Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik. Teil 1 Lehrbuch der Arithmetik, Algebra und Analysis: Nach eigenen Prinzipien. Zunächst für seine Vorlesungen bearbeitet [Reprint 2018 ed.] 9783111466958, 9783111100111

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Versuch «in« vollkommen konsequenten

Systems der Mathematik. B ott

Dr. Martin Ohm.

Erster Theil.

Arithmetik, Algebra und Analysis.

Berlin,

1822.

Gedruckt und verlegt

bei G. Reimer.

Lehrbuch b t t

Arithmetik, Algebra «nr Analysis. Nach eigenen Prinzipien.

Zunächst

für seine Vorlesungen bearbeitet von

Dr. Martin Ohm, Mitglied mehrerer gelehrten Gesellschaften.

Erster Theil.

Berlin, 1822. Gedruckt

und

verlegt

bet G. Reimer.

Vorrede. (Et

giebt zwey Wege zu mathematischen Wahrhei.

teu zu gelangen.

DaS Genie, welches den ersten

betritt, den Weg der Erfindung, überspringt in einem kühnen und fessellosen Jdeengang die engen Schranken des menschlichen Verstandes und erhebt sich dadurch zu einem Standpunkt, von welchem auihm das Einzelne mehr neben einander liegend, als nach einander folgend erscheint.

Unange»

fochten von den Einwendungen des bedächtiger», Verstandes schaut es im Besondern das All« gemeine an; und der meist glückliche, ja glän­ zende Erfolg scheint hinlänglich geeignet, die an­ gewandten Mittel zu heiligen.

Immer die Erfah­

rung zur Seite, welche den links und rechts Ab­ weichenden auf dem rechten Wege zu erhalten strebt, gelangt so da- Genie, wenn auch des Weges un­ bewußt, zu einem entfernten und hochgesteckten Ziele. a

VI

Vorrede.

So wie es aber deshalb eines jedem Mathe­ matikers, der die Erweiterung seiner Wissenschaft beabsichtigt, Pflicht zu seyn scheint, diesen ersten Weg zu betreten, so wenig kann auch geläugnet werden, daß auf diesem Wege viele Resultate nur subjektiv und problematisch seyn, und daher nicht als feste Grundlage dienen können, auf welche fer­ nere Wahrheiten gegründet werden dürfen.— Ueber« dies ist es nicht jedem Menschen vergönnt, sich in einer Welt wohl zu befinden, die außerhalb der Grenzen seines Verstandes liegt, und in welcher der Glaube (wenn auch im höhern Sinne dieses Worts) die Stelle des Begreifens vertreten muß-. — Wenn daher ein mehr an seine mensch­ liche oder irrdische. Natur gebundener Wissenschafts­ forscher «S auch dankbar erkennen muß, daß die Begünstigteren seines Geschlechts glänzende Resul­ tate auf einem so leichten Wege hervorbringen, so fühlt er doch lebhaft das Bedürfniß auf seinem, ihm durch den Verstand mittelst einer gesunden Logik vorgezeichneren Wege, in bestimmten und kla­ ren Begriffen, sich sowohl von der Nothwendigkeit der erhaltenen Resultate zu überzeugen, als auch bestimmte Principien aufzustellen, die genau und conftquent befolgt, zu nothwendigen Resultaten führen müssen.

Vorrede.

VII

Es wird aber dieser letztere Weg, der zunächst bloß individuellen Bedürfnissen zu entsprechen scheint, höchst bedeutungsvoll und wichtig, sobald man be­ denkt, daß bey dem öffentlichen Unterricht nur er allein zu einem erfreulichen und erwünschten Ziele führen kann, in so ferne nur.der Vor­ trag mit Liebe umfaßt wird, durch welchen man sich in den Stand gesetzt sieht, nach bestimmten, sich immer consequenken Principien, die mathe­ matischen Wahrheiten selbstthätig zu entwickeln, und aus eigener Kraft zu erfinden; und weil, um in Ideen fortschreiten zu können, selbst schon eine, sehr selten vorhandene geistige Bildung voraus­ gesetzt werden, und deshalb -er Unterricht für die meisten Zuhörer unverständlich bleiben, oder, was weit öfter noch der Fall ist, in ein bloßes mechani­ sches und geistloses Abrichten ausarten muß. Der Verfasser des vorliegenden (in-zwey Theile gebrachten) Lehrbuchs des Kalküle, hat sich frühe schon von letzterer Wahrheit überzeugt, und von der Wichtigkeit, der Sache ergriffen, mit aller Anstren­ gung dahin gearbeitet, den Kalkül (der sein Daseyn nur den letzten Jahrhunderten verdankt, und dessen bisherige geschichtliche Darstellung dadurch erklärt ist) und mit ihm die gesammte Mathematik, so darzustellen, daß sie als eine, in sich abgeschlossene,

VIII

Vorrede.

überall vollkommen konsequent, nach völlig bestimm­ ten Principien fortschreitende Wissenschaft hervor­ trete, eben so leicht zu lehren als zu erlernen. Die Ansicht des Verfassers hier zu vertheidi­ gen, hält er nicht nur für zu weitläuftig, sondem auch für unmöglich und unnütz. Sie mag zuse­ hen, wie sie sich durchschlägt. Alle« was der Ver­ fasser für sie thun kann, besteht in der Angabe fol­ gender Punkte: i) Der Verfasser hat getrachtet, sich die gestimmte Mathematik hindurch, überall vollkommen con'sequent zu bleiben. Er macht also nur einzig -und allein auf diese Conse» qüenz Anspruch. ß) Er hat die Schrift zunächst für seine Vor­ lesungen bestimmt, und daher die Beweise sehr häufig nur durch Anführung der Para­ graphen, aus denen sie leicht folgern, ange­ deutet. S) Er Hat dagegen jeden Begriff, ehe er ihn gebraucht, erst völlig genau erklärt; keinen Begriff ^her in einer weitern Bedeutung ge­ braucht, als nicht eine vorhergegangene Erklärung diese Bedeutung genau bestimmt und ihre Rechtmäßigkeit nachgewiesen hat; endlich keinen Satz aufgestellt, der nicht durch

Vorrede.

IX

die beygebrachten Beweise oder durch die An­ deutungen derselben, aus den citirten Paragraphen völlig allgemein und strenge erwiesen wäre, oder erwiesen werden könnte.*) 4) Der Verfasser hat an diesem seinem Systeme 15 Jahre lang mit großer Sorgfalt gearbeitet, und glaubt daher das Recht zu Habet», den ge­ neigten Leser zu bitten, nicht zu schnell aus einem etwaigen Anschein von Jttconftquenz, auf die wirkliche Existenz derselben ju schließen. 5) Der Verfasser hat nach demselben Lchrbüche seit 5 Jahren (darunter 4 Jahre lang an vier Klassen eines Gymnasiums) öffentliche Vorträge gehalten, die von dem glücklichsten Ersolge be­ gleitet waren; und er ist überzeugt, daß er die Existenz dieses Faktums nur dem darin befolg­ ten System zu verdanken hat**). *) Niemand kann überzeugter seyn, als der Berfasser, daß kein menschliches Gebilde vollkommen seyn tlnnt. Der «erfasser hat aber, so viel wie möglich, nach Vollkommenheit ge­ strebt, ttnb hofft daher in obiger Angabe nicht mißverstan­ den zu werden. Wesentliche Mängel glaubt er vermieden zu haben, und unwesentlichen kann ja jeder Leser nach seiner eigenen bessern Einsicht abhelfen, wofür ihm her Der« faffer, der nicht seine Person, sondern nur die gute Vach» im Auge hat, herzlichen Dank wissen wird. *♦) Der Verfasser würde diese Angabe nicht machen, wenn er nicht früher bemerkt Hätte, wie leicht für unmöglich gehalten

Utbrigens hat der Verfasser durchgehend- et« LeservorauSgefeHt, der njcht nur gar keine Mathemstifchon jKenytniffo hat, sondern auch nicht einmal eine Ziffer kennt (auch yichr die Null)'; und er muß- daher auf das ange­ legentlichste (litten, sich recht lebhaft in die Lage eines solchen zu versehen, und ja nicht früher erhaltene,

diesem System fremde

Be­

griffe mitzubringen und mit denen deö Ver­ fassers

jjt

vermengen, damit nicht für eine Jncon-

fequenz des Autors erklärt werde, wenn

feine

Folgerungen mit den Voraussetzungen des Lesers nicht übereinstimmen sollten. —

Neue

Benennungen und neue Bezeichnungen sind mit Sorgfalt vermieden worden, wo solches nur im­ mermöglich war; dagegen liegen, den gewöhnlichen Namen und Zeichen meist neue Begriffe nnwird, wovon man die Möglichkeit Richt sogleich übersehen kann. Zn Bezug auf die Brauchbarkeit eines Lehrbuchs, kommt es vorzüglich auf die Erfahrung an. Und diese hat bet Verfas­ ser, vermöge der erwähnten, ofstciell anerkannten Fakta, auf seines Seite; und er führt solches an, weil ihm der öffent­ liche Unterricht und dessen größerer Erfolg vorzüglich arnHerzen liegt. Wie er sich selbst dieses.Lehrbuchs bediene, um seinenZweck zu erreichen, wird der Verfasser in einer eigenen Abhandlung angeben, die zugleich mit mehreren andern, den öffentlichen Unterricht überhaupt

betreffenden Abhandlungen Unter dem

Titel- Abhandlungen pädagogischen und mathe­ matischen Inhalts erscheinen soll.

Vorrede.

XI

ter, worauf daher ein besonderes Augenmerk zu richten seyn dürfte, wenn es nicht rathlicher seyn soll, daß Autor und Leser, als Personen die ver­ schiedene Sprache»« reden, in Zeiten freundschaft­ lich yon einander Abschied nehmen, und daß sich .ein jeder zu denen wende, die seine Sprache sprechen oder verstehen. Um aber seinerseits eine Uebersicht, so- vi/l wie möglich zu erleichtern, will der Verfasser hier -noch in der Kürze die Ideen angeben, welche er im Verlaufe des Werkes in Begriffe über­ zutragen bemüht gewesen ist. Sie sind folgender Die Vergleichung der Größen geschieht mit­ telst Zahlen, und zwar nur mittelst absoluter gan­ zen Zahlen. Andere Zahlen giebt eö nicht. Die Lehre der Zahlen muß der Lehre der Größen vor­ angehen, unabhängig von dem Begriff -er Größe.— Die Zahlen und ihre Verbindungen müssen be­ zeichnet werden (durch Buchstaben). Die Zahlen­ lehre wir- deshalb eine Zah.lzeichenlehre, und existirt als solche selbständig, unabhängig von dem Begriff der Größe. — Man kann zunächst sieben Verbindungen der Zahlen betrachten, und erhält dadurch zunächst sieben Zahlzeichen b

a-j-b, a—b, a.b, a:b, ab, V~a, a?b»

XU

Vorrede.

welche beziehlich Summe, Differenz, Pro« dukt, Quotient, Potenz,-Wurzel und Logarithme genannt werden.— Eine Gleichung drückt aus, daß zwey Zahlzeichen eine und dieselbe Zahl bezeichnen. Diese Zahlzeichen und Gleich»«gen haben nur in besondern Fällen eine Bedeutung. — Eine allgemeine Zahlenlehre erfor­ dert, daß auch diesen Zahlzeichen und Glei­ chungen allgemeinere Begriffe untergelegt werde», jedoch mit der Vorsicht, daß die frühern Begriffe als besondere Fälle in diesen allgemeiner» enthalten sind, und daß genau nachgewiesen wird, was von diesen allgemeinem Begriffen noch gel­ ten muß, und was nicht. — Man kann nun die allgemeinsten Begriffe der Gleichung und der 4 ersten Zahlzeichen, Summe, Differenz, Produkt und Quotient aufstellen, und allgemeine Elementar­ formeln entwickeln (die hier im ersten Kapitel ent­ halten sind), nach denen diese Zahlzeichen paarweise mit einander durch die Operationen verbunden wer­ den können; während auf der andern Seite nach­ gewiesen werden muß, wie diese allgemeinen Glei­ chungen zwischen allgemeinen Zahlzeichen, da wo sie auf absolute ganze Zahlen führen, (also da, wo sie realisirt werden können,) Nothwendigkeit der Resultate gewähren.—

Vorrede.

xm

Diese Elementarformeln (des erste« Kapitels) bilden nun die Grundlage der gesummten Zahlen» lehre (die wieder in Arithmetik, Algebra, Analysis, Differential-, Integral- und Variations-Kalkül re. classificirt werden kann)., in so ferne keine andern Zahlenverbindungen als die angeführten, und da« her auch keine andern'Ausdrücke, als Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten, «. re. ic. vorkommen und zu verbinden seyn können. Die Begriffe der Null, der additiven und der suberaktiven ZaHl (+b und —b), der algebraischen Summe (—a-j-b—c—.4 z.B), der Ziffern, der numerischen Zahlen (z.B. 4796), der Brüche und der Decirnalbrüche, der. positiven und der negativen Zahlen, werden nun als Zeichen erklärt, welche Summen, Differenzen oder Quotienten bezeichnen, und welche daher ohne weiters nach den Elemen­ tarformeln des ersten Kapitels mit einander ver­ bunden werden. — Alle Gleichungen sind identische. — Eine Bestimmungsgleichung existirt nur, in so ferne die Unbekanmen in ihr be­ stimmte Ausdrücke vorstellen, und sie dadurch zur identischen machen. — Die Quadratwurzel /a Ist ein bloßes Zeichen, welches im allgemeinen

XIT

Vorrede.

gls zweydeutig zu behandeln ist, weil.es in be­ sondern Fällen zweyen verschiedenen Ausdrükken gleich ist. — Andere als. ganze oder gebrochene Funktionen giebt es nicht. Die ganzen Funktio­ nen, können aber von einem unbestimmbaren Grade gedacht werden, und -gehen dann in unendliche Reihen über. Weil die unendlichen Reihen zu­ gleich. die ganzen Funktionen als besondre Fälle in sich.enthalten, so umfaßt die Lehre der unend­ lichen Reihen den gesammten Kalkül. Sie nimmt daher . Unsre ganze Aufmerksamkeit in Anspruch.— Solche unendliche Reihen nach x, die für be­ sondere Werthe von x endlichen Ausdrücken gleich sind, die eben deshalb für jeden Werth »ott x Eigenschaften haben werden, welche mit den Eigenschaften jener endlichen Ausdrücke mehr »der minder zusammenfallen, verdienen zunächst allgemein betrachtet zu werden. Daher die Rei­ hen, welche, int Falle x eine positive oder negative ganze Zahl ist, der Potenz ax ooer der Fakultät ax** gleich seyn müssen, zunächst näher zu betrach­ ten sind, für den Fall, wo x ganz allgemein ist. Matt kann sie, der Kürze wegen, durch ax oder axJr bezeichnen, und so als Definition aufstellen, was eine allgemeine Potenz und eine allgemeine Fakultät seyn soll. Dann muß nachgewiesen wer-

Vorrede.

xr

den, ob und in wie ferne die Elementarformeln, die für früher defiftirte Potenzen und Fakultäten mit ganzen Exponenten statt finden, auch noch für diese durch ax und axlr für jeden Werth von x bezeichneten

unendlichen Reihen,

oder nicht» —

gelten

werden

Die unendlichen Reihen,

welche

durch

cxV'—i—e—exV'—* -j-e—XV"—*

vorgestellt sind, verdienen dann Aufmerksamkeit,

und sie

gleichfalls unsre

werden deshalb kürzer

durch die Zeichen Sin. x. und Cos; x. ausgedrückt. Nachher wird versucht, ob sie nicht nach gewissen einfachen Formeln mit einander verbunden werden können.

Die allgemeine Potenz ax hat unendlich viele Werthe; daher entstehen für eine und dieselbe Ba­ sis unendlich viele verschiedene Gattungen von Lo­ garithmen;

und

für jede dieser Gattungen hat

dann wieder jeder Logarithme einer und derselben Zahl unendlich viele Werthe*).

*) Diese Lehre ist von Kern Verfasser bereits vor einem Jahre unter dem Titel: De innumerosis novis Logarithmorum generibus; durch den Druck bekannt gemacht worden.

XVI

Vorrede.

In diesem Geiste wird mm die gesammte Zqhlenlehre entwickelt, als der allgemeinste Theil der Mathematik, unabhängig von der Größen» lehre, so daß der Begriff der Größe nie in ihr vorkommen kann. Die Größenlehre selbst ist dann «nr ein besonderer Füll der Anwendung der Zah­ lenlehre. Daß die allgemeine Größenlehre, die nach der hiesigen Ansicht erst nach völlig entwickelter Zahlenlehre vorgetragen werden soll, hier schon in dem ersten Theil mit abgedruckt worden ist, geschah deshalb, weil der Verfasser diesen ersten Theil auch bei seinen Vorlesungen über reine Elementar - Mathematik zu Grunde legen will, und die allgemeine Größenlehre dann nicht gerne entbehrt. Der Verfasser ist übrigens Willens, sein ganzes System der gestimmten Mathematik nach und nach durch den Druck bekannt zu machen, und hat deshalb ' diesem Werke bereits einen all­ gemeinen Titel beyfügen lassen, unter dem dann in der Reihe noch erscheinen kann: i) der Dif­ ferential», Integral- und Variations-Kalkül; s) die

Vorrede. ft) die Raumgrößenlehre,

xru

und 3) die Kraftgrö^

ßenlehre.

Erst nachdem man sich in den Besitz aller dev Hülfsmittel gesetzt hat, welche die Theorie an die Hand giebt, kann mit Gründlichkeit, und dem jedesmaligen Standpunkte der Wissenschaft ange­ messen, eine praktische Untersuchung statt finden. Daher konnte der Verfasser in diese beyden Theile eigentlich noch gar nichts von Bestimmung von Näherungswerthen, von den zweckdienlichsten Mit« teln

solche zu erhalten; von den Grenzen der

Werthe, von numerischen Bestimmungen u. s. w. aufnehmen; und wenn er etwas davon aufgenommen hat, namentlich das Kapitel über die Auflö» sung der numerischen Gleichungen, so geschah dies nur deshalb, weil er ftdj gezwungen sieht, in sei» nen Vorlesungen über diesen Theil der Mathe­ matik, einen kurzen Vortrag über diese numeri­ schen Bestimmungen nicht fehlen zu lassen. Eine Abhandlung über allgemeine Fakultäten (axl r),

die der Verfasser noch im zweyten

Theile mit aufnehmen wollte,

wurde wegen der

weitläufigen Rechnungen, die

sie erforderte, zu

voluminös,

und mußte daher hier wegbleiben. b

XVIII

Vorrede.

Sie soll nutz. in einem der folgenden Theile des Systems Plah finden. Geschrieben an der Universität zu Berlin im März des Jahres Ein Tausend Acht Hundert undZwey und Zwanzig. Dr. Martin Ohm.

Inhalts-Verzeichnis

XIX

Inhalts «Verzeichniß des ersten Theils. Allgemeine Einleitung in die Mathematik. §. i. Zahl, Vielfaches. § 2. Was eine Größe ist. §. 3—y. Was Mathematik ist; ihre Eintheilung. X Einleitung in die Zah lenlehre. §. 1. Was ist die Einheit? §. 2. Wie erscheinen uns die Zahlen? §. 3. Erklärung der 7 Operationen. §.4. Was rst die Zahlenlehre? § 5. Eine Zahlzeichenlehre. §. 6. Womit werden die Zahlen bezeichnet? §. 7. Erklärung der Gleichung. $. 8« Lehrsatz. Ist a=b u. b = c, so ist auch ar--e. I. Kap. Won den sieben Operationen. §. 9. Eine Summe ist weder eine Größe noch eine Zahl, son­ dern ein Zeichen, welches jedesmal eine (absolute ganze) Zahl bezeichnet. §. 10 — 14. Sätze der Summen. §. 15- Erklärung des Größer» und Kleinern für ganze Zahlen. §. 16—17. Lehrsätze des Größern und Kleinern. §. 18. Was ist eine Differenz? Ein Zeichen, welcher jedesmal eine (absolute ganze) Zahl bezeichnet. §. 19—25. Sätze der Differenzen, darunter diejenigen, welche lehren, wie man einfache Zahlzeichen und Summen und Differenzen paarweise zu einander addirt und von einan­ der subtrahirt. §. 26, Wie man aus gegebenen Gleichungen' zwischen Summe» und Differenzen, andere ins Unendliche fort ableiten könne. §. 27. Was ist ein Produkt? Ein Zeichen, welches eine (absolute ganze) Zahl bezeichnet. §. 28—33» Sätze der Produkte, darunter: wie man Summen, Differenzen und Produkte und einfache Zahlzeichen, paarweise addirt, subtrahirt und multiplizirt.

Inhalt--Verzeichniß.

XX

Z.

34. Was ist ein Quotient? Ein Zeichen, welches immer eine (absolute ganze) Zahl bezeichnet. §. 35—4*. Sätze der Quotienten; darunter: wie man Sum­ men, Differenzen, Produkte, Quotienten und einfache Zahlzeichen, paarweise -ddirt, subtrahirt, multiplizirt und dividirt.

§. 42. Wie man aus gegebenen Gleichungen, andere Gleichungen ins unendliche ableiten kann. §. 43 Was ist eine Potenz? Ein Zeichen, wodurch allemal eine (absolute ganze) Zahl bezeichnet wird. §. 44—47. Sätze der Potenzen»

$. 43. WaS ist eine Wurzel? Ein Zeichen, welches immer eine (absolute ganzem Zahl bezeichnet. §. 49—55- Sätze der, Wurzeln §. 56 Was ist ein Logarithme? Ein Zeichen, welches eine (absolute ganze) Zahl bezeichnet.

§. 57 — 63.

Sätze der Logarithmen.

§. 64 Alle Sätze dieses Kapitels gelten nur, wenn die einzelnen Zahlzeichen, Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz, Wurzel, Logarithme, wirklich (absolute ganze) Zahlend bezeich­ nen. Dahero die Nothwendigkeit einer Erweiterung der Begriffe.

IL Kapitel, Don den allgemeinen Summen und Differen­ zen. Don der Null. Don den additiven und den subtraktiven Zahlen.

$t 65. Erweiterung der Begriffe Summe und Ziffer eng« Suwme und Differenz sinh bloße Zeichen. §. 66. Erweiterung des Begriffs der Gleichheit, Was futi* traktrv gleich ist. $. *6?—Erweiterungen der Sätze der Summen und Differen­ zen. Die subtra k tiyen Gleichungen können wie wirkliche behandelt werden.

§. 73. Was ist Null? Ein Zeichen welches jede Differenz van der -Förch p —p bezeichnet §. 75- WaS ist eine additive Zahl, was eine fubtraktive Zahl? — Zeichen von der Form H-b und -^b durch welche bi* Summe o + b oder dre Differenz o—b bezeichnet xoitb. $•*4. 76. 77. Wie man Summen und Differenzen addirt, subr Irahirt, so auch die Null, und dre 4- b und —b. 5. Bo. Erklärung des ganzen Produkts. §. 84. Erklärung des Differenz- Produkts. $, $5 — 90, Alle Formeln der wirklichen Produkte gelten auch fftc Differenz-Produkte; wenn alle Buchstaben Drffei rettzen ganzer Zahlen sind. Wie man mit 1, mit o, und Mit —m multiplizirt §. Yi. Erklärung des Differenzquotienten. S>. 92. Wie man durch 1 und durch —m dividrrt. §. 93—95- Alle im ersten Kapitel nach ($. 42.) abgeleiteten Gleichungen, finden als fubtraktive Gleichungen statt, wen»

Inhalts«Verztichniß..

XXI

nur nie durch Null dividirt wird, und wenn alle Zahlreichen Differenzen ganzer Zahlen gleich sind.

IIL Kap. Don den algebraischen Summen. §. 96. WaSist eine -lgeb raische Summe? — Ein Zeich en, welches eme Summe oder Differenz bezeichnet. §. 98. Eme algebraische Summe ist einet Summe mehrerer Sum­ manden gleich, deren Summanden alle, additive oder subtraktive Zahlen sind. §. 100 —101. Wie man eine algebraische Summe mit einem Aus­ druck m multiplizirt und dividirt. §. iv2. Die Glieder können in beliebige Ordnung gesetzt werden. §. 104 —105. Wre man zwey Summen mehrerer Summanden addirt, subtrahirt, multrplizirt und dividirt. §. 106—112. Wre man zwey algebraische Summen addirt, sub­ trahirt, multrplizirt und divrdrrt.

IV. Kapitel. Don den allgemeinen Produkten und Quo­ tienten. Don den allgemeinen Gleichungen. Don den ganzen Potenzen,.und von den Differenz-Potenzen. §. 113. Was ist ein allgemeines Produkt? Was ein allgemeiner Quotient?— Bloße Zeichen voy der Form a.b und a:b. §. 114—115. Erklärung des multiplikativ Gleichen. ES ist in einem besondern Fall subtrak.tiv gleich, und dieses wieder rn einem besondern Fall wirklich gleich. §.116—117. Erklärung des allgemein Gleichen. Ist in einem besondern Fall, multiplikativ, subtraktiv und wirklich gleich. §. ns —120 Das Ableiten der Gleichungen nach (§. 42.) findet unverändert auch für diese allgemeinen Gleichungen statt, wenn nur nie durch Null dwrdirt wird. — Von jetzt ab ist eine allgemeine Zahlenlehre möglich. §. 121. Erklärung der ganzen Potenz. §. 125. Erklärung der Differenz - Potenz. §. 126—127. Die Formeln der Potenzen gelten auch noch für diese (allgemeinern) Differenz»Potenzen.

V. Kapitol, Don den Vielfachen, den Maaßen und den Ge­ mäßen der Zahlen. §♦ 128. Erklärung deS Vielfachen und des Theilers. $. 131. Erklärung der Ziffer 2, der geraden und der unge­ raden Zahl §. 183- Erklärung des nichpkleinsten Quotienten zweyer ganzen Zahlen. §. 135- Erklärung des klein sten gemeinschaftlichen Viel­ fachen, des größten gemeinschaftlichen Gemäßes der absoluten und der relativen Primzahlen. §. 157. Erklärung der einfach en Faktoren einer Zahl. $♦ 129. 132. 134. 136. 138. 139. enthalten Zusätze zu diesen Gfa klärungen.

XXII

Inhalts-Verzeichniß.

VL Kapitcl. Von dem Zahlensystem und von den numeri­ schen Operationen.

§. 140* Erklärung der Ziffern. §. 143. Wae ist eine numerische Zahl? — Ein Zeichen von der Form 4279, und welcher eine Summe bezeichnet, welche Summe wiederum eine (absolute ganze) Zahl vorstellt. 5. 145. WaS fmb Zahlensysteme? $.147. Was ist numerische- Operiern? §. 148. Was sind nächstkleinste numerische Quotienten, Wurzeln und Logarithmen? Die übrigen Paragraphen lehren, wie man numerisch operirt.

VII. Kapitel. Don den Brüchen oder den gebrochenen Zahlen. §. 165. WaS ist ein Bruch? — Eine besondere Art von Quo­ tienten. §. 169. Was ist eine gemischte Zahl? — Eine Summe besonderer Art. 5. 171. Wie man Summen und Quotienten operirt im I. Kapitel, so auch gemischte Zahlen und Brüche. §.173. Erklärung de- Größern und Kleinern für Null, und ganze und gebrochene Zahlen erweitert. §. 183. Erklärung der absoluten Wurzel. §. 188. WaS ist eine Näherungs-Wurzel? §. 192. Was rst eine irrationale Wurzel? §. 194. Was ist eine irrationale Zahl?

VIII Kapitel. Don den Deeimalbruchen. §. 196. Was ist ein Decimalbruch? — Din Zeichen von der Form 43,596, und bezeichnet eine Summe. §. 198. Zeder Decimalbruch ist einem Quotienten gleich. §.200 — 204. Wie man zwey Decimalbrüche numerisch operrrt. Dis ans Ende. Wie man NäherungSquotienten und NäherungSwurzeln numerisch findet.

IX. Kapitel, Bon den positiven und den negativen Zahlen. §. 214. Positive und negative Zahlen sind besondere Ar­ ten der additiven und der subtraktiven Zahlen. Was daher von letztem gelehrt wurde, gilt auch von den erstem. §.216. Erklärung des Größern und Kleinern für Null oder positive oder negative Zahlen. §. 221. Erklärung des numerischen OperirenS mit solchen positiven und negatrven Zahlen. §. 223. Erklärung des absolut genommenen und des arithmetischen Ausdrucke. §..225. Erklärung deS Näherungswerth es eines Ausdruck-, und des Ergänzungsgliedes. §. 226. Wichtiger Lehrsatz von den Näherungswerten. X. Kapitel. Praktische Regeln. Dieses Kapitel hat, der Form nach, viel Aehnliches mit der sogenannten Buchstabenrechnung; nur mit dem Unterschied,

Inhalts« Verzeichnis

nm

daß die letztere ihre Regelst bloß praktisch angiebt, während fte hier aus der vorher vorgetragenen Theorie der Zah­ len mit Vernunftnothwendigkeit hervorgehen.

XI. Kapitel.

Bon den Gleichungen im Allgemeinen.

L. aas. Was sind die Seiten und Glieder einer Gleichun ? §. 229. Was rst eine abgeleitete und eine algebraischabgeleitete Gleichung? $. 230—232. Besondere Arten dieser Ableitungen. $. 233. WaS ist eine DestimmungSgleichung? Was eine identische Gleichung? WaS der Werth der Unbe­ kannten. §. 234. In allen abgeleiteten Gleichungen hat die Unbekannte denselben Werth. J. 235—237. Was ist die Auflösung gegebener Bestimmungs­ gleichungen? -.238. Algebraische, transceudente Gleichung. §. 239. Was man unter dem Ordnen einer Bestitnmungsgleichung verstehe. §. 243. Die geordneten Gleichungen sind einfache, höhere. Letztere wieder quadratische, cubische, biquadratische, reine, unreine; letztere wieder dre yg liedrrge, reciproque vnd reducirte. $. 248. Was sind von einander unabhängige Gleichungen? f, 249. Was herßt Eliminiren? und EliminationSgrei­ ch u n g ?. — Bis ans Ende. Wie man mehrere Unbekannte eliminiren, und mehrere Gleichungen auflösen könne.

XII. Kapitel.

Don den einfachen Gleichungen.

§. 253. Eine einfache Gleichung aufzulösen. §, 255. Sie hat immer nur eiste einzige Auflösung. Eine ein­ fache Gleichung kann für den Unbekannten nie den Werth S. oder §. 256.

geben.

Und wenn man den allgemeinen Werth ^ des Unbekann­

ten für den Fall, daß Q = o

(auf eine unerlaubte Weise)

anwendet, so zeigt

an, daß die gegebene Gleichung iden­

tisch war, während

allemal anzeigt, daß sie sich noch übrr-

dieß geradezu widerspricht; in beyden Fällen aber zur Be­ stimmung des Unbekannten nicht langt (mit Modisikatiosten). $t 259. Was bedeutet das Zeichen - b und auch a q. §. 17. kehrsätze. i) Ist a b und b = c, so ist auch a c. 2; Ist a — b und b >> c, so Ist auch a c. 3) 3g a b und b >• c, so ist auch a c. Beweise ergeben sich sehr leicht auo (§§. i5.7.14) Anmerkung. Von tiefem Addiren der unb estimmten Zahlzeichen ist verschieden bad Addiren der Zahlen selbst, welches ($ 3 > gelehrt wurde Von beyden unterscherdet sich wiederum das Addrren der bestimmten Zahlzeichen welches erst im seckssten Kapitel gelehrt werden kann.

5.18. Erklärung. Das Zeichen a —b heißt eine Differenz, und wird ausgesprochen a minus b, oder a weniger b. Das Zeichen a nenne ich den Minuenden, b dagegen den Subtrahenden, und ich bezeichne durch die Differenz a — b die Zahl, die *) Man übersehe nicht, daß in diesem ganzen Kapitel nur von den sogenannten absoluten ganzen Zahlen die Rede ist.

i4

I. Kap» V. d. sieben Operationen. §. 18 — 21

zu b (oder ju welcher b) addirt, die Zahl a giebt.

Ich sage ferner: man soll b von a subtrahiren, und verstehe darunter, man soll die Differenz a — b Hinschreiben.

DaS Zeichen (—) heißt daöSubtrak­

tionszeichen. Anmerkung. eine

Damit also

die

Differenz

a — b

wirklich

Bedeutung habe, muß a > b seyn, und nur unter

dieser Voraussetzung kann hier von solchen Differenzen die Rede seyn, weil sonst a — b keine Bedeutung mehr hätte, von ihm also auch nichts weiter gesagt werden könnte,

h. 19.

Zusatz.

Wird eine Differenz als Zahlzeichen, aufs neue mit einem andern Zahlzeichen verbunden, so muß solche auf das sorgfältigste (durch Klammern) al- ein einzel­ nes Zahlzeichen ausgezeichnet seyn. Anmerkung. Die Erklärung (§. 18.) muß eigentlich so heißen; a — b ist ein Zahlzeichen, welches zu b addirt, eine. Summe (a —• b) + b giebt, die dem Zahlzeichen a gleich ist (§. ?■)

§. 20.

Zusatz.

Demnach;

III. (a — b) -f b = a. §- 2i.

Lehrs»)e.

Ist a = b, so ist auch: 1)a-)-in=b-}-m 2) a — m=sb — m 3) m — a = m — b Beweise folgen unmittelbar aus (§. 7,) *) *) Man vergesse mhmlich nur nicht, daß in diesem ersten Ka­ pitel bloß von den sogenannten absoluten ganzen Zahlen die .Rede seyn kann; daher die aufgestellten Lehrsätze nur unter dieser schon in den Definitionen begründeten Einschränkung gelten, sollen und können.

I.Kap. V. d. sieben Operationen. §.22 — 24'. 15 §. 22. Lehrsatz. Ist aber a > b, so t|i auch: a -}- m b m Beweis folgt aus (§. 15. §.2». n. 1. u. §. 16.) §.23. Zusatz. 1) Ist daher a + m = b + m so i|T auch a = bj d. h. geben zwey Zahlzeichen, wenn man zu ihnen ein drittes addlrt, gleiche Summe«, so sind sie nothwendig selber einander gleich. (Indirekt au§. 22.). *) Die Differenz a — b, wenn sie eine Bedeutung hat, hat daher auch immer eine einzige bestimmte Bedeutung, d. h. eS giebt nur eine einzige be­ stimmte Zahl, die zu b addlrt, a giebt. (Indirekt aus §. 22.)« §.24. Lehrsätze. Es ist ferner IV. (a+b) — b = a V. a — (a — b) = b VI. (a + b) — c = (a - c) + b VII. (a — b) + c = (c — b) + a VIII. a — (b +c) = (a - b) — c IX. a — (b — c) = (a — b) -\--c X. a — (b — e) = (a + c) — b XI. (a — b) — c =3 (a — c) — b XII. (a—b)4~(c—d) = (a-j-c) — (b4-d)j so Wie auch l) (a + c) —(b + c) = a — b fi) (a — c) — (b — c) — a — b

Beweise. Man zeige, daß es für je zwey dieser durch das (=) Zeichen verbundenen Ausdrücke, Zahl,

i6

l.Kap. V.d. sieben Operationen. §.24—27.

Heldbtn giebt (gewöhnlich die Subtrahenden der vor­ kommenden Differenzen) welche zu beyden addirt, gleiche Summen geben. (§. 2;.).*)

§.-5. Zusatz. Auch folgt noch auS (§. 24- XII.): (a — l>) +

(c — d)

+ (f—g) = (a + c + f) — (b + d-f-g);

eben so ähnliche Formeln für vier und mehr Differenzen. §. 26. Zufatz. Als für die Folge besonders wichtig bemerke man: baß alle Formeln des (§. 24.) so wie viele andere ins Unendliche fort sich ergeben, wenn (§. 8 ), ($. I3-), (§. 20.) und l§. 24. IV.) gegeben sind, und auf die einzelnen Gleich, die Sätze des 'cs P-odukts.

Wenn ich

sage: man soll « mit h multipiiztren, so ver­ siehe ich nichts weiter darunter, alS nun soll das Pro­ dukt ab

oder a . b

oder a x b

hinschreiben.

Die

Zeichen (.) oder (*) nennt man dir Multiplika­ Ein solches Produkt a b soll aber im­

tiv n s z e i ch e n.

mer die Zahl bezeichnen, welche auch durch die Summe

a

a -}- a -)-

,, .

deren Summanden-Anzahl b ist, bezeichnet wirb. §.28.

Zusatz.

Ein Produkt ab Ist also nur ein kürzeres Zeichen, für eine Summe, die so viele dem Multiplikanden a gleiche-Summanden hat, als der Multiplikator b an­ zeigt.

Daher hat auch ein Produkt, nach dieser De­

finition, nur dann eine Bedeutung, wenn b >• 1, und nur von solchen kann hier die Rede seyn. Eben so leicht folgt auch 1. b =

wenn b >• 1.

§. 29.

Zusatz.

Wird das Produkt, als zweyten Zahlzeichen

auf's

Zahlzeichen, mit einem

neue verbunden, so muß

solches gehörig als einzelnes Zahlzeichen ausgezeichnet werden, entweder durch Klammern oder durch die bloße Stellung,

um

zede Zweydeutigkeit in der Bezeich­

nung zu vermelden. §. 30.

Lehrsätze.

ES ist XIII, (a-f-b).m — am-s-bm XIV. (a — bj . m = a in — b m B

i3

I.Kap. V.d. stehen Operationen. §.30— 52. XV. XVI.

a . b = b . a (a . b) . c == (a . c). b = (b a) c = (b c) a — etc. etc.

unter der schon in den Definitionen liegenden Voraus­ setzung, daß alle vorkommenden Zahlzeichen wirklich Zahlen der Zahlenreihe bezeichnen, (daß also auch alle Multiplikatoren größer als 1 find). Beweise folgen aus (§§.27.14.25.) und für die Formeln (XVI.) noch aus (XIII.) selbst. Für die Formel XV. mag er hier Platz finden. Es ist nehmlich: ab — a-}-a-f-a-f. a-j- •••• (§- 27.) 1 .a —|- 1 • a "j* 1. a “I" 1 • a —....(§. 2ß.) st (1 -j- 1 -f- 1 -s» 1 -s- ....). a (§. 30. XIII.)

=b.a

W. Z. E. W.*)

§. 3«. Zusatz. Hieraus folgt noch: 1) a (in n) — am -j- an 2) a (m — n) — am — an 3)(a + b + c).m=:am + I>m + cm 4) a (m -f- n p) = am -j- an aP

eben so noch ähnliche Formeln, für Summen von vier und mehr Summanden; aber immer nur unter der Voraussetzung, daß alle vorkommenden Zahlzeichen wirk­ lich Zahlen der Zahlenreihe (sog. absolute ganze Zahlen) bezeichnen (und daß alle Multiplikatoren > 1 find). $. 32, Zusatz. Wegen (XV. §. 30.) nennt man Multiplikand und *) Die Beweise selbst, ausgenommen den von XV, findet man in dev Elementa rzabl enleh re. U. Kap.

I.Kap. V.d. sieben Operationen. 5.52 — 35.

19

Multiplikator auch ohne Unterschied die Faktoren des Produkts. §. 55. Zusatz. Wegen (XVI. §. 3«o kann man statt der dortigen Produkte bloß setzena bc oder a . b . c. Eben so haben auch, wenn man diese Formeln (XVl.) erweitert, *) Zeichen von der Form a !• c (1 oder a b c d f u. f. w. eine bestimmte Bedeutung. Ich nenne sie Produkte mehrerer Faktoren, und es gilt für sie der Satz: Sind mehrere Zahlen mit einander zu multipliziren, so ist es einerlei in wel, cher Ordnung man sie mit einander multipltcirt.. §.>34. Erklärung. Das Zeichen Y

oder

a : b

heiße ein Quotient und werde ausgesprochen: a bl» vidikt durch b, oder a durch b. Das Zeichen a heißt dabey der Dividend, b aber der Dlvisoe des Quotienten. Der Strich (—) oder bas Zeichen (,) werden auch Divisionszeichen genannt. Und wenn ich sage: man soll a durch b dividiren, so verstehe ich darunter, man soll den Quotienten vb oder a : b hinschreiben. *) Diese Erweiterung wird hier, ihrer größt» Leichtigkeit Und Einfachheit wegen, nicht besonders vorgenommen.

D

i

2o

I.Kap. D.d. sieben Operationen. §.54.-36. Ich bezeichne aber durch den Quotienten

ober

s: b die Zahl, welche mit [ober mit welcher (nach XV. $. 30) ] b multiplicirt, a giebt. Anmerkung.

Der Quotient —■ hat daher nur dann eine Be­

deutung, wenn a und b solche Zahlen vorstellen, daß die Zahl a gerade entsteht, wenn b mehrere male zu sich selbst addirt wird. Für 'jefce Zahl a die zwischen tiefen Summen b + b, b -f- b -J- b, b b -f- b -J- b etc. liegt, hat der Quotient ~ gar keine Bedeutung und kann von solchen hier dann auch nicht mehr die Rede seyn.

5. 35‘ Zusatz. Wird der Quotient, als Zahlzeichen, mit einem andern Zahlzeichen auf's neue verbunden; so muß solcher als einzelnes Zahlzeichen besonders ausglichnet werden, so daß nie Zweydeutigkeit iu der Bezeichn nung entsteht. §.36. 3 u sa tz. Es ist auch nach dieser Definition XVII. Ist 1) 2) 3) Beweise Ist aber

. b = a ($. 19. Anmerkung.) 5.37* Lehrsätze. a = b,so Ist auch: a .m = b . m a :m — b : m m : a =m :b unmittelbar aus ($, .7.) h. 38. Lehrsatz. a > b, so ist auch: am bm.

I. Kap. V. d. sieben Operationen. §.59 — 40.

2

Beweis folgt aus (§§. 15. 30, XIII. und 16.) 5. 39» Zusatz. 1) Ist daher am — b m

so ist auch a =s b; d. h.

geben zwey Zahlzeichen, wenn fle mit einem dritten muitlpiicirt werden, gleiche Produkte, so sind sie selber einander gleich. (Indirekt aus §. 38.) s) Der Quotient ^ wenn er rlne Bedeutung hat, hat daher auch jedesmal nur eine einzige 6t# stimmte Bedeutung, b. h. es giebt jedesmal nur eine elnzige bestimmte Zahl, die mit b multipli, eirt, a geben kann. §.40. Lehrsätze.

Es ist auch noch: a

b a

m

rn a

in

m

XXII. 4b- m

b

+m b m

am

b

XXIII. 4-m b XXIV.

v 1)

-

m NI

b

a

äs

I.Kap. V.d.'sieben Operatisnen. §.40. XXV. 4 - m

a *ra "TT"

XXVI. 4 : m

a

D

b

XXVII. a : m XXVIII. a + -

a c *4* b

XXIX. a — -

a c — b

c

c

c

C

XXX.

~

—

bc

c

b

XXXI. 4+ — = b

ad 4 bc

r d

bd

XXXII. -1 _ _t — ad ~ bc b

d

b d„

XXXIII. JL . .1 = ü b

d

xxxiv. 4b

c ds

XXXV. 4

c "d

XXXVI. 4

c

b

D

xxxvii, p bin XXXVIII,

4-

b: m

7

hd a: c — bTd ad _ T * 7 ad “

=

~

b

— 4

b

Beweise. Man zeige, daßeS für je zwey durch das (=) Zeichen verbunden, Zahlzeichen, ein drittes

I. Kap. V. d. sieben Operationen. §.41—42.

23

Zahlreichen giebt, welches mit beyden multlplkcirt, gleiche Produkte hervorbringt. — Dieses dritte Zahl­ zeichen ist gewöhnlich der Divisor eines der vorkom­ menden Quotienten.*) (§. 39. n. ».). §. 4». Zusatz. Durch wiederholte Anwendungen der Formeln des vorhergehenden Paragraphen, ergebe» sich noch so!# gende Gleichungen: » » + b +e l) ------------m a

c

»

I

b

,

c

=-------------- . m m 1 m f

adg

bcg -+• bdf

8) r + ä+ 7=------bä^------g ab cd fgh _ bfh acdgmn .a c f b * d g

” mn acf ” bdg1

und ähnliche für Summen von mehr Summanden, so wie für Produkte von mehr Faktoren. §.4n. Zusatz. Für die Folge sehr wichtig ist bke Bemerkung: daß alle diese und viele andere Formeln (Glekchungen) hatten abgeleitet werden können, wenn man außer den im (§. 26.) vorausgesetzten Sätzen, auch noch die Sätze der Multiplikation (§. 30) und die beyden Gleich». (§. 36. XVII. und §♦ 40. xvm.) gegeben gehabt und auf die einzelnen Gleichungen nicht bloß das Verfahren (§♦ 26.); *) Die Beweise selber sind in der Elementarzahleoletzre II. Kap. zu finden. — Wichtig find, in pädagogischer Bezie­ hung, die dorr beigedrachten wörtlichen Ausdrücke der Formeln.

24

I.Kap. V.d. sieben Operationen. §.45-45. sondern auch noch die 6ätze (§. 37.) mit drn ge­ nannten in Velbindung, angewandt hatte.

Uebrigens gilt hier di-ftibe Bemerkung wie (§. 26.). $. 43. Erklärung. Das Zeichen ab

spricht man aus- a zur bttn Potenz, oder a hoch b, und nennt es eine Potenz. Dabey heiße a der Dianand, i> dagegen fctr Exponent brr Potenz; und wenn ick sage: man sott d. mit b potenziren, so verstehe ich darunter: man soll die Peteuz ab hin­ schreiben. Ich bezeichne aber durch eine Potenz ab die Zahl, welche auch durch das Produkt S « d 4 d • • • *

dessen Faktoren-Anzahl l> ist, bezeichnet wird. $. 44, Zusatz. Eine Potenz db ist daher nur ein kürzeres Zeichen für ein Produkt, welches so viele dem Dignauben a gleiche Faktoren hat, als der Exponent b Einheiten. Daher muß sowohl a als auch b immer größer alS 1 seyn, wenn die Potenz, dieser Definition gemäß, eine Bedeutung haben soll. §.45. Zusatz. Wird die Potenz, als Zahlzeichen, mit einem an­ dern Zahlzeichen auf'S neue verbunden, so muß sie im­ mer gehörig als ein einzelnes Zahlzeichen ausgezeich­ net seyn (entweder durch Klammer» oder durch ihre Stellung), so daß nie Zweydeutigkeit kn der Bezeich, nung entsteht.

I.Kap. V.d. sieben Operationen. §.46—48.

-§

§.46. Lehrsätze. Es ist ferner: XXXIX. am t n — a” . an am : an XXXX. am-n XXXXI. (ab,ra = am . bm XXXXII.

am

bm

XXXXIII. (am)n — amn XXXXIY. (am)u =

Bewei se ergeben fich sehr leicht aus (§§.43» 33- 39-)-*) §. 47» Zusatz. Durch wiederholte Anwendung der Formeln des (§.46.) erhält man noch: 1) a»“ t “ t p — am . an . a?.

2) (a . b . i seyn, weil sonst von einer Potenz, deren Drg* nand b rst, nicht die Rede seyn könnte ($. 44.).

5. 57- Zusatz. Wird der kogarlthme, als Zahlzeichen, mit einem andern Zahlzeichen auf's neue verbunden, so muß sol­ cher alS einzelnes Zahlzeichen ausgezeichnet und erkenn­ bar seyn. Anmerkung. Obige Erklärung muß eigentlich so heißen: der Logarithme a?b rst ein Zahlzeichen, mit welchem b po­ tenzier, eine Potenz ba?b giebt, welche dem Logcrrtthmanden a gleich ist (§. 7 ).

§. ?ö. Zusatz. Man hat daher sogleich: LXI. L1?b — a

3st

5.59. Lehrsätze. » — b, syist auch: 1) ma — mb 2) a?m =; b?m 5) m? a = m ? b

Beweise unmittelbar aus (§. 7O*) *) Wrr glauben aber, um jedem Misverstandnrß vorzubeugen, nochmal bemerken zu müssen, daß alle Formeln nur unter der Voraussetzung gelten sollen und können, daß alle vor-

I.Kap. V. d. sieben Operationen. §.60 — 62.

Ist a

gi

§. 60. Lehrsatz. b, so ist a«d;, wenn m > 1, ma mb

Beweis. Denn es ist a = b -f 15.); folglich ma =mbt3 = mb .m'i= mb -|-mb-j-rnb-|- ... j dahero auch ma mb (§. 16,); wenn q > 1. Sollte aber q = 1, b, (j, a = b + 1 seyn, fr wäre ma = mb t1 = mb . m = mb -}“ mb -f~ • • • J folglich ma mb (weil immer m > ».). $. 61. Zusatz. i) Ist bahre ma = mb, so muß auch a = b seynwenn m > 1, d. h. geben zwey Zahlzeichen wenn man ein drittes, welches > 1 ist, mit ihnen potenzier, gleiche Potenzen, so find sie selbst einan­ der gleich. (Indirekt aus §. 60.). 3) Der Logarlthme a?b, wenn er in einem beson­ dern Fall wirklich eine Bedeutung hat, bezeichnet daher dann nur eine und dieselbe Zahl, nie zwey oder mehrere verschiedene Zahlen zugleich. §.62. Lehrsätze. Man hat allemal: LXIt. LXIII.

(ab) ? a =

b

a,? QTa) —

b

a»b

LXIV.

Va

=

b

LXV.

(ab)?p =

a?p + b?p

LXVI.

(a:b)?p =3

a?p — b?p

LXVII.

(ab)

?

p

= b . (a?p)

kommenden Zeichen wirklich Bedeutung haben, alle Zahlzei­ chen daher sogenannte absolute ganze Zahlen bezeichnen.

AS

I Kap. V.d. sieben Operationen. §.6r &

LXVIII. (Va)?p LXIX.

a? c

- (a?p) : b = (a?b) . (b?c)

a?c b?c a1c LXXI. a?b d LXXII. a ? V'c a LXXIII. a ? Vc

= d: (c ? a)

LXX IV.

(ad; ? c

= aPV'c

LXXV.

(a4; ? C

= d: (c ? a)

a ? (ca)

=3 (a ? c) : d

(V*a) ? c

= a? (cd)

ab ? a°

= b : c

LXX.

=3 a?b = b?c s=s d . (a ? c)

d

LXXVI. LXXVII. LXXVIII.

ab ? cb b c LXXX. Va ? Va b b LXXXI. Va ? V’c d LXXXII. (ab) ? (Va) LXXIX.

=a ? c = c : b =; a ? c = bd =: d : (c ? a)

LXXXI1I.

d . (a?e)

LXXXIV.

ac ?d

= Vo

LXXXV.

ac?d

=

a?c

LXXX VI. LXXXVII. LXXXVIII.

ac?d

d?a ya

a?c bTc

Va ^a?d

d? c 3= Vö Pd

Beweise

I.Kap. V.d. sieben Operationen. §.62 — 64.

55

Beweise der meisten dieser Lehrsätze ergeben sich dadurch, daß man für beyde durch das (1=) jcU chen verbundene Ausdrücke, ein drittes Zahlz-ich-n angiebt (gewöhnlich die Basis eines btrr vorkommenden Logarithmen) welches > 1 ist, und mit ihnen potenzirt, gleiche Potenzen giebt (§. 61.). — Die übrigen werden leicht nach den frühern Methoden erwiesen.*) §.6z. Zusatz. Durch wiederholte Anwendung der vorstehenden Formeln erhalt man noch: ) (abc) ?p — a?p + b?p -f- c?p

1

2) (^f)7P = (a?p+b?p + c?p) —(d?p+f?j>) 3) (a?b) (b?c) (c?d) == a?d

und ähnliche, für Produkte von vier und mehr Faktoren. Anmerkung. Die Formeln (LXV. — LXVIII.), so wie die Formel (LXXXVl.) pflegt man gewöhnlich auf nachstehende Art geschrieben zu finden: 1) log. (ab) — log. a + log. b 2) log. (a: b) = log. a — log. b 3) log. (a1’) 5s b . log. a 4) log. (V*a)

=5

6)

s= cloS'a

alos- c

—^

die übrigen Formeln lassen fich bey dieser unvollkom­ menen Bezeichnungsweife gar nicht darstellen. *) Die Bewege selber finden sich zum Theil in dem dritten Kapitel der Elementarzahlenlehre-.

C

54

I. Kap. V.d. sieben Operationen. §. 64. §. 64.

Haupt Anmerkung.

Alle bis jetzt erwiesenen Formeln gelten aber nur unter der Voraussetzung, daß die vorkommenden 7 Zahl­ zeichen, die wir Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz, Wurzel und Logarithme nannten, wirklich die den Definitionen entsprechende Bedeutung haben, d« h. wirklich Zahlen der Zahlen­ reihe bezeichnen (sogenannte ganze absolute Zahlen». Sind nun a und b solche Zeichen und größer als r,

so sind auch a -f- b, ab und nh nothwendig eben solche: dagegen kann man nicht behaupten, daß auch t>

allemal a — b, a : b, Va und a ? b wirklich mög­ lich (intr (d. h. baß es immer -in der That Zahlen giebt, welche den Definitionen dieser letztern Zeichen enifirrechro).

In einem solchen Falle des Gegentheils b aber, haben die Zeichen a —- b, a: b, Va und a ? b

gar keine Bedeutung, so wenig als das Zeichen (=) wen« es zwischen solchen Zeicyen steht, und es kann daher von der Gültigkeit der bis jetzt erwiesenen Formeln (Lehrsätze) natürlich dann gar nicht mehr die Rede seyn. Weil aber, diesem nach, die Formeln nur in besonderenFällrn gelten, so ist nicht eher eine all­ gemeine Zahlenlehre möglich, als bis wir unsre !efonderen Begriffe zu allgemeinern erheben, um vielleicht das, was für diesen besondern Fall gut, mit au ygen der Logik zukommt, solches in das Bewußtseyn treten zu lassen, dasselbe Verfahren, und kein anderes, werden wir anwenden, um uns auch hier von den bis jetzt erhaltenen betontem Begriffen der ©umm*, der Drffere nz, des Produkts u. s w. f; der Gleichheit (Gleichung), zu allgemeinern zu erheben, tun dadurch eine allgemeine Zahlenlehre möglich zu machen. So hat z. B. der Begriff der Summe a -f- h bis jetzt fol­ gende Merkmale: i) ein Zeichen zu seyn, 2) gerade diese Fornt zu haben (d. h. durch Verbmduna zwener andern Zeichen a Und b mittelst des 4-

3) eine Zahl zu 4' diejenige, die so viel Einheiten hat, alö

Zeichens entstanden zu fe$h) t

bezeichnen, und zwar

die Zahl 2 und die Zahl b zusammen genommen haben, welches 6) voraussetzt, daß a und b ebenfalls wirklich Zahlen der Zah­ lenreihe bezeichnen. — Will man üch nun unert allgemeinern W.'gnff bilden, so lassen wir einige tiefer Merkmale weg (abstra, hiren wir von ein gen dieser Merkmale) z. B. d:e unter % 4, Und C 2

l-Kap.

56

Bemerkung.

5 angemerkten, behalten dann ein Zeichen von der gorma-f-b übrig, welches ein allgemeinerer Begriff rst. — dann nichts zur Sache^

Der Name thut

Am bequemsten ist es aber diesem allge­

meinern Begriff denselben Namen zu geben, welchen vorher der besondere harte, dagegen diesen Besonderen dann durch ein hinzu gefügtes Beywort zu unterscheiden.

So kann man z. B.

denn oben erhaltenen allgemeinem Begriff, wiederum Summ« nennen, muß aber dann, was wi/vorher Summe nannten, etwa wirkliche Summe nennen, um dadurch den frühern (beson­ dern) Begriff, von dem jetzigen (dem allgemeinem) zu unterschei­ den» Auf dieselbe Weise können nun auch die Begriffe der Diffe» renz

der Gleichung, erweitert werden, so wie nachher,

untersucht werden muß, welche der Sätze, bie von den frühern Summen, Differenzen, rc. und Gleichungen Statt fanden, auch noch

für diese allgemeinem Summen, Differenzen rc. rc.

und

Gleichungen gelten werden, und welche nicht mehr Statt finden können. Statt daß hier aber der allgemeinere Begriff der Summe, aus dem Besondern, direkt gefunden wurde, kann solcher auch bloß gerade zu durch Versuche bestimmt werden, dadurch daß man für den besondern Begriff A gleichsam instinktmäßrg einen andem Be» griff B als den allgemeinem von A aufstellt Allein m diesem Salle muß jedesmal nachher, bestimmt und klar nachgewiesen wer­ den, daß der Begriff B auch wirklich den A als einen besondern in sich enthält; d. h. daß der Begriff A ganz und vollständig hervortritt, sobald dem Begriff B noch ein oder einige Merkmale hinzugefügt werden. Auch hat man in diesem Fall noch darauf zu sehen, daß der Begriff B ein völlig bestimmter Begriff ist.

N. Kap. V. d. allgem. Summe«. §.65—66.

$7

Zahlenlehre. Zweytes Kapitel. Von den allgemeinen Summen und Differenzen. Von -er Null und von den additiven und den fubtraktiven Zahlen.

§.65.

Erklärung.

0ai«it«/ km erweiterten Sinne des Worts, heiße von nun an jedes Zeichen von der Form a + b> so wie jedes Zeichen von der Forma — b, Differenz. Im erweiterten Sinn des Worts, genannt «erden soll« Was ich bisher Summe und Differenz nannte, mag fetzt wirkliche Summe und wirkliche Diffe­ renz heißen.

Summen und Differenzen

die

nicht

wirkliche sind, können auch formelle genannt werben. Dem gemäß erweitere ich hier auch die Begriffe: Summand,Minuend,Subtrahend, Addiren, Subtrahiren.

Nicht minder so den Begriff der

Summe mehrerer Summanden (§§.y.r8.u;r4.). §.66.

Erklärung.

Subtraktiv gleich nenne ich zwey Ausdrücke a und b, wenn es einen dritten Ausdruck p giebt, so

58

II. Kap. V. d. allgem. Summen. §.66—67.

daß ble Summen a -j- p und b + p ln einen und dense.ben Auedruck übergeh.n, trenn man m ihnen die Summanden beliebig verwechselt, dann statt Summen von der Form (a — b) -f- b

bloß den Minu-nden a hinschreibt, und mit dem jedes­ maligen Resultat dieselbe Verfahrungsart gehörig oft wiederholt. Was früher gleich genannt wurde (§« 7.) mag jetzt wirklich gleich heißen. Erläuterung. Will man, dieser Definition zu Folge, untersuchen j. D. ob die Ausdrücke a — (b — c) und (a — b) -f- c sublrakllv gleich find, so nehme man b — o und obbire solches zu beiden Ausdrücken. Der erste giebt dann [a — (b — c)] + (b — c) und geht sogleich in a über: der andre aber giebt C(» - *>) 4- c] +