Lehrbuch der Analysis: Band 1 [Nach der 2. Aufl. des fr. originals übers. Reprint 2020] 9783112348222, 9783112348215

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ËDOUARD GrOURSAT PROFESSEUR À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS

LEHRBUCH DER ANALY8IS EBSTER BAND NACH DER ZWEITEN AUFLAGE DES FRANZÖSISCHEN ORIGINALS ÜBERSETZT VON

DE. FELIX JAMES SCHWARZ t MIT EINEM BEGLEITWORT VON Dr. G E R H A R D

KOWALEWSKI

O. Ö. PROFESSOR AN DER K. K. DEUTSCHEN UNIVERSITÄT ZU PRAG

MIT 53 FIGUREN

LEIPZIG VERLAG VON VEIT & COMP. 1914

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

Vorwort. Am 8. Dezember 1 9 1 2 folgte Dr. FELIX JAMES SCHWARZ, der Übersetzer des vorliegenden Bandes, seiner Gattin freiwillig in den Tod. In einem Briefe, den er an seinem Todestage schrieb, bat er den Unterzeichneten für die Publikation des ersten Bandes und für die Fortführung der Übersetzung Sorge zu tragen. Dem liebenswürdigen Entgegenkommen der Verlagsbuchhandlung VEIT & COMP., insbesondere Herrn Dr. THEBING, ist es zu danken, daß dieser Wunsch des Verstorbenen, der mit großer Liebe an der Übersetzung des GouBSATSchen Werkes gearbeitet hat, nunmehr in Erfüllung geht. Diesem ersten Bande werden, etwa in Jahresfrist, die beiden anderen folgen. Es ist zu hoffen, daß die deutsche Übersetzung des berühmten Gours d'Analyse von Goursat dem mathematischen Studium in Deutschland förderlich sein wird. Man darf wohl sagen, daß es ein gleichwertiges Lehrbuch in der deutschen Literatur nicht gibt. Die Übersetzung schließt sich (mit kleinen Abweichungen, die mit Bücksicht auf die Bedürfnisse unserer Studenten geboten erschienen) an die zweite Auflage des Cours d'Analyse an (Paris, Gauthier-Villars, 1910). Dr. Gerhard Kowalewski, o. ö. Professor an der deutschen Universität in Prag.

Inhalt. E r s t e s Kapitel. Einführung. I. Grenzwerte. — Mengen. 1. Grenzwerte 2. Schnitte 3. Begrenzte Mengen 4. Der größte Grenzwert 5. Konvergente Folgen II. Funktionen. — Allgemeines 6. Definitionen 7. Stetigkeit 8. Eigenschaften der stetigen Funktionen . . . 9. Unstetige Funktionen 10. Monotone Funktionen 11. Funktionen mehrerer Veränderlicher 12. Stetige Kurven

Seite

1 1 2 4 6 7 9 9 11 12 16 19 20 24

Zweites Kapitel. Derivierte und Differentiale. I. Definitionen. — Allgemeine Eigenschaften 13. Derivierte 14. Höhere Derivierte 15. Theorem von B O L L E 16. Der Mittelwertsatz 1 7 . T A Y L O R sehe Formel 18. Unbestimmte Formen 19. Partielle Derivierte 20. Tangentenebene an eine Fläche 21. Übergang von den Differenzen zu den Derivierten 2 2 . Theorem von S C H W A B Z H. Bezeichnung durch Differentiale 23. Differentiale 24. Totale Differentiale 25. Höhere Differentiale einer zusammengesetzten F u n k t i o n . . . . 26. Differentiale eines Produktes 27. Homogene Funktionen 28. T A Y L O R sehe Formel für die Funktionen mehrerer Variablen . .

27 27 29 30 30 33

35 37 40 41 44

44 45 47 50 52 54 55

VI

Inhalt.

II. Durch Reihen definierte Funktionen 29. Definition neuer Funktionen durch einen Grenzübergang . . 30. Gleichmäßige Konvergenz 31. Derivierte einer durch eine Reihe dargestellten Punktion . . . 32. Stetige Funktionen ohne Derivierte

Seite

57 57 59 63 65

Drittes Eapitel. Implizite Funktionen. —

Maxima und Minima. — Variablen.

I. Implizite Funktionen 33. Studium eines speziellen Falles 34. Das allgemeine Theorem 35. Derivierte der impliziten Funktionen 36. Anwendung auf die Flächen 37. Höhere Derivierte 38. Partielle Derivierte 39. Simultane Gleichungen 40. Berechnung der Derivierten 41. Inversion 42. Tangente an eine Raumkurve

. . . .

Änderung

der 71 71 74 75 76 78 80 83 87 88 89

II. Singulare Funkte. — Maxima und Minima 91 43. Doppelpunkte einer ebenen Kurve 91 44. Kegelpunkte einer Fläche 94 45. Maxima und Minima der Funktionen einer Variablen 96 46. Funktionen zweier Variablen 97 47. 48. Studium des zweifelhaften Falles 100 49. Funktionen dreier Variablen 104 50. Abstand eines Punktes von einer Fläche 106 51. Maxima und Minima der impliziten Funktionen 108 52. Allgemeine Bemerkungen über die absoluten Maxima und Minima 109 53. Maximalwert einer Determinante 111 I I I . Funktionaldeterminanten 54. Fundamentaleigenschaft IV. Änderung der Variablen 55. Allgemeines 56. Problem 1 57. 58. Anwendungen 59. Problem II 60. Transformation ebener Kurven 61. Berührungstransformationen 62. Problem III. . 63. Eine andere Methode 64. Problem IV. 65. Transformation von LEQENDRE 66. T r a n s f o r m a t i o n v o n AMPERE

67. Potentialgleichung in krummlinigen Koordinaten

112 112 .118 118 119 121 123 124 126 129 132 135 136 137

138

Inhalt.

Viertes Bestimmte

VII

Kapitel. Integrale. Seite

I . Verschiedene Methoden der Quadratur 68. Quadratur der Parabel 69. Allgemeine Methode 70. Primitive Punktionen

147 147 148 151

I I . Bestimmte Integrale. — Geometrische Begriffe, die sich daran knüpfen 71. Die Summen S und s 72. T h e o r e m von DARBOUX

73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83.

153 153 155

Integrierbare Punktionen Bestimmte Integrale Erster Mittelwertsatz Zweiter Mittelwertsatz Rückkehr zu den primitiven Funktionen Indizes Fläche einer ebenen Kurve Berechnung einer ebenen Fläche Länge eines Kurvenbogens Richtungskosinus Variation eines Segmentes einer Geraden

156 159 162 163 165 169 171 173 177 181 182

8 4 . T h e o r e m v o n GRAVES u n d CHASIES

182

I I I . Änderung der Variablen. — Partielle Integration 85. Änderung der Variablen 86. Partielle Integration 87. TAYLOR sehe Formel 88. Transzendenz von 89. LiEOENDBEsche Polynome

183 183 186 188 188 190

I V . Verschiedene Erweiterungen des Integralbegriffes. — Kurven» integrale . . ' . . • 192 90. Eine der Grenzen wird unendlich 192 91. Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes 195 92. Die zu integrierende Funktion wird unendlich 198 93. Die Funktion T(a) 202 94. Kurvenintegrale 203 95. Anwendung auf die Fläche einer geschlossenen Kurve . . . . 205 96. Wert des Integrals \ f x d y - y dx 207 V . Differentiation und Integration unter dem Integralzeichen 97. Differentiation unter dem Integralzeichen 98. Integration unter dem Integralzeichen 99. Gleichmäßig konvergente Integrale 100. Theorem von d'ALEMBEBT

.

208 208 210 212 217

Inhalt.

VIII

Fünftes Kapitel. Berechnung der bestimmten Integrale. Seite

I. Unbestimmte Integrale 223 101. Integration der rationalen Funktionen 223 102. Die Integrale f B {x, YAx* + 2Bx + C) dx 227 103. Unikursalkurven 232 104. Algebraisch-logarithmische Integrale 235 105. Reduktion der elliptischen und hyperelliptischen Integrale. . . 237 106. Algebraische Integrierbarkeit 242 107. Elliptische Integrale 243 108. Pseudo-elliptische Integrale 246 109. Integration einiger transzendenter Funktionen 248 IL Näherungsweise Berechnung der bestimmten Integrale . . . 253 110. Allgemeines 253 111. Interpolation 255 112. Methode von GAUSS 113. Das Planimeter von AMBLER

257 259

114. Integration der Reihen 261 m . Verschiedene Methoden 265 115. Anwendung der Formeln der Differentiation und Integration unter dem Integralzeichen 265 n 116. Berechnung von/"log (1 — 2 a cos x + a2) dx 268 0 117. Näherungswert von log J"(w + 1 ) 270

Sechstes Kapitel. Doppelintegrale I. Doppelintegrale und ihre Berechnung. — Greensche Formel 118. Die Summen S und s für eine Funktion zweier Veränderlicher 119. Doppelintegrale 120. Berechnung der Doppelintegrale 121. Fall eines beliebigen Integrationsfeldes . . 122. Analogien mit den einfachen Integralen 123. Formel von GEBEN

276 276 278 282 285 288 .291

II. Änderung der Variablen. — Volumen. — Inhalt einer krummen Oberfläche 292 124. Vorbereitende Formel 293 125. Änderung der Variablen. — Erste Methode 295 126. Beispiele 297 127. Änderung der Variablen. — Zweite Methode 298 128. Volumina 301 129. Berechnung der Volumina 304 130. Ein von einer Kegelfläche begrenztes Volumen 305 131. Inhalt einer krummen Oberfläche 306 132. Flächenelement 309 133. Problem von Viviani 311

Inhalt

ix Seite

III. Erweiterung des Begriffes des Doppelintegrales. — Flächenintegrale 134. Doppelintegrale in einem unbegrenzten Felde . . . . 135. Die Funktion B (p, q) 136. Integrale von nicht endlichen Funktionen 137. ÄBELsche Funktionalgleichung . 138. Flächenintegrale

312 312 315 317 319 320

139. Formel von STOKES

323

140. Anwendung auf die Volumina 141. Verhältnis zweier Flächenelemente

. . .

324 325

Siebentes Kapitel. Mehrfache Integrale. —

Integration der totalen Differentiale.

I. Mehrfache Integrale. — Einführung neuer Variablen . . . . 142. Dreifache Integrale 143. Berechnung der dreifachen Integrale 144. GREEN sehe Formel 145. Einführung neuer Variablen. — Erste Methode 146. Einführung neuer Variablen. — Zweite Methode 147. Volumelement 148. Elliptische Koordinaten 149. DimcHLETSche Integrale 150. Mehrfache Integrale

330 330 331 335 337 338 341 344 345 346

II. Integration der totalen Differentiale 151. Allgemeine Methode (*, y) 152. Studium des Integrals f Pdx + Qdy (*0> I/o) 153. Perioden 154. Gemeinsame Wurzeln zweier Gleichungen 155. Ausdehnung der vorangehenden Resultate

350 350 351 355 358 359

Achtes Kapitel. Unendliche Reihen und Produkte. I. Konvergenzregeln 156. Allgemeines 157. Reihen mit positiven Gliedern

364 364 . 365

158. R e g e l n v o n CAUCHY u n d D'ALEMBERT

366

159. Verschiedene Bemerkungen 160. Anwendung des größten Grenzwertes

. .

. . .

. . .

367 369

161. Theorem von CAUCHY

370

162. Logarithmische Kriterien

373

163. R e g e l v o n RAABE u n d DUHAMEL

375

164. Absolut konvergente Reihen . . . 165. Einfach konvergente Reihen

379 381

166. Regel von ABEL

.

. . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

383

Inhalt

X

Seite

II. R e i h e n mit imaginären Gliedern. — Mehrfache R e i h e n . 167. Definitionen 168. Multiplikation der Reihen 169. 170. Doppelreihen 171. Vielfache Reihen 1 7 2 . Verallgemeinerung des Theorems von CAUCHY 173. Vielfache Reihen mit variablen Gliedern III. Unendliche P r o d u k t s 174. Definitionen und Allgemeines 175. Unbedingt konvergente Produkte 176. Gleichmäßig konvergente Produkte . . . . 177. Reelle unendliche Produkte 178. Determinanten von unendlicher Ordnung

Neuntes Ganze Reihen.

. . 384 384 386 387 393 393

394

. . . .

Kapitel.

—Trigonometrische Reihen.

I. Taylor sehe Reihe. — Allgemeines 179. TAYLOBSche Reihe 180. Binomialformel

404 404 408

II. Ganze R e i h e n mit einer Variablen 181. Konvergenzbereich 182. Stetigkeit einer ganzen Reihe 183. Höhere Derivierte einer ganzen Reihe 184. Zweiter Beweis 1 8 5 . Fortsetzung der TAYLOR sehen Formel 186. Majoranten 187. Substitution einer Reihe in eine andere Reihe . 188. Division der ganzen Reihen 189. Entwicklung von

395 395 396 399 400 403

1

y 1 - 2xx + x-

. . .

I I I . Ganze R e i h e n mit m e h r e r e n Veränderlichen 190. Konvergenzbereich 191. Eigenschaften der ganzen Reihen 192. Majoranten

409 409 411 414 417 418

420 422 426 .

. 428 429 429 431 435

IV. Implizite F u n k t i o n e n . — Analytische K u r v e n u n d Flächen . 438 193. Implizite Funktionen einer Variablen 438 194. Allgemeines Theorem . . . . . . 441 1 9 5 . LAGRANGE sehe Formel . . . . . . . 443 196. Inversion . . . . 445 197. Analytische Funktionen 446 198. Analytische Kurven . 447 199. Doppelpunkte . . . 449 200. Analytische Flächen . . . . . 452

Inhalt

XI . Seite

V. Trigonometrische Reihen. — Reihen v o n P o l y n o m e n . . . . 201. FooRiERSche Reihen

h

454 454

sin ft %

/ f (#) —:—-- d x

457 461 465

sin Reihen X 203. Funktionen, die in F O U0 R I E R sehe entwickelbar sind . . . 204. Beispiele 2 0 5 . Entwicklung einer stetigen Funktion. Theorem von W E I E B S T R A S S

466

Zehntes Kapitel. Theorie der Einhüllenden. —

Krümmung ebener Kurven.

—

Berührung. I. E i n h ü l l e n d e K u r v e n u n d F l ä c h e n . . . . 206. 207. Bestimmung der Einhüllenden 208. Einhüllende einer Geraden 209. Einhüllende eines Kreises . •. . . . . 210. Flächen mit einem Parameter . . . 211. Flächen mit zwei Parametern 212. 213. Abwickelbare Flächen . . . . 214. Einhüllende einer Familie von Raumkurven . II. K r ü m m u n g ebener Kurven 215. Krümmungsradius . . . . 216. Evoluten . . . . 217. Zykloide 218. Kettenlinie 219. Traktrix

. . .

.470 470 474 . . . . 476 477 478 : 480 483 . . . . 486 486 489 491 493 494

III. K o n t a k t zweier K u r v e n , einer K u r v e u n d einer Fläche 220. Berührung zwischen ebenen Kurven 221. Ordnung der Berührung 222. 223. Oskulierende Kurven . . . 224. Berührung zweier Raumkurven . . 225. Oskulierende Kurven 226. Berührung zwischen einer Kurve und einer Fläche 227. Gerade, die eine Fläche oskulieren

.

.

495 495 498 501 504 507 508 510

E l f t e s Kapitel. Raumkurven. I. Oskulationsebene 228. Definition und Gleichung 229. Stationäre Oskulationsebenen 230. Stationäre Tangenten II. K r ü m m u n g u n d Torsion. — Evoluten. 231. Sphärische Indikatrix 232. Krümmungsradius 233. Hauptnormale. — Krümmungsmittelpunkt

514 514 516 518 520 520 521 523

Inhalt

XII

Seite

234. 235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 242.

Polare. — Polarfläche Torsion FEENET sehe Formeln Entwicklung von x, y, % nach Potenzen von s . . Natürliche Gleichungen Evolventen und Evoluten . Schraubenlinien . . . BEETRAND sehe Kurven . . . Oskulationskugel

.

524 .525 . 528 530 . . 532 534 . 536 538 539

Zwölftes Kapitel. Flächen. I. K r ü m m u n g der F l ä c h e n k u r v e n 243. Fundamentalformel. — Satz von MEUSNIER 244. Die beiden fundamentalen Formen . . . . 245. Die EULEB sehen Sätze. Indikatrix 246. Hauptkrümmungsradien II. Asymptotenlinien. — Krümmungslinien 247. Asymptotenlinien 248. Asymptotenlinien der Regelflächen 249. Konjugierte Linien 250. Krümmungslinien 251. Evolute einer Fläche

. . .

543 543 . . 549 550 553

:

557 557 559 560 563 . 566

2 5 2 . F o r m e l n v o n GLINDE RODMGTJES

568

253. Theorem von JOACHIMSTHAL 254. Theorem von DUPIN

570 571

255. Anwendung auf einige Klassen von FlächeD 256. Sphärische Abbildung i n . Begriffe über Oeradensysteme 257. Regelflächen 258. Der Zentralpunkt und Verteilungsparameter 259. Kongruenzen. Fokalflächen 260. Kongruenzen von Normalen

573 575 577 577 581 582 584

261. T h e o r e m von MALUS

586

262. Komplexe

587

Erstes Kapitel.

Einführung. I. Grenzwerte. — Mengen. Von dem Begriffe der ganzen Zahl erhebt man sich stufenweise zu dem der rationalen, irrationalen und der algebraischen Zahlen. Wir setzen voraus, daß der Leser diese Begriffe bereits erworben hat und daß er auch die Theorie der algebraischen Operationen und die Anwendung der Zahlen auf die Messung stetiger Größen kennt.1 1. Grenzwerte. Man sagt, daß eine veränderliche Zahl x eine feste Zahl a zum G r e n z w e r t hat oder gegen a k o n v e r g i e r t , wenn der absolute Wert der Differenz x — a schließlich kleiner wird und b l e i b t als jede im voraus gegebene positive Zahl. Ist a gleich Null, so heißt die Zahl .r eine u n e n d l i c h k l e i n e Größe. Die Aussagen, daß x eine Zahl a zum Grenzwert habe oder daß die Differenz x — a eine unendlich kleine Größe sei, besagen offenbar das Gleiche. Um zu beweisen, daß eine Zahl x die Zahl a zum Grenzwert hat, teilt man im allgemeinen die Differenz x — a in eine gewisse Anzahl von Teilen, z. B. in drei, und beweist, daß der absolute Wert jedes dieser Teile schließlich kleiner bleibt als tive Zahl bedeutet.

wobei e eine beliebige posi-

Dieser charakteristische Beweisgang, den wir

oft anwenden werden, wird mitunter der e - B e w e i s genannt. Man sagt auch manchmal, indem man sich einer inkorrekten, 1 Wir nehmen an, daß eine Irrationalzahl durch die Zerlegung der Menge der rationalen Zahlen in zwei Klassen, welche gewissen Bedingungen genügen, definiert sei. Jeder Länge B, welche kein gemeinsames Maß mit der als Einheit gewählten Länge A hat, entspricht eine Irrationalzahl i , die das Maß von B heißt, wenn man A als Einheit nimmt. Umgekehrt entspricht jeder irgendwie arithmetisch definierten Irrationalzahl i eine Länge B, welche kein gemeinsames Maß mit der als Einheit gewählten Länge hat. Um diese wichtige These zu begründen, ist man gezwungen, sich auf ein Postulat zu stützen, welches von unserer Anschauung der geraden Linie herstammt.

GOUKSAT, Lehrbuch der Analysls.

I.

1

2

Erstes Kapitel: Einführung.

aber bequemen Ausdrucksweise bedient, daß eine Zahl x zum Grenzwert -)-oo oder — oo hat oder gegen +00 strebt. Die Aussage, daß x z. B. + 0 0 zur Grenze hat, bedeutet, daß die Zahl x schließlich größer wird und bleibt als jede im voraus gegebene positive Zahl A und nicht, daß die Differenz (+00 — x) gegen Null konvergiert, was gar keinen Sinn hätte. Desgleichen pflegt man zu sagen, daß eine geometrische Figur, die in Form oder Lage veränderlich ist, eine feste Figur zur Grenze hat. Will man ein wenig Genauigkeit in diese Aussage bringen, so ist man gezwungen, in jedem besonderen Falle die Abweichung der fixen und der beweglichen Figur durch eine oder mehrere veränderliche Zahlen zu messen, und die vorhergehende Aussage drückt nichts anderes aus, als daß diese Zahlen unter bestimmten Bedingungen gegen Null konvergieren. Nehmen wir z. B. zwei benachbarte Punkte M, M' auf einer Kurve C. Man sagt, daß die Sehne MM' im Punkte M die Tangente MT zur Grenzlage hat, wenn der Punkt M' sich unbegrenzt dem Punkte M auf der Kurve C nähert. Die beiden Geraden MM', MT schneiden sich in einem festen Punkt M\ es ist darnach natürlich, als Maß für ihre Abweichung den spitzen Winkel a zu nehmen, den diese beiden Geraden bilden, und der ausgesprochene Satz bedeutet in der Sprache der Analysis, daß der Winkel a kleiner ist als ein willkürlich gewählter Winkel s, vorausgesetzt, daß die Distanz MM' selbst kleiner ist als eine andere geeignet gewählte Länge (>. 2. Schnitte. Nehmen wir an, daß die Menge der positiven und negativen Zahlen durch irgend ein Mittel in zwei Klassen A und B eingeteilt worden sei, derart, daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. es existieren Zahlen beider Klassen; 2. j e d e positive und j e d e negative Zahl gehört einer der béidén Klassen an; 3. jede Zahl der Klasse A ist kleiner als jede Zahl der Klasse B. Aus dieser letzten Bedingung folgt unmittelbar, daß jede Zahl, die kleiner als eine Zahl a der Klasse A ist, ebenfalls zur Klasse A gehört; daß hingegen, wenn b eine Zahl der Klasse B ist, auch jede Zahl, die größer als b ist, ebenfalls zur Klasse B gehört. Die beiden Klassen enthalten also stets unendlich viele rationale und unendlich viele irrationale Zahlen.

I. Grenzwerte. — Mengen.

3

Wir wollen nun beweisen, daß eine Zahl L existiert, welche die folgenden beiden Eigenschaften genießt: 1. j e d e Z a h l k l e i n e r a l s L g e h ö r t z u r K l a s s e A\ 2. j e d e Z a h l g r ö ß e r a l s L g e h ö r t zur K l a s s e B. Die Existenz dieser T r e n n u n g s z a h l L ist eine unmittelbare Folge des Begriffes der Irrationalzahl. In der Tat, betrachten wir in den beiden Klassen A und B nur die rationalen Zahlen. Man zerlegt so die Menge der rationalen Zahlen in zwei Klassen (a) und (ß) derart, daß jede rationale Zahl einer der beiden Klassen angehört und daß jede rationale Zahl der Klasse (a) kleiner ist als jede rationale Zahl der Klasse (ß). Nachdem dies geschehen, können sich mehrere Fälle darbieten, die wir nun, einen nach dem anderen, untersuchen wollen: I. Es kann geschehen, daß eine rationale Zahl ^ der Klasse («) existiert, w e l c h e g r ö ß e r i s t a l s a l l e a n d e r e n r a t i o n a l e n Z a h l e n derselben Klasse. zahl L.

Dann ist die Zahl ^

selbst die Trennungs-

Denn es ist klar, daß jede Zahl kleiner als

der Klasse A

angehört, da y selbst zur Klasse A gehört. Jede Zahl b größer als gehört zur Klasse B: das ist selbstverständlich, wenn b rational ist; wenn aber b irrational ist, so nehmen wir eine rationale Zahl r zwischen ~ und b.

Diese rationale Zahl r gehört zur Klasse B\

demnach gilt für b das Gleiche. I I . Wenn eine rationale Zahl ~

der Klasse (ß) existiert, w e l c h e

k l e i n e r ist als alle anderen r a t i o n a l e n Zahlen Klasse,

so sieht man genau so, daß alle Zahlen kleiner als

zur Klasse A gehören und alle Zahlen größer als ~

derselben

zur Klasse B\

ist die Trennungszahl L.

I I I . E s kann schließlich vorkommen, daß keine rationale Zahl der Klasse (a) existiert, welche größer als alle anderen rationalen Zahlen derselben Klasse ist, noch auch eine rationale Zahl der Klasse (ß), die kleiner ist als alle rationalen Zahlen derselben Klasse. Diese Zerfällung der rationalen Zahlen in zwei Klassen («) und (ß) definiert dann e i n e i r r a t i o n a l e Z a h l i, die größer ist als alle rationalen Zahlen der Klasse («) und kleiner als alle rationalen Zahlen der Klasse (ß). Diese Zahl i ist die Trennungszahl. Denn es ist klar, daß alle rationalen Zahlen kleiner als i zur Klasse A l*

4

Erstes Kapitel:

Einführung.

gehören und alle rationalen Zahlen größer als i zur Klasse B, was unmittelbar aus der Definition dieser Zahl i folgt. Nehmen wir nun eine irrationale Zahl i' < i und es sei r eine rationale Zahl zwischen i' und i\ da r zur Klasse A gehört, so gehört auch i' zur Klasse A. Und ebenso würde man sehen, daß jede irrationale Zahl größer als i zur Klasse B gehört. Die Zahl L , deren Existenz wir somit bewiesen haben, heißt auch e i n S c h n i t t . Sie kann zur Klasse A oder zur Klasse B gehören; sie gehört zur Klasse A in dem unter I. besprochenen Falle, zur Klasse B im II. Falle. Im III. Falle kann sie zur Klasse A oder zur Klasse B gehören. Dieser Begriff des Schnittes bietet sich in einer großen Anzahl sehr elementarer Fragen dar. Nehmen wir beispielsweise die Reihe, deren allgemeines Glied n-f1 ist; wirft man in eine Klasse A alle Zahlen ¡i, welche die Reihe divergent machen, in eine Klasse B alle Zahlen (i, welche die Reihe konvergent machen, so hat man eine Zerfällung aller Zahlen in zwei Klassen, die offenbar allen gewünschten Bedingungen genügt. Hier ist L = 1 und diese Zahl L gehört zur Klasse A. 3. Begrenzte Mengen. Wir haben bereits mehrere Male das Wort M e n g e verwendet. Der Begriff der Menge gehört zu denen, die man wohl nicht anders als durch Beispiele zu definieren braucht. Jede Anhäufung von Objekten in endlicher oder unendlicher Anzahl bildet eine Menge; solche Mengen sind die Menge der ganzen Zahlen, die Menge der rationalen Zahlen, die Menge der Geraden einer Ebene usw. Im folgenden werden wir uns nur mit Zablenmengen befassen. Man sagt, daß eine Menge von Zahlen (M) n a c h o b e n b e g r e n z t ist, wenn eine Zahl a existiert, die größer ist als alle Zahlen der Menge; wenn eine solche existiert, so ist klar, daß es deren unendlich viele gibt und jede Zahl, die diese Eigenschaft genießt, ist e i n e o b e r e G r e n z e der Zahlen der Menge (M). Ebenso nennt man eine Menge (M) n a c h u n t e n b e g r e n z t , wenn eine Zahl b existiert, die kleiner als alle Zahlen der Menge ist; jede diese Eigenschaft genießende Zahl ist e i n e u n t e r e G r e n z e der Zahlen dieser Menge. Eine nach oben und unten begrenzte Menge heißt eine b e g r e n z t e Menge. Die Menge der positiven Zahlen ist nach unten, die Menge der negativen Zahlen nach oben begrenzt; die Menge der zwischen 0 und 1 gelegenen Zahlen ist nach beiden Seiten hin begrenzt, die Menge der positiven und negativen Zahlen weder nach oben noch nach unten.

I.

5

Qrenxiverte. — Mengen.

Es sei (ilf) eine Menge von Zahlen, die nach oben begrenzt ist. Dann kann man alle positiven und negativen Zahlen in bezug auf die Menge (M) in zwei Klassen A und B einteilen: wir werden sagen, daß eine Zahl x zur Klasse A gehört, wenn eine oder mehrere Zahlen aus (M) existieren, die größer sind als x, und daß sie zur Klasse B gehört, wenn es keine einzige Zahl aus (M) gibt, die größer ist als x. Da die Menge (M) nach oben begrenzt ist, so ist klar, daß es Zahlen der beiden Klassen gibt und daß jede Zahl der Klasse A kleiner ist als jede Zahl der Klasse B. Es sei L die Trennungszahl der beiden Klassen; diese Zahl L besitzt die beiden folgenden Eigenschaften: 1. es e x i s t i e r t k e i n e Z a h l a u s (/>/), die g r ö ß e r ist als 2. wie klein a u c h die p o s i t i v e Z a h l s sei, es g i b t s t e t s eine Z a h l in (M), die g r ö ß e r ist als L — «. In der Tat, nehmen wir an, es existiere in (vif) eine Zahl (h > 0)

L + h h

die größer ist als L. Die Zahl L + die ebenfalls größer ist als L, würde zur Klasse A gehören, was absurd ist. Andererseits gehört die Zahl L — e, unter s eine beliebige positive Zahl verstanden, zur Klasse A-, demnach gibt es mindestens eine Zahl in (M), die größer ist als L — Die so definierte Zahl L heißt die genaue obere Grenze oder einfacher die obere G r e n z e der Menge (M). Diese Zahl (L) kann selbst zu (M) gehören; dies ist stets der Fall, wenn die Menge von n Zahlen gebildet wird (wobei n eine endliche Zahl bedeutet). Wenn aber (M) eine unendliche Menge von Zahlen enthält, so gehört die obere Grenze nicht notwendig zur Menge. Betrachten wir z. B. die Menge der r a t i o n a l e n Zahlen, deren Quadrat 2 nicht übertrifft; die obere Grenze ist die irrationale Zahl |/2 und gehört nicht zur Menge. Hingegen hat die Menge der r a t i o n a l e n und i r r a t i o n a l e n Zahlen, deren Quadrat 2 nicht übertrifft, zwar noch immer ~)[2 zur oberen Grenze, aber diese Zahl gehört jetzt zur Menge. Beachten wir noch, daß immer, wenn L nicht der Menge (M) angehört, unendlich viele Zahlen in (M) existieren, welche größer sind als Z — s, wie klein auch t sei. Denn wenn es nur eine endliche Anzahl gäbe, so wäre die größte dieser Zahlen die obere Grenze der Menge (M). Ebenso beweist man für eine nach unten begrenzte Menge, daß eine Zahl l existiert, welche die folgenden beiden Eigenschaften besitzt:

6

Erstes Kapitel: Einführung.

1. es e x i s t i e r t k e i n e Z a h l in {M), d i e k l e i n e r i s t als l\ 2. w i e k l e i n a u c h d i e p o s i t i v e Z a h l e s e i , es g i b t s t e t s e i n e Z a h l in (M), d i e k l e i n e r i s t a l s Z + e. Diese Zahl l ist d i e u n t e r e G r e n z e der Menge. Es ist klar, daß es nur eine einzige Zahl geben kann, welche die beiden charakteristischen Eigenschaften von l besitzt, und das Gleiche gilt auch für L.

4. Der größte Grenzwert. Es sei {M) eine begrenzte Menge, welche unendlich viele Zahlen enthält. In bezug auf diese Menge können wir alle positiven und negativen Zahlen auch auf eine andere Art in zwei Klassen Ä und B' einteilen. Wir werden sagen, eine Zahl x gehört zur Klasse A!, w e n n es u n e n d l i c h v i e l e Z a h l e n der M e n g e (M) g i b t , d i e g r ö ß e r s i n d a l s x. Im entgegengesetzten Falle werden wir sagen, daß die Zahl x der Klasse B' angehört. Da die Menge (M) begrenzt ist und unendlich viele Zahlen enthält, so ist klar, daß Zahlen beider Klassen existieren und daß eine beliebige Zahl der Klasse Ä kleiner ist als eine beliebige Zahl der Klasse B'. Es sei A die Trennungszahl zwischen den beiden Klassen J! und B'; diese Zahl A heißt nach CAUCHY der g r ö ß t e G r e n z w e r t der Zahlen der Menge (M). Es sei e eine beliebige positive Zahl; nach der Definition von A gehört die Zahl A + e zur Klasse B' und die Zahl A — Í zur Klasse A'. Es existieren daher stets unendlich viele Zahlen der Menge (M), die zwischen A — e und A + £ enthalten sind, während es nur eine endliche Anzahl (oder gar keine) gibt, die größer sind als A + t. Diese Zahl A ist mit einer wichtigen Frage verknüpft. Zur Erleichterung der Ausdrucksweise lassen wir jeder Zahl a auf einer Geraden x' x den Punkt mit der Abszisse a entsprechen und bezeichnen einen Punkt der Achse und seine Abszisse mit demselben Buchstaben. Jeder Zahlenmenge (M) entspricht so eine Punktmenge auf einer Geraden oder l i n e a r e Menge. Die Punkte einer begrenzten Menge liegen alle auf einem Abschnitte der Achse von endlicher Länge. Gegeben sei eine lineare MeDge (M)\ ein Punkt l heißt ein G r e n z p u n k t oder ein H ä u f u n g s p u n k t , wenn unendlich viele Punkte der Menge in der Umgebung von l liegen oder genauer gesagt, wenn es stets unendlich viele Punkte der Menge zwischen 1—6 und l + s gibt, wie klein auch die positive Zahl s sei. J e d e b e g r e n z t e lineare Menge, welche unendlich viele P u n k t e e n t h ä l t , l ä ß t m i n d e s t e n s e i n e n G r e n z p u n k t zu. In der Tat, der Punkt mit der Abszisse A ist nach der charakteristischen Eigenschaft dieser Zahl offenbar ein Grenzpunkt. Es können aber auch noch andere existieren; diese Häufungspunkte bilden dann eine neue Menge {M'), welche die a b g e l e i t e t e M e n g e von (M) heißt. Die obere Grenze L' der Menge (M') ist gerade die Zahl A. Denn wenn e eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet, so kann es nur eine endliche Anzahl von Punkten der Menge (M)

I.

Grenxioerle.

—

7

Mengen.

geben, die größer sind als 1J + s; denn anderenfalls würden diese Punkte eine neue

Menge

bilden,

deren

größter Grenzwert

andererseits mindestens einen Grenzwert gibt,

größer

als L'

v.'äre,

der größer ist als L'

Da

gibt es notwendig unendlich viele W e r t e in M, die größer sind als L' — e. untere Grenze V

der abgeleiteten Menge heißt auch d e r k l e i n s t e

w e r t der Menge

(M).

es

— s, so Die

Grenz-

D i e Existenz der Häufungspunkte einer begrenzten Menge, welche unendlich viele Punkte umfaßt, kann direkt durch eine Überlegung, die oft angewandt werden w i r d , dargetan werden (vgl. N r . 8).

Eine n i c h t

begrenzte

Menge,

welche unendlich viele Punkte enthält, läßt nicht unbedingt Grenzpunkte zu, wie z. B. die Menge der ganzen Zahlen.

A b e r es gibt sicherlich einen Grenz-

punkt, wenn auf einem Abschnitte von endlicher L ä n g e unendlich viele Punkte der Menge liegen.

5. Konvergente Folgen. von Zahlen (1)

*o»

Betrachten wir eine unbegrenzte Folge

Ä l>

' ' •

Sn>

deren jede einen bestimmten Rang einnimmt; diese Folge heißt k o n v e r g e n t , wenn sn gegen einen Grenzwert S strebt, wofern der Rang n unbegrenzt wächst. Jede Folge, die nicht konvergent ist, heißt d i v e r g e n t ; dies kann eintreten, wenn |sn| schließlich größer bleibt als jede im voraus gegebene Zahl oder auch wenn sn gegen keinen Grenzwert konvergiert, ohne daß sein absoluter Wert unbegrenzt wächst. sn +

l

Eine Folge heißt wachsend, wenn für jedes n die Differenz — i „n S—: 0 ist;' sie heißt abnehmend,' wenn diese Differenz für

jedes n kleiner oder gleich Null ist. J e d e wachsende F o l g e , deren a l l g e m e i n e s G l i e d nicht u n b e g r e n z t wächst, ist k o n v e r g e n t . In der Tat, die Zahlen der Folge (1) bilden dann eine begrenzte Menge {M). Es sei L die obere Grenze dieser Menge; bezeichnet « eine beliebig kleine positive Zahl, so existiert stets eine Zahl sm der Folge (1), die größer ist als L — s. Für jeden Wert von n, der größer ist als m, ist sn^.sm und infolgedessen L —s < sn^L. Die Differenz L — sn ist also kleiner als s für a g m ; das heißt aber nichts anderes, als daß sn mit unbegrenzt wachsendem n die Zahl L zum Grenzwert hat. Ebenso beweist man, daß j e d e abnehmende F o l g e , deren a l l g e m e i n e r T e r m g r ö ß e r b l e i b t als eine f e s t e Z a h l , k o n v e r g e n t ist. 1 . 1

Dieselbe Schluß weise gestattet

allgemeiner

änderliche Zahl x, die niemals |zun^immt'

w^hrend

zu zeigen,

daß eine

ver-

sie stets j j ^ g ß ^ T bleibt

als eine feste Zahl, gegen einen Grenzwert konvergiert.

8

Erstes Kapitel:

Einführung.

Das allgemeine Konvergenzkriterium wird leicht aus der Betrachtung des größten Grenzwertes hergeleitet. D a m i t e i n e R e i h e (1) k o n v e r g e n t s e i , ist n o t w e n d i g und h i n r e i c h e n d , daß man j e d e r p o s i t i v e n Z a h l £ e i n e Z a h l n e n t s p r e c h e n l a s s e n k a n n derart, daß die D i f f e r e n z «„ + J)— *„ i h r e m a b s o l u t e n B e t r a g e nach k l e i n e r sei a l s e, w e l c h e s a u c h die g a n z e p o s i t i v e Zahl p sei. Die Bedingung ist n o t w e n d i g : denn wenn s n mit unbegrenzt wachsendem n zum Grenzwert S hat, so kann man eine genügend große Zahl n finden, so daß alle Differenzen S — sn, S — s n + 1, . . . S — sn+p,

. . • ihrem absoluten Werte nach kleiner als

sind.

absolute Wert von i n + J) — sn wird somit kleiner sein als 2

Der = s,

was auch p sei. Die Bedingung ist h i n r e i c h e n d : denn bedeutet £ eine beliebig kleine positive Zahl, so gibt es nach der Voraussetzung eine ganze Zahl n derart, daß der absolute Betrag von sn + p — sn kleiner ist als e, was auch p sei. Daraus folgt, daß alle Glieder der Folge (1) von sn ab zwischen sn — e und sB + £ liegen; es gibt also nur eine e n d l i c h e Anzahl von Gliedern dieser Reihe, die nicht in dem Intervalle (sn — e, sn + £) enthalten sind. Demnach kann der größte Grenzwert 8 dieser Menge nicht kleiner sein als sn — e und nicht größer als s„ + e. Man hat also | sn — S \ ^ e und aus der Identität S = ~ *„) + (•'„ S) folgert man, daß der absolute Betrag von sn + — S kleiner ist als 2 £, was auch p sei. Nun ist aber £ eine willkürliche positive Zahl; infolgedessen hat sn den Grenzwert S. Würde die Folge (1) nur k verschiedene Zahlen enthalten, so wäre zur Konvergenz dieser Folge offenbar nötig, daß von einem bestimmten Range an alle Ausdrücke gleich seien; dieser besondere Fall ordnet sich also der allgemeinen Regel unter. Wenn irgend eine unbegrenzte Folge gegeben ist, deren allgemeiner Term un ist, so sagt man, daß die Reihe *« + „

(2)

-

Mo + Mi + . . . + M „ + . . .

k o n v e r g e n t ist, wenn die durch die aufeinander folgenden Summen der Glieder dieser Reihe gebildete Folge s

o = wo> «i = Mo + «i> •••> s» = vo + u i + ••• + "»>••• selbst konvergent ist. Es sei 8 der Grenzwert dieser zweiten Folge, d. h. der Grenzwert, gegen welchen die Summe sn mit unbegrenzt

II. Funktionen.

—

Allgemeines.

9

wachsendem n konvergiert; S heißt die S u m m e der vorangehenden Reihe, und man bezeichnet diese Abhängigkeit durch die Gleichheit S = «„ +

«, +

... + « „ +

=

Jj>r.

v=0 Eine Reihe, die nicht konvergent ist, heißt d i v e r g e n t . Die Frage, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist, ist also die nämliche wie die, ob die durch die aufeinander folgenden Summen s 0 , s l t s2 . . . gebildete Folge selbst konvergent oder divergent ist. Umgekehrt, um zu wissen, ob irgend eine unendliche Folge E P '0> '1 > ?"2> ' ' ' konvergent ist, genügt es, die Reihe s

0 + («1 ~ 'o) + (*» - * i ) + - " + (Sn - V-l) + ' • •

zu untersuchen; denn die Summe der n + 1 ersten Glieder dieser Reihe ist offenbar gleich dem allgemeinen Gliede sn der betrachteten Folge. Diese Bemerkung findet häufig Anwendung. Das Konvergenzkriterium einer beliebigen unendlichen Folge, angewandt auf die Reihen, gibt die allgemeine Konvergenzregel von CAUCHY: D a m i t eine R e i h e k o n v e r g e n t sei, ist n o t w e n d i g u n d h i n r e i c h e n d , d a ß man j e d e r p o s i t i v e n Z a h l « eine g a n z e Z a h l n e n t s p r e c h e n l a s s e n k a n n d e r a r t , d a ß die S u m m e e i n e r b e l i e b i g e n A n z a h l von G l i e d e r n von un + 1 a n g e f a n g e n dem a b s o l u t e n B e t r a g e n a c h k l e i n e r sei als s. Denn die Differenz .«n + J) — ist ja gleich der Summe von p aufeinander folgenden, mit un + 1 beginnenden Gliedern der Reihe (2). Ebenso gibt der Satz über die wachsenden Folgen, angewandt auf die Reihen, den folgenden beim Studium der Reihen so nützlichen Lehrsatz: D a m i t eine R e i h e mit p o s i t i v e n G l i e d e r n k o n v e r g e n t sei, i s t n o t w e n d i g u n d h i n r e i c h e n d , d a ß a l l e Summen sn k l e i n e r seien als eine f e s t e Zahl. II. Funktionen. —

Allgemeines.

6. Definitionen. Die moderne Definition des Wortes F u n k t i o n verdankt man CAUCHY und RIEMANN. Man sagt, daß y eine F u n k t i o n von x ist, wenn einem Werte von x ein Wert von y e n t s p r i c h t , und zeigt diese Abhängigkeit durch die Gleichung y = f ( x ) an. Die Mehrzahl der Funktionen, die wir studieren werden, sind analytisch definiert, d. h. durch die Angabe der

10

Erstes Kapitel:

Einführung.

Operationen, die man ausführen müßte, um den Wert von y aus dem von x abzuleiten, aber meist spielt dieser Umstand in den Überlegungen keine Rolle. Es seien a und b zwei feste Zahlen (a < ¿); wenn jeder Zahl x, die zwischen a und b enthalten ist, eine Zahl y entspricht, so sagt man, daß die Funktion f(x) in dem Intervalle (a, b) definiert ist. Die Differenz b — a ist die A u s d e h n u n g des Intervalls, die Zahlen a und h sind die Grenzen oder Grenzpunkte. Bezüglich dieser beiden Zahlen a und b kann man mehrere Hypothesen machen: man kann sie als selbst zum Intervall (a, b) gehörig betrachten, welches dann ein g e s c h l o s s e n e s I n t e r v a l l heißt; oder man betrachtet eine dieser Zahlen oder auch beide als nicht zum Intervall (a, b) gehörig, welches dann ein o f f e n e s I n t e r v a l l heißt. Die Menge der Werte von x z. B., welche den Bedingungen O ^ a r ^ l genügen, bildet ein geschlossenes Intervall, während man offene Intervalle erhält, wenn man die Menge der Werte von x nimmt, welche den Bedingungen 0 < x < 1 oder 0 < x 1 genügen. Wenn wir in der Folge von einer in einem Intervall (a, b) definierten Funktion sprechen werden, so wird darunter stets — wofern nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird — verstanden sein, daß es sich um ein geschlossenes Intervall handelt, d. h. daß den Zahlen a und b selbst zwei Werte f(a) und f(b) für y entsprechen. Es sei (M) die Menge der Werte einer im Intervall (a, b) definierten Funktion f(x)\ wenn diese Menge begrenzt ist, so sagt man, die Funktion f(x) sei in dem I n t e r v a l l (a, b) b e g r e n z t o d e r endlich. Die Zahlen L und l, die weiter oben definiert wurden, heißen auch d i e o b e r e und d i e u n t e r e G r e n z e von f(x) in diesem Intervall; die Differenz L — l ist die S c h w a n k u n g o d e r O s z i l l a t i o n der Funktion in diesem Intervall. Diese Definitionen geben zu einigen Bemerkungen Anlaß. Damit eine Funktion in einem Intervall (a, b) begrenzt sei, genügt es nicht, daß sie für jeden Wert von x einen endlichen Wert habe. So besitzt z. B. die Funktion f(x), die zwischen 0 und 1 durch die Gleichungen /(0) = 0, f(x) = ^ für * > 0 definiert ist,

einen endlichen Wert für jeden Wert

von x und

dennoch ist sie nicht im obigen Sinne endlich, denn man hat, wie groß auch A

sei, f(x) > A,

wenn man nur 0 < x < -i-

nimmt.

Ebenso kann eine im Intervall (a, b) begrenzte Funktion Werte annehmen, die sich so wenig als man will von der oberen oder unteren

II. Funktionen. — Allgemeines.

11

Grenze unterscheiden, aber sie braucht diese Werte nicht notwendig zu erreichen. Die Funktion fix) z. B., die im Intervall (0,1) durch die Bedingungen f(0) = 0 ,

f(x) = 1 - x für 0 < x ^ 1

definiert ist, läßt als obere Grenze M = 1 zu, ohne diesen Wert jemals zu erreichen. 7. Stetigkeit. Die moderne Definition der Stetigkeit verdankt man gleichfalls C A U C H Y . Es sei y — f{x) eine im Intervall (a, b) definierte Funktion; nehmen wir einen in diesem Intervall enthaltenen Wert x0 und einen benachbarten Wert x0 + h, der in demselben Intervall enthalten ist. Wenn die Differenz f(x0 + h) — f(x0) gegen Null konvergiert, sobald der absolute Betrag von h gegen Null strebt, so heißt die Funktion f{x) s t e t i g f ü r d e n W e r t x0. Nach der Definition des Grenzwertes kann man auch sagen, d a ß e i n e F u n k t i o n f(x) für x = x0 s t e t i g i s t , w e n n m a n j e d e r n o c h so k l e i n e n p o s i t i v e n Z a h l £ e i n e a n d e r e p o s i t i v e Z a h l rj z u o r d n e n k a n n d e r a r t , d a ß 1

! +> = f{x,y) ist in einem Bereiche A begrenzt, wenn die Menge der Werte von a> für alle Punkte dieses Bereiches eine begrenzte Menge ist. Man definiert wie früher die Zahlen L, l und die Oszillation (vgl. Nr. 6). Es seien (x0, ya) die Koordinaten eines Punktes AI0 dieses Ge-

21

II. Funktionen. — Allgemeines.

bietes der Ebene. Man sagt, daß d i e F u n k t i o n f{x,y) f ü r d a s W e r t s y s t e m (x0, y0) s t e t i g i s t , w e n n m a n j e d e r p o s i t i v e n Zahl « eine andere positive Zahl q d e r a r t entsprechen lassen kann, daß \f{*o + /(> i/o + *) ~ f{*o> fo)| < « ist unter der einzigen Bedingung, daß |A|m- i;!

(«) f(n

'

+

1

>

Dies ist die allgemeine TAYLOR sehe Formel; ersetzen wir hierin b durch a + x und beachten, daß c von der Form a + 0x ist, wo 0 zwischen 0 und 1 liegt, so können wir die obige Formel auch schreiben (7) f(a + x) = f(a) + -f f

(a) +

f" («) +

...+

wo der Rest B n den Ausdruck hat 7? = /•("+1»(a v + 1 0.r). " (n + ll! ' '

f'n) («) +

K ,

I. Definitionen. — Allgemeine Eigenschaften.

35

Dieser Rest Iin stellt den Fehler dar, den man begeht, wenn man /'(« + x) durch das Polynom Pn (a + x) ersetzt. Bleibt | f-n + » ( z ) kleiner als eine Zahl M, während z von a bis a + x läuft, so ist 'x 1"+1 der absolute Betrag dieses Restes kleiner als M ' , - , r und wir (» + 1)'

haben so eine Vorstellung von der Annäherung, die man fiir f(a + x) erhält, indem man den Rest vernachlässigt. B e m e r k u n g . Wenn die Derivierte / - ( ' , + 1)(a:) stetig ist, so kann man auch schreiben K " = -(n - -+A1)! r [L// ' ( " +

1}

(«) +' «L w J '

wo « eine unendlich kleine Größe bezeichnet, wenn x gegen Null konvergiert. Betrachtet man x als unendlich klein von der ersten Ordnung, so sieht man, daß i? n unendlich klein von mindestens n + l t e r Ordnung im Verhältnis zu x ist. Indem man nach und nach w = l , n = 2, n — 3 . . . setzt, erhält man also Polynome, die sich von f(a 4- x) um unendlich kleine Größen wachsender Ordnung unterscheiden. Setzt man in der Formel (7) a = 0, so heißt die so erhaltene Formel manchmal die F o r m e l von MACLAURIN. B e i s p i e l . Wenden wir die Formel (7) auf die Funktion f (x) = log(l + x) an, wobei das Zeichen log den NEPEitschen Logarithmus bedeutet, indem wir — 1 voraussetzen; wir finden a = 0, n = l,x> log (t + x) = x -

xi

2(1 + 0xf

'

ersetzt man in dieser Formel x durch den reziproken Wert einer ganzen Zahl n, so erhält man

wo 0 n ein positiver Bruch kleiner als eins ist. Daraus folgert man, daß die Reihe, deren allgemeines Glied

ist, eine konvergente Reihe ist, denn das allgemeine Glied ist kleiner als

•

Nun ist aber die Summe der n ersten Glieder dieser Reihe gleich 1 + y

+ ... +

- log (» + 1) = 2 „ - logw + log

J ;

infolgedessen konvergiert die Differenz 2 » — l°g n gegen einen endlichen Grenzwert, wenn n unbegrenzt wächst. Dieser Grenzwert ist die E D L E R sehe Konstante G, deren Wert auf 20 Dezimalstellen genau G = 0-57721566490153286060 ist.

18. Unbestimmte Formen. Die TAYLOBSche Formel gestattet, die Regel von HOSPITAL leicht zu verallgemeinern (Nr. 16).

86

Zweites

Kapitel:

Derivierte

und

Differentiale.

Es seien f\x) und 1) der Funktionen f(t), (i0) cpiPi (t0)

=

Z-y, (/„) V(pHto)

und bieten keine Unbestimmtheit mehr dar. Die Punkte einer Kurve C, bei denen dieser Fall eintritt, sind im allgemeinen singulare Punkte, wo die Kurve irgendwelche Eigentümlichkeit der Form darbietet. So z. B. geht die durch die Gleichungen x = fl, y — t3 dargestellte Kurve durch den Ursprung und man hat in diesem Punkte dx dt

_ -wo

v +

®+

r = 11

ist und die Zuwächse kit U gleich oder ungleich sein können. Diese Differenz läßt sich mittels einer partiellen Deri vierten der Ordnung n ausdrücken; sie ist gleich dem Produkte j.f'0 ä , . . .h,,^ . . .kq . . . lr fxPyqzr (x + (9, />, + . . . + 0P hp, y + kt + &qkq,

I. Definitionen.

— Allgemeine

Eigenschaften.

43

wo alle & zwischen 0 und 1 liegen. Die Formel wurde bereits für die ersten und zweiten Differenzen festgelegt. Um zu beweisen, daß sie allgemein gültig ist, nehmen wir an, daß sie für eine Differenz der Ordnung n — 1 richtig sei und es sei iptx, y, *) = 4°...

AhJ>

A\i 4' • • . A\r /•;

dann ist nach der Voraussetzung

Goursat, Lehrbuch der Analysis. I.

4

50

Zweites

Kapitel:

Derivierte

und

Differentiale.

die Gleichung (17) ist also den drei verschiedenen Gleichungen (18) äquivalent und liefert uns auf einmal alle drei partiellen Derivierten erster Ordnung. Allgemeiner: hat man durch irgend ein Mittel das totale Differential der Ordnung n

d»a ^^Cvqrdxfdy"dzr erhalten, so sind die Koeffizienten C , abgesehen von numerischen Faktoren, gleich den partiellen Derivierten der Ordnung n von a. Man erhält so gleichzeitig alle partiellen Derivierten derselben Ordnung; wir werden ein wenig später eine Anwendung dieser Bemerkung sehen. 25. Höhere Differentiale einer zusammengesetzten Funktion. Es sei a = F [u, v, w) eine zusammengesetzte Funktion, wo u, v, w Funktionen der unabhängigen Variablen x, y, z, t sind; schreiben wir die Ausdrücke der partiellen Derivierten erster Ordnung

_ dx 8to _ dy da _ dz da _ dt 81.)

dF du dF du dF du dF du

du dx + du dy + du dx + du +

dF dv dF dv dF dv dF dv

dv dx dv dy dv 8» dv TT

8F 8 w + dw dx dF dte + dw dy dF dw + dw dx dF dw + 8 iv TT

Multipliziert man diese vier Gleichungen bezüglich mit dx, dy, dz, dt und addiert sie, so erhält man auf der linken Seite das totale Differential da, während die Koeffizienten von

dF du '

dF 6F 8v ' 8w

bezüglich gleich du, dv, dw sind.

/1Q\ '

v (1»)

Es ist also

dF

J = -T-— 1 , du SF , , dF J+ --.-• - dw, da du ' dv 4- ' dv dw '

so daß der A u s d r u c k des t o t a l e n D i f f e r e n t i a l s e r s t e r O r d n u n g e i n e r z u s a m m e n g e s e t z t e n F u n k t i o n d e r s e l b e i s t , wie wenn die Z w i s c h e n f u n k t i o n e n u n a b h ä n g i g e V a r i a b l e w ä r e n . Hierin liegt einer der wichtigsten Vorteile der Bezeichnungsweise durch Differentiale; die Eelation (19) hängt weder von der Zahl noch von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen ab und sie entspricht so vielen verschiedenen Relationen als es unabhängige Variable gibt. k Um d co zu berechnen, werden wir dieselbe Regel anwenden, welche eben für da aufgestellt wurde, indem wir beachten, daß auf

IL Bezeichnung durch Differentiale. 51 der rechten Seite der Formel (19) sechs Zwischenfunktionen auftreten: u, v, w, du, dv, dw. Man erhält so

2 2 d*F d'1 Fdudu ö2dudv F dF d'Fd*F d-(o =d'F + -r—7r—dudv 4- —;—du dw-\- -=»-dru + +du du* du dv div 2 d2F dudvde +d°-F d*F + du dv + dv4 dv ++ -¡nr^dvdu + ^ 'P» dv d w d-F = e-' + n (dx + dy), du = exdx,

d" ix) = < (*) + « / ( * ) + . . . + «„' (*) +

...

in diesem Intervalle gleichmäßig konvergent ist. Der vorstehende Satz besagt, daß F' (x) = 0 (x) ist oder daß die Differenz *

fr

_®(:t)

mit h gegen Null konvergiert. Setzen wir S

«„ (*) - V ( * ) + . . . + "„' (*) ,

(*) = vn + i («) + ... + V1l+P(x),

f„,?(r)

n (*) - «b ( * ) + • • • + "„ (*)>

= !(„'+i(i)

+ ... + ««'+*>(*);

64

Zweites Kapitel:

Derivierte

und

Differentiale.

dann ist, welches auch die Zahlen n und p seien, W * ) =

+

=

Sn (*) = «n (*),

(*) + ^ „ W

(*) = tyn, p (*) •

Da die Reihe (34) gleichmäßig konvergent ist, nehmen wir eine Zahl n, die genügend groß ist, damit der absolute Wert von ~*Pn,p{x) kleiner ist als y ,

welches auch die ganze Zahl p

und

welches auch der Wert von x in dem Intervall (a, b) sei; dies ist nach der Bemerkung II in Nr. 30 möglich. Aus den beiden Gleichheiten s» + p(* +

= S.(* + '0 +

+ A)

folgert man, indem man sie Glied für Glied subtrahiert und auf die Differenz *Pn p (x -f h) — Wn p (x) den Mittelwertsatz anwendet +

+

Ä

) -

S

n

+ P(z)

= SJ* +

-

sn(*) + hynip(z

+

0k).

Läßt man, während die Zahl n fest bleibt, die Zahl p unbegrenzt wachsen, so hat die linke Seite F(x + h) — F{x) zum Grenzwert; da der absolute Betrag von ifJniP{x + dh) stets kleiner ist als so ist der Grenzwert dieser Funktion selbst dem absoluten Werte nach kleiner als --- und wir könnten schreiben F(x + h) - F(x) h

=

Sn (x + h) — S„ (x) , e yt +TP(x,

,

h),

wo () (x, Ii) eine Funktion bedeutet, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist. Diese Gleichheit läßt sich gemäß dem Werte von S auch noch schreiben 8 =

' Sn(X + h) -

Sn{x)

-

S

»W

Nach der Art, wie man die Zahl n gewählt hat, ist der absolute Wert der Differenz sn(x) — 0(x) ebenfalls kleiner als — . Da andererseits sn(x) die Derivierte von Sn(x) ist, so kann man eine positive Zahl t] finden, derart daß die Bedingung | A | < tj die Ungleichheit Sn(x + h) - Sn{x)

nach sich zieht. | Ä | < V ist.

n\ 1

Man wird aber auch

| S | < £ haben, wofern

III. Durch Reihen definierte

65

Funktionen.

Man wird bemerken, daß der Beweis nicht voraussetzt, daß die Reihe (03) gleichmäßig konvergent sei, noch daß die Derivierten uQ' (x), Mj'(«)... stetige Funktionen seien. Dieses Theorem läßt sich auch so aussprechen: W e n n e i n e F u n k t i o n f(x,n) i n e i n e m I n t e r v a l l (a, b) s t e t i g i s t , d a s e l b s t e i n e D e r i v i e r t e f'{x, n) z u l ä ß t u n d g e g e n e i n e n G r e n z w e r t F(x) k o n v e r g i e r t u n d w e n n d i e D e r i v i e r t e f'{x,u) in demselben Intervall gleichmäßig gegen einen G r e n z w e r t &(z) k o n v e r g i e r t , s o i s t F'(x) = &(x). Denn es ist ja klar, daß man F(x) und 0 (ar) durch zwei konvergente Reihen darstellen kann, deren zweite gleichmäßig konvergent ist und durch die Derivierten der Glieder der ersten gebildet wird. Die vorangehenden Definitionen und Resultate lassen sich ohne Schwierigkeit auf Reihen ausdehnen, deren Glieder Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen sind. 32. Stetige F u n k t i o n e n ohne Derivierte. Wir beschließen dieses Kapitel, indem wir ein Beispiel einer stetigen Funktion geben, die für keinen Wert der Variablen eine Ableitung zuläßt. Dieses Beispiel verdankt man WEIERSTRASS. E S sei b eine positive Konstante kleiner als Eins und a eine ganze, ungerade Zahl; die Funktion F{x), die gleich ist der Summe der konvergenten Reihe (35)

F(x)

>1 = 0

cos (an n x),

ist für jeden Wert von x stetig, denn die Reihe ist in jedem Intervall gleichmäßig konvergent. Ist das Produkt a • b kleiner als 1, so verhält sich die aus den Derivierten gebildete Reihe ebenso: die Funktion F(x) läßt also eine Ableitung zu, die selbst eine stetige Funktion ist. Wir werden nun zeigen, daß sich die Sache ganz anders verhält, wenn das Produkt a • b größer als ein bestimmter Grenzwert ist. Indem wir mit m eine beliebige ganze Zahl bezeichnen, können wir schreiben (36)

=

+

wobei •i ml —1 2 f " ¡cos [a" n (x + h)} - cos (an n x)\, " n=0 1 +oo Rm = -r- 2 ¡cos [an n (x + h)] - cos (a" n x)\ n=m

S. =

T

gesetzt wurde. Wendet man auf die Funktion cos (annx) den Mittelwertsatz an, so erkennt man, daß die Differenz cos [an n (x + h)\ — cos (a"nx) dem absoluten Betrage nach kleiner ist als n a" | h | . Der absolute Betrag von Sm ist demnach, wenn man ab > 1 voraussetzt, kleiner als GOURSAT, Lehrbuch der Analysis. I.

5

66

Zweites

Kapitel: m n 2

Derivierte

1

und

Differentiale.

am b« _ t " b" = n •

a

a

n = 0

b

-

1

und um so mehr kleiner als " [ a • Wir wollen nunmehr eine untere Grenze ab — 1 des absoluten Wertes von Rm suchen, indem wir dem Zuwachs h einen besonderen Wert erteilen. Man kann stets a™ x = am + £„ setzen, wobei a m eine ganze Zahl bedeutet und f„, zwischen — -i- und + -J- enthalten ist. Wir setzen - f. h = o™ wo em gleich ± 1 ist; es ist klar, daß h dasselbe Zeichen wie em hat und dem 3 absoluten Betrage nach nicht größer als — ist. Nachdem die Zahl h auf 2o® diese Weise gewählt worden ist, hat man a" n (x + h) = a«-® am n (x + h) = an~m n («„ + em); da a ungerade und em = ± 1 ist, hat das Produkt an~m (o„ + em) denselben Geradheitscharakter wie a m + 1 und daher ist Ferner ist

cos [an n {x + /;)] = ( - l ) a » cosa" TI x = cos ( a » - « • a

M

N X )

am

1

.

n

= cos[a ~™

= cos ( a « - » «„ n) cos ( a « - » an-m

+

N (AM

+ f m )]

n);

hat denselben Geradheitscharakter wie a m und es ist also auch cos (an nx) — (— 1)°™ cos (an-»» f m n).

Wir können somit schreiben Bm = - J — ^

2 b" [1 + cos ( a « - « !,„ n)]; n— m da alle Glieder der Eeihe positiv sind, ist die Summe dieser Reihe größer als ihr erstes Glied und infolgedessen größer als i™, da zwischen — y und + £ enthalten ist. Wir erhalten demnach I A. I > j a j oder indem wir noch den Wert von h berücksichtigen Rm I > y ( a 6 ) m . Nehmen wir nun an, daß sei; hierzu genügt es, daß (37) sei.

2 . n(ab)™ — («6)» > a i i - 1

a •b > 1 + Dann erweist die Beziehung (36), daß man hat ab ¡ro uur — I 1 ~ F(x + h) - F(x) > I Ä . I - \sm\ >-(abT 3 ' ab - 1

III. Durch Reihen definierte

67

Funktionen.

Wenn die ganze Zahl m unbegrenzt wächst, so wächst auch dieser Ausdruck über alle Grenzen, während der absolute Wert von h gegen Null strebt. Es ist daher möglich, wie klein auch eine Zahl e sei, einen Zuwachs h, der dem absoluten Werte nach kleiner als e ist, zu finden derart, daß

F{x + h) - F(x) dem absoluten Betrage nach größer ist als jede im voraus gegebene Zahl. Die Funktion F(x) hat demnach für keinen Wert von x eine Derivierte, vorausgesetzt, daß die Relation (37) befriedigt ist. Übungen. 1. Es sei y — f(x) die Gleichung einer Plankurve in rechtwinkligen Koordinaten. Es ist die Länge der Subnormale PN, der Subtangente PT, der Normale MN und der Tangente MT als Punktion von y und y' auszudrücken. Für welche Kurven ist eine dieser Linien konstant? (Fig. 4).

Fig. 5. 2. Es sei q = f(to) die Gleichung einer Plankurve in Polarkoordinaten. Durch den Pol 0 zieht man eine Normale zum Radiusvektor OM und bringt ihn mit der Tangente MT und der Normale MN zum Durchschnitt (Fig. 5). Man soll die verschiedenen Linien OT, ON, M.N und MT als Funktionen von f(u) und f (