Tafeln R(p) und Q(p) zur Berechnung der Gleitzahlen s44, s55, s66 und der maximalen Tangentialspannungen aus Drillungsmessungen an Stäben aus rhombischem Stoffe bei Rechteckquerschnitt: Auch für analoge Berechnung bei Isotropie [Reprint 2020 ed.] 9783112317563, 9783112306291

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Hörig, Tafeln R(p)

und Q(p)

Tafeln R(p) und Q(p) zur Berechnung der Gleitzahlen sUi s55) s66 und der maximalen Tangentialspannungen aus Drillungsmessungen an Stäben aus rhombischem Stoffe bei Rechteckquerschnitt Auch für analoge Berechnung bei Isotropie

Von

Dr. H. Hörig

Technischer Verlag Herbert Cram • Berlin W 35 1957

Gedruckt mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft

Alle Rechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen von der Verlagshandlung vorbehalten

©

Copyright 1957 bei Technischer Verlag Herbert Cram Printed in Germany Satz: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35 Druck: Paul Funk, Berlin W 35

Vorwort Diese Tafeln haben zunächst folgenden Zweck: 1. Berechnung der Gleitzahlen aus gemessenen Verdrehungen dreier Stäbe von rechteckigem Querschnitte bei rhombischem Material — und umgekehrt die Berechnung der Verdrehung solcher Stäbe, falls die Gleitzahlen bekannt sind. 2. Berechnung der bei Drillung der Stäbe in den Mittellinien der Seitenflächen auftretenden Spannungen aus Abmessungen, Gleitzahlen und Drehmomenten. Zu 1. braucht man R(p), zu 2. Q(p). — In dem für den I n g e n i e u r wichtigen Falle i s o t r o p e r Stäbe ist selbstverständlich die Bestimmung der Gleitzahl s2 = 1/Gleitmodul mit Tafel R(p) sehr einfach möglich, und zwar für jedes beliebige Seitenverhältnis des rechteckigen Querschnitts — und mit weit größerer Genauigkeit als es bisher nach üblichen Unterlagen (Hütte, 28. Aufl. 1955) möglich war. Ebenso umgekehrt genaue Berechnung der Verdrehung bei gegebener Gleitzahl. Gleicherweise bietet bei Benutzung von Q(p) die genaue Berechnung der Spannungen in den Mittellinien für jedes beliebige Seitenverhältnis nicht die geringste Schwierigkeit. — R(p) und Q(p) entstanden im Anschluß an meine in Anmerkung [5] und [7] notierten Arbeiten. Diese wurden dadurch ausgelöst, daß man im deutschen Schrifttum aus Verdrehungsmessungen an anisotropen quadratischen, Stäben (Holz) „Gleitmoduln" nach einer nur für den isotropen Fall geltenden Formel berechnen zu dürfen glaubte und sie als den drei Drillungsachsen zugeordnete Gleitmoduln, bezeichnete. Dieser verhängnisvolle Irrtum hätte sich bei Beachtung der klassischen Arbeiten [1], [2] von De Saint-Venant (1856) und von Woldemar Voigt, dessen Kristallphysik seit 1910 vorlag, vermeiden lassen. Man wäre zwar nicht imstande gewesen s44, s 55 , s 6 8 zu berechnen, aber man hätte gewußt, daß die nach der für Isotropie gültigen Formel berechneten Zahlen komplizierte Funktionen der Gleitzahlen, keinesfalls aber Gleitzahlen sind. Vgl. hier Formel (52) oder (6). Hätte man die Kristallphysik von Voigt herangezogen, dann hätte man unschwer korrekte Messungen der drei Gleitzahlen an Stäben von Kreisquerschnitt machen können, bei einfachster Berechnung: (54), (55). Indessen wäre man nicht in der Lage gewesen, ohne Auswertung hyperbolischer Reihen die Verdrehung quadratischer oder rechteckiger Stäbe aus den gemessenen Gleitzahlen zu berechnen — dazu ist R(p) erforderlich. Ähnliches gilt von der Berechnimg der Spannungen in den Mittellinien, und damit von der äußerst wichtigen Kenntnis der Gleitungen. Hierzu bedurfte es der tabulierten Funktion Q{p). Anlaß zu einer Suche nach korrekt gemessenen Gleitzahlen war eigene Beschäftigung mit der Theorie des Flügelresonanzbodens. Die einzigen kristallelastisch richtigen Messungen, fand ich bei dem Engländer H. Carrington (1921—23), die ich in [4] einer eingehenden kristallelastischen Analyse unterwarf. Carrington war zu sehr umständlichen Auswertungen seiner sehr sorgfältigen Messungen gezwungen. Für so groß angelegte Messungsreihen an der Fichtenart Spruce wäre meine R{p)Methode und die Benutzung der Tafel Q(p) zur Spannungsberechnung prädestiniert gewesen. Leider konnte er seine Arbeiten nicht fortsetzen, er starb 1934. — Eigene Benutzung der beiden Tafeln führte 1935 in meiner Arbeit [6] zu einer erstmaligen Zusammenstellung der 9 rhombischen shlc für neun verschiedene Hölzer. — Ohne meine Tafeln wäre das unmöglich gewesen.

5

Der erklärende Text zu den Tafeln ist auf das für die Benutzung Notwendige begrenzt. Weiteres wird in meinem Buche [10] zu finden sein. Ich habe mich um eine Darstellung bemüht, die in jedem Falle volle Klarheit über Lage und Sinn der Spannungen und die Art der auftretenden Gleitungen ermöglicht, was für zweckmäßige Planung und Durchführung der Messungen wünschenswert ist. Zur Erzielung guten Einblicks in das Arbeiten des Iterationsprozesses sind die Zahlenbeispiele mit mehr Stellen gerechnet, als bei praktischer Anwendung nötig sein wird, und die Beispiel-Zahlentafeln sind sorgfältig diskutiert. Bei den Beispielen für Spannungsberechnungen ist in jedem Falle genau ersichtlich, wo die Spannimg auftritt. Bei Beachtung der Abbildungen dürfte jeder Zweifel ausgeschlossen sein — damit auch der nicht eingearbeitete Leser sich rasch zurechtfinden kann. Besonderer Wert wurde auf die, praktisch wesentliche Wahl der für Messungen geeigneten Querschnitte gelegt. Wenn diese Ratschläge, besonders bei extrem anisotropen Stoffen, wie sie bei Holz vorkommen, beachtet werden, so wird die Berechnimg wenig Mühe machen und die Genauigkeit der Messungen wird dann am größten. Sollten Leser den Text zu theoretisch, bzw. seine Kenntnisnahme, auch bezüglich der Beispiele, zu mühevoll finden, so darf darauf hingewiesen werden, daß die Zeit, welche eine sorgfältige Vorbereitung und Durchführung von Drillungsmessungen erfordert, sicher größer ist als die, welche für gewinnbringende Lektüre der vorliegenden Erläuterungen aufgewendet werden muß. Betonen möchte ich, daß es bei Messung elastischer Konstanten, insbesondere bei den noch viel zu wenig untersuchten Hölzern, immer notwendig sein wird, sich verschiedener Methoden, sowohl statischer wie dynamischer Art zu bedienen, denn der Vergleich der Resultate wird wertvoll sein (vgl. hierzu meine Methode [8]), aber zweifellos kommt der statischen Drillung von Stäben mit rechteckigem Querschnitte wesentliche Bedeutung zu. Ich hoffe, daß diese Tafeln, deren Genauigkeit vielleicht erst in späterer Zeit Bedürfnis werden wird, dem Ingenieur bei seinen Planungen, dem Physiker bei ernster Sonderarbeit, dem Holzforscher aber bei der Förderung seines schwierigen Gebietes von Nutzen sein wird. — Bei der Berechnung der Tafeln hat meine Frau vielfach sachkundig mitgearbeitet. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft gebührt besonderer Dank für gewährte Stipendien, ohne die mir die Herausgabe der Tafeln nicht möglich gewesen wäre. Celle, den 1. September 1955

6

H. Hörig

Inhaltsverzeichnis (Z.T. = Zahlentafel)

Seite 9

I. Zu Tafel R(/>) 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Vorbemerkungen (mit Abb. 1) Grundformeln für R(p) (mit Abb. 2) Die ii(p)-Methode Zahlenbeispiele zur ii(p)-Methode (Z.T. 1—6) Beispiel 1: günstige Querschnitte (Z.T. 1 u. 2, Abb. 3) Beispiel 2: ungünstige Querschnitte (Z.T. 3, Abb. 4) Beispiel 3: Wirkung einer Querschnittsverbesserung (Z.T. 4) Beispiel 4: Rechnung bei nachträglich verbesserten Verdrehungen (Z.T. 5) . . . . ii(p)-Methode bei quadratischen Querschnitten Beispiel 5: quadratischer Querschnitt (Z.T. 6) Drillungszahl und Drillungsmodul bei quadratischem Querschnitt Drillungsmessungen bei kreisförmigem Querschnitt R(p) bei Isotropie

II. Zu Talel Q{p)

9 11 13 15 16 18 22 23 24 25 26 27 27 29

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Vorbemerkungen (mit Abb. 5) Grundformeln für Q(p) Andere Form der Grundformeln (69), (70) und Formeln für die Gleitungen Spannungen und Gleitungen im Falle geringster Verdrehung Q(p) bei Isotropie Zahlenbeispiele zu Q(p) (Z.T. 7—13) Zu Z.T. 7 Zu Z.T. 8—10 (Abb. 3) und 11—13 (Abb. 4) 7. Interpolfttionstechnik bei R(p) und Q(p), Abb. 6

. . . .

29 29 32 32 33 34 34 35 36

III. Anmerkungen

39

IV. Kurven R{p) und Q(p) Tafel R{p) Tafel ß(/>)

40 41 69

•

Y. Z.T. 1—6 zu R(p) und 7—13 zu Q(p)

7

I. Zu Tafel R(p) 1. Vorbemerkungen Im Stile der von W o l d e m a r V o i g t niedergelegten linearen Elastizitätstheorie anisotroper Körper sind die sechs Deformationsgrößen . . .Xy linear mit den sechs Spannungskomponenten Xx...Xy verknüpft. Das ,,-S/, ¡¡.-Schema" gibt die Deformationsgrößen als Summen von 6 Produkten der shk mit der am Kopf der gleichen Spalte stehenden Spannungskomponente, das „ c A r S c h e m a " analog die Spannungskomponenten als Summen der 6 Produkte der chk mit der am Kopf derselben Spalte stehenden Deformationskomponente. (1) faßt beide Schemata dadurch zusammen, daß in den Feldern nur die von 1 bis 6 laufenden Zeiger h, Je eingetragen sind. Die shk bezeichnete Voigt in seiner Kristallphysik als „Moduln", die chk nannte er „Elastizitätskonstanten". Physikalisch betrachtet sind die shk der 3 ersten Zeilen Dehnungszahlen, die der 3 unteren Zeilen G l e i t z a h l e n . Die chlc sind technisch betrachtet analog Dehnungs- und Gleitmoduln. hk

c

kk

s

x

x

Vv

Xx

Yy

Vi *x

v

x

Yz Zx Xy

11 12 13 14 15 16 - Y , — Vv 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 -z. — - Y

-zx

z

— Vi41

42 43 44 45 46

hk =

kh .

s

Y

i

hk — C*A

s

= Z

y

c

,

Zx

du x — dx '

Vy

=

— x 51 52 53 54 55 56 ~XV 61 62 63 64 65 66

X2 ,

8v —

~dy '

—

_

dw

nr'

Xy Bv "ZT dz

Vi — Zy~

X

Z

=

dw ~8x~ du

— Yx '+

dw dy

"""

du ~dz~

(1)

dv

u, v, w bedeuten Verrückungen in Richtung x, y, z. Die Symmetriebedingungen für hk> chk besagen numerische Gleichheit von Größen, die teils Dehnung, teils Gleitung betreffen, physikalisch also verschieden sind.

s

Die hier zu behandelnde R (p)-Methode zur Berechnung der Gleitzahlen s 4 4 , s B 5 , s g 6 aus den Verdrehungsmessungen an 3 Stäben mit beliebigen rechteckigen Querschnitten ist zunächst für den Fall bestimmt, daß der Stoff der Stäbe r h o m b i s c h e S y m m e t r i e im Sinne der Kristallelastizität hat, und daß die Stabachsen mit den elastischen Hauptachsen zusammenfallen. (sh¿-Hauptachsenkreuz: Rechtflach unter allseitigem Druck ändert die Kantenwinkel nicht, Tangentialkräfte bewirken keine Volumänderung.) In diesem Falle sind nur die stark umrandeten s k k und c h k von Null verschieden, und dann bestehen die einfachen Beziehungen (2). s 4 4 , s 5 5 , s 6 6 sind stets positiv. 44 44 = 1 . — Z/z = «44 Yz> zx — , — 1 > ) C66566 — 1 ' • Xy — , J

~

Y z = cuyz = ~ Z*x — C5SZX—

'

=

c

y

6 6 x

=

VzjSi zxls5

(2)

yl

x

9

Zu Abb. 1: Die Zeiger x, y, z an groß Y, X, Z bedeuten die inneren Normalen des gezeichneten Elementarwürfels. Daher ist z. B. Zy = — u s w . Der Klarheit halber sind die Spannungskomponenten gleich der Kantenlänge dz .. . gewählt; man kann sie sich entsprechend verlängert denken. Die Tangentialkomponenten Ya. . . hat man sich bandförmig und gleichförmig über die Würfelflächen verteilt zu denken, ihre Darstellung als Linie in der Mitte der Würfelflächen ist nur symbolisch. Die Abbildung läßt sofort erkennen, in welchem Sinne die Gleitung erfolgt; die beiden Grundrisse zeigen die Bedeutung der Differen tialausdrücke für die Verformungskomponenten. Der Ausdruck „Gleitung um" x ist nur Hilfsausdruck zur Auslösung der physikalischen Vorstellung und hat nichts mit einer Drehung zu tun. Ebenso ist der Gebrauch des Wortes „Gleitachse" zu bewerten. Treten x, y, z als Gleitachsen auf, so handelt es sich um Beanspruchung auf s44, s 66 , se6. Gleitung um x (Yz=Zy>0

Zv>0 _ii *z>0

(y z =Z y ),) i i ]

l

f

~2

(

, s

w

+

\ s

s s )

R .

b

d t

i = Y (SM + s6«) c

'44 = 55 '66

=

d l

i

-

d

l

R z a

d l

R

+ R

x

-

d

d l R z

R y

=

c d l

R y

d

l

i

R z

S i i )

d f

(15) d

R y

+

l

Y

g d i

d l

x

i

Cl =

>

(14)g

+

(18)c

d l R

x

Das Schema (25) geht, wenn man die Bezeichnungen C 0 , A0, B0 einführt, in (25) d über. 24

Io

Ski

Ho

44

d i e

x =

55

d l

1

66

d l b , =

a

Ilio Ao

=

A

0

d

B

0

d l

l

b

i =

s

ltko

l i = 4 2 cj =

d

B o

B

b

Io - I l o + I I I 0

«440 — Io - I l o + I I I 0 «550 = Io - I l o + I I I 0

0

Co

¿0

= Co

—

«660

=

Io - I l o + I I I 0

Da demnach die Gleichungen (43) bestehen, so läßt sich das für quadratische Stäbe in die einfache Form (44) bringen. Hn

In

Io55 — HQ44

:

a ;

HIn

d%ai

lose = IIoss = IHo44 =

n

B

n

«44, n — C «55, n — A «66, n — B

,

«44, 0 «55, 0 «66, 0

Co

0

A o B o

1

C o l ^ o ,

Z

=

A o l ^ o ,

x

—

B

y

0

I R „ ,

c,

A o l ^ i , B o i R i ,

x =

= = =

d l

A

2

B2 11 =

= = =

b

=

x

n

—

A „ +

—

B

n

-

C

Co'—A

V

z

g d l

V

x

g d « =

V

y

g d *

B

n

+

Cn

+

A

n

o +

B

0

n

n

C2 —

1

2

—

A B

2

2

R n , x

V,

X

H o ,

X

V

B o ,

V

Po,

z

B o ,

z

B !

P i ,

X

B i ,

X

+ CV

P i ,

y

R i ,

V

P i ,

2

R i ,

z

P i ,

X

R 2 ,

X

P i ,

y

R z ,

V

P i ,

z

R

z

+

¿ 1

+

B

2

+ C2 B2 — c2 + A2

A

0

Po,

+ B

(43)

n

B

»,

R(p)-Rechenschema

Po,

0

1

A

=

P n , x

^ o — ^ o + c0 + A B0-C0

C1~A1 «44, 1 A \ — 1 = «55, = B ~ C «66 1 «44, 2 «55, 2 «66, 2

^

n

1

c o/-Ri, / = c2 2

cx

III 0

2

(25) d

2

,

Z

n

0 (44) 1

2

u. s. w. Beispiel 5 (Quadratischer Querschnitt. Material dasselbe wie bei Beispiel 1). Hierzu Z.T. 6. su= 0,000.061.o px = Ä55 = 0,000.215.o führen p = n . ( 5 ) d ZU y s66 = 0,000.092.9o p2 = Dann folgt Vx = 0,000.013.437.643. Vy = 0,000.002.134.942. V2 = 0,000.005.764.932.

0,657.337.830.4 0.810.320.937.4

E x = 0,993.900.131.9 R v = 0,998.462.606.1 1,877.389.188.2 R z = 0,986.368.987.5 mit dx = 1,50, dy = 2,o, dz = l,8o:

% = 0,000.068.004.856. = 0,000.019.207.924. C l = 0,000.042.012.012.

(45)

und für (44) ergibt sich:

C 0 = 0,000.136.118.920. A0 = 0,000.153.010.925. B0 = 0,000.076.831.698. Es möge nun wieder angenommen werden, daß einem Beobachter nur die V aus seinen Messungen bekannt sind. Die Z.T. 6 gibt die Berechnung der sklc aus den Werten C0>A0, B0. Um in diesem Beispielfalle den Anschluß an das Schema für rechteckige Querschnitte hervortreten zu lassen, ist in Z.T. 6 kein Gebrauch von den Gleichungen (43) gemacht, die zu dem Schema (44) führen, dessen man sich in der Praxis natürlich bedienen wird. — In Z.T. 6 sind die C0, A 0, B0 etwas verkürzt. 25

F ü r bescheidene Genauigkeitsanforderungen würde man sich nach Z.T. 6 schon mit dem 2. Gang zufrieden geben, den 3. nur zur Bestätigung rechnen. Wenn man aber mehr Stellen haben will, dann zeigt der Vergleich mit Z.T. 1 die Überlegenheit der günstigen, also nicht quadratischen Querschnitte. Für den Vergleich der bei quadratischem Querschnitt vorliegenden Verdrehung mit dem bei gleichem Querschnittsflächeninhalt erhältlichen min-Verdrehung kann man die Formel (46) benutzen, die im vorliegenden Falle die Zahlen (47) ergibt. VxolVx min — ~2 V x n/V x min = 1,083.,

R(P. • ) . - • •

V y a l V y m i a = 1,021.,

(46)

F i a / F , m i n = 1,189.

(47)

In Beispiel 5 weichen die quadratischen Querschnitte nicht sehr von den minVerhältnissen (Abb. 3) ab; daher kommt man in diesem Falle gut zum Ziele. Wenn aber extremere skk vorhegen, wie bei Beispiel 2 (Abb. 4), so würde man bei quadratischen Querschnitten sehr viele Gänge rechnen müssen. I n solchen Fällen ist es ratsam, die ungefähren min-Verhältnisse auf Grund einer vorläufigen Messung an quadratischen Stäben schon aus dem Rechnungsgange 0 zu entnehmen und danach die rechteckigen Querschnitte für die genauen Messungen anzugeben. Hierzu ein einfaches Beispiel. Es mögen die (dem Beobachter natürlich unbekannten) Zahlen von (40) vorliegen: s ^ = 0,000.164.0, s 5 5 = 0,003.46o. s 6 6 = 0.000.106.O, und es sei dx= dy= dz = 1 genommen. Dann würde nach (5) D und (14) • die Messung zu den Zahlen (48) führen, und damit bekäme man nach dem Schema (44) im nullten Gange die skko von (49). A0= Vxg= 0,001.640.115.6 B0 = Vyg = 0,000.134.776.6 C0= V ¡7= 0,001.691.251.2

«44 0 = Co — A o + B o = 0,000.185.912.2 (48) S550 =A0 — B0 + C0= 0,003.196.590.2 s 6 6 0 = B0— C0 + A0= 0,000.083.661.6

(49)

Obwohl diese skk0 stark von den oben angegebenen abweichen, genügen sie zur Berechnung günstiger Querschnitte. Berechnet man aus (49) die p 0i Xi Vi Zi so erhält man als angenäherte min-Querschnittsverhältnisse die Zahlen (50), während man aus Abb. 4 die wahren Werte 5,705. , 0,806. , 0,217. kennt. k

=

l/fS5S = 6,182. I/ «660

k = l / !Si ü = 0,671. r 440

®z

V

S

S50

= 0,241.

(50)

Wenn man — ungefähr — nach (50) dimensioniert, so werden die Rechnungen gut konvergieren, während man bei quadratischen Querschnitten erhebliche Rechenarbeit haben würde. Wenn gar keine Anhalspunkte für die Größenordnungen der zu messenden skk vorliegen, dann haben quadratische Querschnitte den Vorteil, daß man vor einer Inversion der min-Verhältnisse sicher ist. Denn nichts ist unverteilhafter als reziproke Werte der min-Verhältnisse. 6. Drillungszahl und Drillungsmodul (im technischen Sinne) bei quadratischem Querschnitte Nach (3), (14) und (5) besteht (51). Da der Ausdruck in der eckigen Klammer nur Funktion der Materialkonstanten s 66 , s55 ist, so kann man ihn als „Drillingszahl" sx, seinen reziproken Wert, der mit Dx bezeichnet werde, als „Drillingsmodul" bezeichnen: (52). 26

0

©

-

Zu Abb. 2,

90°

{xz = zx) = sssZx

-

-

ViV «6. 90»

(yx = x,) = s66Xy = © Yz

Damit bekommt man (78), (79) [analog zu (69), 70)]. (78)

®

(79)

J,,:

+

+

Die Kenntnis der bei (1), (2) definierten G l e i t u n g e n (Deformationsgrößen) ist ebenso wichtig wie die der Spannungen. Es ist erwünscht, den Gleitwinkel (n/2 — •&) bzw. •& selbst — wie in Abb. 1 vorgeführt — zu berechnen. Daher sind diese Größen in Abb. 5 aufgenommen. Hier folgt in (80), (81) Zusammenstellung der mit (69), (70) und mit (77), (78) gebildeten Ausdrücke, bei denen man die Vorzeichen genau beachte. M3: =

+

-

4-sS

-

«66

= N

(l

r«) = 1

+

M

+ ° » J y * [ 1 + p* j

VxNxQ(px)cx

(80)

2gbx cj

@

= + 8 t t ( Z , = Xt) = - V , N s Q [

=

i+

ri)

2gb

1 p t r i l

(gl)

^xl

Von Interesse ist das Verhältnis der in den beiden Mittellinien vorliegenden Spannungen: (82) sowie das der zugehörigen Gleitungen: (83), denn es ist wichtig zu wissen, in welcher Linie M die größere Spannung oder Gleitung auftritt. Xy

~Xt

=

cx a 5 5 Q(px)

bx s 6 , Q^jLj

(82)

xv

==se6Xv==

cx Q(px) 6

(83)

*

4. Spannung und Gleitung im Falle geringster Verdrehung (F rnin ) Für die bei R(p) mehrfach behandelten Fälle kleinster Verdrehimg (Formeln: (19)—(22)) ergeben sich die dabei vorliegenden Spannungen wegen p = 1 und damit B = 1 zu (84), (85), worin die min-Halbseiten wieder durch Unterstreichen gekenn* zeichnet sind; ebenso V = F mln - Von Unterstreichung der Spannungen u n d Gleitungen wird abgesehen. 32

(84) Jf,:-X,= -

®

F.

- N , ™ 9Hx9lx

66

0(1): (73),

(85)

QWIg=

Mt: - X , = + Vx Nx

^

d%

x

v — 4"'

9

bx

— Av, = „ ** ~

Nx d%

0(1)

9 ' „ Nx Q( 1) °2 d% g

I>L=—1

= ?}L

(93)

Q(l)lg siehe (84). 3

Hörig

33

6. Zahlenbeispiele zu Q(p) In den Beispielzahlentafeln 7 bis 13 sind hinter den berechneten Zahlen die Nummern der für die Berechnung in Frage kommenden Gleichungen notiert. Bei den Spannungen und Gleitungen wurden die Mittellinien M angegeben, in denen sie auftreten. Außerdem ist vor die Formelnummer ein 1. oder k. gesetzt, je nachdem die M--Linie die lange oder kurze Querschnittsseite kreuzt (kontrollierbar an den Abbildungen). Z.T. 8—10 beziehen sich auf das im i?(p)-Teil durchgerechnete Beispiel 1 (Abb. 3), Z. T. 11—13 bieten in gleicher Weise Ergänzung zu Beispiel 2 (Abb. 4). Z.T. 7 gibt ein allgemeines, absichtlich etwas extrem gewähltes Beispiel. Bei Betrachtung dieser Tafeln beachte man: Im isotropen Falle ist die Größe der Spannungen ausschließlich durch Drehmoment und Querschnittsabmessung bestimmt; Grund: wegen s 44 = s55 = s66 = s2 treten in p nur Seitenverhältnisse, keine Gleitzahlen auf. Im anisotropen Falle dagegen hängen die Spannungen immer von zwei der s k k ab, was die Verhältnisse wesentlich beeinflussen kann. Bei den Gleitungen ist im anisotropen Falle der Gleitzahlfaktor in den beiden M verschieden, manchmal sehr stark, während bei Isotropie immer das gleiche s2 vorliegt. Die Zahlentafeln ermöglichen klaren Überblick, besonders bei Heranziehen von Abb. 1 und 5. Anisotrope Zusammenhänge werden erst dann klar, wenn man die Formeln auch zahlenmäßig durchrechnet.

Zu Zahlentafel 7 Für einen (x)-Stab ist hier b = 3,2o, c = l,o gewählt. Die Stäbe A und B unterscheiden sich nur dadurch, daß die Zahlenwerte von s66 und s 55 vertauscht sind, was als markanter Wechsel des Materials zu denken ist. Außerdem ist zum Vergleich ein isotroper Stab von gleichem Querschnitt betrachtet, bei dem s 2 einmal = s 6 6 4 , das andere Mal = sM/> angenommen wird. Das ist willkürlich, aber hier interessant. Die erste Zahlengruppe von Z.T. 7 zeigt die großen Unterschiede der drei Stäbe. Daß trotzdem in Fall B und dem isotropen Fall mit s 2 = s 6 6 S die Verdrehung, grob betrachtet, von gleicher Größenordnung ist, beruht darauf, daß bei Stab B s 6 6 wesentlich größer als s 5 6 ist. Das sieht man auch an den für die Meßlänge L = 1 berechneten Verdrehungswinkeln 30, 35; direkte Berechnung nach Formel (17), vgl. S. 13.

68

Q(p)

A

0

0

+ 14.849.07

0,01 2 3 4

0,014.849.07 0,029.698.15 0,044.547.22 0,059.396.30

+ + + +

14.849.07 14.849.07 14.849.07 14.849.07

0,05 6 7 8 9

0,074.245.37 0,089.094.45 0,103.943.52 0,118.792.60 0,133.641.67

+ + + + +

14.849.07 14.849.07 14.849.07 14.849.07 14.849.07

0,10 1 2 3 4

0,148.490.75 0,163.339.82 0,178.188.90 0,193.037.97 0,207.887.05

+ + + + +

14.849.07 14.849.07 14.849.07 14.849.07 14.849.07

0,15 6 7 8 9

0,222.736.12 0,237.585.20 0,252.434.27 0,267.283.33 0,282.132.38

+ + + + +

14.849.07 14.849.07 14.849.06 14.849.05 14.849.02

0,20 1 2 3 4

0,296.981.40 0,311.830.36 0,326.679.20 0,341.527.85 0,356.576.19

+ + + + +

14.848.96 14.848.84 14.848.65 14.848.34 14.847.86

0,25 6 7 8 9

0,371.224.05 0,386.071.18 0,400.917.28 0,415.761.93 0,430.604.62

+ + + + +

14.847.14 14.846.10 14.844.65 14.842.69 14.840.09

0,30 1 2 3 4

0,445.444.70 0,460.281.42 0,475.113.86 0,489.940.97 0,504.761.54

+ + + + +

14.836.72 14.832.44 14.827.11 14.820.57 14.812.65

0,35 6 7 8 9

0,519.574.19 0,534.377.40 0,549.169.47 0,563.948.58 0,578.712.71

+ + + + +

14.803.21 14.792.08 14.779.10 14.764.13 14.747.02

0,40 1

0,593.459.73 0,608.187.36

+ 14.727.63 + 14.705.83

V

A

A

.01 .02 .03 .06

— — — —

.01 .02 .03 .05

.11 .19 .31 .48 .72

— — — — —

.08 .12 .17 .24 .32

1.04 1.45 1.96 2.60 3.37

— — — — —

.41 .52 .64 .77 .91

4.28 5.33 6.54 7.91 9.44

— — — — —

1.06 1.21 1.37 1.53 1.69

—

11.13 12.98 14.97 17.11 19.39

— — — — —

1.84 2.00 2.14 2.28 2.41

—

21.80 24.33

— 2.53 — 2.64

— — — —

— • — — —

—

•— — —

— . —

•— —

— — —

69

V

70

«ate)

A

A

0,42 3 4

0,622.893.18 0,637.574.69 0,652.229.23

+ 14.681.50 + 14.654.54 + 14.624.85

— — —

26.96 29.69 32.51

— 2.73 — 2.82 — 2.89

0,45 6 7 8 9

0,666.854.08 0,681.446.42 0,696.003.35 0,710.521.94 0,724.999.17

+ + + + +

14.592.34 14.556.94 14.518.58 14.477.23 14.432.84

— — — — —

35.40 38.35 41.35 44.39 47.45

— — — — —

2.95 3.00 3.04 3.06 3.08

0,50 1 2 3 4

0,739.432.01 0,753.817.39 0,768.152.25 0,782.433.51 0,796.658.09

+ + + + +

14.385.39 14.334.86 14.281.26 14.224.58 14.164.86

— — — — —

50.53 53.60 56.67 59.73 62.75

— — — — —

3.08 3.07 3.05 3.02 2.99

0,55 6 7 8 9

0,810.822.95 0,824.925.05 0,838.961.42 0,852.929.11 0,866.825.22

+ + + + +

14.102.11 14.036.37 13.967.69 13.896.11 13.821.71

— — — — —

65.74 68.68 71.57 74.40 77.17

— — — — —

2.94 2.89 2.83 2.77 2.70

0,60 1 2 3 4

0,880.646.93 0,894.391.47 0,908.056.14 0,921.638.32 0,935.135.48

+ + + + +

13.744.54 13.664.67 13.582.18 13.497.16 13.409.69

— — — — —

79.87 82.49 85.03 87.48 89.85

— — — — —

2.62 2.54 2.45 2.37 2.28

0,65 6 7 8 9

0,948.545.16 0,961.864.99 0,975.092.69 0,988.226.10 1,001.263.11

+ + + + +

13.319.83 13.227.71 13.133.40 13.037.01 12.938.63

— 92.12 — 94.30 — 96.39 — 98.38 — 100.27

— — — — —

2.18 2.09 1.99 1.89 1.79

0,70 1 2 3 4

1,014.201.75 1,027.040.11 1,039.776.41 1,052.408.95 1,064.936.14

++ + + +

12.838.36 12.736.30 12.632.54 12.527.19 12.420.34

—102.06 —103.76 — 105.35 —106.84 —108.25

— — — — —

1.69 1.59 1.5« 1.40 1.30

0,75 6 7 8 9

1,077.356.48 1,089.668.58 1,101.871.12 1,113.962.92 1,125.942.86

+ + + + +

12.312.09 12.202.55 12.091.80 11.979.94 11.867.06

—109.55 —110.75 — 111.86 — 112.88 —113.80

— 1.20 — 1.11 — 1.02 — .92 — .83

0,80 1 2 3 4

1,137.809.92 1,149.563.18 1,161.201.82 1,172.725.07 1,184.132.29

+ + + + +

11.753.26 11.638.63 11.523.26 11.407.22 11.290.61

—114.63 — 115.38 — 116.03 —116.61 — 117.10

— — — — —

.74 .66 .57 .48 .41

V

¿3

4

A

Q(P)

0,85 6 7 8 9

1,195.422.91 1,206.596.42 1,217.652.42 1,228.590.57 1,239.410.60

+ + + + +

11.173.51 11.056.00 10.938.15 10.820.04 10.701.74

— — — — —

117.51 117.85 118.11 118.30 118.42

— — — — —

.34 .26 .19 .12 .05

0,90 1 2 3 4

1,250.112.34 1,260.695.67 1,271.160.53 1,281.506.93 1,291.734.97

+ + + + 4-

10.583.32 10.464.86 10.346.41 10.228.03 10.109.80

— — — — —

118.47 118.45 118.37 118.24 118.04

+ 44+ 4-

.01 .08 -14 .20 .25

0,95 6 7 8 9

1,301.844.77 1,311.836.52 1.321.710.49 1,331.466.98 1,341.106.34

+ + + + +

9.991.76 8.873.97 9.756.49 9.639.36 9.522.63

— — — — —

117.79 117.48 117.13 116.73 116.28

4+ + 44-

.30 .35 .40 .45 .49

1,00 1 2 3 4

1,350.628.97 1,360.035.32 1,369.325.89 1,378.501.21 1,387.561.86

+ + + + +

9.406.35 9.290.60 9.175.32 9.060.65 8.946.58

— — — — —

115.78 115.25 114.67 114.06 113.41

44444-

.54 .57 .61 .65 .68

1,05 6 7 8 9

1,396.508.44 1,405.341.61 1,414.062.04 1,422.670.46 1,431.167.59

+ + + + +

8.833.17 8.720.43 8.608.41 8.497.13 8.386.62

— — — — —

112.74 112.02 111.28 110.51 109.71

4+ + 44-

-71 -74 .77 .80 .82

1,10 1 2 3 4

1,439.554.21 1,447.831.11 1,455.999.12 1,464.059.08 1,472.011.85

+ + + 4+

8.276.91 8.168.01 8.059.96 7.952.77 7.846.46

— — — — —

108.90 108.05 107.19 106.31 105.40

+ 44+ 4-

.84 .86 .88 .91 .91

1.15 6 7 8 9

1,479.858.32 1,487.599.38 1,495.235.96 1,502.768.98 1,510.199.39

+ 4+ 4+

7.741.07 7.636.58 7.533.02 7.430.41 7.328.77

—104.49 — 103.55 — 102.61 — 101.65 —100.67

444+ 4-

.94 .95 .96 .97 .98

1,20 1 2 3 4

1,517.528.16 1,524.756.26 1,531.884.66 1,538.914.36 1,545.846.36

+ 4+ + 4-

7.228.09 7.128.40 7.029.70 6.932.00 6.835.30

— — — — —

99.69 98.70 97.70 96.70 95.68

44444-

.99 1.00 1.01 1.01 1.01

1,25 6

1,552.681.66 1,559.421.28

4+

6.739.62 6.644.94

— —

94.67 93.65

4- 1.02 4- 1 0 2 71

p

72

Q(p)

1,27 8 9

1,566.066.22 1,572.617.51 1,579.076.18

1,30 1 2 3 4

1,585.443.25 1,591.719.76 1,597.906.72 1,604.005.17 1,610.016.15

1,35 6 7 8 9

1,615.940.67 1,621.779.77 1,627.534.46 1,633.205.78 1,638.794.74

1,40 1 2 3 4

1,644.302.36 1,649.729.64 1,655.077.60 1,660.347.23 1,665.539.53

1,45 6 7 8 9

1,670.655.50 1,675.696.11 1,680.662.34 1,685.555.17 1,690.375.56

1,50 1 2 3 4

1,695.124.47 1,699.802.84 1,704.411.63 1,708.951.76 1,713.424.16

1,55 6 7 8 9

1,717.829.76 1,722.169.45 1,726.444.15 1,730.654.75 1,734.802.13

1,60 1 2 3 4

1,738.887.17 1,742.910.47 1,746.873.70 1,750.776.89 1,754.621.15

1,65 6 7 8 9

1,758.407.33 1,762.136.23 1,765.808.68 1,769.425.48 1,772.987.42

A

A

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

6.551.29 6.458.67 6.367.07 6.276.50 6.186.96 6.098.45 6.010.97 5.924.52 5.839.10 5.754.70 5.671.32 5.588.96 5.507.62 5.427.28 5.347.96 5.269.63 5.192.30 5.115.96 5.040.61 4.966.23 4.892.83 4.820.39 4.748.91 4.678.38 4.608.79 4.540.13 4.472.40 4.405.59 4.339.70 4.274.70 4.210.60 4.147.38 4.085.04 4.023.57 3.962.95 3.903.19 3.844.27 3.786.17 3.728.91 3.672.45 3.616.80 3.561.94 3.507.87

— —

— — — —

— — — —

— — — —

— — — —

— — — —

— — — —

— — — — — — — — —

A

92.63 91.60 90.57

+ 1.03 + 1.03 + 1.03

89.54 88.51 87.48 86.45 85.42

+ + + + +

1.03 1.03 1.03 1.03 1.02

84.40 83.38 82.36 81.34 80.33

+ + + + +

1.02 1.02 1.02 1.01 1.00

79.33 78.33 77.33 76.34 75.35

+ -1+ 4+

1.00 1.00 .99 .99 .98

74.38 73.40 72.44 71.48 70.53

+ + + + +

.97 .97 .96 .95 .94

69.59 68.65 67.73 66.81 65.90

+ + + + +

.94 .93 .92 .91 .90

63.00 64.10 63.22 62.34 61.47

+ + + + +

.89 .89 .88 .87 .86

60.61 59.76 58.92 58.09 57.27

+ + + + +

.85 .84 .83 .82 .81

56.46 55.65 54.86 54.07 53.29

+ + + + +

.80 .80 .79 .78 .77

p

Q(j>)

1,70 1 2 3 4

1,776.495.30 1,779.949.88 1,783.351.94 1,786.702.23 1,790.001.50

1,75 6 7 8 9

1,793.250.50 1,796.449.96 1,799.600.59 1,802.703.12 1,805.758.24

1,80 1 2 3 4

1,808.766.65 1,811.729.04 1,814.646.09 1,817.518.46 1,820.346.82

1,85 6 7 8 9

1,823.131.81 1,825.874.08 1,828.574.27 1,831.233.00 1,833.850.89

1,90 1 2 3 4

1,836.428.54 1,838.966.56 1,841.465.55 1,843.926.08 1,846.348.73

1,95 6 7 8 9

1,848.734.08 1,851.082.67 1,853.395.08 1,855.671.83 1,857.913.48

2,00 1 2 3 4

1,860.120.54 1,862.293.55 1,864.433.01 1,866.539.43 1,868.613.32

2,05 6 7 8 9

1,870.655.17 1,872.665.47 1,874.644.69 1,876.593.30 1,878.511.79

2,10 1

1,880.400.59 1,882.260.17

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

3.454.58 3.402.06 3.350.29 3.299.28 3.249.0« 3.199.46 3.150.63 3.102.53 3.055.12 3.008.41 2.962.39 2.917.05 2.872.37 2.828.36 2.784.99 2.742.27 2.700.19 2.658.73 2.617.89 2.577.65 2.538.02 2.498.98 2.460.53 2.422.65 2.385.35 2.348.60 2.312.40 2.276.75 2.241.64 2.207.06 2.173.01 2.139.46 2.106.43 2.073.89 2.041.85 2.010.29 1.979.22 1,948.62 1.918.48 1,888.81 1.859.58 1.830.80

A3

A

A

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

— — — — —

— — — —

52.52 51.77 51.02 50.28 49.54 48.82 48.11 47.40 46.71 46.02 45.34 44.68 44.01 43.36 42.72 42.09 41.46 40.84 40.23 39.63 39.04 38.45 37.88 37.31 36.75 36.19 35.65 35.11 34.58 34.06 33.54 33.04 32.53 32.04 31.56

—

31.07 30.60 30.14 29.68 29.22

—

28.78 28.34

— — — —

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.76 .75 .74 .73 .72 .71 .70 .70 .69 .68 .67 .66 .65 .64 .63 .63 .62 .61 .60 .59 .58 .58 .57 .56 .55 .55 .54 .53 .52 .51 .51 .50 .49 .49 .48 .47 .47 .46 .45 .44 .44 .43 73

Ö(2>)

V

74

2,12 3 4

1,884.090.97 1,885.893.43 1,887.667.98

2,15

6 7 8 9

1,889.415.05 1,891.135.06 1,892.828.42 1,894.495.55 1,896.136.84

2,20 1 2 3 4

1,897.752.68 1,899.343.48 1,900.909.61 1,902.451.49 1,903.969.38

2,25 6 7 8 9

1,905.463.75 1,906.934.95 1,908.383.31 1,909.809.20 1,911.212.96

2,30 1 2 3 4

1,912.594.92 1,913.955.43 1,915.294.82 1,916.613.40 1,917.911.51

2,35 6 7 8 9

1,919.189.45 1,920.447.54 1,921.686.09 1,922.905.40 1,924.105.75

2,40 1 2 3 4

1,925.287.46 1,926.450.80 1,927.596.05 1,928.723.51 1,929.833.44

2,45 6 7 8 9

1,930.926.11 1,932.001.80 1,933.060.75 1,934.103.25 1,935.129.53

2,50 1 2 3 4

1,936.139.84 1,937.134.45 1,938.113.58 1,939.077.49 1,940.026.40

A

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

1.802.46 1.774.55 1.747.07 1.720.01 1.693.36 1.667.12 1.641.29 1.615.85 1,590.80 1.566.13 1.541.84 1.517.93 1.494.38 1.471.19 1.448.37 1.425.89 1.403.76 1.381.96 1.360.51 1.339.38 1.318.59 1.298.11 1.277.94 1,258.09 1.238.55 1.219.30 1.200.36 1.181.70 1.163.34 1.145.26 1.127.46 1.109.93 1.092.67 1.075.68 1.058.96 1.042.49 1.026.28 1.010.32 .994.61 .979.13 .963.90 .948.91 .934.15

A

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

•—• — — — — — — — —

27.91 27.48 27.06 26.65 26.24 25.84 25.44 25.05 24.67 24.29 23.91 23.55 23.19 22.83 22.48 22.13 21.79 21.46 21.12 20.80 20.48 20.16 19.85 19.55 19.24 18.95 18.65 18.37 18.08 17.80 17.53 17.26 16.99 16.73 16.47 16.21 15.96 15.71 15.47 15.23 14.99 14.76 14.53

A

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.43 .42 .41 .41 .40 .40 .39 .38 .38 .37 .37 .36 .36 .35 .35 .34 .34 .33 .33 .32 .32 .31 .31 .30 .30 .29 .29 .28 .28 .28 .27 .27 .26 .26 .26 .25 .25 .24 .24 .24 .23 .23 .23

V

Q(p)

2,55 6 7 8 9

1,940.960.55 1,941.880.16 1,942.785.47 1,943.676.69 1,944.554.04

2,60 1 2 3 4

1,945.417.74 1,946.268.00 1,947.105.02 1,947.929.02 1,948.740.20

2,65 6 7 8 9

1,949.538.75 1,950.324.87 1,951.098.75 1,951.860.59 1,952.610.56

2,70 1 2 3 4

1,953.348.86 1,954.075.67 1,954.791.16 1,955.495.52 1,956.188.90

2,75 6 7 8 9

1,956.871.49 1,957.543.45 1,958.204.95 1,958.856.15 1,959.497.21

2,80 1 2 3 4

1,960.128.28 1,960.749.53 1,961.361.10 1,961.963.15 1,962.555.82

2,85 6 7 8 9

1,963.139.26 1,963.713.62 1,964.279.03 1,964.835.63 1,965.383.56

2,90 1 2 3 4

1,965.922.96 1,966.453.96 1,966.976.68 1,967.491.27 1,967.997.83

2,95 6

1,968.496.51 1.968.987.42

A

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +. + + + + + + +

.919.61 .905.31 .891.22 .877.35 .863.70 .850.26 .837.03 .824.00 .811.17 .798.55 .786.12 .773.88 .761.84 .749.98 .738.30 .726.81 .715.49 .704.35 .693.39 .682.59 .671.96 .661.50 .651.20 .641.06 .631.07 .621.25 .611.57 .602.05 .592.67 .583.44 .574.35 .565.41 .556.60 .547.93 .539.40

A3

A

— — — —

— — — — —

— — — • — — — . — — — —

— . — • — — —

— — • — — —

— — — — —

.531.00 .522.73 .514.58 .506.57 .498.68

—

.490.91 .483.26

—

— — — —

.—.

14.31 14.09 13.87 13.65 13.44 13.23 13.03 12.82 12.63 12.43 12.24 12.05 11.86 11.68 11.49 11.32 11.14 10.97 10.80 10.63 10.46 10.30 10.14 9.98 9.83 9.67 9.52 9.38 9.23 9.09 8.95 8.81 8.67 8.53 8.40 8.27 8.14 8.02 7.89 7.77 7.65 7.53

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.22 .22 .22 .21 .21 .21 .20 .20 .20 .19 .19 .19 .18 .18 .18 .18 .17 .17 .17 .17 .16 .16 .16 .16 .15 .15 .15 .15 .14 .14 .14 .14 .13 .13 .13 .13 .13 .12 .12 .12 .12 .12

75

p

76

Q(p)

2,97 8 9

1,969.470.68 1,969.946.41 1,970.414.74

3,00 1 2 3 4

1,970.875.76 1,971.329.61 1,971.776.38 1,972.216.20 1,972.649.16

3,05 6 7 8 9

1,973.075.37 1,973.494.95 1,973.907.99 1,974.314.59 1,974.714.86

3,10 1 2 3 4

1,975.108.90 1,975.496.79 1,975.878.64 1,976.254.54 1,976.624.59

3.15 6 7 8 9

1,976.988.87 1,977.347.47 1,977.700.48 1,978.048.00 1,978.390.10

3,20 1 2 3 4

1,978.726.87 1,979.058.39 1,979.384.75 1,979.706.02 1,980.022.28

3,25 6 7 8 9

1,980.333.62 1,980.640.10 1,980.941.81 1,981.238.82 1,981.531.20

3,30 1 2 3 4

1,981.819.03 1,982.102.37 1,982.381.29 1,982.655.87 1,982.926.17

3,35 6 7 8 9

1,983.192.25 1,983.454.19 1,983.712.05 1,983.965.89 1.984.215.78

A

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.475.73 .468.32 .461.03 .453.84 .446.77 .439.81 .432.96 .426.22 .419.58 .413.04 .406.60 .400.27 .394.03 .387.89 .381.85 .375.90 .370.04 .364.28 .358.60 .353.01 .347.51 .342.10 .336.77 .331.52 .326.36 .321.27 .316.27 .311.34 .306.49 .301.71 .297.01 .292.38 .287.82 .283.34 .278.92 .274.58 .270.30 .266.09 .261.94 .257.86 .253.84 .249.88 .245.99

A

— —

— — — —

— — — —

— — — — — — - — — — — — — • — — — — — — —

.— — — — — — — — — —

3 7.41 7.30 7.18 7.07 6.96 6.85 6.75 6.64 6.54 6.44 6.33 6.24 6.14 6.04 5.95 5.86 5.77 5.68 5.59 5.50 5.42 5.33 5.25 5.17 5.09 5.01 4.93 4.85 4.78 4.70 4.63 4.56 4.49 4.41 4.35 4.28 4.21 4.15 4.08 4.02 3.96 3.89 3.83

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.12 .11 .11 .11 .11 .11 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .08 .08 .08 .08 .08 .08 .08 .08 .08 .07 .07 .07 .07 .07 .07 .07 .07 .07 .06 .06 .06 .06 .06 .06

V

¿i

Q(p)

3,40 1 2 3 4

1,984.461.77 1,984.703.93 1,984.942.31 1,985.176.98 1,985.407.99

3,45 6 7 8 9

1,985.635.40 1,985.859.27 1,986.079.65 1,986.296.60 1,986.510.16

3,50 1 2 3 4

1,986.720.40 1,986.927.36 1,987.131.09 1,987.331.65 1,987.529.08

3,55 6 7 8 9

1,987.723.44 1,987.914.77 1,988.103.12 1,988.288.53 1,988.471.05

3,60 1 2 3 4

1,988.650.78 1,988.827.60 1,989.001.72 1,989.173.13 1,989.341.87

3,65 6 7 8 9

1,989.507.97 1,989.671.49 1,989.832.46 1,989.990.92 1,990.146.91

3,70 1 2 3 4

1,990.300.47 1,990.451.64 1,990.600.45 1,990.746.94 1,990.891.15

3,75 6 7 8 9

1,991.033.11 1,991.172.86 1,991.310.44 1,991.445.86 1,991.579.18

3,80 1

1,991.710.42 1,991.839.61

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.242.16 .238.38 .234.67 .231.01 .227.41 .223.87 .230.38 .216.95 .213.56 .210.24 .206.96 .203.73 .200.56 .197.43 .194.36 .191.33 .188.35 .185.41 .182.52 .179.68 .176.88 .174.12 .171.41 .168.74 .166.11 .163.52 .160.97 .158.46 .155.99 .153.56 .151.17 .148.81 .146.49 .144.21 .141.96 .139.75 .137.57 .135.48 .133.32 .131.24 .129.19 .127.18

à,

— — — — — — — — —

— — — —

— — — — — — — — —

— — — —

— — — —

A 3.77 3.71 3.66 3.60 3.54 3.49 3.43 3.38 3.33 3.28 3.23 3.17 3.13 3.08 3.03 2.98 2.94 2.89 2.84 2.80 2.76 2.71 2.67 2.63 2.59 2.55 2.51 2.47 2.43 2.39 2.36 2.32 2.28 2.25 2.21

—

2.18 2.14 2.11 2.08 2.05

—

2.01 1.98

—

— —

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.06 .06 .06 .06 .06 .05 .05 .05 .05 .05 .05 .05 .05 .05 .05 ,05 .05 .05 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .04 .03 .03 .03 .03 .03 .03 .03 .03

77

p

78

Q(v)

3,82 3 4

1,991.966.79 1,992.091.99 1,992.215.24

3,85 6 7 8 9

1,992.336.56 1,992.456.00 1,992.573.57 1,992.689.31 1,992.803.25

3,90 1 2 3 4

1,992.915.41 1,993.025.83 1,993.134.52 1.993.241.52 1,993.346.85

3,95 6 7 8 9

1,993.450.54 1,993.552.62 1,993.653.10 1,993.752.02 1,993.849.39

4,00 1 2 3 4

1,993.945.25 1,994.039.61 1,994.132.51 1,994.223.95 1,994.313.97

4,05 6 7 8 9

1,994.402.59 1,994.489.83 1,994.575.71 1,994.660.24 1,994.743.46

4,10 1 2 3 4

1,994.825.39 1,994.906.04 1,994.985.43 1,995.063.58 1,995.140.51

4,15 6 7 8 9

1,995.216.25 1,995.290.81 1,995.364.20 1,995.436.45 1,995.507.57

4,20 1 2 3 4

1,995.577.59 1,995.646.51 1,995.714.36 1,995.781.15 1,995.846.91

A

A

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

.125.20 .123.25 .121.33 .119.44 .117.57 .115.74 .113.94 .112.16 .110.41 .108.69 .107.00 .105.33 .103.69 .102.07 .100.48 98.92 97.38 95.86 94.36 92.89 91.45 90.02 88.62 87.24 85.88 84.54 .83.22 81.92 80.65 .79.39 78.15 76.93 75.74 74.56 73.39 72.25 71.12 70.02 68.92 67.85 66.79 65.75 64.73

• — — — — — — — — — — — — — — — — — - — — • —

•—

—

— — — — —

— — — — — —

— — — — — — — — —

¿3 1.95 1.92 1.89

+ + +

.03 .03 .03

1.86 1.83 1.80 1.78 1.75

+ + + + +

.03 .03 .03 .03 .03

1.72 1.69 1.67 1.64 1.62

+ + + + +

.03 .03 .03 .03 .03

1.59 1.57 1.54 1.52 1.49

+ + + + +

.02 .02 .02 .02 .02

1.47 1.45 1.43 1.40 1.38

+ + + + +

.02 .02 .02 .02 .02

1.36 1.34 1.32 1.30 1.28

+ + + + +

.02 .02 .02 .02 .02

1.26 1.24 1.22 1.20 1.18

+ + + + +

.02 .02 .02 .02 .02

1.16 1.14 1.13 1.11 1.09

+ + + + +

-02 .02 ,02 .02 .02

1.07 1.06 1.04 1.02 1.01

+ + + + +

.02 .02 .02 .02 .02

p 4,25 6 7 8 9

1,995.911.63 1,995.975.35 1,996.038.08 1,996.099.82 1,996.160.61

4,30 1 2 3 4

1,996.220.45 1,996.279.35 1,996.337.34 1,996.394.42 1,996.450.62

4,35 6 7 8 9

1,996.505.93 1,996.560.39 1,996.614.0« 1,996.666.77 1,996.718.72

4,40 1 2 3 4

1,996.769.86 1,996.820.20 1,996.869.76 1,996.818.54 1,996.966.57

4.45 6 7 8 9

1,997.013.84 1,997.060.38 1,997.106.20 1,997.151.30 1,997.195.70

4,50 1 2 3 4

1,997.239.40 1,997.282.43 1,997.324.78 1,997.366.47 1,997.407.52

4,55 6 7 8 9

1,997.447.92 1,997.487.70 1,997.526.85 1.997.565.40 1,997.603.34

4,60 1 2 3 4

1,997.640.69 1,997.677.46 1,997.713.66 1,997.749.29 1,997.784.37

4,65 6

1,997.818.90 1,997.852.90

J,

A

c ö»)

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

63.72 62.72 61.75 60.79 59.84 58.91 57.99 57.08 56.19 55.32 54.46 53.61 52.77 51.95 51.14 50.34 49.56 48.79 48.03 47.28 46.54 45.81 45.10 44.40 43.71 43.02 42.36 41.69 41.04 40.40 39.77 39.15 38.54 37.94 37.35 36.77 36.20 35.63 35.08 34.53 33.99 33.46

J, .99 .98 .96 .95 .93

+ + + + +

0.2 .02 .01 .01 .01

.92 .90 .89 .88 .86

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

.85 .84 .82 .81 .80

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

.78 .77 .76 .75 .74

+ + + + +

,01 .01 .01 .01 .01

.73 .71 .70 .69 .68

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

67 .66 .65 .64 .63

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

.62 .61 .60 .59 .58

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

—

.57 .56 .56 .55 .54

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

—

.53 .52

+ +

.01 .01

— — — — — — — — — — —

— •—• — — — — — — — — — — —

— — — —

— — — —

— — —

79

V

80

4,67 8 9

1,997.886.36 1,997.919.30 1,997.951.73

4,70 1 2 3 4

1,997.983.65 1,998.015.08 1,998.046.01 1,998.076.47 1,998.106.44

4,75 6 7 8 9

1,998.135.96 1,998.165.01 1,998.193.61 1,998.221.76 1,998.249.47

4,80 1 2 3 4

1,998.276.76 1,998.303.61 1,998.330.05 1,998.356.08 1,998.381.70

4,85 6 7 8 9

1,998.406.92 1,998.431.75 1,998.456.19 1,998.480.25 1,998.503.94

4,90 1 2 3 4

1,998.527.25 1,998.550.21 1,998.572.80 1,998.595.04 1,998.616.94

4,95 6 7 8 9

1,998.638.5« 1,998.659.72 1,998.680.60 1,998.701.17 1,998.721.41

5,00 1 2 3 4

1,998.741.34 1,998.760.95 1,998.780.26 1,998.799.27 1,998.817.99

5,05 6 7 8 9

1,998.836.41 1,998.854.55 1,998.872.40 1,998.889.97 1,998.907.27

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

32.94 32.43 31.92 31.43 30.94 30.45 29.98 29.51 29.05 28.60 28.15 27.71 27.28 26.86 26.44 .26.03 25.62 25.22 24.83 24.44 24.06 23.69 23.32 22.95 22.60 22.24 21.90 21.56 21.22 20.89 20.56 20.24 19.93 19.62 19.31 19.01 18.71 18.42 18.13 17.85 17.57 17.30 17.03

A

¿2

¿X

Q(p)

— —

— — — — —

— — — — —

— — — — —

— — — — —

— — — — —

— — — — —

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.51 .51 .50

+ + +

.01 .01 .01

.49 .48 .47 .47 .46

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

.45 .45 .44 .43 .43

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

.42 .41 .41 .40 .39

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.01 .01 .01 .01 .01

.39 .38 .37 .37 .36

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

.36 .35 .35 .34 .34

+ + + + +

.01 .01 .01 .01 .01

.33 .33 .32 .32 .31

+ + +

.01 .01 .00

.31 .30 .30 .29 .29 .28 .28 .27 .27 .27

p 5,10

1,998.924.30

1

1,998.941.07

2

1.998.957.57

3

1,998.973.82

4

1,998.989.81

5,15

1,999.005.55

6

1,999.021.05

7

1,999.036.31

8

1,999.051.33

9

1,999.066.11

5,20

1,999.080.67

1

1,999.095.00

2

1,999.109.10

3

1,999.122.99

4

1,999.136.66

5,25

1,999.150.11

6

1,999.163.36

7

1,999.176.40

8

1,999.189.23

9

1,999.201.87

5,30

1,999.214.31

1

1,999.226.55

2

1,999.238.61

3

1,999.250.47

4

6

A

Q(p)

1,999.262.15

5,35

1,999.273.65

6

1,999.284.97

7

1,999.296.12

8

1,999.307.09

9

1,999.317.89

5,40

1,999.328.52

1

1,999.338.98

2

1,999.349.29

3

1,999.359.43

4

1,999.369.41

5,45

1,999.379.24

6

1,999.388.91

7

1,999.398.44

8

1,999.407.81

9

1,999.417.04

5,50

1,999.426.13

1

1,999.435.07

Hörig

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

¿2 16.77

.26

16.50

—

.26

16.25

—

.25

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—

.25

15.74

—

.25

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—

.24

15.26

—

.24

15.02

—

.23

14.79

—

.23

14.55

—

.23

14.33

—

.22

14.10

—

.22

13.88

—

.22

13.67

—

.21

13.46

—

.21

13.25

— .

.21

13.04

—

.20

12.84

—

.20

12.64

—

.20

12.44

—

.19

12.25

—

.19

12.05

—

.19

11.87

• —

.18

11.68

—

.18

11.50

—

.18

11.32

.18

11.14

—

.17

10.97

• —

.17

10.80

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.17

10.63

—

.17

10.47

—

.16

10.30

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.16

10.14

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.16

9.98

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.16

9.83

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.15

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.15

9.67 9.52

.15

9.38

—

.15

9.23

.—

.14

9,09

—

.14

8.94 8.80

.14 —

.14

81

p

A

Ax

5,52 3 4

1,999.443.88 1,999.452.54 1,999.461.08

5,55 6 7 8 9

1,999.469.48 1,999.477.75 1,999.485.89 1,999.493.90 1,999.501.79

5,60 1 2 3 4

1,999.509.55 1,999.517.19 1,999.524.72 1,999.532.12 1,999.539.42

5,65 6 7 8 9

1,999.546.59 1,999.553.66 1,999.560.62 1,999.567.46 1,999.574.21

5,70 1 2 3 4

1,999.580.84 1,999.587.37 1,999.593.81 1,999.600.14 1,999.606.37

5,75 6 7 8 9

1,999.612.50 1,999.618.54 1,999.624.49 1,999.630.34 1,999.636.10

5,80 1 2 3 4

1,999.641.77 1,999.647.36 1,999.652.85 1,999.658.26 1,999.663.59

5,85 6 7 8 9

1,999.668.83 1,999.673.99 1,999.679.07 1,999.684.08 1,999.689.00

5,90 1 2 3 4

1,999.693.85 1,999.698.62 1,999.703.31 1,999.707.94 1,999.712.49

+ + + + + + + + + + + + + + + +

-1-

_L 1

+ + + + + + +

i ~r

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

8.67 8.53 8.40 8.27 8.14 8.01 7.89 7.76 7.64 7.52 7.41 7.29 7.18 7.07 6.96 6.85 6.74 6.64 6.53 6.43 6.33 6.23 6.13 6.04 5.95 5.85 5.76 5.67 5.58 5.50 5.41 5.3 a 5.24 5.16 5.08 5.00 4.92 4.85 4.77 4.70 4.62 4.55 4.48

— —

— . — — — —

— — — • — —

— — — — —

— — — — —

— — — — —

— — — — • — — — — — — — — . — — —

.14 .13 .13 .13 .13 .13 .12 .12 .12 .12 .12 .11 .11 .11 .11 .11 .11 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .08 .08 .08 .08 .08 .08 .08 .08 .07 .07 .07 .07 .07

p

Q(ì>)

5,95 6 7 8 9

1,999.716.97 1,999.721.38 1,999.725.72 1,999.730.00 1,999.734.21

6,0 1 2 3 4

1,999.738.35 1,999.776.38 1,999.808.89 1,999.836.67 1,999.860.41

6,5 6 7 8 9

1,999.880.70 1,999.898.05 1,999.912.87 1,999.925.53 1,999.936.36

7,0 1 2 3 4

1,999.945.61 1,999.953.51 1,999.960.27 1,999.966.05 1,999.970.98

7,5 6 7 8 9

1,999.975.20 1,999.978.81 1,999.981.89 1,999.984.52 1,999.986.77

8,0 1 2 3 4

1,999.988.69 1,999.990.34 1,999.991.74 1,999.992.94 1,999.993.97

8,5 6 7 8 9

1,999.994.84 1,999.995.59 1,999.996.23 1,999.996.78 1,999.997.25

9,0 1 2 3 4

1,999.997.65 1,999.997.99 1,999.998.28 1,999.998.53 1,999.998.75

9,5 6

1,999.998.93 1,999.999.08

6*

A

A

+ + + -j-

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+ + + + + + + + + + + + + + + + +

4.41 4.34 4.27 4.21 4.14 38.03 32.51 27.78 23.74 20.29 17.34 14.82 12.67 10.83 9.25 7.91 6.76 5.78 4.94 4.22 3.60 3.08 2,63 2.25 1.92 1.64 1.40 1.20 1.03 .88 .75 .64 .55 .47 .4« .34 .29 .25 .21 .18 .16 .13

. — — • — —

.07 .07 .07 .07 .06 5.53 4.73 4.04 3.45 2.95

+ + + + +

.80 .69 .59 .50 .43

2.52 2.15 1.84 1.57 1.35

+ + + + +

.37 .31 .27 .23 .20

1.15 .98 .84 .72 .61

+ + + + +

.17 -14 .12 .10 .09

.52 .45 .38 .33 .28

+ + + + +

.08 .07 .06 .05 .04

.24 .20 .17 .15 .13

+ + + + +

.03 .03 .03 .02 .02

.11 .09 .08 .07 .06

+ + + + +

.02 .01 .01 .01 .01

+ + +

.01 .01 .01

—

.05 .04 .04 .03 .03

—

.02 .02

— — — — — — — — — — — — — — — — — — . — —

— . — — —

— — — — —

— — —

83

84

p

Q(P)

9,7 8 9

1,999.999.22 1,999.999.33 1,999.999.43

10,0 1 2 3 4

1,999.999.51 1,999.999.58 1,999.999.64 1,999.999.70 1,999.999.74

10.5 6 7 8 9

1,999.999.78 1,999.999.81 1,999.999.84 1,999.999.86 1,999.999.88

11,0 1 2 3 4

1,999.999.90 1,999.999.91 1,999.999.93 1,999.999.94 1,999.999.95

11,5 6 7 8 9

1,999.999.95 1,999.999.96 1,999.999.97 1,999.999.97 1,999.999.98

12,0 1 2 3 4

1,999.999.979. 1,999.999.982. 1,999.999.985. 1,999.999.987 1,999.999.989.

12,5 6 7 8 9

1,999.999.990. 1,999.999.992. 1,999.999.993. 1,999.999.994. 1,999.999.995.

13,0 1 2 3 4

1,999.999.996. 1,999.999.996. 1,999.999.997. 1,999.999.997. 1,999.999.998.

13,5 6 7 8 9

1,999.999.998. 1,999.999.999. 1,999.999.999. 1,999.999.999. 1,999.999.999.

A

A

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + -j-

.11 .10 .08

— — —

.02 .01 .01

.07 .06 .05 .04 .04

— — — — —

.01 .01 .01 .01 .01

.03 .03 .02 .02 .02 .01 .01 .01 .01 .01 .01 .01

Q(p)

V 14,0 1 2 3 4

1,999.999.999. 1,999.999.999. 1,999.999.999. 1,999.999.999. 1,999.999.999.

14,5 6 7 8 9

2,000.000.000. 2,000.000.000. 2,000.000.000. 2,000.000.000. 2,000.000.000.

15,0

2,000.000.000.

oo

A

¿2

à*

2,o

85

Beispiel 1. Unterlagen: (23) u. Abb. 3. n

Io

n„

IIIo

0

0,000.072.581.752.073. 0,000.225.502.311.499. 0,000.062.038.643.256.

0,000.110.496.132.634. 0,000.201.005.204.149. 0,000.058.791.219.179.

0,000.098.492.550.032 0,000.190.483.550.141 0,000.089.501.867.434

H(>/-®0, X,y,z—

I()/^0, z,x,y — I i 1

3

III

0,000.098.840.382.642 0,000.190.991.222.342 0,000.089.589.204.15]

Ho/Äi, x, y, z= H2

IIIo/-ßi, V, z, x— HI

0,000.072.770.293.047. 0,000.225.724.375.031. 0,000.062.253.904.377.

0,000.110.604.943.765. 0,000.201.702.650.181. 0,000.058.943.937.368.

0,000.098.834.298.588 0,000.190.978.357.074 0,000.089.590.004.44«

I()/-^2, z, x, y — I3

Ho/-^2, x, y, z— H3

IHo/-^2, y, z, x— H I

0,000.072.770.433.786. 0,000.225.724.378.736. 0,000.062.254.045.372.

0,000.110.604.945.580. 0,000.201.703.107.005. 0,000.058.944.051.367.

0,000.098.834.522.435 0,000.190.978.726.42i 0,000.089.590.005.92]

Z, X, v —

4

III 0 /i? 0 ,

0,000.110.603.955.741. 0,000.201.715.066.619. 0,000.058.947.908.130.

0,000.072.775.195.223. 0,000.225.722.358.655. 0,000.062.257.736.611. x, y —

2

Hl

I2

I4

Ho/x,

0,000.072.770.429.401. 0,000.225.724.379.663. 0,000.062.254.041.517.

y, z =

H4

0,000.110.604.946.034. 0,000.201.703.094.516. 0,000.058.944.047.815.

H I 0/^3,

bjcx

(«If/Vmin (»A

z'min

= 1,183. 0,729. = 1,314.

zmln »i

c

Wmin

c

= 1,088. - 0,854. 1,146.

«mii>

c

= 0,919.

»-=1,171. ymin ^imin

HI4

0,000.098.834.516.312 0,000.190.978.714.92] 0,000.089.580.006.28*

Zu B e i s p i e l 1, mit Abb. 3

( 6 */ c *) min

y, z, x =

0,872.

Zahlentafel 1

,„i0 = i 0 -n 0 + m0 0,000.060.578.169.472. 0,000.214.980.657.491. 0,000.092.749.291.511.

550.033. 550.141. 567.434.

Po, x,

V, z

1,182.301.150.2 0,727.353.079.6 1,318.680.731.9

,= 111! ««,1=11 — 11 + 111!

Pl.

X, »,

Z

$82.643. 222.343. 204.151.

0,000.061.011.622.125. 0,000.214.998.514.379. 0,000.092.899.032.632.

= 111,

s

298.588. J57.074. >04.449.

0,000.060.999.647.870. 0,000.215.000.081.924. 0,000.092.899.971.458.

= HIS

Skk, 3 = I3 — II3 + III3 Ps, X, y, z

522.432. 726.429. 305.921.

0,000.061.000.010.638. 0,000.214.999.998.160. 0,000.092.899.999.926.

kk, a = I2 — n 2 + I I I 2

II 4 + I I I 4

= III 4 516.313. 714.921. )06.288.

0,000.060.999.999.680. 0,000.215.000.000.068. 0,000.092.899.999.990.

Zahlentafel 2

Vx y zmin

0, almin

K 'lmin Cl '1min

_

y

yy

1,013. 1,047.

ymin

yz = 1,035. V zmin •

1,183.206.022.2 0,729.362.112.2 1,314.042.717.2 Pi,

X,

y,

z

1,183.207.687.5 0,729.286.850.7 1,314.176.475.2

1,183.208.099.3 0,729.288.907.5 1,314.172.311.5 Vi,

X, y, z

1,183.208.094.4 0,729.288.841.8 1,314.172.435.4

n

X, y,z

0,999.025.142.4 0,996.480.865.4 0,997.341.908.2

0

X, y, z

0,999.016.218.2 0,996.542.206.9 0,997.409.094.2

1

X, y, z

0,999.016.201.8 0,996.539.949.9 0,997.407.165.2

2

X, y, z

0,999.016.197.7 0,996.540.011.6 0,997.407.225.3 A, •!,

3

z

0,999.016.197.8 0,996.540.009.7 0,997.407.223.5

4

Beispiel 2. Unterlagen: (27) u. Abb. 4 n

Io

Ilo

III,

s**,o=Io — H0 + III0

0

0,000.555.186. 0,001.300.795. 0,000.184.199.

0,000.508.123. 0,000.327.465. 0,001.303.474.

0,000.127.916. 0,002.317.288. 0,001.192.979.

0,000.174.979. 0,003.290.618. 0,000.073.704.

W

Z,

X, y —

Il

IIo/i? 0j X, y, z=

Hl

HIo/-^0, y, 2, x~

Uli

1 = 1 1 — 111 + 111!

1

0,000.574.000. 0,001.401.941. 0,000.188.889.

0,000.547.633. 0,000.335.803. 0,001.347.646.

0,000.131.173. 0,002.395.816. 0,001.285.741.

0,000.157.540. 0,003.461.954. 0,000.126.984.

2

0,000.576.847. 0,001.378.388. 0,000.186.034.

0,000.538.433. 0,000.327.749. 0,001.354.331.

0,000.129.190. 0,002.407.700 0,001.264.141.

0,000.167.604. 0,003.458.339. 0,000.095.844.

3

0,000.575.680. 0,001.39] .825. 0,000.187.393.

0,000.543.681. 0,000.333.142. 0,001.351.591.

0,000.130.134. 0,002.402.829. 0,001.276.464.

0,000.163.133. 0,003.461.512. 0,000.112.266.

4

0,000.576.202. 0,001.384.282. 0,000.186.591.

0,000.540.735. 0,000.331.718. 0,001.352.815.

0,000.129.577. 0,002.405.005. 0,001.269.546.

0,000.165.044. 0,003.457.569. 0,000.103.322.

5

0,000.575.960. 0,001.388.209. 0,000.187.000.

0,000.542.269. 0,000.332.444. 0,001.352.246.

0,000.129.861. 0,002.403.995. 0,001.273.147.

0,000.163.552. 0,003.459.760. 0,000.107.901.

6

0,000.576.139. 0,001.386.160. 0,000.186.783.

0,000.541.469. 0,000.332.059. 0,001.352.668.

0,000.129.711. 0,002.404.744. 0,001.271.268.

0,000.164.381. 0,003.458.845. 0,000.105.383.

7

0,000.576.041. 0,001.387.280. 0,000.186.901.

0,000.541.906. 0,000.332.680. 0,001.352.437.

0,000.129.792. 0,002.404.333. 0,001.272.295.

0,000.163.927. 0,003.458.933. 0,000.106.759.

8

0,000.576.092. 0,001.386.587. 0,000.186.836.

0,000.541.664. 0,000.332.153. 0,001.352.558.

0,000.129.747. 0,002.404.548. 0,001.271.726.

0,000.164.175. 0,003.458.982. 0,000.106.004.

9

0,000.576.065. 0,001.387.000. 0,000.186.871.

0,000.541.797. 0,000.332.157. 0,001.352.493.

0,000.129.772. 0,002.404.433. 0,001.272.204.

0,000.164.040. 0,003.459.276. 0,000.106.582.

10

0,000.576.014. 0,001.386.743. 0.000.186.846.

0,000.541.696. 0,000.332.170. 0,001.352.374.

0,000.129.754. 0,002.404.221. 0,001.271.803.

0,000.164.072. 0,003.458.794. 0,000.106.275.

11

0,000.576.075. 0,001.386.747. 0,000.186.843.

0,000.541.748. 0,000.332.166. 0,001.352.518.

0,000.129.752. 0,002.404.477. 0,001.271.924.

0,000.164.079. 0,003.459.058. 0,000.106.249.

12

0,000.576.076. 0,001.386.890. 0,000.186.850.

0,000.541.754. 0,000.332.195. 0,001.352.519.

0,000.129.763. 0,002.404.480. 0,001.271.938.

0,000.164.085. 0,003.459.175. 0,000.106.278.

Zahlentafel 3 0

1

Po,

x, y,

z

0,199.547.15 2,360.909.5 2,710.352.5

Pi,

X, V,

z

z, y,

z

Y ( « i t . n - i + skk, n + i ) = S

Y (S + skki n)

0,927.853.196. 0,975.169.099. 0,967.222.711. X, y,

n 0

z

0,255.359.83 1,706.682.8 2,929.849.0

0,943.707.145. 0,990.134.878. 0,962.448.787.

0,000.171.291.5 0,003.374.478.5 0,000.084.773.5

0,000.164.416. 0,003.418.216. 0,000.105.879.

1

0,221.966.49 2.026.243.5 2.839.040.6

0,934.596.902. 0,982.957.999. 0,964.399.867.

0,000.160.336.5 0,003.461.733.0 0,000.119.625.0

0,000.163.970. 0,003.460.036. 0,000.115.945.

2

0,240.120.49 1.841.380.3 2.879.002.4

0,938.689.502. 0,987.179.698. 0,963.527.296.

0,000.166.324.0 0,003.457.954.0 0,000.099.583.0

0,000.164.729. 0,003.459.733. 0,000.105.925.

3

0,230.488.74 1,936.579.8 2,860.655.2

0,937.031.289. 0,985.022.460. 0,963.932.287.

0,000.163.242.5 0,003.460.636.0 0,000.110.083.5

0,000.164.193. 0,003.459.103. 0,000.106.703.

4

0,235.466.15 1,886.457.8 2,874.584.5

0,938.416.234. 0,986.163.734. 0,963.632.012.

0,000.164.712.5 0,003.458.207.0 0,000.104.352.5

0,000.164.132. 0,003.458.984. 0,000.106.127.

5

0,232.733.27 1,913.693.7 2,866.947.6

0,937.658.896. 0,985.544.934. 0,063.796.543.

0,000.163.739.5 0,003.459.346.5 0,000.107.330.0

0,000.164.060. 0,003.459.096. 0,000.106.356.

6

0,234.244.77 1,898.693.6 2,870.947.3

0,938.078.692. 0,985.886.160. 0,963.710.343.

0,000.164.278.0 0,003.458.913.5 0,000.105.693.5

0,000.164.103. 0,003.458.923. 0,000.106.226.

7

0,233.413.36 1,906.884.0 2,868.802.5

0,937.848.063. 0,985.699.967. 0,963.756.558.

0,000.163.983.5 0,003.459.104.5 0,000.106.670.5

0,000.164.079. 0,003.459.043. 0,000.106.337.

8

0,234.038.91 1,900.924.4 2,864.870.2

0,938.021.649. 0,985.835.478. 0,063.841.344.

0,000.164.123.5 0,003.458.888.0 0,000.106.139.5

0,000.164.082. 0,003.459.082. 0,000.106.361.

9

0,233.717.88 1,903.853.7 2,869.624.9

0,937.932.615. 0,985.847.732. 0,963.738.835.

0,000.164.059.5 0,003.459.167.0 0,000.106.415.5

0,000.164.066. 0,003.458.981. 0,000.106.345.

10

0,233.680.37 1,904.127.3 2,869.673.2

0,937.922.205. 0,985.762.671. 0,963.737.744.

0,000.164.078.5 0,003.458.984.5 0,000.106.276.5

0,000.164.079. 0,003.459.021. 0,000.106.263.

11

0,233.708.31 1,903.902.? 2,869.622.2

0,937.929.958. 0,985.767.769. 0,963.738.030.

12

Beispiel 3. Unterlagen: (37) n

Io

n.

HI»

0

0,000.189.019. 0,003.180.577. 0,000.109.952.

0,000.183.201. 0,002.748.800. 0,000.120.972.

0,000.158.331 0,003.024.309 0,000.117.249

z, X, y ~

1

0,000.189.080. 0,003.182.496. 0,000.109.952. Io/Äl. z, x, y —

2

3

H

A

x,y,z=

Hi

0,000.183.312. 0,002.748.803. 0,000.121.011. Ilo/tfi,

2

=

H2

0,000.189.081. 0,003.182.504. 0,000.109.952.

0,000.183.312. 0,002.748.803. 0,000.121.012.

Io/-®2, z, x, y — I3

II 0 /i? 2 , x, y, z~ H3

0,000.189.081. 0,003.182.504. 0,000.109.952.

0,000.183.312. 0,002.748.803. 0,000.121.012.

IIIo/^o, V, z, X — 0,000.158.331 0,003.025.287 0,000.117.320 IIIo/^x,

y, z, X =

0,000.158.331 0,003.025.299 0,000.117.320 IIIq/J2 2j J, J, I = 0,000.158.331 0,003.025.299 0,000.117.320

Zahlentafel 4 Skk,

I»

*=IIIi

0,876.595.59 0,994.460.55 1,101.246.12

«».i = ii— : Iii + nil

Pl. ». W, 2

0,000.164.099. 0,003.458.980. 0,000.106.261.

0,876.360.77 0,994.159.36 1,101.874.92

58.331. 25.287. 17.320. 8kk,

58.331. 25.299. 17.320. 2

,x=Hl3

58.331. 25.299. 17.320.

Po, », », *

0,000.164.149. 0,003.456.086. 0,000.106.229.

58.331. 24.309. 17.249. 2(

0 = Io — Ho + I l i o

s — I2 — Hg +

III2

0,876.354.11 0,994.167.07 1,101.874.75

0,000.164.100 0,003.459.000. 0,000.106.260. s«, 3=13

— II3 +

0,000.164.100. 0,003.459.000. 0,000.106.260.

Vi, *, », z

III3

P3, X, tr. « 0,876.354.11 0,994.167.07 1,101.874.75

•®o>

», *

n

0,999.396.886. 0,999.998.927. 0 0,999.676.598. •®1, x, », 2 0,999.394.430. 0,999.998.807. 1 0,999.672.759. ». », »

0,999.394.360. 0,999.998.810. 2 0,999.672.760. •®3, X, », Í 0,999.394.360. 0,999.998.810. 3 0,999.672.760.

Beispiel 4. Unterlagen : (40) n

Io

0

0,000.555.259.5 0,001.300.795.4 0,000.184.012.2

1

0,000.508.123.2 0,000.327.132.8 0,001.303.646.5

0,000.127.786.3 0,002.317.593.7 0,001.192.979.2

Io/-®2, x, y = Il

II 0 /< y. z = Hi

0,000.576.149.4 0,001.386.884.7 0,000.186.670.0

0,000.541.751.8 0,000.331.857.7 0,001.352.692.0

W 2

III0

Ho

z, x, y =

I2

0,000.576.161.6 0,001.387.053.7 0,000.186.681.7

Ho/i*!,

x,y.z=

0,000.541.817.9 0,000.331.878.6 0,001.352.720.9

III0IB'y, 2, * = III, 0,000.129.632.0 0,002.404.785.8 0,001.271.933.0

Hg

III0IRlt y z x = IIIa 0,000.129.640.1 0,002.404.837.0 0,001.272.088.0

= Ii — H i + Uli 0,000.164.029.6 0,003.459.812.8 0,000.105.911.0

Skk, 2 = I2 — Hg + II 0,000.163.983.8 0,003.460.012.1 0,000.106.048.8

= Io/-®2, z, X, y = I3 II01i?2, X. y, z II3III0/Ä2, ,, , = 1113 ««,3=13 — II3 + III3

3

0,000.576.167.9 0,001.386.994.2 0,000.186.675.2

0,000.541.794.6 0,000.331.867.1 0,001.352.735.5

0,000.129.635.6 0,002.404.863.0 0,001.272.033.4

0,000.164.008.9 0,003.459.990.1 0,000.105.973.1

Io/-^3, z, x, y — I4 Ho/^3, X, y,z = II4 Hl0/i?3) y 21 X — III4 *»,4 = i 4 - n 4 + iii4 4

0,000.576.164.9 0,001.387.028.1 0,000.186.678.8

0,000.541.807.8 0,000.331.873.4 0,001.352.728.5

0,000.129.638.1 0,002.404.850.6 0,001.272.064.5

Io/-®4, z, X, y — I5 Ho/Â4, X, y, z= II5 III0/Ä4tVtZ ,,= IH 6 5

0,000.576.166.5 0,001.387.009.4 0,000.186.676.8

0,000.541.800.6 0,000.331.869.9 0,001.352.732.4

0,000.129.636.7 0,002.404.857.5 0,001.272.047.4

Io/-®5, z, X, y = I« II0/Ä5, X, », »= n 6 III JR5t 6

0,000.576.165.7 0,001.387.018.3 0,000.186.677.9

0,000.541.804.0 0,000.331.871.8 0,001.352.730.3

III6

0,000.129.637.5 0,002.404.853.8 0,001.272.055.5

0,000.163.995.2 0,003.460.005.3 0,000.106.014.8 ***,5=I5 — II5 + III5 0,000.164.002.6 0,003.459.997.0 0,000.105.991.8

««,« = I« — H« + HI« 0,000.163.999.2 0,003.460.000.3 0,000.106.003.1

Zahlentafel 5 i ( s kt,n-1 + s **,n + l) — S

y, z

\ (S +

«»,„)

0,937.926.106. 0,985.762.139. 0,963.742.270. -ini .6 .8 .0

-III2

.8 .1 .8 Illa .9 .1 .1 HI«

.2 .3 .8 His .6 .0 .8

-III«, .2 .3 .1

y,

Vi, x, y, z

X,

0,233.282.935. 1,906.876.183. 2,870.418.398.

0,937.811.821. 0,985.700.146. 0,963.721.738.

Vi,

X,

y, z

0,233.427.924. 1,905.370.818. 2,870.9f>1.902. V3,

X, y, z

0,233.345.338. 1,906.197.099. 2,870.673.085. Vi,

X,

Vi,

X,

y, z

0,233.365.692. 1,905.992.330. 2,870.731.084. Ve,

X,

y, z

0,233.378.021. 1,905.870.981. 2,870.762.211.

0

z

1

X, y, z

0,937.852.108. 0,985.734.390. 0,963.711.321. •®S,

0,000.164.019.25 0,003.459.901.45 0,000.105.942.05

0,000.164.001.53 0,003.459.956.78 0,000.105.995.43

2

0,000.163.989.50 0,003.460.008.70 0,000.106.031.80

0,000.163.999.20 0,003.459.999.40 0,000.106.002.45

3

0,000.164.005.75 0,003.459.993.55 0,000.105.982.45

0,000.164.000.48 0,003.459.999.43 0,000.105.998.63

4

X, y, z

0,937.829.163. 0,985.715.595. 0,963.716.277.

y, z

0,233.390.731. 1,905.742.569. 2,870.799.295.

n

X, y, z

0,937.841.780. 0,985.725.934. 0,963.713.531. -®5,

i ( S 5 + «tt, 5) = ?kk

X. y, z

0,937.835.819. 0,985.720.253. 0,963.715.001. •®6i X, y, z 0,937.838.244. 0,985.723.013. 0,963.714.330.

0,000.163.997.20 0,003.460.002.80 0,000.106.008.95 Vx, y, z

0,233.375.034. 1,905.899.546. 2,870.755.918.

0,000.163.999.90 0,003.459.999.90 0,000.106.000.38 ELX,

y,

Z

0,937.837.414. 0,985.722.364. 0,963.714.466.

5

Beispiel 5. Unterlagen : (45) Io

n

0

0,000.136.118.9 0,000.153.010.9 0,000.076.831.7 l o l K

1

z, x, V

=

Ii

0,000.138.014.5 0,000.153.902.5 0,000.076.265.3 I0/-R1. z, x, y = I2

2

0,000.137.995.6 0,000.153.950.6 0,000.076.949.0 Io/-®2, z, x, y — I3

3

0,000.138.000.2 0,000.153.949.8 0,000.076.950.1 I0/Ä3, z, X, y — I4

4

0,000.138.000.0 0,000.153.950.0 0,000.076.950.0

Ho

Ilio

0,000.153.010.9 0,000.076.831.7 0,000.136.118.9

0,000.076.831.7 0,000.136.118.9 0,000.153.010.9

Ilo/tfo, X, y, z — H] IIIo/^o, „ , . , . = 111 0,000.153.902.5 0,000.076.965.8 0,000.138.014.5 Ho/-®l, X, y, z= II2 0,000.153.950.5 0,000.076.949.0 0,000.137.995.6 II0/_ñ2, X, y, Z = II3 0,000.153.949.8 0,000.076.950.1 0,000.138.000.2

0,000.076.965.3 0,000.138.014.5 0,000.153.902.5

IHo/^l, y, z, x= H 0,000.076.949.0 0,000.137.995.6 0,000.153.950.6 III 0 /i? 2 , ,,

0,000.138.000.0 0,000.153.950.0 0,000.076.950.0

0,000.153.950.0 0,000.076.950.0 0,000.138.000.0

, = 111

0,000.076.950.0 0,000.138.000.0 0,000.153.950.0

Io/-^4, z, x, y — I5 Ho/^4, X, y, z = II5III 0 IR i t 5

III

0,000.076.950.1 0,000.138.000.2 0,000.153.949.8

II0/Ì23j X, y, Z — II4 III 0 /Ä 3 , 0,000.153.950.0 0,000.076.950.0 0,000.138.000.0

I =

Vt 2l

, = III

0,000.076.950.0 0,000.138.000.0 0,000.153.950.0

Zahlentafel 6

Skk,

31.7 18.9 >10.9 = 111, 65.3 >14.5 )02.5 »=HI2 >49.0 >95.6 >50.6 =

m,

)50.1 )00.2 )49.8 = III 4 )50.0 )00.0 )50.0 =

m5

)50.0 )00.0 >50.0

0 = J0 — n o + I I I 0

0,664.433.711. 0,799.710.079. 1,881.983.325.

0,000.059.939.7 0,000.212.298.1 0,000.093.723.7 = Ii — I i i

+

111,

0,000.061.077.3 0,000.214.951.7 0,000.092.853.3 Skk, 2= I 2

H 2 + III 2

Skk, 3

= I3

H3 + III3

0,000.061.000.5 0,000.214.999.9 0,000.092.899.7 —

n

4

+

m

4

*»,« = i s — n . + i n .

0,994.206.886. 0,998.264.025. 0,986.265.058. •®1>

n

0

x, y, z

0,657.246.420. 0,811.038.076. 1,875.990.034.

0,993.896.108. 1 0,998.475.503. 0,986.400.618 .

V2, x, y, z

x, y, z

P3, x, y, z

0,657.336.922. 0,810.325.567. 1,877.381.057.

0,000.061.000.0 0,000.215.000.0 0,000.092.900.0

0,000.061.000.0 0,000.215.000.0 0,000.082.900.0

Vi, x, y, z

0,657.356.262. 0,810.263.641. 1,877.469.300.

0,000.060.994.0 0,000.214.997.2 0,000.092.904.0

x, y, z

Po, x, y, z

Vi, x, y, z

0,657.337.830. 0,810.320.937. 1,877.389.188. V5,

X,

y, z

0,657.337.830. 0,810.320.937. 1,877.389.188.

0,993.900.943. 0,998.461.573. 0,986.367.176. -^3, x,

yt z

0,993.900.092. 0,998.462.690. 0,986.369.171. -^4. x,

2

3

y, z

0,993.900.132. 0,998.462.606. 0,986.368.988.

4

x, y, z

0,993.900.132. 0,998.462.606. 0,986.368.988.

5

®

A

S6t = 0,000.16o. s55 = 0,002.56o.

W^H^S

II II II II II

H

0,8o l,25o. 0,998.369.646.1 1,137.809.92 1,552.681.66

(5)

=

se6-0,177.704.

(77)

Vs

= 0,000.028.433.

l _ 180» f

hT x

_n

' «

= N

X

_

Grad/cm

in M 3 : in M2\

—Xy — Xz

in Ma : — x y

in M 2 :

= 0,000.061.o

s 55 = 0,000.215.0

(Abb. 3, oben)

l,8o

min (23)

1,183.208.095. 0,845.159.870 0,999.016.197.8 1,505.163.86 1,191.369.56 0,000.062.100.057.

(Abb. 3, unten)

1,521.287.765.5 (20,) (26)

(5), (23)

l,o l,o l,o 1,350.628.966.627. 1,350.628.966.627.

(19) (16h (16)„ (73) (73)

(14), (77)

0,000.061.291.849.

(22)

(.Nx • 0,003.558.071.)» = (Nx • 12,809.)"

(Nx • 0,003.511.764.)° = (N x • 12,642.)"

= — Nx • 0,754.607.9 | 1. (69), (78)— Nx • 0,726.967.3 = + Nx • 0,464.551.4 | k. (70), (79)+ Nx • 0,477.863.1 =

—Xz =

=

Œyl'B'Z

Vxj VX min —

| 1. (84) | k. (85)

i 1- (86) = IM80) - ( - J - 0 . ) = = + N • 0,000.067.535. x = + Nx • 0,000.070.103. = 90° + (N x -14,162.)" ÛI = 90° + (Nx • 14,460.)" =

IM81)

= — N x - 0,000.099.879. = 90°—(2^-20,601.)" Xy¡X í

s 66 = 0,000.092.9o

- ( £ - 0 , ) = «„X,|k.(87) = — N x - 0,000.102.741. 90° — (2V*-21,192.)"

—1,624.

(82)

—1,521.

(88)

— 0,702.

(83)

— 0,657.

(89)

1,013.

(95)

Zahlentafel 9 Z u B e i s p i e l 1 ((23)ff.) S44 = 0,000.061 .o

® Cyldy Vy

—

0,000.043.245.242.

_

{Ny • 0,002.477.770.)u = (^-8,920)"

=

V,

180»

(23)

=

6(2»,) QaiPy)

0,9o

=

R(Vy)

7t

Grad/cm

s 6 6 = 0,000.092.9o

min (Abb. 3, unten)

(Abb. 3, oben)

0,729.288.844. 1,371.198.818. 0,996.540.009.7 1,051.514.06 1,628.218.73

= = =

1 IPy

vi _ Ly

4= min

« 55 = 0,000.215.0

1,234.078.935.7

(5), (23)

l,o l,o l,o 1,350.628.966.627 1,350.628.966.627

(19) (16): (16)n (73) (73)

(14), (77)

0,000.041.319.348.

(22)

(Ny - 0,002.367.424.)° = (Ny- 8,523.)"

in in J f 3 :

—Yx

= — Ny • 0,745.458.7 | k. (69), (78) — Ny • 0,781.285.0 = + Ny - 0,682.146.8 | 1. (70), (79) + Ny- 0,632.091.6

in M1 :

— i/2

=

— r2

=

1 k. (80)

= + Nv • 0,000.045.473.

— yx

=

| 1. (84) |k. (85) 11.(86)

= + Ny • 0,000.047.658.

90° + (Ny • 9,379.)" inJf3:

(26)

&X= 90° + (Ny • 9,830.)"

IM81) - ( - J - 0 , ) = i M r , | k . ( 8 7 ) = —Ny- 0,000.063.371. §°z = 90° — (Ny- 13,071.)"

• = — i V 0,000.058.814. = 90° — (iVj, • 12,131.)"

=

—1,093.

(82)

—1,234.

(88)

yzlvx

=

— 0,718.

(83)

— 0,810.

(89)

^y i Vymin

—

Yz/Yx

1,047.

(95)

Zahlentafel 10

Zu B e i s p i e l 1 ((23)ff.) s44 = 0,000.061.o

©

4= min

= = =

6(2».) G(l/p.)

= =

(23)

1,314.172.432. 0,760.935.153. 0,997.407.223.6 1,594.312.05 1,090.814.37 0,000.051.851.540.

VI

T Li

z

in in

_

1800

F

' Z 7t_ Grad/cm

M2:

±y

Z

-

min

(Abb. 3, oben)

0,7o

=

Vz 1/P.

« 55 = 0,000.215.o

in M2:

— zx

=

in M1:

— zy

= - ( ! — =

l,o l,o l,o 1,350.628.966.627. 1,350.628.966.627.

(19) (]6)x (16)„ (73) (73)

(14), (77)

0,000.041.319.348.

(22)

(.Nz • 0,002.367.424.)° = Nz- 8,523.)" | k. (84) | 1. (85)

=

| k. (80) - ( T — * » ) = s « z ' ! M 8 6 ) = + Nz • 0,000.093.105. = + Nz • 0,000.099.213. tt = 90° + (Nr 19,204.)" & y= 90° + (Nz- 20,464.)" Z,

11.(81) - ( f -

= —Nz- 0,000.047.516.

|!-( 87 )

= —Nz- 0,000.049.593.

§1= 90° — (JV,-9,801.)'

^z/ Fzmin

(26)

(5), (23)

— Nz • 0,461.453.6 | k. (69), (78)— Nz • 0,433.045.8 + Nz • 0,778.954.7 11. (70), (79) + Nz • 0,812.995.5

=

ZX/ZY

(Abb. 3, unten)

0,532.654.606.9

(Nz • 0,002.970.874.)° = (Nz • 10,695.)"

— ZX •— ZY

ZXLZY

s 68 = 0,000.092.9o

fix = 90° — (Nz • 10,229.)"

=

— 0,592.

(82)

— 0,533.

(88)

=

— 2,088.

(83)

— 1,877.

(89)

~

1,035.

(95)

Zahlentafel 11 Zu B e i s p i e l 2 ((27)ff.) S44 = 0,000.164. lo

®

=)= min

bxjcx

0,233.694.430. 4,279.092.145. 0,937.926.106.3 0,347.013.51 1,996.094.26

II I I I I I I I I