Topologia Algebraia Un enfoque homotopico [1 ed.] 9701019040, 9076543218

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TOPOLOGÍA ALGEBRAICA Un enfoque homotópico Marcelo Aguilar Samuel Gitler Carlos Prieto

TOPOLOGÍA ALGEBRAICA

TOPOLOGÍA ALGEBRAICA Un enfoque homotópico MARCELO ALBERTO AGUILAR Instituto de Matemáticas, UNAM

SAMUEL GITLER Department of Mathematics, University of Rochester Departamento de Matemáticas, CINVESTAV Miembro de El Colegio Nacional

CARLOS PRIETO Instituto de Matemáticas, UNAM

McGRAW-HILL MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID• NUEVA YORK SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO ΛUCKLΛND • LONDRES • MILAN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Gerente de producto: Jorge Alberto Ruiz González Supervisor editorial: Eduardo Mendoza Tello Supervisor de producción: Margarita Flores Rosas Supervisor de diseño de portadas: Dolores Parrales TOPOLOGÍA ALGEBRAICA Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1998, respecto a la primera edición por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V. Una División de The McGraw-Hill Companies, Inc. Cedro No. 512, Col. Atlampa Deleg. Cuauhtémoc C.P. 06450, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 970-10-1904-0 1234567890

L.I.-98

Impreso en México Esta obra se terminó de imprimir en Enero de 1998 en Litográfica Ingramex Centeno Núm. 162-1 Col. Granjas Esmeralda Delegación Iztapalapa C.P. 09810 México, D.F. Se tiraron 1 000 ejemplares

9076543218 Printed in México

PRÓLOGO

La primera parte del material de topología algebraica que trata este libro puede ser utilizado en un curso semestral de introducción al tema y los capítulos finales pueden ser usados para cursos avanzados. Consideramos que el enfoque a través de la teoría de homotopía, alternativo al más clásico que utiliza el álgebra homológica, permite cubrir un temario más amplio en el mismo tiempo. De los lectores esperamos un conocimiento básico de la topología general y del álgebra. En cualquier caso, el libro está dirigido a alumnos ya graduados y a investigadores que para su trabajo necesiten hacer uso de conceptos fundamentales de la topología algebraica.

No obstante,

alumnos avanzados de una licenciatura con formación sólida en los requisitos mencionados pueden también trabajar sobre el texto. Esta obra es una coedición del Instituto de Matemáticas de la U.N.A.M. y McGraw-Hill Interamericana Editores. Los autores agradecen a los directivos de estas instituciones, el Dr. Luis Montejano, Director de la primera y el Ing. Rafael Sáinz, Vicepresidente de la segunda, su

PRÓLOGO

interés y valioso apoyo para la aparición de este texto. Las facilidades prestadas por el Instituto de Matemáticas de la U.N.A.M. para la escritura y tipografía del libro son invaluables. En particular, agradecemos el apoyo técnico de Verónica del Pilar Esteve, Gabriela Sanginés, Leonardo Espinosa y Alberto Avendaño en distintas etapas de la elaboración y en los gráficos. Fueron muy atinados y útiles los comentarios del Prof. Albrecht Dold, a quien agradecemos por su cuidadosa lectura. Así mismo, las observaciones de todos los alumnos que conocieron las distintas etapas de las notas que conformaron el libro fueron importantes para lograr explicaciones más comprensibles y corregir fallas; muy en particular agradecemos a Eduardo Arellano y a Raúl A. Pérez haber leído sistemática y críticamente el manuscrito. En todo caso, habremos de asumir toda la responsabilidad por errores que se hubieren colado a través de este fino tamiz. México, D.F., invierno de 1997-1998

Marcelo Aguilar

Samuel Gitler

Carlos Prieto

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS 1 ESPACIOS DE FUNCIONES

VII XIII 1

1.1

Topologías admisibles

1

1.2

Topología compacto-abierta

3

1.3

La ley exponencial

5

2 CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

13

2.1

Conectabilidad por trayectorias

13

2.2

Clases de homotopía

16

2.3

Grupos topológicos

18

ii

CONTENIDO

2.4 2.5

H-Espacios Espacios de lazos

2.6 2.7

22 26

H-Coespacios Suspensiones

3 GRUPOS DE HOMOTOPÍA

28 34

41

3.1

Espacios de adjunción; cilindros y conos

41

3.2

Sucesiones de homotopía-I

47

3.3

Grupos de homotopía

54

3.4

Sucesiones de homotopía-II

58

4 PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

65

4.1

Cofibraciones

65

4.2

Algunos resultados sobre las cofibraciones

75

4.3

Fibraciones

82

4.4

Fibraciones localmente triviales

102

CONTENIDO

iii

5 COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOT Ó P I C A S Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS 1 1 7 5.1

Complejos CW

118

5.2

Potencias simétricas infinitas

132

5.3

Espacios de Moore y de Eilenberg-Mac

5.4

Propiedades homotópicas de los espacios de Moore . . . .

5.5

Propiedades homotópicas de los espacios de Eilenberg-Mac

Lane

Lane

143 151

174

6 GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA 181 6.1 Grupos de cohomología

182

6.2

Estructura multiplicativa en cohomología

198

6.3

Grupos de homología

207

6.4

Homología y cohomología celular

222

6.5

Sucesiones exactas de homología y cohomología

233

7 HACES VECTORIALES 7.1

Haces vectoriales

243 243

iv

CONTENIDO

7.2

Proyecciones y haces vectoriales

254

7.3

Variedades de Grassmann y haces universales

260

7.4

Clasificación de haces vectoriales de tipo

7.5

Clasificación de haces vectoriales sobre espacios paracompactos

8 TEORÍA K

finito

267

274

285

8.1

Construcción de Grothendieck

286

8.2

Definición de K{B)

289

8.3

K(B) y equivalencia estable de haces vectoriales

294

8.4

Representación de K(B) y K(B)

300

8.5

Periodicidad de Bott y aplicaciones

306

9 OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

311

9.1

Definición de las operaciones de Adams

311

9.2

El Principio de descomposición

318

9.3

Álgebras normadas

321

CONTENIDO

9.4

Algebras de división

9.5

Estructuras multiplicativas en Rn y en

9.6

El invariante de Hopf

V

325 Sn-1

326 331

10 RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

343

10.1 Contraibilidad de S°°

344

10.2 Descripción de K(Z/2,1)

347

10.3 Clasificación de haces rectilíneos reales

352

10.4 Descripción de K(Z, 2)

357

10.5 Clasificación de haces rectilíneos complejos

363

10.6 Clases características

365

10.7 Isomorfismo de Thom y sucesión de Gysin

371

10.8 Construcción de las clases características y aplicaciones

397

vi

CONTENIDO

A DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

421

A.l Criterios para casifibraciones

421

A.2 Productos simétricos

437

A.3 Demostración del teorema de Dold-Thom

444

B DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

449

B.l Una descripción conveniente de Z x BU

449

B.2 Demostración del teorema de periodicidad de Bott . . . .

454

BIBLIOGRAFÍA

473

ÍNDICE

479

SÍMBOLOS

489

INTRODUCCIÓN

Este libro presenta una introducción a la topología algebraica usando métodos homotópicos. Se tratan en él los conceptos básicos de teoría de homotopia y se utilizan para introducir la cohomología y la homología ordinaria y la teoría K. Uno de los objetivos del texto es presentar los resultados de la topología algebraica que conducen a la demostración de uno de los teoremas más importantes de esta rama, el teorema de J. Frank Adams, que resuelve el problema del invariante de Hopf; es decir, a probar, entre otras cosas, que las únicas esferas que admiten una estructura multiplicativa que las convierte en H-espacios son S°, S 1 , S3 y §7 o, equivalentemente, que las únicas álgebras reales con división son los números reales, los complejos, los cuaterniones y los números de Cayley. No obstante, se introducen otros conceptos fundamentales, incluyendo un capítulo dedicado a la construcción de las clases características de haces vectoriales. El libro surgió del primer curso que, como miembro de El Colegio Nacional, de México, el segundo autor impartió. En la forma final, el mavii

viii

INTRODUCCIÓN

terial aquí incluido puede ser presentado en un curso de dos semestres, ya sea hacia el final de la licenciatura o en el posgrado. Para su lectura, se requieren conocimientos básicos de topología de conjuntos y de teoría de grupos. Aunque constantemente se trata con funtores, no se espera que el lector tenga conocimientos de teoría de categorías; más bien, se aprovechan distintas partes del texto para poner énfasis en las propiedades funtoriales de los invariantes que se introducen. En cuanto al diseño del texto, éste se descompone en un capítulo de nociones y notaciones básicas seguido de diez capítulos propiamente dichos, 1.—10., y cada uno de éstos se divide en varias secciones, que se designan con doble numeración (1.1., 1.2., 1.3., 2.1.,...). A su vez, las definiciones, proposiciones, teoremas, notas, fórmulas, ejercicios, etc. se designan con triple numeración (1.1.1, 1.1.2, ...). Los ejercicios forman una parte importante del texto, ya que se busca, en muchos de ellos, llevar de la mano al lector para que él mismo pruebe resultados que tienen importancia por sí mismos o en lo que sigue a continuación. La mayor parte de ellos están numerados, aunque ocasionalmente están identificados dentro del texto por letras cursivas (ejercicio). Por otro lado, algunos teoremas importantes, cuya demostración rebasa el horizonte del texto, como son el teorema de Dold-Thom sobre casifibraciones y potencias simétricas infinitas o el teorema de periodicidad de Bott, no se demuestran en el cuerpo del texto, y su demostración se pospone a sendos apéndices; en

INTRODUCCIÓN

ix

su lugar, se da una explicación que permite entender su significado y dar sus aplicaciones. El capítulo de nociones y notaciones básicas, como su nombre lo indica, presenta las notaciones que se utilizarán en el texto y algunos conceptos que, si bien no son complicados, no son, en general, tema usual en los cursos básicos de álgebra o de topología. El capítulo 1 trata los elementos de topología de espacios de funciones, en particular, la topología compacto-abierta, y se discute la ley exponencial. En el capítulo 2 se introducen conceptos básicos como el de conectabilidad por trayectorias y homotopía de aplicaciones continuas; se define el concepto de grupo topológico, de H-espacio y el concepto dual de H-coespacio y se presentan, como ejemplos de los dos últimos, los espacios de lazos y las suspensiones. Se entra en materia propiamente en el capítulo 3, en el que se estudian los grupos de homotopía; especialmente, las sucesiones exactas largas de grupos de homotopía. En el capítulo 4 se estudian las propiedades de extensión y levantamiento de homotopías; en particular los conceptos de cofibración y fibración. Como preparación para estudiar los grupos de cohomología, en el capítulo 5 se introducen los complejos CW y se analizan sus propiedades homotópicas. También se revisan los conceptos de casifibraciones y po-

INTRODUCCIÓN

tencias simétricas infinitas. En el capítulo 6 se presentan los grupos de cohomología y homología, se define la estructura multiplicativa de los grupos de cohomología y, después de introducir los conceptos de homología y cohomología celular, se calculan algunos grupos específicos. También se construyen sucesiones exactas, como la de Künneth, la de coeficientes universales y las de Mayer-Vietoris. Ya en el capítulo 7 se estudia con detalle el concepto de haz vectorial con miras hacia su clasificación. Para ello se definen las variedades de Grassmann y los haces vectoriales universales sobre ellas y se dan algunos teoremas de clasificación. En el capítulo 8 se introduce la teoría K compleja a partir de los haces vectoriales complejos y se prueban teoremas de clasificación que permiten ver la teoría K de un espacio como el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones del espacio en un espacio clasificante, en el mismo espíritu con el que se definieron anteriormente los grupos de cohomología. Con el objeto de explotar al máximo la teoría K, se presenta el teorema de periodicidad de Bott. En el capítulo 9 se definen las operaciones de Adams en teoría K compleja y se utilizan para estudiar las estructuras de álgebra normada y de álgebra de división en Rn, así como para probar el teorema de Adams sobre las estructuras multiplicativas en las esferas

INTRODUCCIÓN

xi

Finalmente, en el capítulo 10 se estudian las relaciones entre haces vectoriales de rectas y cohomología a partir del hecho de que los espacios que clasifican a los haces de rectas reales (RP°°) y complejos (QP°°) son espacios de Eilenberg-Mac Lane. Se da una demostración simple de la existencia de la clase de Thom de un haz vectorial orientado y del Teorema del isomorfismo de Thom, que será utilizado para definir las clases de Stiefel-Whitney de haces vectoriales reales y las clases de Chern de haces vectoriales complejos. En el apéndice A se presenta la demostración del teorema de DoldThom sobre casifibraciones y potencias simétricas infinitas (con numeración doble A.1., A.2., ... para las secciones y numeración triple A.1.1, A. 1.2, ... para los artículos) y en el apéndice B una demostración topológica del Teorema de Periodicidad de Bott (numerado correspondientemente por B.1., B.2., ... y B.l.l, B.1.2, ...). Tratamos de que el texto tenga un índice alfabético muy completo, por lo que invitamos al lector a que lo use, aun para buscar conceptos simples, así como una lista de símbolos que incluye una considerable parte de las notaciones que se utilizan en el libro.

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

En esta sección presentaremos algunas de las nociones y notaciones bási­ cas que se utilizarán en el texto. Jugarán un papel importante los espacios euclidianos y varios de sus subespacios, así como espacios derivados de los mismos. R representará el conjunto (espacio topológico, espacio vectorial real) de los números reales. R° designará al conjunto singular (de un sólo punto) {0} C R. Frecuentemente se utilizará la notación * para un espa­ cio singular (arbitrario). Rn será la notación para el espacio euclidiano de dimensión n, o n-espacio euclidiano, tal que Rn = {x = ( x 1 , . . . , x n ) I Xi G R,

1 ≤ i ≤ n}.

A través de la igualdad ( ( x 1 , . . . , x m ) , ( y 1 , . . . , y n ) ) = (x 1 ,.. . , x m , y 1 , . . . ,y n ) se identifica el producto cartesiano Rm x Rn con R m + n . Así mismo, se identifica a Rn con el subespacio cerrado Rn x 0 C R n + 1 . A U =o R n = xiii

xiv

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

R∞ se le da la topología de la unión (del colímite; véase más ade­ lante). R∞ consiste, así, de las sucesiones infinitas de números reales (x 1 ,x 2 ,x 3 ,...) casi nulas, es decir, tales que xk = 0 para k suficien­ temente grande. Rn se identifica con el subespacio de las sucesiones ( x 1 , . . . , x n , 0,0,...). La topología de R∞ es tal que un conjunto A C R∞ es cerrado si y sólo si A

Rn es cerrado en Rn para toda n.

Topológicamente identificaremos el conjunto (espacio topológico, es­ pacio vectorial complejo) C de los números complejos con R2 a través de la igualdad x + iy — (x, y), donde i representa el imaginario unitario, es decir i =

En forma análoga al caso real, se tiene el espacio

complejo de dimensión n, Cn = {z = ( z 1 : . . . , zn) | zi Є C, 1 ≤ i ≤ n}, o n- espacio complejo. En Rn definimos para x — ( x 1 . . . , x n ) su norma como |x| — así mismo, en Cn se define la norma como

donde z denota el conjugado complejo x — iy de z = x + iy. Salvo la identificación natural entre Cn y R 2n , es un ejercicio probar que ambas normas coinciden. Para n > 0 utilizaremos en adelante los siguientes subespacios de los

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

XV

espacios euclidianos: Dn = {x Є Rn | |x| ≤ 1}, el disco unitario de dimensión n. Sn-1 = {x Є Rn | |x| = 1}, la esfera unitaria de dimensión n — 1. = {x Є Rn | |x| < 1}, la célula unitaria de dimensión n. In = {x Є Rn | 0 ≤ xi ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n}, el cubo unitario de dimensión n. ∂ I n = {x Є In | xi = 0 o 1 para alguna i}, la frontera de In en R n . I = I1 = [0,1] C R, el intervalo unitario. Abreviadamente, a Dn se le suele llamar n-disco unitario, a Sn-1 (n — l)-esfera unitaria, a

n-célula unitaria, y a In n-cubo unitario.

Vale la pena observar que todos los espacios recién definidos son conexos (de hecho, conectables por trayectorias), salvo S° y ∂I, que son, por cierto, homeomorfos. Los discos, las esferas, los cubos y sus fronteras, también son compactos (no así las células, salvo la 0-célula

= *).

El grupo de dos elementos Z/2 = Z2 = {—1,1} actúa en Sn en forma antípoda, es decir, (—l)x = — x Є S n . Al espacio de órbitas de la acción, que resulta de identificar a cada x Є Sn con su antípoda —x, se le denota por RP n y se le llama espacio proyectivo real de dimensión n. La esfera de dimensión infinita S∞ =

donde la inclusión

xvi

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

S n - 1 C Sn está definida por la inclusión Rn C R n+1 , es un subespacio de La acción de Z2 en Sn induce una acción en S00, cuyo espacio de órbitas se denota por

y se llama espacio proyectivo real de dimensión

infinita. De hecho, la inclusión S n - 1 C Sn induce una inclusión R P n - 1 c RP n y la unión

RPn

coincide topológicamente con

Por otro lado, el grupo del círculo S1 = {ζ Є C \ \\ζ\\ = 1} actúa en S 2 n + 1 C Cn+1 por multiplicación en cada coordenada, a saber, ζ ( z 1 , . . . , Zn+1) = (ζz1 • • • ζ zn+1). Al espacio de órbitas de esta acción, que resulta de identificar z Є S 2 n + 1 con ζz Є S 2n+1 , para toda ζ Є S1, se le denota por CP n y se le designa espacio proyectivo complejo de dimensión n (de hecho, su dimensión real es 2n). La acción de S1 en S 2 n + 1 induce una acción en S∞, cuyo espacio de órbitas se denota por

y se llama espacio

proyectivo complejo de dimensión infinita. En analogía con el caso real, la inclusión S 2 n - 1 C S 2n+1 , definida por la inclusión Cn C C n + 1 , induce una inclusión CPn-1 C CP n y la unión

coincide topológicamente

con CP∞ . Al grupo de matrices invertibles d e n x n con coeficientes reales (com­ plejos) se le denota GLn(M) (GLn(C)) y consiste de las matrices cuyo determinante es no nulo. Al subgrupo On C GLn(R) (Un C GL n (C)) consistente de las matrices ortogonales (unitarias), es decir, tales que apli­ can bases ortonormales en bases ortonormales con respecto al producto escalar canónico de Rn (producto hermitiano canónico de Cn) o, equiva-

xvii

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

lentemente, tales que sus vectores columna forman una base ortonormal, se le llama grupo ortogonal (grupo unitario) de n-matrices. En particular, O1 = Z 2 y U1 = S 1 . A lo largo del texto utilizaremos, entre otros, los siguientes símbolos básicos. El símbolo pológicos,

representará homeomorfismo entre espacios to-

homotopía entre aplicaciones continuas o equivalencia ho-

motópica entre espacios topológicos, y

representará isomorfismo entre

grupos (abelianos o no). El símbolo o designará composición de funciones (aplicaciones, homomorfismos) y se omitirá ocasionalmente, si hacerlo no se presta a confusión. La palabra aplicación designará invariablemente una función continua entre espacios topológicos y se reservará la palabra función para el caso de aplicaciones cuyo codominio es R o C. Si f : G f(g) = l}

H es un homomorfismo de grupos, ker(f) = {g G representará el núcleo de f e im (f) = {f(g) | g Є G}

su imagen. Una

flecha

espacios topológicos, una como y

G | H

representará una inclusión o un encaje de indicará monomorfismo de grupos

representará un epimorfismo y, eventualmente, una aplicación

suprayectiva (cociente) entre espacios topológicos. Una sucesión de homomorfismos de grupos (anillos, módulos, etc.) A

B

se dice que es exacta en B si im (f) = ker(g).

Como hicimos en el caso de los Rn o los Cn para definir

y

,

xviii

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

haremos uso frecuente del concepto general de unión infinita o colímite. En el caso de espacios topológicos, sea X1

X2

X3

una cadena de inclusiones cerradas de espacios topológicos. Definimos su unión

Xi como la unión de los conjuntos Xi y definimos su topología

declarando un subconjunto C

X1

como cerrado si y sólo si su

intersección C Xi es cerrada en Xi para cada i > 1. A esta topología la llamaremos topología de la unión; frecuentemente se le llama también topología débil respecto a los subespacios. Es un ejercicio probar que la unión tiene la propiedad universal siguiente. Si se tiene una familia {fi:x i fi:xi

Y | i > 0} de aplicaciones continuas tales que fi+1|Xi = Y,

f|Xi — f i : x i

entonces existe una única aplicación f:

Y tal que

Y. En un diagrama conmutativo escribimos esto como

Es un ejercicio probar que los espacios =

Xi

=

S " , =

RP",

CP n , definidos arriba tienen la topología de la unión.

En un contexto un poco más general, dada una sucesión de encajes cerrados, es decir, de aplicaciones tales que son homeomorfismos sobre su imagen y ésta es cerrada,

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

xix

su colímite es un espacio topológico designado por colím i X i , provisto de aplicaciones j i . X i donde j k =

colímiXi o ••• o : X

tales que j k °

=

ji

colím i X i ,

X k , k > i, que tiene la siguiente

i

propiedad universal. Si {f i :X i ->• Y | i > 1} es una familia de aplica­ ciones tales que /¿+i o

= fcXi —> Y para toda t > l o , equivalen­

temente, fk o

Y para toda k > i > 1, entonces existe una

= f i :X i

única aplicación f : colími Xi

Y tal que f o ji = fi; en un diagrama

El espacio colími Xi se puede definir tomando el cociente de la suma topológica ajena

bajo la relación X i ciones

( x ) X

i + 1

para toda i.

Las aplica­

ji:Xi colími Xi se definen como la composición de la inclusión

canónica en la unión ajena y la aplicación cociente, a saber, ji:Xi

Xi

colím i X i .

Es un ejercicio probar que, en efecto, esta definición del colímite tiene la propiedad universal. En el libro [14] hay un tratamiento general del tema de colímites para espacios topológicos, a los cuales llama (como muchos otros autores) límites directos (véase más abajo).

xx

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

En el caso algebraico se tiene una situación análoga, a saber, dada una cadena o sistema dirigido de grupos abelianos (anillos, espacios vec­ toriales, etc.) y homomorfismos A

A

i

A

2

3

se define su colímite como Ai = donde A' es el subgrupo de Ai

Ak

Ai generado por las diferencias

Ai, k > i, donde

=

o

•••o

— ai . E n otras

palabras, se identifica cada grupo Ai con su imagen en Ak Para cada i se tienen homomorfismos hi: Ai

colími Ai dados por la composición de

la inclusión canónica en la suma directa y el epimorfismo en el colímite h i :A i

Ai

colími Ai

Se tiene, como en el caso topológico, que hk °

= hi: Ai

colími

Ai.

El colímite algebraico también tiene la siguiente propiedad universal. Si {fi: Ai —>• B | i > 1} es una familia de aplicaciones tales que fi+1 o = f i :A i —> B para toda i > 1 o, equivalentemente, fk o ff.Ai

=

B para toda k > i > 1, entonces existe un único homomorfismo

f: colími Ai

B tal que f o hi = fi; en un diagrama

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

xxi

En forma dual se tiene para un sistema inverso de grupos abelianos y homomorfismos A3

A2

A1

se tiene un homomorfismo Ai

d:

Ai

tal que d(α 1 ,α 2 ,α 3 ,...) = (α 1 -

,α2-

,α3-

, . . . ) . Se

define su límite como el núcleo de d = ker(d) y su límite derivado como = coker(d) =

Ai/

im(d).

De este modo se tiene una sucesión exacta 0

Ai

Ai

A

i

A

i

0.

Dualmente al caso del colímite, para cada i, se tienen homomorfismos hi: lími Ai Ai dados por la composición Ai

Ai

El límite también tiene una propiedad universal dual a la del colímite y es la siguiente.

xxii

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

Si {f i :B o =

Ai

| i > 1} es una familia de aplicaciones tales que

i

: p a r a toda i > 1 o, equivalentemente, para

=f o

o•••o

si

°fk = f i :B

A1 para toda k > i > 1,

entonces existe un único homomorfismo f: B lími Ai tal que hi o f = fi; en un diagrama

Como ya mencionamos arriba, frecuentemente se hace referencia al colímite como límite directo y se le suele denotar por el símbolo lim Así mismo, al límite se le suele llamar límite inverso y se le suele denotar por el símbolo

Para evitar la confusión entre éstos, nosotros prefe­

rimos la designación de colímite y límite, que va más de acuerdo con el carácter categórico dual de ambos conceptos. Un tratamiento sistemático de colímites y de límites puede encontrarse en el libro de Mac Lane [25], que es, así mismo una excelente referencia general para los conceptos categóricos (funtores, transformaciones naturales, etc.) a los que se hará mención en este texto. Haremos a continuación también una breve reseña de la noción de partición de la unidad subordinada a una cubierta abierta U = {Uλ} de un espacio topológico X, de la cual se hará uso. Ésta consiste de una familia de funciones {a λ : X

I } , indicada con el mismo conjunto

xxiii

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

de índices que la cubierta U, tales que aλ|X — Uλ = 0 para toda λ; cada x

X tiene una vecindad V tal que aλ |V = 0, salvo para un

número finito de índices λ; y Σ λ a λ ( x ) = 1 para toda x

X (obsérvese

que la suma es siempre una suma finita). La partición de la unidad subordinada a una cubierta dada es una útil herramienta, por ejemplo, para el ensamble de funciones o aplicaciones definidas parcialmente y con valores en R, C o en algún espacio vectorial. Por ejemplo, es un ejercicio probar que si {fλ: Uλ función f : X

R} es una familia de funciones continuas, la

R tal que f(x) = Σ l a λ ( x ) f x ( x ) está bien definida y es

continua. Un teorema fundamental de la topología de los espacios paracompactos afirma que un espacio topológico X es paracompacto si y sólo si cada cubierta abierta U de X admite una partición de la unidad subor­ dinada a ella. Los libros [14] o [43] pueden consultarse para revisar este teorema y consideraciones generales sobre espacios paracompactos. Y ahora una nota final sobre más notaciones que se utilizarán en el texto. Si X es un espacio topológico y A

X, en congruencia con o

los casos especiales mencionados arriba, se utiliza la notación A para designar el interior topológico de A en X, y la notación ∂A para designar su frontera. Por otro lado, si V es un espacio vectorial, provisto de un producto escalar (o hermitiano, si el espacio es complejo), que usualmente se denotará por

, utilizaremos la notación || • || o | • | para designar

xxiv

NOCIONES Y NOTACIONES BÁSICAS

las normas en V asociadas al producto, es decir, ||x|| o |x| = mismo, si A 0 para toda a

V es un subespacio, usaremos

= {x

V |

así =

A} para designar el complemento ortogonal de A en V

con respecto al producto.

CAPÍTULO 1

ESPACIOS DE FUNCIONES

Los espacios de funciones serán la base de todas las construcciones que liaremos en este texto. El propósito de este capítulo es revisar los aspectos más importantes en la topología de los espacios de funciones. Supondremos conocidas las nociones de topología de conjuntos como las presentan los textos [14, 18, 43], por ejemplo.

1.1

TOPOLOGÍAS ADMISIBLES

Hay diversas formas de dotar a un conjunto de funciones con topologías que tienen distintas propiedades. En esta sección estudiaremos las topologías más convenientes en los conjuntos de funciones continuas entre espacios topológicos, que permitan efectuar construcciones adecuadas y tengan propiedades útiles. 1

2

ESPACIOS DE FUNCIONES

1.1.1

DEFINICIÓN.

Sean X, Y conjuntos. Denotamos por Y x al con­

junto de funciones /: X cartesiano

Y. Se puede interpretar Yx como el producto

Yx, donde YX = Y para toda x

X.

Si ahora suponemos que Y es un espacio topológico, entonces una to­ pología canónica para Yx es la topología producto en

Una subbase

para esta topología es la formada por la familia de conjuntos Ux = {/ Yx | f(x) 1.1.2

U}, donde x

EJERCICIO.

X y U es un abierto en Y.

Sea p x : Y x

Y la proyección tal que p x (f) = f(x).

Probar que esta topología es la más gruesa que hace continuas todas las proyecciones p x , x

X.

Si ahora suponemos que también X es

un espacio topológico, podemos considerar el subconjunto M(X, Y) de Yx que consiste de las funciones continuas, a las cuales, en adelante designaremos aplicaciones. A continuación introduciremos una topolo­ gía canónica en M(X,Y). Consideremos la función evaluación : Yx x X

Y

tal que e'(f,x) = f(x), y su restricción e: M(X, Y ) x X 1.1.3

DEFINICIÓN.

Y.

Se dice que una topología en M(X,Y) es admisible

si la evaluación e es continua respecto a esa topología. Es posible que M(X, Y) no tenga topologías admisibles.

TOPOLOGÍA COMPACTO-ABIERTA

1.2

3

T O P O L O G Í A COMPACTO-ABIERTA

Una topología en M(X,Y) que toma en cuenta tanto la topología de X como la de Y y que generaliza la topología producto es la topología compacto-abierta.

1.2.1

DEFINICIÓN.

La topología compacto-abierta en M(X, Y) tiene co­

mo subbase la familia de conjuntos

UK = {f donde K

M(X,Y)\f(K)

U},

X es compacto y U es un abierto en Y.

Si T es una topología en M(X,Y), denotaremos por M T {X,Y) al espacio topológico correspondiente; lo denotaremos por Mca.(X, Y), si T = ca es la topología compacto-abierta. 1.2.2 Proposición. La topología compacto-abierta (ca) es más gruesa que cualquier topología admisible en M(X,Y). (Es decir, ca C T para toda topología admisible T ) . Demostración: Hay que probar que todo abierto en M ca (X, Y) es abierto en Mr(X, Y) si T es admisible. Para esto basta ver que UK está en T. Tenemos que e: M T (X, Y) x X

Y

4

ESPACIOS DE FUNCIONES

es continua. Sea k

U K , es decir, f(K)

K y /

continua y e(f, k) — f(k)

U. Ya que e es

U, existen vecindades Vk de f en M r ( X , Y),

y Wk de k en X tales que e(Vk x Wk)

U.

La familia {Wk} constituye una cubierta abierta de K, que es com­ pacto, por lo que existe una subfamilia finita W 1 , . . . , W n tal que K W1

Wn; sean V1, • • •, Vn las correspondientes Vk, tales que e(Vi x

Wi) U, i = l , . . . , n . Sea V = V1 ya que si g V y k e{V x Wi)

K, k

e(Vi x Wi)

Wi

U,

Vn

f

V

UK,

para alguna i; así, g(k) = e(g, k)

por lo que g(K)

U. Con ello, UK es

abierto en M T (X, Y).

D

De aquí en adelante denotaremos a

MCA(X,Y)

simplemente por

M(X,Y). 1.2.3 Proposición. Si X es un espacio de Hausdorff localmente com­ pacto, entonces la topología ca es admisible. Demostración: Hay, pues, que demostrar que e:M(X, Y) x X

Y es

continua. Sea U

Y abierto y (f,x)

e - 1 (U). Ya que / es continua existe

una vecindad W de x en X tal que f(W)

U. Siendo X de Hausdorff

y localmente compacto, existe V abierto con cerradura que x

V

W.

compacta tal

5

LA LEY EXPONENCIAL

x V que es abierto en M(X,Y) x X. Basta

Entonces (f,x) ver que f'{x')

x V

e - 1 (U). En efecto, si /'

U, es decir e(f',x')

UV

y x'

V, entonces

U.

1.2.4 Corolario. Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces la topología ca es la mínima (más gruesa) admisible en M(X,Y).

1.3

LA LEY EXPONENCIAL

Si X, Y, Z son conjuntos, la ley exponencial establece una equivalencia de conjuntos Z

X x Y

Basta para ello definir φ : Z X x Y como inverso,

{Z Y ) X

ZXxY

(Z

Y

)

X

(Z Y ) X por φ{f)(x)(y) = f(x,y) y, por

(g)(x,y) = g(x)(y).

Deseamos ahora un resultado análogo para M(X, Y).

1.3.1 Proposición. Sean X,Y,Z espacios topológicos con Y de Haus­ dorff y localmente compacto. Entonces se tiene una equivalencia de con­ juntos φ: M{X x Y, Z)

M(X, M(Y, Z)).

6

ESPACIOS DE FUNCIONES

Demostración: Para definir φ como antes, hay que demostrar que si f:X x φ(f): X

Y

Z es continua entonces

φ(f)(x):Y

Z es continua y

M(Y, Z) es continua.

Para la primera afirmación observemos que φ(f)(x) es la composición Y

X x Y

Z

donde ix(y) — (x,y), que claramente es continua. (Nótese que si X = 0 la proposición es trivial). Para la segunda afirmación, sea UK un subbásico de M(Y, Z). Basta ver que φ{f)-1{UK) es abierto en X. Sea, pues, x tonces f(x, k)

U para todo k

k con f(Wk x Vk)

φ{f)-1(UK).

K y existen vecindades Wk de x, Vk de

U. Ya que K es compacto, la familia {Vk} contiene

una subfamilia finita V1,... ,Vm que cubre a K. Sea W = W1 donde Wi es tal que f(Wi x Vi) Veamos que W

φ(f)-1(UK).

U.

Wm,

W es vecindad de x en X.

En efecto, si x'

W y k

tonces φ(f)(x')(k) = f(x',k), pero k; Vi para alguna i, y x' f(x',k)

En­

K, en­ Wi, así

U.

Así, hemos demostrado que φ está bien definida. Veamos ahora que, con la definición de antes, M(X, M(Y, Z)) está bien definida. Sea g: X

M(X x Y, Z)

M(Y,Z) continua. Basta probar que φ{g)

LA LEY EXPONENCIAL

7

es c o n t i n u a . Sea U

(g - 1 )(U) es a b i e r t o . Sea ( x , y )

Z a b i e r t o y veamos que

( g ) - 1 ( U ) , es decir, g{x){y)

U.

Ya que g ( x ) es c o n t i n u a existe u n a U.

v e c i n d a d W de y con g ( x ) ( W )

Siendo Y l o c a l m e n t e c o m p a c t o

y de Hausdorff, existe un a b i e r t o V con c e r r a d u r a V c o m p a c t a t a l q u e y Є V

V

W; así, g ( x ) ( V )

U y p o r lo t a n t o g ( x )

U V , q u e es

abierto en M ( Y , Z ) . Ya q u e g es c o n t i n u a , existe u n a vecindad T de x en X t a l q u e g ( T ) UV.

Sea (x', y')

Φ(g)(x,y)

T x V, que es u n a vecindad de (x, y) en X x Y.

= 9{x'){y')

U, así T x

V

(P) -1 (U).

C o n u n a condición adicional, la equivalencia de conjuntos en la p r o ­ posición a n t e r i o r es un homeomorfismo, a saber, se t i e n e lo siguiente.

1.3.2 T e o r e m a . Si X, Y, Z son espacios topológicos tales que X y Y s o n de Hausdorff y Y es ¡ocalmente compacto, entonces M ( X x Y, Z )

M ( X , M(Y, Z))

es un homeomorfismo.

D e m o s t r a c i ó n : Veamos que φ y

son c o n t i n u a s .

P r i m e r a m e n t e , sea ( U L ) K u n subbásico e n M ( X , M ( Y , Z ) ) con U a b i e r t o en Z y K y L c o m p a c t o s en X y Y r e s p e c t i v a m e n t e .

Entonces

8

ESPACIOS DE FUNCIONES

Kx Les compacto y si f ( K x L)

f

UKxL

M ( X x Y , Z ) entonces φ(f)(K)(L) =

U; es decir, φ(U K x L )

{U L ) K .

Sea ahora UJ un subbásico en M(X x Y, Z), con J compacto en X x Y. Sean K — proy x (J) L = proy y (J). K y L son compactos y J

K x L. Veamos que

((U L ) K )

U J . En efecto, sean g (U L ) K

y (x, y) Є J, entonces Φ(g)(x,y) = g(x)(y) Є £7, puesto que x Є K y y

L. Tenemos la aplicación

(1.3.3)

M(X, Y) x M(Y, Z)

M(X, Z)

dada por la composición. 1.3.4

EJERCICIO.

Probar que si X y Y son espacios de Hausdorff lo-

calmente compactos, la aplicación (1.3.3) es continua. En particular, si f:X

Y es continua, entonces induce (por restricción de (1.3.3)) una

aplicación continua f#:M(Y,Z)

M{X,Z)

tal que f # (g) = g o f. Igualmente, si g:Y

Z es continua, entonces

induce (nuevamente por restricción de (1.3.3)) una aplicación continua g#:M(X,Y) tal que g # (f) = g o f.

M(X,Z)

LA LEY EXPONENCIAL

1.3.5

9

Sean A un subespacio de X y B un subespacio de Y.

DEFINICIÓN.

Denotemos por M(X, A; Y, B) al subespacio de M(X, Y) que consiste de las aplicaciones f: X

Y tales que f(A)

B. Un ejemplo importante

de estos subespacios es M(X, x 0 ;Y,y 0 ) de aplicaciones f : X

Y tales

que f(xo) = yo, con x0

A estas

X y y0

Y puntos específicos.

aplicaciones se les llama aplicaciones punteadas (o basadas), pues aplican al punto básico x 0 de X en el punto básico y 0 de Y.

1.3.6

EJEMPLO.

Sea I — [0,1] el intervalo y ∂ I = {0,1} su frontera.

Podemos considerar así los espacios M(I,X)

M(I,0;X,x 0 )

M{I,∂I;X,x 0 )

para un espacio punteado (X, X0). A estos espacios se les conoce como espacio de trayectorias libres en X, espacio de trayectorias en X basadas en x0 y espacio de lazos en X basados en X0, respectivamente. A M(I, ∂I; X,xo) se le suele denotar como Ω(X,Xo) o, si el punto básico es claro, Ω.X (compárese con 1.3.9 más adelante).

1.3.7

DEFINICIÓN.

Consideremos las parejas de espacios (X, A) y

(Y, B). Definimos su producto como la pareja (X,A) x (Y,B) = (X x Y , X x BU A x Y). Así (I, ∂I) x (I, ∂I) = (I 2 , ∂I 2 ), donde I 2 es el cuadrado unitario en el

10

ESPACIOS DE FUNCIONES

plano y ∂P su frontera, que es homeomorfa al círculo S1 (véase la figura 1.1).

∂I

Ix∂I l U I

S1

∂IxI

∂I Figura 1.1 Inductivamente, ( I n , ∂ I n ) x (I,∂I) = ( I n + 1 ∂ I n + 1 ) , donde I n + 1 es el cubo unitario en R n+1 y ∂ I n + 1 es su frontera, que es homeomorfa a la esfera Sn={(x1,...,xn+l)

Rn+l|

+•••+

=1}.

Por la ley exponencial (que también es válida para parejas -ejercicio), se tiene (1.3.8) M ( I n + 1 ∂ I n + l ] X , x 0 ) = M ( I , ∂ I ; M ( I n , ∂ I n ; X , x 0 ) , donde

M(I n , ∂I n ; X , x0) e s tal

q u e =x0.

LA LEY EXPONENCIAL

1.3.9

DEFINICIÓN.

11

Al espacio M(I n , ∂I n ; X, x0) se le llama n-espacio de

lazos en X basados en x0 y se le denota por Ω n (X,x 0 ). Si el punto básico es claro, abusando de la notación se escribe Ω n X. Por (1.3.8) se tiene Ω(Ω n (X,x 0 ),

1.3.10

EJERCICIO.

=Ω n + 1 (X,x 0 ).

Sea X un espacio punteado. Probar que se tiene un

homeomorfismo Ω n (X,x 0 ) = M(S n ,*;X,x 0 ).

CAPÍTULO 2

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

En este capítulo se introducirán los conceptos de conectabilidad por trayectorias y de homotopía de aplicaciones continuas entre dos espacios. Se estudiarán los conjuntos de clases de homotopía de aplicaciones y se relacionarán con la conectabilidad por trayectorias; finalmente, se definirán los grupos de homotopía de un espacio topológico, que constituyen un importante invariante algebraico de los espacios.

2.1

CONECTABILIDAD POR TRAYECTORIAS

La conectabilidad por trayectorias es un concepto más fuerte que el de conexidad topológica y el que mejor se adecua a los estudios de las propiedades homotópicas. Está basado en el concepto de trayectoria en un espacio topológico X. 13

14

2.1.1

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

DEFINICIÓN.

Sea X un espacio topológico. Definimos en él la

siguiente relación: x

y en X si existe a

M ( I , X ) tal que a(0) =

x, a(1) = y. Se dice que x es conectable con y por medio de la trayectoria a. El espacio X es conectable por trayectorias si para todo par de puntos x,y

X,x

y.

2.1.2

EJERCICIO.

2.1.3

DEFINICIÓN.

Probar que

es una relación de equivalencia en X.

Las clases de equivalencia, denotadas por [x], des­

componen a X en subconjuntos ajenos llamados componentes por tra­ yectorias de X. Sea Π 0 ( X ) el conjunto de clases de equivalencia. Este es un importante invariante topológico, que a continuación es­ tudiaremos. Este invariante "mide" los pedazos "ajenos" en los que se descompone X como lo ilustra en el plano el dibujo.

En particular,

X es conectable por trayectorias si y sólo si X tiene una sola compo­ nente por trayectorias, (véase la figura 2.1, donde | • | denota cardinalidad). Sea /: X

Y continua. / induce una función f*:

π0

π 0 (Y)

tal que f*[x] = [f(x)]. Esta función está bien definida (ejercicio). La construcción πo tiene las siguientes propiedades funtoriales, cuya demostración es un sencillo ejercicio para el lector.

CONECTABILIDAD POR TRAYECTORIAS

15

X=

|π0(X) | = 3

Figura 2.1 2.1.4 Proposición. La construcción π0 es funtorial, es decir se tiene lo siguiente.

(a) Si f: X

X es la identidad, entonces

f*:π0(X)

π0(X)

es también la identidad.

(b) Si f : X

Y,g:Y

Z son continuas, entonces

(g o f)* = g* o f*:πo(X)

En particular, si f : X π 0 (X)

π0(Z).

Y es un homeomorfismo, entonces f*:

πo(Y) es una equivalencia de conjuntos (isomorfismo).

16

2.2

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

CLASES DE HOMOTOPÍA

La relación de homotopía de aplicaciones generaliza la de conectabilidad de puntos; es aquélla el concepto fundamental de la teoría de homotopía. En esta sección daremos las ideas básicas que la subyacen.

2.2.1

DEFINICIÓN.

Sean f , g : X

Y aplicaciones continuas. Se dice

que f es homotópica a g, en símbolos f g, si existe una homotopía de f a g, es decir, una aplicación H : X x I

Y tal que H(x, 0) = f(x) y

H(x,l)=g(x). De forma análoga se define el concepto de homotopía entre aplica­ ciones de parejas de espacios; a saber, si /, g: (X, A) caciones de parejas, / H: {X, A) y. I

g si existe una homotopía de parejas de f a g,

(Y, B) tal que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x).

2.2.2

EJERCICIO.

Probar que la relación

2.2.3

EJERCICIO.

Probar que x,y

cy(*) = y, son homotópicas. Es decir, x

DEFINICIÓN.

es de equivalencia.

X son conectables por una trayec­

toria si y sólo si las aplicaciones c x ,c y :*

2.2.4

(Y, B) son apli­

X, tales que cx(*) = x y y si y sólo si Cx

Cy.

Dados X, Y, se denota como [X,Y] al conjunto de

clases de homotopía de aplicaciones X

Y, es decir, de clases de equi-

CLASES DE HOMOTOPÍA

17

valencia de aplicaciones X

Y bajo la relación

Análogamente se

define el conjunto [X, A; Y, B}.

2.2.5

NOTA.

Si el espacio X es de Hausdorff localmente compacto y si

el espacio Y es de Hausdorff, entonces [X,Y] = π0(M(X,Y)). Análoga­ mente, [X, A; Y, B] = π0(M(X, A; Y, B)).

2.2.6 Proposición. Sean X y Y espacios de Hausdorff localmen­ te compactos.

Entonces,

π0(M(X,Y))

π0(M(Y,Z)),

x

identificando π0(M(X,Y) x M(Y,Z))

la función (1.3.3) determina una función

[X, Y] x [Y, Z] (dada por composición). En particular,

y g:Y

con

[X, Z] f:X

f*:[Y,Z]

[X,Z]

g*:[X,Y]

[X,Z]

Y induce

Z induce

(Para estas últimas no se requieren hipótesis sobre X y Y.)

Evidentemente se tiene un resultado análogo para parejas de espacios. El concepto de homeomorfismo de espacios topológicos puede gene­ ralizarse al de equivalencia homotópica; a saber, es ésta una aplicación f:X

Y que admite un inverso homotópico, es decir, existe g: Y

X

18

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

tal que las clases de homotopía [g o f]

[X, X] y [f o g]

[Y, Y] coinciden

con [id x ] e [idy] respectivamente.

2.2.7 Proposición. Si

f:X

Y es una equivalencia homotópica, en­

tonces f induce biyecciones / • : [Y, Z] [X, Z] y

f*:[Z,X]

[Z,Y]

para cualquier espacio Z.

Demostración: Si g es inverso homotópico de f, entonces g* y g* son inversos de f* y f* respectivamente.

2.3

GRUPOS TOPOLÓGICOS

Con el fin de introducir estructuras algebraicas en [X,Y] necesitamos recordar la noción de grupo topológico y otras nociones afines.

2.3.1

DEFINICIÓN.

Un espacio topológico G es un grupo topológico si

está provisto de una aplicación continua μ: G x G

G,

GRUPOS TOPOLÓGICOS

19

llamada multiplicación, que da a G estructura de grupo, de tal forma que x-1

la aplicación de G en G, dada por x

es continua. Si denotamos

simplemente xy = μ(x,y), entonces las condiciones sobre μ y x

x-1

son equivalentes a que la aplicación G x G dada por

2.3.2

G,

(x, y) = xy-1 sea continua.

EJEMPLOS.

Los siguientes son ejemplos de grupos topológicos:

(i) G = R, los números reales con la topología usual y la suma. (ii) G = R n , el espacio euclidiano de dimensión n con la topología usual y la suma de vectores. (iii) G = S1 = {eix

C | x

R}, los números complejos de norma 1

con la topología inducida por la de C y multiplicación de números complejos, es decir, eixeiy

(iv) Si Mm

x n (R)

_

ei(x+y)

denota al conjunto de matrices con elementos reales

con m renglones y n columnas, con la topología dada por la biyección

Mm x n (R)=R m n

20

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

que coloca a los renglones "uno tras otro", se tiene una aplicación continua M m x n (R) x Mn x 1(R)

Mm x 1(R)

dada por multiplicación de matrices. En particular, si m — n, Mn x n (R) tiene una estructura multiplica­ tiva; sin embargo, no siempre hay inversos. El determinante det:M

n x n (R)

R

es una función continua. Así, det -1 (R—0) es un abierto en M n x n (R) y éste sí resulta ser un grupo bajo la multiplicación de matrices. Se le denota por GLn(R) y se le llama grupo general lineal real de dimensión n. Obsérvese que det es un homomorfismo continuo de este grupo en el grupo multiplicativo R — 0.

Sea G un grupo topológico. Entonces M(X, G) es un grupo topológico con la siguiente multiplicación M(X, G) x M(X, G)

(f,9) es decir, (fg)(x) = f(x)g(x).

M{X, G)

μ o(f,g)=: f g

21

GRUPOS TOPOLÓGICOS

De tal manera, π 0 (G) adquiere también una estructura de grupo, que está definida por μ:G x G

G

como sigue. π 0 (G) x π 0 (G)

π 0 (G)

es tal que

([x],[y]) = [μ(x,v)] = [xy]. De igual forma, obtenemos la siguiente afirmación general.

2.3.3 Proposición. Sea G un grupo topológico. Entonces, para todo espacio X, f:X

[X, G] tiene una estructura de grupo inducida.

Si

Y es continua, entonces f*:[Y,G]

[X,G]

es un homomorfismo de grupos, y si, por otro lado, g.G

H es un

homomorfismo de grupos topológicos (continuo), entonces g*:[X,G] es un homomorfismo. también lo es.

[X,H]

Finalmente, si G es abeliano, entonces [X,G]

22

2.4

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

H-ESPACIOS

Hay condiciones más débiles sobre Y, que la de ser un grupo, para que [X, Y] sea un grupo para toda X; estas condiciones son las que definen el concepto de H-espacio que estudiaremos en esta sección.

2.4.1

CONVENCIÓN.

De aquí en adelante vamos a estar interesados úni­

camente en espacios punteados y aplicaciones punteadas. Usare­ mos la notación M(X, Y), ahora para el conjunto de aplicaciones pun­ teadas de X a Y con la topología compacto-abierta.

Análogamente,

usaremos la notación [X, Y] para el conjunto de clases de homotopía punteada de aplicaciones punteadas de X a Y.

2.4.2

DEFINICIÓN.

Un espacio topológico W es un H-espαcio si es un

espacio punteado provisto de una aplicación continua μ:WxW

W,

llamada H-multiplicación, tal que si e: W

W es constante con valor el

punto básico, e(W) = W0, entonces es una identidad salvo homotopía o una H-identidad, es decir, las composiciones W

WxW

W,

son homotópicas a la identidad de W.

W

WxW

W

H-ESPACIOS

23

Diremos que W es homotópicamente asociativo o H-asociativo si las composiciones μ o (μ x id), μ o (id x μ):W xW xW

W son homotópicas;

es decir, si el diagrama siguiente conmuta salvo homotopía. W xW

W

xW

WxW

xW W

Obsérvese que en el caso algebraico de un grupo, la conmutatividad estricta de este diagrama es equivalente a la asociatividad de su multi­ plicación. Una aplicación j: W

W determina inversos salvo homotopía, o

H-inversos, si las composiciones W

WxW

son ambas homotópicas a e: W

W,

W

WxW

W

W.

Estas propiedades establecen los axiomas de grupo, con la salvedad de cumplirse solamente salvo homotopía. Tenemos el siguiente concepto. 2.4.3

DEFINICIÓN.

Un H-espacio H-asociativo provisto de una aplica­

ción que determina H-inversos se llama H-grupo. Un H-espacio, o un H-grupo, W es homotópicamente abeliano o Habeliano, si las aplicaciones μ, μ oT:W donde T(x, y) = (y,x).

xW

W son homotópicas,

24

2.4.4

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

DEFINICIÓN.

Si W y W son H-espacios y h: W

W es continua,

decimos que h es un H-homomorfismo si las composiciones W

W x W

W,

W x W

W'xW

W

son homotópicas; es decir, si el diagrama WxW

W

W x W

W

conmuta salvo homotopía.

2.4.5

DEFINICIÓN.

Sea W un espacio punteado. Se dice que [X, W)

tiene una estructura de grupo natural en X, si

(a) para todo espacio punteado X, [X,W] tiene una estructura de grupo tal que la clase [e] de la aplicación constante e: X

W

es la identidad del grupo, y si (b) para toda aplicación punteada /: X f*: [Y, W)

Y, la función inducida

[X, W] es un homomorfismo de grupos.

De igual modo que para grupos, la multiplicación μ de un //-espacio W induce una multiplicación en M(X, W). Se tiene, de hecho, el siguien­ te resultado general.

H-ESPACIOS

25

2.4.6 Teorema. Sea W un espacio punteado.

Entonces [X,W] tiene

una estructura de grupo natural en X si y sólo si W es un H-grupo. Demostración: Si W es un H-grupo, es bastante claro que [X, W] ad­ quiere una estructura de grupo natural en X. Inversamente, supongamos que [X, W] tiene una estructura de grupo natural en X. Sean p1,p2:W x W

W las proyecciones sobre el primero y sobre el segundo factor.

Sea μ: W x W

W una aplicación que representa al producto [p1][p2]

según la estructura de grupo en [X, W]. Es sencillo probar que, en efecto, esta aplicación μ es una multiplicación que da a W la estructura de un H-espacio asociativo. Por otro lado, existe una aplicación j:W que representa al inverso de la clase de id: W

W

W, es decir, tal que

[j] = [id] -1 . La aplicación j determina H-inversos, por lo que W tiene la estructura de H-grupo. 2.4.7

EJERCICIO.

D

Revisar todos los detalles de la demostración del teo­

rema 2.4.6. 2.4.8

EJERCICIO.

Probar que si W es un H-grupo H-abeliano, entonces

[X, W] es un grupo abeliano. 2.4.9 Proposición. Si h:W

W es un H-homomorfismo de H-espa-

cios, entonces para todo espacio X, h*:[X,W]

[X,W]

26

CONECTABILIDAD E INVARIANTES ALGEBRAICOS

es un homomorfismo.

2.5

ESPACIOS DE LAZOS

Un ejemplo fundamental de H-grupos es el espacio de lazos de un espacio topológico punteado, como se definió en 1.3.9. 2.5.1

DEFINICIÓN.

Si Y es un espacio punteado con punto básico yo,

entonces su espacio de lazos ΩY tiene una estructura de //-grupo, como sigue. Sea μ: ΩY x ΩY tal que para lazos a, β

ΩY

ΩY 0 < t < 1/2 1/2 < t < 1.

2.5.2

EJERCICIO.

Verificar que μ es continua.

2.5.3 Lema, μ es una H-multiplicación. Demostración: Si e: ΩY

ΩY es la aplicación constante con valor el

lazo constante αo: I Y, a0t) = yo, veamos que es una decir μ(a0,β)

β,

μ(β,a0)

β para todo lazo β.

La primera homotopía está dada por F: ΩY x I

ΩY

H-entidad, es

ESPACIOS DE LAZOS

27

F(β,s)(t)

0 < t < (1 + s}/2 (l + s)/2 )) si (l-t){l+t') < 1 t')~l) si ( l - í ) ( l + t') > 1, (x,t)X x I en CX, entonces G

extiende a H. Así, el diagrama conmuta como se desea.

D

Por esta razón se dice que la pareja {CX, X) tiene la propiedad de extensión de homotopías, PEH, la cual se estudiará sistemáticamente en el siguiente capítulo, (véase 4.1.1). Antes de concluir esta sección estudiaremos algunas propiedadas homotópicas relacionadas con las construcciones del cono y del cilindro, que serán de utilidad en capítulos subsecuentes.

46

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

3.1.7 Proposición. Considérense las aplicaciones X tonces g o f es nulhomotópica si y sólo si existe G: Cf

Y

Z. En­

Z tal que con­

muta el diagrama

es decir, si y sólo si g tiene una extensión G al cono de f.

Demostración: Por 3.1.5, g o f: X g o f tiene una extensión H: CX

Z es nulhomotópica si y sólo si Z. Claramente, (H,g): CX

Y

Z

determina la aplicación G buscada. Inversamente, si existe G: Cf Y

CX — Cf

Z, entonces la composición CX

Z es una extensión de g o /, por lo que, por 3.1.5,

g o f es nulhomotópica.

3.1.8 Proposición. Sea g:Y

□

Z continua y Z conectable por trayec­ f:Sn-1

torias. Supóngase, además, que πn-1(Z) = 0. Entonces, dada Y, g admite una extensión G:Y

Dn

Z

Demostración: Ya que π n - 1 (Z) = 0, la composición g o nulhomotópica. Por 3.1.7, g admite una extensión G: Cf Cf = Y

Dn.

f:Sn-1

Z es

Z, pero, D

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-I

3.2

47

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-I

En esta sección introduciremos una sucesión de espacios construidos a base de conos de aplicación, y de aplicaciones entre ellos, que es tal que al aplicarle el funtor de clases de homotopía en otro espacio, es decir, el funtor [—, W], da origen a una sucesión exacta. Sea /: X

Y continua; usando la construcción cono podemos definir

la siguiente sucesión (3.2.1)

X

Y

Cf

Ci1

Ci2

donde i1 es la inclusión canónica de Y en Cf = Y

C X y, análoga­

mente, ik es la inclusión canónica de Cik_2 en el cono de i k - i , Cik-1 = Cik-2

CC ik _ 3 .

Es posible identificar, salvo homotopía, a los espacios Cik en términos de X y Y. Para esto consideremos el siguiente lema.

3.2.2 Lema. Sea Y' I

Y y supongamos que existe una homotopía H: Yx

Y tal que (a) H(y,0) = y

(b)

H(Y'

x I)

r

(c) H(Y' x {1}) = {y0}.

48

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

Entonces la identificación q: Y

Y/Y' es una equivalencia homotópica.

Demostración: Por (c), podemos definir s: Y/Y'

Y tal que

s(q(y)) = H(y,l) H es así una homotopía entre idy y s o q. Por otro lado, por (b), H determina una homotopía H: (Y/Y') x I Y/ Y' tal que H(q(y),t) = q H ( y t ) . H empieza con

y termina con q o s.

3.2.3 Corolario. Sea f : X

Y continua, i:Y

D

Cf la inclusión canó­

nica y Ci su cono. Entonces CY Ci y la identificación Ci

C i /CY

es una equivalencia homotópica. Además Ci/CY

Cf/Y.

Demostración: Por 3.2.2 basta con construir una homotopía H: Ci x I

Ci

que aplique a CY en sí mismo, que empiece con la identidad y termine con la constante. Sea, primeramente, F:CY x I

CY

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-I

l a contracción F Cf

CY = (Y

49

,s) CX)

CX con

=

.

E

s fácil ver que C i —

CY es el cociente de CX CY. Sea q:

y la inclusión canónica j: CY

CY que identifica a

CXCY Ci tal identificación,

Ci es claramente la restricción de q a

CY. Sea G:X x

I

Yx

I

CY x

G es una homotopía tal que G(x, 0) = es decir, G(x, 0) = . CX

CY

I

CY

Ci.

=

=

Ci, donde g denota la composición CX

Ci. Así, G:X x I

Ci es una homotopía que empieza

con g\X. Por 3.1.6 podemos extender G a una homotopía F': CX x I Ci, tal que F'

s) — G(x, s) =

Así podemos definir

H: Ci x I —>• Ci por

que está bien definida, ya que, si x e n C i y tenemos que F '

X, q identifica

,s) — G(x, s )

Finalmente, es claro que C i /CY

con

—= F \ , s ) .

Cf/Y, como se ve en la figura 3.4.

50

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

Ci

Cf

ΣX

Figura 3.4

Por todo lo anterior y el ejercicio 3.1.3, tenemos en la sucesión (3.2.1) lo siguiente: (3.2.4)

Ci1

Ci1/CY

Cf/Y

ΣX ,

y en forma semejante, (3.2.5)

Ci2

Ci2/C(Cf)

Ci1/Cf

ΣY;

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-I

51

de hecho se tiene la siguiente propiedad.

3.2.6

EJERCICIO.

El diagrama

ΣX

ΣY

conmuta salvo homotopía, donde las aplicaciones verticales son las iden­ tificaciones (3.2.4) y (3.2.5). De este modo, (3.2.1) se transforma en (3.2 7)

X

Y

Cf Σ2X

ΣX Σ2Y

ΣY

CΣf

A esta sucesión frecuentemente se le conoce como sucesión de BarrattPuppe de la aplicación /: X

Y.

Veamos ahora que la sucesión X

Y

Cf

es coexacta, es decir, se tiene la siguiente afirmación.

3.2.8 Proposición. Sea W un espacio punteado arbitrario. Entonces la sucesión [Cf,W]

[Y,W][X,W]

52

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

es exacta, es decir im(i*) = ker(f*) = {[φ] = [eo]} donde e0:X

[Y,W] | f*[φ] = [φ o f]

W es la aplicación constante.

Demostración: i o f: X

Cf

es nulhomotópica como lo prueba la homo­

topía Y

H(x, t)=

CX,

que es tal que para t = 0 es constante, y para t = 1 da el punto que se identifica con f(x) en Cf. Así f*i* im(i*)

—

= [eo] para toda

[C f ,W], por lo tanto,

ker(f*).

Si suponemos ahora que f*[φ] = [φ o f] = 0 = [e0], entonces φ o f es nulhomotópica. Sea H: X x I una homotopía de φ o /: X

W

W con la constante e0

Entonces H(x0, t) = H(x, 1) = w0 y así H({x0} x

X x {1}) = {w0};

así, H define una aplicación CX tal que

W

= H(x,t). Ya que

= H(x,0) = φf(x), entonces

podemos definir Cf = Y Uf CX

W

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-I

tal que φ(x,t) = e s tal que

53

y

= φ(y). En consecuencia,

= = [φ] y así ker(/*)

[Cf, W]

im(i*).

Usando la sucesión (3.2.1), así como 3.2.6 y 3.2.8 obtenemos el si­ guiente resultado.

3.2.9 Corolario. Dada f:X

Y punteada, se tiene una sucesión exac­

ta [ΣkX, W] (3.2.10)

[CΣk-if,W][ΣX,W] : [Y,W]

[Cf,W]

[X,W],

para todo espacio punteado W.

3.2.11

EJERCICIO.

Demostrar inductivamente que se tiene un homeo-

morfismo : C Σ k / = ΣkCf tal que φk o ik = Σki, donde ik:

ΣkY

C&f e i:Y

Cf son las inclu­

siones canónicas. Por lo tanto la sucesión exacta (3.2.10) es equivalente a la sucesión exacta; [ΣkCf,W] (3.2.12)

[ΣkY,W]

[Σk-'Cf,W]

[ΣkX,W]'

[ΣX,W] [Y, W)

para todo espacio punteado W.

[X, W]

[Cf,W]

54

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

3.3

G R U P O S DE HOMOTOPÍA

A continuación estudiaremos las relaciones entre los grupos de homotopía de una pareja de espacios y los de los espacios que la integran. Sea X un espacio con un punto básico x0 [0,1] entonces ∂I — {0,1}

I

X. Si I es el intervalo

es su frontera y 0

∂I

I será consi­

derado como el punto básico de ambos. Para n > l,πn(X) es el grupo [Σn(∂I),X] ya que por ser ∂I = S°, por 2.7.7, Σn(∂I) = Sn, y para n = 0 los conjuntos [∂I, X] y πo(X) coinciden. 3.3.1 x0

DEFINICIÓN.

A

Sea (X, A) una pareja de espacios punteados por

X. Para n > 2 definimos πn(X,A)

=

[Σn-1(I,∂I);X,A]

donde Σk(I, ∂I) = (ΣkI, Σk(∂I)) = (D k+1 , S k ), donde D k + 1

Rk+1 es el

disco unitario, y donde [—; —] representa el conjunto de clases de homo­ topía punteada de parejas. 3.3.2 Proposición. La construcción πn tiene las siguientes propiedades. (a) πn(X, A) es un grupo si n > 2, y es abeliano si n > 3. (b) Una aplicación f: (Dn, S n - 1 , *)

(X, A, x0) representa el elemento

neutro de πn(X, A) si y sólo si f es homotópica como aplicación de parejas punteadas a una aplicación g tal que g (Dn)

A.

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

55

A los grupos πn(X, A), n > 2, se les llama grupos de homotopía de la pareja (X, A). Demostración: (a) se demuestra esencialmente como 2.7.4 y 2.7.12 pues la estructura está dada por la H-comultiplicación en Dn Σ n - 1 I , n > 2. (b) Supongamos que /

g y que g (Dn)

A y sea H la homotopía

de parejas punteadas de / a g. Definimos G:(Dn x I,S n-1 x I , { * } x I )

(X,A,x0)

por G{x,t) =

H{x, 2t) g({2 - 2t)x + (2t - 1)*)

0 < t < 1/2 1/2 < t < 1.

G es, así, una nulhomotopía de /. Si suponemos, inversamente, que se tiene una nulhomotopía G: (Dn x I, Sn-1 x I, {*} x I)

(X, A, x0) de f, definimos

H:Dn x I X por

H(x, t) =

G(2x/(2-t),t),

0 < ||x|| < 1 - t / 2

G ( x / | | x | | , 2 - 2 | | x | | ) , l - t / 2 < ||x|| < 1. Así, g tal que g(x) = H(x, 1) es tal que g(Dn) A. Si, en particular, consideramos la pareja (X, x0), entonces la apli­ cación de parejas

(I,∂I)

(X,{x0})

56

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

es tal que aplica a

Σn-1(∂I)

S n - 1 en x 0 , de este modo, φ determina

una aplicación punteada Σn-1I/Σn-1(∂I)

X.

Ahora bien, Σn-1

I/{∂I)

Dn/Sn-1

Sn

por lo que obtenemos una biyección entre [Σn-l(I,∂I);

X,{x0}]y[Sn,X];

esto prueba que πn(X, {x0}) si n

πn(X),

1, por lo que identificaremos a ambos.

La inclusión j: (X, {x0}) (3.3.3)

(X, A) induce así

j * :π n (X)

πn(X,A)

que es un homomorfismo si n > 2. Ya que Σn(∂I) es conectable por trayectorias si n > 1, si X' es la componente por trayectorias de X que contiene a x0, entonces X'

X induce isomorfismos πn(X')

si n > 1.

πn(X),

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

57

Por restricción al segundo término de la pareja obtenemos el homomorfismo [Σn-1(I,∂I);X,A]

(3.3.4) ∂:πn(X,A) =

[Σn-1(∂I),A]

πn-1(A)

Al homomorfismo ∂ de (3.3.4) se le llama homomorfismo de conexión de grupos de homotopia de la pareja (X, A). Combinando 3.3.3 y 3.3.4 obtenemos una sucesión πn(A)

πn(X)

πn{X,A)

π1(X,Á)

π0(A)

.

πn-1(A)

π0(X),

llamada sucesión de grupos de homotopía de la pareja (X, A). En la siguiente sección probaremos que (3.3.5) es exacta; para ese fin necesitamos una generalización de 3.2.8 para parejas de espacios.

3.3.6 Proposición. Sea

f:(X,A)

(punteadas) y sean / ' : X

Y, f": A

(Y,B) una aplicación de parejas B sus restricciones. Entonces la

sucesión (X, A)

(Y, B)

Cf

es coexacta, donde Cf = (Cf',Cf); es decir, para cualquier pareja de espacios punteados (Z,C), la sucesión [Cf,Cf;Z,C] es exacta.

[Y,B;Z,C]

[X,A;Z,C]\

58

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

Demostración: i o f: (X,A)

(Cf,Cf") es nulhomotópica como apli­

cación de parejas, como en 3.2.8. Así im(i*) (Y, B)

ker(f*). Si ahora φ:

(Z, C) es tal que φ o / es nulhomotópica como aplicación de

parejas, entonces cualquier nulhomotopía H:(X x I, A x I)

(Z, C)

define una aplicación de parejas Η:(CX,CA)

(Z,C)

que, como en la demostración de 3.2.8 extiende a

φ:(Y,B)

(Z,C),

viendo el dominio como subpareja de (Cp, Cf). Con esto, η y φ definen :(Cf,,Cr) tal que γ o i = φ; así ker(f*)

3.4

(Z,C)

im(i*).

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-11

De la misma manera como se obtuvo la sucesión (3.2.7) podemos obtener la sucesión (X,A)

(YtB)

(Cf,Cr)

(CΣf,CΣf„)

(ΣX,ΣA)

(ΣY,ΣB)

>(Σ2X,Σ2A)

Combinando 3.3.6 con esta sucesión obtenemos lo siguiente:

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-II

3.4.1 Corolario. Dada

59

f:(X,A)

(Y,B), aplicación de parejas pun­

teadas, se tiene una sucesión exacta [Σk(Y,B); Z,C]

•■■-)• [CΣkf,,Cxkf,r, Z,C) (3.4.2)

[CΣk-xf,,CΣk-1f„;

Z,

[Cr, Cr ; Z, C]

[Σk(X, A); Z,C]

C ] [ Σ ( X , A); Z, C] [Y, B;Z,C]

[X, A; Z, C],

para cualquier pareja punteada (Z, C).

3.4.3

OBSERVACIÓN.

D

En forma análoga a 3.2.12 se obtiene una sucesión

exacta [Σk(Cr,Cf„);Z,C}

••• (3.4.4)

[Σk(X,A); Z,C]

[Σ(X,A);

Z,C)

[Cr,Crr,

[Σk(Y,B);Z,C]

[Σk-1Cr,Cr)-Z,C] Z,C]

[Y,B;Z,C]

[X,A;

Z,C],

para cualquier pareja punteada (Z,C).

3.4.5 Teorema. La sucesión de homotopía (3.3.5) de una pareja (X, A) es exacta.

Demostración: Sea i: (∂I, 0)

(∂I, ∂I) la inclusión y consideremos la

sucesión de parejas para i: (3.4.6)

(∂I,0)

(∂I,∂I)

(Ci.Ci)

(Σ∂I,Σ∂I)

(C Σi ,C Σi ,)

Tenemos un homeomorfismo

g:.(Ci,Ci)

(I,∂I)

(Σ∂I,0)

60

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

dado por = 0,

=l-t,

(ya que la construcción cono es la reducida; véase la figura 3.5).

Entonces

= g o j: (∂I, ∂I)

(I, ∂I) es la inclusión.

Por otro lado, k o g-1: (I, ∂I) (I,∂I)

(Σ∂I, 0) es la composición

(I/∂I,0)

Σ(∂I,0),

de tal suerte que (3.4.6) se transforma en (∂I,0)

(∂I,∂I)

(I,∂I)

Σ(∂I,0)

que, por (3.4.2), da origen a una sucesión exacta [Σk (∂I, ∂I); X, A] [Σk (∂I,0);X, A] [Σk (I, ∂I); X, A] (3.4.7)

[Σ*" 1 (I, ∂I); X,

A ] [ Σ ( ∂ I , 0); X, A]

[I,∂I;X,A]

[∂I,∂I;X,A]

[∂I,0;X,A].

Ahora bien; claramente se tiene [Σ k (I,∂I);X,Á] [Σk(∂I,∂I);X,A] [Σk(∂I,0);X,A]

= =

πk+1(X,A)

(por definición)

[Σk(∂I),A]=πk(A) =

[Σk(∂I),0;X,xo]=πk(X),

y

61

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-II

con lo que (3.4.7) es la sucesión (3.3.5) deseada.

Podemos resumir los resultados más importantes de este capítulo en el siguiente teorema.

3.4.8 Teorema. Sea (X, A) una pareja de espacios punteados, con pun­ to básico x0 A C X. Para cada n πn(X,A),

1 le asociamos conjuntos

πn-1(A),

πn-i(X)

y transformaciones ∂:πn(X, A)

Y si f: (X, A) tricciones f: X

πn-1(A)

i*:πn-1(A)

πn-1(X)

j* : πn-1(X)

πn-1(X, A).

(Y, B) es una aplicación de parejas punteadas con res­ Y, f": A

B, le asociamos transformaciones

πn(X, A)

πn(Y-B)

πn-1(A)

πn-1(B)

π n - 1 (X)

π n - 1 (Y).

Se tienen las propiedades siguientes:

62

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

(a) Los conjuntos πn(X,A), πn-1(A), πn-1(X) son grupos si n > 2; abelianos si n esos casos.

3, y f*, f", f* son homomorfismos de grupo en

Π0(A),

π o (X) son los conjuntos de componentes por

trayectorias de A y X respectivamente. (b) Si f = id: (X, A)

(c) Si f: (X, A)

(X, A), entonces f* = 1πn(X,A), f"

(Y, B), g: (Y, B)

=

1πn-1(A),

(Z, C) son aplicaciones de pare­

jas punteadas, entonces (g o f)* = g* f o f„ (g" o f")* = g* o f*,

(g'o f) = g* o f (d) Para f: (X,A)

(Y,B), los diagramas πn(X,A)-

ΠN-1(A)

πn(Y,B)

πn-1(B)

π n - 1 (A)

πn-1(X)

π n - 1 (B)

π n - 1 (y)

si n > 1, y πn-1(X)

πn-1(X,A)

πn-1(Y)

πn-1(Y,B)

si n>2, son conmutativos.

SUCESIONES DE HOMOTOPÍA-II

63

(e) Para cada pareja punteada (X, A) la sucesión πn(X,A)

πn-1(A)

πn-1(X)

πn-1(X,A)

es exacta. En particular, si X es tal que πn(X) = 0 para toda n

0, entonces ∂:πn(X,A)

es una biyección para n

nn-1(A)

1.

(f) Si las aplicaciones de parejas (punteadas) f, g: (X, A)

(Y, B) son

homotópicas, entonces f* =

g*:πn(X,A)

πn(Y,B)

f * = g * :.π n-1 (M)

πn-1(B)

f*=g*:πn-1(X)

πn-1(Y).

(g) Si X es contraíble, es decir, si la aplicación id x es homotópica a la aplicación constante e0: X πn(X) = 0,

3.4.9

OBSERVACIÓN.

X, entonces n

0.

De (f) se obtiene, en particular, que si / : (X, A)

(Y, B) es una equivalencia homotópica, es decir, si existe g: (Y, B) (X, A) tal que g o f id(X,A) π*(Y,

B)

y f o g id (Y,B) entonces f*: π * (X, A)

es un isomorfismo. (Estamos suponiendo que las homotopías

64

GRUPOS DE HOMOTOPÍA

son de parejas punteadas; sin embargo, es posible probar que si las homotopías son sólo de parejas -sin respetar el punto básico-, de todas maneras f* es un isomorfismo para cada x

3.4.10

EJERCICIO.

cios punteados B

A.)

Probar que dado un espacio punteado X y subespaA

X, (x0

B es el punto básico común de los

tres espacios), se tiene una sucesión exacta larga πn(A,B)

πn(X,B)

πn(X,A)

πn-1(A,B)

llamada sucesión exacta de grupos de homotopía de la terna (X, A, B). (Sugerencia: Definir el homomorfismo de conexión ∂ como la composición πn(X,A)

πn-1(A)

πn-1(A,

B), del homomorfismo definido en (3.3.4)

y el inducido por la inclusión, y ensamblar las sucesiones exactas de gru­ pos de homotopía de las parejas (X, A), (X,B) y (A,B).) Claramente, la sucesión exacta de grupos de homotopía de una pareja punteada (X,A) es la de la terna (X,A,x0).

CAPÍTULO 4

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

En este capítulo estudiaremos familias de aplicaciones que cuentan con al­ guna de dos propiedades, esencialmente duales, de levantamiento o de ex­ tensión de homotopías. Estos temas, de gran importancia en la topología algebraica, serán de utilidad en los capítulos subsecuentes.

4.1 4.1.1

COFIBRACIONES DEFINICIÓN.

Sea A

X y sea C una clase de espacios topo-

lógicos. Decimos que la pareja (X, A) tiene la propiedad de extensión de homotopías respecto a C, C-PEH, si para toda Y aplicación /: X

Y y una homotopía H:A x I

f | A, entonces puede extenderse H a una homotopía empieza con /. 65

C y para cada

Y que empieza con X x I

Y que

66

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

Puesto esto último en forma diagramática, tenemos que (X, A) tiene la C-PEH si y sólo si, dado el diagrama conmutativo

(4.1.2)

C, donde i: A

con Y jo:A

X es la inclusión, y jo.X

X x I, resp.

Ax I, es la inclusión en la tapa inferior, j0(x) = (x,0), resp.

jo(α) = (a,0), existe la aplicación

indicada por la flecha punteada,

que hace conmutativos los triángulos que determina. En otras palabras, esta definición dice que si Y

C, en el diagrama

conmutativo de espacios de funciones

M(X x I,Y)

M(A x I,Y)

(4.1.3) M(X,Y) se tiene que si /

M(X, Y) y H

= f\A, entonces existe (i x id) #

4.1.4

=

DEFINICIÓN.

M(A,Y) M(A x I, Y) son tales que M(X x I, Y) tal que

= = / y

x I = H.

Si C es la clase de todos los espacios, y (X,A) tiene

la C-PEH, entonces decimos simplemente que (X, A) tiene la propiedad de extensión de homotopías (PEH).

COFIBRACIONES

67

Un concepto aparentemente más general, pero que, a final de cuentas, resulta coincidir esencialmente con el recién definido es el siguiente.

4.1.5 DEFINICIÓN . Una aplicación continua j: A

X es una cofibración

si para todo espacio topológico Y, dadas una aplicación homotopía H.Ax homotopía

I

X x I

(x,0) = f(x), x

Y tal que H(a,0) = fj(a), a Y tal que

Y y una

f:X

A, existe una

(j(a),t) = H(a,t), a

A, t

I, y

X. En otras palabras, si dado el diagrama (4.1.2),

en el que se sustituye la inclusión i por la aplicación j, existe la

pedida.

Realmente esta definición no es más general que la anterior, como veremos.

4.1.6 Proposición. Si j:A

X es una cofibración, entonces j es un

encaje, es decir, define un homeomorfismo A

i (A). En este caso, j es

una cofibración si y sólo si la pareja (X,j(A)) tiene la PEH.

Demostración: Sea Zj= X q: X x

Ax I el cilindro de aplicación de j y sea

A x I —> Zj la aplicación cociente. Las aplicaciones X (x, 0), y A x I

una aplicación i: Zj

X xl, (a, t)

(j(α), t) determinan en el cociente

X x I.

Por ser j una cofibración, las aplicaciones H:AxI

X x I,

f:X

Zj, f(x) = q(x), y

Zj, H(a,t) = q(a,t), determinan una aplicación

X x I

68

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

ZJ tal que Zj

Zj es la identidad. Así, i define un homeomorfismo

i{Zj) = X x O

(A)xl

X x i.

Ya que q|A x 1 es un homeomorfismo A x l = q(A x l), se tiene un homeomorfismo i o q|A x l : A x l

j(A) x 1; pero ya que iq(a, 1) =

(j(α), 1) se tiene que j es un homeomorfismo en su imagen.

Podemos suponer de aquí en adelante que dada una cofibración y. A X, ésta siempre es una inclusión y. A

X y diremos indistintamente

que una inclusión es cofibración y que la pareja correspondiente tiene la PEH. Probaremos en lo que sigue propiedades fundamentales de las cofibraciones.

4.1.7 Teorema. Sea A

X cerrado. Entonces la inclusión y. A

es una cofibración si y sólo si X x 0

X

A x I es un retracto de X x I.

Demostración: Si j es una cofibración, entonces las aplicaciones f: X —> X x 0

A x I, f(x) = (x, 0), y H: A x I

(a, t), determinan una aplicación r =

X x 0 x

A x I, H(a, t) =

IX x 0

A x I, que

evidentemente es una retracción. Inversamente, si tenemos una retracción r: X x I dados un espacio Y, una aplicación f: X

1x0

A x I,

Y y una homotopía H:A x

COFIBRACIONES

I

69

Y tales que H(a, 0) = fj(a), a x I

A, podemos definir una homotopía

y tal que

{x,t) =

f o proyx o r(x,t) si (x, t) H o proyx o r(x, t) si (x, t)

(X x 0)

(A x I)

es continua ya que X x 0 y A x I son cerrados en X x I. 4.1.8 N O T A . Obsérvese que la primera parte de la demostración ante­ rior no requiere que A sea cerrado en X. De hecho, es posible probar la segunda parte sin esa hipótesis (véase [38]). Más aún, dada una cofibración A

X, si X es de Hausdorff, entonces A es cerrado en X; a

saber, X x I también es de Hausdorff y, por ser X x 0 A x I un retracto de X x l, entonces es cerrado. En consecuencia, también A x 1 es cerrado en X x 1 o, equivalentemente, A es cerrado en X.

Si el espacio X es suficientemente separable, la propiedad de que una inclusión y. A

X sea una cofibración es una propiedad local. Se tiene

de hecho, la siguiente afirmación.

4.1.9 Proposición. Sea X un espacio normal. Entonces, la inclusión j: A

X es una cofibración si y sólo si, para alguna vecindad abierta V

de A en X, la inclusión y. A

V es una cofibración.

Demostración: Sea V una vecindad de A en X para la cual la inclusión y. A

V es una cofibración. Por la proposición anterior, existe una

70

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

retracción r':V x I

V x 0

A x I. Por ser X normal, existe un

encogimiento W de V, es decir, una vecindad W de A tal que A

W

. Por el lema de Urysohn ([43, 15.6]), existe una función a: X

I

tal que a|A = 1 y a|X — W = 0. Para volver a aplicar la proposición anterior, definimos una retracción r:X x I

r(x,t) =

r'(x,ta(x)) (x,0)

si x si x

X x0

A x I tal que

x - w

Ésta es evidentemente una retracción bien definida.

4.1.10

NOTA.

En la primera parte de la demostración anterior, en vez

de una retracción r', es suficiente suponer la existencia de una aplicación r':V x I

X x 0

A x I, tal que su restricción r'|V x 0

A x I es

la inclusión, a la que llamamos retracción débil; la demostración es la misma.

4.1.11

DEFINICIÓN.

Sea A

X. Se dice que A es un retracto fuerte por

deformación de una vecindad V si existe una homotopía H.V x I tal que

(i) H(x,0) = x,

x

V,

(ii) H(a,t) = a,

a

A, t

(iii) H(x,1)

A

x

V.

I y

X

COFIBRACIONES

71

Veremos que esta condición es casi suficiente para que la inclusión A

X sea una cofibración.

4.1.12 Teorema. Sea X normal y sea A

X cerrado y un retracto

fuerte por deformación de una vecindad V. Si existe una función

X

I tal que A=

X es

(0) y

(X — V) = 1, entonces la inclusión A

una cofibración.

Demostración: Por la proposición 4.1.9, basta probar que la inclusión A

V es una cofibración, y por el teorema 4.1.7, o mejor, por la nota

4.1.10, basta construir una retracción débil r:V x I

X x

0 A x I.

Ya que A es retracto fuerte por deformación de V, existe una homotopía H: V x I y sea φ = mín

X como en la definición 4.1.11. Sea W =

(1/2,1]

. Entonces W es una vecindad de X — V tal que

φ(W) = 1. Definimos r como sigue.

r(x,t) =

si t < φ(x) si t > φ(x)

(H(x,t/φ(x)),0) (H(x,l),t-φ(x))

Ésta es una buena definición si φ(x) > 0 ya que los conjuntos {(x,t) V x I

|

φ{x)

t} y {(x, t)

V x I

|

t

φ(x)} son cerrados

y ambas funciones que definen a r coinciden en la intersección, cuando t = φ(x). Tenemos que probar que se puede extender la aplicación r

72

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

continuamente al caso φ(x) = 0, es decir x

A. En este caso, si a

A,

(H(a,t),t) = (a, t), por lo que extendemos como r(a, 0) = (α, 0). En estos puntos (o, 0), r es continua, ya que como H es continua e I es compacto, dada cualquier vecindad D de a en X, existe otra vecindad D'

D tal que H(D' x I)

r(D' x [0,

4.1.13

D, por lo tanto, para cualquier

> 0,

D x

DEFINICIÓN.

Un espacio de Hausdorff X es perfectamente nor­

mal si dados conjuntos cerrados ajenos A y B en X, existe una función continua φ: X

I tal que A = φ-1(0) y B = φ-1(l).

La clase de espacios perfectamente normales incluye a los espacios métricos (evidentemente) y también a los complejos CW (que se intro­ ducirán más adelante). Consecuentemente, se tiene el siguiente teorema, que resulta importante para una clase amplia de espacios.

4.1.14 Teorema. Sea X perfectamente normal y A

X cerrado. Si A

es un retracto fuerte por deformación de una vecindad en X, entonces la inclusión A

X es una cofibración.

Alternativamente, es suficiente con pedir que X sea normal y que A sea un conjunto

en X, es decir, que A sea cerrado y que sea la

intersección de una familia numerable de abiertos en X.

COFIBR

ACIONES

73

4.1.15 E J E R C I C I O . Probar que si X es normal y A es un conjunto entonces, si A es un retracto fuerte por deformación de una vecindad V en X, la inclusión A donde cada Vn

X es una cofibración. (Sugerencia: Sea A = V es una vecindad abierta de A en X; por el lema de

Urysohn, para cada n existe una función fn|X - Vn = 1 y una función g: X Si se define fA (x;) =

fn:X

I tal que fn|A = 0 y

I tal que g|X - V = 0 y g | A = 1.

(fn(x)/2n), la función (x) =

FA(X)

f A (x)+g(x)

satisface las condiciones del teorema 4.1.13). Concluimos esta sección con el siguiente teorema que nos permite ver a una cofibración de diversas maneras. X cerrado. Son equivalentes

4.1.16 Teorema. Sea X normal y A (a) La inclusión A

X es una cofibración.

(b) Existe una homotopía D:X x I que A

φ-1(0),

X y una función φ:X

I tales

y D(x,0) = x,

x

D(a,t) = a, D(x,t)

A,

a x

X,

X, t
φ{x).

(c) A es retracto fuerte por deformación de una vecindad V en X para la cual existe

X

I tal que

A=

(0) y

— V = 1.

74

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

Demostración: Para la propiedad (a) usaremos la caracterización dada por el teorema 4.1.7, es decir, existe una retracción r: X x I

X x 0

A x I. (a)

(b): Dada r, se definen φ y D como sigue: φ(x) =

-proyIr(x;t)|,

D(x,t) = (b)

proyxr(x,t),

x

x X, t

X, I.

(c): Dadas D y φ, definimos V = φ-1[0,1). V es una vecindad

de A en X de la cual A es retracto fuerte por deformación, ya que si definimos H:V x I

X como D\V x I, H satisface las condiciones de

la definición 4.1.11. Se define

X

= ínf{t

(c)

4.1.17

I tal que I|D(x,t)

A}

(a): se obtiene del teorema 4.1.12.

EJERCICIO.

Probar que en la demostración anterior la aplicación

definida es, en efecto, continua.

La siguiente afirmación puede probarse de diversas maneras, por ejemplo, aplicando 4.1.7; sin embargo, nosotros la probaremos usando 4.1.16.

ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LAS COFIBRACIONES

4.1.18 Proposición. La inclusión

75

Sn-1 Dn es una cofibración.

Demostración: Ya que Dn es normal, por 4.1.16(c), basta demostrar que existe una vecindad V de Sn-1 en Dn, una función retracción fuerte por deformación D:V x I Sea V = Dn - 0,

Sn-1

D(x, 1) = x/|x| 4.1.19 Dn x 0

4.2

EJERCICIO.

Sn-1

I y una

Dn.

= 1 - |x| y sea D(x,tí) = (1 - t)x + t(x/\x\).

(0) = Sn-1,

Entonces

Dn

- V =

= 1; además, D(x,0) = a:,

S n - 1 , |x| = 1 y D(x, t) = x.

y si a;

Probar 4.1.18 usando 4.1.7, es decir, probar que

x I es un retracto de Dn x I.

ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LAS COFIBRACIONES

Hay diversas propiedades muy útiles de las cofibraciones, como veremos a continuación. 4.2.1 Teorema. Si j:A

X es una cofibración y A es contraíble,

entonces la aplicación cociente q: X

X/A es una equivalencia ho-

motópica. Demostración: Sea H:Ax I

A una contracción, es decir, una homo-

topía tal que H(a, 0) = α y H(a, 1) = *, donde * representa algún punto

76

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

en A. Por ser j una cofibración, existe F: X x I y F(a, t) = H(a, t). Sea Ft: X

X tal que F(x,0) = x

X la aplicación tal que Ft(x) — F(x, t);

en particular, se tiene que la restricción F0 = id x y F|A es constante; por lo tanto, la aplicación F1 determina una aplicación q':X/A que q' o q = F1. Así, F determina una homotopía id x Inversamente, ya que Ft(A) G: (X/A) x

I

X tal

q' o q.

A, q o Ft determina una homotopía

XIA tal que G(q(x), t) = qFt(x). Se tiene que G(q(x), 0)

= qF0(x) = q(x) y que G(q(x), 1) = qFx(x) = qq'(q(x)), por lo que G es una homotopía idx/A

4.2.2 Lema. Si A nica CA

X

q o q' .Así, q y q' son inversos homotópicos.

D

X es una cofibración, entonces la inclusión canó­

CA también es una cofibración.

Demostración: Por el teorema 4.1.7, basta construir una retracción r: (X

CA) x I

(X

CA) x 0

(CA) x I. Ya que A

X es una

cofibración, otra vez por el teorema 4.1.7, existe una retracción r: Xxl X x 0

A x I. Esta retracción y la identidad id ( C A ) x 1 ) definen una

aplicación (X x I)

(CA) x I

(X x 0

A x I)

(CA) x I que

determina, al tomar los cocientes obvios, la retracción r' buscada. Basta solamente observar que estos cocientes están bien definidos, ya que I es compacto.

ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LAS COFIBRACIONES

77

Ya que el cono CA sobre cualquier espacio A es contraíble, se tiene la siguiente consecuencia del teorema 4.2.1 y del lema anterior. 4.2.3 Corolario. Si A CA

cociente X

X es una cofibración, entonces la aplicación

X CA/CA = X/A es una equivalencia homotópica.

Hay una forma conveniente de convertir, salvo equivalencia homotó­ pica, cualquier inclusión cerrada en una cofibración. Se tiene el siguiente resultado. 4.2.4 Proposición. Sea A

X la inclusión de un subconjunto cerrado

en un espacio topológico. Entonces el encaje A

X

xO

en la tapa superior del cilindro de la inclusión, tal que a

A x I de A (a, 1), es una

cofibración. Demostración: Sea que

x0

x0

=X

0 A x I y sea

x1

Probaremos

x I es un retracto d e x I. Para esto, sea

x I

x 7 tal que

(x, 0, s) = (x, 0,0) (a,t,s) =

=A

(a,1,s(a,t +

Es inmediato verificar que por 4.1.7, la inclusión

(x,0) t t

1-8 1-s

(a,t)

X x

0

,s

I,

AxI

es continua y es una retracción, por lo que, es una cofibración.

78

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

En la proposición anterior, la inclusión j: X

tal que x

es una equivalencia homotópica con inverso p: proyección, a saber, (x, 0) es homotópica a (o, t, s)

x y (a, t)

a.

X dado por la La composición i o p

con una homotopía dada por

(a, st). Además, la restricción de p a

(x, 0)

(x,0,s)

(x, 0) y

es un homeomorfismo.

De este modo, tenemos un triángulo conmutativo

donde la flecha vertical representa una equivalencia homotópica y la in­ clusión inclinada es una cofibración. La proposición anterior es un caso particular de un resultado más general, que afirma que, salvo homotopía, cualquier aplicación se puede sustituir por una cofibración. Su demostración es esencialmente la misma que la de 4.2.4. 4.2.5 Teorema. Sea f: A

X continua y sea Mf el cilindro de apli­

cación de f (véase 3.1.2). Sea j:A

Mf

tal que j(a) = (a, 1)

Mf.

Entonces (a) j es una cofibración. (b) Si p: Mf x

X es tal que p(a, t) = f(a) y p(x) = x, (a, t)

A y, I,

X, entonces p es una equivalencia homotópica tal que p o j = f.

ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LAS COFIBRACIONES

79

(c) Así, se tiene un triángulo conmutativo

donde la flecha vertical representa una equivalencia homotópica y la inclusión inclinada es una cofibración.

4.2.6

EJERCICIO.

Dar los detalles de la demostración de 4.2.5.

La clase de las cofibraciones es una clase amplia que incluye las in­ clusiones en un complejo CW de cada subcomplejo (véase el siguiente capítulo) o las inclusiones en un ANR de un conjunto cerrado que también es un ANR. Ambas son clases muy importantes de espacios. Estudiare­ mos un poco de esta última. Referimos al lector a [16] para algunos resultados adicionales sobre este tema.

4.2.7

DEFINICIÓN.

Sea X un espacio métrico. A X se le llama retracto

absoluto de vecindad o, en forma abreviada, ANR, si cada vez que se tenga un encaje X

Y de X como subespacio cerrado en un espacio

normal Y, la imagen de X en Y es retracto de una vecindad abierta. Equivalentemente, si cada vez que se tenga un cerrado A en un espacio normal Y y una aplicación f: A una vecindad abierta de A en Y.

X, entonces se puede extender / a

80

4.2.8

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS EJERCICIO.

Probar la equivalencia mencionada en la definición

4.2.7. La clase de los ANRs es una clase amplia que incluye a las variedades de dimensión finita, así como a las paracompactas modeladas en espacios de Banach. Más generalmente, se puede probar que los ANRs se pueden encajar como retractos de abiertos en espacios vectoriales topológicos normados. Esta amplia clase de espacios tiene propiedades interesantes relacionadas con la PEH. Tenemos, por ejemplo, la siguiente afirmación, debida a Borsuk. Sea A la clase de todos los ANRs. 4.2.9 Proposición. Sea A un subespacio cerrado de un espacio métrico X. Entonces la pareja (X, A) tiene la A-PEH. Demostración: Sea Y un ANR. Basta probar que cualquier aplicación f: X x 0 A x I

Y admite una extensión a X x I. Para esto, ya

que Y es un ANR, por la definición (equivalente), existe una extensión H: U

Y, donde U es una vecindad de X x 0

Ax I en X x I. Al sev I

compacto, existe una vecindad V de A en X tal que V x I es métrico, existe

X —> I tal que

f a una aplicación F:X x I

A=1y

U. Ya que X

X — V = 0. Extiéndase

Y, tal que F(x,t) =

4.2.10 Teorema. Si X es un ANR y A

X es cerrado y también un

ANR, entonces la pareja (X,A) tiene la PEH.

ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LAS COFIBRACIONES

Demostración: Basta construir una retracción r:X x I

81

X x 0 A x I.

Para esto, hay que observar que, ya que X x 0, A x I y su intersección son ANRs cerrados en la unión, también esta última es un ANR. (Véase [16]). Así, basta aplicar el teorema anterior con Y = 1 x 0

A x I y

f = id, según su demostración.

De hecho, el inverso del teorema 4.2.10 también es válido. A saber, se tiene la siguiente afirmación.

4.2.11

EJERCICIO.

Probar que si X es un ANR y A

X es cerrado,

y son tales que la pareja (X, A) tiene la PEH, entonces A es un ANR. (Sugerencia: Por tener (X, A) la PEH, A es retracto de una vecindad U en X. Así, dados B cerrado en Y normal y f: B extender a g: W retracción r:U

A, f se puede

X, donde W es una vecindad de B en Y. Usar una A para restringir g a una vecindad adecuada, de modo

que su imagen yazca en A.)

4.2.10 y 4.2.11 muestran la relevancia de la clase de los ANRs, en el marco de la teoría de cofibraciones. Afirman que para que los cerrados en los ANRs vuelvan a ser ANRs, es una condición necesaria y suficiente el que su inclusión sea cofibración. Es decir, se tiene la siguiente extensión de 4.2.10.

82

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

4.2.12 Teorema. Sea X un ANR y sea A un ANR si y sólo si la inclusión A

X cerrado. Entonces A es

X es una cofibración.

Las afirmaciones hechas en los siguientes ejercicios se obtienen en forma directa de la definición. 4.2.13

EJERCICIO.

X es una cofibra­

Probar que si la inclusión A

ción, entonces, para todo espacio Z, la inclusión A x Z

X x Z también

es una cofibración. 4.2.14

EJERCICIO.

Probar que la composición de cofibraciones es una

cofibración. Es decir, si f: A'

A y j: A

tonces también la composición j o j ' : A' 4.2.15

EJERCICIO.

4.3

X

X lo es.

Probar que si la inclusión A

entonces también lo es la inclusión A A

X son cofibraciones, en­

X es una cofibración,

CX, dada por la composición

CX.

FIBRACIONES

En esta sección estudiaremos una clase de aplicaciones con una propiedad dual a la de las cofibraciones, a saber, las fibraciones. En analogía con la sección 4.1 analizaremos propiedades de levantamiento de homotopías, PLH. Las vamos a distinguir en clases según el tipo de PLH que tengan.

FIBRACIONES

83

Un concepto dual al de extensión de homotopías es el de levan­ tamiento de las mismas. Con el objeto de poner énfasis en esta dualidad, señalaremos en esta sección a qué propiedad de extensión es dual una propiedad de levantamiento que aquí se exponga.

4.3.1 DEFINICIÓN. Sea p:E

B continua y C una clase de espacios

topológicos. Decimos que p tiene la propiedad de levantamiento de ho­ motopías respecto a C, C-PLH, si dada X y una homotopía H: X x I

C, una aplicación /: X

E

B tal que empieza con p o / , entonces

puede levantarse H a una homotopía f, es decir, tal que p o H — H y

X x I

E que empieza con

(x, 0) = f(x). Si p: E

B tiene la

C-PLH diremos también que es una C-fibración.

Puesto esto último en forma diagramática, tenemos que p tiene la C-PLH si y sólo si, dado el diagrama conmutativo

(4.3.2)

con X

C, donde j0:X

la aplicación

X x I es la inclusión j0(x) = (x,0), existe

indicada por la flecha punteada, que hace conmutativos

los triángulos que determina. En otras palabras, esta definición dice que si X

C, entonces en el

84

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

diagrama conmutativo

M(XxI,E)

M(X,E)

M(XxI,B)

M(X,B)

(4.3.3)

se tiene que si /

M(X, E) y H

p#(f), entonces existe H

M(X x I, B) son tales que

=

M(X x I, E) tal que p#(H) = H y

=

f.

El carácter dual de la definición 4.3.1 frente a la definición 4.1.1 se evidencia modificando el diagrama (4.3.2) como sigue

(4.3.4)

y comparándolo con (4.1.2), donde M(I,B) α

e0:M(I,E)

B, es la evaluación en 0, eQ(α) = α(0), a

E, resp. M(I,E),

e0: resp.

M(I, B). Así, p tiene la C-PLH si y sólo si, dado el diagrama conmu­

tativo (4.3.4), con X

C, existe la aplicación

, indicada por la flecha

punteada, que hace conmutativos los triángulos que determina. La relación entre H' y H y entre H'(x)(t) =

H(x,t)

está dada por las identidades y

(x)(t)=

(x,t).

FIBRACIONES 4.3.5

85

EJERCICIO.

D e m o s t r a r la equivalencia de las definiciones según

(4.3.2) y (4.3.4).

4.3.6

EJERCICIO.

Supóngase que

P r o b a r q u e la restricción

pU

p:E

B t i e n e la C - P L H y sea U

p|p-1U:p-1U

=

B.

U t a m b i é n t i e n e la C-

P L H . A e s t a C-fibración se le l l a m a la C-fibración inducida.

4.3.7

DEFINICIÓN.

Sean

B y

p:E

p':E'

B' c o n t i n u a s .

U n a apli­

cación f: E'

E se l l a m a fibrada si aplica "fibras en fibras", es decir, si

existe f: B'

B c o n t i n u a t a l que c o n m u t a el c u a d r a d o

( p o r lo t a n t o p a r a b'

E'

E

B'

B

B', la fibra ( p ' ) - 1 ( b ' ) va a d a r b a j o

a la fibra

p-1(f)(b)).

4 . 3 . 8 D E F I N I C I Ó N . Sea p: E y si E' = {(b',e)

B continua.

Si /: B'

B' x E | p(e) = f(b')} y

p':E'

B es c o n t i n u a , B' es t a l q u e

p'(b', e) = b', entonces se dice que p' está inducida por p a través de f. Se d e n o t a E' = f*E.

Si fibrada.

E e s tal

q

u

e

= e , e n t o n c e s e s u n a aplicación

86

4.3.9

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

Probar las siguientes propiedades funtoriales de la

EJERCICIO.

construcción 4.3.8. (a) Si f = id B , entonces f* E

E, donde el homeomorfismo está dado

por la propia (b) Sea g: B"

B', entonces (fg)*E

g*f*E.

El siguiente resultado generaliza la afirmación del ejercicio 4.3.6. 4.3.10 Proposición. Si p:E

B es una C-fibración y g: B'

B es

continua, entonces la aplicación inducida por p a través de g, p': E'

B',

es una C-fibración, (la llamada C-fibración inducida). Demostración: Sea X

deseamos construir Sean f = X x I como

C y considérese el diagrama conmutativo

X x I

E' tal que

= g' y

= H'.

o g' γ H = g o H'. Ya que p es una C-fibración, existe E tal que

(x,t) =

o

{H'(x,t),

(p'g'(x), gg'(x)) = g'(x), así

jo = f J P ° E'.

= H.

(x,0) =

Sea

definida

(H'(x,0),

(x,0)) =

oj0 = g'; claramente también p'o

= H'.

FIBRACIONES

87

4.3.11 DEFINICIÓN. Sea p:E

B una C-fibración. Si C es la clase de los

cubos In (o, equivalentemente, como se puede probar, la de los complejos CW), entonces se dice que p: E

B es una fibración de Serre. Y si C

es la clase de todos los espacios, entonces decimos que p es una fibración de Hurewicz o, simplemente, si no se presta a confusión, una fibración.

4.3.12 EJERCICIO. Sea p:E

B una fibración de Hurewicz. Probar

que existe una aplicación T:ExB M(I,B) =

{(e,a)

tal que (e,α)(0) = ey

E x M(I,B) | p(e) = α(0)}

(e,α)(í) = a(t), (e,α)

Probar, más aún, que dada p: E

B, si existe

ExB M

M(I,E) (I,B),t

I.

como antes, entonces

p es una fibración de Hurewicz.

A esta aplicación

E xB

M(I,B)

M(I,E), cuya existencia ca­

racteriza las fibraciones de Hurewicz, se le llama aplicación de levan­ tamiento de trayectorias (ALT). (Sugerencia: Aplicar 4.3.4 con X = E xB

M(I,B)

M(I, B)

y las aplicaciones f:ExB

M(I,B)

E

y

H':ExB

M(I, B) definidas como las proyecciones.)

4.3.13 EJERCICIO. Sea B un espacio topológico, x0 y sea PB = {ω: I

B un punto básico

B | ω(0) = x0} el espacio de trayectorias de B con

la topología compacto-abierta. Entonces la aplicación q : PB

B

88

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

tal que q(ω) = ω(l) es una fibración de Hurewicz con fibra el espacio de lazos

y espacio total PB contraíble. (Sugerencia: La aplicación

x B M ( I , B)

M(I, P B ) tal que

si 4s < t si t < 4s < 4 - t

(ω,a)(t)(s) =

si 4 - t < 4s es una ALT. Finalmente, la homotopía H: P B x I

PB tal que H(ω, s) =

ω s , donde ωs(t) = ω((l — s)t) es una contracción) 4.3.14

EJERCICIO.

B una fibración de Hurewicz con B

Sea p : E

conectable por trayectorias, y sean b0 y b1 puntos en B. Probar que las fibras F0 = p - 1 (b o ) y F1 = p-1(b1) son homotópicamente equiva­ lentes. (Sugerencia: Si a: b0 para cada punto e donde que e

b1

es una trayectoria, entonces se tiene

F0 una trayectoria

I

E tal que a =

es una ALT (véase 4.3.12). Entonces la aplicación F0

(e, a), F1

tal

(1) es una equivalencia homotópica.)

4.3.15

EJERCICIO.

Sea p: E

B una fibración de Hurewicz.

(a) Si B es contraíble a un punto b0 y F = p -1 (b 0 ) es la fibra, probar que se tiene una equivalencia homotópica φ:E conmuta el triángulo

B x F tal que

FlBRACIONES

donde

89

π:BxF

B es la proyección. (Sugerencia: Sea

H.BxI

B una contracción, es decir, una homotopía tal que H(b, 0) = b, H(b, 1) = b0 y sea T:ExB M(I, (p(e),r(e,

B)

M(I, B) tal

q u e ( t ) = H(b, t). Si

M(I, E) es una ALT (4.3.12), entonces φ(e) =

(p(e)))(l)) es la equivalencia homotópica buscada.)

Se dice, en este caso, que la fibración p: E

B es homotópicamente

trivial.

(b) Supóngase que B tiene una cubierta U formada por conjuntos abier­ tos contraíbles. Concluir que, para cada U ducida pu: EU = p-1U

U, la fibración in­

U (4.3.6) es homotópicamente trivial.

(Compárese esta propiedad con la definición 4.4.1.)

La siguiente proposición evidencia en cierta forma el carácter dual de la PLH y la PEH.

4.3.16 Proposición. Sea A

X cerrado. Supóngase que (X, A) tiene

la C-PEH y X es {ocalmente compacto y de Hausdorff. Si B es ¡ocalmente compacto y Y es tal que M{B, Y) (i: A

X) tiene la {B}-PLH.

C, entonces

: M(X, Y)

M(A, Y)

90

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

Demostración: Consideremos el cuadrado conmutativo

i# tendrá la {B}-PLH si existe

que haga los triángulos conmutativos.

Para esto, considérese el diagrama conmutativo

donde /' y H' corresponden a / y H bajo la biyección exponencial (apli­ cada dos veces), es decir f'(x)(b) = f(b)(x) y H'(a,t)(b) = H(b,t)(a). f y H' son continuas, ya que B y X son localmente compactos y de Hausdorff. Existe

por hipótesis; así, definiendo

tal que

t)(x) —

(x,t)(b), resulta continua (nuevamente, por ser B localmente com­ pacto; véase [14, Chap. XII]), y cumple con lo deseado.

4.3.17

NOTA.

En un bello trabajo, N. Steenrod [36] (véase también [11])

describe cómo, trabajando en la categoría de espacios compactamente generados, estudiados sistemáticamente por Kelley [21], la hipótesis sobre compacidad local se vuelve superflua para las consideraciones hechas en la demostración anterior.

FIBRACIONES

91

Se dice que un espacio topológico de Hausdorff es compactamente generado si cumple la condición

(CG) A

X es cerrado si y sólo si A C es cerrado para todo compacto

C en X.

Es decir, un espacio es compactamente generado si su topología es la topología débil generada por todos sus compactos, en otras palabras, si tiene la topología de la unión de sus compactos. Dado cualquier espacio de Hausdorff X, se puede definir en él una nueva topología usando (CG), que lo hace compactamente generado. Se denota por kX a X con esta nueva topología. Evidentemente, se tiene que id: kX

X es continua; de hecho, es un homeomorfismo si y sólo

si X es compactamente generado. Además, X y kX tienen exactamente los mismos compactos. También es claro que, ya que imágenes continuas de esferas yacen en compactos, X y kX tienen los mismos grupos de homotopía. En la categoría de espacios compactamente generados (también lla­ mados fe-espacios), a las construcciones tradicionales de nuevos espacios a partir de espacios dados se les aplica la construcción k para garantizar que estos nuevos espacios caigan en la misma categoría. En particular, el producto de dos espacios compactamente generados X y Y es k (X x Y)

92

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

en esta categoría; análogamente, k M(X, Y) es una buena definición de la topología de los espacios de funciones, con la cual resultan válidas, en general, las leyes exponenciales. La categoría de espacios compactamente generados es muy grande; de hecho, contiene a los espacios de Hausdorff localmente compactos y a los que satisfacen el primer axioma de numerabilidad, como los métricos ([43, 14]). Por construcción, también caen dentro de la categoría los complejos CW. Estos temas también los trata con detalle B. Gray en su libro [16]. A la luz de la nota anterior, la dualidad entre fibración de Hurewicz y cofibración se precisa más en la siguiente consecuencia de 4.3.16. 4.3.18 Corolario. En la categoría de los espacios compactamente ge­ nerados, sea i: A

X una cofibración.

compactamente generado B, de Hurewicz.

: kM(X, B)

Entonces para todo espacio kM(A, B) es una fibración D

Vale la pena en este punto enunciar algunos otros resultados que vinculan los conceptos de fibración y cofibración, resultados probados en [38] (publicación a la cual remitimos al lector para las demostraciones). 4.3.19 Teorema. Sea j:A son equivalentes:

X tal que j(A) es cerrado en X. Entonces

FIBRACIONES

93

(a) Dada una fibración de Hurewicz p:E

B y el diagrama conmuta­

tivo A

E

X

B,

existe un levantamiento h:X

E tal que p o h = f y h o j = g.

(b) j es una cofibración y una equivalencia homotópica.

Si (a) y (b) se cumplen, el levantamiento h de f es único, salvo homotopía relativa a j(A).

El siguiente es un resultado dual a 4.3.21.

4.3.20 Teorema. Sea p:E

B. Entonces son equivalentes:

X y el diagrama conmuta­

(a) Dada una cofibración (cerrada) j:A tivo A,

E

X

B,

existe un levantamiento h: X —► E tal que po h = f y h o j = g. (b) p es una fibración de Hurewicz y una equivalencia homotópica.

94

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

Si (a) y (b) se cumplen, el levantamiento h de f es único, salvo homotopía vertical respecto a p (es decir, la homotopía conserva fibras).

Finalmente, otro resultado interesante que vincula fibraciones y cofibraciones, también probado en [38] es el siguiente.

4.3.21 Teorema. Sea B normal. Si la pareja (B,Á) tiene la PEH, A cerrado en B, y p:E

B es una fibración de Hurewicz, entonces la

pareja (E,p-1(A)) tiene la PEH.

Demostración: Por el teorema 4.1.16, podemos tomar φ: B I

I y D: B x

B como en (b) de ese teorema. Ya que p es una fibración de

Hurewicz, existe un levantamiento H: E x

I

E de la homotopía D o

(p x id/) que hace conmutativo el diagrama

Defínase D': E x

I

E por D'(e,t) =

(e,mín{t,φp(e)}). D' y

φ' = φop satisfacen las hipótesis de 4.1.16 otra vez.

Analicemos ahora las fibraciones de Serre.

FlBRACIONES

95

4.3.22 Teorema. Si p: E

B es una fibración de Serre, entonces

p -1 (b) son los puntos básicos respecto

es un isomorfismo, donde b y e

a los cuales se toman los grupos de homotopía, q

Demostración: Sea F:

1.

(B, b) un representante de una clase

en π q (B). En particular, viendo a F como F: Iq-1 x

I

B,

ya que F = {b}, tenemos que F(x, 0) = b; así, si se toma /: B constante, f{Iq-l) = {e}, el diagrama Iq-1

E

Iq-1 x I es conmutativo. Por hipótesis, existe f(x) = (∂Iq)

ey

(x,t) = F(x,t).

p-1(b)

por lo que

π q (E,p - 1 (b)) tal que p*

Iq-1

B : Iq-1 x I

Ya que :I9

(∂Iq)

E tal que

(x, 0) =

= F(∂Iq) = {b},

E determina un elemento en

= [F]. Así p* es un epimorfismo.

Veremos ahora que p* es un monomorfismo. Para esto notemos que si tenemos una pareja punteada (X, A, x0) entonces puede establecerse una biyección [(B q ,S q - 1 ,*),(X, A, x0)]

[(Iq, ∂Iq, Jq-1), (X, A,x0)], donde

96

J q-1

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

—

xI I

q - 1

x {0}.

Por lo tanto, tenemos que (Iq∂IqJq-1)

πq(E,p-x{b),e) = [(I q ,∂I q , J q - 1 ) , (E,p - 1 (b),e)]. Sea

(E',p-1(b), e) un representante de un elemento en πg(E,p-1(b),e) tal que p*

= 1, es decir, po

0, y sea H: (Iq,∂Iq) x

I(B,b) una ho-

(y) y H(y,l) — b. Se tiene el diagrama

motopía tal que H(y,0) = conmutativo Iq Iq x

Iq x {0}

I

Iq x {1}

Iq

donde φ: (Iq x I,Iq x {0})

Jq-1

x

I

E

x I

B

(Iq x I , I q x {0} Iq x {1}

Jq-1

x I)

es un homeomorfismo de parejas y φ0 es la restricción a la tapa inferior, como lo muestra la figura 4.1.

(Iq x I,I q x {0} Iq x {1}

Jq-1

x I)

Figura 4.1 h|Iq x {0} —

y h|Iq x {1} Jq-1 x I es constante con valor e. Como

p es una fibración de Serre, existe K': Iq x I K'(y,0)= Entonces K = K' o φ-1; Iq x I K'φ-1(y,0)

= h(y,0) =

(y)

y

E tal que

p o K' = H o φ.

E es una homotopía tal que K(y, 0) = , K(y,l) =

K'φ-1(y,1)

= h(y,1) = e,

FIBRACIONES

K(Jq-1

97

x I) = {e} y, ya que pK(∂I q x I) = H{∂I q x I) = {b}, se tiene

que K{∂Iq x I)

p-1(b). Así K es una nulhomotopía para

= 1,

por lo que p* es un monomorfismo.

4.3.23 Corolario. Si p: E tiene, para b

B es una fibración de Serre, entonces se

B y F = p-1(b), una sucesión exacta

........ πg(F)

πq(E)

πg(B)

π q-1 (F) ........

Demostración: Tómese la sucesión de homotopía (3.3.5) para la pareja (E,F). Cada término πq(E,F) en ella puede, por 4.3.18, sustituirse por πq(B). Así, definiendo esta nueva ∂ como el isomorfismo

(pt)-1:πq(B)

πq(E,F) seguido del homomorfismo de conexión ∂ de la pareja (E,F) (3.3.5), obtenemos la sucesión exacta que deseábamos.

A esta sucesión se le conoce como sucesión exacta de grupos de ho­ motopía de la fibración de Serre p: E

B.

Veamos ahora una propiedad interesante de las fibraciones con res­ pecto a los retractos fuertes por deformación. Para esto recordemos que A

X es un retracto fuerte por deformación si existe una homotopía H:X x

I

X

98

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

tal que H(x,0) = x, H(α,t) = α, Así, r: X

x α

A, t

I

H(x,l) A, x X. A tal que r(x) = H(x, 1) es una retracción.

4.3.24 Proposición. Supóngase que p: E A

X

B es una C-fibración y que

X es un retracto fuerte por deformación tal que

A,X

C. Si

conmuta el cuadrado

es decir, p o g = f\A, entonces existe h:X h\A

E tal que p o h = f y

g.

Demostración: Sea H: X x I A y sea r: X sea g':X

A la, retracción. Sea F:X x I

B tal que F = f o H y

E tal que g' — g o r. Obtenemos el diagrama conmutativo

donde j1(x) = (x, 1). Ya que X E tal que p o

X la deformación de X que lo retrae a

=Fy

C y p tiene la C-PLH existe F: X x I

(x, 1) = g'(x). Si definimos h:X

(x,0) tenemos que ph(x) =

E por h(x) —

(x, 0) = F(x,0) = fH(x,0) = f(x) y

FIBRACIONES

99

(α, 0) = h(a) y, si α

4.3.25

EJERCICIO.

A,

(a, 1) = gf(a) = gr(a) = g(a), así, h|A

g.

Probar que si en 4.3.24, la inclusión es, además, una

cofibración, entonces se puede probar que existe h tal que h\A = g.

4.3.26

EJERCICIO.

Se dice que una aplicación f: B'

B es una equi­

valencia homotópica débil si para toda q, el homomorfismo inducido f*: πq(B')

πq(B) es un isomorfismo, véase 5.1.11. Sea p:E

B una

libración de Serre y sea p': E B' la libración inducida por p a través de /, de modo que se tiene un diagrama conmutativo E'

E

B1

B.

Probar que si f es una equivalencia homotópica débil, entonces también lo es.

(Sugerencia: Sea F la fibra común de p y p'. Se tiene un

diagrama conmutativo πq(E',F)

πq{E,F)

πq(B')

πq(B),

en el cual las flechas verticales representan isomorfismos por 4.3.22. Por hipótesis, la horizontal inferior es también un isomorfismo. Por lo tanto,

100

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

la horizontal superior también lo es. Aplíquese ahora la sucesión exacta de grupos de homotopía para cada una de las parejas (E1, F) y (E, F) (3.4.8(e)) y el lema del quinto para probar que

( E " ) π q ( E ) es

también un isomorfismo.)

El siguiente teorema generaliza 4.3.22.

4.3.27 Teorema. Sea p: E A

B, b

B una fibración de Serre. Entonces para

p -1 (b) se tiene un isomorfismo

A ye

p*: π(Ep-1A,e)

πq(B,A,b).

Demostración: Supongamos que f: (Iq, ∂Iq, Jq-1)

(B, A, b) representa

un elemento arbitrario de πq(B, A, b). Tenemos el diagrama conmutativo

donde g(Jq-1) = {e}. Ya que hay un homeomorfismo de parejas (Iq-1 x I, Iq-1 x {0}) existe h:Iq f(∂Iq) Jq-l)

(Iq, J q - 1 ) , análogamente a la demostración de 4.3.22, E tal que p o h = f y h|Jq-l = g. Ya que ph(∂Iq) =

A,h(∂Iq) (E,p-1A,e)

es un epimorfismo.

p-1A

y

h(Jq-1)

= {e} tenemos que h:(Iq,∂Iq,

representa una preimagen de [f]. Por lo tanto, p*

FIBRACIONES

101

(E,p-1A,e)

Supongamos ahora que g: (Iq, ∂Iq, J q - 1 ) pog

0 y sea F: (Iq,∂Iq, Jq-1) x I

es tal que

(B, A,b) una nulhomotopía, es

decir, F(s, 0) = pg(s) y F(s, 1) = b. Tenemos el diagrama conmutativo

donde f(s, 0) = g(s), s Iq; f(s, 1) = e, s Iq; f(s, t) = e, s I. Nuevamente, como en la demostración de 4.3.22, existe E tal que p o F(∂P x 7)

= F y

(s,0) = g(s),

Jq-1

t

:Iq x I

(s, 1) = e; además, ya que

A, F(∂Iq x I) p-1 A, por lo tanto

: (Iq, ∂Iq, Jq-)

(E,p-1 A, e) es una nulhomotopía de g, por lo que [g] = 1. Así, p* es un monomorfismo. El concepto de casifibración, introducido por Dold y Thom [12], que presentaremos a continuación está confeccionado exactamente para obte­ ner la sucesión exacta de grupos de homotopía que tienen las fibraciones de Serre. Del teorema 4.3.22, se inspira la siguiente definición. 4.3.28 DEFINICIÓN. (Dold-Thom) Una aplicación p:E

B se llama

una casifibración si para todo punto b

p-1(b)

p*:.πq(E, p-1(b))

B y para toda e

πq(B)

(los grupos basados en e y b respectivamente) es un isomorfismo para toda q

0.

102

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

De igual forma que 4.3.23, se puede probar lo siguiente. 4.3.29 Proposición. Sea p: E e

B una casifibración y sean b

B,

p-1(b) = F. Entonces se tiene una sucesión exacta larga

(4.3.30)

πq(F)πg(E)

πq(B)

πq-1(F)

Ésta es la llamada sucesión exacta de grupos de homotopía de la casifi­ bración p: E

B.

En el apéndice A se recogen una serie de criterios para determinar cuándo una aplicación es una casifibración. Son resultados que aparecen en [12], que por ser sus demostraciones técnicamente más complicadas que las que aquí se incluyen, se prefirió no tratarlos aquí.

4.3.31

N O T A . LOS

trabajos de

[37] y [38] tratan en forma siste­

mática las cofibraciones y sus relaciones con libraciones. Su lectura es un excelente complemento al material tratado en las tres últimas secciones.

4.4

FlBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

En esta sección revisaremos el concepto de fibración localmente trivial, que es parte de un concepto más estructurado que es el de "haz fibrado". Este último puede estudiarse con detalle en varios libros; en especial,

FIBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

103

podemos referir al lector al libro clásico de Steenrod [35], al de Husemöller [20] o al libro por aparecer [32]. Al igual que las fibraciones de Serre, que, en general, no son fibraciones (de Hurewicz), las localmente triviales no son tampoco, en general, fibraciones (de Hurewicz), aunque sí lo son de Serre. Algunos autores las llaman "espacios fibrados localmente triviales".

4.4.1 DEFINICIÓN. Una aplicación p: E trivial con fibra F si cada punto b

B es una fibración localmente

B tiene una vecindad U

B tal

que existe un homeomorfismo φU'-U x F . p-1U que hace conmutativo el triángulo

donde pu =

p|p-1U:p-1U

U y π es la proyección en U. De esta

conmutatividad se obtiene que para cada b homeomorfismo de πr-1(b) = {b} x F

U, φU se restringe a un

F en p-1(b). Por esto se dice que

la fibra es F (compárese con 4.3.14(b)).

4.4.2 E J E M P L O . Si podemos tomar U = B, es decir, si E tenemos una fibración trivial. Si E = B x F entonces p = proy fibración producto.

B x F, B

es la

104

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

4.4.3

EJEMPLO.

Una fibración localmente trivial p:E

B, cuya fi­

bra F es un espacio discreto, es una aplicación cubriente.

En par­

ticular, una aplicación cubriente siempre es un homeomorfismo local.

Figura 4.2

4.4.4 Lema. La fibración trivial es una fibración de Hurewicz.

Demostración: Basta suponer que la fibración trivial es la fibración pro­ ducto p = proy β : B x F

Si f: X I

B. Consideremos el cuadrado conmutativo

E = B x F es tal que f(x) = (f'(x), f"(x)), defínase

E = B x F por

t) = (H(x, t), f"(x)).

X x

105

FIBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

4.4.5

EJEMPLO.

El lema 4.4.4 no es válido si la fibración sólo se supone

homotópicamente trivial, es decir, E cación p: E

B x F, como lo muestra la apli­

I tal que E = {0} x I I x {0}, F = {*} y p es la primera

proyección (véase la figura 4.3), ya que la trayectoria α = id/: tiene un levantamiento

I

I

I no

E tal que δ(0) = (0,1). (Compárese con

4.3.12.)

Figura 4.3 4.4.6 Teorema. Toda fibración localmente trivial es una fibración de Serre. Demostración: Sea p: E

B una fibración localmente trivial. Hay que

demostrar que para un cuadrado conmutativo

existe b

Iq x I

E tal que p o

= H,

o j0 = f. Para cada punto

H(Iq x I) existe una vecindad U(b) de b tal que pu(b) es trivial

106

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

y sea φU(b):F x U(b)

EU(b)

= p-1U(b) un homeomorfismo. Ya que

H(Iq x I) es compacto podemos cubrirlo con un número finito de tales vecindades U(b); digamos, U 1 ,...,U k . Como Iq x J es un espacio métrico compacto, existe un número

llamado número de Lebesgue de la

cubierta {H - 1 (U i )}, tal que todo subconjunto de diámetro menor que ε está contenido en alguna H-1(Ui)). Por lo tanto, podemos subdividir I9 en subcubos y tomar números 0 = to < t1 < • • • < tm = 1, de manera que si c es una n-cara, entonces la imagen de c x [tj, tj+1] bajo H yace en alguna Ui (las 0-caras son los vértices, las 1-caras son las aristas, etc.). Supongamos que hemos construido

en I9 x [to,tj]- Entonces

en Iq x [tj, tj+1], definiéndola en cada n-subcara, por

construiremos inducción en n.

Si c es una 0-cara, escojamos una Ui tal que H(c x [tj, tj+1]) Ui; ya que

= H(c,tj),

entonces(c,tj)

φUi (H(c,t),

E Ui . D e f i n i m o s ( c , t ) =

t[tj,tj+1], que está bien definida y es

continua. Supongamos que hemos construido

en

[tj,t j+1 ], para toda cara

c de dimensión menor que n, y sea c una n-cara. Escojamos una Ui tal que H(c x ∂c x

Ui. Por h i p ó t e s i s e s t á definida en c x {tj} Claramente existe un homeomorfismo de c x

sí mismo que manda c x {tj}

∂c x

en

sobre c x {tj}, así que por

FIBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

107

4.4.4 podemos completar el diagrama

Componiendo este levantamiento

con φi, definimos a

en c x

[tj, tj+1]. De esta manera completamos la inducción y obtenemos [0,t j + 1 ]. Finalmente, por inducción sobre j, definimos

I9 x

en I 9 x I.

4.4.7 E J E R C I C I O . Utilizando el mismo método de la demostración de 4.4.6, probar la siguiente afirmación:

4.4.8 Proposición. Sea p:E

B continua tal que existe una cubierta

abierta {U} de B de modo que para cada abierto U de la cubierta, pU es una fibración de Serre. Entonces p es una fibración de Serre.

4.4.9 E J E R C I C I O . Sea p: E

B una aplicación cubriente, tal que B es

conectable por trayectorias. Probar que p tiene la propiedad del levan­ tamiento único de trayectorias, es decir, es tal que dada una trayectoria a: I

B y un punto y

p -1 (α(0)), existe una única trayectoria a: I

E tal que a(0) =y y p o a = a. (Sugerencia: Ya que p es una fibración de Serré, el levantamiento siempre existe. Para probar que es único, demostrar que cualesquiera dos levantamientos con el mismo punto inicial

108

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

y tienen que ser homotópicos fibra a fibra, usando nuevamente el hecho de que p es de Serre, y ver que, por ser la fibra discreta, eso es sólo posible si ambos coinciden.)

El siguiente es un ejemplo muy importante.

4.4.10

EJEMPLO.

Sea S 3

S3 = {{z,z')

C x C definido como Cx C

|

+

e identifiquemos la esfera de Riemann, C la proyección estereográfica, e:S 2 e

C

= (1/1 — z)(x + iy), si z < 1 y e(0,0,1) =

la figura 4.4.

Figura 4.4

=1} con S2, a través de tal que, s i =

(x,y,z),

como se muestra en

109

FIBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

Tenemos la aplicación S2 = C

p: S 3 tal que p(z,z') = z/z' (= trivial con fibra S1 = { Sean U = S2 -

si z' = 0). p es una fibración localmente C |

= 1 } , como veremos a continuación.

(= C) y V = S2 - {0}. Definimos un homeomor-

fismo φu-.U x S1 tal que φu(z,

=

con inverso :p-1U

tal que

p-1U

U

xS1

(z, z') = (z/z', z'/\z'\).

Definimos el otro homeomorfismo

φy.V x S1 tal que φv(z, =

φv

=

, si z

C - 0, y

, con inverso :p-1V

tal que

p-1V

VxS1

(z, z') = (z/z', z/|z|), si z' ≠ 0 y

Tenemos así que p: S3

(z, 0) =

S2 es localmente trivial. A esta fibración

localmente trivial se le llama fibración de Hopf.

110

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

4.4.11 Proposición. Si p:E f:B'

B es una fibración ¡ocalmente trivial, y

B es continua, entonces la aplicación p': E'

B' inducida por

p a través de f es una fibración localmente trivial con la misma fibra F que p.

Demostración: Sean

b

B' y U una vecindad de f(b') en B tal que

existe un homeomorfismo

que hace conmutativo el triángulo

Sea U' = f-1U. U' es una vecindad de b' y la aplicación

:U' x F

(tf)-1 U' tal que φU'(x',y) = (x',φu(f(x'),y)) es un homeomorfismo que hace conmutativo el triángulo

4.4.12

EJEMPLO.

Sea R el espacio de los números reales y tómese la

aplicación exponencial p:R tal que p(í) t - t

Z. Así, S1

S

1

S1

C . Claramente p(t) = p(t') si y sólo si

R/Z como grupos abelianos y como espacios

FIBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

111

topológicos. Veamos que es una libración localmente trivial con fibra Z, (véase la figura 4.5). Sea U = S1 - {1}. p-1U = R - Z. Tenemos el homeomorfismo

tal que

que hace conmutar el triángulo

(t) =

donde [t]

Z es tal que t = [t] + t' con

0 < t' < 1. Su inverso φU: U x Z p-1 U es tal que, si 0 < t < 1, y

φU

U con

=n + t.

Figura 4.5 Análogamente, si V = S1 - {-1}, p-1V = R - (Z + 1/2) = {t R | t

n + (1/2); n

Z}, definimos

:p-1

V

V x Z por

[í + (1/2)]), con inverso φv: V x Z p-1 V tal que si con - 1 / 2 < t < 1/2 , φv

=n + t.

(t) = V

112

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

De 4.3.23 y 4.4.6 obtenemos para este ejemplo una sucesión exacta (4.4.12)

•••

π q (Z) •••

πq(S1)

πq(R)

π1(R)

π 1 (S 1 )

π 0 (Z)

π q - 1 (Z)

•••

π 0 (R).

Ya que Z q=0

π q (Z)

0

y

πq(R) = 0

q>0

obtenemos el siguiente resultado.

4.4.13 Teorema. πq(S1) =

Z, q = 1

Es decir, hemos probado que S1 es un espacio de Eilenberg-Mac Lane de tipo K(Z, 1) (véase el capítulo 5).

4.4.14

EJERCICIO.

Sea p: E

B una aplicación cubriente tal que B es

conectable por trayectorias y {ocalmente conectable por trayectorias, es decir, tal que para cada punto b una vecindad V

B y cada vecindad U de b en B, hay

U de b que es conectable por trayectorias. Sea X

conectable por trayectorias. Probar que para toda aplicación f: X y para puntos x0 f:X

X y y0

p-1(f(x)),

B

existe un único levantamiento

E tal que f(x0) = y o si y sólo si

FIBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

(Sugerencia: Para cada punto x

113

I sea α:I

X una trayectoria

tal que α(0) = x0 y α(l) = x. Por 4.4.9, existe una única trayectoria I E tal que a(0) = yo y p o f(x) =

= a. Defínase

E tal que

(1). Usando las hipótesis, probar que

está bien definida y es

continua.)

4.4.15 EJERCICIO. Sea p:E

B una aplicación cubriente tal que E es

conectable por trayectorias (esta última suposición la incluyen muchos autores en la definición de aplicación cubriente). (a) Probar que se tiene una acción transitiva del grupo fundamental de la base π1(B, bo) en la fibra F = p-1bo tal que si [a] y

F, entonces y • [a] =

, donde

I

π1(B,bo) y

E es el levantamiento

de α tal que δ(0) = y (véase 4.4.9). En otras palabras, probar que y•1 = y, que y•

= (y•[a])•[β], 1, [a], [β] Є π 1 (B,b o ), (es decir,

π 1 (B, b0) actúa en F) y que dados y1, y2,

F existe [a]

π1(B, b0)

tal que y1 • [a] = y2 (es decir, la acción es transitiva). (Sugerencia: La acción se define usando la propiedad del levantamiento único de trayectorias 4.4.9. Para probar que es transitiva, dados y1 y y2 tómese una trayectoria

de y1 a y2 y defínase a = p o

(b) Probar que el homomorfismo p*: π1(E, y0) morfismo. (Sugerencia: Si E tal que

I

π1(B, bo) es un mono-

E es una trayectoria cerrada en

== y0 y tal que a =

p0

e n B , entonces

114

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

hay un levantamiento de una nulhomotopía de a que define una nulhomotopía de (c) Sea yo

F. Probar que la función [a]

y0

• [a] define un iso-

morfismo (como conjuntos) entre el conjunto de clases laterales (derechas) de p * π 1 (E,y 0 ) en π1(B,bo) y F. (Sugerencia: y0 • [a] = y0 • [β] si y sólo si p*π1(E, y0)[a] = p*π1(E, yo)[β].) (d) Supóngase que E es simplemente conexo, es decir π1(E) = 1. Con­ cluir que, como conjuntos, π1(B,b0) briente p: E

F. A una aplicación cu­

B tal que π1(E) = 1 se le llama aplicación cubriente

universal. 4.4.16 E J E R C I C I O . Sea p:R p(t) = exp

S 1 la aplicación exponencial, es decir,

Probar que p es una aplicación cubriente universal,

por lo que (al menos como conjuntos; véase la figura 4.6), π1(S1)

Z.

(Cf. 4.4.12.) 4.4.17 E J E R C I C I O . Sea p:S n

RP n , n

1.

Probar que p es una

aplicación cubriente universal tal que su fibra F consiste de dos puntos. Concluir que π 1 (RP N ) = Z/2. 4.4.18 N O T A . LOS resultados enunciados en los ejercicios 4.4.15(b) y (c) se pueden obtener de la sucesión exacta larga de grupos de homotopía de una libración de Serre (véase 4.3.23).

FIBRACIONES LOCALMENTE TRIVIALES

115

Figura 4.6

4.4.19 E J E R C I C I O . Sea B un espacio conectable por trayectorias, localmente conectable por trayectorias y semilocalmente 1-conexo, es decir, tal que para todo punto b la inclusión i:V

B existe una vecindad V

B de b, tal que

B cumple que i*π1(V,b) es trivial en π1(B,b). Pro­

bar que existe una aplicación cubriente universal p: E

B, es decir, tal

que E es conectable por trayectorias y simplemente conexo (π1(E) = 1). (Sugerencia: Sea b0

B. Tómese una cubierta de B formada por con­

juntos abiertos, no vacíos, conectables por trayectorias Vj, j

J como el

abierto V de arriba, y para cada j tómese aJ una trayectoria en B tal que a(0) = b0 y a(1)

Vj, de manera que si b0 Vj, o, es la trayectoria cons­

tante; y para cada b

sea gij(b) =

π1(B,b0), donde

es una trayectoria en Vk de a k (l) a b, k = i,j (véase la figura 4.7). Fórmese la unión ajena

Vj x {γ} x {j}

Bx π1 (B, b0) X J, π1(B, b0)

116

PROPIEDADES DE EXTENSIÓN Y LEVANTAMIENTO DE HOMOTOPÍAS

y J discretos, e identifíquense (b, γ, j) y (b',γ', i) si b = b' y γ' = gij{b)γ para obtener un espacio topológico E y una aplicación p: E

B. Ésta es

la aplicación cubriente buscada. -Cf. la construcción de haces vectoriales usando cociclos 7.1.1-.)

Figura 4.7

CAPÍTULO 5

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

Para poder definir los grupos de cohomología, cosa que haremos en el próximo capítulo, es necesario definir unos espacios particulares, llamados espacios de Eilenberg-Mac Lane, que ya hemos mencionado antes. Para hacerlo, conviene, en primer lugar, hacer un estudio de una clase muy importante de espacios, llamados complejos CW, dentro de la que se encuentran los espacios de Eilenberg-Mac Lane. Los espacios de Eilenberg-Mac Lane pueden construirse a partir del concepto de "potencias simétricas infinitas".

Esta construcción se le

aplica a ciertos espacios, que por construcción son complejos CW, llamados espacios de Moore. Dold y Thom, en el bello trabajo [12], construyen los espacios de Eilenberg-Mac Lane, a partir de los espacios de Moore,

117

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

118

haciendo uso de varias técnicas que revisaremos en este capítulo.

5.1

COMPLEJOS CW

En esta sección introduciremos esta importante clase de espacios topológicos, que se obtienen de ir adjuntando sucesivamente células de di­ mensión n, para cada n

0. Una gran parte de los espacios de interés

que estudia la topología algebraica forman parte de esta clase. Así mismo, muchas de las construcciones que haremos en este capítulo, generan com­ plejos CW.

5.1.1

DEFINICIÓN.

que I0

Sea

una sucesión de conjuntos ajenos, tal

A partir de esto construimos una sucesión de espacios

topológicos {Xn} inductivamente como sigue:

(i) Xo = I0, con la topología discreta en I0. (ii) Si Xn-1 ya ha sido construido, entonces Xn = Xn-1 si In = Φ. Si In

suponemos que tenemos una familia de aplicaciones llamadas aplicaciones características,

y consideramos Dn =

Sn =

Sn-1

= Dn,

Dn,

= S n - 1 . La colección {φi} determina una aplicación φn: Sn Xn-1

tal que

= φi Definimos Xn =

Xn-1

COMPLEJOS CW

119

(iii) Claramente se tienen encajes cerrados

Xn-1

con la topología de la unión (K K

Xn. Se define X — X es cerrado

Xn es cerrado para toda n).

Un espacio topológico X obtenido de esta manera se llama complejo CW, al igual que cualquiera homeomorfo a él. Al subespacio Xn se le llama n-esqueleto de X.

Es sencillo probar que todo complejo CW es de Hausdorff y normal (de hecho, paracompacto [31]; véase también [24]), así como localmente conectable por trayectorias. Sea qn: Xn-1 A

=

Xn la identificación de 5.1.1(ii) y sea

= qn

se le llama n-célula abierta de X (que es abierto en Xn,

pero no en X, en general) y es homeomorfa a

. A

=

se le

llama n-célula cerrada de X (que es cerrada tanto en Xn como en X) y, en general, no es homeomorfa a Dn.

5.1.2

EJEMPLOS.

Son complejos CW los siguientes

(a) Los espacios proyectivos CP n , que construidos como se verá en la demostración de 5.3.2, tienen una 0-célula, una 2-célula,. ..y una 2n-célula.

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES

120

ASOCIADAS

(b) Las esferas Sn son dos 0-células (los polos) dos l-células,. ..y dos n-células (los dos hemisferios). (c) Los complejos simpliciales o poliedros. (d) Las variedades diferenciables.

5.1.3

EJERCICIO.

Probar que otra posible descomposición de la esfera

Sn como complejo CW consiste de una 0-célula y una n-célula. De hecho, esta descomposición es única (salvo homeomorfismo).

Una propiedad importante de los complejos CW es la siguiente, que formularemos más generalmente para cualquier espacio de Hausdorff X = Xn,

X1

X2

X3

• • •, con la topología de la unión.

5.1.4 Lema. Sea X =

Xn, X1

X2

X3

•••, un espacio de

Hausdorff con la topología de la unión. Entonces todo compacto K

X

yace en Xn para alguna n.

Demostración: En caso contrario, existiría una sucesión {xn} tal que xn

K, xn

Xn.

Tanto esta sucesión como cualquier subsucesión

son subconjuntos cerrados de X, pues su intersección con cada Xn es finita y X, y por lo tanto Xn, es de Hausdorff. {xm,xm+1,xm+2,...},

Las subsucesiones

m = 1,2,3,..., constituyen un sistema anidado

COMPLEJOS CW

121

de subconjuntos cerrados de K cuya intersección es vacía, aunque la intersección de cada subsistema finito es no vacía. Ésta sería una con­ tradicción a la compacidad de K.

Nótese que para obtener la afirmación de 5.1.4, es suficiente pedir que X sea un espacio T1 (es decir, tal que todo punto es cerrado en X).

5.1.5 Corolario. Sea X un complejo CW y K C X compacto. Entonces Xn para alguna n.

K

5.1.6

DEFINICIÓN.

X, decimos que

Si X es un complejo CW y A

A es un subcomplejo de X si para toda célula abierta A

se tiene que

A; a la pareja de espacios (X, A) se le llama pareja

CW.

La siguiente es una propiedad importante que tiene la construcción de los complejos CW adjuntando células.

5.1.7 Lema. Sea A un espacio topológico y sea X el resultado de adjun­ tarle a A n-células. Es decir, se tiene una aplicación y, si Dn =

, X =

extensión de homotopías.

φ:Sn=

A

Dn. Entonces (X,A) tiene la propiedad de

122

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

Demostración: Por 4.1.7 basta con construir una retracción r:X x I X x 0

A x I. Sea q: Dn

Sea r':Dn x I x0

X la identificación de la adjunción.

Dn x 0

Sn x I tal que

x

xI

x I es la retracción de 4.1.19. Entonces r' determina una

aplicación r": (Dn

A) x I = Dnx I Ax I

Dnx 0 Sn x I Ax

I.

En el diagrama

las flechas verticales son identificaciones y la composición (q x id|) o r" es compatible con q x id, por lo que determina la retracción r deseada.

5.1.8 Proposición. Sea X un complejo CW y sea A un subcomplejo. Entonces (X, A) tiene la propiedad de extensión de homotopías.

Demostración: Sea Xn el n-esqueleto de X y sea

= Xn

truiremos, por inducción, una familia de retracciones rn: 0 A x I tales que

una retracción r:X x I (X, A) tendrá la PEH.

x

I

Xn x

x I = rn-1. De este modo, ya que X =

tiene la topología de la unión de los subespacios la de los subespacios

A. Cons­

y, por lo tanto, X x I

x I, la familia de retracciones rn determinará X x 0 A x I, por lo que, por 4.1.7, la pareja

COMPLEJOS CW

Ya que

123

no es más que la unión de A con puntos aislados, la

retracción r 0 :

x

I

Xo x 0

A x I es obvia.

Supongamos construidas retracciones r 0 . . . , r n - 1 , cada una extensión se obtiene de

de la anterior. Ya que

5.1.7, existe una retracción

x

adjuntando n-células, por I

x0

x I. Tómese la

composición rn:

x I

x0

x

Xn x 0

I

A x I.

Así, rn extiende a rn-1 por lo que la retracción buscada queda definida.

De estos dos últimos resultados obtenemos una interesante aplicación.

5.1.9 Corolario. Sea X un complejo CW de dimensión n, conectable por trayectorias.

Entonces se puede cubrir X con n + 1 subconjuntos

abiertos, contraíbles en X.

Demostración: Construiremos los abiertos por inducción sobre la dimen­ sión de los esqueletos. Observemos, en primer lugar, que dado cualquier subconjunto discreto Y

X, éste se puede contraer en X a un punto x0;

a saber, para cada punto x

Y sea ωx:I

X una trayectoria tal que

comience en x; y termine en X0; entonces la deformación DY: Y x I tal que DY(x, t) = ωx(t) deforma Y a x0 en X.

X

124

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

Si Xo es el 0-esqueleto de X, entonces la pareja (X, Xo) tiene la PEH por 5.1.8, y existe un abierto Vo y una deformación D 0 :V 0 x I

X tal

que D0(x, 0) = x y D0(x, 1) X o . Así, la homotopía D°(x, 2t) si 0 < t < 1/2 H°(x,t) = Dxo(D°(x,l),2t-1) si 1/2 < t < 1 deforma el abierto Vo a x0 en X. Supongamos ahora que ya hemos cubierto el (k — l)-esqueleto Xk-1 con abiertos Vo, V1,..., Vk-l en X que se deforman a x0 en X. Tenemos que la diferencia Xk — Xk-l =

= Wk es un abierto en

Xk tal que se deforma al conjunto discreto Xk consistente de los centros puesto que cada una de éstas se deforma a su

de cada célula abierta centro, y sea Fk: Wk x I

X una tal deformación, que empieza con

la inclusión y termina con una retracción r': Wk

Xk. Por otro lado,

otra vez por 5.1.8, la pareja (X, Xk) tiene la PEH, por lo que existe una vecindad abierta V de Xk en X y una deformación D:V x I X que empieza con la inclusión y termina con una retracción r: V Xk. Sea Vk

=

r-1Wk)

V; entonces Xk - Xk-1

Vk, por lo que

{Vo, V1,..., Vk-l, Vk} es una cubierta de Xk por abiertos de X. Sea Dk = D|Vk x I, que es tal que termina en la retracción r|Vk:Vk Entonces Hk:Vk x I k

H (x,t) =

X tal que Dk(x,3t) Fk(r(x), 3t - 1) DXk(r'r{x), 3t - 2)

si0≤t≤l/3 si 1/3 < t < 2/3 si 2/3 < t < 1,

Wk.

COMPLEJOS CW

125

deforma el abierto Vk a x0 en X. De esta manera, X se puede cubrir con los n +1 abiertos Vo, V1,..., Vn-1

Vn contraíbles en X.

5.1.10

NOTA.

Se define la categoría de Lusternik-Schnirelrnann de un

espacio topológico X como el mínimo número k de subconjuntos abiertos V o , V 1 , . . . , Vk, contraíbles en X, que cubren a X. Así, 5.1.9 afirma que la categoría de Lusternik-Schnirelmann de un complejo CW X conexo, de dimensión n es menor o igual que n + 1.

Los complejos CW constituyen la clase de espacios topológicos más conveniente para hacer teoría de homotopía. A continuación mencionare­ mos un concepto muy importante relacionado con estos espacios y enun­ ciaremos el teorema central al respecto. Una buena referencia para la demostración de este resultado y de otras propiedades importantes es [34].

5.1.11

DEFINICIÓN.

Una aplicación f: X

Y entre espacios topológicos

arbitrarios se llama n-equivalencia, si el homomorfismo f*:πq(X,x) es un isomorfismo para q

πg(Y,f(x))

n y un epimorfismo para q = n + 1. Se dice

que / es una equivalencia homotópica débil, si es una n-equivalencia para

126

toda n

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

0. Decimos también que f: (X, A)

homotópica débil de parejas, si tanto

f:X

(Y, B) es una equivalencia Y como

f\A:A

B son

equivalencias homotópicas débiles. 5.1.12

EJERCICIO.

Probar que si

Y es una equivalencia ho­

f:X

motópica (punteada) entonces / es una equivalencia homotópica débil. Para la demostración del siguiente resultado véase [34, 7.8.1] y [34, 7.G.1]. 5.1.13 Teorema. Dada una pareja arbitraria (X, A) de espacios topológicos, existe una pareja CW, de parejas φ:

(X, A). A

y una equivalencia homotópica débil junto con φ se le llama apro­

ximación CW de (X, A). Si y f: (X, A)

(Y,B) es aproximación CW

(Y, B) es continua, entonces existe una aplicación, única

salvo homotopía,

, tal que el diagrama

conmuta salvo homotopía, es decir, f o φ

(a través de una

homotopía de parejas). Más adelante demostraremos el caso absoluto de este resultado, es decir, cuando A =

Véase 5.4.26.

COMPLEJOS CW

127

Es una consecuencia de esta propiedad que si

,φ y

,

φ' son aproximaciones CW de (X, A), entonces existe una equivalencia homotópica débil h: φ' oh

única salvo homotopía, tal que

φ. (h =

5.1.14

NOTA.

Un famoso teorema de J. H. C. Whitehead ([34, 7.6.24])

afirma que toda equivalencia homotópica débil entre parejas de complejos CW es una equivalencia homotópica. Así, las aproximaciones CW son únicas salvo homotopía.

5.1.15

DEFINICIÓN.

de parejas φ: (X, A) A)

Yn

Sean (X,A) y (Y,B) parejas CW. Una aplicación (Y, B) se llama celular si para toda n

0, φ{Xn

B.

El siguiente teorema de aproximación celular está probado en [34, 7.6.17].

5.1.16 Teorema. Sean (X,A) y (Y,B) parejas CW y sea

f:(X,A)

(Y, B) una aplicación de parejas. Entonces existe una aplicación celular φ: (X, A)

(Y, B) tal que φ

f rel A.

A continuación daremos algunos resultados sobre la homotopía de los complejos CW.

128

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

5.1.17 Proposición. Sea X un complejo CW e i: Xn Entonces

i*:πr(Xn)

X la inclusión.

πr(X) es un isomorfismo para r < n y un epi-

morfismo para r = n. n y sea [f]

Demostración: Sea r aplicación celular φ:Sr

πr(X).

Por 5.1.16 existe una

X tal que [f] = [φ].

φ, por ser celular, se

factoriza como φ:Sr

XT

Xn

X,

por lo que i*([φ']) = [f]. Esto demuestra que i* es suprayectiva para r

n. Para probar que i* es inyectiva si r < n, sea [g]

πr(Xn)

tal

que i*([g]) = 0. Por 3.1.5, i o g se puede extender a una aplicación h: (D+1, Sr)

(X, Xn) y, por 5.1.16, existe una aplicación celular φ:

(W+1, S r ) --> (X, Xn) tal que (Dr+1) y, además,

h rel Sr. Por ser Xr+1

Xn = Xn

|S r = h|Sr = i o g; es decir,

celular, se tiene X

W+1 —> Xn es una extensión

de g, por lo que [g] = 0.

5.1.18

DEFINICIÓN.

Sea X un espacio punteado y n

X es n-conexo si π r (X) = 0 para r

0. Se dice que

n. En particular, X es 0-conexo si

y sólo si X es conectable por trayectorias.

COMPLEJOS CW

129

Como consecuencia de 5.1.17 tenemos lo siguiente.

5.1.19 Corolario. Sea X un complejo CW con una sola 0-célula y todas las demás de dimensión mayor que n. Entonces X es n-conexo.

Demostración: Por hipótesis, Xn = *. Por 5.1.17, i * :π r (X n ) es un epimorfismo para r

n; por lo tanto, π r (X) = 0 para r

π r (X) n.

W1

Sean X y Y complejos CW con aplicaciones características X | i

In, n

0} y

W1

Y | j

Jm, m

0}. Entonces

podemos considerar el producto X x Y y las aplicaciones características X x

Y|(i,j)

InxJm,n

0, m

0}.

Para que éstas definan una estructura de complejo CW en X x Y es necesario imponer ciertas restricciones X x Y. Una de ellas se obtiene del siguiente resultado debido a Milnor [24, II.5].

5.1.20 Proposición. Sean XyY complejos CW. Si

(a) XoY es localmente compacto, o bien (b) X y Y tienen una cantidad numerable de células

Entonces X xY es un complejo CW.

130

5.1.21

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS NOTA.

Otra manera de lograr que X x Y sea un complejo CW es

cambiar su topología y considerar la topología compactamente generada k(X x Y). Véase 4.3.16. Sea X un complejo CW con aplicaciones características { X | i

In, n

0} y A C X un subcomplejo cuyas células están etique­

tadas por la subfamilia Hn si n > 0 y K0 = (I0 — H0)

In, n

0. Defínase la familia Kn = In—Hn,

{i0}, donde i0

H0. Sea p:X

aplicación cociente y consideremos la familia {p o Kn, n

5.1.22

Sn-1

Sn-1

X/A la X/A \ i

0}.

EJERCICIO.

Kn, n

Probar que la familia {p o

Sn-1

X/A | i

0}, definida arriba, determina una estructura de complejo CW

en el espacio cociente X/A.

Consideraremos ahora la siguiente definición, que en cierto sentido es dual a 2.6.1.

5.1.23

DEFINICIÓN.

Sean X y Y espacios punteados con puntos básicos

x0 y y0 respectivamente. Se define su producto reducido X A Y como el cociente

Xx

Y/Xx{y0}

{x0} x Y.

COMPLEJOS CW

5.1.24

EJERCICIO.

131

Probar que la suspensión reducida, definida en 2.7.1,

de un espacio punteado X, S1

X es precisamente el producto reducido

X (al menos si X es un complejo CW). En consecuencia, ya que este

producto es asociativo, Sn = S1

• • • S1, donde se toman n copias de

S 1 . Concluir que la n-suspensión reducida de X,

X = S"

X. (¿Qué

tan general puede hacerse esta afirmación?)

5.1.25 Proposición. Sea X un complejo CW tal que su esqueleto Xr-l

= {*} y sea Y un complejo CW tal que su esqueleto Ys-1 = {*} y

supóngase que ambos tienen una cantidad numerable de células y que su punto básico es *. Entonces su producto reducido X

Y es un complejo

CW (r + s — 1) -conexo.

Demostración: Por la proposición 5.1.20, el producto X x Y es un com­ plejo CW, con células de la forma {*} x y n X

,

x {*} o

x

, con m

r

s. Las células de los primeros dos tipos forman el subcomplejo Y de X x Y; así, por el ejercicio 5.1.22, X

Y = X x

Y/X

Y

es un complejo CW con una 0-célula y con todas sus demás células de dimensión mayor que r + s — 1. Por el corolario 5.1.19, tenemos que πq(X

Y) = 0 para q

r + s — 1.

5.1.26 Corolario. Sea X un complejo CW punteado. Entonces su nsuspensión

X es un complejo CW, al menos (n — 1)-conexo.

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

132

Demostración: Es una consecuencia inmediata de 5.1.25 y del ejercicio 5.1.24.

5.2

POTENCIAS SIMÉTRICAS INFINITAS

Las potencias simétricas infinitas, que definiremos, nos permiten defi­ nir los espacios de Eilenberg-Mac Lane a partir de ciertos espacios que llamaremos espacios de Moore. A su vez, también haciendo uso de las po­ tencias simétricas infinitas definiremos los grupos de homología ordinaria con coeficientes en los enteros. Supondremos en este capítulo que los espacios considerados son espa­ cios punteados así como también que las aplicaciones entre ellos respetan el punto básico.

5.2.1

DEFINICIÓN.

Sea X un espacio topológico punteado y

• • • x X su n-ésima potencia cartesiana. Si

= X x

designa al grupo simétrico

o de permutaciones del conjunto { 1 , . . . , n}, tenemos una acción derecha de éste en

, intercambiando coordenadas, a saber, si σ (x1,...,xn)σ

= (xσ ( 1 ) , . . . , xσ(n)), xi X.

El espacio de órbitas SP"X =

Σn entonces

P O T E N C I A S S I M É T R I C A S INFINITAS

133

con la t o p o l o g í a cociente (identificamos a se l l a m a la n-potencia simétrica de X. clase de

(x1,...,

xn). Si x 0

Denotemos por

[X0,

a la

X1, . . . , Xn]

1 y t e n e m o s la u n i ó n SPX=

SPnX

p r o v i s t a de la t o p o l o g í a de la unión, a saber, B

simétrica

[x1,...,xn]

Σn)

SPn+lX

[X1, . . . ,X n ]

sólo si, B

, σ

X es el p u n t o básico t e n e m o s inclusiones SPnx

para n

con

S P n X es c e r r a d o p a r a c a d a n. infinita

de

SP X es c e r r a d o si, y

A SP X se le l l a m a potencia

X.

D e e s t a m a n e r a , los elementos d e S P X p u e d e n verse, n u e v a m e n t e , como n-tupletas

[x1,...,xn]

con n cualquier n ú m e r o n a t u r a l . SP X re­

s u l t a ser un espacio p u n t e a d o con p u n t o básico 0 = [x 0 ]. Se t i e n e , de SP X ya q u e X = S P 1

hecho, u n a inclusión n a t u r a l i: X

5.2.2 N O T A . células

X.

Sea X u n complejo C W con u n a familia n u m e r a b l e d e

| i = 1 , 2 , . . . } , donde

=

P o r la p r o p o s i c i ó n

5.1.20 t e n e m o s q u e el p r o d u c t o de n copias de X, X x • • • x X es un c o m ­ plejo CW con células

x ••• x

La acción del g r u p o s i m é t r i c o

Σ n en X x • • • x X p e r m u t a estas células, es decir, si σ morfismo i n d u c i d o p o r σ,

Xx•••xX

Σ n , el h o m e o -

X x • • • x X m a n d a la célula

134

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

x•••x

a

x•••x

,en particular, en caso de que una

célula vaya a dar a ella misma, si bien se generan identificaciones dentro de ella, es posible subdividir esta célula, de manera que la acción del grupo tenga como puntos fijos a subcomplejos. De este modo, el espacio cociente SP n X = X x • • • x X/Σn tiene una estructura de complejo CW. Así, cada colección

x•••x

|σ

Σn} determina una célula

de SP n X. Además, si X tiene como punto básico a una 0-célula x0 de X, cada SPnX es un subcomplejo de SP n + 1 X y, ya que SPX = tiene la topología del colímite con respecto a SP n X, para n = 1,2,..., entonces SP X es un complejo CW. 5.2.3

EJEMPLO.

Considérese la 2-esfera S 2 como la esfera de Riemann

de números complejos y el punto al infinito. Un punto en SP n (S 2 ) es una n-ada no ordenada α1, α 2 ,..., αn de números complejos (incluyendo ∞). Existe un polinomio, único salvo un factor complejo ≠ 0 de grado menor o igual que n (con coeficientes no todos 0), cuyas raíces son α1 α 2 , . . . , an (donde consideramos a

como raíz de un polinomio de grado menor que

n). Considerando los coeficientes de este polinomio como coordenadas homogéneas en el espacio proyectivo complejo CPn = Cn+1 — 0/ x ~ λx, λ 5.2.4

NOTA.

C, obtenemos un homeomorfismo SP n (S2)

donde

CP n .

Una manera alternativa de entender la potencia simétrica

POTENCIAS SIMÉTRICAS INFINITAS

135

infinita S P X de un espacio punteado X es la siguiente. {(x1,x2,.....) | Xi

Sea

X =

X, Xi = *, para todos excepto un número finito

de índices i Є N}, visto como conjunto. Si tomamos los subespacios = {(x1, . . . x n * , * , . . . ) } con la topología del producto, se le puede dar a

X la topología del colímite inducida por estos subespacios.

Sea, ahora,

el grupo de permutaciones de los números naturales N,

tales que dejan fijos a todos excepto a un número finito de números naturales. (x1,x2,x3,..

actúa .)σ =

s o b r e X como sigue.

(xσ(1),xσ(2),xσ(3),....).

órbitas, tenemos 5.2.5

EJERCICIO.

Si σ

entonces

Así, tomando el espacio de

= SPX. Probar que, en efecto, la definición alternativa de

S P X dada en la nota anterior coincide con la de 5.2.1. Si f:X ciones fn:

Y es una aplicación (punteada), entonces induce aplica­ que son compatibles con la acción de Σ n , de modo

que se tienen aplicaciones

f(n):SPnX

SPnY que hacen conmutativos

los diagramas > SP n X SP n y

SP n + 1 X SPn+1r

y que inducen, así, una aplicación SPX

SP Y.

136

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

5.2.6 Proposición. La construcción SP tiene las siguientes propiedades funtoriales. (a) f = id x (b) f : X

=idSPx. Y, g : Y

Z

=

SP X

SP Z.

5.2.7 Proposición. Sea A cerrado [abierto] en X que contiene el punto básico, y sea i: A SP A

X la inclusión. Entonces i ( n ) :SP n A

SP n X e

SP X son también inclusiones.

Demostración: Considérese el diagrama An SP n A

SP n X

donde p y p' representan las identificaciones correspondientes. Las apli­ caciones i n , p y p' son cerradas [abiertas] (es decir, aplican conjuntos cerrados [abiertos] en cerrados [abiertos]), por lo que también i(n) lo es. Por lo tanto, i(n) es una inclusión y la imagen i (n) (SP n A)

SP n X es

cerrada [abierta] en SP n X. Ya que S P X = i (n) (SP n A) =

[SP A)

SP n X tiene la topología de la unión, entonces SP n X es cerrado [abierto] en SP n X. Por lo

tanto, {SPA) es cerrado (abierto) en SPX, por lo que es una inclusión.

SP A

SP X

POTENCIAS SIMÉTRICAS INFINITAS

137

Si tenemos ahora que F : X x I

Y es una homotopía (punteada),

obtenemos homotopías F (n).

(SP n X) x I SP n Y

compatibles con las inclusiones; por lo tanto, tenemos una homotopía (SP X) x

I

SP Y.

Hemos probado así el siguiente resultado. 5.2.8 Proposición. Sean X y Y espacios punteados y f , g : X caciones punteadas. Si f

g, entonces

Y apli­

f(n) g(n) y

De 5.2.6y5.2.8 deducimos la siguiente propiedad. 5.2.9 Corolario. Si f : X tonces 5.2.10

SP X

EJEMPLO.

Y es una equivalencia homotópica, en­

SP Y también lo es. La esfera de Riemann S2 - 0 -

polos, donde S2 = C

perforada en sus

es decir, el plano perforado C — 0, es

homotópicamente equivalente al círculo S1; a saber, la inclusión S1 C S2—0— tal que z

= C—0, es una equivalencia homotópica con inverso C—0 z/|z|

S1

(véase la figura 5.1).

Analizar así SP S1 es, desde el punto de vista homotópico, equivalente a analizar SP (S 2 - 0 -

(Véase 5.3.2.)

138

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

Figura 5.1 5.2.11

DEFINICIÓN.

Un espacio topológico X es contraíble si existe una

equivalencia homotópica entre él y el espacio que consiste de un solo punto o, equivalentemente, si existe una homotopía F : X x I

X que

empieza con la identidad y termina con la aplicación constante c(x) = x0; es decir, si id x es nulhomotópica. A F se le llama contracción. 5.2.12 Corolario. Si X es contraíble, entonces también SP n X y SP X lo son.

5.2.13

EJEMPLO.

Un ejemplo típico de un espacio contraíble es el inter­

valo I; a saber, una contracción es F.IxI F(s,t)

I =

l-(l-s)(l-t)

o, más generalmente, el cubo In es contraíble con contracción F:In x I

In

POTENCIAS SIMÉTRICAS INFINITAS

F((s1,...,sn),t)

=

139

(1-(1-s1)(1-t),...,1-(1-sn)(1-t))

Consecuentemente, cualquier espacio homeomorfo a In, como, por ejem­ plo, el disco Dn, también es contraíble.

5.2.14

EJEMPLO.

Otro ejemplo típico de espacio contraíble es el cono

CX sobre cualquier espacio X, a saber,

F:C X x I

CX

es una contracción.

5.2.15

DEFINICIÓN.

Decimos que una vecindad U de un subespacio A

de X se deforma a A en X, si existe una homotopía D:XxI

X

tal que D(x,0) D{A x I)

=x,

A, D(U x I)

D(U x {1})

5.2.16

EJEMPLO.

inclusión, y sea A'

Sea A

U,

A.

X y sea X' = X

A x I e\ cilindro de la

X' la imagen en X' de A x {1}. Entonces A' tiene

140

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

una vecindad que se deforma en X' a A'. A saber, sea U la imagen en X' de i x (1/2,1] y sea D: X' x I X' tal que D(x, s) = x si x (a,t(1 + s)) t ≤ l/2 (a,t(1-s) + s) t > 1/2 si (α, t)

X,y

A x I. Es sencillo verificar que esta homotopía cumple las

condiciones de la definición anterior.

El resultado clave del trabajo de Dold-Thom, cuya demostración es larga, por lo que la posponemos al Apéndice A, es el siguiente. 5.2.17 Teorema. (Dold-Thom) Sea X un espacio de Hausdorff y A un subespacio cerrado conectable por trayectorias tal que tiene una vecindad que se deforma a A en X, entonces la proyección p: X una casifibración SP A (

SP X

SP (X/A) tal que si x

X/A

induce

SP (X/A),

denota equivalencia homotópica).

5.2.18 Corolario. Para espacios X y Y de Hausdorff y aplicaciones f: X

Y, si Y es conectable por trayectorias, se tiene que SP (C,)

es una casifibración con

fibra

SP SP Y.

Demostración: En la sucesión X

Y

Cf

ΣX,

POTENCIAS SIMÉTRICAS INFINITAS

141

tenemos que la aplicación cociente p: Cf

ΣX que identifica Y en un

punto satisface las hipótesis del teorema de Dold-Thom.

En particular, de la sucesión X

X

CX

ΣX

obtenemos la casifibración SP (CX)

SP (ΣX)

con fibra SP X. Como consecuencia de esto tenemos el siguiente resul­ tado.

5.2.19 Corolario. Si X es de Hausdorff conectable por trayectorias, en­ tonces para q

0 se tiene un isomorfismo π q + 1 (SP(Σ X))

πq(SPX).

Demostración: A la casifibración SP (CX)

SP (ΣX) con fibra SP X

le aplicamos la sucesión exacta larga (4.3.30) y obtenemos πq+1(SP(CX))

π q + 1 (SP(ΣX))

π q (SPX)

π q (SP(CX))

•••;

ya que CX es contraíble, SP (CX) es contraíble por 5.2.12, por lo que π q (SP (CX)) = 0 si q

0; así, de la sucesión exacta deducimos la exis­

tencia del isomorfismo deseado.

142

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

En virtud del Ejemplo 5.2.16 tenemos la siguiente afirmación. 5.2.20 Proposición. Sea X un espacio de Hausdorff y A

X un subes-

pacio conectable por trayectorias. Sean X' y A' como en 5.2.16. Entonces la aplicación cociente p': X'

X'/A'

SP X' tal que

induce una casifibración SP(X'/A')

SP A. En otras palabras, la aplicación canónica SP (X

AxI)

SP(X

CA)

es una casifibración con fibra A.

Sea X un espacio de Hausdorff y A

X tal que la inclusión es una

cofibración. Entonces por 4.2.3 y los comentarios que siguen a 4.2.4 se tiene que X

A x I es homotópicamente equivalente X y que X

CA

es homotópicamente equivalente a X/A, de modo que, salvo equivalencia homotópica, las aplicaciones cocientes X

X/A y X

AxI

X

CA

se corresponden. De esa forma, aplicando 5.2.20, se tiene la siguiente versión del teorema de Dold-Thom 5.2.17. 5.2.21 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff y A un subespacio conectable por trayectorias tal que la inclusión es una cofibración, en­ tonces la proyección p: X SP (X/A) tal que si

X/A induce una casifibración

SP (X/A),

SP A.

SP X

ESPACIOS DE MOORE Y DE EILENBERG-MAC

LANE

143

Esta versión del teorema de Dold-Thom es más apta para las aplicaciones, toda vez que la hipótesis de que A

X sea una cofibración es más

natural y sencilla de confirmar.

5.3

ESPACIOS M A C

DE

M O O R E

Y

DE

EILENBERG-

L A N E

Una forma de definir los grupos de cohomología es, como ya se dijo, a través de los espacios de Eilenberg-Mac Lane. En esta sección daremos su construcción y estudiaremos varias de sus propiedades. Para definir los espacios de Eilenberg-Mac Lane, será necesario contar con una colección de espacios, asociados a grupos abelianos o, más exactamente, a su des­ composición primaria, que son los espacios de Moore. Cuentan con in­ teresantes propiedades homotópicas que introduciremos en esta sección.

5.3.1

DEFINICIÓN.

Un espacio A se llama de Eilenberg-Mac Lane de

tipo K(G,n) o, simplemente, es un K(G,n), si G q=n 0 q≠n. Para demostrar la existencia de estos espacios, utilizaremos las ideas plasmadas en [12] acerca de las potencias simétricas infinitas, que se expusieron en la sección anterior.

144

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

Ya que, como vimos en 4.4.13, Z q= l 0 q≠ l tenemos que el círculo S1 es un K(Z, 1). 5.3.2 Proposición. (Dold-Thom) La inclusión natural S 1

SPS 1 del

círculo en su potencia simétrica infinita es una equivalencia homotópica. Así, S P S 1 también es un K(Z, 1).

Demostración: Como representante de la clase de equivalencia homotó­ pica de S1 elegimos a la esfera de Riemann S2 — 0 —

perforada en sus

polos (véase 5.2.10). SPS 2 no es otra cosa, por 5.2.3, que el espacio de los polinomios no cero

de grado a lo más n. Así, S P n S 1 consiste

de aquellos polinomios que no tienen ni a 0 ni a para los cuales α0

0 y an

proyectivo complejo CP n

como raíces, es decir,

0. Así pues, S P n S 1 se obtiene del espacio S P n S 2 quitando los hiperplanos α0 = 0 y

αn = 0. Al restringir la aplicación cociente C1 — 0

CPn-1

S 2 n - 1 obtenemos nuevamente una aplicación cociente φ: S 2 n - 1

la esfera CPn-1.

El lector puede verificar que si adjuntamos a Q P n - 1 el disco D2n por medio de φ, obtenemos CP n ; es decir, D2n donde D 2n

S 2n-1

CPn-1 =

D2n

€Pn-1/

= CP n ,

CPn-1.

Se tiene de aquí que quitar los hiperplanos a0 = 0 y an = 0 corres­ ponde a quitar a CPn dos copias de C P n - 1 encajadas como 0 x C P n - 1 y

ESPACIOS DE MOORE Y DE EILENBERG-MAC

LANE

C P n - 1 x 0. Al quitar el primero queda el disco abierto

145

y al quitar el

segundo, lo que se quita es (CPn-1 x 0) - (0 x CPn-2 x 0) = ( C P n - 1 0xCPn-2)x0=

x 0 . Así, l o que s e obtiene

e

s

x

-0),

que claramente es del tipo de homotopía de S1. Por lo tanto, S P n S 1 tiene el tipo de homotopía del círculo y la inyección S1

SP n S1 es una

equivalencia homotópica. Esto prueba la proposición.

Ya que S2 =

, por 5.2.18 y 5.3.2 obtenemos ΠqSPS2)

πq-1SPS1)

πq-1S1),

así,

πq(SP(S2)) = es decir, SPS 2 es un K(Z,2).

Z q=2 0 q≠ 2

Ya que Σ S n - 1 = S n , inductivamente

obtenemos, al aplicar 5.2.19 la siguiente afirmación. 5.3.3 Proposición. La potencia simétrica infinita SP Sn es un K(Z, n), es decir es conectable por trayectorias y π q (SPS n ) =

Z q=n 0 q≠ n

n = 1,2,...

Ya que el espacio S1 es un H-cogrupo (véase 2.7.2 y 2.7.7), podemos considerar la aplicación α 2 =S 1

S1

S1

S1,

146

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

donde v es la comultiplicación y p aplica a cada copia de S1 en la cuña como la identidad. Claramente se tiene que α 2 .:π 1 (S 1 ) es multiplicación por 2 en π1(S1)

π1(S1) Z. Análogamente

hace que α3 = π1(S1)

π 1 (S 1 )

sea multiplicación por 3. Inductivamente podemos definir S1S

ak:S1

1

S1

S1

S1

tal que

es multiplicación por k. Consideremos (5.3.4)

S1

S

1

C

a

S2.

k

A Cak se le suele denotar como el espacio de adjunción S1Uak e2, pues es el resultado de adjuntar a S1 la célula CS 1 ak en su frontera. La porción S1

S 1 Uak e2

S2

según la aplicación

ESPACIOS DE MOORE Y DE EILENBERG-MAC

LANE

147

de la sucesión anterior induce una casifibración e2)

SP(S 1

SPS 2

con fibra SPS 1 , por lo que se tiene una sucesión exacta larga •••

πqSPS1)

πqSPCS1

e2))

πq(SPS2)

de donde e2)) = 0 si q≠l,2

πq(SP(S1 y obtenemos 0

π 2 (SP(S 1

e2))

π 2 (SP(S 2 ))

π 1 (SP(S 1

e2))

De (5.3.4) puede deducirse que π 2 (SPS 2 )

π 1 (SP(S 1 )) 0 π 1 (SPS 1 ) en esta suce­

sión es multiplicación por k en Z, por lo que π 2 (SP (S 1 π1(SP (S 1

e2)) = Z/k. Hemos pues probado que SP (S 1

e2)) = 0 y e2) es un

K(Z/k, 1). Es decir, tenemos la siguiente afirmación.

5.3.5 Proposición. La potencia simétrica infinita SP (S 1 espacio de Eilenberg-Mac Lane de tipo (Z/k, 1); es decir,

πq(SP(S1

e2)) =

Z/k q = l 0 q≠l

e2) es un

148

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

Si se generaliza esta construcción obtenemos la siguiente definición.

5.3.6

A los espacios de adjunción S n

DEFINICIÓN.

e n+1 , se les llama

espacios de Moore de tipo (Z/k,n), si ahora αk: Sn Sn es la (n — 1)suspensión de la αk de arriba.

Aplicando ahora 5.3.3 y el mismo razonamiento que nos llevó a 5.3.5, obtenemos el siguiente resultado.

5.3.7 Teorema. Los espacios de Moore son tales que su potencia simé­ trica infinita SP (S n

e n + l ) es un K(Z/k, n), es decir,

πq(SP (S n

5.3.8 y sea

(a) (b)

S1 tal que

ak:S1 : S

1

S

Z/k 0

q q

n n

n = 1,2, —

Considérese S 1 como el círculo de complejos unitarios

EJERCICIO.

S1

e n+1 )) =

=

Probar

S1 1

(c) Si ahora (b), entonces

es la reflexión en el eje real de C, y :Sn

Sn

denota la (n — l)-suspensión de la

es reflexión en un hiperplano.

de

ESPACIOS DE MOORE Y DE EILENBERG-MAC

LANE

149

Sean X y Y espacios bien punteados; es decir, tales que las inclu­ siones de sus puntos básicos x0 y y0 en X y Y, respectivamente, son cofibraciones. Así, las inclusiones Y

XVY y X

X y Y también

son cofibraciones y, por lo tanto, si X y Y son 0-conexos, satisfacen las hipótesis de la versión 5.2.21 del Teorema de Dold-Thom, y ya que X V Y/Y XVY

X y X V Y/X

Y, las aplicaciones canónicas X V Y

X,

Y inducen casifibraciones

SP(X Y)

SP X

, SP(X Y)

SP Y

con fibras SP y y SP X respectivamente. Ya que las inclusiones X XvYyY

X v Y inducen secciones de las casifibraciones, tenemos que

la aplicación canónica SP (X (5.3.9)

πq(SP(X

más aún, si i: X

Y)

SP X x SP Y induce isomorfismos

Y)) πq(SP X)

SP X y j: Y

π 9 (SP Y);

SP Y son las inclusiones canónicas,

se tiene un diagrama conmutativo

(5.3.10)

Ya que πq y SP conmutan con colímites, (5.3.9) y (5.3.10) valen para cuñas infinitas. Cabe mencionar aquí que hay una demostración directa de (5.3.9) o, mejor dicho, de que la aplicación canónica que induce ese isomorfismo es una equivalencia homotópica débil, que no utiliza el Teo-

150

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

rema de Dold-Thom y no requiere de la hipótesis de que X y Y estén bien punteados, cf. [12, 3.14]. Recordemos el famoso resultado del álgebra conocido como el Teo­ rema de Descomposición Primaria que dice que si G es un grupo abeliano finitamente generado, entonces admite una descomposición única (5.3.11)

G =

donde d1| d2,d2| d3,.........dk-1| dk Definamos (S n

(5.3.12) X=

5.3.13

DEFINICIÓN.

• • • V (Sn

e n+1 )

(S n

A los espacios X = Sn

Sn

e n + 1 ).

(S n

en+l) V

e n+1 ) definidos en (5.3.12) se les llama espacios de Moore

de tipo (G,n).

Obsérvese que, por construcción, los espacios de Moore de tipo (G, n) son complejos CW con una sola 0-célula y células en dimensiones n y n + 1. Aplicando 5.3.9 y 5.3.7 deducimos lo siguiente.

5.3.14 Teorema. Sea X un espacio de Moore de tipo (G,n). Entonces, SP (X) es un espacio de Eilenberg-Mac Lane de tipo K(G,n). Es decir,

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

151

en otras palabras, (S n

πq(SP =

5.4

G q 0 q

e n+1 ) n n

(S n

e n + l ))) =

n = 1,2,......

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

En esta sección se profundizará en el estudio de propiedades de los espa­ cios de Moore que nos serán de utilidad en posteriores capítulos. Comen­ zaremos con un resultado muy importante en teoría de homotopía, que se puede interpretar como la versión homotópica del teorema de escisión en cohomología (homología), que es el siguiente. Véase [16, 16.27] para su demostración.

5.4.1 Teorema. (Blakers-Massey) Sea X un espacio punteado y A, B, subespacios punteados de X tales que (i) X = A

B

(ii) Las inclusiones A

Si la pareja (A, A

B

A yA

B

B son cofibraciones.

B) es (n - l)-conexa y (B, A B) es (m - l)-conexa,

entonces el homomorfismo inducido por la inclusión i*: πq(A, A

B)

152

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

π q (X, B) es un isomorfismo para q < m+n — 2 y es un epimorfismo para q = m + n — 2. Con este teorema se pueden probar dos resultados muy útiles, que enunciaremos a continuación. 5.4.2 Proposición. Sea Y0

Y una cofibración y supóngase que la

pareja (Y, Y0) es (r — 1)-conexa y que el subespacio Y0 es (s — l)-conexo. Entonces, el homomorfismo p * :π q (Y, Y0)

πq(Y/Yo), inducido por la

aplicación cociente, es un isomorfismo para q < r + s — 1 y es un epi­ morfismo para q = r + s — 1 (r > 0). Demostración: Por hipótesis, Y0 bién la inclusión en el cono Y0

Y es una cofibración, así como tam­ CY0 (véase 3.1.6). Ya que Yo es (s — 1)-

conexo, de la sucesión de homotopía de la pareja (CY0,Y0), obtenemos que ésta es s-conexa. Por el teorema 5.4.1, tenemos que i:π q (Y, Y0) —> π q (Y

CY0, C Y 0 ) es un isomorfismo para q 2. (Sugerencia: Aplicar 5.4.4.)

(c) Probar que π3(S2)

Z. (Sugerencia: En la porción de la sucesión

de la fibración p, π3(S1)

π 3 (S 3 )

π 3 (S 2 )

π2(S1)

los extremos son 0.) (d) Probar que en (a) y en (b) un generador de π n (S n ), n y concluir que, en (c), un generador de π 3 (S 2 ) es [p].

1, es [idSn]

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

155

Se tiene un diagrama conmutativo

donde el isomorfismo de arriba es el que determina la sucesión exacta de 5.4.5(a), el de abajo es el dado en 5.2.19 y el de la derecha se obtiene por 5.3.2, por lo tanto, el de la izquierda es un isomorfismo. Sea n

2; de la segunda parte del ejercicio 5.4.3, tenemos un digrama

conmutativo

donde el isomorfismo es el de 5.2.19. Por 5.4.4, el homomorfismo hori­ zontal superior es un isomorfismo también. Si n = 2, el homomorfismo vertical izquierdo es un isomorfismo, por lo que, para n = 3 también lo es. Inductivamente hemos probado lo siguiente. 5.4.6 Proposición. La inclusión natural i : Sn

S P S n es una n-

equivalencia. La siguiente proposición nos permitirá estudiar algunas propiedades homotópicas de los espacios de Moore.

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

156

5.4.7 P r o p o s i c i ó n . Sea (X, A) una pareja CW tal que todas las células de X — A tienen dimensión mayor que n. Entonces π q (X, A) = 0 si q

n.

Demostración: Sea [f]

π q (X, A), con f: (D 9 , S q - 1 )

y sólo si f q rel S 9 - 1 , donde g(D q ) celular φ: (D q , S 9 ' 1 )

(X, A). [f] = 0 si

A. Por 5.1.16 existe una aplicación

{X, A) tal que f φ rel S q - 1 . Por hipótesis X n

A y, ya que φ es celular, tenemos que φ(D q )

Xq U A

Xn

A = A.

Para aplicar lo anterior a los espacios de Moore, consideraremos el siguiente resultado.

5.4.8 L e m a . Tómese la cuña (a) Si n > 1, π n clases [i a ], tales que (b)

πn

de n-esferas. Entonces

es un grupo abeliano libre generado por las =

es un grupo libre generado por las clases [i a ].

Demostración: Primero veremos el caso de una cuña finita r > 1. Por 5.1.20 tenemos que el producto

x ••• x

es un

complejo CW que contiene a la cuña como el subcomplejo consistente de productos de células e 1 x • • • x e r tales que todas excepto una son la 0célula de S n . Por lo tanto, las células de

• •x

•••V

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

157

tienen dimensión mayor o igual a 2n, por lo que, por 5.4.7, se tiene que ••• x

πq si q

=0

2n — 1. De la sucesión exacta de parejas 3.4.8(e), se obtiene que la •••x

inclusión j: πq

πq

induce un isomorfismo para q

2n — 2.

Por otro lado, se tiene un isomorfismo ( p 1 , p 2 t , ....... ,P r* ): πq ••• x

π

q

x

π

q

x ••• x

πq

para q

x

1 inducido por las

proyecciones del producto en sus factores. Ya que pk o j o ik = id, se tiene que ( p 1 , p 2 . , .........p r .) o j * o isomorfismo para q

= 1, de donde

es un

2n — 2.

Supóngase que el conjunto de índices no es finito; ya que cualquier aplicación (punteada) f: Sn contenida en una subcuña

tiene imagen compacta, ésta está finita

(r > 1). Ya que conmuta el

diagrama

obtenemos que

es suprayectiva.

De la misma manera, cualquier homotopía H : S q x imagen compacta, por lo que isomorfismo para q

es inyectiva.

I

tiene

A s í , e s un

2n — 2. (a) se obtiene entonces del hecho de que

158

πn(Sn)

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

Z (5.4.5(b)).

Finalmente, (b) se obtiene del teorema de Seifert-van Kampen para grupos fundamentales, véase [16, 7.12].

5.4.9 Lema. Sean L(A) y L(B) los grupos libres (abelianos, si n > 1) generados por los elementos de los conjuntos A y B, respectivamente, y sea f: L(A)

L(B) un homomorfismo. Entonces existe una apli­

cación única, salvo homotopia,

tal que f = φ*.

πn

Demostración: Por el lema 5.4.8, hay isomorfismos L(A) y L(B)

πn

dados en forma natural por a y por β

(ia:Sn =

respectivamente. En­

tonces a f(a) le corresponde un elemento φ(a): Sn φ:

tal que

Se define

= φ(a), y claramente se tiene que

φ* = f. Para probar la unicidad, sea entonces, para cada a,

= φ*[iα], es decir,

tal que

= /; , por

lo que, también, φ rel{*}.

Veremos ahora con más detalle la construcción de los espacios de Moore.

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

Para cada entero n

159

1 y cada grupo (abeliano si n > 1) G hay un

complejo CW, M(G,n), que tiene una 0-célula y, a lo más, células de dimensión n y n + 1, tal que π n (M(G, n)) por 5.4.8, M(G, n) =

G. Si G es libre, entonces,

con {a} un conjunto de generadores de G,

cumple con lo deseado. Si G no es libre, considérese una resolución libre de G, es decir, una sucesión exacta corta 0

L n (A)

L n (B)

G

1.

Por el lema 5.4.9, existe una aplicación φ: f =

πn

φ*πn

La

tal que siguiente es una definición

alternativa de los espacios de Moore.

5.4.10

DEFINICIÓN.

Se define el espacio de Moore de tipo (G,n),

M(G,n), precisamente como el cono de aplicación Cφ.

5.4.11

NOTA.

Si el grupo abeliano G es finitamente generado y tomamos

su descomposición primaria como en (5.3.11), entonces se puede tomar una resolución libre de G, tal que B cuente con r + k elementos, digamos β 1 , . . . , β r , β r + 1 , . . . , β r + k y A con k, digamos a 1 , . . . , a k y definimos f: L n (A) -> L n (B) tal que f(α j ) = djβ r + j , j = l , . . . , k . En este caso, la aplicación φ:

es tal que Cφ = ( S

n

S

n

)V

= X, como en (5.3.12), por lo que la definición de M(G,n) extiende 5.3.13.

160

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

El espacio M(G,n) recién definido tiene la propiedad de que πn(M(G, n))

G. Para ver esto, recordemos que, en general, si φ: X

Y es continua, su cono Cφ = Mφ/X, donde Mφ es el cilindro de aplicación de φ y X se incluye en la tapa superior. Como ya se ha mencionado con anterioridad (véase 4.2.5), la inclusión en la tapa superior i: X es una cofibración, la inclusión canónica j: Y homotópica y j o φ

MΨ

M φ es una equivalencia

i.

Considérese la sucesión exacta de homotopía de la pareja n > 1,

donde p :

(M(G, n), *) es la identificación. Ya que Mφ —

tiene sólo células de dimensión n y n + 1 , entonces, por 5.4.7, la pareja

es (n — l)-conexa; análogamente, la cuña

también es (n — l)-conexa. Por lo tanto, de la proposición 5.4.2 se obtiene que p* es un isomorfismo. Ya que πn-1 puede reescribir como sigue

= 0, la sucesión exacta se

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

Por lo tanto, efectivamente, π n (M(G, n))

161

G.

Por otro lado, aplicando el teorema de Seifert-van Kampen, es fácil probar que π 1 (M(G, 1))

G.

La siguiente proposición muestra que no sólo los grupos pueden rea­ lizarse topológicamente a través de los espacios de Moore, sino también los homomorfismos entre ellos.

5.4.12 Proposición. Sean A y A' grupos y f:A

A' un homomor-

fismo. Entonces existe una aplicación φ:M(A,n)

M(A',n) tal que

φ* = f.

Demostración: Considérense las siguientes resoluciones libres para A y B.

Por la exactitud de los renglones, claramente podemos definir g y h de modo que el diagrama conmute. Por el lema 5.4.9 existen las aplicaciones λ, λ', X, γ, que permiten realizar el diagrama anterior como diagrama de

162

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

n-grupos de homotopía

En vista de que la realización topológica de los homomorfismos es única salvo homotopía (5.4.9), entonces γ o λ λ' o x. Por 3.1.7, j o λ' por lo tanto, j o γ o λ φ: Cλ

Cλ

j' o λ' o x

0,

0. Nuevamente por 3.1.7, existe

tal que el diagrama conmuta.

Si consideramos ahora la sucesión exacta de grupos de homotopía de la pareja

que estudiamos antes πn

0

π n (M λ )

πn

0,

y el diagrama siguiente

El cuadrado de la izquierda conmuta salvo homotopía por 4.2.5(c) y el de la derecha es evidentemente conmutativo. De esta forma, la sucesión exacta de la pareja

se puede reescribir como

(5.4.13)

πn

0

πn

π n (C λ )

0,

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

163

y en forma análoga para λ'. Así, tenemos el siguiente diagrama conmu­ tativo

Por la propiedad universal del conúcleo, se tiene entonces que φ* = f.

5.4.14 Proposición. Sea f : X

Y continua y supongamos que X es

(s — l)-conexo y que f es una (r — 2)-equivalencia, es decir f*: π q (X) πq(Y) es un isomorfismo para q

r — 2 y un epimorfismo para q = r — 1.

Entonces existe una sucesión exacta truncada por la izquierda

Demostración: Considérese la sucesión exacta de la pareja ( M f , X )

y el diagrama

164

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

donde p o i = f, j o f

i, además, i es una cofibración. Las hipótesis

sobre f* implican que la pareja (M f , X) es (r — l)-conexa, por lo que por 5.4.2, la aplicación cociente induce un isomorfismo πk(Mf, X)

πk(Cf)

para k < r + s — 1. Al substituir π k (Mf) con π k (Y) y π k ( M f , X ) con π k (C f ), en el rango correspondiente de la sucesión de la pareja, se obtiene la sucesión deseada. Los siguientes ejercicios tendrán aplicación más adelante.

5.4.15

EJERCICIO.

Considérese la pareja punteada (X, A) y un espacio

punteado Z. Probar que (X/A)

5.4.16

EJERCICIO.

Z ≈ (X

Z)/(A

Z).

Considérese el siguiente diagrama homotópicamente

conmutativo

Probar que existe una aplicación γ: Cf Cf, que hace conmutativo el diagrama que se forma. (Realmente, la construcción cono es un funtor.)

5.4.17 Proposición. Sea f : X

Y una aplicación entre espacios pun­

teados y Z un espacio punteado. Entonces

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

Demostración: Recuérdese que si g: B que Cg

Y es una cofibración, se tiene

Y/B (véase 4.2.3); así mismo, g

es una cofibración. Entonces, es homeomorfo a (Y/B)

Z

idz-B

Z

Z)/(B

Z), que, por 5.4.15,

(Y Cg

Y Z también

Z. Por lo tanto, Cg

(5.4.18)

165

Z,

cuando g es una cofibración. Transformemos ahora f en una cofibración i en la forma usual, de manera que tenemos (5.4.19) y, por 5.4.16, (5.4.20) Aplicando (5.4.18) a g = i:X

Ci

Cf M f , tenemos que

Ci

Z, y,

por (5.4.20), tenemos (5.4.21)

Cf

Z.

Si aplicamos 5.4.16 ahora al siguiente diagrama

obtenemos

la última afirmación por (5.4.21).

166

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

5.4.22 Proposición. Sean X y Y complejos CW, cada uno con una fa­ milia numerable de células, tales que sus esqueletos X r - l = {*}, Ys-1 = {*}, r, s

1. Entonces el homomorfismo h:π r (X)

π s (Y)

π r + s (X

Y)

dado por

es un isomorfismo si r,s > 1. Demostración: Ya que, por 5.1.17, π r (X) = π r (X r + 1 ), y ya que Xr-1 = {*}, se tiene que Xr —

y que X r + 1 = Cλ, donde λ:

Considérese el diagrama

donde f , g y h ' s e definen en la misma forma que h. El primer renglón es el producto tensorial de la sucesión (5.4.13) con π s (Y), por lo que sigue siendo exacta, salvo que λ*

1 no es necesaria­

mente monomorfismo. Considérese ahora la aplicación λ

idy:

Como se ve en la demostración de 5.1.25 el esqueleto

Y

Y. =

= {*}, por lo que ambos son (r+s—l)-conexos; además,

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

167

Y = X r + 1 Y , así que el segundo renglón del

por 5.4.17,

diagrama es la sucesión exacta de la proposición 5.4.14. Claramente

Y

πr+s

por lo que π r + s

Utilizando el mismo método de la demostración del

lema 5.4.8 obtenemos que

Pero por el teorema de la suspensión de Freudenthal 5.4.4, Y)

πs(Y);

por lo tanto, π r + s

πr+s(SR Por 5.4.8,

por lo que

πr

De aquí obtenemos que f es un isomorfismo y, análogamente, g es un isomorfismo; por lo t a n t o , por el lema del quinto, h' es t a m b i é n un isomor­ fismo. Finalmente, ya que (X r + 1 Y) y + s + 1 = (X γ ) r + s + 1 la inclusión Xr+l

Y

X

Y es una (r + s)-equivalencia y se tiene un cuadrado

conmutativo

por lo que h es también un isomorfismo. Veremos ahora que la inclusión natural i: M(G, n)

SP M(G, n)

induce isomorfismos en grupos de homotopía hasta dimensión n y epi-

168

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

morfismo en dimensión n + 1. Para esto probaremos el siguiente lema fundamental. 5.4.23 Lema. Sean X y Y espacios (π - 1)-conexos y sea φ: X las inclusiones i: X

SP X, j: Y

entonces la inclusión k: Cφ

Y. Si

SP Y son n-equivalencias (5.1.11),

SP Cφ también lo es.

Demostración: Supongamos n > 1. Sea Mφ el cilindro de aplicación de φ y considérese la sucesión exacta de grupos de homotopía de la pareja (M φ ,X) (3.4.8(e))

ya que tanto X como Mφ 0 = π q - 1 (X) si q

Y son (n — 1)-conexos, es decir π q (M φ ) =

n - 1, entonces la pareja (Mφ, X) es (n - l)-conexa.

Aplicando 5.4.2, tenemos que la aplicación cociente p: Mφ Cφ es tal que p * : π q (M φ , X)

Mφ/X

=

π q (C φ ) es un isomorfismo para q < 2n—1.

Tenemos así para este valor de q un diagrama conmutativo

donde la sucesiones horizontales son exactas, la de abajo por el teorema de Dold-Thom. Por el lema del quinto, se prueba de inmediato que k es una n-equivalencia. El caso n = 1 se puede probar también.

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

5.4.24 Lema. Sea A un conjunto arbitrario y para cada a copia de la n-esfera. inclusión canónica i:X

Entonces X =

169

una

es (n — 1)-conexo y la

SP X es una n-equivalencia.

Demostración: Supongamos n > 1. Ya que el (n—l)-esqueleto de X es un punto, X es (n-l)-conexo. Supongamos, en primer lugar, que A es finito. Por 5.4.8(a) las inclusiones canónicas i a :

X inducen un isomorfismo

π n (X); más aún, inductivamente, la conmutatividad del diagrama (5.3.10) implica que se tiene un diagrama conmutativo

en donde las flechas horizontales son isomorfismos. Por 5.4.6 la de la izquierda también es isomorfismo, por lo que la de la derecha también lo es. Por 5.3.14, πn+1(SP X) = 0, por lo que i es, en este caso, una nequivalencia. Si A es infinito, entonces X es colímite de cuñas finitas y SP X es colímite de potencias simétricas infinitas de cuñas finitas. Ya que la suma directa infinita es, a su vez, colímite de sus subsumas finitas, el paso al colímite extiende el resultado del caso finito a éste.

170

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

5.4.25 Teorema. Sea X un complejo CW tal que su (n — l)-esqueleto es un punto. Entonces la inclusión i:X

SP X es una n-equivalencia.

Demostración: Por ser el (n— l)-esqueleto de X un punto, su n-esqueleto, X n , es una cuña de n-esferas

y el (n + l)-esqueleto se obtiene como

un cono, es decir, se tiene una aplicación φn :

tal que

X n + 1 = Cφn. Por lo tanto, por 5.4.24 se cumplen las hipótesis de 5.4.23 y, en consecuencia, la inclusión canónica i n + 1 : X n + 1

SP X n + 1 es una

n-equivalencia. Supongamos inductivamente que la inclusión canónica i n + k : x n + k SP X n + k es una n-equivalencia; nuevamente, el (n + k + l)-esqueleto se obtiene como un cono de una aplicación φ n + k : que X n + k + 1 = Cφn+k. Ya que 5.4.23, i n+k+1 : X n + k + l

X n + k , de modo

y X n + k son (n — l)-conexos, por

SP X n + k + 1 es una n-equivalencia.

Finalmente, ya que tanto X como SP X son colímites de X n + k y S P X n + k , respectivamente, se tiene el resultado deseado. El siguiente resultado que probaremos nos da, en particular, la apro­ ximación celular de cualquier espacio topológico (véase 5.1.13).

5.4.26 Teorema. Sea X un espacio topológico punteado (n — l)-conexo. Entonces existe una aproximación celular tal que su (n — l)-esqueleto,

, es decir, un complejo CW,

, es un punto, y una equivalencia ho-

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

motópica débil h:

171

X. Si, en particular, X es un complejo CW ;

entonces h será una equivalencia homotópica.

Demostración: Supongamos que X es conexo (es decir, n

1). π q (X) =

0 si q < n. Tómese * = Y° = • • • = Yn-1 y sea hn-1 : Y n - l

X, tal

que h n - 1 (*) = *, donde * es el punto básico de X. Entonces hn-1 es una (n — 2)-equivalencia. Supongamos, inductivamente, que hemos construido una (m — 1)equivalencia h m : Y m --> X, m es un isomorfismo para q

n - 1 . Entonces (h m )*: π q (Y m )

π q (X)

m - 1 y un epimorfismo para q = m. Para

convertir este último en isomorfismo, haremos lo siguiente. Sea Φ:L(B) :

Ym,

ker((hm)*) C π m (Y m ) una resolución libre, y sea = S m , tal que

φB

=

un generador de ker((h m )*). Por lo tanto hm o φ(p aplicación g m+1 - Cφ

Y

m

representa

0 y hm determina una

X tal que conmuta el diagrama

Esta aplicación induce isomorfismos en grupos de homotopía hasta di­ mensión m. Z m + 1 = Cφ es un complejo CW de dimensión m + 1, cuyo m-esqueleto es Y m .

C O M P L E J O S CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES 172

ASOCIADAS

E l h o m o m o r f i s m o (g m +i)*: π m + 1 ( Z m + 1 )

πm+1(X)

n o e s necesaria­

m e n t e u n epimorfismo. Sea A =

πm+1(X)-(gm+l)*(πm+1(Zm+1));

(gm+1,(γa)):Ym+1 Sm+1

X

Zm+1

=

representa

a

a

la aplicación X,

h m+1

=

donde

i n d u c e isomorfismos en g r u p o s de h o m o -

t o p í a h a s t a d i m e n s i ó n m y un epimorfismo en d i m e n s i ó n m + 1 , es decir, h m + 1 e s u n a m-equivalencia, que extiende a h m . H e m o s c o n s t r u i d o así u n a c a d e n a d e complejos C W

*

=

.....=

Yn-1

Zn

_

Yn

Z m + l Ym+1

p a r a c u y a u n i ó n X = U m Y m , las aplicaciones h m : Y m

X son c o m p a ­

tibles y d e t e r m i n a n la equivalencia h o m o t ó p i c a débil h:

X buscada.

Si X no es conexo (es decir, n = 0), c o n s t r u i m o s u n a a p r o x i m a c i ó n p a r a c a d a c o m p o n e n t e conexa d e X .

C o m o consecuencia del t e o r e m a anterior t e n e m o s el siguiente resul­ t a d o f u n d a m e n t a l , q u e reformularemos en el siguiente c a p í t u l o (6.3.10), q u e se conoce c o m o el t e o r e m a de Hurewicz.

5 . 4 . 2 7 T e o r e m a . Sea X un complejo CW (n — 1)-conexo. E n t o n c e s su inclusión canónica i : X

S P X , e n s u p o t e n c i a s i m é t r i c a infinita, e s

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE MOORE

173

una n-equivalencia; es decir i*: πq(X)

es isomorfismo si q

πq(SP

X)

n y es epimorfismo si q — n + 1.

Demostración: Por 5.4.26, se tiene una equivalencia homotópica débil h:

d o n d e e s un complejo CW tal que su (n - l)-esqueleto es

un punto y, en vista de que X es un complejo CW, h es, de hecho, una equivalencia homotópica. Por lo tanto, por 5.2.9,

SP

SP X es

una equivalencia homotópica. Por otro lado, por 5.4.25, se tiene que la inclusión natural

es una n-equivalencia. En consecuencia,

ya que se tiene un diagrama conmutativo

cada vez que i es un isomorfismo (resp. epimorfismo), i* lo es.

El siguiente teorema, consecuencia de 5.4.22 y de 5.4.26, será de uti­ lidad en la próxima sección.

5.4.28 Teorema. Sean X y Y complejos CW con una colección nu­ merable de células cada uno, tales que son (r — 1)- y (s — \)-conexos,

174

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

respectivamente. Entonces el homomorfismo h:π r (X)

πr+s(X

Y)

dado por

es un isomorfismo si r , s > 1.

Demostración: Por 5.4.26, X y Y son del mismo tipo de homotopía que complejos CW

tales que

5.4.22,

πr+s

por X y

= {*} y

= {*}. Ya que por

es un isomorfismo, substituyendo

por y, obtenemos que h:π r (X)

π s (Y)

πr+s(X

Y)

también lo es.

5.5

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE E I L E N B E R G - M A C L A N E

En la sección 5.3 definimos los espacios de Eilenberg-Mac Lane, K(A, n), para A un grupo (abeliano) finitamente generado. Para el caso general, recuérdese que si A es un grupo abeliano, existe una sucesión exacta corta 0

L(A)

L(B)

A

0,

tal que L(A) y L(B) son grupos libres generados por A y B, respectiva­ mente, y ya probamos que esta sucesión puede realizarse por una sucesión

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE EILENBERG-MAC LANE

175

de espacios topológicos y aplicaciones

de modo que, en particular, Cφ = M(A,n), es el espacio de Moore de tipo (A, n). Esta sucesión puede substituirse por la sucesión

donde Mφ es el cilindro de la aplicación φ, la inclusión i es una cofibración y Cφ = M φ / El teorema de Dold-Thom 5.2.21 implica que se tiene una casifibración SP C φ

SPMφ con fibra SP

ya que

Mφ

si λ =

se tiene una

sucesión exacta larga

πq(SP Por la versión infinita de (5.3.9), se tienen isomorfismos πq

y

Además, si q 0 si q

n, por 5.3.3,π q (SP S n ) = 0, lo que implica que πq(SP Cφ) =

n , n + l. Más aún, si q = n + 1, se tiene que el homomorfismo A

se descompone como (5.5.2

A:πq

πnL(A)

176

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

por lo que resulta ser un monomorfismo y, con ello, también se tiene que (5.5.3)

π n + 1 (SPC φ )

= 0.

Es decir, SP Cφ es un espacio de Eilenberg-Mac Lane. Se tiene, en con­ secuencia, que la sucesión (5.5.1) se reduce a una sucesión exacta corta 0

π n (SP

πn

πn(SPCy

0,

que, por (5.5.2), es isomorfa a 0

L(A)

L(B)

π n (SPC φ )

0.

Tenemos, así, el siguiente resultado.

5.5.4 Teorema. Sea A un grupo abeliano y sea n

1.

Entonces

Cφ es un espacio de Eilenberg-Mac Lane de tipo (A, n), es decir, SP M(A,n) = K ( A , n ) .

Las propiedades de los espacios de Eilenberg Mac Lane que estu­ diaremos en esta sección serán de utilidad para establecer la estructura multiplicativa de los grupos de cohomología en el siguiente capítulo. Sea A un grupo abeliano con una familia numerable de generadores, entonces el espacio de Moore M(A, n) es un complejo CW con una fa­ milia numerable de células, una en dimensión 0 y todas las demás en

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE EILENBERG-MAC LANE

177

dimensiones n y n + 1 . Por 5.2.2, el correspondiente espacio de EilenbergMac Lane K(A, n) = SP M(A, n) es un complejo CW que, en particular, es (n — 1)-conexo. Sean r, s > 1. Ya que los espacios de Eilenberg-Mac Lañe X — K(A, r), Y = K(B, s) satisfacen las hipótesis del teorema 5.4.28, tenemos el siguiente resultado.

5.5.5 Proposición. Sean r , s > l . Entonces, h induce un isomorfismo h r,s y:π r (K(A,r))

π s (K(B,s))

π r + s (K(A,r)

K(B,s)).

La siguiente proposición muestra en qué casos es posible realizar un homomorfismo de grupos de homotopía como el homomorfismo inducido por una aplicación continua. 5.5.6 Proposición. Sea X un complejo CW tal que su esqueleto Xn-1 = {*}, n f:πn(X)

l, y Y un espacio punteado tal que Π J ( Y ) = 0 para j > n. Sea π n (Y)

punteada φ:X

un homomorfismo. Entonces existe una aplicación Y, única salvo homotopía, tal que φ* = f.

Demostración: Ya que In-1 = {*}, entonces Xn = X la inclusión. Por 5.1.17, i * :π n (X n ) 5.4.8, π n ( X n ) =

πn

π n (X)

Sea i : X n

es suprayectiva y, por

es un grupo abeliano libre generado por las

COMPLEJOS CW, PROPIEDADES HOMOTÓPICAS Y CONSTRUCCIONES ASOCIADAS

178

inclusiones i a : S n = que

S i s e define

φ

n

:

Y d e modo

sea un representante de la clase fi*([i a ]) π n (Y), se tiene el

diagrama conmutativo siguiente

(5.5.7)

donde la flecha horizontal i* denota un epimorfismo. Podemos extender ahora φn al (n + l)-esqueleto, que se obtiene adjuntando (n + l)-células por medio de aplicaciones gj : S n

X n . Para extender φ n a X n U gj

se considera el siguiente diagrama

Por 3.1.7,

existe si y sólo si φn o gj es nulhomotópica, es decir, si y

sólo si φn*Í9j] = 0. Pero, nuevamente por 3.1.7, i*[gj] = 0 así cuando (5.5.7), tenemos que φn*[9j] = fi* [gj] = 0• Haciendo lo mismo para cada célula, obtenemos la extensión φn+1 • X n + 1

Y.

Para extender φ n + 1 a los demás esqueletos, usamos la proposición 3.1.8, ya que πk(Y) = 0 para k > n para obtener una aplicación φ : X —> Y. Por ser φ extensión de φ n , tenemos que φ* o i* = φn y, por 5.5.7, f o i* = φn*: entonces, φ* i * ([i a ]) = fi * ([i a ]), por lo que φ* = f La unicidad salvo homotopía se prueba de manera análoga.

PROPIEDADES HOMOTÓPICAS DE LOS ESPACIOS DE EILENBERG-MAC LANE

5.5.8

EJERCICIO.

179

Probar la unicidad de la aplicación φ cuya existencia

se probó arriba. 5.5.9

EJERCICIO.

Probar que el resultado anterior es válido si en vez

de pedir que X n - 1 = {*}, se pide solamente que X sea (n — l)-conexo. (Sugerencia: Por 5.4.26, substitúyase X por un complejo CW cuyo (n — l)-esqueleto sea un punto.) Para concluir, presentamos la siguiente definición que utilizaremos en la sección 6.2 del siguiente capítulo, y que será fundamental para definir la estructura multiplicativa en los grupos de cohomología. 5.5.10

DEFINICIÓN.

Sean A y B grupos con una familia numerable de

generadores. Se definen aplicaciones K(A,r)

K(B,a)

K(A

B , r + s)

como sigue. K(A, r)

K(B, s) = SP M(A, r)

SP M(B, s) es un complejo CW

(r + s — l)-conexo; por 5.5.5 π r + s {K(A,r)

K{B,s))

A

B.

Así, si consideramos la composición de este isomorfismo con (K(A B, r + s)), por 5.5.9 tenemos la aplicación que la induce en los grupos de homotopía.

CAPÍTULO 6

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

En este capítulo, haciendo uso de los espacios de Eilenberg-Mac Lane introducidos en el capítulo anterior, definiremos los grupos de cohomología; utilizando las propiedades homotópicas probadas para los espacios de Moore, introduciremos una estructura multiplicativa en los grupos de cohomología. Posteriormente, definiremos los grupos duales, es decir, de homología, haciendo uso de técnicas homotópicas y la construcción SP de Dold-Thom, del capítulo anterior y estudiaremos las propiedades multiplicativas de los grupos de homología de H-espacios. Después, para mostrar que la homología y la cohomología pueden obtenerse con técnicas de álgebra homológica, introduciremos la homología y cohomología celular, lo cual nos permitirá hacer cálculos de algunos grupos para espacios selectos en forma simple. Finalmente, haciendo uso de los conceptos de la homología celular, obtendremos las sucesiones exactas de Künneth, 181

182

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

para calcular homología y cohomología de productos de espacios, de coe­ ficientes universales, que permiten expresar homología y cohomología con coeficientes arbitrarios a través de construcciones algebraicas simples so­ bre los correspondientes grupos con coeficientes enteros, así como las sucesiones de Mayer-Vietoris, para expresar los grupos de cohomología y homología de uniones finitas de espacios en términos de los grupos de cada uno de ellos.

6.1

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

En esta sección definiremos los grupos de cohomología ordinaria como grupos de clases de homotopía [X,K(G,n)], donde K(G,n) representa los espacios de Eilenberg-Mac Lane definidos en el capítulo anterior. Supondremos en adelante que todos los espacios involucrados son complejos CW punteados con punto básico que es una 0-célula. Todas las construcciones que hicimos en el capítulo anterior, al partir de complejos CW han vuelto a producir complejos CW; esto tiene como una consecuencia, en particular, que, en esa clase de espacios, el tipo de homotopía de K(G,n) es único.

6.1.1

NOTA.

Ya que

π q (ΩK(G,n + l))

= [S9, ΩK(G, n + 1)] = [ΣSq, K(G, n + 1)] =

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

= tenemos que ΩK(G, n + 1)

6.1.2

DEFINICIÓN.

183

π q + l (K(G,n

+ l)) = q η q = n,

K(G, n).

Sea (X, A) una pareja CW, es decir X es complejo

CW y A

X es un subcomplejo, y sea G un grupo abeliano finitamente

generado.

Definimos el n-ésimo grupo de cohomología de (X, A) con

coeficientes en G como H n (X, A; G) = [(X/A, *), (K(G, n), *)] ,

n

1,

donde consideramos clases de homotopía punteadas (el punto básico * de X/A es {A}). Si A =

entonces X/A = X+ = X

En este caso,

H n ( X ; G) = [(X + , +), (K{G, n), *)] = [X, K(G, n)] t donde la última ex­ presión representa clases de homotopía libres (no punteadas) de X a K(G,n).

Podemos extender esta definición al caso n = 0 si definimos K(G, 0) = G (con la topología discreta).

6.1.3

EJERCICIO.

Demostrar que H°(X,A;G)

Y\G, con tantos fac­

tores como componentes por trayectorias C de X tales que C En particular, si X es conexo, H°(X; G)

A =

G.

Más en general, se tiene la siguiente propiedad de aditividad.

184

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.1.4

EJERCICIO.

Demostrar que H n (X, A; G)

H n { X a , A a ; G ) , don­

de Xa representa cada componente por trayectorias de X y Aa = Xa A. (Sugerencia: Un elemento x

H n (X,A;G) está representado por una

aplicación punteada

K(G,n) que, a su vez, por la

propiedad universal de la cuña, corresponde a una familia de aplica­ ciones fa: X a / A a xa

K(G, n), y cada una de ellas representa un elemento

H n (X a ,A a ;G).)

Ya que K(G, n)

K(G, n + 2), K(G, n) es un H-grupo, por 2.5.6,

H n (X,A;G) es, en efecto, un grupo y, de hecho, es abeliano, ya que K(G, n) es un doble espacio de lazos. Si f: (X, A)

(Y, B) es una aplicación de parejas CW, entonces la

aplicación en los cocientes /: X/A

Y/B induce un homomorfismo

f*:H n (Y,B;G)

H n (X,A;G).

Estos grupos y los homomorfismos inducidos tienen las siguientes propie­ dades.

6.1.5 Funtorialidad. Si f: (X, A)

(Y, B) y g: (Y, B)

aplicaciones de parejas CW, entonces (g o f)* = f* o g*: H n (Z, C; G)

H n (X, A; G),

(Z, C) son

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

y si id(x,A) : (X, A)

185

(X, A) es la identidad, entonces

id*(X,A)= 1Hn(X,A,G): HN

6.1.6 Homotopía. Si fo

H n (X, A; G).

(X,A,G)

f 1 :(X,A)

(Y,B) (homotopía de parejas),

entonces f* = f1: H n (Y, B; G)

6.1.7 Escisión.

H n (X, A; G).

Sea (X;X 1 ,X 2 ) una tríada CW, es decir, X1 y X2

son subcomplejos de X tales que X = X\ j: (X 1 ,X 1

X2)

X2.

Entonces la inclusión

(X, X 2 ) induce un isomorfismo

j:Hn(X,X2;G)

Hn(X1X1

X 2 ;G),

n

0.

6.1.8 Exactitud. Dada una pareja CW, (X, A), se tiene una sucesión exacta H q (A;G)-

H q + 1 (X,A;G)

H q + 1 (X;G)

H q + 1 (A;G)

es el llamado homomorfismo de conexión que es un homomorfismo natural; es decir, dada una aplicación de parejas f: (Y, B)

(X, A) es

186

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

conmutativo el diagrama

H i (*;G) =

G 0

si i si i

Demostración: En relación con las demostraciones de estas propiedades podemos decir de manera sucinta lo siguiente. 6.1.5 y 6.1.6 son inmedia­ tas. Para probar 6.1.7 basta con observar que las condiciones impuestas a X, X1 y X2 implican que son homeomorfos X/X2 y X l / X l

X2.

Para probar 6.1.8 se define, primeramente, H q (A-G)

H q + l {X,A;G)

a través de la aplicación X/A

X+

CA +

ΣA + ,

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

187

X+ U CA + es el cono no reducido de (X, A) definido alternativamente como X

A x I/

donde X

A

a

(α, 0) A x I y (a, 1)

(a ' , 1)

es la suspensión no reducida de A. Aquí,

en A x I. Análogamente

p es inverso homotópico de la equivalencia homotópica definida por la composición X+

X+

CA+

CA+/CA+

X/A,

y q es la aplicación cociente X+ Así

CA +

X+

CA+/X+

ΣA + .

se define como

H*(A; G) = [(A + , +), (K(G, q), *)] [(ΣA + , *), (K(G, q + 1), *)] =

[(A + , +), (ΩK(G, q + 1), *)] [(X/A, *), (K(G, q + l ) , *)]

H q + 1 {X,A;G).

Algunos autores ponen un signo a esta por convenir así a las propie­ dades multiplicativas. La exactitud se obtiene ahora de aplicar la sucesión exacta del corolario 3.2.9; a saber, ya que, como arriba, H q (X;G) = [(ΣX + , *), (K(G, q + 1), *)], la porción correspondiente de esa sucesión para la inclusión i: A

X es como sigue. (Por simplicidad, omitimos el

punto básico.) [ΣX+, K(G, q + 1)]

[ΣA+, K(G; q + 1)]

[X+,K(G,q + l)]

[Ci, K(G, q + 1)]

[A+,K(G,q + l)],

188

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

que, por los isomorfismos mostrados antes y el hecho de que Ci ~ X/A (véase 4.2.3), se transforma en H q (X;G)

H q (A;G)

H q + 1 (X,A;G)

Ensamblando estas porciones para q

Hq+l(X;G)

H q + 1 (A;G).

0 obtenemos la sucesión exacta

buscada. Para probar 6.1.9 basta aplicar la definición de K(G,i), ya que H i (*; G) = [S°, K(G, i)} = π 0 (K (G, i)) =

G 0

i i

ya que K(G, i) es discreto = G si i = 0 y conectable por trayectorias si i > 0.

6.1.10

NOTA.

Se puede extender la definición 6.1.2 a parejas arbitrarias

(X,A), definiendo H n (X,A;G) = H n aproximación CW de (X,A). Si f: (X, A) mos f* =

donde

es una

(Y,B) es continua defini­

Estas son buenas definiciones gracias a los teoremas de

aproximación 5.1.13 y 5.1.16.

Estos grupos de cohomología definidos para parejas arbitrarias de espacios topológicos satisfacen claramente los axiomas de funtorialidad, homotopía, exactitud y dimensión que se enunciaron anteriormente. Pero en este caso se satisface el siguiente axioma de escisión.

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

189

6.1.11 Escisión. (Para tríadas escisivas) Sea (X;A,B) una tríada escisiva, es decir, X es un espacio topológico, A y B son subespacios tales que

= X,

d o n d e d e n o t a n los interiores de A y B, res­

pectivamente. Entonces la inclusión j: (A, A

B)

(X, B) induce un

isomorfismo H n (A,A

Hn(X,B;G)

B;G),

n

0.

Demostración: Para demostrar que se tiene esta propiedad se toma una aproximación CW de A

B, φ:

aproximación de A, φ 1 :

y se extiende a una ya una de B, φ 2 :

tales que

De esta manera se puede definir una aplicación = X tal que Utilizando la hipótesis de que

= φ2 y

= —φ.

= X, se puede probar ahora que

es una equivalencia homotópica débil, es decir,

es una aproximación

CW de X (veáse [16, 16.24]. Con este resultado es claro que el axioma de escisión para tríadas escisivas se sigue del axioma de escisión para tríadas CW (6.1.7).

6.1.12

EJERCICIO.

Probar que el axioma de escisión para tríadas escisi­

vas es equivalente al siguiente axioma. Sea (X, A) una pareja de espacios yU

A tal que

entonces la inclusión i: (X - U, A — U)

(X, A)

190

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

induce un isomorfismo H n (X, A; G)

H n ( X - U , A - U ; G), n

0. (Es

precisamente de esta versión que viene el nombre de "escisión", ya que permite "escindir", tanto de X como de A una porción "bien" contenida en A, sin alterar la cohomología de la pareja.)

Ya que [Sn, K(G, q)] = π n (K(G, q)), se tiene la siguiente consecuen­ cia.

6.1.13 Proposición. Sea n > 0. Entonces se tiene H q (S n ;G) =

G 0

q q

Sea X un espacio punteado, con punto básico x0. Para toda n inclusión i: *

0 la

X tal que i(*) = x0 induce un epimorfismo i*:H n (X;G)

H n (*;G)

tal que lo escinde el monomorfismo r*:H n (*;G) inducido por la única aplicación r : X

6.1.14

DEFINICIÓN.

A

H n (X;G) *.

(X; G) = ker (i*) se le llama el n- ésimo grupo

de cohomología reducida con coeficientes en el grupo G del espacio pun­ teado X.

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

191

Se tiene, así, una sucesión exacta corta (X;G)Hn(X;G)

0

H n (*;G)

0

que se escinde, por lo que Hn(X;G)=

(X;G)

H n (*;G).

Por lo tanto, por el axioma de la dimensión 6.1.9, H n (X;G) = En adelante, si no se presta a confusión, escribiremos solamente {X)) en vez de H n (X; G) (resp.

H n ( X ) (resp. 6.1.15

EJERCICIO.

(X; G)).

Probar que si X es un espacio punteado con punto

básico x 0 , entonces, para toda n, (X) = H n (X,x 0 ). (Sugerencia: La sucesión exacta de la pareja (X, x 0 ) se descompone en sucesiones exactas cortas 0

H n (X,x 0 )

H n (X)

H n (x 0 )

0

que se escinden.) El axioma de la dimensión implica que para el espacio singular *, o, más en general, para cualquier espacio contraíble D, su cohomología reducida es trivial. Es decir, se tiene la siguiente afirmación.

192

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.1.16 Proposición, Sea D un espacio contraíble. Entonces

(D) =

0 para toda n.

La proposición 6.1.13 se puede rescribir en términos de la cohomología reducida como sigue.

6.1.17 Proposición. Sea n > 0. Entonces se tiene

6.1.18

EJERCICIO.

Probar que

Sea X un espacio punteado con punto básico x 0 .

(X; Z) = [(X, x 0 ), (K(Z, q), *)] y concluir que H q (X;Z)

(ΣX;Z).

(Sugerencia: Aplicar la sucesión exacta de grupos de homotopía a X C f = ΣX.)

6.1.19

EJERCICIO.

(S n ; Z)

Sea a k : S n

S n como en 5.3.6.

Probar que

(S n ; Z) corresponde a la multiplicación por k. (Sugeren­

cia: Probarlo por inducción sobre n aplicando el ejercicio anterior.)

6.1.20

EJERCICIO.

Probar lo siguiente:

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

193

(a) En la sucesión Hr((l)x(X,A))

H*(X,A)

H r + 1 ( D 1 x X , S ° x X D1 x A) = Hr+1((D1, S°) x (X, A)) todas las flechas representan isomorfismos, donde j es una inclusión. A su composición a:Hr(X,A;G)

H r + 1 ((D 1 ,S 0 )

x (X,A);G)

se le llama el isomorfismo de suspensión. (b) El isomorfismo de suspensión definido en (a) es un isomorfismo natural, es decir, conmuta con los homomorfismos inducidos por aplicaciones de parejas.

Una consecuencia muy interesante e importante de las proposiciones 6.1.16 y 6.1.17 es el siguiente famoso teorema, conocido como el Teorema de Punto Fijo de Brouwer.

6.1.21 Teorema. Sea n

1 y sea

f:.Dn

Dn

continua. Entonces

existe un punto x0 Dn tal que f(x0) = x0. A x0 se le llama punto fijo de f.

Demostración: Si no existiera tal x0, entonces f(x) Dn.

x para toda x

Así, los puntos x y f(x) determinan una semirrecta a partir de

194

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

f(x), que intersecta S n - 1 en exactamente un punto r(x), (véase la figura 6.1). La aplicación r:Dn

S n - 1 está bien definida, es continua y es, de

hecho, una retracción. Sin embargo, la existencia de una tal retracción contradice la siguiente proposición.

Figura 6.1

6.1.22 Proposición. Sea n 1. No existe una retracción r: Dn Sn-1

Demostración: Si existiera una tal retracción, se tendría un triángulo conmutativo

donde i: S n - 1 Dn es la inclusión, y, en consecuencia, un triángulo con-

GRUPOS DE COHOMGLOGÍA

195

mutativo de grupos de cohomología reducida con coeficientes en Z

lo cual es imposible, ya que, por 6.1.17, esto implicaría que lz factoriza a través del grupo H n - 1 (D n ), que, por 6.1.16, es trivial. 6.1.23 Proposición. Sea X = SnUak e n + 1 el espacio de Moore de tipo (Z/k,n) que tiene dimensión n + 1, entonces q

H (X;Z) =

Z

q

Z/k 0

q q

n+ 1 0,n + l

Demostración: Es una consecuencia de la propiedad de exactitud y del hecho de que H n (S n ;

Z)

H n (S n ;Z)

es multiplicación por k.

6.1.24

EJERCICIO.

Sean X, Y espacios punteados. Probar que para

toda n (X

6.1.25

EJERCICIO.

Y;G)

(X;G)

(Y;G).

Sean G 1 ,G 2 ,• • • , G m grupos abelianos finitamente

generados y 0 < q1 < q2 < • • • < qm números naturales. Construir

196

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

un espacio X tal que q

H (X;Z) =

Z

si q

Gi

si q

0

6.1.26 f::S n+1

EJERCICIO.

si q

0 0,q i i = 1,2, . . . , m .

Sea X un espacio tal que H 9 (X; Z) = 0 si q > n. Si

X es una aplicación continua, probar que q

H (Cf);Z) =

H q (X;Z) si Z si 0 si

n n+2 i,n + 2, 0 < i < n.

El siguiente ejercicio ilustra otra importante aplicación de la coho­ mología. Se refiere a la existencia de campos vectoriales tangentes a las esferas. 6.1.27

EJERCICIO.

Probar que las siguientes afirmaciones son equiva­

lentes. (a) Existe f: Sn-1

Rn - 0 tal que f(x)

(b) Existe g: S n - 1

S n - 1 tal que g no tiene puntos fijos y |g(x) —x| < 2

para toda x.

para toda x. (c) Si α: Sn-1 a

S n - 1 es la aplicación antípoda a(x) = —x, entonces

idSn-1.

Concluir que (c) y, por lo tanto, (a) y (b) sólo pueden ser válidas si n es par. En particular, no es posible encontrar un campo vectorial

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA

197

tangente no trivial sobre S2 (es decir, no se puede "peinar un erizo"). (Sugerencia: (a)

(b)

Defínase g(x)=

(b)

(a)

Defínase f(x) = g(x) -

representa el producto escalar usual en Rn.

donde (a)

x,

(c)

Tómese la homotopía

H(x,t) = ( l - 2 t ) x +

lf(x)/\f(x)\).

Finalmente, si n = 2k, entonces, si x = (x 1 , x 2 ,....., x2k-1,x2k), f(x) = (x2, - x 1 , x 4 , - x 3 , . . . , x 2k , -x 2 k - 1 ) cumple (a). Si n = 2k + 1, a no puede ser homotópica a la identidad; a saber, a = r1 o r 2 o • • • o r n : S n - 1

Sn-1,

donde r¿ designa la reflexión en el plano xi = 0. Así, por 5.3.8, a* = (-l)n:Hn-1(Sn-1) por tanto, α

id.)

Hn-1(Sn-1),

por lo que a* no es la identidad y,

198

6.1.28

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA EJERCICIO.

Sea X un espacio topológico y sean B

A

X

subespacios. Probar que para cualquier grupo de coeficientes se tiene una sucesión exacta larga

H n-1 (A,B)

H n (X,A)

H n (X,B)

H n (A,B)

donde los homomorfismos están definidos por las inclusiones, salvo

que

está definido como la composición

H n-1 (A,B)

6.2

H n - l (A)

H n (X,A).

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA EN COHOMOLOGÍA

En esta sección introduciremos una estructura multiplicativa en la co­ homología de un espacio, que convierte al grupo graduado H*(X) = ( H n ( X ) } en un anillo graduado. Esta estructura se obtiene de definir el llamado producto copa ("cup") en los grupos de cohomología. Empezare­ mos con la siguiente definición que echa mano de la definición 5.5.10.

6.2.1

DEFINICIÓN.

Sea R un anillo conmutativo con uno (con una fa­

milia numerable de generadores como grupo abeliano); entonces, para r,s

0, se definen aplicaciones :K(R,r)

K(R,s)

K ( R , r + s)

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA EN COHOMOLOGÍA

199

por el triángulo K(R

donde

R,r + s) = SP M(R

R,r + s)

es la aplicación definida en 5.5.10 del capítulo anterior, y v:

M(R

R,r + s)

M(R, r + s) es la aplicación, inducida por el homo-

morfismo multiplicación de anillo R

R

R según 5.4.12.

Haciendo uso de las aplicaciones definidas arriba, podemos definir la estructura multiplicativa de los grupos de cohomología, como sigue. 6.2.2

DEFINICIÓN.

Sean X un complejo CW y A y A' subcomplejos. El

producto interior o producto copa es un homomorfismo de grupos H r (X,A;R)

H S (X,A';R)

H r + S (X,A

H r (X, A; R) y y = H

que a clases x =

S

A';R)

( X , A ' ; R ) les asocia

la clase de la aplicación X/ A donde

A'

X/A

:X/A

A' —> X/A

diagonal X

X/A'K(R,r)

K(R,s)

K(R,s),

X/A' es la aplicación inducida por la

X x X. A esta clase se le denota por x

Este producto le da a la cohomología una estructura multiplicativa que tiene las siguientes propiedades. En adelante, supondremos que la

200

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

cohomología siempre tiene coeficientes en un anillo conmutativo con uno R y, por simplicidad, lo omitiremos de la notación.

6.2.3 Naturalidad.

Dada una aplicación de ternas f :(X;A, A')

(Y;B,B'), es decir, tal que f(A) y

H r (Y,B) y y'

B y f(A')

B', entonces para

H S (Y,B') se tiene que

6.2.4 Asociatividad.

Para x

H q (X,A), x'

H r (X,A'), x"

H S (X,A"), se tiene que

Hq+r+s

—

6.2.5 Unidades. Sea l x cación X 1

H°(X) el elemento representado por la apli­

K(R, 0) = R que aplica a todo el espacio X en el elemento

R, entonces para x

H q (X,A) se tiene que = x

H q (X,A).

201

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA EN COHOMOLOGÍA

6.2.6 Estabilidad. Es conmutativo el diagrama siguiente H r (A)

H S (X,A')

H r (A)

Hs

Hr+s

Hr+s

H r + 1 (X,A)

H r + S + 1 (X,A

H S (X,A')

A'),

donde i y j son inclusiones y, de hecho, j* es un isomorfismo de escisión. En particular, para A' = 0, se tiene la fórmula (α

i*x) = a

6.2.7 C o n m u t a t i v i d a d . Para x

x.

H r ( X , A ) y x'

H S {X,A') se tiene

la siguiente fórmula

x

x' = (-l) r x

x.

La demostración de estas propiedades, salvo la conmutatividad, des­ cansa, fundamentalmente, en la unicidad, salvo homotopía, de las apli­ caciones entre espacios de Moore que realizan homomorfismos de grupo dados. Dejamos al lector que llene los detalles.

202

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.2.8

EJERCICIO.

Demostrar las propiedades de naturalidad, asociativi-

dad, unidades y estabilidad del producto interior de cohomología.

De manera análoga al producto interior, se puede definir un producto exterior como sigue.

6.2.9

DEFINICIÓN.

Sean X y Y complejos CW y A y B subcomplejos

de X y Y respectivamente. El producto exterior o producto cruz es un homomorfismo de grupos H r (X, A; R)

H S (Y,B; R)

H r + S ((X, A) x (Y, B);R),

donde, (X,A) x (Y,B) = (X xY,A x Y H r (X, A; R) y y = [β]

X x B) que a clases x = [a]

HS(Y, B; R) les asocia la clase de la aplicación

X x Y/A x Y K(R,r)

XxB

(X/A) A (Y/B)

K(R,s)

K ( R , r + s).

A esta clase se le denota como x x y.

Este producto exterior tiene propiedades correspondientes a las del producto interior debido a que ambos productos están íntimamente rela­ cionados.

6.2.10

EJERCICIO.

Sean x;

Probar las siguientes fórmulas

H r (X;A), x'

Hs(X,A')y y

H S (Y,B).

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA EN COHOMOLOGÍA

(a) x x y = p * ( x )

203

q*(y),

donde p : (X, A) x Y

(X, A) y q : X x (Y,B)

(Y, B) son las

proyecciones. (b) x

x' =

donde Δ: (X, A

A')

(X, A) x (X, A') es la aplicación diagonal.

Por el ejercicio anterior y usando las propiedades del producto copa, aunque también en forma directa, es posible probar las propiedades si­ guientes del producto cruz.

6.2.11 Naturalidad. (X,A), y g :(Y',B')

Dadas aplicaciones de parejas f :(X',A') (Y,B), entonces para x

H r (X,A) y y

H S (Y,B) se tiene que (f x g)(x x y) = f*(x) x g*(y).

6.2.12 Asociatividad. Para x

H q (X,A),y

Hr(Y,B),z

H S (Z,C),

se tiene que x x ( y x z ) = ( x x y ) x z H q + r + s ((X, A) x (Y, B) x {Z, C)).

204

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.2.13 Unidades. Sea 1

H°(*)

R el elemento representado por la

aplicación {*}

K(R, 0) = R que aplica a {*} en el elemento 1

entonces para x

H q (X, A) se tiene que

l x x = xxl = x

R,

H q ( { * } x ( X , A ) ) = H q (X,A).

6.2.14 Estabilidad. Es conmutativo el diagrama siguiente. H r (A,A')

H S (Y,B)

Hr+s(AxY,AxB H r + S (A x Y

H r + 1 (X,A)

H S (Y,B)

A' x Y )

X x B,A' x Y

Hr+s+1(X x Y , A x Y

X x B)

X x B),

donde j es una inclusión y, de hecho, j* es un isomorfismo de escisión. En particular, para B =

se tiene la fórmula

6.2.15 Conmutatividad. Para x

H r (X,A) y y

la siguiente fórmula T*(x x y ) = ( - l ) r s y x x,

H S (Y,B) se tiene

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA EN COHOMOLOGÍA

donde T: (Y, B) x (X, A)

6.2.16

EJERCICIO.

205

(X, A) x (Y, B) intercambia los factores.

Probar las propiedades del producto exterior en co­

homología a partir de las propiedades del producto interior en coho­ mología.

6.2.17

NOTA.

También es posible probar, inversamente, las propiedades

del producto interior a partir de las del exterior.

Los siguientes ejercicios se pueden resolver aplicando directamente las propiedades de los productos y las fórmulas que los relacionan.

6.2.18

EJERCICIO.

Sean x

H q (X,A),y

H r (Y,B)y

y'

H S (Y,B').

Probar que se tiene la fórmula xx (y

y') = (x x y)

q*(y')

H q + r + s (X x Y, X x

AxY),

donde q :X xY

Y denota la proyección.

6.2.19

Sea σ H1(D1 ,S°;R) el elemento representado por

EJERCICIO.

la aplicación compuesta (D1,S°)

S1 = K(Z, 1)

K(R,1), donde la

primera aplicación es la identificación natural y la segunda la inducida

206

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

por el homomorfismo Z isomorfismo a : H r (X)

R tal que 1

1. Probar que se tiene un

Hr+1((D1, S°) x X; R) tal que a(x) = σ x x.

Éste es, precisamente el isomorfismo de suspensión definido en 6.1.20. (Sugerencia: Probar que la imagen de 1

H°(*) = R bajo el isomorfismo

de suspensión es precisamente σ y usar las propiedades del producto cruz.) 6.2.20

EJERCICIO.

(i) Probar que la inclusión (D1, S°)

induce un isomorfismo en cohomología H*(D l , S°) (Sugerencia: Las inclusiones (D1,S°) 0)

(D1,D1

(R, R - 0) H*(R, R — 0).

- 0) y (D 1 ,D 1 -

(R, R — 0) son, respectivamente, una escisión, y una equiva­

lencia homotópica en el segundo término, por lo que ambas inducen isomorfismos; úsese la sucesión exacta de la pareja para el segundo caso.) (ii) Sea gx

H l (R, R — 0) el elemento correspondiente a σ del ejercicio

anterior bajo el isomorfismo de (i). Probar que el homomorfismo g1 X :H q (X,A)

H q+1 ((R.R - 0) x (X,A)) es un isomorfismo.

(Sugerencia: Salvo el isomorfismo definido en la sugerencia de (i), es este homomorfismo el de suspensión del ejercicio anterior.) (iii) Para cada n, definimos inductivamente gn

H n (R n ,R n — 0) como

gn = g1 gn-1 ya que (R, R- 0) x (Rr-1, R n - l - 0) = (R n , Rn - 0).

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

207

Probar que gn es un generador de H n (R n ,R n - 0), como grupo cíclico infinito, al que llamaremos generador canónico. (Sugerencia: Aplicar (ii) usando inducción.)

6.3

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

En esta sección, también haciendo uso de las potencias simétricas in­ finitas introducidas en la sección 5.2, daremos una definición de los gru­ pos de homología con coeficientes en los números enteros. Definiremos primeramente los grupos reducidos y, con esa base, definiremos los grupos relativos.

6.3.1

DEFINICIÓN.

Sea X un complejo CW conectable por trayectorias,

con punto básico x0 Se define su n-ésimo grupo de homología reducida (con coeficientes en Z), n

0, como ( X ) = π n ( S P X),

donde los grupos de homotopía se definen con respecto al punto básico determinado en SP X por x 0 . Para n < 0 definimos

(X) = 0

En general, TCQ no dará un grupo como resultado, sin embargo, por 5.2.19, se tiene en forma inmediata la siguiente afirmación.

208

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.3.2 Proposición. Sea X un complejo CW punteado conectable por trayectorias, entonces (X)

(ΣX),

para toda n, donde ΣX representa la suspensión reducida de X.

Esto nos permite, por un lado, extender la definición de los grupos de homología reducida a espacios no necesariamente conectables por trayec­ torias, a saber, ya que ΣX es siempre conectable por trayectorias, se define para cualquier complejo CW punteado X y n (X) = y por el otro, afirmar que

(X)

0,

(ΣX), (ΣX)

(Σ 2 X) = π 2 (SPΣ 2 X),

no sólo es un grupo, sino que es abeliano, al igual que lo son todos los demás grupos. Si f : X

Y

es una aplicación punteada entre complejos CW pun­

teados, entonces la aplicación f*.=

SP X (X)

SP Y induce un homomorfismo (Y).

Como en el caso de la cohomología, estos grupos y homomorfismos tienen las siguientes propiedades.

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

209

6.3.3 Funtorialidad. Si f:X

Y y g:Y

Z son aplicaciones de

complejos CW punteados, entonces (gf)* = g * f * :H n (X)

H n (Z),

y si idx: X X es la identidad, entonces idx. = 1Hn(X):

6.3.4 Homotopía. Si f

g:X

f* = g*:

Y (homotopía punteada), entonces (X)

(Y).

6.3.5 Exactitud. Dada una aplicación (punteada) f: X

Y, se tiene

una sucesión exacta Hg(X)

(Y)

(C f ),

donde Cf representa el cono de la aplicación f e i:Y canónica.

6.3.6 Dimensión. Para la 0-esfera S° se tiene Z si n 0 sin

Cf es la inclusión

210

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

Demostración: La propiedad de funtorialidad es una consecuencia in­ mediata de la funtorialidad de la construcción de las potencias simétricas 5.2.6 y de la funtorialidad de los grupos de homotopía 3.4.8. La propiedad de homotopía es consecuencia inmediata de 5.2.8. Para probar la pro­ piedad de exactitud, se tiene el siguiente diagrama conmutativo salvo homotopía

donde Zf es el cilindro de aplicación reducido de /, definido como el re­ sultado de identificar en el cilindro de f, Mf (3.1.2) la generatriz {x 0 } x I en un solo punto, y Zf

Cf

es la identificación canónica del cilindro en

el cono, que identifica X x {1} en un solo punto. La inclusión canónica Y

Zf es, evidentemente, una equivalencia homotópica (véase el ejer­

cicio 6.3.7 más adelante). Por el teorema de Dold-Thom 5.2.17, la apli­ cación inducida SP (Zf)

SP (C f ) es una casifibración con fibra SP X.

Por lo tanto, por 4.3.29, tenemos la sucesión exacta de homotopía π q (SPX)

π q (SP(Z f ))

π q (SP(C f ))

que, salvo la equivalencia homotópica mencionada arriba, es equivalente a la sucesión exacta π q (SPX)

π q (SPY)

π q (SP(C f ));

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

211

así, por definición de los grupos de homología reducida, obtenemos la sucesión exacta deseada. Finalmente, la propiedad de dimensión es una consecuencia inme­ S P S 1 es una

diata de 5.3.2, a saber, de que la inclusión natural S1

equivalencia homotópica; en otras palabras, del hecho de que SP S1 es un K(Σ, 1), tenemos

6.3.7

Z si n 0 si n

Probar que la inclusión canónica j : Y

EJERCICIO.

equivalencia homotópica tal que jof inclusión canónica inducida por x

6.3.8

(S1) =

(S1)=ΠN+1(SPS1)

(S°) =

DEFINICIÓN.

fe,

donde

fe:X

Zf

es una Zf

es la

(x, 1).

Sea X un complejo CW y sea i:X

S P X la in­

clusión canónica en su potencia simétrica infinita. Por tanto, para cada q, i induce un homomorfismo h x : π q (X)

H q (X)

llamado homomorfismo de Hurewicz.

6.3.9

EJERCICIO.

Por 5.4.6, el homomorfismo de Hurewicz πq(Sq)

H q (S 9 ) es un isomorfismo. Si iq de [id]

πq(S9),

H q (S q ) es el generador que proviene

probar que el homomorfismo de Hurewicz es tal que

212

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

si [f]

π q (X), h x ([f}) = f*(tg). (Sugerencia: Si

j:Sq

SPS q

es la

inclusión canónica, entonces iof = fo j . ) La siguiente versión equivalente de 5.4.27 es el famoso e importante teorema de Hurewicz. 6.3.10 Teorema. (Isomorfismo de Hurewicz) Sea X un complejo CW (n — l)-conexo. Entonces el homomorfismo de Hurewicz hx: π q (X) H q (X) es un isomorfismo si q

n y un epimorfismo para q = n + 1.

En forma análoga al caso de los grupos de cohomología, se pueden definir los grupos de homología de parejas como sigue. 6.3.11

DEFINICIÓN.

Sea (X, A) una pareja CW. Definimos el n-ésimo

grupo de homología de (X, A) como Hn(X,A)=

(X

CA),

donde X CA es el cono de la inclusión de A en X. Si f: (X, A)

(Y, B)

es una aplicación de parejas CW, entonces la aplicación inducida en los conos f':X ≈

CA

Y

CB tal que f ( x ) = f(x)

CB si

Xy

CA, induce un homomorfismo

f.:H n (X,A) En particular, si se toma A = por definición, CA = *, X

Y si x

H n (Y,B).

H n (X) =

CA = X+ = X

{X + ), ya que en este caso

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

213

Como en el caso reducido y en forma análoga a los grupos de coho­ mología estos grupos tienen las siguientes propiedades.

6.3.12 Funtorialidad. Si f: (X, A)

(Y, B) y g: (Y, B)

(Z, C) son

aplicaciones de parejas CW, entonces (gf)* = g * f * :H n (X,A) y si id (x,A) : (X, A)

H n (Z,C),

(X, A) es la identidad, entonces

ID(X,A)*

= l H n ( x , A ) :H n (X, A)

6.3.13 Homotopía. Si f

g: (X, A)

H n (X, A).

(Y, B) (homotopía de parejas),

entonces fm = g * :H n (X,A)

H n (Y,B).

6.3.14 Escisión. Sea (X;X 1 ,X 2 ) una tríada CW, es decir, X1 y X2 son subcomplejos de X tales que X = X1 j:(X1,X1

X2)

X 2 . Entonces la inclusión

(X,X 2 ) induce un isomorfismo

j * :H n (X 1

X 2 )-->H n (X,X 2 ),

n

0.

214

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.3.15 E x a c t i t u d . Dada una pareja CW (X,A) se tiene una sucesión exacta larga H q+1 (A)

H q + 1 (X)

H q + l (X,A)

H q (A)

donde ∂ es el llamado homomorfismo de conexión en homología, que es un homomorfismo natural; es decir, tal que dada una aplicación de parejas f: (X, A)

(K, B) es conmutativo el diagrama H q + 1 (X,A)

Hq(A)

H q+1 (Y,B)

H q (B).

6.3.16 Dimensión. Para el espacio de un solo punto * se tiene H n (*) =

Z si n 0 si n

Demostración: En relación con las demostraciones de estas propiedades podemos decir lo siguiente. Las propiedades de funtorialidad y homotopía son inmediatas de las correspondientes en el caso reducido. Para probar la propiedad de escisión, primeramente recordamos 4.2.3, es decir, que la identificación X

CA

X

CA/CA

equivalencia homotópica, por lo que para toda pareja CW (6.3.17)

Hn(X,A)=

(X/A).

X/A es una

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

215

Así, para probar 6.3.14, basta con observar que las condiciones impuestas a X , X 1 y X2 implican que son homeomorfos X/X 2 y X 1 /X 1

X2.

Para probar la propiedad de exactitud, se define, como en la de­ mostración de 6.1.8, H q + 1 (X,A)

Hq(A)

a través de la aplicación X/ A Así

X+

CA +

ΣA + ,

se define como la composición

H q + 1 (X,A)

(X/

+

A ) ( Σ A

(A + ) = H q (A).

)

La exactitud en H q + 1 (X) se prueba tomando la sucesión exacta del X+ y se obtiene la sucesión

caso reducido para la inclusión i: A+ exacta (A + ) que, ya que

( X

+

) ( C

i

)

(Ci) = H q + 1 (X, A), es la misma que H q+1 (A)

H q + 1 (X)

H q + 1 (X,A).

La exactitud en H q + 1 (X, A) se obtiene tomando ahora la sucesión exacta del caso reducido para la inclusión j: X q + 1 (X

+

)

(X+CA+)

X+

CA + (C j ).

216

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

Es sencillo probar que Cj

ΣA + (véase la sección 3.2 y, en particular,

la ecuación (3.2.4)), de modo que la sucesión anterior se convierte en H q + 1 (X,A)

H q + 1 (X)

H q (A),

donde el último homomorfismo es, precisamente, Finalmente, la exactitud en Hq(A) se obtiene tomando la sucesión exacta del caso reducido para la identificación p: X +

CA +

ΣA + y

Σ X + ; es decir, la sucesión

observando que Cp Hq+1(X+

CA + )

(ΣA + )

(ΣX + ),

la cual se convierte en H q + l (X,A)

Hq(A)

H q (X),

donde el primer homomorfismo es, precisamente, ducido por la inclusión A

y el segundo el in­

X.

La propiedad de dimensión es inmediata de observar que H n (*) =

6.3.18

EJERCICIO.

Verificar los detalles de la demostración de la pro­

piedad de exactitud, en particular, que Cp equivalencia homotópica, ΣA + 6.3.19

NOTA.

Σ X + y que, salvo esta

Cp corresponde a la inclusión.

La demostración que hemos dado de la propiedad de exac­

titud para el caso de parejas a partir de la correspondiente para el caso

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

217

reducido no es, en este caso la más sencilla; sin embargo, su valor es el hecho de que presenta la forma general de probar que se satisface un axio­ ma de exactitud relativo (como 6.3.15) para cada funtor que satisfaga un axioma de exactitud reducido (6.3.5); esto es especialmente importante en el estudio de teorías generales de homología (o cohomología). Una demostración más sencilla de 6.3.15 es posible, como se pide probar en 6.3.20. 6.3.20

EJERCICIO.

Obtener la propiedad de exactitud, en forma alter­

nativa de la sucesión exacta larga de grupos de homotopía de la casifibración SP Zi donde i: A 6.3.21

SPC i

(4.3.30) inducida por la identificación Zi

Ci

X es la inclusión.

NOTA.

Se puede extender la definición 6.3.11 a parejas arbi­

trarias (X, A), definiendo H n (X, A) = una aproximación CW de (X, A). Si /: (X, A)

donde

es

(Y, B) es continua de­

finimos f* = f*. Estas son buenas definiciones gracias a los teoremas 5.1.13 y 5.1.16. Estos grupos de homología definidos para parejas arbitrarias de espa­ cios topológicos satisfacen claramente los axiomas de funtorialidad, ho­ motopía, exactitud y dimensión que se enunciaron anteriormente. Pero en este caso se satisface el siguiente axioma de escisión correspondiente a 6.3.14.

218

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.3.22 Escisión. (Para tríadas escisivas) Sea (X; A, B) una tríada escisiva. Entonces la inclusión j: (A, A B) H n (A,A

B)

(X, B) induce un isomorfismo

H n (X,B),

n

0.

La demostración es análoga al caso de la cohomología.

6.3.23

EJERCICIO.

Probar que el axioma de escisión para tríadas es­

cisivas es equivalente al siguiente axioma. Sea (X, A) una pareja de espacios y U

entonces la inclusión i: (X — U, A —

(X,A) induce un isomorfismo H n (X — U,A — U)

U) n

A tal que

H n (X,A),

0.

6.3.24 Lema. Sea X cualquier espacio topológico punteado, entonces

Hq(X) = Demostración: Para la inclusión natural j : X CX

X + , el cono C j =

es homotópicamente equivalente a la 0-esfera S°, por lo que,

para cada q, se tiene una sucesión exacta H q (X)

(X

Ya que la proyección natural p : X +

+

),(S°). X, que aplica a * en el punto

básico de X es tal que p o j = id x , esta sucesión se escinde y el término

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

219

de enmedio se expresa como suma de los extremos, es decir, H q (X) =

(X+) =

(X)

(S°).

La afirmación se obtiene ahora en forma inmediata de la propiedad de dimensión 6.3.6. 6.3.25 Proposición. Sea n > 0. Entonces se tiene H,(S n ) =

Z q 0 q

0,n 0,n.

Demostración: Calcularemos primeramente la homología reducida; a sa­ ber, ya que Sn = Σ n S°, por 6.3.2,

(Sn)

(S°), pero S° = *+, así

que por el lema anterior y una nueva aplicación de 6.3.6, se obtiene el resultado. Los grupos de homología reducida tienen una propiedad adicional con respecto a uniones infinitas de complejos CW, que permite, en par­ ticular, obtener la homología de cualquier complejo CW a partir de sus subcomplejos finitos. 6.3.26 Proposición. Sea X un espacio topológico punteado y sea {X\} el sistema de subespacios compactos que contienen el punto básico. Las inclusiones

Xμ determinan un sistema dirigido al aplicarle

para cada q. Entonces se tiene un isomorfismo colím

(X λ )

(X),

220

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

determinado por las inclusiones i λ : X λ

Demostración: Las inclusiones SP Xμ e colím SP Xλ

X.

inducen inclusiones

SP X, las cuales, a su vez, inducen una aplicación SP X, que es continua y biyectiva; en general la función

inversa no es continua, salvo en subconjuntos compactos, (sí lo es si, por ejemplo, X es compactamente generado, véase 4.3.17), lo cual basta para que induzca isomorfismos en los grupos de homotopía. Por la misma razón, π q (colímSP X λ ) = colím πq(SP X λ ). Así, tenemos el resultado deseado.

6.3.27

EJERCICIO.

Probar las siguientes afirmaciones.

(a) Si X — X1 X 2 , entonces

(Xx)

(X 2 ).

(Sugerencia:

Aplicar la propiedad de exactitud 6.3.5 a la inclusión X1 (b) Si X=

entonces(X)

X.)

(X\). (Sugerencia: Aplicar

(a) y argumentos similares a los de la demostración de 6.3.26.)

6.3.28

NOTA.

En [12], los autores hacen otra construcción relacionada

con la potencia simétrica infinita de un espacio.

Se trata del grupo

topológico abeliano libre sobre un espacio topológico X con punto básico XQ como elemento 0 del grupo; este grupo topológico tiene propiedades análogas a las de la potencia simétrica infinita. La construcción goza de

GRUPOS DE HOMOLOGÍA

221

las propiedades deseadas cuando el espacio X es un complejo simplicial numerable con x0 como uno de sus vértices. Para definir este grupo topológico se construye la cuña X dos ejemplares de X, se toma la aplicación

X de que

intercambia ambos sumandos, y se define una relación de equivalencia en SP (X

X) tal que X

X + x' +

El espacio cociente AG X que resulta de tomar las clases de equivalencia es un grupo topológico abeliano. La construcción es evidentemente funtorial. Si X es un complejo simplicial numerable, entonces AG X tiene la estructura de un complejo CW. Para cualquier entero positivo m se puede tomar el subgrupo m • AG X de AG X de los elementos divisibles entre m, y al tomar el cociente AG X / m • AG X se obtiene en forma funtorial un nuevo grupo topológico AG (X; m), que no es otra cosa que el Z/m-módulo topológico libre sobre el espacio X. Correspondiendo al teorema principal sobre potencias simétricas in­ finitas 5.2.17, se tiene un resultado para los grupos topológicos abelianos libres. Sea A un subcomplejo del complejo simplicial numerable X que también tiene a x0 como vértice. Si p: X entonces la aplicación inducida

AG X

X/A es la aplicación cociente, AG {X/A) es un espacio fi-

222

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

brado localmente trivial con fibra AG A; de hecho, es un haz fibrado principal con fibra y grupo estructural AG A. Como consecuencia, en forma análoga a lo que se tiene con la cons­ trucción SP, la construcción AG es tal que los grupos y

= πq(AG X)

— π q (AG(X;m)) coinciden con la homología reducida ordi­

naria de X con coeficientes en Z, resp. en Z/m, en la categoría de los complejos simpliciales numerables.

6.4

HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA CELULAR

Hemos, hasta ahora, presentado los grupos de cohomología y de ho­ mología bajo el enfoque homotópico; es decir, como conjuntos de clases de homotopía. Sin embargo, históricamente, fueron métodos homológicos (algebraicos) los que permitieron definir esos grupos. Esto, si bien no re­ fleja la esencia homotópica, sí permite llevar a cabo cálculos de una mane­ ra más sistemática. En esta sección presentaremos una versión a través del álgebra homológica de los grupos de cohomología y de homología, llamada homología y cohomología celular y, además de utilizarlos para hacer algunos cálculos, los usaremos en la siguiente sección para estable­ cer la fórmula de Künneth y el Teorema de coeficientes universales. En adelante supondremos que X es un complejo CW y denotaremos por H m (X,A) los grupos de homología con coeficientes en Z de X, módulo

HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA CELULAR

223

un subcomplejo A. Empezaremos con un teorema.

6.4.1 Teorema. Sea {*} = X-1

Xo

Xn

X1

X la

filtración de los esqueletos de un complejo CW X. Entonces m m

Hm(Xn,Xn-1)

n n,

es el conjunto de las n-células de X.

donde

Demostración: Considérese la siguiente sucesión de isomorfismos: Hm(Xn,Xn-l)

(Xn/Xn-1) m m

n n.

El primer isomorfismo se tiene, ya que la pareja (X n , X n - 1 ) es una pareja CW, por 6.3.17; el segundo, ya que el cociente es, precisamente una cuña de esferas; el tercero se obtiene de 6.3.27 (b) y, finalmente, el cuarto se obtiene de 6.3.25.

Del teorema anterior, obtenemos un corolario.

6.4.2 Corolario. Bajo las mismas hipótesis del teorema 6.4.1 se tienen las siguientes afirmaciones:

(a)

(X n ) = 0, s i m > n

224

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

(b) H m (X n ) (c) H n (X n )

Hm(Xn+l)

H m (X), si m < n

H n (X n + 1 ), inducido por la inclusión, es un epimor-

fismo.

Demostración: Tómese la siguiente porción de la sucesión exacta larga de homología de la pareja ( X n + 1 , X n ) Hm+l(Xn+1,Xn)

H m (X n )

en la cual, el primer término es 0 si m

H m (X n + 1 )

Hm(Xn+1Xn),

n y el último es 0 si m

n+l.

Por lo tanto, (c) es claro así como también la primera parte de (b). Para probar (a), se tiene para m > n que

(X n )

(Xn-1)

( X - 1 ) = 0. Obsérvese que, para m > 0, estos grupos coinciden con los grupos no reducidos. Finalmente, la segunda parte de (b) se obtiene del diagrama

donde ik : Xk

X denota la inclusión, y (ik*) es un isomorfismo por la

proposición 6.3.26. En lo que sigue haremos uso de los conceptos básicos del álgebra homológica, como se pueden encontrar en cualquier libro básico sobre el

HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA CELULAR

225

tema, como [26]. Consideremos, así, para un complejo CW finito X, el siguiente complejo de cadenas •••• (6.4.3)

Hn+l(Xn+1,Xn)

donde ∂ n + 1 : H n + 1 (X n + 1 , X n )

Hn(Xn,Xn-1) H n (X n )

H n (X n , X n - l ) .

6.4.4 Teorema. El complejo de cadenas (6.4.3) tiene a H(X) como su homología.

Demostración: Tómese la siguiente descomposición del complejo

donde las flechas inclinadas son monomorfismos y la vertical inferior es un epimorfismo, como se probó en 6.4.2, y, tanto las dos flechas verticales de la izquierda, como las inclinadas siguiendo a las verticales ∂, forman sucesiones exactas; se tiene así ker im por lo tanto, ker 6.4.2 (b).

/im

=ker ∂

H n (X n ),

im ∂

H n (X n ),

Hn(Xn)/imHn(Xn+1)

H n (X) por

HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA CELULAR

6.4.8

EJERCICIO.

227

Sea X un complejo CW punteado. Defínanse

G) = ker {H0(X; G)

H 0 (*; G)) y

(X;

(X; G) = H n (X; G) para n

0.

Más aún, para una pareja CW (X, A) defínase H n (X,A;G) = H n (X CA;G). Probar que los grupos H n (X,A;G) satisfacen los axiomas co­ rrespondientes a 6.3.12-6.3.16. 6.4.9

NOTA.

En particular, para G = Z/k, los grupos

(X; G) coinci­

den con los descritos en 6.3.28. Hay una versión relativa de todo lo dicho. El teorema 6.4.1 puede probarse en el caso de tener una filtración A = Xn

X-1

• • • X de una pareja de complejos CW A

Xo

X1 X, donde

ahora Xn representa el n-esqueleto relativo, es decir, la unión de A con el n-esqueleto absoluto. En este caso, el teorema 6.4.4 correspondiente al complejo de cadenas celulares relativas C*(X, A), afirma que la homología de este complejo es H * (X,A). Hay otro enfoque, como se afirma en el siguiente ejercicio. 6.4.10

EJERCICIO.

Sea X un complejo CW y A un subcomplejo. En­

tonces los cocientes C n (X)/C n (A) determinan un complejo de cadenas. Probar que este complejo es isomorfo a C*(X, A). 6.4.11

EJERCICIO.

Probar que los grupos relativos H n (X, A; G) se pue­

den definir, en términos de lo que dijimos antes, tomando el complejo

228

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

C*(X, A; G) cuyos grupos son Cn(X, A)

G.

Como una aplicación de los resultados anteriores, analizaremos un ejemplo. 6.4.12

EJEMPLO.

La botella de Klein K se obtiene del cuadrado I x I

identificando (0, t) con (1,1 — t), para toda t toda s

I, y (s, 0) con (s, 1), para

I. Calcularemos su homología y, de esa forma veremos que no es

un espacio homeomorfo al toro T = S 1 xS 1 .

Figura 6.2 Como se ve en la figura 6.2, se puede descomponer K como complejo CW con una 0-célula e°, dos 1-células e1 y e-1 y una 2-célula e2. De la forma como están ensambladas estas células, por 6.4.6, tenemos para el complejo de cadenas celulares de K que d2(e2) = 2e-1

HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA CELULAR

229

d1(e1) = d1(e1) = 0

d0(e°) = 0, de donde obtenemos que H 2 (K) = 0,

H1(K)=Z

Z/2.

Sin embargo, para el toro T, en forma semejante se puede probar que su homología es H 2 (T) = Z,

H1(T)=Z

Z.

Por lo tanto, la botella de Klein K y el toro T no pueden ser homeomorfos (ni siquiera homotópicamente equivalentes).

Otro ejemplo, de interés para el último capítulo del libro es el si­ guiente.

6.4.13

EJEMPLO.

Considérese el espacio proyectivo complejo CP k , que

tiene una 0-célula, una 2-célula, una 4-célula, etc., hasta una 2k-célula, y no tiene células de dimensión impar. Por lo tanto, su complejo de cadenas celulares es de la forma Cn(CPfc)=

Z para n 2k

230

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

y, por lo tanto, dn = 0 para toda n. En consecuencia, la homología es igual al complejo de cadenas celulares H n (CP k ) =

Z para n < 2k par 0 para n impar o n > 2k.

Evidentemente, se tiene un resultado análogo si se desea calcular la ho­ mología con coeficientes. (Compárese este ejemplo con 10.7.26.)

Muy interesante es también el siguiente ejemplo.

6.4.14

EJEMPLO.

Considérese el espacio proyectivo real RPk, que tiene

una 0-célula, una l-célula, una 2-célula, etc., hasta una k-célula. De tal suerte, su complejo de cadenas celulares con coeficientes en G es de la forma C n (RP k ;G) = G para toda n

k. Sin embargo, la forma como están ensambladas las

células implica que dn(g) = 2g, donde g

G. Así, si 2G = 0, por ejemplo, si G = Z/2, H n (RP k ;G) = G

para n

k y H n (RP k ; G) = 0 si n > k. En particular, H n (RP k ;Z/2) = Z/2

HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA CELULAR

231

k y H n (RP k ; Z/2) = 0 si n > k. (Compárese este ejemplo con

para n 10.7.23.)

6.4.15

EJERCICIO.

Usando la descomposición en células del espacio de

Mooredetipo(Z/k,n),X = Sn

e n+1 , calcular H q (X; Z). (Cf. 6.1.23).

En los mismos términos, es posible obtener la cohomología con coefi­ cientes; a saber, se tiene la siguiente definición. 6.4.16

DEFINICIÓN.

Sea G un grupo abeliano y sean C n (X;G) =

Hom(C n (X),G) y d n = ( d n ) # : C n - l ( X ; G )

C n (X;G). Al complejo

de cocadenas C*(X;G) = {(C n (X;G),d n } se le llama el complejo de cocadenas celulares de X con coeficientes en G. En forma dual a 6.4.4, se tiene el siguiente resultado para la coho­ mología. 6.4.17 Teorema. El complejo de cocadenas C*(X;G) tiene a la coho­ mología H*(X;G) como su cohomología. La demostración de este teorema se basa en un teorema de com­ paración de teorías de cohomología ordinarias, véase [29]. Esencialmente,

232

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

este teorema afirma que si se tienen dos funtores que cumplen los axiomas que probamos de los grupos de cohomología, entonces son naturalmente isomorfos; es decir, los grupos que determinan son isomorfos. De este modo, bastaría probar que la cohomología de C*(X;G) cumple con los axiomas.

6.4.18

EJERCICIO.

Sea

(X;G) la cohomología de C*(X;G) y

defínanse (X;G) = ker (i*), donde X es un complejo CW punteado e i : *

X es la inclusión en el

punto básico. Defínase, más aún, (X,A;G)=

(X/A;G),

si A es un subcomplejo de X. Probar que los grupos

(X, A;G) cumplen los axiomas 6.1.5 hasta

6.1.9. Este ejercicio nos permite aplicar el Teorema de comparación al que se hizo referencia para probar 6.4.17.

6.4.19

EJERCICIO.

Probar que los grupos relativos H n (X,A;G) se

pueden definir, en términos del ejercicio 6.4.10, tomando el complejo C*(X, A; G) cuyos grupos son Hom (C n (X, A),G).

SUCESIONES EXACTAS DE HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA

6.5

233

SUCESIONES EXACTAS DE HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA

Concluiremos con esta sección el capítulo dando sucesiones exactas que expresan la homología y la cohomología de un producto de espacios y, como una consecuencia, fórmulas correspondientes al cambio de coefi­ cientes en los grupos; así mismo, siguiendo técnicas análogas, construire­ mos las sucesiones de Mayer-Vietoris para complejos CW en homología y cohomología. Sean X y Y complejos CW con a lo más una cantidad numerable de células cada uno de ellos o que al menos uno de ambos sea localmente compacto, de modo que su producto X x Y vuelva a ser un complejo CW (véase 5.1.20). En estos casos, si

βεβ son las familias

de células de X y Y, respectivamente, entonces

es la

familia de células de X x Y. Por la definición 6.4.5, tenemos que C k (X) y C1 (Y) son los grupos abelianos libres generados por las k-células de X y las l-células de Y, respectivamente, con operadores frontera dados según 6.4.6.

6.5.1

DEFINICIÓN.

Definimos el producto de los complejos de cadenas

C * (X) y C * (Y), denotado por C*(X) [C * (X)

C * (Y)] m =

C * (F), tal que, en dimensión m, C k (X)

C t (Y)

234

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

con operador frontera definido por = d(a) si a

Ck(X)y b

b + (-l)ka

d(b),

C1(Y).

Tenemos así que la aplicación

al ser una biyección

entre los generadores, determina un isomorfismo C*(X)

C*(Y)

C*(X x Y). Se puede probar, además, que el operador frontera según 6.4.6 en C*(Xx Y) está dado por d(e a xe' β ) = d(e a )

+(-1)

(e' β ),

si k es la dimensión de e a . Tenemos, por lo tanto, el siguiente resultado. 6.5.2 Teorema. Sean X y Y complejos CW con una familia numerable de células cada uno de ellos o alguno de los dos localmente compacto. Entonces se tiene un isomorfismo de complejos de cadenas C * (X)

C*(Y)

C * (X x Y)

dado por Por 6.4.7 obtenemos de 6.5.2 para un anillo conmutativo con 1 R que H * (X x Y- R) peroC * (X x Y)

H * (C * (X x Y )

(C*(X)C*(Y))

R),

= (C*(X)(C*(Y)

R), por lo tanto, H * (X x Y , R )

H*((C * (X)

(C*(Y)

SUCESIONES EXACTAS DE HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA

235

Análogamente, por 6.4.17, en el caso de la cohomología con coefi­ cientes en R tenemos H*(X x Y; R)

H * (C * (X; R)

C*(Y; R)).

Un resultado general del álgebra homológica y su dual, que aparecen, por ejemplo, en [34, 5.3.1, 5.5.11], de los que obtendremos la fórmula de Künneth para homología y cohomología, es el siguiente (véase también [26, V.10]). En el caso de la cohomología se requiere la condición de que los complejos de cadenas involucrados sean de tipo finito, es decir, que tengan un número finito de generadores en cada dimensión. Este será siempre el caso para el complejo de cadenas celulares de un complejo CW compacto. Se dice que un complejo CW es de tipo finito si tiene un número finito de células en cada dimensión. Así, el complejo de cadenas celulares de un complejo CW de tipo finito es de tipo finito. 6.5.3 Teorema. Sean C y D complejos de cadenas libres sobre un do­ minio de ideales principales R y sean C* = Rom R (C; R) y D* = Hom R (D;R). Entonces existen sucesiones exactas cortas naturales 0

Hk(C)Ht(D)

H m (C

Tor R (H k (C), H 1 (D)) donde p está dado por [c]

[d]

H k (C)

0,

y, para la cohomología de C* y

D * , si además C* y D* son de tipo finito, 0

D)

(D)

H m (C

Tor R (H k (C),H l (D))

236

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

donde p* esta dado análogamente a p. Más aún, estas sucesiones se escinden (en forma no natural).

Del teorema anterior obtenemos las fórmulas de Künneth.

6.5.4 Teorema. (Fórmula de Künneth) Sean X yY complejos CW con una familia numerable de células cada uno de ellos o alguno de los dos localmente compacto, y sea R un dominio de ideales principales. Entonces se tienen sucesiones exactas cortas naturales en homología y cohomología con coeficientes en R 0

H k (X)

H1(Y)

(X x Y )

Tor R (H k (X),H 1 (Y)) donde p es el producto en homología dado por [e]

0, [e']

[e x e'}, y, si

X yY son de tipo finito, 0

H k (X)

Hl{Y)

H m ( X x Y)

Tor R (H k (X),H l (Y))

0,

donde x es el producto exterior de cohomología. Más aún, ambas sucesiones se escinden, aunque no en forma natural.

Si alguno de los i?-módulos involucrados en las fórmulas anteriores es libre, por ejemplo, si R es un campo, los productos de torsión dados por el funtor TorR se anulan. Tenemos así la siguiente consecuencia.

SUCESIONES EXACTAS DE HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA

237

6.5.5 Corolario. Si R es un campo o, más generalmente, si los Rmódulos H * (X; R) y H * (X; R) son libres, y este último es de tipo finito, entonces se tienen isomorfismos

6.5.6

p:

H k (X;R)

H t (Y;R)

H m (X x Y ; R )

x:

Hk(X;R)

Hl(Y;R)

Hm(X xY;R).

NOTA.

Conviene hacer notar que la condición de que un complejo

CW sea de tipo finito implica que tiene una familia numerable de células, por lo que la condición para el caso de la cohomología en 6.5.4 de hecho sustituye a la condición general del teorema. Así, se tiene la afirmación siguiente. El producto de dos complejos CW de tipo finito es un complejo CW de tipo finito. Por otro lado, en ese mismo teorema para el caso de la cohomología, basta con pedir que H*(X) y H*(Y) sean de tipo finito, lo cual siempre sucede si C * (X) y C * (F) son de tipo finito. Frecuentemente, sin embargo, es más sencillo comprobar la condición sobre los grupos de cohomología que sobre los complejos de cadenas y, en muchos casos, estos últimos pueden no ser de tipo finito y sus cohomologías sí serlo. 6.5.7

OBSERVACIÓN.

Las fórmulas de Künneth son válidas para cua­

lesquiera espacios X y Y. Usando 6.5.4 y aproximando celularmente a

238

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

estos espacios podemos obtenerlas. No obstante, hay que recalcar que en este caso las tendríamos para espacios del mismo tipo de homotopía débil que complejos CW con una familia numerable de células cada uno de ellos o alguno de los dos localmente compacto. Probar la fórmula en toda su generalidad requiere, en vez del teorema 6.5.2, el Teorema de Eilenberg-Zilber que establece una equivalencia homotópica de cadenas entre los complejos de cadenas singulares S * (X x Y) y S * (X)

S * (Y).

El siguiente resultado es válido para cualquier espacio X, pero, como deseamos obtenerlo como consecuencia de 6.5.3, supondremos que X es un complejo CW.

6.5.8 Teorema. (Teorema de coeficientes universales) Sea R un do­ minio de ideales principales y A un R-módulo. Entonces se tienen suce­ siones exactas cortas naturales H m (X;R)

A

H m (X;A)

Tor R (H m - 1 (X;R),A)

0,

Hm(X;R)

A

H m (X;A)

Tor R ( H m + 1 (X ; R), A) 0,

y

y ambas sucesiones se escinden, aunque no en forma natural.

Demostración: Sea C = C * (X)

R el complejo de cadenas celulares de

X con coeficientes en R y sea D el complejo de cadenas tal que D0 = A

SUCESIONES EXACTAS DE HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA

239

y D1 = 0 para l 0, con los operadores frontera todos iguales a cero. Entonces C

A. Además, H 0 (D) = H 0 (D) = A y

D = C * (X)

H l (D) = H l (D) = 0 si l 0. Aplicando 6.5.3 obtenemos las sucesiones deseadas. 6.5.9

NOTA.

Métodos análogos de álgebra homológica permiten rela­

cionar homología y cohomología, como puede verse en [34, 5.5.12, 5.5.3], y obtener, para un dominio de ideales principales R y un R-módulo A, sucesiones exactas cortas naturales Ext R (H m + 1 (X;R),A)

H m (X;A)

Hom R (H m (X;R),A)

0

Hom R (H m (X;R),A)

0

y, dualmente, si H * (X; R) es de tipo finito, H m (X;A)

Ext R (H m - 1 (X;R),A)

que se escinden, aunque no en forma natural. Para construir las sucesiones de Mayer- Vietoris, análogamente al caso de las fórmulas de Künneth, requeriremos de un resultado del álgebra homológica, que no probaremos, por lo que referimos al lector a [34, 5.1.13, 5.4.8], y es el siguiente. 6.5.10 Teorema. Dada una sucesión exacta corta de complejos de ca­ denas que se escinde 0

D

C

E

0,

240

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

y un grupo abeliano G, se tienen sucesiones exactas naturales en ho­ mología H q (D;G)

H q (C;G)

H g (E;G)

H q - 1 (D;G)

H q (C;G)

H q (D;G)

Hq+l(E;G)

y en cohomología H q (E;G)

Este teorema es consecuencia del siguiente teorema fundamental.

6.5.11 Teorema. Una sucesión exacta corta de complejos de cadenas 0

D

C

E

0,

determina una sucesión exacta larga natural en homología H q (D;G)

H q (C;G)

H q (E;G)

H q - 1 (D;G)

La parte central de la demostración de este teorema consiste en definir el homomorfismo

como sigue. Si [e]

H q (E;G), se define

([e]) =

H q - 1 (D; G), donde ∂ es el homomorfismo de conexión del complejo C. Es ahora un ejercicio de persecución de elementos probar que este homomorfismo está bien definido y la exactitud de la sucesión que determina.

SUCESIONES EXACTAS DE HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA

241

La demostración de 6.5.10 se obtiene del teorema fundamental, ya que al escindirse la sucesión exacta corta dada, las sucesiones que se obtienen al tomar el producto tensorial con G o el funtor Hom(-,G), vuelven a ser sucesiones exactas cortas, cuyas homologías determinan las sucesiones exactas largas deseadas. Sean ahora X1, X2 complejos CW y A1 X1 y A2

X2 subcomple-

jos.

6.5.12 Proposición. Se tiene una sucesión exacta corta de complejos celulares libres que se escinde α(X1

X 2 )/C * (A 1 A2)

(X 1 )/C * (A 1 )

C * ( X 1 X 2 )/C * (A 1

A2)

donde el primer homomorfismo es tal que [x12] el segundo es tal que ([x1], [x12])

C * (X 2 )/C * (A 2 ) 0, [i1*[x12],—i2[x12]

y

[x1] + j2*[x2] e i1, i2, j1,j2 son las

correspondientes inclusiones.

Demostración: Basta verificar que las células que generan libremente al complejo de enmedio provienen exactamente de las células que generan libremente al complejo de la izquierda o si no, van a dar exactamente a las células que generan libremente al complejo de la derecha.

Como consecuencia obtenemos aplicando 6.5.10 las sucesiones de­ seadas.

242

GRUPOS DE COHOMOLOGÍA Y HOMOLOGÍA

6.5.13 Teorema. Sean X1, X2 complejos CW y Ax

X1

y A2

X2

subcomplejos y G un grupo abeliano. Se tienen sucesiones exactas para homología H q (X 1 H q (X 1

X 2 ,A X

A 2 ;G)

X 2 ,A 1

A 2 ;G)

H q (X 1 A 1 ;G) Hq-l(Xl

H 1 (X 2 ,A 2 ;G)

X 2 ,A 1

donde el primer homomorfismo es tal que [x12]

A 2 ;G)

(i1*[x12], — i2*[x12]) y

el segundo es tal que ([x1], [x2]) j1*[x1] + j2*[x2] y para cohomología q+1 H (X 1 X 2 ,A l A 2 ;G) H q (X 1 X 2 ,A 1 A 2 ;G) H q (X 1 ,A 1 G) H q (X 2 ,A 2 ;G) H q (X 1 X 2 ,A 1 A 2 ;G) donde el segundo homomorfismo es tal que [x] (j1[x], j 2 [x]) y el tercero es tal que ([x1], [x2])

i 1 , i 2 , j 1 , j 2 son las correspondientes

inclusiones. A estas sucesiones se les conoce como sucesiones de Mayer-Vietoris para homología y cohomología. 6.5.14

OBSERVACIÓN.

Existe una versión de 6.5.13 para pares escisivos

de parejas, es decir, para pares de parejas (X 1 ,A 1 ) (X 2 ,A 2 ) tales que X1

X2 —.

de Xv en X1

y A1 X2 y

A2=

donde

representa el interior

representa el interior de Av en A1

A2, (en

otras palabras, tales que las tríadas (X1 X 2 ; X1, X 2 ) y (A1 A 2 ;A 1 , A2) son escisivas) que se ven iguales a las dadas, y que se pueden obtener substituyendo los pares escisivos de parejas por pares de parejas CW en forma adecuada. (Véase [34] para un tratamiento sistemático de este caso.)

CAPÍTULO 7

HACES VECTORIALES

En este capítulo daremos la definición y haremos un estudio de los haces vectoriales, que conduce a su clasificación. Estudiaremos las variedades de Grassmann y el concepto de haz universal. El tratamiento que dare­ mos sigue parcialmente a J. Dupont [15].

7.1

HACES VECTORIALES

En esta sección introduciremos los haces vectoriales, que son un caso particular de las fibraciones localmente triviales, que fueron introducidas en el capítulo 4.

7.1.1

DEFINICIÓN.

Se dice que una libración localmente trivial p : E

B es un haz vectorial real (complejo) de dimensión n o, simplemente, un n-haz real (complejo), si tiene a Rn (C 1 ) como fibra y si para b 243

B, y

244

HACES VECTORIALES

cualesquiera dos vecindades U y V de b tales que pv y pv son triviales contrivializaciones

φU:

p -1

U x F, φv: p -1 V V x F, F = R n (C n ),

(U

V)xF

entonces la aplicación (U

V) x F,

(x,y) =

que es de la forma

es tal que

es

lineal en y. Esta última condición es equivalente a la existencia de fun­ ciones continuas guv: U V

GLn(R) (GL n (C)), tales que

=

guv(x)y, donde GLn(R) (GLn(C)) denota el grupo lineal general real (complejo) de matrices n x n. En otras palabras, los cambios de coordenadas

son isomor-

fismos lineales fibra a fibra. Esta condición permite dar una estructura única de espacio vectorial a cada fibra p - 1 (x), para cada x

B, de ma­

nera que la restricción de cada φU, de p - 1 (x) a Rn, es un isomorfismo lineal. Por esto es que a estas fibraciones se les dio el nombre de haces vectoriales. Si, inversamente, se da una cubierta abierta U de B y para cada U,V (7.1.2)

U se da una aplicación g u v : U guv(x)gvw(x)

V

= guw(x), x

GLn(R) tal que U

V

W,

entonces se puede construir un haz vectorial usando estas funciones, lla­ madas cociclos, como "instrucciones de armado", a saber, se toma la

HACES VECTORIALES

245

unión ajena

xRn y se hace una identificación como sigue: si a; U x Rn se identifica con (x,g u v (x)y) U x Rn /

U

V, entonces (x, y)

V x Rn.

El cociente E =

B bajo esta identificación es un haz vectorial real

bien definido, como la ecuación (7.1.2) garantiza, (y análogamente en el caso complejo). A este haz vectorial se le llama el haz vectorial real (complejo) determinado por la familia de cociclos {guv |U

u}.

En adelante, haremos consideraciones sobre el caso real; el caso com­ plejo es análogo. 7.1.3

EJERCICIO.

Probar que los cociclos satisfacen las ecuaciones si­

guientes: guv(x)

= 1

guv(x) = 7.14

DEFINICIÓN.

GL n (R), gvu(x)-1

x

U

GL n (R),

x

U

Dados dos haces vectoriales p: E

V. B y p': E'

B

podemos encontrar una cubierta u de B tal que tanto p como p' son triviales sobre cada U guv:U

V

U. Si los correspondientes cocidos son GL n (R),

g' uv :U

podemos considerar operaciones como

V

GL n ,(R),

246

HACES VECTORIALES

(i) G L n ( R ) x G W ( R )

GL n+n ,(R)

(ii) GLn (R) x GL n (R) (iii) GL n (R)

GLnn

(R)

GL n (R) GInn(R)

(iv) GL n (R) x GL n (R) (v) GL n (R)

(R) (R)

(vi) GL n (R) tales que para matrices A

GL n (R),

B

GL n' (R)

(i) A

B =

es la suma directa de Ay B

(ii) A

B es el producto tensorial de Ay B

(iii) A* es la matriz dual de A (iv) Hom (A, B ) = A *

B

(v)

A=A

A, k veces

(vi)

A es la k-ésima potencia exterior de A

Componiendo estas operaciones con los cociclos dados, es decir, defi­ niendo nuevos cociclos

(i) x

guv(x)

g' uv (x)

HACES VECTORIALES

247

(ii) x

guv(x)

(iii) x

(guv(x))*

(iv) x

Hom(g u v (x),g' u v (x))

(v) x

guv(x)

(vi) x

guv(x)

para x

(x)

U V, obtenemos instrucciones para construir haces vectoriales

(i) E

E'

(ii) E

E'

(iii) E* (iv) Hom (E,E') (v)

E

(vi)

E.

Estas construcciones extienden a haces vectoriales las correspondiente operaciones para espacios vectoriales.

7.1.5

NOTA.

Al haz E

de los haces E y E'.

E' frecuentemente se le llama suma de Whitney

248

7.1.6

HACES VECTORIALES EJERCICIO.

riales p: E

Probar que la suma de Whitney de dos haces vecto­

B y p': E'

B puede obtenerse como el haz inducido a

través de la aplicación diagonal haz producto p x p': E x E' E

7.1.7

EJERCICIO.

:B

B x B, A(x) = (x,x), por el

B x B. Es decir, E'

( E x E').

Sean p 1 . E1 B1 y p 2 : E 2

Probar que el haz producto p1 x p 2 : E1 x E2

B 2 dos haces vectoriales. B1

x B2 está dado por la

fórmula E1 x E2 donde πν: B1 x B2

7.1.8

EJERCICIO.

Bν

es la proyección, v = 1,2.

Si p: E

bar que la fibra sobre x

B y p': E'

(p') -1 (x)

(ii) p -1 (x)

(p') - 1 (x)

(iii) p - 1 (x)* (iv) Hom(p - 1 (x),(p') - 1 (x)) (v)

p -1 (x)

B son haces vectoriales, pro­

B de cada uno de los haces construidos arriba

es como sigue: (i)p-1(x)

(E1)(E2),

(vi)

p - 1 (x).

7.1.9

DEFINICIÓN.

Si p : E

B y p':E'

B' son haces vectoriales,

decimos que una aplicación fibrada sobre una aplicación continua f: B B', f : E

E' es un morfismo de haces vectoriales si para cada b

B, la

restricción de f, fb: p-1(b) (p) -1 (f(b)) es un isomorfismo lineal. En otras palabras, si con la estructura lineal obtenida en cada fibra de p y p', f aplica a cada fibra de p de manera linealmente isomorfa sobre la correspondiente fibra de p'. Si B = B' y f = id B , entonces decimos que el morfismo de haces vectoriales f: E

7.1.10

NOTA.

manera. Si

E' es un isomorfismo.

La definición anterior puede formularse de la siguiente E

E' es una aplicación continua que aplica fibras en

fibras de manera isomorfa, entonces ya que p: E

es un morfismo de haces. A saber,

B es una identificación (por ser suprayectiva y abierta),

obsérvese que la composición p' o

es compatible con la identificación,

por aplicar fibras en fibras; por lo tanto, existe una aplicación continua f: B

B' que hace conmutativo el diagrama

250

HACES VECTORIALES

Ocasionalmente nos referiremos como morfismo de haces a un diagrama como éste.

7.1.11

EJERCICIO.

Sean p : E

B y p':E'

sobre el mismo espacio base. Si φ: E decir, si para cada x

B dos haces vectoriales

E' es un isomorfismo de haces, es

B, la restricción a la

fibra

p'-1(x) es

un isomorfismo lineal, probar que φ es un homeomorfismo. (Sugerencia: Observar que φ es una aplicación continua, biyectiva y abierta.)

7.1.12

EJERCICIO.

entonces E

E' es un morfismo de haces,

Probar que si

f*E', si f: B

B' es tal que f o p = p' o f. (Sugerencia:

Aplicar el ejercicio anterior a E y f* E'.)

Aplicando cuidadosamente a haces vectoriales los resultados corres­ pondientes en espacios vectoriales obtenemos lo siguiente.

7.1.13 Proposición. Se tienen isomorfismos naturales

(a) E

E ' E '

(b) (E

E')

(c) E (d) (E

E' E')

E

E"

E

(E'

E")

E

(E'

E")

E'>E E"

HACES VECTORIALES

(e) E

{E

E")

(f) Hom ( E , E ) (g)

7.1.14

(E

251

(E E*

E')

(E

E")

E'

E)

EJERCICIO.

Sea p : E

familia de cocidos {guv | U,V

B un haz vectorial definido poi una u},

para una cubierta abierta U de

B, y sea f: B'

B una aplicación continua. Probar que g'

gvvf|f -1 (U)

f -1 (V):f -1 (U)

f -1 (V)

f-1uf-1v

=

GL n (R) define una familia

de cocidos para la cubierta abierta {f-1U | U u} de B' inducida por f.

Probar, más aún, que el haz vectorial determinado por esta nueva

familia de cocidos es canónicamente isomorfo al haz vectorial inducido a través de f, p': f* E

7.1.15

EJERCICIO.

denotará como

B'.

Considérese el haz trivial B x

Rn

B, el cual se

(al igual que en el caso complejo). ¿Cuál es una familia

mínima de cocidos que determine a

7.1.16

EJERCICIO.

Utilizando el ejercicio 7.1.14, volver a probar las afir­

maciones del ejercicio 4.3.9, es decir, que la construcción del haz inducido es funtorial.

7.1.17

EJERCICIO.

Probar las siguientes afirmaciones:

252

HACES VECTORIALES

(a) E 1

E2,

E1

E2

(b) E1

E2,

E1

E2

(c) E1

E2

(d) E 1

E2,

(e) E1

E2

Hom(E 1 ,E 1 )

Hom(E 2 ,E 2 ).

E1

Para terminar esta sección sobre cuestiones generales acerca de los haces vectoriales, introduciremos un concepto que será de utilidad en el capítulo 10. Sea B un espacio paracompacto. Si

es una cubierta sobre la que

se triviliza p, es decir, si para toda λ, E|Uλ| Uλ x R n , podemos con­ siderar el producto escalar usual en Rn para dar un producto escalar en cada fibra del haz producto Uλ x Rn

Uλ

que dependa continuamente

de los elementos de Uλ. Ya que B es paracompacto, podemos encon­ trar una partición de la unidad subordinada a la cubierta {Uλ} (véase Nociones y Notaciones Básicas, página xxii) para "pegar" los productos escalares definidos en cada producto Uλ x R n . Así obtenemos una familia continua de productos escalares

x :p

-1

(x) x p-1(x)

R, x

B.

Es un ejercicio para el lector llenar los detalles de esta construcción. 7.1.18

DEFINICIÓN.

A la familia continua de productos escalares

HACES VECTORIALES

p - 1 (x) x p - 1 (x) haz p: E

7.1.19

253

R, x

B se le llama métrica riemanniana en el

B.

NOTA.

Estrictamente hablando, una métrica riemanniana es una

sección del haz (E

E)*

B, s:B

(E

E)* (véase 7.3.9), tal que

s(x) es un producto escalar en p - 1 (x).

7.1.20 Proposición. Sea p : E paracompacto B y sea E1 E2

E tal que E = E1

B un haz vectorial sobre un espacio

E un subhaz. Entonces existe otro subhaz E 2 . Al haz E2 se le llama el complemento

ortogonal de E1 en E y se le designa como

Demostración: Defínase E2 como el subhaz de E dado por E2 = {e E

|

= 0 si e' E1 y p(e') = p(e)}. Es sencillo probar que, efecti­

vamente, E2 es un subhaz tal que E = E1

E2.

7.1.21 Corolario. Considérese una sucesión exacta corta 0

E'

E

E"

0,

de haces vectoriales sobre un espacio paracompacto B. Entonces la suce­ sión se escinde; en particular, E

E'

E".

254

HACES VECTORIALES

Demostración: Sea E1

E la imagen isomorfa de E' bajo i y sea E2

como en 7.1.20; entonces q|E 2 : E2

E" es un isomorfismo, cuyo inverso,

compuesto con la inclusión, a saber, j: E"

E2

E, determina la

escisión de la sucesión exacta.

7.1.22

EJERCICIO.

Probar que todo haz vectorial complejo p : E

B

sobre un espacio paracompacto B admite una métrica hermitiana; es decir, una familia de productos hermitianos en cada fibra p - 1 (x), que depende continuamente de x

7.1.23

EJERCICIO.

B.

Formular y demostrar la proposición 7.1.20 y el coro­

lario 7.1.21 en el caso complejo.

7.2

PROYECCIONES Y HACES VECTORIALES

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre R (C) y conside­ remos los homomorfismos lineales de V en sí mismo, Hom (V, V). Demos a Hom (V, V) la topología de Rn (Cn2) a través de la biyección canónica dada por un isomorfismo V

7.2.1

DEFINICIÓN.

Un elemento π

Rn (V

C n ).

Hom (V, V) se llama proyección si

es idempotente, es decir, si π2 = π. Denotamos por P T ( V ) al subespacio de Hom (V, V) que consiste de todas las proyecciones.

PROYECCIONES Y HACES VECTORIALES

255

Sea B un espacio topológico y consideremos el espacio M(B, Pr(V)). Si φ

M(B, Pr(V)) podemos asociarle un subespacio E φ

B xV como

sigue (7.2.2) Sea p: Eφ

Eφ = {(x,v) |φ(x)v = v} B la restricción de la proyección sobre B, B x V

7.2.3 Proposición y

DEFINICIÓN.

p:Eφ

B.

B es localmente trivial y,

por lo tanto, un haz vectorial. Se le llama el haz vectorial asociado a φ. Para demostrar esto necesitamos algunas consideraciones previas. 7.2.4

NOTA.

Si dos topologías en un espacio vectorial real (complejo)

de dimensión finita hacen continuas a la suma y a la multiplicación por escalares, es bien conocido que ambas coinciden (véase, por ejemplo, [33]). En el espacio Hom (V, V") podemos considerar la topología inducida por la norma || • ||:Hom(V,V) V y |v| = 1}, donde | • |: V

K.+ tal que ||a||. = máx{|a(v)| | v € M+ es alguna norma en V.

Así las topologías en Hom (V, V) dadas por || • || o por ser isomorfo a Rn si dim V = n) coinciden. 7.2.5 Lema. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y sean p, σ € Pr(V) y R = p(V), S = (V). Si ||p - σ|| < 1, entonces p:S

R

256

HACES VECTORIALES

es un isomorfismo.

Demostración: Sea a = p - σ. Entonces 1 + α es invertible, si 1 denota la identidad en V, ya que, si existiera v

0 tal que (1 + a)v = 0, entonces

(1 + a)ν/|ν| = 0 y por lo tanto a(ν/|ν|) = — ν/|ν|, lo que contradice que ||a| 0. Esto permite definir una Vects (B) que da a Vects (B) una estructura

de semigrupo abeliano.

8.4.5

EJERCICIO.

Probar que si B es compacto, entonces [E1] — [F1] =

[E2] — [F2] en K(B) si y sólo si existe un haz trivial ε tal que E1 F2 E2

F1

(Compárese con la definición 8.1.1.)

8.4.6 Proposición. Sea B un espacio compacto, entonces Vect s (B)

Demostración: Para cada A; φ k [E] = [E] - [εk]

0, definimos φ k : Vectk(B)

(B) como

{B). Tenemos que φ k + 1 [ E ] = φ k+1 [E

ε1} =

[E ε1} - [εk+1] = [E] + [ε1] - [εk] - [ε1] = [E] - [εk] = φ k [E]. Por lo tanto, de la propiedad universal del colímite, existe φ:Vect s (B)

(B) que

304

TEORÍA K

hace conmutar, para cada k, el diagrama

Probaremos que φ, que es un homomorfismo de semigrupos, es epimorfismo y monomorfismo. En particular esto mostrará que Vect s (β) es un grupo. Sea [E] — [E1] E'

E'

(B). Por 8.3.4 existe un haz

tal que

ε n , para alguna n. Entonces [E] - [E1] = [E] + [E] - [E' E'] =

[E] + [E'] - [εn] = [E E'] - [εn]. Como [E] - [E'} entonces d[E

E] = d[εn], es decir, E

igual a n, de donde φ n [E

E]

(B) = ker d,

E tiene dimensión constante

= [E] - [E1], por lo que se ha probado

que φ es suprayectiva. Ahora supongamos que [E] - [εk] = [E1] - [εl] en por 8.4.5, tenemos que E

εl+n

E'

(B). Entonces,

ε k + n , para alguna n. Por lo tanto

[E] y [E1] representan el mismo elemento en Vect s (B) y, por lo tanto, φ es inyectiva.

8.4.7

EJERCICIO.

Probar las siguientes afirmaciones:

(a) Sea X =

X n , donde las aplicaciones X

entonces las aplicaciones Xn (b) Sea X =

Xi

n

X

n + 1

son encajes,

X son encajes.

un espacio de Hausdorff, donde Xi

Xi+1, i

0.

REPRESENTACIÓN DE K(B) Y K(B)

305

Si X tiene la topología coherente con la familia F

X es cerrado

entonces, dado C

F Xi es cerrado en X i , para cada y), X compacto, existe n

0 tal que C

8.4.8 Teorema. Sea B un espacio compacto, entonces

Demostración: Por 8.4.6,

(B)

Vect s (B) =

(B)

Xn.

[B, BU].

(B), donde el

colímite es con respecto a las aplicaciones ík:Vectfc(.B) tales que t k [E] = [E

(es decir,

Vect k+1 (B)

ε 1 ].

Por otro lado BU =

BUk, donde el colímite es con respecto a los

encajes ik :BU k BUk+1 tales que

(E k+1

Ek

Como

B es compacto, entonces, por el ejercicio 8.4.7(b), se tiene que [B. BU] [B, BUfc], donde ik#: [B, BUk] Por 7.5.9 se tiene que Vectk(B)

[B, BUk+1] está inducido por i k . [B,BU k ]. Claramente, estas equi­

valencias son compatibles con las funciones tk e i k # , k inducen un isomorfismo

[B,BUk]Vectk(B).

8.4.9 Corolario. Sea B un espacio compacto. Entonces

(a)

K(B)

[B.BU x Z].

(b)

K(B)

[B,BU],

si B es, además, conexo.

0, por lo que

306

TEORÍA K

Demostración: (a): Por 8.4.2, K(B) [B,BU]. Entonces K(B)

( B ) [ B , Z] y por 8 . 4 . 8 ( B )

[B, BU] [B,Z] = [B, BU x Z]

(b): Al ser B conexo, por 8.4.3,

(B)

(B), y ya que

(B)

[B, BU] obtenemos el resultado deseado.

8.5

PERIODICIDAD DE B O T T Y APLICACIONES

El siguiente teorema, conocido como Teorema de Periodicidad de Bott, es el resultado central de la teoría K. La prueba original de Bott usa teoría de Morse para analizar el espacio de lazos de un grupo de Lie. Aunque existen otros métodos para probarlo, todas las demostraciones son bastantes difíciles. Véase, por ejemplo, [17], que apareció también en la colección de artículos compilada por J. Frank Adams [3]. Nosotros pospondremos la demostración al Apéndice B, ya que, por los métodos utilizados para hacerla, si bien topológicos, son éstos com­ plicados y se saldría del contexto; sin embargo, haremos uso de la versión del teorema que presentaremos a continuación para calcular los grupos de homotopía de BU y, con ellos, la teoría K de las esferas.

8.5.1 Teorema. (Periodicidad de Bott) Se tiene una equivalencia homotópica BU x Z

Ω2BU

PERIODICIDAD DE BOTT Y APLICACIONES

307

De esto se deduce que (BU)

(Ω2BU)

Z

(BU x Z)

πi(BU)

si si

0 1.

Es decir, los grupos de homotopía de BU se repiten con período dos. De aquí el nombre de "teorema de periodicidad". Z y de la periodicidad tene­

De lo anterior obtenemos que π2(BU) mos que π 2n (BU)

Z, n

1. Además como BU es conexo π0(BU) = 0.

Para obtener los grupos impares usaremos la siguiente igualdad. 8.5.2 Proposición. πi(BUk)

π i (BU k+1 ), si i < 2k + 1

Este resultado se prueba aplicando la sucesión exacta de homotopía a cierta fibración p: BUk

BUk+1, con fibra S 2k+1 . Aquí utilizamos la

notación BUk para denotar a un espacio con el mismo tipo de homotopía que

Gk De 8.5.2 se obtiene que π i (BU k )

π 1 (BU)

Π1(BU1),

πi(BU),

pero BU1 = G1

=

0 y, por la periodicidad, π 2n+1 (BU) = 0, n

si i < 2k + 1. Así que ; por lo tanto, π i (BU) =

0.

Así pues tenemos la siguiente afirmación. 8.5.3 Teorema. 0 si % = 0

Z 0

si i si i

es par > 0 es impar

308

TEORÍA K

8.5.4 Corolario. Z si n es par 0 si n es impar Demostración: Si n = 0, entonces, por (8.3.2), K(S°) 8.3.8(a), K(S0)

K(*)

K(*) = Z

Z. Por lo tanto

Si n > 0, Sn es conexo y por 8.4.9(b) tenemos que

(S°) (S°)

Z. Por Z.

(Sn) = [Sn, BU].

Ya que BU es un H-espacio, entonces [Sn, BU] = π n (BU). Así, el resul­ tado se obtiene de 8.5.3.

8.5.5

NOTA.

Combinando 8.5.2 y 8.5.3 obtenemos el siguiente isomor-

fismo

0 si i = 0 Z si i es par > 0, para i < 2k + 1 0 si i es impar

Se puede probar que ΩBUk

Uk, así que el resultado anterior nos da

los grupos de homotopía de Uk en el rango adecuado, y 8.5.3 nos da la homotopía de U.

8.5.6

DEFINICIÓN.

Sea X un espacio punteado compacto. Definimos (X)=

Si A

(Σ n X),

n

N

{0}.

X es cerrado, definimos K(X, A) = K-n(X,A)=

(X (X

CA) CA).

PERIODICIDAD DE BOTT Y APLICACIONES

309

De (3.2.12) tenemos la sucesión exacta larga •••

[Σ n (X •••

CA),BU] [X

CA,BU]

[Σ n X,BU] [X,BV]

[Σn

A,BU]

[A, BU]

Otra consecuencia inmediata del teorema de periodicidad de Bott es el siguiente resultado.

8.5.8 Teorema. K - n ( X , A )

K n + 2 ( X , A ) , si n

2.

Este resultado nos permite extender la notación K n (X, A) para cual­ quier entero n. De (8.5.7) y 8.5.8 deducimos la proposición siguiente.

8.5.9 Proposición. Si X es compacto y A

X es cerrado, tenemos un

hexágono exacto

8.5.10

EJERCICIO.

Deducir del teorema de periodicidad de Bott que

K(X x S2) tiene una estructura de módulo libre sobre el anillo K(X)

310

TEORÍA K

con dos generadores. Estos son 1, la clase del haz trivial de dimensión 1 y [L] — 1, donde L es el haz inducido bajo proy2: x S2 canónico H*

S2 del haz

S2, al considerar a S2 como CP 1 , la esfera de Riemann.

La estructura de módulo está dada por K(X)

K(X x S2)

K(X x S2) • P,

donde, como ya se ha dicho, el producto • en K(X x S2) está dado por el producto tensorial de haces vectoriales.

8.5.11

NOTA.

Hemos tratado en este capítulo solamente el caso com­

plejo, sobre la base de haces vectoriales complejos, variedades de Grassmann complejas, grupos unitarios ortogonales U n , etc. Se puede repetir el estudio para el caso real (haces vectoriales reales, variedades de Grassmann reales, grupos ortogonales O n , etc.) y obtener la teoría K real de un espacio B, usualmente denotada por KO(B). Su representación se obtiene en términos de espacios BOk (en vez de BUk) y BO (en vez de BU). Sin embargo, los resultados de periodicidad son muy diferentes, la periodicidad en el caso complejo es de período 2, mientras que en el caso real es de período 8, y la demostración del correspondiente teorema es más complicada, (véase [6], que está incluido como apéndice en [7]).

CAPÍTULO 9

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

En este capítulo definiremos las importantes operaciones de Adams en teoría K compleja y veremos cómo se aplican para probar un teorema central de las matemáticas, es decir, para identificar en qué dimensiones Rn admite una estructura de álgebra de división.

9.1

DEFINICIÓN DE LAS OPERACIONES DE ADAMS

Haciendo uso del concepto de serie formal y de sus propiedades, idénticas a las de las series de Taylor, introduciremos en esta sección las operaciones de Adams en teoría K compleja.

311

312

9.1.1

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES DEFINICIÓN.

Una operación

en teoría K asocia a cada espacio

X una función (en general, no un homomorfismo) θX: K(X)

K(X) de

tal forma que para toda aplicación f: X

Y, el diagrama (de conjuntos)

es conmutativo; es decir, una operación

es una transformación natural.

9.1.2

NOTA.

Para no complicar la notación suprimiremos el subíndice

que indica el espacio. De esta forma, denotaremos a

simplemente

como

A continuación construiremos ciertas operaciones que serán la base para las aplicaciones que haremos de la teoría K. Para esto necesitamos primero las siguientes definiciones.

9.1.3

DEFINICIÓN.

Sea R un anillo conmutativo con 1. Denotaremos

por R[[t]} al anillo de series formales con coeficientes en R. Es decir, los elementos de R[[t]] son expresiones de la forma i

0. La suma se define como:

donde r¿

R,

DEFINICIÓN DE LAS OPERACIONES DE ADAMS

313

y el producto como

donde

El elemento 1 R es claramente el uno de R[[t\], pensado como la serie tal que r 0 = 1 y ri = 0 si i > 0. Sea 1 + tR[[t]] = Claramente el producto en R[[t]] se restringe a 1 + tR[[Í]] y, además, cualquier elemento en 1 + tR[[t]] tiene un inverso. En efecto, si 1 + entonces su inverso bajo el producto es 1 + donde r1 = — r1, r2 = r — r 2 , r3 = —r + 2r 1 r 2 — r 3 , y en general, rn = Esto muestra que 1 + tR[[t]] es un grupo abeliano bajo el producto. El anillo R[[t]], de series de potencias formales, se comporta en la misma forma que el anillo de series de potencias con coeficientes reales o complejos del análisis. Se pueden derivar series formales término a término, es decir

314

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

Pueden definirse las funciones analíticas usuales de una serie, como sen, cos, log, exp, etc, por las fórmulas usuales de series de Taylor, que van a satisfacer ecuaciones análogas a las del análisis. Por ejemplo, si x(t) =

puede definirse log x(t) y puede calcularse su derivada

para obtener la fórmula

(logx(t))=x'(t)(x(t))-1 que está definida, por ejemplo, si el término independiente de x(t) es 1.

9.1.4

DEFINICIÓN.

X un haz vectorial, X compacto. Defini­

Sea E

mos la serie formal λ t [E]

K(X)[[t] como

λt[E] = donde

E es la i-ésima potencia exterior de E (véase 7.1.4). Por el

isomorfismo mencionado en 7.1.13(g), (E

E')

obtenemos la fórmula (9.1.5)

λ t [E E'] = Xt[E]λt[E'].

Ya que el término constante de λ t [E] es 1, entonces Xt[E] por lo que λ t [E] es invertible.

l+tK(X)[[t]],

DEFINICIÓN DE LAS OPERACIONES DE ADAMS

315

Tenemos así un homomorfismo λ t :Vect(X)

l + tK(X)[[t]

del semigrupo aditivo Vect(X) de las clases de isomorfismo de haces vec­ toriales complejos sobre X en el grupo multiplicativo de las series de potencias sobre K(X) con término independiente 1. Por la propiedad universal de la construcción de Grothendieck, este homomorfismo se ex­ tiende a λ t :K(X)

l + tK(X)[[t].

Al tomar el coeficiente de ti en λ t (x), x

λi:K(X) tales que λ t (x) = 1 +

K(X), tenemos operaciones

K(X), Explícitamente, ya que los elementos

de K(X) se expresan como diferencias [E] — [E"], tenemos λt([E] - [E]) = λt[E]λt[E']-1

9.1.6

DEFINICIÓN.

La operación rango rango : K(X)

K{X)

se define como sigue. Como en la demostración de 8.3.5 tenemos que si E

X es un haz vectorial, entonces X =

donde cada Xi es

abierto y E | X i tiene dimensión constante n i . Definimos un haz r(E)

316

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

X tal que r(E)|Xi — ε ni . Esto define un homomorfismo de semianillos r: Vect(X)

Vect(X), r([E]) = [r(E)], que, por la propiedad universal

de la construcción de Grothendieck, induce la operación rango: K(X) K(X). Conviene aclarar que si X es localmente conexo, sus componentes conexas son abiertas y cerradas, y el haz r(E)

X es trivial sobre cada

componente, con dimensión igual a la de E en esa componente.

9.1.7

DEFINICIÓN.

Definimos las operaciones de Adams K(X)

K(X)

como sigue: (x) = rango (x); en el anillo K(X)[[t]] definimos (x) = donde

(x) =

{x) -

por (log λ- t (x)),

es la derivada formal del logaritmo formal de la serie λ - t (x), es

decir (x)=

(x)-

Usando las propiedades formales del logaritmo se prueba el siguiente resultado.

9.1.8 Proposición. Para x,y

K(X) se cumplen

DEFINICIÓN DE LAS OPERACIONES DE ADAMS

(a)

(x + y ) = ( x ) + ( y ) ,

(b) Si x = [L], donde L

317

k = 0,1,2,...

X es un haz de dimensión 1,

(x) = xk

(c) Las propiedades (a) y (b) caracterizan las operaciones

Demostración: De (9.1.5) se deduce que λ - t ( x + y) = λ - t ( x ) λ - t ( y ) . Por lo tanto, (x + y) =

(x + y) -

= rango (x + y) = rango (x) + rango (y) -

(log (λ-t(x)λ-t(y))) = (log (λ-t(x)) + log (λ-t(y)) =

(x)+

=

(log λ - t ( x + y)) =

(y)-

Esto demuestra (a). Para probar (b), obsérvese que si x = L es la clase de un haz rectilíneo (de dimensión 1) L, λ - t (x) = 1 - tx, ya que

(L) = 0 si i > 1. Por lo

tanto, = - x - t x 2 - t 2 x 3 ........................

(log (1 - tx)) = Así,

(x) = 1 + tx + t 2 x 2

+

, por lo que se tiene la igualdad deseada.

La afirmación (c) se obtiene del "principio de descomposición" que se verá más adelante, (véase 9.2.5).

El siguiente teorema será muy importante en este capítulo.

318

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

9.1.9 Teorema. Para x,y

(a)

(xy)=(x)

(b)

(x))=

b

(y), (x),

k = 0,1,2,... k,l = 0,1,2,...

(rr) = xp mod p

(c) p primo = (d) Si

K(X) se tienen las siguientes propiedades

(S2n) es el generador, entonces

(b) = k n b, k = 0,1, 2 , . . .

La demostración es una aplicación de 9.1.8 y del principio de descom­ posición, que estudiaremos en la siguiente sección.

9.2

EL P R I N C I P I O DE DESCOMPOSICIÓN

El principio de decomposición es un proceso que transforma haces vec­ toriales arbitrarios a sumas de Whitney de haces rectilíneos, es decir, de haces de dimensión 1 y, con ello, permite reducir diversos cálculos rela­ cionados con haces vectoriales. La siguiente definición es fundamental para el principio de descomposición.

9.2.1

DEFINICIÓN.

Sea p : E

X un haz vectorial. Definimos su haz

proyectivo asociado como la aplicación q: P(E)

X

EL PRINCIPIO DE DESCOMPOSICIÓN

tal que P(E) = (E - E0) / e ~ e'

p(e) = p(e')

319

donde E0 es la sección 0 del haz E y

X y existe λ

C tal que λe = e'. Si [e] denota

la clase de e en P ( E ) entonces q([e]) = p(e) es continua.

9.2.2

Probar que el haz proyectivo q: P ( E )

EJERCICIO.

bración localmente trivial con fibra q-1 (x), para cada x

X es una fiX, homeomorfa

al espacio proyectivo asociado al espacio vectorial p - 1 (x). (Sugerencia: Sobre cada abierto de X, sobre el que p: E

X es trivial, q también es

trivial.)

9.2.3

DEFINICIÓN.

Definimos el haz tautológico o haz canónico π: L

P(E) como sigue: L = {(e',{e})

E x P(E)| p(e')=p(e),e' = λ e,λ

C}

y π es la proyección en la segunda coordenada. Éste es claramente un haz vectorial de dimensión 1, es decir, un haz rectilíneo. En efecto, si φ: X

Pr(C m ) es la aplicación que define a E; es decir, si E = {(x, v)

X x Cm | φ(x)v = v}, entonces L

P(E) es el subhaz de q*(E) asociado

a :

P(E) [e]

donde e = (x,v) sobre la recta

I x Cm, φ(x)v = v, y πv es la proyección ortogonal generada por v, (v

0).

320

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

9.2.4 Proposición. Sea p : E

X un haz vectorial y q:P(E)

haz proyectivo asociado. Entonces q*(E) = E'

L, donde L

X su P(E) es

el haz tautológico.

Demostración: Sea E' :

P{E) el haz vectorial asociado a

P{E) [e]

donde, como antes, e = (x,v)

X x Cm y φ(x)v — v, y ahora π'v es la

proyección ortogonal sobre el complemento ortogonal de

en φ(x)C m .

Ya que cualquier elemento en φ(x)C m tiene una expresión única como w + w' con w

= (x)Cm y w' πv φ(x)Cm =

(x)Cm, se tiene la

descomposición deseada.

Usando el Teorema de Periodicidad se puede probar ([7, 2.7.9]) que K(P(E)) es un módulo libre sobre el anillo K(X) con generadores 1, 1 — [L], (1 — [L]) 2 ,..., (1 — [X])k-1 donde k = dim E, con respecto a la estructura de K(X)-módulo dada por K{X) que

p

K(P(E))

K(P(E)) tal

q* • p. En particular, se deduce de esto que q*: K(X)

K(P(E)) es un monomorfismo (que incluye a K(X) en la parte generada por 1

K(P(E))).

9.2.5 Teorema. (Principio de descomposición) Dado un haz vectorial p: E

X de dimensión k existe una aplicación f: F

X tal que

ÁLGEBRAS NORMADAS

(a) f*:K(X)

321

K(F) es un monomorfismo, y

(b) El haz inducido f*(E) = L1

L2

• • • Lk, donde Li

F es un

haz rectilíneo, i — 1,2,..., k. Demostración: Por 9.2.4, q*(E) = E' nuevamente 9.2.4, ahora a E' tal que

P(E);

L.

Sea Lk = L y aplíquese

entonces q l :P(E')

P ( E ) es

(E1) = E" L'; sea Lk-1 = L.

Repitiendo el proceso se llega a q k - 2 : P ( E ( k - 2 ) ) (E(k-2))

= E(k-1)

P(E(k-3))

tal que

L 2 . Así, definiendo

f = qk-1 o qk-2 o ............... o q1 o q: F=P(E(k-1)) ----> X se tiene el resultado deseado. En un diagrama, la construcción se ve como sigue

Nótese que L1 =E(k-1) es ya un haz rectilíneo.

9.3

ÁLGEBRAS NORMADAS

Como ejemplo de aplicación de la teoría K estudiaremos en adelante un clásico teorema del álgebra lineal; analizaremos qué espacios Rn admiten una estructura de álgebra normada.

322

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

Aunque ya hemos hecho uso previo del siguiente concepto, por lo esencial de su uso en esta sección, conviene precisar su definición.

9.3.1

DEFINICIÓN.

Sea A un espacio vectorial real de dimensión finita.

Una norma en A es una función R+ =

A

NI tal que

||x + y|| O 1 si n = 1.

Si n es par, consideremos la sucesión exacta corta 0

( S

2 n

) ( C

f

)

( S

n

) 0 ,0

que se obtiene de aplicar (3.2.10), ya que por 8.4.9(b),

(X) = [X,BU]

para todo espacio compacto, conexo y punteado X; como _1

_1

(X),yaque

Por otro lado, Existe u

(Cf)

(S 2n ) = 0 =

_1

(S2n)

(S n ), la sucesión es corta.

(S n ). Sea bn

K o (S n ) el generador.

el generador tal que i*(u) = b n . Ahora bien, i*(u2) =

(i*(u))2 = 0 (ya que todos los cuadrados en un único y

(ΣX) =

(Sn) son cero). Así, existe

(S2n) tal que p*(y) = u 2 . Si v = p*(b2n), defínase h(f)

tal que u2 = h(f)v donde b2n

(ó

y = h(f)b 2n )

(S2n) es el generador (tal que b2n = bn x b n ). h(f) no

depende de u, pues si v' es tal que i*(u') = b n , entonces i*(u' — u) = 0 y así u' - u = p*(λb2n), para alguna λ

Z. Por lo tanto

u' = u + p* (λb2n) = u + λv, v = p * (b2n)

EL INVARIANTE DE HOPF

335

y (u') 2 = u2 + 2λuv + λ 2 v 2 = u 2 , pues v2 = i* 9.6.5

= 0 y uv = 0. Llenar los detalles de la definición de h(f). Probar,

EJERCICIO.

en particular, que todos los cuadrados x 2 , para x

Probar que f g

9.6.6

EJERCICIO.

9.6.7

DEFINICIÓN.

Tómese e

(Sn) son cero.

h(f) = h(g).

Sea μ : S n - 1 x S n - 1

S n - 1 una aplicación continua.

S n - 1 ; entonces se tienen aplicaciones μ1:Sn-l.

gn-1

μ1(x)=μ(x,e),

μ2: Sn-1 ---> Sn-1 , μ 2 (x) = μ(e, x). Definimos el bigrado de μ como bigrado (μ) = (grado (μ 1 ), grado (μ 2 )), donde el grado de μ¿ es el entero al que corresponde [μi] bajo el isomorfismo

πn-1(Sn-1)

Z, tal que [idSn-1]

labras, el homomorfismo μ*:π n - 1 (S n - 1 )

πn-1(Sn-1)

πn-1(Sn-1)

1; en otras pa­ es multiplicación

por grado(μ i ). 9.6.8

OBSERVACIÓN.

entonces g*:

Si p : S n - 1

(S n - 1 )

entonces (Σg)*:

(Sn) -

S n - 1 tiene grado p y n es impar,

(S n - 1 ) es multiplicación por p; si n es par, (Sn) es también multiplicación por p.

336

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

9.6.9 Teorema. Sea n par. Si μ : S n - 1 x

Sn-1

Sn-1

(p, q), entonces el invariante de Hopf de f = H(μ): S 2 n - 1

tiene bigrado Sn

es p • q.

Demostración: Considérense S1 y S 2 , cada uno de los factores del pro­ ducto S n - 1 x S n - 1 , como frontera de bolas B1 y B2 de dimensión n, respectivamente. Se puede tomar Bi como el cociente de Si x I bajo la relación que identifica Si x {1} en un punto. Sean Sn y Sn los hemisferios superior e inferior de S n , definidos por xn+1

0 y xn+1

0 respectivamente.

De μ obtenemos f1: S1 x B 2 t

I y f 2 :B 1 x S 2

Sn

Sn

por (x, y, t)

por (x,t,y)

μ(x,y),t), μ ( x , y ) , - t ) . Clara­

mente S1 x B 2 B1 X S2 es homeomorfo a S1 * S2 — S 2 n - 1 , y f1 y f2 deter­ S n , que coincide con f: S 2 - 1

minan f: S 1 x B 2 B 1 X S 2

Sn,

bajo el homeomorfismo. Con esta descripción de f, el cono Cf es el cociente de Z = (B1 x B2) Sn bajo la relación que identifica a (x,y) B2 B1 x S2 con g(x,y)

(B1

S n . Denotamos por f0: B1 x B2

restricción del cociente. Nótese que Sn (y así

9 = (fo, f1, f2): (B1 x B2, S1 x B 2 , B1 x S2)

Cf

la

son, en forma

natural, subespacios de Cf. Sea

aplicación de ternas.

x B 2 ) = S1 x

(C f ,

EL INVARIANTE DE HOPF

337

Tenemos un homeomorfismo 9*:

K(C f ,

((B1,S1)x(B2,S2)),

puesto que la correspondiente restricción de g es un homeomorfismo re­ lativo (es decir, define un homeomorfismo de los complementos). Si ahora g 1 :(B 1 x B 2 , S 1 x B2)

(C f ,

g2:(B1xB2,BlxS2)

(C f ,

son restricciones de g, tenemos que la composición φ1:

(C,)

K(C f , *) = K(C f ,

K((B1

S1)

K(B 1 ,S 1 )

cumple que, si u

x B2) (Sn)

{Cf) es el generador tal que i*(u) = b

n

( S

n

)

(véase 9.6.4), entonces φ 1 (u) = pb n . Análogamente, la composición φ 2 : K(C S )

K(C f , *)

K(C f , S n )

K ( B l x (B 2 , S2)) K(B 2 ,S 2 )

(S*)

es tal que φ 2 (u) = Si denotamos por

los generadores de K ((B1, S1) x B2) y K (B1 x

338

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

(£2,52)), (B 2 ,S 2 )), respectivamente, tenemos el diagrama conmutativo

donde

denota el producto en

inducido por

en Vect (es decir,

por el producto tensorial de haces vectoriales). Podemos tomar K((B 1 , S1) x B2) y

K(B1

x (B 2 x S2)) tales que corresponden a bn = b 2n , así, persiguiendo a lo

bajo los isomorfismos y tales que largo del diagrama a u

u tenemos

Así , u2 = pqv y, por tanto, h(f) = pq.

D

9.6.10 Proposición. Sea n > 1 impar y sea μ: S n - 1 x con bigrado (p, q). Entonces pq = 0.

Sn-1

Sn-1

EL INVARIANTE DE HOPF

339

Demostración: La teoría K es tal que K(Sn-1 x S n - 1 )

K(Sn-1)

K(Sn-1)

(Z

donde uγ v son los respectivos generadores de como segundo factor. Si escribimos K ( S n - l ) = Z μ*:Z

Zw

(Z

Zu)

manda ω a un elemento de la forma pu

(Z 1+1

Zu)

(Z

Zv),

(S n - 1 ) como primero y Zw, entonces Zv) qv + s(u

v). Ya que

μ* es homomorfismo de anillos, entonces 0 = w2 va a dar a (pu qv + s(u

v)) 2 = 2pq(u

1+1 x

v) (pues los cuadrados son cero); así pq = 0.

De 9.6.9 y 9.6.10 obtenemos el siguiente teorema. 9.6.11 Teorema. Si μ : S n - 1 x S n - 1

S n - 1 es la multiplicación de un

H-espacio, entonces f = H(μ) es tal que su invariante de Hopf h(f) = 1.

Demostración: bigrado (μ) = (1,1), así, por 9.6.10, n es par; por lo tanto, por 9.6.9, h(f) = 1.

Ahora probaremos el teorema que cierra el ciclo de implicaciones des­ crito al principio de esta sección. 9.6.12 Teorema. Sea f : S 2 n - 1 impar. Entonces n = 2,4 u 8.

Sn

tal que su invariante de Hopf es

340

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

Demostración: Supongamos n — 2r (n no puede ser impar, por defini­ ción). Sean b2 n ,b n ,u,v como antes, es decir, (S2n)

0

(Sn)

b2n

u,

u

bn

Por la naturalidad de las operaciones de Adams tenemos que (V) (9.6.13)

=

(b2n)

=

p*(k2rb2n)

=

k 2r v

(por 9.1.9(d))

Por otro lado, i*

(u)-kru)

(bn)-krbn

= =

krbn-krbn

=

0.

(por 9.1.9(d))

Por lo tanto (9.6.14)

(u) - k r u = σ(k)v,

σ(k)

Z.

Ahora bien, por 9.1.9(c), (u) = u 2 mod 2 = h(f)v mod2. Así, usando (9.6.14), (U)

= 2 r u + σ(2)v = h(f)v mod 2

0

EL INVARIANTE DE HOPF

341

Consecuentemente, σ(2) y h(f) tienen la misma paridad, es decir, σ(2) es impar. Ahora bien, por 9.1.9(b), (u)

=

Así (l r u + σ(l)v)

= l r (k r u + σ(k)v) + σ(l)k 2r v = kt/ltu + (l r σ(k) + k 2r σ(l))v. Análogamente (u) = k r l t u + (k r σ(l) + l 2r σ(k))v. Así k r σ(l) + l 2r σ(k) = l r σ(k) + k 2r σ(l) o l r (l r - l)σ(k) = k r (k r - l)σ(l). Si, en particular, tomamos l = 2 y k impar, tenemos 2 r (2 r - l)σ(k) = kT(kr - l)σ(2); así 2r | kr — 1 para todo k impar. Por lo tanto, en particular, para r = 1 se cumple. Sea r > 1 y tómese el grupo de unidades (Z/2 r )*, que tiene orden par. Así, la congruencia kr = 1 mod 2r implica que r es par (ya que el orden de (Z/2 r )* tiene que dividir a r). Así, r = 2,4,6,8,.... Si tomamos ahora k = 1 + 2r/2

342

OPERACIONES DE ADAMS Y APLICACIONES

tenemos que kr = 1 + r2 r / 2 mod 2 r , por lo que 2 r / 2 |r, pues 2r|k;r - 1 y así 2 r |r2 r / 2 . Pero esto sólo sucede si r = 2,4, (pues r > 4

2 r / 2 > r).

Así, n = 2,4 u 8.

Podemos resumir todos nuestros resultados en el siguiente teorema.

9.6.15 Teorema. Son equivalentes: (a) n = 1,2,4 u 8. (b) Rn tiene la estructura de un álgebra normada. (c) Rn tiene la estructura de un álgebra de división. (d) S n - 1 es paralelizable (o n = 1). (e) Sn-1 es un H-espacio (S° = Z2) . (f) Existe f: S 2 n - 1 Sn con invariante de Hopf 1.

CAPÍTULO 10

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

En este capítulo estableceremos relaciones entre haces vectoriales so­ bre algún espacio y grupos de cohomología de ese espacio. Estas rela­ ciones las determinan las clases características (de Stiefel-Whitney en el caso de haces vectoriales reales, y de Chern en el de complejos). Más específicamente, aprovecharemos, en primer lugar, el hecho de que y

son, simultáneamente, espacios de Eilenberg-Mac Lane

de tipo K(Z/2,1) y K(Z,2), respectivamente, y variedades de Grassmann G 1

y

G1

respectivamente

(G1

=

e

s la

variedad de Grassmann de subespacios reales de dimensión 1 de y de

=

e

s l a d e subespacios complejos d e dimensión 1

Esto implica que, por un lado, determinen las cohomologías

H l (—; Z/2) y H2(—; Z) y, por el otro, clasifiquen haces rectilíneos reales y complejos,

de este modo, definiremos la primera clase 343

344

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

de Stiefel-Whitney y la primera de Chern. Posteriormente, presentaremos la clase de Thom y el Teorema del isomorfismo de Thom y construiremos las sucesiones de Gysin, absolutas y relativas, para haces reales y complejos. Éstas serán la herramienta fundamental para construir las clases de Stiefel-Whitney y de Chern en dimensiones mayores a 1. Concluirá el capítulo demostrando el famoso Teorema de BorsukUlam.

10.1

CONTRAIBILIDAD DE

Un hecho importante en la comprensión de los espacios proyectivos de es el hecho de que ambos se obtienen

dimensión infinita

como espacio cociente de un espacio contraíble, que en este caso es la esfera de dimensión infinita Recordemos que

=

mente podemos describir a

En esta sección probaremos este hecho. colímSn-1

colím

. Más precisa­

como el conjunto de sucesiones casi nulas

de números reales, es decir, de sucesiones ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x k , x k + 1 , . . . ) , tales que xk = 0 para k > n y para alguna n. Manejaremos, en adelante, la siguiente definición. 10.1.1

DEFINICIÓN.

La esfera de dimensión infinita

es el subespa-

CONTRAIBILIDAD DE

cio de

345

que consiste de las sucesiones (x1, x 2 , x 3 , . . . , xk, xk+1,.....) tales

que

= 1. Obsérvese que ésta es una suma finita, ya que casi

toda xk es 0.

10.1.2 NOTA. Tipológicamente hablando, al igual que Cn es homeomorfo a R 2n , se tiene que que

es homeomorfo

a, solamente el

primero tiene una estructura de espacio vectorial complejo y el segundo una estructura de espacio vectorial real. Se tiene un diagrama conmuta­ tivo

de modo que podemos ver a

como el subespacio de

casi nulas de números complejos (z1, z 2 ,...), tales que 10.1.3 Teorema. La esfera de dimensión infinita

de sucesiones +

•••••

= 1.

es contraíble.

Demostración: Primeramente, considérese la aplicación H:

x I

tal que H(x 1 ,x 2 , x 3 , . . . , t ) = ((1 - t)x 1 ,tx x + (1 - t)x 2 , tx 2 + (1 - t)x 3 ,.. .)/N, donde el denominador N es la norma del vector en el numerador, es decir, N =

346

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

Esta homotopía empieza, claramente, con id: la aplicación H 1 :

y termina con

tal que H 1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ,...) = (0,x 1 ,x 2 ,x 3 ,...),

cuya imagen es el conjunto A = {x

| x1 = 0}.

Definamos ahora una nueva homotopía H ' : A x I

tal que

H'(0, x 2 , x 3 , . . . , t ) = (t, (1 - t)x 2 , (1 - t)x 3 ,.. .)/N', donde el denominador N', como antes N, normaliza el vector del nume­ rador. Para t = 0 la homotopía H' es la inclusión A

y para t = 1

es una aplicación constante. La composición de ambas homotopías define la contracción deseada. 10.1.4 EJERCICIO. (a) Probar que, en la demostración anterior, las homotopías están bien definidas y son continuas. (b) Componer ambas homotopías para dar una homotopía explícita de la identidad

en la aplicación c o n s t a n t e c o n valor

(1,0,0,...). 10.1.5

EJERCICIO.

motópica.

(a) Probar que la inclusión S n - 1

S n es nulho-

(Sugerencia: Adaptar las homotopías H y H' de la

demostración de 10.1.3.) (b) Concluir que cualquier aplicación f: Sk

Sn es nulhomotópica si

k < n. (Sugerencia: Por el teorema de aproximación celular 5.1.16, f factoriza, salvo homotopía, a través de la inclusión S n - 1

Sn.)

K(Z/2,1)

DESCRIPCIÓN DE

347

De este último ejercicio obtenemos el importante resultado siguiente. 10.1.6 Corolario. π k (S n ) =0

10.2

si

k dim R (E) (i > n si E es un n-haz vectorial real). (ii) Naturalidad. Si f: B'

B es continua y p: E

B es un haz

vectorial real, entonces, para toda i, w i (f* E) = f*w i (E) H i (B'; Z/2), donde f*E

B' es el haz inducido por p: E

(iii) Fórmula de Whitney. Si E

B y E'

B a través de f.

B son haces vectoriales

reales sobre el mismo espacio base, entonces w k (E

E')=

w k - i (E').

CLASES CARACTERÍSTICAS

367

En particular, w1(E w2 (E

E)

etc. El símbolo

E') = w 1 (E) + w 1 (E'),

= w2 (E) + w1 (E) w1 (E') + w2 (E'), denota el producto interior (copa) en coho­

mología. (Véase 6.2.2) (iv) Para el haz de Hopf L

RP1

sobre el círculo RP1 la primera clase

de Stiefel-Whitney w1 (L) no es cero. 10.6.2 Proposición. Sean E

B y E'

B' haces vectoriales y f: E'

E un morfismo de haces sobre una aplicación f : B '

B.

Entonces

w i (E') = f*(w i (E)). Demostración: Ya que, por 7.1.12, f*E' ' E, al ser las clases de StiefelWhitney invariantes bajo isomorfismos, se obtiene, de la naturalidad de las mismas, el resultado deseado.

10.6.3

NOTA.

De hecho, 10.6.2 es equivalente a la naturalidad y la in-

variancia bajo isomorfismo. A saber, si E es continua, entonces f: f*E

B es un haz y f: B'

B

E es un morfismo de haces, por lo que

10.6.2 implica la naturalidad. Más aún, si E'

E, entonces el isomorfismo es un morfismo de haces

sobre id B , por lo que, nuevamente por 10.6.2, w i (E') = w i (E), lo que significa la invariancia bajo isomorfismos.

368

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

Sin necesidad de haber demostrado la existencia de las clases de Stiefel-Whitney, podemos extraer algunas consecuencias de los axiomas. 10.6.4 Proposición. Sea ε n , n

0, un haz trivial sobre un espacio B,

entonces w i (ε n ) = 0 para toda i > 0. Demostración: Se demuestra esencialmente como 10.3.4, aplicando la na­ turalidad, ya que H i (*; Z/2) = 0 si i > 0. La siguiente es una importante propiedad de las clases características, a la que ocasionalmente nos referiremos como estabilidad. 10.6.5 Proposición. Sea εn un haz trivial sobre un espacio B, n entonces para cualquier otro haz vectorial real E

B, w i (ε n

0,

E) =

w i ( E ) , i > 0.

Demostración: Es una consecuencia inmediata de 10.6.4 y de la fórmula de Whitney. Vale la pena introducir la siguiente definición formal, que permite trabajar con todas las clases de Stiefel-Whitney juntas. 10.6.6 DEFINICIÓN. Se denota por

(B;Z/2) el anillo de series for­

males infinitas a = α0 + α1 + α2 + ••••

CLASES CARACTERÍSTICAS

tales que αi

369

H i (B;Z/2). El producto se define en la forma natural,

haciendo uso de la estructura multiplicativa de la cohomología dada por el producto copa. A saber, sean a = (α0 + a1 + a2 + •••• ) y b = (b0 + b1 + b2 + • • •) entonces, αb = (α0 b0) + (α1 b0 + a0 b1)+ + (α2 b0 + a1 b1 + Esta estructura convierte a

a0

b2) + ••••••• =

(B; Z/2) en un anillo asociativo y con­

mutativo con 1. La estructura aditiva es simplemente la del producto directo de los grupos abelianos H i (B;Z/2). Definimos la clase total de Stiefel- Whitney de un n-haz vectorial real E

B como

w(E) = 1 + w 1 (E) + w 2 (E) + •••••• + w n (E) + 0 • + • • • •

(B; Z/2).

Con esta definición, la fórmula de Whitney se reduce a la sencilla fórmula w(E

E') = w(E)w(E').

En forma análoga a la de las clases de Stiefel-Whitney, podemos dar la siguiente definición.

10.6.7

DEFINICIÓN.

Sea p : E

S u n haz vectorial complejo. A una

sucesión de clases de cohomología d(E)

H 2 i (B;Z), i = 0,1,2,...

370

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

se les llama clases de Chern para el haz p: E

B, si son invariantes de

la clase de isomorfismo del haz y satisfacen los siguientes axiomas. (i) La clase c 0 (E) es el elemento uno 1

H°(B:Z)

y c i (E) = 0 para i > dimc(E1) (i > n si E es un n-haz vectorial complejo). B es continua y p : E

(ii) Naturalidad. Si f: B'

B es un haz

vectorial complejo, entonces, para toda i, Ci (f*E)

donde f*E

= f* Ci (E)

H 2 i (B';Z),

B' es el haz inducido por p: E

(iii) Fórmula de Whitney. Si E

B y E'

B a través de f.

B son haces vectoriales

complejos sobre el mismo espacio base, entonces c k (E

E')=

(E)

c k - 1 (E).

En particular, c 1 (E c 2 (E

E') = c l ( E ) + c 1 ( E )

E') = c 2 (E) + c 1 (E)

c 1 (E') + c 2 (E'),

etc. (iv) Para el haz de Hopf L

CP1

de Chern c1(L) no es cero.

sobre la 2-esfera CP1 la primera clase

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

371

Análogamente al caso real, podemos extraer las propiedades corres­ pondientes de las clases de Chern, lo que, por hacerse formalmente igual, dejamos como ejercicio al lector. Cuando ocasionalmente tengamos que hacer referencia a alguna de esas propiedades en el caso complejo, lo haremos citando la versión compleja de la propiedad correspondiente en el caso real.

10.7

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

Para poder construir las clases de Stiefel-Whitney y de Chern, necesita­ mos dos importantes herramientas: el isomorfismo de Thom y la sucesión de Gysin. Esta sección la dedicaremos a establecer estas herramientas. Algunos de los resultados que utilizaremos no serán demostrados y re­ mitimos al lector a [30] para su prueba. Considérese la sucesión exacta de cohomología con coeficientes en un anillo R de la pareja (R n ,R n - 0). En vista de que Rn es contraíble y de que Sn-1 es un retracto fuerte por deformación de Rn - 0 tenemos los isomorfismos siguientes

Hi-1(Sn-1).

(Rn - 0)

H i (R n ,R n

- 0).

372

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

Por 6.1.17 obtenemos que H i (R n ,R n - 0 ) =

R 0

si i si i

Más aún, por 6.2.20(iii), H n (R n ,R n - 0;R) está generado por un gene­ rador canónico g n . Más en general, si V es un espacio vectorial, real o complejo, al tomar un isomorfismo lineal Rn

V (es decir, al escoger

una base de V como espacio real), obtenemos que

Hi(V,V - 0 =

R 0

si i si i

dim R (V) dim R (V).

y H n (V, V — 0; R) está generado por un elemento gv que corresponde a gn bajo el isomorfismo.

10.7.1

DEFINICIÓN.

es n. Sea E0

Sea p: E

B un haz vectorial cuya dimensión real

E el complemento de la sección cero. Se dice que el haz

es orientable respecto a R si existe un elemento que, para cada x;

B, el homomorfismo

tE

H n ( E , E 0 ; R ) tal

Hn(E,E0;R)

H n (p - 1 (x),

p - 1 ( x ) - 0 ; R) aplica t E en un generador, donde j x : ( p - 1 ( x ) , p - 1 ( x ) - 0 ) (E, E0) es la inclusión. Al elemento tE se le llama clase de Thom del haz para R. En particular, si n = 0, entonces p: E y E0 =

B no es más que id: B

y, por tanto, es orientable. Así, tE = 1

cumple que la restricción a {b}

B

H°(E,E 0 ) = H°(B)

B es el generador 1

H°(b).

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

10.7.2

DEFINICIÓN.

373

Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Una

orientación para V es una clase de equivalencia de bases ordenadas, donde se dice que dos bases (v1, v 2 , . . . , vn) y (wx, w 2 , . . . , wn) son equivalentes si la matriz de cambio de base

, tal que wi =

tiene

determinante positivo. Evidentemente, cada espacio vectorial V tiene exactamente dos orientaciones.

En particular, Rn tiene una orienta­

ción canónica correspondiente a la base canónica (e1, e 2 , . . . , e n ), tal que ei = ( 0 , . . . , 1 , . . . , 0), donde el 1 se encuentra en el lugar i. Dada una base (v1, v2) • • • , vn) de un espacio vectroial V, ésta determina un isomorfismo Rn

V y, con él, un generador gv

H n (V, V — 0; R). Dos bases están en

la misma clase de equivalencia si y sólo si los isomorfismos correspondi­ entes determinan homeomorfismos de parejas (Rn, Rn — 0)

(V, V — 0)

que son homotópicos. Si R = Z, éste es el caso si y sólo si los generadores correspondientes a ambos isomorfismos gv y

coinciden. Por lo tanto,

este elemento determina una orientación de V y, sin ambigüedad, nos referiremos a él, asimismo, como una orientación de V con respecto a R. Si R = Z/2, esta orientación es única; si R = Z, hay dos orientaciones, correspondientes a los dos generadores.

Ahora generalizaremos la definición de orientación para un haz vec­ torial.

10.7.3

DEFINICIÓN.

Sea p : E

B un haz vectorial real de dimensión

374

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

n. Una orientación de p es una función μ que a cada punto x

B le

asocia una orientación de p - 1 (x), que satisface la siguiente condición de compatibilidad: Para cada

x0

B hay una vecindad Vo y secciones li-

nealmente independientes s1, s 2 , • • • • •, s n : V0 p-1(Vo) tales que para cada x

Vo, la base orientada (s 1 (x), s 2 (α;),..., s n (x)) define la orientación en

p - 1 (x) dada por la función μ. A un haz p: E

B provisto de una orientación μ se le llama haz

orientado.

10.7.4 Proposición. Sea p : E

B un haz vectorial real de dimensión

n. Entonces

(i) el haz tiene una única clase de Thom tE

Hn(E,E0,R),

(ii) H k ( E , E 0 ; R ) = 0 si k < n,

donde R = Z si el haz es orientado y R = Z/2 en general.

Demostración: Haremos la demostración en cuatro pasos. (a)

Supongamos primeramente que el haz dado es trivial, es decir,

E = B x Rn y consideremos la composición de aplicaciones de parejas (R n , Rn - 0)-

B x (R n , Rn - 0)

(R n ,R n - 0),

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

donde ib(y) = (b,y). Sea g

375

H n (R n ,R n - 0; R) el generador canónico

(6.2.20(iii)), que es el único elemento no cero si R = Z/2 y el generador dado por la orientación si R = Z, entonces proy*(g) = 1 x g (R n ,R n - 0);R) es un elemento tal que

Hn(B x

(1 x g) — g, el generador, de

modo que tE = 1 x g. Ya que H*(R n ,R n - 0; R) es libre, por la fórmula de Künneth 6.5.5, se tiene un isomorfismo H i (B;

H j (R n ,R n - 0; R)

R)

H k (B x (R n ,R n - 0); R ) ;

por lo tanto, Hk-n(B;R)

H n (R n ,R n - 0 ; R )

H k (B x (R n ,R n - 0); R) = 0,

si k; < n, por lo que H k (E, E 0 ; R) = 0 en este caso. (b)

Por (a), (i) y (ii) son válidos en abiertos U tales que E|U es ,

trivial. Supongamos, pues, que (i) y (ii) valen para E|U, E|V y si U, V

B son abiertos. Probaremos que (i) y (ii) también son válidos

para E|U

V. Consideremos la sucesión de Mayer-Vietoris 6.5.14 para

el par escisivo de parejas (E|U, .Eo|U, (E|V, E 0 |V), Hk'|E|U

V,E a |U

H k (E|U,E 0 |U)

V)

H k (E|U

H k (E|V,E 0 |V)

Si k < n, la sucesión se colapsa en 0

V,E 0 |U

H k (E|U H k (E|U

V)

V,E 0 |U V, E 0 |U V)

V). 0 y,

por tanto, (ii) se cumple para E|U V. Si k = n, la sucesión se convierte

376

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

en H k (E|U

0

V,E 0 |U

V)

H k (E|U,E 0 |U)

H k (E|U

V,E 0 |U

H k (E|V,E 0 |V)

V).

Por hipótesis, tenemos las clases t E | u y tE|V y, por la unicidad de la clase de Thom, l u (t E |v) = V

LU:E|U

lv(tE|v)

E | U e l V :E|U

V

H n (E|U

V, E0|U V; R), donde

E|V son las inclusiones. Por lo

tanto, a ( t E \ u , t E \ v ) = l V (T E\U ) — lV(tE|V) = 0 y así, de la exactitud de la sucesión, existe un único elemento

t E|UUV

H n (E|U

V,E 0 |U

V|R)

que se restringe a tE|V y a tE|V. (c)

Si el haz E es de tipo finito, es unión de un número finito de

haces triviales, por lo que el resultado se obtiene de (b) por inducción sobre ese número. (d)

El caso para un complejo CW B se obtiene de (c) con un ar­

gumento de límites. Por 5.1.9, sabemos que cada k-esqueleto Bk puede cubrirse con un número finito de (k + 1) abiertos contraíbles en B k . Por lo tanto, el haz Ek = E|B k es de tipo finito y, por (c), el teorema es cierto para cada esqueleto de B. Sea t k t2,...)

H n (E k ,Eli) la clase de Thom. Por la naturalidad, (t 0 ,t 1 H n (E k ,E k ; R) determina un elemento en límk H n (Ek ,E k ; R).

Como se prueba en [29], hay una sucesión exacta corta natural (10.7.5) 0

Hn-l(Ek,Ek)Hn(E,E0)

(Ek,Ek)

0.

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

Ya que Hn

1

377

(E k , E k ) = 0, se tiene un isomorfismo H n (E,E 0 )

límkHn(Ek,Ek),

bajo el cual, existe un elemento tE que corresponde a la sucesión (í 0 ,t 1 , t 2 , . . . ) . Evidentemente es tE la clase de Thom buscada. (e)

El caso general es ahora inmediato de (d), si tomamos una apro­

ximación CW de B, f:

B (5.1.13), y el haz i n d u c i d o = f*E sobre

B; así, se tiene que la clase de Thom tE — f* 10.7.6

NOTA.

Sea W un espacio vectorial complejo de dimensión m.

Si (w 1 ,w 2 ,..., wm) es una base de W, entonces los vectores w1, iw1, w2, iw 2 ,... ,w n , iwn forman una base de W como espacio vectorial real. Estos vectores, en ese orden, determinan una orientación de W. Ya que el grupo GL m (C) es conexo, se puede pasar de una base compleja a cualquier otra de forma continua, de modo que las orientaciones inducidas coinciden. En otras palabras, W tiene una orientación canónica. Ahora bien, si p: E

B es un haz vectorial complejo, cada fibra tiene

una orientación canónica, de manera que el haz vectorial real subyacente PR: ER

B es un haz orientado. Tenemos así, por 10.7.4, el siguiente

resultado. 10.7.7 Proposición. Sea p : E mensión m.

B un haz vectorial complejo de di­

Entonces su haz real subyacente

pR:

ER

tiene una

378

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

única clase de Thom tE = tER H 2 m ( E , E 0 ; Z ) .

10.7.8 Proposición. Sea p':E'

B' un haz vectorial de dimensión

real n orientable respecto a un anillo R y sea f: B p: E

B' continua. Si

B es el haz inducido por p' a través de f, de modo que se tiene

un diagrama

entonces p: E

B también es orientable respecto a R y, si tE y tE son

sus clases de Thom, se tiene

Demostración: Para cada x

(t E ') = tE

Hn(E,E0;R).

B se tiene el diagrama conmutativo

donde fx es la restricción de f a la fibra sobre x. Por la definición de haz inducido tenemos que fx es un homeomorfismo. Aplicando cohomología con coeficientes en R obtenemos el diagrama

379

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

Ya que

(tE)

(tE)

=

es un generador y

es un isomorfismo, entonces

(tE) es un generador para cada x

(tE) es una clase de Thom para p: E de Thom, se tiene que

B; es decir,

B. Por la unicidad de la clase

(TE) = t E .

Se tiene también una propiedad de la clase de Thom frente a la suma de Whitney de dos haces vectoriales sobre el mismo espacio, p: E

B, de

dimensión n, y p': E'

:B

B, de dimensión n'. Recuérdese que si

B x B es la aplicación diagonal, entonces la suma de Whitney de ambos está inducida por su producto a través de E

E' =

, a saber,

( E x E'),

es decir, se tiene un diagrama

Se tiene la siguiente fórmula para calcular la clase de Thom de una suma de dos haces E

B y E'

B de dimensiones n y n', respectiva­

mente. 10.7.9 Proposición. La clase de Thom de E

E' es la imagen de tE x

tE bajo la composición Hn(E,E0)

H n '(E',E' 0 )

= Hn+n'(ExE',(ExE')0)

Hn+n'(ExE',ExE'0 Hn+n'(E

E',(E

E 0 x E') = E') 0 ),

380

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

es decir, tE E' —

(T E

x

tE).

Demostración: Para b B,p - 1 (b) Rn y p' -1 (b) {b}

B induce inclusiones p-1(b)

E y p' -1 (b)

R n ', así, la inclusión E' y con ellas un

diagrama conmutativo

que prueba que (tE x tE1 ) se restringe al generador e n + 1 de Hn (R n , Rn — H n ' (R n ', Rn' — 0), obtenido como el producto cruz en x en de los

0)

generadores de H n (R n ,R n - 0 ) y H n '(R n ',R n ' - 0 ) , respectivamente. Por lo tanto, en efecto,

10.7.10

=(tE

DEFINICIÓN.

n y z:B

E

Sea p : E

tE).

B un haz vectorial real de dimensión

(E, E 0 ) la aplicación inducida por la sección cero del

haz; a la clase e(E) = z*(tE) haz real p: E

x

H n ( B ; Z/2) se le llama clase de Euler del

B.

En particular, si n = 0, para el haz id: B

B, la sección z = id: B

B y, ya que tE = 1, entonces e(E') = 1. Análogamente, si p: E z:B

E

B es un haz complejo de dimensión m y

(E, E0) es la aplicación inducida por la sección cero del

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

haz; a la clase e(E) = z*(tE)

381

H 2 m (B; Z) se le llama clase de Euler del

haz complejo p.

10.7.11

NOTA.

Sea L

RP 1 el haz canónico. Como ya se ha indicado

anteriormente, topológicamente, L es la banda abierta de Moebius y el complemento de la sección cero L0 es homotópicamente un círculo. En otras palabras, la pareja (L, L0) es homotópicamente equivalente a la pareja (M, ∂M) de la banda de Moebius compacta y su frontera. Así, la cohomología H l (L, L0; Z/2) = H 1 (M,

; Z/2).

RP 2 , por lo que H 1 (L,L 0 ;Z/2) = H l (RP 2 ;Z/2) =

Pero M/ [RP2,

; Z/2) = H 1 ( M /

= [RP 2 ,RP 2 ] = Z/2.

Ya que tL

H 1 (L, L0; Z/2) es no cero, corresponde bajo las identifica­

ciones anteriores con la clase [id]

[RP2, RP2] y, por tanto, también bajo

las identificaciones anteriores y por el hecho de que se tiene un isomorfismo H 1 (RP 2 ;Z/2) = H 1 (RP 1 ;Z/2) inducido por la inclusión, la clase de Euler e(L) H 1 (RP 1 ; Z/2) corresponde con la clase de homotopía de RP 1

RP 2 en [RP\RP 2 ] = Z/2.

Más generalmente, ya que L Ll

y ya que R P

1

RP 1 es la restricción del haz canónico

i n d u c e un isomorfismo en cohomología,

tenemos que la clase de Euler del haz canónico de rectas sobre e(L 1 ) 10.7.23).

Hl

Z/2)

Z/2 coincide con el generador, (compárese con

382

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

En el caso complejo, podemos afirmar en términos análogos que la clase de Euler del haz rectilíneo complejo canónico L1 H2

, e(L1)

Z coincide con uno de los generadores.

A continuación daremos algunas propiedades de la clase de Euler.

10.7.12 Proposición. La clase de Euler es natural; es decir, si p: E B es un haz vectorial y f: B'

B es continua, entonces e(f*E) =

f*e(E). Demostración: Se tiene el diagrama

Si ZE'- B

(E, E 0 ) y z j * E : B'

(f*E, f*E 0 ) son las aplicaciones induci­

das por las secciones cero, entonces se tiene que f o lo que, por 10.7.8, f*(tE) =

E',

ZJ*E

por lo tanto, e(f*E) =

= zE

O F,

por

(T F * E )

=

(tE) = r(e(E)). 10.7.13

EJERCICIO.

Probar que la definición 10.7.10 de la clase de Eu­

ler es consistente con las dadas en 10.3.2 si p: E

B es un haz rectilíneo

real y en 10.5.2 si es complejo. (Sugerencia: Ya que, por 10.7.11, la clase de Euler e(L l )

Hl

; Z/2) coincide con la clase [id]

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

383

H1

entonces el isomorfismo

; Z/2) hace coincidir la

clase del haz canónico [L1] con e(L1); así, para L1

, las defini­

ciones 10.3.2 y 10.7.10 son consistentes. Ya que cualquier haz rectilíneo E

B es inducido por L1

a través de alguna aplicación, la natu­

ralidad de la clase de Euler implica la consistencia de ambas definiciones para cualquier haz. Análogamente en el caso complejo.)

10.7.14 Proposición. Para la suma de Whitney E E

B, de dimensión n, y E' e(E

Demostración: Sean z: B

B, de dimensión n', la clase de Euler

E') = e(E) E

secciones cero; entonces (z, z'): B

E' de dos haces

e(E').

( E , E 0 ) y z':B

E'

(E',E' 0 )las

(E, E 0 ) x (E", E'0) es la sección cero.

Así, por 10.7.9, 6.2.16 y 6.2.11,

e(E

E') = = =

(z,z')* (z,z')

(tE

x t E ,)

(z*(tE) x z'*(tE.))

=

z*(tE)

=

e(E)

z'*(tE.) e(E').

La siguiente proposición coincide con la correspondiente propiedad

384

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

de la clase de Euler para haces rectilíneos (10.3.4 y 10.5.4), y su de­ mostración es la misma. 10.7.15 Proposición. Sea εn el haz trivial de dimensión n (n > 0), entonces, e(ε n ) = 0. 10.7.16 Proposición. Sea p : E

B un haz vectorial que admite una

sección distinta de cero en cada fibra; entonces e(E) = 0 Demostración: Sean i: E 0 s: B

E y j: E

(E, E 0 ) las inclusiones y sea

E0 la sección que no se anula. Entonces la composición B

E0

E

B

es la identidad, por lo que, en cohomología se tiene que la composición H n (B)

Sea s 0 : B e(E) — z*(tE) =

H n (E)

H n (E 0 )

H n (B)

E la sección cero; entonces z — j o s0 y, por definición, (T E ). Ya que p o s0 = id B , se tiene que

= 1.

De la exactitud de la sucesión larga de cohomología de la pareja (E, E 0 ) se tiene que i* o j* = 0 y, ya que s0 o p idE (ejercicio), se obtiene que e(E) = s*i*p*(e(E)) =

(t E )) = s*i*j*(tE) = 0.

Daremos ahora el importante Teorema del isomorfismo de Thom.

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

10.7.17 Teorema. (Isomorfismo de Thom) Sea p: E

385

B un haz vecto­

rial de dimensión real n. Entonces, para cada q, la correspondencia b p*(b)

tE

determina un isomorfismo φ:H q (B;R)

H q + n ( E , E 0 ; R) si

R = Z/2 y el haz es arbitrario o si R = Z y el haz es orientado, φ es el isomorfismo de Thom.

Obsérvese que en la composición H k (B;R)

H k (E;R)

H k + n ( E , E0; R ) ,

el homomorfismo p*, definido por p, es un isomorfismo, por ser p una equivalencia homotópica. Así, realmente la afirmación del teorema 10.7.17 se refiere al segundo homomorfismo, que está definido por el producto copa

tE, asegurando que es éste un isomorfismo.

Demostración de 10.7.17: Como en el caso de 10.7.4, haremos la demostración en cinco pasos. (a)

Sea p: E B un haz trivial, es decir, p = π1: E = B x Rn

B

es la primera proyección. Por el paso (a) en la demostración de 10.7.4, tenemos que tE — (gn) = 1 x 9n, donde π2:

Bx(Rn,Rn

es la segunda proyección y gn

0)

(R n ,R n - 0)

H n (R n ,R n - 0;R) es el generador

canónico. Ya que H n (R n ,R n - 0; R) es libre, por la fórmula de Künneth

386

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

6.5.3, se tiene un isomorfismo Hq-n(B;R) dado por b

H n (R n ,R n - 0 ; R )

H q (B x (R n ,R n - 0);R),

b x y. Por otro lado también se tiene un isomorfismo H q - n ( B ; R)

dado por a

H q - n ( B ; R)

H n (R n ,R n - 0; R ) ,

a x gn.

Si combinamos estos isomorfismos, obtenemos un isomorfismo Hq-n(B;R) tal que b (b) E

bx g n , pero b x

H q (B x (R n ,R n - 0 ) ; R ) , gn=

(gn) = p*(b)

tE.

Supongamos que el teorema es cierto para la restricción del haz

B a abiertos U y V de B y a U V. Probaremos que también es

cierto para U

V. Para cada subespacio A

H q (E|A,E 0 |A) tal que φA(b) = p*A(b)

B, sea φA: H q - n (Á)

tE|A- Ya que t E | A =

tienen diagramas conmutativos para cada A

C

, se

B

Por lo tanto, tenemos para las sucesiones de Mayer-Vietoris 6.5.14 del par escisivo de parejas (U,

, (V,

y del par escisivo de parejas (E|U, E 0 |U)

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

387

y (E|V,E 0 |V) diagramas conmutativos

Aplicando el lema del quinto, tenemos que φ u u v es un isomorfismo. (c)

Si p: E

B es de tipo finito, entonces B esta cubierto por un

número finito de abiertos sobre los cuales E es trivial. Por inducción sobre este número, aplicando (b), se obtiene el isomorfismo en este caso. (d)

Si B es un complejo CW, entonces, como en el paso (d) de la

demostración de 10.7.4, la restricción Ek de E a cada esqueleto Bk de B es de tipo finito y, por (c), se tiene que φk: Hq-n; R) tal que φk (b) —

(b)

H q (E k ,

;R)

t k , donde pk es la restricción de p a Ek y tk = t E k.

Análogamente a la sucesión de Milnor de 10.7.5 se tiene 0 ->

Hq-n-l(Bk)

Hq-n(B)

Hq-n(Bk)

0

y, por la naturalidad de este tipo de sucesiones exactas, se tiene un diagrama conmutativo 0 0-

H q-n-l (B k )

Hq-n(B)

Hq-1(Ek,Hq(E,E0)

Hq-n(Bk) H

q

( E

0 k

, 0

donde las flechas verticales, tanto a la derecha como a la izquierda, repre­ sentan los isomorfismos inducidos por φ k . Por lo tanto, por el lema del

388

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

quinto (o mejor, del "tercio"), se tiene que φE también es un isomorfismo. (e)

En el caso general, tómese f:.

decir, Sea

B una aproximación CW, es

es un complejo CW y f es una equivalencia homotópica débil. el haz inducido, entonces, por 4.3.26,

Ey

E0

son también equivalencias homotópicas débiles y, por tanto inducen isomorfismos en cohomología. Comparando las sucesiones exactas de las parejas

y (E,E 0 ), tenemos que

también induce isomorfismos

entre las cohomologías de estas parejas. Tenemos así un diagrama con­ mutativo

del que deducimos que φE es un isomorfismo, con lo que queda terminada la demostración de este teorema.

10.7.18

NOTA.

Si p : E

B es un haz vectorial complejo de dimensión

m, entonces, al ser este haz siempre orientable, por 10.7.17 se tiene un isomorfismo de Thom en cohomología con coeficientes enteros φ:H k (B;Z) dado por φ(b) = p*(b)

tE.

Hk+2m(E,E0;Z)

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

10.7.19 Teorema. Sea p: E

389

B un haz vectorial real de dimensión n,

entonces existe una sucesión exacta larga Hq+n-l(E0) donde

H q (B)-

H q + n (B)

H q + n (E 0 )

representa la composición H q + n - 1 (E 0 )

Hq+n(E,E0)

H q (B),

en la que φ es el isomorfismo de Thom (10.7.18), p0 — p|E0 y todos los grupos tienen coeficientes en Z/2. A esta sucesión se le conoce como sucesión de Gysin del haz vectorial real. Demostración: Considérese el diagrama Hq+n-l(E0)

H q (B)

H q + n (B)

H q + n (E 0 )

Hq+n-l(E0)

H q + n (E,E 0 )

H q + n (E)

H q + n (E 0 )

donde φ es el isomorfismo de Thom (10.7.17) y la sucesión de abajo es la exacta larga de la pareja (E,E 0 ). El primer cuadrado conmuta por definición de

y el tercero por definición de p 0 . Sólo resta por verificar la

conmutatividad del segundo. Al igual que en la demostración de 10.7.16, tenemos que e(E) =

(t E ) y que p* o

= 1 , donde s 0 : B

sección cero. Entonces, si α E H q (B), entonces p*(a P*

(t E )) = p*(a)

j*(t E ) = j*(p*(a)

E es la

e(E)) = p*(a)

t E ) = j*φ(a).

El siguiente teorema es la versión del teorema 10.7.19 para el caso complejo.

390

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

10.7.20 Teorema. Sea p: E

B un haz vectorial complejo de dimen­

sión m; entonces existe una sucesión exacta larga H q + 2 m - 1 (E ü )

H"(B)

H q + 2 m (B)

H q + 2 m (E 0 )

donde 'φ representa la composición H q + 2 m (E.E 0 )

H q + 2 m - 1 (E 0 )

Hq(B),

en la que φ es el isomorfismo de Thom (10.7.18), p0 = p|E0 y todos los grupos tienen coeficientes en Z. A esta sucesión se le conoce como sucesión de Gysin del haz vectorial complejo.

Demostración: Al ser p: E

B un haz complejo, el haz real subyacente

es un haz orientado de dimensión 2m, por lo que, en forma análoga a la demostración de 10.7.19, pero usando ahora la sucesión exacta larga de cohomología de la pareja (E,E 0 ), ahora con coeficientes en Z y el isomorfismo de Thom de 10.7.18, se obtiene la sucesión deseada.

Una aplicación importante de la clase de Euler es el cálculo del anillo de cohomología H*

10.7.21 Lema. Sea p: L L0 es contraíble.

;Z/2). Se requiere del siguiente lema.

el haz rectilíneo canónico. Entonces

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

Demostración: L =

x R/

con 10.3.5). Entonces L 0 = x R+

donde (x, t) x(R-O)/

y, por 10.1.3,

10.7.22 Teorema. H*

391

(-x,-t).

(Compárese

x R+

xR")/

=

es contraíble.

;Z/2) es un anillo de polinomios en una H1

variable, generado por la clase de Euler e(L)

;Z/2).

Demostración: Tomemos la sucesión de Gysin (10.7.19) del haz rectilíneo canónico p: L H°

H°(L 0 ) Hq

H*(L0)

H1

H°

H l (L 0 )

Hq+1

H q+1 (L 0 )

Por el lema 10.7.21, H q (L 0 ) = 0 si q > 0 y, por lo tanto, el producto copa por la clase de Euler determina un isomorfismo Hq para q > 0. Ya que, por otro lado, H° Z/2, entonces

y H 0 (L 0 ) son isomorfos a

es un isomorfismo, por lo que

es el homomorfismo cero y, entonces,

H0

H°(Lo)

e(L): H°

H° H1

es

también un isomorfismo. Como consecuencia de este teorema podemos calcular la estructura multiplicativa de la cohomología de los espacios proyectivos reales con coeficientes en Z/2. 10.7.23 Corolario. Como álgebra sobre Z/2 = Z2, H*(RP n ;Z 2 ) = Z 2 [e(L n ]/e(L n ) n + l ,

392

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

donde Ln

RPn

es el haz rectilíneo canónico. , EP n ) el complejo de cadenas celulares de la

Demostración: Sea C* pareja

,RP n ). Ya que las células

,RP n ) = 0 para i

mayor que n, entonces Ci Hl(

d e — RP n son de dimensión

, RP n ;Z 2 ) = 0 para i

n y, por lo tanto,

n. Utilizando la sucesión exacta larga

de la pareja, obtenemos que la inclusión j: morfismo j * :

Hi

; Z2)

H i (RP n ;

Z2) para i

induce un ison - 1. Para i = n se

tiene la porción de la sucesión exacta 0---->H n

Hn(RPn;Z2),

;Z2)

pero, por 10.7.22, H n (RP n ; Z2)

Z 2 , de manera que j* es un isomorfismo

también para i = n. Por la naturalidad de la clase de Euler, 10.7.12, se tiene que e(L n ) = e(j*L) = j*(e(L)) y, al ser j* multiplicativa, del teorema 10.7.22 se obtiene que los generadores de H'*(RP n ;Z 2 ) son las potencias e(L n ) i 0

i

n.

Una consecuencia interesante es la siguiente. 10.7.24 Corolario. Sea p:TS n tonces, e(TS n )

­n(Sn;Z/2)

Demostración: Sea q:

Sn

Sn

el haz tangente a la n-esfera; en­

es cero. EP n la aplicación cociente; ya que q es un

difeomorfismo local, p es el haz inducido por el haz tangente p': TRPn

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

393

RPn a través de q y se tiene el cuadrado

donde q es la diferencial de q, que induce isomorfismos en cada fibra. Sea n > 1 y considérese q*: H n (MP n ;Z/2)

H n (S n ;Z/2).

Por el coro­

lario 10.7.23, e(L n ) n es el generador de H n (RP n ;Z/2) y q*(e(Ln)n) = (q*e(L n )) n ; pero q*e(Ln)

H l (S n ;Z/2) = 0; así, q*: H n (MP n ;Z/2)

H n (S n ; Z/2) es el homomorfismo cero y, por la naturalidad de la clase de Euler, e(TS n ) = q*(e(TRPn)) = 0. Si n = 1, por ser TS 1

S1 un haz trivial, tiene una sección que no se

anula en ningún punto, por lo que, por la proposición 10.7.16, e(TS1) = 0.

Es un ejercicio verificar que también se tienen las versiones complejas de los teoremas anteriores acerca de la cohomología de los proyectivos, como siguen. 10.7.25 Teorema. H*

;Z) es un anillo de polinomios en una va­

riable, generado por la clase de Euler e(L)

H2

10.7.26 Corolario. Como álgebra sobre Z, H*(CP n ;Z) = Z[e(L n )]/e(L n ) n + 1 ,

Z).

394

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

donde Ln

CPn

es el haz rectilíneo canónico.

Para construir la (n — l)-clase de Stiefel-Whitney de un n-haz vecto­ rial real haremos uso de una generalización del teorema del isomorfismo de Thom y de la sucesión de Gysin, que presentaremos a continuación. Antes, daremos una definición.

10.7.27

Bun

Sea p: E

DEFINICIÓN.

haz vectorial sobre un complejo

CW B. Por 7.1.18, tenemos en él una métrica riemanniana tal que a cada fibra p-1(x) le asocia un producto escalar respecto a x

B. El haz esférico asociado a un haz p: E

denotaremos por S(E)

EJERCICIO.

E|

=l,x=p(y)}.

Verificar que, en efecto, la aplicación S(E)

define una fibración localmente trivial. (Sugerencia: Si E liza sobre U

B, al que

B, es una fibración localmente trivial tal que

S(E) = {y

10.7.28

en forma continua

B, entonces también lo hace S(E)

Sea B un complejo CW y sea C

B se trivia-

B.)

B un subcomplejo. Si p: E

es un haz vectorial real de dimensión n, sea p c - E | C

B

B

C la restricción

del haz a C y E 0 |C el complemento de la sección cero en E|C. Al ser B un complejo CW, E también lo es y tanto E|C como E0 son subcomplejos de E. Además la inclusión S(E)

E0

es una equivalencia

ISOMORFISMO DE THOM Y SUCESIÓN DE GYSIN

395

homotópica. Ya que E|C y S(E) son subcomplejos de E, la tríada (E|C S(E);E|C,S(E)) satisface 6.1.7 y, en consecuencia, la tríada (E|C E 0 ; E|C, E 0 ) también. Por lo tanto, las inclusiones inducen isomorfismos en cohomología. (10.7.29)

H q (E|C

E 0 ,E 0 )

(10.7.30)

H q (E|C

E 0 ,E|C)

H q (E|C,E 0 |C)

H q (E 0 ,E 0 |C)

El siguiente teorema es la versión relativa del teorema del isomorfismo de Thom 10.7.17, del cual, como veremos, es una consecuencia.

10.7.31 Teorema. Sea p : E

B un haz vectorial real de dimensión n

sobre un complejo CW B, y sea C

B un subcomplejo. Entonces, para

cada q, se tiene un isomorfismo φ:H q (B,C;Z/2)

Hq+n(E,E|C

Demostración: En el diagrama, en el que

E0;Z/2).

= E|C

el primer renglón es la sucesión exacta de la terna (E, la cual, por 10.7.29, substituimos H*

E0,

, Eo), 6.1.28, en

,E 0 ) por H*(E|C,E 0 |C), y el

segundo renglón es la sucesión exacta de la pareja (B, C), mientras que a,

396

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

β y γ están dados por las clases de Thom p*(x)

x a p*(x)

tE

y tE, es decir, aplicando

t E y p * ( x ) t E (x

H q (C), H q (B,C) y

H q (B), respectivamente), a y γ son los isomorfismos de Thom, según 10.7.17, por lo que, por el lema del quinto, β es también un isomorfismo, como se deseaba probar.

10.7.32

EJERCICIO.

Sea p : E

B un haz vectorial complejo de di­

mensión m sobre un complejo CW B y sea C

B un subcomplejo.

Probar que se tiene un isomorfismo φ:H q (B,C;Z)

Hq+2m(E,E|C

E0;Z).

También se tiene una versión relativa de la sucesión de Gysin, que veremos a continuación y que, como 10.7.19, es una consecuencia del teorema del isomorfismo de Thom, ahora del caso relativo 10.7.31.

10.7.33 Teorema. Sea p: E

B un haz vectorial real de dimensión n

sobre un complejo CW B y sea C

B un subcomplejo. Se tiene una

sucesión exacta de cohomología con coeficientes en Z/2 Hq+n-l(E0,E0|C) H q (B,C)

Hq+n(B,C)Hq+n(E0,E0|C)

Demostración: Análogamente al caso absoluto, 10.7.19, considérese el

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

diagrama, en el que

= E|C

397

E0,

donde φ es el isomorfismo de Thom relativo (10.7.31) y la sucesión de abajo es la exacta larga de la terna (E,

, E|C). Al ser p: (E, E|C)

(B, C) una equivalencia homotópica, p* es un isomorfismo. Por 10.7.30, es un isomorfismo. Así, definiendo

= φ-1 o

o

se puede

verificar, en forma análoga a la demostración de 10.7.19 que el segundo cuadrado es conmutativo; igualmente, se verifica la conmutatividad del tercero. De esta forma, la exactitud de la sucesión de abajo implica la de la de arriba.

10.7.34

EJERCICIO.

Sea p : E

B un haz vectorial complejo de di­

mensión m. Probar que se tiene una sucesión exacta de cohomología con coeficientes enteros H q + 2 m - 1 (E 0 ,E Q |C) H q + 2 m (B,C)

10.8

H q (B,C) H q + 2 m (E 0 ,E 0 |C)

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

En esta sección haremos uso de la sucesión de Gysin estudiada en la sección anterior para construir las clases de Stiefel-Whitney de un haz

398

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

vectorial real. Después indicaremos cómo llevar a cabo el programa co­ rrespondiente a la construcción de las clases de Chern de un haz vectorial complejo. Finalmente, como aplicación de las clases de Stiefel-Whitney, probaremos el teorema de Borsuk-Ulam.

10.8.1

DEFINICIÓN.

Sea p : E

B un haz vectorial real de dimensión

n. Definimos un nuevo haz de dimensión n — 1 sobre E0, q:

E0 como

sigue. Sea

= {(v,e)

E0 x E | p(v) = p(e)}

E0 el haz inducido por

p sobre E0 a través de p|E 0 y tómese el subhaz rectilíneo L = {(v,e) E' | e = λv, λ

R}.

Definamos q: Para v

E0 como el cociente de haces

/L

E0.

E 0 , este haz es tal que si p(v) = b, la fibra q-1(v) es el cociente

de espacios vectoriales p - 1 (b)/ p-1(b) generado por el vector v

, donde

denota el subespacio de

p - 1 (b), por lo que la dimensión del haz

E 0 es n - 1.

10.8.2

NOTA.

Sea p 0 = p|E 0 :E 0

clusión de la fibra sobre b

B es n,

(b)

E 0 la in­

B. Entonces la restricción

tiene como espacio total a p: E

B y sea i b : P b - 1 )

(b)(p-1(b)/

(b) =

)• Ya que la dimensión de

Rn — 0, por lo que

haz sobre Rn — 0, cuya fibra sobre un punto v es

es, esencialmente, un Rn/

=

, o sea, el

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

399

hiperplano en Rn ortogonal a v, de modo que, restringiendo aún más, a g n - 1 Rn - 0 SE obtiene el haz tangente a la (n — l)-esfera.

10.8.3

EJERCICIO.

Sean p : E

E'

Probar que E

B y p':E' (E

10.8.4 Proposición. Sea p: E

1

B dos haces vectoriales.

)(E)

B un haz vectorial real de dimensión

n sobre un complejo CW B. Entonces la clase de Euler e imagen de

Hn-1(B;Z/2)

yace en la

Hn-1(E0;Z/2).

Demostración: Supongamos a B conectable por trayectorias y conside­ remos la porción siguiente de la sucesión de Gysin de la pareja (B, {b}), 10.7.33, H -1 (B, {b})

H n - 1 ( B , {b})

Hn-1(E0,p-l(b)-0)

H°(B, {b}).

Pero H - 1 ( B , {b}) = 0 y, al ser B conectable por trayectorias, también H°(B, {b}) = 0, por lo que

H n - 1 ( B , {b})

H n - 1 (E 0 ,p - 1 (b) - 0) es

un isomorfismo. Considérese ahora la porción siguiente de la sucesión de la pareja (E0,p-1(b)-0) = ( E 0 , R n - 0 ) , H n - 2 (R n - 0)

H n - 1 ( E 0 R n - 0 ) H n - 1 ( E 0 ) H n - 1 (R n - 0).

400

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

H n - 1 ( E 0 ) es la clase de Euler, entonces, por el corolario

Si e(E)

10.7.24 y la nota 10.8.2,

=

e ( ¿ * = 0. Por la exactitud de

la sucesión, existe un (único) elemento x G H n - l ( E 0 , R n — 0) tal que j*(x) = e

.

Como el caso n = 1 es trivial, podemos suponer n > 1, de manera que Hn-l(B;Z/2) y, como j*(x) = e

H n - 1 (B,({b};Z/2) ,e

H n - 1 (E 0 ,K n - 1

0;Z/2)

im(p0).

Finalmente, si B no es conectable por trayectorias, consideramos B — U α B a , donde cada B a es una componente por trayectorias. Entonces, por 6.1.4,

H * ( B ) H * ( B a ) , donde cada i a : B a

Aplicando ahora lo anterior a cada restricción

B es la inclusión.

(E) = E | B a , se obtiene

el resultado en este caso. 10.8.5 DEFINICIÓN. Sea p : E

B un haz vectorial real de dimensión

n sobre un complejo CW B. Definiremos las clases de Stiefel-Whitney w i (E)

H i (B; Z/2) del haz inductivamente sobre n, como sigue. Tómese

la porción siguiente de la sucesión de Gysin de E, 10.7.19, H n - 1 (B;Z/2) Si i

H i (B;Z/2)

Hi(E0;Z/2)

Hi-n+1(B;'L/2).

n - 2, Hi-n(B; Z/2) y Hi-n+1(B; Z/2) son cero y, por lo tanto,

es un isomorfismo; si i — n — 1, p*0 es un monomorfismo y, por 10.8.4,

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

e(E)

im

401

Se definen entonces wn(E)=e(E),

y, ya que la dimensión de

es n — 1, para i < n se define

wi(E)=

(wi(E));

en particular, si n = 0, entonces w0(E) = 1 y en consecuencia, para cualquier n, también w 0 (E) = 1. Finalmente, si i > n,

10.8.6

EJERCICIO.

Probar que esta definición es compatible con la de­

finición de w1 dada en 10.3.2. (Sugerencia: Aplicar 10.7.13.)

10.8.7 Teorema. Las clases w i (E)

Hi(B,Z/2)

definidas en 10.8.5

satisfacen los axiomas 10.6.1(i)-(iv).

Demostración: Por definición se satisface el axioma (i). Para probar (ii) basta observar que la clase de Euler es natural, 10.7.12. Sean E

B y E'

B, dos haces de dimensiones n y n', respecti­

vamente; (iii) se obtiene, para k = n + n', de 10.7.14, ya que

402

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

E') = e(E

E'), w n (E) = e(E) y w n ,(E') = e(E'). Para k < n + ri,

procederemos por inducción sobre la dimensión de E

E'. El caso de

dimensión 1 es claro. Así, por 10.8.3, w k (E

E')

-1

=

(wk(EE'))

-l(wk(E

E')) wi(E)Wj

= -1

(p0)-1

(wi(E)) W i (E)

(w j (E')

w j (E').

La propiedad (iv) se probó en 10.3.7. (Véase también 10.7.11.) 10.8.8

NOTA.

El mismo programa seguido en la sección anterior y ésta

puede aplicarse para construir las clases de Chern. De hecho, parte de los resultados relevantes ya fueron enunciados y probados, en su caso, en la versión compleja. El más importante es el hecho de que todo haz vectorial complejo es orientable, por lo que tiene clase de Thom 10.7.7; así, también se puede definir a través de ella su clase de Euler, que coincide con la definida al principio del capítulo y, con ella, las clases de Chern. A continuación, para probar la unicidad de las clases de StiefelWhitney y de las de Chern, calcularemos, como aplicación de la existencia de las mismas la cohomología de las grassmannianas.

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

10.8.9

NOTA.

Sea E n

que es tal que En wi = w i (E n

E

403

el n-haz vectorial universal (7.3.3), = {(W,w)

H l (G n

Gn

|w

W}, y sea

; Z/2). Estas clases son universales en el

sentido siguiente. Por la versión real de 7.5.9, dado cualquier n-haz real E

B con base paracompacta, existe una aplicación f: B

única salvo homotopía, tal que E

f*(En

Gn

,

; así, por la naturalidad

de las clases características, w i (E) = f*(wi). Por lo tanto, a partir de las clases, wi, i = 0 , 1 , . . . , n, podemos construir las clases de Stiefel-Whitney para cualquier n-haz real sobre un espacio paracompacto. Análogamente en el caso complejo.

A continuación prepararemos el cálculo de la cohomología de la grassmanniana G n

con coeficientes en Z/2 y la de

G

n

c o n coefi­

cientes en Z, generalizando el cálculo de la cohomología de G1 dado en 10.7.23 y de

G1

=

=

dado en 10.7.26. Haremos

los cálculos para el caso real, pero todo lo que digamos será igualmente válido en el caso complejo. Empezaremos por una definición.

10.8.10

DEFINICIÓN.

Una clase característica de dimensión i para n-

haces vectoriales reales es una función c que a cada n-haz real E B sobre base paracompacta le asocia un elemento c(E)

H i (B; Z/2),

invariante de la clase de isomorfismo del haz, tal que es natural, es decir, si f : B '

B es continua, entonces c(f*(E)) = f*(c(E)). Denótese por

404

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

el conjunto de estas clases características. Este conjunto tiene una estructura de grupo dada por la fórmula (c + c')(E) = c(E) + c'(E), y la totalidad de estos grupos, haciendo variar la i, la estructura de un anillo graduado con multiplicación

dada por la fórmula (c-c')(E)=c(E)

c'(E).

Es un ejercicio para el lector verificar las afirmaciones hechas en la definición anterior.

10.8.11 Teorema. Se tiene un isomorfismo de anillos graduados φ:

H*(G n

;Z/2),

dado por φ(c) = c(E n

Demostración: Sea E

;H i (G n

;Z/2)

, i = 0 , 1 , . . . , tal que si

B es un n-haz real, (x)(E)=

(x),

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

donde fE: B Ya que

Gn

Además, Hi(Gn

es la aplicación que clasifica al haz E B .

(c)(E) =

c(E), se tiene que

405

(φ(c)) =

(c(En

= c

o φ = l.

(x) = φ(x)(E n ; Z/2), por lo que φ o

=

(x) = x, para x:

= 1.

Ya que, claramente, φ es homomorfismo de anillos, tenemos la afir­ mación deseada. El teorema anterior, una vez conociendo H*(G n

; Z/2), como se

verá en 10.8.15, nos permitirá determinar todas las clases características para haces vectoriales reales con valores en cohomología con coeficientes en Z/2.

10.8.12 Proposición. Sea

el complemento de la sección cero

del haz universal. Se tiene una equivalencia homotópica a: ;

Gn-1

tal que la composición Gn-1

clasifica a ε1

Demostración: Sea

Gn En-1

el subespacio de

la forma (0, α1, α 2 ,...). La aplicación

formado por los vectores de tal que r(0, a1, α 2 ,...)

406

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

= (a 1 ,a 2 ,...) es un homeomorfismo, con inverso σ, tal que σ(a,1, a 2 ,...) = (0,α 1 ,a 2 ,...). r determina un homeomorfismo (V) =

Gn-1

Gn-1

, tal que

a:

G n-1

Gn-1

, tal que

, con inverso

Tómese e 0 = (1,0,0,...) tal que a(V) = β(W, w) = W/

-0 y sean

(V),e 0 ), y

, es decir, β(W, w) es el complemento ortogonal en W

del subespacio 1-dimensionalgenerado por w. Probaremos que a y β son inversos homotópicos. Primeramente, βa(V) = β( La homotopía h t :

(V),e 0 ) = (

{V))l

(V).

, tal que h t (a 1 , α2, α 3 ,...) = (ta 1 , (1 - t)a 1 +

tα2, (1 - t) a2 + t a 3 , . . . ) es un monomorfismo para cada t que induce una homotopía

Gn-1

Gn-1

que empieza con β o a y termina

con la identidad. Por otro lado, aβ(W,w) = a(W/ En este caso, la homotopía w) = (

)=(

(W/

),e 0 ). dada por

,w(t)), donde w(t) es alguna trayectoria en

— 0 de e0 a w, empieza con a o B y termina con la identidad.

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

407

Finalmente, el diagrama

donde p(W, w) = W, q(s, (V, v)) = Vy γ, (V, v)) = σ(v)), es un diagrama conmutativo en el que fibra, ya que si V (s, v)

Gn-1

(V), se 0 +

es un isomorfismo fibra a

, la fibra sobre V es R x V , y γ la aplica vía

se 0 +σ(v) isomorfamente en la fibra sobre p0a (V) =

Por lo tanto, por 7.1.12, p0 o a clasifica a ε1

(V).

En-1

Gn-1

10.8.13 Proposición. Considérense los haces universales E n Gn

yEn-1

G

n - 1

, n > l , y sea

una aplicación que clasifique al haz ε1

En-1

f : G Gn-1

n - 1

G

En­

tonces se tiene una sucesión exacta larga H q (G n

H q + n (G n H q + n (G n - 1

H q + 1 (G n

Demostración: Por la proposición 10.8.12, sabemos que la composición p0 o a: Gn-1

Gn

equivalencia homotópica.

clasifica a ε1

En-1

n

y que a es una

408

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

Tómese la sucesión de Gysin 10.7.19 de En

donde e = e(En

. Si tomamos f = p0 o a y definimos

como

obtenemos la sucesión deseada. Finalmente, podemos dar la descripción de la cohomología de la grassmanniana. 10.8.14 Teorema. Como álgebra sobre Z/2 = Z 2 , H*(G n

;Z 2 ) = Z 2 [ w 1 , w 2 , . . . , w n ] ,

donde w 1 , w 2 , • • • , w n son como en 10.8.9. Demostración: La haremos por inducción sobre n. Para n = 1, éste no es más que 10.7.23. Supongamos, pues, que el teorema vale para n - l y sea f: G n-1 haz ε1

En-1

Gn

una aplicación clasificante para el

Por la naturalidad 10.6.1 (ii) y la estabilidad 10.6.5

de las clases de Stiefel-Whitney, f*(wi(En w i (ε l

En-1

quedimE n - 1

= ω i (E n-1 = n — 1, w

, . . . w n - 1 (E n - 1

=

, para i = 1,2, . . . , n . Además, ya n

( E

Por la hipótesis de inducción, w 2 (E n-1

= w i (f*(E n

n - 1

= 0 .

H*(Gn-1

=

Z2[wi(En-1

de manera que f* es suprayectiva

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

en cohomología. Por definición, e(E n

= w n (E n

409

, así que de la

sucesión exacta de 10.8.13 obtenemos la sucesión exacta 0 - - - - > H

q

( G

H

n

q

+

n

( G

n

( G

n

-

0 .

1

De esta sucesión exacta corta obtenemos que cada elemento a H q + n (G n H q (G n

puede escribirse como a = b + c, donde b proviene de y por lo tanto es un polinomio en el que cada sumando con­

tiene a wn y c proviene de H q + n (G n - 1

, por lo que. por la hipótesis

de inducción, es un polinomio en w1,w2,.• • •, ω n - 1 . U n a inducción sobre la dimensión de a prueba lo que se desea. De 10.8.11 y 10.8.14 es inmediata la siguiente consecuencia. 10.8.15 Corolario. Sea c una clase característica de dimensión k para haces vectoriales reales de dimensión n. Entonces c = donde Xk = {J = (i1 i 2 , . . . , ¿n)

Nn

|

= k} y

Z / 2 ; es

decir, c(E)=

(E)

(E)

(E).

El corolario anterior implica que cualquier clase característica para haces vectoriales reales puede expresarse en términos de las clases de

410

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

Stiefel-Whitney. Veremos ahora que éstas quedan caracterizadas por los axiomas 10.6.1(i)-(iv).

10.8.16 Proposición. Sea L f:

x• • •x

Gn

el haz canónico sobre

y sea

la aplicación que clasifica al haz Lx • • • x L

(n factores). Entonces el homomorfismo f*:H*(G n

;Z 2 )

H*

x---x

;Z 2 )

es un monomorfismo.

Antes de pasar a la demostración, obsérvese que si V1, V 2 ,..., Vn son subespacios 1-dimensionales de Vl V2

VnG

, entonces f(V1,V2, • • • ,Vn) =

n

Demostración: Por 10.7.22, H*

;Z 2 ) = Z2[w1(L)]. Haciendo uso de

la fórmula de Künneth 6.5.4, que en este caso afirma que H*

x---x

;Z 2 ) =

se puede deducir que H* ti = π i (w i (L)) y πi:

H*

x ••• x x ••• x

i-ésima coordenada. Por hipótesis, f*(En ejercicio 7.1.7, L x • • • x L =

(L)

;Z 2 )

H*

;Z2),

; Z2) = Z 2 [t 1 ,..., t n ], donde es la proyección en la = L x • • • x L y, por el (L).

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

411

Haciendo uso de la naturalidad 10.6.l(ii) y de la fórmula de Whitney 10.6.1(iii) aplicadas a las clases totales 10.6.6, obtenemos que f*(En

=

w(f*(E n

= w(L x • • • x L) = w

(L)

(L)) (L))

(l + t i ) .

Por lo tanto, en cada dimensión se tiene f*(w 1 (E n

= t 1 + --- + t n

En otras palabras, f*(w k (E n

=σk(t1...,tn),

k

= l,...n,

donde σ k , k = 1 , . . . n, denota la k-ésima función simétrica elemental en n variables, definida, en general, por σ k (α 1 ,α 2 ,.. .,a n ) =

a1,

a2

• • • aik

Es un resultado fundamental de Artin, [5], que el subanillo de Z 2 [t 1 ,...t n ] que consiste de los polinomios simétricos es, a su vez, un

412

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

anillo de polinomios generado por las funciones simétricas elementales σ 1 , σ 2 ) . . . ,σ n . Por el teorema 10.8.14, w n (E n

H*(G n

=

Z 2 [w 1 (E n

,...,

, por lo que f* es inyectiva. De hecho, la imagen de f*

es precisamente el subanillo de los polinomios simétricos.

Ahora sí ya estamos en posibilidades de probar la unicidad de las clases de Stiefel-Whitney.

10.8.17 Teorema. (Unicidad de las clases de Stiefel-Whitney) Existe una única sucesión de clases de cohomología asociadas a un haz vectorial real sobre una base paracompacta, que satisfacen los axiomas 10.6.1 (i)(iv).

Demostración: Supongamos que para cada haz vectorial real sobre una base paracompacta tenemos una sucesión de clases

(E), invariantes de

la clase de isomorfismo, que satisfacen 10.6.1 (i)-(iv). Considérese el haz canónico L1

RP 1 . Por el axioma (iv), se tiene que

(L1) — w 1 (L 1 ), ya

que ambos son el elemento distinto de cero en H 1 ( R P 1 ; Z2) = Z 2 . Ya que L1 está inducido por L :Hl axioma (ii),

;Z 2 )

a través de la inclusión l: RP 1

y

H 1 (RP 1 ;Z 2 ) es un isomorfismo (véase 10.7.11), por el (L) = ( L 1 ) = w 1 (L 1 ) y, por lo t a n t o , ( L ) = w1(L).

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

La clase total correspondiente a las clases

413

satisface, en consecuencia,

que w(L) = 1 + w1(L). Si, como arriba, f:

x ••• x

clasificante del haz L x • • • x L

Gn x ••• x

es la aplicación entonces, por (ii)

y (iii), análogamente a la demostración de 10.8.16, =

f*(w(E n

w(f*E n

= w(L x • • • x L) =

w(

(L)

(L)) (L)) (L))) (L)))

(1 + ti) =

f*(w(E n

Pero, por 10.8.16, f* es un monomorfismo en cohomología, por lo que w(E n

= w(E n

Si, ahora, E

B es cualquier haz vectorial real de dimensión n

sobre un espacio paracompacto, y f E '-B clasificante, entonces w(E)

= w(

Gn

es su aplicación

414

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

lo que demuestra la coincidencia de ambas sucesiones de clases carac­ terísticas.

Para concluir el capítulo daremos algunas aplicaciones interesantes de las clases características. En primer lugar, veremos que las que no se anulan son obstrucciones a la existencia de secciones no nulas en un haz. Para esto, daremos en primer lugar una definición.

10.8.18

DEFINICIÓN.

Sea p: E

B un haz vectorial y sean s 1 ,s 2 , . . . , s k

secciones del haz. Se dice que estas secciones son linealmente indepen­ dientes si para cada punto b ...,s k (b)}

B, el conjunto de vectores {si(b), s2(b),

p -1 (b) es linealmente independiente. En particular, cada

sección si no es cero en ninguna parte (véase 10.3.11).

10.8.19 Lema. Sea p : E

B un haz vectorial real sobre un espacio

paracompacto (un complejo CW) B. Si el haz admite secciones s1, s2, • • •., Sfc linealmente independientes, entonces se descompone como una suma E'

, donde

es un haz trivial de dimensión k.

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

415

Demostración: El subhaz E1 de E tal que E1 = {e =

(x)

Ry x

B} es un haz trivial de dimensión k, como lo muestra la

trivialización B x Rk

Eλ tal que (b, λ 1 , . . . , λk)

(b). Por ser B

paracompacto, tiene una métrica riemanniana 7.1.18 y por 7.1.20 existe el complemento ortogonal de E1 en E, E2, que, por lo tanto, es un haz vectorial, tal que E

E2.

Si se combina la proposición 10.6.5 con el lema 10.8.19 se demuestra un resultado que generaliza 10.7.16. A saber, por 10.6.5, w i (E) = w i (E 2 ), por lo que, si i > dim (E2) = n — k, w i (E) = 0. Se tiene la afirmación siguiente.

10.8.20 Proposición. Sea E

B un haz vectorial de dimensión n, tal

que B es un espacio paracompacto. Si el haz admite una sección que no es cero en ninguna parte, entonces w n (E) = 0. Más en general, si el haz admite k secciones linealmente independientes, entonces w n - k + 1 (E) = w n - k + 2 (E) = • • • = w n (E) = 0.

De esta forma, la última clase de Stiefel-Whitney que no se anula, digamos w n - 1 , es una obstrucción a la existencia de más de k secciones linealmente independientes en E.

416

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

Para concluir el capítulo, daremos otra aplicación de las clases de Stiefel-Whitney, demostraremos el teorema de Borsuk-Ulam, cuya versión clásica es la siguiente.

10.8.21 Teorema. (Borsuk-Ulam) Seag:S n

R n continua. Entonces

Sn tal que g(x) = g(—x).

existe x

Demostración: Si no existiera una tal x, es decir, si g(x)

g(—x) para

toda x, entonces la aplicación f(x)

=

define una aplicación f:Sn

Sn-1

impar, es decir, tal que f(—x) = —f(x). Esto, sin embargo, contradice el teorema 10.8.23 más abajo, por lo que, necesariamente, existe el punto x deseado.

10.8.22

NOTA. ES

ilustrativo considerar el caso del teorema de Borsuk-

Ulam 10.8.21 para n = 2, que frecuentemente se plantea en términos meteorológicos como sigue. Si se supone que la temperatura y la presión atmosférica son funciones continuas sobre la superficie de la tierra, en­ tonces existen puntos antípodas en ésta con las mismas condiciones at­ mosféricas de temperatura y presión.

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

10.8.23 Teorema. Sea m < n. Entonces no existe

f:Sn

417

Sm impar,

es decir, tal que f(—x) = —f(x). Demostración: Si existiera una tal aplicación f, entonces ésta induciría una aplicación f: RPn

RP m tal que conmuta el diagrama

Éste es, en realidad, un diagrama de fibraciones localmente triviales que induce una aplicación Hn

Hm de haces canónicos sobre los espacios

proyectivos. Más precisamente, si para toda k el haz canónico Hk RPk , como en 10.3.5, es la segunda proyección del espacio de parejas H k = {(x,l)

Rk+1x

RP k |x

l},

se tiene un diagrama de haces vectoriales

donde f(x,l) = (|x|f(x/|x|)f(l)), si x

0 y f(0,1) = (0,f(0). Es

inmediato verificar que f está bien definida y es continua. Además, es lineal, para lo que basta probar que saca escalares, a saber si λ > 0 f(λ x ,

i) =

(

i

)

) = si A < 0,

418

RELACIONES ENTRE COHOMOLOGÍA Y HACES VECTORIALES

donde la segunda parte se cumple, ya que f es impar. Por la proposición 10.3.3, el homomorfismo inducido en cohomología H*(RP m ; Z/2) w1(Hk)

H*(RP n ; Z/2) es tal que

H 1 (RP k ;Z/2) es la clase de Euler del haz Hk

m,n). En particular, 0 = m +1 f: S n

(x m ) = x n , donde x k =

=

RPk

(k =

0 por 10.3.7, ya que

n, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no puede existir S m impar.

10.8.24 N O T A . Hay una forma alternativa de probar el teorema de Borsuk-Ulam, en su versión 10.8.23, haciendo uso de la teoría de aplicaciones cubrientes (y cohomología), a saber, el diagrama

que utilizamos en la demostración de 10.8.23 es un diagrama de aplica­ ciones cubrientes (4.4.3) y nos preguntamos acerca de la existencia de un levantamiento sólo si

KP n

Sm de

Un tal levantamiento existe si y

aplica al grupo fundamental π1(MP") dentro de la imagen bajo

q del grupo fundamental π 1 (S m ), como se vio en 4.4.14. Hay dos ca­ sos; uno es cuando m = 1, en el cual π 1 (W X ) = Z y, ya que n > 1, π 1 (KP n ) = Z/2, por lo que el homomorfismo

: Π1(RPN)

Π1(KP1)

es

cero y el levantamiento existe. El otro caso es cuando m > 1; para ver

CONSTRUCCIÓN DE LAS CLASES CARACTERÍSTICAS Y APLICACIONES

419

que en él también

= 0, el boceto de la demostración es como sigue. Se

tiene que π 1 (EP k )

H 1 (RP k ; Z/2) H1(RPk; Z/2) y, bajo estos isomor-

fismos para k = m,n,

corresponde a

en cohomología, que, como se

vio en la demostración de 10.8.23, es cero. En cualquier caso, entonces, por 4.4.14, existe el levantamiento RPn

S m . De este modo, las aplicaciones f o p, f: S n

son ambas levantamientos de (x) = q f ( x ) , por lo que .

o p:Sn

Sm RPm.

(x) = f(x) o

Así, para cada x E S n ,

(x) = - f ( x ) = f ( - x ) , por

lo que, necesariamente, ambos levantamientos coinciden, ya sea en

xo

en —x (ya que p(x) = p(—x)) y, por ser Sn conectable por trayectorias, ambos deben coincidir; esto, sin embargo, es imposible, ya que uno separa puntos antípodas y el otro los aplica en el mismo punto. Por lo tanto, una tal aplicación f no puede existir.

APÉNDICE A

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

En este apéndice haremos una transcripción libre de los resultados ex­ puestos en [12], que conducen a la demostración del teorema 5.2.17. Hasta donde sabemos, solamente la demostración original en alemán es la que está disponible.

A.l A.1.1

CRITERIOS PARA CASIFIBRACIONES

DEFINICIÓN.

conjunto U

Sea p : E

B una aplicación continua. Un sub-

B se llama distinguido (respecto a p), si U

restricción de p, p

U

. p

- 1

A. 1.2 Teorema. Sea p : E

p{E) y la

U es una casifibración (véase 4.3.28).

B una aplicación continua. Sea U = { U i }

una cubierta abierta de B tal que cada elemento Ui es distinguido respecto 421

422

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

a p. Si para cada b

Ui

Uj existe Uk

entonces B es distinguido, es decir, p: E

U tal que b

Uk

U

Uj,

B es una casifibración.

La demostración la daremos más adelante, después de hacer algunas reflexiones y probar algunos lemas. Es inmediata la siguiente consecuen­ cia de A.1.2.

A. 1.3 Corolario. Si p: E

B es continua y U, V y U

guidos, entonces también lo es U

A. 1.4

OBSERVACIÓN.

V son distin­

V.

La hipótesis del teorema A. 1.2 no se puede elimi­

nar; es decir, no basta con que los conjuntos distinguidos cubran B, como lo muestra el siguiente contraejemplo.

A. 1.5

EJEMPLO.

Sea B = E 2 y E el plano con un corte a lo largo

del intervalo 0 < x < 1, y = 0 sin el borde inferior (el borde de y < 0) y sea p : E

B la proyección natural, (véase la figura A.l).

Los semiplanos U =

son distin­

guidos, ya que los grupos π n (V) son todos triviales, y cubren a B. Si p fuera una casifibración, entonces se tendría un isomorfismo

(ya que todas las

fibras son puntos). Sin embargo, el grupo π n (B) es trivial, mientras que

423

CRITERIOS PARA CASIFIBRACIONES

Figura A.l π n (E) es cíclico infinito, ya que E es homotópicamente equivalente al círculo S1 (véase 4.4.13).

El ejemplo anterior muestra también que un subconjunto de un con­ junto distinguido no necesariamente es distinguido: El semiplano U es distinguido, pero la banda 0 < x < 1 no lo es (si no sería distinguido todo el plano por el teorema A. 1.2). En particular, esto demuestra que una aplicación B' —> B en el espacio base de una casifibración E —> B no induce, en general, una casifibración E'

B'.

A continuación prepararemos la demostración de A. 1.2.

A. 1.6 Lema. Sean p: E —> B una aplicación continua y U C B un subconjunto distinguido. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

424

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

(a)

π n (B,b) para cualesquiera y n > 0.

(b)

π n (B,U,b) para cualesquiera b

U, e

p-1(b) y n > 0.

Demostración: Para cada e

p - 1 (b), la aplicación p induce homomorfis-

mos de la sucesión exacta de la terna

(véase 3.4.10)

en la de la terna (B, U, b)

Bajo las hipótesis (a) o (b), todos los homomorfismos verticales en el diagrama que se forma, excepto posiblemente uno (el tercero en la porción mostrada) de cada cuatro, son isomorfismos. La afirmación se obtiene de aplicar el Lema del Quinto, (véase [26, 1.3.3]).

A.1.7

OBSERVACIÓN.

Para n = 0,1, en el diagrama anterior los conjun­

tos con elemento distinguido no son necesariamente grupos. Sin embargo, el Lema del Quinto sigue siendo válido. Es un ejercicio verificar que la demostración del lema, usando persecución de elementos, es igualmente válida. Nótese que, en este caso, el núcleo de una función es simplemente la imagen inversa bajo la función del elemento distinguido.

CRITERIOS PARA CASIFIBRACIONES

A. 1.8 Lema. Sean p : F

425

U una aplicación continua,

=

V y e G p-1(b) supóngase que

Para cada b

π n (U,V) (grupos basados en e y b, respectivamente) es un monomorfismo para n = r y un epimorfismo para n = r + 1.

Sean dadas las

aplicaciones

(U x I,D r x 1)

(i)

(U, V)

(ii) h: (D x 0 Sr-1 x I, Sn-1 x 1)

(F,G) = (p - 1 (U),p - 1 (V))

x l , (S r-1 x l ) x I )

(iii) d:

(U,V) tal que d(z,t,0) =

H(z,t), d(z,t,l) =

Entonces existen extensiones de h y d, es decir, aplicaciones continuas

(a) H: (D x I,D x 1)

(F, G), tal que

(b) D : ( D x I x I , D r x l x I ) d y D(z,t,0)=

(U,V), talque.

S-1

x I) = h, Sr-1xI)xI

=

D(z,t,l) =

Demostración: Ya que (Dr x 0 Sr-1 x I, Sr-1 x 1) la aplicación h define un elemento a

(D r ,S r - 1 )

π r (F,G), cuya pro­

yección en π r (U, V) es cero. A saber, por (iii), p o h es homotópica a a través de d; pero, ya que

está definida en todo Dr x I, que es con-

traíble, es nulhomotópica. Por lo tanto, ya que α = 0 y, por hipótesis,

426

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

π r (U,V) es monomorfismo, h puede extenderse a una aplicación H': Ahora bien, tenemos dos nulhomotopías de p o h, a saber, una es p o H', y la otra es la dada por d y mento de

Ambas nulhomotopías determinan un ele­

(U, V). Se puede modificar β con un elemento arbitrario , modificando H' adecuadamente. Ya que p* es epimor-

fismo en esta dimensión, podemos elegir, en particular, H' = H, de modo que resulte β = 0. D es, entonces, la nulhomotopía correspondiente. Podemos suponer que H' aplica un pequeño (r + 1)-disco de la forma K x [s, 1] de manera constante, digamos en el punto y es una reducción homotética de

K

y 0 < s < 1, (véase la figura A.2). K x [s, 1]

Figura A.2 Consideramos ahora el (r + l)-disco

CRITERIOS PARA CASIFIBRACIONES

427

y definimos una aplicación D' de este disco en U que aplica a la frontera como sigue:

en V, para

D' aplica K x [s, 1] x 1 en el punto x = p(y) y representa un cierto elemento

Elegimos ahora una aplicación H":

(F, G), cuya proyección p o k" represente el elemento — β y que aplique el complemento de K' x [s, 1] x 1 en forma constante en el punto y. Entonces se define H:

y D:

(F, G) por

(U,V)por

D representa el elemento

y, por lo tanto,

puede extenderse a una aplicación D: Las aplicaciones H y D así construidas satisfacen las condiciones (a) y (b).

Como lo muestra el ejemplo A. 1.5, en general, no es posible levantar en una casifibración cualquier homotopía de un poliedro finito (es decir,

428

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

con un número finito de simplejos). Una forma débil del teorema de homotopía cubriente es, sin embargo válida. Se tiene el siguiente resultado. A. 1.9 Teorema. Sea p:

continua y

una cubierta

abierta de B, de conjuntos distinguidos que satisfaga la hipótesis del teo­ rema A.1.2, (p es, entonces, según el teorema A.1.2 aún no demostrado, una casifibración). Sea P un poliedro finito y sean h: B continuas tales que

= p o h(z), z

P.

Más aún, sean

P x I un número finito de compactos tales que Entonces existen aplicaciones

que

satisfacen (a) H(z,0) = h(z), (b) para u, t (c) D

I.

x /)

Obviamente pueden escogerse, dada

los compactos

de forma

que cubran P x l . Entonces puede reformularse el teorema A. 1.9 en forma abreviada como sigue: La homotopía relativa α

salvo una deformación adecuada

x 0 puede levantarse a E; la deformación puede elegirse lo

suficientemente pequeña para que la imagen de cada punto varíe dentro de un elemento de la cubierta

CRITERIOS PARA CASIFIBRACIONES

Sean

429

descomposiciones celulares de P e I, respectiva­

mente (I u =

, 0 = t1
0 y que la afirmación es válida para q - 1. Construiremos un sistema de conjuntos distingui­ dos en SP q (X/A) que satisfacen las hipótesis del teorema A.1.2. Tómese primeramente el conjunto V = SP q (X/A) —

Un punto

tiene exactamente q componentes

en X — A:

cualesquiera otras componentes y1,y2, • • • ,y r en V visto como subconjunto de SP (X/A) yacen en A. La aplicación definida por

V x SP A, es una biyección.

Probaremos que σ y σ-1 son continuas en compactos. Así, σ se compor­ tará como un homeomorfismo respecto a subconjuntos compactos, por lo que V será un subconjunto distinguido respecto a p q . Primeramente consideraremos las siguientes aplicaciones

Ellas inducen aplicaciones tales que algunas son homeomorfismos (véase 5.2.7), a saber,

Por lo tanto, podemos identificar V por medio de la aplicación p0 con un subconjunto de SP q X. Para probar la continuidad de σ, como deseamos,

446

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

tenemos que probar que las aplicaciones σ2-

y

son continuas en compactos. Pero σ1 = pq y

σ 2 (P) — P - p q ( P ) (estamos considerando a p q (P) como punto de SP q X), y la afirmación se obtiene de A.2.9. La inversa σ-1 se obtiene tomando la suma

SPX y

restringiéndola a V en el primer factor y a SP (X/A) en el segundo, por lo que también es continua en compactos por A.2.6. En segundo lugar, presentaremos un abierto

(X/A)

que con­

tiene a SP q - 1 (X/A). Con esto estará terminada la demostración, ya que constituyen un sistema de conjuntos distinguidos, como deseábamos construir. Ya que existe una vecindad W de A en X que se deforma a A (véase 5.2.15), podemos tomar el conjunto U que consiste de los pun­ tos de

que tienen al menos una componente en el abierto X/A. U puede deformarse a SP q - 1 (X/A); a saber, si dt

es la deformación de W en A y aplica el conjunto A en sí mismo, en­ tonces dt =

es una deformación de

x0 y, por lo tanto, contrae a

en x0 que deja fijo a

. La restricción de

(X/A). Análogamente, la deformación

a U contrae U a

contrae el subconjunto

(p g ) -1 (U) en (p g ) - 1 (SP q - 1 (X/A)) = SPq-1X y se cumple la igualdad o p q . Por el lema A.l.ll, U es distinguido respecto a p g , si

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE DOLD-THOM

447

la restricción de

es una el punto tal

equivalencia homotópica (débil). Para esto, sea

que no tiene ninguna componente distinta de x0 (el punto básico) en A. Defínase

en forma análoga. Las aplicaciones + y son homeomorfismos de SP A en

(x) y

(x')

respecti­

vamente (véase A.2.10). A través de estos homeomorfismos se convierte dx en una aplicación de SP A en sí mismo, a saber, en la que aplica (y), donde que

(esta diferencia está definida, ya

. Pero esta aplicación se deforma en la identidad de

SP A, a saber, ya que A es conectable por trayectorias, se puede conectar y° con 0 por una trayectoria y1 en SP A y así obtener la deformación deseada definiendo y

yt

+ d 1 -t(y).

APÉNDICE B

D E M O S T R A C I Ó N DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD D E B O T T 1

En este apéndice presentaremos una demostración topológica del teorema de periodicidad de Bott 8.5.1, en el caso complejo, como lo enunciamos en el capítulo 8. La demostración sigue esencialmente las líneas trazadas por D. McDuff en [27]. Se hará uso de uno de los resultados de Dold-Thom presentados en A.

B.l

U N A DESCRIPCIÓN CONVENIENTE

DE Z X BU En esta sección modificaremos ligeramente las definiciones de U y BU dadas anteriormente, con el fin de dar una descripción de Z x BU. Recuérdese que el grupo unitario 449

consiste de las matrices unitarias

450

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

en GL n (C), es decir, de aquéllas cuyos vectores columna forman una base ortonormal de Cn con respecto al producto hermitiano canónico en ese espacio vectorial; en otras palabras, una matriz A pertenece a Un si y sólo si AA* = I, donde A* representa la matriz transpuesta conjugada de A e I es la matriz identidad.

B.l.l

DEFINICIÓN.

Se define el grupo unitario de dimensión infinita

como U = con respecto a las inclusiones cerradas matriz M

dadas aplicando la

en

Obsérvese que la inclusión de Un en U n + 1 es tanto la de un subgrupo, como la de un subespacio cerrado, de modo que el colímite, ya sea como grupo o como espacio, es el mismo y tiene una estructura de grupo topológico (de dimensión infinita). Recordemos ahora la definición de BU, la cual, si bien es equivalente a la dada en el capítulo 8 (8.2.7), expresaremos en otra forma más conve­ niente para el uso que aquí le daremos. Para esto, introduciremos algunas notaciones y daremos algunas definiciones.

UNA DESCRIPCIÓN CONVENIENTE DE Z X BU

Sean

451

(no todos iguales) y defínase = 0 para casi toda i y si i

Claramente, así, los espacios

p ó i

q)

= {0}, etc. Todos son, así, subespacios de

Con estas definiciones,

entonces dim

tenemos que si

= q — p; además, si

, entonces Tenemos, así, que la variedad de Grassmann G n (C q ) = {W ) W es un subespacio de Cq de dimensión n} y BUn = Gn

=

donde el colímite se toma respecto a las aplicaciones

Gn(Cq) dadas aplicando

en W =

Gn(Cq+1) = C 9+1 . Así, BUn

puede verse como el conjunto {W | W es un subespacio de

de di­

mensión n}. B.1.2

DEFINICIÓN.

Para cada k

Z definimos la translación por k

coordenadas tk:

tal que tk(z) i = zi-k. Estas translaciones son isomorfismos lineales tales que t0 = I y La translación tk tiene la propiedad de correr las coordenadas k es­ pacios a la derecha.

452

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

B.1.3

DEFINICIÓN.

Para cada n se tiene una aplicación

tal que aplica a

en

. Así, definimos

como BU = Con el objeto de comparar esta definición con otra manera de estabi­ lizar, probaremos un lema. Antes, consideremos una definición. B.1.4

DEFINICIÓN.

Sea

y sea m tal que

denotará el complemento ortogonal de tal que

W. Entonces en W, es decir, será

= W.

B.1.5 Lema. Se tiene un homeomorfismo

Demostración: Sea 1

y sea k máxima tal que

W. Defínase

. Claramente la aplicación

determina en el colímite la aplicación Φ buscada. Φ es suprayectiva, ya que si

y dim W = n, entonces

(W) = W, ya que en este caso k = 0. (De hecho, la aplicación BU tal que W

W es la inversa.)

También es inyectiva, ya que si

y

son tales que

(W), entonces, si p y q son máximas tales que

V y

UNA DESCRIPCIÓN CONVENIENTE DE Z x BU

453

W, se tiene que (B.1.6) Así, las dimensiones m — p y n — q coinciden. Sin perder generalidad, podemos suponer que p

q, por lo que, en particular, q — p = n — m

Si ahora aplicamos tq y sumamos por la izquierda

0.

a ambos lados de

(B.1.6), obtenemos, en el izquierdo,

que es la imagen de V en

por lo que

= BUn; y en el derecho,

= W, donde

o •••o

, y, así, V y W

representan el mismo elemento en BU.

B.1.7 DEFINICIÓN.

p

q
0 y er

a base canónica d e este espacio formada es ortonormal y la asignación

si r < 0 da un isomorfismo

(B.2.10)

Las aplicaciones pn definidas tienen a BUn como fibras. Ahora cons­ truiremos una nueva aplicación

cuya fibra será Z x BU, que

es, en cierta forma, una completación de las p n . Definimos un operador C en

como hermitiano si

si C = C*. Sea

=

o, equivalentemente,

= {C | C es hermitiano, de tipo finito y con valores

propios en 7}, donde entendemos por un operador hermitiano de tipo finito a uno para el cual existen r < s tales que

= 0 si i

r o

i > s. En otras palabras, un operador hermitiano de tipo finito está

466

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

representado por una matriz infinita de la forma

donde

es una matriz hermitiana de (s — r) x (s — r) que opera sobre

Nuevamente, como En,

es contraíble.

Análogamente, definimos un operador U en =

como unitario si

o, equivalentemente, si CC* = I. Sea

¡

U es unitario y de tipo finito }, donde entendemos por un operador uni­ tario de tipo finito a uno para el cual existen r < s tales que i

= el si

r o i > s. En otras palabras, un operador unitario de tipo finito está

representado por una matriz infinita de la forma

donde

es una matriz unitaria de (s — r) x (s — r) que opera sobre

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

467

Para simplificar notación, escribiremos estas dos matrices como

donde

es la matriz 0 e

es la matriz identidad que operan en Por simplicidad, escribiremos 0 e I

cuando no se preste a confusión. tal que

Podemos definir una aplicación

= exp(2πiC).

Como matrices,

Denotaremos simplemente por I a la matriz identidad que opera en

Sea

El espacio de vectores propios de valor propio igual a 1

de U, ker(U — I), es evidentemente isomorfo a {W

y, por ende

Consideraremos la grassmanniana G ∞ (ker(U — I)) =

kev (U - I) |

W y dim

Tenemos el

siguiente lema.

B.2.11 Lema. Para cada U

se tiene un homeomorfismo (ker(U-I)).

468

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

Análogamente a B.2.9, tenemos el siguiente resultado.

B.2.12 Proposición. Sea U

. Entonces

= Z x BU.

Demostración: Basta probar que se tiene un homeomorfismo gu:

(U)---->

(ker(U-I)).

Obsérvese, primeramente, que si

entonces Vc = ker(C — I) =

Sea, pues, C G

entonces defínase gu{C) =

(ker(U-I)). gu es suprayectiva. A saber, sea W G

(ker(U

— I)); así, W =

con dim Sin perder generalidad, podemos suponer que r' — r. Ya que W C ker(U — I) =

suponiendo s suficientemente

grande, se tiene que Como en B.2.9, sea {v 1 ,... ,v m } una base ortonormal de . . . , u m + n } una base ortonormal del complemento ortogonal de

{v m+1 , en

y {v m + n + 1 • • • , v s - r } una base ortonormal del complemento orto­ gonal de ,

(que es invariante bajo

propios con valores propios distintos de 1.

formada por vectores

469

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

Si definimos T

tenemos que

tal que

es diagonal de la forma

Si tomamos ahora

definimos Cw — T D T - 1 , de modo que p(Cw) = = U. Más aún, gu(C w ) =

=

(Cw

razonamiento que en B.2.9 muestra que ker(Cw

=

- I ) . E l mismo —

I) =

por

lo

que

g U (C w ) = W. La aplicación gv es inyectiva, ya que si C1 y C2 son matrices tales que = U y

= ker(C1 - I) = ker(C2 - I) =

E 1 (C 2 ), podemos razonar de igual forma que en la parte correspondiente de la demostración de B.2.9 para probar que C1 = C2.

470

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE BOTT

Para probar que

es una casifibración, aplicaremos A. 1.19,

por lo que necesitamos el siguiente resultado.

B.2.13 Proposición.

es trivial, es decir, se tiene un homeo-

morfismo

tal que proy1 o h =

Demostración: Analizaremos el caso de n par; el caso impar es análogo. Sea

y sea U =

. Por lo tanto,

matriz para la cual —n/2 es máximo. Así,

donde U' no es de la forma

por lo que ker(U — I) =

(U'), con —n/2 máximo; así, ker(U —

I) depende continuamente de U. Por lo tanto, el homeomorfismo φU G ∞ (ker(U — I)) Sea h(C) =

también depende continuamente de U. ,φ(C)), donde φ(C) = φU(gu(C)), donde gU es

como en la demostración de B.2.12. Ya que, tanto φU, como gU son

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PERIODICIDAD DE B O T T

471

homeomorfismos que dependen continuamente de U, h es también un homeomorfismo.

Si S es el isomorfismo (B.2.10), se tiene un isomorfismo por U

S U S - 1 , de modo que si

isomorfismo, entonces

=

dado

es la imagen de U n bajo este

colímn

Ya que, obviamente, la inclusión

al ser subcomplejo

un espacio del otro, es una cofibración, resulta que fuerte por deformación de una vecindad en

es un retracto

y, por ser

un haz

fibrado, esta retracción fuerte por deformación se levanta al espacio total, aplicando fibras en fibras en forma homeomorfa. Así, aplicando A.1.19, obtenemos el resultado principal de este apéndice, que, como ya dijimos al principio de la sección, implica el teorema de periodicidad de Bott.

B . 2 . 1 4 T e o r e m a . Sea E el espacio de operadores hermitianos de tipo finito en

y sea p: E

U tal que p(C) =

Entonces p es

una casifibración tal que E es contraíble y tiene α Zx BU como fibra.

1

Este apéndice está basado en el artículo Quasifibrations and Bott periodicity, de M.A. Aguilar y C. Prieto, por aparecer en Topology and its Appl.

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ÍNDICE

aproximación celular, teorema, 127, 170 aproximación CW, 126, 170 asociatividad del producto copa en cohomología, 200 del producto cruz en cohomología, 203 del producto exterior en cohomología, 203 del producto interior en cohomología, 200 axioma de la dimensión para los grupos de cohomología, 186 para los grupos de homología no reducida, 214 para los grupos de homología reducida, 209

acción

de un grupo en un espacio, 113 transitiva, 113 Adams, operaciones, 316 álgebra de división, 325 álgebra normada, 322 álgebra normada de los cuaterniones, 323 normada de los números complejos, 323 normada de los números de Cayley, 323 álgebra normada de los números reales, 323 anillo de series formales, 312 ANR, 79 aplicación celular, 127 clasificante, 274, 279 cubriente, 104 cubriente universal, 114, 274 exponencial, 110 de levantamiento de trayectorias, 87 fibrada, 85 impar, 416 punteada, 9 aplicación de Gauss, 274 aplicaciones características, 118 aplicaciones homotópicas, 16

B Barratt-Puppe, sucesión, 51 bigrado, 335 Blakers-Massey, teorema, 151 Borsuk-Ulam, teorema, 416 botella de Klein, 228 Bott, teorema de periodicidad, 457 Brouwer, teorema de punto fijo, 193 479

480

c

cambios de coordenadas, 244 campos vectoriales tangentes a las esferas, 196 casifibración, 101 categoría de Lusternik-Schnirelmann, 125 Cayley, números, 323 célula abierta de un complejo CW, 119 cerrada, 119 célula unitaria, xvii celular, teorema de aproximación, 127, 170 Chern, clases, 370 cilindro, 42 de aplicación, 42 de aplicación reducido, 210 clase característica, 403 clase de Euler de un haz complejo, 381 de un haz real, 380 de un haz rectilíneo complejo, 363, 382 de un haz rectilíneo real, 352, 381 clase de Thom, 372 existencia, 374, 377 clase total de Stiefel-Whitney, 369 clases de Chern, 370 existencia, 402 fórmula de Whitney, 370 naturalidad, 370 clases de homotopía de aplicacio­ nes, 16 clases de Stiefel-Whitney, 366 clases de Stiefel-Whitney, existen­ cia, 400

ÍNDICE

clases de Stiefel-Whitney, fórmula de Whitney, 366 clases de Stiefel-Whitney, naturali­ dad, 366 cociclos, 244 coeficientes universales, teore­ ma, 238 cofibración, 67 cohomología de con coeficientes ente­ ros, 393 de con coeficientes en Z/2, 391 de las grassmannianas rea­ les, 408 de los espacios proyectivos complejos, 393 de los espacios proyectivos rea­ les, 391 cohomología, grupos de, 183 cohomologia, isomorfismo de suspen­ sión, 193 cohomología reducida, 190 colímite para sistemas dirigidos de espa­ cios topológicos, xix para sistemas dirigidos de ob­ jetos algebraicos, xx complejo CW, 119 complejo de cadenas celulares, 225 complejo de cadenas celulares con coeficientes, 226 complejo de cocadenas celula­ res, 231 complemento ortogonal, xxiv comultiplicación en la suspensión, 35 conectabilidad por trayectorias, 14 n-conexidad, 128

ÍNDICE

conjunto , 72 conmutatividad del producto copa en cohomo­ logía, 201 del producto cruz en cohomolo­ gía, 204 del producto exterior en coho­ mología, 204 del producto interior en coho­ mología, 201 cono, 43 cono de aplicación, 43 cono no reducido de una pareja de espacios, 187 construcción de Grothendieck para semianillos, 288 para semigrupos, 286 construcción de Hopf, 333 contracción de un espacio, 138 , 345 contraibilidad de copa, producto, 199 coproducto reducido de espacios punteados, 29 cruz, producto, 202 cuña de espacios punteados, 29 cuaterniones, 323 cubo unitario, xvii

D deformación de una vecindad, 139 descomposición primaria, teorema, 150 dimensión de un haz vectorial, 243 disco unitario, xvii dual del haz de Hopf, 257

E encogimiento de una vecindad, 70 ensamble de dos espacios topológicos punteados, 333

481 n-equivalencia, 125, 163 equivalencia estable de haces vecto­ riales, 298 equivalencia homotópica débil, 125 equivalencia homotópica débil de parejas, 126 equivalencia homotópica de espa­ cios, 17 escisión en grupos de cohomología para tríadas CW, 185 para tríadas escisivas, 189 escisión en grupos de homología de parejas CW, 213 de tríadas escisivas, 218 escisión homotópica, teorema, 151 esfera de dimensión infinita, 344 esfera de Riemann, 108 esfera unitaria, xvii espacio bien punteado, 149 compactamente genera­ do, 91 conectable por trayectorias, 14 n-conexo, 128 contraíble, 138 localmente conectable por trayec­ torias, 112 perfectamente normal, 72 semilocalmente 1-conexo, 115 simplemente conexo, 114 espacio de adjunción, 42 espacio de Eilenberg-Mac Lane, 143 de tipo (A,n), 176 de tipo (Z/k,n), 148 espacio de lazos, 11 espacio de lazos, estructura de Hgrupo, 26 espacio de Moore, 159

482 de tipo (G,n), 150 de tipo (Z/k,n), 148 espacio de secciones, 265 espacio de trayectorias, 87 espacio euclidiano de dimensión infinita, 344 espacio proyectivo complejo, 358 de dimensión n, xviii de dimensión infinita, xviii espacio proyectivo real de dimensión n, xvii de dimensión infinita, xviii n-esqueleto de un complejo CW, 119 estabilidad del producto copa en cohomología, 201 del producto cruz en cohomología, 204 del producto exterior en cohomología, 204 del producto interior en cohomología, 201 estructura de H-grupo en un espacio de lazos, 26 estructura de grupo natural, 25, 32 Euler, clase, 352, 363, 380-382 exactitud de una sucesión, xix exponencial, aplicación, 110 fórmula de Künneth, 235 fórmula de Whitney para las clases de Chern, 370 para las clases de StiefelWhitney, 366 fibra de una fibración localmente trivial, 103 C-fibración, 83 inducida, 85

ÍNDICE

fibración de Hopf, 109 de Hurewicz, 87 de Serre, 87 homotópicamente trivial, 89 inducida, 85 localmente trivial, 103 producto, 103 trivial, 103 fibras de una fibración, 88 Preudenthal, teorema de la suspensión, 154 funciones simétricas elementales, 411 funtorialidad de los grupos de cohomología, 184 de los grupos de homología de parejas, 213 de los grupos de homología reducida. 209 Gauss, aplicación, 274 grado, 335 Grassmann, variedad, 261 Grothendieck, construcción, 286 grupo general lineal, 244 complejo, xviii real, xviii, 20 grupo ortogonal, xix grupo topológico, 18 abeliano libre, 220 grupo unitario, xix de dimensión infinita, 450 grupos de cohomología, 183 axioma de la dimensión, 186 escisión para tríadas CW, 185 escisión para tríadas escisivas, 189

ÍNDICE

483

exactitud, 185 funtorialidad, 184 propiedad de homotopía, 185 sucesión larga, 185 grupos de homología axioma de la dimensión, 214 escisión para parejas CW, 213 escisión para tríadas escisivas, 218 grupos de homología con coeficientes en un grupo abeliano, 226 grupos de homología de parejas exactitud, 214 funtorialidad, 213 propiedad de homotopía, 213 grupos de homología reducida, 207 axioma de la dimensión, 209 exactitud, 209 funtorialidad, 209 propiedad de homotopía, 209 grupos de homotopía de las esferas, 154, 347 grupos de homotopía de una pareja de espacios, 55 Gysin sucesión para un haz complejo, 390

sucesión para un haz real, 389 sucesión relativa para un haz complejo, 397 sucesión relativa para un haz real, 396

H haces establemente equivalentes, 298 H-asociatividad, 23 H-coasociatividad, 30 H-coespacio, 30

H-coespacio H-coabeliano, 31 H-cogrupo, 31 H-cogrupo H-coabeliano, 31 H-cohomomorfismo, 31 H-coidentidad, 30 H-coinversos, 31 H-comultiplicación, 30 H-espacio, 22 H-espacio H-abeliano. 23 H-grupo, 23 H-grupo H-abeliano, 23 H-homomorfismo, 24 H-identidad, 22 H-inversos, 23 H-multiplicación, 22 haz canónico sobre un haz proyectivo, 319 haz de Hopf, 257 complejo, 364 real, 354 haz esférico asociado a un haz vectorial, 394 haz orientable, 372 haz orientado, 374 haz proyectivo asociado a un haz vectorial, 318 haz rectilíneo, 319 complejo canónico, 364 real canónico, 354 haz tangente a una esfera, 257, 319 haz vectorial, 243 asociado a una proyección, 255 de tipo finito, 265 determinado por una familia de cociclos, 245 trivial, 251 universal, 262 homología reducida, grupos, 207 homomorfismo de conexión

484 de grupos de homotopia de una pareja, 57 de grupos de homotopia de una terna, 64 en cohomología, 185 en homología, 214 homomorfismo de Hurewicz, 211 homomorfismo de suspensión en grupos de homotopia, 152 homomorfismo idempotente, 254 homotopia de aplicaciones, 16 homotopia de aplicaciones de parejas, 16 Hopf, construcción, 333 Hopf, haz, 257 Hopf, haz complejo, 364 Hopf, haz real, 354 Hopf, invariante, 334 Hurewicz homomorfismo, 211 teorema del isomorfismo, 212

imagen de un homomorfismo, xix intervalo unitario, xvii invariante de Hopf, 334 inverso homotópico, 17 isomorfismo de haces vectoriales, 249 isomorfismo de Hurewicz, 212 isomorfismo de suspensión en cohomología, 193 isomorfismo de Thom, 385 isomorfismo de Thom relativo, 395

K Künneth, fórmula, 235 Klein, botella, 228

ÍNDICE

límite derivado de un sistema inverso de objetos algebraicos, xxi límite de un sistema inverso de objetos algebraicos, xxi lazos, espacio, 11 ley exponencial, 5 Lusternik-Schnirelmann, categoría, 125

M métrica hermitiana, 254 riemanniana, 253 módulo topológico libre sobre un espacio, 221 matriz antihermitiana, 459 hermitiana, 458 Mayer-Vietoris, sucesiones, 241 Moebius, haz, 258 Moore, espacio, 148, 150, 159 morfismo de haces vectoriales, 249

N núcleo de un homomorfismo, xix número de Lebesgue de una cubierta, 106 números de Cayley, 323 naturalidad de las clases de Chern, 370 de las clases de StiefelWhitney, 366 del producto copa en cohomología, 200 del producto cruz en cohomología, 203 del producto exterior en cohomología, 203

ÍNDICE

del producto interior en coho­ mología, 200 norma en C n , xvi en R n , xvi en un espacio vectorial, 322 nulhomotopía, 44

O obstrucción a la existencia de sec­ ciones no nulas, 415 octonianos, 323 operación en teoría K, 312 operación rango, 315 operaciones λ, 315 operaciones de Adams, 316 orientación de un espacio vectorial, 374 de un haz vectorial, 373 ortogonal, complemento, xxiv paralelizable, esfera, 328 pareja CW, 121 partición de la unidad, xxii periodicidad de Bott, 306 potencia simétrica infinita, 133 n-potencia simétrica de un espacio, 132 primera clase de Chern, 363 de Stiefel-Whitney, 352 producto copa en cohomología, 199 asociatividad, 200 conmutatividad, 201 estabilidad, 201 naturalidad, 200 unidades, 200 producto cruz en cohomología, 202 asociatividad, 203

485 conmutatividad, 204 estabilidad, 204 naturalidad, 203 unidades, 204 producto de complejos de cadenas, 233 producto de parejas, 9 producto exterior en cohomolo­ gía, 202 asociatividad, 203 conmutatividad, 204 estabilidad, 204 naturalidad, 203 unidades, 204 producto interior en cohomo­ logía, 199 asociatividad, 200 conmutatividad, 201 estabilidad, 201 naturalidad, 200 unidades, 200 producto reducido de espacios pun­ teados, 130 propiedad de extensión de homotopías, 45, 66 respecto a una clase de espa­ cios, 65 propiedad de levantamiento de homotopías respecto a una clase de espacios, 83 propiedad del levantamiento único de trayectorias, 107 propiedad universal de la unión, xviii del colímite de espacios topológicos, xix del colímite de objetos alge­ braicos, xx del límite de sistemas inversos

486 algebraicos, xxi proyección, 254 punto fijo de una aplicación, 193 punto fijo, teorema de Brouwer, 193

R rango, 315 retracción débil, 70 retracto absoluto de vecindad, 79 retracto fuerte por deformación, 97 de una vecindad, 70

sección de un haz vectorial, 264 que no es cero en ninguna parte, 357 secciones linealmente independientes, 414 series formales, 312 simplemente conexo, espacio, 114 Stiefel, variedad, 262 Stiefel-Whitney, clase total, 369 Stiefel-Whitney, clases, 366 Stiefel-Whitney, primera clase, 352 subcomplejo de un complejo CW, 121 suceciones de Mayer-Vietoris, 241 sucesión coexacta, 51 sucesión de Barratt-Puppe, 51 sucesión de grupos homotopía de una pareja, 57 sucesión de Gysin de un haz vectorial complejo, 390 de un haz vectorial real, 389 relativa de un haz vectorial complejo, 397 relativa de un haz vectorial real, 396

ÍNDICE

sucesión exacta, xix sucesión exacta de grupos de homotopía de una casifibración, 102 de grupos de homotopía de una fibración de Serre, 97 de grupos de homotopía de una terna, 64 sucesión exacta de homotopía de una aplicación, 53 de una aplicación de parejas, 59 sucesión exacta larga de grupos de cohomología, 185 de grupos de homología, 214 de grupos de homología reducida, 209 suma de Whitney de haces vectoriales, 247 suma en la potencia simétrica infinita, 437 suspensión, 34 no reducida, 187 reducida, 34 suspensión, isomorfismo, 193 suspensión, teorema de Freudenthal, 154

T teoría K, 290 reducida, 295 teorema de aproximación celular, 127, 170 de Blakers-Massey, 151 de Borsuk-Ulam, 416 de coeficientes universales, 238 de descomposición primaria, 150 de Dold-Thom, 140, 142, 444 de escisión homotópica, 151

ÍNDICE

de la suspensión de Freudenthal, 154 del isomorfismo de Hurewicz, 212 de periodicidad de Bott, 306, 457 de Punto Fijo de Brouwer, 193 Thom, clase, 372 existencia, 374, 377 Thom, isomorfismo, 385, 395 topología de la unión, xviii compacto-abierta, 3 débil, xviii producto, 2 toro, 228 tríada CW, 185 tríada escisiva, 189 transformación natural, 312 trayectorias, espacio, 87

u

unión infinita de espacios topológicos, xviii unidades del producto copa en cohomología, 200 del producto cruz en cohomología, 204 del producto exterior en cohomología, 204 del producto interior en cohomología, 200

V

variedad de Grassmann, 261 de Stiefel, 262

487

SÍMBOLOS

conjunto de los números reales, xiii conjunto singular {0}

R, xiii

espacio euclidiano de dimensión n, n-espacio euclidiano, xiii conjunto de los números complejos, xiv espacio complejo de dimensión n, xiv norma del vector x Rn, xiv norma del vector z

Cn, xiv

n-disco unitario, xv (n — l)-esfera unitaria, xv n-célula unitaria, xv n-cubo unitario, xv frontera de In en Rn, xv intervalo unitario, xv grupo de dos elementos, xv espacio proyectivo real de dimensión n, xv espacio proyectivo real de dimensión infinita, xvi 489

490

SÍMBOLOS

esfera de dimensión 1; grupo del círculo, xvi espacio proyectivo complejo de dimensión n, xvi espacio proyectivo complejo de dimensión infinita, xvi GL n (E)

grupo general lineal real de matrices n x n, xvi, 244

GL n (C)

grupo general lineal complejo de matrices n x n, xvi, 244

0n

grupo ortogonal, xvi

Un

grupo unitario, xvi

ker(f)

núcleo de un homomorfismo f, xvii

im(f)

imagen de un homomorfismo f, xvii unión de una cadena infinita de espacios topológicos, xviii

colími Xi colímite de un sistema dirigido de espacios topológicos, xix colími Ai

colímite de un sistema dirigido de objetos algebraicos, xx

lími Ai límite inverso de un sistema inverso Ai, xxi límite derivado de un sistema inverso Ai, xxi interior topológico de A

X, xxiii

frontera topológica de A

X, xxiii

producto escalar (hermitiano) de vectores reales (complejos) x, y, xxiii ||x|| |x|

norma de un vector x, xxiii, 322 norma de un vector x, xxiii complemento ortogonal de A

V, xxiv

Π 0 ( X ) conjunto de componentes por trayectorias de un espacio X, 14 [X, Y]

conjunto de clases de homotopía de aplicaciones de X a Y, 16

SÍMBOLOS

491

[X, A; Y, B]

conjunto de clases de homotopía de aplicaciones de parejas

de (X,A) a (Y, B), 17 suspensión reducida del espacio punteado X, 34 espacio de adjunción respecto a la aplicación f : A

Y, si

,42 cilindro de aplicación de /, 42 CX

cono reducido sobre el espacio punteado X, 43 cono de aplicación de /, 43

PB

espacio de trayectorias del espacio B, 88

SP n X

n-potencia simétrica del espacio X, 132

SP X

potencia simétrica infinita del espacio X, 133

M(G, n)

espacio de Moore de tipo (G, n), 159

H n (X, A;G)

n-ésimo grupo de cohomología de la pareja (X, A) con

coeficientes en el grupo G, 183 H*(X)

grupo (anillo) graduado de cohomología de X, 198

x

producto copa de cohomología de x y y, 199

y

x x y producto cruz de cohomología de x y y, 202 H n (X,A)

n-ésimo grupo de homología de la pareja (X,A) con coefi­

cientes enteros, 212 H n (X; G)

n-grupo de homología con coeficientes en un grupo abeliano

G, 226 A

B

suma directa de las matrices A y B, 246

A

B

producto tensorial de las matrices A y B, 246

492

A*

SÍMBOLOS

matriz dual de A, 246 A producto tensorial de k copias de la matriz A, 246 A

producto exterior k copias de la matriz A, 246

E

E'

suma directa de los haces vectoriales E y E', 247

E

E'

producto tensorial de los haces vectoriales E y E', 247

E*

dual del haz vectorial E, 247

Hom (E, E')

morfismos de haces del haz vectorial E al E', 247

E

producto tensorial de k copias del haz vectorial E, 247

E

producto exterior de k copias del haz vectorial E, 247

haz vectorial trivial real (complejo) de dimensión n, 251 Hom (V, V)

conjunto de los homomorfismos lineales del espacio vecto­

rial V en sí mismo, 254 Pr(V)

subespacio de Hom (V, V) de todas las proyecciones en V, 254

G k (V)

variedad de Grassmann real (compleja) de k-planos en V, 260

G k (R n )

variedad de Grassmann real de k-planos en E n , 261

G k (C n )

variedad de Grassmann compleja de k-planos en C n , 261

V k (C n )

variedad de Stiefel compleja de k-marcos ortonormales en Cn, 262

Mon(C k ,C) BUk

monomorfismos lineales de C k a C , 263

espacio de k-planos en

, espacio clasificante de k- haces vecto­

riales complejos, 264 (E) K k (B)

espacio de secciones de un haz vectorial E, 265 conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales (comple-

SÍMBOLOS

493

jos) de dimensión k de tipo finito sobre el espacio B, 266 Vect k (B)

conjunto de clases de isomorfismo de haces vectoriales (com­

plejos) de dimensión k, 274 Vect(B)

semigrupo de clases de isomorfismo de haces vectoriales (com­

plejos) sobre el espacio B, 285 K(B)

teoría K (compleja) del espacio B, 290

BU

espacio clasificante de la teoría K compleja, 293

(B)

teoría K (compleja) reducida del espacio punteado B, 295

S(B)

conjunto de clases estables de haces (complejos) sobre B, 298

{E}

clase estable del haz complejo E, 298 (B)

semigrupo abeliano de clases estables de haces vectoriales

(complejos) sobre el espacio B, 303 R[[t]

anillo de series formales en t con coeficientes en el anillo R, 312

i-ésima X*Y

operación de Adams en teoría K, 316 ensamble de X y Y, 333

esfera de dimensión infinita, 344 espacio euclidiano de dimensión infinita, 344 Wi(E) i-clase de Stiefel-Whitney de un haz E c n (E) U

n-clase de Chern de un haz E

B, 369

grupo unitario de dimensión infinita, 450

B, 366, 400

Este libro presenta una introducción a la topología algebraica usando métodos homotópicos. Se tratan en él los conceptos básicos de la teoría de homotopía, tales como fibraciones y cofibraciones y se utilizan para definir la cohomología y la homología ordinarias y la teoría K topológica. Uno de los objetivos del texto es presentar los conceptos de la topología algebraica que conducen a la demostración de uno de los resultados más importantes de esta rama, el teorema de Adams, que resuelve el problema del invariante de Hopf; que, entre otras cosas, afirma que las únicas esferas que admiten una estructura multiplicativa que las convierte en H-espacios son S°, S1, S3 y S7 o, equivalentemente, que las únicas álgebras reales con división son los números reales, los complejos, los cuaterniones y los números de Cayley. Además se presentan otros conceptos fundamentales, incluyendo la construcción de clases características de haces vectoriales y el teorema de periodicidad de Bott.

McGraw-Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V. ISBN: 970-10-1904-0

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