Physica status solidi: Volume 9, Number 2 May 1 [Reprint 2021 ed.] 9783112497647, 9783112497630

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plrysica status solidi

VOLUME 9 • N U M B E R 2 . 1965

Contents Reylew Article W . KLOSE

Page

Phänomenologische Theorien der Supraleiter zweiten Typs und ihre Gültigkeitsgrenzen 295

Original Papers M . ASCHE, B . L . BOITSCHENKO u n d O . G . SARBEJ

Abhängigkeit der Anisotropie der elektrischen Leitfähigkeit des Siliziums vom elektrischen Feld 323 J . E . C A F F Y N , J . C . D E F R E I T AS, a n d T . L . GOODFELLOW

Charged Dislocations in Sodium Chloride Crystals Containing Sodium Hydroxide 333 A . B O H U N , J . S A K u n d J . DOLEJÛSÎ

Optische und elektrische Erscheinungen in bleiaktivierten Alkalihalogeniden 341 P . S. MAHESH a n d B . DAYAL

Krebs's Model for the Alkali Metals and the Screening Parameter. . . 3 5 1 H . KOPPE u n d R . J . JELITTO

Dünne ferromagnetische Schichten : Ableitung der Valentaschen Molekularfeldgleichungen aus einem Variationsverfahren für die Freie Energie des Heisenberg- und des Ising-Ferromagneten 357 T. PIECH a n d J .

HANDEREK

Some Remarks on Electret Theory

361

B . PISTOULET e t M . ROUZEYRE

Sur le mode de fonctionnement des transistors à interface métalsemiconducteur 369 R . P . GUPTA a n d B. DAYAL

Study of the Lattice Dynamics of Magnesium by an Electron Force Model 379 R . MANAILA a n d P .

P A U S» E S C U

Structural Changes in MgMn 2 0 4 at High Temperatures

385

H . M . OTTE a n d I. D . BLUCHER

Diffraction Effects from Faults in Ultra Pure Carbon

395

J . T . DEVREESE a n d R . P . EVRARD

On the Strong Coupling Techniques of Polaron Theory

403

R . OQOIONI a n d P . SCARAMELLI

Optical Absorption and Photoluminescence of Cu-Doped Alkali Halide Crystals 411 R . O G G K W I a n d P . SCARAMELLI

Mechanism of X-Ray Emission in K B r : Cu Single Crystals

423

S. PENEVA u n d S. BUDUEOV

Über die Wachstumsformen von Rubidiumeinkristallen aus der Gasphase 435 H . M . O T T E a n d A . G . CROCKER

Crystallographic Formulae for Hexagonal Lattices (Continued

on cover

three)

441

physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Münster, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, 0. S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J . T A U C , Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Edinburgh, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J. D. E S H E L B Y , Cambridge, G. J A C O B S , Gent, J. J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Clausthal-Zellerfeld, M. MATYAS, Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. MOSS, Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B. V. R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. Y A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 9 • Number 2 . Pages 293 to 658 and K 73 to K 160 May 1,1965

A K A D E M I E - V E R L A G -

B E R L I N

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S c h r i f t l e i t e r u n d v e r a n t w o r t l i c h f ü r d e n I n h a l t : P r o f e s s o r D r . D r . h . c. P . G ö r l i c h , 102 B e r l i n , N e u e S c h ö n h a u s e r S t r . 20 b z w . 69 J e n a , H u m b o l d t s t r . 2 6 . R e d a k t i o n s k o l l e g i u m : D r . S. O b e r l ä n d e r , D r . E . C u t s c h e , D r . W . B o r c h a r d t . A n s c h r i f t d e r S c h r i f t l e i t u n g : 102 B e r l i n , N e u e S c h ö n h a u s e r S t r . 20, F e r n r u f : 4 2 6 7 8 8 . Verlag: Akademie-Verlag G m b H , 108 B e r l i n , L e i p z i g e r S t r . 3 - 4 , F e r n r u f : 2 2 0 4 4 1 , T e l e x - N r . 0 1 1 7 7 3 . P o s t s c h e c k k o n t o : B e r l i n 3 5 0 2 1 . D i e Z e i t s c h r i f t „ p h y s i c a s t a t u s solidi'* e r s c h e i n t j e w e i l s a m 1. d e s M o n a t s . B e z u g s p r e i s e i n e s B a n d e s M D N 60,-. B e s t e l l n u m m e r dieses B a n d e s 1068/9. G e s a m t h e r s t e l l u n g : V E B D r u c k e r e i „ T h o m a s M ü n t z e r " B a d L a n g e n s a l z a . — V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r d e r L i z e n z n u m m e r 1310 des P r e s s e a m t e s b e i m V o r s i t z e n d e n d e s M i n i s t e r r a t e s der Deutschen Demokratischen Republik.

Review

Article

phys. stat. sol. 9, 295 (1965) Forschungslaboratorium

der Siemens-Schuckert-Werke

AO.,

Erlangen

Phänomenologische Theorien der Supraleiter zweiten Typs und ihre Gültigkeitsgrenzen1) Von W . KLOSE

Inhaltsübersicht 1. Einleitung 2. Mikroskopische Theorie und Typ-l-Supraleiter (Sl) 3. Eigenschaften von Typ-2-Supraleitern (S2) 4. Phänomenologische Theorien der Supraleitung 4.1 Thermodynamik 4.2 Elektrodynamik 4.3 Allgemeine Phänomenologie 5. Die Ginsburg-Landau(GL) und Bardeen(B) Theorie 6. Negative Phasengrenzflächenenergie 7. Erweiterungen und Verbesserungen der GL-BTheorie 8. Abrikosov-Lösung der GL-B-Theorie 9. Transportströme im Abrikosov-Zustand 10. Unteres kritisches Magnetfeld für den Abrikosov-Zustand 11. Magnetisierung im Abrikosov-Zustand 12. Zusammenfassung und Ausblick Literatur

1. Einleitung Die mikroskopische Theorie der Supraleitung von Bardeen, Cooper und Schrieffer (BCS) [4] beschreibt unendlich ausgedehnte, homogene und isotrope Supraleiter. Die Elektronen im Supraleiter unterliegen außer der gegenseitigen Coulombabstoßung einer attraktiven, durch wechselseitige Emission und Reabsorption virtueller Phononen gegebenen Wechselwirkung, die bewirkt, daß sich an der Fermiflache Elektronenpaare (im Impulsraum) bilden. Der Grundzustand des Supraleiters liegt tiefer als der des betreffenden Noimalmetalls (d. h. ohne die anziehende Phonon-Wechselwirkung) und ist von diesem durch eine Energielücke getrennt. Dadurch ist es nicht möglich, den Supraleiter durch Zuführung infinitesimaler Energiebeiträge aus dem Grundzustand heraus anzuregen. Endliche Energiemengen, charakterisiert durch die Lücke im Energiespektrum, sind für die Anregung notwendig. Vor Bekanntwerden der BCS-Theorie gab es keine erfolgreiche mikroskopische Theorie der Supraleiter. Phänomenologische Theorien wie die von London [33], Pippard [40], Bardeen [2], Koppe [27] und Ginzburg und Landau [13] beAls Habilitationsschrift von der Naturwissenschaftliehen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg im Juli 1964 angenommen. 20*

296

W . KLOSE

schrieben mehr oder minder große Teilbereiche der beobachteten Phänomene und gingen ineinander über. Da diese Theorien mit vielen Experimenten in Einklang standen, wurde es als Erfolg der BCS-Theorie angesehen, daß aus ihr die phänomenologischen Ansätze gefolgert werden können [15]. Die von der BCS-Theorie beschriebenen Supraleiter bezeichnet man als Supraleiter vom 1. Typ (Abkürzung Sl). Ihre Eigenschaften sind in Abschnitt 2 beschrieben. In den letzten Jahren wurde es offenbar, daß es außer den Sl andere Supraleiter gibt, die zwar die grundsätzlichen supraleitenden Eigenschaften mit den Sl gemeinsam haben, sonst aber Erscheinungen zeigen, die nicht einfach mit der BCS-Theorie vereinbar sind. Solche Supraleiter nennt man Supraleiter vom 2. Typ (Abkürzung S2). Ihre Eigenschaften sind in Abschnitt 3 dargestellt. Eine ausführliche Darstellung der experimentellen Situation findet sich in [24]. Es hat sich herausgestellt, daß die schon erwähnten phänomenologischen Theorien außer den Lösungen für Sl weitere Lösungen gestatten, die auf die S2 anwendbar sind. Mit ihnen wird sich die vorliegende Arbeit in den Abschnitten 8 bis 11 befassen. Man findet, daß die Lösungen für S2 bisher nur für spezielle äußere Situationen (Magnetfeld H, Stromdichte j, Temperatur T) angebbar sind. Die weitere Aufgabe der Supraleitungstheorie ist durch die Verallgemeinerung der phänomenologischen Lösungen für S2 sowie eine Ableitung der phänomenologischen Theorien aus einer mikroskopischen Theorie charakterisiert. 2. Mikroskopische Theorie und Typ-1-Supraleiter (Sl) Ausgangspunkt der BCS-Theorie ist der Hamiltonoperator # B c s = 2 E sk b% bk + Z |£iu| bkbtE Vkw K- K • k>kf kkF k - « + ^ » m ^ H ^ K (35)

Die Grundgleichungen der Theorie (28) und (29) lauten mit (34) in dieser rellen Eichung _ J i l gibt. Mit (37) kann man den Ausdruck (35) für die Oberflächenenergie vereinfachen: 00

¡Co Wegen der Nichtlinearität von (36) können analytische Lösungen nicht gefunden werden. (38) muß daher numerisch ausgewertet werden. Das führt zu folgendem Resultat [13, 31]: G> 0

für

H ig Hc ,

wenn

•x < -Lr 1/2 1

in

GL-Theorie (39)'

v

n p

x < - V

P

in

B-Theorie bei T - > 0 .

Hier ist k der in (32) definierte Ausdruck. Wenn dagegen x größer ist als die in (39) gegebenen kritischen Werte, kann die Oberflächenenergie auch negativ werden. Wenn 1 oder k > — • 1,36 bei T - > 0 °K, ist K2 or > 0 bei H < Hc, ff < 0

bei

H^>He.

% > — bei l/2

T px Tc

1

(40) '

K

308

W . KLOSE

Diese Schreibweise impliziert, daß für H > Hc noch supraleitende Lösungen der Gleichungen (28) und (29) zu finden sind. Wir befassen uns damit in Abschnitt 8. Für x 0 °K enthalten (vgl. [23]). Die Abrikosov-Lösung ist eine Iterationsnäherung für den Spezialfall |!F]2 1, H pa Ha im Innern des Supraleiters. In 0. Näherung wird in (56) W = 0 gesetzt und für A erhalten A0 = (0, H0 x, 0) , (58) was einem homogenen Feld in z-Richtung entspricht. Es ist div A0 = 0. In 1. Näherung wird A0 in (55) eingesetzt und für den GL-Fall der nichtlineare Term vernachlässigt. Die Gleichung (55) geht über in «2U/

^

Der Ansatz

o2U/

+ ^

+

=

eikv m(x) fn(x) t n.m x rot rot

y

(n -

m)

;

pi k(n—m) y

= E 0 * Cn y>m(x) y>n{x) n, m

Zur Vereinfachung der Rechnung kann auf die Eichung div A ± = 0 verzichtet werden. Wählt man ein Vektorpotential mit nicht-verschwindender Divergenz, kann gemäß (27) eines mit div Ax = 0 erzeugt werden. Der dabei an der Wellenfunktion auftretende Eichfaktor ist so lange ohne Interesse, als im Ergebnis \W\2 auftritt. Wir wählen daher A1 = (0, At(x,

y), 0)

(61)

und erhalten für A1 die Gleichungen -

8x 8y = ^^ " nEym C*mGn y>m(x) yn(x)

(n -

82A

k (n + Yji CtCn

mit der Lösung

m) e{ *„(x)

p — m\

2

— e y)p(x)

Cn-p+m

Cp

y>n—p + m (x)

X

(63)

ipm{x)

wobei I mp{x)

=

Sxpv{x')Wm{x')dx'

.

Der Trick bei der Abrikosov-Lösung besteht darin, an der Lösung in erster Näherung festzuhalten u n d die in (63) angeschriebene 2. Näherung zur Festlegung von zu benutzen. Dazu wird in (63) der Homogenteil der Gleichung nochmals vereinfacht (H0 = ¡i), so daß die Lösung der homogenen Gleichung y)n(x) ist. Die Lösung der homogenen Gleichung muß orthogonal sein zur Inhomogenität. Die daraus folgende Bedingung ist zur Festlegung der in l F 1 noch offenen Konstanten zu benutzen: l/2 L 2

V

f

X Z , Cp Cm p, m

I

X

p-hm

•iy. —KP

• m) 2 + {n -

V>!]

fiu

— nH0

c

n

=

0.

(64)

Multiplikation von (64) mit C* und Summation über n liefert H

- H0

(65)

l^il 2 +

Die mit (65) der Lösung in 1. Näherung auferlegte Bedingung ist natürlich nicht ausreichend, um schon alle Konstanten festzulegen. Durch die Einführung von k u n d H0 ist man jedoch auch nicht mehr sicher, daß die zu der Lösung gehörige Gibbssche freie Energie minimal ist. Es gibt somit noch eine weitere Bedingung f ü r die Lösung, die H0 u n d k verknüpft. Die noch freien Größen Cn dienen zur Festlegung eines Lösungsmodells, in dessen Rahmen die Festlegung der anderen Größen erfolgt. Da kein Raump u n k t bei unseren Betrachtungen ausgezeichnet ist, müssen die C B 'die Periodizit ä t von in »-Richtung gewährleisten, so daß es eine Rekursionsbeziehung gibt: Cn+N

=

Cn

.

(66)

J e nach Wahl von N hat man ein anderes „Modell". Die Unterscheidung zwischen ihnen hat nach dem tiefsten W e r t der Gibbsschen freien Energie zu erfolgen. N ist völlig beliebig, die Periodizität in »-Richtung ist jedoch mit der in ^/-Richtung verknüpft. x¥x ist eine doppeltperiodische Funktion.

Phänomenologische Theorien der Supraleiter zweiten Typs

315

Wir betrachten nun das mittlere Magnetfeld gemäß (62) und (65): H = H

0

- ± -1 W 11

2/i '

= Hu0+

1

"

' 2¡i

1

n

1 (i _ V - H»\ _ 2 ß2 \ p )

oder mit ß =

H = H

0

1

I^IVI^P2

e

WiVlWi\'2>

(67)

- < ^

(68)

Dies benutzen wir zur Berechnung des Minimalwertes von Gs — Gn nach (26), wobei gemäß (19) und (54) in reduzierten Koordinaten (53) zu schreiben ist Gs — Gn

=

Ba

V + a') V| + Ä« -

+ ±

2

|>P|« - 2 J (H - Ha) dHa\ d3r , o I

was sich unter Verwendung von (55) und (56) bis auf Oberflächenintegrale reduziert auf Gs -

Gn = f

{ ( # - Haf

-

±

1^1*} d*r .

(69)

Wir führen in (69) nun (68) ein und erhalten das Resultat Gs -

G„ =

(H -

Haf

Hf

1 +

T

( 2

" '

e

~

1 )

1 + (2/.»« - l ) ß + £

/ _

g

•

(70)

Bei festgehaltenen H hat Gs — Gn nach (70) seinen minimalen Wert für minimales ß. Damit hat man alles zusammengetragen, was zur Festlegung von (iPj, A t ) als brauchbarer Lösung der GL-Gleichungen nötig i s t : a) Die Lösung in 1. Näherung garantiert die Existenz der nächsthöheren Näherung. b) Die Lösung macht Gs — Gn minimal. Als „Abrikosov-Modell" findet in der Literatur der Fall N = 1 (vgl. (66)) Beachtung. Dafür ist (vgl. [1]) = C e-Ka*!/2

«

+ » yj)

(71)

mit als Thetafunktion. Die doppelt periodische Funktion W i nach (71) beschreibt ein Muster von Magnetfeldlinien bzw. mit diesen verknüpften Stromwirbeln. Für x = y = = ~

ist XP1 = 0, d. h. H = H0, das maximal vorhandene Magnetfeld.

¡j, gibt die T-Abhängigkeit

des Modells. Für T — 0 ist ¿t =

\2

ist fi — k. Somit hat man auch eine Möglichkeit, den Bereich 0 erfassen, indem man nach (32) ein T-abhängiges x definiert.

, für T -> T
I npoflojibHaa H nonepeHHan aHH30Tp0IIHH npOBOflHMOCTH n-KpeMHHH IlpH 77 °K KaK (j)yHKHHH BejIHHHHBI H HanpaBJICHHH ajieKTpHHecKoro n o j i a B IUIOCKOCTHX ( 1 0 0 ) H ( 1 1 0 ) . JJ^JIH TeopeTHiecKoro aHajiH3a HAßJNOJIABUIHXCH 3ABHCHM0CTEFT TFTY HKIJHH p a c npesejieHHH DJICKTPOHOB 3ANAETCH B BHJJE MAKCBEJIJIOBCKOÖ c TeMnepaTypaMH u KOHUeHTpaUHHMH SJieKTpOHOB B pa3HbIX HOJIHHaX, OIipejiejIHeMMMH H3 yCJlOBHÜ SajiaHca SHepran H n n c j i a nacTHii. I l p n STOM HJIH MEJKHYNOJIHHHORO pacceHHH« paCCMaTpHBaiOTCH paCJIHHHbie B03M0JKHbie KOMÖHHaUHH /- H 0 - $ O H O H O B . KaHeCTBeHHblii XOA BMIHCJieHIIblX 3aBHCHM0CTefi npOBOHHMOCTH OT nOJIH H y r j i f l Me>Kjiy TOKOM H nojieM OT opneHTaiiHH riocjiefliioro B KpHCTajuie cor.nacyeTca c 3KcnepHMeHTajibHHMH naHHbiMH, npHHeM MaKCHMyM KaK r i o n e p c m o f i , TaK H n p o flOJIbHOH aHH30Tp0nHH C00TB6TCTByeT MaKCHMajIbHOMy pa3JlHHHK> B KOHIjeHTpaUHHX 3J16KTpOHOB B pa3HbIX HOJIHHaX. JUJIH KOJIHHeCTBeHHOrO COBnajieHHH, OJTHHaKO, 3T0 pa3JIHqHe HOJIJKHO 6bITb ßOJlbUIHM.

1. Einleitung Die Anisotropie der elektrischen Leitfähigkeit von Vieltalhalbleitern wurde von vielen Autoren sowohl theoretisch in allgemeiner Form [1 bis 3] als auch experimentell an Ge [4 bis 9] und Si [10 bis 12] untersucht. Die experimentellen Arbeiten beinhalten bisher entweder die longitudinale Anisotropie für spezielle Feldrichtungen [12, 14] oder umfassen nur transversale Anisotropie [10, 11]. In der gegenwärtigen Arbeit wird experimentell an ein und denselben Proben in Abhängigkeit von der Orientierung des Feldes im Kristall sowohl die longitudinale als auch die transversale Anisotropie als Funktion der Feldstärke untersucht. J ) Physikalisch-Technisches Institut der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.

324

M . ASCHE, B . L . BOITSCHENKO u n d

O . G . SABBEJ

Für Si wurden außerdem fast noch keine Gegenüberstellungen von Theorien und Experimenten durchgeführt, weil für einen solchen Vergleich die Kenntnis der Zwischentalstreuung, die nach Long [13] eine wichtige Rolle für die Streuprozesse in Si spielt, notwendig ist. In einer früheren Arbeit [14] ist der Versuch unternommen worden, eine Lösungsmethode der Boltzmann-Gleichung zu finden und sie bei Berücksichtigung verschiedener Streuprozesse für spezielle Feldrichtungen anzuwenden. Die gleiche Methode zur Ausführung der Integrationen, die im Integranden die Impulsrelaxationszeit enthalten, kann man auf den allgemeinen Fall beliebiger Feldrichtungen anwenden. Da die Berechnungen, die in der früheren Arbeit [14] durchgeführt wurden, für den allgemeinen Fall zu umfangreich sind, beschränken wir unshier auf die Bestimmung von Verteilungsfunktionen vom Maxwelltyp aus Bilanzbeziehungen. Numerische Berechnungen wurden für verschiedene Modelle möglicher Elektron-Phonon-Wechselwirkungen durchgeführt und die Einflüsse der einzelnen verschiedenen Phononengruppen auf die Erscheinungen „heißer" Elektronen erhalten. 2. Experimenteller Teil 2.1 Proben und

Versuchsdurchführung

Für die Untersuchungen wurden Proben aus zwei n-Si-Kristallen benutzt. Ein Kristall hatte einen spezifischen Widerstand von 20 Qcm, eine Elektronenbeweglichkeit von 1350 cm 2 /Vs; die Minoritätsträgerlebensdauer betrug r = 3 (JLS. Da für unsere Experimente einheitliche elektrische Charakteristiken der Proben als Funktion der Temperatur notwendige Voraussetzung sind, wurden mehr als 30 Proben daraus geschnitten, an denen nach der früher beschriebenen Methode [15] Stromund Hallkontakte angebracht wurden. 2 ) Für alle Proben wurden die Leitfähigkeit und der Halleffekt bei 77 und 300 ° K gemessen. Aus ihnen wurden für jede gewünschte kristallografische Orientierung 3 bis 4 Exemplare mit übereinstimmenden Daten ausgewählt, und für sie wurde die Temperaturabhängigkeit von a und R b im Bereich von 77 bis 300 ° K aufgenommen. Bei den für die Untersuchung der Anisotropieeffekte benutzten Exemplaren unterschieden sich o" und R b um nicht mehr als 2,5%, wobei die jeweiligen Werte für ¡i = a R B im Rahmen der Meßgenauigkeit übereinstimmten. Das andere Material hatte einen spezifischen Widerstand von ca. 100 Qcm, eine Elektronenbeweglichkeit von 1350 cm 2 /Vs, eine Minoritätsträgerlebensdauer von 100 [is und eine Versetzungsdickte von 1 bis 2 • 104 cm - 2 . Aus dem ersten Material wurden die Proben in verschiedenen Richtungen in der (llO)-Ebene, aus dem zweiten Kristall in der (100)-Ebene und längs der