Algebraische Codierungstheorie: Theorie der sequentiellen Codierungen [Reprint 2021 ed.] 9783112546369, 9783112546352

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ROLF

LINDNER

ALGEBRAISCHE

LUDWIG

STAIGER

CODIERUNGSTHEORIE

Theorie der sequentiellen Codierungen

E L E K T R O N I S C H E S RECHNEN UND R E G E L N Herausgegeben

von

Prof. Dr. Hans Frühauf • Prof. Dr. Wilhelm Kämmerer Prof. Dr. Kurt Schröder • Prof Dr. Helmut Thiele Prof. Dr. Horst Yölz

Band 11

ALGEBRAISCHE

CODIERUNGSTHEORIE

Theorie der sequentiellen Codierungen von Prof. Dr. sc. nat. R O L F L I N D N E R und Dipl.-Math. L U D W I G

STAIGER

A K A D E M I E - V E R L A G • B E R L I N 19 7 7

ALGEBRAISCHE CODIERUNGSTHEORIE Theorie der sequentiellen Codierungen

Prof. Dr. sc. nat. R O L F L I N D N E R Dipl.-Math. L U D W I G S T A I G E R Jena

Mit 47 Abbildungen und 15 Tabellen

A K A D E M I E - V E

KLAG

19 7 7

•

B E R L I N

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Str. 3 —4 © Akademie-Verlag Berlin 1977 Lizenznummer: 202 • 100/402/77 Gesamtherstellung: V E B Druckerei „ T h o m a s Müntzer", 582 B a d Langensalza Bestellnummer: 7618676 (6126). LSV 1085 Printed in G D R D D R 48, - M

Unserem verehrten Lehrer Herrn Professor Dr. sc. nat. H. Thiele gewidmet

VORWORT

I n den J a h r e n seit 1967 hat m a n sich innerhalb der algebraischen Codierungstheorie der Untersuchung rekurrenter (convolutional) Codes besonders intensiv zugewandt (siehe auch [70]). Dabei wurde nahezu ausschließlich von Beschreibungen derartiger Codes durch Polynome Gebrauch gemacht, ein Weg, der sich durch entwicklungsbedingte enge Bindungen a n das Ideengut der Theorie der linearen Blockcodes erklären läßt. E s zeigt sich jedoch, d a ß m a n aus der Theorie der endlichen Automaten u n d regulären Mengen ebenfalls hinreichend gute u n d umfassende Beschreibungen von rekurrenten Codes ableiten kann. E i n solcher Ansatz erweist sich deshalb als vorteilhaft, weil er es gestattet, von Verhaltensweisen der Codierungen „im G r o ß e n " auf die Eigenschaften ,,im K l e i n e n " zu schließen. D a r ü b e r hinaus entsteht bei diesem Vorgehen eine Theorie, die eine einheitliche Darstellung aller am Codierungsprozeß wesentlich beteiligten Objekte liefert. Wir legen deshalb dem Leser mit dieser Monographie e i n mögliches K o n z e p t f ü r globale Codierungstheorien vor, wobei wir uns sinnvoll zunächst auf spezielle subrekursive Bereiche beschränken. D a m i t wenden wir uns a n den P r a k t i k e r u n d Spezialisten f ü r I n f o r m a t i k in der H o f f n u n g , durch sein Z u t u n das hier vorgelegte u n d allein aus t h e o r e t i s c h e n E r w ä g u n g e n e n t s t a n dene Material einer N u t z u n g u n d damit notwendigerweise v e r b u n d e n e n Weiterentwicklung z u f ü h r e n zu können, sowie a n den Mathematiker in Lehre u n d Forschung mit der Absicht, i h m eine relativ geschlossene Abhandlung über das Verhalten sequentieller A u t o m a t e n anzubieten, die durch vielfältige Querverbindungen zur Analysis, Algebra, Topologie usw. die Verankerung der A u t o m a t e n t h e o r i e innerhalb der M a t h e m a t i k u n d den N u t z e n f ü r die Codierungstheorie auf ihre Weise unterstreicht. E n t s p r e c h e n d diesem Vorhaben erörtern wir in allgemeinverständlichen Formulierungen die zentralen Aufgaben einer Theorie sequentieller Codierungen in den K a p i t e l n I u n d I I . E s schließt sich im K a p i t e l I I I eine zur Lösung geeignete Theorie an. Schließlich bieten wir im K a p i t e l I V Lösungsvarianten f ü r eingangs formulierte Aufgaben, deren wichtigste Teilschritte in einem A n h a n g f ü r denjenigen Leser, der die Theorie nicht ausführlich studieren möchte, übersichtlich zusammengestellt sind. Die vorliegenden R e s u l t a t e stützen sich auf U n t e r s u c h u n g e n globaler Eigenschaften kommafreier Codes, die auf Initiative von H e r r n Prof. Dr. H . T H I E L E im J a h r e 1966 in J e n a begonnen wurden. D a s generelle K o n z e p t einer Theorie

VIII

Vorwort

störresistenter sequentieller Codes ist in [33] publiziert worden u n d war Gegens t a n d der Forschung der Autoren in J e r e v a n (1970—1973) sowie in Moskau (1969-1971). E s ist den Autoren eine angenehme Pflicht, ihren verehrten Lehrern von Herzen D a n k zu sagen. D a r ü b e r hinaus sei unseren Kollegen u n d Freunden, insbesondere Prof. Dr. L. B U D A C H (Berlin), Doz. Dr. G. W E C H S U N G , Dr. K . W A G NER u n d Dipl.-Math. R . K L E T T E (Jena) f ü r viele anregende Diskussionen sowie teilweise oder vollständige Durchsicht der Manuskripte gedankt. Bei F r a u G. O I R L I C H u n d F r a u E . LÖTZ (Jena) bedanken wir uns f ü r die sorgfältige Ausf ü h r u n g der Schreibarbeiten u n d schließlich bei den Kollegen des AkademieVerlages Berlin u n d der Druckerei „ T h o m a s Müntzer", Bad Langensalza f ü r die vorzügliche Zusammenarbeit. J e n a , im März 1975 ROLF LINDNER

L U D W I G STAIGER

INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel I.

Einleitung

1

Einige Aufgaben der algebraischen Codierungstheorie — eine Analyse der klassischen algebraischen Codierungstheorie

7

1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. 1.1.6. 1.2.

Die Verhältnisse im Übertragungsensemble Die Bestimmungsstücke des Ensembles Die Quelle Der Coder und die von ihm realisierte Codierung Die Kanalstörung und die von ihr realisierte Abbildung Die Kanalentstörung u n d die von ihr realisierte Abbildung Der Decoder und die von ihm realisierte Abbildung Zusammenfassung Zu einigen Aufgaben einer algebraischen Codierungstheorie

7 7 7 9 10 13 14 14 15

2. 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.2. 2.2.1. 2.2.2.

Eine automatentheoretische Interpretation grundlegender Begriffe der klassischen algebraischen Codierungstheorie Lineare Blockcodes Quelle, Codierung, Code Kanalstörung Kanalentstörung Decodierung Längen variable Codierungen und Codes Codierung und Decodierung Störung und E n t s t ö r u n g

16 16 16 20 21 24 24 24 31

Kapitel I I .

Zum Gegenstand der Theorie sequentieller Codierungen

37

3.

Ein Beispiel f ü r sequentielle Codierung, Störung, E n t s t ö r u n g u n d Decodierung

37

Aufgaben einer Theorie der sequentiellen Codierungen

47

4.

Kapitel I I I . Grundlagen der Theorie sequentieller Codierungen

51

5.

Folgenräume u n d reguläre Polgenmengen

51

5.1.

Der R a u m [X

Ausgabe

/ä(ei> e2> H> H)

e2»

0 0 1

0 1 1

0 0 0

—

"

1

H> H)

—

1

obzwar gerade hier eine Präzisierung dessen, was Decodierung heißen soll, hinlänglich kompliziert sein dürfte. Schließlich sei bemerkt, daß man sich auch in mathematischen Theorien selbst häufig der Codierung bedient, um gewisse Sachverhalte in eine Sprache zu transformieren, in der eine exakte begriffliche Klärung möglich ist. So sagt man z. B . in der Algorithmentheorie, daß eine Menge M von Paaren natürlicher Zahlen, d . h . I c N x N , rekursiv aufzählbar heißt, wenn dies für die Menge G2{M) derjenigen natürlichen Zahlen zutrifft, die man vermöge der C A N T O B Numerierung (CANTOR-Codierung) C2{x, y) erhält [38].

=Df

(x + y) (x + y + 1)

Einleitung

3

b) Nicht selten machen sich Codierungen d a n n notwendig, wenn es gilt, von Trägern, die eine Fülle von z. T. unwesentlichen Teilinformationen tragen, überzugehen zu solchen Trägern, die nur noch wesentliche Teile dieser Informationen weitertragen. Derartige Codierungen treten in der Regel in den unmittelbaren Umgebungen von Signalquellen auf, weil f ü r Signalquellen wesentliche oder unwesentliche Informationen, a priori und losgelöst vom Charakter der Senke (des Empfängers) im allgemeinen gar nicht existieren können u n d daher mit gewissen, f ü r eine Senke wesentlichen Informationen auch zugleich eine Reihe von unwesentlichen Informationen auftreten werden. Dies wird bereits klar, wenn man z. B. die Informationsverdichtungen betrachtet, die beim maschinellen Lesen handgeschriebener Schriftzeichen und anschließenden Ausdrucken entsprechender normierter Druckzeichen auftreten. Die etwa f ü r einen Graphologen wesentlichen Informationen, die durch die Verschiedenheit der Schriftzeichen (siehe z. B. Abbildung 0.4.) getragen werden, gehen bei einer derartigen Verdichtung völlig verloren, weil f ü r die zugehörige Senke, d. h. in unserem Beispiel f ü r das nachgeordnete Schreibgerät, den Rechner etc., n u r ein Teil der durch diese Träger übermittelten Information wichtig ist, nämlich die Zugehörigkeit zu einer der Buchstabenklassen.

zusammenfällt, d. h. W = ker y = ip~1(0H~k)1). Bei einem Vergleich mit 1.1.2. bemerken wir, daß in der Theorie der linearen Blockcodes der Begriff des Codes unabhängig vom Begriff der Codierung und der Beschaffenheit der Quelle definiert wird. Es fragt sich, welche Rolle in diesem 1)

xk bezeichne das Wort xx ••• x der Länge k.

2. Automatentheoretische Interpretation

17

Zusammenhang überhaupt Quelle und Codierung spielen. Wenn wir, wie das im weiteren fast immer geschehen wird, Codierungen über Quellen vom Typus oo studieren wollen, so bietet sich die folgenden Spezialisierung der in 1.1.2. betrachteten Codierungen an. In Analogie zu Yn gehen wir zum unendlich-dimensionalen Vektorraum T"' über, indem wir für r¡, r¡' e Y"J und « f 7 setzen n +

n' =Df

(i?(i) + n'W)

••• iv(n)

+ » ? » ) •••

7 " , der im Zustand z0 des in Abbildung 2.1. gegebenen endlichen deterministischen asynchronen initialen Automaten 9t = [ X , Y, {z0, Zj},/, g, z0] berechnet wird, d. h. für den gilt = g(z0, f ( l ) ) • g(f(z0, f ( l ) ) • |(2)) ... Der Automat 9t ist also, wie ein Vergleich mit 1.1.2. ergibt, ein spezieller Coder mit endlichem Speicher, d. h., i> ist ein sequentieller Operator mit endlichem Gewicht.

*2ntPn

Abb. 2.1. Beispiel eines sequentiellen Coders

18

I . Aufgaben der algebraischen Codierungstheorie

Man überzeugt sich n u n leicht davon, daß die durch den McNAUGHTON-Term (r]{n + 1)

(^(2n)) -

Dann ist sofort klar, daß W ein sequentieller Operator mit endlichem Gewicht ist, denn W wird z. B. von dem folgenden abstrakten Automaten berechnet: 21 = [Y, Y,Z,f,g,z0];

{

Z=Df{jY>-

:zy, falls l(z) < n — 1 e, falls l(z) = n-V

'

g{z y)

Mm,

falls l(z) < n - 1 falls l(z) = n — 1 .

(Siehe auch Abbildung 2.3.) Die Konstruktion von ¥ weist auch aus, daß es sich bei XP wiederum um einen Spezialfall eines sequentiellen quasisynchronen Operators mit endlichem Gewicht / , y-, ••• y )) = M handelt, da wir die Beziehung l(g{z — • k haben. 1 ) 0 m ' n Schließlich folgt die Linearität von W unmittelbar aus der Linearität von yi: + r f ) = v((i?(l) + ij'(l)) +

+ 1))

(ij(n) + rj'{n))) • y({r)(n + 1) + fo(2»)

+ V'(2»))) • -

= iwivi ) V( )) + f i r f i ) - • V(2n)) + y(rj'{n + 1) 1

n

1

»?'(«))) • {f(v( n + !) • — J?'(2»))) • -

= W(V) + W{r,')

Abb. 2.3. Beispiel eines linearen Automaten ]

) [a] bezeichne für eine reelle Zahl a die größte ganze, a nicht überschreitende Zahl.

20

I. Aufgaben der algebraischen Codierungstheorie

W{oi • t]) = ip((cK • ??(1))

(« • rj{n))) • ••• = (a • y>(rj(l)

^(n))) ' "" =

= a • W{rj) . Derartige Operatoren, die sowohl sequentiell (mit endlichem Gewicht) als auch linear sind, wollen wir fortan lineare sequentielle Operatoren (mit endlichem Gewicht) nennen. Zusammenfassend ergibt sich damit unter dem Gesichtspunkt von 1.1.1. und 1.1.2. für lineare Codes die folgende Übersicht (siehe Abbildung 2.4.):

Abb. 2.4. Prinzip der Codierung mittels linearer Codes

Bei Verwendung linearer Blockcodes werden Quellen vom Typus co, Codierungen und Codes derart spezialisiert, daß B 1 = I " , = Ii 2 = ker W und R 1 , E 2 reguläre Mengen sind, wobei 0 eine kombinatorische Codierung (d. h. ein sequentieller Operator mit dem Gewicht 1) und W ein linearer sequentieller Operator mit endlichem Gewicht ist, der quasisynchron berechnet werden kann. Es wird im Kapitel I I zu überprüfen sein, auf welche der beschriebenen Eigenschaften man zum Zwecke einer Verallgemeinerung verzichten sollte und welche Eigenschaften sich sogar als Folgerungen ergeben. So ist z. B. zu überprüfen, ob die für W konstatierte Quasisynchronität zu fordern ist oder ob sie eine allgemeine Eigenschaft linearer sequentieller Operatoren ist. 2.1.2. Kanalstörung In der Theorie der linearen Codes sagt man, daß ein linearer Code W Yn n durch eine Menge T (T ci Y ) gestört heißt, wenn man für jedes p aus W nach der Übertragung über den Kanal damit rechnen muß, daß anstelle von p ein Element aus der komplexen Summe p + T auftritt. Eine Störung durch ein Element s 6 T bewirkt also eine Abänderung von pzup + s, wobei jedes Element s e i 1 gleichberechtigt auftreten kann. Wir verwenden im weiteren die in 2.1.1. herausgearbeiteten Besonderheiten von Quellen des Typus co, Codierungen und Codes bei automatentheoretischer Interpretation der entsprechenden Grundbegriffe der linearen Blockcodes. Dann läßt sich der eben geschilderte Störeinfluß unter Zuhilfenahme von Bezeichnungen aus 1.1.3. wie folgt beschreiben:

2. Automatentheoretische Interpretation

21

Die in 1.1.3. betrachtete Maschine (der Kanal) vereinfacht sich dergestalt, daß durch sie eine Abbildung E realisiert wird, für die E(rj, er) = r\ + a (rj € Ww) gilt, wobei a aus einer Störmenge S mit S = Tm genommen wird. Die Störmenge S ist, wie man sofort sieht, regulär. Ein Vergleich mit unserem allgemeinen Ansatz in 1.1.3. zeigt, daß der hier betrachtete Kanal E bezüglich rj und a ohne „Gedächtnis" arbeitet: Ob das Element 7]{n) der Folge r\ durch den Kanal abgeändert wird, hängt ausschließlich vom Element a(n) der Störfolge ab. Ist a(n) = 1, so wird rj{n) abgeändert, im anderen Falle nicht. Auch die reguläre Störmenge S weist eine Besonderheit auf. Wegen S = Tw kann nämlich auf jedes p, p e T, jedes beliebige Element aus T folgen. Wir registrieren, daß die hier gewählte Störung Es{rj) =Df'>l + $ e i n e der denkbar einfachsten Varianten von 1.1.3. ist. Als ^-gestörtes Bild R3 des Codes E2 = Wa erhalten wir Ii3 = W"' + S. 2.1.3. Kanalentstörung Im weiteren bezeichne e(p) für p 6 Y* = i0, 1 } * die Anzahl der Stellen des i Wortes p, die mit dem Buchstaben 1 besetzt sind, d. h. s(y1 ••• yt) = 2J Vi- Aus i=1 dem linearen Vektorraum Yn wählen wir nun die Menge aller und nur der Wörter p aus, für die e{p) r gilt, wo r eine feste natürliche Zahl ist, d. h., wir bilden Tr =Bf {p:p 6 Y" A E(p) 5S r). Bekanntlich beweist man in der „klassischen" Codierungstheorie: S a t z 2.3. Ein Code W c | Y" ist genau dann gegenüber einer Störung Tr gemäß 2.1.2. resistent, wenn (Tr + Tr) n W = {0 n } gilt. B e w e i s . Es genügt zu zeigen, daß dann und nur dann zu jedem Element N aus der Menge YnjW der Nebenklassen von Yn nach dem Unterraum W höchstens ein s mit s 6 Tr derart existiert, daß W + s = N, wenn ( T r + Tr) n W = = {0"} gilt. Es sei also W- + s1 = W + s2 für s2 6 Tr, und es gelte {Tr + Tr) n n W = { 0 " } . Aus der ersten Voraussetzung folgt dann + s2 e W und aus der zweiten «j + s2 = 0", d. h. = s2. Gilt umgekehrt, daß für jedes s 2 6 Tr aus W = W + s2 auch Sj = s2 folgt, so beachtet man, daß nach Definition der Nebenklassen aus Yn/W mit W + st 4= W + s2 zugleich + «2 ® W g i ^ und hat damit sofort (Tr + Tr) n W = { 0 n } . Ist nun W Kern einer linearen Abbildung yj: Yn ->• Yn~k, also Yn/W = = {yi^iq)' Yn~k), so existiert dann und nur dann eine Funktion A: Yn~k Tr derart, daß für jedes p, p e W, und jedes s, s € T,, die Beziehung X (ip(p + s)) = s gilt, wenn es für jede Nebenklasse N aus YnjW höchstens ein s, s € Tr, mit W + s = N gibt. D. h., in diesem und nur in diesem Falle existiert eine Entstörung der Form (p + s) + X(ip(p + s))=j) + s + s = ^J-l1) W i r merken an, daß man mit Hilfe der minimalen

=Df

HAMMiNG-ZKsianz Hw

=nf

min s(p p) eines linearen Blockcodes W ein notwendiges und hinreip*p' p,p'eW chendes Kriterium für die ^-Resistenz von W formulieren kann (siehe [23]). J

3

) Mit dem Zeichen | kennzeichnen wir fortan das Ende von Beweisen. Codierung

I. Aufgaben der algebraischen Codierungstheorie

22 S a t z 2.4.

Der

Code

W

Y

n

ist

genau

dann

Tr-resistent,

wenn

H

^ 2r + 1-

w

In Fortsetzung von 2.1.2. beschreiben wir nun wieder die vorgenannten Eigenschaften mit automatentheoretischen Mitteln, wobei wir uns an die Vorstellungen von 1.1.4. halten werden. Es seien also Bs = W", W c | Y n , S = ( T T ) a , Z(rj, a) = r/ + er. Dann beweist man streng analog zum Beweis von Satz 2.3. die folgende Aussage. S a t z 2.5. Der + S ) n W Ym, indem wir mit Hilfe

B e w e i s . Wir definieren einen Operator A': von X (siehe Beweis von Satz 2.3.) setzen A'{rj) =

Z , so

Gewicht.

• % „ - * + ! ••• Vnn-k))

• •••

Man sieht unmittelbar ein, daß A' ein sequentieller Operator mit endlichem Gewicht ist. Wir behaupten nun zunächst, daß der Operator A{r]) =Di = D f r ] + A'{W(rj)) eine IS-Entstörung für W m bezüglich Z ist. In der Tat gilt für jedes rj 6 W'" und für jedes a e S: A

M

=

A ( Z ( r ] , a))

=

(

v

+

a)

+

A'(W(V

+

o))

=

r) +

o +

o =

r).

D . h., für jedes a 6 S ist Aa auf Wm die Identität. Da A nur durch Komposition von sequentiellen Operatoren mit endlichem Gewicht entsteht, kann man leicht darauf schließen, daß A selbst ein sequentieller Operator mit endlichem Gewicht ist. Diese, hier noch nicht bewiesene Verallgemeinerung eines Satzes von G l e b s k i [19] umgehen wir vorerst, indem wir uns davon überzeugen, daß der folgende endliche abstrakte Automat den Operator A berechnet. % = [ Y , Y , Z , f , g , z

{

0

] ;

Z =

D f

n

{ j Y > - ,

z

0

=

e

D f

r=l

zy, falls l(z) < n — 1 ,

e, falls l ( z2.5.). ) = n (siehe auch Abbildung |

1,

[ g{Z

'

y )

=

D f

\ z y

e,

falls l(z) < n — 1

+ % ( z ? / ) ) , falls

l(z) =

n -

1,

B e i s p i e l 2.7. Wir verwenden den (7,4)-HAMMiNG-Code W aus Beispiel 2.2. Man prüft leicht nach, daß Hw = 3 gilt, d. h., II' ist ^-resistent. Daher ist Wm /S-resistent bezüglich 2, wobei 8 = {s4: 0 ^ i < l}m, s0 = 07, st = O»"1 1 0»-» (1 ^ i ^ 7). Betrachten wir n

Vi

Vn a ' s dyadische Zahl, d. h., setzen wir [y1 ••• j/m]2 = Z i/o '

Konstruktion der linearen Abbildung

y>

aus Beispiel

v= i 2.2. [ i f ( j j

so gilt auf Grund der

+ «t)]2 =

i.

Damit verein-

2. Automatentheoretische Interpretation

23

Abb. 2.5. Beispiel eines sequentiellen Filters facht sich die Ausgabefunktion für den Automaten 21, der A berechnet (siehe Abbildung 2.5.), zu f e, falls l(z) < n - 1 9{Z V) = D f

'

W + «Mi»)]. -

falls

l z

( )= » - 1 •

Wir fassen die B e t r a c h t u n g e n von 2.1.2. u n d 2.1.3. zusammen. E s ergibt sich der in Abbildung 2.6. dargestellte Sachverhalt. Die im Falle der Verwendung linearer Blockcodes entstehenden Spezialisierungen von 1.1.3. u n d 1.1.4. werden noch einmal deutlich: Die Mengen R z und 8 u n d d a m i t auch die Mengen R z , u n d -ß4 =1)l1J(]it) sind spezielle reguläre Teilmengen von Y"J. Der Operator X ist ein kombinatorischer Operator; A ist ein quasisynchroner sequentieller Operator m i t endlichem Gewicht, der durch den linearen sequentiellen Operator ¥ u n d d u r c h den quasisynchronen sequentiellen Operator A' definiert ist. Wie im Zusammenhang mit 2.1. werden wir uns auch hier d a m i t zu beschäftigen haben, welche Verallgemeinerungen im R a h m e n dieses Modelles möglich sind. So f r a g t es sich z. B., welche regulären Störmengen, deren Bauweise von der F o r m S = Tm

Abb. 2.6. Allgemeines Konzept der Codierung und Filterung mittels linearer sequentieller Codes 3*

24

I. Aufgaben der algebraischen Codierungstheorie

a b w e i c h t , bei V e r w e n d u n g beliebiger linearer sequentieller O p e r a t o r e n W m i t endlichem Gewicht möglich sind u n d ob u n t e r diesen B e d i n g u n g e n eine sequentielle E n t s t ö r u n g m i t endlichem Gewicht existieren k a n n . 2.1.4. Decodierung D a die in 2.1.1. d i s k u t i e r t e sequentielle Codierung 0: Xm -» Wm die spezielle F o r m 0(£) = • Y* erzeugt ist, gegenüber der einfachen Störungsvariante E{rj, er) — D f rj + er untersuchen. Hat man nämlich nur die Theorie der störresistenten linearen Blockcodes zur Verfügung, so gibt es im wesentlichen lediglich eine Methode, die Störresistenz von R2 = &(Xm) zu analysieren: Man hat ein geeignetes (ggf. störresistentes) W, W c. \ Yn, so zu wählen, daß R2 er Wm gilt. Es entsteht zunächst der Eindruck, als sei damit in der Tat das Problem der störresistenten Einbettung gelöst, und man habe lediglich ein geeignetes W zu finden. Obwohl die Sätze 2.19. und 2.21. diesen Eindruck noch verstärken, indem sie konstruktive Methoden für die Einbettung R2 ^ Wm anbieten, wird uns spätestens im Anschluß an diese Sätze das Dilemma, in das wir im allgemeinen durch derartige Einbettungen geraten, deutlich werden. S a t z 2.19. Es gibt ein algorithmisches Verfahren, mit dem für jede durch eine Abbildung Y* erzeugte kombinatorische Codierung 0: X"' - Y"' und für jedes W und jedes n mit W Y" entscheidbar ist, ob 0(X"') c: W0J gilt. Beweis

Yn gegeben. n—1 Für ( J E U Yl und xe X sei R{x, Q) =Bf {r\r z Y* A Ym und W mit W

32

I. Aufgaben der algebraischen Codierungstheorie

Knoten mit Elementen der Potenzmenge ! ) 3 F * und dessen Kanten mit Buchstaben aus X belegt sind. Der Anfangsknoten sei mit Re =DJ {e} belegt. Ist nun der Knoten Kp (p e X*) bereits mit der Menge Rp belegt, so verbinden wir die Knoten Kp und Kpx mit der durch x 6 X belegten Kante von Kp nach Kpx und belegen Kpx mit Rpx =Df R(x, Rp). Falls ein bis zu diesem Schritt konstruierter Knoten Kr bereits derart existiert, daß Rpx = Rr gilt, so identifizieren wir Kpx mit Kr. Die Konstruktion von © bricht nach endlich vielen Schritten ab, da es wegen c

U Yl nur endlich viele Knoten gibt. E s gilt nun nach Konstruktion genau i=i dann Y* und zu jedem n, n e N, kann der minimale Raum W c:| Yn, für den &(Xm) ci Wm gilt, effektiv konstruiert werden. (Dabei sei $>(£) = ?{£(!)) • 9>(|(2)) ...) B e w e i s . E s sei J~ ein McNAUGHTON-Term, der die Menge (q9{X))0' beschreibt. Ferner sei K die Anzahl der Stellen, die in ,T mit Buchstaben aus Y besetzt sind. Durch die Abbildung t ordnen wir jedem k (1 k K) eindeutig denjenigen Buchstaben i(k) e Y, der in cT von links gezählt an der A;-ten mit Buchstaben aus Y besetzten Stelle steht, zu. E s ist gut bekannt, daß man auf diese Weise (siehe etwa [21]) alle möglichen Buchstabensequenzen aus (fp(Xjs)m beschreiben kann. Dazu führen wir in der Potenzmenge ... , K } ) Relationen

2. Automatentheoretische Interpretation

33

< 0 , < x ein, indem wir f ü r Mengen A, B (A, B e iß({ 1, ... , TT})) vereinbaren, d a ß A analysieren. Wir bilden auf die Folge 11Ö ab. Da wir die Beziehungen 1000 • U ci U und 1100 • U cz U haben, können wir das Bild von e2 gleich 10 wählen, zusammen mit der angestrebten Linearität unseres gesuchten Operators !f würde dann nämlich xP(e1 + £2) = ^(llÖ) = 01Ö gelten. Schließlich können wir aus gleichen Gründen wie soeben die folgenden Festlegungen treffen: : Y1 -> Y1, indem wir für jedes Wort q e Y7 die (eindeutig bestimmte) Basisl /

1

3. Sequentielle Codierung, Störung, E n t s t ö r u n g und Decodierung

41

darstellung der F o r m • e 4 ; f ü r qö wählen und gleich dem Anfangswort der L ä n g e 7 der F o l g e ( 2 a i ' E i ) setzen. Die so konstruierte F u n k t i o n ist in Abbildung 3.3 graphisch dargestellt. Die Linearität der Funktion liegt nach Konstruktion auf der H a n d . Es bleibt n u n zu untersuchen, ob wir den Graphen von Abbildung 3.3 so fortsetzen können', daß durch die Fortsetzung ein linearer sequentieller Operator mit endlichem Gewicht fixiert ist. I n der T a t ist dies möglich, denn vergleicht m a n die in Abbildung 3.3. a u f t r e t e n d e n Teilbäume, so stellt man fest, daß es vier paarweise verschiedene gibt, deren Anfangsknoten mit Eingabewörtern einer Länge, die 2 nicht übersteigt, erreichbar sind. Demzufolge ist nach einem bekannten Satz von T K A C H T E N B R O T ([28]) über die Fortsetzbarkeit partieller sequentieller Funktionen der hier gegebene Graph eindeutig zum Graphen eines sequentiellen Operators mit dem Gewicht 4 fortsetzbar. Der in Abbildung 3.4 dargestellte Graph des abstrakten endlichen A u t o m a t e n 21 ist lediglich der „ A b s c h l u ß " des Graphen aus Abbil-

Abb. 3.3. Linearer sequentieller Operator gemäß Beispiel 3.4.

Abb. 3.4. Abstrakter A u t o m a t zur Berechnung von W aus Abbildung 3.3.

42

I I . Gegenstand der Theorie sequentieller Codierungen

dung 3.3. Der Automat 9t berechnet im Zustand z0 unseren linearen sequentiellen Operator Wir lesen unschwer ab, daß für den Kern von V die folgenden Gleichungen gelten: ker W = 00 • ker W u 11 • L'

L' = 10 • ker W u 01 • L' . Also haben wir: ker

wird durch den Term 3C = [00 v 11 10] v 11 [01 v 10 11]

beschrieben. In der Tat ist (S + S) n ker W = { 0 } . E s ergibt sich nun die F r a g e , ob wir die durch den T e r m S-^ = [a v ba v bca\ beschriebene Menge Rl mittels eines sequentiellen Operators mit endlichem Gewicht eineindeutig in die Menge ker W abbilden können. Auch hier verfügen wir noch nicht über Informationen, unter welchen Bedingungen eine derartige Abbildung überhaupt existiert und wie man sie im Falle ihrer E x i s t e n z gegebenenfalls durch algorithmische Verfahren bestimmen kann. W i r behelfen uns in unserem Beispiel lediglich wieder mit einer LösungsVariante, die zunächst keinen Anspruch auf Allgemeingültigkeit hat. B e i s p i e l 3.5. Die Konstruktion einer geeigneten, auf R1 eineindeutigen sequentiellen Codierung 0 mit endlichem Gewicht, für die 0(JRc: ker W gilt, beginnen wir mit einer Hilfscodierung von in einer geeigneten Menge X'"'. Wir setzen vorübergehend X' = i>f = Df {u, v, w) und f 3>" o , z'l y) =Djgii?', g(z, y)) .

folgt:

I n Abbildung 3.8 ist der aus dem Anfangszustand [z 0 , z j ] erreichbare T e i l a u t o m a t des Automaten 6 graphisch dargestellt. Die vollständige Berechnung des Operators A erfordert es nun noch, die sequentielle Addition x F~ 1 ^F(r)')) - f rf zu berechnen. D a der A u t o m a t von Abbildung 3.8 auf m a n c h e E i n g a b e n verzögernd reagiert, indem er das leere W o r t ausgibt, müssen notwendig auch so lange die entsprechenden E i n g a b e b u c h s t a b e n von r/ gespeichert bleiben. Dies bewirkt, daß sich die Zustandszahl des A u t o m a t e n , der A berechnet, gegenüber der des A u t o m a t e n von Abbildung 3.8 noch weiter vergrößert. W i r geben die Überführungs- und Ergebnisfunktion des A u t o m a t e n , der A berechnet, vollständig in Tabelle 3.9 wieder.

Als Zustandsmenge dieses A u t o m a t e n ® = [Y, Y, Z"',fs , g3 , z0 '] wurde eine Teilmenge von Z" x Y* benutzt. Die K o n s t r u k t i o n des A u t o m a t e n ist sehr einfach zu verstehen, wenn m a n berücksichtigt, daß die dritte K o m p o n e n t e q eines Zu standes [z, z', q\ lediglich denjenigen letzten Teil einer Eingabefolge speichert, der noch nicht zu der Ausgabefolge addiert werden konnte, weil während dieser E i n g a b e das leere W o r t erschien. D e r mit T a belle 3.9. beschriebene endliche a b s t r a k t e A u t o m a t berechnet unseren Operator A im Anfangszustand [z 0 , z'0 , e].

Nach der Entstörung durch A haben wir nun noch für die Decodierung 0 zu sorgen. B e i s p i e l 3.7. W i r wissen bereits, daß (siehe Beispiel 3.5.) auf R 1 eineindeutig ist. B e t r a c h t e n wir daher die Einschränkung

auf Rv so ist es uns leicht möglich, unter Verwendung von Abbildung 3.6 einen A u t o m a t e n zu konstruieren, der einen Operator berechnet, welcher Fortsetzung von & ' 1 ist. Wir haben in Abbildung 3.10. den „wesentl i c h e n " Teil eines solchen Automaten, d. h. einen partiellen Automaten, der im Zustand

V

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-©« ti© "tT M M • ti ] auf einfache Weise mit Hilfe von Wörtern p, p € X*, beschreiben lassen. Da nun die Vollkugeln in einem metrischen R ä u m e eine Basis der Topologie bilden, folgt unmittelbar

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III. Grundlagen der Theorie sequentieller Codierungen

L e m m a 5.11. Eine Teilmenge F von X"' ist genau dann offen, wenn sie sich in der Form F = W • X"' mit geeignetem W, W er X*, darstellen läßt. Ist überdies W eine endliche Menge, so ist F auch abgeschlossen. Zum B e w e i s des Lemmas ist nur noch zu bemerken, daß die zweite Behauptung unmittelbar aus Folgerung 5.6. folgt. | Auf Grund der komplementären Beziehungen zwischen Wortmengen der Typen W • X* und A(JF) ist nun anzunehmen, daß sich die abgeschlossenen Teilmengen von Xm mit Hilfe des Anfangswortoperators A beschreiben lassen. Wir führen zu diesem Zwecke einen Operator von in ^ßX0J ein, der in gewissem Sinne eine Umkehrung des Operators A darstellt. D e f i n i t i o n 5.12. Für Wortmengen W, W er X*, setzen wir Is W =DJ

{£: J e l - A A(|) c A(!F)} .

ELGOT ([11]) gab einen ähnlichen Operator an (lim W =Df {£: A(F) er W}), der jedoch, wie wir später im Abschnitt 6 sehen werden, für unsere Zwecke nicht geeignet ist. Folgende Eigenschaften des Operators Is sind leicht aus den Eigenschaften des Anfangswortoperators A ableitbar. F o l g e r u n g 5.13. (1) Wenn W1 c W2, so ist Is U\ (2) Is W = Is A{W); (3) A(Tf) 3 A (Is W).

Is W2;

Ist F Teilmenge von Xm, so gilt (4) F c

Is A{F).

F o l g e r u n g 5.14. (1) Es gilt genau dann Is W = 0, wenn W endlich ist. (2) Ist ¿je Is W, so gibt es eine Teilmenge

V von W derart, daß Is V = { ! } gilt.

B e w e i s . (1) folgt leicht aus Lemma 5.8. Zum Beweis von (2) geben wir eine Menge V an. Zu jedem p, p • I, wählen wir bzgl. ein minimales p , p' e W, aus, für welches p c p gelte. Wir setzen dann V gleich der Menge aller dieser p . Offensichtlich gilt { f } Is V. | L e m m a 5.15. (1) Is [W1 u W2) = Is u Is W2; (2) is is Wü t

n A(w ) = n

(3) Is (A(Tfj) \ W2'- X*) = Is

\ W2 • X».

Beweis. (1) Die Inklusion , , 2 " leitet sich unmittelbar aus Folgerung 5.13. (1) ab.

5. Folgenräume und reguläre Folgenmengen

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E s sei n u n ¿ e i s u W2). W e g e n F o l g e r u n g 5.14. (2) g i b t es ein V, V cz c J f j u W2, d e r a r t , d a ß {£} = Is V gilt. Somit ist n a c h F o l g e r u n g 5.14. (1) wenigstens eine der beiden Mengen V n oder V n W2 u n e n d l i c h . D a m i t ist d a n n | 6 Is W1 oder | e Is W2. (2) Wegen F o l g e r u n g 5.13. (1) u n d (2) g e n ü g t es, die I n k l u s i o n , , 3 " zu zeigen. E s sei | 6 f] Is Wi. M i t h i n gilt f ü r alle »6 / die Beziehung ¿ e i s Wi, was m i t itl A(|) c k{Wi) gleichbedeutend ist. E s ist d a h e r a u c h A(|) c f \ A(W i ) u n d s o m i t icI £ 6 Is n A(TFi). itl (3) E s ist g e n a u d a n n £ e Is (A(TF1) \ W2 • X*), w e n n A ( S ) c A ( A ( W i ) \ \ W2 • X*). W e g e n A(Tfj) \ W2 • X* = A(tF x ) n (X* \ W2 • X * ) gilt m i t d e n F o l g e r u n g e n 5.7. (4) u n d 5.10. (1) A(A(TT1) \ W2 • X*) = A(W 1 ) \ W2 • X*. Som i t ist A ( | ) c A(A(JF^X W2 • X*) ä q u i v a l e n t zu A(|) £ A(W 1 ) u n d A ( | ) n n W2 • X* = 0. D a s ist a b e r gleichbedeutend m i t | e Is W± u n d | S Tf 2 • X

( X * \ A(W)) • X1" ,

also zufolge L e m m a 5.11. als K o m p l e m e n t einer offenen Menge abgeschlossen. I s t F n u n abgeschlossen, so ist Xm \ F offen, d. h., es g i b t ein W, W £ X * , so d a ß Xm \ F = W • Xm u n d somit F = Xm \ W • Xm. D a m i t ist A{F) = = A(Xm \ W • Xm) u n d n a c h F o l g e r u n g 5.10. (2) A(F) c X* \ W • X * . Mit L e m m a 5 . 1 5 . ( 3 ) u n d F o l g e r u n g 5.13.(4) h a b e n wir d a n n Is A(F) = Xa\W • Xm = = F. | W i r k o n n t e n u n s überdies d a v o n überzeugen, d a ß f ü r abgeschlossene Mengen F, F £ Xm, die Beziehung F Is A(F) gilt. I s t n u n (£„ der topologische Hüllenoperator in [ X m , o), der j e d e r Teilmenge F v o n X"J ihre abgeschlossene Hülle (ie{F) z u o r d n e t , so k ö n n e n wir n o c h die folgende Beziehung ableiten. K o r o l l a r 5.17. Es ist (&g = Is ° A. B e w e i s . E s sei f e i " , D a n n ist Is A(F') eine F e n t h a l t e n d e abgeschlossene Menge. I s t n u n F' eine F e n t h a l t e n d e abgeschlossene Teilmenge von Xm, so gilt wegen der Monotonie von A u n d Is bezüglich „ c = " a u c h Is A{F) cz Is A(F'). D a F' abgeschlossen ist, h a b e n wir Is A ( F ' ) = F'. Somit ist Is A(i^) die kleinste F e n t h a l t e n d e abgeschlossene Menge. |

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III. Grundlagen der Theorie sequentieller Codierungen

Um die Menge aller gleichzeitig offenen und abgeschlossenen Teilmengen von Xm charakterisieren zu können, ziehen wir die Menge Min W = d; iP: V e W A A Vp' ( p ' 6 W—>. F o l g e r u n g 5.19. Ist W c X * , so gilt Is (Min W) n W • X