Stabilitätstheorie im Bauwesen [Reprint 2021 ed.] 9783112529829, 9783112529812

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Herbert Steup

Stabilitätstheorie im Bauwesen

Stabilitätstheorie im Bauwesen Von Herbert Steup

Mit 147 Abbildungen und 10 Tabellen

A K A D E M I E - V E R L A G B E R L I N 1990

Autor:

Professor em. Dr.-Ing. habil.

H E B B E B T STEUP

Sektion Bauingenieurwesen der Technischen Universität Dresden

Diese Publikation basiert auf dem unter der Federführung von Professor Dr.-Ing. habil. Gustav Bürgermeister (f) gemeinsam mit Dr.-Ing. Herbert Steup und Dr.-Ing. habil. Horst Kretzschmar verfaßten zweibändigen Hochschullehrbuch „Stabilitätstheorie", das im Akademie-Verlag erschienen ist: Teil I 1957, 3., neubearbeitete Auflage 1966; Teil n 1963.

ISBN 3-05-500490-6 Erschienen im Akademie-Verlag Berlin, DDR -1086 Berlin, Leipziger Straße 3—4 © Akademie-Verlag Berlin 1989 Lizenznummer: 202 • 100/428/89 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 7400 Altenburg Lektoren: Heike Höpcke, Renate Trautmann Einband und Schutzumschlaggestaltung: Matthias Weichhold LSV3784 Beatellnummer: 763 817 5 (9114) 06000

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

11

Verzeichnis der meistverwendeten Symbole

14

1.

Einführende Betrachtungen

19

1.1. 1.2. 1.3.

Begriff der Stabilität Stabilitätsnachweis im Rahmen baustatischer und -dynamischer Untersuchungen Grundlegende Problemklassen

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6. 1.3.7. 1.3.8. 1.3.9.

Spannungsproblem Verzweigungsproblem Traglastproblem Knick-, Biegedrillknick-, Kipp- und Beulprobleme Perfektes und imperfektes Verhalten Statische und dynamische Stabilität Konservative und nichtkonservative Probleme Elastische, nichtelastische und thermodynamische Probleme Deterministische und stochastische Probleme

25 28 33 36 38 39 40 41 42

2.

Stäbe bei ebenem Verformungszustand

46

2.1.

Grundlegende Betrachtungen

46

2.1.1. 2.1.2.

Allgemeines Vereinfachte Fälle

46 46

2.1.2.1.

System starrer Stäbe mit Federkopplung

46

2.1.2.2.

System starrer Stäbe mit Federkopplung und Vorspannung

48

2.1.3.

Ansätze verallgemeinerter Theorien

49

2.1.3.1. 2.1.3.2. 2.1.3.3. 2.1.3.4. 2.1.3.5. 2.1.3.6. 2.1.3.7. 2.1.3.8. 2.1.3.9.

Verformungs-und Verzerrungszustand Spannungs- und Schnittkraftzustand Gleichgewichts- und Randbedingungen Weggrößenmethode Reduktionsmethode Iterative Methoden Variationsansätze der energetischen Methode Approximationen auf energetischer Basis Methode der finiten Elemente

. .

.

19 23 25

49 52 56 57 61 64 67 74 76

6

Inhaltsverzeichnis

2.2.

Anwendungsfälle

80

2.2.1.

Stäbe unter ideal-zentrischem Druck

80

2.2.1.1. 2.2.1.2. 2.2.1.3. 2.2.1.4. 2.2.1.5. 2.2.1.6. 2.2.1.7. 2.2.1.8.

EüLEBSche Knickfälle Druckstäbe unter poltreuer Belastung Druckstäbe mit nichtlinearem Materialverhalten Druckstäbe unter Eigenspannungen Druckstäbe unter veränderlicher Axialbelastung Druckstäbe mit veränderlicher Biegesteifigkeit Druckstäbe bei elastischer Bettung Druckstäbe mehrteiliger Art

80 82 83 84 86 87 87 90

2.2.1.8.1. Gitterstützen 2.2.1.8.2. Rahmenatiitzen

91 93

2.2.1.9.

Druckstäbe im überkritischen Bereich

95

2.2.2.

Druckstäbe unter allgemeineren Belastungen

96

2.2.2.1.

Druckstäbe aus Stahl mit ungewollter oder planmäßiger Außermittigkeit

2.2.2.1.1. Druckstäbe mit imperfekter Vorkrümmung 2.2.2.1.2. Druckstäbe mit konstanter Außermittigkeit

. . . .

96 96 97

2.2.2.2. 2.2.2.3. 2.2.2.4. 2.2.2.5. 2.2.2.6. 2.2.2.7.

Druckstäbe aus Beton mit und ohne Bewehrung Stäbe ungewollter oder planmäßiger Außermittigkeit aus Holz Querbelastete Druckstäbe mit linear-elastischem Verhalten Querbelastete Druckstäbe mit endlich großen Deformationen Druckstäbe aus visko-elastischem oder visko-elastisch-plastischem Material Turmartiges Bauwerk auf visko-elastischem Baugrund

2.2.3.

Druckstäbe unter dynamischen oder nicht-konservativen Belastungen

110

2.2.3.1. 2.2.3.2. 2.2.3.3.

Druckstäbe unter Eigenschwingungen Druckstäbe unter parametererregten Schwingungen Druckstäbe unter nichtkonservativen Belastungen

110 111 113

3.

Stäbe unter Torsion, Biegung und Axialkrajt

115

3.1.

Grundlegende Betrachtungen

115

3.1.1. 3.1.2.

Allgemeines Vereinfachte Fälle

115 116

3.1.2.1.

Drillknickung eines Stabes

116

3.1.2.2.

Kippung eines imperfekten Trägers

117

3.1.3.

Ansätze verallgemeinerter Theorien

119

3.1.3.1.

Verformungs- und Verzerrungszustand

119

3.1.3.1.1. Verformungs- und Verzerrungszustand nach Theorie I. Ordnung 3.1.3.1.2. Verformungs- und Verzerrungszustand nach Theorie I I . Ordnung

99 103 103 105 . . . 105 107

119 123

3.1.3.1.3. Verformungs- und Verzerrungszustand nach der Theorie endlicher Deformationen 128 3.1.3.2.

Spannungs- und Schnittkraftzustand

129

3.1.3.2.1. Spannungs- und Schnittkraftzustand nach Theorie I. Ordnung 3.1.3.2.2. Spannungs- und Schnittkraftzustand nach Theorie I I . Ordnung

130 133

3.1.3.3.

136

Gleichgewichts- und Randbedingungen

Inhaltsverzeichnis

7 139 140 142

3.1.3.4. 3.1.3.5. 3.1.3.6.

Lösung der Differentialgleichungen Energetische Methode Finite Elemente

3.2.

Anwendungsfälle

144

3.2.1.

Drill- und Biegedrillknickung

144

3.2.1.1. 3.2.1.2.

Stäbe unter zentrischer Druckbelastung Stäbe unter exzentrischer Druckbelastung

144 146

3.2.2.

Kippung von Trägern

148

3.2.2.1. 3.2.2.2.

Träger unter Querbelastung Krag- und Durchlaufträger

148 150

3.2.3.

Stäbe und Träger unter räumlicher Belastung

152

3.2.3.1. 3.2.3.2. 3.2.3.3.

Druckstab mit zweiachsiger Außermittigkeit Querbelastete Träger unter Torsion Stäbe und Träger bei endlichen Deformationen

153 155 157

4.

Gekrümmte Stäbe und Träger

158

4.1.

Grundlegende Betrachtungen

158

4.1.1. 4.1.2.

Allgemeines Vereinfachte Fälle

158 159

4.1.2.1. 4.1.2.2.

Kreisbogenträger unter Radialbelastung Zweigelenkbogen unter halbseitiger Nutzlast

159 162

4.1.3.

Ansätze verallgemeinerter Theorien

163

4.1.3.1. 4.1.3.2. 4.1.3.3. 4.1.3.4. 4.1.3.5. 4.1.3.6.

Geometrie des unverformten Systems Formänderungs- und Verzerrungszustand Spannungs- und Schnittkraftzustand Gleichgewichtsbedingungen Energetische Ansätze Integration und angenäherte Lösungen

163 166 168 170 172 173

4.2.

Anwendungsfälle

173

4.2.1. 4.2.2.

Bogenträger ebener Geometrie und Belastung Bogenträger ebener Geometrie und räumlicher Verformung

173 177

5.

Stabwerke und seilkombinierte Konstruktionen

178

5.1.

Grundlegende Betrachtungen

178

5.1.1. 5.1.2.

Allgemeines Vereinfachte Fälle

178 179

5.1.2.1. 5.1.2.2. 5.1.2.3. 5.1.2.4.

Durchlaufender Druckstab mit Querbelastung Ideal-elastischer Halbrahmen Inkrementelle Behandlung eines geometrisch nichtlinearen Stabsystems Durchschlagproblem eines Zweistabsystems

179 180 182 183

5.1.3.

Ansätze verallgemeinerter Theorien

185

5.1.3.1.

Kraftgrößen- und Weggrößenmethoden sowie gemischte Methoden der Theorie II. Ordnung 186

8 5.1.3.2. 5.1.3.3.

Inhaltsverzeichnis Verallgemeinerte Weggrößenmethode bei linearer Elastizität Methoden diskreter Plastizierung

187 190

5.1.3.3.1. Methode der geschätzten Fließgelenk-Konfiguration 5.1.3.3.2. Methode des kombinierten Kraft-Weggrößen-Verfahrens sukzessiver Art 5.1.3.3.3. Fließgelenkmethode der Systemveränderung

190 194 197

5.1.3.4. 5.1.3.5. 5.1.3.6. 5.1.3.7.

199 201 204 205

Methoden kontinuierlicher Plastizierung Methoden endlich großer Deformationen Methoden finiter Elemente Näherungsmethoden

5.1.3.7.1. Durchbiegungsverfahren bei ebenen Stockwerkrahmen 5.1.3.7.2. Traglastberechnung von Stockwerkrahmen mit Hilfe von Teilstrukturen 5.1.3.7.3. Ersatzstabverfahren

205 208 210

5.2.

Anwendungsfälle

211

5.2.1.

Rahmenartige Tragwerke ebener Geometrie und Belastung

211

5.2.1.1. 5.2.1.2.

Mehrstöckige und mehrstielige Rahmen aus Stahl Mehrstöckige und mehrstielige Rahmen aus Stahlbeton

212 213

5.2.1.3.

Geschoßbauten mit versteifenden Kernen

213

5.2.2.

Fachwerkartige Tragwerke

214

5.2.2.1.

Ideale Fachwerke

214

5.2.2.2.

Fachwerke mit steifen Knoten

215

5.2.3.

Räumliche Stabwerke

216

5.2.3.1. 5.2.3.2.

Physikalisch Verhalten Physikalisch lineares nichtlineares Verhalten

216 217

5.2.3.3.

Berücksichtigung endlieh großer Deformationen

217

5.2.4.

Seilkombinierte Konstruktionen

218

5.2.4.1.

Vorgespannte Seilnetze

218

5.2.4.2.

Abgespannte Mäste

218

5.2.5.

Stabilisierung von Stabwerken

219

5.2.5.1. 5.2.5.2.

Druckgurtungen bei offenen Druckgurte von Bindern mit Brücken Verbandsstabilisierung

220 222

6.

Beulung von Platten

224

6.1.

Grundlegende Betrachtungen

224

6.1.1. 6.1.2.

Allgemeines Vereinfachte Fälle

224 224

6.1.2.1.

Unversteifte Platte unter einachsigem Druck

224

6.1.2.2.

Aquidistant versteifte Platte unter einachsigem Druck

226

6.1.3.

Ansätze verallgemeinerter Theorien

228

6.1.3.1. 6.1.3.2. 6.1.3.3. 6.1.3.4. 6.1.3.5.

Formänderungs- und Verzerrungszustand Spannungs- und Schnittkraftzustand Gleichgewichtsbedingungen Integration der Differentialgleichungen Energetische Methode

228 232 235 238 241

Inhaltsverzeichnis

9

6.1.3.6.

Finite Elemente

244

6.2.

Anwendungsfälle

252

6.2.1.

Isotrope Rechteckplatten

252

6.2.1.1. 6.2.1.2. 6.2.1.3. 6.2.1.4.

Platten Platten Platten Platten

mit veränderlichen Grundspannungen unter Schubbeanspruchung unter konzentrierten Belastungen im überkritischen Bereich

252 255 256 258

6.2.1.4.1. Platte unter einachsigem Druck NAviERscher Randbedingungen 6.2.1.4.2. Platte unter konstanter Schubbeanspruchung 6.2.1.4.3. Mitwirkende Breiten beulungsbedingter Art

259 262 264

6.2.1.5. 6.2.1.6. 6.2.1.7. 6.2.1.8.

266 265 267 267

Platten Platten Platten Platten

schubelastischer Art elasto-plastischer Art visko-elastischer Art aus bewehrtem und unbewehrtem Beton

6.2.2.

Versteifte Rechteckplatten

268

6.2.2.1. 6.2.2.2. 6.2.2.3. 6.2.2.4.

Mindeststeifigkeitsverhalten Rechteckplatten mit diskreten inneren Aussteifungen Platten mit kontinuisierten Aussteifungen Druckgurtungen mit äquidistanten Aussteifungen

269 271 271 272

6.2.3.

Rechteckplatten unter kombinierten Belastungen

273

6.2.3.1. 6.2.3.2. 6.2.3.3.

Interaktionsbeziehungen Zusammenwirken Steg—Gurtungen Zusammenwirken von Kastenwandungen

274 275 277

6.2.4.

Platten mit nicht-rechtwinkligen Berandungen

277

6.2.4.1. 6.2.4.2.

Kreisplatten Dreieck- und Trapezplatten

278 278

7.

Bevlung von Schalen

279

7.1.

Grundlegende Betrachtungen

279

7.1.1. 7.1.2.

Allgemeines Vereinfachte Fälle

279 280

7.1.2.1. 7.1.2.2. 7.1.2.3.

Axial gedrückte Zylinderschale Kugelschale und Kalotte unter Außendruck Zum Mechanismus der Schalenbeulung

280 282 283

7.1.3.

Ansätze verallgemeinerter Theorien

285

7.1.3.1. 7.1.3.2. 7.1.3.3. 7.1.3.4. 7.1.3.5.

Geometrie im unbelasteten Zustand Geometrie und Verzerrungen im belasteten Zustand Spannungs- und Schnittkraftzustand Ansatz der Gleichgewichtsmethode Ansätze energetischer Näherungsverfahren

286 290 294 295 298

7.2.

Einige Anwendungsfälle

299

7.2.1.

Kreiszylinderschalen

299

10

Inhaltsverzeichnis

7.2.2. 7.2.3. 7.2.4.

Kugelschalen und Kalotten Rotationshyperbolöide Sonstige Schalenformen

301 303 304

8.

Beulung von Faltwerken und Schalenwerken

306

8.1. 8.2.

Faltwerke Schalenwerke

306 307

Anhang

308

9.

Zu den mathematischen Grundlagen

308

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Ansätze der Variationsrechnung Vektoralgebra und -analysis Tensorielle Schreibweise Verzerrungszustand des dreidimensionalen Kontinuums Spannungszustand bei endlich großen Deformationen

308 310 313 314 316

10.

Berechnungsbeispiele

318

10.1. 10.2. 10.3.

Berechnung der ideal-elastischen Knicklast mit Hilfe des Weggrößenverfahrens. . Lösung des Spannungsproblems II. Ordnung mit Hilfe des Weggrößenverfahrens . Iterative Lösung des Spannungsproblems II. Ordnung mit Hilfe elastischer Gewichte Energetische Näherungslösung für Spannungsproblem II. Ordnung nach RitzRayleigh Näherungslösung für Spannungsproblem II. Ordnung nach Galerkin-Bubnow . . Berechnung des Temperatureinflusses auf den Verformungszustand eines Druckstabes Tragfähigkeitsberechnung einer Stahlbetonstütze bei ungewollter Außermittigkeit sowie zentrischem Druck Lösung des Biegedrillknickproblems eines außermittig gedrückten Stabes . . . . Approximation des Verformungs- und Spannungszustandes nach Theorie I I I . Ordnung bei Fachwerk Tragfähigkeitsuntersuchung eines Rahmens nach linear-elastischer und Fließgelenktheorie I I . Ordnung Iterative Bestimmung mitwirkender Breiten bei dünnwandigem Profil Ermittlung der beulkritischen Belastung einer zweiachsig gedrückten Platte . . .

318 319

10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12.

Literaturverzeichnis Verzeichnis der deutschsprachigen Standards für Stabilitätsuntersuchungen Sachverzeichnis

320 324 326 327 329 331 332 334 340 341 343

im Bauwesen

. . . 363 365

Vorwort

Meiner Frau Edith in ehrendem Gedenken

Seit dem Erscheinen des Werkes „Stabilitätstheorie" von BÜBGERMEISTEB, STEUP und KBETZSCHMAR (Akademie-Verlag Berlin; Teill: 3. Aufl. 1966; Teil I I : 1963) ist durch die Orientierung des Bauwesens auf noch wirtschaftlichere und schlankere Konstruktionen die Stabilitätsforschung auf den Gebieten der Theorie, des Vorschriftenwerks und der experimentellen Durchdringung stark intensiviert worden. Die Vielzahl der in diesem Zeitraum im In- und Ausland erschienenen Publikationen mit weiterentwickelten Berechnungs- und Bemessungskonzeptionen — auch wesentlich beeinflußt durch die elektronische Rechentechnik — ließ den Zeitpunkt herangereift erscheinen, eine Neubearbeitung des obengenannten Werkes vorzunehmen. Dieses Vorhaben ist durch den Tod von Professor Dr.-Ing. habil. Gustav Bürgermeister leider nicht mehr in gemeinsamer Arbeit zu realisieren gewesen. Zudem läßt die Herausgabe ausführlicher Kommentare zu den überarbeiteten Stabilitätsvorschriften im Stahlbau, und auch im Stahlbeton- und Spannbetonbau, eine Erarbeitung entsprechender „Erläuterungen" nicht mehr von primärem Interesse sein. Somit ist die Konzeption zu einem neuen Buch entwickelt worden, das nun vor allem die „Anatomie" der Stabilitätsproblematik erhellen soll, wobei auch eine physikalische Verallgemeinerung des Stabilitätsbegriffs und eine Einbettung in den Problemkreis der Verformungstheorie bei unterschiedlichen Materialgesetzen vorgenommen werden sollen. Diesem Ziel entsprechend wird hier darauf verzichtet, eine Vielzahl sofort anwendungsbereiter Formeln und Diagramme zur Verfügung zu stellen. Auf eine Reihe bemerkenswerter in- und ausländischer Werke, die unmittelbar anwendungsorientierte Angaben liefern, wird im Literaturverzeichnis zu Kapitel 1 hingewiesen. Die Entwicklung der Stabilitätstheorie im Bauwesen, vor etwa drei Jahrzehnten im wesentlichen auf Probleme der Knickung, Kippung und Beulung im Sinne der Eigenwerttheorie orientiert, ist gegenwärtig durch eine tiefgründige Analyse des geometrisch und physikalisch nichtlinearen Verhaltens im Bereich quasistatischer, aber auch dynamischer Zustände gekennzeichnet. Dabei haben insbesondere imperfekte Systeme mit ungewollten Abweichungen von der idealen Konfiguration und Belastung ein besonderes Interesse erlangt. Aus verallgemeinerter physikalischer Sicht sind die vielschichtigen Stabilitäts- und Instabilitätserscheinungen in Naturwissenschaft und Technik auf gemeinsame Prinzipien zurückgeführt worden und haben in der sogenannten StrukturStabilität (dies unter Einbeziehung z. B. thermodynamischer und kernphysikalischer Effekte oder auch biochemischer und astrophysikalischer Strukturen) eine Vereinheitlichung erfahren. In der etwa zu gleicher Zeit konzipierten Katastrophentheorie sind Probleme des Qualitätsumschlags — darunter die Verzweigungseffekte bei stabilem

12

Vorwort

und labilem Gleichgewicht — einer mathematisch-topologischen Interpretation zugänglich gemacht worden. Diese modernen Erkenntnisse zum Stabilitätsbegriff scheinen für den Bauingenieur nur von sekundärem Interesse zu sein. Jedoch ist es erforderlich, den Problemkreis der statischen Stabilität wenigstens in der von Ljapukow u. a. angeregten Verknüpfung mit dynamischen Verhaltensweisen zu betrachten. Bei den nichtkonservativen Problemen der Stabilitätstheorie muß auf solche erweiterten Energiebilanzen Bezug genommen werden. Für die Herleitung allgemeiner Ansatzgleichungen für die jeweils betrachteten Stäbe, Bogen, Platten und Schalen sowie für daraus abzuleitende Kombinationen (Stabwerke, Falt- und Schalenwerke) ist davon ausgegangen worden, daß die unterschiedlichen geometrischen Formen bei zweckmäßiger Einführung des Vektorkalküls aus einem verallgemeinerten dreidimensionalen Kontinuum mit krummlinigen (oder gegebenenfalls schiefwinkligen) Koordinaten gewonnen werden können. Bei entsprechender Reduktion von Koordinaten lassen sich die häufig verwendeten kinematischen Hypothesen von B e r n o t j l l i und Kibchhoit-Love oder auch Erweiterungen auf Wölbkrafttorsion sowie dicke Platten und Schalen leicht formulieren. Auf die Anwendung des bei Schalenproblemen sehr leistungsfähigen Tensorkalküls zweiter oder höherer Stufe wird hier zugunsten der größeren Anschaulichkeit der vektoriellen Beziehungen verzichtet. Zu weiterreichenden Ausführungen über Schalenstabilität, auch im Blick auf Anwendungsfälle, muß auf die angeführte Literatur verwiesen werden. Ansätze zur tensoriellen Notation, einige vektoranalytische Transformationen und Ausgangsgleichungen der Variationsrechnung zur Formulierung energetischer Aussägen sind in Kapitel 8 zu finden. Die bei der numerischen Realisierung auftretenden vielschichtigen Probleme der Stabilität von Algorithmen, der Konvergenzgeschwindigkeit, günstiger Interpolation und Integration sowie vorteilhafter Bandstrukturierung usw. gehören nicht zum engeren Gegenstand dieses Buches und treten gegenüber der mechanischen Interpretation des Verformungs- oder Stabilitätsverhaltens in den Hintergrund. Es werden jedoch in Kapitel 8 einige Literaturquellen zu dieser Thematik genannt. In den einzelnen Kapiteln sind den jeweiligen Hauptabschnitten zur besseren Veranschaulichung vereinfachte Fälle mit charakteristischen Besonderheiten der jeweiligen Problematik vorangestellt. Die nachfolgenden Ansätze verallgemeinerter Theorien sollen eine Ausgangsbasis für die eigenständige Lösung auch komplizierterer Aufgäben bieten. In den zugeordneten Abschnitten zu Anwendungsfällen werden Verknüpfungen mit den Aufgaben der Baupraxis sichtbar, wobei die Vielzahl solcher Fragen oftmals zu bloß verbalen Aussagen zwingt. In diesen Fällen soll die im wesentlichen abschnittsweise zugeordnete „Weiterführende Literatur" den Zugang zu umfassenderen Informationen erleichtern. Das Literaturverzeichnis ist kapitelweise geordnet, und die Literaturstellen sind jeweils nur innerhalb der einzelnen Kapitel durchnumeriert. Im Text des jeweiligen Kapitels erfolgen die Verweise auf die zugehörige Literatur allein mit der entsprechenden Nummer in eckiger Klammer. Wird auf Literatur eines anderen Kapitels Bezug genommen, so ist die Nummer durch die davorgestellte Kapitelnummer erweitert (z. B. : T r e f f t z [2.1]). Zahlenmäßig durchgearbeitete Stabilitätsuntersuchungen in der Projektierungspraxis oder bei Nachrechnung bestehender Bauwerke sind infolge der verfeinerten Berechnungsmethoden und des Zwanges zu optimalen Lösungen im allgemeinen immer

Vorwort

13

umfangreicher geworden. Die sehr beschränkte Auswahl numerischer Beispiele, die in Kapitel 10 gegeben wird, soll lediglich den prinzipiellen Charakter von Lösungswegen vor Augen führen; dabei sind auch komplexere Aufgaben im Blick. Herrn Professor Dr.-Ing. M. KOCH — Inhaber des Lehrstuhls f ü r Metallbau an der Technischen Universität Dresden — möchte ich für das Interesse am Entstehen dieser Neuerarbeitung wie auch für fruchtbare Diskussionen zum Problemkreis der Stabilität herzlich danken. Herr Dozent Dr.-Ing. G . PÖSCHEL hat freundlicherweise das Berechnungsbeispiel zur Traglastuntersuchung von Rahmen (Abschnitt 10.10.) erarbeitet. Meine Frau unterstützte mich bei der Anfertigung des Manuskriptes. Für die gute Ausstattung des Buches, die wertvolle redaktionelle Unterstützung und das stets gezeigte Entgegenkommen gilt den Mitarbeitern des Akademie-Verlages, Berlin, insbesondere den Lektorinnen Frau H. Höpcke und Frau R. Trautmann, mein besonderer Dank. Dresden, September 1987 HEBBERT STEUP

Verzeichnis der meistverwendeten Symbole

a a, ä «x, o2, a 3 «x, ä2, ä 3 a (1) aa, aß a", aß 6„ ä ß aa,dß aaß, a"P A A(t) .4 (a) .A(i) .4ew An A*k b b1 b bm b,ß, b"f, bj

Länge eines Beulfeldes Determinante von Maßzahlen der Schalenreferenzfläche, unverformter bzw. verformter Zustand Einheitsvektoren, zugeordnet der Schwerachse und den Querschnittshauptachsen bei räumlich gekrümmten Stäben, unverformter bzw. verformter Zustand volumenbezogene Formänderungsarbeit Basisvektoren der Schalenreferenzfläche in ko- bzw. kontravarianter Darstellung, unverformtes System Basisvektoren wie zuvor, verformtes System normierte Basisvektoren (Einheitsvektoren) wie zuvor Maßzahlen der Schalenreferenzfläche in ko- und kontravarianter Form am unverformten System Stabquerschnittsfläche zeitabhängige Druckkraft eines viskosen Elements Arbeit äußerer Kräfte Formänderungsarbeit innerer Kräfte EndWertarbeit äußerer Kräfte Verdrehungssteifigkeitswert beim Weggrößenverfahren modifizierter Steifigkeitswert wie zuvor bei Plastizierungseinfluß

b a ß usw. (B) B-lk B*k B^

Breite eines Plattenfeldes Querabstand zwischen äquidistanten Längssteifen Binormalen-Einheitsvektor mittragende Breite bei Plattenbeulung Krümmungsmaßzahlen ko-, kontra- und gemischtvariant, undeformierter Zustand Krümmungsmaßzahlen wie zuvor, deformierter Zustand Symbol für Belastungsintensität bei stochastischer Betrachtung Verdrehungssteifigkeitswert beim Weggrößenverfahren modifizierter Steifigkeitswert wie zuvor bei Plastizierungseinfluß Bimoment aus Verwölbung

c c, c9 cEN0 cgi, ci C, Cmn Gik

Drehradius eines Querschnitts Kennwert für Verschiebungsfeder bzw. Verdrehungsfeder Halbrahmenwiderstand nach E N G E S S E R Koeffizienten für Koordinatentransformationen Ansatzkoeffizienten für Beulfigur Verdrehungssteifigkeitswert beim Weggrößenverfahren

Verzeichnis der meistverwendeten Symbole Cfk Cs, CM

modifizierter Steifigkeitswert wie zuvor bei Plastizierungseinfluß Wölbwiderstand bzgl. Schwer- oder Schubmittelpunkt

d d D Dx, Dy, Dxy [D], D(z, v,...)

Höhe eines Stahlbetonquerschnittes Vektor von Verschiebungskomponenten bei finiten Elementen isotrope Dehnsteifigkeit einer Scheibe anisotrope Dehnsteifigkeiten einer Scheibe Abkürzungen für Differentialgleichungen

ex, e„, ez ex, ey, ez exx, eyy, exy E, E(a) i? k l n

Einheitsvektoren eines globalen kartesischen Bezugssystems Einheitsvektoren eines orthogonalen Tripels im verformten Zustand Verzerrungsgrößen der Theorie endlicher Verschiebungen Elastizitätsmodul konstant bzw. spannungsabhängig kinetische Energie

15

f Ausbiegungspfeil /v, /M Multiplikatoren für Verschiebungen bzw. Momente Theorie I. -> I I . Ordnung f(B), f(T) Verteilungsdichten der Belastung bzw. Tragfähigkeit f(z) Zustandsvektor beim Reduktionsverfahren Fxx = j xx dA Trägheitsmoment der Definition nach B o r n s c h e u e r F^m = f togtus DA Wölbwiderstand bzgl. Schwerpunkt der Definition nach Bornschetjbr = j a>sz 9»< 9z Gx, Gy, Gz

Gittervektor, imperfekter Ausgangszustand Gittervektoren des unverformten Zustandes Gittervektoren des verformten Zustandes

H H a , Hß

mittlere Krümmung einer Referenzfläche Horizontalkräfte an finitem Balkenelement

i, j, k, l, m, n ix, iy, ip, ¿ M Ix, Iy, / P Ic 7lk /T

Laufindizes Trägheitsradien, achsenorientiert, polar und schubmittelpunktbezogen Trägheitsmomente, achsenorientiert sowie polar Trägheitsmoment konstanter Art Trägheitsmoment, abschnitte- oder stabbezogen Torsionsträgheitsmoment nach S t . V e n a n t

k a , k, Beulfaktoren bei Normal- bzw. Schubspannungen ks, ka, kß Krümmungen von Raumkurven innerhalb der Referenzfläche K = Et3/12(1 — v2) Plattenkonstante K GAtrsssche Krümmung Km, K& Krümmungen der Stahlbetonstütze in der Mitte und an den Rändern Kx, Ky, KXy Plattensteifigkeitswerte bei Anisotropie Ii, Kf

Steifigkeits-, bzw. Tangentensteifigkeitsmatrix

'» hk> h t

Stablänge, ggf. knotenpunktindiziert, unverformter bzw. verformter Zustand

m, n m lt m2, m3 m x , my, mXy TO„, mß, maß m(a)> m(ß) M, Mx, My, Mz M

Halbwellenzahlen bei Beulung äußere Linienmomente, zugeordnet Hauptachsen des gekrümmten Stabes bezogene Momente am differentialen Plattenelement bezogene Momente am differentialen Schalenelement resultierende Momente an Seitenflächen des differentialen Schalenelements Momente, auch achsenbezogener Art Momente einer verallgemeinerten Definition bzgl. Kontinuum

16

Verzeichnis der meistverwendeten Symbole

M

Mik, Mki M

ik.

M

*k,i>\

pi»

J / T , i/st-v. M „ M » n, ^x> ™y>

^xy

[»], [» + 1] n n„

riß,

naß

NiJ Na(z)

N{z),

P> Px> Pg>

Pz

P P

E>

PE.x

PVLX pD

K ' Ki' i'n ^Ki 'p Bu'D;>, 1p Ki ^Pl ?> Ix'

3».

9ß

Qx,Qy

q»Q3 QW

ru . » p , r s ftp» Äs r' x s» Try s rr M r M x > u

Koordinate der Zentrallinie eines gekrümmten Stabes, nicht deformiert Umlaufkoordinate einer Querschnittsprofilmittellinie Knicklänge eines Stabes

S

K

S

Integrationssymbol über einen Belastungsvorgang

t t u s w

-

T U, V, w

«s» ®s» w& «i»

Vi,

vk

U{k, Uki usw. u

Ortsvektoren für Schubmittelpunkt M, beliebigen Punkt P und Schwerpunkt S, undeformierter Zustand Ortsvektoren wie zuvor für deformierten Zustand kürzester Profilmittellinienabstand von S bzw. M

achsenbezogene Wölbmomente des Querschnitts

y)

txx> txy

Querbelastung einer Platte sowie richtungsindizierte Linienbelastungen Belastung, allgemeine Bezeichnung EuLERSche Knicklasten, ggf. richtungsindiziert Verzweigungslast idealisierter Voraussetzungen ideale Verzweigungslasten bei Drill- und Biegedrillknickung sowie Kippung Axialdruckkraft, vollplastisch

Querschnittsstrecken bzgl. Schwer- bzw. Schubmittelpunkt

Ry

H*,

Einheitsverformungszustände an finitem Quaderelement Randschnittkräfte an Plattenelement Indizierung bei Iterationsstufen Normalen-Einheitsvektor Randschnittkräfte an Schalenelement Formfunktionen finiter Quaderelemente Axialkräfte als Zug bzw. Druck

kontinuierliche Querbelastungen, ggf. achsenbezogen dgl. am räumlich gekrümmten Stab bezogene Querkräfte am Schalenelement Querkräfte, richtungsindiziert Querkräfte, richtungsindiziert an gekrümmtem Stab äußerlich zugeführte Wärmeenergie

1z

?1» ?2> ?3 3a»

Moment virtueller Art Stabendmomente des Weggrößenverfahrens Stabendmomente ohne Anteil aus Stabquerbelastung vollplastische Momente indizierter Art ohne und mit Axialkrafteinfluß Torsionsmomente nach St. Venant Randmomente eines finiten Balkenelements

Spannungsvektor an differentialem Flächenelement Tangenteneinheitsvektor der Zentrallinie eines gekrümmten Stabes, nicht deformiert Transformationskoeffizienten bei endlich großen Verdrehungen Knickmodul nach Engesser-Käbmän Verschiebungen in Richtung von Koordinatenachsen Verschiebungskomponenten der Referenzfläche Verschiebungskomponenten in globalem Koordinatensystem für Punkt i bzw. k Verschiebungskomponenten in stabeigenem Koordinatensystem Übertragungsmatrix bei Reduktionsverfahren

Verzeichnis der meistverwendeten Symbole

17

vm i>B(z), VQ(Z) üt(s) v*\a Vik> Vki Vik> K i V0^

Durchbiegung in Stabmitte Biege- und Verzerrungsanteile der Stabauslenkung Tangentialverschiebung in der Profilmittellinie des Querschnitts kovariante Ableitung Stabendvertikalkräfte beim Weggrößenverfahren Volleinspannwerte für Stabendvertikalkräfte dgl. bei kombinierter Einspannung und Gelenklagerung

w

Verschiebungskomponente in der Achsenrichtung z, insbesondere bei Plattenausbeulung Verschiebungskomponenten in globalem bzw. stabindiziertem Koordinatensystem Ausgangswert des imperfekten Beulzustandes Verschiebungsanteil in z-Richtung, aus Verwölbung herrührend

h!;, Wik, w ki &(x> y) m(xi y)

w w

x, y, z x1, x2, xa a;,1, xa2, xs3 ¡eM, y M

Koordinaten in globalem Koordinatensystem dgl. in uniformierter Bezeichnung dgl. für Referenzflache oder Referenzlinie Querschnittskoordinaten für Schubmittelpunkt

z Z

Abstandskoordinate von Referenzlinie oder -fläche Festhaltekräfte bei Weggrößenverfahren

a E 7i t 0 die Schranke |«i(f) - »0 im „Kleinen

labil

9 y"= 0

labil

indifferent

y"= 0

§

indifferent

labil

1.3. Grundlegende Problemklassen

31

Bei Indifferenz des Gleichgewichts muß die zweite Ableitung der Berührungskurve in dem betrachteten Ausgangszustand Null werden. In dem theoretisch interessanten Fall einer Spitzenlagerung befindet sich die Kugel im „labilen", jedoch nicht indifferenten Gleichgewicht. Bei Erweiterung auf eine räumliche Lagerung der Kugel ist labiles Verhalten bereits dann gegeben, wenn nur eine „spezielle" Störung innerhalb der Mannigfaltigkeit labiles Gleichgewicht charakterisiert. Die Stabilität von Schwimmlagen (z. B. im unverankerten Schleppzustand von Plattformen für Bohrinseln) wird durch die unterschiedliche Lage des Massenschwerpunktes (S) und des Zentrums der Auftriebskräfte (^4) beeinflußt (Abb. 1.10). Über den hier betrachteten idealisierten Grenzfall einer Verzweigung des Gleichgewichts hinausgehend muß bei derartigen flüssigkeitsgebetteten Konstruktionen auch das allgemeinere Verformungsproblem unter Wind- und Wellenkräften sowie sonstigen Belastungen betrachtet werden. 1 ) Zur Klasse der Verzweigungsprobleme müssen auch solche praktisch bedeutsamen Fälle gezählt werden, bei denen ungeachtet einer planmäßigen Biegebeanspruchung „von Haus aus", d. h. bereits im Bereich der anfänglichen Belastung, eine Verzweigung des Gleichgewichtes möglich ist. Wie zuerst von K L Ö P P E L U . L I E [30] erkannt, ist der im Experiment leicht zu beobachtende Effekt des „Durchschlagens" bei einem Druckstab mit gegengleichen Hebelarmen durch eine Symmetrie-Antimetrie-Beziehung von Knickfigur des ungestörten Zustands und der Biegemomentenverteilung des querbelasteten, jedoch axialkraftfreien Stabes bedingt. Ungeachtet einer gestörten Geometrie des gedrückten Stabes — wie auch der beulgefährdeten Platten und Schalen — ist die Tendenz zur Anpassung an die niedrigste Eigenfunktion des Problems mit zunehmender Belastungsintensität ausgeprägt. Dabei vermögen Untersuchungen zum

1

) Der stabile und instabile Charakter von Schwimmlagen wird durch ein nach TORICELLI benanntes Schwerpunktstheorem charakterisiert. Bei Führungspfählen mit Hohlräumen in nachgiebigem Medium ist die labilisierende Wirkung des Auftriebes zu untersuchen.

32

1. Einführende Betrachtungen

Verformungsverhalten solcher Systeme im Gültigkeitsbereich der Theorie II. Ordnung (z. B. bei dem „ZiMMERMANN-Stab" gegengleicher Hebelarme) den realen Durchschlageffekt der nichtlinearen Theorie nicht zu erfassen. Auf Grund einer energetischen Interpretation dieser Zusammenhänge kann für den Stab — wie auch für andersartige Systeme unter Druck- und Biegemomentenbeanspruchung — das Orthogonalitätskriterium von Klöppel u. Lie formuliert werden: Kriterium für eine Verzweigung des Gleichgewichts bei Druckstäben Weisen bei einem Druckstab mit Querbelastung und/oder geometrischen Imperfektionen die Biegungsmomente des perfekten und querlastfreien Systems zu Beginn des Ausweichens die Verteilung M{z), diejenigen des axialkraftfreien Systems die Verteilung M(z) auf, so besteht die Möglichkeit der Verzweigung des Gleichgewichts, wenn die orthogonale Relation (1.7)

o erfüllt ist. P Ausgangszustand

Ausgangs zustand (P=0,q=0)

ideale Antimetrie der Verformung

durchschlag artiger Effekt

P

P perfektes und imperfektes Kraft-Verformung s- Verhalten

J L v\

Abb. 1.11. Verzweigung des m o m e n t e n „ v o n H a u s aus"

Gleichgewichts

bei

Biegungs-

1.3. Grundlegende Pröblemklassen

33

In der Erweiterung auf andere Systeme, wie Durchlaufdruckstäbe, Stabwerke, druckbeanspruchte Platten und Schalen lassen sich gleichartige Beziehungen bei Verallgemeinerung der Orthogonalität formulieren. In Abb. 1.11 sind einige Fälle dieser Art verdeutlicht. Im Wechselspiel symmetrischer und antimetrischer Verformungstendenzen besteht bei imperfekten Systemen bereits unter kleiner Belastungsintensität eine Komponente der niedrigsten maßgebenden Eigenfigur. Bei perfekten Systemen der benannten orthogonalen Zuordnung kommt es zu Durchschlag-Effekten. Weiterführende

Literatur:

BLEICH [6], LEIPHOLZ [12], STRIGL [37], COLLATZ [9.2].

1.3.3.

Traglastproblem

Die Tragfähigkeit des Balkenträgers mit idealem elastisch-plastischem Materialverhalten ist bei Erreichen der Fließspannung in den Randzonen des mittleren Querschnitts noch nicht erschöpft. Mit weiterer Belastungssteigerung breiten sich Plastizierungszonen in Längsrichtung und über die meistbeanspruchten Querschnitte aus, bis schließlich ein vollplastisches Moment M P i, ggf. auch bei Verfestigung oberhalb der Fließgrenze, schließlich zur Überwindung der Materialfestigkeit führt. Können hierbei die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System formuliert werden (z. B . beim frei gelagerten Balkenträger mit Querbelastung), so spricht man vom Traglastproblem der Theorie I. Ordnung. Der Einfluß einer zusätzlichen Axialkraft kompliziert die Aufgabe im Sinne der Theorie I I . oder bei Einbezug endlich großer Verformungen auch I I I . Ordnung. Das Tragmoment des Querschnittes — wie Theorie I I . oder höherer Ordnung nicht notwendig identisch dem Grenztragmoment infolge Stabilitätsverlust — wird aus einer Interaktionsbeziehung z. B . der einfachsten Art P / P p i + (M/M p i ) 2 = 1 hergeleitet. Die Kraft-Verformungs-Kurven der Traglastprobleme sind charakterisiert durch einen Extremalwert als Grenze des stabilen Gleichgewichts mit dP/dvm = 0. Im Falle des querbelasteten Balkenträgers wird das Moment der äußeren Kräfte nun unter Berücksichtigung des Verformungseinflusses zu Mmixm

=

Kl/i

+

Pvm,

(1.8)

wobei die mittlere Durchbiegung anders als bei ideal-elastischem Verhalten nicht mehr unmittelbar angegeben werden kann. Das Biegemoment der inneren Kräfte bedarf bei nichtlinearer Spannungsverteilung über den Querschnitt einer gesonderten Herleitung. Auch in den Fällen beschränkt mitwirkender Zugzone (z. B . „gerissene" Zugzone bei Mauerwerk oder Stahlbetonelementen) sind kompliziertere Schnittkraftermittlungen erforderlich (Abb. 1.12). Traglastprobleme bei linear-elastischem Werkstoffverhalten sind baupraktisch weniger häufig anzutreffen. Hier steht im Vordergrund das durchschlagartige Verhalten von Schalenkonstruktionen und flachen Bogenträgern. Jedoch ist der Traglastcharakter auch bei einigen Systemen von Stabwerken erkennbar. Bei dem dreigelenkartigen Fach werk (Abb. 1.13) mit elastischer Randfederung und biegestarren, jedoch dehnsteif angenommenen Stäben werden in Abhängigkeit einer „verformungsgesteuerten" Belastung P — P(vm) stabile Gleichgewichtslagen bis zum 3 Steup, Stabilität

1. Einführende Betrachtungen

34

unbelasteter Ausgangszustand

® Abb. 1.13. Durchschlagproblem bei linearelastischem Verhalten

W

©\ S.

1.3. Grundlegende Problemklassen

35

Erreichen der Traglastintensität KTt im Punkt b durchlaufen. Bei unveränderter oder weiter gesteigerter Belastung kommt es zu einem dynamischen Durchschlageffekt, wobei die auftretenden Beschleunigungskräfte zum Materialversagen führen können. Wird die Last jedoch nach Erreichen dieses Maximalwertes wieder quasistatisch reduziert, so sind labile Gleichgewichtszustände bis zum Erreichen des Punktes d mit der Belastung —K T r möglich. Die gestreckte Lage c entspricht einem Vorspannungszustand mit der äußeren Belastung K — 0, der ohne Bewegungsblockierung nicht beständig ist. Im Zustand e wird der unbelastete Ausgangszustand mit spiegelbildlicher Vertauschung repräsentiert. Die Stabilitätsproblematik mit Verzweigungs- sowie Traglastcharakter der zunächst isoliert betrachteten Baukonstruktionen in Stahl-, Stahlbeton-, Spannbeton- oder Holzbauweise kann auf den komplexeren Fall unter Einbeziehung des bettenden Mediums übertragen werden, wenn dabei die Stoffgesetze bodenmechanischer Besonderheiten Berücksichtigung finden. So wird beispielsweise das Tragverhalten von Gebäuden und Türmen unter Beachtung von Setzungen, Verdrehungen und Gleitungen in komplizierterer Weise zu beschreiben sein, sofern nicht geeignete Linearisierungen der KraftVerformungs-Beziehungen im Gründungsbereich vorgenommen werden. Bei Berücksichtigung Theologischer Langzeitwirkung des Baugrundes lassen sich besonders bei turmartigen Bauwerken kritische Standzeiten unter Einbeziehung des Verformungseinflusses nach Theorie I I . Ordnung bestimmen. (Vgl. hierzu Abschn. 2.2.2.7.) Der Begriff „Stabilität" eines Gleichgewichtszustandes wird auch im Problemkreis der Bodenmechanik häufig verwendet, wobei allerdings in einer eingeschränkteren Betrachtungsweise bei Verzicht auf unterkritische Deformationen vordergründig Grenztragfähigkeitszustände des Gleichgewichts mit dem Übergang zu Bruchmechanismen bei Ausbildung von Gleit- oder Rutschflächen betrachtet werden. Man spricht hier von einer „Instabilität" bei Rutschung, z. B . von Böschungen, Dämmen, Fangedämmen, Stützwänden u. a., wobei es durch Überwindung der Scherfestigkeit — auch in der Beeinflussung durch Porenwasser — zur Ausbildung ebener oder gekrümmter Gleitflächen kommt. Die verankerte Stützwand nach Abb. 1.14a wie auch die Dammschüttung nach Abb. 1.14b können nach Überschreiten der Scherfestigkeit längs einer Gleitfläche, z. B . nach Zylinderart, eine Monolith-Körper-Rotation um ein zunächst unbekanntes Drehungszentrum erfahren. Der Koeffizient der sog. „äußeren" Sicherheit als Kleinstwert in der Mannigfaltigkeit möglicher Gleitflächen wird dabei als Verhältnis rückstellender Momente bzw. Kräfte zu „treibenden" Momenten bzw. Kräften definiert. Im Sinne einer „inneren" Sicherheit hingegen wird für den Bruchmechanismus nach Abb. 1.14d bei plastischem Grenzzustand des Bodens ein Bruch in der tieferen Gleitfuge auftreten, wobei es nun zu einem kippförmigen Ausweichen der Stützwand kommt. Eine verwandte Erscheinung des Verlustes innerer Sicherheit bei Ausbildung ebener Gleitflächen ist erkennbar bei dem Fangedamm nach Abb. 1.14f. Bezüglich weiterreichender Ausführungen wird auf die Literatur verwiesen.1) In der Berechnungs- und Bemessungspraxis gehen die Bemühungen allgemein dahin, das reale Grenztragverhalten einzelner Bauelemente wie auch komplexer Konstruktionen unter Einbeziehung des bettenden Mediums nach Theorie I . oder höherer Ordnung 1

) Die Stabilität von Grundbauwerken unterschiedlicher Art haben u. a. [45] untersucht.

3*

J E L I N E K U. O S T E B M A Y E R

1. Einführende Betrachtungen

36

zu erfassen. Da jedoch derartige umfassendere Probleme infolge der physikalischen und teils auch geometrischen Nichtlinearität häufig auf sehr umfangreiche Berechnungen führten, werden auch vereinfachte Untersuchungen mit Orientierung auf „Pseudotraglasten" bei linear-elastischem Formänderungsverhalten sowie Verzweigungslasten idealisierter perfekter Systeme praktische Bedeutung beibehalten. Weiterführende JE4EK

[26],

Literatur:

HABEL

[42],

RECKUNO

[44],

SCHWARZ

U.

ROGENHÖFER

[48],

SCHLEICHER

[2.6],

GEMMERLING [ 2 . 1 4 ] , J Ä G E R [ 2 . 1 5 ] , B E E R U. SCHULZ [ 2 . 4 9 ] .

1.3.4.

Knick-, Biegedrillknick-, Kipp- und Beulprobleme

In der ursprünglichen Betrachtungsweise „perfekter" Systeme sind Knick-, Biegedrillknick-, Kipp- und Beulprobleme bei einengenden „idealisierenden" Voraussetzungen hinsichtlich Geometrie und Belastung durch eine Verzweigung des Gleichgewichts charakterisiert. Die den kritischen Belastungen entsprechenden Spannungsgrößen oder auch Vergleichsspannungen mehrachsiger Spannungszustände können in Abhängigkeit von Steifigkeiten und Abmessungen — als „Schlankheiten" charakterisiert — in elastischen oder nichtelastischen Bereichen der jeweiligen Spannungs-Dehnungs-Linien auftreten. Knickprobleme der Stäbe, zuerst 1 7 4 4 von E U L E R im Rahmen sogenannter „ElasticaProbleme" (bei Berücksichtigung größerer Verschiebungen, jedoch sehr kleiner Verzerrungen) behandelt, können in der Erweiterung auf physikalisch-nichtlineares Materialverhalten wie auch imperfekte Geometrie bei ebenen oder räumlichen Verformungszuständen weitgehend als gelöst gelten. 1 ) Die Kombination der Stäbe über gelenkige

Erste Ansätze zur Untersuchung des Knickproblems von Stäben stammen von dem Holländer V A N MXJSSCHENBROECK

1729.

37

1.3. Grundlegende Problemklassen

Verbindungen führt zum Fachwerk, bei dem Erscheinungen der Instabilität sowohl am Einzelelement als auch am Gesamtsystem im Sinne der „Fachwerkknickung" zu untersuchen sind. Bei den Problemen der „Rahmenknickung" hingegen sind die Einzelstäbe biegesteif oder auch torsions- und wölbsteif miteinander verbunden. Der Ausweichvorgang ist hier gegenüber dem idealen Fachwerk komplexerer Art, wobei Stäbe unterschiedlicher Steifigkeit und Beanspruchung sich wechselseitig stabilisieren oder labilisieren. Bei zentrisch gedrückten Stäben ist neben dem „Biegeknicken" mit Translation und Verdrehung der Querschnitte um die Hauptachse mit dem kleinsten Trägheitsmoment auch „Drillknicken" möglich, wobei die Querschnitte lediglich tordieren. Beim „Biegedrillknicken" kommt es zu einer Kombination von Verbiegung und Torsion. In den Fällen außermittigen Kraftangriffs in der Symmetrieebene doppelt- oder einfachsymmetrischer Querschnitte sind Ausweicherscheinungen des Biegedrillknickens — unter speziellen Voraussetzungen der Geometrie auch des Drillknickens — möglich. Die Ausweicherscheinungen der Druckgurtungen von Trägern im Sinne einer Verzweigung des Gleichgewichts werden als „Kippung" bezeichnet. In Verwandtschaft zu den Problemen der Biegedrillknickung ist die kritische Belastungsintensität hier durch die Biegesteifigkeit, ST. VENAursche Torsionssteifigkeit und Wölbsteifigkeit sowie durch die geometrischen Längenabmessungen bestimmt (Abb. 1.15).

reine Torsionsinstabilität

Kippung Kragträger

Drillknickung eingespannter Stütze

Abb. 1.15. Verzweigung mit Torsionseffekten

38

1. Einführende Betrachtungen

In Erweiterung zur Knickung von Stäben oder auch komplexen Stabwerken kommt es bei Flächentragwerken geringer Wandstärke wie Platten und Schalen unter kritischen Belastungsintensitäten zur „Beulung". Wegen der Äquivalenz von Schubspannungen zu kombinierten Druck- und Zugspannungen sind auch rein schubbeanspruchte Flächentrag werke beulgefährdet. I m komplexen Zusammenwirken von beulgefährdeten Elementen einer faltwerkartigen oder auch schalenwerkartigen Konstruktion, z. B. nach Art des Vollwand- oder Kastenträgers mit Stegen und Gurtungen, treten die Probleme der „Gesamtstabilität" auf. Bei der modernen Betrachtung von Stabilitätsproblemen der genannten Arten wird von gestörten Zuständen „imperfekter" Art ausgegangen, um den praktischen Gegebenheiten nicht-idealer Systeme Rechnung zu tragen. Weiter fuhrende

Literatur:

WOLMIR [8], KOLLBRUNNER U. MEISTER [9], K o m m e n t a r T G L 1 3 5 0 3 [22].

1.3.5.

Perfektes und imperfektes Verhalten

Unvermeidliche Abweichungen der geometrischen Form eines Bauelements oder Baukörpers hinsichtlich der Längen-, Breiten- und Dickenabmessungen, abhängig von der Herstellungstechnologie, werden als „Toleranzen", im Hinblick auf Verformungsempfindlichkeit als geometrische „Imperfektionen" bezeichnet. Sie finden Berücksichtigung in den Herstellungs- und Berechnungsstandards durch Vorgaben zulässiger Werte sowie in den Forderungen nach einer Minderung geometrischer Querschnittskenngrößen in bezug auf die zu führenden Spannungs-, Stabilitäts-, Formänderungsnachweise usw. Die Tragfähigkeit und das Verformungsverhalten insbesondere von druckbeanspruchten schlankeren Bauelementen, z. B. Stützen, Gurtungen und Stegen von Vollwand- und Kastenträgern, wird nun in besonders nachteiliger Weise beeinflußt, wenn die geometrische Ausgangsform hinsichtlich der Verkrümmungen von den planmäßigen Vorgaben in einem ungünstigen Sinne abweicht. Auch ungewollt veränderte Krafteintragungen können bei solchen Bauteilen zu teils erheblicher Tragfähigkeitsminderung führen. Man bezeichnet derartige herstellungs-, transport- oder montagebedingten, die Stabilität abmindernden Abweichungen im engeren Sinne als „Imperfektionen geometrischer A r t " (Abb. 1.16). Schließlich können auch Strukturfehler mit Rissen und anderen Inhomogenitäten sowie Walz- und Schweißeigenspannungen insbesondere bei druckbeanspruchten Bauteilen größerer Schlankheit eine tragfähigkeitsmindernde Wirkung nach sich ziehen, wobei die f ü r eine Bemessung maßgeblichen Grenzspannungen bereits unter kleinerer Belastungsintensität erreicht werden. Einflüsse dieser Art werden als „strukturelle Imperfektionen" bezeichnet. I m kombinierten Zusammenwirken der Elemente als Fachwerk, Rahmenwerk, Faltwerk usw. können imperfekte Einflüsse lokaler sowie auch globaler Art bezüglich der Gesamtgeometrie des Systems nachteilig wirken (z. B. bei einer ungewollten Schrägstellung mehrgeschossiger Rahmen im ganzen). In den nationalen Standards haben derartige Imperfektionen im Zusammenhang mit den Berechnungen nach der Verfor-

1.3. Grundlegende Problemklassen

39

mungstheorie eine besondere Bedeutung. 1 ) Damit t r i t t das idealisierte „perfekte" System in den Hintergrund des praktischen Interesses und beschränkt sich vor allem auf solche Fälle, in denen die Herleitung exakterer Lösungen der imperfekten Theorie Schwierigkeiten bereitet. Weiterführende Literatur: H ä n s c h [2.42], B e e r u. S c h u l z [2.49],

1.3.6.

Statische und dynamische Stabilität

Den statischen Problemen der Stabilität mit der Maßgabe genügend langsamer Belastungs- oder Entlastungsgeschwindigkeiten bei Ausschaltung von Trägheitswirkungen stehen die dynamischen Stabilitätsprobleme relativ komplizierterer Zusammenhänge Geometrische Imperfektionen -

Schrägstellung Säbelkrümmung

- Bogen mit Vorverformung

-

Schrägstellung Pfosten

-

Vorkrümmungen Pfosten

-

Vorbeulung Platte zur niedrigsten Eigenfunktion

Strukturelle Imperfektionen -

Abb. 1.16. Geometrische und strukturelle Imperfektionen

Eigenspannunget) Platte bzw. Stütze

Da die Berücksichtigung geometrischer Imperfektionen gegenüber strukturellen Imperfektionen leichter möglich ist, werden diese oftmals in Standards zur „wirksamen" geometrischen Imperfektion zusammengefaßt. Vgl. auch den Merrison-Report (s. [6.52]), der anläßlich der Havarien stählerner Großbrücken Anfang der 70er Jahre erarbeitet wurde.

40

1. Einführende Betrachtungen

gegenüber. Während derartigen Untersuchungen in der Fahrzeug-, Flugzeug- und Raumflugtechnik sowie im Apparatebau, in der Regelungstechnik u. a. eine größere Bedeutung zukommt, bleiben Probleme dynamischer Stabilität im konstruktiven Ingenieurbau auf Einzelfälle beschränkt. Im Sinne der bereits angeführten verallgemeinerten Stabilitätskriterien von LJAPUNOW [ 3 4 ] gilt es, die Störanfälligkeit eines Bewegungsvorganges isolierter oder kombinierter Baukörper unter anfänglichen, zeitweiligen oder auch ständig wirkenden Störungen zu analysieren, um f ü r die Nutzung zuverlässig funktionierende Mechanismen mit hinreichend geringer Empfindlichkeit gegenüber solchen imperfekten Einflüssen konzipieren zu können. Hinsichtlich der Möglichkeit einer Aufschaukelung von harmonischen oder parametererregten wie auch erzwungenen Schwingungen gilt es, durch geeignete Parameterwahl und Dämpfungseffekte die Systeme dynamisch zu stabilisieren. Weiterführende

Literatur:

BOLOTIN [10], LEIPHOLZ [12], METTLER [31].

1.3.7.

Konservative und nichtkonservative Probleme

Die konservativen Probleme der Verformungstheorie sind dadurch ausgezeichnet, daß sowohl die inneren als auch die äußeren K r ä f t e deformierbärer Körper aus Potentialfunktionen hergeleitet werden können. Sofern elastisches Materialverhalten vorliegt und die äußeren Kraftwirkungen einem Gravitationsfeld — der Erdanziehungskraft — zugeordnet sind, ist der konservative Charakter gegeben. Nichtkonservative Probleme, bei denen innere und/oder äußere K r ä f t e nicht aus einer Potentialfunktion ableitbar

\

i

richtungstreu

\

!\ 1 !V

pottreu

• /

'

Abb. 1.17. Arten des Kraftangriffs

tangententreu

m;.

hydrostatisch

41

1.3. Grundlegende Problemklassen

sind, bilden eine Problemklasse eigenständiger und komplizierter Behandlung. Mit der Umsetzung äußerer mechanischer Arbeit durch angreifende Kräfte in elastische Formänderungsenergie und darüber hinaus in nichtmechanische Energieformen wie Wärme, Elektrizität, Strahlung u. a. ist der innere Energiehaushalt nicht mehr konservativ im Sinne des geschlossenen Systems mechanischer Energie. Die bei plastischen Vorgängen der Deformationen auftretenden Dissipationsarbeiten nichtreversibler Art durch Umsetzung von Reibung in Wärme kennzeichnen nichtkonservative innere Kräfte. Äußere Kräfte eines deformierbaren Systems werden immer dann nichtkonservativ sein, wenn sie in ihrer Wirkungsrichtung an die Tangente oder eine Tangentenfläche des geometrisch belastungsabhängigen veränderten Systems gebunden sind. Man spricht hier von „mitgehenden" Kräften, deren Wirkungsmechanismus zu unterscheiden ist von „poltreuen" Kräften. Einige dieser Fälle sind in Abb. 1.17 veranschaulicht. Für nichtkonservative Probleme kann in der Verallgemeinerung von Energiebilanzen unter Hinzunahme kinetischer oder auch thermodynamischer Anteile eine Lösung gefunden werden. Weiterführende

Literatur:

P F L Ü G E R [ 1 1 ] , LEIPHOLZ [ 1 2 ] , Z I E G L E R [ 3 6 ] , R O S E M E I E R [ 5 0 ] , Z I E G L E R [ 2 . 9 ] .

1.3.8.

Elastische, nichtelastische und thermodynamische Probleme

Die elementare Theorie der Elastizität, gekennzeichnet durch lineare und reversible Zusammenhänge zwischen den Spannungen und Verzerrungen im Sinne des H O O K E schen Gesetzes, kann zur Theorie der „Hyperelastizität" erweitert werden, wobei die Reversibilität der Formänderungen nunmehr auch in nichtlinearer Abhängigkeit von den Spannungen erhalten bleibt (z. B . bei gummiartigen Werkstoffen). Eine Zuordnung von Spannungsgeschwindigkeiten zu Verzerrungsgeschwindigkeiten und gegebenenfalls auch zu Spannungen selbst bei Reversibilität der Formänderungen wird nach T K U E S D E L L „Hypoelastizität" genannt. Dabei gelten Zuordnungen der Art daaß/dt = /(de^/di, Ox,,). Bei weitestgehender theoretischer Verallgemeinerung der Materialgesetze lassen sich schließlich Spannungs- und Verzerruiigsgrößen auch unter Einbeziehung höherer Ableitungen nach der Zeit miteinander koppeln. Bei viskosen und plastisch deformierbaren Materialien (darunter Stahl, Beton, Hochpolymere verschiedener Art mit anteiligen Verformungskomponenten) bedingt die innere Reibung eine ausgeprägtere „Dissipation" mit Umsetzung mechanischer Energie in Wärme. Eine genauere Analyse der hier auftretenden thermischen Effekte kann mit Hilfe der Hauptsätze der Thermodynamik erfolgen. Betrachtet sei hierzu die energetische Gesamtbilanz eines Systems infolge Zustandsänderung aus Anteilen der Arbeit äußerer Kräfte oder Momente A^4(a>, zugeführter Wärmeenergie AQ(a), kinetischer Energie A2?kln, aufgespeicherter Formänderungsenergie A4 ( 1 ) und Wärmeenergie AQ(i) (in Erweiterung auch chemischer und elektrischer Energie usw.): AAM

+

AQW =

AA T / B wird n u n durch eine Aussage der „Überlebenswahrscheinlichkeit" P s , oder komplementär der „Versagenswahrscheinlichkeit" P y entsprechend P s -f- P v = 1, ersetzt. I m Sinne der Zuverlässigkeitstheorie stellt die Überlebenswahrscheinlichkeit den Verhältniswert aller Fälle mit der Forderung T > B zur Gesamtzahl der möglichen Kombinationen (T, B) im Diagramm stetiger Verteilungs- oder Dichtefunktionen dar (Abb. 1.18). Wird im Falle der GAUSSschen Normalverteilung der Bereich — oo bis + oo betrachtet, so erhält man die Aussage P s = Ps(B < T) mit Hilfe von Doppelintegralen in der Form

/

Ps =

-oo j

/ f ( B ) f ( T ) d B d T B

(1.10)

j f ( B ) f ( T ) d B d T

— OO —oo fÄ (B)

J A f(B)

f(6?)

Histogramm der Belastung

OK Verteilungsdichte der Belastung (z.B. nach WEt BULL)

Verteilungsdichte der Fließgrenze (Normalverteilung)

S f(p0) Verteilungsdichte der Imperfektion (z.B. Dreiecksverteilung)

Verteilungsfunktion der Tragfähigkeit

Abb. 1.18. Zur stochastischen Bemessung

44

1. E i n f ü h r e n d e B e t r a c h t u n g e n

Verteilungsdichten sind dadurch charakterisiert, daß ihre Integrale über den gesamten Bereich den Wert eins annehmen. Bei Integration bis zu einer Zwischenstelle des Bereiches wird die „Verteilungsfunktion" definiert entsprechend = /

Fb(B)

f(B)

dB,

FT(T)

= /

f(T)

(1.11a, b)

dT.

Da der Nennerausdruck in Gl. (1.10) zu Eins wird, erhält man damit für die Überlebenswahrscheinlichkeit, wenn die untere Begrenzung für B und T mit Null eingeführt wird, P

s

=

/ f(B)

(1 -

FT(B))

dB.

(1.12)

Mit Hilfe der statistischen Unterlagen können für die Basisvariablen wie Windbelastung, Festigkeit usw. Verteilungsgesetze über Histogramme formuliert werden. Häufig erfolgt dabei eine Approximation durch GAtrsssche Normalverteilung. Der realen Streuung von Basisvariablen besser angepaßt können auch anderweitige Gesetze (z. B. Log-Normalverteilung, Extremwertverteilung, Dreieckverteilung) formuliert werden, wobei deren analytische Behandlung jedoch in der Kombination mehrerer Basisvariablen zu erheblichen Schwierigkeiten führt. Die Dichteverteilung der Belastungen fn{B) und Tragfähigkeit fa{T) kann bei Einführung der stochastischen Variablen z = T — B in der kombinierten Form / z (Z) entwickelt werden. Wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie ausführlicher dargelegt wird, gelten die „Erwartungswerte" (Abb. 1.19) + 00 + 00 +oo B =

JfB(B)BdB,

T = Jfr(T)TdT,

—00

T -

—00

B = j fz(Z)

Z

dZ.

—00

(1.13a, b, c)

Normal Verteilung

Verteilungsdichte

Belastung

Verteilungsdichte

Traglast

if(Z)

Erwartungswert

Z=^f(Z)ZdZ

Dispersion

D^jffzifz-zßdz

Standardabweichung Verteilungsdichte Z- T-B

Variationskoeffizient

A b b . 1.19. Zur H e r l e i t u n g des Sicherheitsindex ß

sz*\Zd"-Vsg+sj vz-sz/Z

1.3. Grundlegende Problemklassen

45

In dieser Darstellungsweise wird die Versagenswahrscheinlichkeit als komplementäre Überlebenswahrscheinlichkeit Pv = 1 — P ü als Quotient der intervallbezogenen Kombinationen (B > T) zur Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen (B, T) entsprechend der Relation o

o

/ fz(Z)dZ

f /z(Z)dZ

PY =

•

= / fz(Z)

(1.14:)

dZ

— OO

bestimmt. Im Falle beliebiger Dichteverteilung fz(Z) wird fz(Z) nicht mit dem Maximalwert fz(Z) = max zusammenfallen. Bei Annahme GAtrssscher Normalverteilungen für B und T ist jedoch die Dichteverteilung fz(Z) symmetrisch zu Z, und es gilt

wobei Sz die Standardabweichung als geometrische Summe der Größen ,sT und s H , SZ = y«T2

+ «B2 .

darstellt. Bei Einführung der neuen Variablen t = (Z — Z)/sz liefert die Integration über die Dichteverteilung t

F{t) =

i

\ f{t)tdt

J

— OO

= -L=

l/2;r

f e x p (~t2/2)dt.

J

(1.16)

—00

Wird nun der Abstand von t = 0 bis zum Erwartungswert l in Abhängigkeit der Standardabweichung st und eines „Sicherheitskoeffizienten" ß entsprechend t = ßs,

ß

=

y*i 2 +

eingeführt, so erhält man für die Versagenswahrscheinlichkeit die Integralbeziehung mit dem impliziten Sicherheitsindex -ß

P

v

=-4r

fexp(-tV2)dt.

V2jr J

(1.17)

— OO

Bei stochastischen Berechnungen mit mehreren Basisvariablen kann, wie bei K Ö N I G , B A C H M A N N U . S C H O B B E [74] gezeigt ist, der Sicherheitsindex durch ein iteratives Verfahren bestimmt werden. Weiterführende

Literatur:

BOLOTIN [43], MTJRZBWSKI [52], GRASSE U. KOCH [55], SPAETHE [56], PERRY U. CHILVER [ 2 . 6 6 ] , GRASSE [2.69].

2.

Stäbe bei ebenem Verformungszustand

2.1.

Grundlegende Betrachtungen

2.1.1.

Allgemeines

Stäbe und Träger stellen eigenständige Tragelemente mit ebener oder räumlicher Wirkung dar, erlangen aber im konstruktiven Ingenieurbau eine besondere Bedeutung als Elemente von Stabwerken, z. B. von Fach- oder Rahmenwerken. In vielen Fällen wird es möglich sein, das komplizierte räumliche Tragverhalten mit zweiachsiger Biegung, Torsion und Wölbkrafttorsion auf ebene Probleme zurückzuführen. Jedoch muß im Hinblick auf das Stabilitätsverhalten stets berücksichtigt werden, daß bei Stäben und Trägern mit Bereichen unter Druckbeanspruchung — z. B. aus Biegung herrührend — Instabilitäten der Biegedrillknickung, Drillknickung oder Kippung möglich sind. Mit zunehmender Schlankheit solcher Baukörper nimmt die Verformungsempfindlichkeit zu, und die Tragfähigkeitsberechnungen machen dann Ansätze der Theorie II. oder in einzelnen Fällen höherer Ordnung erforderlich. Boi stärkerer belastungsabhängiger Veränderlichkeit der Querschnittsstrukturen (sogenannte Nichtformtreue) ist die Anwendung einer exakteren, jedoch aufwendigeren Faltwerktheorie unter Einbezug von Beuleffekten angezeigt. Im allgemeinen wird auch bei komplizierteren Querschnittsstrukturen eine Idealisierung als Stab bzw. Träger in Zuordnung zur Balkenbiegetheorie — hier bei Bezug auf das ebene Problem — ausreichend sein. Im Falle ungewöhnlicher Lasteintragungen oder sehr geringer Trägerschlankheiten kann die Anwendung der Scheibentheorie erforderlich werden. Stäbe und Träger, als Sonderfälle eines dreidimensionalen Kontinuums aufzufassen, werden hinsichtlich ihrer Bewegungsfreiheitsgrade durch Vorgabe kinematischer Restriktionen, z. B. die Hypothese von Bebnoulli, einer vereinfachten Behandlung zugänglich gemacht. Die unendliche Vielzahl von Bewegungsfreiheitsgraden kontinuierlich deformierbarer Systeme läßt sich zum Zwecke der Anschauung durch stark vereinfachte Modelle (siehe beispielsweise die im folgenden Abschnitt betrachteten Varianten) reduzieren.

2.1.2.

Vereinfachte Fälle

2.1.2.1.

System starrer Stabe mit Federkopplung

Zwei dehn- und biegestarre Stäbe seien durch eine Kopplungsfeder nach Abb. 2.1a verbunden. Das Federgesetz genüge einer nichtlinearen Beziehung M(i) = Ci