Rechnung mit Operatoren: Nach Oliver Heaviside, Ihre Anwendung in Technik und Physik 9783486765458, 9783486765441

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E.J.BERG

RECHNUNG MIT OPERATOREN NACH OLIVER HEAVISIDE IHRE ANWENDUNG IN TECHNIK UND PHYSIK

DEUTSCHE BEARBEITUNG VON

DR.-ING. OTTO GRAMISCH UND

DIPL.-ING. HANS TROPPER

M Ü N C H E N U N D B E R L I N 1932 VERLAG VON R.OLDENBOURG

Vorwort der Originalausgabe. Die Untersuchung von Ausgleichsvorgängen in elektrischen Maschinen und Leitungen hat an Bedeutung zugenommen, und hieraus erklärt sich das Interesse, das man gegenwärtig der Operatorenrechnung von Heaviside, auch symbolische Differentialrechnung genannt, entgegenbringt. Der Verfasser hat das Rechnungsverfahren von Heaviside durch mehrere Jahre gelehrt und hierbei ein großes, stets gleichbleibendes Interesse der Studenten für diesen Gegenstand festgestellt. Zuerst wurde nur ein Kurs für Ingenieure, später für Studenten höherer Jahrgänge und in den letzten Jahren auch ein Kurs für Anfänger gehalten. Die Erfahrung lehrt, daß Anfänger, nachdem sie mit den physikalischen Erscheinungen der Selbstinduktion, Kapazität und gegenseitigen Induktion vertraut gemacht wurden, mit großem Nutzen in Heavisides Werk eingeführt werden können. Die sehr wichtige Darstellung von Vektoren durch komplexe Zahlen kann als Spezialfall von Heavisides symbolischer Lösung gebracht werden. Der größte Teil von Heavisides Lebensarbeit ist in seinem dreibändigen Werk »Electromagnetic Theory« und in seinem zweibändigen Werk »Electrical Papers« enthalten. Der erste Band der »Electromagnetic Theory« behandelt eingehend die Vektorrechnung. Diese soll hier nicht weiter besprochen werden, da die Kenntnis der Vektorrechnung zum Verständnis der Operatorenrechnung nicht nötig ist. Die Operatorenrechnung bildet den Inhalt des zweiten Bandes der »Electromagnetic Theory«; leider behandelt Heaviside dort von Anfang an solche Aufgaben, welche partielle Differentiation und Integration erfordern und bei denen die Operatorenrechnung nur mit größter Vorsicht angewendet werden darf. Er beginnt seine Ausführungen mit der Feststellung, daß manche seiner mathematischen Umformungen nicht so zweifelsfrei und allgemein anwendbar sind, wie sie scheinen, und daß bei ihrer Verwendung größte Vorsicht am Platze ist. Diese und ähnliche Vorbehalte ermutigen keineswegs zum Studium seines Werkes. Anderseits betrachtet er bei der Einführung des wichtigen Entwicklungssatzes diesen als so einleuchtend, daß er keines Beweises bedarf. Leider unterließ er es, der Besprechung seiner Einheitsfunktion, welche den Grundstein der Operatorenrechnung bildet, einige Seiten zu widmen. Es wäre hochinteressant und lehrreich zu erfahren, wie er die

— IV — Operatorenrechnung fand. Eine Gedankenreihe nachbilden ist viel leichter, als sie zum ersten Male finden, und so sehen wir jetzt mehrere Wege, auf denen er zu seinem Ergebnis gelangt sein könnte. Da das vorliegende Buch sich nur mit einem sehr begrenzten Teil von Heavisides Lebenswerk beschäftigt — nämlich mit den Anwendungen seiner Operatorenrechnung — und da seine Pionierarbeit auf anderen Gebieten ebenso wichtig, wenn nicht in mancher Hinsicht noch wichtiger ist, hielt der Verfasser es für richtig, in einem Anhang die interessante Zusammenfassung von Heavisides Werk und die Würdigung seiner Persönlichkeit zu bringen, welche von Herrn B. A. Behrend im »Electric Journal« (Januar- und Februarheft 1928) veröffentlicht wurde. Der Verfasser ist Herrn Behrend für die Überlassung seines Aufsatzes zu großem Dank verpflichtet, ebenso Herrn S. J . Haefner, der das 29. Kapitel über die Lösung transzendenter Gleichungen schrieb; ferner sei den Herren Dr. J . J . Smith und S. J . Haefner für mancherlei Anregungen, die in diesem Buch verwertet wurden, gedankt. Der Verfasser dankt hiermit auch Herrn Dr. J . W. Grover für seine Hilfe beim Korrekturenlesen und den Herren John R. Carson und Dr. Vannevar Bush für die liebenswürdige Erlaubnis, die von ihnen zusammengestellten Literaturnachweise zu verwenden 1 ). Ein großer Teil des Inhaltes dieses Buches erschien erstmalig in einer Aufsatzreihe in der »General Electric Review«, die im Dezember 1927 begann und im September 1928 endete. Der Verfasser ist dem Herausgeber der »General Electric Review«, Herrn E. C. Sanders, für sein persönliches Interesse an diesen Artikeln und für die Erlaubnis, sie in Buchform nochmals drucken zu lassen, zu Dank verpflichtet. Schließlich sei Herrn Dr. Harry E. Clifford von der Harvard Universität für seine Hilfe bei der Herausgabe des Buches gedankt. Schenectady, im Juli 1929.

E. J. BERG.

J ) John R. C a r s o n , Elektrische Ausgleichsvorgänge und Operatorenrechnung. Deutsche Bearbeitung von F. Ollendorff und K. Pohlhausen. Springer, Berlin 1929.

Vorwort der deutschen Ausgabe. Das Rechnen mit Operatoren nach Heaviside wird in letzter Zeit in immer größerem Umfang praktisch angewendet, besonders in den englisch sprechenden Ländern. Dieses Rechnungsverfahren, auch symbolische Differentialrechnung genannt, ist den klassischen Methoden bei der Lösung vieler auf Differentialgleichungen führender Ausgaben überlegen. Bei der symbolischen Behandlung von Problemen der Wechselstromtechnik wird das Auflösen der Differentialgleichungen, welche die mathematische Formulierung der Aufgaben darstellen, vermieden, und es werden bloß algebraische Rechnungen ausgeführt. In gleicher Weise ist es möglich, Aufgaben, welche Ausgleichsvorgänge in elektrischen Stromkreisen betreffen, mit Hilfe der Operatorenrechnung durch algebraische Operationen zu lösen. Die Anwendbarkeit der Operatorenrechnung ist nicht atif elektrotechnische Probleme beschränkt, sondern erstreckt sich auf alle Zweige der mathematischen Physik und Chemie. Aus der Originalausgabe wurden die Anwendungsbeispiele auf einfache mechanische Schwingungen (Kap. 10) und auf Aufgaben aus der Theorie der Wärmeleitung (Kap. 28) übernommen. Die Bearbeiter haben einen Abschnitt über die Berechnung mechanischer Kopplungsschwingungen nach diesem Verfahren hinzugefügt (Kap. 11). Bisher ist nur eine verhältnismäßig kleine Anzahl von Problemen mittels der Operatorenrechnung gelöst worden, und es harrt noch eine ganze Reihe von Fragen theoretischer Natur der exakten mathematischen Untersuchung mit Hilfe der symbolischen Differentialrechnung. Die Anwendungen der Operatorenrechnung bieten daher nicht nur dem praktischen Physiker und Techniker sondern auch dem Mathematiker ein reiches Betätigungsfeld. In Deutschland hat die Operatorenrechnung bisher, von einigen Ausnahmen abgesehen, wenig Beachtung gefunden. Wir zweifeln jedoch nicht daran, daß sie, ähnlich wie seinerzeit die Vektorrechnung, früher oder später auch in deutschen Landen ihren Einzug halten wird und daß sie dem Techniker sowie dem Physiker ein unentbehrliches Hilfsmittel sein wird.

— VI — Herrn Professor E . J . Berg, der sein Interesse an der deutschen Ausgabe durch zahlreiche Verbesserungsvorschläge bewiesen hat, sei an dieser Stelle gedankt. Ebenso danken die Bearbeiter Frl. stud. phil. Lore Brauchbar und Herrn cand. ing. Danilo Blanusa für ihre Mitarbeit und Hilfe beim Korrekturlesen und dem Verlag für die Sorgfalt, die er dem Werke angedeihen ließ. W i e n und L o n d o n , im November 1931.

Dr.-Ing. Otto Gramisch.

Dipl.-Ing. Hans Tropper.

Einiges über die Persönlichkeit Oliver Heavisides. Oliver Heaviside wurde am 13. Mai 1850 in London geboren und starb am 3. Februar 1925 in Torquay. Sein Tod kam unerwartet und war wahrscheinlich die Folge eines Sturzes von einer Leiter im November 1924. Er lebte viele Jahre allein, ganz ohne Familie und ohne Freunde. Mit der Welt blieb er nur durch seinen »Bobby« in Verbindung, einen Schutzmann, der die Gegenstände seines täglichen Bedarfes besorgte. In seinen letzten Lebensjahren war er ein auffallend schöner, alter Mann, mit weißem Haar und Bart, scharfen, freundlichen Augen und zarten Händen. Seine Gestalt von mittlerer Größe war nur leicht gebeugt. Obgleich sein Gehör etwas gelitten hatte, war er von wirklicher Taubheit weit entfernt, so daß es nicht schwierig war, mit ihm ein Gespräch zu führen. Seine Augen waren außerordentlich scharf; er las mit Leichtigkeit auch den kleinsten Druck. Aber sein Gesundheitszustand im allgemeinen war nicht der beste, und dies schrieb er hauptsächlich dem Mangel an Heizmaterial und zuträglicher Nahrung während des Weltkrieges zu. Nichtsdestoweniger klagte er selten. Er war ein Optimist und glaubte, daß ihm ein sehr hohes Alter beschieden sein würde. Er war überaus liebenswürdig und freundlich. Wer ihn kennenlernte — und der Verfasser war so glücklich, mehrere Tage in seiner Gesellschaft zu verbringen —, der mußte ihn liebgewinnen. Von seinem Heim, das auf einem Hügel lag, übersah man die Bucht von Torquay; einen schöneren Ausblick kann man schwerlich finden. Heaviside schätzte ihn hoch und erwähnte ihn häufig. Er hatte die Seele eines Künstlers; und er war in der Tat ein Künstler, allerdings kein ausübender. Sein Vater hatte ein beachtenswertes Malertalent besessen, nach einem Ölgemälde zu schließen, das den kleinen Oliver darstellt, wie er gerade über einen Zaun klettert. Da Heaviside so einsam lebte, war sein Heim natürlich nicht so gut gehalten, als dies unter anderen Verhältnissen möglich gewesen wäre. Wenn man jedoch die besonderen Umstände in Betracht zieht, muß man seine Nettigkeit bewundern. Die Fenster waren ohne Stäubchen. Ich bemerkte bei meinem zweiten und den folgenden Besuchen, daß er Zeitungspapier über die Teppiche auf der Stiege gebreitet hatte. Offenbar erforderte es weniger Arbeit, das Papier aufzulegen, als von den Teppichen den Staub abzukehren.

— VIII — Er verwandte auf seine äußere Erscheinung große Sorgfalt, denn wenn auch sein Anzug nicht immer nach dem neuesten Schnitt war, so hielt er ihn doch peinlich sauber und nett. Sein Hauptinteresse galt seinen wissenschaftlichen Arbeiten, durch die er sich neben Newton, Archimedes, Kelvin und Faraday stellte; außerdem hatte er noch viele andere Interessen. Er war ein Literaturkenner und liebte es, Shakespeare und Shaw zu zitieren. Die Wände seines Arbeitszimmers waren mit den Porträts berühmter Persönlichkeiten der verschiedensten Tätigkeitsgebiete bedeckt, und er sprach gerne von ihnen. Über seinen Werdegang ist wenig bekannt, da er nur sehr ungern über sich selbst sprach und vermutlich seinen Bruder, der auch in Torquay lebte und einige Wochen vor ihm starb, ersucht hatte, niemandem Mitteilungen über seinen Lebenslauf zu machen. Dessenungeachtet versprach er dem Verfasser, den er für den Monat Juni 1925 neuerlich zu Besuch einlud, nicht nur eine Photographie sondern auch nähere Einzelheiten aus seinem Leben; und er würde sein Wort gehalten haben, wenn er diesen Besuch erlebt hätte, denn er kam in mehreren Briefen darauf zu sprechen. Er war als Briefschreiber ebenso fleißig wie als Verfasser wissenschaftlicher Werke. Sein Stil war hervorragend; daher sind seine Briefe nicht nur hochinteressant, sondern auch künstlerisch in der Form. Er erzeugte sich Tinte und Feder selbst, denn er war der Ansicht, daß durch eine gekaufte Feder die Tinte nicht gleichmäßig fließe. Im Juni 1925 veröffentlichte Bethenod zu Ehren Heavisides in den »Annales des postes, télégraphes et téléphones« einen sehr interessanten Artikel, der außer einer.Würdigung seiner wissenschaftlichen Leistungen, auch einige Tatsachen aus seinem Leben enthält. Aus dieser und anderen Quellen geht hervor, daß Heaviside bis 1874 bei der Great Northern Telegraph Company in Newcastle a/Tyne angestellt war. Er war ein Neffe des berühmten Sir Charles Wheatstone, der ihn wahrscheinlich bei der Wahl seines Berufes beeinflußte. Er besaß eine gute Schulbildung; von mathematischen Fächern hatte er allerdings in der Schule nur Algebra und Trigonometrie gelernt. Seit seinem zwanzigsten Lebensjahr schrieb er Beiträge für elektrotechnische Zeitschriften, und im Jahre 1873 begann er das Studium von Maxwells »Electromagnetic Theory«. Er beendete sein wissenschaftliches Werk im Jahre 1912 im Alter von 62 Jahren.

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Vorwort Einiges 1. Kapitel: 2. :t. 4. 5.

Kapitel: Kapitel: Kapitel: Kapitel:

f>. Kapitel:

der Originalausgabc der deutschen Ausgabe über die Persönlichkeit Oliver Ileavisides Ileavisides Einheitsfunktion und die algebraische Seite seines Rechnungsverfahrens Das Wesen und der praktische Wert der symbolischen Lösung Der Entwicklungssat/. Anwendung des Entwicklungssatzes auf einige Aufgaben . . . Die mangelnde physikalische Bedeutung des Q u a d r a t s der Einheitsfunktion Weitere Operatoren für den Fall des plötzlichen Anschlusses eines Netzes an einen Wechselstromerzeuger, s t a t t an eine Batterie mit konstanter Spannung

7. Kapitel: Verfahren bei Nichtanwendbarkeit des Entwicklungssatzes, wenn alle Wurzeln untereinander gleich oder einige Wurzeln Null sind 8. Kapitel: Vereinfachungen, die im Falle konjugiert komplexer Wurzeln eintreten 9. K a p i t e l : Aufgaben, in denen gegenseitige I n d u k t i v i t ä t v o r k o m m t . . . 10. Kapitel: Wirkung, hervorgerufen durch eine plötzliche Ä n d e r u n g der eingeprägten EMK eines Systems oder durch Kurzschließen eines Netzes 11. Kapitel: Weitere Anwendungen der Operatorenrechnung auf mechanische Schwingungen 12. Kapitel: Die Wirkung des Kurzschließens gewisser Netzteile und der Einführung neuer Impedanzen durch Schließen eines Schalters 13. Kapitel: Die Wirkung der durch das Öffnen eines Schalters hervorgerufenen plötzlichen Änderung der Stromkreiskonstanten . . 14. Kapitel: Heavisides »Verschiebung« 15. Kapitel: Das Duhamelsche Integral 16. Kapitel: Hauptgleichungen der Übertragungsleitung. Leerlauf und Kurzschluß des idealen Kabels 17. Kapitel: Plötzliches Anlegen einer Wechselstromquelle an ein ideales Kabel 18. Kapitel: Übertragungsleitung mit allen vier Konstanten 19. Kapitel: Übertragungsleitung mit Impedanz am A n f a n g u n d E n d e . . 20. Kapitel: Mehrere Übertragungsleitungen verschiedener K o n s t a n t e n mit Impedanzen an der Verbindungsstelle

Seile III V VII 1 11 14 21 25

26

30 33 35

37 42 48 55 58 64 69 77 81 84 92

—

X

— Seite

21. Kapitel: Anlegen einer Batterie in einem beliebigen P u n k t eines Kabels

96

22. Kapitel: Ausbreitung von Ladungen auf Übertragungsleitungen.

07

. . .

23. K a p i t e l : Abschaltung und Entladung eines Kabels

102

24. Kapitel: Gebrochene Differentiation und Integration

105

25. K a p i t e l : Die unendlich lange Übertragungsleitung

109

26. K a p i t e l : Probleme, die auf konvergente Reihen und asymptotische E n t wicklungen führen 27. K a p i t e l : Schwierigkeiten

bei

der

Deutung

von

112

Potenzreihenentwick-

lungen

122

28. Kapitel: Lineare Wärmeströmung

122

29. K a p i t e l : Die numerische Auflösung von algebraischen und transzendenten Gleichungen 30. Kapitel: Zusammenstellung der Operatoren und Formeln

127 149

Anhang: Das Lebenswerk Oliver Heavisides von B . A. Behrend .

15«

.

.

1. K a p i t e l .

Heavisides Einheitsfunktion und die algebraische Seite seines Rechnungs Verfahrens. Heavisides dreibändiges Werk »Electromagnetic Theory« ist eine Sammlung von Arbeiten aus dem Zeitraum von 1891 bis 1912; er interessierte sich während dieser Zeit für alle Gebiete der Physik und Mathematik. Ein sehr großer Teil der »Electromagnetic Theory« ist den elektrischen Erscheinungen und besonders der Berechnung von Störungen in elektrischen Netzen mit Hilfe der Operatorenrechnung gewidmet. Maxwell hatte bereits eine höchst umfassende Theorie von fast allem, das in elektrischen Stromkreisen vorkommen kann, aufgestellt, aber die Darstellung seiner Theorie mit den üblichen mathematischen Mitteln war so kompliziert, daß sie auf viele praktische Aufgaben nur mit den größten Schwierigkeiten anwendbar war. Heaviside stellte sich die Aufgabe, ein neues Rechnungsverfahren auszuarbeiten, welches die Behandlung elektrotechnischer Probleme dieser Art vereinfachen sollte, ohne die Genauigkeit zu verringern. Dies gelang ihm in bewunderungswerter Weise durch die Einführung der Operatorenrechnung und des Entwicklungssatzes. Die physikalischen Aufgaben, mit denen er sich befaßte, führten zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und zu bestimmten Arten von partiellen Differentialgleichungen. Im besonderen studierte er das Verhalten von Systemen, die plötzlich zur Zeit t = 0 der Einwirkung von Kräften ausgesetzt werden. Vor Heaviside war die Verwendung von Operatoren (Symbolen für Differentialquotienten) bereits bekannt. Z. B. war es üblich, die Lösung der Differentialgleichung

dy

,,.

in folgender Form zu schreiben: * = 7>-i«/(