Technische Strömungsmechanik: Theorie und Praxis (German Edition) 3835101412, 9783835101418

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Wolfgang Kümmel

Technische Strömungsmechanik Theorie und Praxis

Wolfgang Kümmel

Technische Strömungsmechanik Theorie und Praxis 3., überarbeitete und ergänzte Auflage Mit 174 Abbildungen, 36 Tabellen, 93 Praxishinweisen und 57 durchgerechneten Beispielen

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Kümmel, geb. 1942. Von 1962-1965 Maschinenbaustudium an der Staatlichen Ingenieurschule Hagen; 1965-1970 Maschinenbaustudium an der RWTH Aachen. 1970-1977 Forschungsingenieur und Wissenschaftlicher Assistent am Institut für Strahlantriebe und Turboarbeitsmaschinen der RWTH Aachen, Forschungsschwerpunkt Unterschall-Axialverdichter; 1976 Promotion. 1977-1984 Leiter der Entwicklung für Dampf- und Gasturbinen bei GHH-Sterkrade. 1985-2007 als Professor an der Fachhochschule Lübeck zuständig für die Fachgebiete Strömungsmechanik und Strömungsmaschinen sowie Leiter der zugehörigen Laboratorien. Ab Sommersemester 2007 Lehrbeauftragter für Strömungsmaschinen.

1. Auflage 2001 2. Auflage 2004 3., überarbeitete und ergänzte Auflage 2007

Alle Rechte vorbehalten © B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007

Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN 978-3-8351-0141-8

9RUZRUW]XU$XIODJH Das vorliegende Buch entstand auf der Basis einer Vorlesung über Technische Strömungslehre an der Fachhochschule Lübeck und den Eindrücken einer jahrzehntelangen Beschäftigung mit strömungstechnischen Fragestellungen in Forschung, industrieller Entwicklung und Lehre. Das Werk richtet sich vornehmlich an Studierende des Maschinen- und Anlagenbaues sowie der Energie- und Verfahrenstechnik. Es ist jedoch von seiner Anlage her so konzipiert, daß es neben der Vermittlung der im Studium erforderlichen Kenntnisse dem späteren Ingenieur oder Naturwissenschaftler im Berufsalltag ein hilfreicher Begleiter bei der Lösung praktischer strömungstechnischer Probleme sein soll. Dazu sind u. a. insgesamt 89 gekennzeichnete Praxishinweise eingefügt, die auf relevante Zusammenhänge hinweisen, die - obwohl durch die Theorie der Strömungslehre definiert - nicht immer in dieser Klarheit explizit ersichtlich sind. Nach der Vorstellung der physikalischen Grundlagen und Eigenschaften der Fluide im 1. Kap. beschreibt Kap. 2 das Verhalten der ruhenden Fluide. Kap. 3 beginnt zunächst mit einer Einführung in allgemeine Grundlagen der Fluiddynamik. Danach wird mit den Bewegungsgleichungen und den vier Erhaltungssätzen für Masse, Energie, Impuls und Drall das mathematische Gerüst zur Berechnung von stationären Fadenströmungen aufgebaut. Kap. 4 behandelt die in der Praxis besonders wichtigen Vorgänge der Strömung inkompressibler Fluide in Rohren, Kanälen und Gerinnen nach der Modellvorstellung der Fadenströmung. Das nachfolgende Kapitel erweitert diese Betrachtungen auf kompressible Fluide und stellt die wesentlichen Vorgänge der Gasdynamik vor. Die Rohrströmung kompressibler Fluide rundet diese Thematik ab. Kap. 6 führt in die Grundlagen der Grenzschichttheorie, des Widerstandes von Körpern und der Tragflügelströmung ein. Die Phänomene umströmter Körper werden beschrieben und der ingenieurmäßigen Berechnung zugänglich gemacht. Kap. 8 behandelt - im Gegensatz zu den vorhergehenden Abschnitten - instationäre Strömungen anhand ausgewählter Beispiele. Es wird demonstriert, wie mit Hilfe der heute problemlos nutzbaren mathematischen Software einfache instationäre Strömungsvorgänge numerisch bearbeitet werden können. Der Leser findet Ansätze und geschlossene Lösungen zur Druckstoßberechnung in Leitungen und zur Bestimmung der Entleerungsvorgänge von Druckbehältern. Kap. 9 resultiert aus der Erfahrung des Autors, daß Konstrukteure bei ihren vielfältigen Aufgaben häufig strömungstechnische Gesichtspunkte nicht genügend berücksichtigen; die Folge sind Störungen oder nicht optimale Funktion von Bauelementen. Die Studierenden erkennen an dieser Stelle die Vernetzung der Strömungslehre mit anderen technischen Disziplinen, und dem Konstrukteur wird anhand von Grundregeln und typischen Beispielen Hilfe zur strömungsgerechten Gestaltung angeboten. Die Umsetzung der dargebotenen Theorie in die praktische Anwendung findet Unterstützung in 54 durchgerechneten Beispielen. Die mathematischen Ansprüche an den Leser beschränken sich auf Grundlagen der Differentialund Integralrechnung. Die meisten Berechnungsendgleichungen werden entweder durch aus-

Vorwort

VI

führliche Herleitung oder durch Verweise auf die zugrundeliegenden Ausgangsgleichungen nachvollziehbar entwickelt, wobei rein algebraische Zwischenschritte teilweise nicht erscheinen. An dieser Stelle möchte ich allen herzlich danken, die mir bei den Vorbereitungen zu diesem Buch geholfen haben. Zu besonderem Dank bin ich Herrn Dipl.-Ing. Gunnar Wilken verpflichtet, der mich durch seine aktive Mitarbeit bei experimentellen Untersuchungen sowie bei der Erstellung von Rechenprogrammen und Diagrammen tatkräftig unterstützt hat. Frau Nicole Storjohann hat durch die Umsetzung meiner Handskizzen in die endgültigen graphischen Darstellungen einen maßgeblichen Beitrag zur Druckvorlage geleistet. Nicht zuletzt möchte ich mich bei meiner Frau Annemarie für das sorgfältige Korrekturlesen und die große Geduld bedanken, die sie für mich während der Abfassung des Manuskriptes aufgebracht hat.

Lübeck, im Januar 2001

Wolfgang Kümmel

9RUZRUW]XU$XIODJH Die nun vorliegende 3. Auflage des Buches wurde überarbeitet und ergänzt. Dabei sind sowohl spezielle vertiefende Darstellungen der Theorie als auch aktuelle praxisbezogene Entwicklungen eingeflossen. Im Bereich der Grundlagen ist die Theorie der Kenngrößen umfassend neu gestaltet, indem die verschiedenen Möglichkeiten der Kenngrößenbildung vorgestellt werden. Auch das Phänomen der Turbulenz wird mittels der heute gängigen Modellvorstellungen erläutert und die daraus folgenden ingenieurmäßigen Anwendungen beschrieben. Der zunehmenden Bedeutung der regenerativen Energien wird dadurch Rechnung getragen, daß einige Grundlagen der Wirkungsweise von Windturbinen mit Hilfe der Erhaltungssätze abgeleitet werden. Die strömungsmechanisch relevanten Gesichtspunkte für die praktische Durchführung von Druckmessungen und die Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten werden aufgezeigt. Die Stoffdaten für Wasser sind entsprechend IAPWS 95 tabelliert. In den Hinweisen zur strömungsgerechten Konstruktion erscheinen die Beiträge zur Widerstandsverminderung umströmter Körper in systematisierter Form. Mit dem Fortschritt von Hochleistungsrechnern gewinnt die numerische Strömungssimulation neben dem klassischen Experiment zunehmend an Bedeutung. In einem neuen Kapitel werden die Ausgangsgleichungen und die Möglichkeiten dieser Disziplin vorgestellt. Für die langjährige erfreuliche Zusammenarbeit mit dem Teubner Verlag, insbesondere Herrn Dr. M. Feuchte, möchte ich mich an dieser Stelle bedanken. Lübeck, im Mai 2007

Wolfgang Kümmel

Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide 1.1 Thermische Zustandsgrößen......................................................................... 1.1.1 Dichte................................................................................................. 1.1.2 Druck................................................................................................... 1.1.3 Temperatur......................................................................................... 1.2 Wärmekapazitäten und weitere thermodynamische Grundlagen................... 1.2.1 Wärmekapazitäten und Enthalpie........................................................ 1.2.2 Weitere thermodynamische Grundlagen.............................................. 1.3 Viskosität..................................................................................................... 1.4 Grenzflächen und Kapillarität...................................................................... 1.4.1 Grenzflächen....................................................................................... 1.4.2 Kapillarität..........................................................................................

1 1 1 3 5 6 6 7 11 12 12 14

2 Ruhende Fluide........................................................................................

17 2.1 Ruhende Flüssigkeiten................................................................................. 17 2.1.1 Hydrostatische Grundgleichung........................................................... 17 2.1.2 Verbundene Gefäße und hydraulische Presse....................................... 18 2.1.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen................................................... 21 2.1.3.1 Druckkräfte auf ebene Begrenzungsflächen.............................. 21 2.1.3.2 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen..................... 25 2.1.4 Niveauflächen..................................................................................... 29 2.1.5 Statischer und thermischer Auftrieb.................................................... 31 2.2 Ruhende Gase.............................................................................................. 36 2.2.1 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen................................................... 36 2.2.2 Statischer und thermischer Auftrieb.................................................... 37 2.2.3 Zustandsgrößen der Atmosphäre......................................................... 39

3 Grundlagen der Fluiddynamik........................................................ 3.1 Allgemeine Grundbegriffe............................................................................ 3.1.1 Beschreibung von Strömungsvorgängen.............................................. 3.1.2 Reibungseffekte................................................................................... 3.1.3 Strömungsmechanische Ähnlichkeit und Kennzahlen......................... 3.1.4 Strömungsformen................................................................................ 3.2 Bewegungsgleichungen für das Fluidelement............................................... 3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie................................ 3.3.1 Kontrollraum......................................................................................

44 44 44 47 49 54 57 61 61

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.3.2 Kontinuitätsgleichung.......................................................................... 3.3.3 Energiesatz für inkompressible Fluide................................................. 3.3.3.1 Reibungsfreie Strömungsprozesse........................................... 3.3.3.2 Reibungsbehaftete Strömungsprozesse..................................... 3.3.3.3 Strömungsprozesse mit Austausch von Arbeit und Wärme...... 3.3.3.4 Anwendung des Energiesatzes bei Strömungsprozessen.......... 3.3.4 Impulssatz........................................................................................... 3.3.5 Drallsatz............................................................................................. 3.4 Erweiterung der stationären Fadenströmung durch Mittelwerte....................

62 64 64 67 70 72 78 88 92

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide.........................

94 94 94 95 95 99 101 101 102 103 107 110 110 110 118 119 120 124 130 130 134 135 135 140 142 146 146 149

4.1 Vorbemerkungen......................................................................................... 4.2 Kavitation.................................................................................................... 4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen.............................................................. 4.3.1 Laminare Rohrströmung..................................................................... 4.3.2 Turbulente Rohrströmung.................................................................. 4.3.3 Strömungsverluste in geraden Rohrstücken...................................... 4.3.3.1 Grundlagen............................................................................. 4.3.3.2 Vollausgebildete laminare Rohrströmung............................... 4.3.3.3 Vollausgebildete turbulente Rohrströmung............................. 4.3.3.4 Rohreinlaufströmung............................................................... 4.3.4 Strömungsverluste in Formstücken..................................................... 4.3.4.1 Grundlagen.............................................................................. 4.3.4.2 Querschnittsänderungen.......................................................... 4.3.4.3 Richtungsänderungen.............................................................. 4.3.4.4 Füllkörperschichten................................................................. 4.3.5 Verluste in einsträngigen Leitungssystemen....................................... 4.3.6 Verluste in mehrsträngigen Leitungssystemen.................................... 4.4 Ausflußvorgänge......................................................................................... 4.4.1 Ausfluß aus kleinen Öffnungen.......................................................... 4.4.2 Große seitliche Öffnungen.................................................................. 4.5 Spaltströmungen......................................................................................... 4.5.1 Strömungsverhältnisse im Spalt......................................................... 4.5.2 Verluste bei Spaltströmungen............................................................. 4.6 Strömung in Ventilen................................................................................. 4.7 Strömung in Gerinnen................................................................................ 4.7.1 Erscheinungsformen der Gerinneströmung....................................... 4.7.2 Gleichförmige Gerinneströmung.......................................................

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide...........................

154 5.1 Energiesatz und ergänzende thermodynamische Grundlagen..................... 154 5.2 Gasdynamik................................................................................................ 160 5.2.1 Schallgeschwindigkeit, Mach- und Laval-Zahl.................................. 160

Inhaltsverzeichnis

5.2.2 Allgemeine Betrachtungen zur beschleunigten und verzögerten Strömung ohne Entropieänderung...................................................... 5.2.3 Verdichtungsstöße und Verdünnungswellen....................................... 5.2.3.1 Senkrechter Verdichtungsstoß bei Fadenströmungen.............. 5.2.3.2 Schiefer Verdichtungsstoß bei ebener Strömung..................... 5.2.3.3 Verdünnungswellen................................................................. 5.2.3.4 Überschallströmungsmuster, Wellenwiderstand...................... 5.2.4 Beschleunigte Strömungsvorgänge..................................................... 5.2.4.1 Reibungsfreie Strömung.......................................................... 5.2.4.2 Reibungsbehaftete Strömung................................................... 5.2.5 Verzögerte Strömungsvorgänge.......................................................... 5.3 Rohrströmung kompressibler Fluide........................................................... 5.3.1 Differentialgleichung der kompressiblen Rohrströmung.................... 5.3.2 Isotherme Rohrströmung (T = konst.)................................................ 5.3.3 Adiabate Rohrströmung (q = 0)..........................................................

6 Stationäre Umströmung von Körpern....................................... 6.1 Körper in reibungsfreier Parallelströmung.................................................. 6.2 Grenzschicht............................................................................................... 6.3 Widerstand umströmter Körper.................................................................. 6.3.1 Entstehung des Widerstandes............................................................. 6.3.2 Ermittlung des Widerstandes.............................................................. 6.4 Tragflügel.................................................................................................. 6.4.1 Tragflügel mit unendlicher Spannweite.............................................. 6.4.1.1 Entstehung des Auftriebs........................................................ 6.4.1.2 Kräfte, Momente und aerodynamische Beiwerte am Tragflügel................................................................................ 6.4.2 Tragflügel endlicher Spannweite, Gesamtpolare................................. 6.4.3 Tragflügel bei hohen Unterschall-Anström-Mach-Zahlen...................

7 Freistrahlen.................................................................................................

IX 164 166 166 171 176 178 180 180 195 198 200 200 201 203 208 208 210 218 218 220 236 236 236 239 244 250 253

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen.................

256 8.1 Energiesatz der instationären Fadenströmung von Flüssigkeiten............... 256 8.2 Druckstoß bei plötzlicher Betätigung einer flüssigkeitsdurchströmte Armatur...................................................................................................... 264 8.3 Entleerung gasgefüllter Druckbehälter........................................................ 269 8.4 Instationäre Umströmungsvorgänge............................................................ 274 8.4.1 Periodische Wirbelablösung hinter stumpfen Zylindern...................... 274 8.4.2 Beschleunigte Körperbewegung in viskosem ruhendem Fluid............ 276

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion..................

281 9.1 Grundregeln strömungsgerechter Konstruktion........................................... 281 9.2 Konstruktion von durchströmten Kanälen und Gehäusen............................ 283

X

Inhaltsverzeichnis

9.3 Bauelemente zur Geschwindigkeitsänderung............................................. 9.3.1 Bauelemente zur Verzögerung (Diffusoren)....................................... 9.3.2 Bauelemente zur Beschleunigung (Düsen)......................................... 9.4 Abbau von Strömungsungleichförmigkeiten.............................................. 9.5 Widerstandsverminderung umströmter Körper.......................................... 9.6 Vermeidung strömungsinduzierter Schwingungen...................................... 9.7 Verminderung von Strömungsgeräuschen..................................................

10 Ausblick auf die Möglichkeiten der numerischen Strömungssimulation.......................................................................... 10.1 Ausgangsgleichungen............................................................................... 10.2 Ausgangsgleichungen bei turbulenter Strömung...................................... 10.2.1 Struktur der Turbulenz................................................................... 10.2.2 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen (RANS) ........... 10.2.3 Grobstruktursimulation.................................................................. 10.2.4 Direkte numerische Simulation...................................................... 10.3 Numerische Verfahren.............................................................................. 10.4 Methodologie der CFD-Anwendung........................................................

11 Anhang........................................................................................................

286 286 288 290 293 296 298

302 302 303 303 304 307 309 310 311

11.1 Einheiten..................................................................................................... 11.2 Fluiddaten.................................................................................................. 11.2.1 Flüssigkeiten.................................................................................... 11.2.1.1 Wasser.................................................................................. 11.2.1.2 Übrige Flüssigkeiten............................................................ 11.2.2 Gase und Dämpfe............................................................................. 11.2.2.1Wasserdampf........................................................................ 11.2.2.2 Gase.................................................................................... 11.3 Tabellen, Diagramme, Daten.....................................................................

313 313 314 314 314 315 315 315 321 328

Literaturverzeichnis....................................................................................

340

Namen- und Sachverzeichnis..................................................................

343

 %H]HLFKQXQJHQ Alle nicht dimensionslosen Größen sind in SI-Basiseinheiten (s. Tab. 10.1) zu verwenden, bei abweichenden Einheiten sind diese angegeben. Neben der Bezeichnung ist die Stelle der primären Definition genannt, dabei bedeuten: B: Bild; G: Gleichung; K: Kapitel; T: Tabelle. a a A AP b c cA cF cLa cM cp cp cP cv cW

Beschleunigung G 5.23 Schallgeschwindigkeit Fläche K 6.3.2 Projektionsfläche Breite Kanal, Spannweite Absolutgeschwindigkeit G 6.42 Auftriebsbeiwert G 6.24 Plattenwiderstandsbeiwert G 5.28 Laval-Geschwindigkeit G 6.47 Nickmomentenbeiwert spez. Wärmekap. (p = konst.) K1.2.1 G 4.43b Druckkoeffizient K 3.3 Leistungsbeiwert spez. Wärmekap. (v = konst.) K 1.2.1 G 6.31 Widerstandsbeiwert Geschwindigkeit a.d. Wand cτ Schubspannungsgeschwindigk. G 4.23 D Durchmesser B 2.4 D Druckmittelpunkt G 3.10 Dh hydraulischer Durchmesser G 1.6 e n Normaleneinheitsvektor G 8.17 E Elastizitätsmodul G 3.8 Euler-Zahl Eu G 3.9 Frequenz f F Kraft FA Auftrieb; stat. G2.30; therm.: G 2.24 G 6.41 dynamisch FG Gewichtskraft FK Körperkraft (Fluid→fest. Rand) B 3.17 Fp Druckkraft K 6.3.1 FW Widerstand G 6.20 Druckwiderstand FWD G 3.4 FWR Reibungswiderstand G 3.7 Froude-Zahl Fr g Erdbeschleunigung G 5.3 h spezifische Enthalpie B 2.1 lokale Tiefe in einer Flüssigkeit h B 2.11 hM metazentrische Höhe H Flüssigkeitsstand in Behälter B 2.1 G 2.43 H geopotentielle Höhe Flächenträgheitsmoment I G 3.55 Impuls I I

Impulsstrom

G 3.59

j J k ks KV l L L L La m  m

M Ma n n n n p P Pr q q r r R R R Re s s sL Sr t t T u u U v V V w

spez. Dissipationsenergie (> 0) Gefälle Rauhigkeitshöhe (äquivalente) Sandrauhigkeit Ventilkenngröße [m3/h] Körperlänge, typische Länge Drall Länge Leitung, Kanal, Spalt

K1.2.2 G 4.132 K4.3.3.3 K4.3.3.3 G 4.118

Drallstrom Laval-Zahl Masse Massenstrom Moment Mach-Zahl Drehzahl Exponent Potenzgesetz Koordinate normal Stromlinie Polytropenexponent absoluter statischer Druck Leistung Prandtl-Zahl kinetischer Druck spezifische Wärmemenge radiale Koordinate Recovery Faktor Halbmesser spezielle Gaskonstante Strangwiderstand Reynolds-Zahl Koordinate in Stromrichtung spezifische Entropie Einlaufstrecke Strouhal-Zahl statische Temperatur [°C] Zeit thermodynamische Temperatur spezifische innere Energie Umfangsgeschwindigkeit benetzter Umfang spezifisches Volumen Volumen Volumenstrom Relativgeschwindigkeit

G 3.75 G 5.29

G 3.73

G 3.29 G 3.6 G 4.18 B 3.10 G. 1.14 G 1.5 G 5.12 G 3.36 G 3.44 G 5.11 G 1.3 G 4.70 G 3.5 B 3.3 K 1.2.2 B 4.2 G 3.9 G 1.9 G 1.9 T 1.4 G 3.81 G 3.10 G 1.1 G 1.1 G 3.32 G 3.84

XII wt xyz y z Z α αK β β γ Γ δ δ1 ∆ ε εW ζ η

Bezeichnungen spezifische technische Arbeit kartesische Koordinatenrichtg. spezifische Strömungsarbeit Höhenkoordinate Realgasfaktor Formfaktor Energiemittelung Kontraktionszahl Formfaktor Impulsmittelung Porosität von Sieben Gleitwinkel Zirkulation Grenzschichtdicke Grenzschichtverdrängungsdicke Differenz (Austritt - Eintritt) Gleitzahl Wandwinkel (Kapillarität) Verlustzahl dynamische Viskosität Wirkungsgrad

G 3.47 G 3.48 B 2.1 G 1.4 G 3.91 G 4.53 G 3.90 T 11.11V G 6.46 G 6.40 B 6.2 G 6.9 G 6.46 K 1.4.2 G 4.44 G 1.15

ϑ ϑ κ λ µ µ ν π ρ σ σ τ τ ϕ ψ ω

Diffusoröffnungswinkel Knick- bzw. Keilwinkel Isentropenexponent Reibungszahl (Rohr/Spalt/ Gerinne) Wärmeleitfähigkeit Ausflußziffer Machscher Winkel kinematische Viskosität Druckverhältnis Dichte Grenzflächenspannung Stoßwinkel Schubspannung Temperaturverhältnis Geschwindigkeitszahl Durchflußfunktion Winkelgeschwindigkeit

B 4.9 B 5.7 G 1.13 G 4.29/ 109/133 K 5.1 G 4.82 G 5.26 G 1.16 G 1.1 K 1.4.1 B 5.7 G 1.15 G 8.23 G 4.80 G 5.63

,QGL]HV a außen, Umgebung A Anlage d dynamisch D Druck; Druckmittelpunkt Diff Diffusor F Flüssigkeit G Gehäuse, äußerer Durchmesser (Kreisring), Gas h Körperhinterteil k inkompressibel krit kritischer Wert lam laminare Strömung/Grenzschicht m Mittelwert (kontinuitätsgemittelt) M Maschine N Nabe, innerer Durchmesser (Kreisring) p Druck p polytrope Zustandsänderung isentrope Zustandsänderung s S Schwerpunkt Totalzustand, Ruhezustand t

turb turbulente Strömung/Grenzschicht T Trägheit U Umschlag Grenzschicht, lam. Unterschicht v Körpervorderteil W Wand, feste Berandung x Komponente in x-Richtung y Komponente in y-Richtung z Komponente in z-Richtung δ am Grenzschichtrand τ Schubspannung 0 Oberfläche, Umgebung ∞ ungestörte Anströmung räumlicher Mittelwert zeitlicher Mittelwert bei Produkten von turbulenten Schwankungsgrößen ∼ zeitlicher Mittelwert / turbulente Schwankungsgröße . Winkel im Bogenmaß

3K\VLNDOLVFKH*UXQGODJHQXQG(LJHQVFKDIWHQ GHU)OXLGH 7KHUPLVFKH=XVWDQGVJU|‰HQ 'LFKWH In der Strömungslehre werden Kräfte und Bewegungen von Flüssigkeiten und Gasen untersucht. Beide Stoffe sind Kontinua, deren Elemente leicht gegeneinander verschiebbar sind, sie werden unter dem Sammelbegriff Fluid zusammengefaßt. Der Zustand einer betrachteten Fluidmenge wird durch Zustandsgrößen beschrieben. Die thermischen Zustandsgrößen spezifisches Volumen v (bzw. Dichte ρ), Druck p und Temperatur T sowie die spezifischen kalorischen Zustandsgrößen innere Energie u, Enthalpie h und Entropie s kennzeichnen den inneren thermodynamischen Zustand der Fluidmenge, während die äußeren Zustandsgrößen Höhenkoordinate z und Geschwindigkeit c ihren äußeren mechanischen Zustand beschreiben1. Zur Definition des spezifischen Volumens v betrachten wir eine Fluidmasse m, die einen geschlossenen Behälter mit dem Innenvolumen V füllt (Bild 1.1). Beziehen wir das eingeschlossene Volumen V auf die Masse m des Fluids, so erhalten wir das spezifische Volumen2 v bzw. dessen Kehrwert, die Dichte ρ:

V m

3

[v] = mkg

ρ=

1 m = v V

[ρ] =

kg

Moleküle

m3

(1.1a, b) %LOG Mit Fluidmasse m gefüllter Behälter des Innenvolumens V. Modellvorstellung Fluidelement und Druckkraft dF auf Behälterwandelement dA

m

dF

V

dz

v=

dx

dy

Fluidelement dV

dA

en

Die Dichte ist allgemein eine Funktion von Druck und Temperatur. Ändert sich während eines betrachteten Strömungsvorganges die Dichte nicht oder nur geringfügig, so bezeichnen wir das 1

Der innere thermodynamische Zustand wird durch zwei der sechs thermischen bzw. kalorischen Zustandsgrößen definiert. Die restlichen Zustandsgrößen lassen sich mit Zustandsgleichungen berechnen. 2 Auf die Masse des Fluids bezogene Zustandsgrößen werden als spezifische Zustandsgrößen bezeichnet. Ihre Symbole sind Kleinbuchstaben.

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

2

Fluid als inkompressibel (dichtebeständig). Tritt dagegen eine merkliche Dichteänderung auf, so sprechen wir von einem kompressiblen (dichteveränderlichen) Fluid. 7DEHOOH Unterteilung der Fluide aufgrund der Dichteänderung ρ ≅ konst. inkompressibles Fluid (exakt oder annähernd dichtebeständig während des betrachteten Vorganges) → Flüssigkeiten → Gase bei niedrigen Geschwindigkeiten (Ma ≤ 0,3)

ρ ≠ konst. kompressibles Fluid (merkliche Dichteänderung während des betrachteten Vorganges) → Gase bei hohen Geschwindigkeiten (Ma > 0,3)

Hierbei ist zunächst bemerkenswert, daß auch Gase bei niedrigen Geschwindigkeiten als inkompressibel anzusehen sind. Dies läßt sich dadurch erklären, daß ein Gas, das aus der Ruhe heraus (Dichte ρt ) beschleunigt wird, eine Dichteänderung ∆ρ durchläuft. Sie ist von der erreichten Strömungsgeschwindigkeit c abhängig und bleibt gering, solange die Strömungsgeschwindigkeit klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit a des jeweiligen Gaszustandes ist. Tabelle 1.2 zeigt die Abhängigkeit der relativen Dichteänderung ∆ρ/ρt von der Mach-Zahl Ma = c/a, die das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit darstellt. 7DEHOOH Abhängigkeit der Dichteänderung eines Gases von der Mach-Zahl. Gerechnet für Luft mit einer Temperatur von 20 °C im Ruhezustand (Gl. 5.32b) Ma = c/a [-] ∆ρ/ρt [%] c [m/s]

0,10 -0,5 34,5

0,15 -1,1 51,4

0,20 -2,0 68,4

0,25 -3,1 85,3

0,30 -4,4 102,1

Bei technischen Gasströmungsvorgängen wird üblicherweise bei Ma ≤ 0,3 inkompressibles Fluidverhalten angenommen. In DIN 1306 sind Begriffe und Angaben zur Dichte genormt. 'LFKWHYRQ)OVVLJNHLWHQ. Die bei Strömungsvorgängen von Flüssigkeiten auftretenden Dichteänderungen sind vernachlässigbar gering. Wir definieren daher eine ideale Flüssigkeit, bei der die Dichte während des betrachteten Vorganges konstant bleibt

ρ=

1 = konst. v

(ideale Flüssigkeit)

(1.2)

Der Zahlenwert der Dichte wird in Abhängigkeit von der im Fluid vorliegenden Temperatur ermittelt. Bei adiabaten Strömungsvorgängen können nur durch Reibungseffekte Temperaturerhöhungen entstehen. Diese sind aber im allgemeinen so geringfügig, daß mit einer konstanten Temperatur gerechnet werden kann. In Kap. 11.2.1 sind Zahlenwerte der Dichte für einige Flüssigkeiten zusammengestellt.  'LFKWHYRQ*DVHQ Bei Gasen ist die Dichte stets aus der thermischen Zustandsgleichung ρ = ρ(p,T) zu bestimmen3. Wir definieren ein ideales Gas, für das die thermische Zustandsgleichung die nachstehende einfache Form annimmt. R ist hierbei die spezielle Gaskonstante des betrachteten Gases (Zahlenwerte in Tab.11.6). Tatsächliche (reale) Gase nähern sich dem idea3

Im Falle inkompressibler Gasströmung sind für Druck und Temperatur die Anfangswerte oder die Mittelwerte des betrachteten Strömungsvorganges zu wählen.

1.1 Thermische Zustandsgrößen

ρ=

1 p = v RT

3

pV = mRT

(ideales Gas)

(1.3a,b)

lisierten Ergebnis der obigen Beziehung um so besser an, je niedriger ihr Druck ist (Gl. (1.3) gilt exakt nur für den Grenzfall p → 0). Bei vielen technischen Anwendungen kann Gleichung (1.3) mit genügender Genauigkeit angewendet werden. In Bild 1.2 sind die Gültigkeitsbereiche der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gase bei Zugrundelegung bestimmter Fehlergrenzen am Beispiel von Luft dargestellt. Treten zu große Abweichungen bei der Verwendung der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gase auf, so liefert die Virialform der Zustandsgleichung

ρ=

1 p Z RT

(1.4)

mit dem Realgasfaktor Z eine Möglichkeit der genaueren Bestimmung der Dichte des realen Gases. Zahlenwerte des Realgasfaktors Z = Z(p,T) für Luft liefert Bild 11.5. 250 p −ρ ∆ρ R ⋅ T = ρ ρ

bar 200 p

∆ρ =+ 5 % ρ

150

100 -5 %

%LOG Relative Abweichung zwischen der tatsächlichen Dichte von Luft und den nach der Zustandsgleichung für ideale Gase berechneten Werten

+2 %

50 -1 % 0 -100

+1 %

-2 % 0

100

300 °C 400

200 t

'LFKWHYRQ'lPSIHQ Dämpfe sind Fluide in der Gasphase, deren Zustandsverläufe in technischen Prozessen in der Nähe der Taulinie verlaufen oder diese überschreiten. Bei niedrigen Drücken und starker Überhitzung können auch Dämpfe näherungsweise wie ideale Gase behandelt werden. In der Nähe der Taulinie treten jedoch größere Abweichungen auf. Hier und bei hohen Drücken empfiehlt es sich, die Dichte aus h,s-Diagrammen, Dampftabellen oder Zustandsprogrammen zu entnehmen. Für den technisch relevanten Fall des gesättigten oder überhitzten Wasserdampfes ist in Bild 11.3 der Realgasfaktor Z dargestellt, der eine Anwendung von Gleichung (1.4) gestattet.

'UXFN Das Fluid in dem in Bild 1.1 dargestellten Behälter besteht aus einer Vielzahl von bewegten

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

4

Molekülen. Diese Moleküle und ihre Wirkungen ersetzen wir grundsätzlich bei technischen Strömungsvorgängen gedanklich durch die Modellvorstellung, daß das vom Fluid eingenommene Volumen V aus infinitesimalen quaderförmigen ruhenden oder bewegten Fluidelementen mit dem jeweiligen Volumen dV = dxdydz besteht. An den definierten Oberflächen eines Fluidelementes können Druck- und Schubkräfte (bei ruhendem Fluid nur Druckkräfte) wirken, im Inneren des Fluidelementes können Massenkräfte (→ Gravitation) angreifen. Durch die Wirkungen dieser Kräfte lassen sich alle Vorgänge der Fluidmechanik beschreiben. In Bild 1.1 ist ein die Bodenfläche des Behälters benetzendes Fluidelement eingezeichnet, dessen Moleküle gegen die Bodenfläche stoßen. Die Auswirkungen dieser Stöße werden resultierend durch die Kraft dF ersetzt, mit der das Fluidelement auf die Behälterwand drückt. Durch Bezug dieser Kraft auf die benetzte Fläche dA wird der lokale absolute statische Druck p definiert

p=

dF dA

[ p] =

N m2

=

kg s2 m

= Pa

(1.5)

Die Einheit des Drucks ist das Pascal Pa. Weiterhin gilt 1 bar = 105

N m2

= 105 Pa = 103 hPa

Der atmosphärische Luftdruck auf der Erdoberfläche beträgt etwa 1 bar. Daher ist diese Einheit sehr anschaulich, da sie Drücke in Vielfachen des Atmosphärendrucks beschreibt. Weitere Druckeinheiten sind in Tab. 11.2 aufgeführt. Der Druck ist eine Normalspannung. Er hat keinen Richtungssinn, ist daher eine skalare Größe. Durch den Druck wird an einem Oberflächenelement eine Druckkraft normal zur Fläche ausgeübt (Bild 1.1) & & & dF = pdA = pe n dA (1.6) & Die Lage des Flächenelementes dA im Raum, ausgedrückt durch den Normaleneinheitsvektor & & e n , bestimmt somit die Richtung des Druckkraftvektors dF . Folgende Merkregel soll für die Wirkrichtung der Druckkräfte gelten: Wirkt ein Fluid auf eine feste Berandung, so sind die Druckkräfte vom umgebenden Fluid auf die Berandung gerichtet (Bild 1.1; 1.3; 2.5; 2.13; 6.1). Werden die Druckkäfte auf ein Fluidelement betrachtet, so wirken sie von außen auf die Oberflächen des Fluidelementes (Bild 2.1; 3.17). In Skizzen wird häufig auch dem Druck symbolisch ein Richtungspfeil zugeordnet (Bild 3.10). Die resultierende Druckkraft F auf eine endliche Fläche ergibt sich durch Integration über die gesamte Fläche A. Gemäß Bild 1.3 gilt & & F = ∫ pdA (1.7) (A )

Ist die Fläche A eben und der Druck konstant, erhalten wir die Druckkraft zu F = pA

p=

F A

(1.8a, b)

In diesem Falle wird auf die Vektorschreibweise verzichtet. Der Anwender muß sich darüber klar sein, daß die Druckkraft stets senkrecht in Richtung auf die entsprechende benetzte Nach-

1.1 Thermische Zustandsgrößen

5

barfläche des betrachteten Fluidelementes wirkt.

dF

→

90°

F =

→

∫ pd A

F=p ·A

p

(A )

p

dF dA e n D

A

D dA en

90°

90° A

p

en E

%LOG Entstehung der Druckkräfte. D Variable Druckverteilung auf gekrümmter Fläche. E Konstanter Druck auf ebener Fläche

Betrachten wir noch einmal den in Bild 1.1 dargestellten Behälter und stellen uns vor, durch eine geeignete Absaugevorrichtung könnte die gesamte Fluidmenge bis einschließlich des letzten Moleküls aus dem Behälter entfernt werden. Dann würde die Kraft auf das markierte Flächenelement dA gegen Null streben und der Druck p ginge gemäß Gleichung (1.5) ebenfalls gegen Null. Der absolute Druck p, den wir in der Strömungslehre anwenden, hat seinen Nullpunkt im Vakuum (p = 0). Es existieren keine negativen absoluten Drücke. Technische Druckmeßvorrichtungen messen stets die Differenz zu einem Bezugsdruck. Wir sprechen dann von Differenzdrücken, die durch die Schreibweise ∆p gekennzeichnet werden. Bild 1.4 veranschaulicht die verschiedenen Druckskalen für Absolut- und Differenzdrücke. Im Sonderfall von Absolutdruckmessungen (z. B. Barometer) ist der Bezugsdruck p das Vakuum. DIN 1314 beschreibt p1 Grundbegriffe und Einheiten des Drucks. "Überdruck" ∆p = p - p > 0 1

1

0

p0

Bezugsdruck p0 p1

%LOG Darstellung der Druckskalen für absolute Drücke und Differenzdrücke ∆p

∆p2 = p2 - p0 < 0

"Unterdruck"

p2 0

p2 Vakuum

7HPSHUDWXU Zur Beschreibung der Temperatur sind zwei Temperaturskalen üblich, die durch die Gleichung

T = t + 273,15 K

[T ] = K

[t] =°C

(1.9)

verknüpft sind. Dabei stellen T die thermodynamische Temperatur ( Einheit Kelvin ) und t die

6

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

Celsius-Temperatur (Einheit Grad Celsius) dar. Die Einheiten K und °C sind vom Betrag gleich, sie deuten nur die unterschiedlichen Nullpunkte der jeweiligen Temperaturskalen an. Die Konstante 273,15 K beschreibt den Eispunkt des Wassers, bei dem luftgesättigtes Wasser bei einem Druck von 1,013 bar erstarrt. Dies ist der Nullpunkt der Celsius-Skala. 3UD[LVKLQZHLV Celsiustemperaturen t sind üblich auf den Skalen von Meßgeräten und in Tabellen zur Stoffdatenermittlung. In den thermodynamischen Gleichungen sind stets die thermodynamische Temperatur T und der absolute statische Druck p einzusetzen (z. B. Gl. (1.3)). Treten Temperaturdifferenzen auf, so gilt ∆t = ∆T.

:lUPHNDSD]LWlWHQXQGZHLWHUHWKHUPRG\QDPLVFKH *UXQGODJHQ  :lUPHNDSD]LWlWHQXQG(QWKDOSLH

Insbesondere bei der Behandlung der kompressiblen Fluide werden weitere Fluideigenschaften benötigt, die durch die allgemeinen Beziehungen der Thermodynamik geliefert werden. Wie bereits in Kap. 1.1 erwähnt, ist es für viele technische Strömungsvorgänge zulässig, die tatsächlichen (realen) Fluide mit ihrem Verhalten durch idealisierte Fluide zu approximieren, die wir nun in nachstehender Tabelle anhand folgender Vereinfachungen verbindlich definieren wollen: 7DEHOOH Definition idealer Fluide Ideale Flüssigkeit

Ideale Flüssigkeit mit konst. spez. Wärmekapazitäten ρ = konst. ρ = konst. cF = cF(T) = cp(T) = cv(T) cF = cp = cv = konst.

Ideales Gas

ρ = p/(RT) cp = c p(T); cv = cv(T)

Ideales Gas mit konst. spezifischen Wärmekapazitäten ρ = p/(RT) cp = konst.; cv = konst. (Edelgase)

Die spezifische Wärmekapazität cp eines Gases beschreibt die Wärmemenge, die erforderlich ist, um eine Gasmasse von 1 kg bei konstantem Druck um die Temperaturdifferenz von 1 K zu erwärmen. cv ist dagegen die Wärmemenge, die diese Erwärmung bei konstantem Volumen bewirkt. Da bei der Wärmezufuhr unter konstantem Druck neben der Erhöhung der inneren Energie der Gasmasse auch Volumenänderungsarbeit geleistet werden muß, ist cp stets größer als cv. Es gilt cp - cv = R. Im folgenden werden einige für ideale Fluide relevante Beziehungen vorgestellt. Die Änderung einer Zustandsgröße definieren wir grundsätzlich als die Differenz Endzustand (2) minus Anfangszustand (1) (Vorzeichenregel!). Die nachstehende Gleichung für die Änderung der spezifischen Enthalpie eines idealen Gases läßt sich anhand von Bild 1.5 als die Fläche unter der Kurve cp(T) deuten.

7

1.2 Wärmekapazitäten und weitere thermodynamische Grundlagen 2

T2

1

T1

∆h12 = h2 − h1 = ∫ dh = ∫ c p (T)dT

(1.10)

cp cp

T cp 2 T0

T2 T1

2

1 0

T2

cp

%LOG Definitionsskizze zur Ermittlung der mittleren spezifischen Wärmekapazitäten

∫

∆h12 = c p (T)dT

T1

T1

T0

T0 0

K °C

T1 t1

T2 t2

T t

Durch Umformung der Flächenstücke in flächengleiche Rechtecke erhalten wir T2

T1

T0

T0

∆h12 = ∫ c p (T)dT − ∫ c p (T)dT = c p T0 (T2 − T0) − c p T0 (T1 − T0) = c p T1 (T2 − T1) T2

T1

T2

Ti

Die mittleren spezifischen Wärmekapazitäten c p sind vertafelt, wobei die Intervalle übliT0 cherweise zwischen der Anfangstemperatur t0 = 0 °C und einer beliebigen Celsius-Temperatur ti liegen (s. Tab. 11.8). Die ingenieurmäßige Berechnung erfolgt dann mit den Beziehungen t2

∆ h12 = c p

t2 t1

(T2 − T1)

mit

cp

t2 t1

=

t1

c p t = 0 ⋅ t 2 − c p t = 0 ⋅t1 t 2 − t1

(1.11a,b)



:HLWHUHWKHUPRG\QDPLVFKH*UXQGODJHQ

Bei allen wirklichen Strömungsvorgängen wird durch Reibungseffekte Gestaltänderungsarbeit am Fluidelement geleistet, wodurch mechanische Energie in innere Energie überführt wird. Diesen Vorgang nennen wir Dissipation. Die dem Fluid dabei pro Masseneinheit aus dem Inneren irreversibel zugeführte innere Energie bezeichnen wir als Dissipationsenergie j12, sie ist stets positiv. Wir können uns die Dissipationsenergie als eine „ideelle Wärmemenge“ vorstellen, die dem Fluid im Inneren zugeführt wird. Lediglich bei idealisierten, reibungsfreien, (reversiblen) Prozessen entsteht keine Dissipationsenergie (j12 = 0). Zustandsänderungen bei reibungsfreien (j12 = 0) Prozessen ohne äußere Wärmezufuhr (adiabat, q12 = 0) bezeichnen wir als isentrope Zustandsänderungen (konstante Entropie, s = konst.). Bei Gasen werden sie durch die Gleichung

p vk =

p ρk

= konst.

p1 v1k = p2 v2ks

(1.12a, b)

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

8

beschrieben, in der k den mittleren Isentropenexponenten darstellt und der Index s bei v2s auf die theoretische isentrope Zustandsänderung verweist. Bei idealen Gasen ist der lokale Isentropenexponent k gleich dem Verhältnis κ der spezifischen Wärmekapazitäten

k(T) = κ (T) =

c p (T) c v (T)

k = κ ≈ 0,5( κ(T1) + κ(T 2))

cp =

κ R κ −1

(1.13a,b,c)

Er hängt, wenn auch nur schwach, von der Temperatur ab. Daher ist bei strenger Rechnung in Gl. (1.12), die für eine endliche Zustandsänderung gilt, ein geeigneter mittlerer Isentropenexponent k (bzw. κ bei idealen Gasen) einzusetzen (s. Tab. 1.4 oder Gl. (1.13b)). Reibungsbehaftete Zustandsänderungen lassen sich durch die polytrope Zustandsänderung approximieren

p vn =

p ρ

n

= konst.

p1 v1n = p2 v2n

(1.14a, b)

Hierin ist n der mittlere Polytropenexponent. In Tabelle 1.4 sind die für Strömungsvorgänge relevanten thermodynamischen Beziehungen für die unterschiedlichen Arten von idealen Fluiden zusammengestellt. %HLVSLHO Trockene Luft expandiert aus einem Druckbehälter mit den Zuständen p 1 = 35 bar, t1 = 200 °C reibungsfrei (isentrop) in einer Lavaldüse auf den Austrittsdruck p2 = 8 bar. 1.1.1 Wie groß ist die Dichte ρ1 des Anfangszustandes, wenn Luft als ideales bzw. reales Gas behandelt wird ? 1.1.2 Welche Endtemperatur T2s und welche isentrope Enthalpiedifferenz ∆hs12 stellen sich ein bei Annahme idealen Gasverhaltens mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten bzw. bei Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten?



3UD[LVKLQZHLVBei numerischen Rechnungen sind in den Berechnungsgleichungen stets alle Größen nur in den Basiseinheiten des SI-Systems (m, kg, s, K) oder aus diesen direkt ohne Dezimalfaktoren abgeleiteten Einheiten (N, J, Pa, W) einzusetzen. Dann ergibt sich das Resultat ebenfalls in diesen Größen (kohärentes Einheitensystem, s. Tab. 10.1 und 10.2). Zur Sicherstellung ausreichender numerischer Genauigkeit sollten bei Zwischenergebnissen mindestens vier signifikante Stellen berücksichtigt werden.

/|VXQJ1.1.1) Gemäß Gl. (1.3) und (1.9) sowie Tabelle 11.6 folgt für ideales Gas ρ1− ideal =

p1 RT1

=

35⋅105 Pa kg = 25,769 3 287,06 J / ( kgK) (200 + 273,15) K m

Bild 11.5 liefert für Z = Z(p1 = 35 bar; t1 = 200 °C) ≈ 1,012. Aus Gl. (1.4) folgt 35⋅105 Pa kg 1 p1 1 = = 25,463 3 Z RT1 1,012 287,06 J / ( kgK) (200 + 273,15) K m ρ1− ideal − ρ1− real = Z − 1 = 0,012 → +1,2 % Relativer Fehler ρ1− real ρ1− real =

1.2 Wärmekapazitäten und weitere thermodynamische Grundlagen  7DEHOOH Zusammenstellung der thermodynamischen Beziehungen für ideale Fluide ideales Gas ideale Flüssigkeit mit konst. spez. Wärmekapazitäten Definition cF = konst.; cp = cp(T); cv = cv(T) und therm. v = 1/ρ = konst. p 1 ρ= = ZustandsÄnd. Temperatur v RT gleichung q12 + j12 T2 − T1 = cF cF = konst. spez. k ( T ) = κ( T ) = cp ( T ) / c v ( T ) Wärmeka-c p (T ) − c v (T ) = R pazität, κ(T ) IsentropenR c p (T ) = exponent κ(T ) − 1

κ −1 k −1 = = κ k

Änderung spez. innere Energie Enthalpiedifferenz

isentrope Enthalpiedifferenz

isentrope Zustandsänderung.

polytrope Zustandsänderung

∆ u12 = c F (T2 − T1) = q12 + j12

∆ h12 = h 2 − h1 p − p1 = ∆ u12 + 2 ρ

∆ hs12 = h2 s − h1 1 = ( p2 − p1) ρ

ideales Gas mit konstanten spez. Wärmekapazitäten cp = konst.; cv = konst. 1 p ρ= = v RT Edelgase:cp = 5/2R; cv = 3/2R

k=κ=

R t 2s

c p t1

∆ u12 = c v (T2 − T1)

t2 ∆ u12 = ⎛⎜ c p − R⎞⎟ (T2 − T1) ⎝ t1 ⎠ t2 t1

∆ h12 = c p (T2 − T1)

(T2 − T1)

n −1 ⎤ ⎡ ⎥ κ ⋅ R ⎢⎛ p 2 ⎞ n ⎜ ⎟ 1 = − T1 ⎢ ⎥ κ − 1 ⎢⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎥ ⎦ ⎣

n −1 ⎤ ⎡ ⎥ t 2 ⎢⎛ p 2 ⎞ n = c p T1 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ t1 ⎥ ⎢⎝ p1 ⎠ ⎦ ⎣

∆ hs12 = c p (T2s − T1)

t 2s

∆ hs12 = c p (T2s − T1) t1

κ −1 ⎡ ⎤ ⎥ κ ⋅ R ⎢⎛ p 2 ⎞ κ ⎜ ⎟ = − 1⎥ T1 ⎢ κ − 1 ⎢⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

κ −1 ⎡ ⎤ ⎥ t 2 s ⎢⎛ p 2 ⎞ κ = c p T1 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ t1 ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

p1 v1κ

=

p2 v2κs ;

T2s ⎛⎜ p2 ⎞⎟ =⎜ ⎟ T1 ⎝ p1 ⎠

⎛p ⎞ T p1 v1n = p2 v 2n ; 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ T1 ⎝ p1 ⎠

cp

cv c p − cv = R κ R cp = κ −1 κ −1 R = κ cp

k = κ ≈ 0,5[κ(T1) + κ(T 2)]

∆ h12 = c p

9

κ −1 κ

n −1 n

p1 v1κ = p 2 vκ2 s T2 s ⎛⎜ p2 ⎞⎟ =⎜ ⎟ T1 ⎝ p1 ⎠

κ −1 κ

p1 v1n = p2 v2n T2 ⎛⎜ p2 ⎞⎟ =⎜ ⎟ T1 ⎝ p1 ⎠

n −1 n

1.1.2) Mit der Temperatur des Anfangszustandes liefert Tab. 11.7 bei konstanten spez. Wärmekapazitäten cp(t = 200 oC) = 1024,6 J/(kgK) = konst.. Aus Tabelle 1.4 folgt

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

10

κ − 1 R 287,06 J / ( kgK) = = = 0,28017 κ c p 1024,6 J / ( kgK) κ −1 ⎡ ⎤ 0,28017 ⎡⎛ ⎤ ⎢⎛ p 2 ⎞ κ ⎥ 8 ⋅ 105 Pa ⎞ J ⎟ ∆ h s12 = c p T1 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ = 1024,6 − 1⎥ ⋅ (200 + 273,15) K ⎢⎜⎜ ⎟ 5 ⎢⎝ 35⋅ 10 Pa ⎠ ⎥ kgK ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ J ∆ h s12 = −164184 kg

⎛p ⎞ T2 s = T1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

κ −1 κ

⎛ 8 ⋅105 Pa ⎞ ⎟ = (200 + 273,15) K ⎜⎜ ⎟ 5 ⎝ 35⋅10 Pa ⎠

0,28017

= 312,91 K

Bei der Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten ist ein iteratives Vorgehen erforderlich. Als Startwert für T2s dient der bei cp = konst. ermittelte Wert. Mit Gl. (1.11b) und Tabelle 11.8 folgt bei linearer Interpolation t 2s

t 2s

c p t1 =

t1

c p t = 0 t 2 s − c p t = 0 t1 t 2 s − t1

=

1004,6 J / ( kgK) ⋅ 39,75 0 C − 1011,7J / ( kgK) ⋅ 2000 C (312,91 − 473,15) K

t 2s

c p t1 = 1013,52 J / (kgK) κ −1 R 287,06 J / ( kgK) = = = 0,28323 t 2 s κ 1013,52 J / ( kgK) c p t1 ⎛ 8 ⋅105 Pa ⎞ ⎟ T2s = (200 + 273,15) K ⎜⎜ ⎟ 5 ⎝ 35⋅10 Pa ⎠

0,28323

= 311,50 K

Eine weitere iterative Verbesserung der Temperatur ist im Rahmen der Tabellengenauigkeit nicht sinnvoll. Die zugehörige Enthalpiedifferenz beläuft sich gemäß Tabelle 1.4 zu κ −1 ⎤ ⎡ 0,28323 ⎡⎛ ⎤ ⎥ t 2 s ⎢⎛ p 2 ⎞ κ J J 8 ⋅105Pa ⎞ ⎢ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ = 1 1013 , 52 473 , 15 K − 1⎥ = −163838 = ⋅ − ∆h s12 c p t1 T1 ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ 5 ⎢ ⎥ p kgK kg ⎝ 35⋅10 Pa ⎠ ⎥ ⎢⎝ 1 ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ Die bei der vereinfachten Berechnung mit cp = konst. auftretenden Fehler betragen bei der Temperaturänderung -0,87 % und bei der Enthalpieänderung + 0,21 %.

3UD[LVKLQZHLV In den meisten technischen Anwendungsfällen liefert das Berechnungsmodell des idealen Fluids mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten genügend genaue Ergebnisse. Lediglich bei Gasen mit hohen Drücken (p > 50 bar) oder niedrigen Temperaturen (t < 0 0 C) ist die Beachtung realen thermischen Verhaltens gemäß Gl. (1.4) empfehlenswert (s. Bild 1.2). Bei Gasströmungen mit großen Druckverhältnissen (p2/p1 = π < 0,1 bzw. > 10) ist der Einfluß der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten zu prüfen. Bei Dämpfen sollte nach Möglichkeit auf ein h,s-Diagramm, vertafelte Werte oder ein Stoffdatenrechenprogramm zurückgegriffen werden.



1.3 Viskosität

11

9LVNRVLWlW Bild 1.6 stellt eine reibungsbehaftete ebene Strömung parallel zur x-Achse mit in y-Richtung unterschiedlichen Geschwindigkeiten dar (laminare Scherströmung). Ein zur Zeit t herausgegriffenes Fluidelement wird unten und oben von Fluidelementen mit verschiedenen Geschwindigkeiten begrenzt. Da die Fluidelemente an den Begrenzungsflächen aneinander haften, wird das betrachtete Fluidelement deformiert. Diese Deformation wird durch die Schubspannungen   t y   c + dc c(y) + dc   dy τ %LOG c c(y) Verformung eines Fluidelementes c .dt bei ebener laminarer Scherströmung.

t + dt dγ τ

x

τ in den Begrenzungsflächen hervorgerufen und erfolgt mit der Verformungsgeschwindigkeit dγ / dt = γ , die Schergeschwindigkeit genannt wird. Die Schergeschwindigkeit γ ist gleich dem Geschwindigkeitsgradienten der Strömung normal zur Strömungsrichtung γ = dc( y) / dy .

Die dynamische Viskosität η des Fluids können wir uns vorstellen als den Widerstand, den das Fluidelement seiner Verformung mit der Schergeschwindigkeit γ entgegensetzt. Zu seiner Überwindung sind die äußeren Schubspannungen erforderlich. Der Zusammenhang zwischen Schubspannung und Schergeschwindigkeit liefert das Reibungsgesetz des betrachteten Fluids, das durch die Stoffeigenschaften des Fluids bestimmt wird: τ = f (( γ ) = f (dc / dy ). Bei der Mehrzahl der Fluide gilt bei laminarer Strömung das auf Newton zurückgehende Gesetz

τ=η

dc = ηγ dy

(laminare Strömung)

[τ] =

N m2

= Pa

[η] = Ns2 = Pa ⋅ s

(1.15)

m

Fluide, die diesem Zusammenhang genügen, werden daher als newtonsche Fluide bezeichnet. Hierbei ist die dynamische Viskosität η die Proportionalitätskonstante zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradient bzw. Schergeschwindigkeit; sie ist eine individuelle primär temperaturabhängige Stoffgröße, die nur schwach vom Druck abhängt: η = η(T,p). In der Praxis reicht meist die Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit aus: η ≈ η(T). Die dynamische Viskosität beeinflußt das Reibungsverhalten eines Fluids maßgeblich. Ihre zahlenmäßige Bestimmung erfolgt empirisch. Häufig ist es zweckmäßig, die dynamische Viskosität η auf die Dichte ρ zu beziehen. Wir erhalten dann die kinematische Viskosität ν:

ν=

η ρ

[ν] = ms

2

In DIN 1342 sind Viskositätsbegriffe definiert.

(1.16)

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

12

 9LVNRVLWlW YRQ )OVVLJNHLWHQ Die dynamische Viskosität von Flüssigkeiten nimmt mit der Temperatur ab; bekanntes Beispiel dazu ist das Verhalten von Motorenöl bei hohen und niedrigen Temperaturen. Dies ist dadurch erklärlich, daß bei steigenden Temperaturen die gegenseitigen Bindungen der Flüssigkeitsmoleküle gelockert werden; die Fluidelemente sind dann leichter gegeneinander verschiebbar. Die kinematische Viskosität ist - ebenso wie die dynamische näherungsweise nur temperaturabhängig: ν ≈ ν(T). Zahlenwerte für verschiedene newtonsche Flüssigkeiten sind in Kap. 11.2.1 in Diagrammen und in Form von Berechnungsgleichungen dargestellt. 9LVNRVLWlWYRQ*DVHQ Die dynamische Viskosität steigt mit der Temperatur. Gemäß der kinetischen Gastheorie nimmt die Molekülgeschwindigkeit und damit die Heftigkeit des Impulsaustausches zusammenstoßender Moleküle zu. Die kinematische Viskosität ist druck- und temperaturabhängig ν = ν(p,T). Zahlenwerte für verschiedene Gase sind Kap. 11.2.2 zu entnehmen. 9LVNRVLWlWVYHUKDOWHQ QLFKWQHZWRQVFKHU )OXLGH. Fluide, die nicht dem vorab geschilderten linearen Zusammenhang des newtonschen Schubspannungsgesetzes (Gl. 1.15) folgen, heißen nicht-newtonsche Fluide [9]. Ihr qualitatives Verhalten ist in Bild 1.7 dargestellt. Dilatante Fluide (Anstrichfarben, Glasurmassen) zeigen progressives, strukturviskose Fluide (Fette, Silikone, Spinnlösungen) degressives Verhalten. Bingham-Fluide (Pasten, Breie, Schlämme, körnige Suspensionen) verhalten sich bis zur Fließgrenze τF wie elastische Körper, nach deren Überschreiten wie newtonsche Fluide. Außerdem existieren Fluide mit zeitabhängigem Schubspannungsverhalten (thixotrope und rheopexe Flüssigkeiten, elastoviskose Stoffe). Die Behandlung nicht-newtonscher Fluide ist Aufgabe der Rheologie. τ

τF

IIc IIb I IIa

dc = γ dy

%LOG Verhalten newtonscher und nicht-newtonscher Fluide. I: newtonsches Fluid; IIa: dilatantes Fluid;IIb: strukturvikoses Fluid; IIc: Bingham Fluid

*UHQ]IOlFKHQXQG.DSLOODULWlW *UHQ]IOlFKHQ Wenn zwei unterschiedliche nicht mischbare Fluide aneinandergrenzen, so bilden sich Grenzflächen aus. Eine Grenzfläche zwischen Gas und Flüssigkeit nennen wir eine freie Oberfläche. Innerhalb einer Flüssigkeit treten intermolekulare Anziehungskräfte (Kohäsion) auf, die sich gegenseitig aufheben, mit Ausnahme einer sehr dünnen Schicht (< 10-9 m) unmittelbar an der freien Oberfläche, in der eine ins Innere der Flüssigkeit gerichtete Kraft auf die Flüssigkeitsmo-

1.4 Grenzflächen und Kapillarität

13

leküle wirkt. Dies hat zur Folge, daß in der Oberfläche ein Spannungszustand entsteht, der mit den Verhältnissen in einer dünnen, gespannten Haut vergleichbar ist. Denken wir uns ein Oberflächenelement aus dieser „Haut“ herausgeschnitten, so sind an den Rändern Kräfte erforderlich, die den beschriebenen Spannungszustand erzeugen. Werden diese Kräfte auf die Länge der Berandung des Oberflächenelementes - an der sie wirken - bezogen, so ergibt sich die Grenzflächenspannung σ ([σ] = N/m). Sie bewirkt, daß die freien Oberflächen von Flüssigkeiten stets bestrebt sind, einen Minimalwert anzunehmen. Eine Folge davon ist, daß kleine Flüssigkeitströpfchen in Gas oder Gasblasen in Flüssigkeit Kugelform aufweisen4. Die Grenzflächenspannung σ, die auch an den Grenzflächen zwischen zwei Fluiden auftritt, ist eine Stoffgröße, die von den beiden aneinandergrenzenden Fluiden abhängt. In Tabelle 1.5 sind Zahlenwerte für Fluidkombinationen zusammengestellt. 7DEHOOH Grenzflächenspannung σ bei verschiedenen Fluidkombinationen (Bezugswerte: p ≈ 1 bar; t ≈ 20 °C; bei Wasser/Wasserdampf: t = 99,6 °C ) Fluidkombination Wasser Quecksilber Luft/Vakuum Wasserdampf Petroleum Öl Alkohol Quecksilber Luft/Vakum Äthylalkohol Äthylalkohol Luft/Vakuum Öl Luft/Vakuum Seifenlösung Luft/Vakuum

σ [10-3 N/m] 375 72,5 59 48 23 ÷ 48 4 484 364 22 32 ≈ 30

%LOG Kräfte, Spannungen und geometrische Verhältnisse an einem gekrümmten Grenzflächenelement dF σ. ds2

σ. ds1 dA

ds1

ds2

σ. ds1

σ. ds2 rK2 M2 rK1 M1

Die an den Rändern eines allgemein gekrümmten Grenzflächenelementes wirkenden Kräfte σ ⋅ dsi spannen die „Haut“ und erzeugen eine Normalkraft dF , die auf das darunterliegende Fluid wirkt und die aus den Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden kann. Durch Bezug auf die Fläche dA des betrachteten Grenzflächenelementes ergibt sich der Krümmungsdruck pK = dF/dA aus der Beziehung

⎛ 1 1 ⎞ p K = σ⎜ + ⎟ ⎝ r K1 r K 2 ⎠

(1.17a)

Dabei sind rK1 und rK2 die Krümmungsradien der Schnittkurven von zwei aufeinander senkrecht stehenden Schnittflächen mit dem Oberflächenelement. Der Krümmungsmittelpunkt ist 4

Da in diesem Fall die Kräfte auf eine Randlinie bezogen sind, ergibt sich die für eine Spannung unübliche Einheit N/m.

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

14

stets zum Krümmungsmittelpunkt des Oberflächenelementes hin gerichtet. Bei der Anwendung sind folgende Sonderfälle der Oberflächengestalt von Interesse: rK2 = rK1 = ∞

ebene Oberfläche

kugelkalottenförmige Oberfläche rK1 = rK2 = rK rK1 = rzyl = rK; rK2 = ∞

zylinderförmige Oberfläche

→ pK = 0 2σ → pK = rK σ → pK = rK

(1.17b) (1.17c) (1.17d)

Bei ebenen Oberflächen verschwindet der Krümmungsdruck.

.DSLOODULWlW Berühren zwei durch eine Grenzfläche getrennte Fluide eine feste Berandung, so treten neben den intermolekularen Kräften innerhalb der Fluide in der Grenzfläche zusätzliche Anziehungskräfte durch die Wand auf (Adhäsion). Sind die letzteren wesentlich größer als die Anziehung der Fluidmoleküle untereinander, so benetzt die Flüssigkeit die Wand, d.h. sie wird an der Wand hochgezogen. Eine benetzende Flüssigkeit liegt vor, wenn der Wandwinkel εW < 90 ° ist (Bild 1.9a). Wird der Wandwinkel zu εW = 0, so sprechen wir von vollständiger Benetzung, die Flüssigkeit bildet einen Film auf der Oberfläche. Sind dagegen die Anziehungskräfte der Fluidmoleküle untereinander deutlich stärker als die Adhäsion durch die Wand, so liegt ein nichtbenetzendes Fluid vor. Durch den Wandeinfluß wird die Flüssigkeit an der Wand herabgezogen, der Wandwinkel nimmt Werte εW > 90 ° an (Bild 1.9b). Ein Wandwinkel von εW = 180 ° bedeutet vollkommene Unbenetzbarkeit; ein Flüssigkeitstropfen würde eine Oberfläche nur in einem Punkt berühren.

zK (>0)

p0

p0

p0 rK εW pK P

ρF

rK=

ρG

D R

Gas ρG < ρF

εW ρF D R

D 2 cos εW

Flüssigkeit

D

zK ( 0) ansteigt (Kapillaraszension). Die Flüssigkeit im Rohr bildet

1.4 Grenzflächen und Kapillarität

15

eine konkav gekrümmte, rotationssymmetrische Oberfläche aus. Der Druck p0 des umgebenden Gases ist an allen freien Oberflächen gleich. Gemäß der hydrostatischen Grundgleichung (Gl. 2.1) erhalten wir für den Druck pP im Punkt P

p P = p0 − p K + ρF gz K wobei berücksichtigt wurde, daß der Krümmungsdruck pK in Richtung auf den Krümmungsmittelpunkt der freien Oberfläche (also nach oben) wirkt. Da der Druck pP gleich dem auf gleicher Höhe wirkenden Druck p0 auf der Oberfläche der Flüssigkeit außerhalb des Rohres sein muß (verbundene Gefäße), liefert die obige Gleichung

zK =

pK ρF g

Den Krümmungsdruck pK in der konkav kugelkalottenförmig gekrümmten Oberfläche erhalten wir aus Gl. (1.17c), wobei unter den in Bild 1.9a gegebenen Verhältnissen der Krümmungsradius rK der Grenzfläche durch die Beziehung rK = R/cos εW beschrieben wird. Mit R = D/2 resultiert daraus die für die Verschiebung einer Flüssigkeitssäule im kreisförmigen Kapillarrohr allgemeingültige Gleichung

zK =

2σ 4σ cos εW = ρF gr K DρF g

(1.18)

Dieser Ausdruck gilt auch für nichtbenetzende Flüssigkeiten entsprechend Bild 1.9b, wobei dann wegen des stumpfen Wandwinkels εW > 90 ° die Zahlenwerte zK < 0 werden. Der Wandwinkel εW hängt von der Kombination der beteiligten Fluide und vom Wandmaterial ab. Für die folgenden, u. a. in der Strömungsmeßtechnik wichtigen Anwendungsfälle, gelten die Richtwerte Wasser bzw. Äthylalkohol gegen Glas Alkohol gegen „Plexiglas“ Wasser gegen „Plexiglas“ Quecksilber gegen Glas Wasser gegen Lotusblatt (Lotus-Effekt)

εW ≈ 0 ° εW < 10° εW ≈ 80 ° εW ≈ 140 ° εW ≈ 160 °

Die Verschiebung der Flüssigkeitssäule zwischen zwei benachbarten ebenen Wandflächen mit geringem Wandabstand ist aufgrund von Gl. (1.17d) nur halb so groß wie in einem Kreisrohr, dessen Durchmesser dem Wandabstand entspricht. Kapillarität spielt eine Rolle bei der Druckmessung mit Flüssigkeitsmanometern, beim Aufsteigen von Pflanzensäften, im Blutkreislauf und beim Saugverhalten von Fasern (Löschpapier, Lampendocht). Bei der Herstellung von Lötverbindungen benetzen die flüssigen Lote die metallisch reinen Werkstückoberflächen. Bei Spaltweiten zwischen 0,02 mm und 0,5 mm wird das Lot durch Kapillarwirkung in die Spalte gezogen.  %HLVSLHO Mit einem quecksilbergesperrten U-Rohr-Manometer vom Innendurchmesser D = 6 mm wird der Wasserdruck p gegenüber dem Atmosphärendruck p0 gemessen. Der Wandwinkel der Grenzflächen betrage εW = 140°. Wie groß ist der Einfluß der Kapillarität auf das Meßergebnis ? 

1 Physikalische Grundlagen und Eigenschaften der Fluide

16 

/|VXQJ In verbundenen Gefäßen (s. 2.1.2) gilt

Luft Wasser p0

p + p K1 = p 0 + p K2 + ρHg g∆h

pK2

pK1

p − p0 = ∆p =

ρHg g∆h



hydrostat. Druck

∆h

p

Quecksilber

+

p K1) ( pK 2 − 

Kapillaritaetseinfluß

Kapillaritätseinfluß (Gl. (1.17c)): 2 σ Hg − Luft 2 σ Hg − H 2 O p K2 − p K1 = − r K1 r K1 Die Krümmungsradien werden als Beträge eingesetzt, da die Richtung der Krümmungsdrücke (stets zum Krümmungsmittelpunkt der Grenzfläche gerichtet) bereits im obigen Ansatz berücksichtigt wurden. Mit ⎟ rK1 ⎟ = ⎟ rK2 ⎟= (D/2)/⎟ cos εW⎟

erhalten wir

2 ⋅ 2 ⋅ ( 484 − 375) ⋅ 10−3 N / m ⋅ cos140

= 55,67 Pa 6⋅10−3 m Ohne Kapillaritätskorrektur wird die gemessene Druckdifferenz zu gering ermittelt. p K2 − p K1 =

3UD[LVKLQZHLVBei der Druckmessung mittels Flüssigkeitsmanometern kann das Meßergebnis immer dann durch Kapillarität beeinflußt werden, wenn an den zu vergleichenden Flüssigkeitsgrenzflächen unterschiedliche Bedingungen (Geometrie, Fluidkombination, Wandmaterial) herrschen. Der Einfluß der Kapillarität kann verringert werden durch • die Wahl ausreichend dimensionierter Rohrinnendurchmesser (bei Sperrflüssigkeit Quecksilber ca. 6 ÷ 8 mm; bei Sperrflüssigkeit Wasser ca. 8 ÷ 10 mm). • Ersatz von Wasser durch Äthylalkohol als Sperrflüssigkeit. • Zugabe geringer Mengen eines Spülmittels zur Sperrflüssigkeit Wasser. Dadurch wird die Oberflächenspannung und damit die Kapillarität deutlich verringert (s. Tabelle 1.5 → Seifenlösung). • Verwendung von „Plexiglas“-Rohren anstelle von Glasrohren (wegen des größeren Wandwinkels εW) bei den Sperrflüssigkeiten Wasser bzw. Alkohol. • Bei Blättern von Lotusblume, Kohl, Schilf, Kapuzinerkresse, Tulpe fallen schlechte Benetzbarkeit und Selbstreinigung auf (→ Lotus-Effekt). Die superhydrophoben Pflanzenoberflächen haben eine Mikrorauhigkeit. Sie bestehen aus einer Struktur von 5 – 20 µm hohen Noppen im Abstand von 5 – 50 µm, die wiederum mit einer weiteren Struktur von wasserabweisenden Wachskristallen im Nanometerbereich übersät sind. Ein aufgrund seiner Oberflächenspannung etwa kugelförmiger Wassertropfen berührt diese Noppen-Doppelstruktur nur mit etwa 2 – 3 % seiner Oberfläche und perlt ab. Schmutzpartikel und Keime liegen ebenfalls nur auf den Noppenspitzen auf. Sie haften an der Oberfläche eines abperlenden Wassertropfens oder werden von ihm aufgenommen. So entsteht der Selbstreinigungseffekt. Technische Anwendungen findet der Lotus-Effekt bei Dachziegeln, Fassadenfarben, Imprägnierungen und Autolacken (die allerdings wegen der Mikrorauhigkeit matt sind) [6].

5XKHQGH)OXLGH 5XKHQGH)OVVLJNHLWHQ +\GURVWDWLVFKH*UXQGJOHLFKXQJ Um den senkrechten Verlauf des statischen Druckes in einer ruhenden Flüssigkeit zu ermitteln, formulieren wir an einem zylindrischen Fluidelement in Bild 2.1 das aus Druck- und Gewichtskräften gebildete Gleichgewicht in vertikaler Richtung1

dF(z) − dF0 − dmg = 0

z

p0

z0 = H

dA p(z)

dF(z) ρ

z

%LOG Kräftegleichgewicht an einem ruhenden Fluidelement

dF0=p0 · dA

dm.g

h

dF(z) = p0 dA + ρg (z0 − z)dA  G$

p0

p(H)

A

p0

Nach Bezug auf das Flächenelement dA ergibt sich die hydrostatische Grundgleichung

p(z) = p(h ) = p0 + ρg(z0 − z) = p0 + ρgh

(2.1)

Sie besagt, daß der Druck linear mit der Flüssigkeitstiefe h zunimmt und daß alle Punkte, die sich in gleicher Tiefe h unter der freien Oberfläche befinden, den gleichen Druck aufweisen. Die Druckdifferenz p(z) - p0 = ρgh wird als hydrostatischer oder Schweredruck bezeichnet. %HLVSLHO Wir betrachten einen oben offenen Behälter, in dem Wasser von t = 12 °C bis zu einer Füllhöhe von H = 10 m steht. Wie groß sind der hydrostatische Druck und der absolute Druck am Boden des Tanks ? Der Umgebungsdruck beträgt p0 = 1 bar.  /|VXQJ Tab. 11.3: ρ(t = 12 0C) = 999,45 kg/m3 Gl. (2.1): p(H) - p0 = ρgH p(H) - p0 = 999,45 kg/m3 ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 10 m = 0,98046 ⋅ 105 Pa 1

Dabei zählen wir, wie allgemein in der Strömungslehre üblich, die Höhenkoordinate z nach oben positiv. Die Lage des Nullniveaus der Höhenkoordinate ist beliebig, da stets nur Höhendifferenzen auftreten, deren Vorzeichen allerdings beachtet werden müssen ! Die Vorzeichen der Kräfte entsprechen denen der Höhenkoordinate.

2 Ruhende Fluide

18 Gl. (2.1): p(H) = p0 + ρgH = (1 + 0,98046) ⋅ 105 Pa = 1,98046 ⋅ 105 Pa 

3UD[LVKLQZHLVPro 10 mWassersäule (WS) steigt der Schweredruck um ca. 1 bar an bzw. 1 bar entspricht etwa 10 m Wassersäule.

9HUEXQGHQH*HIl‰HXQGK\GUDXOLVFKH3UHVVH

ρ

1

ρ

z2

ρ2

p2

z

1

z1

ρ1

p1

p2

z2

z1

p1

∆h

9HUEXQGHQH *HIl‰H Das verbundene Gefäßsystem in Bild 2.2a enthalte zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte, die sich an der Schnittstelle 1 - 1 benetzen ohne sich zu vermischen. Die Fluidelemente unmittelbar links und rechts der Schnittstelle müssen die gleichen Drücke

plinks 1 prechts plinks 1 prechts E D  %LOG Flüssigkeiten in verbundenen Gefäßen. D Zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte. E Homogene Flüssigkeit

aufweisen, da sie sich sonst gegenseitig verschieben würden. Mit Hilfe von Gl. 2.1 ermitteln wir die Drücke plinks und prechts und erhalten daraus die Verknüpfungsgleichung für verbundene Gefäße

plinks = prechts

p1 + ρ1 g z1 = p2 + ρ2 g z 2

(2.2a,b)

Der häufig vorkommende Sonderfall verbundener Gefäße mit einer homogenen Flüssigkeit (ρ1 = ρ2 = ρ, Bild 2.2b) liefert

p2 − p1 = ρg (z1 − z2) = ρg∆h

(2.3)

Gleichung (2.2) besagt auch, daß bei homogenen Flüssigkeiten auf gleichen Höhenkoordinaten z in beiden Gefäßen gleiche Drücke vorliegen (plinks = prechts in Bild 2.2b). Sind zusätzlich die Drücke auf den Flüssigkeitsoberflächen gleich (p1 = p2, z. B. offene verbundene Gefäße) so liefert Gl. (2.2b) das Ergebnis z1 = z2 d. h. die Flüssigkeit steht in beiden Gefäßen gleich hoch. 3UD[LVKLQZHLVOffene verbundene Gefäße können zur Niveauanzeige genutzt werden, z. B. ein wassergefüllter Kunststoffschlauch zu Nivellierungsaufgaben (Kanalwaage). Die in einzelnen oder verbundenen Gefäßen auftretenden Drücke sind querschnittsunabhängig.  %HLVSLHO In der skizzierten Wasserleitung soll der Druck p1 an der Stelle 1 mit Hilfe eines quecksilbergesperrten URohr-Manometers ermittelt werden. Die Raumtemperatur betrage 20 0C, der Umgebungsdruck betrage

2.1 Ruhende Flüssigkeiten

19

p0 = 1 bar (Kapillarwirkung vernachlässigt).  /|VXQJ Das Wasser in der Meßleitung und das Quecksilber im URohr-Manometer haben Umgebungstemperatur angenommen. Tab. 11.3: ρMeß = 998,16 kg/m3 ρSperr = 13545,9 kg/m3

p1

→

p1 − p 0 = ∆ p Manometer

ρMeß p0

∆h/2 ∆h = 0,6 m

zMeß = 5 m

3UD[LVKLQZHLV Bei der Auswertung von U-RohrManometermessungen wählen wir zunächst ein beliebiges horizontales Niveau (z. B. I - I) innerhalb der Sperrflüssigkeit, auf dem die Drücke in beiden Schenkeln gleich sind (plinks = prechts). Diese Drücke werden dann jeweils mit Hilfe der hydrostatischen Grundgleichung (2.2b) formuliert. Der nachstehende Ansatz setzt voraus, daß keine Luftblasen in der Meßleitung sind. Daher sind Druckmeßleitungen vor der Messung von Flüssigkeitsdrücken stets zu entlüften.

p links = p rechts

1

1

I

I prechts ρSperr

plinks

∆h ⎞ ⎛ p1 + ρ Meß g ⎜ z Meß + ⎟ = p 0 + ρSperr g ∆ h 2 ⎠ ⎝ ρ ⎞ ⎛ = ⎜⎜ ρSperr − Meß ⎟⎟ g ∆ h − ρ Meß g z Meß 2 ⎠ ⎝

m kg m 998 ,16 ⎞ kg ⎛ ⋅ 9 ,81 2 ⋅ 0 ,6 m − 998 ,16 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 5 m ∆ p Manometer = ⎜ 13545 ,9 − ⎟ 2 ⎠ m3 ⎝ s m s ∆ p Manometer = 0 , 27834 ⋅10 5 Pa

p1 = ∆ p Manometer + p 0 = 1, 27834 ⋅10 5 Pa

 +\GUDXOLVFKH3UHVVHDas in Bild 2.3 dargestellte verbundene System ist durch zwei kraftbelastete reibungsfrei bewegliche Kolben abgeschlossen. Am Kolben 1 gilt das Kräftegleichgewicht p1A1 = p0A1 + F1 wobei F1 gegebenenfalls die Gewichtskraft des Kolbens mit einschließt. Daraus folgt für den Druck p1 unterhalb des Kolbens

    %LOG Prinzip der hydraulischen Press

F1

p0

(2.4)

A1 F2

1

A2

p0

p1 ρ

2 p2

z2

F1 A1

z1

p1 = p0 +

Wenn wir für Kolben 2 eine analoge Gleichung formulieren und dann die Beziehungen für p1 und p2 in Gl. (2.2b) einführen, so erhalten wir das exakte Gesetz der hydraulischen Presse F1 = F2 + ρg ( − ) z2 z1 A1 A2

(2.5)

Wenn wir den hydrostatischen Druckanteil ρg(z2 - z1) gegenüber den anderen Termen der Gl.

2 Ruhende Fluide

20

(2.5) vernachlässigen2, so erhalten wir das vereinfachte Gesetz der hydraulischen Presse

F1 ≈ A1 F2 A2

(2.6)

Aus Gl. (2.4) läßt sich die Kraft ermitteln, die auf einen beidseitig von Fluiden benetzten Kolben ausgeübt wird

F1 = (p1 − p0 )A1 = ∆p1 A1 p0 = 1 bar F1 1

ρ = 900

(2.7)

m = 2000 kg kg m³

D1 = 3 cm

0,5m

2 p2 3m

D2=30 cm

%HLVSLHO Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtslosem Kolben. 2.3.1 Welche Kraft F1 ist am Kolben 1 aufzuwenden, um die Masse m mit dem Kolben 2 anzuheben (exakte Lösung) ? 2.3.2 Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolbens 2 ? 2.3.3 Welcher Fehler tritt bei Anwendung des vereinfachten Gesetzes der hydraulischen Presse auf ? /|VXQJ 2.3.1) Gl. (2.5) liefert

⎡ F2 ⎤ + ρg(z2 − z1)⎥ A1 F2 = mg F1 = ⎢ A ⎣ 2 ⎦ m ⎡ ⎤ ⎢ 2000 kg ⋅ 9,81 2 ⎥ (0,03m)2 ⋅ π kg m s 900 9 81 3 0 5 = + ⋅ ⋅ − , , m = 211,80 N ⎢ ( ) ⎥⋅ F1 2 4 m3 s2 ⎢ (0,3 m) ⋅ π / 4 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 2.3.2) Gl (2.4): p2 = p 0 +

2000 kg ⋅ 9,81 m / s2 F2 = 105 Pa + = 3,776 ⋅ 105 Pa 2 A2 (0,3 m) ⋅ π / 4 2

2

⎛D ⎞ m ⎛ 0,03 m ⎞ A1 = mg ⎜ 1 ⎟ = 2000 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ ⎜ ⎟ = 196,20 N ⎝ D2 ⎠ A2 s ⎝ 0,30 m ⎠ F′ − F = 1 1 = −0,0737 ⇒ - 7,37 % F1

F′1 ≈ F2 2.3.3) Gl. (2.6): ∆f rel

3UD[LVKLQZHLV Bei niedrigen Systemdrücken sollte der hydrostatische Druck berücksichtigt werden, d.h. dann ist anstelle von Gl. (2.6) die exakte Gl. (2.5) zu verwenden. 



 2

Bei einer angenommenen Höhendifferenz von z2 - z1 = 5 m und einer Fluiddichte von ρ = 900 kg/m3 beträgt z. B. der hydrostatische Druckanteil 0,44 bar. Die Terme F/A stellen den Systemdruck dar, der häufig > 100 bar ist, so daß eine Vernachlässigung berechtigt ist.

2.1 Ruhende Flüssigkeiten

21

'UXFNNUlIWHDXI%HJUHQ]XQJVIOlFKHQ

 'UXFNNUlIWHDXIHEHQH%HJUHQ]XQJVIOlFKHQ  +RUL]RQWDOHHEHQH)OlFKHAuf die horizontale Bodenplatte des in Bild 2.4 dargestellten Behälters, der von außen dem Umgebungsdruck p0 ausgesetzt ist, wirkt von innen p0

x

y Fa D

%LOG Druckkräfte auf ebene feste Begrenzungswände

S

x

e

p0

S

x xD

F A

h

dA

y

Fi

H

e D

dA

dF α

D

ρ

F

y

p0

y

y p0

h

hS

hD

A S

y=h

x

x

A

die Druckkraft Fi = p(H)A = (p0 + ρgH)A, der von außen aufgrund des Umgebungsdrucks p0 die Kraft Fa = p0A entgegenwirkt. Daraus resultiert die hydrostatische Bodendruckkraft F = Fi − Fa = ρgHA

(2.8)

A

ρ F

D

A

A F ρ

E

ρ F

H

%HLVSLHO Hydrostatisches Paradoxon. Die dargestellten Behälter sind mit Flüssigkeiten gleicher Dichte ρ und gleicher Füllstandshöhe H befüllt. Die benetzte Bodenfläche A ist in allen Fällen gleich groß. Wie unterscheiden sich die Schraubenkräfte, die in den drei Fällen die hydrostatischen Belastungen der Bodenplatte aufnehmen müssen ?

F

/|VXQJ In allen Fällen sind die Bodendruckkräfte gleich: F = ρgHA, obwohl die Auflagerkräfte aufgrund der Füllungen unterschiedlich sind. Daher sind auch die Schraubenkräfte gleich. Die Differenz zwischen Bodendruckkraft und Auflagerkraft wird in den Fällen (b) und (c) durch Druckkräfte auf die nichtsenkrechten steifen Wandstrukturen übertragen und von diesen weitergeleitet.

Herrschen an der Flüssigkeitsoberfläche und auf der Rückseite einer benetzten horizontalen Wand unterschiedliche Drücke (Bild 2.5), so gilt für die Bodendruckkraft bzw. die Aufdruckkraft

(

)

F = p( H ) − pa A = (p1 + ρgH − pa )A

(2.9)

2 Ruhende Fluide

22 p1 pa pa

ρ

F

p1

H

ρ F

H

p1

A

A

D

E

F

H≈0   %LOG Druckkräfte auf horizontale Begrenzungsflächen. D Bodendruckkraft. E Aufdruckkraft. F Günstige Form eines Ausgleichsgefäßes

3UD[LVKLQZHLV Durch Anordnungen gemäß Bild 2.5b können große Aufdruckkräfte F erzeugt werden. Atmosphärische Ausdehnungsgefäße sind daher in der Form gemäß Bild 2.5c auszuführen. *HQHLJWHHEHQH)OlFKHDie rechte Seitenwand des Behälters in Bild 2.4 besitze eine Öffnung mit der unregelmäßigen Fläche A, die von einem Deckel verschlossen ist. Auf ein in der Wassertiefe h liegendes Flächenelement dA des Deckels wirkt die hydrostatische Druckkraft

dF(h ) = (p(h ) − p0 )dA = (p0 + ρg y cos α − p0)dA = ρg cos αydA  h

wobei die Koordinate y = h/cosα von der Flüssigkeitsoberfläche aus in Richtung der geneigten Wand verläuft. Auf die gesamte Fläche A wirkt die Kraft

F = ρg cos α ∫ ydA (A )

Das Integral stellt das statische Moment der Fläche A bezogen auf die x-Achse dar. Wenn wir den Schwerpunktsabstand yS einführen, so gilt

∫ ydA = yS A

(2.10)

(A )

und damit erhalten wir die resultierende Druckkraft auf die gedrückte Deckelfläche

(

)

F = ρgcos α ySA = p( hS) − p0 A



hS : Tiefe des Flächenschwerpunktes S

(2.11)

hS

Die Druckkraft F auf den Abschlußdeckel ist gleich dem Produkt des hydrostatischen Drucks p(hS) - p0 = ρghS im Flächenschwerpunkt S und der gedrückten Fläche A. Da der Druck auf der Deckelfläche nicht konstant ist, greift die resultierende Druckkraft F nicht im Flächenschwerpunkt S sondern im sogenannten Druckmittelpunkt oder Druckpunkt D(xD,yD) an. Die Lage des Druckmittelpunktes erhalten wir durch die Formulierung der Momentengleichgewichte bezüglich der x- bzw. y-Achse. Das Momentengleichgewicht um die x-Achse - mit der resultierenden Kraft F und dem Druckpunktsabstand yD sowie der Summe der einzelnen Teilkräfte dF mit deren jeweiligen Abständen y zur Bezugsachse - liefert die Druckmittelpunktskoordinate yD

F y D = ∫ ydF = ∫ yρg cos αydA = ρg cos α ∫ y2dA  A) (A ) (A ) (  dF Ix

2.1 Ruhende Flüssigkeiten

23

Der Integralausdruck in dieser Gleichung beschreibt das Flächenträgheitsmoment I x der gedrückten Fläche A bezüglich der x-Achse. Ersetzen wir in obiger Gleichung die Kraft F durch Gl. (2.11) so erhalten wir

yD =

ρg cos α I x I = x ρg cos α yS A yS A

(2.12)

Gemäß dem Steinerschen Satz läßt sich das Trägheitsmoment Ix aus dem Trägheitsmoment ISx entwickeln, welches auf eine zu x parallele Achse durch den Schwerpunkt S der Fläche bezogen ist 2

Ix = ISx + yS A Dies liefert für den Abstand des Druckmittelpunkts D von der Flüssigkeitsoberfläche 2

yD =

ISx + yS A I = Sx + yS yS A yS A

und daraus ergibt sich der Abstand e zwischen Schwerpunkt S und Druckmittelpunkt D (gemessen in y-Richtung):

e = y D − yS =

ISx >0 yS A

(2.13)

3UD[LVKLQZHLV Der Druckmittelpunkt liegt stets tiefer als der Schwerpunkt. Der Abstand e ist neben der Geometrie der Fläche auch von deren Tiefenlage yS abhängig. Die Koordinate xD des Druckmittelpunktes folgt aus dem Momentengleichgewicht um die yAchse

g cos αydA = ρg cos α ∫ xydA Fx D = ∫ xdF = ∫ xρ  A) (A ) (A ) (

dF 

xD =

I xy yS A

(2.14a,b)

I xy

mit Ixy als dem Zentrifugalmoment der Fläche A bezüglich des x,y-Koordina-tensystems. Wir untersuchen nun den Fall, daß die gedrückte Fläche eine Symmetrieachse parallel zur yRichtung hat. Dann liegt der Flächenschwerpunkt S auf dieser Symmetrieachse. Wir verschieben nun gedanklich das x,y-Koordinatensystem in Bild 2.4 parallel zur x-Achse so, daß die yAchse durch den Schwerpunkt läuft und somit Symmetrieachse wird. Bei Flächen mit mindestens einer Symmetrieachse wird deren Zentrifugalmoment Ixy = 0 und somit wird gemäß Gl. (2.14b) auch xD = 0. 3UD[LVKLQZHLV Hat die gedrückte Fläche eine Symmetrieachse parallel zur y-Richtung, so liegt der Druckmittelpunkt D auf dieser Symmetrieachse im Abstand e unter dem Schwerpunkt S.  6HQNUHFKWHHEHQH)OlFKH Im Fall der senkrechten Wand (Bild 2.4, links) wird α = 0° und y = h. Dann gilt

2 Ruhende Fluide

24

e = h D −hS = ISx hS A

F = ρghS A

(2.15a,b)

3UD[LVKLQZHLV Die Druckkräfte auf geneigte und senkrechte Flächen sind unabhängig vom gestauten Flüssigkeitsvolumen. Geringe spaltartige Volumina erzeugen bei sonst gleichen Bedingungen die gleichen Kräfte wie beliebig große Flüssigkeitsinhalte. Bei großen Behältern ist zur besseren Materialnutzung eine nach unten linear zunehmende Wandstärke sinnvoll. %HLVSLHO Der dargestellte Wassertank mit der Breite B = 10 m besitzt einen kreisförmigen Abρ laufstutzen mit einer Absperrklappe. A2 2.5.1 Wie groß ist die resultierende hydroS2 A y F1 statische Druckkraft F1 auf die AbF2 1 D2 S1 sperrklappe ? x 2.5.2 Wo greift diese Kraft an ? α x D 2.5.3 Bezüglich der Achse x-x auf die 1 Klappe ausgeübtes Drehmoment ? y e1 2.5.4 Ist die Klappenlagerung in der Achse x-x oder y-y anzuordnen ? 2.5.5 Wie groß ist die resultierende Druckkraft F2 auf die linke rechteckige Behälterwand und in welcher Tiefe greift sie an ? /|VXQJ2.5.1) Gl. (2.11): kg m (1 m) 2 π D2 π = 103 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 5 m ⋅ = 38,524⋅103 N F1 = ρghS1 4 4 m s hS1 = 5 m D =1m α = 30 ° ρ = 103 kg/m3 H =7m B = 10 m

D

H

hS1

hS2 hD2

p0

2.5.2)

Gl. (2.13)

e = y D − yS =

ISx yS A

ISx −Kreis =

πD4 64

2π A= D 4

yS =

hS cosα

Die y-Achse läuft in der geneigten Fläche. Der Druckmittelpunkt D1 liegt im Abstand 4 π D4 cos α D2 cos α (1 m) 2 ⋅ cos ( 30 ) = = = 0,0108 m e1 = 16 ⋅ 5 m 64 hS1 D2 π 16hS1 auf der y-Achse unterhalb des Schwerpunktes. 3 2.5.3) M1 = F1 e1 = 38,524 ⋅ 10 N ⋅ 0,0108 m = 416,1 Nm 2.5.4) Die Lagerung ist in der Achse y-y anzuordnen, da dann kein Moment bezüglich der Drehachse ausgeübt wird.

3UD[LVKLQZHLV Drehachsen von hydrostatisch belasteten Flächen sollten Symmetrieachsen sein, die parallel zur y-Richtung verlaufen. 2.5.5) Mit hS2 = H / 2 ; A = BH und Gl. (2.15a) gilt F2 = ρgB

Gl (2.15b)



kg m (7 m) 2 H2 = 103 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 10 m ⋅ = 2,403 ⋅ 106 N 2 2 m s

h D2 = hS2 +

H 2 BH 3 2 ISx = + = H = 4,667 m hS2 A 2 2 12 HBH 3

ISx − Rechteck =

BH 3 12

2.1 Ruhende Flüssigkeiten 25  'UXFNNUlIWHDXIJHNUPPWH%HJUHQ]XQJVIOlFKHQ  (LQIDFKJHNUPPWH)OlFKHWir betrachten zunächst die in Bild 2.6a dargestellte, in der x,hEbene einfach gekrümmte zylindrische hydrostatisch belastete Teilfläche 1-2-3-4. Normal zu deren Flächenelement dA wirkt in der Tiefe h die hydrostatische Druckkraft dF = ρghdA, die sich in eine horizontale und eine vertikale Komponente aufspalten läßt:

sin α = ρghdA x dFx = ρghdA



cos α = ρghdA h dFh = ρghdA



dA x

dA h

(2.16a,b)

Die obigen Gleichungen zeigen, daß die Druckkraftkomponenten aus dem Produkt des lokalen  y

x

ex

Ax 1 dAx α dFx Sx Fx dAh

SF

ρ

2’

F

SF ’

ρ dA’ 7

8

D

2 Fh

p0

dF’h 9

5 4

6 αF

α

dF’x

Fx

Dx

dA’h

10

’

dF α dFh

Fh ’

h

V

dV’

dF

hDx hSx

dA

1’

V’

ρ

dV h

ρ

x

11

y

h

3

h E D  %LOG Hydrostatische Druckkräfte auf gekrümmte zylindrische Begrenzungsflächen. D Horizontale Kraftkomponente Fx und vertikal nach unten gerichtete Kraftkomponente Fh, die auf der Teilfläche 1-2-3-4 wirken. E Vertikal nach oben gerichtete Kraftkomponente F′ h (Aufdruckkraft) auf die von unten benetzte Teilfläche 9-10 (der gerasterte Bereich repräsentiert ein fiktives Flüssigkeitsvolumen mit der gleichen Dichte wie die benetzende Flüssigkeit)

Druckes mit der Projektion des gedrückten Flächenelementes in eine Ebene senkrecht zur gewünschten Kraftrichtung gebildet werden können. Für die gesamte auf der Fläche 1-2-3-4 in horizontaler Richtung wirkende Kraftkomponente Fx erhalten wir unter Beachtung von Gl. (2.10)

(

)

Fx = ρg ∫ hdA x = ρg hSx A x = p( hSx ) − p0 A x

(A x )

(2.17)

mit hSx als Abstand zwischen der Flüssigkeitsoberfläche und dem Schwerpunkt Sx der Projektionsfläche Ax. Dabei ist Ax die Fläche 1´-2´, die sich durch die Projektion der gedrückten Fläche 1-2-3-4 in die y,h-Ebene ergibt. Als Projektionsfläche Ax ist nur die Projektion des Flächenstückes 1-2 einzusetzen, da sich die horizontalen Druckkräfte auf den Flächenstücken 2-3 bzw. 3-4 gegenseitig aufheben, dh. die in der Projektion sich überdeckenden Flächenanteile sind nicht zu berücksichtigen. Den Angriffspunkt Dx der Kraftkomponente Fx liefert ein Mo-

2 Ruhende Fluide

26

mentengleichgewicht, durchgeführt an der projezierten Fläche Ax. Gemäß Gl. (2.15b) ergibt sich für die Druckmittelpunktslage e x = h Dx − hSx =

ISy

(2.18)

hSx A x

dabei ist ISy das axiale Flächenträgheitsmoment der Projektionsfläche Ax bezüglich einer zur yAchse parallelen Achse durch den Schwerpunkt Sx der Projektionsfläche (s. Bild 2.6a). Die Wirkungslinie der Kraftkomponente Fx verläuft horizontal durch den Druckmittelpunkt Dx. Die in Gl. (2.16b) formulierte senkrechte Kraftkomponente dFh auf das Flächenelement dA des Bildes 2.6a läßt sich geometrisch deuten als die Gewichtskraft des zylindrischen Flüssigkeitsvolumens dV, das oberhalb des Flächenelementes angeordnet ist: dFh = ρghdAh = ρgdV. Die gesamte Vertikalkraftkomponente Fh erhalten wir dann als die Gewichtskraft des Flüssigkeitsvolumens V, das zwischen der gedrückten Fläche 1-2-3-4 und der Flüssigkeitsoberfläche vorhanden sein könnte, unabhängig davon, ob eventuell volumenverdrängende Wandkonturen (Verlauf 5-6-7-8) vorliegen oder nicht. Das bedeutet, daß gegebenenfalls verdrängte Volumenanteile oberhalb der gedrückten Fläche als fiktive Flüssigkeitsvolumina mitgezählt werden müssen.

Fh = ρg ∫ hdA h = ρgV

(2.19)

(A h )

Dieses Ergebnis ist - zumindest im Fall ohne zusätzliche Volumenverdrängung - plausibel, denn es stellt das statische Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung dar, bei dem die Gewichtskraft der Flüssigkeit oberhalb der benetzten Wand von dieser aufgenommen werden muß, was nur durch Druckkräfte geschehen kann. Der Angriffspunkt der resultierenden Gewichtskraft eines Flüssigkeitsvolumens ist stets dessen Massenschwerpunkt SF. Daher verläuft die Wirkungslinie der vertikalen Druckkraftkomponente Fh durch den Schwerpunkt SF des Flüssigkeitsvolumens V oberhalb der gedrückten Fläche. Die resultierende Druckkraft F auf die Fläche 1-2-3-4 erhalten wir nach Größe und Richtung aus den beiden Komponenten

F = F2x + F2h

αF = arctan

Fx Fh

(2.20a,b)

Der Angriffspunkt D der resultierenden Druckkraft liegt im Schnittpunkt der Wirkungslinien der beiden Kraftkomponenten. In Bild 2.6b treten im Wandkonturbereich 9-10 nach oben gerichtete Aufdruckkräfte auf. Auf dem von unten benetzten Flächenelement dA´ in der Flüssigkeitstiefe h lastet die Druckkraft dF´, die die senkrecht nach oben wirkende Komponente dFh´= dF´cosα = = ρghdA cos α ρ gdV ′ ′ erzeugt. Diese entspricht der Gewichtskraft einer fiktiven Flüssigkeits  dA ′ h

säule zwischen dem gedrückten Flächenelement und dem Niveau der Flüssigkeitsoberfläche. Die gesamte senkrecht nach oben wirkende Aufdruckkraft ergibt sich damit zu Fh´= ρgV´

(2.21)

2.1 Ruhende Flüssigkeiten

27

Sie entspricht der Gewichtskraft eines fiktiven Flüssigkeitsvolumens V´ oberhalb der von unten gedrückten Fläche 9-10, durch dessen Massenschwerpunkt S´F die Wirkungslinie der Aufdruckkraft Fh/ verläuft.

hSy

hSx

%LOG Hydrostatische Druckkräfte auf eine beliebig gekrümmte Begrenzungsfläche A. Ax und Ay sind die Projektionen der Fläche A in die y,h- bzw. x,h-Ebene.

Ax

ex

D y ey

SF

1 Fh

Sx

hDx

y

1’

Dx

Dx

3’ y Dx

Fy Dy

hDy

%HOLHELJ JHNUPPWH )OlFKH Wir werden nun die obenstehenden Überlegungen, die nur für eine einfach gekrümmte zylindrische Fläche Gültigkeit besitzen, in analoger Weise auf eine allgemein gekrümmte Fläche übertragen (Bild 2.7). Die Komponenten Fx und Fy in horizontaler Richtung erhalten wir durch Projektion der gedrückten Fläche A in jeweils eine Ebene senkrecht zur gesuchten Kraftrichtung (→ Ax, Ay). Diese Projektionsflächen werden analog zur ebenen senkrechten Wand behandelt. Die auf ihnen wirkenden Druckkräfte ergeben sich aus dem hydrostatischen Druck im p0 Schwerpunkt der Projektionsfläx 4’’ che multipliziert mit der Projek1’’ Ay tionsfläche. Sie stellen die gexDy suchten Kraftkomponenten Fx Sy 4 4’ und Fy dar. 3’’

2’’ Fx 3

A

2’

2 h

Die Wirkungslinien der Kraftkomponenten verlaufen durch die Druckmittelpunkte Dx und Dy der Projektionsflächen, die ebenfalls wie bei einer ebenen senkrechten Wand bestimmt werden.

∫ hdA x

Fx = ρg hSx A x

hSx =

(A x )

Ax

ex =

ISy hSx A x

y Dx =

I yh hSx A x

(2.22a,b,c,d)

∫ hdA y

Fy = ρghSy A y

hSy =

(A y )

Ay

ey =

ISx hSy A y

x Dy =

I xh hSy A y

(2.23a,b,c,d)

Die axialen Flächenträgheitsmomente ISy, ISx sind jeweils bezogen auf die Projektionsflächen Ax bzw. Ay und zwar stets auf eine zur Flüssigkeitsoberfläche parallele Achse durch den Schwerpunkt Sy bzw. Sx. Die Zentrifugalmomente Iyh, Ixh gelten ebenfalls für die jeweiligen Flächen Ax bzw. Ay (Koordinatensystem gemäß Bild 2.7). Die Kraftkomponente Fh in vertikaler Richtung ergibt sich aus der Gewichtskraft des tatsächlichen oder teilweise fiktiven (falls Verdrängungsvolumina oberhalb der gedrückten Fläche vorliegen) bzw. vollständig fiktiven (bei Aufdruckkräften) Wasservolumens V oberhalb der gedrückten Fläche. Die Wirkungslinie verläuft durch den Massenschwerpunkt SF dieses Wasservolumens

2 Ruhende Fluide

28 Fh = ρgV

(2.24)

Im allgemeinen Fall schneiden sich die Wirkungslinien der drei räumlichen Kraftkomponenten nicht in einem Punkt. a xSF

2’

x

Ax

ρ SF

b

a=2m b = 3,5 m c = 0,5 m B = 2,5 m Wassertemperatur tW = 16 °C

dA

2

x

Sx

h

hSx hDx

y

Fx

D

Dx F

1 c

Fh

αF

1’

FK

%HLVSLHO Die im Punkt 1 drehbare Wehrklappe einer Wasserstauvorrichtung hat die Kontur einer Viertelellipse. Die konstante Breite beträgt B = 2,5 m. 2.6.1 Wie groß sind die horizontale und die vertikale Druckkraftkomponente auf die Klappe ? Welchen Wert hat die resultierende Kraft (Größe und Richtung) und wo greift sie an ? 2.6.2 Mit welcher Kolbenkraft FK muß der Hydraulikkolben die Klappe in ihrer Position halten (Klappengewicht vernachlässigt) ? /|VXQJ2.6.1) Tab. 11.3: ρ(tW) = 998,9 kg/m3

hSx = b/2 = 1,75 m; Ax = bB = 8,75 m2; ISy = Bb3/12 kg m Gl. (2.17/2.22a): Fx = ρghSxAx = 998,9 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 1,75 m ⋅ 8,75 m2 = 1,5 ⋅ 105 N m s ISy 2 2 = b = ⋅ 3,5 m = 2,333 m Gl. (2.18/2.22c) h Dx = hSx + 3 hSx A x 3 Projektionsfläche Ax:

Vertikalkraft Fh: Fläche der Ellipse AEllipse = πab Gl. (2.19/2.24) liefern: A Ellipse kg m π ⋅ 2 m ⋅ 3,5 m B = 998,9 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ ⋅ 2,5 m = 1,347⋅105 N Fh = ρgV = ρg 4 4 m s xSF-Koordinate des Schwerpunktes SF für das Wasservolumen V; entsprechend Gl. (2.10): mit A als Viertelellipsenfläche. ∫ xdA = xSF A

(A )

x2 =a

INT = ∫ xdA = ∫ xh( x)dx =

(A )

x1= 0

ba ∫ x a 2 − x2 dx a0

Substitution: x = acos(u); dx = -asin(u)du; x1 → u1 = π/2; x2 → u2 = 0 INT =

0 b u2 =0 ba 2 − cos2 ( u) ⋅ (− a ) sin( u)du = − ba 2 ∫ sin2 ( u) cos( u) du = ∫ a cos( u) ⋅ a 1

 a u1= π / 2 3 π/2 sin( u)

xSF =

4a 4 ⋅ 2 m ba 2 4 ⋅ = = = 0,849 m 3 πab 3π 3π 2

2

5 Resultierende Kraft Gl (2.20a): F = F2x + F2h = (1,510 ⋅ 5 N ) + (1,347⋅105 N) = 2,016⋅10 N

Gl. (2.20b):

α F = arctan

1,510 ⋅ 5N Fx = arctan = 48,08 Fy 1,347⋅105 N

0

2.6.2): Kolbenkraft FK: Momentengleichgewicht Punkt 1: FK c − Fx ( b − h Dx) − F h xSF = 0 FK =

1,5 ⋅ 105 N ⋅ (3,5 − 2,333) m + 1,347 ⋅ 105 N ⋅ 0,849 m = 5,788 ⋅ 105 N 0,5 m

2.1 Ruhende Flüssigkeiten

29



1LYHDXIOlFKHQ Stellen wir uns in einem Fluidvolumen alle Punkte gleichen Druckes miteinander verbunden vor, so erhalten wir eine Niveaufläche (Isobarenfläche). Dabei kann durch einen Punkt stets nur eine Niveaufläche verlaufen3. Die Niveaufläche einer Flüssigkeit steht in jedem Punkt senkrecht auf der dort herrschenden resultierenden Massenkraft, wobei wir in der Fluidmechanik nur Gravitations- und Trägheitskräfte als Massenkräfte berücksichtigen werden (elektrische Felder bei Plasmaströmungen werden nicht behandelt). Die freie Oberfläche einer Flüssigkeit, auf der der Gasdruck der Umgebung lastet, ist stets eine Niveaufläche. Falls nur die Gravitationskraft wirkt, stellt sich die freie Flüssigkeitsoberfläche als horizontale Ebene ein. Bei großen Flüssigkeitsoberflächen (Seen, Ozeane) ist zu beachten, daß die Gravitationskraft radial zum Erdmittelpunkt wirkt, so daß sich kugelförmige Oberflächen ausbilden. Wirken dagegen zusätzliche Trägheitskräfte, so wird die örtliche Ausrichtung der freien Oberfläche durch den Vektor der resultierenden Massenkraft bestimmt. In Bild 2.8a wird ein Behälter, der im Ruhezustand den Flüssigkeitsfüllstand z0 aufweist, mit konstanter translatorischer Beschleunigung a bewegt. An einem Fluidelement dm in der Oberfläche wirken die Gewichtskraft dFG = dmg und die Trägheitskraft dFT = dma in den skizzierten Richtungen. Die resultierende Massenkraft dF - und damit die Flüssigkeitsoberfläche - stellt sich unter dem Winkel

tan α =

a cos ε dFT cos ε = dFG − dFT sin ε g − a sin ε

(2.25)

ein (Bild 2.8a). Im Falle der horizontalen Bewegungsrichtung (ε = 0) gilt tanα = a/g. z

dFT

α

α

dFG

dm

zmin

a

zmax z0

α ε

ε

D

R

dm dF

z0

%LOG Freie Flüssigkeitsoberflächen unter dem Einfluß von Gravitations- und Trägheitskräften. D Oberfläche bei konstanter translatorischer Beschleunigung a. E Oberfläche bei rotierender Bewegung

E

dFT dF α

dFG r ω

Wird ein zylindrischer Behälter bis zum Füllstand z0 mit Flüssigkeit befüllt und dann in Rotation versetzt, so wird die Flüssigkeit - an den Wänden beginnend - durch Schubspannungen ebenfalls in Drehung versetzt und nach einer Anlaufphase rotieren alle Flüssigkeitselemente mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω wie der Behälter (→ „rotierende Festkörperströmung“). Die Fluidelemente ordnen sich, wie in Bild 2.8b erkennbar, in der Oberfläche unter der Neigung 3

Wenn z. B. zwei Flugzeuge angewiesen werden, sich jeweils auf Niveauflächen mit unterschiedlichen Drücken zu bewegen, kann es keine Kollision geben.

2 Ruhende Fluide

30

tan α =

dz dFT dmrω 2 ω 2 = = = r dr dFG dmg g

an, die linear mit dem Radius r zunimmt. Um die mathematische Funktion z = z(r) der Oberfläche zu bestimmen, integrieren wir die obige Gleichung z

∫ dz =

z min

ω2 r ∫ rdr g r =0

z − z min =

ω2 2 r 2g

(2.26a,b)

Setzen wir die Gleichung (2.26b) an für r = R (→ z = zmax), so ergibt sich

z max − z min =

ω2 2 R 2g

(2.27)

Die Flüssigkeitsoberfläche stellt aufgrund des Charakters von Gl. (2.26b) ein Rotationsparaboloid dar. Das Volumen eines Rotationsparaboloids ist halb so groß wie dasjenige des ihn umschließenden Zylinders. Betrachten wir in diesem Zusammenhang das Flüssigkeitsvolumen oberhalb von zmin in Bild 2.8b, so muß es halb so groß sein wie das Volumen des Zylinders mit der Höhe zmax - zmin . Berücksichtigen wir weiterhin, daß dieses Volumen auch einem Zylinder der Höhe z0 - zmin entspricht (Einfüllzustand), so erhalten wir, bei gleichzeitiger Beachtung von Gl. (2.27)

ω2 2 z max − z min = z0 − z min = R 2 4g

zmax − z0 = z0 − zmin

(2.28a,b)

Wenn wir die Größe zmin aus Gl. (2.28a) bestimmen und in Gl. (2.26b) einführen, so ergibt sich die Gleichung für die Oberflächenfunktion einer rotierenden Flüssigkeit:

z(r ) = z0 +

2 1⎤ ω 2 R 2 ⎡⎛ r ⎞ ⎢⎜ ⎟ − ⎥ 2g ⎢⎣⎝ R ⎠ 2 ⎥⎦

(2.29)

3UD[LVKLQZHLV Die Form der Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit ist unabhängig von der Dichte der Flüssigkeit.  %HLVSLHO Eine Zentrifuge mit dem Durchmesser D = 32 cm wird 8 cm hoch mit Flüssigkeit befüllt. 2.7.1 Bei welcher Drehzahl n erreicht der Flüssigkeitsspiegel den Behälterboden ? 2.7.2 Wie hoch steigt in diesem Fall die Flüssigkeit an der Behälterwand ? /|VXQJ 2.7.1) Gl. (2.29): für r = 0 wird z = zmin = 0

0= z0 + n= 2.7.2)

1⎤ ω2 R2 ⎡ 0− ⎥ ⎢ 2g ⎣ 2⎦

ω 11,074V = 2π π

ω=

m 2 2 0,08 m ⋅ 9,81 2 = 11,074 s−1 z0 g = R 0,16 m s

= 1,762V−1

Gl. (2.29/2.28b): z(R ) = zmax = z0 +

ω 2 R2 = 2z0 = 0,16 m 4g

(bei z min = 0 )

2.1 Ruhende Flüssigkeiten

31

6WDWLVFKHUXQGWKHUPLVFKHU$XIWULHE 6WDWLVFKHU $XIWULHE Wir betrachten die Druckkräfte auf einen allseits fluidbenetzten festen Körper, der gemäß Bild 2.9 teilweise in eine ruhende Flüssigkeit eingetaucht ist. In vertikaler Richtung wirken auf ein gedachtes zylindrisches Element des Körpers mit der Projektionsfläche dAz die Druckkräfte dF1 = p1dAz bzw. dF2 = p2dAz . Die Differenz dieser Kräfte ist die Auftriebskraft dFA. Sie ist stets nach oben gerichtet, da p1 ≥ p2 ist: dFA = (p1 - p2) dAz . In horizontaler Richtung wirken keine resultierenden Druckkräfte, da die Drücke in gleicher Tiefe gleich groß sind (Niveaufläche) und die Druckkräfte sich daher aufheben. Wir entwickeln die Drücke p1 und p2 nach der hydrostatischen Grundgleichung (2.1), wobei die Indizes G und F für Gas bzw. Flüssigkeit stehen:

(

)

dFA = p2 + ρG g(z2 − z0) + ρF g( z0 − z1) dA z − p2 dA z  p1

⎤ ⎡ ⎥=g ⎢ρ ρ g = − + − (z0

(dmG + dmF) dFA z2 z0) dA z1) dA ⎢ G (

z F z⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ dV G dV F Es ist ersichtlich, daß die am Körperelement wirkende Auftriebskraft durch die Gewichtskraft der Fluidelemente bestimmt wird, die das Körperelement verdrängt hat. Die am gesamten Kör-

Gas

FA

dF2 p2

SG+F

z1

z0

z2

ρG

dVG dAz

VK

%LOG Herleitung der statischen Auftriebskraft auf einen teilweise in Flüssigkeit eingetauchten Körper

Gas

p1

dFA Flüssigkeit ρF dVF dF1

per wirkende Auftriebskraft resultiert aus der Integration der obigen Gleichung über das vollständige Körpervolumen

⎡ ⎤ FA = g ⎢ρG ∫ dVG + ρF ∫ dV F⎥ ⎢⎣ (V G ) (V F) ⎥⎦ FA = g(ρG VG + ρF V F) = g( mG + mF)

(2.30)

Dabei sind VG und VF die durch den Körper verdrängten Flüssigkeits- und Gasmassen. Der statische Auftrieb eines festen Körpers in ruhenden Fluiden ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Fluidmassen. Dieses Gesetz wurde bereits von Archimedes (287 - 212 v. Chr.) formuliert. Der Angriffspunkt der Auftriebskraft liegt im Massenschwerpunkt SG+F der ver-

2 Ruhende Fluide

32 drängten Fluidmassen.

3UD[LVKLQZHLV Sind die verdrängten Fluidmassen inhomogen (unterschiedliche Dichte), so ist deren resultierender Massenschwerpunkt der Angriffspunkt der Auftriebskraft. Bei einem homogenen Fluid (konstante Dichte) ist die Lage von Massenschwerpunkt und Volumenschwerpunkt gleich. Nur in diesem Fall ist der Angriffspunkt auch gleichbedeutend mit dem geometrischen Volumenschwerpunkt. Für teilweise in Flüssigkeit eingetauchte Körper erhalten wir aus Gl. (2.30) wegen die Näherungsgleichung

ρG FG werden, und die beschriebenen Vorgänge laufen umgekehrt ab. Zur Beurteilung der Stabilität der Schwebelage muß außer dem vertikalen Kräftegleichgewicht beachtet werden, daß die Kräfte FA und FG kein Schwimmachse FA SF

%LOG Stabilität eines schwebenden Körpers. SK: Körperschwerpunkt; SF: Schwerpunkt der verdrängten Fluidmasse (wegen ρF = konst. auch gleichzeitig geometrischer Volumenschwerpunkt der verdrängten Fluidmasse)

SK FG

a

Moment bilden, das den Körper in Drehung versetzt. In Bild 2.10 greift die Gewichtskraft FG des Körpers in dessen Körperschwerpunkt (Massenmittelpunkt) SK an, während die Auftriebskraft FA im Schwerpunkt SF der verdrängten Flüssigkeitsmasse angreift, so daß aufgrund des Hebelarmes a ein Drehmoment im Gegenuhrzeigersinn entsteht. Stabiles Gleichgewicht herrscht dann, wenn die Schwimmachse - das ist die Verbindungslinie von SK und SF - senkrecht steht und SK unterhalb von SF liegt.  6WDELOLWlWVFKZLPPHQGHUKörper. In Bild 2.11a betrachten wir einen schwimmenden Körper in seiner Ausgangslage. Die Gewichtskraft FG greift im Körperschwerpunkt SK an, die Auftriebskraft FA ihrerseits im Schwerpunkt SF der verdrängten Flüssigkeitsmasse. Die Schwimmachse als Verbindungslinie von SK und SF steht senkrecht, FG greift im Abstand e senkrecht oberhalb SF an. Es herrscht Momentengleichgewicht, jedoch ist zu prüfen, ob dieses Gleichα

Schwimmachse Schwimmfläche hM (>0)

D

FG

e

e

0 SK FA SF

SF F G

Schwimmachse Metazentrum M 0 SK SF'

E

FA a (>0)

%LOG Stabilität schwimmender Körper. D Gleichgewicht in der Ausgangslage, Definition von Schwimmachse und Schwimmfläche. E Auslenkung um den Krängungswinkel α, Definition des Metazentrums M

2 Ruhende Fluide

34

gewicht stabil ist. Dazu lenken wir den Körper um den Krängungswinkel α aus und beobachten, ob er in seine Ausgangslage zurückpendelt. In der ausgelenkten Lage (Bild 2.11b) bleibt der Körperschwerpunkt SK in seiner Position auf der Schwimmachse. Das verdrängte Fluidvolumen VF, repräsentiert durch die anschraffierte Fläche, bleibt wegen FA = FG zwar gleich, ändert aber seine geometrische Gestalt, und dadurch wird der Schwerpunkt der verdrängten Fluidmasse in die neue Position SF/ verlagert. Dadurch verschiebt sich die Wirkungslinie der Auftriebskraft und es ergibt sich ein aufrichtendes Moment mit dem aufrichtenden Hebelarm a: Mauf = FGa. Die untersuchte Gleichgewichtssituation ist stabil. Der Schnittpunkt der Wirkungslinie der Auftriebskraft mit der Schwimmachse ist das Metazentrum M. Es liegt im Abstand hM (metazentrische Höhe) oberhalb des Körperschwerpunktes SK. Stabilität liegt vor, solange die metazentrische Höhe und der aufrichtende Hebelarm positiv sind: hM > 0; a > 0. Wandert das Metazentrum unter den Körperschwerpunkt (hM < 0; a < 0), so wird die Lage instabil, das auftretende Moment wirkt nicht mehr aufrichtend sondern führt zum Kentern. Bei hM = 0 liegt indifferentes Gleichgewicht vor. Für kleine Krängungswinkel (α < 12 °) liefert Gl. (2.33) die metazentrische Höhe:

hM =

I0 − e VF

(α ≤ 12 °)

(2.33)

In Bild 2.11a ist die Längsachse 0-0 des schwimmenden Körpers definiert. Sie verläuft im Schnittpunkt der Schwimmachse mit der Flüssigkeitsoberfläche. Die Fläche, die durch den eingetauchten Körper aus der Wasseroberfläche herausgeschnitten wird, nennen wir Schwimmfläche (Wasserlinienfläche). I0 ist das Flächenträheitsmoment der Schwimmfläche bezogen auf die Achse 0-0, dessen Abhängigkeit vom Krängungswinkel α (s. Bild 2.11) in Gl. (2.33) vernachlässigt wird. %LOG Statisches Stabilitätsver3 m halten verschiedener 0,8 5 Schiffstypen. 6a 1: Seenotrettungskreuzer, 0,6 23 m; Delta-Form der 6b Schwimmfläche; 50 % Vorräte; Tochterboot: 0,4 1 2 Masse aber kein Auf4a 2 trieb berücksichtigt 0,2 2: Seenotrettungsboot, 4b 8,3 m; Delta-Form der 0 Schwimmfläche; 10 % Vorräte 0 20 40 60 80 100 120 140 160 ° 180 α 3: Patrouillenboot, 38 m; 100 % Vorräte; ruhige See 4: Schnelle Motoryacht, 70 m; a: 100 % Vorräte (Abfahrt); b: 25 % Vorräte (Ankunft) 5: 20000 tdw Containerschiff; 1100 Container zu 14 t, 100 % Vorräte (Abfahrt) 6: Großsegler „Gorch Fock“; a: 100 % Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 Mann an Deck, Segel angeschlagen; b: nur Rumpf ohne Aufbauten

a

1

2.1 Ruhende Flüssigkeiten

35

In Bild 2.12 ist das statische Stabilitätsverhalten verschiedener Schiffstypen durch den Verlauf des aufrichtenden Hebelarms a über dem Krängungswinkel α dargestellt. Die jeweiligen Schiffskörper sind so gestaltet, daß innerhalb des aufgetragenen Stabilitätsbereichs kein Wasser eindringen kann. Die Kurven 4a,b zeigen den Einfluß des Ladezustandes auf die Stabilität. 3UD[LVKLQZHLV Der optimale Stabilitätsbereich liegt bei Krängungswinkeln von α < α(amax), da hier eine Stabilitätsreserve vorliegt. Bei Überschreitung dieses Wertes nimmt die Stabilität mit zunehmender Krängung ab, so daß eine geringfügige Steigerung der krängenden Einflüsse (z. B. Wind, Wellen) zum Kentern führt. Bei der Berechnung der Stabilitätskurven sind flüssige Ladungen mit freien Oberflächen (z. B. teilgefüllte Tanks) zu berücksichtigen. Eine Verschiebung der Ladung bei Krängung führt zu einer ungünstigen Lageänderung des Körperschwerpunktes SK und damit zur Verringerung der Stabilität. Für die verschiedenen Schiffstypen gelten Stabilitätsvorschriften [69,71], die bestimmte Eigenschaften der Hebelarmkurve a(α) vorschreiben. Eine Verbesserung des statischen Stabilitätsverhaltens wird durch spezielle Rumpfformen (VSpant, Deltaform) und Verlagerung des Körperschwerpunktes SK nach unten (Ballastfahren) erreicht. Durch paarweise seitlich am Schiffsrumpf angebrachte, im Anstellwinkel verstellbare symmetrische Profilstummel (Stabilisatoren) können dynamische Auftriebskräfte erzeugt werden, aus denen ein zusätzliches aufrichtendes Moment resultiert.

e < emax =

e

hSF

b=3 m

hSK

 %HLVSLHO Das eingetauchte Unterwasserschiff eines zylindrischen Schiffskörpers der Länge L habe die Form einer Halbellipse. 2.9.1 Wie hoch darf der Körperschwerpunkt SK maximal über der Wasseroberfläche liegen, ohne daß Instabilität auftritt ? 2.9.2 In welcher Weise ändern sich die Stabilitätswerte, wenn bei sonst gleichen Daten die Zahlenwerte der Ellipsenachsen vertauscht werden ? 4b 1 /|VXQJ 2.9.1) Geometriedaten: Halbellipse: hSF = A = abπ 3π 2 1 1 3 Schwimmfläche: I 0 = verdrängtes Wasservolumen V F = abπL L (2a ) 2 12 I I Nach Gl. (2.33) liegt Stabilität vor, wenn h M = 0 − e > 0 also e < emax = 0 VF VF

SK 0 SF 2a=9 m

2 4a 2 4 ⋅ (4,5 m) = 2,865 m (für e = emax liegt indifferentes Gleichgewicht vor) = 3πb 3⋅ π ⋅ 3 m

2 ⎤ 4 ⋅ 3 m ⎡⎛ 4,5 m ⎞ 2 ⎤ 4 b ⎡⎛ a ⎞ ⎢⎜ ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ = ⎟ − 1⎥ = 1,592 m 3π ⎢⎝ b ⎠ 3π ⎢⎝ 3 m ⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ 2.9.2) Für a = 3 m und b = 4,5 m ergeben sich die Werte emax = 0,849 m und hSK-max = -1,061 m. Das bedeutet, daß bei dieser Rumpfgeometrie der Körperschwerpunkt jetzt unter der Wasserlinie liegen muß. Die Stabilitätswerte werden ungünstiger.

hSK < hSK-max = e max − hSF =

7KHUPLVFKHU$XIWULHEWenn wir innerhalb eines homogenen Fluids (ρ = konst.) ein Fluidele-

2 Ruhende Fluide

36

ment mit dem Volumen ∆V gedanklich herausgreifen, so befindet es sich in vertikaler Richtung stets im Gleichgewicht, da seine Gewichtskraft auch gleichzeitig die an ihm angreifende Auftriebskraft ist. Wenn wir aber annehmen, daß in dem betrachteten Fluidelement eine Temperatur T´ und damit eine Dichte ρ´ = ρ´(T´) herrscht, die sich von der Temperatur T und damit der Dichte ρ = ρ(T) seiner Umgebung unterscheidet, so entsteht am Volumenelement ∆V eine resultierende Kraft in vertikaler Richtung, die wir als thermischen Auftrieb bezeichnen:

(

)

∆ Fthermisch = ∆ FA − ∆ FG = ρ(T)g∆V − ρ ′(T ′)g∆V = g∆V ρ(T) − ρ ′(T ′)

(2.34)

Für ∆T = T´-T > 0 entsteht eine thermisch bedingte Auftriebsbewegung, für ∆T < 0 eine entsprechende Abtriebsbewegung nach unten. Thermischer Auf- bzw. Abtrieb führt zu einer konvektiven Bewegung im Fluid. Diese Vorgänge spielen in der Theorie der Wärmeübertragung eine Rolle. 3UD[LVKLQZHLVZur Aufheizung einer Flüssigkeit in einem Behälter ist der Heizwärmeaustauscher unten anzuordnen. Die beheizte Flüssigkeit steigt nach oben und aus Kontinuitätsgründen wird die oben vorliegende kalte Flüssigkeit zum Wärmeaustauscher transportiert. Bei einem Heißwasserspeicher ist die Zufuhr von kaltem Wasser unten anzuordnen. Damit keine Vermischung durch Impulseffekte auftritt, soll die Zuströmgeschwindigkeit möglichst gering sein, eventuell sind Prallplatten oder Lochbleche anzuordnen. So läßt sich für begrenzte Zeit eine thermische Schichtung erreichen, bei der oben, im Bereich der Zapfleitung, heißes und unten kaltes Wasser vorliegt. Speichergeometrien mit Verhältnissen Höhe/Durchmesser > 1 unterstützen diesen Effekt. Bei Kühlung von Flüssigkeit sollte der Kühler oben im Behälter angeordnet sein. Die Anomalie des Wassers (zunehmende Dichte mit zunehmender Temperatur im Bereich 0° ≤ t ≤ 4o ) hat zur Folge, daß in die Nähe des Gefrierpunktes abgekühlte offene Gewässer stets von der Oberfläche her zufrieren, da das kältere Wasser leichter ist und nach oben steigt, während das wärmere Wasser zum Grund absinkt.

5XKHQGH*DVH 'UXFNNUlIWHDXI%HJUHQ]XQJVIOlFKHQ Die hydrostatische Grundgleichung Gl. (2.1) gilt auch für ruhende Gase. Vergleichen wir jedoch die Druckänderung aufgrund unterschiedlicher Höhenlage bei einem Gas der Dichte ρG mit derjenigen einer Flüssigkeit der Dichte ρF, so erkennen wir, daß ρGg(z0 - z) 0,5 ÷ 0,7 7 instationäre Gasströmung Ma > 0,5 ÷ 0,7

Beispiel

Rohrströmung, Armaturen, Formstücke

Zur Ähnlichkeit erforderl. Gleichheit der Kennzahlen Re Ma Fr Sr x

Kármánsche Wirbelstraße hinter einem Zylinder

(x)

Widerstand eines Schiffsmodells im Schleppkanal Strömung in Rohrleitungen und Armaturen, Fahrzeugaerodynamik Sportflugzeuge, Propellerflugzeuge, Innenströmung Gebläse Strahlflugzeuge, Innenströmung Turboverdichter, Dampf- und Gasturbinen instationäre Druckverteilung an den Schaufeln von Turboverdichtern, Dampf- und Gasturbinen

(x)

x

x

x x

(x)

(x)

x

(x)

(x)

x

3 Grundlagen der Fluiddynamik

54 Bild 11.4: νDE(pDE = 100 bar; tDE = 400 °C) ≈ 6,5⋅10-7 m2/s

Gl.(1.3):

ν LE =

ρ LE =

1,987 ⋅ 10 1,592

p LE

=

RT LE

−5

Pa s

kg

ν LE =

ηLE ρLE

Pa s

1,4747 ⋅ 10−6

,5 B T1LE Gl.(11.10): ηLE = T LE + S

Gl.(1.16)

⋅ ((55+ 273,15) K)1,5 K = 1,987 ⋅ 10−5 Pa s (55 + 273,15 + 113) K

ηLE =

kg 1,5 ⋅ 105 Pa = 1,592 3 J m 287,1 ⋅ (55 + 273,15) K kgK

= 1,248 ⋅ 10−5

2 −5 m ⋅ 1 248 , 10 m 1 s = 57,60 m c LE = 30 ⋅ ⋅ 2 s s 10 −7 m 6,5 ⋅ 10 s

2

m s

m3

90 A380 6 *10 80

70 Halbmodelle

60 C5 A300

50

Re

C141

40

747 707

Electra 30 Vollmodelle

DC6 20 DC3

übrige europäische Windkanäle

10 0 0

0,2

0,4

0,6

Ma0,8

1

1,2

1,4

%LOG Kennfeld des Europäischen Transsonischen Windkanals (ETW) in Köln. Dieser Windkanal besitzt einen geschlossenen druckaufgeladenen Stickstoffkreislauf. Durch Variation des Druckes zwischen 1,15 bar und 4,5 bar, der Temperatur zwischen 90 K und 313 K, sowie der Gebläsedrehzahl lassen sich Re- und MaZahlen im dargestellten Bereich einstellen, so daß auch bei Voll- oder Halbmodellen von Großflugzeugen die gemäß Tab. 3.1, Zeile 6 geforderten Kennzahlen einstellbar sind. Im grauen Bereich werden die Vorgänge bei Start und Landung untersucht. Die Antriebsleistung beträgt 50 MW. Zur Erzeugung der niedrigen Temperaturen wird flüssiger Stickstoff vor dem Gebläse eingedüst. [81]

6WU|PXQJVIRUPHQ /DPLQDUH XQG WXUEXOHQWH )OXLGVWU|PXQJHQ Wenn die Strömung in getrennten, zueinander gleitenden Schichten verläuft, die sich nicht vermischen, sprechen wir von laminarer Strömung (Bild 3.6a; Bild 3.9a). Dann gilt der Newtonsche Schubspannungsansatz Gl. (1.15). Unter bestimmten Bedingungen wird diese laminare Schichtenströmung instabil, und der Hauptbewegungsrichtung überlagern sich räumlich und zeitlich unregelmäßige Schwankungen von Fluidballen in Längs- und Querrichtung: dann liegt turbulente Strömung vor (Bild 3.9b) Wir benutzen für diese außerordentlich komplexen Strömungsverläufe eine einfache Modellvorstellung, indem wir den Momentanwert der Geschwindigkeit in einer Koordinatenrichtung durch Überlagerung des

3.1 Allgemeine Grundbegriffe

55

zeitlichen Mittelwertes ~c und der turbulenten Schwankungskomponente der Fluidballen c´(t) bilden: c(t) = ~c + c´(t). Da bei geeignetem Zeitintervall der Mittelwert der Schwankungsbewegung verschwindet ( ~c´ t() = 0 ), können wir im folgenden stets den zeitlichen Mittelwert ~c ( t ) = ~c = c der Geschwindigkeit verwenden, ohne dies besonders zu kennzeichnen. Als Maß für die Intensität der turbulenten Schwankung im x,y,z-Raum gilt der Turbulenzgrad

Tu =

1 ⎡ ~ / 2 ~ / 2 ~ / 2⎤ ( c ) + ( c y) + ( c z) ⎥ ⎦ 3 ⎢⎣ x ~c 2 + ~c y2 + ~c 2 z x 

Tu =

( ~c / ) ~c

2

(3.11a,b)

~c

2 Dabei repräsentieren die Terme (~c i/ ) die jeweiligen zeitlich gemittelten Quadrate der Schwankungsgrößen, die nicht verschwinden. Gl. (3.11b) gilt bei isotroper Turbulenz, wenn die Schwankungsgrößen in allen Koordinatenrichtungen gleich sind. Diesem Zustand strebt die Strömung außerhalb fester Wände stets zu. Der Turbulenzgrad kann mit zeitlich hochauflösenden Meßverfahren ermittelt werden (Hitzdraht, Laser-Doppler-Anemometrie).

Tritt bei einer wandnormalen Geschwindigkeitsverteilung ähnlich Bild 3.6 ein Fluidballen in eine wandnähere langsamere Schicht ein, so wird er abgebremst, gibt seinen Impuls und seine kinetische Energie teilweise ab und beschleunigt dadurch die Fluidballen der wandnäheren Schicht. Beim Eintritt in eine schnellere wandfernere Schicht wird der Ballen beschleunigt bei gleichzeitiger Verzögerung der Fluidballen der Eintrittsschicht. Durch diesen intensiven Austausch von Masse, Impuls und Energie wird eine Schleppwirkung auf die langsameren Schichten ausgeübt, die wir modellhaft als Wirkung von scheinbaren Schubspannungen τ/ in der Oberfläche des Fluidelementes (Bild 3.5b) deuten. Diese Vorgänge treten stets in wandnormaler Richtung auf, aber auch in anderen Koordinatenrichtungen, wenn dort Geschwindigkeitsgradienten vorliegen. Rein formal läßt sich dann auch eine mittlere turbulente Schubspannung τges definieren, die als tangentiale Oberflächenspannung am Modell des Fluidelementes wirkt d~c d~c + η′ (3.11c) τges = η dy dy Hierbei ist η die dynamische Fluidviskosität (Stoffwert) gemäß Kap. 1.3, während η´ eine scheinbare Viskosität darstellt, die durch die turbulente Mischung (Impulsaustausch) entsteht. Die Größe ν´= η´/ρ wird als kinematische Wirbelviskosität bezeichnet. Es ist üblicherweise η´>> η. Die quantitative Ermittlung der scheinbaren Viskosität ist problematisch und nur auf empirischem Wege möglich. Die meisten technischen Strömungsvorgänge sind turbulent, zu ihrer rechnerischen Behandlung sind daher empiri-

 %LOG Sichtbarmachung laminarer und turbulenter Strömung durch Farbinjektion in einem Flachwasserkanal. /LQNV laminare Strömung (Re ≈ 200). 5HFKWV turbulente Strömung (Re ≈ 2800)

3 Grundlagen der Fluiddynamik

56 sche Daten notwendig.

Die Phänomene der laminaren und turbulenten Strömungsform sind reibungsdominant, die repräsentative Kennzahl ist die Reynolds-Zahl. Bei niedrigen Re-Werten liegt laminare Strömung vor, beim Überschreiten eines Grenzwertes erfolgt ein Umschlag in die dann stabilere turbulente Strömungsform. Den Grenzwert bezeichnen wir als Re-Zahl des Umschlagpunktes ReU. Bei Strömungen durch Rohre und Kanäle gilt Re ≤ ReU = 2320 Re > ReU = 2320

→ laminare Strömung → turbulente Strömung

(3.12)

Falls der durchströmte Querschnitt kein Vollkreis ist, wird anstelle des Rohrinnendurchmessers D der hydraulische Durchmesser Dh Gl. (3.10) als charakteristisches Längenmaß in der ReZahl Gl. (3.5) benutzt, auch bei Anwendung von Gl. (3.12). 3UD[LVKLQZHLV Es ist bei technischen Strömungen keinesfalls so, daß sich der Umschlag stets exakt beim Wert ReU = 2320 vollzieht. Vielmehr ist dieser Wert ein unterer Grenzwert, bei dessen Unterschreitung mit Sicherheit laminare Strömung vorliegt. Je nach Randbedingungen der vorliegenden Innenströmung (keine Vibration der Wandung, sorgfältige Ausführung des Einlaufs) ist laminare Strömung durchaus noch bei höheren Re-Zahlen möglich. Tritt dann jedoch eine Störung der Randbedingungen auf (z. B. Erschütterung), so schlägt die Strömung spontan in die bei höheren Re-Zahlen stabilere turbulente Strömungsform um. Für Strömungen in Rohren und Kanälen gelten daher etwa folgende Erfahrungswerte: Re ≤ 2320 stets laminare Strömung 2320 < Re ≤ 8000 (10000) je nach Randbedingungen ist laminare oder turbulente Strömung möglich Re > 8000 (10000) stets turbulente Strömung Es ist jedoch für den Anwender empfehlenswert, bei Strömungen in Rohren und Kanälen immer von ReU = 2320 auszugehen, da er dann bei der Berechnung der auf-tretenden Verluste auf der sicheren Seite liegt. Bei der Umströmung von Körpern erfolgt der laminar-turbulente Umschlag der Grenzschichtströmung bei Re-Zahlen in der Größenordnung ReU ≈ 105 ÷ 106, wobei die Form des Körpers und die Definition der Re-Zahl zu beachten sind (Kap. 6). *DVVWU|PXQJHQ PLW PHUNOLFKHQ 'LFKWHlQGHUXQJHQ Bei dieser kompressiblen Strömungsform ist die Mach-Zahl die dominierende Kenngröße. Bei Werten Ma = c/a < 1 liegt Unterschallströmung vor, Druckänderungen breiten sich nach allen Richtungen im gesamten Strömungsfeld aus. Die Mach-Zahl Ma = 1 stellt einen Grenzwert dar, bei dessen Überschreitung das Strömungsfeld seinen Charakter erheblich ändert, wir sprechen dann von Überschallströmung (Ma > 1). Druckänderungen breiten sich jetzt nur noch innerhalb bestimmter abgegrenzter Gebiete aus. Der Übergang von Unterschall- zu Überschallströmung erfolgt stetig, in umgekehrter Richtung jedoch unstetig, es treten Verdichtungsstöße auf. Der Bereich Ma ≈ 1 ist ebenfalls durch typische Phänomene (z. B. starker Anstieg der Strömungswiderstände) gekennzeichnet, wir bezeichnen ihn als Transschallströmung. Die Theorie der dichteveränderlichen Gasströmungen nennen wir Gasdynamik, sie wird in Kap. 5.2 vorgestellt.

3.2 Bewegungsgleichungen für das Fluidelement

57

6WU|PHQGH XQG VFKLH‰HQGH )OVVLJNHLWVVWU|PXQJHQ Flüssigkeitsströmungen in offenen Gerinnen oder teilweise gefüllten Leitungen besitzen freie Oberflächen und werden von der Erdschwere beeinflußt. Die maßgebliche Kennzahl ist daher die Froude-Zahl. In einem Gerinne gegebener Querschnittsgeometrie sind für den gleichen Volumenstrom zwei verschiedene Strömungsformen möglich. Für Fr < 1 stellt sich eine „strömende“ Bewegung mit niedriger Strömungsgeschwindigkeit und großer Flüssigkeitstiefe ein. Bei Fr > 1 kommt es zu „schießender“ Strömung mit hoher Strömungsgeschwindigkeit und niedriger Flüssigkeitstiefe. Der Übergang von strömender zu schießender Strömung erfolgt stetig, in umgekehrter Richtung jedoch unstetig mit einem Wechselsprung. Die beschriebenen Strömungsformen, die sowohl bei laminaren als auch bei turbulenten Strömungen auftreten, werden in Kap. 4.7 erläutert.

%HZHJXQJVJOHLFKXQJHQIUGDV)OXLGHOHPHQW Wir wollen nun die Dynamik des Strömungsvorganges in vereinfachter Weise analysieren. Dazu betrachten wir in Bild 3.10 ein prismatisches Fluidelement dV, das sich längs einer Stromlinie s in einer Ebene bewegt, die von dem Bogenelement ds der Stromlinie und dem zugehörigen Mittelpunkt des Krümmungsradius rK aufgespannt wird. Die n-Koordinate liegt in dieser Ebene und steht normal zur Stromlinienrichtung s. Normal zu dieser Ebene treten keine Gradienten und Bewegungen des Strömungsfeldes auf (ebene Strömung). Außerdem nehmen wir zunächst an, daß die betrachtete Ebene eine Vertikalebene sei. %HZHJXQJVJOHLFKXQJLQ6WURPOLQLHQULFKWXQJ. Wir formulieren das Newtonsche Grundgesetz der Dynamik in zur Stromlinie tangentialer Richtung (Index t):

(

dm ⋅ a t = ∑ (dF)t = dFp + dFG + dFτ

(3.13)

t

n

∂τ ns ⋅ dn τns + ∂n ∂p ⋅ ds c p + ∂s

∂p ⋅ dn p + ∂n

z

p

dAs

dV

τns

ds

p g

α

rK

g · sinα

α

sin α =

ds

%LOG Verhältnisse an einem in Stromlinienrichtung s bewegten Fluidelement. n: Koordinate normal zur Stromlinienrichtung; z: Koordinate in vertikaler Richtung

s

α

dAn dn

Die an der Oberfläche des Fluidelementes in tangentialer Richtung wirkenden Druckkräfte (dFp)t und Schubkräfte (dFτ)t sowie die am Massenelement selbst angreifenden Massenkräfte (hier wird nur die Gewichtskraft (dFG)t berücksichtigt, jedoch keine elektromagnetischen Kräfte)

)

dz dz ds

g · cosα dn

dz α

cosα =

dz dn

3 Grundlagen der Fluiddynamik

58

erteilen der Fluidmasse dm die - vom raumfesten Bezugssystem aus gesehene - substantielle Beschleunigung at. Wir analysieren nun zunächst die linke und dann die rechte Seite der Gl. (3.13). Da die Geschwindigkeit im allgemeinen Fall sowohl von der Zeit t als auch von der Raumkoordinate (Stromlinienkoordinate) s abhängt, müssen wir bei der Bestimmung der substantiellen Beschleunigung at = dc/dt für dc das totale Differential der Funktion c = c(t,s) einsetzen:

dc =

dc ∂c ∂c ds = + dt ∂t ∂s , dt

∂c ∂c dt + ds ∂t ∂s

(3.14a,b)

c

=

a,t

substantielle Beschleunigung

dc = dt

∂c ∂t ,

+

lokale Beschleunigung

∂c c ∂s ,

(3.15)

konvektive Beschleunigung

Die substantielle (absolute) Beschleunigung bei einer instationären Strömung setzt sich aus dem lokalen und dem konvektiven Anteil zusammen. Die lokale Beschleunigung entsteht, weil sich an einem festgehaltenen Raumpunkt die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert (z. B. Bild 3.2: Geschwindigkeit im Raumpunkt 4 für t = t0 bzw. t = t0 + dt). Die konvektive Beschleunigung tritt auf, da sich bei der Bewegung zu einem benachbarten Raumpunkt des Strömungsfeldes eine andere Geschwindigkeit einstellt (z. B. Bild 3.2: unterschiedliche Geschwindigkeiten im Punkt 4 und 5). Mit dm = ρ⋅dV lautet die linke Seite von Gl. (3.13) ∂c ⎞ ⎛ ∂c dm ⋅ a t = ρdV⎜ + c ⎟ ⎝ ∂t ∂s ⎠

(3.16)

Auf der rechten Seite von Gl. (3.13) werden die am Fluidelement wirkenden Kräfte bilanziert, wobei Kräfte in Richtung der positiven Stromlinienkoordinate s positiv gezählt werden. Für die Druckkräfte in den Stirnflächen gilt

(dFp) = pdA − ⎛⎜⎝ p + ∂∂ps ds⎞⎟⎠ dA s

t

s

=−

∂p ∂p dV dsdA s= −

 ∂s ∂s

(3.17)

dV

dabei wurde berücksichtigt, daß sich die Feldgröße Druck p innerhalb der geometrischen Abmessungen des Fluidelementes ändert. Die Gewichtskraft (dFG)t = - dm⋅g⋅sinα läßt sich wegen der geometrischen Bedingung sinα = dz/ds in der Form

(dFG )t = −ρdVg

dz ds

(3.18)

darstellen. Die reibungsbedingten Schubspannungen liefern insgesamt den Anteil

(dFτ)t = − τ ns dA n + ⎛⎜⎝ τ ns + ∂τ ns dn⎞⎟⎠ dA n = ∂τ ns dndA n ∂n

(dFτ)t = ∂τ ns dV ∂n

∂n

dV

(3.19)

In den Flächen parallel zur s,n - Ebene wirken keine Schubspannungen, da keine Geschwindig-

3.2 Bewegungsgleichungen für das Fluidelement

59

keitsgradienten normal zu dieser Ebene existieren. Nun setzen wir die Einzelbeziehungen Gl.(3.16) bis (3.19) entsprechend in Gl. (3.13) ein, wobei wir vorher noch durch dm = ρ⋅dV dividieren. Damit erhalten wir die auf die Masse bezogene Bewegungsgleichung in Stromlinienrichtung s :

∂c ∂c ∂z 1 ∂τ ns 1 ∂p +c = − −g + ∂t ∂s ρ ∂s ∂s ρ ∂n

(3.20)

Gl. (3.20) wurde für eine ebene Strömung in der momentanen s,n-Ebene hergeleitet, wobei die Bewegung nur in s-Richtung erfolgt, Geschwindigkeitskomponenten normal dazu existieren nicht (cn = 0). Nehmen wir zusätzlich laminare Strömung eines homogenen Fluids (ρ = konst., η = konst.) an, so läßt sich der Newtonsche Schubspannungsansatz Gl. (1.15) zur Ausformulierung des Schubspannungsterms in Gl. (3.20) heranziehen. Unter Verwendung der Beziehung η = ρ⋅ν (Gl. 1.16) liefert dies

1 ∂τ ns 1 ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂2 c = ⎜ ρν ⎟ = ν 2 ρ ∂n ρ ∂n ⎝ ∂n ⎠ ∂n

(3.21)

und damit erhält die Bewegungsgleichung in Strömungsrichtung bei laminarer Strömung die endgültige Form

1 ∂p ∂c ∂c ∂z ∂2 c +c = − −g +ν 2 ∂t ∂s ρ ∂s ∂s ∂n

(3.22)

Liegt eine stationäre Strömung vor, so verschwindet die lokale Beschleunigung ( ∂c ∂t = 0 ) in Gl. (3.20) und (3.22). %HZHJXQJVJOHLFKXQJQRUPDO]XU6WURPOLQLHQULFKWXQJ Bei der Ableitung dieser Gleichung wollen wir vereinfachend stationäre Strömung ∂c n ∂t = 0 und Reibungsfreiheit (dFτ)n = 0 annehmen. Wir erhalten dann analog zu Gl. (3.13) die Gleichung

dm ⋅ a n =

∑

(dF)n = (dFp +dFG )n

(3.23)

Für das betrachtete Stromlinienelement ds in Bild 3.10 ersetzen wir die tatsächliche Stromlinie durch den lokalen Krümmungskreis und erhalten somit eine Bewegung auf einer Kreisbahn mit der Normalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) an = - c2/rK. Die Normalbeschleunigung ist stets zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet. Wenn - wie in Bild 3.10 - die n-Koordinate in Richtung des Krümmungsradius zeigt, muß im vorstehenden Ausdruck für an das negative Vorzeichen erscheinen. Für die Druck- und Massenkräfte setzen wir analog zu Gl. (3.17) und (3.18)

(dFp)

n

∂p ⎞ ∂p ⎛ = pdA n − ⎜ p + dn⎟ dA n = − dV ⎠ ⎝ ∂n ∂n

(dFG )n = −dmg cosα = −ρdVg

∂z ∂n

(3.24) (3.25)

Fügen wir die beiden obigen Gleichungen zusammen mit dem Ausdruck für an in Gl. (3.23) ein,

3 Grundlagen der Fluiddynamik

60

so erhalten wir nach Division durch dm = ρ⋅dV die auf die Masse bezogene Bewegungsgleichung normal zur Strömungsrichtung bei stationärer und reibungsfreier Strömung:

∂z c2 1 ∂p = +g ρ ∂ ∂ n n rK

(3.26)

Gl. (3.20), (3.22) und (3.26) sind auch für s,n-Ebenen gültig, die nicht Vertikalebenen sind, sie können also auf beliebig räumlich gekrümmten Stromlinien angewendet werden. Unter Vernachlässigung der Schwerkraft (dm⋅g ≈ 0 bei Gasströmungen bzw. ∂z ∂n = 0 bei Flüssigkeitsströmungen in Horizontalebenen) lautet Gl. (3.26)

1 ∂p c2 = ρ ∂n r K

(3.27)

Diese Gleichung wird als Querdruckgleichung bezeichnet. Sie beschreibt den Gleichgewichtszustand zwischen Druck- und Fliehkräften bei gekrümmten Stromlinien. Verlaufen die Stromlinien dagegen geradlinig, (rK → ∞), so liefert Gl. (3.27)

∂p =0 ∂n

p = konst. ≠ f(n)

für rK → ∞

(3.28)

3UD[LVKLQZHLV Die Querdruckgleichung (3.27) besagt, daß bei Strömungen auf gekrümmten Stromlinien ein Druckanstieg quer zur Strömungsrichtung von innen nach außen vorliegt. So ist z. B. im Bereich eines Rohrkrümmers keine Wanddruckmessung sinnvoll, da der Druckmeßwert von der Lage der Meßbohrung am Umfang abhängt. Bei geradlinigen Strömungen (Freistrahlen, gerade Rohrleitungen) ist dagegen der Druck aufgrund von Gl. (3.28) über dem Querschnitt konstant. Daher sind in geraden Rohrleitungen die Drücke durch Wanddruckmessungen erfaßbar. Tritt ein geradliniger Fluidstrahl aus einer Öffnung in die Umgebung aus, ist der Druck quer zur Strahlachse konstant, und gleich dem Umgebungsdruck. Dies ist eine wichtige Randbedingung für Strömungsvorgänge: beim Austritt aus einer Öffnung wird dem Fluid im Öffnungsquerschnitt der Umgebungsdruck aufgeprägt (Ausnahme: Gasströmungen mit Ma > 1). %HZHJXQJVJOHLFKXQJHQ EHL UlXPOLFKHU 6WU|PXQJ Die allgemeinen räumlichen Bewegungsgleichungen werden an einem Fluidelement für die drei Koordinatenrichtungen eines kartesischen oder zylindrischen Koordinatensystems formuliert. Aufgrund der vorliegenden Bedingungen existieren im wesentlichen die folgenden Ausgangsgleichungen (s. Kap. 10) reibungsfrei → Eulersche Bewegungsgleichungen reibungsbehaftet, laminar, (turbulent) → Navier-Stokessche Bewegungsgleichungen reibungsbehaftet, turbulent → Reynoldssche Bewegungsgleichungen Zur Herleitung und Darstellung dieser Gleichungen sei auf die einschlägige Literatur verwiesen [36; 48; 56]. Nur in wenigen Spezialfällen sind mathematisch geschlossene Lösungen dieser nichtlinearen partiellen Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung möglich. Numerische Näherungslösungen dagegen sind das Aufgabengebiet der numerischen Strömungsmechanik, auch CFD (Computational Fluid Dynamics) genannt, deren grundsätzliche Möglichkeiten in Kap. 10

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie

61

vorgestellt werden. Zur vollständigen Beschreibung der Strömung sind zusätzlich Gleichungen für Massen- und Energieerhalt, thermischen Zustand und Stoffgrößen erforderlich.

'LH(UKDOWXQJVVlW]HGHUVWDWLRQlUHQ 6WURPIDGHQWKHRULH $QZHQGXQJGHU6WURPIDGHQWKHRULHDXIHLQHQ.RQWUROOUDXP Viele Strömungsvorgänge lassen sich als stationäre Strömung ( ∂ / ∂t = 0 , zeitunabhängig bzw. zeitliche Mittelwerte) und als räumlich eindimensionale Fadenströmung betrachten (s. Kap.3.1.1). Wir grenzen dann gemäß Bild 3.11a den interessierenden Bereich des Stromfadens durch eine raumfeste Hüllfläche von seiner Umgebung ab. Das abgegrenzte Volumen nennen wir Kontrollraum, die abgrenzende Hüllfläche Kontrollfläche. Die letztere ist im Bereich der Ein- und Austrittsflächen A1 und A2 massedurchlässig, der übrige Teil besteht aus der masseundurchlässigen Mantelfläche (Stromröhre) AM. Die Zustandsgrößen auf den Ein- und Austrittsflächen und jeder anderen Querschnittsfläche A(s) normal zur Stromfadenachse s werden je Kontrollraum 1

2

AM

Stromfadenachse s A2

A1 AM

D

1

ρ1

2

Stromröhre, Stromfaden Kontrollfläche

1

p1 c1

AM A1

A2

2

ρ2

c2

z1 dm1

ds2

ds1

E

dm2

1

Kontrollraum

p2 s c2 z2

2

%LOG D Definition von raumfestem Kontrollraum und Kontrollfläche für einen Stromfaden. A1, A2: Ein- bzw. Austrittsflächen, AM: Stromröhre. E Ableitung der Kontinuitätsgleichung und der Energiegleichung kompressibler Fluide für einen Stromfaden

weils durch einen repräsentativen Wert beschrieben (ggfs. über den Querschnitt gemittelt, s. Kap. 3.4). Die Geschwindigkeitsvektoren stehen senkrecht auf den Querschnittsflächen. Die Mantelfläche AM kann durch Körperoberflächen (→ körpergebundene Kontrollfläche) und/oder das umgebende Strömungsfeld (→ freie Kontrollfläche) gebildet werden. Es liegt ein offenes System vor; die Kontrollfläche kann auch als Systemgrenze bezeichnet werden. Prinzip und Vorteil bei der Anwendung der Stromfadentheorie auf einen Kontrollraum beruhen darauf, daß durch Bilanzen an den durchströmten Teilen der Kontrollfläche (Ein- und Austrittsflächen) Ergebnisse erhalten werden, ohne daß die Vorgänge innerhalb des Kontrollraums

3 Grundlagen der Fluiddynamik

62

bekannt sein müssen (Erhaltungsprinzip). Dies ist möglich, da die Änderung einer Zustandsgröße G zwischen Ein- und Austrittsfläche durch einfache Differenzbildung ∆G12 = G2 - G1 ermittelbar ist. Bei Reibungseffekten sind dagegen auch Vorgänge innerhalb des Kontrollraums zu beachten (→ Integralgröße, Prozeßgröße), ihre Auswirkungen werden global durch spezielle Verlustansätze erfaßt. Die stationäre Stromfadentheorie gestattet anhand der folgenden Beziehungen einfache rechnerische Lösungen von Strömungsvorgängen: (1) Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) → Kap. 3.3.2 (2) Energiesatz (Energieerhaltung) → Kap. 3.3.3; 5.1 (3) Impulssatz (Kräftebestimmung) → Kap. 3.3.4 (4) Drallsatz (Drehmomentbestimmung) → Kap. 3.3.5 (5) thermische, kalorische Zustandsgleichungen → Kap. 1.1.1; 1.2; Tab. 1.4 (6) Druck-Dichte-Relation → Kap. 1.2.2; Tab. 1.4 (7) globale, meist empirische Ansätze über Reibungseffekte → Kap. 4; Kap 5 Die Gleichungen (1) bis (4) werden als Erhaltungssätze bezeichnet. Sie sind - bis auf die genannten Einschränkungen (stationäre Fadenströmung) - allgemeingültig.

.RQWLQXLWlWVJOHLFKXQJ In Bild 3.11b wird im Zeitintervall dt das Massenelement dm1 = ρ1dV1 = ρ1ds1A1 über die Kontrollfläche A1 (Eintrittsfläche) in den Kontrollraum transportiert. In der gleichen Zeit verläßt das Massenelement dm2 = ρ2ds2A2 den Kontrollraum über die Austrittsfläche A2. Ein- und austretende Massen müssen bei stationärer Strömung gleich sein, da die Masse im Kontrollraum konstant bleiben muß.

dm1 = dm2

ρ1 ds1 A1 = ρ2 ds2 A 2

Wenn wir die vorstehenden Gleichungen auf das Zeitintervall dt beziehen, ergibt sich

dm1 dm2 = dt dt

ρ1

ds1 ds2 A1 = ρ2 A2 dt dt , , c1

c2

Wir definieren die pro Zeiteinheit über eine massedurchlässige Kontrollfläche transportierte Masse als Massenstrom

dm  =m dt

Massenstrom

(3.29)

und erhalten aus obigem die Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz):

 1= m 2 = m m

 = ρ1 , m c1 A1 = ρ2 c2

A 2  2 V1 V

i  = ρi V m

(3.30a,b,c)

Innerhalb eines Stromfadens strömt in allen Querschnitten i der gleiche Massenstrom. Dabei ist

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie

63

c die (flächengemittelte) mittlere Geschwindigkeit senkrecht auf der Durchtrittsfläche. Bei inkompressiblem Fluid mit ρ1 = ρ2 = ρ geht Gl. (3.30) über in

 = c1 A1 = c2 A 2 V

 1 = V 2 = V V

(ρ = konst.)

(3.31a,b)

mit der Definition des Volumenstroms

dV  =V dt

(Volumenstrom)

(3.32)

%HLVSLHO Eine Einspritzleitung zur Getriebeschmierung ist mit kreisringförmigem Strömungsquerschnitt so zu dimensionieren, daß sich bei einem Volumenstrom von V = 12000 l/h laminare Strömung einstellt, und zwar mit einem Sicherheitsabstand von 10 % zur maßgeblichen Kennzahl. Das Verhältnis von Naben- zu Außendurchmesser des Querschnitts betrage DN/DG = 0,75. Es wird ein Öl nach ISO VG 460 mit der Betriebstemperatur t = 60 °C verwendet. 3.3.1 Welcher Wert ist für die maßgebliche Kennzahl einzustellen ? 3.3.2 Die Leitungsdurchmesser DG und DN sind zu dimensionieren. /|VXQJ3.3.1) Laminare Rohrströmung mit 10 % Sicherheitsabstand: Tab. 3.1 und Gl. (3.12) Re max = 0,9 Re U = 0,9 ⋅ 2320 = 2088

3.3.2)

Hydraulischer Durchmesser Gl. (3.10) Re max =

cD h ν

Stoffwerte: Bild 11.2.

Aus Kontinuitätsgleichung (3.31b) folgt: Re max =

4 V(D G − D N ) π

(

2 DG

−

D2N

)ν

=

V = cA

4V ⎛ D ⎞ πν DG ⎜1 + N ⎟ ⎝ DG ⎠

Dh =

2 − 2) 4A 4 π ( DG DN = = DG − D N U 4 π( DG + D N )

ν(t = 60 °C ) ≈ 1,5⋅10-4 m2/s c=

V 4V = A π D2G − D2N

DG =

(

)

4V ⎛ DN ⎞ ⎟ Re max πν⎜1 + ⎝ DG ⎠

12 m3 3600 s = 0,007743 m DG = m2 (1 + 0,75) 2088 ⋅ π ⋅ 1,5 ⋅ 10−4 s D N = 0,75 DG = 0,005807 m Gewählt: DG = 0,008 m DN = 0,006 m 12 m3 4⋅ 3600 s = 2021 Kontrolle: Re max = 2 ⎛ 0,006m ⎞ −4 m π ⋅ 1,5 ⋅ 10 ⋅ 0,008m⎜ 1 + ⎟ ⎝ s 0,008m ⎠ 4⋅

Der effektive Sicherheitsabstand von (Remax - ReU)/ReU = - 0,1288 (→ -12,88 %) reicht aus.

 

3 Grundlagen der Fluiddynamik

64

 (QHUJLHVDW]IULQNRPSUHVVLEOH)OXLGH 5HLEXQJVIUHLH6WU|PXQJVSUR]HVVH

s2

2

c2

s

z2

z1

Bei Fluidströmungen treten mechanische Energien in Form von Druckenergie sowie kinetischer und potentieller Energie auf. (Die aufgrund von Strömungsgeräuschen abgestrahlte Schallenergie ist vernachlässigbar gering, s. Tab. 9.2.) Bei reinen Strömungsprozessen ohne Arbeits- und Wärmeaustausch gilt das Energieerhaltungsprinzip für den Kontrollraum des Stromfadens, es finden jedoch Umwandlungen der einzelnen Energieformen statt. Wir beschränken uns in diesem Abschnitt auf inkompressible Fluide; der 1 Energiesatz für kompressible Fluide wird in z c1 p 1 ds Kap. 5.1 vorgestellt. Entsprechend Bild 3.12 s1 untersuchen wir die energetischen Vorgänge 2 s an einem Fluidelement der Masse dm, das den p2 1 Kontrollraum von c nach d durchströmt. dm %LOG Kontrollraum zur Ableitung des Energiesatzes für inkompressible Strömung

Aus der Bewegungsgleichung Gl. (3.20) kennen wir die auf die Masse bezogenen Kräfte am Fluidelement. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit dem Wegelement ds ergibt sich der Energieumsatz, der durch die Verschiebung um diese Wegstrecke entsteht. Für stationäre reibungsfreie Strömung ( ∂c ∂t = 0; ∂τ ns ∂n = 0) erhalten wir aus Gl. (3.20) eine gewöhnliche Differentialgleichung, die nach Multiplikation mit der Verschiebung ds die Form

⎛ 1 dp dz ⎞ ⎛ dc ⎞ − g ⎟ ds ⎜ c ⎟ ds = ⎜ − ⎝ ds ⎠ ds ⎠ ⎝ ρ ds

1 cdc + dp + gdz = 0 ρ

(3.33a,b)

annimmt. Damit liegt der Energiesatz in differentieller Form vor. Wir integrieren diese Gleichung längs der Stromfadenachse von s1 bis s2 (Gl. 3.34a) und erhalten daraus mit Gl. (3.34b) bei inkompressibler Strömung (ρ = konst) den Energiesatz für reibungsfreie, adiabate, inkompressible Strömungsvorgänge (Bernoulli-Gleichung): c2

p2

z2 dp + g ∫ dz = 0 p1 ρ z1

∫ cdc + ∫

c1

c 22 − c12 1 + (p 2 − p1) + g(z 2 − z1) = 0 ρ 2

( 3.34a,b)

Diese Gleichung wird üblicherweise in den drei folgenden Formen präsentiert: p1 c12 p c2 + + gz1 = 2 + 2 + gz2 = konst 2 2 ρ ρ

⎡ J ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦

ρ 2 ρ c1 + ρgz1 = p2 + c22 + ρgz2 = Konst. 2 2 p1 c12 p2 c22 + + z1 = + + z2 = Const. ρg 2g ρg 2g

[Pa]

reibungsfrei

(3.35b)

[m]

↑

(3.35c)

p1 +

↓

(3.35a)

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie

65

Die obigen 3 Formen des Energiesatzes gestatten jeweils die Berechnung einer der in ihnen enthaltenen 5 Zustandsgrößen (z1 und z2 treten stets als Differenz auf und können als eine Zustandsgröße ∆z12 aufgefaßt werden). Das jeweils erhaltene Ergebnis wird unter Annahme von Reibungsfreiheit (isentrope Strömung, s = konst.) ermittelt und daher mit dem zusätzlichen Index „s“ versehen. (Grundsätzlich werden im folgenden bei speziellen Anwendungen alle Größen, die sich unter der Annahme von Reibungsfreiheit ergeben, und die bei Berücksichtigung der Reibung andere Zahlenwerte annehmen, mit dem Index „s“ gekennzeichnet.) Die übrigen 4 Zustandsgrößen in Gl. (3.35) müssen aufgrund von Randbedingungen an den Einund Austrittsflächen oder durch zusätzliche Gleichungen (z. B. Kontinuitätsgleichung) bestimmt werden. Die einzelnen Ausdrücke der Gl. (3.35a) besitzen die Einheit einer spezifischen (massebezogenen) Energie. Verbal besagt diese Gleichung, daß an jedem Ort der Stromfadenachse s die Summe aus massebezogener Druckenergie, kinetischer und potentieller Energie konstant ist. Wird Gl. (3.35a) mit der Dichte ρ durchmultipliziert, so ergibt sich die Form (3.35b), die physikalisch gleichwertig ist, jedoch nehmen nun alle Terme die Einheit eines Druckes an. Daher eignet sich diese Gleichung zur Definition einiger der nachfolgend aufgeführten Druckbegriffe: • Mit dem absoluten statischen Druck p drückt das ruhende oder strömende Fluidelement gegen seine Begrenzungsflächen. • Wird ein mit der Geschwindigkeit c horizontal strömendes inkompressibles Fluidelement reibungsfrei (isentrop) bis zum Ruhezustand verzögert, so wandelt sich seine kinetische Energie ρ/2⋅c2 in einen Druckanstieg q um („Aufstau“), der als kinetischer Druck (auch: Staudruck) bezeichnet wird

q=

ρ 2 c 2

[Pa]

(3.36)

• Der absolute Druck, den ein strömendes Fluidelement bei isentroper Verzögerung auf den Ruhezustand annimmt, wird als Totaldruck pt bezeichnet. Die Temperatur ändert sich bei inkompressiblem Aufstau nicht. Bei inkompressibler Strömung gilt

pt = p +

ρ 2 c 2

Totaldruck, inkompressibel

(3.37)

Es sei aber hier darauf hingewiesen, daß bei kompressibler Strömung (Ma > 0,3) der Totaldruck gemäß Gl. (5.31) in anderer Weise zu berechnen ist. • Die Differenz zwischen Totaldruck pt und statischem Druck p nennen wir den dynamischen Druck ∆pd

∆ pd = p t − p

(3.38)

der im Falle der inkompressiblen Strömung gleich dem kinetischen Druck q ist. • Das Produkt ρgz wird als Schweredruck oder hydrostatischer Druck bezeichnet. Er entsteht durch die statische Wirkung einer Fluidsäule der Höhe z. Wir wollen im folgenden Meßmöglichkeiten für die verschiedenen Erscheinungsformen von Drücken kennenlernen. Die Messung von statischen Wanddrücken p erfolgt durch gratfreie scharfkantige Wandbohrungen, die normal zur Wandoberfläche anzubringen sind. Statische

3 Grundlagen der Fluiddynamik

66

Drücke in einem Strömungsfeld können mit einer zylindrischen statischen Drucksonde, die seitlich angebohrt ist, gemessen werden. Diese Sonde ist stark richtungsempfindlich und muß parallel zu den Stromlinien ausgerichtet werden (Bild 3.13a). Zur Messung des Totaldruckes p t wird ein vorne offenes Totaldruck-Rohr (Pitot-Rohr) parallel zu den Stromlinien im Strömungsfeld plaziert. In der Eintrittsöffnungstaut sich das Fluid auf und der Totaldruck stellt sich ein (Bild 3.13b). Der dynamische Druck ∆pd kann mit dem Staudruck-Rohr erfaßt werden (Bild 3.13c). Dies ist im Prinzip ein Pitot-Rohr zur Totaldruckmessung, das zusätzlich mit einem vorn abgerundeten Mantelrohr umgeben ist. Im Abstand von 3D hinter der Spitze ist das Mantelrohr angebohrt oder geschlitzt. Dort stellt sich, analog zur statischen Drucksonde in Bild 3.13a, der statische Druck der ungestörten Anströmung ein. Werden die in Bild 3.13 dargestellten Druckmeßeinrichtungen an ein U-Rohr-Manometer angeschlossen, so ergeben sich folgende Auswertegleichungen: ∆p = p − p 0 ⎫ ⎪ ∆p t = p t − p 0 ⎬ = ∆p d = p t − p ⎪⎭



⎧⎪ρSperr g∆h − ρg(z1 − z2) ⎨ ρ g∆h ⎩⎪ Sperr

(Flüssigkeit)

(3.39a,b,c)

(Gas)

∆h

p0

-

+

z2

z1

∆h ρSperr

z2

ρSperr

z1

z2

∆h

z1

ρSperr

3D

p0

z1

p0

c p ρ

∆h

p

c p ρ

D

ρ

p* = p

z2

3D c

D

ρSperr

E F D  %LOG Druckmeßstellen. D Statische Wanddruckbohrung bzw. statische Drucksonde. E Totaldruck-Rohr (PitotRohr) zur Totaldruckmessung (pt). F Staudruck-Rohr zur Messung des dynamischen Druckes (∆pd). Staurohre der Bauart Prandtl (Bild) werden Prandtl-Rohr genannt Ist das Meßfluid gasförmig, so ist seine Dichte ρ 0,3) ist die Geschwindigkeit gemäß Gl. (5.31) bzw. (5.33) sowie Gl. (5.25) zu ermitteln. Gl. (3.37) setzt reibungsfreien Aufstau voraus, der bei der Messung mit dem Staudruck-Rohr hinreichend genau gegeben ist. 3UD[LVKLQZHLV Druckmeßbohrungen zur Messung statischer Wanddrücke sind scharfkantig, gratfrei und normal zur Wandoberfläche auszuführen. Bohrungsdurchmesser: bei Gasen D ≈ 0,4 ÷ 2 mm; bei Flüssigkeiten D ≈ 2 ÷ 4 mm (zu klein → Verstopfung; zu groß → ungenaue Lokalisierung). Erweiterung nach L ≈ 2⋅D auf Durchmesser der Meßleitung (→ Herabsetzung der Ansprechträgheit des Gesamtmeßsystems). Bei Rohrleitungen: Einzelmeßstelle stets seitlich auf horizontaler Rohrmittelachse, besser Vierfachmeßstelle (45 ° zum Achsenkreuz versetzt) mit Verbindung durch Ringleitung oder Ringkammer. Staudruckrohre sind richtungsempfindlich und müssen parallel zur Anströmrichtung ausgerichtet werden (beim Prandtl-Rohr bleibt der Meßfehler ≤ 1 % bei Falschanströmungen bis ± 17 °). TotaldruckRohre mit dünner Wandstärke im Bereich des Sondenkopfes haben bei inkompressibler Strömung je nach Bauart Anzeigefehler ≤ 1 % bei Falschanströmungen bis ± 27 °, bei Sonderbauarten (Kiel-Sonde) bis ± 63 ° [64]. Druckmeßstellen sollten nicht in Strömungsbereichen mit Verwirbelungen oder in Krümmern angeordnet werden. Bei Druckpulsationen sind die Meßleitungen kurz auszuführen. Verfälschungen treten auf, wenn der Effektivwert der Druckschwankung 10 % des zeitlichen Druckmittelwertes übersteigt [73]. Bei Flüssigkeiten sind die Meßleitungen zu entlüften (s. Beispiel 2.2). %HLVSLHO Mit einem Prandtl-Rohr in der Anordnung gemäß Bild 3.13c soll die Strömungsgeschwindigkeit c in der Mitte eines Wasserrohres gemessen werden. Das Wasser hat eine Temperatur von tW = 50 °C. Das quecksilbergesperrte U-Rohr-Manometer zeigt einen Ausschlag von ∆h = 482 mm an. Die Umgebungstemperatur beträgt tU = 20 °C. /|VXQJ Stoffwerte Tab. 11.3: ρH20(tW = 50 °C) = 988,00 kg/m3. Die Flüssigkeiten im U-Rohr-Manometer haben etwa Umgebungstemperatur angenommen. Tab. 10.3: (ρHg - ρH20)(tU = 20 °C) = 12547,7 kg/m3

Gl. (3.40b)

c=

2(ρHg − ρH 2O)g∆h ρH 20

2 ⋅ 12547,7 =

kg m3

⋅ 9,81

988,00

m

s2 kg

⋅ 0,482m = 10,96

m s

m3

5HLEXQJVEHKDIWHWH6WU|PXQJVSUR]HVVH Die Einflüsse der Reibung wollen wir durch eine einfache pauschale Überlegung erfassen. Beim Eintritt in einen Kontrollraum (Bild 3.12) ist die gesamte Energie als Summe e1 der spezifischen fluidmechanischen Energieanteile eines Fluidelementes gegeben

3 Grundlagen der Fluiddynamik

68 e1 =

p1 ρ

+

c12 + gz1 2

Summe der spez. fluidmechanischen Energien

(3.41)

Beim Durchströmen des Kontrollraums werden die Fluidelemente durch die bislang vernachlässigten Schubspannungen in ihrer Gestalt verändert. Die zu dieser Verformung erforderliche Arbeit wird dem ursprünglichen Energiereservoir e1 entzogen. Diese Gestaltänderungsarbeit geht irreversibel in eine Erhöhung der inneren Energie u des Fluidelementes über, wodurch auch die Temperatur des Fluids steigt. Die Umwandlung mechanischer Energie (Druckenergie, kinetische und potentielle Energie) durch Gestaltänderungsarbeit in innere Energie bezeichnen wir als Dissipation, die pro Masseneinheit vom Fluidelement bei der Verschiebung um die Wegstrecke ds aufgenommene Gestaltänderungsarbeit als spezifische Dissipationsenergie dj. Die Dissipationsenergie ist eine Prozeßgröße. Ihr Wert hängt - im Gegensatz zu den Zustandsgrößen, deren Änderung durch die Differenz der Ein- und Austrittswerte gegeben ist - vom Verlauf des Strömungsprozesses innerhalb des Kontrollraums ab. Die insgesamt beim Durchströmen eines Kontrollraums zwischen Eintritt c und Austritt d entstandene Dissipationsenergie kennzeichnen wir daher durch einen Doppelindex: j12. Die Dissipationsenergie wird stets dem Fluid zugeführt und daher immer positiv gezählt (j12 > 0); sie entspricht der Änderung der inneren Energie: j12 = u2 - u1. Kehren wir zur Betrachtung der - jetzt reibungsbehafteten - Fadenströmung im Kontrollraum gemäß Bild 3.12 zurück. Die Gesamtenergie e1 der Fluidelemente ändert sich beim Durchströmen des Kontrollraums nicht. In der Austrittsfläche d ist jedoch die Summe der mechanischen Energieanteile e2 = p2/ρ + c22/2 + gz2 um den Betrag geringer, der durch Dissipation in innere Energie (Fluiderwärmung) umgewandelt wurde

e1 = e2 + j12 = e2 + ( u2 − u1)

(3.42a,b)

Aus Gl. (3.41) und (3.42) folgt die Energiegleichung für reibungsbehaftete, adiabate, inkompressible Strömungsvorgänge in den drei üblichen Darstellungsformen

p p1 c12 c2 + + gz1 = 2 + 2 + gz2 + j12 ρ 2 ρ 2

p1 +

ρ 2 ρ c1 + ρgz1 = p2 + c22 + ρgz2 + ρj12 2 2

j p p1 c12 c2 + + z1 = 2 + 2 + z2 + 12 ρg 2g ρg 2g g

⎡J ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦

↓

(3.43a)

[Pa]

mit Reibung

(3.43b)

[m]

mit Reibung

(3.43c)

Damit sind die Reibungseffekte formal in der Energiegleichung berücksichtigt. Das Problem liegt jedoch in der Bereitstellung passender Berechnungsansätze für die Dissipationsenergie j12, die - zumindest bei turbulenten Strömungen - nur auf empirischer Basis ermittelt werden können (s. Kap. 4). Die durch die Dissipationsenergie erzeugten Temperaturerhöhungen sind in den meisten technischen Strömungsvorgängen nicht nutzbar, wir bezeichnen die Dissipationsenergie daher auch als Strömungsverlust. In Bild 3.14a wird die Umwandlung der Energie eines Fluidelementes anhand von Gl. (3.43c) graphisch demonstriert.



D

2

1

P2

ρ

z2

h

p1

D1

3

p3 ρ⋅ g

z3

V m 4

p4 ρ⋅ g

c 4² 2g

z4

c 3² 2g

D4

p1 ρ⋅ g Vakuum

5

p5 ρ⋅ g

c 5² 2g

z5

B1

p0

z1

6

p6 ρ⋅ g

c 6² 2g

j16 g

z6

j15 g

7

8

j17 g

z7

j14 g

7

E

B2

p0

z8

Gesamtenergieniveau

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie  

  69

D6

D5 D3

3 Grundlagen der Fluiddynamik

70

 6WU|PXQJVSUR]HVVHPLW$XVWDXVFKYRQ$UEHLWXQG:lUPH Bild 3.15 stellt den Prozeß in einer Anlage dar, in der dem strömenden Fluid bei seinem Weg zwischen den Kontrollebenen c und d über die Welle einer Pumpe die spezifische technische Arbeit wt12 [J/kg] und in einem Wärmeaustauscher die spezifische Wärme q12 [J/kg] zugeführt wird. Die Energiebilanz für den Stromfaden von c nach d lautet dann für den offenen Kreislauf (Bild 3.15a) bei inkompressiblem Fluid:

p1 c12 p c2 + + gz1 + w t12 + q12 = 2 + 2 + gz2 + j12 + q12

 ρ 2 ρ 2

(3.44)

∆ u12 = c F ∆ T12

 2 2 q12  wt12  wt12 V q V 1 1 12 m m    E A 1 2 E D %LOG Strömungsprozeß in einer Anlage mit Austausch von technischer Arbeit und Wärme. D Offener, E geschlossener Kreislauf

Dissipationsenergie und zugeführte Wärme führen zu einer Erhöhung der inneren Energie, die bei inkompressiblem Fluid ausschließlich eine Temperaturerhöhung

∆ T12 =

∆ u12 j12 + q12 = (Flüssigkeit) cF cF

∆T12 =

∆u12 (Gas, ρ = konst.) cv

(3.45a,b)

bewirkt (Werte cF s. Tab. 10.17; Werte cv s. Tab. 1.4 und Tab. 10.7). Die Dissipationsenergie j12 setzt sich allgemein zusammen aus den Verlusten jA in der Anlage (Rohrleitungen, Apparate) und den Verlusten jM in der Maschine (Pumpe, Turbine)

j12 = jA + jM

(3.46)

Gl. (3.44) läßt sich dann in der folgenden Form schreiben  p 2 − p1 c 22 − c12 + + g( z 2 − z1) + jA + jM w t12 = ρ 2

 y12



(3.47)

y tA = y tM

mit 2

dp 1 ρ

y12 = ∫

(für ρ ≠ konst.)

y12 =

p2 − p1 ρ

(für ρ = konst.)

(3.48a,b)

Die spezifische Strömungsarbeit y12 stellt bei einem offenen System die zur Druckerhöhung erforderliche bzw. die bei Druckabsenkung freigesetzte Energie dar. Für ρ ≠ konst. ist sie eine

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie

71

Prozeßgröße. Die totale spezifische Strömungsarbeit der Anlage

y tA = y12 +

c22 − c12 + g(z2 − z1) + jA 2

(3.49a)

beschreibt den fluidmechanischen Energiebedarf des Strömungsprozesses in der Anlage; er ist identisch mit den zwischen Maschine und Fluid ausgetauschten fluidmechanischen (dh. mechanisch nutzbaren) Energien: ytA = ytM = wt12 - jM. Im Vergleich mit Gl. (3.47) erkennen wir deutlich, daß die über die Pumpenwelle zugeführte spezifische technische Arbeit wt12 um den Betrag der in der Pumpe durch Reibungseffekte entstehenden spezifischen Dissipationsenergie jM größer sein muß als der Energiebedarf ytA der Anlage. Die in der Maschine ausgetauschte totale spezifische Strömungsarbeit ytM folgt aus den Größen in den Maschinenstutzen (E,A)

y tM = y M +

c2A − c2E + g ( zA − z E ) 2

A dp

yM = ∫

E

ρ

(3.49b)

wobei Gl. (3.48) zu beachten ist. Zur Untersuchung eines geschlossenen Kreislaufs gemäß Bild 3.15b legen wir die Kontrollflächen c und d unmittelbar nebeneinander an eine beliebige Stelle der Leitung. Wegen der sich daraus ergebenden Bedingungen p1 = p2; c1 = c2; z1 = z2 lautet Gl. (3.49a) in diesem Fall

y tA = jA

(3.49c)

d.h. bei geschlossenen Kreisläufen ist der fluidmechanische Energiebedarf gleich den auftretenden Reibungsverlusten. Die obenstehenden Gleichungen sind allgemeingültig, wenn Gl. (3.48) beachtet wird und wenn wir für Arbeits- und Wärmeaustausch mit dem Fluid im Kontrollraum die folgenden Vorzeichenkonventionen einführen: • Arbeits- bzw. Wärmeübertragung auf das Fluid → wt12 > 0; ytM > 0 : Pumpe, Verdichter (Arbeitsmaschine) q12 > 0 : Erhitzer • Arbeits- bzw. Wärmeentzug aus dem Fluid → wt12 < 0; ytM < 0 : Turbine (Antriebsmaschine) q12 < 0 : Kühler • Dissipationsenergien sind stets positiv zu zählen jM bzw. jA > 0

(3.50)

Die in der Maschine erzeugte Dissipationsenergie (Strömungsverlust) jM ist in der Praxis durch den totalen Maschinenwirkungsgrad ηt erfaßbar. In Gl. (3.51) berücksichtigt der Exponent ± 1 die Unterschiede zwischen Arbeitsmaschine (Pumpe, Verdichter) bzw. Antriebsmaschine (Turbine):

⎡ w t12 − jM ⎤ ηt = ⎢ ⎥ ⎣ w t12 ⎦

±1

j ⎤ ⎡ = ⎢1− M ⎥ ⎣ w t12 ⎦

±1

⎡y ⎤ = ⎢ tM ⎥ ⎣ w t12 ⎦

±1

+ 1 : Pumpe; - 1 : Turbine

(3.51)

Die Verknüpfung von Gl. (3.47) und (3.51) liefert die an der Maschinenwelle zuzuführende (Pumpe, Verdichter) bzw. abführbare (Turbine) spezifische technische Arbeit bei gegebenem Energiebedarf bzw. Energiereservoir ytA der Anlage

3 Grundlagen der Fluiddynamik

72

⎡1⎤ w t12 = y tA ⎢ ⎥ ⎢⎣ ηt ⎥⎦

±1

⎡1⎤ = y tM ⎢ ⎥ ⎢⎣ ηt ⎥⎦

±1

+ 1 : Pumpe, Verdichter;

-1: Turbine

(3.52)

Die über die Maschinenwelle transportierte innere Leistung P12 bzw. die im Wärmeaustauscher  erhalten wir durch Multiplikation mit dem Massenstrom übertragene Wärmeleistung Q 12   = ρV m

 = mq  12 Q 12

 t12 P12 = mw

(3.53a,b)

Die an der Maschinenkupplung anliegende Kupplungsleistung PK12 unterscheidet sich von der inneren Leistung P12 (direkt zwischen Schaufeln und Fluid ausgetauscht) durch die in den Lagern und berührenden Dichtungen auftretende mechanische Verlustleistung Pm. Unter Einführung des mechanischen Wirkungsgrades ηm erhalten wir

⎡ 1 ⎤ P K12 = P12 ⎢ ⎥ ⎢⎣ ηm ⎥⎦

±1

⎡ 1 ⎤  tA ⎢ = my ⎥ ⎢⎣ ηt ηm ⎥⎦

±1

⎡ 1 ⎤  tA ⎢ = my ⎥ ⎢⎣ ηtK ⎥⎦

±1

+1:Pumpe;-1:Turbine (3.54a,b)

mit dem Kupplungswirkungsgrad der Maschine ηtK = ηtηm. $QZHQGXQJGHV(QHUJLHVDW]HVEHL6WU|PXQJVSUR]HVVHQ 3UD[LVKLQZHLV Zur sicheren Handhabung des Energiesatzes sind folgende Regeln empfehlenswert: − Skizze der Problemstellung mit Kontrollraum − Ein- und Austrittsflächen markieren und numerieren. Lage der Ein- und Austrittsflächen so wählen, daß möglichst viele Randbedingungen bekannt sind Standardrandbedingungen: große ruhende freie Oberfläche: Druck = Umgebungsdruck Geschwindigkeit = Null Austritt aus einer Öffnung (Ma ≤ 1): Druck = Umgebungsdruck − Energiesatz allgemeinaufschreiben, Form mit Drucktermen (Gl. (3.35b) bzw. (3.43b)) bevorzugen. Indizierung der Größen muß mit der Numerierung der Kontrollflächen korrespondieren. − Die vorliegenden speziellen Randbedingungen formulieren (dadurch wird der Energiesatz auf das individuelle Problem zugeschnitten). − Falls aufgrund der Anzahl der Unbekannten erforderlich, Kontinuitätsgleichung konsultieren. - Bei reibungsbehafteter Strömung passenden Ansatz für die Dissipationsenergiewählen. − Fluiddichte bestimmen. − Die gesuchte(n) Unbekannte(n) berechnen.

 %HLVSLHO Die in Bild 3.14a dargestellte wasserdurchströmte Anlage habe die folgenden Daten: p0 = 1 bar; p1 = 1,2 bar; tW = 12 °C; A1 >> A7; D3 = 0,2 m; D4 = D5 = D6 = D7 = 0,1 m; z1 = 10 m; z2 = z3 = z4 = z6 = z7 = 4 m; z5 = 7,5 m; z8 = 7 m. Es ist reibungsfreie Strömung anzunehmen.

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie

73

3.5.1 Welche reibungsfreie Austrittsgeschwindigkeit c7s stellt sich am Rohraustritt ein ? Wie groß sind  s und der Massenstrom m der Volumenstrom V s ? 3.5.2 Wie groß ist der Druck in Punkt P2 ? 3.5.3 Zu bestimmen sind die Geschwindigkeiten und Drücke in den Querschnitten 3; 4; 5; 6. 3.5.4 Welcher Volumenstrom V s/ stellt sich ein, wenn im Querschnitt 7 der Auslaufbehälter B2 angeflanscht wird ?  s// der ausströmt, wenn die Rohrleitung vor der Ebene 3 3.5.5 Zu ermitteln ist der Volumenstrom V abgeflanscht wird.

 s// / , wenn bei abgeflanschtem Rohr gemäß 3.5.5 der Deckel von 3.5.6 Wie hoch ist der Volumenstrom V Behälter B1 geöffnet wird ? /|VXQJ 3.5.1) Die Kontrollflächen in den relevanten Querschnitten sind in Bild 3.14 markiert. Stoffwerte: Tab. 11.3 : ρ(tW = 12 °C) = 999,45 kg/m3. Das Gesamtverhalten der Strömung wird von den Randbedingungen an den äußeren Kontrollflächen c und i bestimmt. Daher Ansatz des Energiesatzes von c Öi ρ ρ p1 + c12 + ρgz1 = p 7 + c27 s + ρgz7 2 2 Randbedingungen: Kontrollfläche c: p1 ist gegeben. Wie groß ist der Einfluß der Sinkgeschwindigkeit c1 des Flüssigkeitsspiegels ? Es gilt A1 >> A7. Annahme: A1 ≈ 10A7. Dann liefert die Kontinuitätsgleichung ρ 2 2 2 c 2 1 = ⎛⎜ A 7 ⎞⎟ = ⎛ 1 ⎞ = − 2 ⇒ Einfluß von c ist vernachlässigbar: c ≈ 0 10 ⎟ ⎜ 1 1 ρ 2 ⎝ A1 ⎠ ⎝ 10 ⎠ c7 s 2





3UD[LVKLQZHLV Wenn die freie Oberfläche groß gegenüber den anderen Querschnitten des Stromfadens ist, setzen wir deren Geschwindigkeit zu c ≈ 0.

Kontrollfläche i: p7 = p0. Damit sind alle Größen bis auf die Geschwindigkeit c7s gegeben, die jetzt durch die Energiegleichung berechenbar ist: c7 s =

[(

] = 2[(p − p ) + ρgh]

)

2 p1 − p 0 + ρg( z1 − z 7) ρ

1

0

ρ

⎡ ⎤ m kg ⋅ 9,81 (10 − 4 )m ⎥ 2⎢(1,2 − 1,0)⋅ 105 Pa + 999,45 3 2 s m ⎣ ⎦ = 12,56 m c7 s = kg s 999,45 m3 Volumenstrom Vs und Massenstrom m  s bei reibungsfreier Strömung (Index „s“): 2π

 s = c 7 s A 7 = c 7 s D7 V 4 ms = ρ Vs = 999,45



= 12,56

m (0,1m) 2 π m3 ⋅ = 0,09865 4 s s

3 kg ⋅ 0,09865 m = 98,60 s s m

kg

3

3UD[LVKLQZHLV Die Geschwindigkeiten werden stets durch die energetischen Verhältnisse bestimmt (→ Energiesatz); die Querschnittsflächen legen den damit erzeugten Volumenstrom fest (→ Kontinuitätsgleichung).

3 Grundlagen der Fluiddynamik

74

ρ 2 ρ c + ρgz1 = p 2 + c22 + ρgz2 2 1 2 Randbedingungen: c1 ≈ 0; c2 = 0 (ruhendes Fluid, keine Reibungseffekte) kg m p2 = p1 + ρg (z1 − z 2 ) = p1 + ρgh = 1,2 ⋅ 105 Pa + 999,45 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ (10 − 4)m = 1,788 ⋅ 105 Pa m s

3.5.2) Energiesatz c Öd (Punkt P2 in Kontrollfläche 2): p1 +



3UD[LVKLQZHLV Bei ruhenden Flüssigkeiten geht die Energiegleichung in die hydrostatische Grundgleichung Gl. (2.1) über. Vs = cs A

3.5.3) Kontinuitätsgleichung

c is =

 s 4V  V = 2s A i Di π

m3 m s = 3,140 m (D4 = D5 = D6 = D7) c 3s = c4 s = c5s = c 6s = c 7s = 12,56 2 s s (0,2 m) π ρ ρ Energiesatzc Öe: p1 + c12 + ρgz1 = p 3 + c23s + ρgz 3 Randbedingung: c1 ≈ 0 2 2 kg 999,45 2 kg ρ 2 m m3 (3,140 m ) p3 = p1 + ρg (z1 − z3) − c3s = 1,2 ⋅ 105 Pa + 999,45 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ (10 − 4) m − 2 2 s s m 4 ⋅ 0,09865

p3 = 1,739 ⋅ 105 Pa Energiesatz f Ö i (oder c Ö f oder e Ö f) Randbedingungen: c4s = c7s und z4 = z7 ρ 2 2 p 4 = p 7 + c7s − c 4s + ρg(z7 − z4) = p 7 = 1,0 ⋅ 105 Pa 2 ρ Energiesatz c Ö g (oder e Ö g usw.) p5 = p1 + ρg(z1 − z5) − c52s = 0,6568 ⋅ 105 Pa 2

(

)

Energiesatz h Ö i (oder c Ö h usw.) s. Berechnung p4 p 6 = p 7 = 1,0 ⋅ 105 Pa 3.5.4) Energiesatz von c Ö i (Energiesatz von c Ö j liefert hier keine Lösung, da die gesuchte Geschwindigkeit in diesen Kontrollflächen nicht erscheint.) ρ ρ Randbedingungen: c1 ≈ 0; p 7 = p 0 + ρg( z8 − z7 ) p1 + c12 + ρgz1 = p 7 + c27 s + ρgz7 2 2

c7s =

[

]=

2 (p1 − p0 )+ ρg (z1 − z8) ρ  s/ = c7 s A 7 = 9,944 V

3.5.5) Energiesatz c Ö e

c3s =

[

π m ⋅ (0,1m) 2 = 0,07810 s 4 ρ 2 p1 + c1 + ρgz1 = p 3 + 2

]=

2 (p1 − p0 )+ ρg (z1 − z3) ρ

⎡ ⎤ m kg ⋅ 9,81 ⋅ (10 − 7) m ⎥ 2 ⎢(1,2 −1,0) ⋅ 105 + 999,45 3 2 s m ⎣ ⎦ = 9,944 m kg s 999,45 3 m m3 < Vs s ρ 2 c + ρgz 3 Randbedingungen: c1 ≈ 0; p3 = p0 2 3s

⎡ ⎤ m kg ⋅ 9,81 ⋅ (10 − 4) m ⎥ 2 ⎢(1,2 −1,0) ⋅ 105 Pa + 999,45 3 2 s m ⎣ ⎦ = 12,56 m kg s 999,45 3 m

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie

75

m π m3 da c3s = c7s gemäß 3.5.1 aber A3 > A7. ⋅ (0,2 m) 2 = 0,3946 > Vs s 4 s 3.5.6) Energiesatz c Ö e Randbedingungen: p1 = p0; c1 ≈ 0; p3 = p0  s// = c3s A 3 = 12,56 V

c 3s = 2g( z1 − z 3) = 2gh = 2 ⋅ 9,81

m 2

s

⋅ (10 − 4) m = 10,85

m s

3UD[LVKLQZHLV Die vorstehende Gleichung ist die Torricellische Ausflußformel. Sie besagt, daß bei reibungsfreier stationärer inkompressibler Strömung die Ausflußgeschwindigkeit aus einer Behälteröffnung nur von der Höhendifferenz zwischen freier Oberfläche und Ausflußöffnung abhängt. Weder die Ausflußrichtung (horizontal, senkrecht, beliebig) noch die Fluiddichte beeinflussen das Ergebnis. Der Ablauf eines Strömungsvorganges in einem gegebenen Kontrollraum wird von den Bedingungen an den Ein- und Austrittsflächen (→ Randbedingungen) geprägt, die daher bei der Entwicklung einer Lösung gedanklich primär zu beachten sind.  s// / = c 3s A 3 = 10,85 V

π m m3  s// ⋅ (0,2 m) 2 = 0,3409 < V 4 s s

%HLVSLHO Die Düse einer Wasserfontäne weist die Durchmesser D1 = 8 cm und D2 = 2 cm auf. 3.6.1 Welcher Wasservolumenstrom V muß gefördert werden, damit die Steighöhe der Fontäne 100 m erreicht (tW = 25 °C, keine Luftreibung). 3.6.2 Welcher Druck p1s herrscht am Düseneintritt (∆z12 = z2 - z1 = 0,5 m; Düse reibungsfrei) ? 3.6.3 Welche Steighöhe stellt sich bei halbiertem Durchfluß ein ? /|VXQJ3.6.1) Stoffwert: Tab. 11.3: ρ(tW = 25 °C) = 997,0 kg/m3 (linear interpoliert) ρ ρ Randbed.: p2 = p3 = p0; c3 = 0 Energiesatz d Ö e: p2 + c22s + ρgz2 = p3 + c23 + ρgz3 2 2 m s

2 3  = c A = 44,29 m (0,02 m) π = 0,01391 m V 2s 2 4 s s ρ 2 ρ 3.6.2) Energiesatz c Ö d p1s + c1 + ρgz1 = p2 + c22 + ρgz2 2 2 Randbedingung: p2 = p0 ; (c2 = c2s) 2 ρ ⎡ ⎛c ⎞ ⎤ 2 Unbekannte: p1s und c1 p1s = p 0 + c 22 ⎢1 − ⎜ 1 ⎟ ⎥ + ρg(z 2 − z1) 2 ⎢ ⎝ c2 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

→ Kontinuitätsgleichung p1s = p 0 +

c1 A 2 ⎛ D2 ⎞ = =⎜ ⎟ c2 A1 ⎝ D1 ⎠

4 ρ 2 ⎡⎢ ⎛ D2 ⎞ ⎤⎥ c 2 1 − ⎜ ⎟ + ρg(z2 − z1) 2 ⎢ ⎝ D1 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

3

3 z3

⋅ 100m = 44,29

p0 = 1 bar 2

2 z2

m s2

2

1

1 z1

c2 s = 2g(z3 − z2 ) = 2 ⋅ 9,81

3 Grundlagen der Fluiddynamik

76

p1s = 105 Pa + 3.6.3) c2/ =

 V 2 A2

p2 +

=

kg

4⎤ 2⎡ m3 ⋅ (44,29 m ) ⎢1 − ⎛ 0,02 m ⎞ ⎥ + 997 kg ⋅ 9,81 m ⋅ 0,5 m = 10,79 ⋅ 105 Pa ⎟ ⎜ 2 s ⎢ ⎝ 0,08 m ⎠ ⎥ m3 s2 ⎦ ⎣

997

m c2 Energiesatz d Ö e; Randbedingungen: p2 = p3 = p0; c3 = 0 = 22,15 2 s 2

ρ /2 ρ 2 / c + ρgz2 = p 3 + c3 + ρg z3s 2 2 2 p0 = 1 bar

2

Da

1

/ / ∆z23 − s = z3s − z2 =

c2/ = 25,01 m 2g

4

%HLVSLHO Mit der dargestellten horizontalen WasserVS c2F strahlpumpe soll der Volumenstrom c2s =120 l/h einer Flüssigkeit mit der Dichte VF 3 ρF = 850 kg/m abgesaugt werden. Das 1 2 4 Treibwasser (tW = 16 °C) tritt in der h=2m VF D1 = D4 = 6 cm Austrittsfläche f in die Umgebung aus. 3 3 D2 = 2 cm Welcher Treibwasservolumenstrom Vs ist ρF Saugrohr Da = 1 cm bei reibungsfreier Strömung erforderlich ? Di = 0,8 cm Annahme: Vs 4 ≈ Vs1 ≈ V s /|VXQJ Stoffwerte: Tab. 10.3: ρ(tW = 16° C) = 998,9 kg/m3. Dieses System besteht aus zwei Stromfäden und hat 4 Kontrollflächen. Bei der sukzessiven Durchrechnung ist zu beachten, daß jeweils mindestens drei Größen auf den beiden konsultierten Kontrollflächen bekannt sein müssen, wenn das Gleichungssystem Energiesatz/Kontinuitätsgleichung lösbar sein soll. Dies ist zunächst nur der Fall für die Kontrollräume c Ö f bzw. e Ö d. Wir beginnen daher mit dem Energiesatz c Ö f ρ ρ Randbedingungen: p4 = p0; z1 = z4; c1s ≈ c4s p1s + c12s + ρgz1 = p 4 + c 24s + ρgz4 2 2 (da D1 = D4 und Vs1 ≈ V s4 . Ohne vorstehende Annahme ist das Problem nur iterativ lösbar.) p1s = p4 = p0 = 105 Pa (bei reibungsfreier Strömung) ρ ρ Randbedingungen: p3 = p0; Energiesatz e Ö d: p 3 + F c23F + ρFgz3 = p 2s + F c22 F + ρFgz2 2 2 VF = 4 VF c3F ≈ 0; 2 Restunbekannte: → Kontinuitätsgleichung anwenden: c2 F = A 2 F Di2 π h

ρ

p 2s = p0 + ρF g (z3 − z2 ) −

p 2s = 105 Pa + 850 Energiesatz c Ö d :

kg m3

p1s +

F⎞ ρF ⎛⎜ 4 V ⎟ 2 ⎜ 2 ⎝ Di π ⎟⎠

⋅ 9,81

m s2

2

850 ⋅ (−2m) −

kg

m3 2

ρ 2 ρ c + ρgz1 = p 2s + c22 s + ρgz2 2 1s 2

2 Restunbekannte → Kontinuitätsgleichung

2

⎛ ⎞ 4 ⋅ 0,120 m3 ⎜ ⎟ = 0,8304 ⋅ 105 Pa ⎜ π⋅3600 s ⋅(0,008 m)2 ⎟ ⎝ ⎠ Randbedingung: z1 = z2

D2 c 2 s A1 = = 2 1 2 c1s A 2 D2 − D a

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Fadenströmung

c1s =

(

)

2 p 2s − p1s

2⎤

⎡ ⎛ ⎞ c ρ⎢1 − ⎜ 2 s ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ c1s ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

c1s = 0,4873

m s

=

(

)

2 p 2s − p1s

⎡ ⎛ D2 ⎞ ρ⎢1 − ⎜ 2 1 2 ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ D 2 − Da ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2⎤

77

=

 s = c1s A1 = 0,4873 V

2 ⋅(0,8304 −1,0) ⋅ 10 5 Pa 2 ⎡ ⎞ ⎤ kg ⎢ ⎛ (0,06 m) 2 ⎟⎟ ⎥ 998,9 3 1 − ⎜⎜ m ⎢ ⎝ (0,02 m) 2 − (0,01 m) 2 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

π m m3 ⋅ (0,06m) 2 = 0,001378 4 s s

∅D

%HLVSLHO p0 Im Rotor einer freiumströmten ideap0 ρ len reibungsfreien Windturbine wird c2 dem mit der Geschwindigkeit c1 c1 c3 anströmenden Wind durch VerzögeD = 60 m rung kinetische Energie entzogen. FKx p0 3.8.1 Welche Leistung PW wird vom kg ρ =1,2 3 Wind transportiert? y m 3.8.2 Welcher maximale Anteil der α 1 A m 2 M 3 Windleistung PW kann in einer c1 =12 x idealen Windturbine entzogen s werden? Wie stark muß dabei c1 verzögert werden? (Annahme: Die Geschwindigkeiten c1, c2, c3 sind parallel zur Maschinenachse; c2 = (c1 + c3)/2.) 3.8.3 Die bei den gegebenen Daten maximal auf den Rotor einer Idealturbine übertragbare Leistung PTurb ist zu bestimmen. /|VXQJ3.8.1)In einer gedachten zylindrischen Stromröhre vom Durchmesser D (A1 = A2; c1 = c2) transportiert der Wind pro Zeiteinheit dt den kinetischen Energiestrom E kin = P W = dm ⋅ (ρ / 2) ⋅ c12 / dt über

 und der Kontinuitätsgleichung m = ρc1 A2 folgt daraus die Winddie Kontrollfläche A1. Mit dm/dt = m leistung ρ 3 Ekin = P W = c1 A 2 2 3.8.2) Beim Einsatz einer Windturbine wird der Windströmung durch Verzögerung die Leistung ∆E kin13 entzogen und vom Rotor als Turbinenleistung PTurb abgeführt m 2 2 ∆E kin13 = PTurb = (c3 − c1 ) 2 Setzen wir für den Massenstrom m = ρc2 A 2 = ρA2 (c1 + c3) / 2 ein, ergibt sich PTurb =

2 ρ ρ 1⎛ c ⎞⎛ c ⎞ c1 + c3 2 2 (c3 − c1 ) = − A 2 c13 ⋅ ⎜⎜1 + 3 ⎟⎟⎜1 − 3 ⎟ A2 2 2 2 2⎝ c1 ⎠⎜⎝ c12 ⎟⎠ PW

cP

Gemäß üblicher Vorzeichenkonvention ist die dem Fluid entzogene Windleistung negativ zu zählen. cP ist der Leistungsbeiwert (→ Wirkungsgrad) der idealen Windturbine. Er hängt vom Verzögerungsverhältnis c3/c1 ab. Für c3 = c1 (keine Verzögerung) oder c3 = 0 (kein Massentransport durch Ebene 3) wird keine Leistung entzogen. Den maximalen Leistungsentzug liefert die Extremwertuntersuchung 1 ⎡ ⎛ c2 ⎞ ⎛ c ⎞⎤ c ⎞⎛ dcP = ⎢1⎜1 − 3 ⎟ + ⎜⎜1 + 3 ⎟⎟⎜⎜ − 2 3 ⎟⎟⎥ = 0 d (c3 / c1) 2 ⎢ ⎜⎝ c12 ⎟⎠ ⎝ c1 ⎠⎥⎦ c1 ⎠⎝ ⎣

3 Grundlagen der Fluiddynamik

78 2

2

⎛ c3 ⎞ 2 ⎛ c3 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − = 0 ⎝ c1 ⎠ 3 ⎝ c1 ⎠ 3

⎛ c3 ⎞ 2 ⎛2⎞ 1 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = − + ⎜ ⎟ + = 6 ⎝6⎠ 3 3 ⎝ c1 ⎠opt

→

Durch Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung für cP folgt der maximale Leistungsbeiwert

cP −max =

2 1 ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ 16 = 0,593 ⎜1 + ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 2 ⎝ 3 ⎠ ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ 27

Eine ideale Windturbine kann maximal 59,3 % der Windleistung entziehen, wenn die Windgeschwindigkeit c1 auf 1/3 ihres Wertes verzögert wird. 3

PTurb −max = cP −max P W = −

3.8.3)

π 16 ρ 3 2 π 16 1,2 kg ⎛ m ⎞ =− ⎜12 ⎟ (60m)2 = − 1,737 ⋅106 W c1 D 3 4 27 2 4 27 2 m ⎝ s ⎠

,PSXOVVDW] Zur Bestimmung der bei Strömungsvorgängen auftretenden Kräfte benötigen wir den Impulssatz, zu dessen Herleitung wir auf das Newtonsche Grundgesetz der Dynamik zurückgreifen: & & & & dc d ( mc) = (3.55a,b,c) ∑ F = ma = m dt dt & & & Die Größe mc in obiger Gleichung wird als Impuls I = mc bezeichnet. Der Impuls ist ein Vektor. Gl. (3.55a) läßt sich damit auch in der Form des Impulssatzes für einen Massenpunkt schreiben, d.h. die Summe aller Kräfte auf die Masse m bewirkt eine zeitliche Änderung ihres Impulses gemäß nachstehender Gleichung: & & dI ∑F = dt

(3.56)

Um zu einer für Strömungsvorgänge nutzbaren Form des Impulssatzes zu gelangen, betrachten wir in Bild 3.16 eine stationäre Fadenströmung beim Durchströmen eines raumfesten Kontrollraums. Im betrachteten Zeitintervall dt wird das Massenelement dm1 mit dem Impuls 2 dm1

1

2 A2

I II

1

I

c2 dI2

II

dm2

c1

2

dI1

I0

1

t = t1

2 I0

A1

Stromröhre (AM) 1

t = t2 = t1 + dt

%LOG

Ableitung des Impulssatzes für einen raumfesten Kontroll raum

& & dI 1 = dm1 c1 vom Kontrollraum aufgenommen; gleichzeitig wird aber das Massenelement dm2 & & mit dem Impuls dI 2 = dm2 c 2 abgegeben. Die Impulsänderung des Gesamtsystems (Masse im Kontrollraum plus Massenelement dm1 bzw. dm2 ) ergibt sich zu & & & & & & & dI = I ( t 2) − I ( t1) = I 0 + dI 2 − ( I 0 + dI 1) (3.57)

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Fadenströmung

79

& dabei ist I 0 der Gesamtimpuls aller Massenelemente im Kontrollraum. In den Raumpunkten I und II befinden sich zur Zeit t1 bzw. t2 zwar verschiedene Massenelemente dm, deren Ge& schwindigkeiten - und damit auch deren Impulse dI - sind bei stationärer Strömung in den einzelnen Raumpunkten jedoch konstant. Dies gilt für alle Raumpunkte, und damit bleibt auch & der Gesamtimpuls I 0 zeitlich unverändert. Gl. (3.57) liefert daher unter Berücksichtigung der Kontinuitätsbedingung dm1 = dm2 = dm die zeitliche Impulsänderung des betrachteten Systems & & & dI dI 2 − dI 1 dm & &  ( c& 2 − c&1) ( c 2 − c1) = m = = dt dt dt

(3.58)

& & Wir führen den Begriff des Impulsstroms I = d I / dt ein & & & I = m c [ I ] = N

(3.59)

und formulieren damit den Impulssatz für stationäre Fadenströmungen & & &  ( c& 2 − c& 1) = ∑ F I 2 − I 1 = m

(3.60)

Austretender Impulsstrom minus eintretender Impulsstrom gleich Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Kräfte. Die Summe aller auf das Fluid im raumfesten, einfach zusammenhängenden Kontrollraum wirkenden Kräfte wollen wir anhand von Bild 3.17 analysieren:  %LOG Analyse der Kräfte D Kräfte bei freier oder körpergebundener Stromröhre AM. E Kräfte bei körpergebundener Stromröhre AM, die von außen mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird. Die dadurch entstehende Druckkraft Fa auf die Außenseite der Stromröhre wird bei der Ermittlung von FK berücksichtigt.

2

2 1 A1 Fp1

F

AM dFKS

FS

FG

p2

1 A2

dFKi

F∆p1

AM dFKS FS

dFW dAM

2

F ∆p

pa dFKi

FG y

D

α

x

E

Fa FK

dFW FH

F p1; F p2

Von außen auf die massedurchströmten Ein- und Austrittsflächen (A1, A2) des Kontroll-

F∆p1; F ∆p2

raums ausgeübte Druckkräfte. Bei Kontrollräumen gemäß Bild 3.17a gebildet mit den Absolutdrücken Fpi = pi A i . Bei Kontrollräumen gemäß Bild 3.17b gebildet mit den Differenzdrücken zum Außendruck F∆pi = ( pi − pa ) A i .

FG

& FW

Auf das Fluid im Kontrollraum ausgeübte Massenkraft (→ Gewichtskraft des Fluids im Kontrollraum). Von der Stromröhre AM auf das Fluid ausgeübte Kraft. Sie setzt sich aus Druckkräften (gebildet mit den Absolutdrücken) und Reibungskräften zusammen.

80

3 Grundlagen der Fluiddynamik

FS

Stützkraft, die von einem festen Körper innerhalb der Stromröhre auf das Fluid ausgeübt wird. Körperkräfte sind Reaktionskräfte des Fluids von innen auf die Stromröhre

FK

( F Ki ) bzw. die Einbauten (Körper) innerhalb der Stromröhre ( F K S ). Es gilt Fa

FH

F Ki = − FW ; F KS = − FS F K = F Ki + F KS Wird die Stromröhre durch einen festen Körper gebildet (körpergebundene Stromröhre,

Bild 3.17b), der von außen mit dem Außendruck pa beaufschlagt ist, so stellt Fa die äußere Druckkraft des Außendrucks auf die Stromröhre (AM) dar. Sie ist verschieden von Null, da sie nur auf der Mantelfläche und damit nicht auf der gesamten Oberfläche des Kontrollraums wirkt. Haltekraft, mit der eine körpergebundene Stromröhre von außen gehalten werden muß. Dabei werden sowohl die Stützkräfte eventueller Einbauten als auch die Wirkung des Außendrucks pa berücksichtigt. Es gilt F H = − F K . F K stellt in diesem Fall die resultierende Körperkraft des Fluids unter Berücksichtigung des Außendrucks dar (Bild 3.17b).

Unter Beachtung obiger Teilkräfte erhält der Impulsssatz Gl. (3.60) die folgende Form & & & & & & & &  ( c& 2 − c&1) = ∑ F = Fp1 + Fp 2 + FW + FS + FG (3.61) I 2 − I 1 = m Technisch interessant sind zur Kraftermittlung im wesentlichen - je nach Art des Kontrollraums - drei Klassen von Anwendungsfällen: I) Stromröhre AM ist freie Kontrollfläche gemäß Bild 3.17a. Gesucht ist die Reaktionskraft & F KS auf einen umströmten Körper der sich innerhalb der Stromröhre befindet oder Teil der Stromröhre ist. Aus Gl. (3.61) folgt dann & & & & & & &  ( c& 2 − c&1) + Fp1 + F p 2 + FW + FG (3.62a) FK = F KS = − FS = − m & Die Stromröhrenoberfläche ist so zu wählen, daß die dort wirkende Kraft FW leicht bestimmbar ist oder verschwindet. Herrscht auf der Stromröhre und in den Ein- und Austrittsflächen konstanter Druck (z. B. Freistrahl), so gilt & & & Fp1 + Fp 2 + FW = 0. II) Stromröhre AM ist ganz oder teilweise körpergebundene Kontrollfläche gemäß Bild 3.17a. Gesucht ist die Reaktionskraft des Fluids auf die Innenseite des körpergebundenen Teils der Stromröhre und auf die Einbauten (falls vorhanden): & & & & & & & &  ( c& 2 − c&1) + Fp1 + Fp 2 + FG (3.62b) FK = F Ki + FKS = −( FW + FS) = − m III) Stromröhre AM ist ganz oder teilweise körpergebundene Kontrollfläche, die vom Außendruck pa beaufschlagt wird (Bild 3.17b). Gesucht ist die resultierende Reaktionskraft & & FK auf Stromröhre und Einbauten unter Berücksichtigung der Außendruckkraft Fa : & & & & & & & & & &  ( c& 2 − c&1) + F∆p1 + F∆p 2 + FG (3.62c) FK = F Ki + FKS + Fa = − ( FW + FS − Fa ) = − m & Hierbei sind die Beträge der Druckkräfte F∆pi in den Ein- und Austrittsflächen mit den Differenzdrücken zum Außendruck pa zu bilden

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Fadenströmung

81

& & F∆pi = ( p i − pa ) A i da dadurch die Wirkung des Außendrucks auf die Stromröhre erfaßt wird. Für die Hal& & tekraft gilt: FH = − FK . Die Gl. (3.61) und (3.62) sind Vektorgleichungen. Die jeweils gesuchte Größe kann graphisch mittels Krafteck bestimmt werden. Für eine analytische Lösung der Gl. (3.62) sind die Komponenten der Körperkraft zu bestimmen, also Fkx und Fky bei einem ebenen Problem. Der Impulssatz ist allgemeingültig, er erfaßt auch Reibungseinflüsse, wenn die Größen in den Ein- und Austrittsebenen korrekt vorgegeben werden. Druckverluste in Strömungsrichtung und die reibungsbedingte Entstehung von Geschwindigkeitsprofilen sind dann zu berücksichtigen. Bei der hier beschriebenen Stromfadentheorie ist letzteres zunächst nicht möglich, da innerhalb der Querschnitte konstante Zustandsgrößen vorausgesetzt sind. In Kap. 3.4 werden jedoch Möglichkeiten zur Erfassung von beliebigen Verteilungen innerhalb der Strömungsquerschnitte aufgezeigt. Der Impulssatz ist auch auf Kontrollräume mit mehreren Ein- bzw. Austrittsflächen anwendbar. Anwendungsfall III Gl. (3.62c) z. B. geht dann über in die Form m ⎡n & & &  i ci)Austritt − ∑ m  jc j FK = − ⎢ ∑ ( m j=1 ⎣i=1

(

⎤ n + m& & + ∑ F∆pk + FG E int ritt ⎥ ⎦ k =1

)

(3.63)

wobei n die Anzahl der Austrittsflächen und m die Anzahl der Eintrittsflächen darstellt. Bei den anderen Anwendungsfällen sind dann analog jeweils die Summen der ein- bzw. austre& tenden Impulsströme sowie die Summe aller Druckkräfte Fpk auf die Ein- und Austrittsflächen einzuführen. 3UD[LVKLQZHLV Der Impulssatz gestattet durch übersichtliche Kräftebilanzen an den massedurchströmten Kontrollflächen (Ein- bzw. Austrittsflächen) des Kontrollraums die Berechnung der Kraftwirkungen komplexer Strömungsvorgänge, ohne daß die Verhältnisse innerhalb des Kontrollraums berücksichtigt werden müssen. Die nachstehenden Regeln sollen die systematische Anwendung erleichtern. 0HUNUHJHOQ]XU$QZHQGXQJGHV,PSXOVVDW]HV & Anwendungsfall: Ermittlung der Körperkraft FK bei einer körpergebundenen Stromröhre unter Berücksichtigung der Wirkung des Außendruckes pa (entsprechend Gl. 3.62c und Bild 3.17b). Andere Anwendungsfälle sinngemäß. 1. Skizze der Problemstellung mit strichpunktiert eingezeichnetem Kontrollraum; Ein- und Austrittsflächen (c, d) kennzeichnen. 2. Koordinatensystem mit positiven x- und y-Richtungen festlegen; Zählrichtung des Winkels α mathematisch positiv definieren. & & & 3. Geschwindigkeiten ci , Druckkräfte F ∆pi (bzw. Fpi

αp 2

2 F∆p2

FK

c2

α2

I2

FH

2 1

αG

FG

c1

F∆p1

I1

α1

pa 1 y

α x

3 Grundlagen der Fluiddynamik

82

& & bei Anordnungen gemäß Bild 3.17a), Impulsströme I i und Gewichtskraft FG als Vektoren qualitativ richtig einskizzieren. 4. Geschwindigkeiten, Drücke, Dichten und Massenströme in den Ein- und Austrittsflächen des Kontrollraums berechnen. Hierzu Kontinuitäts-, Energie- und thermische Zustands gleichung verwenden. 5. Ermittlung der Beträge für - Impulsströme I i = mc  i - Druckkräfte F∆pi = (pi -pa)Ai (bzw. Fpi = piAi gemäß Bild 3.17a) - Gewichtskraft FG = VKontrollraum ⋅ ρFluid ⋅ g 6. Graphische Lösung der Gl. (3.62) mittels Krafteck. Dazu passenden Maßstab wählen, Pfeilfolge und Winkellage der Vektoren beachten (s. Pos. 3): & & & & & & F H F K = ( − I 2 + F∆p 2) + ( I 1 + F ∆p1) + FG Anmerkung: Die Komponenten der rechten Gleichungsseite haben denselben Umlaufsinn. Die Resultierende (linke Gleichungsseite) hat einen entgegengesetzten Umlaufsinn. Bem.: Nebenstehendes Krafteck entspricht Beispiel 3.8. Dort ist F∆p2 < 0, da p2 < pa. Daher hat F∆p2 eine andere Richtung als in der Ausgangsskizze.

FG

F

K

αK

F∆P1 . I1

. - I2

FK ~ 2600 N αK ~ ~ 151°

F∆P2

7. Rechnerische Lösung. Berechnung der Komponenten FKx = FKcosα; FKy = FKsinα gemäß Gl. (3.62c) (bzw. entsprechend den anderen Anwendungsfällen.)  (c2 cos α 2 − c1 cos α1)] + F∆p1 cos α1 + F∆p 2 cos α p 2 + FG cos α G FKx = −[m

 (c2 sin α 2 − c1 sin α1)] + F∆p1 sin α1 + F∆p 2 sin α p 2 + FG sin α G FKy = −[m Betrag und Richtung der Körperkraft ⎛ FKy ⎞ FK = F2Kx + F2Ky ⎟ α K = arctan⎜ ⎝ FKx ⎠

(3.64a,b) (3.65a,b)

Bei der Berechnung von αK ist der richtige Quadrant zu beachten (Einheitskreis), da der Taschenrechner üblicherweise nur Werte -90 ° ≤ αK ≤ 90 ° liefert. αp2 F∆P2

c2 α2

2

pa αG FG

y

AM 1

1

α1 α

F∆P1 x

c1

. I1

z2-z1

2

. I2

 %HLVSLHO Der dargestellte in ein Rohrleitungssystem eingebundene Krümmer mit Leitblechen weist die folgenden Daten auf. Durchmesser D1 = 300 mm; D2 = 200 mm; Höhen z2 - z1 = 400 mm; Winkel α1 = 90 °; α2 = 45 °. Innenvolumen des Krümmers VKontrollraum = 24  = 0,35 m3/s Wasser dm3. Der Krümmer wird von V (tW =12 °C) reibungsfrei durchströmt. Der Druck in der Eintrittsebene beträgt p1 = 1,3 bar. Außendruck pa = 1 bar. 3.9.1 Welche Körperkraft FK wird, unter Berücksichtigung des Außendruckes pa, auf den Krümmer mit Einbauten ausgeübt? Graphische und rechnerische Lösung.

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Fadenströmung

83

3.9.2 Welche Haltekraft FH muß von den Flanschen der Nachbarleitungen aufgebracht werden ? & 3.9.3 Welche Körperkräfte F/K werden vom Fluid auf die Einbauten und die innere Krümmerwand ausgeübt ? /|VXQJ 3.9.1) Es liegt Anwendungsfall III (Gl. 3.62c) vor. Berechnung der Größen auf den Ein- und Austrittsflächen. Tab.11.3: ρ(tW = 12 °C) = 999,45 m3/kg m3 s = 11,14 m = c2 = 2 s A 2 ( 0 ,2 m ) π

m3 s = 4,951 m = c1 = 2 s A1 ( 0,3 m) π  V

4 ⋅ 0,35

Energiesatz (reibungsfrei) c → d p1 + p 2s = p1 +

 V

4 ⋅ 0,35

ρ 2 ρ c + ρgz1 = p 2s + c22 + ρgz2 2 1 2

ρ 2 2 5 c − c2 + ρg( z1 − z 2) = 0,7631 ⋅ 10 Pa 2 1

(

)

m3 = 349,8 kg ⋅ 0 , 35 s s m3 m kg ⋅ 4,951 = 1731,9 N I1 = m c1 = 349,8 s s m = ρV = 999,45

kg

F ∆p1 = ( p1 − p a ) A1 = (1,3 − 1,0) ⋅ 105 Pa ⋅

I 2 = m c 2 = 349,8

kg m ⋅ 11,14 = 3896,8 N s s

(0,3 m) 2 π = 2120,6 N 4

(0,2 m) 2 π = −744,2 N 4 Das Minuszeichen besagt, daß die Kraftrichtung von F∆p2 gegenüber der Skizze umgekehrt ist. m kg FG = ρ V Kontrollraum g = 999,45 3 ⋅ 0,024 m3 ⋅ 9,81 2 = 235,3 N m s & & & & & & Graphische Lösung Gl. (3.62c): FK = −( I 2 + F∆p 2) + ( I 1 + F∆p1) + FG . Das Krafteck entspricht der F∆p2 = ( p2 s − p a ) A 2 = (0,7631 − 1,0) ⋅ 105 Pa ⋅

Skizze bei den vorstehenden Merkregeln. & Ergebnis: FK ≈ 2600 N; αK ≈ 151 °. Umlaufsinn von FK entgegen den anderen Kräften. Analytische Lösung : Gl. (3.64a): → Fkx Gl.(3.64b): → FKy F Kx = −[m(c 2 cos α − c1 cos α1)] + F ∆p1 cos α1 + F ∆p 2 cos α p2 + FG cos α G

FKx = {− [349,8 ⋅ (11,14 ⋅ cos 45° − 4,951 ⋅ cos 90°)]+ 2120,6 ⋅ cos 90° + (−744,6 ⋅ cos 225°) + + 235,3 ⋅ cos270°}N = -2228,9 N

FKy = {− [349,8 ⋅ (11,14 ⋅ sin 45° − 4,951 ⋅ sin 90°)]+ 2120,6 ⋅ sin 90° + (−744,6 ⋅ sin 225°) + + 235,3 ⋅ sin270°}N = 1388,2 N

Gl. (3.65a): FK = F2Kx + F2Ky = (−2228,9)2 + 1388,22 N = 2625,9 N

FKy 1388,2 N = arctan = 148,08 ° - 2228,9 N FKx & & Achtung: arctan(>0/ 1) stets größer als derjenige des Turboluftstrahltriebwerks.

3 Grundlagen der Fluiddynamik

88

 'UDOOVDW] Zur Ermittlung von Drehmomenten, die durch Strömungsvorgänge erzeugt werden, verwenden wir den Drallsatz. Der Drall - auch Drehimpuls oder Impulsmoment genannt - ist durch die Gleichung & & & & & L = m( r x c ) = r x I (3.73a,b)

definiert, wobei in dieser Darstellung die Masse m vereinfacht punktförmig angenommen sei & und r den Ortsvektor vom Massenpunkt m zu einem Bezugspunkt 0 darstellt. In Analogie zum Impulssatz Gl.(3.56) lautet die Aussage des Drallsatzes & & dL (3.74) = ∑M dt dh. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente erzeugt eine zeitliche Änderung ihres Dralls. Bei Fluidströmungen wenden wir analog zum Impulssatz auch den Drallsatz auf einen Kontrollraum an und erhalten entsprechend Gl. (3.60) unter Einführung des Drallstroms & & L = dL / dt den Drallsatz der Fluidmechanik Gl.(3.75b):

& & &  (r x c ) L = m

& & &  ( &r 2 x c& 2 − &r 1 x c&1) = ∑ M 2−L 1 = m L

(3.75a,b)

Austretender Drallstrom minus eintretender Drallstrom gleich Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Momente (bezogen auf den gemeinsamen Bezugspunkt). Der Drallsatz quantifiziert die Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt. Die Summe aller Momente & & & & & & (3.76) ∑ M = MA1 + MA 2 + M W + MS + MG & umfaßt das Moment M G durch die Gewichtskräfte FG, sowie die durch Druck- (Fp1, Fp2) und Reibungskräfte hervorgerufenen Momente in den Ein- und Austrittsflächen des Kontrollraums & & ( M A1 , M A 2 ). Weiterhin die Momente an der Innenseite der Fp2 & cn2 2 Stromröhre ( M W , Moment der cu2 Wandkräfte FW) und an der FS F . m

W

MK

1 cn1

%LOG

2 FS 1

Fp1 cu1

r1

0 Ebene normal zur Achse durch Bezugspunkt 0

r2

M

Anwendung des Drallsatzes auf ei durchnen vom Massenstrom m strömten feststehenden Schaufelkanal. cn: Projektion der Geschwindigkeit in die dargestellte Ebene. cu: Umfangskomponente, senkrecht auf dem Radius r. FS: Schaufelkräfte; FW: Reibungskräfte Deckscheibe; Fp: Druckkräfte (erzeugen hier kein Moment).

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Fadenströmung

89

&

Oberfläche von Einbauten ( M S , Moment der Stützkräfte FS). In der Praxis interessieren Drehmomente um eine Bezugsachse durch den Bezugspunkt 0. Beiträge hierzu werden nur von den Geschwindigkeitskomponenten geleistet, die in einer Ebene normal zur Bezugsachse liegen und senkrecht auf dem Radius r zur Bezugsachse stehen. Diese Geschwindigkeitskomponenten wollen wir als Umfangskomponeten cu bezeichnen. Vernachlässigen wir fortan das Moment MG sowie die Momente MA1 und MA2 (letzteres läßt sich bei reibungsfreier Strömung und geschickter Wahl der Ein- und Austrittsfläche stets erreichen), so geht die Vektorgleichung (3.75b) über in die skalare Berechnungsgleichung für das auf das Fluid ausgeübte resultierende Moment M zur genannten Bezugsachse (Bild 3.18).

 ( r 2 c u 2 − r1 c u1) M = M W + MS = m

(3.77)

Das Reaktionsmoment MK des Fluids auf die körpergebundenen Flächen der Stromröhre und der Einbauten ergibt sich zu MK = -M. 5HLEXQJVIUHLH 6WU|PXQJ RKQH (LQEDXWHQ RKQH 6WW]NUlIWH  In diesem Fall wird M = 0 und Gl. (3.77) liefert

r 2 c u 2 = r1 c u1

c u 2 = c u1

r1 r2

(3.78a,b)

Dies ist die Gleichung des Potentialwirbels. Sie beschreibt die Strömung in unbeschaufelten Ringräumen, Behältern und Kanälen. Gl. (3.78b) stellt bei einer drehenden Bewegung von Fluidelementen um eine definierte Achse die Änderung der Umfangskomponente (Tangentialgeschwindigkeit) bei Variation des Abstandes zur Drehachse dar. 3UD[LVKLQZHLVGl. (3.78b) ist die Ursache für die Ausbildung von Strudeln, z. B. am Ausfluß einer Badewanne. Die von den hohen Umfangskomponenten im Bereich des Wirbelkerns erzeugten Fliehkräfte führen zur Ausbildung einer Grenzfläche, es entsteht ein Lufttrichter. Zum schnellen Entleeren einer Flasche versetze man die Flüssigkeit in der Flasche (Öffnung nach unten) in Drehbewegung. Beim Ausfluß bildet sich dann im Bereich des Flaschenhalses ein Lufttrichter, der einen kontinuierlichen Ausfluß bewirkt. Schwach rotierende Strömungen in Behältern sind gegebenenfalls durch Leitbleche zu unterbinden, damit bei Verringerung des Durchmessers in Strömungsrichtung keine Strudelbewegungen entstehen. $QZHQGXQJ LQ 6WU|PXQJVPDVFKLQHQ Bild 3.19a zeigt im Meridianschnitt das diagonal durchströmte Laufrad einer Strömungs - Arbeitsmaschine (Turboverdichter, Kreiselpumpe). In den Ein- und Austrittsebenen A1, A2 sind die Tangentialebenen Ta1, Ta2 an die durch die Stromfadenachse gebildete rotationssymmetrische mittlere Stromfläche eingezeichnet. In diesen Tangentialebenen liegen die (vom feststehenden System aus betrachteten) Absolutgeschwindigkeiten c1 und c2 (Bild 3.19b), aus deren Umfangskomponenten cu1 = c1cosα1 und cu2 = c2cosα2 sich das im Kontrollraum auf das Fluid ausgeübte Moment ergibt:

 (r m2 c u 2 − r m1 c u1) M=m

(3.79)

Der Neigungswinkel εW der Tangentialebenen (Bild 3.19) hängt von der Konstruktionsform der Strömungsmaschine ab. Für reine Axialmaschinen gilt εW ≈ 0 ° (Strömung auf Zylinderflächen). Bei reinen Radialmaschinen wird εW = 90 ° (Bild 3.18: bei εW = 90 ° gilt: cn1 = c1; cn2 = c2).

3 Grundlagen der Fluiddynamik

90

Vernachlässigen wir die Schubspannungen an der Gehäusewand, so stellt M das vom Rotor auf das Fluid übertragene Drehmoment dar. Der mittlere, repräsentative Radius rm der Stromfläche kann durch die folgende Näherungsgleichung abgeschätzt werden

rm =

Dm 2

DG2 − D2N 2

Dm ≈

(3.80a,b)

B 2

A

Ta1

Rotor ω

M

u2

cu2

DN1

Dm1

DG1

0

DN2

(N) A M Nabe

A1

l2

s εW1 Dm2

c m1

G

Ta2 εW2 A2

α2

D

DG2

1

c m2

) se (G ehäu

u1

cu1

c1 α1

Meridianschnitt versch w1

Laufschaufel

Ta2 c2

Ansicht A

cm1

cm2 Ansicht B

u = rω = Dπn (3.81a,b) u m = Dm πn

MK

w2 Ta1

Durch das mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierende Laufrad wird die innere Leistung P12 = Mω auf das Fluid übertragen. Führen wir die Umfangsgeschwindigkeit

E

%LOG Laufrad einer diagonal durchströmten StrömungsArbeitsmaschine. D Meridanschnitt. Die Tangentialebenen Ta1 und Ta2 im Bereich der Schaufelein- bzw. -austrittskante sind in den Meridianschnitt verschoben dargestellt. E Geschwindigkeitsdreiecke in den Tangentialebenen.

ein, so erhalten wir aus Gl. (3.79) und (3.81b) die im Kontrollraum dem Fluid zugeführte innere Leistung

 (u m2 c u 2 − u m1 c u1) P12 = m

( 3.82)

 , so resultiert daraus die zwischen Rotor Beziehen wir die Leistung auf den Massenstrom m und Fluid ausgetauschte spezifische technische Arbeit wt12 in Form der Eulerschen Hauptgleichung der Strömungsmaschinen P12 = w t12 = u m2 c u 2 − u m1 c u1  m

(3.83)

Durch Verknüpfung der Gl. (3.82) und (3.83) mit den Beziehungen in Kap.3.3.3.3 läßt sich die Schaufelform einer Strömungsmaschine für eine vorliegende Anlage auslegen. Die in den feststehenden Leiträdern von Strömungsmaschinenstufen auf das Fluid ausgeübten

3.3 Die Erhaltungssätze der stationären Fadenströmung

91

ten Momente lassen sich ebenfalls nach Gl. (3.79) ermitteln, wenn für cu1 bzw. cu2 die Umfangskomponenten der Absolutgeschwindigkeiten am Ein- bzw. Austritt des Leitrades eingesetzt werden. Wegen ω = 0 wird jedoch in den Leiträdern keine Energie bzw. Leistung mit dem Fluid ausgetauscht (P12 = 0 → wt12 = 0). Die Leiträder müssen die Reaktionsmomente MK = - M aufnehmen und ins Maschinengehäuse einleiten (Bild 3.18). Die positive Richtung der Umfangskomponenten ist durch die Richtung der Umfangsgeschwindigkeit u des Laufrades gegeben. Daraus resultieren die in Gl. (3.50) angegebenen unterschiedlichen Vorzeichen für Arbeits- bzw. Antriebsmaschinen. Die Strömungsvorgänge in dem mit der Umfangsgeschwindigkeit u = rω rotierenden Laufrad werden anschaulich durch die Relativgeschwindigkeiten w beschrieben, die ein „mitrotierender Beobachter“ registrieren würde. Zwischen den Absolutgeschwindigkeiten c und den Relativgeschwindigkeiten w im mitrotierenden System besteht der Zusammenhang & & & c = w+u (3.84) der in Bild 3.19b in Form von vektoriellen Geschwindigkeitsdreiecken dargestellt ist.  %HLVSLHO An einem Kreiselpumpenlaufrad gemäß Bild 3.19 liegen die absoluten An- und Abströmgeschwindigkeiten c1 =10,15 m/s und c2 = 26,05 m/s vor, die unter den Winkeln α1 =80 ° und α2 = 22,6 ° zur Umfangsgeschwindigkeit stehen. Zum Laufrad, das mit der Drehzahl n = 2950 min-1 rotiert, gehören die Durchmesser DN1 = 70 mm; DG1 = 90 mm; DN2 = 174 mm; DG2 = 180 mm und die Schaufelaustrittslänge l2 = 4,5 mm. Das geförderte Wasser hat die Temperatur tW = 24 °C.  strömt durch die Pumpe ? 3.14.1 Welcher Massenstrom m 3.14.2 Drehmoment- (M) und innere Leistungübertragung (P12) vom Rotor auf das Fluid ? 3.14.3 Welche spezifische technische Arbeit wt12 und welche totale spezifische Strömungsarbeit ytM (Summe der spezifischen fluidmechanischen Energien) wird auf das Fluid übertragen, wenn die Pumpe mit einem totalen Wirkungsgrad von ηt = 0,70 arbeitet ? /|VXQJ 3.14.1) Stoffwerte: Tab. 11.3: ρ( tW =24 °C) = 997,25 kg/m3 D + DN 2 Kontinuitätsgleichung π l2 m = ρ c m2 A 2 = ρ c2 sin α 2 G 2 2 kg m 0,180 m + 0,174 m kg m = 997,25 ⋅ 26,05 ⋅ sin 22,6 ° ⋅ π ⋅ 0,0045 m = 24,98 s s 2 s 3.14.2) Gl. (3.79) M = m(r m 2 c u2 − r m1 c u1) = m(r m 2 c 2 cos α 2 − r m1 c1 cos α1) Gl. (3.80a,b): r m1 =

D m1 1 = 2 2

D 2G1 + D 2N1 1 = 2 2

0,092 + 0,07 2 m2 = 0,04031 m 2 s2

m kg ⎛ m ⎞ ⎜ 0,08851 m ⋅ 26,05 cos 22,6 °-0,04031 m ⋅ 10,15 cos 80 °⎟ = 51,40 Nm ⎠ s s ⎝ s 2950 = 15,879 ⋅10 3 W P12 = Mω = M 2π n = 51,40 Nm ⋅ 2 ⋅ π 60s

M = 24,98 Gl. (3.83)

3 J P12 15,879 ⋅10 W = = 635,7 kg  kg m 24,98 s J J ytM = w t12 ηt = 635,7 ⋅ 0,70 = 445,0 kg kg

3.14.3) Gl. (3.83) w t12 =

Gl. (3.52)

r m2 = 0,08851 m

3 Grundlagen der Fluiddynamik

92

(UZHLWHUXQJGHUVWDWLRQlUHQ)DGHQVWU|PXQJGXUFK 0LWWHOZHUWH 0LWWHOZHUWH Die Stromfadentheorie setzt per Definition voraus, daß die Zustandsgrößen auf den Ein- und Austrittsflächen Ai des Kontrollraums jeweils konstant sind. Wenn wir die Stromfadentheorie auch auf ungleichförmige Verteilungen der Zustandsgrößen p und c in den Querschnittsflächen erweitern wollen, so müssen wir geeignete Mittelwerte definieren. Dies führt jedoch zu unterschiedlichen Mittelwerten, je nachdem ob die Kontinuitätsgleichung (→ volumenstromgemittelte Geschwindigkeit cm), der Impulsssatz (→ impulsstromgemittelte Geschwindigkeit c bzw. Druck p ) oder der Energiesatz (→ energiestromgemittelte Geschwindigkeit c bzw. Druck p ) korrekt erfüllt werden sollen. Bei jeweils normal zu den Querschnittsflächen gerichteten, lokalen Geschwindigkeiten c ergibt sich gemäß Kontinuitätsgleichung der korrekte Volumenstrom zu (Bild 3.20)

 = ∫ cdA = c m A V

cm =

(A )

1 ∫ cdA A (A )

(3.85a,b)

wobei wir cm als volumenstromgemittelte Geschwindigkeit bezeichnen. Die impulsstromgemittelten Werte für die Geschwindigkeit ( c ) und den Druck ( p ) liefern den korrekten Impulsstrom I bzw. die Druckkraft Fp. Bei konstant über dem Querschnitt A angenommener  = ρcdA (Bild 3.20) Dichte ρ erhalten wir mit Gl. (3.59) sowie dm

I = ∫ cdm  = ρ ∫ c2 dA = ρ c 2 A (A )

c2 =

(A )

Fp = ∫ pdA = pA

p=

(A )

1 2 ∫ c dA A (A )

(3.86a,b)

1 ∫ pdA A (A )

(3.87a,b)

Die Druck- und Geschwindigkeitsanteile des Energiestroms ergeben sich gemäß Gl. (3.35a) zu

⎛ p c2 ⎞ ρ ⎞ ⎛  + ρ c 3A  = ∫ ⎜ pc + c3⎟ dA = pV E = ∫ ⎜ + ⎟ dm 2⎠ 2 ⎠ 2 (A) ⎝ ρ (A ) ⎝

p=

1 pcdA  ( A∫ ) V

3 c =

(3.88a,b,c)

1 3 ∫ c dA A (A)

(3.89a,b)

)RUPIDNWRUHQ Da es formal vorteilhaft ist, mit den volumenstromgemittelten Geschwindigkeiten cm zu rechnen, führen wir die nachstehenden Formfaktoren α und β ein, die die spezielle Form des Geschwindigkeitsprofils berücksichtigen. Beim Impuls-strom gilt unter Verwendung von Gl. (3.86a,b) 2

I = ρ c 2 A = ρ⎛⎜ c ⎞⎟ c2m A = β c m m  ⎝ cm ⎠  β

2

1 ⎛ c ⎞ β = ∫ ⎜ ⎟ dA A A⎝ c m ⎠

(3.90a,b)

3.4 Erweiterung der stationären Fadenströmung durch Mittelwerte

93

Für den kinetischen Energiestrom erhalten wir entsprechend mit Gl. (3.88c), (3.89b) 3

E kin =

ρ 3 ρ⎛ c ⎞ 3 c2m  c A = ⎜ ⎟ cm A = α m 2 2 ⎝ cm ⎠ 2 

3

α=

⎛ c ⎞ 1 ∫ ⎜ ⎟ dA A (A ) ⎝ cm ⎠

(3.91a,b)

α

Wenn über dem gesamten Querschnitt die lokale ungleichförmige Geschwindigkeit c > 0 ist, so gilt cm < c < c bzw. 1 < ß < α. Im Falle konstanter Geschwindigkeit (Kolben-strömung) gilt α = ß = 1. Ist eine mathematische Verteilung der Geschwindigkeit über dem Querschnitt bekannt, so lassen sich die Formfaktoren berechnen (s. Kap. 4.3.1; 4.3.2 → Rohrströmung). )RUPXOLHUXQJ GHU (UKDOWXQJVVlW]H XQWHU 9HUZHQGXQJ YRQ 0LWWHOZHUWHQ Die Kontinuitätsgleichung (3.30) geht in die nachstehende Form über:

 = ρ1 c m1 A1 = ρ2 c m2 A 2 m

(3.92)

In der Energiegleichung werden die Terme c2 durch αcm2 und p durch p ersetzt, also lautet z.B. Gl. (3.43b)

ρ ρ (3.93) p1 + α1 c2m1 + ρg z1 = p 2 + α 2 c2m2 + ρg z2 + ρ j12 2 2  ( c& 2 − &c1) der Ausdruck m  (β 2 c& m 2 − β1 c' m1) . Damit Im Impulssatz erscheint anstelle von m nimmt beispielsweise Gl. (3.62b) die nachstehende Form an & & & &  (β2 c& m2 − β1 c& m1) + Fp1 + Fp 2 + FG Fpi = (p i − pa )A i FK = − m

(3.94a,b)

dA

Falls im folgenden die Geschwindigkeiten nicht besonders gekennzeichnet sind, so handelt es sich stets um die volumenstromgemittelten Werte cm. Bei den Drücken wird im folgenden auf die spezielle Kennzeichnung verzichtet. Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß bei geradlinig verlaufenden Stromlinien gemäß Gl. (3.28) der Druck im gesamten Stromfadenquer. schnitt konstant ist. Die Gec dm schwindigkeiten dagegen bil. den auch bei geradlinigen LeiV tungen aufgrund der Reibungs. effekte ein Profil über dem m Querschnitt (s. Kap. 4.3.1 und 4.3.2). A

  %LOG Definition von Geschwindigkeitsmittelwerten. cm: volumenstromgemittelt; c : impulsstromgemittelt; c : energiestromgemittelt

cm

_ c = c

6WDWLRQlUH6WU|PXQJLQNRPSUHVVLEOHU)OXLGH   

9RUEHPHUNXQJHQ In diesem Kapitel werden Strömungen inkompressibler Fluide ohne Austausch von Wärme und Arbeit (Flüssigkeiten, Gase bei Ma ≤ 0,3) in Leitungssystemen, Behältern und Kanälen untersucht (→ Innenströmungen), deren Dichte sich während des betrachteten Strömungsvorganges nicht oder nur geringfügig ändert (s. Tab. 1.1):

ρ=

1 ≅ konst. v

(4.1)

Für die Berechnung stehen die Erhaltungssätze der stationären Stromfadentheorie zur Verfügung. Die Kontinuitätsgleichung gilt wegen Gl. (4.1) in der vereinfachten Form

 1= V 2=V V

 = c1 A1 = c2 A 2 V

(4.2a,b)

Der Energiesatz ist in den Formen Gl. (3.35, 3.43, 3.93) anwendbar (er wurde in Kap. 3.3.3 nur für inkompressible Fluide abgeleitet). Impuls- und Drallsatz Gl. (3.62, 3.63, 3.77, 3.94) sind ebenfalls in den bekannten Formen zu verwenden, da die Dichte in ihnen gar nicht explizit auftaucht. Für die in der Energiegleichung (Gl. (3.43, 3.93)) enthaltenen Strömungsverluste (Dissipationsenergie j12) werden im vorliegenden Kapitel Berechnungsansätze und Zahlenwerte bereitgestellt. Bei den in der Technik überwiegenden turbulenten Strömungen sind diese Verlustdaten nur empirisch bestimmbar. Meßwerte aus Grundlagenversuchen werden in dimensionsloser Form in Abhängigkeit von geometrischen und strömungsmechanischen Kenngrößen dergestalt aufbereitet, daß sie für beliebige Anwendungsfälle verwendbar sind.

.DYLWDWLRQ Sinkt in einer Flüssigkeit bei konstanter Temperatur der Druck, so wird bei einem bestimmten Druckwert die Siedelinie erreicht, die Flüssigkeit beginnt zu verdampfen, es entstehen Dampfblasen. Den temperaturabhängigen Druck, bei dem die Verdampfung einsetzt, bezeichnen wir als Dampfdruck pD(t). Tab. 11.3 und Gl. (11.2, 11.3) liefern Zahlenwerte für den Dampfdruck des Wassers (andere Flüssigkeiten: s. [57]). Bei Normumgebungsdruck p0 = 1,013 bar verdampft Wasser bei t = 100 °C. In z = 8 km Höhe beträgt der Druck nach Normatmosphäre (Gl. 2.46) p = 35652 Pa; gemäß Tab. 11.3 bzw. Gl. (10.3) siedet Wasser in dieser Höhe bereits bei t ≈ 73 °C. Wenn z. B. der Druck in einem Leitungssystem auf p = 1403 Pa ab-

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

95

absinkt, so verdampft in diesem Bereich das Wasser schon bei t = 12 °C, also bei Raumtemperatur. Stellt sich in einer strömenden Flüssigkeit bei Druckabsenkung eine Hohlraumbildung durch Dampfblasenentstehung ein, und steigt anschließend der Druck in Strömungsrichtung wieder über den nur temperaturabhängigen Dampfdruck pD an, so fallen die Dampfblasen implosionsartig zusammen (Stoßkondensation). Dieses Phänomen bezeichnen wir als Kavitation. Befindet sich die Dampfblase an einer festen Wand, so tritt beim Zusam-menfall an der wandabgekehrten Seite der Blase zunächst eine Einbuchtung auf, die dann in einen Mikrostrahl übergeht, der mit hoher Geschwindigkeit auf kleinster Fläche gegen die Wand prallt und dabei sehr hohe Drücke (bis zu 1000 bar) erzeugt. Dadurch entsteht die Kavitationserosion, die zur Zerstörung des Wandgefüges führen kann. Kavitation kann auftreten in allen Leitungselementen mit starker Beschleunigung der Flüssigkeit (Armaturen, Stellglieder), in Eintrittslaufrädern von Kreiselpumpen (Bild 4.1) und in Laufrädern von Flüssigkeitsturbinen sowie an Schiffsschrauben. Bei der Auslegung von flüssigkeitsdurchströmten Leitungen und Anlagen ist daher zu beachten, daß an jeder Stelle des Systems die folgende Bedingung eingehalten wird p > pD(t)

(4.3)

wobei die zusätzliche Wahrung eines Sicherheitsabstandes empfehlenswert ist. Bei Ultraschallreinigung erfolgt die Reinigung von Oberflächen durch Kavitationserosion. %LOG Durch Kavitationserosion zerstörtes Eintrittslaufrad einer radialen Kreiselpumpe

6WU|PXQJLQ5RKUOHLWXQJVV\VWHPHQ /DPLQDUH5RKUVWU|PXQJ 5RKUHLQODXIVWU|PXQJ Wir betrachten anhand von Bild 4.2a die Vorgänge beimEinströmen eines Fluids in ein horizontales Rohr mit konstantem Durchmesser D. Nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsstrecke b→c liegt in Ebene c zunächst eine konstante mittlere Geschwindigkeit cm gemäß Gl. (3.85b) vor („Kolbenprofil“). Aufgrund der Schubspannungen haften die Fluidelemente, die die Rohrinnenwand benetzen, an dieser Wand (Haftbedingung: c(R) = 0) und bremsen ebenfalls durch Schubspannungen die weiter innen strömenden Fluidelemente ab. So bildet sich in Wandnähe eine Strömungsschicht mit geringerer Geschwindigkeit ( Grenzschicht) aus, die stromabwärts stetig anwächst. Da aber in jedem Querschnitt der gleiche Volumenstrom fließen muß und in den äußeren Strömungszonen die Transportgeschwindigkeit verringert ist, führt dies zwangsläufig zu einer Beschleunigung der Kernströmung. Die-

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

96 Kolbenprofil

1

cm

r

c=0

s

cm

sL

(Einlaufstrecke) Rohreinlaufströmung

D c (r) s > sL

c (s, r)

vollausgebildete Rohrströmung

sL D

λ⋅

1

1 0

λ⋅

(α2 −1) +ζE +ζ sL

p(s) − p1 ρ c ² 2 m

3

c cm max

s Grenzschicht

cp =

2

D = 2R

cm

Kernströmung

s3 − s 2 D

0

E s

 %LOG Rohreinlaufströmung, dargestellt für laminare Rohrströmung. D Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils. E Bezogener Druckabfall über der Einlaufstrecke. α2: Formfaktor der energiegemittelten Geschwindigkeit am Ende der Einlaufstrecke (vollausgebildete Rohrströmung); ζE : Verlustzahl zur Berücksichtigung der Form des Rohreintritts; ζsL: Verlustzahl der Einlaufstrecke, sie erfaßt die Verluste durch Ausformung des Geschwindigkeitsprofils; λ: Rohrreibungszahl

ser Vorgang ist am Ende der Einlaufstrecke sL abgeschlossen, wenn die Grenzschichten in der Rohrmitte zusammengewachsen sind (Ebene d). Weiter stromabwärts ändert sich das Geschwindigkeitsprofil nicht mehr, es liegt eine vollausgebildete Rohrströmung vor. Bei der Ausformung des Geschwindigkeitsprofils wird Druckenergie reversibel und irreversibel (→ Verluste) abgebaut (Bild 4.2b; Kap. 4.3.3.4). Wenn die mit der mittleren Geschwindigkeit und dem Rohrdurchmesser gebildete Re-Zahl

Re =

cm D ≤ Re U = 2320 ν

(4.4)

ist, so liegt laminare Rohrströmung vor. Die Länge der Einlaufstrecke läßt sich dann bei einem Kreisrohr abschätzen zu

sL ≈ 0,06 Re D

(4.5)

Dies führt im Grenzfall (Re = 2320) auf eine Einlaufstrecke von sL ≈ 139⋅D.  9ROODXVJHELOGHWH ODPLQDUH 5RKUVWU|PXQJ Bei dieser Strömungsform, die Gl. (4.4) genügt und die bei s ≥ sL vorliegt, bewegen sich die Fluidelemente in zueinander parallelen Schichten. Dadurch lassen sich einige Zusammenhänge durch rein theoretische Ansätze exakt erfassen.

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

97

3UD[LVKLQZHLV  Bei technischen Anwendungen treten laminare Rohrströmungen nur selten auf, und zwar bei sehr geringen Strömungsgeschwindigkeiten (z. B. in stark gedrosselten Armaturen), kleinen Rohrdurchmessern oder stark viskosen Fluiden (z. B. Öklhydraulikanlagen, s. 4.3.3.2). Beispiel: Bei einem Rohrdurchmesser von D = 20 mm und tW = 20 °C Wassertemperatur liegt laminare Strömung nur für cm ≤ 0,117 m/s vor. Wir formulieren anhand von Bild 4.3 für ein zylindrisches Fluidelement in einem horizontal liegenden Kreisrohr das Kräftegleichgewicht zwischen Druck- und Schubspannungskräften 1

τ

y p1

r

Rr

2 p2 s

τ

%LOG Kräftegleichgewicht an einem zylindrischen Fluidelement bei laminarer Rohrströmung

∆s

spannungskräften bei stationärer Strömung. Dabei zählen wir die Kräfte in Strömungsrichtung positiv. Setzen wir p2 = p1 +(dp/ds)∆s so gilt

⎡ dp ⎞ ⎤ 2 ⎛ ∆s⎟ ⎥ r π − 2 πr∆sτ = 0 ⎢ p1 − ⎜⎝ p1 + ds ⎠ ⎦ ⎣

τ=−

r dp 2 ds

(4.6a,b)

Die Schubspannung τ wird bei laminarer Strömung durch Gl. (1.15) beschrieben, wo-bei in Bild 4.3 für die Änderung des Wandabstandes y gilt: dy = - dr. Aus Gl. (1.15) er-halten wir daher τ = -ηdc(r)/dr > 0. Eingesetzt in Gl. (4.6b) resultiert daraus

dp 1 rdr 2320 gehen wir von turbulenter Rohrströmung aus. Der Einlaufvorgang ist ähnlich wie in Bild 4.2a, jedoch stellt sich wegen des intensiven turbulenten Impuls- und Energieaustausches im mittleren Bereich des Rohres eine ausgeglichenere Geschwindigkeitsverteilung ein. Die Länge sL der Einlaufstrecke kann bei glatten und rauhen Rohren mit Gl. (4.17) abgeschätzt werden. Sie ist im Vergleich mit der laminaren Einlaufstrecke (bei Re > 833) kürzer: sL ≈ (40 ÷ 50) D

(4.17)

9ROODXVJHELOGHWHWXUEXOHQWH5RKUVWU|PXQJBei der Beschreibung der turbulenten Strömung sind stets Anpassungen durch Meßergebnisse erforderlich. Die radiale Geschwindigkeitsverteilung (Kurve 2, Bild 4.4b) ist durch die turbulenten Austauschvorgänge ausgeglichener als bei laminarer Strömung. Für technische Anwendungen ist sie durch das nachstehende Potenzgesetz darstellbar, das aus der Approximation von Meßwerten gewonnen wurde

c( y ) c max

⎛ y⎞ =⎜ ⎟ ⎝ R⎠

n

c( r ) c max

⎛ r⎞ = ⎜ 1− ⎟ ⎝ R⎠

n

(4.18a,b)

Dabei ist y = R - r der Abstand von der Rohrwand (Bild 4.4b). Der Exponent n = n(Re) ist von Re abhängig und kann entweder Bild 4.5 entnommen oder gemäß

n= λ

(4.19)

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

100

1/n

bestimmt werden, wobei λ = λ(Re) die in Kap. 4.3.3.3 eingeführte Rohrreibungszahl darstellt. Gl. (4.19) gilt auch für rauhe Rohre, wenn deren λ-Werte verwendet werden. Für Anwen11 dungen im technisch wichtigen Bereich 104 ≤ Re ≤ 105 hat sich der Wert n = 1/7 bewährt. 9 7 5

10

10

Re

10

10

%LOG Reynolds-Zahl-Abhängigkeit des Exponenten n in Gl. (4.18)

10

Gl. (4.18) wird dann als „einsiebtel-Potenz-Gesetz“ bezeichnet. Analog zu Kap. 4.3.1 lassen sich mit Hilfe des Potenzgesetzes (4.18) Geschwindigkeitsverhältnisse und Formfaktoren bestimmen:

2 cm = c max (1 + n)(2 + n)

α=

c( r ) cm

1 (1+ n) 3 (2 + n)3 4 (1 + 3n)(2 + 3n)

β=

=

(1 + n)(2 + n) ⎛ r ⎞ ⎜ 1− ⎟ ⎝ R⎠ 2

n

(4.20a,b)

1 (1 + n) (2 + n)2 1 + 2n 4

(4.21a,b)

β = 1,0204

(4.22a,b,c)

Für n = 1/7 ergeben sich die Zahlenwerte

cm = 0,8167 c max

α = 1,0584

Die Formfaktoren α ≈ β ≈ 1 haben bei vollausgebildeter turbulenter Rohrströmung praktisch keinen Einfluß und werden im folgenden in Impuls- und Energiesatz als Faktor „1“ bei turbulenter Strömung nicht mehr explizit erscheinen. Die approximierten Potenzprofile nach Gl. (4.18) weisen in Rohrmitte einen Knick auf, dort weichen sie auch von den Meßwerten ab. An der Rohrwand bei r = R nimmt der Geschwindigkeitsgradient den unrealistischen Wert dc(R)/dr = -∞ an. Die Verhältnisse in unmittelbarer Wandnähe werden durch das Potenzgesetz nicht richtig wiedergegeben, da in diesem Bereich eine laminare Unterschicht (s. unten) vorliegt. Neben dem einfach zu handhabenden Potenzgesetz existieren spezielle Ansätze, die den Wand- und Mittenbereich besser darstellen [7, 45]. 3UD[LVKLQZHLV An der Stelle r/R ≈ 0,76 liefert das Potenzgesetz bei n = 1/7 die mittlere Geschwindigkeit cm (bei laminarer Strömung liegt dieser Wert bei r/R = 0,51/2 ). An der Stelle r/R≈ 0,695 sind die Geschwindigkeiten bei laminarer und turbulenter Rohrströmung gleich. Dies ist bei der Messung von Strömungsgeschwindigkeiten mit Geschwindigkeitssonden von Interesse. /DPLQDUH8QWHUVFKLFKW In unmittelbarer Wandnähe werden die turbulenten Schwankungsbewegungen durch die Rohrwand gedämpft, und es entsteht direkt an der Wand eine dünne laminare Zone - die laminare Unterschicht - mit der Dicke δU. In Gl. (4.23a) ist cτ die sogenannte Schubspannungsgeschwindigkeit.

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

δU ≈

5ν

cτ =

cτ

101

τW ρ

(4.23a,b)

Verwenden wir die in Kap. 4.3.3.1 durch Gl. (4.30c) bereitgestellte Beziehung für die Wandschubspannung τW = λρcm2/8 so erhalten wir

δU ≈

200 ν λ cm

δU ≈ D

200 1 λ Re

(4.24a,b)

(Kreisrohr)

Mit dieser Gleichung verschaffen wir uns einen Überblick über die Größenordnung der laminaren Unterschicht in glatten Rohren, wobei wir die Zahlenwerte für λ nach Gl. (4.34) ermitteln. 7DEBezogene und absolute Dicke der laminaren Unterschicht in glatten Rohren

δU [10-3 m] δU [10-3 m]

Re δU/D bei D = 0,01 m bei D = 0,10 m

104 8,05⋅10-3 0,0805 0,8050

105 1,05⋅10-3 0,0105 0,1050

106 1,31⋅10-4 0,0013 0,0131

107 1,57⋅10-5 0,000157 0,00157

6WU|PXQJVYHUOXVWHLQJHUDGHQ5RKUVWFNHQ *UXQGODJHQ Zur Erfassung der durch Reibungseffekte erzeugten Strömungsverluste in einem kreisförmigen Rohrstück mit konstantem Querschnitt gemäß Bild 4.6 formulieren wir die Energiegleichung (3.93)

p1 +

ρ ρ α1 c2m1 + ρgz1 = p2 + α 2 c2m2 + ρgz2 + ρj12 2 2

(4.25)

Dabei stellt die Dissipationsenergie j12 grundsätzlich den Verlust an fluidmechanischer Energie durch Reibung dar. Mit den Randbedingungen cm1 = cm2 (D = konst.) folgt für die resultierende Druckänderung in der Rohrleitung zwischen den Positionen s1 und s2

ρ 2 c m1 (α1 − α 2 ) + ρg( z1 − z2) 2 1 c m1 r s1 c 1(r)

D

) s2 c 2(r

L

s

z2

  %LOG Definitionsskizze zur Berechnung der Rohrreibungsverluste. Es sind in Strömungsrichtung unterschiedliche radiale Verteilungen der Geschwindigkeit c(r) zugelassen, jedoch gilt aus Kontinuitätsgründen cm1 = cm2

(4.26a,b) 2 c m2

z1

∆p12 = p2 − p1 = − ρj12 +

wobei der erste Term von Gl. (4.26b) den irreversiblen Druckverlust ∆pV12 (< 0)

ρj12 = − ∆p V12 > 0

(4.27)

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

102

durch Reibung und die restlichen Glieder die reversible Umwandlung von Druckenergie in kinetische Energie (durch Umformung des Geschwindigkeitsprofils) bzw. in potentielle Energie (durch Änderung der Höhenlage) darstellen. Beim horizontalen Rohr (z1 = z2) mit vollausgebildeter turbulenter Rohrströmung (α1 ≈ α2 ≈ 1) oder vollausgebildeter laminarer Rohrströmung (α1 = α2) erhalten wir

p2 − p1 = ∆p V12 = − ρj12 < 0

horizontales Rohr, (α1 - α2) ≅ 0

(4.28)

In diesem Fall ist der resultierende Druckabfall gleich dem reibungsbedingten Druckverlust ∆pV12. Bei der Rohrströmung wird demnach durch Reibungswirkung Druck-energie in Dissipationsenergie überführt. 3UD[LVKLQZHLVBei vollausgebildeter turbulenter Rohrströmung (α1 ≈ α2 ≈ 1) und vollausgebildeter laminarer Rohrströmung (α1 = α2) verschwindet der kinetische Energieterm in Gl. (4.26b). Lediglich bei stark gestörten Geschwindigkeitsprofilen oder laminaren Anlaufvorgängen in kurzen Rohrleitungen ist er zu beachten. Die praktische Berechnung der Rohrströmungsverluste erfolgt durch den Ansatz

ρdj =

λ ρ 2 ds c m D 2

ρj12 = − ∆p V12 = λ

Lρ 2 cm D2

(4.29a,b)

mit λ als Rohrreibungszahl, die im nachstehenden Zusammenhang zur Wandschubspannung τW steht. Aus der Verknüpfung von Gl. (4.8b) und (4.29b) ergibt sich

∆p dp λ ρ 2 = konst = − V12 = − cm ds L D2

dp 2 = − τW ds R

τW =

λ 2 ρc 8 m

(4.30a,b,c)

Die praktische Rohrleitungsberechnung erfordert die Kenntnis zutreffender Rohrreibungszahlen λ. Dies wird in den folgenden Abschnitten vermittelt. 9ROODXVJHELOGHWHODPLQDUH5RKUVWU|PXQJ  .UHLVI|UPLJHV 5RKU In diesem Fall gelingt ein rein theoretischer Ansatz zur Ermittlung der Rohrreibungszahl λ, indem wir Gl. (4.15) nach dem Druckverlust -∆pV12 = (p1 -p2) auflösen und mit Gl. (4.29b) gleichsetzen

− ∆p V12 =

Lρ 2 8c m AηL =λ cm 4 2 D πR

Aus dieser Beziehung ermitteln wir λ unter Beachtung von A = πR2; D = 2R und der Definitionsgleichung (3.5) für die Re-Zahl mit l = D zu

λ = 64

η c m Dρ

λ=

64 Re

für Kreisrohre mit Re ≤ ReU

(4.31a,b)

Die Rohrreibungszahl ist somit eine Funktion der Reibungskenngröße Re: λ = λ(Re). Die Rauhigkeit der Rohrinnenwand ist bei laminarer Strömung vernachlässigbar. Anhand von Gl. (4.29b) und (4.31) untersuchen wir die Abhängigkeit des Druckverlustes von der mittleren

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

103

Strömungsgeschwindigkeit und dem Rohrdurchmesser bei gegebenem Volumenstrom  = konst. Mit cm =4 V  /(πD2) ∼ 1/D2 erhalten wir V − ∆p V12 = λ

⎧ ⇒ cm Lρ 2 64 ν L ρ 2 cm ⇒⎨ cm = cm ⇒ 4 D2 cm D D 2 D2 ⎩ ⇒ 1/ D

(4.32)

3UD[LVKLQZHLV Die Druckverluste bei laminarer Rohrströmung sind proportional zur Geschwindigkeit cm und umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Rohrdurchmessers D. 1LFKWNUHLVI|UPLJH 4XHUVFKQLWWH Bei regelmäßigen vielseitigen Polygonquerschnitten die kreisähnlich sind, liefert Gl. (4.31b) das richtige Ergebnis, wenn bei der Ermittlung der Re-Zahl und in Gl. (4.29b) anstelle des Rohrdurchmesh sers D der hydraulische Durchmesser Dh (Gl. 0 0,2 0,4 b 0,6 0,8 1 (3.10)) des Querschnittes eingesetzt wird: Re = 100 cmDh/ν. Weichen die Querschnitte jedoch stär96 ker von der Kreisform ab, so sind die WandSpal 90 schubspannungen über dem benetzten Umfang 2b h unterschiedlich und die obenstehenden Bezie80 hungen in Kap. 4.3.3.2 nicht mehr gültig. Wir h verwenden dann den Ansatz b

c

70

%LOG Geometrieabhängige Konstante C der laminaren Rohrreibungszahl bei nichtkreisförmigen Querschnitten. λ = C/Re (Gl. 4.33) mit Re = cmDh/ν Hydraulischer Durchmesser Dh: s. Beispiele 3.1 und 3.3

λ=

C Re

64

60 h b

50

γ 40 0

1

nichtkreisförmige Querschnitte, Re ≤ ReU =2320

24

γ 36

4

° 60

(4.33)

Die geometrieabhängige Konstante C ist Bild 4.7 zu entnehmen. Die Re-Zahl ist auch in diesem Fall mit dem hydraulischen Durchmesser Dh zu bilden. 3UD[LVKLQZHLVBei laminarer Strömung in ölhydraulischen Anlagen treten wegen der hohen Viskositäten merkliche Temperaturunterschiede über dem Querschnitt und der Rohrlänge auf. Es liegt in der Regel nichtisotherme Strömung vor. Dies führt gegenüber den vorab beschriebenen Ansätzen zu geringeren Verlusten [31].

9ROODXVJHELOGHWHWXUEXOHQWH5RKUVWU|PXQJ (LQIOX‰GHU2EHUIOlFKHQEHVFKDIIHQKHLWIm Gegensatz zur laminaren Rohrströmung zeigen Messungen, daß die Rohrreibungszahl λ bei turbulenter Strömung teilweise auch durch die Rauhigkeit der Rohrinnenwand beeinflußt wird. Diesen Einfluß können wir uns durch die fol-

104

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

folgende Modellvorstellung erklären. Alle technischen Oberflächen haben eine typische Rauhigkeit, die durch die technische Rauhigkeitshöhe k beschrieben wird. In Kap. 4.3.2 wurde dargestellt, daß bei turbulenter Rohrströmung in unmittelbarer Wandnähe eine laminare Unterschicht besteht. Sind nun die Rauhigkeitshöhen so gering, daß sie völlig in der laminaren Unterschicht eintauchen (k < δU), so „bemerkt“ die turbulente Kernströmung die Rauhigkeit gar nicht, wir sprechen dann von einer hydraulisch glatten Oberfläche (glattes Rohr). Die Rohrreibungszahl ist in diesem Fall nur von der Reibungskenngröße Re abhängig. Ragen dagegen die Rauhigkeitsspitzen deutlich aus der laminaren Unterschicht heraus, so liegt eine hydraulisch rauhe Oberfläche (vollkommen rauhes Rohr) vor (k >> δU). In dieser Situation empfindet die turbulente Kernströmung die Rauhigkeitsspitzen als deutlichen Widerstand und die Rohrreibungszahl hängt nun ausschließlich von der auf den Rohrdurchmesser D bezogenen relativen Rauhigkeit k/D (geometrische Ähnlichkeit der Oberflächenbeschaffenheit) ab. Neben den beiden vorstehend geschilderten Grenzfällen existiert noch ein Übergangsbereich, in dem sich ein wesentlicher Teil der Rauhigkeitsspitzen in der laminaren Unterschicht befindet, ein restlicher Teil aber bereits in den turbulenten Bereich hineinragt (s. Gl. 6.16b). Wir ordnen diese Oberfläche dem Übergangsbereich glatt-rauh zu, in dem die Rohrreibungszahl sowohl von der ReZahl als auch von der bezogenen Rauhigkeit k/D abhängt. Die Bestimmung der Rohrreibungszahl erfolgt für jede der drei beschriebenen Oberflächenklassen jeweils nach einem speziellen halbempirischen Ansatz (Gl. 4.34 bis 4.36). Um die für einen halbempirischen Berechnungsansatz bei rauhen Rohren nötigen Daten zu erhalten, wurden Messungen durchgeführt, bei denen die Rohrinnenwände künstlich mit einem Gemisch aus Lack und Sand definierter Korngröße - der Sandrauhigkeit kS - aufgerauht waren. Aus diesen Untersuchungen resultiert die untenstehen-de Gl. (4.36), die die Ermittlung der Rohrreibungszahl künstlich sandbeschichteter, hy-draulisch vollkommen rauher Rohre gestattet. Technische Oberflächen besitzen dagegen eine unregelmäßige Rauhigkeitsverteilung, die durch eine mittlere Rauhigkeitshöhe k definiert wird. Diese weist jedoch ein anderes hydraulisches Verlustverhalten auf als ein sandbeschichtetes Rohr mit einer Sandrauhigkeit kS von gleichem Zahlenwert. Einem technisch (natürlich) rauhen Rohr der Rauhigkeit k, das bei hydraulisch vollkommen rauher Oberfläche die gleiche Rohrreibungszahl (d. h. die gleichen hydraulischen Verluste) wie ein künstlich mit der Sandrauhigkeit kS beschichtetes Rohr aufweist, ordnen wir bei gegebener technischer Oberfläche k das Maß kS des verlustäquivalenten Sandrohres als äquivalente Sandrauhigkeit kS zu. Mit diesem zugeordneten Wert ist Gl. (4.36) auch für technisch rauhe Rohre anwendbar. Weiterhin ist zu beachten, daß technisch rauhe Rohre mit der zugeordneten äquivalenten Sandrauhigkeit kS im Übergangsbereich glatt-rauh ein anderes Verlustverhalten als sandbeschichtete Rohre mit gleichem kS aufweisen. Ein geeigneter Berechnungsansatz muß daher dieses Verhalten berücksichtigen. 3UDNWLVFKH%HVWLPPXQJGHU5RKUUHLEXQJV]DKO Für die jeweils vorliegende technische Oberfläche erfolgt die Zuordnung der äquivalenten Sandrauhigkeit kS mit Hilfe von Tabellen, die (aus Messungen gewonnene) Erfahrungswerte enthalten (Tab. 11.9). Für die drei Klassen von hydraulischen Oberflächen existiert das nachstehende in sich geschlossene System von drei halbempirischen Gleichungen zur Berechnung der Rohrreibungszahl bei vollausgebildeter turbulenter Strömung, wobei als Rauhigkeitsmaß die zugeordnete äquivalente Sandrauhigkeit kS einzusetzen ist. Die allgemeingültige Gleichung (4.35), die insbesondere im Übergangsbereich angewendet wird, berücksichtigt das oben erwähnte Verhalten technisch rauher Rohre in diesem Bereich.

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

105

0,1

ks D

0,0 0,0

0,05 0,04

0,0 0,0

0,03 5

0,0

0,02 0,015

0,0

0,01 0,008 0,006

1 0,0

0,004

λ

4

0,002

3

0,001 0,0008 0,0006 0,0004

0,0 λ=

1 ⎡ 56,23 ⎤ ⎥ ⎢−2 lg Re λ ⎦ ⎣

2

0,0002 0,0001

Reu=2320

0,01 103

0,0000 10 Re = c m ∗ D ν

4

5

10

6

10

7

10

8

10

%LOG Rohrreibungszahlen λ für vollausgebildete Rohrströmung technisch rauher Rohre. Kurve 1: laminar, Gl. (4.31b). Kurve 2: turbulent, glattes Rohr, Gl. (4.34 + 4.35 mit kS/D → 0). Kurve 3: Grenzkurve der Bereiche glatt-rauh/rauh. Bereich f: Übergangsbereich glatt-rauh, Gl. (4.35). Bereich g: vollkommen rauhes Rohr, Gl. (4.36 + 4.35 mit Re → ∞). kS ist die dem technisch rauhen Rohr zugeordnete äquivalente Sandrauhigkeit

hydraulisch glattes Rohr 1 λ= 2 ⎡ 2,51 ⎤ 2 0 − ⋅ , lg ⎥ ⎢ Re λ ⎦ ⎣

λ = λ(Re)

kS/D → 0

ReU = 2320 < Re < ∞

Übergangsbereich glatt-rauh (Gleichung von Colebrook) 1 λ= λ = λ(Re,kS/D); ReU = 2320 < Re < ∞ 2 ⎤ ⎡ ⎛ 2,51 ⎞ k + 0,27 S ⎟ ⎥ ⎢ −2,0⋅ lg⎜ D ⎠ ⎥⎦ ⎝ Re λ ⎢⎣

(4.34)

(4.35)

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

106 hydraulisch vollkommen rauhes Rohr 1 λ= λ = λ(kS/D) 2 ⎡ ⎛ kS ⎞ ⎤ ⎢ −2,0⋅ lg⎜⎝ 0,27 ⎟⎠ ⎥ D ⎦ ⎣

ReGrenz < Re < ∞

(4.36)

Gl. (4.34) und (4.35) haben implizite Form und sind daher iterativ auszuwerten. Bild 4.8 zeigt die graphische Auswertung (Moody-Diagramm) der für den gesamten turbulenten Bereich gültigen Gl. (4.35). Gl. (4.34) beschreibt die untere einhüllende Kurve 2, die den Grenzfall kS/D → 0 des glatten Rohres abbildet. Rechts von der Grenzkurve 3 liegt der Bereich des vollkommen rauhen Rohres, der von Gl. (4.36) für Re > ReGrenz abgedeckt wird. Kurve 1 stellt die Rohrreibungszahl bei laminarer Strömung dar (Gl. 4.31b). Zur Ermittlung der Grenz-ReynoldsZahl existiert der folgende Ansatz

ReGrenz ≈

⎤ 198 ⎡ ⎛ kS ⎞ , ⎥ ⎢−2,0 ⋅ lg⎜⎝ ⎟⎠ + 1138 D kS ⎣ ⎦ D

(4.37)

Gl. (4.36) gestattet für Re > ReGrenz die experimentelle Bestimmung der äquivalenten Sandrauhigkeit kS eines technisch rauhen Rohres aus seiner gemessenen Rohrreibungszahl λMessung

lg kS = lg D + 0,57 −

1

(4.38)

2 λ Messung

3UD[LVKLQZHLV Die Genauigkeit der Rohrreibungszahlberechnung wird eingeschränkt durch die relativ große Streuung der Tabellenwerte für die äquivalente Sandrauhigkeit und die Unsicherheit über deren Veränderung durch Verkrustungen, Rostansatz, Verschleimung usw. während längerer Betriebszeit. Hier sind gegebenenfalls Reserven einzukalkulieren. Die in der Handhabung umständliche implizite Gl. (4.35) kann wegen der genannten Ungenauigkeiten in der Praxis durch die folgende Näherungsgleichung [66] ersetzt werden, wobei die maximale Abweichung der Gl. (4.39) im gesamten relevanten technischen Anwendungsbereich 0,95 % und die mittlere Abweichung 0,15 % beträgt

λ=

1 2

⎧⎪ ⎡ kS 5,02 ⎛ k 13 ⎞ ⎤ ⎫⎪ lg⎜ 0,27 S + ⎟ ⎥ ⎬ ⎨−2 ⋅ lg ⎢0,27 − D Re ⎝ D Re ⎠ ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣

(4.39)

Weiterhin liefert auch Bild 4.8 brauchbare Zahlenwerte bzw. Startwerte zur numerischen Lösung der impliziten Gl. (4.34) und (4.35). Bei turbulenter Rohrströmung mit konstantem Volumenstrom (→ cm ∼ 1/D2) gelten für die Strömungsverluste (Druckverluste) die folgenden grundsätzlichen Zusammenhänge

⎧ ~ c2m L ρ 2 ~ c2m ⎪ − ∆p V12 = ρj12 = λ → ⎨~ 1 cm D2 D ⎪ D5 ⎩

(4.40)

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

107

1LFKWNUHLVI|UPLJH 4XHUVFKQLWWH Wegen der starken Vermischung bei turbulenter Strömung sind die Wandschubspannungen auf dem gesamten benetzten Umfang etwa gleich. Daher sind die Ansätze Gl. (4.29b), (4.34) bis (4.36) auch für nichtkreisförmige Querschnitte gültig, wenn D, die Re-Zahl und die bezogene Rauhigkeit kS/D mit dem jeweiligen hydraulischen Durchmesser Dh des Querschnitts gebildet werden. 3UD[LVKLQZHLV Gl. (4.40) zeigt die extreme Abhängigkeit der Reibungsverluste vom Rohrdurchmesser. So bedeutet z. B. die Verdoppelung des Rohrdurchmessers bei gleichem Volumenstrom eine Reduktion der Verluste auf (1/2)5 = 1/32 also etwa 3 % des ursprünglichen Wertes, und selbst eine Durchmesservergrößerung um einen Stufensprung der Normzahlreihe R10 (Faktor 1,25; z. B. 80 mm → 100 mm) bedingt eine Verlustverminderung auf 33 %. Bei geschlossenen Kreisläufen wird der Energie- und Leistungsbedarf der Arbeitsmaschine im gleichen Maße reduziert (sind Formstücke im Leitungssystem, so gilt für diese ρj12 ∼ 1/D4). Hieraus ergibt sich die Forderung einer wirtschaftlichen Optimierung von Energie und Investitionskosten. Einen Anhaltswert zur optimalen Dimensionierung von Rohrleitungen geben die in Tab. 11.10 zusammengestellten Richtwerte für übliche Strömungsgeschwindigkeiten bei verschiedenen Anwendungsfällen. Durch Zusatz von sehr geringen Mengen (einige Massenpromille) hochmolekularer Substanzen (Polymere) kann der Reibungsverlust bei turbulenter Rohrströmung auf bis zu ein Drittel des normalen Wertes vermindert werden [10, 18, 30]. Die Wirkung beruht auf einer Dämpfung der turbulenten Schwankungsbewegungen unmittelbar oberhalb der laminaren Unterschicht. Geeignete Polymere sind z. B. Polyacrylamide (PAAm, z. B. Separan) oder Polyethylenoxide (Polyox) mit Molekulargewichten im Bereich 1⋅106 ÷ 10⋅106 g/mol. 5RKUHLQODXIVWU|PXQJ Durch die Ausformung der Geschwindigkeitsprofile in der Einlaufstrecke sL fällt dort die zusätzliche Dissipationsenergie jsL an, die wir durch die dimensionslose Verlustzahl ς sL =

ρjsL ρ 2 cm 2

⎧ 0,333 bei laminarer Rohrströmung ς sL ≈ ⎨ ⎩ 0,018 bei turbulenter Rohrströmung

(4.41a,b)

berücksichtigen können, wobei die Zahlenwerte für die gesamte Einlaufstrecke gelten. Die Verluste für ein gerades Rohrstück der Länge L betragen somít unter Beachtung der Einlaufstrecke

⎛ L ⎞ρ − ∆p V12 = ρj12 = ⎜ λ + ς sL⎟ c2m ⎝ D ⎠2

(4.42)

Für L < sL werden mit obigem Ansatz die Zusatzverluste zwar zu groß berechnet, aber das Ergebnis liegt auf der sicheren Seite; für genauere Rechnungen mit L < sL sei auf die einschlägige Literatur [56] verwiesen (Berechnung sL gemäß Gl. (4.5) bzw. (4.17)). 3UD[LVKLQZHLV Für Rohrlängen L > 8sL (bei laminarer Rohrströmung) bzw. L > 2sL (bei turbulenter Rohrströmung) kann ζsL vernachlässigt werden, da der Anteil der Zusatzverluste dann unter 1 % des Gesamtergebnisses von Gl. (4.42) sinkt.

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

108

In Bild 4.2b ist der bezogene Druckverlauf in der Einlaufstrecke dargestellt. Den gesamten (reversiblen und irreversiblen) Druckabfall in der Einlaufstrecke c → d erhalten wir aus Gl. (4.25) und (4.42). Durch Bezug auf ρ⋅cm2 /2 ergibt sich der Druckkoeffizient cp.

⎡ s ⎤ρ p2 − p1 = − ⎢(α 2 − α1) + ς E + ς sL + λ L ⎥ c2m D⎦ 2 ⎣

cp =

p2 − p1 ρ 2 cm 2

(4.43a,b)

Dabei ist α1 = 1 (Kolbenprofil). Wird die Bewegung aus der Ruhe heraus eingeleitet (b → d; großer Behälter, Umgebung p0) so sind p1 = p0 und α1 = α0 = 0 zu setzen. In Gl. (4.43a) stellt ζE die in Kap. 4.3.4 eingeführte Verlustzahl des Rohreintritts dar, die die Verluste durch die geometrische Form des Eintritts berücksichtigt. %HLVSLHO Durch eine nahezu geradlinige Stahlrohrleitung von D = 0,3 m und L = 6 km werden V =0,12 m3/s Wasser (tW = 14 °C) gepumpt. Der Druck am Eintritt in die Rohrleitung beträgt p1 = 7 bar. Das Ende der Rohrleitung liegt 5 m höher als der Rohranfang. Die Rohrinnenseite ist mit gleichmäßigen Rostnarben angerostet. 4.1.1 Welcher Druck p2 herrscht am Ende der Rohrleitung ? 4.1.2 Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit in Rohrmitte ? /|VXQJ4.1.1) Tab. 11.3: ν(tW = 14 °C) = 1,1693⋅10-6 m2/s; ρ(tW = 14 °C) = 999,20 kg/m3. m m3 1,698 ⋅ 0,3 m 4 ⋅ 0,12  m 4V cm D s s Re = = 1,698 Re = = 4,3565 ⋅ 105 cm = 2 = 2 ν s D π (0,3 m) 2 π m 1,1693 ⋅ 10-6 s Es liegt turbulente Rohrströmung vor: α1 ≈ α2 ≈ 1. Energiesatz Gl. (4.26) und Verlustansatz für gerades Rohr (4.42) mit ζsL ≈ 0 da L >> sL liefern Lρ 2 ρj12 = λ ∆p12 = p2 − p1 = − ρj12 + ρg( z1 − z2) = ∆p V12 + ρg( z1 − z2) cm D2 −3 k s 0,15 ⋅ 10 m = = 5 ⋅ 10−4 0,3 m D Bild 4.8: λ im Übergangsbereich glatt/rauh → Gl. (4.35). Startwert aus Bild 4.8: λ(0) ≈ 0,017 Iterative Rechnung: 1 = 0,01781 λ(1) = 2 ⎤ ⎡ ⎞ ⎛ 2,51 ⎢ − 2,0⋅lg⎜ + 0,27 ⋅5 ⋅10 −4 ⎟⎥ ⎟⎥ ⎜ 4,3565 ⋅ 105 0,017 ⎢ ⎠⎦ ⎝ ⎣ Nach einer weiteren Iteration ist das Ergebnis auf vier signifikante Stellen genau: λ(2) = 0,01779 = λ. Die Näherungsgleichung (4.39) liefert λ ≈ 0,01780.

⎛ k ⎞ λ = λ ⎜ Re, s ⎟ ⎝ D⎠

Rauhigkeit: Tab. 11.9: kS ≈ 0,15 mm;

2

m⎞ 6000 m 999,20 kg ⎛ ⎜1,698 ⎟ = 5,12512 ⋅ 105 Pa 3 s ⎠ 0,3 m 2 m ⎝ kg m p2 = p1 − ρj12 + ρg (z1 − z2 ) = (7 − 5,12512) ⋅ 105 Pa + 999,20 3 ⋅ 9,81 2 (−5 m) = 1,38477 ⋅ 105 Pa m s 4.1.2) Ab dem Ende der Einlaufstrecke liegt vollausgebildete turbulente Rohrströmung vor. ρj12 = − ∆p V12 = 0,01779

Gl. (4.19): n = λ = 0,01779 = 0,1334

Gl. (4.20a):

cmax / cm = (1 + n )( 2 + n ) / 2

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen c max = 1,698

109

m (1 + 0,1334)(2 + 0,1334) m m = 1,689 ⋅ 1,209 = 2,053 s s s 2

D = 0,005m

%HLVSLHO Das Anlaufdrehmoment M0 eines Wasserzählerflügelrades wird mit einer Luftstrahlmeßvorrichtung überprüft, die ein minimales Drehmoment M0-min = 10-4 Nm erzeugen kann. Die Verlustzahl des Rohreinlaufs beträgt ζE = 0,05. p0 = 1bar 4.2.1 Bei welchem Volumen3 y t1 = 20°C L = 1m  FK strom V wird M0-min erzeugt ? p ≈ 1 bar 1 4.2.2 Welcher Überdruck ∆p1 = p1 -p0 x 4 ist dafür im Windkessel einzuregeln ? m 1 1 2 , 0 /|VXQJ 4.2.1) Tab. 11.6: R=287,06 J/(kgK) R= ∆p1 = p1-p0 p Gl. (1.3a): ρ1 ≈ ρ0 ≈ ρ = 1 RT1

ρ=

kg 105 Pa , = 1188 287,06 J / (kgK) ⋅ (20 + 273,15) K m3

Luftdrehmoment Mo-min = FK R

Aus Impulssatz Gl. (3.64a) und (3.94a) folgt analog Beispiel 3.9.2: FK = F Kx = mβ2 c m2 = ρ A 2 β2 c2m2 Annahme: In Ebene 2 vollausgebildete laminare Rohrströmung → Gl. (4.13): ß2 =1,333

c m2 =

M 0− min = Rρ A 2 β2

m 10−4 Nm = 5,671 2 s kg π (0,005 m) ⋅ 1,333 0,1 m ⋅ 1,188 3 4 m

3  = c A = 5,671 m ⋅ (0,005 m) 2 ⋅ π = 1,113 ⋅ 10−4 m V m2 2 s 4 s 4.2.2) Gl. (1.16); (11.9); Tab.11.6: Pa ⋅ s 1,5 ⋅ [(20+ 273,15) K] 1,4747 ⋅ 10−6 1 η 1 BT11,5 m2 K ν= = = = 1,534 ⋅ 10−5 kg s (20 + 273,15 + 113)K ρ ρ T1 + S 1188 , m3 m 5,671 ⋅ 0,005 m c m2 D s Re = = = 1848 → laminare Rohrströmung 2 ν -5 m 1,534 ⋅ 10 s Gl. (4.5) sL ≈ 0,06 Re D = 0,06 ⋅ 1848 ⋅ 0,005 m = 0,5544 m → vollausgebildete laminare Rohrströmung in Ebene d. L < 8sL → Verluste der Einlaufstrecke (ζsL) sind zu berücksichtigen. ρ ρ Energiesatz Gl. (4.25): p1 + α1 c2m1 + ρgz1 = p2 + α 2 c2m2 + ρgz2 + ρj12 2 2 Randbedingungen: cm1 = 0; z1 = z2; p2 = p0; weiterhin: Gl. (4.14) → α2 = 2 L ⎛ L ⎞ρ ⎛ ⎞ρ ρj12 = ⎜ λ + ς E + ς sL⎟ c2m2 p1 − p 0 = ⎜ α 2 + λ + ζ E + ζ sL⎟ c2m2 ⎝ D ⎠2 ⎝ ⎠2 D 64 Gl. (4.41b): ζsL = 0,333; ζE = 0,05 (gegeben) Gl. (4.31b): λ = Re 2

⎞ 1,188 kg ⎛ m⎞ 64 1m ⎛ ⋅ + 0,05 + 0,333⎟ ∆p1 = p1 − p0 = ⎜ 2 + ⎜ 5,671 ⎟ = 177,8 Pa 3 ⎝ ⎠ 2 m ⎝ s⎠ 1848 0,005 m

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

110

6WU|PXQJVYHUOXVWHLQ)RUPVWFNHQ *UXQGODJHQ Rohrleitungssysteme bestehen im allgemeinen aus geraden Rohrstücken und Formstücken der folgenden Kategorien: Querschnittsänderungen (unstetig/stetig) Verzweigungen Armaturen, Einbauten

Richtungsänderungen Rohrein- und -auslauf

Auch in Formstücken treten Verluste ρj12 an strömungsmechanischer Energie auf, die durch den Ansatz

ρj ζ = 12 ρ 2 cm 2

ρ ρj12 = (− ∆p V12) = ζ c2m 2

⎞ ⎛ ⎜ − ∆p ⎟ V12 ⎟ ⎜= ρ 2 ⎟ ⎜ ⎜ c m ⎟⎠ ⎝ 2

(4.44a,b,c)

erfaßbar sind. Hierbei ist ζ die auf den kinetischen Druck in einer definierten Bezugsfläche bezogene, dimensionslose Verlustzahl (in der Literatur häufig als Widerstandszahl bezeichnet). In Formstücken äußern sich die fluidmechanischen Verluste üblicherweise als Druckverluste ∆pV12 = p2 -p1 (dann gilt Gl. (4.44c); (4.44b) ist allgemeingültig). Von einigen Sonderfällen abgesehen, ist die Verlustzahl nur empirisch zu ermitteln. Bei kreisförmigem Bezugsquerschnitt folgt aus Gl. (4.44a) bei Formstücken

ρj12 ∼ c2m ∼

1

(4.45)

D4

In der Tab. 11.11 sind Verlustzahlen für gängige Formstücke zusammengestellt, wobei stets zu beachten ist, in welcher Fläche die mittlere Bezugsgeschwindigkeit cm definiert ist. Weitergehende Informationen finden sich in den nachstehenden Abschnitten. 4XHUVFKQLWWVlQGHUXQJHQ  8QVWHWLJH 4XHUVFKQLWWVHUZHLWHUXQJ 6WXIHQGLIIXVRU &DUQRW'LIIXVRU Der in Bild 4.9a dargestellte Stufendiffusor zeigt in der Ebene c einen strahlartigen Eintritt des Fluids in den erweiterten Raum. In der gesamten Ebene c herrscht wegen Gl. (3.28) der konstante Druck p1. Nach Durchlaufen einer Mischstrecke von LM ≈ 10D2 stellt sich wieder ein ausgeglichenes Strömungsprofil ein. Den hierbei entstehenden strömungsmechanischen Energieverlust werden wir mit Hilfe der Erhaltungssätze abschätzen, wobei wir die Geschwindigkeitsprofile durch die entsprechenden Formfaktoren α und β berücksichtigen. Wir formulieren den Impulssatz (3.61) in x-Richtung unter Beachtung, daß FSx = 0 (keine Einbauten) und FGx ≈ 0 ist. Wenn wir Wandschubspannungen an der Diffusorinnenwand vernachlässigen, gilt FWx = p1(A2 - A1). Mit  = ρcm2A2 erhalten wir aus Gl. (3.61) und (3.94a) Fp1 = p1A1 und Fp2 = -p2A2 sowie m

(

)

ρ2 A 2 β2 c2m2 − β1 c m1 c m2 = p1 A1 − p2 A 2 + p1 (A 2 − A1)

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

111

Daraus errechnet sich die Druckänderung im reibungsbehafteten Stufendiffusor zu

(

p1 − p2 = ρ β2 c2m2 − β1 c m1 c m2

)

(4.46)

Die Auflösung des Energiesatzes (3.93) nach dem Verlustglied liefert bei z1 =z2

ρj12 = (p1 − p2) +

ρ 2 ⎛ c2m2 ⎞ c m1 ⎜ α1 − α 2 2 ⎟ 2 ⎝ c m1 ⎠

Fügen wir in die obige Gleichung für (p1 -p2) Gl. (4.46) ein, erhalten wir schließlich

ρj12 =

ρ 2 ⎛ c2 2 ⎞ c2m2 c m2 + α1 − α 2 m ⎟ c m1 ⎜ 2 β2 2 − 2 β1 2 ⎝ c m1 c2m1 ⎠ c m1

Aus dieser Gleichung folgt dann unter Benutzung der Kontinuitätsgleichung mit cm2 /cm1 = A1 /A2 das allgemeine Ergebnis für die Verlustzahl ζ des Stufendiffusors 2

ζ=

ρj12 ⎛A ⎞ ⎛ A ⎞ A = α1 − 2β1 1 + (2β2 − α 2 ) ⎜ 1 ⎟ ≈ ⎜ 1− 1 ⎟ ρ 2 ⎝ A2 ⎠ ⎝ A2 ⎠ A2 c m1 2

2

(4.47a,b,c)

dabei gilt Gl. (4.47c) bei turbulenter Zuströmung und konstanter Geschwindigkeit im Austrittsquerschnitt (α1 ≈ α2 ≈ β1≈ β2 ≈1). Wir definieren abschließend einen Wirkungsgrad ηSt des Stufendiffusors, indem wir den tatsächlichen Druckanstieg (p2 -p1) entsprechend Gl. (4.46) auf die Druckänderung (p2 -p1)s bei isentroper Strömung beziehen, die wir aus Gl.(3.93) bei ρj12 =0 erhalten

ηSt =

p2 − p1

(p2 − p1)s

=

(

2 β1 c m1 c m2 − β2 c2m2 α1 c2m1 − α 2 c2m2

)≈

2 A 1+ 2 A1

(4.48a,b,c)

Die Druckerhöhung im Stufendiffusor erhalten wir zu

p2 − p1 = ηSt

2 ⎡ ⎛ A ⎞ 2⎤ ⎛ A1 ⎞ ⎤ ρ 2 ⎡ ρ 1 c m1 ⎢α1 − α 2 ⎜ ⎟ ⎥ ≈ ηSt c2m1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ 2 2 ⎝ A2 ⎠ ⎥ ⎝ A2 ⎠ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎦ ⎦

(4.49a,b)

In Gl. (4.48c) und (4.49b) sind die Formfaktoren zu 1 gesetzt (analog zu Gl. (4.47c)). In Bild 4.10 ist ηSt gemäß Gl. (4.48b) als Grenzwert für ϑ = 90 ° dargestellt. 6WHWLJH4XHUVFKQLWWVHUZHLWHUXQJ'LIIXVRUIn konischen Diffusoren findet eine verlustbehaftete Umwandlung von kinetischer Energie in Druckenergie statt. Die optimalen Öffnungswinkel (Bild 4.9b) betragen ϑopt ≈ 4 ° bei Kreisquerschnitt und ϑopt ≈ 5 ° bei Rechteckquerschnitt. Bei größeren Öffnungswinkeln tritt Grenzschichtablösung an den Seitenwänden auf, die mit zunehmenden Verlusten verbunden ist. Zur Ableitung der nachstehenden Beziehungen setzen wir die Formfaktoren zu eins und verzichten auf die zusätzliche Kennzeichnung der Geschwindigkeitsmittelwerte durch den Index m. Den analog zu Gl. (4.48a) definierten Diffusorwirkungsgrad erhalten wir unter Verwendung der Gl. (3.43b) und (3.35b) zu

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

112

ηDiff =

p2 − p1

(p2 − p1)s

c22 ρ 2 2 − − ζ Diff 1 c1 − c2 − ρj12 c12 2 = = ρ 2 2 c2 c1 − c2 1 − 22 2 c1

(

(

1

1

2

A2

FWx cm1

Fp1

(4.50a,b,c)

)

2

p2

y

Fp2

D2

D1

A1

)

c1 p1

α x

cm2

c2 ϑ

A1

FWx LM

D

A2

E

 %LOG Ausführungsformen von Querschnittserweiterungen. D Stufendiffusor. E Diffusor

Hierbei wurde die durch Gl. (4.44b) definierte, auf c1 bezogene Verlustzahl ζDiff eingeführt. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung erhalten wir aus Gl. (4.50c)

ηDiff = 1 −

⎡ ⎛ A ⎞ 2⎤ ζ Diff = (1 − ηDiff )⎢1 − ⎜ 1 ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ A 2 ⎠ ⎥⎦

ζ Diff ⎛A ⎞ 1− ⎜ 1⎟ ⎝ A2 ⎠

2

1 ϑ30D, S: Rohrlänge zwischen den Krümmern). E: Zwei 90° Krümmer in gleicher Ebene, Bauform S (30D≥S≥ 10D). F: Zwei 90° Krümmer in gleicher Ebene, Bauform S (10D≥S). G: Zwei 90° Krümmer in senkrecht zueinander stehenden Ebenen (30D≥S≥5D). H: Zwei 90° Krümmer in senkrecht zueinander stehenden Ebenen (5D>S). I: Einfaches 90° T-Stück mit oder ohne Erweiterung. J: Einfacher 45° Krümmer, zwei 45° Krümmer in gleicher Ebene, Bauform S (S≥2D). K: Konzentrisches Reduzierstück von 2D auf D, Länge 1,5÷3D. L: Konzentrischer Diffusor von 0,5D auf D, Länge D÷2D. M: Kugelhahn oder Schieber jeweils voll geöffnet. N: Abrupte symmetrische Durchmesserverringerung. O: Thermometerschutzrohr mit Durchmesser ≤0,03D. $6: Auslaufseite, gilt für Einlaufstörungen der Spalten a÷j β ≤0,2 0,4 0,5 0,6 0,67 0,75

a 6/3 16/3 22/9 42/13 44/20 44/20

b 10/? 10/? 18/10 30/18 44/18 44/18

c 10/? 10/? 22/10 42/18 44/20 44/22

Einlaufseite der Blende d e f g 19/18 34/17 3/? 7/? 44/18 50/25 9/3 30/9 44/18 75/34 19/9 30/18 44/18 65/25 29/18 30/18 44/20 60/18 36/18 44/18 44/20 75/18 44/18 44/18

h 5/? 5/? 8/5 9/5 12/6 13/8

Auslaufseite der Blende→ i j k l AS 6/? 12/6 30/15 5/3 4/2 12/8 12/6 30/15 5/3 6/3 20/9 12/6 30/15 5/3 6/3 26/11 14/7 30/15 5/3 7/3,5 28/14 18/9 30/15 5/3 7/3,5 36/18 24/12 30/15 5/3 8/4

3UD[LVKLQZHLV Drosselmeßgeräte sind robust und unempfindlich gegen verschmutzte Meßfluide (Flüssigkeiten und Gase). Sie können nach Angaben der Norm problemlos gefertigt werden. Die Meßwerterfassung ist ohne Hilfsenergie möglich. Nachteilig sind der bleibende Druckverlust, die bei Blenden und Düsen erforderliche iterative Auswertung wegen der Re-Zahl-Abhängigkeit der Durchflußzahl α und der geringe Meßbereich (geht V auf 1/3 zurück, so sinkt ∆pW wegen des quadratischen Zusammenhangs auf 1/ 9). Blenden haben – gegenüber Düsen und Venturidüsen bei sonst gleichen Bedingungen – deutlich höhere Wirkdrücke (→ höhere Ansprechempfindlichkeit) aber auch größere bleibende Druckverluste, wobei die Verluste der Venturidüse am geringsten sind. %HLVSLHO In einer Rohrleitung (D = 100 mm) sollen maximal V1−max = 90 m3/h Wasser (tW = 24 °C) strömen. Es soll eine Blende mit Eckdruckentnahme eingebaut werden. Das vorgesehene Druckmeßgerät kann einen maximalen Wirkdruck von ∆pW-max = 105 Pa erfassen. 4.3.1 Mit welchem Durchmesser d muß die Blendenscheibe gefertigt werden? 4.3.2 In einem Betriebspunkt werden tW = 24 °C und ∆pW = 0,85⋅105 Pa gemessen. Welche Werte haben der Volumen- und der Massenstrom? /|VXQJ 4.3.1) Tab. 11.3 ρ1(tW = 24 °C) = 997,25 kg/m3; ν1(tW = 24 °C) = 0,91327⋅10-6 m2/s. Die Blendenöffnung d ist so zu wählen, daß bei den gegebenen Auslegungsbedingungen der Meßwert ∆pW-max auftritt (Meßbereich wird voll ausgenutzt). Mit d = ßD und ε = 1 (Flüssigkeit) liefert Gl. (4.57c)  1−max = αβ2 D2 V

π 4

2∆p W −max ρ1

→

 1−max 4V

αβ2 = D

2π

2∆p W −max ρ1

=A

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

117

4⋅90m3

= 0,22477 2⋅105 Pa 3600s (0,1m) π kg 997,25 m3  1−max c1 D 4V 4⋅90m3 = 3,4854⋅105 = = ReD = Dπν1 ν1 3600s ⋅ 0,1m ⋅ π ⋅ 0,91327 ⋅10−6

A=

Gl. (4.57d):

2

αβ2 =

C(β, ReD = 3.4854⋅105) 1− β

4

Gl. (4.57e):

β2 = A = 0,22477

Dies ist eine Bestimmungsgleichung für ß, die numerisch gelöst werden muß (C aus Tabelle 4.2) β αβ2

0,6 0,23424

0,58 0,21675

0,59 0,22536

0,588 0,22362

 

0,5888 0,22432

d = ßD = 0,58932⋅0,1 m = 0,058932 m Gewählt: d = 0,0590 m → ß = 0,59 4.3.2) Die Auswertung der Blendenmessung ist grundsätzlich iterativ, da zur Bestimmung von α die ReZahl bekannt sein muß. Startwert: Re(D1) = 106 . Tab. 4.2, Formel Blende Eckdruckentnahme, liefert für C

C(1) (Re(D1) = 106), β = 0,59) = 0,60537 α(1) =

 1(1) = α(1) εd 2 V

π 4

C(1) 4

1− β

=

∆p W

0,60537 1− 0,594

= 0,64575

= 0,64575 ⋅ 1 ⋅ (0,059m)2

ρ1

Gl. (4.57e): Gl. (4.57c): 3 2⋅0,85⋅105 Pa = 0,02305 m kg s 997,25 3 m

π 4

iterat. Verbesserung:

3

Gl. (4.57f; 3.31b): Re(D2) =

c1(1) D ν1

=

(1) 4V1

Dπν1

=

4 ⋅ 0,02305 m s

2 (0,1m) ⋅ π ⋅ 0,91327 ⋅10−6 m s

= 3,2135⋅105

 1( 2) mit dem verbesserten Wert Re(D2) : Neuberechnung von α( 2) und V α( 2) = 0,647577

(V

1 ≈ V  1( 2) = 0,0231157 m V s

)/ V

3

Relative Abweichung des ersten iterativen Durchlaufs:

m3 m3 ) = −0,0028 /(0,0231157 s s Es sind keine weiteren iterativen Verbesserungen mehr nötig. kg kg m3  = ρ1 V  1 = 997,25 ⋅ 0,0231157 = 23,052 m s s s (1)  ( 2) 1 − V1

( 2) 1

= (0,02305 − 0,0231157)

→ ≈ -0,3 %

3UD[LVKLQZHLVBei der iterativen Auswertung von Blenden- und Düsenmessungen liefert nach Beginn mit dem Startwert Re(D1) = 106 ein zweiter Durchlauf meist die erforderliche Genauigkeit. Bei Venturidüsen ist wegen C ≠ C(ReD) keine iterative Rechnung erforderlich.

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

118

 5LFKWXQJVlQGHUXQJHQ 5RKUE|JHQ Im Zulauf (Ebene b) des in Bild 4.13 skizzierten Rohrbogens liegen ein achsensymmetrisches Geschwindigkeitsprofil c0 und der konstante Druck p0 vor. Durch die Krümmung der Stromlinien im Bereich des Bogens (c → d) treten Fliehkräfte auf, die durch einen von innen nach außen steigenden Druck im Gleichgewicht gehalten werden (Gl. 3.27). Dies führt zunächst im Krümmeraußenbereich (I → II) zu einem Druckanstieg und damit verbundener Geschwindigkeitsabnahme, während im Innenbereich der Druck fällt und die Geschwindigkeit steigt (Ebene 1/). Im weiteren Verlauf des Krümmers steigt dann im Innenbereich 1’

B

außen

2’

II

1

2

I 0

A rK

D

p0

c0

III

innen Schnitt A-B

ϑ ≈

IV (5 0 ÷ LM 70 )⋅

3

D

p3 c3

%LOG Strömung in einem Rohrbogen. Die in Ebene b ursprünglich rotationssymmetrische Strömung wird im Bereich des Bogens dreidimensional und wird nach einer Ausgleichsstrecke LM wieder rotationssymmetrisch

(III → IV) der Druck wieder bis etwa auf den Wert p3 der ausgeglichenen Abströmung an, während die Geschwindig-keit entsprechend abnimmt. Im zugehörigen Außenbereich sinkt der Druck zum Krümmerende hin entsprechend gegen p3, was zu einer Beschleunigung der Außenströmung führt (Ebene 2/). Noch im Krümmeraustritt (Ebene d) liegt außen eine höhere Geschwindigkeit als innen vor. In den Wandbereichen I → II bzw. III → IV strömt die Grenzschicht gegen steigenden Druck, was zu Ablösung mit Wirbelbildung und zusätzlichen Verlusten führt. Im Schnitt A - B des Krümmers liegt im Außenbereich ein höherer Druck vor als innen. Die langsam strömenden Wandgrenzschichten stehen - im Gegensatz zur Kernströmung, die Gl. (3.27) unterliegt - nicht im dynamischen Gleichgewicht mit dem Druckgradienten in Umfangsrichtung. Daher wird das langsame Grenzschichtmaterial längs der Rohrwand nach innen gedrückt. Dort trifft es auf die entsprechende Strömung der Gegenwand und wird dann in der Rohrmitte wieder nach außen geführt. Eine solche Strömungsbewegung, die in einer Ebene normal zur eigentlichen Hauptströmung stattfindet, nennen wir Sekundärströmung. Sie tritt in allen gekrümmten Kanälen auf (z. B. Schaufelgitter von Strömungsmaschinen). Im Falle des Rohrbogens entstehen zwei schraubenförmige gegenläufige Sekundärwirbel. Zu ihrem Abklingen und zum Ausgleich des unsymmetrischen Geschwindigkeitsprofils ist eine gerade Ablaufstrecke von LM ≈ (50 ÷ 70)⋅D erforderlich. Die durch den Krümmer hervorgerufenen Verluste entstehen durch Wandreibung, Ablösung und Sekundärströmungen. Sie werden im Krümmer selbst und in der Ablaufstrecke erzeugt, rechnerisch jedoch allein dem Krümmer zugewiesen. Die in Tab. 11.11/II dargestellten ζ - Werte beziehen sich auf hydraulisch glatte Krümmer bei Re = 2⋅105. Nach [26] läßt sich der Einfluß von Re-Zahl und Rauhigkeit kS beim Rohrbogen durch den folgenden Ansatz erfassen:

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

119

⎛ k ⎞ ζ⎜ Re, S ⎟ = CRe Ck ζ(Re = 2 ⋅105 , glatt ) ⎝ D⎠ ⎧20,2 ⋅ Re−0,25 CRe = ⎨ ⎩1 ⎧1 ⎪ CK = ⎨1 + 103 k S / D ⎪2 ⎩

für 3 ⋅ 103 ≤ Re < 105 für Re ≥ 105

(4.58)

für 0 ≤ kS / D ≤ 0,47 ⋅ Re-0,75⎫ ⎪ für 0,47 ⋅ Re-0,75 < k S / D ≤ 10-3 ⎬ für 4 ⋅104 < Re < ∞ ⎪ für kS / D > 10-3 ⎭

3UD[LVKLQZHLV Die Verlustzahlen für stetige Querschnittsänderungen und Richtungsänderungen sind von der Re-Zahl abhängig. Die in Kap. 4.3.4 und Tab. 11.11 angegebenen Werte beziehen sich auf glatte Formstücke bei hohen Re-Zahlen ( > 105) und sind daher nur als Richtwerte anzusehen. Bei geringeren Re-Zahlen und größerer Rauhigkeit werden die Verlustzahlen größer. In Armaturen und bei Strömungsgeometrien mit scharfen Kanten hat die Re-Zahl kaum Einfluß auf die Verlustzahlen. Die Zahlenwerte für Armaturen streuen stark und sind herstellerabhängig, daher haben die Angaben in Tab. 11.11/V nur Richtwertcharakter. Gl. (4.122) gestattet die Berechnung der ζ-Werte von Stellventilen. )OON|USHUVFKLFKWHQ Wenn in einem geraden Rohr vom Durchmesser D eine Füllkörperschicht der Länge L (Füllkörpersäule) eingebracht ist, so läßt sich nach [7] deren Druckverlust berechnen

− ∆p V = −(p2 − p1) =

2(1 − ε) ε

3

λF

L ρ 2 c DP 2

(4.59)

Dabei ist ε = Hohlraumvolumen/Säulenvolumen der Lückengrad der Füllung und DP = 6VP/AP wird als Partikeldurchmesser definiert. VP kennzeichnet das Gesamtvolumen und AP die gesamte Oberfläche aller Partikel der Füllschicht. Bei geometrisch gleichen Partikeln können die Werte des einzelnen Partikels verwendet werden. c ist die mittlere Zuströmgeschwindigkeit im Rohr vor der Säule und ρ die Fluiddichte. Die Verlustzahl λF der Füllkörperschicht kann für verschiedene Füllkörperkategorien in Abhängigkeit von der nachstehend definierten Re-Zahl ReF bestimmt werden:

Re F =

1 c DP 1− ε ν

Kugelschichten:

λF =

(4.60)

160 Re F

+

3,1 Re0F,1

ε = 0,317 + 0,428Dp/D

(4.61)

andere reguläre Füllkörpergeometrien

λF =

160µ Re F

+

4,5µ Re0F,1

Raschigringe Prallringe

ε = 0,52 ÷ 0,80 ε = 0,52 ÷ 0,80

µ = 1,575 µ = 1,080

(4.62)

4 Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

120

ε = 0,65 ÷ 0,80 Intaloxsättel Berlsättel ε = 0,55 ÷ 0,75 Granulatschichten (scharfkantige, regellose Geometrie)

λF =

150 Re F

µ = 0,855 (4.62) µ = 0,855

+ 1,75

(4.63)

9HUOXVWHLQHLQVWUlQJLJHQ/HLWXQJVV\VWHPHQ Ein einsträngiges Leitungssystem möge aus n geraden Rohrstücken der Länge Li und des Durchmessers Di sowie m Formstücken mit den Verlustzahlen ζj und den zugehörigen Durchmessern Dj bestehen. Die Gesamtverluste dieses Stranges betragen dann n ⎛ L ρ ⎞ m⎛ ρ ⎞ ρjStrang = ∑ ⎜ λ c2⎟ + ∑ ⎜ ζ c2⎟ i = i ⎝ D 2 ⎠ i j=1⎝ 2 ⎠ j

(4.64)

 /A, so ergibt sich daraus Setzen wir für die mittleren Geschwindigkeiten jeweils c = V

⎧⎡ n ⎛ L 1 ⎞ m ⎛ 1 ⎞ ⎤ ρ ⎫ ⎪ 2 ⎪  ρjStrang = ⎨⎢ ∑ ⎜ λ ⎟ + ∑ ⎜ζ 2⎟ ⎥ ⎬ V 2 2 D ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A i j=1 A j⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩⎢⎣i =1 

(4.65)

R

Wählen wir aus den verschiedenen kreisförmig angenommenen Querschnitten Ai, Aj einen Bezugsquerschnitt AB mit dem Bezugsdurchmesser DB , so wird aus Gl. (4.65) 4⎤ ⎫ ⎧⎡ 4 m ⎛D ⎞ 8ρ ⎪ ⎪ n L ⎛D ⎞ ρjStrang = ⎨⎢ ∑ λ i i ⎜ B ⎟ + ∑ ζ j ⎜⎜ B ⎟⎟ ⎥ 2 4 ⎬ V2 ⎢ j =1 ⎝ D j ⎠ ⎥ π D B ⎪ ⎪⎢⎣i =1 Di ⎝ Di ⎠ ⎦⎥ ⎭ ⎩

(4.66)

R

Sind alle Durchmesser des Strangs gleich und die Summe aller geraden Rohrstücke beträgt ΣL, so folgt daraus ⎧⎛ ∑ L ⎛ ∑L ⎞ρ ⎞ ρ ⎫ 2 ρjStrang = ⎜ λ + ∑ ζ⎟ c2 = ⎨⎜ λ + ∑ ζ⎟ ⎬ ⎝ D ⎠2 ⎝ ⎠ 2A 2 ⎭ V D ⎩

D = konst.

(4.67a,b)

R

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, daß die entstandene Dissipationsenergie jStrang zu einer Erhöhung der inneren Energie u und damit zu einer Temperaturerhöhung im Fluid führt. Bei adiabater Leitung (dqStrang = 0) und inkompressibler Strömung (dv = 0) gilt dj = du. Daher stellt sich gemäß Tab. 1.4 (Zeile 3) bzw. Gl. (3.45) die nachstehende Temperaturerhöhung ein: ∆TStrang =

jStrang cF

(Flüssigkeiten)

∆TStrang =

jStrang cv

(Gase, Ma ≤ 0,3)

(4.68a,b)

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

121

3UD[LVKLQZHLV Im Normalfall ist die Temperaturerhöhung eher unbedeutend. Bei Strömungsvorgängen mit extrem starker Verlustentwicklung (Drosselventile in Hydraulikanlagen, geschlossene Pumpenkreisläufe großer Leistung) ist jedoch die Temperaturerhöhung im Fluid im Rahmen einer Wärmebilanz zu prüfen. Den Verlust an fluidmechanischer Leistung erhalten wir zu ⎛ ∑L ⎞ ρ + ∑ ζ⎟ A c3 ⎝ D ⎠ 2

für D = konst.: P V = ⎜ λ

P V = jStrang m

(4.69a,b)

Definieren wir die Ausdrücke in den geschweiften Klammern der Gl. (4.65) ÷ (4.67) als Strangwiderstand R, so ergibt sich ein quadratisches Verlustgesetz

2 ρjStrang = RV

R = R(Geometrie,Re)

(4.70a,b)

Abschließend wollen wir - zunächst anhand von Gl. (4.67a) - die Möglichkeiten der experimentellen Bestimmung der Reibungsverluste in Leitungssträngen untersuchen. Bei Versuchsdurchführung unter Einhaltung strömungsmechanischer Ähnlichkeit (geometrische Ähnlichkeit einschließlich der bezogenen Rauhigkeit und gleiche Re-Zahlen → Tab. 3.1, Zeile 1) ist der runde Klammerausdruck in Gl. (4.67a) im Modell und im Original gleich. Daraus folgt

(ρj ) (ρj )

Strang Original Strang Modell

=

∆p V − Original ∆p V − Modell

(ρc ) (ρc ) 2

=

Original

(4.71)

2

Modell

Obige Gleichung gilt auch für Stränge entsprechend Gl. (4.64).

8,2m

9,5m

10m

1m

%HLVSLHO  1 1 Die skizzierte Anlage besteht p0 = 1 bar t = 16°C aus handelsüblich verzinkten B1 10m Rohren mit D = 0,1 m. Die . Anschlüsse Behälter/RohrleiV12 2 tung und das T-Stück sind S2 1,5m scharfkantig. Rohrbögen: ϑ = 3 5 3 90 °; rK/D = 2; Re ≈ 2⋅10 . S1 . E A 0,8m V31 t = 16°C 4.4.1 Welcher WasservoB2 1,5m  12 lumenstrom V strömt aufgrund der ∆ pP Höhendifferenz von Behälter B1 in Behälter B2 (Schieber S2 auf, S1 zu). 4.4.2 Bei Pumpenbetrieb soll ein maximaler Volumenstrom V 3 1− m a x = 0,02 m3/s von Behälter B2 in Behälter B1 gefördert werden (S1 auf, S2 zu). Welche totale spezifische Strömungsarbeit ytA ist dazu erforderlich ? Welche Druckdifferenz ∆pP = pA - pE muß die Pumpe liefern und wie groß ist die erforderliche Kupplungsleistung PK (Kupplungs-wirkungsgrad der Pumpe: ηtK = 0,7) ? 4.4.3 Für die Schaltung gemäß 4.3.2 ist die Anlagenkennlinie ytA = f( V31 ) im Betriebsbereich 0 ≤ V31 ≤ 0,02 m3/s zu ermitteln. Alternativ ist die Kennlinie ytA/ = f( V31 ) zu berechnen, die sich bei λ = konst = λ( V31− max ) ergeben würde. Das Zusammenspiel mit der im Diagramm vorgegebenen

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

122 Pumpenkennlinie ytP ist zu analysieren.

3UD[LVKLQZHLVZwei Typen von Rohrleitungsberechnungen sind zu unterscheiden:  oder c sind gegeben. Direkte Durchrechnung ist möglich: Typ I: V  → c → Re → λ → ρj12 (Beispiele 4.1; 4.2; 4.3.2) V  oder c sind gesucht. Wegen λ = λ(Re,....) ist eine iterative Rechnung erforderlich. Typ II: V Startwert: λ = 0,02 → c → Re → λ iterativer Rücksprung und Neuberechnung von c. Konvergenzverhalten: → nächster Praxishinweis (Beispiel 4.4.1) /|VXQJ4.4.1) Stoffwerte: Tab. 11.3: ρ(t = 16 °C) = 998,90 kg/m3; ν(t) = 1,1093⋅10-6 m2/s Daten der Anlage: Rauhigkeit: Tab. 11.9: kS ≈ 0,13 mm (Mittelwert) Länge der geraden Rohrstücke: ΣL = 19,7 m kS/D = 0,13 mm/100 mm =1,3⋅10-3 Verlustzahlen der Formstücke: Annahme: turbulente Strömung. Einlaufstrecke Gl. (4.17) sL ≈ (40 ÷ 50)⋅D < 1/2 ΣL → Gemäß Kap. 4.3.3.4 sind damit die Verluste in der Rohreinlaufströmung vernachlässigbar: ζsL ≈ 0. Ein Rohraustrittsverlust tritt nicht auf, da Kontrollfläche d unmittelbar hinter Rohraustritt (keine Verwirbelung): ζA = 0. Rohrbogen ζK = 0,2 Tab. 11.11: Eintritt Rohr ζE = 0,5 Schieber S2 ζS ≈ 0,2 Σζ = 2,18 T-Stück (Stromtrennung) ζT = 1,28 ρ 2 ρ 2 (I) Energiesatz c → d p1 + c1 + ρgz1 = p2 + c2 + ρgz2 + ρj12 2 2 Randbedingungen: p1 = p2 = p0; c1 ≈ 0 ⎛ ∑L ⎞ρ Gl. (4.67a) ρj12 = ⎜ λ + ∑ ζ⎟ c22 (II) Aus (I) und (II) sowie Randbedingungen folgt: ⎝ D ⎠2 2g( z1 − z2) c D (III) λ = λ (Re, k S / D) Re = 2 (IV) ∑L ν 1+ λ + ∑ζ D Tabellarische Durchführung des iterativen Berechnungsablaufs. Die Zahlenwerte werden hier mit über die technischen Erfordernisse hinausgehender Genauigkeit berechnet, um die numerische Konvergenz aufzuzeigen. c2 =

Rechenschritt Startwert λ c2 [m/s] Re Bereich λ λ c2 = 5,014 m/s

Gleichung etc. III IV Bild 4.8 4.35

1. Iteration 0,02 5,11648 461235 Bereich 4 

 12 = c2 A Rohr = 5,014 V

2. Iteration  5,01439 452032 Bereich 4 

3. Iteration  5,01369 451969 Bereich 4 0,0214973

m (0,1 m) 2 π m3 = 0,03938 s 4 s

3UD[LVKLQZHLV Das iterative Rechenverfahren konvergiert rasch. Nach der 2. bis 4. Iteration liegt das Ergebnis mit ausreichender Genauigkeit vor (die größere Anzahl von Iterationsläufen ist bei kleinen Re-Zahlen erforderlich). 4.4.2) Von Aufg. 4.4.1 abweichende Daten der Anlage: ΣL = 20,5 m; T-Stück ζT = 0,04; Σζ = ζE + 2ζK + ζS + ζT + ζA = 0,5 + 2⋅0,2 + 0,2 + 0,04 + 1 = 2,14 Auslaßverlust ζA = 1,0;

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

y tA = y t 31 =

Gl. (3.49a)

123

p1 − p 3 c12 − c23 + + g( z1 − z3) + j13 ρ 2

(Energiebedarf der Anlage)

j13 beschreibt die Verluste in der Leitung, nicht aber diejenigen in der Pumpe (→ jM). Randbedingungen: p1 = p3 = p0; c3 = c1 ≈ 0. Einsetzen der Randbedingungen und Verwendung von Gl. (4.67b) liefert ⎛ ∑L ⎞ 1 2 2 y tA = y t 31 = g (z1 − z3) + j31 = g (z1 − z3) + ⎜ λ + ∑ ζ⎟ V31 = g (z1 − z3) + a V31 D ⎝ ⎠ 2 A 2Rohr konst .

Gl. (I)

f (V)

Berechnung λ , j31 und yt31 für den maximalen Volumenstrom V31− max =0,02 m3/s: c Rohr

m3  31− max 4 ⋅ 0,02 s m V = 2,546 = = s π ⋅ (0,1m) 2 A Rohr

Gl. (4.35): λ = 0,02199 (Startwert: λ ≈ 0,02)

m ⋅ 0,1 m s = 229514 2 -6 m 1,1093 ⋅ 10 s Näherung: Gl. (4.39): λ = 0,02199 D c Re = Rohr = ν

2,546

2

2 ⎛ 3⎞ 20,5 m 1 J ⎛ ⎞  231− max = 53886 Js ⋅ ⎜ 0,02 m ⎟ = 21,55 j31 = ⎜ 0,02199 ⋅ + 2,14⎟ ⋅ V 2 6 4 ⎝ ⎠ 2 ⋅ 0,007854 m 0,1 m s ⎠ kg kgm ⎝ J m J = 119,65 y tA = y t 31 = 9,81 2 ⋅ (10 m) + 21,55 kg kg s Pumpe. Gleiche Durchmesser und gleiche Höhenlage der Stutzen : cE = cA; zE = zA p − p E ∆p P = Gl. (3.49b) y tM = y tA = A bei vorstehenden Randbedingungen ρ ρ

∆p P = ρy tA = 998,90

Gl. (3.54b) 4.4.3)

PK =

 y tA m ηtK

y tA = 98,1 y /tA = 98,1

=

kg m3

⋅ 119,65

 y ρV 31 t 31 ηtk

J = 1,1952 ⋅ 105 Pa kg

998,90 =

3 J ⋅ 0,02 m ⋅ 119,65 kg s m = 3, 415 ⋅ 103 W 0,70

kg

3

J 2  31 + aV → a = a ( λ (Re)) : zu jedem Betriebspunkt Bestimmung von λ = λ(Re) kg

J 2  31 + a/ V → a / = a / ( λ ( V31− max)) = konst. : Bestimmung λ nur für V31− max kg

J J s2 + 53886 (Bestimmung a und a/ gemäß Gl. (I)) ⋅ V2 kg kg m6 31 Die Abweichungen durch die vereinfachte Berechnung λ = λ( V 3 1 − m a x ) sind vernachlässigbar gering. Im folgenden Diagramm sind sie im Rahmen der Zeichengenauigkeit nicht erkennbar. y /tA = 98,1

-3 3 V31 [10 m /s] ytA [J/kg] → λ = λ(Re) ytA/ [J/kg] → λ = konst.

0

4

8

98,10 99,05 101,69 98,10 98,96 101,55

12

16

20

(24)

106,01 105,86

111,92 111,90

119,65 119,65

(128,98) (129,14)

3UD[LVKLQZHLV Bei der Berechnung einer Rohrleitungskennlinie ytA( V ) für voll geöffnete  max die Werte für λ und Schieber sind im Betriebspunkt B1 des maximalen Volumenstroms V Σζ korrekt unter Beachtung der Re-Zahl zu ermitteln. Diese Werte können dann näherungs-

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

124

< V  max verwendet werden. weise auch für die übrigen Punkte der Kennlinie bei V Im Zusammenspiel einer gerechneten Anlagenkennlinie ytA( V ) für voll geöffnete Schieber  ) ergibt sich und einer im Katalog gegebenen Pumpen- / Ventilatorkennlinie der Form ytP( V zunächst der Betriebspunkt B0 als Schnittpunkt beider Kennlinien. Dazu gehört der in die B0 . Dieser muß um einen gewissen Sicherser Anlage maximal mögliche Volumenstrom V heitsabstand (Ungenauigkeiten der Rechnung) größer sein als der maximal geforderte Volu B0 > V  max . menstrom V max : V Möglichkeiten zur Einstellung des tatsächlich gewünschten Volumenstroms V < V B0 sind: • Änderung Maschinenkennlinie (Drehzahländerung, Schaufelverstellung): B0 → B1; ytP → ytP-I • Änderung Anlagenkennlinie (Drosselung durch Schieber): B0 → B2; ytA → ytA-I • Bypass – Schaltung  ) nicht monoton fallend, wird sie als „instabil“ bezeichnet. Der Ist die Pumpenkennline ytp (V

 > dy / dV . Betriebpunkt B ist nur stabil, wenn dort gilt: dy tA / dV tP

140 I kg 130

ytP

B2 ytP-I

ytA, ytP

120

B0 B1

ytA-I 110

ytA ~ ~ y’tA . V31-max

100

B4 0

4

8

12

. VB0

m³ 16 . 20 ⋅103 s V31

ytP: Kennlinie der Kreiselpumpe bei der Ausgangsdrehzahl ytP-I: Kennlinie der Kreiselpumpe bei geringerer Drehzahl ytA: Anlagenkennlinie, bei der für jeden Volumenstrom die Rohrreibungszahl λ = λ(Re,ks/D) korrekt berechnet ist y/tA: Anlagenkennlinie, bei der die Rohrreibungszahl λ = λ( V max ) für alle Betriebspunkte verwendet wird (Näherung) ytA-I: Durch teilweises Schließen des Schiebers (Drosselung) geänderte Anlagenkennlinie B0 → B1 : Einstellung des gewünschten Volumenstroms durch Drehzahländerung B0 → B2 : Einstellung des gewünschten Volumenstroms durch Drosselung

9HUOXVWHLQPHKUVWUlQJLJHQ/HLWXQJVV\VWHPHQ Jeder der in Bild 4.14b dargestellten n parallelen Stränge Si weist die gleiche Druckdifferenz auf, und es gilt aufgrund des Energiesatzes Gl. (4.25)

p1 − p2 = − ∆p12 =

ρ α 2 c2m2 − α1 c2m1 + ρg(z2 − z1) + ρjSi = konst. 2 

(

)

B12

(4.72)

S

1

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen 125  . .  [3] 2 V V1 [2]  1 . R1 2  1 V2 . . . Sm S1 S2 S2  V V V . R2  Vn R1 Rm R2 S  n ^R Rn = R  ^R = P D E   %LOG Schaltung von Leitungssträngen. D Reihenschaltung. E Parallelschaltung. Die Kontrollebenen in eckigen Klammern beziehen sich auf Beispiel 4.5

Mit Hilfe von Gl. (4.70a) erhalten wir daraus für den einzelnen Strang Si

i= V

 2i p1 − p2 = B12 + R i V

p1 − p2 − B12

(4.73a,b)

Ri

Wir wollen die komplette Parallelschaltung durch ihren Gesamtwiderstand RP in der Form

 = V

2 p1 − p2 = B12 + R P V

p1 − p2 − B12

(4.74a,b)

RP

 =V  1+ V  2 + ⋅⋅⋅ + V  n die Gl. repräsentieren. Wenn wir in die Volumenstrombilanzgleichung V (4.73b) und (4.74b) einführen, so erhalten wir eine Berechnungsgleichung für den Gesamtwiderstand RP der Parallelschaltung

1 RP

=

1 R1

+

1 R2

+ ⋅⋅⋅ +

1 Rn

RP =

1 ⎛ n 1 ⎞ ⎜∑ ⎟ ⎜ i =1 ⎟ Ri ⎠ ⎝

2

(4.75a,b)

Gl. (4.74b) liefert bei vorgegebenen Drücken in den Punkten c und d den Gesamtvolumenstrom durch die Parallelschaltung (falls α1cm12 ≠ α2cm22 ist die Größe B12 iterativ zu berechnen). Durch Gl. (4.73b) ist die Bestimmung der Teilvolumenströme in den einzelnen Teilsträngen möglich. In der Praxis werden bei Parallelschaltungen häufig definierte Volumenströme Vi für die einzelnen Stränge gefordert. Dann ist folgendermaßen vorzugehen: • Berechnung der Verluste ρjSi = Ri V 2i der einzelnen Stränge gemäß Gl. (4.65) • Der Strang mit dem größten Verlust ρjS-max bestimmt die erforderliche Druckdifferenz (p1 -p2)erf

(p1− p2)erf = B12 + ρjS−max = B12 + (Ri V 2i )max

(4.76a,b)

• In den übrigen Strängen sind, da alle Stränge die gleichen Verluste aufweisen müssen, zusätzliche Verluste ρjZ-Si = R Z i V 2i zu erzeugen, wobei Rzi den zusätzlichen Strangwiderstand darstellt

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

126

 i2 = ρjS − max − ρjSi ρjZ−Si = R Zi V

ρjZ−Si = ζ Zi

ρ 2 c 2 i

ζ Zi =

2ρjZ−Si ρci2

(4.77a,b,c)

Die zusätzlichen Verluste werden durch Drosselung erzeugt (Blendenscheibe, Androsseln einer Armatur). ζZi repräsentiert die zugehörige Verlustzahl der Blendenscheibe (s. Tab. 11.11 I) und ci ist die mittlere Geschwindigkeit des Stranges. Werden m Teilstränge Sj mit den Teilstrangwiderständen Rj in Reihe geschaltet (Bild 4.14a), so läßt sich anhand der Struktur von Gl. (4.65) direkt die Bestimmungsgleichung für den Gesamtwiderstand RR der Reihenschaltung angeben (Gl. (4.78a)). Analog zu Gl. (4.74a) erhalten wir mit Gl. (4.78b) die Energiebilanz der Reihenschaltung m

RR = ∑ R j j=1

2 p1 − p2 = B12 + R R V

(4.78a,b)

Wird aufgrund vorliegender Randbedingungen der Energieterm B12 zu Null, so gilt

p1 − p2 = ρj12 = − ∆p V12

(4.79)

d.h. die für den jeweiligen Strang bereitzustellende Druckdifferenz entspricht in diesem Fall bei Reihen- bzw. Parallelschaltung dem Betrag der Druckverluste. Beliebige Schaltungen (ohne Volumenstromänderung innerhalb der Teilstränge) lassen sich stets auf die Grundmoduln Parallel- bzw. Reihenschaltung zurückführen und dann zu einem Gesamtwiderstand zusammenfassen. Kombinieren wir z. B. die in Bild 4.14a und b dargestellten Schaltungsmoduln, so ergibt sich dafür der Gesamtwiderstand zu

2. Rges = RP + RR und ρjges = Rges V  %HLVSLHO Zu untersuchen ist ein Leitungssystem entsprechend Bild 4.14a,b. Zwischen den Kontrollflächen c → d liegt als Schaltungsmodul eine Reihenschaltung mit drei Teilsträngen vor, daran schließt sich unmittelbar als zweites Modul eine dreisträngige Parallelschaltung d → [3] an. Gegebene Daten und Randbedingungen: Wasservolumenstrom: V = 0,075 m3/s; Wassertemperatur t = 12 °C; Formfaktoren αi = 1 Zulaufleitung c: D1 = 0,2 m; z1 = 0 m; p1 = 6 bar; Schaltungsschnittstelle d: D2 = 0,2 m; z2 = 0 m; Ablaufleitung [3]: D3 = 0,15 m; z3 = 5 m Reihenschaltung c → d Teilstrang λi ΣLi [m] 15 0,0193 S1 8 0,0190 S2 0,0193 12 S3

Σζi 0 2,7 1,8

Di [m] 0,20 0,15 0,20

Parallelschaltung [2] → [3] λi ΣLi [m] Σζi 2,8 13 0,0180 3,5 15 0,0175 4,2 20 0,0185

Di [m] 0,100 0,065 0,120

4.5.1 Wie groß sind die Widerstände der Teilstränge, der Schaltungsmoduln und der Gesamtschaltung ? Welcher Enddruck p3 liegt in der Ablaufleitung [3] vor ? Wie groß ist die Temperaturerhöhung im Fluid ? 4.5.2 Von welchen Teilvolumenströmen Vi werden die Teilstränge der Parallelschaltung durchströmt ? /|VXQJ 4.5.1) Stoffdaten: Tab. 11.3: ρ(t = 12 °C) = 999,45 kg/m3 ; Gl. (11.17): cF = 4204 J/(kgK)

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

127

ρ ⎛ ∑L ⎞ + ∑ ζ⎟ Ri = ⎜ λ ⎝ D ⎠ i 2A i2 Modul-Widerstände: Reihenschaltungsmodul: Gl. (4.78a); Parallelschaltungsmodul: Gl. (4.75b)

Strangwiderstände gemäß Gl. (4.67b):

Strang S2 5942240 3,4213⋅108

Strang S1 732909 41640355

Reihenschaltung [Pas2/m6] Parallelschaltung [Pas2/m6]

Strang S3 Modul 1497716 RR = 8172865 2,8455⋅107 RP = 6360923

Gesamtschaltung: R ges = R R + R P = 14,5338 ⋅ 106 Pa ⋅ s2 / m6 2 p1 − p 3 = B13 + R ges V

Analog zu Gl. (4.74a, 4.78b) und wegen Rges = RR + RP gilt Gl. (4.72): B13 =

ρ 2 c − c2 + ρg( z3 − z1) 2 m3 m1

(

)

(

cmi =

 V

c m1 = 2,387

Ai

m s

c m3 = 4,244

m s

)

2 999,45 kg kg m 2 − 2,3872 m + 999,45 ⋅ 9,81 (5 m ) = 55177 Pa 4 , 244 2 3 2 m3 s m s2 2 6 5  = 6 ⋅ 10 Pa - 55177 + 14,534 ⋅ 10 ⋅ 0,0752 Pa = 4,6307 ⋅ 105 Pa p3 = p1 − B13 + R ges V

B13 =

(

)

Aus Gl. (4.66) und (4.68a) folgt

(

)

2 R ges V = ρjges = ρ∆Tges c F

2

∆Tges =

R ges V ρcF

m3 ⎞⎟ Pas2 ⎛⎜ 0,075 6 ⎜ s ⎟⎠ m ⎝ = 0,0195 K J kg 999,45 ⋅ 4204 kgK m3

14,534 ⋅ 106

2

=

3UD[LVKLQZHLV Bei inkompressiblen Rohrströmungen ist im allgemeinen die Temperaturerhöhung vernachlässigbar gering. 4.5.2) Gl. (4.73b): Vi =

p2 − p 3 − B23

Ri Zur Auswertung der vorstehenden Gleichung sind die Randbedingungen p2, cm2 und z2 in der Ebene d erforderlich. 2 Gl. (4.78b), (4.72): p2 = p1 − B12 + R R V z1 = z2; cm2 = cm1 → B12 = 0 → B23 = B13

(

(

)

)

p2 = 6 ⋅ 105 − 8,1729 ⋅ 106 ⋅ 0,0752 Pa = 5,5403 ⋅ 105 Pa 1 = V

(5,5403 − 4,6307 − 0,55177 )⋅ 105 Pa 416,40 ⋅ 105

2

Pas m6 3

 2 = 0,010227 m Analog ergeben sich V s

= 0,02931 m s 3

 3 = 0,03546 m V s

3

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

128

%HLVSLHO In der Skizze ist ein Lüftungssystem, bestehend aus kreisförmigen und rechteckigen Kanälen mit den geforderten Auslaßvolumenströmen V2 , V4 und V5 dargestellt. Daten der Anlage: Lufttemperatur t = 20 °C. Leitungsoberfläche: handelsüblich verzinkt. Bögen: rK/D = 2;Re≈2⋅105. Formfaktoren: αi = 1. Weitere Strangdaten:

V5 = 0,056 ms ³ V2 = 0,22 ms ³ 0 p0 = 1bar

V4 = 0,042 ms ³

S3 1

. S1 V1

A

S4

S5

. V3

S2

∆p1 = p1-p0

Teilstrang

ΣLi [m]

S1 S2 S3 S4 S5

5 60 8 2 10

Di [m]

bi x hi [m] 0,250 x 0,110 0,250 x 0,110

0,125 0,080 0,125

3

Vi [m /s] (0,318) 0,220 (0,098) 0,042 0,056

Die Verlustzahlen der einzelnen Luftauslässe betragen einschließlich Auslaßverlust ζLA = 4,2. Die Verluste der Einlaufstrecken sind zu vernachlässigen (ζsL ≈ 0). Potentielle Energien können bei Gasströmungen vernachlässigt werden. 4.6.1 Welcher erforderliche Überdruck ∆p1 =(p1 - p0)erf muß in der Eintrittsebene c bereitgestellt werden ? 4.6.2 Wie sind die notwendigen Blendenscheiben zu dimensionieren, wenn das System auf die gewünschten Auslaßvolumenströme einreguliert wird ? /|VXQJ 4.6.1) Stoffwerte: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); B = 1,4747⋅10-6 Pas/K1/2; S = 113 K p kg 105 Pa Gl. (1.3a) ρ ≈ 0 = ρ ≈ konst. im System = 1,188 3 J RT0 287,06 m ⋅ (273,15 + 20) K kgK

BT1,5 Gl. (11.9) η = = T+S

1,4747 ⋅ 10−6

Pas K

⋅ (293,15 K)

(293,15 + 113) K

1,5

= 1,822 ⋅ 10−5 Pas

η 1,822 ⋅ 10−5 Pas m2 = = 1,534 ⋅ 10−5 kg ρ s 1,188 3 m Rauhigkeit: Tab. 11.9: kS ≈ 0,13 mm (Mittelwert). Hydraulischer Durchmesser der Rechteckkanäle (s. 2h 2 ⋅ 0,11 m Beispiel 3.1.1) D h = = = 0,1528 m h 0,11 m 1+ 1+ b 0,25 m cD Gl. (4.2b) → c; Re = (Strang S1 und S2 : D → Dh) Gl. (4.35) → λ ν Berechnung der Verlustzahlen. Annahme: Trotz teilweise abweichender geometrischer Formen sind für Rohrbögen und Stromtrennung die Verlustzahlen ζ gemäß Tab. 11.11 II/III zu bestimmen.  0,098 m3 / s V ≈ 0,31 → ζS1-S2 = -0,064 Strang S2: 90 ° Bogen: ζK = 0,2; Stromtrennung: x = 3 =  V1 0,318 m3 / s Gl. (1.16) ν =

4.3 Strömung in Rohrleitungssystemen

∑ ζS2 = ζS1−S2

c12 + ζ K + ζ LA c22

129 (Umrechnung ζS1-S2 auf Bezugsgeschwindigkeit c2)

Strang S3: 90 ° Bogen: ζK = 0,2; Stromtrennung: x = 0,31 → ζS1-S3 ≈ 0,89 ∑ ζS3 = ζS1−S3 ∑ ζS4 = ζS3−S4

Strang S4: Stromtrennung: x = 0,43 → ζS3-S4 ≈ 0,90

c32 c 24

c12 + ζK c23

+ ζ LA

Strang S5: 90 ° Bogen: ζK = 0,2; Stromtrennung: x = 0,43 → ζS3-S5 ≈ -0,032

c23 + ζ K + ζ LA c52 Tabellarische Berechnung der Teilstränge. Strangverluste ρjS gemäß Gl. (4.67a). Die erforderliche Druckdifferenz (p1 - p0)erf ergibt sich aus den Teilsträngen S1 + S2 (maximaler Druckverlust). ∑ ζS5 = ζS3−S5

Teilstrang S1 S2 S3 S4 S5

ci [m/s] 11,560 8,000 7,986 8,356 4,563

Rei 1,1515⋅105 7,9687⋅104 6,5075⋅104 4,3578⋅104 3,7182⋅104

kS/D(h)i 0,85⋅10-3 0,85⋅10-3 1,04⋅10-3 1,625⋅10-3 1,04⋅10-3

λi 0,02135 0,02220 0,02334 0,02603 0,02518

ΣζSi 0,00 4,27 2,06 5,02 4,30

ρjS [Pa] 55,5 493,7 134,6 235,2 78,1

Energiessatz c → b gemäß Gl. (4.72) bzw. (4.76a) ergibt (bei Vernachlässigung von ρg∆z) ρ p1− p0 = B10 + ρjS1+ 2 Randbedingungen: c0 = 0 → B10 = − c12 erf 2

(

)

2

kg ⎛ m⎞ , ⋅ ⎜11,56 ⎟ + (55,5 + 493,7) Pa = 469,8 Pa (p1− p0)erf = − 1188 2 m3 ⎝ s⎠ 4.6.2) Da die Verluste vom Verzweigungspunkt A zu den einzelnen Auslässen jeweils gleich sein müssen, sind in den Strängen S4 und S5 Blendenscheiben zur Einstellung der geforderten Volumenströme vorzusehen. Erforderliche Zusatzverluste in der Blende des Stranges S4: Gl. (4.77a): ρjZ −S4 = ρjS2 − (ρjS3 + ρjS4 ) = 493,7 Pa - (134,6 + 235,2)Pa = 123,9 Pa ζ Z − S4 =

Verlustzahl der Blende: Gl. (4.77c)

2ρjZ −S4 ρc24

=

2 ⋅ 123,9 Pa 1,188

kg ⎛ m⎞ ⎜ 8,356 ⎟ s⎠ m3 ⎝

2

= 2,99

2

A 2 ⎛ DN 4 ⎞ =⎜ ⎟ ≈ 0,545 (Startwert 0,5 aus Diagramm, genaueres Ergebnis durch proA1 ⎝ D G 4 ⎠ beweises Einsetzen in die Regressionsgleichung) Tab. 11.11/I: x =

Innendurchmesser Blendenscheibe

D N 4 = 0,545 DG 4 = 0,545 ⋅ 0,08 m = 0,0591 m

(

)

Auslegung Blende Strang S5: ρjZ −S5 = ρjS2 − ρjS3 + ρjS5 = (493,7 − (134,6 + 78,1)) Pa = 281 Pa ζ Z −S5 =

2 ρjZ −S5 ρc52

= 22,72

x=

A2 ≈ 0,279 → D N5 = 0,279 ⋅ 0,125 m = 0,0660 m A1

3UD[LVKLQZHLV Durch Blendenscheiben ist nur eine ungefähre Voreinstellung der Volumenströme in Leitungssystemen möglich. Für präzise Einstellungen sind kontinuierlich verstellbare Einstellarmaturen erforderlich.

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

130

$XVIOX‰YRUJlQJH $XVIOX‰DXVNOHLQHQgIIQXQJHQ Kleine Öffnung bedeutet, daß im Austrittsquerschnitt eine etwa konstante Höhenkoordinate z angenommen werden kann (dh. bei Flüssigkeitsströmungen ≈ konstante Austrittsgeschwindigkeit). Dies ist gegeben bei Öffnungen in horizontalen Flächen. Bei Flüssigkeitsausfluß aus geneigten Flächen sollte ∆z/h ≤ 0,2 sein (Bild 4.15).

∆z

h

6WUDKONRQWUDNWLRQ Analog zu den Vorgängen bei unstetiger Querschnittsverengung (Kap. 4.3.4.2) tritt bei Ausflußvorgängen eine Strahlkontraktion auf den effektiven Strahlquer∗ schnitt A =αKA auf (Bild 4.15). Die im allgemeinen empirisch zu bestimmende Kontraktionszahl αK hängt von der Geometrie der Ausflußöffnung ab (Tab. 11.13). Ihre Zahlenwerte liegen im Bereich 0,5 ≤ αK ≤ 1,0. Der Regressionsansatz in Tab. 11.11/I liefert für A2/A1 → 0 den Grenzwert αK = 0,614 für die scharfkantige Behälter-Ausflußöffnung. Schließt sich an die Behälteröffnung eine Rohrleitung mit L ≥ 3D an, so wird am Rohraustritt αK = 1. Die Reibungseffekte werden dann durch die Verlustzahl ζE des 1 1 Rohreintritts (→ Behälteraustritt) berücksichtigt. 2

A

A* 2

c

%LOG Ausfluß aus einer kleinen seitlichen Öffnung, Strahlkontraktion

*HVFKZLQGLJNHLWV]DKO Im Bereich der Öffnung strömen die Fluidelemente in der Nähe der festen Berandung. Hier treten Reibungseffekte auf, die zu einem Verlust an fluidmechanischer Energie führen. Da die Drücke und Höhenkoordinaten als Randbedingungen fest vorgegeben sind, tritt eine Dissipation von kinetischer Energie auf. Dies bedeutet, daß die tatsächliche Ausflußgeschwindigkeit c kleiner als der entsprechende Wert cs bei reibungsfreier (isentroper) Strömung wird. In der praktischen Anwendung berücksichtigen wir diesen Effekt durch die Geschwindigkeitszahl ϕ ϕ=

c cs

ϕ> D2 D2 = D3 = D5 = 0,2m h1 = 2m A2 = A3 A4 = A3 2

2

hx

2

Ö5; αK5; ϕ5; A5

reibungsfrei αK = 1

h2’

c2 D3

h 3’

h3

h2

2

1

Deckel

D5

h1

t = 12°C Ö2; αK2; ϕ2; ζÖ2; A2 D2

3 ρ 2 c 4 (1 + ζÖ 4 )−c32 2

4 pD

p0

p

4.7.3 Anstelle von Rohr R1 wird das Rohr R2 angesetzt, das am Austritt durch eine Blendenscheibe auf die Hälfte des Querschnitts reduziert wird (A4 = A3/2). Bis zu welcher Länge h3 ist nun abrißfreie Strömung möglich ? 4.7.4 Welche Längen h2/ bzw. h3/ ergeben sich, wenn in 4.6.2 bzw. 4.6.3 reibungsfrei und ohne Strahlkontraktion gerechnet wird ? /|VXQJ4.7.1) Stoffwerte Tab. 11.3: ρ(t = 12 °C) = 999,45 kg/m3. Dampfdruck pD(t ) = 1403 Pa

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

132

Empirische Konstanten. Tab. 11.13: αK2 = α K5 = 0,614; ϕ2 = ϕ5 = 0,98 c2 s = 2gh1 = 6,264 m / s (Torricelli, s. Beispiel 3.5.6)

Gl. (4.82) VÖ2 = VÖ5 = α K2 ϕ 2 c2s A 2

m (0,2 m) ⋅ π m3 ⋅ = 0,1184 s s 4 2

 Ö2 = V  Ö5 = 0,614 ⋅ 0,98 ⋅ 6,264 V

4.7.2) Verlustzahlen. Gl. (4.81b): Strahlkontraktion ζ Ö2 =

1 − ϕ 22 ϕ 22

=

1 − 0,982 0,982

= 0,04123

Tab. 11.11/IV: Rohreintritt ζE = 0,5; Gl. (4.41b): Einlaufstrecke ζsL = 0,018 Die strömende Wassersäule reißt ab, wenn der Dampfdruck unterschritten wird. Dies kann nur in der Ebene d (engster Strahlquerschnitt) geschehen, da dort der niedrigste Druck herrscht. Die bis dahin aufgetretenen Verluste werden durch ζÖ2 (Strahlkontraktion) berücksichtigt. ρ ρ ρ Energiesatz c → d: p1 + c12 + ρgz1 = p 2 + c22 + ρgz2 + ρj12 ρj12 = ζÖ2 c22 2 2 2 Randbedingungen: c1 ≈ 0; p1 = p0; p2 = pD; z1 - z2 = h1 c2 =

2(p0 − p D + ρgh1) ρ(1 + ζ Ö 2 )

Energiesatz d → e p2 +

=

(

)

m 2 105 − 1403 + 999,45 ⋅ 9,81 ⋅ 2 Pa = 15,07 kg s 999,45 (1 + 0,04123) 3 m

ρ 2 ρ c2 + ρgz2 = p3 + c23 + ρgz3 + ρj23 2 2

Gl. (I)

⎛ h ⎞ρ ρj23 = ⎜ λ 2 + ζ E + ζsL⎟ c23 ⎝ D2 ⎠2

Kontinuitätsgleichung d → e: V2 = V3 c2 A∗2 = c2 α K2 A 2 = c3 A 3 A 2 = A 3 c3 = α K 2 c2 Randbedingungen: p2 = pD; p3 = p0 Bem.: Strenggenommen müßte hier ζE um den Wert ζÖ2 reduziert werden, da nur noch die Verluste bei Wiederaufweitung des Strahls benötigt werden. Dies wird jedoch wegen ζÖ2 2sL (s. Kap. 4.3.3.4). Kontinuitätsgleichung d → e → f: c2 α K2 A 2 = c3 A 3 = c4 α K 4 A 4

c4 =

4.4 Ausflußvorgänge

p0 − p D + z2 − z4 = h 3 =

133 2 ⎤ ρ 2 ⎡⎢⎛ α K2 A 2 ⎞ ⎟ + α 2K2 ζ E + ζsL + ζ Ö4 − 1⎥ c2 ⎜ ⎥ 2 ⎢⎝ α K 4 A 4 ⎠ ⎣ ⎦ = 61,52 m ⎡ 1 2 λ ⎤ ρ⎢g − (α K2c2) ⎥ 2 D3 ⎦ ⎣

(

)

Gl. (III)

4.7.4) Reibungsfreie Rechnung ohne Strahlkontraktion liefert mit λ = Σζ = 0; αK = ϕ = 1 aus p − pD Gl.(II): h2/ = 0 = 10,06 m Gl. (I): c2s = 15,38 m/s ρg p0 − pD +

Gl.(III): h 3/ =

ρ 2 ⎡ A22 ⎤ − 1⎥ c ⎢ 2 2s ⎣⎢ A24 ⎥⎦ = 46,23 m ρg

Bemerkungen. In der obenstehenden qualitativen Druckverlaufsskizze wurden an den Beschleunigungsstellen vereinfacht unstetige Beschleunigungen angenommen. Wir erkennen, daß bei reibungsfreier Strömung ohne Strahlkontraktion der Druck im Fallrohr nach dem Gesetz ρg⏐∆z⏐stetig ansteigt. Der Schnittpunkt mit der Geraden p0 = konst. ergibt die mögliche Rohrlänge h2/. Im Falle der Blendenscheibe am Rohrende steigt der Druck zunächst über den Umgebungsdruck p0 an und wird dann durch die Beschleunigung in der Austrittsöffnung wieder auf p0 abgebaut (→ h3/). Bei reibungsbehafteter Strömung mit Strahlkontraktion treten demgegenüber Abweichungen aufgrund der Verzögerung beim Wiederanlegen des eingeschnürten Strahls an die Rohrwand (Druckanstieg) und eine überlagerte Druckabnahme durch Reibungsverluste (Formstücke (ζ) und Rohrreibung (λ)) auf, die zu einem langsameren Druckanstieg im Fallrohr - und damit zu einem längeren Fallrohr - führen.

3UD[LVKLQZHLV Eine Vergrößerung der möglichen Fallrohrlänge R1 ohne Strömungsabriß wird durch Verringerung der Strahlkontraktion (gute Ausrundung des Einlaufs, αK2 → 1) und Vergrößerung von Verlustzahlen und Rohrreibungszahl erreicht (s. Gl. II). Eine einstellbare Fallrohrlänge (z. B. zum Befüllen tiefgelegener Tanks) läßt sich durch ein Drosselventil mit verstellbarer Verlustzahl ζZ kurz vor dem Ende des Rohres oder durch eine Austrittsdüse/blende mit variablem Austrittsquerschnitt A4 realisieren. Im ersteren Fall liefert Gl. (II) für eine gewünschte Länge h2 die erforderliche Zusatzverlustzahl ζZ des Drosselventils, indem der in der runden Klammer des Zählers stehende Ausdruck durch den modifizierten Summanden (1 + ζE + ζsL + ζZ) ersetzt wird. Im zweiten Fall liefert Gl. (III) die benötigte Austrittsfläche A4. Tritt aus einer horizontalen Öffnung ein senkrecht nach unten gerichteter Freistrahl aus, so erhöht sich die Geschwindigkeit im Strahl mit zunehmender Entfernung vom Öffnungsquerschnitt. Dadurch tritt eine zunehmende Einschnürung des Freistrahls ein. In einem von unten nach oben durchströmten Saugrohr einer Pumpe wird der hydrostatische Druckabfall stets durch Reibungsverluste sowie den Druckabfall durch Beschleunigung auf Rohrgeschwindigkeit verstärkt. Dadurch tritt der Dampfdruck, der die maximale Saughöhe hSaug-max durch Dampfbildung und Abreißen der Flüssigkeitssäule begrenzt, bereits bei Saughöhen auf, die geringer als der theoretische reibungsfreie Grenzwert sind: hSaug-max < (p0 pD)/(ρg). Für Wasser unter normalen Umgebungsbedingungen ist die tatsächlich erreichbare Saughöhe auf hSaug-max ≈ 7 ÷ 8 m begrenzt. Soll Flüssigkeit aus einer Tiefe h > hSaug-max hochgefördert werden, so ist eine Unterwasserpumpe im Eintrittsbereich des Steigrohres einzusetzen.

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

134

*UR‰HVHLWOLFKHgIIQXQJHQ Während beim Ausfluß von Gasströmungen die Größe der seitlichen Öffnung ohne Belang ist, muß bei Flüssigkeitsströmungen mit großen seitlichen Öffnungen (∆z/h > 0,2 gemäß Bild 4.15) die Variation der Höhenkoordinate z (hier ausnahmsweise nach unten positiv gezählt) innerhalb des Öffnungsquerschnittes berücksichtigt werden. *HQHLJWH%HKlOWHUZDQG (Bild 4.16a). Durch das Flächenelement dA in der seitlichen Behäl-

α

D

c1 ~ 0

y

cs(z) c1

x

2δ

p0

A2

dy

dA y

z

1

E

F

2 h2

z h1 dz

b(z)

2

p0

cs(z)

h2

c1 ~ 0

1

x h1

p0

h

2

1

c2s

        

%LOG Ausfluß aus großen seitlichen Öffnungen. D Behälter mit geneigter Wand. E Überfallwehr. F Unterwasserstrahl, Wehr mit vollständigem Rückstau

 s =cs(z)b(z)dy. Mit der Austeröffnung strömt im reibungsfreien Fall der Volumenstrom dV 1/2 trittsgeschwindigkeit cs = (2gz) und der Relation cosα = z/y =dz/dy erhalten wir 2gz

s= dV

cos α

b(z)dz

s= V

2g cos α

h2

1/ 2 ∫ b( z) z dz

(4.83a,b)

h1

In Gl. (4.83b), die den reibungsfreien Ausfluß aus beliebig geformten seitlichen Öffnungen beschreibt, wird die spezielle Geometrie der Öffnung durch die Funktion b(z) repräsentiert. Die Ausflußgleichung muß daher jeweils für die vorliegende Öffnungs-geometrie entwickelt werden, was im folgenden beispielhaft für die Dreiecksgeometrie gemäß Bild 4.16a demonstriert wird. Dort gilt

tan δ =

b( z) cos α 2 ( h 2 − z)

b( z) =

2 tan δ ( h 2 − z) cos α

(4.84a,b)

Gl. (4.83b) liefert damit

s= V s= V

2 tan δ 2g

h2

cos2 α

h1

1/ 2 ∫ ( h2 − z) z dz =

h2 2 tan δ 2g ⎡ 2 3/ 2 − 2 5/ 2 ⎤ h z z ⎢ 2 ⎥ 5 ⎦ h1 cos2 α ⎣ 3

2 tan δ 2g 4 h52/ 2 + 6 h15/ 2 − 10 h2 h13/ 2 15 cos2 α

(

)

(gleichschenkliges Dreieck)

Bei einer rechteckigen Öffnung mit b = konst. ergibt sich aus Gl. (4.83b) die Formel

(4.85)

4.5 Spaltströmungen

s= V

135

2 2g b h32/ 2 − h13/ 2 3 cos α

(

)

(Rechteck)

(4.86)

Die Reibungseffekte werden durch die empirische Ausflußzahl µ erfaßt, Zahlenwerte sind in Tab. 11.13 zusammengestellt. Der tatsächliche Volumenstrom beträgt dann

 = µV  V s

(4.87)

hEHUIDOOZHKU(Bild 4.16b). Für α = 0 °, h1 = 0 und h2 = h liefern Gl. (4.85) bzw. (4.86)

 = µ 8 tan δ 2g h5/ 2 (gleichs. Dreieck) V  = µ 2 2g bh3/ 2 (Rechteck) (4.88a,b) V 15 3 3UD[LVKLQZHLV Ist der Integralausdruck in Gl. (4.83b) nicht geschlossen zu lösen, so ist numerische Integration anzuwenden. Überfallwehre können zur Volumenstrommessung in offenen Kanälen, Überläufen, Flußläufen usw. verwendet werden. Meßwert ist die Höhe h, die mit einer Meßlatte (Pegelanzeige) erfaßt wird. 8QWHUZDVVHUVWUDKO:HKUPLWYROOVWlQGLJHP5FNVWDX(Bild 4.16c). Für reibungsfreie Strömung lautet der Energiesatz von c → d in diesem Fall

p1 +

ρ 2 ρ c1 + ρgz1 = p2 + c22 s + ρgz2 2 2

Mit den Randbedingungen z1 = z2; p1 = p0 + ρg(h1 + x); p2 = p0 + ρg(h2 + x) erhalten wir

c2 s = 2g(h1 − h2 ) + c12

 = µ c2 s A 2 = µ 2g( h1 − h2 ) + c2 A 2 V 1

(4.89a,b)

Die Geschwindigkeit c2s in der Austrittsöffnung ist konstant, da in jeder Tiefe der Öffnung die gleiche, durch die Wasserspiegel-Höhendifferenz erzeugte Druckdifferenz wirkt.

6SDOWVWU|PXQJHQ 6WU|PXQJVYHUKlOWQLVVHLP6SDOW (EHQHU 6SDOW PLW IHVWHQ %HJUHQ]XQJVZlQGHQ Wir wollen die Strömung in einem ebenen Spalt (gemäß Bild 4.17a) mit der Spalthöhe h, der Breite b >> h und der Länge L >> h anhand der Bewegungsgleichung (3.22) diskutieren. Wegen der geringen charakteristischen Längenabmessung des Spaltquerschnitts (Dh = 2h, Beispiel 3.1.1) ist die Reynoldszahl klein, es herrscht laminare Strömung und das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften (s. Gl. (3.5)) ist - verglichen mit anderen Strömungserscheinungen - klein. Daher läßt sich der Term c⋅∂c/∂s in der Bewegungsgleichung (3.22), der die Trägheitskräfte darstellt, vernachlässigen. Wir sprechen dann von einer „schleichenden“ Strömung. Nehmen wir weiterhin stationäre Strömung (∂c/∂t = 0) und Vernachlässigung der Schwerkraft (g∂z/∂s = 0) an, so geht die Bewewegungsgleichung (3.22) für laminare Spaltströmungen in die nachstehende Form über

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

136

ν 

∂2 c 1 ∂p = ∂n2 ρ ∂s

bzw. η

∂2 c( y) ∂p( x) = = konst. ∂x ∂y2

y 1’

h y= 2

cmax

c(y)

x

h y =−

D

2

2’

cm

h 2

L

y

1

bewegte Wand

2

h y= 2

u c(y)

h

1

(4.90a,b)

-0,75

-0,25

0

dp >0 dx h y =− 2

Ksp = 0,75

0,25

dp p2. E Strömung im ebenen Spalt mit einer bewegten Wand. Spaltkonstante : Ksp = - (h/2)2⋅dp/dx/(2ηu)

wobei Gl. (4.90b) auf das Koordinatensystem in Bild 4.17a bezogen ist, in dem s → x und n → y wird. Bei Spaltströmungen herrscht somit ein Gleichgewicht zwischen Zähigkeits- und Druckkräften vor. Da aufgrund der Geometrie Parallelströmung vorliegt (rK → ∞) liefert Gl. (3.27) das Resultat ∂p/∂y = 0, dh. p = p(x). Weiterhin gibt es bei dieser Parallelströmung keine Geschwindigkeitskomponenten in y-Richtung, so daß aus Kontinuitätsgründen c = c(y) wird (es existiert kein Masseaustausch zwischen den laminaren Schichten, daher ändert sich die Geschwindigkeit in x-Richtung nicht). Gleichung (4.90b), die links nur Abhängigkeiten von y und rechts nur Abhängigkeiten von x enthält, ist nur existent für alle Werte x,y, wenn die auftretenden Differentialquotienten konstant sind, dh. dp/dx = konst. und die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils ist ebenfalls konstant. Letzteres deutet auf lineare oder parabolische Geschwindigkeitsverteilungen im Spalt hin. Zweimalige Integration von Gl. (4.90b) nach y liefert

dc( y) 1 dp y + C1 = η dx dy

c( y ) =

1 dp 2 y + C1 y + C2 2 η dx

(4.91a,b)

Die Symmetriebedingung dc(0)/dy = 0 liefert C1 = 0 und die Randbedingung c(h/2) = 0 ergibt C2 = - 1/(2η)⋅dp/dx⋅(h/2)2. Wir erhalten dann

c( y ) = −

2 ⎤ 1 ⎡⎛ h ⎞ 2 dp ⎢⎜ ⎟ − y ⎥ 2 η ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ dx

2

c max = −

1 ⎛ h ⎞ dp ⎜ ⎟ 2 η ⎝ 2 ⎠ dx

⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤ c( y) = cmax ⎢1 − ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦

(4.92a,b,c)

Durch Integration über die Spalthöhe h ergibt sich der Spaltvolumenstrom 3

+ h/2  = b ∫ c( y)dy = − 2 b ⎛⎜ h ⎞⎟ dp = bh c m V 3 η ⎝ 2 ⎠ dx −h/2

2 cm = c max 3

(4.93a,b,c,d)

wobei Gl. (4.93d) durch Vergleich von Gl. (4.93b,c) und (4.92b) entsteht. Für einen Spalt der Länge L gemäß Bild 4.17a ergibt sich aus Gl. (4.93b,c) näherungsweise (bei Vernachlässigung der Vorgänge im Ein- und Austritt)

4.5 Spaltströmungen

p2 − p1 L

137

=

∆p12 L

≈

3  ≈ − 2 b ⎛⎜ h ⎞⎟ ∆p12 V 3 η ⎝ 2⎠ L

dp 12 η cm =− dx h2

(4.94a,b)

Eine genaue Berechnung des treibenden Druckgradienten dp/dx der gesamten Spaltströmung liefert Gl. (4.108). Für konzentrische kreisringförmige Spalte ist in den Volumenstromgleichungen b durch Dspπ zu ersetzen, wobei Dsp der mittlere Spaltdurchmesser ist. Die beschriebenen Spaltströmungen treten an Dichtstellen von feststehenden Maschinen- und Anlagenelementen auf. Der Spaltvolumenstrom ist proportional zur treibenden Druckdifferenz ∆p12 und zur 3. Potenz der Spalthöhe. Bild 4.16a zeigt das aus Gl. (4.92a) und (4.94a) berechenbare parabolische Geschwindigkeitsprofil. (EHQHU6SDOWPLWHLQHUEHZHJWHQ6HLWHQZDQG In Bild 4.17b erkennen wir einen Spalt, der unten von einer feststehenden und oben von einer mit der Geschwindigkeit u bewegten Wand begrenzt wird. Die Strömung wird auch hier durch Gl. (4.90b) bzw. (4.91b) beschrieben, allerdings lauten jetzt die Randbedingungen: c(-h/2) = 0;c(h/2) = u

c( y ) = −

2 ⎤ dp u ⎛ h 1 ⎡⎛ h ⎞ ⎞ + ⎜ + y⎟ ⎢⎜ ⎟ − y2 ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 η ⎢⎣ 2 ⎥⎦ dx h 2

mit

dp = konst dx

(4.95)

Liegt eine derartige Strömung bei konstantem Druck (dp/dx = 0) vor, so stellt sich eine reine Scherströmung mit linearer Geschwindigkeitsverteilung ein

c( y) =

u⎛h ⎞ ⎜ + y⎟ ⎠ h⎝2

bei

dp =0 dx

→ Scherströmung

(4.96)

Bild 4.17b und Gl. (4.95) zeigen, daß sich die Geschwindigkeitsprofile als Überlagerung der durch einen Druckgradienten getriebenen Spaltströmung (s. Gl. 4.92a) und der Schleppwirkung der bewegten Wand (Gl. 4.96) einstellen. Bei Strömung gegen einen steigenden Druck (dp/dx > 0) kann in der Nähe der festen Wand Rückströmung auftreten, während die bewegte Wand Fluid gegen den steigenden Druck schleppt. Mittels Gl. (4.95) und (4.94a) lassen sich die in Bild 4.17b dargestellten Geschwindig-keitsverteilungen ermitteln. Derartige Spaltströmungen treten z. B. in Hydraulikzylindern bei bewegtem Kolben auf. .HLOI|UPLJHU 6SDOW PLW HLQHU EHZHJWHQ 6HLWHQZDQG hydrodynamisches ebenes Gleitlager). Wir betrachten den in Bild 4.18a dargestellten Gleitschuh, der gegenüber der Führungsebene einen keilförmigen Spalt bildet. Der Gleitschuh möge als feststehend und die Führungsebene als mit der Geschwindigkeit u nach rechts bewegt angesehen werden. Die Strömung im keilförmigen Spalt ist keine Parallelströmung mehr und aus Kontinuitätsgründen gilt jetzt c = c(x,y), während für den Druck wegen rK → ∞ aber weiterhin p = p(x) gilt. Gl. (4.90b) nimmt die Form η∂2c(x,y)/∂y2 =∂p(x)/∂x an. Da jetzt die linke Seite von x und y abhängt, ist der Druckgradient im Gegensatz zu den oben geschilderten Fällen nicht konstant. Die zweimalige Integration führt analog zu Gl. (4.91b) unter Beachtung der Randbedingungen c(x,0) = u und c(x,h) = 0 auf

⎛ y⎞⎛ h2 dp y ⎞ c( x, y) = ⎜ 1 − ⎟ ⎜ u − ⎟ ⎝ h⎠⎝ 2 η dx h ⎠

mit h = h(x)

Der Volumenstrom durch einen beliebigen Querschnitt x = konst beträgt

(4.97)

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

0

xe

h1

c(0,y)

p0

D

h(x)

y

L F

ϑ(0 dx

F

Gleitschuh (feststehend)

xK

L

c(xe,y) c(L,y)

p0 u

u

h2

E

dp =0 dx dp

0,5 liegt. Bei Änderung der Betriebsverhältnisse wandert der Druckpunkt; dann stellt sich die jeweils optimale Keilform des Spaltes selbsttätig ein. Auch in Radialgleitlagern stellt sich hydrodynamische Schmierung ein, wenn Spiel zwischen Bohrung und Wellenzapfen vorliegt, so daß sich der Zapfen exzentrisch einstellen kann. Dadurch entsteht ebenfalls eine veränderliche Spaltweite in Umfangsrichtung (Bild 4.18d). Die Gleitfläche kann bei Radiallagern auch so geformt werden, daß mehrere Schmierspalte auf dem Umfang vorliegen (radiales Segmentlager, Mehrgleitflächenlager); dadurch ergibt sich eine gute Zentrierwirkung. 3UD[LVKLQZHLV Die optimalen Spalthöhenverhältnisse am Gleitschuh betragen für feste eingearbeitete Keilflächen h1/h2 ≈ 1,25 ÷ 1,6, für Kippsegmentlager h1/h2 ≈ 1,25. Der Unterstützungspunkt bei Kippsegmentlagern liegt dann bei xK/L ≈ 0,58. Bei ausgeführten Gleitlagern wird die vorstehend berechnete Tragfähigkeit nicht erreicht, hauptsächlich wegen der endli-

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

140

chen Breite b der Gleitschuhe. Hydrodynamische Gleitlager haben sehr geringen Verschleiß und gute Dämpfungseigenschaften. Bei überkritischen Drehzahlen sind sie zwingend erforderlich.

9HUOXVWHEHL6SDOWVWU|PXQJHQ (EHQHU6SDOWPLWIHVWHQ%HJUHQ]XQJVZlQGHQODPLQDUH6WU|PXQJ Bei der Durchströmung eines Spaltes gemäß Bild 4.17a entstehen Verluste durch die eigentliche Spaltströmung (repräsentiert durch die Spaltreibungszahl λ) sowie zusätzliche Verluste im Bereich c → c/ durch den Spalteintritt (→ ζE nach Tab. 11.11/IV; bei scharfkantigem Spalt ζE = 0,5) und die Spalteinlaufstrecke (→ ζsL) sowie im Bereich d/ → d durch den Austrittsverlust (→ ζA = α2 /). Die Energiegleichung liefert

⎞ρ ⎛ L + ζ E + ζsL + α 2 ′⎟ c2m p1 − p2 = − ∆p12 = ⎜ λ ⎠2 ⎝ Dh

mit c1 ≈ c2 ≈ 0

(4.107)

Den in den vorstehenden Abschnitten auftretenden treibenden Druckgradienten der eigentlichen Spaltströmung c/ → d/ ermitteln wir mit Hilfe von Gl. (4.107) zu

dp 1 ⎡ ρ ⎤ λ ρ 2 = ⎢ p2 − p1 + (ζ E + ζsL + α 2 ′ ) c2m⎥ = − cm dx L ⎣ 2 ⎦ Dh 2

(4.108a,b)

Durch Gleichsetzung von (4.108b) mit dem aus Gl. (4.93b,c) eliminierten Druckgradienten dp/dx ergibt sich die Spaltreibungszahl λ

λ=

96 Re

Re =

cm Dh ≤ 2320 ν

Dh = 2h

(4.109a,b,c)

(s. auch Bild 4.7). Die Formfaktoren α und β (Gl. 3.91b; 3.90b) nehmen bei Verwendung der Gl. (4.92c) und (4.93d) die nachstehenden Werte an

α=

54 = 1,543 35

β=

6 = 1,2 5

(4.110a,b)

und der Verlustbeiwert der Spalteinlaufströmung beträgt ζsL ≈ 0,14. Aus Gl. (4.107) erhalten wir cm ; damit läßt sich der Spaltvolumenstrom berechnen

cm =

2( p1 − p2) ⎞ ⎛ L ρ⎜ λ + ζ E + ζ sL + α 2 ′⎟ ⎠ ⎝ Dh

 = bhc m V

(4.111a,b)

Führen wir Gl. (4.109) in Gl. (4.111a) ein, so ergibt sich bei laminarer Spaltströmung

c m = − K + K2 +

2( p1 − p2 ) ρ(ζ E + ζ sL + α 2 ′ )

mit K =

48νL D2h (ζ E + ζsL + α 2 ′ )

(4.112)

4.5 Spaltströmungen

141

Sind die zusätzlichen Einflüsse am Spaltein- und -austritt vernachlässigbar, was bei vielen Anwendungsfällen zutrifft, gilt dp/dx ≈ (p1 - p2)/L und daraus folgt die mittlere Spaltströmungsgeschwindigkeit cm aufgrund von Gl. (4.92b) und (4.93d) zu

cm ≈

2 1 1 ⎛ h ⎞ p1 − p2 ⎜ ⎟ L 3 η ⎝ 2⎠

(4.113)

Die vorstehenden Lösungen sind auch für konzentrische Ringspalte gültig, wenn Dh = 2h = DG DN (s. Beispiel 3.3.2) und b = (DN + h)π gesetzt wird. (EHQHU6SDOWPLWIHVWHQ%HJUHQ]XQJVZlQGHQWXUEXOHQWH6WU|PXQJ Die Spaltreibungszahl λ läßt sich nach [56] durch die folgende implizite Gleichung bestimmen

λ=

1 ⎡ 3,162 ⎤ ⎥ ⎢−2,0 lg Re λ ⎦ ⎣

2

Re =

cm Dh > 2320 ν

Dh = 2h

(4.114a,b,c)

%HLVSLHO Die Abdichtung der Rührwerkswelle eines Heißwasserbehälters erfolgt durch eine Spaltdichtung und eine zusätzlich außen montierte Radialringdichtung. Daten der Spaltdichtung: Wellendurchmesser DN = 60 mm; Bohrungsdurchmesser DG = 60,2 mm; Spaltlänge L = 20 mm; Wassertemperatur tW = 80 °C; Behälterüberdruck an der Dichtstelle: ∆p = 0,15 bar. Welcher Spaltvolumenstrom tritt aus, wenn bei stehender Welle die äußere Radialringdichtung zur Erneuerung entfernt wird ? /|VXQJStoffwerte Tab. 11.3: ρ(80 °C) = 971,77 kg/m3; ν(80 °C) = 0,36462⋅10-6 m2/s Annahme: laminare Spaltströmung, die Verluste am Spaltein- und -austritt sind zu beachten. D h = DG − D N = (60,2 − 60) mm = 0,2 mm (s. Beispiel 3.3.2). Gl. (4.112):

m2 ⋅ 0,02 m 48 ⋅ 0,36462 ⋅ 10−6 m 48νL s = = 4,01667 K= 2 (ζ + ζ + 2 s 4 ) Dh E (2 ⋅ 10 m) (0,5 + 0,14 + 1,543) sL α 2′

2(p1 − p 2)

2 m m 2 ⋅ 0,15⋅105 Pa = 1,486 + 4,016672 m + 2 kg s s ρ(ζ E + ζsL + α2′) s 971,77 ⋅ 2,183 m3 Kontrolle der Einflüsse am Spaltein- und -austritt. Gl. (4.109): m 1,486 ⋅ 2 ⋅ 10− 4 m c m Dh s → laminare Strömung. Re = = = 815,10 2 ν -6 m 0,36462 ⋅ 10 s ζ E + ζsL + α 2′ 0,5 + 0,14 + 1,543 96 96 = = 0,185 λ= = = 0,1178 L 0,02 m Re 815,10 λ 0,1178 0,0002 m Dh dh. die Einflüsse am Spaltein- und -austritt sind nicht vernachlässigbar. Der Lösungsweg ist richtig, die Näherungsgleichung (4.113) ist nicht anwendbar. Der Spaltvolumenstrom beträgt

cm = −K + K 2 +

= −4,01667

3

-4 −4 m ⋅ 1,4856 m = 2,805 ⋅ 10−5 m  =A V Spalt c m = ( D N + h) πh c m = ( 0,060 m + 10 m) ⋅ π ⋅ 10 s s

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

142

6WU|PXQJLQ9HQWLOHQ $OOJHPHLQHV Armaturen sind Rohrschalter, die als Absperr-, Regel- oder Sicherheitsorgane in Leitungssystemen installiert sind. Bild 4.19 zeigt die wichtigsten Grundtypen. Schieber, Hähne und Klappen weisen in vollgeöffneter Stellung erheblich geringere Verluste als Ventile auf. Bei Hähnen und Klappen ist der Betätigungshebel auch gleichzeitig Stellungsanzeiger: in Stellung senkrecht zur Rohrleitung ist die Armatur geschlossen. Verstellbewegungen zum Schließen erfolgen im Uhrzeigersinn.

D

E

F

G

%LOG Die wichtigsten Grundformen der Armaturen. D Ventil: geradlinige Bewegung des Absperrelementes (Kegel, Kolben, Platte, Kugel) parallel zur lokalen Strömungsrichtung. E Schieber: geradlinige Bewegung des Absperrelementes senkrecht zur Strömungsrichtung. F Hahn: drehende Bewegung des Absperrelementes (Kugel oder Kegelstumpf mit Querbohrung). G: Klappe: Dreh- oder Schwenkbewegung des Absperrelementes (Scheibe, Deckel)

 'HU. :HUWYRQ6WHOOYHQWLOHQIULQNRPSUHVVLEOH)OXLGH Der Druckverlust in einem Stellventil wird durch Gl. (4.44a) beschrieben:

− ∆p V12 = p1 − p2 = ζ

 ⎞2 ρ 2 ρ⎛V = ζ ⎜ ⎟ cm 2 2 ⎝ A⎠

(4.115)

Aus der Umstellung von Gl. (4.115) folgt eine Durchflußgleichung in der Form

 = V

− ∆p V12 − ∆p V12 2 ∼ A ρ ζ ρ

(4.116a,b)

wobei in Gl. (4.116b) ein möglicher Re-Zahl Einfluß (→ ζ = ζ(Re)) vernachlässigt wurde, was bei turbulenter Strömung zulässig ist. Setzen wir bei gleicher Ventilgeometrie diesen Volumen gemäß Gl. (4.116b) ins Verhältnis zu einem Bezugsvolumenstrom V  0 bei bestimmstrom V ten Bezugsbedingungen - Index „0“ - so erhalten wir

 V = 0 V

− ∆p V12 ρ0 − ∆p V12 − 0 ρ

(4.117)

4.6 Strömung in Ventilen

143

Der Bezugs-Wasservolumenstrom, der ein Stellventil bei festgelegtem Hub H, einem Druckabfall von -∆pV12-0 = - (p2 - p1) = 1bar und einer Bezugsdichte von ρ0 = ρW0(tW0 = 15,5 °C) = 999,0 kg/m3 durchströmt, wird als Durchflußkoeffizient KV (angegeben in m3/h) bezeichnet. Führen  0 =KV/3600 (→ wir die vorstehend genannten Bezugswerte in Gl. (4.117) ein, wobei wir V 3 m /s) einsetzen, so ergibt sich bei Auflösung nach KV:

ρ  − ∆p V12 − 0 ρ = 3,6018 ⋅ 104 ⋅ V  K V = 3600V − ∆p V12 ρ0 ∆p V12 bzw.

 = 2,7764 ⋅ 10−5 ⋅ K V V

(4.118a,b)

∆p V12

(4.119)

ρ

 ] = m3/s; [KV] = m3/h; [∆pV12] = Pa und [ρ] = kg/m3. Die vorstehenden Gleichungen mit [ V (4.118) und (4.119) setzen folgende Bedingungen voraus: a) keine Fittings vor und hinter dem Ventil (Rohrdurchmesser gleich Nennweite DN des Ventils) b) keine Unterschreitung des Dampfdrucks an der Stelle des stärksten Druckabfalls innerhalb des Ventils (keine Durchflußbeeinträchtigung durch Verdampfung, Kavitation) c) turbulente Strömung im Ventil (niedrige Viskosität, kein Re-Zahl Einfluß) Werden diese Bedingungen nicht eingehalten, so wird der KV-Wert zu niedrig berechnet. In den einschlägigen Normen [75] werden dann entsprechende Korrekturfaktoren vorgeschlagen (s. auch [14]). Im auftretenden Druckverlust sind Rohrlängen von l1 = 2 DN (Nenndurchmesser) vor und l2 = 6 DN hinter dem Ventil mit berücksichtigt.

 max , ρ und gewünschter DruckZur Auswahl eines Ventils wird für gegebene Bedingungen ( V verlust bzw. von der Anlage vorgegebene Druckdifferenz ∆pV12 bei voll geöffnetem Ventil) gemäß Gl. (4.118b) der erforderliche KV-Wert berechnet. Im Katalog des Herstellers sind Nenndurchmesser und der theoretische Sollwert KVS bei maximalem Hub H100 angegeben. Es ist ein Ventil mit KVS > KV (erforderlich) auszuwählen (Zuschlag → Praxishinweis). Die KVbzw. KVS-Werte geben die Durchflußkapazität eines Ventils bei den Bezugsbedingungen

1a 2a

K VO K VS

0,10 0,4 1

0,2 Φ0 =

0,20

KV K VS

0,6

1,00 0,80 0,60 0,40

Φ=

KV K VS Φ=

%LOG Dimensionslose Ventilkennlinien. Kurve 1: lineare Kennlinie, Idealkurve (im Bild: Φ0 = 0,04). Kurve 1a: tatsächliche lineare Kennlinie. Kurve 2: gleichprozentige Kennlinie, Idealkurve (im Bild: Φ0 = 0,04). Kurve 2a: wie Kurve 2, jedoch mit logarithmischer Ordinate. KVS: theoretischer Sollwert des Durchflußkoeffizienten bei H100. KV100: tatsächlicher Wert des Durchflußkoeffizienten bei H100. KV0: kleinster noch regelbarer Durchfluß

K V100 1,0 K VS 0,8

0

0,04

2

0,02 0,01 0,2

0,4

0,6 h=

0,8

H H100

1

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

144

∆pV0 und ρ0 an. Der tatsächliche Durchfluß eines Ventils mit bekanntem KV-Wert wird mittels Gl. (4.119) für die aktuellen Betriebszustände ρ und ∆pV12 (am Ventil anliegende Druckdifferenz) ermittelt.

Die Abhängigkeit des KV-Wertes vom Ventilhub H wird durch die Ventilkennlinie KV = f(H) beschrieben, von der zwei Grundformen existieren, die durch entsprechende Gestaltung der Ventilgeometrie erzeugt werden: Die lineare und die gleichprozentige Kennlinie. Die theoretische lineare Kennlinie ist dadurch gekennzeichnet, daß sich bei gleichen Hubänderungen gleiche Änderungen des KV-Wertes einstellen. Führen wir den relativen Durchflußkoeffizienten Φ = KV/KVS und den relativen Hub h = H/H100 ein, so gilt bei einer kleinen Hubänderung dΦ = m⋅dh. Daraus resultiert die Geradengleichung der idealen linearen Kennlinie

φ = φ0 + mh

m = 1 − φ0

(4.120a,b)

Die lineare Idealkennlinie zeigt bei h = 0 den kleinsten noch regelbaren Durchfluß KV0 (> 0) an (Kurve 1 in Bild 4.20). Das Verhältnis KVS/KV0 = 1/ Φ0 von maximalem zu minimalem regelbaren theoretischen Durchfluß bezeichnen wir als Stellverhältnis. Die tatsächliche Kennlinie (Kurve 1a) führt bei h = 0 auf den Durchfluß KV(0) = 0, sie knickt daher im Bereich h < 0,1 gegenüber der Idealkennlinie in Richtung Nullpunkt ab. Bei h = 1 zeigt die tatsächliche Kennlinie den realen Maximaldurchfluß KV100 an. Die Norm schreibt die zulässigen Abweichungen zwischen tatsächlicher und idealer Kennlinie vor. Gl. (4.120b) liefert aufgrund der Bedingung Φ(h = 1) =1 die Neigung m = 1 - Φ0 der Idealkennlinie, die vom reziproken Stellverhältnis Φ0 abhängig ist (Bild 4.20). Bei der gleichprozentigen Kennlinie gehören zu gleichen Änderungen des Hubs gleiche relative Änderungen des Durchflußkoeffizienten.: dΦ/Φ = n⋅dh. Dieser Ansatz liefert durch Integration die Gleichung der idealen gleichprozentigen Kennlinie

ln

φ = nh φ0

φ = φ0 e nh

n = ln

1 φ0

(4.121a,b,c)

Gl. (4.121c) folgt aus der Bedingung φ(1) = 1. In Bild 4.20 sind die Grundformen der dimensionslosen Ventilkennlinien dargestellt. Bei logarithmischer Ordinate wird die gleichprozentige Kennlinie zu einer Geraden mit der Steigung n.

 auf und setzen dieses Ergebnis dann mit Gl. (4.119) gleich, so Lösen wir Gl. (4.115) nach V erhalten wir den Zusammenhang zwischen Verlustzahl ζ, Durchflußkoeffizient KV und Ventilnenndurchmesser D

ζ = 1,6005 ⋅ 109

D4 K2V

[D] = m

[KV] = m3/h

(4.122)

3UD[LVKLQZHLV Übliche Ventilstellverhältnisse liegen im Bereich von 20 ÷ 50. Die Berechnung des erforderlichen KV-Wertes für ein Ventil nach Gleichung (4.118b) reicht in den meisten Anwendungsfällen aus. Um Unterdimensionierung auszuschließen, werden jedoch folgende Zuschlagsfaktoren bei der Ermittlung des maximalen KV-Wertes KVS empfohlen [14]: lineare Kennlinie: 1,1 ÷ 1,25; gleichprozentige Kennlinie 1,3 ÷ 2,0

4.6 Strömung in Ventilen

145

Eine darüber hinausgehende Korrektur durch die von der Norm vorgeschlagenen Korrekturfaktoren ist zu prüfen, wenn: a) Fittings vorhanden sind, und der Wert KV/DN2 > 2⋅104 m3/h ist. (Nenndurchmesser [DN] = m; [KV] = m3/h) → Drosselventile, Kugelventile b) der Dampfdruck pD nur geringfügig unterhalb des Eintrittsdruckes liegt c) keine turbulente Strömung im Ventil vorliegt. Dies ist im allgemeinen der Fall, wenn der KV-Wert KV < 1; die Druckdifferenz p1 - p2 < 0,2 bar und die kinematische Viskosität ν > 10-5 m2/s ist. KV-Werte bei kompressiblen Fluiden → [14, 75] %HLVSLHO Für eine Produktleitung von D = 100 mm, in der Äthylalkohol gefördert wird, soll ein Stellventil für  max = folgende Prozeßdaten bemessen werden : Fluidtemperatur t = 30 °C; maximaler Volumenstrom V 180 m3/h; Ventilvordruck p1 = 20 bar; Ventilausgangsdruck p2 = 18 bar; Stellverhältnis 25 : 1; gleichprozentige Kennlinie. 4.9.1 Welchen KVS-Wert benötigt das erforderliche Ventil ? Wie groß ist die Verlustzahl ζ des vollgeöffneten Ventils ? Welche Verlustleistung PV entsteht im vollgeöffneten Ventil ? 4.9.2 Auf welchen relativen Hub h ist das Ventil anzudrosseln, wenn die obengenannten Prozeßdaten zu realisieren sind ?  =100 m3/h bei einem Vordruck von p1 = 22 bar und einem Ge4.9.3 Bei Produktionsteillast sollen V gendruck von p2 = 18 bar gefördert werden (t = 20 °C). Welcher relative Hub h/ ist einzustellen ? /|VXQJ 4.9.1) Stoffwerte: Gl. (11.5): ρ(t = 20 °C) = 789,1 kg/m3  Gl. (4.118b): K V = 3,6018 ⋅ 104 ⋅ V

ρ 180 780,8 m3 = 3,6018 ⋅ 104 ⋅ = 112 5 , 3600 2 ⋅ 105 h ∆p V12

Empfohlener Zuschlag bei gleichprozentiger Kennlinie: 1,3 ÷ 2,0; gewählt: 1,4 K VS = 1,4 ⋅ 112,5

Sollwert

Gl. (4.122): ζ = 1,6005 ⋅ 109

m3 m3 = 157,5 h h

→ gewählt: K VS = 160

m3 h

0,14 D4 = 1,6005 ⋅ 109 = 6,25 2 KV 1602

 /max im überdimensionierten Ventil mittels Gl. (4.119): Ermittlung von V / −5 V max = 2,7764 ⋅ 10 K VS

Gl. (4.69b):

ρ P V = ζ c3 A 2

780,8

∆p V12 ρ

= 2,7764 ⋅ 10−5 ⋅ 160 ⋅

m3 2 ⋅ 105 = 0,07110 s 780,8

m3 0,07110 ⋅4 /  m s c = V max = = 9,053 2 s A (0,1 m) ⋅ π

kg

2 3 m3 (9,053 m ) ⋅ (0,1 m) ⋅ π = 14,219 ⋅ 103 W 4 2 s 4.9.2) Gleichprozentige Kennlinie, Stellverhältnis 1/Φ0 = 25 : 1 = 25 Φ0 = 1/25 = 0,04 1 = ln 25 = 3,2189 Zum definierten Prozeßpunkt gehört Gl. (4.121c): n = ln φ0

P V = 6,25

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

146 K V = 112,5 K φ= V = K VS

m3 . Das Ventil wurde durch Zuschlag größer dimensioniert, daher ist anzudrosseln h m3 h = 0,7031 m3 160 h

112,5

4.9.3) Gl. (4.118b) K V / = 3,6018 ⋅ 104 ⋅

Gl.(4.121a): h =

100 3600

789,1 5

4 ⋅ 10

= 44,44

1 φ 1 0,7031 ln = ln = 0,8906 0,04 n φ0 3,2189

m3 h

3

φ/ =

/

KV = K VS

44,44 m h = 0,2778 3 160 m h

h′ =

0,2778 1 ln = 0,6021 0,04 3,2189

6WU|PXQJLQ*HULQQHQ (UVFKHLQXQJVIRUPHQGHU*HULQQHVWU|PXQJ Unter einer Gerinneströmung verstehen wir die Strömung einer Flüssigkeit in einem oben offenen Kanal, einem Bett oder einer teilweise gefüllten Leitung. Der Flüssigkeitsspiegel ist eine freie Oberfläche, eine Grenzfläche zur Gasatmosphäre der Umgebung. Das Erscheinungsbild der Gerinneströmung wird durch den Verlauf der Gerinnesohle zS und die lokale Höhe h des Flüssigkeitsspiegels bestimmt (Bild 4.21a). Gesamtenergieniveau

Hges

h

h1

H1

cm2 2g

p H

c m12 2g

n

j12 g Flüssigkeitsspiegel c

h’

2g

Gerinnesohle zS2

1

zS

zS1

h2

s

2

D

2

m2

n c(h’) h’ cmax cm

E

~ 0,8 · h' s

%LOG Strömung in Gerinnen. D Geometrische Verhältnisse und Darstellung durch die Energiegleichung in der Energiehöhenform. E Geschwindigkeitsprofil bei rechteckiger Kanalform

Die Strömungsform kann laminar sein (Re = cmDh/ν ≤ ReU = 2320), sie ist jedoch praktisch fast immer turbulent. Das dann zugehörige Geschwindigkeitsprofil (Bild 4.21b) weist bei rechtekkigen Kanälen ein Maximum bei etwa 80 % der Spiegelhöhe auf; demgegenüber ist die Oberflächengeschwindigkeit c(h/ ) durch Reibungseinwirkung der Umgebungsatmosphäre geringer. Die mittlere Geschwindigkeit cm liegt bei Flußläufen im Bereich 0,7 ≤ cm/c(h/ ) ≤ 0,8. Bei der

4.7 Strömung in Gerinnen

147

üblicherweise vorherrschenden turbulenten Strömung gilt für die Formfaktoren α ≈ β ≈ 1, so daß sie im folgenden vernachlässigt werden können. Die fortan verwendeten Geschwindigkeiten stellen jeweils die mittleren Geschwindigkeiten cm des Querschnitts dar. Die energetischen Verhältnisse lassen sich gemäß Bild 4.21 durch die Energiegleichung in der Höhenform (3.43c) beschreiben

h1 +

j c2m1 c2 + zS1 = h2 + m2 + zS2 + 12 = H ges 2g 2g g

(4.123)

Dabei stellt h sowohl die tatsächliche Spiegelhöhe als auch den auf eine äquivalente Energiehöhe umgerechneten hydrostatischen Druck an der Gerinnesohle dar: h = (p(h = 0) - p0)/(ρg). Als Energiehöhe H der Gerinneströmung definieren wir die Summe aus Druck- und kinetischer Energie

H = h+

2 c2m = h + V2 2 2g 2g b h

(4.124a,b)

wobei in (4.124b) die Kontinuitätsgleichung für einen rechteckigen Kanalquerschnitt eingeführt wurde. In Bild 4.22 ist Gl. (4.124b) für einen Rechteckkanal mit konstantem Volumenstrom dargestellt. Wir erkennen zunächst, daß für eine gegebene Energiehöhe (HI) zwei verschiedene Strömungsformen (h1, cm1 oder h2, cm2) möglich sind. Weiterhin e xistiert eine minimale Energiehöhe Hmin, bei der gerade noch der gefor transportiert werden schießen strömen derte Volumenstrom V kann. Wir erhalten diesen Grenzwert wie folgt: H V = konst. b = konst.

HI

1

2

Hmin %LOG Verlauf der Energiehöhe H = h + cm2/(2g) = H(h) für  = konst.. Es einen offenen Rechteckkanal bei V ergeben sich zwei mögliche Strömungszustände: strömen oder schießen

2 1 dH = 1− V 2 3 = 0 dh gb h

hGrenz = 3

c 2 Grenz h 2 2g

c m 21 2g

cm 22 2g

h1

hGrenz

h1 hGrenz

h2

2 V gb2

h

(4.125a,b)

Einführung von Gl. (4.125b) in Gl. (4.124b) liefert für den Grenzzustand

H min = hGrenz +

2 1 3 V = hGrenz 2 2 gb 2 hGrenz 2 ,

h 3Grenz

H min =

2 3 V 3 2 gb2

(4.126a,b)

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

148

In Umkehrung der vorstehenden Überlegung liefert Gl. (4.126b) den bei einer gegebenen Ener max giehöhe H (→ Hmin) maximal transportierbaren Volumenstrom V

2  max = b g ⎛⎜ H⎞⎟ V ⎝3 ⎠

3

(4.127)

Die im Grenzzustand h = hGrenz auftretende mittlere Geschwindigkeit nennen wir Grenzgeschwindigkeit cGrenz. Wir erhalten sie aus Gl. (4.124a) und (4.126a) zu

cGrenz = 2g( H min − hGrenz) = ghGrenz

(4.128)

Sie stimmt in diesem Zustand überein mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit cWelle von Flüssigkeitswellen (bzw. Druckstörungen) in flachen Flüssigkeiten mit der Tiefe h

cWelle = gh

(4.129)

Das bedeutet, daß sich lokale Störungen bei einer Flüssigkeit im Grenzzustand nicht stromaufwärts fortpflanzen können. Die im Kap. 3.1.3 definierte Froude-Zahl Fr (Gl. 3.7) nimmt mit der Flüssigkeitstiefe h als charakteristischer Länge (l → h) im Grenzzustand den Wert

Fr =

c gh

=

cGrenz =1 ghGrenz

an. Betrachten wir nun in Bild 4.22 noch einmal die beiden möglichen Fließzustände c und d bei gegebener Energiehöhe HI. Im Zustand d ist cm2(h2) < cGrenz(hGrenz) < cWelle(h2), daher breiten sich Oberflächenstörungen, die sich mit der Wellengeschwindigkeit cWelle fortpflanzen, stromauf- und -abwärts aus. Diesen Zustand nennen wir „strömen“. Im Zustand c dagegen gilt cm1(h1) > cGrenz(hGrenz) > cWelle(h1), so daß sich Oberflächenstörungen nur in einem keilförmigen Bereich stromabwärts ausbreiten können. Dieser Fließzustand wird als „schießen“ bezeichnet (s. auch Kap. 3.1.4). Welcher der beiden möglichen Fließzustände sich einstellt, hängt von den Randbedingungen der Kanalgeometrie ab (→ Sohlengefälle JS (s. Bild 4.23a), Querschnittsänderungen durch Bodenwellen, Wehre, Pfeiler). Der Übergang vom Strömen zum Schießen erfolgt stetig, die Umkehrung stets unstetig - verbunden mit Verlusten - in einem Wechselsprung, der sich bei Fr ≤ 1,6 als stehende Welle und bei Fr > 1,6 als Deckwalze ausbildet (Bild 4.23a). Zusammenfassend lassen sich die Fließzustände in offenen Gerinnen - die bei laminarer und turbulenter Strömungsform auftreten können - folgendermaßen beschreiben: cm < cGrenz < cWelle → h > hGrenz → Fr < 1 → Strömen cm = cGrenz = cWelle → h = hGrenz → Fr = 1 → Grenzzustand cm > cGrenz > cWelle → h < hGrenz → Fr > 1 → Schießen

(4.130a) (4.130b) (4.130c)

Die Fließzustände von Flüssigkeiten in flachen Gerinnen im Bereich Fr ≤ 1 und Fr > 1 sind analog zu den gasdynamischen Vorgängen im Bereich Ma ≤ 1 und Ma > 1 (Flachwasseranalogie gasdynamischer Vorgänge im Versuchswesen, s. Kap. 5.2.2, Tab. 5.1). 

4.7 Strömung in Gerinnen

149

*OHLFKI|UPLJH*HULQQHVWU|PXQJ Wir betrachten die Flüssigkeitsströmung in einem künstlich angelegten Kanal oder einer Leitung mit konstantem Querschnitt und Gefälle. Liegen keine Beeinflussungen durch Wehre, Schütze, Überfälle oder Einbauten vor, so stellt sich eine stationäre gleichförmige Gerinneströmung ein (Bereich c → d; f → g; h → i in Bild 4.23a). Bei gleichförmiger Gerinneströmung liegen in Bewegungsrichtung s konstante Flüssigkeitstiefen h und mittlere Geschwindigkeiten cm vor. Druck- und kinetische Energien sind daher in Strömungsrichtung konstant. Betrachten wir nun die energetischen Verhältnisse bei gleichförmiger Gerinneströ1

2 3 4 schießen 5

strömen . V

h1

Fr > 1 hGrenz h4

JSGrenz < J

zS2

zS1

Fr < 1 ∆L

h'4

6 strömen

7 n

Wechselsprung Deckwalze Fr < 1 JSGrenz < J

JS ϑ JSGrenz > J

h6

∆s

p(n) ϑ s

τw

ϑ

A p(n) s

τw

U

ρ · A · s∆· g

E D  %LOG D Unterschiedliche Fließzustände eines Gerinnes im Bereich Fr ≤ 1 und Fr > 1. Annahme: h ≈ h/. c → d: Strömen, gleichförmig; d → e: Strömen, ungleichförmig; e → f :Schießen, ungleichförmig; f → g: Schießen, gleichförmig; g → h: Wechselsprung; h → i: Strömen, gleichförmig; d → f: Senkungslinie beim Übergang zum Schießen. EKräftegleichgewicht an einem Fluidelement der Erstreckung ∆s bei gleichförmiger Gerinneströmung.  mung - z. B. im Abschnitt c → d des Bildes 4.22a - mit Hilfe der Energiegleichung (4.123), so erkennen wir, daß die Reibungsverluste durch die Höhendifferenz der Gerinnesohle gedeckt werden zS1 − zS 2 =

j12 g

da cm = konst. und h = konst.

(4.131)

Zur Erfassung der Reibungsvorgänge formulieren wir das Kräftegleichgewicht an ei-nem Fluidelement gemäß Bild 4.23b, das sich - da sich die Druckkräfte an den in Strömungsrichtung gegenüberliegenden Seitenwänden aufheben - nur aus der Gewichtskraftkomponente in Strömungrichtung s und der Reibkraft der Wandschubspannungen τW zusammensetzt: ρ∆sAgsinϑ = τW∆sU. Definieren wir das Sohlengefälle zu JS = (zs1 - zS2)/∆L = tanϑ ≈ sinϑ so erhalten wir, nach der Wandschubspannung τW aufgelöst:

τW ≈ ρgJ S

A ⎛ 4⎞ 1 ⎜ ⎟ = ρgJ S D h U ⎝ 4⎠ 4

(4.132a,b)

Durch Erweiterung von Gl. (4.132a) um den Faktor 4 erscheint in (4.132b) der hydraulische Durchmesser Dh (Gl. 3.10). Wir setzen nun Gl. (4.132b) mit der für gleichmäßig verteilte

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

150

Wandschubspannungen τW gültigen Beziehung (4.30c) gleich und lösen nach der mittleren Geschwindigkeit cm auf

τW =

λ 2 1 ρ c m = ρgJ S D h 8 4

cm =

2gJ S D h λ

(4.133a,b)

Gl. (4.133b) wird als Fließformel der Gerinneströmung bezeichnet, wobei λ die Reibungszahl der Gerinneströmung darstellt. Sie kann in zur Rohrströmung analoger Weise bestimmt werden, wenn der hydraulische Durchmesser Dh zur Berechnung der Re-Zahl und der bezogenen äquivalenten Sandrauhigkeit kS/Dh verwendet wird. Unter Verwendung speziell in Gerinnen gewonnener empirischer Konstanten erhalten wir  /DPLQDUH*HULQQHVWU|PXQJ(rechteckiges Gerinne) 96 c D λ= Re = m h ≤ Re U = 2320 (4.134) Re ν 7XUEXOHQWH*HULQQHVWU|PXQJ hydraulisch glattes Gerinne 1 λ= λ = λ(Re) kS/Dh → 0 ReU = 2320 < Re < ∞ (4.135) 2 ⎡ 3,39 ⎤ ⎥ ⎢− 2,0⋅ lg Re λ ⎦ ⎣ Übergangsbereich glatt-rauh 1 λ= 2 ⎡ ⎛ 3,39 kS ⎞ ⎤ , lg , − ⋅ + 2 0 0 32 ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ Re λ D h ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢

λ = λ(Re,kS/Dh); ReU = 2320 < Re < ∞

hydraulisch vollkommen rauhes Gerinne 1 λ= λ = λ(kS/Dh) 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ kS ⎢− 2,0⋅lg⎜ 0,32 ⎟ ⎥ ⎝ D h ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

ReGrenz < Re < ∞

(4.136)

(4.137)

Die Grenz-Re-Zahl, zwischen dem Übergangsbereich und dem vollkommen rauhen Bereich kann näherungsweise aus Bild 4.8 (Kurve 3) bzw. Gl. (4.37) ermittelt werden. Die Angabe der äquivalenten Sandrauhigkeiten für Gerinne ist z. T. mit großen Unsicherheiten behaftet, Anhaltswerte liefert Tab. 11.12. Übersteigt bei gleichförmiger Gerinneströmung das Sohlengefälle JS den Grenzwert JS-Grenz, so stellt sich schießende Strömung ein; für JS < JS-Grenz liegt dagegen strömender Zustand vor. Zur Ermittlung des Grenzgefälles bei rechteckigem Kanalquerschnitt lösen wir die Fließformel (4.133b) nach dem Gefälle auf und setzen dabei als Fließgeschwindigkeit die Grenzgeschwindigkeit cGrenz = ghGrenz (Gl. (4.128) ein:

J S− Grenz =

λhGrenz 2Dh

(4.138)

4.7 Strömung in Gerinnen

151

Der hydraulische Durchmesser nimmt im Grenzfall den Wert

Dh =

4 bhGrenz = b + 2 hGrenz

4 hGrenz 2h 1 + Grenz b

(4.139)

an. Fügen wir nun Gl. (4.139) in (4.138) ein und beschreiben die Grenztiefe hGrenz durch Gl. (4.125b), so ergibt sich

J S− Grenz =

J S− Grenz =

λ ⎛ 2 hGrenz ⎞ ⎟ ⎜1 + 8⎝ b ⎠

2 ⎞ λ ⎛⎜ 1+ 2 ⋅ 3 V 5 ⎟ 8 ⎜⎝ gb ⎟⎠

J S− Grenz ≈

λ 8

für b >> hGrenz

für beliebige Werte b = konst

(4.140a,b)

(4.141)

3UD[LVKLQZHLV Das Gerinneprofil ist hydraulisch günstig, wenn bei gegebener Querschnittsfläche A der benetzte Umfang U minimal wird (→ Dh möglichst groß). Das absolut günstigste Profil ist der Halbkreis. Für andere Profile erhalten wir die günstigste Form, wenn sie sich möglichst gut an einen einbeschriebenen Halbkreis anpassen. Für die nachstehenden Geometrien gelten daher folgende optimale Verhältnisse: Rechteck: h/b = 1/2; Trapez: halbes Sechseck, Böschungswinkel gegenüber der Horizontalen 60 °; Dreieck: halber quadratischer Rhombus, Böschungswinkel 45 °. Bei der Wahl des Gefälles von teilweise gefüllten Schmutzwasserleitungen ist zu beachten, daß zu kleine Gefälle zur Ablagerung von Schlamm und zu große Gefälle wegen der hohen Fließgeschwindigkeit zu hohem Verschleiß führen. Das Mindestgefälle sollte bei Schmutz-, Regen- und Mischwasserleitungen JS-min ≈ 1/DN (DN: Nenndurchmesser, Zahlenwert in mm) betragen. Speziell Schmutzwasserleitungen werden häufig mit eiförmigem Querschnitt (auf der Spitze stehendes Eiprofil) ausgeführt. Dadurch wird auch bei geringem Wasseranfall ein relativ hoher Wasserstand erreicht, der den Schlammtransport begünstigt und Geruchsbelästigungen verhindert. Maximal empfohlene mittlere Fließgeschwindigkeiten cm-max für verschiedene Leitungswerkstoffe: Steinzeugrohre: 10 m/s; Betonrohre: 6 m/s; Stahlbetonrohre: 8 ÷ 12 m/s; Faserzementrohre: 6 m/s; epoxidharzbeschichtete Rohre: 10 m/s; PVC-Rohre: 5 m/s. In Regenwassersammelleitungen des Kanalnetzes kann bei starkem Regen Rückstau auftreten. Dann füllt sich der gesamte Leitungsquerschnitt, das Gerinne wird zu einem gefüllten Rohr, und es kommt – ausgehend von der höchstgelegenen Einlaufstelle – zu einem Druckanstieg im Verlauf der Leitung. Dies kann bei tiefergelegenen Kanalanschlüssen oder Hausinstallationen zu artesischen Brunneneffekten führen. Daher sind Hausablaufanschlüsse gegenüber dem Kanalnetz gegebenenfalls durch Rückschlagklappen zu sichern. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, daß die von den Römern häufig als offene Gerinne errichteten antiken Wasserzuleitungen teilweise mit außerordentlich geringen Gefällen errichtet wurden. So weist zum Beispiel die Kaikos-Leitung zur Wasserversorgung von Pergamon (errichtet im 2. Jahrhundert n. Chr.) auf 53 km Länge ein Gefälle von nur 0,31 0/00 auf. Eine

4. Stationäre Strömung inkompressibler Fluide

152

spätere Umleitungsschleife zum Ersatz eines erdbebenzerstörten Teils dieser Leitung mußte aufgrund vorgegebener Geländepunkte über ca. 12 km mit einem Gefälle von nur 0,12 0/00 ausgeführt werden [19]. %HLVSLHO In einem rechteckigen Gerinne mit der Breite b = 2 m und einem Längsprofil gemäß Bild 4.23a soll ein Wasservolumenstrom (tW = 18 °C) von V = 12000 m3/h gefördert werden. Die Kanalwände sind aus Beton (kS = 3 mm) gefertigt. 4.10.1 Im Abschnitt c → d gemäß Bild 4.23a soll sich ein Flüssigkeitsstand von h1 = 1 m einstellen. Wie groß ist das Sohlengefälle JS1 auszulegen ? Welcher Strömungszustand stellt sich ein ? 4.10.2 Der Abschnitt f → g soll für schießende Strömung mit dem Gefälle JS4 = 2JS-Grenz ausgeführt werden. Wie groß werden das Gefälle JS4, die mittlere Geschwindigkeit cm4, die Spiegelhöhe h4 und die Froude-Zahl Fr4 ? /|VXQJ 4.10.1) Stoffwerte : Tab. 11.3: tW = 18 °C: ρ = 998,55 kg/m3; ν = 1,0542⋅10-6 m2/s  V m 12000 m3 = = 1,667 c m1 = s bh1 3600 s ⋅ 2 m ⋅ 1 m 3 mm 4A 4 ⋅1 m kS 4 bh1 4 h1 = = 0,0015 = = = =2m U b + 2 h1 1 + 2 h1 1 + 2 ⋅ 1 m D h 2000 mm b 2m m 1,667 ⋅ 2 m c D s Bestimmung des Bereichs für λ: Re = m1 h1 = = 3,163 ⋅ 106 2 ν -6 m 1,0542 ⋅ 10 s ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 198 198 kS Gl. (4.37): ReGrenz = , ⎥= , ] = 0,8957 ⋅ 106 ⎟ + 1138 [− 2 lg(0,0015) + 1138 ⎢− 2 lg⎜ k S ⎢⎣ ⎝ D h1 ⎠ ⎥⎦ 0,0015 D h1 ReGrenz < Re → Oberfläche hydraulisch vollkommen rauh. D h1 =

Gl. (4.137): λ =

1 ⎡ ⎛ kS ⎞ ⎤ ⎟⎥ ⎢−2,0 lg⎜ 0,32 ⎝ D h1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

2

=

1

[−2,0⋅lg(0,32⋅0,0015)]2

= 0,02270

2

m⎞ ⎛ ⎜ 1,667 ⎟ ⋅ 0,02270 ⎝ s⎠ c2m1 λ Gl. (4.133b) J S1 = ( → 1,608 °/00) = = 0,001608 m 2gD h1 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 2 m s m 1,667 c m1 s → Fließzustand: „Strömen“ Gl. (3.7): = = 0,5322 < 1 Fr1 = gh1 m 9,81 2 ⋅ 1 m s 4.10.2) Gl. (4.141): J S − Grenz =

2⎞ λ ⎛⎜ 1+ 2⋅3 V5 ⎟ ⎜ 8⎝ gb ⎟⎠

J S4 = 2J S − Grenz

Gl. (4.133b):

4.7 Strömung in Gerinnen

c m4 =

153

2g(2J S − Grenz) D h 4 = λ

⎛ ⎜ 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 2 ⎜ s ⎜1 + 2 ⋅ 3 ⎜ 8 ⎜ ⎜ ⎝ m

c m4 =

 V

⎛ 2⎞ 2 g2 ⎜ 1 + 2 ⋅ 3 V 5 ⎟ ⎜ gb ⎟⎠ ⎝ ⋅ D h4 8 2 ⎞ ⎛ 12000 m3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 3600 s ⎠ ⎟ ⋅ D h4 = 2,8506 m ⎟ 9,81 2 ⋅ (2 m)5 ⎟ s ⎟ ⎠

m ⋅ D h4 s

(I)

4 h4 (III) 2h bc m4 1+ 4 b Das Gleichungssystem I, II, III liefert als geschlossenen Lösung eine kubische Gleichung für h4. Daher wird hier die einfachere iterative Lösung durchgeführt. Startwert : h4 = 0,6 m (< h1)

h4 =

Rechenschritt Startwert h4 [m] Dh4 [m] cm4 [m/s] h4 (neu) [m]

Dh4 =

(II)

Gleichg. III I II

1. Iteration 0,6 1,500 3,491 

Ergebnisse: cm4 ≈ 3,295 m/s; h4 ≈ 0,5058 m;

2. Iteration  1,293 3,241  Fr 4 =

c m4 ≈ gh 4

3. Iteration 4. Iteration   1,358 1,336 3,322 3,295   m 3,295 s = 1,479 m 9,81 2 ⋅ 0,5058 m s

m 3,295 ⋅ 1,336 m 3 mm cm 4 D h 4 kS s = = = 0,00225 Bild 4.18: = 4,176⋅106 Re4 = ν D h4 1336 mm 1,0542⋅10−6 m2 / s 1 1 λ: rauher Ber. → Gl. (4.137) λ = = = 0,02531 2 2 2 0 32 lg( , − ⋅ ⋅0,00225)] [ −2⋅lg(0,32⋅k S D h 4)

[

J S4 = 2J S − Grenz = 2

]

⎛ 2 ⎞ 0,02531 ⎜ (3,333 m3/s) ⎟ = 0,01048 → 10,48 0/ 3 1 2 + ⋅ 00 ⎜ 2 ⋅ ( 2 m)5 ⎟ 8 9,81 m / s ⎝ ⎠

6WDWLRQlUH6WU|PXQJNRPSUHVVLEOHU)OXLGH (QHUJLHVDW]XQGHUJlQ]HQGHWKHUPRG\QDPLVFKH *UXQGODJHQ $OOJHPHLQHV Wir betrachten in diesem Kapitel adiabate Strömungen idealer Gase mit Machzahlen Ma > 0,3, die gemäß Tab. 1.1 zu merklichen Dichteänderungen führen:

v=

1 ≠ konst. ρ

(5.1)

Daraus resultiert, daß sich die drei thermischen Zustandsgrößen p, T und v während des betrachteten Strömungsvorganges in nicht mehr zu vernachlässigender Weise ändern. Zur rechnerischen Behandlung sind nun neben den bisher bekannten Gesetzen der Strömungslehre noch einige zusätzliche thermodynamische Grundlagen erforderlich, was insgesamt zu einer größeren Komplexität der kompressiblen Strömungen führt.

 = (ρcA)i = konst. an-zuwenden Die Kontinuitätsgleichung ist jetzt in ihrer allgemeinen Form m (Gl. 3.30). Impuls- und Drallsatz lassen sich weiterhin gemäß Kap. 3.3.4 bzw. 3.3.5 formulie auftritt. ren, da in den verwendeten Gleichungen die Dichte nun implizit im Massenstrom m (QHUJLHVDW] Die in Bild 3.11b im Zeitelement dt mit den Massenelementen dm1 bzw. dm2 in den Kontrollraum ein- bzw. austretenden Energien sind gleich, da bei stationärer Strömung die im Kontrollraum gespeicherte Energie konstant ist. Die Massenelemente transportieren innere Energie dm⋅u (aufgrund der Gastemperatur: u = cvT), potentielle Energie dm⋅g⋅z und kinetische Energie dm⋅c2/2. Weiterhin wird beim Einschieben des Massenelementes dm1 die Einschiebearbeit F1ds1 = p1A1ds1 = p1 dV1 = p1v1dm1 in den Kontrollraum eingebracht, während gleichzeitig die Ausschiebearbeit p2v2dm2 über die Austrittsebene abgeführt wird. Die Bilanz der zu- und abgeführten Energien lautet:

dm1 ( u1 + p1 v1 +

c12 c2 + gz1) = dm2 ( u2 + p2 v2 + 2 + gz2) 2 2

Beziehen wir die vorstehende Gleichung auf das Massenelement dm = dm1 = dm2, so erhalten wir die Energiegleichung für kompressible Fluide in der spezifischen Form

c12 c22 + + + = + + + gz2 p gz p u v u v 2 1 1 2 2 11

2 2 h1

(5.2)

h2

Die Summe von spezifischer innerer Energie u plus spezifischer Verschiebearbeit pv wird als

5.1 Energiesatz und ergänzende thermodynamische Grundlagen

155

eine neue Zustandsgröße, die spezifische Enthalpie h, definiert: h = u + pv

(5.3)

Vergleichen wir anhand von Gl. (3.43b) die potentiellen Energieanteile bei Gas- (Index G) bzw. Flüssigkeitsströmungen (Index F) von gegebener Höhendifferenz ∆z12, so gilt ρGg∆z12 3 Realgaseffekte auf (→ Veränderung von cp), die zu deutlich geringeren Temperaturerhöhungen führen als bei idealen Gasen mit konstanter spezifischer Wärmekapazität cp [34]. Ebenso lehrt uns diese Gleichung, daß sich Gaselemente bei Beschleunigung (c2 > c1) abkühlen. Dies kann bei im Gas vorhandener Feuchtigkeit zu Eiskristallbildung und Vereisungserscheinungen führen. 7HPSHUDWXUPHVVXQJEHLVFKQHOOVWU|PHQGHQ*DVHQ Die statische Temperatur T eines strö1,0 TM (1) 0,9

r

i

A . m

0,8

q

c p T

(2) M

0,7 0,6

p

D

(3)

mögliche Rohrleitung

0,5

E

0

0,2

0,4 0,6 Ma

0,8

1,0

%LOG Temperaturmessung bei schnellströmenden Gasen. D Anordnung der Temperaturmeßstelle M. E Recoveryfaktor r in Abhängigkeit von der Machzahl für verschiedene Temperatursonden mit Thermoelement. (1) geschützte Meßperle, (2) Mantelthermoelement, (3) ungeschützte Meßperle

5.1 Energiesatz und ergänzende thermodynamische Grundlagen 

157

menden Gases könnte von einem fiktiven „mitschwimmenden Thermometer“ gemessen werden. In der Praxis muß die feststehende Temperaturmeßstelle M in Bild 5.1a die statische Temperatur T des in der Ebene i strömenden Gaselementes ermitteln. Die Gaselemente, die die Temperaturmeßstelle benetzen und deren Temperatur somit gefühlt werden kann, werden jedoch aufgrund der Haftbedingung abgebremst, wobei ihre Temperatur ansteigt. Dadurch wird die Meßstelle wärmer als die Gasumgebung und gibt wieder Wärme ab, auch aufgrund von Wärmeleitung durch den Schaft (→ q). Der Zusammenhang zwischen der gesuchten Temperatur T und der gemessenen Temperatur TM wird durch den Ansatz

T = TM − r

c2 TM = κ 2c p 1 + r − 1 Ma 2 2

r=

TM − T Tt − T

(5.11a,b,c)

beschrieben. Der Recoveryfaktor r ist von der Geometrie der Meßstelle sowie von Mach- und Reynolds-Zahl abhängig (Bild 5.1b). Er muß experimentell durch Kalibrierung ermittelt werden. Eine längsangeströmte wärmeisolierte Platte nimmt die Eigentemperatur Te = TM an. In diesem Fall läßt sich der Recoveryfaktor r in Abhängigkeit von der Prandtl-Zahl Pr (→ Wärmeübertragungskenngröße) und dem Grenzschichtzustand auf der Plattenoberfläche berechnen:

r = Pr (lam. Grenzschicht) r = 3 Pr (turb. Grenzschicht) Pr =

ηc p λ

(5.12a,b,c)

Dabei beschreibt λ den Wärmeleitungskoeffizienten des Gases. Für Luft im Bereich t ≤ 200 °C gilt Pr ≈ 0,7 und damit r ≈ 0,84 bzw. r ≈ 0,89 je nach Grenzschicht.

-20 °C ≤

3UD[LVKLQZHLV Falls keine Kalibrierung der Temperaturmeßstelle vorliegt, kann in erster Näherung der Recoveryfaktor gemäß Gl. 5.12 angenommen werden. Für einige spezielle Temperatursonden-Bauformen kann r aus Bild 5.1b entnommen werden. Sonderbauformen mit belüftetem Aufstauhohlraum erreichen Werte von r ≈ 0,99 [64]

 Bei einer Rohrströmung gemäß Bild 5.1a mit den Meßwerten T M, p und dem Massenstrom m liefert das Gleichungssystem (5.13) die Lösung (5.14) T = TM − r

c2 2c p

c=

 m ρA

ρ=

2

T=−

1 ⎛ 1 ⎞ T + ⎜ ⎟ + M ⎝ 2B ⎠ 2B B

mit

B=

p RT

 ⎞ r ⎛ mR ⎜ ⎟ pA ⎝ ⎠ 2c p

(5.13a,b,c) 2

(5.14a,b)

Für r = r(Ma) (Bild 5.1b) ist eine iterative Lösung von Gl. (5.14) erforderlich. %HLVSLHO Im Druckstutzen (D = 0,1 m) eines Turboverdichters für Luft wird ein Druck von p = 3,6 bar und mit  = 3,66 kg/s. einem Thermoelement die Temperatur tM = 206 °C gemessen. Der Massenstrom beträgt m Welche statische Austrittstemperatur T liegt im Stutzen vor ? /|VXQJ Stoffwerte Luft: Tab.11.6: R = 287,06 J/(kgK); Tab. 10.7: cp(206 °C) = 1025,8 J/(kgK) Näherungswert für den Recoveryfaktor: r ≈ 3 Pr ≈ 3 0,7 ≈ 0,89

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

158

2

kg J ⎛ ⎞ ⋅ 287,06 ⋅4⎟ ⎜ 3,66 r ⎛ mR ⎞ 0,89 s kgK ⎜ ⎟ = 5,9899 ⋅ 10−5 K-1 Gl. (5.14) B = ⎜ ⎟ = J ⎜ 3,6 ⋅ 105 Pa ⋅ 0,12 m2 ⋅ π ⎟ 2c p ⎝ pA ⎠ 2 ⋅ 1025,8 ⎜ ⎟ kgK ⎝ ⎠ 2

2

T=−

1 ⎛ 1 ⎞ TM + ⎜ ⎟ + 2B B ⎝ 2B ⎠

⎛ 1 + ⎜ T=− −5 -1 - 5 -1 ⎜ 2 ⋅ 5,9899 ⋅ 10 K ⎝ 2 ⋅ 5,9899 ⋅ 10 K 1

2

⎞ (206 + 273,15)K ⎟ + = 466,14 K → 192,99°C ⎟ 5,9899 ⋅ 10−5 K −1 ⎠

5HLEXQJVIUHLH XQG UHLEXQJVEHKDIWHWH =XVWDQGVlQGHUXQJHQ Reibungsfreie adiabate - also isentrope - Gasströmungen werden durch Gl. (1.12) beschrieben. Verknüpfen wir diese Gleichung mit der thermischen Zustandsgleichung (1.3a), erhalten wir zusätzlich die Beziehung (5.15b) (mit κ = κ für konstante Werte von cp und cv) 1

v2 s ρ1 ⎛ p1 ⎞ κ = =⎜ ⎟ v1 ρ2 s ⎝ p2 ⎠

T2 s ⎛ p2 ⎞ =⎜ ⎟ T1 ⎝ p1 ⎠

κ −1 κ

(reibungsfrei)

(5.15a,b)

Auch die Energiegleichung (5.4a) läßt sich für eine isentrope Zustandsänderung c → ds formulieren

c12 c22 s h1 + = h2 s + 2 2 

(5.16)

h t1

wobei der Endzustand ds bei idealisierter verlustloser Strömung erreicht würde. In Bild 5.2 sind Gl. (5.4) und (5.16) bei beschleunigter bzw. verzögerter Strömung im h,s – Diagramm dargestellt. Zur Berechnung reibungsbehafteter Zustandsänderungen stehen uns zwei unterschied1

ht1 = ht2 h1

c12

t

vt1

vt1 2 pt1 t p1

ht1 = ht2

v1

h2

c22 2

2

1

h2s

c2s2 2

h2s

D

c12 2

h

h

h2

v2s 2 2 s

h1 1 s

2

c22 2 p1

p2

v2

v2s 2 s

1 c2s2 2

pt1 2 t p2 v2

t

2

E

v1 ϑ 1

1

2 s

%LOG Darstellung reibungsfreier (c→ds) und reibungsbehafteter (c→d) Zustandsänderungen. D Beschleunigte Strömung (Düse). EVerzögerte Strömung (Diffusor)

5.1 Energiesatz und ergänzende thermodynamische Grundlagen

159

liche Vorgehensweisen zur Auswahl. Zunächst bietet die Thermodynamik die Lösung mittels polytroper Zustandsänderungen an. Aus Gl. (1.14a), (1.3a) bzw. Tab. 1.4 folgt 1

⎛ p ⎞n v2 = = ⎜ 1⎟ v1 ρ2 ⎝ p2 ⎠

T2 ⎛ p2 ⎞ =⎜ ⎟ T1 ⎝ p1 ⎠

ρ1

n −1 n

(reibungsbehaftet)

(5.17a,b)

Hierbei werden Anfangspunkt c und Endpunkt d der Zustandsänderung durch eine ideelle Polytrope verbunden (Bild 5.2). Ein anderer, in der Praxis häufig beschrittener Weg, geht von der Verwendung isentroper Strömungswirkungsgrade aus. Im Falle der beschleunigten Strömung definieren wir den Düsenwirkungsgrad (Bild 5.2a):

ηDü =

c22 c22 s

= ϕ2

c2 = ϕc2 s = ηDü c2 s

(5.18a,b,c)

wobei ϕ die in Gl. (4.80) definierte Geschwindigkeitszahl darstellt, deren empirische Werte Tab. 10.13 zu entnehmen sind. Gl. (5.18b,c) gestattet dann die Berechnung der reibungsbehafteten Austrittsgeschwindigkeit. Bei bekanntem Düsenwirkungsgrad läßt sich mit Hilfe der Gl. (5.15, 5.16, 5.17) auch der Polytropenexponent berechnen, so

⎧⎪ ⎡ ln⎨1 − ηDü ⎢1 − p2 p1 ⎢⎣ n −1 ⎩⎪ = p n ln 2 p1

(

κ −1 ⎤ ⎫

)κ

⎪ ⎥⎬ ⎥⎦ ⎭⎪

=

⎡ ⎛ T ⎞⎤ ln ⎢1 − ηDü ⎜ 1 − 2 s ⎟ ⎥ ⎝ T1 ⎠ ⎦ ⎣ κ ⎤ ⎡ ln ⎢(T2 s T1) κ −1 ⎥ ⎣ ⎦

(5.19a,b)

daß dann auch die polytrope Zustandsänderung Gl. (5.17) angewendet werden kann. Bei verzögerter Strömung in Diffusoren wird der isentrope Diffusorwirkungsgrad

ηDiff =

h2 s − h1 h2 − h1

(5.20)

eingesetzt (Bild 5.2b), dessen Zahlenwerte näherungsweise Bild 4.10 zu entnehmen sind. Die reibungsbehaftete Abströmgeschwindigkeit beträgt dann

c2 = c12 −

2( h2 s − h1) ηDiff

(5.21)

Die isentrope Enthalpiedifferenz ∆hs12 = h2s - h1 ist analog zu Gl. (5.57, 5.58) berechenbar. Durch die Zuordnung

n −1 = n

⎧⎪ 1 ln⎨ ⎪⎩ ηDiff

⎡ ⎢ ηDiff − 1 + p2 p1 ⎢⎣ p ln 2 p1

(

κ −1 ⎤ ⎫

⎧ 1 ⎡ T2 s ⎤ ⎫ ln ⎨ ⎢ ηDiff − 1 + ⎥⎬ ⎥⎦ ⎪⎭ T1 ⎦ ⎭ ⎩ ηDiff ⎣ = κ ⎤ ⎡ ln ⎢(T2 s T1) κ −1 ⎥ ⎣ ⎦

) κ ⎥⎪⎬

ist auch der Übergang zur Berechnung der polytropen Zustandsänderung gegeben.

(5.22)

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

160

*DVG\QDPLN  6FKDOOJHVFKZLQGLJNHLW0DFKXQG/DYDO=DKO 6FKDOOJHVFKZLQGLJNHLW Kleine Druckstörungen pflanzen sich in einem elastischen Kontinuum in Wellenform fort. Nehmen wir eine isentrope Zustandsänderung (Index „s“) an, so ergibt sich die Fortpflanzungsgeschwindigkeit dieser Wellen in ruhendem Gas zu

⎛ dp ⎞ a= ⎜ ⎟ ⎝ dρ ⎠ s

(5.23)

Diese Wellen-Ausbreitungsgeschwindigkeit a bezeichnen wir als Schallgeschwindigkeit, da sich auch der Schall als Druckstörung (Druckwelle) mit kleiner Amplitude auf Kugeloberflächen fortpflanzt. Für ideale Gase erhalten wir die Schallgeschwindigkeit durch Differentiation κ κ der Isentropengleichung (1.12a) pv = p/(ρ ) = konst. wie folgt:

d ( p ⋅ ρ− κ ) dp − κ = ρ + p ( − κ ) ρ − κ −1 = 0 dρ dρ

⎛ dp ⎞ p a = ⎜ ⎟ = κ = κpv = κRT ρ ⎝ dρ ⎠ s

ρ=

1 v (5.24a,b,c,d)

Gl. (5.24d) entsteht durch Einführung der thermischen Zustandsgleichung (1.3a). Die Schallgeschwindigkeit wird von den Stoffdaten des Gases und von seinen lokalen thermischen Zustandsgrößen bestimmt. 0DFK=DKOMit der lokalen Schallgeschwindigkeit a wird die Mach-Zahl als wichtigste gasdynamische Kenngröße gebildet

Ma =

c = a

c κRT

=

c κpv

(5.25a,b,c)

Sie unterteilt die Gasströmung in Bereiche mit weitgehend unterschiedlichem Verhalten: 0,3< Ma < 1: kompressible Unterschallströmung; Dichteänderung nicht vernachlässigbar; Druckstörungen breiten sich im gesamten Strömungsraum aus. Ma > 1 : Überschallströmung; Druckstörungen breiten sich nur in Teilbereichen des Strömungsraums aus (innerhalb des Machschen Kegels); Verdichtungsstöße; Phänomene gemäß Kap. 5.2.2. Ma ≈ 1 : Transsonische Strömung; das Strömungsfeld besteht aus Teilgebieten mit Unterbzw. Überschallströmung. Ma > 5 : Hyperschallströmung; die Vereinfachungen des idelalen Gasverhaltens können nicht mehr angewendet werden. In Bild 5.3 ist die Ausbreitung der von einer bewegten Störquelle erzeugten kleinen Druckstö-

5.2 Gasdynamik

161

rungen in ruhendem Gas dargestellt. Wir erkennen, daß sich Druckstörungen bei Unter schallströmungen im gesamten Strömungsraum ausbreiten, bei Ma = 1 dagegen nur in einem Halbraum und bei Überschallströmungen nur innerhalb des sogenannten Machschen Kegels mit dem Öffnungswinkel µ (Machscher Winkel)

sin µ =

1 Ma

(5.26)

Werden die Druckstörungen in einem bewegten Fluid erzeugt, so ergibt sich ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit durch Überlagerung von Schall- und Fluidgeschwindigkeit. c=a

c = 0,7 a

c = 2,5 a

Ma = 1  Ma = 0,7 < 1 Ma = 2,5 > 1  µ  3a 3a 3a  2a 2a 2a P3 ca ca  c a ε ε P3 P2 P1 P0 P2 P0 P1 P2  P0 P1  P3   3c 3c 3c  D E F  %LOG Ausbreitung von Druckstörungen (z. B. Schallwellen) durch eine mit der Geschwindigkeit c in ruhendem Gas bewegte Störquelle, dargestellt in einem raumfesten Koordinatensystem. Die Orte P0, P1, P2, P3 kennzeichnen die Position der Störquelle zur Zeit t = 0 bzw. nach 1, 2 und 3 Sekunden. Die Kreise geben die Wellenfronten der Druckstörungen an, die in den Punkten P 0 bis P3 entstanden. Der Winkel ε markiert den Bereich, in dem sich die Druckstörungen nicht ausbreiten können („Zone der Stille“). D Störquelle bewegt sich mit Unterschallgeschwindigkeit (Ma < 1). E Störquelle bewegt sich mit Schallgeschwindigkeit (Ma = 1). F Störquelle bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit (Ma > 1)

%HLVSLHO Ein Höhenaufklärer fliegt in z = 24 km Höhe mit der Machzahl Ma = 3. 5.2.1 Wie hoch ist die Fluggeschwindigkeit c ? 5.2.2 Welche Temperatur nimmt die Luft an den vorderen Staupunkten der Flugzeugkontur an, wenn a) mit konstanter spezifischer Wärmekapazität cp und b) mit veränderlicher spezifischer Wärmekapazität gerechnet wird ? /|VXQJ5.2.1)Normatmosphäre Bild 2.15: T(z = 24 km) = (-53 + 273,15) K = 220,15 K Stoffwerte Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); κ = 1,4; Tab. 11.7: cp(-53 °C) = 1002,6 J/(kgK) Betrachtung im körperfesten Koordinatensystem: ruhendes Flugzeug mit Ma = 3 angeströmt. Gl. (5.25) c = Ma κRT = 3 ⋅ 1,4 ⋅ 287,06 J / (kgK) ⋅ 220,15 K = 892,34 m / s 5.2.2a) Gl. (5.10a) T t = T +

(892,34 m/s) 2 c2 = 220,15 K + = 617,25 K 2 ⋅ 1002,6 J / (kgK) 2c p

5.2.2b) Gl. (5.10a) und (1.11b) T /t = T +

c2 tt

2cp t

t = -53 °C;

→ 344,1 °C

tt = 344,1 °C (Startwert)

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

162 tt

tt

cp t =

t

cp 0 tt − cp 0 t tt − t

T /t = 220,15K +

J (1023,17 ⋅ 344,1 − 1003,07 ⋅ ( −53)) J / kg = 1020,49 kgK (344,1- (-53))K

=

(892,34m / s)2 = 610,29K 2 ⋅ 1020,49J /(kgK )

Iterative Verbesserung führt auf T /t = 610,51 K mit cp = cp(T) = konst.:

Tt − T /t Tt/ − T

=

(Tab. 11.8)

→ 337,14 °C

→ 337,36 °C; Relativer Fehler bei Rechnung

(617,25 − 610,51) K = 0,0173 (610,51- 220,15) K

→ +1,73 %

3UD[LVKLQZHLV Im Bereich Ma ≤ 2,6 ist bei Annahme konstanter spezifischer Wärmekapazität cp (T) (Tab. 10.7) der relative Fehler bei der Bestimmung der Staupunkts-temperatur ≤ 1 %. Die obige iterative Verbesserung des Temperaturanstiegs bringt nur eine Erhöhung der Genauigkeit um 0,56 0/00; sie ist daher nicht erforderlich. .ULWLVFKH 6FKDOOJHVFKZLQGLJNHLW /DYDO*HVFKZLQGLJNHLW  XQG /DYDO=DKO Die Schallgeschwindigkeit ändert sich während des betrachteten Strömungsvorgangs mit den lokalen Zustandsgrößen, wobei wir die Schallgeschwindigkeit im Strömungszustand Ma = 1 als kritische Schallgeschwindigkeit akrit bezeichnen wollen: Ma = 1 → c = akrit. Der Energiesatz Gl. (5.4a) stellt sich mit Gl. (5.9) und (1.3a) in der folgenden Form dar

1 1 c22 κ R = κ + p T v t 1 2 2 2 κ − 1 2 κ − 1 

(5.27)

a 22

at

at = (κRTt)1/2 ist dabei die Schallgeschwindigkeit des Totalzustandes. Sie ist wegen Tt1 = Tt2 = konst. für den betrachteten Strömungsvorgang konstant. Die kritische Schallgeschwindigkeit erhalten wir aus Gl. (5.27) mit a2 = c2 = akrit zu

a krit =

2 RT κ

t = c La = κ +1 2 at

2 at κ +1

(5.28)

Die kritische Schallgeschwindigkeit akrit wird auch als Lavalgeschwindigkeit cLa bezeichnet. Sie ist – im Gegensatz zur Schallgeschwindigkeit - nur von der Totaltemperatur Tt abhängig und daher während des betrachteten Strömungsvorganges konstant. Mit ihr lassen sich als weitere Kenngrößen der Gasdynamik die kritische Machzahl Makrit bzw. die Lavalzahl La definieren

Ma krit = La La =

c c La

=

c 2 κRT t κ +1

=

c 2 at κ +1

=

(κ + 1) Ma 2 2 + (κ − 1) Ma 2

(5.29a,b,c,d,e)

7RWDO]XVWDQG 5XKH]XVWDQG  Wird ein mit der Mach-Zahl Ma bzw. der Geschwindigkeit c strömendes Gaselement isentrop bis zum Stillstand verzögert (aufgestaut), so nimmt es den durch Totaltemperatur Tt und Totaldruck pt gekennzeichneten Totalzustand an. In Bild 5.2 zeigen die Verläufe c→ct ; d→dt die zugehörigen Zustandsänderungen vom statischen

5.2 Gasdynamik

163

Bewegungszustand auf den Totalzustand an. Der Totalzustand wird durch den Index „t“ gekennzeichnet. Der Energiesatz Gl. (5.10a) beschreibt die auftretende Temperaturerhöhung. Mit cp = κR/(κ-1) erhalten wir bei q = 0

Tt = T +

c2 2c p

κ − 1 c2 κ −1 Tt = 1+ = 1+ Ma 2 2 κRT 2 T

(5.30a,b,c)

Führen wir die Isentropenbeziehung Gl. (5.15b) in vorstehende Gleichung ein, ergibt sich das Druckverhältnis des isentropen Aufstaus κ

κ

⎛ T ⎞ κ −1 ⎛ κ − 1 2 ⎞ κ −1 = ⎜ 1+ = ⎜ t⎟ Ma ⎟ ⎠ ⎝ p ⎝ T⎠ 2

pt

s = konst.

Ma ≤ 1

(5.31a,b)

Diese Gleichung ist gemeinsam mit Gl. (5.25) zur Geschwindigkeitsbestimmung mit einem Staudruck-Rohr im Bereich 0,3 ≤ Ma ≤1 anstelle von Gl. (3.37) bzw. (3.40a) zu verwenden. Führen wir noch Gl. (5.15a) in (5.31b) ein, ergibt sich die Dichteänderung beim Aufstau

ρt

1

1

⎛ p ⎞ κ ⎛ κ −1 ⎞ κ −1 = ⎜ t ⎟ = ⎜ 1+ Ma 2⎟ ⎝ ⎠ ρ ⎝ p⎠ 2

(5.32a,b)

Gl. (5.32b) beschreibt auch als Umkehrung des Aufstauvorganges die Dichteänderung eines Gases bei der Beschleunigung aus der Ruhe heraus. Wird Luft (κ = 1,4) auf Ma = 0,3 beschleunigt, ergibt sich ρ/ρt = 0,9564, also eine Dichteänderung von 4,4 %. Daher wird bei technischen Strömungsvorgängen mit Ma > 0,3 die Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt (s. Tab. 1.2). Der Druckanstieg pt - p bei isentropem Aufstau ist, ausgehend von der Geschwindigkeit c und der Dichte ρ des strömenden Fluids, in Form eines dimensionslosen Druckbeiwertes cp darstellbar κ ⎤ ⎡ p t − p ∆pd −1 κ 2 ⎢⎛ κ − 1 ⎞ 2 1+ = = − 1⎥ cp = Ma ⎟ 2 ⎢⎜ ⎥ ρ 2 ⎠ ⎝ 2 q κMa c ⎥⎦ ⎢⎣ 2

(5.33a,b,c)

Diese Gleichung läßt sich auch in einer Form darstellen, die den direkten Vergleich mit Gl. (3.37) für inkompressible Strömung erlaubt κ ⎤ ⎡ κ −1 ⎥ ρ 2 κ ⎢⎛ κ −1 ⎞ pt = p + ⎜1+ Ma 2 ⎟ ⎥ c2 2⎢ 2 2 ⎠ κMa ⎝ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦

(5.33d)

K ( Ma )

Der Faktor K(Ma) ≥ 1,0 (K(Ma = 0) = 1,0) stellt den Kompressibilitätseinfluß dar. Bei Geschwindigkeitsmessungen mit einen Staudruck-Rohr ergibt sich c = cik / K (Ma ) wobei cik die inkompressible Auswertung gemäß Gl. (3.37) bzw. (3.40a) bedeutet. Bei Ma = 0,3 entsteht für Luft bei Vernachlässigung der Kompressibilität ein Fehler von +1,13 %.

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

164

In einem Druckbehälter mit ruhendem Gas (Ma = 0) sind die statischen und die totalen Zustandsgrößen identisch. Sie werden häufig als Ruhegrößen, der Zustand als Ruhezustand bezeichnet. 3UD[LVKLQZHLVStrömende und ruhende Gase (Druckbehälter) sind energetisch gleichwertig, wenn ihr Total- bzw. Ruhezustand gleich ist. %HLVSLHO Zur Ermittlung der Reisefluggeschwindigkeit eines Verkehrsflugzeuges werden mit einem Prandtl-Rohr mit integrierter Temperaturmeßstelle die folgenden Meßwerte ermittelt: Totaldruck pt = 0,352⋅105 Pa; dynamischer Druck ∆pd = pt - p = 0,125⋅105 Pa; gemessene Temperatur tM = -32,5 °C. Die Temperaturmeßstelle ist kalibriert, sie hat einen Recovery-Faktor von r = 0,82. 5.3.1 Wie hoch sind die Flugmachzahl Ma und die Fluggeschwindigkeit c ? 5.3.2 Welcher Fehler ergäbe sich, wenn die Geschwindigkeit c/ gemäß der inkompressiblen Auswertungsmethode ermittelt würde ? /|VXQJ5.3.1) Stoffwerte Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); κ = 1,4 Tab. 11.7: cp(tM) = 1002,95 J/(kgK) 1,4 −1 κ −1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎞ 1,4 ⎥ ⎥ 2 ⎢⎛ p t ⎞ κ 2 ⎢⎛ 0,352 ⋅ 105 Pa ⎟ − 1⎥ = − 1⎥ = 0,8171 ⎢⎜⎜ ⎢⎜ ⎟ 5 Pa ⎟ 1 4 1 κ − 1 ⎢⎝ p ⎠ , − (0,352-0,125) ⋅ 10 ⎠ ⎥ ⎢⎝ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦

Gl. (5.31b) Ma =

Gl.(5.11b)

T=

TM κ −1 1+ r Ma 2 2

eingesetzt in Gl. (5.25) c = Ma ⋅ a = Ma κRT

liefert

J ( −32,5 + 273,15) K kgK m κRTM c = Ma = 0,8171 = 241,24 1,4 -1 κ −1 s 2 2 1+ 0,82 1+ r 0,8171 Ma 2 2 5.3.2) Inkompressible Lösung (hier falsch, da Ma > 0,3 !) Die nachstehenden 3 Gleichungen 1,4 ⋅ 287,06

Gl. (3.40a): c/ =

Fehler:

c/ =

2( p t − p) ρ

TM = p r + 2( p t − p) R 2c p f rel =

Gl. (1.3a): ρ =

p RT ′

Gl. (5.11a): T ′ = T M − r

c/ 2 2c p

( −32,5 + 273,15) K 5

0,82 (0,352 − 0,125)⋅10 Pa + 2 ⋅ 0,12510 ⋅ 5 Pa ⋅ 287,06 J / (kgK) 2 ⋅ 1002,95 J / (kgK)

c / − c ( 259,56 − 241,24) m / s = = 0,07594 241,24 m / s c

liefern

= 259,56

m s

→ 7,59 %

$OOJHPHLQH%HWUDFKWXQJHQ]XUEHVFKOHXQLJWHQXQGYHU]| JHUWHQ6WU|PXQJRKQH(QWURSLHlQGHUXQJ Wir werden nun den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeits- und Flächenverlauf einer Fadenströmung bei Ma ≤ 1 und Ma > 1 untersuchen. Dazu logarithmieren wir die Kontinuitäts-

5.2 Gasdynamik

165

 = A( x ) ⋅ ρ( x ) ⋅ c( x ) = konst. und bilden das Differential der Ableitung nach der gleichung m Stromfadenachsen-Koordinate x, wobei das Ergebnis wegen der Konstanz des Massenstromes Null wird ln A ( x ) + ln ρ( x ) + ln c( x ) = ln(konst ) →

dA dρ dc + + =0 → ρ A c

dA dρ dc =− − (5.34a,b,c) ρ A c

Aus der mit ρ erweiterten Gleichung (5.23) für die Schallgeschwindigkeit erhalten wir dρ/ρ = dp/(ρa2). Der Term dp/ρ in dieser Gleichung läßt sich mit Hilfe der differentiellen Form des Energiesatzes Gl. (5.5) für g∆z = 0 und dj = 0 (keine Entropieänderung) durch dp/ρ = -cdc ersetzen. Dies liefert dρ/ρ = -cdc/a2. Einsetzen in Gl. (5.34c) ergibt

dA cdc dc = 2 − A c a

(5.35)

und nach einfacher Umformung erhalten wir daraus die Gleichung von Hugoniot:

dc dA = ( Ma 2 − 1) c A

(5.36)

Diese Gleichung verschafft uns interessante grundsätzliche Einblicke in gasdynamische Zusammenhänge. Sie liefert den Flächenverlauf eines Strömungskanals in Abhängigkeit von der Mach-Zahl. %HVFKOHXQLJWH6WU|PXQJ (dc > 0; dp < 0). a) Ma < 1; c < a: → dA(x) < 0. Bei beschleunigter Unterschallströmung muß - analog zur inkompressiblen Strömung - der Flächenverlauf konvergent sein → konvergente Düse, Bild 5.4a. 1

2 Ma < 1

Ma ≤ 1

1 Ma < 1

c

c dc > 0

dA < 0

D

dc > 0

dA = 0

Ma = 1 2 Ma > 1

2

1

Ma > 1

2 Ma < 1

c

c

c

x

dc > 0

dA = 0 dA > 0 dA < 0 dc > 0

E

1

dA < 0

F

dc < 0

dA = 0

dA > 0 dc < 0

G

 %LOG Beschleunigte und verzögerte Gasströmungen. D Konvergente Düse (Beschleunigung; Ma1 < Ma2 und Ma2 ≤ 1). E Laval-Düse (Beschleunigung, Ma1 < Ma2 und Ma2 > 1). F Überschalldiffusor (Verzögerung, Ma1 > Ma2 und Ma2 > 1). G Unterschalldiffusor (Verzögerung, 1 > Ma1 > Ma2)

b) Ma = 1; c = a: → dA(x) = 0. Die Mach-Zahl Ma = 1 bzw. c = a kann sich nur im minimalen Stromfadenquerschnitt (Flächenminimum) einstellen. Da bei einer konvergenten Düse das Flächenminimum stets am Austritt liegt, kann in einer solchen Düse die Austritts-Mach-Zahl höchstens Ma = 1 werden. (Bild 5.4a).

166

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

c) Ma > 1; c > a: → A(x) > 0. Beschleunigung auf Überschallgeschwindigkeit setzt ei-nen divergenten Kanalverlauf voraus. Da die Beschleunigung im Bereich Ma ≤ 1 jedoch nur bei konvergentem Kanal möglich ist, muß zur Erzielung von Überschallgeschwindigkeiten eine konvergent-divergente Düse (→ Laval-Düse) verwendet werden, in deren Düsenhals sich Ma = 1 einstellt (Bild 5.4b). (Liegt im Hals einer konvergent-divergenten Düse eine Mach-Zahl Ma < 1 vor, so wird in Gl. (5.36) dA = 0 durch dc = 0 erfüllt, dh. die Geschwindigkeit hat dort einen Extremwert (Maximalwert), und die Beschleunigung wechselt das Vorzeichen, im divergenten Teil tritt Verzögerung ein → Venturi-Düse). 9HU]|JHUWH6WU|PXQJ(dc < 0; dp > 0). a) Ma < 1; c < a: → dA(x) > 0. Zur Verzögerung von Unterschallströmung ist - analog zur inkompressiblen Strömung - ein divergenter Kanal erforderlich → Unterschalldiffusor, Bild 5.4d. b) Ma > 1; c > a: → dA(x) < 0. Verzögerung von Überschallströmung ist nur bei divergentem Kanalverlauf möglich → Überschalldiffusor, Bild 5.4c. c) Ma = 1; c = a: → dA(x) = 0 (Flächenminimum). Diese Lösung der Hugoniotschen Gleichung die ja keine Entropieänderung zuläßt - hat nur theoretischen Charakter. Bei realen Strömungsvorgängen erfolgt die Verzögerung von Überschall- auf Unterschallströmung unstetig in einem Verdichtungsstoß mit Entropiezunahme. Der Zustand Ma = 1 tritt somit bei verzögerten Strömungen in Kanälen nicht auf. An welcher Stelle des Kanals und bei welcher Mach-Zahl Ma > 1 der Stoß während der Verzögerung auftritt, hängt von den jeweiligen Randbedingungen ab [44]. Zwischen kompressibler Strömung und Gerinneströmung besteht eine Analogie, deren Entsprechungen in Tabelle 5.1 dargestellt sind. Phänomene der Überschallströmung können experimentell an schießenden Flüssigkeitsströmungen (s. Kap. 4.7.1) untersucht werden (→ Flachwasseranalogie). 7DEHOOHAnalogie zwischen kompressiblen Gasströmungen und Flüssigkeitsströmungen in offenen Gerinnen Gerinneströmung Wellengeschwindigkeit cWelle Froude-Zahl Fr Strömen Fr < 1 Schießen Fr > 1 Übergang Strömen → Schießen: stetig Übergang Schießen → Strömen: unstetig Wechselsprung

kompressible Strömung Schallgeschwindigkeit a Mach-Zahl Ma Unterschallströmung Ma < 1 Überschallströmung Ma > 1 Übergang Unterschall → Überschall: stetig Übergang Überschall → Unterschall: unstetig Verdichtungsstoß

9HUGLFKWXQJVVW|‰HXQG9HUGQQXQJVZHOOHQ 6HQNUHFKWHU9HUGLFKWXQJVVWR‰EHL)DGHQVWU|PXQJHQ Wir betrachten gemäß Bild 5.5a eine kompressible adiabate Fadenströmung mit konstantem Querschnitt A beim Durchtritt durch einen Kontrollraum der infinitesimalen Erstreckung dx in

5.2 Gasdynamik

167

Strömungsrichtung. Für den Kontrollraum des Querschnitts A = konst. werden die Erhaltungssätze für Masse, Energie und Impulsstrom formuliert

h1 +

c1 ρ1 = c2 ρ2

c12 c2 = h2 + 2 2 2

ρ2 c22 − ρ1 c12 = p1 − p2

(5.37a,b,c)

 ⋅c=Aρc2 und FW ≈ FG ≈ 0 sowie Beim Impulssatz nach Gl. (3.61) wurde berücksichtigt, daß m FS = 0 sind. Ersetzen wir noch die Enthalpie in Gl. 1 2 (5.37b) durch Gl. (5.9c), so stellt (5.37) ein Glei^ chungssystem zur Berechnung der drei unbekannten ^c Ma Ma1 c1 2 2 ^ A ρ Austrittsgrößen c2, p2 und ρ2 dar. Durch Anwendung 2 ^ ρ1 p p 1 2 des Eliminationsverfahrens und entsprechender Umformungen (s. [56]) ergibt sich unter Hinzuziehung D dx von Gl. (5.25a) und (5.24b) zunächst folgendes Erρ c1 c2 p gebnis ^c 2 ^ ρ 2 ρ2 p^2 p2 x

c

ρ1

%LOG Senkrechter Verdichtungsstoß. D Kontrollraum. E Möglicher Verlauf der Zustandsgrößen beim Durchtritt durch den Kontrollraum (triviale und nichttriviale Lösungen von Gl. (5.38))

E

p1

⎫⎪ ⎛ c1 ⎞ ⎧⎪⎡ 2 ⎤ c1 ⎜ − 1⎟ ⎨⎢(κ − 1) + ⎥ − (κ + 1)⎬ = 0 2 ⎝ c2 ⎠ ⎪⎩⎣ ⎪ 1 ⎦ c2

 Ma

⎭ A

(5.38)

B

An den 2 möglichen Lösungen (A = 0 oder B = 0) dieser Gleichung erkennen wir ein erstaunliches Phänomen der Gasdynamik. Die Lösung A = 0 liefert die sogenannte Triviallösung : c1 = c2 und damit aufgrund von Gl. (5.37a,c) auch ρ1 = ρ2 und p1 = p2. Im Gegensatz zu diesem Ergebnis, das die bei inkompressibler Strömung einzig mögliche Lösung darstellt, existiert jedoch bei kompressibler Strömung eine zweite Lösung: B = 0. Sie liefert eine unstetige Änderung der Geschwindigkeit -sowie über Gl. (5.37a,c) auch der Dichte und des Druckes - innerhalb der Wegstrecke dx. Diese Erscheinung nennen wir den senkrechten Verdichtungsstoß. Wenn wir die Zustandsgrößen hinter einem Stoß mit dem Zeichen „^“ versehen, so folgt aus Gl. (5.38) für B = 0 die unstetige stoßartige Geschwindigkeitsänderung

c 2 = c1

κ − 1+

2

2 ⎛ 1 ⎞ Ma12 = 1− ⎜1 − ⎟ 1 ρ2 ρ1

(5.40a,b)

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

168

ρ 2 ρ1

=

κ − 1 + (κ + 1)

(κ + 1) Ma12

=

2 + (κ − 1) Ma12

 2= Ma

κ + 1 + (κ − 1)

2 + (κ − 1) Ma12 2κMa12 − (κ − 1)

p 2

ρ 2

p1 >1 p 2

ρ1

=

c1 c 2

(5.41a,b,c)

p1

1 physikalisch sinnvolle Lösungen (→ Entropiezuwachs). Die Temperatur T 2 erhalten wir aus der thermischen Zustandsgleichung

T 2 =

p 2 R ρ 2

T 2 p 2 ρ1 = T1 p1 ρ 2

(5.43)

Aufgrund des Energiesatzes Gl. (5.10) ändert sich die Totaltemperatur im Stoß nicht: T t1 = Tˆ t 2 . Nach den Gesetzen der Thermodynamik gilt für die Entropieänderung Gl. (5.44a); angewendet auf einen adiabaten Kontrollraum (z. B. Bild 5.5a) erhalten wir daraus Gl. (5.44b):

Tds = dq + dj

⎡ 1⎤ ⎢ρ ⎛ p ⎞ κ⎥ 1 2 ∆s12 = s2 − s1 = c p ln ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ρ2 ⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎥ ⎢ C ⎣ ⎦

(5.44a,b)

Im Falle der Triviallösung liefert Gl. (5.44b) mit Gl. (5.15a): ∆s12 = 0, es entsteht - abgesehen von Wandreibungseffekten - keine Dissipationsenergie. Wir untersuchen als nächstes, ob eine unstetige Druckabsenkung (→ Verdünnungsstoß) möglich ist. Für einen probeweise gewählten Wert p 2 /p1 < 1 berechnen wir mittels Gl. (5.41b) ρ 2 /ρ1. Setzen wir die beiden Werte in Gl. (5.44b) ein, so wird C < 1 und damit ∆s12 < 0, was bei adiabatem Kontrollraum physikalisch nicht möglich ist (→ Verstoß gegen den 2. Hauptsatz der Thermodynamik). Unstetige Druckänderungen treten somit nur in Form von Druckerhöhungen auf ( p 2 /p1 > 1 → Verdichtungsstoß, verlustbehaftet, ∆s12 > 0); Verdünnungsstoße sind nicht möglich. Anhand von Gl. (5.40a) erkennen wir, daß sich p 2 /p1 > 1 nur für Ma1 > 1 einstellt: Verdichtungsstöße existieren nur bei Überschallströmungen. Es läßt sich zeigen, daß Gl. (5.39), (5.28) und (5.29) die von Prandtl formulierte nachstehende Beziehung liefern

c1 c 2 =

2 κRT = a 2krit = c2La κ +1

 2= La

1 La1

(5.45a,b,c,d)

Gl. (5.45a) zeigt, daß die Geschwindigkeit cˆ2 hinter dem Stoß um so geringer ist, je höher die Geschwindigkeit c1 vor dem Stoß war. Weiterhin liefert Gl. (5.42) das Ergebnis, daß die Mach 2 < 1. Führen wir in zahl hinter dem senkrechten Stoß stets kleiner als 1 ist: Ma1 > 1 → Ma

5.2 Gasdynamik

169

Gl. (5.41a) einen Grenzübergang Ma1 → ∞ durch, so strebt das Dichteverhältnis asymptotisch gegen einen Grenzwert ( ρ 2 /ρ1)max. Gl. (5.41c) liefert den zugehörigen Grenzwert ( c 2 /c1)min 6

⎛ ρ 2 ⎞ κ +1 ⎜ ⎟ = ⎝ ρ1 ⎠ max κ − 1

(5.46a,b,c) 5

⎛ c 2 ⎞ 1 ⎜ ⎟ = ⎝ c1 ⎠ min ρ 2 ρ1

(

)max

=

κ −1 κ +1

Die Zustandsänderungen im senkrechten Stoß sind in Bild 5.6 in Abhängigkeit von Ma1 dargestellt.

4

ˆ2 ρ ρ1

pˆ 2 p1

pˆ t 2 p1

3

Tˆ2 T1

1,893 1 1

%LOG Zustandsänderungen bei senkrechtem Verdichtungsstoß in Abhängigkeit von der Anströmmachzahl Ma1 (κ = 1,4). Index 1 kennzeichnet die Zuströmbedingungen, das Zeichen ^ die Größen hinter dem Stoß. Die Pfeile am rechten Rand markieren Grenzwerte für Luft bei Ma1 → ∞

pˆ t 2 pt1

0,5

∆sˆ 12 cp

cˆ 2 c1

0,1667 0 1

2

3

Ma1

4

5

3UD[LVKLQZHLV Wir betrachten den Verdichtungsstoß stets in einem Koordinatensystem, das relativ zur Stoßfront feststeht. Damit ist der Stoß vorstellbar als stillstehende Front in einem mit Überschallgeschwindigkeit durchströmten Kanal (raumfestes Koordinatensystem) oder als bewegte Stoßfront in ruhendem Gas, die durch einen mit Überschallgeschwindigkeit bewegten Körper erzeugt wird (körperfestes Koordinatensystem). Im letzteren Fall können sich starke Druckstörungen (→ Verdichtungsstöße) - im Gegensatz zu schwachen Druckstörungen (→ Schallwellen, die sich mit Schallgeschwindigkeit fortpflanzen) mit Überschallgeschwindigkeit ausbreiten. Die Verzögerung einer Überschallströmung auf Unterschallströmung erfolgt bei Fadenströmungen stets unstetig in einem senkrechten Stoß. Bei welcher Machzahl Ma1 der Stoß einsetzt, hängt von den Randbedingungen des Gesamtströmungssystems ab. Hinter dem senk < 1. Die Zustandsänderungen im Stoß sind nicht unstetig im rechten Stoß gilt immer Ma 2 strengen mathematischen Sinne. Vielmehr liegt die Ausdehnung der Stoßfronten in Strömungsrichtung in der Größenordnung einiger mittlerer freier Weglängen der Gasmoleküle (für Luft beträgt die mittlere freie Weglänge am Erdboden: λ ≈ 10-4 mm). In Wandnähe (Kanalwand oder Oberfläche eines umströmten Körpers) trifft der senkrechte Stoß auf die Wandgrenzschicht. Dort bildet sich ein vorgelagerter schiefer Stoß (λ-Stoß, s. Kap. 6.4.3, Bild 6.34). Die Stöße reichen nur in die äußere Zone der Grenzschicht hinein und enden dort, wo die wandnahe Geschwindigkeit unter die Schallgeschwindigkeit sinkt. Starke Druckstörungen breiten sich in Form von Verdichtungsstößen mit Überschallgeschwindigkeit aus (Explosionsknall, Donner beim Gewitter, Peitschenknall, abfliegender Sektkorken, Schlaggeräusche von in Flugrichtung drehenden Hubschrauber-Rotorblättern)

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

170

Wird ein strömendes Gaselement einer Fadenströmung aus Überschallgeschwindigkeit (Ma1 > 1) in den Ruhezustand aufgestaut, so durchläuft es einen senkrechten Verdichtungsstoß. Der Totaldruck p t 2 ergibt sich aus dem verlustbehafteten Druckaufbau p 2 /p1 im Stoß gemäß Gl. (5.40a)

und dem anschließenden isentropen Aufstau p t 2 / p 2 gemäß Gl. (5.31b) unter

 2 nach Gl. (5.42): Verwendung der Machzahl Ma κ

1

⎡ (κ + 1) 2 Ma 2 ⎤ κ −1 ⎡ (κ + 1)2 Ma 2 2κ κ +1 ⎡ ⎤ 1 1 2⎢ ⎥ = ⎢1 + ( Ma12 − 1) ⎥ ⋅ ⎢ = Ma1 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ 1 2 + κ p1 ⎣ ⎦ 2 2κMa1 − (κ − 1) 2 − (κ − 1) ⎣ ⎦ ⎣ 2κMa1 p /p

p t 2

[

2

1

]

[

]

⎤ κ −1 ⎥ ⎥ ⎦

p t 2 / p2

Ma1 > 1

(5.47a,b)

Diese Gleichung beschreibt den Totaldruck pˆt 2 im Staupunkt eines Körpers bei Überschallanströmung bezogen auf den statischen Druck p1 der ungestörten Anströmung ( pˆt 2 ist z. B. der Totaldruckmeßwert eines Pitot-Rohres bei Überschallanströmung). Der Verdichtungsstoß stellt sich in einem gewissen Abstand vor dem Staupunkt des angeströmten Körpers ein. Stellen wir uns bei Überschallströmung einen theoretischen isentropen Aufstau ohne Verdichtungsstoß vor, so ergäbe sich mit Gl. (5.31b) das Verhältnis pt1/p1(Ma1). Der Ruhedruck pt1 repräsentiert die fluidmechanische Energie der Zuströmung. Der tatsächliche Druckanstieg auf p t 2 bei stoßbehaftetem Aufstau wird jedoch durch Gl. (5.47) beschrieben. Das Totaldruckverhältnis p t 2 / p t1 ≤ 1 bei Ma1 ≥ 1 ist daher ein Maß für den im Stoß auftretenden Verlust an fluidmechanischer Energie. −

κ⎫ ⎧ pˆt 2 ⎪⎡ 2κ 2 ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎤ ⎪ ⎤⎡ 2 ⎥ ⎬ = ⎨ 1+ (Ma1 −1)⎥ ⋅ ⎢1− 1− pt1 ⎪⎢⎣ κ +1 ⎦ ⎢⎣ κ +1 ⎜⎝ Ma12 ⎟⎠⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎭

1 κ −1

(5.47c)

Dieses Verhältnis ist, ebenso wie das Verhältnis p t 2 / p1 in Bild 5.6 dargestellt. %HLVSLHO In der Meßstrecke eines luftbetriebenen Überschallwindkanals herrscht die Anblas-Mach-Zahl Ma1 = 2,0. Der statische Druck der ungestörten Anströmung wird durch Wanddruckmessung zu p1 = 1,05 bar ermittelt, die statische Temperatur der zuströmenden Luft beträgt T1 = 285 K. Mit einem Prandtl-Rohr werden Totaldruck und statischer Druck der Überschallströmung in Kanalmitte gemessen. 5.4.1 Wie groß sind der vom Prandtl-Rohr gemessene Totaldruck pˆ t 2 = p t 3 sowie der statische Druck pˆ 2 (vor dem Prandtl-Rohr bildet sich eine Stoßfront)? Welche Temperatur Tˆ t 2 = T t 3 stellt sich gasseitig im Staupunkt des angeströmten Prandtl-Rohres ein ? 5.4.2 Wie läßt sich grundsätzlich aus dem Totaldruckmeßwert pt-Mess und dem statischen Druckmeßwert pMess eines Staudruckrohres die Anströmmachzahl Ma1 ermitteln ? /|VXQJ 5.4.1) Stoffwerte Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); κ = 1,4. Vor dem Prandtl-Rohr stellt sich bei Überschallanströmung ein abgehobener gekrümmter Verdichtungsstoß ein (s. Kap. 5.2.3.2), der sich direkt vor dem Prandtl-Rohr wie ein senkrechter Stoß verhält. Statischer Druck hinter dem Stoß:

5.2 Gasdynamik

171

2κ ⎤ ⎡ Gl. (5.40a): pˆ2 = p1 ⎢1 + (Ma12 − 1)⎥ ⎦ ⎣ κ +1

Tt1 T1 pt1

⎡ ⎤ 2 ⋅ 1,4 2 (2 − 1)⎥ = 4,725 ⋅ 105 Pa pˆ2 = 1,05 ⋅ 10 Pa ⋅ ⎢1 + 1,4 + 1 ⎣ ⎦ Mach-Zahl hinter dem Stoß (Gl. 5.42): 5

Ma 2 =

2 + (κ − 1) Ma12 = 2κMa12 − (κ − 1)

2 + (1,4 − 1) ⋅ 22 2

2 ⋅ 1,4 ⋅ 2 − (1,4 − 1)

p1 c1

= 0,5774 T1 p1 c1

Isentroper Aufstau hinter dem Stoß (Gl. 5.31b), gerechnet mit Ma 2 κ ⎛ κ −1 2 ⎞ κ −1 ˆ a2 ⎟ ⎜1+ M

pˆ t 2 p t 3 = = pˆ 2 pˆ2 ⎝

⎠

2

1, 4 2 ⎞1, 4 −1

⎛ 1,4 −1 = ⎜1+ 0,5774 ⎟ 2 ⎝ ⎠

= 1,253

= Tt2 = Tt3 ^ T2 ^p = p t2 t3

^p t2 ^p 2 ^c 2

c3 = 0 ^p 2 ^p t2

Ma1 = 2

⎛ pˆ ⎞⎛ pˆ ⎞ 4,725 1,253 = 5,920 ⋅ 105 Pa pˆ t 2 = p t 3 = p1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎜⎜ t 2 ⎟⎟ = 1,05 ⋅ 105 Pa ⋅ ˆ 1,05 p p ⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ^ 1 2 3 Gleichung (5.47) liefert ein identisches Ergebnis. Gl. (5.30c) gilt ^ auch bei Vorgängen mit Stoß: Ma1>1 Ma2 1 >⎜ ⎟ pMess pMess ⎝ 2 ⎠ pˆ2  Lösung des Terms für p t 2 / pˆ2 der Gl. (5.47a)

p t−Mess

→ kein Stoß; Ma1 aus Gl. (5.31b)

→ Stoß; Ma1 aus iterativer

6FKLHIHU9HUGLFKWXQJVVWR‰EHLHEHQHU6WU|PXQJ Wir erweitern nun unsere Überlegungen von der Fadenströmung mit Verdichtungsstoß auf die ebene Überschallströmung. Gemäß Bild 5.7a durchläuft die zur Stoßfront normale Komponente

 %LOG D Schiefer Stoß, entstanden aus einer Normalkomponente c1n, die einen senkrechten Stoß durchläuft. E Durchtritt der Geschwindigkeit c1 durch eine schiefe Stoßfront. σ: Stoßwinkel; ϑ: Knickwinkel der Stromlinie

σ

senkrechter Stoß

schiefer Stoß ϑ

σ

cˆ 2 cˆ 2 t

c1n

σ c1t

c1

cˆ 2 n c1

D

E

cˆ 2

ϑ

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

172

c1n der Zuströmgeschwindigkeit c1 einen senkrechten Stoß mit Verzögerung auf c2n . Die parallel zur Stoßfront verlaufende Komponente verändert sich im Stoß nicht: c1t = c 2t . Dies führt zu einem Abknicken der Stromlinie um den Knick-winkel ϑ. Drehen wir die Zuströmgeschwindigkeit in die waagerechte Richtung (Bild 5.7b), so erhalten wir das Bild des unter dem Stoßwinkel σ zur Anströmrichtung geneigten schiefen Verdichtungsstoßes. Diese Strömungskonfiguration tritt auf, wenn ebene Überschallströmungen an einer stark geknickten Wand entlangströmen oder einen Keil umströmen. Hierbei entspricht der Knickwinkel ϑ der Strömungsumlenkung dem Keilwinkel ϑK der umströmten Körperkontur (ϑ = ϑK, Bild 5.8c,d). Auch beim Ausströmen gegen einen höheren Außendruck tritt ein schiefer Stoß auf (Bild 5.8e). Der Stoßwinkel σ ist größer als der Machsche Winkel µ einer Machschen Welle, mit der sich eine schwache Störung ausbreiten würde (Bild 5.8c). Zur rechnerischen Behandlung des schiefen Stoßes werden dessen stoßnormale Geschwindigkeitskomponen ten c1n und c2n anstelle von c1 und c2 in die Gleichungen des senkrechten Stoßes eingeführt, da ja die Tangentialkomponenten unverändert bleiben. Für die Mach-Zahl wird anstelle von Ma1 = c1/a1 die Größe c1n/a1 =c1sinσ/a1 =Ma1sinσ = Ma1n eingeführt (s. Bild 5.7a). Gl. (5.40a), (5.41a) liefern mit der Setzung Ma1sinσ anstelle von Ma1 das Druck-, Dichte- bzw. Totaldruckverhältnis (→Verluste) beim schiefen Stoß, wobei stets Ma1sinσ = Ma1n > 1 gelten muß. Das Temperaturverhältnis folgt dann aus Gl. (5.43). Für die Geschwindigkeiten gilt gemäß Bild 5.7a und Gl. (5.39b)

c 2 n sin σ sin σ c 2 n c 2 sin(σ − ϑ ) = = = sin( σ − ϑ ) c1n sin( σ − ϑ) c1n c1 sin σ

⎡ ⎞⎤ 2 ⎛ 1 ⎜⎜ 1 − ⎟⎥ ⎢1 − 2⎟ ⎢⎣ κ + 1 ⎝ ( Ma1 sin σ ) ⎠ ⎥⎦

(5.48)

 2 hinter dem schiefen Stoß erhalten wir gemäß Bild (5.7a) und Gl. (5.42) zu Die Machzahl Ma

 2= Ma

 2n 1 Ma = sin(σ − ϑ) sin( σ − ϑ)

2 + (κ − 1) ( Ma1 sin σ )2 2κ ( Ma1 sin σ ) 2 − (κ − 1)

(5.49a,b)

 2n < 1) verzögert Da im schiefen Stoß nur die Normalkomponente Ma1n > 1 auf Unterschall ( Ma  2 > 1) herrschen. Die Kopplung wird, kann hinter diesem Stoß Überschallgeschwindigkeit ( Ma zwischen Stoß-, Knick- bzw. Keilwinkel und Anström-Mach-Zahl erhalten wir aus Bild 5.7a und Gl. (5.39b) wegen c1t = c 2t zu

c 2 n ⎤ 1 2 ⎡ tan( σ − ϑ ) c 2 t = = 1− ⎢1 − ⎥ 2 κ + 1 ⎢⎣ ( Ma1 sin σ ) ⎥⎦ tan σ c1n c1t

(5.50a,b)

Hieraus resultiert schließlich die Beziehung

⎛ κ +1 ⎞ Ma12 cot ϑ = ⎜⎜ − 1⎟⎟ tan σ 2 ⎝ 2 ( Ma1 sin σ ) − 1 ⎠

(ϑ > 0)

(5.51)

5.2 Gasdynamik

173

konkave Ecke (schwach geknickt)

Ma1 > 1

sehr scharfer Keil, Platte

ϑK →0 Machsche Welle σ ≈µ Ma 2 ≈ Ma1 p 2 ≈ p1

µ ϑK

D

µ

ϑK ≤ 2°

E 0 < ϑK ≤ ϑmax

konkave Ecke (stark geknickt)

Ausströmen gegen höheren Außendruck

Keil

Ma1 > 1 p1 c1 Machsche Welle

F

∆A 2

µ

ϑK anliegender schiefer Verdichtungsstoß

σ

µ ϑ

ˆ a >1 Ma1 >M 2 G cˆ 2 < c1 pˆ 2 > p1

σ>µ ∆A 2 < ∆A1

H

ϑK > ϑmax

stumpfer Keil

 Ma1 >1 σ = 90°   ˆ a 1 ∆A1      K  

σ ϑK

µ σ

in genügend großer Entfernung von Stoßanliegeposition: σ →µ

stumpfer Körper

σ>µ

σ>µ

ϑK

ˆ a =1 M 2 ˆ a >1 M 2

abgehobener gekrümmter Verdichtungsstoß

ˆ a >1 M 2

Ma1 >1 σ = 90° in genügend großer Entfernung vom Körper: σ →µ ˆ a 1 M 2 Ma1 >M 2 cˆ 2 < c1 J pˆ 2 > p1

ˆ a >1 M 2

ϑK < 0

µ1 µ2

∆A 2

∆A1

ϑK < 0

Ausströmen gegen niedrigeren Außendruck

stetige Druckabsenkung durch Machsche Verdünnungswellen

p1

Ma 2

zentrierter Verdünnungsfächer Ma 2 > Ma1 >1 p 2 < p1 c 2 > c1 ∆A 2 > ∆A1 µ2 < µ1

p2 ϑ< 0

L

%LOG Ebene Überschallströmungen längs geknickter Konturen. D ÷ L Grundmuster von Machschen Wellen, schiefen bzw. gekrümmten Verdichtungsstößen sowie Verdünnungsfächern

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

174 konkave Krümmung

stetige Krümmung

schiefer Stoß Ma1 >1

Ma1 >1

ϑK

ˆ a >1 Ma1 >M 2 pˆ 2 > p1

Verdichtungsfächer

M

konvexe Krümmung Verµ1 dünnungsfächer µ2

N

Ma 2 > Ma1 > 1 p 2 < p1

ϑK < 0

%LOG MN ebene Überschallströmung längs stetig gekrümmter Konturen

ϑ

Mit den vorstehenden Beziehungen sind die Vorgänge beim schiefen Stoß definiert, wobei je nach Aufgabenstellung eine numerische Lösung erforderlich ist. Die Gl. (5.49b) und (5.51) sind in Bild 5.9 graphisch darge50° stellt. Wir erkennen, daß für Ma1 = ∞ kleine Knickwinkel ϑ bei gegeˆ a 2 45,6 σ M Ma1 starker bener Anströmmachzahl Ma1 ϑ 5 Stoß zwei verschiedene schiefe Stöße 40° ˆ a 1) Stoß ( M 2

1,2 ˆ a =1 M 2

20°

0,8

2

0,5

30°

Ma1 = 1,5

1,5

2

3

Mˆa

2

=5

10° 1,2

σ= µ

0 0

30°

60°

σ

90°

%LOG Zusammenhänge zwischen Stoßwinkel σ, Umlenkwinkel (Knickwinkel) ϑ sowie Zu- und Abströmmachzahl bei anliegendem schiefen Verdichtungsstoß, gerechnet für Luft (κ = 1,4). Die gestrichelten Kurven repräsentieren die starke Stoßlösung, die in der Praxis nicht auftritt [62]

dem weiterhin Überschallgeschwindigkeit herrscht ( Ma 2 >1) oder ein starker Stoß mit großem Stoßwinkel σ (nahezu senkrechter Stoß, gestrichelte Linien) hinter dem Unterschallgeschwindigkeit ( Ma 2 < 1) vorliegt. In der Praxis stellt sich im allgemeinen der schwache Stoß ein. Weiterhin zeigt Bild 5.9, daß bei einer gegebenen Anström-Mach-Zahl Ma1 ein Maximalwert ϑmax für den möglichen Knickwinkel der Strömung besteht. Ist der Keilwinkel ϑK eines angeströmten Körpers größer als ϑmax, so ist kein an der Körperspitze anliegender schiefer Stoß möglich. Der Stoß hebt dann von der Körperspitze ab und nimmt eine gekrümmte Form an (Bild 5.8f,g). In Bild 5.10 ist der Grenzknickwinkel ϑmax = f(Ma1) dargestellt. Bei abgehobenem Stoß stellt sich direkt vor der Körperspitze ein senkrechter Stoß ein (σ = 90 °) und es bildet sich dahinter ein lokal begrenztes Unterschallgebiet aus. Die im anliegenden schiefen bzw. abgehobenen

5.2 Gasdynamik

175

ϑmax ; σ(ϑmax )

gekrümmten Stoß enthaltene fluidmechanische Energie (→ Druckwelle) nimmt durch Reibungseffekte mit zunehmender Entfernung von der Knickstelle ab. Die starke, sich mit Überschallgeschwindigkeit ausbreitende Druckstörung (Stoß) geht dadurch allmählich über in eine schwache Störung, die sich als Machsche Welle mit Schallgeschwindigkeit ausbreitet. Der Stoßwinkel geht damit in den Machschen Winkel über: σ → µ. Bei sehr kleinen Keilwinkeln d.h. praktisch ϑK ≤ 2 °- (s. Bild 5.8a,b) entsteht ein sehr schwacher schiefer Stoß, der sich wie eine Machsche Welle mit kleiner Druckstö80° rung verhält (σ ≈ µ). Derartige Zustände sind σ(ϑmax ) Ma1 →∞: 67,8° auf der Abszisse (ϑ = 0) des Diagramms 5.9 zu finden. 60° ϑK > ϑmax Ma1 →∞: 45,6°

abgehobener Stoß

40°

ϑmax anliegender Stoß

20°

%LOG Maximal mögliche Strömungsumlenkung ϑmax bei anliegendem schiefen Stoß und jeweils zugehörigem Stoßwinkel σ(ϑmax); (κ = 1,4)

σ

ϑK ≤ ϑmax

0 0

2

4

Ma1

6

8

Die Zustandsänderungen in einer Machschen Linie können isentrop betrachtet werden. Verdichtungsstöße sind dagegen verlustbehaftet. Die Verluste nehmen sowohl mit der Anströmmachzahl Ma1 als auch mit dem Stoßwinkel σ zu. Die größten Verluste entstehen beim senkrechten Stoß (σ = 90 °). Bei stetiger konkaver Umlenkung entsteht eine Folge von Machschen Verdichtungswellen, die einen Verdichtungsfächer bilden (Bild 5.8j), in dem die Zustandsänderungen quasistatisch verlaufen. Je nach Geometrie der Krümmung können die Verdichtungswellen in einiger Entfernung von der Körperkontur zu einem schiefen Verdichtungsstoß mit unstetiger Zustandsänderung zusammenlaufen. %HLVSLHO Ein Flugkörper mit keilförmiger Spitze (halber Keilwinkel ϑK = 20 °) wird in einem Überschallwindkanal untersucht. Die Daten der zuströmenden Luft betragen p1 = 0,42 bar; t1 = 15 °C. 5.5.1 Die Anblas-Mach-Zahl beträgt Ma1 = 3,25. Welche Werte des Stoßwinkels σ, der MachZahl Ma 2 , der Geschwindigkeit c 2 und des Druckes p2 hinter dem schiefen Stoß stellen sich ein ? 5.5.2 Bei welcher Anström-Mach-Zahl wird sich ein abgehobener Verdichtungsstoß einstellen ? /|VXQJ 5.5.1) Stoffdaten Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); κ = 1,4. Der Keilwinkel bestimmt die Strömungsumlenkung: ϑK = ϑ. Bild 5.9 liefert σ(ϑ = 20 °; Ma1 = 3,25) ≈ 36 °. Genauere Rechnung durch Probieren mit Gl. (5.51) für Ma1 = 3,25 ergibt σ [°] 36,0 36,1 35,9 → σ ≈ 36 ° Gl. (5.49b): ϑ [°] 19,99 20,07 19,90 Ma 2 =

1 sin( σ − ϑ )

Ma 2 = 2,154

2 + (κ − 1) ( Ma1 sin σ) 2 2κ ( Ma1 sin σ )2 − (κ − 1)

=

1 2 + (1,4 − 1) ⋅ ( 3,25⋅sin 36 °) 2 sin( 36 − 20)° 2 ⋅ 1,4 ⋅ (3,25⋅sin 36 °) 2 − (1,4 − 1)

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

176

c1 = Ma1 a1 = Ma1 κRT1 = 3,25 ⋅ 1,4 ⋅ 287,06 J / (kgK) ⋅ (273,15 + 15) K = 1105,97

m s

Gl. (5.48): ⎞⎤ ⎞⎤ 2 ⎛ sin σ ⎡ sin 36 ° ⎡ 1 2 ⎛ 1 c2 ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⎥ = ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜ 1 − = ⎢1 − ⎢1 − 2 2 c1 sin( σ − ϑ ⎢⎣ κ + 1 ⎝ ( Ma1 sin σ) ⎠ ⎥⎦ sin(36 - 20)° ⎢⎣ 1,4 + 1 ⎝ (3,25⋅sin 36°) ⎠ ⎥⎦

c 2 = 0,8424 c1

c2 = 1105,97

[

m m ⋅ 0,8424 = 931,67 s s

]

Gl. (5.40a) mit Ma1sinσ statt Ma1:

[

]

2 ⋅ 1,4 2κ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫ p 2 = p1 ⎨1 + ( Ma1 sin σ) 2 − 1 ⎬ = 0,42 ⋅ 105 Pa ⎨1 + (3,25⋅sin 36°) 2 − 1 ⎬ = 1,718 ⋅ 105 Pa κ , + 1 4 1 + 1 ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ 5.5.2) Bild 5.10: abgehobener Stoß für Ma1 ≤ Ma1(ϑmax = 20 °) ≈ 1,85.

9HUGQQXQJVZHOOHQ Umströmt eine ebene Überschallströmung eine konvexe Ecke (ϑK < 0), oder tritt sie aus einer Öffnung in einen Raum mit niedrigerem Außendruck aus, so stellt sich eine Druckabsenkung (p2 < p1) ein. Da der zweite Hauptsatz der Thermodynamik unstetige Druckabsenkungen nicht zuläßt (s. Kap. 5.2.3.1), erfolgt die Expansion stetig in Form einer Folge von Machschen Verdünnungswellen, die an der Knickecke bzw. der Austrittskante zentriert sind und einen Verdünnungsfächer bilden (Bild 5.8h,i). Der Verdünnungsfächer wird eingegrenzt von der ersten Machschen Welle unter dem Winkel µ1 = arcsin(1/Ma1) und der letzten Machschen Welle unter µ2 = arcsin(1/Ma2). Die Zustandsänderung im Fächer kann näherungsweise als isentrop angesehen werden, die Zustände längs der Machschen Linien sind jeweils konstant. Der vorliegende Strömungsvorgang wird als Prandtl-Meyersche Eckenströmung bezeichnet. Bei der Berechnung des Umlenkwinkels ϑ der Strömung geht die Theorie zunächst von einer Zuströmung mit Ma1 = 1 aus. Die im Fächer auftretende Beschleunigung auf eine Abströmmachzahl Ma >1 erzeugt dann eine Strömungsumlenkung von

ε( Ma ) =

κ +1 κ −1 arctan ( Ma 2 − 1) − arctan Ma 2 − 1 κ −1 κ +1

(5.52)

Liegt vor der Ecke bereits eine Anströmmachzahl Ma1 > 1 vor, so ist die sich einstellende Strömungsumlenkung ϑ um den Wert ε (Ma1 > 1) geringer und wir erhalten

− ϑ = ε ( Ma 2 ) − ε ( Ma1)

Ma1 > 1; Ma2 > Ma1; ε (Ma1 = 1) = 0

(5.53)

wobei ε jeweils gemäß Gl. (5.52) ermittelt wird. Die maximal mögliche Umlenkung (ausgehend von Ma1 = 1) entsteht bei Expansion ins Vakuum, was wegen p2 = 0 aufgrund von Gl. (5.25c) auf Ma2 → ∞ führt. Gl. (5.52) liefert dann den Grenzwert

⎛ κ +1 ⎞ − 1⎟⎟ für Luft (κ = 1,4): εmax = 130,45 ° ε max ( Ma 2 → ∞ ) = 90°⋅⎜⎜ ⎝ κ −1 ⎠

(5.54)

und die zugehörige Grenzumlenkung bei Ma1 > 1 wird -δmax = εmax - ε (Ma1). Aus Gl. (5.31b) erhalten wir die isentrope Druckabsenkung im Verdünnungsfächer

5.2 Gasdynamik

177 κ

p2 p t1 p1 ⎛ 2 + (κ −1) Ma12 ⎞ κ −1 ⎟ = =⎜ p1 p t1 p2 ⎝ 2 + (κ −1) Ma 22 ⎠

(5.55)

Bei stetiger konvexer Umlenkung verteilen sich die Verdünnungswellen längs der Körperkontur (Bild 5.8k). %HLVSLHO 1 Verdünnungsfächer In der mit c bezeichneten Austrittsebene einer heliumdurchströmten ebenen Laval-Düse herrscht Ma1 eine MachZahl Ma1 = 1,4 und ein Druck von p1 = p1 1,7 bar. Im Raum hinter der Düse liegt der Druck p2 pa µ1 = pa =1 bar vor. Für die hinter der unteren Düsenausµ2 trittskante einsetzende Nachexpansion (PrandtlMeyer-Eckenströmung) sind die Mach-Zahl Ma2 ϑ< 0 und die Strahlumlenkung ϑ sowie die Machschen Winkel µ1 und µ2, die den Verdünnungsfächer eingrenzen, zu ermitteln. /|VXQJ Stoffdaten Helium: Tab. 11.6: κ = 1,667. Austritts-Mach-Zahl: Gl. (5.55) Ma 2 =

⎧ 1 ⎪ 2 ⎨ 2 + (κ − 1) Ma1 κ −1⎪ ⎩

[

⎛ p1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p2 ⎠

]

κ −1 κ

⎫ ⎪ − 2⎬ ⎪ ⎭

1,667 −1 ⎧ ⎫ 5 ⎛ ⎞ 1,667 ⎪ ⎪ 1 2 ⎜ 1,7 ⋅ 10 Pa ⎟ − 2 ⎬ = 1,770 Ma 2 = ⎨ 2 + (1,667 − 1) ⋅ 1,4 ⎜ ⎟ 5 1,667 − 1 ⎪ ⎝ 1,0 ⋅ 10 Pa ⎠ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ Die durch Nachexpansion erzeugte höhere Austritts-Mach-Zahl Ma2 > Ma1 ist technisch nicht nutzbar (s. Bild 5.18). Substitution: Gl. (5.52, (5.53): − ϑ = ε( Ma 2) − ε ( Ma1)

[

m=

κ +1 = κ −1

]

1,667 + 1 = 1,9996 1,667 − 1

1 Ma 2 − 1 ) − arctan Ma 2 − 1 m 1 ε( Ma 2) = 1,9996 ⋅ arctan( 1,7702 − 1 ) − arctan 1,7702 − 1 = 16,67 ° 1,9996 1 ε( Ma1) = 1,9996 ⋅ arctan( 1,4 2 − 1 ) − arctan 1,4 2 − 1 = 7,78 ° 1,9996 − ϑ = 16,67 °-7,78 ° = 8,89 ° ϑ = −8,89 ° → konvexe Ecke ε( Ma ) = m arctan(

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ Gl. (5.26): µ1 = arcsin⎜ ⎟ = arcsin⎜ ⎟ = 45,58 ° ⎝ 1,4 ⎠ ⎝ Ma1 ⎠

⎛ 1 ⎞ µ 2 = arcsin⎜ ⎟ = 34,40 ° ⎝ 1,770 ⎠

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

178

hEHUVFKDOOVWU|PXQJVPXVWHU:HOOHQZLGHUVWDQG Aus den in Bild 5.8 dargestellten Grundmustern der Überschallströmung lassen sich die Strömungsbilder für beliebige Anwendungsfälle zusammensetzen. Bild 5.11a zeigt ein Doppelkreisbogenprofil. Aufgrund des Keilwinkels ϑK > 0 an der Profilvorderkante entsteht ein schiefer Verdichtungsstoß (Kopfwelle) mit Druckanstieg und Strömungsumlenkung in Richtung der Tangente an den Nasenkeil. Danach weicht die Körperkontur stetig zurück (dϑK < 0), es entsteht ein über die gesamte Profiloberfläche verschmierter Verdünnungsfächer, in dem der Druck auf Werte unterhalb des ungestörten Anströmdruckes abfällt. An der Profilhinterkante Verdichtungsstoß (Kopfwelle)

Verdichtungsstoß (Heckwelle)

Verdünnungsfächer FA

FR

Verdichtungsstoß (Kopfwelle)

Verdichtungsstoß (Heckwelle)

---- - F - W- -

++++

D 

Verdünnungsfächer

E

++++

++

Verdichtungsstoß

F

Verdünnungsfächer

%LOG Beispiele von Strömungsmustern bei ebenen Überschallströmungen (Ma1 > 1). D Doppelkreisbogenprofil. E Angestellte ebene Platte (+: Überdruck; -: Unterdruck). FDoppelkeilprofil

erfolgt in einem zweiten schiefen Stoß (Heckwelle) die Umlenkung um den Knickwinkel δ > 0 in die Richtung der ungestörten Anströmung, verbunden mit einem Druckanstieg auf den Wert des ungestörten Anströmdruckes. Durch das Zusammentreffen von Verdünnungswellen mit der Kopf- bzw. Heckwelle entstehen Reflexionen und eine schwache Krümmung der Stöße. Bei der in Bild 5.11b dargestellten angestellten ebenen Platte entsteht an der oberen Eintrittskante (konvexe Ecke, δK < 0) ein zentrierter Verdünnungsfächer mit Umlenkung in Plattenrichtung und Druckabfall auf einen auf der gesamten Oberseite konstanten Wert. An der oberen Hinterkante entsteht ein schiefer Verdichtungsstoß mit Umlenkung (ϑ > 0) und Druckanstieg auf Werte der ungestörten Anströmung. An der unteren Eintrittskante (konkave Ecke, ϑK > 0) erfolgt Strömungsumlenkung und Druckanstieg in einem schiefen Verdichtungsstoß, während an der unteren Hinterkante (konvexe Ecke, δK < 0) in einem Verdünnungsfächer die Anpassung an die Druckwerte der ungestörten Anströmung erfolgt. Die Vorgänge am Doppelkeilprofil in Bild 5.11c lassen sich entsprechend erklären. Hier entsteht an den Knickstellen der Ober- bzw. Unterseite ein zentrierter Verdünnungsfächer mit Umlenkung und Druckabsenkung unter den Anströmdruck. Ma1> 1

µ p0 p0+ dp

Erdoberfläche p0- dp

In Bild 5.12 ist die Entstehung des Überschallknalls von Flugzeugen erläutert. Kopf- und Heckwelle gehen in einiger Entfernung vom %LOG Entstehung des Überschallknalls bei Flugzeugen

5.2 Gasdynamik

179

Flugzeug in Machsche Wellen über, die unter dem Winkel µ = arcsin(1/Ma1) verlaufen. Aufgrund des Temperaturverlaufs in der Atmosphäre (s. Kap. 2.2.3) sind diese Machschen Linien jedoch gekrümmt (gestrichelte Kurven). Bei ihrem Auftreffen auf der Erdoberfläche werden die schwachen Druckänderungen dp in den Machschen Wellen als Einzel- oder Doppelknall wahrgenommen. Die durch den Machschen Kegel erzeugte hyperbelförmige Knallschleppe wird während des gesamten Überschallfluges über den Erdboden gezogen. Für Überschallströmungen in feststehenden Leitungen oder Kanälen interpretieren wir die energetischen Auswirkungen der Stöße und Wellen als einen Verlust an fluidmechanischer Energie. Bei umströmten Körpern interessiert die Auswirkung auf den Körper. Dazu betrachten wir Bild 5.11b und stellen fest, daß durch die Druckabsenkung auf der Plattenoberseite bzw. dem Druckanstieg auf der Plattenunterseite eine resultierende Druckkraft FR entsteht, die normal zur Plattenoberfläche wirkt. Diese zerlegen wir in eine Auftriebskomponente FA normal und eine Widerstandskomponente FW tangential zur Anströmrichtung. Diese Widerstandskraft entsteht nicht reibungsbedingt, sondern nur aufgrund der vorhandenen Wellensysteme, sie wird daher als Wellenwiderstand bezeichnet. Bei dieser Betrachtungsweise gehen wir davon aus, daß die in den Wellensystemen enthaltene mechanische Energie dem Körper entzogen wurde, der dies wiederum als einen zusätzlichen Widerstand empfindet (s. Gl. 6.21). Bild 5.13 zeigt den Verlauf des Widerstandsbeiwertes cW = FW/(ρc12/2) von Rotationskörpern in Abhängigkeit von der Anström-Mach-Zahl Ma1 und der Kopfgeometrie (δK). Der zunächst annähernd konstante Wert, der sich aus Reibungs- und Druckwiderstandsanteilen zusammensetzt, steigt nach Überschreitung der kritischen Anström-Mach-Zahl Ma1-krit bei Annäherung an Ma1 ≈ 1 stark an (→ Schallmauer). Bei Erreichen der kritischen Anström-Mach-Zahl treten auf der Körperkontur erstmals lokale Überschallgebiete und damit verbundene Verdichtungsstöße auf, die zusätzlich einen Wellenwiderstand erzeugen.Verstärkt wird dieser Effekt noch dadurch, daß bei Auftreffen der Verdichtungsstöße auf die Körperoberfläche die dortige Grenzschicht zur Ablösung neigt und einen Anstieg des Druckwiderstandes hervorruft. Für Ma > 1 treten Kopf- und Heckwellen auf. Das Maximum des Widerstandsbeiwertes wird bei Ma1 > 1 erreicht. Danach fällt der Wert wieder ab, hervorgerufen durch die Änderung der Wellengestalt und des Druckwiderstandes, der im wesentlichen durch den Unterdruck im Totwassergebiet hinter dem Körper entsteht. Bei steigender Mach-Zahl erreicht der Basisdruck im Nachlauf bald den Wert p ≈ 0 (Vakuum), er kann nicht weiter absinken und die „Saugwirkung“ des Hinterteils nicht 0,6 I δK > δmax II 0,4

III

cW

%LOG Von der Anström-Mach-Zahl abhängige Widerstandsbeiwerte von parallel angeströmten Rotationskörpern mit unterschiedlichen Kopfgeometrien. Vor Körper II und III bildet sich ein anliegender schiefer Verdichtungsstoß aus (δKIII < δKII); vor Körper III ein abgehobener Stoß. cW: gesamter Widerstandsbeiwert; cWR: Reibungswiderstandsbeiwert; cWD: Druckwiderstandsbeiwert; cWW: Wellenwiderstandsbeiwert. Die Aufteilung des Gesamtwiderstandsbeiwertes cW ist für Körper I qualitativ dargestellt.

I cWD + cWW

δK

cWD

II

0,2 δK

cWR 0

0

1 Ma1-krit

2

3

III 4

Ma1

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

180

mehr erhöhen. Der Druckwiderstandsbeiwert bleibt dann annähernd konstant und der Gesamtwiderstandsbeiwert cW fällt nur noch asymptotisch ab, hervorgerufen durch den mit steigender Mach-Zahl (und damit steigender Reynolds-Zahl) abfallenden Reibungswiderstandsbeiwert (s. Kap. 6.3). Mit zunehmendem Konuswinkel ϑK der Körperspitze steigt der Widerstandsbeiwert deutlich an, insbesondere beim vorn stumpfen Körper (I), der einen abgehobenen Stoß erzeugt. DieseTendenz ist auch gemäß Bild 5.9 (das allerdings nur für ebene Fälle gilt) vorhersagbar: bei gegebener Zuströmmachzahl Ma1 nimmt der Stoßwinkel σ mit anwachsendem Keilwinkel ϑK = ϑ zu, die Verzögerung wird stärker und der Stoß heftiger, bis beim Erreichen von δmax der senkrechte abgehobene Stoß auftritt. 3UD[LVKLQZHLV Bei Überschallströmung sind die Körpervorderkanten als scharfkantige Keile oder spitze Konen auszuführen. Je kleiner der Öffnungswinkel δK gewählt wird, um so geringer fallen die Wellenwiderstände aus. Zur Minimierung des störenden ÜberschallKnallphänomens zeigen Studien verschiedene Varianten auf: Möglichst glatte Unterseite des Flugzeugs, alle störenden Kanten (z. B. Triebwerkseinläufe) sind auf der Oberseite anzuordnen; Überschall-Doppeldecker. Wiedereintrittsflugkörper werden mit einer stumpfen Vorderkante konstruiert, vor der sich ein ˆ a 2 < 1) mit enormem Temperaturanstieg ausbildet. Die abgehobener Verdichtungsstoß (→ M reale Temperaturerhöhung beträgt z. B. in 52 km Höhe auf der Wiedereintrittstrajektorie einer Orbitalmission ∆T12ˆ ≈ 7500 K (bei Ma1 ≈ 17,5) [34]. Bei durchströmten Systemen sind Geometrien mit mehreren schiefen Stößen günstiger als ein senkrechter Stoß (z.B. Triebwerkseinläufe von Überschallflugzeugen).

%HVFKOHXQLJWH6WU|PXQJVYRUJlQJH 5HLEXQJVIUHLH6WU|PXQJ $XVJDQJVJOHLFKXQJHQ Wir betrachten die reibungsfreie beschleunigte Strömung in einer Düse oder einem Kanal als adiabaten Stromfaden gemäß Bild 5.14a. Dabei ist zu beachten, ob der Vorgang aus der Ruhe heraus (Bild 5.14b) oder mit einer Zuströmgeschwindigkeit c 1 > 0 beginnt (Bild 5.14a,d). Im letzteren Fall denken wir uns die Strömung isentrop auf den Totalzustand aufgestaut (c1 → 0; p1 → pt1; T1 → Tt1). Stimmt dieser Totalzustand ct mit den Größen eines ruhenden Gases (Ruhezustand = Totalzustand) überein, so sind die beiden Vorgänge energetisch gleichwertig. Wir verwenden daher im folgenden am Eintritt stets den Totalzustand, dann lassen sich beide Fälle identisch behandeln. Bei vorhandener Zuströmgeschwindigkeit erhalten wir die Totaltemperatur und den Totaldruck mittels Gl. (5.30) und (5.31). Das spezifische Volumen des Totalzustandes liefern Gl. (1.3) bzw. (5.32) 1

v t1 =

RTt1 p t1

⎛ p ⎞κ v t1 = = ⎜ 1⎟ = v1 ρt1 ⎝ p t1 ⎠ ρ1

1 1 κ ⎞ 2 −1

(5.56a,b,c,d)

⎛ κ −1 Ma1 ⎟ ⎜ 1+ ⎠ ⎝ 2

Der Energiesatz für die reibungsfreie Strömung (5.16) liefert die Geschwindigkeit c2s in der

5.2 Gasdynamik

1

D

1

181

pt1 Tt1; c=0

Ma1 c1 p1 T1

i

min

t

Amin

Ai pi

c1= 0 Ma1= 0 1 = 1t p1=pt1 T1=Tt1

pa

c2

ci

c2s

2 = 2

min

Amin

1

pa

F

2

G

II I

pa x

dA 0 dx

2

 %LOG Beschleunigte kompressible Strömung. DDüsenströmung mit Zuströmgeschwindigkeit, c1 > 0. Bereich I: konvergente Düse, Austrittsquerschnitt d = (min). Bereich I + II: konvergent-divergente Düse, Austrittsquerschnitt d. E Düsenströmung aus der Ruhe heraus, c1 = 0. F Strömung in einem Tellerventil, Austrittsquerschnitt d = (min). G Turbinengitter. I: Abströmung bei unterkritischem und kritischem Betrieb; II: Nachexpansion mit Strahlablenkung im überkritischen Betrieb

Austrittsfläche d des Bereichs I bzw. II der Anordnung gemäß Bild 5.14a,b

⎛ T2 s ⎞ ⎟ c 2 s = 2 ( h t 1 − h 2 s) = 2 c p T t 1 ⎜ 1 − ⎝ Tt1 ⎠

(5.57a,b)

wobei ht1 = cpTt1 und h2s = cpT2s gesetzt wurde. Der Index „s“ steht jeweils für isentrope Zustandsänderung. Formulieren wir cp = κR/(κ-1) (Tab. 1.4) und führen Gl. (5.15b) für das isentrope Temperaturverhältnis ein, so erhalten wir die Gleichung von Saint-Venant und Wantzel:

c2 s =

κ −1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎛ p2 ⎞ κ ⎥ 2κ RTt1 1 − ⎜ ⎟ κ − 1 , ⎢⎢ ⎝ p t1⎠ ⎥⎥ p t 1v t 1 ⎣ ⎦

(5.58)

Die zugehörige Mach-Zahl Ma2s = c2s/a2s ergibt sich, wenn wir die Schallgeschwindigkeit a2s bei isentroper Expansion auf den Druck p2 ermitteln:

a 2 s = κRT2 s

⎛p ⎞ T2 s = T t1 ⎜ 2 ⎟ T2 s = T t 1 T t1 ⎝ p t1 ⎠

κ −1 κ

⎛ p2 ⎞ a 2 s = κRTt1 ⎜ ⎟ ⎝ p t1 ⎠

κ −1 κ

(5.59a,b,c)

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

182

Ma 2 s =

κ −1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎛ p2 ⎞ κ ⎥ 2κRTt1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ p t1 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

=

κ −1 ⎞ κ

⎛p (κ − 1)κRTt1 ⎜ 2 ⎟ ⎝ p t1 ⎠

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ 1 − 1⎥ κ −1 ⎥ κ −1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ p2 ⎞ κ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ p t1⎠

(5.60a,b)

Isentropengleichung (5.15a) und Kontinuitätsgleichung (formuliert für die Austrittsfläche d) liefern bei Vernachlässigung der Strahlkontraktion den Massenstrom: 1

 s = ρ2 s c2 s A 2 = m

1 v2 s

⎛ p t1 ⎞ κ v2 s = v t 1 ⎜ ⎟ ⎝ p2 ⎠

c2 s A 2

(5.61a,b,c)

Wird noch c2s entsprechend Gl. (5.58) eingeführt, ergibt sich κ +1

2

2 κ p t1 ⎛ p 2 ⎞ κ ⎛ p 2 ⎞ κ 2 κ p t1 ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = A2  s = A2 m Ψ s2 κ − 1 v t 1 ⎝ p t1 ⎠ κ − 1 v t1 p t1 ⎠  ⎝  K

0,40

. m . s-krit y ms

0,30

I

II 1,4

ψs

ms

A 0,20

ψp

0,10 0

Ψ s2

κ = (n) =1,67 ψmax

1,0

(5.62a,b)

1,2 p pt1 krit B C 0,8 0,6 0,4 p 0,2 2

pt1

0

%LOG Verlauf der Durchflußfunktion ψs bzw. ψp für verschiedene Isentropen- (κ) bzw. Polytropenexponenten (n) in Abhängigkeit vom Totaldruckverhältnis. Qualitativer Verlauf des Massenstroms m  s bei konvergenter Düse und κ = (n) = 1,4. I: Unterschallbereich, II: Überschallbereich bei κ = (n) =1,4. B und C sind die möglichen Druckverhältnisse bei angepaßtem Betrieb einer Laval-Düse

Für ein gegebenes Gas (→ κ) hängt der Faktor K in Gl. (5.62a) nur vom Eintrittszustand und die isentrope Durchflußfunktion ψs 1 nur vom Totaldruckverhältnis ab. Wird der Massenstrom 2

⎛ p ⎞κ ⎛ p ⎞ ψs 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p t1 ⎠ ⎝ p t1 ⎠

κ −1 κ

(5.63)

auf die Fläche bezogen, ergibt sich die Massenstromdichte 1

Im Schrifttum wird häufig die Größe

2κ / (κ − 1) ⋅ Ψ s als Durchflußfunktion bezeichnet.

5.2 Gasdynamik

183

s m = (ρ 2 c 2)s = A2

2 κ pt1 ψ κ − 1 vt1 s 2

(5.64)

Der Verlauf der allgemeinen isentropen Durchflußfunktion ψs =f(p/pt1, κ) ist in Bild 5.15 für verschiedene Isentropenexponenten κ dargestellt. Die Lage des Maximums erhalten wir aus der Bedingung dψs/d(p/pt1) = 0. Sie liefert das sogenannte kritische Druckverhältnis bei reibungsfreier Strömung: κ

⎛ p⎞ ⎛ 2 ⎞ κ −1 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ p ⎝ t1⎠ s− krit ⎝ κ + 1⎠

(5.65)

Einfügen von Gl. (5.65) in Gl. (5.63) liefert den Maximalwert der Durchflußfunktion

⎛⎛ p ⎞ ⎞ ⎟= Ψ s− max = Ψ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ p t1 ⎠ s− krit ⎠

1

κ − 1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 ⎜ ⎟ κ + 1 ⎝ κ + 1⎠

(5.66)

Wir wollen die Zusammenhänge im Maximum der Durchflußfunktion weitergehend untersuchen. Dazu betrachten wir zunächst die Mach-Zahl anhand von Gl. (5.60b). Setzen wir dort für (p2/pt1) das kritische Druckverhältnis nach Gl. (5.65) ein, so erhalten wir

⎛⎛ p ⎞ ⎞ ⎟ =1 Ma s ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ p t1⎠ s− krit⎠

(5.67)

Die zugehörige Geschwindigkeit cs-krit folgt aus Gl. (5.58), in der wir das Druckverhältnis ebenfalls durch Gl. (5.65) ersetzen

cs− krit =

κ −1 ⎫ ⎧ κ ⎤ κ ⎪ ⎪ ⎡ 2κ ⎪ ⎢⎛ 2 ⎞ κ −1 ⎥ ⎪ ⎟ RTt1 ⎨1 − ⎢⎜ ⎥ ⎬= κ −1 ⎪ ⎢⎝ κ + 1⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣ ⎭ ⎩

2κ RTt1 = a s− krit κ +1

(5.68)

Das gleiche Resultat erhalten wir aus Gl. (5.59c) für die Schallgeschwindigkeit as. Bei reibungsfreier Expansion auf das kritische Druckverhältnis tritt somit gerade die Schallgeschwindigkeit as = as-krit auf, die Mach-Zahl nimmt den Wert Mas = 1 an. Dieser Strömungszustand, bei dem die Durchflußfunktion ihr Maximum erreicht, wird als „kritischer“ Zustand bezeichnet. Bei isentroper Strömung liegt dann lokal die kritische Geschwindigkeit cs-krit vor, sie stimmt mit dem Wert der lokalen Schallgeschwindigkeit as überein, die wir in diesem Fall kritische Schallgeschwindigkeit as-krit nennen. Im kritischen Zustand gilt somit

⎛ p ⎛ p⎞ ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ Ψ s = Ψ s− max ⎜⎜ ⎟ ⎝ p t1 ⎝ p t1 ⎠ s− krit ⎠

cs− krit = a s− krit =

2κ RTt1 = cs− La κ +1

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

184

⎛ Ts ⎞ 2 = ⎜ ⎟ ⎝ Tt1⎠ s− krit κ + 1

Ma s = La s = 1

(5.69)

Die kritische Schallgeschwindigkeit wird auch als Laval-Geschwindigkeit bezeichnet. Machund Laval-Zahl sind nur im kritischen Zustand gleich, bei reibungsfreier Strömung nehmen sie im kritischen Zustand den Wert 1 an. Es ist noch eine weitere Besonderheit des kritischen Zustandes aufzudecken. Die Verknüpfung der Gl. (5.61a) und (5.62a) liefert bei konstanten Eintrittsbedingungen für den beliebigen Querschnitt

 s = A i (ρi ci) s = A i KΨ si m

Ψs =

1 (ρc) s ∼ (ρc)s K

Damit gilt für dψs = 0 auch d(ρc)s = 0, dh. im kritischen Zustand hat auch die Stromdichtefunktion (ρc)s ein Maximum. Die in Kap. 5.2.2 durchgeführte Differentiation der Kontinuitätsgleichung lehrt uns anhand von Gl. (5.34b), daß für d(ρc)s = 0 auch dA = 0 sein muß: bei einem Stromfaden liegt das Maximum der Stromdichtefunktion stets im Minimum des Flächenverlaufs, so daß sich der kritische Zustand stets im Minimum des Flächenverlaufs (dA = 0; Kontrollfläche „min“ in Bild 5.14) etabliert. Wir diskutieren nun den Massenstrom durch eine konvergente Düse (Bereich I Bild 5.14a,b; Bild 5.14c) anhand von Gl. (5.62) und Bild 5.15. Ausgehend vom Druckverhältnis p2/pt1 = 1 erkennen wir in Bild 5.15, daß die Durchflußfunktion ψs - und damit der Massenstrom m  s - mit abnehmendem Druckverhältnis zunehmen, um beim kritischen Druckverhältnis (p2/pt1 ) = (p/pt1)krit die jeweiligen Maximalwerte m  s− krit bzw. ψs-max zu erreichen. Da sich der kritische Zustand stets im Flächenverlaufsminimum einstellt, formulieren wir die Kontinuitätsgleichung (5.62) für den engsten Querschnitt Amin, setzen dort ψs = ψs-max gemäß Gl. (5.66) ein und erhalten damit den maximal möglichen Massenstrom m  s− krit , den wir als kritischen Massenstrom bezeichnen 1

 s− krit = A min m

2κ p t1 κ − 1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 2κ p t 1 = A min ψ ⎜ ⎟ κ − 1 v t 1 κ + 1 ⎝ κ + 1⎠ κ − 1 v t1 s− max

(5.70a,b)

Für alle Düsenformen gilt nun folgendes: wird unmittelbar hinter dem engsten Querschnitt einer kritisch arbeitenden Düse der Druck weiter abgesenkt (phinter Amin < pkrit), so pflanzt sich die Information der Druckänderung mit Schallgeschwindigkeit stromaufwärts fort. Sie kommt jedoch nicht über den engsten Querschnitt hinaus, da ihr dort das Gas mit Schallgeschwindigkeit entgegenströmt. Daher setzen kritisch arbeitende Düsen unabhängig vom geringeren Druck hinter dem engsten Querschnitt stets den kritischen Massenstrom m  krit durch: die Düse sperrt. Zur

⎧ ⎪ 2κ pt1 ⎪A 2 κ − 1 vt1 ⎪ s=⎨ m ⎪ ⎪ = ⎪ms−krit Amin ⎩

2

⎛ p2 ⎞ κ ⎛ p2 ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜p ⎟ ⎜p ⎟ ⎝ t1 ⎠ ⎝ t1 ⎠

κ +1 κ

⎛ p ⎞ p(A min ) ⎟ ≤ ≤1 für ⎜ ⎜p ⎟ pt1 ⎝ t1 ⎠s-krit 1 ⎞ κ −1

2 κ pt1 κ − 1 ⎛ 2 ⎜ ⎟ κ − 1 vt1 κ + 1 ⎝ κ +1 ⎠

für

ph int er Amin ⎛ p ⎞ ⎟ ≤⎜ ⎜p ⎟ pt1 ⎝ t1 ⎠

s − krit

(5.71)

5.2 Gasdynamik

185

Massenstrombestimmung bei gegebenen Werten der Eintrittszustände, der Flächen Amin bzw. A2 sowie des Gegendrucks p2 gilt daher allgemein Gl. (5.71) mit p(Amin) als Druck im engsten Querschnitt. Für eine konvergente Düse (A2 = Amin) ist Gl. (5.71) in Bild 5.15 dargestellt. Für Querschnitte mit Druckverhältnissen im Intervall [1, > (p/pt1)s-krit] herrscht Unterschallströmung, im Randwert (p/pt1)s-krit liegt gerade der kritische Zustand vor (Kurvenast I in Bild 5.15). Bei Expansion mit Druckverhältnissen kleiner als das kritische Druckverhältnis wird bei geeignetem Flächenverlauf Überschallströmung erzeugt. Die theoretische Maximalgeschwindigkeit ergibt sich bei Expansion ins Vakuum. Gl. (5.58) liefert mit p2 = 0 den Wert dieser theoretischen Grenzgeschwindigkeit

c2 s− Grenz =

2κ RTt1 κ −1 ,

(5.72)

p t 1v t 1

mit der zugehörigen Mach-Zahl Ma2s → ∞, denn Gl. (5.24b) liefert a2s → 0. In der Praxis ist die Grenzgeschwindigkeit c2s-Grenz jedoch nicht erreichbar (s. Laval-Düse). Die vorstehenden Gleichungen, die kritische Zustände beschreiben, sind stets auf den engsten Querschnitt des Flächenverlaufs bezogen. Die übrigen Beziehungen sind auf den Austrittsquerschnitt d zugeschnitten (konvergente Düse: Amin = A2). Sie lassen sich jedoch auch für jeden Zwischenquerschnitt (i) formulieren, wenn die dortigen Zustandsgrößen verwendet werden. Die Besonderheiten der technischen Umsetzung der Ausgangsgleichungen werden in den nachtehenden Abschnitten vorgestellt. Soll die Temperaturabhängigkeit des Isentropenexponenten κ berücksichtigt werden, so ist für die Zustandsänderung der mittlere Wert κ einzusetzen, der gemäß Tab. 1.4 und Tab. 11.8 berechenbar ist. .RQYHUJHQWH'VHIn einer konvergenten Düse - oder allgemein in einem konvergenten Kanal - verringert sich die Querschnittsfläche in Strömungsrichtung und erreicht im Austrittsquerschnitt A2 ihr Minimum Amin (Bild 5.14a,b: Bereich I; Bild 5.14c). Da kritische Strömungszustände stets im Minimum des Querschnittsverlaufs auftreten, dieses jedoch das Ende der konvergenten Düse markiert, können bis zum Düsenaustritt höchstens kritische Werte erreicht werden. Der Druck kann somit direkt am Düsenaustritt nur bis auf den kritischen Druck (p2 ≥ pskrit = pt1⋅(p/pt1)s-krit) abgesenkt werden, und für die übrigen Größen gelten die technisch nutzbaren Höchstwerte c2s ≤ cs-krit ; Ma2s ≤ 1; m s≤m  s− krit . Bei der Berechnung einer konvergenten Düse ist daher anhand des Außendruckes pa zunächst festzustellen, in welchem Zustand die Düse arbeitet: 1) pa > ps-krit : p2 = pa → unterkritischer Betrieb c2s → Gl. (5.58) a2s → Gl. (5.59) Ma2s → Gl. (5.60) T2s → Gl. (5.59b)  s → Gl.(5.62) m 2) pa = ps-krit : p2 = ps-krit = pa → kritischer Zustand Gleichungen: s. Zustand 3 3) pa < ps-krit : p2 = ps-krit > pa → überkritischer Zustand p2/pt1 = (p/pt1)s-krit c2s = cs-krit = as-krit → Gl. (5.68) Ma2s = 1 T2s =Ts-krit → Gl. (5.69) s=m  s− krit → Gl. (5.70) m In den Betriebszuständen (1) und (2) expandiert das Gas in der Düse bis auf den Außendruck pa und die gesamte Energieumsetzung ist - abgesehen von den hier vernachlässigten Reibungsverlusten in der Düse - technisch nutzbar (→ c2s). Der Strahl verläßt die Düse als paralleler Frei-

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

186

pa ≥ pkrit (1, 2)

D

pa

p2

pa pa < pkrit (3)

E p pt1 pkrit

F

1 2, 3

1 2 3

1: pa = p2 > pkrit 2: pa = p2 = pkrit 3: pa < p2 = pkrit x

 %LOG Konvergente Düse. Druckverlauf in der Düse und im Strahl. D Parallelstrahl bei unterkritischem und kritischem Betrieb. E Strahl mit welliger Struktur bei überkritischem Betrieb. F Druckverlauf innerhalb der Düse und im Strahl bei den verschiedenen Betriebszuständen

strahl, in dem der Außendruck pa herrscht: Bild 5.16: (1,2). Ist der Außendruck pa kleiner als der Mündungsdruck (Fall 3), so weitet sich der Strahl hinter der Düse auf, das Gas wird zunächst auf Überschallgeschwindigkeit beschleunigt. Wegen der Trägheit des divergierenden Strahls expandiert das Gas unter den Außendruck, was wiederum eine Kontraktion des Strahlrandes durch den Außendruck auf etwa Düsenaustrittsquerschnitt mit Druckanstieg in die Nähe des Düsenaustrittsdruckes sowie Geschwindigkeitsabnahme bewirkt. Dieser Vorgang wiederholt sich mehrfach in Form einer stehenden Schwingung, bis die hinter dem Düsenaustritt freigesetzte Energie dissipiert ist, sie ist daher technisch nicht ausnutzbar (Bild 5.16: (3)). Bei reibungsfreier Rechnung nimmt der kritische Druck den Wert ps-krit an. 3UD[LVKLQZHLV Der minimale Druck, auf den ein Gas innerhalb einer konvergenten Düse expandieren kann, ist der kritische Druck: p2-min = ps-krit. Er stellt sich im gegebenen Fall im Austrittsquerschnitt A2 = Amin ein. Die höchste erreichbare Geschwindigkeit ist die kritische Geschwindigkeit c2-max = cs-krit =as-krit. Sie stellt sich im Austrittsquerschnitt ein, wenn dort auf den kritischen Druck expandiert wird. Der Massenstrom kann bei gegebenen Eintrittsbedingungen nur bis zum kritischen Massenstrom m  s− krit gesteigert werden. Dieser stellt sich ein, wenn in der Düse Expansion auf den kritischen Druck vorliegt. Bei Absenkung des Außendrucks unter den kritischen Druck bleibt der Massenstrom konstant bei m s=m  s− krit . Liegt der Außendruck unter dem kritischen Druck, so „zerplatzt“ der Strahl und geht in eine wellige Struktur über, ohne daß eine technisch nutzbare Geschwindigkeitserhöhung über den Wert cs-krit möglich wird. Durch die expansionsbedingte Temperaturabsenkung kann es bei Armaturen (Bild 5.14c) innen (bei feuchtem Gas) und außen (bei feuchter Umgebungsluft) zu Vereisung kommen. Bei konvergenten Schubdüsen ist im überkritischen Betrieb eine nutzbare Schuberhöhung durch das Druckglied (p2 - pa)A2 der Schubgleichung (3.68, 3.71) möglich, die allerdings geringer ausfällt als bei einer Expansion auf Überschallgeschwindigkeit. In konvergenten Turbinengittern ist bei überkritischer Expansion durch Strahlablenkung (Flächenerweiterung) und Nachexpansion in bestimmten Grenzen ein technisch sinnvoller Betrieb möglich (Stromlinienverlauf II in Bild 5.14d). %HLVSLHO Zu einer konvergenten Düse mit zylindrischer Zuleitung (s. Bild 5.2a; 5.14a) strömt Luft mit den Zuströmdaten p1 = 1,5 bar; t1 = 30 °C; c1 = 100 m/s. Der Düsenaustrittsdurchmesser mißt D2 = Dmin = 0,1 m.

5.2 Gasdynamik

187

Der Außendruck beträgt pa = 1 bar. Rechnung reibungsfrei, ohne Strahlkontraktion, mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten cp. 5.7.1 Arbeitet die Düse kritisch? Die Geschwindigkeit c2s, die Temperatur T2s und die Mach-Zahl Ma2s am Düsenaustritt sind zu ermitteln. Wie hoch ist der Massenstrom m s? 5.7.2 Welcher Durchmesser D1 der Zuleitung ist erforderlich ? 5.7.3 Auf welchen Wert muß der statische Druck p1 der Zuströmung erhöht werden, wenn bei gleichbleibender Temperatur T1 und gleichem Außendruck pa der maximale Durchsatz eingestellt werden soll ? Welche Werte c2s, T2s, Ma2s sowie c1 stellen sich dann ein ? /|VXQJ 5.7.1) Stoffwerte Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); κ = 1,4; Tab. 11.7: cp(t1 = 30 °C) = 1005,05 J/(kgK). Totalzustand der Zuströmung: Zunächst Gl. (5.25b) m 100 c1 s = = 0,2865 Gl. (5.31b): Ma1 = 1,4 ⋅ 287,06 J / (kgK) ⋅ (30 + 273,15) K κRT1 κ

1,4

⎞ 1,4-1 ⎛ 1,4-1 ⎛ κ −1 2⎞ κ −1 = 1,588 ⋅ 105 Pa = 1,5 ⋅ 105 Pa ⋅ ⎜ 1+ p t1 = p1 ⎜1+ 0,28652⎟ Ma1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 2

m⎞ ⎛ ⎜100 ⎟ ⎝ s⎠ = 308,12 K = 303,15 K + Gl. (5.30a): T t1 = T1 + 2 ⋅ 1005,05 J / (kgK) 2c p Kritischer Druck am Düsenaustritt (reibungsfreie Rechnung) Gl. (5.65): c12

κ

ps− krit

1,4

⎛ 2 ⎞ 1,4-1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 = p t1 ⎜ = 1,588 ⋅ 105 Pa ⋅ ⎜ = 0,8389 ⋅ 105 Pa ⎟ ⎟ ⎝ κ +1⎠ ⎝ 1,4+1⎠

pa > ps-krit → die Düse arbeitet unterkritisch → p2 = pa = 1 bar c2s =

κ −1 ⎤ ⎞ κ ⎥

⎡ ⎢ ⎛p 2κ RTt1 ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ κ −1 ⎢ ⎝ p t1 ⎠ ⎣ c2 s = 276,83

⎥ = ⎥ ⎦

Gl. (5.58):

0,4 ⎤ ⎡ ⎞ 1,4 ⎥ ⎢ ⎛ 2 ⋅ 1,4 J 105 Pa ⋅ 287,06 ⋅ 308,12 K ⋅ ⎢1 - ⎜ ⎟ ⎥ 5 0,4 kgK ⎢ ⎝ 1,588 ⋅ 10 Pa ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

m s

⎛ p2 ⎞ T2 s = T t 1 ⎜ ⎟ ⎝ p t1 ⎠

Gl. (5.15b): κ −1 κ

0,4

⎛ ⎞ 1,4 105 Pa ⎟⎟ = 269,98 K = 308,12 K ⋅ ⎜⎜ ⎝ 1,588 ⋅ 105 Pa ⎠

(→ -3,17 °C)

⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 2 ⎢ 1 2 1 ⎥ = ⎢ ⎥ = 0,8404 − ⋅ − Gl. (5.60b): Ma 2 s = 1 1 κ −1 0,4 ⎥ ⎥ 0,4 ⎢ κ −1⎢ ⎥ ⎢⎛ p ⎞ κ ⎢⎛ ⎥ ⎞ 1,4 105 Pa 2 ⎥ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎢⎜ ⎥ 5 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ p t1 ⎠ ⎢⎣ ⎝ 1,588 ⋅ 10 Pa ⎠ ⎥⎦ kg RTt1 287,06 J / (kgK) ⋅ 308,12 K Gl. (5.56a): v t1 = Gl. (5.62a): = = 0,5570 3 5 p t1 m 1,588 ⋅ 10 Pa

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

188 2

 s = A2 m

s= m

D12 π 4

c1

κ +1 κ

2 ,4

2

( 0,1m) 2 ⋅ π s= m 4

5.7.2)

⎛ p2 ⎞ κ ⎛ p2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p t1 ⎠ ⎝ p t1 ⎠

2κ p t 1 κ − 1 v t1

2 ⋅ 1,4 1,588 ⋅ 105 Pa ⎛ 1 ⎞ 1,4 ⎛ 1 ⎞ 1,4 kg = 2,8054 ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ 1,588 ⎠ ⎝ 1,588 ⎠ 0,4 0,5570 kg s 3 m

p1 RT1 ,

→ D1 =

4 ms RT1 = π c1 p1

kg J ⋅ 287,06 ⋅ 303,15 K s kgK = 0,144 m m π ⋅ 100 ⋅ 1,5 ⋅ 105 Pa s

4 ⋅ 2,8054

ρ1

π 2π = 16,29 ⋅ 10−3 m2 A1 = D12 = ( 0,1440m) 4 4 5.7.3) Der maximaler Durchsatz wird erreicht, wenn die Düse kritisch betrieben wird: pa = ps-krit pa 1 ⋅ 105 Pa Gl. (5.65): p t1 = = = 1,8929 ⋅ 105 Pa 1,4 κ

⎛ 2 ⎞ κ −1 ⎟ ⎜ ⎝ κ +1⎠

⎛ 2 ⎞ 0,4 ⎜ ⎟ ⎝ 1,4 +1⎠

s= m  s− krit : Gl. (5.56a) in Gl. (5.70a) und Annahme Tt1 = 308,12 K (s. 5.7.1) liefert: m 1

 s− krit = A min m

ms− krit

2 2κ p t1 κ − 1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 ⎜ ⎟ κ − 1 RTt1 κ + 1 ⎝ κ +1⎠

( 0,1m) 2 ⋅ π = 4

Gl. (I) 1

2

2 ⋅ 1,4 ⋅ (1,8929 ⋅ 105 Pa) kg 1,4 − 1 ⎛ 2 ⎞ 1,4 −1 = 3,4229 ⎟ ⎜ s 0,4 ⋅ 287,06 J / (kgK) ⋅ 308,12 K 1,4 + 1 ⎝ 1,4+1⎠

p1 m RT → c1 = s− krit 1 Gl. (II) A1 p1 RT1 Gl. (II) in Gl. (5.31b) ergibt Gl. (III), die iterativ gelöst werden muß. Startwert: p1-Start = 1,5 bar. p t1 p1 = Gl. (III) → p1 = 1,78280 ⋅ 105 Pa κ ms− krit = m1 = A1 c1

2 κ −1 ⎡ κ −1  s− krit ⎞ 1 ⎤⎥ RT1 ⎛ m ⎢1+ ⎜ ⎟ 2 2 κ ⎝ A1 ⎠ p1 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦

⎛p ⎞ Gl. (5.31a): T t1 = T1⎜⎜ t1 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

κ −1 κ

0,4

⎛ 1,8929 ⋅ 105 Pa ⎞ 1,4 ⎟⎟ = 308,39 K Tt1 differiert gegenüber = 303,15 K ⋅ ⎜⎜ ⎝ 1,7828 ⋅ 105 Pa ⎠

dem Startwert in Gl. (I) nur um -0,88 0/00, so daß auf eine Nachiteration verzichtet wird. Gl. (5.68): c2 s = cs− krit =

2κ RT t1 = κ +1

2 ⋅ 1,4 J m ⋅ 287,06 ⋅ 308,39 K = 321,37 2,4 kgK s

2 ⎛ 2 ⎞ = 308,39 K ⋅ ⎜ ⎟ = 256,99 K ⎝ 1,4 + 1⎠ κ +1 Im kritischen Zustand ist Ma2s = 1,0 Gl. (5.69):

T2s = Ts− krit = T t1

5.2 Gasdynamik

189 kg J ⋅ 287,06 ⋅ 303,15 K m s kgK = 102,57 s 0,01629 m2 ⋅ 1,7828 ⋅ 105 Pa

3,4229

Aus Gl. (II): c1 =

Ma1 =

c1 κRT1

102,57 = 1,4 ⋅ 287,06

m s

J ⋅ 303,15 K kgK

= 0,2939

.RQYHUJHQWGLYHUJHQWH 'VH /DYDO'VH  Wie in Kap. 5.2.2 bereits diskutiert wurde, ist zur Beschleunigung auf Überschallgeschwindigkeit eine konvergent-divergente Düse erforderlich. In ihr werden bis zum Ende des konvergenten Teils (Bild 5.14a,b: Ende Bereich I; Querschnitt Amin) die kritischen Werte erreicht und im anschließenden divergenten Teil wird bei weiterer Druckabsenkung Überschallströmung erzeugt. In einer solchen Laval-Düse, die im engsten Querschnitt kritische Werte aufweist, strömt - unabhängig vom Außendruck pa - bei konstanten Eintrittszuständen stets der kritische Massenstrom (bei reibungsfreier Strömung: m  s− krit ). Wir formulieren für diesen Fall nun entsprechend Gl. (5.70) bzw. (5.62) die Kontinuitätsgleichung für den engsten Querschnitt Amin sowie für den Austrittsquerschnitt A2 und setzen die auftretenden Massenströme gleich, κ +1

2

1

2κ p t1 κ − 1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 2κ p t 1 ⎛ p2 ⎞ κ ⎛ p2 ⎞ κ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = A2  s− krit = m  s = A min m ⎜ ⎟ κ − 1 v t1 κ κ κ − 1 v t 1 ⎝ p t1 ⎠ + 1 ⎝

+ 1⎠  p t1 ⎠   ⎝  K

ψ s− max

ψ A2 = s− max ψ s2 A min

K

←

(5.74)

ψ s2

(5.73a,b) ↑

wobei der kritische Massenstrom bei einem gegebenen Gas durch die Eintrittszustände und den engsten Querschnitt vorgegeben ist. Wir erkennen anhand der vorstehenden Gl. (5.73b), daß der Druck p2 im Austrittsquerschnitt und der Austrittsquerschnitt A2 selbst gekoppelt sind (da der kritische Massenstrom gegeben ist). Soll am Ende einer Laval-Düse ein vorgegebener Austrittsdruck p2 erreicht werden, so ist der Austrittsquerschnitt entsprechend Gl. (5.73b) zu dimensionieren: A2 =

 s− krit m κ +1 ⎞ κ

2 ⎞κ

(5.75)

⎛p 2 κ p t1 ⎛ p 2 ⎜ ⎟ −⎜ 2⎟ κ − 1 v t 1 ⎝ p t1 ⎠ ⎝ p t1 ⎠  ψ s2

Andererseits werden wir auch sehen, daß für eine vorhandene Düse bei gegebenen Werten für den Massenstrom m  s− krit und den Austrittsquerschnitt A2 zwei mögliche Düsenaustrittsdrücke p2 existieren. Dazu lösen wir Gl. (5.75) nach ψs2 auf

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

190

ψ s2 =

 s− krit m 2 κ p t1 κ − 1 v t1

A2

Die Durchflußfunktion ψs2 möge den Wert ψs2 = A in Bild 5.15 annehmen. Die Graphik zeigt, daß es dazu zwei mögliche Druckverhältnisse B bzw. C gibt (Kurve für κ = 1,4). B liegt im Bereich I und liefert eine Unterschallösung, während bei C Überschallabströmung erzeugt wird (s. Bild 5.17). Wenn im Betrieb Außendruck und Düsenaustrittsdruck gleich sind (pa = p2), liegt angepaßter Betrieb vor. Eine im engsten Querschnitt kritische Laval-Düse hat somit zwei mögliche angepaßte Betriebszustände. Eine Laval-Düse arbeitet unterkritisch, wenn für den Außendruck pa gilt 1

pa > paB(ψsB) mit ψ sB =

κ − 1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 A min ⎜ ⎟ κ + 1 ⎝ κ +1⎠ A2

(5.76a,b)

dabei stellt paB den Außendruck im Fall der angepaßten Unterschallösung dar (Punkt B in Bild 5.15 bzw. paB in Bild 5.18). paB ist bestimmbar durch iterative Lösung von Gl. (5.63) für ψs2(p2 =paB) = ψsB mit ψsB gemäß Gl. (5.76b). Alle anderen (niedrigeren) Außendrücke führen auf kritischen Betrieb. Bei unterkritischem Betrieb sind die Gl. (5.56 ÷ 5.64) anzuwenden (Bild 5.18a)..

cs-krit = a s-krit c2s

1,0

Ma2s

Ψ2s; c2s; ρ2s; A2

In Bild 5.17 sind für eine Düse mit konstanten Eintrittsgrößen die Zustandsgrößen im Düsenaustrittsquerschnitt d in Abhängigkeit vom Düsendruckverhältnis p2/pt1 dargestellt. Im Bereich I kommt die konvergente Düse zur Anwendung, im Bereich II ist eine konvergent-divergente Düse notwendig. Die Kurve für den erforderlichen AusI II trittsquerschnitt A2 entsteht bei 1 2 1 2 Vorgabe eines konstanten Massenstroms. Bei kritischem Druckverhältnis ist der Querschnittsbedarf minimal, bei Expansion ins VakuMa2s; A2 →∞ um liefert Gl. (5.75) A2 → ∞. Wec2s-Grenz ρt1 gen der in der Praxis stets endliρ chen Austrittsfläche ist der Druck 2s ∞ ∞ p2 = 0 im Austrittsquerschnitt nicht A2 Ψ2s realisierbar und somit die theore2 tische Grenzgeschwindigkeit Ma2s

1

A2 1

0,8

0,6 0,4 ⎛ p ⎞ ⎟ ⎜ ⎜p ⎟ ⎝ t1 ⎠s −krit

0,2 p2 p t1

0 0

%LOG Zustandsgrößen im Düsenaustrittsquerschnitt in Abhängigkeit vom Düsendruckverhältnis. Bereich I: konvergente Düse; Bereich II: konvergentdivergente Düse

5.2 Gasdynamik

191

c2s-Grenz (Gl. (5.72)) real nicht erreichbar. Die Kurvenverläufe von ρ2s und c2s in Bild 5.17 zeigen, daß bei Beschleunigung im Überschallbereich (Bereich II) die Dichte stärker abfällt als die Geschwindigkeit zunimmt: für p2/pt1 → 0 ist ersichtlich, daß⏐∆ρ2s⏐/ρ2s >⏐∆c2s⏐/c2s. Daher verringert sich die Massenstromdichte (ρ2c2)s bei Beschleunigung im Überschallbereich, und zur Erfüllung der Kontinuitätsgleichung m  s = (ρ2c2)sA2 muß der Querschnitt A2 zunehmen. Wir wollen nun anhand von Bild 5.18 das Verhalten einer gegebenen Laval-Düse bei unterschiedlichen Außendrücken pa untersuchen. Im Bereich pt1 > pa > paB herrscht in der gesamten Laval-Düse unterkritischer Betrieb, wir sprechen von einer Venturi-Düse, wobei im konvergenten Teil Beschleunigung und im divergenten Teil Verzögerung vorliegt. Für pa = paB wird die Düse im engsten Querschnitt gerade kritisch, der hintere divergente Teil arbeitet jedoch verzögernd als Unterschalldiffusor (Kurve 1-2-3). Dieser Zustand repräsentiert die angepaßte Unterschallösung (Zustand B auf der Abszisse von Bild 5.15) der nun kritischen Düse. Bei Absenkung des Außendruckes auf pa < paB bleiben die Zustände im konvergenten Teil der Düse unverändert, es strömt der kritische Massenstrom. Betrieb bei pa = paC stellt die angepaßte Überschallösung (Zustand C in Bild 5.15) der Laval-Düse dar, der zugehörige Expansionsverlauf 1-2-4 zeigt den Auslegungsfall der Düse auf. Für Außendrücke pa4 ≤ pa < paB erfolgt die Expansion zunächst längs der Auslegungslinie 1-2-5. In Position 5 stellt sich ein senkrechter Verdichtungsstoß mit Verzögerung auf Unterschallgeschwindigkeit ein (Verlauf 5-6) und danach folgt Verzögerung mit Druckanstieg auf den Außendruck pa2 bzw. pa3. Die Strömung paßt sich durch die Lage des Stoßes an den Außendruck an. Im Falle des Wertes pa = pa4 stellt sich 2

1

Verdünnungsfächer

min pa

ϑ p2

x pa

σ

pt1

3

2

6

6 7

p

pkrit

1

5

D

5 4

E

pa1 paB pa2 pa3 pa4 pa5 paC pa6

x

schiefer Verdichtungsstoß Strahlrand

. ms-krit

0

. ms

F

µ1 µ 2 ϑ< 0 Verdünnungsfächer

Verdichtungswellen

 %LOG Betriebszustände einer Laval-Düse. D Druckverlauf längs der Düsenachse und im Freistrahl hinter der Düse bei verschiedenen Außendrücken pa. Der Kurvenverlauf 2-6-7 kennzeichnet die Zustände hinter dem senkrechten Verdichtungsstoß. Massenstrom in Abhängigkeit vom Außendruck. pa > paB: ms → Gl. (5.62); pa ≤ paB: ms−krit → Gl. (5.70). E Verlauf des Freistrahls, wenn der Düsenaustrittsdruck p2 niedriger als der Außendruck ist: paC < pa < pa4 (überexpandierende Düse). F Verlauf des Freistahls, wenn der Düsenaustrittsdruck p2 höher als der Außendruck ist: pa < paC (unterexpandierende Düse)

192

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

der senkrechte Stoß genau im Austrittsquerschnitt ein. Für Außendrücke paC < pa < pa4 expandiert das Gas in der Düse bis zum Druck paC, danach stellt sich an der Düsenaustrittskante ein schiefer Verdichtungsstoß ein, der den Freistrahl zusammenzieht und zunächst zu einem Druckanstieg über pa = pa5 hinaus führt. Bei ebener Düsenströmung entspricht dies Bild 5.8e. Den Stoßwinkel σ liefert Gl. (5.40a), wobei als Druckverhältnis pa5/paC und anstelle von Ma1 nun Ma2ssinσ eingesetzt wird. Die Düsenaustritts-Mach-Zahl Ma2s ist für den Druck paC zu berechnen. Die schiefen Verdichtungsstöße werden vom Strahlrand als Verdünnungsfächer reflektiert, wobei der Druck wieder unter den Außendruck pa5 abfällt. Dieser Vorgang wiederholt sich in Form einer abklingenden Schwingung (Bild 5.18b). Ist der Außendruck kleiner als der Druck paC der angepaßten Düse, so tritt nach der Zustandsänderung 1-2-4 an der Austrittskante eine Prandtl-Meyersche Eckenströmung mit Verdünnungswellen, Umlenkung ϑ < 0 und Nachexpansion auf (s. Kap. 5.2.3.3). Durch die Trägheit des aufgeweiteten Strahls stellt sich ein Strahldruck unterhalb des Außendruckes pa6 ein. Der Verdünnungsfächer wird vom Strahlrand in Form von Verdichtungswellen reflektiert, in denen der Druck wieder auf Werte oberhalb des Außendrucks ansteigt. Verbunden damit ist eine Kontraktion des Strahls. Auch dieser Vorgang wiederholt sich nach Art einer abklingenden Schwingung, wie es in Bild 5.18c dargestellt ist. Die Druckabsenkung hinter der Düse ist technisch nicht zur Geschwindigkeitserhöhung nutzbar. Für Außendrücke im Bereich pa4 ≤ pa < pt1 sowie für pa = paC stellt sich im Düsenaustritt der Außendruck ein, das Gas verläßt die Düse als geordneter Strahl. Für paC < pa < pa4 und pa < paC folgt eine Anpassung des Düsenaustrittsdrucks an den Außendruck im Freistrahl hinter der Düse, der dann eine rhombische Struktur annimmt (Bild 5.18b,c). Die in diesem Abschnitt vorgestellten Gleichungen für die isentrope Strömung innerhalb der Laval-Düse besitzen nur für die unterkritische Laval-Düse und die beiden angepaßten kritischen Lösungen (p2 = paB; p2 = paC ) Gültigkeit. Die geschilderten Strömungszustände mit Verdichtungsstößen sind dagegen nicht isentrop und daher in der beschriebenen Form nicht erfaßbar. Typische Berechnungsfälle für angepaßt arbeitende überkritische Laval-Düsen: Auslegungsfall I: Gegeben: pt1; Tt1; Amin; gefordert: Ma2s (> 1) Lösung: Gl. (5.73a) → m  s− krit ; Gl. (5.60b) → p2; Gl. (5.75) → A2 Ist der Verlauf Mas(x) längs der Düsenachse vorgeschrieben, so liefern Gl. (5.60b) → p(x) und Gl. (5.75) → A(x), wobei jeweils die beliebige Ebene x an die Stelle der Austrittsebene d tritt. Auslegungsfall II: Gegeben: p2; Tt1; Amin; gefordert: Ma2s (> 1) Lösung: Gl. (5.60b) → pt1; Gl. (5.73a) → m  s− krit ; Gl. (5.75) → A2 Auslegungsfall III: Gegeben: pt1; Tt1; pa; Amin; gefordert: p2 = pa Lösung: Gl. (5.73a) → m  s− krit ; Gl. (5.75) → A2 Nachrechnungsfall: Gegeben: pt1; Tt1; Amin; A2; gesucht: Ma2s; c2s Lösung : Gl. (5.73a) → m  s− krit ; Gl. (5.73b) →p2 (iterative Rechnung); Gl. (5.60b) → Ma2s; Gl. (5.58) → c2s . Ist der Verlauf A(x) vorgegeben, so liefert Gl. (5.73b) → p(x) (iterativ), Gl. (5.60b) → Mas(x) und Gl. (5.58) → cs(x).

5.2 Gasdynamik

193

3UD[LVKLQZHLV Laval-Düsen werden primär zur Erzeugung von Überschallgeschwindigkeiten eingesetzt, z. B. in der Windkanaltechnik, in Düsen von Turboluftstrahl- und Raketentriebwerken, in Turbinengittern und Dampfstrahlapparaten (bei letzterem wird die Druckabsenkung technisch zu Absaugezwecken genutzt). Wenn im Auslegungszustand beschleunigte Strömung bis zum Düsenende vorgesehen ist, darf der Öffnungswinkel ϑ des divergenten Teils (Bild 5.18a) relativ große Werte annehmen, ohne daß bei stoßfreiem Betrieb Ablösung auftritt (→ kurze Bauform). Bei konischen Düsen gilt ϑ ≤ 15 °, bei Glockenform sind Werte ϑmax ≈ 18 ° ÷ 43 ° (direkt hinter dem Düsenhals) und ϑ2 ≈ 5 ° ÷ 20 ° am Austritt üblich [38]. Schubdüsen sind geometrisch so zu formen, daß ein weitgehender Parallelstrahl entsteht, da nur die Geschwindigkeitskomponenten in Achsrichtung zum Schub beitragen. Kritisch arbeitende Laval-Düsen eignen sich auch als Massenstrombegrenzer, z. B. bei Kalibriereinrichtungen für Geschwindigkeitssensoren und als Leistungsbegrenzer von Rennmotoren (→ Laval-Düse im Ansaugsystem). Bei letzterer Einsatzart ist üblicherweise im divergenten Teil Unterschallgeschwindigkeit gewünscht, so daß nun der Diffusoröffnungswinkel gemäß Kap. 4.3.4.2 zu wählen ist, dh. ϑopt ≈ 4 °. %HLVSLHO Das mit Flüssigsauerstoff (LOX) und Flüssigwasserstoff (LH2) gespeiste Antriebssystem einer Raketenoberstufe besitzt eine Laval-Düse mit dem Flächenverhältnis A2/Amin = 70 und dem Dü-senhalsquerschnitt Amin = 0,0113 m2. Düseneintrittsdaten des Wasserdampfes sind pt1 = 35 bar; Tt1 = 3000 K. Es werde vereinfacht ideales Gasverhalten mit κ = 1,18 = konst. sowie reibungsfreie adiabate Strömung angenommen. Der Außendruck für den untersuchten Betriebszustand beträgt pa = 0,01 bar. 5.8.1 Arbeitet die Laval-Düse kritisch ? Wie groß ist der Massendurchsatz ? 5.8.2 Welche Zustandsgrößen p2, c2s,T2s und Ma2s stellen sich im Austrittsquerschnitt A2 ein ? Welcher Bruchteil der theoretischen Grenzgeschwindigkeit c2s-Grenz wird erreicht ? 5.8.3 Wie hoch ist der erzeugte Schub ? 5.8.4 Welches Flächenverhältnis A2//Amin wäre zu realisieren, wenn die Düse an den Außendruck pa = 0,01 bar angepaßt werden sollte ? /|VXQJ 5.8.1) Stoffwerte Wasserdampf: Tab. 11.6: R = 461,52 J/(kgK). Bild 5.18a zeigt: überkritischer Betrieb, wenn pa < paB; also auch wenn pa < ps-krit Gl. (5.65): κ

1,18

⎛ 2 ⎞ 0,18 ⎛ 2 ⎞ κ −1 = 19,894 ⋅ 105 Pa → Düse arbeitet kritisch = 35 ⋅ 105 Pa ⋅ ⎜ p a < p t1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ κ +1⎠ ⎝ 1,18+1⎠ Gl. (5.56a): v t1 =

RTt1 461,52 (J / kgK) ⋅ 3000 K m3 = = 0,3956 5 p t1 kg 35 ⋅ 10 Pa

Gl. (5.73a):

1

s=m  s− krit = A min m

2κ p t1 κ − 1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 ⎜ ⎟ κ − 1 v t1 κ + 1 ⎝ κ +1⎠ 1

kg 2 ⋅ 1,18 35 ⋅ 105 Pa 118 , − 1 ⎛ 2 ⎞ 1,18−1 = 21,67 ⋅ ms− krit = 0,0113 m ⋅ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ s 1 18 1 1 18 1 0,18 , + , + m 0,3956 kg 5.8.2) Nachrechnungsaufgabe einer vorgegebenen Düsengeometrie. Gl. (5.73b) liefert: 2

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

194

ψ s2

kg 21,67 ms− krit s = 0,002544 = = p 2 κ t1 , 35 ⋅ 105 Pa 2 2 ⋅ 118 ⋅ A2 70 ⋅ 0,0113 m κ − 1 v t1 1,18 − 1 m3 0,3956 kg

Numerische Ermittlung des Düsendruckverhältnisses p2/pt1, das bei angepaßt arbeitender Laval-Düse auf den vorstehend ermittelten Wert der Durchflußfunktion führt. Startwert aus Bild 5.15. p2/pt1 = paC/pt1 gemäß Bild 5.18a

ψ s2 =

0,001 0,002315

κ +1 t1 κ

2 p 2 / p t1 κ

) − (p2 / p )

(

0,0011 0,002500

 0,002544

0,00112 0,002536

Düsenaustrittsdruck: p2 = pt1 (p2/pt1) = 35 ⋅ 105 Pa ⋅ 0,001124 = 0,03934 ⋅ 105 Pa . Es liegt Unterexpansion vor (pa < p2). Nachexpansion im Freistrahl (s.Bild 5.18c). c2 s =

(5.59b):

κ −1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎛ p2 ⎞ κ ⎥ 2κ RTt1 ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = κ −1 ⎢ ⎝ p t1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

⎛p ⎞ T2s = Tt1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p t1 ⎠

Gl. (5.25b): Ma 2 s = c2 s− Grenz =

5.8.3)

κ −1 κ

=

κRT2s

2κ RTt1 = κ −1

0,18 ⎤ ⎡ J m 2,36 ⋅ 461,52 ⋅ 3000 K ⋅ ⎢1- (0,001124) 1,18 ⎥ = 3422,05 Gl. kgK s 0,18 ⎢⎣ ⎥⎦

= 3000 K ⋅ (0,001124)

c2s

Gl. (5.58):

1,18-1 1,18

= 1064,73 K

m s = 4,494 1,18 ⋅ 461,52 (J / kgK) ⋅ 1064,73 K 3422,05

, 2 ⋅ 118 J m ⋅ 461,52 ⋅ 3000 K = 4260,65 1,18 − 1 kgK s

[

Gl. (3.71): FKx = − m  s− krit c2s + ( p2 − p a ) A 2

]

Gl. (5.72):

c2s = 0,8032 c2s− Grenz

kg m ⎤ ⎡ ⋅ 3422,05 + (0,03934 − 0,01) ⋅ 105 Pa ⋅ 70 ⋅ 0,0113 m2 ⎥ = -76477 N FKx = − ⎢21,67 s s ⎦ ⎣ 5.8.4) Auslegungsfall III. Gegeben: pt1; Tt1 ; pa; Amin. Gefordert: p2 = pa. Gesucht: A2  s− krit m Gl. (5.75): A 2/ = 2

2 κ p t1 κ − 1 v t1

⎛ p 2 ⎞ κ ⎛ p2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p t1 ⎠ ⎝ p t1 ⎠ 21,67

A 2/

=

κ +1 κ

kg s 2

2 ⋅ 118 , 35 ⋅ 105 Pa ⎛ 0,01⎞ 1,18 ⎛ 0,01⎞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 35 ⎠ 1,18 − 1 m3 ⎝ 35 ⎠ 0,3956 kg

1,18 +1 1,18

= 2,4035 m2

A 2/ = 212,7 A min

5.2 Gasdynamik

195

 5HLEXQJVEHKDIWHWH6WU|PXQJ

Wir wollen nun ergänzend die Einflüsse von Reibung und Strahlkontraktion auf beschleunigte Gasströmungen untersuchen. Entsprechend den Ausführungen in Kap. 5.1 besteht einmal die Möglichkeit der Anwendung des isentropen Düsenwirkungsgrades ηDü und der daraus resultierenden Geschwindigkeitzahl ϕ. Damit erhalten wir die Düsenaustrittsgeschwindigkeit entsprechend Gl. (5.18b, 5.58) zu

c2 = ϕc2 s = ϕ

⎡ 2κ RTt1 ⎢1 − p2 / p t1 κ −1 ⎢⎣

(

κ −1 ⎤

)κ ⎥

(5.77)

⎥⎦

mit empirischen Werten der Geschwindigkeitszahl ϕ nach Tab. 11.13. Eine andere, formal elegante und in sich schlüssige Behandlung des Gesamtproblems gelingt durch Einführung der polytropen Zustandsänderung, wobei Gl. (5.19) die Berechnung des Polytropenexponenten n bei bekanntem Düsenwirkungsgrad ηDü = ϕ2 gestattet. Die daraus resultierenden nachstehenden Beziehungen sind exakt bei Beschleunigung aus der Ruhe heraus. Bei einer vorhandenen Zuströmgeschwindigkeit erhalten wir Näherungslösungen (für Ma1 ≤ 0,3; ϕ = 0,95; (p2/pt1) ≤ (p/pt1)krit ist der Fehler < 1 % ). Die Totalzustände sind gemäß Gl. (5.30, 5.31, 5.56) zu ermitteln. Die Abströmgeschwindigkeit c2 bei reibungsbehafteter Strömung erhalten wir bei dieser Vorgehensweise durch Einführung von Gl. (5.17b) in (5.57b):

c2 =

n −1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎛ p2 ⎞ n ⎥ 2κ RTt1 1 − ⎜ ⎟ κ − 1 , ⎢⎢ ⎝ p t1⎠ ⎥⎥ p t 1v t 1 ⎣ ⎦

(5.78)

Analog ermitteln wir aus Gl. (5.59c, 5.60b) Schallgeschwindigkeit und Mach-Zahl

⎛ p2 ⎞ a 2 = κRTt1 ⎜ ⎟ ⎝ p t1 ⎠

n −1 n

Ma 2 =

⎡ 2 ⎢ 1 ⎢ κ −1 ⎢ ⎣ p 2 / p t1

(

)

⎤ ⎥ − 1⎥ n −1 ⎥ n ⎦

(5.79a,b)

Der Massenstrom ergibt sich unter Verwendung der Kontraktionszahl αK (Tab. 11.13) zu 2

n +1

2 κ p t1 ⎛ p 2 ⎞ n ⎛ p 2 ⎞ n 2 κ p t1  = αK A2 ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ψ m = αK A2 κ − 1 v t 1 ⎝ p t1 ⎠ κ − 1 v t1 p 2 p t1 ⎠  ⎝

  K

Ψp2

(5.80a,b)

K

Hierbei ist ψp2 die polytrope Durchflußfunktion am Düsenaustritt (s. Bild 5.15 für verschiedene Polytropenexponenten n). Durch das Maximum der Durchflußfunktion ψp ist der kritische Zustand und damit auch das kritische Druckverhältnis definiert:

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

196 n

⎛ p⎞ ⎛ 2 ⎞ n −1 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ p ⎝ t1⎠ krit ⎝ n + 1⎠

1

Ψ p − max =

n − 1 ⎛ 2 ⎞ n −1 ⎜ ⎟ n + 1 ⎝ n + 1⎠

(5.81a,b)

Führen wir Gl. (5.81a) in Gl. (5.78), (5.79a,b) und (5.17b) ein, ergeben sich Geschwindigkeit, Schallgeschwindigkeit, Machzahl und Temperaturverhältnis im kritischen Zustand

c krit =

2κ n − 1 RTt1 κ −1 n +1

⎡⎛ p ⎞ ⎤ Ma ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎣⎝ p t1⎠ krit ⎥⎦

a krit =

2κ RTt1 n +1

⎛ T⎞ 2 ⎜ ⎟ = ⎝ Tt1⎠ krit n + 1

n −1 pa

→ das Ventil arbeitet überkritisch. Mittlere Stoffwerte: als Startwert für Expansionsendtemperatur dient Ts-krit gemäß Gl. (5.69): 2 (450 + 273,15) K ⋅ 2 = = 657,71 K (→ 384,56 °C) Ts− krit = Tt1 κ +1 1,199 + 1 Gl. (1.11b) und Tab. 10.8 liefern die mittlere spezifische Wärmekapazität: J J ⋅ 384,56 ° C - 1000,50 ⋅ 450 ° C 979,87 J t s− krit kgK kgK = 1121,73 = daraus folgt gemäß cp t t1 (384,56 - 450) K kgK Tab. 1.4:

κ −1 R 188,92 J / (kgK) = 0,16842 → κ = 1,2025 ; = = κ c p 1121,73 J / (kgK)

2 Ts− krit T2 s = = liefert T t1 T t1 κ + 1

Gl. (5.19b):

Mit ηDü = ϕ2 und

⎡ 2 ⎞⎤ ⎛ ln ⎢1 − ϕ 2 ⎜ 1 − ⎟⎥ ⎝ κ + 1⎠ ⎦ n −1 = ⎣ κ ⎤ n ⎡ ln ⎢(2 ( κ +1))κ −1 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎞⎤ ⎛ 2 ln ⎢1 − 0,952 ⎜1 − ⎟⎥ ⎠⎦ ⎝ , + 1 2025 1 n −1 = ⎣ = 0,1512 → n = 1,178 ; 1 2025 , n ⎡ ⎤ 2 ⎞ 1,2025−1 ⎥ ⎢⎛ ln ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 1,2025+1⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Gl. (5.83) mit Gl. (5.56a) für vt1:

v t1 =

188,92 J / (kgK) ⋅ 723,15 K 3,5 ⋅ 105 Pa

Kritischer Massenstrom:

= 0,39034

m3 kg

1

 =m m  krit = α K A min

2κ p t1 n − 1 ⎛ 2 ⎞ n −1 ⎜ ⎟ κ − 1 v t1 n + 1 ⎝ n +1⎠ 1

m = 0,68 ⋅ 25 ⋅ 10−4 m2

kg 1,178 − 1 ⎛ 2 ⎞ 1,178−1 2 ⋅ 1,2025 3,5 ⋅ 105 Pa ⋅⎜ = 0,9823 ⋅ ⋅ ⎟ s 1,2025 − 1 0,39034 m3 / kg 1,178 + 1 ⎝ 1,178+1⎠ n

5.9.2)

Gl. (5.81a): p2 = p krit

1,178

⎛ 2 ⎞ 0,178 ⎛ 2 ⎞ n −1 = p t1 ⎜ = 3,5 ⋅ 105 Pa ⋅ ⎜ = 1,9908 ⋅ 105 Pa ⎟ ⎟ ⎝ n +1⎠ ⎝ 2,178 ⎠

2 ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ Gl. (5.82d): T2 = T krit = Tt1⎜ ⎟ = (723,15) K ⋅ ⎜ ⎟ = 664,05 K ⎝ n + 1⎠ ⎝ 1,178 + 1⎠ c2 = c krit =

2κ n − 1 RTt1 = κ −1 n +1

Gl. (5.82a):

2 ⋅ 1,2025 0,178 J m ⋅ ⋅ 188,92 ⋅ 723,15 K = 364,15 0,2025 2,178 kgK s

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

198 Gl. (5.82c):

[

]

Ma ( p 2 / p t1) = Ma ( p / p t1) krit =

n −1 = κ −1

1,178 − 1 = 0,9376 < 1 1,2025 − 1

3UD[LVKLQZHLV Die zunächst aufgrund der isentropen Temperaturdifferenz berechneten mittleren Stoffwerte für κ bzw. n müßten strenggenommen mit der in Beispiel 5.9.2 ermittelten tatsächlichen Temperatur T2 iterativ verbessert werden. Dadurch ergäben sich Änderungen der vorab berechneten Werte von etwa 0,5 0/00 und geringer, so daß diese iterative Verbesserung nicht erforderlich ist. Die Einflüsse von Reibung und Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität cp sollen anhand der Ergebnisse des vorstehenden Beispiels grundsätzlich aufgezeigt werden. Werden beide Einflüsse vernachlässigt, ergeben sich die nachstehend aufgeführten Abweichungen gegenüber den realen Werten. Wird nur die Änderung der spezifischen Wärmekapazität vernachlässigt, gelten die Zahlen in Klammern. In den Vergleichsrechnungen wurde stets dieselbe Kontraktionszahl αK verwendet. Ihr möglicher Einfluß wurde nicht explizit untersucht.  : +6,2 (-0,029) %; c2: +6,0 (-0,003) %; Ma2: +6,7 (0,074) %; p2: -0,72 (0,095) %; m (∆TAbweichung/(Tt1 - T2)⋅100%: -10,7 (1,45) %.

3UD[LVKLQZHLV Der Einfluß der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität cp (→ κ) tritt am stärksten bei der Temperaturermittlung auf (s. auch Beispiel 1.1.2). Insgesamt ist er jedoch bei den meisten Anwendungsfällen vernachlässigbar gering. Lediglich bei Druckverhältnissen p2/pt1 < 0,1 ist er zu prüfen (s. Kap 1.2). Der Reibungseinfluß hat jedoch demgegenüber merkbare Auswirkungen und sollte daher bei ungünstigen Werten der Geschwindigkeitszahl (ϕ < 0,98, z. B. in Ventilen) in Betracht gezogen werden.

9HU]|JHUWH6WU|PXQJVYRUJlQJH Die Verzögerung bei isentropem Aufstau wurde bereits in Kap. 5.2.1 diskutiert. $XVJDQJVJOHLFKXQJHQGHU'LIIXVRUVWU|PXQJ Wir werden Strömungen in Diffusoren entsprechend Bild 5.2b und Bild 5.4c,d grundsätzlich reibungsbehaftet betrachten, da die Verluste deutlich höher als bei beschleunigten Strömungen ausfallen. Aus Energiesatz (5.4a), Polytropengleichung (5.17b) und Mach-Zahl-Definition Gl. (5.25b) erhalten wir als Austrittsgeschwindigkeit alternativ zu Gl. (5.21) ↓ (5.84) n −1 ⎤ ⎡ n ⎥ ⎛ ⎞ p ⎢ κ 2 2 2 c2 = c12 + 2( h1 − h2) = c12 + RT1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = c1 1 + κ −1 (κ − 1) Ma12 ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦  = A1 c1 ρ1 = α K 2 A 2 c2 ρ2 liefert zusammen Die Kontinuitätsgleichung m

beziehung (5.17a) für die Austrittsebene d den Zusammenhang 1 n −1 ⎤ ⎡ ⎛ p2 ⎞ n ⎥ ⎛ p2 ⎞ n ⎢ 2  = αK 2 A 2 ρ1 c1 ⎜ ⎟ 1 + m 1− ⎜ ⎟ ⎥ 2⎢ ⎜p ⎟ ⎜p ⎟ κ − ( 1 ) Ma ⎝ 1⎠ ⎥ ⎝ 1⎠ 1 ⎢ ⎣ ⎦

n −1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎛ p2 ⎞ n ⎥ ⎢1 − ⎜ p ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 1⎠ ⎥ ⎣ ⎦ mit der Polytropen-

5.2 Gasdynamik

199

der nach Erweiterung der rechten Seite mit A1/A1 übergeht in n −1 ⎤ 1 ⎡ ⎢ ⎛⎜ p 2 ⎞⎟ n ⎥ 2 A2 ⎛⎜ p 2 ⎞⎟ n 1 + αK 2 ⎢1 − ⎥ =1 A1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠ ( κ −1)Ma12 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(5.85)

Die Kontraktionszahl kann bei ablösefreiem Betrieb in der Regel mit αK2 = 1 angenommen werden. Bei abgelöster Strömung berücksichtigt αK2 < 1 formal den Verdrängungseinfluß der abgelösten Strömung; allgemeingültige Zahlenwerte stehen aber nicht zur Verfügung. Dichte und Temperatur am Diffusoraustritt liefert Gl. (5.17), wobei der Polytropenexponent n - wie auch für die vorstehenden Beziehungen - mittels Gl. (5.22) aus empirischen Werten des Diffusorwirkungsgrades ηDiff ermittelt werden kann. Näherungswerte für ηDiff liefert Bild 4.10 (strenggenommen nur für inkompressible Strömung gültig). 8QWHUVFKDOOGLIIXVRU0D    (Bild 5.2b, 5.4d). Hier sind im wesentlichen zwei Aufgabenstellungen von Interesse: Auslegungsaufgabe: Gegeben: p1, T1, c1, A1. Gefordert: p2. Gesucht: A2, (c2) Diese Aufgabe ist wegen der zunächst nicht vorliegenden Diffusorgeometrie (ηDiff nicht bekannt) iterativ zu lösen. Vorgehensweise: Festlegung eines Öffnungswinkels (4 ° ≤ ηDiff ≤ 15 °). Aus numerischen Gründen ist als Startwert die Annahme des höchstmöglichen Diffusorwirkungsgrades erforderlich: ηDiff = 0,9 (Bild 4.10). Gl. (5.22) → n. Gl. (5.85) → A2; Bild 4.10 → verbesserter Wert für ηDiff. Dieser Zyklus ist bis zur Konvergenz von ηDiff durchzuführen. Grundsätzlich ist zu beachten, daß die kinetische Zuströmenergie unter Berücksichtigung der Verluste zur Erzeugung des geforderten Druckanstiegs auf den Enddruck p2 ausreicht, sonst wird der Radikant in Gl. (5.85) negativ. Danach: Gl. (5.84) → c2; Gl. (5.17) → ρ2, T2. Nachrechnungsaufgabe: Gegeben: p1, T1, c1, A1, Geometrie des Diffusors (→ηDiff). Gesucht: p2, (c2). Vorgehensweise: Bild 4.10 →ηDiff Gl. (4.52b) → p2/p1 - Startwert; Gl. (5.22) → n; Gl. (5.85) → numerische Ermittlung von p2. Auf eine iterative Verbesserung von n mit dem nun vorliegenden kompressiblen Druckverhältnis p2/p1 kann im allgemeinen verzichtet werden. Gl. (5.84) → c2; Gl. (5.17) → ρ2, T2. 3UD[LVKLQZHLV Der halbe Öffnungswinkel des Diffusors sollte möglichst ϑ ≤ 15 ° gewählt werden, da sonst starke Ablöseerscheinungen mit Verzerrung des Geschwindigkeitsprofils die Anwendung der Stromfadentheorie einschränken. Die formale Verwendung der Formfaktoren α und β (s. Kap. 3.4; 4.3.4.2) hilft in der Praxis wenig, da zu ihrer Bestimmung die Geschwindigkeitsverteilungen über den Querschnitten bekannt sein müssen. Zur Diffusorauslegung s. auch Kap. 9.3. hEHUVFKDOOGLIIXVRU0D !  (Bild 5.4c). Bei stetiger Verzögerung ohne Stoß im Überschallbereich gelten grundsätzlich die vorstehenden Ausgangsgleichungen, Bild 4.10 für ηDiff jedoch nicht. Bei Verzögerung auf Unterschallgeschwindigkeit treten Verdichtungsstöße auf. Diffusoren, die aufgrund ihrer speziellen Geometrie mehrere schiefe Stöße anstelle eines starken senkrechten Stoßes erzeugen, arbeiten mit geringeren Verlusten (Beispiel: Triebwerkseinläufe von Überschallflugzeugen, [11]). Überschalldiffusoren werden in Dampstrahlern eingesetzt.

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

200

5RKUVWU|PXQJNRPSUHVVLEOHU)OXLGH 'LIIHUHQWLDOJOHLFKXQJGHUNRPSUHVVLEOHQ5RKUVWU|PXQJ Bei Gasströmungen in Rohrleitungen entstehen durch Reibung und gegebenenfalls Wärmeaustausch in Strömungsrichtung Druck- und Temperaturänderungen und damit Dichte- und Geschwindigkeitsänderungen im Gas, so daß der Ansatz gemäß Gl. (4.29b) seine Gültigkeit verlieren kann. Ausgehend von turbulenter Rohrströmung (Formfaktor α ≈ 1) formulieren wir daher für das Fluidelement dm in Bild 5.19 die Energiegleichung (5.5) unter Vernachlässidm

1

2

q

A

%LOG Definitionsskizze zur kompressiblen Strömung in Rohrleitungen mit konstantem Querschnitt

D

p1 c1 T1

x

dx L

gung des Höhenterms (dz = 0)

dp + cdc + dj = 0 ρ

−

dp dx c2 − cdc = λ ρ D 2

(5.86a,b)

wobei die Dissipationsenergie dj bei Verschiebung um das Wegelement dx durch Gl. (4.29a) beschrieben wird. Den Term -dp/ρ ersetzen wir im folgenden durch die Kontinuitätsgleichung  = ρcA und die thermische Zustandsgleichung p = ρRT, die zunächst logarithmiert und dann m  =konst. und R = Konst. differeziert werden unter Beachtung von m

dp dρ dT = + ρ T p

dρ dc dA + + =0 ρ c , A

(5.87a,b)

0

Einführung von Gl. (5.87a) in (5.87b) liefert

⎛ dc dT ⎞ −dp = p⎜ − ⎟ ⎝ c T⎠

: ρ=

p RT

und anschließende Division durch ρ führt dann auf

−

dp ⎛ dc dT ⎞ = RT⎜ − ⎟ ⎝ c ρ T⎠

(5.88)

Setzen wir dieses Ergebnis anstelle von -dp/ρ in Gl. (5.86b) ein und dividieren gleichzeitig durch c2/2, so erhalten wir die Differentialgleichung der kompressiblen Rohrströmung

2 RT

dc c

3

− 2R

dT c

2

−2

dc dx =λ c D

(5.89)

Diese Gleichung - die auch für nichtkreisförmige Rohre gilt, wenn D durch Dh ersetzt wird –

5.3 Rohrströmung kompressibler Fluide

201

liefert den Verlauf der Geschwindigkeit c(x) längs der Rohrachse, wenn zusätzlich Annahmen über den Temperaturverlauf T(x) bereitgestellt werden. Dies soll nachstehend in Form von zwei vereinfachten Modellansätzen geschehen, deren Lösungen grundsätzlich für Unterschall- (Ma1 ≤ 1) und Überschallanwendung (Ma1 > 1, ohne Verdichtungsstöße) gültig sind. Für weitergehende Diskussion der Überschall-Rohrströmung sei auf [44, 56] verwiesen.

,VRWKHUPH5RKUVWU|PXQJ7 NRQVW In langen nichtisolierten Leitungen, insbesondere bei im Erdreich verlegten Fernleitungen, nimmt das Gas die konstante Umgebungstemperatur an. Es findet ein Wärmeaustausch über die Rohrwandung statt (q ≠ 0). Wegen dT = 0 vereinfacht sich Gl. (5.89) zu

2 RT

dc c

3

−2

dc dx =λ c D

(5.90)

Die Rohrreibungszahl λ ist, wie Messungen gezeigt haben, unabhängig von der Mach-Zahl (Ausnahme Ma ≈ 1), es gilt damit λ = λ(Re, ks/D). Für die Re-Zahl Re = cρD/η gilt bei Rohr /A = cρ = konst.: Re ∼ 1/η(T) und somit bei isothermer Rohrströmung auch λ = strömung mit m λ(Konst., ks/D) ≠ λ(x). Da die Rohrreibungszahl λ konstant ist, läßt sich Gl. (5.90) zwischen Rohrein- und -austritt integrieren. Mit T = T1 gilt dann c λ ⎡ 1 ⎤ 2 L c 2 RT1 ⎢− 2 ⎥ − 2[ln c]c2 = [x]0 1 D ⎣ 2c ⎦ c1

(5.91)

Dies liefert nach einfacher Umformung unter Beachtung von RT1 = κRT1/κ = a12/κ die Berechnungsgleichung für die isotherme Rohrströmung 2 ⎡ ⎛ c ⎞ 2⎤ ⎛ ⎞ L ⎢1 − ⎜ 1 ⎟ ⎥ + ln ⎜ c1 ⎟ = λ 2 D ⎝ c2 ⎠ κMa1 ⎢⎣ ⎝ c2 ⎠ ⎥⎦

1

(5.92)

Diese Gleichung für das Geschwindigkeitsverhältnis c1/c2 ist iterativ zu lösen, wobei wir den Startwert durch Nullsetzung des logarithmischen Terms (→ Beschleunigungsglied vernachlässigt) oder aus Bild 5.20a (κ = 1,4) gewinnen. Aus der Kontinuitäts- bzw. thermischen Zustandsgleichung, jeweils angewendet auf Rohranfang (1) und -ende (2), erhalten wir anschließend die Zustandsgrößen ρ2 und p2 am Rohrende:

 = ρ1 c1 A1 = ρ2 c2 A 2 m

p2 p1

=

ρ2 RT2 ρ1 RT1

=

ρ2 ρ1

=

c1 c2

ρ2 ρ1

=

c1 c2

(5.93)

(5.94a,b,c)

Durch die Gl. (5.92) ÷ (5.94) ist somit das Problem der isothermen Rohrströmung lösbar. In Bild 5.20a sind die Lösungen von Gl. (5.92) für κ = 1,4 und Unterschallzuströmung Ma1 < 1

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

202

graphisch dargestellt. Die Kurven in Bild 5.20a zeigen, daß es für jede gegebene Anströmmachzahl Ma1 einen unteren Grenzwert (c1/c2)Grenz < 1 der beschleunigten Rohrströmung gibt, bei dem eine senkrechte Tangente auftritt. Bei weiterer Abnahme des Geschwindigkeitsverhältnisses würde die Verlustgröße λL/D abnehmen, was physikalisch nicht möglich ist. Führen wir für Gl. (5.92) eine Extremalbetrachtung der Form d(λL/D)/d(c1/c2) = 0 durch, so erhalten wir als Grenzwerte

⎛p ⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎛ Ma1 ⎞ =⎜ = κ Ma1 = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ c2 ⎠ Grenz ⎝ Ma 2 ⎠ Grenz ⎝ p1 ⎠ Grenz

Ma 2 − Grenz =

1 κ

(5.95a,b,c,d)

Am Ende der Rohrleitung kann also höchstens Ma2-Grenz = 1/ κ erreicht werden. Für die möglichen Zuström-Mach-Zahlen bei beschleunigter Rohrströmung gilt daher stets: Ma1 < 1/ κ . Für Anström-Mach-Zahlen Ma1 > 1/ κ muß verzögerte Strömung vorliegen, damit sich der Endwert Ma2-Grenz einstellen kann. Die Energiegleichung (5.8a) liefert mit wt12 = 0 und T = konst. (→ h1 = h2): q12 = (c22 - c12)/2. Für beschleunigte isotherme Rohrströmung (Ma1 < 1/ κ ) wird daher q12 > 0 (Wärmezufuhr auf das Fluid), während für verzögerte Strömung (Ma1 > 1/ κ ) q12 < 0 werden muß (Kühlung). Der Grenzwert des Geschwindigkeitsverhältnisses bedingt eine maximal mögliche Rohrlänge LGrenz, die durch Einführung von Gl. (5.95b) in Gl. (5.92) berechenbar ist

LGrenz =

⎞ D ⎛ 1 − κMa12 + ln κMa12 ⎟ ⎜ 2 λ ⎝ κMa1 ⎠

(

)

(5.96)

oder in Bild 5.20a (κ = 1,4) an der Kurve für Ma2-Grenz aus dem zugehörigen Abszissenwert (λL/D)Grenz ermittelt werden kann. 3UD[LVKLQZHLVDie Druckverluste ∆pV12 = p2 - p1 sind bei kompressibler isothermer Rohrströmung bei gleichen Rohrdaten und Eintrittsbedingungen betragsmäßig stets größer als die Werte ∆pV12-ik bei inkompressibler Rechnung gemäß Gl. (4.29). Daher sollten Rohrströmungen mit Ma1 > 0,2 bzw. mit Bedingungen, die unterhalb der Kurve 2 in Bild 5.20a liegen, stets kompressibel gerechnet werden. Die Kurve 2 markiert einen relativen Fehlerbetrag des Druckverlustes von ≈ 10 %, der bei näherungsweiser inkompressibler Rechnung entstehen würde. Das Schluckvermögen der Leitung ist begrenzt, da am Rohrende maximal Ma2-Grenz = 1/ κ auftreten kann. Gl. (5.96) gestattet bei gegebener Eintritts-Mach-Zahl (→ m  ) die Bestimmung der Grenzrohrlänge LGrenz bzw. bei gegebener Rohrlänge L = LGrenz die iterative Ermittlung des höchstmöglichen Wertes von Ma1 (→ m  max ). Bei Unterschallanströmung (Ma1 < 1) kann die Austritts-Mach-Zahl nur bis zum Grenzwert Ma2 ≤ Ma2-Grenz ansteigen und der Druck höchstens bis zum Grenzdruck absinken: (p2 ≥ p2-Grenz). Bei Überschallanströmung (Ma1 > 1) stellen sich am Rohraustritt stets Ma2 = Ma2-Grenz und p2 = p2-Grenz ein. Für Außendrücke pa < p2-Grenz stellen sich hinter dem Rohr die gleichen Vorgänge wie hinter einer überkritisch arbeitenden konvergenten Düse ein. Durch Einbau von lavaldüsenartigen Einschnürungen (oder Blenden) kann im Falle eines Rohr-

5.3 Rohrströmung kompressibler Fluide

203

bruchs eine Durchsatzbegrenzung auf den kritischen Massenstrom im Düsenhals erreicht werden. Für Rohrleitungen mit Formstücken kann anstelle von λL/D der Ausdruck λL/D+Σζ in den entsprechenden Gleichungen und als Abszisse von Bild 5.20 eingesetzt werden. Diese Hinweise gelten unter Beachtung der abweichenden Grenz-Mach-Zahl am Rohrende sinngemäß auch für die adiabate Rohrströmung Kap. 5.3.3 (Ma2-Grenz =1).

  

      

%LOG Geschwindigkeitsverlauf bei kompressibler Rohrströmung (κ = 1,4). Kurve 1: Durch die maximale Mach-Zahl Ma2-Grenz am Rohrende gegebene Grenzkurve. Für Bedingungen unterhalb der Kurve 2 wird der relative Fehlerbetrag der inkompressiblen Druckverlustberechnung nach Gl. (4.29) > 10 %. D Isotherme Rohrströmung Gl. (5.92). E Adiabate Rohrströmung Gl. (5.98)

$GLDEDWH5RKUVWU|PXQJT  Bei gut isolierten langen Rohrleitungen, aber auch bei kurzen nichtisolierten Rohrleitungen kann der Wärmeaustausch über die Rohrwandung näherungsweise vernachlässigt werden. Dann liefert die Energiegleichung (5.30a) zusammen mit Tab. 1.4 die Verknüpfung zwischen Temperatur T und Geschwindigkeit c bei konstanter Totaltemperatur T t1

T = Tt1 −

κ − 1 c2 c2 = T t1 − 2κ R 2c p

dT = −

κ −1 cdc κR

(5.97a,b)

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

204

Setzen wir Gl. (5.97a,b) in die Differentialgleichung der Rohrströmung (5.89) ein, so ergibt sich die Variante für die adiabate Rohrströmung

2 RT t1

dc c

3

−

κ + 1 dc dx =λ κ c D

Setzen wir näherungsweise λ ≈ konst., so liefert die Integration analog zu Kap. 5.3.2 2⎤ ⎡ L 2 RTt1 ⎢ ⎛ c1 ⎞ ⎥ κ + 1 ⎛ c2 ⎞ 1 ln⎜ ⎟ = λ − − ⎜ ⎟ D κ ⎝ c1 ⎠ 2c12 ⎢⎣ ⎝ c2 ⎠ ⎥⎦

Den Term vor der eckigen Klammer formen wir mit Hilfe von Gl. (5.30c) und (5.24d) um und erhalten dann die Berechnungsgleichung der adiabaten Rohrströmung 2⎤ 2 ⎡ ⎛ κ −1 2⎞ ⎢1 − ⎛ c1 ⎞ ⎥ + κ + 1 ln ⎛ c1 ⎞ = λ L 1 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ma1 ⎟ ⎠ ⎢ ⎝ c2 ⎠ ⎥ 2 κ 2 D ⎝ c2 ⎠ κMa12 ⎝ ⎣ ⎦

1

(5.98)

Die iterative Lösung der Gl. (5.98) (→ s. Bemerkungen zu Gl. (5.92)) liefert das Geschwindigkeitsverhältnis c1/c2. Das Temperaturverhältnis erhalten wir dann aus dem Energiesatz Gl. (5.10a) 2 ⎤ ⎡ ⎛ κ −1 1 ⎞⎟ ⎥ c12 ⎡ ⎛ c2 ⎞ ⎤ T2 ⎢ = 1+ 1− ⎜ ⎟ ⎥ = 1+ Ma12 ⎢1 − ⎜ ⎢ ⎜⎝ (c c )2 ⎟⎠ ⎥ 2 T1 2c p T1 ⎢⎣ ⎝ c1 ⎠ ⎥⎦ 1 2 ⎦ ⎣

(5.99)

Gl. (5.99) kann gegebenenfalls zur iterativen Verbesserung eines mittleren λ-Wertes genutzt werden. Dichte- und Druckverhältnisse ergeben sich wie in Kap. 5.3.2 zu ρ2 ρ1

=

p2 T2 c1 = p1 T1 c 2

c1 c2

(5.100a,b)

In Bild 5.20b sind Lösungen von Gl. (5.99) für Ma1 < 1 und κ =1,4 dargestellt. Analog zu Kap. 5.3.2 läßt sich ein Grenzgeschwindigkeitsverhältnis ermitteln ⎛ c1 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ c2 ⎠ Grenz

(κ +1) Ma12 2 + ( κ −1) Ma12

= Ma1− krit = La1

(5.101a,b,c)

Die maximal mögliche Mach-Zahl am Rohrende beträgt Ma2-Grenz = 1. Bei Unterschallzuströmung Ma1 < 1 liegt beschleunigte Rohrströmung mit Temperaturabfall ∆T12 < 0 vor. Die Rohrlänge ist durch die maximale Austritts-Mach-Zahl Ma2-Grenz = 1 auf den Grenzwert LGrenz beschränkt. Die Einführung von Gl. (5.101b) in Gl. (5.98) liefert die Grenzlänge unter Verwendung der kritischen Machzahl Ma1-krit nach Gl. (5.29e)

LGrenz =

⎞ 1 D κ +1 ⎛ ⎜ − 1 + ln Ma12− krit⎟ 2 λ 2κ ⎝ Ma1− krit ⎠

(5.102)

Gl. (5.102) gestattet die Ermittlung der Grenzlänge, wenn bei gegebener Zuström-Mach-Zahl

5.3 Rohrströmung kompressibler Fluide

205

Ma1 mit Hilfe von Gl. (5.101a,b) bzw. Gl. (5.29e) die zugehörige kritische Mach-Zahl Ma1-krit bestimmt wird. Ist dagegen die Länge L = LGrenz gegeben, liefert Gl. (5.102) eine numerische Lösung für die maximal mögliche kritische Mach-Zahl der Zuströmung. Gl. (5.103) ergibt dann die zugehörige maximale Zuström-Mach-Zahl Ma1 (→ m  max )

Ma1 =

2 Ma12− krit

(5.103)

κ + 1 − (κ − 1) Ma12− krit

Die Zustandsänderung bei adiabater Rohrströmung läßt sich im h,s-Diagramm eindeutig darstellen. Dazu ersetzen wir die Geschwindigkeit in der Energiegleichung (5.4a) durch die Kontinuitätsgleichung: c =  /(ρA) = m  v/A und erhalten m 2

h1 +

v12 ⎡ m ⎤ v2 ⎛ m ⎞ = h2 + 2 ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 2 ⎣A⎦ 2 ⎝A⎠

2

(5.104)

Ausgehend von einem gegebenen Eintrittszustand c läßt sich mit dieser Gleichung bei frei gewählten Werten von v2 die jeweils zugehörige Enthalpie h2 bestimmen und somit die in Bild 5.21 eingezeichnete Zustandslinie konstruieren, die als Fanno-Kurve bezeichnet wird. Der zu einer beliebigen stromab2 c^i

2

h ht = konst p1 2 c1

2

c2 p2

2

p2-Grenz

h ht = konst p

p2-Grenz

2

2

2

1

v1 . v2 m = konst A

s1

c2-Grenz

2 2 Grenz

=

s2-Grenz

2 2 akrit 2

s

%LOG Darstellung der Zustandsänderung bei adiabater Rohrströmung D Unterschallströmung (Ma1 < 1). E Überschallströmung (Ma1 > 1)

c2-Grenz

^ i

v

2 Ma < 1

2 Grenz

2 c1

2 Stoß i 1 s1

Ma2-Grenz = 1 Ma > 1 s2-Grenz

s

(Fanno-Kurve) im h,s-Diagramm.

wärts gelegenen Position d des Rohres gehörende Zustandspunkt d läßt sich durch Gl. (5.98) (→ c2) sowie Gl. (5.99), Gl. (5.100b) (→ p2) berechnen und im h,s-Diagramm darstellen (Bild 5.21). Bei Unterschallströmung verläuft die Zustandsänderung im Rohr mit Druckabfall und Erhöhung der Mach-Zahl auf dem oberen Ast der Fanno-Kurve nach rechts (Bild5.21a). Im Punkt dGrenz besitzt die Kurve eine senkrechte Tangente, eine weitere Druckabsenkung ist nicht möglich, da die Entropie sonst abnehmen würde (gestrichelter Verlauf in Bild 5.21a). Der Zustand dGrenz stellt sich bei Erreichen der Grenz-Mach-Zahl Ma2-Grenz = 1 am Rohrende ein, der zugehörige Druck p2-Grenz ist der niedrigste mögliche Austrittsdruck. Bei Überschallströmung nimmt die Mach-Zahl Ma1 > 1 bei gleichzeitiger Druckerhöhung in Strömungsrichtung ab (Bild 5.21b) und geht an der Stelle (i) durch einen senkrechten Verdichtungsstoß auf Unterˆ a i < 1 im Zustandspunkt ( ˆi )) über. Anschließend steigt die Mach-Zahl bei Druckabschallströmung ( M fall wieder bis zum Wert Ma2-Grenz =1 am Rohrende an, der Druck am Rohraustritt kann den Wert p2-Grenz nicht unterschreiten. Durch die Lage des Stoßes paßt sich die Strömung an die Rohrlänge an, um die

5 Stationäre Strömung kompressibler Fluide

206

Grenzwerte am Rohrende zu erreichen. Bei passenden Randbedingungen (→ Rohrlänge) ist auch eine stetige Verzögerung auf Ma2-Grenz = 1 möglich (Kurve c → dGrenz in Bild 5.21b) [56]. Die vorstehenden Berechnungsgleichungen sind nur bei stoßfreier Rohrströmung gültig. Die Fanno-Kurve beschreibt auch die Drosselvorgänge in Formstücken und Armaturen mit gleichen Einund Austrittsquerschnitten (A1 =A2). %HLVSLHO  = 2,33 kg/s durch eine gut isolierte RohrleiEin Turboverdichter fördert einen Luftmassenstrom von m tung (L = 300 m; D = 0,1 m; λ = 0,017 ≈ konst.) zu einer Reaktionskolonne. Daten der Luft am Verdichteraustritt: p1 = 8 bar; t1 = 80 °C. 5.10.1 Ist eine kompressible Berechnung der Rohrströmung erforderlich ? 5.10.2 Wie groß sind die Geschwindigkeit c2, die Temperatur T2 und der Druck p2 am Rohrende ? Welcher Fehler würde bei Anwendung der inkompressiblen Druckverlustrechnung entstehen ? 5.10.3 Die bei den gegebenen Eintrittsbedingungen maximal mögliche Rohrlänge Lgrenz ist zu bestimmen. 5.10.4 Welcher maximale Massenstrom m  max ist bei der Rohrlänge L = 300 m und den gegebenen Werten für p1 und t1 realisierbar ? /|VXQJ 5.10.1) Stoffwerte Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); Tab. 11.7: cp 1008,5 J / ( kgK) Tab. 1.4: κ = = = 1,398 cp(t1 = 80 °C) = 1008,5 J/(kgK); c p − R (1008,5 − 287,06) J / ( kgK)

ρ1 =

c1 =

p1 RT1

=

 m ρ1 A1

kg 8 ⋅ 105 Pa = 7,891 3 287,06 J / (kgK) ⋅ (80 + 273,15) K m 4 ⋅ 2,33

=

7,891

c1

Ma1 =

κRT1

=

kg m3

kg s

(0,1 m) 2 ⋅ π

= 37,60

m s

m s = 0,09988 1,398 ⋅ 287,06 J / (kgK) ⋅ (80 + 273,15) K 37,60

300 m L = 0,017 ⋅ = 51 0,1 m D Bild 5.20b: Der geometrische Ort für Ma1 ≈ 0,1; λL/D = 51 liegt unterhalb der Kurve 2 → kompressible Rechnung ist erforderlich. 2⎤ 2 ⎡ κ −1 1 ⎛ 2⎞ ⎢1 − ⎛ c1 ⎞ ⎥ + κ + 1 ln ⎛ c1 ⎞ = λ L 1 5.10.2) Gl. (5.98): + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ma ⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎢ ⎝ c2 ⎠ ⎥ 2κ 2 D ⎝ c2 ⎠ κMa12 ⎝ ⎣ ⎦ Isolierte Rohrleitung: → Annahme: adiabate Rohrströmung.

λ

2 ⎡ ⎛ ⎞ 2⎤ ⎛ c1 ⎞ ⎛ 1,398 − 1 c1 ⎥ 2⎞ ⎢ 1 + ⋅ , ln 1 0 8577 − + = 51 , 0 09988 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎢ ⎝ c2 ⎠ ⎥ 2 ⎝ c2 ⎠ 1,398 ⋅0,099882 ⎝ ⎣ ⎦ Iterative Lösung vorstehender Gleichung. Startwert aus Gl. (5.98), ln-Term vernachlässigt:

1

c1 ≈ 1− c2

L D = 0,5360 1 ⎛ κ −1 2⎞ 1 − Ma ⎜ ⎟ 1 ⎠ 2 κMa12 ⎝ λ

→ iterative Endlösung:

c1 = 0,5241 c2

5.3 Rohrströmung kompressibler Fluide

Gl. (5.99):

207

⎡ κ −1 1 ⎤ T2 ⎥ = 1+ Ma12 ⎢1 − 2 ⎢ (c1 c2)2 ⎥ T1 ⎦ ⎣

1 ⎤ 0,398 ⎛ ⎞⎡ ⋅ 0,099882⎟ ⎢1 − = 351,30 K T2 = 353,15 K⎜1 + 2⎥ ⎝ ⎠ 2 ⎣ 0,5241 ⎦

p2 = p1

GL: (5.100b):

351,30 K T2 c1 = 8 ⋅ 105 Pa ⋅ ⋅ 0,5241 = 4,1708 ⋅ 105 Pa 353,15 K T1 c2

∆p V12 − ik = ∆p V12

Gl. (4.29):

7,891 kg m 2 Lρ 2 ⋅ (37,6 ) c1 −51 ⋅ 3 2 m s = 0,7429 D2 = p2 − p1 (4,1708−8) ⋅ 105 Pa

−λ

Relativer Fehler bei inkompressibler Rechnung: (∆pV12-ik/∆pV12 - 1) ⋅ 100 % = - 25,71 % 5.10.3) Kritische Mach-Zahl Ma1-krit der Zuströmung für die Bedingungen gemäß 5.10.2: Gl. (5.29e): Ma1− krit = LGrenz =

(κ +1) Ma12 2 + (κ −1) Ma12

=

2,398 ⋅ 0,099882 = 0,1093 2 + 0,398 ⋅ 0,099882

Gl. (5.102):

⎞ 0,1 m ⋅ 2,398 ⎛ 1 ⎞ 1 D κ +1⎛ ⎜⎜ ⋅⎜ − 1 + ln 0,10932⎟ = 394,9 m − 1 + ln Ma12− krit⎟⎟ = 2 2 λ 2κ ⎝ Ma1− krit ⎠ ⎠ 0,017 ⋅ 2,796 ⎝ 0,1093

5.10.4) Gl. (5102): LGrenz = 300 m =

⎞ 0,1 m ⋅ 2,398 ⎛ 1 ⎜ − 1 + ln Ma12− krit⎟⎟ 0,017 ⋅ 2,796 ⎜⎝ Ma12− krit ⎠

Iterative Berechnung der maximal möglichen Mach-Zahl Ma1-krit der Zuströmung bei der Forderung nach maximalem Massenstrom. Startwert aus Gl. (5.102) ohne ln-Term: Ma1− krit ≈

1 = LGrenz λ 2κ 1+ D(κ + 1)

→ iterative Endlösung aus Gl. (5.102): Ma1 =

2 Ma12− krit κ

+ 1 − ( κ −1) Ma12− krit

1 = 0,1286 300 m ⋅ 0,017 ⋅ 2 ⋅ 1,398 1+ 0,1 m ⋅ 2,398 Ma1-krit = 0,1244 =

(→ Ma1-krit-max) 2

2 ⋅ 0,1244 = 0,1138 2,398 - 0,398 ⋅ 0,12442

Gl. (5.103): → Ma1-max

 max = Ma1− max κRT1 ρ1 A1 m  c1− max

mmax = 0,1138 1,398 ⋅ 287,06 J / (kgK) ⋅ 353,15 K ⋅ 7,891

kg kg (0,1m) 2 ⋅ π ⋅ = 2,655 3 4 s m

6WDWLRQlUH8PVWU|PXQJYRQ.|USHUQ .|USHULQUHLEXQJVIUHLHU3DUDOOHOVWU|PXQJ Wir betrachten Umströmungsvorgänge stationär vom körperfesten Koordinatensystem aus (→ ruhender Körper in bewegtem Fluid). Dies ist strömungsmechanisch gleichbedeutend mit der Anwendung eines raumfesten Koordinatensystems (→ instationär bewegter Körper in ruhendem Fluid, s. Kap. 3.1.1). In einiger Entfernung stromaufwärts vor dem ruhenden Körper sehen wir die Strömung als vom Körper ungestört an, die Stromlinien verlaufen dort parallel. Die Zustandsgrößen dieser ungestörten Anströmung wollen wir mit dem Index „ ∞ “ bezeichnen. Diese Kennzeichnung rührt daher, daß bei der reibungsfreien mathematischen Behandlung von Flüssigkeitsströmungen und Gasströmungen mit Ma < 1 die Verdrängungswirkung des Körpers noch unendlich weit stromaufwärts (dh. im gesamten Strömungsraum) nachweisbar ist. Praktisch klingt diese Störung jedoch nach wenigen Vielfachen der Körperabmessungen stromaufwärts so stark ab, daß sie meßtechnisch nicht mehr feststellbar ist. Im Gegensatz zu den in den vorstehenden Kapiteln untersuchten Durchströmvorgängen, die nach der Stromfadentheorie räumlich eindimensional behandelt werden konnten, sind Umströmungsprobleme räumlich mehrdimensional zu betrachten. Wir beschränken uns im wesentlichen auf ebene (zweidimensionale) Betrachtungsweise (s. Kap. 3.1.1), eine Ausnahme bildet Kap. 6.4 (Flügel endlicher Spannweite). Der symmetrische Körper in Bild 6.1a wird durch eine Parallelströmung mit c∞ angeströmt. Die Verdrängungswirkung des Körpers wird der ankommenden Strömung durch schwache Druckwellen übermittelt, die sich mit Schallgeschwindigkeit stromaufwärts ausbreiten. Dadurch wird das Strömungsfeld bereits vor dem Körper beeinflußt. Eine der ankommenden Stromlinien, die Staupunkt- oder Verzweigungsstromlinie, trifft so auf den Körper, daß ihre Fluidelemente auf die Geschwindigkeit c = 0 verzögert werden. Der Auftreffpunkt ist der vordere Staupunkt St1. Die Staupunktsstromlinie teilt das Strömungsfeld in zwei Bereiche auf, die den Körper oberhalb bzw. unterhalb umströmen. Die im Staupunkt aufgetroffenen Fluidelemente nehmen dort den Totalzustand (c = 0; p = pt; T = Tt) an. Anschließend werden sie ober- bzw. unterhalb des Körpers längs dessen Kontur weitertransportiert und dabei wieder beschleunigt (bei reibungsfreier Strömung existiert die Haftbedingung nicht). Durch die Verdrängungswirkung des Körpers ändern sich die Querschnittsflächen der jeweils von zwei benachbarten Stromlinien gebil = cρ∆A) ändert sich deten Stromröhren (∆Ax < ∆A∞). Aufgrund der Kontinuitätsgleichung ( ∆m damit auch die Geschwindigkeit auf der Kontur entsprechend. Die Geschwindigkeitsverteilung auf der Kontur hängt von der Geometrie des Körpers ab; die maximale Geschwindigkeit cmax herrscht an der Stelle der maximalen Körperdicke dmax (Bild 6.1b). Hinter dieser Stelle wird die Geschwindigkeit verzögert und erreicht im hinteren Staupunkt St2 bei reibungsfreier Strömung wiederum den Wert c = 0. Dort vereinigt sich die Verzweigungsstromlinie wieder und schwimmt dann hinter dem Körper ab (Einzelheit X, Bild 6.1b). In einer gewissen Entfernung

6.1 Körper in reibungsfreier Parallelströmung ∞ y

D

Staupunktsstromlinie

209 $

%

dFp = p ⋅ dA α

c∞

St1

p∞

x

∆A ∞

dA ∆A x

dFp St2

d max

dA

cmax l

∞ c

c

c∞

E

;

pt

p

c

pt

pt ∞ p∞

p 0

x

Einzelheit X

p $

dFpy

α

St2

pmin

dFp = p ⋅ dA

α

%

p

dFp = p ⋅ dA

dFpx

p dA

dFpy dFpx

dA  %LOG Symmetrischer zylindrischer Körper (Profil) in achsparalleler reibungsfreier ebener Strömung. D Stromlinienbild. St1, St2: vorderer bzw. hinterer Staupunkt. E Geschwindigkeits- und Druckverteilung auf der Profilkontur und den Staupunktsstromlinien

hinter dem Körper herrscht wieder eine ungestörte Parallelströmung mit den gleichen Zustandsgrößen wie in der Anströmebene ∞. Mit Hilfe des Energiesatzes können wir von der in Bild 6.1b qualitativ entwickelten Geschwindigkeitsverteilung c(x) auf die zugehörige Druckverteilung p(x) schließen. Bei inkompressibler Strömung mit Vernachlässigung der Höhenterme gilt

p∞ +

ρ 2 ρ 2 c ∞ = p t ∞ = p ( x ) + c( x ) 2 2

p( x) = p t∞ −

ρ c( x ) 2 2

c( x ) =

(6.1)

2( p t∞ − p( x)) ρ

(6.2a,b)

6 Stationäre Umströmung von Körpern

210

Druck- und Geschwindigkeit verhalten sich entgegengesetzt: das Minimum der Druckverteilung wird im Geschwindigkeitsmaximum erreicht. Abschließend fragen wir nach den Strömungskräften, die auf den Körper wirken. Bei reibungsfreier Strömung greifen nur Druckkräfte dFp normal zur Körperoberfläche dA an. Es läßt sich zeigen, daß sich die Druckkraftkomponenten dFpx und dFpy in x- bzw. y-Richtung jeweils in der Summe gegenseitig aufheben. Von statischen Auftriebskräften abgesehen gilt für einen beliebigen Körper mit den Bezeichnungen gemäß Bild 6.1 bei reibungsfreier Strömung & & (6.3a,b,c) Fpx = ∫ p cos αdA = 0 Fpy = ∫ p sin αdA = 0 F = Fp = 0 (A )

(A)

Dies bedeutet, daß ein von Parallelströmung reibungsfrei umströmter Körper keine resultierenden Wirkungen durch das Fluid erfährt. Dieses Ergebnis steht im Widerspruch zur Erfahrung und ist eine Folge der angenommenen Reibungsfreiheit. Zur Erzielung realistischer Aussagen sind daher die Reibungseffekte zu berücksichtigen.

*UHQ]VFKLFKW $OOJHPHLQH 9RUEHWUDFKWXQJHQ Die 1904 von Ludwig Prandtl vorgestellten Arbeiten zur Grenzschichttheorie eröffneten der theoretischen Strömungslehre den praktikablen Zugang zu reibungsbehafteten Vorgängen und leiteten damit die stürmische Entwicklung der Strömungslehre im 20. Jahrhundert ein. Die Grenzschichttheorie beruht auf der Vorstellung, daß das reibungsbehaftete Strömungsfeld in zwei Zonen aufgeteilt werden kann: Eine dünne, reibungsbehaftete Schicht unmittelbar an der Körperoberfläche (→ Grenzschicht) und eine reibungsfreie Außenströmung außerhalb der Grenzschicht (→ Potentialströmung). Wir wollen die Phänomene der Grenzschicht zunächst am Beispiel der ebenen Platte betrachten, die von einer Parallelströmung mit c∞ längsangeströmt wird (Bild 6.2). Aufgrund der Haftbedingung werden die Fluidelemente in einer dünnen Schicht in unmittelbarer Umgebung der Wand von der Geschwindigkeit c∞ auf c(y = 0) = cW = 0 an der Wand abgebremst, es entsteht ein Geschwindigkeitsprofil mit dem Gradienten dc/dy ≠ 0. Damit ist laut Gl. (1.15) bzw. (3.11) die Existenz von Schubspannungen τ nachgewiesen, die wiederum für das Abbremsen der Fluidelemente verantwortlich sind. Außerhalb der Reibungsschicht (Grenzschicht) herrscht die konstante Geschwindigkeit c∞ mit dc∞/dy = 0; hier sind keine Schubspannungen vorhanden, die Außenströmung ist reibungsfrei. An der Plattenvorderkante beginnt die Grenzschicht mit der Dicke δ = 0 und wächst dann mit zunehmender Lauflänge x zu Werten δ(x) > 0 an. Falls die zuströmenden Fluidelemente turbulente Querschwankungen in y-Richtung aufweisen, so werden diese in unmittelbarer Nähe der Körperoberfläche stark gedämpft, so daß sich unabhängig vom Charakter der Zuströmung in der anlaufenden Grenzschicht stets laminare Strömung einstellt (laminarer Anlauf). Die speziell auf die Bedingungen in der Grenzschicht zugeschnittenen Bewegungsgleichungen zeigen, daß der Druckgradient normal zur Wand innerhalb der Grenzschicht verschwindet: dp/dy = 0. Dies bedeutet, daß innerhalb der Grenzschicht der Druck und der Druckverlauf in Strömungsrichtung durch die Außenströmung aufgeprägt werden:

6.2 Grenzschicht

211

δlam

4

δturb ~ ( x − x vt ) 5 c a ( x ) = c∞ = cδ ( x )

Außenströmung

δturb

cδ ( x )

c(x, y)

δ1 turb

δ1 lam

   c a ( x ) = c∞ = cδ ( x ) c∞  pa   δlam ~ x  δ( x )  y  c(x, y)   FWR   c =0 x  x vt w  xu  l   %LOG Grenzschicht an einer parallel angeströmten ebenen Platte

Grenzschicht

cw = 0

Umschlagpunkt

p(x) = pa(x); dp/dx = dpa/dx. Im Falle der ebenen Platte gilt im Bereich der Grenzschicht dp/dx = dpa/dx = 0 und somit auch p(x,y) = konst.. 8PVFKODJGHU*UHQ]VFKLFKW Mit der Lauflänge x wächst die Dicke δlam der laminaren Grenzschicht an, und es kann zur Instabilität kommen, wodurch die Grenzschichtströmung in die dann stabilere turbulente Strömungsform übergeht. Dieses Phänomen bezeichnen wir als den laminar-tubulenten Umschlag der Grenzschicht, der im Umschlagpunkt xu beginnt. Dessen Lage läßt sich bei der hydraulisch glatten ebenen Platte durch die nachstehende Beziehung abschätzen

Re u =

c∞ x u ≈ 5⋅105 ÷ 106 ν

(6.4)

Im allgemeinen Fall wird die Lage xu des Umschlagpunktes neben der Re-Zahl Reu auch vom Turbulenzgrad der Außenströmung, der Rauhigkeit der Oberfläche und der Körperform beeinflußt. Bei umströmten Körpern variabler Dicke liegt der Umschlagpunkt etwa im Druckminimum der Außenströmung, also an der Stelle maximaler Dicke (Bild 6.1). Die rechnerische Bestimmung des Umschlagpunktes gehört zu den anspruchsvollsten Aufgaben der theoretischen Strömungslehre. Liegt der Umschlagpunkt vor dem Ende der Körperkontur, so entwickelt sich dahinter eine turbulente Grenzschicht mit der ebenfalls anwachsenden Dicke δturb (Bild 6.2). Der im Umschlagpunkt xu beginnende Umschlag erfolgt real nicht spontan sondern erstreckt sich über einen gewissen Bereich (Transitionsbereich). Wir gehen jedoch stromabwärts von xu stets von turbulenter Grenzschicht aus. *UHQ]VFKLFKW*HVFKZLQGLJNHLWVSURILOH Der Grenzschichtrand - und damit die Grenzschichtdicke δ - ist grundsätzlich definiert als die Position, an der das GrenzschichtGeschwindigkeitsprofil c(x,y) in die Geschwindigkeit ca(x) der Außenströmung übergeht. Dieser Übergang ist asymptotisch, und daher wird üblicherweise der Grenzschichtrand durch die Stelle präzisiert, an der das Grenzschicht-Geschwindigkeitsprofil 99 % der Außenströmungsgeschwindigkeit erreicht hat

6 Stationäre Umströmung von Körpern

212

c( x, y) = 0,99ca ( x)

Definition Grenzschichtdicke

(6.5)

Wir analysieren zunächst das Geschwindigkeitsprofil der laminaren Plattengrenzschicht, in der das Newtonsche Schubspannungsgesetz Gl. (1.15) und die Haftbedingung c(y = 0) = cW = 0 gelten. Wenn wir im wandnahen Bereich der Grenzschicht konstante Schubspannungen τ(y) ≈ τW annehmen - was bei ebenen Platten gut zutrifft - so liefert die Integration der Gl. (1.15) in diesem Bereich eine lineare Geschwindigkeitsverteilung c(y) = (τW/η)⋅y. Weiterhin erhalten wir aus der Bewegungsgleichung (3.22) unmittelbar an der Wand (y = 0) mit ∂c / ∂t = 0 ; c = 0 und dz = 0 die Beziehung

⎛ ∂2 c ⎞ dp dpa ⎟ = = η ⎜⎜ ⎟ dx dx ⎝ ∂y2 ⎠ y = 0

Wandbindung bei laminarer Grenzschicht

(6.6)

y

die als Wandbindung bezeichnet wird. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Druckgradienten dpa/dx der Außenströmung und der Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand dar. Für die Platte gilt wegen dpa/dx = 0, daß die Krümmung an der Wand Null ist. Bild 6.3 - Kurve 1- zeigt die nach Blasius gerechnete vollδ ständige laminare Geschwindigkeitsverteilung in der αW1 Plattengrenzschicht. Am Grenzschichtrand gilt dc(δ)/dy = 0 (senkrechte Tangente in Bild 6.3, daher ist aufgrund Gl. αW 2 (1.15): τ(δ) = 0). Aus dem Kurvenverlauf ist zu erkennen, δ1 lam 1 δ1 turb δu

0 0

%LOG Darstellung der Geschwindigkeitsprofile in der Plattengrenzschicht (dp/dx = 0). 1: laminare; 2: turbulente Grenzschicht (2Zonen-Modell, Potenzgesetz mit n=1/7)

2

cδ

c

daß die Krümmung- bezogen auf die Ordinatenrichtung - in der gesamten Grenzschicht negativ ist, das Profil hat keinen Wendepunkt. Für die Platte gilt: cδ = c∞ = ca. Der Winkel αW = αW1 ist ein Maß für die Wandschubspannung, denn Gl. (1.15) liefert

⎛ dc ⎞ = η tan α W τW = η ⎜ ⎟ ⎝ dy ⎠ y =0

(6.7)

Die nachstehende Beziehung liefert die Dicke der laminaren Plattengrenzschicht

δ lam ( x) ≈ 5

νx cδ

∼

x

(6.8a,b)

Je höher die Außenströmungsgeschwindigkeit, desto dünner ist die Grenzschicht. Durch die Abnahme der Geschwindigkeit in der Grenzschicht wird dort weniger Volumenstrom transportiert, als wenn die Außenströmungsgeschwindigkeit cδ bis zur Körperoberfläche reichen würde. Diese Verhältnisse ließen sich simulieren, wenn die volle Außenströmungsgeschwindigkeit cδ bis zur Körperoberfläche vorliegen würde, der Körper selbst aber um eine fiktive Schicht –

6.2 Grenzschicht

213

%LOG Definition der Verdängungsdicke δ1 (für einen Körper der Breite b = 1) ∞

b ∫ (cδ − c( x, y))dy = b δ1 ( x )cδ( x ) y =0

2

δ 6

cδ c(y)

y

die Verdrängungsdicke δ1 – aufgedickt würde. Für einen Körper der Breite b liefert die Bilanz: - Volumenstromdefizit in der Grenzschicht (Fläche 1 2 3 1 in Bild 6.4) = durch Aufdickung verdrängter Außenströmungsvolumenstrom (Fläche 14531) – die allgemeine Definitionsgleichung der Grenzschicht-Verdrängungsdicke δ1

cδ-c(y) δ1 4 1 0 0

∞ ⎛ c( x , y ) ⎞ δ1 ( x) = ∫ ⎜1 − ⎟ dy ⎝ cδ ( x ) ⎠ y=0

5 c

3 cδ

(6.9a,b)

Für die laminare Plattengrenzschicht gilt Gl. (6.10a). Aus Gl. (6.8a) folgt Gl. (6.10b)

δ1lam ( x) = 1,728

νx cδ

δ1lam ( x) = 0,3456 δ lam ( x)

(6.10a,b)

Die Verdrängungsdicken δ1 sind in den Bildern 6.2 bis 6.4 gestrichelt eingezeichnet. Bei der Umströmung allgemeiner Körper kann der Druckgradient der Außenströmung beliebige Werte annehmen. Dadurch ändert sich die Form des laminaren Geschwindigkeitsprofils gegenüber der Plattenströmung. Eine allgemeine Approximation des laminaren GrenzschichtGeschwindigkeitsprofils ist durch den nachstehenden Potenzansatz möglich, der das Plattenprofil als Sonderfall enthält 3 4 2 3 4 y λ ⎡y ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎤ = 2 − 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎢ − 3⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ δ⎠ ⎝ δ⎠ ⎝ δ⎠ ⎝ δ⎠ ⎝ δ⎠ ⎥ 6 δ cδ δ

 ⎢⎣ ⎦

c

Plattenströmung

λ=

(6.11a)

E inf luß Druckgradient dp a / dx

δ 2 dcδ δ 2 dpa =− ν dx ηca dx

(6.11b,c)

Gl. (6.11c) entsteht durch Anwendung des Energiesatzes auf die Außenströmung. Bei turbulenter Plattengrenzschicht, die hinter dem laminar-turbulenten Umschlag beginnt oder durch künstliche Maßnahmen (→ Turbulenzdrähte, Aufrauhung, Verunreinigung) bereits vor dem normalen Umschlagpunkt erzeugt werden kann, ist folgendes zu beachten: In unmittelbarer Wandnähe werden die turbulenten Schwankungsbewegungen in wandnormaler Richtung gedämpft, so daß eine dünne laminare Unterschicht entsteht, auf der sich die turbulente Grenzschicht aufbaut. Diese Unterschicht, deren Dicke δU durch Gl. (4.23) berechenbar ist, wird durch das viskose Verhalten des Fluids dominiert. Es gilt das Newtonsche Schubspannungsgesetz (1.15), die Haftbedingung cW = 0 sowie die Wandbindung Gl. (6.6). Der Geschwindigkeitsverlauf ist etwa linear (Bild 6.3, Kurve 2). Die Wandschubspannung wird entsprechend

6 Stationäre Umströmung von Körpern

214 Gl. (6.7) durch den Winkel αW2 repräsentiert.

Der einfachste Modellansatz beschreibt das turbulente Geschwindigkeitsprofil durch zwei Schichten: Die vorab beschriebene laminare Unterschicht, in der der erste Term der Gl. (3.11) wirksam ist, und die darüberliegende vollturbulente Schicht, in der die Wirbelviskosität dominiert (2. Term Gl. (3.11)). Die aufgrund des intensiven turbulenten Impulsaustausches recht füllige Geschwindigkeitsverteilung in der turbulenten Schicht kann durch einen Potenzansatz (s. Gl. 4.18a) dargestellt werden

⎛ y⎞ =⎜ ⎟ cδ ⎝ δ ⎠ c

n

(6.12)

mit Werten für n aus Bild 4.5. In Bild 6.3, Kurve 2, ist das Profil eines solchen 2-SchichtenModells für n = 1/7 dargestellt. Für n = 1/7 erhalten wir als Grenzschichtdicke der an der Vorderkante einer Platte angelaufenen turbulenten Grenzschicht

⎛ cδ x ⎞ δ turb ( x) ≈ 0,381 ⎜ ⎟ ⎝ ν ⎠

−

1 5

4

x ∼ ( x) 5 ≈ x

(6.13a,b,c)

Im Vergleich zur Dicke der laminaren Grenzschicht nach Gl. (6.8b) wächst die Dicke der turbulenten Grenzschicht schneller an (Bild 6.2). Bei turbulenter Grenzschicht mit laminarer Anlaufstrecke (Bild 6.2) läßt sich die turbulente Grenzschichtdicke von einer virtuellen Anfangskoordinate xvt aus berechnen. In Gl. (6.13a) ist dann x durch (x - xvt) zu ersetzen, wobei xvt durch die nachstehende Beziehung abschätzbar ist 3

− x vt ≈ 1 − 37 ( Re u) 8 xu

(6.14)

Das Potenzgesetz (6.12) liefert mit n = 1/7 die turbulente Verdrängungsdicke

⎛ cδ x ⎞ ⎟ δ1turb ( x ) = 0,048 ⎜ ⎝ ν ⎠

−

1 5

x

n δ1turb ( x ) = ( x ) n +1 δturb

(6.15a,b)

wobei Gl. (6.15b) für beliebige Exponenten n gilt. 3UD[LVKLQZHLV Es sei an dieser Stelle mit Hinweis auf Kap. 3.1.4 daran erinnert, daß die Geschwindigkeiten c(x,y) im turbulenten Bereich unseres Modells die zeitlichen Mittelwerte ~ c ( x, y) der in Wirklichkeit turbulent schwankenden Geschwindigkeit c(x,y,t) darstellen. Diese Modellgeschwindigkeitsverteilungen ergeben sich auch experimentell, wenn ein träges (zeitlich mittelndes) Meßsystem, z.B. ein Pitot-Rohr, eingesetzt wird. Eine Momentaufnahme des Strömungsfeldes in der Grenzschicht ergäbe ein völlig anderes Bild. Ein detaillierteres 3-Schichten-Modell der Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenten Grenzschichten ohne Druckgradient berücksichtigt zwischen der rein viskosen laminaren Unterschicht und der von Wirbelviskosität geprägten vollturbulenten Schicht eine Übergangsschicht, in der Viskosität und Wirbelviskosität von Einfluß sind. Mit y als Wandabstandskoordinate und der Schubspannungsgeschwindigkeit c τ = τ W / ρ (Gl. 4.23b)) lassen sich die Schichten

6.2 Grenzschicht

215

gegeneinander abgrenzen

cτ 0. Jetzt liefert das Wandbindungsgesetz ( ∂2 c / ∂y2 )y=0 > 0, dh. die Krümmung wird positiv (Kr > 0) und das Profil ist im Wandbereich konkav gekrümmt, es tritt ein Wendepunkt W auf, und der Wandwinkel αW wird kleiner. Bei weiterem Druckanstieg nimmt der Wandwinkel α W weiter ab, bis im Punkt A der Zustand 

y c a (x )

c∞

c(x, y)

δ( x )

αW x

αW

W

αW

αW W W

A

B

d max

St 2

St 1

D

p Druckabfall

pt ∞ p∞

dpa ≤0 dx

⎛ ∂2c ⎞ ⎜ ⎟ ≤ 0 → Kr y =0 < 0 ⎜ 2⎟ ⎝ ∂y ⎠y =0

αW > 0

Druckanstieg

dpa ≥0 dx

⎛ ∂2c ⎞ ⎜ ⎟ ≥ 0 →Kr y =0 >0 ⎜ 2⎟ ⎝ ∂y ⎠y =0

αW ≥ 0

αW ≤ 0

x

E ⎛ ∂2c dpa = 0 →⎜ ⎜ 2 dx ⎝ ∂y

reibungsfrei

C Gleichdruck ⎞ ⎟ = 0 →Kr y =0 =0 ⎟ ⎠y =0

Ablösepunkt ⎛ ∂c ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 →αW = 0 ⎝ ∂y ⎠y=0

 %LOG Schematische Darstellung der Umströmung eines Körpers bei laminarer Grenzschicht. D GrenzschichtGeschwindigkeitsprofile auf der Körperkontur. St1, St2: vorderer bzw. hinterer Staupunkt; W: Wendepunkt; A: Ablösepunkt; B: Ablösegebiet (Totwassergebiet). E Druckverteilung auf der Körperkontur. Durch die Wandbindung Gl. (6.6) ist die Krümmung Kr des Profils an der Wand gegeben. C: für den Druckwiderstand verantwortliches Druckdefizit im Ablösegebiet

6.2 Grenzschicht

⎛ ∂c ⎞ =0 ⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ y = 0

217 αW = 0

⎛ ∂c ⎞ = η tan α W = 0 τW = η⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ y =0

Ablösebedingung

(6.17a,b)

(6.18a,b)

erreicht wird, die Strömung haftet hier nicht mehr an der Wand, sie löst ab. Bis zum Punkt A stellt sich in der Grenzschicht der Druckverlauf der Außenströmung ein. Hier ist aber die kinetische Energie in Wandnähe - die zum Druckaufbau stromabwärts vom Druckminimum benötigt wurde - völlig aufgezehrt, und der Druckanstieg in der Grenzschicht kann dem der Außenströmung nicht mehr folgen. Es entsteht ein Druckgefälle von der Außenströmung in Richtung auf die Wand, und dadurch kommt es zur Rückströmung aus den Außenbereichen in die wandnahen Zonen. Die Grenzschicht löst von der Körperkontur ab ( → Grenzschichtablösung); durch die Rückströmungen tritt ein verwirbeltes Totwassergebiet auf (Bereich B in Bild 6.5a). Der Wandwinkel nimmt Werte αW < 0 an (Rückströmung in Wandnähe). Die Stromlinien vereinigen sich nicht mehr hinter dem hinteren Staupunkt St2, es kommt zu einem ausgeprägten Nachlaufgebiet. In Bild 6.5b ist die Druckverteilung auf der Körperkontur dargestellt. Stromabwärts vom Ablösepunkt A erkennen wir das durch die Ablösung hervorgerufene Druckdefizit (Bereich C in Bild 6.5b) gegenüber der reibungsfreien Strömung. Dies führt dazu, daß im Gegensatz zur reibungsfreien Strömung keine Kompensation der Druckkraftkomponenten in xRichtung auftritt, sondern eine resultierende Druckkraft in Strömungsrichtung entsteht (→ Druckwiderstand). Die Auswirkung des Druckdefizits im hinteren Bereich der Körperkontur läßt sich auch als „Saugwirkung“ in Strömungsrichtung interpretieren. Grenzschichtablösung bei der Um- oder Durchströmung von bis zur 1. Ableitung stetigen Konturen tritt im allgemeinen nur bei Druckanstieg auf. Laminare Grenzschichten lösen meist kurz nach Beginn des Druckanstiegs ab (kurz hinter dem Dickenmaximum bei Umströmung). Es läßt sich somit bei laminarer Grenzschicht kaum ein Druckanstieg an der Körperkontur erzeugen. Liegt bei Beginn des Druckanstiegs turbulente Grenzschicht vor, so verschiebt sich aufgrund des fülligeren Geschwindigkeitsprofils (durch turbulenten Impulsausstausch wird mehr Energie in die wandnahen Zonen transportiert, Bild 6.2) und der damit höheren kinetischen Energie in Wandnähe der Ablösepunkt deutlich weiter stromabwärts. Das Ablösegebiet wird kleiner bzw. es tritt keine Ablösung auf. Eine andere Form der Strömungsablösung tritt bei der Umströmung von scharfen Ecken und Kanten auf (Bilder 4.9; 4.11). 3UD[LVKLQZHLV Grenzschichtablösungen an knickfreien, bis zur 1. Ableitung stetigen Konturen treten im allgemeinen nur bei Druckanstieg der Außenströmung auf. Sie sind stets mit erheblicher Dissipation verbunden, was sich bei Durchströmungsvorgängen in erhöhten Verlusten an fluidmechanischer Energie und bei Umströmungsvorgängen in erhöhten Widerständen bemerkbar macht. Daher sind verzögerte Strömungen mit Druckanstieg grundsätzlich problematisch in der Handhabung. Der realisierbare Druckaufbau im strömenden Fluid ist wegen des möglichen Auftretens von Ablösung begrenzt (Beispiele: Diffusor, Verzögerungsgitter in Pumpen und Verdichtern, Strömungsverhältnisse hinter dem Dickenmaximum umströmter Körper). Beschleunigte Strömungen mit Druckabfall sind dagegen wesentlich pro-

6 Stationäre Umströmung von Körpern

218

blemloser, es gibt im Zusammenhang mit der Grenzschicht keine Beschränkung des Druckabbaus (Beispiele: Düse, Turbinengitter, Strömungsverhältnisse vor dem Dickenmaximum umströmter Körper). Die Grenzschichten beschleunigter Strömungen sind dünner und länger laminar als bei verzögerten Strömungen.   

:LGHUVWDQGXPVWU|PWHU.|USHU (QWVWHKXQJGHV:LGHUVWDQGHV

Als Widerstand FW definieren wir die durch das strömende Fluid in Strömungsrichtung auf den umströmten Körper ausgeübte resultierende Kraft. Er setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen. 5HLEXQJVZLGHUVWDQG Durch die tangential in der Oberfläche wirkende Wandschubspannung τW wird an jedem Oberflächenelement dA des Körpers die Reibungskraft α  α  dFp   dF  p p  px = dFWD dF p  dFpx = dFWD  y   dA α dA c∞   x  dA τW  FW dA  α  α  dFτ d τW  F  τ  dFτx = dFWR    dFτx = dFWR    %LOG Entstehung des Reibungswiderstandes FWR und des Druckwiderstandes FWD aus den Schubspannungskräften dFτx und den Druckkräften dFpx am Oberflächenelement dA

dFτ = τWdA hervorgerufen, deren Projektion in Strömungsrichtung einen infinitesimalen Anteil dFτx = dFWR des Reibungswiderstandes liefert (Bild 6.6). Die Integration aller Reibungswiderstandsanteile auf der gesamten beströmten Körperoberfläche A ergibt den Reibungswiderstand FWR. Für einen zylindrischen Körper gemäß Bild 6.6 läßt sich der Reibungswiderstand dann folgendermaßen definieren dFτ = τ W dA dFWR = τ W cos αdA ≥ 0 FWR = ∫ τW cos αdA ≥ 0

(6.19a,b,c)

(A)

Alle Flächenelemente - mit Ausnahme derjenigen, die senkrecht zur Strömungsrichtung stehen liefern einen positiven Reibungswiderstandsanteil dFWR (Gl. (6.19b).

6.3 Widerstand umströmter Körper 219  'UXFNZLGHUVWDQG Der normal zur Oberfläche wirkende statische Druck p erzeugt an jedem Oberflächenelement dA die Druckkraft dFp = pdA, deren Projektion in Strömungsrichtung den Druckwiderstandsanteil dFpx = dFWD liefert. Durch Integration aller Druckwiderstandsanteile über der gesamten Körperoberfläche A erhalten wir den Druckwiderstand FWD. Er läßt sich für einen zylindrischen Körper gemäß Bild 6.6 durch nachstehende Gleichungen beschreiben

dFp = pdA

dFWD = p cos αdA

FWD = ∫ p cos αdA ≥ 0

(6.20a,b,c)

(A )

Bild 6.6 zeigt, daß die Druckwiderstandsanteile links und rechts vom Dickenmaximum unterschiedliche Richtungen haben. Sie heben sich also teilweise auf, es gibt jedoch -im Gegensatz zur reibungsfreien Strömung (Kap. 6.1) - keine vollständige Kompensation. Dies hat zwei Gründe: I) Wie in Kap. 6.2 erläutert wurde, wird durch das Geschwindigkeitsdefizit im GrenzschichtGeschwindigkeitsprofil ein zusätzlicher Verdrängungseffekt hervorgerufen. Dieser kann modellhaft durch die Aufdickung der Körperkontur um die Grenzschichtverdrängungsdicke δ1 simuliert werden. Dieser aufgedickte Körper erzeugt jedoch eine gegenüber der reibungsfreien Umströmung des Ausgangskörpers etwas geänderte Druckverteilung der Außenströmung, so daß jetzt die resultierende Druckkraft im Gegensatz zu Gl. (6.3a) nicht mehr verschwindet. Es entsteht ein indirekt reibungsbedingter Druckwiderstand durch Verdrängungswirkung. II) Tritt auf der Körperkontur Grenzschichtablösung auf, so liegt die tatsächliche Druckverteilung auf der Körperkontur im Ablösegebiet deutlich unter den reibungsfreien Werten (Bild 6.5b, Bereich C). Dies führt zu einem ebenfalls indirekt reibungsbedingten Druckwiderstand durch Ablösung. Falls bei einem Umströmungsvorgang Ablösung auftritt, ist der Druckwiderstandsanteil (II) deutlich höher als der Anteil (I). In vielen Fällen dominiert er das gesamte Widerstandsverhalten. ,QGX]LHUWHU :LGHUVWDQG Beim Tragflügel endlicher Spannweite entstehen an den Flügelenden Wirbelzöpfe, die kinetische Energie enthalten, die dem Flügel entzogen wird. Der Flügel empfindet dies als einen zusätzlichen Widerstand, den wir als induzierten Widerstand Fwi bezeichnen (s. Kap. 6.4.2). Der induzierte Widerstand ist reibungsunabhängig. :HOOHQZLGHUVWDQGGasumströmte Körper erzeugen bei Anström-Mach-Zahlen Ma∞ > Ma∞-krit = 0,6 ÷ 0,9 ein System von Druckwellen (Machsche Wellen, Verdichtungsstöße) in ihrer Umgebung. Die Energie in den Wellen wird vom umströmten Körper geliefert, der dies als einen zusätzlichen Widerstand empfindet, den wir Wellenwiderstand FWW nennen (s. Kap. 5.2.3.4). Häufig entstehen durch die Verdichtungsstöße zusätzliche Grenzschichtablösungen und damit verbundene höhere Druckwiderstände (Stoß-Grenzschicht-Interferenz). Wird ein Körper von einer Flüssigkeit mit einer freien Oberfläche umströmt, entstehen Oberflächenwellensysteme, die ebenfalls zu einem zusätzlichen Wellenwiderstand FWW auf den Körper führen (z.B. umströmter Schiffsrumpf mit Bug- und Heckwelle). Der Wellenwiderstand ist reibungsunabhängig. Im allgemeinen Fall erhalten wir damit für den Widerstand umströmter Körper

FW = FWR + FWD + FWi + FWW

Widerstand allgemein

(6.21)

6 Stationäre Umströmung von Körpern

220

Wir wollen uns im folgenden Teil des Kap. 6.3 (keine Tragflügel) auf Umströmungsvorgänge mit Ma∞ < 0,7 ÷ 0,9 bzw. ohne freie Oberflächen beschränken. Dann setzt sich der Gesamtwiderstand aus Reibungs- und Druckwiderstand zusammen

FW = FWR + FWD

Widerstand, wenn: Ma∞ < (0,7 ÷ 0,9); keine Tragflügelenden; keine freien Oberflächen

(6.22)

Bei längsangeströmten Platten liegt Reibungswiderstand in Reinkultur vor: FW = FWR; FWD = 0 (keine Druckkraftkomponenten in Strömungsrichtung). Eine querangeströmte Platte dagegen erzeugt ausschließlich Druckwiderstand: FW = FWD; FWR = 0 (keine Reibungskraftkomponenten in Strömungsrichtung). Es ist daher einleuchtend, daß je nach Körperform eine unterschiedliche Verteilung der Widerstandsanteile vorliegt. 3UD[LVKLQZHLV Zur Abschätzung des Widerstandsverhaltens teilen wir die Körper in zwei Kategorien ein. Körpertyp schlanker Körper fülliger /stumpfer Körper Beispiele Tragflügel oder Tropfen geringer Tragflügel /Tropfen großer rel. Dicke: relativer Dicke: d/l < 0,25 ÷ 0,3; d/l>0,25÷0,3; Ellipse;Zylinder; Kugel; stumpfe Körper mit def. Abreißkanten ebene Platte Verteilung der WiFWR > FWD FWD > FWR derstandsanteile Strömungsgünstiger Tropfen: Kugel: FWD ≈ 9⋅ FWR FWR ≈ 9⋅FWD optimaler Grenz- laminare Grenzschicht, da Rei- turbulente Grenzschicht, da das Ablöschichttyp bungswiderstand geringer als bei segebiet kleiner ist als bei laminarer Grenzschicht, und damit wird der turbulenter Grenzschicht Druckwiderstand geringer Anforderung an die spezielle Laminarprofile; Emp- Umschlag in turbulente Grenzschicht findlichkeit gegenüber Uneben- muß vor dem Dickenmaximum erfolGestaltung des heiten, Verschmutzungen, Unre- gen, ggfs. durch künstliche MaßnahKörpers gelmäßigkeiten der Oberfläche: men wie Turbulenzdrähte, künstliche sie können einen künstlichen Unebenheiten der Oberfläche. Bei Umschlag in turbulente Grenz- stumpfen Körpern in Strömungsrichtung möglichst schmales Abreißgebiet schicht bewirken.

(UPLWWOXQJGHV:LGHUVWDQGHV /lQJVDQJHVWU|PWH HEHQH 3ODWWH Auf der Plattenoberfläche wirken die mit der Lauflänge x abnehmenden Wandschubspannungen τW ∼

1 1/ 2

x

(lam. Grenzschicht) τ W ∼

1 1/ 5

(turb. Grenzschicht)

(6.23a,b)

x

Die Integration der Gl. (6.19c) mit α = 0 ° liefert den Widerstand FW = FWR für die einseitig beströmte Oberfläche AP = bl einer Platte der Länge l und der Breite b (Bild 6.2). Wir definieren den nachstehenden dimensionslosen Plattenwiderstandsbeiwert cF

6.3 Widerstand umströmter Körper

221

FWR cF = ρ c2∞ A P 2

FWR = c F

ρ 2 c∞ A P 2

A P = bl

(6.24a,b,c)

Er gestattet mit Hilfe der nachstehenden halbempirischen Berechnungsansätze für cF die einfache Ermittlung des Widerstandes von längsangeströmten Platten und plattenähnlichen Oberflächen. Bei vollaminarer Plattengrenzschicht (Re∞ = c∞l/ν ≤ Reu) gilt

cF =

1,328

Re∞ =

Re∞

c∞ l ν

Re∞ ≤ 5⋅105 ÷ 106

(6.25a,b,c)

Dieser Wert ist unabhängig von der Oberflächenbeschaffenheit. Schlägt die Grenzschicht nach laminarem Anlauf vor der Plattenhinterkante in die turbulente Form um, so lautet der Ansatz bei hydraulisch glatter Oberfläche

cF = Reu K

0,455 (lg Re∞)

2 ,58

3⋅105 1050

−

K

Reu ≤ Re∞ ≤ 109

Re∞

5⋅105 1700

106 3300

(6.26a,b)

3⋅106 8700

Der zweite Term von Gl. (6.26a) berücksichtigt die geringeren lokalen Reibkräfte im Bereich des laminaren Anlaufs. Wird durch künstliche Maßnahmen (Turbulenzdraht) bereits an der Plattenvorderkante eine turbulente Grenzschicht erzeugt (vollturbulente Grenzschicht), gilt bei hydraulisch glatter Oberfläche die Interpolationsformel

cF =

0,455 (lg Re∞)

2 ,58

Re∞ ≤ 109

(6.27)

Der Rauhigkeitseinfluß der Plattenoberfläche wird bei turbulenter Grenzschicht spürbar - und damit steigt der Plattenwiderstandsbeiwert cF gegenüber der hydraulisch glatten Oberfläche an wenn die zugeordnete bezogene äquivalente Sandrauhigkeit ks/l den zulässigen Grenzwert kszul/l übersteigt

k s k s− zul 100 ≥ = l l Re∞

→ Rauhigkeit spürbar

(6.28)

3UD[LVKLQZHLV Die optimale Oberflächengüte bei turbulenter Plattengrenzschicht wird bei ks = ks-zul erreicht. Eine weitere Verringerung der Rauhigkeit bringt keine zusätzliche Reduzierung des Widerstandes. Bei Modellversuchen mit geometrischer Ähnlichkeit muß die bezogene Rauhigkeit ks/l in Modell und Original gleich sein. Wegen der mit der Lauflänge anwachsenden Grenzschichtdicke δ ist das Verhältnis ks/δ am Plattenanfang größer als am Ende; dadurch ist auch der Rauhigkeitseinfluß im vorderen Bereich ausgeprägter. Daher sollte ggfs. die Oberfläche des vorderen Plattenbereichs besonders sorgfältig ausgeführt werden. Der Reibungswiderstand schwach gewölbter Oberflächen kann näherungsweise wie bei der ebenen Platte ermittelt werden, so lange die Druckänderung der Außenströmung vernachlässigbar klein ist. Das gesamte Widerstandsverhalten der Platte ist in Bild 6.7 dargestellt. Es ist weitgehend ana-

222

6 Stationäre Umströmung von Körpern

 %LOG Plattenwiderstandsbeiwert der längsangeströmten ebenen Platte. Kurve 1: vollaminare Grenzschicht, Gl. (6.25a). Kurve 2: vollturbulente Grenzschicht, hydraulisch glatt, Gl. (6.27). Kurve 3: turbulente Grenzschicht mit laminarem Anlauf, hydraulisch glatt, Gl. (6.26); Kurvenast 3a: Reu = 5⋅105; 3b: Reu = 106. Kurve 4: Grenzkurve zum Bereich der hydraulisch vollkommen rauhen Platte. Bereich f: vollturbulente Grenzschicht bei hydraulisch vollkommen rauher Platte, Gl. (6.29). Bereich g: Übergangsbereich zwischen glatter und vollkommen rauher Oberfläche. ks ist in dieser Darstellung die Sandkorngröße einer sandrauhen Platte. Für technisch rauhe Oberflächen ist die zugeordnete äquivalente Sandrauhigkeit ks einzusetzen. Bereich g gilt exakt nur für sandrauhe Oberflächen, für äquivalente Sandrauhigkeiten technischer Oberflächen liefert er (zu kleine) Anhaltswerte

log zu dem Verhalten des Rohres (Bild 4.8). Die laminare Plattengrenzschicht ist rauhigkeitsunabhängig (Kurve 1). Bleiben bei turbulenter Grenzschicht die Rauhigkeitsspitzen innerhalb der laminaren Unterschicht (Gl. (6.16a) bzw. ks ≤ ks-zul) gilt die Oberfläche als hydraulisch glatt: cF = cF(Re∞), (Kurve 2). Reichen die Rauhigkeitsspitzen bis in die Übergangsschicht (Gl. (6.16b) bzw. ks > ks-zul) so gilt im Übergangsbereich g: cF = cF(Re∞, ks/l). Für Re∞ > Re∞-Grenz (Kurve 4) ragen die Rauhigkeitsspitzen bis in die vollturbulente Schicht (Gl. (6.16c)), und die Oberfläche wird als hydraulisch vollkommen rauh bezeichnet. In diesem Gebiet f gilt bei vollturbulenter Grenzschicht die Interpolationsformel

6.3 Widerstand umströmter Körper

cF =

223

⎛ ks⎞ cF = cF ⎜ ⎟ ⎝ l⎠

1 ⎡ ⎛ ks⎞ ⎤ ⎢1,89 − 1,62 ⋅ lg⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ l ⎦ ⎣

2 ,5

Re > Re∞-Grenz

(6.29) 3UD[LVKLQZHLV Anhand der ebenen Platte (Bild 6.7) ist das grundsätzliche Verhalten des Reibungswiderstandes zu erkennen. - Der Widerstandsbeiwert ist bei laminarer Grenzschicht geringer als bei turbulenter. - Für hydraulisch glatte Oberflächen nimmt der Widerstandsbeiwert mit zunehmender ReZahl ab (bei Ma∞ < 0,7). - Bei Überschreitung der zulässigen bezogenen Rauhigkeit ks-zul/l wird das Widerstandsver halten von der Rauhigkeit dominiert (im Bereich g zusätzlich von Re∞). Der Widerstand steigt mit zunehmender Rauhigkeit. %HLVSLHO Der Kiel einer Segelyacht werde als längsangeströmte ebene Platte der Länge l = 3 m und der Höhe b = 2 m betrachtet. Seine technisch rauhe Oberfläche entspricht einer äquivalenten Sandrauhigkeit von ks = 0,1 mm. Die Maximalgeschwindigkeit der Yacht (die in den Rechnungen zu verwenden ist) beträgt 7 Kn (→ c∞ = 3,6 m/s). Meerwassertemperatur: tW = 20 °C. 6.1.1 Wie lang ist die laminare Anlaufstrecke xu und welchen Wert hat die Dicke δ der laminaren Grenzschicht am Umschlagpunkt ? 6.1.2 Welchen Wert hat die Grenzschichtdicke δ am Ende des Kiels ? 6.1.3 Wie hoch ist der Widerstand FW des beidseitig beströmten Kiels ? 6.1.4 Auf welchen Wert F/W ändert sich der Widerstand, wenn am Ende der Segelsaison die Oberflächenrauhigkeit durch organischen Bewuchs auf k/s = 1 mm angewachsen ist ? /|VXQJ 6.1.1) Stoffwerte Bild 11.1: ρSalzwasser(tW = 20 °C) ≈ 1026 kg/m3. Bild 11.2: ν ≈ 10-6 m2/s. Gl. (6.4): Annahme: Re u =

Gl. (6.8a):

δ lam ( x = x u) ≈ 5

c∞ x u ≈ 7,5 ⋅ 105 ν

νx u =5 c∞

10−6

xu ≈

7,5 ⋅ 105 ⋅ 10−6 3,6

m s

m2 s = 0,2083 m

m2 ⋅ 0,2803 m s = 1,395 ⋅ 10−3 m m 3,6 s

6.1.2) Gl. (6.14): x vt ≈ x u [1 − 37( Re u) −3/ 8] = 0,2083 m ⋅ [1- 37 ⋅ (7,5 ⋅ 105) ⎛ c (l − x vt ) ⎞ Bild 6.2; Gl. (6.13): δ turb ( x = l) ≈ 0,381⎜ ∞ ⎟ ⎝ ⎠ ν ⎛ ⎞ m ⎜ 3,60 ⋅ (3-0,16) m ⎟ s ⎟ δ turb (l) ≈ 0,381 ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ m2 -6 ⎜ ⎟ 10 ⎝ ⎠ s 6.1.3)

c∞ l = Re∞ = ν

] = 0,1600 m

(l − x vt )

−0,2

m ⋅3 m s = 1,080 ⋅ 107 2 -6 m 10 s

3,60

−1/ 5

−3 / 8

⋅ (3 - 0,16) m = 0,04289 m

6 Stationäre Umströmung von Körpern

224 Gl. (6.28): k s− zul =

100 ⋅ l Re∞

=

100 ⋅ 3 m 1,080 ⋅ 107

= 2,780 ⋅ 10−5 m < k s → Oberfläche rauh

⎛ k s 10−4 m k ⎞ = = 3,333 ⋅ 10−5 → Bild 6.6: c F ⎜ Re ∞ , s ⎟ ≈ 3,75 ⋅ 10−3 ⎝ 3m l l ⎠ cF liegt im Übergangsbereich g von Bild 6.7 und ist daher für technische Rauhigkeiten etwas zu niedrig. Daher wird auf eine Korrektur für den laminaren Anlauf gemäß Gl. (6.26) verzichtet. kg 1026 3 2 ρ 2 m ⋅ ⎛ 3,6 m ⎞ ⋅ 2 ⋅ 3 m2 = 299,2 N Gl. (6.24b): FW = FWR = 2c F c ∞ A P = 2 ⋅ 3,75 ⋅ 10−3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 s⎠ 6.1.4) cF =

k s/ 10−3 m = = 3,333 ⋅ 10−4 → Bild 6.7: c /F ≈ 6,3 ⋅ 10−3 (vollkommen rauh); oder Gl. (6.29): l 3m 1 ⎡ ⎛ k / ⎞⎤ ⎢1,89 −1,62⋅lg⎜ S ⎟⎥ ⎜ l ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦

2 ,5

= 6,44⋅10−3

F/W = 513,8 N

→

F/W FW

= 1,72

0D‰QDKPHQ]XU9HUPLQGHUXQJGHV5HLEXQJVZLGHUVWDQGHVEHLWXUEXOHQWHU*UHQ]VFKLFKWAusgehend von Beobachtungen an den Schuppen der Haihaut wurde erkannt, daß sich durch Anbringung von regelmäßigen kleinsten Riefen oder Rippen (→ Riblets) in Strömungsrichtung bei turbulenter Wandgrenzschicht der Reibungswiderstandsbeiwert cF unter den Wert für hydraulisch glatte Oberflächen absenken läßt. Bei systematischen Untersuchungen lieferten die in Bild 6.8 dargestellten Geometrien die besten Er-

b y

b

0,02 b δu

30°

D

E

     

h= 0,5 b



%LOG Ausführungsformen von Riblet-Geometrien (δU ≈ 5ν/cτ : Dicke der laminaren Unterschicht).D Optimale Geometrie (∆cF ≈ -10 %). EAls Folie ausführbare Geometrie ((∆cF ≈ -8 % ) gebnisse mit 9,9 % bzw. 8,2 % Absenkung der Wandschubspannungen. Die optimale Höhe h der Riblets beträgt h ⋅ cτ 8< 0,5 ÷ 0,7 zusätzlich von der MachZahl: cW = cW(Re, Ma∞) (Bilder 5.13; 6.35). Bei schlanken Körpern mit dominierendem Reibungswiderstandsanteil erkennen wir das Verhalten der ebenen Platte wieder (Bilder 6.7; 11.7). Der Widerstandsbeiwert der beidseitig längsangeströmten ebenen Platte beträgt cW = 2cF (mit AP gemäß Gl. (6.24c)). Für füllige und stumpfe Körper mit überwiegendem Druckwiderstand ist die Lage der Ablösestelle entscheidend für den Widerstand. Wir unterscheiden zwei Fälle:

ƒ

10

6

4

5

7

8

3

21

2

1

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

verschiebbarer Auffangtrichter Übergangsstück quadratisch / rund kleiner Diffuser Axialventilator Antriebsmotor Umlenkecke, beschaufelt großer Diffuser Dehnungsausgleich Ringkammer zum Abblasen von Warmluft Inspektionsöffnung

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

19

9

20

17

15

16 14

7

13

∅1600 mm 12

Übergangsstück rund / quadratisch 3 Siebe, 1 Gleichrichter Beruhigungskammer m Düse, Durchtrittsfläche 0,665 m x 0,665 m, c∞− max = 60 s Seiferth-Flügel gegen Windkanalpumpen Prandtl-Rohr Sondenverstellvorrichtung Rahmen der Sondenverstellvorrichtung Windkanalwaage Modell (im Bild: Kugel mit profilierter Haltevorrichtung) Anschlußnippel der Druckmeßleitungen

%LOG  Windkanal der FH Lübeck (Göttinger Bauart mit offener Meßstrecke)

6

∅1124 mm

12439 mm

11

10

6

6

226 6 Stationäre Umströmung von Körpern

4157 mm

6.3 Widerstand umströmter Körper

227

ƒ Körper mit durch Ecken und Kanten definierten Ablösestellen (senkrecht angeströmte Platte, Halbkugel, Kegel, Körper mit stumpfer Hinterkante) haben für Re > 104 einen vernachlässigbaren Reynolds-Zahl-Einfluß. Es gilt: cW ≈ konst. (→ kennzahlunabhängige Körper). In Tab. 11.15 sind Widerstandsbeiwerte für eine Auswahl kennzahlunabhängiger Körper zusammengestellt. ƒ Bei fülligen Körpern mit stetigen, knickfreien Oberflächen (querangeströmter Zylinder, Ellipse, Kugel, Profile mit großer relativer Dicke) hängt die Ablöseposition von der Reynolds-Zahl ab. Es gilt cW = cW(Re) (→ kennzahlabhängige Körper), wobei der Einfluß der Re-Zahl teilweise erheblich ist (Bild 11.7) .HQQ]DKOXQDEKlQJLJH.|USHU Die grundsätzlichen Strömungsvorgänge an einem kennzahlunabhängigen Körper sind in Bild 6.10 dargestellt. Die obere Bildhälfte zeigt eine Hälfte eines längsangeströmten prismatischen Körpers in ebener Strömung. Der Druck p(y) auf den in Strömungsrichtung projezierten vorderen und hinteren Abschlußflächen AP ist in Form des Druckbeiwertes cp(y) = (p(y) - p∞)/(ρ/2⋅c∞2) aufgetragen. Auf der vorderen Projetionsfläche stellt sich im Staupunkt bei y = 0 der Totaldruck ein (cp = 1). Durch die Umströmung des stumpfen Körpervorderteils entsteht eine starke Beschleunigung, die zu einem aufgeprägten Unterdruck an der Außenkante der Stirnfläche („Saugspitze“) und anschließender lokaler Ablöseblase führt. Auf der Mantellinie des Mittelteils steigt der Druck langsam bis zum Wert an der Hinterkante an, wo dann die Strömung definiert abreißt. Der dortige Druck stellt sich auf der gesamten hinteren Projektionsfläche AP ein und wird Basisdruck pB genannt. Die Fläche der Ablösezone ist die Basisfläche AB (im Fall der oberen Bildhälfte gilt AP = AB). Der Druckwiderstandsbeiwert cWD läßt sich aus der Druckverteilung auf den Projektionsflächen des Körpervorder- und –hinterteils ermitteln c WD =

1 ∫ (cp− v − cp−h ) dA P = cWD− v − cWD−h AP (AP)

Der Integralausdruck entspricht dem im Bild 6.10 von der schraffierten cp-Fläche über der Projektionsfläche aufgespannten Volumen. Er ist dem Druckwiderstandsbeiwert proportional. Mit dem ersten Term des Integralausdrucks ergibt sich der cWD-Wert des Körpervorderteils (cWD-v); der zweite Term liefert denjenigen des Hinterteils (cWD-h). Im Staupunkt des im unteren Bildteil dargestellten Körpers mit abgerundetem Vorderteil stellt sich ebenfalls der Totaldruck ein. Der durch die Beschleunigung entstehende Druckabfall zum Außenrand ist jedoch deutlich geringer, Ablösung tritt noch nicht auf. Auf der Mantellinie des Mittelteils steigt der Druck

dAp

y

1 cp

AB

p∞ ρ∞

Ap

c∞

h

l

cp-B cp-v cp-h

%LOG Qualitative dimensionslose Druckverteilung auf der vorderen (cp-v) und hinteren (cp-h) Projektionsfläche von stumpfen Körpern in ebener Strömung. Die obere Bildhälfte gilt für eine Hälfte eines prismatischen Körpers, die untere entspricht einer Hälfte eines Körpers mit abgerundeter Stirnfläche und eingezogener Basisfläche AB. cpB: mit dem Basisdruck pB gebildeter Druckbeiwert.

6 Stationäre Umströmung von Körpern

228

wieder an, ebenso im eingezogenen hinteren Körperteil (hier muß Ablösung vermieden werden). Daraus resultiert an der definierten Abreißstelle ein höherer Basisdruck, der auf einer geringeren Basisfläche wirkt. Der cWD-Wert ist geringer, wie ein Vergleich der schraffierten Flächen für den oberen und unteren Körper zeigt. Hinter beiden Körpern entsteht ein ausgeprägtes Totwassergebiet (Nachlauf). Die detaillierte Gestaltung der Körpervorder- und –hinterteile sowie das Verhältnis l/h beieinflussen den Widerstandsbeiwert entscheidend (s. Kap. 9.5). %HLVSLHO Ein Fallschirmspringer steigt in z = 5000 m Höhe aus und fällt im freien Fall mit angelegten Armen in horizontaler Lage auf z = 2000 m durch. 6.2.1 Welche Fallgeschwindigkeit wird erreicht ? Die Gesamtmasse von Springer und Schirm beträgt m = 90 kg. (Annahme: es stellt sich ein stationärer Fallzustand ein.) 6.2.2 Der anschließend gezogene Fallschirm hat Halbkugelform. Welchen Durchmesser D muß der Schirm aufweisen, wenn in z = 1000 m eine stationäre Sinkgeschwindigkeit von c∞ = 4 m/s vorliegen soll ? /|VXQJ6.2.1) Stoffwerte Normatmosphäre, Bild 2.15: ρ(z = 2000 m) ≈ 1,0 kg/m3 ρ stationärer Fall: FW = FG cW c2∞ A P = mg Gl. (I) (statischer Auftrieb vernachlässigt) 2 c∞ =

Tab. 11.15: (cWAP) = 0,836 m2

2 mg ρ(cW A P )

6.2.2) Bild 2.15: ρ(z = 1000 m) ≈ 1,1kg/m3; Aus Gl. (I) folgt mit

AP =

πD 4

2

D=

=

2 ⋅ 90 kg ⋅ 9,81 m/s2 1,0 kg/m3 ⋅ 0,836 m2

= 45,96

m s

Tab. 11.15: Fallschirm (Halbkugel) cW = 1,33

8mg = πρ cW c2∞

8 ⋅ 90 kg ⋅ 9,81

m

s2 = 9,80 m 2 kg ⎛ m⎞ π ⋅ 1,1 3 ⋅ 1,33 ⋅ ⎜ 4 ⎟ ⎝ s⎠ m

.XJHOXQG.UHLV]\OLQGHU Stellvertretend für das weite Spektrum der fülligen, in ihrem Widerstandsverhalten kennzahlabhängigen Körper, wollen wir zunächst die Kugel betrachten. Bild 6.11a zeigt das Stromlinienbild bei reibungsfreier Strömung. Die Geschwindigkeit cs auf der Kugeloberfläche beträgt dabei

cs =

3 c∞ sin ϕ 2

Kugel, reibungsfrei

(6.32)

Die Energiegleichung zwischen einem Punkt der ungestörten Staupunktstromlinie und einer durch den Winkel ϕ gegebenen Position auf der Kugeloberfläche liefert - bei Vernachlässigung der Höhenterme - die Druckverteilung bei isentroper Strömung

ps (ϕ ) − p ∞ =

2 ρ 2 ⎡ ⎛ cs (ϕ ) ⎞ ⎤ ⎢ ⎥ − 1 ⎜ ⎟ c∞ 2 ⎢ ⎝ c∞ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(6.33)

Üblicherweise wird diese Druckdifferenz auf den kinetischen Druck q = ρ⋅c∞2/2 der Anströmung bezogen; daraus ergibt sich unter Verwendung von Gl. (6.32) der dimensionslose Druckbeiwert

c p − s (ϕ) =

p s (ϕ) − p ∞ 9 = 1 − sin2 ϕ ρ 2 4 c∞ 2

Kugel, reibungsfrei

(6.34a,b)

6.3 Widerstand umströmter Körper

der isentropen Kugelumströmung (Gl. 6.34b). Der Druckbeiwert in seiner allgemeinen Definition (Gl. (6.34a) ist eine Ähnlichkeitskenngröße, wie der Vergleich mit der Euler-Kennzahl Gl. (3.8) zeigt. Bei geometrisch ähnlichen Körpern ist die Verteilung des Druckbeiwertes identisch, es sei denn, daß Abhängigkeiten in der Form cp = cp(Re) bzw. cp = cp(Re, Ma) vorliegen.

229 y

∞

ps (ϕ) cs

ps 1

c∞

p s 1x

p∞

cs ( ϕ = 0) = 0

1 ϕ

) (ϕ

ps 2

R 2

ps 2 x = ps 1x x c s (ϕ =180°) = 0

∞

D E

y laminare Grenzschicht

%LOG Umströmung einer Kugel. D Reibungsfreie Strömung. E Unterkritische Strömung mit laminarer Grenzschicht. Ablösestelle ϕA-lam ≈ 82 ° (obere Hälfte der Skizze). F Überkritische Strömung mit turbulenter Grenzschicht, Ablösestelle ϕA-turb ≈ 120 °

−l am

Totwasser, Nachlauf ϕ

A

p1 c∞ p∞ p 1

ϕ ϕ

laminare Grenzschicht

Re∞ < Re U ≈ (2 ÷ 4)⋅105

Re∞ > Re U ≈ (2 ÷ 4 )⋅105 ϕA

p 2 < p1 p 2 < p1

x

−tur b

Umschlagpunkt

F

turbulente Grenzschicht

3UD[LVKLQZHLV Experimentelle Druckverteilungsmessungen p(ϕ) bzw. allgemein p(Oberflächenkoordinate) sind analog zu Gl. (6.34a) auszuwerten (ps(ϕ) → p(ϕ)) und möglichst für die bezogene Körpergeometrie darzustellen. Sie liefern dann allgemeingültige Aussagen über das Druckverhalten des Körpertyps und können auf aktuelle Fälle mit anderem Bezugsmaß und speziellen Anströmbedingungen umgerechnet werden. In Bild 6.12 ist Gl. (6.34b) über dem Kugeläquator aufgetragen. cp-s = 1 liefert bei ϕ = 0 ° und ϕ = 180 ° den vorderen bzw. hinteren Staupunkt. Den Wechsel zwischen Über- und Unterdruckzonen auf der Kugeloberfläche liefert Gl. (6.34b) unter der Bedingung cp-s = 0 für die Werte sinϕ = ±2/3, dh. ϕ = 41,81 °; 138,19 °; 221,81 °; 318,19 °. Die maximalen Konturgeschwindigkeiten erhalten wir aus Gl. (6.32) bei ϕ = 90 °; 270 ° zu cs-max = 3/2⋅c∞. Der Druckbeiwert nimmt an diesen Stellen sein Minimum mit cp-s = -5/4 ein. Aufgrund der Symmetrie der reibungsfreien Druckverteilung wirken keine Kräfte auf die Kugel (s. Kap. 6.1). Wir betrachten nun die reibungsbehaftete Umströmung der Kugel bei Re > 103. Im vorderen Staupunkt (ϕ = 0 °, Bild 6.11b) läuft die Grenzschicht laminar an und löst bei ϕA-lam ≈ 82 ° ab. Im gesamten hinteren Bereich der Kugel entsteht ein großes Totwassergebiet (Nachlaufgebiet) mit starker Verwirbelung und im Vergleich zur Vorderseite niedrigeren Drücken. Bild 6.12a (Kurve 2) zeigt den zugehörigen Verlauf des Druckbeiwertes cp(ϕ), dessen Integration über die

6 Stationäre Umströmung von Körpern

230 1

1, 2

2

1

1 ϕ 2

D

2 2

c∞ cp = 1

ϕ

c∞ cp = 1

E

 %LOG Verteilung des Druckbeiwertes über dem Kugeläquator in Polardarstellung. Kurve 1: cp-s(ϕ) gemäß Gl. (6.34b), reibungsfrei. Kurve 2: Im Windkanal Bild 6.7 gemessene Werte cp(ϕ). Die auf die Kontur zeigenden Pfeile markieren Überdruckgebiete (p(ϕ) > p∞); die von der Kontur fortweisenden Pfeile kennzeichnen Unterdruckgebiete. D Unterkritsche Kugelumströmung, Re∞ = 218000. EÜberkritische Kugelumströmung, Re∞ = 500000

gesamte Kugeloberfläche einen erheblichen Druckwiderstand liefert, wie auch aus der Anordnung der Richtungspfeile abgeschätzt werden kann. Diesen Strömungszustand mit laminarer Ablösung bezeichnen wir auch als unterkritische Kugelumströmung, er ist in Bild 6.13 links mit Laser-Licht-schnitt-Technik dargestellt. Steigt die Re-Zahl Re∞ = c∞D/ν bis zu einem kritischen Wert Rekrit = Reu an, so erfolgt vor dem Dickenmaximum ein Umschlag der laminaren Kugelgrenzschicht in die turbulente Form, die aufgrund ihres größeren Energieinhaltes einen gewissen Druckanstieg bewältigen kann (Bild 6.11c). Dadurch verschiebt sich der Ablösepunkt wei ter nach hinten (ϕA-turb ≈ 120 °), das Ablösegebiet wird kleiner und damit nimmt auch der Druckwiderstand erheblich ab. Dieser Strömungszustand wird als überkritisch bezeichnet. Bild 6.13, rechts, zeigt diesen Zustand und in Bild 6.12b ist die zugehörige Druckverteilung dargestellt. Der Übergang von unterkritischer zu überkritischer Kugelumströmung erfolgt in einem sehr schmalen Intervall um die kritische Re-Zahl Rekrit = Reu , die den laminar-turbulenten Umschlag kennzeichnet. Bei im Windkanal vermessenen Kugeln hängt Rekrit vom Turbulenzgrad des Windkanals ab: je turbulenzärmer der Strahl, um so höher ist die kritische Re-Zahl, übliche %LOG Kugelumströmung, aufgenommen in Laser-Lichtschnitt-Technik im Windkanal Bild 6.9. /LQNV: unterkritische Strömung, Re∞ = 2,47⋅105. 5HFKWV:überkritische Strömung, Re∞ = 4,36⋅105

6.3 Widerstand umströmter Körper

231

Werte liegen im Bereich

2,0 ⋅ 105 ≤ Re krit = Re u ≤ 3,8 ⋅ 105

Kugel

(6.35)

Im Freiflugversuch wurde Rekrit = Reu ≈ 3,8⋅10 gemessen; dieser Wert ist unabhängig vom jeweiligen atmosphärischen Zustand. 5

Im Bild 6.14 ist der kennzahlabhängige Verlauf cW = cW(Re) des Widerstandsbeiwertes der Kugel (inkompressible Strömung, Ma∞ ≤ 0,3, hydraulisch glatt) dargestellt, der in fünf Bereiche unterteilt werden kann. Für die Bereiche c und d kann die nachstehende Approximationsformel angewendet werden

cW =

24 6 + + 0,26 Re 1 + Re

0 < Re∞ ≤ 2⋅103

(6.36)

Der Bereich e kennzeichnet die unterkritische Kugelumströmung. Im (über)kritischen Bereich f ist der krasse Abfall des Widerstandsbeiwertes zu erkennen, der durch die Verlagerung des Ablösepunktes entsteht. Als kritische Re-Zahl wird häufig diejenige definiert, bei der cW = 0,3 vorliegt: Rekrit = Reu = Re∞(cW = 0,3). Das Widerstandsverhalten der Kugel bei kompressibler Strömung ist in Bild 8.8 dargestellt. Eine Verlagerung der kritischen Re-Zahl der Kugel zu niedrigeren Werten kann durch Auflegen eines Drahtringes im vorderen Teil der Kugel (→ 100 1 (Kugel) cw

%LOG Kennzahlabhängige Widerstandsbeiwerte von Kugel (Kurve 1) und querangeströmtem Kreiszylinder (b/D → ∞, Kurve 2); beide inkompressibel, hydraulisch glatt. Bereiche: c: schleichende Strömung; d: Übergangsbereich; e: unterkri-tischer Bereich; f: überkritischer Bereich. Werte nach [1; 46; 48; 63]

c∞

10

D

1,0 2 (Zylinder) 0,1 c ⋅D Re ∞ = ∞ ν

0,01 10

-1

0

10 1

1

2

10

10 2

3

10

5

4

10

10

3

6

10

7

10

4

Turbulenzdraht, Stolperdraht) oder durch künstliche Unebenheiten der Oberfläche erreicht werden. Dadurch werden im ursprünglich unterkritischen Bereich liegende cW - Werte aufgrund künstlich erzeugter turbulenter Grenzschicht abgesenkt. Bild 6.15 zeigt die Auswirkungen eines Turbulenzdrahtes auf den Verlauf des cW - Wertes. Im überkritischen Bereich sind die cW-Werte mit Turbulenzdraht höher als bei unbeeinflußter Oberfläche. Durch Oberflächenrauhigkeit wird das Widerstandsverhalten der Kugel in den Reynolds-Zahl-Bereichen e und f deutlich beeinflußt (Bild 6.16).

6 Stationäre Umströmung von Körpern

232   

0,6 d

0,5

cw

0,4

DT = 0,95 D

D

DT

c∞

d = 0,00687 D

0,3 d 0,2

mit Turbulenzdraht 0,1 0

ohne Turbulenzdraht 400000 c∞ ⋅ D Re∞ = ν

200000

300000

500000

600000

       %LOG Einfluß einesTurbulenzdrahtes auf den Verlauf des Widerstandsbeiwertes einer Kugel. Gemessen im Windkanal Bild 6.9

3UD[LVKLQZHLV An Kugeln (aber auch an Zylindern und anderen fülligen Körpern, die den typischen Abfall des cW - Wertes beim Übergang zur überkritischen Strömung aufweisen, s. Bild 11.7), die im unterkritischen Bereich e (Bild 6.14) umströmt werden, kann der cW Wert durch Turbulenzdrähte oder künstliche Aufrauhung der Oberfläche abgesenkt werden. Beispiel: Die mit Einbeulungen (→ Dimples) genarbte Oberfläche eines Golfballs führt zu deutlicher cW-Absenkung im Bereich e und damit zu etwa vierfacher Flugweite. Im überkritischen Bereich f bewirkt Rauhigkeit eine Erhöhung des cw-Wertes. Beispiel: Durch die haarige Oberfläche wird der cW-Wert eines Tennisballes erhöht und damit die Fluggeschwindigkeit auf beherrschbare Werte reduziert (s. Bild 6.16). Rauhigkeit ks/D glatt -4 2,5 · 10 -3 1,5 · 10 -3 2,5 · 10 -3 5,0 · 10 -2 1,25 · 10

0,6 Kugel cw

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 3 0

5

10

5

4 2

5

10

6

2 Re ∞

5

%LOG Einfluß der Rauhigkeit auf den cW-Wert und die kritische Reynolds-Zahl der Kugel [2; 24]

Querangeströmte Kreiszylinder verhalten sich ähnlich wie Kugeln. Geschwindigkeits- und dimensionslose Druckverteilung (analog Gl. (6.34)) auf der Kontur des unendlich langen Zylinders (b/D → ∞) ergeben bei reibungsfreier Strömung cs (ϕ ) = 2c∞ sin ϕ

c p − s (ϕ) = 1 − 4 sin2 ϕ

Zylinder, reibungsfrei

(6.37)

6.3 Widerstand umströmter Körper

233

Der Verlauf des Widerstandsbeiwertes cW ist in Bild 6.14 dargestellt. Für die Bereiche c und d können die Werte durch die nachstehende Gleichung approximiert werden

cW ≈ 0,94 +

10 3

Re

2

1 ≤ Re < 2⋅103

(6.38)

Im Nachlauf des Zylinders, der ähnlich Bild 6.11b,c strukturiert ist, erfolgt ein wechselweiser Wirbelabgang von der oberen bzw. unteren Ablösestelle, es entsteht eine Kármánsche Wirbelstraße (Kap. 8.4.1). Die zeitlichen Mittelwerte der Ablösewinkel betragen bei unterkritischer Strömung ϕA-lam ≈ 80 °. Im Bereich des Umschlags steigen sie auf ≈ 140 ° an. Bei überkritischer Strömung bis Re ≈ 2⋅106 betragen sie ϕA-turb ≈ 140 ° und für Re > 2⋅106 liegen sie bei ϕA-turb ≈ 115 °. Bild 11.7 zeigt den cW - Verlauf von elliptischen Zylindern verschiedener Halbachsenverhältnisse, deren cW - Abfall beim Übergang zu überkritischer Strömung mit zunehmendem Dickenverhältnis ausgeprägter wird. Zum Vergleich sind die Werte von symmetrischen Tropfen eingetragen. 3UD[LVKLQZHLV Rauhigkeitbeeinflussung des Widerstandsbeiwertes fülliger Körper mit deutlichen Widerstandsunterschieden zwischen unter- und überkritischer Umströmung: Mit zunehmender relativer Rauhigkeit verschiebt sich die kritische Re-Zahl Rekrit zu kleineren Werten, der Einbruch verflacht, die Werte im überkritischen Zustand werden größer (Bild 6.16). Die Widerstandsbeiwerte querangeströmter Zylinder und Prismen beliebigen Querschnitts werden häufig für ebene Strömung angegeben (dh. Breite b → ∞ bzw. Messung zwischen Endscheiben). Für endliche Breite werden die Widerstandsbeiwerte kleiner. Eine pauschale Korrektur kann entsprechend Gl. (6.39) mit den nachstehenden Korrekturfaktoren erfolgen: 0 < b/h ≤ 4 : K ≈ 0,6 4 < b/h ≤ 8 : K ≈ 0,7 8 < b/h ≤ 40 : K ≈ 0,8 40 < b/h < ∞ : K ≈ 1,0

⎛ b⎞ ⎛b ⎞ cW ⎜ ⎟ = KcW ⎜ = ∞⎟ ⎝ h⎠ ⎝h ⎠

(6.39)

%HLVSLHO Der zylindrische Abgaskamin eines Blockheizkraftwerkes vom Durchmesser D = 0,25 m und der Länge L = 8 m ist für Windgeschwindigkeiten von c∞ = 40 m/s zu untersuchen. Welche Windkraft wirkt bei p = 1,05 bar und t = - 20 °C ? /|VXQJ Stoffwerte Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK) Bild 11.6: ν⋅p(t = - 20 °C) ≈ 1,18 m2/s⋅Pa Gl. (1.3a): ρ =

m2 Pa ( ν ⋅ p) m2 s ν= = = 1124 , ⋅ 10−5 5 s p 1,05 ⋅ 10 Pa

p kg 1,05 ⋅ 105 Pa = = 1,445 3 RT 287,06 J ⋅ ( −20 + 273,15) K m kgK

c D Re = ∞ = ν

m ⋅ 0,25 m s = 8,897 ⋅ 105 2 -5 m 1,124 ⋅ 10 s 40

1,18

6 Stationäre Umströmung von Körpern

234

Bild 6.14: Zylinder (unendlich lang): cW(Re = 8,897⋅105) ≈ 0,33 8m L = = 32 → Gl. (6.39): K ≈ 0,8 Korrektur für endlichen Zylinder: D 0,25 m 2

ρ 1,445 kg ⎛ m ⎞ Gl. (6.31b): FW = cW c2∞ A P = (0,8 ⋅ 0,33) ⎜ 40 ⎟ ⋅ 0,25 m ⋅ 8 m = 610,4 N 2 2 m3 ⎝ s ⎠

cw β c w (β = 0)

)DKU]HXJDHURG\QDPLN Kraftfahrzeuge sind im allgemeinen Körper mit stumpfen Hinterkanten, die definierte Ablösestellen erzeugen, so daß weitgehende Kennzahlunabhängigkeit vorliegt: cW ≈ konst. Es dominiert der Druckwiderstand. Durch Gestaltung der Grundform und von Details (z. B. große Abrundungsradien) läßt sich der cW –Wert optimieren [25]. Insbesondere bei der Pkw-Umströmung werden auch Auftriebskräfte erzeugt (Verminderung durch Spoiler). Der Luftwiderstand FW hat einen von der Fahrzeugkonstruktion abhängigen Anteil FW ∼ cWAP und einen betriebsabhängigen Anteil FW ∼ c∞2. In Tab. 11.16 sind Anhaltswerte für die konstruktionsabhängigen Werte verschiedener Fahrzeugtypen zusammengestellt. In Gl. (6.31b) & ist (analog zu w in Gl. 3.84) für c∞ die aus Fahrzeuggeschwindigkeit cF und Windgeschwindigkeit cWD gebildete vektorielle relative Anströmgeschwindigkeit des Fahrzeugs einzusetzen: & & * c ∞ = c WD − c F . Bei reinem Gegen- bzw. Rückenwind ergibt sich c∞ = |cF| ± cWD (+: Gegenwind, Schiebewinkel ß = 0). Im allgemeinen Fall stellt sich eine seitliche 1,4 Falschanströmung ein, die bei PKW im üblichen Geschwindigkeitsbereich zu Schiebewinkeln von etwa -7 ° < β < 1,2 + 7 ° führt. Der cW - Wert des Fahrzeugs nimmt bei seitlicher Falschanströmung gemäß Bild 6.17 auf den 1,0

%LOG Typische Verläufe des cW - Wertes verschiedener Fahrzeugkategorien in Abhängigkeit vom Schiebewinkel β [19].

10°

β

20°

30°

Wert cW(ß) zu. Zum Gesamtwiderstand FGes eines Fahrzeuges tragen weiterhin der Rollwiderstand FRoll und die Tangentialkomponente der Gewichtskraft bei: Fges =FW + FRoll + Ft. 3UD[LVKLQZHLV Für die Vortriebsleistung zur Überwindung des Luftwiderstandes gilt der Zusammenhang PVor ∼ FWcF ∼ cF3. Eine Erhöhung der Fahrgeschwindigkeit um 26% führt damit zu einer Verdoppelung dieser Leistung und entsprechend höherem Kraftstoffverbrauch. Durch Kolonnenfahren von schweren Nutzfahrzeugen stellt sich - auch bei Einhaltung des „halben Tachometerabstandes“ - entsprechend Bild 6.18 eine deutliche Reduzierung des Widerstandsbeiwertes ein. Dies gilt auch, wenn die Fahrzeuge bis zu einer halben Fahrzeugbreite versetzt fahren. Für PKW ist dieser Effekt nicht nutzbar, da er Fahrzeugabstände in der Größenordnung von zwei Wagenlängen und darunter erfordert und auch dann bei wei tem nicht die Absenkung erreicht, die bei schweren Nutzfahrzeugen möglich ist.

6.3 Widerstand umströmter Körper

235 0 % -20

a

 3  %LOG a 2 1 Verringerung des Widerstandsbeiwertes von -40 a a schweren Nutzfahrzeugen durch Kolonnenfahren. Kurve 1: Einfluß auf das erste Folgefahr-60 zeug einer Kolonne. Kurve 2: Einfluß auf das a: Fahrzeugabstand zweite und weitere Folgefahrzeuge einer Kolon-80 ne. Kurve 3: Einfluß auf das Erstfahrzeug einer 0 20 30 40 10 50 m 60 Kolonne [25]. a  %HLVSLHO Ein PKW mit den Daten Masse Fahrzeug mF = 1400 kg; Nutzlastmasse mN = 540 kg; Widerstandsbeiwert cW = 0,3; Projektionsfläche AP = 2 m2; Wirkungsgrad der Kraftübertragung η = 0,8 befährt mit der konstanten Geschwindigkeit cF = 180 km/h eine Steigung von 5 cF Ft %. Es herrscht ein Gegenwind von cWD = 20 m/s aus der FW Richtung ϑ = 45 °. Der Rollwiderstand beträgt Froll = 0,02⋅Fn. FRoll α Die Dichte der Luft ist mit ρ = 1,2 kg/m3 anzunehmen. α F 6.4.1 Welcher Gesamtwiderstand ist zu überwinden ? FG n 6.4.2 Wie hoch ist die dazu erforderliche Motorleistung ? c∞ β /|VXQJ6.1.1) FGes = FW + FRoll + Ft ϑ c WD FW 2 − c2∞ = c2F + cWD 2c F cWD cos(180°− ϑ )

Cosinussatz: c ∞ = 65,68

m s

cF

c ∞ = c WD − c F

Schiebewinkel ß:

⎛ cWD sin ϑ ⎞ β = arctan⎜ ⎟ ⎝ cWD cos ϑ + c F ⎠

β = 12,43 °

Bild 6.13:

cW (β = 12,43 ° ) ≈ 1,10 c W (β = 0 ° ) 2

ρ 1,2 kg ⎛ m⎞ , ⋅ c2∞ A P = 0,3 ⋅ 110 , ⋅ ⋅ ⎜ 65,68 ⎟ ⋅ 2 m2 = 1708,3 N FW = cW (β = 0) ⋅ 110 2 2 m3 ⎝ s⎠ ⎛ 5 ⎞ Steigungswinkel: α = arctan⎜ ⎟ = 2,862 ° FRoll = 0,02 F n = 0,02( mF + m N )g cos α = 380,2 N ⎝ 100 ⎠ Ft = ( mF + mN )g sin α = 950,2 N FGes = (1708,3 + 380,2 + 950,2) N = 3039 N

6.4.2) P vor = FGes c F = 3039 N ⋅

180 m = 151,95 ⋅ 103 W 3,6 s

P Mot =

FW = 0,5621 FGes

P Vor = 189,9 ⋅ 103 W η

236

6 Stationäre Umströmung von Körpern



7UDJIOJHO 'HU7UDJIOJHOPLWXQHQGOLFKHU6SDQQZHLWH (QWVWHKXQJGHV$XIWULHEV Tragflügelartige Bauelemente werden außer in der Luftfahrt auch bei Windkraftanla-gen und in axialen Strömungsmaschinen eingesetzt. *HRPHWULHGHV7UDJIOJHOV Die Grundform des Tragflügels ist ein Zylinder der Spannweite b normal zur Anströmrichtung, dessen Querschnitt durch das Tragflügelprofil gebildet wird. Das Profil entsteht häufig durch Überlagerung eines symmetrischen Tropfens mit einer gewölbten Skelettlinie (Bild 6.19). Durch Variation der geometrischen Daten lassen sich Profilserien erzeugen (NACA-Profile; Göttinger Profile usw.). In Bild 11.9 ist die Geometrie 4-ziffriger NACA-Profile definiert. Tropfen (t)

y

rN

+ dx

y

(s)

Skelettlinie Sehne f

dx

xz x l

Sehne

P

d

xd

= y

l

x

d

x

xf x

Profil y ob Skelettlinie d

xd xf

y un

x

x l

%LOG Entstehung eines Profils durch Überlagerung von symmetrischem Tropfen und Skelettlinie: Die an der Koordinate x abgegriffene Dicke dx des Tropfens wird an entsprechender Position x der Skelettlinie als Kreis um den Mittelpunkt P angetragen. Das Profil entsteht als Einhüllende aller denkbaren Kreise. y(t): Ordinate des Tropfens; d: maximale Dicke des Tropfens; xd: Lage der maximalen Dicke (Dickenrücklage); l: Sehnenlänge; rN: Nasenradius; y(s): Ordinate der Skelettlinie; f: maximale Wölbung der Skelettlinie; xf: Lage der maximalen Wölbung (Wölbungs-rücklage); yob: Ordinate der Profiloberseite; yun: Ordinate der Profilunterseite; z: Koordinate in Spannweitenrichtung

8PVWU|PXQJ GHV7UDJIOJHOV Die Stellung des mit der Anströmgeschwindigkeit c∞ parallel angeströmten Tragflügels wird durch den Anstellwinkel αA zwischen Anströmrichtung und Sehnenlage definiert (s. Bild 6.25). Bei dem zunächst betrachteten unendlich langen Tragflügel haben Vorgänge an den Tragflügelenden keinen Einfluß auf den betrachteten Bereich; die Umströmung des Profils ist zweidimensional: (∂/∂z = 0). Im Windkanalexperiment lassen sich diese Verhältnisse durch einen endlich langen Flügel mit seitlichen Endscheiben simulieren (Bild 6.27), bzw. Meßwerte endlicher Flügel können gemäß Gl. (6.57, 6.58) auf unendliche Spannweite umgerechnet werden. Bild 6.20a zeigt die Strömung um ein Tragflügelprofil. Auf der Oberseite werden die Abstände benachbarter Stromlinien enger, das bedeutet beschleunigte Strömung und damit Druckabsenkung gegenüber dem Anströmdruck p∞ (→ Saugseite). Auf der Unterseite dagegen divergieren die Stromlinien, dies führt zu einer geringeren Geschwindigkeit und entsprechendem Druckanstieg (→ Druckseite). Als Merkregel stellen wir uns vor, daß die Fluidelemente aufgrund der Wölbung des Profils auf der Oberseite einen längeren Weg zu rückzulegen haben und daher mit höherer Geschwindigkeit strömen müssen. Die beschriebenen Verhältnisse führen zu der in Bild 6.20b dargestellten qualitativen Druckverteilung. Sie führt,

6.4 Tragflügel

237 8



c∞

c∞

p∞

p∞

D

+

FW FR

τW

p − p∞ Saugseite

Druckseite

E

8

%LOG Umströmung eines gewölbten Profils. DStromlinien. E Druck- und Schubspannungen sowie Kräfte am Profil

FA 

gemeinsam mit den durch die Wandschubspannungsverteilung τW erzeugten Reibkräften, zu einer resultierenden Luftkraft FR auf das Profil. Deren Komponente senkrecht zur Anströmrichtung definieren wir als dynamischen Auftrieb FA, die Komponente in Strömungsrichtung als den Widerstand FW. Die Geschwindigkeitsverteilung mit den hohen Geschwindigkeiten auf der Profiloberseite und den niedrigen Geschwindigkeiten auf der Unterseite läßt sich theoretisch erklären durch die Überlagerung zweier Strömungsarten: einer Parallelströmung mit der Stärke c∞ und einer rechtsdrehenden Drehströmung, deren Intensität durch die Zirkulation Γ beschrieben wird. Anhand von Bild 6.21 wollen wir den Begriff der Zirkulation definieren. Wird eine geschlossene Kurve K in ein Strömungs feld gelegt, so läßt sich für ein Wegelement ds dieser Kurve die lokale Geschwindigkeit c in Richtung des Wegelementes projezieren: ct = ccosα. Bilden wir daraus das Produkt ctds und integrieren dies längs der gesamten ct Kurve K, so liefert dieses Linienintegral die Zirkulation Γ α ds

c

K

%LOG Definition der Zirkulation

Γ = ∫ c cos αds

(6.40)

K

Bild 6.22 demonstriert die Stromlinienbilder bei reiner Parallelströmung (kein Auftrieb, hinterer Staupunkt St2 im hinteren Teil der Saugseite), bei reiner Zirkulationsströmung und bei Überlagerung der beiden Strömungen mit hinterem Staupunkt St2 an der Hinterkante, die zu einem Auftrieb führt, der nach Kutta-Joukowsky bei reibungsfreier Strömung berechenbar ist:

FA = Γρc∞ b

reibungsfreie Strömung

(6.41)

Abschließend wollen wir die Entstehung der Zirkulationsströmung beim Anfahren eines Tragflügels betrachten. Das zunächst nicht angeströmte Profil denken wir uns von einer geschlossenen Kurve K weiträumig umgeben (Bild 6.22d). Diese Kurve K enthalte im folgenden stets die gleichen Fluidelemente („flüssige Linie“). Im Ruhezustand ist die Zirkulation in dem abgegrenzten Gebiet Null, und gemäß dem Thomsonschen Satz bleibt sie (bei reibungsfreier Strömung) auch zeitlich konstant (also in diesem Fall Null). Wird der Tragflügel nun translatorisch bewegt, d. h. mit einer Parallelströmung angeströmt, so stellt sich gemäß Bild 6.22a eine Umströmung der Hinterkante von unten nach oben und ein hinterer Staupunkt St2 auf der Profiloberseite ein; es entsteht kein Auftrieb. Bei reibungsfreier Strömung würde dieser Zustand

6 Stationäre Umströmung von Körpern

238

St 1

St 1

St 2

c∞

Γ

c∞

FA

K

St 2

K

Γ

Γ gebundener Wirbel A

D

E

F

Anfahrwirbel

B

G

  %LOG Entstehung des Auftriebs. D Parallelströmung der Stärke c∞ (kein Auftrieb). E Zusätzliche Zirkulationsströmung der Intensität Γ. F Tragflügelumströmung durch Überlagerung von Parallel- und Zirkulationsströmung. G Anfahrwirbel

permanent vorliegen. Bei realer Strömung stellt sich jedoch im Augenblick des Anfahrens die folgende Situation ein: Es entsteht eine hohe Geschwindigkeit beim Umströmen der Hinterkante, die danach bis zum Staupunkt St2 (c = 0) sehr stark verzögert wird. Der damit verbundene Druckanstieg führt bei reibungsbehafteter Strömung zur Ablösung der Grenzschicht, die sich zu einem starken linksdrehenden Anfahrwirbel aufwickelt, der sich so lange vergrößert, bis der hintere Staupunkt in die Hinterkante des Profils verschoben ist. Nun herrscht im Bereich der Hinterkante auf der Profilober- und -unterseite die gleiche Geschwindigkeit (KuttaJoukowskysche Abflußbedingung). Der Anfahrwirbel hat jetzt seine endgültige Stärke erreicht und schwimmt hinter dem Profil ab. Durch die Verschiebung des hinteren Staupunktes in die Hinterkante hat sich am Profil eine zusätzliche rechtsdrehende Zirkulationsströmung entwickelt (Bild 6.22b), die als gebundener Wirbel am Profil erhalten bleibt und zum endgültigen Strömungsbild (Bild 6.22c) führt, bei dem Auftrieb entsteht. Die Zirkulation in dem in Bild 6.22d dargestellten Gesamtgebiet ist - dem Thomsonschen Satz gehorchend - auch weiterhin Null, da die Zirkulation des Anfahrwirbels im Teilgebiet B und diejenige des entgegengesetzt drehenden gebundenen Wirbels am Profil (Teilgebiet A) sich gegenseitig aufheben. 3UD[LVKLQZHLV Dynamischer Auftrieb setzt eine Körperumströmung mit zirkulatorischem Anteil voraus. Die praktische Entstehung der Zirkulation ist nur bei reibungsbehafteter Strömung möglich. Neben den Anströmbedingungen ist die Form des Körpers (→ Wölbung) für die Größe der Zirkulation - und damit des Auftriebs - entscheidend. Die Flügel von Vögeln sind gewölbt, so daß sie ohne Flügelschlag segeln können. Profile werden mit gut gerundeter Eintrittskante (gute Verträglichkeit variabler Anströmrichtungen) und relativ spitzer Hinterkante ausgeführt, wobei letztere eine genaue Lage des hinteren Staupunktes und damit eine definierte Zirkulation gewährleistet sowie zu geringen Verlusten im Profilnachlauf führt. Wird ein querangeströmter Kreiszylinder in Rotation versetzt, so entsteht durch Schleppwirkung der Wandschubspannungen eine überlagerte Zirkulationsströmung, die zu dem Strömungsmuster in Bild 6.23a führt. Der Zylinder erfährt eine Auftriebskraft FA, die von den Anströmbedingungen und der Zylinderdrehzahl abhängt. Diese Erscheinung wird als MagnusEffekt bezeichnet. 3UD[LVKLQZHLV Der Magnus-Effekt wirkt sich als seitliche Abweichung der Flugbahn bei Geschossen mit Drall und „geschnittenen“ Bällen aus. Flettner setzte 1924 erstmals zwei senkrecht stehende rotierende Zylinder mit Endscheiben zum Antrieb eines Schiffes durch

6.4 Tragflügel

239

Windkraft ein. Bei gegensinnig drehenden Rotoren konnte dieses Schiff auf der Stelle manövrieren. Nach den Ölkrisen entstanden verschiedene Entwürfe zur Ausnutzung des MagnusEffektes als Zusatzantrieb für Schiffe (Bild 6.23b). Optimale Auftriebswerte - die etwa um den Faktor 10 größer als beim Tragflügel sind - werden bei Verwendung von Endscheiben und einem Verhältnis u(R)/c∞ ≈ 4 erreicht.

FA u(R) R c∞ St 1

D

St 2

E

  %LOG Magnus-Effekt. D Überlagerung von Parallel- und Zirkulationsströmung beim querangeströmten Kreiszylinder. E Entwurf zur Nachrüstung eines 4500 tdw-Chemiekalientankers mit 2 rotierenden Zylindern zur Ausnutzung des Magnus-Effektes [58]

.UlIWH0RPHQWHXQGDHURG\QDPLVFKH%HLZHUWHDP7UDJIOJHO Wir untersuchen nun die Kräfte und Momente, die an einem zylindrischen Tragflügel der Spannweite b entstehen, der mit seiner Profilsehne l gegenüber der Anströmgeschwindigkeit c∞ um den positiven (geometrischen) Anstellwinkel αA angestellt ist. Wie bereits anhand von Bild 6.20b geschildert, erzeugen die Druck- und Wandschubspannungen eine resultierende Luftkraft FR, die im Druckpunkt D angreift (Bild 6.25a). FR wird zerlegt in den Auftrieb FA (normal zur Anströmrichtung) und den Widerstand FW (in Anströmrichtung). Die experimentel-

%LOG Dimensionslose Druckverteilung des Profils NACA 4418 (Bild 6.27) bei einem Anstellwinkel αA = 10 ° gemessen im Windkanal Bild 6.9. Aus der Druckverteilung berechneter Auftriebsbeiwert cA-DV = 1,42. Mit der Waage gemessener Auftriebsbeiwert: cA = 1,40

6 Stationäre Umströmung von Körpern

240

le Bestimmung der Kräfte erfolgt an einem Modell im Windkanal, dessen Mehrkomponentenwaage Auftrieb, Widerstand und Nickmoment ermittelt. Für kleine Anstellwinkel kann der zahlenmäßig sehr geringe Widerstand durch Nachlaufmessungen genauer bestimmt werden [56]. Eine Druckverteilungsmessung im Mittelschnitt des Tragflügels liefert Aufschluß über die Umströmungsverhältnisse (Bild 6.24). Auf der Oberseite herrschen betragsmäßig hohe Unterdrücke (Saugseite), die Unterseite wird von Überdrücken beaufschlagt (Druckseite). Durch Integration der Druckverteilung gemäß Gl. (6.3b) ergeben sich recht genaue Werte für den von den Wandschubspannungen kaum beeinflußten Auftrieb: Fpy ≈ FA. Die experimentell ermittelten Kräfte werden in Form dimensionsloser Beiwerte dargestellt:

cA =

FA ρ 2 c∞ A P 2

cW =

FW Widerstandsbeiwert ρ 2 c∞ A P 2

FA = cA

Auftriebsbeiwert

FR = F2A + F2W

ρ 2 c∞ A P 2

FW = cW

(6.42a,b)

ρ 2 c∞ A P 2

A P : Flügelgrundrißfläche

(6.43a,b)

(6.44)

Als Bezugsfläche wird die Flügelgrundrißfläche AP (Rechteckflügel: AP = b⋅l) definiert, da die Projektionsfläche in Strömungsrichtung bei Änderung des Anstellwinkels variiert und daher als Bezugsfläche ungeeignet ist. Beim unendlich langen Flügel mit zweidimensionaler Strömung Fn FA αA

    

FR γ

FW

 

+M 0 c∞

FW XD

FA

F*

FR

γ

γ

D F t

α l A

D

Sehne

c∞

E

D

FG = FR

%LOG D Kräfte und Momente am Tragflügel. E Verhältnisse beim Gleitflug

(keine Einflüsse der Flügelaußenränder) bezeichnen wir den Widerstand als Profilwiderstand FWP∞ des unendlich langen Flügels

FW = FWP∞

cW = cWP∞

unendlich langer Flügel

(6.45a,b)

Ein guter Tragflügel sollte bei niedrigem Widerstand FW einen möglichst hohen Auftrieb FA erzeugen. Ein Maß für die strömungstechnische Güte eines Tragflügels in einem bestimmten Betriebszustand ist die Gleitzahl ε

6.4 Tragflügel

ε=

241

FW cW = = tan γ FA cA

 für kleine Winkel: ε ≈ γ

(6.46a,b,c,d)

Bei Hochleistungstragflächen (z.B. Segelflugzeuge) ist ε < 0,01, dh. FA > 100FW. γ ist der Gleitwinkel. Im stationären Gleitflug, bei dem Gewichtskraft FG und resultierende Luftkraft FR im Gleichgewicht stehen (→ c∞ = konst.), gibt γ die Neigung der Flugbahn an (Bild 6.25b). Sein Minimalwert γmin beschreibt die flachste mögliche Gleitflugbahn. Die resultierende Luftkraft FR greift im Druckpunkt D an - der auf der Sehne l liegend angenommen wird - und erzeugt bezüglich einer Achse 0 durch den Anfangspunkt der Sehne das Nickmoment M (M > 0: kopflastig, 4 → +). Dieses Moment läßt sich durch eine fiktive Kraft F* beschreiben, die am Ende der Sehne normal zu dieser angreift: M = F*⋅l (Bild 6.25a). Die Kraft F* und das Moment M lassen sich, analog zu Gl. (6.42, 6.43), durch den dimensionslosen Nickmomentenbeiwert cM darstellen

F∗ = c M

ρ 2 c∞ A P 2

M = F∗ l = c M

ρ 2 c∞ A P l 2

cM =

M ρ 2 c∞ A P l 2

(6.47a,b,c)

Ermitteln wir aus FR deren Komponente Fn normal zur Sehne, so gilt gemäß Bild 6.20a

M = F∗ l = Fn x D

Fn = FA cos α A + FW sin α A

(6.48a,b)

und unter Verwendung von Gl. (6.42a, 6.43a), (6.47c) und (6.48b) erhalten wir

xD =

M Fn

=

cM l c l = M + cA cos α A cW sin α A cN

(6.49a,b,c)

Profile mit vom Anstellwinkel αA unabhängiger Druckpunktlage heißen „druckpunktfest“. Dies ist der Fall bei ungewölbten symmetrischen Profilen, ebenen Platten und Profilen mit S-Schlag der Skelettlinie. Bei ihnen gilt im realen ablösefreien Betrieb

xD ≈ 0,25 l

cM x ≈ 0,25 ≈ D l cA

cM ≈ cM 0 +

cA 4

(6.50a,b,c)

wobei Gl. (6.50b) aus Gl. (6.49b) als Näherung für cW αA-krit. Aufgenommen im Windkanal Bild 6.9 mit Laser-Lichtschnitt-Technik

6 Stationäre Umströmung von Körpern

244

ringere Reibungsverluste (s. auch Bild 11.7). Die Polare von Laminarprofilen weist in einem schmalen Auslegungsbereich (∆αA ≈ ± 4 °) eine sogenannte Laminardelle mit besonders geringen Widerstandsbeiwerten auf. Bei Überschreitung des Auslegungswinkelbereichs wandern die Umschlagpunkte auf den Profiloberflächen nach vorn, der Anteil der laminaren Grenzschichten geht zurück und die Widerstände steigen stärker an als bei orthodoxen Profilen (Bild 11.8b). Laminarprofile weisen eine ausgesprochene Re-Zahl-Abhängigkeit auf. Sie werden bei Hochleistungssegelflugzeugen und schnellen Motorflugzeugen eingesetzt. Der Einfluß der Mach-Zahl auf die Polare wird in Kap. 6.4.3 diskutiert 3UD[LVKLQZHLV Laminarprofile stellen extrem hohe Anforderungen an die Oberflächengüte des Profils. Außerdem reagieren sie sehr empfindlich auf kleinste Verunreinigungen und Beschädigungen der Profiloberfläche (Schmutzanlagerung, Insektenkadaver); sie verlieren dadurch ihre günstigen Eigenschaften. Die Analyse der Körperform bestimmter Fische (Forelle, Thunfisch) ergibt eine weitgehende Übereinstimmung mit technischen Laminarprofilen in ungewölbter Ausführung.

7UDJIOJHOHQGOLFKHU6SDQQZHLWH*HVDPWSRODUH Tragflügel endlicher Spannweite b werden durch das Seitenverhältnis (Streckung)

Λ=

b2 AP

Rechteckflügel: Λ =

b l

l: Sehnenlänge

(6.53a,b)

geometrisch definiert. An den seitlichen Rändern dieser Flügel treten dreidimensionale Strömungseffekte auf, die zu erheblichen Änderungen gegenüber dem rein zweidimen-sional umströmten, unendlich langen Flügel (Λ → ∞) führen. Betrachten wir anhand von Bild 6.28a die Verhältnisse an den Rändern, so erkennen wir, daß sich aufgrund der Druckdifferenz zwischen Profilunter- und -oberseite eine Umströmung der Außenkante vom unten nach oben einstellt. Diese Randumströmungen rollen sich hinter dem Tragflügel zu zwei stark ausgeprägtenWirbelz dFA

b

c∞

αi

αeff

dz c∞ l(z)

E

αi

αA

D %LOG Strömungsverhältnisse am Tragflügel endlicher Spannweite. D Randumströmung, abschwimmendes Wirbelsystem und lokaler Auftrieb dFA. E Durch Randumströmung induzierte Anstellwinkeländerung αi. Effektiver Anstellwinkel: αeff, geometrischer Anstellwinkel: αA

6.4 Tragflügel

245

zöpfen auf. Gleichzeitig bewirkt die Flügelendumströmung auf der Flügelunterseite eine Ablenkung der Stromlinien nach außen und auf der Oberseite eine Ablenkung nach innen (Sekundärströmungen). Hinter der Flügelhinterkante treffen dadurch Luftschichten mit entgegengesetzten Querbewegungen aufeinander. Dies führt zur Bildung von Hinterkantenwirbeln, die sich zu den Flügelenden hin wegdrehen und in die Randwirbel eingerollt werden. Die Wirbelzöpfe hinter einem in ruhender Atmosphäre bewegten Tragflügel enthalten erhebliche kinetische Energie, die letztlich vom Tragflügel aufgebracht werden muß. Letzterer empfindet diesen Energieentzug als einen zusätzlichen Widerstand, den wir als induzierten Widerstand FWi bezeichnen; er ist reibungsunabhängig (s. Gl. (6.21)). 3UD[LVKLQZHLV Bis zu ihrer Dissipation erreichen die Wirbelzöpfe hinter Großflugzeugen mehrere Kilometer Länge und können ein Risiko für andere Flugzeuge werden. Die Kapazität von Flughäfen wird durch notwendige Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Flugzeugen bestimmter Gewichtsklassen begrenzt (Cessna 182 hinter Boeing 747 → 11,1 km; Airbus A 320 hinter Boeing 737 → 5,6 km). Der Beiwert cWi beschreibt den induzierten Widerstand Fwi des Gesamtflügels

FWi = cWi

ρ 2 c∞ A P 2

cWi =

FWi ρ 2 c∞ A P 2

(6.54a,b)

Der Beiwert des induzierten Widerstandes läßt sich theoretisch berechnen

cWi =

c2A (1 + τC) elliptische Auftriebsverteilung: τC = 0 πΛ

(6.55)

τC berücksichtigt die Verteilung der Sehnenlänge l(z) längs der Spannweite (Flügelgrundrißgeometrie). Bei elliptischer Auftriebsverteilung (s. unten) wird τC = 0 und cWi nimmt seinen Minimalwert an. Für Rechteckflügel ist τC der Tab. 6.2 zu entnehmen. Durch die Randumströmung entsteht hinter dem mit dem geometrischen Anstellwinkel αA angestellten Flügel eine Abwindkomponente, die der Anströmgeschwindigkeit c∞ überlagert ist. Dadurch wird der Flügel in Bild 6.28b nicht mehr horizontal sondern unter dem (induzierten) Winkel αi angeströmt. Die Neigung der Sehne gegenüber der tatsächlichen Anströmrichtung αi bildet den für die Entstehung des Auftriebs maßgeblichen effektiven Anstellwinkel αeff = αA - αi. Beim unendlich langen Flügel sind der geometrische und der effektive Anstellwinkel gleich: αeff = αA. In den üblichen Tragflügelpolaren sind Daten von zylindrischen Flügeln mit unendlicher Spannweite (Λ → ∞) dargestellt (Bild 6.26; 6.33). Sie wurden aus Messungen an Flügeln endlicher Spannweite durch Umrechnung (s. Gl. (6.57), (6.58)) unter Beibehaltung des Auftriebsbeiwertes ermittelt. Soll nun ein Flügel mit endlichem Seitenverhältnis Λ einen aus einer solchen Polare (Λ → ∞) gewählten Wert cA erzeugen, so ist er im Einsatz mit dem nachstehenden geometrischen Anstellwinkel zu betreiben

  cA (1 + τα ) αA (Λ ) = αeff + πΛ

elliptische Auftriebsverteilung: τα = 0

(6.56)

dabei ist αeff der zu dem gewählten Auftriebsbeiwert in der Polare des Flügels mit unendlichem chem Seitenverhältnis gehörende geometrische Anstellwinkel. τα berücksichtigt die Flügel-

6 Stationäre Umströmung von Körpern

246

grundrißgeometrie (Tab. 6.2); bei elliptischer Auftriebsverteilung ist τα = 0. Die Gl. (6.55) und (6.56) gestatten auch die Umrechnung von Meßergebnissen eines Flügels mit dem Seitenverhältnis Λ1 auf ein anderes Seitenverhältnis Λ2, insbesondere auch Umrechnungen zwischen endlichem (Λ) und unendlichem Seitenverhältnis (Λ → ∞). Für gleichen Auftriebsbeiwert cA ändert sich beim Widerstand cW nur der induzierte Anteil und daher gilt

cW 2 ( Λ 2) = cW1 ( Λ1) +

c2A ⎛ 1 + τC2 1 + τC1 ⎞ − ⎟ ⎜ π ⎝ Λ2 Λ1 ⎠

(6.57)

Zur Realisierung des gleichen cA - Wertes bei einem anderen Seitenverhältnis ist der Flügel mit dem entsprechenden zugehörigen geometrischen Anstellwinkel zu betreiben

  c A ⎛ 1 + τ α 2 1 + τ α1 ⎞ − ⎟ ⎜ α A 2 ( Λ 2) = α A1 ( Λ1) + π ⎝ Λ2 Λ1 ⎠

(6.58)

7DEKorrekturfaktoren τC, τα für unverwundene Rechtecktragflügel [32] Λ τC τα

4 5 6 7 8 9 10 0,026 0,037 0,046 0,055 0,064 0,072 0,080 0,122 0,145 0,163 0,183 0,201 0,216 0,228

Als lokalen Auftrieb dFA eines infinitesimalen Flügelelementes erhalten wir nach Bild 6.23a bei einem Flügel beliebiger Geometrie

(

( z)l z)dz dFA = c a E

ρ 2 c∞ 2

(6.59)

Hierbei ist ca(z) der lokale Auftriebsbeiwert. Wenn die Verteilung der Größe E in Gl. (6.59) über der z-Achse die Form einer HalbelcW lipse annimmt, sprechen wir von elliptic WP c Wi scher Auftriebsverteilung. 12°

8°

cA

0,8

6°

c A² (1 + τc ) πΛ

4°

0,6 2°

0,2

18°

10°

1,0

0,4

16°

14°

1,2

αA = 0° -2°

Λ= 5 τc = 0,037

3UD[LVKLQZHLV Elliptische Auftriebsverteilung bei unverwundenem Tragflügel mit geometrisch ähnlichen Profilen wird bei elliptischer Verteilung der Sehnenlänge l(z) erreicht (Flügelgrundrißfläche ist eine Ellipse oder setzt sich aus zwei Halbellipsen mit unterschiedlichen kleinen Achsen zusammen). Bei anderen Tragflügelgrundrissen läßt sich durch ei-

-4° -6° 0,04 -8°

-0,2 -0,4

-10°

0,08

0,12

0,16

cW

0,20

%LOG Gemessene Polare eines Rechtecktragflügels endlicher Spannweite (Λ = 5)

6.4 Tragflügel

247

ne entsprechende geometrische Verwindung eine elliptische Auftriebsverteilung erzeugen. Bei elliptischer Auftriebsverteilung sind die induzierten Widerstände minimal. Wir erhalten den gesamten Widerstand eines Tragflügels endlicher Spannweite (bei Ma < 0,5) aus den ersten drei Termen der Gl. (6.21). Der entsprechende Widerstandsbeiwert lautet

cW = cWP + cWi

cW = cWP +

c2A (1 + τC) πΛ

(6.60a,b)

cWP wird als Profilwiderstandsbeiwert bezeichnet, er steht für die reibungsbedingten Widerstände (Reibungs- und Druckwiderstand FWR, FWD) des Flügels endlicher Spannweite. In Bild 6.29 ist die Polare eines Rechteckflügels endlicher Spannweite dargestellt (Λ = 5). Ebenfalls eingezeichnet ist der theoretische Verlauf des Beiwertes cWi für den induzierten Widerstand nach Gl. (6.55), dessen starkes Anwachsen bei zunehmendem Auftrieb erkennbar ist. Der geometrische Anstellwinkel αA des endlichen Flügels ist als Parameter eingetragen. Diese Darstellung gestattet eine Analyse des Tragflügelgesamtwiderstandes gemäß Gl. (6.60), beispielhaft dargestellt für αA = 10 °. 3UD[LVKLQZHLV Durch die Anordnung von Endscheiben, Winglets oder Außenlasten an den Flügelrändern wird die Randumströmung reduziert. Dies führt zur Verminderung des induzierten Widerstands und Vergrößerung des lokalen Auftriebs am Rand. Die Winglets sind so zu optimieren, daß – über das gesamte Reiseflugprofil gesehen - die Reduzierung des induzierten Widerstandes größer ausfällt als die Erhöhung des Reibungswiderstandes durch die zusätzlichen Oberflächen der Winglets. Um bei Start und Landung die Geschwindigkeiten gering zu halten, kann der Auftrieb gegenüber dem Normalflügel durch Hochauftriebshilfen erheblich vergrößert werden. Dies ist realisierbar durch ausfahrbare Vorflügel und Klappen (Bild 6.30). Der Vorflügel führt bei großem Anstellwinkel durch Düsenwirkung der Grenzschicht auf der Flügeloberseite Fluid tangential mit hoher kinetischer Energie zu. Dadurch wird im hinteren Teil der Saugseite die Ablösung vermieden, was wiederum größere Anstellwinkel und damit höheren Auftrieb gestattet. Zur weiteren Erhöhung des Auftriebs wäre eine Vergrößerung der Skelettlinienwölbung wünschenswert (s. Gl. (6.51)). Dies kann erreicht werden, wenn der hintere Teil des Flügels um einen bestimmten Winkel nach unten ausgeklappt wird (→ Wölbklappe). Dadurch entsteht eine Skelettlinie mit Knick. Durch Spalte zwischen festem Flügel und Klappe bzw. innerhalb der geteilten Klappe (→ Doppelspaltklappe, Bild 6.31) wird Luft von der Druckseite düsenartig mit hoher kinetischer Energie in die Grenzschicht auf der Klappenoberseite eingeblasen, wodurch das Ablöseverhalten günstig beeinflußt wird. Bei der Fowler-Klappe wird aus der Flügelunterseite ein Hilfsflügel nach hinten ausge-

%LOG Mit CFD-Verfahren gerechnetes Stromlinienbild eines Tragflügels mit den Hochauftriebshilfen Vorflügel und FowlerKlappe [8]

     

6 Stationäre Umströmung von Körpern

248

fahren und abgeklappt; auch hierbei wird durch Spaltströmung der Klappengrenzschicht Energie zugeführt, gleichzeitig wird die Flügelfläche vergrößert. Mit einer solchen Anordnung (Bild 6.30) läßt sich der max. Auftriebsbeiwert des Normalflügels verdoppeln (Anwendung bei Airbus A321, Boeing 747). Während im Reiseflug der Flügel das Normalprofil aufweist, werden die Hochauftriebshilfen in der Startund Landephase ausgefahren, so daß ihr zusätzlicher Widerstand (s. Bild 6.31) nur kurzfristig auftritt.

3UD[LVKLQZHLV Im Entwicklungsstadium befinden sich Flügel, bei denen die Geometrie des in Kohlefaserbauweise hergestellten hinteren Teils kontinuierlich veränderlich und somit optimal an die jeweiligen Betriebsbedingungen anpaßbar ist. Gegenüber konventionellen Klappen wird dadurch im Bereich hoher Auftriebsbeiwerte eine deutliche Widerstandsverminderung erreicht (→ adaptiver Flügel) [42].

cA

Das aerodynamische Verhalten des gesamten Flugzeugs wird durch seine Gesamtpolare beschrieben. Sie läßt sich aus der Polare des Tragflügels endlicher Spannweite aufgrund der folgenden Überlegungen ableiten: Der Auftrieb des Gesamtflugzeugs wird annähernd vollständig durch den Tragflügel erzeugt. Die übrigen Bauteile des Flugzeugs erzeugen zusätzliche Widerstände, die als „schädliche Widerstände“ cWs be zeichnet werden. Wenn also ein Punkt der Flügelpolare um den Betrag 5,6 des schädlichen Widerstandes 5,2 nach rechts verschoben wird, so β = 45° β = 30° ergibt sich der entsprechende 4,8 Vorflügel und β Doppelspaltklappe cA ² Punkt der Gesamtpolare. Den (1 + τc ) 44, β = 15° πΛ Gesamtwiderstandsbeiwert des Vollgas 4,0 Flugzeugs erhalten wir damit (mit β = 0° Propeller3,6 zu schub) 3,2 2,8 2,4 2,0 1,6 1,2

γmin β = 45° β = 30° β = 15° β = 0° Leerlauf (ohne Propellerschub)

0,8 0,4 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 c W −Ges

cW − Ges = c WP Wi + + c Tragflügel

c, Ws restlichesFlugzeug

%LOG Gesamtpolaren eines einmotorigen Propellerflugzeuges (Do 27) mit Vorflügel (permanent geöffnet) und Doppelspaltklappe. Seitenverhältnis Rechteckflügel: Λ = 7,43. Korrekturwert τC = 0,0589 (nach Tab. 6.2 linear interpoliert)

cWs = cWR + cWI

(6.61a,b)

Hierbei bezeichnet cWR den Restwiderstand (Summe aller Einzelwiderstände von Rumpf, Leitwerk, Triebwerk usw. ohne gegenseitige Beeinflussung) und cWI den Interferenzwiderstand (Änderung der Einzelwiderstände durch gegenseitige Beeinflussung; cWI kann positiv oder negativ sein). Die Bezugsfläche AP der Beiwerte des Gesamtflugzeuges wird gebildet aus der Grundrißfläche der Gesamttragfläche einschließlich der fiktiven Anteile im Rumpfbereich. Die Gesamtpolare von Propellerflugzeugen wird durch den Propellerstrahl beeinflußt, daher ist

6.4 Tragflügel

249

zwischen Vollgas- und Leerlaufpolare zu unterscheiden. Auch Strahltriebwerke können aufgrund ihrer Injektorwirkung ähnliche, aber weniger ausgeprägte Polarenbeeinflussung hervorrufen. Bild 6.31 zeigt die Polaren eines einmotorigen Propellerflugzeugs. Der minimale Gleitwinkel γmin des Gesamtflugzeuges läßt sich aus der Tan1 B gente an die Gesamtpolare ermitteln (in Bild 6.31 eingezeichnet für die Leerlaufpolare bei der Klap- cA β penstellung ß = 0). Bild 6.32 demonstriert die zu A verschiedenen Flugzuständen gehörenden Betriebsγmin punkte auf den Gesamtpolaren. 2 7 D 3 . 4 β %LOG Qualitative Gesamtpolaren eines Propellerflugzeugs. Betriebspunkte bei verschiedenen Flugzuständen. A: Vollgaspolare, Normalflügel. B: Vollgaspolare mit Hochauftriebshilfen. C: Leerlaufpolare, Normalflügel. D: Leerlaufpolare mit Hochauftriebshilfen. c: Start; d: Kurvenflug; e: schneller Steigflug; f: sparsamer Reiseflug bzw. bester Gleitflug; g: Schnellflug in großer Höhe; h: Schnellflug in geringer Höhe; i: Landung; j: Rückenflug

C

5 6

cW-Ges

8

%HLVSLHO Das Flugzeug Do 27, dessen Gesamtpolaren in Bild 6.31 dargestellt sind, fliegt in z = 5 km Höhe mit einer Reisegeschwindigkeit von c∞ = 250 km/h. Es weist eine Gesamtmasse einschließlich Nutzlast von m = 1600 kg und eine Flügelfläche von AP = 19,4 m2 auf. 6.5.1 Welcher Auftriebsbeiwert cA ist bei den vorstehenden Flugdaten erforderlich ? 6.5.2 Wie groß ist dabei der erforderliche Propellerschub FProp ? Welche Motorleistung ist erforderlich, wenn der Vortriebswirkungsgrad ηProp = 0,77 beträgt ? 6.5.3 Welche minimalen Werte der Start- und Landegeschwindigkeit sind theoretisch in Meereshöhe realisierbar ? 6.5.4 Wie lang ist die maximale theoretische Flugstrecke Lmax über Grund bei einem Gleitflug mit Leerlauf des Motors aus z = 5 km Höhe bei Windstille ? Stellung der Klappen ? /|VXQJ 6.5.1) Daten Normatmosphäre, Bild 2.15; z = 5 km: ρ ≈ 0,74 kg/m3; ρ Stationärer Flug: FA = FG Tab. 2.1: z = 0 km: ρ0 = 1,225 kg/m3 cA c2∞ A P = mg Gl. (I) 2 m 1600 kg ⋅ 9,81 2 mg s = = 0,453 cA = ρ 2 2 250 kg m ⎛ ⎞ 0,74 2 c∞ A P 19 4 , ⋅ m ⎜ ⎟ 2 2 m3 ⎝ 3,6 s ⎠ ρ 6.5.2) Stationärer Flug: FProp = FW-Ges = cW − Ges c2∞ A P 2 Bild 6.26, Vollgaspolare, Klappenstellung β = 0 °: → cW-Ges(cA ≈ 0,45) ≈ 0,064 2

FPr op = 0,064 ⋅

0,74 kg ⎛ 250 m ⎞ ⎟ ⋅ 19,4 m2 = 2215 N ⎜ 2 m3 ⎝ 3,6 s ⎠

6 Stationäre Umströmung von Körpern

250 Vortriebsleistung: P Vor = FPr op c∞ = 2215 N . P Mot =

Motorleistung:

250 m = 153,8 ⋅ 103 W 3,6 s

153,8 ⋅ 103 W P Vor = = 199,7 ⋅ 103 W 0,77 ηPr op

6.5.3) Start: Vollgaspolare, Klappenstellung β = 45 ° → cA-max-Start ≈ 5,4 c ∞−Start =

mg ρ0 A P cA − max −Start 2

=

1600 kg ⋅ 9,81

Aus Gl. (I):

m s2

1,225 kg ⋅ 19,4 m2 ⋅ 5,4 2 m3

= 15,64

m s

→ 56,3

km h

m s 6.5.4) Tangente vom Nullpunkt an die Leerlaufpolare für β = 0 ° liefert den minimalen Gleitwinkel γmin :

Landung: Leerlaufpolare, Klappenstellung β = 45 ° → cA-max-Landung≈ 2,65; c ∞− Landung = 22,33 z 5000 m ⎛ 0,62 ⎞ = = 45,16 ⋅ 103 m γ min = arctan⎜ ⎟ = 6,318 ° Lmax = ⎝ 5,6 ⎠ tan γ min tan 6,318 °

7UDJIOJHOEHLKRKHQ8QWHUVFKDOO$QVWU|P0DFK=DKOHQ Mit steigender Flug-Mach-Zahl stellen sich Kompressibilitätseffekte ein, deren Einfluß auf die Polare eines konventionellen Profils in Bild 6.33 dargestellt ist: der Widerstand steigt und der maximale Auftrieb sinkt. Wie in Bild 6.20a zu erkennen ist, nimmt die lokale Strömungsgeschwindigkeit auf der Saugseite höhere Werte als die Anströmgeschwindigkeit c∞ an. Wird die Anström-Mach-Zahl Ma∞ stetig gesteigert, so wird irgendwann im Druckminimun der Saugseite lokal Schallgeschwindigkeit (Ma = 1) erreicht, während die zugehörige Anström-Mach-Zahl, die als kritische Anström Mach-Zahl Ma∞-krit bezeichnet wird, noch kleiner als 1 ist. Ihr Zahlenwert liegt - je nach Profilgeometrie und Betriebs1,2 bedingungen - etwa im Bereich 0,6 ≤ Ma∞-krit ≤ 0,9. 0,3 NACA 4415 0,6 Wird nun die Anström-Mach-Zahl darüberhinaus Λ= ∞ erhöht, so bildet sich im saugseitigen Strömungs0,8 0,7 feld ein lokales eingegrenztes Überschallgebiet aus, das mit einem gegabelten Verdichtungsstoß 0,75 0,4

cA

Ma ∞ = 0,8

%LOG

0 0

0

0,04

0,08

0,12 c W P∞

Einfluß der Anström-Mach-Zahl Ma∞ auf die Polaren des konventionellen Profils NACA 4415 [43] 

Schallinie

Ma ∞

Ma < 1

Stoss Ma > 1

Ma < 1

%LOG Tragflügelumströmung eines konventionellen Profils bei hoher Unterschall-Anström-Mach-Zahl (Ma∞ -krit < Ma∞ < 1)

6.4 Tragflügel

251

endet, in dem wieder auf Unterschallgeschwindigkeit verzögert wird (Bild 6.34). Nach dem Überschreiten der kritischen Anström-Mach-Zahl steigen die Profilverluste merklich an, eine Folge der nun auftretenden Machschen Linien und Verdichtungsstöße, die einen zusätzlichen Wellenwiderstand FWW hervorrufen (Gl. 6.21). Gleichzeitig wird die Grenzschicht durch den Stoß beeinflußt. Sie wird dicker und neigt zur Ablösung, wodurch eine Erhöhung des Druckwiderstandes auftritt. Die Kurve für ϕ = 0 in Bild 6.35 zeigt den enormen Widerstandszuwachs eines konventionellen Profils im Bereich Ma∞ > Ma∞-krit, der als „Schallmauer“ bezeichnet wird. Eine Möglichkeit, die Verluste bei hohen Unterschall-Mach-Zahlen zu reduzieren, ist der Pfeilflügel. Für die in Bild 6.34 dargestellten gasdynamischen Effekte ist in erster Näherung nur die normal zur l/4-Linie verlaufende Komponente Ma∞-n der Anström-Mach-Zahl Ma∞ maßgeblich. Beim Vergleich eines geraden (ϕ = 0) und eines unter dem Winkel ϕ gepfeilten Flügels stellen wir fest: Bei geometrisch ähnlicher Profilform werden beide kritisch, wenn die Mach-ZahlKomponente Ma∞-n senkrecht zur l/4-Linie den in beiden Fällen gleichen kritischen Wert Ma∞-nkrit annimmt (Bild 6.36). Im Falle des geraden Flügels ist dies die Flug-Mach-Zahl Ma∞-krit = Ma∞-n-krit.. Der gepfeilte Flügel wird erst kritisch, wenn die Normalkomponente Ma∞-n den kritischen Wert erreicht, dies tritt jedoch erst bei der zugehörigen höheren Flugmachzahl

Ma ∞− krit =

Ma ∞− n − krit cos ϕ

(6.62)

ein. Auch für Werte Ma∞ > Ma∞-krit weist der gepfeilte Flügel deutlich geringere Widerstandswerte auf (Bild 6.35). Die vorstehende Gleichung trifft streng nur beim unendlich langen geraden, unter dem Winkel ϕ schiebenden Flügel zu. Beim tatsächlichen, zur Längsachse symmetrischen Gesamtpfeilflügel (Bild 6.35) variiert der Verlauf der Normalkomponenten längs der Spannweite, so daß die Erhöhung der kritischen Flug-Mach-Zahl bis zum erstmaligen Auftreten von Schallgeschwindigkeit auf der Kontur nur etwa halb so groß ausfällt wie in Gl. (6.62) beschrieben. Im hohen Unterschallbereich sind außer dem Tragflügel auch Leitwerke, Triebwerksaufhängungen usw. zu pfeilen. 0,10

Ma ∞ = Ma ∞-n ϕ

ϕ = 0°

Ma ∞

l 4

cW

0,08

ϕ = 0°

0,06

ϕ

ϕ

l 4

Λ=4

Ma ∞-n

l

0,04

ϕ = 45°

l

0,02 0 0,6

Ma ∞ −krit 0,7

0,8

0,9

1,0

Ma ∞

1,1

1,2

%LOG Mach-Zahl abhängiger Widerstandsbeiwert bei geraden (ϕ = 0) und gepfeilten Flügeln mit gleichem Profil [8]

%LOG Definition der Anström-Mach-Zahlen am geraden (ϕ = 0) und am geraden, unter dem Winkel ϕ schiebenden Flügel

6 Stationäre Umströmung von Körpern

252

Zusätzlich zur Pfeilform des Flügels werden seit einiger Zeit auch superkritische Tragflügelprofile eingesetzt. Sie haben eine aus theoretischen Überlegungen vorausberechnete Form mit vergrößertem Nasenradius, relativ flacher Saugseite und weisen im hinteren Teil der Druckseite eine starke Krümmung zur Auftriebserzeugung auf. Dadurch gelingt es, die Mach-Zahlen im lokalen Überschallgebiet auf der Saugseite geringer zu halten und eine stetige Verzögerung auf Unterschall durch Machsche-Wellen und gegebenenfalls durch einen schwachen Verdichtungsstoß zu realisieren, im Gegensatz zu dem starken Stoß bei einem konventionellen Profil. Die Stoß-Grenzschicht-Interferenz fehlt oder ist gering, außerdem liegt der Abschluß des Überschallgebietes näher an der Hinterkante, so daß eine mögliche Ablösung geringere Auswirkungen hat. Dies führt zu einer merklichen Verminderung des Widerstandes bei hohen Unterschall-Flug-Mach-Zahlen. Bild 6.37 zeigt den Vergleich der Strömungsfelder und der dimensionslosen Profildruckverteilungen eines konventionellen und eines superkritischen Profils.

3UD[LVKLQZHLV Superkritische Profilkonturen müssen sehr maßgenau gefertigt werden und dürfen im Betrieb keine Veränderungen erfahren (z. B. durch Eisansatz), da sonst die gewünschten Effekte nicht realisiert werden können. Superkritische Profile werden heute in Verkehrs-, Transport- Business- und militärtischen Flugzeugen im transsonischen Bereich eingesetzt (z. B. Airbus A 310, Boeing 757, 767). Bei Überschallanströmung (Ma∞ > 1) treten die in Kap. 5.2.3.4 und den Bildern 5.11 und 5.12 beschriebenen Stoßsysteme in Form von Kopf- und Heckwellen auf. Es sind grundsätzlich andere Profilformen mit geringen relativen Dicken dmax/l und Wölbungen f/l sowie schlanker keilförmiger Geometrie im vorderen Bereich (Nasenradius rN/l → 0) einzusetzen, die allerdings im Unterschallbereich ungünstige aerodynamische Eigenschaften aufweisen. cp

cp

-1

-1

Verdichtungsstoß

Saugseite Druckseite 0

x l

0

cp = +1

0

1,0 p( x ) − p ∞ ρ c ∞² 2

x l

0

cp = +1

Verdichtungsstoß Ma < 1 Ma ∞ p∞

D

Ma >1

Ma < 1

x l

1,0 p( x ) − p ∞ ρ c ∞² 2 Mach-Wellen

Ma < 1 Ma ∞ p∞

E

Ma > 1

Ma < 1

%LOG Strömungsfeld und bezogene Profildruckverteilung an Tragflügeln mit hoher Unterschallanström-Mach-Zahl (Ma∞-krit < Ma∞ < 1). D Konventionelles Profil mit starkem Verdichtungsstoß auf der Saugseite. E Superkritisches Profil mit stetiger Verzögerung

)UHLVWUDKOHQ 1LHGHUGUXFN)UHLVWUDKOHQ F d  PV  Wir beobachten den Austritt eines Fluids aus einer Öffnung runder, rechteckiger oder spaltförmiger Geometrie in eine Umgebung, in der ein ruhendes Fluid gleicher Art und Temperatur vorhanden ist. Es bildet sich ein isothermer Freistrahl aus, dessen bewegtes Fluid durch eine freie Strahlgrenze (Trennungsschicht) vom ruhenden Fluid abgegrenzt wird. Es liegt eine Grenzschichtströmung ohne feste Begrenzung vor. An der Austrittsöffnung laminare Freistrahlen mit Re = c0Dh/ν < 1500 erreichen ohne wesentliche Sekundärfluid

y

h

A0

c0 c max ( x )

D h

x c (x,y)

b

c max ( x )

ϑ

b

c (x,y)

Kern Mischx 0 zone

D E freie Strahlgrenze  %LOG Ausbreitung eines isothermen Freistrahls. D Mögliche Geometrie der Austrittsöffnung: Rechteck, Kreis, Schlitz. Austrittsfläche: A0. E Entwicklung des Freistrahls Vermischung eine bis zu dreifach größere Eindringtiefe in das Umgebungsfluid als turbulente Strahlen. Für Re > 8500 ÷ 10000 an der Austrittsöffnung wird der Strahl nach kurzer laminarer Anlaufstrecke turbulent. Für diesen Fall des turbulenten Freistrahls gehen wir von dem in Bild 7.1 dargestellten Strömungsmodell aus, bei dem das Fluid mit der Geschwindigkeit c0 als Kolbenströmung aus der Öffnung heraustritt. Durch Reibungswirkung wird Sekundärfluid aus der Umgebung mitgerissen. Dadurch wächst der im Strahl transportierte Massenstrom an, während sich das Geschwindigkeitsprofil ausbreitet und zunächst an den Rändern abflacht. Es bildet sich ein kegelförmiger Strahlkern aus, in dem die Geschwindigkeit c0 vorliegt. Außerhalb des Kerns entsteht eine Mischzone. Der Kern nimmt beim runden Freistrahl eine Länge von x0 =

D m

(7.1)

an, wobei m als Mischzahl bezeichnet wird (Tab. 7.1). Die Länge x0 des Kerns- und damit die Mischzahl m – hängt vom Turbulenzgrad des Strahls ab. Strahlen mit niedriger Turbulenz (möglichst abgerundete Einlauföffnungen ohne Einbauten; → Zahlenwerte gemäß Tab. 7.1)

7 Freistrahlen

254

weisen eine längere Kernzone auf. Zu Einlauföffnungen mit zusätzlichen Einbauten zur Fluidverteilung gehören Mischzahlen von m ≈ 0,2 ÷ 0,5 Wir beschränken unsere weiteren Überlegungen zunächst auf den runden Freistrahl, ergänzende Gleichungen für andere Öffnungsgeometrien sind Tab. 7.1 zu entnehmen. Für Lauflängen x > x0 nimmt die Maximalgeschwindigkeit cmax in Strahlmitte ab: D c max ( x) x 0 = = x mx c0

x > x0

(7.2a,b)

Somit läßt sich die Wurfweite xmax eines Strahls abschätzen, in dem noch eine gewählte Strahlmittengeschwindigkeit cmax-gewählt vorhanden sein soll

x max =

D m c max − gewä hlt c0

(7.3)

Bei Luftstrahlen wählt man z. B. cmax-gewählt ≈ 0,5 m/s, weil dann die mittlere Strahlgeschwindigkeit cm ≈ 1/3cmax als Grenze zu Zugerscheinungen in Lüftungsanlagen gerade noch realisierbar ist. Die Geschwindigkeitsprofile stromabwärts vom Kern sind affin und haben die Form der Gaußschen Fehlerfunktion

c( x , y ) c max

= e −2(y /( mx ) )

2

x > x0

(7.4)

Der im Strahlquerschnitt A(x) vorhandene Impulsstrom I x hat in jeder Entfernung x den gleichen Wert

I x = ρ c20 A 0 = ρ ∫ c( x, y)2dA

(7.5)

( A ( x ))

Den im Strahl transportierten – durch mitgerissene Sekundärluft zunehmenden - Volumenstrom  ( x) erhalten wir, bezogen auf den Austrittsvolumenstrom V  0 , zu V

x x x V =2 = 2m  D x0 V0

(7.6)

Ist die Austrittsöffnung nicht kreisförmig, so sind die in Tab. 7.1 zusammengestellten Beziehungen anzuwenden. Bei rechteckigen Auslässen ist das Geschwindigkeitsprofil c(x,y) ähnlich dem bei runden Auslässen, so daß in einiger Entfernung vom Austritt Gl. (7.4) ebenfalls anwendbar ist. Die Gleichungen des isothermen Freistrahls sind für horizontale und vertikale Freistrahlen anwendbar. Weist das Strahlfluid eine andere Temperatur als das Fluid der Umgebung auf, so überlagern sich Auftriebseffekte, wir sprechen dann von einem nichtisothermen Freistrahl [30]. 3UD[LVKLQZHLV Vergleichen wir die Wurfweiten xmax eines runden und eines rechteckigen Freistrahls bei gleichem c0, cmax-gewählt und gleicher Austrittsfläche A0, so gilt, wegen 4 D x max − rund D = 4 A0 / π : ≈ = = 1128 , mit mrund ≈ meckig π x max − eckig A0

7 Freistrahlen

255

Vergleichen wir dagegen das Anwachsen des Strahlvolumenstroms durch mitgerissenes Se ( x) / V  0 ) bei rundem und rechteckigem Strahl im gleikundärfluid (Induktionsverhältnis V chen Abstand x und bei gleicher Austrittsfläche A0, so erhalten wir  ( x) / V 0 V π A0 rund mit mrund ≈ meckig ≈ = = 0,8862  ( x) / V D 4 0 V eckig

( (

) )

7DE Berechnungsansätze für isotherme Freistrahlen [30] Geometrie der Auslaßöffnung

Runder Freistrahl Durchmesser D

Ebener Freistrahl Breite b x Höhe h mit b >> h (Schlitz)

Mischzahl m

0,14 ÷ 0,17

Kernlänge x0 Mittengeschwindigk. cmax(x)/c0

D/m

0,2 ÷ 0,25 für b/h ≈ 20 ÷ 25 h/m

Wurfweite xmax(cmax-gewählt)

D x0 = x mx D m c max − gewä hlt c0

Ausbreitungswinkel ϑ ≈ 24 ° Transportierter Volux x 2 = 2m menstrom D x0 V( x ) / V 0

x0 = x

≈ 33 ° 2x x0

h/m

h mx

⎞ h⎛ c0 ⎟ ⎜ ⎜ m ⎝ c max− gewä hlt⎟⎠

Rechteckiger Freistrahl Breite b x Höhe h gültig für x/h ≥ (1/m)⋅(b/h) 0,17 ÷ 0,20

b 1 = bh h mx

x0 x 2

c0 bh c max− gewä hlt m ≈ 24 °

=

2 mx h

2

x x0

1 h = 2 mx b bh

+RFKGUXFN)UHLVWUDKOHQ Bei Gasstrahlen aus kritisch oder überkritisch durchströmten Düsen treten die in Kap. 5.2.4.1 (Bilder 5.16; 5.18) beschriebenen Phänomene auf [44]. Bei Triebwerksaustritten liegen nichtisotherme Freistrahlen vor; allerdings sind hierbei die Auftriebskräfte gegenüber den Trägheitskräften vernachlässigbar. Hochdruck-Wasserstrahlen (c0 ≤ 1000 m/s) werden zum Schneiden fester Materialien eingesetzt.

$XVJHZlKOWH%HLVSLHOHLQVWDWLRQlUHU 6WU|PXQJHQ (QHUJLHVDW]GHULQVWDWLRQlUHQ)DGHQVWU|PXQJYRQ )OVVLJNHLWHQ Das am Massenelement dm in Bild 3.12 wirkende dynamische Kräftegleichgewicht in Strömungsrichtung s wird durch die Bewegungsgleichung (3.22) beschrieben. Multiplizieren wir diese Gleichung mit dem Verschiebeweg ds, so erhalten wir die Energiegleichung in differentieller Form

∂c ∂c 1 ∂p ∂z ds + c ds = − ds − g ds + dj ∂t ∂s ρ ∂s ∂s

(8.1)

dabei ist die Wirkung der Schubkräfte (Term ν ∂2 c / ∂n2 in Gl. (3.22)) formal durch die spezifische Dissipationsenergie dj ersetzt worden, so daß Gl. (8.1) bei Verwendung eines geeigneten Verlustansatzes auch für turbulente Fadenströmung gültig ist. Die Anwendung von Gl. (8.1) auf den gesamten Kontrollraum in Bild 3.12 liefert s2 ∂c

∫

s1 ∂t

c2

ds + ∫ cdc + c1

z2 s2 1 p2 ∫ dp + g ∫ dz = ∫ dj ρ p1 z1 s1

Die Integration ergibt - analog zu Gl. (3.34) - die auf die Masse bezogene Energiegleichung der instationären Fadenströmung von Flüssigkeiten p1 +

ρ 2 ρ c1 + ρgz1 = p 2 + c 22 + ρgz 2 + ρj12 + 2 2

s 2 ∂c

ρ∫

ds s1 ∂t



(8.2)

Beschleunigungsglied

Im Beschleunigungsglied - das den Unterschied zum stationären Energiesatz darstellt - läßt sich die lokale Geschwindigkeit c(t,s) mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung durch den nur ortsabhän ( t ) ersetzen gigen Querschnitt A(s) und den nur zeitabhängigen Volumenstrom V

 ( t ) / A (s ) c( t , s) = V

(8.3)

Damit ergibt sich für das Beschleunigungsglied die Darstellung

 (t ) ⎞  s2 ds ∂ ⎛V dV ⎜ ⎟ ds = ρ ∫ dt s1 A (s) s1 ∂t ⎝ A (s) ⎠

s2

ρ∫

(8.4)

8.1 Energiesatz der instationären Fadenströmung von Flüssigkeiten

257

Die Dissipationsenergie j12 läßt sich bei kanalartigen Stromfäden nach den Gesetzen der Rohrhydraulik (Gl. (4.65)) beschreiben

⎛ s2 λ m ζj ⎞ ρ ds ⎟ V 2 ρj12 = ⎜⎜ ∫ + ∑ 2 2⎟ ⎝ s1 D h (s) A (s) j=1 A j ⎠ 2

(8.5)

 2 /Ai2 ), so läßt sich Gl. (8.2) in Ersetzen wir noch die Terme ρ/2⋅ci2 in Gl. (8.2) durch ρ/2⋅( V die nachstehende Form überführen

⎡ρ ⎛ 1  m ζj ⎞⎤ ⎛ s2 ds ⎞ dV ds 1 s2 λ ⎟⎥ V ⎢ ⎜  2 + ⎜⎜ ρ ∫ ⎟⎟ = p1 − p2 + ρg(z1 − z2 ) (8.6) − + + ∑ ∫ 2 2 2 2 ⎜ ⎟  ⎢ 2 ⎝ A 2 A1 s1 D h (s) A (s) j=1 A j ⎠ ⎥ ⎝ s1 A (s) ⎠ dt

⎣ ⎦ D  C

B

 2+C BV

 dV =D dt

d 2 V D B ⎛ dV ⎞ = − ⎜ ⎟ C C ⎝ dt ⎠ dt 2

2

(8.7a,b)

Die Gl. (8.7a,b) gestatten die Berechnung der instationären Fadenströmung. Technische Anwendungen sind die Entleerung von Behältern und Vorgänge in einsträngigen Leitungssyste = D / B . Gl.  / dt = 0 das Ergebnis V men. Die stationäre Lösung der Gl. (8.7a) liefert für dV (8.7) ist eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung, deren Koeffizienten B, C und D auch indirekt von der Zeit abhängen können. Zusammen mit den Anfangsbedingungen V(t = 0)  (t = 0) = V  0 stellt sie ein Anfangswertproblem dar, das im allgemeinen Fall nur = V0 und V numerisch gelöst werden kann. Dazu bieten sich weiterentwickelte Runge-Kutta-Verfahren an. Zur numerischen Lösung wird die Differentialgleichung 2. Ordnung (Gl. (8.7b) durch die Substitutionen

y1 = V

y2 =

dy1 dt

 =V

(8.8a,b)

in ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung überführt

dy1 dt

= y2

dy2 dt

=

D B 2 − y C C 2

(8.9a,b)

Zusammen mit den Anfangsbedingungen

y1 (t = 0) = V(t = 0) = V0

 ( t = 0) = V 0 y2 ( t = 0) = V

(8.10a,b)

liefert ein Rechenprogramm, das eine geeignete Runge-Kutta-Software (z. B. [11], [63]) ent (t). hält, die Lösungsfunktionen y1(t) = V(t) und y2(t) = V 3UD[LVKLQZHLV Bei der in Kap. 8.1 vorgestellten Theorie verhalten sich die Flüssigkeiten wie starre Körper; Rohr- und Behälterwandungen sind starr angenommen. Bei großen Gradienten dV /dt in Gl. (8.6) (hervorgerufen z. B. durch kurze Ventilbetätigungszeiten) ist dagegen die auch bei Flüssigkeiten und Wandungen vorhandene Elastizität zu berücksichtigen. Instationäre Druck- und Geschwindigkeitsänderungen breiten sich im letzteren Fall in Wellenform mit Schallgeschwindigkeit aus. Dann sind andere Lösungsverfahren anzuwenden (s. Kap. 8.2).

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

258

%HLVSLHO Der in Bild 8.1 oben dargestellte flüssigkeitsgefüllte zylindrische Windkessel kann über den Schieber S1 und die angeschlossene Rohrleitung entleert werden. Bei geschlossenem Schieber S1 ist die Rohrleitung d → d// luftgefüllt. Leitung, Fluid und Behälter seien vollkommen starr. 8.1.1 Der Gasraum oberhalb des Flüssigkeitsspiegels wird über den Schieber S2 belüftet, so daß während des gesamten Entleerungsvorganges der Druck p1(t) = p0 = 1 bar beträgt. Zur Zeit t = 0 wird der Schieber S1 schlagartig voll geöffnet. Welche zeitlichen Verläufe ergeben sich für den Volumenstrom V und das Volumen V in der Ebene d hinter dem Schieber S1 ? Nach welcher Zeit t2 erreicht die Flüssigkeit - bei Annahme eines Kolbenprofils - erstmals das Rohrende ? Welche Zeit tE vergeht bis zur Entleerung des Behälters auf das Niveau z1E ? 8.1.2 Welche zeitlichen Verläufe stellen sich ein, wenn - bei sonst gleichen Bedingungen wie in 8.1.1 der Luftraum über dem Wasserspiegel auf den Druck p1(t = 0) = 6 bar aufgepumpt und dann über den Schieber S2 abgesperrt wird ? 8.1.3 Bei sonst gleichen Bedingungen wie unter 8.1.2 wird nun im Schieber S1 zur Zeit t = 0 nur 1/3 des gesamten Drosselquerschnittes geöffnet. Die Verlustzahl beträgt dann ζ/S1 = 2,5. Wie ändern sich  ( t ) und V(t) ? die zeitlichen Verläufe von V 8.1.4 Anhand des Beispiels 8.1.2 soll demonstriert werden, welche Fehler bei Vernachlässigung des Beschleunigungsgliedes in Gl. (8.2) auftreten (quasistationäre Lösung). 8.1.5 Für das Beispiel 8.1.1 ist eine vereinfachte, quasistationäre, geschlossene Lösung für die Ausflußzeit t bis zu einer vorgegebenen Spiegelhöhe z1(t) abzuleiten (der Schieber S1 befinde sich jetzt am Ende der bei t = 0 bereits mit Wasser gefüllten Rohrleitung). /|VXQJ8.1.1) Unter Verwendung einer geeigneten Runge-Kutta-Software (z. B. Runge-Kutta-Butcher, [11]) ist das durch Gl. (8.9), (8.10) beschriebene Anfangswertproblem in einem Rechenprogramm zu lösen. Es besteht aus einem System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung (Gl. (8.9a,b)) und den Anfangsbedingungen y1(t = 0) = 0 und y2(t = 0) = 0 (Gl. (8.10a,b)). Die zeitabhängigen Koeffizienten B, C und D in Gl. (8.9b) beschreiben das vorliegende System. Im Rechenprogramm wird das Differentialgleichungssystem in sukzessiv aufeinanderfolgenden kleinen Zeitschritten ∆t gelöst. Für jeden Zeitschritt sind die passenden Koeffizienten zu bestimmen. Im ersten Zeitschritt 0 < t ≤ ∆t gilt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ρ⎜ 1 λ L0 ζ E + ζS1 ⎟ λ / ( z1 ( t = 0) − z1E ) B(0) = − + + + 2 ⎜ A 22 A12 D h1 A12 D2 A 22 A 22 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G1 G2 dabei stellt λ/ die Rohrreibungszahl im Behälter dar. Wenn A1 >> A2 ist, dann können die Terme G1 und G2 vernachlässigt werden. Für die übrigen Koeffizienten erhalten wir ⎛ z ( t = 0) − z1E L0 + LS1 / 2 ⎞ C(0) = ρ⎜ 1 + ⎟ ⎝ ⎠ A1 A2

D(0) = ρg( z1 ( t = 0) − z2)

da p1(t) = p0; p2 = p0

Nach Beginn des Ausflußvorganges schiebt sich der Wasserfaden als Kolbenprofil durch die Rohrleitung. Gleichzeitig sinkt die Ebene c der Flüssigkeitsoberfläche entsprechend dem ausgeströmten Volumen ab (→ c/; → c///). Hierbei ist die Geometrie (Flächenverlauf) des Behälters zu beachten. Der Anfang der Stromfadenkoordinate sB im Behälter verschiebt sich mit dem Flüssigkeitsspiegel nach unten. Die Stromfadenkoordinate sR im Rohr wächst( → d/; → d//). Zur Zeit t = t2 erreicht der Wasserfaden die Austrittsebene d//. Für die Zeit ∆t < t = t1 < t2 (Rohrleitung ist noch nicht vollständig flüssigkeitsgefüllt) ergeben sich die Koeffizienten zu ρ⎛ 1 1 λ / ( z1 ( t1) − z1E ) λ ( L0 + Lt 1) ζ E + ζS1 ⎞ ⎟⎟ − − + + B( t1) = ⎜⎜ 2 2 ⎝ A 2 A12 D2 D h1 A12 A 22 A 22 ⎠

8.1 Energiesatz der instationären Fadenströmung von Flüssigkeiten VGas −0 p1( t )

S2

κ A1

sB

1 1

’’’

259

1

1 t =0 1 ’t = t1 ’’’t > t 2

p0 = 1 bar

L

V(t) ;V(t)

z2

∅D 2

z1E

z1( t1) z1( t )

z1( t = 0)

sB

 L t1 L0 LS1 kg ’’ ’ ρ = 999,5  2 2 t = t1 2 t ≥ t2 t 0 = m³  ζE A2   λ  S1 ζS1 2 2’ 2 ’’  s R      0,008 m³/s  2b m³ 4b  3b 0,007   2a 0,006    0,005  4a  0,004  V(t)  3a 1b  0,003   5b 0,002  V(t)   0,001  1a  0  0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 s t    %LOG Instationärer Ausfluß aus einem zylindrischen flüssigkeitsgefüllten Behälter mit Rohrleitung. 2EHQ Daten der Anlage. z1(t=0) - z2 = 1,0 m; z1E - z2 = 0,01 m; A1 = 7,854⋅10-3 m2; D2 = 0,02 m; L = 2 m; L0 = 0,02 m; LS1 = 0,03 m; λ = 0,017 = konst.; ζE = 0,5; ζS1 = 0,22 (voll geöffnet); Vgas-0 = 3,1416⋅10-3 m3; κ = 1,4. 8QWHQErgebnisse der numerischen Rechnungen. Kurven 1a,b: Beispiel 8.1.1 (S1 und S2 voll geöffnet). Kurven 2,a,b: Beispiel 8.1.2 (S2 geschlossen, S1 voll geöffnet, Windkesselanfangsdruck p1(t=0) = 6 bar). Kurven 3a,b: Beispiel 8.1.3 (wie Beispiel 8.1.2, jedoch S1 nur 1/3 geöffnet). Kurven 4,a,b: Beispiel 8.1.4 (wie Beispiel 8.1.2, jedoch quasistationäre Lösung). Kurve 5b: Beispiel 8.1.5 (geschlossene quasistationäre Näherungslösung)

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

260 ⎛ z ( t ) − z1E L0 + LS1 + L t1 ⎞ C( t1) = ρ⎜ 1 1 + ⎟ ⎝ ⎠ A1 A2

D( t1) = ρg( z1 ( t1) − z2)

Für Zeiten t2 < t ≤ tE ist das gesamte Rohr flüssigkeitsgefüllt, die Koeffizienten lauten dann B( t ) =

ρ⎛ 1 1 λ / ( z1 ( t ) − z1E ) λ ( L − LS1) ζ E + ζS1 ⎞ + + ⎜ 2− 2+ ⎟ 2 ⎝ A 2 A1 D 2 A 22 A 22 ⎠ D h1A 12

⎛ z ( t ) − z1E L⎞ C( t ) = ρ⎜ 1 + D( t ) = ρg( z1 ( t ) − z2) ⎟ ⎝ A1 A2 ⎠ Das numerische Ergebnis der Berechnung mit einem Runge-Kutta-Butcher-Verfahren [11] ist in Bild  ( t ) , der nach t ≈ 0,1 s sein Maximum 8.1b dargestellt. Kurve 1a zeigt den Verlauf des Volumenstroms V erreicht und dann stetig abfällt. Für t2 = 0,712 s gelangt die Flüssigkeit zum Rohrende und nach t3 = 17,03 s ist der Behälter bis auf das Niveau z1E entleert (im Diagramm sind Zeiten t > 4 s nicht mehr dargestellt). Kurve 1b zeigt das durchgeströmte Volumen V(t) auf, das stetig ansteigt. 8.1.2) Gegenüber Beispiel 8.1.1 wirkt jetzt ein zeitabhängiger Druck p1 (t) auf der Behälterspiegeloberfläche. Bei relativ schneller Entleerung (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung) durchläuft das Gaspolster eine isentrope Zustandsänderung. Gemäß Gl. (1.12b) und (1.1a) gilt ⎛ VGas− 0 ⎞ p1 ( t ) = p1 ( t = 0) ⎜ ⎟ ⎝ VGas− 0+ V( t ) ⎠

κ

und damit

(8.11)

κ

⎛ VGas−0 ⎞ D( t ) = p1 ( t = 0) ⎜ ⎟ − p0 + ρg( z1 ( t ) − z2) ⎝ VGas−0 + V( t ) ⎠  ( t ) bzw. V(t) bei Windkesselbetrieb. Die Kurven 2a,b in Bild 8.1b repräsentieren das Verhalten von V Der Volumenstrom erreicht unmittelbar nach Beginn sein Maximum um dann - wegen des sinkenden Druckes p1 - rasch abzufallen. Die Rohrfüllzeit beträgt t2 = 0,101 s und nach tE = 2,862 s ist der Behälter geleert. 8.1.3) Der jetzt angedrosselte Schieber S1 beeinflußt sowohl die Verluste (→ dazu ist ζ/S1 = 2,5 in Koeffizient B einzusetzen) als auch die lokale Beschleunigung im Bereich des Schiebers. Letzteres soll durch ein einfaches Modell simuliert werden. Wir gehen davon aus, daß in einer Armatur (Schieber,Ventil, Hahn, Klappe) eine Einschnürung des Stromfadens vom Rohrquerschnitt AR auf den Drosselquerschnitt Stromfaden

AR

D 1 A

 %LOG Simulation des Stromfadenquerschnitt-Verlaufs in einer Drosselstelle. D Stromfadenquerschnitt-Verlauf in einem angedrosselten Schieber. E Approximation des reziproken Flächenverlaufs 1/A durch zwei Parabeläste. Annahme: Gesamtlauflänge 5 Rohrdurchmesser (nD = 5)

D

Totwasser

1 AD

AD

CD = ρ

sA sE

1 AR

ds

∫ A(s ) nD = 5

s

E

0 sE

1

2

3

4

5D sA

AD eintritt. Anschließend erfolgt Mischung und Ausgleich des strahlartigen Stromfadens mit dem Totwasser verbunden mit Wiedererweiterung des Stromfadenquerschnittes auf AR (Bild 8.2a). Dieser Gesamtvorgang benötige eine Lauflänge von nD⋅D, wobei D den Rohrdurchmesser darstellt. Weiterhin neh-

8.1 Energiesatz der instationären Fadenströmung von Flüssigkeiten

261

men wir an, daß der reziproke Flächenverlauf 1/A(s) des eingeschnürten Stromfadens durch zwei Parabeln approximiert werden kann (Bild 8.2b). Dann ergibt sich der Koeffizient C im Einflußbereich der Armatur (Drosselstelle): sA ds ⎞⎤ n D ⎡ 1⎛ A (8.12) ≈ ρ D ⎢1 + ⎜ R − 1⎟ ⎥ CD = ρ ∫ A R ⎢⎣ 3 ⎝ A D ⎠ ⎥⎦ s E A ( s) Für das vorliegende Gesamtsystem im Beispiel 8.1.3 erhalten wir für t > t2 ⎧⎪ z ( t ) − z1E L − n D D n D D ⎡ 1 ⎛ A R ⎞ ⎤ ⎫⎪ C( t ) = ρ⎨ 1 + + − 1⎟ ⎥ ⎬ AR = A2 ⎢1 + ⎜ A 2 ⎢⎣ 3 ⎝ A D ⎠ ⎥⎦ ⎭⎪ A1 A2 ⎩⎪ Für Zeiten t < t2 sind die in Beispiel 8.1.1 angegebenen Gleichungen um den die Einschnürungsvorgänge in der Armatur beschreibenden Term (Gl. (8.12)) zu ergänzen. Kurve 3a in Bild 8.1b zeigt den aufgrund der Vorgänge im angedrosselten Schieber S1 verzögerten Anstieg des Volumenstroms, der auch im Maximum (nach t = 0,120 s) deutlich geringere Werte als im ungedrosselten Fall aufweist. Rohrfüllzeit t2 = 0,178 s; Entleerungszeit tE = 3,752 s. Die Volumenkurve weist im Bereich des Volumenstrommaximums einen Wendepunkt auf. 8.1.4) Zur quasistationären Lösung wird die lokale Beschleunigung der Flüssigkeit im Behälter und im Rohr vernachlässigt. Dann kann in Gl. (8.7a) dV / dt = 0 gesetzt werden, und wir erhalten für das Volumen eine Differentialgleichung erster Ordnung mit ihrer Anfangsbedingung

dV  D (8.13a,b) =V= y1 ( t = 0) = V( t = 0) = 0 dt B Die Koeffizienten B und D sind gemäß Beispiel 8.1.1 bzw. 8.1.2 berechenbar, während der Volumen ( t ) mit Gl. (8.13a) direkt bestimmbar ist. Kurve 4a in Bild 8.1b gibt den Volumenstromverlauf strom V wieder. Bei der Rohrfüllzeit t2 = 0,106 s weist die Kurve einen Knick auf, da ab dort die volumenstromvermindernde Reibungszunahme durch Verlängerung der benetzten Rohrlänge beendet ist. Die Entleerungszeit beträgt tE = 2,974 s 8.1.5) Vereinfachungen:A12 = konst. >> A22 = Konst.; keine Reibung im Behälter. Unter Beachtung von p1 y1 =

= p2 = po und dV / dt = 0 (quasistionär) nimmt Gl. (8.6) die nachstehende Form an 2

⎞ ⎛ dV ⎞ L ρ ⎛ ⎜1 + λ + Σς ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ρg (z1 ( t ) − z2) 2⎜ D2 2A 2 ⎝ ⎠ ⎝ dt ⎠

− A1 t

2g (z1 ( t ) − z 2) dz = A2 1 + λL / D2 + Σς dt

∫ dt = t = −

t =0

mit dV= - A1dz ergibt sich daraus

Separation der Variablen und anschließende Integration:

(t) 1 A1 1 + λL / D2 + Σς z1 ⋅ ∫ (z1( t ) − z 2 )− 2 dz 2g A2 z1( t = 0)

(

)

A1 2(1 + λL / D2 + Σς ⋅ z1 ( t = 0) − z 2 − z1 ( t ) − z 2 (8.13c) g A2 Das ausgeströmte Volumen wird durch V(t) = A1[z1(t = 0) – z1(t)] ermittelt und ist als Kurve 5b in Bild 8.1 dargestellt. Die Entleerungszeit bis auf die Spiegelhöhe z1E beträgt t = 18,786 s. Mit λ = Σζ = 0 liefert Gl. (8.13c) die reibungsfreie Lösung. t=

3UD[LVKLQZHLVIm vorliegenden Beispiel sind die Unterschiede zwischen instationärer (Beispiel 8.1.1 bzw. 8.1.2) und quasistationärer Lösung (8.1.5 bzw. 8.14) nur gering. Wir betrachten nun vereinfacht eine horizontale starre Rohrleitung der Länge L, die von einer vollkommen inkompressiblen Flüssigkeit stationär und reibungsfrei mit der Geschwindigkeit cα durchströmt wird. Die Leitung wird an ihrem Anfang aus einem großen Behälter mit dem

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

262

Druck p1 gespeist, an ihrem Ende befindet sich ein voll geöffnetes Ventil. Das Ventil werde nun in der Zeit tSchließ relativ langsam geschlossen, wobei der Volumenstrom linear auf V = 0 abnehmen möge. Die im Rohr strömende Fluidmasse wird abgebremst, ihre kinetische Energie wird in einen Druckanstieg umgewandelt. Den Anstieg des Druckes p2 vor dem Ventil erhalten wir aus Gl. (8.6) näherungsweise, indem wir B = 0 und z1 = z2 setzen. Außerdem gilt bei linearer  = Ac : dV  / dt =Adc/dt = -Ac /tSchließ . Somit liefert Gl. (8.6) Volumenstromabnahme wegen V α den stoßartigen Druckanstieg ∆pStoß-ik bei vollkommen unelastischen Bedingungen:

 ⎛ L ds ⎞ dV L ⎛ Acα ⎞ Lcα ∆pStoß − ik = p2 − p1 = −ρ⎜ ∫ = −ρ ⎜ − ⎟ =ρ ⎟ ⎝ 0 A (s) ⎠ dt A ⎝ t Schließ ⎠ t Schließ

(8.14)

Der Druckanstieg beim relativ langsamen Schließen eines Ventils nimmt unter den vorausgesetzten Umständen mit zunehmender Rohrlänge L und Fließgeschwindigkeit cα sowie mit abnehmender Schließzeit tSchließ zu. Für sehr kurze Schließzeiten tSchließ → 0 liefert Gl. (8.14) ∆p → ∞. Hieran erkennen wir die Grenzen der in Kap. 8.1 vorgestellten Theorie, denn im Falle sehr kurzer Schließzeiten ist die Elastizität der Flüssigkeit und der Wandungen zu berücksichtigen (s. Kap. 8.2). %HLVSLHO Durch den in Bild 8.3a dargestellten Rohrleitungsstrang wird ein Verbraucher (Waschmaschine) über ein Magnetventil befüllt.  ( t ) im Rohrleitungsstrang für einen Schaltzyklus (Ven8.2.1 Es ist der zeitliche Volumenstromverlauf V tilöffnungsphase, voll geöffnetes Ventil, Ventilschließphase) von insgesamt 1s Dauer zu ermitteln. Das Ventil habe eine lineare KV-Kennlinie (s. Kurve 1 in Bild 4.19) und während der Öffnungsbzw. Schließzeit ändern sich der relative Hub h und das Verhältnis AD/AR von Drosselquerschnitt zu Ventilzuströmquerschnitt linear mit der Zeit. 8.2.2 Es ist der zeitliche Druckverlauf in der Ebene d vor dem Ventil zu bestimmen. /|VXQJ 8.2.1) Die numerische Lösung des Gleichungssystems (8.9) mit den Anfangsbedingungen  ( t = 0) = 0 und V(t = 0) = 0 erfolgt mit einem Runge-Kutta-Butcher Verfahren (analog zu Beispiel 8.1). V Die Koeffizienten B, C und D sind entsprechend dem in Bild 8.3a definierten Strang zu bestimmen. Im Magnetventil variieren während der Betätigungszeiten tÖff bzw. tSchließ der relative Hub h und das Flächenverhältnis AD/AR (s. Bild 8.2) linear mit der Zeit, so daß sich die Koeffizienten BD und CD des Ventils wie folgt bestimmen lassen: H A h= = h( t ) = D ( t ) linear abhängig von der Betätigungszeit H100 AR Gemäß Gl. (4.120) gilt mit φ0 = KV0/KVS und m = 1 - φ0 sowie Anlehnung an Bild 4.19, Kurve 1:

[

K V ( t ) = K VS φ0 + (1 − φ0) ⋅ h( t )

]

und Gl. (4.122) liefert ζ V ( t ) = 1,6005 ⋅ 109

D4R K2V ( t )

Damit erhalten wir den Koeffizienten BD des Magnetventils zu ρ ζV ( t) BD ( t ) = 2 A 2R der mit den Reibungskoeffizienten der übrigen Strangelemente zum Gesamtkoeffizienten B gemäß Gl. (8.6) zusammengefügt werden muß. Für das Beschleunigungsverhalten des Ventils ergibt sich analog zu Gl. (8.12) ⎞⎤ nD DR ⎡ 1 ⎛ 1 − 1⎟ ⎥ CD ( t ) ≈ ρ ⎢1 + ⎜ A R ⎢⎣ 3 ⎝ h( t ) ⎠ ⎥⎦

8.1 Energiesatz der instationären Fadenströmung von Flüssigkeiten

Daten des Stranges: Druck pE = 5,5 bar; Druck pA = 1 bar; zA - zE = 2 m; Temperatur t = 12 °C; Daten Magnetventil: Stellverh. 1/φ0 = 200; Betätigungszeiten tÖff = 50 ms; tSchließ = 300 ms Lfd. Nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

8

9

12 A 2 10 11 A

2 3 4 5

V

7 6

2

1 z A −z E

0 E

E

Bauelement Einlauf Hausanschluß Hausanschlußleitung Schrägsitzventil Ringkolbenzähler QN = 5m3/h Schrägsitzventil Hauswasserleitung T-Stück Waschmaschinenleitung Krümmer (3 Stück) Absperrventil (voll geöffnet) Waschmaschinenschlauch Sieb Magnetventil

263

Länge [m] 8

1 5

Hauptleitung (Straße) Innen-φ [m]

0,025 0,025 0,025 0,020 0,020 0,015

Verlustbeiwert ζ [-] 0,25

Rauhigkeit [m] 2⋅10-6

1,7 5 1,7 1,52⋅10-6 1,3 1,52⋅10-6 0,14/Stück 2,5

1,5

1,6⋅10-6

0,015 0,015

0,4 KVS = 5,7 m3/h

 %LOGD Aufbau und Daten des Rohrleitungsstranges zur Befüllung eines Verbrauchers (Waschmaschine) über ein Magnetventil (Beispiel 8.2) Im vorliegenden Fall wird nD = 2 und DR = 0,015 m eingesetzt. Bild 8.3b stellt den Verlauf des gerechneten Volumenstroms während des untersuchten Schaltzyklus dar. Das Anstiegsverhalten wird von der Trägheit der bewegten Wassermassen dominiert und erstreckt sich weit über die Öffnungszeit des Magnetventils von tÖff = 50 ms hinaus. Erst nach 0,6 s wird stationäre Strömung erreicht. Ab t = 0,7 s beginnt das Magnetventil zu schließen, dadurch wird das Verzögerungsverhalten des Volumenstroms bestimmt.  ( t ) läßt sich der Druckverlauf in Ebene d vor dem Ma8.2.2) Bei bekanntem Volumenstromverlauf V gnetventil durch den Ansatz der Energiegleichung (8.6) im Kontrollraum d → (A) ermitteln. Wir erhalten  dV  2 + CD ( t) p 2 ( t ) = p A + BD ( t ) V mit pA = 1 bar = konst. dt mit den Koeffizienten BD(t) und CD(t) gemäß Beispiel 8.2.1. (Das gleiche Ergebnis für p2 erhalten wir beim Ansatz des Energiesatzes von (E) →d). Bild 8.3b zeigt auch den ermittelten Druckverlauf. Zur Zeit t = 0 beträgt der statische Druck p2(0) = 5,304 bar, er ist aufgrund der Höhendifferenz geringer als der Druck pE in der Hauptleitung. Nach Ventilöffnung fällt p2(t) durch Reibungsverluste und Beschleunigungsarbeit auf ein Minimum von p2(t = 0,05 s) = 1,065 bar ab und erreicht ab t ≈ 0,4 s etwa den stationären Fließdruck, der sich bei t = 0,6 s exakt mit p2 = 1,5606 bar einstellt. Mit Beginn des Ventilschließvorganges steigt der Druck aufgrund der Verzögerung der Wassermasse an und erreicht einen Maximalwert von p2(t = 1 s) = 17,1 bar bei geschlossenem Ventil. Bei der Bewertung dieser Druckspitze ist zu beachten,

264

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

p2

V

  1,6E-03 1,6E+06   Pa m³/s   1,2E-03 1,2E+06  V    8,0E-04 8,0E+05  p2(t=0)    4,0E-04 4,0E+05  p2   0,0E+00 0,0E+00  s 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0   t  %LOGE Verlauf des Volumenstroms V und des Druckes p2 vor dem Magnetventil während eines Ventilbetätigungszyklus von 1 s (Beispiel 8.2. Öffnungszeit tÖff = 50 ms; Schließzeit tSchließ = 300 ms) daß sie unter Annahme von starren Wandungen und vollkommen inkompressibler Flüssigkeit gerechnet wurde. In der Praxis wird der Druckanstieg wegen der Elastizität von Flüssigkeit und Wandungen etwas geringer ausfallen, insbesondere wenn Schlauchelemente verwendet werden.

'UXFNVWR‰EHLSO|W]OLFKHU%HWlWLJXQJHLQHUIOVVLJNHLWV GXUFKVWU|PWHQ$UPDWXU Anhand von Bild 8.4a wollen wir die Strömung in einer waagerechten Rohrleitung mit konstantem Querschnitt untersuchen, die aus einem großen Behälter c gespeist wird und an ihrem Ende d durch den Schieber S plötzlich verschlossen werden kann. Im Gegensatz zu Kap. 8.1 sind nun die Kompressibilität der Flüssigkeit - repräsentiert durch den Kompressibilitätsmodul EF der Flüssigkeit - und die Elastizität der Rohrwand - dargestellt durch den Elastizitätsmodul ER des Rohrmaterials - zu berücksichtigen. Wenn wir im Rohr Druckverluste durch Reibung sowie Strahlkontraktion vernachlässigen, so herrscht bei geöffnetem Schieber an jeder Stelle des Rohres der Druck p2 = p0 und die Geschwindigkeit cα = c2 = 2( p1 − p0) / ρ . Wird nun zur Zeit t = 0 der Schieber plötzlich geschlossen (tSchließ = 0), so kommt es zunächst unmittelbar vor dem geschlossenen Schieber (Koordinate x = 0) zu einer Verzögerung der Flüssigkeit auf cω = 0. Der dem verzögerten Flüssigkeitselement entzogene Impuls führt zu einer Druckerhöhung im Flüssigkeitselement, verbunden mit einer Kompression desselben und einer Deformation der

8.2 Druckstoß bei plötzlicher Betätigung einer Armatur

265

vom Flüssigkeitselement benetzten Rohrwand. Bei Verzögerung auf cω = 0 liefert der Impulssatz den maximalen Druckstoß ∆pStoß − max = aρcα

(cω = 0)

Gesetz von Joukowsky, Allievi

(8.15)

Allgemein gilt bei plötzlicher Änderung der Geschwindigkeit in einer definierten Bezugsebene

∆pStoß = aρ(cα − cω )

(8.16)

wobei cα die Geschwindigkeit vor und cω die Geschwindigkeit nach der Betätigung der Armatur darstellt. Für cα > cω erhalten wir einen plötzlichen Druckanstieg (Schließvorgang) und für c α < cω stellt sich ein Druckabfall (Öffnungsvorgang) ein. In Gl. (8.15; 8.16) stellt a die Schallgeschwindigkeit der Flüssigkeit dar. Gl. (8.17a)

a=

EF ρ

a=

1 ⎛ 1 1 D⎞ ρ⎜ + ⎟ ⎝ EF ER s ⎠

Geometrie: Bild 8.4

(8.17a,b)

gilt bei starren Rohrwandungen. Bei elastischen metallischen Rohrwandungen reduziert sich die Schallgeschwindigkeit in der Flüssigkeit gemäß Gl. (8.17b), in der die Kompression des Fluids und die Deformation der Wandung berücksichtigt werden. 7DE Kompressionsmoduln EF (→ Flüssigkeiten) und Elastizitätsmoduln ER (→ metallische Wandmaterialien) in [109 Pa]. Schallgeschwindigkeit a in Hydraulikschläuchen Wasser 2,05

Mineralöl Hydrauliköl Stahl GG Cu 211 100 125 1,4 ÷ 1,6 2,8 ÷ 3,3 Hochdruck-Hydraulikschlauch NW 30; 3 m lang p ≈ 10 bar: a ≈ 600 m/s p ≈ 200 bar: a ≈ 800 m/s

Al 71

Während bei t = 0 nur bei x = 0 die Geschwindigkeit auf cω = 0 verzögert wird, strömt im übrigen Rohr die Flüssigkeit zunächst aufgrund von Trägheit und Elastizität weiter mit der ursprünglichen Geschwindigkeit cα. Der Druckstoß ∆pStoß pflanzt sich für t > 0 mit der Schallgeschwindigkeit a in Richtung Rohranfang c fort, wobei sich hinter der vorrückenden Stoßfront die Geschwindigkeit cω = 0 und der Druck p = p0 + ∆pStoß einstellen (Bild 8.4b; 0 < t ≤ L/a). Stromaufwärts der Stoßwelle herrschen weiterhin die ursprüngliche Geschwindigkeit cα und der Druck p0. Nach der Laufzeit t = L/a erreicht die Stoßfront den Behältereintritt c (x = L); im gesamten Rohr herrscht nun cω = 0 und p = p0 + ∆pStoß . Wegen des höheren Druckes und des geweiteten Durchmessers im Bereich des Rohres befindet sich nun eine größere Flüssigkeitsmasse im Rohr als im stationären Ausflußzustand. Wegen ∆pStoß = ρcαa > ρcα2 /2 = q ist jetzt der Druck in Ebene c größer als der konstante Druck pB = p1 = p0 + q, es erfolgt nun bei x = L aufgrund der Trägheit eine Ausströmung vom Rohr in den Behälter. Dadurch entsteht bei x = L ein Druckabfall der Größe -∆pStoß, der dann als Saugwelle mit Schallgeschwindigkeit in Richtung Rohrende d läuft. Die ursprüngliche Druckwelle wird also am Behältereintritt reflektiert und läuft als Saugwelle in Richtung Rohrende zurück. Zwischen zurücklaufender Wellenfront und Behältereintritt stellen sich der ursprüngliche Druck p0 = (p0 + ∆pStoß) - ∆pStoß und die Geschwin-

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

266

digkeit -cα (in Richtung Behälter) ein (Bild 8.4b; L/a < t ≤ 2L/a). Jetzt entleert sich die in der Phase bis t = L/a im Rohr zusätzlich gespeicherte Masse wieder in Richtung Behälter. Nach der Reflektionszeit

t Re fl = 2 L a

(8.18)

D

s

erreicht die Wellenfront wieder das Absperrorgan bei x = 0. Im gesamten Rohr herrscht jetzt Rückströmung -cα in Richtung Behälter. Diese Rückströmung wird für t = tRefl bei x = 0 gestoppt (cω = 0, gesamte zusätzliche Speichermasse entleert), aber aufgrund der Trägheit des in Richtung Behälter strömenden Flüssigkeitsfadens entsteht ein Druckabfall um -∆pStoß, der sich wiederum als Saugwelle in Richtung Behälter ausbreitet. Zwischen Wellenfront und Rohrende d herrschen nun der Druck p0 - ∆pStoß und die Geschwindigkeit cω = 0 (Bild 8.4b; 2L/a < t ≤ 3L/a). In dieser Phase sind die Dichte und der Rohrdurchmesser geringer als 2 +c bei stationärer Strömung, dh. es ent1 leert sich weitere Masse in Richtung pB = p1 = konst S Behälter. Wenn die Wellenfront der p0 Unterdruckwelle nach t = 3L/a den L z1 Behältereintritt erreicht, wird sie x D vom höheren Behälterdruck pB rep0 p0 flektiert und läuft nach Vorzeichent =0 cα cα umkehr als Druckwelle +∆pStoß in Richtung Rohrende d zurück. Zwip0 + ∆pStoß 1 L p0 schen Wellenfront und Behältereint= 2 a cα c =0 tritt c stellt sich der ursprüngliche Druck der stationären Strömung p0 = p0 + ∆pStoß p0 (p0 - ∆pStoß) + ∆pStoß ein. Dichte und 3L t= Rohrdurchmesser steigen gegenüber 2 a c =0 −cα der vorhergehenden Phase auf ihren p − ∆ p Ursprungswert an, so daß wiederum p0 0 Stoß 5L Masse vom Behälter in die Rohrleit= c =0 t=

2 a

−cα

7L 2 a

p0

t =4

L a

E

p 0 − ∆p Stoß

cα

c =0

p0

p0

cα

cα x =0

p0 + ∆pStoß p0 p 0 − ∆p Stoß

F

0

2

L a

4

L a

6

L a

8

L a

t

%LOG Druck- und Geschwindigkeitsverhalten beim plötzlichen Schließen des Schiebers S. D Geometrische Anordnung. E Verlauf der Druck- und Geschwindigkeitswellen zu bestimmten Zeiten eines vollständigen Zyklus. FDruckverlauf am Absperrschieber S (x = 0) während zweier vollständiger Zyklen. Die gestrichelten Kurven zeigen das Abklingverhalten bei reibungsbehafteter Strömung

8.2 Druckstoß bei plötzlicher Betätigung einer Armatur

267

tung strömt. Hinter der Wellenfront stellt sich die Geschwindigkeit cα in Richtung Absperrorgan ein (Bild 8.4b; 3L/a < t ≤ 4L/a). Nach t = 4L/a = 2tRefl erreicht die Wellenfront wieder das Rohrende d und im Rohr ist wieder der gleiche Zustand wie zur Zeit t = 0. Jetzt beginnt der Zyklus von neuem und wiederholt sich bei Reibungsfreiheit beliebig oft. Durch die in der Praxis stets vorhandene Reibung werden die Druckwellen gedämpft und der Vorgang klingt ab. Bild 8.4c zeigt den Druckverlauf am Schieber S (x = 0) über zwei vollständige Zyklen. Dabei erkennen wir deutlich, daß nach der Reflektionszeit tRefl = 2L/a eine Druckabsenkung auftritt. Sinkt dabei der Druck unter den Dampfdruck der Flüssigkeit, so tritt Verdampfung auf, der Flüssigkeitsfaden reißt ab und die Druckwelle wird aufgelöst. Dabei können Kavitationsschäden durch Implosion der Dampfblasen auftreten. Wird bei einer Anordnung gemäß Bild 8.4a zur Zeit t = 0 der Schieber plötzlich geöffnet (tÖff = 0), so entsteht bei x = 0 ein plötzlicher Druckabfall von ∆pStoß = p0 - pB < 0, der sich als Wellenfront in Richtung Behältereintritt fortpflanzt. Gl. (8.16) liefert in diesem Fall für cα = 0 die Anfangsgeschwindigkeit des Ausströmvorganges cω(t = 0):

cω ( t = 0) =

cω − stationä r = cω ( t = 0)

− ∆pStoß aρ

=

p B − p0

2ρa 2 = p B − p0

aρ

2EF p B − p0

(8.19a,b)

(8.20a,b)

Gl. (8.20), entstanden unter Verwendung von Gl. (3.37), liefert das Verhältnis von stationärer Geschwindigkeit cω-stationär zur Anfangsgeschwindigkeit cω(t = 0) beim plötzlichen Öffnen des Schiebers, wobei Gl. (8.20b) nur bei starrer Rohrwand gilt. 3UD[LVKLQZHLV In den meisten Fällen kann beim plötzlichen Öffnungsvorgang die Flüssigkeit als vollkommen inkompressibel angesehen werden (Berechnung gemäß Kap. 8.1). Bei Schließvorgängen mit tSchließ > 0 gilt folgendes: 1. tschließ ≤ tRefl = 2L/a. Der Druckanstieg in Ebene d erfolgt kontinuierlich und erreicht zur Zeit t = tSchließ seinen Maximalwert gemäß Gl. (8.15), der unabhängig von der Schließzeit ist. Es ist jedoch zu beachten, daß an Unstetigkeitsstellen der Rohrleitung (Querschnittsänderungen, Armaturen, Zwischenbehältern, Rohrenden, installierten Maschinen) Total- oder Teilreflexionen der Druckwellen erfolgen, deren Reflektionszeit kleiner ist als der mit der Gesamtrohrlänge L gebildete Wert. Dies kann zu Überlagerungen und Abmilderung des Druckstoßes führen. 2. tSchließ > tRefl = 2L/a. In diesem Fall treffen die reflektierten Wellen am Absperrorgan ein, bevor dies ganz geschlossen ist und der Maximalwert des Druckanstiegs erreicht ist. Es kommt zu Überlagerungen der Druckwellen und zur Abschwächung des Druckanstiegs. Näherungsweise Berechnung

t / = aρ(cα − cω ) Re fl ∆pStoß  t Schließ ∆pStoß

(8.21)

3. tSchließ >> tRefl = 2L/a. Wenn tSchließ ≥ 10tRefl (langsames Schließen), kann die Flüssigkeit nä-

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

268

herungsweise als vollkommen inkompressibel angesehen werden, und wir erhalten ∆pStoß-ik gemäß Gl. (8.14) bzw. es sind die Verfahren nach Kap. 8.1 einzusetzen. Durch Verwendung von Schläuchen anstelle von relativ starren Rohrleitungen können – we-gen der geringeren Schallgeschwindigkeit - mögliche Druckstöße reduziert werden. In Hydraulikanlagen sollte der Druckstoß auf ∆pStoß ≤ (1,1 ÷ 1,15)pBetrieb begrenzt werden. Durch zugeschaltete Hydrospeicher läßt sich der Druckstoß deutlich vermindern. Wenn die plötzlich betätigte Armatur unmittelbar am Behälter angeordnet ist (L = 0), so treten nur unmaßgebliche Druckstöße auf. Zwecks weiterer Einzelheiten sei auf die entsprechende Literatur [67] verwiesen. %HLVSLHO Zu der in Bild 8.4a skizzierten wasserdurchströmten Anordnung mögen die folgenden Daten gehören: Behälterdruck pB(z1) = p1 = 7 bar; Wassertemperatur tW = 20 °C; Stahlrohr der Länge L = 10 m; Durchmesser D = 0,020 m; Wandstärke s = 0,001 m; Umgebungsdruck p0 = 1 bar. Es liege ein stationärer Ausfluß aus dem Behälter vor. Zur Zeit t = 0 setzt der Schließvorgang eines Magnetventils am Rohrende d ein. Alle Vorgänge sind reibungsfrei zu betrachten. 8.3.1 Wie groß wird der maximale Druckstoß bei einem sehr schnellen Magnetventil mit der Schließzeit tSchließ = 10 ms ? Welches Phänomen ist zusätzlich zu beachten ? 8.3.2 Welcher Druckanstieg ist bei einem Magnetventil mit der Schließzeit tSchließ = 200 ms zu erwarten ? /|VXQJ 8.3.1) Stoffdaten: Tab. 11.3: ρ(tW = 20 °C) = 998,16 kg/m3; Tab.8.1: EF = 2,05⋅109 Pa; Gl. (8.17b): ER = 211⋅109 Pa. m 1 1 = 1311,3 = a= s ⎛ 1 1 D⎞ kg ⎛⎜ 1 1 0,02 m ⎞⎟ ⎟⎟ ρ⎜⎜ + 998,16 + 3 9 9 ⎝ E F ER s ⎠ m ⎜⎝ 2,05 ⋅ 10 Pa 211 ⋅ 10 Pa 0,001 m ⎟⎠ Stationäre Strömung (Energiesatz, reibungsfrei), Gl. (3.37): 2( p B − p0 )

m 2(7 − 1) ⋅ 105 Pa = 34,67 kg s ρ 998,16 m3 2L 2 ⋅ 10 m Reflexionszeit Gl. (8.18): t Re fl = = = 0,0153 s → tSchließ < tRefl → Gl. (8.15): m a 1311,3 s kg m m ∆pStoß −max = aρcα = 1311,3 998,16 3 34,67 = 453,8 ⋅ 105 Pa s s m Dieser Druckanstieg wird nach 10 ms erreicht (Ventil geschlossen). Die nach t = tRefl vom Ventil in Richtung Behälter zurücklaufende Saugwelle kann ihren theoretischen Druckwert p0 - ∆pStoß (s. Bild 8.4b, 2L/a < t ≤ 3L/a) wegen Unterschreitung des Dampfdruckes nicht annehmen. Es kommt zur Verdampfung, Kavitation und Auflösung der Druckwelle. 8.3.2) Es gilt tSchließ >> tRefl. Daher kann die Flüssigkeit näherungsweise als vollkommen inkompressibel angenommen werden. Bei ebenfalls starr angenommenen Rohrwänden gilt Gl. (8.14): kg m ⋅ 10 m ⋅ 34,67 998,16 3 ρLcα s m = = 17,30 ⋅ 105 Pa ∆pStoß −ik = 0,2 s tSchließ cα =

=

8.3 Entleerung gasgefüllter Druckbehälter

269

(QWOHHUXQJJDVJHIOOWHU'UXFNEHKlOWHU Bei instationären Ausflußvorgängen von Gasen kann - wegen der im Vergleich zu Flüssigkeiten viel geringeren Dichte - unter Vernachlässigung der lokalen Beschleunigung quasistationär gerechnet werden, was auf eine Integration der in Kap. 5.2.4 vorgestellten stationären Ausfluß = dm/dt hinausläuft. Wir betrachten gemäß der Skizze in Bild 8.5 einen gleichungen für m gasgefüllten Behälter vom Innenvolumen VB, der sich, beginnend zum Zeitpunkt t = 0, über eine konvergente Austrittsgeometrie mit dem Endquerschnitt Amin (Düse, Ventildrosselquerschnitt, Öffnung) in die Umgebung mit dem Außendruck pa entleert. Wir setzen einen adiabaten Behälter und reibungsfreie Strömung voraus. Bei der Analyse der Ausströmvorgänge ist zwischen über- und unterkritischer Strömung im Austrittsquerschnitt zu unterscheiden. hEHUNULWLVFKH $XVVWU|PXQJ (Index ük). Vor Beginn des Ausströmens sei im Behälter die Masse mük unter dem Druck pt1-ük und der Temperatur Tt1-ük gespeichert. Während des Ausströmens nehmen die Werte pt1 und Tt1 kontinuierlich ab, wobei stets die nachstehende Gl. (8.22) zutreffen muß, damit die Existenz überkritischer bzw. kritischer (→ Gleichheitszeichen) Zustände gesichert ist:

p t1− ük ≥ p t1 ≥

pa ⎛ pa ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p t1⎠ s− krit

pa

=

κ ⎞ κ −1

= p t1− min

(8.22a,b,c)

⎛ 2 ⎟ ⎜ ⎝ κ + 1⎠

Wir definieren die zeitabhängigen Druck- und Temperaturverhältnisse

π ük =

p t1 p t1− ük

τ ük =

Tt1

(8.23a,b)

T t1− ük

die bei isentroper Expansion im Behälter durch Gl. (8.24a) verknüpft sind und über Gl. (8.24b,c) die Ermittlung der Restmasse im Behälter zur Zeit t gestatten ⎛ κ −1⎞ ⎟ κ ⎠

τ ük = π ük⎜⎝

m = mük

π ük p t1− ük V B π ük = τ ük RT t1− ük τ ük

8.24a,b,c)

Einer in [49] gegebenen Ableitung folgend, ergibt die Integration der Gleichung des kritischen Massenstroms (Gl. (5.70b)) das folgende Resultat

π ük = (1+ ϑ ük )

(2 κ /(1− κ ) )

ϑ ük = ( π ük )

((1− κ ) / ( 2 κ ) ) − 1

(8.25a.b)

mit

⎡ α K A min κ − 1 ⎤ ϑ ük = ⎢ κRTt1− ük ψ s− max ⎥ t = K ϑük t 2 ⎢⎣ V B ⎥ ⎦

(8.26a,b)

K ϑük [1/ s]

Durch αK kann Strahlkontraktion berücksichtigt werden. Gl. (8.25), (8.26) erlauben sowohl die Berechnung des Behälterdruckverhältnisses πük nach vorgegebener Ausströmzeit t als auch die Ermittlung der Ausströmzeit bis zum Erreichen eines bestimmten Behälterdruckverhältnisses.

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

270

Gl. (8.23), (8.24) gestatten dann die Bestimmung der zugehörigen Werte von Behälterdruck und -temperatur (pt1, Tt1) sowie der Restmasse (m). Es ist zu beachten, daß vorstehendes Verfahren nur bei kritischen Zuständen im Austrittsquerschnitt anwendbar ist. Daher muß analog zu Gl. (8.22) die folgende Bedingung eingehalten werden:

1 ≥ π ük ≥

pa p t 1− ük

κ

pa ⎛ κ + 1⎞ κ −1 1 = π ük − min = ⎟ ⎜ p t 1− ük ⎝ 2 ⎠ ⎛ pa ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p t1⎠ s− krit

(8.27)

Gl. (8.25) ist in Bild 8.5a graphisch dargestellt. Wenn Reibung in der Ausflußöffnung berücksichtigt werden soll, ist lediglich in Gl. (8.26a) ψs-max durch ψp-max (→ Gl. (5.81b)) und in Gl. (8.27) ist (pa/pt1)s-krit durch (pa/pt1)krit (→ Gl. (5.81a)) zu ersetzen. 8QWHUNULWLVFKH$XVVWU|PXQJ (Index uk). Vor Beginn des Ausströmens (t = 0) sei im Behälter die Masse muk unter dem Druck pt1-uk und der Temperatur Tt1-uk gespeichert. Die Berechnung des unterkritischen Falles beginnt stets mit dem kritischen Druckverhältnis und läuft dann in Richtung unterkritischer Strömung ab, es muß daher gelten: 1,0

1,0 p t1 = p1

pa ≤ p t1 ≤ p t1−ük ⎛ pa ⎞ ⎜ ⎟ ⎜p ⎟ κ = 1,667 ⎝ t1 ⎠s−krit

0,4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

p t1 ≤ p t1−uk =

κ = 1,667 κ = 1,5 0,6 κ = 1,4 κ = 1,333 κ = 1,25

0,5 0

1,0

ϑük

D

0,8 0,7

κ = 1,5 κ = 1,4 κ = 1,333 κ = 1,25

0,2 0

0,9 p t1 p t1−uk

0,6

A min pa

Tt1 = T1 VB

πuk =

πük =

p t1 p t1−ük

0,8

p t1 = p1

A min pa

Tt1 = T1 VB

0,04

0,08

E

0,12

pa ⎛ pa ⎞ ⎜ ⎟ ⎜p ⎟ ⎝ t1 ⎠s−krit

0,16

0,20

ϑuk

%LOG Entleerung gasgefüllter Druckbehälter. D Überkritische Strömung im Austrittsquerschnitt. E Unterkritische Strömung im Austrittsquerschnitt. Lösungen gemäß Tab. 8.2

p t1− uk =

pa ⎛ pa ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p t1⎠ s− krit

κ

⎛ κ + 1⎞ κ −1 = pa ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

p t1− uk ≥ p t1 ≥ pa = p t1− min

(8.28a,b,c)

Tt1-uk und muk sind die tatsächlichen oder hochgerechneten Werte, die zu diesem Totaldruck pt1-uk gehören. Analog zur obigen Ableitung für überkritische Ausströmung formulieren wir

8.3 Entleerung gasgefüllter Druckbehälter

π uk =

p t1

τ uk =

p t1− uk

Tt1 T t1− uk

271

m = muk

π uk p t1− uk V B π uk = τ uk RTt1− uk τ uk

(8.29a,b,c,d)

Wie in [49] gezeigt, liefert die Integration der Ausflußgleichung (5.62b) für unterkritische reibungsfreie Strömung den Zusammenhang

−

1 2

κ − 1 π uk ∫ κ + 1 π uk =1

Kdπ uk πK uk

πK uk

2 − κ +1

= ϑ uk

K=

κ −1 κ

(8.30a,b)

wobei die rechte Seite von Gl. (8.30a) gemäß Gl. (8.30c) linear von der Zeit t abhängt.

⎡ α K A min κ − 1 ⎤ ϑ uk = ⎢ κRT t1− uk ψ s− max ⎥ t = Kϑuk t 2 ⎢⎣ V B ⎥ ⎦

(8.30c)

K ϑuk [1/s]

Gl. (8.30) gestattet in Verbindung mit Gl. (8.29) die Lösung der unterkritischen Behälterausströmung, wobei die Einhaltung der nachstehenden Bedingung erforderlich ist

1 ≥ π uk ≥

pa p t1− uk

κ

⎛ 2 ⎞ κ −1 =⎜ = π uk − min ⎟ ⎝ κ + 1⎠

(8.31)

Gl. (8.30) läßt sich für die Zahlenwerte κ = 1,25; 1,333; 1,4 [→ 49] und 1,5 geschlossen lösen (s. Tab. 8.2). Bei anderen Werten ist eine Software für numerische Integrationsverfahren anzu7DE  Lösungsfunktionen ϑuk = f(πuk) (Gl. (8.30a)) für verschiedene Werte von κ. κ = 1,667 ist als Polynomapproximation einer numerischen Lösung dargestellt κ 1,25

ϑuk = f(πuk) 3 2 ⎡1 ⎛ 1 ⎧⎪ 24 ⎛ 1/ 5 8 ⎞ 64 ⎛ 1/ 5 1/ 5 8 ⎞ ⎜ π uk − ⎟ + ⎜π − ⎨0,5312692 − ⎢ ⎜ π uk − ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 45 9 81 ⎝ uk 2 9⎪ ⎢⎣ 7 ⎩

8 ⎞ 512 ⎤ 8 ⎫⎪ ⎥ ⋅ 2 ⋅ π1uk/ 5 − ⎬ ⎟+ 9 ⎠ 729 ⎥ 9⎪ ⎦ ⎭

1,33

1 ⎡ 2⎛ 24 1/ 4 288 ⎞ 1/ 4 6 ⎤ ⎢0,6201703 − ⎜ 3 π1uk/ 2 + π + ⎟ π − ⎥ 15 ⎝ 7 uk 49 ⎠ uk 7 ⎥⎦ 2 7 ⎢⎣

1,40

1 ⎡ 5⎞ 5 25 ⎛ 1/ 7 2 / 7 5 ⎛1 ⎢0,63758 − ⎜ π 2uk/ 7 + ⎟ π1uk/ 7 π 2uk/ 7 − − ln⎜ 2 π π uk − + 2 π 2uk/ 7 − ⎝2 8⎠ 6 96 ⎜⎝ uk 6 2 6 ⎢⎣

1,50

1 ⎡ 26 2⎛ 8⎞ 4⎤ − ⎜ π1uk/ 3 + ⎟ π1uk/ 3 − ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ 5 5 ⎥⎦ 2 5 ⎢⎣ 15 5 3

1,667

18,0911 − 119,141 π uk + 315,394 π 2uk − 415,506 π 3uk + 271,446 π 4uk − 70,2838 π5uk

5⎞ ⎤ ⎟⎥ 6 ⎟⎠ ⎥ ⎦

wenden, z. B.[ 79]. In Bild 8.5b sind die Lösungen von Gl. (8.30) dargestellt. Sie enden gemäß Gl. (8.31) bei dem jeweiligen Wert für πuk-min mit einer horizontalen Tangente.

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

272

Erfolgt eine Entleerung zunächst überkritisch und geht dann in unterkritisches Ausströmen über, so ist zunächst nach Gl. (8.27) das Druckverhältnis πük-min am Ende der überkritischen Phase zu bestimmen. Dazu ergeben Gl. (8.25b) und (8.26) die Zeit tük des überkritischen Ausströmens. Gl. (8.24a) und (8.23b) liefern mit dem Druckverhältnis πük-min die Temperatur am Ende der überkritischen Phase, die dann als Tt1-uk am Beginn der nachfolgenden unterkritischen Phase vorliegt:

Tt 1− uk = Tt 1− ük (π ük − min)

κ −1 κ

(

= Tt 1− ük pa p t1− ük

⎛ κ −1 ⎞ ⎟ κ ⎠

)⎜⎝

(κ + 1) / 2

(8.32a,b)

Gl. (8.24b,c) liefern mit πük-min und τük-min = Tt1-uk/Tt1-ük die im Behälter verbleibende Restmasse (m = muk). Die anschließende unterkritische Rechnung beginnt mit πuk = 1, Tt1-uk gemäß Gl. (8.32) und pt1-uk entsprechend Gl. (8.28b). Sie endet mit dem vom gewünschten Behälterenddruck pt1-min ≥ pa vorgegebenen Druckverhältnis πuk = pt1-min/pt1-uk ≥ πuk-min. Hierzu liefern Bild 8.5b bzw. Gl. (8.30) den Wert ϑuk und damit die Ausströmzeit tuk der unterkritischen Phase. Die gesamte Ausströmzeit erhalten wir zu tGes = tük + tuk. Beginnt eine unterkritische Entleerung mit den Werten pt1-α < pt1-uk und Tt1-α, so sind diese Zustände auf kritische Werte hochzurechnen. Den zugehörigen Druck pt1-uk liefert Gl. (8.28), und die entsprechende Temperatur erhalten wir aus der Beziehung

T t1− uk

κ + 1 ⎛ pa ⎞ ⎟ ⎜ = Tt1− α 2 ⎜⎝ p t1− α ⎟⎠

κ −1 κ

(8.33)

Dann wird von diesem fiktiven kritischen Anfangszustand aus zunächst die Ausströmzeit bis auf den Druck pt1-α ermittelt und danach die Zeit vom kritischen Anfangszustand bis zur Entleerung auf den gewünschten Enddruck pt1. Die Zeitdifferenz stellt die gesuchte Ausströmzeit vom tatsächlichen Anfangszustand α aus dar. Hinweise zur Thematik des Kap. 8.3: [44]. %HLVSLHO Ein Druckbehälter für Luft mit dem Volumen VB = 6 m3 kann über ein magnetisch betätigtes Ventil mit dem Öffnungsquerschnitt Amin = 0,00125 m2 (Kontraktionszahl αK = 0,6) entleert werden. Der Außendruck beträgt pa = 1 bar. 8.4.1 Wie lange dauert bei reibungsfreier Strömung die vollständige Entleerung, wenn die Anfangszustände pt1-ük = 6 bar und Tt1-ük = 400 K betragen ? 8.4.2 Bei gleichen Anfangszuständen wird das Ventil 20 s geöffnet. Auf welchen Wert sinkt der Behälterdruck pt1 ab ? Wie groß ist die im Behälter verbleibende Restmasse m ? Welcher Enddruck

p t/1 stellt sich ein, wenn reibungsbehaftet (ϕ = 0,95) gerechnet wird ? 8.4.3 Der Behälter wird bei dem Ausgangszustand pt1-α = 1,6 bar; Tt1-α = 293 K belüftet. Wie lange dauert die Entleerung (reibungsfrei) ? /|VXQJ 8.4.1) Stoffdaten Luft: Tab. 11.6: R = 287,06 J/(kgK); κ = 1,4. Überkritische Entleerung: κ

Gl. (8.27):

1,4

⎛ κ +1⎞ κ −1 1 ⋅ 105 Pa ⎛ 1,4 +1⎞ 1,4 −1 = = 0,31549 π ük − min = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ p t 1− ük ⎝ 2 ⎠ 6 ⋅ 105 Pa ⎝ 2 ⎠ pa

⎛ 1− κ ⎞ ⎟ 2κ ⎠

Gl. (8.25b): ϑ ük = (π ük − min )⎜⎝

⎛ 1−1,4 ⎞ ⎟ 2⋅1,4 ⎠

− 1 = (0,31549)⎜⎝

− 1 = 0,1792

8.3 Entleerung gasgefüllter Druckbehälter t ük =

Gl. (8.26):

ϑ ük = K ϑük α K A min VB

273

ϑ ük κ −1 κRT t1− ük ψ s− max 2 1

1

Gl. (5.66):

κ − 1 ⎛ 2 ⎞ κ −1 = ⎜ ⎟ κ + 1 ⎝ κ +1⎠

ψ s− max =

1,4 − 1 ⎛ 2 ⎞ 1,4 −1 = 0,2588 ⎜ ⎟ 1,4 + 1 ⎝ 1,4 +1⎠

0,1792

t ük =

=

0,6 ⋅ 0,00125 m2 1,4 − 1 J ⋅ 400 K ⋅ 0,2588 1,4 ⋅ 287,06 3 2 kgK 6m

Unterkritische Entleerung: Gl. (8.32b): T t1− uk

T t1− uk

1,4 + 1 ⎛ 1 ⎞ = 400 K ⎜ ⎟ 2 ⎝ 6⎠

1,4 −1 1,4

κ + 1 ⎛ pa ⎞ ⎟ ⎜ = Tt 1− ük 2 ⎜⎝ p t1− ük ⎟⎠

0,1792 = 30,90 s 0,0058 s-1

κ −1 κ

κ

⎛ 2 ⎞ κ −1 Gl. (8.31): π uk − min = ⎜ ⎟ ⎝ κ +1⎠

= 287,68 K

1,4

⎛ 2 ⎞ 0 ,4 = 0,52828 π uk − min = ⎜ ⎟ ⎝ 2,4 ⎠

Tab. 8.2 liefert für κ=1,4:

ϑuk (πuk = 0,52828) =0,1398

0,1398 Gl. (8.30c): t uk = ϑ uk = = 28,42 s 2 J 0,6 ⋅ 0,00125 m 1,4 − 1 K ϑuk ⋅ ⋅ 1 4 287 06 287 68 0 2588 , , , K , kgK 2 6 m3 Gesamte Ausströmzeit t Ges = t ük + t uk = (30,90 + 28,42) s = 59,32 s ⎛ 2κ ⎞

8.4.2) Gl. (8.25a): π ük = (1+ ϑ ük )⎜⎝ 1− κ ⎟⎠

Gl. (8.26b): ϑ ük = K ϑük t = 0,0058 s−1 ⋅ 20 s = 0,1160

⎛ 2⋅1,4 ⎞

π ük = (1+ 0,1160) ⎜⎝ 1−1,4 ⎟⎠ = 0,4638

mit Kϑük aus 8.4.1.

p t1 = π ük p t1− ük = 0,4638 ⋅ 6 ⋅ 105 Pa = 2,7828 ⋅ 105 Pa

T t1 = Tt 1− ük π ük m=

p t1 V B RT t1

=

( κ − 1)/ κ

(0,4/1,4)

= 400 K ⋅ 0,4638 5

= 321,16 K

2,7828 ⋅ 10 Pa ⋅ 6 m = 18,11 kg 287,06 J / (kgK) ⋅ 321,16 K

Gl. (5.18a): ηDü = ϕ 2 = 0,952 = 0,9025

Das kritische Temperaturverhältnis

ϑ /ük

=

ψ p − max ψ s− max

→8.4.1 K ϑ/ ük t =

Reibungsbehaftete Rechnung:

[

]

n − 1 ln 1 − ηDü (1 − T2s T1) = κ ⎤ n ⎡ ln ⎢(T2s T1)κ −1 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 T2 s = = 0,8333 liefert (Gl. (5.69)) κ +1 T1

Gl. (5.81b): ψ p − max =

Kϑ/ ük = K ϑük

Gl. (1.3b):

3

(5.19b):

1

→ n = 1,343

Gl. (8.23a, 8.24a):

= 0,0058 s−1

1

n − 1 ⎛ 2 ⎞ n −1 = ⎜ ⎟ n + 1 ⎝ n +1⎠

0,343 ⎛ 2 ⎞ 0,343 = 0,2412 ⎜ ⎟ 2,343 ⎝ 2,343 ⎠

0,2412 = 0,005406 s−1 0,2588

0,005406 s−1 ⋅ 20 s = 0,1081

n −1 = 0,2554 n

Gl. (8.25a):

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

274 2⋅1,4

/ 5 5 / p π /ük = (1+ 0,1081) −0,4 = 0,4875 Gl. (8.23a): p t1 = π ük t1− ük = 0,4875 ⋅6 ⋅10 Pa = 2,925 ⋅ 10 Pa 8.4.3) Unterkritische Strömung. Hochrechnung auf kritischen Behälterzustand. mit Gl. (8.28b) u. (8.33): κ

p t1− uk

⎛ κ +1⎞ κ −1 = 1,8929 ⋅ 105 Pa = pa ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Kϑuk =

T t1− uk

κ + 1 ⎛ pa ⎞ ⎟ ⎜ = Tt1− α 2 ⎜⎝ p t1− α ⎟⎠

κ −1 κ

= 307,42 K

0,6 ⋅ 0,00125 m2 1,4 − 1 J 1,4 ⋅ 287,06 ⋅ 307,42 K ⋅ 0,2588 = 0,0050852 s−1 2 kgK 6 m3

Ausflußzeit tα vom fiktiven kritischen bis zum tatsächlichen Behälteranfangszustand: p t1− α 1,6 ⋅ 105 Pa = Gl. (8.30a) bzw. Tab. 8.2 (κ = 1,4) liefert = 0,84526 π uk − α = p t1− uk 1,8929 ⋅ 105 Pa ϑ uk − α ( π uk − α = 0,84526) = 0,02447

Ausflußzeit tω bis zur vollständigen Entleerung:

tα =

0,02447 ϑ uk − α = = 4,812 s K ϑuk 0,00508525 s−1

π uk − ω =

pa = π uk − min = 0,52828 p t1− uk

0,1398 ϑ uk − ω = = 27,49 s K ϑuk 0,00508525 s−1 Tatsächliche Ausströmzeit t = t ω − t α = 27,49 s - 4,812 s = 22,68 s

Tab. 8.2 (κ = 1,4): ϑ uk − ω ( π uk − ω = 0,52828) = 0,1398 t ω =

,QVWDWLRQlUH8PVWU|PXQJVYRUJlQJH 3HULRGLVFKH:LUEHODEO|VXQJKLQWHUVWXPSIHQ=\OLQGHUQ Im rückwärtigen Bereich eines querangeströmten Kreiszylinders mit der stationären Zuströmung c∞ löst die Grenzschicht ab (analog zur Kugelumströmung in Bild 6.8b,c). Dies geschieht in der Weise, daß sich in periodischer Folge von den gegenüberliegenden Ablösepositionen alternierend Wirbel mit unterschiedlicher Drehrichtung ablösen und in zwei Reihen mit c < c∞ abströmen. Die Nachlaufströmung eines Kreiszylinders ist daher stets instationär. Unter bestimmten Bedingungen (40 ≤ Re∞ ≤ 150 ÷ 300) entsteht die in Bild 8.6a eingeblendete Strömungsstruktur, die als Kármánsche Wirbelstraße bezeichnet wird. Hierbei liefert die Theorie – auch für Zylinder mit nicht kreisförmigem Querschnitt - das Verhältnis H/L = 0,281. In der Realität divergieren die Wirbelreihen stromabwärts. Die Frequenz f dieser alternierenden Wirbelablösung läßt sich durch die mit c∞ und dem Zylinderdurchmesser D gebildete Strouhal-Zahl Sr gemäß Gl. (3.9b) erfassen: f = Sr⋅c∞/D. Bei Kreiszylindern, deren Ablöseverhalten bekanntlich von der Re-Zahl dominiert wird, existiert im wesentlichen eine eindeutige Abhängigkeit zwischen der Sr-Zahl und der Re-Zahl, die in Bild 8.6a dargestellt ist. Lediglich im dortigen Bereich IV ist keine eindeutige Zuordnung gegeben, dieser Bereich korrespondiert mit dem Übergang von der unterkritischen zur überkritischen Zylinderumströmung. In den Bereichen I und II liegt eine stabile Struktur der Wirbelstraße vor,

8.4 Instationäre Umströmungsvorgänge

275 ≈ 0,45

0,30 0,14 0,16

III

I II

0,20

IV

D 102

103

D

104

0,11 0,15

c < c∞

0,13

105

Re∞ =

c∞ ⋅ D ν

106

0,14 0,12 0,10 0,14 0,14

0,15

L

c∞

0,10 10

V

H

Sr =

Df c∞

0,15

≥ 2D

107

c∞

E

F

%LOG Periodische alternierende Wirbelablösung im Nachlauf querangeströmter stumpfer zylindrischer Körper. D Strouhal-Zahl Sr in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl Re∞ bei Kreiszylindern [45, 46]. I: Stabile Wirbelstraße mit H/L ≈ 0,281 (s. eingeblendete Anordnung). II: Wirbelstraße mit einzelnen Störungen der Stabilität. III: Zerfall der Wirbelstraße, aber eindeutige Frequenz der ablösenden Wirbel (unterkritische Zylinderumströmung). IV: Keine eindeutige Zuordnung der Wirbelablösefrequenz (Übergang zur überkritischen Zylinderumströmung). V: völlig turbulente Ablösung mit eindeutiger Frequenz der ablösenden Wirbel (überkritische Zylinderumströmung). E Von der Re-Zahl unabhängige Sr-Zahl bei typischen Konstruktionsprofilen [51]. F Geometrie eines Kreiszylinders mit Trennplatte (Splitter-Plate)

im Bereich III zerfällt diese mit zunehmender Re-Zahl, die strenge Periodizität der Wirbelablösung bleibt jedoch bestehen. Die vorab beschriebenen Effekte treten nicht nur bei Kreiszylindern sondern bei allen stumpfen zylindrischen Körpern, Prismen und querangeströmten Platten auf. Die Strouhal-Zahl ist dann mit der maximalen Breite b normal zur Anströmrichtung zu bilden. Besitzt der Körper definierte Abreißkanten, so ist die Strouhal-Zahl konstant. Bild 8.6b zeigt Werte für typische Konstruktionsprofile; ansonsten kann die Sr-Zahl näherungsweise aus dem Widerstandsbeiwert ermittelt werden [23]: Sr =

bf c∞

≈

0,21 cW

(8.34)

0,75

Durch eine in der Mittelachse der Wirbelstraße angeordnete Trennplatte (Bild 8.6c) wird die periodische Wirbelablösung stark beeinflußt. Dies führt etwa zu einer Halbierung der Sr-Zahl und einer fühlbaren Verringerung des Widerstandsbeiwertes [23], der Druckwiderstand sinkt, Gl. (8.34) gilt nicht mehr (s. auch Kap. 9.5). Durch die periodisch veränderten Strömungszustände im Nachlauf wirken dynamische Druckkräfte auf den Zylinder, die zu Schwingungen anregen können. Steht die Frequenz f der Strömungskräfte in Resonanz mit der Eigenfrequenz fe des Zylinders, so können Schäden auftreten [51]. Die resonanzerzeugenden Strömungsgeschwindigkeiten erhalten wir zu c∞ =

feb Sr

beliebiger Zyl.

c∞ ⋅ Sr ( Re ∞ (c∞ )) = f e Kreiszylinder D

(8.35a,b)

276

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

wobei die implizite Gl. (8.35b) graphisch oder numerisch unter Verwendung von Bild 8.6a zu lösen ist. 3UD[LVKLQZHLV Die Wirbelfrequenzen können teilweise akustisch wahrnehmbar sein. Das „Singen“ gespannter Drähte (Telefondrähte, Wanten, Äolsharve usw.) sowie das „Pfeifen“ beim Schlag mit einer dünnen Gerte (Hiebton) sind darauf zurückzuführen. Bei Konstruktionen mit schlanken zylindrischen Bauelementen können bei mangelnder Dämpfung Schäden durch Resonanzeffekte auftreten [51]. Bekannt sind der Einsturz der 1662 m langen Tacoma Narrows Hängebrücke (1940) und die Zerstörung des 300 m hohen Fernsehmastes in Emley Moor (1969). Hohe Schornsteine in geschweißter Stahlkonstruktion sind schwingungsgefährdet. Abhilfemaßnahmen sind in [51] und Kap. 9.6 beschrieben. In der Meßtechnik werden Wirbeldurchflußmesser für Flüssigkeiten und Gase eingesetzt. An einem in ein Rohrelement eingebauten querangeströmten Zylinder werden die Anregefrequenzen durch Wirbelablösung gemessen. Die daraus ermittelbare Sr-Zahl liefert über den Zusammenhang in Bild 8.6a zunächst die Re-Zahl und damit die Strömungsgeschwindigkeit. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung läßt sich dann der Volumenstrom ermitteln.

%HVFKOHXQLJWH.|USHUEHZHJXQJLQYLVNRVHPUXKHQGHP)OXLG

 Während in Kap. 6 die stationäre Umströmung von Körpern mit konstanter Geschwindigkeit im körperfesten Koordinatensystem untersucht wurde, betrachten wir nun das Verhalten von Körpern, die sich in einem raumfesten Koordinatensystem (Bild 3.1) unter Einwirkung von Reibung beschleunigt bewegen. Dabei entsteht ein instationäres Strömungsfeld, das zu Differentialgleichungen (Anfangswertprobleme) führt, die im allgemeinen nur numerisch zu lösen sind. Die grundsätzliche Vorgehensweise soll an zwei Beispielen zur Fall- bzw. Wurfbewegung demonstriert werden.

%HLVSLHO Eine Kugel fällt aus der Ruhe heraus - beginnend mit der Höhe z0 - durch die Atmosphäre auf die Erdoberfläche. Der zeitliche Ablauf des Vorganges bis zum Aufschlag ist zu berechnen. 8.5.1 Stahlkugel; Durchmesser D = 0,1 m; Dichte ρK = 7850 kg/m3; Fallhöhe z0 = 30 km. 8.5.2 Hartgummikugel; Durchmesser D = 0,1 m; Dichte ρK = 1400 kg/m3; Fallhöhe z0 = 30 km /|VXQJ8.5.1) Stoffwerte Luft. Gleichungen der Normatmosphäre (Kap. 2.2.3) Aufstellung der Bewegungsgleichung aus dem Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung: dz d 2 z dc z mit z = 2 = ∞ z= = c∞ m K z = − FG + FW + FA z0 dt dt dt FA ρ 2 F W FG = mK g Gl.(6.31b): FW = cW z A P Gl. (2.36): FA = ρgV K AP 2 ρK , VK Daraus resultiert die nachstehende nichtlineare gewöhnliche DifferentialgleimK chung 2. Ordnung FG ρ z ρ AP 2 ρ z = − g + cW (8.36) z +g 0 2 mK ρK Strenggenommen müssen bei der beschleunigten Bewegung eines Körpers in ruhendem Fluid auch die lokalen Beschleunigungsanteile des Fluids (Gl. 3.15) berücksichtigt werden, die aufgrund der zeitlich veränderten Körpergeschwindigkeit entstehen. Dieser Effekt läßt sich in Gl. (8.36) durch Vergrößerung der Körpermasse mK um eine fiktive Zusatzmasse mzus berücksichtigen. Die Zusatzmasse ist von der Kör-

8.4 Instationäre Umströmungsvorgänge

277

perform abhängig und liegt in der Größenordnung der vom Körper verdrängten Fluidmasse, sie ist daher bei gasförmigem Fluid stets relativ gering. Im Falle der Kugel ist es gerade die Hälfte der verdrängten Fluidmasse. Bei den in Beispiel 8.5 und 8.6 gegebenen Verhältnissen kann die Zusatzmasse vernachlässigt werden. Gl. (8.36) wird - analog zu Kap. 8.1 - mittels der Substitution y1 = z; y2 = dy1/dt = z aufgespalten in ein System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung mit den zugehörigen Anfangsbedingungen dy 2 dy1 ρ AP 2 ρ y +g = − g + cW (8.37) = y2 y1 ( t = 0) = z0 y2 ( t = 0) = 0 dt 2 mK 2 ρK dt Die mit einer Runge-Kutta-Butcher Software für Differentialgleichungssysteme [15] berechnete Lösung 4

1

10-2* ∞ [m/s] ; 10-4* [m]

  3,5   0,75 3   2,5  c∞  0,5 2  cw   1,5 c∞   0,25 1  cw  0,5 z z   0 0  0 50 100 150 200 250 s   %LOG  Reibungsbehafteter Fall einer Kugel (Dicke Linien: Beispiel 8.5.1; dünne Linien: Beipiel 8.5.2). Zeitabhängige Werte der Höhe (z), Fallgeschwindigkeit (c∞) und des Widerstandsbeiwertes (cW) von Gl. (8.37) ist in Bild 8.7 dargestellt. Hierbei sind die folgenden physikalischen Besonderheiten berücksichtigt: • Höhenabhängige Stoffwerte der Luft entsprechend der Normatmosphäre (Kap. 2.2.3). • Veränderlichkeit der Erdbeschleunigung mit der Höhe (Gl. (2.42)). • Der cW-Wert der Kugel hat einen dominierenden Einfluß auf das Ergebnis. In [33] veröffentlichte Meßresultate wurden für ein zweidimensionales Interpolationsverfahren aufbereitet, das den Zusammenhang cW = cW(Re∞, Ma∞) liefert, der in Bild 8.8 graphisch dargestellt ist. Für Werte außerhalb des Wertebereichs des Diagramms werden die Werte an den Rändern eingesetzt. Die Kugel wird in großer Höhe zunächst stark beschleunigt, sie verhält sich annähernd entsprechend der Fallgesetze im Vakuum. Nach etwa 46 s Fallzeit erfolgt aufgrund des zunehmenden Luftwiderstandes ein scharf ausgeprägter Umschlag in eine Bremsphase, die nach etwa 85 s in einen annähernden Beharrungszustand übergeht. Der Aufprall erfolgt nach t = 127,6 s mit c∞ = 203,33 m/s. Der starke Anstieg des cWWertes wird im wesentlichen von der Mach-Zahl hervorgerufen, deren Maximalwert bei t = 47,03 s Ma∞-max = 1,19 beträgt.

278

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

%LOG Widerstandsbeiwert der Kugel: cW = cW(Re∞, Ma∞). Auf der Basis der Meßwerte aus [33] 8.5.2) Die Ergebnisse der geometrisch gleichen Hartgummikugel sind in Bild 8.7 als dünne Kurven dargestellt. Der Mach-Zahl bedingte cW-Anstieg fällt geringer aus, da aufgrund der geringeren Masse nur eine Beschleunigung bis auf die Mach-Zahl Ma∞-max = 0,83 bei t = 37,7 s erfolgt, die dann für t ≥ 140 s auf Werte Ma∞ < 0,3 absinkt. Für t > 220 s ist der deutliche Abfall des cW-Wertes beim Übergang von unterzu überkritischer Kugelumströmung zu erkennen. Auch die Hartgummikugel fällt zunächst annähernd gemäß den Fallgesetzen, der Umschwung in die Verzögerungsphase erfolgt aber im Vergleich zur Stahlkugel wegen der geringeren Massenkräfte schon früher (t ≈ 38 s) und in größerer Höhe (z ≈ 24140m). Bei t > 220 s erfolgt aufgrund des Übergangs zur überkritischen Kugelumströmung nochmal eine kurzfristige Beschleunigung; bei etablierter überkritischer Strömung setzt dann wieder Verzögerung ein. Aufschlag nach t = 245,8 s mit c∞ = 93,32 m/s. %HLVSLHO Es soll eine ballistische Flugbahnberechnung für einen zylindrischen, vorn spitz zulaufenden Flugkörper mit den folgenden Daten durchgeführt werden: Durchmesser D = 0,305 m; Masse mK = 350 kg; Anfangsgeschwindigkeit c∞-0 = 430 m/s. 8.6.1 Es ist die Flugbahn für einen Anfangswinkel α0 = 45 ° und eine Anfangshöhe z0 = 1 m zu ermitteln. 8.6.2 Welche Wurfweiten ergeben sich bei den Anfangswinkeln α0 = 44 ° bzw. α0 = 46 ° ?

z ρ (z)

c∞

FW AP

α

D

mK FG α0

z0

0 /|VXQJ 8.61) Aufstellung der Bewegungsgleichungen in x- und z-Richtung aus den Kräftegleichgewichten in horizontaler und vertikaler Richtung. Auftriebseffekte werden vernachlässigt.

c∞

α cx

cz

x

8.4 Instationäre Umströmungsvorgänge x-Richtung: x=

mK x = − FW cos α 2x

d dc = x dt dt 2

279 z-Richtung: mK z = − mK g − FW sin α

x = cx

z=

d 2 z dc z = dt dt 2

z = cz

ρ Mit Gl.(6.31b): FW = cW c2∞ A P c2∞ = c2x + c2z = x 2 + z 2 sowie 2 z x c c sin α = z = cos α = x = c∞ c∞ x 2 + z 2 x 2 + z 2 erhalten wir zwei gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung ρ ρ x = − cW A P x x 2 + z 2 z = −g − cW A P z x 2 + z 2 (8.38a,b) 2 mK 2 mK Analog zu Beispiel 8.1 bzw. 8.5 läßt sich das System Gl. (8.38a,b) durch die Substitutionen dx dz =x =z y1 = x y2 = y3 = z y4 = dt dt in ein System von 4 gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen 1. Ordnung dy1 dy 3 dy 2 dy 4 ρ AP ρ AP = y2 = y4 = − cW = − g − cW (8.39) y y2 + y 24 y y 2 + y 24 dt 2 mK 2 2 dt 2 mK 4 2 dt dt mit den Anfangsbedingungen y1 ( t = 0) = x( t = 0) = 0 y2 ( t = 0) = c x0 = c∞− 0 cos α 0 (8.39) y3 ( t = 0) = z0 y4 ( t = 0) = c z 0 = c∞− 0 sin α 0 überführen. Die mit einer Runge-Kutta-Butcher Software [15] erhaltene Lösung des Systems Gl. (8.39) ist in Bild 8.9 aufgetragen. Es sind die nachstehenden physikalischen Besonderheiten berücksichtigt: • Höhenabhängige Stoffwerte der Luft entsprechend der Normatmosphäre (Kap. 2.2.3). • Veränderlichkeit der Erdbeschleunigung mit der Höhe (Gl. 2.42)). • Die Mach-Zahl Abhängigkeit des cW-Wertes des Flugkörpers ist von entscheidendem Einfluß. Es wird ein Zusammenhang ähnlich Kurve II in Bild 5.13 zugrunde gelegt, der auch den gasdynamischen Wellenwiderstand berücksichtigt.

Bild 8.9 zeigt den Vergleich der ballistischen Flugbahn z(x) mit der Wurfparabel zs(x) im Vakuum (reibungsfrei). Die Wurfweite beträgt xmax = 13075 m bei einer Flugzeit von t = 54,45 s. Die Fluggeschwindigkeit c∞ erreicht ihr Minimum kurz hinter dem Scheitelpunkt der Bahnkurve, um dann im Sinkflug wieder bis auf den Wert c∞ = 322,7 m/s beim Aufprall zuzunehmen. Der cW-Wert-Verlauf erreicht kurz nach dem Start sein Maximum, um dann zunächst mit weiter abnehmender Mach-Zahl zu sinken. Auf dem abwärtsgeneigten Ast der Bahnkurve steigen die Mach-Zahl und damit der cW-Wert wieder an. 8.6.2) Bei α0 = 44 ° beträgt die Wurfweite xmax = 13063 m. Der Wurfwinkel α0 = 46 ° ergibt eine Reichweite von xmax = 13033 m.

8 Ausgewählte Beispiele instationärer Strömungen

280 5 4,5

c∞ s

3,5 3 c∞

-3

; 10 * ∞ [m/s] ; 10 * [m]

4

2,5

1,5

-2

10*

z

cw 2

z

1 0,5 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

10 * [m]

%LOG Flugbahn eines zylindrischen Flugkörpers. Werte der Höhe (z), der Fluggeschwindigkeit (c∞) und des Widerstandsbeiwertes (cW) über der zurückgelegten Wegstrecke x. Dicke Linien: ballistische Flugbahn unter Berücksichtigung der Luftreibung; dünne Linien: Verhalten ohne Luftreibung (Index s; Wurfparabel)

+LQZHLVH]XUVWU|PXQJVJHUHFKWHQ .RQVWUXNWLRQ *UXQGUHJHOQVWU|PXQJVJHUHFKWHU.RQVWUXNWLRQ Beim Entwurf strömungsführender Bauelemente für Anlagen und Maschinen sollte der Konstrukteur diese unter Berücksichtigung des Strömungsverhaltens so gestalten, daß sie möglichst geringe Verluste erzeugen, ihre Funktion einwandfrei erfüllen und ggfs. mit niedrigen Strömungsgeräuschen arbeiten. Spezielle Anforderungen - wie z. B. Wärmeübertragungsvorgänge werden hier nicht betrachtet. Die strömungsgerechte Konstruktion beeinflußt die zu wählenden Fertigungsverfahren (z. B. Gießen oder Schweißen), die Herstellungskosten und die späteren Betriebskosten; es ist somit letzlich eine wirtschaftliche Optimierung erforderlich. Die nachstehenden Grundregeln mögen dem Konstrukteur als Anleitung dienen. ,.DQDOVWU|PXQJHQ  ,6WU|PXQJVTXHUVFKQLWWHVRJUR‰ZLHP|JOLFKDXVIKUHQ Dadurch stellt sich bei gegebenem Volumenstrom eine niedrige Strömungsgeschwindigkeit ein, die zu geringen Verlusten führt. Bei Innenströmungen gilt der hochgradig nichtlineare Zusammenhang: ∆pV ∼ 1/(D)4 ÷ 1/(D)5 (→ Gl. 4.40; 4.45, bei Kreisquerschnitten). Besonders bei verlustintensiven Bauelementen wie Sieben oder Filtern ist eine niedrige Zuströmgeschwindigkeit wichtig. Auch die Strömungsgeräusche werden mit abnehmender Geschwindigkeit geringer ( → Kap. 9.7). , 2EHUIOlFKHQJWH EHDFKWHQ Bei durchströmten Kanälen zeigt das Verhältnis ks/Dh den Einfluß der Oberflächengüte auf. Je kleiner der Strömungsquerschnitt, desto größere Sorgfalt ist auf die Oberflächengüte zu verwenden. Eine quantitative Abschätzung der durch die Rauhigkeit verursachten Verluste vermitteln die Bilder 4.8 und 6.7, denen auch die zur Erzeugung hydraulisch glatter Oberflächen – die im allgemeinen den günstigsten Fall darstellen – erforderlichen Rauhigkeiten zu entnehmen sind (s. auch Gl. (6.28)). ,'LH$XVIKUXQJGHV6WU|PXQJVNDQDOVLVWVR]XJHVWDOWHQGD‰VLFKVWU|PXQJVJQVWLJH *HVFKZLQGLJNHLWVSURILOHHUJHEHQ Dazu ist im einzelnen folgendes zu beachten: ,4XHUVFKQLWWVYHUODXIIUNRQVWDQWH*HVFKZLQGLJNHLWRGHUVWHWLJH%HVFKOHX QLJXQJ DXVOHJHQ Verzögerte Strömung ist wegen der Vorgänge in der Grenzschicht (→ Ablösung) grundsätzlich verlustreicher und schwieriger zu beherrschen als beschleunigte. Daher ist der Stromfadenquerschnitt in Strömungsrichtung so zu gestal / A ) konstant bleibt oder geringfügig ten, daß die Transportgeschwindigkeit (→ cm = V beschleunigt wird (falls erforderlich: Dichteänderung berücksichtigen). Dadurch bleiben die Grenzschichten dünn und die Verluste gering.

282

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion

 ,:HFKVHOYRQ%HVFKOHXQLJXQJHQXQG9HU]|JHUXQJHQYHUPHLGHQ Dann entstehen keine zusätzlichen Verluste in den Verzögerungsphasen. Wenn bei rotationssymmetrischen Strömungskanälen der Strömung funktionsbedingt Drall zugeführt oder entzogen wird (z. B. Strömungsmaschinen, Ringräume), so ist die Grundregel (I.3.1) auf die Transportgeschwindigkeit anzuwenden; dies ist die Geschwindigkeitskomponente senkrecht auf der betrachteten Durchtrittsfläche (sie erfüllt die Kontinuitätsgleichung) (s. cm1; cm2 in Bild 3.19 bzw. ca1; ca2 in Beispiel 3.11). ,5LFKWXQJVlQGHUXQJHQPLWJUR‰HQ.UPPXQJVUDGLHQDXVIKUHQDurch Richtungsänderungen des Strömungskanals entstehen Sekundärströmungen (s. Bild 4.12), die zu zusätzlichen Verlusten und zur Verzerrung des Geschwindigkeitsprofils führen, was wiederum in nachfolgenden Bauelementen zu größeren Verlusten führt. Diese Effekte nehmen mit abnehmendem Krümmungsradius zu. Unmittelbar aufeinanderfolgende Krümmungen des Kanals in verschiedenen Ebenen oder Richtungen verstärken diese Einflüsse noch. 



,%DXHOHPHQWHPLW4XHUVFKQLWWVHUZHLWHUXQJVLQGEHVRQGHUVVRUJIlOWLJDXV]XOHJHQ da bei konstruktiv bedingten Querschnittserweiterungen höhere Verluste entstehen als in konvergenten Kanälen (→ Kap. 9.3.1). Verzerrte Geschwindigkeitsprofile in der Zuströmung zu Bauelementen mit Verzögerung verursachen zusätzliche Erhöhung der Verluste (s. Grundregel I.3.3). ,6FKDUIH(FNHQ.DQWHQ6WROSHUNDQWHQ.QLFNHXQG9HUVDW]EHLGXUFKVWU|PWHQ .DQlOHQ YHUPHLGHQ Diese Störungen der Geometrie erzeugen bevorzugt verlustreiche abgelöste Strömung. Der Konturverlauf von Strömungskanälen sollte mathematisch bis zur 1. Ableitung stetig sein. Durch Vermeidung von Ablösung werden auch die Strömungsgeräusche vermindert. ,'LH=XVSHLVXQJYRQ1HEHQVWU|PHQLQHLQH+DXSWVWU|PXQJsollte stets so gestaltet werden, daß die Richtung des zugespeisten Fluids weitgehend mit der Richtung der Hauptströmung übereinstimmt, dadurch wird die Störung des HauptströmungsGeschwindigkeitsprofils minimiert.

 ,,8PVWU|PWH.|USHU

,, 6FKDUIH (FNHQ .DQWHQ XQG .UPPXQJVVSUQJH EHL XPVWU|PWHQ .|USHUQ YHUPHL GHQ Besonders im vorderen Bereich sind umströmte Körper (insgesamt oder zumindest die Vorderkanten) stets großzügig abzurunden, da sonst selbst im Bereich der beschleunigten Strömung Ablösung auftreten kann (s. Kap. 9.5. Bei Überschallanströmung gelten andere Regeln, s. Kap. 5.2.3.4; 6.4.3). Eine optimale Formgebung umströmter Körper verlangt einen Konturverlauf ohne Krümmungssprünge, die mathematische Beschreibung der Kontur muß bis zur 2. Ableitung stetig sein. Dies ist besonders im Bereich verzögerter Strömung (hinterer Bereich des Körpers) wichtig. ,,2EHUIOlFKHQJWHEHDFKWHQBei größeren ebenen oder schwach gekrümmten umströmten Oberflächen gestattet Gl. (6.28) eine Optimierung der Oberflächengüte. Eine quantitative Abschätzung der Verluste durch Rauhigkeit vermittelt Bild 6.7. ,, 6RUJIlOWLJH $XVIKUXQJ GHV +LQWHUWHLOV VWXPSIHU .|USHU PLW GHILQLHUWHQ $EO|VHVWHO OHQ Das Körperende bestimmt maßgeblich den Druck- und Gesamtwiderstand. Der Körper ist so zu gestalten, daß die Basisfläche klein und der Basisdruck hoch wird (s. Kap. 6.3; 9.5).

9.2 Konstruktion von durchströmten Kanälen und Gehäusen

283

,,,%HVRQGHUKHLWHQEHL)OVVLJNHLWHQ  ,,,%HL)OVVLJNHLWHQLVWGHU'DPSIGUXFN]XEHDFKWHQ Unterschreitung des Dampfdruckes führt zur Kavitation (→ Kap. 4.2; 9.7), die bleibende Schäden am Bauteil hervorrufen kann. Mit zunehmender geodätischer Höhe innerhalb des Stromfadenverlaufs, bei starker Beschleunigung (→ Armaturen) und hohen Temperaturen besteht besondere Kavitationsgefahr. ,,, %HL %HKlOWHUQ PLW UXKHQGHQ )OVVLJNHLWHQ VLQG 'UXFNYHUVWlUNHUHIIHNWH ]X YHUPHL GHQ Bei vollständig mit Flüssigkeit gefüllten geschlossenen Behältern kann es zur Steigerung des Innendruckes - und damit zur Erhöhung der Belastungen der Begrenzungswände kommen, sobald ein Flüssigkeitsfaden von noch so geringem Querschnitt (Ausgleichsleitung, Einfüllstutzen) den höchsten Flüssigkeitsstand im Behälter übersteigt (s. Bild 2.5).  ,,,'UXFNNUlIWHDXIJHQHLJWH:lQGHSUIHQ Diese Kräfte sind unabhängig vom Volumen der benetzenden Flüssigkeit, sie werden nur von der Höhe des Flüssigkeitsstandes beeinflußt. Daher können dünne Flüssigkeitsschichten große Kräfte hervorrufen (Kap. 2.1.3.1). 

.RQVWUXNWLRQYRQGXUFKVWU|PWHQ.DQlOHQXQG *HKlXVHQ

x

D

L

c (x)

%LOG Konstruktion rotationssymmetrischer Strömungskanäle. D Geometrie eines Rückschlagventils mit eingezeichneten Kreisen zur Ermittlung des Flächenverlaufs. E Zugehöriger Verlauf der Transportgeschwindigkeit

Dm

DK

Bei der Konstruktion komplexerer Strömungsführungen in Kanälen und Gehäusen ist der Querschnittsverlauf von entscheidender Bedeutung (Grundregeln I.1 und I.3.1). Der Konstrukteur erstellt z. B. einen ersten Entwurf. Dann ermittelt er durch einbeschriebene Kreise den Flächenverlauf. Bei dem in Bild 9.1 dargestellten Ringraum eines Rückschlagventils beträgt der Flächen-

E

0

L

verlauf A(x) = DK⋅Dm⋅π und damit die Geschwindigkeit c(x) = V /A(x). Nach Sichtung des Geschwindigkeitsverlaufs lassen sich gezielte Änderungen am Konturverlauf vornehmen (Gundregel I.3.1), die wiederum zu überprüfen sind, so daß sich iterativ eine unter den gegebenen konstruktiven Randbedingungen optimale Lösung für den Geschwindigkeitsverlauf er-

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion

284

gibt. Bei einfacheren geometrischen Verhältnissen läßt sich ein gewünschter Flächenverlauf auch direkt konstruieren. In Bild 9.2 werden zwei unterschiedliche Konstruktionen für Axialturbinengitter bei gleichen strömungstechnischen Aufgabenstellungen verglichen. Die Strecke amin kennzeichnet die engste Stelle des Schaufelkanals. Im Abstand amin ist eine Äquidistante zur Profildruckseite eingezeichnet, die sehr deutlich den Flächenverlauf erkennen läßt. Gitterkonstruktion b verstößt gegen die Grund regeln (I.3.1) und (II.1): der Flächenverlauf ist nicht monoton abnehmend und die Kontur ist aus Kreisbögen und Geraden zusammengesetz (→ Krümmungssprünge). Vergleichsmessungen zeigten, daß das unter Beachtung der Regeln (I.3.1) und (II.1) konstruierte Gitter a im gesamten Betriebsbereich geringere Verluste aufweist ( bis zu -38 %).

a min

D

a min

E

%LOG Axialturbinengitter für starke Umlenkung. D Profil mit stetigem Krümmungsverlauf und monotonem Flächenverlauf. E Profil aus Geraden und Kreisbögen (→ Krümmungssprünge) mit nichtmonotonem Flächenverlauf



Wenn bei 90 °- Umlenkungen von Strömungskanälen die Verluste zu minimieren sind oder das Strömungsprofil hinter der Umlenkung möglichst homogen bleiben soll, sind Umlenkbleche einzusetzen. Bild 9.3 zeigt die optimale Geometrie solcher Umlenkvorrichtungen. Die Bleche, deren Anzahl z ≥ 7 sein sollte, bestehen aus einem Viertelkreis, der an seinen Enden durch gerade Stücke verlängert ist, die unter den Winkeln β1 bzw. β2 gegenüber der Viertelkreiskontur abgeknickt sind. t 2

l

0,1 ⋅ l

β1 = 0,8°

l

c

t

46,2° c

t 2

11 0,6 R=

⋅l

β2 = 5°

D

E

0,1 ⋅ l

 %LOG Beschaufelte Umlenkecke. D Anordnung des Umlenkgitters. Optimales Teilungsverhältnis für minimale Verluste: t/l = 0,4; für homogene Abströmung: t/l = 0,20 ÷ 0,25. E Geometrie des Umlenkbleches [68]

Bei mit hohen Geschwindigkeiten durchströmten Kanälen, deren Auslaß in einen großen Raum (Umgebung) mündet, kann durch einen Austrittsdiffusor ein Teil der kinetischen Austrittsenergie (→ Austrittsverlust) in Form von Druckerhöhung zurückgewonnen werden. Aus Tab. 11.11 IV ist ersichtlich, daß der Austrittsverlustbeiwert ζA des nicht erweiterten Kanals stets größer

9.2 Konstruktion von durchströmten Kanälen und Gehäusen

285

ist als der entsprechende Wert ζA-Diff bei Verwendung eines Austrittsdiffusors. In der Praxis bedeutet dies, daß Kanäle mit Austrittsdiffusor konstruktiv günstiger sind, da sie für eine gegebene strömungstechnische Aufgabenstellung insgesamt eine geringere treibende Druckdifferenz benötigen. Ein weiterer Vorteil besteht darin, daß aufgrund der geringeren Austrittsgeschwindigkeit auch die Geräuschentwicklung des Austrittsstrahls abnimmt. Das Prinzip soll an einem Beispiel demonstriert werden. Bild 9.4 zeigt einen flüssigkeitsgefüllten Windkessel, der über eine Rohrleitung der Gesamtlänge L in die Umgebung entleert wird. Dabei soll - bei sonst gleichen Randbedingungen - der Vorgang sowohl ohne Austrittsdiffusor (obere Darstellung; c →  ) als auch mit Austrittsdiffusor (untere Darstellung; c → d → e; c2-Diff; V  Diff ; ηDiff) d; c2; V untersucht werden. Die Anwendung des Energiesatzes Gl. (3.43b), des Verlustansatzes (4.67a) und der Diffusorgleichung (4.51b) liefert das Verhältnis der Rohrströmungs-Geschwindigkeiten bzw. der Volumenströme mit und ohne Austrittsdiffusor:

c2 − Diff c2

⎞ ⎛ L + ∑ ζ12⎟ 1+ ⎜λ  ⎠ ⎝ Dh V >1 = Diff =  V ⎞ ⎛ L − LDiff 2 + ∑ ζ12⎟ 1 + ηDiff (A 2 A 3) − 1 + ⎜ λ ⎠ Dh  ⎝

[

(9.1)

]

15 °) läßt sich die Strömungsablösung reduzieren und ein gleichmäßigeres Geschwindigkeitsprofil erzeugen [50].  $QGHUH %DXIRUPHQ Konstruktive (→ Platzmangel) und fertigungstechnische Randbedingungen lassen oft die Verwendung der vorstehenden klassischen Diffusorbauformen nicht zu. Der Stufendiffusor Bild 4.9a erzeugt bei einer Mischlänge von LM ≈ 7(D2 - D1) den jeweils optimalen Druckaufbau. (Gl. (4.48; 4.49; Bild 4.10). Dann ist er effizienter als klassische Diffusoren mit Öffnungswinkeln ϑ > 30 °. Die gesamte Flächenerweiterung des Stufendiffusors kann auch in mehreren (n) Stufen erfolgen, wodurch bei optimaler Ausführung die Verluste auf 1/n des einfachen Stufendiffusors reduziert werden [13]. Eine weitere Variante ist der Kurzdiffusor, Bild 9.6a. Hierbei geht die zunächst stetige Erweiterung in einen stufenförmigen Querschnittssprung über. Anwendungsbeispiele sind die Kurzventurirohre und -düsen zur Mengenmessung [72]. Bei diesen beträgt der Öffnungswinkel ϑ = 7 ÷ 15 ° und die Länge wird auf L/ = 0,65L verkürzt, ohne daß sich der Druckaufbau wesentlich ändert. 2 1

δopt δopt

A2 D1

ϑ

A1

2δopt

2δopt 2δopt A1

L

E

2δopt 2δopt

δopt δopt

L’

D

1

2

H1

2

D1

1

2δopt

F

%LOG Weitere Ausführungsformen von Diffusoren. D Kurzdiffusor. EKonischer Mehrfachdiffusor, ϑopt ≈ 4 °. F Rechteckiger Mehrfachdiffusor konstanter Tiefe T; ϑopt ≈ 5 °

Bei großen Erweiterungswinkeln können Mehrfachdiffusoren gemäß Bild 9.6b,c eingesetzt werden. Die Öffnungswinkel der einzelnen Kanäle orientieren sich primär am optimalen Öffnungswinkel des klassischen Diffusors: ϑopt ≈ 4 ÷ 5 ° (s. Kap. 4.3.4.2), sie können jedoch auch entsprechend Bild 9.5a und c bestimmt werden. Die Aufteilung des Massenstroms auf die einzelnen Kreisring - bzw. Rechteckkanäle kann in jeweils gleichen Teilen erfolgen.

%DXHOHPHQWH]XU%HVFKOHXQLJXQJ'VHQ Da durch den Druckabfall bei beschleunigter Strömung auch den Grenzschichtzonen stetig neue fluidmechanische Energie zugeführt wird, nehmen die Geschwindigkeitsprofile immer fülligere Formen an, und es besteht kaum Ablösegefahr. Die entstehenden Verluste sind - verglichen mit einem Diffusor - gering. Daher gestaltet sich die Konstruktion beschleunigender Bauelemente wesentlich einfacher. Für geringe Ansprüche sind konische Düsen (Tab. 11.11 I) einzusetzen,

9.3 Bauelemente zur Geschwindigkeitsänderung

289

wobei auf die Ausrundung von Knickstellen und Kanten zu achten ist. Für hohe Ansprüche an die Homogenität des Austrittsprofils (z. B. Windkanaldüsen) stehen optimierte Konturgeometrien zur Verfügung. Bei dem in [32] beschriebenen Verfahren für inkompressible Strömung müssen die bezogene Düsenlänge L/D1 (Bild 9.7a) und der sogenannte Gleichförmigkeitsgrad ∆c2 = (cW2 - cM2)/cM2 gewählt werden (Empfehlung: ∆c2/cM2 ≤ 0,02). cM2 ist hierbei die Austrittsgeschwindigkeit in Kanalmitte und cW2 die reibungsfreie Austrittsgeschwindigkeit an der Außenkontur. Zur Erzielung einer ablösefreien Düsenaustrittsströmung ist der Konturparameter X = xWP/L, der die Lage des Konturwendepunktes WP kennzeichnet, nach Bild 9.7b zu bestimmen. Dann ist die Düsenkontur berechenbar:

⎧ 1 ⎛ x⎞3 ⎪1⎜ ⎟ D( x ) − D 2 ⎪ X 2 ⎝ L ⎠ =⎨ 3 D1 − D2 ⎪ 1 ⎛⎜ 1− x ⎞⎟ ⎪ (1− X)2 ⎝ L ⎠ ⎩

x x ≤ X = WP L L

für für

(9.4)

x x > X = WP L L

Dieses Verfahren ist besonders für raumsparende Konstruktionen geeignet, da gezielt kleine Werte der relativen Düsenlänge im gängigen Bereich 0,75 ≤ L/D1 ≤ 1,25 realisierbar sind. Zur vollständigen Auslegungsrechnung von Hochleistungsdüsen gehört auch noch eine Überprü1,0

2

1

0,75

x WP

cM 2

x

x WP L X=

cW2 D2

A1

D

0,8

Dx

D1

WP

0,6

0,85

L / D1 0,85

1,0

A2

L

0,4

0,2

E

1,0 L = 1,25 D1

1,25 0

4

8

A1 A2

12

16

%LOG Auslegung rotationssymmetrischer Düsen. D Konturgeometrie. E Auslegungsdiagramm. Durchgezogene Linien: Ungleichförmigkeitsgrad ∆c2/cM2 = 0,014; gestrichelte Linien: ∆c2/cM2 = 0,02

fung bezüglich möglicher Ablösung im Eintrittsbereich, hierzu sei auf die Quelle [32] verwiesen. Zur Konstruktion von Düsen mit rechteckigem Querschnitt kann der mit Gl. (9.4) er-mittelte Flächenverlauf A(x) einem Rechteckquerschnitt B(x)⋅H(x) gleichgesetzt werden. Grundsätzlich sind jedoch rotationssymmetrische Düsen strömungstechnisch günstiger als solche mit quadratischem oder rechteckigem Querschnitt. In letzterem treten Sekundärströmungen auf, die sich mit zunehmender Abweichung vom Seitenverhältnis B(x)/H(x) = 1 verstärken. Beim Einbau einer Düse in einen Windkanal ist zu beachten, daß das letzte Sieb stromaufwärts

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion

290

mindestens 0,2D1 vor der Düse angebracht werden muß. Ein Anschluß eines zylindrischen Ansatzes der Länge ∆L = 0,3D2 an die Düsenaustrittsebene d ist zu empfehlen, da er den dortigen Ungleichförmigkeitsgrad ∆c2/cM2 nochmals auf etwa 1/10 reduziert.

$EEDXYRQ6WU|PXQJVXQJOHLFKI|UPLJNHLWHQ Strömungsungleichförmigkeiten sind Abweichungen des Geschwindigkeitsprofils ge- genüber einer homogenen Parallelströmung normal zum betrachteten Querschnitt. Wir unterscheiden Ungleichförmigkeiten der Geschwindigkeitskomponenten in Strömungsrichtung (longitudinale Störungen) und Drehbewegungen mit der Geschwindigkeitskomponente cu um die Stromfadenachse (Drallstörungen). %HUXKLJXQJVVWUHFNHQ In geraden Kanalstrecken werden Ungleichförmigkeiten durch Ausgleichsvorgänge abgebaut, die erforderlichen Lauflängen sind jedoch relativ lang. Gerade Rohrleitungen der Länge L ≥ 10D sind vor Meßgeräten erforderlich. Die Länge L ist vom Meßgerät und von der Vorgeschichte der Strömung abhängig (s. Tab. 4.3; [72]). Longitudinale Störungen werden besser ausgeglichen aus Drallstörungen (Kap. 4.3.4.3). 6LHEH Durch ein oder mehrere hintereinandergeschaltete Siebe werden Ungleichförmigkeiten abgebaut. Dies geschieht nach dem Prinzip, daß an Stellen höherer Geschwindigkeit die Verluste an fluidmechanischer Energie im Sieb größer sind als bei mittleren und niedrigen Geschwindigkeiten. Die Umwandlung von kinetischer Energie in Dissipationsenergie ist daher an diesen Stellen stärker und führt zu einem Ausgleich der Schwankungen in longitudinaler Richtung. Drallstörungen werden weniger gut ausgeglichen. Bild 9.8a zeigt die Wirkung eines Siebes auf ungleichförmige Zuströmung. Aus Bild 9.8b folgt, daß bei einer Verlustzahl des Sie ∆c1 c m 2

∆c 2

1

∆c2 1 + k (1 − ζ) = ∆c1 1 + k +ζ

∆c 2 ∆c1

c m1

x

0 k =1,1 / 1 + ζ

-1

D

Sieb

E

2

4

6 8 ζ(Σζi )

%LOG Wirkung von Sieben. D Prinzipdarstellung. E Zusammenhang zwischen Störungsamplitude und Verlustzahl

bes von ζ ≈ 2,5 (s. Tab. 11.11V) die Störung ausgelöscht wird; für ζ > 2,5 tritt ein Vorzeichenwechsel der Störungsamplitude ein. Das Sieb sollte eine Porosität β ≥ 0,57 (Tab. 11.11V) besitzen, weil sonst zusätzliche Turbulenzen entstehen. Der Wert ζ = 2,5 wird optimal durch mehrere hintereinandergeschaltete Siebe erreicht, für die Σζ = 2,5 gilt. Dies wirkt sich auch günstiger auf Drallstörungen aus. Der Abstand zwischen den Sieben sollte zu ∆L ≥ 500 s (s: Drahtdurchmesser) gewählt werden (Abbau der Drahtnachlaufturbulenzen). Siebe sind wegen der Verschmutzungsgefahr nur bei sauberen Fluiden einsetzbar. *OHLFKULFKWHUdienen primär der Auslöschung von Drallstörungen. Dazu werden in den Strömungsquerschnitt A Einbauten der Länge L mit Kreis- oder Sechseckwabenstruktur eingebracht

9.4 Abbau von Stömungsungleichförmigkeiten

A

DG

291

%LOG Strömungsgleichrichter. Einbauten mit Kreisbzw. Sechseckwabenstruktur

D L

(Bild 9.9). Bei kreisförmigen Gleichrichterzellen sollte L ≥ 20D und D ≤ 0,2DG gewählt werden,die Verlustzahl beträgt dann ζ ≈ 5. Bei Wabenzellen mit dem hydraulischen Durchmesser Dh werden L ≥ (6 ÷ 10)Dh und Dh ≈ (0,01 ÷ 0,02)DG empfohlen. Für die Verlustzahl kann dann ζ ≈ 0,5 angesetzt werden. Als Strö-mungsgleichrichter geeignete Wabenstrukturen aus Aluminium mit Stegstärken von ca. 1/10 mm werden als Serienbauelemente für Sandwichkonstruktionen produziert. .RQWUDNWLRQHQ Düsen mit dem Kontraktionsverhältnis A1/A2 = (D1/D2)2 > 1 eignen sich hervorragend zum Abbau von Strömungsungleichförmigkeiten. In Bild 9.10 ist in Ebene c eine Ungleichförmigkeit mit den Geschwindigkeitskomponenten c1 und cu1 dargestellt. Diese drallbehaftete Delle verläßt die Düse in Ebene d mit den Geschwindigkeitswerten c2 und cu2 . Die mittleren Geschwindigkeiten in den Kontrollebenen betragen cm1 bzw. cm2. Die Drücke p1 und p2 sind in den Querschnitten c bzw. d jeweils konstant (keine Stromlinienkrümmung, s. Gl. (3.28)). Nun formulieren wir den reibungsfreien Energiesatz sowohl für ein Fluidelement mit mittlerer Geschwindigkeit cm als auch für die Ungleichförmigkeitsstelle 1

2

c1

c2 c u1

(9.5b)

%LOG Abbau von Strömungsungleichförmigkeiten in einer Düse. Definition der Ungleichförmigkeit und geometrische Verhältnisse

A1

x

cu2

D2

ρ ρ p1 + c12 = p2 + c22 2 2

(9.5a)

A2

ρ 2 ρ c m1 = p2 + c2m2 2 2

R1 D1

p1 +

  cm2 α2 c u 2

c m1 c2

Subtrahieren wir Gl. (9.5b) von Gl. (9.5a) so erhalten wir

c2m1 − c12 = c2m2 − c22

c2m1 c2m1 − c12 c2m2

c2m1

=

c2m2 − c22 c2m2

(9.6a,b)

wobei Gl. (9.6b) durch einfache Umformung aus Gl. (9.6a) hervorgeht. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung (3.31b) ergibt sich daraus der Abbau der Ungleichförmigkeit c1/cm1 auf den Wert c2/cm2 am Düsenaustritt

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion

292

⎛A ⎞ c2 = 1− ⎜ 2⎟ ⎝ A1 ⎠ c m2

2⎡

⎛ ⎞ ⎢1 − ⎜ c1 ⎟ ⎝ ⎢ c m1⎠ ⎣

2⎤

⎥ ⎥ ⎦

(9.7)

Durch Anwendung von Drallsatz (3.78) und Kontinuitätsgleichung (3.31b) erhalten wir auch den Abbau des Drallwinkels α

tan α 2 = tan α1 A 2 A1

(9.8)

Der Vergleich von Gl. (9.7) und (9.8) zeigt, daß der Drallwinkel α1 schwächer abgebaut wird als die longitudinale Störung c1/cm1. Daher ist bei drallbehafteter Düsenzuströmung ein Gleichrichter vor der Düse anzuordnen. Bild 9.11 zeigt in eindrucksvoller Weise den Abbau von künstlich erzeugten Störungen des Zuströmgeschwindigkeitsprofils in einer Windkanaldüse und die Treffsicherheit von Gl. (9.7).

c1 c m1

I

1,0

1,0

II c2 cm2

I II

0,5

0,5

1,0

0,5

0

0,5

D

r R1

1,0

0,44

0,22

0

E

0,22

0,44

r R1

%LOG Experimenteller Nachweis zum Abbau von Strömungsungleichförmigkeiten in einer Windkanaldüse mit dem Kontraktionsverhältnis A1/A2 = 5,19. D Durch Siebe künstlich erzeugte Ungleichförmigkeit der Düsenzuströmung. E Abbau der Ungleichförmigkeit am Düsenaustritt. Die eingezeichneten Punkte markieren die nach Gl. (9.7) berechneten Werte für die Kanalmitte. Meßwerte nach [61]

Bild 9.12 zeigt ein kompaktes Bauelement zum Abbau von Strömungsungleichförmigkeiten in Rohrleitungen. Einem ϑ = 15 ° Kurzdiffusor folgt ein Gleichrichter mit 12 Radialrippen. Die Rippen unterstützen durch ihre Verdrängungswirkung den Kurzdiffusor und bauen den im Dif-

 

15°

1,2D

0,72 D

45°

1D 3D

Schnitt A-B

D

%LOG Kompaktes Bauelement zum Abbau von Drallstörungen und Verzerrungen des Longitudinalprofils. Verlustzahl (bezogen auf Eintrittsdurchmesser D) ζ ≈ 0,33

2D D

A

0,5D B

9.5 Widerstandsverminderung umströmter Körper

293

fusor gemäß Gl. (9.8) künstlich erhöhten Drallwinkel weitgehend ab. In der Düse erfolgt weitere Reduktion des Drallwinkels gemäß Gl. (9.8) und eine Homogenisierung des Longitudinalprofils gemäß Gl. (9.7). Das Bauelement ist relativ unempfindlich gegen Verschmutzung.

:LGHUVWDQGVYHUPLQGHUXQJXPVWU|PWHU.|USHU 6FKODQNH.|USHUPLWGRPLQLHUHQGHP5HLEXQJVHLQIOX‰ (EHQH3ODWWHDie ebene Platte mit der Länge l und konstanter Dicke d stellt die konstruktiv einfachste Form dar. Die Vorderkante ist als Halbkreis (besser: Halbellipse) auszuführen, die Hinterkante sollte spitz zulaufen (halber Öffnungswinkel des Hinterkantenkeils ca. 22 ° );. ein Schlankheitsgrad von l/d ≥ 4 ist empfehlenswert. Die Oberflächen dürfen keine Absätze, Nuten oder Versprünge quer zur Strömungsrichtung aufweisen. Dort kommt es zu verlustbehafteter Ablösung und Neuanlauf der Grenzschicht gegebenenfalls mit Umschlag in Turbulenz. Dies führt zu höheren Reibungsverlusten, da der Effekt der mit wachsender ununterbrochener Lauflänge abnehmenden Wandschubspannungen (s. Gl. (6.23)) nicht genutzt werden kann. Optimale Oberflächengüte ergibt sich gemäß Gl. (6.28); der vordere Plattenbereich ist besonders sorgfältig auszuführen. 7URSIHQIRUP Für strömungstechnisch höhere Ansprüche ist die Tropfenform mit elliptisch gerundeter Vorderkante, schwach gewölbter Oberfläche und schlanker Verjüngung zur spitzen Hinterkante zu wählen. Als Beispiel sind ungewölbte Profile der 4-ziffrigen NACA-Profilsystematik zu empfehlen. Tab. 9.1 enthält geometrische, aerodynamische und für die Festigkeits- und Schwingungsrechnung relevante Daten einer Systematik von NACA-Tropfen unterschiedlicher maximaler Dicke dmax/l. Der NACA-Code gestattet anhand von Bild 11.9 die Berechnung der Tropfengeometrie y(t). Derartige Profile bieten sich z. B. als hochwertige Stützrippen an, sie sind unempfindlich bei Falschanströmung. Bei Gasströmungen im transsonischen und Überschallbereich gelten andere Gestaltungsrichtlinien (→ Kap. 5.2.3.4; 6.4.3). 7DEGeometrische und aerodynamische Daten von ungewölbten 4-ziffrigen NACA-Profilen NACA 0015 0,15 0,0064 8,61⋅106 10,150 12,833 5,5796

e x −min

NACA 0018 0,18 0,0070 7,84⋅106 12,189 22,210 6,7083

II

NACA 0021 0,21 0,0080 8,34⋅106 14,210 35,186 7,8138

NACA 0025 0,25 0,0093 8,79⋅106 16,925 59,496 9,3029

0009

e x −max

0012

x

S

0,3 ⋅ l 0,421 ⋅ l

D

0015

2ϑH

I 0

rN

m ax

%LOG Symmetrische 4-ziffrige NACA-Tropfen. D Geometr. Daten: S: Schwerpunkt; I, II: Hauptträgheitsachsen; e: Randfaserabstände; A: Fläche; II, III: Hauptträgheitsmomente. E Tropfenvarianten

NACA 0012 0,12 0,0129 0,7⋅106 8,12442 6,5730 4,4749

d

dmax/l cW bei αA = 0 und Re = A/l2⋅102 II/l4⋅105 III/l4⋅103

NACA 0009 0,090 0,0052 3⋅106 6,0880 2,7703 3,3442

ey

NACA-Code

I

0018

l 0021

II

tan ϑH εH = = 1,13 d max / l

E

0025

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion

294

6WXPSIHXQGIOOLJH.|USHUPLWGRPLQLHUHQGHP'UXFNZLGHUVWDQG Der bei diesen häufig zylindrischen oder prismatischen Geometrien überwiegende Druckwiderstand (→ Kap. 6.3.2) wird wesentlich von der Form des Körpervorder- und –hinterteils bestimmt. Das Mittelteil weist im wesentlichen verhältnismäßig geringe Reibungsverluste auf, dient aber auch der Entwicklung der Strömung auf dem Weg zum hinteren Teil. .|USHUYRUGHUWHLOZur Vermeidung von hohen Übergeschwindigkeiten mit anschließender Ablösung an den Außenkanten sind die Vorderteile halbkreisförmig bzw. elliptisch auszuführen oder zumindest sind die Kanten abzurunden. Bild 9.14a zeigt unter anderem die Verbesserung des cW-Wertes bei abgerunde2,0

c w = 0,88

cw

c∞

2D

h

c∞

0,75 l

c w = 0,82 c w = 0,80

1,0 ∆c w = 0,37

0,5

3D h

c∞

l

c w = 0,73

0 2

1

D

3

4

5 l h

6

E

%LOG Widerstandsreduktion durch Körperverlängerung. D Stumpfe und im vorderen Bereich gut ausgerundete Körper (Breite b → ∞). E Querangeströmte Kreiszylinder mit Abflußkörpern (Breite b→ ∞); unterkritische Zylinderumströmung, 104 ≤ Re∞ ≤ 105

tem Vorderteil gegenüber der stumpfen Ausführung. Bild 9.15a verdeutlicht die Wirkung der Kantenabrundung bei zweidimensionaler Umströmung (querangeströmte Körper mit b → ∞). Optimal sind Radienverhältnisse von r/h ≈ 0,2. Bei dreidimensionaler Strömung (längsangeströmter Körper) sind Radienverhältnisse von r/h ≈ 0,1 empfehlenswert. Die Umströmug der Vorderkanten kann auch durch Leitbleche verbessert werden. Bei trans- und supersonischen Gasgeschwindigkeiten ist das Körpervorderteil kegeloder keilformig auszubilden (s. Bild 5.13). 0LWWHOWHLO(exakt oder näherungsweise konstanter Querschnitt). Auf der Mantelfläche legt sich die Kan

2,0

D

r

c∞

c∞

cw

1,5

D

l

h

1,0 2,5D c∞

D

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6 r 0,7 h

E

h

0,5

1,5h

∆c w l cw D 0,25 -0,15 2,0 -0,30 3,2 -0,42 4,5 -0,43 D ∆c w = −0,40 cw ∆c w = −0,19 cw

%LOG Widerstandsreduktion durch Kantenabrundung und Trennplatten. D Einfluß der Kantenabrundung bei zweidimensionaler Umströmung (b → ∞), [13], (s. auch Tab. 11.15). EEinige Beispiele für den Einfluß von Trennplatten (b → ∞; 104 ≤ Re∞ ≤ 105), [13, 23]. Bei überkritischer Zylinderumströmung und l/D = 3,2 wurde ∆cW/cW = -0,10 gemessen [46]

9.5 Widerstandsverminderung umströmter Körper

295

tenablöseblase wieder an, die hohen Übergeschwindigkeiten der Kantenumströmung werden verzögert, der Druck steigt an. Dazu ist eine bestimmte Länge erforderlich. Bild 9.14a zeigt, daß ab Längenverhältnissen von l/h ≈ 3 ÷ 4 der Widerstand minimal wird.

%LOG Widerstandsreduktion durch teilweisen Einzug des Körperhinterteils (bob tailing) eines längsangeströmten Kreiszylinders [24]

-0,06 -0,04

β

-0,08

D

∆cW

.|USHUKLQWHUWHLO Basisdruck und Basisfläche werden durch die Form des Hinterteils beeinflußt. Durch Einziehen des Querschnitts (verjüngen) verringert sich die Basisfläche AB und der Basisdruck pB steigt (→ Bild 6.10, unterer Körper). Bild 9.15a (untere Kurve) zeigt die Verbesserung des cW-Wertes durch vollständigen Einzug des Hinterteils (→ boat tailing). Die günstigste Form des vollständig eingezogenen Hinterteils ist eine Halbellipse der bezogenen Länge lh/h ≈ 1,5 ÷ 2. Möglich ist auch eine kegel- oder keilförmige Verlängerung mit dem Längenverhältnis lh/h ≈ 3 ÷ 4. Bild 9.14b zeigt die Anwendung bei querangestömten Zylindern, hierbei werden auch die abgehenden instationären Wirbelstraßen (Kap. 8.4.1) unterbunden. Angewendet werden auch kegel- oder keilför-0,14 mige Hinterteilformen, die stumpf abgeschnitten sind (bob -0,12 tailing). In Bild 9.16 sind dazu Meßergebnisse eines längsβ = 22° angeströmten Kreiszylinders dargestellt. Optimale Resultate -0,10 wurden für ß = 22 ° und lh/D ≈ 0,75 ÷ 1,0 erzielt. Auch durch

lh 0 0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1,50 lh D

Abrundung der Hinterkanten mit Radien von rh/D > 0,17 wurden Verbesserungen an längsangeströmten Zylindern erreicht, die sich bis rh/D ≈ 0,3 steigern ließen (s. auch Bild 9.15a). Der Übergang vom Mittelzum verjüngten Hinterteil muß in allen Fällen stetig ohne Knicke erfolgen. Abgeschnittene eingezogene Körperhinterteile werden auch bei Pkw-Hecks (ß ≈ 10 °) und Flugkörpern im Überschall (ß ≈ 8 °) angewendet. Eine weitere Anhebung des Basisdruckes läßt sich durch Beeinflussung des Nachlaufs hinter dem Körper mittels konstruktiver Eingriffe wie Umlenkflügel, Ausblasung, nachgestellte Staukörper [24] erreichen. Wichtigstes Konstruktionselement ist die Trennplatte (Splitterplate). Durch Anordnung einer solchen Trennplatte in der Mittelachse des Nachlaufs von querangeströmten zylindrischen oder prismatischen Körpern, Platten und allen Körpern, die Wirbelstraßen erzeugen, kann die Entwicklung der Wirbelstraße im Nachlauf nachhaltig beeinflußt werden. Dies führt zu einer Verringerung der Strouhal-Zahl auf etwa die Hälfte des ursprünglichen Wertes; unter extremen Bedingungen kann die Periodizität des Nachlaufs völlig ausgelöscht werden. Der Widerstand wird merklich reduziert, Gl. (8.34) gilt jedoch nicht mehr. Bild 9.15b zeigt einige Beispiele für die relative Widerstandsabnahme ∆cW/cW = (cW-mit Trennplatte -cW)/cW. Bei konstruktiven Ausführungen von Trennplatten ist die Schwingungsanregung durch die periodischen Strömungskräfte der rudimentären Wirbelstraße zu berücksichtigen.

$XVUXQGXQJ DQ 'XUFKGULQJXQJVVWHOOHQ An Durchdringungsstellen von zwei umströmten Körpern (z. B. Anschluß Stützrippe/Nabe, Tragflügel/Rumpf, Axialschaufelblatt/Schaufelfuß) treten zusätzliche Interferenzwiderstände auf (s. Kap. 6.4.2), die positiv oder negativ sein können. Durch Ausrundung der Durchdringungsstelle können merkliche Widerstandsverringerungen erzielt werden.

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion

296

9HUPHLGXQJVWU|PXQJVLQGX]LHUWHU6FKZLQJXQJHQ 6FKZLQJXQJHQ GXUFK :LUEHOVWUD‰HQ Wirbelstraßenerzeugende querangeströmte Prismen, Quader, Zylinder mit Kreis- oder beliebigem stumpfen Querschnitt sind periodisch anregenden Strömungskräften (Druckkräfte) ausgesetzt, deren Frequenz f mit Hilfe der Strouhal-Zahl ermittelt werden kann (Kap. 8.4.1). Treten im Betriebs Anströmgeschwindigkeiten auftreten, deren anregende Frequenz f im Bereich der Eigenfrequenz fe der Struktur liegt, so ist Schwingungsanfachung möglich, die bei mangelnder Dämpfung zu Schäden führen kann. Die Erregerkräfte an quadratischen Prismen betragen etwa das Vierfache derjenigen von Kreiszylindern.

0,12D

B

A

Schnitt A-B

B

Schnitt A-B D

D

0,12D

L

L

A

0,2L

0,2L

Durch entsprechende konstruktive Maßnahmen können die anregenden Kräfte reduziert werden. Eine Trennplatte (Bild 9.15b) mit l ≥ 2D führt zu deutlicher Anregungsverminderung, sie ist jedoch nur für eine Anströmrichtung wirksam, es sei denn, sie ist drehbar gelagert (Windfahnenprinzip). Verminderung der anregenden Kräfte wird ebenfalls erreicht, wenn Fluid aus der Zuströmung direkt in den Nachlauf geleitet wird. Dies läßt sich erreichen, wenn der angeströmte Körper in Anströmrichtung vielfach durchbohrt wird. Wenn innerhalb eines Hüllrohres Leitungen oder interne Rohre geführt werden, so kann das Hüllrohr perforiert werden. Die Porosität sollte β ≈ 0,23 betragen. Bei einseitig eingespannten Hüllrohren (z. B. Stahlkamine mit mehreren internen Abgasrohren) genügt es, wenn 20 % der Rohrlänge am freistehenden Ende perforiert sind (Bild 9.17a). Wenn der eigentliche Zylinder nicht zu perforieren ist, so kann er mit einer perforierten zylindrischen Ummantelung versehen werden (Bild 9.17b). Optimale Wirkung tritt bei einer Porosität von β ≈ 0,17 ÷ 0,26 und gleichmäßig verteilten quadratischen Öffnungen auf. Auch vertikale Schlitze sind effektiv, horizontale Ringschlitze haben sich weniger bewährt. Anregungsreduktion wurde an Zylindern mit Kreis- und Quadratquerschnitt erprobt [51]. Eine weitere Methode wird häufig an kreiszylindrischen Stahlschornsteinen, Masten und Türmen verwendet. Hierbei wird ein schmaler Steg normal zur Zylinderoberfläche in

D

E

D

F

%LOG Vorrichtungen zur Dämpfung der Schwingungserregung durch Wirbelstraßen. D Perforierter Zylinder, cW-neutral. E Perforierte zylindr. Ummantelung, cWErhöhung. F „Gewindegänge“ an der Außenkontur, cW-Erhöhung stärker als bei (b), cW = 1,4

Form eines „Gewindes“ angebracht. Das „Gewinde“ sollte dreigängig mit einer Steigung von 5D ausgeführt werden (Bild 9.17c) Die wirkungsvollste Plazierung ist im Bereich der zu erwartenden Schwingungsbäuche der Struktur [51]. Anwendung auch bei Autodachantennen.

9.6 Vermeidung strömungsinduzierter Schwingungen

297

Durch Wirbelstraßen werden – neben den primär senkrecht zur Strömungsrichtung erzeugten instationären Kräften – auch periodische Kräfte in Strömungsrichtung erzeugt, deren Amplitude aber nur ca. 1/5 derjenigen der Querkräfte beträgt. Durch Wirbelstraßen beanspruchte Bauteile sind auf Dauerfestigkeit zu berechnen. Weitere Formen der Schwingungsanregung und – vermeidung sind in [24] beschrieben. Die Resonanzamplitude schlanker Bauteile (Schornsteine, Türme) kann mit einer abgestimmten Dämpfermasse auf etwa 2 % des ungedämpften Ausschlags reduziert werden. Die Dämpfermasse beträgt dabei in der Regel etwa 1 ÷ 2 % der Strukturgesamtmasse; sie ist im Bereich des größten Ausschlags (Kopf) außen oder innen federnd gelagert anzubringen [27]. 6FKZLQJXQJVDQUHJXQJ GXUFK SHULRGLVFK LQVWDWLRQlUH $QVWU|PXQJ. In Turbomaschinen werden die einzelnen Schaufeln eines Gitters durch die Nachlaufdellen des stromaufwärts gelegenen Gitters angeregt. Zur Vermeidung von – insbesondere bei Laufschaufeln gefährlichen – Resonanzen muß die Ungleichung n⋅z ≠ fe beachtet werden (z: Schaufelzahl des stromaufwärts gelegenen Gitters, n: Rotordrehzahl; fe: Schaufeleigenfrequenz des angeregten Gitters). Das gleiche gilt für Meßsonden in den Spalten zwischen den Gittern. Die Auswirkung von Stützrippen kann gemildert werden, wenn die einzelnen Rippen mit ungleicher Teilung über dem Umfang angeordnet werden. 6FKZLQJXQJHQ YRQ *DVVWUDKOHQ XQG *DVYROXPLQD Bei geschlossenen Gaskreisläufen mit zwischengeschaltetem Freistrahl (z. B. Windkanäle Göttinger Bauart, Bild 6.9) entstehen Luftsäulenschwingungen (Windkanalpumpen). Sie lassen sich durch Seiferth-Flügel [52] unterdrükken. Dies sind Blechstreifen mit abwechselnd nach außen und innen geknickten Lappen, die z. B. am Austritt einer Windkanaldüse oder am Beginn der bestrichenen Öffnung so angebracht werden, daß sie etwas in den Gasstrahl hineinragen. Die Geometrie der Seiferth-Flügel muß experimentell der vorliegenden Problemstellung angepaßt werden. Bild 9.18 zeigt eine für den Windkanal in Bild 6.9 optimierte Ausführungsform. Bei größeren Düsenabmessungen ist die Geometrie der Seiferth-Flügel nicht zwangsläufig zu vergrößern.

%LOG Optimierter Seiferth-Flügel in der Austrittsebene d einer quadratischen Düse von 0,665 m x 0,665 m. Blechstärke 2 mm; Breite der abgeknickten Lappen b = 175 mm

2

20

17

Düsenkontur

c

30 mm

40° 10°

Ähnliche Effekte entstehen beim Vorbeistreichen einer Gasströmung an einer Öffnung mit dahinterliegendem ruhenden Gasvolumen (z. B. bei hoher Geschwindigkeit geöffnetes Fahrzeugfenster oder Schiebedach, quer angeblasene Öffnung einer leeren Flasche; → angeregter Helmholtz-Resonator). Hier erweisen sich in die Strömung hineinragende, an die jeweiligen Bedingungen angepaßte Ablenkflächen (Rampen) als hilfreich. Sie bewirken ein Wiederanlegen der Strömung hinter der Öffnung. 9HQWLOVFKZLQJXQJHQIn Bild 9.19a,b sind die häufigsten Ursachen für das Auftreten von Ventilschwingungen erläutert. Bild 9.19a zeigt einen gut gerundeten Ventilkörper 1 mit gerundetem Ventilsitz 2, der den Durchfluß von einem Raum mit dem Druck p1 in einen anderen Raum mit dem Druck p2 < p1 einstellt. Wird nun der Ventilkörper in Richtung schließen verstellt (gestri-

9 Hinweise zur strömungsgerechten Konstruktion

298

chelte Position), so sinkt der Druck in der Engstelle ab. Dies führt zu einer Änderung der Druckkräfte auf den Ventilkörper, die die schließende Bewegung unterstützt. Aufgrund der Elastizität der Spindel (als Feder dargestellt) und durch Spiel in der axialen Spindelführung entsteht zunächst eine zu große Schließbewegung, die anschließend durch elastische Kräfte umgekehrt wird. So entstehen selbsterregte Längsschwingungen und Ventilklappern. Eine weitere mögliche Schwingungsart ist in Bild 9.18b beschrieben. Bei nicht zentralem Sitz des Ventilkörpers (hervorgerufen durch Spiel in der radialen Spindelführung, Fertigungsungenauigkeiten oder elastische Verformungen) entstehen in der Engstelle unterschiedliche Drücke in Umfangsrichtung. Dadurch beginnt der Ventilkörper auf einer Kreisbahn zu taumeln, es entsteht eine zirkularpolarisierte Schwingung. Diese wird dadurch selbsterregt, daß die Stelle des minimalen Druckes in Umfangsrichtung stets der geometrisch engsten Stelle zwischen taumelndem Ventilkörper und Ventilsitz etwas vorauseilt [55]. Durch geeignete konstruktive Gestaltung lassen sich Ventilschwingungen vermeiden. Die in Bild 9.19c dargestellte Ventilgeometrie weist an der Engstelle eine definierte Abrißkante auf, an der stets der gleiche Druck p2 herrscht, ein „Festsaugen“ tritt hier nicht auf. Gleichzeitig ist die Projektionsfläche in Spindelrichtung, an der die axialen Druckkräfte im Sitzbereich angreifen, deutlich verringert. Zusätzlich ist in der Zuströmung zum Sitz ein Kranz von Störkörpern angebracht, der ebenfalls zur Stabilisierung dient [55]. Eine stabile spielfreie Radialführung der Spindel vermeidet Taumelbewegungen des Ventilkörpers.

p1

p1

1

p1

2

D

p2

E

p2

p2

F

%LOG Entstehung und Vermeidung von Ventilschwingungen. DEntstehung von Längsschwingungen. E Zirkular polarisierte Schwingung. F Schwingungsunterdrückung durch konstruktive Maßnahmen

9HUPLQGHUXQJYRQ6WU|PXQJVJHUlXVFKHQ (QWVWHKXQJ YRQ 6WU|PXQJVJHUlXVFKHQ Strömungsgeräusche werden durch vier Typen von Schallquellen erzeugt, deren abgestrahlte Schalleistung PSchall von unterschiedlichen Potenzen der Schallgeschwindigkeit a und der Strömungsgeschwindigkeit c abhängt (Tab. 9.2). Beziehen  ⋅c2/2 ∼ ρc3 , so wir die Schalleistung auf die kinetische Leistung des strömenden Fluids Pkin = m erhalten wir den akustischen Wirkungsgrad ηAk der Schallquelle

ηAk =

PSchall P kin

(9.9)

9.7 Verminderung von Strömungsgeräuschen

299

Die in Tab. 9.2 ausgewiesenen akustischen Wirkungsgrade belegen, daß die Schallenergie bei der üblichen Energiebilanz strömungstechnischer Vorgänge (Gl. (3.43), (5.4)) - mit Ausnahme von Sirenen - vernachlässigbar gering ist. 9HUPLQGHUXQJ YRQ 6WU|PXQJVJHUlXVFKHQ An dieser Stelle sollen nur einige Grundregeln der konstruktiven Gestaltung vorgestellt werden, die eine aktive Verminderung der Entstehung von Strömungsgeräuschen bewirken. Für detailliertere Hinweise bei speziellen Konstruktionen und mögliche passive Maßnahmen durch Schalldämpfung sei auf die einschlägige Literatur verwiesen [22, 29]. 9HUPLQGHUXQJGHU6WU|PXQJVJHVFKZLQGLJNHLW Die Schalleistung aller Schallquellentypen hängt von hohen Potenzen der Strömungsgeschwindigkeit ab. Daher ist die wirksamste Maßnahme zur Geräuschminderung die Absenkung der Strömungsgeschwindigkeit (Querschnittsvergrößerung in Maschinen und Kanälen, Austrittsdiffusor bei Auslässen).  0D‰QDKPHQ VWHWV DQ GHU 6FKDOOTXHOOH GHU QLHGULJVWHQ 2UGQXQJ DQVHW]HQ Viele Strömungsgeräusche werden gleichzeitig durch mehrere auftretende Schallquellentypen verursacht (Multipolquelle). Anhand der akustischen Wirkungsgrade in Tab. 9.2 ist ersichtlich, daß (für Ma < 1) die Quelltypen mit niedrigerer Ordnung stärker in Erscheinung treten. Dies gilt besonders für Flüssigkeiten wegen Ma