch diese Zerfällung gebrauchen; $. E. 3987495 x 144

47849952 (12. 574199524 (12. . 5987465; x 52». 35924791» (6. 3951727098 (11. 31613816784 (8. 31613816784 x 576. »845-4351056 (9. 4552389616896 (16.

18209558467584 (431613816784 x 576. 758731602816 (24. 18209558467584 (24.

316,

oder verkürzten Multipliciren.

103

51615816784 X 576. 9484'452)52 (5. $'69048702112 (6.

18209558467584 (Zr. 15806908592 x 756. zz1945076252 (21. " 1991670457^92 (6 11950022744552 (6

Beyspiele dieser MultipUcation kommen in der wei­ tern Ausübung der Rechenkunst häufig vor, und efonuHt dabey bloß auf die Fertigkeit im Zerfallen an, die man aus Hauptst. 6, §. 4. sich erwerben muß. §.

3.

Wenn man durch plus oder minus zerfallt, 3»w* so macht man es anfänglich, wie im vorigen inittdft Paragraphen gezeigt ist. Hernach wenn es plus i heißt, rechnet man den Multiplicandus zur »>>--» letzten Reihe zu; heißt es minus i, so zieht man den Multiplicandus von der letzten Reihe ab. Heißt es aber plus a, plus 3 rc., oder minus 2, minus 3 rc., so multiplicirt man den Multiplicandus (nicht die letzte Reihe) mit - oder 3 rc., und zieht, wenn es minus heißt, das Factum ab, wenn es aber plus heißt, rechnet man es zu. Z. E. 984376 x 7;.

7875008 (8. 7087507s (9. 7 «859448 (4-1«

1 9 5 8 4 9 7 x 53 l r 7 5 c> 9 8 2 (6 i Q 5'7 5 8 8.3 8 (9 103800341 (— i

G 4

r-7» •

ro4.-Siebenkes Hauptst.

Vom practifchen

897465Z2 x 8Z

807718788(9 7269469092 (9 179493064 (4. q 7448962155

9 843765283x47 , 6 8 9 o 6 3 5 6 9 8 i (7

4 8.2, 3,4.4.4 9886 7 (7 1968753°566 (— 3 4626569683 0 1 98437648 x 123 10^2814128 (ii

II9,O9554°8 (ii 196875296 (4- 3 12107830704

93785469 x 65r. 844069221 (9 7596622989 (9

60772983912 (8. 281356407 (4- 3, 61054340319 3 5 7 6 8 4 2 5 9 3 x 389^

28614740744 (8, 2 ö o 3 o 3 i 8 5 '2 o 8 (7« T 4- 0 2. 1.2 2.2 9.6, 4. 5. 6 (7. x 10730527779 (— 3,

i 3 9 i 3 9 i 7 6 8 .6 7 7 6b diese practische Art durch plus und minus in «mbenaimtr» Zahlen gleich fast ehe» so weitläuftig, .tu, weile«

oder verkürzten Multipliciren.

105

weilen gar weitläustiger ist, al« die ordentliche Mul« tiplication, so ist sie doch nicht ohne Nutzen. Zuerst übt man sich hier im Vorau« zu dem Multipliciren be/ nannter Zahlen, wo das Multipliciren mit plus und minus viele Vortheile schafft. Zum andern hat man oft mit einer Zahl multiplicirt, und sc*’ gleich darauf den Multiplicandu« mit einer andern multipliciren, die nicht viel großer oder kleiner ist; da kann man sich alsdenn mit dem plus und minus gleich helfen. Z. E» man hatte 37768427'93 mit 593 multiplicirt, und 1403122296476 heraus bekommen; nun sollte man eben dieselbe Zahl mit 389 multipliciren: so multiplicirt man sie mit 3 und zieht das Factum von 1402122296476 ab, so hat man seinen Endzweck ohne viele Mühe er­ reicht.

Man kann das plus oder minus auch in der Mitts eilte» Beyspiels anbringen. I. E. weil 124 au« 2 und 62 zusammen gesetzt ist, 62 aber aus 7 X 9 — I, so würde man mit 124 auf folgende Art multipliciren sinnen. 39876743- y 124, 2791378024 (7.

37122222216 (9. 24723476784 c— 1, 49446915768 (2.

Dahin gehört auch, wenn da- plus oder minug »war am Ende steht, sich aber doch nicht auf die ober« sie Reihe oder den Multiplicandus, sondern -ns ein« der darunter stehenden bezieht, I. E, 3987674;- x 124. 797730864 (2,

7782716048 (7,

70244444432 (9,

49446913768 (—1. Hier ist nämlich die Weite Reihe von der viertel« abgezogen, weil sich minus 1 nicht auf den Multipli, eandus bezieht (denn dieser wird nicht mit minus je« fallt, sondern in 2 und 62), sondern auf da« Factum mit 2, welches noch mit 62 (oder 7 — 1) zu mul« liplichen ist, GZ St t

xo6 Siebentes Hauptst. Vom praktischen §. Dritte

»i“em m&e LktiA-

4«

Bey dem Multipliciren vermittelst der verhaltnißmaßigen Zerfalluni 44 275467828 (7 Zc-8 ZI8Z97856 In dieser Art gehört auch einigermaßen folgendes Wenn man ein Beyspiel nach der ordentlichen Art machte und es finden sich ein paar Zahlen, die aus der vorher, gehenden zusammvugesetzt sind, so kann man mit einer Reihe anstatt zweyer auskommen. Beyspiele werden dies am besten deutlich machen. Gesetzt, mir wird fol­ gender Multiplicator gegeben: 64324, so ist 32 8 mal so viel als 4, 64 aber noch einmal so viel als 32. Man wird also das Beyspiel so aufsetzen können: 89437625 64324 357750500 •2862004000 (g 5722008000 (L 5752-857-05«)

oder verkürzten Multipliciern.

X07

In der Zahl 749 ist 49 7 mal so viel als 7. Man wird also mir749 auf folgende Art mulripliciren sinnen; 78943769 _ _ _ _ _ _ 749 552600;83 8863244681 59128882981 In derZahl 17573; ist 35 5 mal so viel als 7, und 175 5 mal so viel als 35. Ran multiplicirt also auf svl-ende Art: 9876352 175735 69'34464 8456723-0 (f 1718361600 (5 1/85620718720 §.

5-

Zuweilen kann man sich auch durch Dividiren die Multiplikation erleichtern. Dies findet besonders bey den Zahlen 25 und 125 statt. 25 r00; hier wird also auf gleiche Art mit 7 dividirt, «. s. w.

Man kann die Division auch zuweilen mitten in ei, «em Beyspiel gebrauchen. I. E. man sollte mit 459 multi viictreit, so darf man (weil 45 die Halste von 90 ist) nur erst mit 9 multiplieiren, sich an das Factnm eine Null denken und dann mit r dividiren; doch muß man sich wohl in Acht nehmen, nicht falsch unter»«# schreiben, Z. E. $47976 459 313‘m ») 15659)70 1597-5574' Mit 94k wird es nicht schwerer sey«, 89756? 1 945 8078067 3) 4°39o??5 848‘97O?f

3« folgendem Beyspiele ist die Division «nd dl« »erhältnißmäßige Multiplieation vereinigt. Man be­ merke nur, daß 3$ die Halste yon 70, und 175 5 Ml st viel ist, als 35. '

»der verkürzten Multiplicirm.

»09

9876?5» 17S73S 69134464 (7 ») >347672320 1728361600 ($ 27^620718720

§. 6. Eine Art von Multiplication durch minus, nw wobey das Subtrahiren das Hauptstück ist, be- eS? steht darin, wenn man an eine Zahl einige Nullen hangt, und sodann mit einer gewissen Zahl multiplicirt, davon aber wieder ein andres Factum subtrahirt, und so das Verlangte her-ausbringt. Diese Art läßt sich bey allen Multiplicatoren anbringen, die Nahe unter einem Hundert, Lausend rc. sind. Z. E. 306 ist nahe unter 400, 3993, nahe unter 4000, 59988*11«# he unter 60000, Will man nun mit einer sol­ chen Zahl eine andere (z. E. 984376) multiplieiren, so multiplicirt man zuerst mit 400, 4000, 60000, welches bald geschehen ist, hernach mit der Zahl, die noch zu derjenigen fehlt, mit wel­ cher man zuerst multiplicirt hat. (Z. E. an 396 fehlen 4, ehe es400werde«; an 3993 fehlen7; ün 59988 fehlen is.) Diese letzte Reihe sub­ trahirt man von der ersten, und so erhalt man, vsis man suchte. Z. E. 9 8 4 3 7.6 x 3 9 6.

3,9* 3*7 5.0.4.0.0 (400 3 9 3, 7 5 o 4 (4 389812896.

9 8 4 3 7 6 x 399z

3 9 3 7*5* 0 4.0.0.0, (400O 6 8 9 o 6 3 ?' (7

3930613368 S84-

iio SiebentesHauptst. Vompractischen 9 8 4 Z 7 6 x 59988 5 9 o 6 3.5 6. o. o. o. o (60000 _______ ii8ia5ig (12

59050747488. Wenn sowohl der Mnlkiplicandus als der Multiplikator nicht weit von 100, 1000,10000, i00000 oder sonst einer ähnlichen Zahl, die aus einer 1 und mehrer« Nullen bestehet, entfernt ist, so kann man fleh die Mühe des Multiplicirens noch mehr erleichtern. Z. E. man sollte 93 mit 92 multipliciren, so stehet man, daß das erstere 7, das andere 8 von 100 differire. Manjsetzt dies so auf:

100. 93,79218..

Nun multiplicirt man die beyden Differen­ zen (7 und 8) mit einander (7 mal 8 ist 56), setzt das Factum grade unter die Faktoren, subirahirt die kleinere Differenz (7) von dem klei­ nern Factor 92 *), und setzt den Nest (85) ne­ ben das vorher geschriebene Factum zur sinken, doch so, daß die letzte Ziffer gerade unter der oben hiygesetzten 1 zu stehen kömmt. Bleiben Stellen leer (welches aber in diesem Beyspiel nicht ist), so füllt man fle durch eingerückte Nul­ len. Das ganze Beyspiel würde also so aus­

sehen: 100. 93 7« 92 8.

8556

Noch

*) Oder auch die größere Differenz von derr^ kleinern Saclvr. Der Rest ist in Heyden Fallen gleich.

öder verkürzten Multipliciren. Noch einige Beyspiele.

m

Zuerst 995 x 982.

1000.

993 7982 18. 975126

Ferner 9998 x 9993. 10000.

■----------In diesem Beyspiel sind r Nul9998 2. len einqeruckr, weil a Stetten teer 9993 7» bleiben. 99910014.

Endlich 99982 x 99880.

100000

99982 ■ 18.

Hier ist nur Eine Vnll ringerückt.

99880 120. 9986202160

Achtes Hauptstück. Vom practischen oder verkürzten Dividiren.

§. 1. Die beyden vornehmsten Arten des practischen arten w

Dividirens geschehen durch das Zerfallen und Mn«» durch die Multiplication. Man kann aber auch vieittn*drittens durch die Aufhebung des Divisors und Dividendus gegen einander, und viertens durch die Vergrößerung des Dividendus oft auf eine leichte Art j« seinem Zwecke gelangen.

öder verkürzten Multipliciren. Noch einige Beyspiele.

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Zuerst 995 x 982.

1000.

993 7982 18. 975126

Ferner 9998 x 9993. 10000.

■----------In diesem Beyspiel sind r Nul9998 2. len einqeruckr, weil a Stetten teer 9993 7» bleiben. 99910014.

Endlich 99982 x 99880.

100000

99982 ■ 18.

Hier ist nur Eine Vnll ringerückt.

99880 120. 9986202160

Achtes Hauptstück. Vom practischen oder verkürzten Dividiren.

§. 1. Die beyden vornehmsten Arten des practischen arten w

Dividirens geschehen durch das Zerfallen und Mn«» durch die Multiplication. Man kann aber auch vieittn*drittens durch die Aufhebung des Divisors und Dividendus gegen einander, und viertens durch die Vergrößerung des Dividendus oft auf eine leichte Art j« seinem Zwecke gelangen.

irr

AchtesHauplstück^ Vom praktischen

§. ersteÄrt Im praktischen Dividiren läßt sich Nur die «»«en?"' eigentliche Zerfallung (HaUptst. 6. §. 4.), nicht aber die verhaltnißmaßige oder durch plus, sel­ ten die durch minus gebrauchen. Zu bemerken ist, wenn der Dividendus aufgeht, weiter nichts ; man dividirt mit einer der zerfallenden Zahlen nach der andern. Z. (£.‘24:7869433 24:7869432 3) 2623144

. Darauf zieht man de» Quotienten von den abgestrich^ nen Zahlen ab, wobey 673 übrig bleibt, welches detz Zähler des Bruchs wird. 5-5:87694; g 6 .?) 175 r9 - ; t 4 6 2 ’ ° “ I l6 9 r 5 8s4 8 7 i6 7 o 3 6 648 4) 161

Beym Dividiren mit 7 bleibt 6 übrig; diese zu 48 gesetzt geben 648, davon den 4«n Theil abgezogen, bleibt 486.

7875 : 9 8 4 ; 7 6 8 4 7) 1125 1406252 6. L

♦) DaA Ue6rionrb(i