Vermessungskunde: Band 3 Trigonometrische und barometrische Höhenmessung, Tachymetrie und Absteckungen [8., verb. Aufl. Reprint 2020] 9783112321553, 9783112310366

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

862

VERMESSUNGSKUNDE in TRIGONOMETRISCHE UND B A R O M E T R I S C H E HÖHENMESSUNG, TACHYMETRIE UND A B S T E C K U N G E N

von

Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h. WALTER GROSSMANN o. Professor an der Technischen Hochschule Hannover Achte, verbesserte Auflage Mit 102 Figuren

W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

BERLIN 1965

Die Gesamtdarstellung umfaßt noch folgende Bände: B a n d l : Stückvermessung und Nivellieren (Sammlung Göschen Band 468). Inhalt: Grundlagen; Abstecken und Messen gerader Linien; Aufnehmen und Auftragen kleiner Lagepläne; Flächenberechnung; Bestandteile geodätischer Meßinstrumente; Instrumente und Geräte zum Nivellieren; Nivellierverfahren. Band I I : Horizontalaufnahmen und ebene Rechnungen (Sammlung Göschen Band 469). Inhalt: Der Theodolit und das Messen von Horizontalwinkeln; Streckenmessung mit Streckenmeßgeräten; Polygonometrische Punktbestimmung; Trigonometrische Punktbestimmung. Für die 1. bis 6. Auflage (1910 bis 1949) zeichnete als Verfasser Professor Dr. Paul Werkmeister. 1960 erschien eine vollständig neubearbeitete Auflage von Professor Dr. Walter Großmann, die die Grundlage der vorstehenden Auflage ist.

© Copyright 1965 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp., Berlin 30 — Alle Rechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. - Archiv-Nr. 7 9 9 0 6 5 2 . - - Satz und Druck: Walter de Gruyter Co., Berlin 30 — Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis 1 Trigonometrische Höhenmessung

Seite

11 Grundgleichung der trigonometrischen Höhenmessung 12 Einrichtung des Theodolits für die Vertikalwinkelmessung . . . . 12.1 Der Höhenkreis 12.2 Die Ableseeinrichtung 13 Messen von Vertikalwinkeln 13.1 Anordnung der Messung 13.2 Berechnen von Zenitdistanzen und Indexabweichung . . . . 13.3 Beseitigen der Indexabweichung 13.4 Genauigkeit der Zenitdistanzmessung 13.5 Zahlenbeispiel 14 Trigonometrische Höhenübertragung auf kurze Entfernungen . . 14.1 Turmhöhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck . . . 14.2 Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck . . . . 14.3 Das trigonometrische Nivellement 15 Genauigkeit der trig. Höhenmessung auf kurze Entfernungen . . . 16 Trigonometrische Höhenübertragung über große Entfernungen . . 16.1 Erdkrüinmung und Refraktion 16.2 Höhenunterschiede aus einseitig beobachteten Zenitdistanzen 16.3 Höhenunterschiede aus gegenseitigen Zenitdistanzen . . . . 16.4 Itcfraktionskoeffizient aus Gegenvisuren 16.5 Zahlenbeispiel 17 Reduktion von Zenitdis tanzen auf den Stationsnullpunkt . . . . 18 Genauigkeit der trigonometrischen Höhenübertragung über große Entfernungen

7 8 8 8 11 11 12 14 35 16 17 17 18 19 21 22 22 25 26 27 27 28 23

2 Barometrische Höhenmessung 21 Physikalische Grundlagen

31

22 Die Quecksilberbarometer 22.1 Das Heberbarometer 22.2 Das Gefäßbarometer 22.3 Normal-, Stations- und Reisebarometer

31 31 32 33

23 Verbesserung der Rohablesungen am Hg-Barometer 23.1 Die Temperaturverbesserung 23.2 Die Kapillardepression 23.3 Die Schwerereduktion 23.4 Die Standverbesserung

34 34 34 35 36

24 Die Federbarometer 24.1 Barometer mit Membrandose 24.11 Die Membrandose 24.12 Das Barometer von Naudet

36 36 36 37

4

Inhaltsverzeichnis Seite

25

26 27

28

29

24.13 Die Barometer der Thommen-Uhrenfabrik 24.14 Das Barometer von Paulin 24.15 Membranbarometer mit mikrometrischcr oder optischer Anzeigevorrichtung 24.2 Barometer mit Röhrenfeder 24.3 Barometer mit Gasfeder Verbesserung der Rohablesungen a n den Federbarometem . . . . 25.1 Die Reduktionsformel 25.2 Der Temperaturkoeffizient 25.3 Teilungskoeffizient und Standverbesserung 25.4 Elastische Nachwirkungen Das Siedebarometer oder Hypsometer Berechnung barometrischer Höhenunterschiede 27.1 Die vollständige Barometerformel von W. Jordan 27.2 Jordans Formeln und Tafeln für Mitteleuropa 27.21 Tafel der fingierten Meereshöhen 27.22 Barometrische Höhenstufen 27.3 Der Übergang von Torr auf Millibar (mbar) Barometrische Meßverfahren 28.1 Allgemeines 28.2 Punkteinschaltung mit e i n e m Barometer 28.3 Geländeaufnahme mit Feld- und Standbarometer 28.4 Staffel verfahren und Sprungverfahren Genauigkeit der barometrischen Höhenmessung

37 38 38 39 40 40 40 40 41 43 43 44 44 45 45 46 46 47 47 47 48 50 51

3 Tachymetrische Instrumente 31 Die Verfahren der optischen Distanzmessung 32 Der Reichenbachsche Fadendistanzmesser 32.1 Distanzfäden im Fernrohr mit Okularauszug 32.2 Distanzfäden im Fernrohr mit Zwischenlinse 32.3 Das Bestimmen der horizontalen Entfernung 32.4 Reduktionsformeln für schräge Sichten 32.5 1/ie Genauigkeit der Fadendistanzmessung 32.51 bei der Entfernungsbestimmung 32.52 bei der Bestimmung des Höhenunterschiedes 33 Der einfache Tachymetertheodolit 34 Die Reduktionstachymeter 34.1 Die Schiebetachymeter 34.2 Die Tachymeter mit Tangentenskala 34.3 Die Kurven- oder Diagrammtachymeter 34.4 Tachymeter mit veränderlichem Fadenabstaiid 35 Bussolen und Bussolentachymeter 35.1 Die Bussoleninstrumente 35.2 Die Prüfung der Bussoleninstrumente 36 Meßtisch und Kippregel 36.1 Das Gerät 36.2 Prüfung und Berichtigung des Geräts 37 Tachymeter mit Basis im Stand des Beobachters 37.1 Geräte mit konstanter Basis 37.2 Geräte mit veränderlicher Basis

. . . .

53 54 55 56 56 58 60 60 62 63 64 64 65 67 70 71 71 74 75 75 77 78 78 78

Inhaltsverzeichnis 4 Tachymetrische und topographische Aufnahmeverfahren

5 Seite

41 Höhenlinien und Geländedarstellung

81

42 Die Geländeaufnahme mit dem Kreistachymctcr 42.1 Aufnahmegrundlagen 42.2 Messen und Berechnen von Tachymcterzügen 42.3 Aufnehmen der Geländepunkte 42.4 Auftragen der Geländepunkte

84 84 84 88 91

43 Die topographischen Aufnahme verfahren

92

44 Die Geländeaufnahme mit dem Bussolentachymetcr 44.1 Deklination und Nadelabweichung 44.2 Bestimmen der Mißweisung der Sicht 44.3 Messen und Berechnen der Bussolenzüge 44.4 Genauigkeit der Bussolenzüge

94 95 96 97 98

45 Die Geländeaufnahme mit Meßtisch und Kippregel 45.1 Zentrieren und Orientieren des Meßtisches 45.2 Bestimmen von Aufnahmestandpunkten 45.3 Bestimmen der Geländcpunkte 45.4 Vor- und Nachteile der Meßtischaufnahme

98 98 99 102 102

46 Die Genauigkeit der Geländeaufnahme

103

5 Absteckungsarbeiten 51 Allgemeine Trassierungsgrundsätze

104

52 Einfache Absteckungen mit dem Theodolit 106 52.1 Durchfluchten einer Geraden 106 52.2 Verlängerung einer Geraden 106 52.3 Einschalten eines Zwischenpunktes durch Winkclmessung . . 107 52.4 Abstecken einer Geraden von einem Polygonzug 107 52.5 Absetzen eines Winkels beliebiger Größe 108 53 Abstecken der Hauptpunkte eines Kreisbogens 53.1 Abstecken symmetrischer Hauptpunkte 53.2 Abstecken eines Sehnenpolygons

108 109 111

54 Abstecken von Zwischenpunkten 54.1 mit rechtwinkligen Koordinaten von der Tangente 54.2 mit rechtwinkligen Koordinaten von der Sehne 54.3 mit gleichen Sehnen und Umfangswinkeln

112 112 114 114

55 Überschlag-und Einrückformcln

115

56 Korbbögen

116

57 Übergangsbögen 57.1 Krümmung und Länge der Übergangsbögen 57.2 Die kubische Parabel 57.3 Die Klothoide 57.4 Näherungen bei flachen Klothoidcn

11 ß 118 121 124 126

6

Inhaltsverzeichnis Seite 58 Bogenabsteckung nach dem Nalenzverfahren 58.1 Grundgleichungen und Winkelbild 58.2 Das Nalenzverfahren 58.3 Überblick über die Arbeitsgänge

127 127 129 133

59 Abstecken und Überwachen von Bauwerken 59.1 Absteckungsgrundlagen 59.2 Abstecken von Brücken 59.3 Tunnelabsteckung 59.4 Überwachung von Bauwerken

133 133 134 135 135

Schrifttum

137

Sachverzeichnis

139

1 Trigonometrische Höhenmessung 11 Die Grundgleichung der trigonometrischen Höhenmessung

Das theoretisch einfachste und zugleich genaueste Verfahren zur Bestimmung von Höhenunterschieden ist das in Band I im 5. und 6. Abschnitt behandelte Nivellement. Dieses Verfahren versagt jedoch gelegentlich, z. B. wenn es sich um die Bestimmung einer Turmhöhe handelt, und es wird unwirtschaftlich, z. B. wenn steile Hänge überschritten werden müssen. Für solche Fälle steht die trigonometrische Höhenmessung zur Verfügung. Diese kann sich darüber hinaus ganz allgemein aus Gründen der Wirtschaftlichkeit empfehlen, wenn Höhenunterschiede von etwas geringerer Genauigkeit verlangt werden. Zur trigonometrischen Bestimmung des Höhenunterschiedes zwischen 2 Punkten mit den Meereshöhen Hr und H2 muß die horizontale Entfernung s der beiden Punkte bekannt sein und auf einem der beiden Punkte der Vertikalwinkel zu dem anderen gemessen werden. Der Vertikalwinkel kann dabei entweder der Höhenwinkel a oder sein Komplement, die Zenitdistanz z — IOO9, — a sein. Mißt man in A die Zenitdistanz z und bezeichnet die Höhe der Kippachse des Theodolits über Bild 1. dem Bodenpunkt ( = Instrumentenhöhe) mit i, die Höhe der Zieltafel B über dem Bodenpunkt mit t, so lautet die Grundgleichung der trigonometrischen Höhenmessung h = H2 — H1 = s cot z + i — f.

(1)

Diese Gleichung gilt jedoch nur für Entfernungen bis etwa 250 m; bei größeren Entfernungen müssen die Krümmung

8

1 Trigonometrische Höhenmessung

der Erdoberfläche u n d die Beugung des Zielstrahls durch die Refraktion berücksichtigt werden [16]. 12 Die Einrichtungen des Theodolits für die Vertikalwinkelmessung F ü r die Vertikalwinkelmessung benötigen die Theodolite zwei Zusatzeinrichtungen, nämlich den Vertikal- oder Höhenkreis u n d die Ableseeinrichtung. 12.1 D e r H ö h e n k r e i s , dessen Durchmesser gewöhnlich etwas kleiner ist als der des Horizontalkreises, ist zentrisch an der Kippachse befestigt, so daß er alle Kippbewegungen des Fernrohrs mitmacht. E r kann mit Hilfe einer Klemmvorrichtung [Band I I 12.4] in einer bestimmten Stellung festgehalten u n d mit einer Feinbewegungsschraube fein eingestellt werden. Die Ableseeinheit ist oftmals etwas größer als die des Horizontalkreises. Ältere Instrumente sind meistens mit Kreisen ausgestattet, die linksläufig in 360° oder zweimal 180° geteilt sind u n d Höhenwinkel angeben. Bei den neueren Instrumenten sind die Kreise durchweg rechtsläufig von 0 bis 400 9 geteilt u n d so beziffert, daß Zenitdistanzen abgelesen werden (Bild 2 und 3). 12.2 D i e A b l e s e e i n r i c h t u n g besteht aus einem oder zwei Höhenzeigern, die in Kippachsenhöhe vor dem Höhenkreis angebracht sind. In die richtige Ausgangsstellung bringt man sie entweder mit einer Röhrenlibelle, die vor der Ablesung zum Einspielen gebracht wird, oder es ist ein Kompensator [Band I 63] eingebaut, der die Ableseeinrichtung automatisch in die Nullage bringt. Beide Einrichtungen sollen so justiert sein, daß man bei horizontaler Visur den Höhenwinkel 0 g bzw. die Zenitdistanz 100 3 erhält. Abgelesen wird wie an den Horizontalkreisen mit Nonien oder Mikroskopen. Bei den neueren Mikroskoptheodoliten erscheinen Horizontalwinkel u n d Zenitdistanzen gewöhnlich in einem neben dem Theodolitfernrohr angebrachten Ableseokular; vgl. hierzu Band I I 13 u n d 14 sowie die Bilder 19, 21 u n d 26. Die Instrumente, bei denen die Ableseeinrichtung mit einer Röhrenlibelle eingestellt wird, unterteilt man, wie in den

12 Die Einrichtungen des Theodolits

9

schematischen Bildern 2 und 3 gezeigt wird, in Instrumente mit „Libelle am Fernrohrträger" und „Libelle am Höhenzeiger". Bautheodolite und ältere Instrumente besitzen gewöhnlich Fernrohrträgeroder Bocklibellen. Diese sind — von .Justiermöglichkeiten abgesehen — unbeweglich am Fernrohrträger befestigt; sie können nur mit Hilfe der Fußschrauben des Instrumentes zum Einspielen gebracht werden. Die Ingenieur- und Feinmeßtheodolite [Band I I 13.2 und 14.3], deren Ableseeinrichtung mit Libellen eingestellt wird, sind überwiegend mit HöJienzeigerlibellen ausgestattet. Bei ihnen befinden Höhenzeiger und Röhrenlibelle sich auf einem unmittelbar vor dem Höhenkreis auf der Kippachse gelagerten Arm, der mit Hilfe einer eigenen Feinbewegungsschraube in beschränktem Umfang um die Kippachse gedreht werden kann. Die Höhenzeigerlibelle (nicht Höhenfcraslibelle) läßt sich daher, ohne daß die Stellung der Vertikalachse verändert wird, allein mit der genannten Feinbewegungsschraube zum Einspielen bringen. Bei den „optischen Theodoliten" wird die Stelle des Höhenzeigers durch das Prisma eingenommen, das die Ablesung in das Ableseokular spiegelt. Für die Messung ist die Höhenzeigerlibelle weitaus bequemer als die Bocklibelle.

10

1 Trigonometrische Höhenmessung

Noch bequemer sind die in jüngster Zeit zunehmend in Aufnahme kommenden, mit Kompensatoren ausgestatteten Theodolite mit automatischen Höhenzeigern, bei denen das Einstellen einer Höhenzeigerlibelle sich ganz erübrigt. Bei diesen stellt der Höhenzeiger sich, wenn das Instrument mit Hilfe der Fußschrauben genähert horizontiert ist, unter

Index

Bild 4. Automatische Einstellung des Höhenzeigers bei Askania (schematisch).

dem Einfluß der Schwerkraft automatisch in die richtige Ausgangslage ein. Um das zu erreichen, leiten die Firmen Askania und Jenoptik das zum Ableseokular führende Strahlenbündel über optische Bauelemente, welche zur Kompensation einer etwaigen Neigung der Stehachse durch ein freischwebendes Pendel gesteuert werden (Bild 4). Beim Wild T I A wird das Strahlenbündel durch einen Flüssigkeitskeil mit entsprechender Brechkraft gelenkt. Der Th3 von Zeiss Oberkochen — eine Art Übergangskonstruktion — besitzt

13 Das Messen von Vertikalwinkeln

11

eine durch ein Hebelsystem mit dem Vertikalkreismikrometer verbundene und sehr gut temperaturkompensierte Höhenzeigerlibelle. Ein Ende dieser Libelle wird in das Gesichtsfeld des Ablesemikroskops gespiegelt und dort, ohne daß die Libelle scharf eingestellt zu werden braucht, als Ableseindex benutzt; vgl. Band I I Bild 23. Die automatische Einstellung des Höhenzeigers bringt die Fehler, die früher oft dadurch entstanden, daß das Einstellen der Höhenzeigerlibelle von Hand vergessen wurde, in Fortfall. Unbefriedigend ist z. Z. noch, daß die Instrumente, damit die Kompensatoren fehlerfrei arbeiten, sorgfältiger horizontiert werden müssen als die Theodolite mit Höhenzeigerlibelle. Einige Kompensatoren geraten ferner bereits bei mäßigem Wind in Schwingungen, die die Ablesung erschweren und bei starkem Wind fast unmöglich machen können.

Bild 5. Fernrohrlibelle.

Manchmal ist an den Theodolitfernrohren eine als Wendellibelle geschliffene Nivellierlibelle angebracht. Auch mit dieser Libelle können Vertikalwinkel gemessen werden, indem man mit ihrer Hilfe das Fernrohr horizontal stellt, am Höhenkreis die entsprechende Ablesung macht und diese von der bei der Visur zum Ziel erhaltenen Ablesung abzieht. 13 Das Messen von Vertikalwinkeln

13.1 D i e A n o r d n u n g d e r M e s s u n g . Fortan wird — wenn nicht anderes ausdrücklich gesagt ist — unterstellt, daß der Theodolit eine Höhenzeigerlibelle oder einen Kompensator besitzt; der Höhenkreis soll in 400" eingeteilt sein und Zenitdistanzen liefern. Diejenige Fernrohrlage, bei der der Höhenkreis vom Beobachter aus gesehen links liegt, wird kurz mit „Kreis links" oder mit Lage I bezeichnet. Die andere Lage heißt „Kreis rechts" oder Lage II. Sind zwei Zeiger

12

1 Trigonometrische Höhenmessung

vorhanden, so heißen die Zeiger A und B, wobei Zeiger A in Fernrohrlage I dem Beobachter am nächsten liegt. Höhenwinkel sind aus den Zenitdistanzen rechnerisch abzuleiten. Wie bei der Horizontalwinkelmessung wird zum Eliminieren von Instrumentalfehlern in beiden Fernrohrlagen beobachtet. Während aber bei der Horizontalwinkelmessung der Kreis feststeht und die Zeiger sich bewegen, ist es bei der Vertikalwinkelmessung umgekehrt. Ferner sind zur Bestimmung eines Horizontalwinkels zwei Richtungen einzustellen; der Vertikalwinkel dagegen wird — abgesehen von dem in 12.2 am Schluß genannten Sonderfall — durch Einstellen einer Richtung erhalten. 13.2 B e r e c h n e n von Z e n i t d i s t a n z e n u n d I n d e x a b w e i c h u n g . Die Ablesungen am Höhenkreis sind bei Instrumenten mit Höhenzeigerlibellen durch zwei Mängel der Ablesevorrichtung verfälscht: Die Projektion der Zielachse des Fernrohrs in die Ebene des Höhenkreises ist gegen die Verbindungsgerade der Teilstriche 1009 und 300 ? um den kleinen Winkel £ t geneigt; ferner bildet die Achse der HöhenZenit

Bild 6. Indexabweichung.

zeigerlibelle bzw. die Normale zur Lotrichtung mit der Verbindungsgeraden der beiden Zeiger (bzw. falls nur ein Zeiger vorhanden ist, mit dem Höhenkreishalbmesser durch den Zeiger) den Winkel £a. Die Summe £ = £x + £2 wird als Indexabweichung bezeichnet.

13 Das Messen von Vertikalwinkeln

13

Wie man dem Bild 6 entnimmt, wird auch von einer Normalen zur Zielachse und dem Halbmesser durch den Teilstrich „0" gebildet, und £2 tritt bei einspielender Libelle bzw. bei freischwingendem Kompensator auch als Winkel zwischen der Zeigerverbindungslinie und der Horizontalen auf. Denkt man sich die Zielachse in die Richtung zum Zenit, d. h. in die der Lotrichtung entgegengesetzten Richtung gebracht, so wird infolgedessen nicht 0, sondern f abgelesen. Demgemäß hat man beim Anzielen eines beliebigen Punktes P, wenn Ai die Ablesung in der I. Lage ist und f sein Vorzeichen im Sinne einer Verbesserung erhält, die in Bild 7 angedeuteten Verhältnisse. Zum Messen in der II. Fernrohrlage wird der Oberbau des Theodolits um die Vertikalachse um 200? gedreht. Bei Visur zum Zenit kommt dann, wie in Bild 8 dargestellt ist, der


02l

Die gleichen Punkte wurden ein zweites Mal auf dem Rückweg beobachtet. Die Ergebnisse unterschieden sich im Durchschnitt um 0,2 m. 29 Genauigkeit der barometrischen Höhenmessung Die in der barometrischen Höhenformel 27 (6) h = K ( l +

aQOgBi-lgB,)

auftretenden Größen Bv B2 und t sind mit Messungsfehlern behaftet. Um deren Einfluß auf den gesuchten Höhenunterschied h zu ermitteln, differenziert man die obige Gleichung und erhält, wenn die Vorzeichen außer acht gelassen werden, 8fc

8B 2 mit

8h

Mod K

8B 1

Ih

8h

Mod K

8B; 8h_

Ti

~B7~

(1-

, „

,

d B2 +

oct)

(1 + oct) =

8019 Bi

8019 B,

8h 8t

di

(1)

i i - - 0,0037 t),

(2)

a - - 0,0037 t),

(3:

•• K (lg Bx — lg B2) a = 0,0037 h.

(4)

52

2 Barometrische Höhenmessung

Der Übergang auf kleine endliche Größen gibt ¿* = § & B

l

+ § ± A B

t

+ % . * t = At+At+At.

(5)

Nach 27.22 bewirkt ein um 0,1 Torr fehlerhafter Druck einen Höhenfehler A b von rund 1,2 m. Die Lufttemperatur läßt sich im freien Felde auf höchtens ± 1 ° erfassen, so daß At = 0,0037 h x 0,4% von h ist. Im einzelnen ist für h =

10

At = 0,04

20

50

100

200

500

1000 m

0,07

0,18

0,37

0,74

1,85

3,7 m

Zum Abschätzen des Gesamtfehlers gibt das Fehlerfortpflanzungsgesetz [Band 114.4] mh = ±

+

+ mf •

(6)

Setzt man m t = ± 1 ° und wählt für m b ± 0,1. ± 0,05 und ± 0,02 Torr, so nimmt m h folgende Werte an: m

b

± 0,10 Torr ± 0,05 ± 0,02

„ „

10

20

50

100

200

500

1000 m

1,7 0,8 0,3

1,7 0,8 0,3

1,7 0,9 0,4

1,7 0,9 0,5

1,9 1,1 0,8

2,5 2,0 1,9

4,1 m 3,8 „ 3,7 „

Bei Messungen mit einem einfachen Federbarometer ( ± 0 , 1 Torr) kann demnach bei Höhenunterschieden bis zu 200 m ein mittlerer Fehler von ± 1 bis 2 m erwartet werden. Dieser Wert steht mit dem Ergebnis zahlreicher praktischer Messungen in Einklang. Für Messungen mit einem hochgezüchteten Federbarometer nach Art der Thommen- oder Paulinbarometer ( ± 0 , 0 5 Torr) und mit einem Askania-Mikrobarometer ( ± 0,02 Torr) errechnen sich die in der 2. und 3. Zeile eingetragenen Werte. Der Einsatz von Präzisionsbarometern ist also nur bei kleinen Höhenunterschieden sinnvoll. Aber auch bei kleinen Höhenunterschieden können die von den Höhenänderungen herrührenden Änderungen des Luftdrucks durch lokale Luftdruckschwankungen, die durch Wärmeeinstrahlung, Bodenfeuchtigkeit, Stauwind usw. verursacht sind, weitgehend

31 Die Verfahren der optischen Distanzmessung

53

überlagert werden. Für Feinaufnahmen wähle man daher Aufnahmezeiten mit ruhiger Luft, ausgeglichenen meteorologischen Verhältnissen und bedecktem Himmel. Wenn man dann sein Feinbarometer auch vor kleinen Erschütterungen sorgfältig bewahrt, so darf man bestenfalls als mittleren Fehler einer Einzelhöhe ± 3 bis 4 dm erwarten*).

3 Tachymetrische Instrumente 31 Die Verfahren der optischen Distanzmessung Unter einem Tachymeter versteht man ein Instrument, das es erlaubt, neben der Richtung und dem Höhenwinkel von einem zum anderen P u n k t auch die Entfernung zwischen beiden mit optischen Mitteln zu messen. Die Grundlage der optischen Streckenmessung ist das bereits in Band II 22 eingehend diskutierte paral-

Bild 32.

laktische Dreieck, in dem aus der kleinen Grundlinie i und dem parallaktischen Winkel y die Höhe des Dreiecks abgeleitet wird. Damit nur e i n Stück gemessen zu werden braucht, wird entweder die Grundlinie oder der parallaktische Winkel konstant gemacht. Dabei wird die Grundlinie je nach dem Zweck der Messung entweder an den Standpunkt des Instruments oder an das Ende der gesuchten Strecke verlegt. Man unterteilt die Distanzmesser weiter in einfache Tachymeter, die bei geneigter Sicht die schräge E n t fernung geben, und in Reduktionstachymeter, die die auf den Horizont reduzierte Entfernung und den Höhenunterschied liefern. Wenn man dann noch die optischen Mittel betrachtet, mit denen der parallaktische Winkel erzeugt wird, wie feste und bewegliche Fäden, Anschläge, Kurven und Keile, so erhält man folgende Konstruktionsmöglichkeiten : a) Konstante Basis im Beobachterstand ohne besondere Zielmarkierung. b) Veränderliche Basis im Beobachterstand mit Zielmarkierung durch einen senkrechten Stab. *) Desmond O'Connor, The use of sensitive pressure devices in Surveying. Empire Survey Review 1957 S. 6, 50,114,160 und 1958 S. 194.

54

3 Tachymetrische Instrumente

c) Konstante Basis im Ziel, d. h. am Ziel steht eine mit 2 Marken versehene Basislatte. d) Veränderliche Basis im Ziel, d. h. am Ziel steht eine dezimal unterteilte Distanzlatte; als Beobachtungsinstrumente dienen: a) Tachymeter mit Reichenbachschem Distanzmesser, ß) Reduktionstachymeter mit Schiebevorrichtung, Tangentenskala, Diagramm oder beweglichen Fäden in der Fadenkreuzebene, y) Keildistanzmesser mit einfachen Vorsatzkeilen, ö) Keildistanzmesser mit Reduktionsvorrichtung. Die Konstruktionen unter a) und b) eignen sich lediglich für Messungen mit mäßigen Genauigkeitsansprüchen; sie brauchen daher am Ende dieses Abschnittes nur kurz besprochen zu werden [37]. Der Fall c) sowie unter d) die Fälle y) und 5), welche vor allem für die Polygonierung Bedeutung haben, sind bereits in Band I I 22 eingehend beschrieben worden. Im Schwerpunkt der nachstehenden Darstellung stehen daher die vornehmlich f ü r die Aufnahme der Geländeformen bestimmten Instrumente unter d) a) und ß), bei denen mit Hilfe des Instruments eine am Ziel aufgestellte Distanzlatte abgelesen wird. 32 Der Reichenbachsche Fadendistanzmesser N a c h einem v o n dem Münchener Mechaniker v o n Reichenbach angegebenen Prinzip erhält man einen optischen Distanzmesser, wenn man das Fadenkreuz eines Meßfernrohrs

mit zwei Distanzfäden ausstattet, die im A b s t a n d p / 2 parallel zum horizontalen Mittelfaden verlaufen. Okulare mit Distanzfäden werden sowohl in die einfachen älteren Fernrohre mit Okularauszug wie in die neueren Fernrohre mit Zwischenliase eingebaut [Band I 52.3].

32 Der Reichenbachsche Fadendistanzmesser

55

32.1 D i s t a n z f ä d e n i m F e r n r o h r m i t O k u l a r a u s z u g . I n diesem Falle sind die geometrisch optischen Verhältnisse besonders einfach. E s sei zum Messen einer horizontalen Strecke AB = E in A ein I n s t r u m e n t mit Distanzfäden aufgestellt, u n d es werde in B eine in cm unterteilte Distanzlatte (Nivellierlatte) vertikal aufgehalten. N a c h d e m der Okularauszug so eingestellt ist, daß in der Fadenkreuzebene ein scharfes Bild der L a t t e erscheint, betrachte m a n

Objektivlinse fallenden Strahlen. Diese kreuzen einander i m vorderen B r e n n p u n k t des Objektivs u n t e r dem Winkel y, t r e f f e n auf die L a t t e u n d schneiden aus ihr den L a t t e n a b schnitt l heraus. D a n n besteht, w e n n u n t e r d die horizontale E n t f e r n u n g von der Vertikalachse des I n s t r u m e n t s bis zur Objektivlinse u n d u n t e r / die Objektivbrennweite verstanden wird, die Beziehung E-(d

+ f) = ~f~l,

oder mit d 4- / = c und — = k E = c+kl.

p

(1) (2)

c heißt die kleine oder Additionskonstante; sie liegt zwischen 0 u n d 0,5 m. Die große oder Multiplikationskonstante k sucht der Mechaniker, indem er p zu 0,01/ n i m m t , gleich 100 zu machen. D a ihm dies meistens nicht ganz gelingt, b e n u t z t m a n zur Berechnung von E zweckmäßig nicht die Gleichung (2), sondern bringt (2) auf die F o r m

56

3 Tachymetrische Instrumente E = c + (100 + dfc) l = (c + dkl) + 100?

(3)

oder E = AE + 100Z. (4) Damit hat k den festen Wert 100, während A E ein von der Entfernung abhängiger Zuschlag ist, der für jedes Instrument und jede Entfernung besonders bestimmt und tabuliert werden muß. Vgl. 32.3. Für k = 100 errechnet der parallaktische Winkel y sich aus / : p/2 = 1/2 cot yf2 zu 34' 23" oder 63,66 c . Der Scheitelpunkt des parallaktischen Winkels, der bei einfachen Fernrohren im vorderen Brennpunkt der Objektivlinse liegt, heißt der anallaktische Punkt des Fernrohrs. 32.2 D i s t a n z f ä d e n i m F e r n r o h r m i t Z w i s c h e n l i n s e . Bei diesen Fernrohren besteht das wirksame Objektiv aus der eigentlichen Objektivlinse und der Zwischenlinse. Durch Bewegen der Zwischenlinse ändert sich die äquivalente Brennweite des Systems und mit ihr die Multiplikationskonstante k. Gleichzeitig wird der Brennpunkt des Systems und damit der anallaktische Punkt ein wenig verlegt, so daß c u n d k Funktionen der Entfernung sind. Die Entfernungsberechnung kann jedoch ebenfalls auf (4) gegründet werden; es ist lediglich zu beachten, daß auf der rechten Seite von AE = c + dkl alle drei Stücke veränderlich sind. Durch die Wahl passender Krümmungshalbmesser lassen sich aber nicht nur die Änderungen in c und k klein halten, sondern es glückt auch, k sehr nahe gleich 100 und c fast zu Null zu machen, so daß A E bei gröberen Arbeiten vernachlässigt werden kann. 32.3 D a s B e s t i m m e n d e r h o r i z o n t a l e n E n t f e r n u n g . Die Entfernungsbestimmung nach Gl. (2) kommt nur für Instrumente mit Okularauszug in Frage, bei denen die Additionskonstante c = d + / durch Messung am Instrument selbst gefunden werden kann. Nach Bild 34 mißt man dazu zunächst die Entfernung d am Instrument und bestimmt, nachdem man den Okularauszug auf oo eingestellt hat, die Entfernung / des Objektivs von seiner durch die Halteschrauben des Fadenkreuzes kenntlichen hinteren

32 Der Reichenbachsche Fadendistanzmesser

57

Brennebene. Im Anschluß daran kann dann Je für sich allein durch Vergleichung optisch beobachteter und mit Latten gemessener Strecken ermittelt werden. Im Hinblick auf die beschränkte Bedeutung dieses Verfahrens wird nachstehend jedoch allein die Entfernungsbestimmung nach der Gleichung (4) auf einem einfacheren und einem genaueren Weg behandelt. Erstes Verjähren: Man verpflocke eine horizontale Vergleichsstrecke beginnend in rd. 10 m Abstand vom Instrument etwa alle 20 m bis zu der Höchstgrenze, auf der das Instrument eingesetzt werden soll, und messe mit abgeglichenen Latten die genaue Entfernung E, der verpflockten Punkte von der Vertikalachse des Instruments. Dieselben Strecken beobachte man mit dem Meßfernrohr, indem man bei nahezu horizontaler Mittelsicht den Abstand l der Distanzfäden an der auf den Zielpunkten sorgfältig lotrecht zu haltenden Distanzlatte mehrere Male mit ein wenig veränderter Fernrohrneigung bestimmt und mittelt. Dann bildet man mit den gemittelten L; für jede der gemessenen Entfernungen Ei die vorläufigen Werte (AEi) = Ei—100 ij. Schließlich trägt man auf der horizontalen Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems die 100 Ii und senkrecht darüber die (A E() auf und zieht nach Augenmaß eine ausgleichende Gerade (Bild 35). Von dieser Geraden greift man die ausgeglichenen Werte der A E folgendermaßen ab: 100 l AE

20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 \ 120m -f-0,081 0,12

0,17 | 0,21 10,26 | 0,30| 0,3410,3810,42 ¡0,51 m

3 Tachymetrische Instrumente

58

Aus Bild 35 können auch c und di; entnommen werden; denn c ist der Abschnitt auf der AE-Achse und die Steigungsmaß der Geraden. Man findet c = O und dk = + 0,51: 120 = + 0,0042. und damit gem. (3) k = 100,004. Zweites Verjähren: Um bei sehr guten Instrumenten noch schärfere Werte für die Lattenabschnitte zu erhalten, gehe man folgendermaßen vor: Die Punktmarken auf der Vergleichsstrecke werden genau in die Entfernungen 10 m, 20 m, 40 m, 60 m . . . usw. vom Instrument gesetzt. Die Latte läßt man aber nicht auf diesen Marken, sondern auf 6 bis 10 Hilfspunkten aufhalten, die symmetrisch zu den abgesetzten Punktmarken nur wenige Dezimeter voneinander entfernt liegen. Man berechnet dann für jeden Lattenabschnitt die Differenz zwischen der mit Meßlatten festgelegten Entfernung und dem mit 100 multiplizierten Lattenabschnitt und erhält als Mittel aller Einzeldifferenzen das A E¡ für die bestimmten Punktmarken. Z a h l e n b e i s p i e l : Zur Ermittlung der AE-Werte für den Tachymetertheodolit Fennel FTS Nr. 83436 erhielt man in der Punktgruppe 20 m E

19,53

19,68

19,80

20,20

20,32

20,47 m

1001

19,40

19,60

19,70

20,10

20,20

20,40 m

+ 0,13

+ 0,08

+ 0,10

+ 0,10

+ 0,12

+ 0,07 m

AE

und als Mittel (AE\0 — 0,10 m ± 1,2 cm. Ebenso wurden die gemittelten (A E) für die übrigen Punktgruppen bestimmt. Man fand 100 Í (AE) m

AE

10,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0 m

+ 0,06 + 0,10 + 0,16 + 0,22 + 0,30 + 0,42 + 0,53 m ± 3 , 1 ± 4 , 1 ±4,9 ±6,4cm ±1,0 ±1,2 ±2,2

Diese (A E) sind für Bild 35 benutzt worden. Die mittleren Fehler der (AE) sollen 0,05—0,10% von E nicht überschreiten. 32.4 R e d u k t i o n s f o r m e l n f ü r s c h r ä g e S i c h t e n . Wenn mit einem Fadendistanzmesser, dessen Zielachse mit der Horizontalen den Winkel a bildet, eine vertikalstehende Latte anvisiert wird, so steht der Lattenabschnitt l nicht senkrecht auf der Zielachse, sondern bildet mit ihr den Winkel 100» + ol bzw. 100» — oc (Bild 36).

32 Der Reichenbachsche Fadendistanzmesser

59

Zur Ermittlung der schrägen Strecke E' braucht man den zwischen den Schenkeln des parallaktischen Winkels liegenden Abschnitt V einer senkrecht zur Zielachse zu denkenden Latte. Mit einer Vernachlässigung, die bei a = 30" und l = 100 cm weniger als 0,02 mm ausmacht, ist V = l cos a, (6) und demnach ist gem. (2) die schräge Strecke A'M E' = c+ kl cos a. (7) Die Horizontalprojektion A'B' dieser Strecke ist E = c cos a + kl cos2 a (8)

und der Höhenunterschied B'M zwischen der Horizontalen durch die Kippachse und dem Punkt M, in dem der Mittelfaden der Latte abgebildet wird, h = E' sin a = e sin a + kl sin a cos a. (9) Um noch einfachere Rechenformeln zu gewinnen, setzt man in (8) c cos « « c cos2 a und in (9) c sin a » c sin a cos «; dann klammert man im Hinblick auf (4) in beiden Gleichungen ( c + kl) = (AE+ mi) = S (10) aus und erhält mit der Siammzdhl S die Gebrauchsformeln E = S cos2 a , S sin 2 a. h = £ sin a cos a =

60

3 Tachymetrische Instrumente

Die Näherungen für c cos x und c sin a verursachen bei c = 0,30 m und a = 30" O.f - - tu auf 100 m in E einen Fehler von 29 mm tu--tu und in h von 15 mm, was bei der gewöhnlichen Tachymetrie vernachlässigt OS--OS werden kann. Die Fehler entfallen ganz, tO '- (O wenn wie bei den meisten neueren Tachymetern die Additionskonstante nahezu Null ist. Zur Berechnung von E und h nach (11) gibt es zahlreiche Hilfsmittel. Das einfachste Hilfsmittel sind StrahlendiaSO.O -4- 50.0 gramme. Die Leiterskala Bild 37 ist nach einem Entwurf von P. Werkmeister geh-S isinia zeichnet. Sehr zweckmäßig sind tachySHtfi S •30'n.a-B' h'i.Jm. metrische Rechenschieber, z. B. der Tachymeterschieber von Nestler und Bild 37. der Aristo-Geodät von Dennert und Pape. Schließlich stehen zahlreiche Zahlentafeln zur Verfügung*).

s

fmj

h [ml

z

32.5 D i e G e n a u i g k e i t

der

Fadendistanzmessung

32.51 Bei der Entfernungsbestimmung mit einem Fadendistanzmesser sind die wichtigsten Fehlerquellen ungenaue Werte von c bzw. A E und k, ungenaue Ablesungen an der L a t t e und am Höhenkreis, Refraktionseinflüsse und Mängel beim Senkrechthalten der Ziellatte. Um die letztgenannten Mängel vorweg zu behandeln, wird angenommen, es sei die L a t t e gegen die Vertikale um den Winkel 6 geneigt; dann müßte l in (6) nicht mit cos a, sondern mit cos (a-(- (5) reduziert werden. Es ist aber l cos ( a +

ö) = l (cos a cos = — di = k di r oder q> = fkdl.

58 Bogenabsteckung nach dem Nalenzverfahren

129

Das Winkelbild ist also gleichzeitig die Integralkurve des Krümmungsbildes [57.1], Im besonderen ist das Winkelbild einer (beliebig gerichteten) Geraden eine Parallele zur Abszissenachse, das eines Polygonzuges eine Treppenkurve, das eines Kreises eine der Krümmung des Kreises entsprechend mehr oder weniger geneigte Gerade und das einer kubischen Parabel eine quadratische Parabel. 58.2 D a s N a l e n z v e r f a h r e n * ) besteht in der praktischen Auswertung der Gleichungen (1) und (2) mit Hilfe des Winkelbildes. Es gliedert sich in das Bestimmen der Krümmung der Standlinie, das Zeichnen des Winkelbildes der Standlinie sowie des Entwurfs (d. h. der in Aussicht genommenen Sollage des Bogens) und endlich die Berechnung der Verschiebungsmaße durch graphische Integration über die Ordinatendifferenzen des Winkelbildes im Summenbild. Im einzelnen sehen diese Schritte, wenn z. B. ein Kreisbogen mit zwei Übergangsbögen gem. Bild 91 abgesteckt werden soll, folgendermaßen aus: a) Zum Bestimmen der Krümmung unterteilt man die als Standlinie gewählte Schiene in gleich lange Abschnitte AI von 10 oder 20 m (Bild 100). Dann fluchtet man die Sehne s zwischen je zwei durch einen Zwischenpunkt getrennten Bogenpunkten mit Hilfe eines gespannten Drahtes oder eines Visiergerätes durch und mißt am Zwischenpunkt die Pfeilhöhe h. Zwischen der Pfeilhöhe und der Krümmung h bzw. dem Krümmungshalbmesser r besteht nach 55 (3) die Beziehung * = ^T =S

2

0)

Bild 100.

•) Näheres siehe Volquardts, Feldmessen II (1963) S. 77ff. G r o f i m a n n , Vermessungskunde III

130

5 Absteckungen

b) Das Winkelbild der Standlinie (Bild 101 oben). Grundlage für die Berechnung der Abszissen sind die Bogenlängen li = Al1+Al2+...Ali=±Ali.

(4)

i Zur Berechnung der Ordinaten gibt Bild 100 cPi = A q>1 + A q>z + . . . A (pi =i l Für die A cp aber gilt wegen (3) und s x 2AI

A