Quaderno di progettazione Cemento Armato secondo le British Standards [1 ed.]

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Quaderno di Progettazione C e m e n t o

A r m a t o

s e c o n d o

l e

British Standards

Es EUROCODES

SPREADSHEETS Structural Design Carlo Sigmund

First Edition

Ebook

Copyright© 2014 http://eurocodespreadsheets.jimdo.com/ All rights reserved. Carlo Sigmund -----------------------------------------------Prima edizione: Aprile 2014 Sigmund, Carlo Progettazione normative estere

--------------------------------

Sommario Note introduttive ..................................................................................................1 1.1 Premessa ................................................................................................................................................. 1 1.2 Un accenno descrittivo delle British Standards........................................................................................ 2 1.2.1 Le principali linee guida ................................................................................................................ 2 1.2.2 Termini e locuzioni principali nelle BS .......................................................................................... 4 1.2.3 I carichi “dead loading” nelle BS ................................................................................................... 5 1.2.4 I carichi “imposed loading” nelle BS ............................................................................................. 8 1.3 Alcuni cenni di teoria delle strutture ......................................................................................................... 8 1.3.1 La flessione negli elementi strutturali............................................................................................ 8 1.3.2 La pressoflessione negli elementi strutturali................................................................................. 22 1.3.3 La compressione e l’instabilità nei pilastri e nelle colonne ........................................................... 27 1.4 Riferimenti bibliografici [Sezione 1] .......................................................................................................... 48

Calcestruzzo armato............................................................................................49 2.1 Premessa ................................................................................................................................................. 49 2.2 Valori caratteristici e coefficienti parziali di sicurezza nelle BS per il c.a. ................................................ 51 2.2.1 Carichi caratteristici e coefficienti di sicurezza sui carichi e sulle azioni....................................... 51 2.2.2 Resistenze caratteristiche e coefficienti di sicurezza dei materiali ............................................... 55 2.2.3 Resistenze di progetto allo stato limite ultimo dei materiali .......................................................... 57 2.3 La durabilità del calcestruzzo nelle BS .................................................................................................... 57 2.3.1 Considerazioni preliminari ............................................................................................................ 57 2.3.2 Forma e volume del getto ............................................................................................................. 58

Manuale di Progettazione - British Standards SOMMARIO - pag. iv

2.3.3 Ricoprimento delle armature .........................................................................................................58 2.3.4 Resistenza al fuoco (cenni) ...........................................................................................................62 2.4 L’elemento strutturale trave (“beam”) .......................................................................................................63 2.4.1 Considerazioni preliminari .............................................................................................................63 2.4.2 La luce effettiva della trave............................................................................................................63 2.4.3 Travi alte........................................................................................................................................64 2.4.4 Travi snelle ....................................................................................................................................64 2.4.5 Minimi e massimi delle aree delle armature portanti .....................................................................66 2.4.6 Interassi e distanze minime tra le armature ..................................................................................67 2.4.7 Interassi e distanze massime tra le armature................................................................................68 2.5 Progetto delle armature a flessione ..........................................................................................................68 2.5.1 Considerazioni preliminari .............................................................................................................68 2.5.2 Calcolo delle armature a flessione per sezione rettangolare (singola armatura) ..........................69 2.5.3 Calcolo delle armature a flessione per sezione rettangolare (doppia armatura)...........................75 2.5.4 Calcolo delle armature a flessione per sezioni flangiate a “T” e a “L” ...........................................78 2.5.5 Verifica dello stato limite di inflessione (SLS)................................................................................83 2.6 Progetto delle armature a taglio ...............................................................................................................89 2.6.1 Considerazioni preliminari .............................................................................................................89 2.6.2 Calcolo degli sforzi di taglio di calcolo...........................................................................................90 2.6.3 Calcolo delle armature al taglio .....................................................................................................93 2.7 Progetto delle armature a torsione ...........................................................................................................101 2.7.1 Calcolo degli sforzi di progetto ......................................................................................................101 2.7.2 Grandezze geometriche della sezione ..........................................................................................102 2.7.3 Sforzi critici di torsione ..................................................................................................................102 2.7.4 Formule di progetto delle armature a torsione ..............................................................................104 2.8 Progetto delle armature a pressoflessione: pilastri...................................................................................112 2.8.1 Considerazioni preliminari .............................................................................................................112 2.8.2 Minimi geometrici pilastri ...............................................................................................................115 2.8.3 Limiti interassi armature longitudinali ............................................................................................116 2.8.4 Limiti sulle armature trasversali: staffature....................................................................................116 2.8.5 Progetto dei pilastri allo stato limite ultimo (ULS)..........................................................................118

Manuale di Progettazione - British Standards SOMMARIO - pag. v

2.8.6 Grafici per il dimensionamento di pilastri rettangolari (BS 8110-85 Part 3)...................................121 2.9 Progetto a flessione e a taglio di lastre monolitiche .................................................................................143 2.9.1 Considerazioni preliminari .............................................................................................................143 2.9.2 Principali parametri geometrici di progetto ....................................................................................143 2.9.3 Progetto a flessione (ULS) e verifica inflessione (SLS).................................................................146 2.9.4 Progetto delle solette monolitiche al taglio ....................................................................................146 2.10 Verifica a punzonamento di lastre monolitiche (“punching shear”)...........................................................152 2.10.1 Considerazioni preliminari .............................................................................................................152 2.10.2 Perimetri critici di punzonamento ..................................................................................................153 2.10.3 Tensioni di punzonamento e tensioni critiche ...............................................................................154 2.10.4 Formule di calcolo armature di punzonamento .............................................................................155 2.10.5 Procedura di verifica e progetto al punzonamento........................................................................156 2.11 Riferimenti bibliografici [Sezione 2] ..........................................................................................................162

(pagina bianca)

Sezione 1

Note introduttive

1.1 Premessa

Q

uesto manuale è suddiviso in due sezioni: una sezione introduttiva sulle strutture in generale e sulle basi della Scienza delle Costruzioni e una sul calcolo delle strutture in cemento armato ordinario. La sezione che affronta il materiale cemento armato, a differenza della prima, è stata redatta seguendo le indicazioni dell’ultima versione delle “British Standard” 8110, e delle sue sottoparti (“Code of Practice”). Come noto, a partire dal 31 marzo del 2010, la BS8110-97 è stata sostituita dalla BS EN 1992-1-1:2004 (Eurocodice 2). Il presente lavoro, quindi, è un puro studio sulle formulazioni matematiche adottate dalle British Standards per il calcolo e il progetto degli elementi in cemento armato ordinario, utili sicuramente per una migliore compresione del calcolo con gli Eurocodici. Per sopperire al fatto generale di qualsiasi norma di modificarsi nel tempo, si è deciso di affrontare la materia proponendo delle procedure di calcolo e verifica che impiegano formulazioni ormai consolidate e che, nel corso degli anni, hanno comunque mantenuto essenzialmente invariato il loro aspetto. Se non altro, almeno per i progettisti del nostro Paese, questa linea direttiva può rivelarsi eventualmente utile per condurre manualmente una spedita verifica o per agevolare il “cross check” per la valutazione complessiva dell’affidabilità o per la validazione di eventuali risultati ottenuti con post-processori dei software di calcolo, su documenti di progetti redatti secondo la BS8110.

Dato il carattere eminentemente applicativo della trattazione e data la vastità della materia, si è deciso di ridurre al minimo la parte descrittiva, fin dove è stato possibile. Molte formulazioni, per evitare di doverle dedurre da complicate, se pur necessarie, trattazioni analitiche, vengono giustificate con semplici ragionamenti intuitivi. Per facilitare la lettura e l’eventuale approfondimento degli argomenti toccati, ciascuna sezione è stata corredata di illustrazioni e tabelle cercando di mantenere il più possibile semplificate le numerazioni dei paragrafi, delle illustrazioni, dei riferimenti interni, etc. Alla fine del testo, una sufficiente bibliografia permette a tutti coloro che lo desiderino di documentarsi ulteriormente e meglio in merito all’argomento. In tutte le applicazioni numeriche proposte, i valori sono stati approssimati alla prima o alla seconda cifra decimale, in relazione all’unità di misura adottata nel singolo esempio proposto. Trattandosi di normativa estera British Standard(1.1), in tutto il testo è stata adottata la convenzione di utilizzare come separatore decimale la virgola.

Norme: British Standards

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M ANUALE DI CALCOLO STRUTTURE - BS S EZIONE 1 N OTE INTRODUTTIVE

British Standards

ASD AISC ACI 318-11

Il presente testo sviluppa argomenti presenti in diverse parti dell’intero corpo delle British Standards. A tal proposito, al fine di rendere la trattazione il più possibile lineare, si è cercato, nei limiti, di semplificare le notazioni e la simbologia: alcuni simboli utilizzati, infatti, potrebbero non risultare identici a quelli presentati nel suddetto corpo normativo. Nella sezione introduttiva, inoltre, al solo scopo di meglio comprendere alcune problematiche, si è deciso di riportare anche alcune semplici procedure di verifica/progetto condotte secondo il vecchio metodo ASD (Allowable Strength Design) proposto in una versione dell’AISC Manual of Steel Construction. Nella stessa ottica, si è deciso di riportare una procedura di verifica a progetto delle sezioni in cemento armato secondo il modello proposto dallo Standard Building Code Requirements for Reinforced Concrete: ACI 318-11. In generale, tutti gli esempi di calcolo presentati sono proposti come caso-studio, rappresentativi delle situazioni progettuali che più frequentemente si potrebbero verificare nella pratica tecnica. In particolare, in tutti gli esempi riportati nella presente pubblicazione, le indicazioni sulle analisi dei carichi e le ipotesi sull’entità delle sollecitazioni di progetto vanno intese come orientative, quindi devono essere controllate dall’utilizzatore. Il testo e le illustrazioni potrebbero presentare qualche imprecisione/errore, sebbene ogni sforzo sia stato fatto per ridurre al minimo ogni inconveniente. I Lettori si sentano liberi quindi di proporre in ogni momento correzioni e/o suggerimenti, affinché si possa mantenere e migliorare nel futuro questo lavoro.

1.2 Un accenno descrittivo delle British Standards 1.2.1 Le principali linee guida Le linee guida anglosassoni sulla progettazione di costruzioni e strutture di ingegneria civile in generale sono riportate sotto i nomi di “British Standards” e “Code of Practice”. Relativamente alla progettazione strutturale, le BS possono essere raggruppate essenzialmente in tre grandi gruppi: •

quelle relative alle specifiche dei materiali e dei loro componenti;

•

quelle che definiscono i carichi agenti sulle strutture;

•

quelle che regolano il dimensionamento, il progetto e la verifica di elementi strutturali di un medesimo materiale (quale può essere, appunto, l’acciaio, il legno, la muratura, etc.).

Quanto riportato nel codice normativo delle British Standard è opera della British Standard Institution (BSI) che, fondato nel 1901 in Inghilterra come primo ente normazionale al mondo, si propone come obiettivo quello di

(1.1) Di seguito indicate, per brevità, semplicemente come: BS.

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promuovere ovunque norme in tutti i campi del lavoro e del buisiness. La BSI è presente in 120 Paesi con oltre ottantamila clienti(1.1). Di seguito, tabellate, un elenco delle principali BS adottate in questa pubblicazione come riferimento per il calcolo delle strutture. Riferimento

Argomento (topic)

Titolo originale

BS 4 - Part 1: 1990

Sezioni profilati in carpenteria metallica

Structural steel sections - specification for hot rolled sections

BS 12: 1989

Tipi di cemento

Specification for Portland cements

BS 882: 1983

Aggregati impasti per cemento

Specification for aggregates from natural sources for concrete

BS 890: 1972

Confezionamento impasti

Specification for building limes

BS 1243: 1978

Staffe metalliche, cravatte per partizioni

Specification for metal ties for cavity wall construction

BS 3921: 1985

Mattoni, murature

Specification for clay bricks

BS 4360: 1990

Acciai saldabili

Specification for weldable structural steels

BS 4449: 1988

Acciai per armatura

Specification for carbon steel bars for the reinforcement of concrete

BS 4483: 1985

Reti, gabbie metalliche armatura

Specifications for steel fabric for the reinforcement of concrete

BS 4721: 1981 (1986)

Cementi, intonaci premiscelati

Specification for ready-mixed building mortars

BS 4978: 1988

Materiali lignei, calcolo resistenze

Specifications for softwood grades for structural use

BS 5606: 1988

Costruzioni, linee guida nella progettazione

Code of practice for accuracy in building

BS 5977 - Part 2: 1983

Architravature prefabbricate

Lintels - specification for prefabricated lintels

BS6073 - Part 1: 1981

Mattoni e blocchi, specifiche e tolleranze

Specification for precast concrete masonry units

BS6073 - Part 2: 1981

Mattoni e blocchi, metodi di misura e calcolo resistenze

Method for specifying precast concrete masonry units

BS 6398: 1983

Misure e test su materiali di costruzione, prodotti bituminosi; composizione, montaggio, etc.

Specification for bitumen damp-proof courses for masonry

Tabella 1.1

Linee guida per specifiche dei materiali e loro componenti.

(1.1) Ripreso da: it.wikipedia.org/wiki/British_Standards_Institution.

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Riferimento

Argomento (topic)

Titolo originale

BS 648: 1964

Pesi, densità dei materiali da costruzione

Schedule of weight of building materials

BS 5977 - Part 1: 1981 (1986)

Carichi per costruzioni normali, uso civile

Lintels - method for assesment of load

BS 6399 - Part 1: 1984

Azioni permanenti e variabili sulle strutture

Loading for building - code of practice for dead and imposed loads

BS 6399 - Part 3: 1988

Azioni sulle coperture. Carichi per neve, climatici, etc.

Loading for building - code of practice for imposed roof loads

CP 3 - Chapter V Part. 2: 1972

Azioni del vento sulle strutture in generale

Code of basic data for the design of building. Loading. Wind loads.

Tabella 1.2

Linee guida per carichi agenti sulle strutture.

Riferimento

Argomento (topic)

Titolo originale

BS 5268 - Part 2: 1988

Strutture in legno

Structural use of timber - code of practice for permissible stress design, materials and workmanship

BS 5628 - Part 1: 1978 (1985)

Strutture in muratura non armata

Use of masonry - structural use of unreinforced masonry

BS 5950 - Parte 1: 1990

Strutture in carpenteria metallica

Structural use of steelwork in building - code of practice foe design in simple and continuos construction: hot rolled section

BS 8110 - Part 1: 1985

Strutture in calcestruzzo armato

Structured use of concrete - code of practice for design and construction

Tabella 1.3

Linee guida per carichi agenti sulle strutture.

1.2.2 Termini e locuzioni principali nelle BS Nelle BS intervengono sovente i seguenti termini inglesi: •

“dead loading”;

•

“imposed loading”;

•

“wind loading”;

•

“combined loads”.

DEAD LOADING.  Possono essere definiti in questa categoria tutti i pesi propri degli elementi strutturali e i permanenti portati (o esterni) dovuti ai materiali non strutturali che gravano sulla struttura portante. Possono quindi considerarsi

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come (parte) delle “azioni permanenti” nel senso che agiscono durante la vita della costruzione, senza significative variazioni. IMPOSED LOADING.  Comprendono tutti quei carichi che fungono da “occupazione”,

“uso” della struttura. Ad esempio, i carichi variabili della folla su una rampa, o l’utilizzo di un solaio da parte di un’utenza. Nelle BS, vengono anche impiegati i termini di “superimposed loading”, “live loading” o “super loading”. Alcune azioni possono essere di breve o di lunga durata a seconda dei casi, come ad esempio la neve o la formazione di ghiaccio.

WIND LOADING.  È l’azione di pressione/depressione (o la risultante tra le due)

dovuta ai venti sulle strutture investite. La norma CP 3 Chapter V - Part 2 “Wind loads” fornisce le indicazioni relative alle velocità di riferimento dei venti in funzione delle località e della geografia nel Regno Unito. La BS6399 - Part 2 fornisce i coefficienti di pressione relativi alle differenti parti di una struttura investita, in funzione delle sue dimensioni e della sua forma.

COMBINED LOADS.  Valutate le singole combinazioni elementari di carico (ad esempio, azioni permanenti, neve e vento), per lo studio e la verifica della struttura, è necessario considerare secondo norma tutte le possibili combinazioni di carico tra quelle elementari considerate.

1.2.3 I carichi “dead loading” nelle BS L’elenco dei pesi dei principali materiali da costruzione si trova nella BS 648: 1964 “Schedule of weights of building materials”. La norma suddetta riporta tutte le misure specifiche in termini di kg  m 2 . In particolare, se si adotta come unità di forza il Newton  N  , la relazione di conversione in kilonewton è: 10 3  kg = 10 3  9 81 kg  s 2 = 9810 N = 9 81 kN . Importante

All’atto pratico, nelle calcolazioni il fattore di conversione da kilogrammi a Newton viene arrotondato a 10, assumendo 9 81 kg  s 2  10 kg  s 2 . Ad esempio, secondo i valori di densità riportati nella BS 648, il peso specifico del calcestruzzo armato operativamente si calcola:(1.1)  2400 kg  m 3    10 kg  s 2  = 24000 N  m 3 = 24 kN  m 3 .

Da quest’ultima particolare relazione si può dedurre, in generale, la formula operativa: 10 2  kg  m 3  1 kN  m 3 .

Analogamente, per i momenti delle forze: 10 kgm  0 1 kNm . (1.1) Notare che nelle British Standards la densità del calcestruzzo armato è fissata pari a 2400 kg per metro cubo, a differenza delle norme italiane che hanno sempre imposto 2500 kg/mc.

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Tipo

[kg/mq]

Tipo

[kg/mc] - [kg/mq]

Asfalto coibentazioni (per sp. 19 mm)

42

Pietra naturale

2250

Impermeabilizzazione (per sp. 19 mm)

41

Calcestruzzo armato (aggregati naturali)

2400

Pavimentazioni stradali e marciapiedi (per sp. 19 mm)

44

Calcestruzzo armato (aggregati leggeri)

1760 (+ 240 o – 160)

Strato di bitume per impermeabilizzazione tetti e terrazze

3,5

Acciaio (carpenteria metallica)

7850

Muratura in mattoni pieni (per sp. 25 mm)

55

Legno soffice (softwood)

590

Muratura in mattoni forati (per sp. 25 mm)

15

Legno duro (hardwood)

1250

Muratura in mattoni in cls (per sp. 25 mm)

59

Acqua

1000

Tavolato (per sp. 25 mm)

12,5

Fibra di vetro (per sp. 25 mm)

2,0÷5,0 kg/mq

Pietre in cemento (per sp. 50 mm)

120

Partizioni interne in cartongesso e telaio (per sp. 75 mm)

44 kg/mq

Tabella 1.4

Pesi unitari dei materiali da costruzione (estratto da BS 648: 1964).

Tipo di impalcato

Carico distribuito [kN/mq]

Carico concentrato [kN]

1,5

1,4

7,5

4,5

3,0

4,5

2,0

2,7

Tipo 1: relativo a unità di abitazioni indipendenti • per tutti gli impalcati: Tipo 2: relativo ad appartamenti, ostelli, case in generale • solai che portano il peso di macchine (caldaie, boiler, etc.) • Cucine, lavanderie (per più utenze) • Sale da pranzo, di ricreazione, sale giochi/biliardo Tabella 1.5

pag. 6

“Imposed loads” edifici residenziali (BS 6399 - Part 1 - tab. 5).

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Tipo di impalcato

Carico distribuito [kN/mq]

Carico concentrato [kN]

• Stanze da bagno (toilet)

2,0

–

• Stanze da letto, dormitori

1,5

1,8

• Corridoi, atri, passerelle, pianerottoli, scale

3,0

4,5

medesimo carico degli ambienti ai quali danno accesso (ma con un minimo di 3,0 kN/mq)

1,5 kN per metro di fuga concentrato nella punta di estremità dello sbalzo.

• solai che portano il peso di macchine (caldaie, boiler, etc.)

7,5

4,5

• Corridoi, atri, passerelle, pianerottoli, scale

3,0

4,5

• Cucine, lavanderie (per più utenze)

3,0

4,5

• Sale da pranzo, di ricreazione, sale giochi/biliardo

2,0

2,7

• Stanze dal letto

2,0

1,8

5,0

3,6

• Ambienti suscettibili di affollamento (con posti a sedere fissi)

4,0

–

• Stanze da bagno (toilet)

2,0

–

• Bar

5,0

–

• Balconi, terrazze

medesimo carico degli ambienti ai quali danno accesso (ma con un minimo di 3,0 kN/mq)

1,5 kN per metro di fuga concentrato nella punta di estremità dello sbalzo.

• Balconi

Tipo 3: relativo ad alberghi, motel

Tipo 3: relativo ad alberghi, motel • Ambienti suscettibili di affollamento (senza posti a sedere fissi)(a), sale da ballo

Tabella 1.5

“Imposed loads” edifici residenziali (BS 6399 - Part 1 - tab. 5). (Continua da pag. precedente).

(a). Per ambienti con “posti a sedere fissi” si devono intendere quelle aree occupate il cui utilizzo per scopi diversi è da considerarsi improbabile.

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1.2.4 I carichi “imposed loading” nelle BS Nel paragrafo “Loading for buildings” della BS 6399 - Part 1 vengono riportati i valori dei carichi di esercizio imposti per solai e sottotetti di varie tipologie di edifici. Di seguito, in tabella, vengono riportati alcuni tra i principali carichi (“imposed loads“) per edifici residenziali elencati nella BS 6399 - Part 1 (tab. 5). In particolare, nella BS 6399 - Part 3 sono evidenziati i carichi di esercizio da adottare per il dimensionamento dei solai di copertura (variabile per neve e/o manutenzione). In generale, per contenute costruzioni dove alcun accesso è previsto per il tetto, si deve adottare un carico uniformemente distribuito di almeno 0,75 kN/mq o un carico concentrato di 0,90 kN, considerando l’assetto che dà il peggiore cimento statico sulla struttura. In tale ottica, per struttura “contenuta” deve intendersi una costruzione non più alta di 10 m e con un’area in pianta non maggiore di 200 mq. Inoltre, non devono essere presenti parapetti o particolari zone che consentano accumuli per neve o accumuli di carico in generale. Per scenari differenti, infatti, è necessario riferirsi a quanto riportato nella BS 6399 - Part 3, relativamente sempre ai carichi sulle coperture.

1.3 Alcuni cenni di teoria delle strutture 1.3.1 La flessione negli elementi strutturali Indipendentemente dalla particolare norma di calcolo utilizzata, la procedura base per il dimensionamento di travi inflesse si sviluppa essenzialmente attraverso tre punti: 1.

calcolo dei carichi applicati e delle reazioni vincolari e di taglio;

2.

calcolo delle sollecitazioni flettenti indotte dai carichi esterni e dalle relative reazioni vincolari;

3.

progetto e verifica dell’elemento strutturale inflesso in funzione delle massime sollecitazioni di taglio, flettenti calcolate e subordinatamente all’entità delle deformate.

Il punto 1 consente, stabilendo inizialmente la distribuzione e la posizione dei carichi agenti, di calcolare l’andamento della forza di taglio (SF)(1.1) lungo l’elemento e il suo valore massimo da utilizzare per il progetto o la verifica . Il punto 2 può essere condotto analizzando l’andamento del diagramma SF e, tramite quest’ultimo, individuando il valore massimo della sollecitazione flettente. In particolare, tramite l’andamento del SF si può tracciare il diagramma della sollecitazione flettente (BM),(1.2) ricordando che taglio “V” e momento flettente “M” sono legati dalla relazione:

(1.1) SF per “shear forces”: forze di taglio. (1.2) BM per “bending moment”: momento flettente.

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Figura 1.1





  

Andamento sollecitazioni taglianti e flettenti per due importanti assetti di carico su trave rettilinea isostatica.

dM  z  ---------------- = V  z  . dz

In particolare, per una trave rettilinea isostatica con un carico uniformemente distribuito (UDL)(1.1), nella sezione di mezzeria z = L  2 , dove la sollecitazione flettente presenta un massimo a tangente orizzontale, il taglio deve essere nullo:

(1.1) UDL per “uniformly distribuited load”: carico distribuito uniformamente.

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dM  z --------------dz



=0

VL  2 = 0 .

L2

Viceversa, nel caso di trave caricata in mezzeria con un carico concentrato W , l’andamento del momento flettente è lineare con punto di cuspide nella sezione z = L  2 . Si conclude che il valore del taglio è in intensità ovunque costante e pari a: dM  z --------------dz

= V  L  2 



L 2

VL  2 = W ----- = cost . 2

Le formule e le espressioni per calcolare i tagli e i momenti in qualsiasi sezione di un elemento strutturale sono generalmente riportate sui manuali di calcolo delle strutture, in funzione del particolare assetto di carico e vincolo. Negli schemi in figura 1.1 sono riportate le due più comuni condizioni di carico distribuito uniforme (UDL) e di carico concentrato in mezzeria (CPL). Come si può notare, ammettendo per le due travi isostatiche di lunghezza L la medesima risultante W dei carichi verticali, passando dallo schema di UDL allo schema di CPL,(1.1) il valore massimo della sollecitazione flettente raddoppia dal valore WL  8 al valore WL  4 . Il massimo valore della sollecitazione di taglio rimane invariato in valore pari a W  2 . Varia sensibilmente, in proporzione, la freccia della deformata nella sezione di mezzeria che aumenta del 60% in più: 5 1 ---------   = -----384 48

✍



384 - = 8--- = 1 6 .  = -----------5  48 5

FORMULE DELLA FLESSIONE PER ELEMENTI IN LEGNO E ACCIAIO.  La resistenza a flessione di un

elemento strutturale viene dedotta dalla teoria della flessione in regime di tensioni lineari: M  ----- = --J y

(Eq. 1‐1)

dove: •

M indica genericamente il momento di resistenza (MR)(1.2) dell’elemento oppure la sollecitazione flettente esterna agente (BM);

•

J è il momento d’inerzia della sezione relativo all’asse di flessione interessato dalla sollecitazione agente o resistente;

•

 è la tensione del materiale (effettiva o limite di progetto) di cui è costituito l’elemento strutturale inflesso;

•

y è la distanza della generica fibra (compressa o tesa) dall’asse neutro della generica sezione inflessa.

(1.1) CPL per “central point load”: carico concentrato centrato (in mezzeria). (1.2) MR per “moment of resistance”: momento resistente (interno).

pag. 10

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Limite elastico

In particolare, fissata una sezione z lungo l’elemento strutturale inflesso, il rapporto M  J assume evidentemente valore costante. Pertanto, se le tensioni in tutte le fibre del materiale si mantengono al di sotto della relativa tensione di snervamento, consegue la validità della legge lineare  =   y  :  M ----- = cost = --y J



 = k  y.

(Eq. 1‐2)

Nel caso semplice di asse neutro baricentrale su sezione rettangolare di altezza H e larghezza b (ad esempio, una trave in legno con fibre in trazione e compressione), detta con y = 0 5  H la distanza delle fibre maggiormente cimentate dall’asse neutro e con C = 0 5f  y  b = T la risultante in compressione (o trazione) delle tensioni con andamento triangolare, il momento resistente interno elastico ( MR el ) è dato dal prodotto del braccio interno z =  2  3   H per una delle risultanti ( C = T ): 2H bH 2 MR el = C  z = T  z = 0 5f  y  b  ------- = f  --------- = f  Z x , 3 6

(Eq. 1‐3)

avendo indicato con Z x = bH 2  6 il modulo di resistenza elastico della sezione inflessa e con f il valore della tensione di snervamento sulle sole fibre estreme ( y = 0 5  H ):  y  = f . Limite plastico

Nel caso in cui tutte le fibre della sezione siano snervate (sezione interamente plasticizzata), allora il braccio di leva interno coincide con la distanza z = 0 5  H e la distribuzione delle tensioni sulle due aree separate dall’asse neutro è costante di forma rettangolare (con  = f = cost e quindi con C = T = f  b  0 5  H ): bH 2 MR pl = C  z = T  z = f  --------- = f  S x , 4

(Eq. 1‐4)

avendo indicato con S x = bH 2  4 il modulo di resistenza plastico della sezione inflessa attorno all’asse d’inerzia forte x – x . Come si può subito constatare, ad esempio su una sezione rettangolare semplicemente inflessa, il modulo di resistenza plastico non è altro che la somma dei momenti statici delle aree della sezione tagliata dall’asse neutro. Nel caso di sezione rettangolare di area A = b  H si ha infatti (fig. 1.2): 2 H H H H H b H --------- . S x = b  ----  ---- + b  ----  ---- = ----  2 -----------  = bH 2 4 2 4 4  2  4

In sostanza, i moduli plastici rappresentano nell’analisi plastica di una sezione quello che rappresentano i moduli elastici nell’analisi elastica. In generale nell’analisi plastica, trattando di somma di momenti statici (almeno per una sezione semplicemente inflessa), l’asse neutro, dovendo dividere la sezione in due

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Figura 1.2










 
 







 

Distribuzione lineare, lineare-plastica (intermedia) e completamente plastica delle tensioni su sezione simmetrica semplicemente inflessa di area b  H .

parti di uguale area, non necessariamente passa per il baricentro (geometrico) della sezione: si pensi ad esempio ad una sezione a “T” di un profilato metallico.

ESEMPIO 1-A Dati:

Una trave 457x152x52 kg/m (Universal beams, Steelwork Design Guide to BS 5950 ‐ Part 1) a  sbalzo e perfettamente incastrata, di luce  L = 2 m , risulta assicurata allo svergolamento.  Si determini il massimo carico di progetto  P , concentrato sull’estremità libera, in  condizioni elastiche e plastiche. Si ipotizzi un acciaio “grade 43 steel” ‐ 275 MPa.

Soluzione:

La resistenza di progetto  p y  per gli acciai strutturali sono elencati nella BS 5950 alla tab. 6.  I valori riportati già sono comprensivi del coefficiente parziale di sicurezza   m  allo stato  limite ultimo. Nel caso ipotizzato, si ha quindi direttamente  p y = 275 MPa . In particolare,  la sezione scelta presenta i seguenti valori dei moduli di resistenza attorno all’asse forte: modulo elastico:  Z x = 949 cm 3 = 949  10 3 mm 3 ; modulo plastico:  S x = 1090 cm 3 = 1090  10 3 mm 3 . Il valore della sollecitazione flettente di progetto (nell’incognita  P ) nella sezione di  incastro risulta  M u = P  L . Allo stato limite, uguagliando i momenti resistenti interni al  momento sollecitante esterno, si ha: in condizioni elastiche:  MR el = Z x  p y



Zx  py  949  10 3   275 -  130 kN ; - = --------------------------------------P el = -------------2000  10 3 L

in condizioni plastiche:  MR pl = S x  p y



Sx  py  1090  10 3   275- = -----------------------------------------P pl = ------------- 150 kN . 2000  10 3 L

Come si può notare, almeno in questo caso particolare analizzato, se la sezione  maggiormente cimentata riesce a plasticizzarsi completamente, ammettendo ovviamente  che sia assicurato il non svergolamento, la trave potrà essere assoggettata ad un carico (di  progetto) superiore di circa il 15% rispetto al valore dell’analisi elastica (150/130 = 1,15). In  altre parole, il rapporto tra i momenti resistenti (interni) in condizioni plastiche ed  elastiche è misurato direttamente dal rapporto dei rispettivi moduli di resistenza: 

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S MR pl ------------- = -----x  1 . Zx MR el

Quest’ultima relazione, pur essendo indipendente dal tipo di resistenza dell’acciaio usato,  dà indicazioni sicuramente utili sulla riserva di resistenza a partire dalla condizione di  raggiungimento della tensione di progetto per le fibre più estreme della sezione. Fine-esempio

Importante

Nel caso di sezioni in calcestruzzo armato, trattandosi di sezioni composte da due materiali di differenti costanti elastiche e di differente comportamento a trazione, è necessario omogeneizzare la sezione in calcestruzzo compresso, attraverso un’opportuna procedura. Invece, per gli elementi strutturali in carpenteria metallica (ad esempio, i profilati sagomati a caldo), i valori dei moduli elastici Z e S per i due assi principali di inerzia ( x – x e y – y ) sono già opportunamente tabellati.

ESEMPIO 1-B Dati:

Una trave lignea, di luce  L = 5 m , è sottoposta ad un carico di progetto UDL al più di  W = 4 5 kN  compreso il suo peso proprio presunto (fig. 1.3). Ammettendo una  larghezza della trave di  b = 63 mm , si determini l’altezza  H  imponendo una tensione  massima in condizioni di flessione parallela alle fibre di  f = 7 5 MPa  (strength class SC4,  BS 5268 ‐ Part 2 1988 Tab. 9).

Soluzione:

Dimensionando in condizioni elastiche (si veda fig. 1.2), si dovrà utilizzare il modulo di  resistenza  Z x . Per prima cosa è necessario uguagliare il momento resistente interno (in  condizioni elastiche) con il momento di progetto sollecitante: bH 2  4 5  10 3    5  10 3  = 2 81  10 6 Nmm . f  Z x = f  --------- = WL --------- = --------------------------------------------------6 8 8

Sostituendo e semplificando: bH 2 WL f  --------- = --------6 8



H =

6 WL ---------  --------- = fb 8

6 -------------------   2 81  10 6   189 mm . 7 5  63



  


   




 


 

Figura 1.3

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Diagramma di carico di progetto di una trave, a sezione costante, uniformemente caricata.

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Si impiegherà una trave di sezione 63x200 (BS 5268 ‐ Part 2, 1988 Tab. 98)(1.1). Tra le sezioni  disponibili ci sono infatti 63x175, 63x200, 63x225, di cui la 63x175 non è sufficiente.

ESEMPIO 1-C Dati:

Una trave in acciaio deve portare un carico di progetto UDL (incluso il suo peso proprio)  di  W = 70 kN  su una luce  L = 4 80 m . Avendo imposto per altri motivi di contenere la  tensione massima al valore  f = 165 MPa , determinare il modulo elastico minimo.

  


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Figura 1.4

Soluzione:

Trave in carpenteria metallica e relativo diagramma di carico di progetto.

Si uguaglia il momento ultimo sollecitante  M u  con il momento interno: --------- = f  Z x M u = WL 8



 70  10 3    4800  Z x = WL --------- = ---------------------------------------------  255  10 3 mm 3 . 8  165 8f

Risulta idonea almeno una trave 254x102x25 kg/m (Universal beams, Steelwork Design  Guide to BS 5950 ‐ Part 1) il cui modulo elastico è  Z x = 265  10 3 mm 3 . Fine-esempio

Importante

In generale, almeno per le travi in legno e le travi in carpenteria metallica (dove le fibre tese e le fibre in compressione collaborano sostanzialmente in maniera uguale in regime di flessione semplice), è di regola necessaria anche la verifica allo stato limite di esercizio delle deformazioni. Per il controllo dell’entità delle deformazioni, è necessario considerare il momento d’inerzia J della sezione attorno all’asse di flessione. Al solito, per una sezione rettangolare reagente sia a trazione che a compressione (quindi, ad esempio, una trave in legno) il momento d’inerzia è dato dalla semplice espressione: 3 Z bH 2 H --------- =  ---------    ----  = -----x , J x = bH  6   2  12 y

(1.1) Geometrical properties of sawn softwoods.

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avendo indicato con y = H  2 la distanza delle fibre più esterne dall’asse neutro che risulta baricentrico in condizioni di flessione semplice in sezioni reagenti sia a trazione che a compressione. In particolare, per le sezioni dei profilati metallici, i valori di J attorno ai due assi di inerzia sono riportati tabellati in funzione del tipo di sezione in commercio.

ESEMPIO 1-D Dati:

Una trave in legno, di luce  L = 4 80 m , porta un carico complessivo (nominale)(1.1) UDL  di  W = 3 0 kN , compreso il suo presunto peso proprio. La sezione della trave è 63x175  (secondo BS 5268 ‐ Part 2, 1988 tab. 98) e il modulo elastico del materiale ligneo utilizzato è  E = 6600 MPa . Verificare se la deformata nella sezione di mezzeria rientra nel limite di  1/300 della luce. !

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Figura 1.5

Soluzione:

Diagramma di carico (nominale) per trave di legno. Assetto qualitativo della deformata SLE.

In condizioni di semplice appoggio, per trave a singola campata, la massima freccia nella  sezione di mezzeria è: 5 WL 3  = --------- ----------- . 384 EJ

Il momento d’inerzia della sezione è (attorno all’asse  x – x ): 3 63  175 3 = 28 14  10 6 mm 4 . Si ha quindi: --------- = --------------------J x = bH 12 12

5  3 0  10 3   4 80  10 3  3 5 WL 3 -  23 3 mm . Il limite richiesto è:  = --------- ----------- = --------- ---------------------------------------------------------384  6600   28 14  10 6  384 EJ L - = 4800 ------------ = 16 mm . f max = -------300 300

La verifica allo stato limite di esercizio non è soddisfatta:    f max . A questo punto, si  impone il limite richiesto e si calcola l’altezza (minima) della sezione lignea. Per cui:

(1.1) Per carico nominale (e non di progetto) qui si è voluto intendere semplicemente il carico per la condizione di stato limite di esercizio: necessario per valutare l’entità delle massime deformazioni in condizioni estreme di servizio.

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H =

3

5- -------------------WL 3 ---- = 32 E  bf max

3

5- ------------------------------------------------------------- 3 0  10 3    4 80  10 3  -3 ----  198 mm . 32 6600  63  16

Si adotterà, quindi, una sezione di almeno 63x200 (BS 5268 ‐ Part 2, 1988 Tab. 98).

ESEMPIO 1-E Dati:

Un impalcato viene eseguito con travi portanti in carpenteria metallica ad interasse di  5,00 m e completato superiormente con un getto di una soletta in c.a. di spessore 150 mm;  quest’ultima con la funzione di ritegno allo svergolamento per le travi (fig. 1.6) Determinare il tipo di profilato per una resistenza di progetto dell’acciaio di  p y = 275 MPa  (spessori delle singole piattabande che non eccedono i 16 mm) e per  un’azione variabile di esercizio (“imposed load”) di  5 0 kN  m 2 . Considerare una densità  del calcestruzzo armato della soletta gettata di  2400 kg  m 3  (coerentemente con quanto  indicato nella BS 648 1964).

Soluzione:

Prima di procedere nella verifica di resistenza allo stato limite delle travi, è necessario  calcolare il carico lineare di progetto. ULS(1.1) gravante su ciascuna trave. Come si vede  dallo schema in fig. 1.6 (sez. B‐B), la larghezza di influenza della trave centrale (più  caricata) è pari a  i = 5 0 m . Si hanno, dunque, i seguenti carichi nominali uniformemente  ripartiti (UDL): carico dovuto al peso proprio soletta:   0 15 m    24 kN  m 3    5 0 m  = 18 kN  m ;  70 kg  m  peso proprio(1.2) profilato (stima):  SW  ---------------------------------- = 0 70 kN  m ;  100 kg  kN 

carico variabile (“imposed load”):   5 0 kN  m 2    5 0 m  = 25 kN  m . La risultante complessiva ULS sulla trave si calcola, detta  L  la luce della trave: W =   fd   dead load  +  fi   imposed load    L .

Sostituendo i valori numerici, si ha per ULS: kN W =  1 4   18 + 0 7  + 1 6   25   -------   6 0 m  = 397 1 kN . m

La sollecitazione di progetto (limite ultimo) nella sezione di mezzeria è: 397 1  10 3    6 0  10 3  = 297 8  10 6 Nmm . --------- = --------------------------------------------------------------M u = WL 8 8

Nel caso generale si scegliesse un profilato con piattabanda di spessore (flange thickness) maggiore  di 16 mm, il valore di  p y  andrebbe ridotto a 265 MPa. Pertanto, il modulo plastico (minimo) richiesto è:

(1.1) ULS per “ultimate limit state”: stato limite ultimo. (1.2) SW per “self-weight”: peso proprio.

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Figura 1.6

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Diagramma di carico di progetto per la trave in acciaio. Schema disposizione in pianta.

M  8  10 6 Nmm- = 1 083  10 6 mm 3 = 1083 cm 3 . ------------------------------------------S x = -------u = 297 py 275 MPa

Dal documento Steelwork Design Guide to BS 5950: Part 1 (Steel Construction Institute), il  profilato 457x152x60kg/m (UB section)(1.1) presenta un modulo di resistenza plastico di  S x = 1280 cm 3  1083 cm 3  (flange thickness  1,50

Valori dei coefficienti  m allo stato limite ultimo (BS 8110-97 Part 1, tab. 2.2).

2.2.3 Resistenze di progetto allo stato limite ultimo dei materiali La resistenza di progetto (“ultimate design strenght”, UDS) di un materiale si ottiene dividendo la resistenza caratteristica per il corrispettivo coefficiente parziale di sicurezza: Calcestruzzo:

f cu f cu UDS = ----- = ----------- = 0 67f cu ; m 1 50

Armature:

f fy - = 0 95f y . UDS = ----y- = ----------m 1 05

Nota

Si approfitta per sottolineare che tutte le espressioni delle formule per il calcolo di  progetto e verifica, nonché i dettagli nelle illustrazioni, riportate nella BS 8110  comprendono già implicitamente i relativi valori dei coefficienti di sicurezza sui  materiali   m , lasciando al progettista solo l’onere di scegliere direttamente i  particolari valori delle resistenze caratteristiche  f cu  (cubica) e  f y  (snervamento)  dei materiali da utilizzare.

2.3 La durabilità del calcestruzzo nelle BS 2.3.1 Considerazioni preliminari La fase di progettazione delle strutture in c.a. non può prescindere dalla stima della vita utile richiesta loro. Per permettere, infatti, il mantenimento ragionevole di opere in calcestruzzo armato (quindi la loro durabilità) è necessario assicurare prima alcuni provvedimenti pratici che inevitabilmente influenzano le geometrie e la particolare composizione degli elementi strutturali stessi. Nelle BS 8110

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sono riportate alcune indicazioni sui vari fattori che hanno influenza sulla durabilità del calcestruzzo armato. Se ne citano, di seguito, alcuni:

Importante

a.

forma e volumi;

b.

condizioni ambientali a cui è esposto;

c.

entità del ricoprimento delle armature;

d.

tipo di cemento usato nell’impasto;

e.

tipo di aggregato utilizzato nell’impasto;

f.

rapporto del contenuto acqua/cemento nell’impasto;

g.

tipo di cura nella preparazione e nel getto in opera.

I primi due fattori elencati (il terzo ne è la conseguenza) determinano dei vincoli geometrici e di resistenza (minima) del calcestruzzo che governano la prima fase di progettazione e verifica (ad esempio, il ricoprimento delle armature impone un valore massimo per l’altezza utile e le condizioni ambientali impongono un certo grado di resistenza del calcestruzzo da adottare). I rimanenti fattori vengono rispettati imponendoli sulle tavole di progetto come vere e proprie prescrizioni sui materiali da usare in cantiere. Di fatto, il rispetto dei fattori/vincoli che determinano la necessaria durabilità di un’opera in calcestruzzo armato è attuato prima dal Calcolatore in fase di progetto e poi dal Direttore dei Lavori (in corso d’opera).

2.3.2 Forma e volume del getto Le superficie del getto esposto e la forma della struttura terminata andranno valutate in sede di progetto in relazione anche all’eventualità di infiltrazioni di umidità. In particolare, le forme delle parti strutturali devono essere conformate in maniera tale da consentire (o almeno, non ostacolare) il flusso e il drenaggio delle acque meteoriche e di falda. 2.3.3 Ricoprimento delle armature Tutte le barre di armatura devono essere ricoperte da un sufficiente (quindi, adeguato) ricoprimento di strato corticale (“cover”) di calcestruzzo affinché siano protette dalla corrosione o dalle alte temperature in condizioni di incendio. L’entità di tale ricoprimento per proteggere le armature dipende dalle condizioni di esposizione ambientale e dalla qualità del calcestruzzo usata. Le tabelle 3.2 e 3.4, presenti nella BS 8110-97, definiscono le condizioni di esposizione e il valore nominale del ricoprimento in funzione della classe di resistenza del calcestruzzo, rispettivamente. Importante

pag. 58

È opportuno specificare che il ricoprimento riguarda tutte le armature, anche quindi le staffe o i ganci. Inoltre, i valori definiti nelle due tabelle menzionate sono valori nominali e pertanto, sotto certe condizioni, sono suscettibili di essere incrementati. L’entità del ricoprimento deve anche soddisfare alcuni vincoli legati al diametro delle barre d’armatura, alla dimensione degli inerti utilizzati nell’impasto, al tipo di getto (contro terra, su magroni o su casseforma).

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Di seguito, per comodità di lettura si riportano le tabelle 3.2 e 3.4 riprese dal codice BS 8110 Part 1.

Tipo di ambiente

Condizioni di esposizione ambientale

Mite

Superfici del calcestruzzo protette contro l’acqua o contro condizioni aggressive

Moderato

Superfici del calcestruzzo protette da intense piogge o gelo Superfici del calcestruzzo suscettibili di fenomeni di condensazione Superfici del calcestruzzo in contatto continuo con acqua Superfici del calcestruzzo in contatto con suoli non aggressivi (si veda classe 1 in tabella 6.1 della BS 8110)(a)

Severo

Superfici del calcestruzzo esposte a intense piogge, in alternanza a stati asciutti e bagnati, occasionalmente gelo e forti condense

Molto severo

Superfici del calcestruzzo esposte agli spruzzi dell’acqua marina, intensi fenomeni di disgelo, fumi corrosivi o rigide gelate

Estremo

Superfici del calcestruzzo esposte ad azioni di abrasione (ad es. acqua marina contenenti solidi) o flussi di liquidi con pH < 4,5 o in contatto con apparati meccanici o veicoli.

Tabella 2.5

Condizioni di esposizione ambientale. (BS 8110-97 Part 1 - Tab. 3.2).

(a). Per superfici di calcestruzzo a contatto con suoli aggressivi si fa riferimento al punto 6.2.3.3 della BS 8110.

Condizioni di esposizione(a)

Ricoprimento nominale c nom [mm]

25

25

20(b)

20(b)

20(b)

Moderato

-

35

30

25

20

Severo

-

-

40

30

25

40(c)

30

Mite

(c)

Molto severo

-

-

50

Estremo

-

-

-

60(c)

50

Max rapporto acqua/cemento

0,65

0,60

0,55

0,50

0,45

Min contenuto di cemento [kg/m 3]

275

300

325

350

400

Minima classe calcestruzzo

C30

C35

C40

C45

C50

Tabella 2.6

Valori nominali del ricoprimento delle armature (incluse le staffe) per soddisfare il requisito di durabilità (BS 8110-97 Part 1 - Tab. 3.4).

(a). Per le condizioni di esposizione consultare la tabella 2.5 di questo capitolo. La presente tabella 2.6 come valori si riferisce ad aggregati di dimensione massima nominale di 20 mm. Per calcestruzzi di fondazioni di strutture di altezza non rilevante si deve fare riferimento al punto 6.2.4.1 del BS 8110. (b). Questi valori possono essere ridotti a 15 mm nel caso venga prescritto per la massima dimensione nominale degli aggregati il valore di 15 mm.

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pag. 59

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(c). Quando si tema che il calcestruzzo venga sottoposto al gelo in condizioni umide, è necessario addittivare opportunamente (tramite tensioattivi o surfactanti) l’impasto in modo da abbassare la tensione superficiale della fase liquida e consentire lo sviluppo di microbolle di aria e rendere maggiormente poroso il calcestruzzo una volta indurito (si veda il punto 3.3.4.2 della BS 8110).

Di seguito una tabella riassuntiva per dedurre speditamente il ricoprimento delle armature in sede di progetto. Il valore da adottare è il maggiore di quelli dedotti.

Condizioni al contorno(a)

Ricoprimento armature (“cover”)

Valore nominale c nom dalla tabella 2.6(b)

Generali

Diametro medio D g dell’aggregato

In funzione dell’aggregato

Diametro della barra 

Rispetto alla singola barra longitudinale

Diametro equivalente  eq barra di uguale area

Rispetto ad un gruppo di barre longitudinali Getti contro terra Tabella 2.7

75 mm

Ricoprimenti richiesti per tutte le armature

        

                                  
               
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(   & ) # *#



 

 +  +   ,
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Figura 2.2

 






pag. 60










    

Esempi tipici (qualitativi) di ricoprimenti per armature in sezioni di c.a. (quote in mm).

Norme: British Standards

M ANUALE DI CALCOLO STRUTTURE - BS S EZIONE 2 C ALCESTRUZZO ARMATO

Condizioni al contorno(a)

Ricoprimento armature (“cover”)

Getti su magroni di pulizia

40 mm

Tabella 2.7

Ricoprimenti richiesti per tutte le armature (Continua da pag. precedente).

(a). Nota bene: sono esclusi gli effetti del fuoco. (b). Riferimento a BS 8110-97 Part 1 - Tab. 3.4. Nota

Nella figura 2.2 alcune illustrazioni che delineano velocemente gli aspetti e i  dettagli da prendere in considerazione durante la fase di progetto e durante la  successiva posa in opera.

ESEMPIO 2-C Dati:

All’interno di una vasca contenente un’acqua a  pH  7  è necessario posizionare un piccolo  telaio in c.a. per sorreggere e ancorare un dispositivo d’impianto sommerso. In  particolare, si prevede un piccolo portale con colonne di sezione quadrata di sez. 250 mm  x 250 mm.  Da un primo predimensionamento in sicurezza, in funzione della sola resistenza allo  stato limite ultimo (ULS), si è calcolato un calcestruzzo di classe di resistenza C25 armato  con 4 barre longitudinali di diametro almeno 12 mm e con staffe di diametro 8 mm. Si  chiede di verificare il ricoprimento necessario sia per le barre longitudinali e sia per le  staffe, al fine di mantenere il giusto rispetto della durabilità delle strutture, sapendo che il  diametro di riferimento degli aggregati usati è  D g  30 mm .

Soluzione:

In base a quanto riportato nella tab. 3.2 della BS 8110‐97 Part 1 (riportata per comodità di  lettura nella tabella 2.5), si tratta di superfici di calcestruzzo in contatto continuo con  acqua: tipo di ambiente “moderato”.  Facendo, quindi, riferimento ai dati della tab. 3.4 della BS 8110‐97 Part 1 (riportata per  comodità di lettura alla tabella 2.6), si deduce che è necessario adottare almeno una classe  di resistenza del calcestruzzo C35 (la prima subito maggiore di quella C25 richiesta dal  solo precalcolo della resistenza) a cui corrisponde un contenuto minimo di cemento di  300 kg  m 3 , un rapporto massimo di acqua/cemento pari a 0,60 e un ricoprimento  nominale  c nom = 35 mm . Passando poi alla tabella 2.7 e a quanto riportato nella figura 2.2,  si deduce: per le barre longitudinali:  C 1   = 12 mm . Oppure, al più:  C 1 = 16 mm (2.8) per le staffe:  D g = 30 mm  c nom = 35 mm  A 1



A 1 = c nom = 35 mm .

Le staffe, essendo posizionate esternamente alle barre longitudinali portanti, determinano  lo spessore del ricoprimento:  A 1 = 35 mm  C 1 . Nella sezione delle “prescrizioni dei  materiali” andrà prescritto il ricoprimento (minimo) di 35 mm per ganci e staffe,  (2.8) Nel caso l’aumento del ricoprimento comportasse una diminuzione dell’altezza utile assunta inizialmente in fase di precalcolo.

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Figura 2.3


                  
            
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Dettagli della sezione della trave con relative prescrizioni dei materiali.

unitamente all’utilizzo di un impasto per calcestruzzo C35, con contenuto minimo di  cemento pari a  300 kg  m 3  e con rapporto massimo acqua/cemento pari a 0,60. Fine-esempio

2.3.4 Resistenza al fuoco (cenni) La resistenza al fuoco di un elemento strutturale in c.a. dipende: •

dal ricoprimento delle armature portanti;

•

dal tipo di aggregato utilizzato nell’impasto;

•

dalla dimensione minima della sezione resistente dell’elemento.

In generale, il ricoprimento calcolato per soddisfare il rispetto della durabilità in condizioni di temperatura ambiente può non rispettare i minimi richiesti per una sufficiente portanza in condizioni di incendio. Indicazioni in merito si trovano nel codice BS 8110 Part 1, alla tabella 3.5. e in figura 3.2 (dove, in particolare, vengono indicati gli spessori minimi sia del ricoprimento sia della dimensione minore della sezione stessa che garantiscono un minimo grado di protezione al fuoco). Informazioni sicuramente più dettagliate in merito al dimensionamento delle sezioni in condizioni di incendio si trovano nelle BS 8110 Part 2, Section 4. In questa sezione del manuale, verranno presentate solo formulazioni di calcolo in condizioni di temperatura ambiente (“a freddo”).

pag. 62

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2.4 L’elemento strutturale trave (“beam”) 2.4.1 Considerazioni preliminari In generale, il progetto di una trave in c.a. richiede alcune considerazioni e verifiche preliminari che determinano e influenzano le successive calcolazioni (necessarie per stabilire i quantitativi di armatura) e che impongono le dimensioni minime richieste dalle sezioni resistenti per garantire il rispetto di tutti gli stati limite (ULS e SLS). Ogni progetto deve quindi precedere il controllo dell’accettabilità o rispondenza dei seguenti punti fondamentali: a.

luce effettiva (di progetto) assegnata alla trave;

b.

travi alte (“deep beams”);

c.

suscettibilità o meno allo sbandamento (travi snelle);

d.

area delle armature portanti (rispetto quantitativi minimi e massimi);

e.

rispetto interassi e distanze minime tra le armature;

f.

rispetto interassi e distanze massime tra le armature.

Altri controlli, quali le lunghezze di ancoraggio, i raggi di piegatura delle armature, etc. richiedono delle considerazioni e delle verifiche finali, soprattutto, a livello di dettaglio di posa in opera in cantiere. Importante

Le verifiche fondamentali richieste per il progetto di una trave portante in c.a. sono le seguenti: 1.

verifica stato limite ultimo (ULS) per flessione;

2.

verifica stato limite ultimo (ULS) per taglio;

3.

verifica stato limite ultimo (ULS) per taglio e torsione (se presente);

4.

verifica stato limite di esercizio (SLS) per fessurazione;

5.

verifica stato limite di esercizio (SLS) per deformabilità.

In questo manuale verranno affrontate solo le principali verifiche richieste per un primo predimensionamento di travi di strutture civili.

Il rispetto dei minimi delle quantità e percentuali meccaniche di armatura sono poi da determinare a seconda del tipo di codice da utilizzare in caso di sisma.

2.4.2 La luce effettiva della trave Nelle calcolazioni (sia ULS, sia SLS) si deve definire la luce effettiva L della trave. Essa deve assumersi pari al valore minore tra: a.

la distanza  L AB tra i centri dei punti A e B di appoggio;

b.

lo spazio utile (effettivo)  L utile compreso tra l’ingombro degli appoggi sommato all’altezza effettiva h della trave stessa:

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pag. 63

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L = min   L AB;  L utile + h  .

(Eq. 2‐3)

La luce effettiva di calcolo di una trave a mensola deve essere computata pari alla somma del suo aggetto libero con la metà della sua altezza h . 2.4.3 Travi alte Le BS definiscono travi alte (“deep beams”) tutte quelle che presentano uno spazio utile effettivo  L utile (tra le strutture di appoggio) minore di due volte la loro altezza h :  L utile  2h .

In questo manuale non verranno trattate le travi alte, per le quali si rimanda a documenti tecnici specifici. 2.4.4 Travi snelle Vengono considerate travi snelle quelle travi che presentano la larghezza b c della zona in compressione esigua, se paragonata all’altezza h dell’intera sezione trasversale, e con reale tendenza a svergolare (instabilità flessotorsionale).(2.9) Per evitare un’instabilità di tale natura, è necessario che lo spazio utile effettivo L tors (in termini di distanza) tra due successivi ritegni torsionali(2.10) rispetti le seguenti limitazioni: •

per travi semplicemente appoggiate: 250b 2   L tors  min  60b c ; --------------c  ; d  

•

per travi a mensola (quindi vincolate solo all’incastro): 100b 2   L tors  min  25b c ; --------------c  , d  

Importante

(Eq. 2‐4)

(Eq. 2‐5)

avendo indicato con d  h l’altezza utile della sezione con maggiore cimento. Questi limiti per l’instabilità a svergolamento devono essere soddisfatti già nella prima fase del progetto architettonico, in cui vengono stabilite le dimensioni base o di riferimento dell’intero progetto.

(2.9) Nelle BS la tendenza allo svergolamento viene indicato col termine “lateral buckling”. (2.10) Nel caso della mensola, la distanza L tors da considerare è pari alla distanza L tra l’estremo libero e la sezione all’incastro: L tors = L .

pag. 64

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Nel caso ad esempio di trave appoggiata, calcolata la luce di calcolo  L  mediante  la relazione all’eq. 2‐3 (supposta pari, supponiamo, alla distanza tra i due ritegni  torsionali, ad esempio, due pilastrate:  L tors = L ), si deduce la larghezza minima  della trave imponendo  b c = L  60 . Se  M  è la massima sollecitazione flettente(2.11)  di progetto (ULS), tramite la formula:(2.12)

Nota

M 0 156 = ---------------b c d 2 f cu



d =

M -------------------------0 156b c f cu

è possibile stabilire una dimensione di riferimento per l’altezza utile  d  della  sezione. Infine, noti  b c  e  d  si verifica l’ultima condizione:  L tors  250b c2  d .

ESEMPIO 2-D Dati:

Una trave semplicemente appoggiata su una luce di progetto  L = 6 20 m  è considerata  vincolata con ritegni torsionali ai soli estremi. Per motivi di natura architettonica, si  prevede una trave abbastanza sottile con un’altezza massima di  H = 550 mm . Stabilire la  larghezza minima della trave che eviti almeno problemi di svergolamento, non sapendo  l’entità dei carichi che andranno a gravare e la classe di resistenza del calcestruzzo.

Soluzione:

Trattandosi di trave con ritegni torsionali ai soli estremi, si ha: L tors = L = 6200 mm .

Imponendo:  L tors = 60b c , si ricava subito: L tors = 6200 ------------ = 103 mm . b c = -------------60 60

Imponendo anche:  L tors = 250b c2  d , si ricava: bc =

L tors  d 6200    550 - = 117 mm , ---------------------  ---------------------------------250 250

avendo considerato per semplicità e sicurezza un’altezza utile  d  (a priori incognita) pari  direttamente all’altezza  H  della trave:  d  H = 550 mm . Si fissa, quindi, una larghezza  della trave (considerata come minima) pari a  b = 120 mm . Questa dimensione, assunta  come base, andrà poi ulteriormente verificata anche con le altre verifiche quando saranno  noti con maggiore precisione i carichi, i materiali, etc. Fine-esempio

(2.11) Trattandosi di predimensionamento, M può essere ragionevolmente un valore stimato anche con una certa approssimazione, (2.12) L’equazione verrà trattata più avanti quando si presenteranno le equazioni di dimensionamento delle travi a semplice armatura portante. Con f cu si è indicata la resistenza caratteristica cubica a 28 gg del calcestruzzo.

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pag. 65

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2.4.5 Minimi e massimi delle aree delle armature portanti Tab 3.25 BS 3.12.5.3

Per garantire il rispetto minimo della fessurazione in una trave di c.a. (di sezione rettangolare) è necessario garantire le seguenti percentuali minime per le sole armature in trazione: •

0 0024  A c per le barre con f y = 250 MPa ;

•

0 0013  A c per le barre con f y = 460 MPa ,

dove A c = b  h è l’area totale (lorda) della sezione trasversale della trave in c.a. Analogamente, per assicurare la giusta compattazione e vibrazione del getto tra le barre di armatura di una sezione rettangolare, è necessario assicurare (BS 3.12.6.1) per le armature longitudinali A in trazione (o compressione): A  0 04  A c . Importante

In generale, la BS 8110-97 riporta indicazioni dettagliate in funzione non solo della forma della sezione (rettangolare o a “T”) ma anche in funzione delle armature in compressione. Di seguito, per comodità di lettura, vengono riportate le tabelle 3.25 delle BS 8110-97 al 3.12.5.3.

Sezione

Geometria

Tipo di percentuale

Percentuale minima

f y = 250 MPa

f y > 460 MPa

-

A 100 ------s bh

0,24

0,13

bw ------  0 4 bf

A 100 --------sbw h

0,32

0,18

bw ------  0 4 bf

A 100 --------sbw h

0,24

0,13

A “T” con l’anima in compressione

-

A 100 --------sbw h

0,48

0,26

A “L” con l’anima in compressione

-

A 100 --------sbw h

0,36

0,20

Rettangolare

A “T” o a “L” con l’anima in trazione

Tabella 2.8

Percentuali minime di armatura tesa (BS 8110-97 - Tab 3.25).

avendo indicato con A s l’area delle armature tese, con b la larghezza della sezione rettangolare, con h l’altezza della sezione, con b w e con b f rispettivamente la larghezza dell’anima della soletta della sezione a “T” o “L”. La tabella deve essere usata interpolando i valori nel caso le resistenze di snervamento degli acciai siano comprese tra 250  f y  MPa   500 .

pag. 66

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Sezione

Rettangolare

Geometria

Tipo di percentuale

Percentuale minima

-

As 100 ------bh

0,20

Anima in trazione

As 100 --------bf hf

0,40

Anima compressa

As 100 --------bw h

0,20

A “T” o a “L” con l’anima in trazione

Tabella 2.9

Percentuali minime di armatura compressa (BS 8110-97 - Tab 3.25).

avendo indicato con As l’area dell’armatura in compressione, la cui percentuale minima non dipende dal tipo di acciaio impiegato. LIMITI MASSIMI ARMATURA TOTALE.  In particolare per sezioni rettangolari, a “T” o a “L”

vengono imposti i seguenti limiti massimi sulle armature (sia tesa che compressa):  0 04 bd As    0 04 b w d

sezione rettangolare

 0 04 bd As    0 04 b w d

sezione rettangolare

sezione flangiata

sezione flangiata

;

.

2.4.6 Interassi e distanze minime tra le armature Durante il getto e la vibrazione dell’impasto, gli aggregati devono essere in grado di potersi distribuire all’interno delle maglie delle gabbie di armatura in modo da consentire anche una compattazione omogenea e uniforme. A tal proposito, la BS 8110 Part 1 raccomanda una spaziatura minima  tra le barre di almeno 5 mm maggiore della dimensione massima h agg degli aggregati. Inoltre, se  è il diametro delle barre portanti (o il diametro equivalente  eq di un gruppo di barre) e d v è il diametro di un comune ago vibratore, deve essere rispettato il seguente vincolo:  = max   ;  h agg + 5 mm  ; d v .

Poiché il diametro di un ago vibratore si aggira attorno ai 40÷50 mm e la dimensione massima degli aggregati è solitamente attorno ai 30 mm, fissando  = 50 mm si ottiene un limite inferiore ragionevole dell’interasse delle barre.

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2.4.7 Interassi e distanze massime tra le armature Quando la limitazione delle fessurazioni contenuta entro i 3/10 di millimetro è accettabile il ricoprimento delle armature non supera i 50 mm, possono tranquillamente adottarsi le disposizioni date nella BS 8110 Part 1. Pertanto, per le travi schematizzato nel calcolo come semplicemente appoggiate (primo proporzionamento), la distanza libera tra una barra e l’altra (o tra un gruppo di barre e l’altro) devono rispettarsi i seguenti vincoli: a.

per f y = 250 MPa , distanza libera = 300 mm;

b.

per f y = 500 MPa , distanza libera = 160 mm.

2.5 Progetto delle armature a flessione 2.5.1 Considerazioni preliminari Gli elementi strutturali trave (“beam”) sono progettati e dimensionati prevalentemente per sollecitazioni di flessione e taglio e, in alcuni casi, anche a torsione. Dalla sperimentazione sappiamo che il calcestruzzo in compressione è molto resistente, mentre in trazione ha una scarsissima resistenza. È per tale motivo che, in condizioni di flessione, nei calcoli di dimensionamento allo stato limite ultimo viene completamente trascurata la parte di sezione in trazione. L’utilizzo delle armature in trazione “ripristina” in un certo senso questa mancanza di resistenza nel calcestruzzo. Dal punto di vista operativo, se con M u si indica il momento di progetto ultimo (ULS) che sollecita la sezione inflessa, l’esito di un corretto dimensionamento implica che risulti (condizione necessaria): M  Mu

avendo indicato con M il momento resistente ultimo della sezione. Nelle BS 8110 la relazione precedente può venire soddisfatta seguendo tre criteri: 1.

impiegando le formule dedotte dalle curve tensioni-deformazioni riportate nella BS 8110 Part 1 Section 2;

2.

usando i grafici di progetto (“design charts”) riportate nella BS 8110 Part 3 in termini di grandezze adimensionali;

3.

utilizzando formule per sezioni rettangolari, date nella BS 8110 Part 1, che si basano sul concetto di diagramma dello “stress block” semplificato.

In questa sezione del manuale verranno presentate le equazioni che fanno riferimento allo “stress block” semplificato (BS 8110 - 3.4.4.4) per sezioni rettangolari (“rectangular beams”) e per sezioni a “T” o a “L” (“flanged beams”).

pag. 68

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2.5.2 Calcolo delle armature a flessione per sezione rettangolare (singola armatura) In generale, nel progetto di sezioni inflesse è necessario calcolare le armature tese e le (eventuali) armature in compressione. Le armature in compressione vanno previste quando, una volta stabilite le dimensioni della sezione (base e altezza), il momento di progetto ultimo M u (ULS) supera il momento resistente della sezione dotata di sola armatura in trazione (armatura semplice): M u  M sin gle .

In particolare, si ha (BS 8110-97 - 3.4.4.4) con K = 0 156 : M sin gle = K  f cu bd 2 ,

(Eq. 2‐6)

essendo b la larghezza della sezione rettangolare (zona compressa), d l’altezza utile della sezione (distanza del baricentro delle armature tese dal lembo più compresso della sezione) e f cu la resistenza caratteristica (cubica) a compressione del calcestruzzo a 28 giorni di maturazione. Singola armatura

Quando risulta M  M sin gle , è sufficiente la sola area delle armature in trazione (fig. 2.4: equilibrio forze con singola armatura): M A s = ------------------- , 0 95f y z

(Eq. 2‐7)

dove: z = d   0 5 + 

K M 0 25 – ---------   0 95 d , con K = ---------------2 . 0 9  f cu bd


  

 

 $

   

  

   






  


 

Figura 2.4

Norme: British Standards

   # 

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$

(Eq. 2‐8)


 
  !    

     " 

Generica sezione rettangolare: “stress block” semplificato, diagrammi tensioni e deformazioni.

pag. 69

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Con z  0 95 d si è indicato il braccio delle forze interne (limitato superiormente al valore di 0 95 d ) che esplicano il momento resistente M . La profondità dell’asse neutro si calcola infine: d – z- . x = ----------0 45 Nota

(Eq. 2‐9)

È opportuno evidenziare che nelle equazioni appena elencate i coefficienti  numerici presuppongono tutte le tensioni di progetto in termini di  N  mm 2  (o  l’equivalente  MPa ) e le dimensioni in  mm . Pertanto, le unità di misura da  utilizzare per esprimere la sollecitazione momento devono essere  necessariamente in termini di  Nmm .

MECCANISMO DI ROTTURA.  La modalità di rottura di una sezione a semplice armatura ( As = 0 ) è influenzata dalla quantità di armatura tesa A s . Se la quantità di armatura tesa non è eccessiva, l’acciaio raggiungerà la sua tensione di progetto f y prima che il calcestruzzo compresso abbia raggiunto le sue massime prestazioni in compressione: la trave tenderà a deformarsi vistosamente prima di rompersi per rottura a trazione delle armature. Viceversa, se la quantità delle armature in trazione è eccessiva, il calcestruzzo compresso arriverà a schiacciarsi completamente quando ancora gli acciai sono in campo elastico:  y   400

< 0,15

0,45

0,43

0,41

0,40

0,39

0,38

0,36

0,34

0,25

0,53

0,51

0,49

0,47

0,46

0,45

0,43

0,40

0,50

0,67

0,64

0,62

0,60

0,58

0,56

0,54

0,50

0,75

0,77

0,73

0,71

0,68

0,66

0,65

0,62

0,57

1,00

0,84

0,81

0,78

0,75

0,73

0,71

0,68

0,63

1,50

0,97

0,92

0,89

0,86

0,83

0,81

0,78

0,72

2,00

1,06

1,02

0,98

0,95

0,92

0,89

0,86

0,80

> 3,00

1,22

1,16

1,12

1,08

1,05

1,02

0,98

0,91

Tabella 2.15 Valori di progetto di vc, base per fcu = 25 MPa (BS 8110-97 Part 1 - tab. 3.9).

Norme: British Standards

pag. 91

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Nel caso, infine, sia presente anche una sollecitazione assiale N di compressione, lo sforzo di taglio resistente del calcestruzzo aumenta. In particolare, stabilito il vincolo in funzione dell’altezza h della sezione: V h ----------1 M

tra taglio e momento flettente di progetto, lo sforzo di taglio resistente assume la forma: NV v c = v c + 0 6 ----------------  h  v c  Ac  M

N . 1 + --------------Ac  vc

(Eq. 2‐39)

Valori tabellati dell’eq. 2-33 (relativi a f cu = 25 MPa ) sono riportati nella BS 8110-97 Part 1 - tab. 3.9 che già sono stati riportati per comodità di lettura nella tabella 2.15. TIPO DI ARMATURA A TAGLIO.  È poi richiesto di determinare la tipologia di armatura a

taglio che caratterizza la trave. In particolare, detta con f yv la resistenza caratteristica dell’acciaio delle armature al taglio, si deve fare riferimento alla tab. 3.8 della BS 8110-97 Part 1 che di seguito si riporta per comodità di lettura.

Valore di v [MPa]

Tipo di armatura a taglio

minore di 0 5v c su tutta la trave

(si veda nota(a))

0 5v c  v   v c + 0 4 

Staffatura minima lungo tutta la trave

 v c + 0 4   v  v max essendo:

v max = max  0 8 f cu ; 5 MPa 

Staffe o staffe e piegati assieme. Non più del 50% del taglio può essere affidato ai piegati. (Si veda nota(c)).

Area di armatura a taglio necessaria

A sv  0 4b v s v   0 95f yv  . (Si veda nota(b)) Quando presenti solo staffe:

A sv  b v s v   v – v c    0 95f yv 

Quando presenti staffe e piegati, si veda nota(d)

Tabella 2.16 Tipo di armatura al taglio per travi (BS 8110-97 Part 1 - tab. 3.8). (a). Una staffatura minima va prevista, in generale, in tutte le travi di importanza non trascurabile. In alcuni casi, può essere omessa come per alcune architravi o quando lo sforzo di taglio risulti minore di 0 5v c . (b). Una staffatura minima presenta uno sforzo resistente ultimo al taglio di 0,4 MPa. Per s v si intende la spaziatura (interasse) delle armature al taglio lungo lo sviluppo longitudinale della trave. (c). Si faccia riferimento al punto 3.4.55. della BS 8110 per ulteriori dettagli di disposizione di staffe con ferri piegati. (d). Si faccia riferimento, per maggiori dettagli, al punto 3.4.5.6 della BS 8110 (equazione 4).

In sostanza, quanto riportato nella tab. 3.8 della BS 8110 stabilisce le modalità di come procedere nel dimensionamento a taglio di una trave:

pag. 92

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1.

si calcola lo sforzo di progetto: v = V   b v d  ;

2.

si calcola lo sforzo di taglio che può portare il calcestruzzo in assenza di specifica armatura al taglio: v c = v c base  k 1 (si veda eq. 2-34);

3.

si confronta v con v c :

4.

•

se v  0 5v c , in teoria non sarebbero necessarie armature al taglio in nessuna sezione della trave. In ogni caso, un minimo di armatura è sempre meglio prevederla;

•

se 0 5v c  v   v c + 0 4  , si deve prevedere la staffatura minima;

•

se  v c + 0 4   v  max  0 8 f cu ; 5 MPa  , è necessario prevedere delle armature al taglio: solo staffe oppure staffe e piegati assieme.

se risulta v  v max = max  0 8 f cu ; 5 MPa  la trave è inadeguata per geometria o/e per resistenza del calcestruzzo: vanno modificate le dimensioni geometriche e/o aumentata la classe di resistenza del calcestruzzo (e riprendere la verifica dal punto 2).

2.6.3 Calcolo delle armature al taglio Come noto, detta con A sv la sezione resistente complessiva delle armature al taglio (in una generica sezione trasversale della trave) e detto con s v l’interasse tra le varie sezioni armate al taglio (nel caso di sole staffe, s v coincide con l’interasse lungo lo sviluppo longitudinale della trave), l’equilibrio del concio di trave compreso tra le armature al taglio consecutive porta alla seguente espressione in funzione della resistenza al taglio ultimo V R delle armature: vR bv VR A sv - = ------------------------- = --------------------0 95f yv sv 0 95f yv d



vR bv sv . A sv = -----------------0 95f yv

(Eq. 2‐40)

RESISTENZA STAFFATURA MINIMA.  Come anticipato in una nota della tab. 2.16, una

staffatura si considera minima (secondo le BS) se la tensione di taglio resistente è pari a 0,4 MPa. Pertanto, ponendo nell’eq. 2-40 v R = 0 40 MPa si ottiene: 0 40b v s v -. A sv min = --------------------0 95f yv

(Eq. 2‐41)

Sempre secondo le BS, una staffatura minima è tale quando l’interasse longitudinale delle staffe non supera il valore s v max = 0 75d . Questo comporta un’area resistente di staffe per singola sezione trasversale della trave: 0 40b v s v max 0 40  b v  0 75d 0 30  b v d - = ---------------------------------------- = -----------------------A sv min = ------------------------------0 95f yv 0 95f yv 0 95f yv

(Eq. 2‐42)

e, come già visto, un interasse (massimo) tra le staffe di s v max = 0 75d . RESISTENZA ULTIMA SOLO STAFFE.  In

condizioni di progetto, quando cioè lo sforzo di taglio di calcolo v è almeno superiore al valore  v c + 0 4  MPa , per valutare la quota parte di sforzo che le apposite armature di cucitura devono assorbire è

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necessario decurtare la quota di sforzo v c assorbita (ed equilibrata) dal solo calcestruzzo. In altre parole, le armature devono essere in grado di estrinsecare una resistenza ultima equivalente a uno sforzo di progetto pari a v R = v – v c . Pertanto, sostituendo quest’ultima espressione di v R nella formulazione generale all’eq. 2-40, si ottiene:  v – v c b v s v -. A sv = ---------------------------0 95f yv

(Eq. 2‐43)

RESISTENZA ULTIMA FERRI PIEGATI.  Quando sono impiegate sia staffe che ferri piegati, la

resistenza al taglio ultima si considera come somma dei due contributi considerati agenti separatamente. In ogni caso, per norma, il contributo dovuto ai ferri piegati non deve mai superare il 50% della resistenza totale di staffe + piegati. Per calcolare il taglio resistente ultimo dei ferri piegati, conviene fare riferimento ad un concio di trave interessato da lesioni essenzialmente per taglio (presumibilmente prossimo ad un appoggio, dove maggiori sono evidentemente gli effetti taglianti della reazione vincolare esterna). Tipiche lesioni partono dalla parte tesa della trave verso la zona compressa e presentano un’inclinazione attorno ai 45° nei pressi degli appoggi. Spostandoci dall’appoggio verso le sezioni in campata, le inclinazioni delle lesioni per taglio tendono a confondersi con quelle dovute alla fessurazione per flessione (generalmente più intensa andando verso la mezzeria). Si consideri, in particolare, l’equilibrio del concio di trave terminale nei pressi dell’appoggio. Si calcola, intanto, l’ampiezza s t tra la prima sezione e l’ultima sezione di ferri piegati (con angolazione  ) che attraversano la lesione di trazione nel calcestruzzo per taglio (tratteggiata con inclinazione  ): s t =  d – d    cot  + cot    s t max = 1 5d .


















   









 


























 



Figura 2.13 Schema meccanismo resistente al taglio ultimo ferri piegati: equilibrio concio all’appoggio.

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Se si indica con s b l’interasse longitudinale delle barre piegate con angolo  , il numero effettivo di barre resistenti al taglio è evidentemente (secondo lo schema particolare in figura 2.13) pari a: s n = ----t . sb

(Eq. 2‐44)

Stabilendo di indicare con A sb la sezione trasversale (complessiva) delle barre rialzate solo in una generica sezione, l’area complessivamente resistente che attraversa l’intera lesione di trazione inclinata di  è evidentemente pari a tutte le barre rialzate: A sb tot = A sb  n .

La relativa forza ultima a trazione è: R b = 0 95f yv  A sb tot

A questo punto, imponendo l’equilibrio (in direzione verticale) del taglio ultimo V b portato dai ferri piegati, si scrive: s V b = R b  sin  = 0 95f yv  A sb tot  sin  = 0 95f yv  A sb  n  sin  = 0 95f yv  A sb  ----t  sin  , sb

ottenendo la relazione:  d – d    cot  + cot   V b = 0 95f yv  A sb  -----------------------------------------------------------  sin  . sb

Riordinando, infine, si ottiene la relazione operativa per il calcolo:  d – d  V b = 0 95f yv  A sb  ------------------   sin  cot  + cos   . sb

(Eq. 2‐45)

Ferri Come si può subito notare, nel caso di sole staffe (particolari ferri piegati con staffe  = 90 ), si ottiene (con sole staffe, per sicurezza, valore minimo con  = 45 ):

 d – d  d v s  b v  d = 0 95f yv  A sv  ------------------  0 95f yv  A sv  ---- , sv sv

da cui la relazione già incontrata: bv sv vs A sv = -----------------, 0 95f yv

avendo indicato con v s = V b   b v d  lo sforzo di taglio resistente ultimo delle sole staffe (ferri piegati con  = 90 ).

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In particolare, volendo esprimere l’armatura al taglio in termini di mm 2  mm , si possono impiegare le seguenti formulazioni: vb bv d A sb 1 -  ------------------------------------------------- ; -------- = ----------------------------------------0 95f yv   d – d   sin  cot  + cos   sb

(Eq. 2‐46)

A sv bv vs -------- = -----------------. sv 0 95f yv

(Eq. 2‐47)

ESEMPIO 2-L

Sia data una trave di luce di calcolo pari a  L = 6 00 m . Il valore del taglio di calcolo (ULS)  sia stato valutato pari a  V = 173 35 kN . Facendo riferimento alla sezione resistente al  taglio ( b v = 250 mm  e  h = 600 mm ), calcolare l’armatura di cucitura. I materiali utilizzati  sono C30 e HY460 per le barre longitudinali. Gli acciai delle staffe sono del tipo HY250  con ricoprimento esterno di 25 mm. I dettagli sono riportati in figura 2.14.

Dati:

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1.

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Figura 2.14 Schema di carico e sezione trave.

Soluzione:

Si dispongono i dati di progetto:

Tab. 2.2

Calcestruzzo classe C30:  f cu = 30 MPa . Acciai HY460:  f y = 460 MPa . Altezza utile sezione:  d = h –  c +  st + 0 5  = 600 –  25 + 10 + 12 5  = 552 5 mm . Calcolo della tensione di taglio di progetto (ULS):

Eq. 2-31

173 35  10 3 V v = -------- = ---------------------------------- = 1 26 MPa . bv d  250   552 5 

Massimo sforzo di taglio per schiacciamento bielle convenzionali di calcestruzzo: Eq. 2-32

pag. 96

v max = min  0 8 f cu ; 5 MPa  = min  0 8 30 ; 5 MPa  = 4 38 MPa .

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Percentuale di armatura tesa  A s = 1474 mm 2 : 100A 100   1474 - = 1 07 . ---------------s = --------------------------------bv d  250   552 5 

Controllo rispetto minimo vincolo percentuale armatura: Eq. 2-35

100A 0 15  ---------------s  3 0 bv d



100A ---------------s = 1 07 . bv d

Controllo rispetto vincolo con armatura al taglio presente: Eq. 2-37

 400 ---------   d 

1/4

1



 400 ---------   d 

1/4

400 1 / 4 =  ---------------  = 0 92  1  552 5 



 400 ---------   d 

1/4

= 1

si impone quindi il valore minimo unitario. Resistenza sforzo di taglio (base) per conglomerato in assenza di armature al taglio e per  classe di resistenza C25: Eq. 2-33

0 79 400 1 / 4 100A 1 / 3 0 79 v c base = ------------   ---------    ---------------s  = ------------  1   1 07  1 / 3 = 0 646 MPa ,  bv d  m  d  1 25

Tab. 2.15 v c base  0 63 MPa  per  100A s   b v d   1 0  e per  h  400 mm . Si adotta, per sicurezza, 

quest’ultimo valore. Incremento per classe del calcestruzzo C30: Eq. 2-34

v c = v c base  k 1 = v c base   f cu  25  1 / 3 =  0 63    30  25  1 / 3 = 0 67 MPa .

Risulta verificata la disequazione:   v c + 0 4   v  v max . È necessario il calcolo delle  armature al taglio in funzione della tensione di progetto  v = 1 26 MPa . Impiegando per le armature al taglio acciai HY260, si considera un’armatura di sole staffe: Eq. 2-43

A sv  v – v c b v mm 2 mm 2  1 26 – 0 67   250 - = 0 62 ----------- = ------------------------------------------------------- = ----------------------= 620 ----------- . mm m sv 0 95f yv 0 95  250 

Adottando staffe di diametro   st = 8 mm  (singola staffa con 2 bracci resistenti per  sezione), si ha:  A sv = 2   50 mm 2  = 100 mm 2 . Il passo longitudinale delle staffe  (massimo) è: A sv 100 - = ------------ = 161 mm  0 75d = 414 mm . s v = ----------0 62 0 62

Si dispongono staffe  8  160 . L’interasse assunto  160 mm  0 75d  è adeguato.

ESEMPIO 2-M Dati:

Impiegando i dati geometrici, dimensionare l’armatura al taglio (sole staffe e poi staffe  con piegati) per un taglio di calcolo massimo di  V = 400 kN . Utilizzare per le armature al  taglio acciai HY460.

Soluzione:

La tensione di progetto al taglio è in questo caso:

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pag. 97

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Eq. 2-31

400  10 3 V v = -------- = ---------------------------------- = 2 90 MPa  v max = 4 38 MPa . bv d  250   552 5 

Impiegando solo staffe: Eq. 2-43

A sv  v – v c b v mm 2 mm 2  2 90 – 0 67   250  - = ------------------------------------------------- = 1 28 ----------- = 1280 ----------- . -------- = ----------------------mm m sv 0 95f yv 0 95  460 

Adottando staffe di diametro   st = 10 mm  (singola staffa con 2 bracci resistenti per  sezione), si ha:  A sv = 2   78 mm 2  = 156 mm 2 . Il passo longitudinale delle staffe  (massimo) è: A sv 156- = 122 mm  0 75d = 414 mm . - = ----------s v = ----------1 28 1 28

Si dispongono staffe  10  120 . Impiegando staffe e piegati, si impone ad esempio  v b = 0 40  v = 0 40   2 90  = 1 16 MPa  0 5v  per i piegati e v s = v – v b = 2 90 – 1 16 = 1 74 MPa  v c = 0 67 MPa  per le sole staffe.

Per le staffe: Eq. 2-43

A sv  v – v c b v mm 2 mm 2  1 74 – 0 67   250  - = ------------------------------------------------- = 0 61 ----------- = 610 ----------- . -------- = ----------------------mm m sv 0 95f yv 0 95  460 

Adottando staffe di diametro   st = 8 mm  (singola staffa con 2 bracci resistenti per  sezione), si ha:  A sv = 2   50 mm 2  = 100 mm 2 . Il passo longitudinale delle staffe  (massimo) è: A sv 100- = 164 mm  0 75d = 414 mm . - = ----------s v = ----------0 61 0 61

Si dispongono staffe  8  160 . Per i piegati, assumendo   = 45  (dettaglio in fig. 2.13), si ha: Eq. 2-46

vb bv d A sb 1 -  ------------------------------------------------ . Sostituendo i valori numerici con  -------- = ----------------------------------------0 95f yv   d – d   sin  cot  + cos   sb d = 45 5 mm ,   =  = 45  si ha: A sb  1 16   250   552 5  2 mm 2 mm 2 -------- = --------------------------------------------------------------------  ------- = 0 51 ----------- = 510 ----------- . mm m 0 95  460    552 5 – 45 5  2 sb

Provvedendo ad alzare la sola barra  25 = 491 mm 2  centrale (lasciando le due rimanenti  come reggistaffe inferiori), si ha: A sb 491 - = ------------ = 963 mm . s b = ----------0 51 0 51

Essendo  s t =  d – d    cot  + cot   =  552 5 – 45 5   2 = 1014 mm  1 5d = 829 mm , a  rigore, imponendo  s t = 1 5d = 829 mm , il numero necessario di ferri piegati si ottiene  dalla: Eq. 2-44

pag. 98

s n = ----t = 829 --------- = 0 86  1 . sb 963

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Teoricamente, si può confermare un solo ferro piegato. All’atto pratico, però, è sempre  buona norma alzare sempre almeno una coppia di ferri per volta. Pertanto, anche se teoricamente, si è calcolata come armatura al taglio nei pressi degli  appoggi una staffatura a due bracci (  st = 8 mm ) con passo massimo di 160 mm e un solo  ferro  25  piegato a 45° (schema in fig. 2.14), si preferisce adottare l’armatura al taglio con  sole staffe (in ragione di  10  120 , a due bracci).

ESEMPIO 2-N Dati:

Si considerino i dati dell’esempio precedente, supponendo però che le armature tese  longitudinali inferiori siano in numero di  716 , disposte opportunamente su due layer.  Stabilire soltanto la nuova geometria e disposizione dei ferri piegati al taglio.

Soluzione:

Dalla relazione calcolata nell’esempio precedente: A sb  1 16   250   552 5  2 mm 2 mm 2 -------- = --------------------------------------------------------------------  ------- = 0 51 ----------- = 510 ----------- , mm m 0 95  460    552 5 – 45 5  2 sb

provvedendo ad alzare 2 barre  16 = 201 mm 2  per ogni sezione (lasciando almeno tre  barre  16  correnti come reggistaffe inferiori), si ha: A sb 2   201  - = --------------------- = 788 mm . s b = ----------0 51 0 51

Essendo  s t = 1014 mm  1 5d = 829 mm , a rigore, il numero necessario di ferri piegati  A sb  (con  A sb = 216 = 402 mm 2  pari a una coppia di  16 ) si ottiene dalla: Eq. 2-44

s 1 5d 829 n = ----t  ------------ = ---------  1 1  1  (leggermente maggiore di 1). sb sb 788

Arrotondando “n” al numero intero 2, equivale ad utilizzare in tutto  n = 2  di  A sb , per un  totale quindi di  2   216  = 416  ferri alzati.    





  



   







  

























 


 
 

 



  



Figura 2.15 Schema qualitativo armature al taglio trave: staffe con ferri piegati.

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Ciò posto, si dovrà prevedere un interasse tra le due coppie di ferri piegati minore di: s 1 5d 829 s b = ---t  ------------ = ---------  415 mm . n sb 2

I dettagli (qualitativi), nel caso di adozione di armature al taglio con staffe e ferri piegati,  sono riportati nella figura 2.15. Fine-esempio

SPAZIATURA E DISPOSIZIONE DELLE STAFFE.  Al par. 3.4.5.5 delle BS 8110-97 Part 1, viene

indicato che ciascuna barra longitudinale portante della trave (sia essa armatura superiore compressa o inferiore tesa) non deve distare più di 150 mm da un braccio verticale di una staffatura d H  150 mm (in una trave, sempre presente). Inoltre, la spaziatura orizzontale massima delle braccia di una staffatura, in una data sezione trasversale della trave, non deve superare l’altezza utile d della sezione stessa: d l  d . La spaziatura massima ammessa per le staffe, lungo la direzione longitudinale di sviluppo della trave, può arrivare al più a 0 75d (detta appunto “staffatura minima”). L’illustrazione di seguito riportata sintetizza quanto detto. Per l’armatura a torsione (contribuisce alla resistenza solo la staffa perimetrale chiusa), si deve fare riferimento alla BS 8110-85 Part 2 (“Code of practice for special circumstances”). Questo verrà affrontato nel prossimo paragrafo.


   

   





  
       


 


 


   

 





   

  








  
       


 


 


   

 


   
       


 


 


   

 

Figura 2.16 Dettagli armature resistenti al taglio (secondo indicazioni BS 8110-97 - Part 1).

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2.7 Progetto delle armature a torsione 2.7.1 Calcolo degli sforzi di progetto Le armature a torsione per una trave vengono determinate seguendo questa procedura: 1.

si determina lo sforzo di progetto v t di torsione;

2.

si individuano le grandezze della sezione che intervengono nel dimensionamento delle armature a torsione;

3.

si determina lo sforzo critico di torsione;

4.

si determinano le armature a torsione.

La torsione, come già anticipato, viene trattata nella BS 8110-85 Part 2. SFORZO DI PROGETTO A TORSIONE.  Lo sforzo di progetto di torsione per una sezione rettangolare si determina tramite l’equazione (ipotesi di distribuzione plastica delle tensioni):

2T v t = ----------------------------------------------. h min 2  h min  h max – --------- 3 

(Eq. 2‐48)

Per sezioni flangiate (a “T” o a “L”), la sezione resistente viene considerata composta da una serie di sottosezioni rettangolari di cui, per ognuna di esse, si calcola il relativo contributo resistente. Data la sollecitazione di torsione di calcolo T agente sull’intera sezione, ciascuna sottosezione rettangolare viene sottoposta ad una quota parte di torsione ( T seg  T ) pari a:  h3 h  min max -, T seg = T   --------------------------------  3  h min h max   



(Eq. 2‐49)

dove: •

h max è la dimensione più larga della sezione (o sottosezione) rettangolare;

•

h min è la dimensione minore della sezione (o sottosezione) rettangolare.

Per ogni sottosezione, si calcoleranno altrettanti valori di sforzi a torsione: 2T seg v t seg = ---------------------------------------------h min 2 h min   h max – -------- 3 

(Eq. 2‐50)

e altrettante verifiche con relativo calcolo delle armature necessarie.

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2.7.2 Grandezze geometriche della sezione Per il calcolo delle tensioni critiche e per il calcolo delle armature a torsione, è necessario individuare alcune grandezze geometriche che intervengono nelle formule proposte dalla norma. In particolare: •

x 1 è la distanza minore tra l’asse dei bracci della staffa rettangolare chiusa più esterna;

•

y 1 è la distanza maggiore tra l’asse dei bracci della staffa rettangolare chiusa più esterna.

Di seguito, si riporta uno schema di sezioni dove si mette in evidenza quale staffa resiste alla torsione e quali invece sono del tutto inadeguate per resistere alla torsione. Come si può notare, le uniche staffe che sono in grado di reagire alla torsione sono le staffe chiuse e più esterne, attorno al perimetro della sezione. Le spille o le staffe non esterne resistono solo alle sollecitazioni di taglio. 2.7.3 Sforzi critici di torsione La BS 8110-85 Part 2, definisce due sforzi critici: v t min correlato direttamente al solo sforzo di torsione e v tu correlato all’interazione degli sforzi di torsione e taglio contemporaneamente agenti in una sezione. Stabilisce, in generale, che:


  




 



      




  


   




 



   




    

   



Figura 2.17 Dettagli armature resistenti a torsione (secondo indicazioni BS 8110-85 - Part 2). Evidenziate in verde le staffe reagenti a torsione.

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v t min = min   0 067 f cu  ; 0 4 MPa  ;

(Eq. 2‐51)

v tu = min   0 8 f cu  ; 5 0 MPa  (per y 1  550 mm ).

(Eq. 2‐52)

In particolare, in quelle contenute sezioni in cui risulti verificata la condizione geometrica sulla staffa chiusa più esterna y 1  550 mm , il vincolo all’eq. 2-52 si aggiorna nella seguente condizione: y1  -  min   0 8 f cu  ; 5 0 MPa  (per y 1  550 mm ). v tu =  ------- 550 

(Eq. 2‐53)

In generale, deve essere sempre garantita (coesistenza di sforzi di taglio v e torsione v t ) la seguente condizione: v + v t  v tu .

(Eq. 2‐54)

Valori numerici delle tensioni critiche, calcolati con le equazioni precedenti, sono tabellate nella BS 8110-85 Part 2 alla tabella 2.3, che qui si riporta per comodità di lettura.

Classe calcestruzzo

Tensione limite per torsione vt,min [N/mm2]

Tensione limite per taglio e torsione vtu [N/mm2]

C25

0,33

4,00

C30

0,37

4,38

C40 (o superiore)

0,40

5,00

Tabella 2.17 Valori sforzi critici vt,min e vtu (BS 8110-85 Part 2 - tab. 2.3).

Nella tabella 2.4 della BS 8110-85 Part 2 vengono fornite delle raccomandazioni nel caso di sollecitazioni composte di taglio e torsione. Di seguito, per comodità di lettura.

Entità sforzo di taglio v

Entità sforzo di torsione vt < vt,min

Entità sforzo di torsione vt > vt,min

v   v c + 0 4 

Richiesta armatura minima al taglio, nessuna armatura per torsione.

Richiesta armatura a torsione (da calcolo): non meno della staffatura minima prevista per solo taglio.

v   v c + 0 4 

Richiesta armatura al taglio (da calcolo), nessuna armatura a torsione

Richiesta armatura per torsione (da calcolo) e per taglio (da calcolo).

Tabella 2.18 Armatura per sforzi di taglio e torsione (BS 8110-85 Part 2 - tab. 2.3).

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2.7.4 Formule di progetto delle armature a torsione Quando risulti v t  v t min , è necessario prevedere un’adeguata armatura a torsione, dimensionata tramite opportuno calcolo. Come noto, l’armatura a torsione in una trave consta dell’interazione reciproca (e necessaria) di un sistema tridimensionale di barre. In particolare, da staffe chiuse disposte attorno alla sezione (si vedano le staffe chiuse esterne negli schemi qualitativi in figura 2.17) e da barre longitudinali superiori, inferiori e di parete, disposte in maniera il più possibile uniforme attorno a tutta la zona perimetrale della sezione. Queste armature (staffe e barre longitudinali) vanno ad aggiungersi a quelle eventualmente già presenti per flessione e taglio. Importante

Adottando per le barre longitudinali una resistenza caratteristica f y e per le staffe una resistenza caratteristica f yv e considerando per queste due resistenze valori non maggiori di 460 MPa , le formule per il calcolo delle armature a torsione sono: per le staffe:

per le barre longitudinali:

A sv T --------  --------------------------------------- ; s v 0 8x 1 y 1 0 95f yv

(Eq. 2‐55)

A sv f yv  x 1 + y 1  -, A s  -----------------------------------sv fy

(Eq. 2‐56)

dovendo considerare per A sv l’area delle due braccia della staffa più esterna che contorna il perimetro dell’intera sezione (unica reagente a torsione). Il passo delle staffe (calcolato o effettivamente adottato) deve soddisfare il vincolo: y   s v  min  x 1 ; -----1 ; 200 mm  . 2  

(Eq. 2‐57)

ESEMPIO 2-O Dati:

Una trave presenta una sezione rettangolare  b = 350 mm ,  h = 600 mm . Il ricoprimento  esterno delle staffe più esterne è di  c = 25 mm . I materiali sono C30 per il calcestruzzo e  HY460 per le barre longitudinali e le staffe. La sezione è armata inizialmente con  820   inferiori tesi disposti su due layer e  420  superiori compressi. Si chiede di disporre le  opportune armature al taglio e a torsione, sapendo che le relative sollecitazioni di calcolo  (ULS) sono:  V = 300 kN  e  T = 40 kNm .

Soluzione:

Si dispongono i dati di progetto:

Tab. 2.2

Calcestruzzo classe C30:  f cu = 30 MPa . Acciai HY460:  f y = 460 MPa . Stima altezza utile (minima) sezione:  d = h –  c +  st +    600 – 60 = 540 mm . Calcolo della tensione di taglio di progetto (ULS):

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Eq. 2-31

300  10 3 V v = -------- = ---------------------------- = 1 59 MPa . bv d  350   540 

Calcolo tensione di torsione di progetto (ULS): Eq. 2-48

2   40  10 6  2T v t = ----------------------------------------------- = -------------------------------------------------- = 1 35 MPa . h min 350 2  350  2   600 – --------- h min   h max – --------  3  3 

Massimo sforzo di taglio per schiacciamento bielle convenzionali di calcestruzzo: Eq. 2-32

v max = min  0 8 f cu ; 5 MPa  = min  0 8 30 ; 5 MPa  = 4 38 MPa .

Eq. 2-34

v c = v c base  k 1 = v c base   f cu  25  1 / 3 =  0 63    30  25  1 / 3 = 0 67 MPa .

Controllo entità sforzo di taglio: Tab. 2.18 v = 1 59 MPa   v c + 0 4  = 0 67 + 0 4  1 10 MPa .

(richiesta sicuramente armatura al taglio: da apposito calcolo). Calcolo sforzi critici di torsione (ipotesi di  y 1  550 mm ): Eq. 2-51

v t min = min   0 067 f cu  ; 0 4 MPa  = 0 37 MPa ;

Eq. 2-53

y1  ---------   min   0 8 30  ; 5 0 MPa  = 4 28 MPa , -  min   0 8 f cu  ; 5 0 MPa  =  538 v tu =  ------- 550   550 

avendo supposto al massimo un diametro delle staffe più esterne di 12 mm. Pertanto,  considerata la staffa più esterna di forma rettangolare: y 1 = h – 2c –  st = 600 – 50 – 12 = 538 mm  550 mm . Tab. 2.18 v t = 1 35 MPa  v t min = 0 37 MPa

(richiesta armatura a torsione: da apposito calcolo). Controllo massimo sforzo interazione taglio‐torsione: Eq. 2-54

v + v t = 1 59 + 1 35 = 2 94 MPa  v tu = 4 28 MPa  (verifica entro il limite).

Calcolo armature al taglio (solo ganci): Eq. 2-43

A sv  v – v c b v mm 2 mm 2  1 59 – 0 67   350  - = ------------------------------------------------- = 0 74 ----------- = 740 ----------- . -------- = ----------------------mm m sv 0 95f yv 0 95  460 

Adottando ganci di diametro   st = 10 mm  (2 bracci resistenti per sezione), si ha:  A sv = 2   78 mm 2  = 156 mm 2 . Il passo longitudinale delle staffe (massimo) è: A sv 156 - = ------------ = 210 mm  0 75d = 405 mm . s v = ----------0 74 0 74

Si dispongono 2 ganci  10  200 . Calcolo armature a torsione (staffa chiusa esterna):

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Figura 2.18 Sezione A con armatura a flessione e taglio e sezione B con armatura a flessione taglio e torsione.

Eq. 2-55

A sv T mm 2 mm 2 40  10 6 --------  --------------------------------------- = --------------------------------------------------------------- = 0 74 ----------- = 740 ----------- , s v 0 8x 1 y 1 0 95f yv mm m 0 8  288   538 0 95  460 

avendo calcolato:  x 1 = b – 2c –  st = 350 – 50 – 12 = 288 mm .

Avendo imposto di adottare per la staffa esterna chiusa un diametro di 12 mm, si calcola  intanto  A sv = 2   113 mm 2  = 226 mm 2 . Il passo massimo delle staffe a torsione risulta: Eq. 2-55

A sv mm 2 --------  0 74 ----------sv mm



A sv 226- = 305 mm . - = ----------s v  ----------0 74 0 74

Volendo adottare un interasse uguale a quello stabilito per i ganci al taglio, si fissa  s v = 200 mm : A sv mm 2 --------  0 74 ----------sv mm



mm 2 A sv  s v   0 74 -----------  = 200  0 74 = 148 mm 2 .  mm 

Potendo quindi utilizzare una staffa di diametro 10 mm (chiusa attorno alla sezione) si ha: A sv = 2  79 mm 2 = 157 mm 2  148 mm 2 .

Si dispongono, quindi, per ciascuna sezione una staffa esterna chiusa di diametro 10 mm  e due ganci di 10 mm di diametro (internamente). Il passo, comune alla staffa e ai due  ganci, è di 200 mm lungo l’asse longitudinale della trave. Controllo passo staffe a torsione ( s v = 200 mm ): Eq. 2-57

y   s v  min  x 1 ; -----1 ; 200 mm  = min  288 ; 269 ; 200 mm  = 200 mm  (al limite). 2  

Calcolo barre longitudinali a torsione (da aggiungere a quelle presenti per la flessione):

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Eq. 2-56

A sv f yv  x 1 + y 1   157   460   288 + 538  - = -------------------------------------------------------- = 648 mm 2 . A s  -----------------------------------sv fy  200   460 

Si stabilisce di distribuire sul contorno  n long = 8  barre longitudinali: 4 agli angoli e 2+2 di  parete. Si ottiene quindi l’area minima di ciascuna barra da aggiungere per la torsione: As A s1 = ---------- = 648 --------- = 81 mm 2 . n long 8

Si adottano quindi delle barre da 12 mm di diametro (singola:  A s1 = 113 mm 2 ). Le barre  presenti ai quattro angoli come reggistaffe sono del diametro 20 mm ( 314 mm 2 ).  Aggiungendovi una barra da 12 mm, l’area complessiva su ciascuno dei 4 angoli è  evidentemente: 314 + 113 = 427 mm 2 .

Si sostituisce quindi agli angoli un ferro di 20 mm con un ferro di 25 mm di diametro  ( 25 = 491 mm 2  427 mm 2 .) I dettagli della sezione armata per sola flessione e taglio e per flessione, taglio e torsione  sono riportati nella figura 2.18.

ESEMPIO 2-P Dati:

Si debbano calcolare le armature a taglio e torsione di una sezione flangiata a “C”,  riportata in figura 2.19. La risultante dell’azione di calcolo (ULS) del taglio è  V = 150 kN   ed è applicata con retta d’azione passante per il baricentro geometrico G della sezione. I  materiali utilizzati sono C30 e HY460. Il ricoprimento delle staffe è di 25 mm. Sapendo che il momento d’inerzia della sezione attorno all’asse x-x è J x = 32280  10 6 mm 4 , calcolare la distanza del centro di taglio dall’asse y-y (indicato in figura). L’asse y-y è disposto in modo da dividere in due parti uguali la nervatura verticale. 
















  



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 Figura 2.19 Dettagli geometrici sezione flangiata a “C” (quotature in mm).

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Soluzione:

Come già evidenziato nello schema in figura 2.19, per sezioni dissimmetriche è necessario  individuare il centro di taglio della sezione; in quanto il disassamento tra  GC t =    determina un momento torcente dovuto all’azione del taglio:  T = V   . Come noto dalla  Scienza delle Costruzioni, in una sezione a “C” il centro di taglio  C t  dista dal baricentro  della nervatura verticale della sezione di: h f2  b – ---   h – hf  2  bw f  2 C t 0 = ---------------------------------------------------------- = 4 Jx

2  600 – 200 ---------   900 – 200  2   200   2  ------------------------------------------------------------------------------------- = 189 7 mm . 4   32280  10 6 

Sappiamo inoltre che se si utilizza il sistema di riferimento x‐x adottato in figura, la  posizione del baricentro geometrico G della sezione flangiata dall’asse y‐y è: bf hf  bf – bw   600   200   600 – 200  - = --------------------------------------------------------------------------------  141 2 mm . 0G = ------------------------------------------- 900   200  + 2  600 – 200   200  hb w + 2  b f – b w h f

La distanza cercata è  C t G = 189 7 + 141 2  331 mm . La sollecitazione torcente (ULS) è: T = V   =  150    0 331  = 49 65 kNm .

Si divide la sezione flangiata in tre sottosezioni rettangolari (si veda figura 2.20). In particolare, si divide in tre rettangoli: rettangolo (1) di dimensioni:  h max 1 = 900 mm ,  h min 1 = 200 mm ; rettangoli (2), uguali, di dimensioni:  h max 2 = 400 mm ,  h min 2 = 200 mm . Ciascuno dei due tipi di sottosezioni è sottoposto alla seguente quota parte di momento  torcente (essendo  T = T seg 1 + T seg 2 + T seg 2 ): Eq. 2-49

T seg 1

3   h min1 h max1 ----------------------------------------------------------------------------------------= T 3 , 3 3  h min1 h max1 + h min2 h max2 + h min2 h max2 





 

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3   h min2 h max2 -. T seg 2 = T   ----------------------------------------------------------------------------------------3 3 3  h min1 h max1 + h min2 h max2 + h min2 h max2 












 

 

Figura 2.20 Dettagli geometrici sottosezioni rettangolari (quotature in mm).

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Sostituendo i valori numerici:  200  3  900  T seg 1 = T  ------------------------------------------------------------------------------------------------------3  200   900  +  200  3  400  +  200  3  400 

= T  0 530 ,

 200  3  400  T seg 2 = T  ------------------------------------------------------------------------------------------------------3  200   900  +  200  3  400  +  200  3  400 

= T  0 235 ,

risulta infatti:  T = T seg 1 + T seg 2 + T seg 2 = T   0 530 + 0 235 + 0 235  = T  1 000 .

La geometria delle sottosezioni è stata scelta per massimizzare le tensioni agenti nella  nervatura della sezione, sottoposta all’intero taglio agente e al 53% della sollecitazione  torcente agente. La sottosezione 1 assorbe l’intero taglio agente sulla sezione flangiata.  Si dispongono i dati di progetto: Tab. 2.2

Calcestruzzo classe C30:  f cu = 30 MPa . Acciai HY460:  f y = 460 MPa . Altezza utile sottosezione 1 (stima in difetto):  d = h –  c +  st + 0 5   850 mm . Calcolo della tensione di taglio di progetto (ULS) sulla sottosezione 1:

Eq. 2-31

150  10 3 - = 0 88 MPa . V- = --------------------------v = ------ 200   850  bv d

Massimo sforzo di taglio per schiacciamento bielle convenzionali di calcestruzzo: Eq. 2-32

v max = min  0 8 f cu ; 5 MPa  = min  0 8 30 ; 5 MPa  = 4 38 MPa .

Eq. 2-34

v c = v c base  k 1 = v c base   f cu  25  1 / 3 =  0 63    30  25  1 / 3 = 0 67 MPa .

Tab. 2.18 v = 0 88 MPa   v c + 0 4  = 0 67 + 0 4  1 10 MPa .

(richiesta sola armatura minima per taglio). Calcolo della tensione di torsione di progetto (ULS) sulla sottosezione 1: Eq. 2-48

2T seg 1 2  T  0 530  2   49 65  0 530   10 6 - = ------------------------------------------------------ = ----------------------------------------------------------- = 1 58 MPa . v t = ----------------------------------------------------h min1 h min1 2 2  200  2   900 – 200 --------- h min1   h max1 – ----------h min1   h max1 – ----------   3  3  3 

Calcolo sforzi critici di torsione (caso con  y 1  550 mm ): Eq. 2-51

v t min = min   0 067 f cu  ; 0 4 MPa  = 0 37 MPa ;

Eq. 2-53

v tu = min   0 8 f cu  ; 5 0 MPa  = min   0 8 30  ; 5 0 MPa  = 4 38 MPa ,

Eq. 2-54

v + v t = 0 88 + 1 58 = 2 46 MPa  v tu = 4 28 MPa  (verifica entro il limite).

Calcolo armatura minima al taglio (singola staffa esterna):

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pag. 109

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Eq. 2-42

0 30  b v d 0 30   200   850  - = -------------------------------------------- = 116 7 mm 2 , A sv min = -----------------------0 95f yv 0 95  460 

da disporre con interasse massimo di  s v max = 0 75d = 0 75   850  = 637 5 mm . Adottando una staffa di diametro   st = 8 mm  (2 bracci resistenti per sezione), si ha:  A sv = 2   50 mm 2  = 100 mm 2 . Il passo longitudinale delle staffe (massimo in condizioni  di minima staffatura) è: 637 5 637 5 s v = A sv  --------------- =  100   --------------- = 546 mm  0 75d = 637 5 mm . 116 7 116 7 A sv 156- = 210 mm  0 75d = 405 mm . - = ----------s v = ----------0 74 0 74

Se si ipotizza un passo effettivo di  s v = 500 mm , con staffa chiusa di diametro 8 mm, si ha  per il solo taglio: mm 2 mm 2 sv A --------------- = 0 20 ----------- = 200 ----------- . = 100  s v taglio mm m 500 Eq. 2-55

T seg 1 A sv mm 2 mm 2  49 65  0 530   10 6 - = ----------------------------------------------------------------------  -------------------------------------- = 0 63 ----------- = 630 ----------- , s v 0 8x 1 y 1 0 95f yv mm m 0 8  142   842 0 95  460 

avendo calcolato per la sottosezione 1:  x 1 = b – 2c –  st = 200 – 50 – 8 = 142 mm , y 1 = h – 2c –  st = 900 – 50 – 8 = 842 mm .

Dovendo tenere conto anche dell’effetto del taglio (armatura minima), si ha in totale (per  la sottosezione 1): A sv A sv mm 2 mm 2 sv A ------+  ------=  ------=  0 20 + 0 63  ----------- = 0 83 ----------- .  s v totale  s v taglio  s v torsione mm mm

Utilizzando una singola staffa (8 mm) per sezione, è necessario mantenere un interasse  massimo (per equilibrare sia il taglio che la torsione): A sv 100- = 120 mm  0 75d = 637 5 mm . - = ----------s v = ----------0 83 0 83

Controllo passo staffatura a torsione (se si fissa  s v = 120 mm ): Eq. 2-57

y   s v  min  x 1 ; -----1 ; 200 mm  = min  142 ; 421 ; 200 mm  = 142 mm  (rispettato vincolo). 2  

Per la sottosezione 1 (quindi per la nervatura della sezione flangiata a “C”) si adotta una  staffa chiusa di diametro 8 mm con passo di 120 mm.  Calcolo barre longitudinali a torsione (da aggiungere a quelle presenti per la flessione): Eq. 2-56

A sv f yv  x 1 + y 1   100   460   142 + 842  - = -------------------------------------------------------- = 820 mm 2 . A s  -----------------------------------sv fy  120   460 

Si stabilisce di distribuire sul contorno  n long = 14  barre longitudinali: 4+4 agli angoli di  intersezioni con le staffe e 3+3 di parete. Si ottiene quindi l’area minima di ciascuna barra  da aggiungere per la torsione:

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Norme: British Standards

M ANUALE DI CALCOLO STRUTTURE - BS S EZIONE 2 C ALCESTRUZZO ARMATO

As 820 A s1 = ---------- = ---------  58 9 mm 2 . 14 n long

Si utilizzeranno 14 barre di diametro 10 mm ( 78 mm 2 ) da distribuire uniformemente  lungo il contorno della sezione. Per le due rimanenti sottosezioni 2 (tra loro uguali) e sottoposte solo a torsione, si ha: T seg 2 = 0 235T = 0 235  49 65 = 11 67 kNm .

Calcolo della tensione di torsione di progetto (ULS) sulla sottosezione 2: Eq. 2-48

2T seg 2 2   11 67   10 6 - = 1 75 MPa . v t = ----------------------------------------------------- = ------------------------------------------------h min2 2  200  2   400 – 200 --------- h min2   h max2 – ----------   3  3

Per la sottosezione 2 si considerano staffe ancorate dentro la nervatura verticale e quindi  si assume ragionevolmente l’ipotesi  y 1  550 mm . Eq. 2-53

v tu = min   0 8 f cu  ; 5 0 MPa  = min   0 8 30  ; 5 0 MPa  = 4 38 MPa .

Per la sottosezione 2 (con assenza di taglio:  v = 0 ) risulta: Eq. 2-54

v + v t = 0 + 1 75 = 1 75 MPa  v tu = 4 28 MPa  (massimo limite imposto rispettato).

Eq. 2-55

2 A sv T seg 2 mm 2  49 65  0 235   10 6 - = 0 43 mm - = ------------------------------------------------------------------------- = 430 ----------- , --------  -------------------------------------s v 0 8x 1 y 1 0 95f yv mm m 0 8  142   542 0 95  460 

avendo calcolato per la sottosezione 2:  x 1 = b – 2c –  st = 200 – 50 – 8 = 142 mm , y 1 = h – 2c –  st = 600 – 50 – 8 = 542 mm .

Utilizzando una singola staffa (8 mm) per sezione, è necessario mantenere un interasse  massimo (per equilibrare sia il taglio che la torsione): A sv 100- = 232 mm  0 75d = 0 75  361 = 271 mm . - = ----------s v = ----------0 43 0 43

Controllo passo staffatura a torsione (se si fissa  s v = 230 mm ): Eq. 2-57

y   s v  min  x 1 ; -----1 ; 200 mm  = min  142 ; 542 ; 200 mm  = 142 mm  (non rispettato vincolo). 2  

Volendo adottare la medesima staffatura della nervatura, per la sottosezione 2 si impone  staffa singola chiusa con passo 120 mm