Zur Mechanik des Luftreifens [Reprint 2019 ed.] 9783486775563, 9783486775556

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Zur Mechanik des Luftreifens. Von B v S c h l i p p e und R

Dietrich

Junkers Flugzeug- und Motorenwerke

Zur Mechanik eines Luftreifens gehören die verschiedenartigen Erscheinungen eines rollenden bereiften Rades, z. B die elastischen Verformungen die Abplattung, Rutschcrschei nungen, der Walkvorgang usw. II a« in vorliegender Arbeit zur Sprache kommt, ist lediglich der Teil der Mechanik, der sich mit den seitlichen Verformungen des Pneus eines rollenden Rades, d. h beim Schieben und Flattern befaßt Das Studium der dabei auftretenden kinematischen Beziehungen wie auch der auftretenden Kräfte und Momente ist als Vorkenntnis für die Flatterprobleme eines Luftreifens erforderlich und stellt im wesentlichen den Gegenstand vorliegender Arbeit dar Gliederung.

I II III

Einleitung. Bezeichnungen Seitliche Auslenkung des Pneuä. a) Vorbetrachtungen b) B a h n des vorderen Berührungspunktes B c) B a h n der nachfolgenden Berührungspunkte ( L a t s c h kurve). d) Abklingkurven der Außengebiete (der nicht berührenden Punkte). e) Ableitung der Grundgleichung aus der Sptirfolge f) Anwendung auf einfache Bewegungsfälle I V Verformung des Pneus in Unifangsrichtung. a) Vorbetrachtung. b) Das Einradproblem mit u + s, 1 Verschiebung des vorderen Berührungspunktes. 2 Verschiebung der übrigen L a t s c h p u n k t e 3. Abklingrunktion der Randgebiete c) Zwei s t a r r miteinander verbundenen Räder d) Anwendung auf einfache Bewegungsfälle V Elastische Kräfte. a) Einteilung der K r ä f t e . b) Elastische K r a f t P infolge seitlicher Auslenkung c) Elastische K r a f t Q infolge Verformung >. in Umfangsrichtung. d) Elastisches Moment M^ infolge seitlicher Auslenkung f e) Elastisches Moment Mm infolge seitlicher Auslenkung und der ihr folgenden Längsverformung. f) Elastisches Moment M< infolge Verformung l in U m fangsriclitung. g) Vereinfachung der Gleichungen (70) und (78) durch Annahme einer geraden L a t s c h k u r v e h) Anwendung auf einfache Bewegungsfälle, V I . Einiges über das Rutschen und dessen Auswirkungen. V I I Bestimmung der W e r t e h, c, h, a, a. y_ und x a) Die zur Verfügung stehenden Versuche und die dafür angepaßten Gleichungen, b) Ähnlichkeitsbetrachtungen, c) Versuchseinrichtung. d) Durchführung der Versuche e) Versuchsergebnisse bei V = 180 kg und p — 2,5 atü. V I I I . Zusammenfassung I X Schrifttum,

I.

Einleitung.

Bekanntlich besitzt ein luftbereiftes R a d die Eigenschaft, ohne Reibung der sich berührenden Flächen (Latsch mit Rollbahn) sich quer zur Bewegungsrichtung des R a d mittelpunktes zu bewegen (zu schieben) und sich aus der Bahn herauszudrehen, d. h Kurven zu fahren. L^rsache hierfür ist die Nachgiebigkeit des Pneus. B e i diesem Vorgang sind zwei getrennte Fragen zu unterscheiden

A G.

Dessau

das kinematische Verhalten, d. h, wie sich der Pneu verformt und welchen Weg der Latsch einschlägt (Abschnitt I I I und IV) und 2. welche Rückstellkräfte dabei auftreten (Abschnitt V). 1

II. A B

Bezeichnungen.

allgemeine Integrationskonstante, vorderer Berührungspunkt des Latsches und Pneubreite (Bild 28),

1 ' [cm] c

Pneukonstante

K = \ [cm]

Pneukonstante

C = D E F G H

M

[emkg]

M

[emkg]

Mm M,

;cmkg] emkg] [emkg] [kg] [kg]

N P

a 1b

[kg] ;cm] cm] >ec] [kg/cm] [kg] [emkg] ;cm] cm] [cm]

2h 2h

[cm [cm] [cm]

Q R S T Ut U3

z

k Ü m

p q

0-1. (6).

Schwenkachse. [kg/cm 2 ] Elastizitätsmodul, Gl. (88). dem B entsprechender Felgenpunkt. [kg/cm 2 ] Gleitmodul. hinterer Latschpunkt.

[ y 1

cm [cm] [cm] [atü] [cm]

Gl, (106),

gesamtes Moment der elastischen Kräfte auf die Felge wirkend. Moment aus Verschiebung f , Gl. (78) und (97). Moment aus Verschiebung ¡i, Gl. (91). = M + Mm, Gl. (100). Moment aus Verschiebung l. Radbelastung (Normaldruck) (Bild 31). elastische Kraft aus C im Mittelpunkt angreifend, Gl. (70) und (96). elastische Kraft aus k, Gl. (72). Krümmungsradius einer Bahnkurve. Wellenlänge einer Sinusschwingung. Zeit als beliebige Integralgrenze. Abkürzung, Gl. (98). Abkürzung, Gl. (101), Abkürzung, Gl. (104). Abkürzung, Gl. (79). Kantenlänge des Ersatzprofils (Bild 28). Abstand der gedachten Pneuspuren. Pneukonstante, Gl. (1) Latschlänge (Bild 3 und 19), Länge der äußeren Latschbegrenzung. Pneukonstante, Gl. (55). Verschiebung in Umfangsrichtung des vorderen bzw hinteren Latschpunktes, Gl. (55) bzw (57). Verschiebung in Lmfangsrichtung, Gl. (81). Pneudruck Schwenkarm (Bild 16),

2 R a d h a l b m e s s e r (Bild 31). W e g k o o r d i n a t e (Abszisse des R a d m i t t e l p u n k t e s (Bild 3). [cm] W e g k o o r d i n a t e (definiert durch Gl. (52)).f [sec] Zeit.' [cm] u U m f a n g s w e g des R a d e s , definiert d u r c h Gl. (51). [cm/sec] Rollgeschwindigkeit. V V [cm/sec] Bahngeschwindigkeit, Gl. (52). X O r d i n a t e des R a d m i t t e l p u n k t e s . [cm] y O r d i n a t e des vorderen L a t s c h p u n k t e s B. [cm] O r d i n a t e des hinteren L a t s c h p u n k t e s H. [cm] y Auslenkung des P u n k t e s B aus der R a d z [cm] ebene. [cm] Auslenkung des P u n k t e s H aus der R a d ebene. 2 n [J_ W e g f r e q u e n z Gl. (48). S [cm Auslenkwinkel (Bild 28). [cm] mittlere W a n d s t ä r k e des P n e u s (Bild 28). Phasenverschiebung, Gl. (47). [cm] seitliche Auslenkung der P n e u p u n k t e aus der R a d e b e n e (Bild 6). [cm] bodenfeste O r d i n a t e der P n e u p u n k t e (Bild 6). Verschiebungswinkel, Gl. (93). P r o p o r t i o n a l i t ä t s f a k t o r , Gl. (133—135). «g) /Cg A Verschiebung der P n e u p u n k t e in U m f a n g s [cm] r i c h t u n g infolge l, Gl. (56, 58, 59). Verschiebung der P n e u p u n k t e in U m f a n g s [cm] r i c h t u n g infolge z (Bild 28) u n d Reibungskoeffizient. [cm] U m f a n g s k o o r d i n a t e , bezogen auf den vorderen P u n k t B (Bild 5). K o r r e k t u r f a k t o r e n , Gl. (77) u n d (90). e. e or [kg/cm 2 ] E l a s t i z i t ä t s k o n s t a n t e f ü r z-Richtung, Gl. (68). [kg/cm 2 ] E l a s t i z i t ä t s k o n s t a n t e f ü r ¿-Richtung, Gl. (71). [kg/cm 2 ] S c h u b s p a n n u n g , Gl. (86). T Schiebewinkel (Radebene gegen die s-Achse)

• r gegebene U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t m i t seiner B a h n g e s c h w i n d i g k e i t v n i c h t ü b e r e i n s t i m m t . E s ist also eo + ZT

(53)

u n d m i t Gl. (51) u n d (52) a u c h im allgemeinen u 4= s

(54)

U m die D i f f e r e n z .? — u zu k o m p e n s i e r e n , m ü s s e n a m P n e u elastische V e r f o r m u n g e n in U m f a n g s r i c h t u n g , die m i t X b e z e i c h n e t seien, a u f t r e t e n (Bild 21). E s b r a u c h t k a u m e r w ä h n t zu w e r d e n , d a ß ein d e r a r t i g e s Rollen n u r u n t e r E i n w i r k u n g i r g e n d w e l c h e r M o m e n t e a n d e r N a b e möglich ist. I s t z. B. u < s, so m u ß ein B r e m s m o m e n t , bei u > s ein A n t r i e b s m o m e n t w i r k e n . F e r n e r sei noch b e m e r k t , d a ß a u c h bei d i e s e m P r o b l e m die Zeit lind die G e s c h w i n d i g k e i t keine Rolle spielen, d a es n u r auf die D i f f e r e n z d e r Wege a n k o m m t . Sie ist in Gl. (51) bis (53) lediglich d e r besseren A n s c h a u l i c h k e i t h a l b e r e i n g e f ü h r t w o r d e n . W i r u n t e r s c h e i d e n , a n a l o g zu A b s c h n i t t I I I , a u c h die ¡1 P n e u g e b i e t e 1. II und I I I , wobei die freien R a n d gebiete 1 und I I I , die eigentlich i n e i n a n d e r ü b e r g e h e n , w i e d e r als u n a b h ä n g i g und bis ins oo sich e r s t r e c k e n d g e d a c h t werden. Die U n i f a n g s k o o r d i n a t e sei w i e d e r die V e r f o r m u n g sei allgemein m i t A, f ü r den v o r d e r e n B e r ü h r u n g s p u n k t B m i t l, f ü r den h i n t e r e n P u n k t m i t l b e z e i c h n e t . I. V e r s c h i e b u n g l d e s v o r d e r e n p u n k t e s B.

Berührungs-

B e i m Rollen u m d a s S t ü c k c h e n ds b e t r ä g t d e r W e g des U m f a n g e s (des f i k t i v e n s t a r r e n U m f a n g e s m i t d e m R a d i u s / 1 ) du, d a s kleiner als ds sei. Die D i f f e r e n z m u ß d u r c h die E l a s t i z i t ä t des P n e u s k o m p e n s i e r t w e r d e n , u n d z w a r e i n m a l d a d u r c h , d a ß d e r P n e u d u r c h die h e r r s c h e n d e S p a n n u n g sich e t w a s d e h n t , u n d f e r n e r d u r c h die u n m i t t e l b a r e V e r s c h i e b u n g des E l e m e n t e s u m dl. Die D e h n u n g s e t z t e n w i r p r o p o r t i o n a l d e r an d e r Stelle h e r r s c h e n d e n V e r s c h i e b u n g l, w o b e i d e r P r o p o r t i o n a l i t ä t s f a k t o r m i t I; b e n a n n t w e r d e . D a r a u s f o l g t die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d l --)- k • l • du = ds — du oder

8 ¿ L du

+ k

.

l =

* L - 1 du

(55)

s=\jvdT 0

Die Gleichung ist in ihrem A u f b a u analog der Gl. (10) in Abschnitt I I I , wobei an Stelle der seitlichen Auslenkung z die Verschiebung in Umfangsrichtung l t r i t t . 2. V e r s c h i e b u n g d e r ü b r i g e n L a t s c h p u n k t e . Es werde wieder vorausgesetzt, daß die einzelnen Latschp u n k t e während der Bodenberührung fest am Boden h a f t e n . Durchläuft das R a d das Stückchen dl und ist der Weg des fiktiven Umfangs du, so m u ß die Zunahme der Verschiebung dX gleich der Differenz der beiden Wegstrecken sein. Also gilt f ü r ein und dieselbe F a s e r : oder

d X = X (i -}- d i, u df

Mit

dS-

öA

überall s schreiben, erhalten wir

s= s und daraus

ds du

,

b R

~

(63)

Mit Beachtung dessen, daß jetzt u = s gesetzt wurde, geht Gl. (55) über in

X (u, t) = l(u — ü) — ( + s (u) — S (it — ()

— s\

dl . , . ds + H =

(56)

, ±

b R

(64)

Gl. (56) für X im Gebiet II geht über in

F ü r den hinteren P u n k t H wird dann -2 h)

(57)

3. A b k l i n g f u n k t i o n d e r R a n d g e b i e t e I u n d

III.

Aus der Gleichsetzung der Dehnung mit der Zugk r a f t , die proportional der Verschiebung X ist, wobei als Proportionalitätsfaktor der bereits in Gl. (55) vorkommende F a k t o r k zu nehmen ist, ergibt sich f ü r die Randgebiete folgende Differentialgleichung

und Gl. (57) in

(66)

In Gl. (64) bis (66) gilt für das außen laufende R a d das positive, f ü r das Innenrad das negative Vorzeichen.

und daraus im Gebiet I : X = Aek I m Gebiet I ist f ü r f = 0 X — 1, somit:

d) Anwendung auf einfache Bewcgungställe.

l-eh

(58)

I m Gebiet III ist für f = 2 A X = l, somit: X=

(62)

ds R

+\f

ds 'ds

Diese partielle Differentialgleichung aufgelöst und die Anfangsbedingung X = l für f = 0 ergibt

l = l(u — 2h)~2h-\-s{u)

b \_ds_ R I v

0

d£

öA öu

sh s

s = i>

s

öA , - -r- d U - - ds — du. 0 u

~öY

lu Indem wir d T durch — ersetzten und gleichzeitig für u

d u) — X (|, u) = ds — du

lu =

ergibt sich

dt. u

kph-S) le

(59)

c) Zwei starr miteinander verbundene Kader (Bild 22). Zwei miteinander starr verbundene Räder laufen auf einer durch den Krümmungsradius Ii gekennzeichneten Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit v = r • w. Dann ist die Geschwindigkeit des äußeren Rades

1. E i n g e b r e m s t l a u f e n d e s R a d . Ein Rad werde gebremst, so daß die Umfangsgeschwindigkeit wr nur 0 5

2 A u n d

2 A = 9 cm

mit

= 0,33 + 0,05 • 9 = 0,78 cm. 2. Z w e i R ä d e r l a u f e n a u f e i n e r K r e i s b a h n . Der konstante Krümmungsradius sei R = 5 m, der R a d a b s t a n d 2 b = 1,5 m. Die R ä d e r sitzen s t a r r auf einer Achse (ohne Differential). F e r n e r sei k = 0,15 1/cm und 2 h = 9 cm. Nach Gl. (64) ist für das Außenrad ^ + H = ds

R

=

5,0 0,15

l = A