Algebraische Kurven und Flächen: Band 2 Algebraische Flächen 3. Grades und Raumkurven 3. und 4. Grades [Reprint 2019 ed.] 9783111364360, 9783111007182

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

436/436a

ALGEBRAISCHE KURYEN UND F L Ä C H E N you

DR. P H I L . W E R N E R

BÜRAU

apl. Prof. an der Universität Hamburg

B A N D II A L G E B R A I S C H E F L Ä C H E N 3. G R A D E S

UND

R A U M K U R V E N 3. U N D 4. G R A D E S

Mit 17 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göechen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1962

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: Band I: Algebraische Kurven der Ebene (Sammlung Göschen Bd. 435) Band II: Algebraische Flächen 3. Grades und Raumkurven 3. und 4. Grades (Sammlung Göschen Bd. 436/436a) Die Bilder und Beispiele hat freundlicherweise Herr Oberstudiendirektor Dr. A r n o l d B a u r , Lübeck, zur Verfügung gestellt.

© Copyright 1962 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung / J Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp., Berlin W 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7713629. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

Literaturverzeichnis

5

Einleitung

7

A. Involutionen und Korrespondenzen zwischen Geraden

7

B. Realitätstypen von Ebenen und Geraden des komplexen P3

10

C. Nullkorrelationen und Polaritäten des P 3 . . . .

10

D. Einiges aus der Liniengeometrie des P 3

11

Kapitel I. Algebraische Flächen 2. und 3. Grades § 1. Grundeigenschaften der Quadriken des P3 vom Standpunkt der algebraischen Geometrie § 2. Einige Grundeigenschaften algebraischer Flächen des P„ . § 3. Die Dualgebilde zu den algebraischen Flächen und ihre Beziehung zu den Punktgebilden § 4. Schnitte algebraischer Flächen und Bözoutscher Satz im P3 § 5. Flächen 3. Grades mit Singularitäten und ihre Projektion auf die Ebene § 6. Flächen 3. Grades mit 4 isolierten Knotenpunkten und ihre Dualisierung zu Steiners Römerfläche § 7. Einige Sätze über Geraden auf kubischen Flächen . . . . § 8. Kubische Eegelflächen § 9. Weiteres über die 27 Geraden der allgemeinen kubischen Fläche § 10. Die Konfiguration der 27 Geraden einer kubischen Fläche § 11. Ebene Abbildung der kubischen Fläche § 12. Projektive Erzeugungen der kubischen Flächen und Steinersche Triederpaare § 13. Kealitätstypen der 27-Geradenkonfiguration 1*

14 17 24 28 30 34 40 47 57 63 72 80 86

Inhaltsverzeichnis

4

Kapitel II. Algebraische Raumkurven § 14, Vorläufige B e m e r k u n g e n ü b e r S c h n i t t e a l g e b r a i s c h e r F l ä c h e n , insbesondere von Quadriken 91 § 15. I r r e d u z i b l e algebraische M a n n i g f a l t i g k e i t e n als Nullstellengcbilde v o n P r i m i d e a l e n 96 § 16. Definition u n d G r u i u l e i g e n s c h a f t e n der k u b i s c h e n N o r m k u r ven 103 § 17. Dualgebilde zur k u b i s c h e n N o r m k u r v e I7® u n d ihrer Sehnenkongruenz 113 § 18. P r o j e k t i v e E r z e u g u n g e n der der e n t s p r e c h e n d e n Dualgebilde

ihrer S e h n c n k o n g r u c n z u n d 117

§ 19. n a t i o n a l e K u b i k c n der E b e n e als P r o j e k t i o n e n der 1'® . . . 123 § 20. Kinige allgemeine T a t s a c h e n ü b e r d o p p e l t b i n ä r e F o r m e n u n d K u r v e n auf Q u a d r i k e n § 21. Definition u n d G r u n d e i g e n s c h a f t e n der . R a u m k u r v e n 4. Ordn u n g 1. Spezies § 22. D o p p e l p u n k t u n d Spitze bei l t a u m k u r v e n 4. O r d n u n g 1. Spezies § 23. Zweige u n d singulare P u n k t e algebraischer R a u m k u r v e n . § 24. Definition u n d G r u n d e i g e n s c h a f t c n d e r R a u m k u r v e n 4. Ordn u n g 2. Spezies § 25. Weitere B e m e r k u n g e n ü b e r R a u m k u r v e n , ihre Dualgcbildc, Zweige u n d Dualzweige

Sachregister Namenregister

127 134 140 143 149 154

160

Literaturverzeichnis Baker, Principles of geometry, vol. VI, Cambridge 1933 Basset, Geometry of surfaces, Cambridge 1911 Conforto, Le superficie razionali, Bologna 1939 Crcmona, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen in synthetischer B e h a n d l u n g (übers, von Curtze), Berlin 1870 Enriques, Lezioni sulla teoria dellc superficie algebriche, P a d o v a 1932 Godeaux, Géométrie algébrique I , I I , Liège 1948—49 Gröbner, Moderne algebraische Geometrie, W i e n - I n n s b r u c k 1949 H e r t i n g , Über die gestaltlichen Verhältnisse der Flächen 3. Ordnung I , I I , Augsburg 1887—88 J u n g , Algebraische Flächen, H a n n o v e r 1925 Picard-Simart, Théories des fonctions algébriques de d e u x variables indépendantes, 2 vol., Paris 1897—1906 Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des P a u m e s I I (Analytische Geometrie der K u r v e n im R ä u m e u n d der algebraischen Flächen), 3. Aufl., Leipzig 1880 Severi, Vorlesungen über algebraische Geometrie (übers, von Löffler), Leipzig 1921 Severi, Conferenzc di geometria algebrica, l l o m a 1928 Staude, Anal. Geom. d. k u b . Kegelschnitte, Leipzig u n d Berlin 1913 Wood, The twisted eubie, Cambridge 1913 Zariski, Algebraic surfaces ( = Ergebnisse der Math. B d . 3), Berlin 1935 Außerdem folgende Artikel aus Sammelwerken: Berzolari, Allgemeine Theorie der algebraischen Flächen, Pasc. Rep. d. Höheren Math. 2. Bd., K a p . 30—32 Berzolari, Flächen 3. Ordnung, Pasc. Rep. d. Höheren M a t h . 2. Bd., K a p . 34 Castelnuovo-Enriques, Grundeigcnschaftcn algebraischer Flächen, Enz. d . Math. Wiss. I I I C 6 a Meyer, Flächen 3. Ordnung, Enz. d. Math. Wiss. I I I C 9 Rohn-Berzolari, Algebraische R a u m k u r v e n u n d abwickelbare Flächen, Enz. d. Math. Wiss. I I I 2 10 S t a u d e , Die R a u m k u r v e n 3. u n d 4. Ordnung, Pasc. R e p . d. Höheren Math. 2. Bd., K a p . 29

Einleitung Der vorliegende Band soll einiges Wichtige aus der Theorie der algebraischen Flächen 3. Ordnung, sowie der Raumkurven bis zur 4. Ordnung bringen. Sein Inhalt schließt sich daher an den Stoff von Band 1 (Ebene algebraische Kurven, Sa. Gö.435) an, ist jedoch weitgehend unabhängig davon lesbar. Wegen der grundlegenden Voraussetzungen sei auf die dortige Einleitung verwiesen. Einige weitergehende, für die Theorie der Raumkurven benötigten algebraischen Begriffe finden sich in § 15 des vorliegenden Bandes zusammengestellt. In dieser Einleitung sei noch einiges aus der Geometrie vorangestellt, was später benötigt wird. A. Involutionen und Korrespondenzen zwischen Geraden

Sind (x0, Xj) projektive Koordinaten auf einer Geraden Z 1 5 so nennt man bekanntlich Involution die Gesamtheit derjenigen Punktepaare auf Xv deren Koordinaten die Beziehung (1)

F

(y0a00 + yjjxl

+ 2(y0a01 +

i^VK^i

bei jeweils nicht durchweg verschwindenden festen («#) und (bij) und (y0, yt) 4= (0,0) erfüllen. Wir fassen (y0, yj) als Koordinaten einer zweiten Geraden auf und sagen: Durch (1) wird eine (2,l)-Korrespondenz a zwischen den Punkten von X1 und Y j definiert. Dabei korrespondiert das Paar von Punkten (X 0 , 70) mit Z 0 < = Z l f F o c r r , zueinander, wenn ihre Koordinaten (1) erfüllen. Im allgemeinen werden 2 Punkte auf zu je einem Punkt Y0>c Y t

Einleitung

8

korrespondieren, und die Gesamtheit der so erklärten Paare auf X x definiert die Involution. Die Punkte eines Paares derselben fallen genau dann zusammen, wenn für die entsprechenden Punkte Y0c: Y1 gilt: ( 2 ) («012/o + hiVif — (%>2/o + &oo2/i) («n2/o + hiVi) = Man spricht von einer regulären Korrespondenz und zugehöriger Involution auf wenn die linke Seite von (2) nicht identisch in den y{ verschwindet und 2 verschiedene Wurzeln hat, d. h. wenn (3)

D = «—,ViiH&oi—

ha\i)

— K A i — % A i — «iAo) 2 =1= 0 gilt. Der reguläre Fall liege vor, und wir wählen auf Y t solche Koordinaten, daß (2) die Wurzeln (1,0) und (0,1) hat und auf Z j solche, daß die entsprechenden sog. Doppelpunkte der Involution zu (1,0) und (0,1) werden. Dann hat (1) die Gestalt: (4)

aa&o + ßx2lVl = 0

(« * 0, ß =# 0).

Durch weitere Normierung, d. h. geeignete Wahl des Ein heitspunktes auf Y1 ergibt sich: Satz 1. Alle regulären (2,l)-Korrespondenzen zwischen den Geraden X x und Y t können in geeigneten Koordinaten durch: (5)

xly0 — x\yx = 0

beschrieben werden. Der Ausdruck D in (3) ist nun, wie man leicht ausrechnet, gleichzeitig die Resultante der Polynome jL — ctQQXQ -f- 2üqjXQXI -j-

1

Das Verschwinden von D ist also gleichwertig damit, daß A u n d B einen Faktor a;r0 H- ßx^ gemein haben, den dann auch

Involutionen und Korrespondenzen zwischen Geraden

9

die F o r m F in (1) abspaltet; das heißt bei D = 0 ist F nicht irreduzibel. Zerfällt umgekehrt F im komplexen Zahlkörper K, so m u ß F notwendig das P r o d u k t einer F o r m P23)

zweckmäßig als Koordinaten eines Punktes P0 im projektiven Raum P 5 von 5 Dimensionen auf und definiert durch (10) innerhalb dieses P 5 die Punkte der sog. Plückerquadrik Q4. Die Liniengeometrie des P3, bei der die Gerade das Grundelement ist, wird somit gleichwertig zur Geometrie der Punkte auf dieser Q4. 1 ) Vgl. W. Burau, Mehrdimensionale projektive u. höhere Berlin 1961.

Geometrie,

Einleitung

12

Wir benötigen von den hiermit angerührten mehrdimensionalen Dingen im vorliegenden Band für Satz 3 nur die einfache Tatsache, daß durch Poi = V23 = 0 ein P3 c: Ps definiert wird, der die Plüekersche Qi in einer regulären Quadrik Q2 schneidet. Satz 3. Gegeben seien die beiden windschiefen Geraden av \ des P?j. Dann wird die Gesamtheit La< 6 aller gleichzeitig «j und b1 schneidenden Geraden auf die der Punkte einer regulären Quadrik Q2 < Q4 abgebildet. Beweis: a x und \ mögen in geeigneten Koordinaten durch (12)

a1(x2 = x3 = 0), 61(a;0 =

= 0)

definiert sein. Die Koordinaten einer % und l 1 betreffenden Geraden P1 ergeben sich dann aus der Matrix (13) zu (14)

Poi = Pw = Pia =

V02 =

Pos = uovv

V12 = % %

u v

iv

wobei die (m0, mx) und ( % i.^') beliebige Paare nicht gleichzeitig verschwindender Zahlen sind. (14) ist aber die Parameterdarstellung einer regulären Q'*>b, die sich als Schnitt von (24 mit dem durch p01 = p23 = 0 definierten P 3 ergibt. Man nennt die soeben erklärte Gesamtheit LaS'0 nicht enthält, gebe man einen nicht entarteten Kegelschnitt Q1 vor und verbinde alle Punkte von mit S0. In >Sr0 besitzt Q2 keine Tangentialebene, wohl aber in jedem Punkt P0 4= S0; alle diese Tangentialebenen enthalten iS'0. Ihre Gesamtheit ist das Dualgebilde zu den Punkten eines Kegelschnitts, wenn man diesen als Teilmenge des P 3 auffaßt. 3. Eine Quadrik Q2 muß zum Unterschied vom Kegelschnitt erst dann zerfallen, wenn sie mehr als einen singulären Punkt enthält. Mit 2 Punkten S0 und S'0 ist auch die ganze Gerade S1 = S0^> Sö für Q2 singulär, und Q2 zerfällt in 2 verschiedene Ebenen durch Sv wenn Q2 außerhalb von S t keine singulären Punkte besitzt. Die Matrix (a j ; ) in (1) hat jetzt den Rang 2. 4. Die Punkte eines quadratischen Kegels mit der Spitze S0 verteilen sich auf die der Punkte einer gewissen Menge von Geraden. Das Gleiche gilt aber auch für jede nicht entartete Q2. Es ist bekannt, daß eine solche Q2 durch 2 Scharen von Geraden erzeugt wird. Man kann auch leicht zeigen, daß es keine andere Fläche außer den Quadriken gibt, die gleichzeitig 2 Scharen von erzeugenden Geraden besitzt. Man braucht dazu bekanntlich nur die eine Schar von Erzeugenden als Gesamtheit aller Geraden zu kennzeichnen, die 3 Geraden der anderen Schar schneiden. Unter den Flächen

16

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

3. und 4. Grades werden wir andere Segelflächen, d. h. durch Geraden erzeugte Flächen kennen lernen. Diese werden dann natürlich nur eine Geradenschar besitzen. 5. Die nicht-entarteten Quadriken sind selbstdual, d. h. die Koordinaten ihrer Tangentialebenen erfüllen gleichfalls eine quadratische Gleichung vom Rang 4. Den Kegeln, d. h. den Quadriken vom Rang 3, steht dagegen ein anderes Gebilde dual gegenüber: Die Gesamtheit aller Ebenen des Pz durch die Tangenten eines in der Ebene S2 gelegenen nicht entarteten Kegelschnitts. 6. In geeigneten Koordinaten kann man die Gleichung einer nicht entarteten Quadrik Q2 bekanntlich in der Form (3)

¿CqXj

Xx #2 — 0

schreiben. Hieraus entnimmt man für Q2 eine Parameterdarstellung in der Gestalt (4)

Xq = WqVQ, X-^ = UQV^ X2 — %%

~

%%'

Durch (4) wird eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten P0 c; Q2 und den Paaren (5)

U0 S 0 mit der Parameterdarstellung (4)

x0 = X, x1 = fip0, x2 = fipv x3 =

fip2

ganz auf F3. Dann muß die durch Einsetzen von (4) in (1) entstehende Form in X, [x identisch verschwinden; das bedeutet aber, es muß (5)

Xa2 (p0,

p2) + ¡ua3(p0, pv p2) = 0

gelten, und (pt) erfüllt die Beziehungen (2) und (3). Im allgemeinen wird es 6 verschiedene Geraden durch S0 auf F3 geben. Aber je nach Art der Fläche F3 und der Singularität iS'o können es jedoch auch weniger als 6 Geraden sein. Diese Dinge und vieles Weitere aus der Geometrie der F3 mit singulärem Punkt S0 wird klarer, wenn wir die F3 aus S0 auf die Ebene projizieren, analog wie wir es in Band I, § 4 mit den singulären Kubiken taten. Es gilt dann der Satz 2: Gegeben sei eine beliebige irreduzible Fläche F 3 mit einem singulären Punkt S0 der Vielfachheit 2. Dann wird F3 durch Projektion von S0 auf die Ebene P2 im allgemeinen eineindeutig abgebildet. Hat Fs die Gleichung (1), so wird die genannte Beziehung durch die Formeln (6)

x0^—a3 (p0, pv p2), x2 = p2a2{p0, plt p2),

x1=p1 a2 (p0, pv p2), x3 = p2a2(p0, pv p2)

beschrieben. Umgekehrt liefert (6) bei teilerfremden CCtg auch die Parameterdarstellung einer F3 der genannten Art. Beweis: Setzt man die rechten Seiten der Parameterdarstellung (4) einer durch S0 gehenden Geraden in (1) ein, so ergibt sich eine kubische Gleichung mit (X = 1, fj, = 0) als doppelt zählender Wurzel. Die dritte Wurzel dieser Gleichung ist im allgemeinen von (1, 0) verschieden und lautet: (7)

X = — a3(p0, pv p2), ¡j, = a2(p0, px, p2).

Setzt man (7) in (4) ein, so haben wir die Formeln (6), die einen Punkt unserer F3 ergeben. Durch Veränderung von G1

Flächen 3. Grades mit Singularitäten

33

im Bündel aller Geraden durch S0 erfaßt man so offenbar jeden Punkt von F3. Umgekehrt ergeben Formeln der Art (6) eine Parameterdarstellung der F3 mit der Gleichung (1). Wir betrachten die Parameterdarstellung (6) unserer F3 noch etwas genauer und zeigen darüber den Satz 3: Bei der durch die Formeln (6) beschriebenen Abbildung der F3 mit singulärem Punkt auf die Ebene P2 mit den Koordinaten rpi gilt a) Die ebenen Schnittkurven der F3 sind den Kurven des durch (8) — X3a3{-pt) + A0 p0a2(pi) + KVi

. Q-X2X3)- =

X

^ou'lU/2ti/3

XQ CC ^ CC^CC^ x0 5

f. U/(ìU/1^2'4'3 > £3 = ' X

so daß die die Beziehung (9) erfüllen. Umgekehrt sei (f,) ein System von Zahlen, die alle nicht verschwinden und (9) erfüllen. Dann setzen wir

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

38

_ J _ (

)

3 : 0

| / s ' ^ ~ i/i;'

_ J _ -

1

i / i 2 ' 5 5 3 ~ ]fkz

mit denselben Bestimmungen der Wurzeln. Diese x{ erfüllen dann als Folge von (9) die Beziehung (4), so daß die auch die Koordinaten einer Tangentialebene von Fa sind. Es ist noch zu zeigen, daß der Satz auch da gilt, wo nicht alle Koordinaten ungleich 0 sind. Reguläre Punkte dieser Art von Fa liegen nur auf den Koordinatenkanten, und man rechnet aus, daß z. B. für alle regulären Punkte auf der Kante x0 = x1 = 0 die Tangentialebene x0 + % = 0 ist und gleichzeitig Tangentialebene des Tangentenkegels im Doppelpunkt -4 o (0, 0, 0 , 1 ) . Für die Ebenen durch A0 gilt f 3 = 0, und die Gleichungen der Berührungsebenen dieses Kegels sind offenbar dieselben wie die der Tangenten des Kegelschnitts in der Ebene x3 = 0 mit der Gleichung

(13)

=

Die Tangentenkoordinaten von (13) erfüllen jedoch die Beziehung

(14)

y i 0 + | / ü + j / r 2 = o.

Hiermit ist der Satz für alle singulären Tangentialebenen von Fs durch A0 und genau so auch für die durch die anderen 3 Ecken und damit vollständig bewiesen. Wir ersetzen jetzt in (9) die wieder durch die Punktkoordinaten xt und schaffen durch dreimaliges Quadrieren die Wurzeln fort. Dann ergibt sich in (15)

(asjj + x\ + x\ + a| — 2x0x1 — 2x0x2 — 2xgx1 1

2 cc^ — 2X2X3)

• 64 ¡Cq ¡K^ ^

— 0

die Gleichung einer Fläche F 4 vom Grade 4, die man Steinersche Römerfläche nennt. Sie ist in unserer Erklärung die in Punktkoordinaten umgedeutete Dualfläche zur Fs mit 4 Doppelpunkten. Die Beziehung zwischen der Fs und Ft ist wechselseitig. Hieraus folgen viele Eigenschaften der Steinerschen F 4 , zu der man auch auf ganz anderem Wege gelangen kann. Wir erwähnen folgende Haupttatsachen über die f 4 :

Flächen 3. Grades mit 4 isolierten Knotenpunkten

a) Der Tritangentialebene (8) von Fs entspricht P u n k t E0 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) der Fi von der Vielfachheit 3. b) Alle Punkte der 3 Geraden des P0, die durch (16)

ä/Q • iCj — $2 ¡2/q

39

ein

—• 0) SCq ' — CC^j ~ tCg — 0 j — — iZ/j 1^2 — 0

definiert werden und die sich in E0 schneiden, sind für die Fi gleichfalls singulär, wie man am besten aus (15) abliest. c) Den 4 konischen Doppelpunkten der F3 entsprechen 4 singulare Ebenen der F 4 , und zwar die 4 Koordinatenebenen. Diese sind gemäß (15) ersichtlich dadurch ausgezeichnet, die Fi in je einem doppelt zählenden Kegelschnitt zu schneiden.

40

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

Die Fläche mit der Gleichung V

' 1—2 1+ 2 ' in kartesischen Koordinaten hat 4 singuläre Punkte (dz |/2,0, — 1) und (0, ± ]/2, + 1 ) , wie man leicht ausrechnet. Bild 2 soll eine Anschauung dieser Fläche vermitteln. § 7. Einige Sätze über Geraden auf kubischen Flächen In diesem Abschnitt wollen wir stets die Existenz mindestens einer Geraden auf der kubischen Fläche voraussetzen, ohne vorerst zu zeigen, daß es solche Geraden auch stets gibt. Der Existenzbeweis dafür soll erst im § 9 erbracht werden; im folgenden § 8 wollen wir erst die kubischen Eegelflächen behandeln, die sich im Gegensatz zu den Verhältnissen bei den Quadriken hier als Sondertyp herausstellen werden. Im § 5, Satz 1 sahen wir, daß jeder Punkt der Geraden ß 1 singulär für die kubische Fläche Fa ist, wenn dies für mehr als 2 Punkte von Gj gilt. Wir wollen eine Gerade G1 «c F., mit lauter singulären Punkten kurz singulär nennen und beweisen darüber den Satz 1. Eine irreduzible, kubische Fläche mit einer singulären Geraden S1 ist Regelfläche und besitzt außerhalb von S 1 keinen weiteren singulären Punkt. Beweis: F3 sei eine irreduzible, kubische Fläche mit »S^ als singulärer Geraden. S2 sei eine beliebige Ebene durch S^ Wegen der Irreduzibilität von F3 darf nicht ganz S2 zu F3 gehören. Das heißt aber, S2 schneidet Fs in einer Kubik Jc3; diese k3 ist in jedem Punkt von S1 auch singulär, zerfällt also in die doppelt zählende Gerade S1 und eine weitere, im allgemeinen von S1 verschiedene Gerade Gx. Durch Veränderung von St innerhalb des Büschels mit dem Träger 81 findet man aber solche Geraden G1 c: Fs durch einen beliebigen Punkt von F3 außerhalb von Sv Damit ist F3 als Regelfläche erwiesen. Hätte F3 noch einen singulären Punkt T0 außerhalb

Einige Sätze über Geraden auf kubischen Flächen

41

von Sv so müßte die Ebene T2 = w T0 die Fläche in einer zerfallenden Kubik k3 schneiden, die in jedem Punkt von und in T0 singulär ist. Solche k3 gibt es aber nicht. Die Schnittkurve einer beliebigen Ebene S2, die die singulare Gerade JS^ enthält, mit Fs besitzt nun entweder einen einzigen dreifachen Punkt auf oder jeder Punkt von S 1 ist für sie dreifach, je nachdem ob die genannte Kurve aus 2 verschiedenen Geraden oder nur aus S x besteht. Hierüber gilt der Satz 2. Gegeben sei eine irreduzible kubische Fläche mit der singulären Geraden Sx. Ordnet man jetzt dem Punkt iS'0 S1 setzen wir in der Parameterdarstellung: (2)

x0 = aX, x1 = ßX, x2 = (x, x3 = v

an mit (a, ß) 4= (0, 0). Die Schnittkurve der Ebene (2) mit F3 hat in den (/., ¡x, ^-Parametern die Gleichung: A2[«a(a2lw + a3v) + 2xß(b2/u + b3v) + ß*(c2ju + c3v)] + P [¿0«3 + ß + M2V? + d3ß3] = 0. Der Punkt 0, /u, v) c: Sx ist hierfür nun dreifach gemäß (3), wenn (3)

42 (4)

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades 2

a (a2 fi + a3 v) + 2 a.ß

p + i3v) + ß2 {c2 /i + c3v) = 0

gilt. (4) definiert die behauptete (1,2)-Korrespondenz x. Zerfällt x, so läßt sich die Gleichung (1) von F3 in der Form

(5)

/ = (Ä2x2 + A3x3) (B0x* + W^Xy + B2x%) + d0x0 + 3d2x0x\ + d3xf = 0

schreiben. Für den Punkt S0 (0, 0, A3, — A2) Gt sei wieder in der Parameterdarstellung (2) gegeben. Die Gleichung des genannten Kegelschnitts k2(G2) in der (A, ¡i, v)-Ebene ergibt sich, wenn man (2) in (6) einsetzt und A abspaltet. Demnach berechnen sich die (ju, A)-Koordinaten der Schnittpunkte k2(Ga) r\ Gx a u s

(7)

a(a22lM2 + 2 a23/j,X + a33A2) + ß(b22fS

+ 2b23^

+ b33V)

=0.

Dies definiert die behauptete Korrespondenz x. Ist x nicht regulär, dann verschwinden entweder die a o d e r die 6,-,-, oder W

a22/j,2+ 2a23/uk + a33X2 = 0, + 2&23^ + M 2 = 0

haben mindestens eine Wurzel (¡u ----- g2,X = g3) gemein. Verschwindet eines der beiden Polynome (8) identisch, so sei (g2,g3) eine Wurzel des anderen. In jedem Falle erweist sich durch leichte Rechnung der Punkt Ga(0, 0, g2, g3) Gt ein und spaltet X ab, so entsteht die Gleichung des Kegelschnitts k2(G2). Dieser zerfällt, wenn (9)

Vsi^ß) \

, iz{«,ß)

> ri(x,ß)

+ V / S + \ Czß2, «22a + ^22/5, «23« + h i ß

2 ~a +i b3 G1 eine Ebene, die F3 voll zerfallend schneide. Zufolge Satz 4 besteht der Schnitt G2 O FS dann aus 3 verschiedenen Geraden, und wir haben noch folgende Möglichkeiten zu unterscheiden: 1. G2I~\ F3 sind 3 Geraden ohne gemeinsamen Punkt 2. G2 r\ Fs sind 3 Geraden durch einen Punkt. Zunächst liege 1. vor. Dann spezialisieren wir die Koordinaten so, daß G2 ZU X0 = 0 wird und das Dreiseit G2 F3 durch x1x2x3 = 0 beschrieben ist. Dies bedingt, daß in (6) gilt: (10)

b22 = Z>33 = c2 = cz =

= 0,

während (11)

&23 * 0, d2 * 0

ist, da sonst / in (6) entweder den Faktor x0 abspalten würde oder in x1 linear wäre, so daß F3 in (0,1, 0, 0) eine Singularität besäße. Zufolge (10) lautet die Form H(a, ß) aus (9) jetzt so: (12)

H = — ?id2b2?y.ßl + höhere Potenzen in a .

Wegen (11) verschwindet H nicht identisch und hat die zur Ebene 6'2 gehörige Wurzel (0,1) nur in der Vielfachheit 1. Jetzt liege der Unterfall 2. vor. Die Koordinaten wählen wir so, daß G2 wieder durch x0 =--- 0 definiert wird und das von G2 aus F., ausgeschnittene Geradentripel durch (13)

x1x2(x1

+ x2) = 0 .

Dann ist in (6): (14)

b23 = b33 = c3 = d3 = 0, b22 = c2 + 0,

46

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

und ferner gilt (15)

«33+0,

da sonst der Punkt (0, 0, 0,1) für Fs singulär wäre. H(a, ß) wird jetzt: (16)

Ii = — c \ «33 aß1 + höhere Potenzen in a ,

verschwindet also wegen (14) und (15) nicht identisch und hat die zu G2 gehörige Wurzel (0,1) in der Vielfachheit 1. Damit ist auch der zweite Teil unseres Satzes bewiesen, da H(oc, ß) stets einfache Wurzeln hat. Als abschließenden Satz dieses Abschnitts zeigen wir jetzt: Satz 6. Wenn eine singularitätenfreie kubische Fläche eine Gerade enthält, so liegen auf ihr genau 27 verschiedene Geraden. Beweis: Mit G1 werde wieder die gegebene auf der singularitätenfreien Fläche Fs liegende Gerade bezeichnet. Zufolge Satz 5 gibt es dann genau 10 Geraden auf F3, die G1 treffen und zu je 2 mit Gx in einer Ebene liegen. Diese Geraden zugleich mit den von ihnen aufgespannten Ebenen seien: (17)

¿ „ i ^ i , , ^

Bi < B2, Gv C[ c: G2,

Zunächst werde bemerkt, daß keine dieser 10 Geraden von einer anderen der Reihe (17) getroffen wird außer derjenigen, die in (17) mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet ist. Denn wenn etwa A1 und B1 sich träfen, so müßte dies wegen der Verschiedenheit der Ebenen A2 und B2 in einem Punkt G0 c G1 stattfinden. Die Existenz von 3 nicht komplanaren Geraden Av Bv G1 durch G0 auf Fz bedingt jedoch, daß G0 entgegen der Voraussetzung singulär für Fs ist. Jede der 10 Geraden (17) besitzt nun ihrerseits 10 Geraden auf Fs, von denen sie getroffen wird. Zum Beispiel wird Ax durch A[ und G1 und außerdem durch (18)

XltXi;

Tlt

Z l f Z i ; Ult U1

Kubische Regelflächen

47

getroffen, wobei wir schon sahen, daß diese 8 Geraden (18) mit keiner der 10 Geraden (17) zusammenfallen. Die Geraden (18) schneiden aber auch nicht Ai. Denn eine Gerade, die gleichzeitig A1 und A[ trifft, liegt entweder in der Ebene A2 oder enthält den Punkt In A2 liegen nur die Geraden Alt A[ und G1 aus Fs und damit keine Gerade (18); durch A0 darf aber auch keine nicht in A2 liegende Gerade von Fs gehen, da dann A0 singulär wäre. Es gibt also noch 8 weitere von (17) und (18) verschiedene Geraden auf F3:

(19)

Xi,Xi;

Ti, Fi; Z[, Z[-, U'lt U[,

die A[ schneiden. (17)—(19) sind mit Gx zusammen 27 Geraden auf F3. Angenommen 1\ wäre eine beliebige von Av Ai und Gx verschiedene auf Fa liegende Gerade. Dann liegt T1 nicht in der Ebene A2, trifft A2 also in einem Punkt, und dies muß ein Punkt von Al7 A[ oder G1 sein. Damit ist T1 aber notwendig eine der 16 Geraden (18), (19). Hiermit ist unser Satz bewiesen. Wir werden uns im § 9 mit der Konfiguration dieser 27 Geraden noch ausführlicher beschäftigen. § 8. Kubische Regelflächen

Unter den Regelflächen 3. Grades gibt es zunächst die Kegel. Diese entstehen im irreduziblen Fall dadurch, daß man alle Punkte einer nicht zerfallenden Kubik k 3 mit einem außerhalb der Ebene von k3 liegenden Punkt S0 verbindet. Je nachdem ob h s singularitätenfrei ist, einen Doppelpunkt oder eine Spitze besitzt, gibt es 3 entsprechende Klassen kubischer Kegel. Die Kegel der ersten Klasse haben außerhalb von S0 keine singulären Punkte, für die Kegel der anderen beiden Klassen ist jeweilig eine ganze Gerade singulär. Interessanter als die Kegel sind diejenigen kubischen Regelflächen, die keine Kegel sind. Bei ihnen werden wir 2 projektiv verschiedene Klassen finden. Zunächst zeigen wir den

48

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

Satz 1. Auf jeder kubischen Regelfläche F3 gibt es mindestens eine Gerade H1 von der Art, daß alle Schnitte von F3 mit Ebenen durch H1 voll zerfallen. Beweis: F3 soll eine Regelfläche sein, besitzt also Geraden, die auf ihr liegen. G1 sei eine solche Gerade. Erfüllt 0 1 bereits die Bedingungen des Satzes, so sind wir fertig. Dies sei nicht der Fall: es gebe also eine Ebene Cr2 => die mit F3 außer 01 noch den regulären Kegelschnitt k2 gemein hat. T2 > G1 sei eine von ^verschiedene Ebene, deren Schnitt mit F3 voll zerfällt (s. Bild 3). Gemäß § 7, Satz 5 gibt es solche Ebenen. Auf k2 wählen wir jetzt außerhalb von G1 die 20 Punkte (1)

4 ^

= 1,2

20).

Da Fa eine Regelfläche sein sollte, gibt es durch die A^i gewiß auf F3 liegende Geraden (2)

4 0 ( 1 = 1 , 2 , . . . , 20),

die wegen der Wahl von (1) weder in G1 noch in T2 liegen. Wir setzen: (3)

4 > o T2 = B$>

(t = 1, 2 , . . . , 20)

und wissen dann, daß diese Punkte B(ar> außerhalb von G1 liegen. Hieraus folgt, daß der Schnitt von T2 und Fa nicht bloß aus G1 bestehen kann, sondern noch aus einer oder zwei weiteren Geraden, auf die sich die Punkte verteilen. Daraus schließen wir, daß mindestens 10 der Punkte BW (sie brauchen nicht notwendig verschieden zu sein) einer auf F3 und T2 liegenden Geraden Tx angehören. Die Numerierung wählen wir so, daß (4)

BS»

Kubische Regelflächen

49

gilt. Dann schließen wir aus (3), daß Tl von den 10 Geraden AW,... , getroffen wird. Höchstens jeweils 2 dieser Geraden können zusammen mit T1 je die gleiche Ebene aufspannen. Das ergibt wenigstens 5 verschiedene Ebenen durch Tlt die F3 voll zerfallend schneiden. T2 ist eine davon verschiedene 6. Ebene mit der gleichen Eigenschaft. Zufolge §7, Satz 5 erfüllt daher T1 die Bedingung des vorliegenden Satzes. Satz 2. Jede irreduzible kubische Regelfläche F3, die kein Kegel ist, besitzt eine singulare Gerade. Beweis : Gegeben sei die von einem Kegel verschiedene, irreduzible kubische Regelfläche F3, und 1\ sei eine Gerade auf Fs von der Art, daß die Schnitte von F3 mit den Ebenen durch Tj alle voll zerfallen. Ist T x singulär, so sind wir fertig; dies sei also nicht der Fall, d. h. es ist nicht jeder Punkt von T 1 singulär. Dann zeigen wir zunächst, daß überhaupt kein singulärer Punkt auf T1 liegen kann. Angenommen T0 < T1 wäre singulär. Dann schneidet j e d e Ebene durch T 1 die Fläche Fs in einem Geradentripel mit T0 als singulärem Punkt. Die Geradenpaare, die die Ebenen des Tj-Büschels außerhalb von Ti noch mit Fs gemein haben, enthalten also sämtlich T0. Daraus folgt sofort, daß Fs entweder selbst ein Kegel mit T0 als Spitze ist oder einen solchen Kegel als Teil enthält. Beides widerspricht der Voraussetzung über F3, Da somit auf T1 kein singulärer Punkt liegt, entnehmen wir aus § 7, Satz 4, daß T t für keinen Schnitt mit einer Ebene des üTj-Büschels mehrfach zählt. Die beiden von verschiedenen Geraden dieser Schnitte bestimmen weiterhin auf Tl gemäß § 7, Satz 3 eine reguläre Involution J. Wir wählen jetzt die Koordinaten so, daß durch x0 = x1 = 0 beschrieben wird und die Doppelpunkte von J : T0 (0, 0,1, 0) und T'0 (0, 0, 0,1) sind. Es muß nun offenbar 2 verschiedene Ebenen T2 > 1\ und T'2 > T1 geben, für deren Schnittkurven mit F3 je eine Gerade Gx > T0 und 6'i T'0 doppelt zählt, da anders die Doppelpunkte T0 und T'0 von J nicht zustande kommen können. Dann lehrt aber wiederum der Satz 3 von § 7, daß 4

liuruu, Algebraische Flächen IX

50

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades F3 auf G1 und G[ je mindestens einen singulären Punkt S0 und S'? besitzt (s. Bild 4). Auf Tx dürfen S0 und S'0 nicht liegen, und wegen der Verschiedenheit der Ebenen T2 und T'2 schneidet auch ihre Verbindungsgerade 8 1 die Gerade T r nicht. Wir können S0 und iS"0 daher als Punkte

Abb. 4

S0 (1, 0, 0, 0) und S'0 (0,1, 0, 0) eines Koordinatensystems annehmen. Benutzt man alle geschilderten Gegebenheiten, so ergibt sich für F3 eine Gleichung in diesen Koordinaten mit nur noch 4 nicht notwendig verschwindenden Koeffizienten: (5)

/ = $22^0^2

= 0.

Hierin muß, da Fs nicht zerfallen sollte, (6)

a 22 =t= 0, 6 33 4= 0

gelten. Es sollten alle ebenen Schnitte durch Ti voll zerfallen. Das bedeutet aber, die für (5) gebildete linke Seite von §7 (9): (7)

- « P P Q l w + Waß)

ist als Form in a, ß identisch 0, also gilt: (8)

6 ^ ^ = 61633 = 0

und somit wegen (6) (9)

62 = 63 = 0.

Die Gleichung von F3 reduziert sich also zu (10)

33%0X3

a

ü,

d. h. die Gerade S1 (x2 = x3 = 0) ist singulär. Wir können nunmehr leicht die kubischen Regelflächen projektiv klassifizieren. Es gilt darüber der

Kubische Regolflächen

51

Satz 3. Abgesehen von den Kegeln gibt es 2 projektiv verschiedene Typen von kubischen Regelflächen, die sich so unterscheiden lassen: a) Die sog. allgemeine Regelfläche mit der Normalgleichung (11)

X0X23 + X±X22 =

0

b) die sog. spezielle oder Cayleysche Regelfläche mit der Normalgleichung: (12) x0x§ + xxx 2X3 + 4 = 0. Die Flächen a) besitzen außerhalb der singulären Geraden 81 noch eine zu S t windschiefe Gerade die von allen übrigen Geraden der Fläche getroffen wird, während bei den Flächen b) keine solche Gerade existiert. Die Ebenenpaare der Tangentenkegel zu den Punkten von S t bilden im Fall a) eine reguläre Involution. Im Fall b) ist diese Involution parabolisch, d. h. die genannten Ebenenpaare bestehen aus allen Paaren (A2, S2), WO A2 Sx fest und S2 Sx beliebig ist. A2 schneidet die Fläche in der dreifach zählenden Geraden S1 (ist eine sog. Torsalebene), während es im Fall a) keine Ebene durch S1 mit dieser Eigenschaft gibt. Beweis: Gegeben sei die von einem Kegel verschiedene irreduzible kubische Regelfläche Fs. Besitzt Fs außerhalb ihrer singulären Geraden noch eine auf ihr liegende Gerade Tlt die S1 nicht trifft, so müssen die Schnittkurven mit Ebenen durch 1\, da sie ja alle noch je einen Punkt von enthalten, voll zerfallen; auf Tx darf zufolge von § 7, Satz 1 kein weiterer singulärer Punkt von F3 liegen, und wir kommen durch die Überlegungen im Beweis von Satz 2 dazu, Fa durch eine Gleichung (10) darzustellen, welche durch geeignete Wahl des Einheitspunktes.in (11) übergeht. Zufolge § 7, Satz 2 bilden die Ebenenpaare der Tangentialkegel in den Punkten von S1 eine Involution, und diese ist ersichtlich bei der Fläche (11) regulär. Ist umgekehrt diese Involution J regulär, so liegen auf S1 die beiden verschiedenen uniplanaren Punkte A0, B0. Dann wählen wir die Koordinaten {yi) so, daß A0 (1, 0, 0, 0) und B (0,1, 0, 0) 4*

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

werden mit x\ = 0 und x\ — 0 als Doppelelementen von J. Die Gleichung von Fa wird in diesen Koordinaten zu (

W / s + Willi + 'kvl + Zchyl'h + 3 d2y2yl + d3f3 = 0;

}

wegen der Regularität von J ist a0 =j= 0 und cx 4= 0 und damit die Variablenänderung (14)

X

°

=

a y

° °

+

3da?/2 +

^=

Xl =

Vi,

=

ClVl +

dolh +

Vi

Ml1j3

'

zulässig, die (13) in (11) überführt. Die Existenz der zu Sl windschiefen Geraden T1 (xg = x-L = 0) auf F., ergab sich dabei rechnerisch. Daß Flächen dieser Art keine Torsalebenen durch S1 haben können, folgt einfach daraus, daß jede Ebene, die S t enthält, auch 1\ schneidet. Wir zeigen jetzt umgekehrt, daß Regelflächen mit singulärer Geraden jS'x ohne Torsalebenen auch noch eine zu S1 windschiefe Gerade 2\ besitzen müssen. Man nehme dazu nur die beiden biplanaren Punkte A0, B0 auf iSj an. Durch A0, B0 müssen dann die von St verschiedenen Geraden Av A[, B1: B[ auf F3 gehen (s. Bild 5). Es sei

4, =

B2 =

B1^B'1.

Weder A2 noch B2 können St enthalten, auch darf keine der Geraden Av A[ eine der Geraden Bv B[ schneiden, wie sofort aus dem Charakter von S1 als singulärer Geraden folgt. Dann hat aber die Gerade 1\ = A2r-\ B'2 mit der Fläche 4 verschiedene Punkte gemein, liegt also ganz auf ihr und ist windschief zu Sv also die fragliche Gerade. Jetzt sei Fs eine Regelfläche mit der singulären Geraden 8lt bei der die obige Involution J parabolisch ist. Das kommt nach dem, was wir wissen und soeben gesehen haben, darauf hinaus, daß auf S1

53

Kubische Regelflächen

nur ein uniplanarer Punkt A0 liegt mit der Torsalebene A2 > idie Fs nur in schneidet. Wir wählen jetzt solche Koordinaten, daß (15)

S^x,

= z 3 = 0), ÄQ (1, 0, 0, 0), Ä 2 (x3 = 0)

werden. Die Gleichung von Fs hat darin die Gestalt: 'H

(-'0«0

J

^l^l)

':\

Darin ist (17)

c0*0,

d0#0,

da sonst x0 in (16) nicht vorkäme, d. h. F3 ein Kegel wäre oder die linke Seite von (16) zerfiele. Der Schnitt von (16) mit der Ebene B2 = 0) ergibt die durch ^g^

a^j = 0; CqX^XQ -f-

-)- ^d-^x\x3

beschriebene Kubik Jc3. Diese zerfällt wegen (17) nicht, hat in A0 eine Spitze, besitzt also, wie wir aus Band I, § 4 wissen, noch einen Wendepunkt W0 mit der nicht Aa enthaltenden Wendetangenten Wt (s. Bild 6). In der Ebene C2 = w W0 liegt noch außer Sx die Gerade C1 = W0 von F3, wobei G0 < jS'j von Ag gewiß verschieden ist. Wir legen die Koordinaten jetzt weiterhin so fest, daß neben (15) noch C0 (0,1, 0, 0), W0 (0, 0, 0,1), W1 (x0

=3^=0)

gilt, was gewiß zulässig ist. Dann verschwinden in der Gleichung (16) von F3 die Koeffizienten c1; dv d2, d3, so daß übrigbleibt: (19)

2b1x1xzx3

+ c0x0x 3 + d0xl = 0.

Hierin gelten die Ungleichungen (17), aber auch \ darf nicht verschwinden, da Fs kein Kegel sein sollte. Durch geeignete Wahl des Einheitspunktes läßt sich mithin, wie behauptet, die F3 dieses Typs in der Normalform (12) darstellen. Man nennt die beiden Geraden S1 und T1 der allgemeinen Kegelfläche F3, die von allen übrigen Geraden der Fläche

54

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

getroffen werden, Leitlinien und die anderen unendlich vielen Geraden auf F3 Erzeugenden. Im Fall der Cayleyschen Regelfläche fallen S1 und T1 zusammen, und diese Gerade ist gleichzeitig als Erzeugende und Leitlinie aufzufassen. Auf den Regelflächen beider Typen gibt es ferner durch jeden Punkt, der nicht auf einer Leitgeraden liegt, unendlich viele nicht entartete Kegelschnitte. Man nennt diese Kegelschnitte, die ersichtlich von jeder Erzeugenden getroffen werden, auch Leitkurven. Die allgemeine kubische Regelfläche wird dadurch erzeugt, daß man die Punkte einer Geraden S1 auf die Punktepaare einer regulären Involution auf Tx bezieht und Entsprechendes verbindet. Dies wird aus Bild 5 besonders deutlich. Eine entsprechende Erzeugung der Cayleyschen Re-

Kubische Regeflächen

55

gelflächen fehlt. Wir erwähnen aber noch im folgenden Satz Erzeugungen, die für beide Flächentypen gelten und auch die quadratischen Regelscharen als Sonderfall umfassen. Satz 4: fc2 sei ein regulärer Kegelschnitt und Tx eine nicht in der Ebene von k2 gelegene Gerade des P3. Man beziehe die Punkte von k2 eineindeutig auf die Punkte von T1 und verbinde Entsprechendes. Dann erhält man die Erzeugenden a) einer allgemeinen kubischen Regelfläche, wenn T1 und k2 sich nicht treffen, b) einer Cayleyschen Regelfläche, wenn T1 und fc2 sich in A0 schneiden, aber A0 nicht auf sich bezogen ist, c) einer quadratischen Regelschar, wenn T1 und Jt2 sich in A0 schneiden und A0 auf sich bezogen ist. Der Beweis hierüber sei dem Leser überlassen. Es werde aber noch darauf hingewiesen, daß man alle 3 Arten von Regelflächen am besten durch Projektion einer sog. Normregelfläche & 3 des P 4 definiert. Diese wird erzeugt wie die Gebilde von Satz 4, nur trifft dabei Tl die Ebene von Jc2 überhaupt nicht mehr. Von den vielen affinen und metrischen Sonderfällen der kubischen Regelflächen sei noch besonders das Zylindroid erwähnt. Es hat in Cartesischen zi/g-Koordinaten eine Gleichung (20)

(x 2 + f ) z — 2hxy = 0 (ä 4= 0).

Die singulare Gerade hierbei ist die 2-Achse (x = y = 0), während die einfache Leitlinie T1 die Ferngerade der Ebene s — 0 ist (s. Bild 7). Für die allgemeine Fläche 3. Grades F s ist die geometrische und algebraische Beschreibung des gemäß § 3 mit Fa verknüpften dualen Gebildes bereits nicht mehr ganz einfach. Dagegen dualisieren sich die Regelflächen dieses Abschnitts sehr leicht. Es gilt folgender, auch auf Regelflächen höherer Ordnung weitgehend zu verallgemeinernder Satz 5. F3 sei eine irreduzible, von einem Kegel verschiedene kubische Regelfläche. Dann ist die mit F3 im

56

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

Sinne von § 3 verbundene duale Fläche F3 zu F3 projektiv äquivalent.

Abb. 7

Beweis: Wir gehen von den Normalgleichungen (11) und (12) für die beiden Typen kubischer Regelflächen aus und berechnen die Gleichungen, denen die Koordinaten (f,) der zugehörigen Tangentialebenen genügen müssen. Im Falle (11) ergibt sich durch Ableiten: (21)

= x\,

= x\, f2 = 2x^2,

fg = 2x0x3,

und hieraus folgt die Beziehung (22)

+ ü i 3 = 0.

Im Fall der Fläche (12) ergibt sich ebenso: (23)

=

^

=

=

XlXs

und hieraus die Beziehung: (24)

=

Damit ist gezeigt, daß die Koordinaten der Tangentialebenen in den regulären Punkten von unseren Regelflächen

Die 27 Geraden der allgemeinen kubischen Fläche

57

die Beziehungen (22) bzw. (24) erfüllen. Das gilt dann auch für die Grenzlagen dieser Tangentialebenen, was ersichtlich die Ebenen durch S1 sind. Wir gehen jetzt umgekehrt von den durch (22) bzw. (24) definierten Ebenenmengen F 3 aus und sehen zunächst: Die durch (25) f0 = fi = 0 definierten Büschelebenen gehören jeweils dazu, und diese Ebenen sind für die betr. F s singulär. Im Fall (22) wird durch (25) die einfache Leitlinie T x und im Fall (24) die singulare Gerade Sx definiert. Für die zu F3 gehörigen Ebenen außerhalb des Büschels (25) ergibt sich dann durch duale Rechnung, daß sie eine Fläche berühren, deren Punkte die Beziehungen (11) bzw. (12) erfüllen. Damit ist aber alles gezeigt. Bemerkenswert ist, daß im Fall der allgemeinen kubischen Regelflächen die beiden Leitlinien 8t und T1 ihre Rollen vertauschen. Das bedeutet: Die Punkte von T1 sind regulär, aber die Ebenen durch T1 sind für das Gebilde F3 singulär. Dies geht schon daraus hervor, daß eine solche Ebene F s im allgemeinen in 2 verschiedenen Punkten berührt. § 9. Weiteres über die 27 Geraden der allgemeinen kubischen Fläche

Gemäß § 7, Satz 6 besitzt eine singularitätenfreie kubische Fläche mit einer Geraden sogar 27 Geraden. Es fehlt noch zu zeigen, daß stets eine Gerade auf der kubischen Fläche liegt. Dazu wollen wir auf einem zuerst von Geiser (1868) beschrittenen Wege die Geraden einer kubischen Fläche mit den Doppeltangenten einer ebenen Quartik in Beziehung bringen. Die kubische Fläche F 3 , die wir in diesem Abschnitt untersuchen, soll keine Regelfläche sein, d. h. F3 hat gemäß § 8 höchstens endlich viele Gerade und singuläre Punkte. Der Punkt A0 sei ein regulärer Punkt von F3, durch den außerdem keine auf Fs liegende Gerade gehen soll. Die Tangentialebene an F3 in A0 heiße T2 (A0). Wir wählen die Koordinaten im folgenden stets so, daß

58 (1)

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades A0 (0, 0, 0 , 1 ) und T2 ( 4 0 ) zu x2 = 0 wird.

Die übrigen Eckpunkte des Systems sollen in Einklang mit (1) jeweils nach Bedarf festgelegt werden. Zunächst hat in jedem System, wo (1) gilt, Fs eine Gleichung der Gestalt (2)

/ = Xg a?2 H"

£¿2(^0 > ®n ^2) "1"

x

z) ~ 0 •

Wie wir in § 2 sahen, ergibt sich die Gleichung des Umrißkegels der Fläche Fs vom Punkte A0 aus dadurch, daß man x3 zwischen (2) und

(3)

- J r = %x3x2 + 2a2(x0, x1, x2) = 0

eliminiert. Die bzgl. x3 gebildete Resultante von (2) und (3) lautet:

(4)

x2(x2a3 — al),

und nach Abspaltung von x2 ergibt sich in (5)

(p = ^2^3(^0'

^2)

^l' ^2)

=

0

die Gleichung eines Kegels 4. Grades mit der Spitze A0, des sog. Umrißkegels Ki ( 2 0 ) an Fz von A0 aus. Alle Schnittkurven von Kt (Ag) mit Ebenen, die A0 nicht enthalten, sind zueinander projektiv äquivalent, und (5) kann auch als Gleichung einer dieser Quartiken k4 aufgefaßt werden und zwar derjenigen in der Ebene B2 mit der Gleichung x3 = 0. In B2 ist die Gerade

(6)

B1 = B2r\

T2(A0)

ausgezeichnet, die durch x2 = x3 = 0 definiert wird. Gemäß (5) ist B1 im allgemeinen Doppeltangente der fc4. Wir nennen diese k t mit der Gleichung (5) auch Umrißquartik ä;4 (Ad), um ihre Abhängigkeit vom Punkte A0 ^36> ¿45) ¿46' ¿56

zu ersetzen ist. Jetzt gilt der Satz 5. Die Geraden der 27-Konfiguration seien (2) und (6) in der sich aus Satz 4 ergebenden Bezeichnungsweise.

Die Konfiguration der 27 Geraden einer kubischen Fläche 67 Dann werden die 45 Tripelebenen durch folgende Geradentripel aufgespannt: (7)

K , eh «ü), (&!, ct, bu)

(% = 2 , . .

6)

(8) (c„ dki, dmn) [(iklmn) = Permutationen von (2, 3, 4, 5, 6)] (9)

(«Ü,

dij), («!,-, tu, da)

(2 ^ i < j ^ 6).

Beweis: Die Zeile (7) hierin folgt einfach aus der Definition der Geraden au und b^. Ferner wird c2 durch die 10 Geraden (10)

FFLJ,

a

1 2

, l

v

&125 ¿ 3 4 ,

¿35,

• • • , ¿56

getroffen. 2 der 5 Tripelebenen, die c2 mit den Geraden (10) bildet, stehen in der Zeile (7), bei den übrigen 3 sind außer c2 nur ¿-Geraden beteiligt. Nun treffen aber z. B. d3i und d3S gleichzeitig die zueinander windschiefen Geraden c2 und c6, d. h. sie können sich nicht schneiden. Analoges gilt für andere Indizes. Daraus folgt, daß zwei ¿-Geraden aus (1) sich nur dann schneiden können, wenn ihre 4 Indizes alle verschieden sind. Die Zeile (8) ist damit bewiesen. "Weiterhin schließen wir so: ¿23 trifft nicht c2, c3, ilt muß aber mit den Tripelebenen (av c2, a12) und (bv c2, b12) je einen Punkt gemein haben. Diese Punkte müssen dann je in a12 und b12 liegen. Ebenso folgt, daß d23 auch aJ3 und b13 schneidet. (b12, bv c2) bilden ferner eine Tripelebene, und a 13 kommt in (10) nicht vor, schneiden also c2 nicht; ebenso schneidet b1 und «j, sich nicht, folglich müssen a13 und b12 sich treffen. Dies ergibt, für alle Indexkombinationen durchgeführt, die Zeile (9). Satz 6. Innerhalb der 27-Konfiguration gibt es: a) Einen Typ von windschiefen Quadrupeln mit 2 genieinsamen Treffgeraden, b) 2 Typen von windschiefen Quintupeln, 1. mit einer, und 2. mit zwei gemeinsamen Treffgeraden, c) Einen Typ von windschiefen Sextupeln; hierbei gehören alle Teilquintupel zum Typ b 1., d. h. sie besitzen je eine gemeinsame Treffgerade. Die so definierten Treffgeraden bilden ein weiteres, dem ersten eineindeutig zugeordnetes Sextupel. 5'

68

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

Beweis: Wir gehen von einem beliebigen windschiefen Tripel innerhalb der 27-Konfiguration aus und bezeichnen 2 Geraden davon mit % und und die 3 gemeinsamen Treffgeraden des Tripels mit c 2 , cs, c 4 . Dann ist in Übereinstimmung mit den Benennungen diesesAbschnitts die 3. Tripeigerade, da sie von c 2 , cz, ci getroffen wird, mit dS6 zu bezeichnen (s.Bild8). Die weiteren 21 Geraden mögen auch so benannt werden, daß wir es wieder mit den 27 Geraden (1), (2) und (6) wie beim Beweis der vorigen Sätze zu tun haben. Aus Satz 5 entnehmen wir jetzt, daß folgende 6 Geraden weder av \ noch d5e Abb. 8 treffen: (11) (^25! ^26i ^35> ^36> ^45> ^is)Ergänzt man av ilt d5e durch eine dieser Geraden (11) zu einem Quadrupel, so ergeben sich sofort 2 der Geraden c 2 , c 3 , c 4 als gemeinsame Transversalen dieses Quadrupels; z. B . werden

(12)

K

gleichzeitig von cs und ci geschnitten. Nur noch die Geraden (13) (¿26' ^35) ^45) aus (11) liegen gleichzeitig zu allen 4 Geraden aus (12) windschief. Die beiden aus (12) und (13) gebildeten Quintupel: (14) K, U n d (®1> ¿25' ^25> ^45> haben nur je eine gemeinsame Transversale, und zwar je ci bzw. c 6 ; das aus (12) und (13) entnommene Quintupel (15)

(a 1 ; bv d25, ¿26' (hi)

hat jedoch cs und c 4 als gemeinsame Transversalen. Verlangt man jetzt, (15) zu einem windschiefen Sextupel zu er-

Die Konfiguration der 27 Geraden einer kubischen Fläche

69

gänzen, so ist dies nicht möglich. Denn f ü r diese Ergänzung kämen nur d35 oder di5 in Frage: aber ¿ 3 5 schneidet d26, und di5 schneidet d2e. Dagegen ist dies bei den beiden Quintupeln (14) eindeutig möglich. Das erste Quintupel (14) f ü h r t z. B. zu dem Sextupel: (16)

(%,

d2S, d35, diS,

d66).

Diese Geraden (16) besitzen zu je 5 eine gemeinsame Treffgerade. Es entstellen dabei folgende 6 Geraden: (17)

(^15> ®15> C2' C3' Ci'

die offenbar wieder alle zueinander windschief sind. Hiermit ist aber unser Satz bewiesen. Man nennt die Teilmengen von 12 Geraden (16) und (17) unserer 27-Konfiguration Doppelsechsen oder etwas genauer nach ihrem ersten Entdecker (1858) Schläflische Doppelsechsen. Zunächst gilt folgender Satz 7. Es gibt 720 windschiefe Tripel innerhalb der 27Konfiguration. Jedes dieser Tripel liegt in genau 2 Doppelsechsen. Die Zahl der Doppelsechsen beträgt 36. Beweis: Die Überlegungen beim Beweis von Satz 4 lehren, daß es 27 • 16 • 10 geordnete windschiefe Tripel innerhalb der 27-Konfiguration gibt. Hieraus folgt sofort die behauptete Zahl von 720 ungeordneten Tripeln. Wir bezeichnen die Geraden des gegebenen Tripels wie beim Satz 4 mit alt i v d23, so daß ihre gemeinsamen Transversalen e 4 , c 5 , ce sind und benennen auch die übrigen Geraden mit (1), (2), (6) nach dem dort angegebenen Schema. D a n n ergeben sich nur (18) ^24> ^25' ^26> ^34> ^35> ^36 als gleichzeitig zu a v d s e windschief. Aus (18) kann man aber nur die beiden Tripel (¿24J ¿25!

Und (^34> ^35>

entnehmen, die (av bv d2S) zu je einem windschiefen Sextupel ergänzen. Die 720 Tripel führen somit zu 720 • 2 Sextupeln, wobei aber jedes Sextupel 20 mal gezählt ist. Dies er-

70

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

gibt 72 Sextupel, die sich paarweise zu 36 Doppelsechsen zusammenfügen. Man kann die Konfiguration der Doppelsechs auch unabhängig von der kubischen Fläche erklären, indem man etwa so vorgeht: Gegeben seien die 5 paarweise zueinander windschiefen Geraden (19)

al5 a2, a3, a4, a 6 ,

die eine gemeinsame Treffgerade c/.'e besitzen. Zu je 4 haben die Geraden (19) außerdem weitere gemeinsame Treffgeraden, die mit >, die nicht auf Fs liegt. Ist P[ keine Tangente, so schneidet Pi die Fläche in je einem Punkt von a 1: b1 und noch einem nicht auf aly gelegenen Punkt P 0 . Man hat dann P 0 und Pp einander zuzuordnen. Ist P[ Tangente von F3, so muß

Ebene Abbildung der kubischen Fläche

75

der Berührungspunkt auf % oder \ liegen und ist dann P'0 zuzuordnen. Liegt P'0 auf c2, aber verschieden von G[ und C'2, so entspricht er sich selber. Bei P'0 = C[ treffen die Kongruenzgeraden, die P0 enthalten, alle die oben mit b12 bezeichnete Gerade von F3, ebenso treffen die Kongruenzgeraden durch C'2 alle a 12 . Somit hat man C[ und C'2 je allen Punkten von C12 und a 12 zuzuordnen. Schließlich ist es evident, daß C^i > 2) allen Punkten von c ; entsprechen muß. Die Beziehung zwischen F3 und E' ist somit beschrieben. Satz 3. In der Beziehung von Satz 2 ist weiter zugeordnet: a) die 6 Geraden der Ergänzungssechs von (6) a±, bv d2S, d2i, d26 je den Kegelschnitten k'm, k[2), k'(3), k'w, k{5), fc('6) auf E', b) die 15 Geraden c2, a13, a14, a15, a16, b13, 614, &15, &16, d34, d45, dle, ¿ 5 6 je den Geraden g'12, g'13,..., gls, g'23,. . ., 026! 956! 916! • • •! 9aiDabei bedeutet k'^) den durch die 5 der 6 Punkte (5) außer Cl gehenden Kegelschnitt und g'^ = C- w G-; die 6 Kegelschnitte fc^ sind alle verschieden. Beweis: Wir betrachten zuerst die Gerade ax < F3. Zufolge § 8 und § 7, Satz 3 erzeugen diejenigen Tangenten von F3, die in den Punkten von % berühren und \ treffen, eine kubische Regelfläche Rjf>* mit bt als Doppelgerade. enthält die 5 Geraden c 2 ,. . . , c6 und schneidet E' außer in der Geraden c2 noch in einem Kegelschnitt k[, der gewiß C'2,..., C'a enthält. Analog erzeugen diejenigen Tangenten von F3, die in den Punkten von b± berühren und ar treffen, eine Regelfläche mit at als Doppelgerade, die mit E' die Gerade c2 und einen G[, C'3,..., C'6 enthaltenden Kegelschnitt gemein hat. Wäre nun k[ = k'2, so ergäbe sich sofort pa,ö = F*.b p i e s w ürde jedoch bedeuten, Fs hat unendlich viele Tangenten, die gleichzeitig in Punkten von ax und \ berühren, also auf F3 liegen, während F3 keine Regelfläche sein sollte. Weiterhin erzeugen alle Geraden von L a - b , die d21 treffen, eine Quadrik, die E' in einem Kegelschnitt k{i)

76

Algebraische Flächen 2. und 3. Grades

schneidet, der alle P u n k t e (5) a u ß e r G'i e n t h ä l t . S o m i t ist der Teil a des S a t z e s bewiesen. D e r T e i l b für die Geraden c2, ein, bu ergibt sich u n m i t t e l b a r ; für die weiteren n e h m e n wir als Beispiel ä 3 l . Die G e s a m t h e i t aller d 3 i treffenden Geraden von La'b erzeugt eine Quadrik, die c2, c 5 , c 6 e n t h ä l t , d. h. E' in c2 und der Verbindungsgeraden von 6"B u n d C'e schneiden muß. W i r untersuchen j e t z t noch rechnerisch die Abbildungen der letzten beiden S ä t z e . D a z u wählen wir solche K o o r d i n a ten, daß folgende 4 Geraden auf Fs durch Nullsetzen gewisser K o o r d i n a t e n beschrieben w e r d e n : dj . ^

—•

— Oj J j . CCq — 2/j — 0, Cg • 3/j —

D a n n reduziert sich die Gleichung von F3 (8)

^0(^22^2

2^23^2^3)

+ (¿2X0X2 + %X0Xl(ß2X2 E i n e Gerade P[ e lung: (9)

La-

6

• ^Q — 3/j — Oj

— 0. auf:

^1(2^23^2^3

^33^3)

+ ßaXa) + YsXlX3

=

h a t wegen (7) die P a r a m e t e r d a r s t e l -

x0 = A/i0, xx = A / / J , x2 = ¡xv0, x3 = fj,i\

und die P l ü c k e r k o o r d i n a t e n (10)

P01 = P23 = P12 —

P02 = V o > Pos = Vis ~

V i .

uiui-

S e t z t m a n (9) in (8) ein, b e s t i m m t daraus die P a r a m e t e r des dritten im allgemeinen n i c h t auf a x oder l x gelegenen S c h n i t t punktes P0 v o n P[ und Fs und s e t z t die so gefundenen X, fiW e r t e in (9) ein, so ergibt sich »0 = — « i K V o + 2 « 2 3 V i ) — W 0 %( 2 & 23 V l ( 1 1 ) Xl 'x2

+

~ U0Ul(a22Vl + 2a 2 3 V i ) — «i( 2 &23 V i + = a2ulvl + 2u0u1(ß2vl + ß . V i ) + 73 M 'i V i

=

x3 = ocX V i

+ Zuoui(ß2vovi

+ As^i) +

Zufolge ( 1 0 ) l ä ß t sich ( 1 1 ) a u c h in der F o r m

7sutvl

Ebene Abbildung der kubischen Fläche a22 Po2

xo—

fl2)

= x2

2a 2 3 p 0 2 p03 2a 2 3 p 0 2 p 1 3

a22Po2Vl2

=

a

2

p l

+

2

Zß3p02p12

«3 = «2^02^03+

+

2 ß

3

77 ^30 P03

%b23p02p13

2&2

p

0 2

p

1 3

Pia

sP12Pl3

+

y

3

p

1 2

p

1 3

+ 2/S3P03P13+

^ßiVoiVlS

schreiben, wobei die die Gleichung der Q 2 : (13) P02P13 — P03P12 = 0 erfüllen müssen. Durch (11) oder (12) und (13) wird die Abbildung von Satz 1 algebraisch beschrieben. Um auch die Beziehung von Satz 2 rechnerisch zu erfassen, nehmen wir E' als die Ebene (14)

x0

—

x

0

=

s

an. Gemäß der Einleitung D wird dann die Beziehung zwischen den Geraden der Kongruenz La< b und den Punkten P'o (i/o.

durch (15)

p02

=

y0y2,

p03

=

l/a. 2/o) B 0 ; ebenso bestehe der Schnitt Tf ^ F2 aus C1 und der weiteren Geraden A1 > A0 (s. Bild 12). F2 und G2 mögen längs A1 und B1 je die Tangen-

/

/

/

Abb. 12

Definition und Grundeigenschaften der kub. Normkurven 105 tialebenen und Sf besitzen. Diese Ebenen schneiden sich in einer zu Ct windschiefen Geraden Dv Auf Z^. wählen wir die weiteren Eckpunkte ( 0 , 1 , 0, 0) und (0, 0 , 1 , 0) des Systems, so daß außer (2) noch (3)

Äi(y 0 = 0), Sf (y3 = 0)

gilt. Nunmehr haben F2 und G2 Gleichungen der Gestalt

(4)

2aa2y0y2 + anyl = 0 , 2613i/1i/g + l22y\ = 0 .

Weil F2 und G2 beide vom Rang 3 sind, dürfen die 4 Konstanten in (4) sämtlich nicht verschwinden. Durch die weitere Koordinatenänderung:

bei irgendeiner Bestimmung der Wurzeln erreicht man schließlich die Formen (1) für die Gleichungen von F2 und G2. Definition: Die Menge aller nicht auf der gemeinsamen Geraden C^ gelegenen Punkte der beiden Kegel F2 und G2 von Satz 1 einschließlich der beiden Kegelspitzen A0 und ßf) heißt kubische Normkurve und werde mit V[ bezeichnet. Satz 2. Die Koordinaten der Punkte der soeben definierten kubischen Normkurve lassen sich unter Benutzung des Systems von Satz 1 in der Form (6)

x0 = u3,

= u2v, x2 = uv2, x3 = v3

schreiben, und alle Punkte des Ps, deren Koordinaten sich in der Form (6) schreiben lassen, liegen auf der V\. Beweis: P0(p0, p2, p3) sei ein von A0, B0 verschiedener Punkt von VI, d. h. es gelte: (7)

V0P2 — vl=

ViPs — Pl = 0;

dabei verschwinden pv p2 nicht beide, da dann P0 < C'j gelten würde. Es sei

(8)

Vi #0.

Algebraische Raumkurven

106

Dann dürfen zufolge (7) auch alle übrigen schwinden, und wir schließen aus (7): ^

n

=

pT

=

P7

= a'd

"h'Vo

nicht ver-

= a3?'3'Vl = a2ps'P* =

^

und setzen (10) ß = fe unter irgendeiner Bestimmung der Wurzel. Aus (9) und (10) ergibt sich dann die behauptete Darstellung der Koordinaten von P0 in der Form (6) für u = x,v = ß. Umgekehrt erfüllen alle Koordinaten der Form (6) mit u #= 0 , v 4= 0 die Gleichungen (1), ohne daß für sie x1 = x2 = 0 gilt, d. h. die zugehörigen Punkte liegen auf Ff. Für (u = 0 , v = 1) und (u = 1, v = 0) erfaßt man hinterher auch noch die Punkte A0, B0 A0 eine Ebene Pi, :=> A'Q entspricht. Dies definiert eine projektive Beziehung des Bündels der Ebenen durch A0 auf das der Ebenen durch A'0. Beweis: Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, Ag und Ag mögen zu den Parametern u = 0, v = 1 und u = 1, v = 0 gehören, d. h. die Punkte 4 , ( 0 , 0, 0 , 1 ) und A0( 1, 0, 0, 0) sein. Dann haben die Ebenen P 2 > Ag und P'2 A'0 je Gleichungen der Form (1) ¿j0x0 +

+ £2x2 = 0 und

+ i'2x2 + g'3xs = 0 .

Nach der Vorschrift des Satzes sind sie genau dann einander zugeordnet, wenn in den gemäß § 17 (2) ihnen je entsprechenden kubischen Formen (2)

u (i0u2 + ilUv

+ £2v*) und v (£«• +

+

f )

außer der jeweiligen Wurzel (u = 0, v = 1) und (u = 1, v = 0 ) nur gemeinsame Wurzeln haben. Dies bedeutet jedoch, die beiden quadratischen Formen in den Klammern von (2) haben gemeinsame Wurzeln, und dies hat zur Folge, es gilt (3)

f i = Q£o > ¿2 = o i i > f s = eis*

für ein gewisses q =|= 0. Durch (3) wird jedoch die behauptete

Projektive Erzeugungen der y j

119

projektive Beziehung zwischen den Ebenen durch A0 und A'0 beschrieben.

der

Bündel

Hierauf beruht der folgende Satz 2. Gegeben sei eine reguläre projektive Beziehung n zwischen den Ebenen je durch die Punkte A0 und A'0 ( ¿ 0 =)= Dabei hat n nur folgende Bedingung zu erfüllen: Niemals entspricht eine gleichzeitig durch A0 und A'0 gehende Abb u Ebene bei n sich selber. Dann ist die Gesamtheit der Schnittgeraden entsprechender Ebenen die Sehnenkongruenz einer F J . Beweis: In der gegebenen Projektivität n zwischen den Bündeln der Ebenen j e durch A0 und A'0 darf das Büschel aller Ebenen durch die Gerade = A0 w A'0 nicht sich selber entsprechen. Denn dann würde es gegen die Voraussetzung mindestens eine sich selbst zugeordnete Ebene durch Cj geben. E s ist also das Büschel der Ebenen durch cx bei n dem der Ebenen durch die Gerade ci A'0 zugeordnet, wobei c'x 4= c v Wir nennen C 2 die Verbindungsebene von und c[ und setzen: (4)

C'2=7Z

( C 2 ) , D't

=

n ( O J ) , C2

=

71 (DJ

.

Dabei gilt D 2 > A0, D'2 > A'0, aber D2 enthält nicht A'0 und D'a nicht Aa. Denn andernfalls würde das ganze ^-Büschel bei 7i sich selber entsprechen, was nicht sein darf, wie wir wissen. Gemäß unserer Voraussetzung muß auch C2 4= C'2 sein. Wir nennen noch (5)

C0 = D2 -

C2 Und C'0=Dt~D't~

C'2

(s. Bild 14) und wählen solche Koordinaten, daß (G)

4 , ( 0 , 0, 0 , 1 ) , ^ ( 1 , 0, 0, 0), C 0 ( 0 , 1 , 0, 0), Cl(0, o, 1, 0)

und die Ebenen j e durch A0 und A'0 Gleichungen der A r t : (7)

i0x0 +

+

= 0 . fi^l +

+

=

0

120

Algebraische Raumkurven

haben. Die Bedingungen (4) und (6) besagen dann, wie man leicht nachrechnet, daß n durch eine Diagonalmatrix, d. h.: (8) ii = «ofo> £2 = a ifl> £3 = beschrieben wird. Schließlich sei E2 > A0 eine Ebene, die keine der 3 Geraden durch A0 aus dem Bild enthält; dann gilt Entsprechendes auch für E'z=n(E2). Im Einklang mit dem schon Festgelegten können wir jetzt die Einheitsebene des Systems (mit der Gleichung x0 + x1 + x2 + x3 = 0) so wählen, daß sie die Gerade E2 ^ E'2 enthält. Dann werden die Konstanten in (8) alle einander gleich, und wir haben gefunden: Die Schnittgeraden entsprechender Ebenen sind die Sehnen und Tangenten der durch § 16 (6) definierten V\. Mit diesem Satz haben wir auch sofort sein duales Gegenstück gewonnen, das so lautet: Satz 3. Gegeben seien 2 verschiedene Ebenen A 2 und A des P3 und eine projektive Beziehung zwischen den Punkten derselben, jedoch von der Art, daß kein Punkt der Geraden A2 ^ A'2 sich selber entspricht. Dann erzeugt die Gesamtheit der Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte von A2 und A'2 die Kongruenz der Dualsehnen einer FJ. Durch die Erzeugungen von Satz 2 und 3 gewinnen wir nicht die VI oder VI direkt, sondern die damit zusammenhängenden Kongruenzen. Damit hat man aber auch die FJ selber. Denn es gilt Satz 4. Für die Sehnenkongruenz S einer V\ ist die VI selber Ort der singulären Punkte, d. h. derjenigen Punkte, durch die unendlich viele Geraden von S gehen. Dual hierzu: Die Schmiegebenen von V\ und nur sie sind singulär für die Kongruenz der Dualsehnen von V\, d. h. in ihnen liegen unendlich viele Kongruenzgeraden. Beweis: Durch den Punkt P0 VI gehen außer der Tangente in P 0 noch unendlich viele Sehnen. Würden nun durch einen nicht auf FJ gelegenen Punkt H0 mehr als eine Sehne oder Tangente von VI gehen, so hätte man auch

Projektive Erzeugungen der VI

121

eine Ebene durch H 0 , die die Kurve in Punkten von höherer Vielfachheitssumme als 3 schneidet. Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen, der zweite folgt daraus durch Dualisieren. Es gibt nun aber auch projektive Erzeugungen, die direkt die Punkte der V\ liefern: Satz 5. Gegeben seien die 3 paarweise windschiefen Geraden ' des P3. Die Ebenen durch ax seien auf die Ebenen durch a[ und a'[ vermittels der projektiven Abbildungen ti' und ti" bezogen, n und n" seien so allgemein, daß die 3 zugeordneten Ebenen (9)

P2 => av n'(P2) => aj,

n"{P2) =>
• i auf Q2 Polynomideale zuordnen, deren Nullstellengebilde sie sind. Unter den Polynomen eines solchen Ideals wird gewiß die linke Seite der Gleichung (22)

fx = x0x3 — xxx2 = 0

von Q2 auftreten. Es sei zunächst f(x0, xv x2, xa) ein beliebiges homogenes Polynom vom Grade n. Wir setzen in / die Parameterdarstellung (0) von Q2 ein und geben die

Doppeltbinäre Formen und Kurven auf Quadriken

133

Definition 3. Zu einer gegebenen F o r m f(x0, x±, x2, xs) heiße die durch (23)

f(u0v0, u0vv UjV0, u ^ ) = /(«„, v0;

vj

erklärte doppeltbinäre F o r m / die Q 2 -Parameterform von /. Es ist / dann u n d nur dann identisch 0, wenn die durch / = 0 definierte Fläche F die Quadrik Q2 als Teil enthält. In jedem anderen Fall ist / eine doppeltbinäre F o r m der Grade (2 n, 2 n). E s kann / auch bei irreduziblem F zerfallen, wie das triviale Beispiel / = x0 lehrt. Wir zeigen jetzt den Satz 3. Die Gesamtheit aller Formen f(x0, xv x2, x3), deren Q 2 -Parameterform eine gegebene doppeltbinäre F o r m • q . Diese projizieren wir aus dem nicht auf ihr gelegenen P u n k t Z0 in die nach Satz 2 gleichfalls irreduzible Kurve Jcp+q C2- 2 mit der Spitze S0 gibt, während alle übrigen Quadriken des definierenden Büschels die Tangentialebene T2(S0) gemein haben. Dies führt zu folgender Definition: Der singulare Punkt ,S0 der Raumkurve C2-2 heißt Doppelpunkt oder Spitze, je nachdem ob die Tangentialebene T2(Sg) der Büschelquadriken mit dem Kegel K2:=> G2-2, der seine Spitze in S0 hat, zwei oder eine Gerade gemein hat. Diese Geraden heißen singulare Tangenten, speziell Doppelpunkts- oder Spitzentangenten. Ihre Rechtfertigung erfährt diese Definition in folgendem Satz 1. Die irreduzible Raumkurve C 2 ' 2 mit Doppelpunkt oder Spitze in S0 wird von einem Punkt Zg =j= S0 in eine ebene Kubik projiziert, die im Projektionspunkt S'0 von Sg gleichfalls einen Doppelpunkt bzw. eine Spitze besitzt. Beweis: Wir sahen schon in 21, Satz 6, daß bei der Projektion der C2-2 aus dem regulären Punkt Z0 der singulare Punkt iS 0 < C2-2 in einen solchen S'0 auf k'3 übergeht. Sx sei eine singulare Tangente von C2, y = tv+v' (v

+

z = t"+v' + v" + . . . 1, v" t 1)

Definition 5. Zweige der Ordnung v = 1 heißen linear, alle übrigen superlinear. Satz 1. Jeder im Sinne von § 15 reguläre P u n k t 0 einer algebraischen R a u m k u r v e k ist Ursprung eines linearen Zweiges Z 2 zusammen, in welcher Weise eine C1- 3 in einfache zählende Teile zerfallen kann. Satz 2. Eine C1-3 kann in folgender Weise zerfallen: a) Kubische Normkurven V\ und Gerade, die VI nur in einem Punkt schneidet, ohne sie dort zu berühren, b) Kegelschnitt ~V\ und 2 Gerade, die V\ treffen, aber der Ebene von ~V\ nicht angehören und zueinander windschief sind, c) 3 zueinander windschiefe Geraden und eine gemeinsame Treffgerade derselben. Beweis: Der Satz folgt sofort beim Studium der Zerfallsmöglichkeiten der linken Seite von (4). Weiterhin sei C1-3 eine irreduzible Kurve der in Satz 1 beschriebenen Art. Dann folgt sofort, daß diese C1- 3 auf keiner weiteren Quadrik Q'2 außer Q2 liegen kann. Denn dann müßten die Geraden der Schar I, da sie C1- 3 und somit auch Q'2 in Punkten der Vielfachheitssumme 3 schneiden, auf Q'2 liegen; dies bedeutet jedoch Q2 = Q'z. Wir nennen die Geraden der Schar I auch Tripelsekanten von C1- 3 und zeigen leicht den Satz B. Es seien a[ und b[ zwei nicht notwendig verschiedene Tripelsekanten der durch (4) auf der Q2 definierten C 1 ' 3 . Dann gibt es kubische Flächen, deren Durchschnitt mit Q2 aus der in C1- 3, a[ und b[ zerfallenden C3>3 besteht.

Definition und Grundeigenschaften der Raumkurven

151

Beweis: ai und b[ seien als Graden der Schar I auf Q2 durch (5)

ßouo + ßiui

=

0

definiert. Dann beschreibt (6)

(oc0u0 +

(ß0u0 + ßjU^ 9?(w0, mx; v0,

= 0

mit der F o r m

°xii+i',

so geht (6) in die Gleichung einer kubischen Fläche der verlangten Art über. Man kann hieraus leicht folgern, daß die Gesamheit aller durch eine feste C 1 - 3 gehenden kubischen Flächen ein Linearsystem der Dimension 6 bildet. Diese Tatsache benötigen wir jedoch nicht. Wir wissen aber auch ohne sie, daß in dem genannten Linearsystem kubische Kegel enthalten sind, deren Spitze ein beliebiger Punkt auf C 1 ' 3 sein kann. Denn aus § 20, Satz 2 folgt der Satz 4. Eine irreduzible C 1 - 3 wird aus dem Punkt Z 0 der Q2, der sie angehört, auf eine ebene Kurve Jci oder k3 projiziert, und zwar a) bei Z0 y - b

+ 2 < 2 — *) _ ¿4+i ' ^ —c

(s. Bild 16). Die Kurve liegt auf dem durch

213 +

!

Algebraische Raumkurven

152

a?

y*

z£

0

definierten Hyperboloid und schneidet die Geraden der durch 2

—V= — 1). q(z + y) = x + 1 definierten Schar in 3 und die Geraden der anderen Schar in einem Punkt. Unsere Kurve schneidet die Fernebene ferner nur komplex, liegt also ganz im Endlichen. Auf rein geometrische Weise beweisen wir jetzt den Satz 5. Die irreduziblen Raumkurven C 1 - 3 besitzen nur reguläre Punkte. Beweis: P0 < C1-3 sei ein Punkt, dessen Regularität nachgewiesen werden soll. Auf Grund von § 15 ist zu zeigen, daß es 2 algebraische Flächen durch C1- 3 gibt, die in P0 regulär sind und in P0 verschiedene Tangentialebenen haben. Eine dieser Flächen ist Q2, für die zweite nehmen wir einen Kegel Z f , dessen Spitze der Punkt Z0 < C1' 3 ist, wobei Z0 nur die Bedingung zu erfüllen hat, nicht auf der durch P0 gehenden Tripelsekanten Zx ZU liegen (s. Bild 17). Dann sind für K% nur die Punkte von Z1

A b b . IC

Definition und Grundeigenschaften der Raumkurven

153

singulär und kein Punkt außerhalb von Zv Insbesondere ist Kg in P0 regulär mit der Tangentialebene Tg(P0). Die Tangentialebene T f ( P 0 ) an Q2 in P0 ist (9)

TQ(P0)=Pl~qi,

wobei ,p1 die Tripelsekante und q1 die Gerade der anderen Schar durch P0 ist. Wegen der Wahl von Z0 liegt Z0 aber weder auf pt noch auf qt, da qy die Kurve nur in P0 schneidet. Also hegt Z0 nicht auf der Ebene (9), und die beiden Tangentialebenen Tjf(P0) und TQ(P0) fallen nicht zusammen. Den C1-3 ordnet man wieder das Geschlecht p = 0 zu und sagt, sie seien rational, da sie ähnlich wie die Vf oder die C 2 ' 2 mit Singularität (s. § 22) durch Projektion auf ebene Kurven mit p = 0 birational bezogen werden können. Sehr leicht ergibt sich auch eine rationale Parameterdarstellung der G'1 • 3 : Satz 6. Die Raumkurven 4. Ordnung 2. Spezies besitzen rationale Parameterdarstellungen durch Polynome 4. Grades. Beweis: Die Gleichung (4) schreiben wir in abgekürzter Form als (10)

U0