Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwendung in der Technik [Reprint 2022 ed.] 9783112649480

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W.S. W L A S S O W Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwendung in der Technik

W . S. W L A S S O W

Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwendung in der Technik Wissensdiaftlidie Redaktion:

Prof. Dr.-Ing. A . Kromm, Technisdie Hodisdiule Dresden/Graz

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1958

B. 3. BjiacoB 0 6 n j a a T e o p n a Oöojioieic a eë nproioxcemui B TexHHKe Erschienen im Staatsverlag f ü r technisch-theoretische Literatur Moskau-Leningrad 1919 Übersetzt aus dem Russischen von einem Kollektiv des Instituts f ü r Technische Mechanik der Technischen Hochschule Dresden

Die Herausgabe dieses Werkes wurde gefördert vom Kulturfonds der Deutschen Demokratischen Republik

Erschienen im Akademie -Verlag, Berlin W 8, MohrenstraBe 39 Lizenz-Nr. 2 0 2 . 100/68/58 Copyright 1958 by Akademie -Verlag GmbH • Alle Rechte vorbehalten Gesamtherstellung: Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg Bestell- und Verlagsnummer 5248 Printed in Germany ES 20 C 4

VORWORT Die Schalentheorie ist infolge der stürmischen Entwicklung der Technik zur Zeit eines der aktuellsten Gebiete der Elastizitätstheorie. Diese Theorie findet Anwendung im Bauwesen, in der Luftfahrt, im Schiff- und Maschinenbau sowie auf anderen Gebieten der Technik. In der Sowjetunion entwickelte sich die Schalentheorie im Laufe der letzten Jahre sehr, erfolgreich, und zwar in zwei Richtungen: Eine dieser Richtungen — dargestellt in Originalarbeiten von GOLDENWEISER, KLLTSCHWEWSKI, L Ü R J E , MUSCHTARI, NOWOSHILOW u n d R A B O T N O W — b e f a ß t s i c h m i t d e r

mathematischen Theorie der Schalen. Sie ist in der Hauptsache durch die Feststellung der Genauigkeit der Hypothesen, die der allgemeinen Schalenbiegetheorie zugrunde liegen, durch die Aufstellung verschiedener einander äquivalenter Darstellüngsformen der Grunddifferentialgleichungen und durch die Ausarbeitung qualitativer Methoden der Integration dieser Gleichungen gekennzeichnet. Die andere Richtung ist hauptsächlich in den vom Verfasser und seinen Schülern veröffentlichten Arbeiten dargestellt. In diesen wird die technische Schalentheorie aufgestellt, die als Spezialfall auch die allgemeine Theorie dünnwandiger Stäbe enthält. Sie ist durch die Einführung einer Reihe neuer physikalischer Hypothesen in die Schalentheorie gekennzeichnet und ermöglicht die Lösung einer Reihe praktisch wichtiger Probleme der Baumechanik. Die vorliegende Monographie enthält die technische Schalentheorie und ist das Ergebnis langjähriger Forschungstätigkeit des Verfassers. Die Stabilitätstheorie dünnwandiger Konstruktionen wird in ihr nicht dargelegt. Die einfacheren achsensymmetrischen Aufgaben der Biegetheorie der Rotationsschalen (zylindrische, konische u. a.), die hauptsächlich von den sowjetischen Wissenschaftlern LURJE, PASTERNAK,

SOKOLOWSKI .und S T A J E R M A N N

bearbeitet

worden sind, werden ebenfalls nicht behandelt. Der erste Teil der Monographie enthält die Membrantheorie der Schalen. Dieser Theorie entspricht bei den Stabsystemen die Fachwerktheorie. Zur Berechnung von Schalen mit positivem Gaußschen Krümmungsmaß werden vom Verfasser die Gleichgewichtsbedingungen dieser Schalen auf die Potentialgleichung zurückgeführt. In dieser Monographie werden Lösungen für eine Reihe neuer Aufgaben aus der Membrantheorie in geschlossener analytischer Form angegeben. Außerdem wird der Anwendungsbereich für diese Theorie festgelegt. Im zweiten Teil wird die allgemeine Biegetheorie der Schalen aufgestellt. Dabei geht der Verfasser von den allgemeinen Gleichungen der Elastizitätstheorie aus, die er in orthogonalen krummlinigen Koordinaten formuliert. Der Übergang vom dreidimensionalen auf das zweidimensionale Problem wird mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen durchgeführt.

VI

Vorwort

Der dritte Teil enthält die vom Verfasser ausgearbeitete allgemeine Biegetheorie schwach geneigter Schalen. Diese Schalen sind dadurch gekennzeichnet, daß ihre Pfeilhöhe verhältnismäßig klein ist. Die Theorie der schwach geneigten Schalen kann auch auf schwach gekrümmte Platten angewendet werden. Der vierte Teil enthält die Theorie der orthotropen Kreiszylinderschalen. In dieser vom Verfasser 1933 veröffentlichten Theorie wird zum Unterschied von der Theorie der dünnwandigen Stäbe die Querschnittsverformung berücksichtigt. Der fünfte und letzte Teil enthält eine Darstellung der allgemeinen Theorie der Faltwerke. In dieser Theorie werden mit Hilfe geeignet gewählter Ansätze die partiellen Differentialgleichungen der Faltwerke auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurückgeführt. Im Gegensatz dazu werden bei den Methoden von RITZ-TIMOSCHENKO und BUBNOW-GALERKIN

die partiellen

Differential-

gleichungen, wie z . B . vom Plattenproblem bekannt, auf ein System linearer algebraischer Gleichungen zurückgeführt. Die Probleme, die im fünften Teil behandelt werden, sind auch in unserem Buche „Baumechanik dünnwandiger Raumsysteme" (Staatl. Verlag für das Bauwesen 1949) ausführlich dargestellt. Alle Ergebnisse der technischen Schalentheorie, die in der vorliegenden Monographie angegeben sind, wie auch die schon früher vom Verfasser veröffentlichten Ergebnisse stimmen mit den Versuchsergebnissen des zentralen Forschungsinstituts für industrielle Bauten und den

t h e o r e t i s c h e n A r b e i t e n v o n W E K U A , GOLDENWEISER, L U R J E u n d RABOTNOW

gut über ein. Die Schalentheorie, die in dieser Monographie behandelt wird, bildet den Inhalt der vom Verfasser am Moskauer Kuibyschew-Ingenieurinstitut gehaltenen Vorlesungen. Schließlich hält es der Verfasser für seine angenehme Pflicht, dem korrespondierenden Mitglied der Akademie der Artilleriewissenschaften Prof. Dr. techn. N. J . BESUCHOW für seine wertvollen Hinweise beim Lesen des Manuskripts seine Dankbarkeit auszusprechen. Der Verfasser dankt auch den wissenschaftlichen Mitarbeitern des ZNIPS B. S. WASSILKOW und N. 0 . LEWITSKI für ihre wertvolle Hilfe bei der Abfassung des Manuskripts. Besonders herzlichen Dank spricht der Verfasser den Kandidaten der technischen Wissenschaften A. K . MROSCHTSCHINSKI und F r . A. PERN aus, die ihm bei der Durch-

sicht der Gleichungen und der redaktionellen Bearbeitung des Manuskripts eine große Hilfe erwiesen haben. Dem Verfasser ist durchaus .klar, daß die in dieser Monographie behandelten Probleme und die früher veröffentlichte Theorie der dünnwandigen elastischen Stäbe nur zum Teil die Kluft zwischen den praktischen Bauingenieuren und den Vertretern der mathematischen Elastizitätstheorie ausfüllen. Das Buch wurde für Ingenieure geschrieben und hat den Zweck, eine Lücke in der heutigen Literatur der Baumechanik zu schließen. Der Verfasser drückt im voraus den Lesern seinen Dank aus, die sich zu dieser Monographie kritisch äußern und ihm wertvolle Hinweise geben werden. Der V e r f a s s e r

INHALTSVERZEICHNIS I. Teil: M e m b r a n t h e o r i e der S c h a l e n KAPITEL i

Rotationsschalen

Seite

1

1. Flächentheoretische Grundlagen. Gleichgewichtsbedingungen 2. Rotationsschalen. Zurückführung des Systems der Differentialgleichungen der , Membrantheorie auf eine Gleichung zweiter Ordnung. Einführung von Spannungsfunktionen . 3. Parabolische oder hyperbolische Rotationsschalen. Integration der Gleichungen durch Trennung der Variablen 4. Parabolische Schalen unter der Wirkung konzentrierter, im Pol angreifender Kräfte und Momente 6. Grundlagen der Membrantheorie. Kriterium zur Bestimmung ihres Anwendungsbereiches 6. Rotationsschalen unter der Einwirkung einer beliebig gegebenen Oberflächenbelastung. Allgemeine Integration der statischen Gleichungen. Die Methode der Anfangsbedingungen 7. Berechnung beliebig belasteter Rotationsschalen nach der Membrantheorie . .

1 12 14 19 22 28 36

K A P I T E L II

Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung. Allgemeine Theorie . 8. Zurückführung der statischen Gleichgewichtsbedingungen der Membrantheorie auf die CAUCHY-RiEMANNsohen Gleichungen. Verschiedene Methoden der Abbildung von Flächen zweiter Ordnung mit positivem GAUSSschen Krümmungsmaß auf die Ebene 9. Das Gleichgewicht am Schalenrand. Bestimmung des resultierenden Kraftund Momentenvektors durch eine analytische Funktion der komplexen Variablen. Statische Deutung der CAUCHYsohen Integrale 10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen . . . . . . . . 11. Hyperbolische und parabolische Schalen mit positivem GAUSSschen Krümmungsmaß 12. Einheitliche Darstellung der Einflußfunktion für alle beliebigen Rotationsschalen zweiter Ordnung mit positivem GAUssschen Krümmungsmaß . . . . 13. Berechnung von Schalen aus beliebigen Flächen zweiter Ordnung nach der Membrantheorie ' . .

41

41 63 71 85 88 91

VIII

Inhaltsverzeichnis K A P I T E L III

Berechnungsmethoden für geschlossene elliptische Schalen und Kugelschalen bei beliebiger B e l a s t u n g . . . . 14. Die elliptische Rotationsschale mit Einzelkräften und -momenten, die in den Polen angreifen 15. Die elliptische Schale mit Einzelkräften, die durch die Drehachse gehen und auf ihr senkrecht stehen 16. Die elliptische Schale mit einer Einzelkraft in Richtung der Drehachse . . . . 17. Torsion einer elliptischen Schale durch Kräftepaare in zwei zur Rotationsachse senkrechten Ebenen

Seite

103 103 106 116 119

K A P I T E L IV

Berechnungsmethoden für beliebig belastete elliptische und sphäris c h e K u p p e l n . S c h a l e n m i t n e g a t i v e m GAUssschen K r ü m m u n g s m a ß 18. 19. 20. 21.

Die elliptische Kuppel Die sphärische Kuppel Die durch zwei zueinander senkrechte Ebenen begrenzte elliptische Kuppel . Die durch zwei zueinander senkrechte Ebenen begrenzte sphärische Kuppel unter Eigengewicht 22. Elliptische, sphärische, parabolische und hyperbolische Schalen unter Normaldruck 23. Hyperbolische Schalen mit negativem GAUssschen Krümmungsmaß . . . .

122 122 127 130 136 136 141

II. Teil: Allgemeine Theorie der b i e g e s t e i f e n S c h a l e n KAPITEL V

G r u n d g l e i c h u n g e n d e r r ä u m l i c h e n E l a s t i z i t ä t s t h e o r i e in k r u m m l i n i g e n Koordinaten 1. Krummlinige Koordinaten. Das orthogonale Koordinatensystem 2. Beziehungen zwischen den Komponenten des Deformationstensors und des Verschiebungsvektors eines elastischen Kontinuums in beliebigen orthogonalen Koordinaten 3. Gleichungen für die Volumendehnung und die Drehwinkel im orthogonalen krummlinigen Koordinatensystem 4. Gleichgewichtsbedingungen in beliebigen orthogonalen Koordinatensystemen 5. Die elastischen Grundgleichungen in orthogonalen krummlinigen Koordinatensystemen

147 147 155 160 161 165

K A P I T E L VI

Die Grundgleichungen der allgemeinen Schalentheorie 6. 7. , 8.

Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie für dickwandige Schalen . . . Geometrische Hypothesen. Reihenentwicklung der Komponenten des Deformationstensors Betrachtungen über den Aufbau der geometrischen Gleichungen der Schalentheorie

169 169 174 179

Inhaltsverzeichnis

IX Seite

9. Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen der Schale 10. Ableitung der Differentialgleichungen der Schalentheorie aus der allgemeinen Elastizitätstheorie 11. Andere Form der Aufstellung der Differentialgleichungen der Schale. Randwertaufgaben und Eindeutigkeit der Lösung 12. Die Kreiszylinderschale. Grunddifferentialgleichungen 13. Zurückführung der Gleichungen der Kreiszylinderschale auf eine Differentialgleichung 8. Ordnung 14. Erste invariante Form der Grunddifferentialgleichungen der Kugelschale . . . 15. Zweite invariante Form der Grunddifferentialgleichungen der Kugelschale. Die Spannungsfunktion . 16. Allgemeine Verträglichkeitsbedingungen der Schalen. Sonderfälle 17. Unendlich kleine Verbiegungen einer dehnstarren Schalenmittelfläche. Statischgeometrische Analogien. Flächen zweiter Ordnung

186 188 198 203 210 213 225 230 234

III. Teil: Theorie und B e r e c h n u n g s m e t h o d e n schwach gekrümmter Schalen K A P I T E L VII

Die Grundgleichungen der Theorie schwach g e k r ü m m t e r Schalen . . . 1. Vereinfachung der Grunddifferentialgleichungen der Biegetheorie der Schalen. Die Verschiebungsmethode. . • 2. Allgemeine technische Theorie schwach gekrümmter Schalen. Ableitung der Grunddifferentialgleichungen nach der gemischten Methode. Darstellung der Schnittkräfte und der Verzerrungsgrößen durch zwei skalare Funktionen . . . 3 . Die Gleichungen von M A X W E L L - A I R Y und S O P H I E G E R M A I N E - L A G R A N G E für Scheiben und Platten als Spezialfälle schwach geneigter Schalen

239 239 244 251

K A P I T E L VIII

Kreiszylinderschalen

256

4. Zwei Methoden zur Ableitung der Grundgleichungen der Kreiszylinderschalen 256 5. Das Tonnendach, Integration der Gleichungen durch doppeltrigonometrische Reihen .267 6. Die geschlossene Kreiszylinderschale mit radialer Belastung 278 7. Das frei aufliegende Tonnendach. Verallgemeinerung der Methode von MAURICE LEVI

283

8. Dünnwandige Decken aus einer Reihe gleich großer, miteinander gelenkig verbundener Kreiszylinderschalen •.

289

K A P I T E L IX

Schwach geneigte Kugelschalen 9. Allgemeine Theorie der schwach geneigten Kugelschale. Analogie zur elastisch gebetteten Platte 10. Rotationssymmetrische Probleme der Theorie der schwach geneigten Kugelschale. Allgemeine Lösung. Sonderfälle 11. Schwach geneigte Kugelschalen und gewöhnliche oder elastisch gebettete Kreisplatten unter beliebiger Normalbelastung

328 328 334 359

X

Inhaltsverzeichnis KAPITEL X

Seite

K o m p l i z i e r t e r e A u f g a b e n der Theorie der schwach geneigten Schalen 12. Schwach geneigte Schalen mit K 4= 0. Praktische Berechnungsmethode dünnwandiger Decken, die mit den Wänden des Gebäudes ein einheitliches Raumsystem bilden. Sonderfälle 13. Anwendung der Theorie auf die Berechnung von dünnwandigen Deckenkonstruktionen. Experimentelle Überprüfung 14. Stabilitätsbedingungen der Schalen 15. Die Stabilität der Kugelschale 16. Die Stabilität der Kreiszylinderschale 17. Stabilitätsgleichungen schwach geneigter Schalen unter vertikaler Belastung 18. Schwingungen dünnwandiger Systeme vom Typ der schwach geneigten Schalen 19. Endliche Deformationen schwach geneigter Schalen. Verallgemeinerung der KÄRMÄNschen Gleichungen

361

361 374 379 382 385 387 389 391

IV. Teil: Die orthotropen Zylinderschalen mittlerer Länge K A P I T E L XI

Differential-und In tegrodifferentialgleichungen zylindrischer Schalen

397

1. Grundhypothesen. Berechnungsmodell. Partielle Differentialgleichungen . . 2. Anwendung der fundamentalen Balkenfunktionen bei der Integration der Gleichungen für Zylinderschalen mittlerer Länge durch Trennung der Variablen 3. Integrodifferentialgleichungen der Zylinderschale mit Kernen, die aus dem Gesetz für die ST.-VENANTsche Wölbfunktion hervorgehen 4. Eine andere Methode der Zurückführung der Schalengleichungen auf Integrodifferentialgleichungen

397 402 405 407

K A P I T E L XII

Analytische Länge

Berechnungsmethoden

für

Zylinderschalen

mittlerer 413

5. Allgemeine Berechnungsmethoden der geschlossenen Kreiszylinderschale mittlerer Länge 6. Die geschlossene Zylinderschale mit Längskräften, die am Querrand der Schale angreifen 7. Die kurze Zylinderschale mit radialer Belastung 8. Allgemeine analytische Methode zur Lösung von Randwertaufgaben für offene Zylinderschalen

413 426 428 435

V.Teil: Die dünnwandigen F l ä c h e n t r a g w e r k e K A P I T E L XIII

Berechnungsmethoden prismatischer der S c h u b v e r z e r r u n g e n

Schalen bei

Vernachlässigung

1. Variationsmethode zur Zurückführung der Differentialgleichungen der zylindrischen und prismatischen orthotropen Schalen mittlerer Länge auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen

449

449

Inhaltsverzeichnis

XI Seite

2. Beispiele für Differentialgleichungen prismatischer Schalen mit freien Längsrändern 3. Differentialgleichungen prismatischer Schalen für andere Randbedingungen an den Längsrändern 4. Allgemeine praktische Berechnungsmethode prismatischer Schalen für beliebige Randbedingungen auf den krummlinigen Rändern. Anwendung der Grundfunktionen der Balkenschwingungen zur Integration der achtgliedrigen Differentialgleichungen 5. Die allseitig gestützte zylindrische Schale. Analyse des Spannungszustandes in Abhängigkeit vom Verhältnis Länge zu Breite

462 486

496 508

K A P I T E L XIV

Methoden zur Berechnung prismatischer Schalen unter Berücksichtigung der Schubverzerrungen 6. Die Deformationsmethode 7. Allgemeine Variationsmethode zur Reduktion eines zweidimensionalen Schalenproblems auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. . . . 8. Randeffekt. Innere verallgemeinerte Kräfte. Längs- und Querbimomente . . 9. Räumliches Verhalten einer dünnwandigen Konstruktion von der Form eines zweistöckigen Rahmens 10. Dünnwandige Kastenträger mit mehreren Zwischenwänden (mehrfach zusammenhängende Schalen) 11. Der Kastenträger mit deformierbarer Querschnittsform 12. Torsion eines dünnwandigen Stabes mit starrem, geschlossenem Querschnitt . Ergänzung Die Verträglichkeitsbedingungen in krummlinigen Koordinaten [41] Anlagen

522 522 526 534 540 561 577 594 601 601 608

Literaturverzeichnis

655

Sachregister

659

I. T E I L

MEMBRANTHEORIE DER SCHALEN

KAPITEL I

Rotationssdialen 1. Flädientheoretische Grundlagen. Gleidigewiditsbedingungen 1. Wir betrachten eine beliebige ebene Kurve, die auf ein kartesisches Koordinatensystem mit den Koordinaten z und r bezogen ist. Die Gleichung dieser Kurve sei in folgender Form gegeben: r = r(z).

(1.1)

Hierbei ist z die unabhängige Variable, die den nach unten positiv gerechneten Abstand des Kurvenpunktes C (Abb. 1) von der r-Achse angibt. Bei Drehung der K u r v e r = r(z) u m die z-Achse erzeugen die P u n k t e der K u r v e eine Drehfläche. Die z-Achse heißt Drehachse. Die Lage eines beliebigen P u n k t e s G auf der gegebenen Drehfläche k a n n durch zwei Koordinaten bestimmt werden. Als Koordinaten verwenden wir die unabhängigen Variablen z und ß, von denen z den Abstand des Punktes 0 vom Koordinatenursprung 0 angibt u n d ß den Winkel zwischen zwei vertikalen Ebenen, der Bezugsebene OC 0 M 0 und der Ebene OGM, darstellt. Das Vorzeichen der Koordinate z wurde schon definiert; der Winkel ß ist positiv, wenn er beim Blick vom P u n k t e 0 aus auf die horizontale Ebene z = const, die durch die P u n k t e H0C0C geht, im Uhrzeigersinn abgelesen wird. I n dem gewählten Koordinatensystem z, r, ß ist der P u n k t C im dreidimensionalen R a u m als Schnittpunkt dreier Flächen bestimmt, von denen eine gegeben ist, während die beiden anderen zu bestimmen sind; und zwar eine horizontale Ebene durch die unabhängige Variable z und eine vertikale durch die andre unabhängige Variable ß. Wenn wir der Koordinate z einen beliebigen konstanten Wert geben, d. h. z = const setzen, erhalten wir auf der gegebenen 1

Wlassow, Schalentheorie

-

2

Rotationsschalen

Drehfläche bei Veränderung der Koordinate ß den Breitenkreis. Verschiedenen Werten der Koordinate z auf der Drehfläche entsprechen verschiedene Breitenkreise, die Breitenkreise der Drehfläche. Analog erhalten wir für ß = const auf der Drehfläche bei Veränderung der Koordinate z andere Linien. Verschiedenen Werten der Koordinate ß auf der Drehfläche entsprechen sonst gleiche, aber auf verschiedenen vertikalen Ebenen liegende Linien. Diese Linien werden Meridiane der Drehfläche genannt. Irgendein Punkt G auf der Drehfläche ist also Schnittpunkt zweier Linien : eines Breitenkreises z = const und eines Meridians ß = const. Die unabhängigen Variablen z und ß können somit als Koordinaten des Punktes G auf der gegebenen Fläche angesehen werden. Diese Koordinaten sind orthogonal, da sich Breitenkreise und Meridiane rechtwinklig schneiden. Wenn wir z + dz = const, ß + dß = const annehmen, d. h. den unabhängigen Variablen unendlich kleine Zuwüchse geben, erhalten wir auf der Drehfläche einen Punkt F, der sich in unendlich kleiner Entfernung vom P u n k t G befindet. Diese unendlich kleine Entfernung heißt in der Flächentheorie Linienelement. Für das Quadrat des Linienelements in orthogonalen Koordinaten bekommen wir folgenden Ausdruck : ds2 = dsj + ds\. Hierbei sind dsl und ds2 die Längen der Linienelemente, die zum Meridian ß = const bzw. zum Breitenkreis z — const gehören, die durch den Punkt G gehen. Die Zuwüchse der Koordinaten dz und dß wählt man so klein, daß die ihnen entsprechenden Elemente ds1 und ds2 den Differentialen der zugehörigen unabhängigen Variablen proportional werden. Nach Abbildung 1 gilt dann ds1 = Y1 + r'z dz, ds2 — rdß.

(1.2)

Die Gleichung für das Quadrat der Entfernung zwischen den benachbarten Punkten C und F kann jetzt in folgender Form dargestellt werden: ds2 = A2dz2 + B2dß\

(1.3)

Dabei gilt für die Größen A und B

i:!1^-

Î

Hierbei ist r' die Ableitung von r nach z. Der Ausdruck (1.3) für das Quadrat des Linienelements wird in der Flächentheorie die erste Grundform genannt. Die Größen A und B sind die Koeffizienten der ersten Grundform der Fläche. Wir sehen, daß im Fall einer Drehfläche diese Koeffizienten im Koordinatensystem (z, ß) nur von der Variablen z abhängen, da gemäß (1.1) r und / völlig bestimmte Funktionen von z sind. Das bedeutet, daß für alle Punkte eines gegebenen Breitenkreises (z = const) die Grundform (1.3) dieselbe bleibt. Wenn wir in Gl. (1.3) zuerst dß = 0, dann dz = 0 setzen, erhalten wir ds1 = A dz,

ds2 =

Bdß.

I. Flächentheoretische Grundlagen

3

Hieraus folgt die geometrische Bedeutung der Koeffizienten A u n d S . Die Größei? stellt die Bogenlänge längs eines Breitenkreises f ü r dß = 1 dar. Analog k a n n die Größe A als Bogenlänge längs des Meridians für dz = 1 gedeutet werden. 2. F ü r eine beliebige Fläche mit beliebig gewählten orthogonalen Koordinaten sind die Koeffizienten A und B der ersten Grundform ds2 = A*da2 + B2dß2

(1.5)

Größen, die von beiden Variablen z und ß abhängen. Diese Koeffizienten können bei analoger Festlegung der Größe des Differentials einer der beiden unabhängigen Variablen ebenfalls als Längen der Linienelemente EG = ds1 u n d CD = d $2 auf den Koordinatenlinien der Flächen a = const bzw. ß = const aufgefaßt werden (Abb. 2). Die Grundform (1.3) oder in dem allgemeinen Fall (1.5) spielt in der Flächentheorie u n d folglich auch in der Schalentheorie eine überaus wichtige Rolle. Durch diese Gleichungen wird die sogenannte innere Geometrie der Fläche als zweidimensionaler R a u m bestimmt, d. h. als R a u m der Veränderung zweier unabhängiger Variablen, die die Lage des Punktes auf der Fläche bestimmen. Die Grundform (1.5) h a t für die gegebene Fläche in verschiedenen Systemen krummliniger orthogonaler Koordinaten (a, ß) verschiedene Gestalt. Mit anderen Worten, die Koeffizienten A u n d B sind von den Koordinaten (a, ß) abhängig. Eine Fläche, bei der sich die Grundform (1.5) durch entsprechende Wahl der krummlinigen Koordinaten a und ß in eine F o r m überführen läßt, in der die Koeffizienten A und B von den Variablen a und ß unabhängig sind, unterscheidet sich in ihrer inneren Geometrie nicht von der gewöhnlichen Ebene, f ü r die die Grundform (1.5) in kartesischen Koordinaten x und y folgende Form a n n i m m t : ds2 = dx2 + dy2. (1.6) Zu solchen Flächen gehören zylindrische und konische, d. h. sogenannte abwickelbare Flächen, die ähnlich einem zusammengebogenen Blatt Papier auf eine Ebene abgerollt werden können, ohne daß sich die Entfernung zwischen beliebigen auf diesen Flächen angenommenen P u n k t e n ändert. Für eine Fläche mit der Grundform (1.5), die durch entsprechende Wahl der krummlinigen Koordinaten a und ß auf die Form mit den Koeffizienten A = B = const, d. h. auf die F o r m (1.6) gebracht werden kann, ist die sogenannte euklidische Geometrie anwendbar. Wenn man auf einer solchen Fläche (z. B. der zylindrischen) ein Dreieck zeichnet, ist die Winkelsumme dieses Dreiecks, unabhängig von der Länge seiner Seiten, gleich der Winkelsumme des ebenen Dreiecks, d. h. 180°. i*

4

Rotationsschalen

Wenn die Grundform (1.5) für eine Fläche durch keine Wahl der krummlinigen Koordinaten (a, ß) auf die Form mit den Koeffizienten A = B = const gebracht werden kann, unterscheidet sie sich in bezug auf ihre innere Geometrie prinzipiell von der Ebene. Mit anderen Worten, für diese Fläche verliert die übliche Planimetrie ihre Gültigkeit. Flächen dieser Art haben eine nichteuklidische Geometrie. Diese Flächen unterscheiden sich von den Flächen, für die die euklidische Geometrie gilt, dadurch, daß sie bei Beachtung der Bedingung der Undehnbarkeit des Linienelements (d. h. bei der Unveränderlichkeit der Entfernung zwischen zwei beliebigen Punkten) nicht auf die Ebene abgewickelt werden können. Zu den Flächen mit einer inneren nichteuklidischen Geometrie gehören die Flächen der Kugel, des Ellipsoids, des Paraboloids, des Hyperboloids u. a. Für die Kugelfläche lassen sich z. B. keine Koordinaten a und ß angeben, in denen die Koeffizienten A und B der ersten Grundform (1.5) Konstante sind. Kein Teil der Kugelfläche kann auf eine Ebene ohne Deformationen der Linienelemente abgerollt werden. Außerdem wissen wir, daß die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks, z. B. desjenigen, das durch die Abschnitte zweier beliebiger, von einem Pol ausgehender Meridiane und einen Breitenkreis gebildet wird, stets größer als 180° ist. Alles hier Gesagte bezieht sich nicht nur auf die innere Geometrie der Flächen, sondern in der Membrantheorie, der dieses und die folgenden Kapitel gewidmet sind, auch auf die innere Statik der Schalen. Dieser Sachverhalt wie auch die Gestalt der ersten Grundform (1.5) hat in der Schalentheorie prinzipielle Bedeutung und gestattet, wie im folgenden gezeigt wird, die Membrantheorie der Schalen und ihre Anwendung darzulegen. 3. Außer der ersten Grundform spielt in der Flächentheorie und folglich auch in der Schalentheorie die sogenannte zweite Grundform eine große Rolle. Sie charakterisiert die Krümmung der Fläche und folglich ihren geometrischen Zusammenhang mit der dreidimensionalen Schale. Die zweite Grundform hängt mit den sogenannten Hauptkrümmungsradien zusammen. Die von uns für die Drehflächen gewählten Koordinaten z und ß sind nicht nur orthogonale, sondern auch Hauptkoordinaten der jeweiligen Drehfläche. Wenn man im Punkt C (Abb. 2) eine Normale auf der Fläche errichtet und dann die Fläche durch irgendeine Ebene, die diese Normale enthält, eine sogenannte Normalebene, schneidet, bekommt man als Schnittlinie eine ebene Kurve, die sowohl in der gegebenen Fläche, als auch in der Normalebene liegt. Diese ebene Kurve hat in der Umgebung des Punktes C eine bestimmte Krümmung. Die Entfernung des Krümmungsmittelpunktes vom Punkt C, der offensichtlich auch in der Normalebene liegt, ist der Krümmungsradius R der Schnittlinie. Die Größe des Krümmungsradius im gegebenen Punkt G hängt davon ab, wie die Normalebene in bezug auf die Tangente zur Linie a = const oder ß — const liegt. Mit der Veränderung der Richtung dieser Ebene, d. h. mit ihrer Drehung um die Normale im Punkte C, ändert sich der Krümmungsradius der Schnittlinie. Für gewisse Lagen der Ebene hat der Krümmungsradius B Extremwerte, und zwar einen minimalen und einen maximalen Wert. Diejenigen Schnittlinien der Normalebene mit der Fläche, für die die Krümmungsradien B und folglich auch die diesen Radien reziproken Größen, Krümmungen genannt, Extremwerte sind, heißen Hauptkrümmungslinien. Diese Linien sind in jedem Punkt der Fläche orthogonal. Für eine Drehfläche sind die Meridiane und Breiten-

1. Flächentheoretische Grundlagen

5

kreise Hauptkrümmungslinien. I n diesem Sinne sind die von uns gewählten Koordinaten z und ß, wie weiter oben gezeigt wurde, nicht nur orthogonale, sondern auch Hauptkoordinaten. Nennen wir den Winkel zwischen der Flächennormalen und der Drehachse a x (Abb. 1), so erhalten wir für die Krümmung k t der Meridiankurve im Punkt G den Ausdruck ^ 1

dax dsx

dax dz

dz dsx

dax dz

dz y dz2 + dr2

dax dz

1

j/j

r'i'

* ' '

Nach Abbildung 1 gilt ferner sin

cos

dz

dz = Vdz^+dr2

«i = ~I7 dsi «l =

dr -ST dsi

1 Y'l+r'i'

dr

r'

= Ydz2+dr2

Vi

(1.8)

+r'2'

Differenzieren wir die erste dieser Gleichungen nach der unabhängigen Koordinate z, so erhalten wir da-i dz

-t- 5 cos ß,1 =

(!

+

r'r" r-. r>2)'l*

„

(1.9)

K

'

Hier wie auch in allen vorhergehenden Gleichungen sind mit Strichen die Ableitungen der gegebenen Funktion r = r(z) nach der Variablen z bezeichnet: , T

dr ~d~z'

,, r

=

d2 r dz*'

Wenn .wir aus den Gleichungen (1.9) und (1.8) ^

durch Ableitungen der

Funktion r ausdrücken und in die Gleichung (1.7) einsetzen, erhalten wir h1 =

——jt-.

(1 + r'il>

(1.10) '

Für den Krümmungsradius R1 der Linie ß = const (des Meridians) in irgendeinem Punkt G der Fläche erhalten wir auf diese Weise die aus der Theorie der ebenen Kurven bekannte Gleichung ( i n )

Der .andere Hauptkrümmungsradius R2 der Drehfläche ist der Abschnitt der Normalen vom Punkt C bis zur Drehachse. Man erhält R, i = -J— (1 +I r'zyi*. sin a x = r V /

\( 1 . 1 2I)

Für die Krümmung der Fläche auf der Linie z = const (dem Breitenkreis) gilt daher i i k2 =

E2

=

r

(i

+

rr.

r'2fU

(1.13) '

I n Abbildung 1 sind die Mittelpunkte der Hauptkrümmungskreise durch K x für die Linie ß = const (Meridian) und K2 für die Linie z = const (Breitenkreis) bezeichnet.

6

Rotationsschalen

Aus den Gleichungen (1.4), (1.10), (1.13) erhält man durch Eliminieren der Größen r, r' und r" die Gleichungen (1.14) die die Koeffizienten A und B der ersten Grundform der Drehfläche und die Hauptkrümmungen und k2 miteinander in DifFerentialform verbinden. Für eine beliebige Fläche gelten an Stelle von (1.14) folgende allgemeine Gleichungen: ^ n dB\ _d_ /J_ dA\ _ Ä?2 5 | da ^ J^j + d~ß ~dß) (1.15)

faM

=ki dß (klÄ^ ~dßDabei sind k± und fc2 die H a u p t k r ü m m u n g e n der Fläche, A und B die Koeffizienten der ersten Grundform, a und ß die krummlinigen Koordinaten der Fläche, die den Hauptkrümmungslinien entsprechen (Abb. 2). I n der Flächentheorie nennt man die Gleichungen (1.15) Gleichung von CODAZZI-GAUSS (die erste dieser Gleichungen geht auf GAUSS, die beiden letzten auf CODAZZI zurück). Die geometrische Bedeutung der Gleichungen (1.15) besteht darin, d a ß die

Größen A, B,

Abb. 3

kx = -p

J ' 1

und

k2 =

'Lo

als Funktionen der Flächenkoördinaten a und ß nicht willkürlich vorgegeben werden können. F ü r jede Fläche sind die H a u p t k r ü m m u n g e n kx und k2 mit den Koeffizienten A und B der ersten Grundform durch die drei Differentialgleichungen (1.15) verbunden. Die Größe * =

d-1«)

heißt das GAUSSsche Krümmungsmaß. Durch dieses Krümmungsmaß, das im allgemeinen Fall eine Funktion der Koordinaten (a, ß) ist, wird im wesentlichen die innere zweidimensionale Geometrie der Fläche (ihre Planimetrie) bestimmt. Wenn das GAUSSsche Krümmungsmaß gleich Null ist, wie z. B. im Fall der zylindrischen oder im allgemeineren Fall der abwickelbaren Flächen, gilt f ü r einen der beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche (und zwar f ü r den, der sich auf die gradlinige Erzeugende bezieht) R = oo; die innere Geometrie der Fläche stimmt dann mit der euklidischen Geometrie der gewöhnlichen Ebene überein 1 ). Bei einem von Null verschiedenen GAUSSschen K r ü m m u n g s m a ß x ) Bei konstanten Koeffizienten A und B erhalten wir aus den ersten Gleichungen (1.14) und (1.15) ¿ j & j = 0; das bestätigt den Hinweis, daß in diesem Fall die Fläche hinsichtlich ihrer inneren Geometrie mit einer Ebene identisch ist.

1. Gleichgewichtsbedingungen

z. B. im Fall einer Kugel mit

= R2 = R

0 und K = ~

7 =p ()j besitzt

die Fläche als zweidimensionaler R a u m bereits eine nichteuklidische innere Geometrie. 4. Wir stellen jetzt die in der Membrantheorie gültigen Gleichgewichtsbedingungen einer Schale auf, die eine beliebige vorgegebene Fläche als Mittelfläche besitzt. Nx und S1 seien die Normal- und Schubkräfte der Schale, die im Normalschnitt durch den P u n k t C mit der Koordinatenlinie a — const, und N2 u n d S2 die Normal- und Schubkräfte, die in dem dazu senkrechten Normalschnitt mit der Koordinatenlinie ß = const wirken. J e d e dieser K r ä f t e sei auf die Längeneinheit der Schnittlinie des entsprechenden Schnittes mit der Schalen mittelfläche bezogen. Wir nennen die K r ä f t e positiv, wenn sie bei positiven

Abb. 4

äußeren Normalen der jeweiligen Schnittfläche (d. h. bei Normalen, die nach der Seite anwachsender Koordinaten et und ß hin gerichtet sind) in Richtung der positiven Tangenten an die Linien a = const und ß = const wirken. Die positiven Richtungen dieser K r ä f t e sind aus Abbildung 3 ersichtlich. Als Koordinatenlinien ä und ß der Schale benutzen wir die Hauptkrümmungslinien der Schalenmittelfläche. I m Fall der Rotationsschale sind das, wie oben bemerkt wurde, die Breitenkreise z = const u n d die Meridiane ß = const. CDEF sei ein Element der Schalenmittelfläche (Abb. 4). Dieses Element h a t die Form eines orthogonalen krummlinigen Vierecks mit den Seiten EC = Ada,

FD = (ä + ^

CD = Bdß,

) ! n EF = ( ß + | | da) dß.

dß) da, (1.17)

Aus den ersten beiden Gleichungen von (1.17) ergeben sich die Seitenlängen EC und CD des Vierecks ECDF, die durch den P u n k t C gehen. Die beiden

8

Rotationsschalen

anderen Gleichungen geben die Längen der beiden anderen Seiten FD und EF an, die auf den Linien a = const, ß = const im Abstand Bdß bzw. Ada vom Punkt C verlaufen. Weiterhin sind dq)1 und dip2 Winkel, die den krummlinigen Seiten Ada und Bdß des Vierecks entsprechen und in zwei zueinander senkrechten, durch den Punkt C gehenden Hauptnormalebenen liegen. Außerdem bezeichnen wir mit dipi und dip2 die Winkel in der Tangentialebene, die durch die benachbarten Tangenten an die durch C, E und D gehenden Kurvenstücke gebildet werden. Für diese Winkel erhalten wir aus der Abbildung 4 folgende Gleichungen: , Ada d(p2 —

,

Bdß *Ä2 '

A

1

9 A

A

1

9

B

(1.18) A AR

Wenn wir das Viereck ECDF als Element der Schale betrachten, müssen wir die Wirkung der umgebenden Schale auf das abgetrennte Element durch Normalund Schubkräfte ersetzen. Diese Kräfte bilden für das Element ECDF eine äußere Randbelastung, die mit der äußeren Flächenbelastung im Gleichgewicht stehen muß. Beachtet man, daß im allgemeinen Fall des Membranspannungszustandes der Schale, die eine beliebige gegebene Fläche als Mittelfläche besitzt, die Schnittkräfte N±, Sv N2 und S2 — ebenso wie die Koeffizienten A und B der ersten Grundform — Funktionen der Koordinaten a und ß sind, so haben die Kräfte, die die Wirkung der Schale auf das abgetrennte Element ersetzen, die in folgender Tabelle angegebenen Größen: Seite des viereckigen Elements

Normalkräfte

CD EF

N^dß NXB+ ~

EC DF

Schubkräfte

S1Bdß

(N.B) dajdß

[^B + A

N2A da N2A+JL

(N2A)dß\da

(S.B) da} dß S2A da

\s,A + ~

(1.19)

(S2A) dß da.

Die positiven Richtungen aller Kräfte, die von der Schale auf das abgetrennte Element wirken, sind in Abbildung 5 angegeben. Die Gleichgewichtsbedingungen der Schale beziehen wir auf die Koordinatenachsen eines beweglichen orthogonalen Dreibeins C£r)£ (Abb. 6). Die Achsen (Cj und Cv) dieses Dreibeins liegen tangential zu den Koordinatenlinien ß = const bzw. a = const in Richtung anwachsender Variablen a und ß.

9

1. Gleichgewichtsbedingungen

Die Achse Cf ist normal zur Fläche gerichtet, und zwar so, daß die Achsen Of, Cv, C j ein Rechtssystem bilden. Die Größen P | , Pn, P ; sind die Komponenten des Vektors der gegebenen äußeren Flächenbelastung. Die Gleichgewichtsbedingungen des abgetrennten Elements der Schale haben folgende F o r m : ^

(NXB) da dß + ^

(£¡¡4) da dß - N2A dadys + S d ß d f i + P(AB

(N2A) da dt3 + ^

+

da dß = 0,

(SiB) da dß - NtB dßdy>x + + S2A da dy2 + P„AB da dß = 0,

- NXB dßd2 + PCAB da dß = 0, S^AB da dß - S2AB da dß = 0. Die beiden ersten Gleichungen sind die Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte in Richtung der Achsen C( bzw. Cn. I n diesen Gleichungen stellen die Glieder mit den Winkeldifferentialen dy)lt df 2 die Projektionen der Normal und Schubkräfte auf die erwähnten Achsen dar, also jener Kräfte, die an den gegenüberliegenden Seiten des Vierecks angreifen und sich unter spitzen Winkeln schneiden, und zwar den Winkeln zwischen den Tangenten der Koordinatenlinien durch die Punkte E, G und C, D (Abb. 4 und 5). Die dritte Gleichung drückt das Gleichgewicht aller Kräftekomponenten in Richtung der äußeren Normalen G( der Schale aus. I n diese Gleichung gehen nur die Normalkräfte NxBdß und N2Adß ein. Die Komponente jeder dieser Kräfte in Richtung der Normalen zur Fläche erhält man mittels Multiplikation der jeweiligen K r a f t mit dem entsprechenden Winkel zwischen der Flächennormalen in den drei benachAbb. 6 barten Punkten E, G und D. Die vierte Gleichung wurde aus der Gleichgewichtsbedingung für die Momente aller am Element um die Achse G( drehenden Kräfte gewonnen. Die übrigen beiden Gleichgewichtsbedingungen (Verschwinden der Summe der Momente um die Tangentialachsen C( und C J sind in der Membrantheorie identisch erfüllt.

10

Rotationsschalen

Wenn wir aus den Gleichungen (1.20) mit Hilfe der Gleichungen (1.18) die Winkel dcp1( d - '/.

+

Somit kann in der Membrantheorie das System der drei Gleichungen (2.3) für eine beliebige Rotationsschale im Fall des Fehlens der äußeren Kräfte P | , Pn und Pf auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion

-®»>

(w = 1, 2, 3, . . .) neue beliebige Konstanten; £ ist die Koordinate eines beliebigen Breitenkreises z = C = const. Setzen wir in (3.16) z= f ein, so erhalten wir die Ausdrücke für die inneren Kräfte N1 und S auf dem Breitenkreis z = £ = const: (f, 0) = S (C, ß) =

+ Z

[»

+ Ä.) eosnß^n

~ I [{VnAtt + 71= 1

(On + D„) sin » f l ,

sin nß +

(3.17)

+ iVnC„ + q„D„) cos »/?]. Wenn wir jetzt die rechten Seiten der Gleichungen (3.17) und (3.14) miteinander vergleichen, erhalten wir wegen der linearen Unabhängigkeit von sin(nß) und cos (nß) für die Koeffizienten A0, B0, An, Bn, C„ und Da die Gleichungen Ä0 = N0 (£), nA„ + nB„ = Nne, PnA„ + qnBn = — Sn„ £ 0 = S 0 (£), nCn + nD„ =

-N„t,

PnCn + qnDn = ~ Snc. 2

Wlassow, Schalentheorie

(3.18)

18

Rotationsschalen

Hieraus erhält man Ä„

=

Bn

=

G

°

n(Pn - ?n)

[qnNne(0

1

MVn -

»(Po - ?n)

+ nsns

nc (0

in)

1

+nSn,(t)];

[qnNnAO

2n)

[pnNn.

-

(Oy,

(3.19)

nSac(0];

(0 -

nSnc

(£)].

Mit diesen Ausdrücken für die Koeffizienten A0, B0, A„, B„, Gn und D„ nehmen die Gleichungen (3.16) folgende Form an:

+

k

^

Ii" ^

+

^

( j T '

1

+

+ (VnNne (0 + nSM (f)) ( f ) i n _ 1 ] cos nß - [ f e i ^ , (£) -

n S M (0) ( f ) ' " "

-*Sm(Q)

-

1

(PnNna

(C)

-

(3.20)

( I - ) " - 1 ] sin w ß j j ;

* = So ( 0 { j ) ' 2 " - 1

T t e ^ j S { [ - » ( f c * . (0

+

+ n8„, (£)) ( j ) + qn (PnNnc (f) + nSM ( 0 ) ( f ) ' " " 1 ] sin nß +

+

Vn (qnNne (C) -

-»$*(?)) ( f f "

nSnc 1

(f))

ffi

* -

(0

-

] cos W / 3}.

Die Formeln (3.20) unterscheiden sich von den Formeln (3.13) dadurch, daß die Rolle der beliebigen Koeffizienten A0, B0, A„, Bn, C„ und Dn(n — 1, 2, 3,.'. .) von den Größen N0, S0, Nns, N„c, Sns, S„c(n = 1, 2, 3, . . .) übernommen wird, was einen bestimmten physikalischen Sinn hat. Diese Größen stellen nämlich gemäß (3.14) und (3.15) die FouRiER-Koeffizienten der Normal- und Schubkräfte und S für einen beliebig zu wählenden Breitenkreis z = £ = const dar. Die Gleichungen (3.20) zeigen zusammen mit den Gleichungen (3.14) und (3.15), daß es bei Fehlen von Flächenbelastung zur Bestimmung der inneren Kräfte der Schale in einem beliebigen Punkte für pn — q„ =(= 0 {n ist eine beliebige ganze Zahl) genügt, die Normal- und Schubkräfte und S auf irgendeinem Breitenkreis z = £ = const zu kennen. Mit anderen Worten, wenn für

4. Parabolische im Pol belastete Schalen

19

irgendeinen Breitenkreis der Schale z = £ = const die Normal- und Schubkräfte Nt und S als Punktionen der Winkelkoordinate ß gegeben sind, so sind damit bei Abwesenheit äußerer Kräfte und für p„ — q„ =(= 0(w = 1, 2, . . .) die inneren Kräfte der Schale in jedem beliebigen Punkte bestimmt. Die Gleichungen (3.20) haben allgemeinen Charakter und eignen sich durch ihre willkürlichen Parameter X und ¡i (3.1) für eine ganze Reihe von Rotationsschalen.

4. Parabolische Schalen unter der Wirkung konzentrierter, im Pol angreifender Kräfte und Momente 1. Wir betrachten eine aus einem Rotationsparaboloid gebildete Schale, dessen Gleichung wie bisher in der Form r = gegeben ist. Wir nehmen an, daß sich diese Schale unter der Einwirkung der Kräfte Px, Py und Pz und der Momente Mx, My und Mt befindet, die im Scheitelpunkt der Schale (z = 0) angreifen. Die Kräfte Px, Py und Pz sind positiv, wenn sie in Richtung der x-, y- und 2-Achsen des festen Koordinatensystems (Abb. 7) wirken. Die Momente Mx, My und Mz sind positiv, wenn die Richtung der Vektoren dieser Momente mit der Richtung der Koordinatenachsen zusammenfällt. Positive Momente drehen in Richtung des Uhrzeigers, wenn man vom Koordinatenursprung längs der betreffenden Achse blickt. Die Gleichgewichtsbedingungen für den Teil der Schale, der oberhalb der horizontalen Ebene z = const liegt, haben folgende Form: 2 Jt 1 Ntr cos = - i ^ b * . ~

71 Az^ [

^

(

1

~

P

+ v

p

~

^

c

o

* +

s

ß

T (4.6")

~

00

-

2

n = 2

[(AnP»**"- 1 + Bnqnz*"-i)

sin nß

+

+ {C n V n z v "- x + D ^ z ? » - 1 ) cos nß] ergibt. Diese Gleichungen unterscheiden sich von den Gleichungen (3.13) dadurch, daß in ihnen die ersten drei Glieder der Entwicklungen (3.13) durch die im Pol angreifende konzentrierte Belastung (Kraft und Moment) ausgedrückt sind. Durch die in den Gleichungen (4.6) unter den Summenzeichen stehenden Glieder werden die inneren Kräfte ausgedrückt, die man durch eine Gleichgewichtsgruppe an einem Breitenkreis hervorrufen kann. Eine solche Belastung kann man als äußere Bimomente verschiedener Ordnung bezeichnen. Wir haben z. B. bei n = 2 Bimomente zweiter Ordnung. Eins dieser Bimomente kann eine vertikale Belastung darstellen, die in der Umgebung des Pols längs eines Breitenkreises mit behebig kleinem Radius nach dem Gesetz sin (2ß) oder eos (2ß) verteilt ist. Das zweite Bimoment zweiter Ordnung stellt die verallgemeinerte Kraft für die Belastung dar, die in der horizontalen Ebene wirkt und gleichfalls auf einem Breitenkreis von kleinem Radius nach dem Gesetz sin (2ß) oder cos (2/3) verteilt ist. Bei n = 3, 4, 5, . . . handelt es sich um vertikale und horizontale Bimomente höherer Ordnung (dritter, vierter usw.). Alle diese Bimomente können, wie in unseren Arbeiten über die dünnwandigen Stäbe und Schalen gezeigt wird, als verallgemeinerte Kräfte auf Grund des Prinzips von L A G R A N G E berechnet werden — eine jede aus der Arbeit der gegebenen Kräfte längs der entsprechenden virtuellen Verschiebung. Dieselbe Idee liegt im wesentlichen auch dem Begriff vom Moment zugrunde. Das statische Moment kann auch als Arbeit der gegebenen Kräfte an den möglichen Winkeldrehungen des als starr aufgefaßten Körpers gedeutet werden.

2. Wenn wir annehmen, daß die äußere im Scheitelpunkt der Schale angreifende Belastung nur aus konzentrierten Kräften und Momenten besteht, d. h., daß sowohl die vertikalen als auch die horizontalen Bimomente aller Ordnungen gleich Null sind, müssen wir in den Gleichungen (4.6) alle Koeffizienten A„, B„, Cn und Dn (n = 2, 3, 4, . . .) gleich Null setzen. Die inneren Kräfte der Schale werden in diesem Fall aus den Gleichungen

(4.7)

j+t; K1 - P) P»z

bestimmt.

-

cos

ß

22

Rotationsschalen

Diese Gleichungen haben allgemeinen Charakter, so daß man für eine beliebige parabolische Schale die Spannungen aus den Kräften Px, Py und Pz und den Momenten Mx, My und Mz, die am Pol angreifen, berechnen kann. Die ersten Glieder der Gleichung (4.7) stellen die inneren Kräfte der Schale dar, die durch eine achsensymmetrische Belastung, d. h. durch eine vertikale K r a f t Pz (axialer Zug oder Druck) bzw. durch ein Drehmoment M z (Torsion um die Drehachse) hervorgerufen werden. Die übrigen Glieder stellen die inneren Kräfte dar, die durch eine Biegebelastung infolge der Kräfte Px und Py und der Biegemomente Mx und My im Pol 2 = 0 hervorgerufen werden. Wir bemerken, daß die erste der Gleichungen (4.7) mit der bekannten Gleichung der Festigkeitslehre für Normalspannungen in einem Träger, der einer Zug-, Druck- oder Biegebeanspruchung unterworfen wird, übereinstimmt. Die Normalkräfte Nx im Schnitt z = const sind linear verteilt. Die Gleichung für die Schubkräfte unterscheidet sich jedoch wesentlich von der entsprechenden Gleichung für die Schubspannungen eines Trägers. Denn die Schubkräfte der Schale rühren nicht nur von den Querbelastungen Px und Py, sondern auch von den Biegemomenten Mx und My her. Beide Gleichungen (4.7) stimmen nur im Spezialfall der zylindrischen Schale mit den analogen Gleichungen der Biegetheorie der Träger überein. Wenn wir für eine solche Schale ¡i = 0, A = B (R ist der Radius des Querschnittkreises) setzen, erhalten wir ^

= - "Sä

- snn

cos

-

ß ~ in?

(4.8)

Für [i = 1 bekommen wir den Fall der konischen Schale. Die Gleichungen (4.7) nehmen folgende Form a n : ^

= - 2k Ä

p

> - i

eos

-

ß

sin

(p>2 +

M

M

>)

(4.9)

cos

= - ^ + ß + ÜJP < ßWie wir sehen, rufen in diesem Fall die Momente Mx, My und Mz Schubkräfte hervor. Die an der Spitze einer konischen Schale angreifenden Kräfte Px, Py und Pz rufen dagegen keine Schubkräfte hervor. Wenn man in den Gleichungen (4.7)

= 4-> 4". 4-i • • • setzt, erhält man eine u o 4 Reihe von Einzelfällen, die sich auf Rotationsparaboloide verschiedener Ordnung beziehen.

5. Grundlagen der Membrantheorie. Kriterium zur Bestimmung ihres Anwendungsbereiches 1. Wir betrachten nun die allgemeine Lösung, die durch die Gleichungen (3.20) gegeben ist. Diese Lösung gilt für Rotationsschalen mit der Meridiangleichung r = Xzf.

(5.1)

5. Anwendungsbereich der Membrantheorie

23

V Geben wir in dieser Gleichung den Parametern 2, und ¡i verschiedene Werte, so erhalten wir eine Schar verschiedener Rotationsschalen. Die Gleichungen (3.20) sind daher die allgemeine Lösung der statischen Aufgabe für unendlich viele Rotationssch'alen, da die Parameter X und ¡1 in diesen Gleichungen und den Gleichungen (3.10) beliebige Werte annehmen können. Diese Lösung gilt aber nur für Schalen mit positivem Gaußschen Krümmungsmaß. Von der Gleichung des Meridians (5.1) ausgehend, erhalten wir unter Benutzung der Gleichungen (1.11) und (1.12) für die Hauptkrümmungsradien der hier betrachteten Schalen B1

-

=

Xfi(ft-1

B 2 = AZ"* [1 +

)z"-2

(5.2)

'

AVZ2("~1>],/'-

Die erste der Gleichungen enthält den Hauptkrümmungsradius der Meridianlinie; die zweite den des Breitenkreises. Das Gaußsche Krümmungsmaß der Fläche wird aus der Gleichung V —

1

XiB,

—

-ft(fl-l) *•[! + ¿ V * 2 ' " - 1 ' ] 2

^

'

bestimmt. Das Vorzeichen dieser Krümmung hängt vom Parameter ¡i ab. Für 0 < ju < 1 ist das Gaußsche Krümmungsmaß überall positiv, bei fj, > 1 und bei negativem [i hingegen überall negativ. In Übereinstimmung damit unterscheiden wir zwei Klassen von Schalen: die Schalen mit positivem und die Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß. Für Schalen dieses Typs (mit Gleichung (5.1) für den Meridian) gilt also * > 0 ,

0 1 um die z-Achse entsteht. Für fi > 1 sind das Flächen, die durch Drehung von Parabeln verschiedener Ordnung um eine Achse entstehen, die zu ihrer Mittellinie senkrecht steht (bei geraden fi-Werten). Für den Fall H = 2 ist die entsprechende Fläche in Abbildung 9 a dargestellt. Für ^ < 0 erhalten wir Rotationshyperboloide. In Abbildung 9b ist eine Fläche dargestellt, die durch Drehung um die (vertikale) z-Achse der Hyperbel r = — entsteht, für die also fi — — 1 ist (A ist eine beliebige festzusetzende Größe, die in diesem Fall die Dimension einer Fläche hat). In Abbildung 9c ist eine Fläche dargestellt, von der ein Teil die Form einer Düse hat und die durch Rotation der

26

Rotationssohai en

ungleichseitigen Hyperbel r = — entsteht (¡x = —1/2, A ist jetzt eine beliebige Vz Größe mit der Dimension (Länge)'/»). Alle genannten und ähnlichen Schalen dieser Klasse sind dadurch charakterisiert, daß das Gaußsche Rrümmungsmaß, wie aus Gleichung (5.3) hervorgeht, in jedem Punkt der Schale negativ ist. Wir betrachten jetzt eine Schale mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß unter der Einwirkung äußerer Normal- und Schubkräfte Nx = Nx (ß) und S = S(ß), die als Funktion der Winkelkoordinate ß auf dem äußersten Breitenkreis z = der die Schale von oben begrenzt, gegeben ist. Nach unten kann sich diese Schale bis ins Unendliche erstrecken. Da Anfangswerte vorgegeben sind, haben wir also ein CAUCHYsches Problem. Wir wollen nun zeigen, daß die gegebene Grunddifferentialgleichung (3.3) der Membrantheorie für solche Schalen nicht immer eine eindeutige Lösung besitzt. In der Tat kann die Größe a)

b)

c)

pn — q„, die im Nenner des w-ten Gliedes der FOURIER-Reihen .(3.20) steht, für ¡ji < 0 und /j, < 1 gleich Null sein. Dies ist der Fall, wenn die Größen fi und n durch die Gleichung (1 - 2 n f + 4fi (1 - n) w2 = 0 (5.8) verbunden sind, in der [i einen beliebigen negativen Wert oder einen beliebigen positiven Wert (größer als eins) annehmen kann. Die Größe n, die aus Gleichung (5.8) nach der Gleichung n -

1

- ' » ^ - ! —

(5.9)

bestimmt wird, ist für ¡j, < 0 oder fx > 1 stets positiv. Bisher nahmen wir an, daß n einen beliebigen Wert aus der Reihe der natürlichen Zahlen (n— 1 , 2 , 3 , . . . ) annehmen kann. Das ging aus der Bedingung der Periodizität der Lösung der statischen Aufgabe für die geschlossene Drehschale hervor. Wir betrachten nun eine Schale, die nur einen Teil der Drehfläche, der von den Meridianen ß = 0 und ß = ß± < 2n eingeschlossen wird, einnimmt, d. h. eine offene Schale, die von drei Rändern begrenzt ist: z = ß = 0, ß = ßx < 2n und sich in Richtung der z-Achse bis ins Unendliche erstreckt. Wenden wir bei der Berechnung solcher Schalen ebenfalls die Methode der FOURIER-Reihen an, so müssen wir in den allgemeinen Gleichungen (3.20) und daher auch in den Gleichungen (3.10) n =

(5.10)

5. Anwendungsbereich der Membrantheorie

27

annehmen, wobei jetzt m die Nummer des Entwicklungsgliedes darstellt und einen beliebigen ganzzahligen Wert annehmen kann (ra = 1, 2, 3, . . .) und ß1 der Öffnungswinkel der offenen Schale ist. Setzen wir (5.10) in (5.8) ein, so erhalten W

(1 - 2 ^ + 16/t (1 - p) ~

ri

m 2 = 0.

(5.11)

Aus dieser Gleichung folgt, daß man ß x immer so wählen kann, daß die Größe

für einen beliebig vorgegebenen Wert des Parameters fx der Schalenfläche ( f i ' < 0 oder (j, > 1) und für ganzzahliges m gleich Null ist. Wenn wir jetzt in den allgemeinen Gleichungen (3.20) und entsprechend (3.14) und (3.15) m = 1, 2, 3 annehmen und voraussetzen, daß durch diese Gleichungen die Schnittkräfte der Schale für den Fall der oben erwähnten Randaufgabe bestimmt werden, sehen wir, daß in der unendlichen Zahl der Glieder der FOURIER-Reihen (3.20) auch solche sein können, für die die Größe pm — qm = 0 ist. Das bedeutet, daß für Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß die nach der Membrantheorie errechneten Schnittkräfte schon bei endlichen Werten der äußeren Belastung unendlich groß werden können. Wenn wir die Methode der Nullbelastung anwenden, so erhalten wir das Resultat, daß für 1) vom hyperbolischen Typ ist. Eine Gleichung dieses Typs kommt z. B. in der Schwingungstheorie von Saiten, Membranen, Balken, Scheiben usw. wie auch in der Stabilitätstheorie biegsamer Systeme (Scheiben, Schalen) vor. Die Tatsache, daß die Gleichungen der Membrantheorie für Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß immer von hyperbolischem Typ sind und folglich die Schnittkräfte solcher Schalen bei Fehlen äußerer Belastungen (auf der Oberfläche oder an den Rändern) unbestimmte Werte annehmen können, zeigt auch, daß solche Schalen ihrer geometrischen Struktur nach dünnwandige, im unendlich Kleinen veränderliche Raumsysteme sind. Diese durchaus wichtige Tatsache wird hier durch eine rein statische Methode bewiesen. Man muß sie in dem Sinne verstehen, daß an Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß bei völliger Befestigung ihrer Ränder und Undehnbarkeit ihrer Mittelfläche unendlich kleine Verbiegungen, die durch unendlich kleine Vesrchiebungen ihrer Punkte aus der Mittelfläche heraus entstehen, möglich sind. Diese Veränderlichkeit der Schalen ist der in der Theorie der Fachwerke auftretenden analog. Der Unterschied besteht nur darin, daß der Grad der Veränderlichkeit der ein zweidimensionales Kontinuum darstellenden Schale unendlich ist. I m Fall eines Fachwerks, das aus einer endlichen Zahl starrer Elemente besteht (z. B. einer Reihe von Stäben, die längs einer Geraden geordnet und miteinander durch Gelenke verbunden sind), ist jedoch der Grad der Veränderlichkeit eine endliche Zahl. Somit ist die Grundgleichung (3.3) in Abhängigkeit von dem Wert des Parameters ¡jl in der Gleichung (3.1) der Erzeugenden der Drehfläche (ihres Meridians) entweder vom elliptischen oder hyperbolischen Typ. Für 0 < ¡x < 1 ist Gleichung (3.3) vom elliptischen Typ. I n diesem Fall ist das Gaußsche Krümmungsmaß der Schale überall positiv. F ü r

28

Rotationsschalen

diese Schalen ist die Membrantheorie bei geeigneten Randbedingungen in vollem Umfange anwendbar. In der Theorie der Fach werke entsprechen den Schalen mit positivem Gaußschen Krümmungsmaß die Fachwerke mit unbeweglichen Knoten. Als Berechnungsmodell für solche Fach werke dienen im Falle der Übertragung einer Knotenbelastung durch Träger oder Binder bekanntlich gelenkig verbundene Stäbe, die ihrem Wesen nach gleichfalls Membransysteme sind. Als Beispiele solcher Systeme können beliebige ebene oder räumliche Fachwerke (z. B. die Schwedlerkuppel) dienen, die bei Knotenpunktbelastungen als gelenkig verbundene Stäbe betrachtet werden können. Biegeoder Torsionsmomente haben in Schalen mit positivem Gaußschen Krümmungsmaß wie auch in Fachwerken (ebenen wie räumlichen) mit unbeweglichen Knoten (ohne Berücksichtigung der Stab Verlängerungen) lokalen Charakter. Die Längskräfte können nach der Membrantheorie bestimmt werden. Für fi < 0 oder ¡x > 1 ist Gleichung (3.3) vom hyperbolischen Typ. Für Schalen dieser Art ist das Gaußsche Krümmungsmaß negativ. Diese Schalen haben zum Unterschied von den Schalen elliptischen Typs eine unendlich kleine Verschieblichkeit, die durch die Möglichkeit des Auftretens unendlich kleiner Verschiebungen infolge der Verbiegung der undehnbaren Mittelfläche gekennzeichnet ist. Solchen Schalen entsprechen in der Theorie der Fachwerke verschiebliche Stabsysteme, für die die Methode der Nullbelastung zu einer unbestimmten Lösung führt. (Statisches Kriterium der Verschieblichkeit, entwickelt in den Arbeiten von Prof. R ä B I N O W I T S C H . ) Die Membrantheorie kann auf Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß nicht immer angewendet werden. Infolge der für solche Schalen möglichen Verschieblichkeit können die in der Membrantheorie vernachlässigten Schnittmomente der Schale, die mit den Biegedeformationen zusammenhängen, das Bild des Membranspannungszustandes wesentlich ändern. Diese Biege- wie auch Torsionsmomente haben in der Regel keinen örtlichen Charakter. Die Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß müssen bei Berechnung nach der Membrantheorie in jedem einzelnen Fall besonders untersucht werden. Die Gleichungen (4.7) können bei Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß nur unter der Bedingung angewendet werden, daß auf den Querrändern z = Ci und z = f 2 nur solche Normal- und Schubkräfte angreifen, die von den Kräften Px, Py und Pz und den Momenten Mx, My und Mz herrühren, d. h. von Kräften, die auf den äußersten. Breitenkreisen entweder gleichmäßig oder nach dem Gesetz sin ß oder cos ß verteilt sind. Wenn die äußere Randbelastung außer den Kräften Px, Py und Pz und den Momenten Mx, Mv und Mz auch Bimomente verschiedener Ordnung enthält (was z. B. bei einer Verteilung der gegebenen äußeren Normal- oder Schubkräfte nach dem Gesetz cos kß der Fall ist), so ist die Membrantheorie richtig, wenn die Größe pn — q„ für n = k von Null verschieden ist. 6. Rotationssdialen unter der Einwirkung einer beliebig gegebenen Oberflädienbelastung. Allgemeine Integration der statischen Gleichungen. Die Methode der Anfangsbedingungen 1. Wenn die Rotationsschale der Einwirkung von Oberflächenbelastungen ausgesetzt ist, die in den Richtungen des beweglichen Dreibeins durch die Kom-

6. Allgemeine Integration der statischen Gleichungen

29

pönenten P(, Pv und P( gegeben sind, so werden die Gleichgewichtsbedingungen einer solchen Schale durch die Gleichung (2.3) ausgedrückt. Diese Gleichungen erhalten nach Elimination der Normalkräfte N2 folgende Form: dz

+ r (1 + r'2)1/* P$ + rr' (1 + r'2)'/> P f = 0, (6.1) (1 +

2\'/i r'*)

dPr +

f (1 +

Pr, -

r (1 +

r'2)

= 0.

Wir nehmen an, daß die äußere Belastung, die auf die Schale einwirkt, an dem Teil der Fläche angreift, der zwischen den beiden benachbarten Breitenkreisen z = £ = const und z = £ + e = const liegt und bei kleinem e einen schmalen ringförmigen Streifen darstellt. Unsere nächste Aufgabe besteht in der Aufstellung einer Partikularlösung der Gleichung (6.1), die der betrachteten ringförmigen Belastung entspricht. Da nach Voraussetzung die äußere Belastung in den Bereichen der Schale, die außerhalb des belasteten Streifens liegen, fehlt, können wir für alle Punkte der Schale über dem Breitenkreis z = £ als Partikularlösung Nx == N2 = S = 0 annehmen. Wir können so handeln, weil in unseren Betrachtungen die Randbedingungen bis jetzt noch beliebig sind. Infolge dieser Voraussetzung können in den auf den belasteten ringförmigen Streifen bezogenen Gleichgewichtsbedingungen (6.1) alle Glieder, die die gesuchten Funktionen und ihre partiellen Ableitungen nach ß erhalten, gleich Null gesetzt werden. Die Gleichgewichtsbedingungen der Schale nehmen dann für den unendlich schmalenringförmigen Streifen folgendeForm a n : dN ± =

(1 +

r'zyu

p(dz

-

P„dz

+

(1 +r'*yi>

dS

/

(1 +

r'2)1/*

Pcdz,

(6.2)

(1

Berücksichtigen wir, daß die Größe (1 + r'2)1'2 dz die Länge dsx des Linienelements des Meridians bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen z um das Differential dz ist, so können wir den Gleichungen (6.2) auch folgende Form , ,T „ , ,„ , dNx

dS

=

-

=

P(ds1

-

r P;

P„dSl

+

(1 +

dsv

r'*yi>fß

(6.3) (PcdSl)

30

Rotationsschalen

geben. Wir setzen jetzt voraus, daß jede der Größen dslt Pnds1 und P { dsv die in den rechten Seiten der Gleichung (6.3) enthalten sind, für ds1 —> 0 einen endlichen Wert annimmt, der gleich der Intensität der entsprechenden Belastung ist, d. h. einer Belastung, die sich nicht mehr auf das Flächenelement, sondern auf das Längenelement des Breitenkreises z = £ bezieht. Wenn wir die Komponenten dieser Belastung mit U, V und W bezeichnen [in Richtung der Meridiantangente, der Breitenkreistangente und der inneren Normalen (Abb. 10)], so örgeben sich für die Normal- und Schubkräfte im Breitenkreisschnitt z = £ in den Punkten, die an den Breitenkreis von unten her angrenzen (z = £ + e, mit e — 0 ) , folgende Ausdrücke: ANX = - U -

r'W,

(6.4)

Das Zeichen A bedeutet hier, daß die Normal- und Schubkräfte der gesuchten Partikularlösung für den Fall einer Belastung, die auf dem Breitenkreis z = £x angreift, beim Überschreiten dieses Breitenkreises endliche Zuwüchse bekommen. In den Punkten z = £ — e (e beliebig klein), die an den belasteten Breitenkreis von oben angrenzen, sind die Schnittkräfte der Schale in der Partikularlösung, die wir hier betrachten, gleich Null. In den Punkten des Breitenkreises z = £ + £> der an den belasteten Breitenkreis von unten angrenzt, erhalten die Normal- und Schubkräfte N t und 8 endliche Werte, die für die gegebenen Belastungskomponenten U = U(ß), V = V(ß) und W = W(ß) bestimmte Funktionen des Winkels ß sind. In den Gleichungen (6.4) dr müssen wir die Ableitung / = an der Stelle z = C einsetzen. Beachten wir, daß für die hier betrachtete Klasse der Schalen die Gleichung des Meridians die Form , r = az^ hat, so gilt ANt = - U -

¿fit"-1

W,

AS = - V + l/l + Pju2:*'"-»

dW d ß .

.

(6-5)

2. Wir wollen nun die auf dem Breitenkreis z = £ angreifende Belastung, die als Funktion des Meridianwinkels ß gegeben ist, durch die neuen Komponenten Z = Z(ß), R — B(ß) und V = V(ß) darstellen, die in Richtung der Drehachse, des Radius r und der Breitenkreistangente in dem durch den Winkel ß (Abb. 10) bestimmten Punkt wirken. Für die Größen A Nt und A S erhalten wir die Gleichungen AN1 = - (1 + r'^Z, (6.6) . „ , dZ dB Tr A S = r d ß - w ~ v oder ANX = - [i +

Ayi2("-1)]I/2'z>

6. Allgemeine Integration der statischen Gleichungen

31

Die Gleichung (6.6) erhält man aus der Gleichung (6.4) dadurch, daß man die neuen Lastkomponenten R und Z durch die alten Komponenten U und V ausdrückt: U = R sin

(6.13)

6. Allgemeine Integration der statischen Gleichungen

ANnc = -

33

2 31 yi + AVC 2 '"" 1 » J z.(ß) cos nß dß, o 2« ffßSinnßdßo 2n 2 JI

Fortsetzung

(6.13)

-ifwsianßdß~ilv(ß)sni nßdß' 0

0 2« A S ^ ^ - p - i J | | cos nßdß o 2n 2R • f—cos nßdß - ^f V (ß) cos nß dß. 0 0 Greifen längs des Breitenkreises z = f nur vertikale, als Punktionen des Winkels ß gegebene Kräfte Z = Z(ß) an, so bleiben in den Gleichungen (6.13) nur die ersten Glieder stehen. Wenn wir in jedem einzelnen Belastungsfall die Größen AN0 (£), AS0 (0, AN„, (0, ANnc (C), A8m (£) und ASne (£) als Funktionen von £ bestimmt haben [weiterhin werden sie durch m (C), So* (0, Ni. (0, N*c ( 0 , (0, und S*, (f) bezeichnet], können wir mit Hilfe der allgemeinen Gleichung (3.20) die Partikularlösungen N* und S* für die Schnittkräfte der Schale N± und 8 in folgender Form darstellen:

z(>ß'« =

) (r)-1 + h (C+(c)) -1

+iir irr. it-«

+ (PnNZc (t) + nSts ( 0 ) ( f ) ? " _ 1 ] cos nß - [ ( S Ä (0 - nSnc ( 0 ) { j ) * "

1

(fr+

(6.14)

- ( P Ä (0 - nS*nc ( 0 ) ( I ) ' " " 1 ] sin WJ S}J, 8* ( z , ß; 0 = St (C) - £

n{pn

_qn)

1

{ [ - Pn (q»me (C) +

+ n8*s (£)) ( j J + q„ {pnNts ( 0 + nS*c ( 0 ) X X (f

sin nß + [pn (q,N*, ( 0 - nS*nc ( 0 ) ' [ j f "

- q« (pnN*s (C) 3

W l a s s o w , Schalentheorie

(0) (j)?"_1]

cos nß}.

1

-

34

Rotationsschalen

Hierbei sind N* und S* Funktionen dreier unabhängiger Variablen, und zwar der beiden Variablen z und ß, die auf der Fläche die Lage des Punktes bestimmen, und der Variablen £, die den belasteten Breitenkreis angibt. Durch die Gleichungen (6.14) werden die Schnittkräfte in den Punkten des Schalenteils bestimmt, der unterhalb des belasteten Breitenkreises z = £ liegt. In diesen Gleichungen kann die Variable z Werte des Intervalls £ z oo annehmen. Im Intervall 0 z £, also im Schalenteil oberhalb des Breitenkreises z = £ = const, muß man die Partikularlösu'ngen N* und S* für die betrachtete Belastung gleich Null setzen. Da die Variable £ in den Gleichungen (6.14) eine beliebig gegebene Größe darstellt, können wir, indem wir diese Gleichungen als Einflußfunktionen betrachten, für die Kräfte und S Partikularlösungen für eine beliebige von £ und ß abhängende Flächenbelastung aufstellen. Dazu muß man beide Seiten der Gleichungen (6.14) mit d £ multiplizieren und dann für die gegebenen Flächenkräfte die Integrale über die Variable £ innerhalb der Grenzen des belasteten Bereiches berechnen. Die Koeffizienten N%s(£), N„c(0> und S%c(£), die in den rechten Seiten der Gleichungen (6.14) stehen, können für jedes Glied der Reihe aus den Gleichungen (6.12) oder (6.13) bestimmt werden. Die Größen TJ, V und W oder Z, R und V sind dabei von den Koordinaten £ und ß abhängende Komponenten der Flächenbelastung. 4. Wir haben jetzt 2 Lösungen der Differentialgleichungen der Schale. Eine Lösung, dargestellt durch die Gleichung (3.13), bezieht sich auf die homogenen Differentialgleichungen. Die andere Lösung wird durch die allgemeinen Gleichungen (6.14) dargestellt. Sie gilt ebenfalls für die homogenen Gleichungen, unterscheidet sich aber von den allgemeinen Integralen (3.13) erstens dadurch, daß in ihr die Rolle der beliebigen Konstanten A0, B0, A„, Bn, C„ und Z>„ von den Größen N* (£), S* (£), Nl

(£), N*nc (£), S*s (£), S*nc (£)

übernommen wird, die einen konkreten physikalischen Sinn haben und entsprechend (6.12) oder (6.13) mit der Belastung, die auf dem gegebenen Breitenkreise z = £ = const wirkt, verbunden sind. Zweitens werden durch die Gleichungen (6.14) die Schnittkräfte nur unterhalb des Breitenkreises z = £ = const bestimmt. In Übereinstimmung damit können wir die Integrale für die Kräfte N-l und S im Intervall 0 ^ z iS £ in folgender Form schreiben: Nj. =

+ z 2 « 1 -")

j^o2"1

+

OO

+ Z n K=1

+ -ßj.zi»- 1 ) cos nß (6.15)

- (OnZP»-1 + A . z f - 1 ) sin nß] S =

T

-

I [(A„p„zr«-i n—1

+ Bnqnz*«-^)

+ ( C ^ z P » - 1 + DnqnZ«"-1) cos nß].

sin nß

+

6. Allgemeine Integration der statischen Gleichungen

35

I m Intervall £ sS z ^ oo gelten dagegen folgende Gleichungen: #1 = 4- ] / A > 2 + z 2 * 1 - " ) U z - 1 + l

X

X cos nß — (CnZP«-1

ra

2 1 » [{¿n* 1 " 1 - 1 + -B b Z ? "~ 1 ) X = l

+ DnZi"-1)

sin nß] j

+

(

r

V: +

1

^

+

s

t{[- ^

{[ff.iVÄ. (0 -

-

[pnN*s

J

r

-

(0 -

nS*ne (C)] ( j f ^

n8*c (£)] (y)'""1}

i

+ Dnqnzi-1)

1

m

+ qn (PnKc

^

J

{

[

-

-

(6.16)

sin nß

+

[pn (qnN*s ( f ) - nSZ, (£)) ( f ) * " "

-

in {P»N*ns (0 -

s i n nß

1

+

(C)

< « + < « >

(£) + » S J . ( 0 ) ( f ) i n _ 1 ]

nS*c ( 0 )

+

nß

sin

cos n f l +

^

1

-

1

+ Eng«**»'1)

n=1

+

-

-

( 0 + n S l (£)] ( f ) i B _ 1 } cos nß

-

=

+

(1 -

»»]

(7.1)

bestimmt; demnach gilt

P n ~ 1 = y [ - (1 + 2 f i ) + V ( 1 - 2 ^ + 4 ^ ( 1 - ¿ t ) « 2 ] ,

(7.2)

ff, - 1 = - 4" [(1 + 2 i«) + 1 / ( 1 - 2 ^ + 4 ^ ( 1 - ^ ) »•]. Wenn wir in diesen Gleichungen ¡i < 1 annehmen und der Größe n die Werte n = 1, 2, 3, . . . geben, erhalten wir für

n = 1 : pt -

f ü r n > 1:

1= -

p
0*);

q1 -

1

1 < 0.

= -

(1

+ fi)

< 0;

(7.3)

F ü r n = 1 (d.h.,beim ersten Glied der Entwicklung) sind also beide Größen, p „ — 1 und q „ — 1, negativ; für n = 2, 3, 4 ist die Größe p „ — 1 immer positiv und die Größe q „ — 1 negativ. *) Bern. d. Red.: gilt für n 2 >

1

-P

37

7. Beliebig belastete Rotationsschalen

Wenden wir uns nun den Gleichungen (6.15) zu, so sehen wir, daß für z = 0 undO < fi < 1 die Größe ~ ]/A2jU2 + z2 V-f) einen endlichen Wert hat, der gleich 1 und C\zp'~1 wie auch die Größen BN z?»" 1 ist; die Größen AQZ'1, B0Z~2'', und Dnzqn~1 streben für beliebige Werte von n (n = 1, 2, 3 , . . . oo) und für von Null verschiedene Werte von A0, B0, A1, CLT BN und DN gegen unendlich. Alle übrigen Glieder der Reihen (6.15) liefern für p„ — 1 > 0 im Pol 2 — 0 endliche Werte für die Kräfte und S. Hieraus folgt, daß wir in den Gleichungen (6.15)

A0 = S0 = A1 = C1 = 0,

1

BN=DN

J

= 0,

» = l,2,3,...,oo

setzen müssen. In den Gleichungen (6.15) und (6.16) fällt also eine Reihe von Gliedern weg. Das durch die Gleichungen (6.15) und (6.16) ausgedrückte allgemeine Integral stellen wir jetzt in anderer Form dar. Seien Px, Pv und Pz die Komponenten der äußeren Belastung, die auf dem Breitenkreis z = £ liegt, und Mx, My und Mz die Momente dieser Belastung für einen beliebigen Schnitt z = const, der unterhalb des belasteten Breitenkreises z = C liegt. Diese Momente errechnen wir genauso wie bei Biegung und Torsion eines Stabes, indem wir den Querschnitt der Schale auf die Achsen beziehen, die auf dieser Schnittebene liegen und parallel zu den x- und y- Achsen (Abb. 7) verlaufen. Die Momente Mx, My und Mt der äußeren Belastung, die für einen beliebigen Schnitt z = const bestimmt werden, sind positiv, wenn ihre Vektoren längs der entsprechenden Achse liegen. Erweitern wir die Gleichungen (4.6) auf den Fall, daß die Kräfte PT, Py und Pt Resultierende der äußeren Streckenlast auf dem Breitenkreis z = f sind, und berücksichtigen die Bedingungen (7.4) für die Konstanten, so können wir die allgemeinen Integrale (6.15) und (6.16) für die Kräfte Nlr und S im Intervall 0 < z £ in folgender Form schreiben: Nlr = Nx (z, ß) sin

n

pn (An sin nß + Cn cos nß)

(7.5)

und im Intervall f ^ z ^ oo in der Form N, (z,ß; C) sin 9 , ( * ) = - ¿~z Pz - [Mv - Px(z-

+ irnr - i H rn + »o , ^ [A7tCn + n= 2 l -

+ ß

{[.Mx + Pv (z-£)]

C)3 cos ß} + £

1 Pn-q«™ (qnNnenc +' nSMn")

x

^

^Vnr - i in r

nSns)

zf»-1

ff»-1

z?n_1

C

(qnNn, -

nS

sinß

+

lJ c o s

n

P

nSnc)

» J if*z = r

zin_1

lJ s i n n ß>

(7.6)

38.

Rotationsschalen

8(z,'ß-,0

=

1 2 2

2nX z '

M,

1 !i2

1 +

"

{[(1 -¡u)Px(z

- 0

+

+ fiM v ] sin ß - [(1 - ¡u) Pv (z - 0 - /tMx] cos ß} -

z

n = 2

Pn /. (lnNnc » (Pn ~ ?n) ( p A + nSns) ^

+«

Pn (Pn - 3n)

, +

« v nSns)

1 j-Vn, -

sin A/J - J

2

Fortsetzung

(7.6)

¿pn- 1

1

j

j-pn

-J.-2

in (Pn-^n » (Pn - ?n)

} C0S

n

ß'

In diesen Gleichungen sind die Neigungswinkel der Meridiantangente gegen die Drehachse in den Punkten mit den Koordinaten z und J mit

0 erhalten wir eine Ellipse und für den Spezialfall A = — 1 einen Kreis. Für A > 0 und A > 0 bekommen wir eine Hyperbel, deren Achse mit der z-Achse zusammenfällt. Drehen wir eine solche Hyperbel um die z-Achse, so erhalten wir ein zweischaliges Rotationshyperboloid. Für A > 0, A < 0 liefert Gleichung (8.6) eine Hyperbel, deren Achse mit der /•-Achse zusammenfällt. Diese Hyperbel liefert bei Rotation um die z-Achse ein einschaliges Rotationshyperboloid. Schließlich liefert Gleichung (8.6) für A = 0 und B =\r- 0 eine Parabel 2. Grades. Wir führen die Bezeichnungen & =

P2

An

,

A =

2 , VB^-iAC

(8.7)

Bz

(8.8)

ein. X ist also eine Größe, die umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der Diskriminante der Kurve zweiter Ordnung ist, die durch Gleichung (8.6) dargestellt wird. Im folgenden wollen wir zwecks Vereinfachung der mathematischen Berechnung den Scheitel der Kurve zweiter Ordnung auf die r-Achse legen. Mit anderen Worten, wir nehmen an, daß die Variable z vom Schnittpunkt der Kurve mit der Symmetrieachse (z-Achse) aus gerechnet wird (Abb. 1). In Übereinstimmung mit dieser Bedingung müssen wir in Gleichung (8.5) die Konstante C gleich Null setzen. Dann wird die Kurve zweiter Ordnung durch Gleichung r = f/Az2 +

8. Zurückführung der Gleichgewichtsbedingungen

43

dargestellt. Bei dieser Wahl der Achsen wird die Form der Kurve zweiter Ordnung nur durch die beiden Parameter A und B bestimmt. Für die Größe X erhalten wir X =

2

(8.9)

B

Aus (8.8) folgt weiter , _dr _ ~ dz ~

„

dz2

_

2Az + B (Az* + Bz)1*' B* 4 (Az2+Bz)'k

2

(8.10)

Gemäß (1.11) und (1.12) finden wir B1 = ± B,=

\ä (1 + A) z2 + B (1 + A) z + 1

A (1 + A) z2 + B (1 + A) z +

B2

B2

(8.11)

Durch diese Gleichungen werden die Hauptkrümmungsradien der Fläche zweiter Ordnung längs des Meridians bzw. des Breitenkreises bestimmt. Der Radius R 2 ist gleich dem Abschnitt der Normalen bis zum Schnittpunkt mit der Drehachse. Setzen wir (8.11) in die Gleichung (1.16) K

=

B t R2

ein, so erhalten wir den allgemeinen Ausdruck für das Gaußsche Krümmungsmaß für Flächen zweiter Ordnung: K =

B2 A(l+

A) z2

B(1 + A) z + i- B*J

(8.12)

Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, daß das Vorzeichen des Gaußschen B2 Krümmungsmaßes K von der Diskriminante — abhängt, die der von uns eingeführten Größe & =

(8-13)

umgekehrt proportional ist. Für X2 > 0, d. h. bei positiver Diskriminante der Gleichung (8.8) und folglich reellem Koeffizienten B (positiv oder negativ), wird das Gaußsche Krümmungsmaß-ST positiv. Man sieht ohne weiteres ein, daß für eine elliptische Schale und eine in Form eines zweischaligen Hyperboloids der Koeffizient B in Gleichung 4 (8.8) reell ist. Für solche Schalen ist die Größe X2 = und also auch das Gaußsche Krümmungsmaß K positiv. Im Fall einer Schale in Form eines einschaligen Rotationshyperboloids ist der Parameter X2 negativ, weil der Koeffizient B eine imaginäre Größe ist.

44

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Es wurde bereits gezeigt, daß Schalen mit negativem Gaußschen Krümmungsmaß dünnwandige Systeme mit einer Verschieblichkeit im unendlich Kleinen darstellen. Für solche Schalen (in unserem Fall sind es einschalige Hyperboloide) hat die Membrantheorie ein sehr begrenztes Anwendungsgebiet. Darum werden wir im weiteren hauptsächlich Schalen mit positivem Gaußschen Krümmungs4 maß betrachten, für die der Parameter X2 = positiv ist. Dies sind elliptische (im Spezialfall auch Kugel-), parabolische und hyperbolische Schalen. 3. Mit Hilfe der Gleichungen (8.8) und (8.9) können wir die Gleichung (8.10) in folgender Form darstellen: 2 Az+ B r = 2r (8.14) 1 r = — ¥73 Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (8.3) einführen, erhalten wir dß ^ dß Da der Parameter A2 =

Ar

r

dz

(8.15)

dz

konstant ist, können diese Gleichungen auch in

folgender Form geschrieben werden:

dV

Xr*

(8.16)

d(X ü) dz

0.

Wir verwenden jetzt statt der früheren Variablen z die unabhängige Variable a, die wir als Funktion der Koordinate z betrachten. Die Winkelkoordinate ß lassen wir unverändert. Sehen wir die gesuchten Größen U und V als Funktionen von a und ß an, so bekommen wir dß dz da dV . „da d(W) J ä— dß — M dz da a = a (z) wählen wir so, daß die Größe Xr2

(8.17)

. =

da

1 wird.

Wir erhalten dadurch für die gesuchte Funktion a = a(z) die Differentialgleichung j da _ (8.18) dz ~~ Zr*: die infolge von (8.8) die Form

annimmt.

da dz

1 X (Az2 + Bz)

(8.19)

8. Abbildung der Flächen zweiter Ordnung auf die Ebene

45

Hieraus erhalten wir durch Integration a

= ? M a t t s -

^

Hier ist C eine beliebige Konstante. F ü r jede Fläche zweiter Ordnung muß man diese Konstante so wählen, daß der rechte Teil der Gleichung (8.20) reell wird. Ist die Größe ^

z

negativen Werten von ^

ß

positiv, so muß die Konstante 0 positiv sein. Bei ^ muß die Konstante C negativ sein. I m folgenden

setzen wir (7 = 1. Die Gleichung (8.20) k a n n dann in folgender Form geschrieben werden: = In (8.21) VAz2 + BZ, = 1 n ( - f ) . Die Grunddifferentialgleichungen (8.17) nehmen bei Substitution der unabhängigen Variablen z durch die neue Variable a nach Gleichung (8.21) die F rman:

°

d(XU) dV_ _ dß ' da dV _ djm __ dß da

(8.22)

Diese Gleichungen sind f ü r A2 > 0 die CAUCHY-RlEMANNschen Differentialgleichungen, die der Funktionentheorie zugrunde liegen. Wir kommen so zu dem f ü r die Schalentheorie wichtigen Ergebnis 1 ): Die Gleichungen der Membrantheorie der aus den Drehflächen zweiter Ordnung entstandenen Schalen können bei positivem Gaußschen Krümmungsmaß und im Fall des homogenen Problems auf die CAUCHY-RlEMANNschen Gleichungen zurückgeführt werden. Die Berechnung solcher Schalen reduziert sich auf die Bestimmung einer analytischen Funktion der komplexen Veränderlichen y — a + iß. Die Funktion XU ist der Realteil, die Funktion V der Imaginärteil der analytischen Funktion. Nach Gleichung (8.1) werden durch den Realteil U = U(a, ß) der komplexen Funktion F (y) = XU (a, ß) + iV (a, ß) die Schubkräfte S, durch den Imaginärteil V = V(a,ß) die Normalkräfte und N 2 in einem beliebigen P u n k t der Schale bestimmt. Die gesuchten Funktionen XU = XU(a, ß) und F = V(a,ß) sind also konjugierte harmonische Funktionen, von denen jede der LAPLACEschen Gleichung genügt: d*(W) da2

, dHXÜ) _ ^ dß2 2 a F dW __ da2 + dß2 ~

(8.23)

4. I m folgenden stellen wir die Grundgleichungen f ü r verschiedene Drehflächen zweiter Ordnung zusammen. 1 ) Dieses Ergebnis wurde zuerst vom Verfasser erhalten und in der Zeitschrift „Projekt und Standard" Nr. 4 (1937) veröffentlicht.

46

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

a) D i e e l l i p t i s c h e S c h a l e a und b seien die Halbachsen einer Ellipse. Den Koordinatenursprung legen wir in den oberen Pol 0 der elliptischen Schale. Die Gleichung der Ellipse lautet in diesen Koordinaten r»=

+

(8.24)

Für die Größen A und B erhalten wir folgende W e r t e : &» '

2a*

(8.25)

Nach Gleichung (8.13) ergibt sich daraus A =

(8.26)

Die Größe A2 ist also in diesem Fall positiv. Infolgedessen können die Gleichungen der Membrantheorie für die elliptische Schale mit beliebigen Halbachsen a und b auf die CAUCHY-RiEMANNschen Gleichungen zurückgeführt werden. Die Berechnung der elliptischen Schale nach der Membrantheorie wird also auf die Bestimmung einer analytischen Funktion F(y) der komplexen Variablen y — a + iß zurückgeführt. Der Imaginärteil ß der unabhängigen komplexen Variablen stellt die Winkelkoordinate dar. Der Realteil dieser Variablen ist mit der Koordinate z durch die allgemeine Gleichung (8.21) verbunden, die im Fall der Ellipse (8.24) die Form «=ln]4lh~z

(8.27)

hat. Aus dieser Gleichung folgt, daß bei Veränderung der unabhängigen Variablenz im Intervall 0 5S z iS 2b die neue Variable a im Intervall — oo ig a 55 -f oo liegt. Dem oberen Pol der Schale entspricht der Wert a = — oo, dem unteren Pol der Wert a = + oo. Da für die ganze Drehfläche die Winkelkoordinate ß das Intervall 0 ß ^ 2 7t durchläuft, wird die Fläche des Umdrehungsellipsoids (Abb. I I a ) in der a, /S-Ebene auf einen unendlich langen Streifen der Breite 27t (Abb. I I b ) abgebildet. Auf diesem Streifen kann der Realteil a der unabhängigen komplexen Variablen y = a + iß jeden Wert im Intervall von a = — oo (oberer Pol) bis a = + oo. (unterer Pol) annehmen. Der Geraden, die parallel zur /3-Achse im Abstände ß = const verläuft, entspricht auf der Fläche des Ellipsoids eine Meridianlinie, die vom oberen Pol des Ellipsoids zum unteren geht. Die ß-Achse ist die imaginäre Achse

47

8. Abbildung der Flächen zweiter Ordnung auf die Ebene

der komplexen Variablen y = a + iß. Einer geraden Linie, die parallel zur /9-Achse im Abstand a = const verläuft, entspricht ein Breitenkreis des Ellipsoids. Insbesondere entspricht dem Abschnitt der imaginären ß-Achse von der Länge 2 71 auf dem Ellipsoid der Breitenkreis, der durch den Schnitt des Ellipsoids mit der horizontalen Ebene z — b entsteht und den Radius r= a hat. Die obere Hälfte des Ellipsoids wird auf die obere Hälfte des Streifens abgebildet, die sich von der imaginären Achse D' c aus ins negativ Unendliche erstreckt. Die untere Hälfte des Ellipsoids wird auf die untere ll A B' Hälfte des Streifens abgebildet, die sich ins positiv Unendliche erstreckt. Die Punkte des Ellipsoids und des Streifens werden ß durch die hier dargestellte Abbildung ineinander übergeführt. win kb-z Jedem Punkt des Ellipsoids ist L ein bestimmter Punkt des in AbAbb. 11 bildung I I b 1 ) gezeigten Streifens zugeordnet. Die Gleichungen (8.1) für die elliptische Schale nehmen bei Verwendung der Ellipsengleichung (8.24) folgende Form a n : _ y / a 4 + (62_a2)r2 y l — br2 >

ly

J_ iV2=

-

(8.28)

V. br2 Va* + (b2 — a2) r2

Die Gleichung (8. 27) kann auch in folgender Form geschrieben werden: (8.29) Mit den bekannten EuLERschen Formeln erhalten wir bei Benutzung von (8.24) ch a = \ (ea + e-«) = (8.30) a sh a = -5- (e" ) = /. ' a 1

) Abb. IIb wird im folgenden noch weiter benutzt.

48

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Hier ist (8.31)

b - z b

V2bz

Wir drücken mit Hilfe der ersten Gleichung (8.30) die Größe r durch den hyperbolischen Cosinus aus. Setzen wir diese Größe in Gleichung (8.21) ein und beachten dabei die Beziehung ch 2 a — sh 2 a = 1,

(8.32)

so erhalten wir Nt

= ^

ch

2

a 1 / b + a*

S =

sh 2

a V,

(8.33)

a(XU), 3

N 22

=

— -r- —= b y i

ch a 1

+ o 2 sh2 a

V.

Mittels der Gleichungen (8.33) werden die Schnittkräfte der Schale durch die konjugiertharmonischen Funktionen X U und V in den neuen Variablen a, ß ausgedrückt, die den Punkten eines unendlichen langen Streifens entsprechen, auf den die gesamte Fläche des Rotationsellipsoids abgebildet wird. b) D i e K u g e l s c h a l e Die Grundgleichungen für die Kugelschale stellen einen Sonderfall der soeben abgeleiteten Gleichungen für die elliptische Schale dar. Mit b = a erhalten wir r 2 = 2az - z2.

(8.34)

Als Anfangspunkt der Koordinate z wählen wir den oberen Pol der Kugel. Die z-Achse läuft nach unten. Für den Parameter 1 der Gleichung (8.26) ergibt sich mit b = a X = -1.

(8.35)

Die Größe a ist der Kugelradius. Gleichung (8.27) nimmt jetzt die Form

an. Die Kugel mit dem Radius a wird bei Substitution der unabhängigen Variablen durch die neue Variable a nach Gleichung (8.36) ebenfalls auf einen unendlich langen Streifen der Breite 2 71 abgebildet. Bei dieser Abbildung gehen die Meridiane in die zur a-Achse parallelen Geraden über; die Breitenkreise werden auf Geraden der Länge 2n abgebildet, die zur imaginären Achse parallel sind. Die obere Kugelhälfte wird auf den oberen Halbstreifen, die untere auf den unteren Halbstreifen abgebildet.

8. Abbildung der Flächen zweiter Ordnung auf die Ebene

49

Die Gleichungen (8.28) nehmen mit a = b folgende Form a n :

s = ^

(8.37)

u,

V-

Die Gleichungen (8.33) gehen über in [6] N,• 1 = — ch 2 a V,' n. S = 4 ch 2 a ü,

(8.38)

N22 = - — ch 2 a V. a

c) D a s z w e i s c h a l i g e H y p e r b o l o i d Die Gleichung der Hyperbel hat in den Koordinaten z und r die Form (Abb. 12a) r* = u¥ (2bz + z2). (8.39) Hier sind a und b im allgemeinen Fall die Parameter der ungleichseitigen Hyperbel. Rotiert diese Hyperbel um die z-Achse, so erhalten wir die Fläche eines zweischaligen Hyperboloids. Wir betrachten nun die Schale, die der unteren Fläche des Hyperboloids entspricht. Vergleichen wir die Gleichung (8.39) mit der Gleichung r2 = Az2 + Bz,

(8.40)

die sich aus der allgemeinen Gleichung (8.8) ergibt, so erhalten wir für die Koeffizienten A und B die Werte 2a* (8.41) A ~ 62 ' Der Parameter A ergibt sich daraus zu 1 =

-¡.

a2 6 2 Die Größe A = ist im gegebenen Fall positiv.

(8.42)

2

Das Gaußsche Krümmungsmaß ist also für die betrachtete Schale in allen Punkten positiv. Die Differentialgleichungen der Membrantheorie können demnach auf die CAUCHY-RlEMANNschen Gleichungen zurückgeführt werden. Setzen wir (8.41) in (8.21) ein, so bekommen wir die Gleichung a = In

Vi26 +

z'

(8.43)

die die Koordinate z in die neue unabhängige Variable a überführt. Wir betrachten die Schale, die dem unteren Teil des zweischaligen Hyperboloids ent4

W l a s s o w , Schalentheorie

50

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

spricht. Für diesen Teil gilt: 0 ^ z ^ oo. Aus (8.43) folgt, daß für z = 0, a = — oo und für z = + oo, a = 0 wird. Das bedeutet, daß die untere H ä l f t e des zweischaligen Hyperboloids auf einen Halbstreifen abgebildet wird, der von der imaginären ß-Achse bis — oo (Abb. 12b) läuft. Die Breite des Halbstreifens ist f ü r die geschlossene Rotationsfläche wie bisher 2TZ. Auf diesem Halbstreifen entspricht dem Abschnitt der imaginären Achse von der Länge 2 n ein unendlich entfernter Breitenkreis der unteren Hälfte des Hyperboloids. Dem Abschnitt der Geraden a — — oo, die auch die Länge 2 n hat, entspricht auf der Schale der Breitenkreis mit unendlich kleinem Radius, d. h. der Pol. Wir bemerken, daß die andere Hälfte des unendlich langen Streifens, die auf der positiven Seite der Variablen a liegt, dem oberen Teil des Hyperboloids entspricht. Die Gleichungen (8.1) nehmen mit j D'

r

F

=

V2bz

a

+

z2,

(8.44)

6+ z

f> Y2bz + z 2

die Form a n :

A' B'

N

ß

1

=

Val+

-2ft~

(b2+

¿r2

a*)r*

y

'

T

,

2

a'lnv^n;

br*Vai+

( 6 2 + a2) r2

V.

(8.45) Benutzen wir jetzt (8.43) in der Form

Abb. 12

-V;

26+ z

(8.46)

und wenden wir die EuLERschen Formeln an, so bekommen wir ch

- t ( V I 2b +

b

,

z

26+ z 26 + z - t r z

sh

(8.47)

Eliminieren wir jetzt mittels (8.47) die Größe r, so erhalten wir = ^ S =

*

=

\ a?

Yb2

+ a 2 ch 2 a V,

sh 2 a U, a sh3 a r — V. 2 b y 6 + o2 ch2 a

(8.48)

51

8. Abbildung der Flächen zweiter Ordnung auf die Ebene

d) D i e p a r a b o l i s c h e S c h a l e Die Gleichung der Parabel lautet (8.49)

r 2 = 2 pz.

Den Ursprung der Koordinate z legen wir in diesem Fall in den Scheitel der Parabel. Die z-Achse läuft nach unten (Abb. 13a). Die Parabel (8.49) liefert bei Rotation um die z-Achse ein Rotationsparaboloid. Für den Parameter X bekommen wir A = —. V

(8.50)

Dieser Parameter hat wie auch in allen vorangegangenen Fällen die Dimension einer Länge - 1 . Da in diesem Fall der Koeffizient A der Gleichung (8.8) Null ist, verliert Gleichung (8.21) ihren Sinn. An Stelle dieser Gleichungen können wir die allgemeinere Gleichung (8.20) benutzen. Da in (8.20) die Größe G eine beliebige Integrationskonstante der Gleichung (8.19) ist, können wir diese Gleichung durch a

- 2 K -

0

t *

—

a)

z

Crt\D\

M B

(8.51)

a*ln-\tp C

fl'

ersetzen. Abb. 13 Man kann sich leicht überzeugen, daß die Funktion a = a(z) nach Gleichung (8.51) ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung (8.19) ist. Die Größe C in (8.51) kann beliebige Werte annehmen. Gleichung (8.51) nimmt für A =0, B = 2 p die Form 1 ,

a

= T

l n

Cz

W

(8.52)

an. Setzen wir C = 2,

(8.53)

so erhalten wir « = In y i .

(8.54)

Da der Parameter p der Parabel wie die Koordinate z die Dimension einer Länge hat, ist die Größe — dimensionslos. P

52

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Aus Gleichung (8.54) folgt, daß für z = 0, a = — oo und für z = + 00, a = + 00 ist. Die Fläche des Rotationsparaboloids wird (ebenso wie die bereits untersuchte Fläche des Ellipsoids) auf einen unendlich langen Streifen der Breite 2 n (Abb. 13b) abgebildet. Dem Meridian ß = const des Paraboloids entsprechen auf dem Streifen die Geraden ß = const, die zur a-Achse parallel laufen; den Breitenkreisen z = const entsprechen auf dem Streifen Abschnitte der Geraden a = const von der Länge 2n, die zur ß-Achse parallel laufen. Insbesondere geht der Breitenkreis z — p in den Abschnitt der /3-Achse von der Länge 271 über. Setzen wir in den allgemeinen Gleichungen (8.1) (8.55) und benutzen die zweite der Gleichungen (8.14), die für alle Kurven zweiter Ordnung gilt, so bekommen wir

v,

Nx =

(8.56)

T N2

=

7 2 J V + r2

F.

Aus den Gleichungen (8.49) und (8.54) folgt 1 ea = —- — VH V

(8.57)

Mit Rücksicht auf diese Beziehung, die zwischen den Variablen r (Radius des Breitenkreises) und a (Koordinate auf der reellen Achse des Streifens, auf den die Fläche des Paraboloids abgebildet wird) eine eindeutige Zuordnung herstellt, nehmen die Gleichungen (8.56) die Form an: 2e~2a

ia 2a

U, „-2a

2

P 1/1 + 2, 2 a

V, (8.58)

F.

Die Gleichungen (8.1) gelten für alle Rotationsschalen. Wir betrachteten die Klasse der Drehflächen zweiter Ordnung mit positivem Gaußschen Krümmungsmaß (Ellipsoide, Paraboloide und zweischalige Hyperboloide) und erhielten aus (8.1) für jede dieser Formen Ausdrücke für die Kräfte Nlt N2 und S\ Wir zeigen nun, daß man mittels eines neuen Parameters für alle betrachteten Fälle gemeinsame Gleichungen aufstellen kann. Wir schreiben die Gleichung des.Meridians (8.4) in der Form

r = ~ j/26z +mzK

(8.59)

9. Das Gleichgewicht am Schalenrand

53

Aus (8.13) bekommen wir f ü r X den Ausdruck (8.60)

a2 Die neue Variable a stellen wir in Abhängigkeit von der Variablen z in der Form a = In

(8.61)

r 2b 2

+

mz

dar. F ü r den Parameterwert m = — 1 erhalten wir die Gleichungen f ü r die elliptische Schale (8.24), (8.26) u n d (8.27), f ü r m = + 1 f ü r das zweischalige Rotationshyperboloid (8.39),

n

=

und b —

P

(8.42) und (8.43) und schließlich für : m = 0, a Schale (8.49), (8.50), (8.54). Wir gehen nun zur Variablen

f ü r die parabolische

y ^

(8.62)

eß

über und drücken die Schalenkräfte durch die Funktionen U (z, s) und V, (z, s) aus. F ü r r, r' und r" erhalten wir _

2 a g

1 — , _

a_

m g

mg2

(8.63)

g

_

=

'

1 +

26 ,,

2

(1

—

86 2

m g

2

)

3

e3

Setzen wir (8.63) in die Gleichungen (8.1) ein, so bekommen wir (1

S

N i

-

m g 4 b g 2

2

)

2

( W ) ,

j / 4 b

=

2

g

2

+ a 2 (1 + me 2 ) 2 •

a( 1 — mg 2 ) 3 4 b g

2

V 4 b

2

g

2

+

a

2

(1 +

• m g

2

)

V ,

(8.64)

V .

2

Geben wir dem Parameter m die Werte — 1, + 1 und 0, so erhalten wir die durch die Variable g ausgedrückten K r ä f t e f ü r die elliptische Schale, das zweischalige Hyperboloid und die parabolische Schale ^wobei im letzteren Fall a —

und b =

gesetzt werden

m u ß j • Gehen wir von g zur Variablen a zurück, die mit g durch Gleichung (8.62) verbunden ist, so bekommen wir aus (8.64) f ü r die verschiedenen m-Werte die alten Gleichungen (8.33), (8.48) und (8.58) wieder.

9. Das Gleichgewicht am Schalenrand. Bestimmung des resultierenden Kraft- und Momentenvektors durdi eine analytische Funktion der komplexen Variablen. Statische Deutung der CAUCHYschen Integrale 1. A sei ein Punkt der Schalenmittelfläche. Er befindet sich auf dem Schnittpunkt zweier Koordinatenlinien, und zwar des Breitenkreises z = const und des Meridians ß = const.

54

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Im vorhergehenden Abschnitt wurde gezeigt, daß die Drehfläche bei Ersetzen der Koordinate z durch die unabhängige Variable a nach der allgemeinen Gleichung (8.21) auf einen Streifen der Breite 2n in der Ebene der komplexen Variablen y = a + iß abgebildet wird. So hat z. B. im Fall des Rotationsellipsoides die Gleichung, die die Koordinate z in die neue Variable a überführt, wie schon gezeigt wurde, die Form (Abb. I I b )

Wir betrachten nun irgendein Stück der Schale, das auf der Drehfläche durch die geschlossene Linie ABCD begrenzt wird (Abb. I I a , 12a und 13a). AB und CD sind Abschnitte zweier Breitenkreise, die in z-Richtung in endlicher Entfernung voneinander verlaufen. BC und DA sind Abschnitte zweier Meridiane, die in bezug auf die Winkelkoordinate ß ebenfalls in endlicher Entfernung voneinander verlaufen. Der betrachtete Teil der Drehfläche stellt ein endliches Element dar, das die Form eines gekrümmten Rechtecks hat. Dieses Element erscheint auf dem Streifen der Variablen a, ß als ebenes Viereck A! B' CD' (Abb. I I b , 12b, 13b). Wir stellen also fest, daß dem Umlaufsinn A — B — C — D — A am Rande des Schalenelements A B CD der Umlaufsinn A' — B' — C' — D' —A' am Rande des Viereckes A'B'C'D' entspricht. Bei diesem Umlauf liegt der Bereich, der zum Viereck gehört und der dem Schalenstück entspricht, stets links. Unsere Aufgabe besteht nun darin, die Resultierende aller Kräfte und Momente zu bestimmen, die am Rande ABCD des Schalenelements angreifen und die die Einwirkung der übrigen Schale auf dieses Element darstellen. Zu diesem Zweck führen wir ein Koordinatensystem x, y, z ein. Sein Ursprung soll mit dem oberen Pol der Schale zusammenfallen. Die z-Achse ist wie bisher nach unten gerichtet, die x- und y-Achsen legen wir so, daß sie zusammen mit der z-Achse ein Rechtssystem bilden (Abb. 14). Die Schale überträgt auf das Element ABCD Normal- und Schubkräfte (Abb. 14). Wir behalten die Vorzeichenregel für die Koordinaten z und ß und die Kräfte Nlt S1 = S2 und N2 bei, die bei Aufstellung der Grundgleichungen der Membrantheorie festgesetzt wurde (s. Kap. I, Abschn. 1). Die Schnittkräfte Nt und S1 greifen in einem Normalschnitt z = const im Punkte A an. Da die äußere Normale in diesem Normalschnitt in Richtung der positiven Meridiantangente ß = const läuft (in positiver z-Richtung), sind und S1 positive Kräfte, wenn sie in den positiven Tangentenrichtungen der entsprechenden Koordinatenlinien ß = const und z = const wirken. Die Kräfte N2 und S2 greifen in dem Meridianschnitt durch den Punkt A an. Da wir die Wirkung der Schale auf das

9. Das Gleichgewicht am Schalenrand

55

abgetrennte Element A BCD betrachten, verläuft die Außennormale der Schnittebene längs der Meridianlinie ß = const in Richtung der negativen Breitenkreistangente z = const (in negativer //-Richtung). Also entsprechen den positiven Normal- und Schubkräften, die bei A längs des Meridians ß = const auf das Element wirken, die Kräfte N2 und S2, die längs der entsprechenden negativen Tangenten an die Linien z — const und ß = const wirken. ds1 und d$2 seien die Längen der Linienelemente durch A längs des Breitenkreises z = const und des Meridians ß = const. Dann gilt dsj = riß, 1 dz

ds„

)

cos (9.22) verbunden ist. Die Größe e ° = q ist der Betrag und ß das Argument der komplexen Variablen f . Weiterhin benötigen wir einige Grundtatsachen aus der Theorie der komplexen Zahlen. 1. Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl. Der Betrag dieser Zahl ist gleich dem Produkt der Beträge, das Argument gleich der Summe der Argumente der Paktoren: f i • ?2 = 6i • Qi [cos (Ä + ft) +. i sin (ß1 + &)]. (9.23) 2. Potenzieren wir eine komplexe Zahl, so erhalten wir eine komplexe Zahl, die durch die Gleichung (9.24) = &n ( c Q a % ß + . s i n n ß ) bestimmt wird. Pür n = 2 erhalten wir die Gleichung für das Quadrat der komplexen C2 = e 2 (cos 20 + i sin 2ß). . (9.25) 3. Zwei komplexe Zahlen, die sich durch das Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, heißen konjugiert komplex. Die konjugiert komplexe Größe zu (9.20) hat also die Form C = g (cos ß — i sin ß). 4. Quotient zweier komplexer Zahlen ist gleichfalls eine komplexe Zahl. Der Betrag dieser Zahl ist gleich dem Quotienten der Beträge des Dividenden und des Divisors, während das Argument die Differenz der Argumente des Dividenden und des Divisors ist. Zähl

^ = ^ [cos (Ä - ft) + » sin (A ft)] C2 .02 (es #= 0). Der reziproke Wert einer komplexen Zahl wird durch die Gleichung _L = J_ (cos ß - i sin ß) C Q

(9.26)

(9.27)

bestimmt. Alle hier aufgeführten Gleichungen (9.23) bis (9.27) erhält man unmittelbar aus der Grundgleichung (9.22) durch Anwendung der bekannten EuLERschen Formeln eW = cos ß + i sin ß, , e-iß = cos ß — i sin / und der Darstellung des Betrages in der Form e = e°. (9.29) In der Theorie der analytischen Funktionen wird bewiesen, daß alle Differentiationsund Integrationsregeln, die aus der Theorie der reellen Funktionen bekannt sind, auch für die Funktionen von komplexen Variablen gelten. Px, Py, Pz und Mx, My, Mg sind die Komponenten der resultierenden K r a f t und des resultierenden Moments aller K r ä f t e , die in den Randpunkten des Schalenelements AB CD angreifen und die Wirkung der Schale auf dieses Element ersetzen.

60

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Entsprechend den Gleichungen (9.15) und (9.16) können wir schreiben Pz - iXMz - = ¡[XU da r

V dß + i (V da + XUdß)].

(9.30)

Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht ein Liriienintegral, das über den gesamten Rand des Elements A' B' C D' zu erstrecken ist, das dem abgetrennten Schalenelement AB CD entspricht. Andererseits gilt F (y) dy = XU da -

V dß + i {V da + XUdß).

(9.31)

Diese Gleichung ergibt sich aus der Multiplikation zweier komplexer Größen, und zwar der gesuchten Funktion F{y) = XU + iV

(9.32)

und des Differentials d y der unabhängigen Variablen y: dy = da + i dß.

(9.33)

Vergleichen wir die rechten Seiten der Gleichungen (9.30) und (9.31), so erhalten wir Pz - iXMz = - (F (:y)dy. (9.34) r Aus Gleichung (9.22) folgt dy = e ~ y d Z = ~ d £ .

(9,35)

Auf Grund dieser Gleichung nimmt Gleichung (9.34) die Form a n : P,-iXMz=

- f ^ d C . r

(9.36)

Das Integral ist hier längs der Randlinie in der Ebene der unabhängigen komplexen Variablen £ = q(COS/? + i sin/?) (Abb. I I b ) zu nehmen. Die Gleichung (9.36) bestimmt also die komplexe statische Größe Pz — iXMz, deren Realteil gleich der Projektion Pz aller Randkräfte auf die Drehachse der Schale ist. Der Imaginärteil ist dem Moment Mz dieser Kräfte um die z-Achse proportional. Wir gehen nun zu den Kräften Px und Pv über, die in Richtung der x- und y-Achse wirken. Mit (9.15) stellen wir sie in komplexer Form dar: 2^(Px+iPv)

= = — fe-" [XU cos ß da + V sin ß da + X U sin ß dß - V cos ß dß + r + i (X U sin ß da - V cos ß da - X U cos ß dß - V sin ß dß)] + + f ea [X U cos ß da - V sin ß da - X U sin ß dß - V cos ß dß + + i {XU sin ß da + V cos ß da + XU cos ß dß - V sinß. dß)].

(9.37)

9. Bestimmung des resultierenden Kraft- und Momenteiivektors

61

Andererseits gilt F (£) d£ = F (y) evdy = (XU + iV) e° (cos ß + i sin ß) (da + idß)

=

= ea [X U cos ß da - V sin ß da - X U sin ß dß - V cos ß dß + + i (XU sin ß da + V cos ß da + XU cos ß dß — V sin ß dß)]

(9.38)

und = F (y) e~y dy = (XU + i V) e~a (cosß - i s i n ß ) (da + idß)

=

= e~a [X U cos ß da + V sin ß da + X U sin ß dß - V cos ß dß

-

l^Qß-

- i (XU sin ß da -V

cos ß da - XU cos ß dß - V sin ß dß)].

(9.39)

Wir bilden nun die zur Größe ^ ^ ^ konjugiert komplexe Größe ^ ^ ^ : [X U cos ß da + V sin ß da + XU sin dß - V cos ß dß +

=

i (A.Z7 sin ß da - V cos ß da - X U cos ß dß - V sin ß dß)]

(9.40)

und dann die Differenz der komplexen Größen (9.38) und (9.40). Das Umlaufintegral dieser Differenz längs des geschlossenen Weges T7, der mit dem Rand des abgetrennten Schalenelements zusammenfällt, stimmt — wie man leicht sieht — mit der rechten Seite von (9.37) überein. Hierdurch erhalten wir für die komplexe Größe Px + i Py die Beziehung

p> + i p .

= i h ( f F«> ^ - I 1 ^ 1 ) -

(9-41>

Betrachten wir die Momente Mx und My, so stellen wir fest, daß wegen (9.16) der B.ealteil des Integrals jF(C)dC r

= = J e" [XU cosß da - F sin ß da - XU sin ß dß - V cosß dß + r + i(XUsin ß da + Vcosßda + X U cosß dß - Vsinßdß)] (9.42)

dem Moment My, der Imaginärteil hingegen dem Moment Mx proportional ist. Wir erhalten also für die Momente Mx und My die Gleichung My - iMx = a \F (0 dl. r

(9.43)

Wenn auf die Schale in einem beliebigen Punkte eine Einzelkraft mit den Komponenten PI, P°y und Pjj wirkt, so haben die Gleichgewichtsbedingungen

62

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

eines willkürlich herausgeschnittenen Schalenelements, das den Kraftangriffspunkt enthält, folgende F o r m :

PI + i ^ M° = 0,

j'-f«

(9.44)

f F(Z)dt+±-

= 0.

{M;-iM%)

I n diesen Gleichungen sind M%, und M \ die Momente der Einzelkraft { P I , P ° y und P a z ) um die Achsen x , y und z . Für diese Momente erhält man

M°x = PI r1 sinß1 - P f a , M° = - P\rx cos ßt + P°xzlt

8 -P'xr1 sin ßl.

(9.45)

Ml = P ° r j cos 1 1

Hier sind zx und ß 1 die Koordinaten des Kraftangriffspunktes, und rx ist der Radius des Breitenkreises, der durch diesen P u n k t geht.

z\.

(9.46)

In den Koordinaten a und ß nehmen die Gleichungen (9.45) auf Grund von (9.12), (9.13) und (9.14) die Form a n :

M% Mi m

{Pia sin ß1 - Pybe"*), 1 Plbe"*), chaj { — Pia cos ßi + a ^ ° y c o s f t - PJsinft). cha t

=

(9.47)

P

Die Gleichungen (9.44), die alle sechs Gleichgewichtsbedingungen im Raum in komplexer Form ausdrücken, gelten für jeden Schalenteil, der durch eine beliebige geschlossene Kurve begrenzt ist. Das folgt aus der Tatsache, daß das Linienintegral irgendeiner analytischen Funktion nicht vom Integrationsweg abhängt. Für einen unbelasteten Schalenteil haben die Gleichgewichts bedingungen (9.44) die Form

r

0,

Fit) dt

3.fF{Z)d£

= 0,

= 0.

(9.48)

9. Bestimmung des resultierenden Kraft- und Momentenvektors

63

Hierbei integriert man über einen beliebigen geschlossenen Weg, der den unbelasteten Teil der Schale einschließt. Die letzte der Gleichungen (9.48), die wir hier als Spezialfall der dritten Gleichung (9.44) erhalten, drückt den in der Funktionstheorie bekannten CAUCHYschen Integralsatz aus, nach dem das Integral einer analytischen F u n k t i o n F ( Q , d.h. einer Funktion, die innerhalb des Bereiches r keine Singularitäten hat, auf einem beliebig geschlossenen Wege gleich Null ist [4]. Somit liefert unsere Theorie durch den physikalischen Sinn der Gleichungen (9.44) unmittelbar einen Beweis für den CAUCHYschen Integralsatz. Außerdem sehen wir, daß für irgendeinen unbelasteten Schalenteil, der durch eine beliebige, auf der Fläche des Ellipsoides gewählte geschlossene Linie F (£) begrenzt ist, nicht nur die Funktion F (£), sondern auch die Funktionen ^ jßi ^ und innerhalb des unbelasteten Bereiches r analytisch sind, da sie, wie (9.48) zeigt, bei Integration längs eines geschlossenen Weges Null ergeben. Für einen Schalenteil im Bereich J1, der in einem beliebigen Punkt durch eine Einzelkraft mit den Komponenten P%, P"y und P° belastet ist, sind in F ) F (£) den Gleichgewichtsbedingungen (9.44) die Funktionen F (£), — u n d meromorph. Im Bereich innerhalb der geschlossenen Linie T liegen in diesem Fall Singularitäten vor. Der Angriffspunkt der Kraft, der im gegebenen Bereich liegt, ist ein Pol. Liegt der Pol in dem vom geschlossen Wege T begrenzten Bereich, so werden F {O Fit) die Integrale über die F u n k t i o n F ( Q , und nicht Null. Diese Integrale müssen dann den Gleichungen (9.44) genügen, die die Gleichgewichtsbedingungen für den belasteten Schalenteil darstellen. Trennen wir in den Gleichungen (9.44) die Real- und Imaginärteile, so können wir die Gleichgewichtsbedingungen des durch eine Einzelkraft belasteten Schalenteils auch in folgender Form schreiben:

r r (9.49)

r Im fF(C)d^-~M"x a r

= 0.

64

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

b) D i e K u g e l s c h a l e Setzen wir in den Gleichungen (9.44) b = a (a Kugelradius), so erhalten wir / * < « « - « r

+ 4 * 5 = 0,

j F ( 0 d £ - J ^ f i r r

+ 2 (P° + iPay) = 0,

(9.50)

f F ( 0 d £ + ± - ( M ° y - i M ° x ) = 0. r Diese Gleichgewichtsbedingungen nehmen nach Trennung von Real- und Imaginärteil folgende Form a n : R e / ^ - P ° r

= 0, Ffödt

Re

+ 2P°Z = 0,

(9.51')

=0,

(9.51")

it

Im

r Re f F ( Q d C r Im J P ( 0 d Z -

\MI=0.

Die Gleichungen (9.51) erhält man auch aus den Gleichungen (9.49), wenn man in ihnen b = a setzt. c) D i e h y p e r b o l i s c h e S c h a l e m i t p o s i t i v e m GAUSSschen Krümmungsmaß Für die Schale, die durch den unteren Teil eines zweischaligen Rotationshyperboloides gebildet wird und deren Meridian der Gleichung (Abb. 12 a) r2=

^-(2 bz + z*)

(9.52)

genügt, erhält man bei der Abbildung gemäß der Gleichung a = I n j / ,26 + z

(9.53)

9. Bestimmung des resultierenden Kraft- und Momentenvektors

65

auf einen Halbstreifen der Breite 2 n (Abb. 12) die Beziehungen zr =

r

kr

1 t- = Xr , r =

= ae ,

a . —rsha, b a , ycha.

(9.54)

Die zwei letzten Gleichungen ergeben sich aus den früher abgeleiteten Gleichungen (8.47) mit (9.55)

o2

Die erste der Gleichungen (9.54) stimmt mit der entsprechenden Gleichung (9.13) für die elliptische Schale überein. In den Gleichungen zwei und drei sind gegenüber den Gleichungen (9.14) die rechten Seiten vertauscht. Mit den Gleichungen (9.54) und unter Benutzung derselben Methode wie bei den elliptischen Schalen erhalten wir nach einfachen Umformungen folgende Gleichungen: %XM. =

j

F Mv — iMx = a,

JF

¥

(9.56)

(£) d£.

Die erste und die dritte dieser Gleichungen stimmen mit den entsprechenden Gleichungen (9.36) und (9.43) für die elliptischen Schalen vollständig überein. Die zweite Gleichung (9.54) unterscheidet sich von der Gleichung (9.41) nur durch das Vorzeichen des ersten Summanden. Man muß aber beachten, daß die Parameter a und b für die Hyperbel (9.52) einen anderen Sinn haben als für die Ellipse (9.10). Aus den Gleichungen und

C = Q (cos ß + i sin ß) e=

e a

=

i ü r r z

(9.57)

folgt, daß der betrachtete Teil des Rotationshyperboloides in der @-/?-Ebene auf den Einheitskreis abgebildet wird (Abb. 12). Denn wenn wir in Gleichung (9.57) z = 0 setzen — dies entspricht dem oberen Punkte der Hyperbelschale —, wird Q = 0. Demnach wird der Pol der Schale in der Q-\3-Ebene auf den Koordinatenursprung abgebildet. Für z — oo wird q = 1; d. h., der unendlich ferne Breitenkreis des unteren Teiles des Hyperboloides, der den Radius r = oo hat, wird auf den Einheitskreis abgebildet. Den Punkten der Q-ß-'Ebene, die außerhalb des Einheitskreises liegen, entsprechen die Punkte des oberen Teils 5

W l a s s o w , Schalentheorie

66

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

des Hyperboloids, der uns nicht interessiert. Die sich ins Unendliche erstreckende hyperbolische Rotationsschale mit positivem Gaußschen Krümmungsmaß (die Parameter a und b in Gleichung (9.52) sind reell) wird also bei Einführung der Variablen q nach der Gleichung (9.57) auf den Einheitskreis abgebildet. Ein beliebiges Stück des unteren Teils des Hyperboloides, der von einer beliebigen geschlossenen Kurve begrenzt ist, wird auf den entsprechenden Teil der horizontalen Ebene, der sich innerhalb des Einheitskreises befindet, abgebildet. Dies gilt auch für den Halbstreifen in Abbildung 12 b, der für die untere Hälfte des Hyperboloides durch den Bereich der Variablen a = In q • In und f . .2 b + z ß festgelegt ist. Durch die Gleichungen (9.56) werden also alle Komponenten des Kraft- und Momentenvektors, die die Wirkung der auf der geschlossenen Linie r angreifenden Schnittkräfte darstellen, in komplexer Form ausgedrückt. Die Form der Randlinie in der Ebene der komplexen Variablen t kann (innerhalb des Einheitskreises) wegen der eindeutigen Abbildung der Fläche des Hyperboloides durchaus willkürlich gewählt werden. Für eine beliebige geschlossene Linie, die den Angriffspunkt der Einzelkraft umschließt, nehmen die Gleichgewichtsbedingungen des belasteten Schalenteils folgende Form an:

-/

+ P I - iXM\

26

- \ f F ( O d t + f

fF(C)dC

= 0,

+ — (PI + iPl)

= 0,

(9.58)

+ ± ( M } - i M l ) = 0.

Hier haben P°x, P% und M%, M°y, M°z dieselbe Bedeutung und werden ebenso berechnet wie für die elliptischen Schalen. Dabei wird in Gleichung (9.45) r1 (Radius desjenigen Breitenkreises, der durch den Angriffspunkt der Kraft geht) bei gegebenem z1 nach Gleichung (9.52) bestimmt. Wenn die Linie JT, längs der die Integrale der Gleichung (9.58) errechnet werden, einen unbelasteten Teil der Schale umschließt, haben die Gleichgewichtsbedingungen die Form

/ < F(t)dC

= 0,

r

f

F(C)dC

[F(QdC

0, = 0.

(9.59)

9. Bestimmung des resultierenden Kraft- und Momentenvektors

67

Diese Gleichungen, die mit den Gleichungen (9.48) übereinstimmen, zeigen, daß im Fall der hyperbolischen Schale die Funktion F(C), y F(£) und

F (f)

für einen beliebigen unbelasteten Teil der hyperbolischen Schale, d. h. auf einem Teil der hyperbolischen Fläche, die innerhalb des Randes r von äußerer Belastung frei ist, analytische Funktionen sind. Die Gleichungen (9.59) stellen im gegebenen Fall (d. h. beim Fehlen von Einzelkräften und Momenten innerhalb des betrachteten Bereiches) den CAUCHYschen Integralsatz für die drei Funktionen Jf(C), | f ( f ) und ^ Fß) dar. Die Gleichgewichtsbedingungen (9.58) lauten nach Trennung des Real- und Imaginärteiles

/

Re r

= 0,

C

I m / FW dt

= 0,

Re Im

f F

+ f

Fß)dt p

2b a

F(t)d£

26 a

0, (9.60) 0,

Re f F(£)dC + ±-M°y = 0, r I m fF(C)d£--M°x

= 0.

d) D i e p a r a b o l i s c h e S c h a l e Benutzen wir die Parabel (9.61)

r2 = 2 pz,

für die

1 P'

(9.62)

V_2_ r_ ist, so erhalten wir r - r z=

2 ^ /y2pz S — = V ~pe" „ =

2

(9.63) r 5'

2 '

Xr

68

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Für die Komponenten des K r a f t - und Momentenvektors, die auf einen beliebigen, durch die geschlossene Linie T begrenzten Teil der parabolischen Schale entfallen, erhalten wir folgende Ausdrücke: M,

Px + iPv M„

F(Ç) dÇ

- (

y 2

=

iMx =

F(0 dÇ a2

(9.64)

^-P¡F(OdC.

Diese Gleichungen nehmen nach Trennung in Real- und Imaginärteil folgende Form a n : P2 = - Re

/

dC,

M, = plmj P

X

^fldC,

= - ± Y 2 R e J F&dÇ

¥

(9.65)

F(t)di;

M v = ^ - p Re J F (£)

M, =

t i pirn 2

Die unabhängige komplexe Variable

J

F(Ç)dÇ. die nach der Gleichung

C = Q (cos ß + i sin ß)

(9.66)

bestimmt wird, h a t den Betrag f i

Ï 1 2

r V

(9.67)

Sie bildet die ganze Fläche des Paraboloides auf die horizontale Ebene ab (Abb. 13b). Der Scheitelpunkt des Paraboloides z = 0 (oder r = 0) geht dabei in den Koordinatenursprung der Ebene (q = 0) über. Die Meridiane ß = const gehen in die vom Nullpunkt ausgehenden Strahlen ß = const und die Breitenkreise z = const, die infolge (9.61) den Radius r = const haben, in die Kreise Q = const über. Der Breitenkreis z = p wird auf den Einheitskreis q = 1 abgebildet. Die unabhängigen Variablen q und ß sind in diesem Fall Polarkoordinaten der horizontalen Ebene.

9. Bestimmung des resultierenden Kraft- und Momentenvektors

69

Die parabolische, durch irgendwelche Schnitte begrenzte Schale (z. B . eine parabolische Kuppel, die durch eine horizontale Ebene und durch eine vertikale Ebene, die durch die Drehachse geht, begrenzt ist) wird bei der durch die Gleichungen (9.66) und (9.67) dargestellten stereographischen Projektion auf einen Teil der Ebene abgebildet. Die Gleichgewichtsbedingungen des durch die geschlossene Linie T begrenzten Teils der parabolischen Schale haben im Fall einer Einzelkraft, die innerhalb des Bereiches T angreift und die Komponenten P%, P ay und P° besitzt, folgende Form:

-/ r

/ fF(Ç)dÇ

f2

PI - i-^Ml

= 0,

- y 2 ( P o « + i P » ) = o,

(9.68)

+ Y 2 j (M°y - %M%) = 0.

Die Momente M%, M\ und M°z können ebenfalls nach den Gleichungen (9.45) errechnet werden, wenn in diesen für z1 und ßx die Koordinaten des Angriffspunktes der Einzelkraft eingesetzt werden. Hierbei wird j^nach Gleichung (9.61) bestimmt. Falls im Bereich r keine äußere Belastung vorhanden ist, gehen die Gleichgewichtsbedingungen (9.64) in die Gleichungen

I F(C)dC r

/

= 0, = 0,

F(t)äK C2

(9.69)

= 0

über, die mit den früher erhaltenen Gleichungen für die elliptische und die hyperbolische Schale übereinstimmen. Die Funktionen

F(j)

£ '

F(Ç) t2

sind also auch im Fall einer parabolischen Schale für den Teil der Fläche, der frei von äußeren Einzelkräften ist, analytische Funktionen. Falls innerhalb r eine Einzelkraft angreift, wird die Funktion F ( £ ) meromorph, und zwar so, daß der Kraftangriffspunkt Pol ist. In diesem Punkt wird die Funktion F ( £ ) unendlich. Wir können also die Komponenten des Kraft- und Momentenvektors, die auf den abgetrennten Schalenteil entfallen, für Schalen mit positivem Gaußschen Krümmungsmaß, d. h. für elliptische, zweischalig hyperbolische und parabolische Schalen, durch die Grundfunktion der komplexen Variablen ausdrücken.

70

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Ähnlich wie am Ende des Abschnitts 8 kann man durch Einführung eines Parameters m die gemeinsamen Gleichungen für alle diese Fälle erhalten. Aus (9.7) ergibt sich

Px = r

J

[jr'

cos

ß - -^X U sin ß^j dß -(J^ V sin ß + r'X U cos ßj d a j ,

Py = j[(vr' sin ß + -j^X U cos dß + ^ V cos ß - r'X ü sin /J^daj, (9.70) r Ps= j (Vdß - XU da). Aus (9.9) folgt

Mx = r

-zr') F sin jS — -^-XUcosß^dß -

— — zr') XU sin/? + ~ V cos ^J da J. My = J | - [(r - zr') V cos ß + X U sin /?J dß + r

+

- zr') XU cos ß -

F s i n ß j da j ,

XMZ = J (XU dß + Vda). Die Integrale in diesen Ausdrücken sind längs des geschlossenen Randes des abgetrennten Elements zu erstrecken. Bei Verwendung der Gleichungen (8.59), (8.60) und (8.61) können wir die in den Inte-

1

gralen enthaltenen Größen r', —, r Variablen a ausdrücken:

r — zr'

z

und — durch Funktionen der unabhängigen r

r' = ö2a6t (e~a + mea), _

o

Xr ~ 2b (r v — zr') ' Xr= T- = ae".

(9.72)

Die dritte Gleichung hängt nicht vom Parameter m ab. Beachten wir, daß y = a — iß und F (y) = XU — iV die konjugiert komplexen Funktionen zu y = a + iß und F (y) = X U + i V sind, und ersetzen wir die komplexe unabhängige Variable nach den Gleichungen C = f, 1

] }

dy = -^dK,

j

(9.73)

(9.71)

10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen

7 1

so kommen wir nach einer Reihe von Umformungen, die denen im Fall der elliptischen Schale ähnlich sind, zu den Gleichungen

M,„ - iMx = o jF ( f ) dt,. P, - i

(9.74)

- j l f s ,

Geben wir m den früher (am Schluß des Abschnitts 8) erwähnten Wert und setzen für die parabolische Schale außerdem a =

b=

so erhalten wir aus den Gleichungen

(9.74) die Gleichungen (9.34), (9.36), (9.41) (9.43), (9.56) und (9.64). Wenn auf die Schale in einem beliebigem Punkt eine Einzellast wirkt, die durch die Komponenten P%, P°y und P% und die Momente M"x, M"y und M° gegeben ist, haben die Gleichgewichtsbedingungen des durch eine geschlossene, den Berührungspunkt der äußeren Belastung einschließende Linie abgegrenzten Schalenteils die Form Px+iPy

+ P% + iPl = 0,.

M„ - iMx +

- iM%) = 0,

(9.75)

•M, Das Summenzeichen bei den Momenten der äußeren Belastung gibt an, daß außer den Momenten, die durch Angreifen der Einzelkraft auftreten, auch Einzelmomente vorhanden sein können. Auf Grund von (9.74) geht Gleichung (9.75) in f F(t) dt

f

r

F(Z)d!; =

2-(P°x+iP°),

r (9.76)

' ¡ a s p - n - i i z * . über. Für bestimmte Werte von m(— 1, +1,0) erhalten wir die Gleichungen (9.44) für die elliptische, (9.58) für die zweischalig hyperbolische und (9.68) für die parabolische Schale.

10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen Wir betrachten eine elliptische Schale, deren Meridian in den Koordinaten r und z durch die Gleichung r

=

"J/2&Z

-

z2

(10.1)

72

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

gegeben ist. Dabei liegt der Scheitel im Koordinatenursprung; a und b sind die Halbachsen der Ellipse (Abb. 11). Ein beliebiger Punkt des Ellipsoides mit den Koordinaten z und ß wird auf der Ebene der stereographischen Projektion (Abb. I I b ) in den Punkt q, ß abgebildet, wobei q aus e =

TV\ /- I^2bTz

(io.2)

bestimmt wird. Als unabhängige komplexe Variable dient bei stereographischer Projektion des Ellipsoides die Größe

0

/ /

^'''fH^x * if \ r

C — Q (cos ß - i sin ß) (10.3) i t dem Betrag q und dem Argument ß. Wir nehmen an, daß in einem beliebigen Punkt der Schale eine Einzellast wirkt, die im allgemeinen Fall aus der Einzelkraft P und dem Moment M besteht. Px, Pv und Pz seien die Projektionen des Vektors der gegebenen K r a f t P auf die Achsen x, y, z. Mx, Mu und Mz sind die Projektionen des gegebenen Moments M, das in demselben Punkt der Schale wie die K r a f t P angreift, auf dieselben Achsen. Den Angriffspunkt der K r a f t P und des Momentes M wählen wir auf dem Null-Meridian der Schale, d. h. auf dem Meridian, der (Abb. I I a ) in der «-«-Ebene liegt und von dem aus die Winkelkoordinate gezählt wird. z = z1 und ß = ßi = 0 seien die Koordinaten des Angriffspunktes der gegebenen äußeren K r a f t P und des gegebenen Moments M (Abb. 15a). Dieser Punkt geht bei stereographischer Projektion (Abb. 15b) in den Punkt £1 = g 1 über, der auf der x-Achse liegt und vom Koordinatenursprung 0 die Entfernung

m

*

=

(

1

0

-

4

)

hat. Unsere Aufgabe besteht nun darin, die F u n k t i o n F ( Q = XTJ + iV der unabhängigen komplexen Variablen f = q (cos ß + i sin ß) zu finden. Durch den Realteil dieser Funktion 1U sind die Schubkräfte S entsprechend (8.28) in einem beliebigen Punkt der Schale bestimmt, durch den Imaginärteil V hingegen die Normalkräfte Nx und N2. Die Funktion F(C) muß — bei Wirkung einer Einzellast auf die Schale — außerhalb des Lastangriffspunktes analytisch sein. Ihr Integral muß also längs einer beliebigen geschlossenen Linie, die den Angriffspunkt der K r a f t nicht umschließt, Null sein. I m Angriffspunkt der äußeren Einzelkraft hat die gesuchte Funktion F (£) einen Pol. Wir trennen nun um den Lastangriffspunkt einen Teil der Schale ab, der durch irgendeine geschlossene Kurve begrenzt ist. Auf der Fläche des Ellipsoides ist die

10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen

73

Linie r des abgetrennten Schalenteils bei beliebiger Linienführung um den Lastangriffspunkt eine räumliche Kurve. In der Ebene der stereographischen Projektion ist die Linie 71, die den Lastangriffspunkt umschließt, eine ebene Kurve. Die Form dieser geschlossenen Kurve kann nach Belieben gewählt werden. Im folgenden wählen wir für die Linie J", die den Lastangriffspunkt umschließt, in der Ebene der komplexen Variablen £ den Einheitskreis, dessen Mittelpunkt mit dem Lastangriffspunkt q = g1 und ß = 0 zusammenfällt (Abb. 15b). Die Gleichgewichtsbedingungen des Schalenteils, der die gegebene Belastung aufnimmt, haben, wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, folgende Form:

/

r

- Pz + i ^ I M

z

= 0, (10.5)

j > ( f ) df + ± ( £ M V - i Z M x ) = 0. Da im allgemeinen Fall die Einzellast aus einer Kraft mit den Komponenten Px, Py und Pz und einem Moment M1 mit den Komponenten Mx, My und Mz besteht, erhalten wir für £ M X , £ M y und ^ M z die Gleichung (Abb. 15a) ZMX

= MX-

ZMv

= My + Pxz1-

ZM,=Mz

Pyzlt Pzrlt

(10.6)

+ Pyr1.

Hier wird die Entfernung des Kraftangriffspunktes von der «-Achse nach der Gleichung 6 (10.7) r 1 = ±V2 bestimmt. Tragen wir (10.6) in die Gleichgewichtsbedingung (10.5) ein, so erhalten wir

/

-

p,

w

Fit) dt; , 26 „ f2

/

F(0dt+^P

x

+ ±Mv-±

,26 (10.8) r i

P

z

+

Die Gleichungen (10.8) gelten für den allgemeinen Fall der Belastung der Schale durch eine Einzellast. Wenn die äußere Belastung nur aus der Einzellast P mit den Komponenten Px, Pv und Pz besteht, muß man in den Gleichungen (10.8) Mx = My = Mz = 0 setzen.

74

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung

Wir betrachten jetzt die gesuchte Funktion F(£) und wählen sie so, daß sie erstens im Lastangriffspunkt £ = £x eine Singularität hat und zweitens im oberen Pol der Schale, d. h. für £ = 0, endliche Schnittkräfte Nlt N2 und S liefert. Diese Bedingungen werden erfüllt, wenn F

(C) = j f ^ j i ( A ? + ¿ 3 ? + ¿ 4 ? )

gilt. Dabei sind die Konstanten komplexe Zahlen. A2 A3 Ai

(10.9)

A2, A3 und A4 vorläufig noch unbekannte = «a + ibz, = a3 + ib3, = aiJr ib4.

(10.10)

Jede dieser Größen A2, A3 und At kann aus zwei Parametern ai und £>,- zusammengesetzt werden, die den Real- bzw. Imaginärteil darstellen. Die Funktion F(C) (10.9) ist also bis auf sechs beliebige reelle Parameter bestimmt. Diese Funktion geht bei Annäherung an den Punkt £x gegen unendlich. Der Lastangriffspunkt ist also für die Funktion -F(£) ein singulärer Punkt, in dem die Funktion F(£) unendlich wird. Da im Nenner der rechten Seite der Gleichung (10.9) die Größe (£ - £x)3 steht, wächst die Funktion F(£) für £ ->• £ umgekehrt proportional der dritten Potenz der beliebig kleinen Größe (£ — fi)- Der Punkt £ = fx ist in der Ebene der unabhängigen komplexen Variablen £ ein Pol dritter Ordnung. Für £ fx> d . h . außerhalb des Lastangriffspunktes, ist die Funktion F(£) überall bis auf den Punkt £ = oo endlich, der nach Gleichung (10.2) dem unteren Pol der elliptischen Schale entspricht. Im Punkte £ = 0, der dem oberen Pol der Schale entspricht, wird die Funktion F ( Q nach Gleichung (10.9) für Cx =)= 0 Null. Der erste Summand der rechten Seite von (10.9) hat für £ = 0 eine Nullstelle zweiter Ordnung, der zweite und der dritte Summand haben dort Nullstellen dritter bzw. vierter Ordnung. Aus den Gleichungen (8.28) folgt, daß die Schnittkräfte der Schale für r 0, d. h. in der Umgebung des oberen Poles, umgekehrt proportional dem Quadrat der beliebig kleinen Größe r sind. Damit wir die Ordnung der Schnittkräfte der Schale im Punkt z = 0 beurteilen können, müssen wir die Funktion F(£) in Übereinstimmung mit den Gleichungen (8.64) durch f 2 teilen und dann £ = 0 setzen. Wir erhalten ±F(Z)=

w

^

j 3

(A

2

+ A3: + Aip).

Aus dieser Gleichung folgt, daß die Größe i

(10.11)

J 1 (£) für £ = 0 und £=j= £x nicht

Null wird. Folglich liefert die Funktion F ( Q bei beliebigen endlichen Werten der komplexen Konstanten A2, Aa und At für alle Schnittkräfte der Schale im oberen Pol endliche Werte. Diese Funktion, die im Punkte £ = £x einen Pol dritter Ordnung hat, liefert somit in allen Punkten der Schale, bis auf £ = £x und £ = oo, stetige Schnittkräfte. £ = oo entspricht dem unteren Pol der Schale, in dem eine Einzelkraft und ein Eiiizelmoment angreifen müssen, um der gegebenen äußeren Belastung das Gleichgewicht zu halten. Zur Bestimmung der sechs Parameter a2, a3, ait b2, b3 und ö4 benutzen wir die Gleichgewichtsbe-

10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen

75

dingungen (10.5), die nach Trennung in Real- und Imaginärteil sechs Gleichungen liefern. Wir beschäftigen uns zunächst mit der Berechnung der Linienintegrale, die in Gleichung (10.5) enthalten sind und über eine geschlossene Linie J 1 erstreckt werden, die den Lastangriffspunkt f = f x umschließt. Wir geben nun Formeln für die Integrale an, die wir weiterhin benötigen: 1 3 d 2 /(C ( £ -- £ 1 )W + G' (C--CCjl)) 3 Z = ~ 22(C _1 1_ c Ci + C, dC=C - C i ~ 2 " (f - y 2 (C - w i2 2f, i « + 0, 3 (C -Cx) C3 (10.12) df = 3Ciln(C - W + ( C - W (C - ? l ) 3 9 3 ff ix + 0, £- ^ 2(£ d£ = 6£?ln

(t -

+

(C - W +

Ci c. 2(C - fi)2 Die Gleichungen (10.12) ergaben sich auf Grund der gewöhnlichen Integrationsregeln für rationale Funktionen reeller Variabler, nur mit dem Unterschied, daß hier unter £ die unabhängige komplexe Variable verstanden wird. Die Größe 0 stellt in jeder der Gleichungen (10.12) eine beliebige komplexe Integrationskonstante dar. Wenn wir zur Berechnung der Linienintegrale der komplexen Funktionen übergehen, müssen wir annehmen, daß die Randlinie J1, die dem abgetrennten Schalenteil auf der ¿[-Ebene entspricht, eine geschlossene Linie ist. Es kann leicht gezeigt werden, daß dann für einen außerhalb des Bereiches gelegenen Punkt £ = £j alle Integrale in (10.12) längs einer geschlossenen Kurve Null werden. Wenn aber der Punkt £ = £x innerhalb des Bereiches, der von der geschlossenen Linie JT umgeben ist, liegt, werden zwar die ersten beiden Integrale (10.12) Null, aber nicht diejenigen, die logarithmische Glieder enthalten. Für den Fall, daß die Linie T den Punkt £ = £x umschließt, erhalten wir deswegen f C3 3 J (£ = 3 f l • 2ni> (C - f l ) c dC = 0, (i - f l ) 3

/

t2 d£ = (C - ii)3

r £4 J (T=U3

dC

6£f •

i,

(10.13)

2ni.

Von der Richtigkeit dieser Gleichungen können wir uns durch folgende Betrachtung überzeugen. Irgendein Punkt E auf der Linie 7 1 sei Berührungspunkt eines Vollkreises mit J1, der sich innerhalb des Bereiches r befindet (Abb. 16).

76

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Mächen zweiter Ordnung

Bei Umfahrung des Bereiches längs der geschlossenen Linie F nimmt die komplexe Variable £ im Punkt E den Wert £ = Ce an. Zur Berechnung der Linienintegrale müssen wir die rechten Seiten der Gleichung (10.12) für £ = £i> und für £ = £ £ , die der oberen und der unteren Integrationsgrenze entsprechen, ermitteln und dann voneinander abziehen. Da aber im Fall einer geschlossenen Linie F der Endpunkt D der Umrandung (obere Integrationsgrenze) mit dem Anfangspunkt E (untere Integrationsgrenze) zusammenfällt und daher £ß — £g gilt, ist der Wert der Differenz

für jeden Summanden der rechten 'CÜ Seite einer jeden Gleichung (10.12) mit Ausnahme der Summanden mit logarithmischen Gliedern gleich Null. Die logarithmischen Glieder treten bei Berechnung des Integrales 1

Abb. 16

dt = i In (£ - £i) I iE C-ti

(10.14)

auf. Benutzen wir als Linie r den Einheitskreis mit dem Mittelpunkt £ = ^ (Abb. 16), so können wir die komplexe Größe £ — ^folgendermaßendarstellen:

£ - £x = e ie.

(10.15)

dC = ie id d6.

(10.16)

Daraus ergibt sich Wir setzen (10.15) und (10.16) in die Gleichung (10.14) ein und berechnen das Integral über 0 von 0 = 0 bis 0 = 2 7t für die geschlossene Linie F , die den Punkt £ = Ci umschließt. E s ergibt sich 2n f ^ j - = i fd6= 2ni. (10.17) r o Daraus folgt, daß In (£ — £x) in diesem Falle mehrdeutig ist. Wenn der Punkt £ = £i außerhalb der Kurve liegt, erhält der Winkel 0 bei Umfahren des Bereiches längs dieser Kurve wieder seinen Anfangswert 0 = 0. In diesem Fall gilt e=o (10.18)

Wir berechnen jetzt die in (10.5) vorkommenden Linienintegrale. Wegen (10.9) und (10.13) erhalten wir jF(£)dC r

/

= 2 n i (A2 + 3 = 27ii(A3

2

niA,.

+

+

3C1 Al ),

6$At),

(10.19)

10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen

11

Setzen wir hier (10.10) ein, so ergibt sich

f F (C) dC = 2n [- b2 - 3CA - 6C?&4 + + i ( a 2 + 3 ^ « 3 + 6 Cfo4)],

r/ /

2tt

[- 53 - 3£x&4 + i (a3 + 3Ci«4)],

(10.20)

Um die zu

^ ^ ^ konjugiert komplexe Größe ^ - zu erhalten, r J1 müssen wir in der letzten Gleichung (10.20) das Vorzeichen des Imaginärteils umkehren. riFiKTF J ^J-P- = - 2 n ( h + i a t ) . (10.21) Wir setzen nun (10.20) und (10.21) in die Gleichungen (10.5) ein und trennen Real- und Imaginärteil. Wenn wir ferner die Gleichungen (10.6) berücksichtigen, erhalten wir zwei unabhängige Systeme liniarer Gleichungen:

«3 + 3^4= ^ Oi + 3 f 1 a , + ('6C? +

a2 + 3 ^

l ) o

4

L^PV+^M)'

= -

+ 6?f« 4 = - ± ( i P „ - ±

Mx),

b3 + 3^6, = - -2- P„ h + ZUh + (H\ - 1) bt = A Px, h + 3fx6, + 6= (P x z x + M„- P z r x ). b2, b3 bi:

(10.22)

Aus den Gleichungen (10.22) erhalten wir die gesuchten Unbekannten a 2 , a 3 , a4, und 1

i

= - ¿T {

_

__

-

M

3?.Ä .

_

* ~ ^ T (fiP» +

zj Py + MX}},

X [(26 a

3= -

{1

a

* = - zL

[{2b

&2 =

+ ^ -

{ZlP* + ^

p

+M

y

-

p

-

X

+

-

^

P

« +

}'

*]>

*ri +

3

fiaP* -

X [(26 -

Z l

)P

x

(10.23)

x

- (M

v

- P^)]},

78

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Flächen zweiter Ordnung Fortsetzung

63 =

(10.23)

Es ist leicht einzusehen, daß die in den rechten Seiten der Gleichungen (10.23) stehenderi Größen - [(2b - z j P„ + Mx], - [(2b - z1)Px - My + P ^ ] , — ( r i Py + M z ) Reaktionsmomente sind, die im unteren befestigten Pol der Schale entstehen. Die Gleichungen (10.23) können auch in folgender Form geschrieben werden: X xP„ - ( l - 3 C f ) J f , - " f x J f , },

X P . - s C t ^ + l ^ } , = 62

~~ ¿ ä

= i

Zl) p »

[(2& _

{ -

(

2

b* =

¿Ta ^

p*

(MvZi} P * Zl)

P

*

(10-24) + 3k'oP« +

Pzrx) }, ~ +

aP* M

»

~ -

~ P * r ^> P'r

J-

In diesen Gleichungen wie auch in den Gleichungen (10.23) sind die Größen z1, rx und die den Angriffspunkt der Kraft Px, Py und Pz und des Momentes Mx, My und Mz angeben, durch die Beziehungen r1 =

T

Y2bz1-zf,|

i

(10.25)

miteinander verbunden. Die zweite Gleichung folgt daraus, daß wir den Lastangriffspunkt auf dem Nullmeridian ßt = 0 gewählt haben. Infolgedessen ist nach (10.3) der Imaginärteil der komplexen Koordinaten Ci Null und der Realteil gleich dem Betrag Qv Drücken wir aus (10.25) r1 und zx durch Ci = Q1 aus, so erhalten wir • 2b

1+ ei '

2 ap! TTeT

(10.26)

79

10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen

Damit nehmen die Gleichungen (10.24) die Form 1 2b a, = F T ü P " + (1 " 3e?) 2na -

J _ ra Ql (1 - 3 g ; )

-

L 1 2jta

1 + e»

+

46e;

^

,

i + el

+ V +

6bQl r _ « ( l - 5 g j ) x ! 1 .1 i + el ' 1 i + el

_

- — ( - -— -P - 2ae* FzP +4i + el * - 2»ö l i + er *

bb

(10.27) M

V

M

JQl-f-ly m\ My

) an. Diese Gleichungen sind in Tabelle 1 dargestellt. Aus Tabelle 1 ist ersichtlich, daß die gesuchten Größen a 2 , a3 und ai nur von der K r a f t Py und den Momenten Mx und Mz abhängen. Für MX = MZ = 0 sind diese Größen der K r a f t Py proportional. Die Größen b2, b3 und £>4 hängen hingegen nur von den Kräften Px und Pz und dem Moment My ab. Wirkt auf die Schale nur die K r a f t Px, so sind die gesuchten Größen &2, b3 und &4 dieser K r a f t proportional. Aus Tabelle 1 können wir alle 6 Größen a 2 , a3, ait b2, b3, 64 für eine beliebige Einzellast bestimmen, die im allgemeinen Fall aus den K r ä f t e n Px, Py und Pt und den Momenten Mx, My, Mz besteht und in einem beliebigen Punkte z = zx des Nullmeridians ß = 0 angreift. Tabelle 1

2na Px

2na

Pj

>

2na

l

- 2 6

i + ei 46 ei 1 + e! l -2b i+ ei

— 46

-

i + el et 66 i+ el l 2 6 M7^

o

°ei(i - 3el) i + ei _ q(i-gef) 1 + ei 2 ao1 ~ i + ei

Mx

2 na

-3ei

2 na

o

3ex

o

—l

0

o

i + 3e?

o

— 3ei

o

1

Mt

36

_ b_ a

80

Allgemeine Membrantheorie der Schalen aus Mächen zweiter Ordnung

Durch die Größen a2, a3, a 4 , b2, b3 und bi sind die in (10.9) auftretenden komplexen Koeffizienten A2, Aa und At bestimmt und alle Gleichgewichtsbedingungen der im Punkte z = zlt ß = 0 belasteten und im unteren Pol z = 2b gegen Verschiebungen gesicherten Schale erfüllt. Wir bestimmen jetzt den Real- und Imaginärfall der Funktion F(£). Setzen wir in Gleichung (10.9) £ = q (cos ß Ci = ßi; A2 = a2 + ib2, A3 = a3 +

i sin ß),

(10.28)

ib3,

«4 + ib i t so ergibt sich F(C)

[(a8 + ib2) q2 (cos 2ß + i sin 2/3) + + ig sin ß)3 3 («3 + ib3) q (cos 3/3 + i sin 3/3) +

= (g cos ß — +

+ (a 4 + ibt) q1 (cos 4ß + i sin 4/3)].

(10.29)

Formen wir den Nenner von (10.29) mit Hilfe der Beziehung 1 ß cos ß — ßi + iß sin ß

o cos ß — q! — iß sin ß ß2 — 2ß±ß cos ß + ß\

(10.30)

um, so nimmt Gleichung (10.29) die Form a n : 7(0

=

(e cos ß — ßx — iß sin ß)sß2 (ig2 - 2ß1 cos ß + ßl)3 + («3 + ih) Q ( c o s

[(a2 + ib2) (cos 2/3 + » sin 2/3) +

i sin 3 ß) + + («4 + ibt) q2 (cos 4/3 + i sin 4/3)].

(10.31)

Aus Gleichung (10.31) erhalten wir für den Real- und Imaginärteil der Funktion F(C)

folgende Ausdrücke [5]:

=XU

+

(10.32)

iV

{(e cos ß [Q2 (cos2 ß (,o2 - 2 e i e cos ß + e»)» — 3 sin 2 ß) — cos ß + g 2 ] (a2 cos 2/3 + ga3 cos 3/3 + + g 2 a 4 cos 4/3 — b2 sin 2ß — gb3 sin 3/3 — g2bi sin 4ß) + + q sin ß [g2 (3 cos 2 ß - sin 2 ß) - 6 6 i q cos ß + 3p 2 ] (a2 sin 2/3 +

XU = Re[J(f)]

=

+ qa3 sin 3/3 + qiai

V — I m [F (£)] 2

_

sin 4/3 + b2 cos 2ß + g&3 cos 3ß -f + e*bi cos 4ß)}, 2ei?

ß+

cos

e,)S

•{(g cos/3 - g j [ß2 (cos 2 ß

(10.33) -

2

— 3 sin ß) — 2gjg cos /3 + g ] (a2 sin 2/3 + g«3 sin 3/3 + + g 2 a 4 sin 4/3 + &2 cos 2/3 + g&3 cos 3/3 + g 2 ö 4 cos 4/3) - g sin ß [g2 (3 cos 2 ß - sin 2 ß) cos ß + 3p 2 ] (a2 cos 2ß + + ga 3 cos 3/3 + g 2 a 4 cos 4/3 — &2 sin 2/3 — g&3 sin 3/3 — - g2£>4 sin 4/5)}.

(10.34)

10. Einflußfunktionen für elliptische Schalen und Kugelschalen

81

Die Gleichungen (10.33) und (10.34) können wir einfacher schreiben, wenn wir die bekannten trigonometrischen Formeln cos 2ß = cos2 ß — sin122 ß> ß, \ sin 2ß = 2 sin ß cos ßh J

(10.35)

cos 3ß = cos3 ß — 3 cos ß sin2/?, sin 3ß = 3 cos 2 ß sin ß - sin 3 ß

(10.36)

benutzen. Die Gleichungen (10.33) und (10.34) lauten damit X Ü

=

[




C O A ß

-

2

— qI COS 2ß] a 2 + (q — 3ß!g cos ß + 3qIq cos 2ß — — qI cos 3ß) qu3 + (q3 COS ß — cos 2ß -f cos 3/3 — — el cos 4ß) g2a4 + [ß (e2 - 3el) sin £ + q\ sin 2ß] b2 + + ( 3 ^ e 2 sin ß - 3q2,q sin 2ß + q3 sin 3ß) gb3 + + ( - e 3 s i n / S + 3 g i e 2 s i n 2 y 3 - 3qIq sin 3ß + gf sin 4ß) e*h}. 7 =

(e2 - 2g ig cosft+ el)3 { - fe te2 -

-

sin ß+el

(10.37)

sin 2ß] a2 -

2

(3q1q sin ß - 3q\q sin 2ß + el sin 3 ß ) Qaz - ( - q3 sin ß +

+ 3 e ^ 2 sin 2ß - 3qIq sin 3ß + q3 sin Aß) g2a4 + [2

3

3 ^

+

2

+ e (e + 3ef) cos ß-Q\ cos 2ß] b2 + (e - 3Qie cos ß + + 3ßiß cos 2ß — el cos 3ß) Qb3 + (g3 cos ß — 3g 1 g 2 cos 2ß + + 3Q*Qcos3ß —Qlcos4:ß)Q\}. (10.38) Wenn die konzentrierte Belastung nur aus den K r ä f t e n Px, Pv und Pz besteht, bekommen wir durch Einsetzen der Werte der Koeffizienten a 2 , a3, ait b2, b3, &4 f ü r Mx = Mv = Mz = 0 nach (10.27) oder Tabelle 1 in die rechten Seiten der Gleichungen (10.37) und (10.38) folgende Beziehungen: rfi w = P*[i?(i?2 sin ß — 2n (l + el) (Q2 — 2ß6i 003 ß + e — 2ei (