Aufbau des Zahlensystems, Teil I: Ganze Zahlen [version 1999-11-09 ed.]

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Aufbau des Zahlensystems Teil I: Ganze Zahlen

Bruchstuckhafte Notizen zur Vorlesung von Prof. Dr. W.-D. Geyer, SS 1998

Mathematisches Institut der Universitat Erlangen-Nurnberg

Literatur 1. Geistesgeschichte Helmut Gericke: Geschichte des Zahlbegris , BI-Hochschultaschenbucher 172/172a, Bibliographisches institut Mannheim 1970 Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen , Campus, Frankfurt 1986, 2 1987 Karl Menninger: Zahlwort und Zier. Eine Kulturgeschichte der Zahl , 2 Bande, Vandenhoeck&Ruprecht, Gottingen 2 1957/1958. Christoph J. Scriba: The Concept of Number , B.I-Hochschulskripten 825/825a, Bibliographisches Institut, Mannheim 1968. Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 1: Arithmetik und Algebra , vollstandig neu bearbeitet von Kurt Vogel, Karin Reich und Helmuth Gericke, Berlin: de Gruyter 4 1980 2. Mathematische Grundlagen Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? , Vieweg, Braunschweig 1888, 9 1961 Heinz-Dieter Ebbinghaus & Hans Hermes & Friedrich Hirzebruch & Max Koecher & Klaus Mainzer & Alexander Prestel & Reinhold Remmert: Zahlen , Grundwissen Mathematik 1, Springer, Berlin 1983, 2 1988, 3 1992 Edmund Landau: Grundlagen der Analysis , Leipzig 1930, Nachdruck Darmstadt 1963 J. H. Conway: On Numbers and Games , Academic Press, London 1976

Inhalt Seite

0. Im Anfang war die Zahl

1 1 2 3 6 11 13 16 18

1. Die Namen der Zahlen

19 19 20 22 23 25 27 29 32 34 37

2. Die Notation der Zahlen

39 39 43 45 47 50 50 53 63

0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8.

Faust Spengler Pythagoras Die Mathematik der Pythagoreer Zahlbegri und Zahlentheorie der Pythagoreer Die Entdeckung der Irrationalitat Modernere Vorstellungen Alles ist Zahl

1.1. Eins-Zwei-Viele 1.2. Die Zahl zwei: Singular-Dual-Plural 1.3. Flexion der Zahlen 1.4. Die Zahlgrenze 4 1.5. Hohere Zahlen 1.6. Das Funfersystem 1.7. Die Zahlen von 10 bis 20 1.8. Das Dezimalsystem 1.9. Das Zwanzigersystem 1.10. Das Sexagesimalsystem

2.1. Die romischen Zahlen 2.2. Zahlenalphabete 2.3. Das Rechenbrett 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4.

Die Rechentafel aus Salamis Etruskische und romische Abaci Rechenbretter im Mittelalter Deutsche Rechenmeister der Renaissance I.

2.4. Der Handabakus = Taschenrechner

2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Die Zahlsysteme des Archimedes und Apollonios Das babylonische Stellenwertsystem Die Er ndung der Null in Babylon Die indischen Zahlen

2.8.1. Die Liebe der Inder zu groen Zahlen 2.8.2. Das indische Dezimalsystem 2.8.3. Die indischen Zahlen im arabischen Reich

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland 2.9.1. 2.9.2. 2.9.3. 2.9.4. 2.9.5.

Die Adaption des indischen Zahlsystems Leonardo Pisano Fibonacci Die Schwierigkeiten mit der Null Rechenmeister der italienischen Renaissance Deutsche Rechenmeister der Renaissance II.

2.10. Heutige Zahlnotationen

2.10.1. Das g -adische Zahlsystem 2.10.2. Das binare Zahlsystem 2.10.3. Andere Zahlsysteme

67 69 71 73 74 78 81 84 86 88 91 95 97 102 102 104 112

Aufgaben zu Kapitel 2

117

3. Die vollstandige Induktion

121 123 127 127 128 128 129 131 132 134 137 139 140 142 143 145

3.1. Alte Schulaufgaben 3.2. Die Peano-Axiome 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.

Zahl und Zeit Ordinalzahlen, Kardinalzahlen Die Axiome von Dedekind-Peano Bemerkungen zu den Axiomen

Aufgaben zu 3.2 3.3. Verschiedene Arten der Induktion 3.4. Beweisen mit vollstandiger Induktion 3.5. Eine Induktionsfalle 3.6. Die Anordnung der naturlichen Zahlen 3.6.1. 3.6.2. 3.6.3. 3.6.4.

Der Kettenkalkul von Dedekind Konstruktion naturlicher Zahlen nach Dedekind Anordnung der naturlichen Zahlen nach Dedekind Das Axiomensystem von Erhard Schmidt

3.7. Naturliche Zahlen als endliche Kardinalzahlen 3.8. Konstruktion durch vollstandige Induktion 3.8.1. 3.8.2. 3.8.3. 3.8.4. 3.8.5. 3.8.6.

Das Rekursionsprinzip Primitiv rekursive Funktionen Primitiv rekursive Relationen Rekursive Funktionen Die Fakultat Binomialkoezienten

Aufgaben zu Kapitel 3

4. Die Grundrechenarten

4.1. Addition der naturlichen Zahlen Aufgaben zu 4.1 4.2. Subtraktion der naturlichen Zahlen 4.2.1. Das Subtrahieren 4.2.2. Das Drei-Kruge-Problem

4.3. Negative Zahlen 4.3.1. Zur Geschichte der negativen Zahlen 4.3.2. Konstruktion der ganzen Zahlen

Aufgaben zu 4.2/3 4.4. Multiplikation der naturlichen Zahlen 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.4. 4.4.5.

Illustration der Rechenregeln der Multiplikation Formale Beweise der Rechenregeln der Multiplikation Produktbildung in Z Primzerlegung p-adische Bewertung

Aufgaben zu 4.4 4.5. Division mit Rest 4.5.1. 4.5.2. 4.5.3. 4.5.4. 4.5.5.

Quotient und Divisionsrest Der Euklidische Algorithmus Die Restklassen modulo n Kongruenzen Vom Nutzen der Kongruenzrechnung

Aufgaben zu 4.5 4.6. Potenzieren

146 148 148 151 153 155 156 157 159 169 169 172 183 183 184 189 189 194 197 201 202 203 204 206 209 211 217 217 218 221 222 227 229 234

Aufgaben zu 4.7

235 239 241 244 245 247 250 250 252 254 257 259 260 262 263 265

Sachregister Zahlregister Geographisches Register Personenregister

269 278 280 285

4.6.1. 4.6.2. 4.6.3. 4.6.4. 4.6.5.

De nition und erste Eigenschaften der Potenzen Die Folge der echten Potenzen Nicht geltende Gesetze fur das Potenzieren Rechenoperationen hoherer Stufe Iterierte Potenzen

Aufgaben zu 4.6 4.7. Catalansche Zahlen 4.7.1. 4.7.2. 4.7.3. 4.7.4. 4.7.5. 4.7.6. 4.7.7. 4.7.8.

Nichtassoziative Verknupfung von n Zahlen Das Zahlen binarer Baume Polnische Notation Stochastische Interpretation Rangierstapel Nichtschneidende Sehnen im n -Eck Triangulierung von n -Ecken Potenzketten

0.1. Faust

1

0. Im Anfang war die Zahl In diesem einleitenden Kapitel soll begrundet werden, warum ein altgriechischer Mathematiker, z.B. ein Pythagoreer oder Neupythagoreer, den Beginn des Johannesevangeliums mit den Worten der Kapiteluberschrift interpretiert hatte. Dazu betrachten wir die Rolle, die der Zahl in der altgriechischen Mathematik und Philosophie zukam. Denn die Kultur der alten Griechen hat das abendlandische Denken an so vielen Stellen gepragt, da wir diesen Ein u auch beim Zahlbegri vermuten konnen. Diese Erwartung wird nicht getauscht.

0.1. Faust Den ersten Satz des Johannesevangeliums

>En ‚rq¬ ªn å lìgos

versucht Goethes Faust in seinem Studierzimmer so zu u bersetzen: Ges…rieben ‚eht: \Im Anfang war da W o r t !" Hier ‚o†' i… s…on! Wer hilft mir weiter fort? I… kann da W o r t so ho… unmšgli… s…Š‹en, I… mu e ander Ÿberse‹en, Wenn i… vom Gei‚e re…t erleu…tet bin. Ges…rieben ‚eht: \Im Anfang war der S i n n ." Bedenke wohl die er‚e Zeile, Da deine Feder si… ni…t Ÿbereile! I‚ e der S i n n , der alle wirkt und s…a„t? E sollte ‚ehn: \Im Anfang war die K r a f t !" Do…, au… indem i… diese nieders…reibe, S…on warnt mi… wa, da i… dabei ni…t bleibe. Mir hilft der Gei‚. Auf einmal seh i… Rath Und s…reibe getro‚: \Im Anfang war die T h a t !"

Die faustischen Zweifel an der U bersetzung des griechischen Wortes lìgos (logos) lassen sich auch theologisch begrunden, die Bedeutung des Wortes lìgos in der neuplatonischen Philosophie und der sich entwickelnden christlichen Dogmatik ist schillernd. In der klassischen griechischen Wissenschaftslehre aber ist seine Bedeutung eindeutig: lìgos ist terminus technicus fur das V e r h a l t n i s zweier gleichartiger geometrischer Groen, wie Strecken, Flachen etc, zueinander. Solche Verhaltnisse 1) werden in der Schule des Pythagoras durch Zahlen ausgedruckt. In pythagoreischem Geist hatte Faust ubersetzen mussen: Im Anfang war die Z a h l ! 1) lìgos bedeutet u.a. Vernunft

(vgl. die Worter Logik oder logisches Denken), und wird dementsprechend ins Lateinische als ratio ubersetzt. Daher kommt die Bezeichnung rationale Zahlen fur die Bruche = Verhaltniszahlen.

2

0. Im Anfang war die Zahl

Um diese U bersetzung zu begrunden und ihren geistigen Gehalt zu verstehen, werden in dieser Einleitung einige Gedanken uber die Pythagoreer, die ersten Zahlentheoretiker, entwickelt.

0.2. Spengler Fur einen solchen Ruckblick in die Vergangenheit vor zweieinhalb Jahrtausenden ist die Einleitung der beste Platz: Bevor wir in den technischen Aufbau des Zahlensystems verwickelt werden, sei ein vormathematischer Blick auf die Materie gestattet. Man kann z.B. fragen: Was sind die Zahlen, woher kommen sie, wie werden sie ein wissenschaftlicher Gegenstand? Oswald Spengler hat in seinem beruhmten Buch Der Untergang des Abendlandes (Munchen 1918), im ersten Kapitel "Vom Sinn der Zahlen\, gesagt: Eine Zahl an sich gibt es nicht und kann es nicht geben. Es gibt mehrere Zahlenwelten, weil es mehrere Kulturen gibt. Wir nden einen indischen, arabischen, antiken, abendlandischen Typus des mathematischen Denkens und damit Typus einer Zahl, jeder von Grund auf etwas Eigenes und Einziges, jeder Ausdruck eines anderen Weltgefuhls, jeder Symbol von einer auch wissenschaftlich genau begrenzten Gultigkeit, Prinzip einer Ordnung des Gewordenen, in der sich das tiefste Wesen einer einzigen und keiner anderen Seele spiegelt, derjenigen, welche Mittelpunkt gerade dieser und keiner anderen Kultur ist. Es gibt demnach mehr als eine Mathematik. : : :

Heute, in unserer klein gewordenen Welt, klingen diese Gedanken fremd. Aber partiell mu man Spengler wohl zustimmen, solange man seine Thesen auf den vormathematischen Begri "Zahl\ bezieht. Das im vorgeschichtlichen Raum sich abspielende Entstehen von Namen fur die Zahlen, die mythische Wesenhaftigkeit von Zahlen, die spater einsetzende Zahlensymbolik, Gematrie und Kabbala, das ist von Kulturkreis zu Kulturkreis verschieden 2) . Aber selbst hier ndet man uberraschende Parallelen, die noch nicht aufgeklart sind: Bei den Pythagoreern (und schon vor ihnen) sind die ungeraden Zahlen mannlich, die geraden weiblich; bei Hippokrates erfolgt die erste Kindsbewegung im Mutterleib bei Knaben 3 Monate, bei Madchen 4 Monate nach der Zeugung, 7- und 9-Monatskinder seien lebensfahiger als 8-Monatskinder. Aber gleiches ndet sich noch ausgepragter bei den Chinesen: Die ungeraden Zahlen entsprechen dem tatigen, mannlichen Prinzip Yang, die geraden Zahlen dem nachgebenden, weiblichen Prinzip Yin. In einem Text der Han-Zeit 3) heit es, und ahnliches konnte bei den Pythagoreern stehen, siehe das erste Aristoteles-Zitat unter 0.4.3): Himmel und Erde, Yin und Yang, Holz, Feuer, Erde, Metall und Wasser, das sind neun; zusammen mit dem Menschen sind es zehn; die Zahl des Himmels ist damit vollstandig.

Bei den Chinesen wie bei den Griechen fallt auf, da die Eins (das Eine, der Urgrund, der Gott) im vormathematischen Gebrauch eine Sonderrolle spielt, sie kann mannlich wie weiblich, ungerade wie gerade, sein und wird nicht zu den Zahlen gerechnet, sondern als Ursprung der Zahlen. Doch ebenso leicht ndet man Unterschiede: Bei den Griechen wird die 3 als Zahl des Mannes, 2) 3)

vgl. hierzu das Buch von Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen , Campus, Frankfurt 1986, 2 1987 oder das altere Werk von Karl Menninger: Zahlwort und Zier. Eine Kulturgeschichte der Zahl , 2 Bande, Vandenhoeck&Ruprecht, Gottingen 2 1957/1958 Tung Chung-shu, 2. Jh.v.Chr., in Fung Yu-Lan: A History of Chinese Philosophy I,II, Princeton 1952/ 1953, II,19

0.2. Spengler

3

die 4 als Zahl der Frau bezeichnet, in anderen Kulturkreisen ndet man auch genau die entgegengesetzte Zuordnung. Der Vergleich der Zahlennamen in verschiedenen Kulturen, ja z.T. sogar in verwandten Sprachen, zeigt deutlich ausgepragte Eigenheiten in der Gruppierung der Zahlen zu groeren Einheiten. Die auf der Umrechnung zwischen Buchstaben und Zahlen beruhende Interpretationskunst, bei den Rabbinern Gematrie , bei den Dichtern der romischen Kaiserzeit Isopsephie , bei den Arabern Hisab al Dschumal , im Heiligen Romischen Reich deutscher Nation Wortrechnung genannt, ist naturlich noch enger an einen Kulturkreis gebunden. Bezieht man aber die Worte des Mathematiklehrers Spengler, und so sind sie auch gemeint, auf den mathematischen Begri und den mathematischen Umgang mit Zahlen, so wird ihm jeder aktive Mathematiker ohne ideologische Scheuklappen widersprechen: Der Mathematiker ndet bei aller Verschiedenheit der mathematischen Ausdrucksweise und des mathematischen Stils stets eine gemeinsame Wurzel und spurt die enge Verwandtschaft zu anderen Mathematikern in Raum und Zeit. Darum auch ist es fur den Mathematiker, der nicht die Geschichtswissenschaften studiert hat, lohnend, sich mit der Mathematik vor Jahrtausenden zu beschaftigen: Die Rechenmethoden der Sumerer und A gypter waren zwar von den unseren ganz verschieden, aber die Ergebnisse waren dieselben. Die Satze des Euklid gelten heute so wie vor 2300 Jahren. Derartiges kann man von kaum einem anderen Kulturgebiet sagen als von dem quadrivium der mittelalterlichen Universitat, also dem pythagoreischen Viergespann aus Arithmetik, Geometrie, Astronomie, musikalische Harmonielehre, und innerhalb dieses quadriviums speziell von Arithmetik und Geometrie, den Teilen des quadriviums, die heute zur theoretischen Mathematik zahlen. Wir wollen Pythagoras und seine Schule betrachten, weil hier zum ersten Mal eine wissenschaftliche Theorie der Zahlen (wenn auch noch vermischt mit Zahlenmystik) erscheint, wahrend die 1000 bis 2000 Jahre alteren mesopotamischen und agyptischen Texte nur von einer Praxis der Zahlenrechnung Zeugnis ablegen. Die Entwicklung der pythagoreischen Gedanken uber die Zahlen, die wir bruchstuckhaft aus spateren Quellen rekonstruieren konnen, ist der Geburtsproze einer Wissenschaft, eine Garung aus verschiedenen Ideen und Zielsetzungen; langsam scheiden sich Gefuhl und Verstand, Mythos und Logos, bis wir nach einem Jahrhundert eine ausgepragte wissenschaftliche Haltung vor nden, die bis heute Grundlage (nicht nur) der Mathematik geblieben ist.

0.3. Pythagoras Pythagoras 4) wuchs in der ersten Halfte des 6. Jh.v.Chr. auf der Insel Samos auf. 35 km entfernt liegt auf dem Festland die ionische Stadt Milet, wo der Phonizier Thales (y um 547), der alteste bekannte Mathematiker Griechenlands, wirkte und nicht nur die astronomischen Kenntnisse der Babylonier vermittelte 5) , sondern auch die ersten Beweise in der Geometrie lieferte. Sein 4)

5)

vgl. Bartel Leendert van der Waerden: Die Pythagoreer. Religiose Bruderschaft und Schule der Wissenschaft ; Die Bibliothek der Alten Welt, Reihe Forschung und Deutung; Artemis Verlag, Zurich und Munchen 1979. Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Theorien zu Pythagoras, Philolaos und Platon , Erlanger Beitrage zur Sprach- und Kunstwissenschaft X, Verlag Hans Carl, Nurnberg 1962. Er sagte z.B. eine Sonnen nsternis voraus und lehrte die Seeleute die Navigation nach den Sternen.

4

0. Im Anfang war die Zahl

Schuler Anaximander zeichnete Erdkarten (als Scheibe), fertigte einen Himmelsglobus an, Sparta bestellte eine Sonnenuhr bei ihm. Vielleicht in dieser Tradition baute Eupalinos um 530 im Auftrag des Tyrannen Polykrates durch den Berg Kastro auf Samos einen gut 1 km langen Tunnel von 2  2 Meter Querschnitt: Er begann von beiden Seiten zu bohren und erreichte mit einfachen geometrischen Mitteln, da die seitliche Abweichung der beiden Bohrungen in der Mitte weniger als 10 m betrug, die Hohenabweichung nur 3 m betrug, eine Meisterleistung seiner Zeit 6) . Es gab also ein gewisses der Mathematik gunstiges Klima auf Samos. Nach Iamblichos 7) hat Pythagoras den Thales (und Anaximander) in Milet besucht, als Lehrer des Pythagoras wird aber allgemein der Mythograph Pherekydes von Syros genannt, der nach Cicero die Unsterblichkeit der Seele vertrat. Nach Reisen nach A gypten und Babylon wanderte Pythagoras um 529 nach Suditalien aus, wo er als religioser Prophet wirkte, den Orden der Pythagoreer in Kroton grundete und in hohem Alter in Metapont starb 8) . Wir wissen, da Pythagoras die Unsterblichkeit der Seele lehrte, die Seelenwanderung, die Verwandtschaft aller Lebewesen und die Wiederkehr aller Dinge im ewigen Kreislauf. Wir wissen nicht, ob Pythagoras ein Mathematiker war (der Lehrsatz des Pythagoras wurde schon 1000 Jahre fruher von den Babyloniern benutzt; er wurde erst spat 9) mit Pythagoras in Verbindung gebracht, blieb aber das ganze Mittelalter hindurch und in allen Schulbuchern bis heute damit verbunden). Es kann aber kein Zweifel daran bestehen, da Pythagoras nicht nur ein Prophet, sondern auch ein Weisheitslehrer 10) war, der seinen Schulern oder zumindest einem Teil von ihnen auch eine Leidenschaft fur die Wissenschaft vermittelte. Neue mathematische Erkenntnisse sind bei seinen Schulern bezeugt, s.u. Die antiken Biographien 11) des Pythagoras sind voller Legenden, z.B.: 1. Der beruchtigten Daunischen Barin, die den Bewohnern sehr hart zusetzte, gebot er Einhalt. Er streichelte sie geraume Zeit, futterte sie mit Gerstenkuchen und Baumfruchten, nahm ihr den Eid ab, nichts Beseeltes mehr anzuruhren, und entlie sie. Man hat sie von Stund an nie wieder ein Lebewesen anfallen sehen. 2. Als ein Adler uber ihn hin og, hie Pythagoras den Adler herab iegen, liebkoste ihn und gab ihn

6)

7) 8) 9) 10) 11)

vgl. dagegen den im 2. Buch der Konige 20,20 genannten Siloah-Tunnel des judaischen Konigs Hiskia in Jerusalem um 700, der von zwei nur 325 m entfernten Punkten begonnen wurde, wo sich die Bohrungen trotz vertikaler Prufschachte aber so weit von einander entfernten, da der Tunnel im Zickzack fast auf die doppelte Lange kommt. De vita Pythagorica [PerÈ toÜ PujagoreÐou bÐou] 11/12. Deutsch-griechische Ausgabe von Michael von Albrecht: Iamblichos: Pythagoras. Legende, Lehre, Lebensgestaltung , Bibliothek der Alten Welt, Reihe Antike und Christentum, Artemis Verlag, Zurich und Munchen 1963, 2 1985 Die antiken Angaben uber sein Lebensalter schwanken zwischen 75 und 117 Jahren. z.B. bei Diogenes Laertios (Ende 3. Jh): Vita Pythagoraea im 8. Buch seiner Lebensbeschreibungen von Philosophen, die im wesentlichen Anekdotensammlungen ohne groen Quellenwert sind. Moderne Ausgabe: Armand Delatte: La vie de Pythagore de Diogene Laerce , Brussel 1922. Heraklit [B 129] nennt ihn einen polumaj s, einen Vielwisser, Herodot [4,95] spricht von einem fi s, einem Weisen. erhalten sind neben der von Iamblichos und von Diogenes die von Porphyrios aus Tyros: Vita Pythagorae [PerÈ toÜ bÐou Pujagìra lìgos]. Moderne Ausgabe: Porphyre: Vie de Pythagore. Lettre a Marcella , Text und U bersetzung von E douard des Places, S.J., E d. Les Belles Lettres, Paris 1982. Pophyrios war Schuler von Plotin, dem bedeutendsten Neuplatoniker, und war Lehrer des Iamblichos.

0.3. Pythagoras

3.

4. 5. 6. 7. 8. 9.

5

wieder frei. Er bezauberte und bannte die Tiere durch die Macht, die in seiner Stimme lag und aus seinem Mund hervorging. Als er von Sybaris nach Kroton ging, begegnete er Fischern am Strand, gerade als das Netz beuteschwer aus der Meerestiefe geholt wurde. Da sagte er ihnen genau die Zahl der Fische voraus, die sie herausziehen wurden. Die Manner gewahrten ihm einen Wunsch, falls er recht behielte. Da hie er sie den Fischen Leben und Freiheit schenken, nachdem sie sie genau gezahlt hatten. Und keiner der Fische, die wahrend der langen Zeit des Zahlens auer Wasser waren, verendete, weil Pythagoras dabei stand. In Argos erkannte Pythagoras den Schild wieder, den Menelaos vor Troja von Euphorbos erbeutet hatte. So wies er nach, da er in einem fruheren Leben Euphorbos gewesen war. Als Pythagoras den Flu Kosas uberschritt, sagte der Flu: "Sei gegrut, Pythagoras!\ Aristoteles sagt, da Pythagoras am gleichen Tag und zur gleichen Stunde in Metapont und in Kroton von vielen gesehen wurde. Seine Schuler hielten ihn fur den von den Hyperboreern hergekommenen Apollon. Als er sich einst an der Seite entblot hatte, soll man seinen Schenkel als golden erkannt haben. Als sich Leute in Metapont wunschten, die Ladung eines gerade einlaufenden Schies zu erhalten, sprach er: "So werdet ihr einen Toten bekommen.\ In der Tat brachte das Schi einen Toten. Pythagoras sagte zuverlassig Erdbeben voraus, vertrieb Seuchen schlagartig, brachte Sturm und Hagel alsbald zur Ruhe, beschwichtigte Flu- und Meereswellen, : : :

Einige heilige Spruche [‚koÔ ata] des Pythagoras (nach Aristoteles 12) ): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 12)

Was ist das Gerechteste? Opfern. Was ist das Weiseste? Die Zahl; danach aber, was den Dingen die Namen gibt. Was ist das Weiseste unter den menschlichen Dingen? Die Heilkunst. Was ist das Schonste? Harmonie. Was ist das Machtigste? Einsicht. Was ist das Wahrste von dem, was geredet wird? Da die Menschen schlecht sind. Man soll Kinder zeugen, denn man soll an seiner Stelle Gottesverehrer hinterlassen. Man soll den rechten Schuh zuerst anziehen. Man soll nicht auf den volkreichen Straen gehen, nicht die Hand in einen Weihwasserkessel eintauchen und sich nicht in der Badeanstalt waschen. Es ist namlich in allen diesen Fallen ungewi, ob die Mitbenutzer rein sind. Man soll keinem helfen, eine Burde abzulegen; denn man darf nicht verschulden, da nicht gearbeitet wird. Aber beim Au egen der Last soll man helfen. Keinem etwas raten, das nicht zu seinem Besten dient, denn etwas Heiliges ist der Rat. Beim Weg ins Heiligtum darf man keinen Umweg machen; denn man darf den Gott nicht zu einer Nebensache entwurdigen. Das Erdbeben ist eine Zusammenrottung der Toten. Das Meer ist die Trane des Kronos. Die Pleiaden sind die Leier der Musen. Die Planeten sind die Hunde der Persephone. Der Klang geschlagenen Erzes ist die Stimme eines Daimons, der darin gefangen ist. Das den Menschen oft anfallende Klingen im Ohr ist die Stimme der Machtigen.

uberliefert bei Iamblichos: De vita Pyth. 82{86, Aelianus: Varia historia 4,17, Porphyrios: Vita Pyth. 41, Plutarch: De Iside et Osiride 364 a , Clemens Alexandrinus: Stromata 5,50,1

6

0. Im Anfang war die Zahl

0.4. Die Mathematik der Pythagoreer Die Religion, die Ethik und die sich entwickelnde Wissenschaft der Pythagoreer haben das griechische Denken nachhaltig beein ut 13) . In den Griechenstadten Suditaliens (Magna Graecia ) hatten die Pythagoreer betrachtlichen politischen Ein u, bis sie um 450 aus den meisten Stadten mit dem Aufbluhen der attischen Demokratie vertrieben wurden; nur in Tarent hielten sie sich langer, der Pythagoreer Archytas (y 360) wurde dort siebenmal zum Strategen gewahlt. Die Pythagoreer kannten vier Lehrfacher 14) , namlich Zahlentheorie, Musiklehre, Geometrie und Astronomie. 15) Diese werden im 7. Buch des groen Dialogs Der Staat [PoliteÐa] von Platon (y 347) genannt, wo diskutiert wird, welche von diesen vier Mathemata als Unterrichtsgegenstande fur die "Wachter des Staates\, also fur Krieger und Politiker, vorgeschrieben werden sollen. Platon sagt an anderen Stellen 16) , da der Sophist Hippias von Elis (um 420) bereits diese vier Wissenschaften unterrichtet hatte, auch fur Demokrit ist zur selben Zeit die Beschaftigung mit diesen vier Wissenschaften nachgewiesen. Da sie pythagoreischen Ursprungs sind, sagt Platon nur in einer Andeutung, Aristoteles, Nikomachos, Proklos (s.u.) werden expliziter. Die einzige Stelle in Platons Werken, wo von den Pythagoreern explizit die Rede ist 17) , ndet sich im genannten 7. Buch des Staates , wo Platon den Sokrates, nachdem die Arithmetik und Geometrie abgehandelt sind, zu Astronomie und Musik folgendes sagen lat (da jede U bersetzung nur eine den Text approximierende Interpretation ist, wird der Originaltext als Funote mitgeteilt): 18) Wie die Augen fur die Sternkunde geschaen sind, so sind die Ohren fur die Bewegung der Harmonie geschaen. Und diese Wissenschaften sind einander wie zwei Schwestern verwandt. So behaupten es die Pythagoreer, und wir, Glaukon, stimmen ihnen zu.

Sokrates versichert weiter, da die Pythagoreer die beiden Wissenschaften in derselben [empirischen] Weise betrieben, die eine handele fur sie von sichtbaren Himmelskorpern, die andere von horbaren Tonen, wobei die Pythagoreer Zahlen zu den Intervallen suchten. Es folgt die platonische Kritik, da diese beiden Wissenschaften im Vergleich mit Geometrie und Arithmetik zu angewandt seien, da man doch die Astronomie wie die Geometrie zu einer theoretischen Wissenschaft machen solle und die Kreisbewegungen der Gestirne statt die Gestirne selbst untersuchen solle und analog in der Musik. Hier werden die Vorbehalte vor der zu komplexen und daher strukturell nicht erfabaren uns umgebenden physikalischen Wirklichkeit deutlich, 13) 14) 15) 16) 17) 18)

Jahrhunderte nach ihrem Wirken erlebten ihre Gedanken unter den Neupythagoreern seit dem ersten Jh.n.Chr. eine Renaissance. Mathemata [t€ maj mata = mathematische Wissenschaften, abgeleitet von manjˆnein = "lernen\, wortlich also das Gelernte\ oder "das Wissen\]. Oft wird dieses Wort nicht allein auf die heutige Mathematik bezogen,"sondern fur Wissenschaft allgemein benutzt.

Diese vier Facher bilden das quadrivium unter den sieben artes liberales, die in der mittelalterlichen Universitat zur Allgemeinbildung von allen Studenten zu absolvieren waren. Protagoras 318 d e , Hippias maior 285 b c , Hippias minor 366 c { 368 a Implizit kann man z.B. die Haupt gur des Dialogs Timaios als Pythagoreer apostrophieren, auch der Phaidon enthalt Pythagoreisches. [Staat 530 d ]: KinduneÔei, êfhn, ±s präs ‚ronomÐan îmmata pèphgen, ±s präs ânarmìnion for€n Âta pag¨nai, kaÈ aÞtai ‚ll lwn ‚delfaÐ tines aÉ âpi ¨mai eÚnai, ±s oÑ te PujagìreioÐ fa kaÈ ©meis,  GlaÔkwn,  gqwroÜmen;

0.4. Die Mathematik der Pythagoreer

7

die das Entstehen einer antiken Naturwissenschaft (auerhalb der Astronomie) verhindert, bzw. auf einige Ingenieurleistungen mit wissenschaftlichem Hintergrund reduziert haben. 1) Beobachtungen der Pythagoreer: Bei dem neuplatonischen Philosophen und Pythagorasbiographen Iamblichos aus Chalkis (y 330) wird die zentrale Rolle, die Omniprasenz der Zahl in der pythagoreischen Weltsicht, in folgende Worte gekleidet, die Pythagoras oft gesagt haben soll: 19) Der Zahl gleicht alles.

Wie kamen die Pythagoreer zu dieser Ansicht, was haben sie gese hen? Eine der fundamentalen, durch verschiedene Experimente be  legten Entdeckungen der Pythagoreer war die Darstellung der Wel   lenlangen konsonanter Intervalle durch Verhaltnisse kleiner Zahlen: Py-     thagoras habe am selbstkonstruierten Monochord die ZahlenverhaltTetraktys nisse 2 : 1 ; 3 : 2 bzw. 4 : 3 (zusammengefat in der Tetraktys 1 : 2 : 3 : 4 ) untersucht, die zu den konsonanten Intervallen Oktave, Quinte bzw. Quarte gehoren, ahnliches wurde an Blasinstrumenten beobachtet (jeder Gitarrespieler kann dies leicht | z.B. beim Stimmen seines Instrumentes | nachvollziehen, wenn er die Saiten in den entsprechenden Verhaltnissen abgreift und die entstehenden Zweiklange abhort). Der Pythagoreer Hippasos fugte die konsonanten Intervalle Doppeloktave 4 : 1 und Oktave+Quinte 3 : 1 hinzu, und machte analoge Experimente an vier Bronzescheiben von gleichem Durchmesser, aber verschiedenen Dicken, sowie weitere Experimente mit verschieden stark gefullten Vasen. Archytas von Tarent [um 400] fugte u.a. die groe und die kleine Terz 5 : 4 bzw. 6 : 5 hinzu. Des weiteren sahen die Pythagoreer, da die Bahnen der Sterne ebenso durch einfache Verhaltnisse ganzer Zahlen beschrieben werden wie die Regeln der architektonischen Schonheit. 2) Zeugnis des Proklos: Ein recht spates, aber oenbar auf alte Quellen zuruckgehendes Zeugnis uber die Wissenschaften der Pythagoreer gibt Proklos Diadochos (y 485) 20) im I. Vorwort zu seinem Kommentar 21) zum I. Buch der Elemente des Euklid: 22) 19) 20)

Iamblichos [De vita Pyth. 162]: tÄ ‚rijmÄ dè te pˆnt âpèoiken. Er war einer der letzten Leiter der platonischen Akademie in Athen, die 529 von Kaiser Justinian als heidnische Anstalt\ geschlossen wurde. Sein Werk ist umfangreich und umfat Schriften zur Philoso"phie, Theologie, Mathematik, Astronomie, Physik, Literaturwissenschaft und Dichtkunst.

21) [EÊs tä prÀton tÀn EÎkleÐdou oiqeÐwn bÐblon]

Textausgabe: Procli Diadochi in Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii ex recognitione Godofredi Friedlein, Leipzig 1873, Nachdruck: Olms, Hildesheim 1967, 2 1992, p. 35/36. U bersetzung und Kommentar: Leander Schonberger: Proklus Diadochus: Kommentar zum Ersten Buch von Euklids Elementen\ , mit Einleitung und Kommentar herausgegeben von Max Steck, Deutsche Akademie der"Naturforscher, Halle 1945 und Glenn A. Morrow: Proclus: A Commentary on the rst Book of Euclid's Elements , Princeton University Press 1970, 2 1992.

22) toØs màn oÞn PujagoreÐois âdìkei tetraq€ diaireØn t˜n ílhn majhmatik˜n âpi mhn, tä màn aÎt¨s perÈ tä

poï n, tä dà perÈ tä phlÐkon ‚forÐzou kaÈ toÔtwn ákˆteron dittän tijemènois; tì te g€r poçn _ h kaj aÍtä t˜n Ípì a n êqein, _ h präs Šllo jewreØ

ai kat€  è n, kaÈ tä phlÐkon _ h á °s _ h kinoÔmenon eÚnai; kaÈ t˜n màn ‚rijmhtik˜n tä kaj aÍtä tä poç n jewreØn, t˜n dà mou k˜n tä präs Šllo, gewmetrÐan dà tä phlÐkon ‚kÐnhton Ípˆrqon kaÈ t˜n  airik˜n tä kaj aÍtä kinoÔmenon; âpiopeØn d aÞ tä phlÐkon kaÈ poç n oÖte mègejos plÀs oÖte pl¨jos ‚ll€ tä kaj ákˆteron ±ri ènon; toÜto g€r ‚feloÔ
s tÀn ‚peÐrwn t€s âpi  mas katanoeØn, ±s oÎk ânän t˜n kaj ákˆteron ‚peirÐan gn¸ i perilabeØn.

8

0. Im Anfang war die Zahl Den Pythagoreern schien es richtig, die gesamte mathematische Wissenschaft in vier Teile zu zerlegen. Der einen Halfte weisen sie das Wie viel zu, der anderen Halfte das Wie gro, und jede dieser Halften teilen sie wiederum in zwei. Das Wieviel (die Zahl) kann namlich entweder fur sich betrachtet werden oder (im Verhaltnis) zu einer anderen, und die Groe kann in Ruhe oder Bewegung sein. Die Arithmetik betrachtet die Zahl fur sich, die Musikwissenschaft ihr Verhaltnis zu einer anderen Zahl, die Geometrie die Groe in Ruhe, die Spharik (Astronomie) die Groe in Bewegung. Sie (die Pythagoreer) betrachten aber das Wie gro und Wie viel nicht als Groe oder Vielheit schlechthin, sondern als begrenzt in beiden Fallen. Denn sie meinten, die Wissenschaften hatten vom Unendlichen abzusehen, da es in beiden Gebieten unmoglich sei, das Unendliche erkennend zu umfassen.

Man sieht, da Proklos anders einteilt als Platon, es wird wohl die pythagoreische Einteilung gewesen sein: Nicht nach theoretischer und angewandter Natur wird eingeteilt, sondern primitiver nach "Wie viel\ und "Wie gro\. Der Neupythagoreer Nikomachos von Gerasa 23) (um 100) bringt [Introductio I.3] dieselbe Einteilung. 3) Zeugnis des Aristoteles: Das alteste ausfuhrlichere Zeugnis u ber die Pythagoreer ndet sich in der Metaphysik des Aristoteles (y 322), der seinerseits aus Aufzeichnungen der Pythagoreer geschopft hat. Im ersten Buch der Metaphysik berichtet er ausfuhrlich u ber die philosophischen Konsequenzen der pythagoreischen Beobachtungen: 24) Zu ihrer [Leukipps und Demokrits] Zeit und schon vor ihnen haben sich die sogenannten Pythagoreer als erste mit Mathematik befat, haben sie vorangetrieben und gelangten bei ihren Studien zu der Ansicht, da die mathematischen Prinzipien die Prinzipien aller Dinge seien. Von diesen Prinzipien sind die Zahlen naturgema die ersten. In ihnen meinten sie [die Pythagoreer] viele A hnlichkeiten zu sehen mit dem, was ist und entsteht, mehr als in Feuer und Erde und Wasser [den Prinzipien der griechischen Naturphilosophen]: Ein solches Attribut der Zahlen sei Gerechtigkeit , ein anderes Seele und Verstand , noch ein anderes die rechte Zeit , und gleichermaen seien fast alle anderen Dinge numerisch ausdruckbar. Auch die Eigenschaften und Verhaltnisse der musikalischen Harmonie sahen sie in den Zahlen verschlusselt. So schien es ihnen, da auch alle anderen Dinge ihrer ganzen Natur nach den Zahlen nachgebildet. Da die Zahlen so in der ganzen Natur das erste sind, meinten sie, die Elemente der Zahlen seien die Elemente aller Dinge und der ganze Himmel sei Harmonie und Zahl. Und sie fanden viele U bereinstimmungen zwischen Zahlen und Harmonien, in Bezug auf die Erscheinungen des Himmels im Kleinen wie im 23)

Introductio Arithmeticae [EÊ
gwg˜ ‚rijmhtik ] = Einfuhrung in die Arithmetik. Text von Richard Hoche: Nicomachi Geraseni Pythagorei Introductionis Arithmeticae Libri II , Leipzig 1866. U bersetzung und Kommentar von Martin Luther d'Ooge: Nicomachos of Gerasa, Introduction to Arithmetic, with studies in Greek arithmetic by F. E. Robbins and L. C. Karpinsky , Macmillan, New York 1926, reprint Johnson, New York 1972. 24) [Metaphysik A 5, 985 b 23 { 986 a 12]: >En dà toÔtois kaÈ prä toÔtwn oÉ kaloÔmenoi Pujagìreioi tÀn

majhmˆtwn yˆmenoi prÀtoi taÜtˆ te pro gagon, kaÈ ântrafèntes ân aÎtoØs t€s toÔtwn ‚rq€s tÀn întwn ‚rq€s ¶ jh
n eÚnai pˆntwn. âpeÈ dà toÔtwn oÉ ‚rijmoÈ fÔi prÀtoi, ân dà toÔtois âdìkoun

jewreØn åmoi¸mata poll€ toØs oÞ kaÈ gignomènois, mllon _ h ân purÈ kaÈ g¬ kaÈ Õdati, íti tä màn toiondÈ tÀn ‚rijmÀn pˆjos dikaio× nh tä dà toiondÈ yuq˜ kaÈ noÜs éteron dà kairäs kaÈ tÀn Šllwn ±s eÊpeØn éka on åmoÐws, êti dà tÀn rmoniÀn ân ‚rijmoØs årÀntes t€ pˆjh kaÈ toÌs lìgous; âpeÈ d˜ t€ màn Šlla toØs ‚rijmoØs âfaÐneto t˜n fÔ n ‚fwmoiÀ

ai p
n, oÉ d' ‚rijmoÈ pˆ s t¨s fÔ ws prÀtoi, t€ tÀn ‚rijmÀn  oiqeØa tÀn întwn  oiqeØa pˆntwn Ípèlabon eÚnai, kaÈ tän ílon oÎranän rmonÐan eÚnai kaÈ ‚rijmìn; kaÈ í
eÚqon åmologoÔmena ên te toØs ‚rijmoØs kaÈ taØs rmonÐais präs t€ toÜ oÎranoÜ pˆjh kaÈ mèrh kaÈ präs t˜n ílhn diakì h n, taÜta  nˆgontes âf rmotton. k_ an eÒ tÐ pou dièleipe pro glÐqonto, toÜ  neiromènhn p
n aÎtoØs eÚnai t˜n pragmateÐan; lègw d oÙon, âpeid˜ tèleion ™ dek€s eÚnai dokeØ kaÈ p
n perieilhfènai t˜n tÀn ‚rijmÀn fÔ n, kaÈ t€ ferìmena kat€ tän oÎranän dèka màn eÚnaÐ fa n, întwn dà ânnèa mìnon tÀn fanerÀn di€ toÜto dekˆthn t˜n ‚ntÐqjona poioÜ n.

0.4. Die Mathematik der Pythagoreer

9

ganzen Kosmos, und fugten alles zu einem einheitlichen Bild zusammen. Und wenn irgendwo eine Lucke war, fugten sie Erganzungen hinzu, um ihre ganze Theorie koharent zu machen. Ich nenne ein Beispiel: Weil ihnen die Zahl 10 vollkommen erscheint [als Summe der Tetraktys und Basis des Zahlsystems] und die ganze Natur der Zahlen enthalten soll, sagen sie, da 10 Korper sich durch den Himmel bewegen; da aber nur 9 Korper zu sehen sind, schaen sie einen zehnten, die "Gegenerde\.

Es fallt auf, da Aristoteles zunachst mit Achtung von den Leistungen der Pythagoreer in der Vergangenheit redet, sich uber ihre Zahlenmystik (die Begrie wie Gerechtigkeit mit Zahlen belegen will) lustig macht, und dann einen Unsinn aus der Gegenwart nennt. In seiner Schrift Vom Himmel kritisiert Aristoteles das Verfahren, die Gegenerde zu er nden, heftig: 25) Die sogenannten Pythagoreer richten ihre Theorien und Erklarungen nicht nach den Phanomenen, sondern passen die Phanomene den Theorien an.

Wenn man die Metaphysik weiter liest, ndet man Hinweise auf die pythagoreische Lehre vom Geraden und Ungeraden sowie unterschiedliche A uerungen daruber, wie die Beziehung zwischen den Dingen und den Zahlen in den Augen der Pythagoreer aussah. Mal heit es, alle Dinge seien Zahlen, mal heit es, die Korper seien aus Zahlen zusammengesetzt, mal heit es, die Zahlen seien in den Dingen. Die ersten beiden Anschauungen ndet man fast unmittelbar nebeneinander: 26) Denn die Pythagoreer sagen, die Dinge existieren durch Nachahmung der Zahlen; Platon aber sagt, da die Dinge durch Teilhabe [an den Ideen/Zahlen] existieren, und wechselt so nur den Namen. Fur ihn existieren die Zahlen auerhalb der sichtbaren Dinge, wahrend sie [die Pythagoreer] sagen, da die Dinge selbst Zahlen seien, und daher die mathematischen Objekte nicht zwischen den Ideen und der Erfahrungswelt anzusiedeln seien [wie der aristotelische Platon annimmt].

Hier wird eine interessanter Gegensatz zwischen den Pythagoreern und der weiterentwickelten idealistischen Anschauung von Platon aufgezeigt, der bis heute vielen Mathematikern sehr vertraut erscheint. Ein anderes Mal heit es: 27)

Jene aber identi zieren die Zahl mit den Dingen; jedenfalls wenden sie ihre Satze auf Korper an, als wenn sie aus jenen Zahlen bestunden.

25)

Im letzten Buch der Metaphysik wird ahnlich aber pragnanter als im ersten Buch die pythagoreische Sicht der Beziehungen zwischen Dingen und Zahlen als eine Strukturahnlichkeit beschrieben: 28) [De Caelo B 13, 293 a 23{27]:

êti d ânantÐan Šllhn taut¬ kata euˆzou g¨n, C hn ‚ntÐqjona înoma kaloÜ n, oÎ präs t€ feinìmena toÌs lìgous kaÈ t€s aÊtÐas zhtoÜntes, ‚ll€ prìs tinas lìgous kaÈ dìxas aÍtÀn t€ feinìmena proë lkontes kaÈ peir¸menoi  gko eØn. 26) [Metaphysik A 6, 987 b 11-13, 27-29]: oÉ màn g€r Pujagìreioi mim i t€ înta faËn eÚnai tÀn ‚rijmÀn,

Plˆtwn dà mejèxei, toÖnoma metabal¸n. kaÈ êti å màn toÌs ‚rijmoÌs par€ t€ aÊ

htˆ, oÉ d ‚rijmoÌs eÚnaÐ fa n aÎt€ t€ prˆgmata, kaÈ t€ majhmatik€ metaxÌ toÔtwn oÎ tijèa n. 27) [Metaphysik M 8, 1083 b 17-19]: âkeØnoi dà tän ‚rijmän t€ înta lègou n; t€ goÜn jewr mata pro‹ptou

28)

toØs » ma n ¹s âx âkeÐnwn întwn tÀn ‚rijmÀn. [Metaphysik N 3, 1090 a 20-25]: oÉ dà Pujagìreioi di€ tä årn poll€ tÀn ‚rijmÀn pˆjh Ípˆrqonta toØs aÊ

htoØs » ma n, eÚnai màn ‚rijmoÌs âpoÐh
n t€ înta, oÎ qwri oÌs dè, ‚ll'âx ‚rijmÀn t€ înta; di€ tÐ dè? íti t€ pˆjh t€ tÀn ‚rijmÀn ân rmonÐø Ípˆrqei kaÈ ân tÄ oÎranÄ kaÈ ân polloØs Šllois.

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0. Im Anfang war die Zahl Weil die Pythagoreer sahen, da viele Eigenschaften der Zahlen den sinnlich wahrnehmbaren Korpern zugrunde liegen, haben sie die Zahlen zu Korpern gemacht, aber nicht zu abgesonderten, sondern so, da aus den Zahlen die sinnlichen Dinge bestehen. Und warum? Weil die Eigenschaften der Zahlen grundlegend sind in der musikalischen Harmonie, im Weltgebaude und in vielem anderen. Galilei: Mit nur wenig Phantasie kann man in diesen Worten Anklange an Galileo Galilei

nden, von dem das programmatische Wort stammt, da das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben sei. Genauer schreibt er 1623 im Il Saggiatore 29) :

Die Philosophie [= exakte Naturwissenschaft] steht geschrieben in dem groen Buch, das uns fortwahrend vor Augen liegt, dem Universum, aber man kann sie nicht begreifen, wenn man nicht die Sprache verstehen und die Buchstaben kennen lernt, worin es geschrieben ist. Es ist geschrieben in mathematischer Sprache, und die Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren; ohne diese Mittel ist es dem Menschen unmoglich, ein Wort davon zu verstehen; es ist nur ein sinnloses Herumirren in einem nsteren Labyrinth.

Bis heute ist es fur Mathematiker und fur Physiker ein Wunder, da sich die grundlegenden physikalischen Naturgesetze so gut und einfach durch mathematische Formeln beschreiben lassen. In gewisser Weise tritt diese Verbindung der Zahlen zu den Naturgesetzen bereits bei den Pythagoreern auf. Die Ideologie Platons fuhrte dazu, da diese pythagoreischen Bezuge der Mathematik zur Natur der Reinheit der Methode geopfert wurden und vor allem die theoretische Mathematik entwickelt wurde. Die von den Babyloniern/Persern ererbte Astronomie wurde theoretisch umgeformt, Kreismodelle (Epizyklen) fur die Planetenbewegungen wurden von Eudoxos, Aristarch von Samos (geozentrisches Weltsystem), Hipparchos und Ptolemaios weiterentwickelt; erst mit Kepler kam etwas wirklich Neues. 4) Zeugnis des Philolaos: A lter als Aristoteles ist die nur fragmentarisch bei spateren Autoren enthaltene Weltschau des Pythagoreers Philolaos aus Kroton (5. Jh.v.Chr.). Hier drei Fragmente, deren erstes das pythagoreische Motto "Alles ist Zahl\ sehr pragnant formuliert, wahrend die beiden anderen die religiose Komponente der pythagoreischen Anschauung durchschimmern lassen: 30) 1. Alles, was man erkennen kann, hat Zahl. Ohne diese kann man nichts mit dem Gedanken erfassen oder erkennen. 2. Betrug aber nimmt die Natur der Zahl und Harmonie gar nicht in sich auf. Denn er ist ihr nicht eigen. 29)

30)

Le Opere di Galileo Galilei, vol. VI, Firenze 1965, p.232: La loso a e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si puo intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri , ne'quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre gure geometriche, senza i quali mezi e impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. Deutsch zitiert nach E.J. Dijksterhuis: Die Mechanisierung des Weltbildes , Springer, Berlin 1956, S.403 zitiert nach Hermann Diels und Walther Kranz: Die Fragmente der Vorsokratiker , Band I. Weidmann, Berlin 5 1934, p.408/412: 1. kaÈ pˆnta ga m€n t€ gignw ìmena ‚rijmän êqonti; oÎ g€r oÙìn te oÎdàn oÖte nohj¨men oÖte gnw

¨men Šneu toÔtou. 2. yeÜdos dà oÎdàn dèqetai  tÄ ‚rijmÄ fÔ s oÎdà rmonÐa; oÎ g€r oÊkeØon aÎtoØs â i. 3.  d ‚l jeia oÊkeØon kaÈ × mfuton t” tÄ ‚rijmÄ gene”.

0.4. Die Mathematik der Pythagoreer

11

3. Die Wahrheit aber ist etwas dem Geschlechte der Zahl Eigenes und Angeborenes.

0.5. Zahlbegri und Zahlentheorie der Pythagoreer Bei Platon wie bei Proklos/Nikomachos wird die Zahlentheorie als erste der vier Mathemata genannt. Nikomachos begrundet das so: 31) Welche nun von diesen vier Methoden ist notwendigerweise zuerst zu lernen? Wohl oensichtlich diejenige, welche von Natur die erste und entscheidendste von allen ist, welche Beginn und Wurzel darstellt und gewissermaen den anderen gegenuber die Rolle der Mutter spielt. Diese aber ist die Arithmetik, nicht nur, weil sie, wie wir sagten, im Geiste des kunstfertigen Gottes vor den andern vorhanden war, wie ein die Ordnung bestimmender und eine Vorlage bildender Logos, auf den gestutzt, wie auf einen Bauplan und ein als Muster gepragtes Vorbild der Schopfergott des Alls die aus Materie hergestellten Dinge ordnet und sie das ihnen eigene Ziel erreichen lat, sondern auch, weil die Arithmetik ihrer Natur nach als die fruher entstandene den andern insofern voransteht, als sie zwar die ubrigen mit sich selber zugrunde gehen lat, selber aber nicht von jenen abhangig ist.

Das unubersetzte Wort "Logos\ hier macht ahnliche Schwierigkeit wie im Johannes-Evangelium, es ist eine Art Schopfungsplan, ein Urmuster, nach dem die Schopfung vollzogen wird. Zum Zahlbegri selbst sagt der Pythagorasbiograph Iamblichos in seinem Kommentar zur Arithmetik des Nikomachos 32) , Thales habe im Anschlu an die A gypter die Zahl als Zusammenfassung von Einheiten [monˆdwn ×hma] de niert, Eudoxos habe sie begrenzte Vielheit [pl¨jos ±ri ènon] genannt. Auch bei Aristoteles taucht die letzte De nition mit anderen Worten auf: 33) Groe (quantitas) ist etwas, das in individuelle Bestandteile zerlegt werden kann. Eine Groe, die gezahlt werden kann, heit Vielheit (multitudo), kann sie gemessen werden, heit sie Magroe (magnitudo). Vielheiten konnen diskret geteilt, Magroen kontinuierlich geteilt werden. Beispiele von Magroen sind die die eindimensionale Lange, der zweidimensionale Flacheninhalt, das dreidimensionale Volumen. Eine begrenzte Vielheit ist eine Zahl, begrenzte Langen, Inhalte, Volumina sind Linien, Flachen bzw. Korper.

Auallig ist, da Aristoteles keinen Gedanken daran verschwendet, einer Magroe eine Mazahl zuzuordnen, was in 0.6 genauer diskutiert wird. Euklid sagt: 34) Zahl ist aus Einheiten zusammengesetzte Menge 31)

32) 33)

34)

[Introductio I.4]: TÐna oÞn ‚nagkaØon prwtÐhn tÀn teˆrwn toÔtwn mejìdwn âkmanjˆnein? _ h d¨lon íti

t˜n fÔ i paà n proupˆrqou
n kaÈ kuriwtèran ‚rq¨s te kaÈ ûÐzhs kaÈ oÉoneÈ präs t€s Šllas mhträs lìgon âpèqou
n. ê i dà aÕth ™ ‚rijmhtik˜ oÎ mìnon, íti êfamen aÎt˜n ân t¬ toÜ teqnÐtou jeoÜ dianoÐø proupo ¨nai tÀn Šllwn ±
neÈ lìgon tin€ ko ikän kaÈ paradeigmatikìn, präs C on ‚pereidìmenos å tÀn ílwn dhmiourgäs ±s präs prokènthmˆ ti kaÈ ‚rqètupon parˆdeigma t€ âk t¨s Õlhs ‚potelè ata ko eØ kaÈ toÜ oÊkeÐou tèlous tugqˆnein poieØ, ‚ll€ kaÈ íti fÔ i progene èra Ípˆrqei, í· nanaireØ màn áaut¬ t€ loipˆ, oÎ  nanaireØtai dà âkeÐnois;

Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber , ed. Herm. Pistelli, Leipzig 1894, x10 [Metaphysik
13, 1020 a 7{14]: Poçn lègetai tä diairetän eÊs ânupˆrqonta Án ákˆteron _ h éka on én ti

kaÈ tìde ti pèfuken eÚnai. pl¨jos màn oÞn poï n ti â€n ‚rijmhtän ®, mègejos dà _ an metrhtän ®. lègetai dà pl¨jos màn tä diairetän dunˆmei eÊs m˜  neq¨, mègejos dà tä eÊs  neq¨. megèjous dà tä màn âf C en  neqàs m¨kos tä d âpÈ dÔo plˆtos tä d âpÈ trÐa bˆjos. toÔtwn dà pl¨jos màn tä pepera ènon ‚rijmäs m¨kos dà gramm˜ plˆtos dà âpifaÐneia bˆjos dà Ãma.

[Elemente VII, De nition 2]: âk monˆdwn gkeÐmenon pl¨jos

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0. Im Anfang war die Zahl

nachdem er zuvor in De nition 1 gesagt hat, was Einheit ist: Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird . Der Neupythagoreer Nikomachos variiert diese De nition zu: 35) Zahl ist begrenzte Menge oder Zusammenfassung von Einheiten oder eine Reihe von Groen, die aus Einheiten besteht.

Die Arithmetik der Pythagoreer 36) , z.B. ihre "Lehre vom Geraden und Ungeraden\ und die und euklidischem Al"Theorie der vollkommenen Zahlen\ samt elementarer Teilbarkeitslehre 37) gorithmus kann man in den Buchern 7{9 der Elemente des Euklid nachlesen, ihre gurierten Zahlen (Dreiecks-, Quadrat-, Funfeckzahlen, Gnomonzahlen, Pyramidalzahlen, Kubikzahlen etc.) ndet man z.B. in der Introductio Arithmeticae des Nikomachos. An der diskreten Struktur der heutigen Physik hatten die Pythagoreer sicher ihre Freude gehabt. 5) Zeugnis des Aischylos: Bei Aischylos (y 456), dem ersten der klassischen attischen Tragodiendichter, nden wir eine den Pythagoreern ahnliche (vgl. das oben zitierte Akusma Nr.2), etwas neutraler gefate Wertschatzung des Zahlbegris. In der Tragodie Der gefesselte Prometheus wird dieser als Kulturbringer der Menschheit dargestellt. Prometheus sagt: "Ich machte die kindischbloden Menschen verstandig, die traumend ohne Zeit in Erdhohlen vor sich hin dammerten. Ich zeigte ihnen Auf- und Untergang der Sterne, ich erfand fur sie die Zahl, die hervorragendste unter den Begrisbildungen, 38)

dann die Schriftzeichen, lehrte sie Tiere zu nutzen, Schie zu bauen, die Medizin (inklusive Traumdeutung, Vogelschau, Eingeweideinspektion), den Bergbau, : : : .\ Interessant ist, da Aischylos die Zahl noch vor dem Alphabet nennt. Das stimmt mit dem Zeugnis der Archaologen uberein: Die altesten bekannten Schrift- und Zahlzeichen stammen aus Sumer (um 3100 v.Chr.) und Elam (um 3000 v.Chr.), doch gibt es Jahrhunderte altere Bullen aus Susa und Uruk, mit Siegel verschlossene, gebrannte Lehmkugeln oder -eier, in denen man Stabchen, Kugeln, Scheiben ndet, die Zahlen verschiedener Groenordnung symbolisieren; dies ist das alteste bekannte Buchhaltungssystem und zugleich ein Hinweis darauf, da Zahlsymbole noch alter als das Alphabet sind. 35)

[Introductio I.13]: >Arijmìs âi pl¨jos ±ri ènon _ h monˆdwn ×  hma _ h poï thtos qÔma âk monˆdwn

 gkeÐmenon.

36)

37)

38)

vgl. Oskar Becker: Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im Neunten Buch der Euklidischen Elemente , Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abt. B 3 (1936), 533{553. B. L. van der Waerden: Die Arithmetik der Pythagoreer I, II , Mathematische Annalen 120 (1948), 127{153, 676{700. Diese und andere zitierte Artikel ndet man in O. Becker: Zur Geschichte der griechischen Mathematik , Wege der Forschung XXXIII, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1965. Text: Evclidis Elementa , vol. I{V in 6 Banden, herausgegeben von E. S. Stamatis nach Johann Ludvig Heiberg, Teubner, Leipzig 1969{1979. U bersetzung und Kommentar: Sir Thomas L. Heath: The thirteen books of Euclid's Elements , 3 vols with introduction and commentary, Cambridge University Press 2 1926, reprint: Dover 1956. [Prometheus 459]: ‚rijmìn, êxoqon fi ˆtwn

0.6. Die Entdeckung der Irrationalitat

13

0.6. Die Entdeckung der Irrationalitat Die wohlabgestimmte Harmonie zwischen Arithmetik und Geometrie wurde zerstort durch eine mathematische Hochleistung: die Entdeckung des Irrationalen, d.h. die Entdeckung inkommensurabler Strecken (Diagonale des Quadrates bzw. des regularen Funfecks im Vergleich zur Seite), die die Pythagoreer vermutlich in der ersten Halfte des funften Jahrhunderts vor Christus machten 39) . Als Entdecker nennt Iamblichos den Hippasos aus Metapont, einen Mathematiker der ersten Generation nach Pythagoras, der etwa 520{480 v. Chr. als Pythagoreer wirkte. Diese irrationalen Storenfriede (Šlogos = ohne Verhaltnis) wurden nicht ins Reich der Zahlen aufgenommen, und dies ist eine der groen Fehlentscheidungen der griechischen Mathematiker | aus dem heutigen Blickwinkel gesehen. Stattdessen entwickelte man eine Proportionenlehre geometrischer Groen, um das Irrationale vom Rationalen her in den Gri zu bekommen. Bei Aristoteles ndet man eine vage altere De nition dieser Begrisbildung: 40) Zu einander im selben Verhaltnis stehen Groenpaare, welche dieselbe gegenseitige Wegnahme haben.

Das ist nur mit mathematischer Phantasie interpretierbar: Die gegenseitige Wegnahme ist die den Pythagoreern bereits bekannte geometrische Urform des euklidischen Algorithmus, den wir in zahlentheoretischer Form noch intensiv studieren werden: Sind 0 und 1 zwei Strecken mit 1 < 0 , so kann man 1 eine Weile lang von 0 abziehen, bis der Rest kleiner als 1 ist: 41) 0 = n1
1 + 2 mit 2 < 1 (n1 2 IN) Geht die Wegnahme nicht auf, d.h. ist 2 6= 0, so zieht man umgekehrt 2 solange von 1 ab, wie es geht: 1 = n2
2 + 3 mit 3 < 2 (n2 2 IN) 39)

40) 41)

Diese These vertreten neben van der Waerden z.B. Kurt von Fritz: The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum , Annals of Mathematics 46 (1945), 242{264, deutsch als Die Entdeckung der Inkommensurabilitat durch Hippasos von Metapont in: K. v. Fritz: Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft , de Gruyter, Berlin 1971, S.545{575; und Siegfried Heller: Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreer , Abhandlungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik und Technik, Jahrgang 1958, Nr. 6 . Fur eine spatere Datierung pladiert Erich Frank in seinem Buch Platon und die sogenannten Pythagoreer , Max Niemeyer, Halle 1923. Wilbur Richard Knorr: The Evolution of the Euclidean Elements. A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Signi cance for Early Greek Geometry , [Thesis Harvard 1973], Reidel, Dordrecht 1975, datiert die Entdeckung der Irrationalitat um 430 v. Chr, Otto Neugebauer [Brief an v.Fritz] datiert sie noch spater, Burkert halt sie fur nicht pythagoreisch. Zuerst bezeugt ist sie in Dialogen Platons, s.u. [Topik  3, 158 b 33{35]: t˜n g€r aÎt˜n ‚ntanaÐrh n êqei t€ qwrÐa : : : ; êidà åri äs toÜ aÎtoÜ lìgou oÝtos.

Diese Feststellung heit nach Otto Stolz (1880) archimedisches Axiom\, vgl. Mathematische Annalen

" 22 (1883), S.504. Tatsachlich ndet man in der Schrift Kugel und Zylinder des Archimedes von Syrakus (y 212) als 5. Postulat: "Die groere von zwei gegebenen Groen, sei es Linie, Flache oder Korper,

uberragt die kleinere um eine Dierenz, die genugend oft vervielfacht, jede der beiden gegebenen Groen ubertrit.\ Auch schon in der Quadratur der Parabel ndet sich dieses Postulat, wobei angedeutet wird, da dieses Postulat in Zweifel gezogen worden sei. Archimedes schreibt dieses Postulat dem Eudoxos zu und bemerkt, es genuge ihm, die Exaktheit von Eudoxos zu erreichen. Das Axiom ist schon uber 40 Jahre vor der Geburt des Archimedes von Aristoteles in seiner Physik [266 b 2] uberliefert und bei einem Beweis [233 b 2] benutzt.

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0. Im Anfang war die Zahl

Diese Wechselwegnahme mit einer absteigenden Folge 2 > 3 > 4 > : : : von Resten fuhrt man solange durch, wie es geht. Geht die Wegnahme schlielich auf, d.h. kommt man nach r Schritten zu einer Gleichung r 1 = nr
r ; (nr 2 IN) so ist r das gemeinsame Ma der beiden Ausgangsstrecken, d.h. die grote Strecke, so da 0 und 1 als Vielfache von r geschrieben werden konnen. Dann haben oenbar die Strecken 0 und 1 ein "rationales\ Verhaltnis zueinander. Die Irrationalitat wurde so entdeckt, da man feststellte, da diese Konstruktion, bei der Diagonale und Seite eines Quadrates (oder Funfecks) angewandt, nicht zu einem Ende kommt | hier liegen Strecken ohne rationales Verhaltnis vor. Die gegenseitige Wegnahme fuhrt dann auf eine unendliche Folge von naturlichen Zahlen n1 ; n2 ; n3 ; : : : . Wenn man die "De nition\ des Aristoteles mit einem vernunftigen mathematischen Sinn belegen will, so kann man sie, in heutiger Sprache, so formulieren: "Zwei Groenverhaltnisse 0 : 1 bzw. 0 : 1 sind genau dann gleich, wenn der vorstehende Algorithmus der gegenseitigen Wegnahme fur beide Paare zu derselben Zahlenfolge n1 ; n2 ; n3 ; : : : fuhrt, wenn also die Quotienten 0 =1 und 0 = 1 dieselbe Kettenbruchentwicklung haben.\ Eudoxos von Knidos (y um 347/342), Schuler des Archytas, hat die Proportionenlehre zu einer kunstvollen Theorie ausgebaut, die man im 5. Buch der Elemente des Euklid nachlesen kann. In der De nition 5 wird dort eine Proportion, d.h. die Gleichheit zweier Groenverhaltnisse, exakter und klarer als bei Aristoteles so beschrieben: 42) Man sagt, da zwei Groen in demselben Verhaltnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfaltigung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenuber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich groer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind.

Diese immer noch nicht ganz leicht verstandliche und mehrfach miverstandene De nition Euklids lautet in der klareren Sprache der Formeln h

 : = :  () 8m; n 2 IN : m S n () m S n

i

oder in heutiger Terminologie: Eine reelle Zahl  ist bestimmt durch die rationalen Zahlen mn , die groer (oder kleiner) als sie sind. Es ist fast dieselbe De nition, mit der Dedekind 43) seine moderne Theorie der reellen Zahlen begrundet hat. Der grundlegende Unterschied zwischen Eudoxos und Dedekind ist der, da bei Dedekind diese Groenverhaltnisse Zahlen sind, mit denen man so rechnen (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren) kann wie mit anderen Zahlen, wahrend bei Euklid die Groenverhaltnisse eine Gattung eigener Art, keinesfalls 42) >En tÄ aÎtÄ lìgú megèjh lègetai eÚnai prÀton präs deÔteron kaÈ trÐton präs tètarton, ítan t€

43)

toÜ pr¸tou kaÈ trÐtou ʋ kis pollaplˆ a tÀn toÜ deutèrou kaÈ tetˆrtou ʋ kis pollaplaÓwn kaj åpoionoÜn pollapla a än ákˆteron ákatèrou _ h ‰ma Íperèqù _ h ‰ma Ò
® _ h ‰ma âlleÐpù lhfjènta katˆllhla.

Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen , Vieweg, Braunschweig 1872

0.6. Die Entdeckung der Irrationalitat

15

Zahlen, sind, und jedes Rechnen mit ihnen wird durch diesen Ansatz erschwert 44) . Nicht von ungefahr tauchen (auch) hier in dem Aufbau der Elemente des Euklid Lucken auf, z.B. wird die Existenz einer vierten Proportionale ohne Begrundung angenommen. Dies hatte zur Folge, da in der klassischen antiken Mathematik die Geometrie die Spitzendisziplin 45) darstellte, algebraische Fakten wurden geometrisch umgedeutet und geometrisch bewiesen. Als Diophant etwa im 3. Jh.n.Chr. einen Zahlbegri benutzte, der sehr viel exibler war als der der Tradition, gingen das Imperium Romanum und die antike Mathematik bereits ihrem Ende entgegen. 6) Zeugnis des Platon: Platon, der mit dem Pythagoreer Archytas von Tarent (y um 360) befreundet war, hat laut Aristoteles vieles von den Pythagoreern u bernommen. Die pythagoreische Verehrung der Zahlen verwandelt er in ein didaktisches Leuchtfeuer: Fur die Verwaltung des Hauswesens und des Staates und fur alle Kunste hat namlich kein Unterrichtsgegenstand so groe Bedeutung wie die Beschaftigung mit den Zahlen; das wichtigste aber ist, da sie den von Natur schlafrigen und lernfaulen Menschen aufweckt und ihn lernbegierig, gedachtnisstark und scharfsinnig macht, so da er entgegen seiner Naturanlage durch gottliche Kunst Fortschritte macht.

Im 7. Buch der Gesetze , dem Spatwerk Platons, wird auch die Schule und ihre Lehrgegenstande behandelt. Nach dem Lesen und Schreiben, nach dem Musikunterricht mit Tanz und Gymnastik folgt die Diskussion uber die drei Mathemata Zahlentheorie, Geometrie und Astronomie. Der Geometrieunterricht soll u.a. von der lacherlichen und schmahlichen Unwissenheit uber die Inkommensurabilitat befreien. Platon lat dabei den ,Athener` zu Kleinias sagen: 46) Ihr wackeren Hellenen, ist dies [die Irrationalitat] nicht eines von den Dingen, von denen gesagt wird, es sei eine Schande, wenn man's nicht wisse, und wenn man das Notwendige wei, ist's erst noch keine sonderliche Ehre?

Platon hat sich in seinen Dialogen intensiv mit mathematischen Fragen befat, ohne in die mathematische Technik (er war kein Mathematiker) einzudringen. Das alteste u berkommene Zeugnis der Inkommensurabilitat ndet sich in Platons Dialog Theaitetos [147 d {148 b ]. Im ersten Teil des Dialogs beweist der greise Theodoros von Kyrene (y nach 399), ein 44)

45) 46)

Nicht einmal rationale Zahlen existieren bei Euklid, nur Verhaltnisse ganzer Zahlen. Die Nichtexistenz eines Zahlbegris in der Antike, der dem der reellen Zahl ahnelt, hat mehrere Ursachen. Insbesondere aber stehen dahinter die Schwierigkeiten mit dem Grenzwertbegri und dem Problem des Unendlichen, die seit den Paradoxien des Zenon die griechischen Denker, insbesondere auch den ein ureichen Aristoteles, mehr als vorsichtig gemacht haben. Dies bewirkte, da die wagemutigen Konstruktionen der Mathematiker im Umkreis der In nitesimalrechnung von Newton und Leibniz, sowohl der Vorbereiter wie der Pioniere danach, deren Grundlegung im Stil euklidischer Strenge erst im 19. Jh. geschah, in der Antike undenkbar blieben, obwohl der Sache nach ein Archimedes durchaus eine solche Entwicklung in einer experimentierfreudigeren geistigen Umwelt hatte auslosen konnen. An allen Stellen, die aus heutiger Sicht in nitesimaler Natur sind, wie Flachen- und Volumenberechnungen, ndet man bei den Griechen, gebremst durch die Angst vor unendlich langen Konstruktionen, geniale sorgfaltige Klimmzuge, aber keinen Kalkul. bis ins 19. Jh. hinein waren die Termini "Mathematiker\ und "Geometer\ synonym, mathematisch prazise hie more geometrico. [Gesetze 7, 820 b ]: \W bèltioi tÀn 1) machten das Zahlsystem der Maya recht kompliziert. Das chinesische Dezimalsystem hatte einen Ziernaufbau wie die Romer mit Zwischenbasis 5, vgl. die Darstellung chinesischer Stabchenziern in 2.4. Wegen des Fehlens der Null schrieben sie in ihrem Positionssystem Extrasymbole fur die Potenzen von Zehn neben die Ziern. Die Inder hingegen hatten fur jede Zier ein einziges Zeichen, die Zehnerpotenz wurde rein durch die Position der Zier bestimmt; das vereinfachte das Schreiben der Zahlen und auch das Rechnen, wenn man das kleine Einmaleins beherrschte.

2.8.1. Die Liebe der Inder zu groen Zahlen Der arabische Dichter al-Sabhadi, der im Mittelalter in Bagdad lebte, erzahlt eine indische Legende von der Er ndung des Schachspiels in Versen, hier eine Nacherzahlung: Eines Tages erfand ein indischer Gelehrter namens Sessa ben Dahir das Schachspiel. Es wurde dem Konig Schahram von Indien vorgefuhrt, der die Ranesse dieses Spiels und die groe Vielfalt seiner Kombinationsmoglichkeiten ergrundete. Er war so entzuckt, da er seinen Untertanen zu sich befahl, um ihn in eigener Person zu belohnen. r deine bemerkenswerte Er ndung\, sprach der begeister"FuK te onig, "mochte ich dir als Belohnung alles geben, was du .................................................................. ... wunschst. Wisse, da mein Gromut dir gegenuber keine Gren- ... . ... zen kennt.\ ... ... Deine Gute ist gro, o Herr. Soviel werde ich von dir gar ... "nicht ... erbitten. Ich wunsche mir lediglich, da du mir soviele ... ... Weizenkorner gibst, wie notig sind, um die 64 Felder meines ... ... Schachbretts zu fullen, indem du ein Korn auf das erste Feld, ... ... zwei auf das zweite, vier auf das dritte, acht auf das vierte, ... ... sechzehn auf das funfte legst, und so stets weiter fort, mit ... . einer Verdoppelung jedes Mal, wenn du von einem Feld auf .............................................................. das folgende ubergehst.\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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2.8. Die indischen Zahlen

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Bitte scheint mir auerst bescheiden!\ rief der erstaunte Herrscher aus. "Du beleidigst "Deinedurch mich deinen Wunsch, der meines Wohlwollens unwurdig und unbedeutend im Vergleich mit den Reichtumern ist, die ich dir anbieten konnte.\ Aber angesichts des Beharrens Sessas gab der Konig nach und beauftragte den Wesir, rasch den Sack Weizen\ beibringen zu lassen, um den der Weise gebeten hatte. Einige Tage spater fragte" der Herrscher seinen Minister, ob dieser Tolpel Sessa seine magere Belohnung in Empfang genommen habe. Die an Eurem erhabenen Hofe in Dienst stehenden Rechner haben ihre Arbeiten noch nicht "beendet. Sie hoen jedoch vor dem Abendbrot damit fertig zu werden.\ Aber am folgenden Tage war es den amtlichen Rechnern noch nicht gelungen, die Getreidemenge zu bestimmen, die Sessa auszuhandigen war. dauert ein so einfaches Problem so lange?\ fragte der entgeisterte Konig. "Ich befehle, "Warum da diese Angelegenheit morgen abgeschlossen ist!\ Am nachsten Tag war der Befehl noch nicht ausgefuhrt. Voller Zorn entlie der Konig seine Rechner, die er als unfahig ansah. Aber die danach eingestellten neuen Rechner kamen nicht schneller voran. Nach mehreren Tagen ununterbrochener Arbeit trat der Fuhrer der Rechner vor den Herrscher, um das Ergebnis vorzulegen. "Nun\, sprach der ungeduldige Konig, "habt ihr dem braven Sessa gegeben, was ihm zusteht.\ guter Herr, vergebt mir, wenn ich Euch sage, da es unerachtet all Euer Macht und "O, mein Eures Reichtums nicht in Eurer Gewalt steht, eine solche Menge Getreide zu liefern. Wisset denn, selbst wenn ihr alle Getreidespeicher Eures Konigreiches leert, so ware die damit gewonnene Menge lacherlich gering im Vergleich zu jener Forderung; soviel Getreide durfte sich nicht einmal in allen Getreidespeichern samtlicher Konigreiche der Erde nden lassen.\ "Wieviel ist es?\ der Weizenkorner, die sich der Weise ausgebeten hat, betragt genau achtzehn "Die Anzahlvierhundertsechsundvierzig Trillionen, Billiarden, siebenhundertvierundvierzig Billionen, dreiundsiebzig Milliarden, siebenhundertneun Millionen, funfhunderteinundfunfzigtausend sechshundertfunfzehn: 92) 18 446 744 073 709 551 615 Und solltet Ihr darauf bestehen, diese Belohnung auszuhandigen\, fugte das Oberhaupt der Rechner hinzu, "mutet ihr diesen ganzen Weizen in einem Behaltnis von zwolf Billionen Kubikmeter unterbringen und einen Speicher von vier Meter Breite, zwolf Meter Lange und einer Hohe von 250 Milliarden Meter (fast das Doppelte der Entfernung Erde{Sonne) bauen.\ Tatsachlich\, erwiderte der Konig bewundernd, "das Spiel, das dieser Weise erfunden hat, ist "ebenso genial wie sein spitz ndiger Wunsch! Was emp ehlst du mir zu tun, Du weiser Mann, um mich dieser unermelichen Schuld zu entledigen?\ einfach, ich wurde diesem Weisen den Vorschlag machen, Korn fur Korn alles Getreide "Ganz zu zahlen, das er sich von Euch erbat. Denn selbst wenn er ohne Unterla Tag und Nacht daran arbeitete, und in einer Sekunde ein Kornchen zu zahlen vermochte, wurde er binnen sechs Monaten gerade zehn Kubikmeter gezahlt haben, und zahlte hochstens 200 Kubikmeter in zehn Jahren, und eine ganz geringe Menge in all der Zeit, die ihm noch zum Leben verbleibt!\

Mit sehr groen Zahlen, groeren als in den anderen Hochkulturen der Antike 93) , gehen die 92) 93)

der arabische Dichter benutzt hier naturlich arabische Ziern, die ganz anders aussehen als die unseren, obwohl sich unsere Ziern aus den arabischen entwickelt haben. die Sumerer hatten Namen bis 603 und 604 , vgl. 1.10, die A gypter hatten Namen und Zahlzeichen bis 106 [auf dem Knauf der Keule des Konigs Narmer aus der ersten Dynastie, um 2900 v.Chr., wird die Zahl der erbeuteten Ziegen mit 1 420 000 durch Hieroglyphen fur 104 , 105 und 106 angegeben], die Griechen bis 104 | die kunstlichen Zahlsysteme des Apollonios und Archimedes, vgl. 2.5, ohne eigentliche Namen sind isolierte Erscheinungen im Elfenbeinturm der Wissenschaften und trotz innerer Verwandtschaft nicht vom Gewicht der breiten indischen Tradition.

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2. Die Notation der Zahlen

Inder schon in ihrer klassischen Literatur um: In der Verkundigung Gautamas als Buddha heit es: Von 10 Millionen Frauen wird seine Mutter, die Konigin Maya-Devi, bedient. Hunderttausende von Heiligen und Hunderttausend Millionen von Erleuchteten werden Buddha huldigen. Sein Thron ist zusammengesetzt aus den guten Werken wahrend hunderttausend Millionen von kalpas (= mythische 4 320 Millionen Jahre). Der groe Lotos aber, der in der Nacht der Empfangnis des Buddha aufbluht, onet seine Blume in einer Weite von 68 Millionen Meilen.

In der Lalitavistara aus dem 1. Jh.v.Chr. spricht Buddha anlalich einer Prufung von einer Zahlenreihe, die mit 10421 endet, und bestimmt die Zahl der Atome langs einer Meile. Er kommt auf 108 470 495 616 000 Atome, spricht aber auch davon, die Atome auf der Erde zahlen zu konnen. Diese Riesenzahlen treten anlalich der Werbung von Buddha um Gopa, die Tochter des Fursten Dandapani, auf. Ihm wird dabei eine oentliche Prufung seiner Geschicklichkeit abverlangt. Mit funf anderen Bewerbern hat er sich in Schrift, Ringkampf, Bogenschieen, Wettlauf, Schwimmen und in der Zahlenkunde zu messen. In allem besiegt Buddha die Gegner glanzend. Nach dem Wettkampf fordert ihn sein Vater auf, sich mit dem groen Mathematiker Arjuna zu messen, der Zeuge seines Konnens gewesen ist. Dieser fordert ihn auf, die Zehnerpotenzen jenseits von 107 aufzubauen. Die klassischen indischen Namen bis 107 sind 94) 100 = eka 101 = dasa 102 = sata 103 = sahasra 104 = ayuta bei Mahavra: dasa sahasra 105 = laksa bei A ryabhat.a: niyuta 106 = prayuta bei Mahavra: dasa laks.a 107 = kot.i Nun baut Buddha weiter und kommt zu dem folgenden Turm von Zehnerpotenzen (in anderen religiosen Gedichten gibt es andere Rangstufenleitern), jeweils um den Faktor 100 fortschreitend: 107 kot.i 1031 hetuhila 9 10 ayuta 1033 karahu 11 10 niyuta 1035 hetvindriya 13 10 kangkara 1037 samaptalambha 1015 vivara 1039 gananagati 17 10 aksobhya 1041 niravadya 19 10 vivaha 1043 mudrabala 21 10 utsanga 1045 sarvabala 23 10 bahula 1047 visandjnagati 25 10 nagabala 1049 sarvasandjna 27 10 titilambha 1051 vibhutangama 1029 vyavasthanapradjnapti 1053 tallaksana Man sieht die groen indischen Tempelturme (Pagoden) vor sich. Aber Buddha ist noch nicht zu Ende. Dies ist nur die erste Zahlung, die Zahlung tallaksana . U ber ihr liegt die Zahlung dvadjadravati , daruber die Zahlung dvajagranisamani und daruber noch sechs andere Zahlungen. Diese an die Zahlsysteme des Apollonios und Archimedes (2.5) erinnernden Zahlungen fuhren bis zu Zahl 107+9
46 = 10421 94)

auch 108 hat noch einen fast einheitlichen Namen, vgl. die Tabelle am Schlu des Abschnittes.

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2.8. Die indischen Zahlen

Arjuna ist noch nicht zufrieden, er pruft weiter: Buddha soll die Zahl der Atome einer Yoyana (Meile) angeben. Buddha kommt zu folgender Zahlenleiter: 7 Atome geben ein ganz feines Staubchen 7 ganz feine Staubchen geben ein feines macht 72 Atome 7 feine eins, das der Wind noch forttragt macht 73 Atome 7 solche eins von des Hasen Spur macht 74 Atome 7 solche eins von des Widders Spur macht 75 Atome 7 solche eins von des Stieres Spur macht 76 Atome 7 davon ein Mohnkorn macht 77 Atome 7 Mohnkorner ein Senfkorn macht 78 Atome 7 Senfkorner ein Gerstenkorn macht 79 Atome macht 710 Atome 7 Gerstenkorner ein Fingerglied 12 Glieder eine Spanne macht 12
710 Atome 2 Spannen eine Elle macht 2
12
710 Atome 4 Ellen einen Bogen macht 4
2
12
710 Atome 3 1000 Bogen einen `Schrei' (krosa ) macht 10
4
2
12
710 Atome 4 krosas eine Meile (yoyana ) macht 4
103
4
2
12
710 Atome Und Buddha fugt hinzu, so wie er eben die Atome einer Meile gezahlt habe, so konne man die Atome aller wirklichen und sagenhaften Lander auf dieser Erde und sogar auf den 3000 von Tausenden Erden angeben.

Die Mathematiker sind etwas sparsamer mit Namen groer Zahlen als die buddhistischen Theo logen. Im Jahre 498 schreibt der 23-jahrige A ryabhat.a sein Gedicht Aryabhat .ya 95) den altesten bekannten astronomischen Text aus Indien; hier hat die zentrale Periode der Astronomie eine Lange von 1 577 917 500 Tagen. A ryabhat.a war u brigens, was ihm Kritik seiner Nachfolger einbrachte, wie Aristarchos von Samos (3. Jh. v.Chr.) Vertreter eines heliozentrischen Systems, vertrat die Erdrotation und erklarte als erster indischer Astronom die Finsternisse aus der Stellung von Erde, Sonne und Mond zueinander. Bei Srdhara, einem indischen Mathematiker des 9: Jh., gibt es Namen der Potenzen von 10 bis 1017 , bei dem etwas alteren Mahavra bis 1023 . Doch normiert waren die Namen nicht: 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 95)

= = = = = = = = = = = = = = = =

A ryabhat.a arbuda vr.nda

Mahavra arbuda sata-kot.i arbuda nyarbuda kharva maha-kharva padma maha padma ks.oni maha-ks.oni sa_nkha maha-sa_nkha ks.itya maha-ks.itya ks.oba maha-ks.oba

Srdhara dasa-kot.i abja kharva nikharva maha-saroja sa_nku sarita-pati antya madhya parardha

Bhaskara II arbuda abja, padma kharva nikharva maha-padma sa_nku jaladhi, samudra antya madhya parardha

Moderne Ausgabe: K. S. Shukla, K. V. Sharma: Aryabhatya of Aryabata. With the Commentary of Bhaskara I and Somesvara , Indian National Science Academy 77, Delhi 1977. Vgl. auch Kurt Elfering:  Die Mathematik des Aryabhat . a I [Dissertation Regensburg 1975], Munchen: Wilhelm Fink Verlag 1975.

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2. Die Notation der Zahlen

2.8.2. Das indische Dezimalsystem Unser Dezimalsystem beruht auf einem System von zehn Ziern 0, 1, : : : , 9, die zu Folgen zusammengesetzt (naturliche) Zahlen bezeichnen. Dies bedeutet zum einen Bundelung nach Potenzen von zehn, zum zweiten eine gleichbleibende Notation der Vielfachen einer Zehnerpotenz (wie wir sie bei den Babyloniern in 2.6 oder bei den Rechenbrettern in 2.3 gesehen hatten) und zum dritten den Gebrauch der Zier 0, das Zeichen fur eine fehlende Zehnerpotenz (wie wir sie in Babylon und spater bei den griechischen Astronomen in 2.7 gesehen hatten). Alle Ingredienzien zusammen tauchen erstmals bei den Indern auf. In Indien hat es verschiedene Zahlnotationssysteme gegeben. Mit der Eroberung des Indusbecken durch Perserkonig Darius I. um 516 v.Chr. und auch spater unter den Seleukiden wurde aramaisch Amtssprache in Teilen von Indien. Die aramaische Buchstabenschrift wandelte sich im westlichen Indien zur Kharos.t.-Schrift (im Osten herrschte die Brahm-Schrift, die schon fruher aus nordsemitischen Alphabeten entlehnt ist, die Urmutter der meisten der u ber 200 indischen und sudostasiatischen Schriften), das aramaische Zahlenalphabet aber ubernahmen die Inder nicht. In der Kharos.t.-Schrift hatte man Zeichen fur 1, 4, 10, 20, 100, aus denen sich additiv andere Zahlen zusammensetzten. Die Hunderter wurden nicht selbst wiederholt, sondern am Zeichen fur 100 wurde die Vielfachheit angegeben. In der Brahmischrift bilden sich Extrazeichen fur alle Einer von 1 bis 9 heraus; aber wie beim griechischen Zahlenalphabet (und bei der hieratischen Zahlnotation A gyptens) erhalten auch die Zehner von 10 bis 90 eigene Zeichen, doch sind die Zahlzeichen von Buchstaben verschieden. Bei den Hunderten und Tausendern aber beginnt man auf neue Zeichen zu verzichten und versucht, auf die kleineren Zeichen zuruckzugehen, wie es auch den Zahlnamen im Sanskrit entspricht. Mit der Berucksichtigung der Stelle wird die Benennung der Zehnerpotenz uber ussig, der Beginn eines Stellenwertsystems wird sichtbar. Es ist denkbar, wenn auch unbewiesen, da die schlieliche indische Dezimalnotation der Zahlen eine dezimale Anpassung an das babylonische System der Sexagesimalbruche ist. A ryabhat.a (um 500) hat eine besonders ranierte, sonst unbekannte Zahlnotation: Einer und Zehner werden mit Konsonanten ausgedruckt, Vokale dienen der Multiplikation mit Potenzen von 100; so wird jede Zahl durch ein Wort ausgedruckt. A ryabhat.as Kommentator Bhaskara benutzt zu Beginn des 7. Jh. eine vollig andere, weitschwei gere Zahlnotation, ein "Silben\Dezimalsystem: Die Einer werden inklusive der Lucke Null durch Worte (ich will sie ZiernSilben nennen) bezeichnet, wobei ein Zahlwert durch mehrere Worte ausgedruckt werden kann, um sprachliche Freiheit in der Benennung der Zahlen zu haben. Diese Freiheit war notig, weil wissenschaftliche Texte in der Regel in Versform gefat wurden. Hintereinanderstellung dieser Ziern-Silben fuhrten zu Bandwurmwortern, die ein dezimales Stellenwertsystem bildeten, wobei | umgekehrt wie bei uns | die Zahl mit den Einern begann und mit der hochstwertigen Stelle endete. Damit hat Bhaskara ein Dezimalsystem mit "Silben\ statt Ziern. Solch ein System taucht bereits zu Ende des 6. Jh. in der Datierung von Sanskrit-Inschriften in Kambodscha auf. Tatsachlich ist dieses Silben-Dezimalsystem alter als A ryabhat.a: Es taucht bereits im Lokavibhaga auf, einem Sanskrit-Text der Jaina uber Kosmologie, der auf den 25. August 458 datiert ist, wo auch schon die Null mit Silben belegt ist. Neben dem Silben-Dezimalsystem benutzt Bhaskara bisweilen auch ein Ziern-Dezimalsystem, indem er eine mit Silben dargestellte Zahl wie 96) 96)

Hier die in dem Zahlwort vorkommenden "Ziern-Silben\:

2.8. Die indischen Zahlen

79

sunyambarodadhiviyadagniyamakasasarasaradrisunyendurasambarang _ ank _ adrisvarendu daneben auch in Ziernnotation schreibt:

1 779 606 107 550 230 400

In der indischen Ziernnotation wird im Gegensatz zu der Silbennotation jeder Wert einer Zier durch genau ein Symbol, das Einersymbol der Brahmischrift, beschrieben, und die Reihenfolge der Ziern beginnt wie bei uns mit der hochstwertigen. Beide Zahlnotationssysteme bestanden in Indien nebeneinander: Das Silben-Dezimalsystem fur die Sprache und die Formulierung wissenschaftlicher Texte 97) , das Ziern-Dezimalsystem zum Rechnen, wobei die Gestalt der Ziern ortlich und zeitlich variierte. Erste Zeugnisse fur das dezimale indische Ziernsystem sind neben dem Bhaskara-Kommentar aus dem Anfang des 7. Jh. (der nur aus spateren Abschriften bekannt und daher kein sicheres Dokument ist) die folgenden, wobei ich auf die variierende Form der indischen Ziern nicht eingehe, die Ziern vielmehr mit heutigen Symbolen wiedergebe. 1. Auf einer kupfernen Schenkungsurkunde aus Sankheda (Broach in NW-Indien) von Dadda  . 98) III. aus dem Jahr 595 n.Chr. ndet sich die Zahl 346 dezimal als Jahreszahl der Cedi-Ara 2. Im Jahre 662 lobt der syrische Bischof Severus Sebockt, der im Kloster Qen-neshre am oberen Euphrat lebte, die indische Zahlenschreibweise mit neun Ziern (die Null als Platzhalter des Nichts ubersieht der Bischof, wie viele nach ihm): 99) Ich werde hier nicht von der Wissenschaft der Hindu reden, nicht von ihren subtilen Entdeckungen in der Astronomie, die er ndungsreicher sind als die der Griechen und Babylonier, nicht von ihrer wortreichen Art zu zahlen und nicht von ihren Rechenkunsten, die mit Worten nicht zu beschreiben sind. Ich mochte nur von den Rechnungen sprechen, die mit neun Ziern vollzogen werden. Wenn diejenigen, die glauben, deshalb an die Grenzen der Wissenschaft gestoen zu sein, weil sie griechisch sprechen, diese Dinge gekannt hatten, waren sie vielleicht | wenn auch ein wenig spat | uberzeugt worden, da es auch andere gibt, die etwas wissen, nicht blo Griechen, sondern auch Leute anderer Zunge.

3. Indochina und Indonesien standen im ersten Jahrtausend unserer Zeitrechnung stark unter indischem Ein u. Neben einheimischen Zahlnamen und einer einheimischen Zahlnotation wurden hier bei Jahreszahlen die Sanskritnamen und spater die indische Dezimalnotation benutzt. Im Jahr 683 ndet sich die erste Khmer-Inschrift (aus Trapeang Prei, Provinz  100) . Die Ziern Sambor, Kambodscha) mit der dezimalen Jahreszahl 605 der Saka-Ara

97) 98) 99) 100)

sunya [das Leere] = 0 ambara [die Atmosphare] = 0 akasa [der Raum] = 0 viyad [der Himmel] = 0 indu [Mond] = 1 yama [das Urpaar] = 2 agni [(die 3 vedischen) Feuer] = 3 dadhi [Ozean] = 4 sara [(die 5) Pfeile] = 5 rasa [(die 6) Geschmacksarten] = 6 = 6 adri [Berge] = 7 a_nga [(die 6) Korperteile] svara [Vokal] = 7 a_nka [(die 9) Ziern] = 9 Bei Ziernnotation mit ihren variierenden Ziernformen ware die lange U berlieferung der astronomischen Daten in den Sanskrit-Texten kaum so akkurat, wie sie in der Tat ist. Epigraphia Indica , Calcutta 1892 , II.19 F. Nau: Notes d'astronomie Syrienne , Journal Asiatique (10) 16 (1910), 209{228, speziell III. La plus ancienne mention orientale des chires indiens. G. Coedes, H. Parmentier: Listes generales des Inscriptions et des monuments du Champa et du Cambodge , Hanoi 1923, Nr. K 127.

80

2. Die Notation der Zahlen

sind etwas anders als die indischen, doch die Zier Null wird wie bei den alexandrinischen Astronomen (vgl. Ende 2.7) als kleiner Kreis, manchmal auch nur als Punkt, geschrieben. Erste altmalaiische Inschriften, deren Jahreszahl dezimal notiert ist, nden sich in den Jahren 683 (Kedukan Bukit, Palembang, Sumatra), 684 (Talang Tuwo, Palembang) und 686 (Kota Kupur, Insel Bangka), die den Jahren 605 , 606 und 608 der Saka-A ra entsprechen 101) . Die alteste Inschrift aus Java (Dinaya) ist ins Jahr 682 der Saka-A ra datiert (= 760 n.Chr.). Erste dezimal datierte Inschriften der Cham in Vietnam nden sich in den Jahren 813 und 829 christlicher A ra, das sind die Jahre 735 und 751 der Saka-A ra. 102) 4. Needham 103) berichtet, ein Symbol fur die Null sei erwahnt im Khai-Yuan Chan Ching , der groen Sammlung astronomischer und astrologischer Texte, die Chhuthan Hsi-Ta zwischen 718 und 729 n.Chr. zusammengetragen hat. Dieser Autor ist kein Chinese, sein Name ist die chinesische Form des indischen Namens Gautama Siddharta ; er war ein buddhistischer Gelehrter indischer Herkunft, der sich in China niedergelassen hatte und einem astronomischen Kollegium der Hauptstadt der T'ang angehorte. Der sich auf den Chiu Chih -Kalender des Jahres 718 beziehende Teil des Werkes enthalt ein Kapitel u ber die Rechenmethoden der Inder. Der Autor sagt, da die indischen Ziern (im Gegensatz zu chinesischen Zeichen) alle in einem Zug kursiv geschrieben werden und fahrt fort: Wenn die eine oder andere der neun Ziern die Zehn erreicht, wird sie in ein Feld vor die andern Ziern gestellt, umd jedesmal wenn ein leeres Feld in der Reihe auftaucht, wird ein Punkt angebracht, um es symbolisch darzustellen.

5. Eine indische Kupferurkunde aus dem Jahr 737 n.Chr. nennt die Jahreszahl 794 der indischen  in Dezimalnotation. Weitere Kupferurkunden aus den Jahren 753 und 793 Vikrama-Ara  . Andere Kupferurkunden aus n.Chr. nennen die Jahreszahlen 675 und 715 der Saka-Ara dem 8. Jh. nennen die Zahlen 20 und 30 mit der Null als kleinem Kreis. Weitere gefundene indische Kupferurkunden mit dezimalen Zahlen stammen aus den Jahren 815, 837, 917, 933, ::: . 6. Auf einer Steininschrift in dem Vishnu geweihten Vaillabhattasvamin-Tempel bei der Stadt Gwalior (bei Lashkar in Madhya Pradesh, 300 km sudlich von Neu-Delhi) aus dem Jahr 875 n.Chr. (= 932 Vikrama , bei der Inschrift nur in Worten notiert) ndet sich ein SanskritGedicht mit 26 Strophen, die dezimal 1; 2; 3; : : : ; 26 durchnumeriert sind. 104) 7. Eine andere Steininschrift dieses Tempels, die in Ziern auf das Jahr 933 Vikrama (= 876 n.Chr.) datiert ist, nennt Schenkungen von den Einwohnern von Alt-Gwalior an den Tempel. Darunter ist ein Stuck Land fur einen Blumengarten, das 270 hastas lang und 187 hastas breit ist; taglich haben die Gartner von Gwalor 50 Blumengirlanden fur den Tempel zur Verfugung zu stellen. 101) 102) 103) 104)

G. Coedes: Les inscriptions malaises de Crivijaya , Bulletin de l'E cole francaise d'Extr^eme-Orient 30 (1930/31), 29{80. Coedes-Parmentier, loc.cit., Nr. C 37, C 23. vgl. das in 2.4, Funote 80) , zitierte Buch, p.12, 202. Friedrich Hultsch: The two inscriptions of the Vaillabhattasvamin Temple of Gwalior , Epigraphia Indica 1 (1892), 155{162.

2.8. Die indischen Zahlen

81

2.8.3. Die indischen Ziern im arabischen Reich Um das Jahr 630 eint Mohammed die Stamme der arabischen Halbinsel unter einer neuen Religion, dem Islam. In den folgenden hundert Jahren 105) errichten seine Nachfolger ein groes islamisch-arabisches Reich, das von Samarkand, Persien, Syrien bis nach Kleinasien, von A gypten, Nordafrika, Kreta, Sizilien bis nach Spanien und Portugal reicht. Bei ihrem beispiellosen Siegeszug entdecken sie ihnen uberlegene Kulturen und eignen sich die intellektuellen Vorstellungen der unterworfenen Volker in kurzer Zeit an. Zusammen mit den Syrern, Persern, Choresmiern, Juden usw. bauen die Araber eine neue, eigenstandige Kultur auf, deren gemeinsames Band das Arabische als Amts- und Religionssprache ist 106) . In der gesamten islamischen Welt werden seit den Kalifen al-Mans.ur (754{775), Harun ar-Raschd (786{809) und al-Ma'mun (813{833) wissenschaftliche Werke verbreitet, reiche Bibliotheken werden in Bagdad (763 als Hauptstadt von al-Mans.ur gegrundet), in Kairo, spater in Spanien gestiftet, in Bagdad grundet al-Mamun die Akademie bayt-al-h.ikma (Haus der Weisheit) mit Observatorium. Auf die Periode der Eroberungen folgt eine fruchtbare Zeit kultureller Assimilation, die bis ins 13. Jh. hinein anhalt. Die nestorianischen Christen und andere Trager griechischer Kultur wie die Syrer vermitteln den Arabern die Werke der Philosophen und Mathematiker des antiken Griechenland wie Ptolemaios, Eukleides, Aristoteles, Apollonios, Archimedes, Menelaos, Heron und Diophantos. Diese Werke wurden zumeist im 9. Jh. ins Arabische u bersetzt, einige auch fruher. Auch das griechische Zahlenalphabet (2.2) wurde von den Arabern u bernommen. In einer arabischen Handschrift des 9. Jh., einer Evangelienubersetzung, sind die Verse mit griechischen Buchstaben numeriert. Ein wissenschaftlicher arabischer Papyrustext 107) aus dem Jahr 248 der Hedschra (= 862/863 n.Chr.) rechnet ausschlielich im griechischen Zahlenalphabet. Nun haben die Araber auch eine eigene Schrift 108) . Da die arabische Sprache nicht 22, sondern 29 Konso105)

106)

107) 108)

635: Damaskus, Gaza; 637: Jerusalem, Antiochia, Mesopotamien; 641: Alexandria, Persien; 642: A gypten; 644: Libyen; 672{678 erfolglose Belagerung von Byzanz; 697: Karthago; um 700: Algerien, Marokko; 711: Spanien; 716: Lissabon; 720: Narbonne; 732: Karl Martell verteidigt das Frankenreich in der 7tagigen Schlacht zwischen Tours und Poitiers gegen die Araber; 751: Samarkand; 826: Kreta; 827 : Sizilien; 850: Korsika; 870: Malta; 10. Jh.: Sansibar. denn nach Mohammeds Gebot sollten die Volker zum Islam bekehrt werden und die Heilige Schrift, der Koran, nicht ubersetzt werden. Da Griechisch die allgemeine Umgangssprache des Nahen Ostens war, wurden allerdings Bekanntmachungen zunachst in Griechisch veroentlicht. Aber schon im Jahr 706 kam ein Gesetz, wonach alle oziellen Dokumente und A uerungen von Behorden nur in Arabisch erfolgen durften. Eine Ausnahme bildeten die Zahlen, die zunachst weiter in griechisch geschrieben wurden. A gyptische Bibliothek des Vatikan, Nr.283. Zunachst haben die Nabataer, arabische Nomaden, die in den Jahrhunderten um die Zeitwende im Sinai, dem Ostjordanland (Hauptstadt Petra), Sudsyrien und Nordarabien verbreitet waren, eine aus der mittelaramaischen Schrift abgeleitete Schrift entwickelt, deren erste Zeugnisse (Inschriften und Papyri) noch aus vorchristlicher Zeit stammen. Sie hatte die klassischen 22 Buchstaben der phonizisch/hebraisch/aramaisch/syrischen Schrift, vgl. 2.2. In sinaitischen und syrischen Inschriften des 3. und 4. Jh. nehmen Ligaturen zu, hieraus entwickelt sich die arabische Schrift. Im 6. Jh. ndet man die ersten drei Denkmaler in arabischer Schrift. Aus der ersten Schrift haben sich zwei Schrifttypen ausgebildet. Zum einen die ku sche Schrift , benannt nach der Hochschule von Kufa in Mesopotamien, die die Kalligraphie p egte und eine Denkmalsschrift schuf, die auch auf Munzen und besonders fur den Koran benutzt wurde; die Inschrift des Felsendoms (Qubbet-es.-s.ahra ) in Jerusalem auf ihren Erbauer aus dem Jahre 72 der Hedschra (= 691/92 n.Chr.) ist z.B. ku sch. Der andere Typ ist

82

2. Die Notation der Zahlen

nanten kennt, muten neue Zeichen fur die 7 weiteren Konsonanten geschaen werden. Diese wurden an das altsemitische Alphabet angehangt 109) , und nun hatten die Araber 29 Buchstaben, mit denen sie das griechische Zahlenalphabet schon im 8. Jh. als "Abudschad\ ins Arabische ubertrugen. Langsam verdrangte dies das griechische Zahlenalphabet. Bis ins 12. Jh. ist diese Zahlenschreibweise in arabischen Quellen bezeugt (die Bruchrechnung blieb sexagesimal wie bei den babylonischen und griechischen Astronomen). Aber schon seit dem 9. Jh. gab es eine weitere konkurrierende Zahlschreibweise aus Indien, die schlielich den Sieg davon trug. U ber die Beziehung der Araber zu Indien, mit dem besonders uber den 637 von den Arabern gegrundeten Hafen Basra im persischen Golf Handel getrieben wurde, berichtet Abu'l Hasan al-Kifti (1172{1288): Im Jahre 156 der Hedschra (= 773 n.Chr.) kam ein in den Lehren seines Landes sehr bewanderter Mann von Indien nach Bagdad. Diesem Mann war die Methode des Sindhid [arabische Transkription fur Siddhanta ] uber die Berechnung der Bewegungen der Sterne und der Gleichungen mit dem Sinus von Viertel- zu Viertelgrad gelau g. Er kannte auch verschiedene Methoden, Sonnen- und Mond nsternisse sowie den Aufgang des Tierkreiszeichens zu bestimmen. Er hatte eine Kurzfassung eines einschlagigen Werkes, das man einem Fursten namens Figar zuschrieb, erstellt. In dieser Schrift wurden die Kardaga nach Minuten berechnet. Der Kalif [al-Mans.ur] befahl, die indische Abhandlung ins Arabische zu ubersetzen, um den Mohammedanern zu einer genauen Kenntnis der Sterne zu verhelfen. Mit der U bersetzung wurde Muh.ammad ibn Ibrahm al Fazar beauftragt, der erste Mohammedaner, der die Astronomie eingehend studierte.

Der Vater Ibrahim al Fazar soll u brigens als erster ein Astrolab konstruiert haben. Durch alFazaris U bersetzung sind die indischen Ziern in Bagdad bekannt geworden. Dabei wurde die Gestalt der indischen Ziern durch Drehen und andere Variationen verandert. Das (vielleicht nur fur uns) Eigenartige an der indischen Schreibweise in arabischen Texten ist, da die Schrift von rechts nach links lauft, die Zahlen aber von links nach rechts (wie bei uns) geschrieben werden. Das fallt noch heute bei arabischen oder hebraischen mathematischen Texten auf. Der erste Propagator der neuen indischen Zahlschreibweisen und Rechenmethoden war der choresmische Mathematiker Al-Khwarizm (etwa 780{840), der in Bagdad an der Akademie von al-Ma'mun wirkte und der neben der in 3.1 zitierten "Algebra\, neben astronomischen und geographischen Schriften auch ein grundlegendes Buch u ber die indischen Zahlen verfate, die ihm in der indischen Astronomie begegnet waren. Dieses Buchlein ist nur in einer durch Einschiebungen bereits erweiterten lateinischen U bersetzung De numero Indorum per novem literas aus der ersten Halfte des 12. Jh. erhalten, die in einer einzigen Handschrift uberliefert ist: Diese ist im 13. Jh. in der Abtei Bury St. Edmunds geschrieben und im 19. Jh. in der Bibliothek zu 109)

die Neshi-Schrift ("Manuskript-Schrift\), mit starker gerundeten, zierlicheren Formen als die ku sche Schrift, die ebenfalls schon im 7. Jh., und zwar in einem agyptischen Papyrus, bezeugt ist. zumindest zunachst, und dadurch wurden die Zahlwerte der Buchstaben gepragt. Dann aber haben die arabischen Grammatiker des 8. Jh. die Reihenfolge des Alphabetes neu festgelegt, indem man ahnliche Buchstaben in Gruppen zusammenfate. Dadurch erhalt das arabische Alphabet eine Reihenfolge, die sich von der einheitlichen Standardreihung der phonizischen, hebraischen, aramaischen, syrischen, griechischen und anderer antiker Alphabete erheblich unterscheidet. Die Reihung der Buchstaben und der zugehorigen Zahlenwerte entsprechen sich nicht mehr, da der Zahlenwert fruher gepragt war. Da sich die Anordnung des arabischen Alphabets erst allmahlich herausbildete, zeigt die Tatsache, da die im Westen des islamischen Gebietes sich aus der Neshi-Schrift bildende maghrebinische Schrift eine Reihenfolge der Buchstaben aufweist, die der altsemitischen Ordnung viel naher steht.

2.8. Die indischen Zahlen

83

Cambridge wiederentdeckt worden 110) . Die Handschrift ist nicht vollstandig, sie bricht mitten in dem Multiplikationsbeispiel 3 21
8 113 ab, die angekundigten Ausfuhrungen uber die Division und das Wurzelziehen fehlen. Auch fehlen im Text selbst einige Rechnungen in indischer Notation, fur die bereits Platz vorgesehen ist, weshalb aus diesem Text nur die Zeichen fur die Ziern 1, 2, 3, 5, 0 bekannt sind. Doch gibt es funf dem Text nahestehende Handschriften 111) unterschiedlichen Umfanges, die einen Abschnitt aus einer "Einfuhrung in die Astronomie\ von Al-Khwarizm darstellen, in der das Rechnen mit ganzen Zahlen, Bruchen und Wurzeln nach den neuen Methoden gelehrt wird; manche Textstellen und zahlreiche Beispiele sind direkt aus Al-Khwarizm's Buchlein uber die indischen Zahlen ubernommen, so da wir die Cambridger Handschrift leicht erganzen konnen. Hier eine Inhaltsubersicht (die in Klammern stehenden letzten Teile fehlen in der Handschrift): 1. Einfuhrung der indischen Ziern und Erklarung des Stellenwertes. 2. Addition und Subtraktion. 3. Halbieren und Verdoppeln. 4. Multiplikation. 5. Division. 6. Bruchrechnung, indische Sexagesimalbruche. 7. Multiplikation der Sexagesimalbruche. 8. Division der Sexagesimalbruche. 9. Anordnung der Bruche bei Addition, Subtraktion, Verdoppeln, Halbieren. 10. Multiplikation der gewohnlichen Bruche. [11. Division der gemischten Bruche. 12. Ziehen einer Quadratwurzel.]

Der Text der Handschrift aus Cambridge beginnt mit den Worten 112) 110)

111)

112)

Codex Cambridge Un.Lib.Ms.Ji.6.5. Erstausgabe: Baldassare Boncompagni: Trattati d'aritmetica, I. Algoritmi de numero Indorum , Rom 1857, S.1{23. Moderne Ausgabe: Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus. Das fruheste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziern . Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift in Faksimile mit Transkription und Kommentar herausgegeben von Kurt Vogel [MILLARIA, Faksimiledrucke zur Dokumentation der Geistesentwicklung, III], Aalen: Otto Zeller 1963. Wiener Codex Vind. 275 von 1143, Munchener Codex 13021 von 1163/68, Pariser Codex Sorb.980 von vor 1180, der Mailander Codex A sup.3 aus dem 12. und der Munchener Codex 18927 aus dem 13. Jh. Der Wiener Codex wurde herausgegeben von A. Nagl in der Zeitschrift der Mathematik und Physik, Historisch-literarische Abteilung 34 (1889), 129  & 161 .  eine Algorismus-Handschrift des Den alteren Munchener Codex editierte Maximilian Curtze: Uber 12. Jh., Abhandlungen der Geschichte der Mathematik 8 (1898), 1{27. Der Pariser Codex hat den Titel Liber Ysagogorum Alchorismi in artem astronomicam a magistro A. conpositus . Der Text ist vermutlich von Adelard von Bath (um 1075{1160) verfat, der neben philosophischen Schriften auch die Elemente des Euklid aus dem Arabischen ubersetzte, vielleicht auch den in Cambridge gefundenen Algorismus. Benutzt wird diese Handschrift in Heinrich Suter (ed.): Die astronomischen Tafeln des Muhammed ibn Musa al-Khwarizm in der Bearbeitung des Maslama ibn Ahmed  al-Madjriti und der latein. Ubersetzung des Athelard von Bath , Selsk. Skrifter of the Copenhagen Academy, Kopenhagen 1914. Die Mailander Handschrift heit Liber ysagogorum alchwarizmi ad totum quadriuium. DIXIT algorizmi: laudes deo rectori nostro atque defensori dicamus dignas, que et debitum ei reddant et augendo multiplicent laudem, deprecemurque eum ut nos dirigat in semina rectitudinis et ducat in uiam ueritatis, et ut auxilietur nobis super bona uoluntate in his que decreuimus exponere ac patefacere: de numero indorum per .IX. literas, quibus exposuerunt uniuersum numerum suum causa leuitatis atque adbreuiationis,

84

2. Die Notation der Zahlen Algorizmi sprach: Zu Recht loben wir Gott, unseren Beherrscher und Beschutzer, um ihm die Schuld zu erstatten und sein Lob zu vermehren, und bitten ihn instandig, da er uns leite auf der Grundlage der Geradlinigkeit und uns fuhre auf dem Weg der Wahrheit und uns mit gutem Willen helfe in dem, was wir auszufuhren und oen zu legen uns entschieden haben, namlich:

Indische Zahlen mit 9 Ziern

Mit diesen [Ziern, eigentlich Buchstaben] stellen sie ihre allgemeine Zahl in Leichtigkeit und Kurze dar. Naturlich wird dieses Werk dem Fragenden die Arithmetik leichter darstellen, es werden auch sehr groe Zahlen knapp geschrieben, und es werden Multiplikation und Division sowie Summation und Subtraktion etc. in dieser Schreibweise behandelt.

Die vorhandene Null wird ubersehen, sie bezeichnet "nichts\, ist nur ein Platzhalter. Von dieser Null lehrt er 113) Wenn nichts ubrig bleibt [beim Rechnen], so setze ein Kreislein, damit die Stelle nicht leer ist; aber das Kreislein mu stehen, damit nicht, wenn es fehlt, die Stellen vermindert werden und etwa die zweite fur die erste gehalten wird. Von der Gestalt der Ziern, die hier litera, caracter oder gura heien, sagte Al-Khwarizm,

da die neuen Zahlzeichen, vor allem 5, 6, 7 und 8, von den Leuten verschieden geschrieben werden, aber darin kein Hindernis fur die Anwendung als Stellenschrift liege. In der Tat gibt es zwei verschiedene arabische Ausformungen der indischen Ziern, die ostarabischen Ziern der A gypter, Syrer, Turken, Perser und die westarabischen Ziern der Araber in Marokko und Spanien. Die heutigen Ziern der arabischen Welt kommen von den ostarabischen Ziern, die europaischen Ziern sind von den westarabischen Ziern abgeleitet, so da heute wenig A hnlichkeit zwischen beiden Zierntypen besteht. In Deutschland nehmen die Ziern 2, 4 und 5 erst Ende des 15. Jh. die heutige Form an, an gotischen Domen sehen wir vorher mehr oder weniger andere Zierngestalten bei Jahreszahlen.

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland Ein fruhes Auftreten indischer Ziern in der westlichen Welt sind die Beschriftungen der Apices auf dem Rechenbrett des Gerbert um 980, vgl. 2.3.3. Das aber ist eine Randerscheinung, die Wesen und Wert der indischen Notation nicht erkennt. Doch haben die indisch-arabischen Ziern in Westeuropa lange den Beinamen "Apices des Boethius\, auch deshalb, weil ein anonymer Verfasser im 11. Jh. eine (dem Boethius zugeschriebene) Geometrie verfate, in der die neun Ziern als Er ndung der (Neu)Pythagoreer bezeichnet und mit dem Rechenbrett verbunden wurden | was allen antiken Zeugnissen widerspricht. Die erste bekannte europaische Handschrift, die die indischen Ziern enthalt, ist der nordspanische Codex Vigilanus , der im Jahre 976 im Kloster Albeida von einem Monch namens Vigila kopiert wurde. Sie ist in westgotischer Schrift verfat, die Ziern sind den westarabischen Gobar-Ziern sehr ahnlich. Dort heit es (mit heutigen Ziern geschrieben): Scire debemus in Indos subtilissimum ingenium habere. : : : Et hoc manifestum est in novem guris quibus designant unum quemquam gradum. cuius liber gradus quarum. hec sunt forma

ut hoc opus scilicet redderetur leuius querenti arithmeticam, idest numerum tam maximum quam exiguum, et quicquid in eo est ex multiplicatione et diuisione, collectione quoque ac disspersione etcetera. 113) Si nichil remanserit pones circulum, ut non sit dierentia uacua: sed sit in ea circulus qui occupet eam, ne forte cum uacua fuerit minuantur dierentie, et putetur secunda[m] esse prima[m].

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

85

987654321

Ab dem 11. Jh. tauchen diese neuen Ziern hau ger in ganz Europa auf, in leicht variierten Formen. Nachstehend sind einige Ziernformen aus acht Handschriften 114) aufgefuhrt:

Die Wiedereroberung ("Reconquista\) groerer Teile Spaniens (1085 wird Toledo erobert) gab den Europaern die Gelegenheit, sowohl griechisches wie islamisches Wissen aus arabischen Handschriften 115) zu lernen, und festzustellen, da sie viel zu lernen hatten. Die U bersetzerschule um den Erzbischof Raymund von Toledo (1126{1151) mit Plato von Tivoli, Rudolph von 114)

115)

Au osung der Handschriftenbezeichnungen: A1 (1143) Staatsbibl. Wien, Codex Vind. 275, f. 27 r {34 v A2 (1163/68) Bayer. Staatsbibl., Clm. 13021, f. 27{29 A3 (vor 1180) Bibl. nat. Paris, Cod. 16208 (= Sorb. 980), f. 67-71 A4 (12. Jh.) Bibl. Ambrosiana, Mailand, Codex Ambros. A 3 sup., f. 1{20 A5 (13. Jh.) Bayer. Staatsbibl. Clm. 18927, f. 31{33 DA (13. Jh.) UB Cambridge, Codex ms. Ji 6.5, f. 104 r {111 v Vig (976) San Lorenzo del Escorial, Codex Vigilanus Sal (12. Jh.) UB Heidelberg, Kloster Salem 4  Schr. IX, Nr. 23 Die Bibliothek des Kalifats von Cordoba hatte im 10. Jh. etwa 400 000 Handschriften gesammelt, deren Katalog bereits 44 Bande fullte.

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2. Die Notation der Zahlen

Brugge, Daniel von Morley, Robert von Chester, Gerhard von Cremona, unterstutzt von den Juden Abraham bar Chijja und Johannes Hispalensis (von Sevilla), ubertragt arabische Texte uber Philosophie, aber auch Mathematik ins Lateinische. A hnliches geschieht in Sizilien, wo nicht nur arabische Manuskripte, sondern auch byzantinische griechische Kodizes ins Lateinische ubertragen werden. Der Handel mit der islamischen Welt ist ein wichtiger Katalysator bei der Wissensvermittlung.

2.9.1. Die Adaption des indischen Zahlsystems So wird spatestens im 12. Jh. das indische Dezimalsystem und das Rechnen damit weiteren Kreisen der westeuropaischen Gelehrten bekannt. In den Regensburger Annalen des Hugo von Lerchenfeld (Handschrift des 12. Jh.) werden Jahreszahlen wie 1002 und 1056 schon wie heute geschrieben. Der 1143 geschriebene Auszug (Wiener Codex Vind. 275) aus dem Algorismus enthalt eine Einmaleinstafel von 1  1 bis 9  9 in Dezimalziern, die Universitatsbibliothek Heidelberg als Bearbeitung des Algorismus einen 15seitigen Codex des Klosters Salem 116) aus dem spaten 12. Jh., der mit den Worten 117) Incipit liber Algorithmi. Omnis sapientia sive scientia a domine Deo; sicut scriptum est: Hoc quod continet omnia scientiam habet, et iterum: Omnia in mensura et pondere et numero constituisti.

beginnt. Eine Reihe von erweiternden Bearbeitungen der Arithmetik von Al-Khwarizm erscheinen, eine der fruhesten ist von Johannes Hispalensis (y 1153). 118) Leonardo von Pisa entwickelt in seinem Liber abaci von 1202, dem u berragenden Mathematikbuch des europaischen Mittelalters, nicht das Abakusrechnen, sondern das indische Rechnen, das er nicht nur theoretisch, sondern auch in vielfaltigen Anwendungen ausbreitet, so da sein Buch die Fundgrube fur die Bucher der nachsten Jahrhunderte ist. In der Einleitung preist er das indische Rechnen als allen anderen Rechenmethoden, die er sieht als Irrweg ansieht, u berlegen 116) 117)

118)

 einen Codex des Klosters Salem , Zeitschrift fur Mathematik und Physik 10 vgl. Moritz Cantor: Uber (1865). Hier beginnt das Buch des Algorithmus. Alle Weisheit und alles Wissen stammt von Gott dem Herrn; wie geschrieben steht [Weisheit Salomos 1,7]: Was das All umfat, ist voller Weisheit, und weiter [Weish.Sal.11,21]: Alles hast Du eingerichtet nach Ma, Gewicht und Zahl. Allein in Paris gibt es vier Handschriften, die einer Bearbeitung der Arithmetik des Al-Khwarizm durch Johannes Hispalensis zugeordnet werden konnen: Sorb. 972, f.50{81 (Anfang 13. Jh., anonym), Mazarin 3642, f.105{117 (13. Jh., a magistro Johanne ), Sorb. 981, f.1{14 (2. Halfte 13. Jh., a mag. iohe ). Editiert ist die vierte Pariser Handschrift Ms.bibl.nat.anc.fds 7359, f.85{111 (ca. 1300) in Baldassare Boncompagni: Ioannis Hispalensis liber Algorismi de pratica arismetrice , Trattati d'aritmetica 2, Rom 1857, 25{93 ({136). Nur die Seiten bis 93 sind eine Bearbeitung der Arithmetik des Al-Khwarizm. Sie beginnt mit den Worten: Incipit prologus in libro alghoarismi de pratica arismetrice. Qui editus est a magistro Johanne Yspalensi. In der Handschrift Erfurt Amplon.Qu 355, f.85{115 (14. Jh.) wird dieser Text (a magistro G., cremonensi ) dem Gerhard von Cremona zugeschrieben.

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

87

an: 119) 120) In Bugea wurde ich von wunderbarer Meisterschaft in der Rechenkunst mit den neun Figuren der Inder unterwiesen, und diese Methode der Rechenkunst ge el mir viel besser als alle andern; und ich verstand durch sie, was man daruber an Variationen studiert in A gypten, Syrien, Griechenland, Sizilien, der Provence und zu welchem Handelsort ich auch spater eifrig kam und den Streit der Lehrmeinungen kennen lernte. Aber sowohl alles dieses als auch den Algorismus (?) und den Bogen des Pythagoras (= Klosterabakus von Gerbert) erkannte ich gleichsam als Irrlehre im Vergleich zu der Methode der Inder.

Das erste Kapitel des Liber abaci beginnt mit den Worten: 121) Die neun indischen Figuren sind diese: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 . Mit diesen neun Figuren und dem Zeichen 0, welches die Araber Zephirum nennen, lat sich jedwede Zahl schreiben.

Um die Bedeutung Leonardos fur die Rezeption der arabischen Mathematik im mittelalterlichen Westeuropa zu wurdigen, schiebe ich in 2.9.2 einige Notizen u ber sein Leben und Werk ein. Der Scholastiker Johannes de Sacrobosco aus Holywood (y um 1236), einer der beruhmten Lehrer an der Universitat von Paris 122) , schreibt eine Einfuhrung in die indische Zahlschrift 123) , in der er die neuen Zahlen so vorstellt: 124) Man mu wissen, da es gema den 9 Einheiten 9 geltende Zahlzeichen (bedeutliche Figuren) gibt, die die 9 Einer darstellen. Ferner eine zehnte namens theca [ein rundes Brandmal zur Identi zierung Krimineller] oder circulus oder cifra oder Figur des Nichts , weil sie nichts bedeutet. Doch gibt sie an der richtigen Stelle den anderen Figuren den hoheren Wert. Denn eine durch 10 teilbare Zahl kann nicht ohne eine oder mehrere Nullen geschrieben werden.

Der franzosische Minoritenmonch Alexander de Villa Dei, der um 1240 in Paris lehrte, hat das Rechnen mit der neuen Ziernschrift in 244 weit verbreitete Hexameter gebracht, in denen der Konig Algor als Er nder der neuen Kunst erscheint, die selbst "Algorismus\ heit. Der Beginn des Carmen de Algorismo lautet 125) 119)

120) 121) 122) 123) 124) 125)

Ubi (in Bugea) ex mirabili magisterio in arte per novem guras indorum introductus, scientia artis in tantum mihi pre ceteris placuit, et intellexi ad illam, quod quicquid studebatur ex ea apud egyptum, syriam, greciam, siciliam et provinciam cum suis variis modis, adque loca negotiationis tam postea peragravi per multum studium et disputationis didici con ictum. Sed hoc totum etiam et algorismum atque arcus pictagore quasi errorem computavi respectu modi indorum. Allerdings bleibt es das Geheimnis des Leonardo, warum er in der Einleitung den Algorismus verwirft und sein Buch das Liber abaci = "Buch des Rechenbrettes\ nennt, wenn er tatsachlich entgegengesetzt handelt, namlich das Rechenbrett verwirft und das schriftliche Rechnen des Al-Khwarizm lehrt. Novem gure Indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1 . Cum his itaque novem guris, et cum hoc signo 0, quod arabice cephirum appellatur, scribitur quilibet numerus. Sie hatte sich 1206 aus dem Zusammenschlu der Kathedralschule von Notre Dame mit den Klosterschulen von St. Denis, St. Genevieve und St. Victor gebildet und bald in vier Fakultaten [artistae, theologi, decretistae und medici (bis 1270 bei den artistae)] gegliedert. Algorismus vulgaris , Neuausgabe von F. S. Pedersen, Corpus Philosophorum Danicorum Medii Aevi, Pars 1, X:I, Kopenhagen 1983. Sciendum quod iuxta 9 limites 9 inveniuntur gure signi cative 9 digitos representantes qui tales sunt 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 . decima dicitur theca vel circulus vel cifra vel gura nihili quoniam nihil signi cat. ipsa tamen locum tenens dat aliis sigi care. nam sine cifra vel cifris purus non potest scribi articulus. Hier beginnt der Algorismus. Diese neue Kunst heit Algorismus, in der wir aus diesen zweimal funf Ziern 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 der Inder Nutzen ziehen.

88

2. Die Notation der Zahlen Hinc incipit algorismus. Haec algorismus ars praesens dcitur n qua talibus ndorum fruimur bis qunque guris 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Die in den vorstehenden Zitaten rucklau ge Reihenfolge der Ziern ruhrt naturlich von den arabischen Vorlagen her, die diese Ziernfolge von rechts nach links lasen. Der judische Gelehrte Abraham ibn Esra, geboren in Toledo um 1092, unternahm ab 1139 eine groe Reise in den Orient, dann lebte er in Italien und in Sudfrankreich, schlielich in England, wo er 1167 starb. Auf seinen Reisen lie er sich in die Kunst des indischen Rechnens einweihen und legte die Grundregeln in dem Buch der Zahl (Sefer Ha Mispar ) in hebraischer Sprache nieder 126) . Er ersetzte die arabischen Ziern durch die ersten hebraische Buchstaben und fugte die Null hinzu, d.h. seine Ziern waren, in unserer Reihenfolge,

0 0

` a b c d e f g h 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Die Null 0 nannte er galgal (hebraisch: Rad) oder sifra (arabisch: Leere). In Byzanz gibt es ein anonymes Traktat uber indisches Rechnen von 1252, das der byzantinische Monch und Editor Maximus (Manuel) Planudes (um 1255{1305) fur eine eigene Abhandlung uber die indische Rechenweise verwendet. Wahrend die Vorlage aber westarabische Ziern benutzt, wahlt Planudes die ostliche Schreibweise.

2.9.2. Leonardo Pisano Fibonacci Leonardo von Pisa (ca. 1170/1180 { nach 1240) war der bedeutendste Mathematiker des mittelalterlichen Westeuropa. Er entstammt der in Pisa seit dem 11. Jh. nachgewiesenen Familie Bonacci. Statt Fibonacci 127) ndet sich " lio Bonacij\ oder "de liis Bonacij\ auf den Manuskripten seiner Werke. Sein Vater Guilielmo, Sekretar (publicus scriba ) der Republik Pisa, wurde 1192 mit der Leitung von Pisa's Handelskolonie in Bugia (heute Bougie) in Algerien betraut. Er nahm seinen Sohn mit, um ihn die arabische Rechenkunst lernen zu lassen, denn er sollte Kaufmann werden. Dort lernte Leonardo "in einer hervorragenden Schule\ u.a. das Rechnen mit den indischen Ziern (unsere heutigen Dezimalzahlen). Auf Handelsreisen nach A gypten, Syrien, Byzanz, Sizilien und in die Provence erweiterte er seine mathematischen Kenntnisse, verglich die verschiedenen Rechenmethoden (romische Zahlen, Abakus nach Gerbert etc.) und fand keine so gut wie die indische Methode. U ber seine Bucherstudien berichtet er [Scritti II, 228]: "Ich habe das zehnte Buch des Euklid sorgfaltig studiert, bis ich seine Satze meinem Gedachtnis eingepragt und ihren Sinn verstanden hatte\. 126)

moderne Ausgabe von Silberberg: Sefer Ha Mispar. Das Buch der Zahl, ein hebraisch-arithmetisches Werk des Rabbi Abraham Ibn Ezra , Frankfurt/Main 1895. vgl. auch D. E. Smith, Y. Ginsburg: Rabbi Ben Ezra and the Hindu-Arabic Problem , American Mathematical Monthly 25 (1918), 99{108. 127) Der Name Fibonacci\ wurde erst posthum gepragt: Er ndet sich 1765 in einer Dissertation in Pisa, geht von dort in" Enzyklopadien, Biographien und historische Berichte ein, so 1837 in den Apercu historique von Michel Chasles, 1838 bei Gugliemo Libri.

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

89

Um die Jahrhundertwende kehrt Leonardo nach Pisa zuruck. In den folgenden 25 Jahren verfat er mathematische Werke, in denen er nicht nur Schreibweise, Rechenmethoden und Anwendungen der indischen Ziern ausbreitet, sondern ebenso viele algebraische und geometrische Probleme, die er bei griechischen (Euklid, Archimedes, Heron, Diophant) und arabischen Mathematikern (wie Al-Khwarizmi, Al-Nayrizi, Abu-Kamil, Al-Karaji, Al-Khayyami, Banu-Musa) fand; einige seiner Probleme gehen direkt auf indische und chinesische Quellen zuruck, vermutlich ebenfalls durch Araber vermittelt, in einer Reihe von Gebieten geht aber Leonardo deutlich uber seine Vorganger hinaus. 5 Werke von Leonardo sind uberliefert, und in den Scritti di Leonardo Pisano von Baldassare Boncompagni in 2 Banden (Rom 1857/1862) herausgegeben: 1. Liber abaci 1202 (erhalten nur die 2. Au age (Abschrift?) von 1228 = Scritti I, 1{387), die umfangreiche und ein ureiche Einfuhrung in die "moderne\ Rechenkunst in 15 Kapiteln mit indisch-arabischer Zahlenschreibweise, Bruchrechnung, Dreisatz, Kettenbruchen, Primzerlegung, linearen und quadratischen Gleichungen, vielen Aufgaben aus dem kaufmannischen Leben und der Unterhaltungsmathematik, Aufgaben zum chinesischen pRestsatz, p Untersup chung geschachtelter Quadratwurzelausdrucke und hoherer Wurzeln, wie 3 16+ 3 54 = 3 250 etc. Mit diesem vielseitigen Werk, dessen mathematischer Gehalt vorwiegend der arabischen Tradition zu verdanken ist, ist die Mathematik in Westeuropa auf eine neue Stufe gehoben, es ist das Lehrbuch fur die folgenden Generationen. Noch im 16. Jh. wird es beim Schreiben mehrerer Lehrbucher u.a. von Luca Pacioli, Girolamo Cardano, Niccolo Fontana [genannt Tartaglia = Stotterer] und Rafael Bombelli benutzt. Gewidmet ist es Michael Scotus, dem kaiserlichen Hofastrologen, den Dante [Inferno XX, 115 ] in die Holle verbannt. 128) 2. Practica geometriae 1220 (= Scritti II, 1{224) ist ein viel beachtetes Lehrbuch der Geometrie in 8 Kapiteln fur Praktiker und Gelehrte. Es ahnelt im Aufbau und einigen Einzelheiten dem Liber embadorum (1145), Plato von Tivolis lateinische U bersetzung des hebraischen Textes H.ibbur ha-mesih.a we-ha-tisboret von Savasorda (Abraham bar H.iyya ha-Nasi), das fur die Juden in Sudfrankreich (wohin Savasorda von Barcelona ubersiedelte) bestimmt war, da sie "die Regeln der Geometrie nicht kannten und falsche Berechnungen ausfuhrten\, das aus mehreren arabischen Quellen kompiliert war und etwa den geometrischen Lehrsto arabischer Schulen darstellte. Leonardos Buch ist weitreichender und grundlicher als die Vorlage. Es behandelt die ebenen und raumlichen Figuren nach Euklid und Archimedes zusammen mit ptolemaisch-arabischer Trigonometrie (Sinus-Tafel). 129) 3. Flos 1225 (= Scritti II, 227{247) ist eine an Kaiser Friedrich II von Hohenstaufen gerichtete Schrift. Dieser hatte von Leonardos Bedeutung gehort, und ihn als wissenschaftsliebender Herrscher zu sich gerufen, als er um das Jahr 1225 in Pisa Hof hielt. Dabei wurden von Meister Johannes von Palermo Aufgaben gestellt, die Leonardo in dieser Schrift beantwortet, z.B.: i. Die Losung des Systems

x2 + 5 = y2 ; x2 5 = z 2 ; 128)

Fur einen vergnuglichen Streifzug durch dieses Werk mit modernem Kommentar vgl. Heinz Luneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnugen eines Mathematikers , BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1992, 2 1993. 129) Eine moderne Ausgabe gibt G. Arrighi: La pratica di geometria , Pisa 1966.

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2. Die Notation der Zahlen

das zentrale Problem des Liber Quadratorum . Verallgemeinert man es zu x2 + n = y 2 ; x2 n = z 2 (x; y; n 2 IN); so ist es fur n = 5 zum ersten Mal losbar. Der geometrische Ursprung dieses Gleichungssystems ist die Aufgabe: Finde ein rechtwinkliges Dreieck mit rationalen Seiten und Flacheninhalt n . ii. Die Losung der schon bei Omar Kayyam ohne Losung auftretenden kubischen Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20 durch die sexagesimale Naherung x = 1 220 700 42000 330000 400000 40000000 mit einem Fehler in der letzten Zier, etwa 3
10 11 , und einem Beweis dafur, da die Losung weder rational noch eine euklidische Irrationalitat ist. iii. Losungen linearer Systeme. 4. Brief an den kaiserlichen Philosophen Theodoros (undatiert, = Scritti II, 247{252), wo Methoden zur Losung von Gleichungssystemen mit Unbekannten im Anschlu an das Liber abaci , sowie geometrische Probleme im Anschlu an die Practica geometriae diskutiert werden. 5. Liber quadratorum 1225 (= Scritti II, 253{279), das originellste aber wohl am wenigsten gelesene Werk Leonardos, das in die hohere Zahlentheorie einfuhrt durch Betrachtung von Paaren quadratischer Gleichungen mit zwei Unbekannten u.a. Erst Bachet de Meziriacs Ausgabe der Arithmetik von Diophant (1621), die der Ansto fur Fermats zahlentheoretische Studien war, beschaftigt sich wieder mit ahnlichen Problemen. 130) 6. Nicht erhalten sind ein Werk u ber kaufmannisches Rechnen (Di minor guisa ) und eine Abhandlung u ber das X. Buch von Euklids Elementen, wo die geometrische Betrachtung der Irrationalitaten durch eine numerische ersetzt wird. In allen seinen Werken zeigt sich Leonardo nicht als U bersetzer oder Compilator fremder Werke, sondern als eigenstandiger Mathematiker mit tiefgehendem Verstandnis und lebendiger Fantasie in der Bereitstellung von Beispielen und Lehraufgaben. Man mu ihn als einen der bedeutendsten Pioniere fur die mathematische Kultivierung Westeuropas ansehen. In der mathematischen Sprache ist er wie die Araber noch stark Euklid verhaftet: So werden Zahlen als Strecken interpretiert und dann durch Buchstabenpaare (statt durch Buchstaben wie in der heutigen Algebra) bezeichnet. Er fuhrt nach dem Vorbild der Araber eine Bezeichnung 131) fur die Unbekannte ein, kennt aber keine Operationssymbole auer dem Bruchstrich, der bei ihm zum ersten Mal auftritt (mit einer ranierten Form von Bruchrechnung); alles wird also verbal ohne Formeln ausgedruckt 132) . 130) 131) 132)

Eine neuere Ausgabe, deren Kommentar die vorhandenen Verbindungen zur modernen arithmetischen Geometrie weitgehend verschweigt, stammt von L. E. Sigler: The Book of Squares , Boston 1987. meist res , U bersetzung des arabischen sai, das im Italienischen zu cosa , bei den deutschen Rechenmeistern zu Coss wird. Diophant hatte 1000 Jahre zuvor immerhin schon Buchstaben fur die Unbekannte und ihre Potenzen (inklusive reziproke Potenzen) und ein Symbol fur die Subtraktion, war aber kaum weniger verbal als Leonardo in seinen Aufgaben und Losungen. Den heutigen algebraischen Kalkul haben erst Viete und Descartes geschaen.

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

91

Im Liber abaci nden sich sogar, was weder in der griechischen noch in der arabischen 133) Algebra der Fall ist, lineare Gleichungssysteme mit negativen Losungen, z.B.: Von vier Personen und einer von ihnen gefundenen Borse : Sei x1 ; x2 ; x3 ; x4 das Vermogen der vier Personen und b der Inhalt der Borse, dann lauft die Aufgabe ("wenn der Erste die Borse erhalt, hat er doppelt soviel wie der Zweite und Dritte zusammen, : : : \) auf folgendes Gleichungssystem hinaus: x1 + b = 2
(x2 + x3 ) x 2 + b = 3
(x 3 + x 4 ) x3 + b = 4
(x4 + x1 ) x 4 + b = 5
(x 1 + x 2 ) Die Losung dieses homogenen Gleichungssystems ist

x1 : x2 : x3 : x4 : b = 1 : 4 : 1 : 4 : 11 Leonardo beginnt die Losung mit den Worten: "Ich werde zeigen, da diese Aufgabe unlosbar ist, wenn nicht zugelassen wird, da der Erste Schulden hat\. Das letzte Dokument u ber sein Leben stammt aus dem Jahr 1240, wo die Stadt Pisa dem ernsten und weisen Meister Leonardo Bigollo (ein von Leonardo gefuhrter Beiname) ein jahrliches Gehalt von "Libre XX denariorem\ vermacht zusatzlich zu den sonstigen Einkunften, in Anerkennung seiner Verdienste fur die Stadt und ihrer Burger durch sein Lehren und seine Ratschlage.

2.9.3. Die Schwierigkeiten mit der Null now thou art a cipher without gure. I am better than thou art now; I am a fool, thou art nothing. 134)

Shakespeare: King Lear I.4, 214{216

Bei den Indern wurde die Zier Null als sunya (leer) oder sunya-bindu (leer-Punkt) bezeichnet. Die Chinesen u bersetzten dies mit k'ung (= leer) oder wu (= nichts), die Araber mit al-s.ifr (= Leere). In diesem Sinn taucht das Wort cire in den Algorismus-Auszugen aus den Jahren 1143 und 1163 auf. Etwa um dieselbe Zeit tritt die Form cifra im zitierten Codex Salem und 133)

ein einziges Rechenbeispiel mit einer negativen Zahl ist bekannt, bei Abu-l-Wafa (940{998), wo (10 5) (10 3) = 2 auftritt, was als dain = Schuld bezeichnet wird. Im Abendland tauchen negative Zahlen vereinzelt schon im 9. Jh. auf, vgl. M. Folkerts: Pseudo-Beda: De arithmeticis propositionibus. Eine mathematische Schrift der Karolingerzeit , Sudhos Archiv 26 (1972), 22{43. Hier nden sich Rechnungen wie

III V II = IIII 134)

Nun bist du wie eine Null ohne Zier. So bin ich besser als du. Ich bin ein Narr und du bist nichts.

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2. Die Notation der Zahlen

in der Adelard zugeschriebenen lateinischen U bersetzung (vgl. Funote 112) in 2.9.1) der astronomischen Tafeln des Al-Khwarizm auf, sie wird in der 1. Halfte des 13. Jh. von Gernardus 135) und Sacrobosco (vgl. 2.9.1) u bernommen. Im Algorismus des Johannes Hispalensis heit die Null wie in der U bersetzung von Al-Khwarizms Text, vgl. Funote 114) , circulus . Leonardo von Pisa benutzt 1202 in seinem Liber abaci die Bezeichnung cephirum 136) fur die Null. Maximus Planudes (Ende 13. Jh.) benutzt die griechische Form tzÐfra. Aus cephirum entwickeln sich die italienischen Worter zevero (bei Jacobus de Florentia um 1307), cevero (bei Giovanni de Danti aus Arezzo um 1370), ce ro (bei Borghi 1484 137) ). Im 14. Jh. beginnt sich in Frankreich die Bedeutung des Wortes chire, cifra, : : : zu erweitern, und statt der Null alle Ziern der indischen Zahlen zu bezeichnen. Ein Dokument fur diese Entwicklung ist ein aus dem Jahr 1356 stammender Pariser Kodex, in dem Guillelmus Feret, Priester von Amiens, gegen diese Begriserweiterung pladiert: 138) Obgleich blo die zehnte nach dem Autor chifra genannt werden soll, jene 0, die fur sich, wie gesagt, nichts bedeutet, und die anderen neun, namlich 9 8 7 : : : 2 1, Figuren genannt werden, werden dennoch beim Volke, im Sprachgebrauch der Ungebildeten, alle zehn Zeichen chifre genannt. Aber sie sind Figuren!

Die weiterentwickelte Bezeichnung zero ndet sich in Frankreich 1485: 139) Die Ziern bestehen aus 10 Figuren, von denen 9 Bedeutung und Wert haben, wahrend die zehnte nichts gilt; aber sie modi ziert die Bedeutung der anderen und heit zero oder chire.

neben der Bezeichnung chire , die zugleich alle Ziern bedeuten kann. In Italien ndet sich zero 1491 bei Calandri 140) und 1494 bei Luca Pacioli 141) . 135)

136) 137) 138) 139)

140) 141)

Codex Oxford (13. Jh.) beginnt mit den Worten Algorismus magistri Gernardi in integris et minuciis und beschreibt genau den Ziernubertrag bei der Addition; er endet bei dem Ziehen dritter Wurzeln. G. Enestrom (ed.): Der "Algorithmus de integris\ des Meisters Gernardus , Bibliotheca mathematica (3) 13 (1912/13), 289{332.

Das hat nichts zu tun mit dem Wort Zephir = Zephyr [zèfuros, lateinisch favonius], mit dem im Altertum der laue Westwind bezeichnet wurde, dessen Wehen den Fruhling ankundigte. Piero Borghi: Arithmetica , Venedig 1484, Nachdruck Munchen 1964. Quamvis solum decima secundum auctorem debeat nominari chifra, ista 0 , que de se nichil signi cat ut dictum est et alie novem vocantur gure ut iste: 9 8 7 6 : : : 2 1. Sed vulgariter secundum communem usum loquendi ignorancium omnes decem littere appellantur chifre. Sunt gure! Jehan Certain: Le kadran des marchans , Marseille 1485: Et en chires ne sont que dix gures, desquelles les neuf sont signi catives et ont valeur. Et la disiesme ne vault riens, mais elle fait valloir les autres gures et se nomme zero ou chire. Vgl. auch Leo Jordan: Materialien zur Geschichte der Zahlzeichen , Archiv fur Kulturgeschichte 3 (1905), 155{195, hier 190/191. Filippo Calandri: De Arithmetica Opusculum , Florenz 1491, 2 1518. Luca Pacioli (di Borgo): Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalita , Venedig 1494. Anastatischer Nachdruck bei Guanda, Parma 1970. Im Vorspann heit es: Im Jahre des Heils 1494 am 10. November unter der glucklichen Regierung des Dogen und gestrengen "Herrn von Venedig Augustino Barbadico gab der Bruder des Minoritenordens Lucas aus Borgo Sansepolcro, geringer Professor der heiligen Theologie, mit seinem schwachen Verstande aus Mitleid mit den Unwissenden dieses Lehrbuch der gesamten Arithmetik, Geometrie, Verhaltnis- und Proportionenlehre heraus, und indem er den Druckern Tag und Nacht beistand, hat er das Vorgelegte mit eigner Hand verbessert.\

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

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Die Bedeutung des Wortes chire, cifra, cipher, Zier bleibt in den folgenden Jahrhunderten zweideutig. In den Rechenbuchern von Huswirt 142) und Kobel bedeutet cifra bzw. zyer manchmal Null, manchmal eine beliebige Zier, bei Rudol 143) hat Zier nur noch den weiteren Gebrauch fur alle Ziern 0, 1, 2, : : : , 9. Aber cifra ist weiter (Metius 1611, Cavalieri 1643, Herigone 1644) eine gelau ge Bezeichung fur Null, vgl. auch das Shakespeare-Zitat. Noch bei Euler 144) und in der Dissertation von Gau 145) wird die Null cifra genannt. Meinert sagt 1789 in seinem Lehrbuch der Mathematik 146) Das Zeichen 0 heit nach der Abstammung Zier. Das Wort "Null\ erscheint zuerst als nulla in Italien in der Treviso-Arithmetik (s. 2.9.4) von

1478, bei Borghi (s.o.) 1484, bei Luca Pacioli 1494. Chuquet 147) benutzt 1484 fur Null neben der ublichen Bezeichnung chire die Bezeichnungen nulle und gure de nulle valeur . In Deutschland taucht das Wort nulla erstmals in einem deutschen Algorismus von 1483 148) auf, es fehlt im Bamberger Rechenbuch ebenso wie bei Widman, Kobel, Adam Ries, wird aber in vielen Rechenbuchern des 16. Jh. (Boschenstein 1514, Grammateus 1518, Rudol 1526, Apian 1527, Gehrl 1577, : : : ) benutzt. Die im 16. und 17. Jh. gebrauchliche Form nulla verwandelt sich im 18. Jh. in Nulle , z.B. im Wolschen Lexikon 149) oder in Eulers Algebra 150) . In der Bearbeitung des Wolschen Lexikons von 1747 oder im Lehrbegri der gesamten Mathematik , Band I, Greifswald 1767, von Karsten steht einfach "Null\. Die Null ist mit ihrer Erschaung noch nicht so existent wie die anderen Ziern, wie die Zitate bei Al-Khwarizm, Leonardo von Pisa und spater zeigen. Im Carmen de Algorismo des Villa Dei heit es 151) cfra nil sgni cat, dat sgni care sequenti

Die Schwierigkeiten, die der Schreiber des Codex von Salem (12. Jh.) mit dem Zeichen Null hat, druckt er im Epilog theologisch aus: 152) 142) 143) 144) 145) 146) 147) 148) 149) 150) 151) 152)

Johannes S. Huswirt: Enchiridion novus algorismi , Koln 1501. Edition von Johann David Wildermuth, Programm des Koniglichen Gymnasiums in Tubingen, Heinrich Laupp, Tubingen 1865. Christof Rudol: Kunstliche rechnung mit der Zier vnd mit den zal pfenningen sampt der Wellischen Practica vnd allerley fortheil au die Regel de Tri , Wien 1526, Nurnberg 1550, 1557. Leonhard Euler: Observationes analyticae , Opuscula analytica 1 (1783), 85{120 = Opera Omnia I.6, 400{434, hier 402. Carl Friedrich Gauss: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram , Helmstedt 1799 = Werke 3, 1{30, hier S.8, Z.20. Friedrich Meinert: Lehrbuch der Mathematik , 3 Bande, Halle 1789{1795, Band 1: Gemeine und allgemeine Arithmetik , 1789, S.15. Nicolas Chuquet: Le Triparty en la science de nombres , Edition von A. Marre, Bulletino bibliogr. storia scienze mat. s. (= Bull. Boncompagni) 13 (1880), 555{569, 693{814.  ein deutsches Rechenbuch aus dem 15. Jahrhundert , Bibliotheca mathematica (3) 13 Emil Rath: Uber (1912/13), 17{22. Christian von Wol: Mathematisches Lexicon , Leipzig 1716, Spalte 1486. Leonhard Euler: Vollstandige Anleitung zur Algebra , Petersburg 1770, Kap.13, x205. Nichts bedeutet die Null, sondern macht bedeuten die nachste Zier der hoheren Stelle : : : Sic omnis numerus ab una generatur, ipsa a nullo. : : :

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2. Die Notation der Zahlen Jede Zahl entsteht aus der Eins, diese aber aus der Null. : : : Man mu wissen, da in ihr ein groes Heiligtum verborgen ist: Durch das, was ohne Anfang und Ende ist, wird ER, das wahre  und ! , versinnbildlicht; und wie Null sich weder vermehrt noch vermindert, so erhalt ER weder Zu u noch Abgang. Und wie sie alle Zahlen verzehnfacht, so verzehnfacht er nicht blo, sondern vertausendfacht, ja da ich richtiger sage: ER schat alles aus dem Nichts, erhalt und lenkt es.

Gegen Ende des 12. Jh. wettert Alain de Lille (Alanus al Insulis y 1202), Lehrer an der Kathedralschule von Paris, gegen die Einfuhrung der Null. In seinem Planctus Naturae schreibt er uber Zwitterwesen in der Natur und nennt bei den Vogeln die Fledermaus: 153)

Dort nahm die Fledermaus, dieser Hermaphrodit unter den Vogeln, die Stelle der Null bei ihnen ein. In seiner Sprichwortersammlung, dem Liber Parabolarum , heit es: 154) Tersites erhohte die Zahl, nicht die Krafte der Achiver [= Griechen bei Homer]; : : : unnutz ist der Uhu unter den Vogeln, die Drohne unter den Bienen; die Null freut sich, unter den Zahlzeichen mit Bedeutung zu sein, und mochte sich immer wieder einen Platz [mit Bedeutung] anmaen.

In seiner Enzyklopadie vergleicht er sie mit dem (im Franzosischen stummen) Buchstaben H, der kein Buchstabe sei. Im Grunde ist er fur das Abakusrechnen, mit einer Leerstelle statt einem Zeichen fur Null. Gautier de Coincy (y 1236), Prior des Klosters vom Heiligen Medardus in Soissons, schreibt in seinem Miracle de Theophile , da die Rechnung mit dem Algorismus psychische Schaden verursacht: 155) Ich Armer!\ seufzt er, "nun bin ich in der Klemme! "Nun bin ich mattgesetzt, nun bin ich fortgenommen. Hochstehend war ich als Priester und von groem Ruf,

Jetzt habe ich so lang Algorismus getrieben, bis ich selber zur Null geworden bin.

In seinen Marienmirakeln benutzt er die Null als Schimpfwort: 156)

153) 154)

155)

156)

Et sciendum quod in hoc magnum latet sacramentum. Per hoc, quod sine inicio et est et ne: Figuratur ipse, qui est vere alpha et omega, id est sine inicio et ne; et sicut 0 non auget nex minuit, sic ipse nec recipit aucmentum nec detrimentum; et sicut omnes numeros decuplat, sic ipse non solum decuplat, sed milli cat, immo ut verius dicam, omnia ex nichillo creat, conservat neque gubernat. Illic vespertilio, avis hermaphroditica cifri locum inter aviculas obtinebat. Tersites numerum non vires auxit Achivis, Sic inter Scacos Alphinus inutilis extat, Inter aves Bubo, Fucus et inter apes. Inter narrantes cifram iuvat esse guras Et vult multotiens anticipare locum. fet il, or sui en l'angle, "Hasuilas!\ Or ie mas, or" sui ie pris. Haus clers estoie de haut pris. Or ai tant fet par algorisme, Que cifre ai fet de moi mesme;\ Beste cornue est et moutons Et s'est chifre en augorisme Clerc qui se jour de li mesme Ne festoie la mere deu.

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

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Ein Hornvieh! Ein Schaf! Eine Algorismen-Null ist ein Geistlicher, der an solchem Tage nicht die Gottesmutter feiert.

Noch im 15. Jh. schreibt ein gebildeter Franzose 157) uber die "Hochstapelei\ der Null: 158)

Wie die Puppe ein Adler sein wollte, der Esel ein Lowe, die A n eine Konigin | so wollte die cifra eine Figur sein!

Die Hochachtung vor dem Rechnen mit der geheimnisvollen Null dringt bis ins Kirchenlied: Andreas hat gezehlet, Philippus hat gefehlet, sie rechnen wie ein Kind. Mein Jesus kann addieren und kann multiplizieren, auch da, wo lauter Nullen sind.

Eine Schwierigkeit bei der Rezeption der Null bildete, wie wir sehen, die Tatsache, da die ubrigen Ziern auch richtige Zahlen darstellten, die Null hingegen nicht. Aus heutiger Sicht hat die Frage, ob Null eine Zahl ist, prinzipiell nichts mit der Frage zu tun, ob man Null als Zeichen zur Beschreibung von Zahlen benutzt. Ohne die erste Frage zu klaren, hat sich gegen zahe Widerstande und u ber einen langen Zeitraum hinweg die Benutzung der Zier 0 durchgesetzt. Auf die Frage der Null als Zahl kommen wir spater zuruck. 159)

2.9.4. Rechenmeister der italienischen Renaissance Mit den von den Arabern ubernommenen indischen Zahlen begann man das Abacus-Rechnen zu u berwinden, aber sehr langsam. Die ersten, die das Rechnen mit indischen Ziern in groem Stil lehrten, waren die Rechenmeister der italienischen Renaissance, die sich maestri d'abaco nannten, ohne da in erster Linie ein Bezug zum Rechenbrett gemeint war (sowenig wie im Titel des Buches von Leonardo Pisano). In den nationalsprachlichen (privaten) Rechenschulen

orierte die Lehre des Abbacus im Sinne des zitierten Buches von Leonardo von Pisa. Als Unterrichtsmaterial und Nachschlagewerk fur spater wurden Abbacus-Schriften verfat. Darin wird nicht nur die Arithmetik in der indischen Art gelehrt, sondern auch Algebra und Geometrie, dazu Dreisatz, kaufmannisches Rechnen, Unterhaltungsmathematik. Erstmals erwahnt wird eine nationalsprachliche Rechenschule, in der die maestri d'abaco den 10{12jahrigen Sohnen von Kau euten und Handlern die Grundrechenarten beibrachten, in den Statuten von Verona im Jahre 1284. Der erste namentlich bekannte Rechen-Lehrer ist maestro Neri, der 1304 in Florenz wirkte. Schon 1316 schlossen sich die Rechenlehrer in Florenz mit den ubrigen Lehrern zu einer Gilde zusammen. 1343 gab es in Florenz sechs Rechen-Schulen 157) 158) 159)

Henricus Aquipolensis: Lubecca. Ut pupa praesumpsit aquila esse, asinus leo quondam, Simia regnatrix | cifra gura fore. vgl. die in Funote 2) zur Einleitung zu Kapitel 3 genannte Meinung von John Wallis 1657, und die Betrachtungen uber negative Zahlen in 4.3.

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2. Die Notation der Zahlen

mit 1000{1200 Schulern. Leonarda da Vinci hat eine solche Schule besucht, der eine Generation altere Maler Piero della Francesca schrieb zwei solche Abacusbucher (neben Schriften uber mathematische Perspektive und platonische Korper), eines davon wurde 1970 neu aufgelegt. 160) Mit Leonardos Liber abaci von 1202/1228 setzen sich die indischen Zahlen auch in Italien noch nicht allgemein durch. Fur die kleinen Zahlen des Hausgebrauchs tun es die romischen Zahlen noch lange, aber auch bei Kau euten und im Bankwesen ist man etwas skeptisch. Als von einigen Handelshausern die Zahlen indisch geschrieben werden, erlat der Rat von Florenz 1299 eine Verordnung uber das Bankwesen. In diesem Statuto dell'Arte di cambio verbietet er bei Strafe von 20 Solidi fur jeden Versto, die Geldbetrage der Hauptbucher in Ziern zu schreiben und auszuwerfen (modo abaci ), und ordnet an, sie wie fruher in Buchstaben (per literam ) unmittelbar an den Text anzuschlieen. Der Grund fur diese Verordnung ist das Verhindern von Betrug, wie ein altes venezianisches Werk u ber Buchfuhrung schreibt: 161) : : : lequal gure antique solamente si fanno, perche le non si possono cosi facilmente diraudare come quelle dell'abaco moderno, lequal con facilita di una sene [segno] potria fare un'alta, come quella del nulla, dalla qual sene potria far un 6 uno 9 e molte altre si potriano mutare.

Damit ist die Benutzung der indischen Zahlzeichen und des antiken Abacus-Brettes nicht aus dem kaufmannischen Leben verbannt, aber fur Dokumente mute man, wie noch heute auf den Schecks, die Betrage in Worten wiedergeben, oder wenigstens in romischen Zahlen, die als falschungssicherer galten. In den Kontobuchern der Medici von 1406 erscheinen indischarabische Ziern hau g im berichtenden oder beschreibenden Text. Von 1439 an ersetzen sie die romischen Ziern in der Geld- oder Eektivspalte in den Eingangsbuchern, Journalen, Kladden. Aber erst 1482 wurden die romischen Zahlen in der Geldkolonne der Geschaftshauptbucher aller Medici-Kau eute (bis auf eine Ausnahme) abgeschat. Ab 1494 werden nur indisch-arabische Ziern in allen Kontobuchern der Medici verwendet. In Deutschland dauerte es noch langer: Adam Ries (y 1559) durfte als Bergbau-Beamter in seinen Kontobuchern in Annaberg nicht die indisch-arabischen Ziern benutzen, sondern mute sich an die "Schreckenberger Bergordnung\ des Herzogs Georg von Sachsen halten, da nur in "teutscher zal\, also in romischen Zahlen, zu rechnen sei. Es sind 215 italienische Texte uber die Mathematik der Kau eute aus den Jahren 1290 bis 1500 bekannt 162) , 40 aus dem 14. Jh., 55 aus der ersten und 120 aus der zweiten Halfte des 15. Jh. Fruhe Beispiele sind die orentiner Rechenbucher des Paolo Gherardi 163) und des Mathematikers, Astronomen und Dichters Paolo Dogomari, auch Paolo dell'Abbaco genannt 164) , spate 160) 161) 162) 163)

164)

Gino Arrighi (ed.): Piero della Francesca: Trattato d'abaco; dal Cod. Ashb. 280 (359{391) della Bibl. Med. Laur. di Firenze (= Testimonianze di storia della scienza 6), Pisa 1970. Man verwendet einzig und allein die alten Zahlzeichen, weil man sie nicht so leicht falschen kann wie jene der neuen Rechenkunst, bei der man mit Leichtigkeit aus einem Zahlzeichen ein anderes machen kann, wie man etwa aus der 0 eine 6 oder 9 machen und ahnlich viele andere falschen konnte. Warren van Egmond: Practical Mathematics in the Italian Renaissance. A Catalog of Italian Abbacus Manuscripts and Printed Books to 1600 , Florenz 1980. Libro di ragioni , 1328, ed. Warren van Egmond: The earliest vernacular treatment of algebra: The Libro di ragioni of Paolo Gerardi (1328), Physics 20 (1978), 155{189. Gino Arrighi: Due trattati di Paolo Gherardi matematico orentino , I Codici Magliabechiani Cl. XI, nn 87 E 88 (prima meta del trecento) della Bibl. Naz. di Firenze. Atti Accad. Sc. Torino 101 (1967), 61{82. Paolo Dogomari: Trattato d'aritmetica , um 1339. Neuausgabe durch Gino Arrighi, secondo la lezione

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

97

Beispiele aus Florenz sind die z.T. bereits gedruckten Bucher der Bruder Calandri 165) . Der erste mit beweglichen Lettern gedruckte Text uber das Rechnen ist die Treviso-Arithmetik , ein in Treviso (nordlich von Venedig) 1478 gedrucktes Buchlein uber das schriftliche Rechnen. Wie viele Inkunabeln hat es kein Titelblatt, sondern beginnt einfach mit den Worten Incommincia vna practica molto bona et vtilez a cias…aduno …i vuole vxare larte dela mer…adantia.

Eine englische U bersetzung ndet man auf den Seiten 1{12 von David Eugen Smith: A Source Book in Mathematics , vol.I, New York 1929; paperback: Dover 1959.

2.9.5. Deutsche Rechenmeister der Renaissance II. Nach Deutschland gelangte die Tradition der italienischen Rechenmeister erst im 15. Jh., doch wurde hier noch eine ganze Weile das Rechnen auf der Linien, d.h. auf dem Rechenbrett gelehrt, vgl. 2.3.4. Eines der altesten Lehrbucher 166) des indischen Rechnens in Deutschland ist der Algorismus Ratisbonensis , eine im Benediktinerkloster St. Emmeran in Regensburg (Ratisbonum) in den Jahren 1449/50 vom Frater Fridericus Gerhart geschriebene Abhandlung aus drei Teilen: Im ersten Teil wird das Rechnen mit ganzen Zahlen (de integris) gelehrt, eine U berarbeitung des Algorismus vulgaris des Johannes de Sacrobosco, im zweiten das Bruchrechnen (de minutiis), eine U berarbeitung des Algorismus de minuciis (Paris um 1320) von Johannes de Lineriis, im dritten Teil um 350 (die Zahl variiert je nach Handschrift) vermischte Aufgaben (Practica), die sich z.T. ebenfalls schon in alteren Sammlungen nden. Die altesten gedruckten deutschen Rechenbucher widmen sich ebenfalls der neuen Rechenkunst, die, wie Augsburger Stadtrechnungen zeigen, um 1470 in deutsche Schreibstuben dringt. Das alteste Buch ist das Bamberger Blockbuch (1475), 14 Blatter, deren Vorlage ganz aus Holz geschnitten ist 167) . Das erste mit beweglichen Buchstaben gedruckte deutsche Rechenbuch, verfat vom Nurnberger Rechenmeister Ulrich Wagner, ist ein 1482 in Bamberg gedrucktes Buch, von dem nur eine Seite erhalten ist. Die Au age von 1483 ist allerdings in mindestens 3 Exemplaren erhalten. 168) Das Buch zeigt italienischen Ein u, es lehrt die Kau eute die Grundrechenarten mit Neunerprobe, die Bruchrechnung, Dreisatz, Munzumrechnungen, Warenrechnung, Gesellschaftsaufgaben etc. Das Einmaleins wird als "Der grund alles Multiplicirens\ bezeichnet, als 165)

166)

167) 168)

del Cod. Magliabechiano XI, 86 della Bibl. Naz. di Firenze (= Testimonianze di storia della scienza 2), Domus Galilaena, Pisa 1964. Pier Maria Calandri (1419{1467): Tractato d'abbacho , dal Cod. Acq. e doni 154 (sec. XV) della Bibl. Med. Laur. di Firenze ed. Gino Arrighi (= Testimonianze di storia della scienza 7), Pisa 1974. Filippo Calandri: Trattato di aritmetica , Florenz 1491. Nachdruck in 2 Banden (Faksimile und Transskription) von Gino Arrighi, Florenz 1969. [vgl. auch das Zitat in 2.9.3]. s. Kurt Vogel: Die Practica des Algorismus Ratisbonensis. Ein Rechenbuch des Benediktinerklosters Skt. Emmeran aus der Mitte des 15. Jahrhunderts (Schriftenreihe zur bayerischen Landesgeschichte 50), Munchen, Beck 1954. Kurt Vogel (ed.): Das Bamberger Blockbuch: Inc. typ. I 44 der Staatsbibliothek Bamberg. Ein xylographisches Rechenbuch aus dem 15. Jahrhundert , Munchen: Saur 1980. Wagner, Ulrich: Das Bamberger Rechenbuch , Bamberg: Heinrich Petzensteiner 1483. Faksimile-Ausgabe von Kurt Elfering (Nachwort von J. J. Burckhardt), Munchen, Graphos-Verlag 1966. Neuausgabe mit Faksimile von Eberhard Schroder, Berlin: Akademie-Verlag 1988.

98

2. Die Notation der Zahlen

Beispiel einer Multiplikation wird aufgefuhrt

705081  640180 :

640180 51 00 3200 0000 448126 451378

6 2 0 9 0 0 7

4 1 0 0 0

0180 1 440 8 00 0 0 5

7

0

54580

Bereits die Inder (seit Brahmagupta, 7. Jh.) haben mehrere Multiplikationsmethoden dezimaler Zahlen entwickelt, die von Arabern und Europaern ubernommen und variiert wurden, die teils fur das Rechnen auf dem Staubbrett mit Ausloschen von Ziern wahrend der Rechnung, teils fur das Rechnen auf dem Papier geeignet waren. In deutschen Rechenbuchern nden sich neben der obigen Methode insbesondere Verfahren, bei denen man die einzelnen Zeilen unversetzt untereinander schrieb und diagonal addierte. Auch diese Diagonal- oder Netzmethode ndet sich bereits bei Indern und Arabern, z.B. bei dem marokkanischen Astronomen und Mathematiker al-Banna'(1256{1321) 169) und in byzantinischen Handschriften. 170) Das mathematisch interessanteste dieser ersten deutschen Rechenbucher stammt von Johann Widman aus Eger, der 1486 an der Universitat Leipzig Vorlesungen u ber Algebra hielt 171) , wobei er die Arithmetik des Boetius, die Algorismen von Johannes Hispalensis, Sacrobosco und Johannes de Muris, das Bruchrechnen von Jordanus de Nemore und Johannes de Lineriis, die Proportionenlehre von Nicole von Oresme und Thomas Bradwardine, die Algebra des AlKhwarizm in der U bersetzung von Robert von Chester und andere einschlagige Werke benutzte (seine Randbemerkungen in Handschriften dieser Werke sind erhalten, sie waren nach Widmans Tod zeitweise im Besitz von Adam Ries, der die am Rand stehenden Aufgaben Widmans auch in eigene Werke u bernommen hat). 1489 publizierte er in Leipzig ein Rechenbuch, die Behend 169) 170) 171)

Abu al-'Abbas Ah.mad ibn Muh.ammad ibn 'Utman al-Azd ibn al-Banna': Talkh.s a'mal al-h.isab . Herausgegeben und ins Franzosische ubersetzt von M. Soussi, Tunis 1969, S.56 f. vgl. Andre Allard: Les procedes de multiplication des nombres entiers dans le calcul indien a Byzance , Bull. Inst. Historique Belge de Rome 43 (1975), 107{144. Die Universitat Leipzig ist 1409 durch den Auszug der deutschen Magister und Scholaren aus der 1348 gegrundeten Universitat Prag entstanden. Widman ist der erste bekannte Professor der Mathematik in Leipzig, aber nicht im deutschen Sprachraum: An der 1365/1385 gegrundeten Universitat Wien lehrten schon die Mathematiker Johannes von Gmunden (1385{1442), Georg von Peurbach (1423{1461) und Regiomontanus (= Johannes Muller aus Konigsberg in Franken, 1436{1476). In den ersten Jahren der Universitat Wien (und vielen anderen Universitaten) gab es aber keine ausgewiesenen Mathematiker. Unter dem ersten Wiener Rektor Heinrich von Langenstein (1385{1397), der in Paris studiert hatte, wurden die Vorlesungen in der artistischen Fakultat jedes Studienjahr unter den Magistern verlost | kein Dozent hat mehr als einmal eine mathematische Vorlesung gehalten. Auch die genannten mathematici waren nicht auf Mathematik spezialisiert, sondern trugen dazu bei, den humanistischen Geist der Renaissance in Deutschland zu verbreiten: Peurbach schrieb lateinische Gedichte und hielt Vorlesungen uber die Aeneis und Juvenal, Regiomontan wollte uber Vergils Bucolica lesen. Wie nah sich Poetik und Mathematik damals standen, zeigt die Tatsache, da im Jahr 1502 in Wien ein Collegium poetarum et mathematicorum durch Ein u des 1487 in Nurnberg zum ersten deutschen Dichter gekronten Konrad Celtis vom Kaiser eingerichtet wurde, gewissermaen die erste deutsche Akademie der Wissenschaften.

2.9. Das indische Zahlsystem im Abendland

99

und hupsch Rechnung v allen Kaumannschat . Hier nden sich zum ersten Mal im Druck die Symbole + (plus) und (minus) fur die Operationen der Addition und Subtraktion. Zum Einmaleins heit es Lern wol mit vlei da eyn mol eyn. Szo wirt dir alle Rechnung gemeyn. Eine typische Kettenaufgabe aus Widmans Buch sei dem Leser zum Rechnen uberlassen: Geht einer nach Wien auf eine Wechselbank und hat 30 Nurnberger [Pfund] bei sich und spricht zum Wechsler: Gib mir entsprechend viele Wiener [Pfund] dafur. Die Unterweisung in der Munzrechnung sagt [uber die lokalen Umrechnungskurse]: 7 Wiener gelten 9 Linzer, 8 Linzer gelten 11 Passauer, 12 Passauer gelten 13 Vilshofer, 15 Vilshofer gelten 10 Regensburger, 8 Regensburger gelten 18 Neumarkter, und 5 Neumarkter gelten 4 Nurnberger. Wieviel Wiener kommen auf 30 Nurnberger? Das Buch erlebte weitere Au agen 1508 in Pforzheim, 1519 in Hagenau, 1526 in Augsburg, das Kopfblatt der letzten Ausgabe zeigt einen Kaufherrn samt seiner Frau am Tisch mit Federn rechnen, dazu den Titel

Behennde vnnd hŸbs…e Re…nug au„ allen Kau„mans…a„ten

M. D. XXVI.

Im Vorwort kann man lesen, da die Rechenkunst eine wichtige Grundlage nicht nur fur den Kaufmannsberuf, sondern auch fur die Philosophen, Musiker und Astronomen ist: Auch hast du betracht dz der gemayn nutz one Rehnung nitt rechte ordnung kan begreyen. Auch alle ding vo anbegyn der weltschopung in weie der zal geoenbart seyn. Es ist ain Got ain enthalter vn Schoper aller dyng. Es sein zwey scheinbarliche liecht des rmamet Son vn Mon. Es seyn drey person in der hailigen Triualtikait. Vier sein der Element etc. Vn also fur an werden alle ding durch die zale betzaichnet vn vgesprochen. Du hast auch zu hertzen genomen dz alle andre kunst on die kunst der rechnug zu latein Arithmetica genat vnuolkume vnd al an iren glydmassen verschnyten geacht werden vn vil jn in begryen dye on rechnung nyemande vernemen mag. Als wol bekant ist den Maystern naturlicher kunst/ als Philosophis und Dialecticis/ Das bekennen auch Musici das sein die singer vn Astronomi die Stern erkener. Wolche ir kunst one rechnung nie mugen aufurenn. Du sagst auch recht dz der gemayne nutz one rechnung nicht muge in rechter Ordnung muge bestand haben noch ain mensch mitt den andern frydlich beschicken. Vn also endtlich in allen gewerben vn hendle von Notwegen rechnung erfordert wurt.

Ein weiteres fruhes deutsches Rechenbuch, das nur das schriftliche Rechnen lehrt, stammt von dem Theologen Johannes Boschenstein 172) . Es wurde 1514, 1516 und 1518 in Augsburg 172)

1472 in Elingen in einer Tischlerfamilie geboren, studierte Theologie und Hebraisch, u.a. bei Johannes Reuchlin. 1494 zum Priester geweiht, wurde er nicht Pfarrer, sondern Lehrer fur die hebraische Sprache, zunachst in Elingen (der ersten deutschen Stadt, in der schon ab 1475 hebraische Werke im Druck erscheinen konnten). 1505 ging er als Hebraisch-Lehrer und Rechenmeister nach Ingolstadt, 1513 nach Augsburg, wo sein Hebraischbuch Elementale introductorium in hebraeas literas und sein Rechenbuch gedruckt wurden. 1518 erhielt Boschenstein auf Betreiben Reuchlins einen Ruf als Hebraist nach Wittenberg, ging 1521 von dort nach Heidelberg, 1522 ist er in Antwerpen und in Zurich, wo er Zwingli in Hebraisch unterrichtet. Dann ist er Hebraischlehrer in Nurnberg und in Nordlingen, wo er 1540 stirbt.

100

2. Die Notation der Zahlen

aufgelegt (Nachdruck Berlin 1983), das Titelbild der Au age von 1518 zeigt Mann und Frau an einer auf den Tisch gelegten Tafel, auf der die Frau die Division 345 : 246 = 1 Rest 99 nach der damals ublichen Methode des U berwartsdividierens ausfuhrt: 9 /1 /0 9 3/ 4/ /5 j 1 2/ 4/ 6/ Die Restzahlen werden oben angeschrieben, nicht mehr in der Rechnung be ndliche Ziern werden durchgestrichen 173) . Unter dem Bild steht Getrut in der Kayserlien 1 auf den dritten Haufen. Beweis: Die minimale Losung wurde schon im vorigen Beweis beschrieben; sein Studium liefert die hier behauptete Beschreibung der minimalen Losung. Zweite Antwort auf Frage 3: Bei n Scheiben hat das Spiel 2n Stellungen, die wir mit den Zahlen m = 0; : : : ; 2n 1, also n -stelligen Binarzahlen n X m = ("1 : : : "n 1 "n )2 = "i 2n i i=1

numerieren. Bezeichnen wir A als nullten Stab, Z als ersten Stab und H als zweiten Stab, so ist die k -te Scheibe bei der m -ten Stellung auf dem q -ten Stab mit

q

nXk i=1

( 1)i "i + ( 1)n k



"n k+1 + 1 2



mod 3

Beweis: Das ergibt sich aus der ersten Antwort. Die Beantwortung der vierten Frage sei dem Leser uberlassen. Da die Eindeutigkeit der kurzesten Losung nicht mehr gewahrleistet ist, sieht man schon am Beispiel von zwei Scheiben. Zur Geschichte des Binarsystems:

Im Prinzip steht schon hinter der agyptischen Multiplikation eine Vorstellung des Binarsystems, doch hat sich diese Vorstellung dort nie zu einer Zahlnotation verdichtet, diese blieb dem Dezimalsystem treu. Nach Leibniz 188) haben die Chinesen bereits ein Zahlsystem mit der Grundzahl 2 besessen, was Cantor in seiner Geschichte der Mathematik (3.Au ., Band I, p.10, 675) als irrig nachwies. Das dyadische Zahlsystem ndet sich zuerst bei Thomas Harriot (1560{1621), der im 188)

Explication de l'Arithmetique binaire : : : , Histoire de l'Academie Royale des Sciences de Paris 1703 = Leibniz: Mathematische Schriften (herausgegeben von C. J. Gerhardt) Abt.II, Band III (Halle 1863), 223{227. De Dyadicis , ibid. 228{234. De Arithmetica Dyadica , zwei Briefe an Joh. Christ. Schulenburg, ibid. 238{242. Briefwechsel mit Jacob Bernoulli (28.11.1704, April 1705), Math. Schriften, Abt.I, Band III (Halle 1855), 94 . Briefe an Joh. Jac. Hermann, Histoire de l'Academie des Sciences de Berlin 1757 (1759), 471  = Math. Schriften, Abt.I, Band IV, 265 . Lettre sur la philosophie chinoise a M. de Remond, Opera omnia (Genf 1768) IV, Pars I, 207{210.

111

2.10. Heutige Zahlnotationen

Auftrag von Sir Walter Ralegh die Kolonie Virginia verma: In Manuskripten stellt er Konversionstabellen zwischen Dezimal- und Binarzahlen auf. Er beschaftigte sich u brigens auch mit Notationssystemen zur Basis g = 3, g = 4, g = 5 und hoher. Leibniz und viele andere 189) haben sich dann intensiver mit der binaren Zahlnotation beschaftigt. Ihren Siegeszug hat diese Notation aber erst mit der Er ndung der Computer in unserem Jahrhundert angetreten. Information ist im Computer als Folge von 0 und 1 codiert, und bei Zahlen liefert das die binare Zahlnotation. Der Nachteil, da diese Notation sehr lang ist, da schon vierstellige Dezimalzahlen bis zu 14 Stellen in Binarnotation haben, fuhrt dazu, da auch im Umgang mit dem Computer das Binarsystem nicht das fur den Menschen optimale System ist. Daher werden in der Regel mehrere Binarziern zu einer Zier zusammengefat, und man benutzt im Umgang mit dem Computer das Oktalsystem zur Grundzahl 8 und das Hexadezimalsystem zur Grundzahl 16 mit den Ziern Z = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A ; B ; C ; D ; E ; Fg Hier eine Umrechnungstabelle der Zahlen  26 zwischen den Grundzahlen g = 10; 2; 8; 16, die zugehorigen Systeme bezeichnen wir mit D ezimal, B inar, O ktal, H exadezimal: D 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 189)

B 000001 000010 000011 000100 000101 000110 000111 001000 001001 001010 001011 001100 001101 001110 001111 010000 010001 010010 010011 010100 010101 010110 010111 011000 011001 011010 011011 011100 011101 011110 011111 100000

O 001 002 003 004 005 006 007 010 011 012 013 014 015 016 017 020 021 022 023 024 025 026 027 030 031 032 033 034 035 036 037 040

H 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20

D B 33 100001 34 100010 35 100011 36 100100 37 100101 38 100110 39 100111 40 101000 41 101001 42 101010 43 101011 44 101100 45 101101 46 101110 47 101111 48 110000 49 110001 50 110010 51 110011 52 110100 53 110101 54 110110 55 110111 56 111000 57 111001 58 111010 59 111011 60 111100 61 111101 62 111110 63 111111 64 1000000

O 041 042 043 044 045 046 047 050 051 052 053 054 055 056 057 060 061 062 063 064 065 066 067 070 071 072 073 074 075 076 077 100

H 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F 40

Johann Bernhard Wiedeburg (1687{1766), Professor in Jena: De praestantia arithmeticae binariae prae decimali.

112

2. Die Notation der Zahlen

2.10.3. Andere Zahlsysteme 1. Andere Ziffernsysteme: Wir halten die Grundzahl g fest, wahlen aber statt

Z = f0; 1; 2; : : : ; g 1g ein anderes Ziernsystem

Z 0 = fz0 ; z1 ; : : : ; zg 1 g

mit z0 = 0

und versuchen, alle naturlichen Zahlen n 2 IN als Summen

n=

r X i=0

ai gi

mit ai 2 Z 0

darzustellen. An der Darstellung der Zahlen < g sehen wir, da das Ziernsystem Z das einzige ist, wenn wir im Bereich der naturlichen Zahlen bleiben. Wenn wir aber in den Bereich der ganzen Zahlen gehen, sind weitere Ziernsysteme moglich. Damit Z 0 ein mogliches Ziernsystem ist, ist folgende Bedingung zu erfullen: Die kleinsten Zahlen 1; 2; : : : ; g 1 sind durch Z 0 darstellbar.

(y)

Gilt (y), so kann man in einer g -adischen Darstellung

n=

r X i=0

bi z i

mit bi 2 Z

die bi 6= 0 sukzessive, mit b0 beginnend, durch ihre Z 0 -Darstellung ersetzen und erhalt eine g -adische Z 0 -Darstellung von n . Wann ist (y) erfullt? Eine notwendige Bedingung ist folgende: Das System Z 0 mu alle Restklassen modulo g enthalten, d.h. es mu etwa

zi  i mod g gelten. Da diese Bedingung nicht hinreicht, zeigt das Beispiel g = 3 und Z 0 = f0; 2; 2g , denn diese Ziern konnen nur gerade Zahlen darstellen. Wahlt man hingegen Z 0 = f0; 1; 1g , so ist die Bedingung (y) erfullt, jede ganze Zahl n hat eine eindeutige Darstellung als

n=

r X i=0

ai 3i

mit ai 2 f0; 1g

Dies hat schon Leonardo von Pisa (Liber abaci , p.297) zur Losung eines Wageproblems benutzt: Gegeben ist jetzt eine Waage mit zwei Waagschalen, in eine legt man das zu wiegende Gut (Gewurze), in beide kann man geeichte Gewichte legen. Jetzt, so sagt Leonardo, kann man mit den 4 Gewichten 1; 3; 9; 27 Gramm

113

2.10. Heutige Zahlnotationen

alle Waren mit einem Gewicht zwischen 1 und 40 Gramm messen. Allgemein kann man mit den r Gewichten 1; 3; : : : ; 3r 1 Waren mit Gewichten zwischen 1 und (3r 1)=2 Gramm messen. ........... ... ..... .    ............... ... .................... ....... ... .. ... . ...... . ... . ... ... ......... ........ .............. ..... . . .. . .. ... . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . .. .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . ... . . . . ... . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .... ....... ..............

.... ... ... .. .. ... .... .. ... . . . .. ... ... ... ... ... .. . . .. .. .. . . .. ... .. . . ... ... . .. .

... .... ... .... ... ... .. .. . ... . . ... ... .. .. ... ... . ... . .. ... . .. .. ... . ... .. . .. ..

Allgemeiner wird die Bedingung (y) von jedem Ziernsystem Z 0 = fs + 1; : : : ; s + gg mit g < s < 0 erfullt. 2. Gemischte Stellensysteme: Das Stellenwertsystem mit konstanter Grundzahl g kann auch in ein Stellenwertsystem mit variabler Grundzahl verallgemeinert werden. Gegeben ist dabei eine Folge (gi )i0 von Grundzahlen gi 2 IN n f1g , zu jeder Grundzahl gi ein Ziernbereich Zi = f0; 1; : : : ; gi 1g : Dann besitzt jede naturliche Zahl n genau eine Darstellung

n=

r X i=0

zi Gi

mit

Gi =

i Y j =0

gj und zi 2 Zi ; zr 6= 0 :

Beispiele solcher Systeme hatten wir bereits in 1.10/2.6 bei den Sumerern mit g2i = 10 und g2i+1 = 6 gesehen; durch Zusammenfassen zweier benachbarter Ziern wird daraus ein Stellenwertsystem zur festen Grundzahl g = g2i g2i+1 = 60. Ein anderes Beispiel bildeten die Zahlworter der Azteken in 1.6/1.9 mit den Grundzahlen g2i = 5 und g2i+1 = 4; aus ihnen entsteht durch Zusammenfassen ein Stellenwertsystem zur festen Grundzahl g = 20. Sehen wir uns in den verschiedenen Systemen zur Messung von Langen, Flachen, Volumina, Gewichten, Geld um, so nden wir eine Unzahl solcher gemischter Stellensysteme, z.T. ein Gemisch von solchen: Sumerische Langenmae: 1 danna (Meile) = 30 US , 1 US (Lange) = 6 ZIR , 1 ZIR (Seil) = 10 GAR 1 GAR (ca 6 Meter) = 2 gi , 1 gi (Rohr) = 6 kus , 1 kus (Elle) = 30 su-si 1 su-si (Finger) = 6 se (Gran = Gerstenkorn)

Sumerische Gewichte (ab 16. Jh.v.Chr. auch Wahrung):

1 Talent, "Last\ [gu , akkadisch biltu = 30 bis 60 kg] = 60 Minen, steinerne Dattel\ [ma-na , akkadisch manu = 500 bis 1000 g] = 602 Schekel" [gn , akkaddisch siqlu = 8 bis 16 g] = 603 kleine Schekel [gn-tur ] = 3
603 Gerstenkorner [se , akkadisch se'u ]

A gyptische Langenmae:

114

2. Die Notation der Zahlen

c 1 ht ^ (Rute) = 100 mh. , 1 mh. (Elle = 52;3 cm) = 7 ssp , 1 ssp (Handbreit) = 4 db (Finger)

Altgriechische Langenmae:

1 Schoinos [oØnos = Binse, agyptische Meile] = 2 Parasangen 1 Parasange [para‹gghs = persische Meile, bei Heron mÐlion] = 30 Stadien 1 Stadion [ˆdion, dorisch ˆdion, lateinisch spatium, olympisch 192 m, attisch 177 m] = 6 Gewende = 100 Klafter 1 Gewende [plèjron, auch Flachenma "Morgen\ = Quadratgewende] = 100 Fu 1 Meschnur [oinÐon = Strick] = 10 Klafter 1 Klafter [ærguiˆ = Spannbreite der Arme] = 4 Ellen = 6 Fu 1 Elle [p¨qus] = 2 Spannen = 6 Handbreit = 24 Finger 1 Fu [poÔs] = 4 Handbreit = 16 Finger 1 Spanne [ijam  = Handspanne] = 3 Handbreit = 12 Finger 1 Handbreit [palai , von palˆmh = palma = Hand, Faust] = 4 Finger [dˆktuloi]

Altgriechische Wahrung:

1 Talent [tˆlanton = Waage, Last] = 60 Minen = 6000 Drachmen 1 Mine [mn] = 100 Drachmen 1 Drachme [draqm , von drˆgma = Handvoll (?)] = 6 Obolen 1 Obole [æbolìs = Spie, Metallstab mit Marke] = 8 Chalkoi [qalkoÐ = Kupferstucke]

Romische Langenmae:

1 Meile [milia passuum = tausend Schritte] = 8 Stadien = 100 Ruten 1 Stadium [stadium = Rennbahn] = 125 Schritte 1 Trieb [actus (Feldma wie Gewende)] = 12 Ruten = 24 Schritt 1 Rute [pertica = Stange, Merute, auch decempeda = Zehnfu] = 2 Schritt = 10 Fu 1 Schritt [passus = Doppelschritt] = 5 Fu 1 Fu [pes, 29;6 cm] = 12 Zoll [unciae] = 16 Finger [digiti] = 48 Viertelzoll [sicilici]

Romische Wahrung:

1 Aureus = 25 Denare , 1 Denar = 4 Sesterzen , 1 Sesterz = 4 As , 1 As = 12 Unzen

Englische Langenmae: 190)

1 Wegmeile [league = 4828 m] = 3 statute miles 1 britische Meile [statute mile = 1609;341 m] = 8 furlong = 1760 yards 1 Achtelmeile [furlong = Furchenlange = 201;168 m] = 10 chains = 220 yards 1 Mekette [chain = 20;1168 m] = 4 rods = 22 yards 1 Rute [rod = Merute, auch pole oder perch , = 5; 02919 m] = 5 21 yards 1 Yard [yard , sprachverwandt mit "Gerte\ = 91;43992 cm] = 3 Fu 1 Fu [foot = 30; 47997 cm] = 12 Zoll 1 Zoll [inch , von uncia, = 2;539998 cm] = 1000 Mil

Englische Trockenhohlmae: 191) 1 Last/Fuder [load = 1455 ` ] = 5 quarters = 40 bushels 1 chaldron [Ma fur Kohle = 1309;32 ` ] = 36 bushels 1 Quarter [quarter , 290;9 ` ] = 8 bushels = 32 pecks = 64 gallons 1 Fa [barrel = 163;7 ` ] = 18 pecks = 36 gallons 1 Scheel [bushel = 36;368 ` ] = 4 pecks = 8 gallons 1 Peck [peck = Haufen = 9;092 ` ] = 2 gallons 1 Gallone [gallon = 277;4 Kubikzoll = 4;5459 ` ] = 4 quarts = 8 pints 1 Quart [quart = Viertel = 1;1366 ` ] = 2 pints 190) 191)

die US-Langenmae weichen nur minimal ab, 1 yard in den USA sind z.B. 91;44018 cm. sie sind gut 20% groer als die US-Hohlmae gleichen Namens, eine US-Gallone sind 231 Kubikzoll = 3;7854 ` .

115

2.10. Heutige Zahlnotationen

1 Pinte [pint = Schoppen = 0;5683 ` ] = 4 gills [Viertelpinte] Englische Flussigkeitsmae (auer quarter, barrel, bushel, peck, gallon, quart, pint ): 192) 1 Oxhoft [hogshead ] = 52; 5 gallons of beer (238;65 ` ) oder = 54 gallons of cider (245;47 ` ) 1 Viertelpinte [gill = 142 ml] = 5 Flussigunzen 1 Flussigunze [ uid ounze = 28;47 ml] = 8 Schluck 1 Schluck [ uid dram = 3;552 ml] = 60 minims

Fruhere englische Wahrung:

1 Guinee = 21 Shilling , 1 Pfund Sterling = 20 Shilling , 1 Shilling = 12 Pence

Englische Gewichte:

1 Tonne [long ton = 1016;064 kg] = 20 Zentner = 2240 Pfund 1 Zentner [hundredweight long = 50;80 kg] = 4 quarters = 8 stones = 112 pounds 1 Viertelzentner [quarter = 12;70 kg] = 2 stones = 28 pounds 1 Stein [stone = 6;350 kg] = 7 Pfund 1 (englisches) Pfund [pound (av.) = 453;5924277 g] = 16 Unzen 1 Unze [ounce = 28;349 g] = 16 Quentchen [drams ]

Amerikanische Gewichte:

1 (amerikanische) Tonne [short ton = 907;2 kg] = 20 Zentner = 2000 Pfund 1 (amerikanischer) Zentner [hundredweight cental = 45;36 kg] = 4 Viertelzentner = 100 Pfund 1 (amerikanischer) Viertelzentner [quarter = 11;34 kg] = 25 Pfund [pound ]

englische Edelstein- und Apothekergewichte: 1 Pfund [pound troy = 373;2419 g] = 12 Unzen 1 Unze [ounce troy = 31;103 g = 155;5 Karat] = 8 drachms = 20 pennyweights = 24 scruples 1 Drachme [drachm = 3;888 g] = 3 Skrupel = 60 Gran 1 Pfenniggewicht [pennyweight = 1;555 g] = 24 Gran 1 Skrupel [scruple = 1;296 g] = 20 Gran 1 Gran [grain = Kornchen = 64;798918 mg] 3. Das Fibonacci-System: Im 13. Kapitel des Liber abaci des Leonardo von Pisa [2.9.2] ndet sich eine Aufgabe uber die Vermehrung von Kaninchen, deren Losung die Folge (Fn ) der Fibonacci-Zahlen ist, die rekursiv durch F1 = F2 = 1 ; Fn+2 = Fn+1 + Fn (n 2 IN) de niert werden. Der Beginn dieser Folge lautet: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Man kann diese Zahlenfolge als Basis einer additiven Notation naturlicher Zahlen machen durch den folgenden Satz 1: Jede naturliche Zahl ist eindeutig als Summe von Fibonaccizahlen darstellbar, deren

Indizes sich stets um mehr als 1 unterscheiden:

n 2 IN =) 9r 2 IN 9(mi)i=1:::r : n = 192)

in USA ist 1 hogshead = 2 barrels , 1 pint = 16 uid ounces a 29;57 ml.

r X i=1

Fmi

116

2. Die Notation der Zahlen

mit

m1 > m2 > m3 > : : : > mr > 1

mi > 1 + mi+1 Diese Darstellung ist zugleich die kurzeste Darstellung von n als Summe von Fibonacund

cizahlen. Es gibt auerdem eine wohlbestimmte langste Darstellung als Summe von verschiedenen Fibonaccizahlen Fi mit i > 1. Genau fur die Zahlen

Fk 1 =

b(kX 1)=2c i=1

Fk+1 2i

fallen kurzeste und langste Darstellung zusammen. Beweis: U bung. 4. Das Binomialsystem: Statt der Fibonaccizahlen kann man viele andere Zahlenfolgen nden, fur die ein ahnlicher Satz uber eine eindeutige Darstellung gilt. Diese Darstellung ist fur die gewohnliche Arithmetik in der Regel wenig angepat, aber es gibt Situationen, wo man sich solcher Darstellungen mit Erfolg bedient. Eine Serie solcher Darstellungen sei noch genannt, fur jedes d 2 IN hat man eine Binomialdarstellung zum Grad d . Satz 2: Sei d 2 IN.

a) Fur jede naturliche Zahl n 2 IN gibt es eine wohlbestimmte Binomialdarstellung vom Grad d , d.h. eine Darstellung als Summe von nichtverschwindenden Binomialkoezienten        ( d )  ( d 1)  ( j ) n = d + d 1 + ::: + j mit absteigenden Koezienten

(d) > (d 1) > : : : > (j )  j  1 b) Man kann die vorstehende Darstellung auch in der (ebenfalls eindeutigen) Gestalt

n= schreiben. Beweis: U bung.

d X j =1



(j ) j

mit (d) > (d 1) > : : : > (1)  0

Aufgaben zu x2

117

Aufgaben zu x2: 1. Untersuchung der Fibonacci-Zahlen aus 2.10.3.3: a) Zeige, da fur das Verhaltnis des goldenen Schnittes

p

 = 1 +2 5 = 1; 61803 39887 49894 84815 : : : und sein Konjugiertes

p

 = 1  = 1 = 1 2 5 = 0; 61803 39887 49894 84814 : : : gilt: Die Potenzen ( n ) bzw. ( n ) erfullen die Rekursion der Fibonacci-Zahlen:  n+1 =  n +  n

1

b) Folgere daraus die Formel

Fn = p1 5

"

 n+1 =  n +  n

bzw.

p 1+ 5 n 2



1

1

p 2

 # 5 n

p

c) Folgere aus b), da Fn die nachste ganze Zahl bei  n = 5 ist: 

n Fn = p



5

Wegen  5 = 11; 0901 : : : folgt daraus, da es zu jedem s > 1 hochstens funf Fibonaccizahlen mit s Dezimalziern gibt. d) Zeige     1 1 n = Fn+1 Fn F F 1 0 n

n 1

e) Ein n -stockiges Hochhaus in Bayern soll in den Landesfarben wei und blau angemalt werden, so da jeder Stock eine Farbe erhalt, benachbarte Stockwerke aber nicht beide blau sein durfen. Zeige: Bei einem n -stockigen Haus hat man Fn+2 Farbungsmoglichkeiten. f) An einem runden Tisch mit n  2 Stuhlen soll eine Klausur geschrieben werden. Damit keiner beim Nachbarn abguckt, werden keine zwei Examinanden nebeneinander gesetzt. Insbesondere mu die Zahl der Kandidaten zwischen 0 und n2 liegen. Zeige: Die Anzahl der Besetzungsmoglichkeiten fur diesen Tisch unter Klausurbedingungen betragt Fn+1 + Fn 1 . g) (Aus der guten alten Zeit) An einen runden Tisch mit n Stuhlen sollen n Damen und Herren so gesetzt werden, da keine zwei Damen nebeneinander sitzen. Wieviele Besetzungsmoglichkeiten gibt es?

118

2. Die Notation der Zahlen

2. Beweisen Sie die Satze 1 und 2 aus 2.10 uber die Darstellung von Zahlen als Summe von Fibonacci-Zahlen bzw. Binomialkoezienten. 3. Im Dezimalsystem gilt: Die Anzahl aller Ziern in der Folge 1, 2, 3, 4, : : : , 10 k ist gleich der Anzahl aller Nullen in der Folge 1, 2, 3, 4, : : : , 10 k+1 . Zeige dies und verallgemeinere die Behauptung auf eine g -adische Zahlennotation fur beliebiges g . 4. Die Dezimalzahlen > 10, die identische Ziern haben, also

zz ; zzz ; zzzz ; zzzzz ; zzzzzz ; : : :

(1  z  9)

sind nie Quadrate. Fur welche Grundzahlen g gilt die analoge Aussage? 5. Bestimme alle Grundzahlen g , fur die sich die Zahl 1998 mit lauter gleichen Ziern schreiben lat. 6. Betrachten Sie die Folge der Quadratzahlen (an ) = (n2 ): 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169; 196; 225; 256; 289; 324; 361; 400; 441; 484; 529; 576; 625; 676; 729; 784; 841; 900; 961; 1024; : : : : : : a) Gibt es Quadratzahlen, die auf die Ziern 2 oder 3 oder 7 oder 8 enden? b) Sehen Sie Periodizitaten oder andere Symmetrien in den Ziernfolgen? c) Konnen Sie Ihre Beobachtungen beweisen? 7. Sei n der Bruchteil der naturlichen Zahlen r mit 1  r < 10n , die nicht alle 10 Ziern fur die Dezimaldarstellung brauchen. Zeige: a) 1 = : : : = 9 = 1, 10 = 0; 99963712, 20 = 0; 78526 : : : , 30 = 0; 37086 : : : , 40 = 0; 14190 : : : , 50 = 0; 05089 : : : , 100 = 0; 0002656 : : : . b) Die Folge (n ) ist eine Nullfolge. Ist sie monoton? 8. Betrachte die Folge der Gleichungen 9
1 + 2 = 11 9
12 + 3 = 111 9
123 + 4 = 1111 9
1234 + 5 = 11111 und formuliere eine Aufgabe.

Aufgaben zu x2

119

9. Er nde Tabellen der folgenden Art: 9
9 + 7 = 88 98
9 + 6 = 888 987
9 + 5 = 8888 9876
9 + 4 = 88888 98765
9 + 3 = 888888 987654
9 + 2 = 8888888 9876543
9 + 1 = 88888888 98765432
9 + 0 = 888888888 1
1 11
11 111
111 1111
1111 11111
11111 111111
111111 1111111
1111111 11111111
11111111 111111111
111111111 7
7 67
67 667
667 6667
6667 66667
66667 666667
666667 6666667
6666667

1
8+1 =9 12
8 + 2 = 98 123
8 + 3 = 987 1234
8 + 4 = 9876 12345
8 + 5 = 98765 123456
8 + 6 = 987654 1234567
8 + 7 = 9876543 12345678
8 + 8 = 98765432 123456789
8 + 9 = 987654321 = 1 = 121 = 12321 = 1234321 = 123454321 = 12345654321 = 1234567654321 = 123456787654321 = 12345678987654321 = 49 = 4489 = 444889 = 44448889 = 4444488889 = 444444888889 = 44444448888889

10. a) Zeige: Zu jeder naturlichen Zahl n gibt es eine n -stellige Dezimalzahl an aus den Ziern 1 und 2, die durch 2n teilbar ist. b) Fur welche Grundzahlen g auer g = 10 gilt die Behauptung a)? c) Die Zahlen an in a) und b), falls existent, sind eindeutig. Streicht man also fur m < n die ersten m Ziern von an , so erhalt man an m . 11. Sei k < n . Man schreibe eine groe Zahl N auf mit n Dezimalziern:

N = a1 a2 a3 : : : : : : an 1 an Es sollen k Ziern der Zahl so gestrichen werden, da die u brigbleibenden Ziern eine moglichst groe Zahl bilden. Geben Sie einen systematischen Weg zur Losung dieser Aufgabe an. 12. a) Schreibe das geforderte Programm zum Spiel Nim.

120

2. Die Notation der Zahlen

b) Wie gro ist die Gewinnchance fur den Spieler A bei r Haufen, deren Groe jeweils < 2n sein mu? c) Analysiere die folgende Modi kation des Spiels Nim: 193) Gegeben seien 2 Haufen von Steinen, man darf von jeweils von einem Haufen eine beliebige Anzahl von Steinen, oder von beiden Haufen die gleiche Anzahl von Steinen wegnehmen. Was sind jetzt die Gewinnpositionen? Anleitung: Die Gewinnpositionen sind bnc ; bn c mit n 2 IN und p p 1 + 3 + 5 = = 2 und = +1= 2 5 13. Die Originalbeschreibung des Spieles Turm von Hanoi bezeichnet es als vereinfachte Version des Turmes von Brahma in der indischen Stadt Benares. Dieser Turm bestand aus 64 goldenen Scheiben, die durch die Tempelpriester nach obigem Rezept umgelegt wurden. Wielange brauchen die Priester zur Verlagerung dieses Turmes, wenn sie jede Sekunde eine Scheibe tranportieren, Tag und Nacht arbeiten und keinen Fehler machen? 194) 14. Wenn man den Landteil der Erdober ache gleichmaig mit den Weizenkornern, die der gelehrte Er nder des Schachspiels in 2.8.1 von Konig Schahram forderte, bedeckt | wie hoch wurde sich das Weizenmeer u ber dem Erdboden erheben?

193) 194)

W. A. Wytho: A Modi cation of the Game of Nim , Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 7 (1907), 199{ 202. Diese Zeit wurde in den Mythen als Lebensalter der Erde bezeichnet. Wie pessimistisch oder optimistisch ist diese Angabe?

3.1. Alte Schulaufgaben

121

3. Die vollstandige Induktion Nachdem wir uns in den letzten Kapiteln etwas mit der Geschichte des Zahlbegris beschaftigt haben, mit den Namen und den Bezeichnungen der naturlichen Zahlen, wollen wir uns ihnen jetzt von der Seite des Mathematikers nahern. Der U ber u an Zahlen in der uns umgebenden Welt mu zunachst mathematisch gesiebt werden. Oft (bei der Panummer, der Nummer der Straenbahn oder des Autokennzeichens, bei Hausnummer oder Nummer der Haftp ichtversicherung, bei der Codenummer eines Artikels im Supermarkt oder unserer Scheck-Karte) sind die Zahlen, mit denen wir zu tun haben, ihres ursprunglichen arithmetischen Charakters entkleidet und zu bloen Merkmalen und Kennzeichen geworden, die man auch durch Hieroglyphen, Tonsignale oder Duftmarken ersetzen konnte, denen gegenuber Zahlzeichen nur den Vorzug haben, da sie leichter in den Computer einzutippen sind und leichter maschinell weiterverarbeitet werden konnen. Fur den mathematischen Zahlbegri hingegen sind Zahlen Groen, mit denen man rechnen, die man addieren, multiplizieren und miteinander durch groer/kleiner vergleichen kann 1) . Die naturlichen Zahlen stellt sich der Mathematiker als eine unbegrenzte Zahlenfolge 2) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; : : : : : : (1) vor, und bezeichnet die Menge (Gesamtheit, Inbegri) aller naturlichen Zahlen mit IN. Die Griechen haben es abgelehnt, von einer solchen unendlichen Gesamtheit als etwas sinnvoll U berschaubarem zu reden; fur Aristoteles war die Folge (1) unbegrenzt [Špeiron], aber er weigerte 1)

2)

Auch in den nichtarithmetischen Zahlzeichen stecken zahlreiche mathematische Fragestellungen. Der Computer sortiert und manipuliert viele dieser "kennzeichnenden Zahlen\ und diese Operationen haben mathematische Struktur. Auch sonst sind Zeichenfolgen ein Kapitel der Theorie freier Monoide und ihrer Unterstrukturen und mathematischer Behandlung zuganglich. Das aber ist nicht das Thema dieser Vorlesung. Vielfach lat man heute aus gutem Grund die Folge der naturlichen Zahlen mit Null beginnen. Wir werden zwar die Zahl 0 benutzen, aber sie nicht zur Menge IN der naturlichen Zahlen, dem Urmaterial der Zahlentheorie, rechnen, sondern nur zur Erweiterungsmenge IN0 = IN [ f0g . Damit weichen wir von der DIN-Vorschrift ab, nach der 0 2 IN gilt. Historisch gesehen beginnt die Zahlenreihe von den Pythagoreern und Platon an bis ins 16. Jh. hinein (bei Tartaglia, Peurbach, Rudol, Kobel etc.) bei der Zahl 2 und das halt sich partiell bis ins 18. Jh. Es galt das Wort des Aristoteles [Metaphysik N1, 1088 a 6]: "1 ist keine Zahl, sondern der Ursprung der Zahlen\; Gregor Reisch beginnt das Kapitel Arithmetica speculativa seiner bis 1600 immer wieder neu aufgelegten naturwissenschaftlichen Enzyklopadie Margarita Philosophica (Freiburg 1503) mit den Worten: Numerus est unitatum collectio : : : Unitas non est numerus, sed principium numeri. Noch 1740 schrieb Buon im Vorwort zu I. Newton: La methode des

uxions , ed. G.L. de Buon, Paris 1740: L'unite n'est point un nombre . Der in der Bartholomausnacht ermordete Petrus Ramus versucht als erster, eine neue Zahlde nition zu geben, die die 1 als Zahl umfate [Scholarum mathematicorum libri unus et triginta , Basel 1569, x1]: Numerus est, secundum quem unumquodque numeratur. Der von Ramus beein ute Simon Stevin [L'arithmetique , Leiden 1585] ging einen Schritt weiter und de nierte: Nombre est cela, par lequel s'explique la quantite de chascune chose , also: Zahl ist, wodurch sich die Quantitat eines jeden Gegenstandes ausdruckt. John Wallis [Mathesis universalis , Oxford 1657, cap.IV] bespricht ausfuhrlich die Frage, ob 1 eine Zahl sei; er sagt, da principium in zweierlei Bedeutung gebraucht werde, als primum quod sic (das erste, das so ist) und als ultimum quod non (das letzte, das nicht so ist). Bei den Zahlen ist die Null das Prinzip im zweiten, die Eins das Prinzip im ersten Sinne, also sei 1 eine Zahl.

122

3. Die vollstandige Induktion

sich, sie zu einer unendlichen Gesamtheit zusammenzufassen, sie als etwas Fertiges aufzufassen. Noch Gau unterstutzt diese Auassung in einem Brief vom 12.7.1831 an den Astronomen Schumacher in Altona, wenn er sagt: 3) : : : so protestire ich zuvorderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Grosse als einer Vollen-

deten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine facon de parler, indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhaltnisse so nahe kommen als man will, wahrend anderen ohne Einschrankung zu wachsen verstattet ist.

Die Cantorsche Mengenlehre hat gezeigt, da es sehr wohl moglich ist, sinnvolle Aussagen uber solche unendlichen Mengen zu machen, auch wenn niemand behaupten wird, durch die Schaung des Symbols IN wurde man die unendliche Menge der naturlichen Zahlen u berschauen. Wir wollen in diesem Kapitel eine axiomatische Grundlage des Systems der naturlichen Zahlen studieren, die zuerst von Dedekind seit 1872 entwickelt wurde. Die Deduktionen in der Nahe der Grundlagen sind fur den Leser leicht ermudend, weil die zu beweisenden Satze gelau g sind, und weil die Beweisprinzipien sich standig wiederholen, ohne wirklich trivial zu sein. Der Vorteil dieser pedantischen Methode ist, da man am Ende wei, auf welchem Grund man steht. Dies ist, bei der von Aristoteles bis heute andauernden Kontroverse u ber die "Existenz\ unendlicher Gesamtheiten wie der Menge IN der naturlichen Zahlen, eine notwendige Absicherung. Dedekind hat in der Einleitung zu seinem Buchlein Was sind und was sollen die Zahlen seinen Aufbau so beschrieben: Diese Schrift kann jeder verstehen, welcher das besitzt, was man den gesunden Menschenverstand nennt; philosophische oder mathematische Schulkenntnisse sind dazu nicht im geringsten erforderlich. Aber ich wei sehr wohl, da gar mancher in den schattenhaften Gestalten, die ich ihm vorfuhre, seine Zahlen, die ihn als treue und vertraute Freunde durch das ganze Leben begleitet haben, kaum wiedererkennen mag; er wird durch die lange, der Beschaenheit unseres Treppenverstandes entsprechende Reihe von einfachen Schlussen, durch die nuchterne Zergliederung der Gedankenreihen, auf denen die Gesetze der Zahlen beruhen, abgeschreckt und ungeduldig daruber werden, Beweise fur Wahrheiten verfolgen zu sollen, die ihm nach seiner vermeintlichen inneren Anschauung von vorneherein einleuchtend und gewi erscheinen. Ich erblicke dagegen gerade in der Moglichkeit, solche Wahrheiten auf andere, einfachere zuruckzufuhren, mag die Reihe der Schlusse noch so lang und kunstlich sein, einen uberzeugenden Beweis dafur, da ihr Besitz oder der Glaube an sie niemals unmittelbar durch innere Anschauung gegeben, sondern immer nur durch eine mehr oder weniger vollstandige Wiederholung der einzelnen Schlusse erworben ist. Ich mochte diese, der Schnelligkeit ihrer Ausfuhrung wegen schwer zu verfolgende Denktatigkeit mit derjenigen vergleichen, welche ein vollkommen geubter Leser beim Lesen verrichtet; auch dieses Lesen bleibt immer eine mehr oder weniger vollstandige Wiederholung der einzelnen Schritte, welche der Anfanger bei dem muhseligen Buchstabieren auszufuhren hat; ein sehr kleiner Teil derselben, und deshalb eine sehr kleine Arbeit oder Anstrengung des Geistes reicht aber fur den geubten Leser schon aus, um das richtige, wahre Wort zu erkennen, freilich nur mit sehr groer Wahrscheinlichkeit; denn bekanntlich begegnet es auch dem geubtesten Korrektor von Zeit zu Zeit, einen Druckfehler stehenzulassen. d.h. falsch zu lesen, was unmoglich ware, wenn die zum Buchstabieren gehorige Gedankenkette vollstandig wiederholt wurde. So sind wir auch schon von unserer Geburt an bestandig und in immer steigendem Mae veranlat, Dinge auf Dinge zu beziehen und damit diejenige Fahigkeit des Geistes zu uben, auf welcher auch die Schopfung der Zahlen beruht; durch diese, schon in unsere ersten Lebensjahre fallende unablassige, wenn auch absichtslose U bung und die damit verbundene Bildung von Urteilen und Schlureihen erwerben wir uns auch einen Schatz von eigentlich arithmetischen Wahrheiten, auf welche spater unsere ersten Lehrer sich wie auf etwas Einfaches, Selbstverstandliches, 3)

Carl Friedrich Gau: Werke 8 (Leipzig 1900), S.216.

3.1. Alte Schulaufgaben

123

in der inneren Anschauung Gegebenes berufen, und so kommt es, da manche, eigentlich sehr zusammengesetzte Begrie (wie z.B. der der Anzahl von Dingen) falschlich fur einfach gelten. In diesem Sinne, den ich durch die einem bekannten Spruche nachgebildeten Worte ‚eÈ å Šnjrwpos ‚rijmhtÐzei

bezeichne, mogen die folgenden Blatter als ein Versuch, die Wissenschaft der Zahlen auf einheitlicher Grundlage zu errichten, wohlwollende Aufnahme nden, und mogen sie andere Mathematiker dazu anregen, die langen Reihen von Schlussen auf ein bescheideneres, angenehmeres Ma zuruckzufuhren.

In diesem Kapitel werden die auf Dedekind zuruckgehenden Peano-Axiome vorgestellt, deren zentraler Kern das Induktionsaxiom ist. Daher werde ich mich auch intensiver mit dem verschiedenen Gebrauch des Wortes "Induktion\ auseinandersetzen. Bei der Behandlung von Beispielen und Aufgaben greife ich, schon um die Pedanterie etwas aufzulockern, ohne Bedenken auf bekannte Zahleigenschaften zuruck, die im konsequenten Aufbau erst an spaterer Stelle kommen.

3.1. Alte Schulaufgaben Bevor wir uns mit der axiomatischen Grundlegung des Gebaudes der naturlichen Zahlen beschaftigen, wollen wir die Bekanntschaft mit diesen Zahlen als mathematischen Objekten etwas auffrischen. Hier sind einige Schulaufgaben, die man nicht nur lesen, sondern auch losen soll. Beim Losen beachte man, welcher Art die Methoden zur Begrundung der Losung sind. Bei einigen der Aufgaben (andere sind mehr aus historischem Interesse oder als Denksport genannt) wird man schon an der Aufgabenstellung erkennen, da es sich um Aufgaben handelt, die eine immer wiederkehrende, iterative Kette ahnlicher Schlusse erfordern, bei denen man die Zahlreihe, jeweils um einen Schritt fortschreitend, langsam abarbeitet. Diese Art zu schlieen hat in der Mathematik den Namen "vollstandige Induktion\. Sie ist ein so typisches Beweisverfahren fur Aussagen uber naturliche Zahlen, da wir die Axiomatik der naturlichen Zahlen auf dieser Beweismethode aufbauen. 1. ["Aufgabe uber die Vogel\, die einem Werk von Hsu Yueh aus dem 2. Jh. entnommen sein soll, und zuerst in dem Arithmetischen Handbuch von Chang Ch'iu-chien (Chang Ch'iu-chien suan-ching , um 475) erschien:] Fur 100 Munzen kauft man 100 Vogel, namlich Hahne, Huhner und Kucken. Ein Hahn kostet 5 Munzen, eine Henne 4 Munzen, 4 Kucken 1 Munze. Wieviele Hahne, Hennen und Kucken? Die folgenden funf Aufgaben sind den Propositiones ad acuendos iuvenes (= Aufgaben zur Scharfung des Geistes der Junglinge) 4) entnommen, die der englische Monch Alkuin (eigentlich Alchvine), Leiter der beruhmten Schule von York, verfat haben soll, den Karl der Groe 781 in Parma traf und den er zum Leiter der Aachener Palastschule berief. 4)

Alcuini Opera Omnia , 2 Bande, ed. J. P. Migne, Paris 1851, Menso Folkerts: Die alteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache: Die Alkuin zu geschriebenen "Propositiones ad acuendos iuvenes\ , Osterreichische Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, Denkschrift 116 (1978), 6. Abhandlung, 13{80

124

3. Die vollstandige Induktion

2. Aufgabe 13: Von einem Konig und seinem Heer: Ein Konig be ehlt seinem Werber, aus 30 Dorfern ein Heer auszuheben, und zwar soll er aus jedem Dorf zusatzlich soviel Manner herausholen, wie er hineingefuhrt hat. 3. Aufgabe 18: Von Wolf, Ziege und Kohlkopf: Ein Mann mute einen Wolf, eine Ziege und einen Kohlkopf u ber einen Flu bringen und konnte nur ein Boot nden, in dem er nur jeweils eines davon mitnehmen konnte; er darf den Wolf nicht mit der Ziege und die Ziege nicht mit dem Kohlkopf alleine lassen. 4. Variante: Aufgabe 17: Drei Geschwisterpaare wollen in einem einzigen Boot, das nur zwei Personen fat, einen Flu uberqueren; eine Frau darf mit einem Mann nur in Gegenwart des eigenen Bruders zusammen sein. 5. Aufgabe 42: Von einer Leiter mit 100 Sprossen: Eine Leiter hat 100 Sprossen. Auf der ersten sitzt eine Taube, auf der zweiten Sprosse sitzen zwei Tauben, auf der dritten Stufe sitzen drei Tauben, : : : , auf der hundertsten Stufe sitzen 100 Tauben. Wieviele Tauben sind es im ganzen? 6. Aufgabe 47: Vom Bischof, der 12 Brote an den Klerus verteilen lat: Ein Bischof lat 12 Brote an 12 Kleriker verteilen, und zwar erhalt jeder Presbyter 2 Brote, jeder Diakon ein halbes Brot und jeder Lektor ein viertel Brot. Wieviele Presbyter, Diakone und Lektoren sind es? Die nachsten beiden Aufgaben entstammen dem Buch al-Kitab al-mukhtas.ar f h.isab al-jabr wa'l-muqabala (wortlich: ,,Kurzgefates Buch der Rechenverfahren der Erganzung und gegenseitigen Ausgleichung\), das der aus Khiwa 5) stammende Mathematiker Abu 'Abdallah Muh.ammad ibn Musa Al-Khwarizm zu Beginn des 9. Jh. in Bagdad als Einfuhrung in die damalige Algebra 6) schrieb und seinem Kalifen Al-Ma'mun widmete. 7) 7. Unter einige Madchen werde eine Dirhem 8) so verteilt, da jede den gleichen Teil erhalt. Nimmt man ein weiteres Madchen hinzu und verteilt wieder gleich, so erhalt jede eine sechstel Dirhem weniger. 5) 6) 7)

8)

damals Khwarizm genannt, ein Hauptort der nordiranischen Choresmier, der 712 von den Arabern erobert wurde, indem sie einen Machtkampf in der regierenden Dynastie ausnutzten. die ihren Namen al-jabr = al-gebr vom Titel dieses Buches hat; der Name Al-Khwarizm des Autors (latinisiert Algorismi) ndet sich in unserem Wort Algorithmus , dessen Schreibweise also auf falscher Etymologie beruht; vgl. dazu die Ausfuhrungen uber Algorismen in 2.8/2.9. In der Einleitung heit es uber den Zweck des Werkes: ,Es beschrankt sich auf die anmutigsten und geschatztesten Methoden dieser Arithmetik, die standig benotigt werden in Fallen einer Erbschaft, bei Legaten, Teilungen, Prozessen und im Handel, im taglichen Umgang der Menschen, bei der Landvermessung, dem Kanalbau, bei geometrischen Berechnungen und anderen Objekten verschiedenster Art und Weise.` ursprunglich eine Munzeinheit, entspricht der griechischen Drachme; wird jedoch auch als abstrakte Einheit verwendet.

3.1. Alte Schulaufgaben

125

8. Ich habe 10 Dirhem in zwei Teile geteilt, und habe diesen durch jenen und jenen durch diesen dividiert. Die Summe der Divisionen ist zwei und ein Sechstel Dirhem. 9. Im 2. Rechenbuch von Adam Ries (1522) heit es: Spricht einer: Gott gru euch alle, ihr 30 Gesellen. Kommt die Antwort: Waren wir noch einmal und noch einhalb mal so viel, als wir sind, waren wir 30. Wieviele sind es? 10. Im Schatzkastlein des Rheinischen Hausfreundes schreibt Johann Peter Hebel 1803 9) : Erstes Rechenexempel:

Man sollte nicht glauben, da ein Mensch, der auf leichtfertigen Wegen sein Gluck sucht, mit lauter Gewinnen immer verlieren und zuletzt um Habe und Vermogen dabei kommen kann. Aber die Sache hat Grund. Man erzahlt, da ein Mensch, der sich lieber im Muiggang durch schlechte Mittel als durch Flei und Arbeit ernahren wollte, einen Bund mit dem bosen Geist gemacht habe. Der Mann wohnte an einem Wasser, und der Bose versprach ihm, alles bare Geld, das er im Hause habe, zu verdoppeln, wenn er damit u ber die Brucke gehe, und verlange nichts dafur, als da er ein 24-Kreuzerstuck davon ins Wasser werfe, wenn er wieder u ber die Brucke zuruckgehe, und das durfe er wiederholen, seinetwegen sooft er wolle. Der Einfaltige schlagt mit Freuden ein, sucht alles bare Geld im Hause zusammen, macht die erste Probe, und diesmal scheint der schwarze Feind ehrlich zu sein, denn er halt Wort, und der andere naturlicherweise auch. Wie oft und lange mag nun der Gluckliche seinen Gang u ber die Brucke hin und her wiederholen? Solange es gut geht, solange er etwas hinuberzutragen hat, dreimal in allem. Denn als er zum drittenmal mit seiner verdoppelten Barschaft zuruckkehrte und das drittemal den ausbedungenen Bruckenzoll ins Wasser warf, so hatte der bose Feind sein Geld alles rein und bar bis auf den letzten Heller, und der arme Betrogene ging leer nach Haus und hatte nichts mehr in den Strom zu geben, wenn er u ber die Brucke ging, als Tranen u ber seine letzte verlorene Barschaft. | Wer rechnen kann, wird's bald heraushaben, wieviel der Betrogene zum erstenmal Geld u ber den Strom zu tragen hatte, und da alles naturlich zuging. Zur Kontrolle der eigenen Losungen hier eine knappe Zusammenstellung von Losungshinweisen zum Vergleich:

zu Aufgabe 1:

Mit x Hahnen, y Hennen und z Kucken kommt man auf das lineare Gleichungssystem x + y + z = 100 5x + 4y + z=4 = 100 : Setzt man z = 100 (y + z) in die zweite Gleichung ein, erhalt man 19x + 15y = 300 : Diese Gleichung zeigt, da x durch 15 teilbar und < 20 ist. Die einzige Losung in naturlichen Zahlen ist also x = 15, y = 1, z = 84.

zu Aufgabe 2:

Aus dem ersten Dorf kommen 2 Mann heraus, aus dem zweiten 4, aus dem dritten 8, : : : , aus dem 30ten Dorf kommen 230 = 1 073 741 824 Manner.

9)

eine verwandte Aufgabe steht schon bei dem armenischen Mathematiker Anania Schirakazi (7. Jh.).

126

3. Die vollstandige Induktion

zu Aufgabe 3:

Wahlt man die horizontale Achse als Zeitachse, lat sich eine mogliche Abfolge der Fahrten von Wolf W, Ziege Z und Kohlkopf K uber den Flu so symbolisieren: WZK

WK WK ? ?Z y

Welche anderen Losungen gibt es?

W

W

Z

x ? ?

? ?K y

x ?Z ?

? ?W y

Z

Z

K

K

Z

x ? ?

? ?Z y

WK WK WKZ

zu Aufgabe 5:

Es sind 1 + 2 + : : : + 100 = 5050 Tauben. Besser als die Summation von 100 Zahlen ist es, die Formel n X n(n + 1) i= 2 i=1 zu nden und zu zeigen.

zu Aufgabe 6:

Sind es x Presbyter, y Diakone und z Lektoren, so kommt man auf die Gleichungen x + y + z = 12 2x + y=2 + z=4 = 12 also 8x + 2y + z = 48, Subtraktion gibt 7x + y = 36. Also ist y 1 durch 7 teilbar, wegen y < 12 kommt nur y = 1 oder y = 8 in Frage. Aus y = 8 folgt x = 4 und z = 0, letzteres ist unzulassig. Also ist y = 1, x = 5 und z = 6 die einzige Losung.

zu Aufgabe 7:

Oenbar ist die Anzahl x der Madchen gesucht. Die Aufgabe fuhrt in unserer Notation auf die Gleichung 1 1 =1 ; x x+1 6 also auf die quadratische Gleichung x(x + 1) = 6, was x = 2 und x = 3 als Losung hat. Naturlich kommt Al-Khwarizm nur auf die Losung x = 2.

zu Aufgabe 8:

Die Aufgabe fuhrt auf das Gleichungssystem

das zu der Folge der Gleichungen

x + y = 10 x y + =21 y x 6

x 10 x 13 10 x + x = 6 (10 x)2 + x2 = 13 6 x(10 x) 12 x2 120 x + 600 = 130 x 13 x2 25 x2 + 600 = 250 x x2 + 24 = 10 x fuhrt, also zu x = 5  1, d.h. fx; yg = f4; 6g .

zu Aufgabe 9:

Die Aufgabe fuhrt auf die Gleichung

 1 + 1 + 12
x = 30 ; also x = 12. Die Aufgabe ist hier aufgefuhrt, um das mathematische Niveau der Rechenbucher der Rechenmeister des 16. Jh. zu demonstrieren, im Vergleich mit den mittelalterlichen Rechenbuchern eines Alkuin, Al-Khwarizm, die ihrerseits nicht den Standard der klassischen griechischen Mathematik erreichten.

zu Aufgabe 10:



Die Barschaft des Einfaltigen betrug anfangs 21 Kreuzer.

127

3.2. Die Peano-Axiome

3.2. Die Peano-Axiome 3.2.1. Zahl und Zeit Die naturlichen Zahlen 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; : : : : : :

(1)

entstehen durch einen sich periodisch wiederholenden zeitlichen Vorgang, z.B. durch das Marschieren und P anzen von Kilometersteinen langs der Zahlengeraden: 1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 







::::::

!

(1)0

abstrakt gesprochen durch einen mit 1 beginnenden Zahlproze. Auch die Abfolge der Tage auf dieser Erde bildet ein traditionelles Schema fur die Bildung eines Zahlprozesses (1). Diese Verbindung von Zeitbegri und Zahlbegri ndet sich seit dem Altertum: Aristoteles sagt: 10) Die Zeit ist Zahl einer Bewegung nach dem Fruher und Spater. Das Mehr und Weniger namlich beurteilen wir durch die Zahl, das Mehr und Weniger der Bewegung aber durch die Zeit.

Kant sieht umgekehrt die Zeit als Vorbedingung der Zahl an: 11) Nun sind Raum und Zeit diejenigen Anschauungen, welche die reine Mathematik allen ihren Erkenntnissen und Urteilen, die zugleich als apodiktisch und notwendig auftreten, zum Grunde legt; denn Mathematik mu alle ihre Begrie zuerst in der Anschauung, und reine Mathematik in der reinen Anschauung darstellen, d.i. sie konstruieren. : : : Arithmetik bringt selbst ihr Zahlbegrie durch sukzessive Hinzusetzung der Einheiten in der Zeit zustande.

Helmholtz sieht den Zahlbegri durch den Zahlproze mit der Zeit verbunden: 12) Das Zahlen ist ein Verfahren, welches darauf beruht, da wir uns im Stande nden, die Reihenfolge, in der Bewutseinsinhalte zeitlich nach einander eingetreten sind, im Gedachtnis zu behalten. Die Zahlen durfen wir zunachst als eine Reihe willkurlicher Zeichen betrachten, fur welche nur eine bestimmte Art des Aufeinanderfolgens als die gesetzmaige oder nach gewohnlicher Ausdrucksweise ,naturliche` von uns festgehalten wird.

Brouwer sieht in dem Zeiterlebnis den Ursprung der Zahlen: 13) : : : that mathematics is a languageless activity of the mind, having its origin in the basic

phenomen of the perception of the move of time, which is falling apart of a life moment into two dierent things, one of which gives way to the other, but is retained by memory. If the two-ity thus born is divested of all quality, there remains the common substratum of all two-itys, the mental creation of the empty two-ity. : : : [Durch Wiederholen dieses Aktes entstehen die naturlichen Zahlen.]

10) 11) 12) 13)

[Physik 219 b 1{2] toÜto gˆr âin å qrìnos, ‚rijmäs kin ws kat€ tä prìteron kaÈ Õeron. Immanuel Kant: Prolegomena zu einer jeden kunftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten konnen , Riga 1783, x10. Hermann von Helmholtz: Zahlen und Messen, erkenntnistheoretisch betrachtet . Philosophische Aufsatze, Leipzig 1887, Nachdruck Darmstadt 1959. Luitzen Egbertus Jan Brouwer: Points and Spaces , Canadian Journal of Mathematics 6 (1954), 1{17.

128

3. Die vollstandige Induktion

3.2.2. Ordinalzahlen, Kardinalzahlen Aristoteles 14) unterscheidet zwischen den Zahlen, mit denen wir zahlen, und den gezahlten Zahlen. Diese Unterschiede lassen sich auch sprachlich belegen: Die zahlenden Zahlen sind eins (én), zwei (dÔo), drei (treØs), vier (tèttares), : : : , die gezahlten Anzahlen sind Einzahl (monˆs), Zweizahl (duˆs), Dreizahl (triˆs), Vierzahl (tetrˆs), : : : . Die mathematische Interpretation dieses Unterschiedes ist folgende: Die zahlenden Zahlen sind die Ordinalzahlen, die einem Zahlproze bzw., in der Sprechweise der Mengenlehre, dem Ordnungtyp einer geordneten Menge entsprechen; man verschat sich eine Vorstellung von der Vielfalt einer Menge M (etwa die Horer einer Vorlesung), indem man durchzahlt oder sie sich in eine Liste eintragen lat, und sie dabei in eine mit 1, 2, 3, : : : numerierte Ordnung bringt. Die Anzahlen sind die Kardinalzahlen, die die Machtigkeit einer Menge bestimmen; man kann die Anzahl der Markstucke in einer groen Parkuhr dadurch bestimmen, da man die Gesamtheit wiegt und durch das Gewicht eines einzelnen Markstucks dividiert, man mu sie dazu nicht in eine bestimmte Reihenfolge bringen. Man kann die Gleichheit zweier Anzahlen auch ohne Benutzung von Zahlnamen feststellen, etwa bei Tausch einer Ziegen- gegen eine Schafherde durch direktes Gegenuberstellen der einzelnen Schafe und Ziegen. Fur die Mathematik ist der zweite, abstraktere Aspekt des Zahlbegris der wichtigere, weil grundlegendere: Zwei Mengen heien gleichmachtig, wenn zwischen ihnen eine Bijektion existiert. Die Gleichmachtigkeit ist eine A quivalenzrelation, jeder Klasse gleichmachtiger Mengen M wird ein abstraktes Objekt, ihre Machtigkeit jM j , zugeordnet, so da die Gleichung

jM j = jN j die Gleichmachtigkeit der Mengen M und N bedeutet. So ist die "Dreizahl\ das Gemeinsame, das allen Mengen mit 3 Elementen zukommt. Bei endlichen Mengen ist dieser Aspekt durch die ursprunglichere Auassung von der zahlenden Zahl erfat: Ist n eine naturliche Zahl und hat man eine Menge M der Machtigkeit n , d.h. mit n Elementen, so zahlt man bei jeder Abzahlung der Menge M , in welcher Reihenfolge man auch die Elemente von M anordnet, von 1 bis n . Der elementarere und in vielen Anwendungen (wo Zahlen als Numerierungsmittel dienen) zentralere Begri von naturlicher Zahl ist der ordinale. Kronecker schreibt 15) Den naturgemaen Ausgangspunkt fur die Entwicklung des Zahlbegris nde ich in den Ordnungszahlen. In diesen besitzen wir einen Vorrath gewisser, nach einer festen Reihenfolge geordneter Bezeichnungen, welche wir einer Schaar verschiedener und zugleich fur uns unterscheidbarer Objekte beilegen konnen.

3.2.3. Die Axiome von Dedekind{Peano Die vorzustellenden Peano-Axiome modellieren den elementareren Ordinalzahl-Aspekt der naturlichen Zahlen, erfassen dann aber auch wegen des zuvor Gesagten den Kardinalzahl-Aspekt. 14) 15)

[Physik IV.11, 219 b 6]: ‚rijmäs Å ‚rijmoÜmen und ‚rijmäs ‚rijmoÔmenos  den Zahlbegri , Journal fur die reine und angewandte Mathematik 101 (1887), Leopold Kronecker: Uber 337{355.

3.2. Die Peano-Axiome

129

Bezeichnen wir den Nachfolger der naturlichen Zahl n mit n0 , so ist (1) die Kurzschreibweise im Dezimalsystem der folgenden (sehr schnell unlesbar werdenden) Zahlenfolge 0

00

000

0000

00000

000000

1; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1

; 10000000 ; 100000000 ; 1000000000 ; 10000000000 ; : : : ; 10000000000000000 ; : : : : : :

(1)00

Die naturlichen Zahlen bilden, abstrakt gesprochen, eine Menge IN mit einer ausgezeichneten Zahl 1 und einer Nachfolgerfunktion (auch Shift genannt). 0 : IN ! IN ; n 7! n0 ;

(2)

die folgenden Gesetzen genugt: (A1) Die Nachfolgerfunktion ist injektiv:

m0 = n0 =) m = n (A2) Die Zahl 1 ist kein Nachfolger:

8n 2 IN : n0 6= 1

Als drittes und letztes Axiom brauchen wir eine Aussage, die besagt, da man mit dem Zahlproze bei 1 beginnend alle naturlichen Zahlen erreicht. Dies formalisiert man als (A3) Axiom der vollstandigen Induktion: Ist M eine Teilmenge von naturlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthalt und die mit jeder naturlichen Zahl m auch deren Nachfolger m0 enthalt, so ist M die Menge aller naturlichen Zahlen, als Formel:

M  IN ^ 1 2 M ^ (8m)(m 2 M ) m0 2 M ) =) M = IN Diese drei Axiome legen den Begri "Menge IN der naturlichen Zahlen\ fest.

3.2.4. Bemerkungen zu den Axiomen a) Die Axiome (A1) und (A2) besagen bereits, da die Menge IN unendlich ist; denn fur eine endliche Menge M ist jede injektive Abbildung 0 : M ! M bereits surjektiv (das Bild mu gleichviel Elemente enthalten und fullt daher M ganz aus), kann also nicht Axiome (A1) und (A2) gleichzeitig erfullen. Diese Beobachtung hat Dedekind zur De nition des Begries "unendliche Menge\ benutzt: Definition 1: Eine Menge M heit unendlich, wenn es eine injektive Abbildung f : M ! M mit f (M ) 6= M gibt, andernfalls endlich. b) Man benutzt das Axiom (A3) meist als Beweisprinzip: Beweis durch vollstandige Induktion:

Sei A(n) eine Aussage uber naturliche Zahlen n . Um die Aussage A(n) als fur alle n 2 IN gultig nachzuweisen, genugt es, die beiden folgenden Beweisschritte zu vollziehen: (I1) Induktionsanfang:

130

3. Die vollstandige Induktion

Die Aussage A(1) ist richtig. (I2) Induktionsschritt: Fur jedes n 2 IN gilt: Gilt die Aussage A(n), so auch die Aussage A(n0 ). Um zu sehen, da dieses Beweisprinzip aus den vorstehenden Axiomen folgt, betrachten wir die Menge  M = n 2 IN ; A(n) gilt : Nach dem Induktionsanfang gilt 1 2 M , nach dem Induktionsschritt gilt (8n 2 IN)(n 2 M ) n0 2 M ) : Das Axiom (A3) zeigt nun, da M = IN ist, also die Aussage A(n) fur alle naturlichen Zahlen n gilt. c) Als erste Anwendung dieses Beweisprinzips wollen wir eine Erganzung des Axioms (A2) zeigen: (A2)' Jede von 1 verschiedene Zahl ist Nachfolger:

m 6= 1 =) 9n 2 IN : m = n0 Beweis mit vollstandiger Induktion nach m : Fur m = 1 ist die Aussage oenbar richtig. Der Induktionsschritt von m auf m0 ist aber ebenso klar, denn eine Zahl der Gestalt m0 ist oenbar Nachfolger. Damit folgt die Behauptung (A2)'. d) Das Axiom (A3) bettet die Zahlentheorie in die Mengenlehre ein, die heute die gemeinsame Basis aller mathematischen Disziplinen ist. Nun sind die Zahlen ein so elementares, seit Jahrtausenden betrachtetes mathematisches Objekt (verglichen mit den erst gut 100 Jahre alten Mengen), da die Meinung nahe liegt, sie brauchten keinen mengentheoretischen Unterbau (= "overhead\), sondern sollten aus sich heraus aufgebaut werden. Fur eine Untersuchung der Grundlegung der naturlichen Zahlen und bei Studien verschieden starker Arithmetiken in einem Logikkalkul tut man dies auch. Das Beweisprinzip der vollstandigen Induktion, das die Teilmenge M  IN in (A3) durch eine Aussage A(n) u ber naturliche Zahlen n ersetzt, liefert einen solchen Ansatz: Es ersetzt die Mengenlehre durch eine logische Sprache, die fur die Formulierung von Aussagen zustandig ist. Zur Prazisierung mute man nun eine solche Sprache formal aufbauen, um klarzustellen, was man als Aussagen (z.B. beim Induktionsprinzip) zulat. Dies kann man auf verschiedene Weisen tun : : : Ich gehe den fur den Mathematiker bequemeren Weg und berufe mich auf die Mengenlehre, die in der Mathematik als universelles Verstandigungsmittel ja doch unentbehrlich ist. e) Alles, was Mathematiker uber die Menge der naturlichen Zahlen wissen, konnen sie aus den vorstehenden Axiomen (benannt nach Guiseppe Peano 16) 1889) ableiten, sei es auf mengentheoretischer Grundlage, sei es nach Aufbau einer geeigneten genuin zahlentheoretischen 16)

der sie dem Buchlein Was sind und was sollen die Zahlen [Braunschweig 1888] von Richard Dedekind, dem Mitbegrunder der Mengenlehre und Wegweiser des Strukturdenkens in der modernen Mathematik, entnommen und in seine Formelsprache ubertragen hat.

3.2. Die Peano-Axiome

131

Sprache. Seit Godels Habilitationsschrift von 1930/1931 wissen wir jedoch, da alle moglichen Formalisierungen der Lehre uber die naturlichen Zahlen Stuckwerk sind | wir werden nie alle richtigen Satze uber IN aus einer festen Formalisierung ableiten konnen. Im Pradikatenkalkul erster Stufe lat jede Formalisierung auch andersartige Modelle  IN zu, die die fur IN geltenden Axiome erfullen. Daher lat sich schon ein intuitiv so einfacher Begri wie "endliche Menge\ formal nicht vollstandig fassen. Dedekinds De nition M endlich : () jede Injektion f : M ! M ist Surjektion ist z.B. abhangig von dem Potential der zur Verfugung stehenden (= durch die formale Sprache beschreibbaren) Abbildungen f : M ! M . Was man aber aus den Peano-Axiomen ableiten kann, ist ein imposanter, groartiger Bau vielfaltiger Erkenntnisse und Beziehungsge echte in der Zahlenwelt, der nicht nur fur die Zwecke der Zahlentheorie ausreicht, sondern auch fur den weiteren Aufbau der rationalen, reellen und komplexen Zahlen.

Aufgaben zu 3.2: 1. Angenommen man braucht zum Zahlen jeder Zahl 1 Sekunde. Man zahle jeden Tag 10 Stunden. Wie weit kommt man in einem Jahr? in 50 Jahren? 2.  Wie weit kommt Ihr PC, wenn Sie ihn durch ein kleines Programm zahlen lassen und ein ganzes Jahr lang nur dieses Zahlprogramm laufen lassen? 3. Zeigen Sie induktiv: Fur alle n 2 IN gilt n0 6= n . 4. Man schreibe die Dezimalzahlen ohne Komma hintereinander, also 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940 : : : : : : : a) Wann tauchen zum erstenmal 9 Achten hintereinander auf? Wann zum erstenmal 9 Neunen? b) Ein Roboter lauft (langsam, aber ohne Pause) diese zusammenhangende Zahlenreihe entlang. Wenn er zum Passieren jeder Zier 1 Sekunde braucht, wie weit ist er nach 30 Tagen gekommen? c) Welche Zier steht in obigem Ungetum an der 999999ten Stelle? 5. Hans und Grete zahlen bis 100 nach folgender Regel: Der beginnende nennt eine Zahl zwischen 1 und 10. Die andere zahlt mindestens um 1, hochstens um 10 weiter. So geht das Zahlen hin und her, gewonnen hat, wer als erster die Zahl 100 erreicht hat. a) Probieren Sie das Spiel aus. b) Stellen Sie fest, da diejenige, die die Zahl 89 erreicht hat, zum Sieg kommt.

132

3. Die vollstandige Induktion

c) Stellen Sie fest, da derjenige, der beginnt, bei geschicktem Verhalten stets zum Sieg kommt. d) A ndert man das Spiel so, da derjenige verliert, der als erster die 100 erreicht, so verliert der beginnende Spieler, wenn die Gegnerin "richtig\ spielt. e) Wie hat man die Strategie zu andern, wenn derjenige das Zahlspiel gewinnt, der als erster die Zahl 1000 erreicht, wobei man jedes Mal zwischen 1 und 30 Schritte weiterzahlen soll.

3.3. Verschiedene Arten von Induktion Das Wort "Induktion\ wird seit Francis Bacon (dem angeblichen Verfasser der Dramen Shakespeares), spatestens aber seit John Stuart Mill 17) auch fur ein Grundprinzip der Naturwissenschaften benutzt, namlich fur den Schlu von zahlreichen 18) bzw. geeigneten Beobachtungen auf die Gultigkeit von Naturgesetzen. Dieses Prinzip hat Ernst Eduard Kummer in seinen Berliner Zahlentheorie-Vorlesungen in der zweiten Halfte des 19. Jh. so karikiert: Herren, 120 ist teilbar durch 1, 2, 3, 4 und 5. Jetzt werde ich aufmerksam, ob 120 nicht "Meinealle durch Zahlen teilbar ist. Ich probiere weiter und nde, sie ist auch durch 6 teilbar. Bei 7 scheint ein Mefehler vorzuliegen, aber bei weiteren Stichproben wie 8 oder 10 oder 12 oder 15, schlielich auch bei 20, 24 und 30 habe ich Erfolg. : : : Wenn ich nun ein Physiker bin, dann sage ich: Es ist sicher, da 120 durch alle Zahlen teilbar ist.\

In der Zahlentheorie ist diese Art von (unvollstandiger) Induktion als Beweis unbrauchbar. Wenn ein Computer eine Aussage A(n) fur die ersten 10 Trillionen Zahlen als richtig nachgewiesen hat, mu sie deshalb nicht fur alle Zahlen gelten, sie kann vielmehr fur alle groen naturlichen Zahlen falsch sein! In der Zahlentheorie begegnet man solchen Beispielen. Um Aussagen fur die unendliche Menge IN induktiv zu beweisen, benotigen wir die in 3.2 vorgestellte vollstandige Induktion mit ihrem allgemeinen Induktionsschritt von n auf n + 1, die wir an verschiedenen Beispielen noch intensiver studieren werden. Diesen mathematisch-strengen Beweis sollte man nicht verwechseln mit dem Induktions"beweis\ der Physik, dem Indizien"beweis\ der Juristen, dem dokumentarischen "Beweis\ der Historiker. Alle Aussagen in diesen Wissenschaften sind wie alles reale Wissen mit Fehlern behaftet, sind nur mit einer bestimmten Gewiheit korrekt | allein mathematische Aussagen konnen als vollig wahr bezeichnet werden | was aber auch ihre Schwache ist, die Albert Einstein so apostrophiert hat: 19) Insofern sich die Satze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Wo Mathematik angewandt wird, mu sie eine Symbiose mit dem Anwendungsgebiet eingehen, mu sie ein mathematisches Modell formen, das gewisse Aspekte der Anwendung approximativ erfat. Die Erstellung des Modells geschieht auf Grund von Experimenten und Plausi17)

John Stuart Mill: A System of Logic, Ratiocinative and Inductive, being a Connected View of the Principles of Evidence and the Methods of Scienti c Investigation , London 1843. 18) Damit kommt die induktive Methode in die Nahe der Wahrscheinlichkeitslehre, vgl. Rudolf Carnap und Wolfgang Stegmuller: Induktive Logik und Wahrscheinlichkeit , Wien 1958. 19) Festvortrag am 27.1.1921 in der Preuischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin

3.3. Verschiedene Arten von Induktion

133

bilitatsuberlegungen durch (unvollstandige) Induktion. In dem theoretischen Modell konnen vollig korrekte mathematische Schlusse gezogen werden. Wie sicher aber diese Ergebnisse als Aussagen fur die Anwendung sind, hangt von der Qualitat des Modells, von seiner "Stimmigkeit\ ab, die gerade an dem Zutreen der theoretischen Folgerungen in der Praxis gepruft wird. Aber auch in der theoretischen Mathematik haben die in anderen Wissenschaften u blichen Plausibilitatsbetrachtungen und Experimente ihren nicht zu unterschatzenden Wert | man mu ja irgendwie zu plausiblen Aussagen A(n) kommen, ehe man sinnvoll mit der Suche nach einem Beweis beginnt. Diese hohe Kunst des Aufspurens plausibler Behauptungen, und damit das Entdecken von einigen den mathematischen Objekten immanenten Gesetzmaigkeiten, ubt der Mathematiker immer wieder, ein Beispiel betrachten wir in 3.5. Leonhard Euler, der bedeutendste Mathematiker des 18. Jh., sagt hierzu in einer Arbeit u ber Potenzen modulo p , die das Eulersche Kriterium a(p 1)=2  1 mod p fur quadratische Reste a mod p enthalt: 20) Es wird nicht wenig paradox erscheinen, in jenem Teil der mathematischen Wissenschaften, den man gewohnlich die reine Mathematik nennt, Beobachtungen groe Bedeutung beizulegen, da der gelau gen Ansicht nach Beobachtungen auf physische Objekte beschrankt sind, welche die Sinne beeindrucken. Da wir die Zahlen auf den reinen Intellekt beziehen mussen, konnen wir kaum verstehen, wie Beobachtungen und Quasi-Experimente bei einer Untersuchung der Natur der Zahlen von Nutzen sein konnen. Doch sind tatsachlich, wie ich durch sehr gute Argumente dartun werde, die heute bekannten Eigenschaften der Zahlen grotenteils durch Beobachtung entdeckt worden, und zwar lange bevor ihre Wahrheit durch strenge Beweise bestatigt wurde. Es gibt sogar viele Zahleneigenschaften, die uns gut bekannt sind, die wir aber noch nicht beweisen konnen; Beobachtungen allein haben zu ihrer Kenntnis gefuhrt. Somit sehen wir, da wir in der Zahlentheorie, die noch sehr unvollkommen ist, unsere hochsten Honungen auf Beobachtung setzen durfen. Sie wird uns zu immer neuen Eigenschaften fuhren, die wir hinterher zu beweisen suchen werden. Die Art des Wissens, die nur von Beobachtungen gestutzt wird und noch nicht bewiesen ist, mu sorgfaltig von der Wahrheit unterschieden werden; sie wird, wie wir gewohnlich sagen, durch Induktion gewonnen. Doch haben wir Falle gesehen, in denen bloe Induktion zu Irrtum gefuhrt hat. Darum sollten wir groe Sorgfalt darauf verwenden, nicht solche Zahleneigenschaften, die wir durch Beobachtung entdeckt haben, und die allein durch Induktion gestutzt werden, als wahr zu akzeptieren. In der Tat sollten wir eine solche Entdeckung als Gelegenheit dazu benutzen, die entdeckten Eigenschaften genauer zu untersuchen und sie zu beweisen oder zu widerlegen; in beiden Fallen konnen wir etwas Nutzliches lernen.

Carl Friedrich Gau, der princeps mathematicorum, sagt zum gleichen Thema anlalich eines neuen Beweises des von ihm experimentell gefundenen und erstmals 1801 in seinen Disquisitiones Arithmeticae bewiesenen quadratischen Reziprozitatsgesetzes: 21) Es springen einem in der Zahlentheorie sehr hau g auf dem Wege der Induction durch einen unerwarteten Glucksfall die elegantesten neuen Wahrheiten in die Augen, deren Beweise so tief versteckt liegen und in solches Dunkel gehullt sind, da sie allen Versuchen spotten und den scharfsinnigsten Forschungen sich nicht zuganglich erweisen.

Eine hervorragende Einfuhrung in diese nicht strenge, aber produktive Art induktiven Denkens bietet das zweibandige Werk von Georg Polya: Mathematik und plausibles Schlieen , Band 1: Induktion und Analogie in der Mathematik , Band 2: Typen und Strukturen plausibler Folgerung , Birkhauser Verlag, Basel 1962/1963, 2 1969/1975. 20) 21)

Specimen de usu observationum in mathesi pura , Petersburg 1756/57, Opera Omnia I.2, S.459. Theorematis Arithmetici Demonstratio Nova , Gottingen 1808, Werke, Band 2, S.3; deutsch: H. Maser: C. F. Gauss' Untersuchungen uber hohere Arithmetik , Springer 1889, S.457.

134

3. Die vollstandige Induktion

3.4. Beweise mit vollstandiger Induktion Wir wollen das Induktionsaxiom durch vier Beispiele, drei korrekte und ein falsches, illustrieren, wobei wir einige bekannte Eigenschaften der naturlichen Zahlen wie ihre Addition oder Multiplikation benutzen, obwohl diese erst im folgenden behandelt werden. Beispiel 1: Die Summe der ersten n Zahlen ist

tn = 1 + 2 + 3 + : : : + n =

n X i=1

i = n(n2+ 1)

(3)

Man nennt diese Summen tn Dreieckszahlen, weil sie die Anzahl der zu einem gleichschenkligen Dreieck der Basis und Hohe n aufgestapelten schwarzen Spielsteine (Muhle oder Dame) angeben:

                                             Beweis der Formel (3) durch vollstandige Induktion nach n : Induktionsanfang: 1 X

i=1

Induktionsschritt: nX +1 i=1

i=

i=1

n  X i=1

i + (n + 1) = n(n2+ 1) + (n + 1) = (n + 2)(2 n + 1)

Damit ist die Formel (3) bewiesen 22) . Doch der Beweis zeigt nicht, wie man auf die Formel (3) kommt. Der folgende, die Formel (3) herleitende Beweis liefert ein besseres Verstandnis der Formel: Schreibt man die Summe tn zweimal untereinander, das zweite Mal in verkehrter Reihenfolge, so liefert Addition ubereinanderstehender Zahlen 2tn =

+ 2 + 3 + : : : + (n 2) + (n 1) + n n + (n 1) + (n 2) + : : : + 3 + 2 + 1 (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + : : : + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1) ; 1

was (3) erneut zeigt. 22)

Sie hat schon Hypsikles (der auch das XIV. Buch der Elemente des Euklid verfate) im 2. Jh.v.Chr. in einem Werk uber Polygonalzahlen angegeben.

135

3.4. Beweise mit vollstandiger Induktion Beispiel 2: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist ein Quadrat, genauer gilt n X

1 + 3 + 5 + 7 + : : : + (2n 1) =

i=1

(2i 1) = n2

(4)

Beweis durch vollstandige Induktion nach n : Induktionsanfang: 1 X

i=1

Induktionsschritt: nX +1

n X

i=1

i=1

(2i 1) =

(2i 1) = 1



(2i 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

Wieder ist, und das ist typisch fur Induktionsbeweise, die Richtigkeit von (4) gezeigt, ohne da man verstanden hat, wie man zu der Behauptung kommt. Das wird vielleicht klarer, wenn man die folgende Figur betrachtet: 1 + 3 + 5 + 7 = 16

   

Veranschaulichung der Gleichung 2 n + (2n + 1) = (n + 1)2

   

   

   

Beispiel 3: Die Summe der ersten n Kuben berechnet sich durch die Formel  n 2 n X X n2 (n + 1)2

13 + 23 + 33 + : : : + n2 =

i=1

i3 =

i=1

i =

(5)

4

Beweis durch vollstandige Induktion nach n : Induktionsanfang: 1 X

i=1

Induktionsschritt: nX +1 i=1

i3 =

n X i=1

2

i3 = 1 2



wegen n2 + 4(n + 1) = (n + 2)2 . Bemerkungen:

2

i3 + (n + 1)3 = n (n4+ 1) + (n + 1)3 = (n + 1) 4(n + 2)

1. Wenn man statt (5) die qualitative Aussage: Die Summe der ersten Kuben ist ein Quadrat

2

136

3. Die vollstandige Induktion

mit Induktion zeigen wollte, kame man in Schwierigkeiten beim Induktionsschritt (man versuche es!). Man braucht die spezi sche Formel (5), um mit Induktion voranzukommen. Dieses Phanomen, da prazisere (oder auch weitergehende) Aussagen leichter zu beweisen sind, ist eine nicht nur bei der vollstandigen Induktion zutreende Beobachtung in der Mathematik. 2. Eine Visualierung von (5): Schreibt man sich das Einmaleins in einem groen Quadranten auf und ltriert diesen mit Quadraten wie im Bild, so liefert die Summe der Zahlen zwischen zwei Quadraten genau die Kubikzahlen:

13 23 33 43 53 63 73 83 93

.. ... ... .. .. ....... ........ ........ ....... ..

1

2

2

4

....... ........ ........ ....... ....... ........ .......

. ... .... . .... . .... .. ..... . .... ..

3 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 : : : : : :

10 12 14 16 18 20 : : : : : : . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

12 15 18 21 24 27 30 : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6

9

4

8

12 16 20 24 28 32 36 40 : : : : : :

. . . . . . . . . . ....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........

. . . . .

....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 : : : : : :

6

12 18 24 30 36 42 48 54 60 : : : : : :

7

14 21 28 35 42 49 56 63 70 : : : : : :

8

16 24 32 40 48 56 64 72 80 : : : : : :

. . . . . . . . . . . . ....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ........ ....... ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ........ ....... ....... ........ .......

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . ....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 27 36 45 54 63 72 81 90 : : : : : :

. . . . . . . . . . . . ....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ........ ....... ..

9

10 20 30 40 50 60 70 80 90

::::::

Beispiel 4: Wir wollen den Satz

Je n beliebige junge Madchen haben dieselbe Augenfarbe nicht experimentell, sondern mit vollstandiger Induktion beweisen. Beweis: Der Induktionsanfang n = 1 ist evident richtig. Den Induktionsschlu, den U bergang von n auf n + 1, illustriere ich am U bergang von 3 auf 4 und u berlasse dem Leser den allgemeinen Fall: Seien Agnes, Britta, Claudia und Dagmar die vier Madchen der Induktionsbehauptung, kurz A , B , C , D . Nach Induktionsvoraussetzung haben A , B und C die gleiche Augenfarbe. Aus demselben Grund haben B , C und D die gleiche Augenfarbe. Dann aber haben alle vier Madchen dieselbe Augenfarbe wie Britta (oder Claudia), d.h. die vier Augenfarben sind gleich. Der U bergang von 4 auf 5 ist kaum schwieriger. Wo steckt der Fehler?

137

3.5. Eine Induktions-Falle

3.5. Eine Induktions-Falle Wir wollen noch ein Beispiel vorfuhren, das zur Vorsicht mit dem Umgang der in 3.3 angeschnittenen unvollstandigen Induktion mahnt. Wir gehen aus von folgender Fragestellung: Wir wahlen auf der Peripherie eines Kreises n Punkte P1 , P2 , : : : , Pn , und verbinden jeden dieser Punkte mit jedem anderen durch eine Strecke. In wieviele Teilgebiete zerfallt der Kreis bei Wegnahme aller dieser Strecken? Wir beginnen zunachst experimentell, zeichnen Kreise mit n im Uhrzeigersinn numerierten Punkten Pi , verbinden die Punkte und gucken, wie gro die Zahl gn der Teilgebiete bei kleinen Zahlen n ist. .... .................. ......................... ......... ....... ...... ...... ..... .... ..... .... ... .... . . . .... .... . ... . ... ... . . ... .. . ... . . ... .. . ... ... . ... ... ... . .. .. . ... . . .. . . . . . . . ... . .. ... ... . ... ... . . ... .. . ... . .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .... . .. .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ........ ...... . . . . . . . . ........... ................................





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Wir sammeln unsere Beobachtungen in einer Tabelle, wobei wir nicht nur die Zahl gn der Gebiete, sondern auch die Zahl sn der Sehnen und die Zahl pn der Schnittpunkte im Innern des Kreises zahlen: Punkte n= 1 2 3 4 5 6 Sehnen sn = 0 1 3 6 10 15 Schnittpunkte pn = 0 0 0 1 5 13? Teilgebiete gn = 1 2 4 8 16 30? Die ersten funf Werte der Funktion gn suggerieren die Vermutung

g n = 2n

1

(?)

()1

Fur n = 6 scheint das nicht zu stimmen, wir zahlen 30 statt 32 Gebiete. Ein Grund dafur ist aus der Figur ersichtlich: Wir haben ein regulares Sechseck gezeichnet, und das liefert nicht die maximale Zahl von Teilgebieten: Die drei Sehnen Pi Pi+3 schneiden sich in einem Punkt, was sie

138

3. Die vollstandige Induktion

bei einem allgemeinen Sechseck nicht tun. Dadurch verschwindet ein Dreieck, was bei leichtem Wackeln an einer der Ecken des gezeichneten Sechsecks wieder erscheint:   ..................................... ........... ......... ......... ...... ...... ...... ................................................................................................................. . .............. . . ... ........ ........... . . . ... . . . . ......... . ............ ... . ...... ..... . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . .... . ...... ...... ... ... . ..... . ... . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . ................. .... . .... . ... ... . .... .... . . . . . . . . . . . ... .... ... .......... . . . ..... . . . ... .... . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . ... ...... . .... .. .. .............. . . ... ..... . . . . . . . . . . ... .. . . . . . . . ......... . . . .. . ........ .. ..... . . . . . . . ........ .......... . . . . . . . ... . . . ............. .. .... .... . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . ... ... . .. ... ........ . . ... .... . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. ... .. . .. . ..... . .......... . ... ... ...................... .... .. ... .. ... ..... . . ................................ . .... .... .... . . . ... .... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . .. .................... . ... .. .. .. . . . . . ................................................ . . . . . . . . . . . .... ..... . . . . . . . ........................... . . .. ... ... . . . . ............ . ...... . .. ... .... . . . .. . . . . . . . ... ... ...... . . . . . ... . .. ... ..... . .. . . . . ... .... ........ . . . . . . . . . . ... . ...... . . ... ... ... . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ... ... ..... . . . . .. . .. ...... ... ... ... ..... . ... . ... .. ......... .. . .. ... ... . . . ... ... .. . ..... . ... . .. . . . . .......... .... .... ..... . .. .. .... ... . . . . .... ....... . . ... ... .. . . . ... . ..... ....... . . . . . . . . . . . . ... ...... . ... . .......... . .. . . ... . ... . . . ... . ... . ... . . ... .... ........ . . .... ... ... . .. . .... ... .... .......... . . ... . . .... . ..... ....... ...... . .... .... ... . . ... .. . . ...... .... ... . . . ... ....... . .... ...... ...... ...... . . .... .. . . . . . . . . . . . ...... .. . .... ... . . ....... ... ..... . .. ......... ............................................................................................................. ....... ..... ...... ...... ...... ........ ........... ......... ..........................................





  Wir mussen also die Aufgabe prazisieren: Gegeben seien n Punkte Pi auf einem Kreis in "allgemeiner Lage\, so da die Zerlegung des Kreises durch die Verbindungsstrecken eine maximale Zahl gn von Teilgebieten liefert. Wie gro ist dann gn ? Nach dieser Prazisierung mu die letzte Spalte der Tabelle durch p6 = 15 (es sind zwei neue Schnittpunkte entstanden) und g6 = 31 verbessert werden. Leider entspricht diese Verbesserung nicht unserer Vermutung. Die durch die Anfangswerte suggerierte Vermutung ()1 ist falsch. Fertigt man weitere Zeichnungen mit groeren n an (Aufgabe!) und zahlt man immer muhsamer nach, so erhalt man die folgende Fortsetzung der obigen Tabelle n sn pn gn

1 0 0 1

2 1 0 2

3 3 0 4

4 6 1 8

5 10 5 16

6 15 15 31

7 21 35 57

8 28 70 99

9 36 126 163

10 45 210 256

11 55 330 386

12 66 495 562

Nun versuchen wir, systematisch an die Frage zu gehen. 1. Die Anzahl der Verbindungsstrecken Pi Pj fur 1  i < j  n ist  

sn = n2

;

die Zahl der zweielementigen Teilmengen von f1; 2; : : : ; ng , und zwar bei jedem n -Eck auf dem Kreis. 2. Die Zahl pn der inneren Schnittpunkte dieser Sehnen kann von der Wahl der Punkte Pi abhangen, wie wir sahen. Wir denken uns die Punkte Pi so gewahlt, da durch jeden inneren Schnittpunkt S nur zwei Sehnen Pi Pj und Pk Pl laufen. Dann wird die Zahl pn der Schnittpunkte maximal. Wir sehen, da jeder innere Schnittpunkt S vier Punkte Pi ; Pk ; Pj ; Pl bestimmt, die ein Sehnenviereck bilden, dessen Diagonalschnittpunkt gerade S ist. Umgekehrt bilden je vier Punkte aus den Pi ein solches Viereck, dessen Diagonalschnittpunkt einer unserer inneren Schnittpunkte ist. Damit haben wir  

pn = n4

gezeigt. 3. Wir sehen nun, da wir mit unserer Vermutung recht falsch lagen, denn die Zahl gn der Flachen kann nicht von hoherer Groenordnung sein als die Zahl pn + n der Punkte, insbesondere kann gn nicht exponentiell wachsen. Die obige Tabelle legt die Formel gn = pn + sn + 1 ()2

139

3.5. Eine Induktions-Falle

nahe. Zum Beweis drehen wir den Kreis so, da keine Sehne horizontal ist und kein Eckpunkt hochster Punkt ist. Wir ordnen den Gebieten ihren hochsten Punkt zu, was mit einer Ausnahme (dem Gebiet, das von der Sehne zwischen den beiden hochsten Eckpunkten und dem Kreis begrenzt wird) ein Eckpunkt oder ein innerer Schnittpunkt der Sehnen ist. Jedem inneren Schnittpunkt ist damit genau ein Gebiet zugeordnet. Einem Eckpunkt sind soviel Gebiete zugeordnet, wie Sehnen von unten kommend in ihn munden. Dabei wird jede Sehne genau einmal gezahlt, d.h. die Zahl der Eckpunkten zugeordneten Gebiete ist die Anzahl aller Sehnen. Diese Methode der Gebietszahlung liefert genau die Formel ()2 . Wir formulieren die Antwort auf die Frage: Hat man n Punkte auf einem Kreis so gewahlt, da keine drei Verbindungsstrecken dieser Punkte durch einen Punkt gehen, so zerlegen diese Sehnen den Kreis in     gn = n4 + n2 + 1 Teilgebiete.

3.6. Die Anordnung der naturlichen Zahlen Die Aufzahlung der naturlichen Zahlen in (1) liefert automatisch eine Anordnung: Wir sagen

n n ( m ist groer als n ). Aus dieser Beschreibung ergibt sich unmittelbar, da fur je zwei naturliche Zahlen m und n genau eine der drei folgenden Aussagen gilt (Trichotomie):

n n . Die Zerlegungen 7 =5+1+1 =4+2+1=3+3+1=3+2+2

176

4. Die Grundrechenarten

zeigen p3 (7) = 4. Die Anzahl

p(n) =

n X r=1

pr (n)

aller Partitionen der Zahl n heit die Partitionszahl 3) von n . Fur die ersten Zahlen n gilt wegen 2 =1+1 3 =2+1 =1+1+1 4 =3+1 =2+2=2+1+1 =1+1+1+1 5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1 da p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 3, p(4) = 5, p(5) = 7 ist. a) Man zeige die Rekursionsformeln

pk (n) = pk 1(n 1) + pk (n k) =

k X r=1

pr (n k)

und erstelle ein Programm zur Berechnung der Zahlen pk (n) und p(n) und damit eine Tabelle. b) Zeigen Sie 4) j k p2 (n) = n2 c) Zeigen Sie 5)

j 2m p3 (n) = n12

d) Zeigen Sie die Abschatzungen 

n 1  k! p (n)  n + K 1 k k 1 k 1

mit K = k(k 2 1)

und folgern Sie daraus bei festem k das asymptotische Verhalten k 1 pk (n)  k! (nk 1)! 3) 4) 5)

(n ! 1)

In der Linearen Algebra taucht die Funktion p(n) auf als die Anzahl der Konjugationsklassen nilpotenter n  n {Matrizen; sie ist zugleich die Anzahl der Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppe Sn , und die Anzahl der Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung pn fur irgendeine Primzahl p . hier ist bxc die grote ganze Zahl  x . hier ist k j bxe = x + 21 die nachste ganze Zahl bei x mit Aufrunden bei Zahlen der Gestalt m + 12 .

177

4.1 Addition der naturlichen Zahlen

e) Jeder Partition  = (ni )i=1:::r von n ordnen wir die Partialsummen

si =

i X j =1

nj

fur i = 1; : : : ; r 0

zu. Sei eine zweite Partition 0 : n = ri=1 n0i gegeben. Wir de nieren eine partielle Ordnung auf den Partitionen von n durch P

  0 : () r  r0 und si  s0i fur i = 1; : : : ; r : Stellen Sie die Ordnung zwischen den Partitionen fur kleine n graphisch dar. f) Wir stellen eine Partition

 : n = n1 + n2 + : : : + nr mit n1  n2  : : :  nr  1 graphisch dar als ein Tableau mit einer ersten Spalte aus n1 Quadraten, einer zweiten Spalte aus d2 Quadraten usw. Dann entsteht die duale Partition 0 aus dem Tableau von  durch Vertauschen von Horizontale und Vertikale, also durch Spiegeln des Tableaus an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten. Dadurch verwandelt sich z.B. die Partition  : 20 = 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 in die duale Partition 0 : 20 = 8 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1: 1 1 2 3 5 8

1 1 1 2 2 3 4 6

........................ .. ... .... .... ... ... ........................... . ..... .... .... .... . ............................................... ... .... .... .... ..... ..... . . .... ................................................................. ..... . ... ... . .... ... .... .... . .. .. .... ..... . .......................................................................................................... .. .. .. .. .. ... ..... ..... ..... ..... ..... .... . . ... . . ... ... ... . . ............................................................................................................................................................................... . . . . . .... ... ... ... . ... .... .... . . .... . . . . . ... ... ... ..... . ... ... ... . . ... . . . . . .................................................................................................................................................................................

6 4 3 2 2 1 1 1

In Formeln wird die duale Partition gebildet als

0 : n = n01 + n02 + : : :

.. .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... ..................... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... ..................... .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... .......................................... .. . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... ...................................... ..................... ...................... . . ..................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... .................... ................... ................... ................... ...................

8 5 3 2 1 1

mit n0j = #fi ; ni  j g :

Zeigen Sie: Die Dualisierung  7! 0 ist eine antimonotone Involution: (0 )0 =    1 =) 0  10 g) Zeigen Sie: pk (n) ist die Anzahl der Partitionen von n , deren Summanden  k sind. 17. Eines der altesten Dokumente chinesischer Mathematik ist das Diagramm Lo Shu , das dem sagenhaften Kaiser Yu dem Groen von einer Schildkrote aus dem Flu Lo u bergeben worden sein soll. Dieser Kaiser soll im 3. Jahrtausend v.Chr. China von einer Sint ut gerettet haben, indem er ein Gebirge durchstach. Nachweise dieses unten abgebildeten und "u bersetzten\ Diagramms reichen bis ins 4. Jh.v.Chr. zuruck, die heute bekannten bildlichen Darstellungen bis ins 2. Jh.v.Chr. Es handelt sich um ein magisches Quadrat der Groe 3  3, in dem die

178

4. Die Grundrechenarten

Zahlen 1 bis 9 (die geraden, weiblichen Zahlen schwarz, die ungeraden, mannlichen Zahlen wei) so eingetragen sind, da die Summe der Zahlen auf jeder der drei Zeilen, jeder der drei Spalten und auf jeder der beiden Diagonalen gleich 15 ist. 6)

              ... .... .... ....... ...... .... .... ...

  

 ...... .... ...... ... . .... ...... ....... .. .... ....... ...

. .... ... ....

   

   

  .... .... ....... ...... .... ....... . .... .... ...... ......

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Verteilen Sie die Zahlen 1, 2, : : : , 9 auf die neun Felder des Quadrates so, da die Summe entlang der genannten 8 Geraden konstant ist! Welche anderen Losungen erhalten Sie? 18. In Albrecht Durers Kupferstich Melencolia I ndet sich neben geometrischen Korpern und mathematischen Instrumenten zu Haupten der ge ugelten Melancholie das nebenstehende magische Quadrat 7) der Groe 4  4, in dem die Summe jeder Zeile und jeder Spalte ebenso wie die Summe u ber die beiden Diagonalen gleich 34 ist, und das auerdem noch eine zentrale Symmetrie besitzt: Zur Quadratmitte symmetrische Zahlen erganzen sich zu 17. In der Mitte der unteren Zeile steht die Jahreszahl der Anfertigung (ein Jahr nach dem Kupferstich Ritter, Tod und Teufel ). 6)

7)

16 3

2 13

5 10 11 8 9

6

7 12

4 15 14 1

Dieses magische Quadrat ndet sich auch in der mittelalterlichen arabischen und judischen Tradition, so _ al] in seinem Werk Munqidh . Vermutlich aus der arabischen Tradition schopfend bei Algazel [= al-Gazz hat Manuel Moschopulos, der aus Konstantinopel nach Italien ubersiedelte, im 13. Jh. ein griechisches Traktat uber magische Quadrate [rein mathematisch] verfat. Bei den Juden wird das betrachtete Quadrat bisweilen "Siegel Salomos\ genannt, die konstante Summe 15 ist der Zahlenwert des abgekurzten Gottesnamens (Jah), vgl. 2.2. Der sizilianische (getaufte) Jude Wilhelm Raimund Moncada erzahlt in der Vorrede seines Buches Ali al Haytn ("U ber die himmlischen Bilder\, um 1480), da sein Vater, der spanische Rabbi Nissim, der magischen und kabbalistischen Kunst ergeben gewesen sei und eine goldene Platte hergestellt habe, auf einer Seite ein Lowenhaupt, auf der anderen das obige Quadrat auf hebraisch eingraviert habe und diese Platte als Amulett bei sich getragen habe [vgl. Moritz Steinschneider: Abraham ibn Esra , Zeitschrift fur Mathematik und Physik 25 (1880), Supplement zur historisch-literarischen Abteilung, p.98]. Bei den Arabern ist die Summe 45 des gesamten Quadrates der Zahlenwert von "Zachal\, dem arabischen Namen des Planeten Saturn, und das Quadrat wurde auch zum Schutz gegen die bosen Ein usse des Saturn gebraucht. Agrippa von Nettesheim, Schuler des der Magie zugetanen Abtes Johannes Tritheim (y1516), stellt in seinem Werk De Occulta Philosophia Libri Tres , Antwerpen 1531, Koln 1533, ein ganzes kabbalistisches System magischer Quadrate vor, in dem das 3  3-Quadrat dem Saturn, die nachsten Groen dem Jupiter, Mars, Sonne, Venus, Merkur und Mond (9  9-Quadrat) zugeordnet sind. Cardano allerdings weiht in Kap.42 seiner Practica Arithmeticae Generalis , Mailand 1539, das kleinste magische Quadrat dem nachsten Himmelskorper, dem Mond, nicht dem entferntesten Planeten, dem Saturn, wie Agrippa. In der Astrologie hat sich der Aufbau des Agrippa durchgesetzt. Ein solches Quadrat fand F. Kielhorn auf einer indischen Handschrift aus dem 12./13. Jh. Woher Durer das Quadrat kannte, ist unbekannt; Carl Giehlow (y1913) [Durers Stich ,Melencolia I` und der ma-

4.1 Addition der naturlichen Zahlen

179

a) Die Belegungen des Quadrates mit reellen Zahlen bilden einen reellen Vektorraum IR16 der Dimension 16. Sei V die Menge der Vektoren des IR16 , die aus den Quadratbelegungen besteht, bei denen die Summen der Spalten, der Zeilen bzw. der Diagonalen immer dieselbe Zahl ergeben, und bei denen die Summen zweier gespiegelter Zahlen konstant sind. Zeigen Sie, da V ein 5-dimensionaler Teilvektorraum ist. b) Das Quadrat der Melancholie hat weitere Symmetrieeigenschaften: Die vier Ecken des Quadrats haben ebenfalls die Summe 34; gleiches gilt fur die Ecken aller vier 3  3Quadrate, die im groen Quadrat enthalten sind; gleiches gilt auch fur die folgenden funf kleinen 2  2-Quadrate innerhalb des Quadrates der Melancholie:

   

   

   

   

Zeigen Sie, da alle diese Symmetrien bei allen Vektoren von V vorhanden sind. Finden Sie weitere Symmetrien! c) Im Gegensatz zu der vorigen und der folgenden Aufgabe gibt es zahlreiche Losungen der Aufgabe, die Zahlen 1 bis 16 so in ein solches Quadrat zu plazieren, da die genannten Summen konstant sind und die Spiegelsymmetrie besteht. Man erstelle ein Programm zur Berechnung der 384 Losungen. d) Durer lebte noch bis 1528. Hatte er eines seiner Werke in spateren Jahren mit einem entsprechenden magischen Quadrat vorstehender Art datieren konnen? e) Man interpretiere Durers Quadrat als eine Belegung der 16 Ecken des nachstehend in Projektion gezeichneten vierdimensionalen Wurfels mit den Zahlen 1 bis 16, so da Antipodenzahlen sich zu 17 erganzen und da die Summe uber jedes der 24 Randquadrate des ximilianische Humanistenkreis , Mitteilungen der Gesellschaft fur vervielfaltigende Kunst (Beilage der Zeitschrift "Die Graphischen Kunste\), Jahrgang 1903, p.29{41, Jahrgang 1904, p.6{18, 57{78] halt den Nurnberger Ratsherrn Willibald Pirckheimer fur den Anreger. Ein derartiges Quadrat ndet sich gespiegelt als Tabula Iovis [Jupiterquadrat] 1531 bei Agrippa von Nettesheim. Im spateren 16. und 17. Jh. waren solche Jupiterquadrate als Amulette weit verbreitet. Bei Cardano (1539) ist dieses Quadrat allerdings dem Merkur zugeschrieben. Das 3  3-Quadrat der vorigen Aufgabe war dem Saturn zugeschrieben. Saturn ist in der Tradition u.a. das Gestirn der Wissenschaften, insbesondere der Mathematik, seine Farbe ist schwarz, sein Ein u kann auch schadlich sein, melancholisch machen etc., vgl. Schillers Wallenstein in der Szene mit Seni. Dagegen gilt Jupiter als Stern der sanguinischen, lebensfrohen Menschen. Den Unterschied der Planeten Jupiter und Saturn beschreibt ein bekannter Astrologe und Arzt des 13. Jh., Arnold von Ville Neuve, so: Saturn ist der kalte und trockene Planet, der Feind des Lebens und der Natur, der Planet der mageren, schwarzen, bartlosen, ubelgesinnten Manner; Jupiter dagegen ist warm, feucht, gutig, der Planet der wohlwollenden, gefalligen, frommen, dichtbartigen, blonden und niemals kahlkop gen Manner. Luther sagt: "Die Artzney macht Krancke, die Mathematic trawrige, und die Theology Sundhate Leut\ | der Mittelteil dieser Aussage konnte unter Durers Kupferstich stehen.

Zahlreiche Theorien der Bilddeuter von Durers Melencolia, die untersucht haben, warum auf einem Bild aus der Ein usphare des Saturn ein Jupiteramulett zu nden sei, konnen so beantwortet werden: Durer dachte gar nicht an Astrologie, das Auftauchen des reizvollen Quadrates ist nur ein Hinweis auf die mathematischen Wissenschaften, das Thema des Bildes.

180

4. Die Grundrechenarten

Wurfels gleich 34 ist. Man zeige, da die 384 Losungen aus einer einzigen Losung durch Anwenden der 384 = 24
4! Symmetrien des vierdimensionalen Wurfels entstehen. 8)





.. .. ........ ........ .... ....... .... ....... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . . . . .... .... .. .. .... .... .... .... .... ... .... .... . . . . . .... .... ... . .... . .... . . . . . .... .... .... .... .... . . . . .... .... ... .... .... . . . . . . .... .... .... .... .... . . .... . . .... .... ... .... . . . . . . .... .... .... .... .... .... . . . . .... .... ... .... . . . . .... . . .... ... ... .... . . . . . . . . . .... ... ....... . . . . .... . . . .... .... ...... .... . . . . . . .... .... .... .... .... . . . . . . .... .... .... .... .... . . .... . . .... ... ... .... . . . . . . . .... . .... .. .. ....... .. . . . .... .... ... .... .... . .... . .... .... ... ... .... . . . . . . . .... .... .... .... .... .... . . . . .... .. .. .... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ...... .... .... .... ....... .... .... . . . . . . .... .... .... .... .... .... .... .... ....... ....... .... .... .... .... .... ...... .... ...... .... .... ... ... ... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... .... . .... . .... . . . . . . . .... . . . . . . .... .... . .... . .... ... .... .... .... .... .... .... .... ...... .... ...... .... ...... .... ...... ........ ....... ...... ..... .. ........ ........ ....... ........ .... ....... .... ....... .... ....... .... ....... . . . . . . . . .... . .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... .... ....... .... .... .... ...... .... .... ........ .... .... ........ ... .... . . . . . . . . .... . .... ... .... .... . . . . . . . .... ... .... .... ... .... . .... . .... .... ......... . . . . .... .... .... ....... .... . . . . .... .... .... .... . . . .... . . .... .... .... .... .... . . . . .... .... .... .... .... . . . . . .... .. .... ... . . . ....... .. . .... ... ... .... . . . . . .... .... .... .... .... .... . . .... . . . . .... .... ... ... . . . . . . . .... .... . .... .... .... .... ... .... .... ...... .... .... ........ ... .... ....... .... .... .... ...... .... . .... . . . .... .... .... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... ... ... . . . . . . . .... .... .. ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . . . . .... . . . .... . .... .... .... .... .... ... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ...... .... ...... ........ . . . . ... ..





























19. In dem folgenden magischen Sechseck ist die Summe der Zahlen auf jeder der funf senkrechten Spalten, auf jeder der funf nach links und auf jeder der funf nach rechts geneigten Geraden gleich 38: ......... ..... ....... ... ... ... ... .... .. ... ... ... ..... ........ ..........

3

................... ... ... ... .. . .... ... ... ... .... ...... ......... ......

17

....... ..... ........ ... .... .. .. .... . ... .. ... ... ..... ....... ..........

18

.................. .... ... .. ... ... . .. ... .. ... .... ... ...................

19

................. ... .... .. ... ... ... . ... . .. ... .... ... ..................

7

................... ... ... ... ... .. . . ... ... ... ... .... ..................

1

.............. .... ..... ... ... .. .. . .. ... ... ... ... .... . .................

11

................. .... ... ... .. ... .. . . ... ... ... .. ... ..... ...............

16

................. .... ... ... ... ... ... . . . ... .. ... ... .... ..................

2

................ .... ... ... ... .. ... . . ... . ... ... .. .... ..................

5

....... ...... ........ ... .... ... ... . . ... . ... ... .... ... . . . ..............

6

.............. .... ..... ... .. ... .. . . ... . ... ... .... ... . .................

9

.................. .... ... ... ... .. . . ... . .. ... .... ... ...................

12

................. ... .... .. ... ... ... . . ... .. ... .... ... ..................

4

................... ... ... ... ... .. . . ... ... ... ... .... ..................

8

................... ... .... ... .. . . .. ... ... ... ... .... . . . ...............

14

................. .... ... ... ... ... ... . . . ... ... ... .. .... .................

10

................ .... ... ... ... .. ... . . . ... ... ... .. .... .................

13

....... ...... ........ ... .... ... ... . . ... . ... ... .... ... . . . ..............

15

Verteilen Sie die Zahlen 1 bis 19 auf die Felder des obigen Sechseckes so, da die Summe in den 15 genannten Geraden konstant ist. Welche anderen Losungen erhalten Sie? 20. a) Zeigen Sie

an X an 1 =1

8)

a3 X a2 X a1 X



::: a0 = n + ann 1 a2 =1 a1 =1 a0 =1



Der Faust-Adlatus Wagner wurde sagen: Durer war nicht nur, wie alle groen Maler der Renaissance, in der projektiven Geometrie bewandert, vgl. sein 1525 in Nurnberg erschienenes Lehrbuch: VNderweysung der meung mit dem zir†el vn~ ri…ts…eyt in Linien ebnen vnnd gantzen corporen, Faksimileausgabe Nordlingen 2 1983, sondern auch in der vierten Dimension.

181

4.1 Addition der naturlichen Zahlen

b) Interpetieren Sie das Ergebnis von a) als die Anzahl der Losungen der Ungleichung

x 1 + : : : + x n  an 1

(xi 2 IN0 )

21. Die Zahlen 1, 2, 3, : : : , 999, 1000 sollen aus moglichst wenigen Zahlen a1 , : : : , an additiv zusammengesetzt werden, d.h. als Summe u ber einen Teil der ai dargestellt werden. Man denke etwa an einen ganzzahligen Gewichtssatz, aus dem man alle ganzzahligen Grammgewichte  1 Kilogramm zusammensetzen kann. a) Zeigen Sie n  10, das Minimum ist n = 10. b) Hat man a1  a2  : : :  a10 als Grundgewichte, die die Zahlen  1000 additiv zusammensetzen, so ist a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 16, fur a6 sind die Werte 31 und 32 moglich. c) Verallgemeinern Sie die Aufgabe: Wieviele Grundgewichte braucht man mindestens, um aus ihnen alle ganzzahligen Gewichte zwischen 1 und N zusammenzusetzen? Zeigen Sie, da ein Minimalsatz von Grundgewichten genau dann eindeutig ist, wenn N die Gestalt 2n 1 hat. 22. Jede naturliche Zahl mit Ausnahme der Potenzen von 2 ist Summe mehrerer aufeinanderfolgender naturlicher Zahlen. 23. Sei f : IN ! IN eine additive Funktion, d.h. es gilt (x; y 2 IN)

f (x + y) = f (x) + f (y) Zeigen Sie, da

f (x) = a
x

mit a = f (1)

ist. 24. Auf jedem Feld eines unendlich groen karierten Blattes Papier stehe eine naturliche Zahl, so da jede gleich dem arithmetischen Mittel ihrer vier Nachbarn ist:
na;b = 14 na+1;b + na;b+1 + na 1;b + na;b 1 (a; b 2 ): Zeigen Sie, da alle Zahlen gleich sind. Z

25. a) Zeigen Sie, da es eine nichtkonstante Belegung von  mit ganzen Zahlen gibt, die die in der vorigen Aufgabe genannte Eigenschaft hat. b) Zeigen Sie: Es gibt eine solche derartige Belegung, da jede Zeile und jede Spalte eine nichtkonstante arithmetische Folge ist. c) Man kann die Belegung sogar so machen, da in unendlich vielen Richtungen auf  nichtkonstante arithmetische Folgen zu nden sind. Z

Z

Z

Z

26. Die ziernweise Addition zweier Binarzahlen nX1

nX1 nX1 i i a + b = ai2 + bi2 = (ai + bi)2i i=0 i=0 i=0

(ai ; bi 2 f0; 1g)

182

4. Die Grundrechenarten

liefert in der Regel keine Binarzahl, weil die Ziernsumme 1+1 im Binarsystem die Darstellung 10 hat. Man hat also einen Ziern-U bertrag bei der Addition von 2-adischen Zahlen zu berucksichtigen. Zeige: a) Die Wahrscheinlichkeit, da die Addition a + b zweier n -stelliger Binarzahlen ohne jeden Ziern-U bertrag auskommt, betragt (3=4)n , bei n = 16 (den ublichen 16-bit integers) also 1 Prozent. b) Der Mittelwert der einfachen Ziern-U bertrage, also der Groe z(a; b) = #fi ; ai + bi > 1g betragt bei n -stelligen Binarzahlen n=4. c) Tatsachlich ergeben sich Ziern-U bertrage auch durch Akkumulation von U bertragen, die tatsachliche Anzahl der Ziern-U bertrage ist n

Z (a; b) = # i ;

i X

 =0

(a + b )2  2i+1

o

Der Mittelwert dieser Groe betragt bei n -stelligen Binarzahlen n 2 1 + 2n1+1 . d) U bertrage die Aufgabe auf Dezimalzahlen. 27. De niere die in 3.6.3 studierte Anordnung der naturlichen Zahlen erneut durch die De nition n < m : () 9r 2 IN : n + r = m und zeige die folgenden Eigenschaften direkt als Folgerung aus dieser De nition: a) Die kleinste naturliche Zahl ist 1. b) Transitivitat: n1 < n2 ; n2 < n3 =) n1 < n3 (n1 ; n2 ; n3 2 IN): c) Antire exivitat: Es gilt niemals d) Trichotomie:

n 6= m =)

n 0 ist v(n) die Umkehrfunktion der Nachfolgerfunktion n 7! n0 :

v(n0 ) = n

n > 0 ) v(n)0 = n :

;

v(n) bedeutet, einen Schritt von n in der Zahlenreihe zuruckzugehen, nur fur n = 0 hat v(n) einen Fixpunkt, weil 0 das Minimum von IN0 ist. In 3.8.2.11 hatten wir dann die Subtraktion bis auf Null durch die Rekursion s(n; 0) = n

s(n; m0 ) = v(s(n; m))

;

erklart: s(n; m) entsteht also aus n durch m -faches Zuruckzahlen von n , wobei das Zuruckzahlen bei Null, sofern man soweit kommt, endet. Lemma 4.2.1: Fur n; m 2 IN0 gilt

n  m =) s(n; m) = 0

;

n  m =) m + s(n; m) = n :

(3)

Beweis mit Induktion nach m : Fur m = 0 folgt die Behauptung aus s(n; 0) = n . Gelte die Behauptung fur m , wir wollen sie fur m0 zeigen. Der erste Fall n  m0 zerfallt in die Falle n  m und n = m0 . Fur n  m ist s(n; m) = 0 und daher s(n; m0 ) = v(s(n; m)) = v(0) = 0. Im Fall n = m0 ist n > m , also m + s(n; m) = n = m + 1 und damit s(n; m) = 1, also s(n; m0 ) = v(s(n; m)) = v(1) = 0. Im zweiten Fall n  m0 ist n > m , also s(n; m) > 0 und m + s(n; m) = n , und dann

m0 + s(n; m0) = m + 1 + v(s(n; m)) = m + s(n; m) = n Nach diesem Lemma ist die Funktion s(x; y) partiell eine Umkehrung der Addition. Diese partielle Umkehrung nennen wir Subtraktion, die wir durch

m n := s(m; n)

fur m > n

oder struktureller so de nieren: Fur Zahlen n; m 2 IN mit n < m gibt es eine Zahl r 2 IN, so da n + r = m ist, namlich r = s(m; n) nach (3). Nach der Kurzbarkeitsregel 4.1.3 ist dieses r wohlbestimmt. Es heit die Dierenz m n (sprich: " m minus n\) von m und n :

r = m n : () n + r = m

(4)

184

4. Die Grundrechenarten

Man sagt, n wird von m abgezogen oder subtrahiert, das Ergebnis ist r . Man nennt die Subtraktion die Umkehrung der Addition, weil sie die Addtionsgleichung

n+x=m mit gegebenem n und m mit m > n und unbekanntem x lost. Aus den Rechenregeln der Addition folgen unmittelbar die folgenden Rechenregeln der Subtraktion. Beim Hinschreiben einer Dierenz wollen wir dabei annehmen, da die Dierenz de niert ist, also die entsprechenden Ungleichungen gelten (beim U bergang nach wird dieser Zusatz obsolet). m n = m n1 =) n = n1 m n = m1 n =) m = m1 m (a + b) = (m a) b m (a b) = (m a) + b m + (a b) = (m + a) b Analog gelten fur das Rechnen mit dem Summenzeichen, soweit die Dierenzen de niert sind, Regeln wie n n n X X X ai bi = (ai bi ) : Z

i=1

i=1

i=1

4.2.2. Das Drei-Kruge-Problem Seit dem Mittelalter 9) wird die folgende, der Unterhaltungsmathematik zuzuordnende und die Subtraktion benutzende Aufgabe behandelt: Ein Diener wird von seinem Herrn in die nachste Stadt geschickt, um 8 Ma Wein zu holen. Als er kaum mit seinem gefullten Gefa die Stadt verlassen hat, begegnet ihm ein zweiter Diener, der fur seinen Herrn gleichfalls Wein holen soll. "Wieviel Wein hast Du?\, fragt dieser jenen. | 8 Ma.\ | "Ich soll auch Wein holen.\ | "Du wirst keinen bekommen, da keiner mehr" da ist.\ Nun bittet der zweite Diener den ersten, seinen Wein mit ihm zu teilen [in zweimal 4 Ma]; er habe zwei Gefae, eines von 5, das andere von 3 Ma bei sich. Wie lat sich die Teilung durchfuhren?

Wir wollen das Problem allgemeiner betrachten, wobei wir die Zahl der Kruge nicht vermehren: Gegeben seien drei Kruge mit den Volumina a1  a2  a3 > 0, es sei in diese Kruge Wein vom 9)

z.B. in den Annales Stadenses des Abtes Albert (y1265), herausgegeben von J. M. Lappenberg in den Monumenta Germaniae historica, Scriptorum XVI (Hannover 1859), p.333; Aufgabe 165 in einer Nicolas Chuquet zugeschriebenen Aufgabensammlung Appendice au Triparty von 1484; in La prima parte del general trattato di numeri et misure di Nicolo Tartaglia, Vinegia 1556, Libro XVI, art.132, fol.255  ; in Claude Gaspar Bachet, Sieur de Meziriac: Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres , Lyon 1612, 2 1624, p.206. Weitere derartige Aufgaben bei W. W. Rouse Ball: Mathematical Recreations and Essays , Macmillan 1892; W. Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele. I., Teubner 2 1910, Kap.IV: Umfullaufgaben. Nach Arago [uvres 2 (1854), p.596] hat Poisson, nach Mierfolgen in der Jurisprudenz und Chirurgie, durch die Losung einer solchen Aufgabe sein Talent fur die Mathematik erkannt.

4.2 Subtraktion der naturlichen Zahlen

185

Gesamtvolumen b  a1 + a2 + a3 gegeben. Wir bezeichnen diese Vorgabe mit [b; a1 ; a2 ; a3 ]. Die Aufteilung des Gesamtvolumens b auf die drei Kruge hat die Gestalt

b = b1 + b2 + b3

mit

0  bi  a i :

(i)

Wir bezeichnen diese Situation mit dem Koordinatentripel b1 b2 b3 . Problem: Man soll von einer Verteilung (i) durch Umfullen zu einer Verteilung

b = b01 + b02 + b03

mit

0  b0i  ai

(ii)

gelangen, indem bei jedem Gieen entweder der ausgieende Krug leer wird oder der Krug, in den eingegossen wird, ganz gefullt wird. Statt der Fullung (i) wird oft auch ein groer Krug vom Volumen b angenommen, dessen Inhalt auf die drei Kruge im Verhaltnis (ii) aufgeteilt werden soll. Man kann dieses Problem abstrakt zahlentheoretisch behandeln: Zulassige Umformungen der Situation b1 b2 b3 sind durch

b1 b2 b3

8 1( 1 + 2 > > > > > 1 2( 1 + > > > > > ( 1+ 2 > > > > > 1 2( 2 + > > > > > ( 1+ 3 > > > < ( +

a b b a1 )b3 a b b b3 a 1 ) b b a 2 )a 2 b 3 b a b b3 a 2 ) b b a 3 )b 2 a 3 b1 b2 b3 a3 )a3 ! > 0( b1 + b2 )b3 > > > > > 0b2 (b1 + b3 ) > > > > > (b + b2 )0b3 > > 1 > > > b 0(b2 + b3) > > 1 > > > (b1 + b3 )b2 0 > > : b1 (b2 + b3 )0

falls falls falls falls falls falls falls falls falls falls falls falls

a 1  b1 + b2 a 1  b1 + b3 a 2  b1 + b2 a 2  b2 + b3 a 3  b1 + b3 a 3  b2 + b3 b1 + b2  a2 b1 + b3  a3 b1 + b2  a1 b2 + b3  a3 b1 + b3  a1 b2 + b3  a2

beschrieben; wohin kommt man durch Iteration dieser Umformungen? Oenbar konnen, vom Anfang abgesehen, nur Situationen erreicht werden, bei denen eine Ungleichung in (i) zu einer Gleichung wird. Zur Au ockerung wird hier eine geometrische Losung vorgetragen. Geometrischer Ansatz: Wir wahlen in der reellen Ebene IR2 ein (aus asthetischen, nicht

zahlentheoretischen Grunden) gleichseitiges Dreieck P1 P2 P3 als Grund gur eines baryzentrischen 10) Koordinatensystems. Jedem Tripel (b1 ; b2 ; b3 ) reeller Zahlen mit b1 + b2 + b3 = b wird dann der Punkt 3 X P = 1b bi Pi i=1

10)

= Schwerpunktskoordinaten. Es ist barÔs = schwer, kèntron = centrum = Mittelpunkt [ursprunglich der im Kreismittelpunkt eingesetzte Stachel des Zirkels].

186

4. Die Grundrechenarten

zugeordnet, also der Schwerpunkt des mit den Massen bi an den Ecken Pi belasteten Dreiecks. Wir schreiben kurz in baryzentrischer Koordinatenschreibweise

P = (b 1 b 2 b 3 )

speziell P1 = (b00) ; P2 = (0b0) ; P3 = (00b)

Die Zahl der moglichen Situationen zu einer gegebenen Vorgabe [b; a1 ; a2 ; a3 ] wird dann beschrieben durch die Punkte (b1 b2 b3 ) der reellen Ebene mit den Ungleichungen 0  bi  a i

fur 1  i  3 :

()

Oenbar wird durch () ein konvexes Polygon beschrieben, siehe die Bilder unten. Im folgenden werden die Zahlen b , ai und bj ganz sein. a) Ist a2 + a3 > b > a1 , so ist das Gebiet der die moglichen Situationen beschreibenden Punkte ein Sechseck, die Ecken sind die sechs Punkte mit den baryzentrischen Koordinaten

a1 a01 0 ; a1 0a01 ; a03 0a3 ; 0a03 a3 ; 0a2 a02 ; a02 a2 0 ; wobei a0i = b ai ist. Ist 2b = a1 + a2 + a3 , d.h. die Folge a2 + a3 > b > a1 ist aquidistant, so hat dieses Sechseck einen Mittelpunkt, namlich a21 a22 a23 . Die Randpunkte des Sechsecks entsprechen den Situationen, in denen ein Krug ganz leer (bi = 0) oder ganz voll (bi = ai ) ist, an den Ecken tritt diese Situation bei zwei Krugen auf, von denen einer leer, der andere voll ist. Nur diese Randpunkte werden beim Umfullen erreicht. Die Zahl der ganzzahligen Randpunkte des Sechsecks ist a1 + a2 + a3 . Beispiel: Die Vorgabe [8; 7; 6; 3] wird dargestellt durch das umrahmte Mittelpunktssechseck im Fundamentaldreieck mit den Grundpunkten 800, 080, 008 800 (Krug  1) 710 ..  701

... .. ... .. .. . . .. .. . ....................................... .. .. . . .. ..... . . ... .. ... . ... .. ... ... . ... . .. ... .. .. ... ... .. .... . . . . ....... . .. ... .. . . . .. ..... .. . .. . . ... . ... .. .. .. .. .. ... . . .. .. .... . ... ... ... .. .. . . ..... . .... . .. ... .. ... .. ... ... .. . . . . . . . . .. .. .. .. .. ... . . . . . . .. .. .. .. .. .. ... ... .. .. .. .. ..... . ... .... .... .. .. .. ..... . . . . . . . .. .. ... . .. ... .. . ... ... . . . . . . . . .. .. .. .. ... .. . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . . . .. ... ... ... ... .. ... .... .. ... ..... ..... .... ... .. ... .. . . . . . . . . .. ... .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. . . . .. .... .. .. .. .... .... .... ... . .... . . . . ... .... .. ... ..... ....... ..... ..... .... .. .. . . . . . . . . ... . . . . . .. ... .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . ... . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. .... .. .. .... .... .... ..... .. .. . .. ... ... ..... ... ... ... ... ... .. .. ... .. ... .. ... .. ..... .. ... .. ... .. ... .. .. . . . . . . . . ... . . . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . . . . ... .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... . . ... ... ... ... ... ..................................... ..

.. .. .. ..  503 . 440  . . . . . . . . . . ... 413

260 

080  (Krug 2)





062 053

 008 (Krug 3)

b) Ein zulassiges Umgieen entspricht einem Weg langs einer Koordinatenlinie bi =const im baryzentrischen Koordinatennetz bis an den Rand des Polygons der moglichen Situationen. Betrachtet man das eben gezeichnete Beispiel [8; 7; 6; 3], so beginnt man das Verteilen von 8 Litern auf die Kruge von 7 bzw. 6 bzw. 3 Litern mit der Auswahl eines Eckpunktes des gezeichneten Sechsecks, namlich Vollgieen eines Kruges und den Rest in einen zweiten Krug, der dritte bleibt leer. Man uberzeuge sich geometrisch, da man durch Wanderung langs der

4.2 Subtraktion der naturlichen Zahlen

187

gepunktelten Koordinatenlinien zu allen ganzzahligen Punkten auf dem Rand des Sechseckes kommt, d.h. alle Randsituationen (i) sind durch Umfullen erreichbar. Insbesondere ist der Randpunkt 440 erreichbar, d.h. die gegebenen 8 Liter sind durch Kruge von 7, 6 und 3 Litern in zwei gleiche Teile aufteilbar. Ein moglicher Umfullproze ist

! 710 ! 413 ! 440 : c) Da dies nicht immer der Fall ist, zeigt die Vorgabe [10; 8; 7; 6]: Hier ist der der Halbierung entsprechende Randpunkt [550] nicht durch Umfullen von einer Ecke erreichbar, er liegt vielmehr auf einem geschlossenen Dreieckspfad 055, 505, 550, der von auen nicht erreichbar ist. Alle anderen ganzzahligen Randpunkte sind von den Eckpunkten erreichbar. . .. .. .. ... .. .. . . .. .. ... .. ... . .. ... .. .. .. .. . . . . .. .. .. . . . .. ....................................................................... . ..... . . . . .. .. ..... .. .. . . . . ... . . .. .. ... ... . . . .. .. .. .. ... .. . . ... ... ... . ... ... ... . .. . . .. ..... ... ... . . .. ... .. ... .. ...... .. ... . . . . ... .. .. .. .. .. .. ... ... . ... .. .. .. .. .... .. ... ... . . . . .... .. ... ..... ..... ....... .. .. . . . . . . . . .. .... .. .. .. .. .. . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... . . .... .. .. .... .... ... .. ... . .... .... .... .... ..... ..... . . . . . . . .. . .. . .. . .. .. .... ... .. . . . . . . ... . . . . . .. .. .. .. .. ... ... . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .. .. ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... .... ..... . . . . . . . ... . . .. . .. . .. . .. . .. ... .. ... .. . . . . . . . . . . .. . . . . .. .. .. .. .. .. ... ... . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . ... .. ... ... ... ... ... ..... ... .... ....... ..... ..... .. ... ..... ..... .... ... .. . . . . . . . . . .... . . . . . .. ... .. .. .. .. .. ... .. . . . . . . . . . . ... . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . . . ... . . .. .... .. .. .... .... ..... .... .... .. . . . . . . .. . .... ..... .. ..... ..... .. ... ..... ..... ..... .... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. ... ... .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . ... . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . . . . . .. .... .... .. .. .... .. .. .... .... ..... .. . ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... .. ... .. ..... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... . . . . . . . . . . . . ... . . .. . . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .. . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .... . . ... ... ... ... ... ......................................................................................................... ..

820 

370 

 802

550 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 505 .. . .. ...  406

.. . .. .. . .. . .. ... .. . .. ... .. .. .  

073

055 046

Dieser Fall eines isolierten Dreiecks dd0, d0d , 0dd tritt immer ein bei einer Vorgabe der Gestalt [2d; a1 ; a2 ; a3 ] mit 2d  a1  a2  a3 > d , z.B. schon bei [6; 5; 4; 4]. Die Vorgabe [8; 6; 5; 5] hat bereits zwei isolierte, von den Ecken nicht erreichbare Dreiecke aus Randpunkten. Generell wird man bei groeren Zahlen mit einer relativ kleinen Ausbeute an von den Eckpunkten erreichbaren ganzzahligen Randpunkten rechnen mussen: Die Vorgabe [d + 2; d + 1; d; d] z.B. hat 3d + 1 ganzzahlige Randpunkte, aber nur 4 von den Ecken verschiedene Randpunkte sind von den Ecken erreichbar! Andererseits sind in den folgenden Vorgaben stets alle ganzzahligen Randpunkte von den Ecken aus erreichbar: [d + 1; d; d; 2] fur d 6 0 mod 2 [d + 1; d; d; 3] fur d 6 0 mod 3 [d + 2; d + 1; d; 4] fur d 6 0 mod 4 [d + 3; d + 1; d; 5] fur d 6 0 mod 5 [d + 4; d + 2; d; 6] fur d  1 mod 6 [d + 3; d + 1; d; 6] fur d  2 mod 6 [d + 6; d + 4; d; 7] fur d 6 0 mod 7 [d + 6; d + 4; d; 8] fur d  1 mod 2 Finden Sie weitere Serien! d) Ist a2 + a3 = b < a1 , so entsteht ein Funfeck, die beiden Eckpunkte 0a03 a3 und 0a2 a02 fallen zusammen. Beispiel: Die Vorgabe [10; 8; 6; 4] wird dargestellt durch das umrahmte Funfeck. Hier ist der Punkt 550 ebenfalls nicht von den Eckpunkten erreichbar, er liegt auf einem die Ecken nicht

188

4. Die Grundrechenarten

treenden Pfad aus Dreiecks- und Sechseck guren. Der Grund hierfur liegt einfach an der Paritat: Alle Ecken haben gerade Koordinaten, man kann mit ihnen auch nur Punkte mit geraden Koordinaten erreichen. ... .. ... .. .. . .. .. .. .. .. ... .... . . .. ... .. . . . .. .. .. . .. .. .. .. ......................................................................... ... . . .. . ... . ... ... . . .. ..... .. .. . . .. . ... . .. .. . ... .. ... ... ... .... ... .. ... . . .. .... ..... .... . . . . .. .. . .. . .. .. .... . . . . . ... . . . .. .. .. ... ... . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... .... ..... . . . . . ... . . .. . .. . .. ... .. ... ... . . . . . . . .. . . .. .. .. .. ... . . .. ... . . . . .. .. .. .. .. . .. .... ... .. ... ... ..... ... . .... .... ..... .. ... ..... .... .. .. . ... .. . . . . . . . . .. ... .. .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. ... .. .... .. .. .... ....... .... .. . .... . . . . . .... ........ ..... .. ... ..... ..... .... ... .. . . . . . . . . . . . . . . .. ... .. .. .. .. .. ... .. . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ... .. .. . ... . . . .. . . . . . . . . . . .... . .. ... ..... ... ... ... ... ...... ... .. .. .. ... ... . .. ... .. .... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. . . . . . . . . . . ... . . .. . . . . . .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . ... . . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ..... .. .. .. .. ..... ... ... ... . . .... .... ..... .... ... ... ... .. ..... . . . . . . . . . . . . . .. . .. . ... . .. . .. . .. . .. .. ... .. .. . . . . . . . . . . . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . ... . . .... .... .. ... .... .... .... .... .... . .. . ... . . . . . . . . .... ..... ..... ..... .. ..... ..... ..... ..... ..... .. .. ... .. . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . . . . . . ... .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... ...... .. .. . . . . . . . .

.  802 ... ... ... . ... . . . ... . ... .. .. .. .. .. . ....  604 . . . 550 . . . . ... . ... . . . ... . ... .. .. .. .. . . ... 460  ... .. .. ... ... . . . . ... . ... . . . . .. .. . ... ... ..... 820 



064

d) Die zu Anfang erwahnte Aufgabe des Abtes Albert gehort zu dem Vorgabetyp [2d; a1 ; a2 ; a3 ] mit 2d = a1 = a2 + a3 . Hier ist die Menge der moglichen Situationen ein Parallelogramm mit den Ecken a1 00, a2 0a3 , 0a2 a3 und a3 a2 0. Die Aufgabe des Abtes Albert hat z.B. die Losungen 800 ! 350 ! 323 ! 620 ! 602 ! 152 ! 143 ! 440 und 800 ! 503 ! 530 ! 233 ! 251 ! 701 ! 710 ! 413 ! 440 ; graphisch: 800 

. .. . .. . 620.... . . . . . ... 602 .. .. .. .. . ... ...  503 . ... 440... .. .. .. . ... 350 . . . . ... . ... . . . . 323 .. .. . .. . ... 152 . . . . . 143

..... .. ... ... ...... ... ... ... ... . . ... ... ... ... ... ..... . .. ..... ... .. . .. ..... .. . .. . ... . ... .. .. ... . . ... .. ... .. ... ..... .... ..... . . . .. ...... . .. ... .. . . . . ... . . .. .. ... ... . . . ... .. .. .. .. ... ... . .. ... . ... ... ... .... .... ... ... . . . ... . . . .. . .. ... .. ... .. . . . . . . . .. .. .. . ... . .. ... . . . . . .. .. .. .. . .... ... .. ... ..... ... . .... .... ..... .. .. ..... ... .. ... .. . . . . . .. ... . .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. .. .. .. .. .. ... .. .. . ... .. .... .... .. ..... .. .. ... ... . . . . ..... .... ..... .. ... .... .. .... ..... ... .. . . . . . . . . . . . . .. ... .. .. .. .. ... . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . ... . . . . . . .. . . . . . . .. ..... ... ... ... .. ... .. .. ... ..... ... ..... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ..... .. ... ... .. . . . . . . . . . ... . . . . . .. . .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . ... .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. ..... .. ... ... . . ..... .... . .. .... .... ... ..... . . . . . . .... . . . . . .. ..... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... .. . . . . . . . . . ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .... . . .. .... .... .... .. .. .... .... ... ... ... . . . .. . . .



053

800 .

.. . 710 ... . ....701 .. .. .. . . .. ... ... . 530 ... . ... . . . ... . . . 503 .. .. .. 440  . . ..... . . . . . . . 413 .. .. 350  .. .. .. .. 251 . . . . . . . . . 233

. ...... ... ... ... ..... ... ... ... .. . . ... . ... ... ... ... . . .. ..... ... .. . . .. .... .. ... . . ... . .. .. ... ... . . ... .... .. ... ... ...... .... .... . . . .. .... . .. ... .. . . . ... . . .. .. .. ... . . . . ... .. .. .. .. ... ... . ... ... ... ... . .. . .. ... ... . . ... .. ... . . . .. . .. ... .. .. . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. . . . ... . . .. .. .. .. .. .. .. . ... .. ... ... ...... .... .... ..... .... ..... ... .. ... .. . . . . . . . .. ... . .. .. .. .. .. ... . . . . . . . .. .. .. .. .. .. ... .. .. ... ... .. .... .... ...... .... ... .. . . . . .. .. .... ..... ..... .. .. .. ..... ..... .. .. . . . . . . . . . . . . .. ... .. .. .. .. ... .. . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . ... . . . . . . .. . . . . . .... . .. .... ... ... . .. ... .. .. ... ..... ... ... .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ...... .. ... .. .. . . . . . . . . ... . . . . . .. . .. .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . ... . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..... .. .. .. ..... ... ... ... . .. ...... ... ... .... .... . .. ... .. . . . . . . .. .. . . . . .. ..... ... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... . . . . . . . . . ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .... . ... ... . .. .... .. .. .... .... .... .. .. ..... . . .. . . . . .



053

Zeigen Sie, da bei diesem Vorgabetyp alle ganzzahligen Randpunkte von den Ecken aus erreichbar sind, wenn ggT(a2 ; a3 ) = 1 ist. Allgemeiner gilt diese Aussage fur den Vorgabetyp [a1 ; a1 ; a2 ; a3 ] mit a2 + a3 2  a1  2(a2 + a3 ) + 1

4.2 Subtraktion der naturlichen Zahlen

189

und teilerfremden a2 und a3 . e) Ein Vier-Kruge-Problem: Drei Kerle raubten einem Gentleman eine Vase, die 24 Unzen kostbares Salbol enthielt. Beim Wegrennen trafen sie einen Glasblaser, dem sie drei Gefae abkauften. Als sie ihre Beute jedoch in drei gleiche Teile teilen wollten, fanden sie, da die Gefae 13, 11 und 5 Unzen faten. Wie teilten sie durch Umfullen?

4.3. Negative Zahlen 4.3.1. Zur Geschichte der negativen Zahlen

Im Gegensatz zur Addition ist die Subtraktion eine nicht fur alle Zahlenpaare in ININ duchfuhrbare Rechenoperation, was zu den storenden und unpraktischen Zusatzen "soweit die Dierenzen existieren\ fuhrt, oder zu jener abgehackten Subtraktion s(m; n) mit unschonen algebraischen Eigenschaften. Will man diesen Zustand beenden, mu man den Zahlbereich IN der naturlichen Zahlen erweitern zum Bereich der ganzen Zahlen. Es hat in der Mathematikgeschichte lange gedauert, bis dieser Schritt bewut durchgefuhrt wurde. In der klassischen Antike gibt es noch keine negativen Zahlen, auch Diophant (Arithmetik, Buch V, Aufgabe 2) nennt die Gleichung 4 = 4x + 20 Štopos = "absurd\. In China 11) und Indien 12) tauchen sie zwar schon im ersten Jahrtausend auf, werden aber von den Arabern nicht ubernommen. In Europa werden sie noch bei Vieta und bis ins 18. Jh. hinein abgelehnt. Erste Ansatze zu negativen Zahlen nden sich in Europa zwar schon bei Leonardo von Pisa, vgl. 2.9.2; in einem unpublizierten Manuskript von Nicolas Chuquet ( y 1488 in Lyon) ndet sich ein Kalkul der negativen Zahlen, aber ohne sichtbare Ausstrahlung auf die Zeitgenossen. Der erste, der negativen Zahlen in Mitteleuropa ein gewisses Wohnrecht im Reich der Zahlen einraumte und ihren Gebrauch propagierte, war Michael Stifel. Z

Michael Stifel wurde um 1487 in Elingen (seit 1964 Esslingen) geboren, ging ins Elinger Augustinerkloster und wurde 1511 Priester. Er studierte die Kirchenvater, las die Docta Ignorantia des Nikolaus von Cues (y1464) und ab etwa 1517 mit einigen Ordensbrudern auch die Publikationen des Ordensbruders Martin Luther. 1522 lie er ein 32strophiges Lied 13) drucken, das Luther als Verkunder der Wahrheit, Engel der Apokalypse und zugleich die Kirche als babylonische Hure und den im Dezember 1521 verstorbenen Papst Leo X. als Antichristen darstellt. Er mute das Kloster verlassen, kam nach Wittenberg zu Luther, der ihm zunachst zu einer Hofpredigerstelle in Mansfeld verhilft, dann 1528 zu einer Pfarrstelle in Lochau, 30 km ostlich von Wittenberg. 11)

Fur die chinesischen Verwaltungsbeamten gab es als Mathematik-Lehrbuch eine Aufgabensammlung Chiu Chang suan chou = Neun Bucher arithmetischer Technik , vgl. 2.4, die erstmals 1084 in der Sammlung der "Zehn mathematischen Klassiker\ gedruckt wurde; die alteste bekannte Ausgabe ist 263 von Liu Hui kommentiert, sie geht wohl auf das 1. Jh. zuruck. In Buch 8 wird eine Matrizenrechnung zur Losung linearer Gleichungssysteme angegeben, und dabei werden ausdrucklich auch die Rechenregeln negativer Zahlen angegeben. 12) Der Inder Brahmagupta schrieb 628 seine Brahmasphuta-siddhanta , die zwischen astronomischen Lehren . auch zwei mathematische Kapitel enthalten. Der zweite Teil von Kapitel 18 (Kuttakadhyaya ) enthalt die Rechenregeln fur positive und negative Zahlen inklusive Null, auch das doppelte Vorzeichen der Quadratwurzel. 13) Von der Chri‚f™rmigen / re…tgegrŸndten leer Doctori Martini Luther / ein Ÿberu s…™n kun‚li… Lyed / sampt

seiner neben vlegung, Straburg, Johann Schott 1522. Das Lied wurde funfmal bis 1525 nachgedruckt.

190

4. Die Grundrechenarten In Lochau studiert Stifel die "Wortrechnung\, eine "Rechnung\, die Worte und Zahlen verband. Die einfachste Art benutzt diejenigen Buchstaben, die romische Ziern bedeuten, also I = 1 ; V = 5 ; X = 10 ; L = 50 ; C = 100 ; D = 500 ; M = 1000 und lat die anderen Buchstaben fort. Das Jahr der Drucklegung seines Rechen Buchlins verschlusselt Stifel so in dem Text IESVS NAZARENVS REX IVDEORVM , der die Jahreszahl IVVXIVDVM = 1532 ergibt. Die zweite Art der Wortrechnung bei Stifel lehnt sich an die griechische und hebraische Zahlschreibweise mit Buchstaben an, wo jeder Buchstabe einen Einer, Zehner oder Hunderter bedeutete, vgl. 2.2. Stifel ordnet den lateinischen Buchstaben die ersten 23 Zahlen zu: a b c d e f g h i k ::: t v x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : : : 19 20 21 22 23 Dadurch kommt er zu Gleichungen wie Secundus = Sextus, mit denen noch nicht viel anzufangen ist. Eigentlich will er die Geheimnisse der apokalyptischen Teile der Bibel, d.h. das Buch Daniel und die Oenbarung des Johannes, mit dieser Wortrechnung (= "geistliche Arithmetica von zalen der heiligen schrit\) ergrunden, und so greift er zu einer dritten Methode: Er ordnet die Buchstaben den Dreieckszahlen zu 14) a b c d e f g h i k l m n o ::: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 : : : und konnte 666, die Zahl des Tieres aus der Apokalypse 15) , auf den Papst Leo X beziehen: i d b e s t i a l e o 45 + 10 + 3 + 15 + 171 + 190 + 45 + 1 + 66 + 15 + 105 = 666 Andere machten aus dieser Zahl Martin Luther, bei entsprechender Interpretation kann man auch Kaiser Wilhelm oder Adolf Hitler diese Zahl 666 zuordnen. Mittels der Wortrechnung berechnete Stifel 1532 16) das Datum des Jungsten Gerichtes, Luthers Warnungen und Bitten in den Wind schlagend. Solche Prophezeiungen waren damals nicht selten. Stifel stellte in seinem Rechen Buchlin zunachst die Wortrechnung vor, die bei ihm immer mehr in Spekulationen ausartet, bis er zum Kapitel Vom End der Welt kommt. Er zitiert mehrere endzeitliche Stellen aus dem Evangelium und zieht dann den Vers Johannes 19,37 17) heran, um das Jahr des Weltunterganges zu VIDVIVMIXV = 1533 zu bestimmen. Genauer (ein anderer Spruch wurde herangezogen) sollte das Jungste Gericht am 18.10.1533, um 8 Uhr morgens, eintreten. Der Pfarrer wartete mit seiner Gemeinde, die von auen Zulauf bekam, vergeblich. Dafur wurde Stifel des Amtes enthoben, Kurfurst Johann Friedrich der Gromutige verhangte einen vierwochigen Arrest, ein Spottlied entstand ("Stifel mu sterben, ist noch so jung\). Luther (ein "kleines Anfechtlein\) und Melanchthon verhinderten Schlimmeres, und konnten ihm 1535 die Pfarrstelle in Holzdorf bei Lochau besorgen. Die Holzdorfer Jahre (1535-1547) waren die ruhigsten und mathematisch ertragreichsten in Stifels Leben. Jetzt begann sich Stifel ernsthaft mit der Mathematik zu beschaftigen. 1541 wurde er an der Universitat Wittenberg immatrikuliert, es ist unklar, ob er Vorlesungen horte oder hielt.

14) 15)

16) 17)

die Summe dieser ersten 23 Dreieckszahlen ist 2300, die Zahl aus Daniel 8,14. Oenbarung Joh. 13,18: @Wde ™ fÐa. å êqwn noÜn yhfi‹tw tän ‚rijmän toÜ jhrÐou; ‚rijmäs g€r ‚njr¸pou â Ðn. kaÈ å ‚rijmäs aÎtoÜ áxakì oi áx konta éx. [ Hier ist die Weisheit: Wer es versteht, " und seine Zahl ist sechshundertundder berechne die Zahl des Tieres; denn es ist eines Menschen Zahl, sechsundsechzig.\] Stifel begrundete das Interesse an dieser Zahl 666 auch damit, da sie gerade die Summe der romischen Zahlzeichen (ohne M) ist. Heute wurde man eher etwa folgendes anfuhren: 666 = 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 ist die Summe der ersten sieben Primzahlquadrate. Ein Re…en BŸ…lin vom EndChri‚. APOCALYPSIS IN APOCALYPSIN. Wittemberg 1532. "Sie werden sehen, in wen sie gestochen haben.\ in der Vulgata: VIDebVnt In qVeM transfIXerVnt.

191

4.3. Negative Zahlen

Stifel trieb grundliche mathematische Studien, die er in sein Hauptwerk, die Arithmetica integra 18) , einbrachte. Das Vorwort zu diesem Werk schrieb Philipp Melanchthon, der praeceptor Germaniae, der ein hohes Lied auf die Rechenkunst sang: "Selbst wenn ich 100 Zungen und 100 Munder hatte, konnte ich nicht aufzahlen, in wievielen Dingen Zahlen gebraucht werden. : : : \ In den drei Buchern der Arithmetica integra entwickelt Stifel die einfache Zahlentheorie (auch das Pascalsche Dreieck fehlt nicht), die Theorie der Irrationalzahlen (in der zum ersten Mal eine grundliche Analyse des schwierigen 10. Buches von Euklid gegeben wird), und die Algebra (in der zum ersten Mal der Gedanke der Logarithmen entwickelt wird). Stifel ist auf der Hohe der Zeit, er zitiert die Schriften von Girolamo Cardano, Petrus Apian, Christoph Rudol, Adam Ries u.a. Sein Werk ist eine methodisch ausgefeilte und prazise Zusammenstellung wesentlicher mathematischer Kenntnisse der Zeit mit vielen eigenstandigen neuen Gedanken; weitere Au agen erschienen 1545, 1546, 1548, 1586. Es wurde noch lange als Quelle von anderen Mathematikern benutzt und lat sich u.a. in den Werken von Christoph Clavius, Simon Stevin, Athanasius Kircher und Frans van Schooten nachweisen. In den folgenden zwei Jahren publiziert Stifel im selben Verlag zwei weitere Werke in der Volkssprache auf elementarerem Niveau: 1545 ein deutsches Rechenbuch 19) : Der erste Teil behandelt die Rechnung im Haushalt, das Rechnen mit Rechenpfennigen, schriftliches Rechnen, Dreisatz und Bruchrechnung. Der zweite Teil (Co) entwickelt die Algebra, also die formale Manipulation von Ausdrucken mit einer Unbekannten, die Au osung von Gleichungen. Der dritte Teil behandelt Kalenderprobleme (Computus ecclesiasticus ): Berechnung des Wochentags und der vom Mond abhangigen Kirchenfeste (Osterdatum). Insbesondere fordert Stifel eine Kalenderreform, da der Kalender der Sonne vorauseile 20) . 1546 folgt auf Wunsch des Verlegers ein Buch des kaufmannischen Rechnens 21) , in dem Stifel den Inhalt des Rechenbuches des Apian (Ingolstadt 1527) elementarer darstellt. 1547 wurden die Protestanten in der Schlacht bei Muhlberg besiegt, Stifel und der grote Teil der Bevolkerung von Holzdorf wird vertrieben. Stifel geht nach Preuen, wo der protestantische Markgraf Albrecht, vormals Hochmeister des Deutschen Ordens, seit 1525 als Herzog herrschte. Er ndet 1551 in Hastrom bei Konigsberg eine Bleibe. Wieder entwickelt er groe mathematische Aktivitat. Ein Manuskript Kurzer Abri der gesamten Lehre EUKLIDs im zehnten Buch seiner Elemente von 1551 wurde 1977 von Meretz in Berlin ediert. 1553 besorgt Stifel eine verbesserte Neuausgabe der Coss von Christoph Rudol 22) , die zuerst 1525 in Straburg erschienen war und aus der Stifel im Selbststudium die Algebra gelernt hatte. Stifel hat das Werk verbessert, erweitert und vervollkommnet. Weitere Au agen dieser Co erschienen 1571 und 1615. An der 1544 gegrundeten Universitat Konigsberg halt Stifel theologische und mathematische Vorlesungen, hat aber Streitigkeiten mit Andreas Osiander, dem eigensinnigen Schmiedsohn aus Gunzenhausen, Prediger an St. Lorenz und fuhrenden Kopf der Protestanten in Nurnberg, den das Augsburger Interim von 1548 aus Nurnberg vertrieben und nach Konigsberg verschlagen hatte. Die Streitigkeiten werden durch Osianders Tod nicht beigelegt, und so verlat Stifel Konigsberg und wird 1555 Pfarrer in Bruck bei Treuenbrietzen. Von dort geht er 1558 nach Jena, wo er an der Universitat Vorlesungen halt, 1560 z.B. eine vierstundige Vorlesung uber theoretische und praktische 18)

erschienen bei Johann Petrejus, Nurnberg 1544, der ein Jahr zuvor das revolutionare, das geozentrische Weltbild au osende Buch De revolutionibus orbium coelestium von Nikolaus Kopernikus (mit dem verfalschenden Vorwort von Osiander), ein Jahr spater die Ars magna von Girolamo Cardano, das bedeutendste und innovativste Algebrabuch der Renaissance, druckte.

19) Deuts…e Arithmetica. Inhaltend. Die Haure…nung. Deuts…e Co. Kir…re…nung. Zu Nžrnberg tru†t Johan Pe20)

treiu. 1545.

das hatte schon Johannes de Sacrobosco (John of Holywood) um 1220 gefordert, der feststellte, da der wahre Wert der Lange des tropischen Jahres um 121 Stunde kurzer sei, als im Kalender angegeben. [Der tatsachliche Unterschied ist mehr als doppelt so gro.] Stifel berechnet aus Sacroboscos Angabe, da der Fehler in 312 Jahren einen Tag ausmache.

21) Re…enbu… von der Wels…en vnd Deuts…en Practi† / au„ allerley vorteyl vnd behendigkeit / mit erklerung viler Exemplen / au„ man…erley art vnd wei / na… der kŸrtz vnd vorteyl / zu ma…en. N urnberg:

Johan Petrejus 1546.

22) Die Co Chri‚o„ Rudol„. Die s…™nen Exempeln der Co Dur… Mi…ael Stifel Gebeert vnd sehr gemehrt. Konigsberg:

Alexander Lutomysl 1553.

192

4. Die Grundrechenarten Arithmetik und eine Vorlesung uber das 10. Buch Euklids. Michael Stifel starb am 19.4.1567 in Jena.

In der Arithmetica integra nennt Stifel die negativen Zahlen numeri absurdi bzw. numeri cti infra nihil , sagt aber, da diese Fiktion von grotem Nutzen fur die Mathematik sei 23) . Aus der Regel (a b) + (c d) = (a + c) (b + d) fur naturliche Zahlen leitet Stifel Rechenregeln fur die Addition negativer Zahlen her, indem er a = c = 0 setzt. A hnlich verfahrt er bei der Multiplikation. Die Benutzung negativer Zahlen erlaubt es Stifel, die acht Falle der quadratischen Gleichungen bei seinen Vorgangern (z.B. Rudol, andere hatten noch mehr Falle) und die entsprechenden acht Rechenregeln zu einem Fall und einer Formel zusammenzufassen. Negative Losungen lat er allerdings nicht zu. A hnlich verfahrt Cardano in Kapitel 37 (De Regula falsi ponendi ) seiner Ars magna ein Jahr spater. Da gibt es Gleichungen mit negativen Losungen: Das Vermogen x von Franz und die Mitgift y seiner Gattin stehen in den Beziehungen

y = x + 100 Die Losung

;

y2 = x2 + 400

x = 48 ; y = 52

akzeptiert Cardano und spricht von "Schulden\ von Franz, wahrend er sonst negative Koef zienten i.a. nicht zulat, was seine Gleichungsdiskussionen schwerfallig macht, und negative Losungen ubersieht oder " ktiv\ nennt. Vereinzelt tauchen aber auch Gleichungen mit negativen Koezienten auf, z.B. in der Aufgabe, die Zahl 6 in zwei Summanden mit dem Produkt 40 zu zerlegen (Losung: x = 10; y = 4). Weit u ber Stifel und alle Zeitgenossen hinaus aber wagt sich Cardano in der Aufgabe, die Zahl p6 in zwei Summanden mit dem Produkt 40 zu zerlegen. Die gesuchten Summanden sind 5  15, komplexe Zahlen, wie sie Cardano auch in seiner Losungsformel fur die kubische Gleichung begegnen. Mit diesen ganz neuartigen Zahlen (er nennt sie quantitas sophistica ), beschaftigt sich Cardano intensiv, ohne ihre "Metaphysik\ zu erfassen. In Bombellis Algebra (Bologna 1572), die auf Cardano beruht, wird bereits ein solider Kalkul der komplexen Zahlen entwickelt und gezeigt, wie die komplexen Zahlen als Durchgangsstadium zum Gewinn reeller Losungen kubischer Gleichungen nutzlich sind. Es dauerte dann noch bis ca. 1800, bis die komplexen Zahlen gesichertes Allgemeingut der Mathematik waren, wenn auch alle groen Mathematiker des 18. Jh. sie benutzten. Anerkannt bei allen Mathematikern waren die negativen Zahlen mit den Buchern von Stifel und Cardano noch nicht. Fur den 1603 in Paris gestorbenen Francois Viete, den "Vater der Algebra\, gibt es sie nicht. In der Arithmetik (Leiden 1585) des hollandischen Ingenieurs Simon Stevin, der spater Generalquartiermeister der Armee des Prinzen Moritz von Oranien wurde, werden sie aber bereits mit groerer Selbstverstandlichkeit als bei Stifel behandelt, die Subtraktion wird als Addition negativer Zahlen interpretiert. Stevin ist mit seinen Anschauungen aber der Zeit voraus. Der Berufssoldat und Universalgelehrte Rene Descartes ist in seiner beruhmten und ein ureichen Geometrie (Leiden 1637), in der die analytische Geometrie eingefuhrt wurde, nicht so 23)

tque haec ctio summa utilitate pro rebus mathematicis.

4.3. Negative Zahlen

193

konsequent wie Stevin: Er fat die Koezienten von Polynom-Gleichungen noch als positive Zahlen auf und mu dementsprechend die Polynome mit  statt als einfache Summe von Monomen ai X i schreiben. Die negativen Losungen solcher Gleichungen bezeichet er als falsche Wurzeln (racines fausses ), aber das liest sich bereits wie ein Fachausdruck fur eine bestimmte Zahlenart. Thomas Harriot, wissenschaftlicher Begleiter der Expedition Sir Walter Raleghs nach Virginia (1585), benutzt zwar schon in Manuskripten Wurzeln aus negativen Zahlen wie Cardano und Bombelli; in der fur Laien geschriebenen Artis analyticae praxis , die posthum 1631 erschien, sagt er aber, da Gleichungen keine negativen Losungen haben konnten, die negativen Losungen von f (x) = 0 seien vielmehr die positiven Losungen von f ( x) = 0. Der Theologe (Kirchensekretar Cromwells) und Geometrie-Professor John Wallis sagt in seiner Algebra (Oxford 1693, cap.66): "Es ist unmoglich, da eine Groe weniger sei als Nichts oder eine Zahl kleiner als Null. Trotzdem ist die Annahme einer negativen Groe weder nutzlos noch absurd, wenn sie nur richtig verstanden wird\, namlich durch physikalische Interpretation: " 3 Schritte vorwarts gehen ist dasselbe wie 3 Schritte zuruckgehen.\ Auch Leibniz hat Schwierigkeiten, die negativen Zahlen zu akzeptieren: In einem Brief an Johann Bernoulli argumentiert er 1712, da 1 nicht kleiner als Null sein konne. Denn in der Gleichung 1 = 1 1 1 wurde dann links der Nenner kleiner als der Zahler, rechts der Zahler kleiner als der Nenner sein, im Widerspruch zur griechischen Proportionenlehre. Im 18. Jh. werden die negativen Zahlen allmahlich akzeptiert und inkorporiert in den Zahlbegri, Euler interpretiert sie in Kapitel I.2 seiner Algebra (Petersburg 1770) als "Schulden\. Schwierigkeiten bei dem Verstandnis werden aber immer wieder deutlich. So schreibt Francis Maseres noch im Jahre 1800 in den Fustapfen von Harriot 24) The quantities called negative are such as it is impossible to nd any clear idea of, being de ned by Sir Isaac Newton and other algebraists, to be such quantities as are less than nothing, or as arise from the subtraction of a greater quantity from a lesser, which is an operation evidently impossible to be performed; and as to the negative roots of an equation they are in truth the real and positive roots of another equation consisting of the same terms as the rst equation, but with dierent + and signs pre xed to some of them, so that when writers of \algebra" talk of the negative roots of an equation, they in fact jumble two dierent equations together.

24)

Kritische Bemerkungen ndet man 1806 bei Carnot 25) , dem beide Interpretationen der negativen Zahlen seiner Zeit nicht behagten, weder "Zahlen kleiner als Null\ noch "Zahlen entgegengesetzter Richtung\. Er unterscheidet zwischen "Groen\ und "algebraischen Werten\, letztere

Francis Maseres: Tracts on the Resolution of Aected Equations by Dr. Halley's, Mr. Raphson's, and Sir Isaac Newton's Methods of Approximating Roots , London 1800, p. 286. 25) Lazare Carnot, Schuler von Monge, Ingenieur, Organisator des Kampfes der franzosischen Revolutionsarmeen und fuhrender Kopf der Revolutions-Regierung bis 1797, letzter Innenminister Napoleons, nach dem Regime der 100 Tage Exil in Magdeburg. Die Schwierigkeiten mit den negativen Zahlen, die er in seinem Buch De la Correlation des Figures de Geometrie (1801) benutzte, fuhrt er in einer "Digression sur la Nature des Quantites dites Negative\ aus, publiziert in Memoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cing points quelconques pris dans l'espace suivi d'un essai sur la theorie des transversales , Paris 1806.

194

4. Die Grundrechenarten

sind ktive Begrie fur das Rechnen. Die negativen Zahlen sind algebraische Werte aber keine Groen, sie sind Groen mit Vorzeichen, die eine eventuell nicht vollziehbare Operation andeuten ( 2 bedeutet die unmogliche Operation, 2 von 0 abzuziehen). Er benutzt dann nach dem ihn selbst nicht uberzeugenden Versuch einer Rechtfertigung die negativen Zahlen als Koordinaten in seinen geometrischen U berlegungen. Noch 1831 schreibt Augustus de Morgan: 26) The teacher must recollect that the signs + and are not quantities, but directions to add and subtract. Above all he must reject the de nition still sometimes given of the quantity a that it is less than nothing. : : : It is astonishing that the human intellect should ever have tolerated such an absurdity as the idea of a quantity less than nothing, above all, that the notion should have outlived the belief in judicial astronomy and the existence of witches, either of which is ten thousand times more probable.

Solange man nur einen begrenzten Teil des Zahlenstrahls vor Augen hat, etwa bei allen praktischen Anwendungen, kann man die Einfuhrung der negativen Zahlen auch als die Setzung eines Nullpunktes im Zahlbereich [1; N ] interpretieren: Die Zahlen werden dann relative Zahlen bezuglich des Nullpunktes, die Zahlen links vom Nullpunkt haben das Vorzeichen Minus, die rechts vom Nullpunkt das Vorzeichen Plus. Beispiele liefern neben dem Dualismus Guthaben/Schulden die Celsius-Skala der Temperatur (Nullpunkt = Schmelzpunkt des Wassers) 27) , die Hohenmessung auf der Erdober ache (Normalnull = idealisierte Meereshohe), die Langenmessung in der Kartographie (Nullmeridian = Meridian durch die Sternwarte von Greenwich), die abendlandische Zeitskala (Nullpunkt = "Christi Geburt\) 28) . Diese Beispiele belegen die Nutzlichkeit des Begries der negativen Zahlen und haben sicher zu ihrer Akzeptanz beigetragen. Die mathematische, theoretische Behandlung der Gesamtheit der negativen Zahlen aber mu gesondert erfolgen.

4.3.2. Konstruktion der ganzen Zahlen Hier seien kurz drei Konstruktionsmoglichkeiten fur den Bereich der ganzen Zahlen skizziert: 1. naiv: Zu den naturlichen Zahlen f1; 2; 3; : : : g nehmen wir eine Null 0 und den Bereich der negativen Zahlen f 1; 2; 3; : : :g hinzu, den man durch Zuruckzahlen erhalt, und de nieren die Anordnung durch n < m ; 0 < m ; m < 0 ; n < m fur m < n (n; m 2 IN) und die Addition durch ( m) + ( n) = (m + n) ; 0 + m = m + 0 = m 8 falls m < n n := fm 2 IN ; m > ng , de niert ist. Die Null 0 entspricht bei dieser Darstellung der Identitat auf IN. Alle Abbildungen An und A n sind streng monoton. Sei [ En mit En = ff : IN>n ! IN streng monotong E= n2IN0

die Menge aller streng monotonen Abbildungen f aus IN nach IN, deren De nitionsbereich alle naturlichen Zahlen ab einer (mit f variierenden) Schranke sind. Fur f 2 En gilt wegen der strengen Monotonie dann f (m)  m n . Wir wollen Funktionen aus E identi zieren, wenn sie sich nur um endlich viele Werte unterscheiden, also auf IN>n fur groes n dieselbe Funktion geben. Diese Klasseneinteilung von E schreibt man als direkten Limes

E1 = lim ! En : n!1

196

4. Die Grundrechenarten

Das Kompositum zweier Funktionen aus E1 liegt wieder in E1 , genauer hat man

f 2 En ; g 2 Em =) f  g 2 Em+n : So ist An  Am = An+m , d.h. die Komposition auf E1 setzt die Addition auf IN fort. Die Funktion A0 = id ist das neutrale Element bei dieser Komposition:

A0  f = f  A0 = f : Die Operatoren An und A n gehoren zu E1 und es gilt

An  A n = A n  An = A0 : Also sind die Additionsoperatoren An in E1 invertierbar, zusammen mit A0 und A n bilden sie eine Untergruppe von E1 , die Gruppe der ganzen Zahlen. Die Anordnung auf spiegelt sich wieder in n < m : () An (x) < Am (x) (n; m 2 ) Z

Z

Z

fur ein oder alle groen x 2 IN. Wie auch immer man sich die angeordnete Gruppe der ganzen Zahlen verschat hat, welche Vorstellung auch immer man von diesen ganzen Zahlen hat, fur die weitere mathematische Beschaftigung mit ihnen sind nur die Eigenschaften ihrer Operationen wichtig: 1. Auf der Menge ist eine Addition + :  ! de niert mit folgenden Regeln: a) Sie ist assoziativ: (m + n) + r = m + (n + r). b) Sie ist kommutativ: m + n = n + m . c) Sie besitzt ein Nullelement 0 2 mit n + 0 = n . d) Jedes Element n 2 hat eine Negatives n 2 mit n + ( n) = 0. Kurz: ( ; +) ist eine abelsche Gruppe. 2. Auf der Menge ist eine binare Relation < gegeben mit folgenden Eigenschaften: a) < ist transitiv: m < n; n < r =) m < r . b) < ist antisymmetrisch, d.h. fur kein n 2 gilt n < n . c) < ist total, d.h. fur m; n in gilt (genau) eine drei folgenden Aussagen: Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

m < n oder m = n oder n < m d) Die Addition ist monoton:

m < n =) m + r < n + r Kurz: ( ; +;     > :   |   8 > >
    > > :   |   8 > > >
  > > =   > a >   > ; }

(a
b)
c = a
(b
c)

schlielich sieht man, indem man die Zahl a (man kann sie als eine vertikale Saule von a Punkten auassen und den Beweis an einem raumlichen Quader fuhren) auf alle Punkte eines Rechtecks der Groe b mal c plaziert und addiert: 8 > > > > >
a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a > a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a > > > : a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a +a a| + a + a + a + a + a +{za + a + a + a + a + a + }a b In jeder Zeile ist die Summe a
b , bei c Zeilen ergibt sich (a
b)
c ; andererseits wird die Zahl a gerade (b
c)-mal zu sich selbst addiert, das macht a
(b
c).

203

4.4. Multiplikation der naturlichen Zahlen

4.4.2. Formale Beweise der Rechenregeln der Multiplikation 1. Linkes Distributivgesetz:

r
(m + n) = r
m + r
n

(r; m; n 2 IN):

Beweis durch Induktion nach n : n = 1:

n ! n0 :

r
(m + 1) = r
m0 (6) = r
m + r (5) = r
m+r
1 :

r
(m + n0) (2) = r
(m + n)0 (6) = r
(m + n) + r I:=V: r
m + r
n + r (6) = r
m + r
n0 : 1 0: Folgerung: Fur n < m gilt auch

r
(m n) = r
m r
n : 2. Rechtes Distributivgesetz:

(m + n)
r = m
r + n
r

(m; n; r 2 IN):

Beweis durch Induktion nach r : r = 1:

r ! r0 :

(m + n)
1 (5) = m + n (5) = m
1+n
1 :

1: 1: (m + n)
r0 (2) = (m + n)
(r +1) = (m + n)
r +(m + n)
1 I:=V: m
r + n
r + m
1+ n
1 = m
r0 + n
r0 :

2 0: Folgerung: Fur n < m gilt auch (m n)
r = m
r n
r : 3. Assoziativgesetz:

(n
m)
r = n
(m
r)

(n; m; r 2 IN):

Beweis durch Induktion nach r : r = 1: (n
m)
1 (5) = n
m (5) = n
(m
1) : r ! r0 : 1: (n
m)
r0 (6) = (n
m)
r + n
m I:=V: n
(m
r) + n
m = n
(m
r + m) (6) = n
(m
r0 )

204

4. Die Grundrechenarten

4. Kommutativgesetz:

n
m=m
n

(n; m 2 IN):

Beweis durch Induktion nach m : m = 1: 1
n = n (5) = n
1 wird durch Induktion nach n gezeigt. n = 1 : folgt aus (5). n ! n0 : 1
n0 (6) = 1
n + 1 I:=V: n + 1 = n0 : m ! m0 : 2: 0 n
m0 (6) = n
m + n I=:V m
n + n = m
n : 5. Monotonie der Multiplikation:

n < m =) n
r < m
r Beweis:

(n; m; r 2 IN):

n < m =(3)) 9s 2 IN : n + s = m =2): nr + sr = mr =(3)) nr < mr :

6. Kurzungsregel:

n
m1 = n
m2 =) m1 = m2 :

Diese folgt aus 5. und der Trichotomie der Anordnung.

4.4.3. Produktbildung in Z In 4.3.2 haben wir den Bereich IN der naturlichen Zahlen zum Bereich der ganzen Zahlen erweitert, um die Subtraktion stets ausfuhren zu konnen, d.h. um die additive Struktur von IN in eine abelsche Gruppe ( ; +) einzubetten. Wir wollen hier, in Anlehnung an die zweite Konstruktion, die ganzen Zahlen als Dierenzen naturlicher Zahlen, also in der Form n m schreiben. Dann u bertragt sich die Multiplikation von IN auf in zwangslau ger Weise, wenn man die Gultigkeit der Distributivgesetze fur annimmt: Z

Z

Z

Z

(m1 n1 )
(m2 n2 ) := (m1 m2 + n2 m2 ) (n1 m2 + m1 n2 ) Man rechnet nach: Diese De nition des Produktes zweier ganzer Zahlen ist unabhangig von der Darstellung der Faktoren als Dierenz naturlicher Zahlen, ist also mit der A quivalenzrelation  in 4.3.2 vertraglich. Die vorstehenden Rechengesetze 1. bis 4. ubertragen sich von IN auf . Insbesondere folgen aus obiger De nition die Vorzeichenregeln: Z

( m)
n = m
( n) = (m
n)

;

( m)
( n) = m
n

(m; n 2 ) Z

205

4.4. Multiplikation der naturlichen Zahlen

Diese liefern die Multiplikativitat des Absolutbetrages:

jm
nj = jmj
jnj

(m; n 2 ) Z

Fur die Multiplikation mit Null und 1 ergibt sich:

m
0=0

m
1=m

;

m
( 1) = m

;

(m 2 ) Z

Mit Eulers Interpretation der negativen Zahlen als Schulden kann man die Vorzeichenregeln der Multiplikation auch so erklaren: Die positiven Zahlen sind Gutscheine, die negativen Schuldscheine. Multiplikation einer Zahl mit +3 bedeutet das dreifache Ziehen eines solchen Scheines, Multiplikation einer Zahl mit 3 bedeutet die dreifache Ruckgabe eines solchen Scheines. Dann wird die Multiplikation von 3 mit 4 die vierfache Ruckgabe eines Schuldscheines uber 3 Mark bedeuten, also ein Gewinn von 12 Mark. Eine additiv geschriebene abelsche Gruppe (R; +), auf der eine distributive, assoziative Multiplikation mit einem Einselement 1, das 1
x = x = x
1 fur alle x 2 R erfullt, gegeben ist, heit ein Ring. Der aus der Linearen Algebra bekannte Ring der Matrizen zeigt, da die Multiplikation in einem Ring nicht kommutativ sein mu. Ist sie es, spricht man von einem kommutativen Ring. Ein wesentlicher Teil unserer bisherigen Konstruktion lat sich zusammenfassen in dem Ergebnis: Die ganzen Zahlen Z bilden bezuglich der eingefuhrten Operationen + und

kommutativen Ring.


einen

Daruber hinaus haben wir auf noch eine Ordnung, die zu einem angeordneten Ring macht. Die Rechenregeln 5. und 6. andern sich allerdings beim U bergang von IN zu : Z

Z

Z

5 0: Monotonie der Multiplikation in Z:

n
r < m
r falls r > 0 n < m =) : n
r = m
r falls r = 0 n
r > m
r falls r < 0 8
1

und

p = n
m =) n = 1 oder m = 1 :

(7)

Die Menge P der Primzahlen beginnt mit den Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, : : : : : : Sie ist unendlich, wie wir in Satz 4.4.2 sehen werden. Zuvor wollen wir aber den wichtigsten Satz uber die multiplikative Struktur von IN zeigen, den Satz 4.4.1 ( Satz uber die eindeutige Primzerlegung): Jede naturliche Zahl n ist Produkt von

Primzahlen. Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

Beweis mit Induktion nach n : Im Fall n = 1 ist n ein leeres Produkt von Primzahlen, die Behauptung ist wahr. Andernfalls ist n entweder multiplikativ unzerlegbar und daher prim,

4.4. Multiplikation der naturlichen Zahlen

207

und dann ist n ein Produkt mit einem Faktor aus P . Oder es besteht eine Zerlegung n = m
r mit m; r < n , und dann haben m und r Primzerlegungen und damit auch n . Um die Eindeutigkeit der Primzerlegung zu zeigen, sei p0 der kleinste Primteiler von n . Man hat eine Zerlegung n = p0
m0 mit wohlbestimmtem m0 , und m0 hat nach Induktionsvoraussetzung eine eindeutige Primzerlegung. Gibt es eine wesentlich andere Primzerlegung von n , so taucht in ihr p0 nicht auf. Sei p1 der kleinste Primfaktor der zweiten Primzerlegung von n mit

n = p1
m1

; p0 p1 ; p0 m1 -

-

Dann ist p0 < p1 , also p0 m1 < n . Die Zahl

n0 = n p0 m1 = (p1 p0 )m1 ist kleiner als n , hat also eine eindeutige Primzerlegung. Wegen p0 j n ) p0 j n0 mu daher p0 in p1 p0 oder in m1 als Teiler auftreten. Nun ist p0 m1 , also mu p0 j p0 p1 sein, was p0 p1 widerspricht. Dieser Widerspruch zeigt, da n keine zwei wesentlich verschiedene Primzerlegungen haben kann. -

-

Bemerkung: In den Elementen des Euklid 35) , dem zwei Jahrtausende lang wichtigsten Lehr-

buch der Mathematik, nden sich zwar Betrachtungen u ber Primzahlen inklusive der zentralen Eigenschaft, da eine Primzahl ein Produkt nur teilt, wenn sie einen der Faktoren teilt. Jedoch 35)

U ber das Leben dieses erfolgreichsten Autors im Bereich der Mathematik wissen wir fast nichts, und was wir wissen, stammt aus spater U berlieferung. Archimedes zitiert ihn, also wird er alter als Archimedes sein. Er wird in Alexandrien (aber nicht in ozieller Stellung am Museion mit der groen alexandrinischen Bibliothek) gewirkt haben, denn Pappos [Collectio VII.34] berichtet im 4. Jh.: "Apollonios weilte lange Zeit in Alexandrien bei den Schulern des Eukleides\. Man sagt daher: Euklid wirkte irgendwann zwischen 320 und 260 v.Chr. in Alexandrien. Seinen Ruhm begrunden die 13 Bucher der Elemente . Ferner uberliefert sind die Data , ein Buch mit Konstruktionsaufgaben zu den ersten 6 Buchern der Elemente, genauer ein U bungsbuch zur geometrischen Algebra. Auf arabisch erhalten ist eine kleine Ab Zerlegung von Figuren , verloren sind seine Schriften uber Kegelschnitte, uber Denkfehler handlung Uber in der Mathematik, uber geometrische Orte auf Flachen und die Porismata , ein Werk zur Analyse von Konstruktionsaufgaben. Erhalten sind auch einige Werke Euklids uber Anwendungen der Mathematik, die Optika [Lehre von der Perspektive], die Katoptrika [Lehre von den Spiegelbildern], eine Musiktheorie [Katatom˜ kanìnos] und eine elementare theoretische Astronomie [Fainìmena]. Folgende Anekdoten haben spatere Generationen uber Euklid berichtet: 1. Proklos Diadochos, 5. Jh. [Geometerkatalog in seinem Kommentar zum ersten Buch der Elemente des Euklid, Friedlein (Funote 21) in 0.4.2) S. 68.]: Archimedes erzahlt: Ptolemaios I [Konig von A gypten von 305 bis 285 v.Chr.] fragte den Eukleides einmal, ob es fur die Geometrie nicht einen kurzeren Weg gebe als die Lehre der Elemente . Er aber antwortete, es fuhre kein Konigsweg zur Geometrie. Eine analoge Anekdote wird auch von Alexander dem Groen und seinem Erzieher Aristoteles erzahlt. 2. Johannes Stobaios, 5. Jh. [Florilegium IV, S.205]: Ein Schuler fragte den Eukleides, als er den ersten geometrischen Lehrsatz gelernt hatte: "Was kann ich verdienen, wenn ich diese Dinge lerne?\ Da rief Eukleides seinen Sklaven und sagte: "Gib ihm 3 Obolen, denn der arme Mensch mu Geld verdienen mit dem, was er lernt.\

208

4. Die Grundrechenarten

fehlt dort der Satz 4.4.1 uber die Eindeutigkeit der Primzerlegung | Euklid konnte sich zwar noch Produkte von drei Faktoren (= Strecken) durch Quader veranschaulichen, fur Produkte von mehr Faktoren fehlten ihm die hoheren Dimensionen. Dieses Beispiel zeigt, da eine zu enge Anlehnung der Mathematik an die Geometrie auch als Hindernis wirken kann. Satz 4.4.2 (Euklid: Elemente IX.20): Es gibt unendlich viele Primzahlen 36) .

Beweis (Euklid): Ist p1 , : : : , pr eine vorgegebene Liste von Primzahlen, so ist die Zahl n = p1


pr + 1 von 1 verschieden, aber nach Konstruktion auch durch keine Primzahl pi der Liste teilbar. Jeder Primfaktor von n ist also eine neue Primzahl. Zusatz: Der Beweis des Euklid ist konstruktiv; er gibt nicht einfach die Unendlichkeit der Liste der Primzahlen, er gibt auch eine (herzlich schlechte) Abschatzung fur die n -te Primzahl pn ,

namlich

pn+1  22n :

Beweis: Fur n = 0 ist 2 = p1  220 = 2. Hat man die Ungleichung fur kleinere n gezeigt, so folgt nach Euklids Beweis

pn+1  pn pn 1


p1 + 1  22n

1 +2n 2 +:::+1

n

+ 1  22

Beispiel: Wendet man den Beweis auf die ersten r Primzahlen an, so erhalt man folgende

Tabelle:

2+1 2
3+1 2
3
5+1 2
3
5
7+1 2
3
5
7
11 + 1 2
3
5
7
11
13 + 1 2
3
5
7
11
13
17 + 1 2
3
5
7
11
13
17
19 + 1 2
3
5
7
11
13
17
19
23 + 1 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29 + 1 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31 + 1 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37 + 1 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41 + 1

=3 =7 = 31 = 211 = 2311 = 30 031 = 59
509 = 510 511 = 19
97
277 = 9 699 691 = 347
27953 = 223 092 871 = 317
703 763 = 6 469 693 231 = 331
571
34231 = 200 560 490 131 = 7 420 738 134 811 = 181
60611
676 421 = 304 250 263 527 211 = 61
450 451
11 072 701

Die vorstehende Liste zeigt, da der Euklidische Beweis i.a. nicht die nachste, noch unbekannte Primzahl liefert, sondern oft eine viel spatere. Fur den unerschop ichen Reichtum an Fragen, Aufgaben, Problemen, die in Verbindung mit den Primzahlen auftreten und die z.T. bis heute zu den hartesten Problemen der Mathematik zahlen, mu auf eine Vorlesung uber Zahlentheorie verwiesen werden. 36)

Euklid formulierte vorsichtiger, den durch dialektische Diskussionen belasteten Begri des "Unendlichen\ [Špeiron] vermeidend: OÉ prÀtoi ‚rijmoÈ pleÐous eÊËpˆntos toÜ protejèntos pl jous pr¸twn ‚rijmÀn = Die Primzahlen sind mehr als jede vorgelegte Menge von Primzahlen.

4.4. Multiplikation der naturlichen Zahlen

209

4.4.5. p-adische Bewertung

Definition: Ist p eine Primzahl und n 2 IN, so wird der Exponent von p in der Primzerlegung von n mit vp (n) bezeichnet und der p-adische Wert von n genannt. Die Abbildung

vp : IN ! IN0

;

n 7! vp (n)

heit die p-adische Bewertung. Mit dieser Bezeichnung erhalt die Primzerlegung in IN die Gestalt

n=

Y

p2P

pvp (n)

wobei vp (n) = 0 fur fast alle p 2 P gilt. An dieser Darstellung lassen sich die folgenden elementaren Eigenschaften der Bewertung leicht ablesen. Fur m; n 2 IN gilt

vp (n
m) = vp (n) + vp (m)
vp (n + m)  min vp (n); vp (m)

(Multiplikativitat) (ultrametrische Dreiecksungleichung)

wobei in der letzten Ungleichung die Gleichheit steht, wenn vp (n) 6= vp (m) gilt. Auch die Teilbarkeit zweier naturlicher Zahlen m; n lat sich mit den p -adischen Bewertungen leicht so formulieren:

m j n () vp (m)  vp (n) fur alle p 2 P Daraus sehen wir, da zu je zwei Zahlen m; n 2 IN ein wohlbestimmter groter gemeinsamer Teiler Y ggT(m; n) = pmin(vp (m);vp (n)) p2P

und ein wohlbestimmtes kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV(m; n) =

Y

p2P

pmax(vp (m);vp(n))

existieren und in der Beziehung kgV(m; n)
ggT(m; n) = m
n stehen. Ist ggT(m; n) = 1, d.h. haben m und n keinen gemeinsamen Teiler > 1, so heien m und n teilerfremd. Als Beispiel fur die Berechnung p -adischer Werte behandeln wir die Werte von Fakultaten und Binomialkoezienten: Sei p eine Primzahl, sei

n = n0 + n1 p + n2 p2 + : : : + nr pr

mit 0  ni < p fur 0  i  r

210

4. Die Grundrechenarten

die p-adische Entwicklung einer naturlichen Zahl n . Fur jedes 1  i  r gibt es unter den Zahlen 1; 2; : : : ; n genau j k n = n + n p + : : : + n pr i i i+1 r pi Stuck, die durch die p -Potenz pi teilbar sind. Daher ist der p -adische Wert von n! gleich r j X

n k = n + n (p + 1) + n (p2 + p + 1) + : : : + n (pr + pr 1 + : : : + p + 1) : 1 2 3 r i i=1 p Multiplikation mit p 1 liefert vp (n!) =

(p 1)
vp (n!) = n1 (p 1) + n2 (p2 1) + n3 (p3 1) + : : : + nr (pr 1) = n

r X i=0

ni :

Man nennt die Summe der Ziern der p -adischen Entwicklung von n die p-adische Quersumme

sp (n) = der Zahl n . Mit diesem Begri erhalten wir den

r X i=0

ni

Satz 4.4.3: Der maximale Exponent einer n! = 1
2
3


n teilenden p -Potenz ist

vp (n!) = n p sp1(n) ;

wobei sp (n) die p -adische Quersumme von n ist.

Wendet man den vorstehenden Satz auf einen Binomialkoezienten  n + m = (n + m)! n!
m! n an, so erhalt man die


Folgerung 4.4.4: Fur den p -adischen Wert e eines Binomialkoezienten n+nm gilt n + m sp(n) + sp (m) sp (n + m) e = vp = m p 1

Mit den p -adischen Entwicklungen von n und m

n=

r X i=0

nipi

;

m=

r X i=0

mi pi

(0  ni ; mi < p)

kann man diesen p -Exponenten e als die Anzahl der Stellen i beschreiben, bei denen mi +  ni  p ist, also als die Zahl der "Ubertr age\ bei der p -adischen Addition der Zahlen m und n. Der Exponent kann ochstens gleich r +1 sein, in diesem Fall ist n + m  pr+1 . Insbesondere  h  ist die maximale nk teilende p -Potenz hochstens gleich n : 0  k  n;

 

pe

n k

=) pe  n

211

4.4. Multiplikation der naturlichen Zahlen

Aufgaben zu 4.4: 1.  Programmieren Sie eine Funktion fnMult(n,m), die die in der Vorlesung gegebenen rekursiven De nitionen der Multiplikation und der Addition benutzt. Vergleichen Sie das Laufzeitverhalten dieser Funktion mit der eingebauten Funktion n*m. Wie andern sich die Laufzeiten, wenn man bei dem Programmieren der Multiplikation die eingebaute Addition n+m benutzt? 2. Formulieren und zeigen Sie, analog zu den Aufgaben 3 und 4 von 4.1, ein allgemeines Assoziativgesetz und ein allgemeines Kommutativgesetz fur die Multiplikation in . Z

3. a) Zeigen Sie induktiv das allgemeine Distributivgesetz n X i=1

ai


m X j =1

bj =

b) Zeigen Sie induktiv

n X m X i=1 j =1

speziell a


a i bj

n X i X

ai aj = 21
i=1 j =1



n X i=1

2

ai +

n X i=1

a2

n X j =1

bj =

n X j =1

abj



i

c) Zeigen Sie die Lagrange-Identitat n X

n

X a2i
b2i i=1 i=1

n X i=1

2

a i bi =

1X :::n

im+n

mit der einzigen Ausnahme aus a). 12. Addition kontra Multiplikation: Anna nimmt Margret in einen Trodelladen mit. Nach langem Feilschen kauft Anna ein gebrauchtes Taschentuch fur 1 Mark und drei billige Kettchen. Als der Verkaufer, uber das Ergebnis des Handels etwas verargert, die Preise in seinen Taschenrechner eintippt, merkt Margret, da er anstelle der Additionstaste dreimal die Multiplikationstaste druckt. Sie macht Anna usternd darauf aufmerksam, doch diese zahlt anstandslos die 6; 75 Mark, die der Rechner anzeigte. Auf der Strae fragt Margret, warum Anna nicht protestiert habe. "Ach\, sagt Anna, "ich habe die Preise im Kopf addiert und kam auf denselben Betrag\. Frage: Wie teuer waren die Kettchen? 13. Nach langjahriger Abwesenheit kehrt Jurgen in seine Heimatstadt zuruck und besucht seinen ehemaligen Lehrer. Lehrer: "Wie alt bist du eigentlich jetzt, und wie alt sind Deine beiden Kinder?\ Jurgen: "Zusammengenommen sind wir so alt wie Du. Das Produkt unserer Lebensalter ist 2450.\ Lehrer: "Aha; wenn ich allerdings nicht gewut hatte, da Du junger bist als unser jetziger Burgermeister, so hatte ich aus diesen Angaben euer Alter nicht entnehmen konnen.\ Frage: Wie alt ist der Burgermeister? 14. Der im 1. Jh.n.Chr. in Bootien lebende Philosoph, Biograph und Kommunalbeamte Plutarch schreibt [Isis und Osiris 42]:

Die A gypter fabeln, der Tod des Osiris trete ein am 17., wo die Abnahme des Vollmondes deutlich wird. Deshalb nennen die Pythagoreer diesen Tag Gegensperrung und verabscheuen uberhaupt diese Zahl; denn wahrend das Quadrat 16 und das Rechteck 18 die einzigen Flachenzahlen sind, bei denen der Umfang gleich dem Flacheninhalt ausfallt, so fallt zwischen beide die Zahl 17 mitten hinein, sperrt und scheidet sie voneinander und zerlegt das Epogdoos-Verhaltnis in ungleiche Intervalle.

214

4. Die Grundrechenarten

Zur Erklarung sei gesagt: Epogdoos [âp-ìgdoos] ist das Verhaltnis 18 : 16 = 9 : 8, das in der Musiklehre der Pythagoreer dem Ganzton entspricht. Die (multiplikative) Zerlegung 18 = 18
17 16 17 16 entspricht der Zerlegung eines Ganztons in zwei ungleiche Halbtonschritte. Die verabscheute Zahl 17 ist das arithmetische Mittel von 16 und 18. Man zeige, da 16 und 18 die einzigen Rechteckzahlen m
n sind, die gleich ihrem Umfang sind, also

m
n = 2(m + n) erfullen. 15. Erinnerung: Eine Reihe

X

n

an heit geometrisch, wenn die Quotienten an+1 =an aufein-

anderfolgender Glieder konstant sind. Die geometrischen Reihen sind die wichtigsten Reihen der elementaren Analysis. a) Zeigen Sie die Summenformel der geometrischen Reihe

q 6= 1 =) a + aq + aq2 + aq3 + : : : + aqn =

n X

b) Folgern Sie oder zeigen Sie induktiv: Fur alle q; n 2 IN mit q > 1 gilt c) Berechnen Sie fur n 2 IN

n X

n+1

aqi = a
q q 1 1 i=0 n X i=0

qi < qn+1 .

r

r r=1 2

16. Zeige: Teilt eine Primzahl p ein Produkt m
n , so teilt sie einen der Faktoren:

p j m
n =) p j m oder p j n 17. Keine Zahl der Gestalt n4 + 4 mit n > 1 ist prim. 18. a) Keine der folgenden Dezimalzahlen ist eine Primzahl: 1001 ; 1001001 ; 1001001001 ; 1001001001001 ; : : : b) Gleiches gilt fur die Zahlen der Bauart 10001 ; 100010001 ; 1000100010001 ; : : : 19. a) Ist die mit 16 Einsen geschriebene Dezimalzahl 1111111111111111 eine Primzahl? b) Zeigen Sie: Ist eine aus n Ziern 1 bestehende Zahl eine Primzahl, so ist n prim.

4.4. Multiplikation der naturlichen Zahlen

215

20. Sei M eine endliche Menge naturlicher Zahlen und P die Menge der Primteiler der Zahlen aus M . Zeige: a) Ist jP j < jM j , so gibt es eine nichtleere Teilmenge N von M , so da das Produkt der Zahlen aus N eine Quadratzahl ist. b) Die Behauptung ist falsch fur jP j  jM j . 21. a) Zeigen Sie (z.B. induktiv) fur alle n 2 IN n Y

n (2i 1)  p2
n! 3n + 1 i=1 b) Prufen Sie die Gute dieser Abschatzung durch ein kleines Programm fur n < 900.

22. Seien M bzw. N endliche Mengen mit m bzw. n Elementen. a) Zeigen Sie, da das kartesische Produkt M  N , also die Menge aller Paare (x; y) mit x 2 M und y 2 N , dann mn Elemente hat. b) Wie kann man die Rechenregeln der Multiplikation (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz, Monotonie) bei dieser Interpretation deuten? 23. Sei n eine naturliche Zahl. a) Genau dann ist n eine Summe einer geraden Anzahl aufeinanderfolgender naturlicher p Zahlen, wenn der maximale ungerade Teiler von n groer als 2n ist. b) Genau dann ist n eine Summe einer ungeraden Anzahl ( > 1) aufeinanderfolgender p naturlicher Zahlen, wenn der kleinste ungerade Primteiler von n kleiner als 2n (und > 1) ist. c) Zeigen Sie den Satz von Sylvester: Die Zahl der Darstellungen einer naturlichen Zahl n als Summe mehrerer aufeinanderfolgender naturlicher Zahlen ist gleich der Zahl der ungeraden Teiler > 1 von n . 24. Sei S die Summe der groten ungeraden Teiler der Zahlen von 1 bis 2n . Man zeige 3
S = 4n + 2 25. Sei (n) die Anzahl der Primzahlen  n . Nach dem 1898 bewiesenen Primzahlsatz hat man eine Asymptotik (n)  logn n ; d.h. der Quotient der beiden Seiten konvergiert gegen 1 fur n ! 1 . a) Zeige die folgende schwachere Ungleichung von Tschebyschew 37) : Fur alle naturlichen Zahlen n > 2 gilt (n) > 32
logn n : 37) Pafnut$i L~voviq~ Qebyxev,

Begrunder der Petersburger mathematischen Schule, lieferte wichtige Beitrage zur Zahlentheorie, Approximationstheorie, Integralrechnung, Wahrscheinlichkeitstheorie, Kartographie, Mechanik und Ballistik; hier: P. L. Tchebychef: Recherches nouvelles sur les nombres premiers , Paris 1851. Comptes Rendus hebdomadaires des seances de l'Academie des Sciences de Paris 29 (1849), 397{401 & 738{739

216

4. Die Grundrechenarten Anleitung: Nach dem Ende von Folgerung 4.4.4 gilt fur 0  k  n die Abschatzung
n
Y vp ( nk )  n(n) : p = k

pn Addieren wir diese Ungleichungen fur k = 0; : : : ; n , erhalten wir

2n = (1 + 1)n =

n X n
k=0

k

 (n + 1)
n(n)

:

Logarithmiert gibt das n
log 2  log(n + 1) + (n)
log n , also   n  (n) 
log 2 log(n + 1) : log n n Der rechte Faktor ist monoton wachsend und > 23 fur n = 201, also haben wir 2 n  (n) >
3 log n Fur die Zahlen 3  n  200 prufe man die Formel direkt nach.

b) Zeige fur n > 1 die umgekehrte Abschatzung (n) < 32
logn n

fur n > 200:

:


Anleitung: Fur alle Primzahlen p mit n < p  2n gilt vp ( 2nn ) = 1, denn diese Primzahlen

tauchen einmal im Zahler und nicht im Nenner auf, und daher ist Y 2n
< 22n : p  n(2n) (n)  n n a2 > a3 > : : : durch

ai 1 = qi
ai + ai+1

(9)

die wegen der Wohlordnung von IN schlielich bei ar+1 = 0 enden mu. Dann ist ggT(a0 ; a1 ) = ggT(a1 ; a2 ) = : : : = ggT(ar 1 ; ar ) = ar :

(9)0

219

4.5. Division mit Rest

Oenbar ist diese Konstruktion genau die arithmetische Form der in 0.6 beschriebenen Wechselwegnahme der Pythagoreer, die Aristoteles und Euklid u berliefern. Wir nennen die durch (9) beschriebene Iteration den euklidischen Algorithmus. Im Gegensatz zur Primzerlegung einer Zahl n , deren genaue Komplexitat wir nicht kennen 40) , ist die Geschwindigkeit des euklidischen Algorithmus linear in der Stellenzahl der Startzahlen und daher ist fur jedes hinschreibbare Zahlenpaar der grote gemeinsame Teiler sofort zu berechnen. Denn aus (9) folgt mit qi  1 ai 1  ai + ai+1 und Vergleich mit der Fibonacci-Folge mit der Rekursion (vgl. 2.10.3.3)

Fi+1 = Fi + Fi zeigt

ar+1 mit

1

;

F0 = 0; F1 = 1 

i i  Fi = p



5

p

 = 1 +2 5 = 1; 61803 39887 49894 84815 : : : Speziell also kann man die Lange r des euklidischen Algorithmus fur (m; n) mit n > 1 abschatzen durch p
(10) r  log n 5 ;

d.h. die Schrittzahl des euklidische Algorithmus fur (m; n) ist hochstens das Funache der Anzahl der Dezimalstellen der kleineren Zahl n . Bei den Startzahlen m = Fr+1 , n = Fr braucht der euklidische Algorithmus die in (10) angegebene Schrittzahl, die Abschatzung ist also scharf. 41) Geht man die zur Kette (9)0 gehorenden Gleichungen (9) ruckwarts durch, so sieht man den folgenden Satz 4.5.2: Der ggT(m; n) zweier ganzer Zahlen ist eine ganzzahlige Linearkombination dieser

Zahlen m und n :

ggT(m; n) = a
m + b
n

(a; b 2 ) Z

Ist ggT(m; n) = c und n = n0 c , so kann man in vorstehender Gleichung 0  a < n0 erreichen. Beispiel: Es soll der ggT von 369 und 167 berechnet und linear dargestellt werden. 40) 41)

der Versuch, eine Zerlegung einer 200stelligen Zahl zu nden, ist fur heutige Spitzencomputer ein frustrierendes Unternehmen. Doch den Algorithmus kann man zum schnellen euklidischen Algorithmus beschleunigen, indem man (9) durch ai 1 = qi
ai  ai+1 mit ai+1  ai =2 (9) ersetzt, also Division mit kleinstem Absolutrest iteriert.

220

4. Die Grundrechenarten

gewohnlicher Algorithmus 369 = 2
167 + 35 167 = 4
35 + 27 35 = 1
27 + 8 27 = 3
8 + 3 8 = 2
3+2 3 = 1
2+1 2 = 2
1+0

schneller Algorithmus 369 = 2
167 + 35 167 = 5
35 8 35 = 4
8 + 3 8 = 3
3 1 3 = 3
1+0

Also ist ggT(369; 167) = 1. Rechnen wir den schnellen Algorithmus ruckwarts, erhalten wir 1 = 3
3 8 = 3
(35 4
8) 8 = 3
35 13
8 = 3
35 13
(5
35 167) = 13
167 62
35 = 13
167 62
(369 2
167) = 137
167 62
369 Es ist vernunftig, den euklidischen Algorithmus als eine Kette von linearen Transformationen auf den Paaren (ai 1 ; ai ) anzusehen: 

ai 1 ai









7! aai+1i = M ( qi)
aai i 1





mit M ( qi ) = 01

1



qi

Der Abfolge des Algorithmus entspricht eine iterierte Matrizenmultiplikation: 





ai a0 ai+1 = M ( qi)


M ( q2 )
M ( q1 )
a1



(11)

Dies zeigt, da jedes ai eine ganzzahlige Linearkombination der Anfangsdaten a0 ; a1 ist, speziell gilt dies fur ar = ggT(a0 ; a1 ). Will man die Koezienten dieser linearen Darstellungen beim euklidischen Algorithmus mitberechnen, so fuhre man neben den Groen ai auch Groen bi und ci mit denselben Transformationsformeln (9)

bi 1 = qi
bi + bi+1 ci 1 = qi
ci + ci+1 und den Anfangswerten

b0 = c1 = 1

;

b1 = c0 = 0

ein. Dann erweitert sich (11) zu 

also





ai bi ci a0 1 0 ai+1 bi+1 ci+1 = M ( qi )


M ( q2 )
M ( q1 )
a1 0 1 

bi

ci



bi+1 ci+1 = M ( qi )


M ( q2)
M ( q1 ) ;

so da die erste Zeile von (11) die Gestalt

a i = bi
a 0 + ci
a 1



;

221

4.5. Division mit Rest

erhalt. Mit diesem erweiterten euklidischen Algorithmus lat sich die Berechnung des groten gemeinsamen Teilers ggT(a0 ; a1 ) inklusive linearer Darstellung durch a0 und a1 mit sieben Speicherplatzen fur

ai 1 ; ai ; bi 1 ; bi ; ci 1 ; ci ; qi

durchfuhren. Im obigen Beispiel zur Berechnung und linearen Darstellung von ggT(369; 167) ergibt dies den folgenden Erweiterten euklidischen Algorithmus:

gewohnlicher Algorithmus

i

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ai

bi

ci

schneller Algorithmus

qi

369 1 0 167 0 1 35 1 2 27 4 9 8 5 11 3 19 42 2 43 95 1 62 137 0 167 369

i

ai

ci

369 1 0 167 0 1 35 1 2 8 5 11 3 19 42 1 62 137 0 167 369

0 1 2 3 4 5 6

2 4 1 3 2 1 2

bi

qi 2 5 4 3 3

Die kleinen Zahlen in den letzten Zeilen sind nur zur Rechenkontrolle ausgerechnet. Das Ergebnis bei beiden Rechnungen ist wie oben ggT(369; 167) = 1 = 62
369 + 137
167 :

4.5.3. Die Restklassen modulo n Halten wir den Divisor n fest und dividieren alle ganzen Zahlen durch n , so werden die ganzen Zahlen in n Klassen eingeteilt, je nachdem, welchen Rest sie bei der Division durch n lassen. Diese Klassen kann man als

n ; 1 + n ; 2 + n ; : : : ; r + n = fr + qn ; q 2 g ; : : : ; (n 1) + n = 1 + n Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

schreiben; man spricht von den Restklassen der Untergruppe n in , oder von den Restklassen modulo dem Divisor oder Modul n . Die Menge der Restklassen von n in wird mit =n bezeichnet. Wir haben eine naturliche Restklassenabbildung Z

Z

Z

:

Z

! =n Z

Z

;

m 7! m + n

Z

Z

Z

Z

;

die jede Zahl m auf die sie enthaltende Restklasse abbildet. Wir schreiben diese Abbildung von in die endliche Menge =n auch als

Z

Z

Z

(m) = m Bemerkungen:

oder

(m) = m mod n :

222

4. Die Grundrechenarten

1. Ist n 2 IN, so liefert die Division durch n und n denselben Rest, und daher auch dieselben Restklassen r + n = r + ( n) Daher werde ich im folgenden bei derartigen Restbildungen immer n als naturliche Zahl annehmen, die Erweiterung auf ganze Zahlen bringt ja nichts Neues. 2. Fur n = 2 ist die vorstehende Restklasseneinteilung die Einteilung der ganzen Zahlen in gerade Zahlen aus 2 und ungerade Zahlen aus 1 + 2 . Diese Klasseneinteilung steht am Anfang der Zahlentheorie, man ndet sie bei den Pythagoreern wie im alten China. Im neunten Buch der Elemente des Euklid ndet man erste Satze u ber diese Einteilung wie IX.21. Gerade + Gerade = Gerade. IX.22. Ungerade + Ungerade = Gerade IX.24. Gerade Gerade = Gerade IX.25. Gerade Ungerade = Ungerade IX.26. Ungerade Ungerade = Gerade IX.27. Ungerade Gerade = Ungerade IX.28. Ungerade  Gerade = Gerade IX.29. Ungerade  Ungerade = Ungerade Wir werden diese pythagoreische Lehre vom Geraden und Ungeraden verallgemeinern in der Kongruenzrechnung, die von Gau 1801 eingefuhrt wurde. Z

Z

Z

Z

4.5.4. Kongruenzen Definition: Sei n 2 IN eine naturliche Zahl. Zwei ganze Zahlen a und b heien kongruent

modulo n , wenn sie denselben Rest bei der Division durch n lassen, d.h. in derselben Restklasse nach n liegen: a  b mod n : () a + n = b + n Z

Z

Z

() a b 2 n

Z

Bemerkung: Wurde man als Modul auch n = 0 zulassen, so erhielte man

a  b mod 0 () a = b ;

also nicht Neues. Ebenso liefert, wie schon in 4.5.2 gesagt, die Kongruenz modulo n nichts anderes als die Kongruenz modulo n . Das Rechnen mit Kongruenzen ist ein wesentliches Hilfsmittel der elementaren Zahlentheorie. Hier seien drei Grundregeln vorgestellt: 1. Die Kongruenz modulo n ist eine A quivalenzrelation, kann also als eine neue "Gleichheit\ interpretiert werden, wie wir das schon in 4.5.2 durch die Bildung der Restklassen getan haben. Wir wiederholen die de nierenden Eigenschaften einer A quivalenzrelation (die fur die Kongruenz nach 4.5.2 erfullt sind): a  a mod n (re exiv) a  b mod n =) b  a mod n (symmetrisch) a  b mod n ; b  c mod n =) a  c mod n (transitiv)

223

4.5. Division mit Rest

2. Kongruenzen kann man addieren und subtrahieren:

a  b mod n ; c  d mod n =) a  c  b  d mod n : Beweis: Nach den Pramissen gibt es x und y in mit a = b + nx und c = d + ny . Dann ist Z

a  c = (b  d) + n(x  y) ; also a  c  b  d mod n . 3. Kongruenzen kann man multiplizieren:

a  b mod n ; c  d mod n =) a
c  b
d mod n : Beweis: Nach den Pramissen gibt es x und y in mit a = b + nx und c = d + ny . Dann ist Z

a  c = (b  d) + n(xd + by + nxy) ; also ac  bd mod n . Wir wollen diese Rechenregeln noch anders interpretieren: 2 0. Die Moglichkeit, Kongruenzen zu addieren, bedeutet, da wenn man zwei Zahlen aus den Restklassen a + n und b + n wahlt, die Summe stets in die Restklasse (a + b) + n fallt, wie man die Wahl auch trit. Wir konnen daher von einer Addition zweier Restklassen sprechen: (a + n ) + (b + n ) := (a + b) + n : Z

Z

Z

Z

Z

Z

Die Restklassenabbildung  : ! =n ist additiv: Z

Z

Z

(a + b) = (a) + (b) : Dadurch ubertragen sich wesentliche Eigenschaften der Addition in auf die Addition in =n : Die Addition in =n ist assoziativ, kommutativ, das Bild der Null, also die Klasse n der Vielfachen von n , fungiert als Null in =n , und jede Restklasse hat ein Negatives: Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z







Z



a + n + ( a) + n = n Z

Z

Z

Kurz: Die Menge =n der n Restklassen modulo n wird durch die Addition eine abelsche Gruppe. Z

Z

Wie die Gruppe hat die Gruppe =n die Eigenschaft, da alle Elemente Vielfache der Eins sind, wobei jetzt die negativen Vielfachen nicht benotigt werden: Jedes Element a in =n hat die Gestalt a = 1 + 1 + ::: + 1 Z

Z

Z

Z

Z

mit einer gewissen Anzahl von Summanden 1. Solche von einem Element 1 erzeugten Gruppen heien zyklische Gruppen, sie sind die einfachsten aller Gruppen. Sie treten (in

224

4. Die Grundrechenarten

multiplikativer Gestalt) auf als Drehgruppen des Kreises 42) , die Drehung  um 2=n erzeugt durch iteriertes Hintereinanderausfuhren eine Gruppe

Zn = fj = Drehung um 2j=n ; j = 0; 1; : : : ; n 1g mit n Elementen (man sagt: eine Gruppe der Ordnung n ), die n -te Iteration n von  ist die Identitat. Allgemein gilt daher

j = k () j  k mod n ; die Folge der Iterationen j ist periodisch mit der Periode n . Dies zeigt, da die Drehgruppe Zn der Drehungen um Vielfache von 2n und die additive Gruppe =n der Restklasen modulo n isomorph sind, d.h. fur Belange der theoretischen Mathematik ununterscheidbar. Beispiel 1: n = 8 2 Z

Z

........................................ ................. ......... ......... ......... ........ ........ ........ ....... ................................ ...... . . ..... . . ........ ..... ......... ...... . . .... . ....... .... .... ...... . . . .... . ..... .... .... . . .... . .... .... ... . .... . . . .... .... .... . . . . . ... ... .... .... . . . . . ... .... ... . ... . . ... ... .. . . . . . ... . .. .. ... . . . .. ... .. . . . . .. . .. .. .. . . ... .. .. . . ... . . ... ... .. . . . . ... . .. . . . .. . . .. ... ... . . . .. .. .. ... . . . . .. .. .. ... . . . . .. . ........ .... . . .... . ... . . . . . ... . ...... .... . .. ... .. ... .. . . . . . ... . ... ... ... . . . ... .. . . . . . ... .. .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. ... ... ... .. ... . .. . . . . ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... . ... . . . . .... ... .... ... ... ... .... .... ... .... .... ... .... .... .... .... ... .... ..... . . . . .... ..... . .... ....... .... ..... ........ .... ......... ..... ..... ............... .... ..... ..... ............... ..... ...... ........ ...... . . . . ......... . . ........... ....... .............................................................

3

1

4

0

5



7

6

Die Pfeile bezeichnen das erzeugende Element  , die Drehung um 45 , der Gruppe Z8 bzw. die erzeugende Translation x 7! x + 1 der additiven Gruppe =8 der Restklassen modulo 8. Die ubrigen Elemente in Z8 bzw. in der additiven Gruppe =8 sind Iterationen dieser Erzeugenden. Z

Z

Z

Z

3 0. Die Moglichkeit, Kongruenzen zu multiplizieren, bedeutet, da wenn man zwei Zahlen aus den Restklassen a + n und b + n wahlt, das Produkt stets in die Restklasse ab + n fallt, wie man die Wahl auch trit. Wir konnen daher von einer Multiplikation zweier Restklassen sprechen: (a + n )
(b + n ) := ab + n : Z

Z

Z

Z

Z

Z

Die Restklassenabbildung  : ! =n ist multiplikativ: Z

Z

Z

(a
b) = (a)
(b) : Dadurch u bertragen sich wesentliche Eigenschaften der Multiplikation in auf die Multiplikation in =n : Die Multiplikation in =n ist assoziativ, kommutativ, das Bild der Eins, Z

Z

42) kÔklos (kyklos)

Z

Z

Z

= Kreis, daher der Name zyklisch.

225

4.5. Division mit Rest

also die Klasse 1 = 1 + n , fungiert als Eins in =n , uberdies gilt das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition. Aber die Multiplikation liefert keine Gruppenstruktur auf ganz =n , sondern nur auf einer gewissen Teilmenge. Jetzt begnugen wir uns mit der Feststellung, da die Visualisierung der Multiplikation auf =n , wenn man die Restklassen modulo n mit den Ecken eines regularen n -Ecks identi ziert, ganz verschiedenartige Strukturen liefert. Beispiel 2: n = 7 (prim) Wir betrachten die Multiplikation mit a auf =7 . Fur a = 0 wird alles auf 0 abgebildet, fur a = 1 ergibt sich die Identitat. Fur a = 2; 3; 4; 5; 6 ergeben sich die folgenden Bilder, wobei wir die Pfeile an dem Zuordnungsgraphen weggelassen haben, um die zueinander inversen Multiplikationen x 7! 2x , x 7! 4x bzw. x 7! 3x , x 7! 5x in einem Bild darzustellen, die Multiplikation x 7! 6x = x ist selbstinvers. Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

2

...... .. ............................ ..... ............ .. ... ... ............. .. .. .... .. ... . . .... ... . .... .. .. .. . . . .... .... .. ... . . .. . . ... .. ... .......... .... ... . .... . . .. ............ ... . .. . .... . . . ..... ........... . . . ... .. ..... .... . . . . . . ...... ..... ..... . . . . . . . . . . ...... .............. . . . . . .. .... . . .... .. ..... .......... . .... . . .... . .......... ..... . .... . ...... .. . . ....... . . . .... ... ... .... ... .. .... .. ... .... .. .. .... ... .. .... ... .. .... .. ... .. . . ..... . .. ............. ... ..... ............. .. .... ............. ............. .....

3

5

a=6

2

........... .......... ... ....... .... .. ... .. ..... .... ... .......... ................... . . ........................ .. ......... . . ... . . . . . . . . . . . ... .. .. ....... .................... . . . . . . . . . . .. ....... ... ... ... ....... .. ... ... . .. . .. ... . .. . . . . . ... .. . . ... . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . .. ..... .. . . ... . ... . . . ... . . ... .. . . . .. ................. ... .. .. ... ... ....... ................ ............. .... .. ... ......... .............. .. .. . ............ .. ...... ..................... ... .. ..... . .. .. .. ..... .. ....... .... .. ....... ... ...........

1



0

4



5

1

3

0

4

6

... ........ . .. .... ... . . ... . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ... . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . .. . . .. .. . ... . . .. . . ... . ...........

1

3

0

4

Z

a = 3; 5

a = 2; 4

2

Z



5

6

6

Es fallt auf, da das Element 0 ein Fixpunkt unter jeder Multiplikation ist, wahrend die ubrigen Elemente ohne Fixpunkt (fur a 6= 1) permutiert werden. Die Multiplikation mit 2 zerlegt die Restklassen von 1 bis 6 in zwei Dreierzyklen, die Multiplikation mit 3 liefert einen groen Sechserzyklus, d.h. alle Elemente 6= 0 in =7 sind Potenzen von 3. Beispiel 3: n = 8 Die Multiplikation auf =8 liefert ein anderes Bild. Wieder lassen wir die trivialen Multiplikationen mit 1 und 0 beiseite, haben dann aber zwei verschiedene Typen von Multiplikationen. Typ 1: Die Multiplikationen x 7! a
x mit a = 2, 4 bzw. 6 sind nilpotent, d.h. mehrfache Ausfuhrung einer solchen Multiplikation landet stets bei 0, nichts von einem Permutationstyp wie bei n = 7 ist sichtbar. Besonders trivial ist die Multiplikation mit 4: die ungeraden Restklassen werden auf 4, die geraden auf 0 abgebildet. Z

Z

Z

............. .... .. .. ... .... ... .. .... .. .. .... .. .... ..... .. . . ... ............... .. ... . . . . . . .. . . . . . . ....... ...... ...... . . . .. . . . . . .... . ........ . . . . . . . . ...... . . .... . ....... . . . . . . . . . . . . . .... .. ...... ........ . . . . . . . . . . . ........ ........ ........ .. . .... . . . . . . . . ............................................................................................................................... .. . . . ........ . . . . .... .......... . .. . ........ . .......... ............... ...... . ....... . .. ... .. ......... . .. .. .. .... ........ . ... ........ . . . ...... . ........ ... ......... .. ..... .............. .. .. ...... ... ................... .... .. .... .. ... .. . . . . .. . .. ... .... ... ... ........... .... ...

3

1

4

5

0



6

a=6

a=2

a=4

2

Z

7

2

....................................... ... . . .......... .. ..... .. .......... ........... ......... .. .... .. ..... .... .... .... . . . .. . . ... ... .... . . .. . . . ... .... . .. .. .. . ...... . .. ..... . . . . .. . .. .. ... . . . . . . . . . ... .. . . ........ . . . . . ... .. . . ....... . . . . . ................................................................................................................................... . . . . .. .... . ........ . . . ..... . ... ... . .... . . ... . .... .... . .. .. .... . ... .. ...... .. . .. .. . .. .... ....... .... .... .. .. .... .... .. .. .... .... .. . . .... .. .. .......... .......... .. ........ . .. ...... ... ........ .. ...... ........................... ........... ..

3

1

4

5

0



6

7

2

........................... ... ............. ....... .. .. ......... ..... . . .. ...... ............ ...... .. .. ......... ... .... ... . . . . .. .. .. ... . . . . ... .. . ... .. .. .... .. . . . . . . .. .. .... . . . . . .. . . .. ... .. . .... .. .. .... . .. .. . ........ . . ... .. . . ....... . . . . . .................................................................................................................................. . . . . . .. .... . ....... . . . ..... . ... .... . .... . . . .. . .... . . . .. . .... ... .. .. .... .. ... ... .... .. .. .. .... ... .. .. .... .. ... ... .. .... .. .... . . . . . . . ... .............. .. .. ... .. .......... ....... . .. ... .............. .......... ... ................. .......... ....

3

4

1

0

5



6

7

Typ 2: Die Multiplikationen x 7! a
x fur a = 3; 5; 7 auf Z=8Z hingegen ahneln eher dem

Fall n = 7, obwohl auch hier Dierenzen sichtbar sind. Fur a = 3; 7 hat die Multiplikation

226

4. Die Grundrechenarten

zwei Fixpunkte, namlich 0 und 4, fur a = 5 hat die Multiplikation sogar vier Fixpunkte, namlich alle geraden Restklassen. Da diese drei Multiplikationen ihre eigenen Inversen sind, werden die Abbildungspfeile im folgenden Bild weggelassen, jede Strecke hatte an beiden Enden einen Pfeil (von dieser Art war fur n = 7 nur die Multiplikation mit 6 = 1). a=3

2

4

1

3

0

5



6

2

1

4

7

3

6

0

5

7



1

4

0

5

2

.... . ......... .... . .. . . ... . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . ... . . .. . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . .. . . ... . ... . .... . . . .... . .......

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3

a=7

a=5

7



6

Wir fassen das auerhalb der Beispiele Gesagte zusammen in dem Ergebnis: Die Menge =n der n Restklassen modulo n wird durch die Addition und Multiplikation zu einem kommutativen Ring. Die Restklassenabbildung  : ! =n ; m 7! m ist ein Ringhomomorphismus, d.h. additiv und multiplikativ. Damit ist der Kerngedanke der Kongruenzrechnung erklart: Der endliche Ring =n ist wegen seiner Endlichkeit viel besser erfabar als der unendliche Ring . Alle Rechnungen in lassen sich durch Betrachtung modulo n nun in einen endlichen Ring abbilden. Damit werden sie zum einen kontrollierbar; zum andern konnen Gleichungen, die in =n niemals gelten, auch in nicht gelten. Der Fall n = 1, wo = ein Ring aus einem Element 0 = 1 ist, ist wenig hilfreich, und wird nicht weiter betrachtet. Die Verschiedenartigkeit der Multiplikation mit a mod n wird durch den folgenden Satz geklart. Satz 4.5.3: Sei n > 1 eine naturliche Zahl und a 2 mit der Restklasse a 2 =n . a) Ist ggT(a; n) = 1, d.h. sind a und n teilerfremd, so ist die Multiplikation x 7! a
x mit a bijektiv, insbesondere besitzt a ein multiplikatives Inverses b , das durch die Kongruenz a
b  1 mod n gekennzeichnet ist. Ist n eine Primzahl, so trift das fur alle Restklassen 6= 0 zu. b) Andernfalls ist a ein Nullteiler in =n , d.h. die Multiplikation mit a hat einen von 0 verschiedenen Kern. Gibt es sogar ein e mit n j ae , so ist die Multiplikation mit a nilpotent. Beweis: Da =n endlich ist, ist eine additive Abbildung f : =n ! =n entweder bijektiv oder hat einen Kern 6= 0. Im Fall a) liefert der euklidische Algorithmus eine lineare Darstellung 1 = ggT(a; n) = b
a + c
n ; die man als a
b  1 mod n lesen kann und die zeigt, da a invertierbar ist. Im Fall b) sei ggT(a; n) = d > 1 und n = d
n0 . Dann ist a
n0  0 mod n . Der Rest der Behauptung ist evident. Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

227

4.5. Division mit Rest

4.5.5. Vom Nutzen der Kongruenzrechnung Die folgenden Beispiele und Probleme sollen einen ersten Eindruck von der Methode der Kongruenzrechnung geben. a) Sei n = 10. Zwei Dezimalzahlen a und b sind kongruent modulo 10 genau dann, wenn ihre letzten Ziern gleich sind. In Aufgabe 2.6 fragten wir u.a. nach den auftauchenden Endziern bei Quadratzahlen, nach der Periodizitat der letzten Ziern etc. Diese Frage betrit tatsachlich das Verhalten der Folge der Quadratzahlen im endlichen Ring =10 , es ist eine "endliche\ Frage. Die Periodizitat wird trivial wegen Z

a = a + 10 =) a 2 = a + 10 2

Z

in =10 Z

Z

es bleibt hochstens die Frage, ob die Periode nicht schon kleiner ist. Die Symmetrie der letzten Dezimalzier in der Folge der Quadratzahlen ist nichts anderes als die Formel ( a)2 = a2 in =10 . Die Periodizitat der letzten beiden Dezimalziern ist in gleicher Weise eine Betrachtung im Ring =100 . b) Die Neunerprobe: Sei n = 9. Wir haben 10  1 mod 9, und Multiplikation dieser Kongruenz mit sich selbst liefert 10n  1 mod 9 Z

Z

Z

Z

fur alle n 2 IN. Fur eine Dezimalzahl a = an an 1 : : : a1 a0 , was eine Kurzschreibweise fur

a=

n X i=0

ai10i

mit Ziern ai 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g

ist, gilt daher

a=

n X i=0

ai 10i 

n X i=0

ai = a0 + a1 + : : : + an 1 + an mod 9 ;

d.h. eine Dezimalzahl ist kongruent zu der Summe ihrer Ziern, ihrer Quersumme, modulo 9. Diese Tatsache kann man zur Neunerprobe benutzen: Hat man die Rechnung 43) 1 234 567
97 531 = 120 408 555 077 durchgefuhrt und will sich gegen einen Rechenfehler absichern, so betrachte man die Gleichung modulo 9, also im endlichen Ring =9 . Quersummenbildung liefert 28
25  44 mod 9, oder durch nochmalige Quersummenbildung 10
7  8 mod 9, was falsch ist wegen 70  7 mod 9. Also unterscheidet sich das berechnete Produkt vom wahren Produkt um 1 modulo 9, im einfachsten Fall (der hier vorliegt) ist eine Zier um 1 zu gro. c) Die Elferprobe: Sei n = 11. Wir haben 10  1 mod 11, Potenzierung liefert Z

Z

10n  ( 1)n mod 11 43)

richtig ware 1 234 567
97 531 = 120 408 554 077

228

4. Die Grundrechenarten

Daher ist eine Dezimalzahl a = an an 1 : : : a1 a0 modulo 11 kongruent zu ihrer alterniernden Quersumme, d.h. der alternierenden Summe ihrer Ziern:

a=

n X i=0

ai 10i 

n X i=0

( 1)i ai = a0 a1 + a2 a3  : : : + ( 1)n an mod 11

Dies kann man zu einer von der Probe in b) unabhangigen Elferprobe benutzen: Hat man in dem Zahlenbeispiel von b) etwa das Resultat 1 234 567
97 531 = 120 408 545 077 erhalten, also versehentlich einen Zierntausch (z.B. falsches Abschreiben vom Taschenrechner) vorgenommen, so entdeckt die Neunerprobe einen derartigen Fehler nicht. Die Elferprobe, d.h. Betrachtung dieser Gleichung modulo 11, liefert hingegen fur die alternierenden Quersummen 4
5  7 mod 11, was Unsinn ist. Also stimmt auch die obige Gleichung nicht. Anwendung: Seit 1970 hat jedes Buch eine Internationale Standard Buch Nummer, kurz ISBN, die es identi zieren soll. Die ISBN ist ein Code von 10 Ziern, z.B. 3-438-01206-5, allgemein

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ;

wobei die ai die Werte 0 bis 9 annehmen konnen, die letzte Zier a10 kann auch den Wert X annehmen. Die erste Zier ist der Landescode, die Zier 3 heit z.B. Deutsch land/Osterreich/Schweiz, die nachsten Ziern bezeichnen den Verlag, dann kommt die Verlagsnummer des Buches und die letzte Zier a10 ist eine Prufzier, die durch Kongruenz modulo 11 gewonnen wird, weshalb auch der Rest 10 als Zier X zugelassen werden mu. Die Bildungsregel ist 10 X

i=1

iai  0 mod 11

a10 

oder

9 X

i=1

iai mod 11

d) Problem 1: Ist die Gleichung 1 000 000 000 003 = x2 + y2 in naturlichen Zahlen x; y losbar? Statt die Liste der Quadratzahlen  1012 herzunehmen und Summen zu bilden, ist es einfacher, die Gleichung modulo 4 zu betrachten. Das ergibt 3  x2 + y2 mod 4 : In =4 gilt 02  22  0 mod 4 und 12  32  1 mod 4, d.h. nur 0 und 1 sind Quadrate in =4 . Die Funktion x2 + y2 nimmt also auf =4 die Werte 0, 1 und 2 an, nicht aber den Wert 3. Also ist die betrachtete Gleichung schon modulo 4 unlosbar, erst recht also in . 44) Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

44)

Wenn man Quadrate und Summen von 2 oder 3 Quadraten studieren soll, ist die Betrachtung modulo 4 oder modulo 8 ein guter Tip, der die in den Restklassenringen unmoglichen Falle erst einmal ausschaltet. Naturlich darf man nicht glauben, da eine Losung modulo 8 auch zu einer Losung in Z fuhrt, nur die Unlosbarkeit modulo 8 liefert auch eine Unlosbarkeit in Z .

229

4.5. Division mit Rest

e) Problem 2: Ist die Gleichung

2x + 7y = z 3 1

in naturlichen Zahlen x; y; z losbar? Sieht man diese Gleichung genau an, so ist sie, wenn man y 2 Kongruenz 2x + 1  z 3 mod 7 In =7 gibt es drei Potenzen von 2, namlich Z

Z

zulat, aquivalent zu der

Z

1; 2; 4 und drei dritte Potenzen, namlich

0; 1; 6 : Diese Listen zeigen wieder, da die Gleichung unlosbar ist. f) Problem 3: Ist die quadratische Gleichung 2x2 + xy + 3y2 = 7 in ganzen Zahlen x; y losbar? Quadratische Erganzung und Multiplikation mit 8 fuhrt zu der Gleichung (4x + y)2 + 23y2 = 56 ; p

die reell nur fur jyj  56=23 < 1; 6 losbar ist und daher (man probiere y = 0; 1) keine Losung in hat. Die Kongruenzmethode hilft hier nicht zur Klarung: Die obige Gleichung ist modulo n fur alle naturlichen Zahlen n  1 losbar. Z

Aufgaben zu 4.5: 1. Fur Teilmengen A und B von

Z

de niert man Addition und Multiplikation vermoge

A + B := fa + b ; a 2 A; b 2 B g

A
B := fa
b ; a 2 A; b 2 B g

;

a) Welche der Rechenregeln (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz, Existenz einer Null bzw. Eins, Existenz des Negativen), die fur gelten, bleiben fur die Rechenoperationen zwischen Teilmengen fur gultig? b) Man zeige: Die Summe zweier Restklassen modulo n ist wieder eine Restklasse, genauer Z

Z

(a + n ) + (b + n ) = (a + b) + n Z

Z

Z

c) Man zeige: Das Produkt zweier Restklassen modulo n mu nicht wieder eine Restklasse sein. Es gilt in der Regel nur (a + n )
(b + n )  ab + n Z

Z

Z

230

4. Die Grundrechenarten

d) Wann ist das Produkt zweier Restklassen wieder eine Restklasse? 2. Sei die naturliche Zahl n in Dezimalschreibweise gegeben:

n=

r X i=0

ai10i

(0  ai  9)

Zeigen Sie die folgenden elementaren Teilbarkeitsregeln: a) Genau dann ist n durch 2 teilbar, wenn dies fur die letzte Zier a0 gilt. P b) Genau dann ist n durch 3 teilbar, wenn dies fur die Quersumme s10 (n) = ri=0 ai gilt. c) Genau dann ist n durch 4 teilbar, wenn 2a1 + a0  0 mod 4 ist. d) Genau dann ist n durch 5 teilbar, wenn fur die letzte Zier a0 2 f0; 5g gilt. e) Genau dann ist n durch 6 teilbar, wenn n durch 2 und 3 teilbar ist. f) Genau dann ist n durch 8 teilbar, wenn a0 + 2a1 + 4a2  0 mod 8 ist. g) Genau dann ist n durch 9 teilbar, wenn dies fur die Quersumme s10 (n) gilt. P h) Genau dann ist n durch 11 teilbar, wenn dies fur die alternierende Quersumme i ( 1)i ai gilt. i) Geben Sie ein Kriterium fur die Teilbarkeit durch 37 an. 3. Zeige: a) p6 1 ist fur alle Primzahlen p durch 504 teilbar. b) Fur alle nicht durch 2 und 3 teilbaren Zahlen n ist n2 1 durch 24 teilbar. c) n4 n2 ist stets durch 12 teilbar. d) 52n+1 + 42n+2 + 3n ist stets durch 11 teilbar. e) 17 teilt keine Zahl der Gestalt 2(3n ) + 1. f) Ist u eine ungerade, nicht durch 5 teilbare Zahl, so ist 2u + 3u durch 5, aber nicht durch 25 teilbar. 4. Zeige: a) Unter 100 naturlichen Zahlen ndet man stets 15, so da die Dierenz von je zwei unter ihnen durch 7 teilbar ist. b) Man ndet aber nicht immer 16 solche Zahlen. 5. Seien x1 ; : : : ; xn nicht notwendig verschiedene naturliche Zahlen. Man zeige, da es eine nichtleere Teilmenge J  f1; 2; : : : ; ng gibt mit X

i2J

xi ist durch n teilbar.

6. a) Sei n 2 IN. Unter den Zahlen 1; 2; 3; : : : ; 2n soll man n Zahlen auswahlen, so da keine zwei der ausgewahlten Zahlen echte Teiler voneinander sind.

231

4.5. Division mit Rest

b) Wahlt man n + 1 unter den Zahlen 1 bis 2n aus, so gibt es stets ein Paar ausgewahlter Zahlen, die teilerfremd sind. c) Wahlt man n + 1 unter den Zahlen 1 bis 2n aus, so gibt es stets ein Paar ausgewahlter Zahlen, so da eine die andere teilt. 7. Sei n eine nicht durch 2 und nicht durch 5 teilbare Zahl. Dann gibt es ein Vielfaches von n , dessen Dezimaldarstellung nur die Zier 1 hat. 8. Man zeige, da die Menge 2 + 6IN keine Quadratzahlen, die Menge 3 + 6IN unendlich viele Quadratzahlen enthalt. 9. a) Ist 122333444455555666666777777788888888999999999 eine Quadratzahl? b) Man zeige, da 1 + 4 + 42 + : : : + 4n fur kein n 2 IN eine Quadratzahl ist. 10. a) Zeigen Sie: Modulo 8 sind nur die Reste 0, 1 und 4 Quadrate. b) Zeigen Sie: Keine Zahl aus der Restklasse 7 + 8 ist eine Summe von drei Quadraten in . c) Zeigen Sie: Es gibt keine Zahlen a; b; c; d 2 IN mit Z

Z

a2 + b2 + c2 + d2 = a2
b2
c2 11. Zeigen Sie: Bei einer Quadratzahl ist das Produkt der beiden letzten Dezimalziern gerade. 12. Kann die Summe von funf aufeinanderfolgenden Quadraten ein Quadrat sein? 13. Wieviele Dezimalziern hat die Zahl 777 , was ist ihre erste, was ihre letzte Zier? 14. Fur welche n 2 IN bestehen die letzten 1998 Dezimalziern von n! aus lauter Nullen? 15. Die 1998stellige Dezimalzahl a1997 : : : a1 a0 sei durch 27 teilbar. Zeigen Sie: Vertauscht man ihre Ziern zyklisch, so bleibt die Zahl durch 27 teilbar. 16. Zeigen Sie: a) Schreibt man die naturlichen Zahlen n und i als Summe von 2-Potenzen (also Schreibweise im dyadischen Ziernsystem),

n=

X

j 2N

2j

;

i=

X

j 2I

2j


mit endlichen Mengen N und I nichtnegativer ganzer Zahlen, so ist ni genau dann ungerade, wenn I eine Teilmenge von N ist. b) Die n -te Zeile des Pascalschen Dreiecks besteht genau dann aus lauter ungeraden Zahlen, wenn n + 1 eine Potenz von 2 ist. c) Die n -te Zeile des
Pascalschen Dreiecks besteht genau dann aus lauter geraden Zahlen,
n n abgesehen von 0 = n = 1, wenn n eine Potenz von 2 ist.

232

4. Die Grundrechenarten

17. Das Kadettenkorps von *** soll in voller Starke zur Parade antreten. Der Protokollchef rauft sich die Haare. Ob er die Kadetten in 2er, 3er, 4er, 5er, 6er, 7er, 8er, 9er oder 10er Reihe antreten lat, es geht nie auf, stets bleibt ein Kadett ubrig. Wie viele Kadetten hat das Kadettenkorps mindestens? 18. In der Saturday Evening Post vom 9. Oktober 1926 erschien die folgende Kurzgeschichte mit dem Titel "Kokosnusse\: Funf Manner und ein Ae wurden durch einen Schibruch auf eine entlegene Insel verschlagen und verbrachten den ersten Tag damit, Kokosnusse als Nahrung zu sammeln. Dann legten sie sich schlafen. Als jedoch alle schliefen, wachte ein Mann auf und teilte die Koksnusse in funf gleiche Haufen. Eine Kokosnu blieb ubrig, die gab er dem Aen. Sodann versteckte er seinen Anteil und leget die restlichen Kokosnusse wieder zusammen. Nach und nach wachte jeder der Manner auf und tat das gleiche. Jedesmal blieb eine Kokosnu fur den Aen u brig. Jeder versteckte ein Funftel als seinen Anteil und tat die restlichen Kokosnusse wieder zusammen. Am anderen Morgen wurden die noch verbliebenen Kokosnusse geteilt und es ergaben sich funf gleiche Teile. Naturlich wute jeder, da Kokosnusse fehlten; aber jeder war genauso schuldig wie die anderen, so da keiner ein Wort sagte. Wieviel Kokosnusse waren zu Beginn vorhanden? 19. Sei R(n) die Summe der Reste, die bei Division von n durch die Zahlen 1, 2, : : : , n entstehen. Zeige

R 2m = R 2m 1 : Ist dies der einzige Fall ist, wo R(n) = R(n + 1) gilt? 20. Man zeige: a) Es gibt keine naturliche Zahl r mit 3
4n + 4
n4 = 5r fur ein n 2 IN. b) Die Gleichung 15a + b16 + 17c = 151617 ist ohne Losung a 2 IN0 , b; c 2 . Z

21. Man zeichne der Graphen der reellen Funktion x 7! bxc = grote ganze Zahl  x und zeige die folgenden Eigenschaften: bxc + byc  bx + yc  bxc + byc + 1 n
bxc  bnxc  n
bxc + (n 1) n 2 =) bx + nc = bxc + n x 2 IR n =) bxc + b xc = 1 dxe := b xc ist die kleinste ganze Zahl  x Z

Z

22. a) Wir betrachten das folgende kleine Spiel: Hat man drei naturliche Zahlen a , b , c aus IN0 gegeben und bildet zyklisch die absoluten Dierenzen ja bj , jb cj und jc aj , so kann man in unendliche Schleifen wie (1; 0; 1) 7! (1; 1; 0) 7! (0; 1; 1) 7! (1; 0; 1) 7! : : : : : :

233

4.5. Division mit Rest

kommen. Beginnt man jedoch mit vier naturlichen Zahlen a , b , c , d und bildet zyklisch die absoluten Dierenzen, d.h. aus der Folge (a; b; c; d) entsteht die Folge (ja bj; jb cj; jc dj; jd aj), so erhalt man einen Proze, bei dem man nach endlich vielen Iterationen erfahrungsgema bei der Folge (0; 0; 0; 0) landet, wie das nachstehende Beispiel demonstriert. Man beweise dies allgemein! Beispiel: 0 7 20 44

7 13 24 44

6 11 20 37

5 9 17 31

4 8 14 26

4 6 12 22

2 6 10 18




4 4 8 16

0 4 8 12

4 4 4 12

0 0 8 8

0 8 0 8

8 8 8 8

0 0 0 0

b) Zeigen Sie, da man hochstens 4
1 + log2 M Schritte von (a; b; c; d) bis zu (0; 0; 0; 0) braucht, wenn M = maxfa; b; c; dg ist. c) Zeigen Sie, da die Anzahl der Schritte in dem Proze von a) beliebig lang sein kann, wenn man die Ausgangsfolge variiert. d) Zeigen Sie genauer: Ist 0

A=@

1 0 1

1

1 1 2 2A 1 3

0

und

1   bn An = @   cn A ;   dn

so braucht die mit (0; bn ; cn ; dn ) beginnende Folge n + 4 Iterationen, um zur Nullfolge zu werden. 23. a) b) c) d) e)

2, 3 ist das einzige Primzahlpaar mit Dierenz 1. 3, 5, 7 ist das einzige Primzahltripel mit konstanter Dierenz 2. 3, 7, 11 ist das einzige Primzahltripel mit konstanter Dierenz 4. 5, 11, 17, 23, 29 ist das einzige Primzahlquintupel mit konstanter Dierenz 6. Die Folge pi = 3 430 751 869 + i
d (0  i  16) mit d = 87 297 210 = 2
33
5
7
11
13
17
19 ist eine arithmetische Primzahlfolge der Lange 17. Finden Sie langere arithmetische Primzahlfolgen? 45) f) Warum gibt es keine unendlichen arithmetischen Folgen von Primzahlen? g) Eine arithmetische Folge (pi )1ir von Primzahlen mit Dierenz pi pi 1 = d > 2 hat hochstens d 1 Glieder. h) Ist p1 , p2 , : : : , pn eine arithmetische Folge von Primzahlen der Lange n mit konstanter Dierenz d = pi+1 pi , so ist d durch jede Primzahl < n teilbar. Ist n prim und d nicht durch n teilbar, so ist n = p1 .

45)

Es ist unbekannt, ob es beliebig lange arithmetische Folgen von Primzahlen gibt.

234

4. Die Grundrechenarten

24. Seien P und Q benachbarte Felder eines Schachbrettes von n mal n Feldern, Q sei rechts von P . Auf dem linken Feld P stehe ein Spielstein, der folgende Zuge auf dem Schachbrett ausfuhren kann: 1. Von einem Feld in das daruber liegende Nachbarfeld: " 2. Von einem Feld in das rechts liegende Nachbarfeld: ! 3. Von einem Feld in das links unten anstoende Feld: . Zeigen Sie fur jedes n > 1, da der in P stehende Stein nicht alle Felder des Schachbrettes je einmal besuchen kann, und in Q endet.

4.6. Potenzieren Dem Aufstieg vom Zahlen zum Addieren in 4.1 und vom Addieren zum Multiplizieren in 4.4 fugen wir eine weitere Iteration hinzu, das Potenzieren als Multiplikation gleicher Faktoren: 5mal die 7 mit sich zu multiplizieren wird kurz "7 hoch 5\. Potenzen in begrenztem Umfang ndet man schon im Altertum: Bei Euklid gibt es nur die ersten drei Potenzen, weil der Raum dreidimensional ist. Systematisch benutzt Diophant Namen und Kurzel fur die ersten sechs Potenzen einer zu suchenden Zahl x (und auch einige negative Potenzen), namlich x2 = Quadrat von x = dÔnamis =
Y 3 x = Kubus von x = kÔbos = KY 4 x = Biquadrat von x = dunamodÔnamis =
Y
5 x = Quadratokubus von x = dunamìkubos =
K Y x6 = Bikubus von x = kubìkubos = KY K Tatsachlich sind diese Bezeichnungen Jahrhunderte alter, man ndet sie schon bei dem angewandten Mathematiker Heron, der im 1. Jh. gelebt haben mu, weil er eine Sonnen nsternis des Jahres 62 beschreibt. Bis in die Spat-Renaissance werden die ersten Potenzen (hohere kennt man nicht) mit Namen benannt, z.B. 46) x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =

Leonardo 1228 quadratus cubus quadratus quadrati quadratus cubi cubus cubi

Rudol 1525 zensus cubus zensus de zensui sursolidum zensumcubus bissursolidum cubus de cubo

Cardano 1539 census cubus census-census relatum primum census-cubus relatum secundum cubus-cubus

Viete 1591 Quadratum Cubus Quadrato-quadratum Quadrato-cubus Cubo-cubus Quadrato-quadrato-cubus Cubo-cubo-cubus

In der Rechenpraxis wurden Abkurzungen fur diese Namen benutzt, die Kurzel fur die ersten Potenzen der Unbekannten x waren bei Johannes Widman (1486), Christo Rudol bis zu 46)

Leonardo von Pisa: Liber abaci , Pisa 2 1228 Christo Rudol: Behend und Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre/so gemeineklich die Co genent werden , Straburg 1525 Girolamo Cardano: Practica arithmeticae generalis , Mailand 1539 Francois Viete: In artem analyticen isagoge , Tours 1591.

235

4.6. Potenzieren

Johannes Kepler z (fur zensus), c , zz ,  (fur ss = sursolidum) usw. In der im Dresdener Kodex C 349 (geschrieben von Adam Ries vor 1524) uberlieferten Algebra des Initius Algebras nden sich Symbole bis zur 18ten Potenz der Unbekannten, illustriert fur x = 2, z.B. zzzz = 65536 (= 216 ). Heinrich Schreyber aus Erfurt verwendet in seiner Algebra 47) von 1521 eine neue Terminologie: Er bezeichnet die Potenzen der Unbekannten mit "pri, se, ter, quart, : : : \. Erstmals Zahlen als Exponenten geschrieben hat Chuquet 1484, ihm folgten Bombelli 1572 und Stevin 1585, wobei die zu suchende Basis x nie mitnotiert wurde. Die heutige Potenzschreibweise ndet sich zuerst bei Descartes 48) .

4.6.1. De nition und erste Eigenschaften der Potenzen Die rekursive De nition der m -ten Potenz von n , d.h.

n ^ m = nm := n|
n {z
: : :
n}

(n 2 ; m 2 IN0 ) Z

m-mal

lautet

n0 :=

nm+1

1

(12) (13)

:= nm
n

n heit die Basis und m der Exponent der Potenz nm . Achtung: Nach dieser De nition ist

00 = 1

;

0e = 0 fur e > 0 :

Das entspricht der Festlegung, da ein Produkt von null Faktoren gleich 1 ist. Vergleichen wir die vier Operationen Zahlen, Addieren, Multiplizieren, Potenzieren auf der Strecke der naturlichen Zahlen miteinander, so sehen wir: Das Zahlen hat das Tempo des Fugangers, die Addition ist ein Bummelzug, die Multiplikation ein Eilzug, das Potenzieren ist ein extremer Hochgeschwindigkeitszug: Die Summe zweier 10stelliger Dezimalzahlen ist eine 10- oder 11stellige Dezimalzahl, das Produkt zweier 10stelliger Zahlen eine 20- oder 21stellige Zahl, die Potenz zweier 10stelliger Zahlen hat Milliarden von Stellen! Die elementaren Rechenregeln des Potenzierens sind die folgenden: 1. Linkes Distributivgesetz:

bm+n = bm
bn

(b 2 ; m; n 2 IN0 ) Z

47) Ayn new kun‚li… Bue… wel…e gar gewi vnd behend lernet na… der gemainen regel Detre, wels…en practic, 48)

regeln falsi vnd etli…en regeln Coe man…erlay s…™ne vnd zuwien notžr„tig re…nung au„ kau„manns…a„t ..., Nurnberg 1521.

in dem Manuskript Regulae ad directionem ingenii 1628; publiziert in seinem beruhmten Werk Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences. Plus la dioptrique, les meteores et la geometrie , Leiden 1637.

236

4. Die Grundrechenarten

Beweis durch Induktion nach n , der Induktionsanfang n = 0 ist klar. n ! n + 1: bm+n+1 = bm+n
b = bm
bn
b = bm
bn+1 2. Rechtes Distributivgesetz: (m
n)e = me
ne

(m; n 2 ; e 2 IN0 ) Z

Beweis durch Induktion nach dem Exponenten e , der Induktionsanfang e = 0 ist klar. Der Induktionsschlu benutzt die Kommutativitat der Multiplikation 49) . e ! e + 1: (m
n)e+1 = (m
n)e
(m
n) = me
ne
m
n = me+1
ne+1

3. Quasi-Assoziativitatsgesetz:


bm n = bmn

(b 2 ; m; n 2 IN0 ) Z

Beweis durch Induktion nach dem Exponenten n , der Induktionsanfang n = 0 ist klar. n ! n + 1:

bm n+1 = bm n
bm = bmn
bm = bmn+m = bm(n+1) Bemerkung: Die vorstehende Gleichung nimmt man zum Anla, eine ungeklammerte Po-

tenz

bmn

stets als

b(mn )

zu interpretieren, bei der anderen Klammerung konnte man ja einfacher bmn schreiben. 4. Monotonie: Zunachst gilt die strenge Monotonie fur mn auch fur m  0 weder im Argument m noch im Argument n , denn es ist 2 1 =) bm < bn 49)

Fur Potenzen von zwei quadratischen Matrizen A und B gleicher Groe gilt die entsprechende Formel (AB)e = Ae Be nur im Fall AB = BA .

237

4.6. Potenzieren

Beweis: Die erste Formel ist fur m = 0 klar, sonst folgt sie durch Induktion nach e , der Induktionsanfang e = 1 ist klar. Der Induktionsschritt folgt aus der Monotonie der Multiplikation (4.4.2.5) me < ne =) me+1 < mne < ne+1 : Die zweite Formel folgt aus der trivialen Bemerkung

b > 1 ; e  1 =) be > 1 : Denn fur n > m ist nach dem Distributivgesetz 1., der vorstehenden Bemerkung und der Monotonie der Multiplikation bn = bn m bm > bm 5. Einseitige Kurzbarkeit und Umkehroperationen: Von den trivialen, unter 4. genannten Fallen abgesehen, ist die Potenzbildung links und rechts kurzbar:

me = ne =) m = n ma = mb =) a = b

fur e > 0 fur m > 1

Daher kann man eindeutig e -te Wurzeln ziehen fur e 2 IN:

pe

me = m

und Logarithmen logm zur Basis m > 1 bilden: logm (me ) = e Beweis: Dies folgt aus der gerade gezeigten Monotonie.

p Zusatz: Die Analysis de niert die Umkehrungen e x und logm x fur alle positiven reellen Zahlen x > 0.

6. Eindeutigkeit der Potenz in beiden Argumenten: Im Bereich der naturlichen Zahlen gilt eine starkere Eindeutigkeit beim Potenzieren als die genannte Kurzbarkeit: Es gilt naturlich fur alle ; ; ; g 2 IN (g ) = (g ) : Das ist aber bereits die allgemeinste Form fur eine Gleichheit zwischen Potenzen: Seien a; b; c; d 2 IN mit ac = bd : Ist ggT(c; d) = sowie  = d= und = c= , so gibt es ein g 2 IN mit

a = g ; b = g : Beweis: Es gilt

a = b :

238

4. Die Grundrechenarten

Ist a = 1, so folgt b = 1 und die Behauptung folgt mit g = 1. Ist a > 1, so hat man

a = b mit ggT(; ) = 1 : Sei p eine Primzahl und seien x = vp (a) bzw. y = vp (b) die p -adischen Werte von a bzw. b . Die Primzerlegung obiger Gleichung liefert p x = py , also x = y . Wegen ggT(; ) = 1 folgt daraus mit z = ggT(x; y) x = z ; y = z : Das Produkt der so gewonnenen Primpotenzen pz nennen wir g . Dann ist a = g und b = g und die Behauptung gezeigt. Man kann den vorstehenden Sachverhalt auch so aussprechen: Unter den naturlichen Zahlen sind die echten Potenzen seltene Einzelganger mit eigenem Charakter. Sind a und b beide von 1 verschieden und keine echten Potenzen, so gilt

am = bn =) a = b und m = n : 7. Vergleich mit der Multiplikation: Fur n; m 2 IN gilt

nm = n
m =) m = 1 oder m = n = 2 :

Genauer gilt

n; m  2 ; (n; m) 6= (2; 2) =) nm > n
m :

Beweis: Ist n  m  2, so gilt

nm  n
n  n
m mit Gleichheit nur fur n = m = 2 : Ist andererseits 2  n < m , so wird nm = n
nm 1  n
2m 1 > n
m wegen 2m 1 > m fur m > 2 :

Das liefert die Behauptung.

8. Berechnung von Potenzen: Weder das Addieren noch das Multiplizieren naturlicher Zahlen wird nach den in 4.1 bzw. 4.4 angegebenen Rekursionsgleichungen durchgefuhrt; schon in der Schule lernt man bessere Verfahren. Auch fur das Potenzieren gibt es schnellere Verfahren als die iterierte Multiplikation: Will man nm berechnen, so schreibe man m als Summe von 2-Potenzen:

m= Dann wird

r X i=0

nm =

ai 2i =

Y

X

i2I

2i

ai 2 f0; 1g:

n(2i ) ;

i2I m d.h. man berechnet n durch r -faches Quadrieren und ein Produkt aus hochstens r + 1

Faktoren; hierbei ist r + 1 = 1 + blog2 mc die Lange der binaren Zierndarstellung von

m.

Dieser Algorithmus ist z.B. in der UBASIC-Funktion N ^ M implementiert.

239

4.6. Potenzieren

4.6.2. Die Folge der echten Potenzen Sei

Po = fnm ; n; m 2 IN; m  2g die Menge der echten Potenzen naturlicher Zahlen, also die Folge 1; 4; 8; 9; 16; 25; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 125; 128; 144; 169; 196; 216; 225; 243; 256; 289; 324; 343; 361; 400; 441; 484; 512; 529; 576; 625; 676; 729; 784; 841; 900; 961; 1000; 1024; : : :

 n . Dann gilt fur n  8 pn < Po(n)  1;5
pn ;

Lemma 4.6.1: Sei Po(n) die Zahl der echten Potenzen

wobei die rechte Ungleichung stets gilt, mit Gleichheit genau fur n = 36.

p

Beweis: Die linke Ungleichung folgt daraus, da b nc die Zahl der Quadratzahlen  n ist, p 3 und ab n = 8 = 2 Kubikzahlen existieren, was die Abschatzung Po(n) > n liefert. Nun zur rechten Ungleichung: Jede echte Potenz n > 1 ist eine p -te Potenz bp fur eine Primzahl p mit b  2 und dabei ist p  log2 n . Daher konnen wir die Zahl der echten Potenzen  n abschatzen durch

p

Po(n)  n +

p3 n 1
+

log 2n X

b pp nc 1 :


p>3 prim

Die rechte Summe kann abgeschatzt werden durch log 2n X p=5 p ungerade

Fur n > 7157 ist

(n1=p 1)
2r ; ferner 2n1 +2 (w) = ( ^ w1 ) = n1 + 1, sowie fur `(w) > r > 2n1 + 2

r (w) = 1 + n1 + r

2 2n1 (w2 )  1 + n1 +

r 2 2n1 = r : 2 2

Damit ist das Lemma gezeigt. Die Behauptungen b) und c) zeigen, da bei einem Term w der Lange ` kein echter Anfang w[r] mit r < ` wieder ein Term ist. Der letzte Teil des Beweises zeigt auerdem das Lemma 4.7.2: Ist w = ^ w1 w2 ein Term einer Lange > 1, so ist die Lange `(w1 ) des ersten

Faktors gegeben durch die Feststellung

r (w) > 2r fur r  `(w1 )

;

r (w) = 2r fur r = 1 + `(w1 ) :

Insbesondere ist der Aufbau des Terms w nach den Regeln (T1) und (T2) an w ablesbar. Jetzt konnen wir die Terme unter den Zeichenreihen uber dem Alphabet A0 charakterisieren:

256

4. Die Grundrechenarten

Satz 4.7.3: Genau dann ist eine Zeichenreihe w der Lange 2n + 1 ein Term, wenn

r (w)  2r fur r < 2n + 1

2n+1 (w) = (w) = n

und

gilt, d.h. wenn zwischen n + 1 Zeichen aus A insgesamt n Operationssymbole ^ so eingestreut sind, da in jedem Anfangsteil (mit Ausnahme der ganzen Reihe) mindestens so viele ^ wie andere Zeichen stehen. Beweis durch Induktion nach n : Die Notwendigkeit dieser Bedingungen wurde in Lemma 4.7.1 gezeigt. Sei nun w eine Zeichenreihe der Lange 2n + 1 mit diesen Bedingungen. Der Fall n = 0 ist trivial. Andernfalls zeigt die Bedingung fur r = 1 und r = 2n + 1, da w mit dem Zeichen ^ beginnt und 2n (w) = n ist. Es gibt daher einen ersten Index 2r mit 2r (w) = r , fur  < 2r gilt somit  (w) > =2. Mit s = n r ist dann

w = ^ w1 w2 mit `(w1 ) = 2r 1 ; `(w2 ) = 2s + 1 : Dabei gilt

(w1 ) = 1+ (w) 1 >  2 1 ; also  (w1 )  2 fur  < 2r 1 und

2r 1 (w1 ) = 2r (w) 1 = r 1 :

Also erfullt w1 die Bedingungen des Satzes fur einen Term, nach Induktionsvoraussetzung ist w1 ein Term. Ebenso rechnet man

 (w2 ) = 2r+ (w) r  2

fur  < 2s +1

und 2s+1 (w2 ) = 2n+1 (w) r = n r = s

nach und schliet, da w2 ein Term ist. Nach (T2) ist dann auch w ein Term. Um erneut die Zahl der sinnvollen Beklammerungen eines Produktes aus n Faktoren zu zahlen, setzen wir A = fag , d.h. identi zieren die Symbole fur die Faktoren, und fragen nach der Anzahl der moglichen Terme der Lange 2n 1, bestehend aus n -mal dem Buchstaben a und (n 1)-mal dem Zeichen ^ . Die Zahl der moglichen (a; ^ )-Folgen mit diesen Vielfachheiten ist oenbar 



S = 2nn 11

:

Denn man hat unter 2n 1 Stellen genau n 1 Stellen fur das Symbol ^ auszuwahlen. Eine solche Zeichenreihe ist fur n = 4 z.B. a ^ a ^ a ^ a . Aber diese Folge erfullt die Bedingung fur einen Term aus Satz 4.7.3 nicht, schon weil sie mit a beginnt. Permutiert man diese Folge zyklisch zu ^ a ^ a ^ aa ; a ^ a ^ aa ^ ;

^ a ^ aa ^ a ; a ^ aa ^ a ^ ;

^ aa ^ a ^ a ; aa ^ a ^ a ^

so sieht man, da genau eine Zeichenfolge (die erste in vorstehender Reihe) die Bedingung von Satz 4.7.3 erfullt. Wir untersuchen nun, ob dieser Beobachtung ein allgemeiner Sachverhalt zugrunde liegt. Ist z = z1 z2 : : : z2n 1

257

4.7. Catalansche Zahlen

eine Zeichenreihe aus n Faktoren und n 1 Operationssymbolen, und setzt man 

falls zi = ^ falls zi = a

zi0 := +11

2X n 1

;

so ist zi0 = 1, und die Zeichenreihe z erfullt genau dann die Bedingung von Satz 4.7.3, wenn i=1 j X zi0  0 fur 1  j  2n 2 (21) i=1

gilt. Zu einer beliebigen Reihe z betrachten wir nun den ersten Index  < 2n , fur den das Minimum

M := min

j nX i=1

o

zi0 ; 1  j  2n 1 =

 X i=1

zi0
> > >
i=1 > > > :

zi0 M  0

1 M+

fur  + m < 2n 1

 +mX (2n 1)

zi0  0

i=1

fur  + m  2n 1

gilt (die erste Ungleichung folgt daraus, da M Minimum ist, die zweite daraus, da  der erste Index ist, bei dem das Minimum angenommen wird). Die Konstruktion zeigt zugleich, da dies die einzige zyklische Permutation der Zeichenreihe ist, die (21) erfullt, d.h.: Bei einer Zeichenfolge aus n 1 Symbolen ^ und n Buchstaben a gibt es genau eine zyklische Permutation, die die Zeichenfolge zu einem Term macht. Daraus erhalt man die Zahl der Terme der Lange 2n + 1 und damit einen neuen Beweis fur Eulers Gleichung (20):     S 2 n 1 2 n 2 1 1 Cn = 2n 1 = 2n 1 n 1 = n n 1 :

4.7.4. Stochastische Interpretation In 4.7.3 sahen wir, da zu einer Zeichenfolge z aus n 1 Operationssymbolen ^ und n Faktoren a1 ; : : : ; an fester Reihenfolge eine Folge z0 = z10 z20 : : : z20 n 1 mit zi0 2 f + 1; 1g gehort, so da z genau dann ein sinnvolles Produkt darstellt, wenn (21) gilt. Eine solche Folge z 0 erinnert an eine Irrfahrt auf der ganzzahligen Geraden in der Stochastik (+1 = Schritt nach rechts, 1 = Schritt nach links, z 0 = Schrittfolge oder Irrfahrt mit 2n 1 Schritten), wobei (21) der Bedingung entspricht, da man, bei 1 startend, beim (2n 1)-ten Schritt zum ersten Mal den Z

258

4. Die Grundrechenarten

Nullpunkt besucht. Man kann die Folge z 0 auch als ein Spiel interpretieren (+1 = Gewinn, 1 = Verlust einer Mark), bei dem der Spieler ^ mit einer Mark beginnt und nach 2n 1 Spielen erstmals eine leere Borse hat. Bei dem Problem, die Anzahl n der (21) erfullenden Folgen zu zahlen, interpretiert man die Irrfahrt (den Spielverlauf) durch die Folge der Groen

Sj = 1+

j X i=1

zj0 =

(

Ort des irrenden Wanderers Borsenstand des Spielers ^

)

(0  j  2n 2)

zur Zeit j

Die Funktion j 7! Sj kann durch einen stuckweise linearen Graphen mit Steigung 1 dargestellt werden, der die Punkte (0; 1) und (2n 2; 1) verbindet: 8 6 4 2





.... .... ... .... ... .... .... ...... .... ...... .... .... ... ... .... .... ....... .... ... ..... .... . . . .... .. .... .... .... .... . . .... .... .... . . .... .... . . .... ... .... . . . .... .... . .... . ... .... . . . . . .... .... .... ...... .... .... . . .... ... . . .... .... ... ....... ... ... . . . . . .... ....... .... . . . .... ... .... . . . .... . . . . . . . . . . .... ...... .... .. .. ... .... .... .... .... ... .... .... ... .... .... . . . .... ...... . . . .... .... ... .... ... .... . . .... . . . . . .... .... .... ... .... ... ... .... . . . . . . . . . . . . .... .... .. .. .... .... .... .... .... ... .... .... . . . . . .... .... .... .... ....... .... . . .... .... .... ... . . . . . . .... ... ...... ... . . .... . . . . .... .... .... .... . . . . . . .... . . . .... .... .... .... . . . . . . .... .... .... . . .... .... . . .... .... .... . . ... ... .. .. .. .























































1








Die Gesamtzahl dieser Streckenzuge ist S = 2nn 1 , vgl. Aufgabe 3.15.f. Unzulassig sind dabei die Streckenzuge, die die x -Achse treen. Man zahlt die unzulassigen Streckenzuge mit dem Spiegelungsprinzip: 57) Ist ein unzulassiger, d.h. auf [1; 2n 2] nicht strikt positiver Streckengraph mit Steigungen 1 in  vom Gitterpunkt (0; 1) zum Gitterpunkt (2n 2; 1) gegeben, so spiegele man ihn ab der ersten Nullstelle an der x -Achse (Vertauschen der Steigungen +1 und 1, vgl. die untere Zeichnung). Durch die Spiegelung entsteht ein Streckenzug von (0; 1) nach (2n 2; 1), und jeder solche Streckenzug entsteht genau einmal durch Spiegelung ab der ersten Nullstelle aus einem unzulassigen Streckenzug von (0; 1) nach (2n 2; 1). Z

4

Z



........ ... ...... .... .... ... .... .... .... .... .... . . .... ... . . .... . . .... ........... .... . . . . .... .... ... .... . .... . . . . . .... .... .... .... .... . . . . .... .... ... .... .... . . . . . . .... ... .... .... .... . .... . ... ... .... ... . .... .... .... .... . . .... .... ...... .... ...... .... .... . .... .... . .... .... .... ... .... ... .... .... . . . . . . . . . .... .... .... . .. .... .... ...... .... .... .... ... ....... .... .... ... . .... . . .... . .. ... .... ... .... . . . . . .... .... .. ... . .... . . . .. ... .... ... . . . . . . . . .... .... .. ... . .... ... . . .. ....... ........ .... . . .... .... .. . . .... .... .... .... . . ... .... ... . . . .... . .... .... ...... ... ..... .... .. ... .... .... ... ... .... . ......



2 0





























2













Die Streckenzuge von (0; 1) nach (2n 2; 1) entsprechen den 1-Folgen der Lange 2n 2 mit n mal +1; ihre Zahl ist also   2 n 2 0 S = n : 57)

D. Andre: Solution directe du probleme resolu par M. Bertrand , Comptes Rendus hebdomadaires des seances de l'Academie des Sciences de Paris 105 (1887), 436{437.

259

4.7. Catalansche Zahlen

Damit erhalten wir als Zahl der zulassigen, d.h. (21) erfullenden Streckenzuge

n = S



S 0 = 2n 2 n 1











2n 2 = 1 2n 2 = C : n n n n 1

Dies ist ein neuer Beweis fur die Formel (20), der allerdings die Interpretation von Satz 4.7.3 benutzt. Eine andere Interpretation der Catalanschen Zahl n = Cn in der vorstehenden kombinatorischen Deutung ist die folgende: Bei einer Abstimmung stehen zwei Kandidaten A und B zur Wahl, es werden 2n Stimmen abgegeben, das Ergebnis ist unentschieden n : n . Dann ist Cn die Zahl der Auszahlungen, bei denen Kandidat A wahrend der gesamten Auszahlung vorne liegt und erst die letzte Stimme das Unentschieden zeigt.

4.7.5. Rangierstapel Betrachte das folgende Rangierexperiment: Das nachstehende Bild zeigt rechts einen Zug mit vier Wagen 1 2 3 4. Schiebt man Wagen 1 und 2 auf das Stapelgleis, und holt dann 2 zum Abgangsgleis, dann 3 und 4 auf das Stapelgleis und holt schlielich die Wagen 4, 3 und 1 vom Stapelgleis, so entsteht ein Zug mit der Wagenfolge 2 4 3 1. 2

4

3

1

Abgang

Zugang

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1

2

3

4

Bei Computerprogrammen ist ein solcher Stapel (stack) von Daten, auf dem man nur von einer Seite operiert (d.h. Daten hinzufugt oder wegnimmt), eine einfache und hau g benutzte Datenstruktur | in der in 4.7.3 erwahnten Sprache FORTH ist der gesamte Hauptdatenspeicher so organisiert. Fragen:

1. Welche Permutationen der Eingangsdaten 1 2 3 : : : n lassen sich durch einen Rangierstapel realisieren (wir nennen diese Permutationen Stapelpermutationen)? 2. Wieviele der n! Permutationen von 1 2 3 : : : n sind Stapelpermutationen?

Wir beginnen mit der zweiten Frage: Eine Rangierfolge fur n Daten/Wagen lat sich eindeutig durch eine Folge der Lange 2n aus je n Symbolen S und A beschreiben, wobei S = zum Stapel und A = zum Abgang = vom Stapel

260

4. Die Grundrechenarten

bedeutet. Im ersten Beispiel lautet die Rangierfolge

SSASSAAA Eine beliebige Folge aus je n Symbolen S und A ist genau dann die Beschreibung eines Rangiervorganges, wenn in jedem Anfang der Folge die Anzahl der S mindestens so gro wie die Anzahl der A ist | andernfalls hatte man von einem leeren Stapel ein Datum/Wagen zu holen. Fugt man an die Folge am Ende noch ein A an und interpretiert S als +1 und A als 1, so erhalt man genau die 1-Folgen der Lange 2n + 1 aus 4.7.3 bzw. genau die Irrwege in 4.7.4 bzw. die die x -Achse nicht treenden Streckenzuge von (0; 1) nach (2n; 1). In 4.7.4 stellten wir fest, da ihre Anzahl Cn+1 ist. Also gibt es Cn+1 verschiedene Rangiervorgange. Da verschiedene Rangiervorgange verschiedene Permutationen liefern, gibt es also genau Cn+1 Stapelpermutationen in Sn . Ein Vergleich der ersten Werte n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cn+1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 n! 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880

zeigt, da es fur n = 3 genau eine nicht-Stapel-Permutation gibt, namlich 123 ! 312 ; und da fur groeres n die Stapelpermutationen seltener werden. Genauer ist nach Stirlings Formel (vgl. Aufgabe 3)


Cn+1 = 2nn  p 1
 4e n : n! (n + 1)! 2n2 n Damit ist die Frage nach der Anzahl und dem Prozentsatz der Stapelpermutationen geklart, die Beantwortung der ersten Frage nach der Natur der Stapelpermutationen sei den Aufgaben uberlassen.

4.7.6. Nichtschneidende Sehnen im n-Eck Frage:

1. Auf wieviele Weisen kann man n Sehnen (= Diagonalen) ohne Schnittpunkte (auch nicht an den Enden!) in ein konvexes 2n -Eck einzeichnen? Oder gleichbedeutend: 2. Wenn 2n Leute an einem runden Tisch sitzen, auf wieviele Weisen konnen sich die Leute (beliebig lange Arme vorausgesetzt) paarweise die rechten Hande schutteln, ohne da sich Arme u berkreuzen? oder 3. Auf der Peripherie eines kreisrunden achen Isolators gibt es 2n elektrische Anschlusse. Auf wieviele Weisen kann man diese Anschlusse durch leitende Drahte auf der Ober ache des Isolators so verbinden, da es n disjunkte Paare verbundener Anschlusse gibt, so da die Konstruktion also als n -faches Schaltelement dienen kann.

261

4.7. Catalansche Zahlen

Bevor wir mit der Theorie beginnen, zunachst ein Bild, da die Situation im Fall n  4 wiedergibt: Fur n = 1 eine, fur n = 2 zwei, fur n = 3 funf Moglichkeiten, und schlielich in der letzten Zeile fur n = 4 vierzehn Moglichkeiten, die sich aus den drei angegebenen durch Rotation gewinnen lassen:





























































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Sei n die Zahl der Moglichkeiten, n Sehnen schnittfrei in ein konvexes 2n -Eck einzuzeichnen. Wir numerieren die Ecken, im mathematischen Drehsinn den Rand des Polygons fortschreitend, mit den Zahlen 1 bis 2n . Zeichnen wir als erste Sehne die Strecke von 1 nach i ein, und kontrahieren diese Strecke zu einem nicht numerierten Punkt, so erhalten wir zwei Polygone mit i 2 bzw. 2n i Ecken, in die wir weiter Sehnen einziehen konnen. Ist i ungerade, so konnen wir im ersten Polygon hochstens (i 3)=2 Sehnen, im zweiten Polygon hochstens (2n i 1)=2 Sehnen zeichnen, insgesamt kommen wir maximal auf n 1 Sehnen. Um auf n Sehnen zu kommen, mu also 1 mit einer Ecke gerader Nummer i = 2j verbunden werden. Dann hat man im ersten Polygon j 1 Moglichkeiten, j 1 Sehnen schnittfrei zu ziehen, und im zweiten Polygon n j Moglichkeiten fur n j Sehnen. Also liefert unsere Konstruktion eine Induktionsformel fur die gesuchten Zahlen n , namlich

n =

n X j =1

j 1 n j

fur n  1

(18)0

wobei 0 = 1 gesetzt wurde. Setzen wir Cn := n 1 , so geht die Rekursionsformel (18)0 in die Rekursionsformel (18) fur die Catalanschen Zahlen u ber. Da auch der Rekursionsbeginn 0 = C1 = 1 u bereinstimmt, folgt n = Cn+1

262

4. Die Grundrechenarten

d.h. es gibt insgesamt Cn+1 Moglichkeiten, in ein konvexes 2n -Eck n Sehnen schnittfrei einzuziehen.

4.7.7. Triangulierung von n -Ecken Auf wieviele Weisen kann man ein konvexes (n + 1)-Eck in Dreiecke zerlegen? Genauer: Man zeichne n 2 Sehnen so in ein konvexes (n + 1)-Eck ein, da sie sich hochstens in Endpunkten schneiden und das Endergebnis eine Zerlegung des Polygons in n 1 Dreiecke darstellt. Auf wieviele Weisen ist das moglich? 58) Zunachst machen wir wieder ein Bild fur die Falle n  5. Fur n = 2 gibt es eine Moglichkeit (nichts tun), fur n = 3 gibt es zwei, fur n = 4 gibt es funf Moglichkeiten. Von den vierzehn Moglichkeiten fur n = 5, also fur die Triangulierung eines Sechsecks, haben wir nur vier aufgezeichnet, aus denen sich die anderen durch Rotation ergeben. 58)

Dieses Problem hatte schon A. von Segner [Enumeratio modorum, quibus gurae planae rectilineae per diagonales dividuntur in triangula , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 7 (1758/59), 203{209] gelost, doch bei der Liste der ersten zwanzig Zahlen Cn ab n = 14 Rechenfehler gemacht, weshalb Euler in einer Zusammenfassung [ibid., 13{15 = Opera Omnia I.26 (Lausanne 1953), xvi{xviii] die Formel (20) fur die Cn mit einer Rekusionsformel ohne detaillierten Beweis angab und eine Tabelle der korrekten ersten 25 Werte gab. Einen Beweis der Formel (20) gab S. Kotelnikow [Demonstratio seriei 22
6
3





(4(nn 1)10) in derselben Zeitschrift 10 (1764), p.199]. Im Journal de Mathematiques pures et appliques de Liouville (1) 3 erschienen 1838 vier Arbeiten zu demselben Thema: G. Lame: Extrait d'une lettre de M. Lame a M. Liouville sur cette question: un polgone convexe etant donnee, de combien de manieres peut-on le partager en triangles au moyen de diagonale? , 505{507 E. Catalan: Note sur une equation aux dierences nies , 508-516 O. Rodrigues: Sur le nombres de manieres de decomposer un polygone en triangles au moyen de diagonales , 547{548 | : Sur le nombres de manieres d'eectuer un produit de n facteurs , 549 Im Folgejahr erschienen noch 3 Arbeiten hierzu im Liouvilleschen Journal: J. Binet: Re exions sur le probleme de determiner le nombres de manieres dont une gure rectiligne peut ^etre partagee en triangles au moyen de ses diagonales , 4 (1839), 79{91. E. Catalan: Solution nouvelle de cette question: un polygone etant donnee, de combien de manieres peut-on le partager en triangles au moyen de diagonales? , 91{94. | : Addition a la note sur une equation aux dierences nies inseree dans le volume precedent, page 508 , 95{99. Bei Binet ndet sich die Losung mit der erzeugenden Funktion (4.7.1), die wohl auch Euler hatte, bei Rodrigues ndet man die elegante Losung aus 4.7.2. Den Zusammenhang mit der Zahl der Klammerungen eines Produktes sahen Catalan und Rodrigues. Das Problem wurde bis in unsere Zeit immer wieder neu gestellt und gelost, vgl. z.B. die Literaturverzeichnisse in W. G. Brown: Historical note on a recurrent combinatorial problem , American Mathematical Monthly 72 (1965), 973{977. Peter Hilton and Jean Pedersen: Catalan Numbers, Their Generalization, and Their Uses , The Mathematical Intellignencer 13 2 (1991), 64{75. Fur weitere Interpretationen der Catalanschen Zahlen vgl. John H. Conway & Richard K. Guy: The Book of Numbers , Copernicus [Springer] New York 1995, pp.96{106.

263

4.7. Catalansche Zahlen ............................................................................ . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . .. ...........................................................................

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Um die Anzahl n der Triangulierungen eines konvexen (n +1)-Ecks zu bestimmen, numerieren wir die Ecken von 0 bis n , im mathematischen Drehsinn. Sei i > 1 die erste Ecke, die durch eine Sehne mit der Ecke 0 verbunden ist; der Fall i = n bedeutet, da 0 gar nicht Endpunkt einer eingezogenen Sehne ist, d.h. 1 n 1 ist eine Sehne. Sei i < n . Durch die Sehne 0 i ist das Polygon in zwei Polygone unterschiedlicher Natur geteilt: Im ersten Polygon mit den Ecken 0; 1; : : : ; i ist die Ecke 0 wegen der Minimalitat von i nicht Endpunkt einer Sehne, d.h. bei der Triangulierung ist notwendig 1 i eine Sehne und in dem Polygon mit den Ecken 1; 2; : : : ; i ist dann die Triangulierung beliebig. Das erste Polygon kann also auf i 1 Weisen trianguliert sein, im Fall i = 2 hat man 1 = 1 zu setzen ("Triangulierung eines Zweiecks\). Fur das zweite Polygon mit den Ecken 0; i; i + 1; : : : ; n gibt es keine Einschrankung, es kann auf n+1 i Weisen trianguliert sein. Im Fall i = n schlielich hat man das Polygon mit den Ecken 1; 2; : : : ; n zu triangulieren, was auf n 1 Weisen moglich ist. Diese Betrachtung liefert die Rekursionsformel

n =

nX1 i=2

i 1
n+1 i + n 1 =

nX1 i=1

i
n i

fur n > 1 ;

die oenbar mit der Rekursionsformel (18) der Catalanschen Zahlen zusammenfallt und

n = Cn zeigt.

4.7.8. Potenzketten In 4.7.1 hatten wir gesehen, da eine nichtassoziative Verknupfung von n Elementen je nach Beklammerung zu maximal Cn Werten fuhren kann, und hatten in den folgenden Abschnitten diese Catalanschen Zahlen verschieden gedeutet. Wir kommen nun auf die Ausgangsfragestellung zuruck. Die Zahl Cn ist die Zahl der formal verschiedenen Beklammerungen, aber bei einer

264

4. Die Grundrechenarten

gegebenen Verknupfung ist nicht klar, ob sich wirklich Cn verschiedene Werte ergeben. Bei der Subtraktion etwa kommt man auf maximal 2n 2 Werte, wie wir in Aufgabe 4.3.7 sahen, und das ist in erster Naherung die Quadratwurzel von Cn . Wir wollen nun sehen, da sich beim Potenzieren tatsachlich Cn verschiedene Werte fur eine Potenz aus n Gliedern ergeben konnen. Satz 4.7.4: Sind a1 ; a2 ; : : : ; an naturliche Zahlen > 1, die paarweise teilerfremd sind, so liefern die Cn verschiedenen Klammerungen der Potenzkette . . . an a 2 P = a1 = a1 ^ a2 ^ : : : ^ an

verschiedene Werte. Beim Potenzieren ergeben sich also genau so viele verschiedene Werte einer Verknupfung von n geordneten Elementen, wie bei einer beliebigen nichtassoziativen Operation maximal moglich sind. Beweis: Sei P = (a1 ^ : : :) ^ (ar ^ : : :) die auere letzte Klammerung von P . Mit (ar ^ : : :) = are(r) wird r Y N P = a1 mit N = aie(i) ; e(i) 2 IN0 ; i=2

d.h. ar ist der letzte im Exponenten N auftauchende Faktor unter den ai . Da die ai als teilerfremd > 1 vorausgesetzt waren, ist die Nahtstelle r der aueren Klammerung am Wert der Potenz P , genauer an der Primzerlegung von N , ablesbar, und Basis (a1 ^ : : :) sowie Exponent (ar ^ : : :) sind durch P bestimmt. Mit Induktion sieht man nun, da P seine Klammerung vollstandig bestimmt, verschiedene Klammerungen fuhren zu verschiedenen Potenzwerten.  berlegung bleibt richtig, wenn die ai gemeinsame Teiler haben, Bemerkung: Die vorstehende U aber jedes ai , gewissermaen als Merkzeichen, einen Primteiler besitzt, der in den anderen aj

nicht auftritt.

Zusatz: Bei Potenzketten aus gleichen Zahlen ai = a lat sich der vorstehende Schlu nicht

durchfuhren. So ist z.B.

((a ^ (a ^ a)) ^ a) = ((a ^ a) ^ (a ^ a)) = aa

a+1

:

Unter den verschiedenen Potenzketten aus n gleichen Faktoren a > 1 gibt es stets einen kleinsten und einen groten Wert. Diese entsprechen den Klammerungen n 1

^ a ^ a ^ a : : : ^ aa = aa

bzw.

: : : ^} aa : : : aa = aa

|^ ^ {z

n 1 mal

. .a a.



n

= a[n] :

265

4.7. Catalansche Zahlen

Aufgaben zu 4.7: 1. Hat man die Folge der Catalanschen Zahlen Cn durch die Rekursionsformel (18) berechenbar gemacht, konnte man (bevor man auf die Idee mit der erzeugenden Potenzreihe kommt) sich fragen, ob die Folge der Cn polynomial in n wachst. Was stellt man fest, wenn man die Dierenzenfolge der Cn bildet und dieses Verfahren iteriert? 2. Nach dem Scheitern der Dierenzenbildung kann man es mit Quotientenbildung versuchen. Die Quotienten Cn+1 =Cn aufeinanderfolgender Zahlen haben auffallend kleine Nenner: 14 3 22 13 10 17 38 7 5 2 5 7 4 3 5 11 2 Schreibt man sie in der Form 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 so fallt einem eine neue, multiplikative Rekursionsformel fur die Cn 1

46 13

25 7

18 5

46 50 13 14 ins Auge:

54 15

2

n 3)
C Cn = 2(2nn 3)
Cn 1 = (2n n(2)(2 n n 1) woraus sofort



1

()

fur n > 1





2)(n + 1) = 1 2n 2 = 1 2n 1 Cn = (2n (n2)(21)n
(n3) : :2): (
n: + ::
3
2 n n 1 2n 1 n



folgt. Haben Sie eine Idee, wie man die Rekursion () beweisen kann [ohne den Trick aus 4.7.2.]? 3. Mit der Stirlingschen Formel

p n! = 2n
nn
e n+"n

mit

n ; 0 <  < 1 "n = 121n 3601n3 + 1260 n n5 (genauer n % 1; n > 0;99 fur n > 8) zeige man als asymptotisches Wachstum der

Catalanschen Zahlen 59) wobei ist.

n

Cn+1 = (n + 41)pn
en

n = 81n + 1921n3

n mit 0 <  < 1 n 640n5

4. a) Kann ein Zug mit den Wagen 1 2 3 4 5 6 durch Rangieren mit einem Stapelgleis auf die Wagenreihenfolge 3 2 5 6 4 1 kommen? 59)

Man zeige dies mit der Verscharfung n > 0;99 fur n > 8, n % 1. (Eine U berprufung dieser Tatsache am Taschenrechner oder PC oenbart schnell die Grenzen der implementierten Arithmetik!)

266

4. Die Grundrechenarten

b) Wie lautet die Antwort, wenn die zu erzielende Reihenfolge 1 5 4 6 2 3 lautet? 5. Zeige: Eine Permutation  2 Sn ist genau dann keine Stapelpermutation, d.h. ist nicht durch Rangieren mit einem Stapelgleis zu erzielen, wenn es Indizes 1  i < j < k  n gibt mit (k) < (i) < (j ). 6. Seien m; n 2 IN0 . In Verallgemeinerung von 4.7.3/4 sollen die Folgen mit m Einsen und n Minus-Einsen gezahlt werden, bei denen alle Partialsummen uber Anfange  m n (= Endsumme) sind. Sei f (m; n) die Anzahl solcher Folgen. a) Zeige: m > n + 1 =) f (m; n) = 0 n  m  n + 1 =) f (m; n) = f (m 1; n) m < n =) f (m; n) = f (m 1; n) + f (m; n 1) b) Aus a) folgere zusammen mit den Randdaten f (1; 0) = f (0; n) = 1, da 



+1 m+n f (m; n) = n n m +1
m gilt. Folgere daraus die Formel (20) fur Cn = f (n 1; n).

7. Sei IN20 das ganzzahlige Gitter im ersten Quadranten, aufgefat als unendliches Schachbrett. In der Ecke (0; 0) stehe der Konig, der bei jedem Zug nur einen Schritt waagerecht oder senkrecht gehen kann, Diagonalzuge sind verboten. Wieviele Moglichkeiten hat der Konig, mit 2n Zugen eine Rundreise zu seinem Ausgangspunkt zu machen? Losung: Es sind Cn Cn+1 Rundreisen. 8. Wann ist eine Folge von Faktoren, Malzeichen und auf- und zugehenden Klammern ein sinnvolles Produkt? 9. Wieviele "Bergketten\ kann man mit n Aufstrichen und n Abstrichen zeichnen? Fur n = 1; 2; 3 ergeben sich aus dem folgenden Bild eine, zwei bzw. funf Moglichkeiten: .... ... .... ... ..... ... ... ... ... . . . .. ... .. ... ... ... . ... ... . . ... ... ... . . . ..

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10. Zeige direkt (geometrisch), da die Zahl der Bergketten mit n Auf- und n Abstrichen gleich der Zahl der binaren Baume aus 4.7.2 mit n + 1 Enden ist. 11. Zeige direkt, da die Zahl der Handedrucke von 2n Personen aus 4.7.6 und die Zahl der sinnvollen Beklammerungen einer (n + 1)-fachen Potenz ubereinstimmen.

4.7. Catalansche Zahlen

267

12. Zeige direkt (geometrisch), da die Zahl der Triangulierungen eines konvexen (n + 1)-Ecks und die Zahl der Einteilungen eines konvexen (2n 2)-Ecks durch nichtschneidende Sehnen ubereinstimmen. 13. Zeige das Spiegelungsprinzip aus 4.7.4. 14. Ist ^ die Verknupfung "Mischung\ aus der Funote 55) in 4.7.1, so ergeben sich bei jeder Folge a1 ^ a2 ^ : : : ^ an , auch wenn alle ai gleich sind, insgesamt Cn verschiedene Werte, je nach Klammerung. 15. Wieviele verschiedene Potenzen lassen sich aus n gleichen Zahlen bilden?

Sachregister

269

Sachregister Abacus 28, 47-52, 63, 64, 86, 88, 94-96 Abakisten 63 Abbacus-Schriften 95, 96 abelsche Gruppe 176, 196, 204, 205, 223 Abschnitt von IN 144-151 Absolutbetrag 197, 205, 232, 233 absoluter Nullpunkt 194 Absolutrest, kleinster 219 Abudschad 82 Abweichung, quadratische 200 abziehen 13, 184 Ackermann-Funktion 155, 244 addieren 14, 45, 49, 63, 95, 98, 106, 121, 169, 197, 201, 202, 213, 223 Addition 17, 29, 49, 54, 66, 83, 92, 99, 102-107, 110, 112, 113, 115-117, 134-136, 152, 169-182 Additionstheorem 162, 164 additive Funktion 181, 223, 226 Adler 95 Ae 232 A n 95 agyptische Multiplikation 106, 110 alexandrinische Schreibweise 43 Algorismus 55, 83, 86, 87, 92, 94, 95, 97, 124 Algorismus Ratisbonensis 54, 97 Algorithmiker 63 Algorithmus 55, 56, 86, 92, 124, 155, 238 Algorithmus, erweiterter euklidischer 220, 221 Algorithmus, euklidischer 12-14, 218-221, 226 Algorithmus, schneller euklidischer 219 Alphabet 12, 32, 40, 43, 44, 78, 82, 157, 254, 255 Alphabet, altsemitisches 82 Alphabet, griechisches 43 Alphabet, hebraisches 44 alternierende Quersumme 228, 230 altsemitisches Alphabet 82 Anfang 254, 256 angeordnete abelsche Gruppe 196 angeordneter Ring 205 Anlegen von Zahlen 169 antimonoton 177 Anordnung des Alphabets 82 Anordnung von Zahlen 83, 139, 140, 143-146, 169, 182, 194, 195, 204 Antisymmetrie 144 antisymmetrisch 139, 143, 196

Anthroposophie 46 Apex, Apizes 51, 52, 84 Apokalypse 190 Aquamarin 165 archimedisches Axiom 13, 217 Arithmetik 3, 6, 8, 11-13, 17, 33, 43, 49-52, 54-56, 61, 62, 83, 85, 86, 88, 90, 91, 94, 95, 97, 99, 101, 102, 108, 113, 156, 157, 164, 169, 191, 192, 201, 262 arithmetische Folge 156, 166, 167, 181, 233 arithmetische Geistestatigkeit 16 arithmetisches Mittel 181, 200, 214 Arrangement 160 artes liberales 6, 50, 56, 57 As 63, 64, 163 assoziativ 196, 198, 205, 223, 224, 243, 250 Assoziativgesetz 169, 173, 195, 202, 203, 211, 215, 229, 243, 250 Astrolab 82 Astrologie 56, 178, 179 Astronomie 3, 6-8, 10, 12, 15, 56, 61, 62, 67, 69, 72, 73, 77-80, 82, 83, 96, 98-100, 207 astronomische Tafeln 42, 72, 92 astronomische Texte 72, 77, 80, 82, 83, 189 Aureus 64, 114 Auszahlung 259 Axiom, archimedisches 13, 217 b -mal iterierte Potenz von a 245 Bamberger Blockbuch 97 Bamberger Rechenbuch 54, 93, 97, 100, 103, 201 baryzentrisches Koordinatensystem 185, 186 Basis 9, 28, 32, 36, 37, 102, 103, 111, 115, 134, 235, 237, 241, 245, 246, 261 Baum, binarer 252-254, 266 BCD-Arithmetik 104 Beklammerung 251, 252, 266 berechenbare Funktion 151, 156, 244 Bergkette 266 Bewertung, p -adische 209 Beryll 165 Beugung 22, 23 beschrankt 145, 147, 159, 167, 171 beschrankter Existenzoperator 154 beschrankter Maximumsoperator 155 beschrankter Minimumsoperator 155 binare Relation 196

270

Aufbau des Zahlensystems

binare Verknupfung 250 binare Zahl 69, 104-106, 110, 111, 181, 182 binarer Baum 252, 253, 266 Binarsystem 102, 104-108, 111, 238 Binomialdarstellung vom Grad d 116 Binomialkoezienten 116, 118, 148, 156-158, 160166, 209, 210, 252 Binomialsystem 116 binomische Formel 158, 162, 163 binomische Reihe 158, 252 Bit-Darstellung, graphische 105 Borsenstand 258 Brahm-Schrift 78 Bruchrechnen 38, 46, 82, 83, 89, 90, 91, 97, 98, 191, 217 Bruchstrich 90 Bundelung 26, 33-40, 78 calculi 47, 50-53, 56, 63, 64 Calculus 47 Catalan, Vermutung von 240 Catalansche Gleichung 249 Catalansche Zahlen 250-267 cephirum 87, 92 Chalkos 48-50, 114 charakteristische Funktion 105, 152-154 chinesischer Restsatz 89 chinesisches Dezimalsystem 74 Chiu Chang suan chou 65 chire 92, 93 cire 91 cifra 87, 91, 93 cipher 92 circulum 84, 87, 92 Clevischer Algorithmus 55 Clone 152, 155 Collatz-Funktion 161 Computer 18, 69, 104, 105, 111, 121, 131, 132, 151, 156, 244, 259, 265 Coss, Co 59, 60, 90, 191, 234 Dame 117, 134, 163 Dariusvase 48 Darstellung, g -adische 102 De nition mit Fallunterscheidung 154 De nition, rekursive 148-151 Denar 64, 114 Dezimalbruch 38, 104, 105 dezimales Masystem 104 Dezimalsystem 27, 32-35, 38, 46, 47, 51, 69, 78, 85, 102, 103, 110, 129, 156 Dezimalsystem, chinesisches 74

Dezimalzahl 58, 59, 88, 111, 131 Dierenz 13, 183, 184, 189, 195, 197-199, 201, 204, 230, 232, 233, 240 Dierenzenfolge 166, 198, 199, 248, 262 direkter Limes 195 Dirhem 124, 125 Distributivgesetz 202, 211 Distributivgesetz, linkes 203, 235 Distributivgesetz, rechtes 203, 236 Dividend 217 Division 125, 217 Division, lange 100 Division mit Rest 217, 218 Divisor 217, 221 Doppelsumme 171 Drachme 47-49, 114, 115, 124 Drei-Kruge-Problem 184-189 Dreieck 10, 90, 138, 164, 167 Dreieck, Pascalsches 164, 165 Dreiecksungleichung 197, 209 Dreiecksungleichung, ultrametrische 209, 247 Dreieckszahl 12, 134, 164, 173, 174 Dreisatz 54, 56, 58, 89, 95, 97, 101 Drohne 94 Dual 20, 21, 23, 24 Dualbruch 104 duale Partition 177 Duodezimalsystem 103, 104 dyadisches Zahlsystem 110 Ein- und Ausschluprinzip 199 Eindeutigkeit der naturlichen Zahlen 149 Eindeutigkeitssatz 246 Einer 28, 29, 32, 34, 36, 37, 69, 78, 102 Einfuhrung der Null 72, 73 Einheit 11, 12, 37, 38 Einmaleins 45, 49, 52, 74, 97, 103, 104, 136 Einselement 205, 225, 229 Einsundeins 103, 104 Elefant 20 Elementarschule 54 Elferprobe 103, 228 Ende 252-254 endlich 104-106, 128, 129, 131, 146, 147 Entwicklung, p -adische 209 Epogdoos-Verhaltnis 213, 214 erweiterter euklidischer Algorithmus 220, 221 erzeugende Potenzreihe 251, 262 Esel 95 euklidisch 40 euklidischer Algorithmus 12-14, 219-221, 226 euklidische Irrationalitat 88, 90

Sachregister Eulersches Kriterium 133 Existenzoperator, beschrankter 154 Exponent 209, 235 Faktor 201, 251-253, 255, 256, 266 Fakultatsfunktion 156-158, 210 Fallunterscheidung, De nition mit 154 Fasan 20 Fermatsche Gleichung 249 Fibonacci-System 115 Fibonacci-Zahlen 115-118, 219 Figur des Nichts 87 gure de nulle valeur 93 gurierte Zahlen 12 Fingerzahl 27, 28 Fledermaus 94 Folge, arithmetische 156, 166, 167 FORTH 254, 259 Funfeck 12-14 Funfersystem 27, 28, 36 Funktion, Ackermann- 155, 244 Funktion, additive 181, 223, 226 Funktion, berechenbare 151, 156 Funktion, charakteristische 105, 152-154 Funktion, Collatz- 161 Funktion, multiplikative 209, 224, 226 Funktion, partielle rekursive 155 Funktion, primitiv rekursive 151-153, 244 Funktion, rekursive 148-151, 155 Funktionalgleichung 251 Fu, koniglicher 104 g -adische g -adische

Darstellung 102 Zier 102 ganze Zahl 112, 194-197 Gematrie 2, 3 gemeinsames Ma 14 Geometrie 3, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 167 geometrische Reihe 214 gerade Zahlen 2, 9, 12, 65, 108, 112, 161, 165, 178, 188, 200, 215, 222, 226, 231, 240, 241, 259 Geschlecht 11, 23 Gitter 162, 258, 266 Gleichheit 14, 128, 143, 154, 222, 237 Gleichheitszeichen 62 gleichmachtig 128, 146, 147 Gleichung, kubische 90 gleichzahlig 17 Gobar-Zier 84 Godelisierung 18 Godels Unvollstandigkeitssatz 131, 151 Goldberyll 165

271

Goldstuck 167 graphische Bit-Darstellung 105 gregorianischer Kalender 73 griechisches Alphabet 43 griechisches Zahlenalphabet 81, 82 groer als 13, 14, 121, 139, 140, 143 grote ganze Zahl 217 groter gemeinsamer Teiler 209 Grundzahl 27, 32, 36, 38, 74, 102-104, 110-113, 118, 119, 245 Gruppe, abelsche 176, 196, 204, 205, 223 Gruppe, angeordnete abelsche 196 Gruppe, symmetrische 156, 157, 176 Gruppe, zyklische 223 Hahn 123, 125 halbieren 83, 106 Haltproblem 156 Handabakus 47, 63, 64 Harmonie, musikalische 3, 5-10, 12 Hase 54 hebraischer Kalender 43 hebraisches Alphabet 44 Heller 52, 58, 125 Henne 123, 125 Hering 22 Hermaphrodit 94 herodianische Schreibweise 43 Hexadezimalsystem 111 Hexadezimalzahlen 69, 111 Hildesheimer Rechenbuch 55 Hisab al Dschumal 3 Huhn 123 Hund 20 Hunderter 32, 33 hundertfach 28, 76 Identitat 147, 149, 152, 156, 161 Identitat, Lagrange- 211 indische Zahlen 82, 84, 87, 95, 96 indische Ziern 53, 56, 58, 83 Induktion 123, 132, 133 Induktion, vollstandige 109, 129-139, 142, 143, 148, 151, 156, 159, 160, 162, 163 Induktionsanfang 129, 130, 134-136, 148, 156 Induktionsaxiom 123, 129, 134, 142, 146 Induktionsschritt 130, 132, 134-136, 159 Induktionsvoraussetzung 109, 136, 143 inkommensurable Strecken 12 In nitesimalrechnung 15, 47 Injektion 17, 131, 142, 146, 147, 160 injektiv 129, 142, 146, 159

272

Aufbau des Zahlensystems

Inkommensurabilitat 12-15 Internationale Standard Buch Nummer 228 Inverses 226 irrationale Zahl 144, 160 Irrationale 13 Irrationalitat 12-15, 90 Irrationalitat, euklidische 88, 90 Irrfahrt 257, 258 Isopsephie 3 Johannesevangelium 1, 11, 57 judischer Kalender 45 julianischer Kalender 24 Kabbala 2, 44, 46 Kalender, gregorianischer 73 Kalender, hebraischer 43 Kalender, judischer 45 Kalender, julianischer 24 Kalenderrechnung 56 Kaninchen 115 Kante 252, 254 Kardinalzahl 128, 144, 146-148 kategorisch 149 Kharos.t.-Schrift 78 Keilschriftzahlen 40, 42, 49, 69-73 Kerbe 25, 39 Kette 140-143, 159 Kettenaufgabe 99 Kettenbildungsoperator 141-144 Kettenbruchentwicklung 14, 89 kleiner als 13, 14, 100, 121, 139, 143-146 kleiner-gleich 154 kleinstes gemeinsames Vielfaches 209 Klippschule 55 Klosterabakus 51, 87 Klosterschulen 50, 54, 87 Knoten 252, 254 Konig 4, 28, 50, 52, 62, 68, 70, 74, 75, 87, 106, 120, 124, 163, 207, 266 Konigin 53, 76, 95 koniglicher Fu 104 Korper, Platonische 15 kommutativ 196, 201, 205, 223, 224 kommutativer Ring 205, 226 Kommutativgesetz 170, 173, 202, 204, 211 kongruent modulo n 222 Kongruenzrechnung 222 Konsonant 78, 82 Konstante 152, 155 Konstruktionsprinzip von Dedekind 142 Koordinatensystem, baryzentrisches 185

Kopfrechnen 46 Krahe 20 Kreis 10, 73, 80, 84, 137-139, 167 Kreisbewegung 6 Kreuzer 125, 126 Kriterium, Eulersches 133 Kubikzahlen 12, 135, 136 kubische Gleichung 90 Kurzbarkeit (additiv) 170, 172, 183, 195 Kurzbarkeit (Potenzieren) 237 Kurzungsregel (multiplikativ) 204 Kurzungsregel in Z 204 ku sche Schrift 81 Kugel 12, 13, 48, 65-67, 164, 165, 212 Kugelbrett = Kugelabakus 47, 52, 65-67 Kugelpackung 165 Kugelpyramide 164 Lange 254 Lagrange-Identitat 211 lange Division 100 Lateinschulen 54 Liber abaci 86, 87, 89, 91, 96, 112, 115 Liber quadratorum 90 Limes, direkter 195 Linie 11, 13, 21, 40, 180 Linienrechnen 52-57, 59-63, 97 linkes Distributivgesetz 203, 235 Logarithmus 102, 237 Logik 1, 18, 50, 56, 130, 132, 150 logos 1, 3, 11, 13 Lowe 95 Luftrechnen 46 Machtigkeit 128, 147, 148 maghrebinische Schrift 82 magisches Quadrat 177-180 magisches Sechseck 180 mal 201 Malzeichen 201, 266 Margarita philosophica 56, 121 Ma, gemeinsames 14 Magroe 11 Masystem, dezimales 104 Mathematik, theoretische 3, 6, 10, 11, 16, 17, 127, 128, 130, 132, 133, 140 Maximum 145, 153, 159, 161, 196 Maximumsoperator, beschrankter 155 Maximumsprinzip 159 Maya-Kalender 36, 73 Median 200 Medici-Kontobucher 96

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Sachregister Menge, wohlgeordnete 17, 140, 144, 145, 159 Mine 48, 113, 114 Minimum 140, 144-146, 153, 257 Minimumsoperator 155, 156 Minimumsoperator, beschrankter 154 Minimumsprinzip 140, 144 Minuend 197 minus 99, 183, 194 Minuszeichen 42, 99, 169 Minute 31, 38, 66, 73, 82 Mischung 250, 267 Mittel, arithmetisches 200 Modul 221 modulo 221 Mond nsternis 77, 82 Monochord 7 monoton 118, 160, 195, 196, 216, 242, 248 Monotonie 236 Monotonie der Addition 172 Monotonie der Multiplikation 204 Monotonie der Multiplikation in Z 205 more geometrico 14 Morganit 165 Muhle 59, 134, 160 Multiplikand 201 Multiplikation 42, 45, 49, 54, 62, 66, 78, 83, 84, 98, 103, 118, 134, 152, 201-216 Multiplikation, agyptische 106, 110 Multiplikationspunkt 201 Multiplikationstafel 56 multiplikative Funktion 209, 224, 226 Multiplikativitat 205, 209 Multiplikator 201 multiplizieren 14, 49, 54, 95, 121, 157 Munzen 26, 43, 47-49, 56, 58-60, 62-64, 81, 99, 104, 123-126 Munzrechnung 58, 97, 99 Murmeln 175 Musik 6, 8, 10, 15, 50, 56, 62, 99, 207, 214 musikalische Harmonie 3, 5-10, 12 Musikwissenschaft 7, 8 Myriade 45, 67, 68 nach Adam Riese 60 Nachfolgerfunktion 129, 140, 142-147, 149, 152 Nachfolger 129, 130, 142, 145 naturliche Zahlen 17 negative Potenz 38 negative Zahl 91, 95, 189, 194, 195 Negatives 196, 197, 223 Neshi-Schrift 82 Neunerprobe 97, 103, 227

nichtassoziativ 243, 250, 251 nichtkommutativ 205, 241 nichtnegativ 152, 162, 231 nichtschneidende Sehnen 260, 261 nichtsurjektiv 146, 147 nilpotent 176, 225, 226 Nim 107, 108, 119, 120 Normalnull 194 Notation, polnische 254 Null 46, 69, 71-74, 78-80, 83-85, 87, 88, 91-96, 98, 102, 104, 105, 118, 119, 121, 148, 152, 153, 164, 183, 189, 193-197, 205, 217-223, 225-231, 233, 258 nulla 93 nulle 93 Nullelement 196, 223, 229 Nullmeridian 194 Nullpunkt, absoluter 194 Nullpunkt 194 Nullteiler 205, 226 Nullteilerfreiheit 205 Numerus (Einzeller) 175 Oberzahlung 31 Obolus 48, 49 Ochse 21 Oktaden 68 Oktalsystem 111 Oktalzahl 69 Oktave 7 Ordinalzahl 22, 128 Ordnung 128, 139, 143-146 Ordnung einer Gruppe 224 Ordnung, totale 144-146, 159, 196 Osterdatum 27 p -adische Bewertung p -adische Entwicklung p -adische Quersumme p -adischer Wert 209

209 209 210

Pagode 76 Papyrus Rhind 16, 106 partielle rekursive Funktion 155 Partialsumme 177 Partition 175 Partition, duale 177 Partitionszahl 176 Peano-Axiome 123, 127-131, 140, 145-147, 149, 150, 159 Periode 224 periodisch 224 Permutation 156, 256, 257 Perspektive 96

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Aufbau des Zahlensystems

Pferd 20, 21 Platonische Korper 15, 96 Plural 20-24 plus 99, 169, 194 Pluszeichen 99, 169 Poker 162 polnische Notation 253, 254 Polyeder, regulare 16 Polygon 186, 260-263 Polygonalzahlen 134 Polynom 216 Potenz 37, 38, 90, 105, 117, 133, 153, 162, 164, 166, 167, 181, 198, 199, 234-250, 264, 266 Potenz n -ter Stufe 244 Potenzkette 263, 264 Potenzreihe, erzeugende 251, 262 Potenzen von 10 33, 39, 43, 45, 47, 48, 51, 63-65, 74, 76-78 primitiv rekursive Funktion 151-153, 244 primitiv rekursive Relation 153-155 primitiv rekursiver Clone 152 Primzahl 104, 154, 155, 176, 190, 206-210, 214-216, 226, 230, 233, 238-241, 247-249 Primzahlsatz 215 Primzerlegung 206-209 Privatschule 54-56, 95 Produkt 156, 157, 201 Produktformel 211 Produktfunktion 153 Produktzeichen 206 Programmschleife 155 Projektion 152 Proportionenlehre 13, 14, 91, 97 Pyramidalzahl 212 Quadrat 13, 14, 114 Quadrat, magisches 177-180 quadratische Abweichung 200 quadratischer Rest 133 quadratisches Reziprozitatsgesetz 133 Quadrattafel 56 Quadratwurzel 16, 83, 89, 144, 189, 249 Quadratzahlen 12, 71, 90, 118, 135, 136, 160, 190, 198, 211-213, 215, 227, 228, 231, 234, 239, 249, 261 quadrivium 3, 6 Quarte 7, 73 Quarternal 22 Quasi-Assoziativitatsgesetz 236 Quersumme 227, 230 Quersumme, alternierende 228, 230 Quersumme, p -adische 210 Quinte 7

Quipu 39 Quotient 217 Rangierstapel 259 Rangierfolge 259, 260 rational 90 rationale Zahlen 1, 13-15, 88 Ratsschulen 54 Rechenbanck 57 Rechenbrett 46-49, 53, 57, 58, 60-62, 87, 95 Rechenbuch der Renaissance 61 Rechenmeister 95 Rechenpfennig 57 Rechenschieber 72 Rechensteine 47-50, 52, 53 Rechentafel 47, 71 Rechentisch 47, 48, 52, 53 Rechnen auf Linien 56, 57, 59 Rechnen mit der Feder 59, 62 Rechnen, schriftliches 59, 60, 62 rechtes Distributivgesetz 203, 236 Reconquista 85 reelle Zahlen 14, 17 re exiv 139, 143, 222 Re exivitat 144 regula fusti 101 regulare Polyeder 16 Reihe, geometrische 214 Rekursionsformel 151-153, 157, 158, 176, 244, 251, 252, 254, 259, 260, 262 Rekursionsprinzip 148, 149 rekursiv aufzahlbar 155 rekursive De nition 148-150 rekursive Funktion 148-150, 155 rekursiver Clone 155 relative Zahlen 194 Rest 217 Restklasse 221 Restklassenabbildung 221 Restsatz, chinesischer 89 Reziprozitatsgesetz, quadratisches 133 Ring 205, 226, 227 Ring, angeordneter 205 Ring, kommutativer 205, 226 romische Zahlen 39, 47, 58 Sandabakus 47 Satz uber die eindeutige Primzerlegung 206 Sechseck 137, 138 Sechseck, magisches 180 Seelenwanderung 4, 5 Sehne 73, 137-139, 260-263

Sachregister Sehnen, nichtschneidende 260, 261 Sekunde 73 Sesterze 64 sexagesimal 38, 69-73, 82, 90 Sexagesimalbruche 73, 78, 83 Sexagesimalsystem 37, 38, 42, 72 Shift 129 sifr 91 sifra 88 Silben-Dezimalsystem 78, 79 Singular 20, 21, 24 Situation 185 Smaragd 165 Sommer 24 Sonnen nsternis 3, 77, 82, 234 Sonnenjahr 24, 28 Sonnenuhr 3 Soroban 47, 65-67 Spezialfall der Catalanschen Vermutung 240 Spiegelungsprinzip 258, 267 Spiegelungssymmetrie 179 Spielstein 47, 134 subadditiv 197 suan pan 65 Subtrahend 197 subtrahieren 14, 49, 54, 103, 184 Subtraktion 42, 66, 83, 84, 90, 99, 103, 126, 153, 183, 198 Subtraktion bis auf Null 183 Subtraktionsschreibweise 41, 42 Summanden 169 Summe 9, 24, 41, 45, 70, 102, 103, 105, 112, 115117, 126, 134-136, 160, 163, 164, 169 Summe von vier Quadraten 211 Summe von zwei Quadraten 211 Summenformel 160-162, 166, 167 Summenfunktion 152 Summenpolynom 164 Summenzeichen 170, 171, 173, 184 Surjektion 131 surjektiv 129 Symmetrie 118, 178-180, 227, 248 Symmetrie, zentrale 178 Symmetrieregel 161 symmetrisch 164, 178, 222 symmetrische Gruppe 156, 176 Schachspiel 52, 74, 266 Schaf 21, 25, 34, 95, 128 Scheck 41, 52, 96 Schem Ha-meforasch 44 Schleife eines Programms 156

275

schneller euklidischer Algorithmus 219 Schreibweise, alexandrinische 43 Schrift, ku sche 81 Schrift, maghrebinische 82 schriftliches Rechnen 59, 60, 62 Schule 15, 34, 46, 47, 103 Schule, private 54-56, 95 Schulmeisterbuch des Peter van Zirn 55 St. Albans Rechenbuch 62 Stabchen 12, 19, 42, 64, 65, 74 Stabchenrechnung 47, 65 stack 259 Stadtschulen 54, 55 Stapel 259, 265 Stapelpermutation 259, 260, 266 Stater 48 Stellenwertsystem 46, 69, 73, 102, 104 Stellenwertsystem mit variabler Grundzahl 113 Stirlingsche Formel 157, 260, 265 Strecken, inkommensurable 13 Tableau 177 Tafel, astronomische 72 Talent 47-50, 113, 114 Taschenrechner 63, 66, 213, 228, 245, 254, 265 Taube 124, 126 tausendfach 42, 43, 45, 94 Teilbarkeit 154 Teilbarkeitslehre 11 teilen 201 Teiler 201 Teiler, groter gemeinsamer 209 Teilmenge 17, 105, 106, 129, 130, 138, 140, 141, 144-147, 152, 156-163, 167, 171, 172, 182, 196, 199, 215, 225, 229-231, 248 Term 255-257 Terz 7, 73 Tetraederzahlen 164, 212 Tetraktys 7 theca 87 theoretische Mathematik 3, 6, 10, 11, 16, 17, 127, 128, 130, 132, 133, 140 Tiefsinn 17, 46 Tierkreiszeichen 82 Totalabweichung 200 totale Ordnung, Totalordnung 144-146, 159, 196 transitiv 143, 196, 222 Transitivitat 139, 144 Transposition 157 Trennungszeichen 71 Treviso-Arithmetik 54, 93, 97, 100

276

Aufbau des Zahlensystems

Trial 22 Triangulierung 262, 263, 267 Trichotomie 139 Trienter Algorismus 53, 54 Tripelpunkt 167 Tschebyschews Ungleichungen 215, 216 Turm von Hanoi 108, 109, 119 UBASIC 217, 238, 248 U berwartsdivision 100 Uhrzeigersinn 137 Uhu 94 ultrametrische Dreiecksungleichung 209, 247 Umfullproblem 184-189 Umkehrung 184, 237 unbeschrankt 147 uncia 64, 157 unendlich 8, 14-16, 121, 122, 129, 132, 146, 147 ungerade Zahlen 2, 65, 106, 108, 110, 135, 161, 165, 167, 175, 178, 198, 200, 215, 222, 225, 230, 231, 239-241, 254, 259 Universitaten 54 Unvollstandigkeitssatz von Godel 131, 151 Unze 46, 64 verdoppeln 40, 74, 83, 106, 125 vergleichbar 144 Vermutung von Catalan 240 vervielfaltigen 201 Vielfaches 201 Vielfaches, kleinstes gemeinsames 209 Vielheit 11 Vogel 20, 94, 123 Vokal 21, 44, 78, 79 vollkommene Zahlen 9, 12 vollstandige Induktion 109, 129-139, 142, 143, 146, 148 Vorgabe 185 Vorganger 17, 145, 153 Vorgangerfunktion 183 Vorzeichen 197 Vorzeichenregel 204 Waage 106, 107, 112-114, 249 Wageproblem 106, 107, 112 Wald 65, 253 Wanderer 258 Weizen 32, 74, 75, 120 Wert, p -adischer 209 Winkelschule 55 Winter 24 Wolf 54, 124, 126 wohlgeordnete Menge 17, 140, 145 Wohlordnung 144

Wort 254, 255 Wortrechnung 3 Wurzel 237, 252-254 Yang 2 Yin 2 Zahl, binare 104, 105 Zahl, ganze 112, 194-197 Zahl, grote ganze 217 Zahl, negative 194 Zahl-Ratespiel 105 Zahlen, gurierte 12 Zahlen, gerade 222 Zahlen, indische 82, 84, 87, 95, 96 Zahlen, naturliche 17  Zahlen, rationale 1, 13-15, 88 Zahlen, reelle 14, 17 Zahlen, relative 194 Zahlen, romische 39, 47, 58 Zahlen, ungerade 2, 65, 106, 108, 110, 135, 161, 165, 167, 175, 178, 198, 200, 215, 222, 225, 230, 231, 239-241, 254, 259 Zahlen, vollkommene 9, 12 Zahlenalphabet 43, 45-47 Zahlenalphabet, griechisches 81, 82 Zahlen erster Ordnung 68 Zahlen erster Periode 68 Zahlenmystik 46 Zahlenschachbrett 65 Zahlentheorie 6, 11, 15, 88 Zahlsystem der Mayas 74 Zahlsystem, dyadisches 110 Zehner 32-34, 69, 78, 102 Zehnerpotenzen 33, 39, 43, 45, 47, 48, 51, 63-65, 74, 76-78 zehnfach 48, 94 Zeichenreihe 254-257 zentrale Symmetrie 178 Zephirum 87 zero 92 Ziege 25, 75, 124, 126, 128 Zier 92, 93, 102 Zier, g -adische 102 Ziern, indische 53, 56, 58, 83 Ziern-Dezimalsystem 78, 79 Ziernrechnen 61 Ziernsystem 112, 113 Ziern-U bertrag 182 Zusammensetzen 152 Zusammenzahlen 169 Zwanzigersysteme 34-37 zyer 93

Sachregister zyklisch 224, 256, 257

zyklische Gruppe 223

277

278

Aufbau des Zahlensystems

Zahlregister Null 46, 69, 71-74, 78-80, 83-85, 87, 88, 91-96, 98, 102, 104, 105, 118, 119, 121, 148, 152, 153, 164, 183, 189, 193-197, 205, 217-223, 225-231, 233, 258 eins 2, 19, 20-25, 27-32, 36, 37, 42, 43, 45, 48, 49, 51, 53, 54, 56, 58, 64, 66, 68-70, 74, 78-80, 83, 85, 87, 88, 90-94, 98-100, 104-108, 111, 114, 115, 118121, 126, 127, 132, 136, 153-167, 169, 170, 173-183, 190, 193-195, 198, 201, 203-205, 208, 212, 214, 223, 233, 239, 248, 251-253, 260 zwei 2, 4, 7, 16, 19-23, 25, 27, 29-32, 35-37, 42, 43, 45, 48, 51, 54, 56, 64, 66-69, 71, 74, 77, 79, 80, 8385, 87, 88, 90-93, 99, 104-107, 111, 114, 115, 118121, 124, 127, 128, 132, 136, 161-164, 174, 175, 180, 181, 190, 194, 198, 205, 206, 208, 212, 233, 249, 251-254, 260 drei 4, 7, 16, 20, 22-25, 27, 29-32, 35-37, 43, 45, 48-54, 56-58, 64, 67-69, 74, 79, 80, 83, 85, 87, 88, 90, 91, 99, 104, 105, 111, 114, 115, 118-121, 124, 127, 128, 132, 136, 163, 164, 174, 175, 180, 190, 193, 194, 198, 201, 205, 206, 208, 212, 233, 244, 245, 247, 249, 252, 253 vier 7, 22-25, 27, 29-32, 35-37, 41-43, 45, 48, 49, 51, 56, 64, 67, 69, 73-75, 77-79, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 99, 103-106, 108, 111, 112, 114, 115, 118, 119, 121, 126, 127, 128, 132, 136, 163, 164, 174, 175, 180, 181, 189, 190, 192, 201, 205, 212, 233, 239, 244, 245, 247, 248, 250, 252, 253 funf 7, 13, 14, 16, 17, 20, 22-27, 29-32, 36, 37, 39, 40, 41, 45-47, 49-51, 53, 54, 64, 66, 69, 71, 74, 79, 83-85, 87-91, 98, 99, 104, 105, 107, 108, 111, 114, 115, 117, 119-121, 126, 127, 132, 136, 163, 164, 166, 174, 175, 180, 189, 190, 192, 206, 208, 212, 233, 247, 251-254, 260-262 sechs 7, 16, 23-26, 29-32, 36, 37, 45, 51, 53, 57, 58, 64, 69, 73-75, 79, 84, 85, 87, 88, 96, 104, 105, 111, 114, 119, 121, 126, 127, 132, 136, 164, 166, 174, 180, 190, 192, 212, 233, 247, 252, 260 sieben 2, 6, 23, 24, 26, 28-32, 36, 37, 45, 49-51, 53, 57, 63, 64, 69, 72, 74, 75, 77, 79, 84, 85, 87, 88, 9092, 98, 99, 104, 105, 107, 111, 114, 115, 118, 119, 121, 127, 132, 136, 164, 174, 175, 180, 190, 206, 208, 212, 233, 250 acht 23, 25, 26, 29-32, 34-37, 45, 48, 51, 62, 64, 69, 74, 83-85, 87, 88, 92, 98, 99, 104, 105, 107, 111, 114, 115, 118, 119, 121, 127, 132, 135, 136, 164, 174, 180, 181, 190, 192, 212, 233, 239, 241, 249 neun 2, 9, 23, 26, 28-32, 35-37, 41, 45, 51, 58, 64, 69, 71, 74, 78-80, 83-85, 87, 88, 92, 93, 96, 99, 104107, 111, 118, 119, 121, 127, 136, 164, 174, 175, 180, 190, 212, 239, 245, 247-249 zehn 4, 9, 23, 24, 26-45, 48, 49, 51-54, 67, 69-71, 74, 75, 78, 80, 87, 88, 90-92, 99, 104, 105, 107, 111,

114, 121, 124, 126, 127, 132, 136, 138, 164, 174, 175, 180, 181, 190, 192, 198, 212, 233 elf 28-31, 36, 58, 70, 74, 83, 91, 99, 104, 105, 111, 118, 119, 121, 127, 138, 174, 175, 180, 189, 190, 206, 208, 233 zwolf 4, 8, 22, 24, 29-31, 35-37, 46, 51, 52, 54-56, 64-66, 74, 75, 77, 80, 82-86, 93-95, 97, 99, 100, 103106, 111, 114, 115, 118, 119, 121, 124, 126, 127, 132, 136, 138, 146, 153, 157, 161, 164, 166, 174176, 178, 180, 191, 198, 199, 205, 212, 213, 230, 233, 235, 246, 249, 265, 267 dreizehn 12, 16, 25, 28-31, 36, 50, 53, 58, 74, 76, 77, 85, 99, 103-105, 111, 115, 121, 126, 127, 163, 167, 174, 175, 178, 180, 189, 190, 206-208, 220, 233, 250, 251, 265 vierzehn 25, 29-31, 36, 54, 74, 77, 97, 104-106, 111, 121, 127, 134, 136, 162, 174, 178, 180, 212, 233, 251, 253, 260-262, 265 funfzehn 21, 29-31, 34, 36, 44, 51, 56, 66, 71, 74-77, 86, 89, 99, 104, 105, 111, 121, 125, 127, 132, 136138, 164, 174, 175, 178, 180, 190, 192, 212, 230, 232, 251, 265 sechzehn 29-31, 35, 36, 44, 64, 65, 68, 74, 77, 89, 104, 105, 107, 111, 113-115, 118, 121, 127, 135-138, 158, 161, 174, 178-182, 212-214, 230-233, 235, 239, 241, 247, 248 siebzehn 16, 28-31, 36, 48, 66, 70, 74, 76, 77, 104, 105, 111, 174, 175, 179, 180, 190, 206, 208, 213, 214, 230, 232, 233, 265 achtzehn 22, 29-31, 36, 41, 74, 75, 77, 99, 104-106, 111, 114, 136, 165, 174, 180, 212-214, 233, 235, 265 neunzehn 23, 29-31, 36, 74, 76, 77, 104, 105, 111, 125, 173-175, 180, 190, 206, 208, 213, 221, 233 zwanzig 21, 24, 27, 29-37, 43, 44, 56, 64, 69-72, 74, 78, 80, 90, 96, 103-105, 107, 111, 113-115, 125, 132, 136, 161, 164, 174, 177, 189, 190, 212, 233, 235, 248, 262 einundzwanzig 25, 28, 76, 77, 104, 105, 111, 115, 126, 136, 138, 174, 175, 190, 212, 235 zweiundzwanzig 44, 66, 77, 81, 90, 104, 105, 111, 114, 174, 190, 233, 265 dreiundzwanzig 76, 77, 100, 104, 105, 111, 161, 174, 175, 190, 206, 208, 229, 233 vierundzwanzig 22, 37, 43, 54, 64, 104, 105, 111, 114, 115, 125, 126, 132, 136, 156, 158, 162, 174, 179, 180, 189, 212, 230, 233, 260 funfundzwanzig 64, 66, 71, 76, 89, 104, 105, 111, 114, 115, 118, 126, 136, 174, 175, 190, 212, 227, 230, 239, 247, 262, 265 sechsundzwanzig 80, 104, 105, 111, 157, 174, 233, 265

Zahlregister siebenundzwanzig 43, 44, 51, 64, 71, 76, 104, 105, 111, 112, 135, 136, 161, 174, 175, 212, 220, 221, 231, 233, 239, 244, 245, 247 achtundzwanzig 34, 104, 105, 111, 115, 136, 138, 164, 190, 212, 227, 250 neunundzwanzig 76, 81, 82, 104, 105, 111, 175, 206, 208, 233 dreiig 24, 28, 32, 35-37, 43, 44, 64, 69, 70, 72, 73, 80, 99, 104, 105, 111, 113, 114, 123, 125, 126, 132, 136, 137, 166, 189, 212, 213, 265 einunddreiig 76, 104, 105, 111, 138, 161, 166, 181, 206, 208, 233, 240 zweiunddreiig 56, 104-107, 111, 114, 136, 137, 166, 181, 189, 212, 239 dreiunddreiig 54, 72, 76, 90, 111 vierunddreiig 111, 115, 178-180, 250, 265 funfunddreiig 3, 76, 111, 136, 138, 161, 164, 212, 220, 221 sechsunddreiig 64, 100, 103, 111, 114, 118, 126, 136, 138, 162, 164, 174, 190, 212, 239 siebenunddreiig 73, 76, 106, 111, 160, 174, 206, 208, 230, 233 achtunddreiig 55, 111, 174, 180, 265 vierzig 13, 32, 35-37, 43, 44, 53, 57, 58, 64, 69, 70, 73, 75, 90, 96, 106, 111, 113, 114, 136, 161, 174, 192, 212 vierundvierzig 85, 111, 174, 227, 233 funfundvierzig 31, 41, 72, 76, 111, 136, 138, 164, 178, 190, 212 achtundvierzig 25, 64, 111, 114, 126, 136, 192, 212 neunundvierzig 76, 77, 111, 118, 119, 136, 190, 212, 239, 250 funfzig 18, 28, 32, 33, 35-37, 39-45, 47, 54, 57, 58, 64, 66, 69, 75, 80, 107, 111, 131, 136, 175, 190, 212, 265 vierundfunfzig 89, 111, 115, 136, 212, 265 funfundfunzig 58, 60, 96, 111, 115, 138, 164, 190 sechzig 28, 32, 34-38, 42-45, 58, 64, 67-72, 74, 75, 103, 111, 113-115, 136, 156, 175, 212 vierundsechzig 69, 74, 105, 107, 111, 114, 118, 120, 136, 174, 212, 239, 247, 250 siebzig 32, 34-36, 43-45, 64, 70, 75, 136, 138, 161, 164, 212, 227, 250 achtzig 22, 32, 34-37, 43, 44, 64, 69, 70, 136, 161, 212 neunzig 28, 32, 34-36, 43-45, 58, 64, 65, 70, 78, 136, 160, 202, 212 hundert 22, 24, 26, 28, 32-36, 39-45, 47, 49, 51, 5355, 58, 61, 68, 70, 76, 78, 102, 104, 107, 111, 114, 115, 118, 123-126, 130-132, 160, 171, 175, 190-193, 227, 230, 239, 245, 246

279

hundertzwanzig 22, 34, 36, 37, 96, 126, 132, 156, 164, 166, 212, 260 hundertfunfundzwanzig 114, 136, 239, 247 hundertachtundzwanzig 105 hundertvierundvierzig 22, 104, 115, 118, 239, 249 hundertdreiundfunfzig 28, 57 zweihundert 22, 32, 36, 37, 43, 44, 58, 75, 78, 216, 217, 219 zweihundertundvierzig 34, 37, 54, 58, 66, 166 dreihundert 22, 24, 28, 34, 36, 37, 43-45, 80, 125 vierhundert 24, 36, 37, 43-45, 58, 68, 75, 118, 192, 239 funfhundert 22, 36, 39-41, 43, 44, 47, 54, 58, 75, 99, 113, 190 sechshundert 28, 36-38, 42-45, 67, 68, 126, 166 sechshundertsechsundsechzig 190 siebenhundert 36, 43, 44, 58, 66, 75, 161 achthundert 36, 37, 43-45, 58, 67, 68 neunhundert 28, 43, 44, 118, 215, 239 tausend 3, 4, 22, 26, 28, 32, 33, 36, 39-41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 54, 58, 68, 70, 77, 78, 90, 96, 99, 100, 104, 111, 113, 114, 132, 181, 190, 239 zweitausend 3, 24, 37, 42, 45, 59, 66, 115 dreitausend 24, 38, 45, 59, 66, 68, 77 viertausend 24, 45, 69 funftausend 39, 41, 42, 45, 47, 67, 68 sechstausend 45, 47, 58, 68, 114 siebentausend 45, 58 achttausend 36, 37, 45 neuntausend 28, 45 zehntausend 28, 33, 39, 41, 42, 45, 49, 51, 67, 68, 75, 104, 111, 171, 194 zwanzigtausend 45 dreiigtausend 45 vierzigtausend 45, 66 funfzigtausend 39, 45, 75 hunderttausend 41-43, 51, 75, 76, 104, 111, 173 vierhunderttausend 85 funfhunderttausend 43 sechshunderttausend 98 siebenhunderttausend 98 Million 33, 36, 38, 41, 42, 45, 51, 56, 65, 67, 68, 75-77, 111, 208, 216, 228, 233, 240, 248, 251 Milliarde 36, 51, 67, 75-77, 98, 125, 161, 208, 227, 228, 233 Billion 33, 51, 75-77, 79, 208, 228, 244 Billiarde 68, 69, 75-77, 98 Trillion 33, 75, 77, 79, 132, 161, 248 Quadrillion 33, 76, 157

280

Aufbau des Zahlensystems

Geographisches Register Aachen 123 Abdera 16 A gais 48 A gypten 4, 27, 78, 81, 87, 88, 106, 207 A gypter 3, 11, 33, 37, 40, 41, 46, 48, 75, 84, 213 agyptisch 3, 24, 32, 33, 43, 46, 81, 82, 106, 110, 113, 114 Ainu 31 Akkader 38, 69, 70 akkadisch 70, 113 albanisch 35 Albeida, Kloster 84 Alexandria 43, 45, 67, 81, 207 alexandrinisch 43, 80, 207 Algerien 81, 88 altagyptisch 106 altarabisch 21 altfriesisch 21 altgermanisch 24 altgriechisch 1, 45 Alt-Gwalior 80 althochdeutsch 23, 30, 32, 33 altindisch 21, 33 altirisch 35 altkirchenslawisch 21 altmalaiisch 80 altnordisch 23, 30, 33 Altona 122 altpersisch 21 altprovencalisch 34 altsachsisch 30 altsemitisch 82 altslawisch 24, 33 altsumerisch 29, 46 amerikanisch 66, 106, 115, 162 Amiens 92 angelsachsisch 26, 30 Annaberg 59, 60, 96 Antiochia 81 Antwerpen 99, 178 Api 29 Apulien 48 Aquitanien 51 Araber 3, 33, 38, 46, 51, 81, 82, 84, 87, 89-91, 95, 98, 124, 164, 178, 189 Arabien 47

arabisch 2, 23, 44, 51, 62, 73-75, 81-91, 96, 178, 207 aramaisch 43, 78, 81, 82 Aranda 19 Archaologisches Museum Berlin 71 Arezzo 92 Argos 5 armenisch 125 Assyrer 38, 40, 69 Athen 7, 15, 47, 48 Attika 48 attisch 6, 12, 21, 27, 39, 46, 114 Augsburg 57, 63, 97, 99, 101, 191 Aurillac 50, 51 Australien 19 australisch 19 Azteken 36, 37, 113 aztekisch 26, 29, 36, 37 Babylon 4, 70-73, 78 Babylonier 3, 10, 38, 69, 78, 79 babylonisch 33, 42, 43, 49, 69-74, 78, 82, 189 Bagdad 74, 81, 82, 100, 124 Balingen 56 Bamberg 54, 93, 97, 100, 103, 201 Bangka, Insel 80 Barcelona 51, 89 Bari 20 Basel 17, 49, 121, 133 baskisch 34 Basra 82 Bath 83 Bayern 117 bayrisch 21, 55, 85 Benares 120 Berlin 10, 13, 17, 18, 42, 49, 51, 55, 71, 72, 97, 100, 101, 103, 104, 110, 132, 191 Bibliotheque Nationale Paris 48, 63, 83, 85, 86 Bobbio 51 Bootien 213 Bolsena 19 Bologna 192 Borgo Sansepolcro 92 Braunschweig 14, 17, 65, 130, 150 Breslau 17, 55 bretonisch 26, 31 British Columbia 21

Geographisches Register British Museum (London) 70, 72, 106 Brixen 16 Brooklyn 106 Bruck bei Treuenbrietzen 191 Brugge 86 Bugea (heute Bougie) 87, 88 Bury St. Edmunds, Abtei 82 byzantinisch 86, 88, 98, 100 Byzanz 81, 88 Calcutta 79 Cambridge 12, 17, 65, 83, 85 Cambridge (Mass.) 106 Canusium (Apulien) 48 Ceylon 19 Chalkis 7 Cham (Vietnam) 80 Chester 86, 98 China 39, 47, 65, 73, 80, 177, 189, 222 Chinesen 2, 27, 46, 64, 73, 80, 91, 110, 164 chinesisch 26, 32, 33, 47, 49, 65, 67, 74, 80, 89, 177, 189 Choresmier 81, 124 choresmisch 82 Cleve 55 Cordoba 85 Cremona 86 Cues 16, 189 danisch 26, 35 Damaskus 81 Darmstadt 12, 61, 68, 127, 148 deutsch 3, 4, 10, 13, 21-23, 26, 27, 33, 34, 38, 5356, 58, 62, 63, 68, 90, 93, 97-99, 104, 106, 133, 157, 191, 201, 240 Deutschland 47, 53-56, 62, 67, 84, 93, 96-98, 228 Dinaya 80 Dordrecht 13 dorisch 114 Dresden 169, 201, 235 Eger 98 Elam 12, 33 Elis 6 England 16, 31, 35, 62, 88, 103 Englander 27 englisch 21, 22, 25-27, 30, 33, 34, 39, 47, 52, 53, 62, 97, 100, 114, 115, 123, 201 Erfurt 59-62, 86, 235 Escorial 85 Esslingen 189 Elingen 99, 101, 189

281

Etrusker 19, 40, 47, 50 etruskisch 19, 33, 40, 41, 48, 50 Euboa 48 Euphrat 79 nnisch 22, 31, 33 Florenz 92, 95-97 Frankfurt am Main 2, 38, 44, 50, 52, 61, 62, 88 Frankfurt an der Oder 61 frankisch 103 Frankreich 34, 47, 53, 63, 67, 88, 89, 92 franzosisch 26, 30, 31, 33, 34, 53, 63, 67, 87, 94, 104, 108, 193 Freiberg 60 Freiburg 56, 121 Gaza 81 Gerasa 8, 50 germanisch 23, 29, 30, 32, 33, 103 Geyer 60 Greenwich 194 Griechen 1, 2, 6, 15, 19, 38, 39-41, 43, 44, 46-48, 75, 79, 94, 121 Griechenland 3, 81, 87 griechisch 1, 4, 6-15, 21-25, 27, 30-33, 39-41, 43-51, 67, 68, 73, 78, 79, 81, 82, 85, 86, 89, 91, 92, 114, 124, 126, 144, 165, 178, 190, 193 Goten 43 gotisch 20, 22-24, 26, 30, 32, 33, 50, 55, 84 Guatemala 36 Gwalior bei Lashkar 80 Hastrom bei Konigsberg 191 Hagenau 99 Halle 7, 13, 93, 110 Hamburg 249 Hannover 61, 184 Hanoi 108, 120 hebraisch 21-23, 32, 33, 43-45, 81, 82, 88, 89, 99, 156, 178, 190, 240 Heidelberg 57, 85, 86, 99, 104 Heiliges Romisches Reich deutscher Nation 3 hellenistisch 21, 43, 45, 73 Hethiter 40 Hildesheim 7, 51, 55, 61 Hindu 79, 88, 100 hochfranzosisch 34 hollandisch 26, 55, 192 Holywood 87, 191 Holzdorf bei Lochau 190, 191 House of Parliament 52 Imperium Romanum 15, 64

282

Aufbau des Zahlensystems

Inder 40, 74, 76, 78, 80, 87, 91, 98, 100, 164, 189 Indien 27, 39, 47, 73, 74, 77-79, 82, 189 indisch 2, 21, 23, 24, 33, 43, 47, 51-53, 56, 58, 66, 73-84, 86-89, 92, 95-97, 100, 120, 165, 178 indogermanisch 26, 32-34 Indus 78 Ingolstadt 62, 99, 164, 191 Iran 47 irisch 26, 31, 35, 44 islandisch 21, 26, 30 Israel 33, 43 Israelit 33 Italien 4, 6, 33, 40, 51-54, 88, 92, 93, 96, 178 italienisch 26, 30, 31, 90, 92, 95-97 Japan 27, 47, 66 Japaner 27 japanisch 32, 33, 47, 66, 67 Java 80 Jena 103, 111, 191, 192 Jerusalem 4, 81 Juden 43, 44, 81, 86, 89, 100, 178 judisch 44-46, 73, 88, 178, 194 Kairo 81 Kambodscha 78, 79 Kapitolinisches Museum (Rom) 63 Karthago 81 Kastro 4 Kedukan Bukit 80 keltisch 31, 35 Kenia 19 Khiwa 124 Khmer 79 Kisuaheli 23 Kleinasien 81 Knidos 14 Koln 55, 93, 156, 178 Konigsberg in Franken 98 Konigsberg in Preuen 191 Konstantinopel 178 koreanisch 33 kornisch 35 Korsika 81 Kosas 5 Kota Kupur 80 Krakau 57, 62 Kreta 33, 81 Kreter 40 Kroton 4, 5, 10 Kufa 81 kymrisch 31

kyrillisch 43 lateinisch 1, 22-28, 30-33, 40, 52, 54, 82, 83, 86, 89, 92, 98, 99, 114, 123, 190, 201, 240 Lausanne 262 Leiden 38, 121, 192, 235 Leipzig 7, 8, 11, 12, 16, 46, 55, 68, 93, 98, 106, 122, 127, 148 Leisnig 62 Libyen 81 Linz 99 Lissabon 81 litauisch 21, 30 Lo (Flu in China) 177 Lochau 189, 190 London 17, 20, 33, 42, 52, 62, 72, 106, 132, 157, 193, 194, 201 Luxor 106 Lyon 33, 63, 184, 189 Madhya Pradesh 80 Magdeburg 193 Magna Graecia 6 Mailand 85, 178, 234 Malta 81 Mansfeld 189 Marienberg 60 marokkanisch 98 Marokko 81, 84 Marseille 92 Masai 19 Maya 36, 41, 73, 74 Meaux 240 Mesopotamien 25, 81 Metapont 4, 5, 13 Mexiko 29, 36 Milet 3 mittelhochdeutsch 21, 23, 30 Munchen 2-4, 33, 55, 61, 77, 83, 92, 97 Murray-Inseln 20 Musee du Louvre (Paris) 71, 72 Naab 55 Nabataer 81 Nabburg 55 Narbonne 81 Neapel 48 Neu-Delhi 77, 80 Neu-Guinea 19 Neue Hebriden 29 neuhochdeutsch 30 Neumarkt 99

Geographisches Register New York 8, 20, 46, 62, 97, 262 niederdeutsch 52, 53, 55 Niederlande 55 niederlandisch 30, 55 Nieuwkoop 55 Nordafrika 81 Nordarabien 81 nordgermanisch 31 nordiranisch 124 nordsemitisch 78 nordspanisch 84 Nordlingen 99, 180 Notre Dame 87 Nurnberg 3, 55, 61, 62, 93, 97-99, 164, 179, 180, 191, 235 Nuzi 25  Osterreich 123, 228 Oppenheim 57-60 Orange 156 Osker 41 osmanisches Reich 67 ostarabisch 84 ostgriechisch 40 Ostjordanland 81 Oxford 17, 52, 92, 121, 157, 193 Palembang 80 Palermo 89 Papua 29 Paris 4, 34, 38, 42, 44, 48, 63, 83, 85-87, 92, 94, 97, 98, 103, 110, 121, 123, 192, 193, 215, 258 Parma 92, 123 Passau 99 Peloponnes 48 Perge 67 Perser 10, 48, 78, 81, 84 Persien 47, 67, 81 persisch 114 Peru 39 Petersburg 93, 133, 193, 215, 262 Petra 81 Pforzheim 99 Phonizier 3, 44 phonizisch 81, 82 Pisa 54, 86, 88, 89, 91-93, 95-97, 100, 106, 112, 115, 189, 234 Poitiers 81 Portugal 81 portugiesisch 26 Prag 62, 98 prakrit 158

283

provencalisch 34, 100 Provence 87, 88 Providence (RI) 150 Qen-neshre, Kloster 79 Quahuacan 37 Quauhnahuac 37 Ravenna 51 Regensburg 52, 77, 86, 97, 99 Reims 50, 51 Riga 127 Romer 40-42, 47, 50, 74 romisch 3, 19, 24, 28, 39-43, 45-47, 50, 51, 58, 6366, 88, 96, 114, 190 Rom 15, 19, 20, 28, 50, 51, 63, 64, 83, 86, 89, 98 Rostock 100 Rott, Kloster, am Inn 55 Russelsheim 58 rumanisch 26, 30, 31 Russen 43 russisch 24, 26, 32, 67 Ruland 43, 47, 67 Sachalin 31 Saint-Geraud, Benediktinerkonvent 51 Saint Louis 108 Salamis 47-50 Salem, Kloster 85, 86, 91, 93 Samarkand 81, 100 Sambor 79 Samos 3, 4, 10, 45, 77 Sankheda = Broach 79 Sansibar 81 sanskrit 23, 32, 33, 78-80 Santa Maria de Ripoll 51 Saratow 67 semitisch 21, 43, 47, 69, 78, 82 Sevilla 86 Sinai 81 sinaitisch 81 sizilianisch 178 Sizilien 40, 81, 86-88 slawisch 21, 24, 31, 33 slowenisch 21 Smyrna 45 Soissons 94 sorbisch 21 Spanien 51, 81, 84, 85 spanisch 26, 30, 31, 51, 84, 100, 103, 178 spanische Mark 51 Sparta 4

284

Aufbau des Zahlensystems

Stade 184 Sudamerika 19 Sudfrankfreich 88, 89, 156 Suditalien 4, 6, 40 Sudsyrien 81 Sudwestafrika 19 Sumatra 80 Sumer 12 Sumerer 3, 37, 38, 40, 41, 69, 75, 113 sumerisch 29, 33, 37, 38, 42, 46, 69, 70, 113 Susa 12, 71, 73 Sybaris 5 Syrakus 13, 40 Syrer 81, 84 Syrien 81, 87, 88 syrisch 79, 81, 82 Syros 4 schottisch 35 schwedisch 26, 30 Schweiz 39, 228 St. Emmeran 52, 97 Staelstein 59-61 Straburg 56, 156, 189, 191, 234 Talang Tuwo 80 Tansania 19 Tarent (= Taras) 6, 7, 15 Theben (A gypten) 106 Thermenmuseum (Rom) 63 Tlalcozauhtitlan 37 tocharisch 23, 33 Toledo 85, 88 Toluca 37 Torres-Strae 20 Tours 81, 234 Trapeang Prei 79 Treuenbrietzen 191 Treviso 54, 93, 97, 100 Trient 53, 54

Troja 5, 28 tschechisch 24, 26 Tubingen 93 Turkei 47 Turken 84 turkisch 21, 33 Tuxtepec 37 ungarisch 22, 26, 32, 34 Ungarn 55 Uruk 12, 71, 72 USA 66, 114, 115 Venedig 33, 92, 97 venzianisch 96 Verona 95 Vietnam 80 Vilshofen 99 Vinegia 184 Virginia 111, 193 Volkslatein 31 walisisch 31 Warschau 17 Wedda 19 Wesel 55 westarabisch 84, 88 Westeuropa 84, 87-90 westgotisch 84 Westgriechen 41 westgriechisch 40 Wien 56, 62, 83, 85, 86, 93, 98, 99, 132, 157 Wittenberg 99, 189, 190 Wolfenbuttel 55 Wolga 67 York 123 Yukatan 36 Zurich 3, 4, 99

Personenregister

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Personenregister Abraham bar Chijja = Savasorda, Abraham Judaeus (1070{1136) 86 Abraham ibn Esra = Ezra, Abraham Abu Kamil (850?{930) 89 Abu-l-Wafa (940{998) 91, 100 Ackermann, Wilhelm (1896{1962) 155, 244 Adalbero, Erzbischof von Reims (925?{989) 51 Adelard von Bath (um 1075{1160) 83, 92 Aelianus, Claudius (170?{235?) 5 Ahmose (16. Jh. v.Chr.) 106 Ahrens, Wilhelm (1872{1927) 184 Aischylos (525{456 v.Chr.) 12 Alanus al Insulis (Alain de Lille) (1120?{1202) 94 al-Banna' (1256{1321) 98 Albert, Abt (y 1265) 184 Albrecht der A ltere von Preuen (1490{1568) 191 Albrecht, Michael von (1933{ ) 4 Alexander de Villa Dei (13. Jh.) 87, 93 Alexander der Groe (356{323 v.Chr.) 207 Alexander von Aphrodisias (um 200) 49 al-Fazar, Abu'Abdallah, Muh.ammad ibn Ibrahm (y 800?) 82 al-Fazar, Abu Ish.aq, Ibrahim ben H.abb ben Sulaiman (y 777?) 82 _ al, Abu H.amid Muh.ammad ibn Algazel (= al-Gazz Muh.ammad al-T.us) (1058{1111) 178 Algor, "Konig\ 87  sd ibn Mas`ud ibn Mah.mud (y 1429) al-Kas, Gam 100 al-Karag, Fahr ad-Dn, Abu Bakr Muh.ammad ibn al-H.asan (y 1029?) 89, 164 al-Khayyami = Omar Khayyam al-Khwarizm, Abu Abdallah Moh.ammed ibn Musa (780?{850?) 82{84, 86, 87, 89, 92, 93, 98, 100, 106, 124, 126 al-Kifti, Abu'l Hasan (1172{1288) 82 Alkuin von York [Alchvine] (735?{804) 54, 123, 126 Allard, Andre 98 al-Maghrib, As-Samaw' al Ibn Jahja (y 1180?) 164 al-Ma'mun, Kalif 813{833 81, 82, 124 al-Mans.ur, Kalif 754{775 81, 82 al-Nayrz, Abu al-`Abbas al-Fad.l ibn H.atim [Anaritius] (y 922?) 89 al-Sabhadi 74 Ammenemes (= Amenemhet) III., Pharao aus der 12. Dynastie (1. Halfte 19. Jh. v.Chr.) 106 Anaximander (610{546 v.Chr.) 3, 4 Andre, D. (um 1887) 258

Andreas (um 30) 95 Apianus, Petrus [Peter Bienewitz] (1501{1552) 54, 62, 93, 100, 164, 191 Apollon 5 Apollonios von Perge (262?{190? v.Chr.) 67, 68, 75, 76, 81, 207 Aquipolensis, Henricus (15. Jh.) 95 Arago, Dominique (1786{1853) 184 Archibald, Raymond Clare (1876{1955) 106 Archimedes von Syrakus (287?{212 v.Chr.) 13, 15, 40, 50, 67, 68, 75, 76, 81, 89, 207 Archytas von Tarent (428?{365? v. Chr.) 6, 7, 14, 15 Aristarch von Samos (310?{230? v.Chr.) 10, 45, 68, 77 Aristophanes (445?{385? v.Chr.) 27, 46, 48 Aristoteles von Stagira (384{322 v.Chr.) 2, 5, 6, 8{ 11, 13{15, 49, 50, 56, 81, 121, 122, 127, 128, 207, 219 Arjuna 76, 77 Arnold von Ville Neuve (13.Jh.) 179 Arrighi, Gino (um 1966) 89, 96, 97 Artaxerxes (= Artachschathra) I. Makrocheir (Perserkonig 464-424 v.Chr.) 28 A ryabhat.a (476{550?) 76-78 Arundel, Earl of (um 1600) 152 Asarhaddon (= Aschschu-ach-iddina), assyr. Konig 680{669 v.Chr. 70 Augustinus, Aurelius (354{430) 28, 57, 58, 103 Augustus, Caesar Octavius (Octavianus), 1. rom. Kaiser (63 v.Chr.{14 n.Chr.) 25, 40 Bachet de Meziriac, Claude Gaspard (1581{1638) 90, 184 Bacon, Francis (1561{1626) 132 Ball, Walter William Rouse (1850{1925) 184 Banu-Musa (9. Jh.) 89 Barbadico, Augustino (1494 Doge von Venedig) 92 Barnard, Francis Pierrepont (um 1916) 52 Barrow, John D. (um 1992) 20 Bath, Adelard von (um 1075{1160) 83, 92 Becker, Oskar Joachim (1889{1964) 12 Becker, U. (um 1970) 56 Beda Venerabilis (672/73{735) 27, 28, 91 Beham, Sebald (1500{1550) 61 Bernhard von Hildesheim (um 1445) 55 Bernoulli, Jacob (1654{1705) 110 Bernoulli, Johann (1667{1748) 193

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Aufbau des Zahlensystems

Bertrand, Joseph (1822{1900) 258 Bessel, Friedrich Wilhelm (1784{1846) 17 Bhaskara I (um 629) 77-79 Bhaskara II (1111{ nach 1191) 77 Bigollo, Leonardo = Fibonacci 91 Bindel, Ernst (um 1958) 46 Binet, Jacques (1786{1856) 262 Blanche von Kastilien ( y 1251) 53 Boschenstein, Johannes (1472{1540) 54, 93, 99, 100, 101 Boetius, Anicius Manlius Severinus (475{524) 50, 51, 56, 84, 98 Bombelli, Rafael (1526{1572/73) 89, 192, 193, 235 Boncompagni, Baldassare (1821{1834) 83, 86, 89 Boole, George (1815{1864) 18 Borel von Barcelona, Graf (10. Jh.) 51 Borghi, Piero ( y nach 1494) 33, 92, 100 Bouon, George Louis Leclerc de (1707{1788) 103 Bouton, Charles Leonard (1869{1922) 107 Boutroux, P. (um 1908) 103 Bradwardine, Thomas (1290/1300{1349) 98 Brahmagupta (598{665?) 98, 189 Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881{1966) 127 Brown, W. G. (um 1965) 262 Brugge, Rudolph von (12. Jh.) 85, 86 Brunes, Hans (15. Jh.) 53 Brunner, Heinrich (1849{1920) 103 Brunschvicg, L. (um 1908) 103 Bubnov, Nicholas M. (um 1899) 51 Buddha [Siddhattha, Gotama, Schakjamuni] (560?{ 480? v.Chr.) 76, 77 Bruckheimer, M. (um 1977) 106 Buon, George Leclerc, Comte de (1707{1787) 103, 104, 121 Bull, L. (um 1927) 106 Burckhardt, J. J. (um 1966) 97 Burkert, Walter (1931{ ) 3, 13 Caesar, Gaius Iulius (100{44 v.Chr.) 24, 64 Cagnat, R. (um 1899) 42 Calandri, Filippo (1430{nach 1491) 54, 92, 97 Calandri, Pier Maria (1419{1467) 97 Cantor, Georg (1845{1918) 122 Cantor, Moritz (1829{1920) 86, 110 Caramuel y Lobkowitz, Juan (1606{1682) 103 Cardano, Girolamo (1501{1576) 89, 100, 178, 179, 191{193, 234 Carnap, Rudolf (1891{1970) 132 Carnot, Lazare (1753{1823) 193 Cassirer, Ernst (1874{1945) 16 Castelli, E. (um 1969) 44 Catalan, Charles Eugene (1814{1894) 240, 249, 262

Cavalieri, Bonaventura (1598{1647) 93 Celtis [Pickel], Konrad (1459{1508) 98 Certain, Jehan (um 1485) 92 Chace, Arnold Buum (1845{1932) 106 Chang Ch'iu-chien (5. Jh.) 123 Chasles, Michel (1793{1880) 88 Chester, Robert von (1. Halfte 12. Jh.) 86, 98 Chhuthan Hsi-Ta = Gautama Siddharta Chuquet, Nicolas (1445?{1488) 33, 93, 100, 184, 189, 235 Cicero, Marcus Tullius (106{43 v.Chr.) 4, 40, 56 Cincius, Lucius Alimentus (um 210 v.Chr.) 19 Clavius, Christoph (1538{1612) 191 Clemens, Titus Flavius Alexandrinus (2. Jh.) 5 Clichtovaeus, Dr. ( y 1543) 63 Coedes, G. (um 1923) 79, 80 Coincy, Gautier de (1177{1236) 94 Collatz, Lothar (1910{1990) 161 Conway, John Horton (1932{ ) 262 Cremona, Gerhard von (1114?{1187) 86 Cromwell, Oliver (1599{1658) 193 Cues, Nikolaus von (1401{1464) 16, 189 Curtze, Maximilian (1837{1903) 83 Czwalina, Arthur (1884{1963/64) 68 Dadda III. (um 595) 79 Dagomari, Paolo [Paolo dell'Abbaco] (1281{1374) 54, 96 Dandapani (Furst) 76 Dante Alighieri (1265{1321) 89 Dantzig, Tobias (um 1930) 20 Darius I., der Groe (550{486 v.Chr.) 48, 78 Dedekind, Richard (1831{1916) 14, 17, 18, 122, 123, 128-131, 140, 142, 143, 145, 148, 159 Dei, Villa, Alexander von (13. Jh.) 87, 93 Delatte, Armand (um 1922) 4 Demokritos von Abdera (460?-370 v.Chr.) 6, 8 des Places S.J., E douard (um 1982) 4 Descartes, Rene (1596{1650) 90, 192, 235 Deschauer, Stefan (um 1991) 61 Diels, Hermann (1848{1922) 10 Dickens, Charles (1812{1870) 52 Dijksterhuis, Eduard Jan (1892{1965) 10 Diogenes Laertios (3. Jh.?) 4, 48, 50 Diokletianus, Gaius Aurelius Valerius, rom. Kaiser 284{305 (240?{313?) 64 Diophantos von Alexandria (3. Jh.?) 15, 45, 81, 89, 90, 189, 234 Durer, Albrecht (1471{1528) 178{180 Edward VI., engl. Konig (1537{1553) 62 Egmond, Warren van (um 1980) 96

Personenregister Einstein, Albert (1879{1955) 132 Eisenlohr, August Adolf (19. Jh.) 106 Elfering, Kurt (um 1966) 77, 97 Elias (1. Halfte 9. Jh. v.Chr.) 57 Enestrom, Gustav (1852{1923) 92 Erman, Adolf (1854{1937) 46 Ettingshausen, Andreas von (1796{1878) 157 Eudoxos von Knidos (400?{347 v.Chr.) 10, 11, 13, 14 Euklid von Alexandria (um 300 v.Chr.) 3, 7, 11, 12, 14-17, 50, 56, 81, 83, 88-90, 134, 155, 191, 192, 207, 208, 219, 222, 234 Euler, Leonhard (1707{1783) 93, 133, 156, 157, 193, 205, 211, 250-252, 257, 262 Eupalinos (6. Jh. v.Chr.) 4 Euphorbos (12. Jh. v.Chr.) 5 Eytelwein, J.A. (um 1800) 104 Ezra, Abraham Ben Meir ibn = Abu Ish.aq Ibrahim al-Majid ibn Ezra = Avenare (1092{1167) 88, 178 Falsta, Sir John ( y 1417) 34 Faust, Johannes/Georg/Heinrich (1480?{1536/40) 1, 23, 180 Feret, Guillelmus (14. Jh.) 92 Fermat, Pierre de (1601{1665) 90, 240, 249 Fibonacci, Guilielmo (12. Jh.) 88 Fibonacci, Leonardo von Pisa (1175?{1250?) 38, 54, 86-93, 95, 96, 100, 106, 112, 115, 189, 234 Figar (Furst) 82 Firmicus Maternus, Iulius (um 340) 28 Folkerts, Menso (1943{ ) 55, 61, 91, 123 Franck, Sebastian (1499{1542) 58 Frank, Erich (um 1923) 13 Franke, Ruth (um 1932) 55 Frege, Gottlob (1848{1925) 17 Friedlein, Gottfried (1828{1875) 7, 207 Friedrich II von Hohenstaufen, rom.-dt. Kaiser seit 1215 (1194{1250) 89 Fritsch, Werner (um 1973) 55 Fritz, Kurt von (1900{ ) 13 Fung Yu-Lan (um 1952) 2 Galba, Servius Sulpicius, rom. Kaiser (3 v.Chr.{69 n.Chr.) 42 Galilei, Galileo (1564{1642) 10 Gau, Carl Friedrich (1777{1855) 17, 93, 122, 133, 156 Gautama Siddharta (9. Jh.) 76, 80 Gautier de Coincy (1177{1236) 94 Gehrl, Georg (16. Jh.) 62, 93 Gelon, Herrscher von Syrakus 491{478 v.Chr. 68 Georg der Bartige, Herzog von Sachsen seit 1500 (1471{ 1539) 60, 96

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Georg von Ungarn [Georgius de Hungaria, Bartolomej Georgevic] (um 1500) 55 Gerbert von Aurillac (= Sylvester II.) (945?{1003) 50-52, 84, 87, 88 Gerhard von Cremona (1114?{1187) 86 Gerhardt, Carl Immanuel (1816{1899) 110 Gerhart, Fridericus ( y 1464) 97 Gericke, Helmuth (1909{ ) 38 Gernardus, Magister (13. Jh.) 92 Gerson, Levi ben (1288{1344) 100, 156, 240 Gherardi, Paolo (um 1328) 96 Giehlow, Carl (y 1913) 178 Gillings, Richard J. (um 1972) 106 Giovanni de Danti (um 1370) 92 Gmunden, Johannes von (1384{1442) 98 Godel, Kurt (1906{1978) 18, 131, 151 Goethe, Johann Wolfgang (1749{1832) 1, 23 Goldbach, Christian (1690{1764) 248 Gopa, Tochter des Dandapani 76 Grammateus, Henricus = Schreyber, Heinrich Gunn, B. (um 1926) 106 Guy, Richard K. (20.Jh.) 262 Hadrianus, Publius Aelius (76{138) 42 Hall, P. (1904{1982) 152 Hammurapi, babyl. Konig (1728{1686 v.Chr.) 70 Harriot, Thomas (1560{1621) 110, 193 Harun ar-Raschd, Kalif 786{809 81 Hatto von Vich, Bischof (10. Jh.) 51 Heath, Sir Thomas Little (1861{1940) 12 Hebel, Johann Peter (1760{1826) 125 Heiberg, Johann Ludvig (1854{1928) 12 Heinrich II., engl. Konig seit 1159 (1133{1189) 52 Heller, Siegfried (1876{1970) 13 Helmholtz, Hermann von (1821{1894) 127 Herakleitos (550?{480? v.Chr.) 4 Herigone, Pierre (y 1643?) 93 Hermann, Joh. Jakob (1678{1733) 110 Herodianos, Ailios (2. Jh.) 43 Herodot (490?{420? v.Chr.) 4, 48 Heron von Alexandrien (1. Jh.) 81, 89, 114, 234 Hieronymus (347?{419/420) 28 Hilbert, David (1862{1943) 18 Hilton, Peter (1923{ ) 262 Hipparchos von Nikaia (2. Jh. v.Chr.) 10 Hippasos aus Metapont (5. Jh. v.Chr.) 7, 13 Hippias von Elis (spates 5. Jh. v.Chr.) 6 Hippokrates von Kos (460?{375 v.Chr.) 2 Hiskia, Konig von Juda (725/715{697/687 v.Chr.) 4 Hispalensis, Johannes (von Sevilla) ( y 1153) 86, 92, 98, 100

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Aufbau des Zahlensystems

Hitler, Adolf (1889{1945) 190 Hoche, Richard (19. Jh.) 8 Holywood, John of (1190?{1236?) 87, 191 Homer (8.? Jh. v.Chr.) 21, 27, 94 Horaz [Quintus Horatius Flaccus] (65{8 v.Chr.) 46 Howard, Lord William (17. Jh.) 157 Hsu Yueh (2. Jh.) 123 Hultsch, Friedrich (19. Jh.) 47, 80 Huswirt, Johannes S. (um 1500) 55, 93 Hypsikles von Alexandria (fruhes 2. Jh. v.Chr.) 134 Iamblichos von Chalkis (250?{330?) 4, 5, 7, 11, 13 Ianus 28 ibn as-Samh., Abu'l-Qasim, As.ba_g ben Muh.ammad _ at (984{1035) 46 al-Garn Ifrah, Georges (um 1986) 2, 19 Isidoros, Erzbischof von Sevilla (560?{636) 61 Iupiter 19, 178, 179 Iuvenalis, Decimus Iunius (60{140) 28, 98 Jacobus de Florentina (um 1307) 92 Jahwe 44 James I, Konig von England (1566{1625) 34 Jestin, R. (um 1937) 42 Jesus (7? v.Chr.{30/33 n.Chr.) 24, 57, 95 Johann Friedrich der Gromutige, Kurfurst von Sachsen (1503{1554) 190 Johannes (1. Jh.) 1, 11, 28, 57, 190 Johannes de Lineriis (um 1320/35) 97, 98 Johannes de Muris (1. Halfte 14. Jh.) 98 Johannes de Sacroboso ( y um 1236) 87, 92, 97, 98, 191 Johannes von Gmunden (1384{1442) 98 Johannes von Palermo (13. Jh.) 89 Johannes von Sevilla (= Johannes Hispalensis) ( y 1153) 86, 92, 98, 100 John of Holywood (1190?{1236?) 87, 191 Johnson, Ch. (um 1950) 52 Jordan, Leo (um 1905) 92 Jordanus de Nemore (1200{1237?) 98 Josephus, Flavius (37/38{100) 61 Juskevic, Adolf Pavlovic (1906{1993) 49 Justinian (483{565, byz. Kaiser seit 527) 7 Juvenal = Iuvenalis Kalmus, H. (um 1964) 20 Kant, Immanuel (1724{1804) 127 Kapfer, Jobs (um 1409) 55 Karl der Groe, (747{814, Frankenkonig seit 768) 123 Karl der Kuhne, Herzog von Burgund seit 1467 (1432{ 1477) 53 Karpinsky, Louis Charles (1878{1956) 8

Karsten, Wenceslaus Johann Gustav (1732{1787) 93, 100 Kauzner, Wolfgang (um 1970) 55, 60 Kepler, Johannes (1571{1630) 10, 235 Kielhorn, F. 178 Kircher, Athanasius (1601{1680) 63, 191 Knorr, Wilbur Richard (um 1973) 13 Kobel, Jakob (1460{1533) 54, 57{60, 93, 121 Kopernikus (= Koppernigk), Nikolaus (1473{1543) 57, 191 Kotelnikow, S. (um 1764) 262 Kramp, Christian (1760{1826) 156 Kranz, Walther (1884{1960) 10 Kronecker, Leopold (1823{1891) 18, 128 Kronos 5 Kusyar ibn Labban (970?{1030?) 100 Lagrange, Joseph Louis (1736{1813) 104, 170, 211 Lame, Gabriel (1795{1870) 262 Landau, Edmund (1877{1938) 148 Langenstein, Heinrich von (1385{1397) 98 Lappenberg, J. M. (19.Jh.) 184 Laupp, Heinrich (um 1865) 93 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646{1716) 15, 33, 110, 111, 193, 201 Leo X., Papst (1475{1521) 189, 190 Leonardo von Pisa (1175?{1250?) 38, 54, 86-93, 95, 96, 100, 106, 112, 115, 189, 234 Lerchenfeld, Hugo von (um 1100) 86 Leukippos von Milet (5. Jh. v.Chr.) 8 Leupold, Jacob (um 1727) 28 Levey, M. (um 1965) 100 Levi ben Gerson (1288{1344) 100, 156, 240 Libri, Gugliemo (1803{1869) 88 Lichtenberg, Georg Christoph (1742{1799) 17 Lille, Alain de (Alanus al Insulis) (1120?{1202) 94 Lindgren, U. (um 1976) 51 Lineriis, Johannes de (um 1320/35) 97, 98 Liouville, Joseph (1809{1882) 262 Liu Hui (3.Jh.) 189 Livia Drusilla (58 v.Chr.{29 n.Chr.) 42 Livius, Titus (59 v.Chr.{17 n.Chr.) 19 Lobkowitz, Juan Caramuel y (1606{1682) 103 Lotter, Melchior d. A . (1470?{1549) 55 Luca di Borgo = Pacioli (1445?{1517) 89, 92, 93, 100 Lucas, E douard Anatole (1842{1891) 108 Ludwig IX., der Heilige, Konig von Frankreich (1214{ 1270) 34, 53 Luneburg, Heinz 89 Lukas (1. Jh.) 24, 32 Lukasiewicz, Jan (1878{1956) 254 Luther, Martin (1483{1546) 23, 179, 189, 190

Personenregister Lutomysl, Alexander (um 1553) 191 MacArthur, Douglas (1880{1964) 66 Macrobius, Ambrosius Theodosius (Anfang 5. Jh.) 28 Magnitzkij, Leontij Filippovic (1669{1739) 43 Mahavra (um 850) 76, 77 Manning, H. P. (um 1927/29) 106 Marche, Olivier de la (um 1474) 53 Marduk 70 Maria I. Tudor, die Katholische [Bloody Mary], engl. Konigin seit 1553 (1516{1558) 53 Martell, Karl, frank. Hausmeier seit 714 (676?{741) 81 Maser, H. (19. Jh.) 133 Maseres, Francis (um 1800) 193 Mason, Richard (1919{ ) 27 Matthaus (1. Jh.) 23, 28 Matzusaki, Kiyoshi (1923{ ) 66 Maximilian I., dt. Kaiser seit 1493 (1459{1519) 56 Maya-Devi, Mutter Buddhas (6. Jh.v.Chr.) 76 Meinert, Friedrich (um 1790) 93 Melanchthon, Philipp (1497{1565) 190, 191 Menelaos (12. Jh. v.Chr.) 5 Menelaos von Alexandrien (1. Jh.) 81 Menninger, Karl (1898{1963) 2, 19 Meretz (um 1977) 191 Metius, Adriaen (1571{1635) 93 Migne, J. P. (19. Jh.) 123 Mill, John Stuart (1806{1873) 132 Minerva 19 Mitas, Gunter (um 1976) 249 Mohammed, Prophet [eigtl. Abu l-Kasim] (570?{632) 81 Moliere [Jean Baptiste Poquelin] (1622{1673) 34 Moncada, Wilhelm Raimund (um 1480) 178 Monge, Gaspard (1746{1818) 193 Morgan, Augustus de (1806{1871) 194 Moritz, Prinz von Nassau-Oranien (1567{1625) 192 Morley, Daniel von (12. Jh.) 86 Morrow, Glenn A. (um 1970) 7 Moschopulos, Manuel (13.Jh.) 178 Moses (13. Jh. v.Chr.) 57 Mostowski, Andrzej Stanislaw (1913{1975) 17 Munzel, G. (um 1937) 56 Muh.ammad ibn Ibrahm al Fazar(y 800?) 82 Muris, Johannes de (1. Halfte 14. Jh.) 98 Nagl, A. (um 1889/99) 48, 83 Napoleon, Bonaparte, Kaiser der Franzosen 1804{ 1814/15 (1769{1821) 67, 193 Narmer, Pharao aus der 1. Dynastie (um 2900 v.Chr.) 75

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Nau, F. (um 1910) 79 Needham, Joseph (1900{ ) 65, 67, 80 Nemore, Jordanus de (1200{1237?) 98 Neri, maestro (um 1304) 95 Nestor (12. Jh. v.Chr.) 28 Nettesheim, Agrippa von (1486{1535) 178 Neugebauer, Otto (1899{1990) 13, 42, 49, 72 Neumann, Johann von (1903{1957) 17 Newton, Sir Isaac (1642/3{1727) 15, 121, 193 Nikolaus Rhabdas von Smyrna (14. Jh.) 45 Nikomachos von Gerasa (um 100) 6, 8, 11, 12, 50 Nikolaus von Cues (1401{1464) 16, 189 Nissim, Rabbi (15. Jh.) 178 Nortia 19 d'Ooge, Martin Luther (um 1926) 8  Oglin, Erhard (um 1514) 57 Omar Khayyam = `Omar Hayyam, Abu al-Fath `Umar ibn Ibrahm, giya t al-Dn (1048?{1131) 89, 90 Oresme, Nicole de (1323?{1382) 98 Orontes (5. Jh. v.Chr.) 28 Osiander, Andreas (1498{1552) 191 Osiris 213 Ostrowski, Alexander Marcus (1893{1986) 17 Othlo, Pater (11. Jh.) 52 Otto I., rom.-dt. Kaiser (912{973) 51 Otto III., rom.-dt. Kaiser (980{1002) 51 Oughtred, William (1575{1660) 157, 201 Pacioli, Luca di Borgo (1445?{1517) 28, 89, 92, 93, 100 Pappos von Alexandrien (3. Jh. n.Chr.) 67, 68, 207 Parmentier, H. (um 1923) 79, 80 Pascal, Blaise (1623{1662) 103, 164, 165, 191, 231, 250 Peano, Guiseppe (1858{1932) 123, 127-131, 140, 145-147, 149, 150, 159, 169 Pedersen, F. S. (um 1983) 87 Pedersen, Jean (20.Jh.) 262 Peet, Thomas Eric (um 1931) 106 Persephone 5 Petrejus, Johann (1497{1550) 191 Petruck M. (um 1965) 100 Petrus (1. Jh.) 28 Peurbach, Georg Aunpeck von (1423{1461) 56, 98, 121 Pherekydes von Syros (6. Jh. v.Chr.) 4 Philippus (um 30) 95 Philolaos von Kroton (530?{470? v.Chr.) 3, 10 Piero della Francesca (1410/20{1492) 96 Pin_gala (2. Jh.) 164 Pirckheimer, Willibald (1470{1530) 179

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Aufbau des Zahlensystems

Pisa, Leonardo von = Pisano Pisano, Leonardo Fibonacci (1175?{1250?) 38, 54, 86, 88, 89, 91, 92, 95, 96, 100, 106, 112, 115 Pistelli, Hermann (um 1894) 11 Planudes, Maximus (Manuel) (1255?{1305) 88, 92, 100 Platon (427{347 v.Chr.) 3, 6, 8{11, 13, 15, 16, 61, 121 Plato von Tivoli (Tiburtinus) (1132{1146 in Barcelona) 85, 89 Plinius, Gaius Secundus maior (23/24{79) 28, 41 Plotinos (205{270) 4 Plutarchos (50?{125?) 5, 28, 213 Poisson, Simeon Denis (1781{1840) 184 Polo, Marco (1254{1324) 33 Polya, Georg (1887{1985) 133 Polybios (210{128 v.Chr.) 48, 50 Polykrates von Samos (6. Jh. v.Chr.) 4 Poncelet, Jean Victor (1788{1867) 67 Porphyrios aus Tyros (233?{304?) 4, 5, 50 Prestel, Alexander (1941{ ) 150 Proklos Diadochos (410{485) 6{8, 11, 207 Prometheus 12 Protagoras von Abdera (480?{411 v.Chr.) 16 Proteus 27 Ptolemaios, Klaudios (100?{170) 10, 38, 56, 73, 81 Ptolemaios I (Konig von A gypten 305{285 v.Chr.) 207 Pullan, J.M. (um 1969) 46 Pythagoras (570?{496? v.Chr.) 1, 3{5, 7, 13, 16, 56, 57, 87 Pythagoreer (6. bis 4. Jh. v.Chr.) 1{16, 18, 84, 121, 213, 219 Ralegh/Raleigh, Sir Walter (1552?{1618) 111, 193 Ramses II., Pharao der 20. Dynastie (1290{1224 v.Chr.) 106 Ramus, Petrus [Pierre de la Ramee] (1515{1572) 121 Rath, Emil (um 1912/13) 93 Raymund, Erzbischof von Toledo (1126{1151) 85 Recorde, Robert (1510{1558) 62, 100 Regiomontanus (= Johannes Muller) (1436{1476) 56, 98, 100 Reisch, Gregor (1470?{1525) 56, 121 Remond, M. de (um 1700) 110 Reuchlin, Johannes (1455{1522) 99 Rhind, Alexander Henry (19. Jh.) 106 Richard, Son of Nigel, Treasurer und Bischof von London (um 1186) 52 Ries, Adam (1492{1559) 33, 54, 57, 59{61, 93, 96, 98, 100, 106, 121, 125, 191, 235 Ries, Karl (um 1611) 61 Robbins, F. E. (um 1926) 8 Robert Ritter von Srbik (um 1941) 56

Robert von Chester (1. Halfte 12. Jh.) 86, 98 Rodrigues, Olinde (1794{1851) 262 Rudol, Christof (1495?{1543?) 54, 62, 93, 100, 121, 191, 192, 234 Rudolph von Brugge (12. Jh.) 85, 86 Russell, Lord Bertrand A. W. (1872{1970) 17, 18 Sacroboso, Johannes de ( y um 1236) 87, 92, 97, 98, 191 Salomo, Konig von Israel (990?{926 v.Chr.) 57, 58, 86, 178 Salomon, Y. (um 1977) 106 Sanherib (= Sin-achche-eriba), assyr. Konig 704{681 v.Chr. 70 Sargon (= Scharru-kinu), Konig von Akkad 2350{ 2295 v.Chr. 69 Savasorda (Abraham bar H.iyya ha-Nasi, 1070{1136) 89 Scott, D. S. (um 1971) 150 Scriba, Christoph J. (1929{ ) 19 Segner, Johann Andreas (1704{1777) 262 Seni, Astrologe Wallensteins 179 Sesostris (= Senwosret) I., Pharao der 12. Dynastie (1. Halfte 20. Jh. v.Chr.) 106 Sessa ben Dahir 74 Severus Sebockt (um 662) 79 Shakespeare, William (1564{1616) 34, 91, 93, 132 Sharma, K. V. (um 1977) 77 Shukla, K. S. (um 1977) 77 Sigler, L. E. (um 1987) 90 Silberberg (um 1895) 88 Smeur, A. J. E. M. (um 1965) 55 Smith, David Eugene (1860{1944) 50, 88, 97 Smith, Edwin (19. Jh.) 106 Sokrates (470{399 v.Chr.) 6 Solon (640?{561? v.Chr.) 50 Somesvara 77 Soussi, M. (um 1969) 98 Spasskij, I. G. (um 1952) 67 Spengler, Oswald (1880{1936) 2, 3 Srbik, Robert Ritter von (um 1941) 56 Srdhara (um 990) 77 Sueton [Gaius Suetonis Tranquillus] (70? { nach 121) 42 Surton (16. Jh.) 53 Suter, Heinrich (1848{1922) 83 Sylvester, James Joseph (1814{1897) 215 Sylvester II., Papst 999{1003 50, 51 Schahram, Konig von Indien Schiller, Friedrich (1759{1805) Schirakaz, Anania (620 {685) Schmidt, Erhard (1876{1959)

74, 120 179 125 17, 140, 145, 146

Personenregister Schonberger, Leander (um 1940) 7 Scholem, Gerhard Gershom (1897{ ) 44, 46 Schooten, Frans van (1615?{1660) 191 Schopenhauer, Arthur (1788{1860) 16 Schott, Johann (um 1522) 189 Schreyber, Heinrich, genannt Grammateus (1492/96{ 1525) 62, 93, 100, 235 Schroder, Eberhard (um 1988) 97 Schulenburg, Joh. Christ. (um 1700) 110 Schumacher, Heinrich Christian (1780{1850) 122 Stamatis, Evangelos S. (1889{1990) 12 Steck, Max (1907{1971) 7 Stegmuller, Wolfgang (1923{ ) 132 Steiner, Jakob (1796{1863) 248 Steinschneider, Moritz (19.Jh.) 178 Stevin, Simon (1548{1620) 38, 104, 121, 191-193, 235 Stifel, Michael (1487?{1567) 62, 164, 189{192 Stifter, Adalbert (1805{1868) 25 Stirling, James (1692{1770) 157, 262 Stobaios, Johannes (5.Jh.) 207 Stolz, Otto (1842{1905) 13 Stortz, Dr. Georg (1490{1548) 59 Tartaglia, Nicolo Fontana (1499/1500{1557) 89, 100, 121, 184 Tersites (12. Jh. v.Chr.) 94 Thales von Milet (624{548/5 v.Chr.) 3, 4, 11 Theaitetos (415/3{369 v.Chr.) 15, 16 Theoderich der Groe (456?{526) 50 Theodoros, Philosoph bei Friedrich II. (13. Jh.) 90 Theodoros von Kyrene (460?{399? v.Chr.) 15, 16 Theophano, rom.-dt. Kaiserin (950?{991) 51 Thureau-Dangin, Francois (1872{1944) 38 Tiberius Julius Casar Augustus, rom. Kaiser seit 14 n.Chr. (42 v.Chr.{37 n.Chr.) 42, 43 Tijdeman, Robert (um 1976) 240 Tivoli, Plato von = Plato Tiburtinus (1132{1146 in Barcelona) 85, 89 Toledo, Erzbischof Raymund von (1126{1151) 85 Tritheim, Johannes (y 1516) 178 Tschebyschew, Pafnuti Lwowitsch (1821{1894) 215 Turing, Alan Mathison (1912{1954) 18

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Ullrich, Edward (um 1891) 104 Unger, F. (um 1888) 55 Venus 28, 178 Vergil [Publius Vergilius Maro] (70{19 v.Chr.) 98 Viete, Francois (1540{1603) 90, 189, 192, 234 Vigila (um 976) 84, 85 Villa Dei, Alexander von (13. Jh.) 87, 93 Ville Neuve, Arnold von (13.Jh.) 179 Vinci, Leonardo da (1452{1519) 96 Vitry, Philippe de, Bischof von Meaux (14.Jh.) 240 Vogel, Kurt (1888{1985) 38, 51, 53, 55, 65, 83, 97 Waerden, Bartel Leendert van der (1903{1996) 3, 12, 13 Wagner (Faust-Adlatus) 180 Wagner, Ulrich (1430?{1489/90) 97, 201 Wallenstein, Albrecht von, Herzog von Friedland (1583{ 1634) 179 Wallis, John (1616{1703) 95, 121, 193 Weidauer, Manfred (um 1991) 61 Weigel, Erhard (1625{1699) 103 Welser, Markus (1558{1614) 63 Werneburg, Joh. Fr. Chr. (um 1800) 104 Widman, Johannes (1462?{1503?) 54, 60, 93, 98{ 100, 169, 234 Wiedeburg, Johann Bernhard (1687{1766) 111 Wildermuth, Johann David (19. Jh.) 93 Wilhelm II. (1859{1941, Kaiser 1888{1918) 190 Wissowa, Georg (1859{1931) 47 Wol, Christian Freiherr von (1659{1754) 93 Woods, Thomas Nathan (1923{ ) 66 Wuing, Hans-Ludwig (1927{ ) 60 Wytho, W. A. 120 Xian, Jia (um 1100) 164 Yang Souen 65 Yu der Groe (2000 v.Chr.?) 177 Yule, Henry (19. Jh.) 33 Zeller, Otto (um 1963) 83 Zenon von Elea (490?{430 v.Chr.) 15 Zirn, Peter van (um 1500) 54-56 Zwingli, Huldrych (Ulrich) (1484{1531) 99