Vermessungskunde: Band 3 Trigonometrische und barometrische Höhenmessung, Tachymetrie und Ingenieurgeodäsie [11., erw. Aufl. Reprint 2020] 9783112328965, 9783112328958

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Vermessungskunde in Trigonometrische und barometrische Höhenmessung, Tachymetrie und Ingenieurgeodäsie von

Walter Großmann

Elfte, erweiterte Auflage

mit 123 Figuren

w DE

_G 1979

Walter de Gruyter • Berlin • New York

SAMMLUNG GÖSCHEN 2162 Dr.-Ing., Dr. E . h. Walter Großmann em. Professor an der Universität Hannover Die Gesamtdarstellung umfaßt noch folgende Bände: Band I (Sammlung Göschen, Band 2160) Inhalt: Grundlagen, Abstecken und Messen gerader Linien, Aufnehmen und Auftragen kleiner Lagepläne, Flächenberechnung, Bestandteile geodätischer Meßinstrumente, Instrumente und Geräte zu Nivellieren, Nivellierverfahren; 15., erweiterte Auflage 1976. Band II (Sammlung Göschen, Band 7469) Inhalt: Der Theodolit und das Messen von Horizontalwinkeln, Streckenmessung mit Streckenmeßgeräten, Polygonometrische Punktbestimmung, Punktbestimmung durch Triangulation, Punktbestimmung durch Trilateration und kombinierte Verfahren, Grundlagen der Landesvermessung; 12., erweiterte Auflage 1975.

CIP-Kurztitelaufnahme

der Deutschen

Bibliothek

Grossmann, Walter Vermessungskunde / von Walter Grossmann. — Berlin, New York : de Gruyter. 3. Trigonometrische und barometrische Höhenmessung, Tachymetrie und Ingenieurgeodäsie. — (Sammlung Göschen, Bd. 2162) ISBN 3 - 1 1 - 0 0 7 7 3 4 - 5

© Copyright 1979 by Walter de Gruyter Sc Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung, J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J . Trübner, Veit & Comp., 1 Berlin 30 - Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systems verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden - Printed in Germany - Satz und Druck: Walter de Gruyter, 1 Berlin 30 - Bindearbeiten: Lüderitz Sc Bauer, • Buchgewerbe-GmbH, 1 Berlin 61

Inhaltsverzeichnis 1 Trigonometrische Höhenmessung 11 Grundgleichung der trigonometrischen Höhenmessung 12 Einrichtungen des Theodolits für Vertikalwinkelmessung 12.1 Der Höhenkreis 12.2 Libellengesteuerte Höhenzeiger 12.3 Automatische Höhenzeiger 12.31 Freischwingende Pendel 12.32 Pendel mit Winkelvergrößerung 12.33 Flüssigkeitskompensatoren 13 Messen von Vertikalwinkeln 13.1 Anordnung der Messung • 13.2 Berechnen von Zenitwinkel und Indexabweichung 13.3 Beseitigen der Indexabweichung 13.4 Genauigkeit der Zenitwinkelmessung 13.6 Zahlenbeispiel 14 Trigonometrische Höhenübertragung auf kurze Entfernungen 14.1 Turmhöhenbestimmungen mit horizontalem Hilfsdreieck 14.2 Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck 14.3 Das trigonometrische Nivellement 15 Genauigkeit der trigonometrischen Höhenmessung auf kurze Entfernungen 16 Trigonometrische Höhenübertragung über große Entfernungen 16.1 Erdkrümmung und Refraktion 16.2 Höhenunterschiede aus einseitig beobachteten Zenitwinkeln 16.3 Höhenunterschiede aus gegenseitigen Zenitwinkeln 16.4 Refraktionskoeffizient aus Gegenvisuren 16.5 Zahlenbeispiel 17 Reduktion von Zenitwinkeln auf den Stationsnullpunkt 18 Genauigkeit der trigonometrischen Höhenübertragung über große Entfernungen

Seite 7 8 8 9 10 11 12 15 17 17 17 20 20 22 22 22 24 25 26 29 29 31 32 33 34 34 35

2 Barometrische Höhenmessung 21 Physikalische Grundlagen 22 Die Quecksilber- oder Hg-Barometer 22.1 Das Heberbarometer 22.2 Das Gefäßbarometer ¿¡2.3 Normal-, Stations- und Reisebarometer 23 Verbesserung der Rohablesungen am Hg-Barometer 23.1 Die Temperaturverbesserung 23.2 Die Kapillardepression 23.3 Die Schwerereduktion 23.4 Die Standverbesserung 24 Die Federbarometer 24.1 Barometer mit Membrandose 24.2 Barometer mit Röhrenfeder 24.3 Barometer mit Gasfeder

37 37 38 39 40 41 41 41 42 42 43 43 46 46

4

Inhaltsverzeichnis 25 Verbesserung der Rohablesungen an den Federbarometern 26.1 Die Reduktionsformel 25.2 Der Temperaturkoeffizient 25.3 Teilungskoeffizient und Standverbesserung 25.4 Elastische Kachwirkungen

Seite 47 47 47 48 49

26 Das Siedebarometer oder Hypsometer

49

27 Ermittlung von Höhenunterschieden aus Barometermessungen 27.1 Die Barometerformel von W. Jordan 27.2 Messen von Höhenunterschieden mit Barometern 27.3 Spezielle Beobachtungsverfahren «, 27.31 Punkteinschaltung durch Interpolieren 27.32 Geländeaufnahmen mit Feld- und Standbarometer 27.33 Staffelverfahren und Sprungverfahren

50 50 53 53 54 54 56

28 Ermittlung von Höhenunterschieden aus Altimetermessungen 28.1 Die Formel für Altimeter mit linear geteilter metrischer Höhenskala . . 28.2 Die vereinfachte Formel von D. Möller 28.3 Messen von Höhenunterschieden mit Altimetern 28.4 Spezielle Beobachtungsverfahren 28.41 Punkteinschaltung durch Interpolieren 28.42 Höhenbestimmung im Anschluß an einen Höhenfestpunkt. . .

57 57 59 60 61 61 62

29 Genauigkeit der barometrischen Höhenmessung

63

3 Tachymetrische Instramente 31 Die Verfahren der optischen Distanzmessung

66

32 Der Reichenbachsche Distanzmesser 32.1 Ermitteln der horizontalen Entfernung 32.2 Reduktionsformeln für schräge Sichten 32.3 Die Genauigkeit der Relchenbachschen Tachymeter 32.31 bei der Entfernungsbestimmung 32.32 bei der Bestimmung des Höhenunterschiedes

68 68 72 73 73 75

33 Der Tachymetertheodolit in der Praxis

76

34 Die Reduktionstachymeter 34.1 Tachymeter mit mechanischer Reduktion 34.2 Diagramm- oder Kurventachymeter 34.21 Das Dahlta 010 A 34.22 Das RDS von Wild 34.23 Das RTa4 von Zeiss-Oberkochen 34.3 Elektronische Tachymeter

77 77 77 78 79 79 80

35 Bussolen und Bussolentachymeter 35.1 Die Bussoleninstrumente 35.2 Die Prüfung der Bussolenlnstrumente 36 Meßtisch und Kippregel 36.1 Das Gerät 36.2 Prüfung und Berichtigung des Geräts 36.3 Tachymetermeßtische

.

81 81 85 85 86 87 88

Inhaltsverzeichnis 37 Tachymeter mit Basis im Stand des Beobachters 57.1 Geräte mit konstanter Basis 37.2 Geräte mit veränderlicher Basis Tafel: Tachymetrische und topographische Aufnahmeinstrumente

5 Seite 90 90 91 92/93

4 Tachymetrische und topographische Aufnahmeverfahren 41 Höhenlinien und Gelände 41.1 Höhenpunkte und Höhenlinien 41.2 Anforderungen an das Höhenlinienbild 41.3 Erfassen der Geländeformen

94 94 95 96

42 Geländeaufnahme mit dem Kreistachymeter 42.1 Aufnahmegrundlagen 42.2 Messen und Berechnen von Tachymeterzügen 42.3 Aufnehmen der Geländepunkte 42.4 Aufnahme mit elektronischen Registriertachymetern 42.5 Auftragen der Geländepunkte

98 98 99 104 107 108

43 Topographische Aufnahmeverfahren

109

44 Geländeaufnahme mit dem Bussolentachymeter 44.1 Deklination und Nadelabweichung 44.2 Bestimmen der Mißweisung der Sicht 44.3 Messen und Berechnen der Bussolenzüge 44.4 Genauigkeit der Bussolenzüge

111 111 113 113 115

45 Geländeaufnahme mit Meßtisch und Kippregel 45.1 Vorbereitung der Meßtischaufnahme 45.2 Zentrieren und Orlentieren des Meßtisches 45.3 Bestimmen von Aufnahmestandpunkten 45.4 Bestimmen der Geländepunkte 45.5 Vor- und Nachteile der Meßtischaufnahme

115 115 115 116 118 118

46 Genauigkeit der Geländeaufnahme

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5 Abstecken von Geraden und Kurven 51 Allgemeine Trassierungsgrundsätze

121

52 Einfache Absteckungen mit dem Theodolit 52.1 Durchfluchten einer Geraden 52.2 Verlängerung einer Geraden 52.3 Einschalten eines Zwischenpunktes 52.4 Abstecken einer Geraden von einem Polygonzug 52.5 Absetzen eines Winkels von beliebiger Größe

123 123 123 124 124 125

63 Abstecken der Hauptpunkte eines Kreisbogens 53.1 Abstecken symmetrischer Hauptpunkte 53.2 Abstecken eines Sehnenpolygons

126 126 128

54 Abstecken von Zwischenpunkten 54.1 mit rechtwinkligen Koordinaten von der Tangente 54.2 mit rechtwinkligen Koordinaten von der Sehne 54.3 mit gleichen Sehnen und Umfangswlnkeln

129 129 131 131

6

Inhaltsverzeichnis 55 Uberschlag- und Einrückformeln

Seite 133

56 Korbbögen

134

57 Übergangsbögen 57.1 Krümmung und Länge der Übergangsbögen 57.2 Die kubische Parabel 57.3 Die Klothoide 57.4 Näherungen bei flachen Klothoiden

136 136 139 141 144

53 Bogenabsteckung nach dem Nalenzverfahren 58.1 Grundgleichungen und Winkelbild 58.2 Das Nalenzverfahren 58.3 Überblick über die Arbeitsgänge

145 146 147 151

6 Ingenieurgeodäsie 61 Aufgaben und Besonderheiten der Ingenieurmessungen 61.1 Allgemeine Gesichtspunkte 61.2 Optische Präzisionslote 61.3 Alignierinstrumente mit Laserstrahlen

151 151 154 157

62 Erdmassenberechnung aus Profilaufnahmen und Höhenlinienplänen . . . . 62.1 Erdmassenberechnung aus Querprofilen 62.11 Die Simpsonsche Kegel Die Guldinsche Regel 62.13 Genauigkeitsbetrachtungen 62.2 Erdmassenberechnung aus Flächennivellements 62.3 Erdmassenberechnung aus Höhenlinienplänen 62.4 Erdmassenberechnung mit Profilmaßstäben und Massenprofilen . . . .

164 165 165 166 167 169 171 172

63 Erdmassenberechnung aus digitalen Geländemodellen 63.1 Herstellen eines digitalen Geländemodells 63.2 Mathematische Beschreibung des Geländemodells 63.3 Massenausgleich und optimale Trassenführung

176 176 178 180

64 Ingenieurgeodätische Arbeiten bei Verkehrsanlagen 64.1 Herstellung der Entwurfsunterlagen 64.2 Absteckungs- und Überwachungsmessungen 64.3 Meß- und Bechengenauigkeit bei Verkehrsanlagen

181 181 184 184

65 Abstecken von Ingenieurbauten 65.1 Allgemeine Gesichtspunkte 65.2 Abstecken von Brücken 65.3 Abstecken von Tunnels 65.4 Absteckgenauigkeit bei Ingenieurbauten

186 186 188 190 193

66 Die Überwachung von Staumauern 66.1 Physikalische und geodätische Verfahren 66.2 Die geodätischen Überwachungsmethoden im einzelnen 66.3 Berechnung und Darstellung der Ergebnisse

197 197 199 203

Ergänzende Literaturangaben

205

Sachverzeichnis

207

1 Trigonometrische Höhenmessung 11 Grundgleichung der trigonometrischen Höhenmessung Das theoretisch einfachste und zugleich genaueste Verfahren zur Bestimmung von Höhenunterschieden ist das in Band I im 5. und 6. Abschnitt behandelte Nivellement. Dieses Verfahren versagt jedoch gelegentlich, z. B . wenn es sich um die Bestimmung einer Turmhöhe handelt, und es wird unwirtschaftlich, z. B. wenn steile Hänge überschritten werden müssen. Für solche Fälle steht die trigonometrische Höhenmessung zur Verfügung. Diese kann sich darüber hinaus ganz allgemein aus Gründen der Wirtschaftlichkeit empfehlen, wenn Höhenunterschiede von etwas geringerer Genauigkeit verlangt werden. Zur trigonometrischen Messung des Höhenunterschiedes der Punkte A und B mit den Meereshöhen Ht + i und H% + t muß die horizontale Entfernung s der beiden Punkte bekannt sein und auf einem der beiden Punkte der Vertikalwinkel zu dem anderen gemessen werden. Der Vertikalwinkel kann dabei gem. Bild 11.1 entweder der Höhenwinkel« oder sein Komplement,

H,

Bild n . i

i NN. 7777777777777777777777777777777777777777777. 777777777?.

der Zenitwinkel z = 100gon — tx sein. Mißt man in A den Zenitwinkel 2 und bezeichnet die Höhe der Kippachse des Theodolits über dem Bodenpunkt ( = Instramentenhöhe) mit i, die Höhe der Zieltafel B über dem Bodenpunkt mit t, so lautet die Grund-

1 Trigonometrische Höhenmessung

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Gleichung der trigonometrischen Höhenmessung Hi—H1

= AH = s c o t z + i — t.

(1)

Diese Gleichung gilt jedoch nur für Entfernungen bis etwa 250 m; bei größeren Entfernungen müssen die Krümmung der Erdoberfläche und die Beugung des Zielstrahls durch die Refraktion berücksichtigt werden [16]. Die trigonometrische Höhenmessung gewinnt mehr und mehr an Bedeutung, da die Strecke s mit Hilfe der elektrooptischen Distanzmesser sehr genau und schnell bestimmt werden kann. 12 Einrichtungen des Theodolits für Vertikalwinkelmessung Für die Vertikalwinkelmessung benötigen die Theodolite zwei Einrichtungen, nämlich den Vertikal- oder Höhenkreis und die Ablese Vorrichtung. 12.1 Der H ö h e n k r e i s , dessen Durchmesser gewöhnlich etwas kleiner ist als der des Horizontalkreises, ist zentrisch an der Kippachse befestigt, so daß er alle Kippbewegungen des Fernrohrs mitmacht. Er kann mit Hilfe einer Klemmvorrichtung [Band I I 12.4] in einer bestimmten Stellung festgehalten und mit einer Feinbewegungsschraube fein eingestellt werden. Die Ableseeinheit ist jedoch die gleiche wie beim Horizontalkreis, lediglich die Meßgenauigkeit ist wegen des kleineren Kreisdurchmessers unerheblich geringer. Ausnahmen finden sich lediglich bei den Bautheodoliten. Ältere Instrumente sind meistens mit Kreisen ausgestattet, die linksläufig in 360° oder zweimal 180° geteilt sind und Höhenwinkel angeben. Bei den neueren Instrumenten sind die Kreise durchweg rechtsläufig von 0 bis 400gon geteilt und so beziffert, daß Zenitwinkel abgelesen werden (Bilder 12.1 und 12.2).

Die A b l e s e v o r r i c h t u n g , die kurz als Höhenzeiger oder Höhenindex bezeichnet wird, dient einerseits zum Ablesen der Höhen- oder Zenitwinkel am Höhenkreis. Zum anderen muß sie die Ablesung auf die Richtung der Schwerkraft beziehen. Diese Beziehung wird entweder von Hand mit Hilfe einer Libelle oder automatisch durch ein Pendelsystem (Kompensator) hergestellt.

12 Einrichtungen des Theodolits für Vertikalwintelmessung

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12.2 Die l i b e l l e n g e s t e u e r t e n H ö h e n z e i g e r besitzen eine oder zwei Ablesestellen sowie eine Röhrenlibelle, die so justiert werden muß, daß bei horizontaler Visur der Höhenwinkel Ogon bzw. der Zenitwinkel lOOgon erscheint. Vor der Ablesung bringt man den Höhenzeiger mit der justierten Libelle [13] in die richtige Lage und kann die Höhen- oder Zenitwinkel an Nonien öder Mikroskopen •— wie am Horizontalkreis — ablesen. Bei den neueren Mikroskoptheodoliten erscheinen Horizontalwinkel und Zenitwinkel gewöhnlich in e i n e m , meist neben dem Theodolitfernrohr angebrachten Ableseokular; vergl. hierzu Band II, 12. Aull. Ziff. 13 und 14. Die Instrumente, bei denen die Ablese Vorrichtung mit einer Röhrenlibelle eingestellt wird, unterteilt man, wie in den schematischen Bildern 12.1 und 12.2 gezeigt wird, in Instrumente mit Libelle am Fernrohrträger und Libelle am Höhenzeiger.

Bild 12.1. Libelle am Feinrokrträger

Bild 12.2 Libelle am Höhenzeiger

Bautheodolite und ältere Instrumente besitzen gewöhnlich eine Fernrohrträger- oder Alhidadenlibelle. Diese ist — von Justiermöglichkeiten abgesehen — unbeweglich am Fernrohrträger oder auf der Alhidade befestigt; sie kann nur mit Hilfe der Fußschrauben des Instruments zum Einspielen gebracht werden; ein Beispiel aus jüngerer Zeit ist der Kleintheodolit 80 aus Jena. Bei den Ingenieur- und Feinmeßtheodoliten (Band I I 14.3) ist die Ablesevorrichtung meistens mit einer unmittelbar mit dem

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1 Trigonometrische Höhenmessung

Höhenzeiger verbundenen Höhenzeigerlibelle ausgestattet. Bei solchen Instrumenten kann die Ablesevorrichtung oder der Höhenindex um die Kippachse in beschränktem Umfang gedreht werden, ohne daß dabei die Vertikalachse des Instruments ihre Lage ändert. Die Drehung der Ablesevorrichtung aber wird mittels der Höhenzeigerlibelle (nicht Höhenkreislibelle) so gesteuert, daß — richtige Justierung vorausgesetzt — bei einspielender Libelle der Höhen- oder Zenitwinkel mit seinem Sollwert am Höhenzeiger abgelesen werden kann. Instrumente mit Höhenzeigerlibelle liefern nicht nur bessere Ergebnisse, sondern sie sind auch bequemer zu bedienen als Instrumente mit Alhidadenlibellen. Bei den optischen Theodoliten übernimmt die Rolle des Höhenzeigers das Prisma, das die Ablesung in das Ableseokular spiegelt. Manchmal ist an den Theodolitfernrohren eine als Wendelibelle geschliffene Nivellierlibelle angebracht (Bild 12.3). Auch mit dieser Libelle

Bild 12.3 Fernrohilibelle

können Vertikalwinkel gemessen werden, indem man mit ihrer Hilfe das Fernrohr horizontal stellt, am Vertikalkreis die entsprechende Ablesung macht und diese von der bei der Visur zum Ziel erhaltenen Ablesung abzieht.

12.3 Bei den Automatischen Höhenzeigern wird •— wie beim automatischen Nivellier — die Ziellinie des Ablesemikroskops durch ein bewegliches, der Schwerkraft folgendes und gleichzeitig optisch wirksames Bauteil — den Kompensator — gesteuert. Nun werden gem. Bild 11.1 die Zenit- und Höhenwinkel auf die Richtung der Schwerkraft bezogen; die Vertikalachse des Theodolits mit den daran befestigten Mikroskopbauteilen aber läßt sich allein mit der Alhidadenlibelle nicht hinreichend genau in die Vertikale einstellen. Mithin müssen, damit einwandfreie Zenit- und Höhenwinkel erhalten werden, die restlichen Stehachsenneigungen — in Richtung der Zielebene — kompensiert werden.

12 Einrichtungen des Theodolite für Vertikalwinkelmessung

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Hierfür stehen als „Kompensatoren" freischwingende Pendel und Flüssigkeitskompensatoren zur Verfügung. Man unterscheidet dabei mechanische (physikalische) Pendel, die sich direkt in die Richtung der Schwerkraft einstellen [12.31] und Pendel, die die Restneigung zwischen der Vertikalachse des Instruments und der Richtung der Schwerkraft nicht im Verhältnis 1:1, sondern vergrößert oder verkleinert anzeigen und demnach nicht in die Richtung der Schwerkraft einspielen [12.32]. Bei den Flüssigkeitskompensatoren [12.33] gibt es ebenfalls unterschiedliche Lösungen. Für die wichtigsten Typen seien nachstehend einige Beispiele genannt; doch sind in Ziff. 12 die Kompensatorbilder, um das Verständnis zu erleichtern, recht weitgehend schematisiert. Wo im folgenden zwei Bilder desselben Kompensators nebeneinanderstehen, zeigt das linke Bild jeweils den Kompensator bei lotrechter Vertikalachse. Wenn von einem Instrument nur ein Bild wiedergegeben ist, wurde der Kompensator in leicht geneigter Lage dargestellt. 12.31 JFreischwingende Pendel (ohne Winkelvergrößerung) finden sich in den Theodoliten des Systems Askania TU (Bild 12.4), die jetzt von Fa. Dietzgen-Europe in Nürnberg betreut werden. Darin ist die Mikroskop-optik an festen Stützen ( = stützenfest) angebracht. Ein Umlenkprisma (im Bild 12.4 rechts unten) ist pendelnd aufgehängt und steuert die Abbildung vom Teilkreis auf die Mikroskopbildebene. Eine ähnliche Anordnung zeigen die Fennel-Instrumente FT1A und F T R A (Bild 12.5), die im Jahre 1978 die optische Fa-

Bild 12.4 System Askania, TU

Bild 12.5 System Fennel-FTIA und FTRA

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1 Trigonometrische Höhenmessung

brik Theis in Wolzhausen übernommen hat. Im Mikroskopstrahlengang ist ebenfalls ein Prisma pendelnd aufgehängt; die anderen Umlenkelemente und die Objektive sind dagegen stützenfest. Auch der Ingenieurtheodolit K 1-RA von Kern-Aarau besitzt ein Pendel ohne Winkelvergrößerung. Nach dem linken Bild 12.6, das die Verhältnisse bei lotrechter Vertikalachse zeigt,

Bild 12.6 Kern K1-B.A

wird die am Vertikalkreis abzulesende Stelle durch eine Ableseoptik mit einem Doppelobjektiv auf den Höhenindex abgebildet. Das obere der beiden Objektive ist am unteren Ende eines Pendels befestigt, das die gleiche Länge hat wie der Teilungsradius des Vertikalkreises und an der durch einen kleinen Kreis gekennzeichneten Stelle aufgehängt ist. . Im rechten Bild 12.6 soll der Höhenwinkel oc gemessen werden, während die Vertikalachse um den Winkel ß geneigt ist. Weil aber das pendelnde Objektivglied mit seinem Mittelpunkt senkrecht unter der Pendellagerung einspielt und weil der Strahlengang zwischen den beiden Objektivgliedern parallel verläuft, wird die abzulesende Kreistabelle am richtigen Ort auf den Ableseindex abgebildet. 12.32 Pendel mit Winkelvergrößerung und zwar mit der Vergrößerung n > l kennzeichnen die Kompensatoren der Theodolite von Zeiss-Oberkochen. Ihre Grundlagen sind, wie die stark schematisierten Bilder 12.7 und 12.8 zeigen, das Vförmige Gelenkviereck für Th 4 und RTa 4 sowie das X-förmige für den Th 2. Diese wirken wie mechanische Hebelgetriebe;

12 Einrichtungen des Theodolits für Vertikalwinkelmessung

13

ein als die Restneigung der Stehachse des Theodolits gegen die Vertikale. (Siehe Band I, 15. Aufl., Ziff. 63.3). Da der Schwerpunkt der beweglichen Teile des Kompensators in beiden Fällen über dem Drehpunkt liegt, gleichen diese Teile äußerlich einem Metronom, dessen für den Faktor n der Winkelvergrößerung maßgebende Schwerpunktlage S mittels eines in der Höhe längs der Pendelstange verschiebbaren Gewichts eingestellt wird. Bei dem dann folgenden Durchgang der Strahlen durch die im Kompensator angeordneten planparallelen Glasplatten, die in den Bildern 12.7 und 12.8 als weiße Flächen erscheinen (eine in Bild 12.7 und zwei in Bild 12.8), wird das Bild der Kreisteilung in der Mikroskopbildebene so weit versetzt, daß dadurch die Restneigung der Vertikalachse kompensiert wird. Kompensatoren mit Winkelvergrößerung (n bis 30-fach) haben eine längere Schwingungsdauer; dadurch ist die Eigenfrequenz niedrig und das Pendel weniger empfindlich gegen Störschwingungen. Berechnet man — wie bei einem physikalischem Pendel — aus der Schwingungsdauer die theoretische Pendellänge, so hat der Th 2-Kompensator eine theoretische Pendellänge von rund 2 Metern.

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1 Trigonometrische Höhenmessung

Beim Theodolit 020 der Jenoptik-Jena ist im Gegensatz zu den vorher beschriebenen Instrumenten das ganze Mikroskop mit Ausnahme der Strichplatte an einem federgehängten Pendel mit einer Winkelvergrößerung n < l befestigt. Im einzelnen befinden sich, wie das linke Bild 12.9 zeigt, das Objektiv 0 des Ablesemikroskops und die beiden Umlenkprismen P1 und P 2 auf einer Platte P, die durch eine im Aufhängepunkt Z eingespannte Gelenkfeder pendelnd an einem Arm des Fernrohrträgers befestigt ist. Außerhalb der Zeichenebene ist in der Kippachse K die Strichplatte mit dem Höhenzeiger angebracht, der über die beiden Umlenkprismen durch das Objektiv 0 auf die Teilung des Vertikalkreises abgebildet wird. Bei fehlerfreier Aufstellung des Instruments fallen die Mittellinie der Platte und die Lotrichtung LL zusammen. ll'

Bild 12.9 Jenoptik Theo 020 A und Dahlta 010 A

Im rechten Bild 12.9 ist die Stehachse um den Winkel« gegen die Lotlinie LL geneigt; der Pendelaufhängepunkt Z ist aus LL ausgewandert in die Linie B' B', und die Platte P dreht sich um das dicht unter Z liegende Momentandrehzentrum M. Wenn nun die Platte allein der Schwerkraft folgte, würde das Objektiv in die Lage 0' schwingen, und es würde die Strichplatte des Höhenzeigers in K an die Stelle A" projiziert werden. Die Strichplatte in K aber muß, damit eine richtige Ablesung erzielt wird, auf den in der Linie LL liegenden Punkt A abgebildet werden. Mithin muß das Objektiv in der Linie LL liegen •—• oder anders ausgedrückt — das Pendel darf in Z nicht um den vollen Be-

12 Einrichtungen des Theodolits für Vertikalwinkelmessung

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trag oc, sondern nur u m den etwas kleineren Winkel ß ausschwingen. Dazu muß die Biegesteifigkeit der Gelenkfeder durch Wahl eines Materials mit entsprechendem Elastizitätsmodul erhöht werden; ferner müssen das Trägheitsmoment des Federquerschnitts, das Gewicht der pendelnden Teile und der Abstand des Schwerpunkts von der Einspannstelle zweckentsprechend gewählt werden.* 12.33 Einen Flüssigkeitskompensator besitzt der Theodolit T I A von Wild-Heerbrugg. Bei ihm geht das Bild des Vertikalkreises auf dem Wege zum Ableseindex durch ein Gefäß mit glasklarem Silikonöl. Befindet die Stehachse des Instruments sich genau in der Vertikalen, so bilden der Boden des Gefäßes und die Oberfläche des Silikonöls eine planparallele Platte, durch die die Strahlen ungebrochen hindurchgehen. Ist die Stehachse aber (Bild 12.10 rechts) gegen die Lotlinie u m den Winkel ß geneigt, so bildet die Flüssigkeit einen Keil mit dem Winkel ß. Die hindurchfallenden Strahlen werden dann mit dem Brechungsindex n des Silikonöls u m den Winkel (n — l)ß ab-

Bild 12.10 Wild T I A Flüssigkeitskompensator * Freund, W.: Der Tachymetertheodoiith Theo 020 mit stabilisiertem Höhenindex. Vermessungstechnik 1960, S. 33

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1 Trigonometrische HöhenmeBsung

gelenkt, womit der Einfluß der Neigung der Stehachse auf die Vertikalkreisablesung kompensiert wird. Sehr interessant ist der Flüssigkeitskompensator, den die Firma Kern-Aarau für ihren Sekundentheodolit DKM 2-A entwickelt hat. Sein Hauptmerkmal ist die Ausnutzung der totalen Reflexion, die ein aus einem optisch dichteren Stoff herkommender Lichtstrahl beim Übergang in einen weniger dichten Stoff an der Grenzfläche beider Stoffe erfährt. Die Flüssigkeit befindet. sich gemäß der linken Figur im Bild 12.11 in einem abgeschlossenen stützenfest montierten Glasbehälter, unter dessen Bodenfläche ein symmetrisches trapezförmiges Prisma angebracht ist. Da die Flüssigkeit und das Glas nahezu identische Brechungskoeffizienten haben, trifft ein über ein fünfseitiges Prisma und eine Linse einfallender Strahl rechtwinklig auf das trapezförmige Prisma unter dem Flüssigkeitsbehälter, wird von diesem Prisma nach oben auf die sich stets horizontal einstellende Oberfläche der Flüssigkeit geleitet und an ihr total reflektiert.

Ist nun, wie in der rechten Figur 12.11, die Stehachse um den kleinen Winkel ß geneigt, so ist es auch die stützenfeste Optik. Am Ort der Totalreflexion entsteht dann zwischen dem einfallenden und dem ausfallenden Strahl nicht der Winkel lOOgon, sondern der Winkel 100gon+2/S. Der von der Ablesestelle I, die anstelle der Teilung nur eine Strichmarke hat, herkommende Strahl bildet daher die Ablesestelle I im Räume der Ablesestelle I I um 2ß verschoben ab. Durch Mitteln beider Ablesungen wird mithin die Restneigung ß kompensiert.

13 Messen von Vertikalwinkeln

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Der Arbeitsbereich automatischer Höhenindexkompensatoren ist mit rund ± 0.05 gon wesentlich kleiner als der Einstellbereich von Höhenzeigerlibellen. Automatische Höhenindexkompensatoren haben darüberhinaus eine Nichtlinearität in der Größenordnung Promille. Für genaue Höhenwinkelmessungen muß daher der Theodolit entsprechend sorgfältig horizontiert •werden. 13 Messen von Yertikalwinkeln 13.1 D i e A n o r d n u n g d e r M e s s u n g . Fortan wird — wenn nichts anderes ausdrücklich gesagt ist — unterstellt, daß der Theodolit eine Höhenzeigerlibelle oder einen Kompensator besitzt; der Höhenkreis soll in 400gon eingeteilt sein und Zenitwinkel liefern. Diejenige Fernrohrlage, bei der der Höhenkreis vom Beobachter aus gesehen links liegt, wird kurz mit „Kreis links" oder mit Lage I bezeichnet. Die andere Lage heißt „Kreis rechts" oder Lage II. Sind zwei Zeiger vorhanden, so heißen die Zeiger A und B, wobei Zeiger A in Fernrohrlage I dem Beobachter am nächsten liegt. Wo in unserem Text Höhenwinkel auftreten, sind sie aus den Zenitwinkeln rechnerisch abzuleiten. Ebenso wie die Horizontalwinkel werden auch die Vertikalwinkel zum Eliminieren von Instrumentalfehlern in beiden Fernrohrlagen beobachtet. Während aber bei der Horizontalwinkelmessung der Kreis feststeht und die Zeiger sich bewegen, ist es bei der Vertikalwinkelmessung umgekehrt. Ferner sind zur Bestimmung eines Horizontalwinkels zwei Richtungen einzustellen; der Vertikalwinkel dagegen wird — abgesehen von dem in 12.2 am Schluß genannten Sonderfall — durch Messung e i n e r Richtung, nämlich durch Einstellen und Ablesen der Richtung zum Zielpunkt erhalten. Der andere Schenkel oder die Ausgangsrichtung ist bei Höhenwinkeln die Horizontale und bei Zenit winkeln die Richtung zum Zenit, die beide am Instrument mit Hilfe von Libellen oder Kompensatoren bestimmt werden. 13.2 B e r e c h n e n v o n Z e n i t w i n k e l u n d I n d e x a b w e i c h u n g . Zum Bestimmen des Zenitwinkels muß nach der 2 Großmann, Vermessungskunde III

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1 Trigonometrische Höhenmessung

obigen Beschreibung der Höhenzeiger in bezug auf die Visierachse des Fernrohrs so orientiert sein, daß bei einer Zielung zum Zenit sich die Ablesung z = 0 ergeben würde. Leider wird aber die Lage der Zielachse gegenüber dem Vertikalkreis beim Justieren des Fadenkreuzes [Band I 62, Band I I 16] etwas verändert. Ferner erleidet ein Höhenzeiger oder Höhenindex, der durch das Einspielen einer Höhenzeigeroder einer Alhidadenlibelle gesteuert wird, beim Justieren der Libelle eine Lageänderung gegenüber der Vertikalachse des Instruments. Hauptsächtlich diese beiden Einflüsse bewirken, daß bei der Visur zum Zenit anstelle der Sollablesung z = 0 die fehlerhafte Ablesung z — £ erscheint. Der Winkel £ aber, der auch alle anderen Ablesungen am Vertikalkreis in gleichem Sinne verfälscht, wird als Indexabweichung oder Indexfehler bezeichnet. Seinem Wesen nach ist er ein Nullpunktfehler, der theoretisch jede beliebige Größe annehmen kann und in ähnlicher Form, wenn auch aus etwas anderen Ursachen, auch bei Instrumenten mit Kompensatorhorizontierung auftritt. Nun ist die Richtung Z zum Zenit in der Natur nicht gegeben. Der Zenitwinkel z und die Indexabweichung f können aber durch Messung eines Zenitwinkels in beiden Fernrohrlagen gemeinsam bestimmt werden. Der Zenitwinkel wird nämlich auf dem Vertikalkreis beim Einstellen des Ziels in der einen Fern-

Bild 13.1 Messen von Zenitwinkeln in 2 Fernrohrlagen

rohrlage (Ablesung Ai im linken Bild 13.1) in Richtung der zunehmenden Bezifferung und in der anderen Lage (Ablesung Aii im rechten Bild 13.1) entgegen dem positiven Sinn der Kreisteilung abgetragen. Demnach lassen sich an den Bildern 13.1 folgende Beziehungen ablesen:

13 Messen von Vertikalwinkeln am linken Bild

z+ £=

+ Ai

am rechten Bild

z — £ = 400gon — An

19 (1)

(2)

Daraus folgen, wenn zuerst (1) + (2), dann (1) — (2) gebildet wird, zur Berechnung von Zenitwinkel und Indexabweichung die Gleichungen 2z = (400gon + Ai) — An

(3)

2{ = (Ai + An) — 400gon = — 2i>2

(4)

worin vz = — £ die in der Praxis bevorzugte Indexverbesserung bedeutet. Beide Gleichungen können auf zwei Wegen ausgewertet werden: Erster Weg: Berechne z nach (3) und zweckmäßig zur Kontrolle auch C = — v z nach (4). Die Klammern in (3) und (4) sollen den einfachsten Rechenansatz andeuten. Zweiter Weg: Bilde die Summe (Aj + -4n) und stimme sie auf 400gon so ab, daß Ai und An um je die Hälfte der Differenz gegen 400 gon verbessert werden. Dann hat man in den verbesserten Ablesungen den gesuchten Zenitwinkel z sowie dessen Ergänzung zu 400 gon und in den Abstimmungsbeträgen die Indexverbesserung vz oder den negativen Wert der Indexabweichung f ; vergl. das Zahlenbeispiel in 13.5. Ein Zenitwinkel wird demnach folgendermaßen ermittelt: Nach dem Horizontieren des Theodolits mit der Alhidadenlibelle legt man den Vertikalkreis nach links (I. Lage) und bringt den mittleren Horizontalstrich des Fernrohrokulars ins Ziel; dann läßt man die Höhenzeigerlibelle einspielen oder den Kompensator zur Ruhe kommen und macht die Ablesung Ai. In der II. Lage (Kreis rechts) sind die entsprechenden Handgriffe das Erfassen des Ziels mit dem Horizontalstrich, erneutes Einspielenlassen von Höhenzeigerlibelle oder Kompensator und Ablesung An- Es folgt die Berechnung von z und vz nach (3) und (4) oder nach der Methode des Abstimmens. Zwar wird vz selbst meistens nicht benötigt; man bestimmt vz jedoch, weil vz bei allen Vertikalwinkelmessungen, die auf einem Stand gemacht werden, nahezu gleich sein muß, was eine Meßprobe bedeutet. 2*

20

1 Trigonometrische Höhenmessung

Allgemein beachte man folgendes: Wird der Vertikalkreis nur an einer Stelle abgelesen, wie es bei den meisten modernen Tachymetertheodoliten vorgesehen ist, so fällt eine möglicherweise am VertikaLkreis vorhandene Teilkreisexentrizität — anders als bei der Horizontalwinkelmessung—durch Beobachten in beiden Fernrohrlagen nicht heraus. Bei höchsten Genauigkeitsansprüchen wird man daher zweckmäßig Gegenvisuren beobachten. 13.3 B e s e i t i g e n der I n d e x a b w e i c h u n g . Beim Messen und Berechnen der Zenitwinkel ist es angenehm, wenn die Indexabweichung klein ist. Für untergeordnete Messungen, die nur in einer Fernrohrlage durchgeführt werden, sucht man sie ganz zu beseitigen. Das geschieht folgendermaßen: Bei Instrumenten mit Höhenzeigerlibelle wird zunächst nach 13.2 z durch Messen nach einem scharf einstellbaren Ziel bestimmt. Alsdann wird der Zielpunkt — der Einfachheit halber in der I. Fernrohrlage — noch einmal scharf eingestellt und der Höhenzeiger mit Hilfe der Höhenzeiger-Feinbewegungsschraube so lange bewegt, bis die Sollablesung erscheint. In dieser Stellung wird die Höhenzeigerlibelle mit ihren Justierschrauben zum Einspielen gebracht. Bei Theodoliten mit Koinzidenzmikroskopen stellt man die Sollablesung an der Mikrometertrommel ein, bringt die Teilstriche des Vertikalkreises mit Hilfe der Feinbewegungsschraube zur Koinzidenz und justiert die Libelle. Auch bei Theodoliten mit automatischem Höhenzeiger ermittelt man zunächst die Sollablesung. Alsdann bringt man das Fadenkreuz ins Ziel und stellt entweder, während das Fadenkreuz im Ziel bleibt, mittels der Justierschrauben die Soliablesung her (Askania und Wild), oder man stellt zuerst die Sollablesung ein und bringt das Fadenkreuz mit seinen Justierschrauben ins Ziel (Jenoptik). Bei Theodoliten mit Alhidadenlibelle [12.2] wird ebenfalls zuerst nach 13.2 die Sollablesung ermittelt. Zur Beseitigung der Indexabweichung stellt man bei scharf einspielender Alhidadenlibelle entweder die Sollablesung am Vertikalkreis ein und bringt das Strichkreuz mit Hilfe der Fadenkreuzjustierschrauben ins Ziel, oder man bringt zunächst das Fadenkreuz ins Ziel und stellt die Sollablesung durch Verschieben der Zeiger her. 13.4 G e n a u i g k e i t der Z e n i t w i n k e l m e s s u n g . Der mittlere Fehler eines beobachteten Zenitwinkels läßt sich aus der mehrfachen Bestimmung von t, errechnen. Es ist nämlich auf Grund des Fehlerfortpflan-

13 Messen von Vertikalwinkeln

21

zungsgesetzes [Band I 14.4], wenn m der mittlere Beobachtungsfehler in einer Fernrohrlage ist, gem. (3) und (4)

W e n n m a n nun auf einem Stand s Zenitwinkel in je n vollen Sätzen beobachtet hat, so berechnet m a n aus den s • n Beobachtungen v o n vg = — C das arithmetische Mittel "Qm sowie die zugehörigen v( = f m — f u n d h a t dann nach B a n d I 14.5 als mittl. Fehler einer aus beiden Lagen ermittelten Indexabweichung 'Q u n d eines Zenitwinkels z

D a bei unserer Messungsanordnung 'Q «s-mal, jedes z aber nur ra-mal bestimmt wurde, sind die mittl. Fehler der gemittelten Werte (6)

Die Genauigkeit der Zenitwinkelmessung hängt weniger ab von der Güte des Teilkreises und der Ablesevorrichtung als von der Sorgfalt, mit der die Höhenlibelle zum Einspielen bzw. der Kompensator zur Ruhe gebracht wird. Als groben Durchschnitt kann man für einen mit einem Ingenieurtheodolit (Band I I 14.32) einmal in beiden Lagen gemessenen Zenitwinkel einen mittl. zufälligen Fehler von 2mgon erwarten. Dazu kann jedoch bei Theodoliten mit nur einer Ablesestelle noch ein durch eine Exzentrizität des Vertikalkreises hervorgerufener systematischer Fehler bis zu etwa ± 3mgon hinzukommen.* Bei höheren Genauigkeitsansprüchen wird man daher entweder diesen systematischen Fehler nach der angegebenen Literatur bestimmen und eliminieren, oder einen Feinmeßtheodolit mit einem Koinzidenzmikroskop (Band I I 14.32) verwenden und damit gleichzeitig die zufälligen Fehler spürbar herabsetzen. * Soltau, G., Die Vertikalkreisexentrizität an Theodoliten mit einem Zeiger, Zeitschr. f. Verm.wesen 1961, S. 392; vergl. auch Fialovszky, L., Vermessungstechnik 1965, S. 178.

1 Trigonometrische Höhenmessung

22

13.5 Zahlenbeispiel: Beobachtungen am Vertikalkreis und Berechnung der Zenitwinkel auf dem 2. Weg von 13.2. Instrument: Zeiss Th 3, Nr.: 151543 Lage

TP£

Ablesungen am Vert.Kreis

Satz

Ziel

2 400 — 2

2 gemittelt

1

I II

mgon gon gon 97,3820 — 2,0 97,3800 302,6220 - 2 , 0 302,6200

gon 97,3802

2

I II

400,0040 400,0000 97,3830 - 2 , 5 97,3805 302,6220 — 2,5 302,6195

1

I II

97,8880 — 3,5 97,8845 302,1190 — 3,5 302,1155

2

I II

400,0000 400,0070 97,8870 — 3,0 97,8840 302,1190 — 3,0 302,1160

C

400,0050 TP C

400,0060 Im Mittel f = — 2,8 oder vz = + 2,8 Mc=±

Standpkt. TP A

°'65

= ±0,32mgon

VC

vi

mgon (mgon)2 — 0,8 0,64 — 0,3

0,09

+ 0,7

0,49

+ 2

0,04

400,0000 97,8842

400,0000 m

1,26 c = ± ] /2-2 — 1

MzB = Mzc = ±

1,26 ± 0 , 6 5 mgon = ±0,46mgon

14 Trigonometrische Höhenübertragung auf kurze Entfernungen Unter kurzen Entfernungen sollen Strecken verstanden werden, bei denen der Einfluß von Erdkrümmung und R e f r a k t i o n auf die trigonometrische Höhenbestimmung [16] vernachlässigt werden kann. 14.1 Turmhöhenbestimmung mit horizontalem H i l f s d r e i e c k (Bild 14.1 und 14.2). Gegeben ist die N N - H ö h e Ha eines Punktes A, gesucht die Höhe Ht eines nahegelegenen Turms. Die Aufgabe gliedert sich in zwei S c h r i t t e :

14 Trigonometrische Höhenübertragung auf kurze Entfernungen 23

Erster Schritt: Da die Projektion der Turmspitze gewöhnlich in das Gebäudeinnere fällt, muß die Horizontalprojektion s der Entfernung vom Instrument zum Turmknopf indirekt bestimmt werden. Dazu legt man nach Maßgabe des Bildes 14.1 in der Nähe des Turmes eine Basis AB = b an und beobachtet auf A und B bei streng lotrechter Stehachse [Band I 51.32] die Horizontalwinkel « und ß. Dann ist

Bild 14.1

Bild 14.2

Zur Probe kann s ein zweites Mal mit Hilfe des punktiert angedeuteten zweiten Hilfsdreiecks ermittelt werden. Zweiter Schritt: Zur Bestimmung von Ht mißt man sodann die Höhe i der Kippachse über dem Bodenpunkt und erhält gem. Bild 14.2 die gesuchte Turmhöhe aus Ht = Ha + i + s cot z ( .

(2)

Ist Ha nicht bekannt, wohl aber die Höhe Hb eines in der Entfernung d stehenden Höhenbolzens, so bekommt man den Instrumentenhorizont (Ha + i), indem man eine Nivellierlatte auf B entweder bei einspielender Fernrohrlibelle abliest oder wie in Bild 14.2 an der Latte l einstellt und zb mißt. In diesem Falle ist Ht = Hb + l — d cot zj + s cot z ( .

(2a)

Zur Probe kann die Höhe des Bolzens auch über B oder C auf T übertragen werden. Wegen der Form der horizontalen Hilfsdrei-

24

1 Trigonometrische Höhenmessung

ecke beachte man Band I I 44.3. Die Länge der auf den Turm zuführenden Seiten wähle man möglichst so, daß zt nicht kleiner als 70gon wird.* 14.2 T u r m h ö h e n b e s t i m m u n g m i t v e r t i k a l e m H i l f s d r e i e c k . Wenn es an Raum zum Anlegen eines horizontalen Hilfsdreiecks fehlt, z. B. weil die Turmspitze nur von einer schmalen Straße aus anzumessen ist, so nimmt man nach Bild 14.3 das vertikale Hilfsdreieck P1P2 T zur Hilfe.

Die Hilfspunkte P1 und P2 wählt man so, daß Pt, P2 und T in einer Vertikalebene liegen, und macht folgende Arbeitsgänge: a) Messen der horizontalen Strecke P1P2 = d. b) Bestimmen der Instrumentenhorizonte J1 = H1 + % und n J2 = H2 + i2 wie i 14.1. c) Messen der Zenitwinkel z1 und z 2 . d) Berechnen von e, indem man nach dem Bild 14.3 ansetzt Ht = J1 + e cot zx — J 2 + (d + e) cot z2

(3)

und daraus ableitet e=

d cot z» 2 + J~ — 1J, \ z • cot. z1 — cot 2

...

(4)

e) Zweima ige Berechnung von H t nach (3). f) Zur Probe Wiederholen der Messungen mit etwas veränderter Höhenlage des Theodolits. * Kohr, J., Zur Berechnung der Turmhöhe bei der trigonometrischen Höhenmessung mit horizontalem Hilfsdreieck. Zeitschr. f. Verm. Wesen 1956, S. 128.

14 Trigonometrische Höhenübertragung auf kurze Entfernungen 25

Die Turmhöhenbestimmung in einer Vertikalebene ist beträchtlich ungenauer als die mit einem horizontalen Hilfsdreieck, weil die Visuren, durch die Ht bestimmt wird, sich unter einem recht spitzen Winkel schneiden. Man beachte daher folgendes : a) Den vorderen Standpunkt Pt bringe man möglichst nahe an den Turm (Zj x 50gon). Die Länge von d soll etwa zwei Turmhöhen betragen, womit z2 » 80gon wird. b) Die Strecke d ist mit großer Sorgfalt zu messen. c) Der Zenitwinkel im hinteren Stand P2 soll mit größerer Genauigkeit (doppelte Anzahl von Sätzen) beobachtet werden als der in Pl. d) Die Höhenübertragung ist auf dem hinteren Standpunkt P 2 anzusetzen; die auf P t dient nur zur Kontrolle. e) Die günstigste Bestimmung erhält man, wenn sich für P1 und P2 die Standorte auf entgegengesetzten Seiten des Turmes finden lassen.* 14.3 B e i m t r i g o n o m e t r i s c h e n N i v e l l e m e n t werden wie beim geometrischen Nivellement zur Überbrückung größerer Entfernungen mehrere Einzelhöhenunterschiede aneinandergereiht, die über Zielweiten bis etwa 200 m mit Hilfe von Zenit winkeln und Entfernungen ermittelt werden. Aus Bild 14.4, in dem der Index r den Rückblick und der Index v den Vorblick andeutet, entnimmt man als Grundgleichung für einen Höhenunterschied Hb — Ha = AH = (lr — hr) — (lv — hv) oder

AH = sv cot zv — sr cot zr + lr — lv.

(5)

Macht man alle lT und lv gleich groß (z. B. 2 Meter), so fallen sie heraus. Man erhält dann umgekehrt wie beim geometrischen Nivellement den Höhenunterschied aus Vorblick minus Rückblick. * Kohr, J., Fehlertheorie der Turmhöhenbestimmung in einer Vertikalebene. Zeitscbr. f. Verm.wesen 1951, S. 193.

1 Trigonometrische Höhenmessung

26

Bild 14.4

Bild 14.5

Ist die Entfernung vom Instrument zur Ziellatte unbekannt, so kann man sie indirekt bestimmen, indem man die Zenitwinkel nach zwei um den Abstand l voneinander entfernten Lattenstrichen mißt. Dann ist nach Bild 14.5 a cot Z j = 1 + m;

s cot z2 = m l cot zL — cot z 2 '

und Hb — Ha=AH

= acotz1+

i — (l+ t) = s cot z2 + i — t.

(6)

(7)

l (1 oder 2 Meter) muß um so sorgfältiger bestimmt werden, je steiler die Sicht ist. Bei großen Zielweiten markiere man die Ablesestellen an der Latte durch Zieltafeln. Sollen die Höhen von Polygonpunkten ermittelt werden, so beobachtet man meistens die Zenitwinkel nur auf jedem zweiten Punkt und stellt auf den Zwischenpunkten Zieltafeln auf, deren Horizontalstrich ebenso hoch über dem Dreifuß liegt wie die Kippachse des Instruments. Auf jedem Polygonpunkt ist die Bodenhöhe der Kippachse bzw. der Zieltafel zu vermerken. Vgl. jedoch 13.2 am Schluß. 15 Die Genauigkeit der trigonometrischen Höhenmessung auf kurze Entfernungen Vorbemerkung: Die SI-Einheiten bei Genauigkeitsabschätzungen Von den in Bd. I 12.32 beschriebenen SI-Einheiten ist in mathematischer Sicht die wichtigste Einheit der Radiant, der als das Verhältnis des Bogens b zum Halbmesser r des um den Scheitel eines Winkels geschlagenen Kreises definiert ist. Seine Einheit (1 rad) ist gegeben durch b / r = l . Wird nach DIN 1315 (1974) ein Winkel ohne Angabe der Einheit nur durch eine Zahl, ins-

15 Genauigkeit d. trigon. Höhenmessung auf kurze Entfernungen 27 besondere durch Vielfache oder Teile von n, angegeben, so gilt als vereinbart, daß er in rad angegeben wurde. Wenn dann auf die Gon-Teilung übergegangen wird, so ist ,1 rad j =

200

n

i1 gon =

gon

71

¿00

J = 15,7 mrad J rad

Zur Genauigkeitsabschätzung wird zweckmäßig beim Differenzieren für die Differentiale da bzw. für die Messungsunsicherheiten m x die Einheit rad beibehalten. Die in rad gefundenen Ergebnisse sind dann umzurechnen z. B. für Gon nach den Formeln da (rad) = da (gon)

" ; da (gon) = ZUU

(rad)

71

in denen da (rad) und da (gon) zu lesen sind als „da in rad" und „da in gon". Durch die vorrangige Stellung des Radianten ist das in der Geodäsie viel benutzte Zeichen q überflüssig geworden; ohnehin ist es beim Gebrauch von Taschenrechnern einfacher, 200: JE einzugeben als die Zahlen von q einzeln zu drücken. Diese Hinweise gelten für alle Genauigkeitsabschätzungen, in denen Winkel auftreten. Die Genauigkeit der trig. Höhenmessung hängt davon ab, ob die Einflüsse von Erdkrümmung und Refraktion zur Genauigkeit der Zenitwinkel- und Streckenmessung in einem günstigen Verhältnis stehen. Der Einfluß von Erdkrümmung und Refraktion beträgt, wie in 16.1 gezeigt werden wird, auf 100 m, 200 m und 500 m rund 0,7 mm, 2,8 mm und 18 mm. Um die Auswirkungen der Messungsungenauigkeiten überschlagen zu können, differenziere man die Gl. 11(1) und erhält, wenn man H2 — Hx = AH setzt und dz und später m 2 in der Einheit Radiant (rad) einführt, AAH = cot z d«

-ß-z- • dz + d i — di sin'z

(1)

oder wenn man die Differentiale als mittlere Fehler betrachtet und da« Fehlerfortpflanzungsgesetz [Band I 14.4] anwendet, = (cot

2 m

s)2 + ( - ¡ ¿ J mzj

+ mi +

m

f-

(2)

Unterstellt man, daß die Zenitwinkel in zwei unabhängigen Sätzen gemessen wurden, so kann man ausgehend von der in 13.4 angegebenen Meßgenauigkeit mz = 2 mgon /|/iT sa ± 1,4 mgon setzen und m s so wählen, daß das erste Glied die gleiche Größenordnung bekommt wie das zweite. Setzt man dazu versuchsweise = ± 0,0015 / « , so ergeben sich die in der nachstehenden Tabelle eingetragenen Millimeterbeträge:

1 Trigonometrische Höhenmessung

28

8

cot z ms 100m 200m 500m 90 70 50

2,4 7,6 15,0

3,4 10,8 21,2

5,4 17,1 33,6

100m 200m 600m 2,4 2,9 4,7

4,8 5,9 9,4

12,0 14,7 23,5

Nach dieser Tabelle liefern Beobachtungen mit m^ = ± 1,5 mgon und ms = ± 0,0015 j/s Fehler der gleichen Größenordnung; nur bei Steilvisuren sind die Strecken noch etwas sorgfältiger zu ermitteln. Mißt man die Zenitwinkel genauer oder weniger genau, so muß die Genauigkeit der Streckenbestimmung im gleichen Verhältnis gesteigert oder vermindert werden. Außerdem müssen i und t mit entsprechender Sorgfalt bestimmt werden. Werden die für mz und ms gefundenen Zahlenwerte in (2) eingeführt und Wj lind mt mit ± 2 mm in Rechnung gestellt, so darf man als mittleren Gesamtfehler der beobachteten Höhenunterschiede nachstehende mgon- und mm-Beträge erwarten:

± 1,5 mgon = 23/5 VsZ mm

Bei Strecken bis zu 200 m sind diese Fehlerbeträge rund viermal so groß wie die Auswirkungen von Erdkrümmung und Refraktion, während bei 500 m beide die gleiche Größenordnung haben. Kurze Entfernungen im Sinne des einleitenden Satzes sind also Strecken bis etwa 250 m. Diese Entfernung wird bei der Bestimmung von Turm- und Gebäudehöhen oder bei trigonometrischen Nivellements kaum jemals überschritten werden. Die in der obigen Tabelle errechneten Beträge können daher unmittelbar zum Abschätzen der mit einer einzelnen Höhenunterschiedsbestimmung erreichbaren Genauigkeit in 14.1 und 14.3 dienen. Im Falle 14.2 ist die Fehlerberechnung komplizierter; es sei dazu auf die Literaturangabe in der Fußnote auf S. 25 verwiesen. In 14.3 ist der mittlere Fehler des Gesamthöhenunterschiedes wie beim geometrischen Nivellement [Band I 75] gleich der Wurzel aus der Quaclratsumme der mittl. Fehler der Einzelhöhenunterschiede.

16 Trigonometrische Höhenübertragung über große Entfernungen 2 9

16 Trigonometrische Höhenübertragung über große Entfernungen 16.1 E r d k r ü m m u n g und R e f r a k t i o n bewirken, daß bei größeren Entfernungen die Strecke AD des Bildes 16.1 als Kreisbogen behandelt werden muß und daß auch der Zielstrahl AB in einen flachen Bogen übergeht. Zur Vereinfachung der nachstehenden Darstellung sind in Bild 16.1 die Instrumentenhöhe i und die Tafelhöhe t fortgelassen worden.

A

Bild 16.1


0 ,

F2

Fm = ^ F^,

nach (1) V = \ - F J ,

nach (2)

ferner ist V=^-F l.

1 o Z Alle praktischen Fälle liegen zwischen Fall 1 und Fall 2. Mithin gilt

F