Teoria fundamental do motor de indução [1 ed.]

Citation preview

IVO BARBI

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO q

d EDIÇÃO DO AUTOR

CAPÍTULO

1

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

1.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo pode ser considerado introdutório. Nele são estabelecidos os princípios sobre os quais serão desenvolvidos os capítulos seguintes. Serão modelados alguns sistemas simples, nos quais ocorre transformação de energia elétrica em mecânica ou vice-versa. O estudo desses sistemas permitirão estabelecer os princípios básicos que explicam os fenômenos associados à conversão eletromecânica de energia. Os

resultados

obtidos

serão

genéricos

e

serão

empregados

no

desenvolvimento dos demais capítulos, nos quais serão estabelecidos os modelos da máquina de indução. As máquinas cuja conversão eletromecânica de energia dependa da presença de campos elétricos serão excluídas deste texto, visto que não apresentam interesse para o estudo da máquina de indução.

1.2 CIRCUITO R - L

Consideremos a Fig. 1.1. Nela está representado um sistema constituído por uma bobina enrolada sobre um bastão de material magnético. Na Fig. 1.2 está representado o circuito equivalente do sistema. Nela aparece a indutância da bobina e a resistência do fio.

2

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

L +

vL

-

+ R

vR -

v

v

i

Fig. 1.2 – Circuito elétrico equivalente.

Fig. 1.1 – Circuito magnético simples.

Empregando a teoria de circuitos elétricos, pode-se estabelecer as equações (1.1) e (1.2) que relacionam as tensões e a corrente do circuito. v = vR + vL

(1.1)

di dt

(1.2)

v = Ri + L

Multiplicando-se todos os membros da equação (1.2) por i, obtém-se a equação (1.3)

v i = Ri 2 + Li

di dt

(1.3)

mas 1  d  Li 2  di 2  Li =  dt dt

(1.4)

Assim 1  d  Li 2  2  vi = Ri 2 +  dt

(1.5)

Na expressão (1.5) tem-se as seguintes grandezas: Vi Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

→

potência instantânea fornecida pela fonte ao circuito; http://www.ivobarbi.com

3

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Ri 2

→

potência instantânea dissipada na resistência do circuito;

1 2 Li 2

→

energia

instantânea

armazenada

no

campo

magnético; 1  d  Li 2  2  dt

→

velocidade instantânea de crescimento da energia no campo magnético. Esta grandeza tem a dimensão de potência.

É preciso ter em mente que no sistema apresentado na Fig. 1.1, não existe conversão eletromecânica de energia. Toda energia fornecida pela fonte é transformada em calor e acumulada no campo magnético. Neste caso, somente a equação (1.5) representa o comportamento do sistema apresentado.

1.3 MÁQUINA ELEMENTAR A DESLOCAMENTO LINEAR

Considerando-se a Fig. 1.3, semelhante a Fig. 1.1, mas com uma diferença fundamental: possibilidade de haver movimento relativo entre a bobina e o seu núcleo. Desta forma existe a possibilidade de variação do valor da indutância. A indutância da bobina é função de x, posição relativa entre ela e o seu núcleo. x

L(x) + i

vL

-

+ R

L(x)

vR -

v

i

v

Fig. 1.3 – Circuito magnético sujeito a uma força mecânica externa.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

Fig. 1.4 – Circuito elétrico equivalente.

4

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

O circuito equivalente encontra-se representado na Fig. 1.4. Empregando-se a teoria de circuitos elétricos, obtém-se a expressão (1.6) v = vR + vL

(1.6)

dφ dt

(1.7)

v = Ri +

φ = L (x ) i

(1.8)

Assim: v = Ri +

d ( L ( x ) i) dt

(1.9)

como L(x) e i são variáveis, obtém-se: v = Ri + L ( x )

di dL ( x ) +i dt dt

(1.10)

Multiplicando-se todos os membros da expressão (1.10) por i obtém-se a expressão (1.11) vi = Ri 2 + L ( x ) i

di 2 dL ( x ) +i dt dt

1  d  L ( x ) i2  2  = L x i di + 1 i 2 dL ( x ) ( ) dt dt 2 dt 1  d  L ( x ) i2  di 2  - 1 i 2 dL ( x ) L(x)i =  dt dt 2 dt

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Levando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão (1.14):

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

5

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

1  d  L ( x ) i2  2  - 1 i 2 dL ( x ) + i 2 dL ( x ) vi = Ri 2 +  dt 2 dt dt

(1.14)

Assim:  L ( x ) i2  d  2  1 2 dL ( x )  2 vi = Ri + + i dt 2 dt

Observamos que a expressão (1.15) possui o termo

(1.15) 1 2 dL(x ) i a mais em 2 dt

relação a expressão (1.5). Esse termo existe como conseqüência da variação da indutância do sistema e representa a diferença entre a potência fornecida pela fonte e as potências dissipadas na resistência do circuito e armazenada no campo magnético. Assim:  1  d  L ( x ) i2    1 2 dL ( x ) 2  i = vi -  Ri 2 +  2 dt dt      

(1.16)

Este termo corresponde à potência elétrica convertida em potência mecânica. Portanto: Pme c = F

dx 1 2 dL(x ) = i dt 2 dt

(1.17)

dL ( x ) dL ( x ) dx = dt dx dt

(1.18)

1 dL ( x ) F = i2 2 dx

(1.19)

Assim:

A expressão (1.19) é muito importante e estabelece o princípio básico da conversão eletromecânica de energia. Estabelece que uma força é produzida quando a Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

6

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

indutância é variável com o deslocamento. Este princípio explica o funcionamento de todos os sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia. O sistema representado na Fig. 1.1 possui uma só variável dependente, a corrente do circuito. Por isto o seu comportamento é representado apenas pela expressão (1.2). O sistema representado na Fig. 1.3 possui duas variáveis dependentes, a corrente e a posição relativa entre o núcleo e a bobina. Por esta razão a equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento. Deve-se obter a equação mecânica do sistema para completar o modelo. Considerando-se a Fig. 1.5 x

F

R

i

Fi Fe Fa

L(x)

v

Fig. 1.5 – Circuito magnético simples com possibilidade de deslocamento do núcleo.

Fa = D

dx dt

⇒ é a força de atrito.

Fi = m

d2x dt 2

⇒ é a força de inércia.

Fe

⇒ é a força externa aplicada sobre o núcleo

1 dL ( x ) F = i2 ⇒ é a força elétrica. 2 dx O equilíbrio mecânico estabelece que: F = Fe + Fi + Fa

(1.20)

Reunindo-se as equações elétrica e mecânica, obtém-se o modelo completo representado pelas equações (1.21) e (1.22): Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

7

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

1 2 dL ( x ) dx d2 x i - D - m 2 = Fe 2 dx dt dt Ri + L(x )

(1.21)

di dL(x ) +i =V dt dt

(1.22)

Como entradas ou variáveis independentes temos a tensão e a força externa. Como saídas ou variáveis dependentes temos a posição relativa x e a corrente i. Como parâmetros do sistema temos o coeficiente de atrito D, a massa do núcleo m, a resistência da bobina R e a sua indutância L(x). Podemos representar o sistema de acordo com a Fig. 1.6. v(t)

SISTEMA

x(t)

- Parâmetros Fe(t)

- Modelo

i(t)

Fig. 1.6 – Representação por bloco do sistema de equações.

O sistema estudado, com a sua aparente simplicidade é representado por um modelo relativamente complexo, na medida em que é não-linear e de difícil, senão impossível, tratamento analítico.

1.4 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM UM ROLAMENTO. TORQUE DE RELUTÂNCIA

Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.7:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

8

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

R

θ

+ L( θ )

v

d

-

Rotor 0

q

Fig. 1.7 – Representação da máquina elétrica elementar de um enrolamento.

O rotor desta máquina elementar pode girar em torno do eixo “O”. Quando o rotor se desloca em relação à bobina, a indutância da bobina L(θ) varia. Por analogia com o sistema apresentado na Fig. 1.5, podemos obter a equação elétrica do sistema, representado pela expressão (1.23): V = Ri + L(θ)

di dL(θ) +i dt dt

(1.23)

Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétrico produzido pelo sistema Pmec = T

dθ 1 2 dL(θ ) = i dt 2 dt

(1.24)

Assim: T

dθ 1 2 dL ( θ ) dθ = i dt 2 dθ dt

(1.25)

Portanto: 1 dL ( θ ) T = i2 2 dθ

(1.26)

A expressão (1.26) estabelece uma relação entre o torque produzido sobre o rotor e a variação da indutância própria do enrolamento. É preciso enfatizar que para o Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

9

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

sistema apresentado, o torque depende da variação da indutância própria do enrolamento. A variação da indutância é decorrente da variação da relutância segundo o eixo da bobina, com o deslocamento angular do rotor. Por isto é denominado torque de relutância. Analisando-se a variação da indutância própria da bobina com a posição, constata-se que ela assume valores máximos quando θ é igual a 0o e 180o, assume valores mínimos quando θ é igual a 90o e 270o. Pode-se representar L(θ) de acordo com a Fig. 1.8: L( θ )

2 Lm Ld

L0

Lq

0

45

90

135

180

270

θ

Fig. 1.8 – Variação da indutância própria da bobina em função do ângulo θ.

Tal função pode geralmente ser representada com boa precisão pela expressão (1.27): L(θ) = L m cos 2θ + L 0

(1.27)

Neste caso, em que a função L (θ) é conhecida, a expressão do torque pode ser obtida numa forma mais adequada ao uso. Levando-se a expressão (1.27) em (1.26) obtém-se a expressão (1.28): T=

1 2 d (L m cos 2θ + L 0 ) i 2 dt

(1.28)

Assim, em módulo: T = L m i 2 sen 2θ

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(1.29)

10

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

De acordo com a Fig. 1.8, as indutâncias de eixo direto e quadratura assumem os valores representados pelas expressões (1.30) e (1.31): Ld = L0 + Lm

(1.30)

− L q = −L 0 + L m

(1.31)

Assim:

Lm =

T=

(L

d

Ld − Lq 2 − Lq ) 2

i 2 senθ

(1.32)

(1.33)

A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só existe na medida em que as indutâncias de eixo direto e quadratura sejam diferentes. Pode-se ainda representar a expressão do torque em função da relutância de eixo direto e quadratura, Rd e Rq. Sabe-se que:

Ld =

n2 Rd

(1.34)

Lq =

n2 Rq

(1.35)

onde n representa o número de espiras da bobina. Assim:

T=

n2 2

 1 1  2  − ⋅ i sen 2θ R   d Rq 

(1.36)

 Rq − Rd   R ⋅R  d q

(1.37)

Deste modo:

n2 T= 2

 2  ⋅ i sen 2θ  

Se o rotor for cilíndrico, tem-se que Rd = Rq e o torque produzido é nulo. Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

11

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Resta-nos ainda representar o modelo completo da máquina elementar representada na Fig. 1.7. A equação mecânica é representada pela expressão (1.38):

T = Ta + Te + Ti

(1.38)

Assim, o modelo completo fica representado pelas equações (1.39) e (1.40).

1 2 dL ( θ ) dθ d 2θ i - D - J 2 = Te 2 dθ dt dt

Ri + L ( θ )

(1.39)

di dL ( θ ) +i =v dt dt

(1.40)

A representação do sistema em bloco aparece na Fig. 1.9. v(t)

i(t)

MÁQUINA Te(t)

ELEMENTAR

θ (t)

Fig. 1.9 – Representação de máquina elementar de um enrolamento com as variáveis de entrada e saída.

A tensão de alimentação e o torque externo de carga são variáveis independentes. A corrente e a posição angular são as variáveis dependentes. O princípio aqui exposto é de grande importância prática. Basta lembrar o elevado número de equipamentos que nele se baseiam: motores a relutância, instrumentos de medição do tipo ferro móvel, etc.

1.5 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. TORQUE DE EXCITAÇÃO

Considerando a máquina elementar representada na Fig. 1.10. Admitindo que os dois enrolamentos S e R estejam situados sobre peças cilíndricas de sorte que as

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

12

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

suas indutâncias próprias sejam independentes da posição. Em tal estrutura, somente a indutância mútua entre os dois enrolamentos depende da posição. S

+

iS

vS

R

iR

θ

+ vR -

Fig. 1.10 – Representação física de máquina elementar relativa de dois enrolamentos.

As equações elétricas deste sistema, estabelecidas por inspeção estão representadas a seguir:

v S = R Si S +

d ( LSiS ) d ( M SR ( θ ) i R ) + dt dt

(1.41)

vR = R R iR +

d ( L R i R ) d ( M SR ( θ ) iS ) + dt dt

(1.42)

LS e LR são as indutâncias próprias. MSR é a indutância mútua existente entre os enrolamentos. Desenvolvendo-se as expressões (1.41) e (1.42), obtém-se as expressões (1.43) e (1.44).

v S = R Si S + L S

dMSR ( θ ) diS di + iR + MSR ( θ ) R dt dt dt

(1.43)

dMSR ( θ ) di di R + iS + MSR ( θ ) S dt dt dt

(1.44)

vR = R R iR + LR

Multiplicando-se a expressão (1.43) por iS e (1.44) por iR, obtém-se as expressões (1.45) e (1.46). Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

2

PS = vSiS = R SiS + LSiS

2

dMSR ( θ ) diS di + i R iS + MSR ( θ ) iS R dt dt dt

PR = v R i R = R R i R + L R i R

dMSR ( θ ) di di R + i Si R + MSR ( θ ) i R S dt dt dt

13

(1.45)

(1.46)

PS e PR representam as potências instantâneas fornecidas pelas fontes dos enrolamentos. A potência total será:

P = PR + PS

(1.47)

dMSR ( θ ) diS di + i R iS + M SR ( θ ) iS R + dt dt dt dM SR ( θ ) di di 2 +R R i R + L R i R R + iSi R + M SR ( θ ) i R S dt dt dt

(1.48)

Assim: 2

P = R Si S + L Si S

Sabemos que: d 1 1  2 2  LSiS + L R i R + M SR ( θ ) iSi R  = dt  2 2 

dM SR ( θ ) di di di di = LSiS S + L R i R R + M SR ( θ ) iS R + M SR ( θ ) S i R + i Si R dt dt dt dt dt

(1.49)

Portanto:

L Si S

dM SR ( θ ) diS di di di + L R i R R + MSR ( θ ) iS R + MSR ( θ ) i R S + 2iSi R = dt dt dt dt dt 1 1  2 2 d  LSiS + L R i R + MSR ( θ ) iSi R  2 2  + dM SR ( θ ) i i =  S R dt dt

(1.50)

Portanto a potência total passa a ser representada pela expressão (1.51):

1 1  2 2 d  LSiS + L R i R + MSR ( θ ) iSi R  dM θ 2 2 2 2 SR ( )  P = R Si S + R R i R + iSi R +  dt dt Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(1.51)

14

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

Seja: 2

Pr =R SiS +R R i R

2

1 1  2 2 d  LSiS + L R i R + MSR ( θ ) iSi R  2 2  PL =  dt

(1.52)

(1.53)

Pr representa a potência dissipada nos resistores. PL representa a potência acumulada no campo magnético.

Assim:

Pmec =

dM SR ( θ ) i Si R dt

(1.54)

Pmec representa a quantidade de potência elétrica convertida em potência mecânica. Isto decorre do fato que a potência fornecida é igual à potência dissipada, mais a potência acumulada, mais a potência convertida. Por outro lado:

Pmec = T

dθ dt

(1.55)

Assim:

T

dθ dM SR ( θ ) dθ = i Si R dt dθ dt

(1.56)

Então a expressão do torque será:

T = iSi R

dM SR ( θ ) dθ

(1.57)

A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnético se a indutância mútua variar com o deslocamento angular. O torque originado pela variação de indutância mútua é denominado torque de excitação. É ele que explica o funcionamento da maior parte das máquinas elétricas, Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

15

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

como o motor de indução, o motor síncrono com excitação e o motor de corrente contínua. A indutância mútua entre os enrolamentos representados na Fig. 1.10, pode ser estabelecida de diversas maneiras. A simples inspeção indica que ela é máxima para θ = 0 , nula para θ = π/2 e θ = 3π/2 e mínima para θ = π. A sua variação pode então ser representada graficamente segundo Fig. 1.11. M SR( θ)

M0

π 2

3π 2

π

2π

θ

Fig. 1.11 – Variação da indutância mútua entre os enrolamentos em função de θ.

É possível representá-la com boa precisão pela expressão (1.58).

M SR (θ) = M 0 cos θ

(1.58)

Portanto o torque, em módulo, fica representado pela expressão (1.59).

T = M 0i Si R senθ

(1.59)

A representação gráfica é mostrada na Fig. 1.12: T

M 0i R i

π 2

π

3π 2

2π

θ

Fig. 1.12 – Variação do torque em função do ângulo θ. Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

S

16

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

Com as informações até aqui conseguidas, podemos estabelecer o modelo completo do sistema em questão. Basta para isto agrupar as equações elétrica e mecânica. Seja:

T = Te + Ta + Ti

(1.60)

Assim o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.62) e (1.63):

dM SR ( θ ) dθ d 2 θ Te = iSi R -D -J 2 dθ dt dt

v S = R Si S + L S

(1.61)

dM SR ( θ ) diS di + iR + MSR ( θ ) R dt dt dt

(1.62)

dM SR ( θ ) di di R + iS + MSR ( θ ) S dt dt dt

(1.63)

vR = R R iR + LR

A máquina possui como variáveis independentes, vS, vR e Te. Como variáveis dependentes as correntes iS , iR e o deslocamento angular θ. A representação em bloco está mostrada na Fig. 1.13. vS (t) vR (t)

θ (t)

MÁQUINA

iS (t) iR (t)

Te(t)

Fig. 1.13 – Representação da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos com as variáveis de entrada e saída.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

17

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. ROTOR COM PÓLOS SALIENTES

Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.14. A indutância própria do enrolamento estatórico e a mútua entre os dois enrolamentos dependem do ângulo θ .

θ

+ i v

S

S

-

i v

R

+

R

-

Fig. 1.14 – Representação física da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos de pólos salientes.

Como já foi demonstrado, o torque de excitação é obtido pela expressão (1.64):

Texc = iSi R

dMSR ( θ ) dθ

(1.64)

O torque de relutância é representado pela expressão (1.65):

1 2 dL ( θ ) TR = iS 2 dθ

(1.65)

O torque total produzido pela máquina será a soma dos torques de relutância e de excitação. É representado pela expressão (1.66):

dMSR ( θ ) 1 2 dLS ( θ ) T = iS + i Si R 2 dθ dθ

(1.66)

Considerando a variação de LS e MSR em função de θ representada pelas expressões (1.67) e (1.68): Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

18

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

L s ( θ ) = LMcos2θ +L0

(1.67)

M SR (θ) = M 0 cos θ

(1.68)

Obtém-se: 2

T = L m i S sen 2θ + M 0 i Si R senθ

(1.69)

A máquina síncrona de pólos salientes possui torque de relutância e excitação e é um bom exemplo de máquina cujo comportamento é traduzido por uma expressão com a forma da expressão (1.69).

1.7 MÁQUINA COM TRÊS ENROLAMENTOS

Os resultados até aqui obtidos serão estendidos para uma máquina de três enrolamentos. Neste caso o modelo é representado pelas equações (1.70) à (1.73).

v1 = R1i1 +

d ( L1i1 ) d ( M12i 2 ) d ( M13i3 ) + + dt dt dt

(1.70)

v 2 = R 2i 2 +

d ( M12i1 ) d ( L 2i 2 ) d ( M 23i3 ) + + dt dt dt

(1.71)

v 3 = R 3i 3 +

d ( M13i1 ) d ( M 23i 2 ) d ( L3i3 ) + + dt dt dt

(1.72)

dM12 ( θ ) dM13 ( θ ) dM 23 ( θ ) 1 2 dL1 ( θ ) 1 2 dL 2 ( θ ) 1 2 dL3 ( θ ) T = i1 + i2 + i3 + i1i 2 + i1i3 + i 2i3 (1.73) 2 dθ 2 dθ 2 dθ dθ dθ dθ Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matricial, As equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (1.74).  v1   R1 v  =  0  2   v3   0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

0 R2 0

0   i1   L1 d    0  i 2  +  M12 dt  M13 R 3   i3 

M12 L2 M 23

http://www.ivobarbi.com

M13   i1  M 23  i 2  L3   i3 

(1.74)

19

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Vamos em seguida reescrever a equação do torque:

 i1  dM12 ( θ ) dM13 ( θ )    1  dL1 ( θ ) T = i1 + i1 + i1  i2 + 2 dθ dθ dθ     i3   i1  dL 2 ( θ ) dM 23 ( θ )    1  dM12 ( θ ) + i 2 + i2 + i2  i2 + 2 dθ dθ dθ    i3 

(1.75)

 i1  dM 23 ( θ ) dL3 ( θ )    1  dM13 ( θ ) + i 3 + i3 + i3  i2 2 dθ dθ dθ     i3  A expressão (1.75) pode ainda ser representada segundo a expressão (1.76):

T=

1 [i1 i 2 2

 dL1  dθ  dM i3 ]  12  dθ   dM13  dθ

dM12 dθ dL 2 dθ dM 23 dθ

dM13  dθ   i   1 dM 23    i2 dθ     i  dL3   3  dθ 

(1.76)

Seja:  i1  i = i 2   i3   R1 R =  0  0

0 R2 0

i t = [ i1 i 2

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(1.77)

0 0  R 3 

(1.78)

i3 ]

(1.79)

http://www.ivobarbi.com

20

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

 dL1  dθ  dL ( θ )  dM12 =  dθ dθ   dM13  dθ

dM12 dθ dL 2 dθ dM 23 dθ

dM13  dθ   dM 23  dθ   dL3  dθ 

(1.80)

Assim, o torque passa a ser representado pela expressão (1.82). As tensões são representadas pela expressão (1.81):

dL ( θ ) i dt

(1.81)

1 t dL ( θ ) i i 2 dθ

(1.82)

v = Ri +

T=

As expressões (1.81) e (1.82) foram estabelecidas para uma máquina com três enrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sistema onde exista conversão eletromecânica de energia.

1.8 CONCLUSÕES

Pode-se sintetizar os resultados obtidos no desenvolvimento deste capítulo, do seguinte modo: (a) O deslocamento relativo das partes de um sistema implica em conversão eletromecânica de energia, quando há indutâncias próprias ou mútuas, desse sistema, que sofrem variação com o deslocamento. (b) A representação matricial dos sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia leva a obtenção de modelos compactos de fácil interpretação física e de fácil manuseio.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

21

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS +

v

-

I = 2A

1) Um eletroímã de manutenção tem uma secção reta uniforme de 5cm2 e um A = 40cm

comprimento

total

médio

de

40cm

(incluindo a armadura). O enrolamento é S = 5cm

2

excitado por uma corrente de 2A; supõese que o núcleo e a armadura possuem a mesma permeabilidade. A permeabilidade relativa (µr) é igual a 2500. Calcular o número de espiras necessário para resistir

P

a uma massa de 50kg. (Fig. 1.15)

Fig. 1.15 – Representação física do eletroimã do problema 1.

2) O relé mostrado na Fig. 1.16 tem uma armadura móvel de secção quadrada, com lado d, guiado por dois suportes não magnéticos de espessura q e comprimento d/2. A carcaça é excitada por duas bobinas percorridas pela mesma corrente i. Cada bobina possui N espiras. Supõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabilidade infinita. (a)

Calcular a indutância do relé em função de x.

(b)

Calcular a força eletromagnética que atua sobre a armadura, em função de i e x.

(c)

Calcular a força quando o relé está “colado”.

(d)

Fazer uma aplicação numérica para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 e i = 0,5A

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

22

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

N

g x

d

I g d/2

N

d

-

v

+

Fig. 1.16 – Representação física do relé do problema 2.

3) Na Fig. 1.17 está representada uma x(t)

peça de aço, de massa M, suspensa por uma mola de constante K (N/m) e

M

submetida a influência de uma bobina cuja

+

resistência é desprezível. Supõe-se que a indutância da bobina varia em função da

v(t)

posição x da massa, segundo a expressão

-

i(t)

L (x) = A + Bx, sendo A e B constantes. Fig. 1.17 – Representação física do problema 3.

(a)

Escrever a equação elétrica do sistema, estabelecendo a tensão V(t) em função de i(t) e de x(t).

(b)

Calcular a força eletromagnética que atua sobre a massa M.

(c)

Obter a equação diferencial mecânica do sistema.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

23

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

4) Na Fig. 1.18, as duas bobinas são ligadas eletricamente em série; uma está i

alojada no estator fixo e a outra no rotor θ

móvel. As indutâncias próprias e mútuas valem:

v

L1 = 0,2mH, L2 = 0,1mH, L3 = 0,05cos θ mH As duas bobinas são percorridas por uma

i Fig. 1.18 – Instrumento do tipo bobina móvel.

corrente senoidal de valor eficaz igual a 5A (i =

(a)

2 5 sen ωt).

Calcular o valor médio do torque eletromagnético exercido sobre a bobina móvel em função de θ.

(b)

Supor que a bobina móvel seja mantida no ângulo θ = 900, por ação de uma mola espiral que exerce um torque dado pela expressão

T = K(θ - π/2) com K = 0,004J/rd2. Calcular o valor do

ângulo “θ“ de equilíbrio em graus.

5) Considere a Fig. 1.19. O ferro-móvel pode sofrer deslocamento na direção x. Ao se deslocar sofre a ação da mola, cuja constante é Ks. A posição do ferro-móvel em relação ao ferro-fixo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferromóvel é M. O atrito é por hipótese nulo. Efeitos secundários, como dispersão de fluxo são ignorados. O enrolamento possui N espiras e resistência elétrica nula. O enrolamento é alimentado por uma fonte tal que a densidade de fluxo no entreferro é dada por B(t) = Bm sen ωt. (a)

Encontrar a expressão da força eletromagnética exercida sobre o ferro-móvel em função de Bm, ω e t.

(b)

Escrever a equação da tensão de alimentação do enrolamento em função de Bm, ω e t.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

24

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

(c)

Obter a equação diferencial mecânica do sistema em termos de Bm,

ω e t.

x

Mola

v(t) A

D

Fig. 1.19 – Instrumento do tipo ferro-móvel.

6) Seja a estrutura representada a seguir: R

θ

+ L( θ )

v

d

-

Rotor 0

q

Fig. 1.20 – Máquina elétrica elementar com um enrolamento.

(a)

Obter a expressão geral do torque.

(b)

Explicar fisicamente a origem do torque.

(c)

Seja L (θ) = Lmcos 2θ + L0. Obter a expressão final do torque.

(d)

Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamento dinâmico da estrutura.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

CAPÍTULO

2

ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

2.1 INTRODUÇÃO

A máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica. Apresenta estruturas magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos, tanto do rotor quanto do estator são iguais entre si e igualmente defasados. A máquina de indução com rotor em gaiola também é simétrica, pelas mesmas razões expostas. Porém o número de fases do rotor é superior a três. De fato, cada barra da gaiola constitui uma fase. Neste capítulo será modelada apenas a máquina trifásica, porém sem perda de generalidade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases e conseqüentemente para o rotor em gaiola. Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig. 2.1.

iS

+ vS

1

1

+

iR

+

iS

i

1

3

R1

iS

R

- -3 -i R2

v

- vS 2 +

vR

vR

+

2

3

+

vS

3

-

2

Fig. 2.1 – Representação da máquina simétrica trifásica.

26

CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

2.2 HIPÓTESES DE ESTUDO E CONVENÇÕES

Para que se possa representar matematicamente a máquina em estudo, serão feitas algumas hipóteses simplificativas, sem as quais a formulação, se não se tornasse impossível, tornar-se-ia extremamente complexa.

A) Hipóteses de estudo e conseqüências: (a) Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si. (b) Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si. (c) Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto no estator quanto no rotor. (d) O entreferro é considerado constante. (e) O circuito magnético é considerado ideal. A saturação não existe. (f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é radial e senoidal. (g) A máquina será considerada bipolar. (h) Não serão consideradas as perdas magnéticas.

Como conseqüência das hipóteses de estudo adotadas, podemos estabelecer que:

(a) Os fluxos podem ser superpostos. Assim: φ total =

3

∑φ i =1

3

Ri

+ ∑ φSi

(2.1)

i =1

sendo φR i o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e φSi o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do estator.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

27

(b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem indutâncias próprias constantes. Assim:

LS1 , LS 2 , LS3 , L R 1 , L R 2 e L R 3 são constantes.

(c) como conseqüência da igualdade dos enrolamentos tem-se:

LS1 = LS 2 = LS3 = LS LR1 = LR 2 = LR 3 = LR R S1 = R S2 = R S3 = R S R R1 = R R 2 = R R 3 = R R

(d) como conseqüência do defasamento igual entre os enrolamentos tem-se:

M S12 = M S23 = M S13 = M S M R12 = M R 23 = M R13 = M R onde: M S = indutância mútua entre dois enrolamentos do estator M R = indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor

(e) as indutâncias mútuas entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos são funções senoidais do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotor estão representados simbolicamente na Fig. 2.2:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

28

CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

S2 R1 R2

θ θ

S3

S1

R3

Fig. 2.2 – Representação simbólica dos enrolamentos do estator e do rotor.

M S1R1 = M SR cos θ

M S1R 2 = M SR cos(θ + 2π / 3)

(2.2)

M S1R 3 = M SR cos(θ + 4π / 3) M S2 R1 = M SR cos(θ + 4π / 3) M S2 R 2 = M SR cos θ

(2.3)

M S2 R 3 = M SR cos(θ + 2π / 3) M S3R1 = M SR cos(θ + 2π / 3)

M S3R 2 = M SR cos(θ + 4π / 3)

(2.4)

M S3R 3 = M SR cos θ

B) Convenções: A máquina será tratada como um receptor e as equações das tensões terão a forma representada pela expressão (2.5)

va = R a ia +

dφa dt

onde φ representa o fluxo total que envolve o enrolamento “a”.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(2.5)

29

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOS

Adotando a superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelas expressões (2.6), (2.7) e (2.8).

φS1 = LSiS1 + M SiS 2 + M SiS3 + M S1R 1 i R 1 + M S1R 2 i R 2 + M S1R 3 i R 3

(2.6)

φS 2 = LSiS 2 + M SiS1 + M SiS3 + M S 2 R 1 i R 1 + M S 2 R 2 i R 2 + M S 2 R 3 i R 3

(2.7)

φS3 = LSiS3 + M SiS1 + M SiS 2 + M S3 R 1 i R 1 + M S3 R 2 i R 2 + M S3 R 3 i R 3

(2.8)

Representando-se as equações (2.6), (2.7) e (2.8) matricialmente, obtém-se a equação (2.9):

 φ S1   L S    φ S 2  =  M S φ S  M S  3

MS LS MS

M S   i S1   M S1R1    M S  i S2  + M S2 R1 L S  i S3   M S3R1

M S1R 2 M S2 R 2 M S3 R 2

M S1R 3  i R1    M S2 R 3  i R 2  M S3R 3  i R 3 

(2.9)

Generalizando-se para os enrolamentos rotóricos e compactando-se a representação obtém-se as expressões (2.10):

φS = LSS i S + LSR ( θ ) i R φR = L RS ( θ ) i S + L RR i R

(2.10)

onde:

LSS

L RR

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

 LS =  M S  M S

 LR =  M R  M R

MS LS MS

MR LR MR

MS  MS  LS 

(2.11)

MR  M R  L R 

(2.12)

http://www.ivobarbi.com

30

CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

LSR ( θ ) = MSR

 cos θ cos ( θ + 2π / 3) cos ( θ + 4π / 3)    cos θ cos ( θ + 2π / 3)   cos ( θ + 4π / 3)  cos ( θ + 2π / 3) cos ( θ + 4π / 3)  cos θ L RS ( θ ) = LSR ( θ )

t

(2.13)

(2.14)

As matrizes (2.11) e (2.12) são chamadas de matrizes circulantes simétricas.

2.4 EQUAÇÕES DAS TENSÕES

Na medida que for possível será mantida a representação matricial no desenvolvimento deste capítulo. Das leis da física, podemos escrever as expressões das tensões como estão representadas nas expressões (2.15) e (2.16): vS = RS iS +

dφS

vR = RRiR +

dt dφR dt

(2.15)

(2.16)

onde: R S R S =  0  0 R R R R =  0  0

0 RS 0

0 RR 0

0 0  R S 

(2.17)

0  0  R R 

(2.18)

A seguir serão desenvolvidas as expressões dos fluxos: dφS dt Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

=

d ( L SS i S + L SR ( θ ) i R ) dt

http://www.ivobarbi.com

(2.19)

31

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

dφS dt

dφS dt

=

= L SS

d ( L SS i S ) d ( L SR ( θ ) i R ) + dt dt

dL ( θ ) di S di + L SR ( θ ) R + SR iR dt dt dt

(2.20)

(2.21)

mas

dL SR ( θ ) ∂L SR ( θ ) dθ = dt ∂θ dt

(2.22)

Assim, a derivada do fluxo do estator é representada pela expressão (2.23).

dφS dt

= L SS

∂L ( θ ) dθ di S di + L SR ( θ ) R + SR iR dt dt ∂θ dt

(2.23)

A derivada do fluxo do rotor, obtida de maneira análoga, é representada pela expressão (2.24):

dφR dt

= L RR

∂L ( θ ) d θ di di R + L RS ( θ ) S + RS iS dt dt ∂θ dt

(2.24)

Levando-se as expressões das derivadas dos fluxos (2.23) e (2.24) nas expressões (2.15) e (2.16), obtém-se as expressões das tensões, (2.25) e (2.26): v S = R S i S + LSS

∂L ( θ ) dθ di S di + LSR ( θ ) R + SR iR dt dt ∂θ dt

v R = R R i R + L RR

∂L ( θ ) dθ di di R + L RS ( θ ) S + RS iS dt dt ∂θ dt

(2.25)

(2.26)

2.5 EQUAÇÃO DO TORQUE

Como foi estabelecido no capítulo 1, o torque de excitação, quando se trata de dois enrolamentos, é determinado pela expressão (2.27):

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

32

CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

T = iS i R

d M SR ( θ ) dt

(2.27)

Na máquina simétrica trifásica há três enrolamentos no estator e três no rotor. Adicionando os torques produzidos pelos seis enrolamentos, obtém-se a expressão (2.28): ∂M S3R1  ∂M S2 R1  ∂M S1R1 T = i R1 iS1 + iS2 + iS3 + ∂θ ∂θ ∂θ   ∂M S3R 2  ∂M S2 R 2  ∂M S1R 2 +i R 2 iS1 + iS2 + iS3 + ∂θ ∂θ ∂θ  

(2.28)

∂M S2 R 3 ∂M S3R 3   ∂M S1R 3 +i R 3 iS1 + iS2 + iS3  ∂θ ∂θ ∂θ  

Representando-se na forma matricial, obtém-se a expressão (2.29):

[

T = i S1 i S2 i S3

]

M S R ∂  1 1 MS R ∂θ  2 1 M S R  3 1

M S1R 2 M S2 R 2 M S3 R 2

M S1R 3  i R 1    M S2 R 3  i R 2  M S3 R 3  i R 3 

(2.29)

Seja:

 MS1R1  LSR ( θ ) =  MS2R1  MS R  3 1

MS1R 2 MS2R 2 MS3R 2

MS1R 3   MS2R 3  MS3R 3 

 i R1    i R = i R 2  i R   3

(2.31)

 iS1    i S = iS2   iS   3

(2.32)

A expressão do torque será então representada pela expressão (2.33).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(2.30)

http://www.ivobarbi.com

33

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

T = iS

∂ ( LSR ( θ ) )

t

∂θ

iR

(2.33)

Transpondo-se a expressão (2.33), obtém-se a expressão (2.34): T = iR

t

∂ ( L RS ( θ ) ) ∂θ

iS

(2.34)

Adicionando-se as expressões (2.33) e (2.34) e dividindo-se por dois obtém-se a expressão (2.35).

 1  t ∂ ( LSR ( θ ) ) t ∂ ( L RS ( θ ) ) T =  iS iR + iR iS   2  ∂θ ∂θ 

(2.35)

A expressão (2.35) pode ser reescrita segundo a expressão (2.36).

T=

1  t  iS 2 

(

iR

t



) ∂θ∂  L 

LSR ( θ )   i S      0   i R   

0 RS

(θ)

(2.36)

As matrizes LSS e LRR são formadas por termos independentes da posição angular θ. Por isto:

∂LSS ∂L RR = =0 ∂θ ∂θ

(2.37)

Pode-se consequentemente estabelecer que:

LSR ( θ )  ∂  LSS LSR ( θ )  ∂  0   =   0  ∂θ  L RS ( θ ) L RR  ∂θ  L RS ( θ )

(2.38)

Seja:

(

i t = iS

t

iR

t

)

i  i =  S   iR 

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(2.39)

(2.40)

34

CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

 LSS LSR ( θ )  L (θ) =    L RS ( θ ) L RR  

(2.41)

Assim o torque será representado pela expressão (2.42):

1 ∂L ( θ ) T= it i 2 ∂θ

(2.42)

2.6 EQUAÇÕES FINAIS DA MÁQUINA

Reunindo-se as expressões das tensões e do torque, (2.25) e (2.26) e (2.42) respectivamente, obtém-se o modelo completo da máquina, representado pelas expressões (2.43), (2.44) e (2.45).

v S = R S i S + LSS

∂L ( θ ) dθ di S di + LSR ( θ ) R + SR iR dt dt ∂θ dt

v R = R R i R + L RR

(2.43)

∂L ( θ ) dθ di di R + L RS ( θ ) S + RS iS dt dt ∂θ dt

(2.44)

1 ∂L ( θ ) T= it i 2 ∂θ

(2.45)

As equações elétricas podem ser reescritas segundo a expressão (2.46):

0  d  iS   v S   R S 0   i S   LSS   =     +     +  v R   0 R S   i R   0 L RR  dt  i R  0  d  iS  ∂  0 LSR ( θ )   i S  dθ  LSR ( θ ) + +         0  dt  i R  ∂θ  L RS ( θ ) i 0 L θ ( ) RS        R  dt

(2.46)

As expressões (2.46) podem ser reescritas de uma forma mais compacta, segundo a expressão (2.47):

v = Ri + L ( θ ) Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

di ∂L ( θ ) dθ + i dt ∂θ dt

http://www.ivobarbi.com

(2.47)

35

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Pois: R R =  S  0

 LSS   0

0   R R 

(2.48)

0   0 LSR ( θ )   LSS LSR ( θ )   =    +  L RR  L RS ( θ ) 0 L θ L ( ) RS RR    

(2.49)

Reunindo-se as expressões (2.47) e (2.42) obtém-se o modelo da máquina simétrica na sua forma mais compacta, representada pelas expressões (2.50): ∂L ( θ ) • iθ ∂θ 1 ∂L ( θ ) i T= it ∂θ 2

v = Ri + L ( θ ) pi +

(2.50)

2.7 OUTRA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO DO TORQUE

Consideremos a expressão das tensões (2.51):

v = Ri + L ( θ ) pi +

∂L ( θ ) • iθ ∂θ

(2.51)

Pré-multiplicando-se todos os termos da equação pelo vetor corrente transposto obtém-se a equação (2.52):

i t v = i t Ri + i t L ( θ ) pi + i t

∂L ( θ ) • iθ ∂θ

(2.52)

Por outro lado: di 1 ∂L ( θ ) • 1 di t 1  1 i θ+ L (θ) i p  i tL (θ) i  = i tL (θ) + + i t dt 2 2 dt ∂θ 2  2

mas: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(2.53)

36

CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

1 t di 1 d i t i L (θ) = L (θ) i 2 dt 2 dt

(2.54)

Assim: i tL (θ)

di 1 ∂L ( θ ) i 1  =− it i θ+ p  i t L ( θ ) i  dt 2 ∂θ 2 

(2.55)

Substituindo-se a expressão (2.55) em (2.52), obtém-se a expressão (2.56): 1  1 ∂L ( θ ) • i t v = i t Ri + p  i t L ( θ ) i  + i t iθ ∂θ 2  2

(2.56)

O último termo da expressão (2.56) representa a parcela de potência elétrica absorvida pela máquina e convertida em potência mecânica. Assim:

Pm =

1 t ∂L ( θ ) • i iθ ∂θ 2

(2.57)

T=

1 t ∂L ( θ ) i i 2 ∂θ

(2.58)

portanto:

Fica assim estabelecida a equação do torque, com o emprego de um método diferente daquele empregado no item 2.5. Os diversos termos das expressões (2.47) podem ser interpretados fisicamente. Assim: (a) R i

→ Representa as quedas de tensão nas resistências dos

enrolamentos da máquina. (b) L ( θ ) pi → Representa as tensões geradas nos enrolamentos, causadas pela variação das correntes. São tensões variacionais. (c)

∂L ( θ ) • i θ → São as tensões geradas nos enrolamentos, quando há ∂θ deslocamento relativo entre eles. São denominadas tensões rotacionais.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

37

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

•

Quando θ = 0 , ou seja, quando o rotor estiver em repouso, o modelo passa a ser representado pela expressão (2.59): v = Ri + L ( θ ) pi

(2.59)

que representa um transformador.

2.8 CONCLUSÕES

As equações (2.50) são não lineares e de difícil solução. Em geral, não são empregadas no estudo do comportamento da máquina. Por isto, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares, com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original estabelecido neste capítulo. Tais técnicas serão estudadas nos capítulos seguintes. Em alguns trabalhos, destinados a determinar o comportamento da máquina de indução associada a certos tipos de conversores estáticos, o modelo representado pelas equações (2.50) foram empregados. Tal tipo de estudo porém é muito particular e só pode ser realizado com o emprego de computadores.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

38

CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja uma máquina simétrica trifásica, alimentada em corrente no estator e no rotor. As correntes estatóricas e rotóricas são dadas pelas expressões seguintes: iS1 = IScos ( ωS t + θS ) iS2 = IScos ( ωS t + θS − 2π / 3) iS3 = IScos ( ωS t + θS − 4π / 3)

i R1 = I R cos ( ωR t + θR ) i R 2 = I R cos ( ωR t + θR − 2π / 3) i R 3 = I R cos ( ωR t + θR − 4π / 3)

O rotor gira com velocidade ω m em relação ao estator. Será considerada uma máquina de indução de dois pólos. Assim:

ωS = ω R + ω m Pede-se a expressão final do torque desenvolvido pela máquina.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

CAPÍTULO

3

ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

3.1 INTRODUÇÃO

O primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para a análise da máquina de indução é o estudo da transformação αβ0 . Consiste numa transformação linear que diagonaliza as matrizes circulantes simétricas, que aparecem na formulação dos modelos da máquina trifásica simétrica. Fisicamente a transformação αβ0 transforma a máquina simétrica trifásica numa máquina simétrica bifásica, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e número de pólos. Por isto é também conhecida com o nome de transformação trifásicabifásica. Esta transformação é muito útil também no estudo de transitórios de transformadores simétricos e reatores trifásicos. A alimentação pode ser não-simétrica e não-senoidal, desde que a máquina seja simétrica.

3.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

Seja duas estruturas, uma trifásica e uma bifásica, representadas Fig. 3.1 e Fig. 3.2: Os enrolamentos que compõem a estrutura trifásica possuem n3 espiras e os que compõem a estrutura bifásica possuem n2 espiras. Cada enrolamento, ao ser percorrido por uma corrente produz uma força magnetomotriz F.

40

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

S2 Sβ

n3 F2

iS

F1

2

Fβ

S1 iS

iS

3

1

n2 iSβ

n3

Fα Sα

n3 iS

F3

α

n2

Fig. 3.2 – Circuito bifásico simétrico.

S3

Fig. 3.1 – Circuito trifásico simétrico.

Será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em função de F1, F2 e F3, de sorte que a estrutura bifásica produza uma força magnetomotriz resultante com efeito semelhante à resultante da estrutura trifásica. Decompondo-se vetorialmente F1, F2 e F3 segundo os eixos Sα e Sβ encontrase as expressões (3.1) e (3.2). FSα = FS1 + FS2 cos ( 2π / 3) + FS3 cos ( 4π/3)

(3.1)

FSβ = 0 + FS2 sen ( 2π/3) + FS3 sen ( 4π/3)

(3.2)

Assim:

 FSα  F  =  Sβ 

1  0

F  − 1 2   S1    FS  3 2 − 3 2  2   FS3 

−1 2

(3.3)

mas:

 FSα  iSα  = n F   2   Sβ  iSβ 

(3.4)

 FS1   iS1       FS2  = n 3 iS2   FS   iS   3  3

(3.5)

e

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

41

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Substituindo-se as expressões (3.4) e (3.5) na expressão (3.3) encontramos a expressão (3.6):

i  -1 2   S1   i S  3 2 - 3 2  2  iS3 

iSα  n 3 1 i  =   Sβ  n 2 0

-1 2

(3.6)

Para que a matriz definida pela expressão (3.6) possa ser invertida, vamos definir a corrente i0 segundo a expressão (3.7):

iS0 = a

n3 iS + iS2 + iS3 n2 1

(

)

(3.7)

Levando-se (3.7) em (3.6) obtém-se (3.8):

 iS  a  0   n3   iSα  =  n  1  i   2  0   Sβ 

a   iS1    −1 2  iS2  3 2 − 3 2  iS3 

a −1 2

(3.8)

Seja a matriz definida pela expressão (3.9):

a n3  1 A = n 2  0 −1

a   −1 2  3 2 − 3 2 

a −1 2

(3.9)

Para que a potência seja invariante (apêndice), deve-se satisfazer a seguinte relação:

(A )

−1 − 1

= At

−1

(3.10)

ou A −1 = A t

(3.11)

ou t

A −1 A −1 = I

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(3.12)

42

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

sendo I a matriz identidade, ou:

1 0 0  I = 0 1 0  0 0 1 

(3.13)

Portanto: 2 a  n3     1  n2   0

1 0  1 0 0 a  a     3 2  = 0 1 0 −1 2   a −1 2     3 2 − 3 2   a −1 2 − 3 2   0 0 1 

a −1 2

(3.14)

Assim: 2

n  3 3  a 2 = 1  n2 

(3.15)

2

 n3    (1 + 1 4 + 1 4) = 1  n2 

(3.16)

Portanto:

n3 = n2

2 3

(3.17)

e

a=

1 2

(3.18)

Assim a matriz torna-se:

A −1 =

1 2 1 2 1 2   2 −1 2 −1 2   1 3 3 2 − 3 2  0

Seja: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(3.19)

43

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

i S 0 αβ

iS   0 = iSα  i   Sβ 

(3.20)

i S 12 3

 iS1    = iS 2  i S   3

(3.21)

e

i S 0 αβ = A −1 i S 12 3

(3.22)

i S 12 3 = A i S 0 αβ

(3.23)

A matriz A −1 define a transformação αβ0 ou trifásica-bifásica.

3.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

Consideremos um enrolamento trifásico simétrico (estator de um motor de indução com enrolamento rotórico aberto). Sejam nulas as resistências desse enrolamento. Consideremos a expressão dos fluxos, representada por (3.24):  φ1   L M M   i1  φ  = M L M  i   2    2 φ3  M M L  i 3 

(3.24)

φ1 2 3 = L i1 2 3

(3.25)

φ αβ 0 = A −1φ1 2 3

(3.26)

ou

Seja:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

44

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

iαβ 0 = A −1 i1 2 3

(3.27)

A −1φ1 2 3 = A −1 L i1 2 3

(3.28)

φ 0αβ = A −1 L A i 0 αβ

(3.29)

L N = A −1 L A

(3.30)

φ0αβ = L N i 0 αβ

(3.31)

Assim:

Seja:

Assim:

Calculemos a matriz L N :

LN =

2 3

1 2 1 2 1 2   L M M  1   2 − 1 2 − 1 2  M L M  1  1 3 3 2 − 3 2 M M L  1  0

2 2 2

1 −1 2 −1 2

0 3 3

  2 2

(3.32)

0 0   L + 2M  L−M 0  LN =  0  0 0 L − M 

(3.33)

L 0 = L + 2M

(3.34)

LS = L − M

(3.35)

Seja:

Assim:

 φ0   L 0     φα  =  0 φ   0  β  Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

0 LS 0

0  0 LS 

 i0   iα i  β

http://www.ivobarbi.com

    

(3.36)

45

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

As novas indutâncias são definidas do seguinte modo: L 0 - indutância cíclica homopolar LS - indutância cíclica Comparando-se as expressões (3.24) e (3.36), verifica-se que a matriz indutância foi diagonalizada. A matriz indutância L original é do tipo circulante simétrica, que aparece na formulação dos modelos das máquinas elétricas. Daí a importância prática da transformação αβ0 .

3.4 ESTUDO DO REATOR TRIFÁSICO SIMÉTRICO

Será empregada, a título de exemplo, a transformação αβ0 na análise de um reator trifásico simétrico, representado na Fig. 3.3:

v1

i1 R1 M 12 L2

v2

i2

R2

L1

M 13

L3 M 23 R3

v3

i3

Fig. 3.3 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.

São conhecidos os parâmetros R, L e M e as tensões v1(t), v2 (t) e v3 (t). Deseja-se determinar as correntes i1 (t), i2 (t) e i3 (t). A equação das tensões é representada pela expressão (3.37).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

46

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

v123 = Ri123 + pLi123

(3.37)

Pré-multiplicando-se os termos de (3.37) por A-1 obtém-se a expressão (3.38): A −1 V1 2 3 = A −1 R i1 2 3 + p A −1 L i1 2 3

(3.38)

v 0αβ = A −1 RAi 0αβ + pA −1LAi 0αβ

(3.39)

R N = A −1 RA

(3.40)

L N = A −1LA

(3.41)

V0 αβ = R N i 0αβ + pL N i 0αβ

(3.42)

Assim:

Seja:

Assim:

mas, R R N =  0  0  L0 L N =  0  0

0 R 0

0

LS 0

0 0  R 

(3.43)

0 0  LS 

(3.44)

O modelo do reator trifásico simétrico será então descrito pela expressão (3.45)

 v0   R + pL 0     vα  =  0  vβ   0  

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

0 R + pLS 0

0   i0    0  i α  R + pLS   iβ 

http://www.ivobarbi.com

(3.45)

47

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Constata-se que a matriz impedância fica diagonalizada. O reator é então representado por três equações diferenciais de 1ª ordem, representadas pelas expressões (3.46).

v 0 = ( R + pL 0 ) i 0 v α = ( R + pLS ) i α

(3.46)

vβ = ( R + pLS ) iβ Fisicamente o reator trifásico é convertido em três reatores monofásicos independentes, representados na Fig. 3.4. R

L0

R

Lα

R

Lβ

i0 v0

iα vα

iβ vβ

Fig. 3.4 – Modelo elétrico equivalente para o reator trifásico usando a transformada αβ0.

Na solução de um problema particular do reator conhecendo-se v1, v2 e v3 determina-se v0, vα e vβ. Com o emprego das equações (3.46) determina-se i0, iα e iβ Aplicando-se a transformação inversa, determina-se i1, i2 e i3.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

48

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 NO ESTUDO DO TRANSFORMADOR

Seja um transformador trifásico simétrico, cuja estrutura está representada na Fig. 3.5. S3 R3 S1

M SR

R1

S2 R2

Fig. 3.5 – Estrutura do transformador trifásico simétrico.

O circuito correspondente está representado na Fig. 3.6.

vS 1

iS1

i R3 RS 1

R R3 L R3

L S1 vS 2

iS

2

RS 2

L S2

RS

vS 3

iS

LR

L S3

LR 3

RR

2

R R2 i R2

1

1

iR

3

Fig. 3.6 – Circuito elétrico equivalente do transformador trifásico simétrico.

O transformador é representado pelas equações (3.47).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

1

49

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

di S di + LSR R dt dt di di v R = R R i R + L RR R + L RS S dt dt v S = R S i S + LSS

(3.47)

onde: R S R S =  0  0 R R R R =  0  0

LSR = L RS

0 RS 0

0 RR 0

MS

L SS

 LS = M S M S

MR

L RR

 LR = M R M R

LS MS

LR MR

0 0  R S 

(3.48)

0  0  R R 

(3.49)

MS  M S  L S 

(3.50)

MR  M R  L R 

(3.51)

− M SR 2 − M SR 2  M SR  = − M SR 2 − M SR 2 M SR M SR  − M SR 2 − M SR 2

Aplicando-se a transformação αβ0

(3.52)

nas equações (3.47), obtém-se as

equações (3.53) e (3.54): v S αβ 0 = A −1 R S Ai S αβ 0 + A −1 LSS A

di S αβ 0

v R αβ 0 = A −1 R R A i R αβ 0 + A −1 L RR A

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

dt

+ A −1 LSR A

di R αβ 0 dt

di R αβ 0

+ A −1 LSR A

http://www.ivobarbi.com

dt di S αβ 0 dt

(3.53)

(3.54)

50

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

As expressões (3.53) e (3.54) podem ser reescritas segundo as expressões (3.55) e (3.56). v S αβ 0 = R S N i S αβ 0 + LSS N

v R αβ 0 = R R N i R αβ 0 + L RR N

di S αβ 0

+ LSR N

dt

di R αβ 0 dt

di R αβ 0

+ L RS N

dt

di R αβ 0 dt

(3.55)

(3.56)

As matrizes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões (3.57), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61):

R SN

R S =  0  0

R RN

R R =  0  0

LSS

L RR

 LS =  0  0 LR =  0  0

L SR = L RS

0 RS 0

0 RR 0

0 LS

0

0 0  R S 

(3.57)

0  0  R R 

(3.58)

0 0  LS 

(3.59)

0  0  L R 

(3.60)

0 LR 0

0 0 = 0 m SR 0 0

0  0  m SR 

onde:

LS0 = LS + 2MS

⇒ indutância cíclica homopolar do primário.

L R 0 = L R + 2M R

⇒ indutância cíclica homopolar do secundário.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(3.61)

51

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

L S = LS − M S

⇒ indutância cíclica do primário.

LR = LR − M R

⇒

mSR =

3 MSR 2

indutância cíclica do secundário.

⇒ indutância mútua cíclica.

O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (3.62).

 vS0   R S v    Sα   0  vSβ   0  =  vR0   0 v   0  Rα    v Rβ   0

0 RS 0 0 0 0

0 0 RS 0 0 0

0 0 0 RR 0 0

0 0 0 0 RR 0

0 0 0 0   iS0  0   iS0   pLS0 0   i    0 0 pmSR 0   iSα  0   Sα   0 pLS 0 pLS 0 0 pmSR   iSβ  0   iSβ   0   +     0 0 pL R 0 0 0  iR0  0  iR0   0 0 pL R 0  i R α  0  i R α   0 pmSR 0       0 pmSR 0 0 pL R   i Rβ  R R   i Rβ   0

(3.62)

Como as matrizes parâmetros são diagonalizadas, o modelo (3.62) pode ser reescrito segundo as equações (3.63), (3.64) e (3.65).

 vS0   R S  =  v R 0   0

0  R R 

 iS0   LS0   +p i R 0   0

0   L R 0 

 iS0    i R 0 

(3.63)

 vSα   R S  =  v R α   0

0  R R 

 iSα   LS0   +p i R α   0

0   L R 0 

 iSα    i R α 

(3.64)

 vSβ   R S  =  v Rβ   0

0  R R 

 iSβ   LS0  +p i Rβ   0

0   L R 0 

 iSβ    i Rβ 

(3.65)

As equações (3.63), (3.64) e (3.65) representam três transformadores monofásicos independentes, representados pela Fig. 3.7, Fig. 3.8 e Fig. 3.9.

vS

0

iS0

i R0

+

vR0 -

Fig. 3.7 – Seqüência 0. Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

52

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

vS

α

iSα

i Rα

+

vRα -

Fig. 3.8 – Seqüência α.

vS

β

iSβ

i Rβ

+

vRβ -

Fig. 3.9 – Seqüência β.

Desse modo, a transformação αβ0 apresenta a importante propriedade de converter um transformador trifásico simétrico em três transformadores monofásicos independentes, tornando a análise muito simples.

3.6 APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO TRIFÁSICA-BIFÁSICA NAS EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

No capítulo 2 foram estabelecidas as equações da máquina simétrica trifásica, representadas neste capítulo pelas expressões (3.66), (3.67) e (3.68).

v S = R S i S + LSS

∂L ( θ ) dθ di S di + LSR ( θ ) R + SR iR ∂θ dt dt dt

v R = R R i R + L RR

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(3.66)

∂L ( θ ) dθ di di R + L RS ( θ ) S + RS iS ∂θ dt dt dt

(3.67)

1 ∂L ( θ ) i T= it ∂θ 2

(3.68)

http://www.ivobarbi.com

53

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Aplicando-se a transformação A-1 na expressão (3.66) obtém-se a expressão (3.69):

A−1 vS = A−1 RS AiSαβ0 + A−1 LSS A

diSαβ0 dt

+ A−1 LSR ( θ) A

di Rαβ0 dt

+

dθ ∂ −1 A LSR ( θ) Ai Rαβ0 ∂θ dt

(3.69)

Definindo-se: R S N = A −1 R S A

(3.70)

R R N = A −1 R R A

(3.71)

LSS N = A −1 LSS A

(3.72)

L RR N = A −1 L RR A

(3.73)

LSR ( θ ) N = A −1 LSR ( θ ) A

(3.74)

LSR ( θ ) N = A −1 LSR ( θ ) A

(3.75)

Substituindo as últimas expressões em (3.69) e generalizando os resultados para a expressão da tensão rotórica obtém-se as expressões (3.76) e (3.77), que são as equações elétricas da máquina nas variáveis αβ0 .

v S αβ 0 = R S N i S αβ 0 + LSSN

v R αβ 0 = R R N i R αβ 0 + L RR N

di S αβ 0

+ LSR ( θ ) N

dt di R αβ 0 dt

di R αβ 0

+ L RS ( θ ) N

dt di S αβ 0 dt

+

∂LSR ( θ ) N

+

∂θ ∂L RS ( θ ) N ∂θ

i R αβ 0

dθ dt

(3.76)

i S αβ 0

dθ dt

(3.77)

Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedimento a seguir:

T = iS

t

∂LSR ( θ ) iR ∂θ

i S = A i S αβ 0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(3.78)

(3.79)

54

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

t

t

i S = i S αβ 0 A t

t

T = i S αβ 0 A t

t

T = i S αβ 0

(3.80)

∂LSR ( θ ) Ai R αβ 0 ∂θ

∂ ( A t LSR ( θ ) A ) ∂θ

(3.81)

(3.82)

i R αβ 0

Assim: t

T = i S αβ 0

∂LSR ( θ ) N ∂θ

(3.83)

i R αβ 0

As matrizes R S N , R R N , L SS N e L RR N são as mesmas obtidas no estudo do transformador. No procedimento que segue, é estabelecida a matriz L RS ( θ ) N . Substituindo-se as matrizes A -1 , A e L SR ( θ ) na expressão (3.75), obtém-se a expressão (3.84).

LSR ( θ ) N

    2 = MSR  3    

1 2

1 2

1 − 0

1 2

3 2

1  2π  4π      cos θ cos  θ +  cos  θ +    2  3  3     1   4π  2π     cos θ cos  θ + −  cos  θ +    2   3  3      2π  4π   3     cos  θ +  cos  θ +  cos θ − 3  3  2      

1 1 2 1 1 − 2 2 1 1 − 2 2

 0   3   (3.84) 2   3 − 2 

Realizando-se os produtos matriciais obtém-se as matrizes (3.85) e (3.86):

LSR ( θ ) N

  =  

0 0 0

0 mSR cos θ mSR sen θ

 0  −mSR sen θ  mSR cos θ 

(3.85)

L RS ( θ ) N

  =  

0 0 0

0 mSR cos θ −mSR sen θ

0 mSR sen θ mSR cos θ

    

(3.86)

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

55

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Pois L RS ( θ ) = LSR ( θ ) N

t

(3.87)

N

Com: LSR ( θ )

di R αβ 0 N

dt

+

∂LSR ( θ )

N

∂θ

i R αβ 0

dθ dLSR ( θ ) N i R αβ 0 = dt dt

(3.88)

pode-se escrever o modelo final sob a forma de variáveis αβ0 da máquina simétrica trifásica, segundo as expressões (3.89):

di S αβ 0

v S αβ 0 = R S N i S αβ 0 + LSSN

v R αβ 0 = R R N i R αβ 0 + L RR N t

T = i S αβ 0

dLSR ( θ )

+

dt di R αβ 0 dt

+

∂LSR ( θ ) ∂θ

N

N

dt dLSR ( θ ) dt

i R αβ 0 N

(3.89)

i S αβ 0

i R αβ 0

O modelo desenvolvido, obtido a partir das expressões (3.89) é representado pelas expressões (3.90). Nelas verifica-se a presença do ângulo θ nas matrizes indutâncias mútuas. Por isto o modelo é não linear e de difícil solução analítica.  vS0    R  vSα   S   0 v S β   0 v  =   R0    vR    α   v Rβ      +p     

0 0 RS 0 0 RS 0

0 RR 0 0 RR 0 0

LS0

0

0

0

0

LS

0

0

0

0

LS

0

0 0

0 0 mSR cos θ mSR sen θ

LR0 0

0

− mSR sen θ mSR cos θ

0

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

 iS0   i    Sα    iS   β + 0  iR   0 0   i R R   R α   i Rβ  i    S0  mSR cos θ −mSR sen θ   iSα    mSR sen θ mSR cos θ   iSβ    0 0  iR0   i  0 LR   Rα  LR 0   i R   β

http://www.ivobarbi.com

0

0

56

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

T = mSR iS0 iSα

  iSβ   

0 0  iR0    −sen θ −cos θ  i R α  cos θ −sen θ   i R   β

0 0 0

(3.90)

No capítulo seguinte será introduzida a transformação de PARK, destinada a simplificar mais o modelo da máquina simétrica trifásica. O efeito da transformação αβ0 aplicado á máquina simétrica trifásica pode ser melhor evidenciado com o auxílio da Fig. 3.10 e Fig. 3.11: S2 iS

2

iR

R2

R1 1

θ

iR

2

S1

θ

iS iS

1

3

iR S3

3

R3

Fig. 3.10 – Motor trifásico. Sβ

Rβ iR

β

iS

β

Rα

iR

α

θ

iS

α

Sα

Fig. 3.11 – Motor bifásico equivalente.

Portanto, a máquina trifásica real é transformada numa máquina bifásica imaginária. A ausência dos enrolamentos de seqüência zero ou homopolar será explicada no item 3.7.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

57

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA CÍCLICA HOMOPOLAR

Seja a máquina simétrica com enrolamentos rotóricos abertos e enrolamentos estatóricos submetidos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representado na Fig. 3.12.

vS

iS

S1

i S1

R1

S2

iS 2

R2

S3

iS 3

R3

Fig. 3.12 – Máquina simétrica trifásica com enrolamentos rotóricos abertos sendo os estatóricos alimentados com a mesma tensão.

vS1 = vS2 = vS3 = vS

(3.91)

Levando-se as tensões vS1 , vS2 e vS3 da expressão (3.91) na expressão (3.92), obtém-se os resultados a seguir:

v S αβ 0 = A −1 v S 1 2 3

(3.92)

vSα = 0

(3.93)

vSβ = 0

(3.94)

vS0 = 3 vS

(3.95)

Considerando a máquina em regime permanente, tem-se:

iS0 =

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

vS0 2πf L 0

http://www.ivobarbi.com

(3.96)

58

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

iS0 =

1 ( iS + iS2 + i S3 ) 3 1

(3.97)

iS 3

(3.98)

Então

iS 0 =

Levando (3.98) e (3.95) em (3.96), obtém-se:

iS 3 vS = 3 2πf L 0

(3.99)

Assim:

iS =

3 vS X0

(3.100)

onde:

X 0 = 2πf L 0

(3.101)

Pode-se imediatamente concluir que a corrente que circula na fonte fica limitada apenas pela reatância cíclica homopolar. Para facilitar a interpretação física, será considerada a Fig. 3.11: FS

1

iS

1

ROTOR

iS

3

FS

3

FS

2

iS

2

Fig. 3.13 – Estrutura de uma máquina simétrica trifásica.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

59

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Como as correntes iS1 , iS 2 e iS3 , são iguais, as três forças magnetomotrizes,

FS1 , FS 2 e FS3 são iguais em módulo e em fase no tempo. Assim os fluxos são nulos, com exceção dos fluxos de dispersão, que se fecham pelo ar e que estão representados na Fig. 3.13. Pode-se então concluir que a indutância de seqüência zero ou cíclica homopolar é uma imagem da indutância da dispersão. Consideramos as equações completas de seqüência zero, obtidas a partir das equações (3.90).

 vS0   R S  =  v R 0   0

0   iS0   pLS0  + R R  i R 0   0

0   iS0    pL R 0  i R 0 

(3.102)

Segundo as expressões (3.102) não há indutância mútua entre as componentes de seqüência homopolar do estator e do rotor. Quando não há fio neutro na alimentação da máquina simétrica trifásica as tensões e correntes homopolares não existem. Quando há neutro e a alimentação for balanceada, existem componentes homopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partir das expressões (3.90).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

60

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

3.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja a estrutura representada na Fig. 3.14, com os seguintes parâmetros: R

i1

R = 1Ω

LS

L S = 0,280H (indutância cíclica) LS

LS

f = 60Hz

R

R i2

i3

V = 380V (valor eficaz) O circuito é considerado em regime

v

permanente. Determinar as expressões e

Fig. 3.14 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.

os valores das correntes nas fases da estrutura.

2) Repetir os cálculos para a Fig. 3.15, representada a seguir: i1

+

R v1

LS + -

-

LS

v

--

R +

v3

i3

LS R v2

+ i2

Fig. 3.15 – Rotor trifásico com duas fases em paralelo e em série com a terceira sendo alimentadas por uma fonte de tensão única.

3) Seja a estrutura representada na Fig. 3.16:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

61

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

+ v1

+

i1

+

i2

v2

v3

-

-

i3

-

Fig. 3.16 – Estrutura de um reator trifásico.

onde:

R 1 = R 2 = R 3 = R = 0,5 Ω , L1 = L 2 = L 3 = L = 60 mH (próprias)

M = -30mH (mútuas) No instante t = 0 aplicam-se as seguintes tensões nos enrolamentos: v1 = 50V ; v 2 = 30V ; v3 = 100V

Empregando a transformação αβ0 , determinar as correntes nos enrolamentos em função do tempo.

4) Seja um reator trifásico, representado esquematicamente pela Fig. 3.17: v S1

i1

R M

LS

v

v

S2 S3

i2 i3

Fig. 3.17 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.

Os parâmetros são os mesmos do exercício 3. Os interruptores S1 , S 2 e S3 são fechados simultaneamente.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

62

CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

v1 = Vcos ωt 2π   v 2 = Vcos  ωt −  3   4π   v3 = Vcos  ωt -  3   onde ω = 377 rad/s

v = 2 220 volts Determinar as correntes i1 (t ) , i 2 (t ) e i 3 (t ) .

5) Seja o transformador trifásico, representado na Fig. 3.18. v1

v2 iS

1

S1

R1

iR

1

v3 iS

2

S2

R2

iR

2

iS

3

S3

R3

iR

3

Fig. 3.18 – Transformador trifásico com um curto-circuito na saída de duas fases.

É estabelecido um curto circuito entre as fases 2 e 3 do secundário. Determinar a expressão da corrente de curto circuito, empregando a transformação αβ0 , sabendo que:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

v1 = Vcos ωt 2π   v 2 = Vcos  ωt −  3   4π   v3 = Vcos  ωt -  3  

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

63

CAPÍTULO

A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

4

4.1 INTRODUÇÃO

A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas. Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos pseudo-estacionários.

4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação αβ0 , os fluxos e as correntes ficam relacionados pelas equações (4.1).  φS0     φ  Sα      φ  Sβ   φ  =   R0   φR    α   φ R β  

L S0 0 0 0

0 LS 0 0

0 0 LS 0

0 0 0 LR0

0 m SR cos θ m SR sen θ 0

0 0

m SR cos θ − m SR sen θ

m SR sen θ m SR cos θ

0 0

LR 0

i  0   S0  − m SR sen θ   iSα    m SR cos θ   iSβ     (4.1) 0  iR0    0  i R α  LR   i R   β

Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2).  φS   L  0   S0  φSα  =  0    0  φSβ  

0 LS 0

0 0 LS

  iS0   0 0 0  iR0      0 m cos θ − m senθ  i  i +   S SR SR  α    Rα       i   Sβ   0 mSR senθ mSR cos θ   i Rβ 

(4.2)

65

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão (4.3): φ R    0  φ R d  =  φ    Rq  

1 0 0

0   φR 0    − senθ φR α  cos θ   φR β 

0 cos θ senθ

(4.3)

Assim:

i R dq 0 = B −1 i R αβ 0

(4.4)

onde:

B

−1

 =  

1

0

0

cos θ

0

sen θ

 − sen θ cos θ  0

(4.5)

A matriz B-1 define a transformação de PARK.

4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão alteradas pela transformação de PARK.

φS αβ = LS I i S αβ + mSR B −1 i R αβ

(4.6)

φR αβ = L R I i R αβ + mSR B i S αβ

(4.7)

onde:

 cos θ B= − sen θ

sen θ  cos θ 

e Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(4.8)

66

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

1 0  I =  0 1 

(4.9)

Aplicando-se a transformação B-1 na equação (4.7), obtém-se:

B −1φR αβ = mSR B −1B i S αβ + L R B −1B i R dq

(4.10)

φR dq = mSR I i S αβ + L R I i R dq

(4.11)

Assim:

A partir da expressão (4.6) obtém-se: φS αβ = mSR I i R dq + LS I i S αβ

(4.12)

Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na forma matricial, encontra-se a expressão (4.13).

 φS0     LS0  φSα   0     φSβ   0 φ  =  0  R0    φR   0  d  0  φR q    

0 LS 0 0 mSR 0

0 0 LS 0 0 mSR

0 0 0 LR0 0 0

0 mSR 0 0 LR 0

0  0  mSR   0  0   L R 

 iS0     iSα     iSβ  i   R0  i R   d i R q   

(4.13)

A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadas pela transformação de PARK. Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foram transformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação de PARK. Fazendo-se o produto B −1 B obtém-se:

 cos θ  sen θ 

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

− sen θ  cos θ cos θ  − sen θ

sen θ  1 0 = cos θ  0 1

http://www.ivobarbi.com

(4.14)

67

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Portanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sob esta transformação, a potência é invariante.

4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Para interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos considerar os sistemas de eixos representados na Fig. 4.1. Rq

Rβ iR

β

•

iR

q

iR

θ

Rα

α

θ

iR

d

Rd

Fig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park. •

Os eixos R α R β giram no sentido anti-horário com velocidade θ . Os eixos

R d R q estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes i R α e i R β e dois estacionários com correntes i Rd e i R q . Todos os enrolamentos são considerados idênticos. Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantes segundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações (4.15) e (4.16). i R d = i R α cos θ − i R β senθ

(4.15)

i R q = i R α senθ + i R β cos θ

(4.16)

Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformação de PARK:

i R d   cos θ i  =   R q   senθ Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

− senθ i R α    cos θ  i R β 

http://www.ivobarbi.com

(4.17)

68

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

Pode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converter um conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindo os mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente das correntes dos enrolamentos girantes. A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência a seguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se em movimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação de PARK

transforma

enrolamentos

comuns,

alimentado

através

de

anéis,

em

enrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são também conhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo a transformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representada a transformação física. VRα

Rβ

Rq VR q

Rα

Rd

VRβ

VR d

Fig. 4.2 – Representação física da transformada de Park.

Simbolicamente,

a

máquina

antes

e

depois

da

transformação

representada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4. q

Rβ

Sβ Sq = S β

Rα

Sα

θ

Rq Rd

Sd = S α

d

Fig. 4.3 – Máquina original. Fig. 4.4 – Máquina transformada.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

está

69

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARK

O modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e (4.19).

v S αβ = R S i S αβ +

d φS dt αβ

(4.18)

v R αβ = R R i R αβ +

d φR dt αβ

(4.19)

Aplicando-se a matriz B-1 na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20).

B −1 v R αβ = B −1 R R B i R dq + B −1

v R dq = R R i R dq + B −1B

B −1

dφR

dq

dt

(

d B φR

+ B −1

dq

)

dt

dθ ∂B φR ∂θ dq dt

(4.20)

(4.21)

∂B  cos θ − sen θ  − sen θ cos θ  = ∂θ  sen θ cos θ   − cos θ − sen θ 

(4.22)

∂B  0 −1 = ∂θ  1 0 

(4.23)

Assim:

B −1

v R dq = R R i R dq +

dφ R dt

dq

+

v S dq = R S i S dq +

dθ  0 dt  1 dφS

dq

dt

−1 φR 0  dq

(4.24)

(4.25)

As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões (4.26) e (4.27) respectivamente.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

70

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

 vSd   R S  =  vSq   0

0  iSd   pLS  + R S  iSq   0

0  iSd   pmSR  + pLS  iSq   0

0  i R d    pmSR  i R q 

(4.26)

 iSd   iSd      L R 0   iSq  •  0 −1  mSR 0 L R 0   iSq    + θ    (4.27)  0 L R  i R d   1 0   0 mSR 0 L R  i R d  i  i   R q   R q 

 v R d   R R 0  i R d   mSR 0  =   + p   0 mSR  v R q   0 R R  i R q 

Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28).

  vSd   R S + pLS    0  vSq    =  v R d   pmSR v    R q   − m θ• SR 

0

pmSR

R S + pLS

0

•

mSR θ

R R + pL R

pmSR

−LR θ

•

   iSd    pmSR   iSq  •  i  LR θ   Rd   i R q  R R + pL R    0

(4.28)

As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétrica trifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo considerada uma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares de pólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem, poderão ser adicionadas nas equações (4.28). Estas equações são muito importantes e são capazes de representar a máquina sob não importa qual condição de operação.

4.6 EXPRESSÃO DO TORQUE

Foi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma: t

T = i S αβ

∂LSR ( θ ) ∂θ

i R αβ

(4.29)

mas,

L SR (θ ) = m SR B −1 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(4.30)

71

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Portanto: t

T = mSR i S αβ

t

T = mSR i S dq

∂B −1 iR ∂θ αβ

(4.31)

∂B −1 Bi R dq ∂θ

(4.32)

∂B −1  − sen θ − cos θ  =  ∂θ  cos θ − sen θ 

(4.33)

 − sen θ − cos θ   cos θ sen θ  ∂B −1 B=   ∂θ  cos θ − sen θ   − sen θ cos θ 

(4.34)

 0 −1 ∂B −1 B=  ∂θ 1 0

(4.35)

Assim: t  0 T = mSR i S dq  1

0 T = mSR iSd iSq   1

(

− 1 iR 0  dq

(4.36)

−1 i R d    0  i R q 

(4.37)

)

(4.38)

T = mSR iSq i R d − iSd i R q

4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINA

O modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos é representado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em que v R d = v R q = 0 (rotor em curto-circuito).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

72

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

  vSd   R S + pLS    0  vSq    =  0   pmSR  0      −n θ• m SR 

0

pmSR

R S + pLS

0

•

n θ mSR

R R + pL R

pmSR

−n θ L R

•

(

T = nmSR iSq i R d - iSd i R q

n=

   iSd    pmSR   iSq  •  i  n θ LR   Rd   i R q  R R + pL R    0

(4.39)

)

(4.40)

ω ωS

(4.41)

onde: ω ⇒ Pulsação das tensões de alimentação.

ωS ⇒ Velocidade síncrona do motor.

4.8 GENERALIZAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Neste item será estabelecido o modelo de PARK da máquina simétrica, para um sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer, representado na Fig. 4.5. Os enrolamentos do estator, S α e Sβ estão em repouso. Os enrolamentos do •

•

rotor, R α e R β giram com velocidade θ . Os eixos d q giram com velocidade Ψ . Todos os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

73

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Sβ Rβ

d iR

β

is

β

is

d

is q

ωm Rα

q

iR

iR

d

iR

q

α

θ

Ψ

is

Sα α

Fig. 4.5 – Sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer.

Fazendo as projeções das forças magnetomotrizes do rotor e do estator sobre os eixos de referência d q , obtém-se as expressões a seguir: a) iSd = i Sα cos Ψ + i Sβ senΨ

(4.42)

iSq = −iSα senΨ + iSβ cos Ψ

(4.43)

Representando-se na forma matricial obtém-se as expressões (4.44).

iSd   cos Ψ senΨ  iSα   =    iSq   −senΨ cos Ψ  iSβ 

(4.44)

i R d = i Rα cos ( Ψ − θ ) + i R β sen ( Ψ − θ )

(4.45)

i R q = -i Rα sen ( Ψ − θ ) + i R β cos ( Ψ − θ )

(4.46)

b)

i R d   cos ( Ψ − θ ) sen ( Ψ − θ )  =  i R q   −sen ( Ψ − θ ) cos ( Ψ − θ )

  i Rα     i R β 

Os casos particulares, mais comumente empregados são os seguintes: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(4.47)

74

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

I ) Referencial no estator ( Ψ = 0 )

iSd  1 0 iSα  i  =     Sq  0 1 iSβ  i R d   cos θ i  =   R q   senθ

(4.48)

− senθ i R α    cos θ  i R β 

(4.49)

senθ  iSα    cos θ  iSβ 

(4.50)

II ) Referencial no rotor ( Ψ = θ )

iSd   cos θ i  =   Sq  − senθ

i R d  1 0 i R α  i  =     R q  0 1 i R β 

(4.51)

III ) Referencial no campo girante

Ψ = ωS t

(4.52)

θ = ωm t

(4.53)

iSd   cos ωS t i  =   Sq  − senωS t i R d   cos ( ωS - ωm ) t  = i R q  -sen ( ωS - ωm ) t

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

 iSα   i    Sβ 

(4.54)

sen ( ωS - ωm ) t  i R α     cos ( ωS - ωm ) t  i R β   

(4.55)

senωS t cos ωS t

http://www.ivobarbi.com

75

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA NUM SISTEMA DE EIXOS GENÉRICOS

Sejam as transformações definidas pelas expressões (4.56) e (4.57).

 cos Ψ sen Ψ  −1 BS =    − sen Ψ cos Ψ 

(4.56)

 cos ( Ψ − θ ) sen ( Ψ − θ )  −1 BR =    − sen ( Ψ − θ ) cos ( Ψ − θ ) 

(4.57)

Sejam as equações elétricas da máquina, sob a forma de variáveis αβ , representadas pelas expressões (4.58) e (4.59).

v S αβ = R S i S αβ +

v R αβ = R R i R αβ +

dφS

(4.58)

αβ

dt dφR

(4.59)

αβ

dt

Vamos aplicar a transformação BS-1 na equação (4.58). −1

−1

BS v S αβ = BS R S i S αβ + BS

−1

v S dq = BS R S BS i S dq + BS

−1

−1

dφS

(4.60)

αβ

dt

(

d BS φS

dq

)

dt

−1

BS R S BS = R S

BS −1

dBS φS dq dt

= BS −1BS

BS −1 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

dφS dq dt

+ BS −1

(4.61)

(4.62) • ∂BS φS dq Ψ ∂Ψ

dBS  0 −1 = dΨ  1 0 

http://www.ivobarbi.com

(4.63)

(4.64)

76

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

Levando-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se:

v S dq = R S i S dq +

dφS

−1 • Ψ φS dq 0 

0 + dt 1 dq

(4.65)

Adotando-se procedimento análogo para a equação elétrica do rotor, obtém-se:

v R dq = R R i R dq +

dφR

−1  • •   Ψ− θ  φR dq 0   

0 + dt 1 dq

(4.66)

Em seguida será deduzida a expressão do torque:

∂LSR ( θ ) i R αβ ∂θ

t

T = i S αβ

i S αβ = BS i S dq

(4.67)

(4.68)

Assim: t

t

t

(4.69)

i R αβ = B R i R dq

(4.70)

i S αβ = i S dq B S

Assim: t

T = i S dq BS

t

∂LSR ( θ ) B R i R dq ∂θ

(4.71)

mas, LSR ( θ ) = mSR B −1

(4.72)

Assim: t

T = mSR i S dq BS

t

∂B −1 B R i R dq ∂θ

Assim: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(4.73)

77

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

(

T = mSR i R d iSd - i R q iSd

)

(4.74)

Reunindo-se as equações (4.65), (4.66) e (4.74), desenvolvendo-se e generalizando-se para n pares de pólos, obtém-se o modelo representado pelas equações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer v R d = v R q = 0 .

  RS + pLS  vSd   •    Ψ n L S   vSq   =  vR d   pmSR v    Rq     • • m  Ψ− θ  n SR   

•

•

−LS Ψ n

pmSR

−mSR Ψ n

RS + pLS

mSR Ψ n

pmSR

 • • −mSR  Ψ− θ  n  

R R + pLR

 • • −LR n  Ψ− θ   

pmSR

 • • LR n  Ψ− θ   

R R + pLR

•

(

T = n mSR iSq i R d − iSd i R q

    iS   d    iSq     iRd     iRq   

)

(4.75)

(4.76)

Quando a velocidade do motor varia com o tempo, as equações elétricas da máquina são não-lineares. Para velocidade constante, o modelo torna-se linear. Em qualquer das situações, a equação mecânica é não-linear, pois aparece o produto de duas correntes. O modelo obtido representa a máquina para qualquer situação e para qualquer referencial.

4.10 MODELO DQ REFERIDO AO PRIMÁRIO

Ao se estabelecer as equações da máquina simétrica representadas pelas equações (4.75) e (4.76), não se fez referências à relação de transformação entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos. Assim, ao se empregar as referidas equações, deve-se empregar os parâmetros do estator medidos no estator e os do rotor medidos no lado do rotor.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

78

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

Porém, quando se trata de uma máquina com rotor em gaiola, não se tem acesso ao rotor. Todos os parâmetros são referidos ao estator. Por isto as equações da máquina devem ser desenvolvidas para permitir o emprego desses parâmetros medidos em relação a um só lado. Para realizar tal modificação, será aplicada a transformação primáriasecundária, que será apresentada com detalhes no capítulo 7, e que aqui está representada pela expressão (4.77):  vSd    1  vSq   0  ' =  vRd  0  '   0  v R q 

v 0 0 0   Sd    1 0 0   vSq    0 a 0  vRd   0 0 a  v   R q 

(4.77)

Assim:

 vSR '  = P S −1 [ vSR ]  

(4.78)

Onde a é a relação entre o número de espiras do estator e o número de espiras do rotor. A matriz PS-1 refere todas as tensões ao estator. Para as correntes, a transformação é dada pela expressão (4.79).

 íS d       iS q  =  i 'R    ' d  i R q  

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0   iS d    0 0   iSq  1 a 0  i R d    0 1 a  i R q 

'

i SR = P S i SR

(4.79)

(4.80)

Em seguida a transformação será aplicada nas equações da máquina. '

v SR = Z i SR '

P S v SR = Z P S −1 i SR Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(4.81) '

http://www.ivobarbi.com

(4.82)

79

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

'

v SR = P S −1Z P S −1 i SR

'

(4.83)

onde Z é dada pela expressão (4.84).

  R S + pLS  •  n L Ψ S  Z=  pmSR     • • m  Ψ− θ  n SR    Realizando

o

•

− LS Ψ n

pmSR

R S + pLS

mSR Ψ n

•

 • • − mSR  Ψ− θ  n  

R R + pL R

pmSR

 • • L R n  Ψ− θ   

produto

matricial

    pmSR    • •  −L R n  Ψ− θ       R R + pL R   •

−mSR Ψ n

determinado

pela

expressão

(4.84)

(4.83),

encontramos as equações representadas pela expressão (4.85). Quando os parâmetros são obtidos por ensaio, a relação de transformação é desconhecida. Isto não apresenta dificuldade na análise, uma vez que eles serão determinados em relação ao estator. Desse modo todas as grandezas rotóricas, como tensão e corrente, ficam determinadas também referidas ao estator.   RS + pLS  vSd   •    n L Ψ S  vSq    ' =  vRd   p ( a m ) SR  '  v  R  q    • • a m  Ψ− θ  n SR    

•

−LS Ψ n

p ( a mSR )

RS + pLS

( a mSR ) Ψ n

 • • −a mSR  Ψ− θ  n  

a ( RR + pLR )

p ( a mSR )

 • • n  Ψ− θ  a 2 LR  

•

2

•  − ( a mSR ) Ψ n   i   Sd p ( a mSR )   i  S    q'   i  • • −n  Ψ− θ  a2 LR   Rd   '    iRq    a 2 ( RR + pLR )  

(4.85)

Através de ensaios clássicos, a vazio e em curto-circuito, pode-se determinar os parâmetros elétricos. 1) a m SR = m1

⇒

indutância magnetizante medida em relação ao estator.

2) LS = A1 + m1

⇒

sendo

A1

estator.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

a indutância de dispersão do

80

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

3) a 2 L R = A 2 + m1 = L R

'

⇒

sendo A 1 a indutância de dispersão do rotor referida ao estator.

4) R S 5) a 2 R R = R R

'

⇒

resistência do estator.

⇒

resistência do rotor referida ao estator.

Desse modo as equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (4.86): •  −LS Ψ n  RS + pLS  vS   •  d  RS + pLS  vS   LS Ψ n q  = vR '    • • −m1  Ψ−θ n  d   pm1   vR '    q    • • pm1 m1  Ψ−θ n

(

    iSd  •   m1 Ψ n pm1   iSq    ' '  • •  '  iRd '  RR + pLR −n  Ψ−θ LR       iR '  • •  q ' '    ' n  Ψ−θ LR RR + pLR     •

−m1 Ψ n

pm1

'

T = nm1 iSq i R d - iSd i R d

'

)

O torque fica representado pela expressão (4.87).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(4.86)

(4.87)

81

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

4.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja:

vS1 = 2 Vsen ( ωS t + θ ) vS2 = 2 Vsen ( ωS t − 120° + θ ) 2 Vsen ( ωS t + 120° + θ )

vS3 =

Determinar vS0 , vSd e vSq para o referencial colocado no estator e colocado no campo girante.

2) Um motor de indução é alimentado por um inversor do tipo 180° . As formas de onda impostas em cada fase estão representadas abaixo. Obter e representar graficamente as tensões vS0 , vSd e vSq . (2E/3) vS

(E/3)

1 O

0

O

60

O

120

O

180

(2E/3) vS

2

vS

3

(E/3)

(2E/3) (E/3)

Fig. 4.6 – Formas de onda impostas as fases de um motor trifásico.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

82

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

3) Obter o modelo de estado do motor de indução, para um referencial genérico, em termos de variáveis dq.

4) Considere o modelo do motor de indução com referencial no campo girante. Seja:

vS1 = 2VsenωS t vS2 = 2Vsen ( ωS t + 120° ) vS3 = 2Vsen ( ωS t − 120° ) Consideremos o motor em regime permanente. (a) As tensões vSd e vSq são funções do tempo? Por que? (b) As correntes iSd , iS q , i R d e i R q são funções do tempo? Por que?

5) Seja o enrolamento trifásico rotórico de uma máquina de indução, girando no sentido anti- horário em relação ao estator. Seja:

v R1 = 2VR sen ( ωR t + ∆ ) v R 2 = 2VR sen ( ωR t − 120° + ∆ ) v R 3 = 2VR sen ( ωR t + 120° + ∆ ) Seja ωR + ωm = ωS onde: ωm ⇒ velocidade do rotor

ωS ⇒ pulsação das correntes do estator ωR ⇒ pulsação das correntes do rotor

a) Determinar as tensões v R 0 , v R α e v Rβ . Qual a freqüência dessas tensões? Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

83

b) Determinar as tensões v R 0 , v R d e v R q para um referencial colocado no estator. Qual a freqüência dessas tensões? Supor em seguida que:

v R1 = 2VR sen ( ωR t + ∆ ) v R 2 = 2VR sen ( ωR t + 120° + ∆ ) v R 3 = 2VR sen ( ωR t − 120° + ∆ ) Repetir as questões a) e b). A freqüência das tensões mudou? Por que?

6) Seja uma máquina de indução trifásica onde:

θ = ωm t + θ0 ωS = ωm + ωR iS1 = ISsen ( ωS t + φ ) iS2 = ISsen ( ωS t − 120° + φ ) iS3 = ISsen ( ωS t + 120° + φ ) i R1 = I R sen ( ωR t + ∆ ) i R 2 = I R sen ( ωR t − 120° + ∆ ) i R 3 = I R sen ( ωR t + 120° + ∆ )

Determinar a expressão do torque desenvolvido pela máquina, partindo da expressão: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

84

CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

T = mSR ( iSq i Rd − iSd i Rq )

7) Um motor de indução pode ser empregado como freio, impondo-se a seguinte alimentação: (a) a fase α do estator é alimentada por uma corrente contínua ICC. (b) a fase β do estator é mantida aberta. Nessas condições, empregando o modelo de PARK com referencial no estator, determinar: (a) a expressão do torque desenvolvido pelo motor em função da velocidade. (b) a velocidade, em função dos parâmetros da máquina, para a qual o torque é máximo. (c) a expressão do torque máximo.

8) Considere o modelo de PARK motor de indução com o referencial no campo girante. Seja uma fonte que imponha as correntes estatóricas do motor. Assim:

iSd = IS senωS t iSq = IS cos ωS t

Determinar as expressões das correntes i R d e i R q e do torque desenvolvido pelo motor.

9) Considere um motor de indução de rotor bobinado em repouso. No instante t = 0 as três fases do estator são subitamente alimentadas com tensões senoidais balanceadas. Determinar a evolução das tensões rotóricas em função do tempo. Considerar os enrolamentos rotóricos abertos.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

85

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

10) Considere uma máquina de indução bifásica com rotor em gaiola. A fase d é alimentada por uma tensão do tipo:

vSd = 2V sen ωS t A fase q é mantida aberta. A máquina é acionada por um motor auxiliar. Demonstrar que a tensão vSq é função da q

velocidade do rotor. Que condições devem ser satisfeitas para que a relação entre vSq e ωm seja linear ?

Empregar as equações de PARK para o

ωm

referencial colocado no estator. Este d

sistema é conhecido como tacogerador de indução. A sua característica principal é o

vS

d

fato da tensão gerada vSq

Fig. 8.7 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.

apresentar

freqüência constante, igual à freqüência da tensão vSd de excitação.

11) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d do estator é alimentado por uma fonte que lhe impõe uma corrente senoidal.

12) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d é alimentado por uma corrente contínua.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

CAPÍTULO

5

AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

5.1 INTRODUÇÃO

O emprego das componentes simétricas instantâneas permite a obtenção de modelos mais simples que aqueles obtidos com a transformação de PARK. Esses novos modelos são adequados para estudos analíticos para as situações em que a máquina gira em velocidade constante.

5.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS

Vamos considerar o modelo estabelecido no capítulo IV e representado pelas equações (5.1).

  RS + pLS  vSd   •    L Ψ S  vSq    =    vR d   pmSR v    Rq     • • m  SR  Ψ− θ  

•

−LS Ψ

pmSR

RS + pLS

mSR Ψ

 • • −mSR  Ψ− θ   

R R + pLR

pmSR

 • • LR  Ψ− θ   

•

   i    Sd  pmSR   iS   q  • •   i −LR  Ψ− θ    Rd    i    Rq   R R + pLR   •

−mSR Ψ

(5.1)

Verifica-se que cada submatriz da matriz é do tipo representado pela expressão (5.2).

a −b Z=   b a 

(5.2)

87

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Vamos determinar uma transformação que diagonalize a matriz Z. Tomandose:

( a − λ )( a − λ ) + b2 = 0

(5.3)

encontra-se:

λ1 = a + jb λ2 = a − jb

(5.4)

que são os autovalores da matriz Z. A seguir são calculados os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2.

 z11  a −b  z11  b a  z  = ( a + jb ) z     21   21 

(5.5)

az11 − bz21 = ( a + jb ) z11

(5.6)

z21 = − jz11

(5.7)

 z12  a −b  z12  b a  z  = ( a − jb ) z     22   22 

(5.8)

az12 − bz22 = ( a − jb ) z12

(5.9)

z22 = jz12

(5.10)

Assim:

Assim:

Assim os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2 são respectivamente:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

88

CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

 z  z1 =   − jz 

(5.11)

z z2 =    jz 

(5.12)

e

Consequentemente, a matriz [ D2 ] que diagonaliza a matriz Z é dada pela expressão (5.13).

 1 1 D2 = z   − j j

(5.13)

Para que a transformação mantenha invariante a potência, ela deve ser unitária. Assim:

(

t

)

(5.14)

( )

(5.15)

D2 = D2

−1 *

ou −1

D2 = D2

t *

onde a matriz inversa é igual à transposta conjugada. A partir de (5.13), obtém-se:

1 − j t D2 = z   1 j 

(D )

−1 *

2

=

1 1 − j 2z 1 j 

Para que a relação (5.14) se verifique é necessário que:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(5.16)

(5.17)

89

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

z=

1 2z

(5.18)

z=

1 2

(5.19)

Assim:

D2 =

−1

D2 =

1  1 1   2 − j j

(5.20)

1 1 j    2 1 − j

(5.21)

Conhecendo-se as expressões de [ D2 ] e [ D2-1 ], pode-se diagonalizar a matriz Z, com o emprego da expressão (5.22). −1

ZD = D2 ZD2

(5.22)

0  a + jb ZD =  a − jb  0

(5.23)

Assim:

como era de se esperar, pois os termos que aparecem são os autovalores da matriz Z. Sabe-se que:

vdq = zdqidq

(5.24)

v+- = z +-i +-

(5.25)

onde a notação [ +- ] refere-se às componentes simétricas instantâneas, obtidas a partir das componentes de PARK. Sabemos que: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

90

CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

−1

Z+- = D2 ZdqD2

(5.26)

v+- = D2 ZdqD2i +-

−1

(5.27)

D2 v +- = ZdqD2i +-

(5.28)

Assim

ou

Comparando-se (5.28) com (5.24) obtém-se:

vdq = D2 v+-

−1

(5.29)

v+- = D2 vdq

(5.30)

idq = D2i +-

(5.31)

−1

i+- = D2 idq

(5.32)

Assim, a matriz D2-1 transforma as variáveis de Park ( dq ) em componentes simétricas instantâneas ( +- ). Pode-se assim estabelecer a expressão (5.33).

 vS+  1 j v    S−  = 1 1 − j  vR +  2 0 0    0 0  vR− 

0   vSd    0   vSq  1 j   vR d    1 − j  vRq  0 0

(5.33)

A mesma transformação pode ser empregada nas demais variáveis da máquina, como fluxos e correntes.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

91

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Quando se trata de transformação trifásica, a forma empregada é a representada pela expressão (5.34).

 2 0 0   1 −1 D2 =  0 1 j 2   0 1 − j

(5.34)

5.3 EQUAÇÕES DAS TENSÕES

Definimos

anteriormente

a

transformação

componentes

simétricas

instantâneas. Vamos a seguir aplicá-la na obtenção de um novo modelo para a máquina simétrica. As equações (5.1) podem ser reescritas segundo as equações .

 vSdq   Z1 Z3   iSdq   =     vRdq   Z2 Z4  i Rdq 

(5.35)

D2 0   vS+-   Z1 Z3  D2 0   iS+-   0 D   v  =  Z Z   0 D  i   2   R+-   2 4  2   R+- 

(5.36)

Assim:

Podemos então estabelecer que: −1 −1  vS+-  D2 Z1D2 D2 Z3D2   iS+-     v  =  −1 −1  R+-  D2 Z2D2 D2 Z4D2  i R+- 

Cada submatriz da matriz impedância fica então diagonalizada. Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(5.37)

92

CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

i     + + Ψ R L p j 0  S  S    −1   D2 Z1D2 = i    0 RS + LS  p − j Ψ     

(5.38)

i i     + Ψ− θ m p j j 0    SR    −1  D2 Z2D2 =  i i    0 mSR  p − j Ψ+ j θ     

(5.39)

i     + Ψ m p j 0   SR     −1  D2 Z3D2 =  i    0 mSR  p − j Ψ      

(5.40)

i i     + + Ψ− θ R L p j j 0   R R     −1  D2 Z4D2 =  i i    0 R R + LR  p − j Ψ+ j θ     

(5.41)

Levando-se as expressões (5.38) a (5.41) na expressão (5.37), obtém-se a expressão (5.42).     vS+   v    S-    vR  =   +   vR-     

i   R S + LS  p + j Ψ   

0

i   mSR  p + j Ψ   

0

i   R S + LS  p − j Ψ   

0

i i   mSR  p + j Ψ− j θ   

0

i i   R R + LR  p + j Ψ− j θ   

0

i i   mSR  p − j Ψ+ j θ   

0

   i   iS+    mSR  p − j Ψ   i      S-  (5.42)  iR  0  +    i R-  i i    R R + LR  p − j Ψ+ j θ      0

A partir da expressão (5.33), constatamos que:

vS- = vS+

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

*

http://www.ivobarbi.com

(5.43)

93

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

e

vR- = vR+

*

(5.44)

Portanto as equações de seqüência negativa contém as mesmas informações que as de seqüência positiva e portanto serão desconsideradas. O modelo é representado pelas expressões (5.45) i    R + L p + j Ψ  S S  vS+      v  = i i  R +   mSR  p + j Ψ− j θ     

i    mSR  p + j Ψ   i      S+  i i   i R R + LR  p + j Ψ− j θ    R +   

(5.45)

Fica assim estabelecido que a máquina, mesmo para uma situação genérica, fica representada por apenas duas equações. Isto é possível porque as variáveis são complexas e contém sempre duas informações, uma do eixo “d” e outra do eixo “q”.

5.4 EQUAÇÃO DO TORQUE

Foi demonstrado que o torque desenvolvido pela máquina é representado pela expressão

(

T = mSR iSq ⋅ i R d − iSd ⋅ i R q

)

(5.46)

mas, iSd  1  1 1 iS+  i  =    2  − j j  iS-   Sq 

(5.47)

i Rd  1  1 1 iR +  i  =    2  − j j  i R -   Rq 

(5.48)

Assim: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

94

CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

iSd =

1 ( iS + iS- ) 2 +

(5.49)

j ( iS - iS ) 2 + -

(5.50)

1 ( iR + iR- ) 2 +

(5.51)

j ( iR - iR ) 2 + -

(5.52)

iSq = −

iRd =

iRq = −

Substituindo-se as expressões (5.49) a (5.52) na expressão (5.46), obtém-se T = mSR ( jiS- iR + − jiS+ i R- )

(

*

*

*

*

)

(5.54)

)

(5.55)

T = mSR jiS+ i R- − jiS+ i R -

(

T = mSR j iS+ i R - − iS+ i R -

(5.53)

se A = a + jb

(5.56)

A* = a − jb

(5.57)

A* − A = −2jb

(5.58)

e

obtém-se

portanto Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

95

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

j ( A* − A ) = 2b

(5.59)

Assim:

(

)

(5.60)

(

)

(5.61)

T = 2 ⋅ mSR ⋅ Im iS+ ⋅ i R -

T = 2 ⋅ mSR ⋅ Im iS- ⋅ i R +

Assim, o modelo final da máquina para “n” pares de pólos, é representado pelas equações i    R + L p + jn Ψ  S S   vS+     = v  i i  R +   mSR  p + jn Ψ− jn θ     

i    mSR  p + jn Ψ   i      S+  i i   i R R + LR  p + jn Ψ− jn θ    R +   

(

T = 2 ⋅ n ⋅ mSR ⋅ Im iS+ ⋅ i R -

)

(5.63)

O termo Im( x ) significa, parte imaginária de x. Para o motor de indução com rotor em curto, toma-se a v R + = 0 . i

Para o referencial colocado no estator, toma-se Ψ = 0 .

5.5 INTERPRETAÇÃO DAS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS

Seja a Fig. 5.1

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(5.62)

96

CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

q iS +

iS q

ωS iS d

d

- ωS - iS q

- iS -

Fig. 5.1 – Representação das componentes simétricas.

como iS+ =

(

1 iS + jiSq 2 d

)

(5.64)

a corrente iS+ é um fasor que instantaneamente assume um módulo dado por:

iS+ =

iSd 2 2

+

iSq 2 2

(5.65)

Se as correntes iSd e iSq forem senoidais balanceadas da forma: iSd = I ⋅ cos ( ωs t )

(5.66)

iSq = I ⋅ sen ( ωs t )

(5.67)

e

obtém-se iS+ =

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

I ( cos ( ωs t ) + jsen ( ωs t ) ) = I e jωst 2 2

http://www.ivobarbi.com

(5.68)

97

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Assim a corrente iS+ possui módulo constante, e gira no sentido anti-horário com velocidade constante igual a ωS . A corrente iS- será da forma iS- =

I − jωs t e 2

(5.69)

é igual em módulo à iS+ mas gira em sentido oposto. É preciso fazer uma cuidadosa distinção entre as componentes simétricas instantâneas definidas neste trabalho e as componentes simétricas tradicionais. As tradicionais são definidas para grandezas fasoriais e só são válidas no estudo de regimes permanentes. As instântaneas são válidas para qualquer situação.

5.6 MODELO PARA OS PARÂMETROS ROTÓRICOS REFERIDOS AO ESTATOR

A exemplo do que foi feito para o modelo de PARK obtido no capítulo IV, serão estabelecidas as equações da máquina para componentes simétricas instantâneas, representadas pelas expressões (5.70) e (5.71).   vS+    '=   vR +    

i   R S + LS  p + jn Ψ    i i   m1  p + jn Ψ− jn θ   

   iS    +'  i i   i R R ' + LR '  p + jn Ψ− jn θ    R +   

(5.70)

(

(5.71)

i   m1  p + jn Ψ   

T = 2 ⋅ n ⋅ m1 ⋅ I iS+ ⋅ i R-

'

)

onde:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

98

CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

m1 = a ⋅ mSR

'

(5.72)

RR = a2 ⋅ RR

(5.73)

LR = a 2 ⋅ LR = l2 + m1

(5.74)

LS = l1 + m1

(5.75)

'

A obtenção dos parâmetros é conseguida através dos ensaios a vazio e em curto-circuito.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

99

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

5.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 ) Considere um motor de indução operando com carga nominal. Subitamente as três fases são desconectadas simultaneamente da rede de alimentação. Determinar o comportamento da tensão do estator empregando o modelo deduzido para componentes simétricas instantâneas (ver item 8.3).

2 ) Seja um motor de indução alimentado por um inversor trifásico do tipo 180o. A tensão da fase 1 está representada na Fig. 5.2. As tensões das demais fases são idênticas mas defasadas de 120o e 240o em relação a primeira. Aplicando a transformação componentes simétricas instantâneas, obter a tensão vS+ . (2E/3) (E/3) O

0

O

120

O

240

O

360

Fig. 5.2 – Forma de onda da tensão da fase 1.

3 ) Considere um motor de indução alimentado por um par de correntes balanceadas da forma: iSα = IS ⋅ cos ( ωs t )

(5.76)

iSβ = IS ⋅ sen ( ωs t )

(5.77)

Obter a expressão do torque médio e instantâneo que o motor produz. Considerar o referencial colocado no campo girante. Empregar o modelo deduzido para componentes simétricas instantâneas.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

100

CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

Obter também a expressão da tensão instantânea nos terminais dos enrolamentos do estator.

4 ) Considere uma máquina de indução trifásica com rotor bloqueado alimentado por tensões balanceadas. vS1 = 2 ⋅ V ⋅ cos ( ωs t )

(5.78)

vS2 = 2 ⋅ V ⋅ cos ( ωs t − 120o )

(5.79)

vS3 = 2 ⋅ V ⋅ cos ( ωs t + 120o )

(5.80)

O motor possui 2 pólos. Os enrolamentos rotóricos são mantidos abertos. Utilizando as componentes simétricas instantâneas, determinar as expressões matemáticas das correntes do estator.

5 ) Considere o seguinte modelo: i    R + L p + j Ψ   S S   vS+    v  =  i i  R +   mSR  p + j Ψ− j θ     

i    mSR  p + j Ψ   i      S+  i i   i R R + LR  p + j Ψ− j θ    R +   

Estabelecer as expressões de iS+ e i R + em função de vS+ e v R + .

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(5.81)

CAPÍTULO

MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

6 INTRODUÇÃO

No desenvolvimento dos modelos para estudo do motor de indução, em regime permanente, será empregado o modelo geral representado pelas expressões (6.1) e (6.2) desenvolvidas no capítulo V.

pmSR  RS + pLS   vS+     iS+  • • =      0  m p − jn θ R + L p − jn θ  i     R+    SR  R R     

(

T = 2 ⋅ n ⋅ mSR Im iS+ ⋅ iR −

)

(6.1)

(6.2)

Será considerada alimentação senoidal desbalanceada tanto a nível da amplitude quanto a nível de fase. A partir das equações (6.1), com o emprego de variáveis instantâneas, extrai-se o modelo para variáveis fasoriais, empregado no estudo do motor em regime permanente. O motor será considerado com velocidade constante tornando possível a superposição. Isto permitirá a generalização dos resultados par alimentação não senoidal, bastando para tanto empregar o modelo obtido para cada harmônica de alimentação.

MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA ESTUDO DO REGIME PERMANENTE

Seja a referência fixa no estator. Assim:

102

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

vSd = vSα

(6.3)

vSq = vSβ

Conhecendo-se as tensões de alimentação e aplicando-se a transformação αβ, obtém-se:

vα = vα cos ( ωt + θα )

(6.4)

vβ = vβsen ( ωt + θβ )

Se a alimentação for balanceada, tem-se Vα = Vβ e θα = θβ. Nós vamos analisar uma situação genérica em que Vα ≠ Vβ e θα ≠ θβ. Considerando as identidades conhecidas da trigonometria, podemos escrever:

(

)

(

)

vα j( ωt +θα ) − j( ωt +θα ) e +e 2 v j( ωt +θβ ) − j( ωt +θβ ) vβ = β e −e 2j vα =

(6.5)

Definindo-se: _

vα = e jθα ⋅ vα _

jθβ

∴

vβ = − je ⋅ vβ

∴

_

vα = e− jθα ⋅ vα _

*

* β

v = je

− jθβ

(6.6)

⋅ vβ

obtém-se com (6.5) e (6.6) _ 1 _  * vα =  vα ⋅ e jωt + vα ⋅ e− jωt  2  _ _ 1  * vβ =  vβ ⋅ e jωt + vβ ⋅ e− jωt  2 

(6.7)

As expressões (6.7) indicam que as tensões pulsativas foram decompostas em tensões rotativas, com módulos iguais e sentidos diferentes. Considerando que:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

103

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

1 ( vα + jvβ ) 2 1 vS− = ( vα − jvβ ) 2 vS+ =

(6.8)

obtemos

vS+ =

1  1  _ jωt _ * − jωt  1  _ jωt _ * − jωt     vα ⋅ e + vα ⋅ e  + j 2  vβ ⋅ e + vβ ⋅ e   2  2   

(6.9)

Assim: _  _   _ * _ * 1   vα + jvβ  jωt  vα + jvβ  − jωt  vS+ = ⋅e + ⋅e   2   2  2      

(6.10)

Definindo-se: _

_

_

_

vα + jvβ vS+ = 2 _

_

vS− =

(6.11)

vα − jvβ 2

Assim: _ 1 _  * vS+ =  vS+ ⋅ e jωt + vS− ⋅ e− jωt  2  _ _ 1 *  vS− =  vS+ ⋅ e− jωt + vS− ⋅ e jωt  2 

_

_

(6.12)

_

_

Convém ressaltar que vα e v β são fasores. Portanto vS+ e vS- também são fasores. As expressões (6.11) podem ser representadas do seguinte modo:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

104

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

_  _  v 1 j S+   1  =  vα    _   2 1 − j  _   vS−   vβ 

(6.13)

que é a transformação componentes simétricas tradicionais. As grandezas vS+ e vS- são temporais e portanto não são fasores. Por analogia com a expressão (6.12) podemos estabelecer as expressões estatóricas e rotóricas. _ 1_  * iS+ =  i S+ ⋅ e jωt + i S− ⋅ e− jωt  2  _ _ 1 *  iS− =  i S+ ⋅ e− jωt + i S− ⋅ e jωt  2 

(6.14)

_ 1_  * iR + =  i R+ ⋅ e jωt + i R− ⋅ e− jωt  2  _ 1_ *  iR − =  i R+ ⋅ e− jωt + i R− ⋅ e jωt  2 

(6.15)

Levando-se as expressões (6.12), (6.14) e (6.15) na expressão (6.1), obtém-se: _ _ _ 1 _ 1_ 1_ * − jωt  * − jωt  * − jωt  jωt jωt jωt  vS+ ⋅ e + vS− ⋅ e  = ( R S + pLS )  i S+ ⋅ e + i S− ⋅ e  + pmSR  i R+ ⋅ e + i R− ⋅ e  2 2 2   

(6.16)

e

_ _ i 1 _ •    * *      1  _ 0 = mSR  p − jn θ   i S+ ⋅ e jωt + i S− ⋅ e− jωt  +  R R + LR  p − jn θ    i R+ ⋅ e jωt + i R− ⋅ e− jωt   2   2    

(6.17)

Se a máquina gira com velocidade constante, o seu modelo é linear, valendo portanto a superposição. Podemos então escrever:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

105

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

_

_

_

vS+ ⋅ e jωt = ( RS + pLS ) i S+ ⋅ e jωt + pmSR i R+ ⋅ e jωt i _ •      _ 0 = mSR  p − jn θ  i S+ ⋅ e jωt +  R R + LR  p − jn θ   i R + ⋅ e jωt     

_

_

_

vS− ⋅ e− jωt = ( RS + pLS ) i S− ⋅ e− jωt + pmSR i R− ⋅ e− jωt *

*

(6.18)

*

i _ •    *   _ * 0 = mSR  p − jn θ  i S− ⋅ e− jωt +  R R + LR  p − jn θ   i R − ⋅ e− jωt     

(6.19)

Tomando-se as derivadas

pe jωt = jω⋅ e jωt

(6.20)

e cancelando-se as exponenciais, obtém-se _

_

_

vS+ = ( RS + jωLS ) i S+ + jωmSR i R+ i _ •      _ 0 = mSR  jω− jn θ  i S+ +  R R + LR  jω− jn θ   i R +     

_

*

_

*

_

vS− = ( R S + jωLS ) i S− + jωmSR i R −

(6.21)

*

*

  i _  i  _ 0 = mSR  jn θ+ jω  i S− +  R R + LR  jn θ+ jω   i R−     

*

(6.22)

como •

n θ = ωm

(6.23)

ω− ωm = ωR = sω

(6.24)

ω+ ωm = ( 2 − s ) ω

(6.25)

Substituindo em (6.21) e (6.22), obtém-se:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

106

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

_

_

_

vS+ = ( RS + jωs LS ) i S+ + jωs mSR i R + _

(6.26)

_

0 = jsωs mSR i S+ + ( R R + jsωs LR ) i R +

_

_

_

vS− = ( RS + jωs LS ) i S− + jωs mSR i R− _

(6.27)

_

0 = jmSR ( 2 − s ) ωs i S− + ( R R + jLR ( 2 − s ) ωs ) i R − Dividindo-se a segunda equação por “s” e a quarta por “2 – s”, obtém-se: _

_

_

vS+ = ( RS + jωs LS ) i S+ + jωs mSR i R +

(6.28)

R _ 0 = jωs mSR i S+ +  R + jωs LR  i R +  s  _

_

_

_

vS− = ( R S − jωs LS ) i S− − jωs mSR i R− *

*

*

(6.29)

_ _ * *  R 0 = −mSR ωs i S− +  R - jLR ωs  i R −  ( 2 − s) 

Estes dois conjuntos de equações levam ao circuito equivalente para o motor, representado na Fig. 6.1. RS

(LS - m SR ) iS

vS

+

mSR

+

vS

-

iS

RS

(LR - m SR )

mSR -

(LS - m SR )

RR

iR

+

iR

(LR - m SR )

RR (1 - s) s

- RR (1 - s) (2 - s)

-

RR

Fig. 6.1 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação desbalanceada.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

107

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Este circuito vale para operação desbalanceada, desde que as tensões sejam senoidais e a velocidade constante. _

Para operação balanceada, tem-se vS- = 0; assim o modelo e o circuito eqüivalente são representados pela expressão (6.32) e pela Fig. 6.2. _

_

_

vS+ = ( RS + jωs LS ) i S+ + jωs mSR i R +

(6.30)

_ R _ 0 = jωs mSR i S+ +  R + jωs LR  i R +  s 

(LS - m SR )

RS

iS vS

(LR - m SR )

+

mSR

+

RR

iR

+

RR (1 - s) s

Fig. 6.2 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação balanceada.

O circuito eqüivalente pode ainda ser representado segundo a Fig. 6.3. mSR

RS iS vS

+

+

LS

RR

LR

iR

+

RR (1 - s) s

Fig. 6.3 – Representação alternativa para o circuito eqüivalente do motor de indução com operação balanceada.

TRANSFORMAÇÃO PRIMÁRIO-SECUNDÁRIO

Consideremos o circuito representado na Fig. 6.4.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

108

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

mSR

RS iS vS

+

LS

+

LR

n1

iR

+

R2 s

n2

Fig. 6.4 –Circuito eqüivalente do motor de indução com operação balanceada.

Seja

a=

n1 n2

(6.31)

=a

(6.32)

Assim _

vS+ _

vR + e _

i R+ _

=a

(6.33)

i S+ Seja '

vR + = avR + ⇒tensão rotórica referida ao estator e

'

iR+ =

iR+ a

⇒corrente rotórica referida ao estator.

(6.34)

(6.35)

Definimos a transformação: '  iS+  1 0  iS+  i  =   '  R +  0 a  iR + 

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.36)

109

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Assim:

 iS '  1 0   iS   + ' =  1  +   iR +  iR +  0  a 

(6.37)

'  vS+  1 0  vS+   =  '  vR +  0 a   vR + 

(6.38)

 vS '  1 0   vS   + '  =  1  +    v  vR +  0 a   R + 

(6.39)

1 0 PS−1 =   0 a 

(6.40)

1 0  PS =  1  0   a 

(6.41)

Do mesmo modo:

Seja

e

Tomemos as equações da máquina simétrica:

_   vS+  = _   vR + 

R S + jωSLS   jωSmSR 

jωSmSR

  RR + jωSLR   s

_   i S+  _   i R+ 

(6.42)

que podem ainda ser escritas: _

_

v+ = Z i +

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.43)

110

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

Assim _

_

'

PS ⋅ v+ = Z ⋅ PS-1 ⋅ i +

_

_

'

'

v+ = PS-1 ⋅ Z ⋅ PS-1 ⋅ i +

(6.44)

'

(6.45)

Seja

Z' = PS-1 ⋅ Z ⋅ PS-1

(6.46)

Assim _

_

'

v + = Z' ⋅ i +

'

(6.47)

Calculemos a nova matriz impedância Z’. Assim:

R + jωSLS 1 0   S Z =  0 a   jωSmSR  '

jωSmSR

  RR + jωSLR   s

1 0    0 a 

(6.48)

Assim:

R S + jωSLS Z =  jω am S SR  '

_

'

_

_

'

jωSamSR

  a 2R R 2 + jωSa LR  s 

(6.49)

_

Como vS+ = vS+ e i S+ = i S+ tem-se para o motor de indução o seguinte modelo:

_   vS+  =  0 

R S + jωSLS   jω am S SR 

jωSamSR

  a 2R R 2  + jωSa LR s 

_   i S+  _ '   i R + 

(6.50)

O novo circuito eqüivalente associado ao novo modelo está representado na Fig. 6.5.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

111

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

RS

iS vS

2

(LS - amSR )

+

+

(a L R- am SR)

amSR

iR

+

2

RR a s

Fig. 6.5 – Circuito eqüivalente para o motor de indução.

Vamos definir os seguintes parâmetros:

m1 = amSR ⇒ indutância de magnetização. l1 = LS − amSR ⇒ indutância de dispersão do estator. l2 = a 2 LR − amSR ⇒ indutância de dispersão do rotor referida ao estator.

(6.51)

rR a 2R R = ⇒ resistência do rotor referida ao estator. s s Desse modo o modelo para o motor de indução passa a ser: _ _ _ _ '  vS+ = ( RS + jX1 ) i S+ + jXm1  i S+ + i R +    ' ' _ _   r _ 0 = jXm1  i S+ + i R +  +  R + jX2  i R+    s

(6.52)

O circuito eqüivalente será o representado na Fig. 6.6. RS

vS

jX1

jX2

jXm1

+

RR

RR (1-s) s

Fig. 6.6 – Circuito eqüivalente para o motor de indução.

Este é o circuito eqüivalente clássico do motor de indução para alimentação senoidal balanceada em regime permanente. Na teoria clássica ele é normalmente estabelecido intuitivamente.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

112

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

O maior interesse deste circuito deve-se ao fato que os seus parâmetros podem ser medidos com facilidade e com relativa precisão, através dos ensaios de rotor travado e a vazio. O circuito eqüivalente para alimentação desbalanceada será o representado pela Fig. 6.7. jX1

RS

jX2

RR

vS

jXm1

RR (1-s) s

vS

jXm1

-RR (1-s) (2-s)

+

-

jX1

RS

jX2

RR

Fig. 6.7 – Circuito eqüivalente para o motor de indução.

Estes circuitos têm grande importância prática.

CÁLCULO DO TORQUE MÉDIO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

Vamos inicialmente estabelecer a expressão geral do torque para regime permanente. Foi estabelecido que:

(

T = 2 ⋅ n ⋅ mSR Im iS+ ⋅ iR −

)

(6.53)

Levando-se as expressões (6.14) e (6.15) em (6.53), obtém-se _ * _ 1_  _ *  T = 2 ⋅ n ⋅ mSR Im   i S+ ⋅ e jωt + i S− ⋅ e− jωt  ⋅  i R + ⋅ e− jωt + i R− ⋅ e jωt   4      

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.54)

113

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Portanto * _ * _ * _ _ _ * _  n ⋅ mSR  _ _ − j2 ωt j2 ωt + i S+ ⋅ i R− ⋅ e + i S− ⋅ i R−  T= Im  i S+ ⋅ i R + + i S− ⋅ i R + ⋅ e 2  

(6.55)

Os termos onde aparecem ej2ωt e e-j2ωt possuem torque médio nulo e podem então ser abandonados. Assim: * _ * _  n ⋅ mSR  _ _ T= Im  i S+ ⋅ i R + + i S− ⋅ i R−  2  

(6.56)

Podemos definir: * n ⋅ mSR  _ _  Im  i S+ ⋅ i R +  2  

(6.57)

* n ⋅ mSR  _ _  T− = Im  i S− ⋅ i R−  2  

(6.58)

T = T+ + T−

(6.59)

T+ =

e

Assim:

Para se obter as expressões do torque é necessário que se conheça as expressões das correntes. Foi visto que:

 _  R S + jωs LS  vS+  =   0   jωs mSR 

jωs mSR

_    i S+  RR + jωs LR   _    i R +  s

A inversa da matriz Z é dada por:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.60)

114

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

1

−1

Z =

R ( RS + jωs LS )  R + jωs LR  + ωs2mSR 2  s 

 RR  s + jωs LR   − jωs mSR

 − jωs mSR   R S + jωs LS 

(6.61)

 _ − jωs mSR   vS+     0  RS + jωs LS   

(6.62)

Como:

_  1  i S+  = _   RR  2 2  i R+  ( RS + jωs LS )  s + jωs LR  + ωs mSR  

 RR  s + jωs LR   − jωs mSR

obtém-se:

 RR _ + ω L j  s R  vS+ _ s   i S+ = R ( RS + jωs LS )  R + jωs LR  + ωs2mSR 2  s 

_

i R+

(6.63)

_

− jωs mSR vS+ = R ( RS + jωs LS )  R + jωs LR  + ωs2mSR 2  s 

(6.64)

De um modo semelhante podemos obter:

 RR _ j + ω L  s R  vS− _ 2−s   i S− = R ( RS + jωs LS )  R + jωs LR  + ωs2mSR 2  2−s 

_

i R−

_

− jωs mSR vS− = R ( RS + jωs LS )  R + jωs LR  + ωs2mSR 2  2−s 

Podemos ainda representar as correntes do seguinte modo:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(6.65)

http://www.ivobarbi.com

(6.66)

115

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

 RR _ j L + ω  s R  vS+ _ s   i S+ = R SR R ωL R  2 2 2 − ωs LR LS + ωs mSR + j  s S R + ωs LR RS  s s  

(6.67)

_

_

i R+

− jωs mSR vS+ = R SR R ωL R  2 2 2 − ωs LR LS + ωs mSR + j  s S R + ωs LR R S  s s  

(6.68)

Desse modo, tem-se: _

_

jωs mSR vS+

*

i R+ =

*

R SR R ωL R  2 2 2 − ωs LR LS + ωs mSR − j  s S R + ωs LR RS  s s  

(6.69)

Assim:

ωs mSR R R  _ _ *  2 −ω m L + j s SR R   vS+ ⋅ vS+ _ _ s *   i S+ ⋅ i R + = 2 2  R SR R  ωs LSR R  2 2 2 − ω L L + ω m + + ω L R s R S s SR  s R S   s  s   

(6.70)

Pela teoria dos números complexos, sabemos que: _

_

_

*

2

vS+ ⋅ vS+ = vS+

(6.71)

Consequentemente as expressões do torque serão: 2

2

1 nωs mSR R R _ vS+ 2 s T+ = 2 2  R SR R  ωs LSR R  2 2 2 − ω + ω + + ω m R L L L s R S s SR  s R S   s  s   

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.72)

116

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

2

T− =

1 nωs mSR R R _ − vS− 2 (2 − s)

2

2

 R SR R  ωs LSR R  2 2 2  (2 − s) − ωs LR LS + ωs mSR  +  (2 − s) + ωs LR RS     

2

(6.73)

Se a alimentação for balanceada tem-se: _

_

vα = jvβ

(6.74)

_

vS− = 0

_

vS+ =

2jvβ 2

(6.75)

_

⇒ vS+ =

2 _ vβ 2

_

vβ = vβ = vα = vαβ

_

(6.76)

(6.77)

2

vS+ = 2vαβ

2

(6.78)

mas

vαβ =

3 VSP 2

(6.79)

onde VSP é o pico da tensão de fase. Assim: _

2

vS+ = 3VSP

2

mas

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.80)

117

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

VSP = 2 ⋅ vS

(6.81)

Assim: _

2

vS+ = 6vS

2

(6.82)

onde vS é o valor eficaz da tensão de alimentação. Assim a expressão do torque para uma máquina balanceada será:

RR 2 vS s T+ = 2 2  R SR R  ωs LSR R  2 2 2 − ωs LR LS + ωs mSR  +  + ωs LR RS   s  s    3nωs mSR

2

(6.83)

É mais freqüente encontrar-se a expressão (6.83) modificada, reescrita segundo a expressão (6.86).

RR 2 2 2 ωs mSR vS s T+ = 2 2   R SR R  ωs LSR R   2 2 2 ωSN   − ωs LR LS + ωs mSR  +  + ωs LR RS    s s      3

(6.84)

onde ωSN é a velocidade síncrona. É interessante expressar o torque em função das reatâncias de dispersão e magnetizante no lugar das reatâncias cíclicas. Multiplicando-se o numerador e o denominador da expressão (6.84) por a4, obtém-se a expressão (6.87).

T+ =

 R  2 2 2 3  a 2 R  ωs a 2 mSR vS s   2 2   R a 2R  ωs LSR R a 2   2 2 2 2 2 2 S R ωSN   − ωs a LR LS + ωs a mSR  +  + ωsa LR RS    s s     

Seja: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.85)

118

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

A=

R Sa 2 R R 2 2 2 − ωs a 2LR LS + ωs a 2 mSR s

(6.86)

ωs LSR R a 2 + ωs a 2 LR R S s

(6.87)

R Sa 2 R R 2 − a 2XR XS + a 2 XM s

(6.88)

B=

Assim:

A=

onde:

XM = ωSmSR ⇒ Reatância mútua cíclica. XS = ωSLS

⇒ Reatância cíclica do estator.

XR = ωSLR

⇒ Reatância cíclica do rotor.

A expressão (6.88) pode ser reescrita segundo a expressão (6.91).

R Sa 2 R R 2 2 2 A= − a 2 XR XS + a 2 XM − a 3XM XR + a 3XM XR − aXSXM + aXSXM + a 2 XM − a 2 XM s

(6.89)

Assim:

A=

R Sa 2 R R − aXM ( a 2 XR − aXM ) − aXM ( XS − aXM ) − ( XS − aXM ) ( a 2 XR − aXM ) s

(6.90)

mas: '

R R a 2R R = s s

Xm = aXM

⇒ Reatância magnetizante.

X1 = XS − aXM

⇒ Reatância de dispersão do estator.

'

X2 = a XR − aXM 2

⇒ Reatância de dispersão do rotor referida ao rotor.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.91)

119

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

A=

R Sa 2 R R − Xm X2´ − X1Xm − X1X2´ s

(6.92)

Vamos em seguida manipular a expressão (6.87).

X R  B = a 2  S R + XR R S   s 

B=

(6.93)

a 2 XSR R a 3 XM R R a 3 XM R R + a 2 XR R S − + + RSaXM − RSaXM s s s

'

B=

'

(

RR R ( XS − aXM ) + aXM R + RS aXM + ( a 2XR − aXM ) s s

'

'

(

R R ' B = R X1 + Xm R + RS Xm + X2 s s

)

)

(6.94)

(6.95)

(6.96)

Levando-se as expressões (6.92) e (6.96) na expressão (6.85), obtém-se a expressão (6.100).

RR' 2 2 Xm vS s T+ = 2 2   R a 2R   RR' RR' ' ' '  S R X1 + Xm ωSN   − Xm X2 − X1Xm − X1X2  +  + R S ( Xm + X2 )    s s     s  3

(6.97)

A expressão (6.97) é mais difundida que a expressão (6.83). É obtida normalmente pela análise do circuito eqüivalente da máquina. É sem dúvida uma das expressões mais importantes em engenharia elétrica. A representação gráfica da expressão (6.97) encontra-se na Fig. 6.8. O torque é representado em função do escorregamento s.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

120

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

T

T

MAX

2

1

Freio

Motor

0

Gerador

s

Fig. 6.8 – Torque da máquina de indução em função do escorregamento.

MODELO PARA O REGIME PERMANENTE A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE PARK

Nos itens anteriores, for a obtidos modelos para o motor de indução em regime permanente, a partir do modelo genérico estabelecido para componentes simétricas instantâneas. Neste item será estabelecido o modelo para estudar em regime, a partir do modelo genérico estabelecido pela transformação de PARK. Seja o modelo de PARK, obtido no capítulo IV, representado pela expressão (6.101).

  vSd   RS + pLS    0  vSq    =  vRd   pmSR v    Rq   −m θ• n SR 

0

pmSR

RS + pLS

0

•

   iSd    pmSR   iSq  •  i  LR n θ   R d   iRq  R R + pLR    0

mSR θ n

R R + pLR

pmSR

-LR n θ

•

(6.98)

Em regime permanente senoidal as tensões e correntes instantâneas serão substituídas por fasores, com módulos iguais aos valores eficazes. Fazendo p = jω obtém-se a expressão . Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

121

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

  vSd   RS + jωLS    0  vSq    =  vRd   jωmSR v    Rq   −m θ• n SR 

0

jωmSR

RS + jωLS

0

•

mSR θ n

R R + jωLR

jωmSR

-LR n θ

•

   iSd    jωmSR   iSq  •  i  LR n θ   R d   iRq  R R + jωLR    0

(6.99)

A expressão (6.99) pode ser representada compactamente pela expressão (6.103).

• v = Z θi  

(6.100)

Para se obter as correntes do motor faz-se: -1

• i =Zθ v  

(6.101)

Com o auxílio de um computador, pode-se calcular as correntes em função da i

velocidade do rotor θ , conhecendo-se as tensões de alimentação, os parâmetros e a freqüência de alimentação. Podemos afirmar que os modelos obtidos a partir das transformações complexas são mais adequados para o estudo analítico, por serem mais simples. Além disso, levam ao estabelecimento de circuitos eqüivalentes, que permitem a interpretação física do comportamento do motor. Para a obtenção da expressão do torque, será adotado o procedimento descrito a seguir:

 RS  0 R=  0   0

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

0 RS 0

0 0 RR

0

0

     R R  0 0 0

http://www.ivobarbi.com

(6.102)

122

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

 LS  0 L=  mSR   0

 0  0 G=  0  −mSR

0 LS 0

mSR 0 LR

mSR

0

0  mSR    LR 

0

0

0 mSR

0 0

0

-LR

0  0  LR   0 

(6.103)

(6.104)

Assim: i

v = Ri + jwLi + n θ Gi

(6.105)

Pré-multiplicando todos os termos da expressão (6.105) por i*t obtém-se: i

i*t v = i*t Ri + jωi*t Li + n θ i*t Gi

(6.106)

Tomando-se a parte real de cada termo, obtém-se a expressão (6.110).

 i  Re ( i*t v ) = Re ( i*t Ri ) + Re ( jωi*t Li ) + Re  n θ i*t Gi   

(6.107)

onde:

Re ( i*t v )

⇒ potência entregue ao motor.

Re ( i*tRi )

⇒ potência perdida nas resistências dos enrolamentos.

Re ( jωi*tLi )

⇒ potência puramente reativa, necessária para produzir fluxo no motor.

 i *   n θ i t Gi   

⇒ potência mecânica produzida pelo motor.

Pm = n θ Re ( i*tGi ) i

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(6.108)

123

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

T=

Pm

(6.109)

i

θ Assim:

T = nRe ( i*tGi )

(6.110)

Assim:

T = nRe iSd

*

iSq

*

iRd

*

 0  *  0 iRq   0  −mSR

0

0

0 mSR

0 0

0

-LR

0   iSd    0   iSq    LR  iRd   0  i   Rq 

(6.111)

Fazendo-se o produto matricial e ignorando-se o sentido do torque, obtém-se a expressão .

(

*

T = nmSR Re iSq iRd − iSd iRd

*

)

(6.112)

Com as correntes obtidas na expressão (6.99) entra-se na expressão (6.112) e obtém-se o torque médio desenvolvido pelo motor em função da velocidade.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

124

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja um motor de indução com os seguintes parâmetros:

X1 = X2 = 4Ω (reatâncias de dispersão) RS = 2Ω R R = 3Ω Xm1 = 100Ω

(reatância magnética)

f = 60Hz n=2 vS = 220V

(pares de pólos) (tensão eficaz de fase)

(6.113)

Determinar as seguintes características: a) Torque médio em função do escorregamento; b) Corrente eficaz de fase em função do escorregamento; c) Determinar para qual escorregamento o torque é máximo; d) Supondo escorregamento nominal igual a 0,03, determinar a velocidade, o torque e a potência nominais.

2) Dos ensaios de um motor trifásico de indução foram obtidos os seguintes dados: (a) Ensaio a vazio:

v f = 220V i f = 2, 2 A

(b) Ensaio do rotor travado:

v f = 80V

∴

i f = 5, 2 A

(c) Medida de resistência do estator: RS = 2, 6Ω Determinar: (a) Indutância magnetizante; (b) Indutância de dispersão; Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

Pf = 130W

125

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

(c) Resistência do rotor (RR); (d) Indutância cíclica do rotor referida ao estator (L’R); (e) Indutância cíclica do estator (LS) e (f) Indutância mútua cíclica .

3) Considere o modelo do exercício 1, alimentado por tensões desbalanceadas do seguinte tipo: vS1 = 2 ⋅ V ⋅ cos ( ωs t )

(6.114)

vS2 = 2 ⋅ V ⋅ cos ( ωs t − 120o )

(6.115)

vS3 = 2 ⋅ V ⋅ cos ( ωs t + 120o )

(6.116)

Determinar as correntes iS1 ,iS2 e iS3

e o torque do motor em função do

escorregamento.

4) Considere o motor do exercício

número 1, alimentado por tensões trifásicas

balanceadas, geradas por um inversor, cuja forma está representada na Fig. 6.9 para uma fase. (2E/3) (E/3) O

0

O

120

O

240

O

360

Fig. 6.9 – Forma de onda da tensão da fase 1.

Onde E = 400V, f = 60Hz

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

126

CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

(a) Empregando o princípio da superposição, determinar a característica torquevelocidade do motor. (b) Obter a corrente de uma das fases em função do tempo.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

CAPÍTULO

TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

7 7.1 INTRODUÇÃO

Vamos considerar o caso de um motor de indução industrial, alimentado por tensões trifásicas balanceadas. Tal motor tem a característica torque-velocidade representada na Fig. 7.1. T

Tn

1

sn

0

s

Fig. 7.1 – Característica de torque-velocidade de um motor de indução.

Normalmente o motor opera na região de baixos escorregamentos, onde 0 < s < sn sendo sn o escorregamento em que o motor produz o torque nominal. Durante o transitório de partida o escorregamento varia de 1 até um valor próximo de zero. Dois transitórios mecânicos são de interesse prático: (a) partida do motor; (b) variação de carga na região normal de operação. Como já foi estabelecido nos capítulos anteriores a solução completa das equações da máquina só pode ser obtida por simulação. Neste capítulo nós procuraremos estabelecer métodos de análise dos transitórios citados, sem recorrer aos modelos completos do motor. Serão estabelecidos métodos simplificados, mas que produzam resultados satisfatórios do ponto de vista prático.

129

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

A simplificação decorre dos seguintes fatos: (a) a constante de tempo mecânica é muito maior que as constantes de tempo elétricas. (b) consequentemente, durante um transitório elétrico, a velocidade da máquina poderá ser considerada constante. (c) por outro lado, por serem os transitórios mecânicos muito lentos, as variáveis

elétricas

evoluirão

através

de

regimes

permanentes

sucessivos. As

conseqüências

dessas

simplificações

serão

evidenciadas

no

desenvolvimento deste capítulo.

7.2 COMPORTAMENTO DINÂMICO NA REGIÃO DE BAIXOS ESCORREGAMENTOS

Foi estabelecida no capítulo VI a expressão do torque médio desenvolvido pelo motor, representada aqui pela expressão (7.1). 2 n 2 R ωmSR R vS+ 2 s T= 2 2 RR   R SR R 2  2 2 − ω − + ω + L L m L R L R S SR S    R S  s    s 

(

)

(7.1)

Multiplicando-se o numerador e o denominador por s2, obtém-se a expressão (7.2).

T=

(

(

2 n 2 R ωmSR R vS+ s2 2 s

RSR R − sω2 LR LS − mSR

2

))

2

+ ω2 ( LR RSs + LSR R )

2

(7.2)

Na região em estudo, o escorregamento é muito baixo, assim s ≅ 0. Portanto: 2

2

n ωmSR R R vS+ s T= 2 RS2 R R 2 + ω2 LS2 R R 2 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(7.3)

130

CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

2

2

n ωmSR vS+ s T= 2 R R R S2 + ω2 LS2

(

s=

(7.4)

)

ω− nωm nω = 1− m ω ω

(7.5)

Assim: 2 nω  2 ωmSR vS+ 1 − m  n ω   T= 2 2 2 R R RS + ω2 LS

(

(7.6)

)

Podemos então concluir que na região de baixos escorregamentos o torque é função linear da velocidade. Desenvolvendo a expressão (7.6) encontramos a expressão (7.7). 2

2

2

2

n ωmSR vS+ n 2 mSR vS+ ωm T= − 2 R R RS2 + ω2 LS2 2 R R R S2 + ω2LS2

(

)

(

)

(7.7)

Seja: 2

2

mSR vS+ n2 De = 2 R R RS2 + ω2 LS2

(

)

(7.8)

Portanto o torque pode ser representado pela expressão (7.9):

T=

De ⋅ω − De ⋅ωm n

(7.9)

O transitório mecânico é descrito pela equação (7.10):

T = Tj + TD + TL onde: T ⇒

torque do motor

Tj ⇒

torque de inércia total

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(7.10)

131

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

TD ⇒

torque de atrito total

TL ⇒

torque de carga

assim,

TL + J

dωm ω + ( D + De ) ωm = De dt n

(7.11)

Desse modo o comportamento do motor fica representado por uma equação diferencial linear de primeira ordem. Quando TL e ωm é constante, obtém-se

ωm0 =

De ω ( D + De) n

(7.12)

que é a velocidade inicial do motor com torque de carga nulo. Uma aplicação interessante do modelo estabelecido pelas expressões anteriores é o estudo do motor submetido a cargas impulsivas periódicas, encontradas em indústrias ligadas à metalurgia. O torque impulsivo é aquele cuja duração é muito pequena em relação à constante de tempo mecânica do motor, incluindo o momento de inércia da máquina acionada por ele. Tal torque está representado na Fig. 7.2. T

j

t

Fig. 7.2 – Representação do torque impulsivo.

A impulsão é definida pela expressão γ

I = ∫ T(t)dt 0

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(7.13)

132

CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

A impulsão produz uma redução eqüivalente da quantidade de movimento do motor, definida pela expressão (7.14).

I = J∆ωm

(7.14)

I J

(7.15)

assim:

∆ωm =

Do ponto de vista teórico, a impulsão produz uma redução instantânea da velocidade, dada pela expressão (7.15). Assim, antes da impulsão a velocidade é dada pela expressão (7.16). Após a impulsão é representada pela expressão (7.18).

De ω ( D + De) n

(7.16)

ωm0+ = ωm0− − ∆ωm

(7.17)

ωm0− =

Assim:

ωm0+ =

De ω I − ( D + De) n J

(7.18)

Após a redução da velocidade provocada pela impulsão, a velocidade do motor começa a aumentar, obedecendo à equação (7.11) e com valor inicial ωm0+ , com torque de carga TL nulo. Vamos rescrever a equação mecânica, que passa a ser representada pela expressão.

J

ω dωm + ( D + De ) ωm = De dt n

(7.19)

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação (7.19). Assim:

sJωm ( s ) − Jωm0+ + ( D + De ) ωm ( s ) =

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

De ω n s

(7.20)

133

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

De ⋅ω ωm0+ J⋅n ωm ( s ) = +  D + De   D + De  ss +  s +  J   J  

(7.21)

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos a expressão . − De ω  1 − e  ( D + De) n 

 D+ De  t J 

ωm ( t ) =

 D+ De   − t  + ωm0+ e  J   

(7.22)

Assim:

ωm ( t ) =

 D+ De  t J 

De ω I − − e ( D + De) n J

(7.23)

A evolução da velocidade em função do tempo está representada na Fig. 7.3.

ωm D ω (D+De) n

ωm0 + t 0+

tf

t

Fig. 7.3 – Evolução da velocidade após um torque impulsivo.

O motor readquire a sua velocidade quanto t = tf

t f ≅~ 5τm =

5J D + De

(7.24)

A freqüência dos impactos é definida pela expressão (7.25).

fmáx =

1 D + De = tf 5J

(7.25)

A quantidade máxima de impactos aumenta na medida em que a inércia do conjunto diminui.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

134

CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

Vamos a seguir determinar a forma da corrente estatórica da máquina durante o transitório imposto pela carga. A corrente em regime permanente é dada pela expressão (7.26), estabelecida no capítulo VI.

 RR  + jωLR  vS+   s  iS+ = R ( RS + jωLS )  R + jωLR  + ω2mSR 2  s 

(7.26)

Multiplicando-se o numerador e o denominador por s encontrarmos a expressão (7.27).

iS+ =

( R R + jωLRs ) vS ( RS + jωLS )( R R + jωLRs ) + sω2mSR 2 +

(7.27)

( R R + jωLRs ) vS R R ( RS + jωLS )

(7.28)

ω− nωm ω

(7.29)

Como s ≅ 0 encontramos:

iS+ =

+

s= Assim:

iS+ =

(R

R

+ jLR ( ω− nωm ) ) vS+ R R ( RS + jωLS )

(7.30)

Levando-se a expressão (7.23) na expressão (7.30) obtém-se a expressão .  D+ De     De n − J t     R R + jLR  ω−  ω− Ie    vS+  ( D + De )    J    iS+ =  R R ( RS + jωLS )

(7.31)

vS+ e iS+ estão relacionados com o valor de pico dos valores de fase pela mesma constante de proporcionalidade.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

135

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Assim o valor de pico da corrente de fase passa a ser representado pela expressão (7.32). 2  D+ De    −  t  De n 2 2 J    R R + LR  ω− ω+ Ie      D De J + ( )    vSp  iSp ( t ) = ⋅ 2 2 RR R S + ω2 LS

(

)

(7.32)

Na Fig. 7.4 está representada a corrente do estator em função do tempo, cuja envoltória é representada pela expressão (7.32). is(t)

t

t0

Fig. 7.4 – Comportamento da corrente de estator durante o torque impulsivo.

7.3 TRANSITÓRIO MECÂNICA DE PARTIDA

Seja a Fig. 7.5. Nela estão representados o torque produzido pelo motor e o torque oferecido pela carga, TE e TL respectivamente, em função da velocidade. TE

∆T(ωm) TL

ω

0

n

ωm

Fig. 7.5 – Característica de torque-velocidade de um motor de indução (TE) e de uma carga (TL). Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

136

CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

∆T ( ωm ) = TE − TL

(7.33)

Ignorando o torque de atrito, o comportamento dinâmico obedece à expressão (7.34).

TE − TL = J

dωm dt

(7.34)

dωm dt

(7.35)

ou

∆T ( ωm ) = J

que é uma equação diferencial de primeira ordem não linear. Vamos estabelecer um método gráfico para resolvê-la. Podemos escrever:

dt =

t=

J dωm ∆T ( ωm )

ωm

(7.36)

J

∫ ∆T ( ω ) dω

(7.37)

m

m

0

A expressão (7.37) determina o tempo necessário para a velocidade evoluir de zero até ωm. A partir da Fig. 7.5 podemos obter a curva representada na Fig. 7.6.

J

∆T(ωm)

0

ωm

1

ω

ωm

n

Fig. 7.6 – Curva para o cálculo do tempo de aceleração na partida do motor de indução.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

137

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Portanto a área hachurada na Fig. 7.6 representa o tempo necessário para a velocidade evoluir até ωm1 . Assim, para cada valor de ωm pode-se determinar graficamente o respectivo valor de t e obter a função ωm ( t ) , como está representada na Fig. 7.7. ωm ω n

t

Fig. 7.7 – Velocidade angular em função do tempo.

Com o método descrito, apesar de sua simplicidade, obtém-se resultado satisfatórios e por isto é de grande interesse prático. Conhecendo-se a função ωm ( t ) , pode-se estabelecer a função iS ( t ) com o emprego da expressão (7.32).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

138

CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

7.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Considere um motor de indução com os seguintes parâmetros: J = 2,63 x 10-2 kg . m2 (inércia) D = 2,60 x 10-2 kg . m2/s (atrito) n = 4 (pares de pólos) f = 60Hz (freqüência de alimentação) mSR = 265 mH RS = 2,0 Ω RR = 3,0 Ω LS = 275 mH LR = 275 mH vS = 220 V (tensão de fase) O motor inicialmente funciona a vazio. Sofre a ação de um torque impulsivo cujo valor I = 0,5 N.m. Determinar a resposta que o motor apresenta, em velocidade e corrente.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

CAPÍTULO

8

ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

8.1 TRANSITÓRIO ELÉTRICO DE PARTIDA

Vamos considerar o caso de um motor de indução com constante de tempo mecânica muito maior que as constantes de tempo elétricas. O motor encontra-se em repouso quando é subitamente alimentado por tensões senoidais balanceadas. Como conseqüência da diferença entre as constantes de tempo, o transitório das correntes se estingue antes que o motor comece a girar. Assim a análise será feita para velocidade nula. Seja:

vS1 = 2vSsen ( ωt )

(8.1)

vS2 = 2vSsen ( ωt − 120o )

(8.2)

vS3 = 2vSsen ( ωt + 120o )

(8.3)

vSα = 3vS cos ( ωt )

(8.4)

vSβ = 3vSsen ( ωt )

(8.5)

Assim:

Seja o modelo do motor em componentes simétricas instantâneas. i    R + L p + j Ψ   S S   vS+     0 =  i i    m  p + j Ψ− j θ   SR     

  i    S+  i i   i R R + LR  p + j Ψ− j θ   R +    i   mSR  p + j Ψ   

(8.6)

140

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

i

Como o motor encontra-se em repouso θ = 0. Colocando-se o referencial no i

estator tem-se Ψ = 0. Assim:  vS+   R S + pLS  0 =     pmSR

pmSR   iS+    R R + pLR  i R + 

(8.7)

O modelo está representado pelo circuito a seguir. RS

(LS - mSR ) iS

vS

+

(LR - mSR ) iR

+

mSR

+

RR

Fig. 8.1 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação balanceada.

Todos os parâmetros estão referidos ao primário. Seja: AS = LS - mSR

(dispersão primária)

AR = LR - mSR

(dispersão secundária)

como AS e AR são muito menores que mSR, a presença desta última indutância será ignorada. Assim o circuito adquire a configuração representada na Fig. 8.2. AS

RS iS vS

AR

RR

+

+

Fig. 8.2 – Circuito eqüivalente para o motor de indução simplificado.

O modelo então passa a ser: vS+ = ( R S + R R ) iS+ + p ( A S + A R ) iS+ Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(8.8)

141

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Seja: R = RS + R R

(8.9)

A = AS + AR

(8.10)

vS+ = RiS+ + pAiS+

(8.11)

Assim:

Aplicando-se a transformação de Laplace, obtém-se: iS+ ( s ) =

vS+ =

vS+ =

vS+ ( s )

1

A

 R s +  A 

(

1 vS + jvSβ 2 α

)

(8.12)

(8.13)

3 vS ( cos ( ωt ) + jsen ( ωt ) ) 2

(8.14)

3 vS e jωt 2

(8.15)

Assim: vS+ =

Assim: vS+ ( s ) =

3 vS 2 s − jω

(8.16)

Levando-se (8.16) em (8.12) obtém-se (8.17): iS+ ( s ) =

3 vS 2 A

1 R ( s − jω)  s +  A 

(8.17)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.18). Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

142

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

 jωt − RA t  3 1 vS e −e  2 ( R + jωA )  

iS+ ( t ) =

(8.18)

R + jωA = R 2 + ω2 A 2 e jφ0

(8.19)

 ωA  φ0 = tan −1   R

(8.20)

 j( ωt −φ0 ) − RA t − jφ0  3 vS iS+ ( t ) = −e e  2 R 2 + ω2 A 2  

(8.21)

onde

Assim:

Por outro lado: iSd ( t ) = 2 Re iS+ ( t ) = Parte real iS+ ( t )

(8.22)

Assim: iSd ( t ) = 3

R − t   A cos t e cos ( φ0 )  ω − φ − ( )  0 R 2 + ω2 A 2  

vS

(8.23)

mas, iSd =

3 iS 2 1

(8.24)

Assim: R − t   A iS1 ( t ) =  cos ( ωt − φ0 ) − e cos ( φ0 )  2 2 2 R +ω A  

2vS

(8.25)

A expressão (8.25) representa a corrente transitória na fase 1 do motor. Possui uma componente cosenoidal e uma exponencial. A sua forma está representada na Fig. 8.3.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

143

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

iS

1

t

Fig. 8.3 – Corrente transitória na fase 1 um do motor de indução.

Após o transitório a corrente é limitada somente pelas resistências do estator e do rotor e pelas reatâncias de dispersão do motor. A constante de tempo elétrica é muito pequena. Consideremos a título de exemplo os seguintes valores: R S + R R ≅ 2,0Ω XA S + XA R ≅ 4,0Ω

(8.26)

Assim: A S + A R = A = 10,6mH

(8.27)

A 10,6 = = 5,3ms R 2,0

(8.28)

Assim: τe =

Supondo que o transitório elétrico esteja terminado após cinco constantes de tempo, tem-se: ∆t = 5τe = 26,5ms

(8.29)

Assim o transitório tem uma duração aproximada de dois ciclos da rede. É muito rápido e na maioria das vezes é desconsiderado.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

144

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

8.2 CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO DO MOTOR DE INDUÇÃO

a) modelos básicos: Vamos considerar um motor trifásico de indução alimentado pela rede e acionando uma carga mecânica. Num determinado instante, quando t = 0, é estabelecido um curto circuito trifásico nos seus terminais. Deseja-se expressar, em função do tempo, a evolução das correntes nas fases. O transitório elétrico de curto-circuito é muito rápido. Por isto, para efeito de estudo, a velocidade do motor será considerada constante. i 1 (t) i 2 (t) MOTOR

i 3 (t)

Fig. 8.4 – Representação de um curto-circuito trifásico em um motor de indução.

Seja o modelo sob a forma de componentes simétricas instantâneas, com referencial preso no estator, de acordo com a expressão (8.30).  R S + pLS  vS+    0 =  i    m  p − jn θ    SR    

   iS   +  i   i R R + LR  p − jn θ   R +    pmSR

(8.30)

Para facilitar a análise, a resistência do estator será inicialmente ignorada. Ela influencia basicamente na forma de envoltória da corrente e o seu valor poderá ser i

incluído no valor de RR. Seja n θ = ωm sendo ωm a velocidade do motor. i

Durante o curto tem-se n θ = ωm . Assim o modelo adquire a forma de expressão (8.31).  pLS 0    0 =     m  p − jn θi   SR      Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

  i    S+  i   i R R + LR  p − jn θ   R +    pmSR

http://www.ivobarbi.com

(8.31)

145

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Tomando-se a transformada de Laplace, obtém-se a expressão (8.32). 0  0 =    

sLSiS+ ( s ) − LSiS0+

mSR ( s − jωm ) iS+ ( s ) − mSR iS0+

smSR iR + ( s ) − mSR iR0+

  R R i R + ( s ) + LR ( s − jωm ) iR + ( s ) − LR iR0+ 

(8.32)

Da expressão (8.32) obtém-se a expressão (8.33). sLS smSR   iS+ ( s )   LS 0  0 = m ( s − jω ) R + L ( s − jω )  i ( s )  − m m R R m   R+    SR   SR

mSR   iS0+    LR  iR0+ 

(8.33)

Seja: φS0+ = LSiS0+ + mSR iR0+

(8.34)

φR0+ = mSR iS0+ + LR iR0+

(8.35)

O modelo adquire então a forma da expressão (8.36). sLS smSR  φS0+     iS+ ( s )    φ  = m s − jω R R + LR ( s − jωm )  iR + ( s )  m)  R0+   SR (

(8.36)

Portanto: sLS smSR  iS+ ( s )     φS0+   =    iR + ( s )  mSR ( s − jωm ) R R + LR ( s − jωm )  φR0+  −1

(8.37)

Invertendo a matriz Z e isolando-se a corrente iS+ ( s ) , obtém-se a expressão (8.38).  RR  mSR  L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+ R  iS+ ( s ) =  R 2  m  L s S R R +  LS − SR  ( s − jωm ) s LR LR  

'

LS = LS −

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

mSR LR

(8.38)

2

http://www.ivobarbi.com

(8.39)

146

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

Assim:  RR  mSR  L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+  R iS+ ( s ) =  R L ' s S R R + LS ( s − jωm ) s LR

(8.40)

(b) correntes sem amortecimentos: Para uma máquina ideal na qual não houvesse resistência, a energia inicial acumulada no campo magnético não seria convertida em calor. Assim as correntes de curto–circuito seriam senoidais, com valores de pico invariáveis ao longo do tempo. Numa primeira etapa da análise, vamos determinar essas correntes. Considerando RR = 0 na expressão (8.40), obtém-se a expressão (8.41).

(8.41)

φR0+ mSR ' LS LR ( s − jωm )

(8.42)

0+

iS+ ( s ) =

iS+ ( s ) =

iS+ ( s ) =

mSR φR LR 0+ ' LS ( s − jωm ) s

( s − jωm ) φS

φS0+ sLS

'

−

−s

1  φS0+ mSR φR0+  −  '  LR ( s − jωm )  LS  s

(8.43)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.44). iS+ ( t ) =

1 ' LS

Para que a corrente

  mSR φR0+ e jωm t  φS0+ − LR  

iS+ ( t )

fique completamente conhecida, deve-se

estabelecer as expressões de φS0+ e φR 0+ .

(c) cálculo dos fluxos iniciais: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(8.44)

http://www.ivobarbi.com

147

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Vamos considerar o motor inicialmente em regime permanente. É representado pelas expressões (8.45). R S + jωSLS  vS0+    0 =     jmSR ( ωS − ωm )

jωSmSR   iS0+    R R + jLR ( ωS − ωm )  iR0+ 

ωR = ωS − ωm  vS0+   R S + jωSLS  0 =     jmSR ωR

(8.45)

(8.46)

jωSmSR   iS0+    R R + jLR ωR  iR0+ 

(8.47)

Da expressão (8.47) obtém-se as correntes iniciais representadas pelas expressões (8.48) e (8.49).

( R R + jLR ωR ) vS ( R R + jLR ωR )( RS + jωSLS ) + ωSωR mSR 2

iS0+ =

i R 0+ =

0+

− jmSR ωR vS0+

( R R + jL R ωR )( R S + jωSLS ) + ωSωR mSR 2

(8.48)

(8.49)

Levando-se as expressões (8.48) e (8.49) nas expressões (8.34) e (8.35), obtém-se as expressões dos fluxos iniciais, representados por (8.50) e (8.51).

φS0+ =

φR0+ =

(L (R

R

(m (R

R

S

)

+ jLR ωR ) − jmSR ωR vS0+ 2

( R R + jLR ωR )( RS + jωSLS ) + ωSωR mSR 2 SR

+ jLR ωR ) − jLR mSR ωR ) vS0+

( R R + jLR ωR )( RS + jωSLS ) + ωSωR mSR 2

(8.50)

(8.51)

Resta-nos determinar as tensões iniciais. Tomando-se a expressão (8.15) temse: vS+ =

3 jωSt vSe 2

Para t = 0, tem-se: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(8.52)

148

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

3 vS 2

vS+ =

(8.53)

As expressões de fluxo inicial são muito complexas para serem levadas na expressão (8.44). Porém algumas modificações podem ser feitas. 1) ωR ≅ 0 De fato, se o motor opera na região nominal, próximo da velocidade síncrona, a pulsação rotórica é praticamente nula. 2) RS ≅ 0 Na região de escorregamento nominal a resistência do estator tem muito pouco influência no comportamento do motor. Com tais simplificações, os fluxos iniciais passam a ser representados pelas expressões (8.54) e (8.55). 3 vS 2 jωS

(8.54)

φR0+ =

3 mSR vS 2 jωSLS

(8.55)

φS0+ =

3 vS − j π2 e 2 ωS

(8.56)

φS0+ =

Assim:

φR0+

3 mSR vS − j π2 = e 2 ωSLS

(8.57)

Levando-se (8.56) e (8.57) em (8.44), obtém-se a expressão (8.58). π  2 3 vS  − j π2 mSR j ωm t − 2   iS+ ( t ) = e e −  2 ωSLS'  LSLR 

Por outro lado, a partir da expressão (8.22) obtem-se: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(8.58)

149

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

(

iSd ( t ) = 2 Re iS+ ( t )

)

(8.59)

Assim: iSd ( t ) = − 3

2

vS mSR sen ( ωm t ) ' ωSLS LSLR

(8.60)

Da expressão (8.24) tem-se: iS1 =

2 iS 3 d

(8.61)

Assim: iS1 ( t ) = − 2

2

vS mSR sen ( ωm t ) ' XS LSLR

(8.62)

onde: iS1 ( t ) '

⇒ corrente na fase 1 do motor. '

X S = ωS LS ⇒ reatância transitória.

LS

'

⇒ indutância transitória. A partir da expressão (8.62) pode-se estabelecer duas conclusões

importantes: (a) a freqüência da corrente de curto-circuito é proporcional à velocidade do motor. (b) o pico da corrente de curto circuito é limitado pela reatância transitória do motor. Para se conhecer completamente a corrente de curto-circuito, deve-se determinar a lei de decrescimento com o tempo. A expressão (8.62) estabelece a corrente que existiria sem as resistências. (d) cálculo da corrente de curto-circuito com amortecimento: Vamos considerar a expressão (8.63), na qual está incluída a resistência do rotor do motor.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

150

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

 RR  mSR  L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+  R iS+ ( s ) =  R LS ' s R R + LS ( s − jωm ) s LR

(8.63)

O denominador pode ser reescrito segundo a expressão (8.64): R L  ' ∆ = sLS  s − jωm + R S'  LR LS  

(8.64)

Seja: '

L L ζ = S R LS R R

(8.65)

 1  ' ∆ = sLS  s −  jωm − '   ζ   

(8.66)

'

Assim:

onde ζ ' é definido como a constante de tempo de curto-circuito do motor. Levando-se a expressão (8.66) na expressão (8.63) obtém-se a expressão (8.67).  RR  mSR  L + ( s − jωm )  φS0+ − s L φR0+  R iS+ ( s ) =  R  1  ' sLS  s −  jωm − '   ζ   

(8.67)

Os fluxos iniciais já foram estabelecidos e estão representados pelas expressões (8.68) e (8.69). 3 vS − j π2 = e 2 ωS

(8.68)

3 mSR vS − j π2 e = 2 ωSLS

(8.69)

φS0+

φR0+

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

151

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Levando-se as expressões (8.68) e (8.69) na expressão (8.67), obtém-se a expressão .

iS+ ( s ) =

3 vS − j π2 e 2 ωSLS'

 mSR 2  RR s 1 −  − jωm + LR  LR LS    1  s  s −  jωm − '   ζ   

(8.70)

Como: 2

mSR =1 LR LS

(8.71)

Assim:

−j

iS+ ( s ) =

3 vSe 2 XS'

π 2

RR − jωm LR   1  s  s −  jωm − '   ζ   

(8.72)

Seja: RR − jωm A B LR = +    1 1  s s −  jωm − '  s  s −  jωm − '   ζ ζ    

(8.73)

RR RR − jωm − jωm LR LR = A= 1 LS R R − jωm − jωm ' ' ζ LS LR

(8.74)

RR − jωm LR B= = −A 1 jωm − ' ζ

(8.75)

Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

152

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

Levando-se as expressões (8.74) e (8.75) na expressão (8.76) obtém-se a expressão .

−j

iS+ ( s ) =

3 vSe 2 XS'

π 2

RR − jωm LR LS R R − jωm ' LS LR

    1 1 −  s  1   s −  jωm − ζ'     

(8.77)

mas, RR − jωm LR ≅1 LS R R − j ω m ' LS LR

(8.78)

Assim:

−j

iS+ ( s ) =

3 vSe 2 XS'

π 2

    1 1 −  s  1   s −  jωm − ζ'     

(8.79)

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace obtém-se a expressão . −j

π

3 vSe 2 iS+ ( t ) = 2 XS'

 1   jωm − '  t  1 − e ζ      

1 π  3 vS  − j π2 j ωm − 2  t − ζ' t  iS+ ( t ) = e  e − e 2 XS'  

(8.80)

(8.81)

como:

{

}

iSd ( t ) = 2 Re iS+ ( t )

(8.82)

obtém-se: 1

− 't v iSd ( t ) = 3 S ' sen ( ωm t ) e ζ XS

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(8.83)

153

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Portanto a corrente na fase 1 do motor é representada pela expressão (8.84). 1

v − 't iS1 ( t ) = 2 S ' e ζ sen ( ωm t ) XS

(8.84)

A forma da corrente está representada na Fig. 8.5. 2 Vs Xs

2 i s (0)

0

1

sζ 2π ωs

2π ωm

Fig. 8.5 – Formato da corrente de curto-circuito na fase um.

Vamos fazer um comentário adicional sobre a constante de tempo de curtocircuito. '

ζ' =

LS LR LS R R

(8.85)

LR RR

(8.86)

ζR =

onde ζR é definida como constante de tempo de circuito aberto. Assim: '

L ζ = ζR S LS '

(8.87)

Durante o curto-circuito o motor pode ser representado pelo circuito equivalente mostrado na Fig. 8.6.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

154

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

LS

RR iS vS

1

1

Fig. 8.6 – Circuito equivalente para o motor para análise de curto-circuito.

A tensão vs' 1 tem um valor de pico igual a

2vs .

Como LS ≅ LR quando os parâmetros estão referidos ao estator, pode-se afirmar que: '

L ζ = S RR '

(8.88)

(e) comentários sobre a reatância transitória: A indutância transitória é definida pela expressão (8.89). L'S = LS −

mSR LR

2

(8.89)

mas: LS = A S + amSR

(8.90)

A R + amSR a2

(8.91)

LR =

onde: a⇒

relação de transformação entre os enrolamentos do estator e do rotor.

AS ⇒ indutância de dispersão do estator. AR ⇒ indutância de dispersão do rotor referido ao estator. Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

155

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

2

L'S = A S + amSR −

a 2 mSR A R + amSR

(8.92)

Multiplicando-se convenientemente os termos por ωS, obtém-se: 2

ωSL'S = ωSA S + aωSmSR −

2

a 2ωS mSR ωSA R + ωSamSR

(8.93)

Assim: 2

XS' = xS + x m −

xm xR + xm

(8.94)

Portanto a reatância transitória pode ser facilmente determinada, a partir dos ensaios a vazio e de rotor bloqueado. Convém observar que XS' é relativamente baixa. Tomemos os seguintes valores numéricos como exemplos: xS = 1Ω xR = 1Ω xm = 100Ω Assim:

XS' =1Ω

8.3 TENSÃO RESIDUAL

Há certos tipos de cargas, como por exemplos bombas de refrigeração de centrais térmicas, que não podem ser paralisadas mesmo por tempo muito curto. Essas cargas em geral, são acionadas por motores trifásicos de indução. Nesses casos, dispõe-se de duas fontes de alimentação. Quando a fonte principal falha, o motor automaticamente passa a ser alimentado por uma fonte de emergência. Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

156

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

Quando a fonte principal é interrompida, existe fluxo magnético no motor. Estes fluxos geram tensões nos enrolamentos do estator, enquanto ele permanece aberto. Essas tensões são conhecidas com o nome de tensões residuais. Se a fonte auxiliar for conectada imediatamente após a falha da fonte principal e se as tensões da fonte e as tensões residuais estiverem com defasamento inadequado, podem ser produzidos transitórios de correntes e de torques capazes de danificar o motor. Uma solução possível para resolver esse tipo de problema, consistem em instalar relés controlados por tensão. Somente quando as tensões residuais atingirem valores iguais a 25% da tensão de alimentação, a fonte auxiliar é conectada ao motor. Neste item será obtida uma expressão aproximada, analiticamente, para representar as tensões residuais geradas pelo motor. Consideremos o modelo do motor de indução sob a forma de componentes simétricas instantâneas, representado pela expressão (8.95). O referencial será colocado no estator.  R S + pLS  vS+    0 =  i    m  p − jn θ    SR    

   iS   +  i   i R R + LR  p − jn θ   R +    pmSR

(8.95)

Durante o transitório a corrente do estator iS+ é nula. Assim o modelo passa a ser representado pelas expressões (8.96) e (8.97). A velocidade ωm será considerada constante. vS+ = pmSR iR +

(8.96)

0 = R R iR + + pLR iR + − jωm LR iR +

(8.97)

Para se conhecer a tensão do estator em função do tempo, deve-se conhecer a corrente do rotor, que é obtida a partir da solução da equação (8.97). Aplicando-se a transformada de Laplace na expressão (8.97) obtém-se a expressão (8.98).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

157

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

0 = R R iR + ( s ) + sLR i R + ( s ) − jωm LR iR + ( s ) − LR iR0+

(8.98)

Assim: iR+ ( s ) =

i R0+ R  s +  R − jωm   LR 

(8.99)

Passando para o domínio tempo, obtém-se a expressão . iR + ( t ) = iR0+ e

R  − R − jωm  t  LR 

(8.100)

Para se conhecer a tensão do estator, a expressão (8.96) é levada na expressão (8.100) resultando na expressão (8.101). − − jωm  t  d L   vS+ = mSR  iR0+ e  R  dt     RR



(8.101)

Assim:  R vS+ = mSR  jωm − R LR 

R

− Rt  LR i e e jωm t  R0+ 

(8.102)

O valor inicial da corrente do rotor, definido pela expressão (8.49) é representado pela expressão (8.103). i R 0+ =

− jmSR ωR vS0+

( R R + jL R ωR )( R S + jωSLS ) + ωSωR mSR 2

(8.103)

3 vS 2

(8.104)

− jmSR ωR vS 3 2 ( R R + jL R ωR )( R S + jωS LS ) + ωSωR mSR 2

(8.105)

vS0+ =

Assim:

i R 0+ =

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

158

CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

Vamos tomar:

ωR ≅ 0 e RS ≅ 0 Assim:

3 mSR ωR vS 2 R R ωS LS

i R 0+ = -

(8.106)

Levando-se a expressão (8.106) na expressão (8.102) obtém-se a expressão (8.107). vS+ ( t ) =

R

2  − LRR t jωm t 3 vS mSR ωR  R R − ω j e  m e 2 ωSLS R R  LR 

(8.107)

ou R

2

− Rt 3 vS mSR ωR vS+ ( t ) = ( R R − jωm LR ) e LR e jωmt 2 ωSLS R R LR

ζR =

(8.108)

LR ⇒ constante de tempo de circuito aberto. RR 2

2

2

R R − jωm LR = R R + ωm LR e− jθR

(8.109)

ω L  θR = tg −1  m R   RR 

(8.110)

Assim: t

2

− 3 vS mSR ωR 2 2 2 j ω t −θ vS+ ( t ) = R R + ωm LR e ζR e ( m R ) 2 ωSLS R R LR

{

}

(8.111)

Por outro lado, 2

mSR ≈1 LR LS

Assim: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(8.112)

159

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

vS+ ( t ) =

3 ωR vS 2 ωS

(

)

1 + ωm 2ζ R 2 e

−

t ζR

cos ( ωm t − θR )

(8.113)

Em geral, a constante ζR é importante e a hipótese de que a velocidade do motor se mantém invariável não é válida. Se o motor inicialmente gira a vazio tem-se ωm ≅ ωS, sendo ωS a velocidade síncrona. Se o motor estivesse girando com velocidade síncrona, acionada por uma máquina auxiliar, ωR seria nula, não havendo correntes rotóricas e consequentemente não existiria correntes rotóricas e consequentemente não existiria tensão residual. O estudo rigoroso de tensão residual não pode ignorar a equação mecânica e só é possível através de simulação.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

CAPÍTULO

MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO

9

9.1 VARIÁVEIS DQ

Seja as equações elétricas do motor de indução, escritas sob a forma de variáveis dq, para um referencial genérico, representados pela expressão (9.1).

  RS + pLS  vSd   •    n Ψ L S  vSq    =  vR d   pmSR v    Rq     • • m  SR  Ψ− θ  n

•

−LS Ψ n

pmSR

RS + pLS

mSR Ψ n

    iS   d  pmSR   iSq     i  • • −n  Ψ− θ  LR   Rd       iRq   R R + pLR   •

−mSR Ψ n

•

 • • −mSR  Ψ− θ  n  

R R + pLR

pmSR

 • • n  Ψ− θ  LR  

(9.1)

As equações (9.1) podem ser reescritas segundo as expressões (9.2).

i  vSd   LS 0 mSR 0   Sd     0 L 0 mSR   iSq   vSq  S    = p  +  L m 0 0 v SR R R  d i R d    v   0 mSR 0 L R  i R   R q   q •  R L n 0 − Ψ S S   • •  L n R m n Ψ Ψ S S SR  +   • • 0 m RR − SR  Ψ− θ  n       • •  • • m n 0 n Ψ− θ    Ψ− θ  L R SR     

    iS   d  0   iSq    • •  i   −n  Ψ− θ  LR   R d       i R q   RR  •

−mSR Ψ n

(9.2)

Assim:

v = pZ4 i + Z3 i

(9.3)

161

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

pZ4 i = -Z3 i + v -1

-1

(9.4)

pi = -Z4 Z 3 i + Z 4 v

(9.5)

 LS 0 mSR 0   0 L 0 mSR  S Z4 =   mSR 0 LR 0     0 mSR 0 LR 

(9.6)

onde:

-1

Z4 =

1 2 LS LR − mSR

0 −mSR  LR  0 LR 0 1 -1 Z4 Z3 =  LS σ  −mSR 0   0 −mSR 0

0 −mSR 0   LR  0 0 −mSR  LR   −mSR 0 LS 0    LS   0 −mSR 0

(9.7)

• •   − L Ψ − Ψ R n 0 m n  S S SR    • • 0   LS Ψ n RS mSR Ψ n 0    −mSR    0   • •  • •  −mSR  Ψ− θ  n −n  Ψ− θ  LR  0 RR  LS         • • • •       0 n  Ψ− θ  L R RR  mSR  Ψ− θ  n   

(9.8) onde:

1 1 = σ L R LS − mSR 2

(9.9)

Substituindo-se as expressões (9.7), (9.8) e (9.9) na expressão (9.5), encontrase a expressão (9.10).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

162

CAPÍTULO 9. MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO

•   Ψ n+ L L • S R   −R S L R mSR R R mSR LR θ n  • •  2  −mSR  Ψ− θ  n       •   •  − LS L R Ψ n +   iSd  −R S L R −mSR LR θ n mSR R R    iSd  • • 2     + mSR  Ψ− θ  n    iSq  1      iSq  p  =   i  + • • i σ   R  d LSLR  Ψ− θ  n +   R d   • i     i   mSR R S −mSR LS θ n − R R LS  R q  •    R q  2 −mSR Ψ n      • •   n − Ψ− θ + L L •  S R  mSR LS θ n    − R R LS mSR R S   • 2   + mSR Ψ n  

v 0 −mSR 0   Sd   LR    LR 0 −mSR   vSq  1 0 +   LS 0   vRd  σ  −mSR 0   LS   v   0 −mSR 0  R q 

(9.10)

As expressões (9.10) representam as equações elétricas da máquina sob a i

forma de estado. Caso se deseje o referencial no estator, basta fazer Ψ = 0 . No modelo está incluído o número de pares de pólos n. Para o rotor em curto-circuito, toma-se v R d = v R q = 0 . Para a equação mecânica tem-se: i

i

Te = Jp θ+ D θ+ TL

(9.11)

Te D i TL − θ− J J J

(9.12)

Assim: i

pθ = mas,

(

Te = nmSR iSq i R d − iSd i R q Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

)

http://www.ivobarbi.com

(9.13)

163

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Portanto: i

pθ =

(

)

nmSR Di T iSq i R d − iSd i R q − θ− L J J J

(9.14)

9.2 VARIÁVEIS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS

Seja as equações elétricas do motor, escritas sob a forma de componentes simétricas instantâneas para um referencial genérico, representada pela expressão (9.15). i    R + L p + jn Ψ   S S   vS+    v  =  i i  R +   mSR  p + jn Ψ− jn θ     

i    mSR  p + jn Ψ   i      S+  i i   i R R + LR  p + jn Ψ− jn θ    R +   

(9.15)

A expressão (9.15) é reescrita e passa a ser representada pela expressão (9.16).

 vS+   LS v  = p  mSR  R+ 

i  R + jn Ψ LS S mSR   iS+    + LR  iR +    i i jn  Ψ− θ  mSR    

  i    S+   i i  i R R + jn  Ψ− θ  LR   R +     i

jn Ψ mSR

(9.16)

Assim:

v = pZ4 i + Z3 i -1

(9.17) -1

pi = -Z4 Z 3 i + Z4 v

(9.18)

 L mSR  Z4 =  S   mSR L R 

(9.19)

Onde:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

164

CAPÍTULO 9. MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO

  Z3 =    

i

R S + jn Ψ LS  i i jn  Ψ− θ  mSR  

−1

Z4 =

1 2 LS L R − mSR

    i i  R R + jn  Ψ− θ  L R    

(9.20)

 L R −mSR   −m   SR LS 

(9.21)

i

jn Ψ mSR

Assim:

1 L pi = −  R σ −mSR

i  R S + jn Ψ LS  −mSR   LS    i i   jn  Ψ− θ  mSR 

  i  L   S+  + 1  R  i i σ −mSR    i R R + jn  Ψ− θ  LR   R +     i

jn Ψ mSR

i i     L R jn LS  + + Ψ jLR n Ψ mSR +  R  S       i i    2  i i −mSR  R R + jn  Ψ− θ  LR   −mSR jn  Ψ− θ       iS  1  L  1  + +  R pi = − i i  iR +  σ −mSR σ   2 − jn Ψ mSR + −mSR  R S + jn Ψ LS  +      i i    i i +LS  R R + jn  Ψ− θ  LR   + jn  Ψ− θ  mSR LS      

−mSR   vS+    (9.22) LS   vR + 

−mSR   vS+    (9.23) LS   vR + 

onde:

1 1 = σ L R LS − mSR 2

(9.24)

pi = Ai + Bv

(9.25)

Portanto:

i  2  i i −R SLR − jn Ψ LR LS + jn  Ψ− θ  mSR 1 A=  i σ R m + jn θ mSR LS S SR  

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

   i  2  i i jn Ψ mSR − R R LS − jn  Ψ− θ  LSLR    

http://www.ivobarbi.com

i

R R mSR − jn θ mSR LR

(9.26)

165

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

B=

1  LR σ −mSR

−mSR  LS 

(9.27)

Em seguida será tratada a equação mecânica.

Te = 2nmSR I ( iS+ i R − )

(9.28)

Assim: i

i

Te = Jp θ+ D θ+ TL

(9.29)

Te D i TL − θ− J J J

(9.30)

i

pθ =

i

Caso se deseje o referencial colocado no estator, basta fazer Ψ = 0 .

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

CAPÍTULO

10

MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTUBAÇÕES

10.1 INTRODUÇÃO

No capítulo VII foi estabelecido um método para estudo da resposta do motor de indução submetido a perturbações no torque, baseado no fato de que nos motores normais a constante de tempo mecânica é muito maior que as constantes tempo elétricas. Naquela situação, o emprego das equações elétricas de regime permanente para obtenção das correntes e do torque elétrico levava a resultados suficientemente precisos na análise do transitório de partida e das respostas à pequenas perturbações na região normal de operação. Contudo, quando se trata de máquinas de momentos de inércia baixos, como aqueles destinados a sistemas de controle, tais aproximações não podem ser feitas, pois conduzem a erros não aceitáveis. Neste capítulo serão estabelecidos modelos linearizados destinados a estabelecer a resposta dos motores de indução submetidos a perturbações no torque de carga ou na tensão de alimentação de pequenas amplitudes, capazes de representar satisfatoriamente os motores de baixa inércia.

10.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES

Como modelo inicial será empregado aquele obtido através da transformação de PARK, representado pelas expressões (10.1) e (10.2). Será utilizado o referencial colocado no campo girante. Com isto, para tensões de alimentação senoidal, obtém-se valores iniciais das tensões e das correntes com maior facilidade, por serem constantes.

167

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

  RS + pLS  vSd   •    Ψ n L S  vSq    =  vR d   pmSR v    Rq     • • m  SR  Ψ− θ  n

•

−LS Ψ n

pmSR

RS + pLS

mSR Ψ n

•

 • • −mSR  Ψ− θ  n  

R R + pLR

pmSR

 • • n  Ψ− θ  LR  

(

    iS   d  pmSR   iSq     i  • • −n  Ψ− θ  LR   Rd       iRq   R R + pLR   •

−mSR Ψ n

)

T = nmSR iSq i Rd − iSd i R q

(10.1)

(10.2)

A expressão mecânica é representada pela expressão (10.3). i

i

T = Jp θ+ D θ+ TL

(10.3)

Normalmente o torque de atrito será desconsiderado. Assim:

(

i

TL = −Jp θ+ nmSR iSq i R d − iSd i R q

)

(10.4)

A expressão (10.1) é reescrita segundo a expressão (10.5). i

v = Ri + pL1i + ωSL 2i + n θ L 3 i

(10.5)

onde: i

ωS = n Ψ i

Ψ=

(pulsação da alimentação) velocidade do referencial igual à velocidade síncrona.

Sendo:

R S 0 R=  0   0

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

00  0 0  0 RR 0   0 0 R R  0 RS

http://www.ivobarbi.com

(10.6)

168

CAPÍTULO 10. MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES

 LS  0 L1 =   mSR  0 

0 mSR 0  LS 0 mSR  0 LR 0   mSR 0 LR  

(10.7)

0 −mSR   0 − LS  L 0 m 0  S SR  L2 =  0 −mSR 0 −LR    LR 0   mSR 0 

(10.8)

00  00  00 00 L3 =   0 mSR 0 LR   −mSR 0 −L R 0

(10.9)

     

Consideremos o motor inicialmente em regime permanente com velocidade constante. Uma perturbação é introduzida no torque de carga ou nas tensões de alimentação. As equações (10.5) tornam-se:

( v + ∆v ) = R ( i + ∆i ) + pL1 ( i + ∆i ) + ωSL2 ( i + ∆i ) + n  θ+ ∆ θ  L3 ( i + ∆i ) i

i



(10.10)



Desenvolvendo a expressão (10.10) obtém-se: i

i

i

i

v + ∆v = Ri + R∆i + pL1i + pL1∆i + ωSL2i + ωSL2 ∆i + n θ L3i + n θ L3 ∆i + n∆ θ L3i + n∆ θ L3 ∆i (10.11) Subtraindo-se a expressão (10.11) da expressão (10.5) e anulando-se os produtos de segunda ordem obtém-se: i

i

∆v = R∆i + pL1∆i + ωSL2 ∆i + n θ0 L3 ∆i + n∆ θ L3i 0 onde: i

θ0 = velocidade inicial do motor. i 0 = correntes iniciais do motor. Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(10.12)

169

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Assim: i i   ∆v =  R + pL1 + ωSL2 + n θ0 L3  ∆i + n∆ θ L3 i 0  

(10.13)

O mesmo procedimento será adotado para o torque. i

TL = −Jp θ+ Te

(10.14)

i i  TL + ∆TL = −Jp  θ+ ∆ θ  + Te + ∆Te  

(10.15)

Assim: i

∆TL = −Jp∆ θ+ ∆Te

(10.16)

Calculemos o torque ∆Te.

(

Te = nmSR iSq i R d − iSd i R q

((

Te + ∆Te = nmSR iSq + ∆iSq

) (i

Rd

)

) (

+ ∆i R d − iSd + ∆iSd

(10.17)

) (i

Rq

+ ∆i R q

))

(10.18)

Assim:

(

∆Te = nmSR iS0q ∆i R d − iS0d ∆i R q + i R 0d ∆iSq − i R 0q ∆iSd

)

(10.19)

onde iS0q , iS0d , i R 0q e i R 0d representam as correntes iniciais. Levando-se a expressão (10.19) na expressão (10.16), obtém-se a expressão (10.20). i

(

∆TL = −Jp∆ θ+ nmSR iS0q ∆i Rd − iS0d ∆iR q + i R 0d ∆iSq − i R 0q ∆iSd

)

Reunindo-se as equações (10.13) e (10.20), obtém-se as equações .

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(10.20)

170

CAPÍTULO 10. MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES

−ωS LS pmSR −ωS mSR 0  R S + pLS   ∆iSd     ωS LS R S + pLS ωS mSR pmSR 0  ∆vSd      ∆v   i  ∆   nm i + • • S SR S0 q q      Sq     −mSR  ωS − n θ0  −L R  ωS − n θ0  pmSR R R + pLR + nLR i R 0q    ∆v  =      ∆i   Rd     Rd  • •  nmSR iS0d +     ∆v R q        pmSR LR  ωS − n θ0  R R + pL R −    ∆i R q     mSR  ωS − n θ0        + nLR i R 0d    i   ∆TL    −nm i  ∆θ  nmSR i R 0d nmSR iS0q −nmSR iS0d −Jp SR R 0q    

Seja:  ∆vSd   ∆v   Sq  ∆v =  ∆v   Rd   ∆v R q   

(10.22)

 ∆iSd   ∆i   Sq  ∆i =  ∆i   Rd   ∆i R q   

(10.23)

0 −ωS mSR   R S −ωS LS  ωL ωS mSR RS 0  S S  Z1 =  0 −ωR 0 mSR R R −ωR 0 L R    ωR 0 L R R R  0 ωR 0 mSR 

(10.24)

i

ωR 0 = ωS − n θ Z2 =  −nmSR i R 0q

nmSR i R 0d

−nmSR iS0d 

nmSR iS0q

0   0  Z3 =  nm i + nL i SR S0q R R 0q   − nmSR iS0d + nLR i R 0d 

(

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(10.25)

http://www.ivobarbi.com

)

      

(10.26)

(10.27)

171

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

 LS 0 mSR 0   0 L 0 mSR  S  Z4 =  mSR 0 L R 0    0 mSR 0 L R   

(10.28)

 ∆v   Z1 Z 3   ∆i   Z4 0   ∆i    = + p i  ∆T   Z 0   0T - J   i    L 2 ∆ θ         ∆ θ

(10.29)

Assim:

As equações (10.29) representam o motor nas situaçòes em que o torque de carga TL ou as tensões de alimentação sofrem perturbações de pequenas amplitudes. O modelo é linear e útil no estudo da estabilidade local do motor de indução. Vamos em seguida representar o modelo (10.29) segundo a expressão (10.30).

pX = AX + BU

(10.30)

Isolando-se a esquerda do sinal de igualdade o termo que contém o símbolo de derivação encontramos a expressão (10.31).

 Z4 0   ∆i   ∆v   Z1 Z3   ∆i  p T  i  =   − Z 0   i  ∆ 0 J T   L    ∆ θ    2   ∆ θ

(10.31)

Assim: −1 −1  ∆i   Z4 0   ∆v   Z4    p  i  =  T 1  − T T ∆ 0 -  L 0  ∆ θ     J 

0  Z Z  ∆i   1 3 1  Z 0   i  -  2   ∆ θ J 

−1 −1 −1  ∆i   Z4 0   ∆v   Z4 Z1 Z4 Z3   ∆i       −  Z2 p  i  =  T 1  i   0 -  ∆TL  0  ∆ θ  ∆ θ  J       J 

(10.32)

(10.33)

As equações (10.33) estão na forma de estado e são úteis na realização de vários estudos inclusive de estabilidade do motor.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

172

CAPÍTULO 10. MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES

Nas perturbações usuais as tensões estatóricas permanecem constantes enquanto que as tensões rotóricas se mantém nulas. Nestes casos ∆v = 0. O modelo passa a ser representado pela equação (10.34).

-Z4 −1Z1 -Z4 −1Z3   ∆i   0   ∆i       p  i  = −  Z2 i + ∆TL    0  ∆ θ    J   ∆ θ  J   

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(10.34)

APÊNDICE

CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO

(A) TRANSFORMAÇÃO REAL

Seja uma estrutura genérica representada na Fig. 1.

i1 -

+ v1

i2 -

+ v2

i3 -

+ v3

in -

+ vn

Fig. 1 – Estrutura genérica.

Seja:

 i1  i  2 i=   i3    i n 

(1)

 v1  v  2 v=   v3     v n 

(2)

A potência envolvida é definida genericamente pela expressão (3).

P = vti

(3)

v T = A -1 v

(4)

Seja:

174

APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO

i T = A -1i

(5)

Onde A-1 é uma matriz real n x n. vT e IT representam os vetores tensão e corrente transformados pela matriz A-1. Das expressões (4) e (5) obtém-se: v = Av T

(6)

i = Ai T

(7)

t

v t = vT At

(8)

Levando-se as expressões (7) e (8) na expressão (3) obtém-se: t

P = v T A t Ai T

(9)

Seja: t

PT = v T i T

(10)

Assim, para que PT = P é necessário que:

At A = I

(11)

A t = A -1

(12)

ou

Portanto para que a potência seja a invariante, é necessário que a transformação seja ortogonal.

(B) TRANSFORMAÇÃO COMPLEXA

Quando as variáveis são complexas, a potência é definida pela expressão (13). ∗

P = it v Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(13)

175

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Seja:

v T = A -1 v

(14)

i T = A -1i

(15)

v = Av T

(16)

i = Ai T

(17)

Assim:

t

i t = iT At t∗

it = iT At

(18) ∗

(19)

Levando-se (19) e (16) em (13) obtém-se: t∗

∗

P = i T A t Av T

(20)

Como, ∗

PT = i tT v T

(21)

Para que PT = P é necessário que: ∗

At A = I

(22)

ou ∗

A t = A -1

(23)

Portanto quando a transformação é complexa, a matriz que a realiza deve ser unitária. A transformação real é um caso particular da transformação complexa. Nesse caso:

176

APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO

∗

At = At

(24)

A t = A -1

(25)

Assim,

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1. CAPÍTULO 1

µR = 2500

1) I = 2A A = 40cm

µ0 = 4π x 10-7H/m (SI)

s = 5cm2

m = 50kg

Deseja-se calcular o número de espiras n +

v

-

I = 2A

A = 40cm

n

S = 5cm

2

x 2

P = 50kg

Fig. 1 – Eletroimã do exercício 1.

1 ∂L F = i2 2 ∂x

(1)

n2 L= R

(2)

184

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

R1 =

1 A 1 A = (relutância do ferro) µ1 s µ 0µ R s

(3)

1 x (relutância do entreferro) µ0 s

(4)

R2 =

R = R1 + R 2

R=

L=

1 A 1 x + µ 0µ R s µ 0 s n2 1 A 1 x + µ 0µ R s µ 0 s

n 2µ 0 s L= A +x µR

(5)

(6)

(7)

(8)

Seja:

A = n 2 µ 0s

(9)

A µR

(10)

A B+ x

(11)

B=

Assim:

L=

n 2µ 0s ∂L A =− =− 2 2 ∂x (B + x)  A  + x   µR  Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(12)

185

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

n 2 µ 0s 1 F = i2 2 2  A  + x   µR 

(13)

Para x = 0 tem-se:

1 1 F = i2n 2 2 2  1 A   µ 0s µ µ s  R 0 

2Fµ 0s  1 A  n=   i2  µR µ0 s 

(14)

2

(15)

Entrando-se com os valores das grandezas na expressão (15), todas do Sistema Internacional obtém-se: n ≅ 100 espiras

2) O circuito magnético equivalente é apresentado na Fig. 2. NI

φ Rx

φ NI

2

φ 2

Rg

Rg

Fig. 2 – Circuito magnético equivalente do exercício 2.

NI = R g

 Rg  φ + R xφ =  + Rx φ 2  2 

Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(16)

186

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

R=

Rg 2

+ Rx

(17)

Rx =

1 x µ0 d 2

(18)

Rg =

2 g µ0 d 2

(19)

1 (g + x) µ0d 2

(20)

L=

N 2µ 0 d 2 (g + x)

(21)

F=

1 2 ∂L I 2 ∂x

(22)

R=

para uma bobina.

N 2µ 0 d 2 ∂L =− 2 ∂x (g + x)

(23)

1 2 N 2µ 0 d 2 I 2 ( g + x )2

(24)

F=

Para x = 0, tem-se: I 2 N 2µ 0 d 2 F= 2g 2

Supondo: g = 0,001m

I = 0,5A

d = 0,04m

N = 1000

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(25)

187

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

F=

0,52 ⋅10002 ⋅ 4π ⋅10−7 ⋅ 0, 042 2 ⋅ 0, 0012

F ≅ 251, 2N

(26)

(27)

3)

v=

a)

v=

b)

d ( Li ) di dL = L +i dt dt dt

(28)

L = A + Bx

(29)

dL ∂L dx dx = =B dt ∂x dt dt

(30)

d ( Li ) di dx = ( A + Bx ) + iB dt dt dt 1 ∂L i 2 B F = i2 = 2 ∂x 2

Fk

Fi

(31)

(32)

x(0)

M F

P

Fig. 3 – Diagrama de forças do sistema mecânico.

c)

Fk = kx

Fi = m

d2x dt 2

P = mg

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(33)

(34)

(35)

188

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Na condição inicial de equilíbrio tem-se:

P = Fk0

(36)

mg = kx 0

(37)

1 2 d2x i B = m 2 + kx 2 dt

(38)

A equação mecânica será:

sendo x o deslocamento em relação à x0.

4)

Dados: L1 = 0,2 mH = 0,2 x 10-3H L2 = 0,1 mH = 0,1 x 10-3H M = 0,05cos θ mH = 0,05cos θ x 10-3H = m0cos θ i1= i2 = i =

2 5sen ωt

(a) 2

T = m 0i m sen 2 ωt sen θ

(39)

2π

Tmd =

1 2 m 0i m sen 2 ωt sen θ dωt ∫ 2π 0 2π

m i sen θ  ωt sen 2 ωt  = 0m  −  2π 4 0  2 2

Tmd

(40)

(41)

2

Tmd

m i sen θ = 0m 2

(42)

Substituindo os valores obtém-se:

Tmd = 0, 00125sen θ Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(43)

189

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

(b) Seja o torque da mola:

π  Tk = k  θ −  2 

(44)

Para θ = π/2 o torque da mola é nulo. No ponto de equilíbrio tem-se

Tk = Tmd

(45) 2

π  m i sen θ  kθ−  = 0 m 2 2 

(46)

π  0, 004  θ −  = 0, 00125sen θ 2 

(47)

π  3, 2  θ −  = sen θ 2 

(48)

Esta é uma equação transcendental

e sua solução somente é possível

Assim:

numericamente e ou graficamente. Reescrevendo (48) na forma da equação (49) podese obter o gráfico da Fig. 4 e encontrar o valor de θ que satisfaz a igualdade. 5 4 3 2

F1 (θ )

1 0 1 2

F2 (θ )

3 4 5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

θ

Fig. 4 – Resolução gráfica da equação (48).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

4

190

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

F1 ( θ ) = sen θ (49)

π  F2 ( θ ) = 3, 2  θ −  2  Pela Fig. 4 o ângulo é:

θ = 1,87rad

(50)

θ = 107,13o

Deve-se tomar um cuidado na resolução deste exercício pois se θ está em radianos, F2(θ) apresenta uma inclinação diferente do que em graus. O correto é utilizar como referência o sistema em radianos.

5)

x

Mola

v(t) D

A

Fig. 5 – Instrumento do tipo ferro móvel do exercício 5.

(a)

N2 R

(51)

1 (D − x) µ0 A

(52)

N 2 Aµ 0 (D − x)

(53)

L=

R=

L=

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

191

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

N 2 Aµ 0 ∂L =− 2 ∂x (D − x)

Fe =

(54)

1 2 ∂L N 2 I 2 Aµ 0 1 N 2 I2 I = = 2 ∂x 2 ( D − x ) 2 2 1  D − x  2  Aµ 0 2  µ0  A 

(55)

Como: 1 1 D−x  = 2 2  2 L N µ0  A 

2

(56)

φ = LI

Tem-se:

Fe ==

1 φ2 2Aµ 0

(57)

Mas:

φ2 = B2 A 2 = B2msen 2 ωt A 2

(58)

Assim:

Fe =

1 AB2m sen 2 ωt 2µ 0

(59)

(b)

dφ dt

(60)

d ( ABmsen ωt ) dt

(61)

v(t) = N

v(t) = N

v ( t ) = ANωBm cos ωt

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(62)

192

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

(c)

Fe

Fx Fi

Fig. 6 – Representação das forças mecânicas envolvidas.

Fe = Fk + Fi

(63)

1 d2 x AB2m sen 2 ωt = kx + M 2 2µ 0 dt

(64)

2. CAPÍTULO 2

(1)

T = i St

∂LSR ( θ ) iR ∂θ

(65)

onde:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

   cos ( ω t + θ )  S S     2π   i S = IS cos  ωS t + θS −   3      4π   cos  ωS t + θS −   3    

(66)

   cos ( ω t + θ )  R R     2π   i R = I R  cos  ωR t + θR −   3      4π    cos  ωR t + θR −   3    

(67)

http://www.ivobarbi.com

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

LSR

 2π  4π     cos θ cos  θ +  cos  θ +   3  3        4π  2π    = M SR cos  θ + cos θ cos  θ +   3  3        2π  4π   cos θ cos  θ +   cos  θ +  3  3     

193

(68)

Levando as expressões (66), (67) e (68) na expressão (65), obtém-se: 2π  4π     _   _  _ T = M SR IS I R  cos  ωS t  cos  ωS t − cos   ωS t −  ⋅ 3  3          2π  4π        _   θ + cos θ cos  θ + cos cos        ωR t   3  3              ∂   4π  2π      _ 2π    ⋅  cos  θ + cos θ cos  θ +      cos  ωR t −  3  3     3    ∂θ        _ 2π  4π  4π    cos θ  cos  θ +    cos  ωR t −  cos  θ +   3  3  3          

(69)

onde: _

ωS t = ωS t + θS _

ωR t = ωR t + θR

(70)

(71)

Multiplicando-se as duas últimas matrizes da equação (69) obtém-se: _     θ + ω cos R t        _   _  3 2π  4π   ∂   4π    _  _ T = MSR IS I R cos  ωS t  cos  ωS t −  cos  ωS t −   cos  θ + ωR t +  2 3  3   ∂θ   3       _   2π   cos  θ + ωR t +  3    

A partir da expressão (72), obtém-se a expressão (73).

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(72)

194

T=

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

_ _ 3 2π  4π  ∂   _     _  M SR IS I R cos t cos t cos t cos ω θ + ω + ω − θ + ω R  R t+  S    S   +  2 3  3  ∂θ        _ 4π  2π    _  + cos  ωS t −  cos  θ + ωR t +  3  3    

(73)

Desenvolvendo-se a expressão (73), obtém-se a expressão (74).

T=

_ ∂  9  _  ω − ω M SR IS I R cos t R t − θ  S  ∂θ  4  

(74)

_ 9  _  M SR IS I R sen  − ωS t + ωR t + θ  4  

(75)

Assim:

T=

Levando-se as expressões (70) e (71) na expressão (75), obtém-se:

9 M SR IS I R sen ( −ωS t − θS + ωR t + θR + θ ) 4

(76)

9 M SR IS I R sen ( −ωS t − θS + ωR t + θR + ωm ) 4

(77)

T=

T= Mas,

ωm t − ωS t + ωR t = 0

(78)

9 MSR IS I R sen ( θR − θS ) 4

(79)

Assim:

T=

A diferença (θR – θS) representa o defasamento entre as correntes do estator e as do rotor. Seja ∆ = (θR – θS). Assim:

T=

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

9 MSR IS I R sen ∆ 4

http://www.ivobarbi.com

(80)

195

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Quando as correntes estiverem em fase o torque será nulo. A título de exemplo vamos tomar uma máquina com: IS = 10A IR = 10A MSR = 0,245H

∆ = (θR – θS) = 45o sen ∆ = 0,866 Assim:

9 T = ⋅ 0, 265 ⋅10 ⋅10 ⋅ 0,866 4

(81)

T = 51, 63N ⋅ m

(82)

A máquina de dois pólos gira com velocidade próxima de 377rad/s. Assim a potência desenvolvida pela máquina será: P = Tωm = 51, 63 ⋅ 377

(83)

P = 19, 47kW

(84)

3. CAPÍTULO 3

1)

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

196

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

R

i1

LS v3

LS

-

-

LS v2 R

R

+

i3

i2

+

v

Fig. 7 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.

v = 380V i1 = 0 i2 = -i3

   i0   2   i α  = 3   iβ      

1 2 1 0

1 2 1 − 2 3 2

1  2  0   1   −   i2  2   −i 2  3  − 2 

(85)

Assim:

i0 = iα = 0

(86)

iβ = 2 i 2

(87)

Os circuitos de seqüência 0 e α estão abertos. O circuito de seqüência β está representado a seguir. RS

jω S L S

iβ vβ

Fig. 8 – Circuito de seqüência β.

v + v3 = v 2 ⇒ v = v 2 − v3 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(88)

197

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

   v0   2    vα  = 3   vβ      

vβ =

1 2 1 0

1 2 1 − 2 3 2

1  2  v  1 1   −   v2  2   v3  3  − 2 

2 3 3  1 1 v2 − v3  = ( v 2 − v3 ) = v  3 2 2 2 2 

(89)

(90)

Que é o valor eficaz. vβ = ( R S + jωS LS ) iβ

(91)

v 2 ( R S + jωS LS )

(92)

Assim,

iβ =

Que é o valor eficaz.

i2 =

iβ 2

⇒ i2 =

i3 = −

v 2 ( R S + jωS LS )

v 2 ( R S + jωS LS )

(93)

(94)

Assim: i 2 = −i 3 =

380 = 1,8 90 A 2 (1 + j377 ⋅ 0, 28 )

2)

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(95)

198

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

i1

+

R v1

LS

+

-

LS

v

--

R

-

+

v3

LS R v2

+

i3

i2

Fig. 9 – Reator trifásico do exercício 2.

v 2 = v3

(96)

− v + v1 = v 2

(97)

v1 =

2 v 3

1 v 2 = v3 = − v 3

(98)

(99)

Aplicando-se a transformada αβ0 obtém-se:

v 0 = vβ = 0

(100)

2 v 3

(101)

I 0 = Iβ = 0

(102)

vα =

Assim:

Iα =

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

vα 2 v = Zα 3 R S + jωS LS http://www.ivobarbi.com

(103)

199

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Por outro lado:

    i1   2 i  =  2   3  i3    

1 2

1

 0    i0  3    iα 2    iβ    3 −  2 

1 2

−

1 2

1 2

−

1 2

I1 =

2 Iα 3

(105)

I2 = −

Iα 6

(106)

I3 = −

Iα 6

(107)

(104)

Assim:

3) Foi estabelecido que:

v 0 = Ri 0 + pLi 0

(108)

v α = Ri α + pLi α

(109)

vβ = Riβ + pLiβ

(110)

   v0   2    vα  = 3   vβ      

1 2 1 0

1 2 1 − 2 3 2

1  2  50   1   −   30  2  100  3  − 2 

v 0 = 103,92V Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(111)

(112)

200

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

v α = −12, 25V

(113)

vβ = −49,5V

(114)

Resolvendo-se as equações acima obtém-se: (a)

i0 =

v0 = 207,84A R

(115)

pois

L 0 = L + 2M = 60 − 60 = 0

(116)

R − t  vα  LS iα = 1 − e  = −24,5 (1 − e −5,55t ) A  R  

(117)

LS = L − M = 60 + 30 = 90mH = 0, 09H

(118)

− t  v  iβ = β  1 − e LS  = −99 (1 − e −5,55t ) A  R  

(119)

(b)

pois

(c) R

As correntes nos enrolamentos são calculadas pelas seguintes expressões:

i1 =

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

2  i0  + iα   3 2 

i2 =

3 iβ  2  i0 iα − +   3  2 2 2 

i3 =

3 iβ  2  i0 iα − −   3  2 2 2  http://www.ivobarbi.com

(120)

201

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Assim: i1 = (100 + 20e −5,55t ) A i 2 = ( 60 + 60e −5,55t ) A

(121)

i3 = ( 200 − 80e −5,55t ) A

Em regime permanente tem-se e-5,55t = 0. Assim:

i1 = 100A i 2 = 60A

(122)

i3 = 200A Estes resultados poderiam ser obtidos sem resolver as equações diferenciais. Estas correntes são limitadas apenas pelas resistências. Como explicar a existência de corrente nos enrolamentos quanto t=0?

4) Seja v1 = V cos ( ωt − ∆ )

v 2 = V cos ( ωt − ∆ − 120o )

(123)

v3 = V cos ( ωt − ∆ − 240o )

Como:

   v0   2    vα  = 3   vβ      

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

1 2 1 0

1 2 1 − 2 3 2

1  2  50   1   −   30  2  100  3  − 2 

http://www.ivobarbi.com

(124)

202

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

v0 = 0 vα =

3 V cos ( ωt − ∆ ) 2

vβ =

3 Vsen ( ωt − ∆ ) 2

(125)

Os modelos dos circuitos de seqüência 0, α e β são os seguintes: v 0 = ( R + pL 0 ) i 0 v α = ( R + pL α ) i α

(126)

i0 = 0

(127)

v β = ( R + pL β ) i β

( R + pLα ) iα =

3 V cos ( ωt − ∆ ) 2

( R + pLβ ) iβ = 32 Vsen ( ωt − ∆ )

(128)

Resolvendo-se as equações diferenciais acima obtém-se: t −  3 V ζ iα ( t ) =  cos ( ωt − ∆ − φ ) − cos ( ∆ + φ ) e   2 Z   t −  3 V ζ iβ ( t ) =  sen ( ωt − ∆ − φ ) + sen ( ∆ + φ ) e   2 Z  

(129)

onde:

Z = R 2 + ω2 L2S LS R ωL S φ = tg −1 R ζ=

(130)

As correntes nas fases do reator são representadas pelas expressões abaixo:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

203

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

i1 ( t ) =

 2  i0 ( t ) + iα ( t )   3 2 

i2 ( t ) =

3 iβ ( t )  2  i0 ( t ) iα ( t ) − +    3  2 2 2 

i3 ( t ) =

3 iβ ( t )  2  i0 ( t ) iα ( t ) − −    3  2 2 2 

(131)

Substituindo-se as correntes i0(t), iα(t) e iβ(t) nas expressões acima, obtém-se as correntes de fase do reator durante o transitório. t −  V ζ i1 ( t ) =  cos ( ωt − ∆ − φ ) − cos ( ∆ + φ ) e   Z  

i2 ( t ) =

t −  V o ζ cos t 120 cos 60 e ω − ∆ − φ − + ∆ + φ + )   ( ) ( Z  

(132)

t −  V o ζ i3 ( t ) =  cos ( ωt − ∆ − φ + 120 ) + cos ( ∆ + φ − 60 ) e   Z  

4. CAPÍTULO 4

1) v1 ( t ) = 2 vS sen ( ωS t + φ )

v 2 ( t ) = 2 vS sen ( ωS t − 120o + φ )

(133)

v3 ( t ) = 2 vS sen ( ωS t + 120o + φ )

(a) Para o referencial colocado no estator tem-se:

vSα = vSd vSβ = vSq Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(134)

204

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

   vS    0 2  vSd  = 3 v    Sq   

1 2 1 0

1  2  v   S 1  1 −   vS2  2   vS  3 3  − 2 

1 2 1 − 2 3 2

(135)

Assim: a.1) vS0 =

(

2 1 2 vS sen ( ωS t + φ ) + sen ( ωS t − 120o + φ ) + sen ( ωS t + 120o + φ ) 3 2 vS0 = 0

)

(136)

a.2)

vSd =

2 1 1   2 vS  sen ( ωS t + φ ) − sen ( ωS t − 120o + φ ) − sen ( ωS t + 120o + φ )  3 2 2  

(137)

v

S

2

60.000° 60.000°

v

S

v 1

S

α

v

S

3

Fig. 10 – Diagrama de fasores para o eixo direto.

vSd =

2 3 2 vS sen ( ωS t + φ ) 3 2

vSd = 3 vS sen ( ωS t + φ )

a.3)

vSq =

 3  2 3 2 vS  sen ( ωS t − 120o + φ ) − sen ( ωS t + 120o + φ )  3 2  2 

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(138)

(139)

(140)

205

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

60° 30° 30° vS

vS

2

vS

3

β

Fig. 11 – Diagrama de fasores para o eixo em quadratura.

Assim:

vSq = 3 vS cos ( ωS t + φ )

(141)

b) Em seguida serão obtidas as tensões vSd e vSq para o referencial colocado no campo girante.

 vSd   cos ωs t −sen ωs t   vSα    =    vSq  sen ωs t cos ωs t   vSβ 

(142)

 vSd   cos ωs t −sen ωs t   3 vS sen ( ωS t + φ )     =  v  Sq  sen ωs t cos ωs t   3 vS cos ( ωS t + φ ) 

(143)

vSd = 3 vS ( cos ωs t ⋅ sen ( ωS t + φ ) − sen ωs t cos ( ωS t + φ ) ) vSd = 3 vS ( cos ωs t ⋅ ( sen ωS t ⋅ cos φ + sen φ ⋅ cos ωS t ) − sen ωs t ( cos ωS t ⋅ cos φ − sen φ ⋅ sen ωS t ) ) (144) vSd = 3 vS sen φ vSq = 3 vS ( sen ωs t ⋅ sen ( ωS t + φ ) + cos ωs t ⋅ cos ( ωS t + φ ) ) vSq = 3 vS ( sen ωs t ⋅ ( sen ωS t ⋅ cos φ + sen φ ⋅ cos ωS t ) + cos ωs t ⋅ ( cos ωS t ⋅ cos φ − sen φ ⋅ sen ωS t ) ) (145) vSq = 3 vS cos φ Seja:

φ=0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(146)

206

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Assim:

vSd = 0

(147)

vSq = 3 vS

Visto por um observador colocado no campo girante, as tensões de PARK são contínuas. A transformação de PARK é aplicada em cada intervalo, neles as tensões de alimentação permanecem constantes. Era de se esperar portanto que as tensões

vSd e vSq também permanecessem constantes nesses intervalos. A Fig. 12 apresenta as tensões transformadas. 2) 2E/3 E/3 Vs1

0o

60 o

120

180 o

o

2E/3 E/3 Vs2

Vs0

2E/6^1/2 E/6^1/2

Vsd 0

2π

π

E/2^1/2 Vsq 0

2π

π -E/2^1/2

Fig. 12 – Representação gráfica das formas de onda transformadas.

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

207

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

6)

θ = ωm t + θ0 ωS = ωm + ωR

(148)

iS1 = IS sen ( ωS t + φ ) iS2 = IS sen ( ωS t − 120° + φ )

(149)

iS3 = IS sen ( ωS t + 120° + φ )

i R1 = I R sen ( ωR t + ∆ ) i R 2 = I R sen ( ωR t − 120° + ∆ )

(150)

i R 3 = I R sen ( ωR t + 120° + ∆ ) Aplicando-se a transformação de PARK com referencial no estator obtém-se:

iSd =

3 ISsen ( ωS t + φ ) 2

3 iSq = IS cos ( ωS t + φ ) 2

(151)

Pois:

iSd = iSα iSq = iSβ

iRα = i Rβ

3 I R sen ( ωR t + ∆ ) 2

3 = I R cos ( ωR t + ∆ ) 2

(152)

(153)

mas,

i R d   cos ωm t −sen ωm t  i R α  i  =     R q  sen ωm t cos ωm t   i Rβ 

(154)

Observar que o motor está girando no sentido horário e foi convencionado o sentido anti-horário na obtenção das matrizes de transformação. Assim, Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

208

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

iRd = iRq

i R d   cos ( −ωm t ) −sen ( −ωm t )  i R α  i  =     R q  sen ( −ωm t ) cos ( −ωm t )   i Rβ 

(155)

i R d   cos ( ωm t ) sen ( ωm t )  i R d   =   i  R q   -sen ( ωm t ) cos ( ωm t )  i R d 

(156)

3 I R ( cos ωm t ⋅ sen ( ωR t + ∆ ) + sen ωm t ⋅ cos ( ωR t + ∆ ) ) 2

3 =− I R ( sen ωm t ⋅ sen ( ωR t + ∆ ) − cos ωm t ⋅ cos ( ωR t + ∆ ) ) 2

cos ( ωm t ) ⋅ sen ( ωR t + ∆ ) + sen ( ωm t ) ⋅ cos ( ωR t + ∆ ) = sen ( ωm t + ωR t + ∆ )

− ( cos ( ωm t ) ⋅ cos ( ωR t + ∆ ) − sen ( ωm t ) ⋅ sen ( ωR t + ∆ ) ) = −cos ( ωm t + ωR t + ∆ )

(157)

(158)

Assim:

iRd =

3 I R sen ( ( ωR + ωm ) t + ∆ ) 2

iRq =

3 I R cos ( ( ωR + ωm ) t + ∆ ) 2

(159)

mas:

ωR + ωm = ωS

(160)

Assim:

iRd =

3 I R sen ( ωS t + ∆ ) 2

iRq =

3 I R cos ( ωS t + ∆ ) 2

(161)

Em seguida será calculado o torque:

(

T = mSR iSq i R d − iSd i R q

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

)

http://www.ivobarbi.com

(162)

209

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

T=

3 mSR IS I R ( cos ( ωS t + φ ) ⋅ sen ( ωS t + ∆ ) − sen ( ωS t + φ ) ⋅ cos ( ωS t + ∆ ) ) 2 3 T = mSR IS I R sen ( ∆ − φ ) 2

(163)

7) a)

iSα = Icc = iSd

(164)

iSβ = 0 = iSq

O modelo para estas restrições e para o referencial colocado no campo girante é o seguinte:  v S = R Si S d  d i  0 = R R i R d + n θ L R i R q  i i 0 = − n θ mSR iS − n θ L R i R + R R i R d d q 

(165)

O torque é dado pela expressão:

(

T = nmSR iSq i R d − iSd i R q

)

(166)

Assim, em módulo: T = nmSR Icc i R q

(167)

Resta-nos determinar a corrente i R q . i

iRq

i

n θ mSR Icc n θ L R = + iRd RR RR

(168)

i

iRd = −

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

n θ LRiRq RR

http://www.ivobarbi.com

(169)

210

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Assim: i

iRq

i

i

n θ mSR Icc n θ L R − n θ L R i R q = + ⋅ RR RR RR

(170)

i

iRq =

n θ mSR Icc R R i2

(171)

R +n θ L 2 R

2

2 R

Levando-se a expressão de i R q na expressão do torque obtém-se: i

T=

2

n 2 θ mSR Icc 2 R R i2

(172)

R +n θ L 2 R

2

2 R

mas,

Icc =

vSd

(173)

RS

Assim: i

T=

2

2

n 2 θ mSR vSd R R i2   R  R R2 + n 2 θ L2R   

(174)

2 S

b)

2

2

∂T n mSR vSd = ∂θ R S2

i  ∂  θ i2 ∂θ  2 2 2  R R + n θ LR

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

2

  i   RR ∂  θ  2  i ∂θ  2    R R + n 2 θ L2R    

i2  2 1 2n θ L2R = − =0 2 i2  i2 2 2 2    R R + n θ L R  R 2R + n 2 θ L2R   

http://www.ivobarbi.com

(175)

(176)

211

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

Assim: i2

i2

R 2R + n 2 θ L2R = 2n 2 θ L2R i2

R 2R = n 2 θ L2R i

nθ =

(177)

RR LR

Está é a condição para o máximo torque. c) RR 2 2 mSR vSd R R LR T= 2   R R S2  R R2 + R 2 L2R  LR   n

2

T=

nmSR vSd

(178)

2

2L R R S2

(179)

Esta expressão dá o torque máximo de frenagem.

9) Seja o modelo, sob a forma de componentes de PARK instantâneos, com referencial no estator. Como o rotor está aberto, tem-se: iRd = iRq = 0

(180)

Se o motor está em repouso, então os eixos d e q são desacoplados. Para fazer o estudo será considerado então somente o eixo d. Assim:

 vSd = R SiSd + pLSiSd   v R d = pmSR iSd Aplicando a transformação de Laplace obtém-se:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(181)

212

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

vSd ( s ) = ( R S + sLS ) iSd ( s ) iSd ( s ) =

vSd ( s ) R S + sL S

(182)

v R d ( s ) = smSR iSd ( s ) Assim:

v R d ( s ) = smSR

vSd ( s ) R S + sL S

(183)

Seja: vS1 = vS sen ( ωS t ) vS2 = vS sen ( ωS t − 120° )

(184)

vS3 = vS sen ( ωS t + 120° )

Assim: 3 vS sen ( ωS t ) 2

(185)

3 ω 3 ωS vS 2 S 2 = vS 2 s + ωS 2 ( s + jωS )( s − jωS )

(186)

vSd =

vSd =

Portanto:

vRd ( s ) =

m 3 s vSωS SR 2 LS  R S  + s  ( s + jωS )( s − jωS )   LS 

(187)

Seja:

1 RS = ζ S LS Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(188)

213

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

s  1   s +  ( s + jωS )( s − jωS )  ζS 

=

A 1 s+ ζS

+

B B∗ + s + jωS s − jωS

+

B B∗ + s + jωS s − jωS

(189)

Assim:

s  1   s +  ( s + jωS )( s − jωS )  ζS  A=

A

=

s+

1 ζS

−1  1  ζ S  2 + ωS2   ζS 

B=

1

(190)

 1  2  − jωS   ζS  1 C=  1  2  + jωS   ζS      mSR  3 1 1 1 1 1  −1 (191) vRd ( s ) = vSωS + + 1 2 LS   1  1  s + jωS  1  s − jωS  2 s+ 2  − jωS  2  + jωS   ζ S  2 + ωS   ζS ζ ζ S S      ζS   

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace obtém-se:

1

1 1 = e − jωS t e jφS = A1  1  s + jωS 1 2  − jωS  2 2 + ωS2 ζS  ζS  1 1 1 e jωS t e − jφS = A 2 =  1  s − jωS 1 2  + jωS  2 2 + ωS2 ζS  ζS  ω L  φS = tg −1  S S   RS  Somando-se A1 e A2 obtém-se:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(192)

214

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

A 3 = A1 + A 2 =

(

1 j ω t −φ − j ω t −φ e ( S S) + e ( S S) 1 2 2 + ωS2 ζS

)

(193)

Como:

cos A =

1 jA − jA (e + e ) 2

(194)

Assim:

1

A3 =

1 + ωS2 ζ S2

cos ( ωS t − φS )

(195)

Portanto:   1 − t mSR  3 −1 ζS vRd ( t ) = vSωS e + 2 LS   1 2  ζ S  2 + ωS     ζS

  1 cos ( ωS t − φS )   1 2 + ω  S  ζ S2 

1   − t −R S 3 1 ζS vRd ( t ) = vSωS mSR  2 e + cos ω t − φ ( S S )  2 2 2  ( R S + L2SωS2 ) 2 R + L ω S S S  

3 vRd ( t ) = 2

1  − t  RS ζS  cos ( ωS t − φS ) − e   R S2 + L2SωS2  R S2 + L2SωS2 

vSωS mSR

(196)

(197)

(198)

Por outro lado:

cos ( φS ) =

RS R + L2SωS2 2 S

(199)

Assim:

3 vRd ( t ) = 2

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

1 − t   ζS  cos ( ωS t − φS ) − cos φSe   R S2 + L2SωS2  

vSωS mSR

http://www.ivobarbi.com

(200)

215

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

10) q

ωm d

vS

d

Fig. 13 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.

iSq = 0

(201)

O modelo de PARK, para referencial no estator, regime permanente, velocidade constante e iSq = 0 está representado a seguir.  vSd = ( RS + jωSLS ) iSd + jωSmSR iRd  vSq = jωSmSR iRq    0 = jωSmSR iSd + ( RR + jωSLR ) iRd + ωmLR iRq 0 = −m ω i − ω L i + R + jω L i ( R S R ) Rq SR m Sd m R Rd 

(202)

Vamos considerar: a) RS ≈ 0 b) RR >> ωSLR Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

vSd = jXSiSd + jXmiRd   vSq = jXmiRq    0 = jXmiSd + RR iRd + ωmLR iRq 0 = −m ω i − ω L i + R i SR m Sd m R Rd R Rq 

(203)

ωm = (1 − s) ωS

(204)

http://www.ivobarbi.com

216

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Assim: vSd = jXSiSd + jXmiRd   vSq = jXmiRq    0 = jXmiSd + RR iRd + (1 − s) XR iRq 0 = −X 1 − s i − 1 − s X i + R i ) Sd ( ) R Rd R Rq m( 

(205)

A idéia é empregar as expressões (205) para determinar a corrente i R q . iSd =

vSd − jXmiRd jXS

=

vSd jXS

−

XmiRd

(206)

XS

10) q

ωm d

vS

d

Fig. 14 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.

iSq = 0

(207)

O modelo de PARK, para referencial no estator, regime permanente, velocidade constante e iSq = 0 está representado a seguir.  vSd = ( RS + jωSLS ) iSd + jωSmSR iRd  vSq = jωSmSR iRq    0 = jωSmSR iSd + ( RR + jωSLR ) iRd + ωmLR iRq 0 = −m ω i − ω L i + R + jω L i ( R S R ) Rq SR m Sd m R Rd 

Vamos considerar: c) RS ≈ 0 Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(208)

217

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

d) RR >> ωSLR Assim: vSd = jXSiSd + jXmiRd   vSq = jXmiRq    0 = jXmiSd + RR iRd + ωmLR iRq 0 = −m ω i − ω L i + R i SR m Sd m R Rd R Rq 

(209)

ωm = (1 − s) ωS

(210)

vSd = jXSiSd + jXmiRd   vSq = jXmiRq    0 = jXmiSd + RR iRd + (1 − s) XR iRq 0 = −X 1 − s i − 1 − s X i + R i ) Sd ( ) R Rd R Rq m( 

(211)

Assim:

A idéia é empregar as expressões (205) para determinar a corrente i R q . iSd =

vSd − jXmiRd jXS

=

vSd jXS

−

XmiRd XS

(212)

Levando-se (212) na terceira expressão de (205) obtém-se:  vS XmiRd  0 = jXm  d −  + RRiRd + (1− s) XRiRq XS   jXS X X2 0 = m vSd − j m iRd + RRiRd + (1− s) XRiRq XS XS 0=

 Xm X2  vSd +  RR − j m  iRd + (1− s) XRiRq XS XS  

Levando-se (212) na quarta expressão de (205) obtém-se:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(213)

218

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

 vS XmiRd  0 = −Xm (1− s)  d −  − (1− s) XRiRd + RRiRq XS   jXS vS  X2  0 = −Xm (1− s) d + (1− s)  m − XR  iRd + RRiRq jXS  XS 

(214)

Isolando-se i R d na expressão final de (213) obtém-se:  X2m  Xm − R j vS − (1− s) XRiRq  R  iRd = − XS  XS d 

( R X − jX ) i R

2 m

S

iRd = −

Rd

= −XmvSd − (1− s) XSXRiRq

XmvSd RR XS − jX

2 m

−

(215)

(1− s) XSXRiR

q

RR XS − jXm2

Levando-se a última expressão de (215) na última expressão de (214) obtémse: 0 = −Xm (1− s)

 X2  + (1− s)  m − XR  iRd + RRiRq jXS  XS  vSd

(216)

0 = jXm (1− s) vSd + (1− s) ( Xm2 − XR XS ) iRd + RR XSiRq

 XmvSd (1− s) XSXRiRq 0 = jXm (1− s) vSd − (1− s) ( X2m − XR XS )  +  RR XS − jXm2 RR XS − jXm2 

0 = jXm (1 − s) vSd + RR XSiRq − (1 − s) ( Xm2 − XR XS )

Xm vSd RR XS − jX

2 m

(217)

  + RR XSiRq  

− (1 − s) ( Xm2 − XR XS )

(218)

(1− s) XSXRiR

q

RR XS − jX

2 m

(219)

Assim: 0 = jXm (1 − s) ( RR XS − jX2m ) vSd − (1 − s) ( X2m − XR XS ) Xm vSd + RR XS ( RR XS − jXm2 ) iRq − ( Xm2 − XR XS ) (1 − s) XSXR iRq 2

(220) Assim:

( R X ( R X − jX ) − ( X R

S

R

S

2 m

2 m

)

(

2

(221) Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

)

− XR XS ) (1 − s) XSXR iRq = − jXm (1 − s) ( RR XS − jXm2 ) − (1 − s) ( X2m − XR XS ) Xm vSd

http://www.ivobarbi.com

219

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

( R X ( R X − jX ) − ( X R

S

R

2 m

S

2 m

)

(

)

− XR XS ) (1 − s) XSXR iRq = − jXm (1 − s) ( RR XS − jXm2 ) − (1 − s) ( Xm2 − XR XS ) Xm vSd 2

(222)

( R X ( R X − jX ) − ( X R

S

R

2 m

S

2 m

)

(

)

− XR XS ) (1 − s) XSXR iRq = (1 − s) ( Xm2 − XR XS ) Xm − jXm (1 − s) ( RR XS − jXm2 ) vSd 2

(223) Portanto:

iRq

iRq

(1− s) ( X2m − XR XS ) Xm − jXm (1− s) ( RR XS − jX2m ) = vS 2 RR XS ( RR XS − jXm2 ) − ( Xm2 − XR XS ) (1 − s) XSXR

(224)

d

(1− s) X3m − (1− s) XR XSXm − (1− s) jXmRR XS − (1− s) X3m = vS 2 RR XS ( RR XS − jXm2 ) − ( Xm2 − XR XS ) (1 − s) XSXR

d

−(1 − s) XR XSXm − (1 − s) jXmRR XS

iRq =

RR XS ( RR XS − jXm2 ) − ( Xm2 − XR XS ) (1 − s) XSXR 2

iRq =

− (1 − s) XR Xm − (1 − s) jXmRR RR2 XS − jXm2 RR − (1 − s) XR X2m + (1 − s) XR2 XS 2

2

(225)

vSd

(226)

vSd

(227)

Assim: vSq = jXmiRq

vSq =

vSq =

(228)

− j(1 − s) XR Xm2 + (1 − s) Xm2 RR RR2 XS − jXm2 RR − (1 − s) XR X2m + (1 − s) XR2 XS 2

2

− j(1 − s) Xm2 ( XR + jXm ) RR2 XS − jXm2 RR − (1 − s) XR X2m + (1 − s) XR2 XS 2

2

vSd

(229)

vSd

(230)

Se RR é suficientemente grande, pode-se adotar:

(1− s)

2

XR ( Xm2 − XSXR ) − RR ( RR XS − jXm2 ) ≈ −RR2 XS + jRR Xm2

Assim: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(231)

220

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

vSq =

j(1 − s) Xm2 ( −XR − jXm ) R2R XS − jRR X2m

vSd

(232)

Tomando os módulos, obtém-se: vSq = (1 − s) KvSd

(233)

Sendo: K=

− jXm2 ( XR + jXm ) R2R XS − jRR Xm2

(234)

mas:

(1− s) =

ωm ωS

(235)

Assim: vSq =

KvSd ωS

ωm

(236)

Deste modo, para as condições adotadas, em que RS ≈ 0 e RR é grande em relação às indutâncias, a tensão gerada no enrolamento aberto é proporcional à velocidade.

5. CAPÍTULO V

3) Seja iSα = 2 IS cos ωSt iSβ = 2 IS sen ωSt

Assim, para o referencial colocado no campo girante, obtém-se:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(237)

221

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

iSd   cos ωSt sen ωSt  iSα   =   iSq  −sen ωSt cos ωSt  iSβ 

(238)

iSd = 2 IS ( cos2 ωSt + sen2 ωSt ) = 2 IS iSq = 2 IS ( −sen ωSt cos ωSt + sen ωSt cos ωSt ) = 0

iS+  1 1 j   2 IS   i  =   2 1 − j  0   S− 

(239)

(240)

iS+ = IS

(241)

iS− = IS

Consideremos o modelo do motor, sob a forma de componentes simétricas instantâneas, para o referencial no campo girante: vS+ = ( RS + LS ( p + jωS ) ) iS+ + mSR ( p + jωS ) iR+

0 = mSR ( p + jωS − jωm ) iS+ + ( RR + LR ( p + jωS − jωm ) ) iR+

(242)

_

Em regime permanente, tem-se i R + = I R . Seja jωS − jωm = jωR

(243)

a pulsação das correntes do rotor. Assim a equação do rotor será: _

0 = mSR ( p + jωR ) IS + ( RR + LR ( p + jωR ) ) IR

(244)

_

As correntes IS e I R são constantes. Portanto: _

pIS = pIR = 0

Assim:

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(245)

222

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

_

0 = jωR mSR IS + ( RR + jωR LR ) IR jωR mSR IS RR + jωR LR

_

IR = − _

IR = −

(ω m 2 R

SR

(246)

LR + jωR mSR RR )

R2R +ω2R L2R

IS

Assim:

i R+ = −

(ω m 2 R

SR

LR + jωR mSR RR )

R2R +ω2R L2R iR− = iR+

iR−

(ω m =− 2 R

SR

IS

(247)

∗

LR − jωR mSR RR )

R2R +ω2R L2R

IS

Em seguida será calculado o torque.

(

T = 2nmSR Im iS+ iS-

)

 ω2R mSR L R + jωR mSR R R  T = 2nmSR Im   R R 2 + ωR2 L2R  

T=

2 2nRRωR mSR IS2 R2R +ω2R L2R

(248)

(249)

(250)

Este é o torque instantâneo. É constante ao longo do tempo. Portanto o torque médio é igual ao torque instantâneo. Em seguida será obtida a tensão vS+ . vS+ = ( R S + jωS LS ) iS+ + jωR mSR i R + 2 ω2R mSR = ( R S + jωS LS ) IS + IS R R + jωR L R

(252)

2 2 ω2R mSR R R - jω3R mSR LR = ( R S + jωS LS ) IS + IS R R + ωR L R

(253)

vS+

v S+

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

(251)

http://www.ivobarbi.com

223

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

vS+

2 2   ω2R mSR RR ω3R mSR LR =  RS + + j  ωS LS  R R + ωR L R R R + ωR L R  

2 2   ω2R mSR RR ω3R mSR LR vS- =  R S + - j  ωS LS R R + ωR L R  R R + ωR L R 

(255)

)

(256)

j vS+ − vS2

)

(257)

(

vSq = -

   IS 

(254)

1 vS+ + vS2

(

vSd =

   IS 

Assim:  ω2 m 2 R vSd = 2  R S + R SR R R R + ωR L R 

  IS 

 ω3 m 2 L vSq = 2  ωS LS - R SR R R R + ωR L R 

  IS 

(258)

(259)

Por outro lado: vSα = vSd cos ωSt − vSq sen ωSt

(260)

Assim: vSα = vSd + vSq sen ( ωSt −φ) 2

tg φ =

2

vSq

(261)

vSd

4) Seja o modelo sob a forma de componentes simétricas instantâneas, com referencial colocado no estator pmSR   iS+  vS+   RS + pLS  0  = m ( p − jω ) R + L ( p − jω )  i  m R R m   R+     SR Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

http://www.ivobarbi.com

(262)

224

EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Para os enrolamentos rotóricos abertos obtém-se vS+ = ( RS + pLS ) iS+

(263)

vSd = 3Vcos ωSt

(264)

vSq = 3Vsen ωSt

vS+ =

(

1 vS + jvSq 2 d

)

(265)

Assim: vS+ =

3 jωSt Ve 2

( RS + pLS ) iS

+

=

3 jωSt Ve 2

(266)

(267)

Seja: iS0+ = 0

(268)

e aplicando a transformada de Laplace

( RS + sLS ) iS ( s) = +

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

3 V 2 s − jωs

(269)

iS+ ( s) =

3 1 V 2 ( RS + sLS )( s − jωs )

(270)

iS+ ( s) =

3 V 1 2 LS  1   s +  ( s − jωs )  ζS  1 RS = ζS LS

(271)

http://www.ivobarbi.com

225

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO

1 A B = + 1 s − jωs  1  s +  ( s − jωs ) s + ζ S  ζS 

A=−

(272)

1

1   + jωs   ζS  1 B= 1   + jωs   ζS 

(273)

   3 V 1 1 1  −  iS+ ( s) = + 2 LS  1   s + 1 s − jωs    + jωs   ζS   ζS 

(274)

Encontrando-se a transformada inversa de Laplace, obtém-se:  jω t −ζ1 t  3 1 iS+ ( t ) = V e s −e S   2 ( RS + jωsLS )  

(275)

Após o transitório, tem-se: iS+ ( t ) =

3 1 V ejωst 2 ( RS + jωsLS )

(276)

Assim: iS1 ( t ) =

1 2Vcos ωs t ( RS + jωsLS )

(277)

As correntes iS ( t ) e iS ( t ) são defasadas em relação à iS ( t ) de 120o e 240o. 2

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

3

1

http://www.ivobarbi.com