Lehrproben: Geometrische und algebraische Betrachtungen über Maxima und Minima [Reprint 2018 ed.] 9783111520322, 9783111152233

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L e h r p r o b e n . Geometrische und algebraische Betrachtungen über

Maxima und Minima. Zum Gebrauch in den oberen Klassen höherer Lehranstalten, sowie zum Selbstunterricht, als Vorbereitung für den Besuch deutscher Hochschulen, von

Dr. Paul Wiecke, vormals Direktor der Kgl. Höhereu Gewerbeschule zu Cassel.

Mit Figuren im Text und sieben Tafeln.

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g R e i m e r .

1894.

V o r w o r t . tie folgenden Bogen enthalten, wie der Titel sagt, „Betrachtmgen" über Max und Min einer Funktion, zunächst über diejerigen Fälle, welche im geometrischen und algebraischen Untericht vorgekommen sind und im weiteren die Ergebnisse, wenn man die an jenen Beispielen abgeleiteten allgemeinen Bedinguigen für den Eintritt eines Wechsels zwischen Steigen und Fallei von den unwesentlichen Beschränkungen befreit. Wie die Iihaltsangabe, die zur Erleichterung des Gebrauchs besonders aisführlich angelegt ist, zeigt, ist dem Unterricht reichlicher Stoff ;u mathematischen Erörterungen und Uebungen geboten. Selbstverständlich bildet das vorliegende Material ein zusammmhangendes Ganze. Inzwischen ist es nicht in der Voraussetung niedex-geschrieben, dass es einen besonderen „Cursus" ausmaihen solle. Des eigentlich Theoretischen ist so wenig, dass ias· Eine oder Andere aus den Betrachtungen bei irgend einemBeispiel, auf das der mathematische Lehrplan führt, gelegentich eingeschaltet werden kann; und manche der nachfolgenlen Betrachtungen würde im Unterrichte einen Platz auch ia finden können, wo von der eigentlichen „Bestimmung" eines Max oder Min nicht die Rede ist. Mt der Bezeichnung des Inhalts als „Lehrproben" sollte nicht mr auf dessen praktische Verwendung hingewiesen, sona*

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Vorwort.

dem beiläufig auch angedeutet werden, dass mir der Gedanke, dabei wissenschaftlich thätig zu sein, durchaus fern lag. Der pädagogische Zweck allein war massgebend, und hier wieder nicht das Bedürfnis den Schülern zu zeigen, „wie's gemacht wird", sondern an einer Reihe von Beispielen die in den Schülern ruhenden sinnlichen und geistigen Anschauungen durch Vergleichung verwandter Erscheinungen zu allgemeinen Gesichtspunkten zu erheben, zu zeigen, wie auf diesem Wege die eigentlich wissenschaftliche mathematische E r k e n n t n i s könne gefördert werden. Bedenken gegen solch subjektivisches Wesen sei erwidert, dass nach der vielseitigen Erfahrung, auf welche hier mich zu berufen ich wohl einigen Anspruch habe, durch das Hineintragen persönlicher Anschauungen in das starre System der mathematischen Lehre, diese, als fände eine Art Transfusion statt — ich möchte sagen: „menschlich" dem Denken und Empfinden der Schüler näher gebracht wird. Und die mathematischen Wahrheiten können sich etwas Menschenblut schon gefallen lassen. Denn wenn dann auch die Bakterien menschlichen Irrtums, als Folgen menschlicher Kurzsichtigkeit, mitübergeleitet werden; so wird der Reinigungsprocess grade hier bei weiterem Nachdenken sich schnell vollziehen, um so deutlicher aber die Kraft mathematischer Logik hervortreten. Wenn ferner die Behandlung der Mathematik auf unseren höheren Lehranstalten sich damit der der Naturwissenschaften, ich denke zunächst an die P h y s i k , ein Gutteil nähert, so wird dadurch nur Beiden gedient sein: der Mathematik vor Allem dadurch, dass sie von ihrer vereinsamten Stellung in dem Lehrplan der Gymnasien erlöst wird. Denn nichts als der den Gepflogenheiten längst vergangener Zeiten entsprungene Irrtum, wonach mathematisches Schliessen und Denken allem übrigen als ein Fremdes gegenüberstehen soll, trägt — soweit man davon zu reden noch berechtigt ist, die Schuld an dem mathematischen Elend unserer Gymnasien. Dass man doch die

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heillose Sitte, den Schülern als Aufgaben zu ihren häuslichen Uebungen oder gar bei Prüfungsarbeiten allerlei „Rätsel" aufzutischen, mit dem Interdikt belegen könnte! Für Erörterungen mit reiferen Schülern bietet der inselartig gelegene Abschnitt von der Bestimmung des Max oder Min einer Funktion, sowohl der kurzen theoretischen Entwickelung, als der Mannigfaltigkeit der Beispiele wegen, ein überaus ergiebiges Feld, zudem einen den Schülern stets willkommenen Tummelplatz. Differential-Rechnung ist in den folgenden Erörterungen so wenig gelehrt, als vorausgesetzt. Aber es musste meines Dafürhaltens der Leser durch die algebraische Untersuchung bis dahin geführt werden, dass er das Gebiet der Differential-Rechnung vor sich liegen sieht — schon darum, weil die nicht unansehnliche Zahl solcher Schüler, welche auf Hochschulen ihre mathematischen Studien fortsetzen, sich Rechenschaft von dem Zusammenhange der beiderlei Verfahren wird zu geben haben. So fügt es sich ganz von selbst, dass die Betrachtungen über Max und Min nach und nach die Differentialrechnung vorbereiten, mit einer Gedankenfolge abschliessen, die man ganz wohl als eine Vorläuferin für die E r f i n d u n g der Differential-Rechnung könnte hingehen lassen. Meister des mathematischen Unterrichts pflegen, ehe sie ein neues Gebiet des vorgeschriebenen Kursus betreten, mit Sorgfalt die Anschauungen, welche die Schüler über den zu erörternden Gegenstand sich selbst gebildet haben, zu sammeln und zu sichten. Dem entspricht es, solchen Abschnitten gegenüber, welche den Schülern zunächst ein fremdes Feld sind, in die Werkstätte des Erfinders sie zu führen und dort an den Arbeiten dieses Laboratoriums selbst teilnehmen zu lassen. Hierzu bietet, wie in der „ E r z i e h u n g der d e u t s c h e n J u g e n d " hinsichtlich des physikalischen Unterrichts empfohlen wird, der Anschluss an den historischen Entwickelungsgang der Wissenschaft ein sicher leitendes Mittel. Aber „wer was er-

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Vorwort.

sann", wird sich auch für befugt und befähigt halten, statt dessen einen Zusammenhang zwischen Erkanntem und Unbekanntem zu k o n s t r u i e r e n . Freilich gleicht die Arbeit des Erfinders nicht einem Spaziergang auf wohlunterhaltener Landstrasse. Allein grade diese ist es, welche die Jugend ermüdet; während sie, wenn es über Gräben geht, wenn sie sich Bahn durch Nesseln und Dornen, allenfalls mit dem Stock, brechen muss, wenn der Weg bald vorwärts, bald scheinbar rückwärts führt, das Gefühl der Abspannung nicht kennt. Die Pflege des Sinns für die sogenannte „Eleganz" der mathematischen Entwickelung kann getrost den Hochschulen überlassen bleiben: unsere Sorge sei die um Erhöhung der geistigen K r a f t zu mathematischem Forschen, um Genuss der jugendlichen Freude sie zu bethätigen! — B e r l i n , Mai 1894. Der Verfasser.

Inhaltsangabe. 1. Betrachtung der Abhängigkeit zweier Grössen. UnabhängigVeränderliche und Funktion. Constante Grössen. Erläuterung des Zeichens f(x). — Zur Beurteilung des Verlaufs einer Funktion müssen die Wechsel zwischen Steigen und Fallen bekannt sein. 2 . An den Stellen, wo diese Wechsel eintreten, erreicht die Funktion ein Max oder ein Min, nicht „ihren grössten, bez. kleinsten Wert", sondern einen Wert, der grösser (bez. kleiner) ist, als die voraufgehenden und die nachfolgenden innerhalb eines Spielraums bis an den nächsten Wechsel. ·— Angabe des grössten oder kleinsten Wertes einer Funktion. — Im Begriff des „Grössten" liegt einerseits die Vorstellung des ninausgehens einer Grösse über diejenigen, mit denen sie verglichen wird, andererseits die Vorstellung des Beschränktseins A n m e r k u n g . Zur Bestimmung des Max oder Min einer geometrisch darstellbaren Grösse führen z w e i W e g e , der eine durch Konstruktion, der andere durch Rechnung

I. Geometrische Betrachtung. 1. Untersuchung. Beobachtungen von Max und Min an symmetrischen Figuren. 3 . Das A u f t r e t e n v o n Max o d e r Min, wie sie in den Lehrgängen der Geometrie vorkommen, ζ. B. in dem Satze . . . . 1. B e i s p i e l : die kürzeste grade Strecke zwischen einem Punkte und einer graden Linie ist die senkrechte — ist in vielen Fällen darin b e g r ü n d e t , dass die Grade oder die E b e n e , welche das Max oder Min bestimmt, e i n e A c h s e , bez. e i n e E b e n e d e r S y m m e t r i e für alle übrigen ist. — Entfernung

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Inhaltsangabe.

eines Punktes von einer Ebene — Entfernung zweier windschiefen Linien — Pyramide von kleinster Oberfläche, wenn eine rechteckige Grundfläche und als Ort des Scheitels eine gewisse Grade gegeben ist. 2. B e i s p i e l : Die kleinste und grösste Entfernung eines Punktes Α von den Punkten einer Kreislinie, wenn Α in der Ebene des Kreises oder ausserhalb derselben liegt Erweiterung der Frage auf den Fall, dass an Stelle des Kreises eine Curve mit einer Achse der Symmetrie t r i t t , der P u n k t Α auf der Achse liegt — die kürzesten und längsten Strecken zwischen den P u n k t e n zweier Kreislinien, die in parallelen Ebenen liegen. 3. B e i s p i e l : die grösste und die kleinste Sehne, welche durch einen Punkt Α im Innern eines Kreises gehen Die Ergebnisse übertragen sich, wenn auch nicht ohne Abweichungen, auf den Fall einer Curve, welche eine Achse der Symmetrie hat, sofern Α ein Punkt der Achse — ζ. B. ein P u n k t der kleinen Achse einer Ellipse ist. (Fig. la.) Grösster und kleinster Winkel der Ebenen eines Ebenenbüschels mit einer Ebene E , die schief zur Achse des Büschels steht. Bestimmung des kleinsten unter gewissen Querschnitten eines schiefen Kreiskegels. (Fig. I b . ) 4. B e i s p i e l : Unter allen R-echtecken von gleichem Umfange hat das Quadrat den grössten Inhalt. — Verallgemeinerung des diesem Satze zugrunde liegenden Gesetzes 4. S . B e i s p i e l : Der kürzeste Kreisbogen auf einer Halbkugel, welcher zwei Punkte Α und Β derselben verbindet, liegt auf dem durch Α und Β bestimmten grössten Kugelkreise. (Fig. 2.) . . . 6. B e i s p i e l : Die Ablenkung eines Lichtstrahls nach zweimaliger Brechung durch die Seitenflächen E ' und E " eines Prismas wird ein Min, wenn derselbe beim Austritt mit E" denselben Winkel bildet, als beim Eintritt mit E ' . (Tafel A, Fig. 1—4.) 5 . S c h l u s s b e t r a c h t u n g : Das allgemeine Ergebnis der voraufgehenden Betrachtungen — wenn auch ein eigentliches „Verfahren" zur Bestimmung des Max oder Min darin nicht enthalten ist, so zeigen sie doch den W e g zu einem solchen

2. Untersuchung. Allgemeines geometrisches Verfahren zur Bestimmung des Max oder Min einer Funktion. 6. L e h r s a t z : Entsprechen den Punkten X einer gegebenen Ortslinie G nach der in einer vorliegenden Aufgabe bestimmten Be-

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Inhaltsangabe.

IX Seite

ziehung die W e r t e n der Funktion, dem Punkte Xk der Wert yk\ so ist, damit für einen gewissen Punkt Xm die Funktion ein Max oder Min ym wird, notwendig und hinreichend, jdass die Punkte Xh wenigstens p a a r w e i s vorhanden sind: X'k und X£. Der Punkt Xm ist dann der D o p p e l p u n k t der Paare. Bezeichnet man also die Linie, den Ort a l l e r Punkte, denen der Wert y k entspricht, mit Ζ*, so ist der P u n k t Xm derjenige, in welchem d i e f e s t e O r t s l i n i e G v o n e i n e r L i n i e Lm des Linienbüschels L b e r ü h r t wird. Und zwar ist die Funktion ein Max o d e r ein Min, j e nachdem, wenn auf Q gemessen die „trennende Strecke" x [+i Χ'ί+ι < Xl Xk ist> 1 > 3k oder Vk+i < yk ist 7. Erörterung des Lehrsatzes an der im 1. Beispiel behandelten Aufgabe 7. B e i s p i e l : Unter allen Dreiecken (c, «, a < 90°) dasjenige anzugeben, in welchem α ein Min ist — nebst seinen beiden Umkehrungen. (Fig. 3, 4 und 5.) A n m e r k u n g . Erörterung des allgemeinen Kennzeichens, mit Hilfe dieses Beispiels, wenn in den Werten der Funktion ein W e c h s e l zwischen Steigen und Fallen n i c h t e i n t r i t t . (Fig. 6, 7 und 8.) 8. B e i s p i e l : Unter den einer Ellipse eingeschriebenen Rechtecken dasjenige vom kleinsten Umfange anzugeben. (Fig. 9.) 8. Bestimmung des Max und Min eines Winkels, dessen Schenkel durch zwei feste Punkte Α und Β gehen, während der Scheitel über eine gegebene Linie*sich bewegt, und zwar der Ort für den Scheitel (Tafel B, Fig. 1—5.) 9. B e i s p i e l : eine grade Linie ist, die mit AB in derselben Ebene liegt, senkrecht (Fig. 1) oder schief zu AB steht; oder 10. B e i s p i e l : der Ort für den Scheitel ein Kreis ist, der ganz getrennt von der Graden AB sich befinden oder sie in Punkten schneiden kann, welche die eine oder andere Lage zu der Strecke AB annehmen (Fig. 2—5). — Betrachtung über das Mass des AXB=y. 9 . Erweiterung des Verfahrens auf solche Fälle, wo eine feste Ortslinie nicht gegeben, statt dessen ein 2. Curvenbüschel Κ vorhanden ist, so dass wieder alle Punkte der Linie Kk dem Werte yk nach den Bestimmungen der Aufgabe, jedoch in anderer Hinsicht, als die Punkte der Linie Lk, entsprechen. Der Punkt Xm ist jetzt derjenige, in welchem e i n P a a r e n t s p r e c h e n d e r C u r v e n K m und Lm sich b e r ü h r e n 11. B e i s p i e l : Unter allen Dreiecken ( 0 - f - c = s , «) dasjenige vom kleinsten Umfange zu bestimmen. (Fig. 10 und 11.)

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χ

Inhaltsangabe.

12. B e i s p i e l : Den Punkt einer Ebene zu finden, in dem zwei Strecken einer Graden unter gleichem und zwar einem möglichst grossen Winkel erscheinen. (Taf. B, Fig. G.) 10. Eine Aufgabe kann die Bestimmung des Max oder Min einer Funktion y verlangen, indem sie die W e r t e yk nicht i n B e z i e h u n g b r i n g t zu den Punkten Xk einer graden Linie oder einer Curve, sondern zu d e n G e r a d e n Zk eines Punktes oder einer Curve. — Parallelismus der Eigenschaften von Oertem für Punkte und von Oertem für Grade. — Ist dann wieder ein fester Ort G (Punkt oder Curve) für die Graden Z, andererseits ein Curvenbüschel L durch die Aufgabe gegeben, so dass allen Graden der Curve Lk derselbe Wert yk entspricht; so ist die G r a d e Zm die T a n g e n t e des P u n k t e s , in welchem G von einer C u r v e Lm d e s B ü s c h e l s b e r ü h r t w i r d 13. B e i s p i e l : Innerhalb eines Kreises ist ein Punkt gegeben, es soll durch ihn die grösste und die kleinste Sehne gezogen werden. (Fig. 12.) 14. B e i s p i e l : Unter allen einem gegebenen Kreise umschriebenen Dreiecken von demselben Winkel α dasjenige anzugeben, dessen Umfang ein Min wird. (Fig. 13.) 11. B e s t i m m u n g d e s P u n k t e s Xm d u r c h N ä h e r u n g s verfahren 15. B e i s p i e l : In den kleineren der durch eine Sehne in einem Kreise gebildeten Kreisabschnitte das Rechteck von grösstem Inhalte zu beschreiben. (Tafel C, Fig. *1 a u. 1 b.) 12. Erweiterung des Verfahrens auf K o n s t r u k t i o n e n d e s R a u m e s nach den Grundsätzen der „beschreibenden Geometrie". . 16. B e i s p i e l : Zwei Punkte Α und B, sowie eine zu AB windschiefe Grade l sind gegeben; es soll unter den Punkten X der letzteren der Punkt Xm so bestimmt werden, dass /L AXmB ein Max wird. (Tafel C, Fig. 2 u. 3.) Dazu sind zwei Näherungsverfahren ausgeführt. Das eine unmittelbarere (Fig. 2) beruht auf der Regel des Lehrsatzes No. 6, wenn sie auf Konstruktionen des Raumes angewendet wird; das andere, eine mittelbare Lösung der Aufgabe, (Fig. 3), erinnert an die Schlüsse in No. 10, wenn man das Verfahren an Graden Ζ eines Punktes auf den Fall von Ebenen eines Büschels überträgt. 13. S c h l u s s b e t r a c h t u n g Eine Schwierigkeit das geometrische Verfahren so weit nutzbar zu machen, dass der Punkt Xm d i r e k t bestimmt wird, liegt darin, dass hierzu Bekanntschaft mit der Natur der Curven L erforderlich ist. Das Ν ä h e r u . n g s v e r f a h r e n bietet zwar in allen Fällen einen

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Inhaltsangabe. Ausweg, ergiebt aber schliesslich für Xm nie einen „Punkt", immer eine Strecke, auf der er sich vorfindet. Beurteilung des Wertes einer solchen Bestimmungsweise überhaupt und insbesondere bei den Aufgaben über Max und Min, wo die Fehlerstrecke besonders gross erscheint. Für Aufgaben, wie das 15. Beispiel, könnte an Stelle des Näherungsverfahrens der algebraische Weg gewählt werden (Ausführung Tafel C, Fig. 4); nicht so beim 16. Beispiel. Umgekehrt böte hier das darstellende Verfahren, als solches, vor dem algebraischen wesentliche Vorteile. — Dies weist darauf hin die Mittel zu vervollkommnen, durch welche der Punkt Xm sich d i r e k t bestimmen Hesse. Dazu bedarf es einer eingehenden Bekanntschaft mit den Eigenschaften zunächst der Linien 2. Ordnung. Betrachtung über den hierfür zu wahlenden Ausgangspunkt.

Anhang. Bestimmung von Max

und Min

unter Anwendung

projektivischer Beziehungen. V o r b e m e r k u n g : Anführung einiger Lehrsätze (I bis VI) aus • den Anfängen der „neueren Geometrie" 14. 17. B e i s p i e l : Einem Dreieck ABC ein Parallelogramm, von welchem 2 Seiten auf BA und BC fallen, so einzuschreiben, dass sein Inhalt ein Max wird. (Tafel D Fig. 1 — 3.)

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18. B e i s p i e l : In einen normalen Kegel einen normalen Cylinder zu beschreiben, so dass sein Inhalt ein Max wird. (Tafel Ε Fig. 1 - 4 . ) 19. B e i s p i e l : Die Höhe eines leuchtenden Punktes über einer gegebenen Stelle einer Horizontalebene soll so bestimmt werden, dass ein irgendwo in der Horizontalebene gegebenes Flächenelement von der Lichtquelle die grösste Helligkeit empfängt. (Tafel Ε Fig. 5 und 6.) Bei den Lösungen der beiden letzten Aufgaben kommt es namentlich darauf an, die Konstruktion auf die Berührung zweier Linien 2. Ordnung zurückzuführen. 15. 20. Beispiel: Es sind zwei sich schneidende unendlichen Graden und ausserhalb derselben ein Punkt gegeben; man soll durch ihn eine 3. Grade ziehen, so dass das von den 3 Graden eingeschlossne Dreieck ein Min wird. (Tafel D, Fig. 4 und 5.) . . . .

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Inhaltsangabe.

Π. Algebraische Betrachtungen. 3. Untersuchung. Unmittelbare Angabe des oberen oder unteren Gränzwertes einer veränderlichen Grösse, y = f ( x ) . 16. Gränzwerte sind in früheren Lehrgängen angegeben worden, wenn in einem Gliede von f(x) die Funktionen sinz oder cos« vorkommen 21. B e i s p i e l : Unter allen Dreiecken (α, «) dasjenige zu bestimmen, welches den grössten Umfang — oder dasjenige, welches den grössten Inhalt hat. 22. B e i s p i e l : Vergleichung des Inhalts der Dreiecke (r, n). 17. Gränzwerte sind ferner angegeben worden, wenn in dem Ausdrucke für eine Grösse X eine Quadratwurzel enthalten ist, deren Radikand die Fähigkeit hat sein Vorzeichen zu wechseln, und zwar betrafen die Gränzwerte irgend eine der Grössen, die unter dem Wurzelzeichen vorkommen. — Beispielsweise sind Gränzwerte angeführt für die Coefficienten einer quadratischen Gleichung, wenn die Wurzeln reell bleiben sollen — für die Sehnenlängen einer Ellipse — für die 3. Seite c der Dreiecke (α, b) bei Betrachtung der Formel für J. 18. Die uns bekannten Formen der Algebra, welche der Ausdruck für den Wert einer Grösse X dann annimmt, wenn diese, je nach den Werten der sie bestimmenden Grössen, ebensowohl wirklieb, als unmöglich sein kann — sind namentlich: Differenzen, Wurzeln graden Grades, endlich die trigonometrischen Funktionen sin und cos. Alle 3 können zu Gränzbestimmungen verwandt werden; ζ. B. enthält die Gleichung zwischen sin (bez. cos und den 3 Seiten die Bestimmung sowohl der unteren, wie der oberen Gränze für die Seite c 19. Soll h i e r n a c h ein Verfahren gebildet werden die Gränzwerte einer Funktion y — fix) zu bestimmen, so muss die Gleichung zunächst in die andere χ = F{y) umgerechnet werden. Die folgenden Beispiele sind zunächst dem Gebiete der Funktionen 2. Grades entnommen 23. B e i s p i e l . Unter den Dreiecken (6 + c = s, a) dasjenige zu bestimmen, welches die kleinste 3. Seite hat. A n m e r k u n g : F e h l t i n d i e s e r Bestimmung die Beziehung a< s? 24. B e i s p i e l . Auf dem einen Schenkel eines rechten Winkels einen Punkt so zu bestimmen, dass eine auf dem andern Schenkel

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Inhaltsangabe.

liegende Strecke in ihm unter dem grössten Winkel erscheint (vgl. 9. Beispiel). 20. Kleinste und grösste Entfernung eines Punktes von einer Curve. — Behandlung nach den Grundlehren der analytischen Geometrie. (Tafel F.) 25. B e i s p i e l : Unter den Punkten eines Ellipsenquadranten soll derjenige bestimmt werden, der von einem auf der grossen Halbachse gegebenen Punkte U die grösste oder kleinste Entfernung hat. Durchgangsabscisse u n der Normalen eines Ellipsenpunktes P. — Der Punkt U'n (u'n — — ) trennt die Punkte Vn

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auf der grossen

Achse, von welchen die Entfernung des Scheitels V ein Max ist, von den andern Punkten CT, von welchen die Entfernung desselben Punktes ein Min ist. — Erklärung dieser Erscheinung; hierzu bildliche Darstellung der Entfernungen der Ellipsenpunkte von einem Punkte U„ oder U durch Ordinaten — mehre solche Curven — Betrachtungen über Tangentenfolge der Curven, Wendepunkte — Mass der Krümmung, der Punkt V ist der Krümmungs-Mittelpunkt der Ellipse im Scheitel V, d. i. der Mittelpunkt desjenigen Berührungskreises für Punkt V, welcher dem Ellipsenbogen am nächsten kommt. 26. B e i s p i e l : Die grösste oder kleinste Entfernung eines Punktes U von einer beliebigen Curve liegt auf der von U zur Curve führenden Normalen UV. Die Frage, ob UV Max o d e r Min ist, entscheidet sich nach Lage des Punktes U zu dem Mittelpunkte des für V konstruierten Krümmungskreises, ganz so, wie oben im 2. Beispiel. 21. Sind zwei Grössen χ und ζ durch die Gleichungen bestimmt: x-\-z — a und xz — b, so ergiebt sich eine obere Gränze für b, oder eine untere Gränze für α schon mit Hilfe der Beziehungen zwischen den Wurzeln und Coeffizienten der quadratischen Gleichung r ? — a x + b = 0. Hieraus lassen sich unmittelbar die Losungen einzelner Aufgaben ableiten. 27. B e i s p i e l : Unter allen Dreiecken (b-\-c — s,a) — oder: 28. B e i s p i e l : unter allen Dreiecken (b+c — s,«) dasjenige vom grössten Inhalt anzugeben. 29. B e i s p i e l : Der Halbmesser eines Kreises soll so bestimmt werden, dass der Inhalt eines Kreisausschnittes vom Umfange 2a möglichst gross werde. 30. B e i s p i e l : Zwischen den Seiten AB und AC eines Drei-

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Inhaltsangabe. Seite

ecks ABC eine Parallele DE zu BC auszuspannen, so dass das Dreieck BDE möglichst gross werde. Die Unbekannten χ und ζ konnten auch berechnet werden, ohne dass man die eine eliminierte und das System der beiden Gleichungen auf die andere χ1 — ax-\-b = 0 zurückführte. Aehnlich giebt es andere Systeme solcher Gleichungen, aus denen dann Schlüsse auf obere oder untere Grenzwerte von Grössen ο oder b gezogen werden können, welche in den Gleichungen als gegebene auftreten. Solche Systeme entstehen ζ. B., wenn ausser ( r 2 + z 2 ) noch (x-f-i) oder xz gegeben ist. Daran knüpfen sich weiter die folgenden Aufgaben. 31. B e i s p i e l : Zwischen den Schenkeln eines Winkels Α soll die kürzeste Grade DE gezogen werden, welche ein Dreieck ADE entweder a) von gegebenem Inhalte, oder b) von gegebener Summe der den Winkel A einschliessenden Seiten abschneidet. 32. B e i s p i e l : Wie muss ein gegebener Umfang u auf die 3 Seiten eines Dreiecks mit gegebenem Winkel Α verteilt werden, wenn die Seite α möglichst klein werden soll? (Fig. 14.) 22. Wie gestaltet sich das bisherige Verfahren zur Bestimmung des Max oder Min einer Funktion y — /(*), wenn f(x) eine F u n k t i o n d r i t t e n G r a d e s ist? Die Betrachtung knüpft sich an das 33. B e i s p i e l : In einen Kegel (r, h) einen Cylinder von möglichst grossem Inhalt zu beschreiben (vgl. 18. und 35. Beispiel.) (Fig. 15.) 28. S c h l u s s b e t r a c h t u n g . Die Max oder Min der Funktionen 2. Grades sind als „grösste" oder „kleinste" Werte bestimmt, welche die Funktion überhaupt erreicht. Worin zeigt sich dabei ein Wechsel zwischen Steigen und Fallen, entsprechend unseren geometrischen Betrachtungen? — Parallelismus der Erscheinungen, welche einerseits beim geometrischen, andererseits beim arithmetischen Verfahren zu betrachten sind, und der sich selbst dann zeigt, wenn bei einer Gleichung 2. Grades zwischen χ und y die Funktion einen Wechsel zwischen Steigen und Fallen n i c h t erfährt. Aus diesem Zusammenhange ergiebt sich dann endlich das den Funktionen 2. und 3. Grades und wohl allen Funktionen g e m e i n s a m e Kennzeichen derjenigen Werte von x, für welche dieselben Max oder Min werden, nach dem L e h r s a t z e : Der Werth von x, für welchen eine Funktion y = / ( x ) ein Max oder Min wird, muss e i n e d o p p e l t e W u r z e l d i e s e r G l e i c h u n g sein.

107 113

XV

Inhaltsangabe.

In den voraufgehenden Beispielen wurden die doppelten Wurzeln ermittelt, indem die Gleichung nach χ aufgelöst, aus der allgemeinen Form der Wurzel die Bedingungen abgeleitet wurden, wenn zwei Wurzeln in eine zusammenfallen. Die folgende Untersuchung wird lehren, dass es der Auflösung der Gleichung y = fix) nicht bedarf.

4. Untersuchung. Bestimmung des Max oder Min einer Funktion, unmittelbar

aus der Gleichung y

—f(x).

Betrachtung namentlich ganzer, algebraischer

Funktionen.

24. Erörterung des Verfahrens an einer bestimmten Funktion 3. Grades, die gleichzeitig durch Abscissen und Ordinaten einer Curve dargestellt ist. (Tafel G Fig. 1.) Zur Bestimmung des Curvenpunktes, dessen Ordinaten ein Max oder Min, oder dessen Tangente der Abscissenachse parallel ist, führen zwei Wege: entweder denkt man die Curvenebene mit Graden parallel der X Achse durchzogen und bestimmt diejenigen von ihnen, welche die Curve berühren — oder man denkt sich alle Tangenten und sucht diejenigen unter ihnen heraus, welche der A Achse parallel sind. Unser geometrisches Verfahren weist uns auf den 1. Weg. R e g e l : Man bilde

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f(x\ fix') — - A - — = Q(x,x')\ alsdann bestimmen χ— χ

die Wurzeln der Gleichung Q(x, x' = *) = 0 die Werte von x, welche doppelte Wurzeln der Gleichung y — f(x) sind, für welche y ein Max oder Min wird. 25. Beispiele für g a n z e r a t i o n a l e Funktionen 34. B e i s p i e l : Welcher von allen graden Cylindern von der Oberfläche α 2 hat das grösste Volumen? 35. B e i s p i e l : Wie beschreibt man in einen Kreiskegel einen Kreiscylinder von grösstem Inhalt? (Vgl. 18. und 33. Beispiel.) 36. B e i s p i e l : Welcher unter allen graden Kegeln von der Seitenlänge s hat den grössten Inhalt? 37. B e i s p i e l : In einer Parabel ist eine Sehne BC senkrecht zur Achse gezogen: wie gross muss die Entfernung χ zwischen dieser und einer ihr parallelen, dem Scheitel näher gelegenen M N genommen werden, wenn der Inhalt des Rechtecks MN.x ein Max werden soll? 2 6 . Ist y —f(,x) eine g a n z e a l g e b r a i s c h e Funktion, so lehrt

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XVI

Inhaltsangabe. Seite

eine einfache Formel, wie die Schlussgleichung Q(x, oi — χ) = Ο ohne weitere Rechnung aus der gegebenen Funktion aufgestellt werden kann. Ist y — ax n-\-bxV

— cx^

-i-rx+s,

so ist Q(x, x' — x) — a n x

n

~

1

-]-bpx

f l

~ i—'+r.

Wir werden in d i e s e m F a l l e Q(x,x' = x) die „abgeleitete Funktion von x" nennen und mit f'{x) bezeichnen. — Auf den Fall einer ganzen algebraischen Funktion lassen sich andere, zunächst manche i r r a t i o n a l e n Funktionen zurückführen. 38. B e i s p i e l : Welches einem Kreise eingeschriebene gleichschenklige Dreieck hat den grössten Inhalt? 39. B e i s p i e l : In eine Ellipse soll das grösste Rechteck gezeichnet werden. 40. B e i s p i e l : Ein grader Kegel soll durch eine zu einer Tangentialebene parallele Ebene so geschnitten werden, dass das in ihm enthaltene Parabelsegment ein Max wird. (Fig. 16.) 27. Max und Min g e b r o c h n e r Funktionen 41. B e i s p i e l : Durch einen Punkt zwischen den Schenkeln eines Winkels eine Grade so zu ziehen, dass der Inhalt des von ihr abgeschnittenen Dreiecks ein Min wird. (Fig. 17.) 2 8 . Max und Min von Funktionen, bei denen die UnabhängigVeränderliche in verschiedenen t r i g o n o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n vorkommt 42. B e i s p i e l : Welches unter allen Dreiecken (α, α) hat den grössten Inhalt? (Vgl. 21. Beispiel.) 43. B e i s p i e l : Zwischen den Schenkeln A', A " eines rechten Winkels liegt ein Punkt P ; es soll durch ihn eine Grade so gezogen werden, dass das durch A ' und A " begränzte Stück derselben ein Min wird. — Zur Konstruktion der Graden bedarf es eines Näherungsverfahrens, insofern die Aufgabe zu lösen ist, einen Ζ. φ zu konstruieren, welcher durch die Gleichung bestimmt wird: tang 3 wenn wir die zugehörige Curve L m _ 1 nennen, der Punkt Xm sein kann, so würde, indem man etwa die Mitte der Strecke als den Punkt Xm annimmt, eine Fehlergränze für diese Angabe gleich der Hälfte der Strecke anzumerken sein; während zur Ermittelung des möglichen Fehlers in d e r A n g a b e d e s W e r t e s y, wie im 15. Beispiel ausgeführt worden ist, eine Curve Lm+1 konstruiert werden muss, welche Κ n i c h t mehr trifft, dann aber die Gränzen für ym die beiden Werte ym-i und ym+i sind. Natürlich hangt der Wert, vielleicht die Brauchbarkeit eines Verfahrens, vorausgesetzt dass unbeschadet der Deutlichkeit die Annäherung nicht über die Curve L m _ 1 hinausgehen kann, von der

Schlussbetrachtung.

55

Länge der die beiden Punkte X m —i trennenden Strecke auf Κ ab. Dabei zeigt sich nun, dass u n s e r e B e s t i m m u n g des Punktes Xm, die Bestimmung, dass eine Curve L und die Ortslinie i f grade e i n e B e r ü h r u n g vollziehen sollen, eine überaus u n g ü n s t i g e ist, es deshalb ist, weil auch für die der Curve Lm voraufgehenden Curven L nur eine schwache Convergenz gegen Κ, ein sich Hinziehen an der Linie Κ zu erwarten ist, hierunter aber die Deutlichkeit der Figur, namentlich die des zweiten Durchschnittspunktes leidet. Ist diese Schwierigkeit aber wirklich so hoch anzuschlagen, als es auf den ersten Blick zu sein scheint? Beachten wir zunächst, dass jene Erscheinung die unmittelbarste Folge, der naturgemässe Ausdruck für die Veränderung der Funktion an der Stelle ist, wo sie ein Max oder Min erreicht. Denn wenden wir einmal das Gesetz der Stetigkeit auf d i e V e r ä n d e r l i c h k e i t der F u n k t i o n in der Nähe ζ. B. ihres Max-Wertes an, so darf sie, wenn sie im Punkte Xm aus Steigen in Fallen übergeht, an d i e s e r Stelle weder steigen noch fallen, sich überhaupt gar nicht verändern; und in solchen Zustand kann sie ferner nur dadurch gelangen, dass sie vorher w e n i g steigt, der Grad der Steigung nach und nach bis zu völliger Unveränderlichkeit abnimmt; sowie sie endlich auf der a n d e r n Seite von Xm von dem neutralen Zustande aus, indem sie zu fallen beginnt, noch einmal alle Zwischenstufen einer geringen Veränderlichkeit zu durchlaufen hat. Bleiben wir also bei der Annahme, dass L m _ i die letzte Curve L ist, für welche mit Sicherheit auf der Linie Κ zu b e i d e n Seiten des Punktes Xm noch Curvenpunkte X' und X" festgestellt werden können; so vollzieht sich der eben beschriebene Vorgang einer fast ruhenden Veränderung des Wertes y,~ während ein Leitpunkt X von .XI,, _i nach übergeht. Die Wirkung aber auf das Bild der zwischen L n ,_{ und Lm etwa noch möglichen Linien L, für deren Punkte der Wert von y g e n a u derselbe bleibt, ist dies, dass sie sich in engem Anschluss an die Linie Κ hinziehen. Was also jene Schwierigkeit betrifft, von der oben die Rede war, so ist jetzt darauf zu erwiedern, dass in demselben Masse, als die Veränderung des y in der Nähe des Punktes Xm überhaupt winzig ist, somit die Zeichnung undeutlich zu werden Gefahr läuft, es auch wenig verschlägt, ob der Punkt Xm oder ein neben ihm

56

Zweite Untersuchung.

liegender als derjenige angesehen wird, für -welchen y ein Max oder Min wird. Es lässt sich nicht leugnen, dass die Möglichkeit einer verhältnissmässig grossen fehlerzeigenden Strecke .Χ^-ι-Χ»'—ι hierbei gegeben ist. Aber diese grosse Strecke ist nicht das Anzeichen eines „besonders grossen" Fehlers, sondern d i e F o l g e d a v o n , dass d e r F e h l e r sich in e i n e m „ b e s o n d e r s g r o s s e n " M a s s s t a b e darstellt. Die Schwäche unseres abschliessenden Verfahrens liegt, wie oben gesagt war, darin, dass schliesslich nicht ein Punkt Xm> sondern immer eine „trennende Strecke" übrig bleibt, eine genaue Angabe des Punktes auf diesem Wege nicht zu erreichen ist. Praktischen Anforderungen gegenüber, wenn es sich um die Ausführung einer Anlage handelt, auf welche das darstellende Verfahren in erster Linie berechnet ist, kann diese Schwäche kaum als ein Mangel bezeichnet werden — nicht deshalb, weil es auf kleine Abweichungen nicht ankommt, sondern darum, weil auch die sorgsamste Ausführung eine vollkommne mathematische Genauigkeit nicht wiedergeben k a n n . Was hilft einem Ingenieur diese Genauigkeit, wenn er an die Stelle der Linien nachher. eiserne Stangen oder hölzerne Balken bringen soll? Es ist also allen billigen Anforderungen genügt, wenn durch die Zeichnung deijenige Grad von Genauigkeit erzielt wird, der sich nachher durch die Ausführung auch verwerten lässt. Diese Gränze aber lässt sich durch die Zeichnung, erforderlichen Falls durch die Wahl eines hinlänglich grossen Massstabes, wohl immer erreichen. — Es wird bei einer Aufgabe, die dem Anschein nach auf direktem Wege nicht zu lösen ist, die Frage entstehen, ob nicht die R e c h n u n g schneller und sicherer zum Ziele führt. D a s a l g e b r a i s c h e V e r f a h r e n ist natürlich in allen den Fällen als nächstliegendes anzusehen, wenn die in der Aufgabe enthaltenen Constanten irgendwie in Zahlen gemessen vorliegen. Dasselbe lässt sich aber auch auf solche Beispiele, in denen das Gegebene in einer Zeichnung dargegestellt ist, anwenden, und der Hergang ist, der Hauptsache nach, derselbe, wie wenn anderweitig geometrische Konstruktions-Aufgaben auf dem Wege der Rechnung gelöst werden. Das 15. und 16. Beispiel können bei der Beurteilung dieses Auswegs als Anhalt dienen. Wenn man das 15. Beispiel algebraisch behandelt, so gelangt

Schlussbetrachtung.

57

man, wie zur Lösung des 4 4 . Beispiels bemerkt ist, genden Ergebnis.

Bezeichnet

zu

dem

fol-

man den Radius des Kreises mit r ,

die Abstände der den gegebenen Kreisabschnitt und der das gesuchte Rechteck begränzenden Sehne vom Kreismittelpunkte mit a , bez. v ; so wird das Rechteck ein Max

f ü r denjenigen Wert von v, welcher

die quadratische Gleichung erfüllt:

2«2—av = r'Λ sonach für

Danach ist auf Tafel C Fig. 4 die Sehne Dm Xm

in der Entfernung

ν vom .Punkte M , indem man, wie die Figur zeigt,

mit der Kon-

struktion dem A u f b a u der Formel folgte, auf Grund bekannter Regeln konstruiert worden. An einen ähnlichen Weg könnte bei dem 16. Beispiel gedacht werden,

etwa

schiefen Linien

so,

dass man

konstruierte

die Senkrechte zu den beiden windund

von deren Fusspunkten aus

ge-

messen einerseits die Punkte Α und Β auf der einen Graden durch die Strecken α und b festlegte, andrerseits auf l die Entfernung des Punktes Xm noch

einstweilen wieder mit ν bezeichnete.

die Entfernung

Winkel =

der

α gemessen:

Strecke AB

in Xm

Denkt man dann

beiden windschiefen Linien =

so würde der Winkel,

erscheint,

ein Max

d,

ihren

unter welchem die

sein, wenn ν die kubische

Gleichung erfüllte: 2v3-\-v

Jd3(l-|-cosaa)—a6sinsaj —da(a-t-6)cosa =

Zur Bestimmung des Punktes Xm

0.

bedürfte es mithin der Auflösung

dieser Gleichung, danach aber der Konstruktion des erhaltenen algebraischen Ansdruckes f ü r v, hält.

welcher bekanntlich Kubikwurzeln ent-

Eine solche Konstruktion ist aber, wie beim 4 3 . Beispiel er-

örtert werden wird und in Tafel C Fig. 5 dargestellt ist, selbst nur m i t t e l s e i n e s N ä h e r u n g s v e r f a h r e n s ausführbar.

Wir wären also,

wollten wir hier denselben Weg einschlagen, wie beim vorigen Beispiel,

nach

einem

den die Aufstellung und die Auflösung der vorstehenden veranlassen,

an

15.

nicht unerheblichen Aufwand an Rechnung,

demselben Punkte angelangt,

Gleichung

von dem unser aus-

schliessendes Verfahren, o h n e weitere Vorkehrungen ausgeht.

58

Zweite Untersuchung.

Für die vorliegende Aufgabe und viele anderen ist also der Weg der geometrischen Konstruktion, und sei es auch das ausschliessende Verfahren, der allein gangbare. Ja, es wird unter gewissen Voraussetzungen, selbst in solchen Fällen, wo die die Grösse y bedingenden Constanten in Z a h l e n g e m e s s e n vorliegen, danach das Verfahren zunächst auf die Rechnung sich hingewiesen sieht, einer Erwägung wert sein, ob es nicht ratsam ist, eine Zeichnnng nach den gegebenen Massen anzufertigen, um die Aufgabe erst einmal nach dem darstellenden Verfahren aufzulösen. Stellen wir uns etwa mit Bezug auf unsere Aufgabe vor, es wäre die Grade l, oder die Strecke AB nach Länge oder Lage auf ihrer Graden nicht als „unabänderlich" gegeben, sondern dieselbe wäre beim Entwerfen nur vorläufig aus gewissen Rücksichten so, wie die Figur zeigt, angenommen unter dem Vorbehalt, diese Annahme aus Gründen der Zweckmässigkeit zu verbessern: so -würde der Einfluss solcher Verschiebungen sich ungleich leichter einer Figur, als der Formel entnehmen lassen, namentlich wenn es sich zunächst um eine annähernde Schätzung dieses Einflusses handelt; und es würde die Formel sich um so schwerfälliger für diesen Zweck erweisen, d e r V o r z u g d e r g e o m e t r i s c h e n D a r s t e l l u n g , d e n U e b e r b l i c k zu f ö r d e r n , um so deutlicher hervortreten, je mannigfaltiger die in der Formel vorkommenden Constanten unter einander verflochten sind. Die Entwickelung der Cultur in unserem Jahrhundert hat es mit sich gebracht, dass gegenwärtig viel mehr gerechnet wird, als vor einigen Jahrzehnten. Aber es ist kennzeichnend für den Wert, den die wissenschaftliche Forschung wie das praktische Leben den Resultaten der Rechnung beilegt, dass in gleichem Masse sich das Bedürfnis allgemein ausgebildet hat, wissenschaftliche Resultate auch „graphisch" — durch Zeichnung darzustellen. Die voraufgehenden Betrachtungen veranschaulichen an einem Beispiel, wie die beiden Verfahren sich gegenseitig ergänzen. „Ergänzen!" — Dies ist es, um was es sich bei dem Wettstreit des algebraischen und des geometrischen Verfahrens lediglich handeln kann, und nur die Diener sind es, welche gelegentlich im Eifer für ihre Sache — der Eine neidisch auf die Erfolge des Andern werden. Hiernach entsprach es so den Anforderungen als dem Denken unserer Zeit, dass wir neben dem algebraischen auch das darstellende Verfahren in den

Schlussbetrachtung.

59

Kreis unserer Untersuchung.zogen, und diese auch so weit fortsetzten, dass auf einem der gezeigten Wege jede Aufgabe gelöst, wenigstens „anständig unter Dach gebracht" werden kann. Inzwischen kann doch bei solchem Ziel, bei der Aussicht ziemlich häufig auf das Näherungsverfahren nicht einmal vom praktischen,

uns

angewiesen zu sehen,

geschweige denn vom wissenschaft-

lichen Standpunkte aus, von einer eigentlichen Befriedigung hinsichtlich der dabei erlangten Resultate die Rede sein.

Nur der d i r e k t e

W e g b i e t e t d i e s e B e f r i e d i g u n g ; und wenn wir auf die Betrachtungen zurückblicken, die sich unmittelbar unserm Hauptlehrsatz anschlossen, so erscheinen uns diese wie ein weit angelegtes und schön ausgeführtes Gefäss, das hinsichtlich seines Inhalts die ihm zukömmliche Bestimmung nicht erreicht.

Wer wollte sich ζ. B. dieses Ein-

drucks erwehren, wenn er bei einem Rückblick auf die Behandlung des 15. Beispiels sich die mühsame und doch eines vollen Erfolges entbehrende Arbeit,

die

das Näherungsverfahren erfordert — oder

als Ersatz dafür die holprige Konstruktion, welche die Formel für υ vorschreibt, vergegenwärtigt:

wenn er dann aber erfährt,

L e h r s a t z führe, wie im 17. Beispiele

derselbe

auf direktem Wege zu er-

örtern sein wird, auf eine für die Anschauung sehr viel näher liegende Eigenschaft des Punktes S m , insofern er der Berührungspunkt derjenigen Kreistangente ist,

auf welcher das zwischen

der Achse

und der Sehne des Kreissegmentes enthaltene Stück durch den Berührungspunkt halbiert wird?

Und noch deutlicher würde die Un-

vollkommenheit in der Verwertung unseres Hauptlehrsatzes getreten

sein,

wenn wir

dieselben Betrachtungen,

zu

hervor-

denen

das

15. Beispiel Veranlassung gab, an der Aufgabe angestellt hätten, die im 17. Beispiel behandelt werden wird, wenn wir an die Stelle des Segments ein Dreieck gesetzt hätten. Wollen wir den Weg, d i r e k t zu bestimmen, dies,

den Punkt Xm

auf der festen Ortslinie

mit Aussicht auf Erfolg beschreiten,

wie in den ersten Zeilen

dieser Schlussbetrachtung

so hat bemerkt

worden ist, die K e n n t n i s d e r N a t u r d e r L i n i e n L zur Voraussetzung;

und wenn wir uns hierbei auf

erreichbare

und

wirklich

nützliche Ziele beschränken, so muss dies wenigstens hinsichtlich der Linien zweiter Ordnung, bez. zweiter Klasse, gefordert werden. In dem Lehrgange der analytischen Geometrie, der Stereometrie

60

Zweite Untersuchung.

— oder wo es sonst gewesen sei, pflegen die Eigenschaften von Punkten und Tangenten der Kegelschnitte in ihrer Beziehung auf ausgezeichnete Punkte und Grade: Mittelpunkte, Brennpunkte, Scheitel, Durchmesser, Achsen etc. zur Sprache gebracht zu werden. Daraus folgt, wie wir bereits durch Erfahrung belehrt sind, dass wir eine Curve L, den Ort für Punkte, die uns durch irgend eine Konstruktion gegeben werden, als Kegelschnitt nur dann zu erkennen vermögen, wenn in der Konstruktion jene ausgezeichneten Punkte und Graden namentlich Achsen, bez. konjugierte Durchmesser gleichfalls vorkommen. Die Voraussetzung war erfüllt im 8. und 11. Beispiel, sie war nicht erfüllt im 15. Beispiel, und darum blieb hier die Natur der Linien L überhaupt unerkannt. Der Mannigfaltigkeit der Konstruktionen gegenüber, durch welche Linien zweiter Ordnung, bez. zweiter Klasse entstehen können, darf nicht erwartet werden, dass es e i n Kennzeichen für diese Linien gäbe, das ohne weiteres in jedem Falle Anwendung finden könnte — etwa so, wie der Grad der Gleichung, durch welche eine Grösse bestimmt wird, unmittelbar anzeigt, ob sie ein- oder zweideutig, oder wieviel-deutig sie bestimmt ist. 'Aber gewiss ist es ein richtig gewählter A u s g a n g s p u n k t für die Erörterung dieser Kennzeichen und für eine Behandlung der Curvenlehre überhaupt, dass man solche Beziehungen der Punkte und Tangenten in Betracht nimmt, welche der Gegenstand einer Aussage für Curven j e d e r Ordnung, bez. j e d e r Klasse sein können. Damit ist dann gesagt, dass vorerst von jenen ausgezeichneten Punkten und Graden keine Rede sein kann; dass sie sich als Folgerungen in zweiter Linie ergeben werden, wenn man die allgemeinen Beziehungen an Linien einer b e s t i m m t e n Ordnung erörtert. Worauf aber soll man die Punkte einer Curve irgend welcher Ordnung beziehen? Auf andere Punkte der Curve. Curvenpunkte sind i m m e r vorhanden; alles Andere wird bei den einen sich vorfinden, bei anderen fehlen. Als nächstliegende a l l g e m e i n e , d. h. bei allen Curven in Betracht kommende; K e n n z e i c h e n einer Curve, werden danach diejenigen anzusehen sein, welche l e d i g l i c h a u s B e z i e h u n g e n der C u r v e n p u n k t e u n t e r e i n a n d e r abgeleitet sind. Betrachtet man ebenso eine Curve als Ort für Grade, so wird irgend eine Art am leichtesten, zunächst wenigstens, wiedererkannt, wenn sie l e d i g l i c h d u r c h d i e B e z i e h u n g e n u n t e r

Betrachtungen aus der neueren Geometrie.

61

einer bestimmten Zahl beliebig gewählter T a n g e n t e n rakterisiert

worden

cha-

ist. — Was aber die B e z i e h u n g e n ,

also

jene Aussagen betrifft, die von den Punkten im einen, von den Tangenten im andern Falle gemacht werden, ganz allgemeiner,

so müssen auch sie von

d. h. solcher N a t u r sein,

dass sie für

alle

Curven der Form nach übereinstimmen, während sie gleichzeitig d i e einzelnen Arten unterscheiden. Eine in diesem Sinne a l l g e m e i n e Beziehung unter den Punkten einer Linie zweiter Ordnung muss natürlich auf die Erklärung dieser Linien zurückgehen und wird zunächst gleichbedeutend mit ihr sein — dahin also lauten, dass auf keiner Graden mehr als zwei Punkte liegen.

Ebenso wird die Betrachtung der Linien zweiter Klasse von der

Beziehung unter den Tangenten ausgehen müssen, dass von keinem Punkte der Ebene aus mehr als zwei Tangenten an den Ort zweiter Klasse führen.

Es war dann wohl

die nächstliegende Frage,

man Linien nach so seltsamer Beschreibung zustande bringt.

wie

Ueber-

lassen wir der Wissenschaft, wie sie sich in dem Wunderlichen der Sache zurechtfindet.

Nur auf den aus der A l l g e m e i n h e i t

dieser

Beziehungen entspringenden Vo'rteil, grade was das Wiedererkennen der Oerter, wie es unsere Aufgaben erfordern, betrifft, sei hier noch ausdrücklich hingewiesen: wenn die Entstehung der Linien verschiedener Ordnung, sichtspunkten

wie

deren Erklärung,

ausgeht, jeder Ort

aber

immer von denselben seine bestimmten

Ge-

Voraus-

setzungen hat, von denen jede alle übrigen ausschliesst, so werden wir in solchen Fällen,

wo

ein vorliegender Ort ζ. B. n i c h t

von

der zweiten Ordnung ist, auch dies mit aller Sicherheit aussprechen können. Die durch diese Ausgangspunkte als Grundlage einer systematischen Curvenlehre gekennzeichneten Untersuchungen bilden das Gebiet der sogenannten „neueren Geometrie".

Inwiefern deren Ergeb-

nisse für die Linien der zweiten Ordnung, bez. zweiten Klasse, und zwar nur die allernächstliegenden,

die Lösung von Aufgaben über Max und Min a u f d i r e k t e m W e g e vermitteln, mag im hier anschliessenden „Anhang" (Nr. 14 u. folgende) s o l c h e n L e s e r n , welche mit den Anfangsgründen der „neueren Geometrie" v e r t r a u t sind, an einigen Beispielen gezeigt werden. Zur besseren Verständigung aber seien in einer „Vorbemerkung" diejenigen Lehrsätze, auf

62

Zweite Untersuchung.

welche wir uns nachher werden

berufen

müssen,

in

gehöriger

Ordnung, aber ohne weitere Begründung*) übersichtlich zusammengestellt.

A n h a n g .

Bestimmung von Max und Min unter Anwendung projektivischer Beziehungen. Vorbem erkung. I. Es giebt in der Ebene einer Linie zweiter Ordnung Grade, welche sie treffen, und andere, welche sie nicht treffen. Indem wir die letzteren, für welche die Curve ohne Bedeutung ist — wenigstens zunächst zu sein scheint — von unserer Betrachtung ausschliessen, fassen wir die Erklärung der Linien zweiter Ordnung so, dass jede Grade, die durch einen Punkt Α einer Linie zweiter Ordnung geht, mit ihr ausserdem nur noch e i n e n Punkt gemeinschaftlich hat. Dieser zweite Punkt kann j e d e r Punkt der Linie zweiter Ordnung sein; und wenn namentlich der zweite Punkt mit dem Punkte Α zusammenfällt, so ist nach dem 'Stetigkeitsgesetze die Gerade die Tangente der Curve im Punkte A. II. Nimmt man zwei Punkte A' und A" auf einer Linie zweiter Ordnung als Mittelpunkte zweier Strahlbüschel an und ordnet Strahlen c' und c", d' und d"... einander zu, welche dieselben Curvenpunkte C, D... treffen, so werden hierdurch beide Büschel e i n d e u t i g d. h. so

I. In der Ebene einer Linie zweiter Klasse finden sich Punkte, von denen zwei Tangenten an die Curve führen, und andere, durch welche keine Tangente geht. Die letzteren können, zunächst wenigstens, ausser Betracht bleiben. Alsdann erklären wir eine Linie zweiter Klasse als solche, dass von jedem Punkte einer ihrer Tangenten SB ausserdem nur noch e i n e Tangente dem gegebenen Orte angehört. Diese zweite Tangente kann jede beliebige Tangente der Curve sein; und wenn namentlich die zweite Tangente mit SB zusammenfällt, so ergiebt sich nach der Stetigkeit, dass der Punkt auf SB, von dem sie ausgeht, der Berührungspunkt von Β ist.

II. Betrachtet man auf zwei beliebigen Tangenten 33' und SB" einer Linie zweiter Klasse diejenigen Punkte c' und c", b' und b"... als zugeordnete Punkte, in welchen sie von anderen Tangenten S, © . . . geschnitten werden, so werden hierdurch die beiden Graden e i n d e u t i g

*) Eine ausführliche Erörterung dieser Grundlehren wird demnächst u. d. T. „Lehrproben II. Einführung in die Betrachtungen der neueren Geometrie" — erscheinen.

Sätze der neueren Geometrie. auf einander bezogen, dass jedem Strahle des Büschels A' ein, und n u r e i n Strahl des Büschels A " entspricht. Und zwar gehört zu dem gemeinschaftlichen Strahle A'A" beider Büschel, wenn er als A' angehörig, als p\ betrachtet wird, nach dem Stetigkeitsgesetze, die Tangente in A", als p"; und ebenso zu dem Strahle A"A', als g" aufgefasst, die Tangente in A', als q'.

63

d. h. so auf einander bezogen, dass jedem Punkte der einen ein und n u r e i n P u n k t der andern entspricht. Und zwar gehört zu dem Schnittpunkt der Graden, er heisse nun p' oder q", nach dem Stetigkeitsgesetze, der Berührungspunkt der andern Tangente, bezüglich p" auf S3" oder q' auf S3.

III. Bringt man die beiden III. Bringt man die beiden mittels einer Linie zweiter Ordnung mittels einer Linie zweiter Klasse auf einander bezogenen Büschel in auf einander bezogenen Graden in eine solche L a g e , dass ein P a a r eine solche L a g e , dass ein Paar e n t s p r e c h e n d e Strahlen m' und m" e n t s p r e c h e n d e r Punkte in ihrem in dem gemeinschaftlicher; Strahle Schnittpunkt S3'33" auf einander (A'A") vereinigt ist, so erzeugen die fallen, so ist der Ort für die ProDurchschnitte ensprechender Strahlen jektionsstrahlen, d. h. für die Ver— oder genauer: die Punkte, welche bindenden entsprechender Punkte, entsprechenden Strahlen gemein- nicht mehr eine Curve, sondern e i n schaftlich angehören, e i n S y s t e m S y s t e m z w e i e r P u n k t e von denen v o n z w e i g r a d e n L i n i e n , von der eine immer der Schnittpunkt denen die eine immer die Grade S3'S3" der beiden Graden ist. A'A" ist. IV. Die Beziehungen unter den Strahlen zweier Büschel Α (unter den P u n k t e n zweier Graden S3), je nachdem sie (vgl. III) das System von zwei Graden (das System von zwei Punkten) o d e r (vgl. II) eine Linie zweiter Ordnung (eine Linie zweiter Klasse) erzeugen, sind n i c h t d e r A r t n a c h verschieden. Die Verschiedenheit der durch sie erzeugten Gebilde entspringt nur dem Unterschied hinsichtlich ihrer gegenseitigen L a g e , je nachdem in dem gemeinschaftlichen Strahle (Punkte) z w e i ' e n t s p r e c h e n d e Elemente vereinigt sind (III) oder nicht (II). Zwei S t r a h l b ü s c h e l (zwei G r a d e ) , die auf die eine oder andere Weise (III oder II) eindeutig auf einander bezogen sind, werden p r o j e k t i v i s c h in Ansehung der Strahlen c' und c", ρ und p"... (in Ansehung der Punkte c' und c", p' und p " . . . ) genannt, ihre L a g e aber als p e r s p e k t i v i s c h e (III) oder s c h i e f e (II) unterschieden. Schneiden vier Strahlen c, d, p, q eines Büschels Α eine Grade SB in den Punkten c , b, p, Cf, so besteht zwischen den Winkeln der vier Strahlen und den Entfernungen der vier Punkte die Beziehung: cb qb sincd sin^c? cp ' qp sine/) ' s i n j p

64

Zweite Untersuchung.

Die Gleichung dient als Grundlage für d i e M a s s b e s t i m m u n g der Beziehung zwischen je vier Paaren entsprechender Elemente in irgend zwei projektivischen Gebilden. Aus ihr folgt ferner, dass wenn in einer Reihe von Gebilden jedes mit dem folgenden, auch das erste mit dem letzten projektivisch ist. V. Das g a n z e S y s t e m der entsprechenden Elemente zweier projektivischen Gebilde ist bestimmt, wenn d r e i P a a r e derselben gegeben sind. Daraus folgt, dass eine L i n i e z w e i t e r O r d n u n g eine L i n i e z w e i t e r K l a s s e d u r c h d u r c h f ü n f P u n k t e b e s t i m m t f ü n f T a n g e n t e n b e s t i m m t ist, ist, wobei auch ein Punkt oder zwei wobei auch eine oder zwei TangenPunkte durch gleich viel Tangenten ten durch eine gleiche Zahl von an den übrigen Punkten ersetzt wer- Berührungspunkten der übrigen erden können. Versteht man unter setzt werden können. -Versteht man einem S e c h s e c k die Figur, welche unter einem S e c h s s e i t die Figur, entsteht, wenn sechs Punkte i n b e - wenn sechs Grade, in b e l i e b i g e r l i e b i g e r R e i h e n f o l g e durch Grade R e i h e n f o l g e — jede mit der folverbunden werden; so enthält die genden zum Durchschnitt gebracht Beziehung unter solchen s e c h s P u n k - werden; so lehrt die Beziehung ten, welche auf einer Linie zweiter unter s e c h s Tangenten einer Linie Ordnung liegen, der · P a s c a l s e h e zweiter Klasse der S a t z von B r i a n L e h r s a t z : In jedem einer Linie c h o n : In jedem einer Linie zweiter zweiter Ordnung eingeschriebenen Klasse umschriebenen Sechsseit geSechseck liegen die drei Durch- hen die drei Verbindenden gegenschnitte gegenüberstehender Seiten überstehender Ecken durch denselben Punkt. auf einer graden Linie. VI. Unter den P a a r e n entsprechender Strahlen zweier projektivischen Strahlbüschel finden sich an solchen, d i e p a r a l l e l s i n d — entweder z w e i , oder k e i n s , oder es rücken die beiden Richtungen des ersten Falls, beim Uebergang in den zweiten, einander so nahe, dass sie in e i n e zusammenfallen. Im ersten Falle erzeugen die Büschel H y p e r b e l n , deren Asymptoten die Stellen der Tangenten in den beiden unendlich entfernten Punkten einnehmen; während im zweiten Falle die Büschel eine E l l i p s e erzeugen. Im dritten Falle endlich entsteht eine P a r a b e l , für welche die unendlich entfernte Grade der Ebene in die Stelle einer Tangente, der unendlich entfernte Punkt der Parallelstrahlen in die Stelle ihres Berührungspunktes tritt. Schon hieraus ist zu schliessen, dass eine Parabel durch vier Punkte und gewiss durch vier Tangenten bestimmt ist. Ueberdies sind auch zwei projektivische Strahlbüschel, wenn ihnen noch die Bedingung gestellt ist, dass sie nur e i n Paar Parallelstrahlen haben sollen, schon durch z w e i Paare entsprechender Strahlen bestimmt.

Konstruktionen aus der neueren Geometrie. 14.

17. B e i s p i e l :

von welchem

In ein Dreieck ABC

zwei Seiten

fallen, so zu zeichnen,

längs

65

ein Parallelogramm,

der Dreieckseiten BA

dass sein Inhalt ein Max

und

wird.

BC

Tafel D

Fig. 1 — Die Aufgabe unterscheidet sich von 'der des 15. Beispiels nur dadurch,

dass die feste Ortslinie für den Punkt X

eckseite AC,

damals der Bogen VC war.

jetzt die Drei-

Auch der Gang der Kon-

struktion, namentlich für die Linien L des Büschels, und somit deren Natur bleibt unverändert; da jeder Punkt X , gleichviel welcher Linie er angehört, seine eigene Linie L hat. Die Parallelogramme mit den verschiedenen Punkten X werden in solche mit der Seite BC verwandelt, alsdann ist (Fig. 1) das auf der Achse Y v o n C aus abgeschnittene Stück CE" = y

die Strecke,

die ein Max

werden soll.

der Ecke Β

gegenüberstehenden Ecken G solcher Parallelogramme

angegeben werden,

welche

Soll jetzt umgekehrt der Ort L , für die dem Parallelogramme

aus BC

und y1

gleich sind, so wird man (Fig. 2) den Punkt E'

auf Y"

beliebig

annehmen, durch ihn einerseits den Projektionsstrahl g'Φ drerseits den Projektionsstrahl von Β aus ziehen, trifft, durch E'"

aber den Projektionsstrahl g" Φ BC,

g' den Punkt G bestimmt.

Hieraus ergiebt sich,

BA,

an-

in

E"'

der Y'

welcher auf

mittels der pro-

jektivischen Beziehungen unter den beiden Büscheln g' und g" unmittelbar die Natur der Linie Lx. durch das Strahlbüschel Β tivisch geteilt.

in

Die Graden Y' und Y" werden

den Punkten E ' und E ' "

projek-

Darum sind auch die beiden Büschel, welche durch

die unendlich entfernten Punkte von BA

bez. BC

gehen,

projek-

tivisch in Ansehung solcher Strahlen, die einerseits durch die Punkte E',

andrerseits durch die Punkte E ' " gehen, und es liegen mit-

hin die Punkte G

auf einer Linie zweiter Ordnung,

welche durch

jene beiden unendlich entfernten Punkten geht, sonach eine Hyperbel ist.

Die Asymptoten selbst aber sind diejenigen beiden Strahlen g'

bez. g", welche dem gemeinschaftlichen Strahle beider Büschel, hier also der unendlich entfernten Graden der Ebene entsprechen.

Rückt

aber der Strahl g' ins Unendliche, mit ihm E', so fällt E'"

auf C,

g" in BC·,

und wenn andererseits g"

Grade übergeht, rückt E'

E"'

in

die unendlich

und mit ihm g' auf die Grade BA.

Wiecke, Lehrproben.

entfernte

der unendlich entfernte Punkt auf Y ' wird, Das Büschel L be-

5

66

Zweite Untersuchung.

steht also aus Hyperbeln, die sämtlich BC und BA zu Asymptoten haben — setzen wir hinzu: dies zählt für vier Punkte, und der fünfte Punkt, durch welchen die einzelnen L unterschieden werden, ist der Punkt E" auf Y\ durch welchen die Grösse der durch die Punkte G bestimmten Parallelogramme gegeben wird. Tritt nun an Stelle dieses fünften Punktes für die Hyperbel Lm eine Tangente, die Bedingung nämlich, es solle die Grade AC von der Hyperbel b e r ü h r t werden, so wird die Hyperbel auch hierdurch bestimmt, und was insbesondere den Berührungspunkt Xm angeht, so ergiebt sich dieser (Fig. 3 ) mittels des unmittelbar aus dem Pascal'schen Satze folgenden Lehrsatzes, dass das zwischen den Asymptoten einer Hyperbel liegende Stück einer Hyperbeltangente durch ihren Berührungspunkt halbiert wird. Das grösste dem Δ ABC einbeschriebene Parallelogramm ist also dasjenige, dessen Ecke Xm a u f d e r M i t t e v o n AC liegt. B e m e r k u n g . Bringen wir mit Hilfe des Ergebnisses dieser Untersuchung nun auch das 15. Beispiel zu völligem Abschluss, so wird der Kreisbogen VC von der Hyperbel L m , welche Β F u n d BC zu Asymptoten hat in dem Punkte Xm berührt werden, wenn das zwischen jenen Asymptoten gelegene Stück der Kreistangente des Punktes Xm in diesem Punkte halbiert wird. 18. B e i s p i e l . Ein normaler Kegel soll durch eine Ebene parallel zur Grundfläche so geschnitten werden, dass der zwischen den beiden parallelen Ebenen enthaltene, über der Schnittfläche konstruierte Cylinder einen möglichst grossen Inhalt hat. Tafel E, Fig. 1 — 4 . Das rechtwinklige Dreieck ABC (Fig. 1) und das Rechteck DBFE seien die Meridianlinien des Kegels und irgend eines ihm eingeschriebenen Cylinders, während ADB als Umdrehungsachse dient; und es kommen nach der Aufgabe die Cylinder zum Vergleich, die entstehen, während Ε sich über CA bewegt. Der Inhalt des in der Figur angenommenen Cylinders ist = π . B F 1 . B D , die Funktion also, die ein Max werden soll, = BF" 1 .BD. Sie ist, wie die des vorigen Beispiels, ein Produkt. Es scheint also angezeigt, wenn auch jetzt d r e i veränderliche Faktoren, gegen z w e i im vorigen Beispiel, vorhanden sind, denselben Gang der Entwickelung beizubehalten. Dazu muss zunächst jenes Produkt nach der Lehre von

Konstruktionen aus der neueren Geometrie.

67

der Verwandlung der Parallelogramme durch ein anderes ersetzt werden, in dem nur ein veränderlicher Faktor vorkommt, die beiden andern einem für alle Lagen von Ε gleichbleibenden Faktor, hier BC, gleich werden. Nach der aus der Figur ersichtlichen Konstruktion ist

BF\BD

= BF(BC. CM') = BC(BF. FM) =

BC\CM'".

Sonach haben wir für unsere Untersuchung wieder die S t r e c k e CM'" als den dem P u n k t e Ε e n t s p r e c h e n d e n Wert der F u n k t i o n y anzusehen, der mit y' bezeichnet werden möge. Die Frage, ob, dem vorigen Beispiel ähnlich, die Grade CA die feste Ortslinie sein soll, so dass der Punkt Ε einen der Punkte X1 vorstellte, wird davon abhangen, wie sich unter solcher Voraussetzung die Curven L gestalten würden. Wir suchen dazu den geometrischen Ort, wie vorhin der Punkte G, so jetzt der Punkte Η von solcher Beschaffenheit, dass wenn man Punkt F' auf der Achse U beliebig annimmt ( B F ' = HH°=u) und durch F' eine Parallele zur Achse V oder Y' zieht, die Coordinaten von Η die Gleichung erfüllen

u*O =

BC\y'.

Der Ort der Punkte Η würde alsdann n i c h t , wie vorher der Ort der Punkt G, für welche uv=BC-y' war, eine Linie zweiter Ordnung werden. Wir erhalten nämlich den Punkt Η aus dem durch den Punkt F' auf Y" bestimmten Punkte indem wir ihn zweimal hinter einander von Β aus auf Y " und von dort parallel Y " wieder auf die Grade g zurückprojizieren: M", M\, G, Η', H. Nun sind zwar, wenn wir uns den Punkt F' auf BC verschoben denken, die Strahlbüschel g' und g" projektivisch, auch die Strahlbüschel f und h projektivisch; aber es ist das Strahlbüschel / n i c h t zu g' auch nicht zu g" projektivisch, wie es sein würde, wenn der Punkt Β auf der Hyperbel läge, die auch in unserm jetzigen Beispiele der Punkt G wieder beschreibt. Da wir nun auf die Anwendung der projektivischen Beziehungen nicht verzichten können, so müssen die Punkte Η ausser Betracht bleiben, darf in dem Verfahren, aus einem gegebenen y' den Punkt Ε zu bestimmen, nur bis an die Punkte G gegangen werden, so dass als Curvenbüschel L auch hier wieder das Hyperbelbüschel des vorigen Beispiels Ver5*

68

Zweite Untersuchung.

Wendung finden muss. Danach kann aber AC nicht mehr die feste Ortslinie sein, muss der Punkt Ε von einem Punkte einer anderen festen Ortslinie aus bestimmt werden. Tafel Ε Fig. 2 stellt die Linie Ll des Curvenbüschels dar und erinnert namentlich daran, dass diese durch den Punkt Μ gehen muss, von dem aus Ε ebenso einfach zu erreichen, als unmittelbar Μ aus Ε bestimpit ist. Versuchen wir den Ort der Punkte Μ anzugeben, ob diese als feste Ortslinie der Punkte X dienen könnte. Die Graden AC und Y' werden durch das Büschel Parallelstrahlen E E ' , χ " . . . protektivisch geteilt; deshalb sind die beiden Büschel, welche einerseits die Parallelstrahlen x', andererseits die Strahlen f um den Punkt Β bilden, projektivisch und erzeugen eine Linie zweiter Ordnung, die durch den Punkt Β und den unendlich entfernten Punkt auf x' oder auf Y'. geht. Die Grade BA ist der beiden Strahlbüscheln x' und f gemeinschaftliche Strahl, und da diesem, als Strahl f betrachtet, die unendlich entfernte Grade der Ebene entspricht, so muss die Ortslinie eine P a r a b e l sein, deren Durchmesser die Richtung x' haben. Die Parabel geht ferner durch den Punkt C, und wie BA' die Tangente für Β ist, so wird sie in C von CA berührt. Die Figur zeigt das Paar X\ und X", in welchem die Parabel von der Curve L , geschnitten wird, wobei .X^ und Μ derselbe Punkt ist. Der Punkt Xm der Parabel ist derjenige, in welchem sie von einer Hyperbel Lm berührt wird, oder: derjenige, in welchem die Tangenten der Parabel und der durch ihn gehenden Hyperbel zusammenfallen. In Fig. 3 sind zunächst einmal für den Punkt X[ die Hyperbel- und die Parabel-Tangente konstruiert. Die erstere ist, nach dem im vorigen Beispiel angeführten Lehrsatze Φ NF oder auch Φ DC. Die Parabeltangente VI ist nach dem Pascal'schen Satze konstruiert. Die sechs Seiten sind mit den Nrn. I bis VI bezeichnet, während II die unendlich entfernte Grade der Ebene ist. Daraus ergiebt sich die Regel für die Konstruktion der Parabeltangente, dass man durch .Eeine Parallele zu X\C zieht: deren Schnitt mit Y' ist ein Punkt der Tangente. In Fig. 4 ist endlich der Versuch gemacht, den unteren Teil der Fig. 1 so zu gestalten, dass einerseits Xm Τ Φ DC, und gleichzeitig Em Τ Φ Xm C wird. Danach müsste

Konstruktionen aus der neueren Geometrie.

EmXm — Xm Q - - QFm —

69

\EmFni

werden. Hieraus folgt, dass DEm = %BC, d i e Höhe d e s g r ö s s t e n in d e n K e g e l b e s c h r i e b e n e n C y l i n d e r s = ^ der K e g e l h ö h e ist. Die vorstehende Entwickelung findet eine unmittelbare Anwenwendung bei der folgenden Aufgabe: 19. B e i s p i e l . In einer Horizontalebene sind zwei.Punkte P ' und Ζ gegeben, der erstere als Horizontal-Projektion eines leuchtenden Punktes P , während der andere den Ort für ein von Ρ beleuchtetes Flächenelement der Horizontalebene angiebt. Es soll d i e H ö h e d e s P u n k t e s Ρ über P ' so bestimmt werden, dass d i e H o r i z o n t a l e b e n e bei Ζ am h e l l s t e n b e l e u c h t e t wird. TafelE Fig. 5 u. 6. Ist λ die Lichtmenge, auf die Flächeneinheit umgerechnet, welche die Lichtquelle auf ein Flächenelement sendet, das in der Entfernung = 1 senkrecht zum Lichtstrahl angebracht ist; so ist die Helligkeit unseres Elementes bei Ζ λ.cosy.sin 2 φ = ? ' wenn α die Entfernung P'z und ψ den Winkel bezeichnet, den P Z mit der Vertikalen P P ' einschliesst. Danach ist die Funktion, die ein Max werden soll, cos φ. sin'2ψ, oder wenn wir, um Strecken statt der "Winkel in Betracht zu nehmen, mit r3 multiplizieren, = r cos φ (r sin )2. In Fig. 5 ist deshalb um den Scheitel Β eines rechten Winkels mit einem beliebigen Radius r = BC ein Kreisbogen beschrieben, so dass, wenn man irgend einen Ζ. φ = DBE an die Vertikale BD gelegt denkt, unter allen Punkten Ε des Kreisbogens derjenige anzugeben ist, für welchen wieder die Funktion dritten Grades DE1. DB ein Max ist. Auch ist, wie im vorigen Beispiel, indem man die Tangente Y ' gezogen hat, durch Verwandlung von Rechtecken die Funktion dargestellt durch BC2.CM"' = r'\y'·, so dass schliesslich wieder die Strecke CM"' = y' jene Funktion veranschaulicht. Sollen jetzt, umgekehrt, Punktpaare X\ und X'[ angegeben werden, denen der Wert y' = CM'" entspricht, so werden diese wieder diejenigen sein müssen, in welchen die feste Ortslinie von der Hyperbel Ll geschnitten wird, deren Asymptoten BD und BC

70

Zweite Untersuchung.

sind, und die durch den Punkt M'" geht. Die Hyperbel Lx enthält aber nicht unmittelbar den Punkt E , sondern wieder den Punkt M, den Schnitt zweier projizierenden Graden, wenn man einerseits Ε Φ Υ', andererseits E ' von Β aus projiziert. Es liegt der Gedanke nahe, den Ort m der Punkte Μ aufzusuchen, während Ε über den Kreisbogen läuft. Aber dieser Ort ist nicht eine Linie zweiter Ordnung, wie im vorigen Beispiel, da der Ort für die Punkte Ε eine grade Linie war. Gleichwohl werden uns projektivische Beziehungen den Weg zeigen, den Punkt Xm auf ihr zu bestimmen, in dem sie von einer Hyperbel L berührt wird, ihre Tangente und die Hyperbeltangente zusammenfallen. Denn konstruieren wir für den Punkt i? die K r e i s t a n g e n t e ET und den ihr entsprechenden Ort P j der Punkte M, so haben am P u n k t e Μ die b e i d e n Curven m und P , dasselbe Curvenelement, dieselbe T a n g e n t e . Die Curve P 1 ist aber, wie beim vorigen Beispiele sich ergeben hatte, eine Parabel, deren Durchmesser die Richtung Y ' hat, die ausserdem durch die Punkte Β, Μ und Τ geht. Konstruiert man also nach dem Pascal'schen Satze die Tangente (VI) für den Punkt M, wobei die Seite III die unendlich entfernte Grade der Ebene ist, so ist dies auch gleichzeitig die Tangente für die Curve m im Punkte M. Die Konstruktion der Tangente VI erfolgt — kurz so, dass man TM zum Durchschnitt Q mit BD bringt, Q mit E' verbindet und die Tangente VI φ QE' zieht. Für den Punkt Xm auf der Ortslinie m müssen diese Parabeltangente VI und die Hyperbeltangente zusammenfallen, oder da die Hyperbeltangente Φ NF1 Φ DC ist, m ü s s e n , nach dem Vorigen, QE' und DC p a r a l l e l sein. Hieraus ergiebt sich sofort die Bestimmung des Punktes Xm der Ortslinie Tafel Ε Fig. 6, bez. die des Punktes Em auf der Kreislinie. Konstruiert man von einem Punkte Em aus die Kreistangente EmT und die Grade EmF Φ Y', welche die Diagonale BE' im Punkte Μ schneidet; zieht man ferner TM bis zum Durchschnitt Q mit BD, so ist der Punkt Μ der gesuchte Punkt Xm dann, wenn E'Q der Diagonale DC parallel ist. Dieser Parallelismus wird erreicht, wie aus einer leicht abzuleitenden Eigenschaft des einem Kreise umschriebenen regelmässigen Sechsecks folgt, wenn /LDBE' — 60° ist. Hieraus folgt dann für unsern Ζ. φ, dass

Konstruktionen aus der neueren Geometrie.

cos

—

= cot r , so kann die Sehne beliebig klein werden, ohne dass sin« aufhört < 1 zu bleiben. Nimmt man s= 0, lässt die Sekante in die Tangente τ übergehen, so wird sin λ; = — : die Tangente steht senkrecht zum sin« =

Radius, der nach ihrem Berührungspunkt führt. — Ist aber a < r, τ so würde, wenn man wieder s = 0 setzte, sin« = — > 1 werden. a Eine solche Sehne ist also nicht möglich. Die kleinste Sehne ist i / r 2 s2 diejenige, für welche — = 1 ist: die kleinste Sehne steht a auf der durch Α gehenden Mittelpunkts-Sekante senkrecht. — Als z w e i t e s B e i s p i e l wählen wir die bekannten Formeln zur Berechnung der Winkel eines Dreiecks aus seinen drei Seiten: ab 2 ' a b ' 2 • Damit die Werte reell sind, muss für die erste s — c > 0, für die zweite ( s — a ) ( s — b ) > 0 sein. Es verlangt also die erste, dass c kleiner als die Summe ( a - { - b ) , die zweite, dass c grösser als die Differenz r t ( a — b ) ist. In jeder von beiden Formeln vermissen wir noch e i n e Bestimmung über die Gränze des c. β ig ^ Was sagt nun die weitere Bedingung — ^ — — < 1 ? Schaffen wir den Nenner weg und setzen für s — c = so wird aus der Ungleichung s8—s(a+6)-|-a0>0 (s—a)(s—6)>0. Ebenso geht die Beziehung (s — a)(s—b) < ι ab Wiecke,

Lehrproben.

a-\-b—s,

82

Dritte Untersuchung.

in die andere über: s2—θ(α+δ)
0,

s(c—s)

0.

bez.


0

„

(s—a)(s—b)

>

0

sein; und ebenso damit der Wert für

Y

sin -

-t

(s—a)(s—b)

bez. < 1

muss ( s — a ) ( s — b ) >

ab

0 „

als die für

2

enthält sonach d i e s e l b e n b e i d e n

werde,

s — c > 0 sein.

y der beiden Formen, sowohl die für cos 4 -

Jede sin-£-,

reell,

Gränzbestimmungen

hinsichtlich der Seite c, als die Inhaltsformel in Nr. 17. Die voraufgehenden Erörterungen setzen uns nun in den

19. Stand

die obere oder untere Gränze einer veränderlichen Grösse y

zu bestimmen —

nicht bloss dann,

wenn

sie uns unter einer der

soeben (in Nr. 18) bezeichneten Formen v o r l i e g e n , dann, um

wenn

ein

Setzen wir,

allgemeines Verfahren einzuleiten, voraus, es sei gegeben:

V= so muss,

/Ολ

wie früher schon angedeutet wurde,

z u n ä c h s t in d i e a n d e r e u m g e r e c h n e t

x= indem

sondern auch

wir uns diese Form erst bilden müssen.

die

erste Gleichung

diese

Beziehung

werden

F(y),

in Bezug

auf χ

aufgelöst

wird.

Das

wird immer möglich sein, wenn f { x ) eine ganze algebraische Funktion

von nicht zu hohem Grade ist.

genden Beispielen

auf

solche Fälle

d e n z w e i t e n Grad n i c h t

Wir werden uns in den folbeschränken,

übersteigt.

in denen f ( x )

Formen mit Quadratwurzeln.

83

23. B e i s p i e l . Unter allen D r e i e c k e n (£>+c = s, a) dasjenige zu bestimmen, welches die k l e i n s t e d r i t t e S e i t e α hat. „Unter allen Dreiecken" — aus dieser Angabe ist die Unabhängig-Veränderliche zu bilden, während α im Sinne der obigen allgemeinen Betrachtung als Funktion anzusehen ist, in diesem Beispiel mit y bezeichnet werden wird. Zur Bestimmung „des Dreiecks" bedarf es aber ausser der gegebenen Stücke b-\-c — s, α noch eines dritten, das wir nach Belieben wählen mögen. Das Nächstliegende ist, zur Unabhängig-Veränderlichen eine der Seiten b oder c — sagen wir: die Seite c als χ anzunehmen. Alsdann ist a2 — 63+cs—2£>ccosa, = s 2 — 4 0 c c o s 2 - ^ - = s 2 — 4 ( s — c)ccos 2 -^- , Ζ

ζ

oder wenn wir die Bezeichnung a = y, c = χ einführen, y2 = s2— 4(s — «)«cos3-^-· Jl

Löst man nun, wie oben bedacht war, diese Gleichung nach χ auf, so wird α = i ( s ± — \

C 0 S

-

,'sin· · | Λ ;

T

/

und diese Form bezeichnet den Wert von y, welcher die Gleichung erfüllt y 2 — s 2 s i n 2 - | - = : 0, y =

α ssin —

als den kleinsten, welchen die dritte Seite α anzunehmen vermag. Das Ergebnis stimmt mit dem bei der geometrischen Behandlung natürlich überein; insofern sich dort ergeben hatte, dass BC möglichst klein wird, wenn in dem Dreiecke BSC, /I C ein rechter ist. A n m e r k u n g . Es muss auffallen, dass in dem Ausdruck für χ die obere Gränzbestimmung y < C s fehlt. J a ! da in der Entwickelung die Beziehung vorkommt: «2 = s'—4jc.cos2

Jl

,

welche es unumwunden ausspricht, dass a < s ist,

so muss 6*

sich

84

Dritte Untersuchung.

nachweisen lassen, dass dieselbe Gränzbestimmung auch im Resultate sich vorfindet, oder wenn dies etwa nicht gelingt, wo sie im Laufe der Entwickelung, vielleicht durch eine Elimination, abhanden gekommen ist. — Wir wollen mit einigen Sätzen auf diesen Einwand eingehen. Die Rechnung ergiebt für die Seiten c und b, unter c die grössere von ihnen verstanden,

Für einen Wert a = s, wird das zweite Glied in der Klammer = s, sonach b = Ο und c = s. Setzt man aber für. α einen Wert', der grösser als s ist, so wird dasselbe Glied > s, mithin b negativ, c > s. Die Voraussetzung a Z> s ist also grade so unmöglich, als für b ein negativer Wert unmöglich ist; und da wir uns unter dem Werte von b zunächst jedenfalls eine absolute Zahl vorgestellt haben, so ist die Bestimmung der oberen Gränze für a, a < s, thatsächlich vorhanden. Uebrigens sei angemerkt, dass sie auf d e m e r s t e n der drei in Nr. 18 beschriebenen W e g e erfolgt. Anfrage: wäre es denn wirklich s i n n - l o s , dem b einen negativen Wert beizulegen? Es sei zur Erörterung dieser Frage darauf hingewiesen, dass die Formel a? = i 2 + c 3 — 2 i c c o s a auf gleiche Werte für α führt, gleichviel ob man b oder —b für den Wert der zweiten den L· a einschliessenden Seite einstellt, wenn man mit dem Wechsel im Vorzeichen auch eine Aenderung der Winkels α in 180° — « vornimmt. Dass die Algebra die Vorsicht beobachtet hat, die mildeste der drei Formen zu wählen, durch welche die Werte a > s ausgeschlossen sind, giebt der Vermutung Raum, dass es ihr mit dem Ausschliessen im Grunde nicht vollkommen Ernst gewesen ist. — Wir kommen wohl anderweitig nochmals auf die Frage zurück.

24. B e i s p i e l . Auf dem einen Schenkel eines rechten Winkels liegen zwei Punkte Α und Β in den Entfernungen α und b (b> a)

85

F o r m e n mit Quadratwurzeln.

vom Scheitel V·,

es soll auf dem andern Schenkel der Punkt

in der Entfernung xm

Xm

vom Scheitel so angegeben werden, dass von

ihm aus die Strecke AB

unter dem grössten Winkel erscheint (vgl.

9 . Beispiel). Der in Rede stehende Winkel AXB Winkel, = seien.

Z.

VXB—Z.VXA,

ist die Differenz

β

die kurz mit

und

α

zweier

bezeichnet

Nun ist tang(/J—α) tangß =

sonach

=

b — χ

tang β — t a n g α

,

1-t-tgjS.tga

a —, χ

tanga =

Q>—«)·»

Wir können unmittelbar t a n g ( / ? — a ) als die Funktion ansehen, deren g'rösster Wert bestimmt werden soll.

Bezeichnen wir sie also mit y,

so würde nach unserm Verfahren zunächst die Gleichung y

nach χ aufzulösen sein —

(b — a)x x*+ba

~

ganz so, als wäre die Frage gestellt, in

welcher Entfernung (x) man den Punkt X die Strecke AB

annehmen müsse, damit

unter einem gegebenen Winkel arc(tg =

y)

erscheint.

Es ergiebt sich dabei

b—a 1 b— τ 1.

y

Damit

— — ha,

y V

y

der Wert für χ reell bleibt,

darf (

\

y

untere, y und darum auch der Winkel A X B obere Gränze

nicht

grössten Wert, wenn

(

wird.

Aus

—)

J

selbst

eine gewisse eine

überschreiten;

und zwar erreicht AXB

t

)

\&agAXmB

i

berechnen wir

.

_

b—a

1

gewisse den

Dritte Untersuchung.

86

Errichtet man also in der Mitte Μ von AB auf AB eine Senkrechte und bestimmt auf dieser den Punkt Pm so, dass APm = VM wird, so genügt der Z . A P m M der voraufgehenden sin-Gleichung, und gleichzeitig wird

MPm

=

Μ

API—AW b—α j ^ δ + α

=

Yba --

b—a ^

xm.

Mithin trifft die zu dem Schenkel VAB

durch Pm gezogene Parallele

den andern Schenkel in dem gesuchten Punkte X

m

.

2 0 . Wir wollen uns hier noch, im Anschluss an die ersten geometrischen Untersuchungen, mit der Frage nach der kleinsten und grössten Entfernung eines Punktes von einer Curve beschäftigen — nicht eigentlich um dieser Frage selbst willen. Denn es würde gewiss jemand, der hierüber Auskunft zu geben hätte, ohne weitere Rechnung sich dafür entscheiden, dass die kürzesten, wie die längsten Graden die Curve immer unter rechten Winkeln treffen müssen. Aber es bietet sich hier Gelegenheit, abgesehen von einigen neuen Erscheinungen im Auftreten grösster und kleinster Werte, Betrachtungen über Normalen, namentlich aber über Krümm u n g der Curven anzustellen; und gewiss liegt es nahe, da wir an den Gegenständen unserer Umgebung fortgesetzt Krümmungen anschauen und beobachten, einmal zuzusehen, wie die Geometrie die Krümmung wissenschaftlich behandelt, wie sie namentlich ein Mass für die Krümmung einer Curve in deren verschiedenen Punkten sich gebildet hat. Hierzu bedarf es auch keiner andern, als elementarer Vorkenntnisse, und für die folgende Untersuchung ausserdem der Grundlehren der analytischen Geometrie, deren Methode wir uns zu bedienen gedenken. Wir wollen die oben angeregte Frage zunächst für folgenden Fall beantworten. 25. B e i s p i e l : Es ist eine V i e r t e l e l l i p s e (a, b) und auf der g r o s s e n H a l b a c h s e (α) ein P u n k t U g e g e b e n ; es soll unter den Ellipsenpunkten Ρ derjenige Pm gefunden werden, dessen E n t f e r n u n g (p) von U am k l e i n s t e n oder g r ö s s t e n ist. Tafel F. Wir schicken

der Beantwortung der Frage eine Untersuchung

Normalen an einer Ellipse. über die Durchschnitte Achse voraus. 1.

87

Un der Normalen der Ellipse mit der grossen

Fig. 1.

Es sei die Gleichung der Ellipse, auf deren Achsen als Coor-

dinatenachsen bezogen, α8 ^ alsdann

0a

wird die Gleichung der Normalen für einen Ellipsenpunkt

V y') t «V y—y = - j v und

für deren Durchschnitt

χ Ix (*—«O»

Un mit der grossen Achse besteht die

Beziehung unter seinen Coordinaten: y — 0, χ — un

y'

=

b*x Die Gleichung sagt: ist der Fusspunkt der Normalen der Scheitel V der grossen Achse, y'— als Durchgang auf (y' >

0 , so kann j e d e r Punkt der grossen Achse

Un angesehen werden —

der Ellipse senkrecht

steht.

natürlich! weil die Achse

Für jeden andern Ellipsenpunkt

0 ) trifft die Normale des Punktes Ρ die grosse Achse in der

Entfernung u n vom Mittelpunkte, so dass aa

1 +

, (un—x') =

un wird, wobei

a2—b2 = e2

_

«'

0,

xι

a

gesetzt ist.

Aus der Beziehung Gl. 1

un =

wo der Accent an χ weggelassen

—5-

ist,

a

x,

da χ und y im

Folgenden

ausschliesslich Coordinaten der Ellipsenpunkte Ρ bezeichnen werden, ergiebt sich, dass un immer kleiner als x, für den grössten "Wert- von x, für x =

wird.

a,

dass ferner insbesondere

Dritte Untersuchung.

88

Der Punkt auf der grossen Achse mit der Abscisse u'n, der mit U'n bezeichnet werden möge, ist für unsere Betrachtung von besonderer Wichtigkeit, zunächst insofern, als er überhaupt die Gränzlage für die Punkte Un, die Durchgänge der Normalen, angiebt. Stellen wir uns also, vor, es bewege sich der in der Aufgabe mit U bezeichnete Punkt vom Ellipsen-Mittelpunkt aus über die grosse Achse, indem seine Abscisse u von Ο bis α zunimmt; so sind für alle ' e1 Werte des u von w = Ο bis u — u'n = — die Punkte U auch

a Punkte ü n d. h. solche, von denen aus, ausser der grossen Achse n o c h e i n e z w e i t e N o r m a l e an die Curve führt; und es bestimmt sich deren Fusspunkt nach der obigen Gl. 1 durch die Beziehung G? x = un . Diese zwei Normalen nähern sich hinsichtlich ihrer Rich-

e tung unaufhörlich der grossen Achse und fallen für u = u'n mit ihr zusammen. Wächst nachher u von dem Werte u'n bis α, so ist von diesen Punkten U aus die grosse Achse d i e e i n z i g e N o r m a l e an unseren Ellipsenbogen. Dieses Ergebnis wird als Grundlage zur Lösung unserer Aufgabe genügen. Zur Erläuterung sei noch hinzugefügt, dass wenn der Punkt U'„ als „Durchgang" der Normalen am Scheitel V (Gl. 1, x = a) behandelt ist, dies zunächst nicht gegen unsere Behauptung streitet, derzufolge „ j e d e r ' P u n k t " dieser Normalen als Durchgang gelten könnte. Wir rechtfertigen ferner die Annahme grade dieses Punktes als „Durchgang" mit dem Grundsatz der Stetigkeit, damit also, dass für die „unmittelbar" neben dem Scheitel V liegenden Ellipsenpunkte die Normalen auch „ganz" dicht neben U'„ die Achse durchsetzen, der Punkt U'n den Uebergang bildet zu denjenigen, welche von anderen Normalen nicht mehr getroffen werden. Endlich aber weist noch eine andere Bestimmungsweise des Durchgangs darauf hin, den Punkt U'n als Durchgang der Normale des Scheitels V anzusehen. Bekanntlich halbiert die Normale eines Ellipsenpunktes Ρ den Winkel der nach Ρ führenden Brennstrahlen; und darum teilt sie, nach einem bekannten planimetrischen Satze, die Brennweite (2e) im Verhältnis der Brennstrahlen. Denkt man jetzt Ρ in V fallend, so werden die Brennstrahlen = s + « bez. a — e , und wenn man 2e in diesem Verhältnisse teilt, u' so bestimmt, dass

Entfernung eines Punktes von einer Curve.

e+u'n : e—u'K =

89

a+e\a—e y

wird, so ergiebt sich un

—

a 2.

Zur B e r e c h n u n g

der

kleinsten

bez.

grössten

f e r n u n g ermitteln wir zunächst die Entfernung ρ Ellipsenpunktes Ρ vom Punkte

U.

Ent-

eines beliebigen

Es ist

p'=y*+(ai—u)\ oder wenn man aus der Ellipsengleichung y durch χ -

a

e,x2 = a

: Hieraus

ausdrückt,

ό2 —^(α2—x3)+x''—Ίιιχ+υ?

lux + u1.

würde sich unmittelbar die Länge pn

der vom P u n k t e

U

ausgehenden Normale, sofern u < . u ' n ist, ergeben, wenn man nach der Gl. 1 setzte

2

a —ru, e

x= pl =

w

e

2

- 2 ~

e

u'-hu1

e'

Um den grössten wir findet

die

für ρ 2

oder kleinsten Wert von ρ zu bestimmen, haben aufgestellte Gleichung nach χ

aufzulösen.

Dabei

sich Gl. 2

=

a

e

'

r

e

Damit diesem Werte von χ aber ein Punkt Ρ unserer Viertelellipse entspricht, sind

zwei Bedingungen von ihm zu erfüllen.

nämlich 1. ρ 2 — έ 2 - )

V-v?

j— >

W e r t annehmen

Es muss

0 sein, wenn χ überhaupt einen reellen

soll;

sowie 2. der aus dieser Gleichung sich ergebende Wert von

x e ' i s t .

e

Im ersten Falle wird nämlich für ρ daraus eine o b e r e Gränze sich ergeben, dass

au

ι Γ~

—

j

~

Wu'

-

bleibt, während die u n t e r e Gränze aus der ersten Bedingung abzuleiten ist, der "Wert

Vr» 3 — δ 2 Η — ^

e

U

für unsern

e

Zweck

ohne Belang ist. Im zweiten Falle dagegen kommt, wenn ist, von beiden Werten des

a

schon grösser als e

von vornherein nur der andere und

zwar so in Betracht, dass die Bedingung aU

1Γ ΐ

12 .

^ V

einen u n t e r e n Gränzwert bestimmt; während die erste Bedingung in diesem Falle nicht mitspricht. 1. F a l l . Die Voraussetzung,

au

< e,

.

oder

•

e1

, .

u < —

e

d. ι.


U'nP oder < U'nP ist; wenn die Curve aber dem Punkte U ihre W ö l b u n g zukehrt, stets ein Min. 21. Soll der grösste oder kleinste Wert einer Grösse y = f ( x ) bestimmt werden, so bedarf es, wie gesagt wurde, einer Auflösung dieser Gleichung nach x. Auf Grund der Auflösung der allgemeinen quadratischen Gleichung x'1—ax-\-b = 0, sind oben in Nr. 17 die beiden Lehrsätze abgeleitet worden: das Produkt aus den Teilen einer Zahl ist d a n n am grössten — oder: die Summe aus den Faktoren einer Zahl ist d a n n am kleinsten, wenn die T e i l e (bez. d i e F a k t o r e n ) g l e i c h g r o s s sind. Nichts hindert, gegebenen Falls, diese Sätze u n m i t t e l b a r anzuwenden. 27. B e i s p i e l : Unter allen Dreiecken (b-^-c =s, a) dasjenige vom grössten Inhalt anzugeben. Ist b+c = s, so wird J = ^ Je sin α — weil bc, am grössten für b — c, also für das gleichschenklige Dreieck. 28. B e i s p i e l : Unter allen Dreiecken (a, b-{-c = s) dasjenige vom grössten Inhalt anzugeben. Bezeichnen wir, ausnahmsweise, den Umfang des Dreiecks mit 2«, so wird der Inhalt

J — —a)(u—b)(u—c), JJ 1 = u —(b->rc)u-+-bc·, u (u—a) es erreicht sonach der Inhalt gleichzeitig mit bc, und da b-\-c gegeben ist, für b = c, also beim gleichschenkligen Dreieck seine obere Gränze. 29. B e i s p i e l : Es soll der Halbmesser r eines Kreisausschnittes so bestimmt werden, dass während dessen Umfang = 2α wird, sein Inhalt möglichst gross werde — mit andern Worten: welche Verteilung der Länge 2α auf die beiden Kadien 2r und den Bogen % erzielt für den Kreisausschnitt den grössten Inhalt? Da 2 r + 2 0 = 2a, oder r-\-b = a sein soll, der Inhalt J aber =

rb wird; erreicht J den grössten Wert, wenn r = b =

ist.

30. B e i s p i e l : In einem Dreieck ABC soll zwischen den Seiten

Dritte Untersuchung.

104

AB und AC eine Grade DE parallel zu BC ausgespannt werden, dass der Inhalt des Dreiecks MOE möglichst .gross werde, wenn Μ einen Punkt der Seite BC bezeichnet. Da es für den Inhalt des Δ MOE gleichgiltig ist, wo der Punkt Μ auf BC liegt, nehmen wir einen der Punkte Β oder C für M. Denken wir uns mehre Parallelen DE gezogen, so ist der Inhalt der Dreiecke BDE den Produkten BD. DE proportional, oder es sind, da DE wieder DA proportional ist, die Inhalte der Dreiecke

BDE

den Produkten BD.DA

proportional.

Da nun

BD-t-DA

immer die Dreieckseite BA ausmacht, erreicht BD.DA oder jede dem Produkt proportionale Grösse den oberen Gränzwert, wenn

BD = DA =

Fi Λ t. i is

_

Die beiden Lehrsätze, auf welche wir die voraufgehenden Beispiele zurückgeführt haben, kann man bekanntlich auch in anderer "Weise ableiten, indem man b e i d e Z a h l e n , deren Summe = a , deren Produkt = b ist, durch den ganzen Verlauf der Rechnung beibehält. Nennen wir die Zahlen χ und z, so dass gegeben ist a) x-\-z = a; xz = b; so entsteht die quadratische Gleichung: a?—ax-\-b = 0, wenn man aus der einen von beiden Gleichungen eine Unbekannte mit Hilfe der anderen Gleichung eliminiert. Will man die Symmetrie der Beziehungen unter den Grössen χ und ζ nicht stören, so kann die Auflösung auch so erfolgen, dass man berechnet:

χ—ζ = ±|/α2—4 b,

mittels x-\-z und χ—ζ aber die Grössen χ und ζ bestimmt. Das Resultat ist natürlich dasselbe, wie das aus der quadratischen Gleichung abgeleitete; es wird nur durch die Gleichung für χ — ζ noch u n m i t t e l b a r e r ausgesprochen. So aufgefasst, erscheinen unsere beiden Lehrsätze als einzelner Fall einer Gruppe von allgemeinen Sätzen, die sich ergeben, wenn man quadratische G l e i c h u n g e n m i t m e h r e n U n b e k a n n t e n (x, z) auflöst, o h n e sie zuvor, durch Elimination der einen von ihnen, a u f d i e F o r m x*—ax+b=· 0 gebracht zu haben. Wir knüpfen an die bekannten Verfahren einige Beispiele. Es sei gegeben: b) tf3+z2 = a 2 ; xz = b3;

105

Quadratische Gleichungen.

so folgt Auch hier bestimmt der Wert für χ — ζ eine obere Gränze von eine untere von a2; und wieder wird die Gränze erreicht für x — z. Diese Betrachtung führt uns wieder zu zwei algebraischen Lehrsätzen, die leicht anzugeben sind. Sprechen wir sie, näher liegend, in ihrer geometrischen Anwendung aus, indem wir unter λ; und ζ die Seiten eines Rechtecks verstehen: Unter allen Rechtecken eines Kreises hat das Quadrat den grössten Inhalt — sowie: unter allen Rechtecken von gleichem Inhalt liegt das Quadrat im kleinsten Kreise. 31a. B e i s p i e l . Zwischen den Schenkeln eines gegebenen Winkels Α die kürzeste Grade DE zu ziehen, welche ein Dreieck ADE von gegebenem Inhalte abschneidet — mit andern Worten: ein Dreieck (a, J ) zu suchen, in welchem α möglichst klein wird. Bezeichnen wir die den Z. a einschliessenden Seiten mit χ und z, so ist

a* = x'-hz'—2xz.cosa,

xz sin a =

J.

Denken wir xz aus der ersten Gleichung mittels der zweiten eliminiert, so fragt es sich also, welches der kleinste Wert für x'-i-z2 bei gegebenem xz ist. Das gesuchte Dreieck ist hiernach das gleichschenklige. Wäre etwa J dadurch bestimmt, dass das gesuchte Dreieck die Hälfte eines in den Winkel α gezeichneten, gegebenen Dreiecks ABC werden sollte, so müsste xz =

sein, danach

x — z — I/o.

Ιέ c)

»

werden.

2ι

Ist endlich das Gleichungssystem gegeben:

so ergiebt sich

x'-i-z' = a \ x-hz = b, x—z =

±]/2a2—b\

also eine obere Gränze für b, eine untere Gränze für a, die erreicht werden, wenn χ — 2 = 0, x = ζ wird. Unter allen Rechtecken eines Kreises hat mithin das Quadrat auch den grössten Umfang und umgekehrt, wie oben.

106

Dritte

Untersuchung.

Auf das vorliegende Gleichungspaar und dessen Ergebnisse liesse sich die Lösung der Aufgabe zurückführen, 31b. B e i s p i e l ,

welche durch Veränderung der vorigen (31a.)

entsteht, wenn nicht der Inhalt des Dreiecks ADE sondern A D + A E

etwa =

^B-j-AC

2t

_

g

wer(

ein gegebener, jen

so

ute.

Die Aufgabe würde dann dieselbe sein, als die schon mehrfach behandelte: ein Dreieck (s, a ) zu konstruieren mit möglichst kleinem a. Wenn werden

auch die folgende Lösung vor der früheren nicht empfohlen soll,

so möge sie wenigstens als Uebung für die Behand-

lung dienen.

Es ist mit Beibehaltung der Bezeichnung im vorigen

Beispiel a1 =

x2-f~z3—2a;2.cosa.

Hierin ist xz durch x-hz ersetzen,

x"-hz3—cosa[s3—(λ>3+22)],

= a +s .cosa = 3

a

2

3

(tf +z )(l-+-cosa:)> 3

3

erreicht hiernach mit

gleichzeitig x-hz

zu

(x-f-z)2 = rz2—2d»

3)

y möglichst klein werden.

cos α,

Berechnen wir χ — ζ aus der zweiten Gleichung, 5—ζ =

±

\y2—4«2.sin3-^- ,

so zeigt sich, dass jedenfalls y3 > 4 , z s . s i n 3 — sein muss, y nicht kleiner werden kann,

als es für x =

ob es überhaupt so klein, y — 2«.sin

z wird.

2i

Es fragt sich aber,

, werden kann, wenn a l l e

107

Quadratische Gleichungen.

Anforderungen erfüllt werden. Die Frage muss bejaht werden. Denn der noch rückständigen ersten Bedingungungsgleichung kann, wenn z = x,

y = 2«sin ~

z

gesetzt wird, genügt werden „ . a 2a:+2tfsin— =

u,

Ζ

durch die Werte:

z = x—\

. α «sin—-

u α

11 +> sin • —

, y=

2

I i · — « 1-f-sin

;

da diese Formen keinerlei Anzeichen an sich tragen, dass die an den gegebenen Grössen vorzunehmende Konstruktion unausführbar werden könnte. — Die Konstruktion gestaltet sich sehr einfach. Ist etwa, Fig. 14, ein Α ABC gegeben und bestimmt, dass u halb so ~ gross werden soll, als der F i g . 14·. Umfang dieses Dreiecks, so ^ N wird man den Z - A halbieren und von den Graden, welche gleiche Stücke auf den Schenkeln des Winkels abschneiden, irgend eine ζ. B. N'P'M'Q' ziehen. Trägt man dann auf dieser von P' aus das Stück P'N' = P'A ab, und verbindet N' mit A, so ist diess der Ort aller Punkte Ν von solcher Beschaffenheit, dass wenn man durch ihn eine Parallele zu P'Q' zieht, NM immer der halbe Umfang des entstandenen gleichschenkligen Dreiecks — oder auch, anders ausgedrückt: AP=

MN

1+sin

f

wird.

dann, wie die Figur zeigt, aus der Strecke

Hieraus ergiebt sich

unmittelbar das ge-

Jt suchte Dreieck ADE. 22. In Anbetracht der mannigfaltigen Anwendungen der Lehre von den q u a d r a t i s c h e n Gleichungen zur Bestimmung der Gränz-

108

Dritte Untersuchung.

werte einer Funktion mag die Frage nahe liegen, wie sich das Verfahren gestaltet, wenn die Funktion y—f{cc) Grades,

eine solche dritten

beim Umrechnen derselben in die Form x — F(y)

kubische Gleichung

aufzulösen ist.

eine

Versuchen wir die einfache

Aufgabe (vgl. 18. Beispiel) danach zu behandeln: 33. B e i s p i e l :

In einen Kegel von der Höhe h, von einem

Grundkreise mit dem Radius r soll ein Cylinder von möglichst grossem Inhalt beschriehen werden. Ist χ der Radius, ζ die Höhe des Cylinders, so ist sein Inhalt J =

πχ2ζ.

oder wenn wir ζ mittels der Proportion z-.h — r—x-. r eliminieren J = n x

Jr

I,

Απ

2

( r — — ,

y — «V—xz. xi—rxt-\-y

und wenn wir setzen

Soll jetzt die Gleichung 0

=

aufgelöst, zunächst das Glied

mit χ 2 fortgeschaft werden, so entsteht, wenn wir setzen : w + c,

io 3 -+-(3c—r)w ! -+-(3c 2 —2rc)w-\-c 3 —rc'-\-y =

0,

oder für r

>

r2

Τ

(2r3

\

— w— I

y 1=

0.

Nach dem bekann-

ten Verfahren, die kubische Gleichung aufzulösen, führen wir ein w

- u-\-v,

w3-+-i)3+3Mi)(M-f-f)

r2 — (m+«)—

( 2r s I -yy

\ y 1=

0,

und diese Gleichung zerlegen wir in u

3

+v

3

3 uv

—(^-—yj = r2 — = ο

0 und

0.

Daraus aber ergiebt sich, wenn wir ν mittels der zweiten Gleichung eliminieren, *

\ \~27

und hiernach

V

3

re ~729~

=

'

Kubische Gleichungen.

1.09

Die hieraus zu berechnenden Werte von u 3 und v 3 können je nach der Grösse des y reell oder imaginär sein. Was aber die hieraus sich ergebenden Werte von u-\-v und somit schliesslich von χ betrifft, so ist aus der Lehre von den kubischen Gleichungen bekannt, dass unsere Gleichung x3—rx^+y = 0 3 3 für r e e l l e u und v eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln«, für i m a g i n ä r e u s und i>3 d r e i reelle Wurzeln hat. Hieraus wird sich die Frage nach demjenigen Werte von x, für welchen y ein Max wird, beantworten lassen. Ob u3, und gleichzeitig dann auch v3, reell oder imaginär ist, hangt, wie bei den Funktionen zweiten Grades, von dem Vorzeichen des ί 4r3\ Radikanden y yy 2 7 / der Quadratwurzel ab. Inzwischen ist die Art und Weise, in welcher ein Zeichenwechsel desselben den Wert von χ beeinflusst, infolge jener Beziehungen zwischen den unmittelbar sich für u 3 und v 3 ergebenden Werten und den daraus folgenden Werten für x, hier eine wesentlich andere, als bei den Funktionen zweiten Grades. Der Radikand ist positiv, wenn beide Faktoren negativ oder beide positiv sind, negativ dann, wenn nur e i n e r von beiden Faktoren negativ ist. Sehen wir also von der Beschränkung zunächst ab, welche hinsichtlich der Werte des χ und somit auch der Werte des y durch unsere Aufgabe in sofern bedingt ist, als es sich bei dieser nur um Werte zwischen x — 0 und x — r handelt; so werden wir sagen, der erste Faktor des Radikanden sei negativ, solange 4 r3 y < 0, der zweite, so lange y < - ist. Stellen wir uns danach ii vor, es durchliefe y alle Werte von — o o bis + o o , so hätten wir diese, wenn wir sie unterscheiden nach dem Einfluss auf das Vorzeichen der beiden Faktoren und somit auf das des Radikanden, hiernach auf den Wert von u 3 und v3, sowie endlich auf die Zahl der reellen Wurzeln χ unserer kubischen Gleichung — in drei Gruppen

Dritte Untersuchung.

110

zu bringen, die sich an den Stellen y = 0 und y — ——, wo die A%

Faktoren das Zeichen wechseln, von einander .trennen. Die hieraus folgenden Ergebnisse für u und v, sowie für die Zahl der reellen Wurzeln der Gleichung stellen wir in einer Uebersicht zusammen: ist das V orzeichen

4t·» 27"

1 1

+

1+

0

y < 0 4r 3 < y < ^

d . { | · } Faktors d. Radikanden

++

Für alle Werte

+

werden u 3 und υ1

ist die Zahl der reellen Wurzeln χ

reell

1

imaginär

3

reell

1

Gleichzeitig veranschaulicht Fig. 15 die vorstehenden Beziehungen zwischen dem Werte von y und der Zahl der reellen Wurzeln. Für

von χ annimmt, jeden anderen nur für einen Wert des at.

Kubische Gleichungen.

Ill

Soll hiemach die obere Gränze der Werte des y für die Abmessungen unseres Kegels angegeben werden, so sei zunächst darauf hingewiesen, dass von einer unmittelbaren Uebertragung der Schlussreihe, welche für Funktionen zweiten Grades zum Ziele führte, ganz abzusehen ist. Dort handelte es sich um Bestimmung des grössten Wertes, welchen y ü b e r h a u p t anzunehmen imstande ist. Einen derartigen Gränzwert giebt es aber für unsere Funktion nicht, da sie a l l e n Werten zwischen — o o und - f - o o gleich werden kann. Das gesuchte Max wird sich vielmehr als ein W e c h s e l z w i s c h e n S t e i gen u n d F a l l e n darstellen, während χ die Werte zwischen 0 und r steigend oder fallend durchläuft. Wir wollen uns eine zur Grundfläche des Kegels parallele Ebene Ε denken, und sie nach und nach von der Grundfläche bis zum Scheitel führen, so dass sie fortgesetzt den Kegel in einem Kreise schneidet. Vergleichen wir die Inhalte der den Querschnitten entsprechenden eingeschriebenen Cylinder, so sind diese in der Anfangsund in der Endlage der Ebene Ε gleich Null, nehmen zu und nachher wieder ab, nehmen übrigens auch nur e i n m a l zu und ab, so dass sie jeden Wert nur zweimal durchlaufen. Da nämlich y irgend einen Wert höchstens dreimal, für drei Werte von χ erreicht, am Anfange (x = r) und am Ende (x = 0) der Bewegung aber = 0 ist, so muss noch e i n Wert von χ übrig bleiben, der ausserhalb des Zahlenraumes x = 0 bis χ = τ liegt, und für welchen y den irgend einem Cylinder-Inhalte entsprechenden Wert annimmt, indem es von 0 bis ins Unendliche zunimmt. Wie w e i t n i m m t a b e r y z u , wenn die schneidende Ebene Ε ihren Lauf durch den Kegel ausführt? Unsere Uebersicht antwortet 3

hierauf in Anbetracht der Gränzen der zweiten Gruppe: bis y = -—- · Wollen wir hieraus den Wert von χ berechnen, für welchen y —

4 r3

wird, so haben wir in den Ausdruck für u 3 und v 3 diesen Wert von y einzusetzen. Dabei ergiebt sich r 3 ' w —

U-\-V

-

—

2r

——

112

Dritte Untersuchung,

endlich x =

w+c

=

2r r _ + _

=

r

Wir haben nun also jenen, wie vorhin gesagt wurde: „übrigbleibenden, dritten" Wert von χ gefunden, für welchen y ausserhalb des 4r3 Zahlenraumes χ = 0 bis χ = r den Wert -^y- nochmals erreicht. Indessen ermitteln wir mit Hilfe desselben aus der Gleichung x3—rx2-\-y = Ο sofort auch den zwischen χ = 0 und χ — r liegenden. Ist von einer algebraischen Gleichung f(x) — Ο eine Wurzel χ — α gefunden, so ist bekanntlich f(x) durch (χ—a) teilbar, und fix) die Gleichung — = 0, welche von einem um Eins niedrigeren χ— a Grade, als die ursprüngliche ist, enthält alle Wurzeln der ersteren, ausgenommen die Wurzel χ = α. Hiernach verfahren wir mit un4r2 r serer Gleichung, indem wir setzen y — — — , a = — ; alsdann Ζi ο ist zunächst 4 r3 4 xr 4 r' 27 „ r • + T Die Gleichung aber

(*—Fr)" = ο

2 wird erfüllt durch den Wert x = — r, und zwar erscheint dieser ο Wert als eine doppelte Wurzel der letzten und somit auch der 3 Gleichung x 3 — r x 2 - \ Ar — — = 0 — das auch bei Funktionen zweiMl ten Grades beobachtete Kennzeichen eines Max oder Min, welches sagt, dass zwei Werte des χ in einen zusammenfallen. Uebrigens wird für * =

T

2 r ,

, r—χ h ζ — h = —,

T

4r 3

nh — ^

4 —

Es werde bemerkt, dass dieselbe Beziehung, die zwischen den 4 r3 Punkten Q' und Q" in Hinsicht des Wertes y besteht, auch Λi

Schlussbetrachtung. für die Punkte P' auch y =

und P"

113

und den "Wert y =

Ο ebensowohl als y =

4r 3 -—-

0 vorliegt, wie ja

den Radikanden gleich Null

it i werden lässt, an der Stelle y =

Ο ein Uebergang von reellen zu

imaginären Werten für u3 und υ3 stattfindet, einer der Werte von x, für welchen y =

Ο wird, e i n e d o p p e l t e W u r z e l d e r

χ3—rx^-^-y wird.

Gleichung

= 0

In der That geht die Gleichung über in

x3—rx* = xi{x — r) = 0, welche sagt, dass für x = 0 für x = sicht

der Wert y =

0 ein Min

ist, während

r die Funktion y einfach durch Null geht, wie unsere Ueber-

lehrt,

und gleichzeitig die Figur veranschaulicht: für

positiv, für χ >

23.

x

Aus

immer =

der

—9

Gleichung

ist, die F a k -

0 sind, und χ£.+1 >

d e r v o n xj.' s e i n .

folgt,

co,

anlangt.

dass

auch x'k+1

l i e g t hiernach die eine W u r z e l x [ ' + 1

des P a a r e s xk,

z e l n d e s P a a r e s xk, wäre,

von

wie

V o r z e i c h e n , stets aber e i n e n absoluten W e r t

negativ

ein

überhaupt

es m i t w e i t e r w a c h s e n d e m χ bis x — 3

wo

aber

so t r i t t

sie f ü r x ——3

die

Zahlen durcheilt, =

der absolute W e r t

d e m P a a r xi+1

Wurzel

annimmt,

Zahlen

von

sie,

Zahlen durchläuft,

w i r an, dass x'k u n d χ[+λ

b e i d e n W u r z e l n x"

wird

indem

0 f o l g t , dass das P r o d u k t x'.x"

toren entgegengesetzte haben.

— oo

U n e n d l i c h e n , n u n zum z w e i t e n M a l ,

Wie

erfordert:

Funktion

die W e r t e x =

w i r d , bis es, m i t χ j e l ä n g e r j e

selbst im

dieser

positiver Brüche annimmt,

G e b i e t der n e g a t i v e n

positiv

ziemlich

möglichen W e r t , und zwar z w e i m a l Für x =

folgende:

bei

Ueberschreitet dann χ die N u l l ,

kleiner

dasselbe

beschaffen

= 0 .

und Fallen

nähert, p o s i t i v e W e r t e

wachsen. sehr

also so

•

v o n y nicht N u l l w i r d ,

reelle W e r t e

die Reihe der positiven

—0

Wertes

sind

erreicht, bei weiter wachsendem χ für schnell

Wurzeln

v o r a u f g e h e n d e n scheinbar

und s t e i g t f ü r z u n e h m e n d e x,

—oo,

beide

die A u f l ö s u n g der Gleichung

zwischen Steigen

Verlauf

Gleichung

Ο

ist,

χ2 — xy — 9

Wechsel

bestimmenden

Funktion

weitere Behandlung

Die Wurzeln

119

J s x'k ist, x £ ' + 1 j j x'J ist.

V

deren

die

und hinsichtlich ihres absoluten

s i n d , dass w e n n x'k+x

nahe liegende

2

Verfahrens.

während die andere

=

Da aber >

x'k.

zwischen den

g r o s s e r als b e i d e

9

x'k ist, die Von beiden Wur-

a l s o n i c h t z w i s c h e n i h n e n e n t h a l t e n i s t , w i e es n ö t i g

das P a a r

bilden sollte. —

den U e b e r g a n g Genau

dieselbe

von

xk

Erscheinung

zu

einer

doppelten

war oben in N r . 7

120

Vierte Untersuchung.

an den Punktpaaren Xk und

beobachtet worden, wenn für die

Funktion y e i n W e c h s e l zwischen Steigen und Fallen n i c h t s t a t t f a n d . Auch auf diesen Fall erstreckt sich hiernach jener Parallelismus der Erscheinungen bei Betrachtung der Max und Min.

Yierte Untersuchung. Allgemeines algebraisches Verfahren zur Bestimmung des Max und Min insbesondere

ganzer

algebraischer

Funktionen.

2 4 . Eine Summe von Gliedern, welche die Unabhängig-Veränderliche enthalten, wie y = α0Λ;η+αιΛ!η—Η

h«n-i«-i-an,

wo η eine positive ganze Zahl bedeutet, die mit α bezeichneten Coeffizienten irgend welche unveränderliche positive oder negative, ganze oder gebrochne Zahlen angeben, wird bekanntlich eine ganze a l g e b r a i s c h e Funktion von χ genannt — z u m Unterschiede von „gebrochnen F u n k t i o n e n " , bei denen χ auch im Nenner eines oder mehrer Glieder enthalten ist, oder — von anderweitig zu benennenden Funktionen, bei denen χ unter einem andern Rechnungszeichen, es sei eine ]/~, ein log, ein sin ... vorkommt. Die Vorstellung der Rechnungsresultate thunlichst zu fördern, sie namentlich durch die Anschauung zu unterstützen, sollen, wie es bereits in Nr. 20 geschehen ist, die Werte der Unabhängig-Veränderlichen und die zugehörigen Werte der Funktion durch Abscissen und Ordinaten von Punkten d a r g e s t e l l t werden (Tafel G). Wir knüpfen hiernach die Untersuchung über Max und Min einer ganzen · algebraischen Funktion D =/ oX

0,

a

Xmax

'

Sollte aber nicht der Inhalt, sondern der Umfang des bez. Rechtecks ein Max werden, so würde, da U -γ =

2

y-i-a—x,

U —

2 y—x

a=

ist,

sein.

Danach folgt aus der Gleichung Q — 0 2— γ

— 0,

y =

2p

oder

xmax =

Hieraus lässt sich der Punkt Μ leicht konstruieren.

y.

„Ableitung" einer ganzen rationalen Funktion. 26.

Wir wollen noch d i e

allgemeine Form

131 der ganzen,

algebraischen Funktion nach der voraufgehenden Regel behandeln. a) Setzen wir zunächst f ( x ) = /(«)—/(«')

X

=

so wird

axn,

α (*»-*'«),

X =

α(χΆ-1-\-χη-2χ'+χη~3χη-\

\-χχ'η~'+x'n-'),

sonach endlich

Q(x, x' = x) = b ) Ist ferner f ( x ) =

fix) —f{x')

axndzba:T',

= a (xn—x'n)

=

anxn~l. so wird,

± b (xp—χ'η

\-x'n~1)±b

(xv~x -\-χν~2χ'-\

\- x'P-%

somit

Q(x, χ' — χ) — anxn~1 + bpxP~'i. Das Gesetz, geleitet

nach welchem Q(x,x'=x)

werden kann,

Formeln a) und b).

aus f ( x ) unmittelbar ab-

ergiebt sich ohne weiteres aus den beiden Wir wollen,

da wir uns im Folgenden dieser

Beziehungen bedienen werden, in dem Falle,

dass f i x )

ist, die Funktion Q(x,x'

eine g a n z e r a t i o n a l e =

t e t e F u n k t i o n v o n fix)"·

x)

schlechthin „ d i e

oder kurz „ d i e

v o n f { x ) nennen, und mit f i x )

Funktion abgelei-

Ableitung"

bezeichnen.

Die voraufgehende Formel lehrt, dass, wenn

f{x)

=

a0xn-ha1x"-1-i-ailxn~2-i

Ηβκ-ϊ^^+αη-ι^+α«

ist, wo die α beliebige positive oder negative Zahlen, auch 0, sein können,

fix) =

a0nxn~1-ha1.n—l.x''-2-haii

.n — 2.xn~3-i (-αη_2.2#+α„_ι

wird. Man beachte, dass das von χ unabhängige Glied a„ der Funktion in der Ableitung nicht wieder vorkommt, da es bei Aufstellung der Differenz fix)—/(#')

zu Null wird. 9*

Vierte Untersuchung.

132

Danach kann die Regel zur Bestimmung des Max oder Min einer ganzen, rationalen Funktion angegeben werden: Der "Wert von x, für welchen eine g a n z e , r a t i n a l e Funktion

y

=f(F)

sein Max oder Min erreicht, wird durch die Gleichung bestimmt: / ' ( * ) = 0. Uebrigens sei ausdrücklich bemerkt, dass die ausführlichere, in Nr. 24 angegebene Rechnung dann beizubehalten sein wird, wenn f{x) eine Funktion von irgend anderer Art ist, von uns auch in der Schlussgleichung die Bezeichnung Q(x,x'=x) = 0 beibehalten werden soll. Gleichwohl sei dem Leser empfohlen, sich an den Gebrauch der vorstehend angegebenen Abkürzung — da, wohin sie gehört — zu gewöhnen. — Gehen wir jetzt zur B e h a n d l u n g a n d e r e r , als g a n z e r , a l g e b r a i s c h e r F u n k t i o n e n über, so kommen zunächst solche in Betracht, bei welchen durch eine leichte Umformung die Aufgabe auf die Bestimmung des Max oder Min einer ganzen algebraischen Funktion zurückgeführt werden kann. Ist ζ. B. gegeben y = ]/f(x), so wird man sich darauf beziehen, dass y zugleich mit y2 ein Max bez. Min wird. Man wird also durch Potenzieren von y das Wurzelzeichen wegschaffen und das Max oder Min dieser Potenz bestimmen. 38. B e i s p i e l . Welches einem gegebenen Kreise eingeschriebene gleichschenklige Dreieck hat den grössten Inhalt? Die halbe Grundlinie des Dreiecks sei z, die Höhe x, so ist J = xz·,

oder da

z3 — x(2r—x)

ist,

y = χ~ψχ(2 r—x), und

f(x) = y3 = x'(2r—x)

-

2rxz—x\

Daraus bildet man

f'(x) = 6 rx2 — 4x3 = 0, 2x2(3r — 2x) = 0. Der Wert von x, für welchen 3r — 2x = 0 ist, 3

Irrationale Funktionen.

133

Τ macht den Inhalt des Dreiecks zu einem Max. Soll aber χ == r-\—— Δ •werden, so muss das zugehörige D r e i e c k g l e i c h s e i t i g sein. 39. B e i s p i e l . In eine Ellipse mit den Achsen 2α und 2b soll das grösste Rechteck gezeichnet werden. Sind x, y die Coordinaten einer Ecke des Rechtecks, bezogen auf die Hauptachsen, als Coordinatenachsen, beide Coordinaten > 0, so ist J=Axy,

y = ~ ] / a i—

oder da -

ι x\a 1

a

ist,

η—2 — χ'.

Mit dieser Substitution ist die Aufgabe eigentlich schon erledigt, da sie auf die Bestimmung des grössten Rechtecks in einem Kreise vom Radius α zurückgeführt ist. Sehen wir aber ab von dieser Lösung, so haben wir zu bilden f(x) .- x\a*—x2)

=

aW—x*

daraus f'(x) =

2a2x—ix3

=

Daraus folgt: &max

==

Umax =

=

°·

^Vi' b|/$·

Für die Ecken des gesuchten Rechtecks ergiebt sich also die Beziehung JL χ

=

Αa '

und somit die Regel, dass sie auf den Diagonalen des der Ellipse umschriebenen Rechtecks — oder in den Endpunkten der beiden gleich l a n g e n konjugierten Durchmesser der Ellipse liegen. 40. Beispiel. Ein grader Kegel (Fig. 16) soll durch eine zu einer Tangentialebene parallele Ebene so geschnitten werden, dass das im Kegel enthaltene Parabelsegment ein Max wird. Ist Α der Scheitel des Kegels, C irgend ein Punkt des Grundkreises, CB ein

Vierte Untersuchung.

134

Durchmesser des letzteren, so steht bekanntlich die Tangentialebene Γ für die Kegelseite AC auf der Symmetralebene AGB senkrecht. Irgend eine den Kegel schneidende Ebene E , parallel zur

Fig.16

Tangentialebene, also gleichfalls senkrecht zur Ebene ACB, schneide die Seite AB im Punkte S, den Durchmesser CB

imPunkteD, (SD+AC), die Peripherie des Grundkreises in den Punkten P , so dass also DPA.BC steht: so ist S der Scheitel der Parabel, SD ihre Achse, Ρ ein Punkt der Parabel, dessen Coordinaten, bezogen auf Parabelachse und Scheiteltangente, PD und DS mit ζ und χ bezeichnet werden mögen. Die Hälfte (SPD) des im Kegel enthaltenen Parabelsegmentes

£ = —

— — = — xz, wobei ζ3 = BD. DC ist. 2 3 Bezeichnet man ferner die Länge des Durchmessers CB mit d, die der Kegelseite mit s, so ist

BD = — , DC = d——; s

=

s

BC.DC=^x(s-x), a v s

'

2d

——x\x(s—x. os

Sonach ist die Funktion, die ein Max werden soll,

f(x) = x3(s—x) = sx3—x4. Daraus ergiebt sich weiter /'O) = 3sx'—4x3 = x!(3s—4x) - 0. χ — SD = SB — fs, AS = is.

27. Es liegt, wie früher schon bemerkt wurde, kein Grund vor, die oben angestellten Betrachtungen und somit auch das in Nr. 24 entwickelte Verfahren nicht auch auf andere, als ganze, algebraische Funktionen anzuwenden. Dabei könnten Schwierigkeiten nur

Gebrochne Funktionen.

135

bei der zweiten der oben angeführten drei Operationen, bei der Beseitigung der "Wurzel χ—χ' = 0 aus der Gl. fix)—fix') = 0, eintreten. Dass ein solches Ablösen der Wurzel χ — χ ' = 0 zuvörderst immer nötig ist, ergiebt unmittelbar die Form der Gleichung f(x)—f(x') = 0, da sie, welches auch die Funktion f(x) sei, stets identisch erfüllt wird, wenn man χ — χ ' — 0 setzt. Während aber hierzu in dem bisher betrachteten Falle die Ausführung der Division ffx\ f(x') genügte, wird man bei anderen Funktionen gelegent— , x—χ lieh andere Faktoren als ( x — x ' ) auszuscheiden haben. Statt uns darüber auf allgemeine, theoretische Untersuchungen einzulassen, sei bemerkt, dass es in allen Fällen darauf ankommt 1. f ( x ) = f ( x ' ) so in zwei Faktoren zu zerlegen, dass der e i n e , n i c h t aber der a n d e r e , durch die Substitution χ' — χ identisch, also für j e den Wert von x, zu Null wird; dass aber auch 2. der erstgenannte ein sogenannter Primfaktor ist, d. Ii. dass an ihm nicht nochmals dieselbe Zerlegung, wie nach 1. an fix)—fix'), vorgenommen werden kann. Dividiert man dann fix) —fix') durch den Faktor, welcher für x' — χ identisch zu 0 wird, so wird mit dem Quotienten, dfer wieder durch Qix, x') bezeichnet werden möge, nach unserer Regel in Nr. 24 zu verfahren sein. Wir wählen zuvörderst eine gebrochne Funktion d. h. eine solche, bei welcher die Unabhängig-Veränderliche a u c h im N e n n e r derselben vorkommt. Eine solche Funktion bedarf, wie wir vorab erinnern, eines besondern Verfahrens n i c h t , wenn sie von der Gestalt a ist, nur aus e i n e m Gliede besteht, und χ ausschliesslich im Nenner vorkommt. Denn bestimmt man die Werte von x, für welche f(x) ein Max oder Min wird, so erreicht y für die nämlichen Werte ein Min oder Max. Vielmehr handelt es sich bei der gegenwärtigen Betrachtung um solche Fälle, wo in der vorstehenden Funktion auch an die Stelle von α eine Funktion von χ tritt, oder wo m e h r e Glieder mit veränderlichem Nenner vorkommen.

Vierte Untersuchung.

136

41. B e i s p i e l . Zwischen den Schenkeln eines Winkels Β AC — a (Fig. 17) liegt ein Punkt M\ es soll durch Μ eine Grade, welche die Schenkel bez. in Β und C trifft, so gezogen werden, dass das Dreieck Β AC ein Min wird. Den Punkt Μ zu bestimmen, sei durch ihn MD φ AC bis zum A Schenkel AB gezogen: AD — a, Fig. Π . MD = m gesetzt; überdies bezeichnen wir AB mit x, AC mit z. C Alsdann ist der Inhalt des Dreiecks BAC

j

«2sina 5 — 2 geht, drückt sich aus durch die Beziehung: J

dass aber BC

durch Μ

mx χ—a

so dass j

mx'sina a

—

ist; und wenn man wieder den unveränderlichen Faktor weglässt, wird fix) '

=

—

T? x—a

Behandelt man diese Funktion nach den Vorschriften unserer Regel, so ergiebt sich zunächst als Gl. 1)

/(*) - / ( * ' ) =

_ χ—α

= χ

0.

— a

Bei dieser Gleichung soll die in ihr enthaltene Wurzel χ — · χ ' = 0 ausgeschieden werden. Macht man die Brüche gleichnamig, so ergiebt sich x2x'—xx'2 — a(x2—x'2) (χ—a)(x' — α ) xx'(x—x')

—

(χ—ά)(χ'

= 0,

a(x-\-x')(x—x') —

α)

=

0

und somit endlich {x—x')

[xx' — a(x-\-x')]

(χ—ά)(χ'

—

a)

Der Faktor, der für χ ' = χ identisch = 0 wird, ist wieder (x—x').

Trigonometrische Funktionen.

137

Sonach setzen wir

Damit ist also die Ausscheidung der Wurzel χ ' — χ vollzogen, und es bestimmt, wie wieder einmal erinnert werden möge, die Gl. diejenigen Werte χ', —

Q(ic, χ') =

0

für welche y grade so gross wird,

jetzt aber u n t e r A u s s c h l u s s des Wertes sc' = x .

und Min

von y,

so schloss unsere Regel,

Wert des χ ein, mit welchem fällt.

als für χ

—

Ein

Max

tritt nun für denjenigen

gleichzeitig ein Wert x'

zusammen-

Die

Gl. 3)

Q{x,x'=x)

=

0

lautet in unserem Beispiel λ;2 — 2 a x

(χ — αγ Setzt man aber hierin den Zähler gleich Null, so bestimmt der Wert x = 2a

x(x—2a) = und daraus

0, ζ

- 2m

das gesuchte Afm-Dreieck. Ein weiteres Beispiel zur Bestimmung des Max gebrochnen Funktion,

oder Min

einer

in der auch trigonometrische Funktionen

in

Betracht kommen, wird später in dem 4 9 . Beispiel erörtert werden. 28.

Ist die U n a b h ä n g i g - V e r ä n d e r l i c h e

χ ein

Winkel,

von dem trigonometrische Funktionen und zwar v e r s c h i e d e n e

tri-

g o n o m e t r i s c h e F u n k t i o n e n in Ansatz kommen, so ist nicht mehr darauf zu rechnen, dass ein Faktor ( x — x ' ) oder eine Differenz aus gleichen Funktionen, wie ζ. B. ( s i n « — sin«'), sich ausscheiden liesse. Die Algebra hat vielleicht andere Mittel, als grade dieses, danken

auszusprechen,

es

könne der Gleichung fix)—f(x')

für jeden Wert des x, wenn man χ' =

den Ge=

0

χ setzt, genügt werden.

Es war oben in dem 2 1 . Beispiel die Frage beantwortet worden: 42. Beispiel.

Welches unter

allen Dreiecken ( α , ά ) hat den

grössten Inhalt? Die Entwickelung würde sich nach dem vorliegenden Verfahren, wie folgt, gestalten: j

IJ =

a "2. sin « . s i n ζ

;

sin α

,

138

Vierte Untersuchung.

wenn χ und z, die Winkel an der Seite α, die Bedingung erfüllen sin 2 = sin(a + «). Danach wird f(x) = sin«, sin (α-J-«) und Gl. 1) f(x)—/(«') — sin«, sin ( α - f - « ) — sin «'.sin ( α - f - « ' ) = 0. Hiervon die Wurzel χ — χ ' = 0 abzuscheiden, sollen χ und χ ' von a getrennt, dann aber die Glieder nach sin α und cos α geordnet werden. Die Gleichung erfährt dabei folgende Umwandlung: sin α (sin a; cos Λ:—sin«'.cos«')-t-cosa(sin 2 «—sin 2 «') = 0, ^ sin a (sin 2 « — s i n 2 « ' ) + c o s a s i n ( « - | - « ' ) . s i n ( « — x ' ) — 0, s i n a . c o s ( « - l - « ' ) s i n ( « — « ' ) - | - c o s a . sin ( « - f - « ' ) . sin ( x — x ' ) = 0, s i n ( « — « ' ) [ s i n a . c o s ( « 4 - « ' ) + c o s a . s i n ( « - | - « ' ) ] = 0. Mit dieser Form, die kürzer noch geschrieben werden kann, s i n ( « — x ' ) . sin ( a -+-«-(-«') = 0, ist die Ausscheidung der Wurzel χ — χ ' = 0, die Zerteilung von fix)—/(«') in zwei Faktoren, von denen nur einer, der erste für jedes χ zu Null wird, wenn man χ ' — χ setzt, vollzogen. Setzt man sin (a+ « - ! - « ' ) = Q(x, x') und Gl. 2) Q(x, «') == sin (α-+-«-+-«') = 0, so bestimmt Gl. 3) Q(x, x' = x ) = sin (α-f- 2«) = 0, den Wert von x, für welchen / ( « ) , also auch J ein Max wird. Die Bestimmung a + 2 « — 180°, danach x — z, sagt, dass das g l e i c h s c h e n k l i g e Dreieck (6 = c) das gesuchte Max ist. 43. B e i s p i e l . Es ist ein S y s t e m z w e i e r zu e i n a n d e r s e n k r e c h t e n g r a d e n L i n i e n A', A" und in deren Ebene ein Punkt Ρ gegeben: es soll durch Ρ die k ü r z e s t e S e h n e des Systems d. h. eine Grade g e z o g e n werden, so dass das zwischen ihren Durchschnittspunkten mit den beiden Linien A! und A " enthaltene Stück derselben ein Min wird. Tafel C, Fig. 5. Ziehen wir durch Ρ irgend eine Grade, nennen die Stücke, welche sie auf den Graden A' und A" vom Scheitel C aus abschneidet, bez. u und v, bezeichnen deren Winkel gegen A" mit ψ, so ist die zwischen den Schenkeln A! und A " enthaltene Strecke der Graden y = 1/u2+v\

Trigonometrische Funktionen.

139

Wir wollen den Punkt Ρ uns durch den Fahrstrahl r und dessen Winkel α mit A " gegeben denken. Danach ist sin (α-+-y) sin (a -+- y ) u= ι —; v = rcos y sin y und es ergiebt sich hieraus rsinCo+y^ ^ sin(«+y) . sin y . cos y sin y . cosy ° Der Regel zufolge haben wir die Gleichung zu bilden sin (a + y) sin (a -+- y ' ) _ siny.cosy siny'.cosy' ' aus dieser aber zunächst die Wurzel y ' = y auszuscheiden und zu beseitigen. Wir machen gleichnamig, trennen α von y bez. φ ' und erhalten, wenn wir den Zähler = 0 setzen: 0 = sina. cosy. cosy 1 '(siny'— siny)-+-cosa. siny. sin y ' ( c o s y ' — cosy), oder wenn wir durch 2 sin ^

^

d. i. den Faktor, welcher durch

die Substitution y ' — y identisch = 0 wird, dividieren, 2)

0 =

sin ct. cosy. cos y c o s ^ u ^ — cosa.siny.siny'.sint--^— =

Q( hält, an dem Mittelstück entlang geschoben, des ersten Teils (x


erweist.

8 neben den

so dass in dem gemeinschaftlichen Punkte χ — 2,

49 ein Wendepunkt liegt, zwei einander folgende Curvenelemente

eine grade Linie — und zwar eine der Abscissenachse parallele Grade *) Derselbe Vorgang wird nachher an einem anderen Beispiele noch deutlicher zur Anschauung gebracht werden.

Mehrfache Wurzeln der Gleichung Q(x, x' = x) = 0.

161

bilden: so sagt dies j a nichts Anderes, als dass drei aufeinander folgende Punkte d a s s e l b e y haben, während die Abscissen dieser drei Punkte, da die Elemente „ u n e n d l i c h " klein sind, nicht anders als durch: χ =

'2 bezeichnet werden können. —

Zur Vervollständigung bez. Verbesserung der Anschauungen, auf welche die soeben angestellte Betrachtung sich gründete, sind auf Tafel G, Fig. 2 zwei Curven II und III, derselben Art wie die Curven I, entworfen, und in dasselbe Coordinaten gezeichnet, von denen die Curve III d a s R e s u l t a t der Veränderung zeigt, wenn die Curve II so behandelt wird, wie es vorher an der Curve I beschrieben ist. Die Gleichungen der Curven sind II. y = 1,5 a:3— 1 5 , 7 5 x 2 + 4 5 x + 5 , daraus folgt: / ' ( * ) = 4,5 {x-2)(x-5). 9Q III. y = 2)3+44, daraus folgt: /