Zeitreihenmodelle [2. Aufl. Reprint 2018] 9783486786743, 9783486230062

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Lehr- und Handbücher der Statistik Herausgegeben von Universitätsprofessor Dr. Rainer Schlittgen Bisher erschienene Werke: Schlittgen, Statistik, 4. Auflage Rinne, Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik Heiler/Michels, Deskriptive und Explorative Datenanalyse Harvey (Übers. Untiedt), Ökonometrische Analyse von Zeitreihen, 2. Auflage Caspary/Wichmann, Lineare Modelle Degen/Lorscheid, Statistik-Aufgabensammlung Schlittgen/Streitberg, Zeitreihenanalyse, 5. Auflage Pokropp, Lineare Regression und Varianzanalyse Harvey (Ubers. Untiedt), Zeitreihenmodelle, 2. Auflage

Zeitreihenmodelle Von

Prof. Andrew C. Harvey London School of Economics Aus dem Englischen übertragen durch Dr. Gerhard Untiedt Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Ökonometrie und Wirtschaftsstatistik

2. Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Titel der Originalausgabe: .Andrew C. Harvey, Time Series Models, 2nd Edition" © 1992 Andrew C. Harvey

Für Catherine und Samuel

Die Deutsche Bibliothek - ClP-Einheitsaufnahme Harvey, Andrew C.: Zeitreihenmodelle / von Andrew C. Harvey. Aus dem Engl, übertr. von Gerhard Untiedt. - 2. Aufl. - München ; Wien : Oldenbourg, 1995 (Lehr- und Handbücher der Statistik) Einheitssacht.: Time Series Models ISBN 3-486-23006-9

© 1995 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3 - 4 8 6 - 2 3 0 0 6 - 9

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

VIII

Vorwort zur zweiten Auflage Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

XI XIII

Hinweis

XV

Abkürzungsverzeichnis

1.

2.

XVI

Einleitung

1

1.1 1.2

1 8

Analyse und Modellierung von Zeitreihen Überblick über das Buch

Stationäre stochastische Prozesse und ihre Eigenschaften im Zeitbereich

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

11

Grundkonzepte Autoregressive Prozesse Moving-Average Prozesse Gemischte Prozesse Unbeobachtete Komponenten Prognose und Signalextraktion Eigenschaften des Korrelogramms und weiterer Stichprobenstatistiken Uberprüfung auf Zufälligkeit und Normalverteilung Übungen

11 19 28 30 36 39 48 52 56

V

Inhaltsverzeichnis 3. Schätzung und Überprüfung autoregressiver Moving-Average delle 3.1 E i n f ü h r u n g 3.2 Autoregressive Modelle 3.3 Moving-Average u n d gemischte Prozesse 3.4 Ü b e r p r ü f u n g von Hypothesen und Konfidenzintervalle 3.5 Eigenschaften in kleinen Stichproben 3.6 Modellauswahl 3.7 Ü b u n g e n

Mo59 59 67 73 79 83 89 98

4. Zustandsraummodelle und der Kaiman-Filter 4.1 Z u s t a n d s r a u m f o r m 4.2 Filtern, G l ä t t e n und Prognose 4.3 Gaußsche Modelle u n d die Likelihoodfunktion 4.4 Autoregressive Moving-Average Modelle 4.5 Regressionen u n d zeitvariable P a r a m e t e r 4.6 Übungen A n h a n g A: Eigenschaften der Multivariaten Normalverteilung . . . . A n h a n g B: Hilfssatz zur Matrixinversion

101 101 104 109 117 120 126 127 128

5. Zeitreihenmodelle 5.1 E i n f ü h r u n g 5.2 Autoregressive integrierte Moving-Average Modelle 5.3 Strukturelle Zeitreihenmodelle 5.4 Autoregressive Modelle 5.5 Saisonalität 5.6 Saisonale A R I M A - und Strukturelle Modelle 5.7 Long M e m o r y und Wachstumskurven 5.8 Erklärende Variablen 5.9 Interventionsanalyse 5.10 Übungen

129 129 139 147 158 163 169 179 184 193 198

6. Der 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

201 201 205 213 217 220 230 240 248 259

VI

Frequenzbereich Einführung Fixierte Zyklen Spektrale Darstellung eines stochastischen Prozesses Eigenschaften autoregressiver Moving-Average Prozesse . . . . Stochastische Zyklen Lineare Filter Schätzung des S p e k t r u m s Maximum-Likelihood-Schätzung von Zeitreihenmodellen . . . . Überprüfung

Inhaltsverzeichnis

6.10 Regressionen im Frequenzbereich 6.11 Übungen Anhang A: Trigonometrische Identitäten Anhang B: Orthogonalitätsbeziehungen Anhang C: Fourier-Transformationen 7. Multivariate Zeitreihen

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Stationäre Reihen und ihre Eigenschaften im Zeitbereich . . . . Kreuzspektralanalyse Vektorautoregressive Moving-Average Prozesse Schätzung Multivariate ARIMA-Modellierung Strukturelle Zeitreihenmodelle Kointegration Übungen

8. Nichtlineare Modelle

8.1 Einführung 8.2 Bedingte Gaußsche Modelle 8.3 Autoregressive Conditional Heteroskedasticity 8.4 Stochastische Varianzenmodelle 8.5 Qualitative Beobachtungen und Markowketten 8.6 Switching Regimes 8.7 Übungen Anhang: Gesetz der iterativen Erwartungswerte

264 274 276 278 279 281

281 284 289 296 301 305 310 318 321

321 329 333 340 346 350 353 354

Antworten zu ausgewählten Übungsaufgaben

357

Literarturverzeichnis

359

Stichwortverzeichnis

369

Autorenverzeichnis

377

VII

Abbildungsverzeichnis 1.1

Zeitreihe mit serieller Korrelation

1.2

Lokaler und globaler linearer Trend. Prognosen mit (a) einem globalen Trend; (b) mit einem lokalen Trend

2.1

Autokorrelationsfunktion eines MA(l)-Prozesses mit 9 = 0,5

2.2

Zulässiger Bereich für \ und fo in einem stationären AR(2)-Prozeß

2.3

Autokorrelationsfunktionen (b) ¿ = - 0 , 5 .

2.4

Autokorrelationsfunktion für einen AR(2)-Prozeß: mit \ = 0 , 7 und h = -0,5.

2.5

Autokorrelationsfunktionen für ARMA(l,l)-Prozesse: (a) = 9 = 0,9; (b) = 0,3, 6» = - 0 , 9 .

3.1

Theoretische und empirische Häufigkeitsverteilung der ML-Schätzfunktion für 9 in einem MA(l)-Prozeß mit 9 = 0,5(T = 25)

3.2

Stichprobenautokorrelationen für 200 Beobachtungen aus einem MA(2)Prozeß

5.1

Korrelogramm der US-amerikanischen Inflationsrate; (a) Niveauwerte, (b) 1.Differenzen

5.2

US-Inflationsrate (Quartalsweise)

5.3

Logarithmierte Zahlen der Fluggäste (insgesamt, in Tausend) Quelle: Box und Jenkins (1976, S. 531)

5.4

Trend und saisonale Komponenten im britischen Gasverbrauch; (a) Beobachtungswerte und Trend, (b) Saison

VIII

für

AR(l)-Prozesse:

(a)

=

0,5;

0,3,

5.5

Autokorrelationsfunktion eines saisonbereinigten White-Noise Prozesses Quelle: Wallis (1974)

5.6

Prognosen f ü r den Bestand an Traktoren in Spanien

5.7

Pro-Kopf-Verbrauch an Spirituosen in Großbritannien und Prognosen f ü r 1931 - 8

5.8

G e t ö t e t e u n d schwerverletzte Autofahrer in G r o ß b r i t a n n i e n : Prognosen f ü r 1983 und 1984 mit und ohne die geschätzten W i r k u n g e n der Gurtpflicht; o aktuelle Werte; A Prognosen unter Berücksichtigung der Inverventionswirkung;ü Prognosen, wenn die Interventionswirkung entfernt worden ist. Quelle: Harvey u n d Durbin (1986)

6.1

P o w e r s p e k t r u m eines White-Noise Prozesses

6.2

P o w e r s p e k t r u m eines White-Noise Prozesses m i t 0 = 0 , 5

6.3

Sinus- u n d Kosinusfunktion

6.4

Ursprüngliche Beobachtungswerte (o ) und durch die Fourier-Darstellung ( • ) implizierter Verlauf aus Beispiel 2

6.5

P o w e r s p e k t r u m eines AR(2)-Prozesses mit h

= 0 , 7 und

= -0,5

6.6

Powerspektren f ü r stochastische Zyklen: (a) Ac = x / 4 , p = 0 , 7 ; (b) Ac = ir/4, p = 0 , 9 ; (c) Ac = tt/4, p = 0,99; (d) Ac = tt/10, p = 0 , 8 u n d Ac = tt/2, P = 0 , 9

6.7

T r e n d u n d zyklische K o m p o n e n t e n im Sozialprodukt der USA: (a) Beobachtungswerte u n d Trend; (b) Zyklus

6.8

O r d i n a t e n des P e r i o d o g r a m m s zu saisonalen Frequenzen aus Beispiel 2

6.9

P h a s e n d i a g r a m m f ü r yt = x=o

)

(2.7)

0

2.

Ordnung

Der AR(2)-Prozeß ist definiert durch: 2/t = ^lJ/i-i + 4>2Vt-i + fti

t = l,...,T.

(2.8)

Analog zum Modell 1. Ordnung ist es möglich, (2.8) in zwei Teile zu zerlegen, einerseits in eine stochastische und andererseits in eine deterministische Komponente. Der deterministische Teil ist abhängig von einem Paar von Startwerten. Wenn der Prozeß aber stationär ist, ist ihr Einfluß vernachlässigbar, falls der Startpunkt in entfernter Vergangenheit liegt. Um die Natur der deterministischen Komponente zu untersuchen, unterdrücken wir in (2.8) den Störterm. Dies führt zu der homogenen Differenzengleichung: yt-m-i-2yt-2

= 0,

(2.9)

wobei der Querstrich über yt aussagt, daß nun die Mittelwerte des Prozesses betrachtet werden. Die Lösung von (2.9) basiert auf der Lösung der charakteristischen Gleichung: x2 - lX - 2 = 0.

(2.10)

Da (2.10) eine quadratische Gleichung ist, erfüllen die Lösungen m\ und m? die Gleichung: ( i - m i ) ( i - m 2 ) = 0,

(2.11)

und sie können auf übliche Weise über die Gleichung: mi, m2 =

± yJl + 4