Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, Teil I 9780387038308, 0387038302

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Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 139

Herausgegeben von

J.L.Doob · E.Heinz • F.Hirzebruch · E.Hopf H.Hopf · W.Maak • S.MacLane · W.Magnus D. Mumford · M. M. Postnikov · F. K. Schmidt· K. Stein

Geschiiftsführende Herausgeber

B. Eckmann und B. L. van der Waerden

Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs Herausgegeben von

R.Sauer I.Szab6 Unter Mitwirkung von H. Neuber • W. Nürnberg• K. Pöschl E. Truckenbrodt • W. Zander

Teil I Verfaßt von

G. Doetsch F. W. Schäfke H. Tietz Mit 103 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1967

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielfältigen @ by Springer-Verlag Berlin and Heidelberg r967 Library of Congress Catalog Card Nwnber 67-25 285 Printed in Germany

Titel Nr. 5r22

'

Vorwort der Herausgeber Das auf vier Bände angelegte Werk „Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs" (MHI), von dem hier der erste Teilband vorliegt, will den Ingenieur mit dem modernen Stand der Mathematik vertraut machen, soweit es sich um Theorien und Methoden handelt, die für das Ingenieurwesen von Bedeutung sind oder von Bedeutung zu werden versprechen. An mathematischen Vorkenntnissen wird lediglich der Stoff der mathematischen Kursvorlesungen vorausgesetzt, wie sie an den deutschen Technischen Hochschulen in den ersten drei oder vier Semestern gehalten werden. Der rasche Fortschritt der Technik im Verein mit den Naturwissenschaften hat dazu geführt, daß für die Bearbeitung technischer Probleme immer umfassendere mathematische Hilfsmittel benötigt werden. Im Zuge dieser Entwicklung sind einerseits manche abstrakten mathematischen Disziplinen, die im Rahmen der sogenannten „reinen Mathematik" ohne irgendeinen Bezug auf Anwendung entstanden waren (wie z.B. die Boolesche Algebra), heutzutage ein wichtiges Werkzeug für den Ingenieur geworden. Andererseits haben praktische Bedürfnisse in Technik und Wirtschaft zum Ausbau neuer Zweige der Mathematik geführt (z. B. Optimierungsprobleme in der Unternehmensforschung). Viele Ingenieure benötigen daher in ihrer Praxis sowohl eine vertiefte Kenntnis der älteren klassischen mathematischen Disziplinen als auch Vertrautheit mit neu entstandenen Zweigen der Mathematik. Dieser Gesichtspunkt ist für die Stoffauswahl der MHI maßgebend gewesen. Natürlich ist die getroffene Auswahl letzten Endes subjektiv. Die Herausgeber hoffen jedoch, unterstützt durch die Redakteure und Autoren, nichts Wichtiges, für das ein breites Bedürfnis besteht, übersehen zu haben. Die MHI sind mehr als eine Formelsammlung im üblichen Sinn. Sie bringen nämlich in jeder der behandelten Disziplinen nicht nur den erforderlichen Formelapparat, sondern · dazu auch die grundlegenden Definitionen, Sätze und Methoden, und zwar in einer Darstellung, die der auf physikalisch-geometrische Anschaulichkeit gerichteten Denkweise des Ingenieurs Rechnung trägt. Das heißt: Die in· den Definitionen ein.geführten Begriffe werden, soweit dies möglich ist, anschaulich erläutert, und es wird stets· versucht, dem Leser verständlich zu machen, aus welchem Grund die betreffenden Begriffe eingeführt werden. Bei den

VI

Vorwort der Herausgeber

Sätzen und Methoden wird dem Leser das Verständnis durch Beispiele und plausible Begründungen erleichtert. Beweise werden nur in solchen Fällen gebracht, in denen sie für das Verständnis eines Satzes oder einer Methode notwendig sind. Durch Hinweise auf Lehrbücher wird der Leser jedoch in den Stand gesetzt, von Fall zu Fall sich auch über die Beweise zu orientieren. Der heutzutage weit verbreitete Einsatz von Rechenautomaten hat in der angewandten Mathematik insofern eine Wandlung gebracht, als neben „geschlossenen", d. h. formelmäßig gegebenen Lösungen auch Algorithmen zur numerischen Lösung mathematischer Probleme große Bedeutung erlangt haben. Diesem Umstand wird an vielen Stellen der MHI durch ausführliche Behandlung einschlägiger numerischer Verfahren Rechnung getragen. In diesem Zusammenhang ist besonders auf Teil II und vor allem auf Teil III hinzuweisen, in dem drei Abschnitte speziell der Numerik gewidmet sind. Ein angehängter Abschnitt des Teiles III beschäftigt sich außerdem mit der logischen Struktur der Rechenautomaten und mit grundsätzlichen Fragen der Programmierung. Obwohl die MHI in erster Linie auf die Bedürfnisse der Ingenieure ausgerichtet sind, werden sie auch von Naturwissenschaftlern, insbesondere Physikern, sowie von Mathematikern mit Nutzen verwendet werden können. Und entsprechend dem Vordringen mathematischer Methoden in immer weitere Bereiche werden auch für Vertreter anderer Disziplinen manche Abschnitte des Werkes von Interesse sein, z.B. für Wirtschafts- und Betriebswissenschaftler der Abschnitt J über Lineare und nichtlineare Optimierung in Teil III und in Teil IV der Abschnitt M über Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Im letzten Band findet man eine Zusammenstellung der grundlegenden Formeln der theoretischen Ingenieurwissenschaften, insbesondere der Mechanik und der Elektrotechnik. Damit soll dem Benutzer für ein größeres Gebiet von „Normalproblemen" der entsprechende Vorrat von Ausgangsgleichungen mitgegeben werden und zum Teil eine zusätzliche Verknüpfung mit dem mathematischen Stoff hergestellt werden. Die Vorbereitung eines so umfassenden Vorhabens bringt durch Terminfragen und die notwendige gegenseitige Abstimmung der einzelnen Beiträge naturgemäß erhebliche Schwierigkeiten mit sich. Den beiden Herausgebern ist es daher ein herzliches Bedürfnis, allen Autoren für ihre Mühe und Geduld zu danken, Herrn Professor Dr. KLAUS PöscHL und Herrn Dipl.-Ing. WOLFGANG ZANDER außerdem noch für die kritische Durchsicht und Koordinierung der Manuskripte und schließlich auch den zahlreichen Mitarbeitern der Autoren die sich am Korrekturlesen beteiligt haben. Besonderer Dank gebüh~t dem Springer-Verlag, der den Plan, das vorliegende Werk herauszubringen, alsbald verständnisvoll aufgegriffen und seine Durchführung von Anfang an und über manche

Vorwort der Herausgeber

VII

äußeren Hemmnisse hinweg tatkräftig gefördert hat, so daß nunmehr der erste Teil des \Verkes in der bekannten vorzüglichen Ausstattung erscheinen kann. Das Gesamtwerk wird, auch bei Bejahung der ihm unterliegenden Konzeption durch den Leser, noch manche \Vünsche offen lassen. Autoren wie Herausgeber sind schon jetzt für alle. Anregungen dankbar, die aus dem Benutzerkreise an sie herangetragen werden. Selbstverständlich sind in diesem Wunsch auch Hinweise auf Fehler und Druckfehler eingeschlossen, die sich ja trotz der Mühe aller Beteiligten nie völlig vermeiden lassen. München-Berlin, im Sommer 1967

ROBERT SAUER

ISTVAN SZABO

Inhaltsverzeichnis A. Funktionentheorie

Von Dr.-Ing.

HORST TIETZ o. Professor an der Technischen Hochschule Hannover

I. Grundlagen . . . . . § 1. Komplexe Zahlen § 2. Funktionen . . . § 3. Geometrisches Verhalten von Abbildungen im Kleinen § 4. Konformität . . . . • . . . § 5. Komplexe Differenzierbarkeit . § 6. Holomorphe Funktionen 6.1 Allgemeines . . . . . . 6.2 Potenzreihen . . . . . 6.3 Abbildungseigenschaften 6.4 Integration § 7. Meromorphie . . . . . . . § 8. Potentialtheorie . . . . . . 8.1 °Vektorfelder und Potential 8.2 Harmonische und holomorphe Funktionen 8.3 Randwertprobleme . II. Elementare Funktionen § 1. Lineare Funktionen 1.1 Allgemeines • . 1.2 Fixpunkte 1.3 Bestimmung linearer Funktionen 1.4 Ortskurven . . . § 2. Rationale Funktionen . 2.1 Allgemeines . . . . 2.2 Hurwitz-Polynome . 2.3 Positiv-rationale Funktionen § 3- Exponentialfunktion . . § 4. Elliptische Funktionen . . . . . 4.1 Einleitung . . . . . . . . 4.2 Die Jacobischen Funktionen 4-3 Elliptische Integrale 4.4 Thetafunktionen III. Konforme Abbildungen § 1. Das Problem . . . § 2. Einige Abbildungen § 3. Polygonabbildung . § 4- Kreisnahe Gebiete .

1

1

5 5 7 8 9 9 10

13 16 19 24 24

27 28

31 31

31 32 34

35 40 40 41

44

47 51 51 52 56 5& 61

61 63 71

75

Inhaltsverzeichnis

IX

IV. Der Einfluß des Randes § 1. Ein. Satz von DARB0UX über Taylor-Koeffizienten § 2. Die Technik der komplexen Integration , § 3, Die erste Randaufgabe der Potentialtheorie Literatur

76

77 78 81 84

B. Spezielle Funktionen

Von Dr. rer. nat.

FRIEDRICH WILHELM ScHÄFKE

o. Professor an der Universität Köln § 1. Die Gammafunktion . 1.1 Definition. Folgerungen 1.2 Charakterisierung durch Funktionalgleichungen 1.3 Eulersche Integrale. Betafunktion. Multiplikationstheorem 1.4 Einet-Integrale. Stirlingsche Reihe . 1.5 Hankelsches Integral. Verwandtes . § 2. Separation der Schwingungsgleichung 2.1 LI u in orthogonalen Koordinatensystemen. ürthogonalinvarianz 2.2 Separation von LI u k1 u = 0 2.2.1 Kartesische Koordinaten x 1 , x,, x, • 2.2.2 Zylinderkoordinaten 1/, rp, z . 2.2.3 Kugelkoordinaten f', {}, rp • 2.2.4 Parabolische Zylinderkoordinaten ; , 7/, z 2.2.5 Rotationsparabolische Koordinaten ;, 17, rp 2.2.6 Elliptische Zylinderkoordinaten ; , 1'/, z . 2.2.7 Gestreckt-rotationselliptische Koordinaten ~, 1'/, rp 2.2.8 Abgeplattet-rotationselliptische Koordinaten ; , 7/, rp {J, y 2.2.9 Parabolische Koordinaten 2.2.10 Kugel-Kegelkoordinaten f', µ, v bzw. f', {J, y 2.2.11 Elliptische Koordinaten 1/, µ, v bzw. {J, y • 2.3 Ein Prinzip zur Gewinnung von Integralrelationen § 3. Zylinderfunktionen 3.1 Die Bessel-Funktionen J,. (x), n ganz . 3.2 Bessel-Funktionen beliebiger Indizes 3.3 Hankel-Funktionen. Neumannsche Funktion. 3-4 Asymptotische Reihen für x -+ oo 3.5 Halbzahlige Indizes • 3-6 Verhalten für große 11 • 3-7 Rekursionsformeln J.8 Wronskische Determini;mten 3-9 Differenzengleichungen zweiter Ordnung und Kettenbrüche J.10 Additionstheorem . 3.11 Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen. Faltungsrelationen 3.12 Die Nullstellen der Bessel-Funktionen J n (x) , 3,13 Reihen nach Bessel-Funktionen f ,+n(x) (Neumannsche Reihen) J.14 Reihen nach J.+n((v n) x). Kapteynsche Reihen, J.15 Modifizierte Zylinderfunktionen § 4, Die hypergeometrische Funktion 4.1 Die Riemannsche Differentialgleichung 4.2 Die hypergeometrische Reihe

+

°',

°'•

.

.

+

85 85 87 88 89 91 93 93 94 94 95

95 96

96 97 97 98 98 99 101 102 104 104 106 109 113 113 114 115 116 117 119 120 121 122 124 125 126 126 129

Inhaltsverzeichnis

X

130 132 132 133 134

4-3 Lineare Transformationen . . . 4_4 Quadratische Transformationen . 4. 5 Integraldarstellungen 4.6 Zusammenhangsrelationen 4- 7 Rekursionsformeln § 5. Kugelfunktionen

5.1 5.2

Darstellung durch hypergeometrische Funktionen Gewinnung von Integraldarstellungen und -relationen 5.3 Die Legendreschen Polynome Pn(x) . . . . . . • . 5.4 Die Funktionen P,;'(x) (m = 0, 1, 2, ... ; n = m, m 1, m 2 ... ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Kugelflächenfunktionen. Harmonische Polynome . . 5.6 Die Funktionen o;;'(x),. Q;:'(x) (m=0,1,2, ... ; n=m, m 1, m 2, ... ) . . . . . . . . • • . • 5. 7 Kugelfunktionen zu beliebigen Indizes: ~{: (x), 0{: (x) 5.8 Zusammenhangsformeln . . 5.9 Die Funktionen 0/f, PI;, Qlf 5. 10 W ronskische Determinanten 5.11 Rekursionsformeln 5.12 Verhalten für große v oderµ 5.13 Differenzengleichungen zweiter Ordnung und Kettenbrüche 5.14 Reihen nach Kugelfunktionen . . . . . . . 5.1 5 · Gegenbau ersehe Polynome . . . . . . . . . 5.16 Separation von Llu = o in Toruskoordinaten

+

+ +

+

1 36 136 137 138 141 142 145 14 7 149 150 1 51 1 52 153 154 155 156 158

§ 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen . . . .

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6. 7 6.8

159 Die Kummersche Differentialgleichung. Die Funktion !l>(a, c; x) 159 Die Whittakersche Differentialgleichung und Funktion 160 Integraldarstellungen. Die Funktion 1P (a, c; x) . . . . . 161 Asymptotische Reihen (x groß). Zusammenhangsformeln . 162 Rekursionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . 164 Wronskische Determinanten . . . . . . . . . . 165 Spezielle konfluente hypergeometrische Funktionen 16 5 Produktlösungen der Schwingungsgleichung. . . . 167

§ 7. Spezielle Funktionen als Lösungen der „F-Gleichung" 7.1 Reduktion von Differentialrekursionsformeln auf die „F-Gleichung" . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Liste von Lösungen der „F-Gleichung" 7-3 Differentialformeln . . . . . . . 7.4 Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Reihenentwicklungen 7.5 Integralrelationen

168

§ 8. Orthogonale Polynome .

175 17 5 1 76 177 178 179 180 180 181 182 183

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Allgemeines . • • . Rekursionsformeln . Approximation im quadratischen Mittel Nullstellen. Numerische Quadratur Die klassischen Orthogonalpolynome . . 8.5.1 Jacobische oder hypergeometrische Polynome 8.5.2 Gegenbauersche oder ultrasphärische Polynome 8.5.3 Legendresche Polynome . . . . . • 8.5.4 Tschebyscheff-Polynome erster Art . 8.5.5 Tschebyscheff-Polynome zweiter Art

168 169 171 173 174

XI

Inhaltsverzeichnis 8.5.6 ,Laguerresche Polynome s,5.7 Hermitesche Polynome

183

§ 9- Mathieusche Funktionen . . . . 9.1 Die Mathieusche Differentialgleichung . 9.2 Der charakteristische Exponent v . , ._, 9-3 Berechnung des charakteristischen Exponenten 9-4 Die Eigenwerte l, (h"), a,., (h"), b,11 (h"). Die Stabilitätskarte 9-5 Die Funktionen me, (x; h 2 ), cem (.1r. 00

11-1

z

a

Dadurch ist die im Kreisring r < 1 z - a 1 < R holomorphe Funktion / zerlegt in / = /a f 00 , wobei / a in I z - a 1 < R, also einer Umgebung von a, und f 00 in I z - a 1 > r, also einer Umgebung von oo holomorph ist; letztere hat bei oo den Funktionswert O. 2. Ist r = o, so ist f im ganzen Kreis O< 1z - a 1 < R außer im Punkte a selbst holomorph. In diesem Falle heißt a eine isolierte Singularität von f und f 00 der Hauptteil von f bei a: er verursacht das singuläre Verhalten von f, denn f - f 00 = / a ist ja holomorph bei a.

+

l 1

Stellen, in die hinein die Funktion nicht holomorph fortsetzbar ist. Die Definition des Integrals folgt weiter unten (vgl. § 6.4).

A. Funktionentheorie

12

3. Ist R = oo , so ist / für I z - a 1 > r holomorph, aber nicht im Punkt oo. In sinngemäßer Ausdehnung des in 2. Gesagten auf diesen Fall ist jetzt oo isolierte Singularität von /. Zur Festlegung des Hauptteils wählt man speziell die Laurent-Reihe +

00

f (z) = E an z", - 00

die auße:-halb eines geeigneten Kreises mit dem Mittelpunkt O konvergiert, und zerlegt sie in oo

E1

oo

an Z"

a

+ E ~~." • 0

~

Die erste Summe, der Hauptteil von / bei oo, ist stets eine ganze Funktion. 4. Die in Satz 1 und 1 a angegebenen Potenzreihen sind Spezialfälle von Laurent-Reihen mit verschwindendem Hauptteil. Die Funktion ist also in den Entwicklungsmittelpunkt hinein holomorph fortsetzbar. Solche isolierte Singularitäten, die eigentlich gar keine sind, heißen hebbar. 5- Insbesondere werden ganze Funktionen / durch beständig konvergente Potenzreihen - d. h. mit R = oo dargestellt; oo ist ihre einzige Singularität. Ist 00

f(z) =

X

a" z",

0

so ist

"" E an z" = 1

t(z) -

f (o)

der Hauptteil von / bei oo. 6. Während die Koeffizientenformel (6.1) nur für n :::::=: O gültig und sinnvoll ist, besteht (6.2) allgemeiner für alle ganzen Zahlen n.

Satz 4: Ist +

00

f (z) = E a,, (z - a)" in r < 1z - a 1 < -

R

00

und gilt (z)I ~ M a für I z - a 1 = e, r < e < R, so gilt für die Koeffizienten die Cauchysche Ungleichung 1/

00 < n < + 00. Diese unmittelbar aus (6.2) folgende Abschätzung hat zur Folge den nach RIEMANN benannten

l an 1 ~

M e • e-

11 '

Satz 5: Wenn f in einer Umgebung der isolierten Singularität a beschränkt ist, so ist a hebbar. Für a = oo ergibt sich hieraus der von LIOUVILLE stammende

Satz 6: Jede beschränkte ganze Funktion ist notwendig konstant.

I., § 6. Holomorphe Funktionen

13

6.3 Abbildungseigenschaften Satz 7 (lUaximumpriuzip): Eine i11 einem Gebiet G lwlomorphe und nicht konstante Funktion f besit::t dort kein Betra~smaximum; d. h., zu fedem Punkt a E G gibt es einen weiteren Punkt b ~ G mit I / (b) 1 > 1f (a) 1Ein Maximum kann also nur auf dem Rande von G liegen. Da f als holomorphe Funktion i. allg. nicht auf dem. Rande von G definiert ist, meint man - oft stillschweigend - die stetige Fortsetzungl von / auf den Rand von G. Ist G die Hiille von G, d. h. G plus Rand, so läßt sich Satz 7 positiv formulieren zu Satz 7 a: J st f nicht konstant mid stetig in G imd holomorph in G, so liegen alle M axima 8 von I f (z) 1 auf dem Rand von G.

Durch Übergang zu

Terhält man

Satz 7 b: J st f nicht konstant und stetig in G, holomorph in G und dort ohne Nullstelle, so liegen alle Minima 2 von I f (z) 1 auf dem Rand von G. Das Maximumprinzip gilt nicht nur für den Betrag holomorpher, sondern auch für harmonische Funktionen, das sind Realteile (bzw. Imaginärteile) holomorpher Funktionen: ist nämlich f = u i v holomorph, so auch ef = e" • ei •·, dessen Betrag e. 11 maximal bzw. minimal ist, wenn dies für den Exponenten u gilt; da ferner e" nirgends O wird, fällt die in Satz 7b gemachte Einschränkung fort; das besagt

+

Satz 7 c: In einem Gebiet G harmonische, und in G stetige Funktionen haben Maxima und Minima nur auf dem Rande von G. Trotzdem kann es natürlich für eine harmonische Funktion u auch innere Stellen geben, über denen die Tangentialebenen an die Fläche u = u (x, y) horizontal verlaufen, es sind dies die gemeinsamen Nullstellen der Ableitungen u.r und uy, oder - wenn u Realteil der holomorphen Funktion f ist - Nullstellen von f'; da über einer solchen Stelle kein Extremum von u liegen kann, handelt es sich notwendig um Sattelpunkte. Gleiches gilt auch für die Betragsfläche einer holomorphen Funktion f; man erhält sie, indem man über jedem Punkt der z-Ebene den Wert I f (;) 1 abträgt: die Stellen der Betragsfläche mit horizontaler Tagentialebene, die nicht Nullstellen von f sind, sind Nullstellen von /' und Sattelpunkte der Betragsfläche. Nach § 3 ist die durch eine in einem Gebiet G holomorphe Funktion f vermittelte Abbildung konform, wenn die Ableitung /' in G keine Nullstelle besitzt. Unter dieser Voraussetzung ist die Abbildung darüber hinaus lokal umkehrbar (,,schlicht"); das ist der Inhalt von 1 1

die keineswegs immer existiert. Solche gibt es immer, da G kompakt ist.

A. Funktionentheorie

14

Satz 8: Ist f bei a holomorph und f' (a) 4 01, so gibt es eine Umgebung von a, derart, daß f an verschiedenen Punkten dieser Umgebung stets verschiedene Werte besitzt. Die in einer Umgebung von f (a) existierende Umkehrfunktion z = g(w) mit a = g(f(a)) ist wieder holomorph. Über die Größe der Umgebung, in der f umkehrbar ist, gibt es keine praktisch brauchbaren allgemeinen Aussagen. Und es liegt in der Natur der Sache, daß man Satz 8 i. allg. nicht zu einer Aussage über Schlichtheit einer holomorphen Funktion im Großen verschärfen kann, wie schon einfachste Beispiele - etwa e" - zeigen. Sowohl Konformität als auch Schlichtheit werden in Nullstellen der Ableitung einer holomorphen Funktion zerstört. Ist a eine solche endliche Stelle mit f' (a) = O, so kann man schreiben, falls f nicht konstant ist, was in folgendem vorausgesetzt sei: (6.3)

f(z)

= f(a)

j

1,

f (! gilt mit geeigneten Zahlen c und d für hinreichend große z die Abschätzung j f (z) 1 < c ed I z 1", während dies für kein a < e richtig ist, - so kann man in (1) konstante N; wählen, und zwar jeden Wert N > e - 1; auch die im Exponenten auftretende ganze Funktion g ist in diesem Falle

l!) .

wohlbestimmt als Taylor-Polynom N-ten Grades der Funktion ln 1

A. Funktionentheorie

24

§ 8. Potentialtheo1·ie 8.1 Vektorfelder und Potential Wir knüpfen an die Betrachtungen von §§ 1-4 an. Eine komplexe Zahl ist ein Vektor, und demnach ist ein reelles Funktionenpaar, das ist eine komplexwertige Funktion, ein Vektorfeld. Es sollen zunächst die üblichen Operationen der Vektoranalysis in der Schreibweise mit komplexen Zahlen notiert und dann die Beziehungen zwischen Feldtheorie und Funktionentheorie diskutiert werden. Für das Vektorfeld/= u + i v ist .f = u - i v das konjugierte Vektorfeld, und es gilt

!~ = : ((ux + Vy) + i(vx - Uy)), f:. := !~ = : ((u,, - vy) + i(v,, + uy)), f. :=

0 1 -/-~ 1 !-= ··-az=·

-

Df

-

h := uz = f=, also insbesondere fz =½(div/+ i rot/), und daher div/= fz +fz,

fz =½(div/+ i rot!)=

h,

rot/= ½(fz -!-:,);

dabei ist zu bemerken, daß die Rotation im Zweidimensionalen ebenso wie das Vektorprodukt ein Skalar ist und daß gilt (8.1)

rot(i/) = div/, divf

Das Feld

=h+h.,

rot/=~ (h-h,).

f ist demnach

quellenfrei, falls Refz = 0, wirbelfrei, falls Im/z = 0, es ist quellen- und wirbelfrei, falls f:,., = O, / also eine Funktion von z allein ist. Entsprechend ist f genau dann holomorph (nämlich fz = 0 und/' := /z), wenn das Feld f (!) quellen- und wirbelfrei ist. Aus diesem Grunde, und weil die Holomorphie eine durch das Vorliegen der mathematischen Methoden bevorzugte Situation darstellt, setzt man ein zweidimensionales Vektorfeld zweckmäßig in der 1

Man unterscheide

a7 f,- = Dz

und

-fz =

(Tt) Dz •

I., § 8. Potentialtheorie

25

+

Form f = u i(-v) an, damit f = it + iv holomorph 1eird, falls f quellen- und wirbelfrei ist. Längs einer Kurve C stellt der Vektor dz die Tangente an C in Richtung des Durchlaufungssinnes von C dar und dn : = i dz daher die positive Normale. Daher ist [vgl. § 1, (1.2)] das komplexe Integral

(8.2)

Jf dz = f (f, dz) C

i J'(f, dn)

C

C

die Zusammenfassung von Arbeits- und Flußintegral des Vektorfeldes f. Ist f quellen- und wirbelfrei, / also holomorph, so ist das Integral (8.2) nach dem Cauchyschen Integralsatz (§ 6. 4) in einfach-zusammenhängenden Gebieten nur von den Endpunkten des Integrationsweges C abhängig, stellt also eine Funktion der Grenzen dar: (8.3a)

F(z)

:=

f l(C) dC =

U(z)

+ i V(z)

mit den beiden reellen Funktionen

-

:=

(8.3b)

U(z)

(8.3c)

V(z) :=

.

f- (f (C). dC) = f- (u dx ---

-j(f(C). dn) =

v dy),

f (v dx + u dy).

Es ist wegen (8.3 b) und (8.3 c)

= grad U, = grad V. Wegen dieser Beziehung und ihrer Bedeutung für die Feldtheorie heißt die durch (8.3 b) erklärte Funktion U das Potential des quellen- und wirbelfreien Feldes /, V heißt konjugiertes und F = U + i V komplexes Potential 1 zu f. Aus (8.4a) und (8.4b) ersieht man, daß die Kurvenseharen U = const und V = const zueinander orthogonal sind, und daß folglich der Feldvektor f in jedem Punkte tangential zur Kurve V= const liegt; aus diesem Grunde heißen die Linien V = const Feldlinien und die Linien U = const Potentiallinien. Übrigens drückt (8.4a) gerade die Wirbelfreiheit und (8.4b) wegen (8.1) die Quellenfreiheit von / aus. F emer folgt (8.4a)

/

(8.4b)

if

(8.5) U:,;=U, Uy=-v; Vz=V, Vy=u; die sich hiermit ergebenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen [vgl. § 3, (3.3)] für U und V sind lediglich Ausdruck der aus 1 In vielen Anwendungen werden statt dieser Funktionen ihre negativen als Potentiale bezeichnet.

A. Funktionentheorie

26

(8.3 a) wegen F' = f unmittelbar ersichtlichen Holomorphie von F; da-• gegen ergeben die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für u und v, durch die sich die Holomorphie von f ausdrückt, zusammen mit (8.5) die fundamentalen Relationen

+

(8.6) U„x Uyy = O, die reellen Potentiale U und V sind also harmonische Funktionen, d. h. Lösungen der Laplaceschen Differentialgleichung L1 W = 01 . Für den Fall, daß das Gebiet G, in dem das wirbel- und quellenfreie Feld/ vorliegt, mehrfach zusammenhängend ist, kann F eine unendlichvieldeutige Funktion sein. Beispielsweise ist das Gebiet des CoulombFeldes / (z) := _z_ die bei O und oo gelochte Ebene, die wie ein Kreisring

z

lz1 2

1

zweifach zusammenhängend ist; es ist/ (z) = tzi2 =-;: und F(z) = lnz wirklich unendlich vieldeutig. Die Vieldeutigkeit ist jedoch lediglich additiv: beim Umlauf um eine geschlossene Kurve y von G nimmt F um die Periode f dz zu.

J

1'

Nach (8.3a, b, c) gilt für die Periode

f fdz= j(f(z),dz)-if(f(z),dn). )'

1'

;·

Der Realteil heißt Zirkulation, während der Imaginärteil den Fließ des Feldes / längs der Kurve y darstellt. Umschließt J' nur eine isolierte Singularität von/, so heißt diese ein Wirbel, wenn die Periode reell ist, sie heißt Ladung oderQuelle (bei negativem Wert des Flusses: Senke) des Feldes/, wenn die Periode rein imaginär ist. Da für die Periode nur Pole erster Ordnung verantwortlich sind, verkörpern sie Wirbel und Quellen in reiner Form, während man Pole höherer Ordnung durch Zusammenrücken einfacher Pole entstanden denkt, und daher als mehrfache etc. Quellen etc. des Feldes anspricht. Liegt der wichtige Sonderfall vor, daß das Feld f "/?,onservativ ist2, also ein eindeutiges Potential U besitzt, so sind die Perioden rein imaginär; das ist auch in unserem Beispiel der Fall, denn F(z) = lnz 1 Hierbei wurde nur benutzt, daß F' holomorph ist; da aber mit einer holomorphen Funktion auch stets ihre Ableitung holomorph ist, ist damit gezeigt, daß Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion stets harmonische Funktionen sind. Es sei außerdem auf § 3 und die dort angeführten Bemerkungen über harmonische Funktionen verwiesen: für eine holomorphe Funktion / sind auch In 1 / 1 und arc/ außerhalb der Nullstellen von/ harmonische Funktionen (letztere i. allg. mehrdeutig), und für harmonische Funktionen gilt das im § 3, Satz 7c ausgesprochene Extremalprinzip. 2 Die Wirbelfreiheit ist nur bei einfachem Zusammenhang für die Konservativität- hinreichend, j"edoch stets. notwendig.

1., § 8. Potentialtheorie

27

hat die Periode ~

• 1

-dz

=

2ni

1

. z bei Integration in positivem Sinne um die Singularität z = o. Die Kurvenseharen U = const und V= const werden jedenfalls von dieser additiven Mehrdeutigkeit nicht beeinflußt: sie überdecken auch ein mehrfach zusammenhängendes Gebiet stets einfach; lediglich in den - notwendig isolierten - Nullstellen des Feldes f laufen viele Kurven jeder der beiden Scharen zusammen; außerhalb solcher Kreuzungspunkte bilden beide Scharen ein Netz infinitesimaler quadrate.

8.2 Harmonische und holomorphe Funktionen Oft ist es aus methodischen Gründen zweckmäßig oder aus physikalischen Gründen angemessen, ein quellen- und wirbelfreies Vektorfeld nicht direkt, sondern zuaächst sein Potential zu untersuchen. Es treten auch Probleme auf, die eine harmonische Funktion betreffen, ohne daß deren Gradient eine unmittelbare physikalische Bedeutung hat. Beide Fälle fallen nun unter obige Überlegungen, da es stets möglich ist, zu einer harmonischen Funktion U ihre - bis auf eine additive Konstante bestimmte und bei mehrfach zusammenhängendem Gebiet möglicherweise additiv mehrdeutige - konjugiert-harmonische Funktion Vdurch Kurvenintegration zu ermitteln; aus (8.4a, b) folgt als Verträglichkeitsbedingung zwischen koniugiert-harmonischen Funktionen:

V=

-

f (i gradU, dz) =·

=

-

f (-Uydx+ U.,,dy);

ist U harmonisch, so ist dies Integral (im Kleinen) tatsächlich wegunabhängig, was nötig ist, damit V überhaupt dadurch erklärt werden kann; V ist wieder harmonisch und F = U i V holomorph. Die Theorie der zweidimensionalen Potentialgleichung läßt sich also in die Funktionentheorie einordnen. Das gilt auch für die Bipotential-

+

gleichung1 (8.7) LL1

O, ffieß>O).

Mit (1.17) und (1.20) lassen sich zahlreiche verwandte Integrale auswerten. Vgl. Abschn. A. a Vgl. Abschn. C.

1

§ t. Die Gammafunktion

89

Ebenfalls mit Hilfe von Satz 1.16 läßt sich einfach das Ga1tßsc/ze Multiplikationstkeorem gewinnen (n = 2, 3, ... ) : (1.21)

n•-~ (2n)

r(: )r( z ! 1 ) · .. r( z + :- 1 ) = I'(z).

2

Für n = 2 entsteht die viel verwendete Formel von LEGENDRE:

+-21 ) = •I'(2z).

22•- l ( -_-I'(z) I' z

(1.22)

~·,i

1.4 Binet-Integrale. Stirlingsche Reihe Ähnlich wie eben beweist man mit Hilfe von Satz 1.14

f

00

(1.23)

y,' (z)

= ::

=

logI'(z)

2

e-zt

(ffiez > o),

t(1 - e-t)-1 dt

a

die Darstellung von tp' (z) durch ein Laplace-Integral. Hieraus erhält man durch Integration 00

(1.24)

,p(z) - log.r

=

-

Je-" [t1

1 -

(ffiez > 0).

(1 - e-1)- 1] dt

0

f

00

Denn wegen (1.23)

und

e-= 1 dt

=-¾,-

(ffiez

>

0)

besitzen beide

0

Seiten die gleiche Ableitung, also konstante Differenz. Diese ist O, da die rechte Seite von (1.24) als Laplace-Integral für z ->-+ oo gegen O strebt, die linke Seite wegen (1.11) nach Definition von C ebenso. Durch leichte Umformung entsteht aus (1.24) 00

tp(z)

(1.25)

= logz + Je-" 1 [(1

- et)- 1

+ t-1 -

1] dt

0

oder 00

(1.26)

V'(z)

= logz - ½z-1 + J e-:1 [(1

- et)-1

+ t-

1 -

½] dt,

0

beides für ffiez > O. Hier kann man erneut integrieren. Dann entsteht (1.27)

logI'(z)

= (z -

½) logz - z + ½log2:ii

00

+ Je-zt

t-1

[(et - 1)-1

-

+ t-1 + l] dt

(ffiez > 0).

0

Dazu beachtet man, daß logI'(z) - (z - ½) logz + z und das LaplaceIntegral wegen (1.26) gleiche Ableitung, also konstante Differenz d besitzen. Da das Laplace-Integral für z -+ oo gegen O strebt, folgt

+

logI'(z) - (z - ½) logz

+ z-+ d

(z

-++ oo).

B. Spezielle Funktionen

90

Das aber ermöglicht mit Hilfe von (1.22) die Bestimmung d = ½log2n. Durch Anwendung des Cauchyschen Hauptsatzes der Funktionentheorie kann (1.27) - und analog (1.23), (1.24), (1.25), {1.26) - verallgemeinert werden. Dabei wird der Integrationsweg gedreht: es werden

Strahlen argt

= ~ ( - ; < ~ < ~) gewählt. Dann dreht sich die

Gültigkeitshalbebene bezüglich z in entgegengesetzter Richtung. Der Cauchysche Integralsatz dient dann in naheliegender Weise dem Nachweis, daß man die analytische Fortsetzung der dargestellten Funktion erhält: (1.28)

logI'(z)

f

+ e-ztt- [(e 1

1

!)logz -

= (z -

-1)- 1 -t-1

z+

: log2n +

+ ~]dt (-;o).

0

In (1.27) oder allgemeiner in (1.28) kann nun die t-Potenzreihe von t-1 [(e1 -1)- 1 - t - 1 +½J um t=O zur Gewinnung einer asymptotischen Reihe der Laplace-Transformierten für z --+ oo dienen. 1 Man geht aus von der Definition der Bemoullischen Zahlen

t(et - 1)-1 =

(1.29)

t" I B,.-, n. 00

(JtJ
0, ffieß > 0 mit {1.20) und dem Ergänzungssatz

ß

_ 4,i:2 enH111: + /ll

/({)(,, ß) =

I'(1 - ix)I'(1 -{J)I'(ix-t-,{J) '

Damit ist für beliebige .x, ß bewiesen: (l+, 0+, 1-, 0-)

(1.36)

.

f

-4:ri:2e111 (x) J,,(x)

und durch Umkehrung des Gleichungssystems

H!l) (x) =

sinin v {e-hn ], (x} -

J_,, (x)} •

=

si;~v {ei•n ],(x) -

f-,(x)}.

(3-49)

H!Zl (x)

Hiermit ist zugleich die analytische Fortsetzung der Funktionen für alle Werte von argx gegeben. So liefern z.B. (3.49), (3.48) zusammen

B. Spezielle Funktionen

112

mit (3.33) die Halbumlaufsrelationen

(3.50)

H(lJ (x em•zi) • .

=

H(2l(xe"'"i) •

= e"''

-sin(~ - 1) 11 :n; H(l) (x) -e-'"'' si~m v::,; Ht2J (x)' s1n11:n; • s1nv:n; si~m11:n; H(ll(x) + sin(~+ t)vn H(2l(x), s1nv::,; • s1n11:n; • m=0,±1,±2, ....

Es ist zweckmäßig, neben den Bessel- und Hankel-Funktionen noch die Neumannsche Funktion

· Y, (x) =

(3.51)

2\

(Ht1J (x) - Ht2J (x))

einzuführen: Sie ist für reelle v und arg x = O reell und bildet zusammen mit J,(x) für alle v ein Fundamentalsystem von Lösungen von (3.27). Unsere Formeln ergeben unmittelbar:

m>(x) = J,(x) + i Y.(x), 1

(3-52)

Hl2l (x)

= ],. (x)

- i Y, (x),

1

Y,(x) =-.-{cosv ,-,; J,(x) - J_,(x)}. s1n 11 n

(3.53)

Diese letzte Formel gestattet die Potenzreihendarstellung um O, auch für ganze v = n. Man berechnet mit

n = O, 1, 2, ... ,

logy = C

die Darstellung

(3,54) Yn{X) =l:_fn(x) logL!..

n

.

2

1 ( x )n 00

- n

(-i)k (;

r(

2 ,..~ k!(n+k)!

_ ~ (.::..)-n"jf (n :n;

2 .

k-o

k - 1)! kt

k

~1

1

k+n 1 )

m + ,l1 m -

(.::..)s\ 2 .

Wir notieren abschließend noch die zu (3. 35) verwandten Sommerfeldsehen Integraldarstellungen E+n-ioo

(3.5 5)

m1)

(x) = :

J

ei:rsinrp-i•,p

d(x) die Potenzreihe von (t2 - 1) •- ! nach Potenzen von T = (t - 1) eine asymptotische Reihe bezüglich x -► /X); anafog für 2>(x). Man erhält so

Ht

(3-57)

Hl,ll (x)

~ (-2-)½ ei(.1·-•i--f) E •(v, _n) nx

,,_ 0 (-2zx)"

(d>O, -n+d:;;;:argx:S:2:ii-b, X-+oo),

(3.58)

HC 1l(x)

•

•

~ (-n.-r2-)\-+·-•i-f),._i

0

~ (2i x)"

(d>O, -2n+d:;;;:argx, >

(3-99) und mit (3.96) schließlich

c: r-i 1

(k _ i)!

(3.100) abgeschätzt werden.

3.10 Additionstheorem In Abschn. 3.1 wurde im wesentlichen mit (3.4) die Darstellung einer ebenen Welle als Überlagerung von Zylinderwellen zur Definition der Funktionen],, (x) benutzt. In ähnlicher Weise kann nun z.B. auch eine Zylinderwelle als Überlagerung von Zylinderwellen zu einer anderen, parallelen Achse dargestellt werden. Dazu betrachtet man in der (x1 , x2)- bzw. (x~. x 2)-Ebene zwei verschiedene Systeme von Polarkoordinaten, (R, O.

= ni1> (R) ei•,p,

U2

= Hi2>(R) ei•,p

als Funktionen von (r, tp) auffassen. Als solche genügen sie (Orthogonalinvarianz von L1) wieder der auf r, tp umgeschriebenen Schwingungsgleichung L1 u u = O, also

+

r(r Ur)r

+ r2 u = -un.

Beide Funktionen haben nun für r > uk (r, 'I'

+ 2n) == ehr

i,

e die

uk (r, tp}

Umlaufseigenschaft

(k

=

1, 2).

B. Spezielle Funktionen

120

Daher kann man in eine modifizierte Fourier-Reihe entwickeln (k

= 1, 2).

n--oo

Hier müssen nun nach der Methode zur Gewinnung von Integralrelationen, Satz 2.79, die Koeffizienten fl~> (r) Zylinderfunktionen von r zum Index v + n sein. Welche dies sind, erkennt man durch Vergleich des asymptotischen Verhaltens für r -+ oo, R -+ oo. Auf diese Weise folgt schließlich (r > e) +oo

3.(R)

(3.103)

ei•q,

= I

3,+,,(r)

J-,.(e) ei'v+"''I',

I I = - 00

wo gemäß (3-71) .8 eine Linearkombination von H' 11 , H 1-2J mit vom Index unabhängigen Koeffizienten sein darf, z. B. also auch J oder Y. Dies „Additionstheorem" und die auf das Prinzip der Orthogonalinvarianz und die Methode der Integralrelationen gestützte Herleitung sind typisch für zahlreiche Relationen für spezielle Funktionen der mathematischen Physik.

3.11 Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen }'altungsrelationen Die Methode der Integralrelationen von Abschn. 2.3 dient auch recht einfach dazu, die Laplace-Transformierte von Bessel-Funktionen bzw. verwandten Funktionen zu bestimmen. Man hat nur die Rolle der beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen gegenüber den Überlegungen von Abschn. 3.1 oder Abschn. 3.2 zu vertauschen.' So wird mit u(e, o offenbar 00

I

e-•e J.(e)

: de= Y1 ei•q, + Y2 e-ivtp

0

und

e±i,p

= -i s ± i

Vs + 1. 2

Beachtet man, daß mit dem Hauptwert von (s 2 [(s

2

+ 1)½ -

+ 1)½ nur

s]•

bei )Re v > 0 für ~e.s -+ oo gegen 0 strebt, und bestimmt man die Konstante mittels des Anfangsgliedes der Potenzreihe· für J„ und der asymptotischen Reihe der Transformierten1 , so wird 00

(3,104)

Je-• J,(t); dt =; [(s + 1)½- s]•, t

0 1

Vgl. A bschn. C.

2

8lev>

o,, ffies> o.

§ 3- Zylinderfunktionen

121

Durch Anwendung des Faltungssatzes entsteht daraus

(3.1 o5)

V + µ TV J•. (t) * T/f, Jµ (t) = t- J• + µ (t)

:(fficv>0, Bkµ>0).

Durch Differentiation gibt (3.104) natürlich

J . J. N

(J.106)

e-st

(t)

dt

=

[

(s

2

+ 1 - s] (s + 1)½ )}

2

0

•

'

(ffics> 0, fficv>...:....1).

Die andere, in Abschn. ~-2 notierte Möglichkeit zur Gewinnung elementarer Integralrelationen für Zylinderfunktionen liefert in ganz ähnlicher Weise

J ro

(J.107)

e-• t (t" ],. (t)) dt--:-

o

·

··

2 ''

r ~+ ½) (s2 + 1)-•-½,

·

· · · ffies>

o,

?Rev>-½-

Die entsprechende Faltungsrelation ist (J.108)

3.12 Die Nullstellen der Bessel-Funktionen Jn(x) Die Bessel-Funktionen J n (x) (n = 0, 1 , 2, ... ) hal:/en nur reelle ~ullstf'llen, und zwar abzählbar viele. Abgesehen von 0 für n =f= 0 sind dies sämtlich einfache Nullstellen. Mit x ist natürlich auch - ix Nullstelle eines J,,(x). Die folgende Tabelle gibt die ersten positiven Nullstellen j,,, ,. (v = 1, 2, 3, ... ), 0 < fn. 1 < f,1.2 < fn. 3 < • · ', von J,.(x) für die ersten Werte von n 0

=

0, 1, 2, ....

2

4

1

2,404826

3,831 706

5. 135 622

6,380162

2

5,520078

7,015 587

8,417244

9;761023 11,064709 12,338604

3

8,653728 10,173468 11,619841

13,015201

7,588342

8,771484

14,372537 15,700174

4

11,791534 13,323692 14,795 952 16,223466 17,615 966 18,980134

5

14,930918 16,470630 17,959819 19,409415 20,826933 22,217 800

B. Spezielle Funktionen

122

Für große v nähern sich die

f,.,.

wegen (3.60) den Nullstellen von

(x - n!!..2 -!!..) 4 '

cos nämlich den Werten

(3,109) man hat

:n;

k,., •

:n;

= n 'T - 4 + 'II ;r;

('11

=

1, 2,

3, ...);

(3.110)

Stets ist (3.111)

in,1 >

J,.(x) und fn+m(x) (m stellen.

=

n.

1, 2, 3, ... ) haben keine gemeinsamen Null-

3.13 Reiben nach Bessel-Funktionen J,+n(x) (Neumannsche Reiben) Für die Theorie der höheren speziellen Funktionen sind oftmals Reihenentwicklungen nach Bessel-Funktionen von Interesse, die eine weitgehende Analogie zu Potenzreihen bzw. allgemeiner zu LaurentReihen zeigen. Sei zunächst 'II nicht ganz. Dann hat das Eigenwertproblem aus der Besselschen Differentialgleichung mit dem Parameter A

(3.112)

x(x y')'

+ (x

2 -

J) y

=

0

und der Halbumlaufsbedingung (3.113)

genau die (verschiedenen) Eigenwerte

(3,114)

J

=

('11

+ 2n)

(n

2

= O,

±1, ±2, ... )

und, bis auf konstanten Faktor bestimmt, die Eigenlösungen

Y = ]H2n(x).

(3,115)

Für die „adjungierte" Bedingung (3.116)

y(x e"i)

=

e-ni• y(x) $ o

hat man die gleichen Eigenwerte (3 .114) und die, bis auf konstanten Faktor bestimmten, Eigenlösungen (3.111)

y

= l-,-2,.(x).

Aus dieser Betrachtungsweise entnimmt man in üblicher Weise leicht Biorthogonalitätsrelationen für Eigenlösung und adjungierte Eigenlösung zu verschiedenen Eigenwerten. Indem wir sogleich die Nor-

§ 3- Zylinderfunktionen

123

mierungswerte mit notieren, die man bequem aus den Potenzreihenanfangsgliedern bestimmt, entsteht so (Integrationsweg um o) (3.118)

1 . ~

_

,

1

,·

-2 ni. ·· J,,+,,(x)J-,-111(x)-dx=~'"" x

sinn (v

(

+)n)

:ir1•+n

für beliebige ganze n, m mit

(n = m}, (n 4 tn).

~,. ... = {~

Dabei wurden die Formeln für v und v + 1 zusammengefaßt und noch beachtet, daß der Integrand eine gerade Funktion ist, wenn n gerade und m ungerade, oder umgekehrt, ist. Es gilt nun auch ein entsprechender Entwicklungssatz. Jede Funktion f (x) , die in einem Kreisring 0


, H12> bedeuten. Formeln für Zylinderfunktionen lassen sich auf diese modifizierten Zylinderfunktionen in naheliegender Weise umschreiben.

wo

.SW'

§ 4. Die hypergeometrische Funktion 4.1 Die Riemannsche Differentialgleichung Die gewöhnlichen Differentialgleichungen der speziellen Funktionen der mathematischen Physik lassen sich in vieler Hinsicht bequem und naturgemäß von der Theorie ihrer Singularitäten her behandeln. Ihre singulären Stellen sind entweder singuläre Stellen der Bestimmtheit (,,reguläre" Singularitäten) oder lassen sich aus solchen durch „zusammenrücken" erzeugen. Eine besondere Rolle - vor allem für die einfacheren speziellen Funktionen - spielen dabei Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit genau drei singulären Stellen der Bestimmtheit. Bekanntlich ist z = z1 singuläre Stelle der Bestimmtheit oder eine reguläre Stelle einer gewöhnlichen linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung, wenn diese die Form (4.1)

(z - z1) 2 y" (z)

+ (z -

z1) / 1(z) y' (z)

mit um z = z1 holomorphen Funktionen / 1 (z), Gleichung (4.2)

E(E -1)

+ /2(z) y (z) = O f2 (z)

hat. Die algebraische

+ E/1(z1) + /2(z1) = O

soll als Indexgleichung zur Stelle z1 bezeichnet werden, ihre Wurzeln °'f als die Indizes der Stelle z 1 •

°'I,

§ 4. Die hypergeometrische Funktion

127

Ist O bzw. Omx < O zu einem x in (-1, 1) fortzusetzen ist. Natürlich können diese Funktionen wieder als analytische Funktionen von x betrachtet werden. Offenbar wird µ

(5.104)

P:(x)

=

I'(t

1_µ) (: ~:)2 F(-v, v + 1; 1 -

µ;

1-;-X)

und (µ ganz).

Damit ist für µ = m = O, 1 , 2, ... ; ,, = n = m, m + 1 , m + 2, ... die Übereinstimmung mit den entsprechenden Funktionen von Abschn. 5.4 und 5.6 zu sehen. Mit Hilfe von (S.93) und (5.78), (5.102) beweist man in Analogie zu (5.103) (5.106)

5.10 Wronskische Determinanten Sind y 1 , y2 zwei Lösungen von (5.1). so ist ihre Wronskische Determinante (5.107)

mit einer Konstanten c. Man hat in y 1 , y 2 ein Fundamentalsystem genau dann, wenn c ::I= 0 ist.

B. Spezielle Funktionen

152

Speziell bestimmt man z. B. leicht mit x

~

~

oo

cosvn

= x2 _

W[O~, üi'.,-1]

(5.108)

-+ 1

oder äquivalent hierzu n cosv n

w [0~, o= 1J = -,---,----,---, sin(v + µ) n 1 - x 2 •

(5.109)

µV -

Mit Hilfe der Zusammenhangsrelationen folgt dann daraus (5.110} (5,111)

(5.112) W[P-

(5.113)

V

µ pµJ = 2_ '

t'

W[Pµ Qµ] •' •

(5.114)

j(,

=

sinnµ ]

_

;r2 ,

+ + 1) + 1)

I'(v µ I'(v - µ

1 - x2

•

5.11 Rekursionsformeln Rekursionsformeln für Kugelfunktionen kann man mit Abschn. 5.1 aus den Rekursionsformeln von Abschn. 4.7 für hypergeometrische Funktionen gewinnen. Ein anderer Weg knüpft an die Methode von Abschn. 3.7 an. Man rechnet die Ableitungen nach kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten um,

(5.115}

du äx3

= 'Y/ !..:!_ + ~r (1 är

au- -_e ±.up -au- ± i. ÖX1

ax 2

-

'Y/

2) !!_!!._

au

ÖTJ '

au)±

[( 1 -'Yj 2 )iz ( - - -71- -

är

r 871

± i. - - -1 - , , -au- ] r(1 -TJ2)t Ö

O, 1arg

xi s In -

6).

Der Faktor bei Abbrechen mit dem Gliede m = N ist O(lx1-mea-N- 1 ) für x - oo im angegebenen Winkelbereich. Mit 'P (a, c; x) sind nach den Abschn. 6.1 und 6.2 nun auch die Funktionen e"' 'P(c - a, c; x e-"i) und x1 -c 'P (a - c + 1, 2 - c; x) Lösungen der gleichen Kummerschen Differentialgleichung (6.6). Nun gilt einerseits

+oC))

(largxls ;-6),

(6.27)

'P(a,c;x)=x-a(1

(6.28)

e"' 'P(c - a, c; x e-"i) = e"' xa-c el' i(c-a) ( 1 + 0, (; ))

daraus ist deutlich, daß 'P(a, c; x), e"' 'P(c - a, c; x e-"'i)

für alle a, c ein Fundamentalsystem von Lösungen der Kummerschen Differentialgleichung (6.6) bilden. Andererseits hat man aber auch (6.29)

x1 ~ 0 'P(a - c + 1, 2 - c; x)

= 1

Vgl. Abschn. C.

x-a ( 1

+0 (;

))

163

§ 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen

daraus folgt mit der vorangehenden Bemerkung sofort xi-c

Durch

'P(a - c + 1, c; x) =''P(a, c; x).

Deformation

des

Doppelumlaufintegrals

gelingt

es,

rem" für Lösungen der „F-Gleichung" aufgefaßt werden kann. Mit t = z(-r - 1) wird daraus 00

F(-r: z, IX)=

(7.52)

~n

I F(z, IX+ n) (-r: n-0

1)"~, n.

eine Quelle mancher „Multiplikationstheoreme". Ist in (7.51) speziell F (z + t, ix) eine elementare Funktion, so hat man eine „erzeugende Funktion" des Funktionssystems F(z, IX+ n) gewonnen. Ein Beispiel für ein Multiplikationstheorern gemäß (7.52) ist die Entwicklung (7.53)

. B~(i.x)

oo

X"

= ""•~0 nrB•+n(X)

( 1 -

Ä2

-2-

)n

'

die stets für 11 - .?. 2 1 < 1 und speziell für .8 = J ohne Einschränkung gilt. Setzt man (7.51) für die Kugelfunktionen (7.12) an, so wird man zweckmäßig z

----=X, (z 2 1)1"

+

t(z2

+ 1)-i-+ t

B. Spezielle Funktionen

174

substituieren. Damit hat man (7.54)

Für l\'. = µ und St= ~ ist das die erzeugende Relation (5.161) der Gegenbauerschen Polynome bzw. für IX=µ= 0 die der Legendreschen Polynome (5.11). Man kann jedoch auch mit (7.55)

+ t )-½ log (i -

(1 - 2x t

zx t + t 2 )! + x - t

2

(1-x 2 )½

EQn(x) tn

=

11~0

eine erzeugende Funktion der Q,. (x) erhalten. Anwendung von (7.51) auf (7.26) gibt 1

- -

e

(7.56) Speziell für schreiben:

l\'.

4

(z -t) 2

J

D°'(z-t)=e

4

t"

00

~D,.+ 11 (z)-,. n.

n=O

= o kann man auf die Polynome von ext-½t'

(7.57)

- ;:_

=

HERMITE

um-

00 tn ~He,.(x)-,.

n-0

n.

Für die Laguerre-Polynome wendet man (7.51) auf (7.25) an. Mit IX=

O,

1

Z=7,

entsteht dann xt

(7.58)

(1 - t)-a-l e-H

00

=

~ L~a) (x)

t"

11-0

(itl
-1 , ffie«x > 0);

denn beide Seiten sind Lösungen der „F-Gleichung", weil rechts unter dem Integral nach z differenziert werden kann, beide sind um z = 0 holomorph und haben gleiche Werte für z = 0. (7.61) kann in der Form

)f

"'

(7.62)

00

e-~z8 L~xl(z)= I'(c/+ 1

..

e-vy08 ] .. (2(zy)i)dy

D

(ffie v > -1 , 9tetx > 0) geschrieben werden. In ähnlicher Weise kann man (7.20) und (7.28) verbinden und

(7.63)

F(a, b; c; z)

=

I'~b)

f

e-Y

yi,-1 t/J(a, c; z y) dy

0

erhalten, was man auch durch gliedweise Integration bestätjgt.

§ 8. Orthogonale Polynome 8.1 Allgemeines Es sei im folgenden

-oo::;;:a( ) (v +½),. n X

(211),. ( =--:;r-F -n,n+2ii;

Konstanten: 1

11

Vn

(2v),. (n+i,)n!

n -

-'-----'---,--'-''-

k -

~+ 21 ; -1 -2 - X) • +

I'(v ½) I'(i,) '

2"(i,),. n! '

,.-

k:.=o. Rekursionsformel: (n + 1) C!+1(x) = 2(n Differentialgleichung:

+ ii) x c:,(x) -

(n

+ 2ii -1) C~_1 (x).

+ 1) x y' + n(n + 2v) y =

(1 - x2) y" - (2,i

O.

Rodrigues-Formel: (2 i,),. 2" n!. (i, ½),.

c•(x) =(-t)" n

(1-x2)-•+t..!::_[(1-x2)n+•-t].

+

dx"

Erzeugende Funktion: (1 - 2x z

+z

00

=

2)-•

~

(lzl
me,,(t; h2 )

dt = (-1)• c;. (h2) M~J) (x; h)

0

(i = 1, 2, 3, 4; s = o, ±1, ±2, ... ; ffiex> o).

s

c;.

Dabei können diese 4 Formeln für ein mit {h2) =I= o als Definition dienen und für die übrigen s dann als· Folgerungen aufgefaßt werden. Diese hiermit gewonnenen 4 modifizierten Mathieuschen Funktionen

§ 9. Mathleusche Funktionen

199

sind als Lösungen von (9.92) gekennzeichnet durch ihr asymptotisches Verhalten für ffiex--+ + oo bei lijmxl :5: const.: (9.96) und (9.97)

M~l(x; h) = 8ti>(2hCosx) (1

+ O((Cosx)-

(i = 3, 4)

1 ))

Mi3' (x; h) = M;1>(x; h) + i Mt2>(x; h), Mt4>(x; h) = M~1> (x; h) - i Mt2> (xi

h)

entsprechend (3.52). In (9.96) ist dabei (9.98) arg(2h Cosx) ,..., argh + 3mx zu beachten. Als weitere Eigenschaften erhält man (9.99)

Mii> (x; h eirn) M~i) (x; i h)

(9.100)

(ffiex

--+

= M~J} (x + i r n; h) =

MV> ( x

+ i ; ; h)

+ oo) (r ganz), (P nicht ganz),

letzteres wegen Ä.v (- h2) = Ä.v (h2) . Auf Grund von Ä.,(h2 ) = Ä._ (h2 ) (v nicht ganz) folgt ferner 7

(9.101)

M~i(x; h)

M'41

-• (x·'

= ei•n M~31 (x; h)

h) =

e-i•n

.

Ml41 (x·, h)

(P nicht ganz).

Wie bei den Zylinderfunktionen i3(i) lassen sich daher mit (9.97) und (9.101) für nicht ganzes 'JI alle M~/>(x; h) durch M~1>(x; h), MZ, to4-t, e--+-e . +oo

(9.124)

Mti> (z; h) me,,(t; h2)

s--oo

mit c

(9.125)

= I d,.8V1.(k R) ei(,.+slrp

Cos(z ± i t) = R e±irp

+ e e±iw,

9tez± 3mt> O, h = ½kc, 2h Cosz = k R k e cos(

(9.127)

1Rle.3'm.,,

maxle ei"' ± cj, >maxjee-iw±cj.

9.8 Reihen nach Zylinderfunktionen. Asymptotische Reihen Aus (9.124) bis (9:127) kann eine Vielzahl von Reihenentwicklungen de~ Funktionen M~>(z; h) nach entsprechenden Zylinderfunktionen ,8(:'1, mit verschiedenen Argumenten entnommen werden, wenn man

t= 1 bzw. \Sinz\ > 1 bei ffiez > o. Für i = 1 und ganzes v hat man sogar für alle z Konvergenz. Die Reihen (9.128) sind von besonderer Bedeutung deshalb, weil im wesentlichen die gleichen Entwicklungskoeffizienten wie bei den FourierReihen der Funktionen me, (t; h1 ) auftreten. In allen diesen Reihen nach Zylinderfunktionen für j = 3 , 4, auch denen, die noch den Parameter a enthalten, ist es erlaubt, die asymptotischen Reihen der Hankelfunktionen einzusetzen und die Summationen zu vertauschen: es entstehen asymptotische Reihen für die M~3 • 4) (z; h) bei ffiez ---+ + oo. Da für diese asymptotischen Reihen wieder gliedweise Differentiation erlaubt ist, folgen mit Hilfe der Differentialgleichung lineare Rekursionsformeln für die Koeffizienten. Hierzu sei auf die Spezialliteratur verwiesen.

9.9 Reihen nach Produkten von Bessel- und Zylinderfunktionen (9.124) bis (9.127) sind Quelle einer weiteren wichtigen Gruppe von Reihenentwicklungen Mathieuscher Funktionen. (9.125) und (9.127) können nämlich durch

k-R=h~,

cp=t,

k(!=he-s,

für

- oo

< t < oo,

1e"I

,p=-t

> 1e-zj + 2

erfüllt werden. Durch Vergleich der Fourier-Reihen bezüglich t erhält man so (r = O, ±1, ±2, ... ): +00

(9.129)

c;,(h2) Mii> (z; h)

•

= E (-1) 1 c;,(h2) li-r(h e-z) BVl, . . ,(h e=) • l--00

Man erkennt, daß diese Reihen sogar für alle z konvergent und gültig sind. Besonders gut ist die Konvergenz für i = 1 und ganzes v.

B. Spezielle Funktionen

204

9.10 Die Funktionen fem(x; h 2), gem(x; h 2 ) Ist der charakteristische Exponent v nicht ganz, so bilden die zugehörigen Floquetschen Lösungen me" und me_ ,. ein Fundamentalsystem von (9.1), aus dem sich die geraden und ungeraden Lösungen ce,, und se,, mit (9.68), (9.69) einfach gewinnen lassen. Es ist, nun vielfach von Interesse, auch zu Ä = «m(h2 ) bzw. A = b111 (h2 ) ,.Mathieusche Funktionen zweiter Art" zu bilden, die im Gegensatz zu ce,,, (x; h2 ) bzw. se,,, (x; h 2 } ungerade bzw. gerade sind. Diese sind dann, wie wir feststellten, für h2 =I= O sicher nicht periodisch. Die Theorie der Differentialgleichungen zeigt, daß sie in der Form (II)

fe,,,(x; h2 ) = C 111 (h2 ) [xcem(x; h 2 )

+ fm(x;

(III), (IV)

ge,,,(x; h2 ) = S,,,(h 2 ) [xse 111 (x; h2 )

+ gm(x; h

(I),

(9.130}

geschrieben werden können, wo für n

(9,131)

j

=

h2 )], 2 )]

0, 1 , 2, ...

/2,,(x; h 2)

n-periodisch, ungerade,

.f2n+1(x; h2 )

,r;-halbperiodisch, ungerade,

g2 n+l (x; h2 )

n-halbperiodisch, gerade n-periodisch, gerade

L g2n+2(x; h2 )

sind, also der Reihe nach die Bedingungen (IV), (III), (II), (I) erfüllen. Während die Faktoren C111 (h 2 ), S,,, (h2 } weitgehend frei bleiben und von einer zweckmäßigen Normierung nur verlangt wird, daß sie in Umgebung der reellen h 2 -Achse holomorph sind und Cm(h2) =j=

1

o,

Sm(h 2 ) =1= 0 C2n(h2 ),

C2n+d-h2 )

= =

S2 n+2 (-: h2 )

=

S2 n+2 (h2)

C2n(-h2 )

(h2

+ o),

S2n+1(h2 ),

sowie

(9.133)

fek(x; 0)

= sinkx,

fCQ(x;0)

=X

gek(x; 0) = coskx

(k = 1, 2, 3, .. .),

erfüllen, sind die Funktionen /,,, (x; h2 ), gm (x; h2 ) durch cem (x; h 2 ) und sem (x; h2 ) eindeutig bestimmt. Sie lassen sich entsprechend (9.131) sowohl in Fourier-Reihen als auch in Reihen nach Mathieuschen Funktionen ce, se entwickeln. Für die Fourier-Koeffizienten ergeben sich Rekursionsformeln, die eine Verknüpfung mit den Fourier-Koeffizienten von cem, se,,, geben. Hierzu sei auf die Spezialliteratur verwiesen.

§ 9. Mathieusche Funktionen

205

9.11 lUodifizierte lUathieusehe :Funktionen Aus jeder Lösung der Mathieuschen Differentialgleichung (9.1) kann eine Lösung der modifizierten Mathieuschen Differentialgleichung (9.92) erhalten werden, wenn man x durch i x (oder - i x) ersetzt. Man definiert so neben den modifizierten Mathieuschen Funktionen Af bzw. M c, Ms)~> Funktionen .. '

die

(9.134)

(11

Me, (x; h2) = me, (-i x; h2),

nicht ganz)

o,

(9,135)

Ce,,, (x; h2) = ce,,.(±i x; h2)

(m =

(9.136)

Sem(x; h2) ==f=i se,,,(±i x; h2 )

(m = 1, 2,

(9.137)

Fe,,, (x; h2 )

(9.138)

Gem(x; h = ge,,,(±i x; h

=:::;= i fe,,, (± i x;

2)

h2 )

1, 2, ... ) ,

3, ...),

(m=0,1,2, ... ),

(m=1,2,3, ... ).

2)

Viele Formeln für diese modifizierten Mathieuschen Funktionen entstehen demgemäß einfach durch Umschreiben entsprechender Formeln für Mathieusche Funktionen.

9.12 Verknüpfungsrelationen Die modifizierten Mathieuschen Funktionen von Abschn. 9.6 sind durch ihr asymptotisches Verhalten gekennzeichnet, während die modifizierten Mathieuschen Funktionen von Abschn. 9.11 als Floquetsche Lösungen bzw. als in O gerade oder ungerade Lösungen charakterisiert sind. In jedem Falle hat man von jedem Typ ein Fundamentalsystem von Lösungen. Diese müssen sich ineinander linear umrechnen lassen. Wir notieren diese „Verknüpfungsrelationen" getrennt für nichtganzes und ganzes 11. v nicht ganz: (9.102) zeigt sofort die Proportionalität (9 .139)

M' 1>(x· k) = M~1>(o; h)2 Me (x· k 2). "

'

me,(O; h

)

•

'

Dabei kann mit (9.129) +oo

(9,140) und

(9.141)

c;,(k2) M~1>(0; k)

= I

(-1)1 cMk2 ) ]z_,(h) ].+i+r(h)

Z--00 +oo

me,(O; h2)

= I c; 1 (h2) + 0 Z--oo

bequem berechnet werden. Entsprechende Formeln gelten für damit ist ein Fundamentalsystem transformiert. v ganz: Mit (9.102) ergibt sich einerseits (l) ( • k) MCm X,

=

(ll( k) MSm x;

.. (O; h) = Ms se~(O; h")

(9.142)

Mc~'(o; h) C ( . h2) ce.,(O; h2) em X, ' (l)'

S

em

( . k2) X,

'

-11

statt v;

B. Spezielle Funktionen

206

andererseits wird

h) M (2l( . h) - Mcm {o; Ce (x· h2) c,,.

(~1-0)

M

(2)

Sm

X,

-

(x· h}

=

'

Cem(O; h2) m ' ~ Ms., (O; h) Se (x· h2) se:,,(o; h) m '

( >'(0· h) + Mfe;,(o; c., ' h2) 2

Fe (x; h2), m

~

+ Ms .. {O; h) Ge ge.. (O; h 2)

(x· h2). m

'

Dazu entnimmt man die Werte Mc\,l;l(o; h) und Ms\!l' (0; h) aus einer geeigneten Formel (9.128) für i = 1. Damit sind über (9.107) auch Mc\~l'(o; h} und Ms\~>(o; h) gegeben. Es bleibt nur die Bestimmung von Mc~>(o;h) und Ms~>'(o;h) mittels (9.129). Wegen der Einzelheiten sei auf die Spezialliteratur verwiesen.

9.13 Integralrelationen, Integralgleichungen Schon in (9,95) und wesentlich allgemeiner in (9.120) haben wir eine große Zahl von Integralrelationen zwischen Funktionen me, (- t; h2 ) und M~j>(z; h) notiert. Sie wurden nach der Methode von Abschn. 2.3 gewonnen. Die Kerne, Lösungen der zweidimensionalen Schwingungsgleichung in den elliptischen Koordinaten z, t, wurden entweder durch Produkte von Zylinder- und Exponentialfunktionen oder durch Produkte von Mathieuschen Funktionen gebildet. Wir können jetzt die Bemerkung anschließen, daß für i = 1 mit der Substitution z--+ i z mit (9.139), (9.134) bzw. (9.142), (9.135), (9.136) alle diese Formeln zu Integralgleichungen für die Funktionen me, bzw. cem, Sem werden. So, wie die eben genannten Integralrelationen bzw. Integralgleichungen aus Zylinderwellen bzw. elliptischen Zylinderwellen als Kerne entspringen, können auch analog andere Wellentypen zur Gewinnung entsprechender Relationen benutzt werden. Im folgenden notieren wir allein einige Integralrelationen und Integralgleichungen, die sich mit Hilfe der ebenen Welle (9.144)

d. h. also (9.145)

in elliptischen Koordinaten z, t -

mit dem Kern

h=½kc, Cosz cost cos~ + Sinz sint sin~

U=e2ihw,

w

=

ergeben. In voller Allgemeinheit würde man hier Relationen mit unendlichen Integrationswegen der komplexen t-Ebene erhalten, die die Sommerfeldsehen Integraldarstellungen der Zylinderfunktionen verallgemeinern. Wir beschränken uns auf die Angabe der Formeln für ganzes v und M~1>, wo sich der Integrationsweg auf 0::;;: t::;;; 2,r; reduziert.

§ 9- Mathieusche Funktionen

207

Diese Formeln lassen sich zusammenfassen in der Entwicklung der ebenen Welle .

(9.146)

e2 i hw

00

= 2 :E i•n cem (IX; h2) Mc,\!l (z; h) cem (t; h2) + ,n,.,,,Q

+2

00

1 l (z,· h) sem "'im sem (IX· (t· h,2), , h2 ) Ms(m

~

m-1

die für normales h mit den normierten F~nktionen ce111 , se,.. gilt. Hieraus ergeben sich nun zunächst Integralrelationen, indem man (9.146) als Reihe nach den ce111 (t; h2 ). sem(t; h2 ) auffaßt und die Koeffizientenformeln aufschreibt. Weitere Formeln ergeben sich, wenn man zuvor nach .:x differenziert. Alle diese Formeln schließlich werden be2

sonders einfach für

t\

=

0 oder a

= !!... . Sie werden mit 2

(9.142), (9.135)

(9.136) und z-+ i z zu Integralgleichungen. Wegen der Einzelheiten sei auf die Spezialliteratur verwiesen.

9.14: Asymptotische Formeln für große h 2 Der Verlauf der reellen Kurven A = Av (h2 ) für reelles

v und große reelle h2 kann durch asymptotische Reihen beschrieben werden. Aus Symmetriegründen (h2 -+ - h2 ) genügt h2 > O. Man erhält für

(9.147) zunächst (9.148)

h-+00, am(h2 ) b,,,+i(h2)

}

q....:.2m+1

=-2h2

(m=0,1,2, ... )

2 + 1) + 2qh _..!..(q 8

-

1 -(q3

128h

+ H) -

+ 34q2 + 9) 1 1,,a (.'33 q5 + 410q3 + 405 q) - 2 ~ h' (63q + 1260q4 + 2943q + 486) - 225\5 (527q7 + 15617q5 + 69001q3 + + 41607q) + O(hDieselbe Reihe, mit gleichem q = 2m + 1, gilt dann zugleich für sämt-

409~h• (5 q4

-

217

2

1

6).

liche Äv (h2) mit Hiermit verbunden sind entsprechende asymptotische Reihen für die

Funktionen ganzer Ordnung: (9.149)

cem(x(; ~2h\')} sem+l X,

=

C (Yo

+ 41h

Y1

+

1:hz

Y2

+ O(h-3))

B. Spezielle Funktionen

208 mit

Yo

=

Dm(l;), 1

m (m -

1

Y1 =-16D,,,+4(l;) -4Dm+2(l;) -

+

m(m - 1) (m - 2) (m - 3) D

16

1 Y2 = 512 D,.,+s(l;)

+

('")

Dm-2 ',

+

('")

m-4 1 und y 1 (x) , y2 (x) durch

(Y1(xo) Y2(Xo))=(1 0) :Y~ (xo) :Y~ (xo) 0 1 definiert, so existiert genau dann eine Lösung (iO.i 2)

(10.13) y(xe"') == e"i•y(x) $ 0, wenn e"iv Eigenwert der Matrix (10.14)

(

· Y1 (Xo e" i) - y~ (xo e" i)

ist, also

(10.15) ist. Mit v sind genau alle Zahlen {k ganz) v+2k, -v-1+2k charakteristische Exponenten. Der Umlauf x-+ x e"i läßt sich auch an Hand des Fundamentalsystems (10.5) bzw. (10.7) verfolgen. Man erhält damit Darstellungen

§ 10. Sphäroidfunktionen

211

von sinn v, was (10.15) in jedem Falle als ganze Funktion von A, y2, /t2 erkennen läßt, durch y 1 und Yn: µ nicht ganz: Es gilt mit (10.5), (10.6) (10.16)

sinn v

= (yi(O) yii(o) + Yi (0) y 11 (0)) sinnµ.

µ = rn = O, 1, 2, ••. : Mit (10.7), (10.8), ... gilt

(10.17)

sin:n: v = (-1) 111 +1 2:n: A.,,,y 1(0) yi(0).

Für y 2 = 0 ist ein Wert von v nach § 5. durch

+ 1)

(10.18) Ä. = v(v gegeben; es wird entsprechend (10.19)

(y 2

sin:n: v = -cos:n; v.f+¼

= o) (y2

=

0).

10.3 Die Funktionen ;.:(r 2 ), Qs:(x; y 2) [v $ ½(modl)] Im folgenden wird fast durchweg {10.20) v =l= k + ½ (k ganz) vorausgesetzt. In diesem Falle haben v und -v - 1 keine geradzahlige Differenz, es sind mithin e";,, und e-ni(I'+ lJ verschieden; daher existieren zwei linear unabhängige Lösungen mit dem einfachen Umlaufsverhalten (10.13) zu v und zu -v - 1 statt v. In diesem Falle hat ferner (10.19) genau die einfachen Wurzeln Ä.=(v+2n) (v+2n+1) (nganz). Daher nun kann (10.15) bzw. (10.16) oder (10.17) für ein v mit (10.20) um y 2 = O, .Ä. = v(ir + 1) 2 durch eine y -Potenzreihe (10.21) aufgelöst werden; man hat hiernach

{10.22)

Ä.~{o) = v(v + 1), Ä.;µ(y2) = Ä.~ .. -i(y2) = Ä~(y2).

Das Potenzreihenfunktionselement A~ (y 2) kann in der komplexen y 2-Ebene beliebig analytisch fortgesetzt werden. Man stößt dabei allein auf algebraische Verzweigungsstellen mit endlichen Funktionswerten als mögliche Singularitäten. Durch geeignete Verzweigungsschnitte wird il~ (y 2) in der ganzen y 2-Ebene eindeutig definiert. Zu gegebenem µ 2 und v($ ½(mod1}) werden die Werte y 2 als Ausnahmewerte bezeichnet, zu denen (10.15) eine mehrfache Wurzel A besitzt. Umgekehrt heißt y 2 normaler Wert zu µ 2 und v, wenn (10.15) bzw. (10.16) oder (10.17) nur einfache Wurzeln A hat; das bedeutet auch: die .Ä.~ +an (y 2 ) (n = 0, ± 1, ± 2, ... ) sind sämtlich verschieden. 14*

B. Spezielle Funktionen

212

Für jedes µ 2 und v ( $ l (mod 1)) haben die Ausnahmewerte y-z keinen endlichen Häufungspunkt. Als Lösung von (10.1) mit der Eigenschaft (10.23) . y (x e" i) == e-" i(H 1> y (x) $ o zu den Parametern ;.. = ;..~ (r2) , r2, µ2 wird (10.24) y (x) = Qs~ (x; y2 ) definiert. Diese Funktion ist hierdurch zunächst bis auf einen konstanten Faktor festgelegt. Eine sinnvolle Normierung dieses Faktors wird vor allem analytische Abhängigkeit von x( =I= ± 1), µ 2 , v, y 2 (=!= Ausnahmewert) fordern, ferner

Qs-~ (x; y2 ) = Qs~ (x; y2), Qs~(x; 0) = ~(x),

(10.25)

(10.26) und analog zu Abschn. 5-14 ( 10.27)

1 2:iti

f'h Q~s,,µ ( X,, y 2)

Q-

'j7

µ

(

•

s-,-1 X,

i'

2) d _ X -

COS:it V 1 •

2v

+

In (10.27) bedeutet O den Umlauf um oo bzw. den positiven Umlauf um die Strecke [-1, +1]. Die Sphäroidfunktion Qs~(x; y 2 ) kann um oo in eine Laurent-Reihe oder in eine Reihe nach Kugelfunktionen entwickelt werden. Einmal kann man ~ -+oc (10.28) Qs~ (x; y 2) = (x2 - 1) 2 x-Hµ-i I 2k x 21•

„

1.·--oc

ß:.

mit Konvergenz mindestens für \x\ > 1 entwickeln. Durch Einsetzen in die Differentialgleichung (10.1), die mit

,..

{10.29) zu {10.30)

y(x) {1 - x2 ) u" (x)

=

(x2

-

1)- 2 u(x)

+ 2 (µ - 1) x u' (x) + + [).. - µ(µ - 1) + y

2 (1 - x2 )] u(x) = O wird, entsteht für die Koeffizienten mit der Abkürzung (10.31) )..* = ;.. y2 die Rekursionsformel (10.32) (v - µ - 2k) (v - µ - 2k - 1) ß~.sk+B ()..* - (v - 2k) (v - 2k 1}) ß~,ak - y2ß:,u--2 = 0 (k = o, ±1, ±2, ...). Wegen der Konvergenz für 1 < \x\ < 00 gilt

+

+

+

t

limsup f\ßC,ul

(10.33)

=

0,

Y\ß~.ul::;;:

1.

k->-+00

-1:

lim sup k--00

+

§ 10. Sphäroidfunktionen

213

Vmgekehrt geben (10.32), (10.33) mit (10.28) eine Lösung von (10.1) mit (10.23), falls ß~. u $ 0. (10.32) kann auf die in Abschn. ~-9 betrachtete Form linearer Differenzengleichungen zweiter Ordnung transformiert werden, wobei D1c 1 = 0 (k- 1 ) (k--+ ± oo) wird. Daher kann die dort skizzierte Theorie für k--+ oo und für k--+ - oo angewandt werden. Danach bedeutet (10.33) gerade, daß die Lösung ß1~. 2 sowohl für k--+ \-- oo als auch für k--+ - oo vom Typ II ist: ' 2 v ist charakteristischer Exponent zu µ , y 2 o,). genau dann, wenn (10.32) eine nicht-triviale Lösung besitzt, die sowohl für k--+ oo als auch für k -+ - oo Minimallösung ist. Damit ist eine Möglichkeit gegeben, den Zusammenhang zwischen v, ,, 2 , y 2 , ). numerisch zu beherrschen, u. a. durch Aufstellung von Kettenbruchgleichungen oder durch äquivalente Methoden (vgl. Abschn. 3-9). Hiermit kann einerseits v zu ). , y 2 , µ 2 berechnet werden. Diese Methode läßt sich analog zum Vorgehen in Abschn. 9-3 auch zu einem zugkräftigen direkten Verfahren zur Bestimmung von sin:ll v ausbauen. Andererseits läßt sich ). zu v, y 2 , µ 2 berechnen. Speziell können die ersten Potenzreihenkoeffizienten für Ä~ (y 2) (v $ ½(mod 1)) erhalten werden:

+

„

+

+ .!_ [ (11 -

(

(2µ-1)(2µ+1)] 2 + 1)-.!..[ 2 1 + (211 - 1) (2v + 3) Y +

µ - 1) (11 - µ) (11 + µ - 1) (v + µ) _ (2v -

2 _

2 _

iµ

/•• (y) - Y Y

(10.34)

+

3) (211 -

1) 3 (211 + 1)

+

(11 - µ + 1) (v - µ + 2) (v µ + 1) (11 (2v 1) (2v + 3) 8 (211 + 5)

+

[

2

(v - µ -

1) (v - µ) (v

+µ

+µ

+ 2)] 14 _

1

+ µ)

- 1) (v

- (4 µ - 1 ) (211-5) (211- 3) (211- 1)6 (211 + 1) (2v + 3)

+

-

+ [ 2 (4µ -

+ -

+

(v - µ 1) (11 - /t + 2) (11 + µ + 1) (v µ + 2)] (211....:. 1) (211 + 1) (211 3)5 (211 + 5) (211 + 7) 2

- 1)

+

2{

+

+

(v - µ - 1) (11 - µ) (11 µ - 1) (11 + µ) _ (2v-5)2(211-3)(211-1)7(211+1)(211+3) 2

+

(11 - µ + 1) (11 - µ + 2) (11 + µ + 1) (11 + µ + 2)} (21' - 1) 2 (211 1) (21' + 3) 7(211 5) (211 --J: 7) 2 1 { (v- µ-3)(11-µ-2)(v-µ-1) (11 -µ) (v+ µ-3)(11+ µ-2)(v+ µ- t)(v+ µ) ~ (211- 7) (211 - 5) 2 (211-3) 3 (2v-1) 1 (2v+ 1)

+

+

(11-µ+ 1)(v -µ+ 2)(11- µ+ 3)(11-µ +4)(11 + µ+ 1) (11 + µ + 2) (11+ µ+ 3)(11+ µ+4)} (211 1) (211 + 3)' (211 5)3 (211 + 7) 1 (21' 9) 1 { (11 - µ + 1) 2 (11 - µ 2) 2 (v + µ + 1) 2 (11 + µ + 2) 2 _

+

+8

+

+

+

+

(2v + 1) 2 (2v + 3)7 (211 + 5) 2

(1I _ µ _ 1)2 (11 _ µ)2 (11 + µ - 1) 2 (11 + µ) 2 } (211 - 3) 2 (211 - 1)7 (211 1)2

+

X

6

Y

_

+ .!.. X 2

(11 -µ-1)(11-µ)(v -µ + 1)(v- µ+2)(11+ µ-1)(11+ µ)(v + µ + 1 )(v+ µ+ 2)] (211 - 3) (211 - 1)1 (211 + 1) 1 (211 3)' (2v 5)

+

+

ys +

•. , .

B. Spezielle Funktionen

214

Nach Abschn. 5.14 kann man nun auch (10.35)

r--oo

entwickeln, und zwar für x außerhalb der Strecke [ -1, 1]. Setzt man dies in die Differentialgleichung ein, so erhält man durch Benutzung der Rekursionsformel der D;,+n (x} (n = 0, ± 1, ± 2, ... ) für die Koeffizienten die dreigliedrige Rekursion 2 ,.. ( 2) 1 + (10·36) Y °'•, 2 r+Z Y (2'11 + 4r + 5) (2'11 + 4r + 3)

2f

('11+2r)('ll+2r+1)+µ2-1

+oc~,2,(Y) A-('P+ 2 r)('P+ 2 r+ 1)+ 2 (2v+4r-1)(2P+4r+3)y

+Y

2

,..

(

2)

°'•, 2r- 2 Y

2] +

('11+2r-µ-1)('11+2r+µ-1)('11+2r-µ)(P+2r+µ) _ 0 (2'11+4r- 3)(2'11+4r-1) '

Auch sie läßt sich in die Form von Abschn. 3.9 bringen; es wird dabei = 0 (k- 2) (k - ± oo). Die Konvergenzbedingung für (10.35) bedeutet wieder, daß c:x~. 2 , (y 2 ) bei y 2 =l= 0 sowohl für k - + oo als auch für k-l--oo als Lösung von (10.36) vom Typ II ist: 'P ist charakteristischer Exponent zu µ 2 , y 2 =1= 0, A genau dann, wenn (10.36) eine nicht-triviale Lösung besitzt, die sowohl für k - + oo als auch für k - - oo Minimallösung ist. Damit ist eine weitere Möglichkeit zur numerischen Beherrschung des Zusammenhangs zwischen v, µ 2 , y 2 , A durch Kettenbruchgleichungen und äquivalente Methoden gegeben. Zugleich liefern diese Methoden die ~;,, 2 , (y 2 ) bis auf einen gemeinsamen Faktor, also die Berechnung der Qs~ (x; y 2 ) mit (10.35). Dies ist insbesondere für kleine y 2 von Interesse. (10.36) läßt sofort die Symmetrieµ - -µ erkennen; entsprechend (10.25) ist (10,37) oc;,'i,(y2) = °'~2,(r2). D,;1

Andererseits rechnet man leicht nach, daß neben c:x;,, zr (y2 ) auch I'('ll+µ+2r+1) I'(µ-'11) µ 2 I'('II µ 1) I'(µ _ ' I I _ 2r) °'-•-1, -11,(r)

+ +

der Rekursion (10.36) genügt und für k - ± oo Minimallösung ist. Man kann also zusätzlich zu (10.25) bzw. (10,37) und (10.26), (10.27} (10.38)

c:xf, 2r (y 2)

_

I'(P + µ + 2r + 1) I'(µ - '11) -

c:x~,-1, -11 r (y 2)

I'(µ - 'II - 2r) I'(v + µ + 1)

annehmen. Das bedeutet in jedem Falle, auch bei ganzem 'P ± µ, eine proportionale Kopplung der Faktoren bei Qs;,(x; y 2), Qs~,- 1 (x; yz), von denen mit (10.27) nur das Produkt festgelegt war. (10.38) gestattet so zusammen mit den bisherigen Forderungen die eindeutige Definition von Qs;,(x; y 2 ) und Qs~,- 1 (x; y 2 ) zu 1 = l~(y2 ), µ 2 , y 2 , solange Ä ein-

§ 10. Sphäroidfunktionen

215

fache Wurzel von (10.15) bzw. (10.39) ,Ä~(y2) =I= Ä~+2r(r 2) (r ganz, =j= O) bleibt. Für die Funktionen Qs'.'. + 2 ,. (x; y 2 ) (n ganz) als Lösungen des Eigenwertproblems (10.1), (10.23) gelten Biorthogonalitätsrelation,m und ein Entwicklungssatz. Sei v $ !(mod 1) und y 2 normaler U:7ert zu v, µ 2 • Dann gilt (10 39) _ 1_ .

2ni

rh Q~S.+lln µ ( • 2) X, 'Y

'j-7

Q~

µ

(

•

S_~-2m-1 X,

2) d

Y

_ 1'

X -

nm 2(11

cosn v + 2n) + 1.

Jede in einem konfokalen Ellipsenring mit den Brennpunkten - 1 , holomorphe Funktion f (x), die die Halbumlaufseigenschaft . (10.40) f (x e"'i) = e-ni(.+ll f(x)

+1

hat, läßt sich dort eindeutig +oo

(10.41)

f(x)

=I

Cn

~ Qs~+2n(x; y 2)

entwickeln. Die Reihe ist in kompakten Teilmengen gleichmäßig konvergent. Die Koeffizienten sind (10.42)

_

Cn -

1

-2 - .

ni

cp f (x) Qs_v-2,,-1(X, + + y) dx --'--'--~-. cmnv µ

•

2(11

2

2n)

1

10.4 Der Fall v == µ (mod 1) µ nicht ganz: Aus (10.16) ist. mit (10.6) ablesbar, daß für gerades v - µ entweder y~ (0) = 0 oder Yu (0) = 0 und für ungerades v - µ entweder y 1 (0) = 0 oder y~ 1 (0) = 0 gilt, und umgekehrt. So zerfallen die Parameterpaare A, y 2 mit v == µ (mod 1) zu gegebenem µ in vier Klassen mit den zugehörigen transzendenten Gleichungen

= 0, (II) Y1,do_; J., r = o, (III) y 1 (0, J., y) = 0, (IV) yi(o; J., y2 ) = o. (I)

1

(to. 43 )

Y11(0; Ä, y 2)

2) 2

Dies sind genau die charakteristischen Gleichungen dafür, daß die Sphäroiddifferentialgleichung Lösungen der Typen y (z) ($ 0) ist gerade und gehört bei x

y (z) ($ 0)

y (z) ($ 0)

hat.

± 1 zum Index -

± 1 zum Index ist gerade und gehört bei x = ± 1 zum Index ; ist ungerade und gehört bei x = ± 1 zum Index ;

y (z) ( $ o) ist ungerade und gehört bei x (10.44)

= =

;

~

B. Spezielle Funktionen

216

l

Man erkennt weiter, daß (10.43) jeweils von den Funktionen (1) Ä. = Ä.~ (y2 ) (P = µ - 1, µ - 3, µ - 5, · · .) , 2 (II) Ä=Äf(y ) (v=µ-2,µ-4,µ-6, ... ), ('10.45 ) 2 (III) Ä = Äny) (v = µ, µ + 2, µ + 4 .... ) . 2 (IV) Ä = Ät(y ) (v = µ + 1, µ + 3, µ + 5, .... ) aufgelöst wird. Man hat für (10.28), (10.32)

(JI) f (I)

(10.46)

}

ß"'v,21,

= 0

(2k


0)

(5.6)

F(w)

-1,0

-0,5

0

0,5

=

1,0 t

2CI: ro2

+

Cl:2 •

-2

-1

0

2 w

Abb. 5.6

f (t) = e-"'t u (t)

(5.7)

- e"' 1 u (-t) mit 1R IX> O (Abb. 5.7 mit F(w)

IX> O)

-2iw

= ro 2+ Cl:2.

a-1

-1,0

-0,5

0

0,5

1,0 t

-1

Abb. 5-7

(5.8)

f (t) = e-"'t"

mit

IX> O (Abb. 5.8)

-1

0

2

CtJ

II., § 6. Abtasttheoreme

247

a-f -z'-1 ~ 0 Zi

-2

-7

0

Zw

Abb. 5.8 ~

p

~

Speziell für ~ = ½ gilt e- 2 ~ V2n e- 2 , d. h. e-,: ist Eigenfunktion der '[5--Transformation zum Eigenwert l'2i. Diese Eigenschaft der Gaußschen Glockenkurve spielt in der Theorie der i-Transformation vielfach eine Rolle. Durch Variieren des Parameters T in (5.1) bis (S.3) und ,x in (5.8) sieht man: Einern Signal von kurzer Dauer (Zeitfunktion nur in einem kleinen Intervall merklich =l= 0) entspricht ein breites Frequenzband (Spektraldichte in einem großen Intervall merklich =l= o) und umgekehrt: langer Dauer entspricht schmales Frequenzband. Allgemein gilt Satz 5.1. Wenn f (t) ;;;:: 0 für O < t S:,. T, = 0 für t < O und t > T ist, so ist JF(w)J ~ F(o)/fi, mindestens in dem Intervall Jwl < n/2T. [!F(w)J erreicht sein Maximum F(O) in w = O.]

§ 6. Zeitfunktionen und Spektraldichten, die außerhalb eines

Intervalls verschwinden. Abtasttheoreme Wenn die Zeitfunktion f (t) für ti > T gleich O ist, d. h. wenn es sich um ein Signal von endlicher Dauer handelt, so ist die Spektraldichte F(w) eine „endliche" ij-Transformierte: J

+T

(6.1)

F(w)

= (

e-i«Jt

f(t) dt.

-•T

In diesem Fall existiert das Integral für alle reellen und komplexen w und stellt eine ganze analytische Funktion vom Exponentialtypus dar: JF(w)I

Q, so liegt der vollständige V erlauf von f (t) bereits durch die im Abstand T = n/Q abgetasteten Stichproben f. (n T) (n = O, ± 1 , ± 2, ... ) fest und läßt sich durch die Kardinalreihe (6.5)

•f (t) =

1} f (n T) n--oo

sinü(t - n T) D(t -.n T)

darstellen. Dies gilt unter der Voraussetzung F(w) E L2(-D, Q) 2 • Damit 1 PALEY-WIENER, 8 F(w) kann also 0,-112.

S. 12-13.

z.B. in eo= o wie o,- 1 18 unendlich werden, aber nicht wie

249

II., § 7, Die Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation

ist völlig gleichbedeu-tend, daß f (t) eine auch fiir komplexe t definierte, ganze analytische Funktion vom Exponentialtypus und f (t) E V (- oo, oo) auf der reellen Achse ist. f (t) und F (w) sind durch die Gleichungen verbunden: +U

(6.6)

=

f(t)

2

1n

f eiwt

J~ e-iwtj{t) dt. +"

F(w) = 1. i. m ..

F(w) dw,

l\'-i-00

-u

.

F (w) läßt sich in (-.Q, .Q) auch durch füe Fourier-Reihe (6.7) darstellen, die i. allg. nur im quadratic;;chen Mittel konvergiert.

§ 7. Die Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation Die Abbildungsgesetze der lJ-Transformation (ihre grammatikalischen Regeln im Sinne von I, § 1), die in den Anwendungen dauernd gebraucht werden, sind hier als „Regel I, II usw." zusammengestellt und werden in der Folge unter diesem Namen zitiert. Maßstabsänderung 1 w) , f (a t) · -e Taf F(a

Regel 1.

F(aw)

1.-a 1a 1

f(.!...) • a

a reell und =l= 0

Zeitliche Translation

.f (t

Regel II.

- a)

-e

e-iaw F (w)

a beliebig reell .

1.vlodulation einer Trägerschwingung durch eine Zeitfunktion

Regel III.

eiwot

f(t)

-e

F(w - w0 )

w0 beliebig reell.

Differentiation der Zeitfunktion

RegellVa. Wenn /(t) n-mal differenzierbar ist und /(t) E V, f'"l(t) E V, so ist f T > O ist, so handelt es sich um eine sog. ,,endliche" 2-Transformation: T

(2.2)

F(s)

=

Je-•t f(t) dt. 0

Dann existiert F (s) für alle komplexen s und ist daher eine ganze Funktion. Für die Praxis ist die umgekehrte Frage von Bedeutung: 1 F (s) kann über die Konvergenzhalbebene hinaus analytisch sein, auf der Konvergenzgeraden braucht nicht einmal eine singuläre Stelle zu liegen - im Gegensatz zur Potenzreihe, bei der auf dem Rand des Konvergenzkreises stets mindestens eine singuläre Stelle liegt.

300

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Wie kann man einer Bildfunktion ansehen, ob ihre Originalfunktion yon einer Stelle an verschwindet? Also wenn f (t) ein Signal darstellt: ob dieses von endlicher Dauer ist. Die Antwort lautet1: Satz 2.3. Notwendig und hinreichend dafür, daß die Originalfunktion f (t) einer 'i!,~Transformierten F (s) = F (x i y) für t > T > 0 (fast überall) i•erschwindet, sind die folgenden Bedingungen:

+

1. F (s) ist eine ganze Funktion.

2. 1F (x

+ i y) 1 ~ C + i Y)I < C

3. IF(-x

}

für

x 2: 0'

eTx

wo C eine Konstante ist. Periodische Originalfunktion

Satz 2.4. f (t) sei eine in O ~ t < T definierte Funktion und F (s) ihre durch (2.2) gegebene 2-Transformierte. f P (t) sei die durch periodische Wiederholung in O ~ t < oo entstehende periodische Funktion und 'i!,{fp(t)} = Fp(s). Dann ist (2.3)

Fp(s)

=

F(s) 1 _ e-T, •

Da F(s) eine ganze Funktion darstellt, ist F P (s) in die ganze Ebene fortsetzbar mit Ausnahme derjenigen auf der imaginären Achse liegenden Punktes= n

2;

i (n = 0, ±1, ±2, ... ), wo F(s) =!=O ist. In diesen

Punkten hat Fp(s) einfache Pole mit den Residuen ~ F(n

2;

i).

Natürlich kann man Formel (2.3) auch umgekehrt zur Berechnung von F (s) aus F P (s) benutzen.

§ 3. Die Umkehrung der Laplace-Transformation. Bestimmung der Originallunktion zu einer rationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung Daß zu einer Originalfunktion f (t) nur eine Bildfunktion F (s) gehört, ist selbstverständlich. Eine Bildfunktion kann aber aus unendlich vielen verschiedenen Originalfunktionen entstanden sein, weil das 'i!,-lntegral z.B. gegen Änderung von f (t) an endlich vielen Stellen unempfindlich ist. Die Gesamtheit der Originalfunktionen ist aber leicht zu überblicken. Satz 3.1. Zwei zu derselben Bildfunktion F (s) gehörige Originalfunktionen f 1 (t), '2(t) unterscheiden sich nur um eine Nullfunktion 2 • [4], S. 177, Siehe hierzu II, Satz 4,2 und Fußnote S. 250.

1 DoETSCH 1

III., § 3, Die Umkehrung der Laplace-Transformation

301

An Stetigkeitsstellen stimmen / 1 und f 2 überein. Das genügt in den in der Technik vorkommenden Fällen, um zu einer Bildfunktion die Originalfunktion im wesentlichen eindeutig zu bestimmen, da dort von den Funktionen i. allg. mindestens stückwei"e Stetigkeit verlangt wird. \\'ir werden daher immer nur eine Originalfunktion zu einer gegebenen Bildfunktion aufführen. Die Umkehrung der 2-Transformation, die mit 2-1 bezeichnet ·werden kann, läßt sich in den meisten Fällen durch eine Integralformel bewerkstelligen, die wegen des Zusammenhangs der -13-Transformation mit der ~}-Transformation (s. § 1) am der l1mkehrformel der letzteren (II, Satz 4-3) abgeleitet werden kann. Satz 3.2. ,tl {/ (t)} = F (s) kom•ergiere absolut für s = x 0 (reell) und damit für ~s~x 0 • An jeder Stelle t>O, o.'O f(t) lokal monoton oder allgemeiner von beschränkter Variation ist, gilt die „komplexe lJmkehrformel" (3.1)

+Y

f(t+o)+f(t-o)

Je F(x + i y) . F(s) !im - - . J et•

1im ~ } -,.00 2:,:

2

11 Y

dy

-Y

x+iY

=

1

ds.

)'-,.002:i:t

a·-iY

Ist f (t) rechts von O von beschränkter Variation, so ist x+ir

/(+o) =

(3.2) Für alle

2

t
0) in einer rechten Halbebene ffi s > x0 , gleichmäßig in I arc (s - xo) 1 < n/2, gilt, so ist f (t) = 0 in O < t < k. Die Voraussetzung bedeutet: Zu jedem e > 0 gibt es ein R > 0, so daß j F(s) ek•j < e für alles mit Is - x0 j >Rund j arc(s-x0 ) j < n/2. In den Anwendungen der B-Transformation erhält man meist zunächst eine Bildfunktion, zu der man dann die Originalfunktion zu bestimmen hat. Dabei bedient man sich aber nur selten der komplexen Umkehrformel, sondern vorzugsweise einer Tabelle, wie sie unter Tab. 2 zu finden ist, in der man die Bildfunktion aufsucht und die Originalfunktion abliest. Wenn die Bildfunktion sich nicht in der Tabelle findet, so kann man sie manchmal in Summanden zerlegen, die in der Tabelle vorhanden sind, oder sie auch durch andere Operationen auf Bildfunktionen mit bekannter Originalfunktion zurückführen. Das folgende Beispiel für diese Methode behandelt den Fall, der in den technischen Anwendungen am weitaus häufigsten auftritt.

Berechnung der Originalfunktion zu einer rationalen Bildfunktion Schon in den Anfangsgründen der Integralrechnung werden rationale Funktionen durch Partialbruchzerlegung integriert. Dasselbe Verfahren führt bei der Bestimmung der Originalfunktion zu einer rationalen Bildfunktion zum Ziel. Die Funktion

Q() s

=

P 1 (s) Pa(s) ,

kann nur dann eine B-Transformierte sein, wenn der Grad von P 1 kleiner als der von P 2 ist, weil Q (s) für s -+ oo gegen O streben muß (Satz 2.2). Ist diese Bedingung erfüllt, so werden zunächst die Nullstellen 1X1, 1X2, ••• von P 2 bestimmt. Wenn P 1 für gewisse der 1X ebenfalls verschwindet, so enthalten P 1 und P 2 gemeinsame Linearfaktoren, die gekürzt werden können. Wird nun P 2 in seine Linearfaktoren zerlegt, so können gewisse unter ihnen gleich sein. In diesem Fall rechnet man die betreffenden Nullstellen als mehrfach. a) Die Nullstellen 1X 1 , ••• , ix„ sind einfach, also verschieden. Dann treten bei der Zerlegung von Q (s) nur Partialbrüche mit den Nennern s - 1X, auf:

(3.4)

Q(s)

=

P1(s) P2(s)

=

i

_ ,

1

P 1(ix,,) _ 1 _ P2(ix,) s - ix,,

•

303

III., § 4. Die Abbildungsgesetze der Laplace-Transformation

3 gehört hierzu die Originalfunktion

Nach Tab. 2, Nr.

q (t)

(3.5)

=

i

p!

,_ 1

(ix,,) eixvt, P2(ix,)

b) Unter den Nullstellen kommen mehrfache vor. \Venn in P 2 (s) der Linearfaktor s - :"I'., in der Potenz k,, vorkommt, so entsprechen ihm in der Zerlegung von Q (s) Partialbrüche mit den Nennern (s - IX,), (s - IX,) 2, ••. , (s - rx,)ki. Die Anzahl der wirklich verschiedenen Linearfaktoren sei m. Dann ist

(3.6)

Q (s)

=

Die Koeffizienten

P1 (s) P 2 (s)

=

i (~ + •. •+

,_ 1

s -

lXv

d,k. (s _

ix,(•

) •

d,,. lassen sich so bestimmen: In P 2 (s)

= C (s -

1X 1

)k1 ••. (s -

O stetige Funktion. Für t -+ O braucht f 1 * f2 nicht gegen O zu streben, obwohl die obere Grenze des Integrals gegen die untere strebt. So ist z. B. für t > 0: t-1/2 * t-1/2 = n, strebt also auch für t-+ 0 gegen n. Satz 4.2. f 1 (t) sei für t > O differenzierbar, f~ sei eigentlich (bei t = 0 evtl. uneigentlich absolut) integrabel. An jeder Stelle t > 0, wo f2 nach rechts (links) stetig ist, ist f 1 * f2 = f(t) nach rechts (links) differenzierbar:. und zwar ist f' (t) = f~ • /2 '1 ( o) f2(t). Im Falle f i( + O) = O ist die Voraussetzung über die Stetigkeit von f2 überflüssig. Die Faltung ist kommutativ: / 1 * / 2 = f~ * f1 , und assoziativ: (f1 * /2 ) • fa = f1 * {/2 * f3 ). Man kann also die Faltungen von beliebig vielen Funktionen in beliebiger Reihenfolge ausführen.

+ +

Sauer/Szab6, Math. Hillsmittel I

20

306

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

/1 * /2 ~ F 1(s)

F2 (s). Dabei ist vorauszusetzen, daß die ,12-Integrale von / 1 und f2 existieren und daß mindestens eines absolut konvergiert. Das 2-Integral von f 1 * / 2 konvergiert dann automatisch1 • Regel VIII (Faltungssatz).

Produkt der Zeitfunktionen - komplexe Faltung der Bildfunktionen Regel IX. Für zwei reelle Zahlen x 1 , x2 sei e-xit f 1 (t) E V f E V 2 • Dann gilt 2 für alle s mit ffi s 2::: X1 X2:

2

+

e-x,t 2 (t)

und

x+ ico

2!i J F1( x0 analytisch, und ihre Ableitungen sind gegeben durch2 F(n)(s)

=

2{(-t)" T}.

Satz 5.2. Wenn F(s) = .t1{T} in einer Halbebene identisch O ist, so ist T die Nulldistribution (deren Träger eine Nullmenge ist). Beispiele Ö,

ö,., ölnJ sind temperierte Distributionen, aber auch (s. II, Satz 9-5) e-xot Ö(t) = d(t), e-xot ß,. (t) = e-xoh ß,. (t), e-xot

ß(n)

(t)

=I

•-0

(-1)"-• (

n) (-x )n-• .,, 0

ß(•)

(t)

1 Siehe z.B. DoBESCH-SULANKE, S. 31-34; mit einer anderen als im obigen Text verwendeten Definition der Distribution. a ZEMANIAN [2], S. 225.

III., § 6. Die Abbildungsgesetze von Distributionen

309

[s. Anh., GI. (12)] für jedes positive und negative x0 • Folglich existieren ihre .\:!-Transformierten in der ganzen s-Ebene. Es ist "Anh., Gl. (6), (8), (9)] (5.2)

(5-3) (5.4)

.B{ö} B{öi.}

=

=

(ö, e-• t ) = 1, (ö,., e-•t) = e-h•,

B{ö_(n}} = (ö(nJ, e-•t) = (-1)"( d~t~•'

t.o

-:-s".

In der klassischen 52-Transformation kommen nur die Potenzen mit negativen Exponenten als Bildfunktionen vor, während in der Distributionstheorie auch die Potenzen mit nichtnegativen ganzen Exponenten als Bildfunktionen auftreten. Im Gegensatz zu den .\:!-Transformierten von Funktionen lassen sich die .\:!-Transformierten von Distributionen auf einfache Weise funktionentheoretisch charakterisieren. Satz 5.3. Damit eine Funktion F(s) die 52-Trans/ormierte einer Distribution ist, ist notwendig und hinreichend, daß F(s) in einer Halbebene ffi s > x analytisch ist und dort durch eine Potenz sm majorisiert wird1 • Wie in § 3, S. 302 ausgeführt, ist eine rationale Funktion dann und nur dann die .\:!-Transformierte einer Funktion, wenn der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist. Ist in Pi(s)/P2 (s) der Grad m 1 von P 1 nicht kleiner als der Grad m2 von P 2 , so wird P 1 /P2 in der ganzen Ebene durch C sm,-m, majorisiert, ist daher die .\:!-Transformierte einer Distribution. In der Tat läßt sich dann P 1/P2 auf die Form bringen P 1 (s) Pa(s)

=

am sm

+ ••· + a s + a + R (s) , 1

0

wo m = m 1 - m2 und R (s) eine rationale Funktion ist, deren Zähler kleineren Grad als der Nenner hat. Zu P 1 /P 2 gehört als Original die Distribution am ö(m) a1 6' ao 6 (t),

+ •· · +

+

+ ,.

wo ,. (t) eine Funktion ist.

§ 6. Die Abbildungsgesetze der Laplace-Transformation von Distributionen Im folgenden wird immer vorausgesetzt, daß die Distribution T zu ~: gehört und daß B{T} = F(s) in einer Halbebene existiert. Die Analoga zu einigen Regeln von § 4 entfallen, da die bei ihnen vorkommenden Operationen für Distributionen sinnlos sind. 1 ScHWARTZ [3], S. 249. Der Beweis hinsichtlich der Notwendigkeit läßt sich allerdings nur auf Grund der Definition 5.1, s. ScHWARTZ [4], oder der Definition 5.3 durchführen.

310

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Regel II' (Translation der Distribution) -,;h T 0-4 e-hs F (s)

(h

>

0).

Regel IV' (Translation der Bildfunktion)

e-" 1 T

0-4

F(s + ~)

(~ komplex).

Regel V' (Derivierung der Distribution). Wenn entweder B{T} oder B{Dn T}· existiert, so ist1 Dn T 0-4 sn F (s).

Regel V' unterscheidet sich von der klassischen Regel V durch den Wegfall der Anfangswerte, die bei einer Distribution sinnlos wären. Trotzdem stimmt Regel V' in dem Fall, daß T eine Funktion f (t) ist, mit Regel V überein. Wie in § 5 S. 307 betont wurde, ist f (t) als Distribution aus ~~ fürt < O durch O zu definieren. Wenn / (t), f' (t), !" (t), ... für t > O im gewöhnlichen Sinn existieren und für t -+ + O Grenzwerte f(+o), f'(+o) .... besitzen, so haben sie in t = O Sprünge der Größe f(+o) - o, f'(+o) - O, ... , und nach Anh., Satz4 ist

(6.1)

Dn f

= f(nl

+ f(+o) l5(n-1J

+ ... +

f O. Die für alle y =t= fö-Transformierte ist [s. II, (22.11), (22.12)]

F(i

)={½+_1__ 101y+ix1

Y

O

2aii

g y-ix

für für

ni

± ex

s-i/X.

existierende

IYloc.

Bemerkenswerterweise ist die Randfunktion in den Punkten y = ± ,x nicht einmal stetig. Die Tatsache lill_l F (s) = F (i y) liegt hier nicht ohne 8-+iy

weiteres auf der Hand, weil F (s) in ± i ,x logarithmisch verzweigt ist und es daher darauf ankommt, in welchem Blatt der Riemannschen Fläche s variiert. Da F (s) eine analytische Funktion ist, bei der Real- und Imaginärteil nicht unabhängig voneinander sind, sondern als konjugierte Potentialfunktionen sich gegenseitig bestimmen (s. A IV § 3), wird man erwarten, daß für die Randfunktion etwas Analoges gilt und sich dadurch die Hilbertschen Formeln erklären. Nun ist aber der Fragenkomplex „analytische Funktion und Randfunktion" i.allg. äußerst kompliziert. Schon in dem einfacheren Fall der im Einheitskreis, einem endlichen Gebiet, analytischen Funktionen kommt man nur dadurch zu brauchbaren Aussagen, daß man sich auf eine spezielle Klasse von analytischen Funktionen, in diesem Fall 00

Potenzreihen :1; Cn zn, beschränkt, die sich als Realisierung des Hilbertn=O

sehen Raumes auffassen läßt, nämlich Potenzreihen mit konvergenter 1 Wenn s 0 im Innern der Konvergenzhalbebene liegt, so gilt F(s) ➔ F(s 0 ) sogar, wenn saus einer beliebigen Richtung gegen s0 strebt, weil F (s) in s0 analytisch, also stetig ist. Der Satz ist daher nur relevant, wenn s0 auf der Konvergenzgeraden liegt. 2 Hiervon ist bei der Berechnung der ij-Transformierten II, (13.8) Gebrauch gemacht.

314

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

00

Z

!c !2 • Eine solche Reihe definiert eine in 11

lzl
0, sogar absolut.

Dies folgt aus derCauchy-Schwarzschen Ungleichung (FußnoteS. 283):

(!1 e- f (t) 1dtr = (le-,Tt If 1dtr ~ l e-Z>t dt ·[1 f (t) 12 dt. (t)

st

Mit f(t) E L2(0, oo) braucht '.\J 1 {f} nicht punktweise zu konvergieren, es konvergiert aber im quadratischen Mittel, d. h. die %-Transformation ist durch die Fourier-Plancherel-Transformation '.\5 2 zu ersetzen, deren Theorie in II, § 20 dargestellt ist. Da jetzt f (t) = O für t < O zu definieren ist, liegt die einseitige Transformation '.\Jf vor (s. II, § 21). Nach II, Satz 20.1 gilt:

SatzS.3. Mit f(t) EL2(0, oo) existiert ijr{/} und gehört zu L2. Die ,13-Transformierte von f (t) hat auf jeder Vertikalen der rechten Halbebene dieselbe Eigenschaft:

Satz8.4. Für F(s)

= 2{f(t)} mit

f(t)EL2(o, oo) gilt:

+ 00

m(x) =

J IF(x+iy)l

2

dy

- 00

konvergiert für x > 0, und es ist m (x) bzw. F abhängige Konstante).

< K für x >

O (K eine von f

1 Es sei daran erinnert, daß das Cauchysche Integral, mit einer beliebigen Funktion cp (C) gebildet, zwar immer eine in J z 1 < 1 analytische Funktion erzeugt, die aber i. allg. keineswegs für z -,. Cden Grenzwert cp (C), also diese Funktion cp (C) zur Randfunktion hat. 2 Zum folgenden s. PALEY-WIENER, S. 8; DoETSCH [l], S. 422-426; TrTCHMARSH, S. 125-129.

III., § 8. Die einseitige Fourier-Transformierte als Randfunktion

'H 5

Der folgende Satz beantwortet die Frage nach der Randfunktion von F(s).

Satz 8.5. _Die analytisclze Funktion F(s) = F(x + i y) = ~{/} mit f(t) E L2(0, oo) strebt für fast alle y gegen die Funktion ~f{f}, u•enn x gegen + O strebt. ijf {/} ist also die Randfunktion von F(s), wir bezeichnen sie kurz mit F (i y). In der Tat ist .

ijH/} =

1. i. m.

.. J

a:_..oo 0

e-iyt

f (t) dt,

also gleich dem 2-Integral von f für x = O, s = i y, wenn dieses nicht im Sinn der gewöhnlichen, sondern der Mittelkonvergenz . aufgefaßt wird. Übrigens strebt F (x + i y) nicht bloß punktweise, sondern auch im quadratischen Mittel gegen F (i y), d. h. + CO

lim .,-,.+o

J IF(x+iy)-F(iy)j

2

dy=O .

-eo

Die folgenden Formeln stellen die Funktion F (s) und ihre Komponenten im Innern der rechten Halbebene durch die Randfunktionen dar. Satz 8.6. Mit f (t) E L2 (0, oo) gilt für F(s) = B{/} und F(i y) = ß{{/} die Cauckyscke Integralformel 1 in der Halbebene ffi s = x > 0 .

(8.2)

2,i;i

J

+ioo

F(s) = -1-.

-f · +00

F(a) du = -1

F(i?) d . s-iy y

2,i;

S-0'

-ioo

-oo

Wir setzen F(s) =F(x+i y) =F1 (x, y) +i F 2 (x, y), Satz 8.7. Unter der Voraussetzung von Satz 8.6 gelten für x > 0 die Poissonschen Formeln, die die Komponenten von F (s) durch ihre Randwerte ausdrücken: + 00 p ( ) 1 X F1(11) d (8.3 ) 1 x,y =--;; xs+(y-1])2 'YJ,

J nJ - CO

+eo

(8.4)

Fz(X, y).

1

xF2 (1]) d x2 + (y-11)2 'YJ,

-oo

(8.5)

(8.6) -oo 1 Man beachte, daß der Integrationsweg die rechte Halbebene im negativen Sinn umläuft, daher s - a und nicht r, - s im Nenner. - Die Cauchysche Formel gilt keineswegs für jede in einer Halbebene analytische Funktion.

316

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Durch Kombination von (8.3) und (8.6) bzw. (8.5} und (8.4) läßt sich auch F (s) selbst durch die Randfunktionen je einer Komponente ausdrücken. Satz 8.8. Unter der Voraussetzung von Satz 8.6 gilt für ~ s (8 .7)

F(s)

=~ :ll

+oo

J

X+

~ 1 (7/)

i(y - 17)

d

'f}

=~ :ll

+oo

F(s)=i_J :ll

x

>

0:

J

Fi(~) d'YI, t 11 "I

S -

-oo

-00

(8.8}

=

+oo

+oo

~z( 17 )

+ i (y -

X

-oo

17)

d =i_J Fa(~) d'YI. 'f}

S -

:ll

i

11

.,

-oo

Aus Satz 8.5 folgt für die Komponenten von F (s): Satz 8.9. Wenn f (t) E L2 (0, oo), so gilt für fast alle y

(8.9)

lim Fi(x, y)

Z--->+0

=

Fi(y),

lim F2(x, y)

X-->+0

= F2(y).

Diese Aussage kann man auch unmittelbar aus den Formeln (8.3), (8.4) ableiten. 1 Für den Zusammenhang mit II, § 21 am wichtigsten ist nun die Tatsache, daß man unter der Voraussetzung 2 f(t) E L2(0, oo) in den Formeln (8.5), (8.6) den Grenzübergang x --++0 unter dem Integral ausführen kann, wenn man die entstehenden Integrale als Hauptwerte auffaßt. Dabei ergeben sich die Formeln II, (21.4}, (21.5} der HilbertTransformation. Damit ist aufgeklärt, daß diese nichts anderes als Grenzwerte der Poissonschen Formeln darstellen. Letztere können nicht für jede beliebige Funktion F (s) gelten, da die uneigentlichen Integrale (8.5), (8.6) konvergieren müssen. Hierfür ist die Voraussetzung F 1 (y), F 2 (y) E L 2 nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung offenbar hinreichend. Daher erklärt sich die Einschränkung f (t) E L2 (0, oo). aus der diese Bedingung folgt. Bisher sind wir davon ausgegangen, daß die imaginäre Achse den Rand der Konvergenzhalbebene von ß{t} = F (s) darstellt. Die Aussagen gelten aber natürlich erst recht, wenn sie im Innern der Konvergenzhalbebene liegt (Fall 1 von S. 312). Das trifft z. B. zu, wenn F (i y) den Frequenzgang eines Netzwerks darstellt (s. § 14). Man kann aber auch in diesem Fall nicht auf die Voraussetzung verzichten, daß F(i y) im Unendlichen quadratisch integrierbar sein soll (im Endlichen ist das in diesem Fall gesichert), damit die Integrale (8.2) bis (8.8) und II, (21.4), (21.5) konvergieren. 1 TITCHMARSH, s. 124, Zeile 4-6. Diese Voraussetzung ist übrigens äquivalent mit der in Satz 8.4 ausgedrückten Eigenschaft von F (s) = F (x i y), s. DOETSCH [l], S. 422. 2

+

III., § 8. Die einseitige Fourier-Transformierte als Randfunktion

117

In der technischen Literatur, soweit sie überhaupt versucht, Beweise für die obigen Formeln beizubringen, wird gewöhnlich in diesem Fall vorausgC'setzt 1 , daß F (s) in s = oo analytisch ist, also durch eine außerhalb eines Kreises konvergente Reihe nach absteigenden Potenzen von s dargestellt wird. Dabei wird nicht beachtet, daß dies für f (1) eine äußerst scharfe, für die Praxis unbrauchbare Einschränkung bedeutet; f (1) muß dann nämlich eine in der ganzen komplexen /-Ebene analytische Funktion vom Exponcntialtypus sein2 • Das ist zwar erfüllt, wenn F (s) eine rationale Funktion (mit Zählergrad < Nennergrad) ist, angewendet werden die Formeln aber immer auf viel allgemeinere Funktionen.

Die Tatsache, daß die fö-Transformierte, wenn sie im gewöhnlichen oder im Plancherelschen Sinn existiert, durch den Grenzübergang x -+o aus der ,tl-Transformierten F(x + iy) entsteht, kann zur Berechnung der fö-Transformierten ausgenutzt werden ~s. das Beispiel II, (13.8)]. Es wäre aber falsch anzunehmen, daß, wenn limF (x i y) für x --+ O existiert, dies gleich fü {/} wäre. So ist z. B .

+

+

.tl{1} = 2{u(t)} = _!._ und S

lim

x-+0 X

~. i

J

= -.1- . iJ

Aber die Behauptung 'J{u(t)} = 1/i y (die sich an unzähligen Stellen in der technischen Literatur findet) ist falsch. fö {1} = 'J {u (t)} existiert überhaupt nicht im gewöhnlichen und im Plancherelschen Sinn, sondern nur als Distribution, s. II, (13.S):

ij{u (t)} = Pf..,!_+ iy

:rr;

ö (y).

Ebenso ist ,tl {_!::.._} nl

=

S -(n+l)

'

aber fö{tn/n !} ist nicht (i y)- 0 analytisch und 1

Siehe z.B.

8 CAUER

LEPAGE,

[5], S. 980 flg.

S.

220.

2 DOETSCH

[J], S. 356,

318

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

bis auf den Rand x = O hinauf stetig; limF(iy) für IYI-+ oo existiert; für reelle s ist F (s) reell; die Randwerte F 1 (y), F2 (y) des Real- und Imaginärteils von F (s) sind stetig differenzierbar [F (s) braucht hier nicht notwendig eine E-Transformierte zu sein].

§ 9. Die Stieltjes-Transformation Betrachtet man die Ebenen der beiden Variablen s = x + i Y, z = E + i 'fJ und koppelt sie durch die Beziehung s = i z, so ist x = - rJ,

Der rechten Halbebene x > O entspricht die untere Halbebene Ist F(s) die Funktion von § 8 und setzt man F(i z) = 'Jl(z), so geht Formel (8.2) über in +CO y YJ

= ~. < o.

':l'(z)

1- . = 'P(E +in)= -2ni

J

Vf(;~

z -

\;"

dE.

- 00

Läßt man hier den Faktor (2n i)- 1 weg und ersetzt 'JI(~) durch V' (- E), erhält man + 00 (9.1)

'Jl(z) = 'P(E

+ iTJ) =

J z"'t>; dE.

- 00

Diese Zuordnung zwischen einer im reellen Intervall - oo < E < oo definierten Funktion ,p (E) und einer in einer Halbebene analytischen Funktion 'JI (z) heißt (zweiseitige) Stieltjes-Transformation. Sie ist nach der obigen Herleitung mit der Cauchyschen Integralformel äquivalent. Im Falle der Konvergenz stellt (9.1) sowohl in der oberen wie in der unteren z-Halbebene je eine analytische Funktion dar. Die beiden brauchen aber keine analytischen Fortsetzungen voneinander zu sein. In manchen Gebieten spielt die einseitige Stieltjes-Transformation (9.2) eine Rolle. Diese kann formal als das Ergebnis der Aufeinanderfolge zweier E-Transformationen aufgefaßt werden. Aus CO

00

f e-•Ev,(E)dE=rp(s)

und

0

0

ergibt sich formal für 00

'Jl(z) =

mz > o:

00

Je-=sds Je-se"P(~) 0

Je-.ss rp (s) ds = 'Jl(z)

0

00

d~

=

J1/-'W J d~

0

oo

00

e-\z+f)•

0

ds =

Jz"'f~

d~.

0

Wenn das Integral (9.2) für einen nicht auf der negativ reellen Achse liegenden Punkt z konvergiert, so konvergiert es in der ganzen längs

III., § 10. Die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung

319

der negativ reellen Achse aufgeschnittenen z-Ebene und stellt dort eine analytische Funktion dar. In vielen Anwendungsgebieten, wie z.B. beim Momentenproblem, in der Kettenbruchtheorie, in der Netzwerktheorie, treten die Integrale (9.1), (9.2) in Gestalt von Stieltjes-Integralen auf:1

(9-3)

P(z)

=f dxW z+

~

.

In der Netzwerktheorie sind von besonderer Bedeutung die sog. ,,positiven" Funktionen (s. Definition 19.1). Diese lassen eine Darstellung zu, in der eine einseitige Stieltjes-Transforrnation der Form (9,3) auftritt, s. Satz 19.1.

2. Gewöhnliche Differentialgleichungen § 10. Die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit verschwindenden Anfangswerten. Übertragungsfunktion und Gewichtsfunktion In der Technik stellt neben der Netzwerkanalyse und -synthese die Lösung von Differentialgleichungen, insbesondere von Systemen solcher Gleichungen, das wichtigste Anwendungsgebiet der B-Transformation dar. Wir betrachten zunächst eine einzelne lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und einer beliebigen Erregungsfunktion :2 (10.1)

}'(n)

+ Cn-l y(n-l) + · · •+ C1 y' + Co Y = f (t).

Sie soll einen Einschaltvorgang beschreiben, d. h. die Variable t, die wir als Zeit denken, variiert von einem endlichen Zeitpunkt an, etwa t = 0, beliebig weit, also in 0 < t < oo. Damit die Lösung eindeutig ist, muß der Anfangszustand des durch (10.1) beschriebenen physikalischen Systems, d. h. der Wert von y, y', ... , y(n-1> zur Zeit t = 0 gegeben sein (Anfangswertproblem). y (t) soll mit seinen Ableitungen an diese Werte stetig anschließen, oder umgekehrt ausgedrückt: Diese Zahlen sollen sich als Grenzwerte ergeben, wenn t von positiven t aus rückwärts laufend gegen 0 strebt. Sie sind daher als die Grenzwerte y ( 0), y' ( 0), usw. aufzufassen. Es zeigt sich, daß die Forderung des stetigen Anschlusses an diese - beliebig vorgegebenen - Werte bei einer einzelnen Gleichung stets erfüllbar ist. Daß dies nicht selbstverständlich ist, sieht man ein, wenn man bei Systemen von Differentialgleichungen ganz andere Vorkommnisse kennengelernt hat (s. § 16).

+

+

Über die Theorie des Integrals (9.2) in dieser Gestalts. WIDDER, ChapterVIII. Um Rechenfehler zu vermeiden, empfiehlt es sich, den höchsten Koeffizienten immer durch Division zu 1 zu machen. 1

2

320

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Um Mißverständnissen vorzubeugen, sei betont, daß es sich um einen physikalischen Vorgang handeln soll, der durch eine einzige Differentialgleichung beschrieben wird. In vielen Fällen der Technik ist deren Ordnung gleich 2. Es kommen aber durchaus auch Gleichungen höherer Ordnung vor, z. B. bei der Durchbiegung eines belasteten Balkens, bei der Membranbewegung eines Lautsprechers, bei der turbulenten Bewegung eines flüssigen Mediums usw. Gleichungen der Ordnung 4. In der Ingenieurliteratur trifft man manchmal die Vorstellung an, daß eine Differentialgleichung höherer Ordnung immer durch Elimination aus einem System von Differentialgleichungen erster oder zweiter Ordnung entstanden sei, wobei dann auf der rechten Seite statt einer einzigen Erregungsfunktion natürlich mehrere solche und deren Ableitungen auftreten. Über eine solche durch Elimination entstandene Gleichung s. § 1 7. Von diesem Fall ist aber gegenwärtig nicht die Rede. In der Praxis kommen Systeme häufiger vor als einzelne Gleichungen. Es ist aber auch demjenigen, der sich nur für Systeme interessiert, zu empfehlen, die Behandlung der einzelnen Gleichung und die dabei auftretenden Begriffe als Vorübung zur Kenntnis zu nehmen.

Da es sich um eine lineare Gleichung handelt, kann man die Lösung in zwei Schritten vornehmen: 1. Gleichung inhomogen, d. h. f (t) $ 0, alle Anfangswerte gleich O. 2. Gleichung homogen, d. h. f (t) O, Anfangswerte beliebig. Die allgemeine Lösung entsteht durch Superposition der beiden Lösungen. Es liege nun zunächst die Gl. (10.1) unter den Anfangsbedingungen

=

(10.2)

Y(+ü}

= y'(+0) = • • • = y(n-l)(+0) =

Ü

vor, d. h. das physikalische System befindet sich zur Zeit t = O in Ruhe. Durch die Wahl kleiner Buchstaben ist bereits angedeutet, daß wir uns die Gleichung im Originalraum gegeben denken. Bisher wurde immer durch die ,\!-Transformation einer einzelnen Originalfunktion ihre Bildfunktion zugeordnet. Die grundlegend neue Idee besteht nun darin, der „Originalgleichung" (10.1) ihre „Bildgleichung" zuzuordnen, d. h. die ,\!-Transformation auf die Gl. (10.1) anzuwenden. Dies geschieht dadurch, daß man vor beide Seiten der Gleichung den Operator B schreibt, was man wegen der Linearität von B auch gleich bei jedem einzelnen Summanden machen kann:

.ß{y(n)} +

Cn-1

2{y(n-l)} + • • •

+ C1 2{y'} +

Co

2{y}

= 2{1}.

Der zweite entscheidende Schritt besteht darin, die Regel V anzuwenden, die erlaubt, die Transformierten B{y 0 ist, wächst im Fall w = O die Sprungantwort von O monoton gegen den stationären Wert 1/d2 , während im Fall w =!= 0 zunächst ein Überschwingen über den Endwert 1/(d 2 w2) stattfindet (Abb. 13.2).

+

T

d2

12

w-0

8

10

8

16

12

t

Abb.13.2

3. Frequenzantwort und Frequenzgang Die Antwort y., (t) auf die Schwingung eiwt als Erregung wird im Englischen als frequency response bezeichnet. Der entsprechende deutsche Ausdruck Frequenzantwort ist zwar nicht üblich, wird aber im folgenden der Kürze wegen übernommen. Wenn die Anfangswerte 0 sind, ist nach (10.5), (10.6) t

(13.7)

y.,(t)

= g(t) * eirot =

eia>t

J

e-iw-r:

ü

(13.8)

Y., (s)

=

1

. G (s).

s - iw

g(.) do,

330

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Bei der Frequenzantwort interessiert vor allem die Frage, unter welchen Umständen im Laufe der Zeit ein stationäres Verhalten zustande kommt und die Antwort eine Schwingung von gleicher Frequenz wie die Erregung wird, was man aus physikalischen Gründen annehmen kann. Y w (s) hat dieselben Pole IX, wie G (s) und außerdem noch den Pol i w. Infolgedessen besteht Yw (t) aus einem Aggregat der Eigenschwingungen tµ• e"'•t (0 ~ µ. < m, - 1, wo m, die Vielfachheit des Pols IX, ist) des Systems (§ 11) und der Schwingung eiwt, wenn w =l= IX,. Gibt es unter den IX, solche mit ffi IX, > O, so wachsen die Eigenschwingungen über alle Grenzen, ebenso wenn alle ffi N, ::=:;: 0 sind und unter den N, solche mit ffi IX,= 0, m, > 1 vorkommen; es gibt dann also keinen stationären Zustand. Existieren N, mit ffi N, = 0, m, = 1, so überlagern sich die von ihnen herrührenden Schwingungen der von i w stammenden Schwingung, und es kommt jedenfalls keine reine Schwingung zustande. Ist schließlich speziell i w gleich einem IX, mit ffi N, = O, so entsteht in i w ein mehrfacher Pol 1/(s - i w)mv, der zu der wachsenden Funktion tm,-l eiwt/(m,. - 1) ! Veranlassung gibt (Resonanz zwischen der Erregung und einer Eigenschwingung). Nur wenn sämtliche ffi IX, < O sind, klingen alle Eigenschwingungen für t --+ oo gegen O ab, und es bleibt nur die von dem Pol i w herrührende Schwingung eiwt übrig, die den Koeffizienten G (i w) hat, weil Y w (s) ins= i w das Residuum G(i w) besitzt. Das gilt auch, wenn die Anfangswerte nicht O sind, weil das von ihnen stammende Aggregat von Eigenschwingungen bei ffi IXv < O gegen O strebt. Somit folgt: Satz 13.1. Dann und nur dann, wenn sämtliche Pole von G(s) [die Nullstellen von p (s)] negative Realteile haben, strebt die Frequenzantwort Yw (t) mit wachsendem t gegen den stationären Zustand (13.9)

Yw(t)

=

G(iw)

eimt.

Das ist eine Schwingung von derselben Frequenz wie die Erregung, aber mit einer durch die komplexe Zahl G(i w) bestimmten Amplitude und Anfangsphase. G (i w) heißt der Frequenzgang (frequency admittance) des physikalischen Systems. Er wird gegeben durch die Werte der Übertragungsfunktion G (s) auf der imaginären Achse. Der Frequenzgang tritt unter der Bezeichnung H (w) auch bei allgemeinen linearen Systemen (II, § 1) und im Rahmen der FourierTransformation (II, § 15) auf. Dort handelt es sich aber um Dauervorgänge (- oo < t < oo), und H (w) eiwt stellt die vollständige Antwort auf die Erregung eiwt dar. Jetzt dagegen handelt es sich um einen Einschaltvorgang (0 < t < oo), und (13.9) liefert keineswegs die vollständige Antwort, sondern nur den stationären oder eingeschwungenen Zustand (den asymptotischen Verlauf), der sich nach Abklingen des in der vollständigen Antwort enthaltenen Einschwingvorgangs

331

III., § 13. Die Antworten auf spezielle Erregungen

einstellt. Es ist zu beachten, daß all dies nur gilt, wenn die Pole von G(s) negative Realteile haben (stabiles System). Nur dann hat das Wort Frequenzgang einen Sinn; in der technischen Literatur wird es manchmal auch ohne Beachtung dieser Vorsichtsmaßregel gebraucht. Wenn es nur auf den stationären Zustand und nicht auf den Einschwingvorgang ankommt, so ist die Gl. (1'3-9) für die Praxis deshalb so wertvoll, weil man bei ihr unmittelbar die Bildraumgröße G verwenden kann, ohne eine Übersetzung in den Originalraum vornehmen zu müssen. Oft läßt sich der Frequenzgang technisch leichter messen als die Sprungantwort. Deshalb ist es wichtig, daß man diese aus dem Frequenzgang berechnen kann1 . Setzt man G (i ro)

[A (ro)

=

Amplitudengang, 111(ro)

=

A (w)

=

Phasengang], so ist

ei'l'(rul

+ ! JA~w) ~in(w t + 1J!(w)) dw 00

(13.10)

y,. (t)

=

G~O)

(t

>

0).

0

Zerlegt man G (i w) in Real- und Imaginärteil: G(i w) (U

=

U(w)

+ iV(w)

= Wirkkomponente, V= Blindkomponente, vgl. II, § 22), so ist

!J 00

(13.11}

y,.(t}

=

U~w) sinwt dw,

0 00

(13.12}

=

U(o)

+2-J :n

V(w) coswtdw. w

0

Daß sich Yu schon aus U bzw. V allein ergibt, erklärt sich daraus, daß U und V als Real- und Imaginärteil der .13-Transformierten G(s) auf der imaginären Achse sich gegenseitig bestimmen. Siehe hierzu die Bemerkung S. 316; die imaginäre Achse liegt, wenn von Frequenzgang gesprochen werden kann, im Innern der Konvergenzhalbebene von G(s), und es ist G(iro)EL 2 , weil in G(s) der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist. Zur praktischen Berechnung der Integrale (13.10) bis (13.12) sind zahlreiche Verfahren entwickelt worden. 2 Über die graphische Darstellung des Frequenzgangs s. § 23. Siehe die exakte Ableitung der Formeln in DoETSCH [4], S. 96. • Siehe den Überblick über diese Verfahren in SCHNEIDER.

1

332

C. Fuuktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

§ 14. Systeme von simultanen Differentialgleichungen; der ~ormalfall (beliebige Anfangsbedingungen erfüllbar) Schon bei einer einzelnen Differentialgleichung ist die Methode der ,\:-Transformation praktischer als die klassische. Ihre volle Kraft zeigt die Methode jedoch erst bei Systemen von simultanen Differentialgleichungen unter Anfangsbedingungen, wo die klassische Methode praktisch kaum durchführbar ist, während die Lösung durch ,13-Transformation ein Minimum an Rechenarbeit erfordert und völlige Übersicht über den Einfluß der Erregungen, der Anfangswerte und der Parameter gewährleistet. Ein System besteht i. allg. aus m Gleichungen n-ter Ordnung für m unbekannte Funktionen. Um die Lösung leichter zu überschauen, wählen wir zunächst m = 3 und n = 1 . Hierbei treten schon alle Charakteristika der Methode deutlich in Erscheinung. Wir schreiben alle Terme, die theoretisch auftreten können, hin, während bei praktischen Beispielen immer eine Anzahl fehlt, deren Koeffizienten dann im folgenden Schema gleich O zu setzen sind. Das System lautet:

f (au Y~ + (14.1)

l

y; + (a22 y; + (aa2 y; +

bu Y1) + (a12

(a21 Y~ + b21 Y1) + (aa1 Y~ + ba1 Y1) +

y; + (a2a y; + (a33 y; +

b12 Y2) + (au

b13 y3) = /1 (t),

b22 Y2) +

b2a y3)

ba2 Y2) +

= /2(t),

baa Ya) =

la (t) •

Schreiben wir der Kürze halber y 1 (0), ... statt y 1 ( + 0), ... , so lauten die Bildgleichungen: a 11 [sY1 -y1 (0)] +b 11 Y 1 + a12 [sY2 -y 2(0)] +b12 Y 2 +a 13 [sY3 -y 3 (0)] +b13 Y3 =F1(s), a21

[sY1 -Yi(O)J + b21 Y1 -t- a22 [sY2-Y2(0)] + b22Y2 + a2'3 [sY3 -y 3 (0)]

+ b23 Y 8 =

F2(s),

aa1 [sY1 -Yi(O)] + ba1Y1 + aa2 [sY2-Y2(0)] + ba2Y2+ asa [sYs-Ya(O)] + baa Ya = Fa(s).

Mit der Abkürzung lassen sich diese Gleichungen in der übersichtlichen Form schreiben:

f P11Y1 +P12 Y2+P1a Ya=F1 +auyi(o) +a12Y2(0) +a13 y

3

(14.2)

l Pn

(0),

P21 Y1 +P22 Y2 +P2a Ya = F2 + a21 Y1 (o) + a22 Y2 (o) + a 23 y3 (o), Y1 +P32 Y2+Paa Ya =Fa+ a31yi(0) +aa2Y2 (0) +a33 y 3(0).

Dieses System von linearen algebraischen Gleichungen löst man theoretisch am elegantesten nach der Cramerschen Regel vermittels Determinanten, während man in der Praxis die sukzessive Elimination der Unbekannten oder eines der vielen anderen für dieses Problem entwickelten Verfahren vorziehen wird. Um den Formalismus hervortreten zu lassen, bedienen wir uns der Determinanten. Fassen wir die auf den

III., § 14. Systeme von Differentialgleichungen. Der Normalfall

333

rechten Seiten stehenden numerischen Konstanten, die von den Anfang:-werten herrühren, so zusammen:

(14.3) und führen für die aus den Polynomen p, 1, (s) bestehende Determinante des Systems die Bezeichnung D (s) ein:

(14.4) detJJp;k(s)JI =D(s), so ergibt sich nach der Cramerschen Regel:

Pu F1 +r1 p13 Y2 =n P21 F2+r2

F1 +r1 Pu. Pu Y1 =n F2+r2 Pu P2a, IFs+ra Pa2 Pss 1

1

1

Pn Fs+rs

Pas

Es genügt, Y i(s) zu betrachten, da Y2 , Y3 analog gebaut sind. Wir zerlegen die Determinante durch Aufspalten der ersten Kolonne in zwei Determinanten und entwickeln die erste nach der ersten Kolonne. In der zweiten setzen wir die expliziten Werte für die r; ein und zerlegen sie durch Aufspalten der ersten Kolonne:

D(s) Yi(s)

(14.5)

= Fi (s) 1 Pu(s) Pn(s) 1 Ps2 (s)

+

Pss (s) .

au Pu(s) Pu(s) yi(0) a21 P22 (s) P2a (s) . a31 p92(s) Pss(s), 1

+ Y2 (0)

j au Pu Pu

1a22 P22 P23 1a32

Pa2

+

au Pu Pu Ya(O) a23 P22 ·hs •

Pas

aas p32

Pas

Hieraus ersieht man klar, wie die Lösungen von den Erregungen und den Anfangswerten beeinflußt werden. Im allgemeinsten Fall liegt ein System von folgender Form vor 1 :

(14.6)

[I-(~,

y\:l ;

(am 1 Yt'l

;;'.~}~:,':'.> ~'~

::::\:;:>

y~) ..

f'.'~:

+ b,,, 1 Yt' - t) + · · · + Cm 1 Y1) + · · · + (ammY~~) + bmmYg:-l) + • • • + CmmYm)

= f,,,(t).

Als Anfangswerte sind vorgegeben:

(14.7)

Y1 (0), y~ (0), ... , Yin- 1>(0); , -'.; Ym (0), Yin {O), · •. , yg;-i> (0).

Durch .B-Transformation erhält man ein lineares algebraisches Gleichungssystem für die m Unbekannten Yi(s), ... , Y,,,(s) analog zu (14.2), nur sind die p;k(s) jetzt Polynome n-ten Grades, und auf den 1 Schreibt man das System in Matrizenform, so läßt sich die Lösung analog zu der einer einzelnen Gleichung durchführen, s. DoETSCH [2], S. 310-316.

334

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

rechten Seiten treten außer den Anfangswerten der Y1, ... , Ym auch die ihrer Ableitungen (14.7) auf. Die Lösungen haben eine zu (14.5) analoge Gestalt. Die Determinante D (s) ist von m-ter Ordnung; als Faktoren der F;(s) erscheinen ihre Unterdeterminanten m - 1-ter Ordnung; die Faktoren der Anfangswerte sind, wenn man sie nach den Kolonnen, in denen die Koeffizienten au,, bik, ... stehen, entwickelt, ebenfalls aus Unterdeterminanten m - 1-ter Ordnung zusammengesetzt. Für die Rücktransformation der gefundenen Bildfunktionen Y 1 (s), ... setzen wir in diesem Paragraphen voraus, daß der sog. ,,Normalfall" vorliegt, der dadurch definiert ist, daß die Determinante aus den Koeffizienten der höchsten Ableitungen in den Differentialgleichungen nicht verschwindet: (14.8) Dies hat folgende Konsequenzen: 1. Entwickelt man die Determinante D (s) und multipliziert die Produkte der Pik (s) aus, so ist der Koeffizient der höchsten Potenz s"'" gleich detii a;kll • Unter der Voraussetzung (14.8) ist also D(s) ein Polynom genau vom Grad m • n. Da alle Determinanten in den Pik auf der rechten Seite der zu (14.5) analogen Gleichung höchstens den Grad (m - 1) n in s haben, treten bei der Division durch D (s) lauter rationale Funktionen auf, deren Zähler niedrigeren Grad als ihre Nenner haben, so daß sie Originalfunktionen besitzen, die man durch Partialbruchzerlegung bestimmen kann. 2. Die mit den F; (s) behafteten Glieder ergeben bei der Rücktransformation Faltungsintegrale. Diese sind nach Satz 4.1 stetige Funktionen, auch wenn die f i (t) unstetig sind. Die Antworten yi(t), y 2 (t), ... machen also etwaige Sprünge der Erregungen f;(t) nicht mit. 3. Die an den Anfangswerten hängenden rationalen Funktionen ergeben bei der Rücktransformation Exponentialfunktionen, die evtl. mit Potenzen multipliziert sind und in deren Exponenten die Nullstellen von D (s) auftreten. Sie stellen die Eigenschwingungen des physikalischen Systems dar. 4. Die Anfangswerte (14.7) können beliebig vorgegeben sein und werden von den Lösungen y 1 (t), ... auf jeden Fall angenommen1 . Diese Tatsachen seien deshalb besonders hervorgehoben, weil sie keineswegs zuzutreffen brauchen, wenn nicht der Normalfall vorliegt. Gegenüber der klassischen Methode weist die Lösung durch .2-Transformation folgende Vorzüge auf: 1. Es braucht nur ein einziges lineares algebraisches Gleichungssystem, nämlich das für die Yi(s) gelöst zu werden. 2. Die Anfangswerte treten in dieses System ein und werden daher automatisch berücksichtigt, während die klassische Methode zunächst 1

Beweis s.

DOETSCH

[2],

s. 315,

III., § 14. Systeme von Düferentialgleichungen. Der Normalfall

335

allgemeine Lösungen herstellt, die dann den Anfangsbedingungen angepaßt werden müssen, was auf die abermalige Lösung von linearen Gleichungssystemen hinausläuft. Der in der Praxis besonders häufige Fall verschwindender Anfangswerte bewirkt bei der ,2-Transformation besonders einfache Verhältnisse, während er bei der klassischen Methode keine Erleichterung bedeutet. '3. Ein wesentlicher Vorteil besteht darin, daß man jede der unbekannten Funktionen für sich berechnen kann, ohne die anderen zu kennen, was bei der klassischen Methode bei gegebenen Anfangswerten nicht möglich ist. Das ist dann wichtig, wenn man nur an einer einzigen Unbekannten wirklich interessiert ist, während die anderen lediglich im Ansatz mitlaufen, ohne selbst gebraucht zu werden. Übertragungsfunktion, Gewichtsfunktion, Impulsantwort und Frequenzgang bei Systemen

Wenn sämtliche Anfangswerte (14.7) verschwinden, entsteht mit aik sn

+ bik sn-1 + ... + Cjk = Pik (s)

aus dem allgemeinen Differentialgleichungssystem (14.6) durch ,2-Transforrnation das System von linearen algebraischen Gleichungen (14,9)

Jl

:~~ ~s~ ~1?). ~: : : ~ :.1~•.(~). ~~-(~). • • ~1 ~~) • + · •• +

Pmi{s) Y1(s) Pm,,.(s) Ym(s) = Fm(s). Wegen der Linearität genügt es, alle Fi (s) [und damit alle f;(t)] mit Ausnahme eines einzigen gleich O anzunehmen, da sich die allgemeine Lösung durch Superposition ergibt. Es sei F 1 (s)

= ••• =

Fµ_i(s)

=

Fµ+1(s) = · · · = Fm(s)

= O,

Fµ(s) $ O.

Die zu diesem Spezialfall gehörigen Lösungen seien Y1,., ... , Y mp genannt. Bezeichnet man wie früher detilPik(s)II mit D(s) und die durch Streichen der µ-ten Zeile und v-ten Kolonne entstehende Unterdeterminante mit D,.,(s), so erhält man nach der Cramerschen Regel die Lösungen (14.10)

Y,,,.(s) = (-1)P+•

D~(;;> Fµ(s)

(1 = 1, .. . , m).

Setzt man (- i)µ,+11 Dµ,(s)

(14.11)

D(s)

=

G

µ•

(s)

'

so nehmen die Lösungen die zu (10.5) analoge Gestalt an: (14.12)

Y,,,.(s)

'G,,,,(s)F,.(s)

(,i=1, ... ,m).

Im Normalfall haben die Polynome D,.,(s) geringeren Grad als das Polynom D(s), da D(s) den Höchstgrad m • n hat; die rationalen

336

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Funktionen G1.,, (s) besitzen daher Originalfunktionen gµ ,, (t). Die Lösungen des Differentialgleichungssystems haben somit die Gestalt wie (10.6): (14.13) y,µ(t) = gµ,(t) * /µ(t) (v = 1, ... , m). Wie bei einer einzelnen Differentialgleichung werden auch hier die G1,. (s) als Übertragungs- oder Systemfunktionen und die gµ. (t) als Gewichtsfunktionen (für die Wirkung des µ-ten Eingangs auf den 11-ten Ausgang) bezeichnet. Im Gegensatz zu einer einzelnen Gleichung gibt es beim System m 2 solcher Funktionen (1 < µ s m, 1 < 11 s m). Die allgemeinen Lösungen für beliebige f1, (t) bzw. F µ ( s) lassen sich so darstellen: m

(14.14)

µ-1

m

.

Y, (s) = ,2' Gµ, (s) F µ (s),

y,(t) =

I

µ=1

gµ,(t)

* fµ(t).

Ist die µ-te Erregung der Impuls ö, während alle anderen Erregungen verschwinden, so erhält man als Impulsantwort ani 11-ten Ausgang: (14.15) :Yµv,.6 = gµ, (t), wobei aber gµ,(t) wie in § 13, 1. als Distribution zu deuten ist, indem gµ,(t) = O für t < O definiert wird, wodurch die n - 1-te Ableitung in t = 0 den Sprung der Höhe 1 bekommt. Ist die µ-te Erregung eine Schwingung: /µ(t) = eiwt, und liegen die Nullstellen des Polynoms D (s) sämtlich in der linken Halbebene ffi s < 0, so ergibt sich wie in§ 13, 3., daß y,.,(t) für t--+ oo dem stationären Zustand (14.16) Yµ,, ,0 (t) = Gµ,,(i eo) eiwt zustrebt. Der Wertverlauf G1,. (i w) der Übertragungsfunktion Gµ, (s) auf der imaginären Achse wird auch hier als Frequenzgang bezeichnet. Beim System gibt es m2 Frequenzgänge. Für f µ (t) = u (t) ergeben sich die Sprungantworten. Sie lassen sich aus den Frequenzgängen nach den Formeln (13.10) bis (13.12) berechnen. Graphische Darstellungen der obigen Zusammenhänge und des Frequenzgangs s. §§ 22 und 23.

§ 15. Der anomale Fall des Systems mit erfüllbaren Anfangs-

bedingungen. Sprungfähige Ausgangsfunktionen Wenn nicht der Normalfall vorliegt, so können die Lösungen ganz andere Eigenschaften als die S. 334 angegebenen haben. Wenn man sagt, das System von m Differentialgleichungen habe die Ordnung n, so meint man damit, daß die höchsten vorkommenden Ableitungen von n-ter Ordnung sind. Dabei können aber von einigen der unbekannten Funktionen nur Ableitungen von niedrigerer Ordnung

III., § 15. Der anomale Fall mit erfüllbaren Anfangsbedingungen

33i

auftreten. In manchen technischen Problemen kommen sogar gewisse Unbekannte nur selbst, ohne Ableitungen, vor. Dann hat die Determinante det 11 a; k 11 aus den Koeffizienten der höchsten Ableitungen in mindestens einer Kolonne lauter Nullen, so daß der „anomale" Fall vorliegt. Dasselbe kann aber auch in weniger extremen Fällen vorkommen. Wenn detlla;1 vollständig eliminieren und behält r„ Gleichungen, in denen n-te Ableitungen vorkommen, während die m - r„ übrigen höchstens von der Ordnung n - 1 sind. Bei diesen kann man evtl. aus einigen Gleichungen die nunmehr höchsten Ableitungen yj:' - ll eliminieren und behält r,._ 1 Gleichungen, dien - 1-te Ableitungen enthalten, während die r11 _ 2 übrigen von niedrigerer Ordnung sind, usw. Setzt man in den rn-i Gleichungen t = 0 (wobei vorausgesetzt wird, daß die rechten Seiten für t = O existieren), so erhält man r,._ 1 Gleichungen, denen die Anfangswerte y~·> (+ 0) (v = O, ... , n - 1) genügen müssen. Analog erhält man aus den r,._ 2 Gleichungen für t = 0 weitere r,,_ 2 Gleichungen für die Anfangswerte yl;>(+o) (v = O, ... , n - 2). Bei diesen Gleichungen kann man aber noch einen Schritt weitergehen. Differenziert man sie nämlich (unter der Voraussetzung, daß die rechten Seiten differenzierbar sind), so kommt man nicht über die Ableitungen n - 1-ter Ordnung hinaus. Für t = O erhält man daher aus ihnen abermals r,._ 2 Gleichungen für die Anfangswerte y~>(+o) ('11 = 1, .. . , n -1). So fortfahrend bekommt man r 11_ 1 + 2r n- 2 3r,,_ 3 + · · • Relationen für die Anfangswerte, die mit der Struktur des Systems notwendig verknüpft sind. Sie heißen die Kompatibilitätsbedingungen des anomalen Systems und ihnen genügende Anfangswerte zulässige oder erfüllbare Anfangswerte. Worum es sich dabei handelt, sieht man am besten an einem Beispiel ein. Beispiel. Ein System zweiter Ordnung von zwei simultanen Differentialgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen:

+

+

+

+

+

+ +

+

(15.1) y~ Y1 2Y2 = f (t), (15.2) Yi. 5Y1 3Y~ = 0. Da y 1 in den Gleichungen mit der zweiten, y 2 aber nur mit der ersten Ableitung vorkommt, braucht man nur die Anfangswerte y1 ( + 0), y~ ( 0), y2 ( + 0). Die Determinante aus den Koeffizienten der höchsten

+

+

Ableitungen ist I O O 1 = O es· liegt also der anomale Fall vor. Die Eli-

1 0

'

mination der höchsten Ableitungen aus einer Gleichung erübrigt sich hier, da die Gl. (15.1) bereits keine zweite Ableitung enthält. Unter der Sauer/Szab6, Math. Hilfsmittel I

22

338

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Voraussetzung, daß /(+o) existiert [also z.B. nicht erhält man aus (15.1) die Kompatibilitätsbedingung

f (t) =

t- 112 ist],

(15.3) y~(+o) + Y1(+0) + 2y2(+0) = /(+o). Man kann also z.B. yi( + 0) und y 2 ( + 0) frei wählen, aber y~ (+ 0) ist dann festgelegt. Mit Rücksicht auf Späteres setzen wir Y1(+0) = a, yf(+o) = b, Y2(+0) = C und behandeln nun das System (15.1), (15.2) mit 2-Transformation, wobei wir voraussetzen, daß a, b, c der Relation genügen: a + b + 2c = /(+o). (15.4) Sie ist insbesondere erfüllt, wenn a = b = c = f (+ 0) = 0 ist. Die Bildgleichungen lauten: (s + 1) Y1 (s) + 2Y2(s) = F(s) + a, (15.5) (s 2 + 5) Yi(s) + 3s Y2(s) = as + b + Je, ihre Lösungen

Y1(s) =

n\) (3s F(s) + a s -

2b - 6c),

(15.6) Y2(s)

= D~s) (- (s2 + 5) F (s) + (a + b + 3 c) s - 5a + b + 3 c)

mit

D (s)

= s2 +

3s - 10

=

(s - 2) (s + 5).

Durch Partialbruchzerlegung erhält man:

(15_ 7) y (s)=F(s)(~+..!J.j.J_)+~ a-b-3c+_!_ Sa+2b+6c. l

s-2

s+S

7

S-·2

7

s+S

Hierzu gehört die Originalfunktion (15.8)

y 1 (t)

= ½/(t) * (6e 2 t + 15e-5 t) + i (a - b -

3c) e2 t +½(Sa+ 2b + 6c) e-5t,

In Y2 (s) ist der Faktor von F (s) eine rationale Funktion, deren Zähler gleichen Grad wie der Nenner hat, ihr Original ist also eine Distribution. Diese kann man aber vermeiden, indem man von der rationalen Funktion eine Konstante abspaltet. Dann ergibt sich:

(15.9)

Y2(s)=-F(s)(1 +...J.f.J__- 30/7 )+.1.. -a+b+3c s-2 s+5 7 s-2

+ ~7

Sa+2b+6c s+5 • In dem ersten Term tritt F (s) einerseits isoliert, andererseits mit einer rationalen Funktion multipliziert auf. Folglich ist

(15.10) Y2(t) =-/(t) - ½/(t) * (9e 2 t

-

3oe-51 ) + +

f (-a + b + 3c) e2 t l (5 a + 2b + 6c) e-ai.

III., § 16. Der anomale Fall mit nichterfüllbaren Anfangsbedingungen 339

Im Gegensatz zum Normalfall tritt in y2 (t) die Erregung f (t) nicht bloß unter einem Faltungsintegral, das auch für unstetiges/ stetig ist, sondern auch isoliert auf. y2 (t) hat also dieselben U nstetigkeiten wie f (t). Wenn die Erregung f (t) z.B. an einer Stelle einen Sprung aufweist, so macht Y2 (t) diesen Sprung mit. Unter den Antworten eines anomalen Systems können also „sprungfähige" vorkommen. Beim Normalfall ist dies unmöglich. Wir wollen noch feststellen, welche Anfangswerte die Lösungen haben. Dazu brauchen wir die Ableitung y~ (t), die nach Satz 4.2 berechnet werden kann:

(15.11)

y~(t) = 3/(t)

+ ½f(t) * (12e2 t -

Es ergibt sich:

(iS.iZ)

Y1(+0)

+ ~(a - b. ~(Sa+ 2b + 6c) e-

3c) e2 t

75e- 51 )

5 t.

= a,

YH+o) = Jf(+o) - Ja - 2b - 6c, Y2(+0) =-f(+o) + a + b + Je.

Da a, b, c der Relation (15.4) genügen sollten, ist y~ (+o) = b, y 2 ( +o) = c, so daß die Lösungen tatsächlich die vorgegebenen Anfangswerte haben. Bemerkung: Man könnte die Anfangswerte (15 .12) auch unmittelbar aus Y 1 (s) und Y2 (s) vermittels des Anfangswertsatzes31.1 gewinnen.

§ 16. Der anomale Fall des Systems mit nichterfüllbaren

Anfangsbedingungen. Lösung durch Distributionen Nach § 15 ist ein anomales System mit gegebenen Anfangswerten nur dann lösbar, wenn die letzteren die Kompatibilitätsbedingungen erfüllen. Ist dies nicht der Fall, so ist das Problem mathematisch unlösbar. Gerade dies kommt nun aber in der Technik besonders häufig vor, und erfahrungsgemäß zeigt das durch die Differentialgleichungen beschriebene physikalische System auch dann ein eindeutiges Verhalten. Es fragt sich also, wie man dieses auch mathematisch bewältigen kann. Schon in § 11 wurde darauf hingewiesen, daß der durch die Anfangswerte beschriebene Zustand des physikalischen Systems zur Zeit t = 0 das Resultat seiner Vergangenheit für t < 0 ist, und daß die Anfangswerte daher die Werte y µ ( - 0), usw. sind, mit denen das System von negativen t herkommend in den Nullpunkt einläuft. Die zunächst naiv gestellte Forderung, daß diese Werte auch an den Lösungen für t > 0 im Sinne von y µ ( 0) , usw. auftreten sollen, bedeutet, daß der zukünftige Zustand (t > 0) stetig an den vergangenen (t < 0) anschließen soll. Bedenkt man nun, daß der vergangene Zustand unter dem Einfluß irgendwelcher (unbekannter) Erregungen zustande gekommen war, während der zukünftige Zustand

+

22*

340

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

von den gegebenen Erregungen /µ(t) abhängt, die mit den früheren Erregungen in keiner Weise zusammenzuhängen brauchen, so erkennt man, daß die obige Forderung i. allg. nicht erfüllbar sein wird. Das ist nur dann der Fall, wenn die vorhandenen Anfangswerte und die Erregungen für t > O durch die Kompatibilitätsbedingungen, die ja beide enthalten [s. das Beispiel (15-3)], aufeinander abgestimmt sindl. Die Tatsache, daß das Problem bei Nichterfüllung dieser Bedingungen in der alten mathematischen Formulierung keine Lösung hat, läßt sich nicht aus der Welt schaffen. Andererseits muß die Mathematik doch in der Lage sein, der physikalischen Tatsache der Existenz von Lösungen gerecht zu werden. Dies kann nun in der Tat durch eine neue Deutung der Begriffe auf dem Boden der Distributionstheorie geschehen. Wir gehen dabei in zwei Schritten vor. 1. Verschwindende Anfangswerte

Um die Ausdrucksweise abzukürzen, sprechen wir vorläufig nur von einer der unbekannten Funktionen und nennen sie y(t). Wenn alle Anfangswerte, die wir jetzt als Grenzwerte von links ansehen und dementsprechend mit y 0 gleich 0 sind (genauer: ihr Träger liegt außerhalb t > 0), nur im Nullpunkt wird das sprungartige Verhalten der Ableitungen nunmehr mathematisch faßbar beschrieben. Hat man in dem Differentialgleichungssystem alle Ableitungen durch Ausdrücke der Form (16.6) ersetzt und wendet die 2-Transformation im distributionstheoretischen Sinn an, so wird nach Regel V' und Tab. 2, Nr. 13 aus jedem Term der Form (16.6) ein Glied der Gestalt s• Y(s) -y(-0) s•-1 - ••• -y 0 ohne Bedeutung ist und nur das sprunghafte Verhalten der Funktionen und ihrer Ableitungen im Nullpunkt mathematisch exakt beschreibt. In dem Beispiel (15 .1), (15 .2) erhält man daher bei ganz beliebigen (linksseitigen) Anfangswerten a, b, c die Lösungen (15 .8), (1 5.1 0) ohne einschränkende Kompatibilitätsbedingung. Die rechtsseitigen Anfangswerte sind durch (15.12) bestimmt, die Sprünge in t = o durch

Y1(+0) - a = o, YH+o) - b = 3[/(+o) - (a + b + 2c)], Y2(+0) - c =-l(+o) + (a + b + 2c).

III., § 17. Vergleich der Methode mit dem Eliminationsverfahren

343

Wenn die Bedingung (15.4) erfüllt ist, sind die Sprünge gleich O. Sieht man a, b, c als zwangsläufig durch die Vergangenheit bestimmt an, so erscheinen die Sprünge als Effekt eines nicht hierzu passenden f (+ O}. Die Funktionen können dann von den Anfangswerten aus nur durch Sprünge in den durch die Differentialgleichungen vorgeschriebenen Ablauf hineinfinden.

§ 17. Vergleieh der Methode mit dem in der Technik üblichen Eliminationsverfahren In der technischen Literatur wird ein System von Differentialgleichungen zwar auch mit der 2-Transformation, jedoch oft auf andere Weise als in §§ 14 bis 16 behandelt. Wir zeigen das am Beispiel des. Systems zweiter Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen und nur einer von O verschiedenen Erregungsfunktion, wobei schon alles Wesentliche in Erscheinung tritt:

! )Y2 = f (t) ,

P11 ( :, ) Y1 + Pu ( mit

p.~ (

:t) = a,k ::a + b,k :, + cik•

Im allgemeinen sind die Anfangswerte

Y1 (O), yi(O); Y2 (0), y; (0) gegPben. Man stellt nun zunächst, besonders wenn man sich nur für eine Unbekannte, z. B. y 1 , interessiert, durch Elimination eine einzelne (17.2)

Gleichung für diese Unbekannte her, indem man die Operatoren Pu, (

:e )

wie gewöhnliche Faktoren behandelt und das System (17.1) nach Y1 auflöst:

(17-3)

Pu(:t) Pu(:,) Pu(!) Pu(:,)

t (t) Y1=

--· 0

Pu(:,) Pu( :t)

Multipliziert man die Determinanten aus, so entsteht links ein Polynom vierten, rechts zweiten Grades in d/d t. Die Gleichung hat also die Gestalt1

(17.4)

1

Das ist die Gleichung, von der S. 320 die Rede ist.

344

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Wenn man sie durch 2-Transforrnation lösen will, so braucht man für / die Anfangswerte / (0), /' (o), die bekannt sind, da / (t) gegeben ist, und für y 1 die Anfangswerte y 1 (0), y~ {0), y~ (0), yt (0), von denen aber nur die zwei ersten gegeben sind. Man könnte die fehlenden Werte dadurch bestimmen, daß man in den Gin. (17.1) t = 0 setzt und zu den 4 Werten {17.2) die Werte y~(o), y~(O) ausrechnet; dann die Gleichungen differenziert und yt (0) ausrechnet. Das ist sehr umständlich und wird in der Praxis nie gemacht. Vielmehr wird angenommen, daß das physikalische System aus dem Ruhezustand heraus erregt wird, d. h. daß die Anfangswerte (17.2) gleich O sind. Weiter wird kurzerhand auch (0) = yt (0) = o und obendrein / (o) = /' (0) = O gesetzt, so daß die 2-Transforrnation von (17.4) liefert: (17.5) (a 4 s4 +a3 s3 +a 2 s2+a1 s+a 0) Y1(s) =(b2 s2+b1 s+bo) F(s),

yr

woraus sich Y 1 (s) ergibt. Die Herleitung ist offenkundig falsch, denn mit den gleich 0 gesetzten Werten (17.2) ergibt sich aus (17.1) keineswegs y~ (0) = yt (0) = 0, und / (0) = /' (0) = 0 ist i. allg. auch nicht erfüllt. Trotz dieser Fehler ist das Resultat {17.5) zufälligerweise richtig, wie man einsieht, wenn man das System (17.1) unter der Annahme verschwindender Anfangswerte (17.2) unmittelbar der 2-Transforrnation unterwirft. Dabei erhält man nämlich P11(s) Y1 + P12(s) Y2

= F(s),

P21(s) Y1 + P22(s) Y2 = o, was formal mit (17.1) übereinstimmt, wenn man dort d/dt durch s und die kleinen Buchstaben durch große ersetzt. Infolgedessen braucht man zur Auflösung nach Y 1 auch nur in den Gin. (17,3), (17.4) denselben Ersatz vorzunehmen, was offenkundig zu der GI. (17.5) führt. In dem Spezialfall verschwindender Anfangswerte ergibt also die Eliminationsmethode das richtige Resultat, aber auf einem illegitimen Weg1 . Man sollte sie schon aus diesem Grund nicht mehr benutzen. Es sprechen aber noch weitere Gründe gegen sie. Um die Differentialgleichung (17.4) abzuleiten, muß man f (t) zweimal differenzieren können. Das ist z.B. nicht gewährleistet, wenn / (t) Sprünge aufweist, was in der Praxis häufig vorkommt. Man müßte dann statt der Ableitungen Derivierte im distributionstheoretischen Sinn bilden. Sind die Anfangswerte nicht 0, so ist die Methode, alle Anfangswerte gleich o zu setzen, natürlich überhaupt nicht gangbar. Man muß dann die überzähligen Anfangswerte in der oben angegebenen Weise ausrechnen, was äußerst 1 Rechnet man die überzähligen Anfangswerte, wie oben angegeben, aus und führt sie bei der Transformation von (17.4) in die Bildgleichung ein, so stellt sich heraus, daß die mit ihnen behafteten Glieder sich gegen die mit den Anfangswerten von /(t) behafteten Glieder aufheben, woraus es sich abermals erklärt, daß es unschädlich ist, sie gleich o zu setzen.

III., § 18. Analyse von Zweipolen

345

umständlich und auch nur dann möglich ist, wenn f (t) sich hinreichend oft differenzieren läßt. Es ist daher anzuraten, die heute noch weitverbreitete Eliminationsmethode nicht zu benutzen und statt dessen die B-Transformation unmittelbar auf das gegebene System anzuwenden, was auf kürzestem und einwandfreiem Weg zum Ziel führt. Differentialgleichungen der Form (17.4) treten dabei überhaupt nicht auf.

3. Analyse und Synthese von elektrischen Netzwerken

§ 18. Analyse von Zweipolen In der Elektrotechnik ist das System der Netzwerkgleichungen von besonderer Wichtigkeit. Dieses ist insofern spezieller als das in den §§ 14 bis 16 behandelte Differentialgleichungssystem, als es nur Ableitungen erster Ordnung enthält, aber insofern allgemeiner, als in ihm auch Integrale auftreten, so daß es sich um ein System von Integrodifferentialgleichungen handelt. Das V erhalten eines elektrischen Leitungssystems kann exakt nur durch die elektromagnetischen Feldgleichungen, das sind partielle Differentialgleichungen, beschrieben werden (s. § 25). Wenn aber die vorkommenden \V ellenlängen wesentlich größer sind als die geometrischen Dimensionen des Systems, kann man sich die stetig über die Leitungen verteilten elektrischen Parameter wie Widerstand usw. auf einzelne Punkte konzentriert denken, wobei dann nur gewöhnliche Ableitungen nach der Zeit auftreten und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit unendlich wird. Diese Annahme wird in der Netzwerktheorie im engeren Sinn immer gemacht. Wir behandeln zunächst ein Netzwerk, das nur einen offenen Eingang in Gestalt zweier Pole hat, einen sog. Zweipol. Im einfachsten Fall ist das ein einzelner Stromkreis mit konzentrierten Konstanten: Induktivität L, Ohmscher Widerstand R, Kapazität C. An die zwei R

e(t

t

~ -

f(s)

l

J(s)

Ylsl 1,

+

e. C

Z(s)

Abb. t8.1

Pole ist ein Generator angeschlossen, der die Spannung e (t) erzeugt (Wechsel- oder Gleichstrom- oder eine irgendwie veränderliche Spannung), wodurch ein Strom von der Intensität i(t) fließt (Abb. 18.1a).

346

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Der bei e (t) angesetzte Pfeil soll bedeuten, daß die Spannung in einem Zeitpunkt als positiv zu rechnen ist, wenn in diesem Zeitpunkt ein Spannungsanstieg in Pfeilrichtung vorhanden ist. Die Gleichung des Stromkreises ergibt sich durch die Kirchhof/sehe Kreisregel: Die algebraische Summe aller Spannungsanstiege in einem geschlossenen Kreis ist gleich O. In der in Abb. 18.1 eingezeichneten Stromrichtung (mit dem Pfeil an e (t) übereinstimmend) ergibt sich ein Spannungsabfall an R gleich

R i, an L gleich L :: , an C (bei der dort angegebenen Polarität) t

gleich

~

f i (r) dr + ~

(y

= Ladung des Kondensators zur Zeit

0

t = 0); der Spannungsanstieg an diesen Elementen ist also die negative Summe der drei Werte. An dem Polpaar ist er gleich e (t) , mithin ist

-R i - L !..!:._ - ~Ji(r) dr - L dt C C

+ e(t) = o

0

oder t

(18.1)

L

!! + R i + ~ f i (r) dr + ~ = e (t). 0

Man könnte diese Stromkreisgleichung in eine Differentialgleichung zweiter Ordnung überführen, indem man sie differenziert, was aber nur möglich ist, wenn e (t) überall differenzierbar ist; oder indem man die Ladung des Kondensators t

ri (r) dr + iJ

y

= q (t)

als neue Variable einführt:

Für die Anwendung der 52-Transformation ist aber die Umwandlung in eine Differentialgleichung gar nicht nötig. Nach Regel V und VII lautet die Bildgleichung von (18.1) :

L (s I (s) - i (0))

+ R I (s) +

~ 5 (I (s)

+ y) =

E (s) .

Die Konstanten i(O) und y hängen von der Vergangenheit des Stromkreises ab und geben nur Veranlassung zu Eigenschwingungen, die mit wachsendem t abklingen. Deshalb setzen wir voraus, daß der Strom~ kreis für t < 0 strom- und spannungslos war, so daß i (0) = y = o

III., § 18. Analyse von Zweipolen

347

ist. Dann vereinfacht sich die Bildgleichung zu (18.2)

L s I (s)

+ R I (s) +

1

Cs I (s)

= E (s)

oder mit (18.3)

Ls

1 + R + Cs = Z (s)

zu (18.4)

Z(s) I(s)

= E(s).

überträgt man wie in § 10 die Namen für Strom und Spannung auch in den Bildraum, so entspricht die GI. (18.4) dem Ohmschen Gesetz, wenn man Z(s) Widerstand und 1/Z(s) = Y(s) Leitfähigkeit nennt. Statt dessen gebraucht man die Worte Impedanz für Z (s) und Admittanz für Y(s), für beide gemeinsam das Wort Immitanz (nach BODE). Einen Stromkreis, der durch die Integrodifferentialgleichung (18.1) regiert wird, kann man nun im Bildraum viel einfacher wie einen Stromkreis behandeln, der nur den Widerstand Z besitzt und dem Ohmschen Gesetz gehorcht. Z und Y haben hier eine ähnliche Bedeutung wie die Übertragungsfunktion G (s) bei einer Differentialgleichung: Z (s), wenn man I (s) als Eingang und E (s) als Ausgang betrachtet, und Y (s) im umgekehrten Fall: {18.5) Y(s) E(s) = I(s). Daher braucht man bei einer Skizze des Stromkreises statt der üblichen Bilder für L, R, C (s. Abb. 18.1 a) bloß einen Block zu zeichnen und den Ausdruck für Z(s) oder Y(s) hineinzuschreiben (s. Abb. 18.1 b), ähnlich wie in § 10 die Differentialgleichung durch einen Block mit der Beschriftung G (s) symbolisiert wurde. Zur Berechnung der Zeitfunktion i (t) aus e (t) hat man in1

(18.5)

J(s)

=

1 Z(s)

E(s)

=

s

Y(s) E(s) =

1

E(s)

Ls +Rs+C 2

die rationale Funktion Y (s) in Partialbrüche zu zerlegen und dann den Faltungssatz anzuwenden. Schaltet man mehrere Stromkreise so zusammen, daß wieder nur ein Eingang offenbleibt (Ausführlicheres s. § 20), so entsteht ein Zweipol (two-terminal network), bei dem auch das Verhältnis E(s)/I(s) als Impedanz Z(s), das Verhältnis I(s)/E(s) als Admittanz Y(s) bezeichnet wird. Dabei gelten wie bei Ohmschen Widerständen die Regeln: 1 Der für das Schreiben unbequeme Quotient 1/C wird in der amerikanischen Literatur oft durch S = 1/C, genannt Elastanz, ersetzt.

_,48

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Werden zwei Kreise mit den Impedanzen Z 1 , Z 2 in Serie geschaltet (Abb. 18.2a), so entsteht ein Zweipol mit der -- Y1Y2 Impedanz Z = Z 1 Z 2 und der Admittanz Y y + y

+

1

2

E5 a

.b

Abb. 18.2

Werden zwei Kreise mit den Admittanzen Y (Abb. 18.2b), so entsteht ein Zweipol mit der Y

Admittanz

1,

Y 2 parallel geschaltet

Z1Z2 = Y 1 + Y 2 und der Impedanz Z = z 1 + z 2

•

Einfachste Beispiele von Parallelschaltung

Beispiel 18.1. R und L parallel (Abb. 18.3) 1

Y=R

1

+rs=

Ls+R RLs '

RLs Z= Ls+R'

Beispiel 18.2. R und C parallel (Abb. 18.4) Y=~

+Cs=Rc;+1,

Z=Rc~+1

Beispiel 18.3. L und C parallel (Abb. 18.5) y = _1_ Ls

+Cs=

L C s2 + 1 Ls '

z=

Ls LCs 2

+1

C Abb. 18.3

Abb. 18.4

Abb. 18.5

In diesen Beispielen hat der Zähler von Z (s) denselben bzw. einen um 1 niedrigeren Grad als der Nenner. Auch im allgemeinen Fall sind Z und Y gebrochen rationale Funktionen von s, bei denen sich die Grade von Zähler und Nenner um höchstens 1 unterscheiden. Aus den Gln. (18.4), (18.5) erkennt man wie bei den Differentialgleichungen (s. § 11), daß die Nullstellen von Z (s) die sog. natürlichen Frequenzen, d. h. die Eigenschwingungen bestimmen, wenn E (s) der Eingang, I (s) der Ausgang ist, und daß die Nullstellen von Y (s) die

III., § 19. Synthese von Zweipolen. Reactanzfunktionen

349

natürlichen Frequenzen bestimmen, wenn I (s) der Eingang, E (s) der Ausgang ist. Zusammen heißen die Nullstellen von Zähler und Nenner von Z (s) bzw. Y (s) die kritischen Frequenzen des Zweipols, ein ähnlich schiefer Ausdruck wie das \Yort „komplexe Frequenz" (vgl. Fußnote S. 298). Denn nur der Imaginärteil der Nullstelle bestimmt die Frequenz der Eigenschwingung, der Realteil dagegen die Dämpfung.

§ 19. Synthese von Zweipolen. Reaetanzfunktionen und ihre Realisierung Durch die Impedanz ist das Verhalten eines Zweipolnetzwerks vollständig bestimmt. Die Berechnung der Impedanz eines gegebenen Netzwerks heißt Netzu:erkanalyse. Für die Praxis ist das Umgekehrte viel wichtiger, die Netzwerksynthese. Hier wird verlangt, daß das Netzwerk ein bestimmtes Verhalten, d. h. eine vorgegebene Impedanz aufweist oder, wie man sagt, diese Impedanz „realisiert". Beispiel. Jede gebrochen lineare Funktion von s mit nichtnegativen Koeffizienten Z(s) = as+ b (a, b, c, d z 0) es+ d läßt sich auf verschiedene Arten durch einen Zweipol realisieren, und zwar unter Verwendung der in Beispiel 18.1 bis 18.3 angegebenen Schaltungen. Dies erhellt aus den folgenden Umformungen von Z (s): 1 · Z (s)

=

(a/c) (a/d) s (a/d) s (a/c)

+

(b/d)

+ (b/d) (c/b) s + 1 '

Voraussetzung b, c, d> 0, Realisierung s. Abb. 19.1.

l-f

C-f Abb. 19.1

2•

b

Z(s) = d

Abb.19.2

D

(D/c d) (D/d 2) s

+ (D/d s + (D/cd)

Voraussetzung c, d, D

2)

>

'

d

=a -

b c,

O, Realisierung s. Abb. 19,2.

Bei der ersten Realisierung werden 4, bei der zweiten nur 3 Schaltelemente benötigt. . . Um theoretisch ein bestimmtes Verhalten des Zweipols wemgstens angenähert zu erreichen, wird in der Praxis häufig eine Impedanz

350

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Z (s) vorgegeben, die keine rationale Funktion ist. Dann muß Z (s) zunächst durch eine solche approximiert werden1 . Es ist klar, daß nicht jede beliebige rationale Funktion als Impedanz eines Zweipols realisiert werden kann. Schon die_ Tatsache, daß die Parameter L, R, C und folglich auch die Koeffizienten in Zähler und Nenner von Z (s) positiv sein müssen, bewirkt eine starke Einschränkung. Es ist nun von größter Bedeutung, daß man die Klasse der realisierbaren Z (s) genau angeben kann. Dazu sei folgendes vorausgeschickt. Definition 19.1. Eine Funktion F (s) heißt „positiv", wenn sie die Eigenschaften hat: a) Für reelle s ist F (s) reell. b) Für 9t s > O ist F (s) analytisch. c) Es ist lR F (s) > O für lR s > O. Die positiven Funktionen lassen sich analytisch darstellen. 2 Satz 19.1. Die Klasse der positiven Funktionen stimmt genau überein mit der Klasse der Funktionen, die in der Gestalt

(19.1) F(s) =

s(

C

+ 100:21/'~X;) =Cs+

~

ic+: Vx

+ s-1i Vx) d1J)(X)

mit C 2: 0 und reellem, nichtabnehmendem 1P (x) darstellbar sind. 1P (x) ergibt sich aus den Randwerten von F (s):

Vx

(19.2)

1/'(X)

= •lim~ mJ F(e + i y) dy . _,.o :rr: 0

Wenn F(s) in einem Intervall O ~ y 1 < y < y 2 auf der imaginären Achse noch analytisch ist, so ist 1P (x) in y~ < x < y: differenzierbar und (19.J)

1/''(x) =_!_ ffiF(iVx). n

Vx

Reine Sprungfunktionen 1P (x) entsprechen rationalen Funktionen F(s). Man erkennt die Verwandtschaft der Formel (19.1) mit der unter anderen Voraussetzungen über F(s) gültigen Poissonschen Formel (8.7). Für die Netzwerksynthese ist nun folgender Satz fundamental: Satz 19.2. Eine Funktion Z (s) ist dann und nur dann als Impedanz eines Zweipolnetzwerks realisierbar, wenn sie rational und positiv ist.a 1

Siehe hierzu Abschnitt I

sowie

[3], [4].

[2); [4], S. 13. Der Satz wurde von 0. [J], S. 343.

GuILLEMIN

[1],

chap. 14;

CAUBR

[J],

.

1 CAUER 3

MlN

BRUNE

1931 aufgestellt und bewiesen. Siehe

GUILLE-

III., § 19, Synthese von Zweipolen. Reactanzfunktionen

351

Die positiven rationalen Funktionen

Z(s)

=

a„ s" bm s"'

+ ••, + a1 s + a + •••+ b s + b

0

1

0

haben folgende Eigenschaften :1 E 1 • Die a., b,.. sind reell und 2 o; daher ist Z(s')

=

Z (s).

E 2 • Mit Z (s) ist auch z ~s) = Y (s) rational positiv. E 3 • Alle Nullstellen von Zähler und Nenner, d. h. die Nullstellen und Pole von Z (s) liegen in 3t s < O. - Wenn diese Punkte (die kritischen Frequenzen des Zweipols) nicht auf der imaginären Achse liegen, so sind Zähler und Nenner Hurwitz-Polynome (s. A II § 2.2). E 4 • Die auf der imaginären Achse liegenden Nullstellen und Pole sind einfach, die Residuen von Z (s) und 1/Z (s) sind dort reell und positiv. E 5 • Die Grade von Zähler und Nenner unterscheiden sich höchstens um 1. Diese Eigenschaften spielen bei der Realisierung einer gegebenen Impedanz eine wichtige Rolle. Die Konstruktion des Zweipols ist i. allg. ziemlich kompliziert. 2 Einfach gestaltet sie sich für den Sonderfall der sog. Reactanzfunktionen. Dieser Ausdruck hat folgende Bedeutung.

\Vie bei Differentialgleichungen (§ 13, 3.) ist gemäß (18.4) der Frequenzgang des Zweipols durch Z(!w)

=

Y(iw)

gegeben, wenn keine Nullstelle von Z (s) auf der imaginären Achse liegt. Die Real- und Imaginärteile von Z(iw) und Y(iw) werden so bezeichnet :3

+ i X (w), U(w) + i V(w),

Z (i w) = R (w)

Y(iw)

=

=

R (w) = Resistanz,

X (w)

U(w) =.Conductanz,

V(w) = Susceptanz.

Reactanz;

Ist speziell R (w) = o, also Z (i w) = i X (w), so heißt Z (s) eine Reactanzfunktion. Im Fall eines einzelnen Stromkreises ist

Z(iw) =Liw+R+

c!w,

Z (s) ist daher eine Reactanzfunktion, wenn R = 0, der Kreis also verlustfrei ist. Auch bei einem allgemeinen Reactanz-Zweipol ruft Beweise bei CAUER [l], S. 139Siehe GUILLEMIN [l]. a Vgl. GUILLEMIN [2], S. 301. Wir benutzen hier die dem Englischen entsprechenden internationalen Bezeichnungen, vgl. II, § 22. 1 1

352

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

eine Schwingung als Erregung eine Antwort hervor, deren stationärer Zustand Y(i 0 und alle verschieden sind, weil sonst Z (s) entgegen E 4 auf der imaginären Achse mehrfache Nullstellen und Pole hätte. Wegen E 5 enthält der Zähler in (19.4) entweder gleich viel Klammern wie der Nenner oder eine weniger. Die Partialbruchzerlegung von Z (s) hat daher die Gestalt

Z (s) = ~ ( "'"" •-0

a, s-iw 2P

+ s+iw a, ) + a 2'

00

s '

wo a 00 = 0 ist, wenn in dem Zähler von (19.4) weniger Klammern vorkommen als im Nenner. Da die Residuen der Pole nach E 4 positiv reell sind, ist a, > O, so daß endgültig

(19.5)

"

Z(s)=I •-0

2a,s S

2

+

2 W2,

+a 00 s

ist. Die rationale Funktion

läßt sich nach Beispiel 18.3 realisieren durch Parallelschaltung von

L

= -2a, Wh 2-

und

· C

1 = . -2a,' ·

ferner ist a 00 s die Impedanz einer Induktivität a 00 • Da die Addition von Impedanzen eine Serienschaltung bedeutet, wird die Reactanz-

III., § 20. Analyse allgemeiner Netzwerke. Das Netzwerk als 2m-Pol

353

funktion Z(s) durch das in Abb. 19.3 dargestellte L-C-Netz realisiert. Sobald die Pole und Residuen von Z (s) berechnet sind (a"" o bedeutet einen Pol ins = oo), kann das Netz konstruiert werden. Das geschilderte Verfahren ist in der Elektrotechnik unter dem Namen „Rr.actanzsynthese vom Typus Poster I" bekannt. (Der Typus Foster II konstruiert das Netz auf. dem Weg über die Admittanz.)l

+

za„

----------0

1

Tiiö

Za..,

Abb.19.3

Der ganze Prozeß der Netzwerksynthese spielt sich im Bildraum ab. Im Original- (Zeit-) raum sind die Zusammenhänge so kompliziert, daß es aussichtslos erscheint, in ihm ein Netz mit vorgeschriebenen Eigenschaften zu konstruieren.

§ 20. Analyse allgemeiner Netzwerke.

Das Netzwerk als 2 m-Pol Für Netzwerke mit wenigen Maschen lassen sich die beschreibenden Gleichungen leicht anschreiben, weil man sofort übersieht, welche unabhängigen Variablen vorliegen. Bei Netzwerken von komplizierter Struktur empfiehlt es sich, folgendermaßen systematisch vorzugehen 2 • Geometrisch betrachtet ist ein Netzwerk ein Streckenkomplex, der aus den Stromzweigen besteht. Die Stellen, wo mehrere Zweige zusammenstoßen, sind die Knotenpunkte des Netzes. Dabei sind Knotenpunkte,

]__]__! a

Abb.20.1

I)

C______ h

wo in der ursprünglichen Zeichnung des Netzes nur zwei Zweige zusammenstoßen, nicht als solche zu rechnen, da die beiden Zweige mit einem einzigen äquivalent sind. So enthält das Netz von Abb. 20.1 a, bei dem ursprünglich 6 Knotenpunkte eingezeichnet sind, nur zwei wesentliche Knotenpunkte und ist mit Abb. 20.1 b äquivalent. Zur 1 FOSTER; s. auch GUJLLEMJN [1], chap. 3, und CAUER [1], s. 174. Hier sind auch weitere Realisierungen von Reactanzfunktionen zu finden. a Netzwerke, in denen wechselseitige (Gegen-)Induktivitäten vorkommen, z. B. Transformatoren, lassen wir außer Betracht. 23 Bauer/8zAb6, )fäth. Hilfsmittel I

354

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

vollständigen Beschreibung gehört noch die Angabe der in den Zweigen liegenden L, R, C und von außen zugänglichen Pole mit den angelegten Spannungen. Davon wird aber zunächst bei der topologischen Analyse des Netzwerks abgesehen. Es wird nun ein „vollständiger Baum" ausgewählt, d. h. ein System von Zweigen, das jeden Knotenpunkt mit jedem anderen verbindet und diese Eigenschaft verliert, wenn ein Zweig von ihm weggenommen wird. Das ist i. allg. auf mehrere Arten möglich, vgl. Abb. 20.2. Besitzt

,,,.,---- ---....,, 5

*

1 1 1

3 3 1

2

a

1 1

2

___ _,,l

}J

C

Abb. 20.2

das Netz k Knotenpunkte, so besteht der Baum aus k - 1 Zweigen. Die übrigen, nicht zum Baum gehörigen Zweige heißen Verbindungszweige. In ihnen können gerichtete Ströme unabhängig voneinander gewählt werden. Damit sind die Ströme in den Zweigen des Baumes nach Größe und Richtung auf Grund folgender Regel festgelegt. Kirchhof/sehe Knotenregel: Die algebraische Summe aller auf einen Knotenpunkt zufließenden Ströme ist gleich 0. Ein „geschlossener Kreis" oder eine „Masche" besteht aus einer Folge von Zweigen, von denen zwei konsekutive und ebenso der letzte mit dem ersten durch einen Knotenpunkt verknüpft sind. Der Baum

Abb.20.3

enthält keine geschlossenen Kreise. ·Aber jeder Verbindungszweig bestimmt genau eine Masche, die aus ihm und denjenigen Zweigen des Baumes besteht, die seine Endpunkte verbinden. Siehe Abb. 20.3, wo verschieden ausgewählte Bäume zusammen mit demselben Verbindungszweig ganz verschiedene geschlossene Kreise bestimmen.

III., § 20. Analyse allgemeiner Netzwerke. Das Netzwerk als 21n-Pol

355

Es sei nun ein bestimmter Baum gewählt. Durch die Verbindungszweige sind dann die Maschen bestimmt. Jedem Verbindungszweig v wird ein gerichteter Zweigstrom j zugeschrieben. Dieser Strom wird der durch v bestimmten Masche in als ,,,Vaschenstrom" oder „Krr,isstrom" i zugeordnet. Siehe in Abb. 20.4 diese Zuordnung für die verschiedenen in Abb. 20.3 aufgezeigten Möglichkeiten.

Abb. 20.4

Umgekehrt werden auch die Zweigströme durch die Maschenströme bestimmt. Denn in einem Verbindungszweig ist der Zweigstrom gleich dem Maschenstrom (in Abb. 20.5 f1 = i 1 , f2 = i 2 ); ist m emem Baumzweig eine Stromrichtung als positiv ausgezeichnet, so ist, wenn er nur einer Masche angehört, sein Zweigstrom gleich dem positiven oder negativen Maschenstrom (in Abb. 20.5 j 3 = - i 2) oder, wenn er zwei Maschen angehört, gleich der positiven oder negativen Differenz der Maschenströme (in Abb. 20.5 j 4 = i 1 - i 2) 1 • Diese Beschreibung ging von den Strömen in den Verbindungszweigen aus. Eine duale Abb. 20,5 Beschreibung erhält man, wenn man von dem Baum, also von den Knotenpunkten ausgeht. Diesen kann man unabhängige Spannungen relativ zu einem von ihnen zuschreiben, wodurch alle Spannungsdifferenzen im Netz bestimmt sind. Wenn bekannt ist, welche L R C-Elemente und welche Spannungsquellen in den Zweigen vorhanden sind, kann man die N etzwerkgleichungen aufstellen. Dabei kann man entweder die Kirchhoffsche Kreisoder die Knotenregel oder auch eine Kombination von beiden verwenden. Wir benutzen im folgenden die Kreisregel. Man bestimmt gemäß der obigen Anweisung die Maschen und schreibt ihnen die unabhängigen Maschenströme i zu. Ihre Richtungen kann man willkürlich festsetzen und siez. B. alle im Uhrzeigersinn wählen. Die Zweigströme sind dadurch nach Auszeichnung einer positiven Stromrichtung auf ihnen bestimmt. Dann wendet man auf jede einzelne Masche die Kirchhoffsche Kreisregel an. 1

Ausführliche Angaben zu diesen Konstruktionen s.

GurLLEMIN

[2], chap. 1 - 3.

23*

356

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Beispiel. In Abb. 20.6 ist ein Teil eines größeren Netzwerks dargestellt. Für die Masche ABCD ergibt sich analog zu (18.1):

+ c f (. .)d t

. R(i 1

.)

-: i 2

+

L d(i1 - is) dt

1

i1 -

i,

-,;

+ cy

=

e1

(t) •

0

Macht man wie in § 18 die Voraussetzung, daß das Netzwerk für t < 0 in Ruhe war, d. h. daß die Zweigströme und die Kondensatorladungen für t < O verschwinden, so ergibt sich 1 als Bildgleichung, nach den Funktionen 1 l1 1 B{i} = I(s) geordnet: 1 1 1

-----~ ~---

D

e

R

~

C

l

(L s

~

+ R + c\ )1

1 -

- L s 13

R 12 1

-

C 5 l4

= E 1 (s).

Auf der linken Seite stehen alle Maschenströme1 l, die mit der Masche ABCD 1 - + Zweige gemein haben, jeder multipliziert C A 8 mit der betreffenden Zweigimpedanz Z (s), die das negative Vorzeichen erhält, wenn der Strom der Nachbarmasche zu dem Strom der Masche ABCD entgegengesetzt Abb. 20.6 gerichtet ist. Nimmt man das Vorzeichen als Richtungsmerkmal in die Impedanz hinein, so kann man die Gleichung so schreiben:

~

+ Z12I2 + Z13ls + Zul, =

E1(s), wobei z.B. Z 12 die (gerichtete) Impedanz des Zweiges ist, den 1 1 mit 1 2 gemein hat. Danach ist klar, daß ein beliebiges Netzwerk mit m unabhängigen Maschen, die die Maschenströme l 1 , ••• , l,., und die Spannungsquellen E 1 , ••• , E,., haben, durch folgendes Gleichungssystem regiert wird: Z11l1 + Z12l2 + · · · + Z1ml,,. = E1(s), J Z21l1 +Z22l2 +···+Z2,.,lm =E2(s), (20.1) Zul1

l~~-1-;l·~-~~~-/~-~-------; ~~-~~~- •-~~-(~) •

Hierin bedeutet Z;; die Impedanz der i-ten Masche und Z; k die Impedanz des Zweiges, den die i-te Masche mit der k-h,n gemein hat, mit Richtungsvorzeichen versehen. Natürlich sind die meisten Zu,= o, weil jede Masche nur an wenige andere angrenzt. Ebenso sind die meisten Ei = O, da nur wenige Maschen offene Pole enthalten. 1 Wie früher bezeichnen wir die transformierten Größen mit denselben Namen wie die Zeitgrößen,

III., § 20. Analyse allgemeiner Netzwerke. Das Netzwerk als 2m-Pol 357

Das System (20.1) hat dieselbe Gestalt wie das System (14.9), nur sind dort die Koeffizienten p,-,..(s) Polynome n-ten Grades, während hier die Koeffizienten Zik(s) von der Gestalt sind:

z,,k (s)=Ls+R+-1-= Cs

(20.2)

Ls2+Rs+1/C. s · ·

Abgesehen davon ist aber die Diskussion ähnlich wie bei den Differentialgleichungen. · Die m Maschenströme i(t) bzw. I(s) stimmen mit den Strömen in den m Verbindungszweigen überein. Das ganze Netzwerk denkt man sich in einen Kasten eingeschlossen, li: aus dem nur diese Verbindungszweige herausragen (Abb. 20.7). In jedem Verbindungszweig befindet sich ein Polpaar, an dem eine Spannung E (s) an'\ 1 geschlossen werden kann. Ist E (s) aaaa 0, \ 1 so bedeutet das, daß das Polpaar kurz f 1 geschlossen ist. Sind m Polpaare offen, E1 1 1 so heißt das Netzwerk ein 2m-Pol 1 1 I (m terminal pair) oder m-Tor (m-port). I / Wegen der Linearität genügt es wie / ........ .,,.. ---✓✓ in§ 14, die Auswirkung einer einzelnen Erregung unabhängig von den anderen Abb.20.7 zu verfolgen. Ist nur an das µ-te Polpaar eine Spannung Eµ angelegt, während alle anderen kurzgeschlossen sind, so liegt ein Zweipol (one terminal pair oder two terminal network) vor, der schon in § 18 behandelt wurde und jetzt in einem größeren Rahmen erscheint. Wird der Strom in der P-ten Masche für diesen Spezialfall mit I„P bezeichnet, so ist

______

.

1 (s) •P

=

(-1)P+. Dµ,(s) E (s) D(s)

P

(v

=

/

1, ... , m),

wo D(s) = detl!Z;kl! und Dµ,(s) die durch Streichen der µ-ten Zeile und p-ten Kolonne entstehende Determinante ist. Wie in § 18 wird d~s Verhältnis I/E als Admittanz Y bezeichnet: (20.4) (20.5)

(-1)P+P Dµ,(s) D(s)

=

Y,..,(s),

I,,µ(s) = Yµ.,(s) E,.(s).

Da wir m Möglichkeiten zur Herstellung eines Zweipols haben und den Strom an m Stellen messen, erhalten wir m2 Admittanzen. Sie haben eine analoge Bedeutung wie die Übertragungsfunktionen Gµ,(s) bei Differentialgleichungen und sind wie diese rationale Funktionen. Für ,,, = µ, d. h. wenn Strom und Spannung an derselben Stelle gemessen

358

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

werden, heißt Y µ µ in der amerikanischen Literatur „driving point admittance" (die Stelle der Erregung ist der „driving point"); für v =I= µ, d. h. wenn die Antwort der v-ten Masche auf eine Erregung nur in der µ-ten Masche gemessen wird, heißt Yµv „transfer admittance".

§ 21. Analyse und Synthese von Vierpolen Der in der Praxis wichtigste Fall ist der des Vierpols (two terminal pair). Hier sind zwei Verbindungszweige mit den Strömen 1 1 , 12 und den Polpaaren 1, 1' bzw. 2,2' vorhanden, an denen die Spannungen E 1 , E 2 liegen. Alle anderen Verbindungszweige sind kurz geschlossen und interessieren nicht. Der Kasten enthält also keine inneren Quellen (passiver Vierpol). Es ist üblich, die positive Stromrichtung für 1 2 nicht wie früher im Uhrzeigersinn, sondern 1z 2, entgegengesetzt zu nehmen, weil dann f die Polpaare völlig symmetrisch sind und 41 es gleichgültig ist, welches man als „Eingang" und welches als „Ausgang" auf2 faßt. (Über eine Ausnahme bei KettenAbb. 21.t schaltung s. unten.) Darstellung des Vierpols in Abb. 21.1. Die Auflösung der Gln. (20.1) nach 1 1 , 1 2 liefert für den Fall Ea = · · · = Em = 0 Relationen der Gestalt: (21.1)

Ii(s) I2

(s)

= Y11 (s) E 1 (s) + Y 12 (s) E 2 (s), = Y21 (s) E 1 (s) + Y22 (s) E 2 (s).

Die Koeffizienten Yµv sind Quotienten von Determinanten aus den Z;k, also rationale Funktionen, und stellen Admittanzen von Zweipolen dar. So wird z.B. Y 21 = I 2 /E 1 , wenn das Polpaar 2,2' kurzgeschlossen, also E 2 = O wird. Daher heißt (21.2)

Y=ll1Y11 Y21

Y121·1 Y22

die Admittanz- (oder Leitwert-) Matrix des Vierpols und das System {21.1) die Leitwertform der Vierpolgleichungen. Löst man die Gln. {21.1) nach den E 1 , E 2 auf, so ergeben sich Relationen der Form

(21-3)

E1

= Z 11 I 1 + Z12 I 2 ,

wo die Z;k rationale Funktionen von s sind und als Impedanzen von Zweipolen gedeutet werden können. Daher heißt {21.4)

z=

llz11 Z12\\ Z21 Z22

III., § 21. Analyse und Synthese von Vierpolen

359

die Impedanz- (oder Widerstands-) Matrix des Vierpols und das System (21.3) die Widerstandsform der Vierpolgleichungen. Die Matrizen Y und Z sind die Inversen voneinander: z ~ y-1, y = z-1. Schließlich kann man noch E 1 und 1 1 als Unbekannte in den Gln. (21.1) auffassen und nach ihnen auflösen. Das ergibt Relationen der Form Ei= m:E2 m-I2 , (21.5) 11 = ~E2 'r!I2 • Die Matrix

+ +

(21.6) heißt die Kettenmatrix des Vierpols und das System (21.5) die Kettenform der Vierpolgleichungen. Bei einem passiven Vierpol sind Leitwert- und Widerstandsmatrix symmetrisch, d. h. (21.7) Y 12 = Y 21 , Z12 = Z 21 . Der Vierpol ist bereits durch 3 Parameter charakterisiert. Außerdem ist die Determinante

(21.8) so daß auch in lautet: (21.9)

~

nur 3 Parameter frei sind. Die Umkehrung von (21.5)

E2 = 'r! E1 - m11, I2 =-~Ei+ $l.CI1 •

Die Determinante dieses Systems ist gleich Wird der Vierpol mit einem zweiten in praktisch, 1 2 in umgekehrter Richtung als dann der Ausgang des ersten Vierpols als gewohnte Stromrichtung hat. Es ist dann (21.10)

(21.8). Kette geschaltet, so ist es positiv zu rechnen, weil Eingang des zweiten die

1: : 1= + 1.

Der Vierpol heißt symmetrisch, wenn die Vertauschung von Eingang und Ausgang die äußeren elektrischen Eigenschaften des Vierpols nicht verändert. Es ist dann auch noch (21.H)

Y11 = Y22,

Zu= Z22,

m: =

'r!.

Ein symmetrischer passiver Vierpol ist also bereits durch 2 Parameter bestimmt. Bei der Synthese von Zweipolen war der Begriff der positiven Funktion (Definition 19.1) grundlegend. Bei Vierpolen entspricht dem der folgende Begriff.

360

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Definition 21.1. Eine symmetrische Matrix F

= IIF11(s) F12(s) F 21 (s) F 22 (s)

II

mit

F21

= F12

heißt positiv, wenn die quadratische Form

+

+

F 11 (s) x~ 2F12 (s) x1 X2 F22 (s) x: für jedes Paar von reellen Parametern x 1 , x 2 , die nicht gleichzeitig verschwinden, eine positive Funktion von s ist. · Damit ist gleichbedeutend: Definition 21.2. Die Matrix F ist positiv, wenn ihre Elemente positive Funktionen sind und außerdem gilt: 91F11 (s)>O,

91F11 (s)•91F22 (s)-(91F12 (s)) 2 >0

für

ffis>O.

Satz 21.1. Mit der Matrix F ist auch die inverse Matrix F- positiv 1 • Der einen Hälfte des Satzes 19.2 (von BRUNE) entspricht 1

Satz 21.2. Die Admittanz- und die Impedanzmatrix eines passiven Vierpols sind positive Matrizen. Um zu einem allgemeinen Satz über die Synthese von Vierpolen zu gelangen, beschränkt man sich auf das Analogon zur Reactanzfunktion. Definition 21.3. Die Matrix

z = II Zu(s)

Z 12 (s)

heißt eine Reactanzmatrix, wenn

Z11 (s) x~

+ 2Z

12 (s)

x 1 X2

+ Z22(s) x:

für alle reellen Parameterwerte x 1 , x 2 eine Reactanzfunktion ist. Dem Reactanztheorem von FosTER für Zweipole entspricht das Vierpol-Reactanztheorem von CAUER2 : Satz 21.3. Notwendig dafür, daß eine symmetrische Matrix Z als Impedanzmatrix eines Vierpols aus endlich vielen Reactanzen, d. h. Induktivitäten, Gegeninduktivitäten und Kapazitäten, realisiert werden .kann, ist die Bedingung, daß Z eine Reactanzmatrix mit rationalen Elementen ist. Die Bedingung ist auch hinreichend, wenn zu den Reactanzen ein idealer Übertrager 3 hinzugenommen wird. Über die Zusammenschaltung von Vierpolen zu sog. Kettenleitern und die Synthese von Filtern in Form von Kettenleitern s. VI, § 7. [1], S. 146. Hier auch Beweis des folgenden Satzes. Bewiesen 1931, s. die Wiedergabe in CAUER [1], S. 187. Vgl. auch die Darstellung in GUILLEMIN [1], cbap. 7. 8 Dessen Definition s. CAUER [1], S. 160. 1 CAUER

2

III., § 22. Graphische Darstellung der Systemgleichungen

361

§ 22. Gr~phisehe Darstellung der Systemgleiehungen dureh Bloekdiagramm und Signalflußdiagramm Sowohl bei dem System der Differentialgleichungen in § 14 als bei dem System der Netzwerkgleichungen in § 20 ist der Zusammenhang zwischen den Eingangs- und Ausgangsfunktionen im Bildraum sehr einfach. Ist nur eine Eingangsfunktion F (s) wirksam, während alle anderen verschwinden, so läßt sich bei verschwindenden Anfangswerten eine bestimmte unter den Ausgangsfunktionen Y (s) vermittels einer Übertragungsfunktion G(s) nach (14.12} so darstellen (wir lassen jetzt alle Indizes weg): (22.1) Y(s) =G(s)F(s). Beim Netzwerk liegt nach (20.5) ein analoger Zusammenhang vor: F (s) ist durch eine Spannwig, Y (s) durch einen Strom, G (s) durch eine Admittanz zu ersetzen. Übertragungsfunktion und Admittanz sind beide rationale Funktionen von s. Wegen der völligen Ähnlichkeit der Verhältnisse bedienen wir uns im folgenden nur der Sprache der Differentialgleichwigen. Sind die Übertragungsfunktionen des Systems bekannt, so kann man das ursprüngliche Differentialgleichungssystem, das sich auf den Originalraum bezieht, ganz beiseite lassen und bei den weiteren Operationen nur mit der Gl. (22.1) im Bildraum arbeiten. Dabei ist es praktisch, für die Gl. (22.1) ein graphisches Symbol, den „Block" einzuführen, wie es bereits bei einer einzelnen Differentialgleichung (§ 10) geschah. Der Block wird mit der Übertragungsfunktion G(s) beschriftet, die in § 1O das Reziproke eines Polynoms, hier eine allgemeine rationale Funktion ist. F tritt in den Block hinein, Y kommt aus ihm heraus.

F(s)

➔~ ➔ Y(s).

Das Blocksymbol stellt die Struktur des beschriebenen physikalischen Systems für den Ingenieur übersichtlicher dar als das Gleichungssystem. Ist z.B. ein kompliziertes Netzwerk zunächst durch eine Schaltskizze gegeben, so kann man es manchmal in einfachere Komplexe zerlegen, die voneinander unabhängig sind und sich einzeln durch Übertragungsfunktionen, also Blöcke charakterisieren lassen. Durch passende Verbindung der Blöcke entsteht dann ein „Blockdiagramm" als Darstellung des gesamten Netzwerks. Dazu braucht man noch einige Verabredungen. Um anzudeuten, daß mehrere Fwiktionen addiert (manchmal auch subtrahiert) werden sollen, zeichnet man einen Kreis mit einem Kreuz (Summierungselement), in den die Summanden hineinlaufen und aus dem die Summe herauskommt (Abb. 22.1). Bildet der Ausgang eines Blocks G1 (s) den Eingang eines anderen Blocks G2 (s),

362

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

so zeichnet man die Blöcke in Kettenschaltung (Abb. 22.2). Es ist dann also (22.2) Das System kann daher durch einen einzigen Block mit der Beschriftung G1 G2 dargestellt werden. Eine andere wichtige Blockverbindung ist

r

Y,

Y,

Yz

~ Abb. 22.2

Abb.22.1

die Rückkopplung (Abb. 22.3). Die Ausgangsfunktion Y 1 des Blocks G speist den im Rückkopplungsteil liegenden Block H, aus dem die Ausgangsfunktion Y 2 heraustritt. Diese wird mit negativem (manchmal auch positivem) Vorzeichen einem Summierungselement zugeführt, in Y,

[___Cu____1L_

Yr

~~·

'7

Yz

Abb.22.4

Abb. 22.3

das auch die Funktion F eintritt, wobei die Differenz F - Y2 gebildet wird. Diese speist als Eingang den Block G. Es ist

Y1 =G(F-Y2),

Y2=HY1 ,

woraus durch Elimination von Y2 folgt: (22.3)

Y1

=

G

GH

+1

F.

Das ganze System kann daher durch einen einzigen Block mit der Beschriftung G/(G H + 1) dargestellt werden (Abb. 22.4). Die Rückkopplung bewirkt gegenüber der Direktübertragung eine Division der Übertragungsfunktion G durch G H + 1 . Dies wird in der Theorie der selbsttätigen Regelung ausgenutzt, bei der die Rückkopplung den Vergleich einer zu regelnden Größe mit ihrem Sollwert und dadurch ihre Beeinflussung ermöglicht1 • 1 Weitere Ausführungen hierüber siehe z.B. in wo viele weitere einschlägige Werke zitiert sind.

GILLE-PELEGRIN-DECAULNE

'

III., § 22. Graphische Darstellung der Systemgleichungen

363

Legt man einen Katalog von verschiedenen Blockkombinationen mit ihren Übertragungsfunktionen an, so kann man umgekehrt bei Vorliegen einer komplizierteren Übertragungsfunktion darauf zurückschließen, welche reale Schaltung ihr zugrunde liegt. Bei einer Regelung und allgemeiner bei einer Rückkopplung interessiert vor allem die Stabilität des Systems, die (abgesehen von der Funktion F) davon abhängt, ob die NuUstellen des Nenners in der rationalen Funktion G/(G H 1) in der linken oder rechten s-Halbebene liegen. Eine Entscheidung hierüber liefert das Nyquist-Diagramm, das die explizite Berechnung der Nullstellen überflüssig macht (s. L I § 4). In manchen Fällen hängt G (s) von einem linearen Parameter (Verstärkungsfaktor) k ab, so daß die Übertragungsfunktion die Gestalt kG

+

kGH+ t

hat, und es ist zu entscheiden, für welche k das System stabil ist. Man hätte also eigentlich für viele k die Stabilität zu untersuchen. Statt dessen wendet man das „ Wurzelortsverfahren" (root locus method) an1 (s. LI § 4). Die multiplikative Eigenschaft der Übertragungsfunktionen bei Kettenschaltung kann dazu ausgenutzt werden, um die Übertragung in einer gewünschten Richtung zu beeinflussen. Da G (s) die Gestalt

G(s}

=C

(s - o:1) ... (s - o:") (s - /11 ) .•• (s - {1.,)

hat, hängt der Charakter der Übertragung von der Lage und Anzahl der Nullstellen ,x und Pole ß ab. Man kann nun z. B. einen Pol, der die Übertragung in unerwünschtem Sinn beeinflußt, dadurch entfernen, daß man ein „Kompensationsnetzwerk" hinzuschaltet, das an derselben Stelle eine Nullstelle hat, so daß bei der Produktbildung der Pol neutralisiert wird. Dies ist insbesondere für die durch die Kompensation bewirkte Veränderung der Ortskurve des Frequenzgangs (§ 23) von Bedeutung. In ähnlicher Weise kann man auch die Rückkopplung zur Beeinflussung von Übertragungen in einem bestimmten Sinn verwenden. Diese Methoden werden in der Nachrichten- und Regelungstechnik ausgiebig benutzt2 • Das Blockdiagramm ist sehr übersichtlich, hat aber den Nachteil, daß die Blockbeschriftung die innere Struktur des Blocks nicht erkennen läßt, so daß z.B. der Einfluß von nachträglich notwendig werdenden 1 Die Wurzelortskurve wird meist graphisch näherungsweise konstruiert. Man kann aber ihre Gleichung in rechtwinkligen und Polarkoordinaten aufstellen und dadurch die Konstruktion einfacher und präziser machen. Siebe FöLLINGER; LEBNIGK; für die funktionentbeoretische Seite LEPAGE, s. 190. 2 Siehe hierzu GILLE-PELEGRIN-DECAULNE, s. 281; TRUXAL, s. 299, 308, 365.

364

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Abänderungen von Teilelementen auf das Verhalten des ganzen Systems schwer festzustellen ist. Daher wird in der Praxis manchmal die mehr ins Detail gehende graphische Darstellung eines Systems durch ein „Signa/flußdiagramm" vorgezogen. Die Konstruktion eines solchen kann hier nur an einem einfachen Beispiel gezeigt werden 1 • Nach Transformation der Differentialgleichungen liege folgendes System für die Bildfunktionen vor: a1 Y1 - a2 Y2 = F,

+

b1 Y1 b2 Y2 = 0, C2 Y2 - Ca Ys = O. Die Koeffizienten a, b, c sind Polynome in s. Man schreibt die Gleichungen so, daß auf der linken Seite immer eine Funktion allein steht: Y1 = -1-F a1

+~ Y2, a1

Ya = -1 Y2,

Y2 = - bb12 Yi,

Ca

Man markiert für F, Y 1 , Y 2 , Y 3 Knotenpunkte in der Ebene (nicht notwendig auf einer Geraden) und verbindet !lie durch gerad- oder krummlinige Zweige. Man denkt sich die Funktionen als Signale, die durch die Zweige in der durch Pfeile angegebenen Richtung von einem Knoten zum anderen fließen und dabei mit den angeschriebenen, a

f

V, 1

b

r

Yz

Ya

0

az

lt,

ai

~

0

~

0

b,

-1;

f C

Y,

C

~

0

0

. Cz

~

c; d

f 0

. ~ az

1

T,

b1

):, 1

:l c,

0

-bi .-\bb. 22.5

durch die Koeffizienten dargestellten Übertragungsfunktionen multipliziert werden. So fließt z. B. nach der ersten Gleichung F multipliziert mit 1/a1 und Y 2 multipliziert mit a2 /a 1 auf Y 1 zu. Die auf einen Knoten z:iifließ:nde~ Signale sind zu addieren. Nach dieser Anweisung werden die drei Gleichungen der Reihe nach durch die Abb. 22.5 a, b, c 1

Eine sehr ausführliche Darstellung dieser Methode siehe in TRUXAL,

s. 101-176.

III., § 23. Graphische Darstellung des Frequenzgangs

'165

dargestellt. In Wahrheit zeichnet man den gesamten Signalfluß in einem einzigen Bild, s. Abb. 22.Sd. Das Signalflußdiagramm kann offenkundig auch unmittelbar aus dem Differentialgleichungssystem und sogar aus dem ursprünglichen Schaltbild entnommen werden. E.,; liefert ohne Rechnung schon einige Informationen. So zeigt z. B. die zwischen Y 1 und Y2 auftretende geschlossene Schleife, daß in dem physikalischen System eine Rückkopplung vorliegt, denn· Y 1 wirkt auf Y 2 und umgekehrt auch Y 2 auf Y 1 •

§ 23. Graphische Darstellung des Frequenzgangs: Ortskurve, Frequenzcharakteristiken, Bode-Diagramm, Niehols-Diagramm Wenn die Pole der rationalen Übertragungsfunktion G (s) sämtlich in der linken Halbebene liegen, so konvergiert die Antwort auf eine Schwingung eiwt als Erregung, die „Frequenzantwort", mit wachsendem t gegen den stationären Zustand (23.1)

ji.,(t)

=

G(iw)

eiwt.

Das gilt sowohl bei einer einzelnen Differentialgleichung [s. (13-9)] als bei einem System solcher Gleichungen [s. (14.16)] und auch bei dem System der Netzwerkgleichungen(§ 20). G (i w) heißt der Frequenzgang und stimmt mit den Werten von G(s) auf der imaginären Achse überein. Das Ergebnis (23 .1) spielt in der Technik eine große Rolle, einerseits weil in vielen Fällen Schwingungen als Erregungen auftreten und dabei nur der stationäre Zustand der Antwort von Interesse ist, andererseits weil hier keine Rücktransformation nach der Lösung im Bildraum mehr nötig ist, sondern die im Zeitraum bestehende Gl. (23 .1) unmittelbar mit der aus dem Bildraum stammenden Funktion G (i w) angeschrieben werden kann. Die Technik hat darum mehrere Verfahren entwickelt, um den Frequenzgang in praktisch brauchbarer Weise darzustellen. - Es kann nicht genug betont werden, daß der Frequenzgang nur einen Sinn hat, wenn alle Pole von G (s) in der linken Halbebene liegen, weil dies in der technischen Literatt,r manchmal nicht beachtet wird. t. Ortskurve des Frequenzgangs G (i w) ist eine komplexwertige Funktion der reellen Variablen w. Man erhält daher eine übersichtliche Darstellung ihres Verlaufs, wenn man in einer komplexen Ebene die Punkte G (i w) für - oo < w < oo markiert und jeweils die Frequenz w als Kote anschreibt. Die Gesamtheit dieser Punkte ergibt die „Ortskurve" des Frequenzgangs. Betrachtet man die durch z = G (s) vermittelte konforme Abbildung der s- auf die z-Ebene, so ist die Ortskurve in der z-Ebene das Bild der imaginären

366

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Achse der s-Ebene. Da das Nyquist-Kriterium für Stabilität ebenfalls das Bild der imaginären Achse benutzt, wird die Ortskurve manchmal auch Nyquist-Kurve genannt. Die Koeffizienten von G(s) sind reell, daher ist G(-i w) = G(i w). Die zu w und -w gehörigen Kurvenpunkte liegen also symmetrisch zur reellen Achse, man braucht daher nur die Hälfte der Kurve für positive w zu zeichnen. Ist in G (s) der Zähler von kleinerem Grad als der Nenner, so ist lim G (i w) = O für w --+ oo. Die Ortskurve läuft daher für große ru in den Nullpunkt ein.

Abb.23.1

In Abb. 23 .1 ist die Ortskurve für (23.1)

G(s) -

1

1

s2

+ 2ds + 1

'

G(i eo)= -w 2 + 2dwi + 1

für verschiedene Werte von d gezeichnet. Das Beispiel entspricht einer Differentialgleichung zweiter Ordnung und ist für die Bode-Diagramme (s. unten) grundlegend. Durch Maßstabsänderung von s bzw. eo kann man die allgemeine Funktion mit quadratischem Nenner auf die Form (23,1) bringen. 2. Frequenzcharakteristiken Wie schon in §§ 13 und 19 sowie II, § 22 bemerkt, werden in der Zerlegung G(iw) = U(w) + i V(w) die Komponenten, insbesondere

367

III., § 23. Graphische Darstellung des Frequenzgangs

wenn G (s) in der Elektrotechnik die Bedeutung der Admittanz Y (s) hat, so bezeichnet:

U V

= Wirkkomponente = = Blindkomponente =

Conductanz, Susceptanz.

Sie heißen auch reelle und imaginäre Frequenzcharakteristik. Da G (s) bei einem aus endlich vielen Maschen bestehenden Netzwerk eine über die imaginäre Achse hinaus analytische i!-Transformierte, und zwar eine rationale Funktion ist, sind U und V nicht unabhängig voneinander (§ 8). Wenn der Zähler von G(s) geringeren Grad als der Nenner hat, ist G(i w) bei ± quadratisch integrabel. U und V sind daher Hilbert-Transformierte voneinander und genügen den Gln. II, (22.3) bis (22.10), in denen U und V mit H 1 und H 2 bezeichnet sind. In dem Beispiel (23.1) ist

=

U (w)

=

1 -co 2 (1 - co 2 ) 2 (2d co) 2

+

V(w)

'

=

2dco

Man kann diese Funktionen zur Veranschaulichung in einem w, Ubzw. w, V-Koordinatensystem durch Kurven darstellen. A 2,6------~----~

H i6

Z,♦ 1---+----+-------+--+--------l

1.

l,Ow

2,0t-----+----+-----!~,.___--+-+--f----+------i -40"1------->,-t-------f.,.__,,l--_--+-+---+--t---l

1,81----+----+----!-+-+---+--4+-+--+-----l -60"1----+----+----"',1--'k-\c-+---+-+---+----+----! 1,61----+----+---l'--+---+---+-+--+-----l -80°1----+----+----t--t"s.'W-----+-+---+----+----! 1,t-

400°1---+--+--l-+---l\"......,-+-,--+--+--I

1,Z 1---+---,11-,..-,-+----+-'.-+--rt----t--;

1.oi-ca---+----j1---+--+-ir-'1t---+---; 0,81----,..---+---"'-,,-~----i---+--->,--+-----l

O.*l---+--+------1-+--+_:::i,-.._,,-t-,-~ci

o,z1------..;.__,____+-----'-c:--i--.:1 01.-...1........J..--'--'----+---------',I-:-""--

0,2

o,+

0,6 0,8

io V ~•

i6

U l,Ow

Abb.23.2

Wichtiger für die Praxis ist die Zerlegung von G (i w) nach Modul und arcus: G(iw}

= A(w) e•'I'. (25.17) Da beide Gleichungen dieselbe Bauart haben, behandeln wir nur (25.16). Die Rücktransformation ist immer noch schwierig, wird aber sehr einfach, wenn die Parameter in der Beziehung

LG=RC (25.18) stehen. Dann wird nämlich h (s} 2 das Quadrat einer linearen Funktion und (25.19)

h(s)

= (TC )1/2 (L s + R) = (cL )1/2 (Cs + G),

und die Rückübersetzung von (25.16) liefert nach Regel II: _

(25.20) e(x, t) -

{ e-R(C/L)ll•x

0

e(o, t - (C L) 1 f2 x) für t? (C L) 1l2 X,

für O::;;: t < (C L)l/2x.

Das bedeutet eine Fortpflanzung der Eingangsspannung e(O, t) in positiver x-Richtung unter gleichzeitiger, mit x anwachsender Dämpfung. Die Form der Spannung bleibt aber dabei erhalten, deshalb heißt eine Leitung, bei der (25.18} erfüllt ist, verzerrungsfrei.

376

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Hat die verzerrungsfreie Leitung endliche Länge l, so gilt Gl. (25.14) mit dem speziellen h(s) von (25.19). Man kann sich auf den Fall beschränken, daß die Leitung am Ende x = l kurzgeschlossen, d. h. E (l, s) = 0 ist. Denn der zweite Summand geht aus dem ersten durch Ersatz von x durch l - x hervor, bedeutet also eine Übertragung, bei der x = l der Anfangspunkt ist, und die in negativer x-Richtung erfolgt. Ersetzt man die sinh-Funktionen durch Exponentialfunktionen, so ist e-xhC,) _

E(x, s)

=

E(o, s)

1

e- O ist ffi h (s) > O, [ e- 2 lh(s) [ < 1, man kann also den Bruch m eine geometrische Reihe entwickeln: E

s) = E (o, s) {

(x,

i

e-(2n,l+x) h(s) _

n,-o

i:

e-(2 n,l-x)h(s)} •

n,-1

Die einzelnen Terme haben alle die Gestalt (25.16), nur ist x durch 2 n 1 l + x bzw. 2 n 2 l - x ersetzt. Die Originalfunktion zu E (x, s) ist also e(x,

t)

=

00

~ e-R(C/L)•1•c2n,z+x) e(O, t -

(C L)1f2(2n1 l

+ x)),

n 1 -0 00

-

~ e-R(C/Ll 11•(2n,Z-x) e(o,

t - (C L)l/2(2n2l - x)),

n 2 -1

wobei e(O, t) = O für t < O zu setzen ist. Bei einem festen Wertepaar x, t enthält daher jede der beiden Summen nur endlich viele Summanden. Ein bestimmter Wert e(O, t0 ) der Eingangsspannung erscheint in den Punkten x, t, für die t - (C L) 1 i2 (2n1 l x) = t0

+

ist, mit positivem Vorzeichen; in den Punkten, für die

t - (C L) 1 l2 (2n 2 l - x) = t0 ist, mit negativem Vorzeichen. Diese Gleichungen stellen Gerade dar, die in dem Streifen O < x :s;: l eine Zickzacklinie bilden (Abb. 25.2). Die Eingangsspannung wandert also von x = O bis x = l, wird dort unter Umkehrung des Vorzeichens (Phasensprung um :n) reflektiert und wandert zurück bis x = O; dort wird sie wieder mit entgegengesetztem Vorzeichen reflektiert usw. Dabei unterliegt sie einer mit dem Weg wachsenden Dämpfung. An einer Stelle x, t superponieren sich alle Werte der Eingangsspannung, die von den beiden durch x, t gehenden Zickzacklinien herangetragen werden, wobei sich das Vorzeichen nach der Anzahl der Reflexionen richtet (Abb. 25.3). Wenn die Leitung nicht verzerrungsfrei ist, ist der Fortpflanzungsund Reflektionsvorgang im Prinzip der gleiche, nur hinterläßt jede

III., § 25. Das Gleichungssystem einer elektrischen Doppelleitung

377

Erregung an einer Stelle, über die sie hinweggegangen ist, einen Rückstand. Diese Rückstände werden in Form von Integralen aufsummiert x,t ll, •,?

ta ----------- --- -

+

l

0

X

l

0

Abb.25.,.

X

Abb.25.3

und bewirken eine Verzerrung der Übertragung. Wegen der Umfänglichkeit der Formeln muß hierfür auf die Literatur verwiesen werden 1 . Der stationäre Zustand für den Spezialfall einer sinusartigen Eingangsspannung Vor Einführung der ~-Transformation in die Elektrotechnik behandelte man die Gln. (25.1) der Doppelleitung nur für den Spezialfall, daß die angelegten Spannungen bzw. Stromstärken Schwingungen der Form eiwt sind, und außerdem unter der Voraussetzung, daß es sich nicht um einen Einschaltvorgang, sondern einen von t = - oo bis oo laufenden Dauervorgang handelt. Die Berechnungen bedienten sich dabei der sog. komplexen Wechselstromrechnung, die auch heute noch in diesem Spezialfall vielfach angewandt wird. Es wird dabei von vornherein vorausgesetzt, daß e(x, t) und i (x, t) ebenfalls Schwingungen, aber mit einer von x und w abhängenden Amplitude und Anfangsphase sind, also die Form haben:

+

(25.23)

e(x, t)

=

E(x, i w) e• 111 t,

i(x, t)

=

I(x, i w) eiwt,

E (x, i w) und J (x, i w) werden als „komplexe Spannung bzw. Stromstärke" bezeichnet. Geht man mit dem Ansatz (25.23) in die partiellen 1 Für die Leitung mit beliebigen Konstanten s. im Fall l S. 278; [5], S. 182; im Fall eines endlichen l [3], S. 47,

=

oo

DoETSCH

[4],

378

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Differentialgleichungen (25.1) hinein, so erhält man nach Division durch den Faktor eiw I für E und I genau dieselben gewöhnlichen Differentialgleichungen wie (25.4), nur ist überall s durch i w ersetzt1. Infolgedessen gelten für E(x, iw) undl(x, iw) auch sämtliche Gln. (25.8) bis (25.15), wenn man in diesen ebenfalls s durch i w ersetzt. Die oben nötige Übersetzung in den Originalraum fällt jetzt weg, weil man die erhaltenen Funktionen E(x, iw) und I(x, iw) nur noch mit eiwt gemäß (25.23) zu multiplizieren braucht, um die Zeitfunktionen zu erhalten. Diese stellen einen stationären, von t = - oo bis + oo laufenden Vorgang dar. In der Elektrotechnik nimmt man nun ohne Beweis an, daß diese Funktionen auch bei einem Einschaltvorgang den stationären Zustand wiedergeben, der sich nach Ablauf einer hinlänglich großen Zeitspanne einstellt. So sieht man z. B. die Spannung in einer unendlich langen Leitung im stationären Zustand auch bei einem Einschaltvorgang gemäß (25.16) als durch (25.24) e(x, t) = E(O,iw) e-xMiw) eiwt = e(O, t) e-xh(iw) bestimmt an. In § 36 wird gezeigt, daß dies tatsächlich richtig ist, und überdies die Differenz gegenüber dem exakten Ablauf angegeben. Die Methode, die oben am Beispiel der elektrischen Doppelleitung vorgeführt worden ist, wurde seit 1924 bei zahlreichen Problemen aus der Mechanik, Elastizitätstheorie, Wärmeleitung, Diffusion, Hydrodynamik, Aerodynamik, drahtlosen Telephonie usw. angewandt. Siehe die zusammenfassenden Darstellungen CARSLAW-jAEGER, CHURCHILL [JJ, DOETSCH [3], [4], MCLACHLAN, SCHOUTEN, WAGNER.

5. Berechnung der Originalfunktion zu gegebener Bildfunktion durch Reihenentwicklung § 26. Entwicklungen in Potenzreihen Die Lösung von Funktionalgleichungen vermittels ~-Transformation vollzieht sich immer in der Weise, daß die Gleichung vom Originalin den Bildraum übersetzt und die entstehende Bildgleichung gelöst wird. Der letzte und meist schwierigste Schritt besteht in der Berechnung der Originalfunktion, die zu der gefundenen Bildfunktion gehört. Zu einer großen Anzahl von Bildfunktionen sind die korrespondierenden Originalfunktionen im Lauf der Zeit explizit berechnet und in Tabellenwerken zusammengestellt worden (vgl. Tab. 2). Wenn man zu einer Bildfunktion die Originalfunktion nicht in den Tabellen findet und 1 Dieselben Gleichungen ergeben sich auch bei Anwendung der FourierTransformation, vgl. hierzu II, § 1 5.

III., § 27, Entwicklung nach Laguerreschen Orthogonalfunktionen

379

auch nicht durch geeignete Kombinationen von bekannten Korrespondenzen bestimmen kann, nimmt man seine Zuflucht i. allg. zu Reihenenfu,icklunge.n. Läßt sich die Bildfunktion F (s) in eine Reihe F (s) = I F,. (s) entwickeln, deren Glieder Bildfunktionen sind, so kann man manchmal die Reihe gliedweise übersetzen: f (t) = I f,. (t). Natürlich ist das nicht immer möglich, weil es auf die Vertauschung einer unendlichen Reihe mit dem (uneigentlirhen) 2-Integral bzw. dessen l'mkehrung hinausläuft. Im folgenden werden zunächst Reihentypen angeführt, bei denen die gliedweise Übersetzung allgemein erlaubt ist. Dabei handelt es sich um Bildfunktionen, die außerhalb eines Kreises um den Nullpunkt analytisch, aber nicht notwendig eindeutig sind. Satz 26.1. Wenn F (s) in eine Reihe nach absteigenden Potenzen von s eni'wickelt werden kann: 00 F(s) = ~ s~:1, n-0

die fiir I s 1 > R kom•ergiert, so ist F (s) eine Bildfunktion, und ihre Originalfunktion kann durch gliedweise Übersetzung hergestellt werden: 00 a,. f{t) = ~-tn. n-onl

Diese Reihe konvergiert für alle komplexen s und stellt ez·ne ganze Funktion vom Exponentialtypus dar 1 :

II (t) 1< c ec111. Satz 26.2. Wenn F(s) in eine für I s 1 > R absolut konvergente Reihe der Form oo a

F(s)=~-" 5.I.,. n-0

entwickelt U'erden kann, wo die Ä.,, eine beliebige aufsteigende Zahlenfolge O < Ä.0 < .Ä. 1 < • • • - oo bilden, so ist F (s) eine Bildfunktion, und ihre Originalfunktt"on ergibt sich durch gliedweise Übersetzung:

f (t) =

,eo an ,.1.,.-1 00

I'(}.,.) •

Die Reihe konvergiert für alle komplexen t mehrdeutige Funktion dar 2 •

+0

und stellt eine i. allg.

§ 27. Entwicklung der Originalfunktion nach Laguerreschen Orthogonalfunktionen In Theorie und Praxis sind Entwicklungen nach Orthogonalfunktionen besonders vorteilhaft, weil sich bei ihnen die Koeffizienten sehr einfach bestimmen lassen. Die typischen Orthogonalfunktionen im 1 DoETSCH

[4], S. 191.

S DoETSCH

[4], S. 188.

380

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Intervall o ~ t < oo sind die Laguerreschen Funktionen e- 112 Ln (t) (n = o, 1, ... ) , wo die Ln(t) die Laguerreschen Polynome

Ln (t)

n

= I (-1)~ •-0

(

n) t• e' d"' " vT = nf dt" (e-t tn)

sind. Die Orthogonaleigenschaft ergibt sich aus der Relation

Je- Lm (t) Ln(t) dt = {o1

für m =+= n, f"ur m_ n.

00

1

0

Die Laguerreschen Funktionen besitzen die 2-Transforrnierten o {

-1/2

~ e

L (t)} n

=

(s - ½)"'

(s

+ ½)" +1 •

Eine in der Halbebene ffi s > O analytische Funktion F (s) läßt sich in eine Reihe nach diesen Funktionen entwickeln: 1

00

(

s_ ½)n

F (s) = s + ½ n~ qn s + ½ •

(27.1}

Wenn F (s) eine Bildfunktion ist und die Reihe gliedweise übersetzt werden darf, erhält man eine Darstellung der Originalfunktion durch eine Reihe nach Laguerreschen Funktionen, die auch für numerische Rechnungen brauchbar ist, weil diese Funktionen tabelliert sind. Sätze über Entwicklungen nach Orthogonalfunktionen werden bekanntlich besonders einfach, wenn man die Klasse der quadratisch L-integrablen Funktionen zugrunde legt und die punktweise Konvergenz durch quadratische Mittelkonvergenz ersetzt (s. hierzu I, § 2). Das ist der Grund, warum im folgenden Satz diese Begriffe benutzt werden. Satz 27.1. Eine für ffi s > 0 analytische Funktion ist durch eine absolut konvergente Reihe der Form (27.1) darstellbar; die Koeffizienten bestimmen sich durch die Werte der Ableitungen von F(s) in s = ½:

(27.2) Notwendig und hinreichend dafür, daß F(s) die ~-Transformierte einer 00

Funktion /(t)EL2(0, oo) darstellt, ist die Konvergenz von Ilq„1 2 • Es ist dann 1 · n-o n

f (t) = l.i. m. e-112 ,,_ I q. L. (t). n----,..oo

(27,3)

0

Wenn F(s) für !R s > x0 > O analytisch ist, wendet man den Satz auf F (s x0) und e-:rot f (t) an.

+

1 DOETSCH

[l], S. 301,

381

III,, § 28. Entwicklung nach Exponentialfunktionen

§ 28. Entwicklung der zu einer meromorphen Bildfunktion gehörigen Originalfunktion nach Exponentialfunktion(m Bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen und Systemen von solchen treten im Bildraum rationale Funktiunen auf, deren Originalfunktionen man durch Partialbruchzerlegung bestimmt. Es ergeben sich Summen von ExponentiaJfunktionen, evtl. mit Polynomen multipliziert (s. § , ) . Bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen treten im Bildraum häufig meromorphe Funktionen auf, das sind Funktionen, die wie die rationalen in der ganzen Ebene bis auf isoliert liegende Pole analytisch sind. Die Anzahl der Pole ist aber i. allg. unendlich. So ergaben sich z. B. in § 25 Quotienten von hyperbolischen Funktionen, die in den Nullstellen der Nenner Pole haben. In der technischen Literatur wird häufig auch in diesem Fall eine Partialbruchzerlegung vorgenommen, d. h. es werden die zu den Polen gehörigen Hauptteile bestimmt, worauf die Bildfunktion als die Summe dieser Hauptteile angesehen wird. Die Originalfunktion wird dann wie im Fall der rationalen Funktionen durch gliedweise Übersetzung gewonnen. Dieses Verfahren ist nicht legitim und führt nur zufälligerweise manchmal zum richtigen Resultat. Schon die Darstellung der Bildfunktion als Summe ihrer Hauptteile ist i. allg. nicht richtig, denn es kann noch eine ganze Funktion, die in der ganzen Ebene keine Singularitäten hat, als Summand hinzutreten, und deren Bestimmung ist meist schwierig. Außerdem ist Yz die gliedweise Übersetzung nicht ohne weiteres Y, statthaft, da es sich i. allg. um unendlich viele Summanden handelt. Man kann dieser Methode eine solide Grundlage geben, indem (J(,1 C( man auf die Bildfunktion, die wie in § 25 von einer weiteren Variablen x abhängen möge: U (x, s), das komplexe Umkehrintegral anwendet: ·y 0

a+i

(28.1). u(x, t)

1 -. = Y-+oo lim -2:iii

J

-·

el• U(x, s) cls

a-iY

(unter der Voraussetzung, daß es tatsächlich die Originalfunktion liefert) und dieses -~ durch Residuenrechnung auswertet. Zu dieAbb.2s.1 sem Zweck setzt man an die Vertikale mit der Abszisse a auf der linken Seite Hilfskurven G: 1 , G: 2 , ••• an, die in den Höhen Y 1 , Y 2 , •.• beginnen und in - Y 1 , - Y 2 , •.• enden, und die der Reihe nach die Pole ,x 1 , ,x2 , ••• von U(x, s) einschließen. Das können

382

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

Halbkreise, Rechtecke oder ähnliche Kurven sein (s. Abb. 28.1). Dann ist nach dem Cauchyschen Residuensatz

f

a+iYn

_ 1 __

(28.2)

2ni

ets U(x, s) ds

1 -. f e +2ni

18

a- iYn

= Summe

U(x, s) ds

11n

der Residuen von e1• U (x, s) in o.1 ,

••• , T konvergiert. In der linken Halbebene ffi s < a habe Y (s) keine anderen Singularitäten als die Pole ixv (a > ffi ix 0 > ffi °'I > •••) mit den Hauptteilen

(34.1) 1 DOETSCH

Ci"l --+ .. ·+ (s-.x,,}"'" . . s-.x,, C~

[2], S. 110.

391

III., § 35, Entwicklung, wenn die Bildfunktion mehrdeutig ist

Für gewisse Zwischenpunkte ß. mit ffi ''•+l < ß. < \H 1', soll gelten: 1. In jedem Streifen ß, ~ \){ s s;; a strebt Y(s) fiir s - oo (nach oben und unten) g(!gen O, gleichmäßig hinsichtlich ms. +oo

2.

J eit -oo

II

Y (ß.

+ i y) d y +oo

z. B. erfüllt, wenn ( 1 Y (ß,

kom•ergiert gleichmäßig für t > T. Das ist

+ i y)

1

d y konvergiert. Dann gilt für t

--+

oo:

-oo

(34,2)

00 ( y(t) ,.,,, :J; c'{' ,_ 0

t tm,-1 ) + c~>-+.,. + c~•(m,-1)! -- - e°'•t. 11

Formal stimmt die Entwicklung mit der in § 28 aufgestellten konvergenten Reihe (für Pole beliebiger Ordnung) überein. Eine Anwendung von Satz 34.1 findet sich in § 36.

§ 35. Asymptotisehe Entwicklung der Originalfunktion,

wenn die Bildfunktion an der singulären Stelle mit größtem Realteil mehrdeutig ist Wenn man bei Verschiebung des Integrationswegs in dem komplexen Umkehrintegral nach links an eine Singularität von mehrdeutigem Charakter stößt, wie z.B. (s - ,x) 1 12 oder (s - ,x)-112 oder log (s - ,x), so ist das Verfahren von§ 34 nicht anwendbar, weil es auf dem Cauchyschen Residuensatz beruht, der die Eindeutigkeit der Singularitäten voraussetzt. Man kann also höchstens den Integrationsweg bis an die singuläre Stelle ,x mit größtem Realteil verschieben, wenn man ,x selbst durch einen Halbkreis nach rechts umgeht (Abb. 35.1 a). Über das so

a a Abb. 35.1

entstandene Integral läßt sich noch keine asymptotische Aussage machen. Wenn es aber möglich ist, die beiden geraden Teile des Weges so nach links zu drehen, daß sie einen Winkel ± "P mit 7'/2 < 'l/1 s;; n mit der Horizontalen bilden (Abb. 35.1 b), der Weg also einen „Winkelhaken" ,m darstellt, so wird das Konvergenzverhalten des Integrnls

392

C. Funktionaltransformationen. III. Laplace-Transformation

entscheidend verbessert, weil auf den nach links laufenden Strahlen )R s gegen - oo, also e1 s bei positivem t gegen O strebt, während e1 • vorher auf den vertikalen Strahlen nur oszillierte. Man kann zeigen, daß das Integral über ms eine Funktion darstellt, die in einem nach rechts offenen Winkelraum der t-Ebene analytisch ist, und daß es unter dem Integralzeichen differenziert werden darf1 , während das Integral mit geradlinigem Weg (das in Wahrheit ein Fourier-Integral ist) auch nichtanalytische Funktionen darstellen kann und i. allg. nicht unter dem Integralzeichen differenzierbar ist. Es leuchtet aber ein, daß man asymptotische Entwicklungen nur für analytische Funktionen bekommt. In der Tat läßt sich das Integral über den Winkelhaken ms unter geeigneten Voraussetzungen über die Singularität in x asymptotisch entwickeln. Natürlich muß außerdem die Möglichkeit der Verlegung des Integrationswegs von der Vertikalen bei der Abszisse a auf den Winkelhaken ms bei öl, gewährleistet sein.

Satz 3o.l. Die Originalfunktion y (t) sei zunächst für t > T durch das komplexe Umkehrintegral a+ioo

= -2ni

1- .

y(t)

J

et• Y(s) ds

a-ioo

darstellbar. Die am weitesten rechts liegende singuläre Stelle von Y (s) sei s =!X. In einer Umgebung von x gestatte Y (s) die absolut konvergente Entwicklung Y(s)

=

00

~ c,(s •-0

-

!X)Av

(Äo


0 konvergiert (n z 1) und (3.1) f'(-oo) = f"(- oo) = • • • = j(n-l) ( - oo) = 0

ist, so konvergiert auch 2n {/ (t) - f (- oo)} für s0 , und für s = so gilt: (3.2) 2n{f1),

+

wenn z aus dem Gebiet lzl ~ 1, z 1, zweidimensional gegen 1 strebt3 (Abb. 4.1). Dann gilt

f n,...,

Abb. 4.1

A -1 I'(µ) ~

fur ..

n

➔

oo.

Auch eine von DARBOUX herrührende Methode, von den Singularitäten von I /11 z" auf das Verhalten von / 11 für n -+ oo zu schließen (s. A IV§ 1}, kann durch Ersatz von z durch z-1 für die ,8-Transformation nutzbar gemacht werden. 1 Die sog. Tauberschen Sätze für Potenzreihen, die das tun, sind für die Praxis unbrauchbar, weil sie von vornherein gewisse Kenntnisse über die/,. voraussetzen. 2 Der Satz folgt aus DOETSCH [2], Satz 4, wenn dort z durch z- 1 ersetzt wird. Weitere Sätze dieser Art könnte man mit der dortigen Methode für andere Singularitätentypen wie z.B. F(z) ~ log(z - 1) ableiten. 8 Dl:IS bedeutet: Zu jedem e > O gibt es ein IJ, so daß i(z-1)PF(z)-AI ,& •

Da G,o-(s) keine rationale Funktion ist, läßt sich der Haltekreis nur approximativ durch ein Netzwerk realisieren. Weil die Impulsfolge f* (t) durch f (t) best~mmt ist (aber nicht umgekehrt), muß sich 2{/*(t)} = F*(eT•) aus 2{/(t)} = F(s) berechnen lassen. Dies geschieht folgendermaßen: Satz 8.1. Wenn f (t) in jedem endlichen Intervall eine beschränkte Ableitung f' besitzt und 2{1 f' I} existiert, so ist (8.8)

F*(eT•)

=

/(O) 2

+ ....!... I F (s +im~). T m--oo T

Aus F* (z) lassen sich die Werte f (n T) durch die Umkehrformeln von § 2 gewinnen. Über die Zwischenwerte von j (t), d. h. die Werte in den Tastpausen, kann F* (z) naturgemäß keine Information liefern1. Wenn man diese Werte erfassen will, muß man aus ihnen neue Folgen n T + -r, wo -,; fest und O < -,; < T ist, bilden. Die Gesamtheit dieser Folgen bei variablem -,; repräsentiert dann sämtliche Funktionswerte 1 Das Abtasttheorem von SHANNON (s. II,, § 6) ist hier nicht anwendbar, weil / (t) keine für alle t analytische Funktion ist, sondern für t < O verschwindet.

425

VI., § 9. lmpulsgesteuerte Systeme (Abtastsysteme)

von /(t). Zu den Werten / (n T 00

(8,9)

F: (z)

=I

f(n T

n-0

+ r)

gehört die ß-Transformierte

+ -r) z-n

_(O

(t).

428

C. Funktionaltran~formationen. VI. 3-Transformation

G-t1(s) G(s) = R(s) ist die 2-Transformierte der Antwort r(t) des Systems auf den Puls g-tl (t) als Erregung. Aus der Gl. (9.8) in der Form Y (s)

= R (s) F* (eT•)

folgt wie in (9.2) die Darstellung im Raum der Zeitfunktionen: [t/T]

(9,9)

1

y(t)

= n~/(n T) r(t - n T)

Die „Pulsantwort" r (t) kann man noch durch die geläufigere Sprungantwort (s. III, § 13, Nr. 2) des Systems ausdrücken, die wir früher mit y,. (t) bezeichneten und die wir jetzt h (t) nennen wollen. Wegen g-t1(t)

=

k[u(t) - u(t - -D)]

mit

u(t - -D)

=

r(t)

=

k[h(t) - h(t - ,ß,)]

mit

h(t - -D)

= o für

O für

t - ,0, < 0

ist t - -D

< o.

Man kann daher (9.9) in der Form schreiben: (9.10)

1 y(t)

=

k~~)(n T) [h(t - n T) - h(t - n T - -D)J 1

Dabei ist zu beachten, daß in dem letzten Glied mit n

=

[t/T]

t - n T - # = t - [t] - # < O für t - [t] < #, also h (t - n T - -D) = 0 ist. Für t - [t] < {} lautet also das letzte Glied nur k f ([t]) h (t - [t]). Eine Beschreibung des Prozesses in der Sprache der 3-Transformation ist wie anschließend an (9.7) möglich. 2. Synchron arbeitende Taster vor und hinter dem linearen System

In diesem Fall wird die Ausgangsfunktion y (t) in (9,9) nur in den Zeitpunkten t = n T festgestellt und während der Pulsdauer {} festgehalten. Es ist also (9.11)

y(n T)

= ~" f('P T) r((n - 'P) T) ~-o

Nach dem Faltungssatz gilt daher für die zugeordneten ,8-Transformierten (9.12)

1

Y* (z)

=

F* (z) R* (z)

1

Diese Beschreibung des Prozesses in der Sprache der ,8-Transformation lautet analog zu (9.4), nur ist die .B-Transformierte G* (z) der Impulsantwort durch die 3-Transformierte R* (z) der Pulsantwort ersetzt.

VII., § 1. Endliche .Exponentialtransformation

429

3. Nicht synchron arbeitende Taster vor und hinter dem linearen System Wenn die Eingangsfunktion zu den Zeiten n T, die Ausgangsfunktion zu den Zeiten n T (0 < , < T) getastet wird, folgt aus

+,

(9,9):

II

(9.13)

+ i-) = ~-0 'J; f(v T) r((n -v) T

y(n T

+-r)

und wie in (9.7) mit CX)

'J: r(n T + .-) z-n =

n-o

(9.14)

1

Y~ (z)

R: (z):

= F* (z) R: (z)

1

Bei variierendem , erhält man eine Beschreibung des Falles Nr. 1 in der Sprache der .8-Transformation. R• (z) und R: (z) kann man wieder als Übertragungsfunktionen bezeichnen.

Kapitel VII. Endliche Transformationen Die in II. bis Y. behandelten Transformationen wurden durch Integrale über unendliche Intervalle dargestellt, sie sind daher Problemen angepaßt, bei denen sich eine der unabhängigen Variablen in einem ein- oder zweiseitig unendlichen Intervall bewegt. Variiert eine der Variablen in einem endlichen Intervall, so wird man eine durch ein Integral über dieses Intervall dargestellte Transformation benutzen. Bei der Transformation der Ableitungen treten dann die Werte der Originalfunktion an den Rändern des Intervalls auf, so daß die Methode gewissen Randwertproblemen angepaßt ist. Benutzt man als Kern des Integrals dieselben Funktionen wie früher, so gibt man den Transformationen auch dieselben Namen, nennt sie aber zum Unterschied .,endliche" Transformationen.

1. Endliche Fourier-Transformation § 1. Endliche Exponentialtransformation Das Analogon zur Fourier-Transformation ist im endlichen Intervall

-l:s;;x:s;;+l +!

(1.1)

Fn

=

f

-!

e-in

~

x

f(x) dx

= lYlff(x)}

(n

= 0, ±1, ±2, • • ,).

430

C. Funktionaltransformationen. VII. 1. Endliche Fourier-Transformation

+

Diese Transformation ordnet einer in - l < x :S: l integrablen Originalfunktion f(x) eine zweiseitige Bildfolge ... F_2, F_1, Fo, F1, F2,. •. zu. F „ ist nichts anderes als der Fourier-Koeffizient von f (x) bezüglich des vollständigen Orthogonalsystems .

"

(-l, +l),

im Intervall

e -znTx

n

=

0,

± 1, ...

Die Umkehrung der Transformation wird daher durch die Fourier-Reihe 1

f(x)

(1.2)

+oo

= 2l n--oo ,J; Fne

- inl!..x 1

geliefert, wenn eine der bekannten Bedingungen dafür, daß die Reihe konvergiert und f (x) darstellt, erfüllt ist. Von Wichtigkeit für die Anwendungen ist das Riemann-Lebesguesche Lemma: Wenn f(x) integrabel ist, so gilt F 11 -+ 0 für n --+ ± oo.

in

jxj ~ l

absolut

Die Abbildungsgesetze der fü-Transformation Satz 1.1 (Differentiationssatz). Ist /(x) in I xj bar und fM (x) integrabel, so ist

~

l v-mal differenzier-

7riYi{f (x)} + (-1)n [(f(•-ll (l) - jC•-ll (-l)) +in 7 (fC•- l (l) - f(•- l (-l)) +···+(in 7r-i (f(l) - f(-l))].

fü{f(•l (x)}

=

(in

2

2

Als Faltung zweier Funktionen / 1 (x), f 2 (x) im Intervall (- l, l) bezeichnen wir das Integral +I

f1 * /2 = ff i(x - ~) f2md ~. -l

Dazu muß / 1 in -2l < x < +2l, / 2 in - l ~ x < +l definiert und integrabel sein. Damit das Integral existiert, setzen wir noch eine der beiden Funktionen als beschränkt voraus. Die Faltung ist i. allg. nicht kommutativ. Jedoch gilt: Satz 1.2. Sind / 1 und f2 periodisch mit der Periode 2l, so ist die Faltung kommutativ, d. h. l1 2 = f2 * /1 •

*/

Satz 1.3 (Faltungssatz). Hat / 1 die Periode 2l, so ist fü{f1 * M = fü{li} · fö{MBenutzt man die ~r Transformation zur Lösung einer Differentialgleichung z. B. zweiter Ordnung, für die die zwei Randwerte y (l), y (- l) gegeben sind, so treten bei der Transformation der zweiten Ableitung nach Satz 1.1 die Differenzen

y (l) - y (- l),

y' (l) - y' (- l)

VII., § 2. Endliche sin- und cos-Transformation

431

auf, also werden mehr Randwerte benötigt als gegeben sind. Dies kann man so vermeiden: Man betrachtet die Gleichung nicht im Intervall (- l, l) , sondern in (0, l) und gibt die Randwerte y (0) = o und y (l) vor. Setzt man nun y (x) durch die Definition y (- x) = -y (x) als ungerade Funktion in das Intervall (- l, O) fort, so wird y' (- x) ~ y' (x), also y' (l) - y' (- l) = 0. Es kommen daher nur die gegebenen Werte vor. Mit der Definition y (- x) = -y (x) nimmt die fö-Transformation die Gestalt an: +l

l

f e-infx y(x) dx =f (e-in ~ x - l

e+infx) y(x) dx

0

l

= -2i

f y(x)

sinn; x dx.

D

Man kann daher statt des obigen Kunstgriffs die endliche sin-Transformation oder, wenn die Fortsetzung als gerade Funktion möglich ist, die endliche cos-Transformation anwenden. Da wir diese Transformationen im nächsten Paragraphen ausführlich behandeln, verzichten wir auf die Durchführung eines Beispiels für die Anwendung der fö-Transformation1 • Der Faltungssatz kann bei der Lösung von Fredholmschen Integralgleichungen vom Faltungstypus mit Vorteil angewendet werden, worauf wir hier nicht näher eingehen können.

§ 2. Endliche sin- und cos-Transformation Die endliche sin- bzw. cos-Transformation im Intervall O ~ x :s:;; l ist definiert durch l

f f(x) sinn ; F,. = f f(x) cos n ; f,. =

(2.1)

0

x dx == S{/(x)}

(n

=

1, 2, ... ),

x dx == i{f(x)}

(n

=

0, 1, ..• ).

1

0

Die Umkehrungen werden gegeben durch die Fourier-Reihen

/(x)

2

00

=-y I

•

n

F„smnTx,

n-1

(2.2)

1 Über die ij1-Transformation und ihre Anwendung zur Lösung eines Randwertproblems einer partiellen Differentialgleichung s. DoETSCH [8].

432

C. Funktionaltransformationen. VII. 1. End.liehe Fourier-Transformation

Im Intervall O ~ x cosn

. nT n x b zw. l bilden die Funktionen sm

~

7x je ein vollständiges Orthogonalsystem. Die Abbildungsgesetze

Wendet man die 6- oder Q:-Transformation auf eine Ableitung ungerader Ordnung an und formt das Integral durch sukzessive partielle Integration um, so erscheint zuletzt die andere Transformation, was zu keinem brauchbaren Gesetz führt. Bei Ableitungen gerader Ordnung tritt dieser störende Umstand nicht auf. Satz 2.1. Ist f (x) in O -S: x ;;;: l 2 v-mal differenzierbar und j( 2 •) (x) integrabel, so ist

!E{f(2v) (x)} = (-1)•

(n 7)2'

E{/(x)}

7[(-1)nf(2,-2l(l)-jJ2r{/1 * M = >JT{li} • >JT{M • wobei f 1 * f2 nach (8.2) zu berechnen ist. Auf der rechten Seite kann >JT durch >J 2 T ersetzt werden.

§ 9. Randwertprobleme für eine gewöhnliche Differentialgleichung Wir betrachten die Differentialgleichung n-ter Ordnung (9.1)

Cn yin)

+

Cn-l

yCn-ll+ • · • + C1 Y' + Co Y

= f (t)

im Intervall O ~ t < T unter n beliebigen linearen Randbedingungen (9.2)

Lh-(y (0). y' (0)' ...•

y(n-l)

(k

=

(0); y (T)' y' (T)' ... '

yfn-l)

(T))

= Yk

1, ... , n),

wo Lh- eine lineare Kombination der Argumente mit konstanten Koeffizienten ist. Nach Satz 8.1 geht (9.1) durch 2r-Transformation mit -tlr{y} = Y (s), 2r{/} = F (s) über in die Bildgleichung n

(9-3)

v-1

p (s) Y (s) = F (s) + _1' c,_1' y

0, o,;

=j=

1, 2, ... )

o