Wprowadzenie do teorii grafów [Second ed.] 8301150661, 9788301150662

Citation preview

Przedmowa do nowego wydania

83

§12. Grafy planarne

nii p r o s t e j ? O c z y w i ś c i e p ę t l i i k r a w ę d z i w i e l o k r o t n y c h n i e m o ż n a n a r y s o w a ć z a p o m o c ą o d c i n k ó w , ale K. W a g n e r w 1936 r o k u i I. F a r y w 1948 r o k u u d o w o d ­ nili,

niezależnie

od

siebie,

że

każdy planarny

graf prosty

może

być

narysowany

za

pomocą odcinków; s z c z e g ó ł y d o w o d u m o ż n a z n a l e ź ć w książce C h a r t r a n d a i Le­ ś n i a k a [8]. N i e w s z y s t k i e grafy s ą p l a n a r n e , c o p o k a z u j e n a s t ę p u j ą c e t w i e r d z e n i e : TWIERDZENIE

12.1.

Grafy Kz^

i K$

są nieplanarne.

Uwaga. P o d a m y d w a d o w o d y t e g o t w i e r d z e n i a . P i e r w s z y , p r e z e n t o w a n y t e r a z , j e s t d o w o d e m k o n s t r u k t y w n y m . D r u g i d o w ó d , k t ó r y p o z n a m y w p a r a g r a f i e 13, j e s t wnioskiem z twierdzenia Eulera. Dowód. P r z y p u ś ć m y n a j p i e r w , ż e graf

j e s t p l a n a r n y . P o n i e w a ż Kz,z m a

cykl u —* v —> w —> x —> y —> z —> u d ł u g o ś c i 6, więc k a ż d y r y s u n e k p ł a s k i m u s i z a w i e r a ć t e n cykl, n a r y s o w a n y w p o s t a c i s z e ś c i o k ą t a , t a k j a k n a r y s u n k u 12.2.

R y s u n e k 12.2

R y s u n e k 12.3

K r a w ę d ź wz m u s i leżeć w c a ł o ś c i w e w n ą t r z l u b w c a ł o ś c i na z e w n ą t r z t e g o s z e ś c i o k ą t a . Z a j m i e m y się p r z y p a d k i e m , w k t ó r y m k r a w ę d ź wz leży w e w n ą t r z sze­ ściokąta — drugi p r z y p a d e k jest p o d o b n y . Ponieważ krawędź ux nie może przeciąć k r a w ę d z i wz, m u s i leżeć n a z e w n ą t r z s z e ś c i o k ą t a ; p r o w a d z i t o d o s y t u a c j i p o k a ­ zanej n a r y s u n k u 12.3. W t e d y j e d n a k j e s t n i e m o ż l i w e n a r y s o w a n i e k r a w ę d z i vy, g d y ż p r z e c i ę ł a b y o n a a l b o k r a w ę d ź ux, a l b o k r a w ę d ź wz. T o d a j e n a m o c z e k i w a n ą sprzeczność. P r z y p u ś ć m y t e r a z , że g r a f K5 j e s t p l a n a r n y . P o n i e w a ż K5 ma cykl v —• w —• i - * i / - t z - > ! ) d ł u g o ś c i 5 , k a ż d y r y s u n e k p ł a s k i t e g o grafu m u s i z a w i e r a ć t e n cykl. n a r y s o w a n y w p o s t a c i p i ę c i o k ą t a , t a k j a k n a r y s u n k u 12.4. K r a w ę d ź wz m u s i leżeć w c a ł o ś c i w e w n ą t r z t e g o p i ę c i o k ą t a l u b w c a ł o ś c i na z e w n ą t r z n i e g o . Z a j m i e m y się t y l k o p i e r w s z y m p r z y p a d k i e m , g d y k r a w ę d ź w z leży

6. K o l o r o w a n i e grafów

118

Rysunek

18.1

od v l i Vj) m u s i m i e ć s t o p i e ń 2. M i a n o w i c i e , jeśli w j e s t p i e r w s z y m w i e r z c h o ł k i e m na d r o d z e z v x do Vj s t o p n i a w i ę k s z e g o niż 2, to m o ż n a p o m a l o w a ć w i e r z c h o ­ ł e k w k o l o r e m i n n y m niż c, i Cj, p o w o d u j ą c , że w i e r z c h o ł k i v t i Vj nie b ę d ą j u ż p o ł ą c z o n e d r o g ą l e ż ą c ą c a ł k o w i c i e w CtJ

( p o r . rys. 18.2). M o ż e m y więc z a ł o ż y ć ,

że d l a d o w o l n y c h i o r a z j s k ł a d o w a CtJ s k ł a d a się t y l k o z d r o g i p r o w a d z ą c e j od w i e r z c h o ł k a Vi do w i e r z c h o ł k a Vj.

R y s u n e k 18.2

Rysunek

M o ż e m y r ó w n i e ż z a ł o ż y ć , że d w i e d r o g i p o s t a c i dj i Cji t y l k o j e d e n w i e r z c h o ł e k w s p ó l n y , m i a n o w i c i e Vj.

18.3

(gdzie i ^ l) m a j ą

G d y b y bowiem x był i n n y m

w i e r z c h o ł k i e m w s p ó l n y m , t o m o g l i b y ś m y g o p r z e m a l o w a ć n a kolor r ó ż n y o d c,, Cj i ci ( p o r . rys. 18.3). co s p o w o d o w a ł o b y , że w i e r z c h o ł k i v\ i Vj nie b y ł y b y j u ż połączone drogą. l

A b y z a k o ń c z y ć d o w ó d , w y b i e r z m y d w a w i e r z c h o ł k i n i e s ą s i e d n i e vi \ Vj i n i e c h y b ę d z i e w i e r z c h o ł k i e m k o l o r u Cj s ą s i a d u j ą c y m z w i e r z c h o ł k i e m v\. N i e c h Z 7^ j i r o z w a ż m y w i e r z c h o ł e k vi. D r o g a Cu ł ą c z ą c a w i e r z c h o ł k i Vi i vi ma tę w ł a s n o ś ć , że w s z y s t k i e w i e r z c h o ł k i na t e j d r o d z e są p o k o l o r o w a n e k o l o r a m i Ci i c; o r a z w s z y s t ­ kie ( o p r ó c z vi i vi) m a j ą w s k ł a d o w e j Cu s t o p i e ń 2. Z a t e m z a m i a n a kolorów c, i c\ 1

T a k i e istnieją, gdyż graf G nie jest grafem p e ł n y m . O s t a t n i fragment dowodu w oryginale napisany lakonicznie został t u t a j rozwinięty przez t ł u m a c z a (przyp. t ł u m . ) .