Prüfungsvorbereitung Wirtschaftsmathematik: Analysis [Reprint 2014 ed.] 9783486836981, 9783486577013

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LL1

Ш

Prüiungsvorbereitung Wirtschaftsmathematik Analysis

Von

Prof. Dr. Udo Kamps Prof. Dr. Erhard Cramer Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik RWTH Aachen

Dorothea Strauer Institut für Mathematik Universität Oldenburg

Dr. Wolfgang Herff Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik RWTH Aachen

R.01denbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2005 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: Grafik+Druck, München Bindung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Binderei GmbH ISBN 3-486-57701-8

Vorwort Dieses Buch dient der Vorbereitung auf die mündliche oder schriftliche Prüfung im Teilgebiet Analysis einer einführenden Veranstaltung zur Mathematik für Studierende der Wirtschaftswissenschaften. Es behandelt die Themen: Grundlagen, Folgen und Reihen, Punktionen einer Variablen, Differentiation und Kurvendiskussion, Integration sowie Funktionen mehrerer Variablen. Das Buch basiert auf Fragen und Aufgaben, die in Prüfungen an der RWTH Aachen und der Universität Oldenburg gestellt wurden. Für die Bearbeitung der Klausuraufgaben ist als Hilfsmittel ein Blatt (DIN A4) mit eigenhändigen Notizen vorgesehen; ein Taschenrechner wird nicht benötigt. Zur Verbesserung der Übersicht wurden themenübergreifende Aufgaben teilweise aufgeteilt und den einzelnen Kapiteln zugeordnet. Der Aufbau des Buchs ist in jedem Kapitel identisch: In einer Checkliste haben Sie zunächst die Möglichkeit, Ihren Wissensstand einzuordnen. Durch spätere Aktualisierungen wird der jeweilige Kenntnisstand erfasst, sodass Problembereiche leicht erkannt und gezielt angegangen werden können. In Fragen zum Verständnis sind Sie aufgefordert, Ihr Wissen zu allgemeinen und speziellen Fragen zu formulieren. Die Auseinandersetzung mit derartigen Fragen macht Sie sofort auf mögliche Defizite in der Vorbereitung sowie auf Verständnisschwierigkeiten aufmerksam. Multiple Choice Fragen schließen sich an, deren Bearbeitung ein gutes (passives) Verständnis der Themen erfordert. In Klausuraufgaben haben Sie dann Gelegenheit, Ihr aktives Fachwissen und Ihre mathematischen Fertigkeiten zu testen. Die Lösungen sind selbsterklärend gestaltet, sodass zum Verständnis weder eine spezielle Vorlesung noch das nachfolgend genannte Lehrbuch zugrunde gelegt werden muss. Das vorliegende Buch ist daher in besonderer Weise zum Selbststudium, Selbsttest sowie zum Prüfungs- und Klausurtraining geeignet. Zu Ihrer schnellen Orientierung und zur Unterstützung eines effizienten, erfolgreichen Lernens wird durchgehend ein enger Bezug zum Lehrbuch (KCO) U. Kamps, E. Cramer, Η. Oltmanns (2003) Wirtschaftsmathematik, Einführendes Lehr- und Arbeitsbuch. Oldenbourg, München, 2. Auflage hergestellt. Bei der Checkliste und den Fragen zum Verständnis wird jeweils auf die entsprechende Seite in KCO verwiesen. Die Lösungen der Multiple Choice Fragen werden kurz begründet und sind ebenfalls mit Hinweisen auf relevante Seiten in KCO versehen. Schließlich sind sehr ausführliche Lösungen aller Klausuraufgaben enthalten, die auch ein Nachvollziehen ausgewählter Lösungen ermöglichen. Zur Erleichterung der Suche wird zu jeder Aufgabe die Seite der Lösung notiert und umgekehrt. Liebe Leserin, lieber Leser, Ihre Kritik und Ihre Anregungen sind uns wichtig: Bitte teilen Sie uns diese mit (Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik, RWTH Aachen). Wir wünschen Ihnen ein angenehmes und nutzbringendes Lernen und Arbeiten. Aachen und Oldenburg

Dorothea Strauer, Erhard Cramer Wolfgang Herff, Udo Kamps

Inhaltsverzeichnis Vorwort

i

1

Grundlagen Checkliste Fragen zum Verständnis Multiple Choice Fragen Klausuraufgaben Lösungen

1 1 2 4 8 14

2

Folgen und Reihen Checkliste Fragen zum Verständnis Multiple Choice Fragen Klausuraufgaben Lösungen

29 29 30 31 34 39

3

Funktionen einer Variablen Checkliste Fragen zum Verständnis Multiple Choice Fragen Klausuraufgaben Lösungen

49 49 50 52 55 58

4

Differentiation und Kurvendiskussion Checkliste Fragen zum Verständnis Multiple Choice Fragen Klausuraufgaben Lösungen

65 65 66 68 72 78

5

Integration Checkliste Fragen zum Verständnis Multiple Choice Fragen Klausuraufgaben Lösungen

97 97 97 99 101 103

6

Funktionen mehrerer Variablen Checkliste Fragen zum Verständnis Multiple Choice Fragen Klausuraufgaben Lösungen

109 109 110 111 114 115

1 Grundlagen Checkliste Thema

KCO

Mengen und Zahlen Darstellung von Mengen

1

Zahlbereiche

2

Aussagenlogik

5

Quantoren, Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz, Kontraposition

4

Verknüpfungsregeln für Aussagen

8

Wahrheitstafeln

5

Rechengesetze, Ordnung, Intervalle

11

Mengenalgebra

12

Komplement, Schnitt- und Vereinigungsmenge, Differenzmenge

13

Regeln der Mengenalgebra

13

Potenzmenge

18

Kartesisches Produkt

20

ι

©

©

©

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

2

1. Grundlagen Thema

KCO

Ungleichungen und Absolutbetrag

23

Grafische und rechnerische Lösung von Ungleichungen

24

Rechenregeln für den Absolutbetrag

25

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

30

Potenzgesetze

31

Lösen einer quadratischen Gleichung

35

Rechenregeln für Logarithmen

36

Summen- und Produktzeichen

41

Vollständige Induktion

45

©

©

©

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

Fragen zum Verständnis F.l Geben Sie Beispiele für Mengen an. Verwenden Sie dabei sowohl die aufzählende als auch die beschreibende Darstellung. F.2 Welche Zahlbereiche kennen Sie, und wie verhalten sich diese zueinander? F.3 Welche Quantoren kennen Sie? Welche Symbole werden für diese verwendet? F.4 Nennen Sie die grundlegenden Verknüpfungen der Aussagenlogik. Geben Sie jeweils Beispiele (formalisiert und umgangssprachlich) an. F.5 Welche Regeln für die Verknüpfungen von Aussagen kennen Sie? F.6 Was ist eine Wahrheitstafel? Illustrieren Sie diese mittels der Konjunktion zweier Aussagen. Lösungen F.l F.2 F.3 F.4 F.5 F.6

KCO, KCO, KCO, KCO, KCO, KCO,

S. lf. S. 3f. S. 4. S. 5ff. S. 8, Merkkasten. S. 5.

Fragen zum Verständnis

3

F.7 Welche Regeln für die übliche Ordnung der reellen Zahlen kennen Sie? (z.B. a < b = > о + с < b + с für alle a,b,c 6 R.) Machen Sie sich diese am Zahlenstrahl klar. F.8 Welche grundlegenden Verknüpfungen werden in der Mengenalgebra verwendet? F.9 Was sind die „Regeln von de Morgan"? F. 10 Welche Regeln der Aussagenlogik lassen sich auf die Mengenalgebra übertragen? Begründen Sie Ihre Antwort. Erstellen Sie zur Veranschaulichung Venn-Diagramme. F.11 Was ist die Potenzmenge einer Menge Ω? F.12 Was ist ein kartesisches Produkt zweier Mengen? Geben Sie dieses für А = { 1 , 2 } und В = { 6 , 7 , 8 } an. F. 13 Geben Sie Beispiele für Ungleichungen mit zwei Variablen an. Skizzieren Sie die Menge aller Punkte der Ebene, die eine bzw. mehrere dieser Ungleichungen erfüllen. F.14 Welche Fälle sind zur Lösung der Ungleichung |x| + 1 < |x + 1| zu unterscheiden? Erläutern Sie Ihr Ergebnis, und illustrieren Sie es anhand einer geeigneten grafischen Darstellung. F. 15 Wie lauten die binomischen Formeln? F. 16 Geben Sie möglichst viele Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen an. F. 17 Uberlegen Sie sich Beispiele aus der Finanzmathematik, für deren Formulierung oder Lösung man Potenzen, Wurzeln oder Logarithmen benötigt. F.18 Konstruieren Sie jeweils ein Beispiel einer quadratischen Gleichung ax2 + bx + с = 0, das zwei bzw. genau eine bzw. keine Lösung hat. Zeichnen Sie die Grafen der zugehörigen Funktionen. i F.19 Erläutern Sie die Bestandteile des Summenzeichens ^ аг, und geben Sie einige Rechenk=i regeln an. Lösungen

F.7 KCO, S. 11, Merkkasten. F.8 KCO, S. 13, Bezeichnungskasten. F.9 KCO, S. 8 bzw. S. 15. F.10 KCO, S. 13 & 15, Merkkästen. F . l l KCO, S. 18. F.12 KCO, S. 20, Α χ В = {(1,6), (2,6), (1,7), (2,7), (1,8), (2,8)}. F.13 KCO, S. 24, Beispiele. F.14 Zu unterscheiden sind die folgenden Fälle: φ χ < —1, (2) — 1 < χ < 0, (D χ > 0, da |x| verschieden definiert ist für χ < 0 bzw. χ > 0 und analog \x + 1| für χ < — 1 bzw. χ > — 1 (vgl. Beispiele in KCO, S. 26ff.). F.15 KCO, S. 34. F.16 s. Merkkästen in KCO, S. 36, 38, 39. F.17 KCO, S. 32/34 und 36/39, Beispiele. F.18 Z.B. χ 2 = 1 hat die Lösungen χ = — 1 und χ = 1; χ 2 = 0 hat die einzige Lösung χ = 0; χ 2 = — 1 hat keine reelle Lösung (vgl. KCO, S. 35). F.19 KCO, S. 41, Bezeichnungskasten und S. 42, Merkkasten.

1. Grundlagen

4

η F.20 Erläutern Sie den Begriff der Indexverschiebung an der Summe ^ а * , к < га. i=k F.21 Welche Struktur hat ein Beweis durch vollständige Induktion?

Multiple Choice Fragen M.l Gegeben seien die Mengen (1) N = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } (2) G = { n e N | n ist gerade} (3) Ω = {Montag, Dienstag, . . . , Sonntag} sowie die Bezeichnungen (a) aufzählende Darstellung (b) beschreibende Darstellung Welche Kombination enthält alle richtigen Paare? @

1-a, 2-a, 3-b

(B) 1-b, 2-b, 3-a ©

1-a, 2-b, 3-b

©

1-b, 2-a, 3-a

(§) 1-a, 2-b, 3-a M.2 Gegeben seien reelle Zahlen α,αχ,α^,... und die Aussage Ve > 0 37V 6 N Vn > Ν : \a n - α| < ε Wie lautet die korrekte Verneinung dieser Aussage? @

3ε > 0 V7V € F« 3n > N

\an - α > ε I an - a > ε

( D νε > 0 3N 6 Fί\/η>Ν ©

\/ε > 0 VJV € FЯ Vn < N

|α π - α| < ε

©

3ε > 0 VJV e г$ 3n < N

\αη - α < ε

©

3ε > 0 3N e F$ 3n>

I ο·η — α\>ε

N

Lösungen F.20 KCO, S. 42, Merkkasten. F.21 KCO, S. 45, Merkkasten. M.l E, denn die richtigen Paare sind 1-a, 2-b, 3-a. M.2 A, vgl. KCO, S. 10.

5

Multiple Choice Fragen

Μ .3 Gegeben seien die Aussagen Α, В sowie С und die folgenden Verknüpfungen der Aussagen: (1)

AA(BVC)

(2) (AV В) = > C (3) (AV В) А С (a)

ÄV(BAC)

(b)

(ÄAB)VC

(c) Ä AB AC Welche der folgenden Kombinationen besteht nur aus Verneinungspaaren (T>,T>)? ®

1-a, 2-b, 3-е

(B) 1-b, 2-a, 3-е ©

1-a, 2-е, 3-b

©

1-b, 2-е, 3-a

©

1-е, 2-a, 3-b

M.4 Für a, b, с e R seien folgende Gleichungen gegeben: (1) a + b = b + a (2) a + (-а) = (-a)+a

= 0

(3) 1 · а = а • 1 = а (4) (a + b)-c = a- c + b-c (5) (a- b) • c = а • (b • с) Außerdem sind folgende Bezeichnungen gegeben: (a) Assoziativgesetz (b) Distributivgesetz (c) inverses Element (d) Kommutativgesetz (e) neutrales Element Welche Paare gehören zusammen? (A) 1-a, 2-е, 5-d ( D 2-a, 3-е, 5-b ©

1-b, 2-d, 4-a

©

1-d, 3-е, 4-b

©

2-е, 3-a, 5-a

Lösungen M.3 C, denn die richtigen Paare sind 1-a, 2-е, 3-b. M.4 D, denn die richtigen Paare sind 1-d, 2-е, 3-е, 4-b, 5-a.

1. Grundlagen

6

Μ.5 Seien А, В С П mit Ω φ φ. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen falsch? ®

A C B

A n B

=

A

(§) X n ß = Ä n ß ©

A Q B

=φ

В

C A

(D) Ι η β = Ω \ ( 4 ϋ Β ) (Ε)

ΑΓ\Ω

=

Α

Μ.6 Seien α, b G Μ mit b φ 0. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen falsch? (Α) |a + b| < H + |6| (D |α·6| 0 l°g 2 (e) ©

log25(z) = \ log 5 (x), χ > 0

(D) log(10 x ) = χ, χ e R ©

log 10 (5*) = χ • i , χ e Μ

Lösungen

M.9 E, denn die Definitionsmenge setzt sich gemäß (R \ {0}) Π [ - Ι , ο ο ) Π (R \ { - 3 , 3 } ) Π R zusammen. M.10 E, s. KCO, S. 37, Bezeichungskasten und S. 38, Merkkasten. M . l l E, denn log 10 (5 x ) = χ · log 10 (5) und log 10 (5) φ

1. Grundlagen

8

Μ.12 Welche quadratische Ergänzung für die Gleichung x2 + 8x 4-1 = 0 ist korrekt?

® ® © © ©

X2

+ 8x+ 4 - 5 = 0

X2

+ 8x - 16 + 15 = 0

2

+ 8x + 16 - 17 = 0

X2

+ 8x + 16 - 15 = 0

2

+ 8x + 64 - 63 = 0

X

X

Klausuraufgaben 14^-L

Aufgabe 1.1 Eine Gruppe von Personen möchte jemandem ein Buch zum Geburtstag schenken. Es wurde eine Reihe von Vorschlägen gemacht, die anhand folgender Kriterien eingeteilt werden sollen: B: Das Buch ist ein Bestseller. TZ: Das Buch ist ein Roman. T: Das Buch ist zu teuer. (a) Stellen Sie die folgenden Aussagen mit den Verknüpfungen der Aussagenlogik dar: (i) Das vorgeschlagene Buch ist ein Bestseller und nicht zu teuer. (ii) Das vorgeschlagene Buch ist ein Roman, der ein Bestseller ist. (iii) Das vorgeschlagene Buch ist ein Bestseller, aber es ist zu teuer. (b) Verbalisieren Sie die folgenden Aussagenverknüpfungen: (i) T v ß (ii) (c) Weisen Sie unter Verwendung einer Wahrheitstafel nach, dass die Aussage (Β Λ Τ) äquivalent ist zu der Aussage „Das Buch ist ein Bestseller oder nicht zu teuer."

14^-L

A u f g a b e 1.2 Aus der Datenbank eines Versicherungsunternehmens sollen Kunden für eine Werbeaktion ausgewählt werden. Die Personen werden anhand der beim Versicherer bestehenden Versicherungsverträge bestimmt, wobei folgende Aussagen zur Auswahl herangezogen werden: Person besitzt eine 1С

Krankenversicherung

С

Lebensversicherung

Л

KFZ-Versicherung

Q

Gebäudeversicherung

Lösungen

M.12 D, denn (§) 2 = 16 und 16 - 15 = 1.

• Personenversicherung • Sachversicherung

Klausuraufgaben

9

(a) Stellen Sie folgende Aussagen als logische Verknüpfung der obigen Aussagen dar: (i) Person besitzt eine Personenversicherung, aber keine Sachversicherung. (ii) Person hat keinen der genannten Versicherungsverträge abgeschlossen. (iii) Person hat zwar eine KFZ-Versicherung, aber weder eine Lebens- noch eine Gebäudeversicherung abgeschlossen. (b) Weisen Sie mittels einer Wahrheitstafel nach, dass die Aussage £ V Q äquivalent ist zu der Aussage „Person hat keine Gebäudeversicherung, aber eine Lebensversicherung abgeschlossen". A u f g a b e 1 . 3 Unter Verwendung einer Internetsuchmaschine soll ein Preisvergleich für Mobilfunktelefone erstellt werden. Als Unterscheidungskriterien werden dabei folgende Aussagen verwendet: Mobilfunktelefon А

ist WAP-fähig

V

ist ein Dual-Band-Handy

С

hat eine Chat-Funktion

в

hat ein Gewicht von weniger als 100g

(a) Stellen Sie folgende Aussagen als logische Verknüpfung der obigen Aussagen dar: (i) Das Mobilfunktelefon ist WAP-fähig, ein Dual-Band-Handy und besitzt eine ChatPunktion. (ii) Das Mobilfunktelefon wiegt mindestens 100g und ist weder WAP-fähig noch ein Dual-Band-Handy. (iii) Das Mobilfunktelefon ist ein Dual-Band-Handy mit WAP-Punktion oder es wiegt weniger als 100g. (b) Geben Sie die folgenden Aussagen in verbaler Form an: (i) (ii)

AaQW CVA

(c) Weisen Sie unter Verwendung einer Wahrheitstafel nach, dass die Aussage Q Л ((? V V) äquivalent ist zu der Aussage „Das Mobilfunktelefon wiegt weniger als 100g und ist ein Dual-Band-Handy".

14^-L

1. Grundlagen

10 15^-L

A u f g a b e 1.4 Eine Gruppe von 100 Personen hat sich bei der IHK für ein Seminar über „Internationale Rechnungslegungssysteme" angemeldet. Im Vorfeld werden die Personen zu ihren Vorkenntnissen befragt:

Frage A: Präge B: Präge C:

Haben Sie Ein dem Seminar „Umstellung der Rechnungslegung auf IAS/IFRS" (kurz: Umst. der Rechnungsieg.) teilgenommen? Haben Sie das Buch „Rechnungslegung nach IAS, US-GAAP und HGB im Vergleich" (kurz: Rechnungsieg, im Vergl., Born & Karl, 2001) gelesen? Haben Sie das Buch „Internationale Grundsätze für Rechnungslegung und Prüfung" (kurz: Internat. Grundsätze, Kubin h Konrad, 2001) gelesen?

Die Personen werden aus Gründen des Datenschutzes mit den Zahlen 1 bis 100 (anonym) nummeriert. Für ein г 6 {1,..., 100} bezeichne А (г) die Aussage, dass Person г die Frage Α mit „ja" beantwortet hat. Entsprechend werden die Bezeichnungen ß(i) und C(i) verwendet. (a) Stellen Sie die folgenden Aussagen mit den Verknüpfungen der Aussagenlogik dar: (i) Person 1 hat am Seminar Umst. der Rechnungsieg, nicht teilgenommen, aber das Buch Rechnungsieg, im Vergl. gelesen. (ii) Person 27 hat alle Fragen mit „ja" beantwortet. (iii) Alle Personen, die Rechnungsieg, im Vergl. gelesen haben, haben auch Grundsätze gelesen.

Internat.

(b) Verbalisieren Sie folgende Aussagenverknüpfungen: (i) V i e {1,..., 100} : (ii) 3i e {1 (iii) 3i, je

A(i)=*B(i)

100} : B(i) л Щ {!,..., 100} mit г Φ j : ~Щ Л Ä(j)

(c) Weisen Sie mit Hilfe der Aussagenlogik nach, dass die Aussage Vi G{1,..., 100}:

A(i)VB(i)

äquivalent ist zur Aussage „Es gibt eine Person, die weder am Seminar Umst. der Rechnungsieg, teilgenommen hat noch das Buch Rechnungsieg, im Vergl. gelesen hat." 15^L

A u f g a b e 1.5 Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung in der Variablen χ e R \ { - 2 } an. ^ < | 3 x - 3 | + 3x

11

Klausuraufgaben

Aufgabe 1.6

16^L

(a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in der Variablen χ e R: (i) 2 z 3 — 5z 4- 3 = О (ii) у Д х ^ Ъ = 1 + s ß x ^ l (iii) log 2 (16) + log 3 (з(* 2 >) = 2x + 3 (b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Ungleichung \x - 1| > 3|z + 1| , X e R Geben Sie die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an. Aufgabe 1.7 (a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in der Variablen i e R : (i) x 3 + 2x2 = 3z (ii) \/3z — 3 + 1 = \/4x (iii) 4 log(z 3 ) + 3 log(z 4 ) - 6 log ( v ^ ) = 21 (b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x2 - |2x + 4| + 5 > 0 ,

xeR

Aufgabe 1.8

19^L

(a) Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in χ e R: (i) z 3 - 3z + 2 = 0 , (ii) e ^ e I + 1 = 1 ,

i e R

z>0

(iii) log 3 (3*) + log 3 ( 9 ( l 4 ) ) + log 3 (3) = 1 , ζ e R (b) Für welche ζ 6 R ist folgende Ungleichung erfüllt x2 - \x - 1| - 1 > 0 Geben Sie die Lösung in Intervallschreibweise an.

?

1. Grundlagen

12 20»-L

Aufgabe 1.9 (a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in der Variablen χ 6 К: (i) y/2x - 3 = 2 + Vx - 5 (ii) χ 3 + 2x 2 - χ - 2 = 0 (iii) ln(x 3 ) - ln(e 4 ) = 2 ln(x 2 ) - 2 ln(e 2 ) (b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Ungleichung - ± | < | x - l | + l,

Xe K \ {-2}

Geben Sie die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an.

22^L

Aufgabe 1.10 (a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in der Variablen i 6 R : (i) \/5ж = 1 + 2 y / χ ^ ϊ (ii) i ln(x) + ln(x 2 ) = log2(8) - log1Q(1000) (b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Ungleichung | x - 2 | < i ( x + l) ,

ieR

(i) grafisch, indem Sie die beiden Seiten der Ungleichung als Funktion von χ auffassen, die zugehörigen Grafen in einem geeigneten Koordinatensystem zeichnen und die Lösungsmenge ablesen. (ii) rechnerisch durch Umformen der Ungleichung. Geben Sie die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an.

23^-L

Aufgabe 1.11 (a) Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: (i) x2 + 4x + 3 = 0 , χ e R (ii) ln(|x|)e(* 3 >(x 2 -4) = 0 , x ^ O (iii) log2 (8*) + log3 (3) = 2x - 2 ,

ieE

(b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Ungleichung | x - l | > |x-2| + l , χ € R (i) grafisch, indem Sie die beiden Seiten der Ungleichung als Funktion von χ auffassen und die zugehörigen Grafen in einem geeigneten Koordinatensystem zeichnen. (ii) rechnerisch durch Umformen der Ungleichung. Geben Sie die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an.

Klausuraufgaben

13

Aufgabe 1.12 Bestimmen Sie die Menge aller i e l , für welche die folgende Ungleichung erklärt und richtig ist: 2x 2 + 6z > 11 . χ - 1+ x+ 3 Hinweis: Vereinfachen Sie zunächst den Term

24*L

2x2 + 6s x+ 3

Aufgabe 1.13 Hinweis: Dies ist eine vollständige Klausuraufgabe. Die letzte Teilaufgabe ist mit Mitteln aus Kapitel 3 und 4 zu lösen.

25*· L

(a) Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in der Variablen I G E : (i) x 3 - 4x 2 - χ + 4 = 0 (ii) у/Ъх - 11 = y/x + l (b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Ungleichung | x - 3 | < | ] x + l| ,

I i i

(c) Die Funktionen / , g : R —> R seien definiert durch f ( x ) = 1 + χ und g(x) = e 1 . (i) Zeichnen Sie die Punktionen in ein geeignetes Koordinatensystem unter Verwendung von e _ 1 « 0,37 und e 1 as 2,72. (ii) Begründen Sie, dass der Punkt (0,1) der einzige Schnittpunkt von / und g ist. Aufgabe 1.14 Aussage nach:

Aufgabe 1.15

Weisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die Gültigkeit der folgenden η 5 3 » - i ! = (n + l ) ! - l , i=l

2

(b)

neN

Weisen Sie für η G N die folgenden Formeln nach:

2 _ n(2n - l)(2n + 1) (a) l ' + 3 2 + ... + ( 2 n - l ) 2 =

itN)4N)N)

27*· L

27*· L

14

1. Grundlagen

Lösungen Lösung 1.1 (a)

(i) В AT (ii) К А В (iii) Β Α Τ

(b)

(i) Das Buch ist zu teuer oder kein Bestseller. (ii) Wenn das Buch ein Bestseller ist, dann ist es kein Roman.

(c) Die Aussage „Das Buch ist ein Bestseller oder nicht zu teuer." wird als Aussageverknüpfung geschrieben als ß V Τ . Damit gilt: Τ w

В w w f f

в

BAT

f w

f f w

f f w

f

V)

f

(BAT) w f w

f w

Τ

ΒΜΎ tu w

f w

f w

Da die grau hinterlegten Spalten übereinstimmen, sind die Aussagen äquivalent. Lösung 1.2 (a)

(i) (К. V C) Α ÄSTG oder (1С V С) А Л A Q (ii) T c V T v A v Q oder ТС А £ Α Ä A Q (iii) A A CVG

AAHAQ

oder

(b) Die Aussage „Person hat keine Gebäudeversicherung, aber eine Lebensversicherung abgeschlossen" wird als Aussageverknüpfung geschrieben als Q AC. Damit gilt: С w w f f

Q w f w f

С f f w w

cvg w f w w

g f w

gAC

f w f f

f w

f f

(суд)

f w

Da die grau hinterlegten Spalten übereinstimmen, sind die Aussagen äquivalent. Α

Lösung 1.3 (a)

(i)

AAVAC

(ii)

QAÄAV

(iii) (£> Л Д) V £

15

Lösungen

(b)

(i) Das Handy ist ein Dual-Band-Handy oder es ist nicht WAP-fahig oder wiegt nicht weniger als 100g. (ii) Das Handy hat keine Chat-Punktion und ist nicht WAP-fähig.

(c) Die Aussage „Das Mobilfunktelefon wiegt weniger als 100g und ist ein Dual-Band-Handy" wird als Aussageverknüpfung geschrieben als Q A T>. Damit gilt: g w w f J

V

g

V

(£vx>)

w

f f w w

f w

/

w

(j}yD) w

w w XU

f f f

f f f

f w f

ί w

{gvD)

дл

gt\v w f f f

Da die grau hinterlegten Spalten übereinstimmen, sind die Aussagen äquivalent. Lösung 1.4

(a)

ιο^Α

(i) ·4(1) Λ ß ( l ) (ii) Л ( 2 7 ) Л 0 ( 2 7 ) Л С ( 2 7 ) (iii) Vi e {1,...,100} : B{i) •• •C(i)

(b)

(i) Alle Personen, die am Seminar Umst. der Rechnungsieg, teilgenommen haben, haben auch das Buch Rechnungsieg, im Vergl. gelesen. (ii) Es gibt (mindestens) eine Person, die zwar das Buch Rechnungsieg, im Vergl., nicht aber das Buch Internat. Grundsätze gelesen hat. (iii) Es gibt (mindestens) zwei Personen, die nicht am Seminar Umst. der Rechnungsieg. teilgenommen haben.

(c) Mit den Regeln der Aussagenlogik erhält man Vi e {1,..., 100} : A ( i ) V B(i)

3t e {1, ...,100} : Л(г) V ß ( t ) 3i e {1,...,100} : Л ( 1 ) л Щ

Die letzte Zeile entspricht der verbalisierten Aussage „Es gibt eine Person, die weder am Seminar Umst. der Rechnungsieg, teilgenommen hat noch das Buch Rechnungsieg, im Vergl. gelesen hat." Lösung 1.5

Durch Kürzen und Ausklammern erhält man folgende äquivalente Ungleichung - 2

χ+2

< \x - 1| + x

Fallunterscheidung: • 1. Fall χ < - 2 : < \x - 1| + x

-2>{-{χ-ΐ)+χ)·{χ - 2

>

x+2

-4 > χ Somit ist Ci = ( - 0 0 , - 2 ) Π ( - o o , - 4 ] = ( - o o , -4].

+ 2)

1. Grundlagen

16 • 2. Fall - 2 < χ < 1: - 2

ж+ 2

< |x — 1| + χ

—2 < (—(χ — 1) + χ ) · (χ + 2) - 2 < (χ + 2) -4 < ж

Somit ist £ 2 = ( - 2 , 1 ) П [ - 4 , оо) = ( - 2 , 1 ) . • 3. Fall χ > 1: - 2

χ+ 2

< |х — 1| + χ

- 2 < ( ( χ - 1) + χ ) • ( χ + 2) —2 < (2χ — 1)(χ + 2) - 2 < 2χ 2 + 3χ - 2 0 < χ(2χ + 3)

Da in diesem Fall χ > 1, also insbesondere χ > 0 ist, gilt die Ungleichung genau dann, wenn 2x + 3 > 0, d.h. χ > - § ist. Somit ist £3 = [Ι,οο) Π [ - § , o o ) = [l,oo). Insgesamt resultiert die Lösungsmenge С = (—oo, —4] U (—2,1) U [1,00) = ( - 0 0 , —4] U (—2,00). n^A

Lösung 1 . 6 (a)

(i)

·

V = R

• Durch Einsetzen erhält man die Nullstelle χ = 1. Führt man die Polynomdivision durch, ergibt sich (

2x 3

- 5x + 3) : (x - 1) = 2 x 2 + 2x - 3

- 2 x 3 + 2x 2 2x 2 - 5x - 2x2 + 2x — 3x + 3 3x — 3 0 Nun klammert man den Faktor 2 aus. Die Gleichung χ 2 + χ — § = 0 löst man mit quadratischer Ergänzung und erhält (χ + |) 2 = § + | = so χ =

(ii)

al-

oder χ = — уЛу~1. Insgesamt ergibt sich die Lösungsmenge

· Es gilt: 2x - 5 > 0

χ > § sowie 3x - 1 > 0

x > 3· Somit ist

• Durch Quadrieren und Umformen der Gleichung erhält man V2x - 5 = 1 + V i x - 1

=>·

2x — 5 = 1 + 2 V 3 x - 1 + 3x - 1

=>

x 2 + Юх + 25 = 4(3x - 1)

- x - 5 = 2i/3x - 1

Lösungen

17 ж2 - 2x = -29 (ж - l) 2 = -28 Da Quadrate stets nicht-negativ sind, ist С = 0.

(iii)

· V = R, da 16 > 0 und З ^ > 0 für alle i e l . • Mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen ergibt sich log2(16)+ log3(3(a:2)) =2ж + 3

4 + ж2 = 2ж + 3 ж22 - 12ж + 1 = О ж=1

Also ist С = {1}. (b) Fallunterscheidung: • 1. Fall ж < -1: |ж — 1| > 3 |ж + 1| —(ж — 1) > 3(—ж — 1) -ж + 1 > -Зж - 3 2ж > - 4 ·«=>• ж > - 2 Somit ist £ ι = [-2,-1). • 2. Fall - 1 < ж < 1: |ж-1|>3|ж + 1|

-(ж - 1) > 3(ж + 1) -ж + 1 > Зж + 3 —4ж > 2 ж
1: |ж — 1| > 3 |ж + 1| ж — 1 > 3(ж + 1) ж - 1 > Зж + 3 •«=4· — 2ж > 4 ж < -2 Es folgt С 3 = 0. Insgesamt ergibt sich С = [-2, -1) U [-1, — U 0 = [-2,

18 ιι^Α

1. Grundlagen

Lösung 1.7 (a)

(i)

· 2? = R. • Durch Umformen der Gleichung erhält man z 3 + 2z 2 = 3z

(ii)

z(z 2 + 2x - 3) = 0

x(x-

l)(z + 3) = 0

Somit ist £ = {0,1,-3}. · Es gilt: 3z - 3 > 0 χ > 1 sowie 4x > 0 ·4=>· χ > 0. Also ist V = [1, oo). • Durch Quadrieren und Umformen der Gleichung erhält man \/3z - 3 + 1 = \J~4x ==>

3z - 3 + 2л/3ж - 3 + 1 = Αχ

«=>· 2\/3x - 3 = χ + 2 =>

4(3z - 3) = x2 + 4x + 4

x2 - 8z + 16 = 0 (z - 4)2 = 0 χ=4 Probe: > / 1 2 - 3 + 1 = 4 = >Дб. Also ist £ = {4}. (iii)

· Es muss gelten: ж3 > 0 Л ж4 > 0 Λ χ > 0. Somit ist V = (Ο,οο). • Anwendung der Rechenregeln für Logarithmen ergibt 4 log(z3) + 3 log(z4) - 6 log (v/z) = 2 1

21 log(z) = 21 •4=> log(z) = 1 χ = 10

Also ist £ = {10}. (b) Fallunterscheidung: • 1. Fall 2x + 4 > 0, d.h. χ > - 2 : χ2 - (2z + 4) + 5 = χ2 - 2x + 1 = (χ - l) 2 > 0 Diese Ungleichung wird von allen χ > —2 erfüllt. Somit ist L\ = [—2, oo). • 2. Fall 2x + 4 < 0, d.h. ζ < - 2 : ζ 2 + (2z + 4) + 5 = ζ 2 + 2z + 9 = (ζ + l) 2 + 8 > 0 Diese Ungleichung wird von allen ζ < —2 erfüllt. Somit ist £2 = (—00, —2). Insgesamt erhält man also £ = [—2,00) U (—00, —2) = K.

Lösungen

19

Lösung 1.8 (a)

u^A

(i) Eine Nullstelle ist χ = 1. Polynomdivision liefert (

x3 - 3x + 2) : (x - 1) = χ 2 + χ - 2 - x 3 +x2 x2 — x2

-

3x + χ

— 2x + 2

2x - 2 0 Man erhält mit quadratischer Ergänzung χ1 + χ - 2 = 0

+ \ = \ v *+5 = -3 x = 1 V I = —2

x

Somit ist die Lösungsmenge С = {—2,1}. (ii) Wegen e v ^ e I + 1 = e I + v ^ + 1 erhält man durch Logarithmieren der Gleichung die äquivalente Gleichung χ + y/x + 1 = 0. Substituiert man у = y/x, ergibt sich die quadratische Gleichung у2 + у + 1 = 0. Eine quadratische Ergänzung liefert (?/+|) 2 = ~~1 + 1 = ~ f· Diese Gleichung hat keine Lösung, da Quadrate stets nicht-negativ sind. Also ist С = 0. (iii) Mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen erhält man 1°ёз(З х ) + l°g 3 ( 9 ^ ) + log 3 (3) = 1

x + x4- 2 + 1 = 1 · χ (2x 3 + 1) = 0 ·

χ = О V 2x 3 + 1 = 0 I = 0VI =

Somit ist С = (b) Fallunterscheidung: • 1. Fall χ > 1: x2 -

\x -

1| -

1 > 0

0

«=>• χ2 - χ > 0 x ( x - l ) > 0

Die letzte Ungleichung ist erfüllt, da χ > 1 vorausgesetzt ist. Also ist C\ = [l,oo).

20

1. Grundlagen • 2. Fall χ < 1: χ 2 — |x—1| — 1 > 0

«==*• χ 2 + (χ — 1) — 1 > 0 χ2 + χ - 2 > О

^

{χ +

ιγ>2 + \

Χ+\>\

(=|)

ν х +

\ 1 V χ < -2 Da χ < 1 vorausgesetzt ist, ist die Ungleichung für χ < — 2 erfüllt. Somit ist £2 = (-oo,-2]. Insgesamt erhält man die Lösungsmenge £ = (—oo, —2] U [l,oo). 12^-A

Lösung 1 . 9 (a)

(i)

· Es gilt: 2 χ - 3 > 0 Λ χ - 5 > 0

χ > § Λ χ > 5. Also ist V = [5, oo).

• Durch Quadrieren und Umformen der Gleichung ergibt sich л/2х - 3 = 2 + Vx-5

2x - 3 = 4 + 4л/χ - 5 + χ - 5 χ — 2 = 4%/x — 5 ж2 - 4x + 4 = 16(x - 5) x 2 - 20x = - 8 4 (χ - 10) 2 = 16 χ - 10 = 4 V x - 10 = - 4 χ = 14 V χ = 6

Probe: s/2 · 6 - 3 = 3 = 2 + Also ist £ = {6,14}.

bzw. ч/2 • 14 - 3 = 5 = 2 + y/14 - 5.

• V = R. • Eine Nullstelle ist χ = 1. Polynomdivision liefert (

χ 3 + 2x 2 - χ - 2) : (χ - 1) = x 2 + 3x + 2 - x 3 + x2 3x 2 - x - 3x 2 + 3x 2x — 2 — 2x + 2 0

Nullsetzen des Restpolynoms x 2 + 3x + 2 = 0 liefert nach einer quadratischen Ergänzung die äquivalente Gleichung (x+|) 2 = - 2 + | = d.h. die Lösungen sind gegeben durch x = | —1 = —1 oder χ = — | — | = — 2. Die Lösungsmenge ist also С = { - 2 , - 1 , 1 } .

21

Lösungen (iii)

· Es muss gelten: ж3 > Ο Λ χ2 > 0. Also ist V = (0, oo). • Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhält man ln(x3) - ln(e4) = 2 In (ж2) - 21n(e2) «=>· 31п(ж) - 41п(ж) = 41n(e) - 41n(e) - 1п(ж) = 0 • χ = 1

Somit ist С. = {1}. ^ тг Ii ι ·ι f χ +2 0 ^

x

f χ — 1 < 0 χ < 1 und | ж - 1 > 0 ^ *>1 '

• 1. Fall χ < -2: ~12 (—χ + 1 + l)(x + 2)

x-t-2

-12 > 4 - x2 x2 > 16 \x\ >4

χ < -4 V χ > 4 Da χ < — 2 vorausgesetzt wird, ist C\ = (—oo, —4]. • 2. Fall - 2 < χ < 1: -12

x +2

1 erfüllt. Also ist £3 = [l,oo). Insgesamt ergibt sich also С = (—oo, —4] U (—2,1) U [1,00) = (—00, —4] U (—2,00).

22

12^-A

1. Grundlagen

Lösung 1.10 (a)

(i)

· Es muss gelten: χ > 0 und χ - 1 > 0. Also ist V = [1, oo). • Durch Quadrieren und Umformen der Gleichung ergibt sich VEx = 1 + 2y/x - 1

=>•

5x = 1 + W x - 1 + 4(x - 1)

χ + 3 = 4-v/x - 1

=>

(x + 3) 2 = 1 6 ( x - 1 ) χ 2 - Юх + 25 = 0 (ж - 5) 2 = 0 ж= 5

Probe: v ^ (ii)

= 5 = 1 + 2·

· Es muss χ > 0 und

χ2

Also ist С = { 5 } .

> 0 sein. Also ist V = (0, oo).

• Durch Anwenden der Logarithmenregeln erhält man I ln(x) + ln(x 2 ) = log 2 (8) — log10(1000)

(1 + 2) ln(s) = 3 - 3 •·

ln(x) = 0

·

χ = 1

Die Lösungsmenge ist £ = { 1 } . (b)

(i)

Damit die Ungleichung erfüllt ist, muss der Graf der Betragsfunktion / ( x ) = |x — 2| unterhalb der Geraden g(x) = A(x + 1) liegen. Dies ist auf dem Intervall zwischen den Schnittpunkten erfüllt. Somit liest man die Lösungsmenge С = [1,5] ab. (ii) Fallunterscheidung: • 1. Fall χ > 2: χ - 2 < f x + \ c=!> \χ < § •$=> χ < 5 Somit ist Ci = [2,5]. • 2. Fall χ < 2: - x + 2 < \x + \ «=>· § < § χ Somit ist C2 = [1,2). Insgesamt ist C. = [1,5].

1< χ

Lösungen

23

Lösung 1.11 (a)

(i) Wegen x 2 + 4x + 3 = (x + 1)(ж + 3) (Satz von Vieta) hat diese quadratische Gleichung die Lösungen —1 und —3, also ist £ = {—3, —1}. (ii) Da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, gilt ln(|x|)e ( : c 3 ) (x 2 -4) = 0

ln(|x|) = 0 V e ( * 3) = 0 V x 2 - 4 = 0 |ж| = 1 V x 2 = 4

I = 1Vi = - 1 V I = 2VI = -2 Dabei wurde benutzt, dass e4 φ 0 ist für alle t £ R. Somit erhält man die Lösungsmenge £ = { - 2 , - 1 , 1 , 2 } . (iii) Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhält man log 2 (8 :r ) 4- log3 ( З ^ 3 ' ) = 2a: — 2

χ • 3 + χ 3 · 1 = 2x - 2 χ3 +χ + 2 = 0

Da diese Gleichung für χ = — 1 erfüllt ist, erhält man durch Polynomdivision χ3

( —

χ

3

— χ·

+ χ + 2) : (χ + 1) = χ 2 - χ + 2

.2

—

x2

+χ

x2 + x

2x + 2 — 2x — 2

0 Führt man eine quadratische Ergänzung durch, erhält man ( x + ^ ) 2 = — 2 + 1 = — Da Quadrate stets nicht-negativ sind, hat die Gleichung keine weitere Lösung. Folglich ist С = { - 1 } . Ο»)

(i) У

I®-ΐ|

1

2

χ

1. Grundlagen

24

Damit die Ungleichung erfüllt ist, muss der Graf der Betragsfunktion f(x) oberhalb des Grafen von g(x)

= |x —1|

= \x — 2| + 1 liegen. Dies ist ab dem Schnittpunkt

erfüllt. Somit ist die Lösungsmenge С = [2, сю). (ii)

· 1. Fall χ < 1: -(χ — 1) > —(x — 2) + 1

—χ + 1 > —χ + 3 1 > 3

Dies ist nicht möglich, also ist C\ = 0. • 2. Fall 1 < χ < 2: χ — 1 > —{x — 2) + 1

χ — 1 > —χ + 3 2x > 4 χ > 2

Da χ < 2 vorausgesetzt ist, ist auch £ 2 = 0· • 3. Fall χ

>2: χ — 1 > χ — 1

χ — l > x —2+ 1

Da diese Ungleichung immer erfüllt ist, ist £ 3 = [2, oo]. Insgesamt erhält man С = [2,оо]. i3^A

Lösung 1 . 1 2 (i) Für ι € К gilt: |x + 3| = 0

χ + 3 = 0

χ = -3 .

Somit ist die Ungleichung erklärt für alle χ e T> = R\{—3}. (ii) Für χ € V gilt

2x2 + 62

2x(x + 3)

χ + 3

χ+ 3

Fall 1: χ > 0. Dann gilt χ - 1

χ - 1 +

2x 2 + 6x χ+ 3

> 11

Fall 2: χ < 0. Dann gilt χ - 1 +

χ - 1 +

2x 2 + 6x χ+ 3

> 11

2x 2 + 6x χ+ 3

= |2x| = 2|x|

=' χ — 1 + 2x = 3x — 1, sodass

3x - 1 > 11 2x + 6x χ+ 3

3x > 12

χ > 4

χ — 1 — 2x = — χ — 1, sodass

=> - χ - 1 > 11

- x > 12

χ < -12

Somit ist С = (—оо,—12] U [4,oo) = R \ (—12,4) die Lösungsmenge der Ungleichung. (Man beachte - 3 £ С .)

Lösungen

25

Lösung 1.13 (a)

(i)

i3^A · V = R. • 1. Variante: Offensichtlich ist χ = 1 eine Lösung. Durch Polynomdivision erhält man (

x3-4x2 - χ + 4) : (x - 1) = x2 - 3x - 4 3 2 —x +x -3x2 - x 3x2 - 3x — 4x + 4 4a; — 4

Mittels quadratischer Ergänzung folgt weiter (χ — |)2 = 4 + | = ψ, d.h. χ = I + I = 4 und χ = —| + f = —1 sind die weiteren Lösungen der Gleichung. Die Lösungsmenge ist also £ = { — 1,1,4}. 2. Variante: Durch Ausklammern erhält man x3 - 4.x2 - χ + 4 =

x2(x - 4) - (x - 4)

=

(x2 - l)(x - 4)

=

{x — l)(x + l)(x - 4)

Auch so ergibt sich die Lösungsmenge £ = {—1,1,4}. (ii)

· Es muss gelten: 3 x - 11 > ΟΛχ > 0

χ > ^ Λ ι > 0, also ist V = [ipoo).

• Durch Quadrieren und Umformen der Gleichung ergibt sich V3x - 11 = \[x + 1 = >

3x — 11 = χ 4- 2у/х + 1 2x - 12 = 2y/x \fx

χ — 6 =

=>

x2 - 12x + 36 = χ

x2 - 13x + 36 = 0

^

(χ-ψ)'

=

-3β+ψ

= 1ва=ш = й

x=| + f v x = -f + f χ = 9Vχ =4

Probe: V 3 - 4 - 11 = 1 φ 3 = \ ß + 1 bzw. л/3 · 9 - 11 = 4 = v/9 + 1. Somit ist £ = {9}. (b) Fallunterscheidung: • 1. Fall χ < -1: - ( x - 3 ) < 4 ( x + l)

«

|5

Somit ist £i = I

26

1. Grundlagen • 2. Fall - 1 < χ < 3: - ( * - 3 ) < ± ( * + 1)


3:

χ 0 für χ > 0 hat h an der Stelle χ = 0 ein lokales Minimum. Wegen lim h(x) = oo und lim h(x) = oo x—oo x—>oo liegt an der Stelle χ = 0 das globale Minimum von h. Somit gilt h(x) > h(0) = 0 für alle χ € R. Da h streng monoton ist für alle χ e R \ {0}, ist χ = 0 die einzige Nullstelle von h.

27

Lösungen

Lösung 1.14

13^A ι

•

I n d u k t i o n s a n f a n g η = 1: ^ г

· г! = 1 · 1! = 1 u n d ( 1 + 1 ) ! -

1 = 2 -

1 =

1.

г=1

η •

Induktionsvoraussetzung: Gelte ^

i • i\ = ( n + 1 ) ! — 1 f ü r e i n η £ N .

>=ι •

Induktionsschluss:

η

n+1 =

£ Υ ί !

i=1

+ ( η + 1 ) · ( η + 1)! = ( η + 1 ) ! - 1 + ( η +

1)·(η+1)!

i=l =

(η + 1)!(1+π + 1 ) - 1

= (η +

2 ) ! - 1

Lösung 1.15

,

(a)

13^-A

·

Z u zeigen ist 2 _ Д 2 г г=1

№

n(2n

l)2 = —

— l)(2n +1) ^ — — .

• 1. Variante: Mit

. den

„ r , Summenformeln

v ^ . > г

^ г=1

n(n —

=

(s. K C O , S. 4 5 u n d S. 5 3 ) e r h ä l t m a n

f > - l ) г=1

2

=

£ ( 4 г г = 171

2

+ 1 )

2

1

, und

•

2. Variante:

+

l)

6

- 4 г

+ η

1)

г=1

η г=1 η ( η + 1)

6

+

П

=

^ · (2η(η +1)(2η + 1 ) - 6 η ( η + 1 ) +

=

^ · (2η(η + 1)(2η + 1 ) - 3 η ( 2 ( η + 1 ) 3 > ν =2η+1

=

^ · η ( 2 η + 1 ) ( 2 ( η + 1) — 3) Ο

=

^ ·η(2η +

3η) 1)) '

1)(2η-1)

mit vollständiger Induktion

— I n d u k t i o n s a n f a n g η = 1: 1 = —

ra(n+l)(2n

=

direkt

ΐ=1

4

-2 г

г=1

η ( π + 1 ) ( 2 η + 1) =

>

1 1 - 3 — - —

Induktionsvoraussetzung: Gelte

-

l)2 =

n(2n -

l ) ( 2 n + 1) ffir

. e i n

n

e

N

.

1. Grundlagen

28 Induktionsschluss: 71+1

$ > n - l ) i=l

2

=

£(2n-l)

2

+ (2(n + l ) - l ) 2

i=l

1 (n(2n - 1)(2η + 1)) + (2η + l) 2 3 ' 1 - - ( 2 n + l ) - ( n ( 2 n - l ) + 3(2n + l)) О

= =

^ • (2n + 1) · (2n 2 + 5n + 3)

=

| · ( 2 ( η + 1 ) - 1 ) · ( η + 1 ) · ( 2 ( η + 1) + 1)

(b) Unter Verwendung der Formel aus (a) erhält man direkt 1 Л / 1\ V i i - i ' η Σ Ι ι - 2 ; г=1

4

2

ι

=

η / „ . ,ч 2 l A / 2 t - l \ s η Σ ( — J

7

χ

ι=1

=

1

7

η

г=1

1 τι(2η — 1)(2η + 1) 4η 3 1 ( 2 w - l ) ( 2 w + l) 3 ' 2-2

= гН)И)

2 Folgen und Reihen Checkliste Thema

KCO

Folgen

55

Eigenschaften von Folgen

58

Konvergenz von Folgen

59

Rechenregeln für konvergente Folgen

62

Reihen

67

Konvergenz von Reihen

68

Harmonische und geometrische Reihen

67

Grundformeln der Finanzmathematik

72

Bezeichnungen

72

Zinsrechnung

73

Tilgungsrechnung

75

29

©

• • • • • • • • • • •

©

• • • • • • • • • • •

©

• • • • • • • • • • •

30

2. Folgen und Reihen

Fragen zum Verständnis F . l Was ist eine Folge? F. 2 Wann heißt eine Folge konvergent? F.3 Wann ist eine Folge unbeschränkt, wann ist sie konvergent gegen unendlich? F.4 Geben Sie j e ein Beispiel einer nicht konstanten Folge ( а п ) п е щ an, für die gilt: (i) (ii) (iii)

lim a n = 0 71—»OO lim an = g mit g £ R \ { 0 } n—»oo lim an = oo π—»oo

(iv) ( a n ) n g N ist divergent. F.5 Geben Sie Beispiele für nicht konstante, konvergente Folgen (an)n an, sodass die Quotientenfolge ( 7 - ) \bnJn

und (bn)n

mit bn > 0

den Grenzwert 0, 1 bzw. 00 hat.

F.6 Geben Sie Beispiele für Nullfolgen an. F.7 Erläutern Sie die Nützlichkeit von Nullfolgen an den für η e N durch an = , и 2 - 2n + 4 -3η2 + 4 . bn = , cn = definierten folgen. n4 + 1 71 — η + 1

—n3 + 2 n 2 + 4 η* + η — 1

F.8 Eine Folge ( a n ) n habe den Grenzwert а € R . Unter welchen Bedingungen an ( a n ) n und с € R sind die Folgen (c · a n ) n , ( α 2 ) η , ((1η(α„)) 2 )„, ( e " 0 n ) n , ( c Q " ) n definiert? Was gilt unter diesen Voraussetzungen für deren Grenzwerte? F.9 Definieren Sie den Begriff „Reihe". F. 10 Was ist eine Partialsumme? F.11 Geben Sie ein Konvergenzkriterium für Reihen an. Lösungen F.l F.2 F.3 F.4

KCO, KCO, KCO, (i) an

S. S. S. =

56, Bezeichnungskasten. 60f., Bezeichnungskasten und Beispiele. 58, Bezeichnungskasten und anschließende Bemerkung. i (ii) o „ = 2i±i mit ρ = 1, (iii) an = n, (iv) an = ( - 1 ) " ; s.a. K C O , S. 60f.

F.5 Für an = 4 · , bn = £ gilt f ^ = £ — » 0 für η η —> oo; für an =

bn = Д? gilt ^

oo; für an = bn = £ gilt ^

= η — > oo für η —> oo.

F-6 ( ^ ) n e N mit к e N. F.7 K C O , S. 66f., Beispiele (analog zu rechnen). F.8 K C O , S. 62, Merkkasten. F.9 K C O , S. 67, Bezeichnungskasten. F. 10 K C O , S. 67, Bezeichnungskasten. F . l l Quotientenkriterium, s. K C O , S. 70, Merkkasten.

= 1 —> 1 für

31

Multiple Choice Fragen

F.12 Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Reihe, die gegen ein s e R bzw. gegen oo konvergiert. F. 13 Was ist eine geometrische Reihe, und wann konvergiert sie? Welchen Grenzwert hat sie in diesem Fall? F.14

(i) Wie lässt sich bei nachschüssigen Zahlungen und nachschüssiger Verzinsung das Kapital nach Ablauf von η Zeitintervallen berechnen? (ii) Benennen Sie die verwendeten Variablen. (iii) Wie vereinfacht sich die Formel, wenn die Zahlungen konstant sind?

F. 15 Was sind Annuitäten? F. 16 In welchem Zusammenhang stehen Tilgungen und Annuitäten? F. 17 Geben Sie die Formel zur Berechnung des Kapitals nach η Zeitintervallen bei vorschüssigen Zahlungen und nachschüssiger Verzinsung an.

Multiple Choice Fragen M.l Seien (an)n,

(bn)n und (cn)n Folgen reeller Zahlen mit lim an = a, lim bn = b, won—»oo

π—»oo

bei a,b € R u {oo}, und ( c n ) n sei beschränkt. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen falsch? (A) Ist a = 0, so gilt lim ( a n · bn) = 0. 71—* OO

(B) Ist α = 0, so gilt lim (a„ · c n ) = 0. n—»oo

©

Sind α, 6 φ oo, so gilt lim ( a n • bn) = a • b. n—»oo

(D) Sind α > 0 und 6 = oo, so gilt lim ( a n • bn) = oo. n—»oo

(E) Sind bn Φ 0 für alle η und о e R sowie b € R \ {0}, so ist lim ( ^ ) = γ. n->°° \ b ) b n Lösungen F.12 KCO, S. 71, Beispiele. F.13 KCO, S. 67 & 69, Bezeichnungskasten bzw. Beispiel. F. 14 KCO, S. 73, Merkkasten. F. 15 KCO, S. 75. F.16 KCO, S. 75ff. F. 17 KCO, S. 77, Merkkasten. M.l A, Gegenbeispiel: Für an = ^ 0 und bn = η oo gilt an • bn = 1 KCO, S. 62, Merkkasten, bzw. S. 65, Tabelle über Grenzwerte.

1 / 0 ; s.a.

2. Folgen und Reihen

32

M.2 Sei ( a n ) n eine Folge reeller Zahlen. Gegeben seien die Aussagen: (1) Ist ( a n ) n endlich konvergent, so ist (a„) n beschränkt. (2) Ist ( a n ) n nicht konvergent, so ist ( a n ) n unbeschränkt. (3) Ist ( a n ) n monoton, so ist ( a n ) n endlich konvergent. Welche dieser Antworten ist richtig? (A) (1), (2), (3) - alle Aussagen sind wahr. (B) (1) und (2) sind richtig, aber (3) ist falsch. ©

Nur (3) ist wahr.

©

Nur (1) ist wahr.

(Ё) Alle Aussagen sind falsch. M.3 Sei (a n ) n e f.j eine Folge reeller Zahlen. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? (A) (an)n

konstant

3q £ R Vn £ N : an = q

(B) (an)n

geometrisch

3q Ε R Vn € Ν : an φ О Λ

= q

©

(a„)n beschränkt

3? 6 Μ Vn ё Ν : |an| < q

®

(o n )n streng monoton wachsend

©

( a n ) n streng monoton fallend Vn € Ν : \an\ > |αη+ι|

Vn e Ν : a n < a n + i

M.4 Sei (o n )n6N 0 eine Folge reeller Zahlen. Gegeben seien folgende Aussagen (1) Vn e N 0 : an
0 Vn e N 0 : |αη| < Μ (4) Vn 6 No :

=

q

sowie die Begriffe (a) konstante Folge (b) geometrische Folge (c) beschränkte Folge (d) monoton wachsende Folge

Lösungen M.2 D, zu (1): s. KCO, S. 61, Merkkasten; zu (2): Gegenbeispiel an = ( - l ) n ; zu (3): Gegenbeispiel an = τι. M.3 E, vgl. KCO, S. 56 & 58, Bezeichnungskasten.

Multiple Choice Fragen

33

Welche der folgenden Kombinationen enthält ausschließlich richtige Paare? (A) 1-d, 2-a, 3-d (B) 1-е, 2-b, 4-b ©

1-b, 3-е, 4-a

©

2-е, 3-a, 4-d

©

2-a, 3-е, 4-b

M.5 Ordnen Sie die Begriffe (1) Anfangskapital (2) Aufzinsungsfaktor (3) Einzahlung zur Periode к (4) Kapital nach η Perioden den üblichen Bezeichnungen (a) (b) K 0 (c) K n (d) 4 zu. Welche der folgenden Antworten besteht ausschließlich aus falschen Paaren? ®

1-a, 2-d, 3-b, 4-c

(B) 1-b, 2-b, 3-d, 4-a ©

1-е, 2-a, 3-b, 4-d

®

1-d, 2-b, 3-a, 4-c

(E) 1-d, 2-е, 3-a, 4-b M.6 Welche der folgenden Formeln ist für die beschriebene Situation falsch? (A) Wird ein Kapital KQ π-mal mit einem Aufzinsungsfaktor q verzinst, so resultiert das Endkapital Kn = Ко • qn. (B) Werden ein Anfangskapital KQ und konstante nachschüssige Zahlungen Ζ über η Perioden mit einem Aufzinsungsfaktor q > 1 verzinst, so ergibt sich nach η Perioden das Kapital Kn = KQ • qn + nZ. (C) Werden ein Anfangskapital KQ und nachschüssige Zahlungen ΖK über η Perioden mit einem Aufzinsungsfaktor q verzinst, so erhält man nach η Perioden das Kapital η Kn

= Koq + J2 M - · k= 1 n

Z

n k

Lösungen

M.4 E, denn richtige Paare sind 1-d, 2-a, 3-е, 4-b; s.a. KCO, S. 56 & 58, Bezeichnungskästen. M.5 C, denn die richtigen Paare sind 1-b, 2-d, 3-a, 4-c (s. KCO, S. 72, Bezeichnungskasten).

34

2. Folgen und Reihen

@

Soll eine Schuld So durch nachschüssige konstante Annuitäten innerhalb von η Perioden abgetragen werden, so ist bei einem Aufzinsungsfaktor q die Annuität gegeben durch Ζ = So • 9 п ^ г г т ·

(Ε) Werden ein Anfangskapital Ко und konstante vorschüssige Zahlungen Ζ verzinst, so erhält man nach η Perioden das Kapital KN = Kq • qn + Zql^q , q > 1.

Klausuraufgaben 39^-L

Aufgabe 2.1 Folgen:

Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert für τι —> oo der durch an definierten

η — 1 (a) a n = —ζ—(η > 2) ηΔ — 1 (b)

39^L

αη

=

Aufgabe 2.2 Sind die gegebenen Folgen konvergent (für η —• оо)? Falls ja, bestimmen Sie den Grenzwert. (&)

=

{П

(b) „a n =

(c) an = 39^L

η2 (2η — I)2

-

3)

(-1Г"2 {η + l ) 2 [n + 2) 4n 2 - 2 η 2n — 1

Aufgabe 2.3 Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert für η —> oo der durch o n , η > 2, definierten Folgen:

.

(а) a n

=

η2 + 1 3n - 2n + 1

(b) a n

=

n+ 1 η2 - 1

Λ

2

(c) a n = e ( n + 1 ) / ( n 2 " 1 )

(Begründung!)

Lösungen М.б B, s. KCO, S. 73 & 77, Merkkästen, sowie Formel zur Tilgungsrechnung auf S. 75.

Klausuraufgaben

Aufgabe 2.4 Folgen: (a) a n =

(b) a n =

35

Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert für η —> oo der durch an definierten

2(n3 -n2

39^L

+ n)

n+ 1 II

(c) an = In Aufgabe 2.5 Folgen:

(Begründung!) Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert für η —» oo der durch an definierten

39^-L

—2n4 + n2 — 2 6n 4 - n 3 + 6 '

a

( ) (b) a n =

(η + l)(n — 2) r-—r-— , η > 3 - n J 4- n 2 + 4

Aufgabe 2.6

Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert lim an der Folge (a n ) n € N. n—»oo

40^-L

3n 2 + 7n3 - 4

, .

(b) a n = у/9η 2 - η + 5 - \/9n 2 + 4n - 7 , η e N „ 3n (c) a n = (l6c 2 ) B i r + 5 , n e N , Aufgabe 2.7

für с € R \ {0}

Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert lim a n der Folge (α η ) η6 Ν· 71—»OO

40^-L

, . n3 + 3 - 4 n 5 (a) an = — t = ,η6N V 2\/i?° +

(b) an = \l [1 +

5n2

4 V 3n)

Aufgabe 2.8 Untersuchen Sie jeweils die Folge (α η ) η€ Ν auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert lim an. π—»oo (&)

α

(b)

"

=

3n 2 — 5 2 + 9n 2 - Tsjn ' n

e

= (i^fs) 'n-6

(c) an = л/п2 + 3 n - 1 -

+ n+ 2 ,η e N

40>-L

2. Folgen und Reihen

36 41^-L

A u f g a b e 2.9

Untersuchen Sie jeweils die Folge (o n ) n e m auf Konvergenz, und bestimmen Sie

gegebenenfalls ihren Grenzwert lim an. 71—»OO

( τι

(a) an = ( —

1\

, η e N

J

n+2 / -|\ k—1 k—1 w 41^L

a

- = E u k=2 ^

Aufgabe 2.10

-n

e

Wenden Sie das Quotientenkriterium auf die folgenden Reihen (s n )neN an.

Welche Aussagen können Sie bezüglich der Konvergenz der Reihen treffen? . (a)

=

(b) » . = 42^L

Α fc2 - 1 L· - ö T " z fc=l

Σ Ϊ 3 k= 1

Aufgabe 2.11 23k + k\

(a) Berechnen Sie den Grenzwert fc=i " (b) Es sei sn = V k=i genz. 42^-L

1 2

. , . , — — , η 6 N . Untersuchen Sie die Reihe (s„) n eN auf Konver( fc + 2 )

Aufgabe 2.12

( - 5 ) f c + 1 + 3 kk\

(a) Berechnen Sie den Grenzwert k=0 n

(b) Es sei sn = У ^ f o 42^L

22kk\

(OJc\\ , 3 ( fc! )

5kk\

, η € N . Untersuchen Sie die Reihe (s n )n€N auf Konvergenz.

Aufgabe 2.13 n 1 η (a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion: V ^ — — — — = — — - , η e N . /Сук -f~ 1) τι Ή 1

OO (b) Berechnen Sie den Grenzwert

J ———— .

37

Klausuraufgaben

Aufgabe 2.14 Ein Kapital von 100000 € wird zu einem jährlichen Zinssatz von 10 % (nachschüssige Verzinsung) für die Dauer von drei Jahren angelegt, wobei die anfallenden Zinsen auf dem Konto verbleiben.

43^-L

(a) Wie hoch ist der Kontostand nach Ablauf von drei Jahren? (Geben Sie bitte den Zahlenwert an!) (b) Zusätzlich wird am Ende eines jeden der drei Jahre ein Betrag von 10000 € auf das Konto eingezahlt. Uber welches Kapital kann nach Ablauf von drei Jahren (und allen Zahlungsvorgängen) verfügt werden? (Auch hier bitte den Zahlenwert angeben!) (c) Begründen Sie das Ergebnis unter (b) mit einer allgemeinen Formel für die Verzinsung eines Kapitals KQ bei nachschüssigen Zahlungen Ζ (in jeweils derselben Höhe) und nachschüssiger Verzinsung. Aufgabe 2.15 Am Anfang dieses Jahres betrug der Kontostand von Frau Sparsam 25000 €. Sie plant, am Ende dieses Jahres und der nächsten Jahre jeweils 1000 € auf das Konto einzuzahlen. Die Zinsen werden ihrem Konto am Ende eines jeden Jahres gutgeschrieben. Der Zinssatz beträgt 3,3 % jährlich.

43^-L

(a) Über welchen Betrag kann Frau Sparsam am Ende des 10. Jahres (nach der Einzahlung) verfügen? (b) Nach wie vielen Jahren beträgt ihr Kontostand erstmals mehr als 62 000 €? Hinweis: Bitte beachten Sie, dass diese Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden soll. Geben Sie lediglich die Formeln an, und setzen Sie die Zahlenwerte ein. Aufgabe 2.16 Herr Schmidt möchte 100000 € über mehrere Jahre anlegen. Hierzu prüft er Angebote verschiedener Banken: • Seine Hausbank bietet ihm einen Sparbrief für die Dauer von sechs Jahren an, bei dem das Guthaben in der ersten vier Jahren jeweils mit 2,4 %, in den letzten beiden Jahren mit 5 % verzinst wird. Eine vorzeitige Kündigung ist zum Ablauf des vierten und fünften Jahres möglich. • Bei einer Direktbank gibt es auf einem Termingeldkonto 3,2 % Zinsen. Das Konto kann jährlich gekündigt werden. Bei beiden Angeboten wird nachschüssig verzinst. (a) Berechnen Sie für beide Angebote den Kontostand nach Ablauf von sechs Jahren. Welches Angebot bringt die höhere Rendite? (b) Welches Angebot ist bei Kündigung zum Ende des fünften Jahres besser? (c) Wie viele Jahre muss das Kapital bei der Direktbank angelegt werden, damit das auszuzahlende Kapital 110000 € übersteigt? ^(1 + Τ _£_•)« 100' 2,4% 3,2% 5,0%

1 2 3 1,024 1,049 1,074 1,032 1,065 1,099 1,050 1,103 1,158

4 5 6 1,100 1,126 1,153 1,134 1,171 1,208 1,216 1,276 1,340

44KL

2. Folgen und Reihen

38

45^L

Aufgabe 2.17 Zur Sicherung einer Zusatzrente zahlt Frau S. über einen Zeitraum von 25 Jahren am Ende eines jeden Jahres jeweils 3 000 € ein. (a) Welchen Betrag hat Frau S. nach Ablauf der 25 Jahre insgesamt angespart, wenn der jährliche Zinssatz in der Ansparphase 5 % beträgt? (b) Nach Ablauf der Ansparphase möchte Frau S. von dem angesparten Kapital 100000 € dazu verwenden, über einen Zeitraum von 20 Jahren eine jährliche nachschüssige Rente zu beziehen. Über welche jährliche Auszahlung kann sie jeweils verfügen, wenn der jährliche Zinssatz in der Rentenphase 4 % beträgt? (c) Für wie viele (volle) Jahre reichen 100000 € aus, wenn Frau S. hiervon bei gleichem Zinssatz wie in (b) jährlich nachschüssig jeweils 12 000 € beziehen möchte? Hinweis: Bitte beachten Sie, dass diese Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden soll. Geben Sie daher die gewünschten Formeln an, und formen Sie diese gemäß der Aufgabenstellung um. Setzen Sie ferner die Zahlenwerte ein.

46^L

Aufgabe 2.18 Herr M. nimmt einen Kredit in Höhe von 35 000 € zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % auf. Die Rückzahlung erfolgt innerhalb von sieben Jahren durch konstante, nachschüssige (jährliche) Tilgungen. Wie hoch sind die Annuitäten im dritten und im vierten Jahr des Rückzahlungszeitraums? Hinweis: Geben Sie zu dieser Aufgabe die ausgerechneten Ergebnisse an.

46^L

Aufgabe 2.19

Frau L. verfügt über ein Kapital von 60000 € .

(a) Auf welche Summe ist dieses Kapital bei einer vierteljährlichen Verzinsung von 1,5 % und Mitverzinsung der jeweils am Ende eines Quartals anfallenden Zinsen nach 8 Jahren angewachsen? (b) Frau L. legt ihr Kapital auf einem Sparkonto für die Dauer von 3 Jahren an und zahlt während dieser Zeit monatlich jeweils zu Monatsbeginn 200 € auf dieses Konto ein. Das jeweils vorhandene Kapital wird zu einem monatlichen Zinssatz von 0,004 vergütet. Über welche Summe kann FVau L. nach Ablauf der 3 Jahre verfügen? Hinweis: Bitte beachten Sie, dass diese Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden soll. Geben Sie daher die gewünschten Formeln an, und formen Sie diese gemäß der Aufgabenstellung um. Setzen Sie ferner die Zahlenwerte ein. 46^L

Aufgabe 2.20

(a) Ein Startkapital Ко, welches zu 6 % Zinsen pro Jahr angelegt wurde, ist nach 7 Jahren auf einen Betrag von 15 036,30 € angewachsen. Wie groß war das Startkapital KQ? (b) Welcher monatliche Zinssatz entspricht der jährlichen Verzinsung aus (а)? Hinweis: Bitte beachten Sie, dass diese Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden soll. Geben Sie daher die gewünschten Formeln an, und formen Sie diese gemäß der Aufgabenstellung um. S e t z e n Sie f e r n e r d i e Zahlenwerte ein.

Lösungen

39

Lösungen Lösung 2.1

34^ A n

1

1

/ \ ~ — = —— η0t··fur η -юо (a) an = -=—n i 1 = -—— (n + l)(n —1) n+1 —

4

4тг — 3n3 + 2n2 — η w 4 (4-f + £ - £ ) η2(2η-1)2

W

=

4

...

=

+

Lösung 2.2 2 n -41TT = lim (n-2)(w 2)- = ,.lim n + 2 = hm — "(1 + 1) ;Π— 7+—1* Ц-±L=\,1 (a) lim (η l ~2 r>n-»oo —»/-sr-. —Ι(η η—71 nil 7i(l — 2) — 2)2 n-»oo η /— 2η—tnn n-»oo —^ V ; Um ,(n \+ Jl)2, (n + 2)=rc-oo lim ,n3 +\ 4n J 2 + 5n +=2 limn-»oo (-1)"-^ n^oo n 3 (l + А^+

34*-A

öt +

, . ,.hm — 4n2-2n ,. 2n(2n — 1) ,. 2n „ (c) n—»oo 2n ——1 = hm n—»o— o 2n — 1= lim 71—»oo = oo Lösung 2.3

34»Ά

ί(aJϊ r +l _ V + _1 niiSo 3n2 - 2n + 1 ~ n1™ „2(3_2 + J j ) - 3 П+ 1 (b) τιhm = 1) lim —Ц0 »oo η —=1 limτι -—-^J—— »oo (n + l)(n — 7»—oo =71—1

(c) 71— lim = e° = 1 mit Regel (8) für Grenzwerte zusammengesetzter Folgen »OO (s. KCO, S. 62), da π—»lim oo П — L = 0 nach (b). Lösung 2.4 ( ϊ W

35^A

n3 r - r 3 n™ 2(n - n2 + n) "

"3|1 n (2 - a +

_ I -2

3

(b) n—»OO hm ^ t i „= um71—»OO [ l + A \) = l „+J0 = 1 (c) n-»oo hm In \( —η——J ) = ln(l) = 0 mit Regel (9) für Grenzwerte zusammengesetzter Folgen (s. KCO, S. 62), da = ι nach (b). n—»lim oo 71 Lösung 2.5 , . .. —2n4 + n2 — 2 -2 1 (a) lim — ;—— = τιhm —— г A

2. Folgen und Reihen

40

35^-A

Lösung 2.6 , ч lim V a = lim 7n3; + 3n2 — 4= l l m 7 + f ί -—^ = ö7 r (a) — n—»oо n 71—»oo —η / π—*oo 2 n5/ns l 2 (b) lim a n = lim n—»oo π—>00

(v^n 2 - η + 5 - \/9n2 + 4n - 7) ί\/9η 2 - η + 5 + л/9п2 + 4n - 7) -•— 2 \/9n2 - η + 5 + \/9n + 4n - 7 9n2 - η + 5 - (9n2 + 4n - 7) — . = hm \/9n2 — η + 5 + \/9n2 + 4n — 7

= lim

-5 + ¥

= lim

_ I

-5

(с) Es ist 16c2 > 0 für с e R\{0}. Mit lim „

3n

- 5 n + 12 £ + n ^ g + ± _ .7

+

5

„ = lim —^-г = l folgt

lim 3n I lim an = (I6c 2 )"-°° 6 n + s = (16c2)2 = 4|c| (s. KCO, S. 62, (8)) 35>-A

Lösung 2.7 / 4 ,· V -4n 5 + n 3 + 3 (a) lim an = lim ————^— = lim 4 5 2 ' n->oo

n^oo

2n + 5n

n-oo

+ ^ -4 " . n = — = -2

2+ Л TL0

(b) lima n = , / l i m f l + ^ = V 7 ?/ 3 = e2/3 71—»OO у η—»OO \ TT, /

°

(s. KCO, S. 62, (7))

(c) Es gilt: 2 + n3 + ( - 1 ) " > 2 + n 3 - l = n 3 + l > n 3 > 0 , η e N . 1 1 0 < «n = 2 „ +. n 3 +. ,(—l) 1V>n < ~ -nз3 , η 6 : 1 = > 0 = lim 0 < lim a n < lim = 0 (s. KCO, S. 62, (5)) 71—>00

=> 35KÄ

n—*oo

п—'ООП

lim a = 0 71—* OOn

Lösung 2.8 (a) a n =

„2(3_ 4 7) v 2 "

3 -n Л

=

2

7

, ηeN

3 1 lim o„ = - = -

/, \ n2-25 (n + 5 ) ( n - 5 ) (b) a n = —= = η - 5 , η > 6 ==> lim αη = oo η+5 η+5 71 >00 + 3η — 1 — α

у/я

+ η + 2) (Vn 2 + 3η - 1 + \/η 2 + η + 2) 2 2 + 3η - 1 + Vn + η + 1 " _ η 2 + 3η - 1 - (η %/η + η + 2) _ 2η - 3 \/η 2 + 3η - 1 + \/η 2 + η + 2 η _

2

Lösungen

41 2-· V ^ + T ^ + x A + i + l lim a П-.00

=

n

—r=

r=

, η

2

€ I

=

VI + v i

Lösung 2.9 (a) a

36^-A

"= (1 + ^) lim

n—»OO

a

2n=

+

e

η

= [ lim ( 1 + — )

n

\ 71—»OO \

(s. KCO, S. 62, (7))

7Ϊ j

(b) Mittels Verschiebung der Summationsgrenzen erhält man

k=2

fc=0

fc=0

Es folgt mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe (s. KCO, S. 69)

fc=0

k—0

3

Lösung 2.10

Зб^А η

= ^ ^ 1 . Zunächst gilt αϊ = 0. Mit sn = ^ a^ gilt für к > 2 fc=l

(a) Für к 6 N sei

2

α* ..

l(fc

(Jb + l) 2 - 1

1

ak+1

fc2

'

-

l)2-l 1 k + 2k 1 — = - lim — — — = - lim 2

+

Wegen lim - - — , „

1

1+ 1 1 —— — ^ < 1 konvergiert die Ρ

Reihe (s n )„ e N nach dem Quotientenkriterium. η

(b) Für к e N sei ak = p- • Mit s n = ^

a^ gilt für к > 1

k=l

£

dk

k3

Wegen lim к - »

k

3

+

3k

2

+

k3

1ШР

a.k+1

(k

+

k3 l )

3

1

lim 3k

+

l

fc-oo

k

1 +

I

+

£

3

+

3k2

+

3k

+

1

γ- = 1 kann über die Konvergenz +

J j

der Reihe (sn)neN mit dem Quotientenkriterium keine Aussage getroffen werden.

42 зб^А

2. Folgen und Reihen

Lösung 2.11

(a) Mittels Aufspaltung und Anwendung der Formeln für geometrische Reihen bzw. Exponentialreihen (s. KCO, S. 69 bzw. S. 71) erhält man

о

1 +

к + 1

(b) Setzt man ak =

2

„

>k

+ 2)

e N

>

so

2

4

+

Γ^ϊ

з

gilt

(k + 2)2 fc+s (fc + 2) _ (k + 2)(fc + 2) _ 1

ak+1

2k+6(k

a,k

+ 3)(k + 1)

2

~з

2(A + l ) ( * + 3)

(1 + f ) ( 1 + f ) *_«, 1

2 ' ( 1 + £)(! + §)

""""

2

e[o,i)

Mit dem Quotienten-Kriterium folgt hieraus die Konvergenz der Reihe (s n ) n 6 N· 36*-A

Lösung 2.12

(a) Mittels Aufspaltung und Anwendung der Formeln für geometrische Reihen bzw. Exponentialreihen (s. KCO, S. 69 bzw. S. 71) erhält man "

(_5) f c + 1 + 3fcfc!

L·

5k k\

fc=0

fc=0

Α

(_5)*+i

L·

5fcfc!

a-k+i

ak

(2fc)!

o k / ku , ' 22

3

(k\)

2^5fcfc!

L·

fc=0

ι

c

(b) Setzt man a k =

f V - V +

+ 2 - U J

fc=0

5

k=0

4

'

5

, к e N 0 , so gilt

(2(k + 1))! 3fc (fc!)2 (2k + 2)(2k + l)(2k)\(k\)2 2 3 +! ((fc + l)!) (2fc)! 3((fc + l)fc!) 2 (2fc)! 2(2fc + 1) 4k+ 2 > 1 4k + 2 > 3fc + 3 3(fc + l) 3fc + 3

2 (k + l)(2fc + l)(fc!) 2 3 (к + l ) 2 (it!)2

fc

fc

> 1

Somit konvergiert die Reihe (s n )neN nicht gegen eine reelle Zahl (s. KCO, S. 70, Bemerkung), sondern gegen oo. 36>A

Lösung 2.13

(a) Induktionsanfang (n = 1):

k=1k(k

+1)

1 · ( 1 + 1)

1+ 1

Induktionsvoraussetzung: Gelte die Gleichung für ein η € N. Induktionsschluss: n+1

1

ι

Σ t^k(k + l)

η

_ ^

t^k(k

1 + l)

1 Ind.^Vor. r, (n + l)(n + 2) (n + l)

(n + l ) ( n + 2)

Lösungen

43 n(n + 2) + l (n + l ) ( n + 2)

n(n + 1) + η + 1 (n + l)(n + 2)

n+1 n+ 2

n+1 (n + 1) + 1

Alternativ: Direkte Lösung (ohne Verwendung der vollständigen Induktion) 71 η π / Ί ι n+1 л n 1 V — i — = г - - — ) = Г - - У - = 1- — = — k{k + \) k+ lj к ^ к n + 1 n+ 1 κ—1 fc^l κ—1 fc—2 00

(b) Mit w(a) folgt: V y > 6

—

1 +

1 η = n _lim V — r = lim — = >0 ° J ^ ^ +1) »-»n+1

1 lim r = 1 n-»ool + i

Lösung 2.14

37^A

(a) Nach der Formel für nachschüssige Zahlungen (s. KCO, S. 73, Merkkasten; mit Zk = 0) erhält man

und

nachschüssige

Verzinsung

K3 = 100000 • 1, l 3 = 100000 · 1,331 = 133100 Der Kontostand beträgt also nach drei Jahren 133100 € . (b) Nach der o.g. Formel mit konstanten Zahlungen Ζ = 10 000 erhält man =-0,331 K3 = 100000 · 1, l 3 + 10000 ·

1

~

1,1

= 133100 + 33100 = 166200

=-0,1 Alternativ kann man das Endkapital auch direkt ausrechnen K3 = ((100000 1,1 + 10000) · 1,1 + 10000) 1,1 + 10000 Bei zusätzlichen jährlichen Zahlungen in Höhe von 10 000 € erhält man nach drei Jahren 166200 € . (c) Die allgemeine Formel lautet Kn = K0qn

+

1 - o" Z—21 -q

In (b) ist: Anfangskapital Ко = 100000, Aufzinsungsfaktor q = 1,1, konstante Einzahlung Ζ = 10000, Laufzeit η = 3 (Jahre), also K3 = 100000 · 1, l 3 + 10000 · Lösung 2.15

37^A

(a) Das Anfangskapital Ко = 25000 sowie die konstanten nachschüssigen Einzahlungen Ζ = 1000 werden über die Laufzeit von η = 10 zu ρ = 3,3 (d.h. q = 1 + = 1,033) verzinst. Das Endkapital berechnet sich aus der Formel (s. KCO, S. 73, Merkkasten) Kn = K0 • qn + Ζ •

1 - o" —5L

wie folgt 1 — 1 033 10 K10 = 25 000 · 1,033 10 + 1000 · - — i — — ( » 46 212,95[€]) 1 — 1,Uuü

44

2. Folgen und Reihen (b) Um die Laufzeit η zu ermitteln, nach der das Kapital Kn mindestens 62 000 € beträgt, löst man die obige Gleichung nach η auf K

n

= Ко • qn + Ζ ·

K

n

-

Äiv0

~ 1 - q

- ζ

= Küqn

1 — 0) Z =

1 / в l0S(9)

~

Zqn-Z

q —1

,

f

ζ

-Ko(q-l)qn

=

\

=

bg( ~

"

=

f( log(q)

1} )

Einsetzen von Ζ = -12000 [€], K0 = 100000 [€] und q = 1,04 ergibt:

П

_ ~

lo

6(-12000+100000.0,04) _ log(l,04) -

lQ

g( -sooo) _ logf^ 5) log(l,04) ~ log(l,04)

^

'

;

Rundet man die hierdurch erhaltene reelle Zahl auf die nächst größere natürliche Zahl auf (hier η = 11), resultiert die gesuchte Laufzeit (in vollen Jahren). Im letzten (11.) Jahr steht dann nur noch das Restkapital 1 04 10 — 1 Kw = 100000 ·1,04 ι υ + (-12000) j Q 4 _ 1 [€]

( « 3951,14[€])

als Auszahlung zur Verfügung. Bemerkung: Man beachte, dass mit Ζ = -12000 < 0 und Z+K0(q-\) = - 8 0 0 0 < 0 die für die obige Umformung erforderliche Voraussetzung erfüllt ist.

2. Folgen und Reihen

46

38^A

Lösung 2.18 Es bezeichnen η die Laufzeit des Kredits, г den Zinssatz, Sq die Anfangsschuld (Kreditsumme) sowie Sk die Restschuld nach Ablauf von к Jahren und Zk die Annuität im fc-ten Jahr für к 6 { 1 , . . . , η}. Dann erhält man anhand der Formeln für die Tilgungsrechnung mit konstanten Tilgungsbeträgen (vgl. KCO, S. 76, Fall 1) Zk=iSk-i

+ — , ke η

Hieraus folgt für к € {1,...

Zk

= i ( \ - — W \

η

J

{ l , . . . , n } und Sk = ( 1 - - ) S 0 , fee { Ο , . , . , η } \ п/

,n} = fin-i(fc-l)>)^ + ^

+ η

\

J η

= ^ ( l + »(n + l - i f c ) )

η

η

κ

'

Einsetzen von η = 7, г = 0,05 und So = 35 ООО [€] ergibt

38*-A

Z3 =

+ 0 , 0 5 - ( 8 - 3 ) ) = 5 0 0 0 - 1 , 2 5 = 6250 [€]

Z4 =

+ 0 , 0 5 - ( 8 - 4 ) ) = 5 0 0 0 - 1 , 2 = 6000 [€]

Lösung 2.19

(a) Auf den betrachteten Zeitraum von 8 Jahren entfallen 32 Quartale. Die Anwendung der Formel für nachschüssige konstante Zahlungen und nachschüssige Verzinsung (s. KCO, S. 73, Merkkasten) mit η = 32 (Quartalen), Aufzinsungsfaktor q = 1,015 (pro Quartal), Anfangskapital Ко = 60000 [€] sowie konstanten Zahlungen Ζ = 0 [€] ergibt dann K n = К о q n = 60000 · 1,015 32 [€] 96619,46[€]) (b) Im Unterschied zu (a) erfolgen nun vorschüssige monatliche Einzahlungen, und das jeweils vorhandene Kapital wird monatlich verzinst. Der betrachtete Zeitraum von 3 Jahren entspricht 36 Monaten. Unter Anwendung der Formel für vorschüssige konstante Zahlungen und nachschüssige Verzinsung (s. KCO, S. 77, Merkkasten) erhält man mit η = 36 [Monaten], Aufzinsungsfaktor q = 1,004 (pro Monat), Anfangskapital Ко = 60000 [€] sowie konstanten (vorschüssigen) Zahlungen Y = 200 [€] Kn = K0qn+Yq38^-A

on — 1 1 004 36 — 1 = 60000-1,004 36 +200 1 , 0 0 4 · - ^ — — — [€1 q— 1 0,004

( « 77031,68[€l)

Lösung 2.20 Diese Aufgabe lässt sich anhand der Formel für nachschüssige konstante Zahlungen und nachschüssige Verzinsung (s. KCO, S. 73, Merkkasten) lösen. (a) Um das gesuchte Anfangskapital zu ermitteln, löst man diese Formel nach Ко auf. Man erhält mit Ζ = 0 [€] Kn = K0qn

Μ

Ko =

% qn

Einsetzen von η = 7, q = 1,06 und Kn = 15036,30 [€] ergibt dann

Lösungen

47

(b) Es bezeichne IM den gesuchten monatlichen Zinssatz und ДМ = 1 + IM den zugehörigen monatlichen Aufzinsungsfaktor. Da beide Verzinsungen innerhalb eines Jahres dasselbe Endkapital Κχ ergeben sollen, erhält man aus der anfangs zitierten Formel mit q als jährlichem Aufzinsungsfaktor Ко ( l

+ IM) 12

— Ко q^M

= K\ = KQ

q1

(l +

IM)12

=

Q

Einsetzen von q = 1,06 ergibt den monatlichen Zinssatz iΜ = ' У М ) 6 - 1

(и 0,0049 = 0,49%)

tM = ^

- 1

3 Funktionen einer Variablen Checkliste

Thema

KCO

Einführung in die Begriffe

83

Funktion, Funktionswert, Argument, Definitionsbereich, Wertebereich, Graf

83

Verknüpfung von Funktionen, insbesondere Komposition

87

Nach oben oder unten beschränkte Funktion, monotone Funktion

89

Achsensymmetrie zur f(x)-Achse, trie zu (0,0)

89

Punktsymme-

Nullstelle, lokale oder globale Extremalstelle

89

Umkehrfunktion

92

Grenzwerte

93

Einseitige Grenzwerte und Konvergenz

95

Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten

98

Stetigkeit

99

Definition der Stetigkeit

99

Stetige Fortsetzung, stetig hebbare Lücke

100

Stetigkeit verketteter Funktionen

101

49

©

©

©

• • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • •

3. Funktionen einer Variablen

50

Thema

KCO

Minimum und Maximum stetiger Funktionen

102

Grundlegende Funktionen

102

Polynome

102

Gebrochen rationale Funktionen

104

Potenzfunktionen

106

Exponential- und Logarithmusfunktionen

106

©

©

©

• • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

Fragen zum Verständnis F.l Erläutern Sie die in der Notation / : D —> К auftretenden Symbole. F.2 Was ist der Graf einer Funktion? F.3 Geben Sie Beispiele für Punktionen einer Variablen an, die in den Wirtschaftswissenschaften zur Modellierung verwendet werden. F.4 Was versteht man unter der Komposition (Hintereinanderausführung) von Funktionen? Geben Sie ein Beispiel, und illustrieren Sie die Vorgehensweise durch eine Abbildung. F.5 Erklären Sie die Begriffe Nullstelle und j/-Achsenabschnitt einer Funktion. F.6 Definieren Sie den Begriff der Monotonie einer Funktion. F.7 Erklären Sie, was ein lokales Minimum ist. F.8 Wann heißen die Funktionen / : D —> W und g : W —> D Umkehrfunktionen zueinander? Was bedeutet das für die zugehörigen Grafen geometrisch? F.9 Erklären Sie den Unterschied zwischen 4 und

f~l.

Lösungen F.l F.2 F.3 F.4 F.5 F.6 F.7 F.8 F.9

KCO, KCO, KCO, KCO, KCO, KCO, KCO, KCO, KCO,

S. S. S. S. S. S. S. S. S.

83, Bezeichnungskasten. 83, Bezeichnungskasten. 84ff., Beispiele. 88, Bezeichnungskasten. 89 & 103, Bezeichnungskasten bzw. Text. 89, Bezeichnungskasten. 91, Bezeichnungskasten. 92, Bezeichnungskasten. 88, Merkkasten und S. 92, Bezeichnungskasten und Bemerkung.

Fragen zum Verständnis

51

F. 10 Was bedeutet die Aussage „a e R ist rechtsseitiger Grenzwert von / an der Stelle XQ "? F. 11 Wann heißt / an der Stelle x0 von links konvergent gegen +oo? F. 12 Was ist eine Unstetigkeitsstelle einer Funktion? Erläutern Sie dies sowohl formal über Grenzwerte als auch durch eine Skizze. F. 13 Gibt es unter Ihren Punktionsbeispielen aus Präge F.3 Punktionen mit einer Unstetigkeitsstelle? Falls nicht, überlegen Sie sich eine Funktion aus den Wirtschaftswissenschaften mit mindestens einer Unstetigkeitsstelle. F. 14 Welcher Begriff wird durch die Eigenschaft

lim f(x)

= f(x0)

für eine Punktion

f : D -» R mit x 0 € D С R definiert? F.15 Ist die Verknüpfung stetiger Punktionen mittels der Grundrechenarten wieder stetig? Überlegen Sie, ob ggf. zusätzliche Bedingungen (bei Quotienten) erforderlich sind, und geben Sie ein Beispiel für diese Situation an. F.16 Welche Zusammenhänge zwischen einer stetigen Funktion / : [α, b] —> R und ihren Extremwerten auf dem Intervall [α, 6] kennen Sie? F. 17 Geben Sie einige grundlegende Punktionen an. Erläutern Sie deren Eigenschaften auch anhand einer (qualitativen) Skizze. F.18 Was ist ein Polynom? F. 19 Welcher Zusammenhang besteht zwischen Logarithmus- und Exponentialfunktionen? F. 20 Was ist der Unterschied zwischen Potenz- und Exponentialfunktionen?

Lösungen

F.10 KCO, S. 95/96, Definition. F.ll KCO, S. 95/96, Definition. F.12 KCO, S. 99, Definition, bzw. S. 84 im Text. F.13 KCO, S. 85f., Beispiel. F.14 KCO, S. 100, Merkkasten. F.15 KCO, S. 101, Merkkasten und Beispiele, S. 102; beachten Sie, dass für Quotienten g(x) φ 0 gefordert werden muss. F.16 KCO, S. 102, Merkkasten. F.17 KCO, S. 102-109: Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen. F.18 KCO, S. 102. F.19 KCO, S. 108, Merkkasten. F.20 KCO, S. 106f., Bezeichnungskästen und Grafen.

52

3. Funktionen einer Variablen

Multiple Choice Fragen M.l Welche der folgenden Aussagen ist falsch? ®

Für jeden Wert im Definitionsbereich gibt es einen zugehörigen Wert im Wertebereich.

(§) Für jeden Funktionswert gibt es einen zugehörigen Wert im Definitionsbereich. ©

Die Funktionswerte sind stets Elemente des Wertebereichs.

(D) Der Graf einer Funktion ist Teilmenge des kartesischen Produkts des Definitionsund des Wertebereichs. (E) Der Graf einer Funktion ist Teilmenge ihres Definitionsbereiches. M.2 Welche der folgenden Bilder stellen Grafen von Funktionen mit der Zuordnung χ — ι > f(x) dar? (2) f(x)

(1)/(*)

(4) f(x)

(3) f(x)

(5) /(*)

LLLL ®

(1), (2) und (4).

®

(2), (4) und (5).

©

Alle außer (5).

®

Alle außer (3).

(E) Alle. M.3 Die Funktionen f , g , h : f(x)

. seien gegeben durch 1 3

= χ,

g(x)

=

x2 + l

,

h(x) = ex

Welche der folgenden Kompositionen ist richtig ausgeführt? ® ® ©

(/oft)(x)=e3* (hof)(x)=e3x (hog)(x)

=

e2x + 1

Lösungen M.l E, s. KCO, S. 83, Bezeichnungskasten. M.2 B, denn in (1) und (3) gibt es für einige χ £ D mehrere „Funktionswerte" (s.a. KCO, S. 83, Bezeichnungskasten). M.3 A, denn (hof)(x)

= e^3\ {hog)(x)=e^,

(f ° g)(x) =

Multiple Choice Fragen

53

M.4 Gegeben seien die Funktionen / , g, h, к, l: (Ο,οο) —» (Ο,οο) mit (1)

/(*)=x2

(2) g{x) = χ (3) h{x) =

^ß

(4) k(x) = ln(x + 1) (5) l(x) = i Welche Paare bestehen ausschließlich aus Umkehrfunktionen? ®

1-3,2-5

(B) 2-2, 3-5 ©

1-4, 2-5

®

2-5, 3-4

©

2-2, 5-5

M.5 Seien D С R, Μ e R und / : D

R eine Funktion.

(1) / ist beschränkt. (2) Μ ist obere Schranke von / . (3) / ist streng monoton wachsend auf D. (4) / ist ungerade. (5) / ist gerade. (a) Vx € D : f ( x ) = f ( - x ) (b) V i € ß :

f(x) < Μ

(c) Vx, у € D : χ < у =>

f(x)
R eine Punktion und x* € D. Welche der folgenden Definitionen ist falsch? (A) x* heißt globale Minimalstelle

f(x')

x* ist globale Minimal- oder Maximalstelle 3ε > 0 V i e ( i * - £ , i * + e ) n f l : f(x) V i € fl : f(x)

>


• 4a + 26 + с = 2

(II)

0 = /(4) = 4a + 6 + f

16a + 46 + c = 0

(III)

3a+ 6 = 2

(IV)

6a + 6 = - l

(V)

a + b+ c

>

(II)—(I) (III)—(II)

=>

12a + 26 = - 2

(V)-(IV)

3a = - 3

а = -1

Einsetzen von a = — 1 in (IV) ergibt —3 + 6 = 2 •• 6 = 5. Einsetzen von a = —1, 6 = 5 in (I) ergibt —1 + 5 + с = 0

с = —4.

Somit gilt f(x) = — χ + 5 — j , χ e (0, oo) . (Alternative:

Lösung des (linearen) Gleichungssystems mittels Gauß-Algorithmus'.)

(b) Unter Verwendung von (a) und der Voraussetzung χ > 0 gilt f(x)

>0

— χ + 5 — ^ >0 - x2 + 5x - 4 > 0 χ2 - 5x + 4 < 0 .5*+(§)21Λχ 0: f(x) = a;-21n(a;) = g(x)-h(x) mit g(x) = χ und h(x) = 21n(x). Somit erhält man durch Anwenden der Produktregel f'(x) = 1 • 21n(x) + χ • | = 21n(x) + 2 = In (x 2 ) + 2 . F.9 KCO, S. 127, Bezeichnungskasten. F.10 KCO, S. 127 & 129, Bezeichnungskästen.

4. Differentiation und Kurvendiskussion

68

F.11 Weisen Sie eine der Regeln für Elastizitätsfunktionen nach, z.B. e/. 9 = Cf + e g . F. 12 Welche Schritte gehören zu einer vollständigen Kurvendiskussion? Erläutern Sie die Bedeutung der Rechnungen für den Grafen der betrachteten Punktion. F. 13 Die Punktion / : I —» R sei auf dem offenen Intervall I zweimal differenzierbar. (i) Wann heißt / auf I (streng) monoton wachsend bzw. fallend? (ii) Was ist ein lokales Minimum von / ? (iii) Geben Sie hinreichende Kriterien für ein lokales Extremum von / im Punkt xo 6 1 an. F. 14 Geben Sie Anwendungsbeispiele aus den Wirtschaftswissenschaften an, bei denen (lokale oder globale) Minima bzw. Maxima von Interesse sind. F.15 Sei / : / —> R beliebig oft differenzierbar auf dem offenen Intervall I . Es gelte f'(xo) = С und f"(xо) = 0 im Punkt Xq € I. Wie lässt sich überprüfen, ob / in xq ein lokales Extremum hat? F. 16 Die Punktion / : / —» R sei auf dem offenen Intervall I zweimal differenzierbar. (i) Wann heißt / auf I (strikt) konvex bzw. konkav? (ii) Was ist ein Wendepunkt von / ? (iii) Wie lautet ein hinreichendes Kriterium für eine Wendestelle?

Multiple Choice Fragen M.l Seien / : R —» R und xo, xi e R mit iq / i i (1)

(2) (3)

lim № Χ->Ζ1 f(x) -

- /(xo) X — Xo /

Ы

X — Xo

Щи / ( * < > ) - / ( * )

x-txo

xo — X

(a) Differenzenquotient (b) Differentialquotient Lösungen F.11 KCO, S. 129f. F.12 KCO, S. 130-139. F.13 KCO, S. 89 bzw. S. 91, Bezeichnungskästen; KCO, S. 133-135, Merkkästen. F.14 z.B. Gewinnfunktion in Abhängigkeit vom Preis (s. KCO, S. 135f., Beispiel). F. 15 KCO, S. 137, Merkkasten. F.16 KCO, S. 137/138, Bezeichnungskästen & Merkkasten.

Multiple Choice Fragen

69

Welche Kombination enthält nur richtige Paare? ®

1-b, 2-a

(B) 1-b, 3-a ©

1-a, 2-b

©

2-b, 3-a

©

2-a, 3-b

M.2 Die Funktionen / , g : I —> R seien auf dem offenen Intervall I differenzierbar. Außerdem seien а, с e R. (1) h(x) = f(x)+g(x) (2) h(x) = f(x)

=>

+ с =>

=>

f'(x)+g'(x)

h'{x) = f'(x) + с

(3) h(x) = f(x) • g(x) => (4) h(x) = а • f(x)

h'(x) =

h'(x) = f'{x) • g'(x)

h'(x) = а • f'(x)

Welche der folgenden Antworten ist

richtig?

(A) Nur (1) ist richtig. (B) (1) und (4) sind richtig. ©

Nur (3) ist richtig.

(D) (2) u n d (3) sind richtig. ©

( l ) - ( 4 ) , also alle sind richtig.

M.3 Die Punktionen / , g : I —> R seien auf dem offenen Intervall I differenzierbar. Ferner seien а, с 6 R. Welche der folgenden Ableitungsregeln ist falsch? ®

h(x) = f(x) + g(x) =>· h'(x) =

®

h(x) = f(x) + с

©

h{x) = а • f(x)

®

h(x) = f{x) • g(x)

h'(x) = =ϊ

f'(x)+g'(x)

f'(x)

h'(x) = а • f'{x) h'(x) = f'(x)

• g(x) + f(x) • g'(x)

Lösungen M . l E, s. KCO, S. 112/113, Text u n d Bezeichnungskasten. M.2 B, s. KCO, S. 120ff. M.3 E, s. KCO, S. 120ff.

4. Differentiation und Kurvendiskussion

70 M.4 Gegeben seien die Grenzwerte (w1 )

lim

x^i

^ΞίΞΐ X- 1

(2) lim ζ 3 ·1η(χ) X—»oo (3) lim x 3 • ln(x) x—»0 (4) lim J x—>oo Xл Zur Berechnung welcher Grenzwerte lässt sich eine der Regeln von l'Hospital anwenden? ®

(1) und (2).

(§) (2) und (3). ©

(2) und (4).

©

(1), (3) und (4).

(E) (1)—(4), also in allen. M.5 Die Punktionen / , g : / —> R seien differenzierbar auf dem offenen Intervall I mit f(x) φ 0 und g(x) φ 0 für alle χ Ε I. Seien t j und eg die zugehörigen Elastizitätsfunktionen. Welche der folgenden Regeln ist richtig? ®

ef+g{x)

®

х

Ч+я( ) = e/(x) • tg{x)

©

ef.g(x) = ef(x) • g(x) + f(x) • eg{x)

®

e/.g(x) = tf{x) + tg{x)

©

= ef(x) + eg(x)

=

- ea(a:)

Lösungen

M.4 D, (1) lim {x · ln(x)) = 0 und lim (χ - 1) = 0, sodass lim x—»1 x—»1 x—»1

= lim x—»1

1

=

L

3

(2) Da die Terme x und ln(x) für χ —> oo gegen oo konvergieren, resultiert die Grenzwertaussage lim (x 3 · ln(x)) = oo. x—»oo

'

(3) Aus x 3 · ln(x) =

und den Grenzwerten lim ln(x) = —oo bzw. lim ^ 3

= oo folgt

1 x = lim —31 ^χ4 = - i 3 lim x = 0. lim Ш ' x—0 ~ / χ—»0 (4) Aus den Grenzwertaussagen lim e x = oo und lim x 2 = oo folgt durch zweimalige Anwenx—»oo x—»oo dung einer Regel von l'Hospital lim Jx j = lim I -i x = lim z = oo. x—»oo x—»OO x—»oo M.5 D, s. KCO, S. 129, Merkkasten.

Multiple Choice Fragen

71

Μ.6 Die Funktion f : I —> R sei auf dem offenen Intervall I zweimal differenzierbar, und sei Xo 6 I. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? ®

f ( x o ) = 0 ist notwendige Bedingung für ein lokales Extremum von / in XQ.

®

/'( x ο) = 0 ist hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum von f in XQ.

©

f'(xо)

= О Λ f"(xo) > 0 ist notwendige Bedingung für ein lokales Minimum von

/ in x0. ®

}'{xο) = 0 Λ /"(χо) < 0 ist hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum von f in

XQ.

(D f"(xо) = 0 und f'(xο) φ 0 sind Bedingungen für ein lokales Extremum von / in ζ0· Μ.7 Die Punktion / : I —> R sei auf dem offenen Intervall I zweimal differenzierbar. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? ®

Ist f'(x) > 0 für 1 6 / , so heißt / auf I streng monoton wachsend.

(B) Ist f"(x) > 0 für χ e I, so heißt / auf I monoton wachsend. ©

Ist f"(x) < 0 für χ e I, so heißt / auf I konkav.

©

Ist /'(ж) < 0 für χ Ε I, so heißt / auf I strikt konkav.

©

Ist f"{x) > 0 für χ € I, so heißt / auf I strikt konkav.

M.8 Welcher Graf passt zu einer Punktion / mit /(4) = 0, /'(4) < 0, / ( - 1 ) < 0, / ' ( - 1 ) > 0, /'(0) = 0 und /"(0) < 0?

Lösungen

M.6 D, s. KCO, S. 134/135, Merkkästen. M.7 C, KCO, S. 137, Bezeichnungskasten. M.8 B, denn wegen /'(0) = 0 und /"(0) < 0 muss / in χ = 0 ein lokales Maximum haben. Dies trifft nur für (В) ZU.

4. Differentiation und Kurvendiskussion

72

Klausuraufgaben 78^-L

A u f g a b e 4 . 1 Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Punktionen (Begründungen!), und vereinfachen Sie die Ergebnisse, wenn möglich. (a) / ( x ) = (x2 - l)(x2 + 1) für χ e R (b) f{x)=

fürxeR\{-l,l}

(c) f(x) = ln(x 2 + 1) für X e R 78^L

A u f g a b e 4.2 Berechnen Sie jeweils die erste und zweite Ableitung der gegebenen Funktionen. Begründen Sie Ihre Rechnung, und vereinfachen Sie, falls möglich. (a) f(x) = {x + 1)(ж - 2) 2 für χ € R (b) f(x)=*-Z±

fürxeR\{-l}

χ+I 79^-L

A u f g a b e 4.3

Ermitteln Sie folgende Grenzwerte. Begründen Sie Ihre Antwort!

χ 32 -+ 1x1 — χ 2x (a) x—>—i lim— X—> (b) 79KL

lim

ln(x 2 ) X*

A u f g a b e 4.4 (a) lim χ-Ί

Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Begründen Sie Ihre Antwort!

χ2 + χ - 2 X— 1

χ ln(x) (b) lim ι χ - 1 ln(z) (c) lim p i 2e-xl χ—>1 x — 79^-L

A u f g a b e 4.5

Ermitteln Sie folgende Grenzwerte. Begründen Sie Ihre Antwort! 2

x (a) lim 4 ' i - o ex - 1 x3 — 2x + 1 (b) hm — — — i->i ln(x) 80^L

A u f g a b e 4.6

Ermitteln Sie folgende Grenzwerte. Begründen Sie Ihre Antwort! 2

(a)

x lim χ—*oo x e x

(b)

lim

(* + i ) y )

73

Klausuraufgaben

Aufgabe 4.7 Ermitteln Sie die Grenzwerte unter Verwendung der Regeln von l'Hospital. Begründen Sie Ihre Antwort! x 5 - 2z 2 - 3x + 4 ( д а - 1 ) ( д + з)

. , W (b) v

80^-L

lim

' x-.i

x2 - e 1 - 1

(c) lim (x 2 ln(x 2 )) x—»0 Aufgabe 4.8 Betrachten Sie die durch g(x) = definierte Funktion g.

-ex auf dem Definitionsbereich Ό = (1, oo)

80^-L

(a) Bestimmen Sie das globale Minimum der zu g gehörenden Elastizitätsfunktion eg im angegebenen Definitionsbereich. (Begründung!) (b) Für welche Argumente χ > 1 zeigt die Funktion g ein elastisches Verhalten? (Begründung!) Aufgabe 4.9

Die Funktion / : R —> R sei definiert durch

8l^L

f{x) = a(x - b)c + 1, i e R mit Parametern α > 0, b e R und с > 1. Bestimmen Sie a, b und с so, dass (i) / in xo = 3 eine lokale Minimalstelle besitzt, (ii) die Tangente an die Kurve у = f ( x ) im Punkt (4, / ( 4 ) ) die Steigung 6 hat und (iii) die Kurve у = f ( x ) mit der z-Achse und den durch χ = 3 und χ = 4 gegebenen Geraden eine Fläche vom Inhalt 2 einschließt. Aufgabe 4.10

Untersuchen Sie die Funktion / , gegeben durch _. .

x2 — 9

auf die folgenden Eigenschaften: (a) den maximalen Definitionsbereich T> (Begründung!), (b) Verhalten im Unendlichen, (c) Nullstellen, (d) Monotonieverhalten, Hinweis: Zeigen Sie, dass / ' durch / ' ( x ) =

fca^a.

а; e 2?, gegeben ist.

(e) lokale Extrema, (f) Krümmungsverhalten (In welchen Intervallen ist / konvex bzw. konkav?),

82^L

4. Differentiation und Kurvendiskussion

74

(g) Wendestellen. (h) Vervollständigen Sie folgende Wertetabelle, und skizzieren Sie den Punktionsgrafen von / anhand der in (a)-(g) ermittelten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem. (Hinweis: ^ « 0 , 5 7 7 . )

-7

84^-L

Aufgabe 4.11

-3

-2

-1

0

1

2

3

7

Untersuchen Sie die Punktion / gegeben durch ,. . x2 + 2x + 1 f(x) = , X— 1

_ xeV

auf die folgenden Eigenschaften: (a) den maximalen Definitionsbereich "D (Begründung!), (b) Verhalten an der Definitionslücke, (c) Verhalten im Unendlichen, (d) Nullstellen, (e) Monotonieverhalten, Hinweis: Begründen Sie, dass / ' durch f'(x) =

, x & Ί>, gegeben ist.

(f) lokale Extrempunkte (Begründung!), (g) Krümmungsverhalten: In welchen Intervallen ist / konvex bzw. konkav? (h) Skizzieren Sie den Funktionsgrafen von / anhand der in (a)-(g) ermittelten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem. 86^L

Aufgabe 4.12

Für i e l \ { - 2 , 2 } sei die Punktion f gegeben durch

(a) Weisen Sie nach, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung ist. (Hinweis: Auch wenn Sie dies nicht tun, dürfen Sie es im Folgenden verwenden.) (b) Untersuchen Sie das Verhalten an den Definitionslücken. (Begründung!) (c) Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung von / , und vereinfachen Sie jeweils soweit möglich. (d) Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von / , und begründen Sie, ob / lokale Extrempunkte hat.

Klausuraufgaben

75

(e) Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten von / . Begründen Sie, dass / genau einen Wendepunkt hat. (f) Skizzieren Sie den Punktionsgrafen von / in einem geeigneten Koordinatensystem unter Verwendung der Informationen aus (a) bis (e) sowie der zusätzlichen Information lim f ( x ) = 0 £—•—00 Aufgabe 4.13

und X—KX> lim f ( x ) = 0

Bestimmen Sie für die Funktion / : V — • R, definiert durch

87^L

(a) sämtliche Nullstellen, (b) den Schnittpunkt des Grafen mit der y-Achse, (c) das Monotonieverhalten, (d) die lokalen Extrema, (e) die globalen Extrema im Intervall [3,5], (f) das asymptotische Verhalten, d.h. lim f(x),

x—oo

lim f(x), x—»—oo

lim

f(x),

lim

x—+—1+

x—>1+

lim f(x), χ—* — 1 —

fix)

lim f(x) x——

Skizzieren Sie anhand dieser Ergebnisse den Grafen der Funktion / in einem geeigneten Koordinatensystem. Aufgabe 4.14

89^ L

Die Punktion / sei gegeben durch f ( x ) = (

x > + 2x + l ) x e X > χ +1

χ ε

(a) Begründen Sie, dass / an der Stelle xo = —1 stetig fortsetzbar ist mit /(—1) = 0. Verwenden Sie im Folgenden diese Fortsetzung, und zeigen Sie f ( x ) = х ( ж + 1)е 1 , (b) Bestimmen Sie das Verhalten von / im Unendlichen. (c) Ermitteln Sie die Nullstellen von f . (d) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von / . Hinweis:

«1,1

(e) Ermitteln Sie die lokalen Extrema der Punktion / .

i 6 l

4. Differentiation und Kurvendiskussion

76

(f) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f . In welchen Intervallen ist / konvex bzw. konkav? (g) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an / im Nullpunkt (0,0). (h) Skizzieren Sie den Punktionsgrafen. 90^L

Aufgabe 4.15

Gegeben sei die durch

definierte Punktion f . (a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich V von / , und untersuchen Sie f auf Nullstellen. (b) Berechnen Sie die erste Ableitung von / . (Zu Ihrer Kontrolle: f'(x)

= ex • j^r^ji,

x € V.)

(c) Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von / . (d) Begründen Sie nur mittels des Monotonieverhaltens, ob f lokale Extrempunkte hat. (e) Untersuchen Sie das Verhalten von / im Unendlichen. (Begründung!) (f) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Tangente an f an der Stelle χ = 0 mit der x-Achse im Intervall [—1,0] einschließt. 92^L

Aufgabe 4.16

Gegeben sei die durch /(x) = — - e χ

1

,

xeO

definierte Punktion f mit erster und zweiter Ableitung /'(x) =

x2-x

χ

Δς

+ \

x

e ,

,„. , x3 - x2 + 2x - 2 / (x) = a X

3

ex,x€V

Untersuchen Sie die Punktion / auf die folgenden Eigenschaften: (a) den maximalen Definitionsbereich V, (b) das Verhalten an der Definitionslücke, (c) das Verhalten im Unendlichen, (d) Nullstellen, (e) Monotonieverhalten und lokale Extrempunkte, (f) Krümmungsverhalten und Wendepunkte. (g) Skizzieren Sie den Funktionsgrafen von / in einem geeigneten Koordinatensystem unter Verwendung der Informationen aus (a) bis (f).

Klausuraufgaben

77

Aufgabe 4.17 Untersuchen Sie die Punktion / , gegeben durch f(x) = 1п(х2 + 2ж + 2), χ £ V, auf die folgenden Eigenschaften:

93*-L

(a) maximalen Definitionsbereich T>, (b) Verhalten im Unendlichen, (c) Nullstellen, (d) die Vorzeichen der Punktionswerte außerhalb der Nullstellen, (e) Monotonieverhalten, Hinweis: Begründen Sie, dass / ' durch f'(x) = χϊ*2χ+2 ' x

e

gegeben ist.

(f) lokale und globale Extrema, (g) Krümmungsverhalten: In welchen Intervallen ist / konvex bzw. konkav? (h) Wendestellen. (i) Skizzieren Sie den Punktionsgrafen von / anhand der in (a)-(h) ermittelten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem. Aufgabe 4.18 Gegeben sei die durch f(x) = xki(x2), folgende Tabelle enthält einige Funktionswerte X 2

χ 1п(ж )

χ e V, definierte Punktion / . Die

0,25

е-1 «0,37

0,5

1,5

2

-0,69

-0,74

-0,69

1,22

2,77

(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich V von / , und zeigen Sie, dass / punktsymmetrisch zum Ursprung ist. (b) Untersuchen Sie das Verhalten von / an der Definitionslücke und im Unendlichen. Begründen Sie Ihre Antwort. (c) Untersuchen Sie / auf Nullstellen. (d) Berechnen Sie die erste Ableitung von / . (Zu Ihrer Kontrolle: f'(x) = 2 + ln(a:2), χ G V.) (e) Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von / , und bestimmen Sie mittels des Monotonieverhaltens die lokalen Extrempunkte von / . (f) Berechnen Sie die zweite Ableitung von f . Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten, und begründen Sie, ob / Wendepunkte hat. (g) Skizzieren Sie den Punktionsgrafen von / in einem geeigneten Koordinatensystem unter Verwendung der Informationen aus (a)-(f) sowie der zusätzlichen Information aus der obigen Wertetabelle.

95^L

4. Differentiation und Kurvendiskussion

78

Lösungen 72^A

Lösung 4 . 1 (a) Nach der dritten binomischen Formel gilt f(x) = χ — 1, sodass f'(x) = 4x • (b) Nach der dritten binomischen Formel gilt für den Zähler von f(x) (χ + 2)(x — 2) = x 2 — 4, sodass mit der Quotientenregel folgt . 2x(x2 - 1) - (χ2 - 4)2x rl. f (x) = 2 2 (χ

-

2x{x2 - 1 - x2 + 4) (χ2 - l)2

l)

Alternativ folgt aus f{x) = £ ^ = £ ^ 1 - ^ f'(x)

=

(с) Mit der Kettenregel erhält man f'(x) 72^ Α

=

6x (χ2

-

l)2

= 1 - 3(x2 - l ) " 1

= 1- ^

3) (—1) 2x (χ2 — l)-2

die Beziehung

= ( χ 2 - l) 2

2x x2 + l'

Lösung 4.2 (a) Ausmultiplizieren ergibt f(x) = (x 4- l)(x 2 — ix + 4) = x3 — 3x2 + 4. Somit erhält man f'(x) = 3x2 - 6z und f"(x) = 6x - 6 Alternativ folgt mit Produkt- und Kettenregel f'(x) = (x - 2) 2 + (x + 1) 2 (x - 2) = (x - 2)(x - 2 + 2x + 2) = 3x(x - 2) = 3x 2 - 6x (b) Mit der Quotientenregel ergibt sich

»,·

f{x)

=

f"(x)

=

,/ ν

Alternativ: Mit Jfix) V ; =

2x(x + 1) - (x 2 - 4) · 1 x 2 + 2x + 4 2 (x + 1) ~ (x + 1)2 (2x + 2)(x + l) 2 - (x 2 + 2x + 4) · 2(x + 1) (ΐ+1)3 2 2 2(x + l) - 2(x + 2x + 4) _ -6 (χ + l)3 (x + 1) 3

z2-4 x2-1 = x+1 x+1

/'W =

1

+ (x + 1)2

3 = χ —1 x+1 und

/J »v y=

3 ergibt sich 6 x+1

6 (x +~ 1)3

Lösungen

79

Lösung 4.3

72^A

(a) Da der Zähler und der Nenner an der Stelle χ = — 1 Null sind, ergibt sich mit den Regeln von l'Hospital lim χ

χ2 ~1 - lim 2x3 + χ2 - χ ~~ χ 6 x

2

2x _ -2 _ _2 + 2x - 1 _ 6 - 2 - 1 ~ _ 3

Alternativ: Man erhält mit der 3. binomischen Formel Polynomdivision 2x3

(

2x3

-

+ x2 -

-

x)

\ (x +

1) =

χ2

— 1=

2x2

-

(x

+ l)(x — 1) und mit

χ

2x2

0 Somit lässt sich der Faktor (χ + 1) kürzen, und es ergibt sich χ2

1

—

χ - 1

- 2

2x 3 + χ 2 — χ ~ * ™i x(2x - 1) ~ ( - 1 ) · ( - 3 ) ~

χ

2

3

(b) Da sowohl der Zähler als auch der Nenner von f(x) für χ —> oo gegen oo streben, erhält man mit Hilfe der Regeln von l'Hospital ln 2 ,· )= hm —(* χ4

x—»oo

,·hm

V

x—»oo 4х л

1 = νhm —-r = π0 x-+oo 2x

Lösung 4.4

72>A

(a) Da Zähler und Nenner eine Nullstelle in xq = 1 haben, ergibt sich mit Polynomdivision lim «->1

χ2 + χ — 2 — = lim (x + 2) = 3 X— 1 x->l

(b) Da der Zähler und der Nenner an der Stelle χ = 1 Null sind, erhält man mit den Regeln von l'Hospital und der Produktregel xln(x)1 ln(x) + l hm V = hm ——!• = 1 ζ—»l x — 1 χ—»l 1 (c) Da an der Stelle χ = 1 sowohl der Zähler als auch der Nenner Null sind, erhält man mit den Regeln von l'Hospital г hm

Ь(х)1' , 1 = hm £—^—r = x - 1 1 — 2x · ex 1

χ — x —e

1—-τ = - 1 1 - 2 · e°

Lösung 4.5

72^A

(a) Da für χ -+ 0 sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen Null konvergieren, erhält man mit Hilfe der Regeln von l'Hospital x2 2x 0 „ hm x = hm — = - = 0 x—»o e — 1 χ—»o e x 1 (b) Da Zähler und Nenner für χ —> 1 gegen Null streben, gilt mit den Regeln von l'Hospital lim χ->ι

χ 3 — 2x + 1 ,. 3x 2 — 2 .„ , „ . , —r^ = hm = = lim (3x - 2x) = 1 ln(x) χ—ι χ—ι

4. Differentiation und Kurvendiskussion

80 72^A

Lösung 4.6 (a) Zunächst gilt = ι e I \ {0}. Da für χ —» oo der Zähler und der Nenner gegen oo konvergieren, erhält man mit den Regeln von l'Hospital χ χ 1 lim = lim — = lim — = 0 X—»OO X eX X—*OQ 0х X—fOO ex (b) Zunächst egibt sich durch Kürzen = ^ M f ü r x e ( O l 0 o) \ {1}. Für χ —* 1 streben Zähler und Nenner gegen Null. Somit ergibt sich mit Hilfe der Regeln von l'Hospital (* + l ) l n W = l l m W x ) = U m i = 1 Ию »l χ1 — 1 χ—>i χ — 1 >i 1

73*-Α

Lösung 4.7 (a) Da der Zähler und der Nenner für ι -» 1 gegen Null konvergieren, erhält man mit den Regeln von l'Hospital x5 -2x2 - З х + 4 χ™ (χ 2 — 1)(ж + 3)

_

хь - 2x2 - Зх + 4 Ι™ χ3 + Зх 2 - χ - 3

_

5x4 - Αχ - 3 _ - 2 _ 1 Л ! Зх 2 + 6χ - 1 ~~ Τ ~ ~ 4

(b) Für χ —• 1 streben Zähler und Nenner gegen Null, somit ergibt sich mit Hilfe der Regeln von l'Hospital x + ln(x)-l 1+ i 2 lim — ;2 —x 1 , = lim —r = rr = 2 x-i x -e ~ χ—ι 2x-ex~1 2-е0 (c) Zunächst erhält man durch Umformen χ 2 ln(x 2 ) = . Dann konvergieren für χ —• 0 der Zähler gegen —oo und der Nenner gegen oo. Somit gilt nach den Regeln von l'Hospital lim M ^ l = i i m _ 1 Ц . = Um ( - x 2 ) = 0 73 k-Α

Lösung 4.8 (a) Zunächst wird die Elastizitätsfunktion eg für χ € V = (1, oo) mit der Produktregel sowie der Darstellung g(x) = (l — j ) e x bestimmt: us = g'(x)

X

1 ~ 1 e* χ + —e* χ = ( χ χ \

eg(x) - χ •

9 j ^ - xg(x)

χ1

x

~ x

l

1 χ = + — e* x j

-ex •

χ —1

-e

χ* x

-

χ — 1

Um das globale Minimum der Elastizitätsfunktion eg zu bestimmen, wird deren erste Ableitung mittels der Quotientenregel bestimmt , °

e (X)

_ {2x - l)(x - 1) - (χ2 - χ + 1) • 1 _ x2 - 2x _ x(x - 2) ~ (χ - l) 2 " (χ - l) 2 ~ (χ - l) 2 '

Χ β

Lösungen

81

Mögliche Extremalstellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Wegen 0 £ T> und 2 6 V ist χ = 2 der einzige Kandidat. Zur Überprüfung werden die Stellen χ = | und χ = I untersucht:

Somit hat eg an der Stelle χ = 2 ein lokales Minimum. Da eg monoton fallend auf (1,2) und monoton wachsend auf (2, oo) ist, liegt ein globales Minimum vor. (b) Da e9(2) = 4^"j"1 = 3 ist und nach (a) an der Stelle 2 ein globales Minimum vorliegt, folgt eg(x) > 3 > 1 für alle xeV Da also insbesondere eg positiv ist und damit |е9(ж)| = tg(x) gilt, ist g auf dem gesamten Definitionsbereich elastisch. Lösung 4.9

Aufgrund der Parameterbedingung с > 1 ist / auf ganz К differenzierbar mit f'(x) = ac(x - 6)c"\

ι ε ϊ

(#)

(i) Aus der notwendigen Bedingung für eine lokale Minimalstelle in XQ = 3 erhält man 0 = /'(3) = o c ( 3 - 6 ) c _ 1

(3 - b)«5-1 = 0

Ш

6= 3

(ii) Die Steigung der Tangente an die Kurve у = f(x) im Punkt (4,/(4)) ist gegeben durch /'(4). Man erhält daher 6 = /'(4) (=' ac(4 - 6) c _ 1

= 3 ac(4 - З)"" 1 = ас

und damit wegen с > 0 die Beziehung о = ®. (iii) Einsetzen von о = ® und b = 3 in die definierende Gleichung von / ergibt с fix) = - (x - 3)c + 1 , ж 6 К с Wegen с > 1 > 0 ist / ( χ ) > 1 > 0 für alle χ > 3. Die gesuchte Fläche liegt somit oberhalb der x-Achse. Wegen /•4 J

f(x)dx=-J

ρ4 (x-3)cdx

л4 +j

ldx = л

c(c + 1)

v( 1 - 0 )

'

+ 4-3 =

1=4 — (x-3)c+1 c+1 x=3

- + 1 c(c + 1)

folgt daher aus Bedingung (iii f{x) dx

2= — —+ 1 c(c+l) c(c + 1) = 6 (c-2)(c + 3 ) = 0

1=

c(c + 1)

с2 + с - 6 = 0 с = 2 V с = —3

Aufgrund der Bedingung с > 1 ist с = 2 die gesuchte Lösung. Aus dem Zusammenhang а = -с resultiert weiterhin α = 2I = 3.

73^-A

82

4. Differentiation und Kurvendiskussion

Insgesamt erhält man somit die Darstellung f{x) = 3 (ζ - 3) 2 + 1 , i e R Hieraus folgt (vgl. (*)) f'(x) = 6(x - 3) = 6z - 18, χ e R, sodass insbesondere f"(x) = 6, ι ε Ε . Wegen /"(3) = 6 > 0 besitzt / somit in xo = 3 (wie verlangt) eine lokale Minimalstelle. Die Tangentengleichung der Tangente im Punkt (4,/(4)) = (4,4) lautet T(z) = 4 + 6(z - 4) = 6z - 20,

73^ Α

i e ß

Lösung 4 . 1 0 (a) Es ist x2 + 1 > 1 für alle χ 6 Ε, da Quadrate stets nicht-negativ sind. Folglich ist der Nenner stets ungleich Null. Das bedeutet V — R. (b) Aus der Darstellung χ —9

1 -

erhält man sofort lim f(x) = ^ = 1 und lim f(x) = ^ = 1 x—*oo 1 x—»—OO 1 (c) Es ist f(x)=

О

ζ2-9 = 0

(χ — 3)(ζ + 3) = 0

ι = 3Vι = -3

Wegen 3 β V, - 3 е V sind χ = - 3 und χ = 3 die Nullstellen von f .

Lösungen

83

(d) Die Quotientenregel liefert für die erste Ableitung 2x(x2 + 1) - (s 2 - 9) · 2s (ϊ^Πρ =

f { x ) =

20x

Die einzige Nullstelle von f ist χ = 0. Da es keine Definitionslücken gibt und / ' stetig ist, kann sich nur dort das Monotonieverhalten ändern. Vorzeichentests an den Stellen χ = — 1 und χ = 1 ergeben —20 /'(—1) = —— = — 5 < 0 20 = 5 > 0 /'(1) = —

=>

/ monoton fallend auf (—oo,0)

==>

/ monoton wachsend auf (0, oo)

Alternativ kann die Ableitung aus der Darstellung x2 + l

.

10

,

=

10 TT'

=

_ x e V

bestimmt werden. (e) Aufgrund des Monotonieverhaltens und der Stetigkeit von / hat / ein lokales Minimum an der Stelle χ = 0 mit Wert /(0) = —9. (Dies ist sogar das globale Minimum.) (f) Mit der Quotientenregel erhält man die zweite Ableitung

f

{X

'

20(x2 + l) 2 - 20x • 4x(x2 + 1) _ 20(x2 + 1) - 80s 2 _ 20(-Зд 2 + 1) {χ2 +1)4 ~ {χ2 + 1 ) 3 ~ {χ2 + 1 ) 3

~

Nullstellen der zweiten Ableitung sind χ = — und χ = Da / " stetig auf R ist, genügt es auch hier, Vorzeichentests in den Intervallen (—oo, — -^g), (—^j, und (^g,oo) durchzuführen. -40 / " ( - i ) = —— = —5 < 0

=>

/"(0) = — = 20 > 0 => 1 /"(1) = — ^ = —5 < 0 ==>

/ konkav auf

Η-λ)

f konvex auf ( - - L · , Д = ) V v ^ VsJ / konkav auf Γ - ^ , ο ο ^

(g) Aufgrund des Krümmungsverhaltens hat / zwei Wendestellen in χ = —

und in χ =

(h) Wertetabelle und Graf von / ( / ist eine gerade Punktion): -7 0,8

-3 0

-2 -1

-1 -4

0 -9

1 -4

2 -1

3 0

7 0,8

.

4. Differentiation und Kurvendiskussion

84

74^-A

Lösung 4.11

Zunächst gilt f(x) =

(a) Wegen ж - 1 = 0

x2 + 2x + 1 (x + Ii2 — = -Ц χ— 1 χ — 1

xeV.

x = l folgt V = R \ {1}.

(b) Es gilt (alternativ direkt mit KCO, S. 105) lim

=

Um

χ— 1 lim

(х + i ) ! ж- 1

=

(l-* + l / 1 - h- 1

(i±4±i)! lim h—*o+ 1 + h - 1

=

lim

/г—»0+ =

lim

=

—h (2+4!

=

00

/1—»0+

(c) D a die Zählerpotenz größer ist als die Nennerpotenz, erhält m a n unter Berücksichtigung der Vorzeichen der Leitkoeffizienten in Zähler und Nenner 2 rlim i^1)2 л ,·lim ( S + 1 ) — = oo -oo χ — 1— = —oo u n d χ—•oo χ — 1

(d) Es ist f(x) von f .

= 0 (χ + l ) 2 = 0

χ = — 1. Somit ist χ = — 1 die einzige Nullstelle

(e) Mit der Quotientenregel erhält m a n 2(x + l ) ( x - 1) - (χ + l ) 2 · 1 _ (x + l ) ( 2 x - 2 - x - l ) /'(*) =

(χ — l ) 2

(x + l ) ( x - 3)

(χ - l ) 2

(χ — l ) 2

Somit ist f'(x)=

0

(z+l)(x-3) =0

ι = -1 Vi = 3

Aufgrund der Stetigkeit von / ' auf V erhält m a n folgende Monotonieintervalle

85

Lösungen

• Wegen /'(—2) = | > 0 ist / auf (—oo, —1) streng monoton wachsend. • Wegen /'(0) = —3 < 0 ist / auf ( - 1 , 1 ) streng monoton fallend. • Wegen /'(2) = —3 < 0 ist / auf (1,3) ebenfalls streng monoton fallend. • Wegen /'(4) = | > 0 ist / auf (3,oo) streng monoton wachsend. (f) Wegen des Monotonieverhaltens und der Stetigkeit von / auf V hat f ein lokales Maximum in χ = — 1 und außerdem ein lokales Minimum in a; = 3. (g) Nach der Quotientenregel gilt wegen (x + l)(a; — 3) = χ2 — 2x — 3 /"(*) =

(2x - 2)(x - l)2 - (χ2 - 2x - 3) · 2(x - 1) (χ - l) 4 2 2x - 4x + 2 - 2x2 + ix + 6 8 xeV (χ — l) 3 (а; — l ) 3 ' = " ^ i f f i 1 - ( x -i)ä

Alternativ: Für χ € V resultiert aus f'(x) = direkt die zweite Ableitung f"(x) = ·

= 1

~ (χ-i)1

Also ist f"(x) Φ 0 für alle χ € V. Das Krümmungsverhalten kann sich wegen der Stetigkeit von / " auf V also nur an der Definitionslücke ändern. • Wegen /"(0) = ^ = - 8 < 0 ist / auf (-oo, 1) konkav. • Wegen /"(2) = f = 8 > 0 ist / auf (1, oo) konvex. (h) Graf v o n / :

m 10-

8

4 -

2

-

1 2

4

6

χ

4. Differentiation und Kurvendiskussion

86 74^ Α

Lösung 4 . 1 2 (a) (b)

= - ( = Ϊ ) Ϊ Τ 4 = Ϊ Γ Γ 4 = №> lim

X — 2 -

=

{-2,2}.

χ —s = —oo, da für χ < —2 einerseits χ < 0 und andererseits x2 > 4 ist. X - 4 2

lim „ ^ , = +00, da für χ e (—2,0) einerseits ж < 0 und andererseits x 2 < 4 ist. Я—2+ хг - 4 Aufgrund der Punktsymmetrie gilt außerdem χ χ lim —z - = +00 sowie lim I-.2+ X 4 1—2- X - 4 2

2

(c) Mit der Quotientenregel erhält man , / ( X ,

_ 1 · (x 2 - 4) - χ ~ (x2-4)2

• 2 x

_ - x -4 ~(x2-4) 2

_

2 _

x +4 (x 2 — 4 ) 2 ' 2

X G

sowie weiter

/"(*)

=

(—2x)(x 2 - 4) 2 + (x 2 + 4) · 2(x 2 - 4)2x (x 2 - 4) 4 2 (—2x)(x - 4) + (x 2 + 4) · 4x (χ 2 - 4) 3 2x(—x + 4 + 2x 2 + 8) 2

(χ 2 - 4) 3 2x(x + 12) (χ 2 - 4) 3 2

(d) Wegen x 2 + 4 = Ο χ 2 = —4 hat / ' keine Nullstellen und / folglich keine lokalen Extremalstellen. Das Monotonieverhalten kann sich somit wegen der Stetigkeit von / ' auf V nur an den Definitionslücken xi = —2 und X2 = 2 ändern. Wegen x 2 + 4 > 0 und (χ 2 - 4) 2 > 0 für χ e V folgt f'(x)

= - ( * 2 2 + 4 4 ) 2 < 0 für alle χ e V

Somit ist f auf allen Teilintervallen von T> streng monoton fallend. (e) Die einzige Nullstelle von f" ist χ = 0, da x 2 + 12 keine Nullstelle hat. Somit sind wegen der Stetigkeit von / " auf V folgende Intervalle zu betrachten: • Auf dem Intervall ( - o o , - 2 ) ist f wegen / " ( - 3 ) = • Auf dem Intervall ( - 2 , 0 ) ist / wegen / " ( - 1 ) = • Auf dem Intervall (0,2) ist / wegen / " ( 1 ) = • Auf dem Intervall (2, oo) ist / wegen / " ( 3 ) = ЩР

= - y f f < 0 konkav. = ff > 0 konvex. = - Щ < 0 konkav. = i f f>

( A l t e r n a t i v kann man mit der Punktsymmetrie argumentieren.) Es folgt, dass f einen Wendepunkt in (0,0) hat.

0

konvex.

Lösungen

87

(f) Graf v o n / :

Lösung 4.13

75*Ά

(a) Für χ € V = R\{—1,1} gilt

f(x) =

=0

χ e {-2,2} .

Somit sind xi = —2 und xi = 2 die einzigen Nullstellen von / . (b) Mit /(0) = ζγ = 4 ist der Schnittpunkt des Grafen mit der y-Achse gegeben durch (0,/(0)) = (0,_4). (c) Ausmultiplizieren des Zählers ergibt für f die Darstellung „ . x2 — 4 χ2 — 1 — 3 , 3 / ( x = - j — - = — 5г — — = 1 - - 2j — x e V χ* — 1

х

χ

— 1

^

— 1

Hieraus folgt unter Anwendung der Quotientenregel für χ 6 Ρ

Л

)

(χ 2 — l ) 2

(χ2-!)2

> 0,

χ > 0

= 0,

χ =О

< 0,

χ —1+

Der Graf von / hat folgendes Aussehen.

№

lim fix) = oo, lim fix) = —oo x—»1— x—»1+

89

Lösungen

Lösung 4 . 1 4

75^A

(a) Zunächst ist festzustellen, dass f eine hebbare Lücke in χ = — 1 hat, denn χ 2 + 2x + 1 χ +

und

lim f(x)

1

, (χ + 1 ) 2 , , . , xex = 7 - · xex = (x + 1) - xex, χ + 1

, xeR\{-l}

lim (x + 1) · xex = 0. / lässt sich also mit der Setzung /(—1) = 0 x—* — 1 stetig fortsetzen zu f(x) = (x + l ) i - e I , i 6 l . x—» — 1

=

(b) Offensichtlich ist lim f(x) x—»oo

= oo.

Durch zweimaliges Anwenden der Regeln von l'Hospital erhält man χ 2 + χ 2 x + г ν hm ftt( x ^) = lim — - — = νhm x—00 χ—*—00 e x χ—>—00 —e

1

x

- -

2 νlim -3— = Vhm Ο2 eΧ x—>—oo e x x—00

=л0

(c) Da e 1 φ 0 für alle χ 6 R, gilt /(χ) = 0

(x

+ l)x = 0

χ =

-1 V χ = 0

Nullstellen von / sind also χ = — 1 und χ = 0. (d) Zunächst erhält man die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel f ( x ) = (2x + 1) e 1 + (x 2 + x ) e* = (x 2 + 3x + 1) e 1 ,

χ £ R

Die Nullstellen der Ableitung erhält man mittels quadratischer Ergänzung f'(x)

= 0

χ 2 + 3x + 1 = 0 (*+§)2 = - l + ? = t

• * = y f i - § * -о- 4

= - y / i -1 » - 2 . 6

Wegen der Stetigkeit von /' auf R ergeben sich folgende Monotonieintervalle: • Auf dem Intervall ( - 0 0 , - y ^ f - § ) ist / wegen / ' ( - 3 ) = ( 9 - 9 + l ) e ~ 3 = e~ 3 > 0 streng monoton steigend. • Auf dem Intervall

— §> \f\ ~

ist die Punktion / streng monoton fallend,

denn / ' ( - 1 ) = (1 - 3 + l ) e - 1 = - e " 1 < 0. • Auf dem Intervall ( ^ f - §, 0 0 ) ist / wegen /'(0) = (0 + 0 + l)e° = 1 > 0 streng monoton steigend. (e) Aufgrund des Monotonieverhaltens hat f ein lokales Maximum in χ = — ein lokales Minimum in χ =

• 32 .

— | sowie

4. Differentiation und Kurvendiskussion

90

( f ) Mittels der Produktregel erhält man die zweite Ableitung = (2s + 3) ex + ( χ 2 + 3s + 1) e* = {x2 + 5x + 4) ex,

f"(x)

χ e К

Mit Hilfe quadratischer Ergänzung berechnet man die Nullstellen von f" /"(x) = 0

x 2 + 5x + 4 = 0 ^

(x+l)2 = - 4 + f X= 2~ 2

—1

= l

V X = — 2 ~ 2 = ~~4

Folglich sind diese Intervalle zu betrachten: • Auf dem Intervall ( - o o , - 4 ) ist / wegen / " ( - 5 ) = (25 - 25 + 4) e " 5 = 4 e - 5 > 0 konvex. • Auf dem Intervall ( - 4 , - 1 ) ist / wegen / " ( - 2 ) = (4 - 10 + 4 ) e " 2 = - 2 e " 2 < 0 konkav. • Auf dem Intervall ( - 1 , oo) ist / wegen /"(0) = (0 + 0 + 4)e° = 4 > 0 konvex. (g) Die Steigung der Tangente an / im Punkt (0,0) ist der Wert der Ableitung an der Stelle χ = 0, also gleich /'(0) = 1 · e° = 1. Da die Tangentengleichung an der Stelle xo gegeben ist durch T(x)

= f'(xo)

· x + f(xo),

erhält man hier T(x)

= χ, χ e R, für die Tangente

an den Grafen von f im Punkt (0,0). (h) Graf v o n / :

76*· Α

Lösung 4.15 (a) Da x2 + 1 > 0 für alle χ e R, ist V = R. Da ex > 0 für alle i e R , hat / keine Nullstellen. (b) Mit der Quotientenregel berechnet man die erste Ableitung: ,, 1 (Ж)

_ ex(x2 + 1) — ex • 2x _ ex(x2-2x ~

(x2 + l) 2

~

(x 2 + l) 2

+ l) _ "

ex(x-l)2 + 1)2 '

X β

R

Lösungen

91

(c) Da e 1 > 0 für alle χ € R, ist χ = 1 die einzige Nullstelle von / ' . Folglich gibt es die Monotonieintervalle (—oo,l) und (l,oo). • Auf (—00,1) ist / wegen /'(0) = j = 1 > 0 streng monoton steigend. • Auf (1, oo) ist / wegen /'(2) =

> 0 ebenfalls streng monoton steigend.

(d) Aufgrund des Monotonieverhaltens hat die stetige Punktion / keine lokalen Extrema. (e) Für χ —» —oo konvergiert ex gegen Null und ebenfalls. Somit ist lim f(x) = 0. Für i - t o o streben Zähler und Nenner jeweils gegen oo. Durch zweimaliges Anwenden der Regeln von l'Hospital ergibt sich qX QX lim —r—- = lim — = lim — = oo χ—*oo X* -(- 1 x—>00 2x X—»OO 2 (f) Die Tangente an f an der Stelle χ = 0 hat die Steigung /'(0) = 1. Da außerdem /(0) = 1 ist, hat die Tangente die Gleichung T(x) = 1 + ζ, χ R. Die von der Tangente mit der x-Achse über [-1,0] eingeschlossene Fläche ist also ein Dreieck, dessen Grundseite und Höhe eine Längeneinheit betragen. Somit ist der Flächeninhalt Α = \ · 1 · 1 = | . T(x) /

-1

1 1 χ

Der Graf von / hat folgendes Aussehen (zur Information):

4. Differentiation und Kurvendiskussion

92

76^-A

Lösung 4.16 (a) Der maximale Definitionsbereich ist T> = R \ {0}. (b) Da χ - 1 < 0 für alle χ € ( - 1 , 1 ) \ {0} und lim e x = 1, folgt (vgl. KCO, S. 105) x—»0 lim χ—·0~ (c) Da

lim x—»+oo

x

=

x— 1 x χ— 1 x e = +oo und lim e = —oo X x—>0+ X

lim (1 - x±) = 1 bzw. lim χ—>+oo χ—•—oo

lim f(x) = X—* — oo

lim e 1 = 0 und x—*—oo

x

=

lim (1 - x±) = 1, ist χ—•—oo

lim f(x) = lim e x = oo x—»-(-oo x—» + 00

(d) Da e x Φ 0 für alle i e R , gilt f(x) = 0 Φ=> χ - 1 = 0

χ =1

Wegen 1 € V ist χ = 1 die einzige Nullstelle von / . (e) Es ist f'(x)

= 0

x2-x

+l =0 ^

(x - i ) 2 - - 1 + i

(= - f )

Da Quadrate stets nicht-negativ sind, hat / ' keine Nullstelle und damit f keinen lokalen Extrempunkt. Das Monotonieverhalten kann sich also nur an der Definitionslücke ändern. • Wegen /'(—1) = ι e _ 1 = 3 e _ 1 > 0 ist / auf (—oo,0) streng monoton wachsend. • Wegen /'(1) = j e 1 = e > 0 ist / auf (0, oo) ebenfalls streng monoton wachsend. (f) Es gilt f"{x)=

0

x3 — x2 + 2x — 2 = 0 · 0, ist / auf (-oo,0) konvex. - i + 1 - 2) ei = -9^/ё < 0, ist / auf (0,1) konkav.

• Da /"(2) = | ( 8 - 4 + 4 - 2) e2 = | e 2 > 0, ist / auf (1, oo) konvex. Da χ = 0 nicht im Definitionsbereich liegt, hat / lediglich einen Wendepunkt in (1,0).

Lösungen

93

(g) Graf von f:

Lösung 4 . 1 7 (a) Da das Argument des Logarithmus gleich (x + l) 2 + 1 > 0 ist, ist V = R. (b) Da der Term im Logarithmus für χ —> — oo und für χ —> +oo jeweils gegen oo konvergiert, gilt lim f(x) = lim fix) = oo. x—»+oo x—oo (c) Es ist f(x) = 0 χ = -1.

(χ + l) 2 + 1 = 1 ·Φ=> χ + 1 = 0, d.h. die einzige Nullstelle von / ist

(d) Aufgrund der strengen Monotonie der Logarithmusfunktion (s. KCO, S. 108) folgt für χ e R\{—1}: }{x) = ln(l + > ln(l) = 0 >o (e) Nach der Kettenregel ist die Ableitung von / gegeben durch „,. .

2x + 2

Einzige Nullstelle von /' ist demnach χ = — 1. Monotonieverhalten: • Wegen /'(—2) = 4~44"^22 = — 1 < 0 ist / auf dem Intervall (—oo, — 1) streng monoton fallend. • Wegen /'(0) = § = 1 > 0 ist / auf dem Intervall (—1, oo) streng monoton steigend.

4. Differentiation und Kurvendiskussion

94

(f) Folglich hat f ein lokales Minimum in (—1,0). Wegen des Verhaltens im Unendlichen und der Stetigkeit von / ist das in (e) ermittelte lokale Minimum das globale Minimum von f . Ein globales Maximum gibt es wegen (b) nicht. (g) Mit der Quotientenregel resultiert die zweite Ableitung

/"(*)

=

2{x2 + 2x + 2) - (2x + 2)(2ж + 2) {χ2 + 2x + 2) 2 2x2 + 4x + 4 - 4x2 - 8x - 4 _ (x2 + 2x + 2)2

2x2 + 4x _ {x2 + 2x + 2) 2

2x(x + 2)

( x 2 + 2x + 2}|2 '

Die Nullstellen von f" sind offensichtlich χ = — 2 und χ = 0. Krümmungs verhalten: • Da / " ( - 3 ) = (д-б+2)» = • Da / " ( - 1 ) =

(1

< 0, ist / auf dem Intervall ( - o o , - 2 ) konkav.

ZlX2)i = 2 > 0, ist / auf dem Intervall ( - 2 , 0 ) konvex.

• Da / " ( 1 ) = ^ 2 + 2 ) 3 = — ^ < 0, ist / auf dem Intervall (0, oo) konkav. (h) Aufgrund des Krümmungsverhaltens hat / Wendestellen in χ = — 2 und in χ = 0 (jeweils mit Funktionswert ln(2)). (i) Graf von / :

Τ 1

1

χ

Lösungen

95

Lösung 4 . 1 8

77^A

(a) Wegen x2 > 0 oo gilt, folgt lim v (x · ln(x 2 )) = oo. x—*oo ' Wegen der Punktsymmetrie ist folglich

lim (x • ln(x 2 )) = —oo. x—*—oo

(c) Für χ e T> gilt (beachte χ = 0 £ V) f(x) = 0

ln(x 2 ) = О

χ2 = 1 · χ = 1 V χ = - 1

Somit sind χ = — 1 und χ = 1 die einzigen Nullstellen von / . (d) Nach Produkt- und Kettenregel ist f'(x) = 1 • ln(x 2 ) + χ • jj§ = ln(x 2 ) + 2, χ e V. (e) Es gilt f(x)= 0

ln(x 2 ) = - 2

x2 = e - 2 χ = —e - 1 V x = e _ 1

Wegen der Stetigkeit von / ' auf (0, oo) kann sich das Monotonieverhalten von / nur bei χ = e _ 1 ändern. Es gilt: • Da / ' ( i e _ 1 ) = l n ( j e~ 2 ) + 2 = ln( j ) - 2 + 2 < ln(l) = 0, ist / streng monoton fallend auf (Ο,β" 1 ). • Da / ' ( 2 e _ 1 ) = l n ( 4 e - 2 ) + 2 = ln(4) - 2 + 2 > ln(l) = 0, ist / streng monoton steigend auf (e _ 1 ,oo). • Es folgt, dass f ein lokales Minimum in ( e _ 1 , —2e _ 1 ) hat. Aufgrund der Punktsymmetrie erhält man weiter • / ist monoton fallend auf (—e - 1 ,0). • / ist monoton steigend auf (—oo, — e _ 1 ) . • Es folgt, dass / ein lokales Maximum in ( — e - 1 , 2 e - 1 ) hat. (f) Nach der Kettenregel ist f"{x)

= Ц = X* X

^:,xeV

Folglich ist f"{x) > 0 für χ € (0, oo), d.h. die Funktion / ist konvex auf diesem Intervall, und f"{x) < 0 für χ € (—oo, 0), d.h. / ist konkav auf diesem Intervall. Da 0 £ V, hat / keine Wendepunkte. (Würde man / in 0 stetig fortsetzen, wäre (0,0) ein Wendepunkt, obwohl f dort nicht zweimal differenzierbar ist!)

4. Differentiation und Kurvendiskussion

96 (g) Graf von / :

5 Integration Checkliste Thema

KCO

Flächenberechnung

157

Bestimmung von Integralen

161

Regeln für bestimmte Integrale

165

Stammfunktion, unbestimmte Integrale

166

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

166

Partielle Integration

170

Substitutionsregel

171

Uneigentliche Integrale

173

©

©

©

• • • • • • • •

• • • • • • • •

• • • • • • • •

Fragen zum Verständnis F . l Was ist eine Zerlegung eines Intervalls? Geben Sie als Beispiel eine äquidistante Zerlegung von [0,1] in 5 Teilintervalle an. F.2 Was sind Ober- und Untersummen? Illustrieren Sie diese grafisch am Beispiel f(x) = x2 auf dem Intervall [—1,1]. F.3 Was bedeutet „(Riemann-)integrierbar"? Geben Sie Beispiele integrierbarer Punktionen an. Lösungen F . l KCO, S. 158, Beispiel: [0,1] = [0, U [I, §] U [f, f] U [f, f] U [§, 1]. F.2 KCO, S. 159. F.3 KCO, S. 161, Bezeichnungskasten, Beispiele: Polynome, Potenzfunktionen. 97

98

5. Integration

F.4 Wann ist der Wert eines bestimmten Integrals gleich dem Flächeninhalt der vom Grafen der Funktion, der ж-Achse und den durch die Integrationsgrenzen gegebenen Geraden eingeschlossenen Fläche? F.5 Geben Sie jeweils eine stetige Funktion / : [ - 1 , 1 ] - » R a n mit (i) j!_1f(x)dx> (ü) f l ι f(x)

0,

dx = 0 und f nicht konstant 0,

(iii) flj(x)dx