Prenos a rozvod elektrickej energie 8022721182, 9788022721189

Citation preview

Slovenská technická univerzita v Bratislave

PRENOS A ROZVOD ELEKTRICKEJ ENERGIE Daniela Reváková – Anton Beláň – Žaneta Eleschová

Bratislava

2004

PREDSLOV Predložený učebný text si kladie za cieľ oboznámiť poslucháčov s problematikou prenosu a rozvodu elektrickej energie. Sú tu rozobrané vzťahy medzi energetickou, elektroenergetickou sústavou, popísané elektrické parametre prvkov elektrizačnej sústavy s ich náhradnými schémami a zostavenie náhradných schém rozvodných, resp. prenosových sietí. Odvodené sú tiež napäťové, prúdové a výkonové pomery v elektrických sieťach všetkých napäťových úrovní s riešením ustáleného chodu daných sietí. Učebný

text

je

určený

pre

poslucháčov

bakalárskeho

štúdia

odboru

Elektroenergetické a silnoprúdové inžinierstvo, konaného dištančnou i prezenčnou formou štúdia. Je určený tiež pre poslucháčov bakalárskeho štúdia študijného programu Elektrotechnika. Pri štúdiu učebného textu „Prenos a rozvod elektrickej energie“ Vám želajú príjemnú pohodu a veľa nových poznatkov autori

Bratislava, 2004

OBSAH PREDSLOV

3

1 ENERGIA, ENERGETIKA, ELEKTRIZAČNÁ SÚSTAVA

6

1.1 Z histórie elektroenergetiky

6

1.2 Energia, prvotné a druhotné zdroje energie

8

1.3 Elektrizačná sústava SR, medzinárodná spolupráca

11

1.4 Základné pojmy elektroenergetiky, diagramy zaťaženia

18

1.5 Terminológia

21

1.6 Zhrnutie

24

1.7 Otázky a úlohy

24

2 ELEKTRICKÉ PARAMETRE A NÁHRADNÉ SCHÉMY PRVKOV ELEKTRIZAČNEJ SÚSTAVY 25 2.1 Úvod

25

2.2 Synchrónne stroje

29

2.3 Transformátory

32

2.4 Záťaže

42

2.5 Vonkajšie vedenia

50

2.6 Káblové vedenia

87

2.7 Tlmivky

93

2.8 Kondenzátory

96

2.9 Zhrnutie

98

2.10 Otázky a úlohy

99

3 RIEŠENIE VVN A ZVN VEDENÍ

100

3.1 Úvod

100

3.2 Homogénne vedenia

101

3.3 Náhrada vedení pomocou štvorpólov

116

3.4 Prenosová schopnosť vedení a kompenzácia ich elektrických parametrov 132 3.5 Zhrnutie

141

3.6 Otázky a úlohy

142

4 RIEŠENIE VN A NN SIETÍ

144

4.1 Úvod

144

4.2 Jednosmerné vedenie napájané z jednej strany

147

4.3 Jednofázové vedenie napájané z jednej strany

148

4.4 Trojfázové vedenie napájané z jednej strany

149

4.5 Trojfázové vedenie napájané z dvoch strán

152

4.6 Riešenie trojfázového vedenia napájaného z jednej strany Gaussovou iteračnou metódou

158

4.7 Kompenzácia účinníka cosj

164

4.8 Zhrnutie

169

4.9 Otázky a úlohy

170

5 RIEŠENIE ZAUZLENÝCH SIETÍ

171

5.1 Úvod

171

5.2 Metóda uzlových napätí

172

5.3 Riešenie nelineárneho modelu siete

179

5.4 Zhrnutie

190

5.5 Otázky a úlohy

191

LITERATÚRA

192

1 Energia, energetika, elektrizačná sústava V úvodnej časti je popísaný rozvoj elektroenergetiky na Slovensku a sú rozobrané princípy jednotlivých energetických procesov a ich premien. Po preštudovaní by ste mali získať vedomosti: •

o prvotných a druhotných zdrojoch energie,

•

o elektrizačnej sústave SR a jej medzinárodnej spolupráci,

•

o základných pojmoch z elektroenergetiky, včítane diagramov zaťaženia.

1.1 Z histórie elektroenergetiky Najstaršie údaje o výrobe a spotrebe elektrickej energie na území Slovenska sú z roku 1913. V tomto roku bola celková spotreba 91,6 MWh, z čoho vyrobili verejné elektrárne 87,5% a závodné elektrárne 12,5%. Spotreba na obyvateľa za rok bola 30,9 kWh. Predaj elektrickej energie do roku 1918 sa realizoval lokálnymi výrobňami na základe licencie. V roku 1919 bol prijatý zákon o štátnej podpore pri započatí systematickej elektrifikácie, známy ako prvý elektrizačný zákon. Pre úspešný rozvoj plošnej elektrifikácie a na vytvorenie predpokladov na postupné budovanie jednotnej prenosovej a rozvodnej sústavy Ministerstvo verejných prác vydalo normy pre trojfázovú prúdovú sústavu s frekvenciou 50 Hz a jednotné napätia. Hladina napätia pre trojfázovú prúdovú sústavu z roku 1920 nízke napätie 380/220 V vysoké napätie 22 kV veľmi vysoké napätie 100 kV generátorové napätie 6 kV (5,25 kV v Bratislave) Prvým regionálnym elektrárenským podnikom boli Stredoslovenské elektrárne, úč. spol., v Banskej Bystrici, založené v roku 1920.

Energia, energetika, elektrizačná sústava Od roku 1929 pôsobilo na Slovenku 5 tzv. všeužitočných elektrárenských podnikov, ktoré sa v roku 1942 spojili do jedného s názvom Slovenské elektrárne, úč. spol. Bratislava. V oblasti zdrojov elektrickej energie v rokoch 1919 – 1945 fungovalo približne 100 malých vodných elektrární s celkovým inštalovaným výkonom 22 MW. Po roku 1945 najvýznamnejším vodným dielom bola vážska kaskáda, zahrňujúca 23 elektrární. Okrem toho v období 1953 – 1982 boli vybudované prečerpávacie vodné elektrárne Dobšiná, Liptovská Mara, Ružín a najvýznamnejšia Čierny Váh. Ďalšie významné dielo Gabčíkovo s inštalovaným výkonom 8x90 MW bolo dané do skúšobnej prevádzky v roku1992. Prvé tepelné elektrárne na Slovensku sa začali budovať začiatkom 20. storočia. Z významnejších možno spomenúť elektráreň Handlová 2x500 kW (1911–1913), Bratislava II. 3,2 MW (1917), Košice 1750 kVA (1900), Krompachy 2x7500 kVA (1938), Pôtor a Modrý kameň 2x10 MW (1916). Výstavba tepelných elektrární sa pripravovala už počas 2. svetovej vojny. V rokoch 1953 – 1956 bola vybudovaná tepelná elektráreň Nováky (ENO A), neskôr v 70. rokoch ENO B a ENO C. Nevyvážená bilancia v spotrebe uhlia a elektriny urýchlila vybudovanie tepelnej elektrárne Vojany I na donecké uhlie (1966) a Vojany II na spaľovanie ťažkého oleja (1973). V roku 1998 bola uvedená do prevádzky bratislavská elektráreň s paroplynovým cyklom, ktorá slúži na vykurovanie časti bratislavských sídlisk a podnikov. Jadrová energetika na Slovensku je založená na reaktoroch novovoronežského typu VVER. Elektrárne V1 a V2 sú vybudované v Jaslovských Bohuniciach, výstavba ďalšej jadrovej elektrárne rovnakého typu začala v roku 1991 v Mochovciach. Prvý blok bol spustený do prevádzky až v roku 1998 a druhý blok o rok neskôr. Začiatkom 30. rokov už jestvujúce 22 kV vedenia svojimi prenosovými možnosťami nevyhovovali narastajúcim požiadavkám. Významným medzníkom pre elektrizačnú sústavu Slovenska bolo uvedenie do prevádzky prvého 110 kV vedenia v roku 1930 (Žilina – Třebovice). Postupne sa na Slovensku vybudovala 110 kV sieť, tvorená jednoduchými 110 kV vedeniami. V povojnovom období bola sieť 110 kV naďalej rozširovaná, ale k výraznému rozvoju 110 kV sústavy došlo až po vybudovaní transformovní 400/110 kV a 220/110 kV, kedy bola 110 kV sústava transformovaná na distribučnú rozvodnú sústavu. Budovanie 220 kV systému v bývalej ČSR ovplyvnilo dobudovanie vo vojne začatej výstavby 220 kV vedenia Lískovec – Prosenice – Sokolnice na Morave. V roku 1953 bolo uvedené do prevádzky vedenie Lískovec – Bystričany, ktoré bolo súčasťou 220 kV vedenia do Maďarska (Lískovec – Zugló). Postupne bola na Slovensku 220 kV sústava rozširovaná v úsekoch Bystričany – Sučany s pokračovaním do Lemešian.

7

8

Energia, energetika, elektrizačná sústava V roku 1963 sa rozvodňa 220 kV Lemešany prepojila s rozvodňou v Mukačeve, čím sa prenosová sústava 220 kV ČSSR prepojila na sústavy vtedajšieho ZSSR a Rumunska. Rozvoj 220 kV sústavy Slovenska sa ukončil v roku 1962 výstavbou vedení Sokolnice – Križovany a Križovany – Bystričany. Veľkí odberatelia elektrickej energie Duslo Šaľa, OFZ Široká a VSŽ Košice boli pripojení priamo na elektrizačnú sústavu (ES) s napätím 220 kV. Pre zabezpečenie vyrovnanej výkonovej bilancie v sústave s napätím 220 kV boli do tohto systému zapojené výrobne EBO A1 a EBO V1 v rozvodni Križovany a 4 bloky EVO 1 v rozvodni Lemešany. Už v čase budovania 220 kV prenosovej sústavy bolo preukazované, že táto sústava nebude schopná zabezpečiť tak požiadavky prenosovej sústavy ČSR s excentricky umiestnenou výrobou elektrickej energie (Severné Čechy), ako aj požiadavky na medzinárodnú spoluprácu prepojených elektrizačných sústav. Prvé 400 kV vedenie bolo postavené na trase Sučany – Prosenice v roku 1959. Do roku 1969 bolo prevádzkované s napätím 220 kV. Prvé 400 kV rozvodne boli postavené v Lemešanoch, Sučanoch a Križovanoch pri jestvujúcich 220 kV rozvodniach. Boli tu inštalované spojovacie transformátory 400/220 kV. Postupne bolo vybudované prepojenie Sokolnice – Križovany (1970) a ďalej južná vetva 400 kV z Križovian do Veľkých Kapušian (1972). V nasledujúcich rokoch boli vybudované ďalšie 400 kV vedenia, včítane 400 kV vedení prepojujúcich ES Slovenska s ES Maďarska (Levice – Göd a Podunajské Biskupice – Gabčíkovo – Györ). Súčasne boli budované transformovne 400/110 kV pre zásobovanie 110 kV distribučného systému. Na zabezpečenie spoľahlivosti prevádzky 400 kV sústavy boli vybudované prepojenia severnej a južnej 400 kV vetvy v úsekoch Križovany – Bošáca – Varín a Liptovská Mara – Horná Ždaňa – Veľký Ďúr – Levice. V septembri 1998 bolo uvedené do prevádzky vedenie 2x400 kV Lemešany – Krosno, ktoré ešte viac upevnilo postavenie ES Slovenska v medzinárodnej prepojenej sústave CENTREL – UCTE a zvýšilo tranzitné možnosti elektrizačnej sústavy SR.

1.2 Energia, prvotné a druhotné zdroje energie Energetiku chápeme ako spoločensko–vednú disciplínu. V spoločenskom poňatí je energetika súhrn procesov získavania rôznych foriem energií zo všetkých možných zdrojov, procesov premien a prenosov energií až po jej konečné využitie. Energetika ako vedná disciplína skúma a formuluje zákony jednotlivých energetických procesov a ich premeny, ich vzájomnú väzbu a nadväznosť na rôzne oblasti spoločnosti.

Energia, energetika, elektrizačná sústava Elektroenergetika je spoločensko–vedná disciplína zaoberajúca sa výrobou, prenosom, rozvodom a využitím elektrickej energie. Energiu vyskytujúcu sa v prírode je len zriedka možné dopravovať alebo priamo spotrebovávať. Vo väčšine prípadov je nutné ju premeniť na inú vhodnú formu energie – t.j. zušľachtiť ju. Prírodné zdroje (prvotné) sú nositeľmi prvotnej energie, ktoré nachádzame v danej forme v prírode a túto potom využívame k premene na žiadaný druh energie. Sú to:  chemická energia palív,  vodná energia,  jadrové palivá,  slnečná energia,  veterná energia,  geotermálna energia,  iné prvotné energetické zdroje. Chemická energia v palivách – je vo fosílnych palivách (uhlie, ropa, zemný plyn atď.) a iných organických palivách (drevo a iná suchá biomasa). a)

tuhé palivá – čierne uhlie, hnedé uhlie, lignit, rašelina, drevo.

Drevo – bolo prvým zdrojom energie pre ľudstvo. Lesy tvoria v súčasnosti 40 mil. km2 zemského povrchu. Ešte i dnes má vysoký podiel v energetickej bilancii sveta (4%). Výhrevnosť má 14,7 MJ.kg-1. Na výrobu elektrickej energie sa nepoužíva. Rašelina – najväčšie zdroje sa nachádzajú v Rusku, kde sú postavené aj elektrárne s relatívne veľkým výkonom využívajúce toto palivo. Výhrevnosť suchej rašeliny je 15,5 MJ.kg-1. Hnedé uhlie – je to palivo používané najmä na energetické účely. Prevažné zásoby sú na severnej pologuli, najmä v bývalých štátoch ZSSR, Číne, USA, Nemecku. Na Slovensku sú náleziská na Hornej Nitre. Výhrevnosť sa pohybuje v rozmedzí 10,5 až -1 19,4 MJ.kg . Čierne uhlie – je vysokohodnotné palivo používané najmä v metalurgii a v chemickom priemysle. Tri krajiny – Južná Afrika, Austrália a USA – tvoria väčšinu svetového obchodu s uhlím. V Európe sa náleziská nachádzajú v Nemecku, Veľkej Británii, -1 Poľsku. Výhrevnosť čierneho uhlia dosahuje hodnotu 29 MJ.kg . b)

kvapalné palivá – ropa a jej frakcie, olejové bridlice.

Ropa je fosílne palivo. V krajinách blízkeho východu a severnej Afriky sa nachádza až 42% celosvetových zásob ropy. Pre energetické účely sa používajú jej ťažké frakcie a to mazut, ktorého výhrevnosť sa pohybuje v rozmedzí 41,7 až 50,2 MJ.kg-1.

9

Energia, energetika, elektrizačná sústava

10

Olejové bridlice – sú sedimentárne horniny, obsahujúce uhľovodíky, z ktorých sa pri suchej destilácii získava olej. Rozvoj priemyslu spracovávajúceho olejové bridlice v priemyselnom meradle závisí od kvality bridlice, technológie jej konverzie na palivo a schopnosti prekonať inštitucionálne a ekologické problémy. Vo všeobecnosti sa považuje za kvalitnú taká olejová bridlica, ktorá obsahuje viac ako 100 litrov oleja na tonu suroviny. c)

plynné palivá – zemný plyn

Zemný plyn je veľmi atraktívny energetický zdroj, dá sa jednoducho rozvádzať. Je ho možné využívať v tepelných elektrárňach, prípadne je ho možné využiť v kvalitatívne vyšších spôsoboch premeny chemickej energie na inú formu. Výhrevnosť má asi 35 MJ.kg-1. Vodná energia – zahŕňa všetky využiteľné formy kinetickej, tlakovej, potenciálnej a tepelnej energie vody v riekach, jazerách a moriach. Potenciálna energia riek, energia prílivu a odlivu mora, energia morských prúdov sú mohutné zdroje energie. Premenu vodnej energie na elektrickú umožnila technológia najmä v klasických vodných elektrárňach, ale aj v prečerpávacích vodných elektrárňach. Jadrová energia – je v prirodzených štiepnych palivách a množivých materiáloch (U, Th). Ich zdrojom sú nerastné ložiská uránových a thoriových rúd. V budúcnosti to budú aj jadrové syntézne palivá (H, D, T, Li). Súčasná jadrová energetika je založená na štiepnej reakcii jadier uránu, pričom sa uvoľňuje teplo. Slnečná energia – je to priame a rozptýlené slnečné žiarenie. V podstate je to elektromagnetická (fotónová) energia, ktorej zdrojom je Slnko. Má určité výhody oproti iným energiám a to: nevyčerpateľnosť, čistotu, bezpečnosť a neporušovanie prírodnej tepelnej rovnováhy. Možnosti využívania slnečnej energie:  priama premena slnečnej energie na elektrickú energiu vo fotovoltaických článkoch,  výroba elektrickej energie v slnečných elektrárňach (najmä vežového typu),  využívanie slnečnej energie na vykurovanie, ohrev teplej úžitkovej vody, klimatizáciu, využitie v poľnohospodárstve. Veterná energia – pohybujúce sa vzdušné hmoty v rôznych geografických a klimatických podmienkach sú prvotným zdrojom kinetickej a tlakovej energie.

Energia, energetika, elektrizačná sústava Nevýhodou je, že silu vetra, rýchlosť a lokalitu vetrov nemožno plánovite regulovať. Vo vhodných lokalitách sa uskutočňuje výstavba veterných elektrární, napr. v SRN pri pobreží, v prihraničnej oblasti v Rakúsku, na Slovensku oblasť Cerová – Lieskové. Geotermálna energia – v zemskej kôre je nositeľom geotermálnej energie najmä magma, horúce horniny, vodná para a voda. Na energetické účely sa využíva najmä energia horúcich prameňov na ohrev teplonosného média použitého na výrobu elektrickej energie. Iné prvotné zdroje – sem zaraďujeme všetky ostatné, pre národné hospodárstvo súčasnosti i v budúcnosti využiteľné energie. Sú to napr. tepelné gradienty vzduchu, prirodzené rádionuklidy, kozmická energia (energia čiernych dier, kinetická energia kozmických telies a pod.) Druhotný zdroj energie vzniká premenou prvotných zdrojov energie. Napr. spálením uhlia vzniká z prvotného zdroja energie (uhlia) teplo, ktoré už ako druhotný zdroj energie sa využíva ďalej. Ako druhotné zdroje energie majú veľký význam: priemyselné odpadové teplo, kychtový plyn, spáliteľné a organické odpady z rastlinnej a živočíšnej výroby.

1.3 Elektrizačná sústava SR, medzinárodná spolupráca Elektrizačná sústava (ES) je súbor zariadení určených na výrobu, prenos, rozvod a spotrebu elektrickej energie. Predstavuje funkčný celok, ktorý pozostáva z elektrární, elektrických staníc (transformovní, rozvodní, kompenzačných a iných staníc), elektrických vedení, riadiacich, meracích, regulačných a ochranných systémov a pomocných zariadení.

1.3.1 Výrobne elektrickej energie Výrobu elektrickej energie v ES SR zabezpečujú:  tepelné elektrárne,  jadrové elektrárne,  vodné elektrárne,  iné zdroje (veterné elektrárne, malé vodné elektrárne a pod.).

11

12

Energia, energetika, elektrizačná sústava Tepelné elektrárne – celkový inštalovaný výkon tepelných elektrární je 1963,4 MW, čo predstavuje 23,68% celkového inštalovaného výkonu ES SR. Elektrárne Nováky (ENO) pracujú v základnom a pološpičkovom pásme denného diagramu zaťaženia (DDZ). Ako palivo využívajú najmä hnedé uhlie a lignit zo slovenských uholných baní s výhrevnosťou 10,5 MJ.kg-1 a ťažký vykurovací olej -1 s výhrevnosťou 41,6 MJ.kg . Základné údaje ENO A a ENO B:  inštalovaný tepelný výkon: 1573 MWt,  inštalovaný elektrický výkon: 522,4 MWe,  z toho ENO A TG 2: 22,4 MW, TG 3: 32 MW, TG 11: 28 MW.  ENO B bloky 1 až 4 každý po 110 MW. Elektrárne Vojany (EVO) pracujú v základnom a pološpičkovom pásme a tiež v špičkovom režime (EVO II). Dôležitým prínosom EVO pre ES SR je široký rozsah regulačného výkonu predovšetkým u blokov EVO II a blokov 5 a 6 EVO I po ich rekonštrukcii. Celkový inštalovaný výkon elektrární Vojany je 1320 MW. V Elektrárňach Vojany pracujú dve výrobne:  Elektráreň Vojany I (EVO I)  inštalovaný výkon 6x110 MW  palivo je čierne poloantracitové uhlie dovážané z lokalít Kuzbas, Donbas a Rostov na Done.  uvedenie do prevádzky 1966.  Elektráreň Vojany II (EVO II)  inštalovaný výkon 6x110 MW,  palivom je zemný plyn naftový a ťažký vykurovací olej,  uvedenie do prevádzky 1973 – 1974. Jadrové elektrárne – pracujú spravidla v základnom pásme DDZ, pretože ich prevádzka je ekonomická pri plnom výkone. Prevádzka jadrových elektrární je kampaňovitá – približne raz za rok sa reaktor odstaví kvôli výmene paliva. Palivom je oxid uraničitý (UO2) obohatený štiepiteľným izotopom uránu 235U, ktorého priemerné obohatenie v palivovej kazete je 3,82%. Elektrárne Bohunice (EBO)  Elektráreň Bohunice V1 :  počet reaktorových blokov 2,  typ reaktora: tlakovodný VVER 440,  inštalovaný výkon: 2x440 MW,  tepelný výkon: 2x1375 MWt,  počet turbogenerátorov na jeden reaktorový blok: 2,  menovitý výkon TG: 220 MW,  začiatok prevádzky: 1. blok – 1978, 2. blok – 1980.

Energia, energetika, elektrizačná sústava 

Elektráreň Bohunice V2 :  počet reaktorových blokov 2,  typ reaktora: tlakovodný VVER 440,  inštalovaný výkon: 2x440 MW,  tepelný výkon: 2x1375 MWt,  počet turbogenerátorov na jeden reaktorový blok: 2,  menovitý výkon TG: 220 MW,  začiatok prevádzky: 3. blok – 1984, 4. blok – 1985.

Elektrárne Mochovce (EMO) prvý blok dodáva elektrickú energiu do siete od leta 1998, druhý blok od roku 1999. Dostavba tretieho a štvrtého bloku je dočasne pozastavená.  Elektráreň Mochovce EMO  počet reaktorových blokov 2,  typ reaktora: tlakovodný VVER 440,  inštalovaný výkon: 2x440 MW,  tepelný výkon: 2x1375 MWt,  počet turbogenerátorov na jeden reaktorový blok: 2,  menovitý výkon TG: 220 MW,  účinnosť bloku: 32 %. Vodné elektrárne svojimi veľmi pohyblivými prietokmi a tým aj výkonmi a prevádzkovou pružnosťou sú schopné pokrývať prudko meniace sa požiadavky na výkon v špičkovej časti DDZ. Sú vhodné na pokrývanie krátkodobých zmien zaťaženia ES. Prečerpávacie vodné elektrárne sa využívajú aj na reguláciu frekvencie, na kompenzáciu a využívajú sa aj ako rýchly rezervný zdroj na krytie krátkodobých výpadkov v ES. Pomáhajú vyrovnávať DDZ nielen krytím špičkového zaťaženia, ale aj odberom elektrickej energie v čase odberného minima a tak transformujú zväčša nadbytočnú nočnú energiu na hodnotnejšiu špičkovú energiu. Prietočné a prečerpávacie elektrárne sú vybudované na riekach Váh, Orava, Hron, Dunaj, Hnilec, Hornád a Ondava. Celkový inštalovaný výkon vodných elektrární je 2396,945 MW. Z toho je v prietočných vodných elektrárňach 1482,025 MW a v prečerpávacích vodných elektrárňach 915 MW. Priemerná ročná výroba elektrickej energie sa pohybuje okolo 4500 GWh. Vodné elektrárne na Slovensku sú uvedené v tab. 1.1. Vodné elektrárne majú v elektrizačnej sústave funkcie :  pokrývanie náhlych zmien zaťaženia,  reguláciu frekvencie,  poruchovej rezervy.

13

Energia, energetika, elektrizačná sústava

14

Tab.1.1

Vodné elektrárne Rok uvedenia do prevádzky 1953 1979 1981 1975 1976 1957 1958 1960 1962 1963 1964 1957 1936 1946 1949 1956 1953

Inštalovaný výkon [MW] 21,75 6,1 735,16 198 4,64 24,75 38,4 38,4 31,5 93,6 55,2 67,5 18,9 15 16 16,1 25,5

Váh

1953

25,5

Váh Váh Váh Hron Dunaj Dunaj Dunaj Dunaj Hnilec Dobšinský potok Hnilec Hnilec Ondava Hornád Hornád Hornád SPOLU

1954 1960 1985 1988 1992 1994 1994 1997 1954

25,5 43,2 45,06 5,32 720 1,04 1,22 24,28 21,76

1994

2

1912 1932 1966 1972 1974 1931

0,5 0,09 12,4 60 1,8 0,275 2396,945

Vodná elektráreň

Tok

Orava Tvrdošín Čierny Váh Liptovská Mara Bešeňová Krpeľany Sučany Lipovec Hričov Mikšová Považská Bystrica Nosice Ladce Ilava Dubnica Trenčín Kostolná Nové Mesto nad Váhom Horná Streda Madunice Kráľová Veľké Kozmálovce Gabčíkovo MVE S VII Mošoň Čunovo Dobšiná

Orava Orava Čierny Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh Váh

Dobšiná II Rakovec Švedlár Domaša Ružín Ružín II Krompachy

1.3.2 Elektrické siete Elektrická sieť je súbor jednotlivých vzájomne prepojených elektrických staníc, vonkajších a káblových elektrických vedení určených na prenos a rozvod elektrickej energie. Slúži ako spojovací článok medzi výrobou a spotrebou elektrickej energie. Elektrické siete môžeme rozdeliť na:  striedavé: – jednofázové, – trojfázové,  jednosmerné.

Energia, energetika, elektrizačná sústava

15

Trojfázové elektrické siete podľa prevádzky uzla môžu byť:  siete s izolovaným uzlom,  siete s neúčinne uzemneným uzlom,  siete s účinne uzemneným uzlom. Rozdelenie elektrických v nasledujúcej tabuľke. Tab.1.2

sietí

podľa

napäťovej

hladiny

je

Rozdelenie elektrických sietí podľa napätia

Označenie napäťovej hladiny mn – malé napätie nn – nízke napätie vn – vysoké napätie vvn–veľmi vysoké napätie zvn – zvlášť vysoké napätie uvn – ultra vysoké napätie

Veľkosť napätia medzi fázou a zemou medzi fázami do 50 V do 50 V 50 ÷ 600 V 50 ÷ 1000 V 0,6 ÷ 30 kV 1 ÷ 52 kV 30 ÷ 171 kV 52 ÷ 300 kV – 300 ÷ 800 kV – nad 800 kV

Prenosová sústava SR je sústava elektroenergetických zariadení s napätím 400 a 220 kV (v SR sa používa aj termín nadradená sústava). Úlohou prenosovej sústavy je poskytovanie prenosových a systémových služieb, vrátane zabezpečenia prenosu elektrickej energie do podriadených distribučných sústav a oprávneným odberateľom. Schéma prenosovej sústavy SR je na obr. 1.1.

Obr.1.1 Prenosová sústava SR

Vedenia 400 kV v ES SR tvoria severnú vetvu a južnú vetvu, ktoré sú navzájom prepojené priečne. Táto napäťová sústava by mala postačovať aj výhľadovo, v prípade zvýšených prenosov elektrickej energie je možné zahustenie elektrických staníc, prípadne pridanie ďalších priečnych prepojení vedeniami.

16

Energia, energetika, elektrizačná sústava Vedenia 400 kV sú budované ako jednoduché a dvojité s použitím zväzkových vodičov (tri resp. dva vodiče na fázu). V súčasnosti dĺžka trasy 400 kV vedení je asi 1510 km. Vedenia 220 kV boli budované po roku 1950 ako nadradená sústava. S ich rozširovaním sa nepredpokladá, ak tak s rekonštrukciou na napäťovú hladinu 400 kV alebo na distribučné vedenia 110 kV. Celková dĺžka trasy 220 kV vedení je asi 800 km. Distribúcia elektrickej energie je prenos elektrickej energie v rámci fyzicky a technicky stanoveného regiónu k odberateľovi. Na distribúciu sa využívajú siete vvn, vn a nn. Distribučná sústava je súbor zariadení na prenos elektrickej energie z prenosovej sústavy alebo zo zdrojov do nej zapojených k používateľom v rámci špecifikovaného regiónu. Súčasťou distribučnej sústavy sú aj riadiace, ochranné, zabezpečovacie a informačné systémy. Na Slovensku sú distribučné vedenia prevádzkované na napätí 110 kV, 22 kV, 0,4 kV. Elektrické stanice sú zariadenia, ktoré spolu s elektrickými vedeniami zabezpečujú prenos, rozvod a distribúciu elektrickej energie až do miesta spotreby. Z hľadiska funkcie v prenosovej sústave môžeme ich rozdeliť na:  spínacie stanice – obsahujú rozvodné zariadenia, neobsahujú však transformátor,  transformačné stanice (rozvodne) – obsahujú transformátor, prostredníctvom ktorého môžeme dodávať elektrickú energiu medzi sieťami s rôznymi napätiami,  usmerňovacie stanice – ich hlavnou úlohou je meniť striedavý prúd na jednosmerný a naopak. Podľa prevedenia elektrických staníc ich môžeme rozdeliť na:  vonkajšie – prevažne všetky rozvodne zvn a vvn sú vyhotovené ako vonkajšie. Sú umiestnené na otvorenej ploche napr. pri elektrárni alebo pri dôležitom energetickom zariadení (napr. Rz Podunajské Biskupice, Rz Stupava a pod.). Zariadenia sú vystavené poveternostným vplyvom, z čoho môže vyplývať zvýšená poruchovosť zariadení a prípadné výpadky dodávky elektrickej energie. Sú však investične menej náročné ako rozvodne vnútorné.  vnútorné – vyznačujú sa tým, že všetky zariadenia sú vo vnútornom prevedení. Sú to rozvodne vvn a vn vyhotovené ako kobkové – voľne stojace alebo nástenné, skriňové rozvodne vn v súčasnosti aj vvn, rozvádzače nn.

Energia, energetika, elektrizačná sústava Do skupiny vnútorných rozvodní zaraďujeme aj zapuzdrené rozvodne, ktorých časti sú umiestnené v kovových puzdrách. Tieto sú plnené elektronegatívnym plynom (hexafluorid síry), ktorý slúži ako izolačné i zhášacie médium. Sú investične náročnejšie na zariadenia, ale zaberajú menšiu zastavanú plochu a vyznačujú sa vysokou spoľahlivosťou prevádzky. Umiestňujú sa v dôležitých energetických zariadeniach (400 kV rozvodňa Gabčíkovo).

1.3.3 Medzinárodná spolupráca Elektrizačná sústava SR do roku 1992 bola súčasťou východoeurópskeho systému „MIER“. V roku 1990 bolo prijaté rozhodnutie federálnej vlády: ČSFR sa spolu Poľskom a Maďarskom bude usilovať o pripojenie k UCTE (Union for the Coordination of Transmission of Electricity). 11. októbra 1992 bola v Prahe podpísaná zakladacia Charta CENTRELu. CENTREL je združením štyroch elektrárenských spoločností Poľska, Maďarska, Českej republiky a Slovenskej republiky prevádzkujúcich navzájom prepojené elektroenergetické sústavy podľa prijatých podmienok a pravidiel. Hlavnými úlohami CENTRELu bolo:  podporovať spoluprácu a dosiahnuť prepojenie českej, maďarskej, poľskej a slovenskej elektrizačnej sústavy,  zlepšovať prevádzkové podmienky na úroveň štandardov UCTE, najmä splniť technické, ekonomické a organizačné opatrenia v rozsahu odporúčaní UCTE pre synchrónnu prevádzku so systémom UCTE,  koordinovať pripojenie národných elektrizačných sústav k UCTE,  monitorovať kvalitu a spoľahlivosť dodávky elektrickej energie,  umožniť medzinárodnú výmenu elektrickej energie. Podmienky, ktoré bolo potrebné splniť, aby CENTREL mohol byť pripojený k UCTE, boli definované v "Katalógu opatrení pre integráciu členov CENTRELu do UCTE", ktorý bol podpísaný 12. októbra 1992 v Prahe. Katalóg opatrení bol členený na:  technické opatrenia,  energeticko-hospodárske opatrenia,  organizačné opatrenia. V roku 1995 podali členské štáty CENTRELu návrh na pripojenie CENTRELu k UCTE. 14. 3. 1995 sa skončila paralelná prevádzka západoukrajinského ostrova s CENTRELom.

17

18

Energia, energetika, elektrizačná sústava 15. – 16. 9. 1995 boli vykonané systémové testy dynamických schopností sústav CENTRELu. 18. 10. 1995 o 12:30 bolo uskutočnené prifázovanie CENTRELu k UCTE. 1. 10. 1996 bola zahájená jednoročná skúšobná prevádzka Energetického zúčtovacieho a riadiaceho centra vo Varšave. (EACC – Energy Accounting and Control Centre). 30. 9. 1997 bola ukončená ročná skúšobná prevádzka CENTRELu s UCTE ako autonómne riadeného bloku z EACC. 1. 10. 1997 predložili členské elektrizačné sústavy CENTRELu prihlášky do UCTE. 16. 4. 1998 bolo prijaté rozhodnutie UCTE o stálej synchrónnej spolupráci CENTREL – UCTE. 29. 10. 1998 valné zhromaždenie UCTE prijalo členov CENTRELU za asociovaných členov. 17. 5. 2001 elektrizačné sústavy štátov CENTRELu sa stali riadnymi členmi UCTE. UCTE je združenie pre koordináciu prenosu elektrickej energie. Je to dobrovoľná organizácia, ktorá vznikla v roku 1951. UCTE v súčasnosti združuje 35 prevádzkovateľov prenosových sústav z 21 krajín kontinentálnej Európy vrátane krajín CENTREL.

1.4 Základné pojmy elektroenergetiky, diagramy zaťaženia Pre plánovanie, prevádzku, rôzne analýzy a technicko–ekonomické vyhodnotenia sú zavedené základné pojmy a definície, ktoré umožňujú jednotnú technickú komunikáciu. Sú uvedené v technických normách STN, IEC a v kódexoch energetických spoločnostiach. Výber z najčastejšie používanej terminológie je v kap. 1.5. V tejto kapitole uvedieme najčastejšie používané pojmy súvisiace najmä s diagramami zaťaženia. Menovitý (nominálny) výkon Pn [MW] je najväčší zaručený výkon na svorkách generátora. Inštalovaný výkon Pi [MW] je súčet menovitých činných výkonov všetkých generátorov v elektrárni, včítane generátorov pre vlastnú spotrebu. Dosiahnuteľný výkon Pd [MW] je maximálny činný výkon, ktorý môže energetické zariadenie dosiahnuť v sledovanom období pri danom stave zariadenia a pri normálnych prevádzkových podmienkach.

Energia, energetika, elektrizačná sústava Pohotový výkon Pp [MW] je najvyšší činný výkon, ktorý môže energetické zariadenie dosiahnuť v určitom čase s ohľadom na všetky technické a prevádzkové podmienky. Diagram zaťaženia vyjadruje závislosť zaťaženia (výkonu) na čase. Môže sa vzťahovať na jednu elektráreň, skupinu elektrární, rozvodnú sústavu, časť prenosovej sústavy alebo celú elektrizačnú sústavu. Diagram zaťaženia môžeme tiež zostrojiť pre odberateľa, resp. skupinu odberateľov. Môžeme ho zostrojiť z okamžitých hodnôt výkonu alebo z priemerných výkonov, registrovaných v intervale 15 alebo 30 minút. Čas, v ktorom vyšetrujeme diagram zaťaženia nazývame sledovaným obdobím. Sledované obdobie T vyjadrujeme v hodinách. Pre denný diagram zaťaženia (DDZ) sledované obdobie je T = 24 h, týždenný diagram T = 168 h, mesačný diagram T = 720 h a ročný diagram T = 8760 h. Najčastejšie využívame DDZ a ročný diagram. V praxi sa často stretávame s pojmom dispečerský diagram. Je to diagram, ktorý sleduje dispečer v príslušnom dispečingu (centrálny, oblastný), kde je zaznamenávané okamžité zaťaženie a tiež zaťaženia predikované. Odberateľ elektrickej energie s dodávateľom uzatvára odberový diagram. Príklad denného diagramu zaťaženia je na obr. 1.2.

Obr.1.2 Denný diagram zaťaženia

19

Energia, energetika, elektrizačná sústava

20

Z diagramu zaťaženia vieme určiť alebo vypočítať nasledovné: Celková výroba elektrickej energie A [MWh] – je elektrická energia vyrobená za sledované obdobie T

A = ∫ P (t )dt

(1.1)

0

Maximálne zaťaženie Pmax [MW] – je to najväčšie skutočné zaťaženie za sledované obdobie. Obvykle sa určuje 15 minútovým priemerom (pri odberateľských zmluvách), 30 minútovým priemerom (pre analýzy a štatistiku) alebo sa určuje najväčšou okamžitou hodnotou. Minimálne zaťaženie Pmin [MW] – je to najmenšie skutočné zaťaženie za sledované obdobie. Obvykle sa určuje 15 minútovým priemerom (pri odberateľských zmluvách), 30 minútovým priemerom (pre analýzy a štatistiku) alebo sa určuje najväčšou okamžitou hodnotou. Stredné (priemerné) zaťaženie PS [MW] – je podiel celkovej výroby A [MWh] a celkového počtu hodín za sledované obdobie. T

A = ∫ P (t ) dt = PS T → PS = 0

A T

(1.2)

Základné zaťaženie [MW] – je zaťaženie v spodnej časti pásma diagramu pod minimálnym zaťažením – pásmo základného zaťaženia. Elektrárne pracujúce do tohto pásma sa nazývajú základnými. Sú to prevažne tepelné elektrárne včítane jadrových. Pološpičkové zaťaženie [MW] – je zaťaženie v pásme diagramu medzi minimálnym a stredným zaťažením – pološpičkové pásmo. Elektrárne pracujúce do tohto pásma sú elektrárňami pološpičkovými. Špičkové zaťaženie [MW] – je zaťaženie v pásme diagramu nad stredným zaťažením – pásmo špičkové. Elektrárne pokrývajúce toto pásmo sa nazývajú špičkovými elektrárňami. Sú to najmä prečerpávacie vodné elektrárne. Základné, pološpičkové a špičkové zaťaženie sa vzťahuje na DDZ. Pre iné sledované obdobie napr. týždeň, mesiac sa vzťahujú na priemerné DDZ vytvorené z DDZ v sledovanom období. Špička je najväčšie lokálne zaťaženie v diagrame zaťaženia (ranná, večerná). Doba využitia je podiel výroby energetického zariadenia a jeho výkonu. Vždy treba určiť presne o aký výkon sa jedná.

Energia, energetika, elektrizačná sústava

21

Doba využitia maximálneho výkonu Tu [h] je podiel výroby elektrickej energie a maximálneho výkonu. T

A = ∫ P (t ) dt = Pmax Tu 0

Tu =

A

(1.3)

P max

Koeficient zaťaženia ξ je definovaný ako podiel stredného a maximálneho zaťaženia

x=

PS T = u ≤1 Pmax T

(1.4)

Doba plných strát TZ je počet hodín prevádzky s maximálnym výkonom, na dosiahnutie rovnakých strát elektrickej energie ako v sledovanom období pri premenlivom zaťažení. Na základe uvedenej definície môžeme písať: T

2 ∆Az ≈ ∫ P 2 (t )dt = Pmax Tz 0

P 2 (t )dt Tz = ∫ 2 0 Pmax T

(1.5)

1.5 Terminológia Distribúcia elektrickej energie je prenos elektrickej energie v rámci fyzicky a technicky stanoveného regiónu pre zariadenia zákazníka. Na distribúciu sa obvykle využíva vysoko, stredne a nízkonapäťová sieť (vvn, vn, nn). Distribučná sústava je súbor zariadení na prenos elektrickej energie z prenosovej sústavy alebo zo zdrojov do nej zapojených k odberateľom v rámci špecifikovaného regiónu. Súčasťou distribučnej sústavy sú aj jej riadiace, ochranné, zabezpečovacie a informačné systémy. Elektráreň je výrobňa, ktorej úlohou je meniť iné formy energie na elektrickú energiu. Elektrárenská jednotka je výrobná jednotka, ktorá je schopná samostatnej prevádzky (elektrárenský blok alebo celá elektráreň) pri výrobe elektrickej energie.

Energia, energetika, elektrizačná sústava

22

Elektrická sieť je súbor jednotlivých vzájomne prepojených elektrických staníc, vonkajších a káblových elektrických vedení určených na prenos a rozvod elektrickej energie. Slúži ako spojovací článok medzi výrobou a spotrebou elektrickej energie. Môže byť klasifikovaná podľa funkcie, spôsobu prevádzky, napätí alebo vlastníckej štruktúry. Elektrický výkon je vo fyzikálnom zmysle súčin napätia a prúdu. V elektroenergetike sa používajú aj hodnoty priemerných výkonov za určité časové intervaly (napr. ¼, ½ alebo 1 h). Priemerný elektrický výkon je potom podiel práce A v uvažovanom časovom intervale T.

P=

A T

(1.6)

Elektrizačná sústava (ES) je systém určený na výrobu, prenos a rozvod elektrickej energie. Predstavuje funkčný celok, ktorý pozostáva z elektrární, elektrických staníc (transformovní, rozvodní, kompenzačných a iných staníc), elektrických vedení, riadiacich, meracích, regulačných a ochranných systémov a pomocných zariadení. Hlavné väzby v ES, ktoré umožňujú plynulé odovzdávanie elektrickej energie, sú elektrické siete spolu s informačným systémom sprostredkujúcim reguláciu a riadenie sústavy. Moderná ES predstavuje v súčasnosti vysoko centralizovaný systém s prepracovanými metódami riadenia. Energetické zariadenia prestavujú technologické celky určené na výrobu, prenosy, rozvody a spotrebu energie. Má ich každý účastník trhu s elektrickou energiou (spoločnosť alebo podnik, ktorý dodáva iným účastníkom trhu elektrickú energiu) a aj zákazník nakupujúci elektrickú energiu pre vlastnú spotrebu. Spoločnosti a podniky, ktoré majú za úlohu všeobecnú (verejnú) dodávku elektrickej energie iba ako sekundárnu funkciu sa považujú v tomto zmysle za subjekty verejných služieb. Inštalovaný výkon ES je súčtom činných inštalovaných výkonov výrobných jednotiek v ES. Kompenzačný prostriedok je zariadenie určené výlučne k výrobe alebo spotrebe reaktančného (jalového) výkonu s cieľom regulovať napätie a redukovať straty elektrickej energie. Prenosová schopnosť – je definovaná ako maximálna prípustná výmena výroby medzi dvomi krajinami, ktorá nevedie k obmedzeniam siete v obidvoch systémoch a k ohrozeniu bezpečnosti prevádzky prepojených sústav.

Energia, energetika, elektrizačná sústava Prenosová sústava je sústava elektroenergetických zariadení s napätím 400 a 220 kV (v SR sa používa aj termín nadradená sústava). Úlohou prenosovej sústavy je poskytovanie prenosových a systémových služieb, vrátane zabezpečenia prenosu elektrickej energie do podriadených distribučných sústav a oprávneným zákazníkom. Prepojené sústavy predstavujú systém dvoch alebo viacerých elektrizačných sústav synchrónne prepojených pomocou medzisystémových prepojení s hlavnými výhodami efektívneho využívania rôznych typov zdrojov elektriny. Prerušenie dodávky elektrickej energie je neplánovaný výpadok dodávky jednému alebo viacerým odberateľom. Reaktančný (jalový) výkon je elektrický výkon potrebný na vytvorenie magnetických polí (napr. v motoroch alebo transformátoroch) alebo elektrických polí (napr. v kondenzátoroch). Môže mať teda induktívny alebo kapacitný charakter. Regulácia napätia je proces udržiavania napätia v požadovaných toleranciách v celej sieti. To sa dosahuje zmenou požiadaviek na reaktančný (jalový) výkon v sieti a u odberateľov, najmä použitím zariadení na kompenzáciu reaktančného výkonu. Na reguláciu napätia v ES sa využívajú aj transformátory s odbočkami. Vlastná spotreba výrobnej jednotky je elektrická energia potrebná na prevádzku pomocného a prídavného zariadenia výrobnej jednotky (napr. na úpravu vody, napájanie vody pre parogenerátor, dodávku čerstvého vzduchu a paliva, odlučovanie popolčeka z dymových plynov), okrem strát na blokových transformátoroch. Treba rozlišovať vlastnú spotrebu počas prevádzky a počas nábehu a odstávky. Výrobná jednotka elektrickej energie je zariadenie elektrárne, ktoré môže byť vymedzené podľa určitých kritérií. Výrobnou jednotkou je elektráreň s blokovým usporiadaním, elektráreň so spoločnou zbernicou, elektráreň s paroplynovým cyklom, sústava strojov vodnej elektrárne, alebo napr. aj solárny modul a pod. Zaťaženie je súčet okamžitých odberov výkonu z jednej, viacerých alebo všetkých sietí v rámci regulačnej oblasti za účelom spotreby. Zdroj elektrickej energie je zariadenie, stroj alebo prístroj, v ktorom sa nejaký druh energie mení na elektrickú energiu.

23

Energia, energetika, elektrizačná sústava

24

1.6 Zhrnutie 1.

2.

3. 4.

5.

6.

Elektroenergetika je spoločensko–vedná disciplína zaoberajúca sa výrobou, prenosom, rozvodom a využitím elektrickej energie. Prírodné zdroje (prvotné) sú nositeľmi prvotnej energie, ktoré nachádzame v danej forme v prírode a túto potom využívame k premene na žiadaný druh energie. Druhotné zdroje vznikajú premennou prvotných zdrojov. Elektrizačná sústava je súbor zariadení určených na výrobu, prenos a rozvod elektrickej energie. Diagram zaťaženia vyjadruje závislosť zaťaženia (výkonu) na čase. Denný diagram zaťaženia je diagram zaťaženia za sledované obdobie 24 hodín. Z diagramu zaťaženia sa dá určiť celková výroba (spotreba) elektrickej energie, maximálne, stredné a minimálne zaťaženie. Elektrizačná sústava SR paralelne spolupracuje so sústavou UCTE, ktorá v súčasnosti združuje 35 prevádzkovateľov prenosových sústav z 21 krajín Európy.

1.7 Otázky a úlohy 1.1. Uveďte základné elektroenergetické pojmy, definujte maximálne zaťaženie stredné zaťaženie a minimálne zaťaženie. 1.2. Definujte koeficient zaťaženia, dobu užívania maxima, dobu plných strát. 1.3. Definujte diagram zaťaženia, sledované obdobie, výrobu elektrickej energie. 1.4. Aké elektrárne pracujú do základného pásma DDZ, aké do pološpičkového a aké do špičkového pásma?

2 Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy V tejto kapitole je uvedený spôsob náhrady základných prvkov elektrizačnej sústavy elektrickými parametrami a náhradnými schémami. Po jej preštudovaní by ste mali vedieť: •

určiť elektrické parametre základných prvkov elektrizačnej sústavy (generátor, transformátor, vedenie, záťaž, kondenzátor, tlmivka) z ich menovitých údajov,

•

vypočítať pomerné hodnoty elektrických parametrov,

•

zostaviť náhradné schémy prvkov elektrizačnej v súslednej, spätnej a netočivej zložkovej sústave,

•

určiť indukčnosť a kapacitu vonkajších vedení geometrického usporiadania vodičov na stožiari,

•

charakterizovať použitie zväzkového vodiča,

•

definovať vplyv uzemňovacieho lana na pozdĺžnu impedanciu a priečnu admitanciu vonkajšieho vedenia,

•

definovať funkciu sériovej, paralelnej a uzlovej tlmivky v elektrizačnej sústave,

•

definovať funkciu sériového v elektrizačnej sústave.

a paralelného

sústavy z daného

kondenzátora

2.1 Úvod Jednotlivé prvky ES (generátory, transformátory, vedenia, motory, odbery a pod.) sa pre určenie ustáleného stavu (výkonové, napäťové a prúdové pomery v sieti) alebo pre výpočet prechodných stavov ES (skratové pomery, prepätia) nahradzujú náhradnými schémami so svojimi elektrickými parametrami.

26

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Elektrické parametre, ktorými nahradzujeme jednotlivé zariadenia ES, sú: rezistancia R, indukčnosť L, resp. reaktancia X, konduktancia G, kapacita C, resp. susceptancia B . Keď je porušená súmernosť (symetria) sústavy, prúdy v obvodoch a napätia medzi fázami sa dostávajú do nevyváženého stavu. Popis týchto dejov sa stáva zložitým a neprehľadným, z tohto dôvodu sa využíva pri výpočte rozloženie nesúmerného deja do niekoľko jednoduchších dejov, ktoré podľa princípu superpozície môžeme opäť spojiť do celkového deja. Tieto metódy môžeme použiť iba pre lineárne obvody a teda len pre lineárne závislosti. Teória zložkových sústav spočíva v tom, že akýkoľvek fázor trojfázovej sústavy U L1 ,U L 2 ,U L 3 , môžeme rozložiť do troch nových fázorov U1 ,U 2 ,U3 pomocou troch rovníc v maticovom tvare U L1   k11 k12    U L 2  = k 21 k 22 U L 3  k 31 k 32   

k13  U1    k 23  U 2  k 33  U3 

(2.1)

Niektoré zo zložkových metód sú :  Metóda súmerných zložiek (C.L.Fortescue, 1918)  Metóda diagonálnych zložiek α, β, 0 (Edith Clarková,1938)  Metóda zložiek S, D, Z (W. Kimbark,1939)  Metóda zložiek R, S, T (N. Koga, 1956) V praxi je využívaná metóda súmerných zložiek, ktorá spočíva v tom, že akákoľvek nesúmerná trojfázová sústava ( U L1 ,U L 2 ,U L 3 ) môže byť rozložená do troch súmerných sústav – do sústavy súslednej U1 , spätnej U 2 a netočivej (nulovej) U0 . Medzi týmito sústavami platia vzájomné vzťahy:

U1 =

U2 =

U0 =

U L1 + a U L 2 + a 2U L 3 3

U L1 + a 2U L 2 + a U L 3 3

U L1 + U L 2 + U L 3 3

(2.2)

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

27

U L1 = U1 + U 2 + U0

U L 2 = a 2U1 + a U 2 + U0

(2.3)

UL 3 = a U1 + a 2U 2 + U0 kde a je operátor, pre ktorý platí:

a = 1∠120° = −

1 3 +j 2 2

(2.4)

a 2 = 1∠ − 120° = −

1 3 −j 2 2

Prvky ES vzhľadom na ich elektrické parametre a náhradné schémy v jednotlivých zložkových sústavách môžeme rozdeliť do troch skupín: 1. Statické (netočivé) zariadenia bez magnetických väzieb medzi fázami Ich impedancia nezávisí od sledu fáz pripojeného napätia. Elektrické parametre v jednotlivých zložkách (v súslednej, spätnej a netočivej) sú rovnaké. R1 = R2 = R0 ; X 1 = X 2 = X 0 ; Z1 = Z 2 = Z0 Rovnosť jednotlivých zložiek platí napr. pre reaktory (vzduchové tlmivky) na obmedzovanie skratových prúdov. 2. Statické zariadenia s magnetických väzbami medzi fázami Impedancia a jej zložky týchto prvkov ES sa rovnajú v súslednej a spätnej sústave, pretože vzájomné indukčnosti medzi fázami sú rovnaké. R1 = R2 ; X 1 = X 2 ; Z1 = Z 2 Netočivá impedancia je závislá od konštrukcie zariadenia a od spôsobu uzemnenia uzla. Medzi takéto zariadenia patria transformátory, vedenia. 3. Točivé elektrické stroje Tretiu skupinu zariadení ES tvoria točivé elektrické stroje, v ktorých vzniká točivé magnetické pole, následkom čoho sa impedancie v jednotlivých zložkových sústavách od seba odlišujú. Závislé sú od konštrukcie stroja a od zapojenia vinutí. R1 ≠ R 2 ≠ R0 ; X 1 ≠ X 2 ≠ X 0 ; Z1 ≠ Z 2 ≠ Z 0

28

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Ak riešime symetrickú sústavu a súmerné deje, stačí urobiť jednopólovú náhradnú schému v súslednej zložkovej sústave. Pokiaľ ide o výpočet nesymetrickej sústavy alebo nesúmerného deja (napr. jednofázový skrat) potrebujeme zostaviť náhradné schémy v jednotlivých súmerných zložkových sústavách (súslednej, spätnej a netočivej) a výsledné riešenie bude dané superpozíciou riešení v jednotlivých sústavách. Elektrické parametre jednotlivých prvkov môžeme vypočítať v skutočných hodnotách prepočítaných na vzťažnú napäťovú hladinu Uvz [kV] (platí, že všetky parametre v náhradnej schéme musia byť zadané pre jednu napäťovú hladinu) alebo v pomerných hodnotách. Využitie pomerných hodnôt v náhradnej schéme môže výpočet zjednodušiť. Pre výpočet pomerných hodnôt je potrebné zvoliť vzťažné napätie Uvz (jedna z napäťových hladín danej siete) a vzťažný výkon Svz [MVA]. Hodnoty vzťažných veličín sa počas výpočtu nemenia. Zo zadaného vzťažného napätia a výkonu sa dajú vypočítať ostatné vzťažné veličiny: vzťažný prúd

Ivz =

Svz 3Uvz

[A]

(2.5)

vzťažná impedancia

Zvz =

2 Uvz Svz

[Ω]

(2.6)

vzťažná admitancia U2 −1 Yvz = (Zvz ) =  vz  Svz 

   

−1

[S]

(2.7)

Všeobecne platí, že vzťažné veličiny sa nezadávajú komplexne, ale len reálnymi hodnotami. Postup výpočtu pomerných hodnôt:  Výpočet elektrických parametrov daného zariadenia zo zadaných nominálnych hodnôt (výkonu, napätia, a pod.).  Prepočet parametrov na hladinu vzťažného napätia (pomocou prevodov jednotlivých transformátorov medzi daným zariadením a vzťažnou napäťovou hladinou).  Výpočet pomerných hodnôt jednotlivých veličín.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

29

Napr. pomerná hodnota impedancie je daná:

z= kde

ZUvz Zvz

[–]

(2.8)

ZUvz je impedancia prepočítaná na hladinu Uvz [Ω], Zvz

–

vzťažná impedancia [Ω].

Pomerná hodnota bezrozmerná.

sa

označuje

malým

písmenom

a je

2.2 Synchrónne stroje Ako zdroj elektrickej energie sa v ES prevažne využíva synchrónny stroj. Z konštrukčného hľadiska sa synchrónne stroje rozdeľujú na stroje s hladkým rotorom a stroje s vyjadrenými pólmi. Synchrónne stroje s hladkým rotorom (turbogenerátory) sú rýchlobežné stroje s otáčkami 3000 alebo 1500 otáčok/min a sú inštalované v tepelných alebo jadrových elektrárňach. Stroje s vyjadrenými pólmi (hydrogenerátory) sú pomalobežné a používajú sa vo vodných elektrárňach. Synchrónny stroj má zvyčajne tri statorové vinutia, jedno rotorové (budiace) vinutie a dve tlmiace vinutia (amortizačné vinutia) – jedno v osi budiaceho vinutia a druhé kolmo na os budiaceho vinutia. Týchto šesť vinutí je magneticky zviazaných, magnetické väzby sú funkciou polohy rotora. Reaktancie (indukčnosti) vinutí sú závislé od veľkosti spriahnutých magnetických tokov. Riešenie šiestich základných rovníc synchrónneho stroja sa podstatne zjednoduší, keď použijeme lineárnu transformáciu prúdov, napätí a spriahnutých magnetických tokov. Pre synchrónne stroje sa najčastejšie používa Parkova lineárna transformácia – rozklad do pozdĺžnej a priečnej osi. Pozdĺžna os d je v smere osi rotora a priečna os q je kolmá na os rotora.

Obr.2.1 Schematická značka generátora a náhrada generátora v súslednej zložkovej sústave

Pri väčšine výpočtov stačí uvažovať reaktancie len v pozdĺžnej osi. Synchrónny stroj je točivý stroj, preto reaktancie v súmerných zložkových sústavách sú rozdielne.

30

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy V súslednej sústave, v závislosti od riešeného stavu synchrónneho stroja, môžeme synchrónny stroj nahradiť:  synchrónnou reaktanciou Xd – pre riešenie ustáleného stavu,  prechodnou reaktanciou X d′ – pre riešenie prechodného deja (napr. pre vyšetrovaniu dynamickej stability stroja),  rázovou reaktanciou X d′′ – pre riešenie skratových pomerov. Zjednodušená náhradná schéma synchrónneho stroja je na obr. 2.2 a fázorový diagram je na obr. 2.3.

Obr.2.2 Náhradná schéma synchrónneho stroja

Obr.2.3 Fazorový diagram synchrónneho stroja

Pomer elektromotorických napätí (vyjadrené hodnoty svorkového napätia) je:  turbogenerátor E ′′ : E ′ : E = 1,07 : 1,12 : 2,52  hydrogenerátor E ′′ : E ′ : E = 1,12 : 1,19 : 1,9

v násobkoch

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

31

Synchrónna reaktancia je to reaktancia, ktorou synchrónny stroj nahradzujeme v náhradnej schéme v ustálenom stave. Z teórie synchrónneho stroja vyplýva, že je to súčet reaktancie kotvy a rozptylovej reaktancie X = X a + X σ . V pozdĺžnej osi rotora je magnetický odpor menší ako v priečnej osi, preto platí X d ≠ X q . Tento rozdiel reaktancií je pre hydrogenerátory väčší ako pre turbogenerátory, v dôsledku premenlivej vzduchovej medzery. Prechodná reaktancia sa uplatňuje pri zmenách prevádzkového stavu (zmena zaťaženia, doznievajúci skrat). Náhle zmeny prúdov v statore vyvolávajú zmeny magnetického poľa, ktoré nemôžu nastať okamžite – skokom. V budiacom vinutí vznikajú prechodné prúdy, ktoré indukujú magnetický tok pôsobiaci proti magnetickému toku reakcie kotvy. Preto je reaktancia synchrónneho stroja v prechodnom stave menšia ako v stave ustálenom, teda prechodná reaktancia je menšia ako synchrónna. Pretože toto „protipôsobenie“ je silnejšie v pozdĺžnej osi, a preto platí X d′ < X q′ . Rázová reaktancia sa uplatňuje pri synchrónnych strojoch s tlmiacimi vinutiami, vtedy pri náhlych zmenách prúdu v statore vznikajú prechodné deje aj v tlmiacom vinutí rotora. Magnetický tok reakcie kotvy je silne potláčaný a rázová (subtranzitná) reaktancia je malá. V hydrogenerátoroch je silnejší vplyv v pozdĺžnej osi, t.j. X d′′ < X q′′ . V turbogenerátoroch je tlmiace vinutie rovnomerne rozmiestnené na rotore, preto X d′′ = X q′′ Reaktancie synchrónneho stroja sa obvykle udávajú ako pomerná alebo percentuálna hodnota vztiahnutá na nominálny výkon a nominálne napätie stroja. Skutočná hodnota reaktancie sa vypočíta ako

X= kde

x% Un2 100 Sn x% Un Sn

[Ω]

(2.9)

je percentuálna hodnota reaktancie [%], – nominálne združené napätie [kV], – nominálny zdanlivý výkon [MVA].

V spätnej zložkovej sústave sa synchrónny stroj nahrádza spätnou reaktanciou X2. Pre turbogenerátory platí približná rovnosť a pre hydrogenerátory je spätná reaktancia X 2 = X d′′ X ′′ + X q′′ . X2 = d 2 Netočivá reaktancia synchrónneho stroja závisí od konštrukcie stroja a zapojenia vinutia.

32

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Rezistancia synchrónneho stroja je daná rezistanciou vinutia. Vzhľadom na prierezy a materiál vinutia je hodnota rezistancie oproti reaktancii stroja zanedbateľná. Má však vplyv na veľkosť časových konštánt, ktoré určujú čas zanikania prechodných dejov v synchrónnom stroji. V tab. 2.1 sú uvedené hodnoty pomerných reaktancií turbogenerátorov a hydrogenerátorov. Tab.2.1 Pomerné hodnoty reaktancií synchrónneho generátora Reaktancia

xd xq x d′ x d′′ xq′′

x2 x0

Turbogenerátor Približný Typová rozsah hodnota

Hydrogenerátor Približný Typová rozsah hodnota

1,2÷2,7

1,74

0,7÷1,4

1,25

1,1÷2,2

1,64

0,45÷0,9

0,75

0,15÷0,29

0,206

0,2÷0,4

0,40

0,09÷0,22

0,154

0,15÷0,35

0,19

0,1÷0,22

0,154

0,15÷0,7

0,20

0,09÷0,21

0,162

0,12÷0,4

0,20

0,02÷0,15

0,09

0,03÷0,15

0,09

2.3 Transformátory Transformátor je dôležitou súčasťou ES. Slúži na vyvedenie výkonu z výrobní elektrickej energie do sústavy (blokový transformátor), na prenos elektrickej energie medzi nadradenou prenosovou sústavou a distribučnými sieťami a na dodanie elektrickej energie na požadovanej napäťovej hladine konečnému odberateľovi. Transformátory môžu byť jednofázové alebo trojfázové a z hľadiska počtu vinutí dvojvinuťové a trojvinuťové. Transformátory môžu byť vyhotovené ako autotransformátory alebo ako klasické transformátory s oddelenými vinutiami. Zapojenie vinutí trojfázových transformátorov môže byť do uzemnenej alebo izolovanej hviezdy (Yn, Y), do trojuholníka (D) alebo do lomenej hviezdy (Z). Zapojenie vinutí má rozhodujúci vplyv na náhradnú schému a veľkosť impedancie v netočivej (nulovej) sústave. Náhradná schéma a veľkosť impedancie transformátora v súslednej a spätnej zložkovej sústave je rovnaká. Náhradná schéma v netočivej sústave a veľkosť impedancie závisí od zapojenia vinutí transformátora a od jeho konštrukcie.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

33

2.3.1 Dvojvinuťový transformátor Úplná náhradná schéma dvojvinuťového transformátora je na obr. 2.4

Obr.2.4 Úplná náhradná schéma transformátora

kde

R1 je rezistancia primárneho vinutia, X 1σ – rozptylová reaktancia primárneho vinutia, R2′ – rezistancia sekundárneho vinutia prepočítaná na primárnu stranu transformátora,

R2′ = p 2R2

(2.10)

X 2′ σ –

rozptylová reaktancia sekundárneho vinutia prepočítaná na primárnu stranu,

X 2′ σ = p 2 X 2σ p

p=

(2.11) –

N1 U1 = N2 U 2 N1 N2

prevod transformátora, (2.12)

U1 U2 U2′ Xm RFe

– – – – – – –

I1 I2′

– –

počet závitov primárneho vinutia, počet závitov sekundárneho vinutia, napätie na vstupe, napätie na výstupe, napätie na výstupe prepočítané na vstup, magnetizačná (hlavná) reaktancia, fiktívna rezistancia železa, predstavujúca činné ˛ straty v železe, vstupný prúd, výstupný prúd prepočítaný na vstup,

34

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

I2′ =

1

p

I2

(2.13)

I0

–

prúd naprázdno,

I0 = IFe − jIm

(2.14)

– magnetizačný prúd, – činná zložka prúdu naprázdno. Napäťové rovnice transformátora

Im I Fe

U1 = R1I1 + jX 1σ I1 + Ui 1 kde

Ui 1 –

(2.15)

indukované napätie na vstupe,

Ui 1 = Ui′2

(2.16)

Ui′2 –

indukované napätie na výstupe prepočítané na vstup, pre výstupné vinutie s prepočítanými veličinami:

U 2′ = R2′ I2′ + jX 2′ σ I2′ + Ui′2

(2.17)

Fázorový diagram pre dvojvinuťový transformátor je na obr. 2.5.

Obr.2.5 Fázorový diagram

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Schematická značka a zjednodušená náhradná dvojvinuťového transformátora je na obr. 2.6.

35

schéma

Obr.2.6 Dvojvinuťový transformátor

Dvojvinuťový trojfázový transformátor je všeobecne daný nasledovnými parametrami:  vstupné združené napätie Un1 a výstupné združené napätie Un2 [kV],  prevod p [–],  nominálny výkon Sn [MVA],  napätie nakrátko uk% [%],  činné straty nakrátko ∆Pk [kW],  prúd naprázdno i0% [%],  činné straty naprázdno ∆P0 [kW],  zapojenie primárneho a sekundárneho vinutia. Efektívna hodnota napätia nakrátko Uk a straty transformátora nakrátko ∆Pk sú určené z merania nakrátko. Veľkosť impedancie transformátora (primárneho a sekundárneho vinutia spolu) je:

ZT =

Uk In

(2.18)

a percentuálna hodnota napätia nakrátko je daná:

uk% =

Uk 100% U fn

(2.19)

Vyjadríme nominálny prúd pomocou nominálneho výkonu a napätia

In =

Sn Sn = 3 U fn 3 Un

(2.20)

Pozn.: Ufn je fázová hodnota a Un je združená hodnota napätia. Potom impedancia dvojvinuťového transformátora je:

ZT =

uk % Un2 100 Sn

(2.21)

Impedancia vinutia transformátora v komplexnom tvare je

ZT = R + jX σ = ZT ∠jT

(2.22)

36

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy rezistancia vinutia transformátora RT

RT =

∆Pk ∆PkUn2 = 3In2 Sn2

(2.23)

rozptylová reaktancia transformátora Xσ

X σ = ZT2 − RT2

(2.24)

uhol impedancie ϕ T R ϕT = arccos  T  ZT

   ∆P   K   = arccos  u  k%  Sn    100 

(2.25)

Z merania naprázdno sa určí prúd naprázdno I0 a straty naprázdno ∆P0. Veľkosť admitancie transformátora, ktorou nahrádzame magnetický obvod v náhradnej schéme je:

YT =

I0 Ufn

(2.26)

Percentuálna hodnota prúdu naprázdno je

i 0% =

I0 100% In

(2.27)

Potom admitancia transformátora je

YT =

i 0% Sn 100 Un2

(2.28)

Admitancia transformátora v komplexnom tvare

YT = GFe − jBm = YT ∠jY

(2.29)

Činné straty v železe sú reprezentované v náhradnej schéme v priečnej vetve vodivosťou GFe. Straty naprázdno sú dané vzťahom:

∆P0 = Un2GFe

(2.30)

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

37

v percentách:

∆p0% =

GFe =

∆P0 100% Sn

∆p0% Sn 100 U n2

(2.31)

(2.32)

uhol admitancie ϕY

 ∆p   GFe   = − arccos 0%   YT   i 0% 

ϕY = − arccos

(2.33)

magnetizačná reaktancia v priečnej vetve je daná susceptanciou 2 Bm = YT2 − GFe

(2.34)

Náhradná schéma dvojvinuťového transformátora v súslednej a spätnej sústave je väčšinou T–článok (obr. 2.7). Pozdĺžna vetva nahradzuje vinutie transformátora a priečna magnetický obvod transformátora. Náhradná schéma v zjednodušenom tvare (keď uvažujeme pri výpočte len impedanciu vinutí, napr. pri skratových výpočtoch) je na obr. 2.8.

Obr.2.7 Náhradná schéma dvojvinuťového transformátora v súslednej a spätnej sústave

Obr.2.8 Zjednodušená náhradná schéma dvojvinuťového transformátora v súslednej a spätnej sústave

38

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

2.3.2 Trojvinuťový transformátor Schematická značka a zjednodušená trojvinuťového transformátora je na obr. 2.9

náhradná

schéma

Obr.2.9 Trojvinuťový transformátor

Pre trojvinuťový transformátor platí rovnosť náhradnej schémy v súslednej a spätnej sústave (obr. 2.10)

Obr.2.10

Náhradná schéma trojvinuťového transformátora v súslednej a spätnej sústave

Trojvinuťový trojfázový transformátor je všeobecne daný nasledovnými parametrami:  združené napätia Un1, Un2 a Un3 [kV],  nominálne výkony vinutí Sn1, Sn2 a Sn3 [MVA],  napätia nakrátko uk12%, uk13%, a uk23%, [%],  činné straty nakrátko ∆Pk12 , ∆Pk13 a ∆Pk23 [kW],  prúd naprázdno i0% [%],  činné straty naprázdno ∆P0 [kW],  zapojenie primárneho, sekundárneho a terciárneho vinutia.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

39

Zo zadaných parametrov sa dá vypočítať: Impedancia dvoch vinutí transformátora (veľkosť a fáza):

Z12 =

ϕ12

u k 12% U n2 100 Sn

(2.35)

   ∆P  k 12  = arccos  u k 12% S   n   100 

(2.36)

Obdobne zistíme Z13, ϕ 13 , Z23, ϕ 23 . Ďalej platí:

Z12 = Z1 + Z2 Z13 = Z1 + Z3 Z 23 = Z 2 + Z3

⇒

Z1 = Z2 = Z3 =

Z12 + Z13 − Z 23 2

Z12 + Z 23 − Z13

(2.37)

2

Z13 + Z 23 − Z12 2

Pozn.: Je potrebné vedieť na aký výkon sú napätia nakrátko vztiahnuté a uvažovať to pri výpočte impedancií. Výpočet admitancie transformátora dvojvinuťový transformátor.

je

obdobný

ako

pre

2.3.3 Autotransformátor Autotransformátory predstavujú špeciálny prípad transformátora s dvomi alebo tromi vinutiami. V prípade autotransformátora s dvomi vinutiami sú tieto vinutia spojené nielen magnetickými väzbami ale aj galvanicky. V prípade trojvinuťového autotransformátora je tretie vinutie spojené len magnetickými väzbami. Náhradná schéma v súslednej a spätnej sústave sa určí obdobne ako pri klasických transformátoroch. Netočivá impedancia a náhradná schéma je podobne závislá od zapojenia vinutí.

40

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Na nasledujúcich obrázkoch sú uvedené schematické a náhradné schémy pre dvojvinuťový (obr. 2.11) a trojvinuťový autotransformátor (obr. 2.12).

Obr.2.11

Dvojvinuťový autotransformátor

Obr.2.12

Trojvinuťový autotransformátor

2.3.4 Netočivá sústava transformátorov Transformátor je netočivý elektrický stroj s magnetickými väzbami, preto náhradná schéma a veľkosť impedancie v netočivej zložkovej sústave závisí od konštrukcie transformátora a od spôsobu zapojenia jeho vinutí. V tabuľkách 2.2 a 2.3 sú uvedené náhradné schémy dvojvinuťových a trojvinuťových transformátorov v netočivej sústave podľa spôsobu zapojenia vinutí.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

41

Tab.2.2 Náhradná schéma dvojvinuťových transformátorov v netočivej sústave Zapojenia vinutia

Náhradná schéma v netočivej sústave

Výsledná impedancia

Primárne

Sekundárne

D

y

Z0 = ∞

D

yn

Z0 = ∞

Y

y

Z0 = ∞

Z0

Pre jadrové tr.:

Yn

y

Z0 = 3 ÷ 9Z1 Pre plášťové tr.:

Z0 = ∞

Yn

yn

Z0 = Z1

Pre jadrové tr.:

Yn

d

Z0 = 0,8 ÷ 0,9Z1

42

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Tab.2.3 Náhradná schéma trojvinuťových transformátorov v netočivej sústave Zapojenia vinutia

Náhradná schéma v netočivej sústave

Výsledná impedancia

Z0

Prim.

Sek.

Ter.

Yn

d

d

Z0 = Z0 p +

Z 0 s Z 0t Z 0 s + Z 0t

Yn

yn

d

Z0 = Z0 p +

Z 0t Z 0 m Z 0t + Z 0 m

pre praktické výpočty:

y

d

D

ľubovoľné

ľubovoľné

Z0 = ∞

Y

ľubovoľné

ľubovoľné

Z0m = ∞

Yn

Z0 = ∞

Z 0 = Z 0 p + Z 0t

Kde Z0m je magnetizačná impedancia transformátora v netočivej sústave. Označenie vinutí: p – primárne vinutie, s – sekundárne vinutie, t – terciárne vinutie.

2.4 Záťaže V ES sú rôzne typy spotrebičov (záťaží) elektrickej energie. Medzi najväčšiu skupinu záťaží patria motory, svetelné zdroje. Do celkového zaťaženia ES zaraďujeme aj straty výkonu v sústave.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

43

Záťaž je možné modelovať nasledovne:  konštantou impedanciou, príp. admitanciou,  statickým modelom záťaže,  modelom asynchrónneho motora,  zadaním konštantného činného a (alebo) jalového prúdu (výkonu). Výber modelu závisí od typu danej záťaže. Vo všeobecnosti predstavuje záťaž v ES nelineárny prvok, ktorý je závislý od napätia a frekvencie. Pri určení rozloženia tokov výkonu v sústave sa často uplatňuje model záťaže ako konštantná impedancia, prípadne admitancia. V tomto prípade je záťaž daná nominálnym výkonom Sn [VA] a napätím Un [V]. Potom sa náhradná impedancia záťaže rovná:

U fn U fn U n2 U n2 = = ∗ = Zz = Iz Sn∗ Sn Pn ± jQn ∗ 3 U fn

[Ω]

(2.38)

kde I z je prúd záťaže. Admitancia bude:

Yz =

Sn∗ Pn ± jQn = Un2 Un2

[S]

(2.39)

Vypočítajte parametre zariadení časti elektrizačnej sústavy podľa obr. 2.13 v pomerných hodnotách, ak Svz = 100 MVA a Uvz = 400 kV. Zostavte náhradné schémy v súslednej, spätnej a netočivej zložkovej sústave. Zadané parametre: G1=G2: Sn =200 MVA, Un=15,75 kV, xd% =195% G3: Sn =110 MVA, Un=10,5 kV, xd% =180% T1 : Sn = 450 MVA, p = (415 16 16 )kV, u k 12 = 16%, u k 13 = 15%,

u k 23 = 17%, ∆Pk 12 = 700 kW, ∆Pk 13 = 750 kW, ∆Pk 12 = 720 kW, i 0 = 6%, ∆p0 = 1,2% T2 : S n = 400 MVA, p = (420 120 )kV, u k = 13%, ∆Pk = 700 kW, i 0 = 5,5%, ∆p0 = 1,2%

Príklad 2.1

44

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy T3 : S n = 120 MVA, p = (115 11)kV, u k = 15%, ∆Pk = 360 kW,

i 0 = 4,5%, ∆p0 = 1,4% v1 : Z1 = 0,29∠86  Ωkm -1,  = 120 km v2 : Z1 = 0,4∠70  Ωkm -1,  = 35 km v3 : Z1 = 0,42∠68  Ωkm -1,  = 55 km o1 : S = 40 MVA, cosϕ = 0,92, induktívny charakter záťaže o2 : P = 25 MW, cosϕ = 0,95, induktívny charakter záťaže

Obr.2.13

Zapojenie časti elektrizačnej sústavy

Riešenie: Výpočet parametrov na hladinu menovitého napätia: G1 = G2 :

X dG1 = X dG 2

x d % U n2 195 15,75 2 = = = 2,419 Ω 100 S n 100 200

G3 :

X dG 3

x d % U n2 180 10,5 2 = = = 1,804 Ω 100 S n 100 110

T1 :

ZT 1I =

u k 12 + u k 13 − u k 23 U n2 16 + 15 − 17 415 2 = = 26,7906 Ω 200 Sn 200 450

ZT 1II =

uk 12 + uk 23 − uk 13 U n2 16 + 17 − 15 415 2 = = 34,445 Ω 200 200 450 Sn

ZT 1III =

uk 13 + uk 23 − uk 12 U n2 15 + 17 − 16 415 2 = = 30,6178 Ω 200 200 450 Sn

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

∆Pk 12 + ∆Pk 13 − ∆Pk 23 U n2 = 2 Sn2

RT 1I =

( 700 + 750 − 720 ).10 3 = 2

RT 1II =

3 2

6

2

= 0,3104 Ω

∆Pk 12 + ∆Pk 23 − ∆Pk 13 U n2 = 2 Sn2

(700 + 720 − 750 ).10 3 = 2

RT 1III

(415.10 ) (450.10 ) (415.10 ) (450.10 )

3 2

6

2

= 0,2849 Ω

∆Pk 13 + ∆Pk 23 − ∆Pk 12 U n2 = = 2 Sn2

(720 + 750 − 700 ).10 3 = 2

(415.10 ) (450.10 )

3 2

6

2

= 0,3274 Ω

RT 1I = 89,3361 ZT 1I R ϕ T1II = arccos T 1II = 89,5261 ZT 1II R ϕ T1III = arccos T 1III = 89,3872  ZT 1III i S 6 450 = 0,15677.10 −3 S YT 1 = 0 n2 = 2 100 U n 100 415 ∆p 1,2 = −78,46  ϕ YT1 = − arccos 0 = − arccos 6 i0 ϕ T1I = arccos

T2 :

ZT 2 =

uk Un2 13 420 2 = = 57,33 Ω 100 Sn 100 400

ϕT2 = arccos

YT 2

ΔPk

uk

Sn

= arccos

700.103 = 89,23 13 400.106 100

100 i 0 Sn 5,5 400 = = = 0,1247.10 −3 S 2 100 U n 100 420 2

ϕ YT2 = − arccos

∆p0 1,2 = − arccos = −77,4  i0 5,5

45

46

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy T3 :

ZT 3 =

uk Un2 15 1152 = = 16,53 Ω 100 Sn 100 120

ϕT3 = arccos

YT 3

ΔPk

uk

= arccos

Sn

360.103 = 88,85 15 120.106 100

100 i 0 Sn 4,5 120 = = = 0,4083.10 −3 S 2 2 100 U n 100 115

ϕ YT3 = − arccos

∆p0 1,4 = − arccos = −71,87  i0 4,5

v1 :

Zv 1 = Z1 = 0,29∠86 .120 = 34,8 ∠86  Ω v2 :

Zv 2 = Z1 = 0,4∠70 .35 = 14∠70  Ω v3 :

Zv 3 = Z1 = 0,42∠68 .55 = 23,1∠68  Ω o1 :

Z o1 =

U2 S

∗

=

110 2 40∠ − 23,07



= 302,5∠23,07  Ω

o2 :

Z o2 =

U2 ∗

=

U2

=

P

110 2

25 S ∠ − 18,19  ∠ −ϕ 0,95 cos ϕ Prepočet na hladinu Uvz = 400 kV: G1 = G2 :

= 459,8 ∠18,19  Ω

2

 415  X dG1(400 ) = 2,419  = 1627,39 Ω  16  G3 : 2

2

 115   420  X dG 3(400 ) = 1,804     = 2415,33Ω  11   120  T1 :

ZT 1I (400 ) = 26,7906∠89,3361 Ω ZT 1II (400 ) = 34,445∠ 89,5261 Ω ZT 1III (400 ) = 30,6178 ∠89,3872  Ω YT 1(400 ) = 0,15677.10 −3 ∠ − 78,46  S

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

T2 :

ZT 2(400 ) = 57,33 ∠89,23 Ω YT 2(400 ) = 0,1247.10 −3 ∠ − 77,4 S T3 : 2

 420    = 202,49∠88,85 Ω  120 

ZT 3(400 ) = 16,53∠88,85 

2

  −3 YT 3(400 ) = 0,4083.10 ∠ − 71,87   = 0,03 .10 ∠ − 71,87 S  420  v1 :   120

−3

Zv 1(400 ) = 34,8 ∠86  Ω v2 : 2

 420    = 171,5 ∠70 Ω  120 

Zv 2(400 ) = 14∠70   v3 :

  420 

2

  = 282,975 ∠68 Ω  120 

Zv 3(400 ) = 23,1∠68  o1 :

2

 420    = 3705,625 ∠23,07 Ω  120 

Z o1(400 ) = 302,5∠23,07   o2 :

  420 

2

  = 5632,55 ∠18,19 Ω  120  Výpočet pomerných hodnôt: U2 400 2 = 1600 Ω ZVZ = vz = 100 SVZ G1 = G2 : 1627,39 x dG1 = x dG 2 = = 1,017 1600 G3 : 2415,33 x dG 3 = = 1,51 1600 T1 :

Z o2(400 ) = 459,8 ∠18,19 

26,7906∠89,3361 = 0,017∠89,3361 zT 1I = 1600 34,445∠ 89,5261 = 0,022∠ 89,5261 zT 1II = 1600

47

48

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

30,6178 ∠89,3872  = 0,019∠89,3872  1600 yT 1 = 0,15677.10 −3 ∠ − 78,46.1600 = 0,2508 ∠ − 78,46 T2 :

zT 1III =

57,33 ∠89,23 = 0,036 ∠89,23 1600 = 0,1247.10 −3 ∠ − 77,4 .1600 = 0,2∠ − 77,4 

zT 2 = yT 2 T3 :

202,49∠88,85 = 0,127∠88,85 1600 = 0,03 .10 −3 ∠ − 71,87 .1600 = 0,048∠ − 71,87 

zT 3 =

yT 3 v1 :

zv 1

34,8 9∠86  = = 0,022∠86  1600

v2 :

zv 2 =

171,5 ∠70  = 0,107∠70  1600

v3 :

zv 3 =

282,975 ∠68  = 0,177∠68  1600

o1 :

zo1

3705,625 ∠23,07  = = 2,32∠23,07  1600

o2 :

zo2 =

5632,55 ∠18,19  = 3,52∠18,19  1600

Náhradná schéma v spätnej zložkovej sústave je v podstate zapojením identická ako súsledná, v spätnej sústave sa však neuplatňujú zdroje napätia (nekreslia sa zdroje). Spätná sústava sa odlišuje od súslednej hodnotami impedancií, resp. reaktancií točivých strojov – t.j. generátorov G1, G2 a G3. Náhradné schémy v súslednej a netočivej zložkovej sústave sú na obr. 2.14 a obr. 2.15.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

Obr.2.14

Náhradná schéma pre súslednú zložkovú

. Obr.2.15

Náhradná schéma pre netočivú zložkovú sústavu

49

50

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

2.5 Vonkajšie vedenia

2.5.1 Rezistancia vonkajších vedení Rezistancia (činný odpor) tvorí reálnu zložku pozdĺžnej impedancie vedení. Pri určení rezistancie pri striedavom prúde vychádzame zo znalosti odporu pri jednosmernom prúde. Odpor pri jednosmernom prúde určíme podľa vzťahu:

R0 = ρ 0 kde



S ρ0  S

[Ω]

(2.40)

je rezistivita pri teplote 20°C [Ω.m], – dĺžka vodiča [m], 2 – prierez vodiča [m ].

Pre určenie rezistancie vedení je potrebné rešpektovať viacero vplyvov ako sú: materiál vodičov a jeho čistota, teplota vodiča, skinefekt (pri striedavom prúde), predĺženie lán vplyvom krútenia dielčích vodičov, odchýlka skutočného prierezu od menovitého, predĺženie vodičov vplyvom priehybu a pod. Materiál a jeho čistota – je daný rezistivitou (špecifickým odporom) pri teplote 20 °C. Pri dobre vodivých materiáloch ρ 0 s rastúcou teplotou rastie nelineárne so stúpajúcim obsahom nečistôt. Rezistivita ρ 0 [Ω.m] pre rôzne používané materiály vodičov a lán je v tab. 2.4. Vplyv teploty môžeme vyjadriť pomocou činiteľa kϑ

kϑ = 1 + α (ϑ − ϑ0 ) + β (ϑ − ϑ0 )2 [–] kde

(2.41)

α, β sú teplotné súčinitele odporu [K-1 ; K-2], ϑ – uvažovaná teplota [°C].

Pre vodiče z materiálov Cu, Al a AlFe pri oteplení do 100 °C môžeme výraz β (ϑ − ϑ0 )2 zanedbať a tiež pre Fe pri oteplení do 50 °C.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Tab.2.4

51

Teplotné súčinitele odporu a rezistivita vybraných materiálov

Materiál α [K-1] β [K-1] ρ20 [Ω.m]

Cu -3 3,93.10 -6 0,45.10 -3 17,8.10

Al, AlFe -3 4.10 -6 1,1.10 -3 28,7.10

Fe (približne) -3 4,5.10 -6 9.10 -3 200.10

Skinefekt – vyjadruje nerovnomerné rozloženie prúdu v priereze vodiča pri prechode striedavým prúdom. Jeho dôsledkom nastáva zväčšenie rezistancie oproti odporu pri jednosmernom prúde. Jeho vplyv vyjadrujeme koeficientom ks. Pre vodič s kruhovým prierezom z jedného materiálu môžeme ks vyjadriť pomocou Besselových funkcií. Zavedieme

m=

mω mf = 2 r0 2R0 r

kde

m ω ρ0

je – – – – –

f r R0

[–]

(2.42)

permeabilita [H.m-1 ], uhlová frekvencia [s-1], rezistivita [Ωm], frekvencia [Hz], polomer vodiča [m], odpor pri jednosmernom prúde na jednotku dĺžky vodiča [Ω.m-1].

Pre koeficient zväčšenia rezistancie vplyvom skinefektu môžeme napísať zjednodušený vzťah:

ks = 1+

m4 12

−

m8 180

+

m12 2442

+ ... pre m ≤ 1,2

(2.43)

Pre AlFe laná vinuté v jednej vrstve koeficient zväčšenia vplyvom skinefektu závisí na permeabilite a veľkosti prúdu a dosahuje značných hodnôt. Pre laná vinuté v dvoch vrstvách je možné použiť vzťahy ako pre jednomateriálové lano. Pre laná s väčším počtom vrstiev je možné použiť vzťahy ako pre duté vodiče, pretože oceľovým lanom (dušou) prechádza len 2 až 3% celkového prúdu.

52

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Pre takýto prípad

k s = 1 + 0,0375 ⋅ 10 kde

− 12

 ( r2 − r1 )f   r2 R0

  

2

(2.44)

r2, r1 je vonkajší resp. vnútorný polomer Al vrstvy [m], f – frekvencia [Hz], R0 – odpor pri jednosmernom prúde na jednotku dĺžky -1 vodiča [ Ωm ].

Krútenie lán – krútenie jednotlivých drôtov tvoriacich lano spôsobuje zväčšenie rezistancie. Vplyvom prevádzky vznikajú na vodičoch oxidy a nečistoty, ktoré vytvárajú veľký prechodový odpor medzi povrchmi jednotlivých drôtov, ktoré spôsobujú, že prúd sa rozdelí na jednotlivé vodiče lana s polomerom d a stúpa po skrutkovici. Jeden plný závit skrutkovice má výšku stúpania an rovnú 10 až 15 násobok vonkajšieho priemeru vrstvy Dn. Pre činiteľ zväčšenia vplyvom krútenia platí vzťah:

k =

an2 + (Dn − d ) 2 π 2 [–] an

(2.45)

Krútenie lán spôsobuje zväčšenie rezistancie asi o 2%. Odchýlky od menovitého prierezu – príslušné normy a katalógy výrobcov udávajú menovité prierezy lán. Pre presný výpočet odporu sa doporučuje dosadzovať skutočný prierez lana. Priehyb – dĺžku zaveseného vodiča v dvoch bodoch v jednej rovine vo vzdialenosti d určíme podľa vzťahu:  h = 2 c sinh kde

d 2c

[m]

c

je parameter reťazovky c =

p S G d

– – – –

(2.46)

pS , G

horizontálny ťah [Pa], prierez [m2], tiaž na jednotku dĺžky [N.m-1], vzdialenosť dvoch podperných bodov [m].

Koeficient zväčšenia vplyvom predĺženia vodičov možno zapísať:

kp =

h

d

[–]

(2.47)

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

53

Výslednú rezistanciu pri prechode striedavým prúdom možno zapísať v tvare:

R = R0 kϑ k s k  k p

(2.48)

Obyčajne sa však uvažuje iba vplyv teploty skinefektu. Ostatné vplyvy sú zahrnuté v príslušných tabuľkách STN a medzinárodných normách IEC.

2.5.2 Indukčnosť vonkajších vedení a pozdĺžna impedancia Pri odvodení indukčnosti vonkajších vedení použijeme vzťahy známe zo základov elektrotechniky, ktoré platia pre magnetické pole vytvorené pretekaným prúdom v okolí vodiča i vo vodiči . Uvažujme slučku, tvorenú dvoma rovnakými priamočiarymi rovnobežnými vodičmi, rovnakého polomeru a rovnakých konštrukčných vlastností podľa obr. 2.16.

Obr.2.16

Slučka dvoch priamočiarych rovnobežných vodičov

Predpokladáme Ik = −Im , rk = rm = r , r >D2 Prevádzková kapacita v zjednodušenom tvare bude:

C=

1 = p − pv

1

3 D D D  2h  12′ 13′ 23′  18.10 6  ln − ln  r  3 D D D 12 13 23   1 = = 2 2   2h 4 h D +  18.10 6  ln − ln  r  D   0,0242 1 0,05 = .10 − 6 = = D  2h D  ln D log 18.10 6  ln  r r  r 2h 

=

(2.123)

Vzťah (2.123) sa používa pre približné určenie kapacity vedení. Pre modelovanie vedení treba použiť presné vyjadrenie kapacít.

76

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

2.5.3.2 Kapacita trojfázového vedenia s uzemňovacím lanom Predpokladáme trojfázové vedenie s jedným uzemňovacím lanom podľa obr. 2.26.

Obr.2.26

Trojfázové vedenie s uzemňovacím lanom

Pre vedenie podľa obr. 2.26 môžeme písať

U1   p11    U 2  =  p21 U 3   p31     0   pzl1

p12 p22 p32 pzl 2

p13 p23 p 33 pzl 3

p1zl   Q1    p2zl   Q2  = p3 zl   Q3     pzlzl  Qzl 

(2.124)

Za predpokladu vystriedaného vedenia platí p = p11 = p22 = p33 ; pv = p12 = p23 = p31

pvzl = p1zl = p2zl = p3 zl = 18.10 6 ln

3 3

D1zl ′D2zl ′D3 zl ′ D1zl D2zl D3 zl (2.125)

pzlzl = 18.10 6 ln

2hzl

rzl

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

77

Z poslednej rovnice zápisu (2.124) vyjadríme Qzl a dosadíme do predchádzajúcich. Po úprave dostaneme sústavu rovníc v tvare: 

U1 =  p − 

2    pvzl p2  p2  Q1 +  pv − vzl Q2 +  pv − vzl Q3   pzlzl  pzlzl  pzlzl   

   p2  p2  p2  U 2 =  pv − vzl Q1 +  p − vzl Q2 +  pv − vzl Q3 pzlzl  pzlzl  pzlzl    

(2.126)

   p2  p2  p2  U 3 =  pv − vzl Q1 +  pv − vzl Q2 +  p − vzl Q3 pzlzl  pzlzl  pzlzl     Vo vzťahoch (2.126) vystupuje zlomok

2 pvzl , ktorý označíme ps. Je pzlzl

to koeficient vyjadrujúci vplyv uzemňovacích lán na prevádzkovú kapacitu i na čiastkové kapacity. Celková prevádzková kapacita a čiastkové kapacity pre trojfázové vedenie s jedným uzemňovacím lanom budú:

C=

1 (p − ps ) − (pv − ps )

C=

1 (p − ps ) + 2(pv − ps )

(2.127)

Cvz = C C0 (pv − ps ) Ak vedenie má dve uzemňovacie laná, potom koeficient ps bude:

ps = kde

pzlzl

2 pvzl ZL + (ZL − 1)pzl1zl 2

ZL

(2.128)

je počet uzemňovacích lán,

pzl1zl 2 – potenciálový koeficient medzi dvoma uzemňovacími lanami.

Potenciálový koeficient medzi dvoma uzemňovacími lanami má tvar

pzl1zl 2 = 18.10 6 ln

Dzl1, zl 2′ Dzl1, zl 2

(2.129)

78

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

2.5.3.3 Kapacity dvojitého trojfázového uzemňovacími lanami

vedenia

s dvoma

Pre odvodenie kapacity dvojitého trojfázového vedenia s dvoma uzemňovacími lanami budeme predpokladať rovnaké vedenie ako pri odvodení impedancie. Teda dvojsystémové vedenie tvoria dve trojfázové vedenia na spoločnom stožiari s jedným z možných usporiadaní fáz podľa obr. 2.23. Fázy prvého vedenia označíme indexami 1, 2, 3, fázam druhého vedenia pridelíme indexy I, II, III. Vo vrcholoch sú umiestnené dve uzemňovacie laná, ktorých indexy sú zl1 a zl2. Rozpísaním pomocou čiastkových matíc dostávame p1zl1 p1zl 2   Q1  p1III p12 p13 p1I p1II  U1   p11   p p2zl 2   Q2  p2zl1 p2II p2III p22 p23 p2I  U 2   21  U3   p31 p32 p33 p3I p3II p3III p3 zl1 p3 zl 2   Q3       pI 2 pI 3 pI ,I pI ,II pI ,III pIzl1 pIzl 2   QI   UI  =  pI1 .  UII   pII1 pII 2 pII 3 pII,I pII,II pII,III pIIzl1 pIIzl 2   QII       pIII 3 pIII,I pIII,II pIII,III pIIIzl1 pIIIzl 2   QIII   UIII   pIII1 pIII 2 U   pzl1,1 pzl1,2 pzl1,3 pzl1,I pzl1,II pzl1,III pzl1,zl1 pzl1,zl 2  Q   zl1     zl1  p p p p p p p p  Qzl 2  zl 2,2 zl 2,3 zl 2,I zl 2,II zl 2,III zl 2,zl 1 zl 2,zl 2  U zl 2   zl 2,1

Uv  p vv U  = p  V   Vv  Uz  p zv

p vV p VV p zV

p vz   Q v  p Vz  ⋅ Q V  p zz   Q z 

v ~ (1, 2, 3) V ~ (I, II, III)

(2.130)

V zápise (2.130) matica p je maticou štvorcovou, hlavná diagonála obsahuje čiastkové matice vlastných potenciálových koeficientov fázových vodičov a uzemňovacích lán a mimo hlavnej diagonály sú čiastkové matice vzájomných potenciálových koeficientov. Matice U a Q sú rádu (n,1).

2.5.4 Konduktancia Konduktancia (zvod) G tvorí reálnu zložku priečnej admitancie Y = G + jB = G + jωC . V náhradnej schéme vedenia G predstavuje náhradu strát činného výkonu, ktoré sú takmer nezávislé na veľkosti prenášaného výkonu.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

79

Uvedené straty vznikajú z nasledovných dôvodov:  použitý izolant má konečnú hodnotu izolačného odporu,  vplyvom povrchového znečistenia izolátorov sa zhoršujú ich izolačné vlastnosti, dochádza k toku prúdu po povrchu izolátorov,  materiál izolátorov a tiež okolie vodičov sú vystavené pôsobeniu elektrického poľa, vznikajú dielektrické straty, ktoré sa prejavujú ako nedokonalosť izolácie,  vodiče vedenia predstavujú elektródy so súosovým valcovitým elektrickým poľom. Na povrchu vodiča je intenzita poľa maximálna a za určitých podmienok môže dosiahnuť takých hodnôt, že nastáva výboj, ktorý sa nazýva koróna. Korónou sa nazýva neúplný samostatný výboj, ktorý vzniká v nehomogénnom poli pri veľkých vzdialenostiach medzi elektródami s malým polomerom zakrivenia. Vyznačuje sa tlejivým až trsovitým optickým javom. Počiatočnú hodnotu fázového napätia, pri ktorom nastáva tlejivý výboj nazývame kritickým napätím. Pri konštantnom napätí sa koróna ďalej nešíri a pri poklese napätia pod kritickú hodnotu zaniká. Kritické napätie závisí od viacerých parametrov, napr. od počasia, kvality povrchu vodiča, relatívnej hustoty vzduchu, polomeru vodiča, vzdialenosti medzi vodičmi. Kritické napätie podľa empirického Peekovho vzťahu bude:

Ukr = 21,2 m1 m2 δ n r ln kde

m1

m2 r n D

δ

δ =

0,392 p

kde

p T

D [kV] r

(2.131)

je koeficient vyjadrujúci kvalitu povrchu vodiča; pre hladký vodič m1 = 1, pre znečistené a drsné vodiče m1 = 0,98 ÷ 0,92; pre laná m1 = 0,98 ÷ 0,82, – koeficient charakterizujúci klimatické pomery; pre slnečné počasie m2 = 1, pre vlhké a hmlisté počasie m2 = 0,8; – polomer vodiča [m], – počet vodičov na fázu, – stredná geometrická vzdialenosť vodičov [m], – relatívna hustota vzduchu

(2.132)

T je –

tlak vzduchu [Pa], teplota [K].

80

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Straty korónou podľa Peeka sú vyjadrené vzťahom

DP = 2,42 kde

f δ Uf Ukr

f + 25 r (U f − U kr )2 .10 − 3 [kW.km-1] δ D je – – –

(2.133)

frekvencia [Hz], relatívna hustota vzduchu, fázové napätie [kV], kritické napätie koróny [kV].

Zvodový prúd obecne určíme podľa vzťahu:

I zv =

Uf = U f Gi Ri

kde

Uf Ri Gi

(2.134)

je fázové napätie [V], – odpor izolácie [Ω], – vodivosť izolácie [S].

Straty konduktanciou určíme:

∆P = 3U f I zv = 3 U f G U f = G U 2

(2.135)

Konduktanciu (zvod) vyjadríme vzťahom

G= kde

∆P U2

(2.136) U

je združené napätie [V], ∆P – straty konduktanciou [W].

Straty zvodom sa výpočtom veľmi ťažko zisťujú, preto sa v praxi sa obvykle určujú priamo meraním na vybudovaných vedeniach. Pri vyšetrovaní ustáleného stavu na vedeniach zvod zanedbávame, pretože hodnota strát konduktanciou a korónou dosahuje menej ako 1 % strát prevádzkových.

2.5.5 Použitie zväzkových vodičov na vonkajších vedeniach Zväzkový vodič tvorí n dielčích vodičov, ktorými nahradíme jediný fázový vodič. Vodiče vo zväzku sú rozmiestnené na kružnici o polomere ρ ( obr. 2.27).

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

Obr.2.27

81

Zväzkový vodič

Vzdialenosť susedných vodičov vo zväzku označíme a a nazývame ju krok zväzku. Zväzok vodičov tvoriaci jednu fázu, vytvára rovnaké elektrické pole ako jediný fázový vodič s náhradným polomerom:

rzv = n nrr n −1 = n r a12a13 ...a1n kde

n r a1n

ρ

(2.137)

je počet vodičov vo zväzku, – polomer jedného vodiča vo zväzku [m], – vzdialenosť vodiča 1 od ostatných vodičov vo zväzku [m], – polomer kružnice, na ktorej ležia vodiče vo zväzku [m].

Pre polomer kružnice môžeme z obr. 2.27 určiť

ρ=

a 2 sin

π n

(2.138)

Zväzkové vodiče sa používajú na vedeniach vvn, zvn a uvn. Ich použitím je možné zvýšiť prenášaný výkon, zvyšuje sa počiatočné napätie koróny a znižujú sa straty korónou, znižuje sa úbytok napätia. Vzťah pre výpočet impedancie s použitím zväzkových vodičov bude v tvare

Z=

R D + jω 2.10 −4 ln n rezv

kde r ezv je náhradný impedancie bude:

rezv = n ξ r zv

(2.139) polomer

zväzku,

pre

výpočet

(2.140)

Vo výpočtoch kapacity polomer zväzkového vodiča dosadíme za polomer lana r.

82

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Potom vzťah pre výpočet vlastného potenciálneho koeficienta p bude:

p = 18.10 6 ln

2h

(2.141)

r zv

Ostatné potenciálové koeficienty ostávajú nezmenené.

Príklad 2.2

Vypočítajte elektrické parametre L1, Z1 , G1, C1, C0, Cvz, Y1 vedenia 110 kV podľa obr. 2.28 s fázovými vodičmi AlFe6 s parametrami: – priemer lana d = 19.10-3 m – koeficient x = 0,809 – jednotková rezistancia lana R1= 0,156 Ω.km-1 – max. priehyb fázových vodičov fmax= 7,5 m, – činné straty v priečnej vetve ∆Ppriečne=100 W.km-1. Pri výpočte kapacít uvažujte vplyv uzemňovacieho lana. Parametre uzemňovacieho lana AlFe6: – priemer lana d = 16.10-3 m – max. priehyb fázových vodičov fmax= 7,5 m.

Obr.2.28

Stožiar 110 kV

Riešenie: Vzájomné vzdialenosti fázových vodičov:

D12 = D23 =

(2,5 + 2,6)2 + (16,7 − 15,1)2 = 5,345 m (2,6 + 3,4)2 + (15,1 − 13,5)2 = 6,21 m

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

D13 =

(3,4 − 2,5)2 + (16,7 − 13,5)2

= 3,324 m

D = 3 D12D23 D13 = 3 5,345.6,21.3,324 = 4,796 m Indukčnosť vodiča na jednotku dĺžky:

L1 = 2.10 −4 ln = 2.10 −4 ln

3

D12 D13 D23 = rξ 4,796 −3

= 1,287.10 −3 H.km −1

9,5.10 .0,809 Impedancia vodiča na jednotku dĺžky: Z1 = R1 + jω L1 = 0,156 + jω 1,287.10 −3 = 0,433∠68,9  Ω.km −1 Výška vodičov nad zemou 2 2 h1 = H1 − fmax = 16,7 − 7,5 = 11,7 m 3 3 2 2 h2 = H 2 − fmax = 15,1 − 7,5 = 10,1 m 3 3 2 2 h3 = H 3 − fmax = 13,5 − 7,5 = 8,5 m 3 3

h = 3 h1h2 h3 = 3 11,7.10,1.8,5 = 10,015 m Vlastný potenciálový koeficient: 2h 2.10,015 p = 18.10 6 ln = 18.10 6 ln = 137,77.10 6 km.F −1 −3 r 9,5.10 Vzdialenosti vodičov a zrkadlových obrazov:

D12′ = D23′ = D13′ =

(2,5 + 2,6)2 + (11,7 + 10,1)2 = 22,389 m (2,6 + 3,4)2 + (10,1 + 8,5)2 = 19,544 m (3,4 − 2,5)2 + (11,7 + 8,5)2 = 20,22 m

D′ = 3 D12′D13′D23′ = 3 22,389.20,22.19,544 = 20,683 m Vzájomný potenciálový koeficient, vypočítaný metódou zrkadlenia: D′ 20,683 pvz = 18.10 6 ln = 18.10 6 ln = 26,307.10 6 km.F −1 D 4,796 Výška uzemňovacieho lana nad zemou: 2 2 hzl = H zl − fmax = 21,2 − 7,5 = 16,2 m 3 3 Vzdialenosti fázových vodičov a uzemňovacieho lana:

D1zl = 2,52 + (16,2 − 11,7 )2 = 5,148 m D2zl = 2,62 + (16,2 − 10,1)2 = 6,631 m D3 zl = 3,42 + (16,2 − 8,5 )2 = 8,417 m

83

84

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Vzdialenosti fázových vodičov a obrazu uzemňovacieho lana:

D1zl ′ = 2,52 + (16,2 + 11,7 )2 = 28,01 m D2zl ′ = 2,62 + (16,2 + 10,1)2 = 26,43 m D3 zl ′ = 3,42 + (16,2 + 8,5 )2 = 24,93 m Potenciálový koeficient uzemňovacieho lana: 2h 2.16,2 pzlzl = 18.10 6 ln zl = 18.10 6 ln = 149,52.10 6 km.F −1 −3 rzl 8.10 Vzájomný potenciálový koeficient fázový vodič – uzemňovacie lano:

D1zl ′D2zl ′D3 zl ′ = 24,98.10 6 km.F −1 D1zl D2zl D3 zl

pvzl = 18.10 6 ln 3

Koeficient ps – vplyv uzemňovacieho lana:

ps =

(

pzlzl

)

2

2 ZL. pvzl 1. 24,98.10 6 = = 4,173.10 6 km.F −1 6 + (ZL − 1)pzl1, zl 2 149,52.10 + 0

Kapacita vodiča na jednotku dĺžku: 1 1 C1 = = = (p − ps ) − (pvz − ps ) (137,77 − 26,307 ).10 6

C1 = 8,97.10 −9 F.km −1 Kapacita vodiča voči zemi: 1 C0 = = (p − ps ) + 2(pvz − ps ) =

1 ((137,77 − 4,173 ) + 2(26,307 − 4,173 )).10 6

C0 = 5,62.10 − 9 F.km −1 Vzájomná kapacita medzi vodičmi: Cvz = C1C0 (pvz − ps ) = 8,97.10 −9.5,62.10 −9 (26,307 − 4,173 ).106

Cvz = 1,116.10 −9 F.km −1

Zvod vodiča:

G1 =

∆Ppriečne 100 = 2 Un 110.103

(

)

2

= 8,26.10 −9 S.km −1

Admitancia vodiča na jednotku dĺžky: Y1 = G1 + jω C1 = 8,26.10 −9 + jω 8,97.10 −9 = = 2,82.10 − 6 ∠89,83 S.km −1

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Vypočítajte elektrické parametre L1, Z1 , G1, C1, C0, Cvz, Y1 vedenia 400 kV podľa obr. 2.29 s fázovými vodičmi AlFe6 usporiadané v trojzväzku s parametrami: – priemer lana d = 29,63.10-3 m – koeficient x = 0,8177 – jednotková rezistancia lana R1= 0,0645 Ω.km-1 – zväzkový krok a= 0,4 m – max. priehyb fázových vodičov: fmax= 9 m, – činné straty v priečnej vetve ∆Ppriečne =300 W.km-1, Pri výpočte zanedbajte vplyv uzemňovacích lán.

Obr.2.29

Stožiar 400 kV vedenia – typ portál

Riešenie: Vzájomné vzdialenosti fázových vodičov: D12 = D23 = 12 m

D13 = 24 m Náhradný polomer zväzku: 29,63.10 −3 0,2312 = 0,133 m 2 Polomer kružnice trojzväzku: a 0,4 ρ= = = 0,231m π π 2 sin 2 sin n 3

r zv = n nrr (n −1) = 3 3

85

Príklad 2.3

86

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Indukčnosť vodiča na jednotku dĺžky:

L1 = 2.10 −4 ln = 2.10 −4 ln

3

3

D12 D23 D13

=

r zv n ξ 12.12.24

0,1333

= 0,9596.10 −3 H.km −1

0,8177 Impedancia vodiča na jednotku dĺžky: R 0,0645 Z1 = 1 + jω L1 = + jω 0,9596.10 −3 = n 3 = 0,302∠84,85  Ω.km −1 Výška vodičov nad zemou 2 2 h1 = h2 = h3 = H − fmax = 18 − 9 = 12 m 3 3

h = 3 h1h2 h3 = 3 12.12.12 = 12 m Vlastný potenciálový koeficient: 2h 2.12 p = 18.10 6 ln = 18.10 6 ln = r zv 0,133 = 93,52.10 6 km.F −1 Vzájomný potenciálový koeficient, vypočítaný zjednodušenou metódou:

pvz = 18.10 6 ln

4h 2 + D 2

= 18.10 6 ln

D

4.12 2 + 15,12 2 = 15,12

= 11,32.10 6 km.F −1 Geometrická vzdialenosť vodičov: D = 3 D12 D23 D13 = 3 12.12.24 = 15,12 m

Kapacita vodiča na jednotku dĺžku: 1 1 = = 12,17.10 −9 F.km −1 C1 = 6 6 p − pvz 93,52.10 − 11,32.10 Kapacita vodiča voči zemi: 1 1 = = 8,61.10 −9 F.km −1 C0 = 6 6 p + 2 pvz 93,52.10 + 2.11,32.10 Vzájomná kapacita medzi vodičmi: Cvz = C1C0 pvz = 12,17.10 −9.8,61.10 −9.11,32.10 6 = = 1,186.10 − 9 F.km −1 Zvod vodiča: ∆Ppriečne 300 = = 1,875.10 −9 S.km −1 G1 = 2 2 3 Un 400.10 Admitancia vodiča na jednotku dĺžky: Y1 = G1 + jω C1 = 1,875.10 −9 + jω12,17.10 −9 =

(

)

= 3,823.10 −6 ∠89,97  S.km −1

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

2.6 Káblové vedenia Káble sú vodiče izolované pevným alebo pevným a kvapalným izolantom (vonkajšie vedenia majú izolant vzduch). Izolant kábla musí okrem základnej požiadavky – vysokej elektrickej pevnosti, spĺňať aj požiadavku odolnosti voči vlhkosti, chemickým a mechanickým vplyvom. Elektrická pevnosť pevných alebo kvapalných izolantov je o mnoho väčšia ako vzduch, preto vzdialenosti vodičov (fáz) je len niekoľko cm. Káblové vedenia sa používajú na prenos elektrickej energie hlavne v husto zastavaných priestoroch (mestské aglomerácie) a v priemyselných rozvodoch. Káble sa využívajú aj v rozvodoch vlastnej spotreby elektrární, ale aj na vyvedenie výkonu z generátorov malých výkonov. Káble sa používajú aj ako úsek vedenia pred zaústením do rozvodne, kde sa využíva ich tlmiaci účinok na ochranu zariadení rozvodne pred prepätiami zo siete. Káble sa v súčasnosti využívajú hlavne na vedenia nn, vn, ale aj pre vvn a zvn napäťovú hladinu. Káble sa skladajú z týchto hlavných častí: jadro, izolácia, ochranný obal. V trojfázovej nn sieti s uzemneným uzlom sa používa štvoržilový alebo päťžilový kábel. V trojfázovej sieti s izolovaných uzlom 3x500 V sa používa trojžilový alebo štvoržilový kábel, pričom štvrtá žila sa používa pre ochranné uzemnenie kovových častí. Pre jednofázové alebo jednosmerné obvody sa volia káble dvojžilové alebo štvoržilové s rovnakým prierezom jadier, pričom sa žily spoja paralelne. Jednožilové káble a vodiče pre silové obvody sa volia tam, kde sú hospodárnejšie a technicky vhodnejšie ako viacžilové. Voľba trojžilových alebo jednožilových vn káblov sa riadi ekonomickými, technickými a ekologickými podmienkami (napr. obtiažnosť a prácnosť montáže, montážnymi nákladmi, vplyv na životné prostredie atď.).

2.6.1 Pozdĺžna impedancia káblov Trojfázový kábel je jediným geometricky súmerným trojfázovým vedením. V prípade použitia troch jednožilových káblov uložených vedľa seba ich symetrizujeme len pri väčších dĺžkach. Ak sú umiestnené vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka, nie je potrebné ich symetrizovať.

87

88

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Rezistanciu káblov určíme rovnakým spôsobom ako u vonkajších vedení. Namiesto priehybu však uvažujeme možné zväčšenie rezistancie vplyvom kovového plášťa resp. kovového panciera (vplyv vírivých prúdov a hysterézie). Zväčšenie rezistancie uvedenými vplyvmi závisí aj od konštrukcie kábla. Je to však problematické matematicky exaktne vyjadriť. Často sa používa vyjadrenie:

R = Rst + ∆R kde

Rst

∆R

(2.142) je rezistancia kábla pri striedavom prúde s rešpektovaním vplyvu plášťa a malej vzdialenosti medzi jednotlivými žilami, – prídavná rezistancia, zväčšuje sa úmerne s prierezom kábla, závisí aj od typu kábla a menovitého napätia. Pre prierezy káblov 35 až 2 -1 400 mm je ∆R v rozmedzí 0,0003 až 0,003Ω.km .

Pri určení indukčnosti káblov používame vzťahy ako pri trojfázových vonkajších vedeniach. Vzhľadom na to, že u káblov nie je splnená podmienka D>>r , vypočítané hodnoty nedosahujú požadovanú presnosť. Pre zostavenie a výpočet náhradnej schémy ich však použiť môžeme. Pre presné výpočty ako napr. pre optimalizačné modely, indukčnosť resp. reaktanciu kábla získame meraním.

2.6.2 Priečna admitancia káblov Pre admitanciu obecne platí

Y = Y1 = ( G1 + jω C1 )

[S.km-1]

(2.143)

Zvod tvorí reálnu zložku priečnej admitancie. Táto veličina sa u káblov určuje prostredníctvom dielektrických strát, pomocou stratového uhla δ, resp. tgδ.

Obr.2.30

Prúd v dielektriku

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

89

Trojfázové dielektrické straty sú:

∆Pδ = 3 U f I č = 3 U f I j tgδ = 3 U I j tgδ = ω C U 2 tgδ ∆Pδ = QC tgδ kde

(2.144)

QC = ω CU 2 je kapacitný nabíjací výkon.

Zvod káblov na jednotku dĺžky bude:

G1 = kde

∆Pd U2

[S.km-1]

(2.145)

∆Pd sú dielektrické straty [W.km-1], U

–

združené napätie [V].

Pri zisťovaní kapacity káblov musíme rozlišovať tri skupiny káblov:  jednožilové, s kovovým plášťom alebo viacžilové káble s kovovým plášťom pre každý vodič,  trojžilové káble so spoločným kovovým plášťom, pre všetky tri fázy,  celoplastové. U jednožilových káblov s kovovým plášťom alebo trojžilových (viacžilových) s kovovým plášťom pre každú fázu (obr. 2.31 a 2.32), kapacita sa uzatvára len voči kovovému plášťu. Táto kapacita je zároveň prevádzkovou kapacitou.

Obr.2.31

Jednožilový kábel

90

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

Obr.2.32

Trojžilový kábel s kovovým plášťom pre každú žilu

Kapacita je daná vzťahom

C=

kde

1

r 18.10 6 ln 2 r1 r2

r1

εr

εr =

0,0 5ε r

r ln 2 r1

.10 − 6 [F.km ] -1

(2.146)

je stredný polomer kovového plášťa [m], 1 r2 = (r2vnút + r2vonk ) 2 – polomer žily [m], – relatívna permitivita izolácie [–].

Trojžilový kábel so spoločným kovovým plášťom – obr. 2.33.

Obr.2.33

Trojžilový kábel so spoločným kovovým plášťom

Na odvodenie použijeme Kelvinovu metódu zrkadlenia, pričom za rovinu zrkadlenia považujeme kovový plášť (obr. 2.34 a 2.35).

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

91

Pre potenciál v bode P od vodiča 1 – 1´ bude

U P1 =

D1′ P Q1 ln D1P 2πε

(2.147)

Ak položíme bod P na povrch plášťa, bude potenciál tohto bodu v každom mieste rovnaký. Využijeme body P1 a P2 na ďalšie odvodenie, potom

U P1 =

Q1 a′ − R ln R −a 2πε

UP 2 =

Q1 R + a′ ln 2πε R +a

(2.148)

(2.149)

a′ − R R + a′ R = ⇒ a′ = R −a R +a a

2

Ktorýkoľvek bod na povrchu kovového plášťa musí mať rovnaký potenciál:

UP1 =

Qk R ln 2πε a

Obr.2.34

(2.150)

Kelvinova metóda zrkadlenia pre kábel so spoločným kovovým plášťom

92

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

Obr.2.35

Kelvinova metóda zrkadlenia – určenie potenciálových koeficientov

Z obrázkov vidieť, že kapacitu C0 vzťahujeme proti plášťu. Určujeme ju z rozdielu potenciálu vodičov a potenciálu plášťa. Príspevok na celkový potenciál vodiča k od vodiča m a obrazu m′ potom bude: ∗ = U km − U P1 = U km

Qk 2πε

 Dkm′ R  ln − ln  a  Dkm

(2.151)

Q D a = k ln km′ 2πε Dkm R

Vzdialenosti medzi vodičmi k a m a ich zrkadlovými obrazmi určíme z obr. 2.35. Dkk = r1 = r2 = r3 = r ,

Dkm = D12 = D13 = D23 = a 3 ,

pre k ≠ m

Dkk ′ = D11′ = D22′ = D33′ = a′ − a =

R 2 − a2 a

Dkm ′ = D12′ = D13 ′ = D23 ′ = =

(a′ + a cos 60°)

2

+ (a sin 60°)

2

R2 a2 =R + 1+ 2 a2 R

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

93

Potom potenciálové koeficienty budú:

p = 18.10 6

1

εr

ln

R 2 − a2 rR

(2.152)

R 2 a2 1+ 2 + 2 1 a R pv = 18.10 6 ln εr 3

(2.153)

Čiastková kapacita voči kovovému plášťu (nulová kapacita)

C0 =

1 p + 2 pv

(2.154)

Čiastková kapacita medzi vodičmi

Cvz =

pv (p − pv )(p + 2pv )

(2.155)

Celková prevádzková kapacita

C = C0 + 3Cvz =

1 p − pv

(2.156)

2.7 Tlmivky Tlmivky sú zariadenia v rozvodných a prenosových sústavách, ktoré prevažne spotrebúvajú jalový výkon, spotreba činného výkonu má byť čo najnižšia. Podľa zaradenia v sústave rozoznávame tri základné druhy a to: sériové(pozdĺžne), paralelné (priečne) a uzlové.

2.7.1 Sériové tlmivky Sériové tlmivky (niekedy nazývané reaktormi) sa používajú na obmedzenie skratových prúdov v sieťach. Umiestňujú sa najmä v sieťach vn, pri pozdĺžnom delení prípojníc a tiež tam, kde nie je možné obmedziť skratové prúdy inými prostriedkami. Náhradná schéma pre jednu fázu je na obr. 2.36.

Obr.2.36

Sériová tlmivka

94

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Prevažne platí RTl 200 A jednofázové. Vedľa priaznivých účinkov vykazujú i nepriaznivé účinky a to tým , že v bezporuchovom stave zvyšujú úbytok napätia. Tým dochádza k väčším zmenám napätia pri zaťažení ako bez použitia tlmivky. Tento nedostatok sa dá odstrániť tým, že v bezporuchovej prevádzke je tlmivka vyradená premostením poistkou, zaradenou k nej paralelne. Po zapôsobení poistky sa tlmivka zaradí do obvodu.

2.7.2 Paralelné tlmivky Tento druh tlmivky sa zapája paralelne k vedeniu. Úlohou takto pripojenej tlmivky je kompenzácia kapacitného nabíjacieho prúdu pri vedeniach vvn, zvn a uvn pri chode naprázdno alebo pri málo zaťažených vedeniach. Schéma paralelnej tlmivky je na obr. 2.37.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

Obr.2.37

95

Paralelná tlmivka

Môžeme predpokladať RTl >G. Tento prúd je kapacitného charakteru a jeho veľkosť nezávisí na mieste poruchy (vzdialenosti poruchy od zdroja). Tento poruchový stav – zemné spojenie je často je sprevádzaný oblúkom (hovoríme o tzv. prerušovanom zemnom spojení). Zapojenie uzlovej tlmivky je na obr. 2.38.

Obr.2.38

Uzlová tlmivka

Ak zaradíme medzi uzol transformátora a zem tlmivku, pre ktorú platí XTl>>RTl, do miesta poruchy bude tiecť induktívny prúd, ktorým kompenzujeme kapacitný prúd vznikajúci pri zemnom spojení. Pôsobením induktívneho prúdu proti kapacitnému sa zmenšuje výsledný prúd prechádzajúci miestom poruchy, čo spôsobí tiež zhasnutie oblúka. Uzlovej tlmivke sa hovorí aj kompenzačná tlmivka resp. zhášacia tlmivka. Vzhľadom na to, že kapacitný prúd v sieti sa mení v závislosti od zaťaženia a konfigurácie siete, uzlové tlmivky sú vyhotovené s posuvným jadrom, zmenou ktorého sa mení vzduchová medzera a tým aj magnetický tok v obvode jadra tlmivky. Tlmivky sú umiestnené v nádobe chladenej olejom. Ich základným parametrom je menovitý jednofázový výkon STl a menovité napätie siete. Pri poruche prechádza tlmivkou prúd netočivej zložkovej sústavy. V náhradnej schéme pre netočivú zložkovú sústavu sa uzlová tlmivka uplatňuje s reaktanciou X0 =3XTl. V náhradných schémach pre súslednú a spätnú zložkovú sústavu sa uzlová tlmivka neuplatňuje.

2.8 Kondenzátory Budeme sa zaoberať len výkonovými kondenzátormi pre frekvenciu 50 Hz. Ide o kondenzátorové batérie, ktoré vzniknú sériovým alebo paralelným spojením kondenzátorov, pričom straty činného výkonu dosahujú menej ako 0,5% ich menovitého výkonu.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy

97

2.8.1 Sériové kondenzátory Môžu sa používať v sieťach vn na zlepšenie napäťových pomerov a v sieťach vvn, zvn na parametrickú kompenzáciu parametrov vedení pre zlepšenie stability sústavy. Pre reaktanciu sériového kondenzátora platí:

XC = kde

1

ω Cs

=

Q In

Q 3In2

[Ω]

(2.160)

je menovitý výkon kondenzátora (MVAr), – menovitý prúd (kA).

Napätie na sériových kondenzátoroch sa mení úmerne s veľkosťou prúdu a kondenzátory sa tak uplatňujú ako veľmi účinný prostriedok pre zmenšenie zmien napätia pri zaťažení. Nevýhodou je, že pri nadprúdoch a najmä pri skratoch vznikajú na nich prepätia. Proti ich vzniku chránime kondenzátory prepäťovými ochranami s veľmi rýchlym pôsobením. Sériový kondenzátor ako celok sa musí izolovať voči napätiu proti zemi, preto ich umiestňujeme na izolačných podperách alebo na špeciálnych plošinách nesených závesnými izolátormi.

2.8.2 Paralelné kondenzátory Používajú sa prevažne v priemyslových sieťach do 1 kV. Základná schéma trojfázového kondenzátora je na obr. 2.39.

Obr.2.39

Trojfázový kondenzátor – zapojenie do hviezdy a do trojuholníka

Pri zapojení do trojuholníka jednofázový výkon bude:

Qf =

Uf = U 2ω C ∆ Ic

(2.161)

a trojfázový výkon:

Q = 3 U 2ω C∆

(2.162)

98

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy Pri zapojení do hviezdy jednofázový výkon bude:

Q f = U f Ic = U f 2ω CY

(2.163)

a trojfázový výkon:

Q = 3 Uf 2ω CY = U 2ω CY

(2.164)

Pri rovnakom jalovom výkone v oboch prípadoch platí: 3 U 2ω C ∆ = U 2ω CY

→

CY = 3C ∆

(2.165)

Pri zapojení do hviezdy je kapacita kondenzátora trojnásobná oproti zapojeniu do trojuholníka, preto je výhodnejšie použiť, ak je to možné, zapojenie do trojuholníka. Paralelný kondenzátor pripojujeme paralelne k spotrebiču, slúži na zlepšenie účinníka cos ϕ . Tým, že dodáva potrebný jalový výkon priamo zariadeniu (napr. indukčnému motoru), odľahčuje prívodné vedenie od dodávky jalového výkonu a zároveň zmenšuje uhol medzi napätím a prúdom u odberateľa, tým zlepšuje účinník cos ϕ .

2.9 Zhrnutie 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Základné elektrické parametre jednotlivých zariadení ES v náhradnej schéme sú rezistancia R, indukčnosť L, vodivosť G a kapacita C. Nesymetrickú sústavu riešime superpozíciou, pomocou rozkladu do troch symetrických sústav – súslednej, spätnej a netočivej. Elektrické parametre počítame v skutočných hodnotách prepočítaných na jednu napäťovú hladinu – na vzťažné napätie alebo v pomerných hodnotách. Synchrónny stroj nahradzujeme pre výpočet ustáleného stavu synchrónnou reaktanciou, na riešenie prechodného stavu (napr. pri výpočte dynamickej stability ES) prechodnou reaktanciou a pre výpočet skratových pomerov – rázovou reaktanciou. Transformátor nahradzujeme v súslednej zložkovej sústave T–článkom. Vinutie transformátora nahradzujeme v pozdĺžnej vetve impedanciou a magnetický obvod v priečnej vetve admitanciou. V netočivej zložkovej sústave nahradzujeme transformátor s využitím náhradných schém v tab. 2.2 a 2.3. Záťaž môžeme v náhradnej schéme modelovať ako impedanciu alebo admitanciu.

Elektrické parametre a náhradné schémy prvkov elektrizačnej sústavy 7. 8.

9.

10.

11. 12. 13. 14.

15.

Vedenie nahradzujeme v pozdĺžnej vetve rezistanciou a indukčnosťou a v priečnej vetve kapacitou a zvodom. Vplyv uzemňovacieho lana vonkajšieho vedenia má pre praktické výpočty zanedbateľný vplyv na súslednú a spätnú impedanciu. Uzemňovacie lano má vplyv na veľkosť kapacity vodiča voči zemi a na vzájomnú kapacitu medzi vodičmi. Symetrizácia (transpozícia) je cyklická výmena polohy jednotlivých vodičov vonkajšieho vedenia na stožiari na zabezpečenie symetrickej impedancie a admitancie vedenia v jednotlivých fázach. Pri vonkajších vedeniach zvn a uvn sa používajú zväzkové vodiče. Jedným z dôvodov ich použitia je zvýšenie kritického napätia koróny a tým zmenšenia strát spôsobených korónou. Sériová tlmivka (reaktor) sa používa na obmedzenie veľkosti skratových prúdov. Paralelná tlmivka sa používa na kompenzáciu kapacitného nabíjacieho výkonu na vedeniach vvn a zvn. Uzlová tlmivka sa používa na kompenzáciu poruchového kapacitného prúdu pri zemnom spojení vo vn sieťach. Sériový kondenzátor sa používa na parametrickú kompenzáciu pozdĺžnej impedancie, čím sa zlepšejú napäťové pomery v sústave a statickej stability ES. Paralelný kondenzátor sa používa sa na kompenzáciu účinníka, pripája k záťaži induktívneho charakteru.

2.10 Otázky a úlohy 2.1. Uveďte základné elektrické parametre prvkov ES, ich výpočet a nakreslite ich náhradné schémy v súslednej zložkovej sústave. Charakterizujte ich náhradu v zložkových sústavách. 2.2. Odvoďte indukčnosť a kapacitu vedenia s uvažovaním symetrizácie. 2.3. Charakterizujte vplyv uzemňovacieho lana na parametre vonkajšieho vedenia. 2.4. Vysvetlite prečo sa pri vedeniach zvn a uvn používajú zväzkové vodiče. 2.5. Vysvetlite dôvody použitia tlmivky v ES zapojenej sériovo, paralelne a v uzle transformátora. 2.6. Vysvetlite dôvody použitia kondenzátora v ES zapojeného sériovo a paralelne.

99

3 Riešenie vvn a zvn vedení Táto kapitola vás oboznámi s možnosťami náhrady vedení vvn a zvn a výpočtu napäťových, prúdových a výkonových pomerov na vedení. Po jej preštudovaní by ste mali vedieť: •

odvodiť základné rovnice homogénneho vedenia,

•

charakterizovať ideálne vedenie,

•

charakterizovať základné stavy vedenia – naprázdno, nakrátko a prispôsobené vedenie,

•

definovať a vypočítať vlnovú impedanciu, komplexný koeficient šírenia vĺn, prirodzený výkon vedenia,

•

vysvetliť vlnový charakter napätia a prúdu na vedení,

•

odvodiť rovnice a prenosové konštanty pre základné náhradné články vedenia a nakresliť fázorové diagramy,

•

urobiť výpočet napäťových, prúdových a výkonových pomerov na vedení pomocou náhradných článkov,

•

vysvetliť Ferrantiho jav,

•

vysvetliť princípy a dôvody použitia parametrickej kompenzácie na vedeniach vvn a zvn.

3.1 Úvod V tejto kapitole sa budeme zaoberať napäťovými, prúdovými a výkonovými pomermi na elektrických vedeniach, nahradenými úplným modelom, t.j. štvorpólom obsahujúcim pozdĺžnu impedanciu Z a priečnu admitanciu Y . Celková impedancia a admitancia vedenia je daná

Z = Z1 = (R1 + j ω L1 ) 

Y = Y1 = (G1 + j ω C1) 

[Ω] (3.1) [S]

Riešenie vvn a zvn vedení kde

Z1 R1 L1

Y1 G1 C1

ω 

je – – – – – – –

impedancia na jednotku dĺžky vedenia [Ω.km-1], rezistancia na jednotku dĺžky vedenia [Ω.km-1], indukčnosť na jednotku dĺžky vedenia [H.km-1], admitancia na jednotku dĺžky vedenia [S.km-1], konduktancia na jednotku dĺžky vedenia [S.km-1], kapacita na jednotku dĺžky vedenia [F.km-1], uhlová frekvencia [rad.s-1], dĺžka vedenia [km].

Vedenia v elektrizačnej sústave modelujeme obvodmi so sústredenými alebo rozloženými parametrami. Rozhodnutie o tom, ktorý spôsob je vhodné použiť, závisí na frekvencii sústavy, rýchlosti šírenia vĺn a na geometrických rozmeroch prenosových vedení. Pri harmonicky premennom elektromagnetickom poli je dĺžka vlny

v . Ak uvážime, že rýchlosť šírenia vĺn na vonkajšom vedení je f -1 približne v = c0 = 300 000 km.s a frekvencia 50 Hz, bude dĺžka vlny približne 6 000 km. Elektrické vedenia sú obvodmi, kde sa dĺžka vedenia pohybuje od desiatok metrov až po rádovo tisíce kilometrov. Náhrada elektrických vedení so sústredenými parametrami je možná len vtedy, ak dĺžka vedenia je malá v porovnaní s dĺžkou vlny. A naopak vedenie, ktorého dĺžka je porovnateľná s dĺžkou vlny a prejavuje sa konečná rýchlosť šírenia elektromagnetického poľa, je nutné nahradzovať vedenie modelom s rozloženými parametrami. Ak dáme do súvislosti dĺžku vedenia a veľkosť napätia, je zrejmé, že náhrada vedenia s rozloženými parametrami sa bude týkať hlavne vedení vvn, zvn a uvn. Vedenie nazývame homogénne, ak sú jeho elektrické parametre rozložené po celej dĺžke rovnomerne. λ=

3.2 Homogénne vedenia Odvodenie základných rovníc pre ľubovoľný časový priebeh napätia a prúdu vychádza z predpokladu, že vedenie má spojito rozložené elektrické parametre R, L, C, G po celej dĺžke, a ich hodnoty na jednotku dĺžky považujeme za konštantné. Rovnice pre homogénne vedenie odvodíme od konca vedenia, pretože v elektroenergetike sú väčšinou dané napäťové, výkonové a prúdové pomery na strane odberateľa, t.j. na konci vedenia. Pri odvodení vychádzame z týchto podmienok: na konci vedenia x = 0 poznáme U f 2 , I 2 a pre začiatok vedenia x =  vypočítame U f 1 , I1 .

101

102

Riešenie vvn a zvn vedení Vychádzame zo základného elementu vedenia dĺžky dx podľa obr. 3.1.

Obr.3.1 Element homogénneho vedenia

Podľa Kirchhoffových zákonov pre daný element vedenia môžeme napísať:

  ∂i ∂u uf −  uf + f dx  + R1dx i + L1dx = 0 ∂t ∂x      ∂u ∂i i −  i − dx  −  G1dx uf + C1dx f ∂t  ∂x  

  = 0 

(3.2)

Úpravou rovníc (3.2) dostaneme základné parciálne rovnice homogénneho vedenia, v ktorých je vyjadrená závislosť okamžitých hodnôt napätia a prúdu od času t a vzdialenosti od konca vedenia x: ∂i ∂ uf = R1 i + L1 ∂t ∂x ∂u ∂i = G1 uf + C1 f ∂t ∂x

(3.3)

Rovnice (3.3) platia všeobecne pre ľubovoľný priebeh napätia a prúdu. Ak budeme predpokladať ustálený stav a napätie a prúd harmonického priebehu (so zanedbaním vyšších harmonických), môžeme pre okamžité hodnoty napätia a prúdu napísať:

uf (x, t ) = U fm (x ) cos (ω t + ju (x ))

uf (x, t ) ≈ Re

{

2U f (x ) e jω t

}

i (x, t ) = I m (x ) cos (ω t + j i (x ))

i (x, t ) ≈ Re

{

2I (x ) e jω t

(3.4)

}

kde U f (x ), I (x ) sú komplexné fázory (efektívne hodnoty) a sú iba funkciou súradnice x.

Riešenie vvn a zvn vedení

103

Dosadením do rovníc (3.3) dostaneme: 2 ejωt 2e

jωt

∂ Uf = 2 e j ω t (R1 + j ω L1 )I (x ) ∂x ∂I = 2 e j ω t (G1 + j ω C1 ) U f (x ) ∂x

(3.5)

Vykrátením rovníc (3.5) 2 e j ω t dostaneme obyčajné diferenciálne rovnice (derivácia podľa času je nahradená operátorom jω)

dUf = (R1 + j ω L1 )I = Z1 I dx dI = (G1 + j ω C1 )Uf = Y1 Uf dx

(3.6)

Derivovaním rovníc (3.6) podľa x a vzájomným dosadením dostaneme pre napätie a prúd:

d 2Uf dI = (R1 + j ω L1 ) = Z1 Y1 Uf 2 dx dx d 2I dUf ( ) ω = + = Z1 Y1 I G j C 1 1 dx dx 2

(3.7)

Definujeme komplexný koeficient šírenia vĺn γ

γ =

(R1 + j ω L1 )(G1 + j ω C1 )

(3.8)

Komplexný koeficient šírenia vĺn γ zapíšeme v zložkovom tvare

γ = β + jα kde

β α

(3.9) je koeficient tlmenia [Np.km-1] – fázová konštanta [rad.km-1]

Koeficient tlmenia β vyjadruje útlm amplitúdy vlny (napätia alebo prúdu) na jednotku dĺžky vedenia a fázová konštanta α vyjadruje fázový posun vlny na jednotku dĺžky vedenia. Rovnice (3.7) môžeme napísať v tvare

d 2Uf = γ 2 Uf 2 dx d 2I =γ 2 I 2 dx a nazývame ich telegrafné rovnice homogénneho vedenia.

(3.10)

104

Riešenie vvn a zvn vedení Rovnice (3.10) sú homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi a platia pre ustálený chod a harmonický priebeh napätia a prúdu. Obecné riešenie telegrafnej rovnice pre napätie je v tvare

U f = K1e γ x + K 2e −γ x kde

K1, K2

(3.11)

sú integračné konštanty.

Rovnicu (3.11) zderivujeme podľa x

(

)

Z rovníc (3.6) platí

dUf = Z1I dx

dUf = γ K1e γ x − K 2e − γ x dx

(3.12)

Potom obecné riešenie telegrafnej rovnice pre prúd je :

I=

(

γ K1eγ x − K 2e − γ x Z1

Ďalej upravíme časť

γ = Z1

)

(3.13)

γ : Z1

(R1 + j ω L1 )(G1 + j ω C1 )

(

R1 + j ω L1

)

2

=

(G1 + j ω C1 ) (R1 + j ω L1 )

(3.14)

Definujeme vlnovú (charakteristickú) impedanciu vedenia

Z0 =

(R1 + j ω L1 ) (G1 + j ω C1 )

[Ω]

(3.15)

Obecné riešenie telegrafných rovníc pre napätie a prúd je v tvare

U f = K1e γ x + K 2e −γ x I =

1

Z0

(K e 1

γ x

− K 2e − γ x

)

(3.16)

Integračné konštanty K1, K2 odvodíme z okrajovej podmienky pre koniec vedenia: x = 0, U f (x = 0 ) = U f 2 , I (x = 0 ) = I 2

Riešenie vvn a zvn vedení

105

Rovnice (3.16) (s rešpektovaním okrajovej podmienky) môžeme napísať ako

U f 2 = K1 + K 2

(3.17)

I 2 Z0 = K1 − K 2

Riešením systému rovníc (3.17) sú integračné konštanty K1, K2

K1 = K2 =

U f 2 + I 2 Z0 Uf 2

2 − I 2 Z0

(3.18)

2

Pre napätie a prúd v ľubovoľnom mieste vo vzdialenosti konca vedenia platí:

U f (x ) =

U f 2 + I 2 Z0 2

eγ x +

U f 2 − I 2 Z0 2

x od

e −γ x

U +I Z U −I Z I (x ) = f 2 2 0 e γ x − f 2 2 0 e − γ x 2Z0 2Z0

(3.19)

Rovnice (3.19) môžeme zapísať pomocou hyperbolických funkcií v tvare

U f (x ) = U f 2 cosh(γ x ) + I 2 Z0 sinh(γ x ) I (x ) = I 2 cosh(γ x ) +

Uf 2 sinh(γ x ) Z0

(3.20)

Pre hyperbolické funkcie platí sinh(γ x ) =

e γ x − e −γ x

cosh(γ x ) =

e

γx

2 + e −γ x 2

(3.21)

Napätie a prúd na začiatku vedenia určíme, ak x =  .

U f 1 = U f 2 cosh(γ  ) + I 2 Z0 sinh(γ  ) I1 = I 2 cosh(γ  ) +

Uf 2 sinh(γ  ) Z0

(3.22)

Výkon na začiatku vedenia je daný

S1 = 3 Uf 1 I1∗

(3.23)

Straty výkonu na vedení

∆S = S1 − S2 = ∆P ± j ∆ Q

(3.24)

106

Riešenie vvn a zvn vedení kde S2 je odoberaný výkon na konci vedenia. Úbytok napätia na vedení bude

∆U = U f 1 − U f 2

(3.25)

3.2.1 Vlnový charakter šírenia napätia a prúdu Pre analyzovanie napäťových a prúdových pomerov na vedení budeme vychádzať z odvodenia od začiatku vedenia, t.j. z podmienok: na začiatku vedenia x ′ = 0 poznáme U f 1 , I1 a pre koniec vedenia x ′ =  vypočítame U f 2 , I 2 . Pre napätie a prúd v ľubovoľnom mieste vo vzdialenosti x ′ od začiatku vedenia platí:

U f (x ′) =

U f 1 − I1Z0 2

e γ x′ +

U f 1 + I1Z0 2

e − γ x′

U +I Z U −I Z I (x ′) = f 1 1 0 e − γ x′ − f 1 1 0 e γ x′ 2Z0 2Z0

(3.26)

Alebo v hyperbolickom tvare

U f (x ′) = U1f cosh(γ x ′) − I1Z0 sinh(γ x ′) I (x ′) = I1 cosh(γ x ′) −

(3.27)

U1f sinh(γ x ′) Z0

V rovniciach (3.26) označme

A1 =

U f 1 + I1Z0

A2 =

U f 1 − I1Z0

2 U +I Z B1 = f 1 1 0 2Z0

2 U −I Z B2 = − f 1 1 0 2Z0

A1 = A1 e ϕ (ω t + ϕ1)

A2 = A2 e ϕ (ω t + ϕ2 )

B1 = B1 e ϕ (ω t + ψ1)

(3.28)

B2 = B2 e ϕ (ω t + ψ 2 )

Dosadením rovníc (3.28) do rovnice (3.26) dostaneme

U f (x ′) = A2e j (ω t +j 2 +α x′)e β x′ + A1e j (ω t +j1−α x′)e − β x′ I (x ′) = B1e j (ω t +ψ1−α x′)e − β x′ + B2e j (ω t +ψ 2 +α x′)e β x′

(3.29)

Riešenie vvn a zvn vedení

107

Okamžitá hodnota napätia a prúdu je reálna časť komplexného fázoru napätia a prúdu

{

}

uf (x ′,t ) = Re 2Uf (x ′,t )

{

}

i (x ′,t ) = Re 2I (x ′,t )

(3.30)

Využitím Eulerovho vzorca

e j x = cos(x ) + j sin(x )

(3.31)

rovnice (3.30) dostanú tvar

u f (x ′, t ) = 2 A1e − β x′ cos (ω t + ϕ1 − α x ′) + + 2 A2e β x′ cos (ω t + ϕ 2 + α x ′)

(3.32)

i (x ′, t ) = 2B1e − β x′ cos (ω t + ψ 1 − α x ′) +

+ 2B2e β x′ cos (ω t + ψ 2 + α x ′)

Obidve zložky v rovniciach (3.32) sú harmonické funkcie. Časť

rovnice

2 A1e − β x′ cos (ω t + ϕ1 − α x ′) = U p

sa

nazýva

postupujúca (priama) vlna a jej amplitúda je exponencionálne tlmená e − β x′ od začiatku ku koncu vedenia. Druhá časť 2 A2e β x′ cos (ω t + ϕ 2 + α x ′) = U s je tzv. vlna odrazená (spätná) a jej amplitúda sa zmenšuje od konca vedenia.

Obr.3.2 Postupujúca vlna napätia

Obr.3.3 Spätná vlna napätia

Súčet postupujúcej a odrazenej vlny udáva okamžitú veľkosť napätia (prúdu) v danom čase a v danom mieste na vedení.

108

Riešenie vvn a zvn vedení To znamená, že ustálený stav napätia a prúdu je možné uvažovať ako superpozíciu postupujúcich a spätných vĺn, ktoré sa pohybujú po vedení proti sebe rovnakou fázovou rýchlosťou v. Opis napätia a prúdu ako priamej a odrazenej vlny šíriace sa po vedení je matematická interpretácia fyzikálnej skutočnosti – zmeny fázy a amplitúdy napätia a prúdu na vedení. Pre postupujúcu aj spätnú vlnu uvažujeme rovnakú fázovú rýchlosť, ktorá je daná vzťahom

v=

c0 µr ε r

kde

c0

mr εr

(3.33) je rýchlosť svetla vo vákuu [km.s-1], – relatívna permeabilita prostredia, – relatívna permitivita prostredia.

Pre vonkajšie vedenia ( µ r = ε r = 1) je fázová rýchlosť šírenia vĺn približne rovná c0, t.j. 300 000 km.s-1. Fázovú rýchlosť môžeme definovať aj ako rýchlosť zmeny polohy bodu s konštantnou fázou kmitania:

ω t + ϕ1 − α x ′ = konšt. ⇒ x ′ = (ω t + ϕ1 − konšt.)

v=

1

α

dx ′ ω = dt α

(3.34)

(3.35)

Z toho vyplýva, že fázová konštanta α pre vonkajšie vedenia pri frekvencii 50 Hz je približne:

a=

ω 2π f 2π 50 = = = 1,05.10 −3 rad.km −1 v v 300000

(3.36)

Vzdialenosť medzi najbližšími bodmi na vedení, v ktorých rozdiel fáz vlny je práve 2π, je dĺžka vlny λ. Potom platí:

ω t + ϕ 1 − α x ′ = ω t + ϕ 1 − α (x ′ + λ ) + 2π ⇒ λ =

2π

α

(3.37)

Pre vonkajšie vedenie je dĺžka vlny približne 6000 km. Pre káblové vedenia je µ r = 1 a ε r = 4 , rýchlosť vlny bude 300 000 v 150 000 -1 = 3000 km v= = 150 000 km.s , dĺžka vlny λ = = f 50 4 pri frekvencii 50 Hz.

Riešenie vvn a zvn vedení

109

3.2.2 Prevádzkové stavy homogénneho vedenia Keď odhliadneme od prechodových a poruchových stavov dlhých vedení a našu pozornosť venujeme stacionárnemu stavu vedenia, možno hovoriť o nasledujúcich prevádzkových stavoch:  vedenie ukončené ľubovoľnou zaťažovacou impedanciou, t.j. obvyklý prevádzkový stav,  vedenie naprázdno,  vedenie nakrátko – tento stav je obyčajne poruchový, v stacionárnom prípade je výnimočný a vyskytuje sa pri prevádzkových meraniach na vedeniach,  prispôsobené vedenie, ak je vedenie zaťažené vlnovou impedanciou. 3.2.2.1 Vedenie zaťažené obecnou impedanciou Z 2 Z odvodenia homogénneho vedenia od konca vedenia platí

Uf (x ) = U p + Us

(3.38)

I (x ) = I p − Is kde

Up =

U f 2 + I 2 Z0

eγ x

2 U −I Z Us = f 2 2 0 e −γ x 2 U +I Z I p = f 2 2 0 eγ x 2Z0

Is =

U f 2 − I 2 Z0 − γ x e 2Z0

je

postupujúca vlna napätia,

–

spätná vlna napätia,

–

postupujúca vlna prúdu,

–

spätná vlna prúdu.

Podiel postupujúcej vlny napätia a prúdu a podiel spätnej vlny napätia a prúdu je práve vlnová impedancia Z 0 :

U f 2 + I 2 Z0 γ x e Up U 2 = = Z0 = s U f 2 + I 2 Z0 γ x Is Ip e 2Z0

(3.39)

110

Riešenie vvn a zvn vedení Pomer spätnej a postupujúcej koeficientom odrazu ρ :

U f 2 − I 2 Z0

vlny

napätia

nazývame

−γ x

e Us U −I Z 2 = = f 2 2 0 e−2γ x ρ= Up U f 2 + I 2 Z0 γ x U f 2 + I 2 Z0 e

(3.40)

2

Keďže platí

Z2 =

Uf 2 I2

(3.41)

potom

ρ=

Z 2I 2 − I 2 Z 0 − 2 γ x Z 2 − Z 0 − 2 γ x = e e Z 2I 2 + I 2 Z 0 Z 2 + Z0

(3.42)

Uvažujeme riešenie vedenia od konca, preto je x = 0, potom koeficient odrazu je

ρ=

Z 2 − Z0 Z 2 + Z0

(3.43)

3.2.2.2 Stav vedenia naprázdno Vedenie je na konci rozpojené Z 2 = ∞ , I2 = 0 . Koeficient odrazu bude

ρ=

Z 2 − Z0 =1 Z 2 + Z0

(3.44)

Zo základných hyperbolických rovníc pre stav vedenia naprázdno vyplýva

U f 1 = U f 2 cosh(γ x ) I1 =

Uf 2 sinh(γ x ) Z0

(3.45)

Prenášaný výkon pri tomto stave má kapacitný charakter, prúd I1 je v podstate kapacitný nabíjací prúd vedenia. Stav naprázdno sa vyznačuje tým, že napätie na začiatku vedenia je nižšie ako na konci ( cosh(γ x ) < 1) – tento jav nazývame Ferrantiho jav. Je to nepriaznivý stav, pretože vysoké napätia na konci vedenia môžu poškodiť izoláciu zariadení. Tento stav môže nastať aj pri málo zaťažených vedeniach. Na riešenie daného problému je možné využiť parametrickú kompenzáciu.

Riešenie vvn a zvn vedení

111

3.2.2.3 Stav vedenia nakrátko V tomto prípade Z 2 = 0 a U 2 = 0 . Koeficient odrazu bude

ρ=

Z 2 − Z0 = −1 Z 2 + Z0

(3.46)

Zo základných hyperbolických rovníc pre stav vedenia nakrátko vyplýva

U f 1 = I 2 Z0 sinh(γ x ) I1 = I 2 cosh(γ x )

(3.47)

Stav vedenia nakrátko je poruchový stav, ktorý je charakterizovaný vysokými hodnotami prúdov, ktoré sú svojimi dynamickými a tepelnými účinkami nebezpečné pre vedenie. 3.2.2.4 Vedenie zaťažené Z 2 = Z0 Tento stav prevádzky sa považuje po energetickej stránke za optimálny. V takomto prípade, keď Z 2 = Z0 , bude U 2 f = I 2 Z0 a koeficient odrazu sa rovná nule, odraz nenastáva.

ρ=

Z 2 − Z0 =0 Z 2 + Z0

(3.48)

Postupujúca vlna napätia na konci vedenia bude

U p = Uf 2

1 = Uf 2 1+ ρ

(3.49)

a odrazená vlna napätia na konci vedenia

Us = Uf 2

ρ 1+ ρ

=0

Pre bezodrazové dlhé vedenie, keď Z 2 = Z0 , platí

(3.50)

U f (x ) = Z0 , čiže I (x )

v ľubovolnom mieste vedenia sa bude podiel efektívnej hodnoty fázového napätia k efektívnej hodnote prúdu rovnať vlnovej impedancii. Zároveň platí, že fázový posun medzi napätím a prúdom bude po celej dĺžke vedenia konštantný.

112

Riešenie vvn a zvn vedení Prenášaný trojfázový výkon bude

S2 = 3 U f 2 I 2∗ = 3 U f 2

U f∗2 U 22 = Z0∗ Z0∗

(3.51)

a nazýva sa prirodzený výkon Sp . Priemerné hodnoty vlnovej impedancie a prirodzených výkonov vonkajších a káblových vedení vvn, zvn a uvn sú uvedené v tab. 3.1 a tab. 3.2. Tab.3.1 Vlnová impedancia a prirodzený výkon pre vonkajšie vedenia Vonkajšie vedenia Menovité združené napätie [kV] 110 220 390 390 Vlnová impedancia [Ω] Prirodzený výkon [MVA] 30 120

400 290 550

765 280 2100

1100 270 4500

Tab.3.2 Vlnová impedancia a prirodzený výkon pre káblové vedenia Káblové vedenia Menovité združené napätie [kV] 110 40 Vlnová impedancia [Ω] Prirodzený výkon [MVA] 300

220 40 1200

400 30 5500

3.2.3 Ideálne vedenie (vedenie bez strát) Ideálne vedenie (vedenie bez strát) v skutočnosti neexistuje, ale vedenia zvn a uvn sa k nemu svojimi elektrickými parametrami (veľmi malá rezistancia R voči indukčnosti L a veľmi malá konduktancia G voči kapacite C) približujú. Pre reálne vedenia 220 kV bez použitia zväzkových vodičov je pomer X : R = 5 : 1, pri trojzväzkovom vodiči na 400 kV je X : R = 11 : 1. Pri štvorzväzkovom vodiči 765 kV vedenia bude tento pomer ešte výraznejší, preto je ich možné považovať za ideálne vedenie. Potom impedancia ideálneho vedenia na jednotku dĺžky je približne

Z1 = j ω L1 = j X 1

(3.52)

Pozdĺžna impedancia ideálneho, bezstratového vedenia pozostáva len z imaginárnej zložky. Podobne je to aj pri priečnej admitancii. Vysoké izolačné vlastnosti vedení znižujú straty zvodom na minimum, straty korónou použitím viaczväzkových vodičov sa v normálnej prevádzke takmer vylučujú a tak priečna admitancia je približne rovná

Y1 = j ω C1 = j B1

(3.53)

Riešenie vvn a zvn vedení

113

Koeficient šírenia vĺn ideálneho vedenia je

( j ω L1 jω C1 ) = j ω

γ =

L1 C1 = 0 + j α

(3.54)

Z toho vyplýva, že pri bezstratovom vedení je koeficient tlmenia β nulový, amplitúda napätia a prúdu sa nemení, mení sa iba fáza, t.j. fázová konštanta

α = ω L1 C1

(3.55)

Zo vzťahu (3.35) vyplýva aj úprava rovnice pre rýchlosť šírenia vlny pre ideálne vedenie

v=

1 ω = α L1 C1

(3.56)

Dĺžka vlny napätia na ideálnom vedení bude

λ=

2π

α

=

2π

(3.57)

ω L1 C1

Vlnová impedancia Z0 ideálneho vedenia je reálna hodnota

Z0 =

j ω L1 L1 = = Z0 j ω C1 C1

(3.58)

Prirodzený výkon ideálneho vedenia je činný výkon

U 22 Sp = = Pp Z0

(3.59)

Základné rovnice ideálneho vedenia sa zmenia nasledovne

U f (x ) = U f 2 cos(α x ) + j I 2 Z0 sin(α x ) I (x ) = I 2 cos(α x ) + j

Uf 2 sin(α x ) Z0

(3.60)

Pretože γ = j α a cosh ( j α x ) = cos (α x ) ; sinh ( j α x ) = j sin (α x ) . Ideálne vedenie zaťažené na konci ľubovoľnou impedanciou Z2 bude mať podobné prevádzkové pomery ako normálne vedenie. Pri Z 2 ≠ Z0 sa vyskytnú čiastočné odrazy vĺn a nebude využitá celá prenosová kapacita vedenia. Pri Z 2 = Z0 bude bezstratové vedenie bezodrazové a môže byť plne využité.

114

Riešenie vvn a zvn vedení

3.2.3.1 Ideálne vedenie naprázdno a nakrátko Pri stave naprázdno I2 = 0 a Z 2 = ∞ , pre ideálne vedenie β = 0 . Potom koeficient odrazu vlny bude

ρ=

Z 2 − Z0 =1 Z 2 + Z0

(3.61)

a nastáva úplný odraz napäťovej vlny. Základné rovnice (3.45) pre ideálne vedenia budú

U f 1 = U f 2 cos (α x )

U I1 = f 2 j sin (α x ) Z0

(3.62)

Pri stave nakrátko bude Z 2 = 0 a U f 2 = 0 , pre ideálne vedenie β = 0 . Koeficient odrazu vlny bude

ρ=

Z 2 − Z0 = −1 Z 2 + Z0

(3.63)

Napätie a prúd na začiatku vedenia budú

U f 1 = j I 2 Z0 sin (α x )

I1 = I 2 cos (α x )

(3.64)

3.2.3.2 Ideálne vedenie ukončené impedanciou Z 2 = Z0 Situácia pri ideálnom vedení pre Z 2 = Z0 sa oproti reálnemu vedeniu líši v tom, že vlnová impedancia (keďže R1 = 0 a G1 = 0 ) nie je komplexným, ale reálnym číslom a jej argument je rovný nule. To znamená, že fázový posun medzi napätím a prúdom je nulový, (prúd I (x ) je po celej dĺžke vedenia vo fáze s napätím Uf (x ) ) a oproti U f 2 a I 2 sú pootočené o elektrickú dĺžku t.j. o α x .

Riešenie vvn a zvn vedení

115

Pri Z 2 = Z0 je ρ = 0 , nenastáva odraz a základné rovnice pre prispôsobené ideálne vedenie budú

U f (x ) = U f 2 cos (α x ) + j I 2 Z0 sin (α x ) = = U f 2 cos (α x ) + j

Uf 2 Z sin (α x ) = Z0 0

(3.65)

= U f 2 (cos (α x ) + j sin (α x )) = U f 2 e j α x = U f 2 ∠α x

I x = I 2 cos (α x ) + j = I 2 cos (α x ) + j

Uf 2 sin (α x ) = Z0 I 2 Z0 sin (α x ) = Z0

(3.66)

= I 2 (cos (α x ) + j sin (α x )) = I 2 e j α x = I 2 ∠α x Prevádzka ideálneho vedenia zaťaženého prirodzeným výkonom (keď Z 2 = Z0 ) sa vyznačuje ďalšou zaujímavosťou. Keďže platí vzťah

U f (x ) = Z0 I (x ) =

L1 I (x ) C1

(3.67)

a vzhľadom na skutočnosť, že pri ideálnom vedení je Z0 reálne číslo, platí pre komplexne združené hodnoty vzťah

Uf∗ (x ) = Z0 I ∗ (x )

(3.68)

Po vynásobení oboch rovníc (3.67) a (3.68) dostaneme

Uf (x )Uf∗ (x ) =

L1 I (x )I ∗ (x ) ⇒ C1 Uf2 (x ) = L1 I 2 (x ) C1

(3.69)

Z rovnice (3.69) vyplýva, že energia elektrického poľa sa rovná energii magnetického poľa. Vedenie sa teda samokompenzuje , t.j. kapacitný nabíjací výkon vedenia a spotrebovaný induktívny výkon na pozdĺžnej reaktancii vedenia sa negujú, a vedenie je zaťažené iba činným výkonom. Pozdĺž celého vedenia nedochádza ani k úbytku napätia, ani k priečnemu toku prúdu. Závislosť napätia na začiatku a na konci ideálneho vedenia od prenášaného činného výkonu je na obr. 3.4. Ak prenášame prirodzený výkon sú napätia na začiatku a na konci ideálneho vedenia rovnaké. Ak prenášame nižší výkon ako prirodzený, je kapacitný nabíjací výkon vyšší ako spotrebovaný induktívny výkon, napätie na začiatku je menšie ako na konci. Ak prenášame vyšší výkon, je vyššie napätie na začiatku vedenia.

116

Riešenie vvn a zvn vedení

Obr.3.4 Závislosť napätia na začiatku a na konci ideálneho vedenia od prenášaného činného výkonu

3.3 Náhrada vedení pomocou štvorpólov Pokiaľ nie je potrebné podrobne poznať napäťové a prúdové pomery na dlhých vedeniach, môžeme tieto nahradiť vhodným štvorpólom. Ide o náhradu pomocou tzv. náhradných článkov. Určenie ustáleného stavu na vedení pomocou náhradných článkov je založené na predpoklade, že parametre vedenia nebudú rovnomerne rozložené, ale budú koncetrované čiže sústredené. Pre náhradu vedení sa obvykle používajú Π, T, Γ a Steinmetzov článok. Na základe teórie štvorpólov môžeme pre fázory napätí a prúdov na začiatku a konci vedenia napísať vzťahy: Uf 1  =  I1 

 A B  Uf 2     C D   I2 

(3.70)

alebo Uf 2   =  I2 

 D − B   − C A 

Uf 1 I1 Uf 2 I2 A, B , C , D

kde

Uf 1    I1 

je fázové napätie na začiatku vedenia, – – – –

prúd na začiatku vedenia, fázové napätie na konci vedenia, prúd na konci vedenia, komplexné konštanty (Blondelove konštanty).

Riešenie vvn a zvn vedení

117

Z teórie štvorpólov je známe, že konštanty A , B , C , D musia spĺňať podmienku A D − B C = 1 . Ďalej pre symetrický štvorpól platí A = D .

3.3.1 Náhradný Π – článok Náhradný Π − článok je vytvorený tak, že celková pozdĺžna impedancia vedenia Z je sústredená do stredu vedenia a celková priečna admitancia Y je rozdelená na dve polovice Y 2 , ktoré sú zapojené na začiatku a konci vedenia. Schéma Π − článku je uvedená na obr. 3.5.

Obr.3.5 Náhradná schéma Π − článku

Pre určenie napäťových a prúdových pomerov na začiatku vedenia pomocou Π − článku vychádzame zo známych parametrov vedenia a zo známych fázorov napätia a prúdu na konci vedenia. Na základe I. a II. Kirchhoffovho zákona pre prúdy a napätia v Π − článku platí:

I1 − I ′′ − I = 0

(3.71)

I − I ′ − I2 = 0

(3.72)

− Uf 1 + Uf 2 + I Z = 0

(3.73)

Pre prúdy I ′ a I ′′ môžeme napísať:

ω C G = Uf 2  + j  2 2  2

(3.74)

ω C G = U f 1 + j  2 2  2

(3.75)

I ′ = Uf 2

Y

I ′′ = Uf 1

Y

118

Riešenie vvn a zvn vedení Dosadením a úpravou vzťahu (3.73) dostávame pre napätie na začiatku vedenia:

   Y ZY Uf 1 = Uf 2 + I Z = Uf 2 +  I2 + Uf 2 Z = Uf 2 1 + 2 2   

  + I2 Z 

(3.76)

Dosadením a úpravou vzťahu (3.71) dostaneme pre prúd na začiatku vedenia:

 Y  ZY  Y  + I 2 Z  + I 2 + U f 2 = I1 = I ′′ + I =  U f 2  1 + 2  2   2   ZY 2  ZY  + I 2  1 + = U f 2 Y + 4  2  

  

(3.77)

Z uvedených vzťahov pre Blondelove konštanty A , B , C , D pre symetrický Π − článok platí:

A = D = 1+

ZY 2

B =Z

(3.78)

 ZY   C = Y  1 + 4  

Fázorový diagram pre Π – článok zaťažený výkonom induktívneho charakteru je uvedený na obr. 3.6.

Obr.3.6 Fázorový diagram pre náhradný Π – článok

Náhradný Π − článok poskytuje dostatočne presné výpočty pre vonkajšie vedenia do dĺžky 300 km, pre káblové vedenia do 100 km.

Riešenie vvn a zvn vedení

119

3.3.2 Náhradný T – článok Náhradný Τ − článok je vytvorený tak, že celková priečna admitancia Y je sústredená do stredu vedenia a celková pozdĺžna impedancia vedenia Z je rozdelená na dve polovice Z 2 , ktoré sú zapojené na začiatku a konci vedenia. Schéma Τ − článku je na obr. 3.7.

Obr.3.7 Náhradná schéma Τ − článku

Na základe I. a II. Kirchhoffovho zákona pre prúdy a napätia v Τ − článku platí:

I1 − I − I2 = 0

(3.79)

− Uf 1 + Uf 2 + I1

Uf = Uf 2 + I2

Z 2

+ I2

Z 2

=0

(3.80)

Z

(3.81)

2

Pre prúd I platí:

 Z I = Uf Y =  Uf 2 + I2 Y 2 

(3.82)

Dosadením (3.82) do vzťahu (3.79) a ďalšou úpravou vzťahu dostaneme pre prúd I1 vzťah

  Z ZY I1 = I + I 2 =  U f 2 + I 2 Y + I 2 = U f 2Y + I 2  1 + 2 2  

  

(3.83)

120

Riešenie vvn a zvn vedení Dosadením (3.83) do vzťahu (3.80) a jeho úpravou dostaneme vzťah pre napätie Uf 1   ZY Uf 1 = Uf 2 +  Uf 2Y + I 2  1 + 2    ZY = U f 2  1 + 2 

 Z Z   + I 2 = 2  2

  Z 2Y  + I 2  Z + 4  

   

(3.84)

Z uvedených vzťahov pre Blondelove konštanty A , B , C , D pre symetrický Τ − článok platí:

A = D = 1+

ZY

2  ZY   B = Z  1 + 4   C =Y

(3.85)

Fázorový diagram pre T–článok a induktívny charakter záťaže je uvedený na obr. 3.8.

Obr.3.8 Fázorový diagram pre náhradný T – článok

Náhradný Τ − článok poskytuje podobne ako Π – článok dostatočne presné výpočty pre vonkajšie vedenia do dĺžky 300 km, pre káblové vedenia do 100 km.

3.3.3 Steinmetzov článok Steinmetzov článok je kombináciou predchádzajúcich dvoch článkov (Π a T – článku). Niektorí autori uvádzajú, že ide o kombináciu Γ a Π – článku. Zapojenie Steinmetzovho článku je také, že celková pozdĺžna impedancia Z je rozdelená na dve polovice Z 2 , ktoré sú zapojené na začiatku a konci vedenia. Celková priečna admitancia Y je rozdelená tak, že na začiatku

Riešenie vvn a zvn vedení

121

a konci vedenia je zapojené po jednej šestine celkovej admitancie Y a štyri šestiny t.j. dve tretiny 2 Y sú zapojené do stredu 3 6 vedenia. Schéma Steinmetzovho článku je uvedená na obr. 3.9.

Obr.3.9 Náhradná schéma Steinmetzovho  článku

Na základe I. a II. Kirchhoffovho zákona pre prúdy a napätia v Steinmetzovom článku platí:

I1 − I ′′ − I − I ′ − I2 = 0 − Uf 1 + Uf 2 +

Uf = Uf 2 +

Z 2

(3.86)

Z ( I2 + I ′) + (I2 + I ′ + I ) = 0 2 2

(3.87)

(I2 + I ′)

(3.88)

Z

Pre prúdy I ′ , I a I ′′ platí:

Y

I ′ = Uf 2 I = Uf =

6

 2 2  Z Y = Y U f 2 + I 2 + I ′  = 3 3  2 

(

)

2  Z Y  Y U f 2 +  I 2 + U f 2   3  2 6 

I ′′ = U f 1 =

Y 

 Z Z =  U f 2 + I 2 + I ′ + I 2 + I ′ + I  = 6 6 2 2 

Y

Y 

Uf 2 +

6

+

Z  2 

(

)

(

)

Z

Y  I 2 + U f 2  + 2 6

I2 + Uf 2

2  Z Y  + Y  U f 2 +  I 2 + U f 2     6 3  2 6     

Y

(3.89)

122

Riešenie vvn a zvn vedení Dosadením za I ′ , I a I ′′ do vzťahu (3.86) a úpravou vzťahu dostaneme vzťah pre prúd I1 :

I1 = I2 + Uf 2 +

Z Y  2  + Y  Uf 2 +  I2 + Uf 2   + 6 3  2 6 

Y

Y 

Z Y Uf 2 +  I2 + Uf 2  +  6 2 6 +

Z  2 

I2 + Uf 2

Z Y  2  + Y  Uf 2 +  I2 + Uf 2     6 3  2 6     

Y

(3.90)

  5Z Y Z 2Y 2    Z Y Z 2Y 2        = Uf 2 Y 1 + +   + I2  1 + 2 + 36   36 216     

Dosadením za I ′ , I a I ′′ do vzťahu (3.87) a jeho úpravou dostaneme vzťah pre napätie Uf 1 :

Uf 1 = Uf 2 + +

Z  2 

Y  I2 + Uf 2  2 6

Z

I2 + Uf 2

Z Y  2  + Y  Uf 2 +  I2 + Uf 2    6 3  2 6   

Y

  ZY  Z Y Z 2Y 2   + I2  Z  1 + = Uf 2  1 + +   2 36  6   

(3.91)

   

Z uvedených vzťahov pre Blondelove konštanty A , B , C , D pre symetrický Steinmetzov článok platí:

A = D = 1+

ZY

2  ZY   B = Z  1 + 6  

+

Z 2Y 2 36

 5Z Y Z 2Y 2   + C = Y  1 +  36 216  

(3.92)

Riešenie vvn a zvn vedení

123

Fázorový diagram pre Steinmetzov článok a induktívny charakter záťaže je uvedený na obr. 3.10.

Obr.3.10

Fázorový diagram pre Steinmetzov článok

Steinmetzov článok poskytuje dostatočne presné výpočty pre vonkajšie vedenia do dĺžky 500 km, pre káblové vedenia do cca 150 – 200 km. Ide o najpresnejší článok.

3.3.4 Náhradný Γ – článok Náhradný Gama − článok je vytvorený tak, že celková priečna admitancia Y je zapojená na začiatku a celková pozdĺžna impedancia vedenia Z je sústredená do stredu vedenia. Schéma Γ − článku je uvedená na obr. 3.11.

Obr.3.11

Náhradný Γ – článok

Na základe I. a II. Kirchhoffovho zákona pre prúdy a napätia v Γ − článku platí:

I1 − I − I2 = 0

(3.93)

− Uf 1 + I2 Z + Uf 2 = 0

(3.94)

Pre prúd I platí:

I = Uf 1Y

(3.95)

124

Riešenie vvn a zvn vedení Úpravou (3.94) dostaneme vzťah pre napätie Uf 1 :

Uf 1 = Uf 2 + I2 Z

(3.96)

Dosadením (3.95) a (3.96) do vzťahu (3.93) a jeho úpravou dostaneme vzťah pre prúd I1 :

I1 = I + I 2 = (I 2 Z + U f 2 )Y + I 2 = U f 2Y + I 2 (1 + Z Y )

(3.97)

Z uvedených vzťahov pre Blondelove konštanty A , B , C , D pre Γ – článok platí:

A =1 B =Z

(3.98)

C =Y D = 1+ ZY

Fázorový diagram pre Γ – článok a induktívny charakter záťaže je uvedený na obr. 3.12.

Obr.3.12

Fázorový diagram pre Γ – článok

Náhradný Γ – článok poskytuje dostatočne presné výpočty pre vonkajšie vedenia do dĺžky 100 km, pre káblové vedenia do 25 km

3.3.5 Sériové a paralelne radenie štvorpólov V praxi sa často stretávame s diaľkovými prenosmi, pri ktorých ide o zložené vedenia, t.j. vedenia spojené za sebou (sériovo) alebo vedľa seba (paralelne), pričom nemajú rovnaké parametre. Nerovnaké parametre môžu byť dôsledkom iných vodičov použitých pre jednotlivé vedenia prípadne iné usporiadanie vodičov na stožiaroch prípadne sú použité odlišné typy stožiarov. V nasledovnej časti určíme komplexné konštanty takýchto zložených štvorpólov.

Riešenie vvn a zvn vedení

125

3.3.5.1 Sériové radenie štvorpólov Na obr. 3.13 je uvedený príklad sériového radenia štvorpólov. Ide o prípad dvoch vedení zapojených za sebou s rozdielnymi parametrami. Nech prvé vedenie má komplexné konštanty A1, B1, C1, D1 . Napätie a prúd na začiatku prvého vedenia budú Uf 1 a I1 . Napätie a prúd na konci prvého vedenia budú Uf 2 a I2 . Druhé vedenie bude mať komplexné konštanty A2 , B2 , C2 , D2 . Napätie a prúd na začiatku druhého vedenia budú Uf 2 a I2 . Napätie a prúd na konci druhého vedenia budú Uf 3 a I3 .

Obr.3.13

Sériové radenie štvorpólov

Pre napätie na začiatku prvého vedenia môžeme napísať:

Uf 1 = A1Uf 2 + B1I2

(3.99)

a pre prúd na začiatku prvého vedenia

I1 = C1Uf 2 + D1I2

(3.100)

Podobne pre napätie na začiatku druhého vedenia môžeme napísať:

Uf 2 = A2Uf 3 + B2I3

(3.101)

a pre prúd na začiatku druhého vedenia

I2 = C2Uf 3 + D2I3

(3.102)

Dosadením za Uf 2 a I2 do vzťahov (3.99) a (3.100) dostávame pre napätie Uf 1 a prúd I1 na začiatku vedení:

U f 1 = A1 (A2U f 3 + B2I 3 ) + B1 (C2U f 3 + D2I 3 ) =

(

)

(

)

= A1A2 + B1C2 U f 3 + A1B2 + B1D2 I 3

I1 = C1 (A2U f 3 + B2I 3 ) + D1 (C2U f 3 + D2I 3 ) =

(

)

(

)

= C1A2 + D1C2 U f 3 + C1B2 + D1D2 I 3

(3.103)

(3.104)

126

Riešenie vvn a zvn vedení Nové komplexné konštanty celého vedenia zloženého z dvoch za sebou radených vedení majú tvar:

A = (A1 A2 + B1 C 2 )

B = (A1 B2 + B1 D2 )

C = (C1 A2 + D1 C 2 )

(3.105)

D = (C1 B2 + D1 D2 )

3.3.5.2 Paralelne radenie štvorpólov Na obr. 3.14 je uvedený príklad paralelného radenia štvorpólov. Ide o najčastejšie vyskytujúci sa prípad dvoch paralelných vedení s rozdielnymi parametrami. Prvé vedenie má komplexné konštanty A1, B1, C1, D1 . Napätie a prúd na začiatku prvého vedenia budú Uf 1 a I11 . Napätie a prúd na konci prvého vedenia budú Uf 2 a I21 . Druhé vedenie bude mať komplexné konštanty A2 , B2 , C2 , D2 . Napätie a prúd na začiatku druhého vedenia budú Uf 1 a I21 . Napätie a prúd na konci druhého vedenia budú Uf 2 a I22 .

Obr.3.14

Paralelne radenie štvorpólov

Pre napätie na začiatku prvého vedenia môžeme napísať:

Uf 1 = A1Uf 2 + B1I21

(3.106)

a pre prúd na začiatku prvého vedenia

I11 = C1Uf 2 + D1I21

(3.107)

Riešenie vvn a zvn vedení

127

Podobne pre napätie na začiatku druhého vedenia môžeme napísať:

Uf 1 = A2Uf 2 + B2I22

(3.108)

a pre prúd na začiatku druhého vedenia

I12 = C2U f 2 + D2I 22

(3.109)

Pre prúdy na začiatku a konci vedenia platí:

I1 = I11 + I12

(3.110)

I2 = I21 + I22

Riešením predchádzajúcich šiestich rovníc (3.106) až (3.110) o šiestich neznámych dostávame pre napätie Uf 1 a prúd I1 na začiatku vedení:

Uf 1 =

A1 B2 + A2 B1 B B Uf 2 + 1 2 I2 B1 + B2 B1 + B2



(A1 − A2 )(D2 − D1 ) U

I1 =  C1 + C2 + 

B1 + B2

 

(3.111)

f2

+

B1D2 + B2D1 I2 B1 + B2

(3.112)

Nové komplexné konštanty celého vedenia zloženého z dvoch paralelných vedení majú tvar:

A=

A1 B2 + A2 B1 B1 + B2

B=

B1 B2 B1 + B2

(

)(

 A − A2 D2 − D1 C =  C1 + C2 + 1 B1 + B2  B D + B2 D1 D= 1 2 B1 + B2

) 

(3.113)

 

3.3.6 Napäťové a výkonové pomery na vedeniach vvn a zvn riešené pomocou náhradných článkov Predpokladajme vedenie vvn, resp. zvn nahradené Π – článkom podľa obr. 3.5, na konci zaťažené výkonom induktívneho charakteru S2 = P2 + j Q2 pri napätí U f 2 . Pomocou odvodených rovníc (3.76) a (3.77) vypočítame napätie a prúd na začiatku vedenia U f 1 a I1 .

128

Riešenie vvn a zvn vedení Potom úbytok napätia na vedení je

∆U = U f 1 − U f 2

(3.114)

Výkon na začiatku vedenia

S1 = 3U f 1I1∗

(3.115)

Celkové straty výkonu sa rovnajú

∆S = S1 − S2 = ∆Spozdĺžne + ∆Spriečne kde

∆Spozdĺžne

sú

straty v pozdĺžnej vetve článku Π,

∆Spriečne

–

straty výkonu v priečnej vetve článku Π.

∆Spozdĺžne kde

(3.116)

Uf 1 − Uf 2 ∆U ∗ ∆U 2 3 3 = 3∆U I = 3∆U = = Z∗ Z∗ Z∗

2

∗

(3.117)

∆U = U f 1 − U f 2 = Z I .

Straty v pozdĺžnej vetve môžeme rozdeliť na reálnu a imaginárnu zložku:

∆Spozdĺžne = ∆Ppozdĺžne + j ∆Qpozdĺžne ∆Ppozdĺžne = 3RI 2

(3.118)

∆Qpozdĺžne = 3 XI 2 Straty v priečnej vetve náhradného článku Π ∗

∗

∆Spriečne = 3Uf 1I ′′ + 3Uf 2I ′ = =3

Y∗ 2

(

Uf21

+ Uf22

)

Y 3Uf 1Uf∗1

∗

2

+ 3Uf 2Uf∗2

Y∗ 2

=

(3.119)

∆Spriečne = ∆Ppriečne − j QC ∆Ppriečne = 3 QC = 3 kde

C 2

(U

G 2

2

f1

(U

2

f1

+ U f22

+ U f22

)

(3.120)

)

∆Ppriečne sú činné straty v priečnej vetve, t.j. straty spôsobené korónou a zvodovým prúdom, – kapacitný nabíjací výkon vedenia. QC

Riešenie vvn a zvn vedení

129

Približné hodnoty kapacitného nabíjacieho výkonu vonkajších vedení vn, vvn, a zvn sú uvedené v tab. 3.3. Tab.3.3 Kapacitný nabíjací výkon vonkajších vedení U [kV] -1 QC [kVAr.km ]

22 1,43

110 32

220 129

400 610

Ferrantiho jav je stav, keď napätie na konci vedenia je väčšie ako napätie na začiatku (obr. 3.15). Takýto jav vzniká na vvn a zvn vedeniach v stave naprázdno alebo málo zaťažených. Príčinou Ferrantiho javu je veľký kapacitný nabíjací výkon vedení vvn a zvn. Pri stave naprázdno (obr. 3.15) tečie vedením len kapacitný nabíjací prúd IC (pri zanedbaní zvodového prúdu).

Obr.3.15

Ferrantiho jav na T – článku

Vedenie 400 kV dĺžky  = 150 km s parametrami: Z1 = 0,3 ∠85  Ω.km −1

Y1 = 3,8.10 −6 ∠88  S.km −1 Vypočítajte:  komplexný koeficient šírenia vĺn γ ,  vlnovú impedanciu Z0 , 

prirodzený výkon vedenia S p .

Pomocou telegrafných rovníc homogénneho vedenia vypočítajte:  hodnoty napätia U f 1 , prúdu I1 a výkonu S1 na začiatku vedenia,  celkové výkonové straty ∆Sc ,  úbytok napätia ∆U . Pomocou náhradného Π-článku vypočítajte:  hodnoty napätia U f 1 , prúdu I1 a výkonu S1 na začiatku vedenia,  celkové straty ∆Sc , pozdĺžne straty ∆S pozdĺžne , priečne straty ∆S priečne a kapacitný nabíjací výkon Qc.  úbytok napätia ∆U . Ak na konci vedenia je napätie U f 2 = 230∠0  kV a odoberaný výkon je induktívneho charakteru P2= 600 MW a cosj2=0,95.

Príklad 3.1

130

Riešenie vvn a zvn vedení

Riešenie:

γ = Z1Y1 = 0,3∠85 .3,8.10 −6 ∠88  = 1,0677.10 −3 ∠86,5  km −1 Z1 0,3∠85  = = 280,9757∠ − 1,5  Ω −6  Y1 3,8.10 ∠88

Z0 =

(

)

2

U2 400.103 Sp = ∗ = = 569,44∠1,5A MVA A Z0 280,9757∠1,5 Rovnice homogénneho vedenia: U f 1 = U f 2 cosh(γ  ) + I 2 Z 0 sinh(γ  )

I1 = I 2 cosh(γ  ) +

Uf 2 sinh(γ  ) Z0

Najskôr musíme vypočítať prúd na konci vedenia: P2 600.10 6 ϕ ∠ − ∠ − 18,1949 A 2 S2∗ cos ϕ 2 0,95 I2 = = = ∗ ∗ 3.230.103 ∠0A 3Uf 2 3Uf 2

I2 = 915,3318∠ − 18,1949 A A Riešenie pomocou homogénneho vedenia: Uf 1 = 230.103 ∠0 cosh 1,0677.10 −3 ∠86,5  .150 +

(

)

+ 915,3318∠ − 18,1949 .280,9757∠ − 1,5.

(

. sinh 1,0677.10 −3 ∠86,5  .150

)

Uf 1 = 246,17∠8,8955  kV

(

)

I1 = 915,3318∠ − 18,1949 A cosh 1,0677.10 −3 ∠86,5A .150 + +

(

230.103 ∠0A sinh 1,0677.10 −3 ∠86,5 A .150 A 280,9757∠ − 1,5

)

I1 = 876,4461∠ − 9,8784 A A S1 = 3U f 1I1∗ = 3.246,17.10 3 ∠8,8955 A .876,4461∠9,8784 A S1 = 647,27∠18,7739 A MVA P2 ∠ϕ 2 = ΔS c = S1 − S 2 = S1 − cos ϕ 2 600.10 6 = 647,27.10 ∠18,7739 − ∠18,1949 A 0,95 6

A

ΔS c = 16,974∠40,8614 A MVA

∆U = U f 1 − U f 2 = 246,17∠8,8955 A − 230∠0 A ∆U = 40,294∠70,858 A kV

Riešenie vvn a zvn vedení

131

Riešenie pomocou náhradného článku ∏: Uf 1  A B  Uf 2   =    I1  C D   I2  Prenosové konštanty: ZY 0,3∠85.150.3,8.10 −6 ∠88.150 = 1+  = D = 1+ 2 2  = D = 0,9873∠0,0907 

B = Z = 0,3∠85.150 = 45∠85  ZY  = C = Y 1 + 4    0,3∠85.150.3,8.10 −6 ∠88.150   = 3,8.10 −6 ∠88.1501 +  4  

C = 5,6637.10 −4 ∠88,0451 Uf 1 = 230.103 ∠0.0,9873∠0,0907  + + 915,3318∠ − 18,1949 .45∠85

Uf 1 = 246,28∠8,9278  kV

I1 = 230.10 3 ∠0 A.5,6637.10 −4 ∠88,0451A + + 915,3318∠ − 18,1949 A.0,9873∠0,0907 A

I1 = 876,4271∠ − 9,8961A A S1 = 3U f 1I1∗ = 3.246,28.10 3 ∠8,9278 A .876,4271∠9,8961A S1 = 647,54∠18,824 A MVA ΔSc = S1 − S2 = 647,54∠18,824 A −

600.10 6 ∠18,1949 A 0,95

ΔSc = 17,434∠42,2608 A MVA

∆U = U f 1 − U f 2 = 246,28∠8,9278 A − 230∠0 A ∆U = 40,466∠70,8192 A kV ΔS pozdĺžne =

3 ΔU 2 ∗

=

(

3 40,466.10 3

)

2

= 108,24∠85 A MVA

0,3∠ − 85 .150 1 1 ΔS priečne = Y ∗ 3U f21 + 3U f22 = 3,8.10 − 6 ∠ − 88 A .150. 2 2 2 2  3. 246,28.10 3 + 3. 230.10 3  = 97,088∠ − 88 A MVA  

Z

(

(

(

)

{

}

A

) )

QC = Im ΔS priečne = 97,029 MVAr

132

Riešenie vvn a zvn vedení

3.4 Prenosová schopnosť vedení a kompenzácia ich elektrických parametrov Prenos elektrickej energie je obyčajne daný výkonom a vzdialenosťou, na ktorú sa má tento prenos uskutočniť. Teda hľadáme prenosové napätie a elektrické parametre vedení. V praxi je však úloha opačná. Je dané vedenie so svojimi elektrickými parametrami a menovitým napätím a k takto definovanému vedeniu zisťujeme možný prenášaný výkon – určujeme prenosovú schopnosť vedenia. Prenosová schopnosť vedenia je obmedzená viacerými vplyvmi ako sú: dovolené oteplenie vodičov, úbytok napätia, straty výkonu, u vedení vvn, zvn a uvn je to stabilita prenosu. U káblov je to hlavne dĺžka prenosu, ktorá je obmedzená kapacitným nabíjacím výkonom. Pokiaľ je pre vedenie s daným prenosovým napätím a elektrickými parametrami prenosová schopnosť nepostačujúca, je ju možné za určitých podmienok ovplyvniť zmenou elektrických parametrov vedení. Uvedenú zmenu elektrických parametrov za účelom získania výhodnejších prevádzkových pomerov nazývame parametrickou kompenzáciou.

3.4.1 Napätie a prúd v závislosti na výkone a dĺžke vedenia Predpokladajme vedenie, na konci ktorého je napätie U f 2 a je zaťažené impedanciou Z2 .Prúd na konci vedenia bude:

I2 =

Uf 2 Z2

(3.121)

Prevrátenú hodnotu impedanciu rozpíšeme do tvaru: 1

Z2

=

R X 1 = 2 2 2 −j 2 2 2 R2 + jX 2 R2 + X 2 R2 + X 2

(3.122)

Potom dosadením (3.122) do (3.121) bude 

I2 = Uf 2 

 R2 X − j 2 2 2  2 + X2 R2 + X 2 

2  R2

(3.123)

Riešenie vvn a zvn vedení

133

Trojfázový výkon na konci vedenia bude:

S 2 = P2 + jQ2 = 3U f 2I 2∗ = 3U f 2U f∗2  = U 22 

R2

2 2  R2 + X 2

1

Z 2∗

= 3U f22

1

Z 2∗

=

 X + j 2 2 2  R2 + X 2 

(3.124)

Ak R2 > 0 bude P2 > 0. Pre X2 > 0 je prenášaný jalový výkon induktívneho charakteru a pre X2 < 0 bude prenášaný jalový výkon kapacitného charakteru. Rovnica pre napätie na začiatku bude:

U f 1 = U f 2 cosh(β  + jα  ) + I 2 Z0 sinh(β  + jα )

(3.125)

Pre ideálne bezstratové vedenie β = 0 Použijeme rozklad: cosh(β ) cos(α ) + j sinh(β ) sin(α ) = cos(α ) sinh(β ) cos(α ) + j cosh(β ) sin(α ) = j sin(α ) Rovnica (3.125) po úprave bude mať tvar

U f 1 = U f 2 cos(α  ) + j I 2 Z0 sin(α ) =  R  X = U f 2 cos(α  ) + j Z0U f 2  2 2 2 − j 2 2 2  sin(α  ) = R2 + X 2   R2 + X 2

(3.126)

  X R = U f 2  cos(α  ) + Z0 2 2 2 sin(α  ) + j Z0 2 2 2 sin(α  ) R2 + X 2 R2 + X 2  

Pre prúd na začiatku platí

I1 = I 2 cos(α  ) + j

1

Z0

U f 2 sin(α  ) =

 R  X 1 sin(α  ) = U f 2  2 2 2 cos(α  ) − j 2 2 2 cos(α  ) + j Z0 R2 + X 2  R2 + X 2 

(3.127)

134

Riešenie vvn a zvn vedení Rovnice (3.126) a (3.127) je možné prepísať do tvaru:

 X 2U 22 Z0  U f 1 = U f 2  cos(α ) + 2 sin(α  ) R2 + X 22 U 22   R2U 22 Z0  ( ) sin α   R22 + X 22 U 22 

+ j Z0

(3.128)

I1 = U f 2

1  R2U 22 Z0 cos(α ) Z0  R22 + X 22 U 22  X 2.U 22 Z0  ( ) ( ) j cos α sin α  +   R22 + X 22 U 22 

−j

Definujeme

činný

prirodzený

výkon

v tvare

Pp 2 =

U 22 , Z0

potom(3.128) bude v tvare 

U f 1 = U f 2  cos(α  ) +  

 Q2 P sin(α  ) + j 2 sin(α  )  Pp 2 Pp 2 

(3.129)

I1 = U f 2

 Q 1  P2 cos(α  ) − j 2. cos(α  ) + j sin(α )  Z0  Pp 2 Pp 2 

Fázory napätí a prúdov na začiatku bezstratového vedenia podľa (3.129) sa skladajú z troch častí, z ktorých jedna časť nezávisí od zaťaženia a ďalšie dve časti sú závislé na zaťažení P2 a Q2 . Veľkosť napätia na začiatku vedenia pri Uf2 = konšt. a prenose len činného výkonu P2 (Q2 = 0) bude daná

  P cos (α ) +  2 sin(α )   P 2   p

Uf 1 = Uf 2

2

2

(3.130)

Uhol medzi napätím na začiatku a na konci je daný vzťahom  P2

ϑ = arctg

 P p2



tg (a )  

(3.131)

Riešenie vvn a zvn vedení

Obr.3.16

Pomerné napätie v závislosti od dĺžky bezstratového vedenia

Z priebehov na obr. 3.16 je vidieť, že napätie po celej dĺžke je rovnaké len pri prenášaní prirodzeného výkonu. Tento prevádzkový stav označujeme ako samokompenzujúci, ktorý platí len pre ideálne bezstratové vedenie. Ak budeme predpokladať dĺžky vedenia do 1000 km, t.j. ϑ = α ≈ 60° potom vo všetkých prípadoch, kde výkon P2 je rôzny od Pp, bude napätie na konci vedenia vzhľadom na začiatok väčšie alebo menšie. Najnepriaznivejší stav nastáva pri chode naprázdno – Ferrantiho jav. Na zlepšenie napäťových pomerov na vedení môžeme využiť parametrickú kompenzáciu parametrov vedenia .

3.4.2 Kompenzácia elektrických parametrov vedení Pri prenose prirodzeného výkonu bezstratovým vedením vytvára kapacita vedenia toľko reaktančného výkonu koľko spotrebuje pozdĺžna indukčnosť, takže prenos má vlastnosti jednosmerného prenosu. Pri prenose len činného výkonu menšieho ako je prirodzený, prevažuje kapacita vedenia a pre napätia platí nerovnosť U1 < U2, takže pre vyrovnanie tohto stavu musíme jalový výkon z vedenia odobrať – napr. pomocou tlmiviek. Pri prenose väčšieho výkonu ako je prirodzený, pre napätia platí U1 > U2. Kapacita vedenia nestačí na samokompenzáciu, jalový výkon do vedenia musíme dodávať napr. kondenzátormi. Podľa predchádzajúcich odvodení pre ideálne bezstratové vedenie, môžeme ovplyvniť prenosové pomery tiež úpravou α a Z0.

135

136

Riešenie vvn a zvn vedení Pre ideálne bezstratové vedenie sú odvodené vzťahy (3.55) (3.58)

a = ω L1C1

Z0 =

a

L1 C1

Je zrejmé, že zmenou (zmenšením) indukčnosti L1 dosiahneme zníženie charakteristickej impedancie a tým zvýšenie prirodzeného výkonu. Zmenšením indukčnosti L1 dosiahneme zmenšenie α, teda na rovnakú vzdialenosť vedenia bude menšia fázová konštanta alebo rovnakému fázovému posuvu bude prislúchať väčšia dĺžka. Platí

Ppk = Pp

Z0 Z0k

k =

α αk

(3.132)

Pre určenie vplyvu kompenzačných prostriedkov budeme predpokladať, že napätie a prúd majú len prvú harmonickú, vedenie a kompenzačné prostriedky sú bezstratové, sú rovnomerne rozložené pozdĺž celého vedenia. Pre kompenzačné reaktancie radené pozdĺžne (do série) platí:

X sk = −

1

X sk = ω Lsk

ω Csk

(3.133)

Pre kompenzačnú susceptanciu zaradenú do priečnej (paralelnej) vetvy platí:

Bpk = ω C pk

Bpk = −

Obr.3.17

1

(3.134)

ω Lpk

Pozdĺžna a priečna kompenzácia

Fázová konštanta α po kompenzácii bude mať tvar:

αk =

(X s + X sk ) (Bp + Bpk ) = α

 X sk  1+ Xs 

  Bpk   1 +  Bp 

   

(3.135)

Riešenie vvn a zvn vedení

137

a charakteristická impedancia po kompenzácii:

Z0k =

X s + X sk = Z0 Bp + Bpk

X sk Xs Bpk 1+ Bp

1+

(3.136)

Pre pozdĺžnu (sériovú) kompenzáciu bude B pk = 0 , potom rovnice (3.135) a (3.136) dostanú tvar

( X s + X sk )Bp

αk =

 X = α 1+ sk Xs 

   (3.137)

Z0k =

X s + X sk X = Z0 1+ sk Bp Xs

Pričom predpokladáme, že v rovniciach (3.137) pre použité kompenzačné prostriedky platia uvedené predpoklady: sériový kondenzátor

0 < 1+

pozdĺžna tlmivka

1+

X sk 1 Xs

Reaktancia kompenzačných prostriedkov pre uvažovanú zmenu parametrov bude:

X sk

  α 2  = X s   k  − 1  α    

X sk

 Z = X s   0 k   Z0 

2    − 1   

Pri priečnej (paralelnej) kompenzácii bude rovnice (3.135) a (3.136) nadobudnú tvar:

α k = X s (Bp + Bpk ) = α 1 +

(3.138)

X sk = 0 , potom

Bpk Bp (3.139)

Z0k =

Xs 1 = Z0 Bp + Bpk 1+ Bpk Bp

Predpokladáme tiež, že pre použité kompenzačné prostriedky platia nasledovné podmienky:

138

Riešenie vvn a zvn vedení  Bpk   > 1,  1+  Bp    Bpk   < 1. pre priečnu tlmivku 0 <  1+  Bp   Susceptanciu kompenzačných prostriedkov pre zmenu parametrov určíme: pre paralelný kondenzátor

Bpk

  α 2  = Bp   k  − 1  α    

Bpk

 Z = Bp   0   Z0k 

2    − 1   

požadovanú

(3.140)

Z predchádzajúcich rovníc a nerovností vyplýva, že podľa druhu kompenzácie a použitého kompenzačného prostriedku sú zmeny parametrov vedení nasledovné: Pozdĺžna (sériová) kompenzácia Kondenzátor Tlmivka – zmenšuje α – zväčšuje α – zmenšuje Z0 – zväčšuje Z0 – zvyšuje P – znižuje P Priečna (paralelná) kompenzácia Kondenzátor Tlmivka – zväčšuje α – zmenšuje α – zväčšuje Z0 – zmenšuje Z0 – znižuje P – zvyšuje P Z uvedeného porovnania vyplýva, že pri zvyšovaní prenosovej schopnosti vedení použitím sériovej kompenzácie je vhodným kompenzačným prostriedkom kondenzátor a pri použití paralelnej kompenzácie je to tlmivka. Prenosová schopnosť vedenia je obmedzená najmä stabilitou sústavy. Pre spoľahlivý chod sústavy (z praktických skúsenosti z prevádzky ES), uhol medzi napätím na konci a vnútorným napätím generátora nemá byť väčší ako 60°. Pri nekompenzovaných vonkajších silových vedeniach, za predpokladu prenášania prirodzeného výkonu býva prenosový uhol asi 6° na 100 km dĺžky. V priemyslových oblastiach s viacerými zdrojmi elektrickej energie a elektrickými stanicami sú dĺžky vedenia menej ako 500 km, preto tieto prenosy nie je potrebné kompenzovať. Na väčšie vzdialenosti a pri prenosoch veľkých výkonov je kompenzácie potrebná. V prípade použitia kompenzačných prostriedkov pri sériovej kompenzácii treba voliť kondenzátory max. 60% z reaktancie vedení, aby nenastala rezonancia.

Riešenie vvn a zvn vedení

139

Ako kompenzačné zariadenia je možné použiť i synchrónne stroje, ktoré môžu plniť funkciu kondenzátorov i tlmiviek v závislosti na budení stroja. Zapájajú sa obvykle do terciárnych vinutí transformátorov. V doterajších úvahách sme predpokladali parametre vedení i kompenzačné zariadenia rovnomerne rozložené pozdĺž celého vedenia. Takýto spôsob kompenzácie sa v praxi nedá realizovať, preto sa kompenzačné prostriedky umiestňujú v jednom alebo vo viacerých uzloch, pričom základné vlastnosti kompenzácie ostávajú zachované. Princíp kompenzácie si vysvetlíme pri nahradení vedenia náhradnými článkami. 3.4.2.1 Sériová parametrická kompenzácia Pre potvrdenie správnosti predchádzajúcich odvodení si vedenie nahradíme pomocou náhradného Γ–článku. Keďže pozdĺžna impedancia ma induktívny charakter, pozdĺžnu kompenzáciu vykonávame sériovým zaradením kondenzátora do vedenia (obr. 3.18). Tým sa pozdĺžna impedancia zmenší, čím klesne aj úbytok napätia na vedení. Zmenší sa aj prenosový uhol ϑ, čo má veľký význam z hľadiska stability prenosu. Zmenšenie pozdĺžnej impedancie však nepriaznivo ovplyvňuje skratové pomery, preto sa pozdĺžna impedancia kompenzuje len do určitého stupňa. Stupeň kompenzácie k je daný pomerom reaktancie kompenzačného kondenzátora XCk a induktívnej reaktancie vedenia.

k=

X Ck = 0,4 ÷ 0,6 XL

(3.141)

Obr.3.18

Sériová kompenzácia

140

Riešenie vvn a zvn vedení

Obr.3.19

Sériová kompenzácia – fázorový diagram

Prirodzený výkon použitím sériovej kompenzácie bude:

SPk

U 22 = = Z0k

U 22 

1 



1k

 R1 + j  ω L1 − ωC 

G1 + jω C1



(3.142)

Aby nebolo potrebné zhotovovať kondenzátory použité na kompenzáciu na plné fázové napätie, nádoba kondenzátorov sa odizoluje od zeme (umiestnia sa na podperné izolátory). Kondenzátory stačí dimenzovať na úbytok napätia, ktorý vzniká v prevádzke na kondenzátore. Pri vzniku skratu tečie vedením veľký skratový prúd, ktorý spôsobí na kompenzačnom kondenzátore veľký úbytok napätia a tým dôjde k prierazu kondenzátora. Na ochranu kondenzátora sa preto používa iskrište paralelne pripojené ku kondenzátoru. 3.4.2.2 Paralelná parametrická kompenzácia Paralelnou kompenzáciou meníme priečnu admitanciu. Keďže priečna zložka v náhradnej schéme vedenia je kapacitného charakteru, môžeme ju ovplyvniť zapojením indukčnosti medzi vodiče vedenia a zem. Princíp paralelnej kompenzácie je znázornený na obr. 3.20 a vo fázorovom diagrame pre náhradný článok Π (obr. 3.21). Prirodzený výkon po kompenzácii paralelnou tlmivkou bude:

SPk =

U 22 = Z0k

U 22 R1 + jω L1  1 G1 + j  ω C1 − ω Lk 

  

(3.143)

Riešenie vvn a zvn vedení

Obr.3.20

Obr.3.21

141

Paralelná kompenzácia

Paralelná kompenzácia – fázorový diagram

Paralelnú kompenzáciu je vhodné použiť v prípade malých prenášaných výkonov alebo v stave naprázdno. Kompenzačné tlmivky sa zhotovujú so železným jadrom, uložené v oleji v oceľovej nádobe. Rovnakú úlohu ako paralelná tlmivka spĺňa synchrónny stroj pracujúci v podbudenom stave. Jeho výhodou je plynulá regulácia odoberaného jalového výkonu. Nevýhodou sú vysoké investičné náklady a náklady na údržbu.

3.5 Zhrnutie 1. 2.

3.

Homogénne vedenie je model vedenia s rovnomerne rozloženými elektrickými parametrami po celej dĺžke. Telegrafné rovnice pre výpočet napäťových a prúdových pomerov na homogénnom vedení (3.22) platia pre výpočet napätia a prúdu na začiatku vedenia zo zadaných pomerov na jeho konci. Komplexný koeficient šírenia vĺn γ a vlnová impedancia vedenia Z 0 sú veličiny určujúce ustálený stav na vedení. Nazývajú sa sekundárne parametre vedenia.

142

Riešenie vvn a zvn vedení 4.

5.

6.

7. 8.

9.

Napäťové a prúdové pomery na vedení môžeme analyzovať ako napäťové a prúdové vlny (postupujúce a odrazené), ktoré sa po vedení šíria s fázou rýchlosťou. Rýchlosť šírenia vĺn na vonkajších vedeniach je približne rovná rýchlosti svetla vo vákuu c0. Základné prevádzkové stavy vedení sú: zaťažené vedenie obecnou impedanciou, stav naprázdno, stav nakrátko a prispôsobené vedenie. Pri stave naprázdno sa na vedenia vvn, zvn a uvn prejaví Ferrantiho jav, keď v dôsledku veľkého kapacitného nabíjacieho výkonu vedenia je napätie na konci vedenia väčšie ako na začiatku. Tento stav sa považuje za nepriaznivý. Stav nakrátko je poruchový stav vedenia charakterizovaný vysokými hodnotami prúdu. Vedením zaťaženom vlnou impedanciou (prispôsobené vedenie) sa prenáša prirodzený výkon. Prenos prirodzeného výkonu na vedení je z hľadiska úbytku napätia a strát výkonu najoptimálnejší. Ideálne (bezstratové) vedenie je vedenie s parametrami L a C. Rezistancia a konduktancia je zanedbateľná. K ideálnemu vedeniu sa svojimi parametrami približujú vedenia 400 kV s fázovými vodičmi usporiadané v trojzväzku a vedenia zvn a uvn.

10. Základné náhradné štvorpóly pre vedenia sú články: Π článok, Τ - článok, Steinmetzov článok a Γ - článok. 11. Základné rovnice pre náhradné štvorpóly sú (3.70), kde A , B , C , D sú komplexné prenosové (Blondelove) konštanty Pre symetrické štvorpóly platí rovnosť A = D . 12. Presnejší výpočet napäťových a prúdových pomerov na dlhých vedeniach s využitím modelu so sústredenými parametrami dosiahneme pomocou Steinmetzovho článku. Najmenej presný je náhradný článok Γ. 13. Pre zlepšenie prenosových schopností vvn a zvn vedení sa využíva parametrická kompenzácia: sériová (sériové zapojenie kondenzátora) a paralelná (paralelne zapojenie tlmivky).

3.6 Otázky a úlohy 3.1. Odvoďte rovnice pre homogénne podmienky z konca vedenia.

vedenie

z okrajovej

Riešenie vvn a zvn vedení

143

3.2. Definujte reálnu a imaginárnu zložku komplexného koeficientu šírenia vĺn γ . 3.3. Vysvetlite vlnový charakter napätia a prúdu na vedení. 3.4. Charakterizujte prevádzkové stavy vedení – naprázdno a nakrátko. 3.5. Charakterizujte vlastnosti prenosu pri vedení zaťaženom vlnovou impedanciou 3.6. Vypočítajte komplexný koeficient šírenia vĺn γ , vlnovú impedanciu

Z0

a prirodzený

Sp

výkon

pre

vedenia

z príkladov 2.2 a 2.3. 3.7. Vysvetlite Ferrantiho jav. 3.8. Ideálne vedenie – definujte. Ktoré vedenia sa mu svojimi elektrickými parametrami približujú? 3.9. Uveďte a nakreslite základné náhradné články vedenia a uveďte presnosť výpočtu. 3.10. Odvoďte prenosové konštanty pre jednotlivé náhradné články a nakreslite fázorové diagramy pre induktívny aj kapacitný charakter záťaže. 3.11. Vysvetlite dôvody použitia parametrickej kompenzácie vedení a jej spôsoby.

4 Riešenie vn a nn sietí Táto kapitola je venovaná riešeniu napäťových, prúdových a výkonových pomerov v sieťach vn a nn. Po jej preštudovaní by ste mali: •

získať vedomosti o spôsobe zapojenia a prevádzkovania vn a nn sietí,

•

vedieť odvodiť a vypočítať úbytky napätia a straty výkonu pre nn a vn siete (jednosmerné, jednofázové a trojfázové) napájané z jedného a dvoch zdrojov,

•

vedieť nakresliť fázorové diagramy pre induktívnu a kapacitnú záťaž,

•

vedieť definovať účinník cosj a vedieť vysvetliť negatívny vplyv jeho nízkej hodnoty na napäťové a výkonové pomery v elektrických sieťach,

•

vysvetliť princíp kompenzácie účinníka a poznať spôsoby kompenzácie,

•

určiť kompenzačný výkon podľa daných požiadaviek.

4.1 Úvod V tejto kapitole sa budeme zaoberať odvodením napäťových, prúdových a výkonových pomerov v sieťach vn a nn. Impedančné siete nazývame siete a vedenia, pri ktorých môžeme zanedbať priečnu admitanciu a teda pri odvodení uvažujeme len pozdĺžnu impedanciu Z = R + j ω L . Sú to vonkajšie a káblové vedenia a siete vn a nn. Pri odvodzovaní predpokladáme:  parametre prvkov sietí (t.j. vedenia, transformátory a pod.) sa uvažujú ako konštanty,  napätia a prúdy majú sínusový priebeh a uvažujeme iba prvú (základnú) harmonickú,  pri trojfázovej sústave, pokiaľ nie je vyslovene uvedené, budeme predpokladať sústavu symetrickú (symetrické napájacie napätie, symetrické parametre jednotlivých fáz siete, symetrická záťaž).

Riešenie vn a nn sietí

145

Elektrické siete vn a nn môžu byť zapojené a prevádzkované ako:  jednoduché – siete napájané z jedného zdroja a neobsahujú žiadnu slučku:  Radiálna sieť (obr. 4.1) – jednoduchá a prehľadná. Nevýhodou je kolísanie napätia (hlavne na konci vedenia) a nízka spoľahlivosť dodávky elektrickej energie.  Lúčová sieť (obr. 4.2) – je takisto jednoduchá a prehľadná, má tiež nízku spoľahlivosť dodávky elektrickej energie.

Obr.4.1 Radiálna sieť

Obr.4.2 Lúčová sieť

 zauzlené (uzlové) – siete napájané z jedného zdroja alebo viacerých zdrojov:  Okružná sieť (obr. 4.3) – napájaná z jedného zdroja a tvorí uzavretú slučku. Výhoda tohto zapojenia je, že v prípade poruchy jednej vetvy, táto bude odpojená, ostatná časť zostáva v prevádzke.  Hrebeňová sieť (obr. 4.4) – vznikne spojením niekoľkých okružných vedení. Znížia sa tým straty na vedení a zvýši sa spoľahlivosť dodávky elektrickej energie.  Mrežová sieť (obr. 4.5) – vznikne prepojením križujúcich sa sietí do uzlov. Je napájaná z dvoch alebo viacerých zdrojov. Výhodou takéhoto zapojenia je vysoká stabilita a spoľahlivosť dodávky elektrickej energie.

146

Riešenie vn a nn sietí

Obr.4.3 Okružná sieť

Obr.4.4 Hrebeňová sieť

Obr.4.5 Mrežová sieť

Riešenie vn a nn sietí

147

4.2 Jednosmerné vedenie napájané z jednej strany Pri jednosmernom prenose podľa obr. 4.6 uvažujeme pri výpočte ako parameter vedenia iba ohmický odpor R.

Obr.4.6 Náhradná schéma pre jednosmerný prenos

Pri odvodení budeme uvažovať konštantný prierez vodiča a rovnaký materiál (rovnaký špecifický odpor) na celom vedení. Odpor k–teho úseku vedenia je:

Rk = 2

ρ  S k

ρ

kde

S k

[Ω]

(4.1)

je špecifický odpor vodiča [Ω.m], – prierez vodiča [m2], – dĺžka k–teho úseku vedenia [m].

Pri odvodzovaní je potrebné brať do úvahy, že na jednosmerný prenos je potrebná dvojvodičová sústava. Úbytok napätia v k–tom úseku vedenia je

∆U k = U k − 1 − U k = 2

ρ  I S kk

(4.2)

kde Ik je prúd tečúci v k–tom úseku. Celkový úbytok napätia na vedení sa rovná súčtu úbytkov v jednotlivých úsekoch: n

∆U = ∑ ∆Uk = 2 k =1

ρ n ∑ I S k =1 k k

(4.3)

148

Riešenie vn a nn sietí Vyjadríme prúdy v jednotlivých úsekoch zadaných odoberaných prúdov záťaží:

vedenia

pomocou

I1 = I z1 + I z 2 + I z 3 + ...... + I zn I 2 = I z 2 + I z 3 + ...... + I zn 

Ik = I zk + I z (k +1) + ...... + I zn

(4.4)



In = I zn Potom pre celkový úbytok napätia na vedení môžeme napísať:

ρ [ (I + I + ... + Izn ) +  2 (Iz 2 + ... + Izn ) + ... +  nIzn ] = S 1 z1 z 2 ρ = 2 [ 1Iz1 + ( 1 +  2 )Iz 2 + ... + ( 1 +  2 + ... +  n )Izn ] = S ρ n = 2 ∑ Lk Izk S k =1

∆U = 2

kde

(4.5)

L1 =  1 L2 =  1 +  2 

Ln =  1 +  2 + ..... +  n Pre straty na vedení platí:

∆P = 2

ρ n ∑  k Ik2 S k =1

(4.6)

4.3 Jednofázové vedenie napájané z jednej strany Náhradná schéma pre striedavé jednofázové vedenie je na obr. 4.7. Vedenie nahrádzame impedanciou a odoberané prúdy uvažujeme komplexné (t.j. pre ľubovoľný charakter záťaže). Aj pre jednofázový prenos je potrebná dvojvodičová sústava.

Riešenie vn a nn sietí

149

Obr.4.7 Náhradná schéma pre jednofázové vedenie

Úbytok napätia na jednofázovom vedení je daný n

∆U = 2Z1 ∑ Lk Izk

(4.7)

k =1

Celkové straty výkonu na jednofázovom vedení sú: n

n

n

k =1

k =1

k =1

∆Sc = 2 ∑ ∆Uk Ik∗ = 2Z1 ∑  k Ik Ik∗ = 2Z1 ∑  k Ik2

(4.8)

Činné straty sú reálnou časťou celkových strát:

∆P = Re{∆Sc }= 2R1 ∑  k Ik2 n

k =1

(4.9)

4.4 Trojfázové vedenie napájané z jednej strany Ak predpokladáme trojfázovú symetrickú sieť nulovým bodom – s nulovým vodičom, potom platí:

IL1 + IL 2 + IL 3 = 0 IN = 0

s vyvedeným

(4.10)

Náhradná jednopólová schéma vedenia napájaného z jednej strany s jedným odberom na konci je na obr. 4.8.

Obr.4.8 Náhradná jednopólová schéma vedenia napájaného z jednej strany

150

Riešenie vn a nn sietí Predpokladajme odoberaný trojfázový charakteru. Pre zdanlivý výkon platí:

S = 3 Uf Iz∗ kde

Uf Iz

výkon

induktívneho (4.11)

[VA] je fázové napätie v mieste odberu [V], –

odoberaný prúd záťažou [A].

Úbytok napätia na vedení je:

∆U = U fN − U f = Z1  I z = Z I z = (R + jX )I z kde

[V]

(4.12)

U fN je napájacie fázové napätie [V], Z1 – impedancia vedenia na jednotku dĺžky [Ω.km-1], – impedancia celého vedenia [Ω], Z 

–

dĺžka vedenia [km].

Pre prúd induktívnej záťaže, ak napätie v uzle je Uf = Uf ∠0 , platí:

I z = Ič − j I j kde

Ič Ij

(4.13) je činná zložka odoberaného prúdu, – imaginárna zložka odoberaného prúdu.

Potom pre úbytok napätia na vedení môžeme napísať:

∆U = (R + jX ) (Ič − jI j ) = (RIč + XI j ) + j (XIč − RI j )

(4.14)

Fázorový diagram pre induktívny charakter záťaže je na obr. 4.9.

Obr.4.9 Fázorový diagram pre induktívny charakter záťaže

Riešenie vn a nn sietí

151

Celkové straty výkonu sa rovnajú:

∆Sc = 3∆U Iz∗ = 3 Z1 IzIz∗ = 3Z1 Iz2 =

= 3(R1 + jX 1 )  Iz2 = 3RI z2 + j 3 XIz2 = ∆P + j∆Q

(4.15)

Činné straty sú

∆P = 3R1  Iz2

(4.16)

Predpokladajme na konci vedenia odoberaný výkon kapacitného charakteru, potom pre prúd, ak Uf = Uf ∠0 , platí

I z = Ič + j I j

(4.17)

a pre úbytok napätia platí:

∆U = (R + jX )(Ič + jI j ) = (RIč − XI j ) + j (RI j + XIč )

(4.18)

Fázorový diagram pre kapacitný charakter záťaže je na obr. 4.10.

Obr.4.10

Fázorový diagram pre kapacitný charakter záťaže

Pre úbytok napätia pre radiálnu sieť s n odbermi (obr. 4.11) platí n

n

n

k =1

k =1

k =1

∆U = ∑ ∆Uk = Z1 ∑  k Ik = Z1 ∑ Lk Izk

Obr.4.11

Radiálna sieť s n odbermi

(4.19)

152

Riešenie vn a nn sietí Pre celkové činné straty na vedení s n odbermi platí: n

∆P = R1 ∑  k Ik2

(4.20)

k =1

4.5 Trojfázové vedenie napájané z dvoch strán Predpokladajme trojfázové vedenie napájané z dvoch s jedným odberom induktívneho charakteru podľa obr. 4.12.

Obr.4.12

strán

Vedenie napájané z dvoch strán s jedným odberom

Potom pre odoberaný prúd platí:

I z = I A + IB

(4.21)

Pre úbytky napätí z jednej aj druhej strany podľa momentovej vety platí rovnosť

∆U A = ∆U B U fNA − Z1 AI A = U fNB − Z1 BIB

(4.22)

Celkový úbytok napätia je rovný súčtu úbytkov z oboch strán:

∆Uc = ∆U A + ∆U B = Z1 ( AI A +  BIB )

(4.23)

Vyjadríme prúd zo strany B:

IB = I z − I A

(4.24)

U fNA − Z1 AI A = U fNB − Z1 B (I z − I A )

(4.25)

Úpravou získame vzťah pre napájací prúd zo strany A:

IA =

U fNA − U fNB I z  B +  Z1

kde  =  A +  B je celková dĺžka vedenia.

(4.26)

Riešenie vn a nn sietí

153

Obdobne pre napájací prúd zo strany B platí:

IB =

− U fNA + U fNB I z  A +  Z1

Obr.4.13

(4.27)

Trojfázové vedenie napájané z dvoch strán s n odbermi

Pre trojfázové vedenie napájané z dvoch strán s n odbermi podľa obr. 4.13 platí, že k–ty odber bude napájaný z oboch strán ′ + Izk ′′ Izk = Izk

(4.28)

Ďalej platí, že v tomto k–tom bode bude najväčší úbytok napätia a bude rovnaký z oboch strán. Pre prúdy v jednotlivých úsekoch po k–ty bod zo strany A platí ′ I1 = Iz1 + Iz 2 + Iz 3 + ...... + Iz (k −1) + Izk ′ I2 = Iz 2 + Iz 3 + ...... + Iz (k −1) + Izk 

(4.29)

′ Ik −1 = Iz (k −1) + Izk ′ Ik = Izk A pre dĺžky zo strany A:

LA1 =  1 LA 2 =  1 +  2 

(4.30)

LA(k −1) =  1 +  2 + ..... +  k −1 Obdobne pre prúdy zo strany B:

′′ In +1 = I zn + I z (n −1) + I z (n − 2 ) + ...... + I z (k +1) + I zk ′′ In = I z (n −1) + I z (n − 2 ) + ...... + I z (k +1) + I zk ′′ In −1 = I z (n − 2 ) + ...... + I z (k +1) + I zk  ′′ Ik +1 = I zk

(4.31)

154

Riešenie vn a nn sietí

LBn =  n +1 LB (n −1) =  n +1 +  n

(4.32)



LB (k +1) =  n +1 +  n +  n −1 + .... +  k +1 Pomocou momentovej podmienky a predchádzajúcich vzťahov môžeme pre obidve strany vyjadriť úbytok napätia vzťahom: k −1

k +1

x =1

x =n

′ LAk = Z1 ∑ I zx LBx + Z1I zk ′′ LBk ∆Uk = Z1 ∑ I zx LAx + Z1I zk

(4.33)

Celková dĺžka vedenia

 = LAk + LBk

(4.34)

Môžeme odvodiť vzťahy pre napájacie prúdy z oboch strán: n

IA =

UNAf − UNBf + Z1

∑ Izx LBx

x =1

(4.35)

 n

IB =

− UNAf + UNBf + Z1

∑ Izx LAx

x =1

(4.36)



Ak budeme uvažovať rovnosť napájacích napätí U fNA = U fNB (napr. okružná sieť). Potom napájacie prúdy sú: n

IA =

∑ Izx LBx

x =1

(4.37)

 n

IB =

∑ Izx LAx

x =1

(4.38)



Platí n

I A + IB = ∑ Izx x =1

(4.39)

Riešenie vn a nn sietí

155

k −1

′ I A = ∑ Izx + Izk x =1

(4.40) k +1

′′ IB = ∑ Izx + Izk x =n

Celkové straty výkonu na vedení napájanom z dvoch strán sú: n

∆S = SA + SB − ∑ Sx

(4.41)

x =1

kde

SA = 3 UfNAI A∗ je SB = 3 U fNBIB∗ –

napájací príkon zo strany A, napájací príkon zo strany B,

n

∑ Sx

–

suma odoberaných výkonov.

x =1

Celkové straty výkonu je možné určiť aj sčítaním strát v jednotlivých úsekov, ale v tomto prípade musíme najskôr určiť bod k, ktorý bude napájaný z oboch strán. Podobne postupujeme aj pri výpočte celkového úbytku napätia na vedení. Ak máme určený bod k, môžeme v tomto bode rozdeliť vedenie a počítať ho ako dve vedenia napájané z jednej strany.

Na obr. 4.14 je daná schéma trojfázovej elektrickej siete nn napájanej z jedného zdroja s tromi odbermi. Zadané hodnoty: − napájacie napätie U fN = U fNB = 230 ∠0  V , − odoberané prúdy

I z1 = 45 ∠ − 20 A A ,

I z 2 = 15 ∠ − 10 A A , I z 3 = 55∠ − 15 A A − dĺžky jednotlivých úsekov vedenia:  1 = 150 m ,  2 = 50 m ,  3 = 250 m ,  4 = 300 m − impedancia vedenia na 1 km: Z1 = 0,46∠50  Ωkm −1 Vypočítajte: − celkový úbytok napätia ∆U , − celkové straty výkonu ∆S a činné straty ∆P .

Príklad 4.1

156

Riešenie vn a nn sietí

Obr.4.14

Vedenie napájané z dvoch strán

Riešenie: Vypočítame napájacie prúdy n

IA =

∑ I zx LBx

x =1

 45∠ − 20 A.0,6 + 15∠ − 10 A.0,55 + 55∠ − 15 A.0,3 IA = 0,75

I A = 68,8556∠ − 16,8134 A A n

IB =

∑ I zx LAx

x =1

 45∠ − 20 A.0,15 + 15∠ − 10 A.0,2 + 55∠ − 15 A.0,45 IB = 0,75

I B = 45,9526∠ − 15,5434 A A n

 = ∑  x = 0,15 + 0,05 + 0,25 + 0,3 = 0,75 km x =1

Vypočítame napájacie výkony: SA = 3U fNAI A∗ = 3.230∠0A.68,8556∠ − 16,8134A

SA = 47,51∠16,8134A kVA SB = 3U fNBIB∗ = 3.230∠0A.45,95267∠ − 15,5434A SB = 31,707∠15,5434A kVA

Vypočítame prúdy v jednotlivých vetvách (podľa obr. 4.14) I1 = I A = 68,8556∠ − 16,8134A A

I 2 = I A − I z1 = 68,8556∠ − 16,8134A − 45∠ − 20A = = 24,0556∠ − 10,8446A A

I 3 = I 2 − I z 2 = 24,0556∠ − 10,8446A − 15∠ − 10A = = 9,06∠ − 12,243A A

I 4 = IB = 45,95267∠ − 15,5434A A

Riešenie vn a nn sietí

157

Z výsledkov je zrejmé, že uzol č. 3 je napájaný z oboch strán (tak ako je vyznačené v obr. 4.14). Takže k–ty uzol je č. 3. Potom úbytok napätia z jednej aj druhej strany vypočítame ako: k −1

k +1

x =1

x =n

′ LAk = Z1 ∑ Izx LBx + Z1Izk ′′ LBk ∆Uk = Z1 ∑ Izx LAx + Z1Izk kde k=3, I z′3 = I3 = 9,06∠ − 12,243A A

I z′′3 = IB = 45,95267∠ − 15,5434A A I z 3 = I z′3 + I z′′3 = 9,06∠ − 12,243A + 45,95267∠ − 15,5434A I z 3 = 55∠ − 15A A Celkový úbytok napätia na vedení bude:  2  ∆U = Z1 ∑ I zx Lx + I z′3 L3 +I z′′3 LB3   x =1 

(

∆U = 0,46∠50 45∠ − 20.0,15 + 15∠ − 10.0,2 + 9,06∠ − 12,243.0,4 + 45,95267∠ − 15,5434.0,3

)

∆U = 12,6829∠34,4566 V Alebo celkový úbytok napätia vypočítame ako súčet úbytkov napätia v jednotlivých úsekoch vedenia: N

∆U = Z1 ∑ I x  x x =1

(

∆U = 0,46∠50  68,8556∠ − 16,8134 .0,15 + 24,0556∠ − 10,8446 .0,05 + +9,06∠ − 12,243 .0,25

)

+ 45,95267∠ − 15,5434 .0,3 = 12,6829∠34,4566  V Celkové straty výkonu vypočítame ako súčet v jednotlivých úsekoch vedenia:

strát

(

N

∆Sc = 3.Z1 ∑ I x2  x = 0,46∠50A 68,85562.0,15 + 24,05562.0,05 x =1

)

+ 9,06 2.0,25 + 45,952672.0,3 = 1,9239∠50A VA

∆P = Re{∆Sc }= 1,2366 kW

Poznámka: n – počet uzlov (n=3), N – počet úsekov vedenia (N=4). Napätia v jednotlivých uzloch sú:

Uf 1 = UfN − Z1I1 1 Uf 1 = 230∠0 − 0,46∠50.68,8556∠ − 16,8134 Uf 1 = 226,0389∠ − 0,6592 V

158

Riešenie vn a nn sietí

U f 2 = U f 1 − Z1I 2  2 U f 2 = 230∠0  − 0,46∠50 .24,0556∠ − 10,8446 U f 2 = 225,6141∠ − 0,7492  V U f 3 = U fNB − Z1I 4  4 U f 3 = 230∠0  − 0,46∠50 .45,9526∠ − 15,5434 U f 3 = 224,7998∠ − 0,9145  V Odoberané výkony v jednotlivých uzloch: S1 = 3U f 1I z∗1

S1 = 3.226,0389∠ − 0,6592 A.45∠20 A = 30,515∠19,3408 A kVA S2 = 3U f 2I z∗2 S2 = 3.225,6141∠ − 0,7492 A.15∠10 A = 10,153∠9,2508 A kVA S3 = 3U f 3 I z∗3 S3 = 3.224,7998∠ − 0,9145 A.55∠15 A = 37,092∠14,0855 A kVA

Straty výkonu môžeme vypočítať aj týmto spôsobom:

∆Sc = (SA + SB ) − ∑ Sx n

(

x =1

)

∆Sc = 47,51∠16,8134A + 31,707∠15,5434A −

( 30,515∠19,3408

A

+ 10,153∠9,2508A + 37,092∠14,0855A

)

∆Sc = 1,9239∠50A kVA

4.6 Riešenie trojfázového vedenia napájaného z jednej strany Gaussovou iteračnou metódou Zatiaľ sme pri odvodzovaní úbytku napätia a strát výkonu predpokladali, že poznáme hodnoty odoberaných prúdov v jednotlivých uzloch. Predpokladajme, že pre jednotlivé uzly (obr. 4.11) sú odbery zadané odoberanými výkonmi, napr. činným výkonom P, účinníkom cosj a charakterom záťaže (induktívny alebo kapacitný) alebo prípadne komplexným výkonom v tvaroch S = S∠j ; S = P ± jQ .

Riešenie vn a nn sietí

159

Vzájomné vzťahy medzi zdanlivým, činným, jalovým výkonom a uhlom výkonu j :

P = S cos ϕ Q = S sin ϕ

(4.42)

S = P +Q 2

2

Predpokladajme trojfázovú sieť napájanú z jednej strany. Výpočet sa oproti predchádzajúcemu, keď boli zadané odoberané prúdy, zmení. Pri riešení musíme využiť iterácie, pretože napätia v jednotlivých uzloch nepoznáme, vieme ich na začiatku výpočtu len odhadnúť. Postup riešenia: 1. Stanovíme si presnosť riešenia ε. 2. Odhadneme napätia v jednotlivých uzloch (napr. na hodnotu napájacieho napätia). Pre k–ty uzol platí: Ufk(0 ) = UfN (poznámka: horný index v zátvorke označuje krok iterácie, 0–ty krok je odhad napätí) 3. Vypočítame odoberané prúdy, pre k–ty uzol platí:

Izk(1) =

Sk∗ 3 Ufk(0 )∗

4. Vypočítame napätia v jednotlivých uzloch, pre k–ty uzol platí: k

U fk(1) = U fN − Z1 ∑ I x(1) x x =1

n

Ik(1) = ∑ I zx(1) x =k

5. Zistíme, či sme dosiahli stanovenú presnosť výpočtu, t.j. či platí podmienka ε ≤ U fk(0 ) − U fk(1) 6. Ak sme nedosiahli požadovanú toleranciu, pokračujeme vo výpočte od bodu „3“

I zk(i ) =

Sk∗ 3 U fk(i −1) ∗

k

U fk(i ) = U fN − Z1 ∑ I x(i ) x x =1

n

Ik(i ) = ∑ Izx(i ) ε≤

x =k U fk(i −1)

− U fk(i )

160

Riešenie vn a nn sietí 7. Ak dosiahneme požadovanú presnosť výpočtu napr. v n–tom kroku, vypočítame celkový úbytok napätia a straty výkonu n

∆U = Z1 ∑ Izx(n )Lx x =1 n

( )

2 ∆Sc = Z1 ∑ I x(n )  x

x =1

Obdobný algoritmus riešenia aplikujeme aj pri výpočte vedenia napájaného z dvoch strán.

Príklad 4.2

Na obr. 4.15 je daná schéma trojfázovej elektrickej siete nn napájanej z jedného zdroja s tromi odbermi.

Obr.4.15

Vedenie napájané z jednej strany

Zadané hodnoty: − napájacie napätie − odoberané výkony

U fN = 230 ∠0  V , S1 = 35 ∠18A kVA ,

S2 = 25 ∠10A kVA , S3 = 15∠15A kVA − dĺžky jednotlivých úsekov vedenia:  1 = 150 m ,  2 = 250 m ,  3 = 100 m − impedancia vedenia na 1 km: Z1 = 0,46∠50 Ωkm −1 Vypočítajte: − napätia v jednotlivých uzloch U f 1,U f 2 ,U f 3 s presnosťou ε = 1V − celkový úbytok napätia ∆U , − celkové straty výkonu ∆S a činné straty ∆P . Riešenie: Keďže sú zadané odoberané zdanlivé výkony (nie prúdy) musíme príklad riešiť pomocou iteračnej metódy so zadanou presnosťou ε = 1 V . Postup: Odhadneme napätia v jednotlivých uzloch – na hodnotu napájacieho napätia: U f(10 ) = U f(20 ) = U f(30 ) = U fN = 230∠0 V

Riešenie vn a nn sietí

161

Horný index v zátvorke označuje krok iterácie, 0–ty krok je odhad napätí. 1.krok iterácie Vypočítame odoberané prúdy v jednotlivých uzloch :

I z(11) =

S1∗ 35.103 ∠ − 18A = = 50,7246∠ − 18A A ( A 0 )∗ 3 Uf 1 3.230∠0

I z(12) =

S2∗ 25.103 ∠ − 10A = = 36,2318∠ − 10A A ( A 0 )∗ 3 Uf 2 3.230∠0

I z(13) =

S3∗ 15.103 ∠ − 15A = = 21,7391∠ − 15A A ( A 0 )∗ 3 Uf 3 3.230∠0

Vypočítame prúdy v jednotivých úsekoch vedenia : 3

I1(1) = ∑ I zx(1) = 50,7246∠ − 18A + 36,2318∠ − 10A + x =1

+ 21,7391∠ − 15A = 108,4894∠ − 14,7343A A 3

I 2(1) = ∑ I zx(1) = 36,2318∠ − 10A + 21,7391∠ − 15A = x =2

= 57,9193∠ − 11,8746A A 3

I3(1) = ∑ I zx(1) = 21,7391∠ − 15A A x =3

Vypočítame napätia v jednotlivých uzloch: 1

U f(11) = U fN − Z1 ∑ I x(1) x (1)

x =1

(

U f 1 = 230∠0 − 0,46∠50  108,4894∠ − 14,7343 .0,15 

)

U f(11) = 223,9297∠ − 1,1059  V 2

U f(21) = U fN − Z1 ∑ I x(1) x x =1

(

U f(21) = 230∠0 − 0,46∠50 108,4894∠ − 14,7343.0,15 + + 57,9193∠ − 11,8746.0,25

)

U f(21) = 218,8109∠ − 2,2091 V 3

U f(31) = U fN − Z1 ∑ I x(1) x x =1

(

U f(31) = 230∠0 − 0,46∠50 108,4894∠ − 14,7343.0,15 +

)

+ 57,9193∠ − 11,8746.0,25 + 21,7391∠ − 15.0,1

U f(31) = 218,0153∠ − 2,368 V

162

Riešenie vn a nn sietí

Zistíme, či sme dosiahli stanovenú presnosť výpočtu, či platí podmienka: e ≤ U f(10 ) − U f(11) 1 ≤ 230∠0  − 223,9297∠ − 1,1059  1 ≤ 7,4858 ⇒ neplatíí

e ≤ U f(20 ) − U f(21) 1 ≤ 230∠0  − 218,8109∠ − 2,2091 1 ≤ 14,1421 ⇒ neplatí 1) e ≤ U f(30 ) − U f(13

1 ≤ 230∠0  − 218,0153∠ − 2,368  1 ≤ 15,1417 ⇒ neplatí Nie sme v požadovanej tolerancii, pokračujeme vo výpočte – 2. iteračným krokom 2.krok iterácie Vypočítame odoberané prúdy v jednotlivých uzloch: S1∗ 35.103 ∠ − 18A ( 2) I z1 = = = 52,0997∠ − 19,1059 A A ( A 1)∗ 3 Uf 1 3.223,9297∠1,1059

I z(22 ) =

S2∗ 25.103 ∠ − 10A = = 38,0846 ∠ − 12,2091A A ( A 1)∗ 3 Uf 2 3.218,8109∠2,2091

I z(32 ) =

S3∗ 65.103 ∠ − 15A = = 22,9342∠ − 17,368 A A 3 Uf(31)∗ 3.218,0153∠2,368 A

Vypočítame prúdy v jednotivýc h úsekoch vedenia : 3

I1(2 ) = ∑ I zx(1) = 52,0997∠ − 19,1059 A + 38,0846 ∠ − 12,2091A + x =1

+ 22,9342∠ − 17,368 A = 112,9553 ∠ − 16,4324 A A 3

I 2(2 ) = ∑ I zx(1) = 38,0846 ∠ − 12,2091A + 22,9342∠ − 17,368 A = x =2

= 60,9608∠ − 14,1477 A A 3

I 3(2 ) = ∑ I zx(1) = 22,9342∠ − 17,368 A A x =3

Vypočítame napätia v jednotlivých uzloch: 1

U f(12 ) = U fN − Z1 ∑ I x(2 ) x x =1

(

U f(12 ) = 230∠0  − 0,46∠50  112,8405∠ − 16,4324 .0,15 U (2 ) = 223,5474∠ − 1,1046  V f1

)

Riešenie vn a nn sietí

163

2

U f(22 ) = U fN − Z1 ∑ I x(2 ) x x =1

(

U f(22 ) = 230∠0 − 0,46∠50 112,8405∠ − 16,4324.0,15 + + 60,9677∠ − 14,1477.0,25

)

U f(22 ) = 217,9861∠ − 2,2125 V 3

U f(32 ) = U fN − Z1 ∑ I x(2 ) x x =1

(

U f(32 ) = 230∠0 − 0,46∠50 112,8405∠ − 16,4324.0,15 +

)

60,9677∠ − 14,1477.0,25 + 22,9342∠ − 17,368.0,1

U f(32 ) = 217,1212∠ − 2,3715 V

Zistíme, či sme dosiahli stanovenú presnosť výpočtu, či platí podmienka: ε ≤ Uf(11) − Uf(12 ) 1 ≤ 223,9297∠ − 1,1059  − 223,5474∠ − 1,1046  1 ≤ 0,3824 ⇒ platíí

ε ≤ Uf(21) − Uf(22 ) 1 ≤ 218,8109∠ − 2,2091 − 217,9861∠ − 2,2125  1 ≤ 0,8248 ⇒ platí 2) ε ≤ U f(31) − U f(13

1 ≤ 218,0153∠ − 2,368  − 217,1212∠ − 2,3715  1 ≤ 0,8942 ⇒ platí Dosiahli sme požadovanú presnosť výpočtu v 2. iteračnom kroku, vypočítame celkový úbytok napätia a straty výkonu 3

∆U = Z1 ∑ I zx(2 )Lx x =1

(

∆U = 0,46∠50 52,0997∠ - 19,1059.0,15 + + 38,0846∠ - 12,2091.0,4 + 22,9342∠ - 17,368.0,5

)

∆U = 15,8558∠34,5153 V

( )

n 2 ∆Sc = Z1 ∑ I x(n )  x x =1

(

)

∆Sc = 0,46∠50A 112,95532.0,15 + 60,96082.0,25 + 22,93422.0,1 ∆Sc = 1,3319∠50 kVA A

( )

n 2 ∆P = R1 ∑ I x(n )  x = Re {∆Sc }= 0,89816 kW x =1

164

Riešenie vn a nn sietí

4.7 Kompenzácia účinníka cosj V elektrizačnej sústave je veľké množstvo zariadení, ktoré odoberajú okrem činného výkon aj výkon reaktančný, ktorý je potrebný na vytvorenie magnetického poľa. Zariadenia, ktoré majú najväčší podiel na odoberanom reaktančnom výkone:  Asynchrónne motory – účinník cosj je nepriamo úmerný zaťaženiu motora. Málo zaťažené asynchrónne motory majú nízky (zlý) účinník.  Transformátory – najnepriaznivejší stav z hľadiska účinníka je stav transformátora naprázdno. Účinník transformátora v stave naprázdno cosj0 je v intervale 0,1 až 0,2.  Špeciálne odbery induktívneho charakteru – indukčné pece, zváracie súpravy a pod.

Obr.4.16

Jednoduchý prenos – schéma

Predpokladajme jednoduchý prenos podľa obr. 4.16. Na konci vedenia s impedanciou Z = R + jX odoberáme zdanlivý výkon S2 induktívneho charakteru. Môžeme teda napísať:

S2 = P2 + ϕQ2 = S2∠ϕ 2

(4.43)

P2 = S2 cos ϕ 2 Q2 = S2 sin ϕ 2

(4.44)

kde

P2 Q2

j2

je odoberaný činný výkon na konci vedenia [W], – odoberaný reaktančný výkon na konci vedenia [VAr], – uhol medzi napätím a prúdom na konci vedenia.

Účinník nižší ako 1 spôsobuje niekoľko problémov pri prenose elektrickej energie v elektrizačnej sústave. Pri cosj < 1 prenášame v sústave okrem činného výkonu aj výkon jalový, tým sa zväčšuje absolútna hodnota prúdu.

I = Ič2 + I 2j kde

Ič Ij

(4.45) je reálna zložka prúdu, – imaginárna zložka prúdu.

Riešenie vn a nn sietí

165

Predpokladáme veľkosť napätia na konci vedenia U f 2 = U f 2 ∠0° , potom môžeme napísať nasledujúce rovnice (platné pre 3–fázovú sústavu) a nakresliť fázorový diagram obr. 4.17.

Obr.4.17

Jednoduchý prenos – fázorový diagram

Ič = I cos ϕ 2 I ϕ = I sin ϕ 2

(4.46)

S 2 = 3 U f 2I *

(4.47)

Uf 1 = Uf 2 + ∆U = Uf 2 + I Z

(4.48)

kde

U f 1 je fázové napätie na začiatku vedenia, I – odoberaný prúd na konci vedenia,

Uf 2 – ∆U –

fázové napätie na konci vedenia, úbytok napätia na vedení.

Dodávaný výkon S1 na začiatku vedenia určíme:

S1 = 3 U f 1I *

(4.49)

a jeho zložky – činný a reaktančný výkon sú:

P1 = S1 cos (ϑ + ϕ 2 ) Q1 = S1 sin (ϑ + ϕ 2 ) kde

P1 Q1

ϑ

(4.50)

je dodávaný činný výkon na začiatku vedenia, – dodávaný reaktančný výkon na začiatku vedenia, – prenosový uhol – uhol medzi napätiami na začiatku a na konci vedenia.

Nízka hodnota cosj má za následok zväčšenie úbytku napätia a tým pokles napätia na svorkách odberateľa. Ďalší nepriaznivý dôsledok nízkeho účinníka je zvýšenie činných strát v sústave.

166

Riešenie vn a nn sietí Činné straty na vedení sú dané vzťahom:

∆P = 3 RI 2 = 3RIč2

1

cos 2 ϕ 2

= P1 − P2

(4.51)

kde R je rezistancia vedenia.

∆P sú priamo úmerné druhej mocnine veľkosti prúdu. Môžeme teda zhrnúť nepriaznivé dopady prenosu reaktančného výkonu v sústave, t.j. prenosu s cosj < 1:  zväčšenie veľkosti prúdu,  zväčšenie úbytku napätia,  pokles napätia u odberateľa,  zvýšenie činných strát v sústave. Nízka hodnota účinníka nepriaznivo vplýva aj na skratové pomery v sústave, na vypínacie podmienky vypínačov. Zlepšenie pomerov v sieti z hľadiska zvýšenia hodnoty účinníka môžeme dosiahnuť kompenzovaním odoberaného cosj reaktančného výkonu. Kompenzácia účinníka spočíva v inštalácii takého zariadenia, ktoré je schopné dodať potrebný reaktančný výkon v tom mieste siete, kde ho potrebujeme.

4.7.1 Určenie veľkosti kompenzačného výkonu Určovanie veľkosti kompenzačného výkonu je možné z viacerých hľadísk:  zmenšenie zdanlivého výkonu,  zlepšenie napäťových pomerov,  lepšie využitie výkonu transformovne,  zmenšenie činných strát. Určenie kompenzačného výkonu Qk vzhľadom na požiadavku zvýšenia hodnoty cosj2 na hodnotu cosj2komp pre konštantný odoberaný činný výkon P2 Fázorový diagram pre túto kompenzáciu je na obr. 4.18.

Obr.4.18

Kompenzácia –fázorový diagram

Riešenie vn a nn sietí

Obr.4.19

167

Určenie Qk – podmienka konštantného činného výkonu P2

Podľa obr. 4.19 je zrejmé, že potrebný kompenzačný výkon určíme:

Qk = P2 (tg ϕ 2 − tg ϕ 2komp )

(4.52)

Veľkosť odoberaného zdanlivého výkonu po kompenzácii bude:

S2komp = S2

cos ϕ 2komp cos ϕ 2

(4.53)

Určenie kompenzačného výkonu vzhľadom na požiadavku zvýšenia hodnoty cosj 2 na hodnotu cosj 2komp pre konštantný odoberaný zdanlivý výkon S2 a vyšší doberaný činný výkon P2komp

Obr.4.20

Určenie Qk – podmienka konštantného zdanlivého výkonu S2

Podľa obr. 4.20 určíme potrebný kompenzačný výkon je:

Qk = P 2 tgϕ 2 − P2komp tgϕ 2komp

(4.54)

Odoberaný činný výkon sa zvýši z hodnoty P2 (pred kompenzáciou) na hodnotu P2komp.

168

Riešenie vn a nn sietí Kompenzáciou účinníka sa zlepšia napäťové pomery v sieti. Úbytok napätia na vedení s impedanciou Z pri odberanom výkone induktívneho charakteru na konci vedenia je daný:

 S   ∆U = Z  3 U f2  

∗

(4.55)

Po kompenzácia sa veľkosť úbytku napätia zníži na hodnotu:

 S − jQk ∆U = Z   3 Uf 2

  

∗

(4.56)

4.7.2 Kompenzačné zariadenia a spôsoby kompenzácie Kompenzačné zariadenia používané v ES môžu byť  statické – kondenzátorové batérie,  rotačné – synchrónne kompenzátory. Synchrónne kompenzátory sú v podstate nezaťažené synchrónne motory v prebudenom stave. Zmenou budiaceho prúdu je možné plynulo regulovať kompenzačný výkon. 4.7.2.1 Spôsoby kompenzácie: Individuálna – každý spotrebič je kompenzovaný samostatne. Je vhodná pre spotrebiče väčších výkonov, ktoré sú v prevádzke zapojené dlhodobo. Pri nestálom odbere reaktančného výkonu (napr. pri premenlivom zaťažení motorov) nie je tento spôsob kompenzácie vhodný, pretože môže dôjsť k prekompenzovaniu. Skupinová – je vhodná pri väčšom počte zariadení s nižším výkonom a hlavne pri premenlivom zaťažení. Hospodárnosť kompenzácie dosiahneme využitím automatickej regulácie kompenzačného výkonu, čím zabránime aj prípadnému prekompenzovaniu. Výhodou oproti individuálnej kompenzácii je nižší kompenzačný výkon (vzhľadom na uvažovanú súčasnosť zaťaženia skupiny zariadení). Centrálna – kompenzačné zariadenie je pripojené na hlavný rozvádzač. Nevýhodou je, že vnútorné rozvody sú zaťažené prenášaným jalovým výkonom. Napäťové pomery a činné straty vo vnútorných rozvodoch sa teda nezlepšia. Pri tomto spôsobe kompenzácie je nevyhnutná automatická regulácia kompenzačného výkonu. Výhodou je opäť nižší potrebný kompenzačný výkon.

Riešenie vn a nn sietí Zmiešaná – je vo väčšine prípadov najúčinnejší a najhospodárnejší spôsob kompenzácie. Je vhodnou kombináciou všetkých vyššie spomínaných spôsobov kompenzácie.

Obr.4.21

Spôsoby kompenzácie: 1 – individuálna, 2 – skupinová, 3 – centrálna

4.8 Zhrnutie 1.

2.

3.

4.

V náhradnej schéme elektrických sietí vn a nn pre riešenie ustáleného stavu väčšinou uvažujeme len pozdĺžnu impedanciu Z . Siete nn a vn môžu byť zapojené ako jednoduché (radiálne a lúčové) alebo ako zauzlené (okružné, hrebeňové a mrežové). Pri odvodení napäťových, prúdových a výkonových pomerov v sieťach napájaných z dvoch strán vychádzame z momentovej podmienky, t.j. že k-ty uzol bude napájaný z oboch strán a že v tomto uzle bude najväčší úbytok napätia a rovnaký z oboch strán. V prípade, že odbery v jednotlivých uzloch sú zadané výkonmi, pri výpočte napätí v týchto uzloch využívame Gaussovu iteračnú metódu a výpočet robíme so stanovenou presnosťou ε.

5.

Účinník cosj je kosínus uhla medzi napätím a prúdom v danom uzle, t.j. uhla záťaže v danom uzle.

6.

Nízka hodnota cosj má negatívny vplyv na napäťové, výkonové a skratové pomery v elektrických sieťach.

169

170

Riešenie vn a nn sietí Najväčšími spotrebičmi reaktančného výkonu sú indukčné motory, málo zaťažené transformátory a špeciálne odbery (napr. indukčné pece). 8. Zlepšenie účinníka dosiahneme tzv. kompenzáciou, ktorá spočíva v paralelnom zapojení zdroja reaktančného výkonu (kompenzačného zariadenia) k odberu reaktančného výkonu. 9. Ako kompenzačné zariadenie môže byť použitý synchrónny kompenzátor alebo kondenzátor. 10. Výpočet veľkosti kompenzačného výkonu je možné urobiť z niekoľkých hľadísk (požadovanej hodnoty cosj, zmenšenie činných strát a pod.) 11. Spôsob kompenzácie podľa zapojenia kompenzačného zariadenia môže byť: centrálna, skupinová, individuálna a zmiešaná. 7.

4.9 Otázky a úlohy 4.1. Uveďte spôsoby zapojenia elektrických sietí vn a nn. 4.2. Odvoďte vzťahy pre úbytok napätia a straty výkonu pre vedenia napájané z jednej strany – jednosmerné, jednofázové a trojfázové. 4.3. Nakreslite fázorové diagramy pre vedenie napájané z jednej strany s jedným odberom na konci pre záťaž induktívneho aj kapacitného charakteru. 4.4. Odvoďte vzťahy pre úbytok napätia a straty výkonu pre trojfázové vedenia napájané z dvoch strán. 4.5. Vysvetlite spôsob výpočtu iteračnou metódou. 4.6. Definujte účinník a vysvetlite prečo jeho nízka hodnota má negatívne dôsledky na napäťové a výkonové pomery v sieťach. 4.7. Vysvetlite sieťach.

spôsoby kompenzácie

účinníka

v elektrických

5 Riešenie zauzlených sietí V tejto kapitole sú uvedené a opísané metódy na výpočet ustáleného chodu zauzlenej siete. Po jej preštudovaní by ste mali vedieť: •

charakterizovať jednotlivé metódy výpočtu napäťových, prúdových a výkonových pomerov v zauzlených sieťach,

•

vysvetliť rozdiel medzi lineárnym a nelineárnym modelom zauzlenej siete,

•

rozdeliť uzly sústavy podľa zadávaných veličín a vysvetliť dôvod nevyhnutnosti bilančného uzla pri výpočte,

•

akými veličinami je jednoznačne daný ustálený chod siete,

•

opísať postup výpočtu chodu siete pomocou základných priamych a iteračných metód.

5.1 Úvod Uzlové siete vznikajú prepojením viacerých jednoduchých sietí do jedného celku. Uzlová sieť sa skladá z viacerých napájacích a odberových uzlov navzájom prepojených vedeniami. Použitím uzlových sietí na prenos elektrickej energie dosiahneme:  zvýšenie spoľahlivosti dodávky elektrickej energie jednotlivým odberateľom,  zníženie úbytkov napätí v jednotlivých vetvách siete a zmenšenie strát činného výkonu,  možnosti operatívnej zmeny konfigurácie siete. Na riešenie ustáleného chodu siete existuje viacero metód: metóda postupného rozuzľovania siete, metóda rezu, metóda slučkových prúdov, metóda uzlových napätí atď. Metóda postupného rozuzľovania spočíva v tom, že zauzlená sieť sa postupne zjednodušuje až dostaneme jednoduchý tvar siete. Pri tomto zjednodušovaní sa využíva niekoľko úprav:  prekladanie záťaží z vetiev do uzlov,  zlučovanie paralelných vetiev,  zlučovanie paralelných napájacích vetiev,

172

Riešenie zauzlených sietí  transfigurácia hviezda – trojuholník a naopak,  preloženie záťaže z uzla hviezdy do jej vrcholov. Metóda sa používa len pre informatívne výpočty malých sietí. Nie je vhodná pre programovanie. Metóda rezu patrí medzi klasické metódy riešenia ustáleného chodu siete. Jej podstatou je rozdelenie siete v určitých uzloch v tzv. styčných uzloch. Pri ich voľbe musia byť splnené dve podmienky: 1. Uzlová sieť sa musí rozpadnúť na nezauzlené dielčie siete vždy s jedným napájacím uzlom. Dielčie siete sú rozvetvené vedenia napájané len z jednej strany. 2. Prerušením nesmie vypadnúť žiadna vetva pôvodnej siete. Styčný uzol pôvodnej siete sa rozdelí na dielčie styčné uzly, priradené k jednotlivým dielčim sieťam. Pri tejto metóde ide o stanovenie veľkosti neznámych prúdov v dielčích sieťach tak, aby v miestach ktoré pôvodne tvorili uzol, bolo rovnaké napätie vo všetkých dielčích sieťach kde sa príslušný uzol vyskytuje a prúdy musia vyhovovať Kirchhoffovmu zákonu. Táto metóda nie je vhodná pre programovanie. Metóda slučkových prúdov sa niekedy nazýva aj metóda obvodových rovníc. Táto metóda využíva základné poznatky z topológii obvodov. Pri tejto metóde je v sieti potrebné určiť tzv. úplný strom, závislé a nezávislé vetvy siete. Na základe tohto rozdelenia zostavíme jednotlivé slučky. Pre prúdy v jednotlivých uzloch na základe Kirchhoffovho zákona zostavíme rovnice bilancií prúdov. Na základe týchto rovníc určíme prúdy v jednotlivých vetvách siete a až následne určíme napäťové pomery v sieti. S rozvojom počítačov využitie tejto metódy postupne zaniká.

5.2 Metóda uzlových napätí Metóda uzlových napätí je v súčasnosti najviac používaná metóda pre výpočet ustáleného chodu siete. Na obr. 5.1 je uvedený príklad siete, na ktorej si ukážeme metódu uzlových napätí. Pre sieť zadáme len pozdĺžne impedancie.

Riešenie zauzlených sietí

173

Obr.5.1 Schéma siete s uvažovaním pozdĺžnych impedancií

Metóda uzlových napätí vychádza z I. Kirchhoffovho zákona. Pre prúdy v jednotlivých uzloch siete môžeme napísať:

I1 − I12 − I13 − I14 = 0 I 2 + I12 − I 23 − I 24 = 0

(5.1)

− I 3 + I13 + I 23 − I 34 = 0 − I 4 + I14 + I 24 + I 34 = 0 Pre prúdy v jednotlivých vetvách platí vzťah:

I ij =

(Ufi − Ufj ) = (U Z ij

fi

)

− U fj Yij = −I ji ,

1

Z ij

= Yij

(5.2)

Pri dodržaní konvencie I ij = −I ji budú mať rovnice pre prúdy tvar:

I1 = I12 + I13 + I14 I 2 = I 21 + I 23 + I 24 − I 3 = I 31 + I 32 + I 34 − I 4 = I 41 + I 42 + I 43

(5.3)

174

Riešenie zauzlených sietí Po dosadení za jednotlivé prúdy do vzťahu (5.3) dostaneme:

I1 = Y12 (U f 1 − U f 2 ) + Y13 (U f 1 − U f 3 ) + Y14 (U f 1 − U f 4 )

I 2 = Y21 (U f 2 − U f 1 ) + Y23 (U f 2 − U f 3 ) + Y24 (U f 2 − U f 4 )

) ) ( ) ( ( − I 4 = Y41 (U f 4 − U f 1 ) + Y42 (U f 4 − U f 2 ) + Y43 (U f 4 − U f 3 )

(5.4)

− I 3 = Y31 U f 3 − U f 1 + Y32 U f 3 − U f 2 + Y34 U f 3 − U f 4

Roznásobením a úpravou dostaneme vzťahy:

I1 = U f 1 (Y12 + Y13 + Y14 ) − U f 2Y12 − Y13U f 3 − Y14U f 4

I 2 = −U f 1Y21 + U f 2 (Y21 + Y23 + Y24 ) − U f 3Y23 − U f 4Y24

(

)

− I 3 = −U f 1Y31 − U f 2Y32 + U f 3 Y31 + Y32 + Y34 − U f 4Y34

(

− I 4 = −U f 1Y41 − U f 2Y42 − U f 3Y43 + U f 4 Y41 + Y42 + Y43

(5.5)

)

Ak označíme

Y11 = (Y12 + Y13 + Y14 )

Y22 = (Y21 + Y23 + Y24 ) Y33 = (Y31 + Y32 + Y34 )

(5.6)

Y44 = (Y41 + Y42 + Y43 ) potom pre danú sieť môžeme napísať rovnice pomocou metódy uzlových napätí nasledovne:

 I1   Y11 − Y12    Y22  I 2  = − Y21  − I 3   − Y31 − Y32    − I 4  − Y41 − Y42

− Y13 − Y23

Y33 − Y43

− Y14   − Y24  − Y34   Y44 

 U1    U 2  U 3    U 4 

(5.7)

alebo v skrátenej forme: I = Y.U

kde

(5.8) I Y

U

je matica prúdov (napájacie prúdy sú znamienkom +, odberové so znamienkom -), – uzlová admitančná matica, prvky na hlavnej diagonále Yii – sú tvorené súčtom admitancií všetkých vetiev incidentných s i–tym uzlom, prvky mimo hlavnej diagonály Yij (i ≠ j ) – sú tvorené

–

záporným súčtom admitancií všetkých vetiev, spájajúce i–tý a j–tý uzol, matica neznámych napätí.

Riešenie zauzlených sietí

175

Riešenie vyššie uvedeného systému rovníc nie je jednoznačné, pokiaľ nebola zadaná veľkosť žiadneho napätia. Môžeme dostať riešenie, ktoré nie je technicky zaujímavé. Ďalšie riešenia by sme dostali, ak fázy napätia ľubovoľne natočíme. Ak by sme uvažovali vyššie uvedený lineárny model siete (sieť zadaná len pozdĺžnymi impedanciami a konštantnými prúdmi vo všetkých uzloch), úloha nie je riešiteľná, pretože by sme dostali systém lineárne závislých rovníc. Tento problém je v praktických výpočtoch chodu siete vyriešený tak, že v jednom uzle siete si zvolíme veľkosť a fázu napätia. Tento uzol nazývame bilančným uzlom. Týmto sa riešenie úlohy stáva jednoznačným. Zo systému rovníc je potrebné jednu rovnicu, ktorá zodpovedá bilančnému uzlu, vynechať. Za bilančný uzol zvolíme uzol č.1. Potom dostaneme:  I1   Y11    − − −  − − −  I 2  =  − Y21     − I 3   − Y31  − I 4   − Y41

YR .U = I − YB .UB kde

YR U YB UB

− Y14   − − − − − − − − − Y22 − Y23 − Y24   Y33 − Y34  − Y32 Y44  − Y42 − Y43 − Y12

− Y13

 U1    − − −   U2     U3   U 4 

(5.9)

(5.10)

je redukovaná matica uzlových vodivostí n–1 rádu, – matica neznámych napätí, – matica vodivostí medzi bilančným a ostatnými uzlami, – napätie bilančného uzla.

Riešením sústavy rovníc dostaneme hľadané napätia v ostatných uzloch siete. Ak pre jednotlivé prvky siete budeme uvažovať aj priečne admitancie a nahradíme ich napríklad pomocou Π − článku dostaneme sieť uvedenú na obr. 5.2.

176

Riešenie zauzlených sietí

Obr.5.2 Schéma siete s uvažovaním pozdĺžnych impedancií a priečnych admitnacií

Podobne aj pre túto sieť môžeme pre prúdy v jednotlivých uzloch siete napísať:

I1 − I10 − I12 − I13 − I14 = 0 I 2 − I 20 + I12 − I 23 − I 24 = 0

(5.11)

− I 3 − I 30 + I13 + I 23 − I 34 = 0 − I 4 − I 40 + I14 + I 24 + I 34 = 0 Pre prúdy v priečnych vetvách platí vzťah:

I i 0 = U fiYi 0

(5.12)

Po dosadení za jednotlivé prúdy do vzťahu (5.11) dostaneme:

I1 = Y10U f 1 + Y12 (U f 1 − U f 2 ) + Y13 (U f 1 − U f 3 ) +

(

+ Y14 U f 1 − U f 4

)

I 2 = Y20U f 2 + Y21 (U f 2 − U f 1 ) + Y23 (U f 2 − U f 3 ) +

(

+ Y24 U f 2 − U f 4

(

)

)

(

)

)

(

)

− I 3 = Y30U f 3 + Y31 U f 3 − U f 1 + Y32 U f 3 − U f 2 +

(

+ Y34 U f 3 − U f 4

(

)

− I 4 = Y40U f 4 + Y41 U f 4 − U f 1 + Y42 U f 4 − U f 2 +

(

+ Y43 U f 4 − U f 3

)

(5.13)

Riešenie zauzlených sietí

177

Roznásobením a úpravou dostaneme vzťahy:

I1 = U f 1 (Y10 + Y12 + Y13 + Y14 ) − U f 2Y12 − Y13U f 3 − Y14U f 4

I 2 = −U f 1Y21 + U f 2 (Y20 + Y21 + Y23 + Y24 ) − U f 3Y23 − U f 4Y24 − I 3 = −U f 1Y31 − U f 2Y32 +

(

(5.14)

)

+ U f 3 Y30 + Y31 + Y32 + Y34 − U f 4Y34 − I 4 = −U f 1Y41 − U f 2Y42 − U f 3Y43 +

(

+ U f 4 Y40 + Y41 + Y42 + Y43

)

Podobne ako v predchádzajúcom prípade pre danú sieť môžeme napísať rovnice pomocou metódy uzlových napätí nasledovne:

 I1   Y11 − Y12    Y22  I 2  = − Y21  − I 3   − Y31 − Y32    − I 4  − Y41 − Y42

− Y13 − Y23

Y33 − Y43

− Y14   − Y24  − Y34   Y44 

U1    U 2  U 3    U 4 

(5.15)

Pre riešenie uvedenej sústavy lineárnych rovníc je možné použiť:  priame metódy – napr. Gaussova eliminačná metóda,  iteračné metódy – napr. Gaussova iteračná metóda. Keď vypočítame napätia v jednotlivých uzloch, potom prúdy v jednotlivých vetvách siete vypočítame podľa vzťahu:

I ij = Yij (U i − U j ) kde

I ij je

(5.16) prúd pretekajúci vetvou ij

5.2.1 Riešenie lineárneho modelu siete S takouto sieťou sa stretávame len v prípadoch jednosmerných vedení, resp. veľmi zjednodušených vedení napätí nn a vn, ide o systém lineárnych rovníc, pre ktoré vieme stanoviť podmienky riešiteľnosti. Najznámejšie metódy riešenia sú eliminačné metódy: Gaussova, resp. Gaussova – Jordanova. Pre menšie systémy rovníc možno použiť metódy invertovania matice koeficientov systému rovníc. Lineárny model sa používa okrem už spomenutých sieťach aj pri zjednodušených výpočtoch skratových pomerov v elektrických sieťach.

178

Riešenie zauzlených sietí

5.2.1.1 Gaussová eliminačná metóda Ak máme v sieti zadané odoberané prúdy, pre jednotlivé uzly na základe metódy uzlových napätí môžeme napísať: Y.U = I

(5.17)

roznásobením dostaneme:

Y11U1 + Y12U 2 + Y13U 3 + . . . + Y1nU n = I1 Y21U1 + Y22U 2 + Y23U 3 + . . . + Y2nU n = I 2 . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. .

(5.18)

Yn1U1 + Yn 2U 2 + Yn 3U 3 + . . . + Ynn U n = I n Koeficienty pri jednotlivých napätiach U i môžeme zapísať ako dvojrozmerné pole rozšírené o pravé strany predchádzajúcej rovnice:

 Y11   Y21 . . .   Yn1

Y12 Y22

Y13 Y23

. . . Y1n . . . Y2n

. . . . . . . . . . . . Yn 2 Yn 3 . . . Ynn

I1   I2 

. . .  I n 

(5.19)

Postup pri Gaussovej eliminačnej metóde je nasledovný: Prvý riadok matice vydelíme prvkom Y11 . Potom tento riadok vynásobíme prvkom Y21 a odčítame od druhého riadku, čím dostaneme v druhom riadku na prvom mieste 0. Tento postup zopakujeme pre všetky riadky. Vo všeobecnosti môžeme napísať uvedený postup nasledovne: Prvý riadok vydelíme prvkom Y11 . Postupne násobíme prvkami Yk 1 (k = 2, ….n) a odčítame ho od k-teho riadku.    .  

1 0

Y12(1) Y13(1) . . . Y1n(1) Y22(1) Y23(1) . . . Y2(n1)

. . . . . . . . . . . . . . 0 Yn(21) Yn(31) . . . Ynn(1)

I1(1)   I 2(1) 

. . .  I n(1) 

(5.20)

Riešenie zauzlených sietí

179

Rovnakú úpravu urobíme pre druhý riadok až n-1 riadok, čím dostaneme:

 1 Y12(1) Y13(1) . . . Y1n(1)  1 Y23(2 ) . . . Y2(n2 )  0 . . . . . . . . . . . . . . .  1 Yn(−n1−,n1) 0  0 .  0 0 0 Ynn(n −1)

I1(1)   I 2(2 ) 

. . .  I n(n−1−1)  I n(n −1) 

(5.21)

n – tý riadok vydelíme Yn( n, n−1) , čím dostaneme  1 Y12(1) Y13(1) . . . Y1n(1)  1 Y23(2 ) . . . Y2(n2 )  0 . . . . . . . . . . . . . . .  0 0 .0 1  0

I1(1)   I 2(2 ) 

. . .  I n(n ) 

(5.22)

t.j.

Un =

I n( nn−1) ( n −1)

Yn n

= I n( n )

(5.23)

Týmto sme ukončili tzv. priamy chod Gaussovej eliminačnej metódy. Spätný chod je nasledovný: do n–1 riadku dosadíme vypočítanú hodnotu U n čím dostaneme hodnotu U n −1 , a pokračujeme až dostaneme hodnotu U1 . Spätný chod môžeme zapísať v tvare: n

U k = I k( k ) = ∑ Ykj( k ) U j j =k +1

(5.24)

5.3 Riešenie nelineárneho modelu siete V praxi sa častejšie vyskytujú prípady keď sú v uzloch siete zadané činné a reaktančné výkony. Pre jednotlivé uzly siete platí:

Si = Pi + Qi = U i I i∗

(5.25)

180

Riešenie zauzlených sietí pre prúd platí ∗

Ii =

Si

∗

Ui

=

Pi − jQi

(5.26)

∗

Ui

dosadením pre prúdy v jednotlivých uzloch dostaneme:

Ii =

n Pi − jQi = ∑Yij U j U i∗ j =1

pre i = 1, 2, . . . n

(5.27)

Z uvedeného vyplýva, že matematický model ustáleného chodu siete je opísaný systémom nelineárnych algebraických rovníc s komplexnými koeficientmi a premennými. Komplexný charakter týchto rovníc možno vylúčiť zdvojnásobením počtu neznámych a rovníc, avšak priama metóda riešenia takéhoto systémov rovníc neexistuje. Preto riešenie môže byť len numerické a v dôsledku nelineárnosti systému len postupným sa približovaním k výsledku – teda využitím iteračných metód riešenia. Pritom sa najčastejšie stretávame s úlohou hľadania neznámych napätí v uzloch siete pri zadaných dodávaných a odoberaných výkonov. Podstata všetkých iteračných metód je v tom, že vychádzajú z tzv. štartovacieho vektora premenných U ( 0 ) , ktorý nazývame počiatočným priblížením. V priebehu výpočtu sa snažíme zlepšiť hodnoty jeho prvkov, aby sme sa aperiodicky alebo z oboch strán blížili k riešeniu. Základné ukazovatele ľubovoľného iteračného postupu sú:  Podmienky konvergencie riešenia, pri ktorých dochádza k priblíženiu sa vektora v k–tej iterácii, resp. dochádza k vzďaľovaniu sa od riešenia.  Rýchlosť konvergencie, ktorá je zvyčajne určovaná počtom potrebných iterácií na dosiahnutie stanovenej presnosti riešenia alebo zmenou medzi iteračnými metódami. Pre riešenie sústavy nelineárnych rovníc sa najčastejšie používa Gaussova, Gauss-Seidlova a Newtonova iteračná metóda. Po vyriešení neznámych napätí v uzloch sa určia toky výkonov a strát v sieti.

Riešenie zauzlených sietí Špecifiká pri riešení ustálených chodov vo veľkých ES:  Nutnosť použiť iteračné metódy výpočtu – vzhľadom na matematický model, ktorý je vo všeobecnosti popísaný sústavou nelineárnych rovníc.  Potrebnosť uvažovať s technickými obmedzeniami – max. U, I, P, Q.  Zložitosť – veľký počet prvkov, uzlov a vetiev. Pri výpočte ustáleného chodu siete určujeme:  veľkosť a fázu napätí v jednotlivých uzloch,  rozdelenie činných a jalových výkonov,  straty výkonov a energie,  maximálny prenášaný výkon z hľadiska stability sústavy,  zaťaženosť jednotlivých častí a prvkov sústavy (vedenia, transformátory). Ustálený chod siete je jednoznačne určený, ak poznáme v každom uzle siete nasledovné hodnoty:  činný výkon P,  reaktančný výkon Q,  absolútnu hodnotu napätia U,  fázu napätia α. Zvyčajne sú pre riešenie ustáleného chodu siete v každom uzle zadané dve hodnoty z vyššie uvedených a zvyšné je potrebné vypočítať riešením ustáleného chodu siete. Podľa toho, ktoré hodnoty sú pre uzol zadané, uzly delíme na:  bilančný uzol – v tomto uzle je zadaná absolútna hodnota napätia U a fáza α. Úlohou tohto uzla je vyrovnať bilanciu dodávaných a odoberaných výkonov (činných aj reaktančných) s uvažovaním činných a reaktančných strát v sústave,  napájacie resp. odberové uzly – tzv. P–Q uzly. V týchto uzloch je zadaný činný a reaktančný výkon P Q, (odber a výroba je odlíšená znamienkom). Riešením ustáleného chodu dostaneme absolútnu hodnotu napätia a fázu napätia v týchto uzloch,  regulačné alebo kompenzačné uzly – tzv. P–U uzly. V týchto uzloch je zadaná absolútna hodnota napätia U a činný výkon P. Riešením dostaneme hodnotu fázy napätia a veľkosť reaktančného výkonu Q, ktorý je potrebný na udržanie požadovaného napätia.

181

182

Riešenie zauzlených sietí

5.3.1 Výpočet ustáleného chodu pomocou Gaussovej a Gauss-Seidlovej iteračnej metódy Máme zadanú sieť ktorá obsahuje n uzlov a v každom uzle okrem bilančného je zadaný výkon.

Si = Pi + jQi

(5.28)

pre prúd v uzle i platí:

Ii =

n Pi − jQi = ∑Yij U j U i∗ j =1

pre i = 1, 2, . . . n

(5.29)

Túto sústavu nelineárnych rovníc môžeme riešiť napr. pomocou Gaussovej a Gauss-Seidlovej iteračnej metódy. Rozpíšeme pravú stranu rovnice: n Pi − jQi i −1 = + + Y U Y U Yij U j ∑ ∑ ij j ii i U i∗ j =1 j = i +1

pre i = 1, 2, . . . n

(5.30)

Z uvedenej rovnice si vyjadríme hľadanú premennú U i

Ui =

n 1  Pi − jQi i −1 − − Y U Yij U j ∑ ∑ ij j ∗ Yii  U i j =1 j =i +1

  pre i = 1, 2, . . . n  

(5.31)

Iteračný tvar vzťahu (5.31) pre Gaussovú iteračnú metódu je: n 1  Pi − jQi i −1 (k ) − − Y U Yij U j (k ) ∑ ∑ ij j ( ) k  Yii U ∗ j =1 j =i +1  i pre i = 1, 2, . . n

U i (k +1) =

kde

   

(5.32)

k je k–ty krok iterácie, k+1 – k+1 krok iterácie.

Iteračný tvar vzťahu (5.31) pre Gauss-Seidlovú iteračnú metódu je:  n 1  Pi − jQi i −1 (k +1) (k )  Y U Y U − − ∑ ∑ ij j ij j  Yii  U ∗ (k ) j =1 j =i +1   i pre i = 1, 2, . . n

U i (k +1) =

(5.33)

Riešenie zauzlených sietí

183

Iteračný postup v oboch prípadoch ukončíme, keď je pre všetky uzly splnená podmienka:

U i ( k +1) − U i ( k ) ≤ e ε

kde

pre i = 1, 2, . . . n

(5.34)

je zadaná presnosť výpočtu.

Nevýhodou uvedených iteračných metód je pomalá konvergencia výpočtu. Pre 100–200 uzlovú sieť je potrebných pre Gauss-Seidlovú iteračnú metódu 300–500 iterácií. Experimentálne sa určilo niekoľko faktorov, ktoré vplývajú na rýchlosť konvergencie. Sú to najmä:  čo najbližšie počiatočné priblíženie,  odľahčenie veľmi zaťažených vedení,  zvýšenie počtu generujúcich uzlov so zadanými absolútnymi hodnotami napätí a s dostatočnou rezervou reaktančného výkonu,  zvýšenie počtu slučiek v sieti,  zvýšenie počtu spojení referenčného uzla s ostatnými. Konvergencia môže byť zrýchlená zrýchlenia resp. spomalenia. (k )

( k −1)

za

pomoci

koeficientov

( k −2 )

Ak U i , U i sú hodnoty napätia v i–tom uzle pre k–tú, , Ui k - 1 a k - 2 iteráciu, potom pri výpočte k + 1 iterácie dosadíme (k ) (k ) namiesto U i hodnotu napätia U µi , ktoré určíme z rovnice:

(

U µi ( k ) = U i ( k −1) + µ i U i ( k ) − U i ( k −1)

)

(5.35)

koeficient µ i sa určuje zo súčinu:

(U

( k −1)

i

− Ui

( k −2 )

)(U

(k )

i

− Ui

( k −1)

)

ak je súčin väčší ako 0, potom µ i ≥ 1 v opačnom prípade µ i < 1.

5.3.2 Relaxačná Gaussova–Southwellova metóda výpočtu chodu siete Táto metóda nám pomáha znížiť počet krokov potrebných na výpočet hľadaného ustáleného chodu siete hľadaním takých korekcií výsledkov, aby zmeny v jednotlivých výpočtových krokoch prebiehali cieľavedome s úsilím korigovať napätia v uzloch s najväčšími odchýlkami v bilanciách prúdov.

184

Riešenie zauzlených sietí Pre štartovací vektor napätia určíme vo všetkých uzloch tzv. rezíduum, t.j. zvyškový prúd pri zvolenej hodnote napätí. Rezíduá určíme: n

R i( k ) = ∑ Yij U j − I i( k ) j =1

I i( k ) =

S i∗ U i∗( k )

(5.36)

pre i = 1, 2, . . . n Nájdeme najväčšie rezíduum a v uzle s týmto rezíduom urobíme korektúru napätia tak, aby zvyškový prúd bol rovný 0. Výpočet napäťovej korektúry je podľa:

∆U i

(k )

R i( k ) =− Yii

(5.37)

Výpočet opravenej hodnoty napätia urobíme podľa:

U i( k +1) = U i( k ) + ∆U i( k )

(5.38)

S novou hodnotou napätia v danom uzle vypočítame nové rezíduum podľa

R i( k +1) = I i( k ) − I i( k +1)

(5.39)

pričom nový prúd vypočítame podľa vzťahu:

Ii

( k +1)

=

S i∗ U i∗( k +1)

(5.40)

Rezíduum prúdov v ostatných uzloch opravíme podľa:

R j( k +1) = R j( k ) + Yij ∆U i( k )

(5.41)

Skontrolujeme, či sme nedosiahli požadovanú presnosť výpočtu (napr. podľa veľkostí rezíduí) a potom opakujeme proces od vyhľadania najväčšieho rezídua a urobením korekcie napätia aby zvyškový prúd bol rovný 0, alebo s vypočítanými hodnotami napätí vyriešime rozdelenie výkonov v sieti (pri požadovanej presnosti).

Riešenie zauzlených sietí

185

5.3.3 Výpočet ustáleného chodu pomocou Newtonovej iteračnej metódy Predpoklad pre riešenie – ustálený chod siete je opísaný pomocou sústavy nelineárnych rovníc. Tento systém rovníc môžeme riešiť pomocou Newtonovej iteračnej metódy ak sú splnené nasledovné podmienky:  k príslušnej Jacobiho matici existuje inverzná matica,  je možná dostatočne presná počiatočná aproximácia,  koeficienty rovníc sú reálne čísla. Prvé dve podmienky vieme splniť. Tretiu podmienku, ako bolo spomenuté v predchádzajúcom texte splníme tak, že rovnice s komplexnými koeficientmi upravíme na rovnice s reálnymi koeficientmi. Môžeme písať:

Ii =

n Pi − jQi = Yij U j ∑ U i∗ j =1

pre i = 1, 2, . . . n

(5.42)

resp: n

Pi − jQi = U i∗ ∑ Yij U j j =1

pre i = 1, 2, . . . n

(5.43)

Pravú stranu rovnice rozdelíme na reálnu a imaginárnu časť. Fázory napätí a vektory admitancií zapíšeme v zložkovom alebo trigonometrický tvare. V závislosti od použitého rozkladu dostaneme buď zložkový variant Newtonovej metódy alebo variant trigonometrický. Obe riešenia prebiehajú rovnakým spôsobom. 5.3.3.1 Newtonova metóda s použitím trigonometrického tvaru napätí a admitancií Predpokladáme že napätie U i a admitancia Yij budú mať tvar:

U i = U i ∠α i U i∗ = U i ∠ − α i Yij = Yij ∠β ij

(5.44)

186

Riešenie zauzlených sietí

n

Pi − jQi = U i∗ ∑ Yij U j j =1

(Pi − jQi )

∗

(5.45)

n

∗

∗

= Pi + jQi = U i ∑ Yij U j j =1

Dosadením a úpravou dostaneme:

Pi = ∑ U i U j Yij cos(α i − α j − β ij ) n

j =1

Qi = ∑ U i U j Yij sin(α i − α j − β ij ) n

(5.46)

j =1

pre i = 2, 3, . . . n

Dostávame 2(n-1) rovníc s reálnymi koeficientmi o (n-1) neznámych napätí a ich uhlov. Predpokladáme, že vo všetkých uzloch sú zadané činné a reaktančné výkony okrem bilančného uzla v ktorom je zadané napätie U1 = U 1 , α 1 = 0 . Potom pre iteračný výpočet diferencií môžeme v súlade s Newtonovou metódou napísať:  ∂P2  ∆P2   ∂U ,   2    ∂P ,   ∆P   ∂U     2      ∂Pn ,   ∆Pn   ∂U 2 =       ∂Q  ∆Q2   2 ,   ∂U 2   ∆Q   ∂Q ,      ∂U 2         ∂Qn  , ∆Qn    ∂U 2

∂P2 ∂P2 ,  ∂U  ∂U n ∂P ∂P ,  ∂U  ∂U n ∂Pn , ∂U   ∂Q2 , ∂U  ∂Q , ∂U 

   

∂Pn ∂U n  ∂Q2 ∂U n ∂Q ∂U n

∂Qn ∂Qn ,  ∂U  ∂U n

        

∂P2 ∂P2 ∂P2  , ,  ∂α 2 ∂α  ∂α n   ∂P ∂P ∂P  , ,  ∂α 2 ∂α  ∂α n     ∂Pn ∂Pn ∂Pn  , ,  ∂α 2 ∂α  ∂α n       ∂Q2 ∂Q2 ∂Q2   , ,  ∂α 2 ∂α  ∂α n  ∂Q ∂Q ∂Q  , ,   ∂α 2 ∂α  ∂α n    ∂Qn ∂Qn ∂Qn  , ,  , ∂α 2 ∂α  ∂α n 

 ∆U 2       ∆U          ∆U n  .      ∆α 2     ∆α            ∆α n 

zjednodušene  [∆P ]      [∆Q ]

     ∂P   ∂P          ∂U   ∂α   =        ∂Q   ∂Q      ∂U   ∂α    

 [∆U ]           [∆α ] 

(5.47)

Riešenie zauzlených sietí

187

Jednotlivé parciálne derivácie podľa jednotlivých premenných:

 ∂P   ∂U   

n ∂Pi = 2U i Yii cos(β ii ) + ∑ U j Yij cos(α i − α j − β ij ) ∂U i j =1 j ≠i

∂Pi = U i Yij cos(α i − α j − β ij ) ∂U j

 ∂P   ∂α   

n ∂Pi = − ∑ U i U j Yij sin(α i − α j − β ij ) ∂α i j =1 j ≠i

∂Pi = U i U j Yij sin(α i − α j − β ij ) ∂α j

 ∂Q   ∂U   

(5.49)

n ∂Qi = −2U i Yii sin β ii + ∑ U j Yij sin(α i − α j − β ij ) ∂U i j =1 j ≠i

∂Qi = U i Yij sin(α i − α j − β ij ) ∂U j

 ∂Q   ∂α   

(5.48)

(5.50)

n ∂Qi = ∑ U i U j Yij cos(α i − α j − β ij ) ∂α i j =1 j ≠i

∂Qi = U i U j Yij cos(α i − α j − β ij ) ∂α j Postup pri výpočte pomocou Newtonovej iteračnej metódy: 1. Odhadneme hodnoty, ktoré nepoznáme U i( 0 ) , α i( 0 ) 2.

Vypočítame Pi (1) , Qi(1)

3.

Vypočítame ∆Pi (1) , ∆Qi(1)

4.

  ∂P   ∂P     ∂U   ∂α        Vypočítame Jacobiho maticu J =     ∂Q   ∂Q          ∂U   ∂α  

(5.51)

188

Riešenie zauzlených sietí 5.

Vypočítame inverznú maticu k Jacobiho matici.

6.

Vypočítame ∆U i(1) , ∆α i(1) pomocou inverznej Jacobiho matice

7.

 [∆U ]   [∆P ]        = J −1            [∆α ]   [∆Q ]  Pomocou hodnôt ∆U i(1) , ∆α i(1) upravíme odhadnuté hodnoty

U i( 0 ) , α i( 0 ) a dostaneme U i(1) , α i(1) 8.

Výpočet ukončíme pokiaľ je splnená podmienka presnosti pre i = 1, 2, . . . n Pi (k +1) − Pi (k ) ≤ e Qi(k +1) − Qi(k ) ≤ e

9.

Pokiaľ nie je splnená podmienka prejdeme k bodu 2.

5.3.3.2 Newtonova admitancií

metóda

s použitím

zložiek

napätí

a

Predpokladáme že napätie U i a admitancia Yij budú mať tvar:

U i = ei + jfi U i∗ = ei − jfi

(5.52)

Yij = Gij + jBij Pre výkony v jednotlivých uzloch platí: n

Pi − jQi = U i∗ ∑ Yij U j j =1

(Pi − jQi )

∗

(5.53)

n

∗

∗

= Pi + jQi = U i ∑ Yij U j j =1

Dosadením a úpravou dostaneme:

Pi = ei ∑ (e j Gij − f j Bij ) + f i ∑ (f j Gij + e j Bij ) n

n

j =1

j =1

Qi = −ei ∑ (f j Gij + e j Bij ) + f i ∑ (e j Gij − f j Bij ) n

n

j =1

j =1

(5.54)

Riešenie zauzlených sietí

189

Ak zvolíme systém nelineárnych rovníc pre rozdiel zadaných výkonov a vzhľadom na štartovací vektor, (resp. vektor napätí v k– tej iterácii vypočítaných výkonov v uzloch derivovaním tejto sústavy rovníc podľa jednotlivých zložiek napätí v uzloch dostaneme Jacobiho funkcionálnu maticu v príslušnom bode. ∂P2  ∂P2  ∆P2   ∂e , ∂e ,    2  P P ∂ ∂   ,   ,  ∆P   ∂e e ∂ 2            ∂Pn , ∂Pn ,   ∆Pn   ∂e 2 ∂e =        ∂Q Q ∂ ∆ Q 2 2 2    , ,   ∂e 2  ∂e  ∆Q   ∂Q ∂Q , ,    ∂e   ∂e 2         ∂Qn  ∂Qn , , ∆Qn   ∂e  ∂e 2

∂P2 ∂e n ∂P ∂e n

 

∂Pn ∂e n  ∂Q2 ∂e n ∂Q ∂e n

   

∂Qn ∂e n



        

∂P2 ∂P2 ∂P2  , ,  ∂f 2 ∂f  ∂f n   ∂P ∂P ∂P  , ,  ∂f 2 ∂f  ∂f n     ∂Pn ∂Pn ∂Pn  , ,  ∂f 2 ∂f  ∂f n       ∂Q2 ∂Q2 ∂Q2   , ,  ∂f 2 ∂f  ∂f n  ∂Q ∂Q ∂Q  , ,   ∂f 2 ∂f  ∂f n    ∂Qn ∂Qn ∂Qn  , ,  , ∂f 2 ∂f ∂f n 

 ∆e 2       ∆e        ∆e n  .     ∆f 2     ∆f            ∆f n 

zjednodušene  [∆P ]    [∆Q ] 

   ∂P   ∂P      ∂e   ∂f     =  ∂Q ∂ Q           ∂e   ∂f  

 [∆e]   ∆P           → − − −  = J    [∆f ]   ∆Q     

∆e       ∆f 

(5.55)

Jednotlivé parciálne derivácie podľa jednotlivých premenných:

 ∂P   ∂e   

n ∂Pi = ∑ (e j Gij − f j Bij ) + 2ei Gii ∂ei j =1 j ≠i

∂Pi = ei Gij + fi Bij ∂e j  ∂P   ∂f   

(5.56)

n ∂Pi = ∑ (f j Gij + e j Bij ) + 2fi Gii ∂fi j =1 j ≠i

∂Pi = −ei Bij + fi Gij ∂f j

(5.57)

190

Riešenie zauzlených sietí

 ∂Q   ∂e   

n ∂Qi = − ∑ (f jGij + e j Bij ) − 2ei Bii ∂ei j =1 j ≠i

∂Qi = −ei Bij + fiGij ∂e j

 ∂Q   ∂f   

(5.58)

n ∂Qi = ∑ (e j Gij − f j Bij ) − 2fi Bii ∂fi j =1 j ≠i

∂Qi = −fi Bij − ei Gij ∂f j

(5.59)

Ďalší postup je podobný ako pri výpočte Newtonovej iteračnej metódy keď máme napätia zadané v trigonometrickom tvare. Ako výsledok riešenia dostaneme hodnoty zložiek napätí vo všetkých uzloch. Pri znalosti týchto hodnôt môžeme vypočítať rozdelenie výkonov v sieti, teda určiť chod siete. Pri hodnotení oboch základných variantov Newtonovej metódy treba uviesť, že neodstraňujú možnosť nájdenia nereálnych riešení, najmä pri výpočte ťažkých prevádzkových stavov siete a pri veľmi chybnom odhade počiatočného priblíženia. Napriek tomu možno vo všeobecnosti uviesť, že ich konvergencia je veľmi rýchla a za počiatočné hodnoty stačí brať menovité hodnoty napätí v uzloch položené do reálnej osi. Lepšie výsledky možno dosiahnuť v sieťach s viacerými zadanými absolútnymi hodnotami napätí, t.j. P-U uzlami.

5.4 Zhrnutie 1.

2. 3. 4.

Uzlová sieť vznikne prepojením viacerých jednoduchých sietí do jedného celku, čím sa zvýši spoľahlivosť dodávky elektrickej energie, znížia úbytky napätia a činné straty v sieti. Najpoužívanejšia metóda na výpočet ustáleného chodu zauzlenej siete je metóda uzlových napätí. Sieť modelovaná pozdĺžnymi impedanciami a konštantnými prúdmi v jednotlivých uzloch sa nazýva lineárny model siete. Na riešenie lineárneho modelu siete využívame eliminačné metódy alebo metódy invertovania matice koeficientov systému rovníc.

Riešenie zauzlených sietí 5.

6. 7.

8.

Sieť modelovaná pozdĺžnymi impedanciami a priečnymi admitanciami a v jednotlivých uzloch činnými a reaktančnými výkonmi sa nazýva nelineárny model siete. Nelineárny model siete riešime iteračnými metódami, najpoužívanejšia je Newtonova iteračná metóda. Ustálený chod siete je jednoznačne daný, ak pre každý uzol siete poznáme hodnoty: činného a reaktančného výkonu, veľkosti a fázy napätia. V modeli zauzlenej sieti poznáme tri typy uzlov (podľa zadaných veličín): bilančný (zadaná veľkosť a fáza napätia), napájací, resp. odberový (zadané hodnoty činného a reaktančného výkonu), regulačný, resp. kompenzačný (zadaná hodnota činného výkonu a veľkosti napätia).

5.5 Otázky a úlohy 5.1. Vymenujte a opíšte metódy na výpočet ustáleného chodu zauzlenej siete. 5.2. Uveďte rozdiel medzi lineárnym a nelineárnym modelom siete. 5.3. Vysvetlite nutnosť bilančného uzla v modeli zauzlenej siete. 5.4. Charakterizujte P-U uzol, P-Q uzol a bilančný uzol. 5.5. Akým veličinami je jednoznačne daný ustálený chod siete? 5.6. Opíšte základné eliminačné metódy pre výpočet ustáleného chodu zauzlenej siete. 5.7. Opíšte výpočet ustáleného chodu siete pomocou Newtonovej iteračnej metódy pre jednotlivé modifikácie.

191

LITERATÚRA [1] [2] [3]

[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

[11]

[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]

ALTUS, J., NOVÁK, M.: Riadenie elektrizačnej sústavy. Žilina, VŠDS Žilina 1995, 153 s. FECKO, Š.: Elektroenergetika. Alfa, Bratislava, 1991, 216 s. GRIGER, V., GRAMBLIČKA, M., NOVÁK, M., POKORNÝ, M.: Prevádzka, riadenie a kontrola prepojenej elektrizačnej sústavy. EDIS – vydavateľstvo ŽU, Žilina 2001, 233 s. HODINKA, M., FECKO, Š., NĚMEČEK, F.: Přenos a rozvod elektrické energie. SNTL/ALFA, Praha 1989, 323 s. HODINKA, M., HALUZÍK, E., KUČERA D.: Příklady z elektrických sítí I. STNL, Praha, 1976, 226 s. HORÁK, K.: Výpočet elektrických sítí. SNTL, Praha 1980, 305 s. HRUŠKOVIČ, L.: Elektrické stroje. Vydavateľstvo STU, Bratislava 1999, 491 s. JANÍČEK, F., ARNOLD, A., GORTA, Z.: Elektrické stanice. Vydavateľstvo STU, Bratislava 2001, 279 s. KNEPPO, L.: Striedavé prúdy, SAV, Bratislava 1954, 351 s. KOETTNITZ, H., PUNDT, H.: Berechnung elektrischer Energieversorgungsnetze. Band I, Mathematische Grundlagen und Netzparameter. VEB Deutscher Verlag fur Grundstoffindustrie, Leipzig 1973, 301 s. KOETTNITZ, H., WINKLER, G., WESSNIGK, K. D.: Grundlagen elektrischer Betriebsvorgänge in Elektronergiesystemen, VEB Deutscher Verlag fur Grundstoffindustrie, Leipzig 1986, 385 s. KOLCUN, M.: Riadenie elektrizačných sústav. Košice, Edičné stredisko VŠT v Košicich, 1988, 157 s. KROŠLÁK, Š.: Riadenie elektrizačnej sústavy. Bratislava, SVŠT Bratislava 1988, 169 s. MARKO, Š., DARUĽA, I., SMOLA, A., ŠIMUNEK, P.: Energetické zdroje a premeny, ALFA, Bratislava, 1988, 441 s. PAVLOVSKÝ, B.: Elektrické sítě v městech a sídlištích. SNTL, Praha 1975, 428 s. REISS, L., MALÝ, K., PAVLÍČEK, Z., NĚMEČEK, F.: Teoretická elektroenergetika I. Bratislava, ALFA 1977, 420 s. REISS, L., MALÝ, K., PAVLÍČEK, Z.: Teoretická elektroenergetika II. Alfa, Bratislava 1971, 440 s. SCHULTHEISS, F., WESSTNIGK, K. D.: Berechnung elektrischer Energieversorgungsnetze. Band II, VEB Deutscher Verlag fur Grundstoffindustrie, Leipzig 1971, 235