Energie-, Gebäude-, Versorgungstechnik 9783486769678, 9783486727692

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Dieter Liepsch, Ferdinand Bajic, Christian Steger Energie-, Gebäude-, Versorgungstechnik

Dieter Liepsch, Ferdinand Bajic, Christian Steger

Energie-, Gebäude-, Versorgungstechnik

ISBN 978-3-486-72769-2 e-ISBN 978-3-486-76967-8 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. Library of Congress Cataloging-in-Publication Data A CIP catalog record for this book has been applied for at the Library of Congress. © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 143, 81671 München, Deutschland www.degruyter.com Ein Unternehmen von De Gruyter Lektorat: Dr. Gerhard Pappert Herstellung: Tina Bonertz Druck und Bindung: CPI buch bücher.de GmbH, Birkach Gedruckt in Deutschland Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706.

Gewidmet Herrn Prof. Dipl.-Ing. Hermann Albricht Dieser hat den Grundstein für die Versorgungstechnik gelegt, ohne dessen Vorarbeit und seiner Mitarbeit bis zu seinem Tode im Dezember 2008 wäre die Herausgabe des Buches nicht möglich gewesen. Ferner des fluidmechanischen Teil Kap. 4 Herrn Prof. Dr.-Ing. Dr. eh. Erich Truckenbordt, der Doktor- und Habilitationsvater von Prof. Dr.-Ing. habil. Dieter Liepsch war.

Vorwort Das Buch soll als Grundlage und Nachschlagwerk für Ingenieure, Techniker und Studierende des Maschinenbaues, der Energie-, Gebäude- und Versorgungstechnik dienen. Eine erweiterte Formelsammlung für das sehr groß verzweigte Gebiet der Energie-, Versorgungs- und Gebäudetechnik soll und kann nur die wichtigsten grundsätzlichen Zusammenhänge enthalten. Technisch-physikalische, elementare Grundlagen sind als bekannt angenommen. Für die praktische Planung und Berechnung sind die umfangreichen Normen zur Versorgungs- und Gebäudetechnik anzuwenden, deren Inhalt oft genauere Berechnungsvorschriften enthält, welche den Rahmen einer Formelsammlung sprengen würden. In den einzelnen Abschnitten wurden nur die wichtigsten einschlägigen DIN- und EU-Normen sowie VDI/VDE-Richtlinien benannt. Die Versorgungstechnik umfasst vor allem die Berechnung und Planung von Anlagen im Bausektor und der Industrie, wobei die Einzelteile in ihrer Funktion, nicht jedoch deren Berechnung und Konstruktion, ein Behandlungsthema sind. Die Abbildungen sollen textsparende Anschaulichkeit bieten, und die Beispiele und zusätzlichen Erläuterungen sind vor allem für Lernende oder Fachleute, denen das betreffende Kapitel relativ fremd ist, gedacht. Unser Dank gilt ganz besonders Herrn Maximilian Haslinde, Thomas Tiefenbacher, Frau Inge Hopf und Joyce McLean für die tatkräftige Unterstützung und Mithilfe an diesem Buch.

Inhaltsverzeichnis 1

Bezeichnungen und Indizes

1

2

Allgemeines

3

2.1 2.1.1 2.1.2

Alphabete und Zahlenreihen ................................................................................... 3 Griechisches Alphabet ............................................................................................ 3 Römische Zahlen .................................................................................................... 3

2.2

Vielfaches und Teile von Einheiten ........................................................................ 4

2.3

Grund- und Basiseinheiten...................................................................................... 4

2.4

SI- und abgeleitete Einheiten .................................................................................. 6

2.5

Physikalische Fundamentalkonstanten2 ................................................................. 6

2.6

Umrechnungstabellen ............................................................................................. 8

2.7

Dimensionslose Kennzahlen................................................................................... 12

3

Grundlagenformeln

15

4

Fluidmechanik

17

4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7

Physikalische Eigenschaften der Fluide.................................................................. Dichte – Kompressibilität ....................................................................................... Reibung................................................................................................................... Schwereeinflüsse .................................................................................................... Spezifische Wärmekapazität................................................................................... Siedetemperatur, Kavitation ................................................................................... Kapillarität, Grenzflächenspannung........................................................................ Wärmeleitfähigkeit, Wärmestromdichte .................................................................

17 17 19 22 22 24 25 27

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

Fluidstatik, Hydro- und Aerostatik ......................................................................... Druckkraft-Druckspannung FP ............................................................................... Volumenkräfte (Massenkräfte) FK .......................................................................... Hydrostatisches Grundgesetz.................................................................................. Flüssigkeitsdruck auf feste Böden und Wände – Hydrostatische Druckkraft auf ebene Bodenflächen.......................................................................................... Auftrieb und Schwimmen ....................................................................................... Aerostatik................................................................................................................

28 28 29 31

4.2.5 4.2.6

35 38 40

X

Inhaltsverzeichnis

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3

Fluiddynamik.......................................................................................................... Verhalten strömender Fluide .................................................................................. Fluidkinematik........................................................................................................ Ähnlichkeitstheorie und Kennzahlen der Fluidmechanik.......................................

41 41 43 46

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.2.1 4.4.2.2 4.4.2.3 4.4.2.4 4.4.3

Grundgesetze der Fluidmechanik ........................................................................... Massenerhaltungssatz – Kontinuitätsgleichung...................................................... Kinetik der Strömungen: Dynamische Grundgleichungen der Fluidmechanik ...... Eulersche Bewegungsgleichung ............................................................................. Bewegungsgleichung laminare Strömung (zähigkeitsbehafteten) .......................... Bewegungsgleichung turbulente Strömung ............................................................ Impulssatz............................................................................................................... Energiesatz .............................................................................................................

49 49 51 52 61 63 64 72

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.2.1 4.5.2.2 4.5.2.3 4.5.2.4 4.5.2.5 4.5.2.6 4.5.2.7 4.5.2.8

Zusammenstellung der Grundgesetze..................................................................... Stromfaden- und Stromröhrentheorie inkompressibler Fluide ............................... Anwendung der Grundgesetze................................................................................ Venturi-Rohr........................................................................................................... U-Rohr Manometer................................................................................................. Ausfluss aus einem offenen Behälter...................................................................... Ausfluss aus einem geschlossenen Gefäß mit innerem Überdruck ........................ Ausfluss aus einem Hochbehälter........................................................................... Plötzliche Rohrerweiterung .................................................................................... Strömung durch einen Propeller ............................................................................. Schub von Strahl- und Raketentriebwerk ...............................................................

74 74 75 75 76 77 78 79 80 81 82

4.6

Rohrhydraulik......................................................................................................... 83 Verlustziffern von Rohrleitungselementen ............................................................. 91

4.7 4.7.1 4.7.2

Umströmung von Körpern......................................................................................100 Ausbildung der Grenzschicht an ebener Platte .......................................................100 Strömungswiderstand .............................................................................................102

4.8 4.8.1 4.8.2

Gasströmung...........................................................................................................103 Gasströmung in Rohrleitungen ...............................................................................103 Ausströmen von Gas aus Druckbehältern...............................................................104

5

Wärmeübertragung

5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.5.1 5.1.5.2 5.1.6 5.1.7 5.1.8

Wärmeleitung .........................................................................................................107 Wärmedurchgang durch eine ebene Wand .............................................................107 Wärmedurchgang durch einen Zylinder (Rohr)......................................................116 Wärmedurchgang durch eine Kugel .......................................................................117 Temperaturabfall in Rohrleitungen.........................................................................117 Sonderfälle des Wärmedurchgangs in Rohren........................................................120 Abkühlung von Behältern.......................................................................................120 Rohr im Erdboden ..................................................................................................121 Ermittlung der wirtschaftlichen Isolierdicke für Rohrleitungen .............................122 Randbedingungen ...................................................................................................124 Wärmedurchgang durch eine Wand mit Rippen.....................................................126

107

Inhaltsverzeichnis

XI

5.1.9 5.1.9.1 5.1.9.2 5.1.9.3 5.1.10

Wärmetauscher .......................................................................................................130 Gleichstrom.............................................................................................................131 Gegenstrom.............................................................................................................133 Kreuzstrom .............................................................................................................134 Wärmeleitung mit inneren Wärmequellen ..............................................................136

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.2.1 5.2.2.2 5.2.2.3 5.2.2.4 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Wärmeübertragung durch Konvektion....................................................................137 Kennzahlen der Wärmeübertragung – Wärmeübertragungszahl α .........................137 Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion.......................................................138 Längs angeströmte Platte ........................................................................................138 Gerade Rohrströmung.............................................................................................139 Außen angeströmtes Rohr (senkrecht zur Achse) ..................................................142 Rohrbündel (quer angeströmt) ................................................................................143 Wärmeübergang bei freier Konvektion...................................................................145 Wärmeübergang bei Kondensation.........................................................................148 Filmkondensation....................................................................................................148 Wärmeübergang beim Verdampfen ........................................................................150

5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.3.2.4 5.3.3

Wärmeübergang durch Strahlung ...........................................................................151 Strahlung des schwarzen Körpers – Gesetz von Stefan Boltzmann........................151 Strahlung technischer Oberfläche ...........................................................................153 Wärmeaustausch d. Strahlung zweier Flächen........................................................153 Zwei einander umschließende Flächen ...................................................................154 Strahlung beim Durchgang d. Luftschichten ..........................................................157 Einander nicht umschließende Flächen...................................................................158 Gasstrahlung ...........................................................................................................160

6

Rohre und Behälter

6.1

Allgemeine Berechnung..........................................................................................163

6.2

Mindestwanddicke ..................................................................................................165

6.3

Berechnung der Rohrwanddicke.............................................................................170

6.4

Längenausdehnung des Rohres...............................................................................170

6.5

Rohrkraft Ft.............................................................................................................171

6.6

Wirtschaftliche Isolierdicke ....................................................................................171

6.7

Wärmeverluste ........................................................................................................171

6.8

Temperaturgefälle...................................................................................................172

6.9

Wassergeschwindigkeit ..........................................................................................172

6.10

Druckabfall .............................................................................................................172

6.11

Festlager..................................................................................................................173

6.12

Schweißnaht für ein Festlager.................................................................................173

6.13

Berechnung der Schrauben für ein Festlager ..........................................................174

6.14

Schrauben für Flansche...........................................................................................175

163

XII

Inhaltsverzeichnis

6.15

U-Bogen Ausgleicher .............................................................................................176

6.16

Rohrkraft pro Dehnungsausgleicher .......................................................................176

6.17

Belastung der Stützen .............................................................................................177

6.18

Maximale Durchbiegung der Leitung.....................................................................177

6.19

Prüfdruck ................................................................................................................178

7

Pumpen und Ventilatoren

7.1

Förderstrom ............................................................................................................179

7.2

Förderdruck pg [Pa] ..............................................................................................180

7.3

Förderleistung P[W] ...............................................................................................180

7.4

Antriebsleistung und Wirkungsgrade .....................................................................181

7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6

Laufradfunktion-Radialräder ..................................................................................182 Laufradeintritt.........................................................................................................183 „Radialer Eintritt“...................................................................................................183 Laufradaustritt und Schaufelwinkel β2....................................................................184 Druckerzeugung im Laufrad...................................................................................185 Prakt. Darstellung der Geschwindigkeitsvektoren..................................................186 Weitere Anwendungen ...........................................................................................187

7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.5

Laufradfunktion-Axialräder....................................................................................190 Druckerzeugung im Laufrad...................................................................................191 Kennlinien und Ähnlichkeitsgesetze ......................................................................196 Druckhöhe ..............................................................................................................198 Spezifische Förderarbeit Y......................................................................................199 Kennzahlen .............................................................................................................200

7.7

Orientierungsdaten zur Wahl der Ventilatorbauweise für gute Wirkungsgrade .....206

8

Verbrennung

8.1

Heizwert .................................................................................................................207

8.2

Luftmenge und Abgase...........................................................................................207

9

Feuerungen und Kessel einschließlich Kamine

9.1

Feuerungen .............................................................................................................213

9.2

Kessel .....................................................................................................................213

9.3

Schornsteine ...........................................................................................................217

10

Kältetechnik

10.1 10.1.1 10.1.2

Definitionen und Systeme.......................................................................................219 Direkte Kühlung .....................................................................................................219 Indirekte Kühlung...................................................................................................219

179

207

213

219

Inhaltsverzeichnis

XIII

10.2 10.2.1 10.2.2

Kältemaschinen.......................................................................................................219 Kompressor-Kälteanlagen.......................................................................................220 Absorberanlage .......................................................................................................220

10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3

Kältemittel ..............................................................................................................221 Bezeichnung, Voraussetzung ..................................................................................221 p, h-Diagramm für Kältemittel ...............................................................................222 Leistungsziffer ε......................................................................................................224

10.4

Kältespeicher ..........................................................................................................227

10.5

h-x-Diagramm.........................................................................................................228 Das h-x-Diagramm für feuchte Luft........................................................................228 1. Erwärmung (x = konstant) ..................................................................................234 2. Kühlung ..............................................................................................................235 3. Befeuchtung ........................................................................................................239 4. Verdunstungsbefeuchtung...................................................................................241 5. Adiabate Befeuchtung.........................................................................................242

10.6

Feuchte Luft............................................................................................................243

10.7

Filter........................................................................................................................250

11

Lüftungstechnik

11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3

Allgemeines zu Lüftungsanlagen............................................................................255 Belüftungsanlagen ..................................................................................................255 Entlüftungsanlagen .................................................................................................255 Be- und Entlüftungsanlagen....................................................................................255

255

11.2 Kennzahlen für Lüftungsanlagen ............................................................................256 11.2.1 Luftmengen, Luftwechselzahl.................................................................................256 11.2.2 Schallentwicklung in Lüftungsanlagen (siehe Kap.15)...........................................258 11.2.3 Druckverluste in der Lüftungsanlage......................................................................259 11.2.3.1 Druckverluste in geraden Rohrleitungen ................................................................259 11.2.3.2 Druckverluste in den Formstücken .........................................................................261 11.3 11.3.1 11.3.2

Ventilatoren ............................................................................................................263 Kenngrößen.............................................................................................................263 Kennlinien...............................................................................................................264 Auswahl des Ventilators .........................................................................................264

12

Sanitärtechnik und Rohrdimensionierung

12.1

Wasserbedarf ..........................................................................................................267

12.2

Strömungsgeschwindigkeiten .................................................................................268

12.3

Druckstoß................................................................................................................269

12.4

Druckerhöhungsanlagen .........................................................................................270

12.5

Warmwasserbereiter ...............................................................................................272

267

XIV

Inhaltsverzeichnis

12.6

Speichergröße .........................................................................................................272

12.7

Zirkulation ..............................................................................................................272

13

Bauphysik

13.1

Diffusion.................................................................................................................275

13.2

Stofffeuchte ............................................................................................................278

13.3

Wasserdampf-Diffusion..........................................................................................278

13.4

Kapillare Wasseraufnahme.....................................................................................279

14

Schall

14.1

Allgemein ...............................................................................................................281

14.2

Schalldruck .............................................................................................................284

14.3

Schallleistung .........................................................................................................284

14.4

Schallgeschwindigkeit ............................................................................................285

15

Elektrotechnik

15.1

Gleichstrom ............................................................................................................287

15.2

Elektrisches Feld, Kondensatoren ..........................................................................294

15.3

Magnetisches Feld ..................................................................................................297

15.4

Wechselstrom .........................................................................................................303

15.5

Drehstrom ...............................................................................................................312

15.6

Transformator .........................................................................................................314

15.7

Drehstrom ...............................................................................................................328

16

Alternative Energien – Windkraft

16.1

Windenergie ...........................................................................................................331

16.2

Windkraftanlagen ...................................................................................................331

16.3

Rotorleistung ..........................................................................................................333

16.4

Regelungswirkungsgrad .........................................................................................333

16.5

Flügelzahl ...............................................................................................................335

16.6

Flügelwinkel ...........................................................................................................335

16.7

Wirtschaftlichkeit ...................................................................................................335

16.8

Axiale Projektionsfläche eines Rotorflügels AFl .....................................................337

16.9

Regelungsfunktion..................................................................................................338

Sachwortverzeichnis

275

281

287

331

341

1

Bezeichnungen und Indizes

A

Absorber (oder Fläche m²)

C

Kondensator

D

Drosselventil

H

Heizung, Heizmittel

L

Luft

M

Motor

P

Pumpe (oder Leistung kW)

Q

Wärmemenge

R

Kältemittel

U

spez. Wärmestrom an der Übertragungsfläche

V

Verdichter (oder Volumen m³)

W

Kühlwasser

a

Temperaturleitzahl

c

auf Kondensator bezogen

c

spez. Wärmekapazität

e

effektiv- , Nutz-

h

spez. Enthalpie

i

innen, indiziert

ges

gesamt

m

Masse

o

auf Verdampfer bezogen

q

spez. Wärme

kJ/kg

q0

spez. Kälte

kJ/kg

th

theoretisch

kJ

kW/m²K

m²/s

kJ/kgK

kJ/kg

kg

2

1 Bezeichnungen und Indizes

u

spezifische innere Energie

u

unterkühlt

ü

überhitzt .

m

kJ/kg

Massenstrom

kg/s

Q

Wärmestrom

kJ/s oder kW



Differenz oder Laplace Operator

β

volumetrischer Ausdehnungskoeffizient



Kälteleistungsgrad oder Leistungsziffer;



Wärmegütegrad



Wirkungsgrad; C Carnot -Wirkungsgrad



Dichte

.

kg/m³

2

Allgemeines

2.1

Alphabete und Zahlenreihen

2.1.1

Griechisches Alphabet

Alpha

Beta

Gamma

Delta

Epsilon

Zeta

Eta

Aα

Bβ

Гγ

Δδ

Еε

Ζζ

Нη

Theta

Jota

Kappa

Lambda

My

Ny

Xi

Θ

Ιι

Κκ

Λλ

Μμ

Νν

Ξξ

Omikron

Pi

Rho

Sigma

Tau

Ypsilon

Phi

Οο

Пπ

Рρ

Σσ

Ττ

Υυ

Фφ

Chi

Psi

Omega

Χχ

Ψψ

Ωω

2.1.2

Römische Zahlen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

.........

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

.........

100

200

...........

C

CC

...........

20

30

40

50

60

70

80

XX

XXX

XL

L

LX

LXX

LXXX XC

500

1000

D

M

z.B.

90

1985

800

900

MCMLXXXV

DCCC

CM

4

2 Allgemeines

2.2 Wort

Vielfaches und Teile von Einheiten Zeichen

Potenz

Wort

Zeichen

Potenz

18

Dezi

D

10–1

Exa

E

10

Peta

P

1015

Zenti

C

10–2

Tera

T

1012

Milli

m

10–3

Giga

G

109

Mikro



10–6

Mega

M

106

Nano

n

10–9

Kilo

k

103

Piko

p

10–12

Hekto

h

102

Femto

f

10–15

Deka

da

10

Ato

a

10–18

2.3

Grund- und Basiseinheiten

SI-Einheiten sind in Deutschland gesetzlich vorgeschrieben und in DIN 1301 aufgeführt. Größe

Einheit

Länge L

m

Zeit t

s

Masse m

kg

Temperatur T

K

Stromstärke I

A

Teilchenmenge n

mol

Lichtstärke Jv

Cd

2.3 Grund- und Basiseinheiten

5

Definitionen Länge [Meter]:

1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft.

Zeit [Sekunde]:

1 Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergangzwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.

Masse [Kilogramm]:

1 Kilogramm ist die Masse des Internationalen Normkörpers bei Paris.

Temperatur [Kelvin]:

1 Kelvin ist der 273,16 Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.

Stromstärke [Ampere]:

1 Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leitern von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter Leiter Länge die Kraft 210–7 Newton hervorrufen würde.

Teilchenmenge [mol]:

1 Mol ist die Teilchenmenge eines Systems, das aus eben so viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen des Systems spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.

Lichtstärke [Candela]:

1 Candela ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle der Frequenz 5401012 Hz, deren Strahlstärke in die herausgegriffene Richtung 1/683 Watt durch Steradiant beträgt.

6

2 Allgemeines

2.4

SI- und abgeleitete Einheiten

Aus den Grundeinheiten werden abgeleitete Einheitengebildet z.B.: Kraft = MasseBeschleunigung Formelzeichen: F = ma Einheiten:

N = kgm/s

Größe

Einheit

Arbeit W

Nm=J

Leistung P

Nm/s=J/s=W

Moment M

Nm

Spannung ; 

N/m2

Fläche A

m²

Volumen V

m³

Geschwindigkeit u, v, w

m/s

Beschleunigung a

m/s²

Dichte 

kg/m³

Wichte 

N/m³

2.5

Physikalische Fundamentalkonstanten

Name

Zeichen

Zahlenwert

SI-Einheit Genauigkeit in 10–4%

-Teilchen,

mα

6,644661810–27

kg

4,001 506 1

u

Heliumkern Atomare

u

Masseneinheit

–27

5,0

kg

0,59

931,494 32

MeV

0,30

1,660540210

Avogadro-Konstante

NA

6,02213411023

mol–1

1,1

Elektrische Feldkonstante

0

8,85418781710–12

AsVm–1

exakt

2.5 Physikalische Fundamentalkonstanten Name Elektron: Ruhemasse

7

Zeichen

Zahlenwert

SI-Einheit Genauigkeit in 10–4%

me

9,109389710–31 –4

5,4857990310 Ruheenergie klassischer Radius

Elementarladung

Fallbeschleunigung

kg

0,59

u

0,023

MeV

0,30

m

0,13

0,510 999 06 re

2,8179409210–15

e

–19

1,6021773310

C

0,30

1eV

1,6021773310–19

J

0,30

gn

9,806 65

ms–2

exakt

F

96 485,268

Cmol–1

0,30

2

128

(Norm-) Faraday-Konstante

–11

Nm kg

–2

Gravitationskonstante

G

6,6725910

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

c0

2,99792458108

ms–1

exakt

Magnetische Feldkonstante

μ0

410–7= 12,56637961410–7

Hm–1

exakt

Molares Volumen

Vm

0,02241383

m3mol–1

mn

1,674928610–27

kg

0,59

1,008664904

u

0,014

939,565 63

MeV

0,30

1,672623110–27

kg

0,59

1,007 276 470

u

0,012

938,272 31

MeV

0,30

des idealen Gases Neutron: Ruhemasse

Ruheenergie Proton: Ruhemasse

Ruheenergie

mp

1 at. = 1 kp/cm² = technische Atmosphäre

9,8067104

0,9807

0,980710–3

735,6

10000

1

0,9678

1 atm = 760 Torr = physikalische Atmosphäre

10,1325104

1,0132

1,0132103

760

10332,3

1,03323

1

10,197

1,019710–3

13,595

1,359510–3

1,315810–3

1

104

0,967810–4

0,986910–3

0,7501

1

0,735610–1

1

0,001

1,3332

1,33210–3

0,980710–4

102

1 mbar

0,980710–1

133,32

1 Torr = 1 mmHg

0,9869

9,86910-6

1,019710-5

0,10197

1,0197104

1,0197

0,007500617

0,01

0,00001

1

1 Pa = 1 N/m²

750,1

103

1

105

1 bar

1 atm = 760 Torr

1 at = 1 kp/cm²

1 kp/m² = 1 mmWs

1 Torr = 1 mmHg

SI mbar

SI bar

SI Pa=N/m²

Pascal=Pa

2.6

9,807

1 kp/m² = 1 mmWS

8 2 Allgemeines

Umrechnungstabellen

Umrechnung von Druckeinheiten

2.6 Umrechnungstabellen

9

Bemerkung: 1bar = 10N/cm² = 106dyn/cm² bzw. 1N = 105dyn lb  p .s .i  0, 06895 bar  51, 715Torr  703,1mmW S  0, 07031at  0, 06804 atm sq .in 1bar  14, 5038 p .s .i. 1

Umrechnung von Energieeinheiten

1J=1Nm=1Ws

1

J

kWh 2,7810–7

kpm 1,10210–1

kcal 2,3910–4

eV 6,241018

1kWh

3,6106

1

3,67105

8,60102

2,251025

1kpm

9,81

2,7210–6

1

2,3410–3

6,121019

1kcal

4,19103 1,1610–3

4,27102

1

2,611022

1eV

1,610–19 4,4510–26

1,6310–20

3,8310–23

1

Umrechnung von Leistungseinheiten

1Watt=1J/s=1VA

Watt 1

kpm/s 1,0210–1

PS 1,3610–3

cal/s 2,3910–1

kcal/h 8,610–1

1kpm/s

9,81

1

1,3310–2

2,34

8,43

1PS

7,355102 7,510

1

1,76102

6,32102

1cal/s

4,19

4,2710–2

5,6910–3

1

3,60

1,16

–1

–3

1cal/s

1,1910

1,5810

2,7810

–1

1

Umrechnung verschiedener Einheiten in SI-Einheiten

Benennung der Größe ebener Winkel

Länge, Weg

Formelzeichen

SI Einheiten

, , 

Name Radiant

l

Meter

Vielfaches der Einheit und Beziehungen

Zeichen rad 1rad=57,296°=180°/, 1rad=1m/m Grad Minute Sekunde 1° = 60´ = 3600´´ m Mikrometer 1m=1m10–6 Millimeter 1mm=1m10–3 Zentimeter 1cm=1m10–2 Dezimeter 1dm=1m10–1 Kilometer 1km=1m103

10 Benennung der Größe

2 Allgemeines Formelzeichen

SI Einheiten

Name Zeichen Quadratmeter m² Ar 1a=100m², Hektar 1ha=100 a Kubikmeter m³ Liter 1l=1m³10–3

Fläche

A

Volumen, Rauminhalt

V

Normvolumen

Vn

Volumenstrom

.

Kubikmeter Kubikmeter pro Sekunde

Zeit, Zeitspanne

t

Sekunde

Geschwindigkeit

u, v, w

Beschleunigung

a

Erdbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit Drehzahl

g

Frequenz Masse

Massenstrom Kraft

V

 n

f m

.

m F

Vielfaches der Einheit und Beziehungen

Nm³ m³/s

m/s

Minute 1Min=60s, Stunde 1h=3600s, Tag 1d=24h, Jahr 1a=8765,8h 1km/h=0,2778m/s

m/s²

g =9,80665m/s²

Radiant pro Sekunde reziproke Sekunde

rad/s

=2n

Hertz Kilogramm

Hz kg

Kilogramm pro Sekunde Newton

kg/s

Meter pro Sekunde Meter pro Quadratsekunde

s

1Nm³=1m³ im Normzustand

1/s

N

n= Umdrehungen pro Sekunde (wird vielfach auch für Umdrehungen pro Minute verwendet, nMn=60ns) 1Hz=1/s Gramm 1g=1kg10–3, Tonne1t=1000kg 1kg=Ns²/m

1N=1kgm/s²=1Ws/m=1J/m (alte Einheit 1 Kilogramm Kraft = 9,80665 N)

2.6 Umrechnungstabellen Benennung der Größe

11

Formelzeichen

SI Einheiten Name Pascal

Vielfaches der Einheit und Beziehungen

Zeichen Pa 1Pa=1N/m²,1bar=1N/m², 1bar=105Pa, 1m Wassersäule, 1mWS=9806,65Pa 1mm Quecksilber= 1Torr= 133,32 Pa (alte Einheit 1 at= 0,980665 bar) J 1J=1Nm=1Ws= (1kcal=4,1868 kJ) 1kWh=3,6106J=3,6MJ

Druck in Fluiden

p

geleistete Arbeit Energie Wärmemenge Leistung Arbeitsleistung Energiefluss Wärmestrom

W E Q P

Joule

Watt

W

1W=1Nm/s=1J/s

.

Watt

W

(1kcal/h=1,163W)

t

Kelvin

K

1K= 1°C

Temperatur

Q

Celsius Temperatur Temperaturdifferenz

 T t 

spezifische Wärme

cW

Heizwert

H

spezifische Enthalpie Wärmeinhalt spezifische Entropie

h

Verdampfungswärme

r

s

Grad Celsius Kelvin Grad Celsius Grad Celsius Joule pro Kilogramm Kelvin Joule pro Kilogramm oder Kubikmeter Joule pro Kilogramm

°C K °C °C J/kgK

Joule pro Kilogramm Kelvin Joule pro Kilogramm

J/kgK

=t=T–T0, T0=273,15K T=t=

1kcal/kg°C=4186,8J/kgK

J/kg J/m³

1kcal/kg=4,187kJ/kg

J/kg

für Flüssigkeit h´, für Dampf h´´

J/kg

12

2 Allgemeines

Benennung der Größe Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangszahl Wärmedurchgangszahl Viskosität, Zähigkeit dynamische kinematische

Formelzeichen

Name



 k

 

Gaskonstante Stromstärke Spannung Widerstand Elektrische Leistung elektrischer Leitwert elektrische Ladung elektrische Kapazität Raumwinkel Lichtstärke Leuchtdichte

R I U R P G Q C

Lichtstrom Beleuchtungsstärke



2.7

SI Einheiten

I L

E

Zeichen W/mK W/m²K W/m²K

Pascalsekunde Quadratmeter pro Sekunde Ampere Volt Ohm Watt Siemens Coulomb Farad Steradiant Candela Candela pro Quadratmeter Lumen Lux

Pas m²/s

J/kgK A V  W S C F sr cd cd/m² Lm Lx

Dimensionslose Kennzahlen

Archimedes-Zahl

Ar 

Biot-Zahl

Bi 

g      H w²

 X  fest

Vielfaches der Einheit und Beziehungen

1A=1W/V 1V=1W/A 1 = 1 V/A 1W = 1 VA/s = 1 Nm/s 1S = 1/ 1C = 1 As 1F = 1 C/V = 1 S/s 1sr = 1 m²/m² (1 Hefnerkerze= 0,93cd)

1lm = 1cdsr 1lx = 1 lm/m²

2.7 Dimensionslose Kennzahlen

13 1

Dean-Zahl

1

r  w0  r  2 Re  r  2      Dn   2 R R

Radius eines Rohrkrümmers

R

p 1    w2 2

Euler-Zahl

Eu 

Fourier-Zahl

Fo 

Froude-Zahl

Fr 

Grashof-Zahl

Gr 

Graetz-Zahl

Gz 

Kavitations-Zahl

C 

Lewis-Zahl

Le 

Mach-Zahl

Ma 

w a

Nußelt-Zahl

Nu 

 l 

Péclet-Zahl

Pe 

w l  R e  Pr a

Prandtl-Zahl

Pr 

a t l2

w gD g      l 3

2

 4

 R e  Pr 

d l

2   pD  p 

  w2 a Sc  k Pr

 a



 cp Pe Sc   R e Le 

Pr  1 ; Grenzschicht zur Konvektion

Rayleigh-Zahl

Ra  G r  Pr 

Reynolds-Zahl

Re 

Schmidt-Zahl

Sc 

l 3  g      a

w l

  k

 Le  Pr

14

2 Allgemeines Nu R e  Pr

Stanton-Zahl

St 

Strouhal-Zahl

Sr  f 

Taylor-Zahl

Ta 

Weber-Zahl

Womersley-Parameter

D w

u b





b Ri

b

Spaltbreite

u

Umfangsgeschwindigkeit

Ri

Rotorradius

v

kinematische Viskosität

We 

w

  D



Oberflächenspannung

 R

w



 Re Sr

3

Grundlagenformeln

Kraft F Kraft = Masse Beschleunigung F  m  a [N 

kg  m ] s2

Geschwindigkeit u, v, w Geschwindigkeit = Weg/Zeit v

s m [ ] t s

Beschleunigung a gleichförmige Beschleunigung Beschleunigung = Geschwindigkeit/Zeit a

v m [ ] t s2

ungleichförmige Beschleunigung a

v t

Energie W (englisch work), Wärmemenge Q Energie = KraftWeg W  F  s [ J  Nm; 1Nm ˆ 1J ˆ 1Ws]

Drehmoment M Drehmoment = KraftHebelarm M  F  l [ Nm ]

16

3 Grundlagenformeln

Leistung P (englisch power), Energiefluss Mechanische Leistung = KraftWeg/Zeit P F

s Nm [W  ] s t

Mechanische Leistung = DrehmomentWinkelgeschwindigkeit P  M   [W 

Nm ] s

Winkelgeschwindigkeit

  2   n Hydraulische Leistung = VolumenstromDruckdifferenz . P  V   p W  m ³  P a    s  

Elektrische Leistung = SpannungStromstärke P  U  I [W  V  A ]

Wirkungsgrad  Technische Leistungen haben einen Nutzanteil und einen Verlustanteil.  

abgeg. Leistung aufge. Leistung

Die Anteile werden meist in Prozent angegeben Aufgenommene Leistung = Nutzanteil + Verlustanteil

4

Fluidmechanik

4.1

Physikalische Eigenschaften der Fluide

4.1.1

Dichte – Kompressibilität

Dichte: Dichte ist das Verhältnis Masse pro Volumen  

m V

[ kg / m ³]

spezifisches Volumen

 

1





V m

[ m ³ / kg ]

Unter Kompressibilität versteht man die Volumenänderung eines Fluides unter verschiedenen Drücken. Flüssigkeiten erfahren selbst unter sehr hohem Druck nur eine geringe Volumenänderung. Sie sind nahezu raumbeständig. Man spricht dann von einem inkompressiblen Fluid. In der Praxis sind die verwendeten Flüssigkeiten (Wasser, Öl) als inkompressibel anzusehen. Sie unterliegen dem thermischen Ausdehnungsgesetz, was beim Anlagenbau berücksichtigt werden muss (Ausgleichsgefäße). Gase und Dämpfe dagegen sind kompressibel. Außer vom Druck ist die Volumenänderung auch noch von der Temperatur abhängig. Der Zusammenhang wird durch die allgemeine Gasgleichung beschrieben: p V  m  R  T 

m³ kg

spezifisches Volumen

R

RM M

Gaskonstante

RM

8, 314

M

kg km ol

m

n

kJ km ol  K

molare (universelle) Gaskonstante molare Masse

M n

Teilchenmenge

18

4 Fluidmechanik

Ist die Volumenänderung relativ klein, so kann die Temperatur näherungsweise als konstant angesehen werden. Es gilt dann das Boyle-Mariottsche Gesetz: p  V  const . Ist die Gasgeschwindigkeit wesentlich kleiner als die Schallgeschwindigkeit, so ist die Dichteänderung meist vernachlässigbar klein. Eine Gasströmung kann somit ebenfalls als inkompressibel angesehen werden, so lange





 1 ist.

Führt man die Machzahl ein (sie gibt das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit an), so kann die Kompressibilität von Gasen ebenfalls vernachlässigt werden für 0,5 Ma² u max  mit

h ²  dp 2    dx

A  2 h b

.

um 

V h ² dp 2    u m ax A 3   dx 3

Bei der laminaren Schichtenströmung sind die Strömungsgeschwindigkeit und der Volumenstrom dem Druckgefälle   d p  proportional.  dx 

4.4 Grundgesetze der Fluidmechanik

4.4.2.3 

63

Bewegungsgleichung turbulente Strömung dw  F K  F p  FZ  FT dt

  F T    w ´ grad w ´

Die Turbulenzkraft FT bezeichnet man auch als Trägheitskraft der Nebenströmung;  Mittelwert der Schwankungsgeschwindigkeit (Nebenströmung). w´ Wie entsteht Turbulenz?

Der laminaren Strömung werden kleine Störungen überlagert. Klingen diese mit der Zeit bzw. im weiteren Strömungsverlauf ab, so ist die Laminarbewegung stabil (d.h. die Strömung ist laminar). Vergrößern sich die Störungen, so ist die Strömung instabil (d.h. die Strömung ist turbulent). Es gibt also durchaus laminare Strömungen, z.B. in Verzweigungen und Krümmern, deren kleine Störbewegungen überlagert sind, die im weiteren Verlauf der Strombahn aber wieder völlig abklingen. Man spricht dann von einer „gestörten laminaren Strömung“. Zur Aufrechterhaltung der Turbulenz ist die Reibung zwischen den einzelnen Fluidteilchen und den Begrenzungsflächen unbedingt erforderlich. Von den Wänden lösen sich Wirbel ab, die Schwankungsbewegungen, sog. Mischbewegungen, verursachen. Man unterscheidet drei Phasen beim Entstehen der Turbulenz (siehe Video auf CD).  Anfachen kleiner Störungen  Entstehen örtlicher Turbulenzstellen  Anwachsen und Ausbreiten der lokalen Turbulenzbereiche bis zur vollständig ausgebildeten turbulenten Strömung Die Stärke der Turbulenz wird durch den Turbulenzgrad „Tu“ angegeben:

Tu 



  1  ´2  u  v ´2  w ´2 3 u



u′, v′, w′ sind die Komponenten der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeit. Zur Bildung des Turbulenzgrades werden die mittleren Schwankungsgeschwindigkeiten u, v, w eingesetzt. Bei der turbulenten Strömung werden der Hauptströmung unregelmäßige Schwankungsbewegungen, sog. Nebenströmungen, überlagert.

64

4 Fluidmechanik

Scheinbare Viskosität ′

Durch die Quer- und Mischbewegungen stoßen die einzelnen Fluidteilchen aneinander. Es erfolgt ein Impulsaustausch, wobei mechanische Energie in Wärme umgesetzt wird. Es entsteht ein zusätzlicher Strömungswiderstand. Das Newtonsche Reibungsgesetz lässt sich dann wieder anwenden:  ´  ´

dw dn

´

durch Turbulenz hervorgerufene Schubspannung



scheinbare Viskosität

Die scheinbare Viskosität ist von der Turbulenzstärke abhängig. Man bezeichnet sie als Impulsaustauschgröße. Sie ist keine Stoffgröße. Die gesamte Schubspannung einer turbulenten Strömung ergibt sich zu:  ´     ´  

dw dn

Diesen Ausdruck nennt man Gesamtviskosität. Die meisten technischen Strömungen sind turbulent. Eine Ausnahme ist die Strömung in Warmwasserheizungen. Schleichende Strömungen sind Strömungen mit Re-Zahlen Re  1 . Überwiegen die Viskositätskräfte (dies ist der Fall bei kleinen Re-Zahlen), so spricht man von einer viskosen Strömung. Überwiegen die Trägheitskräfte (für große Re-Zahlen), so spricht man von trägen Strömungen.

4.4.2.4

Impulssatz

Durch strömende Fluide werden auf die sie begrenzenden Gefäßwände Kräfte ausgeübt, so genannte Reaktionskräfte. Der Impulssatz der Strömungslehre lautet: Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße ist gleich der geometrischen Summe aller an der Masse angreifenden äußeren Kräfte.   d mw  dI   FR dt dt

Man definiert: – eintretender Impuls negativ – austretender Impuls positiv FR

Gesamtkraft bestehend aus Volumenkraft, meist Schwerkraft und Oberflächenkräfte, also Normal- und Tangentialkräfte)

dI dt

substantielle Änderung des Impulses I mit der Zeit t.

4.4 Grundgesetze der Fluidmechanik

65

Analog lautet der Impulsmomentensatz (Drallsatz) dD  FM dt

die zeitliche Änderung des Impulsmomentes (Drall) der Masse m im Bezug auf einen Bezugspunkt 0 ist gleich der vektoriellen Summe der Momente M .     F D   r p  d I p   r p  m p  w p  p

p

Den Impuls kann man bekanntlich aus der Newtonschen Grundgleichung ableiten:  dw FF  m  dt durch Umformung ergibt sich der Impulssatz der Mechanik:  F F  dt  d m  w   dF

integriert über der Zeit:

I 

F

F

dt 



 d (m  w )

Den Impulsstrom in der Strömungslehre erhält man, wenn man die obere Gleichung mit der Zeit dividiert: dF I  FR dt

Den Impulsstrom d I kann man auch ausdrücken mit dt



  wdV Definiert man nun, dass der eintretende Impulsstrom negativ ist, und der austretende Impulsstrom positiv, so lautet der Impulssatz der Strömungslehre: Austritts- minus Eintrittsimpuls ist gleich der vektoriellen Summe aller Kräfte.

Impulslängs eines Stromfadens

66

4 Fluidmechanik .

  w dV

 FK  F p  FS

(K )

.

m  w  FK  F p  FS .

.

m  w aus  m  w ein  F R

oder:

FK

Volumenkraft

Fp

Kraft auf den freien Teil der Kontrollfläche

Fs

Kraft auf den festen Teil der Kontrollfläche

Volumenkraft F K 

 k  dV

(K )

k

Vektor der Massenkraft

V

Volumen

Herrscht nur der Einfluss der Schwere vor, so ist

FKX  FKY  0

FKZ   g  m   Fg

bei horizontalen Bewegungen, oder leichten Fluiden (Gasen) ist FK  0 . hauptsächlich Druckkräfte

Oberflächenkraft

Druckkraft: F p  



p  dF

(F )

F freier Teil der Kontrollfläche Stützkraft:

FS 

  d0

(0)

Die Kraft von festen Körpern auf das strömende Medium ist positiv laut Definition. Lageplan

Es treten Druckkräfte auf den freien Teil der Kontrollfläche auf und Oberflächen- bzw. Stützkräfte auf den festen Teil der Kontrollfläche.

4.4 Grundgesetze der Fluidmechanik

Kontrollfläche (fester und freier Teil) eines Rohrsegments

Kräfteplan

Kräfteplan zur Bestimmung der Reaktionskraft eines Rohrsegments

67

68

4 Fluidmechanik

Beispiel 90° -Rohrkrümmer

geg.: Durch einen 90°-Krümmer mit 200mm Innendurchmesser strömen 300l / s Wasser. Der Leitungsdruck beträgt 4bar. geg.: Wie groß ist die Reaktionskraft R und die Schraubenkraft FS . An den Querschnitten 1 und 2 treten folgende Kräfte auf:

90° Rohrkrümmer

  d 12

Druckkraft

F p 1  p1  A  p1 

Impuls

I1    V  w    w ² 

Druckkraft

Fp2  p2  A  p2 

Impuls

I 2   V  w    w² 

4

.

.

  d 12 4

  d 22 4

  d 22r 4

p1  p 2 , wenn reibungsfreie Strömung vorausgesetzt wird.

4.4 Grundgesetze der Fluidmechanik

69

Kräfteplan

FR  2 

 d² 4

  p1    w ²   sin

 2

.

w

V 0, 3 m   9, 55 2 0, 0314 s  d 4

FR  2  0, 0314   4  10 5  10 3  9, 55 2   sin

90  F R  2  0, 0314  (4  10 5  10 3  9, 55 2 )  0, 707 2

FR  21800 N

Die Schraubenkraft errechnet sich aus Impulskraft und Druckkraft: Fs 

 d2 4

  p1    w 2 

FS  0, 314  [4  10 5  (9, 55) 2  10 3 ] FS  0, 0314  4, 91  10 5 F S  15400 N

70

4 Fluidmechanik

2. Beispiel 180°-Rohrkrümmer

Flanschkräfte eines 180° Rohrkrümmers

Impulssatz in x-Richtung lautet: 



w x  dQ  FK x  F p x  FS x

(K )

FK   0...F p  2  pi  A





mit A  A1  A2

w x  dQ     w x  (  Q )  w x  (  Q ) 

(K )

  [ w x (  w A )  (  w x )  ( w A )]  2    w 2  A

FS    FNi   2 pi  A  2    w 2  A FNi  2  A  ( pi    w 2 ) FN a  2 p a  A

Die Flanschkraft ergibt sich zu: FNi  FNa  FN  2  A  ( pi  p a    w 2 )

4.4 Grundgesetze der Fluidmechanik

71

3.Beispiel freier Strahl gegen Wand

Kraft auf eine ebene Wand durch einen Freistahl

Annahme: Horizontalbewegung





.

w x  d V  FK x  F p x  FS x

(K )

Volumenkraft

FK   0

Druckkraft

F p x  p0  A*

(= 0; da überall Luftdruck)

Kraft von der strömenden Flüssigkeit auf die feste Wand

FS    FNi

 FS nach Definition:  FS Kraft vom strömenden Medium auf feste Wand z.B. Widerstandskraft bei umströmten Körpern oder Auftriebskraft.

: Kraft von der Wand auf das strömende Medium (Stützkraft) z.B. Schub- und Druckkräfte.  FS

N a  p0  A* .

Die Kraft auf die Wand beträgt F N  F N i  F N a mit der Kontinuitätsgleichung V  w  A ergibt sich die Kraft FN zu:

72

4 Fluidmechanik





.

.

wx  d V    w  (  V )    w    w  A      w 2  A

(K )

eintretender Impuls FN i   FS x  p 0  A *    w 2  A

4.4.3



FN    w 2  A  m w

Energiesatz

Sind Angaben über die Stromlinie vorhanden, so ist für die Lösung vieler strömungstechnischer Aufgaben die Benützung des Energiesatzes zweckmäßiger, als die Benützung des Impulssatzes oder der Bewegungsgleichung. Tritt außer mechanischer Energie auch thermische Energie auf, so ist die Anwendung des Energiesatzes erforderlich. Mechanischer Energiesatz:

Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeitsenergie E (kinetische Energie) einer abgegrenzten Masse m ist gleich der Summe, der an ihr von den angreifenden Kräften hervorgerufenen Arbeitsleistung. dE  P dt

oder die Änderung der geleisteten Energie ist gleich der Änderung der geleisteten Arbeit der äußeren Kräfte dE  dW

Multipliziert man die Bewegungsgleichung skalar mit dem vom Fluidteilchen zurückgelegten Wegelement ds , so erhält man die Energiegleichung der Strömungsmechanik 

 dw      ds  FK  ds  FP  ds  FZ  ds  FT  ds ds

Teilt man diese Gleichung durch die Dichte  , so erhält man auf der linken Seite der Gleichung die kinetische Energie und die Glieder auf der rechten Seite stellen die Schlepparbeiten der Volumen- und Oberflächenkräfte bezogen auf die Masseneinheit (kg) dar. Die mechanische Energiegleichung lautet dann:  w²  d    w  dw  da k  d a p  da z  d a T  2 

Setzt man die entsprechenden Arbeiten ein, so erhält man die mechanische Energiegleichung für inkompressible, reibungslose, instationäre Strömung.

 

 dw  ds   w 2    g  z  p  const 2 dt

4.4 Grundgesetze der Fluidmechanik

73

(= Druckform der Bernoulligleichung) für stationäre Strömung  2

Druckform

 w ²  p    g  z  const .

w² p   g  z  co n st .  2

Energieform

d.h. bei einer stationären, reibungsfreien Strömung ist die Summe aus der Druckenergie, der potentiellen Energie und der kinetischen Energie konstant. Allgemeine Energiegleichung (Berücksichtigt mechanische und thermische Energie)

Die allgemeine Energiegleichung gibt den 1.Hauptsatz der Thermodynamik wieder. Man unterscheidet gespeicherte Energie und Energie, die während des Prozesses die Systemgrenze überschreitet. Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet: dQ  dU  dW  dU  p  dV

U

innere Energie (z.B. Energie die ein Körper speichert, dem Wärme zugeführt wird).

W

vom System geleistete Arbeit

Daraus erhält man die allgemeine Energiegleichung: .   w2 w2  Q 1 2  m   u 2  u 1    2  1   g   z 2  z1   2    2

u

spezifische innere Energie u  U

v

spezifisches Volumen des Gases

m

Rohrelement als Beispiel der allgemeinen Energiegleichung

 p2

  v 2  p 1  v1  

74

4 Fluidmechanik

Bezogen auf die Masseneinheit lautet die Gleichung:

 w2 w2 q12  ( u 2  u 1 )   2  1 2  2

   g   z 2  z 1    p 2  v 2  p1  v1  

Die spezifische Enthalpie h, setzt sich bekanntlich aus der inneren Energie und der Ausdehnungsarbeit zusammen,

h  u  p v so lautet die allgemeine Energiegleichung

q 12  h 2  h 1 

w 22  w 12  g  z 2  z 1  2

4.5

Zusammenstellung der Grundgesetze

4.5.1

Stromfaden- und Stromröhrentheorie inkompressibler Fluide

Die Kontinuitätsgleichung für den Volumenstrom einer Stromröhre lautet: 

Q  V  w  A  const

stellt man den Impulssatz für eine Stromröhre von Punkt 1 zum Punkt 2 auf, so erhält man:

p

1

   w 12   A 1   p 2    w 22   A 2  F K  F p 1  2  F S

Wobei A1 und A2 die Flächennormalen bedeuten, d.h. die Flächennormale steht senkrecht auf den Flächen A1 und A2 und ist nach außen gerichtet.

F p 1  2 ist die Druckkraft auf eine Mantelfläche der Stromröhre, sofern diese nicht zugleich Teil einer festen Wand ist. Die Bernoulli-Gleichung für stationäre, kompressible Strömung lautet für den eindimensionalen Fall längs eines Stromfadens

Energieform Druckform Höhenform

w² p  J    g  z  co n st   2   kg 

 2

 w 2  p    g  z  const  J  m³

w² p   z  co n st  J   N  2g  g  

4.5 Zusammenstellung der Grundgesetze

4.5.2

75

Anwendung der Grundgesetze

Bei der Druck- und Durchflussbewegung wird die Bernoulli-Gleichung verwendet:  2

 w12  p1    g  z1 

4.5.2.1

 2

 w 22  p 2    g  z 2

Venturi-Rohr

Venturi Rohr

 2

 w12  p1    g  z1 

 2

 w 22  p 2    g  z 2

mit z1  z 2  p st  p1  p 2 

 2

  w 22  w 12



Die Druckdifferenz kann an Steigrohrmanometern abgelesen werden .

mit w 1  A1  w 2  A 2  V

 w1  w 2 

p1  p 2 

A2 A1

  A 2   w 22  1   2   2 A   1  



76

4 Fluidmechanik

2   p1  p 2 

 w2 



2  A2      A1  

  1   

Die Durchflussmenge Q ergibt sich dann zu .

Q  V  w 2  A2 

A2  A  1  2   A1 

2



2   p1  p 2 



Bei den in der Praxis eingesetzten Venturi-Rohren ist noch der Eichfaktor  (Einschnürung des Strahls etc.) zu berücksichtigen. Der Volumenstrom ergibt sich dann zu:

  A2

.

V 

 A  1  2   A1 

2



2   p1  p 2 



Die Querschnittsverhältnisse und andere Einflussfaktoren werden in der Praxis in einer Durchflusszahl  zusammengefasst, so dass sich der Volumenstrom zu .

V   

2

p



ergibt.

Die Durchflusszahl  kann aus Diagrammen in Abhängigkeit von der Reynoldszahl und d2 vom Verhältnis m  entnommen werden. D2

4.5.2.2

U-Rohr Manometer

Mit w1  w 2  0  p 1  p 2  g   s   h

U-Rohr Manometer

4.5 Zusammenstellung der Grundgesetze

4.5.2.3

77

Ausfluss aus einem offenen Behälter

Ausfluss aus einem offenen Rohr

ist A2  A1 , so kann die Spiegelabsenkung im Behälter vernachlässigt werden. Es gilt dann:  2

 w12  p1    g  z1 

 2

 w 22  p 2    g  z 2

p1 = p2 = p0 w 1  0 p 1  p 2  p 0

mit obiger Annahme ist   g   z1  z 2     g  h 

 2

 w 22

Die Ausflussgeschwindigkeit w2 

2g h

(Torricelli Ausflussformel) .

Der austretende Massenstrom beträgt: m    A2  2  g  h unter Berücksichtigung der Kontraktionsziffer

78

4 Fluidmechanik

Einschnürrung eines Strahls durch eine Öffnung

.

m      A2  2  g  h

As A0

 

4.5.2.4

  0, 61  0, 64

Ausfluss aus einem geschlossenen Gefäß mit innerem Überdruck

Die Ausströmungsgeschwindigkeit errechnet sich aus der

Geschlossener Behälter

Bernoulligleichung zu: p1





p w 12 w2  g  z1  0  2  g  z 2 2  2

mit z 1  z 2 , außerdem wird die Fluidgeschwindigkeit im Gefäß gegenüber der Ausströmungsgeschwindigkeit vernachlässigt. p1





p0





w2 2

w 

2   p1  p 0





Die Beziehung gilt für inkompressible Fluide und für Gase bis 1 % Dichteänderung, also etwa 50 m / s Austrittsgeschwindigkeit.

4.5 Zusammenstellung der Grundgesetze

4.5.2.5

79

Ausfluss aus einem Hochbehälter

An einem Hochbehälter ist ein längeres Abflussrohr am Behälterboden angebracht. Berechnen Sie die maximal zulässige Rohrlänge L damit die Strömung im Rohr nicht abreißt, d.h. keine Kavitation auftritt.

Hochbehälter mit Aussflussrohr

2: Druck sinkt unter Dampfdruck → Kavitation 2 2 Es gilt: p 1  w 1  g  z  p 3  w 3  g  z 1 3  2  2

z 1  H 0 , z 3  0 , p 1  p 3  p 0 , A1  A 3 w3  p2





2g H0

(Torricelli)

p w2 w 22  g  z2  3  3  g  z3 2  2

z 2  H , p 2  ?, A 2  A 3 w2  p2



2g H0

 g  z2 

H 

p0



p2  p0 p  p0  D  g  g

p2  p0    g  H

80

4 Fluidmechanik

4.5.2.6

Plötzliche Rohrerweiterung

Plötzliche Rohrerweiterung

Annahme: w 1 , w 2  c o n s t . über den Querschnitt (reibungsfreie Strömung) horizontal: Druck unmittelbar hinter dem Querschnitt bleibt unverändert p1. Gesucht: Druckverlust in Folge Vermischung

FK  0 F p x  p 1  A1  p 2  A 2 .

2 2  w x  d V     w 1  A1    w 2  A 2

Fp

(K )

eintretender Impuls FS

 p 1   A 2  A1 

x

Impulssatz    w 12  A1    w 22  A 2  p 1  A1  p 2  A 2  p 1  A1

Kontinuitäts-Gleichung w 1  A1  w 2  A 2

 A  p 1  p 2     w 22  w 12  1  A2  

A1 w  2 A2 w1

p 1  p 2     w 22  w 1  w 2

Bernoulli (erweitert mit Verlustglied)

p1   1   pv

 2

 w 12  p 2   

Verlust (Schall, Wärme)

 2

 w 22   p v



4.5 Zusammenstellung der Grundgesetze  p v  p1  p 2 

 2

 w 12  w 22







 p v    w 22  w 1  w 2 

2

81







 w 12  w 22 

 2

 w 1  w 2   2

 w   w 12   1  2  2 w1  



Verlustziffer hv   

pv w 12  2g  g

pv   

 

pv



2

4.5.2.7

2

 w 12

2

2

w2   

 w    1  2  w1  

2



 w 12  w 22



2

Strömung durch einen Propeller

Probeller

Aus dem Impulssatz errechnet sich die Schubkraft zu: .

.

Fs    V   w a  w e   m   w a  w e  .

V 

  D s2 4

 ws

(1) (2)

2

82

4 Fluidmechanik mittlere Durchströmgeschwindigkeit

ws

Fs   

 4

 D s2  w s  w a  w e 

Bernoulli-Gleichung

vor dem Propeller:

pe



w e2 w2 p  1  s 2  2



2 2 nach dem Propeller: p 2  w s  p a  w a  2  2 2 2 pa  pe p e  w a  p 2  w s  2  2

 p  p 2  p1 

p 

 2

w a2  w e2 p  p1 p  2  2  



 w a2  w e2



Propellerfläche As 

D s2   4

Fs  p  As 

 2





 w a2  w e2 

  D s2 4

w  we ws  a 2

4.5.2.8

Schub von Strahl- und Raketentriebwerk

Strahl -und Raketentriebwerk

4.6 Rohrhydraulik

83

Ausnahme: Wenn Austrittsdruck p a gleich Eintrittsdruck p e errechnet sich die Schubkraft F S mit Hilfe des Impulssatzes. .

.

.

Fs  m G  w a  m L  w e .

m

G

.

mL .

m

B

Fs  m G  w a

austretende Gasmasse durchgesetzte Luftmasse Kraftstoffmasse

Der Raketenschub hängt nur von der ausgestoßenen Gasmasse und der Gasgeschwindigkeit ab, nicht von der Fluggeschwindigkeit. . .  .  Fs   m L  m B   w a  m L  we  

.

.

Die eingespritzte Kraftstoffmasse m B ist Fs  a  wa  V gegenüber der Luftmasse vernachlässigbar klein. Fs   a  w a  w a  Aa .

F s  m L  w a  w e 

4.6

F s   a  w a2  Aa

Rohrhydraulik

Beim Durchströmen von Rohrleitungssystemen wird ein Teil der Strömungsenergie in Wärme bzw. Schall umgesetzt. Es treten also Verluste an strömungsmechanischer Energie hauptsächlich durch Reibungseinflüsse auf. Man erhält im Rohr ein Geschwindigkeitsprofil über den Rohrquerschnitt. An der Wand ist wegen der Haftbedingungen die Geschwindigkeit Null. In der Rohrmitte ist die Geschwindigkeit am Größten. Die mittlere Geschwindigkeit errechnet sich dann zu: .

wm

R

1 2 V     w  dA  2   w r   r  dr A A ( A) R 0

84

4 Fluidmechanik

Strömung durch ein Rohr

Der Umschlag von laminarer in turbulente Strömung erfolgt bei technischen Rohren für

Re  2300

 3000

Re 

wm  D



Für das Rohr muss wegen der unterschiedlichen Geschwindigkeitsverteilung über den Rohrquerschnitt ein Geschwindigkeitsausgleichswert  eingeführt werden. Die Bernoulli-Gleichung gilt bekanntlich längs eines Stromfadens:

 2

 w 12  p 1  z 1   

 2

 w 22  p 2  z 2  

für die Stromröhre wird die erweiterte Bernoulli-Gleichung angesetzt:

1  wobei  

 2

 w12    g  z 1   2 

 2

 w 22  p 2    g  z 2

1  w 3  dA ist w  A ( A ) 3 m

Geschwindigkeitsausgleichswerte

laminare Strömung

turbulente Strömung

 2

  1 .05  1

ungleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung n

2   r   w r   1      w max  R   

n

Exponent der angibt, wie turbulent die Strömung ist

4.6 Rohrhydraulik

85

laminare Strömung (li.) und turbulente Strömung (re.)

mittlere Geschwindigkeit .

wm 

V 1   w max 1 n A

laminar

wm 

turbulent

1  w max 2

w m  0 , 88  w max

Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung für laminare Strömung: 1. Gesetz von Stokes

Die Geschwindigkeit verteilt sich über den Durchmesser nach einer Parabel w r  



p  R 2  r 2 4  L 

w r   







1 dp  R2  r2  4  ds

mit      dw  0 dr

dw r dp 1 dp   0  w r   2   ds 2   ds dr

R

 r  dr 0

2. Gesetz v. Hagen-Poiseuille

Der Volumenstrom ist direkt proportional dem Druckgefälle ( p1  p 2 ) der vierten Potenz des Rohrdurchmessers und umgekehrt proportional der kinematischen Zähigkeit .

V 

. p  R 4    V ~ R4 8  L 

86

4 Fluidmechanik

Ableitung des Gesetzes:

Volumenstrom ist direkt proportional dem Druckgefälle

Summe aller Kräfte = 0

F  p  p1 

1

p 2 

 r 2    p2  r 2    2  r  L    r dw  2   L dr

mit    

dw dr

p  r 2  2  w   C 2L mit der Randbedingung w  0 für R  r

w r  



p  R 2  r 2 4  L 



oder für r  0 ist w  w max

w max 

p  R 2 4  L 

Der Volumenstrom durch das Rohr errechnet sich zu: .

d V  w r   2    r  dr .

V 

p  R 4  2   p   r  R 2  r 2  dr  4  L  8  L  0 R

.

wm 

V R 2 







w p  R 2  max 8  L  2

4.6 Rohrhydraulik

87

Der in einer Rohrleitung durch Reibung verursachte Druckabfall errechnet sich zu: .

8  L   V p  R 4 

oder

p 

8  L   w m R2

Berücksichtigt man noch die Verluste an strömungsmechanischer Energie durch Reibungseinflüsse (bei relativ langen Rohren), so gilt die so genannte erweiterte BernoulliGleichung mit Verlustglied:

1 

 2

 w12  z 1     2 

 2

 w 22  p 2  z 2     p v 1 2

wobei p v die Verluste von der Stelle 1 zur Stelle 2 bedeutet. Dividiert man die Gleichung durch das spez. Gewicht , so erhält man die Höhenform:

1 

w 12 p w2 p  1  z 1   2  2  2  z 2  h v 1 2 2g  2g 

kinetische Energie

+

Druck Energie

+

Lage Energie

Höhenform der erweiterten Bernoulligleichung mit Verlustglied hV

=

kinetische + Druck + Lage-Energie + Verluste an Strömungsenergie

88

4 Fluidmechanik

Energieverluste

Löst man die Hagen-Poisseuillesche Gleichung nach p 1  p 2 auf, so erhält man: .

8   L V  R4

p1  p 2 

mit

D  R4     2 

4



D4 16

und

  v 

.

p1  p 2  .

V  w

128  L      V  D4

 D2 4

p 1  p 2  64 

L  1   w2  D 2 Re

oder in der Höhenform hv 

64 L w 2   Re D 2  g

Den Ausdruck 64 bezeichnet man mit der Rohrreibungszahl  für laminare Strömung. Re

Wandreibung

4.6 Rohrhydraulik

89

dh r  w m2   dx D 2g

p   

L    w2 D 2



Rohrreibungszahl

wm

über den Rohrquerschnitt gemittelte Geschwndigkeit

D

hydraulischer Durchmesser  D h  4  A

h

U

U

benetzter Umfang

A

Rohrquerschnitt

Bestimmung der Rohrreibungszahl

 für laminare Rohrströmung 64  Re  für turbulente Strömung  bei glatten Rohren gilt die Formel: gültig für Rekrit. < Re < 105 von Blasius   0 , 316 4 Re von Prandtl

1





 2  lg Re 



  0 ,8

gültig für beliebige Re-Zahlen  bei rauhen Rohren gilt die Formel: von Kàrmàn

1



 1,14  2  lg

k

mittlere Rohrrauhigkeit

k D

relative Rauhigkeit

k D

Interpolationsformel:

Prandtl-v.-Kàrmàn-Colebrook 1



 k 9 , 35  1,14  2  lg   D   Re 

  

90

Rohrreibungszahl

4 Fluidmechanik



in Abhängigkeit der Reynolds-Zahl (nach Truckenbrodt)

4.6 Rohrhydraulik

91

Einzelwiderstände hv   

w2 2g

pv   

oder

 2

 w2

für die reine Rohrreibung ergibt sich die Verlustziffer zu:

 

 L D

Verlustziffern von Rohrleitungselementen

plötzliche Erweiterung des Rohrdurchmessers

 A     1  1  A2  

2

Diffusor



 A1  A2

  0 ,12 bis 0 , 20   1   

2      

Der Öffnungswinkel  sollte nicht größer als 4° sein, da sonst Ablösung und Wirbelbildung entsteht.

92

4 Fluidmechanik

plötzliche Verengung des Rohrdurchmessers

1   1  

2

 



Kontraktionszah

Kontraktionszahl  (nach Rietschel/Raiß)

A2/A1

0–0,2

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

scharfe Kante

0,63

0,65

0,68

0,71

0,76

0,82

0,90

Kantenbrechung

0,75

0,77

0,79

0,82

0,85

0,88

0,94

wenig abgerundet

0,90

0,91

0,91

0,92

0,94

0,96

0,98

gute Abrundung

0,99

0,99

0,99

0,99

1,0

1,0

1,0

Düse

 =0

Eintritt (ze)

Austritt (za)

scharfkantig



gebrochen

 e = 0,25

gut abgerundet

 e = 0,06

vorspringend

 e < 3,0

turbulente Strömung



a

laminare Strömung



a

e

= 0,5

= 1,0 = 2,0

4.6 Rohrhydraulik

93

Strömung durch Krümmer

Der Druckverlust eines Krümmers setzt sich aus dem reinen Rohrreibungsverlust und dem zusätzlich auftretenden Umlenkverlust zusammen.

Ablösegebiete der Strömung in einem Rohrkrümmer

p K   U 

U  Lä

  Lä D

 2

Sekundärströmung in einem Rohrkrümmer

 w2

K

äquivalente Länge

Der Umlenkverlust  U wird in Abhängigkeit vom Krümmerradius und Rohrdurchmesser angegeben. Für ein bestimmtes Verhältnis R / D erhält man ein Minimum der Gesamtverluste. Nach Richter liegt dies bei R / D 2,5 bis 3. Für 90° Krümmer ergibt sich der Umlenkverlust

k

zu

Segmentkrümmer, Krümmer mit Rechteckquerschnitten etc., siehe [5] VDI Wärmeatlas 2006, [1] H. Richter Berlin Springer 1962.

R/D

1

2

34

6

10

Glatt K

0,21

0,14

0,11

0,09

0,11

Rau K

0,51

0,3

0,23

0,18

0,2

94

4 Fluidmechanik

Rohrverzweigungen

Man unterscheidet zwischen Stromvereinigung und Stromtrennung. Der Druckabfall errechnet sich zu:

 p v12   d   p v 13   a 

 2

 2

 w12  w 12

d

zusätzlicher Widerstandsbeiwert im durchgehenden Rohr

a

zusätzlicher Widerstandsbeiwert im abgehenden Rohr

Stromtrennung

Verlustziffern des durchgehenden und abzweigenden Rohres bei Stromtrennung(nach Truckenbrodt)

4.6 Rohrhydraulik

95

Stromvereinigung

Verlustziffern des durchgehenden und einmündenden Rohres bei Stromvereinigung (nach Truckenbrodt)

Schieber- und Ventilverluste

Die Druckverluste sind je nachdem, ob es sich um Schieber, Klappen, Hähne oder Ventile handelt, und wie weit der Öffnungsgrad ist, verschieden. Nach Rietschel/Raiß:

  0,3  = 0,2

 für Schieber mit Einschnürung  für Schieber ohne Einschnürung Druckverluste für Schieber und Ventile

für Durchgangsventile Geradsitzventile Schrägsitzventile Eckventile Heizkörperdurchgangsventile Heizkörpereckventil Rückschlagventil Hähne mit vollem Durchgang

       

= 2,5 = 2,5 = 2,0 = 1,5 = 4,0 als Überschlagswert = 2,0 als Überschlagswert = 4,0 = 0,15

96

4 Fluidmechanik

Zu beachten ist, dass diese Werte nur als Überschlagswerte gelten. (Näheres siehe einschlägige Literatur, z.B. VDI-Wärmeatlas, Rietschel/Raiß, Buderus Handbuch, Truckenbrodt, Hütte I) Einbau einer Pumpe: es wird Energie dem System zugeführt,

 p h p   v  

 P     p . p p  V

Einbau einer Turbine:  p  PT hT   v    .   T   T  V

Anlaufstrecke

Die Anlaufstrecke wird nach Prandtl als die Rohrlänge definiert, die erforderlich ist, damit sich das Geschwindigkeitsprofil soweit ausgebildet hat, dass es sich nur noch um weniger als 1% vom endgültigen Zustand unterscheidet. Für Rohrleitungen gelten:  bei laminarer Strömung:  bei turbulenter Strömung:

L a  (0,06…0,065)·Re·D L a  (25…50)·D

Ausbildung des Strömungsprofiles in einer Rohreinlaufstrecke

4.6 Rohrhydraulik

97

Strömung in Gerinnen

(Freispiegelleitung)

offenes Gerinne – Trapezform des Kanals

Fließformeln:

z1 

p1 w2 p2 w 22  1  z2    hv  g 2g  g 2g

w 1  w 2 da A  c o n s t .

p1  p2  p

pv L w2     z1  z 2  g Dh 2  g

hv 

z1  z 2  hv

Kanalgefälle:

I  sin   I 

z1  z 2 L

z1  z 2  w2   L Dh 2  g

Dh  4 

A U

 3,4 k     2  lg   0 , 32  D h    Re  

1

Kanalrauhigkeit bei Vernachlässigung von R e  

1  D h    2  lg  3 ,1  k     

2

Kanalrauhigkeit (ohne : Re ungenau)

Luftdruck

98

4 Fluidmechanik

Fließformel von Chèzy – Kanalrauhigkeit (Gebirgsbäche) I 



w2 rh  K

2

Geschwindigkeitsbeiwert K 

87  rh

 

rh

Rauhigkeitsbeiwert bei Gerinnen

Fließformel von Manning-Strickler (Abwasserkanäle)

I 

w2 4

rh3  K s2 Rauhigkeitswerte von Gerinnewänden

Wandbeschaffenheit Beton Mauerwerk Erdmaterial Steinmaterial Felsausbruch

Rauhigkeitsbeiwert 0,1...30 2...30 8...200 80...1000 200...1000

Rauhigkeitsbeiwerte von Gerinnen

Beschaffenheit der Kanalwand

Gehobeltes Holz Zementglattstrich, Glatte Metallflächen Ungehobelte Bretter Glatt verputzter Beton Quaderwände Sorgfältig ausgeführtes Bruchsteinmauerwerk Normales Bruchsteinmauerwerk Gut verschalter unverputzter Beton Unbefestigte Erdsohle feiner Kies mit viel Sand, grobes Bruchsteinmauerwerk Böschungen und Sohle in Erde (mittlerer Kies) Unregelmäßige Wandungen, rauh aus dem Fels gesprengt

 1 α m 2   

   

–0,043

100

0,044 0,17

90 80

0,31

70

0,48

60

0,85

50

1,3

40

2,1

25

   

4.6 Rohrhydraulik

99

Zulässige Böschungen und zulässige Geschwindigkeiten

Wmax . zul.

Beschaffenheit der Kanalwand

Feiner Sandboden Grober Sandboden Stark sandhaltiger Kies Grob steiniger Boden, grober Kies Lehm, Ton Weicher Fels Grober Fels, fest Voll gekleideter Betonkanal



m s  

zul .

22...27° 27° 27°

0,2 0,3...0,5 0,6...0,8

34°

1,0...1,4

18° 63° 90°

0,5...0,6 2...8 2...8

90°

2...6

Hydraulisch günstige Profile

Wenn: A / U ein Maximum bzw. U ein Minimum wird

U  B  2 t B  A /t Rechteckprofil: U 

A  2 t t

A 2 t2

dU A  2 20 dt t

B t 2 t2

B   2  t  opt

100

4 Fluidmechanik

Trapezprofil:

Halbkreisprofil:

A

t opt 

2  1  cot

B s opt 

 opt .  60

A t opt 0

2

  cot 

 t opt  cot 

H 

T 2

rH 

r 2

(hydraulischer Radius)

4.7

Umströmung von Körpern

4.7.1

Ausbildung der Grenzschicht an ebener Platte

Grenzschichtdicke an einer umströmten Platte

Je nach der Körperform bildet sich nach dem umströmten Körper ein Totwassergebiet aus

4.7 Umströmung von Körpern

101

Umströmte Körper

für die längsangeströmte Platte: Dicke der laminaren Grenzschicht

l  5

x

vx w

Länge

w  ungestörte Strömung (Anströmgeschwindigkeit) Dicke der turbulenten Grenzschicht

 rz  0 ,37  5

v  y4 w

Lage des Umschlagpunktes

La 

Re

v  Re krit w

krit .

 3 , 2  10

5

bis 10

6

102

4 Fluidmechanik

4.7.2

Strömungswiderstand

Die Widerstandskraft errechnet sich zu

Fw  c w 

 2

 w2  A

bzw.

Fw  f (w 2 )

A

Stirnfläche (senkrecht angeströmte Fläche)

cw

Widerstandsbeiwert

Die Leistung errechnet sich zu

P  Fw  w einige

cw

bzw.

P  f (w3 )

-Werte [nach Eck: „Technische Strömungslehre“]

cw Scheibe in Bodennähe

1,27

Kugel Re < 1,7·105 Re > 1,7·105

0,09 0,47

Halbkugel ohne Boden mit Boden

0,34 0,40

Halbkugel ohne Boden mit Boden

1,33 1,17

Auto in Pontonform

0,42

Triebwagen

0,36

Pkw-heute

0,29–0,32

4.8 Gasströmung

103

4.8

Gasströmung

4.8.1

Gasströmung in Rohrleitungen

Im Gegensatz zu inkompressiblen Strömungsvorgängen kommt es bei Gas- bzw. Dampfströmungen in Rohrleitungen zu keinem linearen Druckabfall. Die Geschwindigkeit ändert sich längs des Rohres. Außerdem treten zusätzlich Dichte- und Temperaturänderungen auf. Bei stationärer Strömung in Rohren mit Kreisquerschnitt errechnet sich der Druckabfall aus der idealen Gasgleichung und der erweiterten Bernoulligleichung mit Verlustglied.

p    R T   1  dp   dp  

p T1 p1 T

  dx  D

2

  dx  D

2

w2  w 12 

w  w1 

T  p1 T1  p

p1 T p T1

Druck-, Temperatur-und Geschwindigkeitsverlauf in einem Rohr

p2  p2 w2 1 2    L   1 T 1 2 T D 2 p 1 1

104

T

4 Fluidmechanik mittlere Temperatur

T 

T1  T 2 2

Bei nichtisolierten Rohren gleicht sich die Innentemperatur des strömenden Mediums der Außentemperatur an. Es handelt sich um einen isothermen Strömungsvorgang. Bei isolierten Rohren dagegen wird der Wärmeaustausch verhindert. Man spricht von adiabater Rohrströmung. Druckabfall bei isothermer Rohrströmung p 12  p 22 L w2     1  1 2  p1 2 D

Druckabfall bei adiabater Rohrströmung  p  T 2  T1   2   p1 

 1 

 w T p 1  p 2  p 1   1  1 2 w 2 T1  T1  T 2 

T 

T1  T2 2

  

w 22  w 12 2 cp

Reibungsverlust  

4.8.2

 L w w 22  1     2   ln 2  R   T 1   2 cp D w1    

  1 1    2   w2 w 1   2

  

Ausströmen von Gas aus Druckbehältern

Ausströmung eines Gases aus einem Druckbehälter

4.8 Gasströmung

105

Aus der Energiegleichung für stationäre isentrope Expansions strömung errechnet sich die Ausströmgeschwindigkeit wa:

hi 

w i2 w2  ha  a 2 2

wa 

wi  0

mit

2  h i  h a 

wobei h i  h die Enthalpiedifferenz zwischen dem Zustand im Behälter und dem Zustand im Strahl darstellt.  1    pa      h i  h a  c p  T i  1     pi    

wa 

 1    pa     2  c p  Ti  1       pi   

wa 

 1    pa     2  R i  T1  1     p i    1  

wa 

 1   pi   p a     2  1    1  i   p i    

mit

c p  Ri 



  1

und mit p    R  T



Gleichung nach Saint-Venant und Wantzel wa   



2  h i  h a 

Geschwindigkeitsziffer

Die Geschwindigkeitsziffer hängt von der Behälteröffnung ab. Bei gut abgerundeten Düsen ist sie nahezu 1. Der austretende theoretische Massenstrom errechnet sich dann nach der Kontinuitätsgleichung. 1

.

m th  Aa   a  wa

.

m th  A a 

a

und

2   i  pi 

 p   i  a   pi 

2   pa   p     a      1  pi   pi 



  

 1 

   

106

4 Fluidmechanik

Führt man die Ausflussfunktion  für den zweiten Wurzelausdruck ein, so lautet die Gleichung für den Massenstrom .

m

th

 Aa   

2  pi   i

Berücksichtigt man noch den Reibungseinfluss durch die Geschwindigkeitsziffer  und die Strahlkontraktion , so ergibt sich mit      : .

m      Aa 

2  pi   i

Unter kritischem Druckverhältnis  p a 

 p i  krit

versteht man, wenn sich bei vorgegebener Behäl-

teröffnung A a und den Zuständen p i ,  i der Massenstrom nicht mehr ändert. Man unterscheidet somit je nach der Größe des Druckverhältnisses zwei Arten von Ausströmungsvorgängen: Den unterkritischen und den überkritischen. Das kritische Druckverhältnis oder Lavaldruckverhältnis ergibt sich bei: 

 pa   2   1       1  p i  k r it

Die kritische Austrittsgeschwindigkeit tritt beim maximalen Massenstrom und  p a  auf.  p   i  krit w krit 

  Ri  Ta  c

In einer Behälteröffnung kann sich bei der Expansion eines Gases also maximal der Lavaldruck und die kritische Geschwindigkeit einstellen. Soll die Expansion über die Schallgeschwindigkeit und den kritischen Druck hinausgehen, so muss sich an die Düsenöffnung ein Diffusor anschließen. Man nennt solche Düsen „Lavaldüsen“. Diese Lavaldüsen finden ihren Einsatz in Dampfturbinen, Strahltriebwerken und Überschallwindkanälen.

5

Wärmeübertragung

Überblick

Man unterscheidet drei Arten der Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Die Übertragung der thermischen Energie erfolgt von Molekül zu Molekül, in festen Körpern oder ruhenden Flüssigkeiten oder Gasen. Konvektion

Erfolgt an den Begrenzungswänden angeströmter oder strömender Körper. Bei der Konvektion besteht die Übertragung der Wärme ebenfalls von Teilchen zu Teilchen. Strahlung

Dabei erfolgt der Wärmeübergang in Form elektromagnetischer Wellen. Feste Körper oder Gase senden thermische Energie aus, die von den bestrahlten Körpern absorbiert und in Wärme verwandelt wird.

5.1

Wärmeleitung

Wärmeleitung findet im Körperinneren statt. Dabei ist die Wärmeleitfähigkeit λ des Stoffes maßgebend. Sie kann auch an der Grenzfläche zwischen festen Körpern und angrenzenden flüssigen oder gasförmigen Medien stattfinden. Dabei ist die Wärmeübergangszahl  maßgebend. Meist finden beide Vorgänge gleichzeitig statt.

5.1.1

Wärmedurchgang durch eine ebene Wand

Die Differentialgleichung der Wärmeleitung lautet allgemein:

  a   t

108

5 Wärmeübertragung

a 

Temperaturleitzahl

Laplace Operator  

 c

     2 2 x y z 2

Die Ableitung der Gleichung nach Fourier erfolgt durch Aufstellen einer Wärmebilanz. . c    A  dx  d    q x   

.  . qx   q    x   x  x    

.  .  qx      x q x     Adt x     

c

Wärmekapazität

qx

zugeführte Wärme abgeführte Wärme

Wärmedurchgang durch eine Wand

5.1 Wärmeleitung

109

Mit Hilfe des Fourier Ansatz ergibt sich: .

Fourier Gleichung:

q   

Péclet Gleichung:

q 

.

 s

d dx

[W / m 2 ]

  1   2 

[W / m 2 ]

.

Newton Gleichung:

q   a   0 a   a    i   i   0 i 

Wärmestrom:

Q  q A

Wärmemenge:

Q  q  A  t  m  c   i   a   t

Massenstrom:

m    A  w   V

.

.

[W / m 2 ] [W ]

.

.

.

.

[J ] [ kg / s ]

Temperaturverlauf durch eine Wand .

Wärmeleitzahl

Q s   A   1   2 

 W  m  K   

Die Wärmeleitfähigkeit λ eines Stoffes kann von der Temperatur abhängig sein: Lineare Näherung:  =  0  (1   a   ) mit a aus dem VDI Wärmeatlas für Luft:   0 , 0207  (1  0 , 03   )

110

5 Wärmeübertragung

Temperaturverlauf durch eine Wand bei unterschiedlichen Werten a (Temperaturleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur)

  zwischen 

Man errechnet dann eine mittlere Wärmeleitzahl 

1

und  2



2 1     d  1   2 1

für Luft:

 





0 , 0207  0 , 03     1   2     12   22  2 1   2  

Einfluss verschiedener Werkstoffe auf Wärmeleitfähigkeit

Stoff Metalle, Flüssigkeiten Gase Nichtmetalle

bei Temperatursteigerung wird λ kleiner größer kleiner oder größer

Wärmeleitfähigkeit verschiedener Baustoffe

Baustoff

natürliche Steine Baustoffe aller Art Dämmstoffe

Leitfähigkeitsbereich  in W/(m·K) 2,3–3,5 0,15–2,1 0,03–0,1

5.1 Wärmeleitung

111

Die Wärmeleitfähigkeit von Baustoffen hängt stark vom Feuchtegehalt und in verhältnismäßig geringem Maße von der Temperatur ab. Die Wärmeleitfähigkeit eines porösen Stoffes steigt mit zunehmender Stofffeuchte stark an (Wasserdampfdiffusion). Wärmedämmstoffe, die an Stelle von Luft, Gase mit geringer Wärmeleitfähigkeit enthalten, weisen niedrigere Werte auf als ruhende Luft (z.B. Polyurethan-Hartschaum). Wärmeleitwiderstand:

Ri 

Wärmeübergangswiderstand:

RÜ 

s

A 1 hA

Wärmedurchgangszahl U : .

.

.

q innen  q Wand  q außen  U  ( i   a ) .

q  h i  ( i   1 )  U 

 s

 W  m²K   

1 s 1 1   hi  h a

.

q  U  ( i   a ) 

i  a 1 s 1   hi  h a

Der Wärmedurchlasswiderstand 1  

 ( 1   2 )  h a  ( 2   a )



1 

W  m²  

ergibt sich dann zu: m²K   W   

s



Einige für die Versorgungstechnik wichtige Wärmeübertragungszahlen) für die ebene Wand

Beschreibung An der Innenseite geschlossener Räume, bei natürlicher Luftbewegung, Wandflächen, Innenfenster, Außenfenster, Fußböden und Decken bei Wärmeübertragung von unten nach oben Bei Wärmeübergang von oben nach unten An der Außenseite entsprechend einer mittleren Windgeschwindigkeit

h

1/h

éW / (m2 × K)ù ëê ûú

ém2 × K / W ù ëê ûú

αi = 8,14

1/αi = 0,12

hi = 5,82 ha = 23,26

1/hi = 0,17 1/ha = 0,04

112

5 Wärmeübertragung

Wärmedurchgang durch eine Wand mit mehreren Schichten

Für stationäre Strömung ist der Wärmestrom durch alle Schichten gleich.

Wärmedurchgang durch eine Wand mit einer Isolationsschichtauf der Aussenseite

.

.

q  hi  i   1 

q 

.

q  h a  3   a  .

q

i  a 1  hi

s





1 ha

1 s1

1   2 

.

q 

2 s2

 2   3 

5.1 Wärmeleitung

113

Beispiel Temperaturschichtung im Bauteil

Innenputz

W m²  K W   0 , 24 m²  K W   0 ,87 m²  K

  0 ,7

15mm:

Porenbeton 300mm: Außenputz 20mm:

 i  20 0 C ,  a   10 0 C m²  K W m²  K  0 , 02 W m²  K  1, 25 W m²  K  0 , 02 W m²  K  0 , 04 W

R i  0 ,13 R1 R2 R3 Ra

 .

R ges  1, 46

q  U   

m²  K W

  R ges .

30 K W  20 , 55 m² K m² 1, 46 W

. q m²  K W  Oberfläche , i   i    i  R i  q  20  C  0 ,13  20 ,55  17 ,3  C hi W m² W m²  K  1, 2  17 ,3 C  0 , 02  20 ,55  16 ,9  C m² W W m²  K  2 , 3  16 ,9 C  1, 25  20 ,55   8 ,8  C m² W W m²  K  O , a   8 ,8 C  0 , 02  20 ,55   9 , 2 C m² W W m²  K  Luft , a   9 , 2 C  0 , 04  20 ,55   10  C m² W

114

5 Wärmeübertragung

Verläuft der Wärmestrom parallel zur Schichtung, so gilt:

Wand mit paralleler Schichtung

.

q 

 p

p 

L

 1   2 

 s s i

i

i

Verläuft der Wärmestrom unter einem Winkel  zur Schichtung so erhält man:

Wand mit schräger Schichtung

.



q n   p  sin

S

2

   s cos 2   

1   2

Wärmestrom senkrecht zur Schichtung

L

5.1 Wärmeleitung

115

Bestimmung der Wandtemperatur mittels graphischen Verfahrens:

Graphische Methode zur Wandinnen-und- außentemperautrbestimmung

Die Stellen I und II entsprechen den gesuchten Wandtemperaturen  1 und  2 . Es müssen  und 

h1

h2

von der Oberfläche aus auf der Abszisse aufgetragen und  i und  a in den

Punkt I und II angetragen werden. Temperaturleitfähigkeit a

Die Ausbreitung eines Temperaturfelds in einem Stoff hängt von dessen Temperaturleitfähigkeit a in m 2 / s ab. Eine Temperaturänderung pflanzt sich in einem Stoff umso schneller fort, je größer der Wert a des Stoffes ist.

a 

  c

Wärmeeindringkoeffizient b

Je kleiner der Wärmeeindringkoeffizient ist, umso weniger Wärme wird einem Stoff bzw. Körper entzogen. Bauteile, deren Oberflächen aus Stoffen kleiner Wärmeeindringkoeffizienten bestehen, heizen sich schneller auf.

b

  c

Rasches Aufheizen der Wände ist erwünscht vom Standpunkt der Behaglichkeit. Dies wird durch leichte Bauteile und Anordnung von Wärmedämmschichten auf der Raumseite der Bauteile unterstützt. Schichtwände kühlen umso langsamer aus, je näher die gut wärmedämmende Schicht an der äußeren Wandoberfläche und die wärmespeichernde Schicht an der inneren Oberfläche liegt.

116

5 Wärmeübertragung

Instationäre Verhältnisse

Der Wärmedurchlasswiderstand 1 bzw. der Wärmedurchgangskoeffizient U unter stationä

ren Verhältnissen entspricht in der Regel den Winterverhältnissen bei dauernd beheizten Räumen, wo die Raumlufttemperaturen weitgehend konstant gehalten werden und die Außentemperaturen sich nur langsam ändern. Beim Aufheizen, Abkühlen, Sonneneinstrahlung etc. treten instationäre Vorgänge auf. Dabei spielt das Wärmespeichervermögen des Stoffes eine entscheidende Rolle, also die „spezifische Wärmekapazität c “, die „Wärmeleitfähigkeit  “ und die „Rhodichte ρ“.

5.1.2

Wärmedurchgang durch einen Zylinder (Rohr) 2    L   i   a  r 1 1 1   ln 2  ri  h i  r1 r2  h a

.

Q 

für ein Rohr mit zwei Schichten: 2    L   i   a  r r 1 1 1 1   ln 2   ln 3  r1  h i 1 r1 2 r2 r2  h a

.

Q 

allgemein bei mehreren Schichten ist der Ausdruck

1



 ln

r2 r1

zu ersetzen durch: n

1

 i 1

i

 ln

ri 1 ri

Für große Durchmesser und dünnwandige Rohre kann vereinfacht die Gleichung für die ebene Wand angewendet werden.

Schnittfläche eines Rohres

5.1 Wärmeleitung

5.1.3

117

Wärmedurchgang durch eine Kugel

Wärmestrom .

Q 

1 h i  r12

4     i   a  1  1 1  1         r1 r2  h a  r22

bei mehreren zusammengesetzten Kugelschalen (n) muss

1 1 1      ri r2  ersetzt werden durch: n

1 1 1    ri 1 i  ri

 i 1

  

Wärmestromdichte  .   1   2 Q  2  q 4   r 2 r  1  1  r r  1 2 .

5.1.4

     

(Hyperbelfunktion)

Temperaturabfall in Rohrleitungen

Temperaturabfall längs einer Rohrleitung a mittlere Jahrestemperatur

Annahme:

1 r h i   d.h. hi   ln a



ri

über Nachweis:

1  0 ri  h i

118

5 Wärmeübertragung

Wärmeverlust .

.

QL

2     i   a  Q   r 1 1 L  ln a   ri ra  h a

Wärmebilanz

aus der Wärmebilanz erhält man folgende Gleichung

2     i   a   .   m  c  d  i   Q L   dx  r 1 1  x  ln a   ri ra  h a

i  d mit K 

2  r 1 1  ln a   ri ra  h a

und dem treibenden Temperaturgefälle    i   a wird.  m  c  d   i    K  dx

d i U dx  . i  a m c d U  . dx  m c

ln   

U x .

 ln C

m c

Randbedingungen:

für

1 . x  0 i   1 2 .x  L  i   2

Aus 1. mit In  0  InC wird ln



0

U L    . 0 m c

Temperaturunterschied am Rohranfang

5.1 Wärmeleitung

119

  a ln  2  1   a

 2   L    .  r 1 1  m  c    ln a  ri h a  ra 

  

Eine vereinfachte Gleichung kann für kleine Temperaturdifferenzen verwendet werden: 2 3 Es gilt die Potenzreihenentwicklung ln 1  x    x  x  x  .... 2 3

   2 ln  1  1  1  a 

0 , 06 2

2

   2    1  ....  1  a 

 0,2 %

 .  Q L   x0   1 1   a

2  ra 1  ln   ri h a  ra

ln

 .  L Q L    x0

2  a   . 1   a m  c   1   a 

1   2 

 .  L Q L   x0  .

m c

gültig für:

1 - 2  0,06 · (1 - a)

120

5 Wärmeübertragung

5.1.5

Sonderfälle des Wärmedurchgangs in Rohren

5.1.5.1

Abkühlung von Behältern dünne Behälterwand  ebene Wand

Annahme: Wärmebilanz:

dQ  U  A  ( i   a ) dt dQ  m  c    i

d i U A   dt i  a m c di = d   i  a Behälterabkühlung bzw. -erwärmung

zur Zeit t = 0:



0

 0  a

0 Ausgangstemperatur im Behälter

d U A  dt  m c U A ln     t  ln C m c C  0 ln

 U A   t 0 m c

ln   ln  0 

U A t m c

 i   a   0   a   e

U  A t m c

5.1 Wärmeleitung

5.1.5.2

121

Rohr im Erdboden

Die obere Schicht berücksichtigt den Wärmeübergang zwischen Boden und Luft:

Rohr im Erdboden

s 1*  s 1  .

Q 

 ha

2     1   a    E ar cosh s 1* / R 1





Anmerkung für Formel-Hyperbelfunktion: arcosh sinh x 

e x  ex 2

cosh x 

e x  ex 2

122

5 Wärmeübertragung

5.1.6

Ermittlung der wirtschaftlichen Isolierdicke für Rohrleitungen

Kurzzeichen b

B

Beschreibung Benutzungsdauer der Anlage

   b  w di  p  k0

k0 k‘ K 

Betriebskennzahl Innendurchmesser der Isolierung (= Außendurchmesser des Rohres) Kosten der Isolierung bei der Isolierdicke Null, [äußere bezogen auf die äußere Isolieroberfläche] Kostenstaffelung der Isolierung bei Zunahme der Isolierdicke um 1 cm [Firmenangabe]

di

d i  k´ 2  k0

Einheiten h/Jahr

m €/m² €/(m2·cm)

Kostenkennzahl (K = 0 bedeutet eine Isolierung ohne Kostenstaffelung (k´= 0)) Kapitaldienst der Isolierung/Prozentsatz für Verzinsung und Amortisation (Verzinsung und Amortisation) Gesamtkosten

p P S [ mm ]   w d i [ mm ]

sw w W

isol

€

Isolierdicke wirtschaftliche Isolierdicke Wärmepreis Kosten, die durch Verlustwärme entstehen Wärmeleitzahl des Isolierstoffes bei seiner Mitteltemperatur treibende Temperaturdifferenz in der Isolierschicht zwischen ihrer inneren und äußeren Oberfläche

λ

[%] 100·€·a)

Cm €/106kJ € W/(m·K) K

Wärmeverlust des isolierten Rohres (bezogen auf Rohrlänge) 2       isol d ln a di

.

QL 

Kosten des Wärmeverlustes .

W  Q Lb w

Im Wärmepreis w ist z.B. auch die verminderte Arbeitsfähigkeit des Dampfes oder Verminderung der Qualität des Produktes (chemische Reaktion) bei Dampf kleineren Enthalpiegefälles enthalten.

5.1 Wärmeleitung

123

Kapitaldienst

P  k   d a  p

Kosten der Isolierung aufgetragen über zunehmende Isolierdicke

k ´

k s

k  k0  s  k´

 

da di

W+P Minimum d  k´ 2       w     d i  p    k 0  i   ln  2 

2     b  w 1  di  p  k0    ln 



2



Betriebskennzahl

B 

   b  w di  p  k0

Kostenkennzahl

K 

d i  k´ 2  k0

2B   ln 

 

2

 K  2    1   1

Sw  1  di 2

2

      Min. 

d i  k ´ 2  1   1 2 k0

124

5 Wärmeübertragung

Optimale Isolierdicke

5.1.7

Randbedingungen

1. Art

Diese Randbedingungen sind gegeben, wenn das angrenzende Medium eine konstante Temperatur besitzt oder beim Schmelzen, Sieden, Kondensieren, also wenn das umspülende Medium seine Phase ändert.

Randbedingung bei konstanter Wandtemperatur

5.1 Wärmeleitung

125

2.Art

Findet ihre Anwendung z.B. bei Heizspiralen, Reaktor-Brennelementen, etc. Sie findet ihre Anwendung in der Pécletund Fourier-Gleichung.

Randbedingung 2. Art bei instationären Vorgängen zu Zeiten t1 , t 2 , t 3

3.Art

Newtonsches Abkühlungsgesetz (∞ gegeben) .    q w       x  w

.

q w     w   



R Richtpunkt (definiert durch  und )

Randbedingung 3. Art – die Steigerung der Wärmeleitung und des Wärmeübertragens sind gleich

126

5 Wärmeübertragung

5.1.8

Wärmedurchgang durch eine Wand mit Rippen

H L B U A Q0

Rippenhöhe Rippenlänge z.B. Heizkörper Rippenbreite wärmeabgebender Umfang wärmedurchströmte Fläche Wärmestrom durch A an der Stelle x = 0. Dieser Wärmestrom wird von der Rippe an die Umgebung abgegeben.

0 U H (K)

Übertemperatur am Rippenfuß Umgebungstemperatur Temperatur am Rippenende Übertemperatur der Rippe längs der Koordinate x

Wand mir rechteckiger Rippe

m 

 U A

Gilt auch für Hohlstab (Röhre), der aber nur nach außen Wärme abgibt.

5.1 Wärmeleitung

127

Für Rechteckrippe:

Umfang der Rippe

U  2  (L  B)

Für große Rippenlänge

U  2  ( L  0)

Fläche

A  LB

Für B = 0:

U 2  A B

Für große Rippenlängen:

m 

 2   B

Wärmebilanz:

Wärmestrom durch Querschnitt A in der Entfernung x .

Q

x

   A 

d dx

Durch die Mantelfläche abströmende Wärmemenge .

d Q    U   wx   u   dx

Wx Wandtemperatur in Abhängigkeit von x

 ( x )   Wx   U

Differentialgleichung des Temperaturverlaufes

  A

d    U   wx   u   dx dx

d ²   U    m²  dx ² A Lösung der Differentialgleichung:

  C1  e m x  C2  e  m x 1. für x  0 :    0

2. für x  H :  d d   0 dx

Ist die Rippe sehr lang, so kann man vereinfacht annehmen, dass an der Stirnseite keine Wärme austritt. →

d 0 dx

128

5 Wärmeübertragung

Bei Berücksichtigung müsste es heißen:  d        H   dx  x  H

  x  e m  H  x   e  m   H  x   0 e m H  e  m H c o s h 

mit

0 , 5  e   e 





  x   0 

wird der Temperaturverlauf:

c o s h m  ( h  x )  cosh(m  H )

Die Übertemperatur gegenüber der Umgebungstemperatur am Stabende H ergibt sich zu: H 

0

cosh m  H



Wann ist eine Rippe sinnvoll?

Wärmestrom durch Grundfläche bei x = 0: .  d  Q 0    A    m    A   0  tanh( m  H )   dx  x  0

Wärmestrom ohne Rippe: . '

Q

0

   A  0 . '

.

Vergleicht man Q 0 mit Q .

w 

Q0 . ,

Q0



0

und setzt sie ins Verhältnis, wobei w den Gütegrad angibt:

 U   tanh( m  H )  A

Falls w > 1 ist eine Rippe sinnvoll. Idealrippe

λ ist das Verhältnis des Wärmestroms mit größter Wärmeleitfähigkeit zum wirklichen Wärmestrom (d.h. 0 ist längs der Rippe vorhanden, also (K) = 0).

5.1 Wärmeleitung

129

Maximal durch die Rippe abzuführender Wärmestrom: .

d Q    U    x   dx

aus:

.

Q

  U  H  0



.

 

Q0 .



Q

tanh m  H mH



1

Optimale Rippen (beste Materialausnutzung)

Eine ideale Rippe müsste gegenüber der Umgebungsluft auf ihrer gesamten Oberfläche die Übertemperatur aufweisen, die am Rippenfuß gemessen wird. H

  x 

Rippenwirkungsgrad :



Forderung

Q

Volumen

V  AH  LBH

.

 Maximum

0

Für Rechteckrippen:

.

= 1,419

→ ta n h m  H

H 

0

0  H

 = 0,889 mit

tanh  m  H  

3m  H cosh ²  m  H



2   1, 419  B

2 H  1, 419  B  B 2 H  1, 419 

 B 2 

Endtemperatur H = 0,457 · 0 Rippe bester Materialausnutzung

 w  0 ,889 

2  B

.

 

Q

0

.

Q



λ = 0,626



0 , 889  0 , 626 1, 419

130

5 Wärmeübertragung

Bedingung: 2  5 nur dann ist das Anbringen von Rippen günstig.  B

5.1.9

Wärmetauscher

Man unterscheidet bei den Wärmetauschern zwischen Gleichstrom-, Gegenstrom- und Kreuzstromtauschern. Es handelt sich dabei um Rekuperatoren (ohne Wärmespeicherung) z.B. Kondensator, Lufterhitzer, Dampfkessel. Die beiden strömenden, wärmeaustauschenden Gase oder Flüssigkeiten sind durch eine Wand getrennt.

Innen-und Außendurchmesser nach Länge des Wärmetauscherelements

Ausgangsgleichung für alle Wärmetauscher .

Q  u  Am   m Am 

Da  d i   L 2

m 

O  A ln  O  A 

0 = 1O - 2O

A = 1A - 2A

1 = 1A - 2A

2 = 2A - 2O

Am DA di L

mittlere wärmeaustauschende Fläche für Rohre Außendurchmesser Innendurchmesser Länge

m ∞

gesamtes mittleres treibendes Temperaturgefälle Temperatur des strömenden Mediums nach völligem Ausgleich

5.1 Wärmeleitung

5.1.9.1

131

Gleichstrom

Temperaturverlauf bei Gleichstrom Wärmetauschern

x-Koordinate verläuft in Richtung der Strömung Indizes: O Eingang

1 Fluid 1

A Ausgang

2 Fluid 2

Definition .  W1  m 1  c1  Wärmekapazitätsströme [kW/K]  . W 2  m 2  c 2 

 

1 1  W1 W 2

Da  di   x 2

bei Rohren:

dA 

bei ebenen Wänden:

dA = B · 

Wärmestrom durch die Trennwand: .

d Q  U    da  U   1   2   da

Temperaturänderung beider Medien längs der Heizfläche: .

.

.

d Q   m 1  c1  d  1  m 2  c 2  d  2

132

5 Wärmeübertragung

Differentialgleichung des Temperaturdifferenzverlaufes:

d     U  da  daraus folgt der Temperaturdifferenzverlauf:    O e   U  a

Temperaturdifferenz am Ende: 

A

  O e   U  A

Gleichungen der Kurven für den Temperaturverlauf:

 1   1O   O 









W2  1  e   U  a W1  W 2

 2   2O   O 

W1  1  e  U  a W1  W 2

Durch die Heizfläche übertragene Wärmemenge .

Q 

A

 k 

O

 e   U  da  dA

0

.

Q  .

Q 

O



 1  e   U  A



O  



A



Aufstellung der Wärmebilanz

Wärmeabgebendes Medium 1: .

.

Q 1  m 1  c1    1  W 1    1 Wärmeaufnehmendes Medium 2: .

.

.

.

Q 2  m 2  c2   2  W 2   2 Q1  Q

2

: .

.

.

m 1  c 1   1 O   1 A   m 2  c 2   2 A   2 O

  2O W m 1  c1 2 → 1  .  2A   1 O  1 A  1 W2 m 2  c2



5.1 Wärmeleitung

133

Die Wärmekapazitätsströme verhalten sich umgekehrt wie die Temperaturänderungen beider Medien.

    1O   O 

5.1.9.2

W2 W1  W 2

Gegenstrom

Temperaturverlauf bei Gegenstrom .

W 2   m 2  c2

 

1 1  W1 W 2

Die für Gleichstrom abgeleiteten Gleichungen gelten, wenn man die Vorzeichen der beiden Mengenströme beachtet (entgegengesetzt). Bei annähernd geradem Verlauf der Temperaturen, d.h. bei gleichen Wasserwerten beider Flüssigkeiten gilt: Voraussetzung: W 1  W 2

m 

1   O   A  2

Zulässig für  O  1,5 (andernfalls: min) *) A

m 

1   1O   1 A  2

m 

1   2 O   2 A  2

1

2

0   A

134

5 Wärmeübertragung

Gegenstrom ist günstiger als Gleich- oder Kreuzstrom. Bei unendlich großer Heizfläche wird die Endtemperatur 1A gleich der Anfangstemperatur des anderen Stromes 2O. *) Anmerkung Bildet man den relativen Fehler:  mArith   mLog 1 O /   Fr   mLog 2 O /

A A

1   ln O  1 1 A

Fr1,25% gültig für:  2  O  1, 5 A 3

5.1.9.3

Kreuzstrom

Temperaturverteilung bei Kreuzstrom

O = 1O – 2O A = 1A – 2A Die Temperatur der beiden Fluide am Austritt ist über dem Querschnitt veränderlich.

 1 m , arith 

1   1O   1 A  2

5.1 Wärmeleitung

 2 m , arith 

1   2 O   2 A  2

 m , arith 

1   O   A  2

 a wobei

135

m , Kreuzstrom

 a 

m , arith

aus Tabellen im VDI Wärmeatlas zu entnehmen .  W   a  f  A und .  O W  

1

2

     

Der Rechengang bei der Auslegung von Wärmetauschern erfolgt nach folgenden Schritten. (weitere Einzelheiten siehe VDI Wärmeatlas) 1. Skizze der Temperaturverteilung 2. Bestimmen bzw. Schätzen der Ein- und Austrittstemperatur, unter Umständen der Wandtemperatur 3. Bestimmen der Bezugstemperaturen für Medium I und II 4. Ermittlung der Stoffwerte bei Bezug 5. Bestimmung der Strömungsart, ob laminar oder turbulent 6. Berechnung von αm aus einer Nusselt-Gleichung 7. Berechnung der Wärmedurchgangszahl k 8. Berechnung der mittleren Temperaturdifferenz m 9. Berechnung der übertragenen Wärmemenge oder der benötigten Fläche des Wärmeüberträger oder des Temperaturverlaufs 10. Kontrolle der geschätzten Werte

136

5 Wärmeübertragung

5.1.10

Wärmeleitung mit inneren Wärmequellen

Wärmeleitung mit innerer Wärmequelle für eine Wand (Platte)

Für die Plattendicke 2·X

d 2  W  0  dx 2 Wärmeproduktion

W  L   [W / m 3 ]

1. Integration

d W   X  C1 dx 

2. Integration

 x   

W  x2  C1  x  C 2 2

Mittels C1 und C2 erhält man aus den Randbedingungen:

 x    a 

W  x2 2

 x2 2   1    X X 2 

  

5.2 Wärmeübertragung durch Konvektion

137

Für den Zylinder

d 2 1 d  W    0 r dr  dr 2 C d W   r  1 dr 2 r

 r   

  a 

W r2  C 1  ln r  C 2 4

W W R  R2  r2  4 2 





5.2

Wärmeübertragung durch Konvektion

5.2.1

Kennzahlen der Wärmeübertragung – Wärmeübertragungszahl α

Unter Konvektion versteht man den Wärmeübergang, wenn ein strömendes Fluid Wärme an einen festen Körper abgibt oder von diesem aufnimmt. Man unterscheidet zwei Arten der Konvektion: Die freie (natürliche) Konvektion und die erzwungene Konvektion. Freie Konvektion herrscht z.B. wenn Teilchen an einer wärmeren Wand erwärmt werden. Dadurch werden sie leichter und steigen nach oben. Damit lösen sie einen Strömungsvorgang aus. Wird dieser Wärmeübergang unterbrochen (z.B. Ausschalten der Heizung), so hört die freie Strömung auf. Erzwungene Konvektion tritt bei Strömungen auf, die künstlich erzeugt werden durch Änderung des Druckunterschiedes z.B. Ventilatoren, Pumpen etc.

Freie und erzwungene Konvektion können zusammen auftreten. Bei der Konvektion ist die Wärmeübergangszahl maßgebend. Die Wärmeübergangszahl ist abhängig von der Temperatur, vom Druck, der Geschwindigkeit, der Wärmeleitzahl, der Dichte, von der Art des Mediums, der spezifischen Wärme, der Viskosität, der Geometrie und den hydrodynamischen Verhältnissen. Die -Zahl wird meist nicht direkt berechnet, sondern über die NusseltGleichung.

Nu 

 D 

D

charakteristische Größe des festen Körpers (bei Rohr: Durchmesser D; bei Platte: Länge L)



Wärmeleitzahl des Fluids

138

5 Wärmeübertragung

Die nachfolgend Tabelle (nach/3/Netz Betriebstaschenbuch) gibt einige Anhaltswerte für die Wärmeübergangszahl  durch Konvektion an: Man unterscheidet dabei je nach dem Strömungszustand, ob es sich um laminare oder turbulente Strömung handelt. Re

Wasser Siedendes Wasser Kondensierender Dampf

< 2.300

2.300–10.000

> 10.000

840–2.500

3.350–10.500

16.500–42.000

4.200–8.400

10.500–28.000

33.500–54.000

21.000–25.000

33.500–67.000

75.000–105.000

25–33

63–165

250–335

Luft

5.2.2

Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion

5.2.2.1

Längs angeströmte Platte

Thermische Grenzschicht bei Umströmung einer Platte mit Umschlag von laminarer in turbulenter Grenzschicht

Re 

wL



Für

R e krit

Allgemein

105 < Re k < 4·106

Technische Berechnungen

500.000

Scharfe Plattenvorderkante

320.000

Besonders störungsfreie Strömung

3·106

5.2 Wärmeübertragung durch Konvektion

139

für Re < 5·105 Laminare Strömung (Randbedingung:  W = const.) Stoffwerte bei Bezugstemperatur:

B  Nu

x

Nu m

1   W     2  x  x  0 ,332  Re  3 Pr   L  m  0 , 664  Re  3 Pr 

 m  2  k

gilt nur für ebene Platten: für Re  5·105 und Pr  1

Turbulente Strömung (Randbedingung: 

= const.)

W

Stoffwerte bei Bezugstemperatur:  B   W    2 Nu

m



 0 , 037  Re

0 , 8

 23100

 Pr

1 3

für Re > 5·105 Nu

5.2.2.2

m



 0 , 057  Re 

0 , 78



 23100  Pr

0 , 78

Gerade Rohrströmung Laminarer Rohrströmung

Temperaturverlauf einer geraden Rohrströmung (Innen-und Außenmedium)

140

5 Wärmeübertragung

Umschlag von laminarer in turbulente Strömung

Umschlag für

Re

Technische Bedingungen

3000

Scharfkantigen Einlauf

2300

Re 

W  Dh



Hydraulischer Durchmesser A

durchströmte Fläche

U

benetzter Umfang

Dh  4 

Stoffwerte bei Bezugstemperatur:  B 

A U

 10   1 A 2

wie Wärmetauscher bzw.  B   20   2 A 2 Bedingung für

1 . Pe 

Dh  7 ,5 L

nach Sieder-Tate 1

3 gilt: Nu    D  1,86   Re  Pr  D   L 

mit  Fl bei  B

  fl   W

  

0 ,14

 W bei  W

Wenn der Temperaturunterschied zwischen  Fl und  W nur gering ist, so gilt

 fl 1 W Die Nusselt-Zahl strebt bei laminarer Strömung schnell einem Grenzwert zu:

Nu 

 D 

5.2 Wärmeübertragung durch Konvektion

141

qw = const.

 W = const.

Kreisrohr

4,36

3,65

Ebener Spalt (beidseitig beheizt)

4,12

3,75

Ebener Spalt (einseitig beheizt)

2,70

2,43

Bedingung für

Nu m

2 . Pe 

Dh  7 ,5 L

nach Hausen

  D   0 , 0668 Re Pr       fl  L    3, 65  2     D 3   W  1  0 , 045   Re  Pr     L   

(Siehe auch /4/ und /5/ direkte Gleichungen für h-Werte.) Turbulente Rohrströmung für Re > 3000

Turbulente Rohrströmung

Die thermische Einlauflänge beträgt

L  200 . Dh

Stoffwerte bei mittlerer Fluidtemperatur:  Flm   e   a 2

  

0 ,14

142

5 Wärmeübertragung

Überschlagsformel

Gültig für L  200 Dh

Nu D 

 D  0 , 024  Re 0 , 8  Pr n 

n = 0,4

für Erwärmung

n = 0,3

für Abkühlung

Exakte Formel nach Hausen

Gültig für 2300 < Re < 2·105 und 0,6 < Pr < 500

W bei W einsetzen Die Formel nach Hausen gilt auch im Übergangsgebiet zwischen laminarer und turbulenter Strömung Nu

D

5.2.2.3 W

 0 , 037  Re

0 , 75

 180

  Pr

Re 

w  D



Alle Stoffwerte bei einer Bezugstemperatur:

B 

für Luft

2    D  3    Fl   1      L     W  

  

0 , 14

Außen angeströmtes Rohr (senkrecht zur Achse)

Temperatur an der Außenwand

Nu

0 , 42

D

   W 2  C 1  Re m  Pr

Nu

D

1 3

 C  Re

m

5.2 Wärmeübertragung durch Konvektion

143

Werte für C1, m und C

Re

C1

m

C

von

bis

1

4

0,998

0,330

0,891

4

40

0,920

0,385

0,821

40

4000

0,689

0,466

0,615

4000

40000

0,195

0,618

0,174

40000

400000

0,0268

0,805

0,0239

5.2.2.4

Rohrbündel (quer angeströmt) Gültig für 3000 < Re < 40000 Bezugstemperatur

B 

   W 2

Überschlagsformel (Gleichung nach Colbum): 1

Nu m  0,33  Re D Re

Pr  Rohrbündel



D

0,6

we  D



 cp 

Nu 

 D 

we

Geschwindigkeit im engsten Querschnitt des Rohrbündels

we

lässt sich aus der Kontinuitätsgleichung berechnen: .

m m    we  A  we  A .

Bei Ma  0 , 3 ist die Dichteänderung zu vernachlässigen w   A  w e  Ae

 Pr 3

144

5 Wärmeübertragung

Paralles Rohrbündel

Wärmestrom:

.

Q  h Am

A    D  L  n (Rohroberfläche)

L

Länge der Rohre

N

Anzahl der Rohre

m

treibendes Temperaturgefälle

genauere Berechnung bei Luft gilt:

für hintereinanderliegende Rohrreihen: ab der 3. Rohreihe 1. Reihe

Nu  0 , 295  Re

0 ,6

D

für mittleres α

2. Reihe für versetzte Rohre Ab der 3. Rohrreihe 1. Reihe 2. Reihe

Nu  0 , 37  Re

für mittleres α

0 ,6

D

5.2 Wärmeübertragung durch Konvektion

145

d.h. Die Wärmeübergangszahl  ges für eine Rohrbündel ergibt sich zu:





ges

h 1  A 1  h 2  A 2  h 3  A 3  ... A1  A 2  A 3  ...

Eine weitere Formel von Hofmann für Rohrbündel lautet: m

Nu  k  Re D  Pr 0 , 31

nach Stelzer /6/

Werte für k,m:s. siehe nachfolgende Tabelle.

s s mit  B    e   W  gültig für 2·103 pS < 0,4bar

Gültig für: .

q CO 2  10 , 35 

W m ( bar  m ) 0 , 4  K 2

p

Teildruck des Gases in bar

T

Gastemperatur in K

S

Dicke des Gaskörpers in m .

 p  s

0,4

3,2

q H 2 O  47 bar  m  85 p  s  p  s 

0,6

 T     100 

 T     100 

3,2

2 , 32 1, 37 3 p  s

5.3 Wärmeübergang durch Strahlung

161

Strahlung leuchtender Flammen

Die durch Flammenstrahlung übergehende Wärme Q Fl ist eine Funktion von Schichtstärke, Zahl der glühenden Rußteilchen in der Raumeinheit und dem Temperaturunterschied Flamme-Wand. Gleichzeitig tritt immer Gasstrahlung auf. Wegen der meist nicht erfassbaren Randbedingungen ist der Wert Q Fl meist nicht berechenbar. Überschlägig gilt: Die Strahlung leuchtender Flammen beträgt 50–80 % der schwarzen Strahlung. .

 Fl

Q  Fl 

Gesamtstrahlung

Tritt Körperstrahlung, Gasstrahlung und Leuchtflammenstrahlung gemeinsam auf, so ergibt sich die Gesamtstrahlung zu: aStr = aS + aG + aFl

6

Rohre und Behälter

Bei der Konstruktion von Rohrleitungen und Apparaten (Behältern) sind die Unfallverhütungsvorschriften (UVV) zu berücksichtigen. Bei Druckbehältern ist eine Prüfung durch einen Sachverständigen z.B. TÜV notwendig. Es erfolgt dabei eine Vorprüfung, Bauprüfung, Druckprüfung und Abnahmeprüfung.

6.1

Allgemeine Berechnung

Allgemeine Gleichungen zur Bestimmung des Rohrdurchmessers und Druckverlustes Allgemein gilt die Kontinuitätsgleichung: 

V = u ⋅ A [m³/s] .

V

Volumenstrom

u

über den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit in m / s

A

Rohrquerschnitt in qm

Die Strömungsgeschwindigkeit für einen kreisrunden Rohrquerschnitt ist dann: u 

4  V   di2

Der lichte Rohrdurchmesser errechnet sich zu:

di 

4  V [m ]   u

35 , 7 [ mm ] u

Summe aller Widerstände (dimensionslos)

   Rohr   Einzelwide

  

 ( L  Lä ) di

Rohrreibungszahl

rstände

164

Lä

6 Rohre und Behälter

Äquivalente Rohrlänge

  Einzelwide

Lä 



Druckverlust:

p  

rstände

 di

u 2 2

[m ] [N / m 2]

Der lichte Rohrdurchmesser di weicht in der Praxis durch Toleranzen ab und kann durch einen Korrekturfaktor berücksichtigt werden. Berechnung der axialen Wärmeausdehnung einer Rohrleitung: Die Wärmedehnung ∆l einer geradlinigen zwischen zwei Festpunkten angeordneten Rohrleitung beträgt: l 

l    100

[m m ]

l

geradlinige Rohrstrecke in m



Temperaturdifferenz zwischen Montagetemperatur und der maximalen Betriebstemperatur in  C



Wärmeausdehnungskoeffizient in cm / mK

Dehnkraft:

FT       A



auftretende Wärmespannung für 1K Temperaturdifferenz, bei Stahlrohren 250N/cm²

A

Rohrmaterialquerschnitt in cm 2

6.2 Mindestwanddicke

6.2

165

Mindestwanddicke

Zur Berechnung einer erforderlichen Wanddicke gilt die allgemeine Gleichung:

s

Da  p  C1  C 2 [ mm ] k 200  v  p s

Da

Außendurchmesser in mm

Di

Innendurchmesser in mm

p

Druck in bar

k

Werkstoffkennwert in N/mm²

S

Sicherheitsbeiwert = 1,7

v

Schweißnahtfaktor meist 0,8 1 (bei nahtlosen Rohren), höchster Betriebsdruck = 130 bar

C1

Herstellungstoleranz = 10 %

C2

Korrosionszuschlag = 1 mm

Die Mindestwanddicke von zylindrischen Mänteln mit D a D i  1, 2 bei Druckbehältern bzw. 1,7 bei Dampfkesseln und von Rohren mit d a  2000 mm und d a d i  1, 7 Mindestwanddicke von kugeligen Mänteln oder gewölbten Böden: s 

Da  p   Di  p    C  C k k 400   v  p 400   v  p S S

166

6 Rohre und Behälter

Sicherheitsbeiwerte S und Wanddickenzuschläge C für Druckbehälter und Dampfkessel

Sicherheitsbeiwert S

Bei

Walz- und Schmiedestählen

S

Unter innerem Überdruck Unter äußerem Überdruck

bei

Stahlguss

S

1,5

Unter innerem Überdruck

2

1,8

Unter äußerem 2,4 Überdruck

Wanddickenzuschlag C = C1 + C2 C1 Zuschlag zur Berücksichtigung von Wanddickenunterschreitungen der Bleche oder Rohre: zulässige Minustoleranz nach den entsprechenden Maßnormen. In der Regel: Bei Blechdicken von

3...3,5 mm

0,3 mm

4...4,75 mm

über

35...40 mm

0,7 mm

0,35 mm

40...45 mm

0,8 mm

5...10 mm

0,3 mm

45...50 mm

0,9 mm

10...30 mm

0,5 mm

Über 50 mm

1,0 mm

30...35 mm

0,6 mm

über

Bei Rohren 15 % der Wanddicke. C2Abnutzungszuschlag: bei ferritischen Stählen = 1mm. Er entfällt bei se30mm, bei Rohren und bei ausreichendem Schutz durch Verbleiung, Plattierung, Gummierung, Kunststoffüberzüge, bei austenitischen Stählen und bei Nichteisenmetallen. Galvanische Überzüge gelten nicht als Schutz. Bei stark korrodierendem Beschickungsmittel ist ein höherer Zuschlag als 1mm zu vereinbaren.

6.2 Mindestwanddicke Beispiel Wandstärke eines Lagerbehälters

geg.:

höchstzulässige Temperatur  = 110 °C Material: Kesselblech HI / K = 180 N/mm² Druck: p = 1 bar  = 0,7 Außendurchmesser: D = 1910 mm

ges.:

Wanddicke s des zylindrischen Teils

Es wird eine Sicherheit von S = 1,8 angenommen (äußerer Überdruck). Die Wanddickenunterschreitung betrage 5 % ~ 0,1 mm Korrosionszuschlag C2 = 1 mm Es gilt: Da  p  C1  C 2 k 200   v  p S 1910 1 s0   1  1,136 180 200   0, 7 1,8 s  1,136  0,1  1  2, 24mm s = 3 mm gewählt s

167

168

6 Rohre und Behälter

Beispiel Heißwasserfernheizung

Berechnen Sie eine 1,5 km lange gerade verlaufende Fernheizungsleitung, die zur Versorgung einer Großraumheizung dient. Das Heißwasser wird dabei direkt verwandt, d.h. es wird nicht umgeformt. (Nahtlose Siederohre, Verschweißflansche, Flanschventile, Armaturen für Hochdruck verwenden). Die Leitung wird mit einem Betriebsdruck von 10 bar gefahren. Heißwassereintrittstemperatur E = 120 °C Die Leitung ist nach optimalen Gesichtspunkten zu isolieren. Iw = 65 mm Sie soll oberirdisch auf einer Rohrbrücke bzw. Stützen verlegt werden. DN = 100 mm Wie groß ist der Druckabfall in der Gesamtleitung bei einem Durchfluss von 



Q  V  56,5

m3 (Wert ist beliebig gewählt) h

Der Dehnungsausgleich erfolgt durch einen Glattrohr-U-Ausgleicher. Am Anfang und am Ende der Leitung ist jeweils ein Absperrschieber angebracht. Vor dem ersten Absperrschieber ist eine Pumpe (Sicherheitsvorkehrungen), Thermometer und Manometer am Ende und Anfang der Leitung. Berechnen Sie die Kräfte auf ein Festlager und auf den Anschlussflansch, die Last, die auf die Stützen wirkt und die Schrauben für den Anschlussflansch.

Rohrleitungsplan

6.2 Mindestwanddicke

Armaturen und Aufbau der Fernleitung mit Festlager

169

170

6 Rohre und Behälter

6.3

Berechnung der Rohrwanddicke

DN = 100 mm Temperatur über 120 °C s 

s 

Da  p  C1  C 2 C 3 k 200   v  p S 100  10 , 5  0 , 44  C 1  C 2  C 3 18 200   1  10 , 5 1, 5

s = 0,44 + 0,04 + 1 = 1,18 mm C3: zu vernachlässigen Nahtloses Siederohr DN 100

→ d i = 100,8 mm d a = 108,0 mm

s = 3,6 mm

6.4

Längenausdehnung des Rohres  l  l0     t

 l  1500 m  0 , 000012 [

1 ]  112 ,5 K (mittlere Jahrestemperatur) K

 l  2 , 023 m mittlere Jahrestemperatur (München): 7,5°C

 Stahl  12  10  6 [

m ] K

6.5 Rohrkraft Ft – 6.7 Wärmeverluste

6.5

171

Rohrkraft Ft E = 210000 N / mm

  12  10  6 [

2

m ]    120  C  7 ,5  C A  1150 mm K

2

Ft    F  a     1150 mm 2  2 ,1  10  6  112 ,5 K =1150 mm

2

Ft  326000 N

6.6

Wirtschaftliche Isolierdicke R  w D  z  (t v  t L )  10 6  16  3500  112 ,5  10  6

 6 ,3

z  Betriebsstunden

 3500 h

t v  Vorlauftemperatur  120 C

t L  Lufttemperatur

  7 ,5  C

Die wirtschaftliche Isolierdicke ergibt sich zu 65mm. (Hinweis siehe auch Kap. 5.1.6)

6.7

Wärmeverluste

DN  100 Isolierung = 65 mm Wärmeleitzahl   0 ,1 W m 2 K Wirksamer Temperaturunterschied 95 K Isolierkonstante = 0,82 Wärmeverlust q  0 , 82  95 K  77 , 9 W

m

L ges = 1580 m

Gesamtwärmeverlust  1580 m  77 , 9 W

m  123000 W

172

6 Rohre und Behälter

6.8

Temperaturgefälle t 

Q m

m3 kg m  V    56 ,5  1000 3 h m

 56500 t 

6.9

123000 W  2 , 24 K kg 56500 h

Wassergeschwindigkeit w

 7080

6.10

kg h

V 56 ,5 m 3  A 0 , 00799 m 2  h

m m  1,97 h s

Druckabfall

Reibungsbeiwert   0 , 0135

R  30 mmWS l  Leitungslänge in m d  lichter Rohrdurchmesser in m g  9,81 m/s²

 p1   

l   w2  d 2g

 p1  0 , 0135 

 421000

1580 10000 N  3,88 m 2  s 2  0 ,1m 19 , 62  m  m 3  s 2

N m2

6.11 Festlager – 6.12 Schweißnaht für ein Festlager Druckverlust in Formstücken

p2   

  w2 2g

[N / m2]

Bögen

  16,0

2

Schieber

 

0,6

1

Rückschlagventil

 

7,0

1

Sicherheitsventil

 

4,0

32

27,6  p 2  27 , 6 

10000 N  3 ,88 m ² s ² N  57800  5 , 9 bar m m² 19 , 62 m³ s²

 p 1  42 ,1bar  p 2  5 , 7 bar



 p ges  47 ,8 bar

6.11

Festlager

Rohrlager Rohrkraft = 326000 N Rohrkraft Anzahl der Festlager 332600 N = = 36222 N 9

Kraft pro Festlager =

6.12

Schweißnaht für ein Festlager

a  0 , 5 cm

 schw  AS 

F AS



a l

173

174

6 Rohre und Behälter L  20 cm

Annahme

l  L – 2a

l  20 – 1 l  19 cm A S  (19  2 )  ( 0 , 5  2 ) A S  38 cm

 schw 

2

36222 N N  954 38cm ² cm ²

 schw, zul 

D b 

 9000 N  0, 6cm²  2700

 schw  954

6.13

N cm²

N cm ²

  schw , zul  2700

N cm ²

Berechnung der Schrauben für ein Festlager

Kraft auf ein Festlager = 36222 N Für die Befestigung werden 6 Schrauben verwendet Kraft pro Schraube  F B

FB 

36222 N  6033 N 6

Mindestvorspannkraft FV 

FB



 6033 N

  Reibungszahl

  0,25 (Mattek/Roloff)

FV , min 

6033 N  24100 N 0 , 25

6.14 Schrauben für Flansche

175

F v , ges  FV , min  F B  24100 N  6033 N  30133 N

Schrauben nach Mattek/Roloff 6.9 FV  30133 N

6.14

6 Schrauben M12 x 55

Vorspannkraft = 32400 N

Schrauben für Flansche

8 Stück M16 x 70, Schraubenkraft Fb (Mattek/Roloff)

Fb 

F n

F  Gesamtkraft

n  Anzahl der Schrauben

d m  mittlere Dichtungsdurchmesser p  Druck = 10 bar

dm ³    p  10150 N 4 10150 N Fb   1270 N 8 F 

Restvorspannkraft pro Schraube

FV 

(Mattek/Roloff)

p min  A D n

p min  (Mindestgrenze) = Mindestpressdruck  400 N

FV  4350 N Restvorspannkraft pro Schraube

cm

2

176

6.15

6 Rohre und Behälter

U-Bogen Ausgleicher

Rohrkraft 326000 N 8 U-Bogenausgleicher Gesamtdehnung = 2,023 m

0,25 m Dehnung pro Ausgleicher zwecks Reserve 0,26 m Nach Tabelle (Roloff/Mattek) ergibt sich für ein Rohr mit DN100 eine Ausladung von 3,4 m. Vorspannkraft = 50 %

U-Bogen Dehnungsausgleicher

6.16

Rohrkraft pro Dehnungsausgleicher Ft , D 

Ft 326000 N   41075 N 8 8

„Diese Kraft wirkt von beiden Seiten auf den Ausgleicher“.

6.17 Belastung der Stützen – 6.18 Maximale Durchbiegung der Leitung

6.17

Belastung der Stützen Gewicht:

Blechmantel

= 2,90 kg/m

Isolierung

= 4,00 kg/m

Rohr

= 9,33 kg/m

Wasser

= 7,52 kg/m 23,75 kg/m

[Wasser120°C 7,98 kg/m · 0,943 = 7,52 kg/m] Für die Stützen wird mit doppeltem Stützabstand gerechnet. Stützenabstand = 5 m

23 , 75

6.18

kg  10 m  237 ,5 kg m

Maximale Durchbiegung der Leitung f max  I 

F l3 E  I  384

  D 4  d 4 



 108 4  100 ,8 4 

64 64 6   33 , 2  10   1, 63  10 6 mm 64

4

118 , 7 kg  125  10 6 cm ³ N 2 ,1  10 7  163 cm 4  384 cm ²  0 ,1322 cm

f max 



 136  10 6  102 ,8  10 6  64

177

178

6 Rohre und Behälter

6.19

Prüfdruck p´

s

s  C 1  1,1 D a  s  C 1 

200  v 

24 3,6  0,44  1,1  108  3,6  0, 44   123 ,8bar 200  1 

Tatsächlicher Prüfdruck = 1,5 · Betriebsdruck = 1,5·10 bar = 15 bar

7

Pumpen und Ventilatoren

Entsprechend den Gesetzen der Strömungslehre gelten die Grundlagen und Formeln gleichermaßen für Ventilatoren und Pumpen.

7.1

Förderstrom . .  kg   m³ V   und m    s   s 

Es gilt die Kontinuitätsgleichung .

.

m1  m

2

 A1  w 1   1  A 2  w 2   2

Förderströme .

. Für Flüssigkeiten bzw. nicht komprimierbare Fluide gilt ρ1 = ρ2 und mit V  m erhält man:





V



1

V

2

 A1  w 1  A 2  w 2

Bei Gasen erfolgt in jedem Ventilator eine funktionsbedingte Kompression. Das ergibt für . . p   (Gasgleichung) und V 1  p 1  V 2  p 2 R T A1  w1 

p1 p2  A2  w 2  R  T1 R  T2

Da die Kompression und eine durch Reibung erzeugte Temperatursteigerung im Ventilator jedoch sehr klein sind, vernachlässigt man diesen Faktor in der Praxis und rechnet auch bei .

.

Ventilatoren mit V 1  V 2 .

180

7 Pumpen und Ventilatoren

Förderdruck pg [Pa]

7.2

Die Summe der Differenzen des statischen und dynamischen Druckes zwischen Ein- und Austritt ergeben den Gesamtdruck

p g  pst 2  pst1  pd 2  pd1  pst  pd

Förderdruck

Für gleichen Ein- und Austrittsquerschnitt der praktisch oft vorhanden ist, gilt dann, da pd  0

A1  A 2   p g  p st 2  p st 1

7.3

Förderleistung P[W] 

P 

m





 p g  V  p g

Da in dieser allgemeinen Formel keine Verluste berücksichtigt sind, wird auch der Begriff Nutzleistung verwendet. 

P Nutz  V   p g

7.4 Antriebsleistung und Wirkungsgrade

7.4

181

Antriebsleistung und Wirkungsgrade

Beispiel

geg.: vorgegebene Pumpendaten sind .

V  40

m³ ; h

 p t  3, 5 bar ;

Betriebszeit  3000

h ; a

Strom  0,18

€ ; kW h

h  0, 75 ; v  0,95 ; ü  0,99 ; e  0,85 ges.:

€ a

PW ; Pe Stromkosten K a

40 m ³  350000 Pa 3888, 9W 3600 s   5458W PW  0, 75  0, 95 0, 712 s 5458  6486W  6, 486 kW Pe  0, 99  0, 85 h € €  3502, 44 K a  6, 486 kW  3000  0,18 a kW h a

Lsg.: Wirkungsgrade beim Antrieb: Gerätewirkungsgrade: h (reibungs- bzw. hydraulische Verluste)

v Antriebswirkungsgrade:

ü e

(Volumetrische Verluste für Kurzschluss Strömung zwischen Laufrad und Gehäuse) (Übertragungsverluste z.B. Keilriemen) (elektrische Verluste des Antriebmotors)

Damit ist die Wellenleistung: P PW  Nutz  h  .

.

oder

V

V   pt   h  . V

Die elektrische Leistung: Pe 

PNutz

 h    e .

V

(auch mit Klemmenleistung PKI bezeichnet)

.

V

Die Firmenangaben für Ventilatoren und Pumpen beziehen sich in der Regel auf die Wellenleistung.

182

7 Pumpen und Ventilatoren

7.5

Laufradfunktion-Radialräder

Die Förderung und die Drucksteigerung im Laufrad können durch die Geschwindigkeitsvektoren bei der Durchströmung der Laufradkanäle dargestellt und berechnet werden:

Radialräder

Es gilt die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömung, ohne Relativwirbel und Spaltverlust. .

V

th

 d 1    b1  c m 1  d 2    b 2  c m 2

7.5 Laufradfunktion-Radialräder

7.5.1

183

Laufradeintritt

Beispiel

geg.: Ventilatordaten

n  1400

U ; d 1  200 mm ; b1  500 mm ;  1  28  ;  V  0 , 95 min

.

ges.:

V  für optim alen B etrieb,

h

optim al

Lsg.: .

V

th

 d 1    b1  c m 1 ;

c m 1  u 1  tg  1 ;

u1  d 1   

n 60

( 1  90  )

U m min  14 , 66 u1  0,2 m  s s 60 min m c m 1  14 , 66  0 ,532  7 , 795 s 1400

.

V

th



.

.

V

m³ m³  749 s h m³  749  0 ,95  711 h

 0 , 2    0 , 05  7 , 795  0 , 208 .

 0 ,95 ; V  V th  

.

V

Es gibt nur ein bestimmtes Fördervolumen für eine bestimmte Drehzahl, bei welcher das radial mit cm, anströmende Fluid ohne Umlenkung und damit mit geringsten Verlusten in den Schaufelkanal eintritt.

7.5.2

„Radialer Eintritt“

Für den Zustand des radialen Eintritts in den Schaufelkanal liegt der Wirkungsgrad im Optimum, dabei ist cm1  c1

 1  90  und

cu1  0

Damit kann z.B. bei fehlender Firmenunterlage der optimale Volumenstrom oder die optimale Drehzahl, mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, berechnet werden.

184

7 Pumpen und Ventilatoren

Radialer Eintritt

7.5.3

Laufradaustritt und Schaufelwinkel β2

Bei unterschiedlichem Winkel

2

ändert sich die Austrittsgeschwindigkeit wie folgt

Laufaustritt und Schaufelwinkel

Mit zunehmenden Winkel

2

wird

cu 2 und pth größer.

7.5 Laufradfunktion-Radialräder

7.5.4

185

Druckerzeugung im Laufrad

Beispiel

geg.: vorgegebene Ventilatordaten m kg U ;  1  90  ;  2  35  ; d 2  0 , 5 m ;   1, 2 3 ; cm1  10 n  2000 s m min ges.:

pth  ?

Lsg.:

 pth  u 2  cu 2 , cu 2  u 2 

da

 1  90 ; u 2 

n  d  60

cm 2 tg  2

U min  0, 5 m    52, 36 m u2  s s 60 min m 10 m s  38,1 m cu 2  52, 36  0, 7 s s kg m m  pth  1, 2  52, 36  38,1  2392 Pa m³ s s Der theoretische Pumpen- oder Ventilatordruck für ideale Strömungsverhältnisse wird mit pth bezeichnet. (∞Schaufelzahl idealisiert; ohne Relativwirbel = Kanalwirbel) vom Drallsatz abgeleitet ergibt das: 2000

 p th    ( u 2  c u 2  u 1  c u 1 )

Für radialen Eintritt wird daraus  p th     u 2  c u 2

cu 2  0

Für endliche Schaufelzahl mit Relativwirbel im Schaufelkanal wird eine Minderleistungszahl  eingesetzt.  p th  p t setzt man den Wirkungsgrad  ein, h      p th 

h

 p th

so erhält man: cu1  0 Da die Werte  und von der Geräteausführung abhängig sind, ist man auf Messergebnisse des Herstellers angewiesen.  p t    u  cu 2    h

186

7 Pumpen und Ventilatoren

7.5.5

Prakt. Darstellung der Geschwindigkeitsvektoren

Einheitsdreieck

Aus den Winkelbeziehungen kann nach Bedarf der gesuchte Vektor aus den bekannten Werten ermittelt werden z.B. c u 2  u 2 

c m 2 oder c u 2  c 2  cos  usw. tan  2

Aus den Winkelbeziehungen wird auch eine Variante der Druckgleichung abgeleitet

 p th     u 2  ( u 2 

cm2 ) tan  2

Darin erkennt man, dass der Druck bei tan von  2  90  größer wird als  2  90  und für  2  90  (ta n 9 0    ) wird  p th     u 22

β2 = 90°

7.5 Laufradfunktion-Radialräder

7.5.6

187

Weitere Anwendungen Axialgitter

Radialgitter

Gerades und kreisförmiges Flügelgitter

Flügelgitter stellen die wichtigsten Bauelemente von Turbomaschinen (Turbinen, Pumpen, Gebläse etc.) dar. Für ebene, stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömung gilt: Der Axialschub errechnet sich zu: Die Strömung wird von w1 auf w2 verzögert, bei Pumpen und Turbinen von w1 auf w2 mitb eschleunigt. Fx 

 p2

 p1  b t

je Schaufel

Das auf den Leitschaufelkranz ausgeübte Drehmoment lautet: .

M    V  w u 2  r 2  w u 1  r1 

p1





c 12 p c2  2  2 2  2

p 2  p1 

 2

  c12  c 22 

w u  r  co n st

c12  cu21  c m2 1

c 22  c u2 2  c m2 2 .

c m1  c m 2

.

M    V   w u 2  r2  w u 1  r1 

V  cm  bt

188

7 Pumpen und Ventilatoren

p 2  p1 



 2



 c u21  c u2 2





F y  m  c u 1  c u 2



Fx 

2



 c u21  c u2 2 bt

.

.

F y    V  c u 1  c u 2  .

V  c m  bt

Fy    cm  bt  cu1  cu 2  FA 

ca

F x2  F y2  c a 

 2

 c 2  b  L

Auftriebsbeiwert

Laufradleistung P  M 

oder

.

.

P    g  H th  V  V   p

Hydraulische Leistung

für Pumpe:

H th 

1  c u 2  u 2  c u 1  u 1  g

für Turbine:

H th 

1  c u 1  u 1  c u 2  u 2  g

Schema zur Bestimmung der Laufradleistung

7.5 Laufradfunktion-Radialräder

189

Geschwindigkeitskomponenten

Geschwindigkeitszerlegung am Eintritt „1“:

c1

absolute Eintrittsgeschwindigkeit

w1

relative Eintrittsgeschwindigkeit

u1

Umfangsgeschwindigkeit

1

absoluter Eintrittswinkel

1

relativer Eintrittswinkel = Schaufelwinkel

cu

absolute Geschwindigkeit

Setzt man stoßfreien Eintritt voraus, dann ist c 0  c 1 und  0   1 . Abweichen vom stoßfreien Eintritt ergibt Verluste und somit schlechteren Wirkungsgrad. Bei Axialturbinen liegt der Laufradaustritt am selben Radius wie der Eintritt. Es ist also R 2  R 1 oder D 2  D 1 und damit auch u 2  u 1  u . w 1 , w 2 und u 2 geometrisch addiert, ergeben die absolute Austrittsgeschwin-

digkeit

c2 .

Die in

klein sein, auch

c2

enthaltene Austrittsenergie soll bei einer guten Turbine möglichst

o  90 ist anzustreben.

190

7 Pumpen und Ventilatoren

7.6

Laufradfunktion-Axialräder

Aus der Flugtechnik übernommene Zusammenhänge und Bezeichnungen, ergeben auch für den Flügel des Axialrades praktische Grundlagen und Darstellungen, so z.B. die Anströmgeschwindigkeit w∞ und die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte ca und cw . Bei axialer Anströmgeschwindigkeit .

V

th

 c 1  ( d a2  d N2 ) 

c1 ist der Förderstrom:

 4

Die Geschwindigkeitsvektoren zeigen, dass bei einer bestimmten Umfangsgeschwindigkeit durch  den Volumenstrom bestimmt wird. Laufräder mit verstellbaren Flügeln können so dem verlangten Betrieb angepasst werden. Der Anstellwinkel  ist je nach Profil aus Profiltabellen zu entnehmen.

c 1  u  tan  

Laufradfunktion Axialräder

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

191

Beispiel

Wie groß ist der Volumenstrom durch ein Axialrad mit folgenden Betriebsdatenß?

U ; d a  700 mm ; d N  500 mm ;   8  min (Bestwert aus „Göttinger Profiltabellen“)      30  , außen n  1400

Lsg.: .

V

th

 c 1  ( d a2  d N2 ) 

ua  .

V

th

 4

m 1400  0 , 7    51 ,31 ; s 60

 20 , 73  ( 0 , 7 2  0 ,5 2 ) 

7.6.1

( für c 1 an der Nabe und außen gleich )

 4

c 1  51 ,31  tan( 30  8 )   20 , 73  3,9

m s

m³ s

Druckerzeugung im Laufrad

Die Reaktion eines Flügels im Fluidstrom ist im Lilienthalschen Polardiagramm anschaulich darstellbar. Der Auftrieb Fa des Flügels, oder sein spezifischer Wert ca ist der bestimmte Faktor für die Drucksteigerung im Axialrad. Der Widerstand FW und Reibungsverlust bei unterschiedlichen Anstellwinkeln  .

Druckerzeugung im Laufrad

cw entspricht dem

192

7 Pumpen und Ventilatoren

Dem Konstrukteur stehen in den „Göttinger Profiltabellen“ für zahlreiche Profile genaue Messergebnisse für ca und cw zur Verfügung. Praktische Werte von ca liegen meist im Bereich 0,8 bis 1,2. FA  c a 

 2

 w2  l  b

Das Verhältnis Widerstandsbeiwert

und

FW  cW 

 2

 w2  l  b

cw zum Auftriebsbeiwert ca soll möglichst klein sein.

Damit ist praktisch auch nur ein begrenzter Bereich von  mit gutem Wirkungsgrad einsetzbar. Auch dafür sind die Werte in den Profiltabellen enthalten.

cW  tan  ca Aus der zusammenfassenden Darstellung von Geschwindigkeits- und Kraftvektoren am Axialradflügel, ist die Auswirkung auf den Fluidstrom ersichtlich.

Druckerzeugung im Laufrad

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

193

Fa

Auftriebskraft

c2

Austrittsgeschwindigkeit

Fw

Widerstandskraft



Anströmwinkel

R

Resultierende aus Fa und FW



Anstellwinkel

FL

Lagekraft



Gleitwinkel

FU

Umfangskraft

l

Profillänge

u

Umfangsgeschwindigkeit

b

Profilbreite

W

relative Anströmgeschwindigkeit

t

Teilung

c1

Eintrittsgeschwindigkeit

z

Flügelzahl

Die Summe aller resultierenden R aus Auftrieb Fa und Widerstand Fw , in Axialkraft FL (Lagerkraft) und Umfangskraft FU unterteilt, ergibt

F

U

 r  Drehmoment

FL

 b  l  Axialraddruck In eine praktische Formel umgewandelt ist dann:

 p th 

ca  l  w  u   2 t

und für Teilung t 

 p th 

d d   und u   w erhält man die geeignete Dimensionsformel 2 Z

ca  l  w  Z   4 

194

7 Pumpen und Ventilatoren

Beispiel

Wie groß ist pth für folgende Axialraddaten. (Es wird vorausgesetzt, dass die Werte am Außendurchmesser und an der Nabe das gleiche pth ergeben)

da  0,6m ; n  2 8 0 0 U ; Z  5 ; l  0,15 m ;   1, 2 kg3 ; c a  0, 9 ;   8  ;   28 m

m in

( ca und  aus „Göttinger Profiltabellen“ – VDI Wärmeatlas) 2    2800 1   2   n   293 , 2 60 s n 2800 m ua   da    0,6    87 ,96 60 60 s ua 87 ,96 m w    99 ,6 cos   0,8829 s

 p th 

c a  l  w     Z   0,9  0,15  99 ,6  293 , 2  5  1, 2  1882 ,7 Pa  4  4 

Da pth vom Nabendurchmesser d N bis zum Außendurchmesser da gleich sein soll und   Z   konstant bleiben, muss der Anteil c  l  w , durch Anpassung von c  l an das a  a 4 

veränderliche w auch konstant gehalten werden. Das heißt, zur Nabe kleiner werdendes w∞ verlangt größeres ca  l . Eine aus anderen Zusammenhängen abgeleitete Gleichung lautet: oder für  c u  cot  2  p th    u   c u  p th    u  c 1  cot  2   1  90  c1

Zusammenhänge der Axialraddaten

bzw. in statischem Druck umgewandelt wird.

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

195

Zusammenhänge der Axialraddaten

Da pth von der Nabe bis zum Außendurchmesser gleich sein soll, ist das Nabenverhältnis d d N und die entsprechenden Umfangsgeschwindigkeiten uN und ua von besonderer Beda

deutung und für größere Drücke ist d N  0, 5 da sonst das erforderliche Produkt uN  cu für da

die Nabe nicht realisiert werden kann.

Nabenverhältnis

196

7 Pumpen und Ventilatoren

7.6.2

Kennlinien und Ähnlichkeitsgesetze

. Die Kennlinien von Pumpen und Ventilatoren sind als Funktion  p t  f  V  dargestellt und





werden bei einer bestimmten Drehzahl gemessen. Die Angaben für den Wirkungsgrad gehören dazu. Bei mehreren Drehzahlen ergibt das ein Kennlinienfeld. Die Darstellung erfolgt manchmal in einem logarithmischen Maßstab.

Anlagenkennlinie

Der Schnittpunkt der Anlagenkennlinie mit der Pumpen- oder Ventilatorkennlinie stellt den Betriebspunkt der Anlage dar. Unter der Voraussetzung, praktisch gleich bleibender Winkelverhältnisse bei der Eintrittsströmung, gelten folgende Ähnlichkeitsgesetze für unterschiedliche Drehzahlen. .

2

3

2

 n1   u1   pt1       pt 2  n2   u2 

n1 u V1  1  . n2 u2 V 2 3

 n1   u1  P1      n u P 2  2  2

Damit kann jeder Punkt einer Kennlinie für die Drehzahl n1 auf eine neue Drehzahl n2 umgerechnet werden und die neue Kennlinie aufgezeichnet werden.

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

197

Beispiel

Eine

Umwälzpumpe

hat

für

n1  2800

U ; m in

.

V 1  10

l m³ ;  0, 01 s s

 p t 1  0 , 5 b a r  5 0 0 0 0 P a ;   0, 6 ; P1   p t 1  V 1  1  50000  0, 01  1  833W  0, 6 .

Welche Betriebsdaten ergeben sich, wenn für Schwachlastzeiten mit einem polumschaltbaren Motor n 2  1400 U eingestellt wird? min

Lsg:.

n1 2800  2 n2 1400

 n1   n2

.

.

V

2

V1 l 10    5 s 2 2

2

   4 

pt2 

3

 n1    8   n2 

P2 

 p t1  0 ,125 bar 4

P1 833   104 W 8 8

Die Betriebspunkte einer Anlage können bei Änderung der Drehzahl mit den Ähnlichkeitsgesetzen berechnet werden, da die Anlagenkennlinie in den meisten Fällen eine Para. 2

bel  p  k  V

ist. . 2

(Annahme: Anlagen mit anteiligen Filterwiderständen, da für den Filter  p  k  V nicht stimmt)

Beispiel

geg.: Eine lufttechnische Anlage hat folgende Betriebswerte: .

V  8000

m³ ; h

 p t  1500;

n  1100

U ; m in

Pel  4,17 kW 3

Die Leistung soll durch Änderung des Keilriemenantriebes auf 10000 m vergrößert werh

den. ges.: Neue Drehzahl und neue Motorleistung. .

Lsg.:

n1 V 1  ; n2 V. 2 3

n2 

 n1  P1 ;    n P 2  2 

10000 U  1100  1375 8000 min 3

 1375  P2     4,17  8,14 kW  1100 

198

7 Pumpen und Ventilatoren

7.6.3

Druckhöhe

Manchmal ist es praktisch den Druck einer Pumpe in „Druckhöhe“ anzugeben.

 pt    g  h

h

 pt  g

z.B. bei der Feststellung der maximal möglichen Saughöhe einer Pumpe, hs ,max .

h s , max 

p 1   p W  p Ds  p d  p 2  g

p1

statischer Absolutdruck an der Anschlussstelle

pw

alle Druckverluste in der Saugleitung

pSD

Sättigungsdampfdruck des Fluides bei der Fördertemperatur

pd

Dynamischer Druck am Saugstutzen

p2

Mindestwert des statischen Absolutdruckes an der Saugstelle der Pumpe. Firmenangaben zur Vermeidung von Kavitation, von Bauweise und Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades abhängig.

Druckhöhe

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

199

Beispiel

ges.: Die maximal mögliche Saughöhe einer Kondensatpumpe T Kond  70  C offener Behälter  p W id e r s t  0 , 2 b a r ; v 2  1, 5

m s

p 1   p W  p Ds  p d  p 2   g 112753  2000  31160  1125  45000   1000  9 ,81 15468   1, 57 m 9810

h s , max 

Wenn für hs ein negativer Wert errechnet wird, so handelt es sich um eine erforderliche Zulaufhöhe. Zur vorläufigen Berechnung von p2 kann nachfolgende Näherungsformel verwendet werden. Eine genaue Angabe des Herstellers ist jedoch notwendig. p2    1  . n  ; V s

.

g  0 , 3 .... 0 , 5   n  V m³  N   s ; p 2  m ²     

In manchen Angaben zur Saughöhe wird die Beziehung „NPSH“ „Net positiv Suction Head“ verwendet, auch „Haltedruckhöhe“. Auf jeden Fall muss die am Saugstutzen vorhandene Druckhöhe immer größer sein als die vom Hersteller angegebene erforderliche Mindestdruckhöhe.

hs , erforderli

ch

oder NPSH

7.6.4



p2  hs , vorhanden g

erforderli ch

< NPSH

vorhanden

Spezifische Förderarbeit Y

Je nach Zweckmäßigkeit werden Formeln mit dem Begriff der spezifischen Förderarbeit angeschrieben.

N m J m²   kg kg s²

Y  g h

Dann ist z.B.



Y usw. u 22 2

200

7 Pumpen und Ventilatoren

7.6.5

Kennzahlen

Die Kennzahlen für Pumpen und Ventilatoren enthalten Beziehungen zwischen .

V ,  p , n , d 2 , u 2 und  .

Für den Anlagenplaner und den Konstrukteur sind es praktische Hilfen zur Feststellung von optimalen Pumpen und Ventilatorendaten. Die zur Verfügung stehenden Tabellen und Diagramme mit Optimalwerten beruhen auf Erfahrungswerten und zahlreichen Messreihen. Mit diesen bekannten Werten und Formeln für die Kennzahlen können die jeweils gesuchten Optimaldaten für Pumpen und Ventilatoren ermittelt werden. Die wichtigsten Kennzahlen sind: spezifische Drehzahl oder Schnell-Läufigkeit .

nq  n 

V 4

h3

.

V

 n 4

 p      g 

3

 U  n    m in 

. m³ V    s 

Schnelllaufzahl oder Laufzahl n q  157, 7   . 2

  n4

V

2 

2  g  h 

3

.

.

  0,380  n 

n V

V

U s m³ s

h3

4

nq ist die Drehzahl eines geometrisch ähnlichen Rades mit

Die spezifische Drehzahl

m ³ und h=1m. Die Schnelllaufzahl ist die Vergleichszahl für ein geometrisch ähnlis ches Rad mit   1 ;   1 ;   1 ;   1 . .

V 1

Druckzahl

 

pt



2

 u 22 .

Lieferzahl

V

  d 22 

 4

u2

Die Druckzahl ist das Verhältnis des tatsächlichen Pumpen- oder Ventilatorendruckes zu dem rechnerischen Staudruck der Umfangsgeschwindigkeit. Weitere Zusammenhänge sind in anderen Kennzahlen enthalten.

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

201 .



Leistungszahl

 2

Durchmesserzahl

p t  V  d 22 

  d2  4



4



 u 23  

2  p t . 2







2

 V

  1, 25  d 2  4

 

p t . 2

 V

Außerdem bestehen die Beziehungen:

 

 4

3

 

4





dp d 2u   2 dx dy

Für den Konstrukteur ist die von Cordier stammende Kurve, in der das Verhältnis  als Funktion von , für Bestwerte aus der Praxis aufgetragen ist, von praktischer Bedeutung für die Auslegung von Ventilatoren.

202

Cordier-Kurve

7 Pumpen und Ventilatoren

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

203

Beispiele

1.) Für eine Fortluftanlage wird die Bauweise und der Laufraddurchmesser des Ventilators gesucht. m³ ; h

.

V  60000 Laufrad

auf

 p t  1500 Pa ; n  1400

Motorwelle

U ; min

  1, 2

kg m³

60000 3600  1400   150 , 7 nq  n  3 4 1560 h 4 9 ,81  1, 2 dazu geeignet ein Axialventilator. nq    0 ,96 aus Cordier-Kurve =1,6 für optimale Bauweise. 157 , 7 .

V

1, 6  1, 25  d 2  4

pt . 2

 d 2  1, 534

 V

 h

.

V  b 

 u ( y ) dy

h



2 dp b h³ 3  dx

(Gerätedurchmesser mit anschließendem Diffusor ca. 1,5m) Zur Kontrolle die Druckzahl

 

pt



2

 u 22



1400  0 , 40 0 ,6  76 , 2 2

liegt im Bereich für Axialräder mit Leitrad (siehe nachfolgende Tabelle)

204

7 Pumpen und Ventilatoren

2.) Gesucht die Stufenzahl für eine Radialradpumpe . m³ U  p t  4 bar ; V  20 ; n  2800 h min .

gewählt n g  20 aus n g  n 

V 4

h3

400000  40, 77 m 9, 81  1000 U für n g  20 und n  2800 min

herforderlich  h

4

 20  3 .   2800    n V  3600   22, 8 m h       20  ng        herforderlich 40, 77 Stufenzahl z    1, 8 h 22, 8 4 3

somit ist eine zweistufige Radialradpumpe erforderlich. 3.) Welcher Drehzahlbereich ist bei einem Radialradventilator möglich a) einseitig ansaugend b) zweiseitig ansaugend .

V  10

m³ ; s

  1, 2

 p t  3000 Pa ;

kg ; m³

n  ng 

a) n  ( 60 ... 100 ) 

 3000     9 ,81  1, 2  10

3

( 60 ... 100 )  20 ,17  1210 ... 2017

 U min

b) Für zweiseitig ansaugend halbiert sich der Volumenstrom 4

n  ( 60 ... 100 ) 

 3000     9 ,81  1, 2  5

3

 1711 ... 2852

3

H .

V

Für n g eingesetzt 60 bis 100 Tafel I 4

4

U min

.

7.6 Laufradfunktion-Axialräder

205

4.) Das Kühlgebläse für einen Kondensator soll Platz sparend und geräuscharm gewählt werden. .

V  300

m³ ; h

 p t  100 Pa ;

300 3600

n g  1400  4

 100     9 , 81 1 , 2  

3

n  1400

U ; min

  1, 2

kg m³

81 , 2

Ein Trommelläufer ist dafür geeignet (siehe nachfolgende Tabelle) pt pt   ; u2  ;   2 , 5 (Tafel I )    u 22  2 2

u2  d2 

100 m  8,16 ; 2 ,5  0 , 6 s u2 n   60



8 ,16 1400   60

u 2  d 2  

 0 ,11 m

n 60

206

7.7

7 Pumpen und Ventilatoren

Orientierungsdaten zur Wahl der Ventilatorbauweise für gute Wirkungsgrade

Orientierungsdaten

Bauweise

d1/d2

nq



Radialrad

0,3

27

0,5 0,7

57 110

Diagonalrad

–







0,17

1,1

0,03

5,8

0,36 0,7

1,0 0,6

0,13 0,23

2,8 1,85

0,9–0,5

0,08–0,18 3,5–2,0

50–110

0,32–0,7

0,3–0,5 0,5–0,7

250–600 100–250

1,6–3,8 0,63–1,58

0,2-0,07 0,3–0,25 1,3–1,0 0,7-0,26 0,23–0,36 1,9–1,25

0,8–0,95

70–95

0,44–0,6

3–2

Axialrad ohne Leitrad mit Leitrad

TrommelLäufer QuerstromVentilator * *

–

–

–

2,5–4,0

1,0

1,3–1,2 –

–

wegen der beliebigen Laufradbreite und den dazugehörigen Volumenstrom, sind die anderen Kennzahlen unbestimmt ähnliche Werte ergeben sich für Pumpen.

nq für Radialpumpen 12–80 für Axialpumpen 80–400

8

Verbrennung

Bei den festen, flüssigen, gasförmigen Brennstoffen ist Kohlenstoff und Wasserstoff mit dem Sauerstoff der Luft der Hauptbestandteil der Verbrennung, wobei Kohlendioxid und Wasserdampf entsteht.

8.1

Heizwert

Unter Brennwert versteht man diejenige Wärmemenge, die bei einer vollständigen Verbrennung frei wird. Man unterscheidet zwischen Brennwert Ho und Heizwert Hu. Im Brennwert ist der Enthalpieanteil des Wasserdampfes enthalten. Es wird die Verdampfungswärme (Kondensationswärme) r des Abgases genutzt. Der Dampfanteil kondensiert. Der Heizwert Hu enthält die Verdampfungswärme (r) nicht. Brennwert Ho  Hu 

r  (9 h  w ) 100

 kg   kg   

r

Verdampfungswärme

w

Wassergehalt des Brennstoffes in %

h

Wasserstoffgehalt des Brennstoffes in %

bei völlig trockenen Brennstoffen ergibt somit Ho  Hu  r

8.2

Luftmenge und Abgase

Zur vollständigen Verbrennung ist eine theoretische Luftmenge Lmin erforderlich. In der Praxis ist jedoch bei Feuerungen eine größere Luftmenge zuzuführen, um eine vollständige Verbrennung zu sichern. Das Verhältnis der tatsächlich zugeführten Luft zur theoretischen Luftmenge wird Luftverhältniszahl  genannt.

208

8 Verbrennung

Zugeführte Luftmenge

L    Lmin Fest und flüssige Brennstoffe

Die theoretische Verbrennungsluftmenge L m in 

22, 4 0, 21

h O   c      12 4 3 2 

m u3 kg

m3 2 2 , 4 Molvolume der Gase kg 0 , 2 1 Sauerstoffanteil der Luft

c

Kohlenstoffgehalt kg

h

Wasserstoffgehalt kg

O2

Sauerstoffgehalt k g

kg kg

kg

Die trockene Abgasmenge errechnet sich unter Vernachlässigung des Schwefel- und Stickstoffgehalts zu: Vatr  1, 85 c  (   1)  0, 21  Lmin    0, 79  Lmin  1, 85 c  (   0, 21)  Lmin

 m n3     kg 

Beispiel

Berechnen Sie die theoretische Luftmenge, trockene und feuchte Abgasmenge, die bei der Verbrennung von 1 kg Erdöl mit der Luftzahl   1,3 , Wassergehalt der Luft. x  5 g

kg

(Zusammensetzung des Brennstoff c  0 ,85 ; h  0 ,12 ) entsteht. geg.:

  1,3 ; x  5

ges.:

Lmin ; Vatr ; Vaf

g ; c  0 , 85 ; h  0 ,12 kg

Lsg.: – berechnete theoretische Luftmenge:

Lmin  8, 88c  26, 44 h  8, 88  0, 85  26, 44  0,12 

7, 548  3,172  10, 72

m n3 kg

8.2 Luftmenge und Abgase –

209

Die trockene Abgasmenge errechnet sich zu:

V atr  1, 8 5 c  (   0, 2 1)  L m in  1, 8 5  0,1 2  1, 0 9  1 0, 7 2  0, 2 2  1 1, 6 8 5  1 1, 9 0 6

–

m n3 kg

Die feuchte Abgasmenge ergibt sich zu: V af  V atr  11,11h  1, 24 w  11, 9  11,11  0,12  11, 9  1, 3332  13, 23

m n3 kg

Wasserdampfmenge ohne Luftfeuchte W  11,11h  1, 24 w  11,11  0,12  11, 333

m n3 kg

Die zusätzliche Wasserdampfmenge bedingt durch die Luftfeuchte x  5 g ergibt sich kg

w 2    L min  1, 6 x  1, 3  10 , 72  1, 6  0 , 005

Kohlendioxidmenge 1,85 c  1,85  0 ,85  1, 57

m n3 kg

Kohlendioxidgehalt der trockenen Abgase

1,48 · 11,9 = 17,62 % Als Faustformel gilt:

 Der Mindestluftbedarf errechnet sich für 1000 kg zu L min  0 , 25 m n3 .  Gasförmige Brennstoffe haben den Vorteil schneller zu verbrennen, dadurch kleinster Feuerraum und hoher Wirkungsgrad möglich.  zugeführte Luftmenge L    L min m n3  m n3  theoretisch Verbrennungsluftmenge: L m in 

1 0, 21

 C O  H   2 

S

m       n  4  CnH   

m

  O2  

 m n3   3  mn 

 Die feuchte Abgasmenge ergibt sich zu: 1  C O  H 2   C H 4  C 2 H 4  C n H m  C O 2  O 2  2  m n3  G a sm en g e    L m in  0, 5  ( C O  H 2 )  3  mn 

V af    L m in 

210

8 Verbrennung

 Bei Brenngasen geht man zweckmäßigerweise von der Zusammensetzung aus. Zur vollständigen Verbrennung von 1kg Brennstoff ist eine theoretische Sauerstoffmenge im m³ erforderlich d.h. theoretisch für 1 m3

Wasserstoff

0,5 m3

Sauerstoff

1 m3

Kohlenmonoxyd

0,5 m3

Sauerstoff

1 m3

Methan CH4

2 m3

Sauerstoff

Propan C3H8

3

Sauerstoff

3

1m

5m

 Da die Luft 21 % (Volumenprozent) Sauerstoff enthält, ist der Luftbedarf etwa 5mal größer als der berechnete Sauerstoffbedarf. Luftbedarf

Lmin , Abgasmenge VAF

und Heizwerte

Ho

und

Hu

für einige wichtige Brennstoffe

Luftbedarf

Abgasmenge

Heizwert

Lmin

VAF

Ho

Hu

mn3 kg

mn3 mn3

mn3 kg

mn3 mn3

kJ kg

kJ mn3

kJ kg

kJ mn3

Propan

12,0

23,8

13

25,8

50340

93180

46360

101800

Methan

13,31

9,52

14,7

10,52

55360

35870

50000

39810

8,9

Erdgas trocken Heizöl M

10,6–11,2

9,91 11,4– 11,8

Steinkohle 7,5–8,3

20090 42300– 44800

18420 39800– 42700

7,9-8,6

33000

Richtwerte für Abgase:

 Dichte für flüssige und feste Brennstoffe

  1, 3 3

kg m n3

 Dichte für gasförmige Brennstoffe

  1, 2 5

kg m n3



C p  1, 3 7  1, 3 9

kg m n3  K

 Übliche Luftverhältniszahlen  sind von der Qualität der Feuerungsanlage abhängig und liegen bei Gasfeuerungen bei   1 ,1 –1 ,3 ; bei Öl   1 ,2 –1 ,4 ; bei Kohlefeuerungen   1 ,2 – 1 ,5 .

8.2 Luftmenge und Abgase Mittlere Verbrennungstemperaturen

Wanderrost

1200–1400°C

Ölfeuerung

1200–1400°C

Erdgasfeuerung

1200–1600°C

211

9

Feuerungen und Kessel einschließlich Kamine

9.1

Feuerungen

Feuerungsanlagen sind Einrichtungen zur wirtschaftlichen Ausnutzung fester, flüssiger, gasförmiger, Brennstoffe für z.B. Dampfkesselanlagen. Die Wärmemenge, die bei der Verbrennung von Brennstoffen entsteht, ist vom Heizwert H des Brennmaterials abhängig. Die Wärmemenge für feste und flüssige Brennstoffe ist:

Q  H m Q

Verbrennungswärme in kJ

H

spez. Heizwert in kJ kg

m

Masse des Brennstoffes in

kg

Die Wärmemenge für gasförmige Brennstoffe ist.

Q  H V

V

Brenngasvolumen in

9.2

m3

Kessel

Nach Bedarf erfolgt die Wärmeübertragung auf das beheizte Medium in geeigneter Feuerungs- und Kesselbauweise z.B.  Flammrohrkessel und Rauchrohrkessel als Dreizugkessel –

mit großem Wasserraum bis 20 bar und ca. 1 0 t Verdampfung

–

Schrägrohrkessel bis ca. 100 bar und ca. 120 t h

h

 Strahlungskessel für höchste Drücke bis 1000 t

h

214

9 Feuerungen und Kessel einschließlich Kamine

In der Heizungstechnik unterscheidet man vier Bauarten: Heizkessel, Brauchwasserkessel, Durchflusskessel und Speicherkessel, die auch zur Brauchwassererwärmung verwendet werden. Die Wärmeübertragung erfolgt meist mit Wasser in besonderen Fällen mit Thermoöl. Physikalische Grundlage der Wassererwärmung und Dampferzeugung

Um Wasser zum Sieden zu bringen ist eine Wärmemenge in kJ/kg erforderlich. Die Wärmemenge, die erforderlich ist um 1kg Wasser zum Sieden zu bringen nennt man die Enthalpie h´ bzw. den Wärmeinhalt. Es ist eine Zustandsgröße, wie Druck und Temperatur. Das siedende Wasser wird dann in Dampf umgewandelt. Um das gesamte siedende Wasser vollständig in Dampf umwandeln, benötigt man die Verdampfungswärme r [kJ/kg]. Die Zustandsänderungen des Wasser und Dampfes ist in nachfolgendem Bild für 1kg Wasser bei Umgebungsdruck von 1bar anschaulich dargestellt.

Wassererwärmung und Dampferzeugung

Die Enthalpie des Dampfes errechnet sich zu: h ´´  h ´  r  2674

kJ (für 1 bar) kg

9.2 Kessel

215

Verdampfungs- oder Kondensationswärme

Q  m r

H

Enthalpie h  c p  T

h´

Enthalpie des Wassers

h´´

Enthalpie des Dampfes

r

Verdampfungswärme

ts

Siedetemperatur

In der Dampftabelle sind die Siedetemperaturen sowie die dazugehörigen Drücke und erforderlichen Enthalpien und Dichten aufgeführt. Zur Beurteilung und Planung von Feuerungen und Kessel werden folgende Begriffe verwendet: Feuerungswärmeleistung .

.

Q B  m B  hn .

mB

Brennstoffmenge kg s

hn

3 oder m s

Heizwert des Brennstoffes in kJ oder kJ3 kg

m

Heizflächenbelastung .

m bh  D AK .

mD

Dampfmenge kJ

AK

Kesselheizfläche in m 2

s

Verdampfungsziffer (Praktischer Kontrollwert für den Betrieb): .

z 

mD .

mB

216

9 Feuerungen und Kessel einschließlich Kamine

Die Wärmeleistung einer Anlage ergibt sich zu: .

.

Q  m h .

m

Massenstrom des Heizmediums

h

Enthalpiedifferenz zwischen Eintritt und Austritt des Kessels

Kesselwirkungsgrad .

m W  h .

m B  hu

hu des Öls beträgt 40000 kJ

kg

.

Q  m W  c p  t .

mW 

18000 kg  0 , 215 4 ,18  20 

Beispiel

Bei einer Warmwasserheizung beträgt die Vorlauftemperatur t1  70  C und die Rücklauftemperatur t 2  50  C . Der Heizwert des Öls beträgt h  40000 kJ . Die erfordern kg

liche Kesselleistung sei 18 kW. Der Kesselwirkungsgrad ist nach Herstellerangaben 0,85 . Wie groß ist der Ölverbrauch bei obiger Nennleistung und die erforderliche Wasserumwälzung.  

18000

J s

.

m B  40.000.000 .

mB 

J kg

18000 kg  0, 000526 s 0, 85  40.000.000

Lösung  1,89 kg h .

.

Q W  m W  c p  t .

.

mW 

kg l QW 18000 kg  775  800   0, 215 h s c p   t 4180  20 s

9.3 Schornsteine

9.3

217

Schornsteine

Der Schornstein hat die Aufgabe die Abgase sicher zur Außenluft zu bringen. Durch den Dichteunterschied zwischen Abgas und Außenluft entsteht eine Druckdifferenz (Zug). Falls der Zug für die Überwindung des Strömungswiderstandes im Kamin, Kessel und Abgasrohr und Aussaugung der Frischluft ausreicht, handelt es sich um einen Naturzugkessel. Falls der natürliche Druck nicht ausreicht, werden Hilfsgebläse (Saug- Zug) angeordnet. Bei kleineren Kesseln ist manchmal der Gebläsebrenner dafür ausreichend. Die statische Zugstärke errechnet sich zu: p  (1   R )  g  H  s

1

Dichte der Außenluft   1,15 kg3

R

Dichte des Rauchgases

H

Schornsteinhöhe

s

Sicherheitszuschlag bei intermittierender Feuerung (siehe DIN 4705)

m

kg m3

Zugverlust des Schornsteins

H    p V  1,5      Z     w² d   2

d

hydraulischer Durchmesser



zusätzliche Verlustbeiwerte

1, 5

Sicherheitszuschlag für Undichtheiten

Die Zugstärke des Schornsteins ergibt sich zu: p z  p  pV ´

Im Kesselraum muss in jedem Betriebszustand leichter Unterdruck (3–5 Pa) herrschen, damit Frischluft ausgesaugt wird. Bestimmung des Schornsteinquerschnitts

Die Berechnung des Schornsteinquerschnittes erfolgt nach DIN EN 13384.

218

9 Feuerungen und Kessel einschließlich Kamine

Abgastemperatur

Bei allen Schornsteinen muss die Abgastemperatur am Austritt des Schornsteins über dem Taupunkt liegen (Versottungsgefahr). Bei Anlagen, die mit dem Brennwert arbeiten, wird der Taupunkt unterschritten. In diesem Fall muss die Innenseite des Schornsteins kondensatbeständig sein und für Abfluss des Kondensats gesorgt werden. Beispiel .

Die Kesselleistung sei Q  20 kW , die Schornsteinhöhe beträgt 10m, die Dichte der Außenluft ist ρSL = 1,15 kg/m³, die Dichte am Eintritt in den Schornstein ρA = 0,7 kg/m³. Der Sicherheitszuschlag wird mit 1,5 angenommen. Der Zugverlust des Schornsteins beträgt 5 Pa. ges.: Die Zugstärke des Schornsteins pz und den erforderlichen Schornsteinquerschnitt (Gasheizung). Lsg.: p  (  L   A )  g  H  S  (1,15  0 , 7 )  9 ,81  10  1, 5  66 Pa

Zugstärke

–

p z  p  p V  66 Pa  5 Pa  61 Pa

–

Schornsteinquerschnitt .

A

2,6  Q .

n V d 

A4





2 , 6  20 kW  0 , 009135 m ²  91 ,35 cm ² 1800  10

 10 , 78 cm  11 cm

Auszuwählen ist das nächst größere Normmaß z.B. d = 15 cm .

V N kann z.B. ein Drehzahlsteller eingesetzt werden.

10

Kältetechnik

lm Rahmen der Versorgungstechnik, handelt es sich dabei um die Kühltechnik von Gasen und Flüssigkeiten. Das Gebiet enthält eine große Zahl von Systemarten, von der Klimaanlage bis zur Tiefkühllagerung. Grundlage für Berechnung und Planung auf dem gesamten Gebiet ist die Thermodynamik und Fluidmechanik.

10.1

Definitionen und Systeme

10.1.1

Direkte Kühlung

Wärmetausch zwischen Kältemittel und dem zu kühlenden Material, z.B. kleine Truhen oder Kasten-Klimageräte mit direkter Luftkühlung, alle Kühlerkonstruktionen, bei denen diese direkte Kühlübertragung erfolgt.

10.1.2

Indirekte Kühlung

 Zweimaliger Wärmetausch.  Kältemittel mit sekundärem Kühlmittel, Wasser, Sole oder Öl.  Wärmetausch bzw. Kühlung: z.B. zentrale Kälteanlage mit dezentralen Kühlern und Kaltwasser oder Solebetrieb.  Elementare Formel für direkte Kühlung: .

.

.

Q  m  c   t   m   h 

10.2

Kältemaschinen

Thermodynamische Einrichtung zur Kühlung von Fluiden. Die gebräuchlichsten Systeme sind die Kaltdampfanlagen, mit einem Kältemittelkreislauf. Dabei verdampft das Kältemittel bei tiefen Temperaturen und Drücken (Kühler) und kondensiert bei größeren Temperaturen und Drücken Kompressor- und Absorberanlagen: Die Funktion dieser zwei Systeme erkennt man in der schematischen Darstellung.

220

10 Kältetechnik

10.2.1

Kompressor-Kälteanlagen

Schema Kompressor-Kälteanlage

Leistungsformeln

Q

.

.

cth

.

Q

 Q

0

 m

.

Q

(h

R .

 m

cth

P Vth P

 P Vth

0

.

Kl

R

.

 m 

P Vth

R

 h

1

(h (h



2

2

V

)

4

 h  h 1 

1

3

)

)

M

Bei der Kompressoranlage erfolgt der Kältemittelkreislauf zwischen dem Hochdruckbereich mit pc , und dem Niederdruckbereich p0 durch den Verdichter V mit einer Drosselstelle D .

10.2.2

Absorberanlage

Bei der Absorberanlage wird der Kreislauf durch eine Umwälzpumpe betrieben, wobei das Kältemittel in einer Hilfsflüssigkeit nach dem Verdampfer absorbiert wird und dann im Hochdruckteil, im Austreiber, durch Heizung wieder ausdampft und in den Kondensator strömt.

10.3 Kältemittel

221

Schema Absorberanlage

Leistungsbilanz .

Q .

QK .

Q

A

.

Q

H

.

0

 Q

.

K

Q

.

A

Q

H

 PP

Kondensator Absorber Heat

10.3

Kältemittel

10.3.1

Bezeichnung, Voraussetzung

Bezeichnung R (Refrigerant). Grundsätzliche Forderung p 0  p atm . An keiner Stelle des Kreislaufes darf ein Vakuum sein.

Chemische Verbindungen: Gruppe der Fluor-Chlor-Kohlenwasserstoffe (FCKW), Ammoniak seltener und nur indirekt, da giftig. Mit Eiswasser laufen derzeit viele Experimente.

222

10.3.2

10 Kältetechnik

p, h-Diagramm für Kältemittel

Das p, h-Diagramm für Kältemittel, mit logarithmischen Maßstab für p, enthält die physikalischen Daten für Berechnungen. Die ablesbaren Enthalpiedifferenzen sind eine bequeme Kalkulationshilfe.

p, h-Diagramm

Idealisierte Darstellung des Kältemittel-Kreislaufes in einer Kompressoranlage (tatsächlich etwas abweichend, meist mit internem Wärmetausch zwischen 1–2, damit der Kompressor mit Sicherheit trockenen Dampf ansaugt, z.B. R134a).

10.3 Kältemittel

Kältemittelkreislauf R134a im log(p)-h-Diagramm

Index-Erklärung:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Verdichtung Kondensation Unterkühlung des Kältemittels Expansion Verdampfung Überhitzung des Kältemittels

223

224

10 Kältetechnik

Enthalpien im log(p)-h-Diagramm

spezifische Enthalpien

q[

KJ ] KG

q 0   h 0 ; q C   h C ; q V   hV .

Leistungen .

Q .

.

 kW  .

.

Q 0 th  m R  q 0 ; Q Cth  m R  q C ; PVth  m R  q V Die Enthalpien h sind keine Absolutwerte. Sie wurden aus praktischen Gründen auf die gewählte Basis h`=200 kJ/kg, bei 0 °C bezogen. (frühere Basis h`=100 kcal/kg bei 0 °C) q[

KJ ] KG

10.3.3

Leistungsziffer ε

Die Leistungsziffer Epsilon  für Kompressoranlagen und das Wärmeverhältnis Zeta  bei den Absorberanlagen, ist ein Maßstab für die Wirtschaftlic-keit der Anlagen, bzw. das Verhältnis der Nutzleistung Q 0 zum Verdichterantrieb Pv oder zur Heizung + Pumpenantrieb der Absorberanlage. Dabei handelt es sich vor allem um den Einfluss der Temperaturdifferenz. T c  T 0

10.3 Kältemittel

225

Für den idealen Carnotprozess gilt: C 

To TC  To .

Dabei ergibt sich für Q 0 der Carnot-Wirkungsgrad c

 th Q  th  0 C PV th .

C 

Für die praktischen Werte müssen die thermischen, elektrischen und mechanischen Wirkungsgrade bzw. Verluste berücksichtigt werden. z.B. PV   mech .   therm .   elektr .  PVth   ges .  PVth

Beispiel

geg.: Für eine Klimaanlage wurden zur Luftkühlung 8kW ermittelt. (DIN 4710 u. a.) Verdampfer, t 0  4  C ges.: Epsilon Werte, Kompressorantrieb und Eta-Carnot für den Betrieb mit wahlweise 45 C (Luftkühlung) und 25 C (Wasserkühlung) der Kondensatortemperatur. Lsg.: Q 0  m   h  8 kW

277  6 , 67 318  277 277 C   13 ,19 298  277 . 8 mR   0 , 072 kg / s 111 . 8 mR   0 , 061 kg / s 131

C 

(45°C) (25°C) (45°C) (25°C)

.

PVth  m R   hV Die theoretische Kompressorleistung für t C  25  C und 45  C ist damit: kJ ; PV  0 , 0 6 1  1 0 , 4  0 , 6 3 k W  ( 2 5  C )  hV  1 0 , 4 kg  hV  2 1, 0

kJ ; PV  0 , 0 7 1  2 1, 0  1, 4 9 k W  ( 4 5  C ) kg

226

10 Kältetechnik

log(p)-h-Diagramm

Mit einem geschätzten Gesamtwirkungsgrad von  ges  0, 75 erhält man dann die Klemmenspannung PVKI für den Kompressor: 0, 63  0, 83 kW (25  C ) 0, 75 1, 49   1, 99 kW (45  C ) 0, 75

PVK L  PVK L

Die Stromeinsparung durch niedere Kondensatortemperaturen ist offensichtlich. Zur Wirtschaftlichkeit sind jedoch weitere Preisfaktoren zu prüfen wie, Kühlwasser-, Abwasser-, Rückkühler- und Amortisationskosten. Zweistufige Kompressoranlagen werden bei großer Temperaturdifferenz TC  T0 verwendet. Der Mitteldruck pm ist dann: pm 

p0  pC

Für extrem tiefe Verdampfungstemperaturen werden auch zweistufige Anlagen mit zwei unterschiedlichen Kältemitteln und getrennten Kreisläufen eingesetzt. z.B. Frigen 12 und 22.

10.4 Kältespeicher

10.4

227

Kältespeicher

Kältespeicher werden vor allem zur Deckung von Lastspitzen eingesetzt. Die Nutzung von günstigem Nachtstrom ist damit auch möglich. Die Bauweise enthält entweder direkte Verdampfung mit Rohrbündeln im Speicherfluid, oder indirekten Wärmetausch mit SoleKreislauf.

Der Begriff Speicherdichte, q Sp ist ein spezifisches Maß für die räumliche Größe der Anlage und der Kühlleistung. q Sp 

  c  t 3600

kW h / m ³

Beispiel Speicherinhalt Wasser kJ ; kg  K

c  4,18

;   1000

s kg ; 3600 h m3

1000  4,18  1  1,16 kW h / m ³ 3600 kW h (  t  6 K ; 6, 96 ) m3 q Sp , H 2 O 

Beispiel Speicherinhalt Eis und Nutzung der Schmelzwärme Q SchmEis  332 q Sp . Eis 

kg kJ ;  Eis  9,16 3 m kg

916  332  84 kW h / m ³ 3600

Eisspeicher haben entweder Rohrbündel, an denen sich im Betrieb dann ein Eismantel bildet, oder werden wassergefüllte Plastikkugeln als Speichermasse verwendet. Da der Speicherraum auch den Durchfluss zur Umwälzung und Rohre enthält, ist der praktische Wert für q Sp , Eis  40  60

kW h m3

228

10 Kältetechnik

Beispiel

geg.: Für einen „Abkühltunnel“ in einem Nahrungsmittelbetrieb wird ein Eisspeicher geplant. Leistung Q = 2.000.000 kJ in 4 Stunden. ges.: Größe des Eisspeicherbehälters VSp Lsg.: Q Sp 

. 2.000.000 500000 kJ / h  500000 kJ / h ; Q   138, 9 kW 4 3600 s / h

in 4 Stunden: 4 h  138 , 9 kW  555 , 6 kWh ; für q Sp  50

V Sp 

kWh m3

555 , 6 kWh kWh 50 m3

Größe des Eisspeicherbehälters Die Wärmepumpe mit Kaltdampfmaschinenhat die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie die Kühlanlage, jedoch ist dann die Nutzleistung die Wärmeabgabe am Kondensator. Für den Carnot-Prozess gelten dann die entsprechenden Formeln. TC Q  WPC  ;  WPth  C TC  T0 PV Ideale Wirtschaftlichkeit ergibt der gleichzeitige Kühl- und Heizbetrieb, mit maximaler Leistungszahl. Q  Q0  max  C PV

10.5

h-x-Diagramm

Das h-x-Diagramm für feuchte Luft Die Zustände feuchter Luft und deren Änderungen können maßstäblich graphisch dargestellt werden. Von vier Angaben eines Zustandes t , p , x und h werden zwei als Koordinaten, eine als Parameter und eine als konstanter Wert verwendet. Als praktisch hat sich die Verwendung des h-x Diagramms nach Mollier erwiesen. Die Koordinaten h und x bilden dabei einen Winkel, wodurch die Ablesung der Enthalpieanteile cPL  t , cPD  t und r0 möglich ist. Der feste Wert ist pLf und der Parameter die Temperatur t .

10.5 h-x-Diagramm

229

h-x-Diagramm

Die Darstellung einer Zustandsänderung im h-x Diagramm enthält ein jeweiliges Verhältnis h , welches in einem Randmaßstab angegeben ist, die die Richtung der Zustandsänderung x ergibt und bei Berechnungen zur Luftbefeuchtung Verwendung findet.

230

10 Kältetechnik

Beispiel Enthalpieanteile feuchter Luft im h-x-Diagramm t  20C ; x 

h-x-Diagramm

g kg

 1

H ( 20C ;x10)  x  r0  (cPL;tr  cPD  x)  t  0 , 01  2501 , 6  (1, 006  1,86  0 , 01 )  20  45 ,5

kJ kg

10.5 h-x-Diagramm Taupunkttemperatur

231

tT

Der Taupunkt eines Luftzustandes liegt im Schnittpunkt von der Ordinate x mit der Sättigungslinie   100 % . Eine Temperatursenkung unter tT ergibt Kondensation (Nebel und Niederschlag an der Kühleroberfläche).

h-x-Diagramm Taupunkttemperatur

Die Feuchtkugeltemperatur tf

Ein kleiner nasser Körper erhält im Luftstrom nach einiger Zeit eine Abkühlung auf die Temperatur t f . Im h-x-Diagramm ist das die Temperatur im Schnittpunkt der Sättigungslinie mit einer verlängerten Nebelisotherme durch den Zustandspunkt der Luft. Mit guter Näherung kann statt der Nebelisotherme die Adiabate h  konst. verwendet werden. (Durch die Oberflächenverdunstung erfolgt eine Abkühlung des Körpers, bis ein thermisches Gleichgewicht zwischen Verdunstungswärme an der Körperoberfläche und Wärmezufuhr aus der Luft vorhanden ist.)

232

10 Kältetechnik

h-x-Diagramm Feuchtekugeltemperatur

Psychrometer Mit der Messung der Lufttemperatur und der Feuchtkugeltemperatur (mit einem Fühler der eine weiße Hülle hat) kann  bzw. x des Luftzustandes bestimmt werden. Für eine gute Messung ist eine Luftgeschwindigkeit von 2–4 m/s erforderlich.

10.5 h-x-Diagramm

233

Beispiel tL  20C ; t f  12, 2C

aus Diagramm:   40%; x  4,9

g kg

Mischung zweier Luftströme .

.

.

.

Der Mischzustand m LM ist die Summe der zwei Luftströme m L1  m L 2  m LM und da.

.

.

mit auch x M  m LM  x1  m L 1  x 2  m L 2 . Daraus ergeben sich die Werte für die Mischung

xM und hM .

xM 

.

x1  m L1  x 2  m L 2 .

.

m L1  m L 2 .

hM 

.

h1  m L 1  h 2  m L 2 .

.

m L1  m L 2

Im h-x-Diagramm liegt der Mischpunkt auf der geraden Verbindung zwischen den zwei Luftzuständen und teilt die Strecke im umgekehrten Verhältnis der Massenströme.

h-x-Diagramm Mischgerade .

lA m LU  . lU m LA

234

10 Kältetechnik

Beispiel

Kaltluft: t 1   10  C ; x1  1 g ; h1   7 , 5 kJ kg kg wird mit Warmluft: t 2  22  C ; x 2  9 g ; h 2  2 ,5 kJ kg kg gemischt. .

kg . kg gesucht, x und h der Mischung (5:3) ; m 2  3000 h h 1,5  9 ,3  7 ,5  5  2 ,5  3   4 g / kg ; h M   12 , 2 kJ / kg 53 53

m 1  5000 xM

1. Erwärmung (x = konstant)

Erwärmung Wärmetauscher

Heizleistung

.

h-x-Diagramm konstante Erwärmung .

.

.

Q H  Q 2  Q 1  m h

10.5 h-x-Diagramm

235

Beispiel

geg.: 10.000

m3 g Luft mit x  4 sollen von t1  10C auf t2  22C aufgeheizt werden. h kg .

ges.: Heizleistung Q H Lsg.: Aus h-x-Diagramm:  1  1, 22

 h  32  20  12 .

kg m3

kJ kg

.

m    V  1, 22  10000  12200 kg / h .

.

Q H  m   h  12200  12  146400 kJ / h (  40 , 67 kW )

2. Kühlung Der Kühlvorgang mit Oberflächentemperaturen t 0  t T wird im h-x-Diagramm auf x  const. , wie die Erwärmung, jedoch mit entgegengesetzter Wärmeflussrichtung dargestellt. Bei Oberflächentemperaturen t 0  t T erfolgt Kondensation an den Kühlerflächen und somit Wasserabscheidung aus dem Luftstrom. Das heißt, Kühlung und Trocknung mit  t ,  h ,  x . Der Luftzustand nach der Abkühlung von t1 auf t 2 liegt im h-x Diagramm zwischen dem Eintrittszustand und einem Punkt auf der Sättigungslinie mit der Oberflächentemperatur des Kühlers t 0 . Die Verbindung der Punkte wird auch „Kühlergerade“ genannt. Tatsächlich handelt es sich um eine Gerade und ist nur eine Näherung an den tatsächlichen Vorgang. Wegen den zahlreichen Einflussgrößen am Kühler sind genauere Werte nur mit Herstellerangaben möglich. Der sensible (Temperatursenkung) und der latente (Kondensation) Anteil von h ist ablesbar.

h  hsens .  hlatent

236

10 Kältetechnik

h-x-Diagramm konstante Kühlung

h-x-Diagramm tatsächliche Kühlung

Eine vorläufige Näherung an den tatsächlichen Kühlvorgang ist mit einem angenommenen Rippenrohrwirkungsgrad R möglich

R 

t L  t m , Rippen t L  t m , Rohr

 0,85

( t m Rippen und t m Rohr sind mittlere Oberflächentemperaturen tL Lufttemperatur)

10.5 h-x-Diagramm

237

Mit der Temperatur t0´ auf der Sättigungslinie kann dann eine „Kühlergerade“ aufgezeichnet werden, auf welcher der Zustandspunkt nach dem Kühler liegt. Der Vorgang ist im anschließenden Beispiel erläutert. t 0 ´ t Km  (1   R )   (siehe Beispiel)

  t L1  t K 1 Mit den Herstellerdaten für Rippenrohrkühler wird dann die notwendige Anzahl der Rippenrohrreihen bestimmt (siehe Kapitel Wärmetauscher t L     ). .

.

m Kond  m L1   x

Wärmetauscher

Kondensat, kann bei der Massenbilanz vernachlässigt werden, da es nur wenige ‰ (Promille)sind, nicht jedoch bei der Energiebilanz. .

.

.

.

Q L 1  2  m L 1   h  Q K  m K  c PK   t K

238

10 Kältetechnik

Beispiel

geg.: Luft

t L1  32C ;   45 % soll auf

.

V 1  10 . 000

m h

t L 2  16  C gekühlt werden.

3

Kühlwasser t K 1  6  C ;

t K 2  11C ; t Km  8,5C ; R  0,85

ges.: –

spezifische Kühlerleistung

h

kJ kg

–

Trocknung

x

g kg

–

Kühlwasserbedarf

VW

–

Kühlerleistung

Q

Lsg.:

h-x-Diagramm

.

.

K

m3 h

kW

10.5 h-x-Diagramm

239

t 0  t Km  (1   R )    8 , 5  0 ,15  26  12  C kJ  h  67  40 , 9  26 ,1 kg g  x  13 , 6  9 ,8  3 ,8 kg ´

kg ; kg  2  1 ,187 m3 m3

 1  1,117 .

Q

.

 1,173  .

Q

.

10000 3600 .

 Q

L 1 2

.

K

Q

.

mK 

 m

K

cP  t



K

W



mK





 c p  tK

85  4 kg / s 4 ,19  5

.

.

K

 26 ,1  85 kW

.

V

.

 m L  h  1 V 1 h  Q

L1 2

 3600 

4  3600  14 , 4 m ³ / h (Wasser) 1000

Bauart und Anzahl der Rippenrohrreihen können dann mit Herstellerangaben festgestellt werden.

3. Befeuchtung Es gibt zwei Verfahren zur Luftbefeuchtung:  Einführung von Dampf in den Luftstrom  Verdunstung von Wasser im Luftstrom Dampfbefeuchtung

Massenbilanz:

.

.

.

m L1  m D  m L 2 .

.

m D  m L1   x Energiebilanz:

.

.

m D  h D  m L1   h

aus den beiden letzten Gleichungen erhält man

hD 

h x

Im h-x-Diagramm kann der Vorgang mit dem Randmaßstab erfasst werden.

240

10 Kältetechnik

Befeuchtung

Dampfbefeuchtung

Beispiel

Sattdampf von 150 °C mit h D  2684 kJ kg kJ  h  h D   x  2684  0 , 005  13 , 42 kg

ergibt im Luftstrom für  x  5 g kg

ein

10.5 h-x-Diagramm

241

4. Verdunstungsbefeuchtung Wasserflächen im Luftstrom ergeben eine Oberflächenverdunstung und Wärmetausch. Man verwendet Rieselflächen oder versprühtes Wasser. In der Klimatechnik ist die häufigste Bauweise die „Düsenkammer“ auch „Luftwäscher“ genannt. Eine idealisierte Darstellung der Zustandsänderung im h-x-Diagramm zeigt den Punkt nach der Befeuchtung auf der Verbindungsgeraden 1–2′, wobei 2′ der Schnittpunkt der Sättigungskurve mit der Wassertemperatur ist.

Verdunstungsbefeuchtung

Arbeitsbereiche:  Befeuchtung mit Wärmezufuhr an das Umlaufwasser  Befeuchtung mit Umlaufwasser, adiabatisch  Befeuchtung, oder Trocknung mit Kühlung des Umlaufwassers .

.

.

.

.

Q W  m W  c P   tW  m L   h .

Q W  Q Heizung  Q Pumpe .

.

 Q W   Q Kühlung  Q Pumpe

Bereich a) Wärmezufuhr Bereich b) Kühlung

242

10 Kältetechnik

5. Adiabate Befeuchtung Ohne Wärmetauscher im Wasserumlauf, nimmt das Wasser annähernd Feuchtkugeltemperatur an. Der Befeuchtungsgrad oder Wirkungsgrad ist:

F 

x 2  x1 t  t1  2 x max  x 1 t F  t1

Adiabate Befeuchtung

Ein wichtiger Faktor ist dabei die „Wasser-Luftzahl“ .

 

mW .

mL Praktische Werte für  F in



liegen meist im Bereich:

  0 , 25  0 , 4 

F

 0 , 85  0 , 95

Wegen der zahlreichen Einflussgrößen bei dem Befeuchtungsvorgang, ist man für genaue Werte auf Herstellerangaben angewiesen.

10.6 Feuchte Luft

10.6

243

Feuchte Luft

Formelzeichen

Es gelten die allgemeinen Formelzeichen der Strömungslehre und Thermodynamik Indizes:

D L

Luft

Ltr

trockene Luft

Lf

feuchte Luft

s

Sättigung

Tp

Taupunkt

W

Wasser

pD

Partialdruck des Dampfes

mLtr

Masse der trockenen Luft

.

Dampf

mW

Massenstrom des Wassers

xs

Feuchtegehalt bei Sättigung

 Ltr

Dichte feuchter Luft

c pD

Spezifische Wärmekapazität des Wasserdampfes bei konstantem Druck

tT

Taupunkttemperatur feuchter Luft

Bezeichnungen ohne Index beziehen sich auf das Luft- Dampf- Gemisch der Atmosphäre oder Raumluft. Zusammensetzung trockener Luft Zusammensetzung trockener Luft

Gewichts-%

Volumen-%

Sauerstoff O2

23,11

20,95

Stickstoff N2

75,51

78,08

Kohlendioxid CO2

0,04

0,03

Edelgase

1,29

0,94

244

10 Kältetechnik

Für technische Zwecke wurde die „Normatmosphäre“ festgelegt (DIN ISO 2533): Meereshöhe

H

Temperatur

T 0  288 ,15 K

Druck

p 0  101 . 325 Pa

Dichte

 0  1, 225

0

 0m

kg m3

Änderungen des Luftdruckes und der Temperatur mit der Höhe Änderung des Luftdrucks

Meereshöhe m

0

500

1000

2000

3000

4000

Temperatur °C

15

11,8

8,5

2,0

–4,5

–11,0

1,013

0,955

0,899

0,795

0,701

0,616

Druck bar

Berechnungen des Luftdruckes für andere Höhen von einem bekannten Zustand mit H0 und p0 p  p 0 [1 

2 , 256 ( H  H 0 )] 5 , 2559 100

(H in km)

Die dazugehörige Temperatur t sinkt pro km um 6,5 K t  t 0  6 ,5 ( H  H 0 )

Physikalische Daten und Zustandswerte trockener Luft, gesättigter–feuchter Luft und Wasserdampf

Obwohl die Stoffeigenschaften temperaturabhängig sind, kann man für Luft, im Bereich der Klimatechnik zwischen –30°C und +50°C folgende festen Werte mit guter Genauigkeit ansetzen. Spezifische Wärmekapazität c p  Trockene Luft

c pLtr .  1, 006

 Wasserdampf

c pD  1, 86

 Wasser

c pW

kJ kg  K

kJ kg  K  4 ,19 kJ kg  K

Wasserdampf und Luft können im Klimabereich nach den Gesetzen idealer Gase behandelt werden.

10.6 Feuchte Luft

245

Gaskonstante  Trockene Luft

R Ltr .  287 ,1

 Wasserdampf

RD

J m² ( ) kg  K s²  K J m²  461 , 5 ( ) kg  K s²  K

Gasgleichung

p V  m RT p    RT Wasserdampftabelle

Temp.

Wasserdampf

Trockene Luft

Partialdruck

bei 1 bar =0%

Feuchte gesättigte Luft bei 1 bar  = 100 %

t °C

pDs Pa

ΡDs kg/m³

ΡLtr kg/m³

hLtr kJ/kg

ΡLs kg/m³

xS hLs g/kg kJ/kg

-20

103

0,00088

1,377

-20,12

1,38

0,64

18,5

-19

113

0,00097

1,362

-19,11

1,37

0,71

17,4

-18

125

0,00106

1,366

-18,11

1,36

0,78

16,2

-17

137

0,00116

1,351

-17,1

1,36

0,85

15

-16

150

0,00127

1,356

-16,1

1,35

0,94

13,8

-15

165

0,00139

1,34

-15,09

1,35

1,03

12,5

-14

181

0,00151

1,345

-14,08

1,34

1,13

11,3

-13

198

0,00165

1,34

-13,07

1,34

1,23

10

-12

217

0,0018

1,335

-12,07

1,33

1,35

8,7

-11

237

0,00196

1,33

-11,06

1,33

1,48

7,4

-10

259

0,00214

1,325

-10,06

1,32

1,62

6

-9

283

0,00232

1,32

-9,05

1,32

1,77

4,6

-8

309

0,00253

1,315

-8,05

1,31

1,93

3,2

-7

337

0,00275

1,31

-7,04

1,31

2,11

1,8

-6

368

0,00299

1,305

-6,04

1,3

2,3

0,3

-5

401

0,00324

1,3

-5,03

1,3

2,5

1,2

-4

437

0,00352

1,295

-4,02

1,29

2,73

2,8

-3

475

0,00381

1,29

-3,02

1,29

2,97

4,4

-2

517

0,00413

1,286

-2,01

1,28

3,23

6,1

-1

562

0,00448

1,281

-1,01

1,28

3,52

7,8

246

10 Kältetechnik

Wasserdampftabelle (Fortsetzung)

Temp.

Wasserdampf

Trockene Luft

Feuchte gesättigte Luft

bei 1 bar

bei 1 bar

=0%

Partialdruck

hLtr kJ/kg

 = 100 % ΡLs xS hLs kg/m³ g/kg kJ/kg

t °C

pDs Pa

ΡDs kg/m³

ΡLtr kg/m³

0

611

0,00485

1,276

0

1,27

3,82

9,6

1

657

0,00519

1,272

1,01

1,27

4,11

11,3

2

705

0,00556

1,267

2,01

1,26

4,42

13,1

3

758

0,00594

1,262

3,02

1,26

4,75

14,9

4

813

0,00636

1,258

4,02

1,25

5,1

16,8

5

872

0,00679

1,253

5,03

1,25

5,47

18,7

6

935

0,00725

1,249

6,04

1,24

5,87

20,7

7

1001

0,00774

1,244

7,04

1,24

6,29

22,8

8

1072

0,00826

1,24

8,05

1,23

6,74

25

9

1147

0,00881

1,236

9,05

1,23

7,22

27,2

10

1227

0,00939

1,231

10,06

1,22

7,73

29,5

11

1312

0,01

1,227

11,07

1,22

8,27

31,9

12

1401

0,01065

1,223

12,07

1,22

8,84

34,4

13

1497

0,01133

1,218

13,08

1,21

9,45

37

14

1597

0,01205

1,214

14,08

1,21

10,1

39,6

15

1704

0,01281

1,21

15,09

1,2

10,78

42,4

16

1817

0,01363

1,206

16,1

1,2

11,51

45,2

17

1936

0,01447

1,201

17,1

1,19

12,28

48,2

18

2062

0,01536

1,197

18,11

1,19

13,1

51,3

19

2196

0,0163

1,193

19,11

1,18

13,97

54,6

20

2337

0,01729

1,189

20,12

1,18

14,88

57,9

21

2485

0,01833

1,185

21,13

1,17

15,85

61,4

22

2642

0,01942

1,181

22,13

1,17

16,88

65,1

23

2808

0,02057

1,177

23,14

1,16

17,97

68,9

24

2982

0,02177

1,173

24,14

1,16

19,12

72,8

25

3167

0,02304

1,169

25,15

1,15

20,34

77

26

3360

0,02437

1,165

26,16

1,15

21,63

81,3

27

3564

0,02576

1,161

27,16

1,15

22,99

85,8

28

3778

0,02723

1,158

28,17

1,14

24,42

90,5

29

4004

0,02876

1,154

29,17

1,14

25,94

95,5

30

4241

0,03037

1,15

30,18

1,13

27,55

100,6

10.6 Feuchte Luft

247

Wasserdampftabelle (Fortsetzung)

Temp.

Wasserdampf

Trockene Luft

Partialdruck t

pDs

Feuchte gesättigte Luft

bei 1 bar

bei 1 bar

=0%

 = 100 %

ΡDs

ΡLtr

hLtr

ΡLs

xS

hLs

°C

Pa

kg/m³

kg/m³

kJ/kg

kg/m³

31

4491

0,03205

1,146

31,19

1,13

29,25

g/kg kJ/kg 106

32

4753

0,03382

1,142

32,19

1,12

31,04

111,7

33

5029

0,03566

1,139

33,2

1,12

32,94

117,6

34

5318

0,03759

1,135

34,2

1,11

34,94

123,8

35

5622

0,03961

1,131

35,21

1,11

37,05

130,3

36

5940

0,04172

1,128

36,22

1,1

39,28

137,1

37

6274

0,04393

1,124

37,22

1,1

41,64

144,3

38

6624

0,04624

1,12

38,23

1,1

4,12

151,7

39

6991

0,04865

1,117

39,23

1,09

46,75

159,6

40

7375

0,05116

1,113

40,24

1,08

49,52

167,8

41

7777

0,05379

1,11

41,25

1,08

52,45

176,5

42

8198

0,05652

1,106

42,25

1,07

55,55

185,5

43

8639

0,05938

1,103

3,26

1,07

58,82

195,1

44

9100

0,06236

1,099

44,26

1,06

62,27

205,1

45

9582

0,06546

1,096

45,27

1,06

65,92

215,7

46

10005

0,06869

1,092

46,28

1,05

69,8

226,9

47

10612

0,07206

1,089

47,28

1,04

73,83

238,4

48

11162

0,07557

1,085

48,29

1,04

78,14

250,7

49

11736

0,07922

1,082

49,29

1,03

82,74

263,8

50

12335

0,08302

1,079

50,3

1,03

87,56

277,5

Feuchte Luft Atmosphärische Luft hat einen unterschiedlichen Anteil von Wasser als Dampf, Wasser und Eis (Nebel, Wolken).

m Ltr  mW  matm Für den Bereich der Klimatechnik ist vor allem der Dampfanteil von Bedeutung.

mLtr  mD  mRaumluft

248

10 Kältetechnik

Für die Mischung trockener Luft mit Wasserdampf gilt das Dalton’sche Gesetz: „Summe“ der Partialdrücke = „Gesamtdruck“

pLtr  pD  pLf Wassergehalt der Luft Der Wassergehalt der Luft, auch Luftfeuchte genannt, wird als Verhältnis der Wassermasse zur Masse der trockenen Luft angegeben und als absolute Feuchte x bezeichnet.

x

mW m Ltr .

[kg/kg]

Dabei ist der Wasseranteil meist in Dampfform vorhanden und wird in der Praxis in angegeben

x

mD m Ltr .

[g/kg]

Eine andere Definition des Dampfanteils der Luft ist die relative Feuchte Verhältnis des Partialdampfdruckes zum Sättigungsdruck angegeben.



pD ps

Das Verhältnis wird meist in % genannt.

 

pD  100 % ps

aus der Gasgleichung ergibt sich auch

 

D s

und mit praktisch ausreichender Genauigkeit



x xs

Berechnung von x aus 

x

R Ltr .   p Ds   p Ds kg   0 , 622  R D p    p Ds p  p Ds   kg

x s  0 , 622  zu feuchter Luft.

g

p Ds p  p Ds

 . Sie wird als

10.6 Feuchte Luft

249

Beispiel geg.: Raumluft, gemessene Werte: t = 20°C;  = 50%; p = 1bar ges.: mD; mLtr; ρLf; x (für 1 m³ Raumluft) Lsg.:

pD V ; p D    p Ds ; p Ds  2337 Pa RD T (Tafel für feuchte Luft) mD 

pD  0,5  2337  1168Pa

1168 ,5  1  8,637  10  3 kg  8,64 g 461 ,5  293 ,15 p V  Ltr . R Ltr .  T

mD  m Ltr .

pLtr  pLF  pD  100000  1168  50988831Pa

m Ltr . 

 Lf 

98883  1  1,17489 kg 287 ,1  293 ,15

m Lf V

m LF  m D  m Ltr  0 , 00864  1,17489  1,1835 kg

 Lf  x 

1,1835 kg 01 ,1835 1 m³

mD g 8 , 637   7 , 35 m Ltr . kg 1,175

Spezifische Enthalpie h Aus praktischen Gründen wurde der Maßstab für die Enthalpie feuchter Luft auf die Masse der trockenen Luft bezogen und der rechnerische 0-Punkt auf 0 °C gesetzt. Damit ist es die Enthalpie von (1  x)kg feuchter Luft, mit der Bezeichnung h(1 x ) In der Praxis wird der Index (1  x) meist weggelassen. Für klimatechnische Berechnungen gilt konstanter Druck und damit auch Wärme bei p  konst. und die allgemeine Gleichung h  cp t

kJ kg

c p , die spezifische

250

10 Kältetechnik

Für feuchte Luft: h (1  x )  h Ltr .  x  h D  h L  x  h D

Die Dampfenthalpie enthält auch die Verdampfungswärme bei 0C ; r0  2501 , 6 kJ kg Damit erhält man:

h(1 x )  h  c pLtr  x(r0  c pD  t ) Mit c pLtr .  1, 006 kJ und c pD  1,86 kJ kg kg

h  1, 006  t  x ( 2501 , 6  1,86  t ) kJ kg

x in g

kg

Beispiel geg.: t  10 C ;   50 % ; p  1bar ges.: h Lsg.: h  1, 006  t  x ( 2501 , 6  1,86  t )   p Ds kg 0 , 5  1227  0 , 622   0 , 00384 x  0 , 622  p    p Ds kg 100000  0 , 5  1227 kJ h  1, 006  10  0 , 00384  ( 2501 , 6  1,86  10 )  19 , 77 kg

10.7

Filter

Begriffe und Formelzeichen Die exakte Berechnung einer Filterfunktion ist praktisch nicht möglich. Man ist grundsätzlich auf Versuchsergebnisse der Hersteller angewiesen, mit deren Daten die Anlagenberechnung und die Planung erfolgen können. Wegen der großen Bandbreite der Anwendung, wird eine Aufteilung in drei Hauptgruppen verwendet.

 Grobstaubfilter, als Vorfilter und Filter in der Verfahrenstechnik. Der Wirkungsgrad wird auf das Massenverhältnis des Staubes vor und nach dem Filter bezogen.

10.7 Filter

251

 Feinstaubfilter in der Klimatechnik mit Wirkungsgradbezug auf den atmosphärischen Staub.  Schwebstofffilter für Reinräume und OP-Räume. Der Wirkungsgrad wird auf die Partikelzahl vor und nach dem Filter bezogen und auf deren Größe beim Prüfstaub. Ausführliche Angaben enthält DIN EN 13779 oder DIN EN 779

Maß

Zeichen und Einheit

Wirkungsgrad oder Abscheidgrad Mittelwert

 m in %

Partikelkonzentration vor und nach dem Filter

c1 ; c2 in 13

Durchlassgrad (1   )

D in %

Staubgehalt der Luft vor und nach dem Filter

m1 ; m2 in g3

m

m

in g m2

Speicherfähigkeit der Abscheidung auf der Filterfläche

m Sp

Filteransichtsfläche in Strömungsrichtung der Luft im Gerät

A

Tatsächliche Oberfläche der Filterschicht

AF in m 2

Filterbelastung, Luftstrom pro Ansichtsfläche oder Filterfläche AF

V / A  v in

Standzeit, bis die praktische Speicherfähigkeit erreicht ist

Z Sp in

Anteilige Jahreskosten des Filters

€ K F in

Abscheidgrad Schadstoffanteil m im Fluid

in m 2

.

m³ / s m²

h

a m  m2   1  100 % m1 m in g/m³

252

10 Kältetechnik

Durchlassgrad D g  100  

Filterbelastung .

V v AF

in m ³ / s oder m s m²

Filterwiderstand pF    v n

Eine variable Funktion, vom Schadstoffbelag und v abhängig, Messwerte des Herstellers für die Planung erforderlich.

Standzeit mit Speicherfähigkeit Z Sp 

mSp  AF 

 m1  m2  V

in h

mSp in g2 aus Herstellerunterlagen m

Beispiel 3 geg.: Zuluftanlage, 4000 m ; 8 h ; Taschenfilter mit A F  4 m 2 h Tag Speicherfähigkeit m Sp  1200 g2 ; Staubabscheidung m 1  m 2  5 mg m m3

ges.: Standzeit bis die Speicherfähigkeit erreicht ist. Lsg.: Z Sp =

1200  4  240 h 0 , 005  4000

Nach 240  30 Betriebstagen Filtereinsatz erneuern. 8 Alternative: Einen kontinuierlich arbeitenden Filter einplanen.

10.7 Filter

Betriebskosten

253

K

in

€ a

K Filter  K Amrtisation  KWartung  K Energie Für die Kostenoptimierung ist die Wahl der Filterbelastung Amortisationskosten ändern sich gegenläufig mit v .

v maßgeblich. Energie- und

Kostenoptimierung

Beispiel 3 . geg.: V  20 . 000 m ;  p F  220 Pa ; 0 ,13 € ;  g  0 , 65 für Ventilator mit kWh h Motor; Betriebszeit 2400 h a

ges.: Energiekostenanteil K E für einen Zuluftfilter. Lsg.: K  PF kW  h / a  € / kWh E g 20000  220 € KE=  2400  0 ,13  586 3600  1000  0 , 65 a

254

10 Kältetechnik

Beispiel Schadstoffminderung auf zulässige Werte, an der Fortluftanlage einer Fabrikationseinrichtung geg.: Schadstoffanteil m 1  0 ,1 g3 ; m nach behördlicher Vorschrift m  0 , 004 2 ges.:

 und anfallender Schadstoff

Lsg.:

 

g zulässig; m3

g h

m1  m 2 0 ,1  0 , 004  100 %   100  96 % m1 0 ,1

. Schadstoff m1    V  0 ,1  0 ,96  4000  348 g h Auf jeden Fall ist eine kontinuierlich arbeitende Filteranlage einzuplanen. Je nach Schadstoffart, falls möglich, Vorabscheidung durch einen Zyklon.

Beispiel von Herstellerangaben für Filtermatten:

F

mit Prüfstaub

pF

Herstellerangabe Filtermatten

11

Lüftungstechnik

11.1

Allgemeines zu Lüftungsanlagen

Lüftungsanlagen dienen zur Be- oder Entlüftung von Räumen, die durch natürliche Lüftung nicht oder nicht ausreichend belüftet oder klimatisiert werden können. Man unterscheidet zwischen Entlüftungsanlagen und Belüftungsanlagen, sowie der Kombination der beiden. Lüftungsanlagen dienen ferner dazu, aus Räumen oder industriellen Anlagen Wärme oder Schadstoffe zu- oder abzuführen.

11.1.1

Belüftungsanlagen

Belüftungsanlagen fördern Luft in den zu belüftenden Raum und erzeugen darin einen Überdruck. Sie sind immer dann zu konzipieren, wenn aus benachbarten Räumen keine Luft eindringen soll (z.B. Klimaräume, Reinräume...). Entsprechend der Nutzung solcher Räume ist die zugeführte Luft zu heizen, kühlen oder zu filtern. So ist beispielsweise die Zuluft zu Gastronomieräumen im Winter durch geeignete Heizgeräte auf ca. Raumtemperatur vorzuwärmen. Es ist dafür Sorge zu tragen, dass ausreichend Abluftöffnungen vorhanden sind. Die Anordnung der Luftauslässe ist so zu gestalten, dass Zugerscheinungen vermieden werden.

11.1.2

Entlüftungsanlagen

Entlüftungsanlagen fördern Luft aus dem zu entlüftenden Raum und erzeugen darin einen Unterdruck. Sie sind immer dann zu konzipieren, wenn keine Luft in benachbarte Räume übertreten soll. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die Luft mit Gerüchen oder Schadstoffen belastet ist (z.B. Produktions-, Lackierräume, Laboratorien, Küchen, WC). Es ist dafür Sorge zu tragen, dass genügend Zuluftöffnungen vorhanden sind.

11.1.3

Be- und Entlüftungsanlagen

Be- und Entlüftungsanlagen kombinieren beide Prinzipien miteinander und werden insbesondere in sehr großen Räumen und Sälen eingesetzt, in denen eine genau definierte Luftund Klimaführung gewünscht wird. Zu- und Abluftführung erfolgen in der Regel über geeignete Kanalsysteme.

256

11 Lüftungstechnik

11.2

Kennzahlen für Lüftungsanlagen

11.2.1

Luftmengen, Luftwechselzahl

Die einem Raum zu- bzw. abzuführende Luftmenge hängt in starkem Maße von der Nutzung und Schadstoff- bzw. Geruchsbelastung ab. In industriellen und gewerblichen Anlagen kann der Luftmengenbedarf auch durch die anfallende Prozesswärme bestimmt sein. Eine wichtige Größe zur Ermittlung des Frischluftbedarfs ist die so genannte Luftwechselzahl LW (Anzahl der erforderlichen Luftwechsel pro Stunde). Luftwechselzahlen typischer Räume können einschlägigen Regelwerken oder folgender Tabelle entnommen werden. Luftwechselzahlen

Raumart

LW/h

Schall dB(A)

Bemerkung

Aborte in Wohnungen

4–5

40

Entlüftung

gewerblich./öffentlich

8–15

50

Entlüftung

Akkuräume

5–10

70

Ex“ erforderlich

Baderäume

5–7

45

Vorwärmung Zuluft

Beizereien

5–15

70

Säureschutz

Bibliotheken

4–5

35–40

Büroräume

4–8

45

Duschräume

15–25

65–70

Vorwärmung erforderlich

Färbereien

5–15

70

Ex prüfen Säureschutz

Farbspritzräume

25–50

70

Ex erforderlich

Garagen

ca. 5

70

Entlüftung

Garderoben

4–6

50

Gaststätten Kasinos

8–12

45–55

Entlüftung

Gießereien

8–15

80

Entlüftung, Wärmebilanz

Härtereien

bis 80

80

Entlüftung, Wärmebilanz

Hörsäle

6–8

35–40

Be- und Entlüftung

Kinos und Theater

5–8

25–35

Be- und Entlüftung

Klassenräume

5–7

40

Konferenzräume

6–8

45

privat

15–25

45–50

Entlüftung

gewerblich

15–30

50–60

Entlüftung

Küchen

11.2 Kennzahlen für Lüftungsanlagen

257

Raumart

LW/h

Schall dB(A)

Bemerkung

Laboratorien

8–15

60

Lackierräume

10–12

70

Ex erforderlich

Lichtpausereien

10–15

60

Entlüftung

Maschinensäle

10–40

60–80

Wärmebilanz erforderlich

Montagehallen

4–8

60–70

Plättereien

8–12

60

Entlüftung, Wärmebilanz

Schweißereien

20–30

70–80

Arbeitsplatzabsaugung

Schwimmhallen

3–4

50

Vorwärmung Zuluft

Sitzungszimmer

6–8

40

Tresore

3–6

60

Umkleideräume

6–8

60

Turnhallen

4–6

50

Verkaufsräume

4–8

50–60

Versammlungsräume

5–10

45

Wartezimmer

4–6

45

Wäschereien

10–20

60–70

mit hoher Verschleiß

10–20

60–70

m. gering. Verschleiß

3–6

60–70

3–6

30–40

Entlüftung

Wärmebilanz erstellen

Werkstätten

Wohnräume

Die benötigte Luftmenge errechnet sich nach der Formel:

 m³   h   

.

V  V  LW

V

Raumvolumen

LW Luftwechsel Bei Abführen von Prozesswärme errechnet sich der Volumenstrom nach der Formel: .

Q  3600 V    c p  T .

m³  h   

258

11 Lüftungstechnik

.

Q

abzuführende Wärmeleistung [kW]

cp

spezifische Wärme der Luft 

T

Temperaturdifferenz zw. Frisch- und erwärmter Luft [K]



Luftdichte  kg  20 °C, 1013 mbar=1,2 kg/m³

kJ  20 °C  1  kg  K   

11.2.2

 m   

Schallentwicklung in Lüftungsanlagen (siehe Kap.15)

Geräuscheinwirkungen auf die Nachbarschaft dürfen die in der Gewerbeordnung §16 „Lärm“ festgelegten Immissionswerte nicht überschreiten Geräuscheinwirkungen auf die Nachbarschaft

Gebiet

Immissionswert dB(A) Tag

Nacht

Gewerbegebiet reines vorwiegendes

70 65

70 50

Mischgebiet

60

50

Wohngebiet vorwiegendes reines

55 55

40 30

Kurgebiet, Krankenhäuser

45

35

Geräuschimmissionen Höchstzulässige Geräusche in zu lüftenden Räumen sollen die Werte in der Tabelle gemäß VDI-2081 nicht überschreiten.

11.2 Kennzahlen für Lüftungsanlagen

259

Lärm am Arbeitsplatz Nach der Arbeitsstättenverordnung §15 sollen als dauernder Geräuschpegel nachstehende Werte nicht überschritten werden. Lärm am Arbeitsplatz

Tätigkeit

dB(A)

überwiegend geistige Tätigkeit

55

mechanisierte Bürotätigkeit

70

alle Sonstigen

85

(max. zulässige Überschreitung 5dB(A) ) Pausen, Sanitäts-, Bereitschafts- und Liegeräume

11.2.3

55

Druckverluste in der Lüftungsanlage

Lüftungsanlagen bestehen außer dem Ventilator aus Rohren, Kanälen, Umlenkungen, Gittern, Wärmetauschern Filtern, usw. Alle diese Bauteile verursachen Druckverluste, deren Kenntnis für die Auswahl des passenden Ventilators von entscheidender Bedeutung ist. Der Druckverlust pgesN der gesamten Anlage errechnet sich durch die Addition aller Einzeldruckverluste, die entsprechenden Diagrammen, Tabellen aus Herstellerangaben zu entnehmen sind. Dem so ermittelten Gesamtdruckverlust ist gegebenenfalls noch ein Sicherheitszuschlag hinzuzurechnen.

11.2.3.1

Druckverluste in geraden Rohrleitungen

Die Ermittlung des Druckverlustes in geraden Rohr- oder Kanalstrecken kann mit Hilfe des folgenden Diagramms durchgeführt werden. Für Rechteck-Kanäle ist zuvor der äquivalente Durchmesser

dh 

b h

dh zu bestimmen.

2 b h mm bh

Kanalbreite [mm] Kanalhöhe [mm]

260

11 Lüftungstechnik

Das Diagramm liefert für einen gegebenen Durchmesser d bzw. den Druckverlust pro Meter Kanallänge  p L

Blech). Der Druckverlust ergibt sich damit zu: p  L  D

L

  2

Kanallänge [m]

Rohrreibungs Druckverluste

w2

Pa 

.

dh und Volumenstrom V

 Pa  für glatte Rohre bzw. Kanäle (z.B.  m   

11.2 Kennzahlen für Lüftungsanlagen

261

Die Strömungsgeschwindigkeit kann dem Diagramm (S.292) entnommen und wie folgt berechnet werden: .

c

A V

m  s  

V A  3600

Strömungsquerschnitt m² Volumenstrom m³/h

11.2.3.2

Druckverluste in den Formstücken

Die Druckverluste von Umlenkungen und Verzweigungen können mit Hilfe der in folgender Aufstellung angegebenen Druckverlustbeiwerte  bestimmt werden:

p    c

 2

c2

Pa 

Strömungsgeschwindigkeit im Anströmquerschnitt des Elements  m   s   

Der Druckverlust von Ausströmöffnungen beträgt:

p 

 2

c2

Pa 

262

Rohrreibungsbeiwerte

11 Lüftungstechnik

11.2 Kennzahlen für Lüftungsanlagen

263

Beispiel Gesamtdruckverlust einer Lüftungsanlage mit 16m gerader Rohrstrecke d = 400 mm, . Bögen 90°, Ausblasöffnung 400 × 200 mm², Nennvolumenstrom V N  3000 m ³ , Ströh mungsgeschwindigkeit im Rohr C R = 6,6 m/s und Strömungsgeschwindigkeit im Ausblas cA = 10,4m/s Rohr 2 Bögen Ausblas  p gesN  1  16  2  0 , 3  0 , 6  6 , 6 2  0 , 6  10 , 4 2  97 Pa

11.3

Ventilatoren

11.3.1

Kenngrößen

Die Leistung eines Ventilators wird durch folgende Kenngrößen beschrieben: Kenngrößen eines Ventilators

Kenngröße

Zeichen

Einheit

Volumenstrom

V

m³/h; m³/s

Totaldruckerhöhung

pt  p  pd

Pa

statische Druckerhöhung

p

Pa

dynamischer Druck

pd 

Wellenleistung

PW

W, kW

elektr. aufg. Leistung

P LWA , L pA

W, kW

Schallleistungs-/druckpegel

 2

c2

Pa

dB(A)

Die angegebenen Werte wurden auf einem saugseitigen Kammerprüfstand nach ermittelt. Die Geräuschmessungen erfolgten im Hallraum bzw. im Freifeld entsprechend DIN 45635.

264

11 Lüftungstechnik

Kennlinien Die Betriebscharakteristik eines Ventilators wird in Form einer Kennlinie dargestellt. Der Betriebspunkt BP ist der Punkt in dem sie von der Anlagenkennlinie geschnitten wird. Der Volumenstrom, der sich in der Anlage einstellt kann auf der waagrechten Achse abgelesen werden. Die Anlagenkennlinie ist in den meisten Fällen eine Parabel, die durch den Berechnungspunkt N der Anlage verläuft. Diese Parabel lässt sich wie folgt berechnen: . 2

p  K N V

mit

KN 

 p ges . N . 2

V .

V

N

KN

N

Nennvolumenstrom Verlustfaktor

Ventiltoren dürfen nur in dem von der Kennlinie abgedeckten Bereich eingesetzt werden. Axialventilatoren besitzen einen instabilen Bereich (dargestellt durch abgebrochene oder gestrichelte Kennlinie). Radialventilatoren können bei hoher Volumenleistung den Motor überlasten (gestrichelte Kennlinie). In diesen Bereichen dürfen Ventilatoren nicht betrieben werden.

11.3.2

Auswahl des Ventilators 

Sind Nennvolumenstrom V N und Gesamtdruckverlust pgesN einer Anlage bekannt, so ist mit Hilfe der Kennliniendiagramme ein Ventilator auszuwählen, dessen pt-Kurve durch oder über den Punkt N verläuft. Verläuft die pt-Kurve nicht genau durch den Punkt N, so kann durch Eintragen der Anlagenparabel der Betriebspunkt BP als Schnittpunkt zwischen der Anlagenparabel und der Kennlinie ermittelt werden. In der Anlage stellt sich dann der Vo

lumenstrom V A ein. Für das im Abschnitt Druckverluste demonstrierte Beispiel wird ein Ventilator des DZR 40/4 B. ausgewählt. In der Anlage stellt sich damit der Nennvolumen  m2 ein. Zur Einregulierung des Nennvolumenstromes V N kann z.B. ein strom V A  3400 h Drehzahlsteller eingesetzt werden.

11.3 Ventilatoren Ventilator des DZR 40/4 B DN400

Ventilatorenkennlinie

265

12

Sanitärtechnik und Rohrdimensionierung

Dieses Kapitel enthält allgemein gültige Formeln. Einzelne Richtwerte sind den allgemein gültigen Normen und Richtlinien zu entnehmen. Die Sanitärtechnik unterteilt sich in die Gebiete Trinkwasser-kalt, Trinkwasser-warm, Schmutzwasser und Regenwasser.

12.1

Wasserbedarf

Der Wasserbedarf lässt sich hauptsächlich in zwei Teile unterteilen. Man unterscheidet hierbei den Spitzenbedarf, den maximal stündlichen und den maximal täglichen Wasserbedarf. Der Spitzenbedarf wird in l/s angegeben. Bei maximal stündlichem und maximal täglichem Wasserbedarf handelt es sich um Mittelwerte. .

.

V max,h 

V max,d

h

.

V max,h

maximaler stündlicher Wasserbedarf

[l/h]

V max,d

maximaler täglicher Wasserbedarf in

[l/d]

h

Stundenmittel des maximalen täglichen Wasserbedarfs

[h/d]

.

 h hängt ab von der Anzahl und der Größe der Verbraucher.

268

12 Sanitärtechnik und Rohrdimensionierung

12.2

Strömungsgeschwindigkeiten

Aufgrund höherer Geschwindigkeiten in Rohrleitungen können in der Strömung starke Turbulenzen auftreten, die ein starkes Rauschen mit sich bringen. Daher ist darauf zu achten, dass die Strömungsgeschwindigkeiten bestimmte Grenzwerte nicht überschreiten. Die Ermittlung der Strömungsgeschwindigkeit erfolgt über: .

V w A

w

Strömungsgeschwindigkeit

.

V

Volumenstrom

A

Strömungsquerschnitt

2 ( = für Rohrleitungen A  d i    ) 4

Als Richtwerte für die Strömungsgeschwindigkeiten können angenommen werden:

 Brauchwasserleitungen 1,0–2,0 m/s  Warmwasserleitungsanlage 0,5–1,5 m/s Beispiel geg.: Gewinderohr, DN 25, d i =27,2 mm, Strömungsgeschwindigkeit 1,0m/s. ges.: Volumenstrom Lsg.: Strömungsquerschnitt:

A

27 , 2 mm

2



4

  581 ,06 mm ²

Volumenstrom: .

V  1, 0 m / s  5 ,8106  10

 2, 09

3

m l  0,581 h s

4

m ²  5 ,8106  10

4

m³ / s

12.3 Druckstoß

12.3

269

Druckstoß

Bei Schließen von Armaturen kann aufgrund der Trägheit von Fluiden ein Druckanstieg an Armaturen auftreten, der als Druckstoß bezeichnet wird. Maximaler Druckstoß p bei reibungsfreier Strömung „Joukowski“-Stoß:

p  a  w Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit a: (ca. 1300m/s) 1

a 

 1

1

d 

     i  EW s   EF mit:

EF = Kompressionsmodul des Fluids (Wasser  2000 N/mm²) EW = Elastizitätsmodul des Rohrleitungswerkstoffes (EStahl  210000 N/mm²)

Reflexionszeit: Stoßwirkungszahl ts

tR 

2L a

z:

z 

tR 2L  1  ts a  ts

Ventilschließzeit (Schnellschlussventil 0,1s)

Verminderter Druckstoß:

p  z  p  a  w

270

12 Sanitärtechnik und Rohrdimensionierung

Beispiel geg.: Gewinderohre DN25, d i  27 ,2 mm Länge 10 m Wassergeschwindigkeit: 0,5 Ventilschließzeit:

m s

0,1s

Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit: 1 a   kg  1 1 27 , 3 mm 1000   m³  3 , 2 mm 9 N 11 N 2 ,1  10  2  10 m² m² 

     

 1361

m s

Reflexionszeit: 2  15 m tR   0 , 0147 s m 1361 s Stoßwirkungszahl: 0 , 0147 s z   0 ,147  1  0 ,1 s Verminderter Druckstoß: kg m m  1361  0 ,5 m³ s s  100000 Pa  10 , 00 bar  p  0 ,147  1000

12.4

Druckerhöhungsanlagen

Druckerhöhungsanlagen müssen dort vorgesehen werden, wo der allgemeine Wasserdruck für die Versorgung aller Verbraucher nicht ausreicht. Der Einschaltdruck ergibt sich aus dem untersten Druckgrenzwert. p e   p geod   p RZ  p

pe

fl

 1, 0 bar

Einschaltdruck, unterer Druckgrenzwert

pd , geod geodätische Druckhöhendifferenz auf der Druckseite = h d , geod    g  10

5

bar

12.4 Druckerhöhungsanlagen

271

hd , geod geodätische Höhe m auf der Druckseite



Dichte des Wassers =1000 kg/m³

g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s²  p RZ

Summe aller Rohrreibungs- und Einzelwiderstandverluste in bar

p fl

Mindestfließdruck der ungünstigsten Entnahmestelle in bar

Der Ausschaltdruck sollte dem Nenndruck von Behältern bzw. der Entnahmestellen entsprechen. Dennoch ist dabei auf den Wirkungsgradbereich der Pumpen zu achten. Der Aussschaltdruck ergibt sich zu:

p a  p e  p pa

Ausschaltdruck

[bar]

pe

Einschaltdruck

[bar]

p

Druckdifferenz [bar] (normalerweise 1,0–2,5 bar, in Ausnahmefällen bis 4,0 bar)

Die Druckbehältergröße richtet sich nach dem Nutzwasserinhalt und der Schalthäufigkeit.

tE  tF  tS

tE

Entnahmezeit während der Schaltperiode

[min]

tF

Förderzeit während der Schaltperiode

[min]

tS

Stillstandszeit während der Schaltperiode

[min]

i 

i

60 tE Schalthäufigkeit .

VN 

V

h , max

i

[l]

VN

Nutzwasserinhalt

[l]

Vh,max

stündlicher Wasserverbrauch

[l/h]

272

12 Sanitärtechnik und Rohrdimensionierung

12.5

Warmwasserbereiter tatsächliche Ausstattung der Wohnung  Anzahl gleichartiger Wohnungen Einheitswohnung

N

N

 ( n  p  v  Wv ) p  Wv

n p v

Anzahl gleicher Wohnungen

Wv

Zapfstellenbedarf vorgenannter Verbraucher bei einer Entnahmestelle

Belegungszahl der Wohnung Zapfstellenzahl, die für den Verbrauch wesentlich ist, (i.d.R. Anzahl der Badewannen)

12.6

Speichergröße V Sp 

Q Sp

c     o   u



b

QSP Speicherkapazität in kJ VSP

Speicherinhalt in l

c

spezifische Wärmekapazität (für Wasser 4,2 kJ/kgK)



Dichte (für Wasser 1000 kg/m³)

o

mittlere obere Temperatur des Speicherwassers in °C

u

mittlere untere Temperatur des Speicherwassers in °C

b

Zuschlag für den Totraum unterhalb der Speicherheizfläche 1,1 bis 1,2

12.7

Zirkulation

Minimaler Zirkulationswasserstrom

s

Da  p  C1 C 2 k 200   v  p S

[l/s]

.

Q

Gesamtwärmeverluste

[kW]

c

spezifische Wärmekapazität

[4,2 kJ/kgK]

12.7 Zirkulation

273

m

mittlere Dichte des Wassers

[1kg/dm³]

V

Vorlauftemperatur

[°C]

R

Rücklauftemperatur

[°C]

Aufgrund der unterschiedlichen Dichten der Zirkulation in Verteilungs- und Zirkulationsleitungen ergibt sich bereits eine Schwerkraftzirkulation, die bei der Ermittlung der Zirkulationspumpe berücksichtigt werden kann.

puS  h g  (Rm  Wm) puS

Umtriebsdruck

[N/mm²]

h

Höhendifferenz zwischen Verbindung Warmwasser und Zirkulationsleitung und Mitte Warmwasserbereiter

[m]

Rm

Dichte des Wassers in der Zirkulationsleitung

Vm

Dichte des Wassers in der Warmwasserleitung

Der erforderliche Pumpendruck ergibt sich somit aus den Leitungsdruckverlusten abzüglich des Umtriebsdrucks der Schwerkraftzirkulation.  p up   p u   p uS

pup Pumpenförderdruck

[N/mm²]

pu Druckverlust des Rohrnetzes

[N/mm²]

 puS Umtriebsdruck

[N/mm²]

13

Bauphysik

Die Bauphysik beinhaltet den Wärme-, Feuchte-, Schall- und Brandschutz, sowie die Beleuchtung. Die Bauphysik hat die Aufgabe in Arbeits- und Wohnräumen ein gesundes Klima zu schaffen, d.h. es sollen die Behaglichkeitskriterien eingehalten werden. Die bauphysikalischen Belange werden durch die Klima- und heizungstechnischen Vorschriften weitgehend erfasst. Die Grundlagen des Wärmetransports, der Wärmeenergie, Konvektion und Strahlung wurden bereits in Kapitel 4 Wärmetechnik behandelt. Ferner sei bei „Feuchtetransport“ auf Kapitel verwiesen. Auch auf die Isolierung wurde in Kapitel 4 bereits eingegangen. Deshalb wird in diesem Kapitel die Diffusion kurz behandelt. Dies ist außerdem in der DIN 4108 ff. festgelegt.

13.1

Diffusion

Es gilt das 1. Ficksche Gesetz: q mol   D

C C x D

mol

Konzentration des Stoffes, der bei der Reaktion maßgebend ist. Konzentrationsgefälle Diffusionskoeffizient

C mol 

N

 C mol   DgradC y

n V

Teilchenmenge

q mol   D

C x

C  ²C  D t x ²

instationärer Fall

q mol   C Wand  C 



276

13 Bauphysik



Stoffübergangskoeffizient

CWand

Konzentration an der Wand

C

Konzentration in der ungestörten Strömung

Index w steht für an der Wand gemessene Größen. Der Aufbau der Stoffübertragungsgesetze ist analog zu dem der Wärmeübertragung. Es gelten somit bei der Diffusion die gleichen Gesetze wie beim Wärmetransport. Die zahlenmäßige Größenordnung und Zeitkonstanten weichen meist mehrere Größenordnungen von denen der Wärmeübertragung ab. Bei Modell- und Analogieversuchen wird das Gebiet mit dem kleineren Zeitfaktor bevorzugt. Analogie zur Wärmeübertragung

Wärmeübertragung

Stoffübertragung

T

C [kmol/m³]

Konzentration



D [m²/s]

Diffusionskoeffizient



 [m/s]

Stoffübergangskoeffizient

q

qmol [kmol/sm²]

molarer Stoffstrom

Pr

Sc 

Gr

Gr 

Nu



Schmidt-Zahl

D gx ³   ² 

Grashoff-Zahl der Stoffübertragung

 d

Nußelt-Zahl der Stoffübertragung

Nu 

D

Es gilt auch wie bei Rippen:  A

dq mol dx

 u  U  C

U

Umfang der Rippe

u

ungestörte Geschwindigkeit

Wärmeverluste durch Fenster und Türen Fugenverluste durch Fenster und Türen 2

V  l  a   p  3

13.1 Diffusion

277

Wärmeverlust q L  V  c   Li   La



 Wärmeschutzverordnung!  Mindestwärmeschutz vorgeschrieben!  Unterschreitung des Taupunktes in Bauteilen! Beispiel Schwitzwasserbildung im Gebäude

In einem Raum hat die Luft eine Temperatur von 20 °C mit einer relativen Feuchtigkeit von  = 0,8. Der Wärmeübergangskoeffizient i = 8,15 W/m²K. Die Außentemperatur beträgt –15°C. Die Außenwand hat eine Dicke von 38cm und ist beidseitig 1,56 W/m²K. Der Luftdruck betrage 1bar. Um Schwitzwasserbildung zu vermeiden, soll die Wand durch eine Heraklithplatte außen  = 0,072 W/mK verstärkt werden. (a = 5,82 W/m²K) geg.: i = 20 °C, a = -15 °C, i = 8,15 W/m²K, a = 5,82 W/m²K,  = 0,8 k1 = 1,56 W/m²K, is = 0,072 W/mK (h-x-Diagramm: siehe Kap. 11.1) ges.: Wie dick muss die Heraklithplatte sein? Lsg.: Der Wärmedurchgangskoeffizient ergibt sich zu:    i   s  k2  i i  a aus h-x-Diagramm s = 16,5 °C Es gilt: Rk1 = Rk2 + Risol s i  a 1   isol  s isol  i   i   s  k 1  isol

 i   a 1   s isol   isol    i   i   s  k 1  s isol  0 , 072

sisol = 0,0422 m

20  (  15 ) 1  m ²K W   mK  8 ,15  20  16 , 5  1 , 56  W

278

13 Bauphysik

Luftfeuchte

pd ps

 Relative Luftfeuchte

 

 Absolute Luftfeuchte

m d [kg/kg] mL pd x  0 , 622 p  pd

 Dichte trockene Luft

 L , tr = 1,165kg/m³

13.2

x 

Stofffeuchte

 Massebezogener Wassergehalt

um 

mw mB

 Volumenbezogener Wassergehalt

uV 

Vw VB

13.3

um 

Wasserdampf-Diffusion

Dampfdiffusion bis zu 30°C durch Decken und Wände i  k D p i  p a



Diffusionsstromdichte i  D0 

l D p p   x R T x 1/ 

Diffusionsdurchlasswiderstand 1 /   1, 5  10

6

 1  s 1

  2  s 2  ...  

Diffusionsäquivalente Luftschichtdichte s d  µ

sd Diffusionswiderstand Baustoff  s Diffusionswiderstand Luft

A

 sn

 s



V uv B

13.4 Kapillare Wasseraufnahme

13.4

Kapillare Wasseraufnahme

Wasseraufnahme (pro Flächeneinheit)

w

t

279

m  w t

[kg/m²]

Wasseraufnahmekoeffizient w  0,001 kg/m³h dicht bis 0,5 kg/m³h abweisend bis 2,0 kg/m³h hemmend ab 2,0 kg/m³h stark saugend Saugzeit in h

Werte für Wasserdampfsättigungsdruck sind aus DIN 4108 zu entnehmen.

14

Schall

14.1

Allgemein

Definition Schall (Hörschall): Schall ist eine mechanische Schwingung in einem elastischen Medium. Ist die Schwingung regelmäßig, hört man einen Ton, ist sie unregelmäßig, hört man ein Geräusch. Die für das menschliche Ohr wahrnehmbaren Grenzen liegen zwischen 16 Hz und 20000 Hz. Die Schallschutzmaßnahmen sind aus DIN 4109-1 zu entnehmen. Definition Ton (im physikalischen Sinne): Ein Ton ist eine Sinusschwingung, also eine Schwingung ohne Obertöne. Definition Klang: Ein Klang besteht aus Grundton und Obertönen.

Befindet sich die Frequenz kleiner 16 Hz, ist sie nicht mehr für das menschliche Ohr wahrnehmbar. Dieser Bereich wird auch als Infraschall bezeichnet. Ist die Frequenz dagegen größer als 20 kHz und liegt somit oberhalb der menschlichen Hörgrenze, so spricht man von Ultraschall. Jeder Klang ist mit der Fourieranalyse in die verschiedenen Sinustöne zerlegbar. So ergibt ein Grundton mit allen ungeraden Vielfachen eine Rechteckschwingung. In ruhenden Gasen und Flüssigkeiten ist Schall immer eine Longitudinalwelle, also auch im wichtigsten Medium, in der Luft. Dagegen gibt es in Festkörpern auch Transversalwellen. Im Vakuum, also ohne Medium, gibt es keinen Schall. Die Schallgeschwindigkeit hängt vom Ausbreitungsmedium ab. Bei einer Temperatur von 20°C beträgt diese in Luft 343 m/s und in Wasser 1521 m/s; siehe: Schallwellen (Ozean). Die Wellenlänge des Schalls λ kann mit seiner Frequenz f und der Schallgeschwindigkeit c über folgende Beziehung berechnet werden: Schalldruck in Luft (statischer Druck auf Meereshöhe: 101.325 Pa)

282

14 Schall

Schalldruckpegel

Situation und Schallquelle

Schalldruck p (Effektivwert) Pascal

Schalldruckpegel Lp dB re 1 µPa

M1 Garand Gewehr aus 1 m Entfernung

5000

168

Düsenflugzeug in 30 Meter Entfernung

630

150

Gewehr aus 1 m Entfernung

200

140

Schmerzschwelle

100

134

Gehörschäden bei kurzfristiger Einwirkung

20

ab 120

Düsenflugzeug 100 m entfernt

6,3–200

110–140

Presslufthammer, 1m entfernt / Diskothek

2

100

Gehörschäden bei langfristiger Einwirkung > 8 Std. täglich

0,63

ab 90

Hauptverkehrsstraße,10m entfernt

0,2–0,63

80–90

Pkw, 10 m entfernt

0,02–0,2

60–80

Fernseher in Zimmerlautstärke 1m entfernt

0,02

ca. 60

Normale Unterhaltung, 1 m entfernt

2 · 10–3–6,3 · 10–3

Sehr ruhiges Zimmer Blätterrauschen, ruhiges Atmen Hörschwelle bei 1 kHz

–4

2 · 10 –6,3 · 10 6,3 · 10 2 · 10

–5

–5

–4

40–50 20–30 10 0

14.1 Allgemein

283

Hörfläche als Schalldruckpegel in Abhängigkeit von der Frequenz

Folgende Schallgrößen

 Schalldruck  Schallleistung  Schallgeschwindigkeit

(siehe 14.2) (siehe 14.3) (siehe 14.4)

Bezeichnungen zum Schall

Symbol

Einheiten

Bedeutung

I

W/m2

Schallintensität

p

Pascal = N/m2

Schalldruck

v

m/s

Schallschnelle

Z=c·ρ

N·s/m3

Schallkennimpedanz, akustische Feldimpedanz

ρ

kg/m3

Luftdichte, Dichte der Luft (des Mediums)

a

m/s2

Schallbeschleunigung

ξ

m, Meter

Schallauslenkung

ω=2·π·f

rad/s

Kreisfrequenz

f

Hertz

Frequenz

E

W·s/m3

Schallenergiedichte

Pak

W, Watt

Schallleistung

A

m2

Durchschallte Fläche

c

m/s

Schallgeschwindigkeit

284

14 Schall

14.2

Schalldruck

Als Schalldruck werden die Druckschwankungen eines kompressiblen Schallübertragungsmediums (üblicherweise Luft) bezeichnet, die bei der Ausbreitung von Schall auftreten. Diese Druckschwankungen werden vom Trommelfell als Sensor in Bewegungen zur Hörempfindung umgesetzt. Wenn es sich um hörbaren Schall handelt, können diese Bewegungen dann durch das Innenohr (Gehör-Hirn-System) wahrgenommen werden. Der Schalldruck p ist der Wechseldruck (eine Wechselgröße), der dem statischen Druck p 0 (Luftdruck) des umgebenden Mediums überlagert ist. Hierbei ist der Schallwechseldruck

F A

p

mit der auf die Fläche A wirkenden Kraft F je Flächeninhalt von A.

14.3

Schallleistung

Die Schallleistung (Pak) einer Schallquelle ist eine akustische Größe. Sie bezeichnet die pro Zeiteinheit von einer Schallquelle abgegebene Schallenergie. Sie ist eine der Schallenergiegrößen und ist eine mechanische Leistung. Ihre Einheit ist Watt (W). Die zugehörige logarithmische Größe ist der Schallleistungspegel. Die Schallleistung beschreibt die Quellstärke eines Schallerzeugers und nicht das Schallfeld. Unter Vernachlässigung von Dämpfungen innerhalb des umgebenden Mediums muss also durch jede geschlossene Hüllfläche um die Schallquelle die gleiche Schallenergie treten, unabhängig von ihrer Form und Entfernung zur Schallquelle. Der mittlere Schalldruckpegelbereich ist 50–80 dB. Folgende Formel zeigt das Verhältnis von Schalldruck und Pegel: L  20  log

L P

P P0

Pegel Schalldruck

Für genauere Werte ist man auf Messungen oder Herstellerangaben angewiesen. Bei Ventilatoren kann die Schallleistung mit einer Näherungsformel für optimalen Betriebszustand berechnet werden. .

L W  40  20 lg  p  10 lg V p

.

Pa ; V

m³ s

[ dB ]

14.4 Schallgeschwindigkeit

285

Die Formel gilt für den praktischen Bereich von n  3000

m m . U und  u 2  90 10 min s s

Es ist mit einem Fehler von ca. 4 dB zu rechnen. Beispiel

U min 10000 L W  40  4  ( 20  (log 400 ))  (10  (log ))  3600 96 , 5  4 dB .

V  10000

14.4

m³ ; h

 p  400 Pa ;

n  1800

Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit (cS ) ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium ausbreiten und unterscheidet sich damit von der Schallschnelle v. Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s). Die Schallgeschwindigkeit in Luft wird in der Regel mit cLuft = 343 m/s für 20°C bei einem Luftdruck von 1013 hPa angegeben. Das entspricht etwa 1235 km/h. Für den Zusammenhang mit der Frequenz f einer Schallwelle gilt die Formel cS    f ,

wobei

 (lambda) die Wellenlänge der Schallwelle ist.

Die Schallgeschwindigkeit kann somit errechnet werden, wenn die Werte für  und f gemessen wurden. Ein Ändern der Frequenz eines Tons verursacht keine Änderung der Schallgeschwindigkeit, sondern eine Veränderung der Wellenlänge. Die Schallgeschwindigkeit wird bei gleichbleibenden physikalischen Eigenschaften des Mediums als konstant angesehen.

15

Elektrotechnik

Die meisten technischen Geräte basieren aufgrund von Regelungen und Steuerungen auf der elektrischen Versorgung. In diesem Kapitel sollen die wichtigsten elektrischen Gesetze aufgezeigt werden.

15.1

Gleichstrom

Stromstärke und elektrische Ladung

I 

I Q t

Q t

Q  I t

Stromstärke

[A]

Ladungsmenge/ Elektrizitätsmenge

[C]

Zeit

[s]

Spannung U 

W Q

U 

W I t

U

Klemmspannung

[V]

W

elektrische Arbeit/ Stromarbeit

[Ws]

P

elektrische Leistung

[W]

Ohmsches Gesetz

R

U I

I 

U R

U  I R

R

Widerstand

[]

I

Stromstärke

[A]

U

Spannung

[V]

288

15 Elektrotechnik

Energie, Arbeit und Leistung W  U  I t W  P t

P U I 

W t

P  I2 R 

W  U Q

U2 R

U

Klemmspannung

[V]

W

elektrische Arbeit/ Stromarbeit

[Ws]

P

elektrische Leistung

[W]

Wirkungsgrad

 

Pab Pzu

PV = Pzu – Pab

ges=1·2

 

Ra  I ² P  Pges R i  R a   I

2

Ra Ra Ri    Ra  1  Ra  R i   1  Ri R i  

Pab

abgegebene Leistung

[W]

Pzu

zugeführte Leistung

[W]

PV

Verlustleistung

[W]

Stromdichte

S 

I A

S

Stromdichte

[A/mm²]

A

Querschnitt des Drahtes

[mm²]

A

d 2  4

Widerstand und Leitwert

G 

G

1 R Leitwert

R 

1 G [S = 1/]

15.1 Gleichstrom

289

Einheitswiderstand und Einheitsleitwert

 

1

 



1



Einheitswiderstand und Leitwert

Einheitswiderstand 10–6 [m]

Einheitsleitwert 106 [S/m]

Temperaturkoeffizient 20 [1/K]

Silber

0,016

62,5

0,0041

Kupfer

0,01786

56

0,0039

Aluminium

0,02857

35

0,004

Leiterwiderstand

l A

R  

R 

l A

l

Länge des Drahtes

[m]

A

Querschnitt des Drahtes

[mm²]

Temperaturabhängigkeit von Widerständen R  

20

    R 20

R   R 20   R

R   R 20  1   20    

  A 

R  R20  20  R20

 l R 20

 1   20    

R

Widerstandsänderung

[]

R

Warmwiderstand

[]

R20

Kaltwiderstand bei 20°C

[]

 20

Temperaturkoeffizient

1 / K 

 Temperaturdifferenz

[K]

A

Querschnitt bei gleichem Widerstand, aber bei anderer Temperatur

l

Länge des Drahtes

[m]

290

15 Elektrotechnik

Reihenschaltungen von Widerständen

Rers  R1  R2  R3 I  I1  I 2  I 3 U  U1  U 2  U 3 Rers Ersatzwiderstand

[]

Parallelschaltungen von Widerständen

1 1 1 1    R ers R1 R 2 R 3

Rers 

R1  R 2 R1  R 2

I  I1  I 2  I 3 U U

 U

1

2

 U

3

Knotenregel (1. Kirchhoffsches Gesetz)

I 



I

ab

Summe der zufließenden Ströme

I zu

I

zu

Summe der abfließenden Ströme

ab

Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz)

U U U

erz

verb

erz



U

verb

Summer der Erzeugerspannungen Summer der Verbraucherspannungen

Meßbereichserweiterung von Spannungsmessern R V  R M n  1  RV

Vorschaltwiderstand

[]

Rm

Messwerkwiderstand

[]

n

Erweiterungszahl des Messbereichs

z.B. n = 250V/ 10V=

25

15.1 Gleichstrom

291

Messbereichserweiterung von Strommessern

Rn 

n

Rm n 1

I Im

In  I  Im

Rn

Nebenwiderstand

[]

Rm n I Im

Messwerkwiderstand

[]

In

Faktor Messbereichserweiterung zu messende Stromstärke

[A]

Messwerkstrom

[A]

Strom im Nebenwiderstand

[A]

Reihenschaltung von gleichen Spannungsquellen

I 

E n

nE Ra  n  Ri

Urspannung Anzahl gleicher Spannungsquellen

[V]

Parallelschaltung von gleichen Spannungsquellen

R  Ra 

I 

Ri n

E Ra 

Ri n

Ri

innerer Widerstand

[]

Ra

äußerer Widerstand

[]

E n

Urspannung Anzahl der gleichen Spannungsquellen

[V]

292

15 Elektrotechnik

Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes für Teile eines Stromkreises U ges  U 1  U 2  U 3  IR 1  IR 2  IR 3  IR ers U ges

Gesamtspannung

[V]

Spannungsabfall und Spannungsverlust U

V

 I  RL

UV  I   U

n

 U U

2L A V

UV

Spannungsverlust

[V]

Un

Nutzspannung

[V]

U

Klemmspannung

[V]

L

Länge der Leitung

[m]

RL

Leitungswiderstand

[]

Einheitswiderstand

[·m]



Innerer Spannungsabfall in Spannungsquellen U  E  I  Ri

I 

E Ra  Ri

E  I  Ra  I  Ri

UV

Spannungsverlust

[V]

Un

Nutzspannung

[V]

U

Klemmspannung

[V]

L

Länge der Leitung

[m]

RL

Leitungswiderstand

[]

Einheitswiderstand

[·m]



15.1 Gleichstrom

293

Leerlauf der Spannungsquelle R a   ; I  0 Kurzschluss der Spannungsquellen R A  0 ; P  0 Leistungsanpassung, Maximum wenn Ra = Ri

P  U  I  U 02 

U0

R a

Ra

 Ri 

2

Urspannung

[V]

Berechnung der Urspannung und des inneren Widerstandes einer Stromquelle E  I  Ra  I  Ri E  I ´ R ´ a  I ´ R i

Ri 

U0

I ´ R ´ a  I  R a I  I´

Urspannung

[]

Berechnung der Urspannung und des inneren Widerstandes einer Stromquelle

Vorschaltwiderstand eines Verbrauchers

RV 

U Un I

Rv

Vorschaltwiderstand

[]

U

verfügbare Netzspannung

[V]

Un

Netzspannung des Verbrauchers

[V]

294

15 Elektrotechnik

Spannungsteiler R 1  1  k   R

R2  k  R U3  U

k R 1  k  1  k  R3

R1

oberer Teil des Spannungsteilers

[]

R2

unterer Teil des Spannungsteilers

[]

R3

Verbraucherwiderstand

[]

R

Schiebewiderstand

[]

U k

Gesamtspannung

[V]

k = 0 → keine Spannung, k = 1 → volle Spannung

Wheatstonesche Messbrücke

Rx R l  1  1 RN R2 l2

Rx

unbekannter Widerstand

[]

RN

Normalwiderstand, Vergleichswiderstand

[]

R1

1. Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler

[]

R2

2. Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler

[]

l1

erster Teil des Drahtes vom Spannungsteiler

l2

zweiter Teil des Drahtes vom Spannungsteiler

15.2

Elektrisches Feld, Kondensatoren

Coulomb’sches Gesetz F 

Q1  Q 2 4   0  r 2

F

Anziehungs-bzw. Abstoßkraft

[N]

Q1 ; Q 2

Punktladungen

[C]

15.2 Elektrisches Feld, Kondensatoren

r 0

295

Abstand zwischen den Ladungen

[m]

Influenzkonstante des Vakuums

[A·s/V·m]

 0  8 ,854  10

 12

Elektrische Feldstärke E 

F Q

E 

U d

F Q

Anziehungs- bzw. Abstoßkraft

[N]

elektrische Ladung

[C]

E

Elektrische Feldstärke

[V/m]

U d

Spannung

[V]

Feldlinienlänge/Abstand zwischen Kondensatorplatten

[m]

Elektrische Verschiebungsdichte

D 

Q A

D   E

  0 r D

Verschiebungsdichte

A  s / m ² 

Q

elektrische Ladung

[C]

A E

Feldquerschnitt/ Fläche Kondensatorplatten

[m²]



Elektrische Feldstärke Dielektrizitätskonstante

[V/m]

A  s / V

m

0

Influenzkonstante des Vakuums

A  s / V

m

 0  8 ,854  10

r

 12

relative Dielektrizitätskonstante (Luft = 1, Hartpapier = 3, Glimmer = 7)

296

15 Elektrotechnik

Ladung des Kondensators

Q  DA

Q   EA

Q 

A d

U

Q  C U

D

Verschiebungsdichte

A  s / m ² 

Q

elektrische Ladung

[C]

A E

Feldquerschnitt/ Fläche Kondensatorplatten

[m²]

Elektrische Feldstärke

[V/m]



C

Dielektrizitätskonstante

A  s / V

Kapazität des Kondensators

F

 m

 A  s /V

Kapazität des Kondensators

C  C 

Q U

A d



0  r  A d

Kapazität des Kondensators

C

Kapazität des Kondensators

[F]

Q

elektrische Ladung

[C]

U

Spannung

[V]



A

Feldquerschnitt/ Fläche Kondensatorplatten Dielektrizitätskonstante

[m²]

d

Feldlinienlänge/ Abstand zwischen Kondensatorplatten

[m]

A  s / V

m



15.3 Magnetisches Feld

297

Reihenschaltung von Kondensatoren 1 1 1 1    C ers C1 C2 C3

C ers 

Cers

C1  C 2 C1  C 2

Ersatzkapazität

[F]

Parallelschaltung von Kondensatoren C ers  C 1  C 2  C 3

Cers

Ersatzkapazität

[F]

Energieinhalt von Kondensatoren

W elektr . 

1  C  U 02 2

V  A  s  J

Welektr.

Energieinhalt von Kondensatoren

C

Kapazität des Kondensators

[F]

U

Urspannung

[V]

15.3

 W  s

Magnetisches Feld

Indiffernzzone → Magnetisch unwirksame Steffe in der Mitte zwischen den beiden Polen. Magnetische Influenz → Weicheisen wird in der Nähe eines Magnets selbst magnetisch Permeabilität → Durchlässigkeit von Feldlinie durch einen Stoff. Uhrzeigerregel → Für einen in Richtung des Stroms blickender Beobachter verlaufen die Feldlinien im Uhrzeigersinn. → Ein auf eine Spulenöffnung blickender Beobachter steht vor einem Südpol, wenn der Strom die Spule im Uhrzeigersinn umfließt.

298

15 Elektrotechnik

Magnetischer Fluß (Magnetischer Strom)

  BA

 

IN Rm



Magnetfluß

B

magnetische Induktion/ Flussdichte

Wb  V T  Wb

A Rm

Querschnittsfläche

[m²]

Magnetischer Widerstand

[A/Wb]

I

Stromstärke

[A]

N

Windungszahl

 s / m ²

Magnetische Induktion/Flussdichte B 

 A

B   H B

magnetische Induktion/Flussdichte

[T]

 A

Magnetfluß Querschnittsfläche

[Wb] [m²]



Permeabilität

H

Magnetische Feldstärke

V

 s / A  m  Wb / A  m  [A/m ]

Magnetische Durchflutung (Magnetische Spannung)

  I N  I N

Magnetische Durchflutung Stromstärke Windungszahl

[A] [A]

Magnetische Feldstärke

H 

 s

H 

Magnetische Feldstärke Magnetische Durchflutung

[A]

s

mittlere Feldlinienlänge

[m]

[A/m]

15.3 Magnetisches Feld

299

Magnetischer Widerstand

Rm  Rm 

IN  1





s A

  0 r

Rm

Magnetischer Widerstand

A / Wb 

I

Stromstärke

[A]

N

Windungszahl

 s 

Magnetfluß

[Wb]

Länge des Leiters

[m]

Permeabilität

0

Induktionskonstante  0  1, 257  10

r

V 6

 s / A  m  Wb / A  m 

Wb  4    10

/ A m

7

relative Permeabilität

Luft = 1

Magnetischer Leitwert  

 1  Rm I N

 

A s



Magnetischer Leitwert

H

Rm

Magnetischer Widerstand

A / Wb 

I

Stromstärke

[A]

N

Windungszahl

 s A 

Magnetfluss

[Wb]

Länge des Leiters

[m]

Querschnittsfläche Permeabilität

[m²]

V

 Wb / A 

 s / A  m  Wb / A  m 

300

15 Elektrotechnik

Eisen im Magnetfeld

 0  tan   r 

0

B H

B 0 H

Wb

Induktionskonstante  0  1, 257  10

6

 4    10

/ A m

7

r

relative Permeabilität

Luft = 1

B H

Magnetische Induktion/ Flussdichte

[T]

Magnetische Feldstärke

[A/m]

Der magnetische Kreis mit Eisenkern und Luftspalt   H

E

 sE  H

L

 sL

B  0  r  H

0



BE  sE B s  L L 0  r 0



 s   s L  E 0  0 B

  

Wb

Induktionskonstante 

0

 1 , 257  10

6

 4    10

/ A m

7

r

relative Permeabilität

Luft = 1

B H

Magnetische Induktion/Flussdichte

[T]

Magnetische Feldstärke

[A/m]

HE

Feldstärke im Eisen

[A/m]

HL

Feldstärke im Luftspalt

[A/m]

sE

mittlere Feldlinienlänge im Eisen

[m]

sL

mittlere Feldlinienlänge im Luftspalt

[m]

15.3 Magnetisches Feld

301

Allgemeines Induktionsgesetz E  

E  t N  / t

 N t

Urspannung

[V]

Flussänderung

[Wb]

Zeit der Flussänderung

[s]

Windungszahl Änderungsgeschwindigkeit des Magnetflusses

Anwendung Induktionsgesetz – Bewegung eines Leiters im Magnetfeld E  B sv  N   B s v t

E B

s v

N

Urspannung

[V]

Magnetische Induktion/ Flussdichte wirksame Leiterlänge

[T] [m]

Geschwindigkeit der Bewegung Windungszahl

Selbstinduktion

Selbstinduktion → In den Windungen der Spule tritt eine Induktionsspannung durch Öffnen oder Schließen des Stromkreises oder durch Verstärken oder Schwächen des Stromes hervor.

L  N²

L  N²  L 

A s

N  I

E  L 

I t

E L

Urspannung

[V]

Induktivität der Spule

H

 V  s / A

N

Windungszahl



Magnetischer Leitwert



H

 WB / A 

Permeabilität

V

 s / A  m  Wb / A  m 

302

15 Elektrotechnik

A s

Querschnittsfläche wirksame Leiterlänge

[m²] [m]

 I I t

Magnetfluss

[Wb]

Stromstärke

[A]

Stromänderung

[A]

Zeitdauer der Änderung

[s]

Reihenschaltung von Spulen

L ges  L1  L 2  L 3

Lers

Ersatzinduktivität der Spule

[H]

Parallelschaltung von Spulen

1 1 1 1    L ers L1 L 2 L3 L ers 

Lers

L1  L 2 L1  L 2

Ersatzinduktivität der Spule

[H]

Energieinhalt des magnetischen Feldes einer Spule

W magn 

1 L I² 2

Wmagn

Energie

[Ws]

L

Induktivität der Spule

V

I

Stromstärke

[A]

s/ A  H



15.4 Wechselstrom

15.4

303

Wechselstrom

Wechselstrom → Wird durch Drehen einer Spule im ruhenden Magnetfeld erzeugt. Funktionsgleichungen des Wechselstroms

u  uˆ  sin t i  iˆ  sin  t

  t

u i

Augenblickswert der Spannung

[V]

Augenblickswert der Stromstärke

[A]

uˆ

Scheitelwert der Wechselspannung

iˆ

Scheitelwert der Stromstärke

  t

[m²] u  uˆ bei =90°

Drehwinkel

[°] RAD

Winkelgeschwindigkeit

[1/s]

Zeit

[s]

Frequenz

f 

1 T

f

Frequenz

Hz

T

Periode

[s]

 1 / s

Drehzahl n 

60  f p

n

Drehzahl pro Minute

1 / min 

f

Frequenz

[Hz]

p

Anzahl der Polpaare

304

15 Elektrotechnik

Kreisfrequenz

  2   f

 

2 T



Kreisfrequenz/ Winkelgeschwindigkeit

[1/s]

f

Frequenz

[Hz]

T

Periode

[s]

Effektivwert der Spannung und der Stromstärke

Die Stromstärke und Spannung des Gleichstroms, der die gleiche Wirkung wie der Wechselstrom hat, nennt man die effektive Stromstärke (I) bzw. effektive Spannung (U) des Wechselstroms. I 

U 

iˆ 2

uˆ 2

I

Effektivwert der Stromstärke

[A]

U uˆ

Effektivwert der Spannung

[V]

iˆ

Scheitelwert der Stromstärke

Scheitelwert der Wechselspannung

[m²] u  uˆ bei =90°

Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis Z  R 

U I

I

Effektivwert der Stromstärke

[A]

U

Effektivwert der Spannung

[V]

Z R

Scheinwiderstand

[]

Wirkwidertand

[]

15.4 Wechselstrom

305

Reihenschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwidertand (R, C)

U  I  Z 

R²  X

R²  X

 X R

2 C

UR R  Z U

cos  

tan  

2 C

UC U R



C

Reihenschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand

I

Stromstärke

[A]

U

Spannung

[V]

Z R XC

Scheinwiderstand

[]

Wirkwiderstand

[]

kapazitiver Blindwiderstand

[]



Phasenverschiebungswinkel

[°]

Parallelschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand (R, L)

I 

I R2  I L2

Y 

G ²  B L2

cos  

IR Z  I R

sin  

IL Z  I XL

Parallelschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand

1 Y  Z Z 

I Z Y R

1 1 1  R² X L2

Gesamtstromstärke

[A]

Scheinwiderstand

[]

Scheinleitwert

[S]

Wirkwiderstand

[]

306

XL

15 Elektrotechnik induktiver Blindwiderstand

[]



Phasenverschiebungswinkel

[°]

IR

Wirkstromstärke

[A]

Ii

induktive Blindstromstärke

[A]

Parallelschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand (R, C)

I 

I R2  I C2

Y 

G ²  B C2

cos  

IR Z  I R

sin  

IC Z  I XC

Y  Z 

I Z Y R XC

1 Z

Parallelschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand

1 1 1  R ² X C2

Gesamtstromstärke

[A]

Scheinwiderstand

[]

Scheinleitwert

[S]

Wirkwiderstand

[]

kapazitiver Blindwiderstand

[]



Phasenverschiebungswinkel

[°]

IR

Wirkstromstärke

[A]

IC

kapazitive Blindstromstärke

[A]

15.4 Wechselstrom

307

Reihenschaltung Schwingkreis (R, L, C) U  I Z 

I 

R ²  X

R ²  X

L

U

R ²  X

cos  

R Z

tan  

X

L

L

L

 X C ²

 X

C

²

 X C ²

 XC R

I

Stromstärke

[A]

U

Spannung

[V]

Z R

Scheinwiderstand

[]

Wirkwiderstand

[]

XL

induktiver Blindwiderstand

[]

XC 

kapatiziver Blindwiderstand

[]

Phasenverschiebungswinkel

[°]

Reihenschaltung Schwingkreis

308 X

L

15 Elektrotechnik  XC

XC  X

L

XL  XC

→

indukativen Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L

→

kapazititven Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C

→

Resonanzfall, Phasenverschiebungswinkel

  0 ; X  X L  X C  0 ; Z  R 1

f0 

2  

L C

1

0 

L C

f0

Resonanzfrequenz

[Hz=1/s]

0

Resonanzwinkelgeschwindigkeit

[1/s]

L

Induktivität der Spule

V  s / A  H 

C

Kapazität des Kondensators

[F]

Güte:

Q 

Q 

UL XL I  U RI 0 L R



1  R

L C

Parallelschaltung Schwingkreis (R, L, C)

Parallelschaltung

I 

I R2  I L  I C ²

Y 

G ² 

B L

 B

C

²

15.4 Wechselstrom Z 

309 1

 1 1 1   R ²  X L XC

  ² 

1

U 

 1 1 1   R ²  X L XC

  ² 

cos  

IR G  I Y

sin  

B  BC IL  IC  L I Y

I

Stromstärke

[A]

U

Spannung

[V]

Z R

Scheinwiderstand

[]

Wirkwiderstand

[]

XL

induktiver Blindwiderstand

[]

Xc 

kapazitiver Blindwiderstand

[]

Phasenverschiebungswinkel

[°]

XL  XC

→

kapazitiven Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C

XC  XL

→

indukativen Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L

XL  XC

→

Resonanzfall, Phasenverschiebungswinkel  = 0°, X = XL + XC = 0, Z = R

f0 

0 

1 2  

L C

1 L C

f0

Resonanzfrequenz

[Hz=1/s]

0

Resonanzwinkelgeschwindigkeit

[1/s]

L

Induktivität der Spule

V

C

Kapazität des Kondensators

[F]

s/ AH



310

15 Elektrotechnik

Güte: Q 

IL 1   I R

L C

Energieinhalt von Schwingkreisen

E el 

1  C U ² 2

E magn 

1 LI2 2

E magn  E el

I

Stromstärke

[A]

U

Spannung

[V]

L

Induktivität der Spule

V

C

Kapazität des Kondensators

[F]

Eel

elektrische Energie

[Ws]

Emagn magnetische Energie

s/ A  H



[Ws]

Leistung bei Phasengleichheit

Phasengleichheit ist gegeben, wenn der Wechselstromkreis nur mit einem Wirkwiderstand belastet ist.

P U I

I

Effektivstromstärke

[A]

U

Effektivspannung

[V]

P

Wirkleistung

[W]

Leistung bei Phasenverschiebung

P  U  I  cos  Q  U  I  sin 

S U I

S ²  P²  Q²

I

Effektivstromstärke

[A]

U

Effektivspannung

[V]

P

Wirkleistung

[W]

15.4 Wechselstrom

311

S

Scheinleistung

V

Q

Blindleistung

[var]

var

Voltampere reaktiv Phasenverschiebungswinkel

[°]



 A

Leistungsfaktor

cos  

P S

cos

Leistungsfaktor

[°]

P

Wirkleistung

[W]

S

Scheinleistung

[V·A]

cos   1

 = 0°

P=S

cos   1

0° <  < 90°

P