Problemas resueltos de microecomía intermedia [2 ed.] 978-84-368-4148-0

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia

JOSÉ MANUEL GIMÉNEZ GÓMEZ

MARIA LLOP LLOP

PROFESOR AGREGADO DE FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ECONÓMICO EN LA UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

CATEDRÁTICA DE FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ECONÓMICO EN LA UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

CAROLINA MANZANO TOVAR PROFESORA TITULAR DE UNIVERSIDAD DE FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ECONÓMICO EN LA UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

Problemas resueltos de microeconomía intermedia

EDICIONES PIRÁMIDE

COLECCIÓN «ECONOMÍA Y EMPRESA» Director:

Miguel Santesmases Mestre Catedrático de la Universidad de Alcalá

Edición en versión digital

Está prohibida la reproducción total o parcial de este libro electrónico, su transmisión, su descarga, su descompilación, su tratamiento informático, su almacenamiento o introducción en cualquier sistema de repositorio y recuperación, en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, conocido o por inventar, sin el permiso expreso escrito de los titulares del copyright.

© José Manuel Giménez Gómez, Maria Llop Llop y Carolina Manzano Tovar, 2019 © Segunda edición electrónica publicada por Ediciones Pirámide (Grupo Anaya, S. A.), 2019 Para cualquier información pueden dirigirse a [email protected] Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid Teléfono: 91 393 89 89 www.edicionespiramide.es ISBN digital: 978-84-368-4148-0

Índice

Presentación......................................................................................................... 11 1. Juegos estáticos........................................................................................... 13 Introducción...................................................................................................... 13   1. Juego de competencia entre empresas....................................................... 13   2. Juego de colaboración entre ladrones....................................................... 16   3. Juego de comercio internacional............................................................... 19   4. Juego de lanzamiento de penalti............................................................... 21   5. Juego de colaboración en caza.................................................................. 24   6. Juego de chiringuitos................................................................................. 26   7. Juego de cooperación................................................................................ 31   8. Juego de examen....................................................................................... 32   9. Juego de pareja......................................................................................... 34 10. Juego de caza............................................................................................ 36 2. Juegos dinámicos......................................................................................... 39 Introducción...................................................................................................... 39   1. Juego de entrada de empresas en un mercado.......................................... 40   2. Juego de competencia audiovisual............................................................ 44   3. Ejemplo del juego del ciempiés (Rosenthal, 1981).................................... 46   4. Juego de comportamiento medioambiental.............................................. 50   5. Juego de acuerdos empresariales............................................................... 53   6. Juego de un delito..................................................................................... 57   7. Juego de decisión de cine.......................................................................... 59   8. Juego de entrada de empresas en el mercado........................................... 61   9. Juego de gasolineras repetido infinitas veces............................................ 63 10. Juego de compañeros repetido infinitas veces........................................... 65 ©  Ediciones Pirámide

Índice 3. El monopolio.................................................................................................. 69 Introducción...................................................................................................... 69   1. Monopolio y pérdida de eficiencia............................................................ 70   2. Monopolio y pérdida de eficiencia............................................................ 74   3. Regulación del monopolio........................................................................ 77   4. Regulación del monopolio........................................................................ 80   5. Monopolio, discriminación de primer grado y competencia perfecta....... 83   6. Monopolio y discriminación de primer grado.......................................... 88   7. Monopolio y discriminación de segundo grado........................................ 90   8. Monopolio y discriminación de segundo grado........................................ 94   9. Monopolio y discriminación de tercer grado............................................ 97 10. Monopolio y discriminación de tercer grado............................................ 102

4. El oligopolio................................................................................................... 109 Introducción...................................................................................................... 109   1. Cournot con empresas simétricas y formación de cártel.......................... 110   2. Cournot con empresas simétricas.............................................................. 113   3. Cournot con empresas asimétricas............................................................ 116   4. Cournot con empresas simétricas y estabilidad del cártel......................... 118   5. Cournot con empresas asimétricas y formación de cártel......................... 122   6. Cournot con empresas asimétricas y estabilidad del cártel....................... 125   7. Formación de cártel, Cournot, competencia perfecta y Stackelberg con empresas simétricas................................................................................... 130   8. Cournot y Bertrand con empresas simétricas........................................... 135   9. Cournot y Stackelberg con empresas asimétricas..................................... 139 10. Stackelberg con barreras de entrada......................................................... 143 11. Stackelberg con barreras de entrada......................................................... 149

5. Las decisiones del consumidor en condiciones de incertidumbre.... 155 Introducción...................................................................................................... 155   1. Utilidad esperada de dos contratos........................................................... 155   2. Utilidad esperada con seguros.................................................................. 156   3. Utilidad esperada y contratos................................................................... 158   4. Ingresos esperados y utilidad esperada..................................................... 159   5. Utilidad esperada y fraude........................................................................ 160  6. Seguros...................................................................................................... 161   7. Seguro actuarialmente equitativo.............................................................. 163   8. Cartera óptima.......................................................................................... 165   9. Cartera óptima y aversión al riesgo.......................................................... 166 10. Cartera óptima y financiación.................................................................. 169

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Índice 6. Las decisiones del consumidor en condiciones de información asimétrica....................................................................................................... 171 Introducción...................................................................................................... 171   1. Riesgo moral y selección adversa.............................................................. 172   2. Riesgo moral y selección adversa.............................................................. 173   3. Riesgo moral............................................................................................. 175   4. Riesgo moral............................................................................................. 176   5. Selección adversa....................................................................................... 179   6. Selección adversa....................................................................................... 181   7. Selección adversa y señalización............................................................... 182   8. Selección adversa y señalización............................................................... 183   9. Selección adversa....................................................................................... 185 10. Relación principal-agente.......................................................................... 187

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Presentación Este libro de ejercicios pretende ocupar el vacío que existe dentro del conjunto de manuales de microeconomía publicados a día de hoy. Dado que la mayoría de textos disponibles son teóricos, el contenido eminentemente práctico de la presente obra resulta un complemento de las existentes, a la vez que ofrece un soporte didáctico para que los estudiantes comprendan los contenidos formales de la teoría microeconómica. Nuestra dilatada experiencia como profesores de las asignaturas de microeconomía nos muestra que los alumnos asimilan de forma más sencilla y rápida los conceptos teórico-abstractos mediante la resolución de casos prácticos que les sirvan de apoyo y complemento a los aspectos más conceptuales. El manual versa sobre seis temas diferenciados sobre microeconomía intermedia: juegos estáticos (capítulo 1), juegos dinámicos (capítulo 2), monopolio (capítulo 3), oligopolio (capítulo 4), decisiones del consumidor en condiciones de incertidumbre (capítulo 5) y en condiciones de información asimétrica (capítulo 6). Cabe señalar que, aunque estos temas no coinciden exactamente con los manuales tradicionales de referencia, el contenido está pensado específicamente para alumnos que cursen los estudios de Administración y Dirección de Empresas, Economía, Finanzas y Contabilidad o Dirección Comercial y Marketing de un primer ciclo común a todos ellos, para los que el temario convencional haya sido modificado por unos temas básicos que se complementan posteriormente en otras asignaturas. Así, el presente libro pretende proporcionar a nuestros estudiantes una herramienta más adecuada, teniendo en cuenta la diferente tipología del alumnado y los diferentes grados de ciencias económicas y sociales que se ofrecen actualmente en la universidad. La forma de abordar la resolución de los problemas planteados es fundamentalmente práctica, mediante la descripción de las técnicas para llegar a los resultados pero sin olvidar los conceptos teóricos básicos que guían dicha resolución. En nuestra opinión, esta forma de solucionar los problemas, desde una perspectiva completa y detallada, resulta de gran ayuda para facilitar la com©  Ediciones Pirámide

Presentación prensión a los estudiantes de la materia. Por tanto, disponer de este material de resolución de problemas redundará en una mejora de la asimilación integral de la asignatura por parte de los estudiantes, no quedando limitada al entendimiento bien de unas técnicas o bien de unos conceptos aisladamente, sino ligando ambos planos del análisis microeconómico. Todos los capítulos se inician con una breve introducción, tras la cual se plantean y solucionan entre diez y once ejercicios que cubren las principales casuísticas dentro de cada tema propuesto. Con ello se pretende dar al estudiante la máxima cobertura de las posibles aplicaciones que tienen los correspondientes conceptos teóricos y aportar de este modo una visión exhaustiva de su aplicabilidad en el terreno práctico. El contenido de este manual ha surgido de nuestra larga experiencia en las asignaturas de microeconomía impartidas en la Universitat Rovira i Virgili, en la Universitat Oberta de Catalunya y en la Universidad Internacional de la Rioja. Durante estos años hemos estado muy atentos a las necesidades y sugerencias de nuestros estudiantes, que nos han guiado a lo largo del laborioso proceso de elaboración de este texto. Queremos agradecer a todos nuestros alumnos el estímulo, motivación y orientación que nos han proporcionado para realizar esta obra. El trabajo también se ha beneficiado de la minuciosa revisión realizada por Jenny Carolina Cárdenas Ayala, Carlos Cercós Pérez y Mayra Hun Martínez.

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Juegos estáticos

INTRODUCCIÓN La teoría de juegos proporciona una metodología para el estudio de proble­ mas de decisión multipersonal, en los que distintos agentes se ven afectados por sus decisiones y por las decisiones de los demás. En este capítulo encontrarás ejer­ cicios representativos de juegos estáticos, que se caracterizan porque o bien los agentes deciden simultáneamente o bien, pese a que las decisiones no se tomen de manera simultánea, estas no son directamente observables. Por tanto, en estos juegos los jugadores deciden sus acciones en base a la información disponible ini­ cialmente y no se genera información adicional durante el proceso de decisión. A continuación dispones de diez ejercicios que cubren las principales casuís­ ticas de este contexto, desde la representación de un juego en forma normal has­ ta el cálculo de los equilibrios, usando el método de eliminación iterativa de es­ trategias estrictamente dominadas, así como los (posibles) equilibrios de Nash. En concreto, los tres primeros ejercicios plantean situaciones con dos jugadores y dos estrategias por jugador en las que existe un único equilibrio de Nash. En los ejercicios 4 y 5 no existe equilibrio de Nash o existe más de uno, respectiva­ mente. En el ejercicio 6 se plantea una situación más compleja, en la que los dos jugadores disponen de cinco estrategias posibles. Por último, los cuatro ejerci­ cios finales combinan datos alfanuméricos y plantean distintas situaciones a partir de los valores que dichos datos pueden adquirir.

1.  JUEGO DE COMPETENCIA ENTRE EMPRESAS Dos empresas se están planteando lanzar al mercado un mismo pro­ ducto que se encuentra en fase de desarrollo. Si ambas deciden lanzarlo al

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia mismo tiempo, obtendrán unos beneficios de 20 millones de euros cada una. Si una de ellas lanza el producto y la otra no, la primera conseguirá unos beneficios de 50 millones y la segunda unas pérdidas de 15 millones. Si ambas empresas deciden no lanzar el producto, cada una obtendrá unas pérdidas de 15 millones, debido a los costes incurridos durante el proceso de desarrollo del producto. a) Representa este juego en forma normal. b) Calcula el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras.

Solución a) En la representación de un juego estático en forma normal se especifi­ can los jugadores, sus estrategias y los correspondientes pagos. Más concreta­ mente, en este juego tenemos: — Jugadores: la empresa 1 y la empresa 2. — Estrategias: cada jugador tiene dos estrategias, que son lanzar el produc­ to (L) y no lanzarlo (NL).    Estas variables pueden representarse de la siguiente forma: Empresa 2 L

NL

L Empresa 1 NL

— Pagos: las situaciones posibles son:

• Ambas empresas lanzan el producto: (L, L). • La empresa 1 lanza el producto y la empresa 2 no: (L, NL). • La empresa 1 no lanza el producto y la empresa 2 sí: (NL, L). • Ambas escogen no lanzar el producto: (NL, NL).

   Los pagos correspondientes a cada posible situación son:

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• Situación (L, L): las dos empresas lanzan el producto. En este caso, las dos empresas obtienen unos beneficios de 20 millones. © Ediciones Pirámide

Juegos estáticos

• Situación (L, NL): la empresa 1 lanza el producto y la 2 no. La empre­ sa 1 consigue unas ganancias de 50 millones, mientras que la 2 obtiene unas pérdidas de 15. • Situación (NL, L): la empresa 1 no lanza el producto y la 2 sí. La em­ presa 2 gana 50 millones, mientras que la 1 pierde 15 millones. • Situación (NL, NL): ambas empresas deciden no lanzar el producto. En este caso las dos empresas obtienen unas pérdidas de 15 millones.

A partir de esta información, la representación en forma normal de este jue­ go es: Empresa 2 L

NL

L

  20, 20

  50, −15

NL

−15, 50

−15, −15

Empresa 1

b) Para calcular el equilibrio de Nash tenemos que determinar la mejor estra­ tegia de cada jugador, dada la estrategia del otro. Por un lado, si la empresa 2 es­ coge L, la empresa 1 prefiere L (ya que con L la empresa 1 obtiene unas ganancias de 20, mientras que con NL obtiene unas pérdidas de 15). En la matriz de pagos subrayamos el mejor pago para el jugador 1 en el caso que el jugador 2 elija L. Empresa 2 L

NL

L

  20, 20

  50, −15

NL

−15, 50

−15, −15

Empresa 1

En cambio, si la empresa 2 escoge NL, la empresa 1 elegirá L, dado que es la estrategia que le proporciona mayores ganancias (con L la empresa 1 consi­ gue unos beneficios de 50, mientras que con NL obtiene unas pérdidas de 15). En la siguiente matriz subrayamos el mejor pago para el jugador 1 cuando el ju­ gador 2 escoge NL. Empresa 2 L

NL

L

  20, 20

  50, −15

NL

−15, 50

−15, −15

Empresa 1

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia Por otro lado, si la empresa 1 escoge L, la empresa 2 prefiere L (ya que con L esta empresa obtiene unas ganancias de 20, mientras que con NL consigue unas pérdidas de 15). Además, si la empresa 1 escoge NL, la empresa 2 elegirá L, que es la estrategia que le proporciona mayores ganancias (con L la empresa 2 alcanza unos beneficios de 50, mientras que con NL obtiene unas pérdidas de 15). En la siguiente matriz subrayamos el mejor pago para el jugador 2 en caso de que el jugador 1 elija L y en caso de que escoja NL.

Empresa 2 L

NL

L

  20, 20

  50, −15

NL

−15, 50

−15, −15

Empresa 1

Si los dos pagos de una casilla están subrayados, las correspondientes estra­ tegias constituyen un equilibrio de Nash. En este caso existe un equilibrio de Nash en estrategias puras: (L, L), que consiste en aquella situación en que las dos empresas lanzan al mercado el nuevo producto.

2.  JUEGO DE COLABORACIÓN ENTRE LADRONES Dos ladrones planean atracar el mismo banco para ganar millones de euros, que están guardados en dos cajas fuertes distintas. Si ambos colabo­ ran y realizan el atraco de manera conjunta y coordinada (un ladrón se en­ carga de retener a los rehenes y distraer los sistemas de seguridad, mientras que el otro se encarga de hacerse con el botín) podrán acceder a las dos ca­ jas de dinero y ganar dos millones de euros cada uno. Si ninguno colabora con el otro y deciden atracar de manera individual, cada ladrón accederá a una caja fuerte, ganando individualmente un millón de euros. Por último, si uno colabora y el otro no, el que colabora no ganará nada y el que no co­ labora huirá del lugar del atraco con un botín de tres millones de euros. a) Representa este juego en forma normal. b) Soluciona el juego mediante la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. c) Calcula el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras.

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Juegos estáticos Solución a)  En la representación de un juego estático en forma normal se especifi­ can los jugadores, sus estrategias y los correspondientes pagos. — Jugadores: ladrón 1 y ladrón 2. — Estrategias: colaborar (C) o no colaborar (NC). — Pagos:

• (C, C): ambos ganan dos millones. • (C, NC): el primer ladrón no gana nada y el segundo gana tres millo­ nes. • (NC, C): el primer ladrón obtiene tres millones y el segundo no obtie­ ne nada. • (NC, NC): ambos ladrones ganan un millón.

La representación en forma normal de este juego estático, en la que las uni­ dades de los pagos están en millones de euros, es la siguiente: Ladrón 2 C

NC

C

2, 2

0, 3

NC

3, 0

1, 1

Ladrón 1

b)  Para el ladrón 1, la estrategia C está estrictamente dominada por NC, ya que siempre obtendrá un pago menor con la estrategia C (2 y 0, respectiva­ mente) que con la estrategia NC (3 y 1, respectivamente). Entonces, el ladrón 1 nunca juega C. El ladrón 2, como sabe que el ladrón 1 nunca jugará C, puede eliminar C del espacio de estrategias del ladrón 1 y quedarse con el siguiente juego reducido: Ladrón 2

Ladrón 1

NC

C

NC

3, 0

1, 1

Además, para el ladrón 2 la estrategia C también está estrictamente domina­ da por NC (0  15). Además, si el país B escoge P, el país A elegirá P (25 > 24). Análogamente, si el país A

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Juegos estáticos escoge LC, el país B prefiere LC (30 > 16). Y si el país A escoge P, el país B ele­ girá P (10 > 9). De este modo, en la siguiente representación del juego se subra­ yan los pagos correspondientes a la mejor estrategia de cada jugador, dada la estrategia del otro: País B LC

P

LC

15, 30

24, 16

P

31, 9

25, 10

País A

Los dos pagos están subrayados en una única casilla. Esto indica que las co­ rrespondientes estrategias constituyen el único equilibrio de Nash de este juego en estrategias puras: (P, P). Alternativamente, puesto que el método de eliminación iterativa de las estra­ tegias estrictamente dominadas elimina todas las estrategias, menos una para cada jugador, estas constituyen el único equilibrio de Nash del juego. Consecuen­ temente, sin hacer ningún análisis adicional, el resultado del apartado anterior también permite concluir que este juego tiene un único equilibrio de Nash: (P, P).

4.  JUEGO DE LANZAMIENTO DE PENALTI Imagina que en un lanzamiento de penalti el portero puede tirarse a la izquierda (I) o a la derecha (D). Al mismo tiempo, el delantero que lanza el penalti puede tirar el balón a la izquierda (I) o a la derecha (D). Si am­ bos jugadores escogen I, el portero detiene el penalti y las valoraciones son 1 para el portero y 0 para el delantero. Si el delantero decide I y el porte­ ro D, el portero falla y obtiene 0, mientras que el delantero recibe 1. Si el delantero elige D y el portero I, el portero falla y obtiene 0, mientras que el delantero consigue 1. Finalmente, si ambos escogen D, el portero recibe 1 y el jugador 0. a) Representa este juego en forma normal. b) Soluciona el juego mediante la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. c) Calcula el(los) equilibrio(s) de Nash.

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia Solución a) En la representación de este juego en forma normal se especifican los jugadores, sus estrategias y los correspondientes pagos. — Jugadores: el portero y el delantero. — Estrategias: izquierda (I) y derecha (D). — Pagos:

• (I, I): los dos escogen izquierda. En este caso el portero detiene la pe­ lota y obtiene un pago de 1, mientras que el delantero falla y obtiene un pago de 0. • (I, D): el portero elige izquierda y el delantero derecha. El portero fa­ lla y el delantero marca el gol, obteniendo unos pagos de 0 y 1, respec­ tivamente. • (D, I): el portero escoge derecha y el delantero izquierda. El portero fa­ lla y el jugador marca el gol, obteniendo unos pagos de 0 y 1, respec­ tivamente. • (D, D): ambos deciden derecha. En este caso el portero detiene la pelo­ ta y obtiene un pago de 1, mientras que el delantero falla y obtiene 0.

La representación en forma normal asociada a este juego es: Delantero I

D

I

1, 0

0, 1

D

0, 1

1, 0

Portero

b) Ningún jugador tiene una estrategia estrictamente dominada, puesto que en ninguna de las estrategias se obtiene un pago siempre menor a la otra. Por tanto, después de aplicar el método de eliminación de estrategias estricta­ mente dominadas concluimos que todas las situaciones del juego inicial son po­ sibles resultados. c) Para calcular el equilibrio de Nash determinamos la mejor estrategia de cada jugador en función de la estrategia que el otro jugador pueda seguir. Por un lado, el portero siempre escogerá el mismo lado que el elegido por el delantero. Del mismo modo, el delantero siempre escogerá el lado contrario al elegido por el portero. En la matriz de pagos subrayamos los pagos corres­ pondientes a la mejor estrategia de cada jugador (fijando la estrategia del otro):

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Juegos estáticos Delantero I

D

I

1, 0

0, 1

D

0, 1

1, 0

Portero

Puesto que en ninguna casilla los dos pagos están subrayados, concluimos que en este juego no existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras. Podemos encontrar muchos juegos en los que o bien no existe equilibrio de Nash en estrategias puras o bien existe un problema de multiplicidad de equili­ brios. Para poder asegurar la existencia de equilibrios en todos los juegos fini­ tos (como el de este ejercicio) tenemos que extender el concepto de estrategias puras a la noción de estrategias mixtas. Una estrategia mixta, denotada por s, está definida formalmente como un vector de probabilidades en el que a cada estrategia pura disponible se le asigna la probabilidad según la cual el jugador escogerá esa estrategia. En caso de disponer de dos estrategias puras, una estra­ tegia mixta para el jugador 1 sería: s1 = (p, 1 − p) donde p expresa la probabilidad de que el jugador 1 escoja la estrategia 1. Si aplicamos este concepto al juego propuesto en este ejercicio y denominamos p a la probabilidad de que el portero elija lanzarse a la izquierda y denominamos q a la probabilidad de que el delantero lance a la izquierda, obtenemos la si­ guiente representación formal: Delantero I (q)

D (1 − q)

I (p)

1, 0

0, 1

D (1 − p)

0, 1

1, 0

Portero

Para averiguar el equilibrio de este juego calculamos los pagos del delantero (p2) en cada una de sus dos estrategias. Es decir: — p2(p, I) = p × 0 + (1 − p) 1 = 1 − p. — p2(p, D) = p × 1 + (1 − p) 0 = p. © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia El delantero elegirá aquella estrategia que le reporte un mayor pago. Para ello calculamos cuándo el delantero elegirá I y cuándo elegirá D. — El delantero elegirá I si 1 − p > p; 1 > 2p; p  T, determina si este juego tiene equilibrios de Nash en estrategias puras. c) Suponiendo que P  0 (P > T). Por otro lado, si el estudiante decide no copiar, la profe­ sora prefiere no vigilar, ya que 0 > −T. Análogamente, si la profesora elige vigilar, el estudiante compara los pagos de copiar con los de no copiar, es de­ cir, S − R con S. Como S − R  S. Por tanto, en este caso no existe ningún equilibrio de Nash en estra­ tegias puras. c) Siguiendo el razonamiento anterior, como P  −1). Si el jugador 2 escoge (NE, E), el jugador 1 elige E (2 > 0). Si el jugador 2 escoge (NE, NE), el jugador 1 prefiere E (2 > 0). Por otro lado, si el jugador 1 escoge E, el jugador 2 obtiene unos pagos máximos con las estrategias (NE, E) y (NE, NE) (0 > −1). Si el jugador 1 escoge NE, el jugador 2 obtiene unos pagos máximos con las estrategias (E, E) y (NE, E). De este modo, podemos subrayar los pagos correspondientes a la(s) mejor(es) estrategia(s) de cada jugador (dada la estrategia del otro jugador): Empresa 2 (E, E)

(E, NE)

(NE, E)

(NE, NE)

E

−1, −1

−1, −1

2, 0

2, 0

NE

0, 1

0, 0

0, 1

0, 0

Empresa 1

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Juegos dinámicos Por tanto, este juego tiene tres equilibrios de Nash en estrategias puras: (E, (NE, E)), (E, (NE, NE)) y (NE, (E, E)). c) Para aplicar el método de inducción hacia atrás comenzamos por encontrar los nodos que preceden a los finales, y en cada uno de ellos determinamos la acción que maximiza el pago del jugador que elige en dicho nodo. A continuación se sustituye ese nodo por el resultado al que se llega tras esa acción y se repite el proceso. Si hay varias acciones que maximizan el pago para un jugador, cada una de ellas da lugar a una solución. Teniendo en cuenta el árbol de este juego, en el nodo 2.1 la empresa 2 escoge NE (0 > −1), mientras que en el nodo 2.2 escoge E (1 > 0). Sustituyendo estos nodos por los pagos correspondientes a las acciones que maximizan los pagos de la empresa 2, obtenemos:

1 E

NE

2 0

0 1

Anticipando el comportamiento de su rival, la empresa 1 escoge E (2 > 0). En la siguiente figura se indican, con líneas más gruesas, las acciones óptimas de los jugadores en cada nodo de decisión:

1 E

NE

2.1

2.2

E

NE

−1 −1

2 0

E 0 1

NE 0 0

Así pues, el resultado de este juego mediante el método de inducción hacia atrás es (E, (NE, E)). Los pagos serán 2 para la empresa 1 y 0 para la empresa 2. La trayectoria parcial en negrita que parte del nodo de decisión 2.2 indica que la empresa 2 habría escogido E si hubiera llegado a este nodo de decisión. © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia d) En este juego encontramos tres equilibrios de Nash en estrategias puras: (E, (NE, E)), (E, (NE, NE)) y (NE, (E, E)). No obstante, solo uno de ellos, (E, (NE, E)), es resultado del método de inducción hacia atrás. Cabe destacar que los otros equilibrios, (E, (NE, NE)) y (NE, (E, E)) no son plausibles, ya que incorporan comportamientos que las empresas nunca llevarían en práctica aunque estuvieran en posición de hacerlo. Por un lado, en (E, (NE, NE)) la empresa 2 nunca entraría en el mercado. Sin embargo, la anterior figura muestra que en el nodo 2.2 a la empresa 2 le interesaría entrar (1 > 0). Por otro lado, en (NE, (E, E)) la empresa 2 amenaza con entrar, aunque esta amenaza no es creíble. Si la empresa 2 observa que la empresa 1 ha entrado, escogerá no entrar (0 > −1).

2.  JUEGO DE COMPETENCIA AUDIOVISUAL Las dos principales cadenas de televisión (C1 y C2) están compitiendo por la audiencia en la franja horaria de 22:00 a 24:00 los fines de semana. Cada canal puede emitir dos programas, uno de ellos más atractivo que el otro, y debe decidir en qué día transmitir el programa estrella (sábado o domingo). Las programaciones posibles dan lugar a las siguientes cuotas de audiencia totales (suma de las cuotas del sábado y del domingo): C2 Sábado

Domingo

Sábado

40, 50

55, 60

Domingo

60, 45

50, 40

C1

El objetivo de cada cadena es maximizar la cuota de audiencia total de ambos días. a) Representa el juego en forma extensiva suponiendo que la cadena C1 escoge inicialmente, y C2 escoge una vez ha observado la elección de la cadena C1. b) Determina el conjunto de estrategias puras para cada cadena. c) Calcula el(los) equilibrio(s) perfecto(s) en subjuegos mediante el método de inducción hacia atrás.

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Juegos dinámicos Solución a) Para representar un juego dinámico en forma extensiva se especifica un árbol con los siguientes elementos: 1. Una asignación de los nodos no finales entre los jugadores. La cadena C1 decide en el nodo inicial y la cadena C2 en los siguientes nodos no finales, denotados por C2.1 y C2.2. 2. Una asignación de acciones a cada jugador en cada uno de los nodos que tiene asignados. En cada nodo no final, la cadena que decide tiene dos posibles acciones: transmitir el programa estrella el sábado (S) o retransmitirlo el domingo (D). 3. Una asignación de pagos en los nodos finales. En cada nodo final se especifican los pagos de las cadenas de acuerdo a la tabla del enunciado. La representación en forma extensiva asociada a este juego viene dada por:

C1 S

D

C2.1 S 40 50

C2.2 D 55 60

S 60 45

D 50 40

b) Una estrategia de un jugador es un plan de acción que especifica una acción factible de este jugador en cada una de las posibles situaciones en las que se pueda hallar. En este juego, el conjunto de estrategias puras de la cadena C1, denotado por S1, viene dado por: S1 = {S, D} y el conjunto de estrategias puras de la cadena C2, denotado por S2, viene dado por: S2 = {(S, S), (S, D), (D, S), (D, D)} c) Teniendo en cuenta el árbol de este juego, en el nodo C2.1 la cadena C2 escoge D (60 > 50), mientras que en el nodo C2.2 elige S (45 > 40). Sustituyen© Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia do estos nodos por los pagos correspondientes a las acciones que maximizan los pagos de la cadena C2, obtenemos:

C1 S

55 60

D

60 45

Anticipando el comportamiento de su rival, la cadena C1 escoge D (60 > 55). Por tanto, el método de inducción hacia atrás indica que la cadena C1 escoge D y la cadena C2 escoge (D, S). Así pues, el equilibrio perfecto en subjuegos es (D, (D, S)).

3.  EJEMPLO DEL JUEGO DEL CIEMPIÉS (ROSENTHAL, 1981) Inicialmente se crea un bote de dinero con 48 euros. Hay dos jugadores. El jugador 1 decide primero, después el jugador 2, a continuación el jugador 1 y finalmente el jugador 2. En el momento en el que debe jugar, cada jugador tiene dos posibles acciones: parar el juego (P) o continuar (C). En caso de parar el juego, quien lo hace se queda con 2/3 del bote y el otro jugador con el resto. Si el juego continúa, el dinero del bote se multiplica por 3/2 y el siguiente jugador debe decidir. El jugador 2 debe decidir, en la última etapa del juego, si escoge continuar o no el juego. Si escoge continuarlo, el dinero del bote se multiplica por 3/2, él recibe 1/3 y el resto se lo queda el jugador 1. a) Representa este juego en forma extensiva. b) Determina el conjunto de estrategias puras para cada jugador. c) Representa el juego en forma normal. d) Calcula el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras. e) ¿Existe algún equilibrio de Nash que sea a su vez equilibrio perfecto en subjuegos?

46

© Ediciones Pirámide

Juegos dinámicos Solución a) Para representar un juego dinámico en forma extensiva se especifica un árbol con los siguientes elementos: 1. Una asignación de los nodos no finales entre los jugadores. El jugador 1 decide en el nodo inicial (1.1) y en el tercer nodo (1.2), mientras que el jugador 2 decide en el segundo nodo (2.1) y en el cuarto nodo (2.2). 2. Una asignación de acciones a cada jugador en cada uno de los nodos que tiene asignados. En cada nodo no final, el jugador que mueve tiene dos posibles acciones: parar el juego (P) o continuar (C). 3. Una asignación de pagos en los nodos finales. Así pues:







— Si en el nodo 1.1 el jugador 1 escoge parar el juego, él recibe (2/3)48 = 32 euros, y el jugador 2 obtiene 48 − 32 = 16 euros. En cambio, si en este nodo el jugador 1 decide continuar, el dinero del bote se multiplica por 3/2, de manera que habrá (3/2)48 = 72 euros. — Si en el nodo 2.1 el jugador 2 decide parar el juego, él recibe (2/3)72 = 48 euros, y el jugador 1 obtiene 72 − 48 = 24 euros. Sin embargo, si en este nodo el jugador 2 elige continuar, el dinero del bote se multiplica por 3/2, de manera que habrá (3/2)72 = 108 euros. — Si en el nodo 1.2 el jugador 1 escoge parar el juego, él recibe (2/3)108 = 72 euros, y el jugador 2 obtiene 108 − 72 = 36 euros. En cambio, si en este nodo el jugador 1 selecciona continuar, el dinero del bote se multiplica por 3/2, y por tanto habrá (3/2)108 = 162 euros. — Si en el nodo 2.2 el jugador 2 decide parar el juego, él recibe (2/3)162 = 108 euros, y el jugador 1 obtiene 162 − 108 = 54 euros. Sin embargo, si en este nodo el jugador 2 decide continuar, como es la última etapa del juego el dinero del bote se multiplica por 3/2, de modo que habrá (3/2)162 = 243 euros. El jugador 2 recibe (1/3)243 = 81 euros del bote, y el resto del bote (243 − 81 = 162 ­euros) se lo queda el jugador 1.

La forma extensiva de este juego viene dada por:

1.1

© Ediciones Pirámide

2.1

C

1.2

C

2.2

C

P

P

P

P

32, 16

24, 48

72, 36

54, 108

C

162, 81

47

Problemas resueltos de microeconomía intermedia b) Una estrategia de un jugador es un plan de acción que especifica una acción factible de este jugador en cada una de las posibles situaciones en las que se pueda hallar. En este juego, el conjunto de estrategias puras para ambos jugadores es el mismo (lo denotamos por S) y viene dado por: S = {(P, P), (P, C), (C, P), (C, C)} c) En la representación de un juego en forma normal se especifican los jugadores, sus estrategias y los correspondientes pagos. — Jugadores: el jugador 1 y el jugador 2. — Estrategias: el conjunto de estrategias de cada jugador es:

S = {(P, P), (P, C), (C, P), (C, C)}

— Pagos: los posibles pagos correspondientes a cada situación se muestran en la siguiente matriz: Jugador 2 (P, P)

(P, C)

(C, P)

(C, C)

(P, P)

32, 16

32, 16

32, 16

32, 16

(P, C)

32, 16

32, 16

32, 16

32, 16

(C, P)

24, 48

24, 48

72, 36

72, 36

(C, C)

24, 48

24, 48

54, 108

162, 81

Jugador 1

d) Para calcular el equilibrio de Nash tenemos que determinar la mejor estrategia de cada jugador, dada la estrategia del otro. Por un lado, si el jugador 2 escoge (P, P), el jugador 1 obtiene unos pagos máximos si elige (P, P) o (P, C) (32 > 24). Si el jugador 2 escoge (P, C), el jugador 1 consigue unos pagos máximos si elige (P, P) o (P, C) (32 > 24). Si el jugador 2 escoge (C, P), el jugador 1 prefiere (C, P) (72 > 32 y 72 > 54). Si el jugador 2 elige (C, C), el jugador 1 escoge (C, C) (162 > 72 y 162 > 32). Por otro lado, si el jugador 1 elige (P, P) o (P, C), todas las estrategias del jugador 2 proporcionan el mismo pago para este jugador (16). Si el jugador 1 escoge (C, P), el jugador 2 obtiene pagos máximos con las estrategias (P, P) y (P, C) (48 > 36). Si el jugador 1 selecciona (C, C), el jugador 2 escoge (C, P) (108 > 48 y 108 > 81). De este modo, podemos subrayar los pagos correspondientes a la(s) mejor(es) estrategia(s) de cada jugador, dada la estrategia del otro jugador:

48

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Juegos dinámicos Jugador 2 (P, P)

(P, C)

(C, P)

(C, C)

(P, P)

32, 16

32, 16

32, 16

32, 16

(P, C)

32, 16

32, 16

32, 16

32, 16

(C, P)

24, 48

24, 48

72, 36

72, 36

(C, C)

24, 48

24, 48

54, 108

162, 81

Jugador 1

Por tanto, en este juego hay cuatro equilibrios de Nash en estrategias puras: ((P, P),(P, P)), ((P, P),(P, C)), ((P, C),(P, P)), ((P, C),(P, C)). e) Para obtener el(los) equilibrio(s) perfecto(s) en subjuegos aplicamos el método de inducción hacia atrás. Consideremos el árbol de este juego que ha sido dibujado en el primer apartado de este ejercicio. En el nodo 2.2, el jugador 2 selecciona P (108 > 81). Sustituyendo este nodo por los pagos correspondientes a la acción óptima, obtenemos:

1.1

2.1

C

1.2

C

P

P

P

32, 16

24, 48

72, 36

C

54, 108

En el nodo 1.2 el jugador 1 elige P (72 > 54). Sustituyendo este nodo por los pagos correspondientes a la acción óptima, obtenemos:

1.1

2.1

C

P

P

32, 32

24, 48

C

72, 36

En el nodo 2.1, el jugador 2 elige P (48 > 36). Sustituyendo este nodo por los pagos correspondientes a la acción óptima, obtenemos: © Ediciones Pirámide

49

Problemas resueltos de microeconomía intermedia

1.1

C

24, 48

P

32, 16

Finalmente, en el nodo 1.1 el jugador 1 escoge P (32 > 24). Por tanto, el único equilibrio perfecto en subjuegos es ((P, P), (P, P)).

4.  JUEGO DE COMPORTAMIENTO MEDIOAMBIENTAL Un río atraviesa dos países vecinos (el país A y el país B), que pueden hacer un uso responsable del mismo (por ejemplo, explotarlo de manera sostenible para el turismo y la industria) o hacer un uso irrespetuoso con los hábitats naturales del río. El uso responsable del río supone llevar a cabo acciones periódicas de limpieza y acondicionamiento, así como políticas medioambientales que lo preserven. Todas estas acciones llevan aparejadas un coste de 5.000 unidades monetarias (u.m.) al mes para cada país, mientras que no aplicar acciones de conservación no supone ningún coste. El uso del río comporta unos ingresos para cada país de 8.000 u.m. mensuales en caso de un uso responsable en ambos países. Si el país B usa de manera responsable el río y el país A no lo hace, los ingresos del país B son 8.000 u.m. y los del país A son 2.000 u.m. Si el país B no usa de manera responsable el río y el país A sí, los ingresos de cada país son de 2.000 u.m. Si ambos países usan el río de manera irresponsable, los ingresos del país B son 2.000 u.m. y los del país A son 500 u.m. El país B decide en primer lugar si dotar la partida mensual sobre conservación del río, y el país A escoge una vez observada la elección del país B. a) Representa el juego en forma extensiva. b) Determina el conjunto de estrategias puras para cada país. c) Representa el juego en forma normal y calcula el(los) equilibrio(s) de Nash. d) Calcula el(los) equilibrio(s) perfecto(s) en subjuegos mediante el método de inducción hacia atrás.

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© Ediciones Pirámide

Juegos dinámicos Solución a) Para representar un juego dinámico en forma extensiva se especifica un árbol con los siguientes elementos: 1. Una asignación de los nodos no finales entre los jugadores. El país B decide en el nodo inicial (denotado por B) y el país A en los siguientes nodos no finales (denotados por A.1 y A.2). 2. Una asignación de acciones a cada jugador en cada uno de los nodos que tiene asignados. En cada nodo no final, el país que decide tiene dos posibles acciones: usar el río de manera responsable (R) o no hacerlo (NR). 3. Una asignación de pagos en los nodos finales. En cada nodo final se especifican los pagos de los jugadores, que en este caso son los beneficios que obtienen ambos países. Así pues:

— Si ambos países hacen un uso responsable del río, los beneficios de cada país son 8.000 − 5.000 = 3.000 u.m. — Si el país B usa de manera responsable el río y el país A no, los beneficios del país B son 8.000 − 5.000 = 3.000 u.m., y los del país A son 2.000 − 0 = 2.000 u.m. — Si el país B no usa de manera responsable el río y el país A sí lo hace, los beneficios del país B son 2.000 − 0 = 2.000 u.m., y los del país A son 2.000 − 5.000 = −3.000 u.m. — Si ambos países usan el río de manera irresponsable, los beneficios del país B son 2.000 − 0 = 2.000 u.m., y los beneficios del país A son 500 − 0 = 500 u.m.

La representación en forma extensiva asociada a este juego viene dada por:

B R

NR

A.1 R 3.000 3.000

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A.2 NR

R

3.000 2.000 2.000 −3.000

NR 2.000 500

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia b) Una estrategia de un jugador es un plan de acción que especifica una acción factible en cada una de las posibles situaciones en las que se pueda hallar dicho jugador. En este juego, el conjunto de estrategias puras del país B, denotado por SB, viene dado por: SB = {R, NR} El conjunto de estrategias puras para el país A, denotado por SA, viene dado por: SA = {(R, R), (R, NR), (NR, R), (NR, NR)} c) En la representación de un juego en forma normal se especifican los jugadores, sus estrategias y los correspondientes pagos. — Jugadores: país B y país A. — Estrategias: el conjunto de estrategias para el país B es SB = {R, NR} y el conjunto de estrategias para el país A es SA = {(R, R), (R, NR), (NR, R), (NR, NR)}. — Pagos: los posibles pagos se especifican en la siguiente matriz: País A (R, R)

(R, NR)

(NR, R)

(NR, NR)

R

3.000, 3.000

3.000, 3.000

3.000, 2.000

3.000, 2.000

NR

2.000, −3.000

2.000, 500

2.000, −3.000

2.000, 500

País B

Para calcular el equilibrio de Nash tenemos que determinar la mejor estrategia de cada jugador, dada la estrategia del otro. Por un lado, independientemente de lo que escoja el país A, al país B le interesa seleccionar R, ya que (3.000 > 2.000). Por otro lado, dado que el país B escoge R, las estrategias que proporcionan mayores pagos para el país A son (R, R) y (R, NR) (3.000 > 2.000). Por tanto, podemos concluir que existen dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (R, (R, R)) y (R, (R, NR)). d) Para aplicar el método de inducción hacia atrás comenzamos por encontrar los nodos que preceden a los finales, y en cada uno de ellos determinamos la acción que maximiza el pago del jugador que elige en ese nodo. A continuación se sustituye ese nodo por el resultado al que se llega tras esa acción y se repite el proceso. Si hay varias acciones maximizadoras del pago para un jugador, cada una de ellas da lugar a una solución.

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© Ediciones Pirámide

Juegos dinámicos Teniendo en cuenta el árbol de este juego, en el nodo A.1 el país A escoge R (3.000 > 2.000), mientras que en el nodo A.2 escoge NR (500 > −3.000). Sustituyendo estos nodos por los pagos correspondientes a las acciones que maximizan los pagos del país A, obtenemos.

B R

3.000 3.000

NR

2.000 500

Anticipando el comportamiento de su rival, el país B escoge R (3.000 > 2.000). Por tanto, el método de inducción hacia atrás indica que el país B escoge R y el país A (R, NR). Así pues, el equilibrio perfecto en subjuegos es (R, (R, NR)).

5.  JUEGO DE ACUERDOS EMPRESARIALES Un consorcio formado por dos empresas (Eficiente y Vaga) opta a la concesión de la gestión de los residuos de un pueblo, por la que obtendría unos ingresos de 75.000 euros. Asimismo, las empresas saben que según sea el esfuerzo que realicen (alto o bajo) al ajustar los servicios ofertados, la concesión les será asignada o no. En este sentido, un esfuerzo alto implicará ofrecer mayor número de servicios y de mejor calidad, por lo que lleva asociado un mayor coste para las empresas. Además, las empresas saben que si al menos una de ellas refleja un esfuerzo alto, la concesión será asignada al consorcio. Si las empresas Eficiente y Vaga deciden realizar un esfuerzo alto incurrirán en unos costes de 15.000 y 30.000 euros, respectivamente, mientras que si deciden hacer un esfuerzo bajo incurrirán en 10.000 y 15.000 euros, respectivamente. Por último, han decidido que los ingresos obtenidos por la concesión se repartirán a partes iguales solo si ambas realizan el mismo esfuerzo; en caso contrario, la empresa que realice un mayor esfuerzo se queda con 2/3 de los ingresos. La empresa Eficiente decide en primer lugar y la empresa Vaga elige una vez ha observado la elección de la empresa Eficiente.

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia a) Representa el juego en forma extensiva. b) Determina el conjunto de estrategias puras para cada empresa. c) Calcula el(los) equilibrio(s) perfecto(s) en subjuegos mediante el método de inducción hacia atrás. d) ¿Cambiarían los resultados del apartado anterior si la empresa Vaga decide en primer lugar y la empresa Eficiente elige una vez ha observado la elección de la empresa Vaga?

Solución a) Para representar un juego dinámico en forma extensiva se especifica un árbol con los siguientes elementos: 1. Una asignación de los nodos no finales entre los jugadores. La empresa Eficiente decide en el nodo inicial, denotado por E, y la empresa Vaga en los nodos no finales, denotados por V.1 y V.2. 2. Una asignación de acciones a cada jugador en cada uno de los nodos que tiene asignados. En cada nodo no final, la empresa que decide tiene dos posibles acciones: realizar un esfuerzo alto (A) o bajo (B). 3. Una asignación de pagos en los nodos finales. En cada nodo final se especifican los pagos de las empresas, que en este caso son los beneficios que obtienen. Así pues:





54

— Si ambas empresas realizan un esfuerzo alto, la concesión les será asignada. Como ambas hacen el mismo tipo de esfuerzo, se reparten equitativamente los ingresos. Teniendo en cuenta que en caso de esfuerzo alto Eficiente y Vaga incurren en unos costes de 15.000 y 30.000 euros, respectivamente, los beneficios de Eficiente serán 75.000/2 − 15.000 = 22.500 y los beneficios de Vaga serán 75.000/2 − 30.000 = 7.500. — Si Eficiente realiza un esfuerzo alto y Vaga un esfuerzo bajo, la concesión les será asignada. Como Eficiente realiza un mayor esfuerzo, obtendrá 2/3 de los ingresos totales y Vaga recibirá el resto. Teniendo en cuenta que en este caso ambas empresas incurren en unos costes de 15.000 euros, los beneficios de Eficiente serán (2/3)75.000 − − 15.000 = 35.000 y los de Vaga (1/3)75.000 − 15.000 = 10.000. — Si Eficiente realiza un esfuerzo bajo y Vaga un esfuerzo alto, la concesión les será asignada. Como Vaga realiza un mayor esfuerzo, obtendrá 2/3 de los ingresos totales y Eficiente el resto. Teniendo en cuenta que en este caso Eficiente y Vaga incurren en unos costes de © Ediciones Pirámide

Juegos dinámicos



10.000 y 30.000 euros, respectivamente, los beneficios de Eficiente ­serán (1/3)75.000 − 10.000 = 15.000 y los beneficios de Vaga (2/3)75.000 − 30.000 = 20.000. — Si ambas empresas realizan un esfuerzo bajo, la concesión no les será asignada y, por tanto, obtendrán unos ingresos nulos. Teniendo en cuenta que en caso de esfuerzo bajo Eficiente y Vaga incurren en unos costes de 10.000 y 15.000 euros, respectivamente, los beneficios de Eficiente serán 0 − 10.000 = −10.000 y los de Vaga 0 − 15.000 = −15.000.

La representación en forma extensiva asociada a este juego viene dada por:

E A

B

V.1 A

V.2 B

22.500 7.500

A

35.000 10.000

15.000 20.000

B −10.000 −15.000

b) Una estrategia es un plan de acción que especifica una acción factible de un jugador en cada una de las posibles situaciones en las que se pueda hallar dicho jugador. En este juego, el conjunto de estrategias puras de Eficiente (denotado por SE) viene dado por: SE = {A, B} mientras que el conjunto de estrategias puras de Vaga (denotado por SV) viene dado por: SV = {(A, A), (A, B), (B, A), (B, B)} c) Para aplicar el método de inducción hacia atrás tenemos en cuenta los nodos que preceden a los finales, y en cada uno de ellos determinamos la acción que maximiza el pago del jugador que elige en ese nodo. A continuación se sustituye ese nodo por el resultado al que se llega tras esa acción y se repite el proceso. Si hay varias acciones maximizadoras del pago para un jugador, cada una de ellas da lugar a una solución. © Ediciones Pirámide

55

Problemas resueltos de microeconomía intermedia Teniendo en cuenta el árbol de este juego, en el nodo V.1 Vaga escoge B (10.000 > 7.500), mientras que en el nodo V.2 elige A (20.000 > −15.000). Sustituyendo estos nodos por los pagos correspondientes a las acciones que maximizan los pagos de Vaga, obtenemos:

E A

B

35.000 10.000

15.000 20.000

Anticipando el comportamiento de su rival, Eficiente escoge A (35.000 > 15.000). Por tanto, el método de inducción hacia atrás indica que Eficiente escoge A y Vaga escoge (B, A). Así pues, el equilibrio perfecto en subjuegos es (A, (B, A)). d) Si Vaga escoge primero, el árbol de este nuevo juego vendría dado por:

V A

B

E.1 A 7.500 22.500

E.2 B 20.000 15.000

A 10.000 35.000

B −15.000 −10.000

En este árbol resaltamos el resultado de aplicar el método de inducción hacia atrás. El equilibrio perfecto en subjuegos es (B, (A, A)). Observamos que en ambos apartados Eficiente ejerce un esfuerzo alto y Vaga uno bajo, y los beneficios que obtienen ambas empresas son los mismos a los correspondientes al apartado b.

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Juegos dinámicos

6.  JUEGO DE UN DELITO Al acabar una función de teatro, una pareja es asaltada por un delincuente, quien les amenaza con dispararles si no le dan todo el dinero y las joyas que lleven encima. En caso de que el delincuente les dispare y sea arrestado, la sanción es mucho mayor que si no dispara. Por otro lado, la pareja puede ceder ante el asaltante o no ceder. Si decide no ceder, el delincuente puede dispararles, en cuyo caso la pareja consigue un pago de −2 y el delincuente de −1, o no dispararles, obteniendo un pago de 0 y X, respectivamente. Por el contrario, si la pareja decide ceder y darle todo lo que pide, obtendría un pago de −3 si el delincuente les dispara, y un pago de −1 en caso contrario, mientras que el delincuente recibirá un pago de 2 si dispara e Y si no dispara, siendo Y > X. a) Representa el juego en forma extensiva. b) Determina el conjunto de estrategias puras para cada jugador. c) Calcula para qué valores de X e Y la estrategia «No disparar» es siempre escogida por el delincuente. d) Para el caso del apartado anterior, calcula el(los) equilibrio(s) perfecto(s) en subjuegos mediante el método de inducción hacia atrás.

Solución a) Para representar un juego dinámico en forma extensiva se especifica un árbol con los siguientes elementos: 1. Una asignación de los nodos no finales entre los jugadores. La pareja decide en el nodo inicial 1 y el delincuente en los siguientes nodos no finales, denotados por 2.1 y 2.2. 2. Una asignación de acciones a cada jugador en cada uno de los nodos que tiene asignados. En el nodo inicial, la pareja tiene dos posibles acciones, ceder (C) o no ceder (NC). En los nodos 2.1 y 2.2, el delincuente tiene dos posibles acciones, disparar (D) o no disparar (ND). 3. Una asignación de pagos en los nodos finales. En cada nodo final se especifican los pagos de los jugadores de acuerdo al enunciado. La representación en forma extensiva asociada a este juego viene dada por: © Ediciones Pirámide

57

Problemas resueltos de microeconomía intermedia

1 C

NC

2.1

2.2

D

ND

D

ND

−3 2

−1 Y

−2 −1

0 X

b) Una estrategia de un jugador es un plan de acción que especifica una acción factible de este jugador en cada una de las posibles situaciones en las que se pueda hallar. En este juego, el conjunto de estrategias puras de la pareja, denotado por S1, viene dado por: S1 = {C, NC} y el conjunto de estrategias puras del delincuente, denotado por S2, viene dado por: S2 = {(D, D), (D, ND), (ND, D), (ND, ND)} c) Teniendo en cuenta el árbol de este juego, en el nodo 2.1 el delincuente escoge ND si Y ⩾ 2, mientras que en el nodo 2.2 escoge ND si X ⩾ −1. d) Si Y ⩾ 2 y X ⩾ −1, el delincuente siempre escoge ND. Sustituyendo estos nodos por los pagos correspondientes a las acciones que maximizan los pagos de la pareja, obtenemos:

1 C

−1 Y

NC

0 X

Anticipando el comportamiento del delincuente, la pareja escoge NC (0 > −1). Por tanto, el método de inducción hacia atrás indica que la pareja es-

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Juegos dinámicos coge NC y el delincuente (ND, ND) siempre que Y ⩾ 2 y X ⩾ −1. Así pues, en este caso (NC, (ND, ND)) es un equilibrio perfecto en subjuegos.

7.  JUEGO DE DECISIÓN DE CINE Un par de amigas quieren ir al cine, pero no se ponen de acuerdo en qué película ver. Ana es más romántica y quiere ver Sin límites; en cambio a Patricia le gusta más la acción y prefiere Impacto total. Ambas prefieren ver una película juntas que por separado. Las acciones de ir al cine a ver Sin límites e ir al cine a ver Impacto total son denotadas por S e I, respectivamente. Si ambas eligen I, Ana recibe un pago de 5 y Patricia un pago de 6. Si ambas escogen S, Ana y Patricia consiguen un pago de X1 y X2, respectivamente. Si van por separado, Patricia consigue un pago de 4 por I y un pago de 1 por S, mientras que Ana consigue un pago de 4 por S y un pago de 1 por I. Los pagos X1 y X2 satisfacen: X1 > X2, X1 > 5 y 1  5. Por tanto, los pagos X1 y X2 deben satisfacer la restricción de X2 ⩾ 4. Combinando esta desigualdad con las restricciones del enunciado, se concluye que X1 y X2 deben satisfacer: X1 > X2 ,  X1 > 5 ,  4 ⩽ X2  15). b) Si el juego se repite infinitamente, la estrategia de gatillo de una gasolinera sería: — Jugar pactar (P) en la primera etapa, y en cualquier etapa posterior, siempre que la otra gasolinera haya escogido pactar (P). — Jugar no pactar (NP) si la otra gasolinera ha escogido (NP) en alguna etapa anterior. Vamos a mostrar, para ambos jugadores, bajo qué circunstancias este tipo de estrategias constituyen un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. Para ello vamos a ver cuándo no existen desviaciones unilaterales provechosas. En un subjuego que empieza en t, hay dos posibles historias: 1. Alguien ha jugado NP en alguna etapa anterior. Teniendo en cuenta que su rival siempre va a escoger NP, la mejor respuesta de cada gasolinera es NP para siempre. 2. Ambos jugadores han cooperado en la historia del juego. Entonces cada gasolinera tiene dos opciones: — O  pción 1.  No desviarse del pacto, cuyo valor presente de los pagos (descontados con el factor d) viene dado por:



20 + δ 20 + δ 2 20 + δ 3 20 + ! = 20(1 + δ + δ 2 + δ 3 + !) =

20 1−δ

— Opción 2.  Desviarse del pacto, obteniendo un pago de 60 inmediatamente y un pago de 15 en las etapas posteriores (ya que a cada jugador le interesa NP, dado que su rival elegirá también NP). El valor presente de los pagos es igual a:



60 + δ15 + δ 2 15 + δ 315 + ! = 60 + 15δ (1 + δ + δ 2 + !) = 60 +

15δ 1−δ

   Entonces una gasolinera escogerá no desviarse del pacto siempre que se cumpla:

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Juegos dinámicos 20 15δ > 60 + 1−δ 1−δ



   Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 1 − d y aislando d, obtenemos que la anterior desigualdad es equivalente a: d ⩾ 8/9. Como 0,3  −2). c) Si el juego se repite infinitamente, una estrategia de gatillo para un jugador sería: — Jugar C en la primera etapa, y en cualquier etapa posterior, siempre que el otro jugador haya escogido C. — Jugar NC si el otro jugador ha escogido NC en alguna etapa anterior. Vamos a mostrar, para ambos jugadores, bajo qué circunstancias este tipo de estrategias constituyen un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. Para ello vamos a ver cuándo no existen desviaciones unilaterales que sean provechosas. En un subjuego que empieza en t, hay dos posibles historias: 1. Alguien ha jugado NC en alguna etapa anterior. Teniendo en cuenta que su rival siempre va a escoger NC, la mejor respuesta de cada compañero de piso es NC para siempre. 2. Ambos jugadores han colaborado en la historia del juego. Entonces cada compañero de piso tiene dos opciones: — O  pción 1.  No desviarse del pacto, cuyo valor presente de los pagos (descontados con un factor d) viene dado por:



−1 + δ (−1) + δ 2 (−1) + δ 3 (−1) + ! = (−1)(1 + δ + δ 2 + δ 3 + !) =

−1 1−δ

— Opción 2.  Desviarse del pacto, obteniendo un pago de 0 inmediatamente y un pago de −2 de en las etapas posteriores (ya que en las etapas futuras su rival elegirá también NC). El valor presente de dichos pagos es:



0 + δ (−2) + δ 2 (−2) + δ 3 (−2) + ! = (−2δ )(1 + δ + δ 2 + !) =

−2δ 1−δ

   Entonces, cada compañero de piso escogerá no desviarse del pacto siempre que:



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−2δ −1 > 1−δ 1−δ © Ediciones Pirámide

Juegos dinámicos Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 1 − d y aislando d, obtenemos que la anterior desigualdad es equivalente a d ⩾ 1/2. Por tanto, siempre que d ⩾ 1/2 existe un equilibrio perfecto en subjuegos en los que en cada etapa se juegue (C, C).

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3

El monopolio

INTRODUCCIÓN En este capítulo encontrarás ejercicios que describen situaciones de monopolio de oferta (de ahora en adelante, simplemente monopolio). Un monopolio es una estructura de mercado en la que existe un único oferente (empresa) y numerosos demandantes (consumidores). Por otra parte, el producto que ofrece el monopolio no tiene sustitutivos cercanos en el consumo. A continuación dispones de diez ejercicios que cubren los principales casos de esta estructura de mercado. En concreto, en los ejercicios 1 y 2 se plantea el equilibrio de máximo beneficio del monopolio y se compara con la solución del mercado competitivo, determinando de este modo la pérdida de eficiencia social del monopolista. Los ejercicios 3 y 4 describen una situación de regulación del precio de mercado; en el ejercicio 3 se obliga a la empresa a establecer un precio competitivo, mientras que en el ejercicio 4 se obliga a la empresa a fijar un precio igual a los costes unitarios de producción. Los ejercicios 5 y 6 analizan la discriminación de precios de primer grado (o perfecta), en la que la empresa conoce la disposición a pagar de los consumidores por cada unidad vendida. Los ejercicios 7 y 8 ejemplifican la discriminación de precios de segundo grado, en la que el monopolista cobra precios distintos en función de la cantidad consumida, pero a priori no puede identificar las disposiciones a pagar de los distintos demandantes. Más concretamente, en estos dos ejercicios se plantea la fijación de una tarifa en dos partes, en la cual hay un importe fijo a pagar y un importe variable que depende de las unidades adquiridas. Por último, los ejercicios 9 y 10 amplían el análisis a una situación de discriminación de precios de tercer grado, en la que existen distintos tipos de demandantes del producto y la empresa puede segmentarlos a priori. En estos casos se compara la solución discriminatoria con el equilibrio del monopolio en caso de no poder diferenciar precios entre los distintos consumidores. © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia

1.  MONOPOLIO Y PÉRDIDA DE EFICIENCIA Una empresa de distribución de gas es la única que opera en una ciudad. Su función de costes es igual a: CT(Q) = 240 + 6Q La empresa se enfrenta a la siguiente función inversa de demanda: p(Q) = 150 − 2Q a) Calcula el precio y la cantidad producida de máximo beneficio. ¿A cuánto ascienden los beneficios correspondientes? b) ¿Cuál es la pérdida de eficiencia que provoca el monopolio gasístico?

Solución a) Los beneficios de la empresa (p(Q)) son la diferencia entre el ingreso total (IT(Q)) y el coste total (CT(Q)): p(Q) = IT(Q) − CT(Q) La función inversa de demanda (p(Q)) determina el precio para cada volumen de output (Q) e indica la disposición a pagar de los consumidores de gas. El ingreso total depende del precio (p(Q)) y de la cantidad producida (Q), y viene dado por: IT(Q) = p(Q)Q = (150 − 2Q)Q Por tanto, los beneficios son iguales a: p(Q) = (150 − 2Q)Q − 240 − 6Q = 144Q − 2Q2 − 240 La cantidad de output que maximiza los beneficios de la empresa es solución del siguiente problema de optimización: max π (Q) = 144Q − 2Q2 − 240 Q>0

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El monopolio La condición de primer orden (CPO) consiste en derivar la función de beneficios respecto a la cantidad e igualar a cero: dπ (Q) = 144 − 4Q = 0 dQ La condición de segundo orden (CSO) es igual a: d 2π (Q) = −4 , 0 d 2Q Por tanto, la condición de primer orden es necesaria y suficiente para un máximo. La anterior condición de primer orden es equivalente a igualar el ingreso marginal (IMg(Q)) de la empresa con el coste marginal (CMg(Q)). El ingreso marginal representa el aumento del ingreso total ocasionado por la venta de una unidad adicional. Se calcula derivando el ingreso total con respecto a la cantidad, es decir: IT (Q) = p(Q)Q = (150 − 2Q)Q = 150Q − 2Q2 IMg(Q) =

dIT (Q) = 150 − 4Q dQ

El coste marginal refleja el aumento del coste total inducido por la producción de una unidad adicional de output. Se calcula como la derivada del coste total con respecto a la cantidad: CMg(Q) =

dCT (Q) = 6 dQ

De la igualdad entre el IMg(Q) y el CMg(Q) o, alternativamente, de la condición de primer orden del problema del monopolista, obtenemos: 150 − 4Q = 6 Q = 36 Sustituyendo este valor en la función inversa de demanda, el precio de equilibrio es igual a: p(36) = 150 − 2 × 36 = 78 © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia Y los beneficios del monopolio gasístico son iguales a: p(36) = (78 − 6)36 − 240 = 2.352 b) Para calcular la pérdida de eficiencia provocada por el monopolio, cuantificamos la diferencia de excedente económico en el mercado competitivo con relación al excedente en el mercado monopolístico. En competencia perfecta, el CMg(Q) es igual a la función de oferta de la industria por encima del mínimo del coste variable medio, dado que las empresas ofrecerán un output para el cual el precio cubre el coste adicional de producir la última unidad del bien. Además, el equilibrio del mercado se corresponde con la intersección de las funciones de oferta y de demanda, es decir: p(Q) = CMg(Q) Teniendo en cuenta las funciones del enunciado, esta igualdad se escribe como: 150 − 2Q = 6 de donde obtenemos la cantidad competitiva, que es igual a Q = 72. Sustituyendo este valor en la función inversa de demanda, el precio de equilibrio es: p(72) = 150 − 2 × 72 = 6 y los beneficios de la empresa competitiva son igual a: p(72) = (6 − 6) × 72 − 240 = −240 Observamos que las pérdidas en la solución competitiva son igual a los costes fijos y, por tanto, a corto plazo la empresa estaría indiferente entre producir o no hacerlo. Una primera comparación de la solución de monopolio y la competitiva pone de manifiesto que el precio de monopolio es más elevado (78 > 6)), mientras que la cantidad de monopolio es menor que la competitiva (36 0

La condición de primer orden consiste en derivar la función de beneficios respecto a la cantidad e igualar a cero: dπ (Q) = 120 − 6Q = 0 dQ La condición de segundo orden es igual a: d 2π (Q) = −6 , 0 d 2Q Por tanto, la condición de primer orden es necesaria y suficiente para un máximo. Nuevamente, la CPO resulta equivalente a igualar el IMg(Q) y el CMg(Q) del monopolista: 120 − 2Q = 4Q De aquí obtenemos la cantidad de máximos beneficios del monopolio: Q = 20. Sustituyendo esta cantidad en la función inversa de demanda, el precio de equilibrio del monopolio es igual a: p(20) = 120 − 20 = 100 Y los beneficios de la empresa son iguales a: p(20) = 100 × 20 − 400 − 2 × 202 = 800 b) La anterior solución no es eficiente, porque no maximiza el bienestar social, ya que ocasiona una pérdida de eficiencia en comparación a la solución © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia competitiva. Para cuantificarla, nuevamente calculamos la diferencia de excedente económico en el mercado competitivo con relación al mercado monopolístico. En la situación de competencia perfecta, la función del coste marginal de la empresa equivale a la función de oferta de la industria competitiva por encima del mínimo del coste variable medio. De este modo, para encontrar el equilibrio del mercado igualamos oferta y demanda: p(Q) = CMg(Q) 120 − Q = 4Q De ello resulta que la cantidad de equilibrio en competencia es igual a: Q = 24. Sustituyendo esta cantidad en la función inversa de demanda, el precio de equilibrio es: p(24) = 120 − 24 = 96 Y los beneficios de la empresa competitiva son iguales a: p(24) = 96 × 24 − 400 − 2 × 242 = 752 Una primera comparación de las soluciones de monopolio y competitiva permite observar que el precio de monopolio es más alto que el de competencia perfecta (100 > 96), mientras que la cantidad de monopolio es menor que la correspondiente a la situación competitiva (20 0

La condición de primer orden consiste en derivar la función de beneficios respecto a la cantidad e igualar a cero: dπ (Q) = 80 − 8Q = 0 dQ La condición de segundo orden es igual a: d 2π (Q) = −8 , 0 d 2Q Por tanto, la condición de primer orden es necesaria y suficiente para un máximo. De la anterior CPO se obtiene la producción de máximos beneficios: Q = 10. Sustituyendo esta cantidad en la función inversa de demanda, el precio de equilibrio es igual a: p(10) = 100 − 4 × 10 = 60

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El monopolio Finalmente, los beneficios del monopolio son: p(10) = 60 × 10 − 175 − 20 × 10 = 225 b) Si el precio máximo de mercado es igual al coste marginal, entonces: p = CMg(Q) = 20. A este precio, obtenemos la cantidad producida por la empresa a partir de la función de demanda: Q = 25 −

1 × 20 = 20 4

Y los beneficios de la empresa serán iguales a: p(20) = 20 × 20 − 175 − 20 × 20 = −175 La regulación del precio según el coste marginal hace que la empresa tenga unas pérdidas equivalentes a los costes fijos. En este caso, el monopolista eléctrico estará indiferente entre producir o no hacerlo. c) La gráfica que aparece a continuación muestra el bienestar de los consumidores ante las dos situaciones. Sin regulación, el excedente de los consumidores equivale al área A, que se obtiene a partir de: A=

(100 − 60)10 = 200 2

La regulación reduce el precio de la electricidad, por lo que el nuevo EC es igual a la suma de las áreas A, B y C de la figura 3.3. Es decir: A+ B +C =

(100 − 60)10 (60 − 20)(20 − 10) + (60 − 20)10 + = 800 2 2

Por otra parte, hemos visto que si la empresa vende al precio regulado obtendrá unos beneficios negativos, dado que no será capaz de cubrir el coste fijo, por lo que esta sencilla regulación de precios no sería sostenible a largo plazo. En general, fijar un precio igual al coste marginal no es una regulación sostenible cuando estamos ante un monopolio natural. El monopolio natural es una empresa que presenta un coste fijo elevado y un coste variable relativamente reducido, en línea con la función de costes que tiene la empresa de este ejercicio. De ahí que los costes totales por unidad producida del monopolio natural sean decrecientes con el volumen de output, es decir, la empresa tiene rendimientos crecientes a escala. © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia

Precio Ingreso marginal Coste marginal 100

A

60

B

C CMg

20

IMg 0

p

10

20 25

Cantidad

Figura 3.3.

Efectivamente, los costes unitarios de la empresa eléctrica son decrecientes. Para verlo basta con calcular la función de costes totales medios (CM(Q)), que responde a la expresión: CM (Q) =

CT (Q) 175 = + 20 Q Q

siendo una función decreciente a medida que Q aumenta.

4.  REGULACIÓN DEL MONOPOLIO Sea la misma compañía eléctrica del ejercicio anterior, pero ahora el regulador se plantea fijar un precio que evite la situación de pérdidas de la empresa.

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El monopolio Describe qué tipo de intervención se aplicará en el mercado eléctrico y sus efectos sobre el precio y la cantidad.

Solución Si el regulador desea evitar las pérdidas del monopolio, entonces fijará un precio tal que iguale el ingreso total de la empresa con el coste total. Ello equivale a fijar un precio de la electricidad que cubra los costes totales medios de la empresa (CM(Q)), de la siguiente forma: p(Q) = CM (Q) 100 − 4Q =

175 + 20 Q

4Q2 − 80Q + 175 = 0 La solución de esta ecuación de segundo grado es igual a: ⎧ 140 ⎪ = 17,5 80 ± 6.400 − 2.800 80 ± 60 ⎪ 8 Q= = =⎨ 8 8 ⎪ 20 = 2,5 ⎪⎩ 8 Pese a que las dos soluciones corresponden a volúmenes de producción que anulan los beneficios de la empresa, las implicaciones para el bienestar en cada una de ellas son muy distintas. A continuación calculamos el EC, EP y ET en las dos cantidades anteriores. Con relación a la primera solución, cuando Q = 17,5 el precio que el regulador deberá fijar se obtiene sustituyendo esta cantidad en la función inversa de demanda: p(17,5) = 100 − 4 × 17,5 = 30 Notemos que efectivamente el valor de los beneficios de la empresa es nulo: p(17,5) = 17,5 × 30 − 175 − 17,5 × 20 = 0 © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia Tal como se observa en la representación gráfica que aparece a continuación, el EC es igual al área A + B + C. En esta situación, el EP es igual a la diferencia entre el precio recibido por la empresa y el coste marginal por todas las unidades vendidas, lo que corresponde al área D + E del gráfico. Así pues: ET = EC + EP = A + B + C + D + E En términos cuantitativos, tendremos que: EC = A + B + C =

(100 − 30)17,5 70 × 17,5 = = 612,5 2 2

EP = D + E = (30 − 20)17,5 = 175 ET = EC + EP = A + B + C + D + E = 612,5 + 175 = 787,5 Si analizamos la segunda solución (Q = 2,5), el precio que el regulador deberá fijar en este caso es igual a: p(2,5) = 100 − 4 × 2,5 = 90 Nuevamente puede comprobarse que para este volumen de producción los beneficios de la empresa son cero: p(2,5) = 2,5 × 90 − 175 − 2,5 × 20 = 0 El EC ha quedado ahora reducido al área A (véase la representación gráfica de la figura 3.4). El EP es ahora igual al área B + D. Así pues, el excedente económico total es: ET = EC + EP = A + B + D En términos cuantitativos: EC = A =

(100 − 90)2,5 = 12,5 2

EP = B + D = (90 − 20)2,5 = 175 ET = EC + EP = A + B + D = 12,5 + 175 = 187,5 Gráficamente:

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El monopolio

Precio Coste marginal 100 90 A

B

C

30 20

D E

CMg

p 0 2,5

17,5 25

Cantidad

Figura 3.4.

En síntesis, a pesar de que en ambas soluciones (Q = 17,5 y Q = 2,5) los beneficios del monopolio eléctrico son nulos, las consecuencias para el bienestar de los agentes son diferentes. Para el consumidor, la mejor situación se desencadena cuando el precio es el mínimo (p = 30) y la cantidad máxima (Q = 17,5). Por otra parte, ambas situaciones reportan un idéntico excedente del productor y, por tanto, la empresa será indiferente entre la fijación de un precio u otro. Así pues, en términos globales la mejor solución para el bienestar social se producirá cuando la cantidad es Q = 17,5 y el precio fijado por el regulador es p = 30.

5. MONOPOLIO, DISCRIMINACIÓN DE PRIMER GRADO Y COMPETENCIA PERFECTA El médico de familia privado de un pequeño pueblo rural, en el que no existe acceso a ningún otro servicio sanitario, ni público ni privado, presenta una demanda diaria total de:

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia Q = 50 − p donde p denota el precio por servicio prestado y Q es la cantidad demandada diariamente. Teniendo en cuenta que los costes del médico responden a la función: CT(Q) = 20 + 20Q + 2Q2 a) Calcula el precio y la cantidad de servicios por día que maximizan los beneficios del médico. b) En el pueblo hay unos vecinos más adinerados que otros. Como todo el mundo se conoce, el médico es capaz de saber la predisposición a pagar de cada vecino por sus servicios. ¿Se podría aplicar algún tipo de discriminación de precios? Calcula el precio y la cantidad de equilibrio que maximizan los beneficios del médico en caso de discriminar precios. c) Finalmente, imagina que, debido a que los jóvenes del pueblo decidieron estudiar medicina, el número de médicos familiares de la localidad aumenta considerablemente hasta darse una situación de competencia perfecta. Calcula el precio y la cantidad del nuevo equilibrio. d) Compara el bienestar social obtenido en cada una de las tres situaciones anteriores. Solución a) Este mercado tiene características de monopolio de oferta, ya que hay un solo médico que provee servicios sanitarios en el pueblo y no existen sustitutivos cercanos a tales servicios. Los máximos beneficios de esta actividad son solución del siguiente problema de optimización: max π (Q) = (50 − Q)Q − 20 − 20Q − 2Q2 = 30Q − 3Q2 − 20 Q>0

La condición de primer orden consiste en derivar la función de beneficios respecto a la cantidad e igualar a cero: dπ (Q) = 30 − 6Q = 0 dQ

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El monopolio La condición de segundo orden: d 2π (Q) = −6 d 2Q Al ser menor que 0, la función objetivo es estrictamente cóncava, lo que implica que la CPO es una condición necesaria y suficiente para un máximo. Por tanto, la cantidad que maximiza los beneficios del médico es: Q = 5. Evaluando la función inversa de demanda en esta cantidad óptima, obtenemos el precio de los servicios médicos: p(5) = 50 − 5 = 45 y los beneficios del médico responden a: p(5) = 45 × 5 − 20 − 20 × 5 − 2 × 52 = 55 b) La discriminación de precios del monopolista consiste en fijar distintos niveles de precios a distintos consumidores. Para poder discriminar son necesarias dos condiciones: tener información sobre la demanda (características del mercado) y ausencia de posibles arbitrajes (capacidad de los consumidores de revender el producto). En este ejercicio, el médico puede practicar una discriminación de primer grado (discriminación perfecta), dado que conoce el precio máximo que cada consumidor está dispuesto a pagar por cada servicio médico. Así, el monopolista puede vender cada unidad de producto a un precio distinto a cada consumidor, siendo este precio igual al precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar por esa unidad, que se determina en la función de demanda. Analíticamente, el último servicio prestado Q = QD tiene un precio p(QD) igual al coste marginal. Esto es: p(QD) = CMg(QD) = 20 + 4QD Por tanto: 50 − QD = 20 + 4QD de donde obtenemos: QD = 6 y pD = p(QD) = 44. Este nivel de precios determina la cantidad total que el monopolista está dispuesto a vender (que será igual a la cantidad de competencia perfecta). Notemos que en esta situación el consumidor no tiene ningún excedente, ya que está pagando por cada unidad un precio distinto, siendo este el precio máximo que © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia está dispuesto a pagar por esa unidad. Consecuentemente, el productor se apodera de todo el excedente del consumidor (EPD), representado por el área del triángulo por debajo de la función de demanda, entre los niveles de 0 y QD, y por encima de la función del coste marginal; es decir: EP D =

(50 − 20)6 30 × 6 = = 90 2 2

Asimismo, este excedente refleja parcialmente los beneficios obtenidos por los servicios prestados, ya que es igual a la suma de diferencias entre el precio y el coste marginal. De ahí que aminorando este importe por el coste fijo (CF) obtenemos los beneficios totales: p(QD) = p(6) = EPD − CF = 90 − 20 = 70 c) En esta nueva situación de competencia perfecta no existe poder de mercado (los médicos son precio-aceptantes). La condición de equilibrio viene determinada por la igualdad entre el precio y el coste marginal: 50 − Q = 20 + 4Q de donde se obtiene: Q = 6. Dada esta cantidad, el precio de equilibrio competitivo es: p(6) = 50 − 6 = 44 d) El bienestar social, o excedente económico total, está formado por la suma del excedente del consumidor y del excedente del productor. Por una parte, el excedente del consumidor refleja la suma de diferencias entre el máximo precio que el consumidor está dispuesto a pagar por unidad de bien y el precio que realmente paga. Por otra parte, el EP muestra la suma de diferencias entre el precio de venta y el coste marginal de producir cada unidad, que es el mínimo precio que el productor aceptaría por cada bien. Calculando ambos excedentes para cada uno de los tres casos propuestos, tenemos: — Apartado a: monopolio sin discriminación de precios    En este caso, el precio y la cantidad en equilibrio son, respectivamente: p(5) = 45, Q = 5.    El EC es el área del triángulo A:



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EC = A =

(50 − 45)5 = 12,5 2 © Ediciones Pirámide

El monopolio    El EP es la suma del área del cuadrado B y el área del triángulo C: EP = B + C = (45 − 40)5 +



(40 − 20)5 = 75 2

   Por tanto, el excedente total es igual a:

ET = EC + EP = 12,5 + 75 = 87,5

— Apartado b: monopolio con discriminación de precios de primer grado    En este caso, el productor obtiene todo el excedente del consumidor, y por tanto: EC = 0.    El EP es el área A + B + C + D : EP =



(50 − 20)6 = 90 2

  Así:

ET = 0 + 90 = 90

— Apartado c: competencia perfecta    Por último, el precio y la cantidad de equilibrio en competencia perfecta son: p(6) = 44 y Q = 6, respectivamente.    El EC es el área del triángulo A, a la que añadimos ahora parte del área B y parte del área D. Es decir, el EC equivale ahora al triángulo de vértices (6, 44), (0, 44) y (0, 50): EC =



(50 − 44)6 = 18 2

   El EP es el área del triángulo C, a la que añadimos parte del área B y parte del área D. En concreto, se trata del triángulo de vértices (6, 44), (0, 20) y (0, 44): EP =



(44 − 20)6 = 72 2

   De este modo: ET = 18 + 72 = 90 © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia El bienestar social máximo se obtiene tanto en competencia perfecta como en un monopolio con discriminación de precios perfecta. Sin embargo, el consumidor obtiene su mayor excedente en competencia perfecta y, por tanto, preferirá esta situación. Asimismo, el monopolista consigue obtener los mayores beneficios y el mayor excedente en el caso de discriminación de precios de primer grado.

Precio Ingreso marginal Coste marginal 50

CMg A

45

B

44

D

40 C

20

IMg 0

5

p 50 Cantidad

6

Figura 3.5.

6.  MONOPOLIO Y DISCRIMINACIÓN DE PRIMER GRADO Considera un tren cremallera que da acceso a un paraje natural aislado, al que no se puede acceder de ninguna otra manera. La cantidad demandada de tickets de tren (Q) viene determinada por la función: Q = 50 − p/2, donde p denota el precio del billete.

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El monopolio Teniendo en cuenta que los costes totales vienen recogidos por la función: CT(Q) = 30Q, calcula la cantidad de tickets que maximiza los beneficios, considerando que la empresa propietaria del tren conoce el precio que estaría dispuesto a pagar cada turista por cada ticket.

Solución Como en el ejercicio anterior, el monopolista puede practicar una discriminación de precios de primer grado (o discriminación perfecta). En la discriminación de primer grado, la empresa vende cada unidad de producto a un precio distinto a cada consumidor, siendo este precio igual al valor máximo que se está dispuesto a pagar por cada unidad. Analíticamente, la última unidad vendida de tickets Q = QD tiene un precio p(QD) igual al coste marginal: p(QD) = CMg(QD) = 30 Y sustituyendo este precio en la función de demanda:

Q D = 50 −

30 = 35 2

Esta cantidad nos indica el volumen total de tickets que el monopolista está dispuesto a vender (que será igual a la cantidad de competencia perfecta, pero cada unidad se vende a un precio distinto). En este caso, el consumidor no goza de ningún excedente, ya que está pagando por cada unidad el precio máximo que está dispuesto a pagar. Consecuentemente, el productor se apropia de todo el excedente, representado por el área del triángulo por debajo de la función de demanda, entre los niveles de 0 y QD, y por encima de la función del coste marginal. Es decir:

EP D =

(100 − 30)35 = 1.225 2

Asimismo, dado que no existen costes fijos, este excedente refleja los beneficios obtenidos por la empresa: p(QD) = p(35) = EPD = 1.225 © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia

Precio Coste marginal 100

CMg

30

p 0

35

50

Cantidad

Figura 3.6.

7.  MONOPOLIO Y DISCRIMINACIÓN DE SEGUNDO GRADO Sea una compañía de taxis que une el aeropuerto con la ciudad en situación de monopolio. El propietario debe elegir la cuota fija a pagar por los usuarios del taxi y el precio adicional por unidad de tiempo transcurrido durante el desplazamiento. En la ciudad existen dos tipos de usuarios: quienes usan el avión de manera habitual por cuestiones de negocio, y quienes usan el avión de manera ocasional para realizar vuelos vacacionales. Los dos tipos de usuarios no se pueden distinguir por su apariencia, por lo que el precio de venta debe ser el mismo para todos ellos. Los costes marginales (asociados a los costes de aire acondicionado o mantenimiento de la flota de vehículos, entre otros) son 40 euros la hora. Por último, existen 50 usuarios ocasionales y 40 habituales, cuyas demandas vienen dadas por las funciones: q1 = D1(p) = 100 − p y q2 = D2(p) = 100 − p/4, donde q1 y q2 denotan el tiempo transcurrido durante el trayecto de un

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El monopolio usuario ocasional y un usuario habitual, respectivamente, y p es el precio por unidad de tiempo. ¿Cuál sería la tarifa en dos partes que maximiza los beneficios de la empresa?

Solución Este ejercicio plantea una situación típica de discriminación de segundo grado, ya que el monopolista conoce la propensión a pagar de los distintos consumidores, pero no puede distinguirlos en el momento que estos efectúan la compra. Por tanto, el monopolista debe aplicar técnicas de autoselección, a través de las cuales sean los propios consumidores quienes revelen sus características (su propensión a pagar). Para ello, el monopolista diseña distintas estrategias de precios y cuotas fijas, usando el sistema de tarifa en dos partes: T(q) = A + pq donde A es la cuota fija a pagar, p el precio por unidad y q la cantidad total consumida, que, en este caso, responde al tiempo de desplazamiento. Con los datos del ejercicio, los beneficios de cada servicio prestado por la compañía de taxis son: A + (p − 40)qi, donde i = 1, 2 denota los dos tipos de usuarios de la empresa. Por tanto, los beneficios totales vienen dados por: 50[A + (p − 40)q1] + 40[A + (p − 40)q2] El dueño de la compañía se puede plantear cobrar una cuota fija que solo estén dispuestos a pagar los usuarios habituales. En este caso, los mayores beneficios posibles se obtendrían fijando un precio igual al coste marginal (40) y una cuota fija igual al excedente de un usuario habitual. El excedente de un consumidor habitual (EC2) es igual al área del triángulo B: EC2 =

(400 − 40)90 = 16.200 2

Como existen 40 usuarios habituales, los beneficios serían: 40 × 16.200 = = 648.000. La tarifa correspondiente respondería a la expresión: T(q) = A + pq = 16.200 + 40q © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia Otra alternativa sería reducir la cuota fija, para que a todos los usuarios les interese contratar el servicio de taxi y fijar un precio que maximice beneficios. Es decir, la cuota fija A sería el excedente de un usuario ocasional (EC1), dado un precio p: A = EC1 =

(100 − p)(100 − p) p2 = 5.000 − 100 p + 2 2

Como todos los usuarios ahora estarían dispuestos a pagar la tarifa mínima, los beneficios serían:

1

90 5.000 − 100 p +

p2 + ( p − 40)(50q1 + 40q2 ) 2

2

Teniendo en cuenta las funciones de demanda individuales, la cantidad total demandada al precio p es:

1

50q1 + 40q2 = 50(100 − p) + 40 100 −

2

p = 9.000 − 60 p 4

Por tanto, los beneficios responden a la expresión:

π ( p) = 450.000 − 9.000 p + 45 p2 + ( p − 40)(9.000 − 60 p) = = −15 p2 + 2.400 p + 90.000 El precio que maximiza los beneficios es solución del siguiente problema de optimización: max π ( p) = −15 p2 + 2.400 p + 90.000 p>0

La condición de primer orden consiste en derivar la función de beneficios respecto al precio e igualar a cero: dπ ( p) = −30 p + 2.400 = 0 dp lo que implica: p = 80. La condición de segundo orden es: d 2π ( p) = −30 d2 p

92

© Ediciones Pirámide

El monopolio Al ser menor que 0, la CPO es una condición necesaria y suficiente para un máximo. Por tanto, el precio que maximiza beneficios es igual a: p = 80 . Y los beneficios son iguales a: p(80) = −15 × 802 + 2.400 × 80 + 90.000 = 186.000 Sustituyendo p = 80 en: A = EC1 = 5.000 − 100 × 80 +

802 = 200 2

la tarifa en dos partes responde ahora a la expresión: T(q) = A + pq = 200 + 80q En conclusión, conviene fijar una tarifa mínima a pagar accesible solo para los usuarios habituales e igual a su excedente, dado que en este caso los beneficios de la empresa son superiores (648.000 > 186.000). Precio Coste marginal 400

100

D1

D2

p

CMg

40 0

100 − p

90 100

Cantidad

Figura 3.7. © Ediciones Pirámide

93

Problemas resueltos de microeconomía intermedia

8.  MONOPOLIO Y DISCRIMINACIÓN DE SEGUNDO GRADO El propietario del único club de pádel que existe en una localidad debe decidir la cuota de socio y el precio por hora de pista. En esta localidad hay 360 jugadores, de los cuales 80 son profesionales y el resto son jugadores ocasionales. Sin embargo, la apariencia de todos ellos es similar, de manera que el precio debe ser el mismo para los dos grupos. La demanda de un jugador profesional viene dada por: q1 = 250 − 50p, donde q1 son las horas anuales de pista y p el precio de una hora de pista, mientras que la demanda de un jugador ocasional viene dada por: q2 = 25 − 5p. Los costes marginales de una hora de pádel son nulos y los costes fijos son 10.000. El objetivo del propietario es tener un club de élite en el que todos sus miembros sean jugadores profesionales. a) La cuota anual de socio y el precio de una hora de pista que maximizan los beneficios del club de élite. b) Los beneficios anuales del club de élite.    Un asesor financiero asegura que con el club de élite se pierde dinero, y propone una reducción de la cuota anual de socio, de manera que los dos tipos de jugadores acudan a las instalaciones. Determina: c) La cuota anual de socio y el precio de una hora de pista pagada por cada tipo de jugador que maximizan los beneficios del club en esta nueva situación. d) Los nuevos beneficios anuales. e) ¿Tenía razón el asesor financiero al afirmar que con el club de élite se estaba perdiendo dinero?

Solución a) En esta situación, la empresa desea que todos sus socios sean profesionales, y por tanto la fijación de la tarifa solo tiene en cuenta a este tipo de jugadores. Así, la cuota anual de socio (A) y el precio por hora de pista pagado por cada jugador (p) que maximizan los beneficios del club de élite vienen dados por: — A: excedente de un jugador profesional asociado a un precio unitario p (EC1). — p: coste marginal (CMg).

94

© Ediciones Pirámide

El monopolio ya que de esta manera se extrae todo el excedente de los jugadores profesionales. En este caso: p=0 EC1 = A =

(5 − 0)250 = 625 2

La cuota anual de 625 es superior al excedente del consumidor de un jugador ocasional (EC2) cuando el precio unitario es 0: EC2 =

(5 − 0)25 = 62,5 2

La entrada al club queda, por consiguiente, restringida a los jugadores profesionales. b) Los beneficios que obtiene el club de élite son iguales a la diferencia entre los ingresos totales y los costes totales: p(Q1) = 80 × 625 + 0 × Q1 − 0 × Q1 − 10.000 = 40.000 donde Q1 = 80q1. c) Si acceden al club los dos tipos de jugadores, profesionales y ocasionales, el propietario selecciona una comisión fija (A) y un precio unitario (p), tal que A sea el excedente de un jugador ocasional asociado al precio unitario p, siendo p el precio que maximiza los beneficios del club. Teniendo en cuenta la función de demanda de un jugador ocasional, el excedente de un jugador de este tipo asociado a un precio unitario p viene dado por: A = EC2 =

(5 − p)(25 − 5 p) 2

Y los beneficios del club responden a: 360 × A + (p − 0)Q − 10.000 donde Q = 80q1 + 280q2. A partir de las funciones de demanda individuales y la anterior cuota fija, la función de beneficios puede escribirse como: (5 − p)(25 − 5 p) + ( p − 0)[80(250 − 50 p) + 280(25 − 5 p)] − 10.000 = 2 = −4.500 p2 + 18.000 p + 12.500

π ( p) = 360

© Ediciones Pirámide

95

Problemas resueltos de microeconomía intermedia Así pues, el valor de p óptimo es la solución del siguiente problema de optimización: max π ( p) = −4.500 p2 + 18.000 p + 12.500 p>0

La condición de primer orden consiste en derivar la función de beneficios respecto al precio e igualar a cero: dπ ( p) = −9.000 p + 18.000 = 0 dp Resolviendo la anterior ecuación obtenemos: p = 2. La condición de segundo orden es igual a: d 2π ( p) = −9.000 , 0 d2 p por lo que la condición de primer orden es necesaria y suficiente para un má­ ximo. Asimismo, el valor de la comisión fija dado p = 2 es igual a: A = EC2 =

(5 − 2)(25 − 5 × 2) = 22,5 2

d) Para calcular los beneficios anuales del club, simplemente evaluamos la función objetivo del apartado anterior en el valor p = 2: p(2) = −4.500(2)2 + 18.000 × 2 + 12.500 = 30.500 e) Comparando los beneficios obtenidos en los apartados b y d, podemos afirmar que el asesor financiero no tenía razón.

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© Ediciones Pirámide

El monopolio

Precio Coste marginal 5

p

D2

D1 CMg

0 25 − 5p 25

250 Cantidad

Figura 3.8.

9.  MONOPOLIO Y DISCRIMINACIÓN DE TERCER GRADO Un monopolista abastece dos mercados diferenciados, que presentan las siguientes funciones inversas de demanda: p 1(Q 1) = 100 − Q 1 y p2(Q2) = 60 − 2Q2, siendo p1 y p2 los precios en los dos mercados y siendo Q1 y Q2 las respectivas cantidades. El coste marginal de la empresa es constante e igual a 20 euros y los costes fijos son nulos. a) Calcula el precio que el monopolista fijará en cada mercado si su objetivo es maximizar beneficios. b) Calcula el precio que cobrará el monopolista si no puede practicar la discriminación de precios.

Solución a) Siendo CT(Q1 + Q2) la función de coste total del monopolista discriminador, la función de beneficios viene dada por la expresión:

π (Q1,Q2 ) = p1(Q1 )Q1 + p2 (Q2 )Q2 − CT (Q1 + Q2 ) = = (100 − Q1 )Q1 + (60 − 2Q2 )Q2 − 20(Q1 + Q2 ) = = −Q12 − 2Q22 + 80Q1 + 40Q2 © Ediciones Pirámide

97

Problemas resueltos de microeconomía intermedia donde el ingreso de la empresa recoge la suma de los ingresos obtenidos en cada mercado. Así pues, el problema de maximización del monopolista consiste en: max

Q1 > 0,Q2 > 0

π (Q1,Q2 ) = −Q12 − 2Q22 + 80Q1 + 40Q2

La condición de primer orden consiste en derivar parcialmente la función de beneficios respecto a las cantidades en cada mercado e igualar a cero: ∂π (Q1,Q2 ) = −2Q1 + 80 = 0 ∂Q1 ∂π (Q1,Q2 ) = −4Q2 + 40 = 0 ∂Q2 Por lo que: Q1 = 40 y Q2 = 10. Para comprobar que estas cantidades efectivamente corresponden a un máximo, calculamos la matriz hessiana en un punto (Q1, Q2), que viene dada por la expresión:

1

∂2 π (Q1,Q2 ) ∂2 Q1

∂2 π (Q1,Q2 ) ∂Q2 ∂Q1

∂2 π (Q1,Q2 ) ∂Q1∂Q2

∂2 π (Q1,Q2 ) ∂2 Q2

2

=

−2

10

0 −4

2

Esta matriz es definida negativa y, por tanto, la CPO es necesaria y suficiente para un máximo. Finalmente, los precios que cobra el monopolista en cada mercado se obtienen sustituyendo las cantidades obtenidas anteriormente en las correspondientes funciones inversas de demanda: p1(40) = 100 − 40 = 60 p2 (10) = 60 − 2 × 10 = 40

98

© Ediciones Pirámide

El monopolio

Precio Ingreso marginal Coste marginal 100

60

40

CMg

20

IMg2 0

10

p2 30

IMg1 40

p1 100

Cantidad

Figura 3.9a.

b) Inicialmente debemos obtener la expresión de la función de demanda del monopolista no discriminador, es decir, la demanda representativa de todo el mercado. A partir de las funciones inversas de demanda del enunciado, escribimos las funciones de demanda de la siguiente forma: ⎧⎪ 100 − p , si p , 100 1 1 Q1 = ⎨ si p1 > 100 ⎪⎩ 0, ⎧ p ⎪ 30 − 2 , si p2 , 60 Q2 = ⎨ 2 ⎪ 0, si p2 > 60 ⎩ Por tanto, la cantidad demandada total cuando el precio es p viene dada por la expresión: © Ediciones Pirámide

99

Problemas resueltos de microeconomía intermedia ⎧ 3p p , si p , 60 ⎪ 100 − p + 30 − = 130 − ⎪ 2 2 Q = Q1 + Q2 = ⎨ si 60 < p , 100 ⎪ 100 − p, ⎪⎩ 0, si p > 100 De aquí que la función inversa de demanda del monopolio no discriminador sea igual a: ⎧ 100 − Q, si 0 < Q < 40 ⎪ ⎪ 260 − 2Q p(Q) = ⎨ , si 40 , Q < 130 3 ⎪ ⎪⎩ 0, si Q . 130

Precio Coste marginal 100

60

CMg

20

p 0

130 Cantidad

40

Figura 3.9b.

100

© Ediciones Pirámide

El monopolio A partir de esta expresión, la función de beneficios del monopolista responde a: ⎧ 80Q − Q2 , si 0 < Q < 40 ⎪ ⎪ 200 2 π (Q) = p(Q)Q − CT (Q) = ⎨ Q − Q2 , si 40 , Q < 130 3 ⎪ 3 ⎪ −20Q, si Q . 130 ⎩ Así pues, el problema de maximización del monopolista no discriminador puede escribirse como: max π (Q) Q>0

siendo p(Q) la anterior función de beneficios definida a partir de distintos tramos. Teniendo en cuenta la forma de la función objetivo, vamos a analizar el problema de la empresa en sus tramos relevantes, siendo estos: 0 ⩽ Q ⩽ 40 y 40  12.500 ⎩⎪ 0, ⎪⎧ 550.000 − 50 pR , si pR , 11.000 QR = ⎨ si pR > 11.000 ⎩⎪ 0, Y la cantidad demandada total cuando el precio es p viene dada por: ⎧ 1.800.000 − 150 p, si p , 11.000 ⎪ Q = QE + QR = ⎨ 1.250.000 − 100 p, si 11.000 < p , 12.500 ⎪ si p > 12.500 ⎩ 0,

104

© Ediciones Pirámide

El monopolio

Precio Ingreso marginal Coste marginal 12.500 11.000

CMg

10.000

IMgR pR 0 25.000 125.000

IMgE

550.000

pE 1.250.000 Cantidad

Figura 3.10a.

Transformando esta expresión, la función inversa de demanda de Siat responde a: ⎧ 1 Q, si 0 < Q < 150.000 ⎪ 12.500 − 100 ⎪⎪ 1 p(Q) = ⎨ ⎪ 12.000 − 150 Q, si 150.000 , Q < 1.800.000 ⎪ si Q . 1.800.000 ⎪⎩ 0, y la correspondiente función de beneficios del monopolista no discriminador es igual a:

© Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia π (Q) = p(Q)Q − CT (Q) = ⎧ 1 Q2 + 2.500Q − 100.000.000, si 0 < Q < 150.000 ⎪− ⎪⎪ 100 =⎨ 1 2 ⎪ − 150 Q + 2.000Q − 100.000.000, si 150.000 , Q < 1.800.000 ⎪ si Q . 1.800.000 ⎪⎩ −10.000Q − 100.000.000,

Precio Coste marginal 12.500 11.000

CMg

10.000

p 1.800.000 Cantidad

0 150.000

Figura 3.10b.

Cuando el monopolista cobra el mismo precio en los dos mercados, el problema de maximización de la empresa consiste en maximizar la anterior función, es decir: max π (Q) Q>0

A partir de la forma concreta de la función de beneficios, podemos analizar los dos tramos relevantes siguientes: 0 ⩽ Q ⩽ 150.000 y 150.000  100 > p2 y 100  ⩾ p1 > p2



• Nos preguntamos ahora si p1 > p2 ⩾ 100 es un equilibrio de Nash. La respuesta es negativa. Vamos a distinguir dos casos: p2 > 100 y p2 = 100. Si p1 > p2 > 100, los beneficios de la empresa 1 son nulos. Para esta empresa, cualquier desviación unilateral reduciendo su precio de manera que sea menor que p2 y mayor que 100 le supondría un incremento de los beneficios. Por otro lado, si p1 > p2 = 100, los beneficios de la empresa 2 son nulos. Esta empresa podría obtener unos beneficios estrictamente positivos si estableciera un precio superior a 100 e inferior a p1. • Nos preguntamos si p1 > 100 > p2 es un equilibrio de Nash. La respuesta es no. En una combinación de precios como esta, los consumidores solo comprarían a la empresa 2 y obtendría unos beneficios estrictamente negativos. No obstante, la empresa 2 podría obtener unos beneficios estrictamente positivos si estableciera un precio inferior a p1, pero superior a 100. • Finalmente, analizamos si 100 ⩾ p1 > p2 es un equilibrio de Nash. La respuesta es nuevamente negativa. En una combinación de precios como esta, la empresa 2 es la única a la que comprarían los consumidores y obtendría unos beneficios estrictamente negativos. Esta empresa podría conseguir unos beneficios nulos si seleccionara un precio superior a p1.





   Así pues, cuando las empresas compiten en precios, existe un único equilibrio de Nash: p1* = p2* = 100 Únicamente con dos empresas idénticas compitiendo en precios se obtiene la solución de competencia perfecta, pese a tratarse de un duopolio. Este resultado se conoce como «paradoja de Bertrand».

9.  COURNOT Y STACKELBERG CON EMPRESAS ASIMÉTRICAS En el mercado de bicicletas existen solo dos empresas productoras (empresa 1 y empresa 2) con las siguientes funciones de costes: C1(q1) = © Ediciones Pirámide

139

Problemas resueltos de microeconomía intermedia = 1.200q1 y C2(q2) = 25q22, siendo q1 y q2 el número de bicicletas producidas por cada empresa. La función inversa de demanda de este mercado responde a: p(Q) = 6.000 − 100Q. En equilibrio, se cumple Q = q1 + q2. a) Calcula el equilibrio de Cournot. b) Calcula el equilibrio de Stackelberg si la empresa 1 es la líder y escoge inicialmente su cantidad, que es observada por la empresa 2 para posteriormente decidir su nivel de producción. c) Compara los resultados obtenidos en los dos escenarios anteriores.

Solución a) El problema que resuelve la empresa 1 en competencia à la Cournot es el siguiente: max π 1(q1, q2 ) = (6.000 − 100q1 − 100q2 )q1 − 1.200q1 q1

La condición de primer orden consiste en derivar parcialmente la función de beneficios respecto a q1 e igualar a cero: ∂π 1 (q1, q2 ) = 6.000 − 200q1 − 100q2 − 1.200 = 0 ∂q1 Tras operar, obtenemos la función de reacción de la empresa 1: q1 = R1(q2 ) = 24 −

1 q2 2

La condición de segundo orden de este problema es: ∂2 π 1 (q1, q2 ) = −200 , 0 ∂2 q1 Así, la condición de primer orden es necesaria y suficiente para un máximo. De forma paralela, el problema que resuelve la empresa 2 es el siguiente: max π 2 (q1, q2 ) = (6.000 − 100q1 − 100q2 )q2 − 25q22 q2

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© Ediciones Pirámide

El oligopolio La condición de primer orden consiste en derivar parcialmente la función de beneficios respecto a q2 e igualar a cero: ∂π 2 (q1, q2 ) = 6.000 − 100q1 − 200q2 − 50q2 = 0 ∂q2 Después de operar, obtenemos la función de reacción de la empresa 2: q2 = R2 (q1 ) = 24 −

2 q1 5

La condición de segundo orden es: ∂2 π 2 (q1, q2 ) = −250 , 0 ∂2 q2 por lo que la condición de primer orden es necesaria y suficiente para un má­ ximo. El equilibrio de Cournot se sitúa en el punto de intersección de las dos funciones de reacción. Para calcularlo, resolvemos el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas formado por estas funciones de reacción y se obtiene: q1 = 15 y q2 = 18. Sumando las producciones individuales, obtenemos la cantidad total de bicicletas de equilibrio: Q = q1 + q2 = 15 + 18 = 33 Sustituyendo esta cantidad en la función inversa de demanda, encontramos el precio de equilibrio, que es igual a: p(33) = 6.000 − 100 × 33 = 2.700 Finalmente, los beneficios de cada empresa son los siguientes:

π 1(15,18) = (2.700 − 1.200)15 = 22.500 π 2 (15,18) = 2.700 × 18 − 25(18)2 = 40.500 b) Vamos a resolver este equilibrio utilizando el método de inducción hacia atrás. Resolvemos inicialmente la segunda etapa del juego, es decir, calcu­ © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia lamos la cantidad que maximiza los beneficios de la empresa seguidora (empresa 2) ante una cantidad arbitrariamente fijada por la empresa 1. La empresa 2 seguirá su función de reacción, que ha sido calculada en el apartado a: R2 (q1 ) = 24 −

2 q1 5

A continuación resolvemos la primera etapa del juego. Como la empresa 1 es la líder, puede anticipar cuál será el comportamiento de su rival y, por tanto, en el momento de determinar su cantidad óptima tiene en cuenta que: q2 = R2 (q1 ) = 24 −

2 q1 5

Así pues, la empresa líder resuelve el siguiente problema de optimización:

3

1

max π 1(q1, R2 (q1 )) = 6.000 − 100q1 − 100 24 − q1

24

2 q1 q1 − 1.200q1 = 5

= 2.400q1 − 60q12 La condición de primer orden de este problema consiste en derivar la función de beneficios respecto a q1 e igualar a cero: d π1 (q1, R2 (q1 )) = 2.400 − 120q1 = 0 dq1 Notemos que se cumple la condición de segundo orden para un máximo: d 2π1 (q1, R2 (q1 )) = −120 , 0 d 2q1 De la condición de primer orden se obtiene: q1 = 20. Sustituyendo esta cantidad en la función de reacción de la empresa seguidora, obtenemos: q2 = 24 −

2 × 20 = 16 5

Por tanto, la cantidad total en el mercado de bicicletas es ahora igual a: Q = q1 + q2 = 36

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El oligopolio El precio de equilibrio queda determinado sustituyendo la cantidad total en la función inversa de demanda: p(36) = 6.000 − 100 × 36 = 2.400 Entonces, los beneficios de las empresas son iguales a:

π 1(20,16) = (2.400 − 1.200)20 = 24.000 π 2 (20,16) = 2.400 × 16 − 25(16)2 = 32.000 c) Debido a las características de las funciones de costes de las empresas en este ejercicio, la empresa que obtiene mayores beneficios en ambos escenarios es la empresa 2. Cabe destacar que Stackelberg mejora a la empresa líder, pero perjudica a la empresa seguidora en comparación a la solución de Cournot. Así, en el modelo de Stackelberg la empresa líder tiene una ventaja crucial (con respecto al modelo de Cournot), al ser la primera en seleccionar la cantidad y poder anticipar el comportamiento de la empresa seguidora. En cambio, la empresa seguidora elegirá la cantidad a producir en función de lo que haga la empresa líder, por lo que obtendrá unos beneficios siempre menores en el modelo de Stackelberg que en el modelo de Cournot. La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos en las dos estructuras de mercado:

q1 q2 Q p p1(q1, q2) p2(q1, q2) p1(q1, q2) + p2(q1, q2)

Stackelberg

Cournot

    20     16     36  2.400 24.000 32.000 56.000

    15     18     33  2.700 22.500 40.500 63.000

10.  STACKELBERG CON BARRERAS DE ENTRADA Imagina una industria con una empresa ya establecida (empresa 1) y otra empresa que se plantea entrar en el mercado (empresa 2). Si la empresa 2 entra, las empresas compiten según el modelo de Stackelberg, en el que la empresa 1 es la líder y la empresa 2 es la seguidora. Las empresas tienen las siguientes funciones de costes: C1(q1) = 100q1 y C2(q2) = 100q2 + F,

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia siendo F el valor del coste fijo de entrada en caso que la empresa 2 decida entrar en el mercado. La función inversa de demanda de la industria responde a: p(Q) = 2.500 − Q. En equilibrio se cumple: Q = q1 + q2. a) ¿Para qué valores de F (coste fijo de la empresa entrante) la entrada de la empresa 2 está bloqueada, impedida o acomodada? b) Imagina que el valor del coste fijo es F = 200.000. En esta situación, ¿qué es mejor para la empresa 1: bloquear, impedir o acomodar la entrada? ¿Y si el valor del coste fijo fuera F = 20.000?

Solución a) Inicialmente resolvemos el modelo de Stackelberg sin costes de entrada (F = 0) para la empresa seguidora. Para esta empresa, el problema de maximización de beneficios responde a: max π 2 (q1, q2 ) = (2.500 − q1 − q2 )q2 − 100q2 q2

La condición de primer orden consiste en derivar parcialmente la función de beneficios respecto a q2 e igualar a cero: ∂π 2 (q1, q2 ) = 2.500 − q1 − 2q2 − 100 = 0 ∂q2 Después de operar, obtenemos la función de reacción de la empresa 2: q2 = R2 (q1 ) = 1.200 −

1 q1 2

La condición de segundo orden de este problema es: ∂2 π 2 (q1, q2 ) = −2 , 0 ∂2 q2 por lo que efectivamente estamos ante un máximo. A continuación resolvemos el problema de la empresa 1, que es la empresa líder del duopolio. Como esta empresa puede anticipar el comportamiento

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El oligopolio de su rival, en el momento de escoger la cantidad a producir tendrá en cuenta que: q2 = R2 (q1 ) = 1.200 −

1 q1 2

Así pues, el problema de maximización de la líder es el siguiente:

3

1

max π 1(q1, R2 (q1 )) = 2.500 − q1 − 1.200 − q1

24

1 q1 q1 − 100q1 2

La condición de primer orden de este problema consiste en derivar la función de beneficios respecto a q1 e igualar a cero: d π1 (q1, R2 (q1 )) = 1.200 − q1 = 0 dq1 Comprobamos la condición de segundo orden: d 2π1 (q1, R2 (q1 )) = −1 , 0 d 2q1 Así, la condición de primer orden es necesaria y suficiente para un máximo. De la condición de primer orden obtenemos: q1 = 1.200. Si sustituimos esta cantidad en la función de reacción de la empresa 2: q2 = 1.200 −

1 1.200 = 600 2

Entonces, la cantidad del mercado en equilibrio es: Q = q1 + q2 = 1.800 El precio de equilibrio se determina a partir de la función inversa de demanda: p(1.800) = 2.500 − 1.800 = 700 Y los beneficios de las empresas responden a:

π 1(1.200, 600) = (700 − 100)1.200 = 720.000 π 2 (1.200, 600) = (700 − 100)600 = 360.000 © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia A continuación vamos a analizar los diferentes valores relevantes para los costes fijos en un contexto de barreras a la entrada. En primer lugar, definimos FB como el coste fijo mínimo de la empresa entrante que bloquea su entrada. Este valor cumple la siguiente relación: Beneficios de la empresa entrante Beneficios de la empresa entrante si decide entrar y la empresa = si decide no entrar (que son iguales establecida actúa como monopolista a 0) Beneficios de la empresa entrante si decide entrar y la empresa establecida actúa como monopolista En el modelo lineal, estos beneficios coinciden con los beneficios de la empresa seguidora del modelo de Stackelberg, menos el coste fijo derivado de la entrada. Consecuentemente, la igualdad anterior se transforma en: p2(1.200, 600) − F = 0 De aquí: FB = 360.000. En segundo lugar, definimos FI como el coste fijo mínimo de la empresa entrante que impide su entrada al mercado. Este valor satisface la siguiente relación: Beneficios de la empresa establecida Beneficios de la empresa establecida = si acomoda la entrada si impide la entrada Beneficios de la empresa establecida cuando impide la entrada Ante la amenaza de la entrada en el mercado de una empresa rival, a la empresa establecida le puede interesar actuar estratégicamente (con el objetivo de dificultar la entrada a la empresa entrante). El comportamiento estratégico de la empresa establecida consiste en producir una cantidad superior a la del monopolio, de manera que se reduzca el precio del bien y eso conlleve que la entrada sea menos atractiva para la empresa 2. A partir de la propiedad de concavidad de la función de beneficios de la empresa establecida, producir una cantidad superior a la de monopolio conlleva una reducción de beneficios. Por tanto, la forma más eficiente de actuar de la empresa establecida es producir la mínima cantidad que anule los incentivos a la entrada de la empresa potencial-

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El oligopolio mente entrante. Así pues, la empresa establecida produce una cantidad de producto, que denotamos como q1I, tal que anula los beneficios de la empresa entrante (p2 (q1I, R2(q1I )) = 0). A continuación, se calcula q1I a partir de la condición p2 (q1I, R2(q1I )) = 0. Cuando la empresa 1 produce q1I, la empresa 2 escoge una cantidad q2I en caso de entrar, siguiendo su función de reacción, es decir: q2I = 1.200 −

1 I q1 2

De aquí resulta que la cantidad total del mercado responde a: 1 I 1 q1 = 1.200 + q1I 2 2

Q = q1I + q2I = q1I + 1.200 −

Sustituyendo este valor en la función inversa de demanda, obtenemos el precio:

1

p 1.200 +

2

1 I 1 1 q1 = 2.500 − 1.200 − q1I = 1.300 − q1I 2 2 2

En consecuencia, los beneficios de la empresa entrante responden a la siguiente expresión:

1

π 2 q1I ,1.200 −

2 1

21

2

1 I 1 1 q1 = 1.300 − q1I − 100 1.200 − q1I − F = 2 2 2

1

= 1.200 −

2

1 I q1 2

2

−F

Imponiendo que los beneficios de la empresa entrante sean nulos, podemos calcular el valor de q1I en función de los costes fijos de la empresa 2: 1.200 −

1

1 I q1 2

1.200 −

31

1 I q1 2

2

2

−F =0

que implica:

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2 1/2

24

= F 1/2

147

Problemas resueltos de microeconomía intermedia Despejando q1I de la anterior expresión, obtenemos: q1I = 2.400 − 2F 1/2 Si la empresa 1 produce q1I, entonces a la empresa 2 le es indiferente entrar o no entrar en el mercado, puesto que en ambos casos sus beneficios son nulos. En el supuesto de que la empresa 2 no entre, la cantidad total demandada es q1I. Sustituyendo esta cantidad en la expresión de la función inversa de demanda, el precio será igual a: p(2.400 − 2F 1/2) = 2.500 − (2.400 − 2F 1/2) = 100 + 2F 1/2 Por tanto, los beneficios de la empresa 1 si impide la entrada siguen la siguiente expresión: p1(q1I ) = (100 + 2F 1/2 − 100)(2.400 − 2F 1/2) = 4.800F 1/2 − 4F Beneficios de la empresa establecida cuando acomoda la entrada Los beneficios de la empresa establecida si acomoda la entrada son los que obtiene la empresa líder del modelo de Stackelberg. Estos beneficios han sido calculados anteriormente y son iguales a: p1(1.200, 600) = 720.000. Así pues, la ecuación que caracteriza FI iguala los beneficios de la empresa establecida cuando impide la entrada con los correspondientes beneficios de esta misma empresa cuando acomoda la entrada. Es decir: 4.800F 1/2 − 4F = 720.000 Para resolver esta ecuación hacemos el siguiente cambio de notación: x = F1/2. Así, podemos escribir la anterior expresión como: 4.800x − 4x2 − 720.000 = 0 o alternativamente: x2 − 1.200x + 180.000 = 0 siendo una ecuación de segundo grado con las siguientes soluciones: x=

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1.200 ± (1.200)2 − 4 × 1 × 180.000 1.200 ± 300 8 = = 600 ± 150 × 2,83 2(1) 2 © Ediciones Pirámide

El oligopolio Entonces, podemos calcular el valor de F de de la siguiente forma: ⎧⎪ (600 + 150 × 2,83)2 = 1.049.116,88 F =x =⎨ ⎪⎩ (600 − 150 × 2,83)2 = 30.883,12 2

Dado que el coste fijo que impide la entrada debe ser menor al coste fijo que bloquea la entrada, FI  150. Esta información la tienen en cuenta los compradores y, por tanto, advierten que se ofrecen en el mercado todos los teléfonos. En equilibrio el precio de un teléfono es 158 y se venden todos los teléfonos.

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Las decisiones del consumidor en condiciones de información asimétrica

6.  SELECCIÓN ADVERSA Un empresario quiere contratar a un consultor para realizar un estudio de mercado para su empresa, pero desconoce las aptitudes de los distintos consultores que se ofrecen en el mercado. Existen dos tipos de consultores: «Buenos» y «Malos». El empresario sabe que una cuarta parte de los consultores que hay en el mercado son «Buenos». Además, los «Buenos» están dispuestos a cobrar por sus servicios no menos de 2.500 euros, mientras que los «Malos» se ofrecen por al menos 1.250 euros. Por otro lado, un trabajo bien hecho reporta a la empresa 10.000 euros, mientras que uno mal hecho no le reporta nada. Suponemos que los consultores del tipo «Bueno» realizan buenos estudios y que los «Malos» realizan estudios malos. Analiza el problema de selección adversa presente en la situación propuesta, teniendo en cuenta que todos los agentes son neutrales al riesgo y que existe un gran número de consultores en este mercado. Solución El empresario, en principio, estaría dispuesto a pagar por el estudio de mercado un precio máximo en términos esperados: 0,25(2.500) + 0,75(1.250) = 1.562,50 euros Si el empresario ofrece este precio, los únicos consultores interesados en realizar el estudio de mercado son los «Malos». Como el empresario es consciente de que por una cantidad inferior a 2.500 euros no podrá contratar a ningún consultor «Bueno», decide no realizar la consultoría, ya que un estudio de mercado mal realizado no le reporta ningún beneficio. Por tanto, podemos concluir que, a pesar de que existe la posibilidad de que tanto el empresario como los consultores puedan obtener beneficios, no se contratará a ningún consultor, dado el problema de información asimétrica que se presenta en este mercado (concretamente, de selección adversa).

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia

7.  SELECCIÓN ADVERSA Y SEÑALIZACIÓN Considera la situación que se plantea en el problema anterior, pero ahora los consultores tienen la posibilidad de educarse. Un consultor del tipo «Bueno» es más hábil e inteligente que un consultor del tipo «Malo», por lo que puede conseguir un título universitario a un menor coste. Concretamente, y para simplificar, suponemos que la probabilidad de conseguir un determinado nivel académico (por ejemplo, un título universitario) de un consultor «Bueno» es del 100 %, mientras que la probabilidad de obtener el mismo nivel académico para un consultor «Malo» es del 0 %. El coste de las matrículas y demás gastos es de 1.000 euros. Supón que el nivel educativo no aporta nada a la calidad del estudio de mercado realizado (esto es, un consultor «Bueno» hará un trabajo bueno, y un consultor «Malo» hará un trabajo malo). Todos los agentes son neutrales al riesgo y los trabajadores conocen a qué tipo pertenecen, pero el empresario no. Finalmente, hay que tener en cuenta que un consultor «Bueno» que no se eduque puede cobrar 2.500 euros en otro lugar de trabajo, mientras que el «Malo» que no se educa puede conseguir un salario de 1.250 euros. Analiza los incentivos que cada uno de los dos tipos de consultores tienen a educarse o no, y si al empresario le interesa que los consultores «Buenos» inviertan en educación o no. Solución Consultor del tipo «Malo» El tipo «Malo» sabe que no le es rentable realizar la inversión en educación, ya que al no conseguir el título universitario (la probabilidad de obtener el mismo grado universitario que un consultor de tipo «Bueno» es del 0 %) no podrá hacerse pasar por un consultor «Bueno». Consultor del tipo «Bueno» Un consultor del tipo «Bueno» sabe que si decide formarse y pagar la matrícula tendrá éxito en la obtención del título universitario. En consecuencia, exigirá un salario como mínimo de: 2.500 + 1.000 = 3.500 euros

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Las decisiones del consumidor en condiciones de información asimétrica Empresario El empresario entiende los incentivos de los consultores y sabe que cualquier consultor que se presente con un título universitario es del tipo «Bueno». Por tanto, si el empresario exige la presentación del título universitario y paga 3.500 euros se asegura contratar a un consultor del tipo «Bueno», quien, puesto que realizará un buen estudio de mercado, aportará a la empresa unos beneficios de: 10.000 − 3.500 = 6.500 euros Este ejercicio muestra que puede ser costoso hacer funcionar los mercados en los que existe información asimétrica. Este caso obliga a invertir recursos para que los consultores revelen a qué categoría pertenecen. Si el empresario conociera perfectamente quiénes son los consultores de tipo «Bueno», los podría contratar por 2.500 euros, y estos no tendrían que invertir 1.000 euros para formarse.

8.  SELECCIÓN ADVERSA Y SEÑALIZACIÓN Dos empresas, la empresa G y la empresa B, lanzan al mercado un pequeño robot que será de gran ayuda para la limpieza del hogar. Los robots de la empresa G son de mejor calidad que los de la empresa B. Para la empresa G, el coste de fabricación de un robot es de 600 euros, mientras que para la empresa B es de 400 euros. Si los consumidores conociesen la calidad de los robots, estarían dispuestos a pagar un máximo de 800 euros por un robot de mejor calidad, y solamente 500 euros por uno de calidad inferior. Además, todos los agentes son neutrales al riesgo, y ambas empresas, que conocen la calidad de sus robots, acaban de salir al mercado, por lo que no tienen ningún tipo de reputación. Por ello, los consumidores, incapaces de distinguir la calidad de los robots antes de comprarlos, creen que la probabilidad de comprar un robot de buena calidad es del 50 %. En este mercado hay un gran número de consumidores y, de aquí, que en equilibrio cada comprador paga su precio de reserva. a) Determina el precio máximo que están dispuestos a pagar los consumidores y si las empresas están interesadas en vender a ese precio. b) Las empresas G y B se plantean ofrecer una garantía de cinco años para todos sus robots, sabiendo que esta garantía les costará 100 y 300 euros de media, respectivamente. Representa la forma

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia normal del siguiente juego: los dos jugadores son las dos empresas. Sus estrategias son ofrecer o no ofrecer la garantía. Los pagos se corresponden con los beneficios (por unidad) de las empresas. Nota: En caso de que haya una sola empresa que ofrezca garantía de sus productos, los consumidores creerán que los robots de esta empresa son de calidad superior, mientras que los robots de la otra son de calidad inferior. En cambio, si ambas empresas adoptan la misma estrategia los consumidores no podrán extraer ninguna información. Solución a) El precio máximo que están dispuestos a pagar los consumidores viene dado por la probabilidad de adquirir un robot de buena o mala calidad, es decir: 0,5(800) + 0,5(500) = 650 Este precio es superior al coste de producción de las dos empresas y, consecuentemente, a ambas les interesa vender. b) Distinguimos los diferentes casos: Ninguna empresa ofrece la garantía 1.     Si ninguna empresa ofrece la garantía, el precio al que se venderá el robot es de 650 euros, y por tanto los beneficios (por unidad) de la empresa G son de 650 − 600 = 50, mientras que los beneficios de la empresa B son de 650 − 400 = 250. 2.  La empresa G ofrece la garantía y la empresa B no la ofrece    En este caso los consumidores creen que la empresa G produce los robots de calidad superior, mientras que la empresa B produce los robots de calidad inferior. Por tanto, los compradores están dispuestos a pagar 800 euros por un robot de la empresa G y solamente 500 euros por un robot de la empresa B. Así, los beneficios de la empresa G son de 800 − 600 − 100 = 100, y los beneficios de la empresa B son de 500 − 400 = 100. 3.  La empresa B ofrece la garantía y la empresa G no la ofrece    Ahora los consumidores creen que la empresa B produce los robots de calidad superior, mientras que G produce los robots de calidad inferior, y están dispuestos a pagar 800 euros por un robot de la empresa B

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Las decisiones del consumidor en condiciones de información asimétrica y 500 euros por un robot de la empresa G. Los beneficios de la empresa G son iguales a 500 − 600 = −100, y los beneficios de la empresa B son iguales a 800 − 400 − 300 = 100. Las dos empresas ofrecen la garantía 4.     Si las dos empresas ofrecen la garantía, los consumidores no podrán extraer ninguna información de esta práctica y, por tanto, el precio al que se venderá el robot es 650 euros. Los beneficios unitarios de la empresa G son en este caso iguales a 650 − 600 − 100 = −50, mientras que los beneficios de la empresa B son 650 − 400 − 300 = −50. Por tanto, la matriz de este juego es la siguiente: Empresa B Sin garantía

Con garantía

Sin garantía

50, 250

−100, 100

Con garantía

100, 100

−50, −50

Empresa G

La empresa G tiene como estrategia dominante ofrecer la garantía, mientras que la estrategia dominante para la empresa B es no ofrecerla. Por tanto, el equilibrio de Nash es (Garantía, Sin garantía).

9.  SELECCIÓN ADVERSA Una compañía de seguros ofrece un contrato de seguro contra accidentes a dos tipos de clientes: los clientes de riesgo bajo, que tienen una probabilidad de sufrir accidente del 10 %, y los clientes de riesgo alto, que tienen una probabilidad de sufrir accidente del 30 %. Sin seguro, la riqueza de cada cliente es de 100 u.m. (unidades monetarias) si no sufren un accidente y 0 u.m. si lo sufren. Los clientes tienen unas preferencias, que pue−− den representarse mediante una función de utilidad u(w) = √w, donde w representa su riqueza. Además, la compañía de seguros no puede identificar el tipo de cliente en el momento de ofrecerle el contrato, que puede ser del tipo:

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Problemas resueltos de microeconomía intermedia 1. La compañía de seguros paga al cliente 55 u.m. en caso de accidente, y requiere una prima de 19 u.m. 2. La compañía de seguros paga al cliente 100 u.m. en caso de accidente, y requiere una prima de 36 u.m. a) ¿La situación planteada en este ejercicio es un ejemplo de riesgo moral o de selección adversa? Justifica tu respuesta. b) Determina si los clientes de bajo riesgo están interesados en alguno de estos contratos de seguros; en caso afirmativo, indica en cuál de ellos. Haz lo mismo para los clientes de riesgo alto. c) ¿Puede la compañía de seguros identificar el tipo de cliente con estos dos tipos de contratos?

Solución a) La situación que se presenta en este ejercicio es un ejemplo de selección adversa. En una relación económica existe selección adversa cuando una de las partes no puede observar completamente alguna característica de la otra, y esta última intenta aprovecharse de esta asimetría informativa. b) La siguiente tabla muestra las posibles rentas finales y las utilidades esperadas para los clientes de riesgo bajo y alto: Sin accidente

Con accidente

Utilidad esperada

Clientes de riesgo bajo Sin seguro Contrato 1 Contrato 2

100 100 − 19 = 81 100 − 36 = 64

0 0 − 19 + 55 = 36 0 − 36 + 100 = 64

0,9 100 + 0,1 0 = 9 0,9 81 + 0,1 36 = 8,7 0,9 64 + 0,1 64 = 8

100 100 − 19 = 81 100 − 36 = 64

0 0 − 19 + 55 = 36 0 − 36 + 100 = 64

0,7 100 + 0,3 0 = 7 0,7 81 + 0,3 36 = 8,1 0,7 64 + 0,3 64 = 8

Clientes de riesgo alto Sin seguro Contrato 1 Contrato 2

A partir de la comparación de la utilidad esperada, los clientes de riesgo bajo no están interesados en ninguno de los contratos ofrecidos, mientras que los clientes de riesgo alto están interesados en asegurarse, prefiriendo el contrato 1.

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Las decisiones del consumidor en condiciones de información asimétrica c) La compañía de seguros puede identificar el tipo de cliente, ya que únicamente los clientes de riesgo algo están interesados en asegurarse.

10.  RELACIÓN PRINCIPAL-AGENTE Una empresa de diseño y fabricación de paraguas necesita contratar a un trabajador para elaborar un estudio sobre la demanda de los paraguas de la empresa. Las estimaciones de demanda que realice este trabajador incidirán directamente en las ventas, por lo que el resultado (R) de la empresa se ve afectado por su esfuerzo y dedicación, teniendo en cuenta que puede esforzarse mucho (a = 1) o poco (a = 0). Además, el resultado de la empresa también se ve influenciado por el nivel de lluvia. La siguiente tabla muestra los resultados de la empresa en función del esfuerzo del trabajador y la lluvia: Ausencia de lluvia

Lluvia

Poco esfuerzo

 75.000

150.000

Mucho esfuerzo

150.000

300.000

La probabilidad de lluvia es del 75 %, y el esfuerzo conlleva un coste (C) para el trabajador, siendo C(a) = 10.000a. Es preciso tener en cuenta que el empresario busca maximizar los beneficios esperados y el trabajador quiere maximizar el salario neto esperado. Determina cuál de los siguientes sistemas de retribución es preferido por el empresario, sabiendo que es neutral al riesgo: a) Un salario constante de 30.000 (independientemente del resultado obtenido). b) Un salario variable (w) que depende del resultado obtenido, donde si R = 75.000 o R = 150.000, w = 0, y si R = 300.000, w = 150.000. c) Un salario variable (w) que depende del resultado obtenido, donde si R