Lehrbuch der Algebra: Band 1 Grundlagen der Arithmetik [Reprint 2020 ed.] 9783112343708, 9783112343692

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Lehrbuch der Algebra von

Dr. Alfred Loewy Professor an der Universität Freiburg i. B.

Erster Teil Grundlagen der Arithmetik

Leipzig Verlag von Veit & Comp. 1915

Druck Ton Metzger & Wittig in Leipzig

Vorwort In dem vorliegenden Buch werden unter Beschränkung auf das reelle Gebiet die Gegenstände behandelt, die zu der Schulalgebra in mehr oder weniger enger Beziehung stehen: Zahlbegriff, Dezimalbruch, Kettenbruch, Wurzel, Potenz, Logarithmus, Grenze, Reihe, binomische Entwicklung, unendliches Produkt. Das Buch wendet sich an Studierende und Lehrer, doch hoffe ich auch dem Kenner verschiedenes zu bieten. Um ein Bild von dem verarbeiteten Material zu geben, führe ich an: Als Ausgangspunkt für den Zahlbegriff wird die vollständige Zahlenreihe der ganzen positiven und negativen Zahlen einschließlich der Null gewählt. Für ihre Elemente, denen nur ordinaler Charakter, d. h. die Eigenschaft, aufeinanderzufolgen, zugeschrieben ist, werden Addition und Multiplikation definiert; aus diesen Definitionen werden die Gesetze der Addition und Multiplikation (Seite 12 ff., Seite 388) durch Beweise hergeleitet. Alsdann werden ausgehend von der vollständigen Zahlenreihe die r a t i o n a l e n (Seite 44) und die i r r a t i o n a l e n (Seite 61) Zahlen und das Rechnen mit ihnen genetisch durch Definitionen eingeführt. Auf verschiedene Weise kann man bekanntlich zum Begriff der Irrationalzahl gelangen. Als Grunddefinition der Irrationalzahl habe ich die durch zwei zusammengehörige Definitionsfolgen rationaler Zahlen, von denen die eine auf-, die andere absteigt, gewählt (Seite 62); dabei lege ich im Gegensatz zu anderen Autoren Wert darauf, mit den derart eingeführten Gebilden auch wirklich zu arbeiten. In der angegebenen Form treten die Irrationalzahlen unmittelbar auf, wenn sie als Dezimal- oder Kettenbrüche (Seite 84 bzw. 110) gegeben werden. Befreit man nach Einführung der Irrationalzahlen die Definitionsfolgen von der Forderung, nur rationale Zahlen zu enthalten (Seite 150), so begegnet man Zahlen, die sich durch zwei zusammengehörige Definitionsfolgen einführen lassen, bei den verschiedensten Prozessen (vgl. z. B. Seite 241). Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus (Seite 229ff. sowie 294 und 295) sind auf solche Weise darstellbar, wobei man sich für didaktische Zwecke der Zinseszinsrechnung (Seite 391) als Einkleidung bedienen kann. Auch bei Beweisen wie z. B. für die Wertbestimmung der Exponentialreihe (Seite 336), der binomischen Keihe (Seite 342) und der logarithmischen Reihe (Seite 356) leisten zwei zusammengehörige Definitionsfolgen, von denen die eine auf-, die andere absteigt, gute Dienste. Jedoch beschränke ieh mich nicht auf die angegebene Definition der Irrationalzahl, sondern es werden im Verlauf der Darstellung dem Leser noch vier weitere Systeme von Dingen (Seite 252, 258, 283, 285) vorgeführt, die gleichermaßen als Irrationalzahlen verwendbar sind. Schon die vollständige Zahlenreihe der ganzen positiven und negativen Zahlen einschließlich der Null bietet bei additiver Verknüpfung das Beispiel einer G r u p p e , so daß sich dieser Begriff an die elementarsten Kenntnisse anknüpfen läßt. Die Gruppe (Seite 25) wird in abstrakter Weise als ein

Vorwort.

IV

System von Elementen behandelt, das in e i n e r Weise verknüpfbar ist. Aus der Gruppe erwächst der Begriff des K ö r p e r s (Seite 33) als eines Systems, dessen Elemente durch zwei Kompositionsarten nach gewissen Postulaten verbunden werden sollen. Das Studium eines besonderen Körpers, dessen Elemente als durch eine Relation < ordnungsfähig angenommen werden und hierbei sechs Ungleichheitspostulaten genügen, führt zu einer p o s t u l a t o r i s c h e n F e s t l e g u n g der r e e l l e n Z a h l e n , insofern erstens irgend ein System von Elementen, das als System der reellen Zahlen erklärt wird, diese Postúlate zu befriedigen hat, und zweitens die Elemente jedes Systems, das den Postulaten genügt, auf eine und nur eine Weise als gleichwertige Vertreter der als reelle Zahlen erklärten Dinge brauchbar sind (Seite 184, 187). Als System der fraglichen Art lassen sich im besonderen die Punkte einer Geraden nach Wahl eines Null- und Einheitspunktes auffassen (Seite 188). Für die Grenzbetrachtungen habe ich die bei jeder unendlichen Menge reeller Zahlen vorhandenen Begriffe: Obere und untere Grenze (Seite 247), Häufungsstelle (Seite 260), Limes superior und Limes inferior (Seite 263) zum Ausgangspunkt genommen; hieraus wird der Grenzwert für konvergente Folgen (Seite 268) abgeleitet, um ihn vorzüglich auf unendliche Reihen (Seite 296ff.) und auf unendliche Produkte (Seite 368) anzuwenden. Sowohl bei der binomischen (Seite 348) ala auch bei der logarithmischen Reihe (Seite 358) bin ich auf ihre Verwertung für numerische Rechnungen eingegangen; aber auch die älteren, elementaren und umständlicheren Berechnungsmethoden für Logarithmen (Seite 219) werden vorgeführt, da vielleicht der Lehrer an ihrer Hand dem mit der logarithmischen Reihe nicht vertrauten Schüler die Möglichkeit der Logarithmenberechnung zeigt. Eine Vollständigkeit in allen Quellenangaben ist nicht beabsichtigt; außer klassischen Schriften wurden hauptsächlich solche zitiert, denen ich Förderung verdankte, oder die der Leser mit Nutzen studieren wird. Auf leichte Lesbarkeit habe ich Wert gelegt. Vorkenntnisse sind zur Lektüre nicht erforderlich, wovon ich mich überzeugen konnte, wenn ich die Druckbogen in Anfängerübungen lesen ließ. Da ich auch nichtabgeschlossene Fragen behandle, bitte ich um Nachsicht. Mein Wunsch geht dahin, daß der Leser in dem Buche Anregung zu weiterer Beschäftigung mit den Grundfragen der Arithmetik finden möge. Herzlichsten Dank sage ich Herrn Professor K A R L BOEHM in Königsberg und Herrn Dr. A D O L F FEAENKEL in München für aufopfernde Unterstützung beim Lesen der Korrektur und für eine große Anzahl sehr wertvoller Ratschläge, zu denen beide durch eigene Untersuchungen 1 in Grundfragen der Arithmetik besonders befähigt waren. Weiter gilt mein Dank der Verlagshandlung Veit & Comp, für die Nachsicht, mit der sie die Verzögerung der 1911 begonnenen Drucklegung aufnahm. F r e i b u r g i. B., Juni 1914. ALFRED

LOEWY.

1 BOEHM, Axiome der Arithmetik, Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften 1911. — FKAENKEL, Axiomatische Begründung von HENSELS jt>-adischen Zahlen, Journ. f. d. r. u. ang. Math. 141, 43 (1912).

Inhaltsverzeichnis.

Erster Teil. Grundlagen der Arithmetik. Erstes Kapitel. § § § §

1. 2. 3. 4.

§ 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. § 12.

Die ganzen positiven Zahlen und ihre Addition Die vollständige Zahlenreihe. Die Addition beliebiger ganzer Zahlen Rechnungsregeln für die Addition beliebiger ganzer Zahlen . . Die Multiplikation ganzer positiver Zahlen und die hierfür gültigen Rechnungsregeln Relation, Äquivalenz und Ordnungsfahigkeit der Elemente eines Systems Verknüpfbares System. Gruppe Definition eines Körpers und einige für ihn gültige Sätze . . . Die Multiplikation der ganzen negativen Zahlen Der Körper der rationalen Zahlen Unabhängigkeit der zehn Körperpostulate Die Ordnungsfähigkeit der rationalen Zahlen Weitere Eigenschaften der rationalen Zahlen

Zweites Kapitel. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11. §12. §13. § 14.

Die rationalen Zahlen. Seite

1 5 12

17 19 24 33 42 44 52 54 58

Die Gesamtheit der reellen Zahlen.

Erweiterung des Systems der rationalen Zahlen zum System aller reellen Zahlen Vier Hilfssätze zur Bildung reeller Zahlen Gleichheit, Addition und Multiplikation im Gebiet der reellen Zahlen Einteilung der reellen Zahlen in positive und negative . . . . Die reellen Zahlen bilden einen Körper. Multiplikation negativer Zahlen. (Ergänzung des § 3.) Die Ordnungsfähigkeit der reellen Zahlen Vergleichung einer reellen Zahl mit den rationalen Zahlen ihrer Definitionsfolgen. Herleitung einiger fundamentaler Gleichungen und Ungleichungen Dezimalbrüche Kettenbrüche Die Auflösung der Diophantischen Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten durch Kettenbrüche Periodische Kettenbrüche und quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten Eigenschaften des Systems der reellen Zahlen Zusammengehörige Definitionsfolgen, die aus beliebigen reellen Zahlen bestehen Kationale Operationen bei reellen Zahlen

60 64 68 73 75 80 81 84 104 124 130 148 150 154

VI

Inhaltsverzeichnis.

Drittes Kapitel. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6.

Abstrakte Theorie der reellen Zahlen.

Die iterierten Gruppenelemente. Die Wurzelgruppe und einige f ü r sie gültige Sätze Isomorphismus zweier Gruppen Einige Sätze f ü r die Elemente eines Körpers, die in bezug auf die Addition eine Wurzelgruppe bilden Isomorphismus zweier Körper. Abstrakte Definition der rationalen Zahlen Körper, deren Elemente sechs Ungleichheitspostulaten genügen Die reellen Zahlen und die Punkte einer Geraden

Viertes Kapitel. § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

§ 7.

§ 3. § 4. § 5. § 6. § § § §

7. 8. 9. 10.

§11. § 12. § 13. § 14.

156 165 167 171 174 188

Potenz und Logarithmus.

Die Potenz mit ganzzahligen Exponenten 191 Das Wurzelziehen 194 Die Potenz mit rationalem Exponenten 201 Die Potenz mit irrationalem Exponenten 205 Der Logarithmus 214 Elementare Einführung der Exponentialfunktion für die Basis e und des natürlichen Logarithmus 229 Das arithmetisch-geometrische Mittel und verwandte Algorithmen. Die Kreismessung 241

Fünftes Kapitel. § 1. § 2.

Seite

Grenze und unendliche Reihe.

Obere und untere Grenze einer Zahlenmenge Begriff des Schnittes. Gattung von Objekten, die als Zahlen verwendet werden können Häufungsstelle. Limes superior und Limes inferior Konvergente Folgen Die vier Fundamentaloperationen bei Grenzwerten und die regulären Folgen als Zahlen. Die Irrationalzahl nach Weierstbass Grenzwerte für den natürlichen Logarithmus und die Exponentialfunktion Unendliche Reihen Unendliche Reihen mit positiven Gliedern und Potenzreihen . . Absolute und relative Konvergenz unendlicher Reihen . . . . Elemente der Kombinatorik und der binomische Satz für ganze positive Exponenten Die Exponentialreihe und die Berechnung der Zahl e Der binomische Satz für beliebige Exponenten Die logarithmische Reihe und weiteres über die numerische Berechnung von Logarithmen Unendliche Produkte

246 252 260

267 277 286 296 305 316 323 334 338 354 368

Ergänzungen. Zu Seite 16. Die Anzahl oder Kardinalzahl bei einem endlichen System von Dingen Zu Seite 19. Die Multiplikation beliebiger ganzer Zahlen Kleine Bemerkungen zu Seite 75, 236, 243 und 289 . Zu Seite 229—241. Nochmalige elementare Einführung der Exponentialfunktion f ü r die Basis e und des natürlichen Logarithmus . . .

384 388 390 391

Erster Teil.

Grundlagen der Arithmetik. Erstes Kapitel. Die rationalen Zahlen. §

i.

Die ganzen positiven Zahlen und ihre Addition. Die Grundlage der Arithmetik ist die n a t ü r l i c h e Z a h l e n r e i h e : • 1, 2, 8, 4, . . .

.

Ihre Elemente fuhren den Namen „ g a n z e p o s i t i v e Zahlen". Auseinanderzusetzen, wie man zu der Skala der ganzen positiven Zahlen gelangt, überlassen wir der Philosophie.1 Nimmt man die natürliche Zahlenreihe als etwas Gegebenes an, so erkennt man gewisse ihr zukommende Eigenschaften. Ihre Beobachtung führt zu folgender abstrakter Gedankenbildung, die man dem italienischen Mathematiker PEANO 2 verdankt: Wir denken uns ein System 9i von Dingen oder Elementen, das gewisse Eigenschaften haben soll. Diese formulieren wir in folgenden fünf Postulaten, d. h. in fünf von uns für das System vorausgesetzten Tatsachen: P,). Das System enthält ein besonderes Element, da3 wir mit 1 bezeichnen. P 2 ). Jedes dem System 91 angehörige Element x bestimmt in eindeutiger Weise ein weiteres, ebenfalls 3t angehöriges Element, das wir das x unmittelbar folgende oder den N a c h f o l g e r von x nennen und mit x+ bezeichnen. 1 Von philosophischen Publikationen nennen wir nur: P. NATORP, Die logischen Grundlagen (1er exakten Wissenschaften (Wissenschaft und Hypothese, Bd. 12), Leipzig 1 9 1 0 , mit reichen Literaturangaben. B. RUSSELL, The principles of mathematics, Cambridge 1 9 0 3 , I. L. CODTURAT, Les principes des mathématiques, Paris 1 9 0 5 . 2 GENOCCHI-PEANO , Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung (deutsch von BOHLMANN U. SCHEPP), Leipzig 1 8 9 9 , S. 3 5 3 . PEANO, Formulario mathematico, editio V, Torino 1 9 0 5 , S. 2V. E. V . HUNTINGTON i m Bulletin of the American math. soc. 9 , 41 (1902). O. STOLZ und J. A. GMEINER, Theoretische Arithmetik, I. A b t . , 3. umgearbeitete A u f l a g e , TEUBNERS Sammlung math. Lehrbücher, Leipzig 1911 (während der Drucklegung erschienen).

LOEWY, Algebra.

1

Grundlagen der Arithmetik.

2

P 3 ). Zwei Elemente aus 91, deren Nachfolger übereinstimmen, stimmen stets selbst überein. Sind also x und y Elemente aus 9i, so folgt aus der Übereinstimmung von x+ mit y+, daß x mit y übereinstimmt. P 4 ). Das Element 1 ist nicht Nachfolger irgend eines Elementes aus 9c\ Es gibt also in 9i kein Element x, so daß x+ mit 1 übereinstimmt. P 5 ). Jedes Element von 3! ist in dem System 1, 1 + , 1 + + , 1 + + + , • • • • enthalten. Statt des Postulats P 6 ) kann man auch folgende Forderung zur Definition des Systems 9i verwenden: Das System 91 soll nur die etwa durch die zwei ersten Postulate P j und P 8 ) geforderten Elemente und sonst keine weiteren enthalten. W i r wollen zunächst zeigen, daß die f ü n f P o s t u l a t e P,) bis P 5 ) v o n e i n a n d e r u n a b h ä n g i g o d e r i r r e d u z i b e l sind, d. h. daß keines von ihnen sich- aus den übrigen als beweisbarer Lehrsatz ableiten läßt. Zu diesem Zweck betrachten wir fünf Systeme von Elementen: 1. Wir bilden ein System 9i6 von Elementen, das wir als aus den in folgender, gewissermaßen zweifach unendlicher Reihenform angeordneten Zahlen: 1, 3, 5, . . . . 2, 4, 6, . . . . bestehend definieren. Der Nachfolger von 1 ist hier 3, also 1 + = 3, 3 + = 1 + + = 5, 5 + = l + + + = 7 , . . . . Das System 9J5 erfüllt demnach nicht das fünfte Postulat P 5 ); denn in dem System 1, l + = 3, l + + = 5, . . . . treten nicht die Zahlen 2, 4, 6, . . . . auf, die in dem System 9?ä enthalten sind. Hingegen erfüllt 9i6 alle anderen Postulate, z. B. ist P 2 ) erfüllt, da jedes Element aus 9?5 in der um 2 größeren Zahl einen Nachfolger hat. 2. Wir bilden ein System 92v von Elementen, das wir in folgender Weise als periodische Aufeinanderfolge definieren wollen: 1, 2, 3,

1, 2, 3,

1, 2, 3,

1, 2, 3,

... .

Bei dem System 9J4 ist 3 + = 1; es ist daher das Postulat P t ) durchbrochen. Alle anderen vier Postulate werden von 9?4 erfüllt, z. B. genügt 9J4 dem Postulat P 6 ), da das System 1, l + = 2, l + + = 3 alle Elemente aus 9J4 enthält. 3. W i r bilden ein System 9J3 von Elementen, das wir als eine periodische Aufeinanderfolge mit voraufgehender aperiodischer in folgender Weise definieren: 1 , 2 , 3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5 Bei dem System 9i3 ist 2 + = 3, 5 + = 3; mithin genügt das System 9?3 nicht dem Postulat P 3 ).-Hingegen erfüllt 9?3, wie man unmittelbar durch Durchgehen der Postulate sieht, alle übrigen. 4. Wir bilden ein System 9?2 von Elementen, das aus der endlichen Aufeinanderfolge 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bestehen möge. Bei 912 hat die Zahl fl keinen Nachfolger. Mithin erfüllt 9i2 nicht Postulat P 2 ), hingegen genügt das System 9i2 allen übrigen Postulaten. 5. W i r bilden ein System 9?j von Elementen, das aus der Reihe der natürlichen Zahlen mit Ausschluß der 1 bestehen möge, also 2, 3, 4, 5, . . . . laute. Definieren wir noch 1 + = 2, so erfüllt das System 9?, alle Postulate mit Ausnahme von P,). Auch von jedem leeren Systeme, d. h. jedem Systeme ohne irgend ein Element, könnte man sagen, daß os alle Postulate mit Ausnahme von P t ) erfüllt; denn bei einem derartigen leeren System kommen die anderen Postulate überhaupt nicht mehr in Frage.

3

Die ganzen positiven Zahlen und ihre Addition.

Die fünf Systeme bis 925 lehren, daß immer vier der fünf Postúlate P t ) bis P 5 ) und die Negation der vom fünften verlangten Tatsache miteinander vereinbar sind. M i t h i n k a n n k e i n e s d e r f ü n f ü b e r d a s S y s t e m 91 a u f gestellten Postúlate aus den übrigen vier als beweisbarer L e h r s a t z a b g e l e i t e t w e r d e n . W i r haben hier ein allgemeines Prinzip kennen gelernt: Um die U n a b h ä n g i g k e i t e i n e r A n z a h l von P o s t u l a t e n zu b e w e i s e n , d i e i r g e n d e i n S y s t e m e r f ü l l e n s o l l , d. h. u m n a c h z u w e i s e n , d a ß s i c h keines der P o s t ú l a t e als b e w e i s b a r e r L e h r s a t z , also als logische F o l g e a u s d e n ü b r i g e n e r g i b t , i s t so z u v e r f a h r e n : m a n m u ß d e r Reihe nach jedes P o s t u l a t durch seine Negation ersetzen, w ä h r e n d m a n j e w e i l s a l l e a n d e r e n u n v e r ä n d e r t l ä ß t , u n d f ü r j e d e s so e n t s t e h e n d e P o s t u l a t e n s y s t e m e i n e I n t e r p r e t a t i o n s u c h e n , so d a ß b e i j e d e r I n t e r p r e t a t i o n immer die Negation eines P o s t u l a t s neben dem Bestehen aller übrigen stattfindet. Postúlate dürfen sich auch nicht widersprechen. Fordere ich in der euklidischen Geometrie ein Dreieck, das erstens gleichseitig, zweitens rechtwinklig sein soll, so existiert ein solches nicht. Es fragt sich, ob die Postúlate P,) bis P 5 ) miteinander in Widerspruch sind, d. h. ob man aus den Postulaten P,) bis P J durch logische Schlüsse für das System 92 Eigenschaften herleiten kann, die sich widersprechen, also Bejahung und Verneinung derselben Tatsache aussagen. In diesem Fall kann ein System 92, das die durch P,) bis P s ) geforderten Eigenschaften besitzt, nicht existieren. D i e V e r t r ä g l i c h k e i t e i n e r A n z a h l v o n P o s t u l a t e n , d. h. d i e U n m ö g l i c h k e i t , a u s i h n e n durch logische S c h l ü s s e sich w i d e r s p r e c h e n d e T a t s a c h e n a b z u l e i t e n , ist o f f e n b a r n a c h g e w i e s e n , w e n n man ein S y s t e m von Dingen finden kann, das allen Postulaten gleichzeitig genügt und uns als w i d e r s p r u c h s l o s gilt. Die Reihe der natürlichen Zahlen weist alle Eigenschaften auf, die wir f ü r das System 92 durch die Postúlate P,) bis P 6 ) gefordert haben. Nehmen wir die natürliche Zahlenreihe als logisch möglich a n , so liegt hierin der Beweis für die W i d e r s p r u c h s l o s i g k e i t d e r f ü r d a s S y s t e m 92 a u f g e s t e l l t e n P o s t ú l a t e P,) b i s Ps). 1 Jeder für das System 92 erzielte Widerspruch würde sich auf das System 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . der natürlichen Zahlen übertragen und das System der ganzen Zahlen als etwas logisch Unverträgliches dartun. 2

1 Eine allgemeine Methode aufzufinden, u m die absolute Widerspruchslosigkeit eines Postulatensystems zu beweisen, dürfte den Bemühungen der Logiker und Mathematiker nicht gelingen. 2 Weitergehende Analysen des Begriffs der ganzen Zahl bei D. HILBERT in Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg (1904), Leipzig 1 9 0 5 , S. 174, wieder abgedruckt in HILBERT, Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl., Leipzig 1 9 0 9 , VII. Anhang. J. MOLLERUP in Oversigt over det kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger ( 1 9 0 7 ) , S. 127. G. FREGE, Grundgesetze der Arithmetik, J e n a 1 8 9 3 und 1 9 0 3 . H . WEBER in WEBER U. WELLSTEIN, Enzyklopädie der Elementar-Mathematik, Bd. I , 3. A u f l . , Leipzig 1 9 0 9 , S. 1. M. PASCH, Grundlagen der Analysis, Leipzig 1909. ß . DEDEKIND, Was sind und was sollen die Zahlen? 2. Aufl., Braunschweig 1893. E. ZERMELO, Über die Grundlagen der Arithmetik, Atti del IV. congresso intern, dei matematici, Vol. I I , S. 8, E o m 1 9 0 9 . G. HESSENBERG, Grundbegriffe der Mengenlehre, Abh. d. FRlESschen Schule, neue Folge, Bd. I, H e f t 4, Göttingen 1906.

I*

Grundlagen der Arithmetik.

4

Setzen wir die Existenz eines Systems 9?, das den Postulaten P 1 ) bis P 6 ) genügt, als logisch möglich voraus, so können wir von 92 aus zu dem System der ganzen positiven Zahlen gelangen. 92 enthält nach Postulat P,) das Element 1, nach P 2 ) enthält 92 das Element 1 + . D a s Element 1 + bezeichnen wir mit 2, wir setzen also 1 + = 2, so daß 2 nur einen abkürzenden Namen f ü r 1+ vorstellt und 1 + und 2 sich überall gegenseitig vertreten dürfen. Da 92 das Element 2 enthält, so befindet sich in 92 auch ein Element 2 + , das wir mit 3 bezeichnen, usw. Auf Grund der Postulate P 3 ) und P 4 ) hat man f ü r die erzeugten Elemente von 9i immer neue Namen zu verwenden, die wir der üblichen Zahlbezeichnung entnehmen. 92 enthält also die Elemente: 1,

l+=2,

2+=l

+ +

=3,

3

+

=l

+ + +

=4,

. . . .

Nach Postulat P 6 ) ist aber jedes Element von 91 in dem System 1, 1 + , 1 + + , 1 + + + , . . . . enthalten. Mithin enthält 91 keine anderen als die angegebenen Elemente und ist also bei geeigneter Bezeichnungsweise nichts anderes als die natürliche Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, . . . . Bedient man sich anstatt des Postulats P 6 ) der oben ausgesprochenen Forderung, nach der das System 92 nur die durch die zwei Postulate P , ) und P 2 ) geforderten Elemente und keine weiteren enthalten soll, so ergibt sich ebenfalls, daß das System 91 bei geeigneter Bezeichnungsweise die natürliche Zahlenreihe ist. Für das System 92 gilt d e r S a t z der v o l l s t ä n d i g e n I n d u k t i o n : I s t i r g e n d e i n T h e o r e m f ü r d a s E l e m e n t 1 a u s 9f w a h r u n d i s t e s , w e n n es f ü r i r g e n d e i n b e l i e b i g e s E l e m e n t x a u s 92 g i l t , a u c h i m m e r n o c h f ü r d a s E l e m e n t a;+ a u s 92 r i c h t i g , so t r i f f t d a s T h e o r e m f ü r a l l e E l e m e n t e v o n 92 zu. Das Theorem gilt nach Voraussetzung für das Element 1. Da nach P,) das Element 1 zu 92 gehört, ist das Theorem auch für 1 + richtig. Da 1 + ein Element aus 92 ist, so ist das Theorem auch für 1 + + wahr. Da das Theorem jetzt für das Element 1 + + aus 92 gilt, so muß es auch für 1 + + + zutreffen, usw. 92 enthält nach P 6 ) keine anderen Elemente als 1, 1 + , 1 + + , 1 + + +, . . . . Mithin muß das Theorem für alle Elemente aus 92 gelten. Die Bedeutung des Satzes der vollständigen Induktion wird klarer, wenn man sich überlegt, daß er für das Seite 2 unter 1 betrachtete System 926 nicht zutrifft. Ist ein Theorem f ü r das Element 1 aus 925 wahr und ist es, wenn es für irgend ein Element x aus 925 gilt, auch immer noch f ü r seinen Nachfolger x+ aus 925 richtig, so ist das Theorem nur für die Zahlen 1, 3, 5, . . . ., nicht aber für die Zahlen 2, 4, 6, . . . . aus 926 bewiesen. Da die ganzen positiven Zahlen, in natürlicher Weise 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . geordnet, ein System 92 bilden, gilt für sie d e r S a t z d e r v o l l s t ä n d i g e n I n d u k t i o n (auch als S c h l u ß v o n n a u f n + 1 bezeichnet): I s t e i n T h e o r e m f ü r d i e Z a h l 1 w a h r u n d i s t e s , w e n n es f ü r i r g e n d e i n e b e l i e b i g e n a t ü r l i c h e Z a h l x g i l t , a u c h i m m e r n o c h f ü r d i e i h r in der n a t ü r l i c h e n Z a h l e n r e i h e u n m i t t e l b a r f o l g e n d e r i c h t i g , so g i l t d a s T h e o r e m f ü r j e d e g a n z e Zahl. Anknüpfend an den Begriff des Nachfolgers läßt sich für die ganzen positiven Zahlen eine Verknüpfungsregel, A d d i t i o n genannt, definieren, die aus irgend zwei gleichen oder ungleichen ganzen positiven Zahlen a und b eindeutig eine dritte, ihre S u m m e e = a + b, nach bestimmter Vorschrift erzeugt, so daß o ebenfalls der natürlichen Zahlenreihe angehört.

Die vollständige Zahlenreihe.

Die Addition beliebiger ganzer Zahlen.

5

Zuerst wird die Addition für den speziellen Fall b = 1 durch die Festsetzung : (1) a + 1 = a+ eingeführt, d. h. unter a + 1 soll der in der natürlichen Zahlenreihe eindeutig bestimmte Nachfolger a+ der ganzen positiven Zahl a verstanden werden. Aus (1) ergibt sich: Es bedeutet 1 + 1 = 1 +,

2 + 1 = 2+,

3 + 1=3+,....

Auf Grund der oben eingeführten Bezeichnung ersetzen wir 1+ durch seinen Namen 2, 2+ durch 3, 3+ durch 4, usw. Wir erhalten demnaeh: (1')

1 + 1 = 2,

2 + 1 = 3,

3 + 1=4,....

Die Addition irgend zweier ganzer positiver Zahlen wird durch die folgende definierende Gleichung: a + (b + 1) = (a + b) + 1

(2)

auf die Gleichung (1) zurückgeführt. Gleichung (2) besagt: Unter der Summe von a und dem Nachfolger von b in der natürlichen Zahlenreihe hat man den Nachfolger der Summe von a + b zu verstehen. Aus (1') ergibt sich: o + 2 = o + (l + l) oder nach Formel (2) gleich (a + 1) + 1, d. h. wir haben auf Grund von Gleichung (1) unter a + 2 den Nachfolger von a + 1 zu verstehen. Ebenso erhält man nach (!') die Gleichung a + 3 = ii + (2 + l) oder nach Formel (2) gleich (a + 2) + 1, d. h. wir haben auf Grund von Gleichung (1) unter a + 3 den Nachfolger von a + 2 zu verstehen. Die Definitionsgleichungen (1) und (2) liefern sukzessiv, ähnlich wie man die Stufen einer Treppe hinaufsteigt, das Resultat: a,

a + 1,

o + 2,

a + 3, . . . .

sind a u f e i n a n d e r f o l g e n d e Zahlen. Man sieht: Die durch die Gleichungen (1) und (2) gegebenen Definitionen sind völlig ausreichend, um zwei beliebige ganze positive Zahlen zu addieren.

§2.

Die vollständige Zahlenreihe. Die Addition beliebiger ganzer Zahlen. Da nach Postulat P 6 ) des § 1 jede ganze positive Zahl in der Reihe: 11

, 1i + , 1 1 + +

1 + + +,

i 1 + + + +, . . . .

auftritt, die sich auch als 1,

1 +, 2+,

3 + , 4+,

....

schreiben läßt, so ergibt sich: Jede vorgelegte, von 1 verschiedene ganze positive Zahl a läßt sich aus einer anderen ganzen positiven Zahl h gewinnen, so daß a der Nachfolger b+ der Zahl b wird, 6 + = a. Nach Postulat 1'3) gibt es nur e i n e solche ganze positive Zahl b, deren Nachfolger 6+ = a ist. Eine Ausnahmestellung in der Reihe der ganzen positiven Zahlen nimmt die Zahl 1 ein; nach dem Postulat P 4 ) des vorigen Paragraphen ist sie niemals Nachfolger einer ganzen positiven Zahl.

Grundlagen der Arithmetik.

6

Um die Ausnahmestellung zu beseitigen, welche die Zahl 1 in der natürlichen Zahlenreihe einnimmt, führen wir statt des Systemes 92 von Dingen, mit dem wir uns in § 1 beschäftigt haben, ein neues System 92' von Dingen oder Elementen ein, dessen Eigenschaften wir in folgenden fünf Postulaten formulieren: 1 P,'). Das System 92' enthält wenigstens ein Element. P 2 '). Jedes dem System 91' angehörige Element» bestimmt in eindeutiger Weise ein weiteres, ebenfalls 92' angehöriges Element, das wir das x un- mittelbar folgende oder den N a c h f o l g e r von x nennen und mit bezeichnen. P 3 '). Jedes dem System 91' angehörige Element ist Nachfolger eines und auch nur eines Elementes aus 92'. P 4 '). Ist x ein beliebiges Element aus 92', so stimmt x mit keinem unter seinen sukzessiven Nachfolgern xx + + ,

j: ,

Z+ + + , j>

. . .

.

uberein. Ehe wir das letzte unserer fünf Postulate aussprechen, führen wir durch Definition den Begriff des V o r g ä n g e r s eines Elementes von 92' ein. Durch jedes Element x aus 92' wird nach Postulat P 3 ') eindeutig ein Element y aus 92' bestimmt, so daß x = y+ der Nachfolger von y ist. Ist x — y+, so kann y nicht in der Reihe der Nachfolger von x auftreten; denn wäre etwa y = a; + + + + , so würde aus x = y+ im Widerspruch mit P 4 ') folgen, daß x mit einem seiner Nachfolger, nämlich ¡E+ + + + + übereinstimmen müßte. Soll daher das durch x = y+ festgelegte Verhältnis, das x als Nachfolger von y bezeichnet, bei Umkehrung der Glieder beschrieben werden, so wird ein neuer Name und ein neues Zeichen erforderlich, um darzulegen, wie sich x zu y verhält. Wir nennen das durch x = y+ nach P 8 ') eindeutig bestimmte Element y aus 92' den Vorgänger von x und bezeichnen es mit x~. Wir definieren also: V o r g ä n g e r e i n e s E l e m e n t e s .x a u s d e m S y s t e m 92', b e z e i c h n e t m i t x~, h e i ß t d a s j e n i g e E l e m e n t « / a u s 92', d e s s e n N a c h f o l g e r x ist. y = x~~ i s t n u r e i n e a n d e r e S c h r e i b w e i s e f ü r x = y+. P 6 '). Ist x ein beliebiges Element aus 92', so ist jedes Element aus 92' in dem System . . . .,

x

,

x~,

x,

x+,

. . . .

enthalten. 5 Für die Definition des Systems 92' läßt sich der Begriff des Vorgängers vermeiden, wenn man statt de3 angegebenen Postulates P 6 ') das folgende Postulat P 5 ") verwendet: P 6 "). Das System 92' soll nur die etwa durch die drei ersten Postulate P,') bis P 3 ') geforderten Elemente und sonst keine weiteren enthalten. 1 Die Arithmetik läßt sich nach § 2 auf Grund des Systemes 92' aufbauen, ohne die Kenntnis des Systems 92, das im § 1 behandelt wurde, vorauszusetzen. Eine andere axiomatische Theorie der vollständigen Zahlenreihe bei A. PADOA in Compte rendu du deuxième congrès international des mathématiques, Paris 1902, S. 249. 2 Es würde auch genügen, statt des obigen Postulats P6') das folgende weniger fordernde zu verwenden: In dem System 92' läßt sieh wenigstens ein Element x finden, so daß jedes Element aus 92' in dem System

. . . .

X

,

X~,

X,

X+ ,

Z++,

. . . . .

enthalten ist. Aus diesem- Postulat beweist man die Fassung P 6 ') des Textes mittels der Postulate P s ') und P 3 ').

D i e vollständige Z a h l e n r e i h e .

D i e Addition b e l i e b i g e r g a n z e r

7

Zahlen.

W i r wollen zunächst zeigen, daß die f ü n f P o s t u l a t e P , ' ) b i s P 5 ') v o n e i n a n d e r u n a b h ä n g i g o d e r i r r e d u z i b e l sind. Zu diesem Zweck betrachten wir fünf Systeme von Elementen: 1. W i r denken uns als System 9i,' ein leeres System. Von jedem leeren System kann man sagen, daß es alle Postulate mit Ausnahme von P / ) erfüllt; für ein leeres System kommen nämlich die anderen Postulate überhaupt nicht mehr in F r a g e . 2. W i r bilden ein System 91>' von Elementen, das aus einer rechter Hand abbrechenden Aufeinanderfolge („Regression") bestehen möge, etwa . . . .,

X

t,

T,

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,

9.

Bei dem System 3i.2' hat die Zahl 9 keinen Nachfolger;, mithin genügt 9 ? / nicht dem Postulat P 2 ' ) , hingegen erfüllt 9J ä ' alle anderen Postulate, z. B. ist jedes Element von 92/ Nachfolger eines anderen. F ü r 9? 2 ' könnte man auch die Gesamtheit der ganzen negativen Zahlen wählen. 3. W i r bilden ein System 91/ von Elementen, das aus einer linker Hand abbrechenden Aufeinanderfolge („Progression") bestehen möge, etwa: 9,

8,

7,

6,

5,

4,

3,

2,

1,

0,

1,

2

Bei dem System 9J 3 ' ist die Zahl 9 nicht Nachfolger eines anderen Elementes ; hingegen erfüllt 9?3' alle anderen Postulate. F ü r 9f3' könnte man auch die Gesamtheit der ganzen positiven Zahlen nehmen. 4. W i r bilden ein System 92/ von Elementen, das aus irgend einer periodischen Aufeinanderfolge von Elementen, etwa . . . .,

1,

2,

3,

1,

2,

3,

1,

2,

3,

. . . .

bestehen möge. Bei dem System % ' ist l = 2, 2 + = 3, 3 + = 1, also l + + + = 1. Dalier wird von 91/ das Postulat P 4 ' ) durchbrochen, während alle anderen Postulate erfüllt sind. +

5. W i r bilden ein System 925' von E l e m e n t e n , das aus den in folgender Reihenform angeordneten Elementen . . . .,

X

bestehen möge. 5+ = l+ 1 = 1

+ +

= 7 ,

"f

l7

1,

3,

5,

, X

X

0,

Der Nachfolger von 1 ist hier 3, also l . . . .

oder 1 = 1 — , 1 = 3

Das

Element 1 ist

oder 3 = 1

2, +

4,

= 3, 3

der Nachfolger

= 1 — , 3 = 5

6, +

. . . .

= l+

+

= 5,

von T", also

oder 5 = 3

=1

.

D a s System 9?3' erfüllt demnach nicht das fünfte Postulat P 5 ' ) ; denn in dem System , . . ., 1 , 1 , 1 — , 1 , 1 + , 1 + + , . . . . treten nicht die Zahlen . . . . , 4 , 2, 0, 2, 4, 6, . . . . auf, die in dem System 2 = a*(l + 1) oder nach Gleichving (2) gleich a • 1 + a; nach (1) ergibt sich schließlich, daß (3)

a • 2 = o + a.

Ebenso findet man unter Beachtimg von 3 = 2 + 1, daß a « 3 = a>(2 + 1) oder nach (2) gleich o • 2 + a wird. Auf Grund von (3) gewinnt man daher die Gleichung (4) a • 3 = (a + a) + a. Wählt man in der Gleichung (2) für b die Zahl 3, so erhält man a«(3 + l) = a « 3 + a und kann demnach a • 4 auf Grund der Gleichung (4) bestimmen. Dieses Verfahren läßt sich fortsetzen und liefert unter sukzessiver Beachtung der Gleichungen (1') auf Seite 5 das Produkt von a mit irgend einer ganzen positiven Zahl. I. Die Multiplikation der ganzen positiven Zahlen genügt den d i s t r i b u t i v e n G e s e t z e n . S i n d o, b, e g a n z e p o s i t i v e Z a h l e n , so h a t m a n von den z w e i F o r m e n des d i s t r i b u t i v e n G e s e t z e s die e r s t e F o r m in d e r G l e i c h u n g (5)

a • (b + c) = a • b + a • c,

d i e z w e i t e F o r m in d e r G l e i c h u n g (6)

(a +

b)-e = a-o + b-e.

Die Gleichung (5) ist, falls a und b beliebige ganze positive Zahlen bedeuten, für e = 1 richtig, wie aus den Gleichungen (2) und (1) folgt. Sie gelte ferner für e = k, d. h. es sei a(b + k) = ab + ak\ dann ist: 1 Bei der Multiplikation läßt man auch den Malpunkt fort und schreibt a b statt a • b Dies ist jedoch nicht gestattet, wenn a und b beide dekadisch geschriebene ganze Zahlen sind.

LOEWY, A l g e b r a .

2

18

Grundlagen der Arithmetik. a [6 + (k 4- 1)] = a [(i + k) 4- 1]

nach

dem

assoziativen

Gesetz

der

Gesetz

der

Addition, = a (b + k) 4- a

n a c h (2),

= (ab 4- ak) 4- a

n a c h Voraussetzung,

= a b + (a I; 4- a) n a c h

dem

assoziativen

Addition, = a b 4- a (k + 1) n a c h (2). Gilt also Gleichung (5) f ü r e — k, so gilt sie auch noch f ü r c = k 4- 1. D a das Theorem f ü r e = 1 richtig ist, so gilt es mithin, wie m a n sukzessiv einsieht, f ü r c = 2, 3, 4, . . . . , also f ü r j e d e ganze positive Zahl c. Hiermit ist das distributive Gesetz in seiner ersten F o r m bewiesen. Die Richtigkeit der Gleichung (6) f o l g t , falls a u n d b beliebige ganze positive Zahlen b e d e u t e n u n d c — 1 i s t , aus Gleichung (1). Die F o r m e l (6) gelte f ü r e — k, d. h. es sei (a 4- b) k = a k 4- b k; dann ist: (a + b) (k + 1) = (a + 6) k + (a 4- b) n a c h (2), = (a k 4- b k) + (a 4- b) n a c h Voraussetzung, = a k + [6 k 4- (a + 6)] n a c h dem assoziativen Gesetz df r Addition, = (a k + a) + (b k + 6) nach dem kommutativen u n d dem wiederholt a n g e w a n d t e n assoziativen Gesetz der Addition, = a (k + 1) + b (k + 1) n a c h (2). Gilt die Gleichung (6) also f ü r c = k, so trifft sie auch f ü r c = k + \ zu. Aus der Richtigkeit f ü r e — 1 ergibt sich demnach sukzessiv ihre Gültigkeit f ü r alle ganzen positiven Zahlen c. H i e r m i t ist das distributive Gesetz in seiner zweiten F o r m bewiesen. I I . Die Multiplikation der ganzen positiven Zahlen erfüllt das a s s o z i a t i v e G e s e t z d e r M u l t i p l i k a t i o n , d. h. s i n d a, b, c i r g e n d w e l c h e g a n z e p o s i t i v e Z a h l e n , s o i s t n • (b • c) = (a • b) • c. Man k a n n also a mit dem Resultat von b • o oder das Resultat von a • b mit c multiplizieren, um beide Male das gleiche zu erhalten. 1 Die Gleichung a(be) = (a b) c ist n a c h (1), falls a u n d b beliebige ganze positive Zahlen sind, richtig f ü r c = 1. Sie gelte nach Voraussetzung f ü r e = k, d. h. es sei a(b k) = ( a b ) k \ dann ist: a[b(k

+ 1)] = a [b k + 6]

n a c h (2),

= a(b k) 4- ab

n a c h dem bewiesenen ersten distributiven Gesetz,

= (ab)k

n a c h Voraussetzung,

4- ab

= (a b) Qc 4- 1)

n a c h (2).

Gilt also unser Satz f ü r c = k, so trifft er auch noch f ü r c — k 4 - 1 zu. D a er f ü r h > — 1J - ![, — i* > ~~ 'S bezeichnen wollen und deren Komposition wir durch folgendes quadratisches Schema festlegen:

1

-

1

1

h

h i.

H

h

1

h — i.i -

h

-

1

—

ìt

-

ú %

-

h

»2

H —

's

1

±

's

—

i«. — 1i 1

h - h

'3 —

-

1

-

H ù

's 1

'i

h

1

h - h

-

-

-

— 1

-

1

—

-

1

-

h - H - H

-

1

h H h

t,

- H

H

-

1

-

H — H h

- h

H h

-

H L

1

-

>i

h h h

1

-

1

-

»'s

-

1

h - h h

t..

-

h

-

1

Bei diesem Schema, Kompositionstabelle genannt, ist in dem Felde, wo die Zeile und Kolonne sich schneiden, das Resultat, das die Komposition liefern soll, eingetragen, und zwar soll der Zeilenzeiger als erste, der Kolonnenzeiger als zweite Komponente gelten. Es ist also z. B. ?! O í 2 = í 3 ,

«2 0 t\ = —i3,

«'„ O \ --- *¡j,

i, O ¿3 = — í'ü .

Anstatt die 8 Elemente unseres Systems mit 1, i¡, , i¡¡, — 1, — z¡, — i.,, — ?3 zu bezeichnen, wie wir es taten, könnte man sie auch mit E, Aít A,, As, A4, Js, An, A, oder andersartig bezeichnen. Wir haben die obige Bezeichnung gewählt, weil das System dieser 8 Elemente mit obiger Bezeichnung und Kompositionsvorschrift in der Theorie der H A M I L T O N s e h e n Q u a t e r n i o n e n auftritt. Man sieht, daß das angegebene verknüpfbare System kein kommutativ verknüpfbares System ist; denn bei der durch das obige Schema definierten Art der Komposition sind z. B. \ und nicht vertauschbar, da i, 0 = ?3, i.t o — — «3 ist. Unser System erfüllt aber, wie man sich leicht überzeugt, die vier für eine Gruppe aufgestellten Postúlate Gr,) bis G r J ; neutrales Element ist das Element 1. Mithin definiert das obige System von 8 Elementen eine Gruppe; diese spezielle Gruppe mit 8 verschiedenen Elementen und der durch das obige quadratische Schema definierten Art der Komposition heißt die Q u a t e r n i o n e n g r u p p e . Ihre in sich widerspruchslose Existenz beweist das Vorhandensein nicht kommutativer Gruppen und zeigt daher, daß

28

Grundlagen der Arithmetik.

das P o s t u l a t C0) von den P o s t u l a t e n Gr,) bis Gr 4 ) u n a b h ä n g i g , also kein aus ihnen herleitbarer Lehrsatz ist. 1 Die kommutativen Gruppen, mit denen wir im voraufgehenden bekannt wurden, lehren, daß die fünf Postulate Gr,) bis Gr,) und C„) einander nicht widersprechen, sondern gleichzeitig realisierbar sind.' •Wir wollen im folgenden für irgend eine Gruppe ©, d. h. ein verknüpfbares System, dessen Elemente den Postulaten Gr,) bis Gr,) genügen, einige Lehrsätze beweisen. Wir bemerken noch besonders, daß man, da P o s t u l a t C„) n i c h t v o r a u s g e s e t z t w i r d , die Reihenfolge der Komponenten nicht vertauschen darf; wenn also A und B zwei Gruppenelemente sind, so ist im allgemeinen das Gruppenelement AoB nicht gleich dem Gruppenelement BoA. Ist © eine Gruppe, so gibt es nach den Gruppenpostulaten Gr s l und Gr,) zu jedem Gruppenelement A von © in © wenigstens ein Element A', so daß (1) A0Ä = E wird, wobei E so beschaffen ist, daß für jedes Element B aus © stets (2) BoE = B ist. Es seien A und A' zwei Elemente der Gruppe ©, die durch die Beziehung (1) zusammenhängen. Wir bilden: (A' 0 A) 0 (A' 0 A) = A'o[Ao (A' 0 A)] nach dem Gruppenpostulat Gr2) über den assoziativen Charakter der Komposition, = A' 0 [CA 0 A') o A] aus dem gleichen Grunde, = A'o(EoA) nach Gleichung (1), = (A! o E) 0 A nach dem Postulat Gr2), = A'o A nach Gleichung (2) oder Grs). Setzen wir A' o A = Z, so haben wir (3) (A'oA)oZ= Z. Da A und A' Elemente der Gruppe © sind, so muß auch Z = A'O A nach dem Gruppenpostulat Gr,) der Gruppe ® angehören. Da Z ein Element aus © ist, muß © nach dem vierten Gruppenpostulat Gr4) wenigstens ein Element Z' enthalten, so daß Z 0 Z' = E wird. Aus E = ¿0 Z' schließen wir mit Hilfe .von Gleichung (3); E = [(A'oA)oZ]oZ' = (A'o A)0(Z0 Z') nach dem Gruppenpostulat Gr,) über den assoziativen Charakter der Komposition, = (A'oA)oE, da 2 o 2 ' = f , = A'o A nach Gr3). 1 Die Quaternionengruppe ist ein Beispiel einer endlichen nicht kommutativen Gruppe. Die Existenz unendlicher nicht kommutativer Gruppen lehrt das in § 10 unter Nr. 9 gegebene System R 9 , wenn man die für dieses System definierte Multiplikation als Komposition ansieht und das Element 0 ausschließt. 2 Daß die fünf Postulate Gr,) bis Gr4) und C0) voneinander unabhängig sind, d. h. daß aus vier von ihnen nie das fünfte als beweisbarer Lehrsatz ableitbar ist, geht aus den unter Nr. 5—9 im § 10 angegebenen Systemen R 5 bis R 9 hervor, wenn man die dort definierte Produktbildung als Komposition ansieht und das Element 0 ausschließt. Diese Systeme zeigen nämlich die in sich widerspruchslose Koexistenz von je vier der Postulate neben der gleichzeitigen Negation des fünften.

Verknüpfbares System.

Gruppe.

29

D i e G l e i c h u n g (1) AoÄ= E z i e h t also s t e t s die G l e i c h u n g (1') A'oA = E nach sich. Sei A irgend ein Element aus ©; wir bilden E o A = (A o A') O A nach Gleichung (1), = Ao(ÄoA) nach Gij), = A0E nach Gleichung (1'), = A nach dem Postulat Gr3). Wir haben daher: Satz I. D a s n a c h dem d r i t t e n G r u p p e n p o s t u l a t Gr,) in j e d e r G r u p p e © v o r h a n d e n e n e u t r a l e E l e m e n t E l ä ß t sowohl als r e c h t s h ä n d i g e wie als l i n k s h ä n d i g e K o m p o n e n t e j e d e s E l e m e n t d e r G r u p p e u n g e ä n d e r t ; f ü r j e d e s E l e m e n t e aus © ist A o E—Eo A = A. Wir beweisen ferner: Satz II. E i n e G r u p p e © e n t h ä l t k e i n zu E u n g l e i c h e s n e u trales Element. Besitzt © etwa außer E noch ein weiteres neutrales Element Ei, so ist nach der Definition eines solchen für jedes Element A aus © stets A 0 E, = A, also auch, da E ein Element aus © ist, E 0 Et — E. Da El ein Element aus © ist und E nach Satz I sowohl als rechtshändige wie auch als linkshändige Komponente ein Element aus © nicht ändert, so ist E 0 El = El. Da die Gleichheit eine symmetrische, transitive Relation ist, so folgt aus EoEt = E und E 0 Ei = Ei, daß E — El ist. Die Gruppe © enthält also kein zu E ungleiches neutrales Element. Wir zeigen noch, daß, wenn A ein Element aus der Gruppe © ist und A' ein nach Postulat Gr4) in © existierendes Element bedeutet, so daß A 0 A' = E und demnach, wie wir bewiesen haben, A'oA = E [Gleichung (1')] wird, es kein zu A' ungleiches Element A" gibt, für das l o i " = E wird. Es ergibt sich nämlich A' = A' 0 E = A' 0 (A 0 A") = (A' 0 i ) 0 l " = Eo A" = A". Wir haben daher das wichtige Resultat, das wir zusammenfassen in Satz III. I s t A i r g e n d ein E l e m e n t einer G r u p p e ©, so g i b t es n a c h P o s t u l a t Gr4) s t e t s ein © a n g e h ö r i g e s E l e m e n t A', f ü r d a s die Relation AoA'=E b e s t e h t . Es i s t d a n n immer g l e i c h z e i t i g a u c h A!oA = E, u n d es g i b t k e i n zu A' u n g l e i c h e s G r u p p e n e l e m e n t A!' in ©, f ü r das AoA"=E oder A" 0 A = E wäre. Ist A ein Element einer Gruppe © und A' ein weiteres Element aus ©, das mit A durch die Relation AoA'= E verknüpft ist, so heißt A' ein inv e r s e s , im b e s o n d e r e n a u c h e n t g e g e n g e s e t z t e s oder r e z i p r o k e s E l e m e n t von A. Satz III besagt, daß alle zu einem Element A einer Gruppe © inversen Elemente untereinander gleich sind. Wir zeigen noch, daß gleiche Elemente A und B einer Gruppe stets untereinander gleiche inverse Elemente haben; denn seien A' bzw. B' inverse Elemente von A und B, also A 0 A' = E und Bo B' = Er so folgt aus A 0 A' = E und A = B nach dem fünften Gleichheitspostulat G5) auf Seite 2b BoA'= E, d. h. A' ist ein inverses Element von B. Da nach Satz III alle inversen Elemente eines Gruppenelements B untereinander gleich sind,- so ist A'= B'. — Ist A' ein inverses Element von A, so ist A ein inverses Element von A'\ denn aus l o l ' = E folgt nach Satz III, daß A'o A = E ist. Wir formulieren diese Tatsachen in

30

Grundlagen der Arithmetik.

S a t z III^ J e d e G r u p p e e n t h ä l t zu j e d e m E l e m e n t w e n i g s t e n s e i n i n v e r s e s E l e m e n t . A l l e zu e i n e m E l e m e n t A e i n e r G r u p p e © inversen Elemente sind u n t e r e i n a n d e r gleich und auch gleich den i n v e r s e n E l e m e n t e n j e d e s zu A g l e i c h e n E l e m e n t e s a u s ©. I s t A' e i n i n v e r s e s E l e m e n t v o n A, so i s t A ein i n v e r s e s E l e m e n t v o n A'.1 S a t z IV. S i n d A u n d B i r g e n d z w e i E l e m e n t e e i n e r G r u p p e & u n d A' u n d B' zu i h n e n i n v e r s e E l e m e n t e , also AoA'=E und BoB' = E, so i s t C' = B'o A' e i n i n v e r s e s E l e m e n t v o n C = Ao B. Es ist nämlich Co C'= = = = = =

(AoB)o(B'oA'), i o [ B o ( B ' o i ' ) ] nach dem Gruppenpostulat Gr2), A O [(B O B') o A'] nach dem gleichen Postulat Gr,), Ao(EoA'), weil BoB'=E, A 0 A', weil EoA'= A' nach Satz I, E, well AoA'= E.

S a t z Y. S i n d A, B u n d Bx i r g e n d d r e i E l e m e n t e e i n e r G r u p p e © u n d i s t e n t w e d e r l 0 B = l 0 B, oder B o A = Bt o A, so i s t s t e t s B = Bt. Sei A! ein inverses Element von A\ dann ergibt sich aus Ao B = A 0 Bt, daß AI o (A 0 B) = Ä 0 (A 0 -B,) oder nach dem Postulat Gr2) über den assoziativen Charakter der Komposition (A'o A) 0 B = (A'o A) 0 Bt . Da nach Satz III A'O A = E und nach Satz I Eo B = B, Eo B1 = 5 , , so folgt B—B,. Ebenso ergibt sich aus Bo A = B, 0 A, daß ( B 0 i ) 0 i ' = (_B, 0 0 A' oder B o ( l o 4 ' ) = 5 , 0 ( i o A') oder Bo E — B,o E, d. h. 5 = 5, ist. S a t z VI. S i n d A u n d B i r g e n d z w e i E l e m e n t e e i n e r G r u p p e ® , u n d s i n d A' b z w . B' i n v e r s e E l e m e n t e v o n A bzw. B, so b e f r i e d i g t d a s E l e m e n t X = A'O B a u s © d i e G l e i c h u n g .4 0 -3T = B u n d d a s E l e m e n t Y=BoA' a u s © d i e G l e i c h u n g YoA = B. © e n t h ä l t k e i n e zu d e n z w e i a n g e g e b e n e n E l e m e n t e n „Y u n d Y u n g l e i c h e n E l e m e n t e , d i e d e n R e l a t i o n e n A 0 X = B u n d l"o A = B g e n ü g e n . Daß Ao(A'oB) — B wird, folgt aus dem assoziativen Postulat und den Relationen Ao A'= E und E 0 B = B. Da A' nach Gr,) und B nach Voraussetzung der Gruppe © angehören, so ist A'oB nach dem Postulat G r J ein Element der Gruppe. Angenommen, © enthalte außer X = A'oB noch ein weiteres zu X ungleiches Element A^, so daß auch A o Ar, = B wird, so folgt A 0 X = A o Xi und hieraus nach Satz V: X = X1. In analoger Weise zeigt man, daß (B 0 A') 0 A = B wird, daß Bo A' der Gruppe © angehört und daß in ffl kein zu J" = Bo A' ungleiches Element existiert, das die Relation Y 0 A = B befriedigt. Aus Satz VI schließen wir noch zur Verschärfung von Satz II den S a t z VII. I s t A i r g e n d ein b e s o n d e r e s E l e m e n t e i n e r G r u p p e ©, so w e r d e n d i e R e l a t i o n e n A o X = A bzw. = d u r c h k e i n zu dem n e u t r a l e n Element E u n g l e i c h e s Gruppenelement b e f r i e d i g t . 1

W i r werden später in § 9 sehen, daß die rationalen Zahlen inbezug a u f die

Addition eine G r u p1 pr e bilden: bei i h r sind z. B. — 3 , -, allgemein ———1 ' 2 ' 3 ' m wobei m jede von Null verschiedene ganze Zahl bedeutet, inverse Elemente von 3.

Verknüpfbares System.

Gruppe.

31

Nach Voraussetzung ist nämlich A o X — A; ferner ist, da E neutrales Element der Gruppe ist, AoE = A\ hieraus folgt nach den Gleichheitspostulaten A o X = A o E und nach Satz Y, daß X = E. Ebenso folgt aus YoA = A und der nach Satz I gültigen Kelation Eo A = A, daß Yo A - E 0 A und demnach nach Satz Y T = E ist. Wir beweisen noch folgenden S a t z VIII ü b e r d e n a s s o z i a t i v e n C h a r a k t e r d e r K o m p o s i t i o n b e l i e b i g v i e l e r G r u p p e n e l e r a e n t e : 1 Hat man v 4- 1 Elemente A^, Asy . . ., Ar+l einer Gruppe ©, die in der soeben hingeschriebenen Anordnung 5 gegeben seien, so ist die allgemeinste Art ihrer Komposition ohne Umstellung der Glieder die folgende: Man greife aus 5 irgend zwei Nachbarelemente A¡ und Al+1 beliebig heraus und komponiere sie in der Reihenfolge A¡ o A¡+¡, wie sie in der Anordnung g stehen. Das Resultat der Komposition dieser zwei Elemente schreibe man bei g- zwischen das dem zuerst gewählten Element voraufgehende und das dem zweiten Element nachfolgende, also zwischen / I ¡ _ j und Ai+! = (At o A.2 o ... O Av) o Av + 1 , = ( i 1 0 i s 0 . . . 0 ¿ , _ 1 ) 0 (A v O Av+i), Ds = (A¡ O A2 o . . . O A,,_,)o(Ar_1 O AyoAy+l), L>V = Alo(A,O 1

A„...OAv

+ 1),

Vgl. E. SCHROEDER, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipzig 1873, S. 07.

32

Grundlagen der Arithmetik.

d. h. Ay+1 ist bei dem auszuführenden Prozeß entweder bis zuletzt allein stehen geblieben oder bei der Komposition der Elemente Ay, Ay+, oder bei der Komposition der Elemente Ay_u Ar, Ay+l oder bei der Komposition der Elemente Ay 2> Ay_,, Ay, Ay+l usw. verwendet worden. W i r setzen zur Abkürzung Bi dann ist

At

-

ci+1

o

A2 O . . . 0 A-t

(1 £ i < v),

= ^¡+2 0 A+s 0 . . . 0 Ar+1

Dr_i+l

=

0

0

( 1 S « ' < *);

Ci+1).

Infolge des Gruppenpostulates G r J sind Bi und Ci+1 ebenso wie Ai+1 mente aus Mithin ist nach dem assoziativen Gruppenpostulat Gr 2 ): Dy_i+1

= Bto (Ai+i

o C i + 1 ) = (Bi o Ai+l)

o

Ele-

Ci+l

oder bei Einsetzung der Werte gleich (Al o A} o . . . o Ai o

o (Ai+2 o

. . ' . o Ay+l)

=

Dy_i.

Folglich ist Dy_i+l = Dy_i. Wählt man der Reihe nach i = 1, 2, . . . v — 1, so ergibt sich, daß jedes der erhaltenenen Elemente Dv, Dv_i, . . ., Dlt Dl dem ihm unmittelbar folgenden gleich ist; mithin sind sie alle untereinander gleich. Ist also unser Satz für die Komposition von v Gruppenelementen richtig, so gilt er auch für eine solche von v + 1. Da das zu beweisende Theorem für v = 2 Gruppenelemente richtig war, so trifft es nach dem Satz der vollständigen Induktion für eine beliebige Anzahl von Gruppenelementen zu; man kann also für jede beliebige Anzahl von v + 1 Gruppenelementen At 0 A2 0 . . . 0 Ay+t ohne Klammern schreiben, da es ganz gleichgültig ist, wie man bei Beibehaltung der Reihenfolge die Komposition ausführt. Für eine kommutative Gruppe kann der Satz V I I I dahin erweitert werden, daß die Gruppenelemente auch i n b e l i e b i g e r R e i h e n f o l g e angeordnet werden dürfen. F ü r e i n e k o m m u t a t i v e G r u p p e g i l t d e m n a c h d e r Satz VIII' über den a s s o z i a t i v e n und k o m m u t a t i v e n C h a r a k t e r der Komposition beliebig vieler Gruppenelemente: H a t man v + 1 E l e m e n t e Ait . . .. Ay+l e i n e r k o m m u t a t i v e n G r u p p e ©, d i e i n der h i n g e s c h r i e b e n e n A n o r d n u n g g g e g e b e n sind, und g r e i f t aus i h n e n z w e i b e l i e b i g e h e r a u s , k o m p o n i e r t s i e in b e l i e b i g e r R e i h e n f o l g e und s c h r e i b t s t a t t i h r e r d a s R e s u l t a t ihrer K o m p o s i t i o n an a u s n u r b e l i e b i g e r S t e l l e von g eiQ> 3 0 hat man eine F o l g e v G r u p p e n e l e m e n t e n . W e n d e t man a u f g, das g l e i c h e V e r f a h r e n a n u n d f ä h r t so f o r t , b i s d e r P r o z e ß s c h l i e ß l i c h s e i n E n d e e r r e i c h t , so l i e f e r t d a s S c h l u ß r e s u l t a t n i e m a l s z w e i z u e i n a n d e r u n gleiche Gruppenelemente. W i r beweisen zuerst, daß es gleich ist, ob man bei einer kommutativen Gruppe das Element oder

P = Al o

o . . . 0 AtoAi+l

Q = ^1o4,0...0j bildet.

j + 1

o ... o

Ay+l

0 j i 0 . ..0

Ay+i

Setzt man zur Abkürzung: = i , 0 4 0 . . . 0 Jl/i + 1 = Ai+t

0 A(+3 0 . . . 0 Ay+i

(1 < i £ v), (1 £ i < v),

Definition eines Körpers und einige für ihn gültige Sätze. 80 w i r d

33

P - L ^ o d i o i ^ o j i n . -

Da die Gruppe © nach Voraussetzung kommutativ ist, d. h. je zwei ihrer Elemente stets kommutativ sind, so ist A(0 Ai+i = Ai+1oAi\ mithin ergibt sich P = Q. Man darf also, wenn die Gruppe kommutativ ist, bei der Komposition von Al o 0 . . . 0 Av+l immer zwei benachbarte Elemente vertauschen. Da die Vertauschung zweier beliebiger Elemente sich immer durch eine wiederholte Vertauschung benachbarter Elemente ersetzen läßt und sich hierfür gleiche Resultate ergeben, so ist der Satz VIII' allgemein bewiesen.

§

7.

Definition eines Körpers und einige für ihn gültige Sätze.2 Wir denken uns ein System ffi von Elementen, das sich auf zwei Arten verknüpfen läßt. Die eine Verknüpfung wollen wir mit dem Zeichen + , die andere mit dem Zeichen • bezeichnen. Aus irgend zwei Elementen A und B des Systems Si läßt sich also stets ein Element A 4- B und ein zweites zu ihm im allgemeinen ungleiches Element A - B herleiten. Wir haben die Zeichen + und • zwar der Arithmetik entlehnt und werden auch im folgenden einige aus der Arithmetik bekannte Bezeichnungsweisen einführen; der Leser denke aber trotzdem nicht an die gewöhnlichen Operationen der Addition und Multiplikation, wir lassen vielmehr die zwei Verknüpfungen ganz unbestimmt, nur sollen sie den im folgenden noch einzuführenden Postulaten genügen. Die Elemente unseres Systems Ä sollen entweder alle untereinander ungleich sein oder kraft einer besonderen Vorschrift in gleiche und ungleiche zerfallen. Diese Vorschrift muß hierbei die Gleichheit derart definieren, daß sie, wie es die fünf Gleichheitspostulate auf Seite 25 bedingen, eine determinierte, reflexive, symmetrische und transitive Relation ist und gleiche Elemente bei Verknüpfungen des Systems stets durch einander ersetzbar sind. D a u n s e r S y s t e m a u f z w e i A r t e n v e r k n ü p f b a r i s t , so m ü s s e n d i e a l s g l e i c h d e f i n i e r t e n E l e m e n t e e n t s p r e c h e n d P o s t u l a t G5) so b e s c h a f f e n s e i n , d a ß a u s A — At u n d B = Bl s t e t s A + B = + Bt u n d A • B = Ai • Bx f o l g t . I. Über die Art der Operation + ist bisher noch nichts gesagt. Wir verlangen: D i e E l e m e n t e u n s e r e s S y s t e m s ® s o l l e n b e i d e r V e r k n ü p f u n g d u r c h d i e O p e r a t i o n 4- e i n e G r u p p e b i l d e n . Für die Operation + haben also die folgenden vier Postulate zu gelten, die bloß eine andere Schreibweise der vier Gruppenpostulate Gr,) bis Gr4) unter Verwendung des Zeichens + anstatt des im vorigen Paragraphen verwendeten allgemeinen Verknüpfungszeichens darstellen. Wir bezeichnen diese vier Postulate mit Aj) bis A4): 1

Für i = 1 ist P — ( J , o A./) 0 M,, und Q = (A2 O O M2 0 (Jy 0 Av+l) und Q = Ly_t 0 0 Ay) zu wählen.

5

Vgl. H . WEBER, Math.

P =

Ann. 4 3 , 526 (1893);

und für i = v ist

D. HILBERT,

Jahresbericht

d.

Deutschen Math.-Vereinigung 8, 1 8 0 ( 1 9 0 0 ) , wieder abgedruckt in HILBERT, Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl. (1909), VI. A n h a n g ; besonders L. E. DICKSON, Transactions American math. soc. 6, 198 (1905) u. E. V. HUNTINGTON, ebenda 6, 17, 181 u. 2 0 9 sowie Annals of math. 8, 1 (1906). J.OEWY, A l g e b r a .

3

34

Grundlagen der Arithmetik.

A,). Sind A und B i r g e n d zwei g l e i c h e oder u n g l e i c h e E l e m e n t e des S y s t e m s Sí, so soll aus i h n e n s t e t s e i n d e u t i g ein d r i t t e s e b e n f a l l s ® a n g e h ö r i g e s E l e m e n t £ = A + B h e r l e i t b a r sein; wir s a g e n : S i s t durch A d d i t i o n g e f u n d e n . A2). D i e A d d i t i o n soll a s s o z i a t i v sein, d. h. sind A, B, C i r g e n d drei E l e m e n t e aus Sí, so soll A + {B + C) = (A + 3) -I- C sein. A3). I n ® soll es w e n i g s t e n s ein E l e m e n t g e b e n , das wir mit 0 b e z e i c h n e n w o l l e n , so daß für j e d e s E l e m e n t A aus $ die G l e i c h u n g -á + 0 = . 4 g i l t . Wir haben das neutrale Element statt wie im vorigen Paragraphen mit E für die additive Komposition mit 0 bezeichnet und nennen es N u l l s y m b o l , ohne daß dabei zunächst an die im § 2 eingeführte Zahl 0 zu denken ist. A4). I s t 0 das in $ durch das P o s t u l a t A3) g e f o r d e r t e E l e m e n t , so soll f ü r jedes- E l e m e n t A aus $ s t e t s in ® ein E l e m e n t X exis t i e r e n , so daß A + X = 0 wird. Da das Element 0 an die Stelle des im vorigen Paragraphen mit E bezeichneten Elementes tritt, so übertragen sich Satz I , II und VII des vorigen Paragraphen in folgenden S a t z I. I s t A i r g e n d .ein b e l i e b i g e s E l e m e n t aus Sí, so ist s t e t s .A + 0 = 0 + .á = .á; in Sí g i b t es k e i n zu 0 u n g l e i c h e s , auch nur f ü r i r g e n d ein e i n z e l n e s G r u p p e n e l e m e n t in bezug auf die O p e r a t i o n + ebenso b e s c h a f f e n e s E l e m e n t , d. h. sowohl die G l e i c h u n g A. + X = A als a u c h die G l e i c h u n g Y + A = A ziehen X = 0 bzw. Y = 0 n a c h sich. Wir schließen femer, indem wir im Satz I I I auf Seite '29 bei der Operation + das Nullsymbol statt E verwenden: Ist A irgend ein Element aus Sí, so gibt es in Sí stets ein Element A', das die Gleichung A + X = 0 befriedigt; dieses Element A' befriedigt auch die Gleichung X + A = 0. Es gibt in Sí kein zu A' ungleiches Element, das A •+ X = 0 oder X -1- A = 0 befriedigt. Ein solches zu A inverses Element A' aus Sí soll mit (— A) oder — A bezeichnet werden und das e n t g e g e n g e s e t z t e E l e m e n t von A heißen; es ist also A + (- Ä) = 0 und ( - A) + A = 0. Da ( - Ä) + A = 0, so ist A gleich dem entgegengesetzten Element von — A\ mithin hat man — (— A) = A. Da nach Postulat A 3 ): 0 + 0 = 0 ist, so ist das entgegengesetzte Element von 0, also — 0, gleich 0. Zusammenfassend haben wir Satz II. D a s S y s t e m Sí e n t h ä l t n e b e n j e d e m E l e m e n t A ein w e i t e r e s , das e n t g e g e n g e s e t z t e E l e m e n t von A, das wir mit —A b e z e i c h n e n , so daß 1 + ( - A) = (— .4) -I- .á = 0 ist. S o w o h l 1 + X = 0 a l s auch X + A = 0 werden nur durch das E l e m e n t X = — A aus Sí oder mit ihm g l e i c h e E l e m e n t e b e f r i e d i g t . E s i s t —0 = 0. Das e n t g e g e n g e s e t z t e E l e m e n t von — A, n ä m l i c h —(—4), ist g l e i c h A. Der auf Seite 30 aufgestellte Satz IV läßt sich für das System Sí folgendermaßen aussprechen: S a t z III. S i n d A und B i r g e n d zwei E l e m e n t e aus Sí, so i s t das e n t g e g e n g e s e t z t e E l e m e n t des in dem S y s t e m ® e n t h a l t e n e n E l e m e n t s A + B g l e i c h ( - £ ) + ( - A), also - (A + B) = (-B) + Zum Satz III bemerken wir: Solange nicht vorausgesetzt wird, daß unsere Addition kommutativ ist, darf man nicht (—£) + (—J.) als gleich mit (— A) 4- (— B) ansehen.

Definition eines Körpers und einige für ihn gültige Sätze.

35

Auf Grund von Satz V des vorigen Paragraphen sprechen wir aus S a t z IV. S i n d A, B u n d Bl i r g e n d d r e i E l e m e n t e a u s ff, so f o l g t s o w o h l a u s A + B = A -t- Bt a l s a u s B + A = Bt + A, daß B = Bl ist. Auf Grund von Satz VI auf Seite 30 formulieren wir S a t z V. S i n d A u n d B i r g e n d z w e i E l e m e n t e a u s ff, so g i b t es in $ s t e t s e i n E l e m e n t X = (— A) + B, d a s d i e G l e i c h u n g A+ X=B iind e i n E l e m e n t Y = B + ( — A), d a s d i e G l e i c h u n g Y + A=B bef r i e d i g t . D i e z w e i G l e i c h u n g e n h a b e n k e i n e zu d e n z w e i a n g e g e b e n e n L ö s u n g e n u n g l e i c h e n E l e m e n t e v o n $ zu L ö s u n g e n . Wir bemerken noch zu Satz V: Da wir das kommutative Gesetz für die Addition nicht postuliert haben, so darf man zunächst nicht (— A) -)- B und B -h (— A) als gleich ansehen. In unserem System ff kann man aus der Addition noch eine weitere Verknüpfung der Elemente des Systems ableiten, die wir S u b t r a k t i o n nennen. Sind A und B irgend zwei Elemente des Systems ff, so ist nach Satz II auch das zu A entgegengesetzte Element — A ein Element aus ff. Mithin ist nach Postulat A^ auch B + (— A) ein Element aus ff. Wir haben daher das Resultat: A u s i r g e n d z w e i E l e m e n t e n A u n d B a u s $ g e h t s t e t s e i n n e u e s , e b e n f a l l s ff a u g e h ö r i g e s E l e m e n t B + (— A) h e r v o r . Man b e z e i c h n e t B + (— A) m i t B — A u n d n e n n t B — A d i e D i f f e r e n z v o n B und B heißt Minuend, A Subtrahend. B — A bilden, heißt subtrahieren. Einen Teil von Satz V kann man jetzt auch in folgender Form aussprechen als S a t z V'. S i n d A u n d B E l e m e n t e a u s ff, so i s t (B - A) + A = B u n d es g i b t in ff k e i n zu B — A u n g l e i c h e s E l e m e n t , d a s d i e Gleichung Y + A = B befriedigt. Aus (B — A) + (A — B) = (B — A) + [A ( - B)\ (Definition von A - B) - [{B - A) + ;l] 4- ( - B) (Postulat A2) = B + ( - B) (Satz V') = 0 (Satz II) folgt, daß - (B - A) = A - B. Wir sprechen diese Tatsache in dem folgenden Satz aus, der Satz III ergänzt: S a t z III'. S i n d A u n d B i r g e n d z w e i E l e m e n t e a u s ff, so i s t d a s e n t g e g e n g e s e t z t e E l e m e n t von B — A g l e i c h A — B u n d u m gekehrt. D i e S u b t r a k t i o n l ä ß t s i c h s t e t s , w i e d i e s b e i dem e b e n g e l i e f e r t e n Beweise g e s c h a h , ihrer N a t u r n a c h auf die A d d i t i o n z u r ü c k f ü h r e n und braucht demnach nicht besonders behandelt zu w e r d e n . II. Die Elemente von ff sollten außer durch die Operation + noch auf eine zweite hiervon verschiedene Art, die wir mit • bezeichnen wollten, verknüpf bar sein. Über diese Verknüpfung war noch nichts gesagt. F ü r d i e s e z w e i t e V e r k n ü p f u n g f o r d e r n w i r , d a ß d i e E l e m e n t e v o n ff m ö g l i c h s t e i n e G r u p p e b i l d e n . Die Bedeutung des Wortes „möglichst" wird im folgenden noch klar werden. Außer den vier Postulaten A t ) bis A,) sollen die Elemente von ff zunächst noch den folgenden vier weiteren, die wir mit M,) bis M4) bezeichnen, genügen: M,). S i n d A u n d B i r g e n d zwei g l e i c h e o d e r u n g l e i c h e E l e m e n t e d e s S y s t e m s ff, so s o l l a u s i h n e n s t e t s e i n d e u t i g a u f e i n e 3*

36

Grundlagen der Arithmetik.

im a l l g e m e i n e n a n d e r e W e i s e a l s b e i d e r A d d i t i o n e i n d r i t t e s E l e m e n t P = A • B e n t s t e h e n , d a s e b e n f a l l s ff a n g e h ö r t . W i r s a g e n : P ist durch Multiplikation gewonnen. M2). D i e M u l t i p l i k a t i o n soll, a s s o z i a t i v s e i n , d. h. s i n d A, B, C i r g e n d d r e i E l e m e n t e a u s ff, so s o l l A • (B- C) = (A - B) • C s e i n . M3). I n ff s o l l es w e n i g s t e n s ein E l e m e n t g e b e n , d a s w i r m i t 1 b e z e i c h n e n w o l l e n , so d a ß f ü r j e d e s E l e m e n t A a u s ff d i e G l e i c h u n g A • 1 = A s t a t t f i n d e t . Wir haben also das für die Multiplikation postulierte neutrale Element von ff mit 1 bezeichnet und nennen es das E i n h e i t s s y m b o l von ff, ohne daß dabei zunächst an die Zahl 1 der natürlichen Zahlenreihe (§ 1) zu denken ist. M4). I s t 1 d a s in ff d u r c h P o s t u l a t M31 g e f o r d e r t e E l e m e n t , so s o l l zu j e d e m E l e m e n t A v o n ff, d a s u n g l e i c h dem i n ff n a c h P o s t u l a t A3) e x i s t i e r e n d e n , f ü r d i e A d d i t i o n n e u t r a l e n E l e m e n t 0 i s t , s t e t s in ff w e n i g s t e n s e i n E l e m e n t X e x i s t i e r e n , so d a ß A • X = 1 wird. Schließlich verlangen wir noch von den Elementen von ff, daß sie außer den angegebenen 8 Postulaten A,) bis A4) und Mt) bis M4) noch erstens sich in bezug auf die Multiplikation kommutativ verhalten und zweitens einem dem auf Seite 17 angeführten distributiven Gesetz entsprechenden Postulat genügen, das wir auch als d i s t r i b u t i v e s Postulat bezeichnen. Die Elemente von ff sollen also noch die folgenden Postulate erfüllen: C). S i n d A u n d B i r g e n d z w e i E l e m e n t e a u s ff, so s o l l A'B = B- A sein. D). S i n d A, B, O i r g e n d d r e i E l e m e n t e a u s ff, so s o l l s t e t s A> (B + C) = (A • B) + (A • C) sein. I r g e n d e i n z w e i f a c h v e r k n ü p f b a r e s S y s t e m ff v o n E l e m e n t e n , d a s d i e 10 P o s t u l a t e Aj) b i s A 4 ), M,) b i s M4), C; u n d D) e r f ü l l t , h e i ß t ein Körper. Für einen Körper gelten die in diesem Paragraphen hergeleiteten Sätze I bis V . Wir wollen noch die Richtigkeit einiger weiterer Theoreme beweisen: S a t z VI. I s t A i r g e n d ein E l e m e n t a u s ff u n d 0 d a s i n ff n a c h A3) e x i s t i e r e n d e E l e m e n t , so i s t s t e t s A • 0 = 0 • A = 0. Der Beweis ergibt sich auf folgende Weise: Nach dem Postulat D) ist A- (0 + 0) = (A • 0) + (A • 0). Auf Grund von Postulat As) ist 0 + 0 = 0 und daher A • 0 = (.A . 0) + • 0). Nach Postulat M,) ist A • 0 ein Element C aus ff; daher ist C = C + C. Hieraus folgt nach Satz I : C = 0; da C = A- 0, so besagt dies, wie wir zeigen wollten, iL • 0 = 0. Da nach dem Postulat C) irgend zwei Elemente von ff, also auch die Elemente A und 0, inbezug auf die Multiplikation miteinander vertauschbar sind, so ist A • 0 = 0 • A und wegen t ! • 0 = 0 wird auch 0 - ^ = 0 . Hiermit ist Satz VI völlig bewiesen. C o r o l a r z u m S a t z VI. I s t d e r K ö r p u r ff n i c h t mit d e m E l e ment 0 und den ihm g l e i c h e n e r s c h ö p f t , was wir a u s s c h l i e ß e n w o l l e n , so i s t d a s E i n h e i t s e l e m e n t 1 u n g l e i c h dem N u l l e l e m e n t 0. Wiire nämlich 0 = 1, so würde aus A • 0 = 0 nach dem Postulat Gä) folgen, daß .4 • 1 = 0 würde. Diese Gleichung widerspricht aber, wenn A irgend ein zu 0 ungleiches Element ist, dem Postulat M,). S a t z VII. S i n d A u n d B i r g e n d z w e i E l e m e n t e a u s ff und — A u n d — B d i e zu A u n d B e n t g e g e n g e s e t z t e n E l e m e n t e , d i e n a c h A4) e b e n f a l l s ff a n g e h ö r e n , so b e s t e h e n f o l g e n d e G l e i c h u n g e n :

Definition eines Körpers und einige für ihn gültige Sätze.

a)

Ä-(-B)=~(Ä'B).

ß) ( - A)-B r)

37

(— Ä)-{—

=

-(A-B).

B) = A- B.

a) Um A • (— B) = — (A • B) zu beweisen, beachten wir, daß nach der Bedeutung von —B die Relation B + (— B) = 0 besteht und daher = A - 0 oder nach Satz V I gleich 0 ist. Nach dem Postulat D) A • [£ + (-£)] über den distributiven Charakter ist A • [B + ( - B)] = A • B + A • ( - B). Da A • [B + ( - £ ) ] = 0, so folgt A • B + A - ( - B) = 0. Seiner Bedeutung nach ist — (A • B) definiert durch A - B +[ — (A • B'j] = 0. Wegen des symmetrischen und transitiven Charakters der Gleichheit folgt demnach A • B + A • (— B) = A • B+ [— (A • B)] und nach Satz IV, wie wir zeigen wollen, A • (— B)•= — (A • B). ß) Der Beweis der Aussage ß) ergibt sich auf folgende Weise: Nach Postulat C) ist ( - A)'B = B-(-A), da B und -A Elemente aus f sind. Nach dem bereits bewiesenen Resultat « ) ist B • {—A) = — (B • A)\ mithin ist Da auf Grund des kommutativen Postulats C) ferner ( — A) - B = — (B- A). A-B = B • A ist, so haben A-B und B • A gleiche entgegengesetzte Elemente, also - (B • A) = - (A - B). Folglich (-A) - B = - (A • B). Wir betrachten noch, um die Aussage j-) zu beweisen, das Produkt { — A) • ( — B). Nach der Bedeutung von ~B ist B + (-B) = 0; hieraus folgt ( - A) • [B•+ ( - £)] = ( - A) • 0 oder nach Satz V I gleich 0. Aus ( — .4) • [B+( — B)] = 0 folgt nach dem Postulat D), daß ( — J.) • B + ( — A) • ( — B) = 0 oder nach dem unter (?) bewiesenen Resultat — (A • B) + ( — A) • ( — B) = 0 wird. Seiner Bedeutung nach ist — (A- B) durch — (A • B) + (A • B) = 0 definiert; mithin folgt aus den zwei erhaltenen Gleichungen — (A • B) + ( — A) • ( — B) = — (A • B) + A • B Da A • B und (— A) • (— B) nach M t ) und — (A • B) als entgegengesetztes Element von A-B dem Körper $ angehören, so folgt nach Satz I V aus der Gleichung — (A • B) + ( — A) • (— B) — — (A • B) + A • B das zu beweisende Resultat {— A) • {— B) = A-B. W i r bemerken noch, daß bei den Beweisen für die Sätze V I und V I I die drei Postulate M») bis M 4 ) nicht verwendet wurden. Wir beweisen nunmehr folgenden Satz: Satz V I I I . I s t $ ein K ö r p e r , so ist das P r o d u k t A-B irgend z w e i e r E l e m e n t e aus S dann und nur dann g l e i c h 0, w o b e i 0 das n a c h A s ) in Si e x i s t i e r e n d e , in b e z u g auf d i e A d d i t i o n n e u t r a l e E l e m e n t i s t , w e n n e n t w e d e r A = 0 o d e r B = 0 ist. Die Richtigkeit der Gleichungen A • 0 = 0 und 0 - 5 = 0 besagt Satz VI. Wir haben also nur die Umkehrung zu zeigen, daß aus A-B — 0 entweder A = 0 oder B = 0 folgt. Ist B = 0, so ist der Satz bewiesen. Sei also B ^ 0, dann gibt es nach Postulat M 4 ) in $ ein Element B, so daß B- B = l ist. Aus A-B = 0 folgt (A-B)-B = 0-B oder nach Satz VI_gleich 0. Ferner ist nach dem assoziativen Postulat M21: (A- B)- B = A- (B • B) = A • 1 oder nach M 3 ) gleich A; daher hat man A = 0. Ist also B ^ 0, so muß A = 0 sein. Hiermit ist der Satz V I I I bewiesen. Ist A irgend ein Element aus S , so ist 4 - 0 nach Satz V I stets gleich 0. Die Gleichung 0 • X = 1 kann daher in $ keine Lösung besitzen. Damit die Elemente des Körpers $ in bezug auf die Multiplikation eine Gruppe bilden könnten, müßte, da 1 für die Operation • neutrales Element ist, die Gleichung 0 - X = 1 lösbar sein, weil sonst das vierte Gruppenpostulat Gr4) auf Seite 26 durchbrochen wäre. D i e E l e m e n t e des K ö r p e r s $! b i l d e n d a h e r in b e z u g auf die M u l t i p l i k a t i o n k e i n e Gruppe. Wohl aber gilt

38

Grundlagen der Arithmetik.

Satz IX. S c h l i e ß t man aus dem K ö r p e r $ das E l e m e n t 0 und alle ihm g l e i c h e n E l e m e n t e des K ö r p e r s aus, so b i l d e n die ü b r i g b l e i b e n d e n E l e m e n t e von ÍÍ bei m u l t i p l i k a t i v e r "Verknüpfung eine Gruppe. Das Produkt zweier zu 0 ungleicher Elemente aus ñ ist nach Satz VIII und Postulat M,) stets wieder ein zu 0 ungleiches Element aus Nach Postulat M2) ist die Multiplikation assoziativ; nach M3) enthält ß ein für die Multiplikation neutrales Element, nämlich 1. Ferner besitzt $ nach Mt) für jedes zu 0 ungleiche Element A ein in bezug auf die Multiplikation inverses Element .X, so daß A • X = 1 ist. Mithin erfüllen die Elemente von wenn man 0 und alle zu 0 gleichen Elemente des Körpers von ihnen aussondert, bei multiplikativer Verknüpfung die vier Gruppenpostulate Gr,) bis Gr4). Satz IX erläutert die Bedeutung der früher gemachten Aussage: die Elemente von $ sollen in bezug auf die Multiplikation m ö g l i c h s t eine Gruppe bilden. Wir bemerken noch, daß bei Ausscheidung des Elementes 0 und der ihm gleichen Körperelemente die Elemente von Sí bei additiver Verknüpfung natürlich aufhören, eine Gruppe zu bilden, weil dann z. B. das Postulat Aä) (Existenz eines für die Addition neutralen Elementes in nicht erfüllt ist. Da nach Satz IX die Elemente von $ bei Ausschluß des Elementes 0 und der ihm gleichen Elemente in bezug auf die Multiplikation eine Gruppe bilden, so übertragen sich die Sätze I, II und VII des vorigen Paragraphen, indem bei der multiplikativen Verknüpfung das Element 1 an die Stelle von E tritt, in: Satz X. I s t A i r g e n d ein E l e m e n t aus so i s t A • 1 = 1-A = A-,X ist A i r g e n d ein zu 0 u n g l e i c h e s E l e m e n t aus fí, so zieht sowohl die G l e i c h u n g A - X — A als a u c h Y? A — A n a c h s i c h , daß X bzw. Y g l e i c h dem E l e m e n t 1 aus ® sind. Indem wir in dem Satz III auf Seite 29 bei der multiplikativen Verknüpfung das Einheitssymbol 1 statt E verwenden, schließen wir: Ist A ein zu dem Element 0 ungleiches Element des Körpers ÍÍ, so gibt es in $ stets ein Element A, das die Gleichung A • X = 1 befriedigt. Dieses Element genügt auch der Relation Y • A — 1. Es gibt in $ kein zu A ungleiches Element, das die Gleichung A-X= 1 oder Y- A = 1 befriedigt. Ein solches zu A inversos Element A aus $ soll mit ¿ oder A~' bezeichnet werden und das A r e z i p r o k e E l e m e n t von A heißen. Es ist also

Da — • A = 1, so ist A gleich dem reziproken Element von —; mithin hat man - j - = A.

Da nach Postulat M3) 1 - 1 = 1 ist, so ist 1 gleich dem rezi-

A proken Element

von 1. Zusammenfassend haben wir

Satz XI. Das System B e n t h ä l t n e b e n j e d e m zu 0 u n g l e i c h e n E l e m e n t A ein w e i t e r e s , das r e z i p r o k e E l e m e n t von A, das wir mit 1 Im ersten Teil des Satzes X braucht infolge der nach Satz VI stattfindenden Gleichung 0 • 1 = 1 - 0 = 0 auch A = 0 nicht ausgeschlossen zu werden.

39

Definition eines Körpers und einige für ihn gültige Sätze.

^-bezeichnen,

so

A

daß

A • X = 1 a l s a u c h Y-A ment aus

ff

ist,

A •~

A

A

JL

= 1 wird,

E s ist

nämlich - J - , ist gleich

X T

S o w o h l die

Relation

w e n n A e i n zu 0 u n g l e i c h e s

n u r durch das E l e m e n t

E l e m e n t e a u s ff b e f r i e d i g t . vony,

= -jj- • A = 1 i s t .

oder

= 1.

mit

ihm

Das reziproke

Ele-

gleiche Element

A.

Sind und B zwei zu 0 ungleiche Elemente aus ff, so gehört nach M J auch das Produkt A • B dem System ff an, und zwar ist es nach Satz V I I I ungleich 0 ; mithin existiert zu A • B nach Satz X I ein dem Körper J£ angehörendes reziprokes Element

B

• -T-, da

A

A

1

A•B

. Dieses wird nach Satz IV des § 6 auf Seite 30 gleich

und — die reziproken Elemente von A und B sind.

Da 4 -

B

A

und -!- dem System ff angehören und die Multiplikation nach Postulat C)

B

für die Elemente von ff kommutativ ist, so ergibt sich — • -•- = — . — •

B

A

A

B

Mithin ist das rezinroke Element von A • B gleich 4 - • -!- • W i r haben

daher

j ± B S a t z X I I . S i n d A u n d B z w e i zu 0 u n g l e i c h e E l e m e n t e d e s K ö r p e r s ff, so h a t d a s i n ff e n t h a l t e n e E l e m e n t A • B e i n r e z i p r o k e s , e b e n f a l l s ff a n eD e h ö r i g e s E l e m e n t . * ; d i e s e s i s t g l e i c h 4 - • -!-•

A•B

A B

Auf Grund des Satzes V des vorigen Paragraphen in diesem Paragraphen sprechen wir aus

und des Satzes I X

Satz XIII. S i n d A, B u n d Bt irgend drei E l e m e n t e des K ö r p e r s ff u n d i s t A u n g l e i c h 0 , so f o l g t s o w o h l a u s A-B = A-Bi a l s a u s B- A = B^ • A, d a ß B = B1 i s t . Auf Grund des Satzes V I des vorigen Paragraphen und des voraufgehenden Satzes I X formulieren wir Satz XIV. A ungleich 0/

S i n d A u n d B i r g e n d z w e i E l e m e n t e a u s ff, u n d i s t so g i b t

es in ff s t e t s e i n E l e m e n t X = - i - • B,

die G l e i c h u n g A • X = B und ein E l e m e n t Y = B • chung

Y'A

befriedigt.

= B

Die

zwei

Gleichungen

das

, das die G l e i haben

keine

zu d e n z w e i a n g e g e b e n e n L ö s u n g e n u n g l e i c h e n E l e m e n t e v o n ff z u Lösungen. kommutativ

Da nach Postulat C) die Multiplikation für die Elemente von ff ist,

so

wird — • B = B •

und beide Gleichungen haben

nur

gleiche Lösungen. 1

Ii = 0 braucht nicht ausgeschlossen zu werden,

da die Gleichung A • X = 0

nach Satz V I und V I I I dieses Paragraphen, falls A ^ 0 ist, keine zu X = — ungleiche Lösung besitzt.

•0 = 0

40

Grundlagen der A r i t h m e t i k .

In unserem Körper ff kann man aus der Multiplikation noch eine weitere Verknüpfung der Elemente des Systems herleiten, die wir D i v i s i o n nennen. Sind A und B irgend zwei Elemente des Körpers $ und ist A ungleich dem Element 0, so existiert zu A ein reziprokes Element Körper ff angehört, wie Satz XI besagt.

, das ebenfalls dem

Mithin ist nach Postulat Mj) auch

-i- • B ein Element aus ff; dieses ist nach Postulat C) gleich B'-- • Wir -O. M. haben daher das Resultat: A u s i r g e n d z w e i E l e m e n t e n A u n d B a u s ff g e h t , w e n n A u n g l e i c h 0 i s t , s t e t s e i n n e u e s , e b e n f a l l s ff a n g e h ö r i g e s E l e m e n t B • -j- =

• B h e r v o r . D a s E l e m e n t B • ~ = -- • B

B B b e z e i c h n e t m a n m i t -¡- u n d n e n n t -¡- d e n Q u o t i e n t e n v o n B u n d A: A A jß J J h e i ß t d e r D i v i d e n d u s , A d e r D i v i s o r . —¡—bilden, h e i ß t d i v i d i e r e n . A Die Division l ä ß t sich d e m n a c h s t e t s auf die M u l t i p l i k a t i o n zurückführen. Den Satz XIV kann man jetzt in folgender Form aussprechen: S a t z XIV'. S i n d A u n d .B E l e m e n t e a u s ff u n d i s t A u n g l e i c h 0, B B B so i s t A'—r = -r'A = B, u n d es g i b t in ff k e i n zu -¡- u n g l e i c h e s E l e m e n t , d a s d i e G l e i c h u n g . ä . « X = . B o d e r d i e G l e i c h u n g Y- A = B befriedigt. Für die Division wollen wir nur noch folgenden Satz beweisen: S a t z XV. S i n d A, B, C, D E l e m e n t e a u s ff u n d B, C, D u n A C g l e i c h 0, so i s t d e r Q u o t i e n t d e r z w e i E l e m e n t e — u n d — a u s ff, nämlich

A G

, gleich demElement

JS • G

~D Nach der Definition der Division ist A c_ ~ B' D D C Das reziproke Element von

a u s ff.

1 1 B ' c_' D

c_ ~ 1

= C • j j ist nach Satz IV des vorigen Para-

graphen und Satz XI dieses A Paragraphen gleich D • B

i

1

n

G

•

Daher wird

1

D oder nach dem für die Multiplikation gültigen kommutativen Postulat C) gleich A • D • -ij • x>

G

oder nach Satz XII

gleich A • D •

A•D für den Quotienten gegebenen Definition gleich —• B •G

* _ oder nach der

B •G

Definition eines Körpers und einige für ihn gültige Sätze.

41

Während wir bei der Multiplikation der Elemente von St das kommutative Gesetz als Postulat 0) vorausgesetzt haben, geschah dies für die additive Verknüpfung der Elemente von Si nicht. Wir beweisen nunmehr folgenden F u n d a m e n t a l s a t z : E r f ü l l e n d i e E l e m e n t e v o n $ d i e 10 P o s t u l a t e A t ) bis A4), M,) bis M4), C) u n d D), so i s t d i e A d d i t i o n k o m m u t a t i v , d. h. f ü r i r g e n d z w e i E l e m e n t e A u n d B a u s $ i s t s t e t s A + B = B + A. Aus dem distributiven Postulat D) folgt: (A + B) • (1 + 1) = (A + B) • 1 + (A + B) • 1 oder nach Postulat M3) gleich (A + B) 4- (A + B) oder nach Postulat A„) gleich A + [B + {A + B)]. Ferner wird (.¿1 + B) • (1 + 1) nach dem kommutativen Postulat C) für die Multiplikation und dem Postulat D) über ihren distributiven Charakter gleich ¿ • ( 1 + 1) + S - ( l + 1) oder nach Postulat D) gleich (A • 1 + A • 1) 4- (B • 1 + B-1) oder auf Grund von M3) gleich (A + A) + (B + B) oder nach A2) gleich A + [A + (B + B)]. Aus den erhaltenen Gleichungen (4

+ B) • (1 + 1) = A + [B + (A + B)} u n d (A + B) • (1 + 1) = A + [A + (B + B)}

folgt A + [B + (A •+• £)] = A + [A + (B + B)}. Hieraus ergibt sich nach Satz IV: B + (¿1 + B) = A + (B + B) oder nach dem Postulat A„1 über den assoziativen Charakter der Addition: (B + A) + B = (A + B) + B oder nach Satz IV: B + A = A + B, wie wir beweisen wollten. Das k o m m u t a t i v e Gesetz der A d d i t i o n ist also eine logische Folge der übrigen Postulate. Die Elemente eines j e d e n Körpers $ b i l d e n in b e z u g auf d i e A d d i t i o n e i n e k o m m u t a t i v e G r u p p e , w i e es in b e z u g a u f d i e M u l t i p l i k a t i o n b e i A u s s c h e i d u n g d e s E l e mentes 0 stattfindet. Da die Elemente jedes Körpers in bezug auf die Addition, wie soeben bewiesen, eine kommutative Gruppe bilden, so läßt sich der Satz VIII' des vorigen Paragraphen auf Seite 32 auf die additive Verknüpfung der Körperelemente übertragen und ergibt alsdann: S i n d Ait A,, . . ., Jv+! b e l i e b i g e v + 1 Elemente aus so k a n n m a n At + A2 + . . . 4- Ar+L b i l d e n u n d b r a u c h t k e i n e K l a m m e r n zu s c h r e i b e n , da d a s R e s u l t a t d e r S u m m a t i o n n i c h t d a v o n a b h ä n g t , w i e j e z w e i E l e m e n t e in dem zu b i l d e n d e n A u s d r u c k durch Addition v e r k n ü p f t werden; man kann d i e E l e m e n t e Alt A2, . . ., auch in b e l i e b i g e r R e i h e n f o l g e anordnen. Weil die Elemente von $ bei Ausschluß des Elementes 0 und der ihm gleichen Elemente in bezug auf die Multiplikation eine kommutative Gruppe bilden, so kann man Satz V I I I ' auch auf die multiplikative Verknüpfung der Körperelemente übertragen und hat: S i n d Alt A.2! . . ., beliebige v + 1 E l e m e n t e 1 aus so k a n n m a n d a s P r o d u k t AL • -42 . . . • Ay+l 1 Für die Formulierung des obigen Satzes braucht man das Element 0 und ihm gleiche nicht auszuschließen; denn ein Produkt, welches das Element 0 oder ihm gleiche als Faktor enthält, ergibt, in welcher Reihenfolge auch immer die Auswertung vorgenommen wird, nach Satz V I stets das Resultat 0.

42

Grundlagen der Arithmetik.

b i l d e n u n d b r a u c h t k e i n e K l a m m e r n zu s c h r e i b e n , d a d a s R e s u l t a t der P r o d u k t b i l d u n g n i c h t d a v o n a b h ä n g t , wie je zwei Elem e n t e in dem zu b i l d e n d e n A u s d r u c k d u r c h M u l t i p l i k a t i o n verk n ü p f t w e r d e n ; m a n k a n n d i e E l e m e n t e Alt A2, . . Ar+l a u c h i n beliebiger Reihenfolge anordnen.

§ 8.

Die Multiplikation der ganzen negativen Zahlen. Die Gesamtheit der ganzen Zahlen bildete bei Verknüpfung durch die gewöhnliche Addition eine Gruppe, die den Postulaten A,) bis A4) genügte. Das neutrale Element 0 der Gruppe war hierbei die Zahl 0. War a irgend eine ganze Zahl, so existierte (vgl. S. 14) eine zugehörige ganze Zahl o', so daß a + a' = 0 war. Diese zu a zugehörige entgegengesetzte Zahl a' werden wir analog Satz I I des § 7 auf Seite 34 in Zukunft mit — a bezeichnen. Es ist a -I- (— a) = 0 und — (— a) = a. In § 3 haben wir im besonderen auf Seite 15 bewiesen, daß, wenn k eine ganze positive Zahl ist, die ganze Zahl k mit ihr durch die Gleichung k + k = 0 verbunden ist. D i e f r ü h e r m i t k b e z e i c h n e t e Z a h l i s t n u n m e h r m i t — k z u b e z e i c h n e n , und dies soll im folgenden geschehen. Sind a und b irgend zwei ganze Zahlen, so werden wir analog der auf Seite 35 für die Subtraktion eingeführten Bezeichnung unter a — b die Zahl a -(- (— b) verstehen. . Die gewöhnliche Multiplikation mit ganzen negativen Zahlen und mit 0 war bisher noch nicht definiert. Auf die A r t , wie wir die Multiplikation bei ganzen negativen Zahlen und 0 definieren sollen, werden wir durch das sogenannte P r i n z i p d e r P e r m a n e n z geführt; es besteht darin, die alten Regeln auch möglichst unter allgemeineren Bedingungen beizubehalten. Diejenige Operation, die wir bei den ganzen p o s i t i v e n Zahlen als Multiplikation bezeichneten, führte nicht aus dem Gebiet der ganzen Zahlen heraus; ferner galt f ü r sie, wie im § 4 bewiesen wurde, das distributive Gesetz und das kommutative Gesetz. Um das dargelegte Prinzip der Permanenz zur Geltung zu bringen, suchen wir das System a l l e r ganzen Zahlen zu einem zweifach verknüpfbaren System zu machen, das außer den Postulaten A,) bis A 4 ) des vorigen Paragraphen, die es schon befriedigt, noch den Postulaten M,), D) und C) des vorigen Paragraphen genügt. Soll dies der Fall sein, so muß das System aller ganzen Zahlen auch die aus den 7 Postulaten folgenden Lehrsätze erfüllen; es müssen also im besonderen auch die Sätze VI und VII auf Seite 36, zu deren Beweis nur diese 7 Postulate verwendet wurden, zutreffen. Um dies zu- erreichen, definieren wir: Das P r o d u k t irgend einer g a n z e n positiven oder n e g a t i v e n Z a h l a in 0 soll die B e d e u t u n g a - 0 = 0 - a = 0 h a b e n , das P r o d u k t e i n e r g a n z e n p o s i t i v e n Z a h l a in eine g a n z e n e g a t i v e Z a h l — b s o l l d i e B e d e u t u n g a • (— b) = (— b) • a = — (a b) h a b e n , d a s P r o d u k t zweier g a n z e r n e g a t i v e r Z a h l e n — a u n d — b soll die B e d e u t u n g (— d) • (— b) = a b h a b e n . Würde man f ü r die Produktbildung irgend eine von der obigen Definition verschiedene wählen, so würden die ganzen Zahlen kein verknüpf bares System bilden, f ü r das sämtliche Postulate A,1 bis A 4 ), Mt), D) und C) erfüllt

Die Multiplikation der ganzen negativen Zahlen.

43

sein können. Die Gleichungen, durch welche wir die Multiplikation der ganzen negativen Zahlen definierten, sind „arbiträre Konventionen zugunsten der Erhaltung des Formalismus im Kalkül" (H. HANKEL, Theorie der komplexen Zahlensysteme, Leipzig 1867, S. 41). Wir haben noch zu zeigen, daß, wenn die Multiplikation mit ganzen negativen Zahlen und 0 auf die obige Weise definiert wird, die Postulate M,), D) und C) wirklich erfüllt werden. Sind a und b zwei ganze positive Zahlen, so ist a • b eine ganze positive und — (it-b) eine ganze negative Zahl; ferner ist a • 0 = 0 • a = 0. Die Produktbildung führt also bei ganzen Zahlen, wenn sie auf die obige Weise definiert wird, nicht aus dem Gebiet der ganzen Zahlen heraus. Es ist also Postulat M,) erfüllt. Sind a und b ganze positive Zahlen, so bestehen die Gleichungen: ab — ba, wie im § 4 bewiesen wurde, , a - 0 = 0 -a nach Definition, a( — b) = (—b)a ebenfalls nach Definition. Ferner ist nach Definition (— a)(— b) = ab und (— b)( — n) = b a\ da für positive Zahlen, wie bewiesen, ab = ba ist, so folgt (—a)(—b) = (— b)(— ä). Mithin ist auch das kommutative Gesetz C) erfüllt. Einen besonderen Beweis erfordert das d i s t r i b u t i v e G e s e t z D). Wir wollen zeigen, daß, wenn a, b, e irgend welche ganze Zahlen bedeuten, auf Grund der gegebenen Definitionen stets a(b -f- c) = ab + ac ist. Im § 4 ist dieses Resultat bereits bewiesen, wenn a, b, e sämtlich positiv sind. Wir betrachten nun den Fall, daß a und b ganze positive Zahlen sind, c eine ganze negative Zahl — y ist, wobei y also eine ganze positive Zahl ist. Es sind zwei Unterfälle zu unterscheiden, je nachdem i + ( — y) = b — y eine ganze positive oder negative Zahl ist. (Der Fall b — y = 0 erledigt sich leicht und mag dem Leser überlassen bleiben.) Ist b — y eine ganze positive Zahl, so erhalten wir, da a, b — y und y ganze positive Zahlen sind, nach dem für ganze positive Zahlen bereits als gültig erwiesenen distributiven Gesetz: a(b — y) + a y = a[(b — y) + y] = ab, weil (b — y) -(- y = b (vgl. Satz V' auf Seite 35, bei dem nur die Postulate A,) bis A4) verwendet wurden, die für ganze Zahlen nach § 3 zutreffen), = (ab — ay) + a y ebenfalls nach Satz V'. Aus der Gleichung a{b — y) + ay = (ab — ay) + ay folgt nach Satz IV auf Seite 35, zu dessen Beweis nur die auch von den ganzen Zahlen erfüllten Postulate A,) bis A4) verwendet wurden, daß a(b — y) = ab — ay — ab + (— ay). Nach Definition der Multiplikation ist —ay = a(—y). Mithin wird a(b — y) = ab + a( — y) oder unter Beachtung der Definition der Subtraktion a\b +(— /)] = a b + a (— y). Hiermit ist dieser Fall völlig erledigt. Ist b — y eine ganze negative Zahl, so ist die entgegengesetzte Zahl — (b — y) = y — b (vgl. Satz III' des § 7 auf Seite 35); diese ist positiv. Dann wird a(b — y) = a[— (y — b)} = — [a(y — J)] nach der Definition, wie eine positive Zahl a mit einer negativen — (y — b) zu multiplizieren ist. Wie bereits oben bewiesen, ist a(y — b), da y — b positiv ist, gleich ay — oft; daher wird o (b — y) = — (ay — ab) oder unter Beachtung der Definition der Subtraktion a[b + (— y)} = — (ay — ab). Die entgegengesetzte Zahl zu ay — ab ist gleich ab — a y = ab + (— ay)

44

Grundlagen der Arithmetik.

oder gleich ab + a(— y), da nach Definition a(— y) = — ay. Mithin wird a [6 + (— y)] = a b + a (— y), womit der zweite Fall erledigt ist. In ähnlicher Weise erledigen sich auch die anderen f ü r a, bj c möglichen Vorzeichonkombinationen oder lassen sich auf die schon untersuchten Fälle zurückführen. Sollten a, b oder e Null sein, so hat man die Relationen « 4 - 0 = 0 + « = «, a • 0 = 0 • a = 0 zu verwenden. Auf diese Weise läßt sich das distributive Gesetz f ü r irgend welche ganze Zahlen beweisen. Die ganzen Zahlen bilden also ein durch zwei Operationen, Addition und Multiplikation, verknüpf bares System, das die Postulate A,) bis A 4 ), M,), D) und C) erfüllt. Sind a, b, c irgend drei ganze Zahlen, so ist f ü r sie auch a • (b • c) = (a • b) • e, d. h. sie genügen auch dem assoziativen Gesetz M2) der Multiplikation. F ü r positive Zahlen haben wir das Gesetz bereits auf S. 18 bewiesen; f ü r negative Zahlen läßt es sich aus den Definitionsgleichungen f ü r die Multiplikation, indem man die einzelnen Vorzeichenmöglichkeiten betrachtet, ableiten. F ü r eine ganze positive Zahl a war nach Definition a • 1 = a , f ü r eine ganze negative Zahl — a ist nach Definition (— a) • 1 = — (a • 1) = — et; schließlich ist 0 - 1 nach Definition gleich 0. Mithin ist f ü r jede ganze Zahl a stets a • 1 = a, d. h. die Zahl 1 ist neutrales Element der Multiplikation. Die ganzen Zahlen erfüllen demnach bei Verknüpfung durch gewöhnliche Addition und Multiplikation die 9 Postulate A t ) bis A 4 1, M J bis M 3 ), C) und D); sie bilden aber keinen Körper, da sie das Postulat M4) nicht befriedigen. Obgleich die ganzen Zahlen keinen Körper bilden, so gelten auch f ü r sie die Sätze V I I I und X I I I des vorigen P a r a g r a p h e n , die wir im folgenden benötigen. Das Produkt zweier ganzer positiver Zahlen ergibt nach § 4 wieder eine ganze positive Zahl; die oben f ü r das Rechnen mit ganzen negativen Zahlen gegebenen Definitionen a( — b) = (— b) a = — (ab) und (— a) (— b) = a b besagen demnach: das Produkt einer ganzen positiven Zahl und einer ganzen negativen Zahl ist eine ganze negative Zahl, und das P r o d u k t zweier ganzer negativer Zahlen ist eine ganze positive Zahl. Hieraus folgt: D a s P r o d u k t a-b z w e i e r g a n z e r Z a h l e n i s t d a n n u n d n u r d a n n g l e i c h 0, w e n n e n t w e d e r a = 0 o d e r b = 0 ist. Satz X I I I des § 1 überträgt sich auf folgende Weise f ü r ganze Zahlen: S i n d a, b u n d b, i r g e n d d r e i g a n z e Z a h l e n u n d i s t a ^ 0, so f o l g t s o w o h l a u s ab = abi a l s a u s i a = J, a , d a ß 6 = ^ i s t . Aus ab = ab1 folgt nämlich durch Addition von — ab, = — ab, und Anwendung des distributiven Gesetzes a(b — = 0 und mithin, d a s / ü ist, nach dem voraufgehenden Satze b — b, = 0, d. h. b = bt. D a ß b a = 6, a das nämliche Resultat b = 6, ergibt, folgt alsdann aus dem kommutativen Postulat C). § 9.

Der Körper der rationalen Zahlen. W i r haben im § 7 zwar einen Körper definiert, bisher aber noch keinen solchen kennen gelernt. Die ganzen Zahlen bilden keinen solchen; wir wollen aus ihnen einen solchen herstellen, ähnlich wie man einen zu kleinen Gesellschaftskreis durch Aufnahme neuer Mitglieder vergrößert, die die alten

Der Körper der rationalen Zahlen.

45

nicht verdrängen dürfen und sich den bei den alten Mitgliedern gültigen Gesetzen fügen müssen. Es seien a, und a.2 irgend zwei ganze positive oder negative Zahlen; o, kann auch 0 sein, wohingegen f ü r a2 der W e r t 0 a u s g e s c h l o s s e n b l e i b t . Wir betrachten dann alle Paare von Zahlen (a,, «,); damit der Leser mit den Symbolen nicht bekannte Vorstellungen verbindet, haben wir zunächst diese Bezeichnuiig gewählt. Wir nennen die e r s t e K o m p o n e n t e , a., die z w e i t e K o m p o n e n t e des Z a h l e n p a a r e s (a^, a.2). Die Gesamtheit aller solchen Zahlenpaare («,, a2) bezeichnen wir als das System R (Anfangsbuchstabe von rational), während wir die Gesamtheit aller ganzen positiven und negativen Zahlen einschließlich 0 mit J (Anfangsbuchstabe von integer) bezeichnen. Die Symbole (at, a„) aus R haben bisher noch keine Eigenschaften; wir wollen ein solches Symbol mit einem einzigen Buchstaben A = (o,, a2) bezeichnen und wie einen durch seine erste und zweite Komponente definierten Einzelbegriff betrachten. W i r s e t z e n f e s t : A = (o,, a2) s o l l a l s e i n e Z a h l a u s J, d. h. a l s eine ganze Zahl, angesehen w e r d e n , wenn eine ganze Zahl « e x i s t i e r t , so daß die G l e i c h u n g aa^ = a l z w i s c h e n g a n z e n Z a h l e n s t a t t f i n d e t . I n d i e s e m F a l l b e z e i c h n e n w i r A mit « u n d v e r s t e h e n u n t e r A die e b e n d e f i n i e r t e g a n z e Z a h l « a u s J. Da das Zahlenpaar (a,, 1) nach der gegebenen Definition gleich der ganzen Zahl al ist, so kann jede Zahl aus J als ein R angehöriges Zahlenpaar geschrieben werden. Da nicht jedes Symbol aus R, z.B. (7, 4), eine Zahl aus / ist, so sind die Zahlenpaare von R eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen. Wir betrachten zunächst zwei besondere Zahlenpaare (a,, a2) und (6,, ¿>.,1, die Zahlen aus dem System J sein sollen, d. h. für die zwei ganze Zahlen « und ß existieren sollen, die den Gleichungen: (1) a a „ — a, und (2)

=

genügen. Dann ergibt sich: C) « «2 ¿>2 = ¿>2 • (2') ßa 2 bz = a s 2 . Aus (1') und (2') folgt: Ist a = ß, so ist at i 2 = albl. Ist umgekehrt a, b„ = a, b1, so ergibt sich aus (1') und ('¿') aa2b2 = ß ai b.2. Da für a2 und b.2 der Wert Null ausgeschlossen ist, so ist das Produkt a2 • ¿>2 ^ 0, mithin folgt, wie am Schluß von § 8 gezeigt ist, aus « • (a., • b.2) = ß • (a.2 • b.2) die Gleichheit a = ß. Wir haben daher S a t z I. S i n d « = (o„ a2) u n d ß = (bt, b2) zwei s p e z i e l l e Z a h l e n p a a r e , die g l e i c h d e n g a n z e n Z a h l e n n u n d ß aus J s i n d , so s i n d « u n d 0 d a n n u n d n u r d a n n g l e i c h , w e n n die G l e i c h u n g a 1 i 2 = a 2 6 1 zwischen ganzen Zahlen stattfindet. Aus (1') und (2'J folgt (« + f f ) • a 2 b2 = a, b„ 4- a 2 ; mithin ist das Zahlenpaar (% b2 + a, Jj, a., ¿>2) gleich der Zahl a + ß aus J. Wir haben daher Satz II. S i n d a = (c/,, a s ) u n d ß = (bi, b.2) zwei s p e z i e l l e Z a h l e n p a a r e , d i e g l e i c h den g a n z e n Z a h l e n n u n d ß a u s J s i n d , so i s t i h r e Summe n + ß g l e i c h dem Z a h l e n p a a r (a,t b2 + a»b l t a262)-

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Grundlagen der A r i t h m e t i k .

Die Multiplikation der Gleichungen (1) und (2) ergibt: aß-a2b2 = o, bt; mithin ist das Zalilenpaar (a, 6,, a,_ ft2) gleich der Zahl a ß aus J. Wir haben daher S a t z III. S i n d « = (»',, a„) u n d ß — (blt bzwei spezielle Zahlenp a a r e , d i e g l e i c h d e n g a n z e n Z a h l e n « u n d ß a u s J s i n d , so i s t i h r P r o d u k t n • ß g l e i c h d e m Z a h l e n p a a r (a, 6,, ct., b2). F ü r die Zahlenpaare (a,, o2) aus R, die nicht Zahlen aus J sind, bedarf es, da wir neue Symbole haben, noch besonderer Festsetzungen, was bei ihnen unter den Begriffen „Gleichheit", „Addition" und „Multiplikation" verstanden werden soll. Die Sätze I , II und I I I veranlassen uns zu folgenden Definitionen, die ihren Grund im Prinzip der Permanenz haben und deshalb die unter speziellen Umständen gültigen Kegeln auch möglichst unter allgemeineren Bedingungen beizubehalten suchen. D e f i n i t i o n I. S i n d a , , bl, b, b e l i e b i g e g a n z e p o s i t i v e o d e r n e g a t i v e Z a h l e n (a, u n d bl k ö n n e n a u c h 0 s e i n ) , so s o l l d a s Z a h l e n p a a r (a,, a2) g l e i c h d e m Z a h l e n p a a r (b,, b2) h e i ß e n , g e s e h r i e b e n (»,, a 2 ) = ( i , , bo), w e n n d i e G l e i c h h e i t z w i s c h e n g a n z e n Zahlen a, ¿>2 = a2 bt s t a t t f i n d e t ; i s t h i n g e g e n al b* a„ bi, so s o l l d a s Z a h l e n p a a r (al, a2) a l s d e m Z a h l e n p a a r ( i , , b„) u n g l e i c h g e l t e n , b e z e i c h n e t («,, as) ^ (i,, b„). D e f i n i t i o n II. S i n d (ait a.2) u n d (blt b2) z w e i b e l i e b i g e Z a h l e n p a a r e , so s o l l u n t e r i h r e r S u m m e a 2 ) + ( i , , b„) d a s Z a h l e n p a a r («i b2 -t- a,bit a2b2) v e r s t a n d e n w e r d e n . D e f i n i t i o n III. S i n d (a,, a?) u n d (6,, b2) z w e i b e l i e b i g e Z a h l e n p a a r e , so s o l l u n t e r i h r e m P r o d u k t (o,, a 2 ) - ( i , , M d a s Z a h l e n p a a r (a, 6,, a 2 b2) v e r s t a n d e n w e r d e n . Die Definitionen I bis I I I führen die Vergleichung und das Addieren und Multiplizieren von Zahlenpaaren auf das bereits bekannte Rechnen mit ganzen Zahlen zurück. Zunächst ist zu zeigen, daß die in Definition I aufgestellte Vorschrift f ü r die Gleichheit von Zahlenpaaren den an jede Gleichheitsdefinition zu stellenden Postulaten auf Seite 25 bzw. auf Seite 33 genügt und daher eine wirklich legitime Definition f ü r die Gleichheit ist. Hat man zwei Zahlenpaare (a,, a,,) und (¿>,, b.,), so ist entweder at b, = a2 bl oder i X ^t ; demnach sind die zwei Zahlenpaare in sich gegenseitig tiusschließender Weise entweder gleich oder ungleich; die 'Definition I der Gleichheit f ü r Zahlenpaare ist also eine determinierte. Unsere Definition I ist auch so beschaffen, daß jedes Zahlenpaar sich selbst gleich ist; denn die f ü r die Gleichheit (a,, a 2 ) = (o,, nach Definition I erforderliche Gleichheit o, a.t = a,, al ist infolge des für die Multiplikation ganzer Zahlen gültigen kommutativen Gesetzes erfüllt. W e n n (a,, a 2 ) = ( i , , b2), so ist auch (6,, b.,) = (a-,, a2). Die f ü r die Gleichheit (a,, a 2 ) = (A,, ¿ 2 ) nach Definition stattfindende Gleichung at 62 = a2 bi kann nämlich infolge der f ü r ganze Zahlen bereits als gültig bekannten Sätze auch in der Form 6, o.2 = ö2 a, geschrieben werden, und diese Relation besagt nach Definition I, daß die Zahlenpaare (b,, und (o,, a.,) gleich sind. Um die Transitivität der f ü r die Zahlenpaare definierten Gleichheit zu beweisen, betrachten wir drei Zahlenpaare (a.,, ct.,), (blt b.,) und (e,, c2); f ü r

D e r K ö r p e r der rationalen

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Zahlen.

diese sei (a-,, a2) = (b l , b2), , b,) = (e1, c2), d. h- es bestehen nach Definition I die Gleichungen a, b2 = a 2 &!, b1 c2 — biol. Die Multiplikation von a,ib2 = a.2bi mit e2 ergibt alb