Os Elementos 8571399352, 9788571399358

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Os elementos Euclides

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FU N D A ÇÃ O EDITORA D A UNESP

Presidente do Conselho Curador M ário Sérgio V ascon celos

Diretor-Presidente José Castilho M arques Neto

Editor-Executivo Jézio H ernani B om fim Gutierre

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Conselho Editorial Acadêmico Alberto T su yoshi Ikeda Á ureo Busetto Célia A parecida Ferreira Tolentino Eda Maria G ó es Elisabete M aniglia Elisabeth C riscuolo Urbinati Ildeberto M uniz d e A lm eida Maria d e Lourdes Ortiz G andini Baldan N ilson G hirardello Paulo César C orrêa B orges Vicente Pleitez

Editores-Assistentes A n derson Nobara Jorge Pereira Filho Leandro Rodrigues

E U C L ID E S

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T rad u ção e In tro d u ção Irineu Bicudo

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T ítu lo origin al em grego: Exo^ela © 2009 da tradução brasileira D ire ito s de pu blicação reservados à: Fundação E d ito ra da U N E S P (F E U ) Praça da Sé, 108 0 1 0 0 1 -9 0 0 - São Paulo - SP Tel.: ( 0 x x 1 1 ) 3 2 4 2 - 7 1 7 1 Fax: ( 0 x x 1 1 ) 3 2 4 2 - 7 1 7 2 w w w .editoraunesp.com .br ww w .livrariaunesp.com .br feu @ ed ito ra .u n esp .b r

C IP — Brasil. C atalo ga çã o na fon te S in d ica to N a cio n a l dos E d ito res de Livros, RJ E8 6e Eu clides O s elem en tos/E uclides; trad ução e in tro d u ção de Irineu B icudo. — São Paulo: E d ito ra U N E S P 2009. 600p.: il. Tradução de: XTOi^ãa In clui bib liografia I S B N 978- 85-7 139- 935-8 1. M a te m á tica — H is tó r ia . 2. M a te m á tica grega. 3. G e o m e tria — O b ra s anteriores a 18 0 0 . I. B icudo, Irineu. II. T ítu lo . C D D : 510.9

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Para a Beth: Sol de Verão N a Tarde do meu Outono Irin eu B icu d o

N a C iranda dos Anos

Ao passado: as memórias dos meus pais, A délia e Pedro Bicudo Filho, e do meu cunhado, Edmundo Lopes Simões.

Ao presente: as minhas filhas, Érica e Tatiana V Bicudo, e a minha irm ã Neyde B. Simões.

Ao fu tu ro: os meus netos C atarin a e Ian V B . Minczuk Irin eu B icu d o

Sumário

Prefácio . 11 Introdução . 15 Livro I . 97 Livro II . 135 Livro III . 151 Livro IV . 187 Livro V . 205 Livro V I . 231 Livro V II . 269 Livro V III . 299 Livro IX . 325 Livro X . 353 Livro X I . 481 Livro X II . 527 Livro X III . 563

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Prefácio

É -m e fo rte a im pressão de, desde sem pre, eu ter qu erid o estud ar o grego clássico . L em bro com que sen tim e n to de en can to folheava o cad erno que um v izin h o m e em prestara, co n ten d o as liçõ es de um quase nada daquela lín gua que ele aprendera quando sem in arista. C ursava eu, en tão, a an tiga esco la prim ária. E ssa vontade cresceu com as aulas de latim nas qu atro séries g in asiais. E m várias épocas, chegu ei a co m p rar g ram áticas e livros com te x to s em grego. M as a o p o rtu n id ad e (m ipoç: “Q u an d o p o u sa / o pássaro // quando acorda / o esp elho // quando am adurece / a h o ra ”) 1 só surgiu, de fato , arrebatadora, no segundo sem estre de 1 9 8 8 , na d iscip lin a de L íngu a G reg a, m in istrad a pelo P ro fe sso r D r. H e n riq u e G ra cia n o M u rach co , no P rogram a de E x te n sã o U n iv ersitá ria da Faculdade de F ilo so fia , L etras e C iên cias H u m an as da U niversid ad e de S ã o Paulo. E n tã o , p o r dez anos, sem pre que m inhas atividades co m o p ro fesso r, v ice-d ire to r e depois d ireto r do In s titu to de G eo ciên cia s e E x atas da U N E S P de R io C laro e algum as viagens ao ex terio r m e p erm itira m , p a rticip e i co m dedicação e en tu siasm o , nas tardes das sex tas-feiras, com um grupo de pessoas de várias p roced ências p ro fissio n ais, do que o P ro fe sso r H e n riq u e chamava de “O ficin a de T rad u ção”. A li vertem os para o português longas passagens de H o m e ro , H e ró d o to , P índ aro, S ó fo c le s, P latão, X e n o fo n te , A ristó te le s. O m eu envolvim ento com as letras aum entava com o tem p o , e a co n seq u ên cia disso foram os m ú ltip lo s e h o n ro so s convites, sem pre aceito s, para p a rtic i­ par de bancas exam inadoras de co n cu rso para ingresso de p rofessor, de teses

1 F O N T E L A , O . Poesia R eunida. São Paulo: 7 L etras/C o sa cN aify, 20 0 6 [ 1 9 6 9 / 1 9 9 6 ] .

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de d o u to ram en to , de co n cu rso de liv re-d o cên cia e de dois co n cu rso s de p ro fe sso r titu lar, to d o s do D ep a rta m en to de L etras C lássicas e V ernáculas da velha universidade. O livro que ora dou a p ú b lico é o fru to am adurecido, desde en tão, pelos lo n g o s anos de aprendizagem . C o m ele viso, ev id en tem ente, aos estu d an ­ tes de M a te m á tica e aos p ro fesso res dessa ciên cia. In clu o no p ú b lico -a lv o tam bém as pessoas cu ltas em geral que se in teressem pelas co n q u ista s gregas na A n tiguid ad e, os estu d an tes de F ilo so fia e os de L etras C lássicas (g re g o ), cu jo cu rso, do m eu p o n to de vista, deixa aberta um a im ensa la cu ­ na no co n h e cim en to da cu ltu ra grega ao não estud ar obras m atem áticas e h ip o cráticas, g ran d io so s m o n u m en to s daquela civilização. P ro clu s, para m o stra r a excelência do trabalh o de E u clid es, descreve al­ gum as qualidades que um trabalh o desse tip o deva ter, e que o de E u clid es, de fa to , tem . A ssim , diz: É preciso a obra que tal desembaraçar-se de todo o supérfluo —pois isso é um obstáculo à instrução;2 muita preocupação (d ev e) ter sido efetivada relativa a clarezas e, ao mesmo tempo, a concisões —pois os contrários dessas turvam a nossa inteligência.3 D e fato , a p rática de E u clid es freq u en tem e n te co n tem p la a co n cisã o — p o r exem plo, em lugar de “o quadrado sobre a A B (is to é, de lado A B ) ” diz, na m aioria das vezes, “o sobre a A B ”; e, “o pelas A B, C D ”, em lugar de “o retân g u lo co n tid o pelas A B, C D (o u seja, de lados A B, C D ) ”; “co rta r em duas” sem pre sig n ifica “co rta r em duas partes iguais (is to é, b is s e c ta r )” etc. M as se, p o r um lado, a co n cisão leva, en tre o u tras coisas, a esse en ­ cu rtam en to das expressões, que m antive na trad u ção em resp eito ao estilo eu clid iano, ao co n trá rio do que faz a recen te versão fran cesa que se fa rta de palavras au sentes no grego, p o r o u tro lado, a clareza não abandona o le ito r a te n cio so que lo g o se h abitu ará com essas particu larid ad es. 2 8êi 8è t^v Toiamrçv npay^àTEÍàv tóv |ièv àrcEOKEwloOai to rcEpmóv è^rcóSiov yàp Tomo rcpòç t^v |iá0rçoiv 3 oa^avsíaç 8’â^a Kài owTó^íaç rcoXArçv ft£ftoiflo0ai npóvoiav Tà yàp èvavTÍa Tomrnv èm0oXoi t^v Siàvoiav i^ffiv. 12

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Chamo a atenção para o fato de, em grego, o termo “lado” (ftXe-upá) ser feminino e assim só esse gênero aparecer ao referir-se o texto a “o lado AB do triângulo...” ou a “a reta (ou seja, segmento) AB do triângulo...”. Então, a tra­ dução usa, nesses casos, indiferentemente, os artigos masculino ou feminino. Previno, p o r fim, a quem p o ssa interessar, que é p reciso fôleg o para acom p anh ar m u itíssim a s das d em o n straçõ es que aqui se en co n tra m , e d eterm in ação. G aran to , no en tan to , que, vencida a in ércia, u ltrapassad o o o b stá cu lo , alcançado o o b jetiv o com a com p reensão do resu ltad o, cabe a recom p ensa de te r m ergulhado no p ró p rio p ro cesso do que d en om in am os “p e n sa r” e de haver pod id o ap reendê-lo em to d a a sua abrangência. M a is: b ro tará d isso a co nvicção de que, se com H o m e ro a lín gu a grega alcançou a perfeição, atin ge com E u clid es a precisão. E o método form u lar, que co n siste em usar um c o n ju n to de frases fixas que cobrem m u itas ideias e situ açõ es com u ns, p o d ero so au xílio à m em ória em um tem p o de cu ltu ra e de en sino em in en tem en te orais, serve para aproxim ar o g eô m etra do p o eta e então m o strar que p erfeição e p recisão podem ser faces da m esm a m edalha. A grad eço à m inha esposa, E liz a b e th C h ristin a P lo m b o n , que d ig ito u com carin h o e cuidado to d o o trabalh o , co n fe c cio n a n d o -lh e as, m u itas vezes, com p licad as figuras, e sendo de im p o rta n te ajuda nas revisões; ao P rof. D r. H e n riq u e M u ra ch co , pelo en sino e a am izade, e ao P rof. D r. Jo sé R o d rig u es Seabra F ilh o , d o cen te de latim da U S P e co m p anh eiro daqu e­ las sex tas-feiras, p o r te r co n ferid o co m igo a trad u ção que fiz do P refácio L a tin o de S tam atis. S o u o ú n ico responsável p o r todas as trad u çõ es do grego e do latim , e p o r quase tod as as do inglês, fran cês, alem ão e italian o. Pois, tendo aprendido algo, jamais neguei, fazendo o conhecimento ser como uma descoberta minha; mas louvo como sábio o que me instruiu, tor­ nando públicas as coisas que aprendi com ele. Platão, Hippias Menor, 3 7 2 c 5 -8 4

4 oü yàp fttórcoTE s^apvoç èy£vó|rçv |a0tóv ti, èiamoíí ftóioúiEvoç tò |à0ii|a Eivai ráç siíp^^aàWèyKM|iáÇm tòv 8i8á^avTá ráç oo^óv OvTa, àrco^aívrav a E|a0ov raptamou.

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R S .: (i) C o n fo rm e salien ta K irk (The Songs o f H om er:5 “F in ally th a t p eren ­ nial pro blem , th e sp elling o f G reek n am es.”6) , a so lu ção que ad otei, nem sem pre com su cesso, fo i a de preservar as form as usuais em p o rtu g u ês dos m ais co n h ecid o s, e prover para os o u tro s a latin izad a, co m o , de h áb ito , p ra tica m -n a os de língua inglesa. (ii) O uso de co lch etes na trad u ção reprod uz o que se en co n tra no tex to grego e, ali, ind ica o que H e ib e rg ju lg a te r sido in serid o p o r terce iro s no e scrito de E u clid es. (iii) E n sin a Said A li na sua G ra m á tica ( p . I 7 I - 2 ) : N os enunciados de caráter condicional, em que a hipótese é um fato inexistente cuja realização não se espera ou não parece provável, emprega-se o im perfeito do conjuntivo para esta hipótese condicionante, e o futuro do pretérito para a oração principal. N a linguagem familiar costuma-se substituir o futuro do pretérito pela forma do im perfeito do indicativo. É substituição permitida em linguagem literária (grifo meu): “Se Deus nos deixara tentar mais do que podem as nossas forças, então tínhamos justa causa de recusar as tentações.” (Vieira) Por isso, apoiado na au torid ad e de um V ieira, v ali-m e dessa fo rm a na trad u ção, p o r exem plo, das P ro p o siçõ e s I . I 9 , I.2 5 etc., ficando assim rente ao o rigin al.

Irin eu B icu d o

5 Os poemas de Homero, Prefácio. 6 [“Finalmente, aquele problema constante, a grafia dos nomes gregos”]. 14

Introdução

Sinto-m e compelido ao trabalho literário: (...) pelo meu não reconhecimento da fronteira realidade-irrealidade; (...) pelo meu amor platônico às matemáticas; (...) porque através do lirismo propendo à geometria. Murilo Mendes

Sinopse N o p refácio do seu livro Euclid. The Creation o f M athematícs,1 o m a tem á tico alem ão B en n o A rtm an n escreve: Este livro é para todos os amantes da matemática. É uma tentativa de en­ tender a natureza da matemática do ponto de vista da sua fonte antiga mais importante. M esm o que o material coberto por Euclides possa ser considerado elemen­ tar na sua maior parte, o modo como ele o apresenta estabeleceu o padrão por mais de dois mil anos. Conhecer os Elementos de Euclides pode ser da mesma importância para o matemático hoje que o conhecim ento da arquitetura grega para um arquiteto. É claro que nenhum arquiteto contemporâneo construirá um templo dórico, muito menos organizará um local de construção como os antigos o faziam. M as, para o treino do julgamento estético de um arquiteto, um conhecimento da herança grega é indispensável. Concordo com Peter H ilton quando diz que a matemática genuína constitui uma das mais finas expressões do espírito hu­ 1 [Euclides. A criação da matemática]. 15

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mano, e posso acrescentar que aqui, como em tantos outros casos, aprendemos dos gregos aquela linguagem de expressão. Enquanto apresenta a geometria e a aritmética, Euclides ensina-nos aspectos essenciais da matemática em um sentido muito mais geral. Exibe o fundamen­ to axiomático de uma teoria matemática e o seu desenvolvimento consciente rumo à solução de um problema específico. Vemos como a abstração trabalha e impõe a apresentação estritamente dedutiva de uma teoria. Aprendemos o que são definições criativas e como uma compreensão conceitual leva à classificação dos objetos relevantes. Euclides criou o famoso algoritmo que leva o seu nome para a solução de problemas específicos na arit­ mética e m ostrou-nos como dominar o infinito nas suas várias manifestações. Um dos poderes maiores do pensamento científico é a habilidade de desvelar verdades que são visíveis somente “aos olhos da m ente”, como diz Platão, e de desenvolver modos e meios de lidar com elas. É isso que Euclides faz no caso das magnitudes irracionais ou incomensuráveis. E, finalmente, nos Elementos encontramos tantas amostras de bela matemática que são facilmente acessíveis e que podem ser minuciosamente estudadas por qualquer um que possua um treino mínimo em matemática. Vendo tais fenômenos gerais do pensamento matemático que são tão válidos hoje quanto o foram no tempo dos antigos gregos, não podemos deixar de concordar com o filósofo Immanuel Kant, que escreveu em 1 7 8 3 , na in tro­ dução à sua filosofia sob o título “Afinal, é a m etafísica possível?”: “Não há absolutamente livro na m etafísica como temos na matemática. Se quiserdes conhecer o que é a matemática, basta olhardes os Elementos de Euclides.”

B en n o A rtm an n o fe receu -n o s, na passagem que acabam os de enunciar, um voo p an o râm ico da fam osa o b ra do g eô m etra grego. M as, do alto , os m o n tes p o u co se destacam , fios de água parecem os rios, a vegetação é apenas um a co b e rtu ra verde. H á m ister de viajar p o r terra. A citação de K an t faz eco ao fa to de, até o final do século X I X , ser E u clid es sin ô n im o de g eo m etria, daquela g eo m etria de régua e com p asso. A ssim , a h istó ria dos Elementos co n fu n d e-se, em larga escala, com a h is tó ­ ria da m atem ática grega. M as a h istó ria de um d o m ín io tão relevante do p en sam en to hum ano d ificilm en te se desvincularia da h istó ria m esm a do hom em . H ajam o s, pois, por bem com eçar a n ossa h istó ria, a nossa expedição te rrestre, pelo era uma vez n a an tiga G récia. 16

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Era uma vez Estranho animal é este bicho homem (...) José Saramago Certamente, é um assunto admiravelmente vão, variado e inconstante o homem. É difícil fundar nele julgamento firme e uniforme. Michel de Montaigne S u ste n ta m m u ito s pensadores ser o hom em um a estran h a criatu ra. D e fa to o scila, co n sta n te m en te , entre o passado, que d eseja conhecer, e o im ­ p erscru tável fu tu ro , incapaz de aceitar que a vida de to d o s os dias retom a, invariavelm ente, a cada dia, o seu dia. A m em ória p ren d e-o ao que fo i; o d esejo, ao que será. C o m o an tecip ar o que ainda não é equivale a ch orar antes do tem p o , e com o o que há de ser virá, claro, na m adrugada, com os seus raios, deixem os de lado o porvir, que a si p ró p rio se basta, pois os invisíveis dedos das coisas e dos atos idos, p ró x im o s e lo n g ín q u o s, tecem , no tear do Fado, o m an to que nos vestirá para sem pre. S o m o s o que os séculos nos fizeram ! O que so m o s de razão e vontade, o que som os de p en sam en to e ação, o que so m o s de sen sibilid ad e e frieza, de trab alh o e lazer, de d escrença e esperança, o que so m o s de b ílis e coração é terem existid o o u tro s, é terem traçad o ru m os, e terem aberto estradas, é terem ap ontad o cam in h o s! E is n o sso s p red ecessores! Para en ten d erm o s a nós p ró p rio s é p reciso en ten d ê-lo s. E os p red eces­ sores dos pred ecesso res; e assim p o r diante, co n tin u a n d o essa busca, pois é sem fund o o p o ço do passado da espécie hum ana, essa essên cia en igm ática, cu jo m istério “in clu i o n o sso p ró p rio m isté rio e é o alfa e o ôm ega de tod as as nossas q u estões, em prestand o um im ed iatism o can d en te a tu d o o que d izem os e um significad o a to d o o n o sso e s fo rç o ”.2 2 MANN, T. “José e seus irmãos”. As histórias de Jacó. O jovem José. v.I. Rio de Janeiro: Nova Fronteira,I983. 17

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C o n su ltem o s, p ois, os velhos reg istro s, leiam os as obras de antanho que chegaram até nós, procurem os em alfarrábios o que pareça haver de nós nos que vieram antes, e, assim , com eçarem os a com p reend er o que pensávam os saber: quem som os, o que nos é possível conhecer, que estrelas e que sóis p od erem os acrescentar ao universo herdado. E m n o sso caso de povo o cid en tal e no que tange à ciên cia da n o ssa p re­ dileção, a bu sca co n d u z-n o s ao era uma vez. Era uma vez, acima de todas, em que “os atribu tos da juventude hum ana to r­ nam -se os atributos de um povo, as características de uma civilização” e em que um sopro de encantadora adolescência passou roçando pelo rosto de uma raça. Quando a Grécia nasceu, os deuses presentearam-na com o segredo da sua imorredoura juventude. A Grécia é a alma jovem. “Aquele que, em Delfos, contempla a densa multidão de jô n io s”, diz um dos hinos homéricos, “imagina que eles jamais haverão de envelhecer”.3 M ic h e le t com p arou a atividade da alm a h elên ica a um jo g o festiv o , em to rn o de que se reúnem e so rriem tod as as nações do m u n do. M a s, desse jo g o de crianças, nas praias do arquipélago e à som bra das oliveiras da Jôn ia, nasceram a A rte, a F ilo so fia, a livre reflexão, “a cu riosid ad e da investigação, a co n sciê n cia da dignidade hum ana, to d o s esses estím u lo s que ainda são a n o ssa insp iração e o rg u lh o ”, e a M ate m ática. E ra uma vezja o rig em do p en sam en to o cid en tal. A F ilo so fia e a M a te m á ti­ ca, no p eríod o m ais p u jan te daquele d istan te passado, falam o grego clássico.

O grego clássico A língua grega é um dos ram os m ais im p o rta n tes do grupo lin g u ístico cham ado in d o -eu ro p eu . A sua o rig em rem o n ta ao “in d o -eu ro p eu p r im iti­ v o ”. O que p o ssu i em palavras e form as de flexão é herança, na sua m aior parte, de um tem p o que precede a sua ex istên cia separada. O s traço s ca ra cte rístico s, no en tan to , que dão ao grego a sua p e cu lia ri­ dade fren te às o u tras lín guas suas irm ãs, surgiram , m an ifestad am en te, só depois do desm em bram ento da prim itiva com unidade de povos, e é provável que esse aju ste ten h a tid o lugar já em so lo grego. 3 RO D O , J. E. Ariel. Campinas: Editora da Unicamp, 1991. 18

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A ideia de um “grego p rim itiv o ” h om o gên eo , isto é, com um a verdadeira unidade, é p ro blem ática. O que p od em os dizer é que, no m o m en to em que a en co n tra m o s nos d o cu m en tos au tên tico s, a lín gu a grega está dividida em ce rto n úm ero de d ialetos falad os, classificáveis co m o d am en te em qu atro g rupos: o jônio, o árcade-cipriota, o eólio e os d iferen tes fa lares cham ados co m u m en te dórios. E. Ragon en sin a-n o s que, à exceção do árcad e-cip rio ta, cada um desses grupos desenvolveu um a língu a literária, cu ja ton alid ad e m o rfo ló g ica varia com a data dos au tores e com o gênero lite rá rio adotado. O p rim eiro daqueles d ialetos, o jô n io , falado na Á sia M en o r, tem por m arca evitar as co n traçõ es e fo i em pregado pelos p rosad ores H e ró d o to e H ip ó cra tes. M as, m istu rad o a elem en tos eólios, serve ao ápice da p erfeição, sendo o pano de fun d o dos poem as h o m érico s que in fluen ciaram a língua de to d o s os p o etas da G récia. O p o u co que resta do eó lio é o que co n h ecem os das odes de A lceu e da grande S afo . O dialeto dório, de sons graves e m usicais, está gravado no b ron ze eterno dos poem as de P ín d aro e de T e ó c rito . Por fim, o grego clássico ou o d ialeto ático, um ram o privilegiado do jô n io . É o falado na áurea época de A tenas, os séculos V e IV a.C. T o rn a -se com É s q u ilo , S ó fo c le s e E u ríp id e s a lin g u ag e m dos deuses e dos h e ró is; com A ristó fa n es é o id iom a da sabedoria que zo m b a da sapiência; é h is tó ­ ria com T u cíd id es; defesa p ú b lica e exortação, com Isó cra te s, É sq u in es e D e m ó ste n es; m em ória e en sin am en to com X e n o fo n te ; e, acim a de tu d o, Verdade e Beleza, com P latão. Para te r acesso a to d a essa cu ltu ra grega, da qual a m atem ática é um a das im p o rtan tes p artes, o vestíb u lo do co n h e cim en to a u tên tico , há m ister de aprender-lhe a língua. C o m o s u b s titu to dessa in su b stitu ív el necessidade, a tradução.

Princípios de fé desta tradução H á, p o r certo , im ensa gam a de co n cep çõ es a resp eito do que deva ser o traduzir. N o que tange à versão de um a o b ra cien tífica, parece haver acord o 19

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em que a precisão não deva ser sacrificad a no altar da su tileza. Parodiando N o v alis, quanto mais precisa, mais verdadeira. D e um m odo grosseiro, poderíam os classificar os tip os de tradução com o traduções à francesa e traduções à alemã. O ideal das p rim eiras en co n tra expressão na passagem : “ Se há algum m é rito em traduzir, só pod e ser o de aperfeiçoar, se possível, o seu o rigin al, de em belezá-lo, de apropriar-se dele, dar-lhe um ar n acional e naturalizar, de certa m aneira, essa p lan ta estran g eira”. A m eta das segundas está refletid a nas seg u in tes crítica s de Schlegel e de Goethe àquelas do p rim eiro grupo. Sch leg el: “ (...) é co m o se eles d esejassem que cada estran g eiro, no país deles, se co m p o rta sse e se v estisse segundo os seus co stu m es, o que os leva a nunca conh ecerem realm en te um estra n ­ g e iro ”. G o e th e : “O francês, assim co m o adapta à sua garganta as palavras estran g eiras, faz o m esm o com os sen tim e n to s, os p en sam en tos e até os o b je to s ; exige a qu alqu er preço, para cada fru to estran geiro, um equivalente que ten h a crescid o no seu p ró p rio te r r itó r io ”. Evid en tem en te, esse m odo de agrupar nada tem a ver com a nacionalidade do tradu tor, mas com a sua m aneira de trabalhar. Freud, p o r exem plo, tra d u ­ zia “à fran ce sa”, p o is, segundo Jones, na sua biog rafia do pai da p sican álise, este “em vez de tran screver lab o rio sam en te, a p a rtir da lín gua estrangeira, id io tism o s e to d o o re sto , lia um trech o , fechava o livro e pergu ntava-se co m o um e sc rito r alem ão teria vestid o os m esm os p e n sa m en to s”. Chateaubriand, o célebre e sc rito r francês, m an tém , sem reservas, o p o n to de vista co n trá rio , na sua trad u ção de Milton: Se eu quisesse ter feito apenas uma tradução elegante do Paraíso perdido, talvez se considere que tenho suficiente conhecim ento da arte para que não me fosse impossível atingir a altura de uma tradução dessa natureza; mas o que empreendi foi uma tradução literal, em toda força do termo, uma tra­ dução que uma criança e um poeta poderão acompanhar no texto, linha por linha, palavra por palavra, como um dicionário aberto sob os seus olhos.

Por en ten d erm o s que a trad u ção de um te x to an tigo , de um a trad ição com p en sam en tos p ró p rio s e p ró p rio s m od os de expressão é um ato de reverência e entrega, ad otam os, co m o C hateau b riand , um a versão literal, “em 20

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to d a a fo rça do te rm o ”, esperando acord ar no le ito r a cu riosid ad e que o con d u za a acom p anhar a trad u ção co n tra o o rig in al, “lin h a p o r linha, p a­ lavra p o r palavra”. Sen d o o grego um a lín gua sin té tic a e o p o rtu g u ês, um a an alítica, é fácil dar-se co n ta do grau de afa sta m en to das suas sintaxes. Por isso, p o r perm an ecerm o s o m ais possível ligado ao o rig in al, prevenim os pod er o le ito r estran har algum as vezes o resu ltad o alcançado. U sam o s co m o te x to grego a edição de H e ib e rg -S ta m a tis , da E d ito ra Teubner, de L eip zig , 1 9 6 9 - 1 9 7 7 .

O texto grego e a Ecdótica O que sig n ifica falar do te x to grego dos Elementos de E u clid es? Q u al o sen tid o de se m en cio n ar a edição de H eiberg-Stam atis? Tendo essa o b ra sido escrita p o r volta do final do século I V a.C ., é d ifícil que se p o ssa im aginar te r chegado até nós o m a n u scrito do seu autor, o cham ado m an u scrito au tó g rafo . D e fato , não p o ssu ím o s tais m a n u scrito s dos au tores clássico s — gregos e latin o s. O tem p o , esse “deus a tro z que os p ró p rio s filhos devora sem p re”,4 é a co rren tez a que leva os dias, os hom ens, os saberes. M as a o b ra de valor a tu d o afro n ta e na placa da m em ória “grava seu ser / durando n ela”. 5 Se não tem o s os o rig in ais, p o ssu ím o s cópias. In feliz m e n te , o que nelas relu z é só im itação do o u ro . D e fa to , “os deuses vendem quando d ão”,6 pois quem diz cópia, diz erro. Para agravar a s itu a ­ ção, relativam ente aos Elementos, os m an u scrito s mais an tigos sobreviventes d istam séculos de E u clid es. C o m o o arq u eó log o te n ta, a p artir de pequenas peças de evidência, re­ co n stru ir a vida e a cu ltu ra de povos an tigo s, o filó lo g o , voltad o à E cd ó tica , trata de, com apoio nos m an u scrito s, trazer à luz, por re co n stitu içã o , aquele orig in al, o te x to au tó g rafo , o arqu étip o de que os que tem o s são cópias. O assim id ealm ente p ro d u zid o , com to d o o aparato da c rític a tex tu al ou

4 PESSOA, F. Obra poética. Volume único. Rio de Janeiro: Companhia Nova Aguilar, I9 6 5 . 5 Idem, ibidem. 6 Idem, ibidem. 21

Euclides

E c d ó tic a (do verbo grego £k 5í 5aoooYi(i)

S o A to in y n

111 013Ò nog 'm a n s A3yyn{|aod2i m jm in s 5i3üU/llu|ia 5 o a ío i» y II 5 m n in s 011310213 5i3üUiU5 5m in s 'n m rlU e n rl n i 5i3 5 i32indiod2i a o A i3 S3 ,2 ia in s 5 U iU e n rl ak> S o A to in y n '5 o in g A 3 ]^ 0 3g 5oii3iiy} ■A3/lœd/l3Aaa b a h a îo iio i a k ii i r a 3da,3An nyyou akh 3 X io iü a k ii i r a A03Y211213 A3/l»/lUod2i a o iU n » 3 0 i r a »A3rlUdo2iaUod2i a o ^ o g a g ^ a m So iaw iIio yo ^ 0 3g S o rlu o rld g , ■5i3üUiU5 5 m ioA3rlaoio2i 5 m io s n ir lU g n s y , A3 A toYU YY»,i3rl lo ia o Aao AO/lUig ■013A3/13 5Ua»i)ii2I3 A»idi3rl(03/l » m s 3g m a iy n r l la n r l U enrl A3rl S io y y n 5 io i A3 id s SaoAodX 5kiao/13/1 5 a o ia n 5 a o i m r a 5 o i» a U q y ^So A U si^ a ^ o io iA 3 rl id s ■A3üUi02i3 n d s ito s iy o e n s Atosid3rl a k ii nyyoii i r a A3^m 3Aaa Sto yn s » 1,3X1010 m dnA in s ■A»i()ioaoYi(|i a U y y » a U i m r a in s Atod3i|inig TOA13 A3sog3 A ia n rllie n rl 5 io i 31 A3 5 U aA »]^ 0 3g 5 oig a3 0 A »id i3 rl(o -3/1 AUyo a U i a»üUio2I3 A»d3it03Y3i 113

5 o m d ia o A i3 v a o ia n S o i^ g n 0 in s 5mAO/l3/Uaa 3g lA to in y n

in s ao^ og ag Ato 5 U m o d sn 5 orlXinA 3]^ in s A todini3 S o A to in y n a k ii 5i3 'S U iK ß y s n d H , 0 3g 5 n y s a r ly , ■5oA3rlnaUdX AKiian,2i3 A ia3 a ayn A n 5 im in s A3/l»/lUod2i 5oeUy2i 5i3 S o A to in y n n d m i n iA o ^ n y AUXdn A U rloi a U i id32i m in s A3sU03aod2i 5 i3 d i iny y n S in U o y n A n A ip id i 5 im

in s A3aU^aU So eU yii 01 AtoinrlUdorae A to A srlao yra a o y o e n s a k ii

Soim d ii '5oA3rloA3/l n A to in y n id32i a k ii 3g 5odini3 '5od3iKi3A tb/Uyo A3rl 5 o ia o 3 v '5oigiA ^j 0 3g 5o^ogag ■AoiBAagn 31021 i r a n rllr^ o d ii A0A3rla0iU5 0 1 1 1 0 3 A o im a g 31021 'Ai3dçi3 5ao rlaido ig in s 'Aod3ia3Y3rl 1213 A(0A3rlaAS13g

AKII îbpdX 111 IB S 13011^21 31 (01 TOA139Aaa »13X1010 »1 IB S »1A03V A01 31ÜKI 'A K lia n

odu 5 io i A»aUdo2ia3aod2i nyyox 10 'a k i3 v SU ilig n rl o ia o i 0 in s 5Ugi3yso3N 0 5od3i(03A 3g 5oiA nrlng(03v ■ A iam aaa A nd3i(osiA orlU iai2i3 5i3 A3eyUod2i in s ninrlUdorae m lieU ^ alu is

Aro.dmt 'S o ib a

-li0V , 0 5 o iU ii» 3 0 in s 5 o A iiA »d » x 0 S m a X d y , i r a aU 5 o iü » 0 0 5nrlng(03v in s (OAodX to i tb ia o i 3g A3 ■Atodi3/l32i3 A(0A3rloX3iA» 5m i)ioaoYii|i a k ii n rla n e m a » \d321 01 a o X m A m in s 5 nam A sa2 im ns 5io/loy 5 io s iin rllie » rl S jp i m n rlrln d /l/laa m in s 1103 5oyUg a o 2i io 'AUgao2ia m a n \d321 a U i n ig Ai3{|nY A n id i 3rlt03/l a U i in s n m rlU e n rl nyyn 31 n i Aiaogi2i3 a3üUio2I3 A U iai/l3 rl 5oA3rloA3/l 5 io ia o i 1213,g A to in y n ■A3/l\nd/l3Aaa n i3 X io ia in s AtoA3rla3AorlUArl a k ii 5U indso2i2 ii, 0 dnA Soitod ii ■5i3Ani|ii2i3 Anidi3rlt03/l \d321 o ia o a -3/I3 So inA U da^ 0 5odtogo30 in s 'AKida3 A orlaiA to/lndi3i a o sa ïA U rl a o i a o i 0 5 o ix 0 53indso2i2ii, 5io , Erci tóú nprároo nTóAE^àíóú- Kài yàp ó' ApxílirjSrçç EmpàXràv Kài tm rcpráTra|ivrçliovsrá TóúEwMSóti/ Kài |i Evtóí Kài ^àoiv ótí IlTóXEiiàlóç TjpETótoteàúióv/ EÍ TÍç Eotív Jtepi y£M|i£Tpíàv ó8óç OúvTó^raTÉpà Tflç OTóÍXEítóoEraç- ó 8E àftEKpÍvàTó/ EÍvàÍ pàOíXíK^v àTpàftóv Eli ysra^ETpíàv.

4 1

Euclides

provém do que está dado acim a, no trech o “N ã o m u ito m ais jovem do que esses (...) não há cam inho real para a g eo m etria ”, is to é, na p arte acres­ cen tad a p o r P ro clu s ao Sumário de Eudemo. O p ró p rio au to r do acréscim o parece não ter co n h e cim en to d ireto do lugar de n a scim en to do g eô m etra ou das datas em que nasceu e em que m orreu. P roced e antes p o r in ferên cia: (1 )

A rquim ed es viveu im ed iatam en te após o p rim eiro P to lo m e u ;

(2 )

A rquim ed es m en cio n a E u clid es;

(3 )

H á um a h istó ria sobre algum P to lo m e u e E u clid es;

lo g o (I)

E u clid es viveu no tem p o do p rim eiro P to lo m e u .

(4 )

E u clid es m edeia en tre os p rim eiro s d iscíp u lo s de P latão e A rq u im edes;

(5 )

P latão m orreu em 3 4 7 / 6 a.C .;

(6 )

A rquim ed es viveu de 2 8 7 a 2 1 7 a.C .;

lo g o (II) E u clid es deve ter atin gid o o seu acúm en p o r volta de 3 0 0 a.C . (o que acorda bem com o fa to de que o p rim eiro P to lo m e u reinara de 3 0 6 a 2 8 3 a .C .). (7 )

Atenas era, à época, o mais im portante centro de m atem ática existente;

(8 )

O s que escreveram Elementos antes de E u clid es viveram e ensinaram em A tenas;

(9 )

O m esm o vale para os o u tro s m atem á tico s de cu jo s trab alh o s os Elementos de E u clid es dependiam ;

lo g o (III) E u clid es recebeu o seu trein am en to m a tem á tico dos d iscíp u lo s de P latão em A tenas. P ro clu s, indo ainda m ais longe, garan te que E u clid es era da esco la p la­ tô n ic a e que m an tin h a ín tim a relação com a filoso fia dele20 ( “é p la tô n ico pela esco lh a e fam iliarizad o com essa filo so fia ”) e que, p o r essa razão, te ria se p ro p o sto p o r o b jetiv o dos Elementos, co m o um to d o , a co n stru çã o

20 Kai Tfl rcpoaipèoèi 8è nÀaTraviKoç èoTi Kai Tfl ^iXooo^ia TafiTrç oiKèioç.

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das cham adas figu ras platônicas21 ("e donde p recisam en te p ro p ô s-se co m o o b jetiv o do livro to d o dos Elementos a co n stru çã o das cham adas figuras p la tô n ic a s”) . C o m o os Elementos term in am , de fa to , com a co n stru çã o dos p o lied ro s regulares, isto é, dos cin co só lid os o u figuras p la tô n ica s, sendo P ro clu s um n eo p la tô n ico , viu n isso a o p o rtu n id ad e para asso ciar E u clid es àquela escola. A liás, p arece-n o s possível enten d er a expressão téXóç no papel de advérbio "n o fim , em ú ltim o lu g a r”, p o d en d o -se verter p arte da frase citad a p o r "p ro p ô s-se no fim do livro to d o dos Elementos a co n stru çã o ( .. .) ”, o que é verdade. A busaria, assim , P ro clu s de um a am biguidade? Q u e E u clid es ensinara e fundara um a esco la em A lexandria, aprendem os de um a observação de Pappus no Livro V II da sua A coleção matemática, ao co m en tar que A p o lô n io nos tra n sm itiu o ito livros sobre as cô n icas, te n ­ do co m p letad o os qu atro livros das Cônicas de E u clid es e a eles aju n tad o o u tro s qu atro. Pappus, 7 .3 5: E [Apolônio] pode ajuntar as coisas restantes ao "lugar”, tendo antes sido capaz de imaginar pelas coisas já escritas por Euclides sobre o "lugar” e, tendo frequentado por muito tempo os discípulos de Euclides em Ale­ xandria, por essa razão adquiriu esse hábito não ignorante de mente.22 H á, p o r fim, um ep isó d io relatado p o r S to b a eu s nos seus Eclogarum physicarum et ethicaram Libri I I .23 E i-lo : (... ) alguém que começara a estudar geometria com Euclides, tendo aprendido o primeira teorema, perguntou a Euclides: "M as o que me será acrescido por aprender essas coisas?” E Euclides, tendo chamado o escravo: "D ê-lhe três óbolos, porque para ele é preciso lucrar com o que aprende”.24

2 1 ó'0Ev 8rç Kài Tflç co|ircàaiiç OToixEitóoErnç tEXóç rcpósaTrçaàTó Trçv Tràv KàXóú^Évov ntaTMvlKffiv OX^àTMv 22 rcpóo0Eivài 8E Tra Tórcra Tà XEircó^Evà 8E8úv^Tài rcpó(fàvTàaíM0£iç Tóiç úrco EúkXeí8óú ysypà^^évóíç rç8rç rcspi Tóú Tórcra Kài axotóaàç Tólç úrcó EúkXeí8óú ^à0^Tàlç Ev’AX£^àv8pià rcMoTóv xpóvov/ ó0Ev EoXE Kài T^v TóiàúT^v E^iv óúK à^à0rç. 23 [Coletânea de coisas físicas e éticas]. 2 4 nàp’EúKXd8rç Tiç àp^à^svoç y£M|i£TpEív/ raç tó rcpraTóv 0£tóprç|ià E^à0£v/ rçpsTó Tóv EúKtó8rçv tí 8e |ióí rcXEov EoTài TàúTà ^àv0àvóvTi; Kài ó EúkXeí8^ç tóv rcài8à KàXEoàç- 8óç/ E^^/àmffi TpirápóXóv/ Ercsi8rç 8eí àúTffi/ E£, rav |iàv0àv£i/ KEp8àívEív.

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Apenas isso a trad ição nos tra n sm ite so bre o n o sso p erson agem . Vale p ond erar aqui que a trad ição se in teressa m ais pela v erossim ilh an ça do que pela verdade, consid erand o aquela co m o um a m e tá fo ra desta. D esse m od o, o d iálogo en tre P to lo m e u e E u clid es que, d iga-se de passagem , ta m ­ bém é co n tad o sobre a dupla re i-g e ô m etra A lexandre e M en aech m u s, pelo p ró p rio S to b aeu s na o b ra referida, m e ta fo riz a o fa to de a g eo m etria te r de ser aprendida sistem aticam en te, passo a passo, segu ind o o tr a je to exp osto nos Elementos. A ú ltim a h istó ria, p o r sua vez, representa, figuradam ente, o que é frisad o no Catálogo dos geômetras, que P itág o ras m u dou a filosofia so bre a m atem ática “em um a form a de educação lib era l”, ou seja, p ró p ria dos hom en s livres, que não se su bm etem senão a ganhos in telectu a is. D a m esm a m aneira, quando a trad ição nos dá co m o escrita sobre o p ó rtic o da A cadem ia a fam osa frase “nin gu ém que ign ore g eo m etria en tre”,25 não qu er nos fazer crer estar ela realm en te p o stad a à entrad a para, co m o a ígnea espada do arcanjo, que im pedisse, aos não iniciados naquela ciência, o acesso a um tal É d en ; antes cond ensa, m e tafo ricam en te , de m od o adm irável, tu d o o que P latão d izia sobre a m atem ática: ser ela o v estíb u lo , a via pela qual se chega à filosofia. O que fica de tu d o é o p o u co co n h e cim en to , e ainda assim in certo , que resta do hom em que fo i o n o sso g eôm etra. É co m o se, daquela d istan te época, um aedo nos cantasse: D iz o Tempo a Euclides: Nas muitas dobras que tenho N o meu manto de negro tecido, Escondo para sempre dos pósteros A tua vida, as tuas dores, As tuas alegrias fugazes, O teu dia de cada dia. Escondo-te o semblante, o sorriso, A lágrima quente que escava Profundos sulcos na face. Escondo também os amores, As tuas noites de insônia 2 5 ayèra^èTp^Toç iirçSèiç èiolm

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E a dura luta diária Rumo à verdade desnuda. Escondo tudo o que foste D e todos os que virão. Mas as muitas dobras que tenho N o meu manto de negro tecido, Por mais que eu faça e refaça, N ão bastam para esconder A obra que produziste. Proclamo, pois, em alto som: O s Elementos de Euclides Sempiternos brilharão.

Outros trabalhos de Euclides A im p o rtân cia extrao rd in ária dos Elementos to rn a de som en os m o n ta os dem ais trabalh o s atrib u íd o s ao g eôm etra, alguns dos quais chegaram até nós. São , na m aior parte, p equ enos planetas a o rb ita rem à v olta daquela m agna estrela. C o n h e ce m o -lo s to d o s p o r m enção de autores gregos. A ssim , na seq u ên cia do Sumário de Eudemo, P ro clu s fa z -n o s saber: Também existem, de fato, muitas outras obras matemáticas desse homem, cheias de exatidão admirável e de visão científica. Pois tais são tanto a Ótica quanto a Catóptrica, e tais também as a respeito dos Elementos de música, e ainda o livro sobre Divisões.26 E , em co n tin u ação , elogian do os Elementos, faz referên cia a um o u tro trab alh o : E porque muitas coisas são vistas na aparência como sendo apoiadas na verdade e seguindo os princípios científicos, mas seguem o seu curso para o desvio dos princípios e enganam completamente os mais superficiais, ele tam­

26 rcoXXã |ièv ofiv Kai aXXa Tofi av8poç TofiTofi ofiyypà|l^àTà Bafi^aoTflç aKpipèiaç Kai èrcioT-niioviK-nç Bèfflpiaç |ièOTa. ToiafiTa yap Kai Ta orcTirâ Kai Ta KaTorcTpiKá/ ToiafiTai 8è Kai ai KaTa iiofioiK-rç oToixèiráoèiç/ èTi 8è to rcèpi 8iaipèoèfflv pipXiov.

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bém legou à posteridade métodos de percepção perspicaz dessas coisas/ tendo os quais poderemos treinar os principiantes dessa teoria para a descoberta dos paralogismos, e a permanecer até o fim não enganados. E assim então, essa obra, pela qual introduz-nos nessa preparação, ele in­ titulou Das falácias (...)27 E sse livro D as fa lácias p erd eu -se, mas o seu in te n to é exp o sto claram en te no excerto, e, co m o aparece num co n tex to que diz resp eito aos Elementos, é líd im o su por não u ltrap assar o d o m ín io da g eo m etria. V ejam os os o u tro s títu lo s citad os pelo esco liasta.

/ Otica e Catóptrica

A m bos foram ed itad os p o r H eib erg no m esm o V olu m e V I I ( I 8 9 5 ) da p u b licação pela T eu b n er V erlag sg ese llsch a ft Euclidis opera om nia,28 de H e ib e rg —M en g e. A í a Otica aparece na sua fo rm a genuína e na recensão de T h é o n de A lexandria. A Catóptrica, p o r sua vez, não é genuína e H e ib e rg tem para si que, no fo rm a to sobrevivente, p o ssa ser de T h é o n . P ossiv elm ente, P ro clu s teria se enganado ao p ô -la na co n ta de E u clid es, que não a p rod uzira. A O tica é, de fa to , um tratad o de perspectiva. P arte da h ip ó tese da exis­ tên cia de raios visuais retilíneos e bu sca determ inar a parte que efetivam ente vem os de um o b je to d istan te dado. A palavra catóptrica (q u e o u sa m o s a p o rtu g u esa r, co m a a ce n tu a çã o regida pela analogia com ó tica , variante de ó p tica ) é um ad jetivo grego derivado do su b sta n tiv o n eu tro KàTórcTpov "e sp e lh o ”. Por isso , o títu lo T à KàTorcTpiKà

sign ificaria "im agen s refletid as”, ou m elhor, Teoria da reflexão.

27 Èrc£í8^ 8e rcoWà ^àvTà^ETàí |iEv raç Tflç àXrç0dàç àv^xó^svà Kài Tàiç èrcioTrç|ioviKàiç àpxàiç àKó Xóú0ofivTà/ ^ÉpETài 8e eíç t^v àrcó Trav àpxrav rcXàvrçv Kài Tóúç èrcircotaoTépoúç È^àrcàTã/ ^£0ó8óúç rcàpà8É8raK£v Kài Tflç TóúTrav 8iopàTiKflç ^pov^osraç àç Exóvteç yo^vàÇsiv |ièv 8úv^oó|i£0à Tóúç àpxo^Évóúç Tflç 0Erapíàç Tàmrçç rcpóç Trçv súpEoiv Trav rcàpàXoyio^ffiv/ àvE^àrcàT^Tói 8E 8ià|iÉv£ív. Kài tóútó 8rç oúyypà^^à/ 8i’óú Trçv rcàpàOKEú^v rç^ív Tàmrçv èvtí0^oí/^£ú8àpíàv èrcéypàysv... 28 [Obras completas de Euclides]. 46

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Elementos de música D o is tratad os são dados com o de E u clid es: Sectio canonis29 “a teo ria dos in ­ terv alos”, “D ivisão da escala”, e eioayroy^ ápiioviK^ “in tro d u ção à h arm o n ia”, ed itados no V olu m e V I I I das Euclidis opera omnia p o r M en g e. O prim eiro, baseado na te o ria p ita g ó rica da m ú sica, é m a tem á tico , co n cord an d o em geral, ta n to na dicção qu an to na form a das p ro p o siçõ es, com o que está nos Elementos. O segundo é de C leo n id es, um d iscíp u lo de A risto x en es.

O livro das divisões (de figuras) E ssa obra, co n trarian d o ap aren tem ente a expectativa dos que con h ecem apenas os Elementos, o cu p a-se com a aplicação da g eo m etria a problem as de cálcu lo, co m o os ex isten tes na B ab ilô n ia. A d iferen ça ca ra cte rística é o uso fe ito dos resu ltad os depend entes de p ro p o siçõ es daquele trab alh o m agno em lugar da abordagem n u m érica dos o rien ta is. T rata-se, em resum o, da divisão de figuras em o u tras que lhes sejam semelhantes ou dessemelhantes pela definição, is to é, do m esm o tip o ou de tip o d iferen te. D esse m od o, um triân g u lo pode ser dividido em triâ n g u lo s, ou seja, em figuras do m esm o tip o ou sem elhan tes pela definição, o u pod e ser dividido em um triân g u lo e um qu ad rilátero , figuras d essem elh an tes pela definição. É co m o nos diz P ro clu s ( 1 4 4 . 2 2 - 2 6 ) ... pois tanto o círculo é divisível em dessemelhantes pela definição quanto cada uma das retilíneas, e ele próprio, o autor dos Elementos, ocupou-se nas Divisões, dividindo as figuras dadas quer em semelhantes quer em dessemelhantes.30 O tex to grego dessa obra de E u clid es perdeu-se, ten d o sido red esco b erto em árabe. W oepcke en co n tro u em um m a n u scrito em Paris um trab alh o em árabe sobre a divisão de figuras. T ra d u z iu -o e p u b lico u -o em I 8 5 I 29 KaTaTo^^ Kavovoç. 3 0 Kai yap o KfiK^oç èiç avo^ia Tra Xoyra Kai èKaoTov Trav èfi0fiypáwirav SiaipèTov èoTiv/ o Kai afiToç o oToixèiMT^ç èv Taiç 8iaipèoèoi rcpay^aTèfièTai to |ièv èiç o^oia Ta 8o0èvTa ox^aTa Siaiprav/ to 8è èiç avo^ia.

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no Jou rn a l Asiatique. E sse tratad o é expressam ente a trib u íd o a E u clid es no m an u scrito e acorda com o que P ro clu s diz so b re ele. A lém desses trabalh o s cu jo elenco é dado pelo co m en ta rista , há m ais, citad o s p o r o u tro s au tores.

O s D ata O s D a ta 31 foram in clu íd os p o r Pappus no Tesouro da análise. A ntes de te ce r co n sid erações so bre ele, qu erem os esclarecer alguns p o n ­ to s relativos a Pappus. E sta m o s to d o s cien tes de que a Idade de O u ro da g eo m etria grega fin ­ dara com A p o lô n io de Perga. N o en tan to , a in flu ên cia dos fe ito s do trio , E u clid es, A rquim ed es e A p o lô n io , não acabou co m os seus dias. T iv em o s um a su cessão de m atem ático s, se não criativ os, ao m enos co m p eten tes, aptos a preservar a trad ição . G em in u s, p o r exem plo, escreveu um a obra de caráter quase en ciclo p éd ico sobre a classificação e o co n teú d o da m a te­ m ática, in clu in d o a h istó ria do d esen volvim en to de cada assu n to . Pappus ( V I II, 3 ) , faland o so bre A rq u im ed es, abona a sua observ ação co m um “co m o o declara tam bém G em in u s, o M a te m á tico , no seu livro A ordenação da m atem ática”.32 A pesar d isso, o títu lo do grande tratad o de G em in u s não está bem fixado, pois E u to ciu s de Á scalon, no seu co m en tá rio às Cônicas de A p o lô n io , m e n cio n a -o co m o A ciência m atem ática.33 Já P ro clu s, no Comentário ao livro I dos elementos de Euclides, m u n e-n os de in fo rm açõ es precisas sobre esse trab alh o , sem jam ais m en cio n ar-lh e o títu lo . O co m eço da E ra C ristã assiste a um acentu ad o d ecréscim o no in teresse pelo estu d o da g eo m etria avançada. A ssim Pappus, no sécu lo III, p ro p õ e-se a m issão de reavivar a cu riosid ad e sobre tal co n h e cim en to . A sua o b ra cap ital ch eg o u -n o s sob a designação de Coleção matemática. E m verdade, a m aior p arte dos m an u scrito s, so b retu d o os m ais a n tigo s, vem apenas com a d en om in ação A coleção,34 mas cópias m enos antigas trazem 3I 32 33 34

8è8o|ièva. Trav |ia0rç|iáTMv Ta^iç. rcèpi Tflç Trav |ia0rç|iaTrav 0èraplaç. ofivayray^. 48

O s elementos

um títu lo m ais co m p leto no plural, A s coleções matemáticas.35 C o n s iste ela em um a am pla reco lh a de p ro p o siçõ es extraídas de um núm ero grande de obras de o u tro s m atem ático s, quase tod as h o je in feliz m e n te desaparecidas. E s tá longe, p orém , de ser um a sim ples co m p ilação , e excede de m u ito o quadro de apenas um co m en tário , um a vez que não se lim ita a expor p ro p o siçõ es notáveis, devidas aos seus p red ecessores. F á-las acom p anhar de um a m u lti­ dão de lem as, d estinad os a esclarecer as passagens m ais com plexas das suas d em o n straçõ es. M as, há m u ito m ais. D á -n o s freq u en tem en te d em o n stra ­ ções alternativas. E ste n d e-a s a casos p articu lares ou análogos, ap lica-o s à so lu ção de p roblem as novos ou à daqueles já resolvid os de o u tra m aneira, e co m p leta o to d o com num erosas p ro p o siçõ es novas, que indicam pesquisas bem avançadas nesse d o m ín io e o calibre m a tem á tico do seu autor. A obra é co m p o sta p o r o ito livros (ca p ítu lo s, co m o os cham aríam os h o d iern a m en te ), sendo o sétim o so brem od o im p o rta n te para a h istó ria da geo m etria, p o r ser a ú nica fo n te do que co n h ecem os so b re um c o n ju n to de trabalh o s perd id os relativos à g eo m etria avançada, que os an tigo s ch a­ mavam “lugar resolvido/analisado” ou “Tesouro da análise”. 36 A d en om in ação Tesouro da análise, co rren te na lín gua inglesa, Treasure o f Analysis, parece ter sido su gerid a p o r Jam es G ow que, em n o ta na página 2 1 1 da sua A Short History o f Greek M athematics,37 faz as seg u in tes e, a n o sso ver, p e rtin en te s co n sid erações filoló gicas: A palavra tokoç aqui não significa locus ( “lugar”) , mas tem o seu significado aristotélico de “store-house" ( “depósito, ou figuradamente, tesouro”) . Então, no começo do Livro V I de Pappus, TÓrcoç àoipovo^ov|ievoç significa “o tesouro astro­ nôm ico”... Tórcoç àvaXwiievoç significa “o tesouro da análise”, como na retórica de Aristóteles, to^oi ou koivoi to^oi são coleções de “lugares com uns”, [isto é] observações e críticas a que os retóricos podem sempre recorrer. A tradução de tokoç àvaXvó|ievoç como “locus resolutus”, “lieu résolu” ou “aufgelöster O rt” é portanto enganadora e levou, acredito, a alguma concepção errônea. Pappus in d ica-lh e de p ro n to a natu reza, afirm ando:

3 5 ^aônMaTlKa'1 owaymyaí. 3 6 TÓTOç àva^DÓ^Evoç. 3 7 [Uma breve história da matemática grega]. 49

Euclides

O chamado Tesouro da análise, Hermodoro meu filho, é uma matéria especial preparada como auxílio, depois da produção dos elementos comuns, para os que querem aprender nas linhas a potência inventiva dos problemas que se lhes estendem à frente e que se constituiu útil para isso som ente.38 Prossegue, um p o u co m ais adiante: E dos preditos livros do Tesouro da análise, a ordem é esta:39 dos Data de Euclides, um livro40...; dos Porismata de Euclides, três;41 ... dos Lugares em uma superfície de Euclides, dois42... Existem 32 livros.43 P o rtan to , dentre o u tro s, Pappus arrola três o u tro s trab alh o s de E u clid es não m encio n ad o s p o r P roclu s. R e to rn e m o s, agora, aos D ata, cu jo te x to sobreviveu e fo i ed itad o, ju n ­ ta m en te com o co m e n tário fe ito p o r M arin u s de N e a p o lis, d iscíp u lo de P ro clu s, p o r M en g e no V olu m e V I de Euclidis opera omnia. O s D ata são um c o n ju n to de 9 5 p ro p o siçõ es (Pappus fala em 9 0 ) , p re­ cedido agora p o r um a in tro d u ção exp lanatória de M a rin u s. E s te observa que E u clid es deveria ter com eçad o com um a d efinição geral de 5e5o|iévov “d ado” e depois passar aos vários casos que in clu i, co n clu in d o que, na sua o p in ião , a m elh o r definição seria “co g n o scível e passível de o b te n ç ã o ”.44 E is algum as das defin ições de E u clid es no in ício da obra: I. Áreas e também linhas e ângulos são ditos dados em magnitude, iguais aos quais podemos obter.45 4. Pontos e também linhas e ângulos são ditos ter sido dados em posição, aqueles que se mantêm sempre sobre o mesmo lugar.46 3 8 o KaXofi|ièvoç ' Ava^fiõ^èvoç/ ' Ep|io8rapè TèKvov/ KaTa ofiXXrçyiv i8la tíç èoTiv fi'Xrç rapaoKèfiao lièvrç |ièTa T^v Trav Koivrav oToixèlrav rcol^oiv Toiç pofiXo|ièvoiç avataiipavèiv èv ypa^^aiç 8fiva|iiv èfipèTiK^v Trav rcpoTèivo|ièvrav afiTolç ftpopXiniaTrav/ Kai èlç TofiTo |iovov xprçol^rç Ka0èOTffioa. 3 9 Trav 8è rcpoèiprç|ièvrav Tofi ' AvaXfio|ièvofi pipXlrav rç Ta^iç èoTiv ToiafiTrç. 4 0 EfiKXèlSofi Aè8o|ièvrav pipXlov ã. 4 1 EfiKXèlSofi nopio^aTrav Tpla. 4 2 EfiKXèlSofi Torcrav rcpoç ' Ern^avèla §fio. 4 3 ylvèTai pipXla Xfi. 4 4 yvrápi^ov Kai ^i^ov. 4 5 Aè8o|ièva Tra|ièyè0èi XèyèTai xrapla Tè Kai ypa^^ai Kai yravlav/ oiç 8fiva^è0a ioa ftoploào0àl. 46 Tfl Bèoèi SèSooBai XèyovTai o^^èlá Tè Kai ypa^^ai Kai yraviai/ a tov afiTov aèi Torcov èráxèi.

5 o

O s elementos

6. E um círculo é dito ter sido dado em posição e em magnitude, aquele do qual, por um lado, o centro foi dado em posição, e, por outro lado, o raio, em magnitude.47 As p ro p o siçõ es que seguem as definições lidam com m agn itu d es, linhas, figuras retilín eas e círcu lo s, n essa ordem . A palavra "d a d o ” é em pregada em dois sen tid o s. Sig n ifica, p rim eira ­ m ente, "realm en te d ad o”, e, em segund o lugar, "d ad o p o r im p lica çã o ”, e as p ro p o siçõ es são tod as para esse efe ito de que certa d escrição parcial de um a m ag n itu d e ou de um a figura g eo m étrica envolva um a d escrição m ais co m p leta; assim aquela de um triân g u lo co m o eq u ilátero envolve a sua d escrição co m o equiângu lo. Pappus m o stra com exem plos co m o os D ata prestam serviço à Análise. E s ta com eça com um a co n stru ção su p o sta que sa tisfa ça as co n d içõ es p r o ­ p o stas. Tais co n d içõ es, sendo convertid as em elem en to s dados da figura, envolvem o u tro s que são dados por implicação, e esses, p o r sua vez, envolvem o u tro s, até que, passo a passo, cada um deles é legitim ad o , e ch ega-se a um a co n stru ção da qual se o b té m um a sín tese. O s D ata são, de fato , su gestõ es para as etapas m ais usuais na Análise.

O s P o rism ata P ro clu s ( 3 0 I . 2 I - 3 0 2 . I 3 ) p ro cu ra elucid ar o que se deve en ten d er te c ­ n icam en te p o r porism ata.48 E is a explicação: O porisma [substantivo neutro em grego] é uma das expressões geométricas. E isso significa duas coisas. Pois, denominam-se porismata tanto quantos teo ­ remas são ajudados no seu estabelecimento pelas demonstrações de outros, como sendo golpes de sorte e ganhos dos que procuram, como quantas coisas, por um lado, são procuradas, e, por outro lado, têm necessidade de descoberta e não de produção só nem de simples teoria.

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O s elementos

C o m to d a certeza, P ro clu s usava as palavras de Pappus. D e qu alqu er m od o, pela d istin ção feita, há os porism ata que são m eros corolários, is to é, co nsequ ências diretas das d em o n straçõ es de o u tro s teorem as, e os há com o p ro p o siçõ es que, não sendo tecn ica m e n te quer teorem as quer p roblem as, p articip am da n atu reza de uns e dos o u tro s. O tratad o de E u clid es ja z esco n d id o nas dobras do negro m an to do tem p o , m as, p o rq u e Pappus o tra to u de m o d o extensivo, a crescen ta n d o ­ -lh e ta n to s lem as, alguns g eô m etras, e d en tre eles o fran cês do sécu lo X I X , M ic h e l C hasles (n os Les trois livres desporismes d’Euclide réstablis,51 Paris, M allet-B ach elier, I 8 6 0 ) , ten taram , com m aior ou m en o r êxito , restau rá-lo. O o b jetiv o de um porisma não é aquele de um teorem a, isto é, a d escrição de um a nova propriedade, nem o de um problem a, ou seja, efetivar um a co n stru ção ou alterar um a dada; é antes achar e tra z er à vista um a co isa que coexiste necessariam ente com certas coisas dadas, com o a m aior m edida com u m co existe com duas m agnitu d es com ensuráveis dadas, ou co m o o cen tro co existe com um círcu lo dado. D e te n h a m o -n o s um p o u co nas in teressan tes co n sid erações feitas por C hasles no seu Aperçu historique des méthodes engéom étrie,52 p . I 2 - I 5 :

Segundo o prefácio do Sétimo livro das coleções matemáticas de Pappus, parece que esse tratado dos porismata distinguia-se por um talento penetrante e profundo e era eminentemente útil para a resolução dos problemas mais complicados (collectio artificiosissima multarum rerum, quae spectant ad analysin difficiliorum etgeneralium problematum ["reunião engenhosíssima de muitas coisas que visam à análise dos problemas difíceis e gerais”]). Trinta e oito lemas, que esse sábio comentarista deixou-nos para a inteligência desses porismata, provam-nos que formavam um conjunto de propriedades da linha reta e do círculo, da natureza daquelas que nos fornece, na geometria recente, a teoria das transversais. Pappus e Proclus são os únicos geômetras da Antiguidade que fizeram men­ ção dos porismata; mas, já no tempo do primeiro, a significação dessa palavra estava alterada, e as definições que dela ele nos dá são obscuras. A de Proclus não é apropriada a esclarecer as primeiras. Também foi um grande problema

51 [Os três livros dos porismas de Euclides restaurados]. 52 [Resumo histórico dos métodos em geometria].

53

Euclides

entre os M odernos saber a nuança precisa que os Antigos haviam estabelecido entre os teoremas e os problemas por um lado, e esse terceiro gênero de propo­ sições, chamadas porismata, que participava, ao que parece, de uns e dos outros; e saber particularmente o que eram os Porismata de Euclides. Pappus, é verdade, tra n sm itiu -n o s os enu nciad os de tr in ta p ro p o siçõ es p e rte n cen tes a esses porism ata: mas esses en u nciad os são tão su cin to s e to rn a ra m -se tão d efeitu o so s pelas lacunas e a ausência de figuras, que d i­ ziam a resp eito deles que o célebre H alley, tão p ro fu n d a m en te versado na g eo m etria antiga, co n fesso u não com p reend er nada deles, e que, até cerca da m etade do ú ltim o século, em bora geôm etras de grande m é rito ten h am fe ito dessa m atéria o o b je to das suas m ed itaçõ es, n enhu m enu nciad o havia ainda sido restabelecid o . F o i R . S im so n que teve a g ló ria de d esco b rir a sign ificação de vários desses enigm as, bem co m o a form a dos enu nciad os que era p ró p ria desse gênero de p ro p o siçõ es. E is o sen tid o da definição que o g eô m etra deu dos porism ata: O porisma é uma proposição na qual se anuncia poder determinar, e em que se determinam efetivamente, coisas que têm uma relação indicada com coisas fixas e conhecidas e com outras coisas variáveis ao infinito; estas estando li­ gadas entre si por uma ou várias relações conhecidas, que estabelecem a lei de variação, à qual estão submetidas. E x em p lo : sendo dados dois eixos fixos, se de cada p o n to de um a reta b aixam -se p erp en d icu laresp e q sobre esses dois eixos, p o d er-se-á en co n trar um co m p rim e n to de lin h a a e um a razão à tais que se ten h a en tre essas duas perpendicu lares a relação (p -a )/q = à. (O u , segundo o e stilo an tigo , a p rim eira perp en d icu lar será m aior, relativam ente à segunda, p o r um a dada so m en te em razão.) A qui, as coisas fixas dadas são os dois eixos; as coisas variáveis são as p erpen d icu lares p , q ; a lei com u m , à qual essas duas coisas variáveis estão su jeitas, é que o p o n to variável, de ond e essas perpend icu lares são baixadas, p e rte n ce a um a reta dada; enfim , as coisas a en co n tra r são a lin h a a e a razão à , que estabelecerão, entre as coisas fixas e as coisas variáveis da qu estão, a relação p rescrita. 54

O s elementos

E sse exem plo é su ficien te para fazer com p reend er a n atu reza dos porismata, co m o a co n ceb eu R . S im so n , cu ja o p in ião fo i g eralm en te adotada desde então. Todavia, devem os acrescentar que nem to d o s os g eô m etras re co n h ece­ ram, na obra de S im so n , a verdadeira previsão daquela de E u clid es. Por nós, adotando o sen tim en to do ilustre p ro fesso r de Glasgow, direm os porém que não en con tram os no seu trabalho a previsão com p leta do grande enigm a dos porismata. E ssa qu estão, com efeito , era com plexa, e as suas d iferen tes partes exigiam tod as um a so lu ção que se procu ra, em vão, no tratad o de S im so n . A ssim , d ever-se-lh e-ia dem andar: 1. Q u al era a form a dos enu n ciados dos porism ata; 2 . Q uais eram as p ro p o siçõ es que entravam na o b ra de E u clid es; n o ta ­ d am ente aquelas cu ja ind icação, m u ito im p erfeita, fo i-n o s deixada p o r Pappus; 3. Q uais foram a intenção e o o b jetiv o filosó fico de E u clid es, com p on d o essa o b ra em um a form a inu sitad a; 4 . So b que p o n to s de vista m erecia a em in en te d istin çã o que lhe faz Pappus entre as o u tras obras da A ntig u id ad e; p o rq u e só a fo rm a do enu nciad o de um teo rem a não lhe c o n s titu i o m é rito e a u tilid ad e; 5. Q uais são os m éto d o s, ou as operações efetivas que m ais se ap ro ­ xim am , sob um a o u tra form a, dos porismata de E u clid es, e que os suprem na resolu ção de p ro blem as; p o rq u e não se pode crer que um a d o u trin a tão bela e tão fecu nd a desaparecesse co m p letam en te da ciên cia dos g eô m etras; 5. E , enfim , haveria que dar um a in terp retação sa tisfa tó ria de d iferen tes passagens de Pappus sobre esses porism ata; p o r exem plo, daquela em que diz que os m od ern o s, não p od end o tu d o achar p o r eles p ró p rio s, ou, p o r assim dizer, “porism ar” co m p letam en te, m udaram a sig n ifica ­ ção da palavra; porqu e, se o porisma c o n sistisse apenas na fo rm a do seu en u n ciad o, co m o parece resu ltar do tra ta d o de R . S im so n , seria sem pre fácil “porism ar” tod as as p ro p o siçõ es que fossem su scetíveis disso; e não se vê p o r que os m o d ern o s haveriam en co n tra d o d ificu l­ dades que lhes tivessem fe ito m udar a sign ificação da palavra.

55

Euclides

E C h asles co n clu i o p arág rafo relativo aos porism ata afirm and o que, pela im p o rtân cia do assu n to , so b retu d o pelas suas relações com as teorias que form am o d o m ínio da g eo m etria do seu tem p o , dará co n tin u id a d e ao parágrafo na N o ta III, “ S u r les p o rism es d’E u c lid e ”,53 p .2 7 4 - 8 3 , em que “ten tarem o s m esm o apresentar algum as ideias novas sobre essa grande qu estão dos porism ata”. O ex p o sto, crem os, basta, qu an to a tal obra de E u clid es.

Lugares em u m a superfície N a N o ta II que acresce sua o b ra citada, assim se exprim e C hasles sobre os Lugares em uma superfície,54 cu jo s dois livros, segund o Pappus, tam bém jazem su bm ersos “em negro vaso de água do esq u e cim e n to ”: M ontucla diz, na página I 7 2 do primeiro volume da sua Histoire des mathé­ matiques, que os Lieux à la surface de Euclides eram superfícies; e, na página 2 I 5 do mesmo volume, que eram linhas de dupla curvatura sobre superfícies curvas, como a hélice sobre um cilindro circular. É possível que os antigos designassem, em geral, por essa palavra, as superfícies e as curvas que aí eram traçadas. Mas, quais eram verdadeiramente os Lieux à la surface de Euclides? Para responder a essa questão não nos resta outra indicação a não ser quatro lemas de Pappus relativos àquela obra; e como esses lemas tratam somente de seções cônicas, devemos pensar que Euclides considerava somente as su­ perfícies que chamamos, hoje em dia, do segundo grau. E somos levados a crer que essas superfícies eram de revolução. Porque, por um lado, é certo que as superfícies de revolução do segundo grau tinham sido estudadas anteriormente a Arquimedes, pois após ter enunciado algumas propriedades das suas seções por um plano, ele diz, no final da proposição X I I do seu livro Sobre esferoides e conoides, “as demonstrações de todas essas proposições são conhecidas”. Além disso, observamos que o último lema de Pappus é a propriedade principal do foco e da diretriz de uma cônica; e esse teorema parece-nos ter podido servir para demonstrar que o lugar de um ponto, cujas distâncias a um ponto fixo e a um plano devam estar entre elas em uma relação constante, é um esferoide ou

53 [Sobre os porismas de Euclides]. 54 totoi rcpòç èrn^àvEÍà5 6

O s elementos

um conoide, ou então para demonstrar que a seção desse lugar por um plano conduzido pelo ponto fixo é uma cônica tendo o seu foco nesse ponto, e cuja diretriz é a interseção do plano dessa curva pelo ponto fixo. Desse modo, parece-nos provável que os Lieux à la surface de Euclides tratas­ sem de superfícies do segundo grau, de revolução, e de seções feitas por um plano nessas superfícies, como o cone.

Já G o w 55 com enta que o p róprio significado do títu lo

totcoi rcpòç

è^i^aveía56

o ca sio n o u algum a co n tro v érsia. C o n tin u em o s com ele: O Prof. De M organ diz francamente que não o entende e é evidente que Eutocius estava na mesma condição, pois fala, após descrever outros loci [“lugares”] muito bem, que os TÓnoi rcpóç èm^avria derivam o seu nome “da peculiaridade deles57 e assim os deixa. O Prof. Chasles supõe que o livro con­ tenha proposições sobre “superfícies do segundo grau, de revolução, e seções ali feitas por um plano”: e refere-se ao fato de que Arquimedes, no final da “Proposição X I I ” do seu Conoides e Esferoides, diz que certas proposições sobre seções de conoides ^avèpaí èoxi (isto é, “são claras”, não “são bem conhecidas” como Chasles entende) e de que os quatro lemas que Pappus dá sobre esse livro de Euclides dizem respeito a seções cônicas. Heiberg, no entanto, por uma bem elaborada análise de todas as passagens nas quais tokoi de vários tipos são descritos, chega à conclusão de que tokoi rcpóç èm^avèia significa simples­ mente “loci que são superfícies”, e que o tratado de Euclides lida sobretudo com as superfícies curvas do cilindro e do cone. Q ue essas superfícies eram consideradas como loci antes do tempo de Euclides é evidente pela solução de Árquitas ao problema da duplicação do cubo.

C o m o se pode ver pelas passagens acim a, e ju lgam os co n stitu íre m elas tu d o o que se p o ssa falar sobre esse trab alh o de E u clid es, estava aberta a tem p o rad a das co n jectu ra s. E nada de mal n isso. É m esm o um am pliar de h o riz o n te s, um ganho em visão so bre os m éto d o s dos a n tigo s. Afinal, não há quem afiance ser a in flu en te filoso fia de P lo tin o o resu ltad o da sua má com p reensão das ideias de Platão? O u , co m o quer o p oeta, seja a m e ta física

5 5 GOW, James. A Short History of Greek Mathematics. Nova York: Chelsea, 1968. 5 6 [Lugares em uma superfície]. 5 7 “ to Tflç rcep'i amoüç i8ioTfl[Toç.

57

Euclides

um a co n seq u ên cia de se estar m al d isp o sto (re sta n d o -n o s, assim , co m o à “pequena su ja”, tirar “o papel de prata, que é de fo lh a de esta n h o ”, cuidando para não d eitar “tu d o para o ch ão ”, e co m er c h o c o la te s )? 58

As cônicas C o n fo rm e com o já expresso, Pappus, tra ta n d o das Cônicas de A p o lô n io , atrib u iu a E u clid es um tratad o so bre Seções cônicas59 em qu atro livros que teriam form ad o o fu n d am en to dos qu atro p rim eiro s livros da o b ra de A p o lô n io . In feliz m e n te , talvez até pelo m ag nífico trab alh o deste, o daquele não co n segu iu vencer o d estin o das obras suplantadas p o r o u tras na A n ti­ guidade e não sobreviveu. A risteu , o velho (cerca de 3 2 0 a .C .), escreveu um Elementos de seções cônicas, em cin co livros que, segund o Pappus, E u clid es tin h a em alta co n ta. D esse m od o, não pod e haver dúvidas q u an to a essa o b ra de A riste u ter precedido a de E u clid es. A rquim edes refere-se freq u en tem en te a p ro p o siçõ es sobre cônicas com o bem conhecidas e não n ecessitan d o de d em o n straçõ es, ad icionand o em três casos que elas estavam provadas nos “elem en tos de cô n ica s”. Porém , não m en cio n a E u clid es, co m o se a m era d en om in ação de “E le m e n to s ” bastasse p o r su b en ten d e-lh e o nom e. É razoável supor, com o resultado do testem u n h o de Pappus, que, se A ris­ teu desenvolvera a te o ria de m od o o rig in al, E u clid es te ria p o sto em form a tu d o o que fo ra ad quirid o à sua época, com m ãos de grande sistem atizad or, e que as suas Cônicas eram um a o b ra de referên cia e assim perm an ecera até o aparecim ento da de A p o lô n io . N o endereçam ento a E u d em o , que co n h ecera em Pérgam o, do Livro I do seu tratad o, A p o lô n io frisa que, dos o ito livros que o co n stitu e m , os quatro p rim eiro s são devotados a um a in tro d u ção elem en tar e passa a descrever­ -lhes o co n teú d o . S o b re o te rce iro deles assevera:

5 8 PESSOA, F. Obra poética (volume único). Rio de Janeiro: Companhia Nova Aguilar, I9 6 5 . 5 9 KrnvlKà.

5«

O s elementos

E o terceiro também [contém ] muitos e extraordinários teoremas, úteis tanto para a síntese dos lugares sólidos quanto para as determinações, dos quais os mais numerosos e os mais belos são novos,60 e tendo-os observado, fomos capazes de ver não sendo sintetizado por Euclides o lugar nas três e quatro linhas,6I mas uma partezinha ao acaso dele e isso não de modo feliz.62 Pois não era possível sem as coisas achadas por nós ter sido completada a síntese.63 E s tá aí, p o is, m encio n ad o um p o n to em que o g eô m etra de Pérgam o m elh o ra o trab alh o em qu estão de E u clid es. E s te teria tra ta d o apenas ana­ litica m e n te “o lugar nas três e qu atro lin h a s”.64 O referid o lugar é definido p o r Pappus (V II, 3 6 ) nos segu intes te rm o s: Se forem dadas três linhas em posição e de um ponto linhas retas forem traçadas para encontrar as três dadas em ângulos dados, e a razão do retângulo sob duas das linhas assim traçadas para o quadrado da terceira for dada, o ponto jazerá em um lugar sólido dado em posição, isto é, em uma das três cônicas. Se quatro linhas forem dadas em posição e quatro linhas retas forem traçadas como antes, e a razão dos retângulos sob dois pares for dada, similarmente o ponto jazerá sobre uma cônica. É bo m lem brar, de passagem , que a cô n ica co m o um locus ad quattuor lineas fo i usado p o r N ew to n nos seus Principia. É possível, com base nos p rim eiro s livros das Cônicas de A p o lô n io e nas referências feitas p o r A rq u im ed es, propor, com b o m grau de acerto , um a lista de p ro p o siçõ es que figurariam no trab alh o de E u clid es. É o que faz T h o m a s L. H e a th em A History o f Greek M athematics,65 II, I 2 I - I 2 6 . Para conclu ir, é p reciso lem brar que os nom es elipse, hipérbole e parábola são devidos não a E u clid es ou a A risteu , mas a A p o lô n io . A parecem , resp ec­

60

to 8è TpÍTóv rcoXtó Kai rapáSo^a 0èrnprç^aTa xprçoi|ia rcpóç Tè Tàç onv0èoèiç Tâv oTèpèâv TÓrcmv Kai toüç 8iòpio^ó^ç

âv Ta rcXèioTa Kai raXAioTa ^èva 6 I a Kai KaTavo^oavTèç onvèi8o|ièv covTrôè^èvov mó EÚKXèiSon TÓv èrci Tpèiç Kai Tèooapaç ypa|i |làç TÓftóv 6 2 àXAà |iópiov to T^xóv amoíí Kai toííto oúk èmuxâç 6 3 oú yap rçv SwaTÓv avèu Tâv npooèuprçiièvrnv 1p.iv TèXèira0flvai Trçv otiv0èoiv. 64 TÓTOç èrci Tpèiç Kai Tèooapaç ypa^^aç. 65 [História da matemática grega]. 59

Euclides

tivam ente, nos complexos enunciados das proposições I .I 3 , I . I 2 e III.4 5 das C ôn icas . Ilustrem os tal complexidade com o enunciado da proposição I . I 3 em que se define elipse: Caso um cone seja cortado por um plano pelo eixo,66 e seja cortado tam­ bém por um outro plano que encontra cada lado do triângulo pelo eixo,67 ao passo que nem conduzido paralelo à base do cone nem contrariamente,68 e o plano, no qual está a base do cone e o plano que corta se encontrem segundo uma reta que é em ângulos retos ou com a base do triângulo pelo eixo ou com a mesma sobre uma reta,69 a que seja conduzida paralela à seção comum dos planos da seção do cone até o diâmetro da seção,70 será, elevada ao quadrado, uma área posta junto a alguma reta,n em relação à qual o diâmetro da seção tem uma razão que o quadrado sobre a conduzida, do vértice do cone paralela ao diâmetro da seção até a base do triângulo, para o contido pelas interceptadas por elas sobre as retas do triângulo,72 tendo como largura a que é interceptada por ela a partir do diâmetro em relação ao vértice da seção,73 deficiente por uma figura semelhante e também semelhantemente posta ao contido tanto pelo diâmetro quanto pelo parâmetro,74 e seja chamada tal seção uma elipse.75 C om o bem observa Paul Ver Eecke, naquela que foi a prim eira tradução francesa do texto grego de Apolônio (p.2 8 , nota 4 ) : Esse enunciado, que é tão complicado quanto aquele da proposição anterior [em que se define hipérbole], reduz-se a dizer que, na seção cônica considerada,

66 67 68 69 70 7I 72

73 74 75

Eàv Kravoç ÉmrcÉ8mT|if0f 8ià tó6 ài^ovoç T|if0f 8EKài ÉTÉpra ÉmrcÉ8ma^mrcTòvTl |iEvÉKàTÉpà ft^Eupà tó6 8ià ài^ovoç Tpiyrávò^ |ifTE 8Erapà Tfv pàoiv tó6 kmvó6 fy|iEvra |ifTE ^KEvàvTÍraç TÒ8ÉÈKÍKE8òv/Év ra ÈOTiv f pàoiç TÒ6 KMvò6/ Kàl TÒTÉjlvòv ÈKÍ^e8òv 06|imftTf KàT’É60Élàv ftpòç Ò p0àç Ò6aàv fTÒl Tf pàoEl TÒ6 8là TÒ6à^òvòç Tpiyrávò^f Tf ÉK’E^0EÍàç à6Tf ftlç àv àrcò Tfç Tò|ifç tó6 kmvó6 rapàXXfXoç àx0f Tf Kòivf Tò^f Trav EmÉ8rav Eraç Tfç 8là|iÉTpò6 Tfç TÒ|lfç 8wfOÉTàí Tl xrapíòv ^àpàKEÍj^Evòv ftàpà Tlvà Éttóàv rcpòç fv Xòyoç ÉXEÍ f 8íà^ÉTpòç Tfç Tò^fç/ òv tò TÉTpàymvov tòàrcò Tfç fy|iEvfç àrcò Tfç Kop^^fç tò ■ 6 K(óvo6 rapà Tfv 8iàmETpòv Tfç Tò^fç Eraç Tfç pàoEraç tó6 Tplytóvòu Tpòç tò ftEpiEXò^Évòv 6n;ò Trav àKòXà^pàvò^Évrav 6ft’à6Tfç Tpòç Tàlç TÒ6 TplytóvòUÉ60ÉÍàç ftXàTòç ÉXòv Tfv àKòXà^pàvò^Évfv ’à6Tfç àrcò Tfç 8là|lÉTpò6 rcpòç Tf Kòp6^f Tfç Tò|lfç ÉXMnov éí8éí ò|iòíraté Kàl ò|iòíraç KEl|iÉvq) Tò6 ftEpiEXò|iÉvra6móté Tfç 8là|iÉTpò6 Kàl Tfç Kàp’f 86vàvTàiKàXÉlO0ra 8Éf TÒlà6Tf TÒ|lf ÉXXéí^íç. 60

O s elementos

o quadrado da ordenada equivale a uma área retangular que, aplicada segundo o parâmetro, isto é, tendo o parâmetro como comprimento, e tendo a abscissa como largura, é diminuída de uma área, semelhante àquela que tem como comprimento o parâmetro e como largura o diâmetro. Por consequência, se designarmos por y a ordenada, por x a abscissa, por a o diâmetro, e por p o parâmetro, o enunciado da proposição traduzir-se-á pela relação y 2 = p x — (p /a) x 2,

que é a equação cartesiana da elipse referida a eixos oblíquos, dos quais um é o diâmetro, o outro, a tangente na sua extremidade. Presta, ainda, esse tradutor, na nota 5, páginas 2 8 - 9 , o seguinte esclare­ cim ento a respeito do term o elipse:76 Criando a nova denominação èXXeiyiç, que conservamos na palavra “elipse”, Apolônio abandonava a perífrase “seção de cone reto acutângulo” dos seus pre­ decessores, aí compreendido Arquimedes, que consideravam a curva em ques­ tão como obtida unicamente pela seção plana, perpendicular a uma geratriz, do cone reto acutângulo. A origem da denominação recebeu, aliás, explicações diferentes. Eutocius, no seu comentário (ver ed. Heiberg, v.II, p .I7 4 ), adota primeiramente para o verbo radical èXXáfteiv o sentido de “ser deficiente”, e observa que a soma do ângulo do cone de origem e do ângulo formado pelo eixo da curva com a geratriz do cone é menor do que dois ângulos retos. Ado­ tando em seguida para o mesmo verbo o sentido de “ser defeituoso por algum lugar”, observa que a curva em questão não é senão um “círculo imperfeito”. Por outro lado, Heath (Appolonius o f Perga, Cambridge, 1 8 9 6 , p .I 2 ), impelido pelas duas explicações de Eutocius, faz o nome elipse derivar da propriedade da curva, como é enunciada na proposição de Apolônio, isto é, do fato de que o quadrado da ordenada equivale a certa área à qual faz falta certa outra área. E ncon tra-se no grande dicionário grego-inglês de Leddell—S co tt para a O xford, no verbete èXXeiyiç: ... 2 a seção cônica elipse (assim chamada porque o quadrado sobre a ordenada é igual a um retângulo com altura igual à abscissa e aplicado ao parâmetro, mas deficiente em relação a ele).

76 èxxèiyiç. 61

Euclides

Os fenômenos O bra que o fam élico olvido não conseguiu devorar, chegou até nós e foi publicada por M enge no Volume V III, p .2 - I 5 6 , de E u clidis opera om n ia, edição já várias vezes aludida. O s phaenom ena (^aivo^èva, “aparências do céu”) são um texto com I 8 p ro­ posições e um prefácio e a sua autenticidade foi abonada por Pappus (V I, p .5 9 4 - 6 3 2 ) , que dá alguns lem as, ou proposições explanatórias a respeito. ^aivo^èva é a form a do nom inativo neutro plural do particípio presente passivo do verbo palvra. O significado desse verbo nas formas transitivas é “m ostrar, trazer à luz, fazer con h ecer”, e nas formas intransitivas, que aqui nos interessa, “tornar-se visível, vir à luz, m ostrar-se, aparecer” (aliás, o nosso term o “fantasm a”, isto é, “aparição”, deriva desse verbo); daí, Ta ^aivoiièva (os fenômenos/phaenomena) significar, literalm ente, “as coisas que são vistas; as aparências”, tendo na astronom ia o sentido particular de “as aparências do céu; os fenôm enos celestes”. O prefácio de Euclides é uma afirmação das considerações que m ostram o universo com o uma esfera e é seguido por algumas definições de term os técnicos. Entre esses, o uso de opiÇrav, particípio presente ativo do verbo opiÇra ( “lim ita r”) , com o substantivo, significando “círculo que lim ita; ho­ rizon te”, e a expressão |ièGr||ippivoç KfiKXoç, “círculo m eridiano”, que ocorrem

aí pela prim eira vez. O trabalho é uma coleção de dem onstrações geom étricas de proposições estabelecidas pela observação sobre fenôm enos celestes —o aparecimento e o pôr-se de estrelas —e baseia-se na obra

n è p i Kivofi|iév^ç o ^ a lp a ç

“Sobre esferas

em m ovim en to” de Autolycus, referida várias vezes pelo alexandrino, porém

sem nom eá-lo. Por exemplo, a proposição I de Autolycus é citada na quinta de Euclides, a segunda, nas quarta e sexta, e a décima, na segunda. Euclides tam bém aproveita um trabalho sobre geom etria esférica (Sphaerica) de autor desconhecido. Assim, no prefácio, faz alusão ao fato de que,

se sobre uma esfera dois círculos se bissectem , são ambos grandes círculos, e, na dem onstração, supõe frequentem ente que o leitor conheça outros teoremas do tipo. Quando o trabalho de Euclides é comparado com a obra 62

O s elementos

posterior, Spherica, de T heod osiu s, vê-se terem ambos recorrido ao mesmo original ancestral que, conjectura-se, teria sido escrito por Eudoxo. N o estilo de A ristó teles, sobre “os ou tros trabalhos de E u clid es” Tooama eip^o0ro “fique dito esse ta n to ”.

Os comentaristas gregos dos Elem entos N a Antiguidade e na Idade Média, o modo de abordagem de uma obra e do seu ensino era o C om entário. D e fato, um comentário ou exposição do pen­ samento de algum autor era um dos métodos básicos de ensino nas escolas medievais. E o com entário como instrum ento pedagógico por excelência foi herdado tanto dos padres da Igreja quanto dos escritores árabes, e essas duas fontes têm a mesma origem: os escritos literários e científicos do últim o pe­ ríodo do pensamento grego. Duas bicas, mas uma só água. Era esse, também, o modo de enriquecer o conhecim ento pela confluência de vários saberes. N o O cidente, o com entário tom ou várias form as. A maneira especial, empregada, por exemplo, por Boécio nas suas exposições das C ategorias e do D e interpretatione de A ristóteles consiste em proceder sistem aticam ente por partes, tom ando, de cada vez, uma pequena porção do texto original em tradução (latina, no caso) e explicando-lhe o conteúdo de modo mais simples. É, aproximadamente, com o o faz Proclus no seu C om en tário ao livro I d o s elementos. D epois de um longo Prólogo em duas partes, trata porm enori­

zada e separadamente das “D efinições”, dos “Postulados”, dos “A xiom as” (“N oções C om uns”, com o está nos E lem en tos) e das “Proposições”, uma a uma. Proclus é o grande escoliasta dessa obra de Euclides. Poder-se-ia dizer que ele está para este com o Alexandre de Aphrodisia, para A ristóteles. Alexandre era conhecido com o “o C om entarista” entre os escoliastas gregos do estagirita; Proclus bem poderia ter esse epíteto no tocante a Euclides. Antes dele, no entanto, houve outros tantos. Ele próprio diz (p .8 4 , I I - I 8 ) que não procederá no seu texto com o m uitos deles, dando lemas, casos etc., pois estamos saciados dessas coisas e raramente trataremos delas. Mas, quantas têm teorias mais importantes e contribuem para a filosofia como um todo, dessas faremos a menção guiadora, emulando os pitagóricos 63

Euclides

para os quais estava à mão também esta alegoria “uma figura e um passo, não uma figura e três óbulos”, mostrando, portanto, como é preciso perseguir aquela geometria...77 Em um outro lugar ( p .2 0 0 .I 0 ) : Voltemos à explicação das coisas demonstradas pelo autor dos Elementos , coletando, por um lado, as mais exatas das escritas sobre elas pelos antigos, cortando-lhes a ilimitada loquacidade, dando, por outro lado, as mais siste­ máticas e portadoras dos métodos científicos.78 Proclus não nom eia os seus predecessores nessa lida, mas parece certo que os mais im portantes tenham sido H erão, P orfírio e Pappus. Posterior a Proclus, aparece tam bém Sim plício.

Herão de Alexandria Proclus faz alusão a esse com entarista em seis passagens. A primeira delas a propósito da M echanica que H erão escrevera, e as cinco restantes por conta dos E lem entos de Euclides. Ei-las: 4 I .8 - I 0 : (... ) [a arte que faz instrumentos] (...), como então também Arquimedes é dito ter construído instrumentos aptos a repelir ataque dos que se fazem hostis a Siracusa, e arte de fazer prodígios, umas executadas habilmente pelos ventos, como elaboraram tanto Ctesibius quanto Herão, outras, pelos pesos (...)79 77 TofiTrav |ièv yap SiaKopèiç èa^èv Kai oravlraç afiTrav è^a^O^a. oca 8è Kpày^àTèlra8èOTèpàv èxèi 0èraplav Kai ofivTèXèl rcpoç TrçvOXrçv^iXoco^lav, TofiTrav ^po^yofi lièvrçv Koi^oo^è0a T^v fi^o^v^oiv ÇrçXoíívTèç Tofiç nfi0ayopèlofiç/oiç rcpOxèipovrçv Kai TofiTo ofi^poXov "axfi|ia Kai pã^a, aWofi oxã|ia Kai TpirápoXov” èvSèiK^èvrav raç apa 8èi Trçvyèra- ^èTplav èKèlv^v ^èTaSiráKèiv... 7 8 èrci T^v è^^y^oiv Tpà^O^è0à Trav 8èiKvfi|ièvrav firà Tofi cToixèiraTOfi Ta |ièv yÀa^fipráTèpa Trav èlç afiTa yèypa^^èvrav Tolç raXoiç àvàXèyO|lèvol Kai TrçvaKèpavTov afiTrav KoXfiXoylav ofivTè^vovTèç Ta 8è TèxviKráTèpa Kai |iè0O8rav èrnoT^^oviKffiv èxo^èva rapa8i8OvTèç. 79 ...oia 8rç Kai ’Apxi^^8^ç Xèyèrai raTaOTèfiácai Trav rcoXè|iofivTrav TrçvSfipàKOfiOàv afifiv^ra ópyãvã, Kai r|0àfi^àTOKOliK^ Ta |ièv 8ia rcvrav (jnXoTèxvofiaa/ raorcèpKai KTrçoipioç Kai' Hprav npay^aTèfiovTai/ Ta 8è' potóv. 64

O s elementos

I 9 6 .I 5 - I 7 : E certamente também nem é preciso reduzir o número deles [isto é, dos axio­ mas/noções comuns] ao menor, como faz Herão que expõe somente três (...)80 3 0 5 .2 I-2 5 : [Falando sobre o enunciado da “Proposição X V I” do Livro I dos Elementos.] Os que fabricaram antes, de modo negligente, esse enunciado, sem o “tendo sido prolongado um lado”, forneceram ocasião igualmente tanto a alguns ou­ tros, mas também a Felipe, diz o mecânico/engenheiro Herão, para acusação.8I 323.5-9: Mas é preciso também descrever as outras demonstrações do proposto teorema, quantas os à volta [isto é, os discípulos] de Herão e de Porfírio expuseram da reta não prolongada, a qual fez o autor dos Elementos .82 3 4 6 .I 2 - I 5 : A demonstração que tal é a de Menelau, ao passo que Herão, o mecânico/ engenheiro, do mesmo modo prova a mesma coisa não por impossível.83 4 2 9 .9 -I5 : Mas, sendo a demonstração do autor dos Elementos evidente, penso nada supérfluo ser necessário acrescentar, mas serem suficientes as coisas escritas, mesmo porque quantos acrescentarem algo mais, como os discípulos de Herão e de Pappus, foram forçados a tomar além disso alguma coisa das mostradas no sexto [livro], em razão de nada importante.84

80 Kai |irçvKai TÓvapi0|ióv amráv ornè èiç ètóxioTov 8èi owaipèiv, ráç '' Hprav rcoièi Tpia |ióvov èK0è |ièvoç... 8 I Tamrçv T^v rcpÓTaoiv oi |ièv èWèircráç ftpoèvèyKa^èvoi x®piç Tofi|iiãç rcXèupfiç rcpooèKpXii0èioiiç a^o p|irçv^apèoxóv ioraç |ièv Kai aXAòiç Tioiv, amap Kai Optara, Ka0a^èp (jn^oiv ó |irçxaviKÓç " Hprav, 8iapoXflç. 82 8èi 8è Kai Taç aWaç a^oSèí^èiç toíí rcpóKèiiièvot) 0èraprç^aToç ioTópfloai, òoaç oi rcèpi " Hprava Kai nopijrópiov avèypa^av Tflç èú0èiaç KpooèKpaWó^èv^ç, ò ftèrcoiiiKèv ó oTóixèiraTrçç. 8 3 Toiamrç |ièv rç a^08èi^iç rç MèvèXaov, " Hprav 8è ó |ièxaviKÓç omraoi oú 8i’a8waTó^ tó amó 8èiK vnoiv. 84 Tflç 8è toíí oTóixèiraTófi arco8èíi;èraç óüorçç ^avèpãç 0ti8èv ^yofi|iai 8èiv rcpoo0èivai ^epiTTÓv, axtó apKèio0ai Tóiç yèypa^^è^óiç, èitèi Kai òooi rcpooè0èoav Ti ^Xèov, ráç oi rcèpi " Hprava Kai na^rcov rçvayKao0^oav rcpooÀapèiv Ti Tâv èv Tâ èKTra 8è8èiy^évrav/0ti8èvóç èvèKa Kpay^aTèirá8o^ç. 65

Euclides

As datas tocantes a H erão são m otivo de controvérsia. Indiretam ente, tem sido posto no século I. Q ue tenha escrito um com entário sobre os E lem entos pode ser inferido do que aparece nas passagens citadas de Proclus, mas m ostra-se bem certo pelas referências a ele feitas por escritores árabes. N o K it a b a l — Fihrist (A lista das ciências) está que “H erão escreveu um com entário sobre esse livro [ O s elementos ] , a fim de explicar os pontos obscu ros”.

O comentário propriamente dito não parece conter muitas coisas que pos­ sam ser consideradas de relevância. H á algumas notas gerais, como a que indi­ ca o fato de ele não aceitar mais do que três axiomas/noções comuns, já vista acima. H á a exploração de casos particulares de certas proposições euclidia­ nas, motivados por diferentes maneiras de desenhar as figuras. H á demons­ trações alternativas, umas dadas sem figura, de modo “puramente algébrico”, outras para “sanar” o motivo de uma objeção a alguma construção de Euclides, e ainda outras tentando evitar a redução ao absurdo usada na prova original. H á o acréscimo de certas recíprocas de proposições dos Elem entos e igualmente umas adições e algumas extensões de proposições. E não há nada mais. Eis o que foi H erão com o com entarista dos Elem entos.

Porfírio O neoplatônico Porfírio, discípulo de P lotin o, revisor e editor da obra deste, parece ter escrito um com entário sobre os E lem entos. Isso é deduzido do que se acha em Proclus, que o dá com o fazendo observações a respeito das proposições I . I 4 e I . I 6 e sobre dem onstrações alternativas às propo­ sições I . I 8 e I.2 0 . Aqui, a possibilidade é que o trabalho de P orfírio tenha sido usado por Pappus ao escrever o seu próprio com entário, e deste tenha se valido Proclus para as suas referências. Seja com o for, dada a evidente vocação pedagógica demonstrada por Porfírio — basta ver a sua EíOàyroyf (Introd u ção), epístola dirigida ao seu discípulo Chrisaorius e que, tendo sido traduzida para o latim por Boécio, serviu por toda a Idade M édia e na Renascença como a mais im portante introdução à Lógica de A ristóteles — pode-se concluir que o seu interesse 66

O s elementos

pelos E lem entos tinha apoio menos em um desejo de contribuir com novos resultados e mais no de manter a precisão da linguagem matemática, levando os seus leitores a entendê-la.

Pappus E xistem em Proclus poucas alusões a Pappus. H á, no entanto, outra evidência de ter ele escrito um com entário sobre os E lem entos. U m escoliasta sobre as definições dos D a t a escreve: “com o diz Pappus no com eço do seu com entário do Livro X de E uclid es” (conform e a edição dos D a ta por M enge, p .2 6 2 ) . Assevera-se também no Fihrist que Pappus compusera um com entário so ­ bre o Livro X dos E lem entos em duas partes. De fato, restam -nos fragm entos do seu trabalho em um m anuscrito —Paris n .9 5 2 .2 —descrito por Woepcke nas M ém oiresprésentés à L A cad em ie des Sciences,85 I 8 5 6 , v.X IV p .6 5 8 - 7 I 9 . Ainda Eutocius, na sua nota sobre o nEpi o^àlpàç rni K6Xív5po6, I .I 3 , (Sobre a esfera e o cilin d ro ), de Arquimedes, afirma:

Como, de fato, inscrever no círculo dado um polígono semelhante ao inscrito em um outro é evidente, e foi mencionado também por Pappus no comentário dos Elementos .86 O objeto da observação estaria, provavelmente, no comentário do Livro X II. Passemos aos extratos de Proclus em que Pappus figura: Sobre o quarto postulado87 (“e serem todos os ângulos retos iguais entre si”) lê-se: I 8 9 .I 2 - I 5 : Pappus estabeleceu-nos corretamente que a recíproca não mais é verdadeira, o ser, de todo ângulo, o ângulo igual ao reto, reto.88

85 [Memórias apresentadas à Academia de Ciências]. 8 6 ' Orcraç |iEvo6v EoTlv éíç tóv 8o0EvTà k6kXóv rcòXúymvòv Eyypàyài o'|iòlòv Tra Ev ÉTÉpra Eyypà^^Evra 8fXov/ EÍpfTài 8EKàl nàftrcra éíç tó 6KÒ|ivf^à Trav STòXElrav. 87 Kàl ráaàç Tàç òp0àç yravlàç Íoàç àXXfXàiç EÍvài. 88 ò 8E nàrcrcoç é^Eot^oev fiiàç òp0raç ótí tó àvTÍOTpo^òv ó6kétí àXf0Éç/ tó Tfv Íofv Tf òp0f yravlàv ÉKftàvTÒç ÉlvàÍ òp0fv. 67

Euclides

E ao tratar dos axiomas/noções com uns: I 9 7 .6 - I 0 : E, com esses axiomas, Pappus diz registrar ao mesmo tempo que também, se desiguais sejam adicionados a iguais, o excesso entre os totais é igual ao entre os adicionados, e inversamente, caso iguais sejam adicionados a desiguais, o excesso entre os totais é igual ao entre os do princípio.89 Mas Proclus prossegue: I 9 8 .3 - I 5 : Essas coisas, de fato, seguem dos axiomas mencionados antes e, com razão, são omitidas na maioria das cópias, e quantas outras dessas ele [isto é, Pappus] acrescenta são antecipadas pelas definições e seguem daquelas; por exemplo, que todas as porções do plano e da reta ajustam-se umas às outras —pois as coisas estendidas ao extremo têm uma natureza que tal —e que um ponto divide uma linha, e uma linha, uma superfície, e uma superfície, um sólido —pois todas são divididas por essas, pelas quais são limitadas imediatamente —e que o ilimitado nas magnitudes existe tanto pelo acréscimo quanto pela destruição, mas cada uma em potência; pois toda coisa contínua é divisível e pode crescer ilimitadamente.90 2 4 9 .2 0 -2 I: [A propósito da “Proposição I.5 ”] E ainda Pappus demonstra de modo curto, tendo necessitado de nenhuma adição, assim: (...)9I E a referência em 4 2 9 . 9 - I 5 , já posta acima sob a rubrica H erão de Alexandria. 89 TofiToiç 8è Tolç a^ira^aoiv Onájraoç ofivàvàypà^èo0àl (jn^oiv otí Kai av iooiç avioa rcpooTè0fl, r|Trav OXrav fircèpox^iorç èoTiv Tfl Trav rcpooTè0èvTrav, Kai avaraXiv, èav avlooiç ioa rcpooTè0fl/rç Trav OXrav fircèpoxrçiorç èoTi Tfl Trav è£, apxflç. 90 TafiTa ofiv èrcèTai Toiç rcpoèiprç|ièvoiç a^ira^aoi Kai èiKOTraç èv Toiç rcXèloToiç àvTlypà^olç rcapaXèl ^èTai, oca 8è aXÀa TofiToiç KpooT^oiv, npoèlXrçftTai 8ia Trav oprav Kai èKèívoiç àKOXofi0à/ oiov otí ravTa Tofi èmè8ofi Ta |iOpia Kai Tflç èfi0èlaç áX,X,rçX,oiç è^ap^OTTèi - Ta yap èiç aKpov TèTa^èva Toi afiT^v èxèi ^fioivKai otí ypa|i|irçv |ièv 8iaipèT o^^èiov, èrci^avèiav 8è ypawirç, oTèpèOv 8è èrci^avèi aravTa yap 8làlpèlTàl TofiToiç, fifrav Kai rcèpaTomai npooèxraç - Kai Oti arcèipov èv Toiç |ièyè0è olv èoTiv Kai Tfl rcpoo0èoèi Kai èmKà0àlpèoèl/ 8fiva^èi 8è èKaTèpov tóv yap ofivèxèç bt’arcèipov 8iaipèTov èoTi Kai afii^Tov. 9 1 ''Etí 8è ofivTo^ráTèpov a^èlKvfioiv o náuoç ^^8è^laç rcpoo0rçKiiç 8èrç0èiç ofiTraç. 68

O s elementos

Além dessas m enções, H eath propõe ser razoável concordar com Van Pesch (D e P rocli fo n tib u s, p .I 3 4 e ss.) que afiança Proclus valer-se, sem m en­ cionar a autoridade, do com entário de Pappus em vários outros passos do seu próprio com entário.

Proclus C om o já fo i m encionado, o C om en tário de Proclus sobre o Livro I dos E lem entos é uma das duas principais fontes de inform ação sobre a história

da geom etria grega que possuím os, a outra sendo a C oleção de Pappus. O C om en tário visa mais à geom etria elementar, a da régua e do compasso, ao

passo que a C oleção volta-se para a geometria avançada. A im portância dessas duas obras repousa no fato de não terem sobrevivido os trabalhos originais dos predecessores de Euclides, Arquimedes e Apolônio. Proclus viveu no século V ( 4 I 0 a 4 8 5 ) , tendo assim escoado um tempo suficiente para que a tradição relativa aos geômetras pré-euclidianos se tornasse obscura e falha. D aí fazer m uito sentido a investigação, realizada por alguns pioneiros da h istória da m atem ática nos últim os cem anos, das fontes utilizadas no seu trabalho; pois são menos confiáveis aquelas que mais se afastam do tem po dos fatos relatados. Proclus iniciou a sua educação em Alexandria, sendo orientado na filoso­ fia de A ristóteles por O lym piodorus, este tam bém um escoliasta do estagirita, e na m atem ática por um tal H erão, que não deve ser confundido com o mechanicus H erão. Vai depois para Atenas, onde é instruído por Plutarco e por Syrianus na filosofia neoplatônica, à qual se dedicou profundam en­ te, a ponto de, sendo um discípulo de rápida aprendizagem, tornar-se-lhe um dos máximos expoentes e ser alçado, depois da m orte do seu m estre Syrianus, a chefe da escola neoplatônica de Atenas. Proem inente no alcance do seu saber, foi chamado por Z eller na sua D ie Philosophie der G riechen, “D er G elehrte, dem kein Feld damaligen W issens verschlossen is t” ( “o erudito, para quem nenhum campo de conhecim ento daquele tempo está fechado”). Foi m atem ático e poeta, devoto adorador de divindades gregas e orientais, m ente tranquila em um mundo de grandes convulsões. 69

Euclides

N a qualidade de neoplatônico, uma das suas doutrinas fundamentais sustentava que um nível mais baixo da realidade é, de algum modo, uma “imagem” 92 do mais alto. U m a aplicação dessa ideia encontra abrigo no C om en tário e, pode-se dizer, con stitu i a base da sua filosofia da matemática.

Para ele, a m atem ática reflete a natureza do mundo espiritual, e este pode ser compreendido estudando-se as figuras geométricas. Em poucas palavras, entendia a m atem ática com o via de acesso às mais altas regiões do espírito, representadas pela filosofia; daí, ser inferior a esta. Isso está expresso no seguinte excerto, em que Proclus se refere a Platão: 3 I .I I - 2 2 : E dividindo, por sua vez, essa ciência, que distinguimos das artes, ele quer uma ser não hipotética, a outra partida de hipótese, e a não hipotética estar apta a conhecer a universalidade das coisas, subindo até o Bem e a causa mais alta de todas as coisas, e fazendo do Bem o fim da ascensão, enquanto a que tendo se colocado à frente princípios determinados, valendo-se desses demonstrar as suas consequências, indo não para um princípio mas para um fim. E assim, então, ele diz a matemática, como a que se serve de hipóteses, ser deixada para trás pela ciência não hipotética e acabada [vale dizer, a dialética platônica ].93 Sabem os que na escola neoplatônica, segundo o preceito exposto na R epública, os jovens estudantes deveriam ser instruídos na m atem ática e era

missão do chefe da escola ensiná-la. Eis a origem do seu com entário — o ensino dessa ciência. Além disso, em um ponto da obra torna-se evidente que os seus ouvintes são principiantes, pois m antém que: 2 7 2 .7 -I4 : E outros fizeram a mesma coisa com as quadratrizes de Hippias e N icomedes, também esses servindo-se de linhas mistas, as quadratrizes. E outros, partindo das hélices arquimedianas cortaram o ângulo retilíneo dado na razão 92 EÍKrav. 9 3 Tà6Tfv 8’à6 Tfv ÉrnoTfmfv/ fv Trav TEXvrav àifòpíÇò|iÉv/ 8íàíprav Tfv |!Évàv6ftò0ETòv EÍvài po6XETàí/ Tfv 8EEÇ6to0éoémç ráp|if|iÉvfv/ Kàí Tfv |iEvàv6KÒ0ÉTòv Trav òXrav EÍvài yvraoTiKfv |iÉXpi tó6 àyà0ò6 Kài Tfç àvraTàTra Trav rávTmv àÍTÍàç àvàpàívò6oàv Kàí Tfç àvàyrayfç TÉXoç rcòíò6|iÉvfv tóàyà0òv/ Tfv 8E rápio^Evàç àpXàç ipòOTfOà^Évfv àrcò tó6tmv 8EiKv6vài Tà ÉKÒ|iÉvà à6Tàiç ó6k Eft’àpXfv àWÉftÍ TEXE6Tfv Íò60àv. Kàí Ò6TMç 8f Tfv |là0f|làTÍKfv àTÉ 6ftÒ0É-OEOlv Xpra^Évfv Tfç àv6KÒ0ÉTÒ6 Kàí TEXEÍàç ÉmOTf^fç àKòXEÍKÉO0àÍ ^fOív. 7o

O s elementos

dada; os conceitos das quais coisas sendo difíceis de entender para os iniciantes, deixamo-las presentemente de lado.94 Há, por outro lado, passagens sobre hélice cilíndrica ( I 0 4 . 2 6 - I 0 5 . 2 ) e sobre concoides e cissoides ( I I 3 . 3 - 6 ) . I 0 4 .2 6 - I0 5 .2 : E alguns disputam a respeito dessa divisão e dizem existir não somente duas linhas simples, mas também uma outra, terceira, a traçada em torno da hélice de um cilindro...95 I I 3 .3 - 6 : E deve-se submeter as demonstrações das (afirmações) daquele [Geminus] aos amantes do conhecimento, porque ele dá as gerações tanto das linhas es­ pirais quanto das concoides como das cissoides.96 Por essas e outras, somos levados a concluir que Proclus tam bém tinha em mira um público mais amplo, ou, antes, produzir uma obra de referência. Ao com entar as proposições euclidianas, o escoliasta segue um plano bem estabelecido: (i) (ii)

explica as dem onstrações dadas pelo geômetra; dá alguns casos diferentes, por questões práticas;

(iii) refuta objeções provenientes de detratores de Euclides a certas proposições. E ste item encontra a seguinte justificativa: 3 7 5 .8 -I2 : Adicionei explicações relativas a essas coisas pelas importunações sofistas e pelo estado de espírito natural da juventude dos ouvintes. A maioria rejubila-se

94 èTèpoi 8è èKTâv ' taion Kai NiK0|rç80t)ç TèTpayrnviÇouoâv Kè^ói^Kaoi toamó/ |iKTaiç Kai omoi xp^oa^èvoi ypa||alç Taiç TèTpayrnviÇóúoaiç. aWói 8è èKTâv ' Apxi|rç8èírnv èXÍKrav óp|^0èvTèç èiç TÓv 8ó0èvTa Xóyov èTè|óv Trçv 8ó0èioav èú&úypamov yrnviav âv Taç èrnvóíaç 8no0èMprçTó'oç óüoaç Tóiç èioayo|èvoiç rcapaXèin;o|èv èv Tâ rcapóvTi. 9 5 Aia|^iop^Tófioi 8è Tivèç rcpóç Trçv 8iaipèoiv Tamrçv Kai ijiaoi 8^0 |0vaç èivai Taç a^Mç ypa||aç, ax,Aà Kai Tpkrçv au^v, Trçv rcèpi TÓv K'óXiv8po'o è'XiKa ypa^ó|èv^v... 9 6 Kai XrçftTèov èKTâv èKèivon Tóiç ^iXó|a0èoi Taç arco8èi^èiç/ èrò Kai Taç yèvèoèiç Tâv orcèipiKâv ypa||âv Kai Tâv Koyxóèi8âv Kai Tâv Kiooóèi8âv rapa8i8rnoiv. 7

1

Euclides

encontrando paralogismos que tais e introduzindo dificuldades supérfluas aos possuidores do perfeito conhecimento.97 U m a questão tão natural quanto o respirar para viver é a de saber se o C om en tário ao livro I não se estendeu aos demais livros dos E lem entos. Alusões

ali encontradas m ostram que Proclus intentava prosseguir e possuiria notas nesse sentido. N o entanto, o últim o trecho do trabalho parece indicar não ter havido a desejada continuidade: 4 3 2 .9 -1 9 : E nós, por um lado, caso possamos ir do mesmo modo aos restantes, rende­ ríamos graça aos deuses, caso, por outro lado, outros cuidados nos desviem, de­ mandamos aos amantes da contemplação deste estudo fazer, segundo o mesmo método, também a exegese dos livros seguintes, investigando o absolutamente importante e facilmente divisível, porque ao menos os comentários que agora circulam têm a confusão muita e variada que leva ao mesmo tempo nenhuma explicação às causas nem ao julgamento dialético nem ao estudo filosófico.98 Ian M ueller (M athem atics an d Philosophy in P roclu s’ C om m en tary on B oo k I o f E u c lid ’s E lem ents in Proclus, lecteur et interprete des anciens, 3 1 0 ) 99 propõe, o que

é evidente, a seguinte divisão do C om en tário e uma interessante classificação do seu conteúdo: A D iv isão: I. Prólogo: A. Parte I (M atem ática em geral); B. Parte II (G eom etria). 97 Tomoiç àvayKaírnç Srcsaii|iiiva^s0a 8ià ràç oo^ioxiKàç svoxXrçosiç Kai ràç vsaporcpstóç TffivàKouóvTMv é'^eiç. xaiponai yàp oi rcoXXoi toI çToiomoiç rapa Xoyioiiolç rcpooTDyxávovTEç Kai toíç smoT^ooiv oxXov rcspmòv SrcsiaayovTsç. 9 8 ii^siç 8s, si |isv 8wn0£in|i£v Kai toiç Xoítoiç tov amòv Tporcov Si;sX0siv/ toiç 0soiç av xapiv o^oXo y^oai^sv, si 8s axxai i|>povTÍ8sç ^ãç rcspiaraaaisv/ Tofiç ^iXo0£á^ovaç Tflç 0srnpíaç Tamrçç à^iofi|i£v KaTa Trçvamrçv |is0o8ov Kai Tffiv s^flç rcoirçaaa0ai pipXirnv Trçv s^yrçoiv to npay|iaTSiffi8sç ravTaxofi Kai sú8iaípsTov |isTa8itóKovTaç/ ráç Ta ys ^spo^sva vfiv moiiv^ara rcoXXrçv Kai ravTa8arcrçv sxsi T^v ofiyxfioiv amaç a^o8ooiv oú8s|iiav ofivsio^spovTa ofi8s Kpioiv 8iaXsKTiKrçv ofi8s 0srnpíav ^iXooo^ov. 99 [Matemática e filosofia no comentário de Proclus sobre o Livro I dos elementos de Euclides, in Proclus, leitor e intérprete dos antigos]. 7

2

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II. As definições do Livro I dos Elem entos. III. As asserções do Livro I: A. Os postulados e axiomas; B. As proposições. A C lassificação: (1 ) Especulação neoplatônico-neopitagórica: os principais exemplos disso são interpretações de conceitos e proposições como imagens de coisas mais elevadas [com o já apontam os anteriorm ente]; um outro exemplo seria a tentativa de relacionar a matem ática com os princípios Lim itado—Ilim itado. (2 ) D iscussão menos especulativa, m ais an alítico-filosófica: a distinção entre a discussão filosófica e a especulação fica, algumas vezes, obscurecida quan­ do tal discussão é feita por causa da especulação ou no contexto de ideias especulativas. (3 ) C lassificações e pontos semânticos, lógicos ou metodológicos: incluídas nesse item estão explicações de term os ou proposições, aplicações de pontos da lógica, usualm ente do trabalho de A ristóteles, análises da estrutura da ar­ gumentação euclidiana, definições alternativas, e classificações, usualmente por gênero e espécie, de objetos geom étricos. (4 ) R aciocínio m ais estritamente m atem ático : isso é usualmente encontrado em dem onstrações alternativas, dem onstrações de casos não considerados por Euclides, ou em respostas a objeções; em geral, o raciocínio é bem elementar. (5 ) Observações históricas; incluo aqui som ente observações que parecem não ter outro propósito exceto o de prover inform ação histórica, em geral, que O inopides foi o prim eiro a provar certa proposição; outras afirmações com um conteúdo histórico, na maioria, apresentações. Ian M ueller assevera: (... ) há um tipo de divisão óbvia entre ( I ) - ( 2 ) e ( 3 ) - ( 4 ) , e particularmente entre ( I ) , que poderia ser chamado de jambricano e ( 3 ) - ( 4 ) que poderiam ser chamados porfirianos. Não surpreendentemente, historiadores da filosofia têm se concentrado no material que cai nos itens ( I ) - ( 2 ) , ao passo que histo­ riadores da matemática negligenciam-nos amplamente, concentrando-se nas categorias (3 ) - ( 4 ) . 73

Euclides

C om o Sim plício em relação à obra de A ristóteles, Proclus também usou, na elaboração do seu C om en tário, tudo o que de útil encontrara no que es­ creveram aqueles que o precederam. M as vale, com certeza, para ele o que alguém já disse: “N ós nada somos sem o trabalho dos nossos predecessores. (...) E, no entanto, somos mais do que isso.” O escoliasta fez uma com ­ pilação, porém uma “no m elhor sentid o”. Pois achou um enorme bloco de pedra, “tosco, bruto, inform e, e depois de desbastar o mais grosso, tom a o maço e o cinzel na m ão” e começa a dar-lhe vida. Seleciona passos antes desconexos, apara expressões inapropriadas, recorta o que lhe parece bom, e veste-lhes o m anto da harm oniosa coerência; “aqui desprega, ali arruga, acolá recama” e, “naquele m ovim ento hierático da clara língua” grega “m a­ jestosa, naquele exprimir das ideias nas palavras inevitáveis, correr de água porque há declive”, fica pronta a obra que, ao explicar Euclides, preserva-nos m uito do que podemos afirmar das conquistas gregas no fecundo campo da m atem ática.

Simplício O neoplatônico Sim plício (século V I) foi, por longo tempo, conside­ rado im portante sobretudo com o fonte de fragm entos de outros filósofos. N o conjunto das suas obras, de proporção considerável, consistindo exclu­ sivamente em com entários, cita as opiniões de um grande número dos que vieram antes, com o anota M ichael Chase, na Introdução da sua tradução inglesa do C om en tário de Sim plício às C ategorias de A ristóteles, p .I - 4 . E tais m enções são, com frequência, as únicas coisas que sobreviveram de m uitos desses antepassados. O seu papel de preservador dos fragm entos dos pré-socráticos é inestimável e ele deve ser sempre altissim am ente tido pela existência de fragm entos de Parmênides, Em pédocles, Anaxágoras e Diógenes Apolônio. O seu valor como fonte de peripatéticos como Eudemo de Rodes, A ndrônico e Boécio é inexcedível, sendo igualmente o guardião do que se conhece de certos autores pitagóricos e pseudopitagóricos, como M oderatus de Gades e Árquitas, bem como de membros da Academia Tardia e dos chamados platônicos médios. M u ito dos com entários perdidos às 74

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C ategorias, escritos por Porfírio e Jâm brico, pode ser reconstruído som ente

pelo uso de Sim plício com o interm ediário. U m C o ló q u io In tern a cio n a l, “Sim p liciu s — Sa vie, son œuvre, sa survie”,100 foi organizado em Paris, de 2 8 de setem bro a I o de outubro de 1 9 8 5 , tendo a sua ata editada por Ilsetraut H adot. Sobre a obra do com entarista, I. H adot, na sua prim eira contribuição àquela publicação, faz saber: Como o observa H. Gatje no artigo que acabo de citar [H. Gatje, Simplikios in D er Arabischen Uberlieferung,101 in Der Islan, 59 ( 1 9 8 2 ) ] , a literatura árabe

guardou os traços da personalidade sábia de Simplício que nos permaneceriam desconhecidos se levássemos em consideração apenas as obras gregas que os acasos da transmissão manuscrita nos conservaram. M ais uma vez apoiada no trabalho de G ãtje, observa (p .3 6 ) : O mesmo Fihrist de Al-Nad i m, do qual já falamos no tangente ao resumo sobre o comentário de Simplício ao D e anima [de Aristóteles], atesta igualmente a existência do comentário às Categorias, como mais tarde Al-Q ift i, que retoma em regra geral o material que se encontra em Al-Nad i m com alguns acréscimos, omissões e variantes. Mas sobre os outros comentários de Simplício sobre Aristóteles, as fontes bibliográficas árabes calam-se. Em compensação [e eis o que nos interessa], nos dois autores árabes, Simplício é nomeado, na quali­ dade de matemático e astrônomo, como tendo escrito um comentário sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides. Al-Q ift i ajunta nesse contexto (...) que Simplício fundara uma escola e que teve alunos que foram chamados segundo o seu nome. A. I. Sabra, no seu artigo “Simplicius’ Proof o f Euclid’s Parallels Postulate [Journal o f the Warburg and Courtauld Institutes, 32 (1 9 6 9 ), p .I-2 4 ], reuniu, além dos extratos citados desse comentário por al-Nayr i z i [matemático que viveu no século IX] em árabe, no seu próprio comentário sobre os Elementos de Euclides, um extrato contido em uma carta de Alam al-D i n Qaysar ibn Abi ’L -Q ã sim a Nas ir al-D í n al-T it s t e, além disso, um texto contido no manuscrito árabe, Bodleianus Thurston 3, fol. 1 4 8 . O comentário de al-Nayr i z 1 será conhecido no Ocidente pela tradução de Geraldo de Cremona. Simplício é aí citado sob o nome de Sambelichos. A tradição grega não nos

100 [Simplício —Sua vida, sua obra, sua sobrevivência]. 101 [Simplício na tradição árabe]. 75

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permite, senão indiretamente, concluir sobre as qualidades de matemático de Simplício. (... ) Em primeiro lugar, o Fahrist faz indiscutivelmente a ligação entre o filósofo e o matemático, e, por outro lado, sabemos que cada filósofo neoplatônico era matemático ao mesmo tempo que filósofo. (...) Acrescentemos, nesse contexto, ainda um pormenor interessante. Em um dos fragmentos textuais do comentário de Simplício sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides, relatados por al-Nayr í z *, Simplício fala do seu “s ã hib”, nomeado Agh ã n í s e cita uma demonstração matemática dele. Qual pode ser o termo grego subjacente? A. I. Sabra traduz por “our associate”, o que pode eventualmente fazer pensar em um professor associado na escola que, segundo al-Nad í m, Simplício havia dirigido. Pode tratar-se talvez também de uma tradução árabe do termo grego ÉTaipoç que, no uso que dele fazem os neoplatônicos, designa um companheiro de estudos admitido no estreito círculo dos verdadeiros adeptos da filosofia neoplatônica. De fato, Sim plício dá, verbatim , em uma longa passagem colocada por al-N ayr i z i depois da “Proposição X X I X ” do Livro I dos E lem entos, uma tentativa de Agh ã n i s, que virá erroneam ente a ser confundido com G eminus, de dem onstrar o postulado das paralelas. Com eça, realmente, com uma definição de paralela que concorda com a versão de Gem inus sobre elas, com o está em Proclus: I 7 7 .2 I- 2 3 : E das [linhas] que se mantêm separadas por distância sempre igual, as retas que nunca tornam menor a entre elas em um plano são paralelas.I02 E está intim am ente conectada com a definição dada por Posidonius em Proclus: I 7 6 .6 - I 0 : E Posidonius diz: paralelas são as que nem convergem nem divergem em um plano, mas as que têm iguais todas as perpendiculares traçadas dos pontos de uma até a outra.I03

102 Tâv 8è ioov aèi a^èxoDoâv 8iaoT^|a ai èioiv èú0èiai |rç8èrcoTè èXÀaoov rcoiófioai tó |èTa^ò amâv èv èvi èmè8ra rapaWrçXói èioiv. 1 0 3 0 8è nooèi8rávióç/ napãXArçX,oi/ ^^oiv, èioiv ai |^Tè onvèúonoai |^Tè arcovèúonoai èv èvi èmè8ra/ awioaç èxonoai rníoaç Taç Ka0èTonç Taç ayo|èvaç arcó Tâv Tflç èTè- paç o^|èirav èrci TrçvXoircr|v. 76

O s elementos

Fiquem os com as considerações acima, no que tange aos com entaristas, aditando: D o Comentário

Quando os deuses, do Olimpo, poderosos Enviam a cristalina chuva Que caudalosos faz os rios E viva a terra agradecida, As gotas dágua suspensas no horizonte Revelam o mistério da cor branca: Combinação perfeita, harmoniosa Das outras sete do arco-íris. Assim o comentário dos antigos, Como as gotas da chuva cristalina, Mostram que os Elementos de Euclides, Obra hercúlea, valorosa, São a, dos trabalhos de Eudoxo e Teeteto, De Teodoro e outros grandes gregos, Com a pitada de sal Que faz a vida mais gostosa, Combinação ousada, majestosa.

A Geometria Grega e os Elem entos Pode-se dizer, parece que sem qualquer sombra de dúvida, que o conhe­ cim ento m atem ático tanto egípcio quanto o babilônico — este, sabemos hoje graças ao trabalho de O tto Neugebauer, bem mais refinado do que aquele — tinha a experiência com o critério de verdade. O s gregos herdaram, assim nos diz a tradição, tal conhecim ento. M as, o que satisfazia egípcios e babilônios não bastou para contentar a exigência grega. C om os m atem áticos da Grécia, a razão suplanta a em peiria com o critério de verdade e a m atem ática ganha características de uma ciência dedutiva. C om o sucede com inúmeros fenôm enos culturais, as causas dessa trans­ form ação por que passou essa área de conhecim ento jazem ocultas nas 77

Euclides

brumas de um passado rem oto. Cada tentativa de reencontrá-las tece-se de conjecturas mais ou menos consubstanciadas nos testem unhos, quase sempre duvidosos, de épocas menos recuadas. N o que nos interessa, o h is­ toriador assemelha-se a um equilibrista a andar em um fio de aço suspenso entre dois distantes pontos, a uma altura estonteante, sem a rede protetora que lhe am orteça uma possível malfadada queda. Porém, com o desafio lançado, a adrenalina agita o sangue, esporeia os rins, enrijece os m úsculos, faz pulsar acelerado o coração, incitando a audácia humana: é preciso ousar! É o que faz Szabó quando explica a referida mudança pelo im pacto, na matem ática, da filosofia eleática, ou, mais precisam ente, da dialética de Zenão. Ora, se a dialética de Zenão, sendo uma técnica retórica, pode ter sido a causa do princípio da axiomatização, não parece ser o bastante para firmar a axiom atização com o um programa a ser levado a cabo. Julgam os lídim o afirmar que para tanto foram necessárias a influência de Platão e a extensão que faz da dialética eleática. Platão elege a dialética,104 já o vimos, com o a mais im portante das ciên­ cias, a única não-hipotética. Enquanto a m atem ática tem hipóteses com o pontos de partida, indo dessas, em m ovim ento descendente (r a r a ), à dedução das suas consequências, a dialética, em m ovim ento ascendente (avœ) caminha para o alto, ainda mais alto, até alcançar, se possível, o fundam ento incon­ dicional (R epública, 5 I 0 .b 6 - 7 : “ [a alma] indo da hipótese ao princípio não h ip o tético.” 5 1 1 .b 5 : 105 “fazendo as hipóteses não princípios mas realmente h ipóteses”106) . N a ordenação das realidades, a trajetória (ascendente e depois descen­ dente, isto é, uma espécie de análise e síntese dos geômetras gregos) não ficaria facilitada, se feita com base em uma axiomatização dessa ciência interm ediária entre o sensível e o inteligível ? Isso não im poria tal axiom atiza­ ção com o um projeto da Academia, sob a influente autoridade de Platão?

104 1Í SiaXèKT^. 105 tom àpx^v àvottcteov - èÇ■ráoOéoErnç íofiaa. 106 ràç 'ráoOèoèiç rcoiot^èvoç otK àpxàç àXAà tD,>E,>faça X os F,’ G,’ H,’ e o B,’ tendo m ultiplicado o E, faça o I.

■_______ ■ C

■----------------------------- ■ ^ p __________ __ ____________ __ g

E como o A, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o C, e,

|_|

"

"

.__________________________ . I

por outro lado, tendo m ultiplicado o B, fez o D, portanto como o A está para o B, [assim ] o C para o D. De novo, como, por um lado, o A, tendo m ultiplicado o B, fez o D, e, por outro lado, o B, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o E, portanto, cada um dos A, B, tendo m ultiplicado o B, fez cada um dos D, E. Portanto, como o A está para o B, assim o D para o E. M as, como o A para o B, o C para o D; portanto, também como o C para o D, assim o D para o E. E como o A, tendo m ultiplicado os C, D, fez os F, G, portanto como o C está para o D, [assim ] o F para o G. Mas como o C para o D, assim estava o A para o B; portanto, também como o A para o B, o F para o G. De novo, como o A, tendo m ultiplicado os D, E, fez os G, H, portanto como o D para o E, o G para o H. M as, como o D para o E, o A para o B. Portanto, também como o A para o B, assim o G para o H. E como os A, B, tendo m ultiplicado o E, fez os H, I, portanto como o A está para o B, assim o H para o I. Mas como o A para o B, assim tanto o F para o G quanto o G para o H. Portanto, também como o F para o G, assim tanto o G para o H quanto o H para o I; portanto, os C, D, E e os F, G,

300

O s elementos

H, I estão em proporção na razão do A para o B. Digo, então, que também são os menores. Pois, como os A, B são os menores dos que têm a mesma razão com eles, e os menores dos que têm a mesma razão são primos entre si, portanto os A, B são primos entre si. E, por um lado, cada um dos A, B, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez cada um dos C, E, e, por outro lado, tendo m ultiplicado cada um dos C, E, fez cada um dos F, I; portanto, os C, E e os F, I são primos entre si. M as, caso números, em uma quantidade qualquer, estejam em proporção continuada, e os extremos sejam primos entre si, são os menores dos que têm a mesma razão com eles. Portanto, os C, D, E e os F, G, H, I são os menores dos que têm a mesma razão com os A, B; o que era preciso provar. C

o r o l á r io

Disso, então, é evidente que, caso três números em proporção continuada sejam os menores dos que têm a mesma razão com eles, os extremos deles são quadrados, e caso quatro, cubos.

3. C aso n ú m ero s, em u m a q u a n tid a d e qualquer, em p r o p o r çã o co n tin u a d a s eja m os m en o res dos q u e têm a m es m a razão co m eles, os ex trem os deles são p r im o s en tre si. Seejam os núm ero s, em um a quantidade qualquer, A, B, C, D, em proporção continuada, os menores

B

E

G

dos que têm a mesma razão com .___________ . H (

eles; digo que os extremos A, D são primos entre si. Fiquem, pois, tomados, por um

M

lado, os dois menores números, E, N F, na razão dos A, B, C, D, e, por outro lado, os três G, H, I, e continuadamente por um a mais, até que a quantidade tomada se torne igual à quantidade dos A, B, C, D. Fiquem tomados e sejam os J, L, M, N. 301

Euclides

E como os E, F são os menores dos que têm a mesma razão com eles, são primos entre si. E como cada um dos E, F, tendo m ultiplicado, por um lado, a si mesmo, fez cada um dos G, I, e, por outro lado, tendo m ul­ tiplicado cada um dos G, I, fez cada um dos J, N, portanto também os G, I e os J, N são primos entre si. E como os A, B, C, D são os menores dos que têm a mesma razão com eles, e também os J, L, M , N são os menores que estão na mesma razão com os A, B, C, D, e a quantidade dos A, B, C, D é igual à quantidade dos J, L, M, N, portanto cada um dos A, B, C, D é igual a cada um dos J, L, M, N; portanto, por um lado, o A é igual ao J e, por outro, o D, ao N. E os J, N são primos entre si. Portanto, também os A, D são primos entre si; o que era preciso provar.

4. Tendo sido dadas razões, em u m n ú m ero qualquer, n os m en o res n ú m eros, ach a r os m en o res n ú m er o s em p r o p o r ç ã o co n tin u a d a nas razões dadas. Sejam as razões que foram dadas, nos menores núm eros, tanto a do A para o B quanto a do C para o D quanto, ainda, a do E para o F; é preciso, então, achar os menores números em

A C E M

.

U H

N

proporção continuada tanto na razão do A para o B quanto na do C para o D quanto, ainda, na do E para o F.

Fique, pois, tomado o menor número G medido pelos B, C. E, por um lado, tantas vezes quantas o B mede o G tantas também o A meça o H e, por outro lado, tantas vezes quantas o C mede o G tantas também o D meça o I. Mas o E ou mede o I ou não mede. Primeiramente, meça. E tantas vezes quantas o E mede o I tantas também o F meça o J. E, como o A mede o H o mesmo número de vezes que o B, o G, portanto como o A está para 302

O s elementos

o B, assim o H para o G. Pelas mesmas coisas, então, também como o C para o D, assim o G para o I, e ainda como o E para o F, assim o I para o J. Portanto, os H, G, I, J estão em proporção continuada tanto na razão do A para o B quanto na do C para o D quanto, ainda, na do E para o F. Digo, então, que também são os menores. Pois, se os H, G, I, J não são os menores em proporção continuada nas razões do A para o B e do C para o D e na do E para o F, sejam os M , N, L, O. E como o A está para o B, assim o M para o N, e os A, B são os menores, e os menores medem os que estão na mesma razão o mesmo número de vezes, tanto o maior, o maior quanto o menor, o menor, isto é, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente, portanto o B mede o N. Pelas mesmas coisas, então, também o C mede o N ; portanto, os B, C medem o N ; portanto, o menor medido pelos B, C medirá o N. E o menor medido pelos B, C é o G; portanto, o G mede o N, o maior, o menor; o que é impossível. Portanto, nenhuns números, menores do que os H, G, I, J, estarão continuadamente na razão, tanto a do A para o B quanto a do C para o D quanto, ainda, a do E para o F. A ■----------■

C .------------ .

B .--------- .

-------.

E --------------------

M ■--------------------- ■

_

número L medido pelos E,

P

N .______________ .

_

O E, então, não meça o .-----------------I. E fiq ue tomado o menor H

L .-------------------------- .

Fn

.___ . R

I. E, por um lado, tantas vezes quantas o I mede o L tantas também cada um dos H, G meça cada um dos M,

s ■_____ .

N e, por outro lado, tantas

■---------------■ T

vezes quantas o E mede o L tantas também o F meça o O. Como o H mede o M o

0

mesmo número de vezes que o G, o N, portanto como o H está para o G, assim o M para o N. M as, como o H para o G, assim o A para o B; portan­ to, também como o A para o B, assim o M para o N. Pelas mesmas coisas, então, também como o C para o D, assim o N para o L. De novo, como o E mede o L o mesmo número de vezes que o F, o O, portanto como o E está para o F, assim o L para o O; portanto, os M , N, L, O estão em proporção

3 03

Euclides

continuada nas razões do A para o B e do C para o D e, ainda, do E para o F. Digo, então, que são também os menores nas razões AB, CD, EF. Pois, se não, alguns números, menores do que os M , N, L, O, estarão em proporção continuada nas razões AB, CD, EF. Estejam os P R, S, T. E como o P está para o R, assim o A para o B, e os A, B são os menores, e os menores medem os que têm a mesma razão com eles o mesmo número de vezes, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente, portanto o B mede o R. Pelas mesmas coisas, então, também o C mede o R; portanto, os B, C medem o R. Portanto, também o menor medido pelos B, C medirá o R. Mas o menor medido pelos B, C é o G; portanto, o G mede o R. E como o G está para o R, assim o I para o S; portanto, também o I mede o S. Mas também o E mede o S; portanto, os E, I medem o S. Portanto, também o menor medido pelos E, I medirá o S. E o menor medido pelos E, I é o M ; portanto, o M mede o S, o maior, o menor; o que é impossível. Portanto, nenhuns números menores do que os M , N, L, O estarão em proporção continuada nas razões do A para o B e do C para o D e, ainda, do E para o F; portanto, os M, N, L, O são os menores em proporção continuada nas razões AB, CD, EF; o que era preciso provar.

5. O s n ú m er o s p la n o s têm en tre si a razão co m p o sta das dos lados. Sejam os números planos A, B, e sejam os números C, D os lados do A, enquanto os E, F, os de B; digo que o A tem para o B a razão composta das dos lados. Pois, tendo sido dadas razões, tanto a que o C tem para o E quanto o D para o F, fiquem to ­ mados os menores números G, H, I continuadamente nas razões CE, DF, de modo a estar como o C para o E, assim o G para o H, ao passo que como o D para o F, assim o H para o I. E o D, tendo m ultiplicado o E, faça o J.

3 04

O s elementos

E como o D, tendo m ultiplicado o C, fez o A, ao passo que, tendo m ultiplicado o E, fez o J, portanto como o C está para o E, assim o A para o J. E como o C para o E, assim o G para o H ; portanto, também como o G para o H, assim o A para o J. De novo, como o E, tendo m ultiplicado o D, fez o J, mas, de fato, também, tendo m ultiplicado o F, fez o B, portanto como o D está para o F, assim o J para o B. M as, como o D para o F, assim o H para o I; portanto, também como o H para o I, assim o J para o B. Mas foi também provado como o G para o H, assim o A para o J; portanto, por igual posto, como o G está para o I, [assim ] o A para o B, e o H tem para o I a razão composta das dos lados; portanto, o A tem para o B a razão composta das dos lados; o que era preciso provar.

6. C aso n ú m ero s, em u m a q u a n tid a d e qualquer, esteja m em p r o p o r ç ã o con tin u a d a , e o p r im e ir o não m eça o segu n d o, n en h u m ou tro m ed irá n en h u m . Estejam os números A, B, C, D, E, em uma quantidade qualquer, em proporção continuada, e o A não meça o B; digo que nenhum outro medirá nenhum. ^

Por um lado, que, de fato, os A, B, C, D,

" " C ■--------------------- ■ D _________________

^ ■

■

G ._______. pi

E não medem uns aos outros, consecutivamente, é evidente; pois, nem o A mede o B. Digo, então, que nem nenhum outro m edirá nenhum. Pois, se possível, o A meça o C. E quantos são os A, B, C, tantos fiquem tomados os menores números F, G, H dos que têm a mesma razão com os A, B, C, e a quantidade dos A, B, C é igual à quantidade dos F, G, H, portanto, por

igual posto, como o A está para o C, assim o F para o H. E como o A está para o B, assim o F para o G, e o A não mede o B, portanto nem o F mede o G; portanto o F não é uma unidade; pois

3 05

Euclides

a unidade mede todo número. E os F, H são primos entre si [portanto, nem o F mede o H ]. Também como o F está para o H, assim o A para o C; portanto, nem o A mede o C. Do mesmo modo, então, provaremos que nem nenhum outro medirá nenhum; o que era preciso provar.

7. C aso n ú m ero s, em u m a q u a n tid a d e qualquer, esteja m em p r o p o r ç ã o [c o n tin u a d a ] , e o p r im e ir o m eça o ú ltim o, m ed ir á ta m b ém o segu n do. Estejam os números A, B, C, D, em uma quantidade qualquer, em proporção continuada, e o A meça o D; digo

^ " "

que também o A mede o B. Pois, se o A não mede o B, nem nenhum outro medirá nenhum; mas o A mede o D.

^ " p "

Portanto, o A também mede o B; o que era preciso provar.

^ ■---------------■

" "

8. C aso n ú m ero s caiam , segu n d o a p r o p o r çã o con tin u ad a, en tre dois n úm eros, q u a n tos n ú m ero s caem , segu n d o a p r o p o rçã o con tin u ad a, en tre eles, tantos tam bém cairão, segu n d o a p r o p o rçã o con tin u ad a, en tre os q ue têm a m es m a razão [ c o m eles]. Caiam, pois, os números C, D, se­ -

E

_ C

L

como o A para o B, assim o E para o F; digo que quantos números caíram, segundo a proporção continuada,

------ . D

M

_____. B

F

entre os A, B, tantos também cairão, segundo a proporção continuada,

G ■— ■

entre os E, F. Pois, quantos são os A, B, C, D na quantidade, fiquem tomados tantos

I ._____ .

gundo a proporção continuada, entre os dois números A, B, e fique feito

306

^

H .___ .

J ■-----------

O s elementos

os menores números G, H, I, J dos que têm a mesma razão com os A, C, D, B; portanto, os extremos G, J deles são primos entre si. E como os A, C, D, B estão na mesma razão com os G, H, I, J, e a quantidade dos A, C, D, B é igual à quantidade dos G, H, I, J, portanto, por igual posto, como o A está para o B, assim o G para o J. Mas, como o A para o B, assim o E para o F; portanto, também como o G para o J, assim o E para o F. E os G, J são primos, e os primos são também os menores, e os menores números medem os que têm a mesma razão o mesmo número de vezes, tanto o maior, o maior quanto o menor, o menor, isto é, tanto o antecedente, o antece­ dente quanto o consequente, o consequente. Portanto, o G mede o E o mesmo número de vezes que o J, o F. Tantas vezes, então, o G mede o E quantas também cada um dos H, I meça cada um dos L, M ; portanto, os G, H, I, J medem os E, L, M , F o mesmo número de vezes. Portanto, os G, H, I, J estão na mesma razão com os E, L, M, F. Mas os G, H, I, J estão na mesma razão com os A, C, D, B; portanto, também os A, C, D, B estão na mesma razão com os E, L, M, F. Mas os A, C, D, B estão em proporção continuada. Portanto, também os E, L, M , F estão em proporção continua­ da. Portanto, quantos números caíram, segundo a proporção continuada, entre os A, B tantos números caíram, segundo a proporção continuada, entre os E, F; o que era preciso provar.

9. C aso dois n ú m er o s seja m p r im o s en tre si, e n ú m er o s caiam , segu n d o a p r o p o r çã o con tin u a d a , en tre eles, q u a n tos n ú m e r o s caem , segu n d o a p r o p o r çã o con tin u a d a , en tre eles, tan tos ta m b ém cairão, seg u n d o a p r o p o r ç ã o con tin u a d a , en tre cada u m deles e u m a u n id a d e. Sejam os dois números A, B primos entre si, e caiam os C, D, segundo a proporção continuada, entre eles, e fique tomada a unidade E; digo que, quantos números caíram, segundo a proporção continuada, entre os A, B, tantos também cairão, segundo a proporção continuada, entre cada um dos A, B e a unidade. Fiquem, pois, tomados, por um lado, os dois menores números F, G que estão na razão dos A, C, D, B e, por outro lado, os três H, I, J, e sempre,

3 07

Euclides

continuadamente, por um a mais,

A .--------.

H

até que a quantidade deles se torne igual à quantidade dos A, C, D, B.

£ ._______ . g

I

Fiquem tomados e sejam os L, M, N, O. É evidente, então, que, por

B E .__ .

um lado, o F, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o H, e, por outro

■

lado, tendo m ultiplicado o H, fez o L, e o G, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o J, ao passo que, tendo

■

J

L

■F ■G

M N

0 ■-------------------■

m ultiplicado o J, fez o O. E como os L, M, N, O são os menores dos que têm a mesma razão com os F, G, e também os A, C, D, B são os menores dos que têm a mesma razão com os F, G, e a quantidade dos L, M, N, O é igual à quantidade dos A, C, D, B, portanto cada um dos L, M, N, O é igual a cada um dos A, C, D, B; portanto, por um lado, o L é igual ao A, e, por outro lado, o O, ao B. E como o F, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o H, portanto o F mede o H, segundo as unidades no F. Mas também a unidade E mede o F, segundo as unidades nele; portanto, a unidade E mede o número F o mesmo número de vezes que o F, o H. Portanto, como a unidade E está para o número F, assim o F para o H. De novo, como o F, tendo m ultiplicado o H, fez o L, portanto o H mede o L, segundo as unidades no F. Mas também a unidade E mede o número F, segundo as unidades nele; portanto, a unidade E mede o número F o mesmo número de vezes que o H, o L. Portanto, como a unidade E está para o número F, assim o H para o L. E foi provado também como a unidade E para o número F, assim o F para o H; portanto, também como a unidade E para o número F, assim o F para o H e o H para o L. Mas o L é igual ao A; portanto, como a unidade E está para o número F, assim o F para o H e o H para o A. Pelas mesmas coisas, então, também como a unidade E para o número G, assim o G para o J, e o J para o B. Portanto, quantos números caíram, segundo a proporção continuada, entre os A, B, tantos números também caíram, segundo a proporção continuada, entre cada um dos A, B e a unidade E; o que era preciso provar.

308

O s elementos

10. C a so n ú m er o s caiam , seg u n d o a p r o p o r ç ã o con tin u a d a , en tre cada u m de dois n ú m er o s e u m a u nidade, q u a n tos n ú m er o s caem , seg u n d o a p r o p o rçã o con tin u a d a , en tre cad a u m deles e u m a u nidade, tantos tam bém cairão, seg u n d o a p r o p o r ç ã o con tin u a d a , en tre eles. Caiam, pois, tantos os números D, E .__.

A ._________ . g ______________ 0 ._____ .

quantos os F, G, segundo a proporção continuada, entre os dois números A, B e uma unidade C; digo que quantos números

E

caíram, segundo a proporção continuada, entre cada um dos A, B e a unidade C tan­

0

H ^ " -----------------■^

tos também ca.rão, segundo a pro pors5o continuada, entre os A, B. Pois, o D, tendo m ultiplicado o F, faça o H, e cada um dos D, F, tendo m ultiplicado o H, faça cada um dos I, J.

E como a unidade C está para o número D, assim o D para o E, portanto, a unidade C mede o número D o mesmo número de vezes que o D, o E. Mas a unidade C mede o número D segundo as unidades no D; portanto, também o número D mede o E segundo as unidades no D; portanto, o D, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o E. De novo, como a [unidade] C está para o número D, assim o E para o A, portanto, a unidade C mede o número D o mesmo número de vezes que o E, o A.Mas a unidade C mede o número D segundo as unidades no D; portanto, também o E mede o A segundo as unidades no D; portanto, o D, tendo m ultiplicado o E, fez o A. Pelas mesmas coisas, então, também, por um lado, o F, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o G, e, por outro lado, tendo m ultiplicado o G, fez o B. E como o D, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o E, e, por outro lado, tendo m ultiplicado o F, fez o H, portanto, como o D está para o F, assim o E para o H. Pelas mesmas coisas, então, também como o D para o F, assim o H para o G. Portanto, também como o E para o H, assim o H para o G. De novo, como o D, tendo m ultiplicado cada um dos E, H,

3 09

Euclides

fez cada um dos A, J, portanto, como o E está para o H, assim o A para o J. M as, como o E para o H, assim o D para o F; portanto, também como o D para o F, assim o A para o J. De novo, cada um dos D, F, tendo m ultiplicado o H, fez cada um dos I, J, portanto, como o D está para o F, assim o I para o J. Mas, como o D para o F, assim o A para o I; portanto, também como o A para o I, assim o I para o J. Ainda, como o F, tendo m ultiplicado cada um dos H, G, fez cada um dos J, B, portanto, como o H está para o G, assim o J para o B. M as, como o H para o G, assim o D para o F; portanto, também como o D para o F, assim o J para o B. E foi provado também como o D para o F, assim tanto o A para o I quanto o I para o J; portanto, também como o A para o I, assim o I para o J e o J para o B. Portanto, os A, I, J, B estão, consecutivamente, segundo a proporção continuada. Portanto, quantos números caem, em proporção continuada, entre cada um dos A, B e a unidade C tantos também cairão, segundo a proporção continuada, entre os A, B; o que era preciso provar.

11. Existe u m n ú m ero m éd io em p r o p o rçã o entre dois n ú m ero s quadrados, e o q ua drado tem p a r a o q ua drado u m a razão du pla da q ue o lado, p a r a o lado. Sejam os números quadrados A, B, e sejam o

___________ __^

C um lado do A, ao passo que o D um do B; digo que existe um número médio em proporção entre os A, B, e o A tem para o B uma razão dupla da que o C para o D.

g " " -------------------- ■ E

Pois o C, tendo m ultiplicado o D, faça o E. E como o A é um quadrado, e o C é um lado dele, portanto o C, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o A. Pelas mesmas coisas, então, também o D, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B. Como, de fato, o C, tendo m ultiplicado cada um dos C, D, fez cada um dos A, E, portanto como o C está para o D, assim o A para o E. Pelas mesmas coisas, então, também como o C para o D, assim o E para o B. Portanto, também como o A para o E, assim o E para o B. Portanto, existe um número médio em proporção entre os A, B.

3

Í0

O s elementos

Digo, então, que também o A tem para o B uma razão dupla da que o C para o D. Pois, como os três números A, E, B estão em proporção, portanto o A tem para o B uma razão dupla da que o A para o E. M as, como o A para o E, assim o C para o D. Portanto, o A tem para o B uma razão dupla da que o lado C para o lado D; o que era preciso provar.

12. Existem dois n ú m er o s m éd io s em p r o p o r ç ã o en tre dois n ú m er o s cubos, e o cu bo tem p a r a o cu bo u m a razão tripla da q u e o lado p a r a o lad o. ^ g .__________________. Q _____ ^

E"

" p

Sejam os números cubos A, B e sejam o C um lado de A, enquanto

________ _

o D um de B; digo que existem dois números médios em proporção en­

^

D a_____ a

1

p

1

■---------------------- ■

tre os A, B, e o A tem para o B uma razão tripla da que o C para o D.

Pois o C, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o E, ao passo que, tendo multiplicado o D, faça o F, e o D, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o G, e cada um dos C, D, tendo m ultiplicado o F, faça cada um dos H, I. E, como o A é um cubo, e o C, um lado dele, e o C, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o E, portanto o C, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o E, ao passo que, tendo m ultiplicado o E, fez o A. Pelas mesmas coisas, então, também o D, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o G, ao passo que, tendo multiplicado o G, fez o B. E como o C, tendo m ultiplicado cada um dos C, D, fez cada um dos E, F, portanto, como o C está para o D, assim o E para o F. Pelas mesmas coisas, então, também como o C para o D, assim o F para o G. De novo, como o C, tendo m ultiplicado cada um dos E, F, fez cada um dos A, H, portanto, como o E para o F, assim o A para o H. Mas, como o E para o F, assim o C para o D; portanto, também como o C para o D, assim o A para o H. De novo, como cada um dos C, D, tendo multiplicado o F, fez cada um dos H, I, portanto, como o C está para o D, assim o H para o I. De novo, como o D, tendo m ultiplicado cada um dos F, G, fez cada um dos I, B, portanto, como o F está para o G, assim o I para

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Euclides

o B. Mas, como o F para o G, assim o C para o D; portanto, também como o C para o D, assim tanto o A para o H quanto o H para o I e o I para o B. Portanto, os H, I são dois médios em proporção entre A, B. Digo, então, que também o A tem para o B uma razão tripla da que o C para o D. Pois como os quatro números A, H, I, B estão em proporção, portanto, o A tem para o B uma razão tripla da que o A para o H. Mas, como o A para o H, assim o C para o D; [portanto], também o A tem para o B uma razão tripla da que o C para o D; o que era preciso provar.

13. C a so n ú m ero s, q u a n tos q u e r q u e sejam , esteja m em p r o p o r ç ã o con tin u a d a , e cada u m , tendo m u ltip lica d o a si m esm o, fa ça a lgu m , os p r o d u z id o s deles estarão em p r o p o r ç ã o ; e, caso os do p r in cíp io , tendo m u ltip lica d o os p rod u z id os, fa ça m algu ns, ta m b ém eles estarão em p r o p o r ç ã o [ e isso sem p re a co n tece acerca dos ex trem os]. Estejam os números A, B, C, quantos quer que sejam, em proporção continuada, como o A para o B, assim o B para o C, e os A, B, C, por um lado, ten­ do m ultiplicado a si mesmos, façam os D, E, F, e, por outro lado, tendo multiplicado os D, E, F, façam os G, . 55 H, I; digo que, tanto

A

G

B

H

C

I

D

L

E

M

F

0 P ■--------------- ■ N

os D, E, F quanto os G, H, I estão em proporção continuada. Pois, por um lado, o A, tendo m ultiplicado o B, faça o J, e, por outro lado, cada um dos A, B, tendo m ultiplicado o J faça cada um dos L, M . E, de novo, por um lado, o B, tendo m ultiplicado o C, faça o N, e, por outro lado, cada um dos B, C, tendo m ultiplicado o N, faça cada um dos O, P. 3 iz

O s elementos

Do mesmo modo, então, que nos acima, provaremos que os D, J, E e os G, L, M, H estão em proporção continuada na razão do A para o B, e ainda os E, N, F e os H, O, P, I estão em proporção continuada na razão do B para o C. E, como o A está para o B, assim o B para o C; portanto, também os D, J, E estão na mesma razão com os E, N, F, e ainda os G, L, M, H com os H, O, P, I. E, por um lado, a quantidade dos D, J, E é igual à quantidade dos E, N, F, e, por outro lado, a dos G, L, M, H, à dos H, O, P, I; portanto, por igual posto, por um lado, como o D está para o E, assim o E para o F, e, por outro lado, como o G para o H, assim o H para o I; o que era preciso provar.

14. C aso u m q u a d ra d o m eça u m qua drado, ta m b ém o lado m ed ir á o lado; e caso o lado m eça o lado, ta m b ém o q u a d ra d o m ed ir á o q u a d ra d o .

^ ■

"

Sejam os números quadrados A, B, e sejam os C, D lados deles, e o A meça o B; digo que

B ._____________ .

também o C mede o D. Pois, o C, tendo m ultiplicado o D, faça o E; portanto, os A, E, B estão em proporção

E ■---------------- ■

continuada na razão do C para o D. E como os A, E, B estão em proporção continuada, e

o A mede o B, portanto também o A mede o E. E como o A está para o E, assim o C para o D; portanto, também o C mede o D. De novo, então, o C meça o D; digo que também o A mede o B. Pois, do mesmo modo, tendo sido construídas as mesmas coisas, prova­ remos que os A, E, B estão em proporção continuada na razão do C para o D, e como o C está para o D, assim o A para o E, mas o C mede o D, por­ tanto também o A mede o E. E os A, E, B estão em proporção continuada; portanto, o A mede o B. Portanto, caso um quadrado meça um quadrado, também o lado medirá o lado; e caso o lado meça o lado, também o quadrado medirá o quadrado; o que era preciso provar.

3 13

Euclides

15. C a so u m n ú m e r o cubo m eça u m n ú m ero cubo, ta m b ém o lado m ed ir á o lado; e, caso o lado m eça o lado, ta m b ém o cu bo m ed ir á o cubo. Meça, pois, o número cubo A o número cubo B,

^

e seja o C um lado do A, enquanto o D, um do B; digo que o C mede o D. Pois o C, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o E, e o D, tendo m ultiplicado a si mesmo faça o G, e ainda o C, tendo m ultiplicado o D, [faça] o F, e

^ " " . q _________ _ ^ _

cada um dos C, D, tendo m ultiplicado o F, faça cada um dos H, I. É evidente, então, que os E, F, G e os

^

A, H, I, B estão em proporção continuada na razão do C para o D. E como os A, H, I, B estão em proporção continuada, e o A mede o B, portanto também mede o H. E como o A está para o H, assim o C para o D; portanto, o C mede o D. Mas, então, o C meça o D; digo que também o A medirá o B. Pois, do mesmo modo, então, tendo sido construídas as mesmas coisas, provaremos que os A, H, I, B estão em proporção continuada na razão do C para o D. E como o C mede o D, e como o C está para o D, assim o A para o H, portanto também o A mede o H; de modo que também o A mede o B; o que era preciso provar.

16. C aso u m n ú m e r o q u a d ra d o n ão m eça u m n ú m e r o qua drado, n em o lado m ed ir á o lado; e, caso o lado n ão m eça o lado, n em o q u a d ra d o m ed ir á o q uadrado. Sejam os números quadrados A, B e sejam os C, D la­ dos deles, e o A não meça o B; digo que nem o C mede o D. Pois, se o C mede o D, também o A medirá o B; mas o A não mede o B; portanto, nem o C medirá o D.

3 14

A ._______ . ®■ C .--------. D ._______ .

1

O s elementos

De novo, [então], o C não meça o D; digo que nem o A medirá o B. Pois, se o A mede o B, também o C medirá o D. Mas o C não mede o D; portanto, o A não medirá o B; o que era preciso provar.

17. C a so u m n ú m e r o cubo n ão m eça u m n ú m e r o cubo, n em o lado m ed ir á o lado; e, caso o lado não m eça o lado, n em o cu bo m ed ir á o cubo. ------- ■ A

Pois, o número cubo A não meça o número cubo B,

____________ e seja o C um lado do A, enquanto o D, um do B; digo £ que o C não medirá o D. Pois, se o C mede o D, também o A medirá o B; mas o A não mede o B; portanto, nem o C mede o D. Mas, então, o C não meça o D; digo que nem o A medirá o B. Pois, se o A mede o B, também o C medirá o D. Mas o C não mede o D; portanto, nem o A medirá o B; o que era preciso provar.

18 . Existe u m n ú m e r o m éd io em p r o p o r ç ã o en tre dois n ú m er o s p la n o s sem elhantes; e o p la n o tem p a r a o p la n o u m a razão d u pla da q u e o lado h o m ó lo go p a r a o lado h om ólogo.

A B

" --------------------- ■

G ■______________■

Sejam os dois números planos semelhantes A, B, e sejam

"

■------------- ■D os números C, D lados do A, .____ . E

p

enquanto os E, F, do B. E como planos semelhantes são os que

têm os lados em proporção, por­ tanto, como o C está para o D, assim o E para o F. Digo, de fato, que existe um número médio em proporção entre os A, B, e o A tem para B uma razão dupla da que o C para o E ou o D para o F, isto é, da que o lado homólogo para o [lado] homólogo.

3 15

Euclides

E, como o C está para o D, assim o E para o F, portanto, alternadamen­ te, como o C está para o E, o D para o F. E como A é plano, e os C, D são lados dele, portanto, o D, tendo m ultiplicado o C, fez o A. Pelas mesmas coisas, então, também o E, tendo m ultiplicado o F, fez o B. Então o D, tendo m ultiplicado o E, faça o G. E, como o D, tendo m ultiplicado o C, fez o A, ao passo que, tendo m ultiplicado o E, fez o G, portanto, como o C está para o E, assim o A para o G. Mas, como o C para o E, [assim] o D para o F; portanto, também como o D para o F, assim o A para o G. De novo, como o E, tendo m ultiplicado o D, fez o G, ao passo que, tendo m ultiplicado o F, fez o B, portanto, como o D está para o F, assim o G para o B. E foi também provado como o D para o F, assim o A para o G; portanto, também como o A para o G, assim o G para o B. Portanto, os A, G, B estão em proporção continuada. Portanto, existe um número médio em proporção entre os A, B. Digo, então, que também o A tem para o B uma razão dupla da que o lado homólogo para o lado homólogo, isto é, da que o C, para o E, ou o D, para o F. Pois, como os A, G, B estão em proporção continuada, o A tem para o B uma razão dupla da que para o G. E, como o A está para o G, assim tanto o C para o E quanto o D para o F. Portanto, o A tem para o B uma razão dupla da que o C, para o E ou o D, para o F; o que era preciso provar.

19. D ois n ú m er o s m éd io s em p r o p o r ç ã o ca em en tre dois n ú m er o s sólidos sem elhantes; e o sólid o tem p a r a o sólid o sem elh a n te u m a razão tripla da q u e o lado h o m ólo go p a r a o lado h o m ó lo go . Sejam, pois, os sólidos semelhantes A, B, e sejam os C, D, E lados do A, enquanto os F, G, H, do B. E como sólidos semelhantes são os que têm os lados em proporção, portanto, como o C está para o D, assim o F para o G, ao passo que, como o D para o E, assim o G para o H. Digo que dois números médios em proporção caem entre os A, B, e o A tem para o B uma razão tripla da que o C para o F, e o D para o G, e ainda o E para o H.

3

l6

O s elementos

M ■-------------------- ■

Po is, o C, tendo m ultiplicado

■----------------------- ;r* B ■--------------------------------- ■

o D, faça o I, e o F, tendo multiplicado o G, faça o J. E, como

C .____ . Q ______ __

os C, D estão na mesma razão com os F, G, e o I é dos C, D,

A

^

._____. F _________ __Q _

pi

enquanto o J é dos F, G, [por­ tanto] os I, J são números planos semelhantes; portanto, existe um número médio em proporção en­ tre os I, J. Seja o L. Portanto, o L

é o dos D, F como foi demonstrado no teorema antes deste. E, como o D, tendo m ultiplicado o C, fez o I, ao passo que, tendo m ultiplicado o F, fez o L, portanto, como o C está para o F, assim o I para o L. Mas, como o I para o L, o L para o J. Portanto, os I, L, J estão em proporção continuada na razão do C para o F. E, como o C está para o D, assim o F para o G, portanto, alternadamente, como o C está para o F, assim o D para o G. Pelas mesmas coisas, então, também como o D para o G, assim o E para o H. Portanto, os I, L, J estão em proporção continuada na razão do C para o F, e na do D para o G, e ainda na do E para o H. Então, cada um dos E, H, tendo m ultiplicado o L, faça cada um dos M, N. E como o A é sólido, e os C, D, E lados dele, portanto, o E, tendo m ultiplicado o dos C, D, fez o A. E o dos C, D é o I; portanto, o E, tendo m ultiplicado o I, fez o A. Pelas mesmas coisas então, também o H, tendo m ultiplicado o J, fez o B. E, como o E, tendo m ultiplicado o I, fez o A, mas, de fato, também, tendo m ultiplicado o L, fez o M, portanto, como o I está para o L, assim o A para o M . E, como o I para o L, assim, tanto o C para o F quanto o D para o G e ainda o E para o H; portanto, também como o C para o F, e o D para o G, e o E para o H, assim o A para o M . De novo, como cada um dos E, H, tendo m ultiplicado o L, fez cada um dos M , N, portanto, como o E está para o H, assim o M para o N. M as, como o E para o H assim, tanto o C para o F, quanto o D para o G; portanto, como o C para o F, e o D para o G, e o E para o H, assim tanto o A para o M quanto o M para o N. De novo, o H, tendo m ultiplicado o L, fez o N, mas, de fato, também, tendo m ultiplicado o J, fez o B, portanto, como o L está para o J, assim o N para

3

ll

Euclides

o B. Mas, como o L para o J, assim tanto o C para o F quanto o D para o G e o E para o H. Portanto, também como o C para o F, e o D para o G, e o E para o H, assim, não somente o N para o B, mas também o A para o M, e o M para o N. Portanto, os A, M, N, B estão em proporção continuada nas razões ditas dos lados. Digo que também o A tem para o B uma razão tripla da que o lado h o ­ mólogo para o lado homólogo, isto é, da que o número C, para o F ou o D, para o G e ainda o E, para o H. Pois, como os quatro números A, M , N, B estão em proporção continuada, portanto, o A tem para o B uma razão tripla da que o A, para o M . Mas, como o A para o M , assim, foi provado, tanto o C para o F quanto o D para o G e ainda o E para o G. Portanto, também o A tem para o B uma razão tripla da que o lado homólogo, para o lado homólogo, isto é, da que o número C, para o F, e o D, para o G, e ainda o E, para o H; o que era preciso provar.

20. C aso u m n ú m e r o m éd io em p ro p o rçã o caia en tre dois n ú m ero s, os n ú m ero s serão p la n o s sem elhantes. Caia um número médio em proporção, o C, entre os dois números A, B; digo que os A, B são números planos semelhantes. Fiquem, [p o is], tomados os menores números D, E dos que têm a mesma razão

^

com os A, C; portanto, o D mede o A o

® ■-------------------- ■

mesmo número de vezes que o E, o D. Então, tantas vezes o D mede o A quantas

C ■---------------- ■ p _________

unidades estejam no F; portanto, o F, tendo multiplicado o D, fez o A. Desse modo, o A

g

^ "

"

■--------■

é plano, e os D, F, lados dele. De novo, como os D, E são os menores dos que têm a mesma razão com os C, B, portanto, o D mede o C o mesmo número de vezes que o E, o B. Então, tantas vezes o E mede o B, quantas unidades estejam no G. Portanto, o E mede o B segundo as unidades no G; portanto, o G, tendo m ultiplicado o E, fez o B. Portanto, o B é plano,

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l8

O s elementos

e os E, G, lados dele. Portanto, os A, B são números planos. Digo, então, que são também semelhantes. Pois, como o F, tendo m ultiplicado o D, fez o A, ao passo que, tendo m ultiplicado o E, fez o C, portanto, como o D está para o E, assim o A para o C, isto é, o C para o B. De novo, como o E, tendo m ultiplicado cada um dos F, G, fez os C, B, portanto, como o F está para o G, assim o C para o B. Mas, como o C para o B, assim o D para o E; portanto, também como o D para o E, assim o F para o G. E, alternadamente, como o D para o F, assim o E para o G. Portanto, os A, B são números planos semelhantes; pois os lados deles estão em proporção; o que era preciso provar.

21. C aso dois n ú m e r o s m éd io s em p rop o rçã o ca ia m en tre dois n ú m ero s, os n ú m e r o s serão só lid os sem elhantes. Caiam, pois, os números C, D médios em proporção entre os dois nú­ meros A, B; digo que os A, B são sólidos semelhantes. Fiquem, pois, tomados os três "

menores números E, F, G dos que . têm a mesma razão com os A, C, D; --------■ portanto, os extremos deles, os E, _

G

F

------- ■

H .—.

G, são primos entre si. E, como um

M ___ N

I . . j _____ _ __ L

número, o F, médio em proporção, caiu entre os E, G, portanto, os E, G são números planos semelhantes. Sejam, de fato, os H, I lados do E,

enquanto os J, L, do G. Portanto, é evidente do antes deste, que os E, F, G estão em proporção continuada na razão do H para o J e na do I para o L. E, como os E, F, G são os menores dos que têm a mesma razão com os A, C, D, e a quantidade dos E, F, G é igual à quantidade dos A, C, D, portanto, por igual posto, como o E está para o G, assim o A para o D. Mas os E, G são primos, e os primos também são os menores, e os menores medem os que têm a mesma razão com eles, o mesmo número de vezes, tanto o

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Euclides

maior, o maior quanto o menor, o menor, isto é, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o E mede o A o mesmo número de vezes que o G, o D. Então, tantas vezes o E mede o A quantas unidades estejam no M. Portanto, o M, tendo m ultiplicado o E, fez o A. Mas o E é o dos H, I; portanto, o M , tendo m ultiplicado o dos H, I, fez o A. Portanto, o A é sólido, e os H, I, M , lados dele. De novo, como os E, F, G são os menores dos que têm a mesma razão com os C, D, B, portanto, o E mede o C o mesmo número de vezes que o G, o B. Então, tantas vezes o E mede o C quantas unidades estejam no N. Portanto, o G mede o B, segundo as unidades no N ; portanto, o N, tendo m ultiplicado o G, fez o B. Mas o G é o dos J, L; portanto, o N, tendo m ultiplicado o dos J, L, fez o B. Portanto, o B é sólido, e os J, L, N, lados dele; portanto, os A, B são sólidos. Digo, [então], que também são semelhantes. Pois, como os M , N, tendo m ultiplicado o E, fez os A, C, portanto, como o M está para o N, o A para o C, isto é, o E para o F. M as, como o E para o F, o H para o J e o I para o L; portanto, também como o H para o J, assim o I para o L, e o M para o N. E os H, I, M são lados do A, enquanto os N, J, L, lados do B. Portan­ to, os A, B são números sólidos semelhantes; o que era preciso provar.

22. C aso três n ú m er o s esteja m em p r o p o rçã o con tin u a d a , e o p r im eir o seja u m qua drado, ta m b ém o terceiro será u m q uadrado. Sejam os três números A, B, C em proporção conti­ nuada, e seja o primeiro, o A, um quadrado; digo que

A■

também o terceiro, o C, é um quadrado. Pois, como o número B é médio em proporção en-

B■ ■ g , ,

■

tre os A, C, portanto, os A, C são planos semelhantes. Mas o A é um quadrado; portanto, também o C é um quadrado; o que era preciso provar.

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O s elementos

23. C aso q u a tro n ú m er o s esteja m em p ro p o rçã o con tin u a d a , e o p r im eir o seja u m cubo, ta m b ém o q u a rto será u m cubo. .____ . A

Estejam os quatro números A, B, C, D em proporção

_________ g ç

continuada, e seja o A um cubo; digo que também o D é um cubo. Pois, como os dois números B, C são médios em

proporção entre os A, D, portanto, os A, D são números sólidos semelhantes. Mas o A é um cubo; portanto, também o B é um cubo; o que era preciso provar.

24. C aso dois n ú m er o s ten h am u m a razão en tre si, a q u a l u m n ú m ero qua drado, p a ra u m n ú m ero qua drado, e o p r im eir o seja u m quadrado, ta m b ém o seg u n d o será u m q uadrado. Tenham, pois, os dois números A, B uma razão " ■

" ■^

--------------- ■

entre si, a qual o número quadrado C, para o número quadrado D, e seja o A um quadrado; digo que também o B é um quadrado.

. D Pois, como os C, D são quadrados, portanto, os C, D são planos semelhantes. Portanto, u

médio em proporção cai entre os C, D. E, como o C está para o D, o A para o B; portanto, um número médio em proporção cai entre os A, B. E o A é um quadrado; portanto, também o B é um quadrado; o que era preciso provar.

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Euclides

25. C a so dois n ú m er o s tenh am u m a razão en tre si, a q u a l u m n ú m ero cubo, p a r a u m n ú m e r o cubo, e o p r im e ir o seja u m cubo, ta m b ém o seg u n d o será u m cubo. Tenham, pois, os dois números A, B uma razão entre si, a qual o número cubo

^ ^" B ■------------------- ■

C, para o número cubo D, e seja o A um cubo; digo, [então], que também o B é

q

"

"

'

um cubo. Pois, como os C, D são cubos, os C, D são sólidos semelhantes; portan­ to, dois números médios em proporção caem entre os C, D. Mas quantos caiam entre C, D na proporção continuada, tantos também entre os que têm a mesma razão com eles. De modo que, dois números médios, em proporção, caem também entre os A, B. Caiam os E, F. Como, de fato, os quatro números A, E, F, B estão em proporção continuada, e o A é um cubo, portanto também o B é um cubo; o que era preciso provar.

26. O s n ú m e r o s p la n o s sem elh a n tes têm u m a razão en tre si, a q u a l u m n ú m e r o qua drado, p a r a u m n ú m e r o q uadrado. Sejam os números planos semelhantes A, B; digo que o A tem para o B uma razão, a qual um número quadrado, para um número quadrado.

.___________ ■ B

A ._____.

C

^

. F

Pois, como os A, B são planos semelhantes, portanto, um número médio em proporção cai entre os A, B. Caia e seja o C, e fiquem tomados os me­ nores números D, E, F dos que têm a mesma razão com os A, C, B. Por­ tanto, os extremos deles, os D, F, são quadrados. E como o D está para o F, assim o A para o B, e os D, F são quadrados, portanto, o A tem para o B uma razão, a qual um número quadrado, para um número quadrado; o que era preciso provar.

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O s elementos

27. O s n ú m er o s só lid os sem elh a n tes têm u m a razão en tre si, a q u a l u m n ú m ero cubo, p a ra u m n ú m e r o cubo. Sejam os núm eros A ■--------- ■ g E .----- .

F .------- .

C ■_________ ■ q ________________ G.----------.

.____ H____ .

só lid o s sem elh an tes A, B; digo que o A tem para o B uma razão, a b qual um número cubo para um número cubo.

Pois, como os A, B são sólidos semelhantes, portanto, dois números médios em proporção caem entre os A, B. Caiam os C, D, e fiquem tomados os menores números E, F, G, H dos que têm a mesma razão com os A, C, D, B, iguais a eles em quantidade. Portanto, os extremos deles, os E, H, são cubos. E, como o E está para o H, assim o A para o B; portanto, o A tem para o B uma razão, a qual um número cubo, para um número cubo; o que era preciso provar.

3 23

Livro IX

1. C a so dois n ú m er o s p la n o s sem elh a n tes, tendo u m m u ltip lica d o o o u tro , f a ç a m a lgu m , o p ro d u z id o será u m q uadrado. A ■----------- ■

Sejam os dois números planos semelhan-

B .___________ . Q

tes A, B, e o A, tendo m ultiplicado o B, faça o C; digo que o C é um quadrado.

^

Pois, o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o D. Portanto, o D é um quadrado.

"

"

Como, de fato, o A, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o D, e, por outro lado, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portanto, como o A está para o B, assim o D para o C. E, como os A, B são números planos semelhantes, um número médio em proporção cai entre os A, B. Mas, caso números caiam, segundo a proporção continuada, entre dois números, quantos caem entre eles, tantos também entre os que têm a mesma razão; desse modo, também um número médio em proporção cai entre os D, C. E o D é um quadrado; portanto, também o C é um quadrado; o que era preciso provar.

3 25

Euclides

2. C a so dois n ú m ero s, tendo u m m u ltip lica d o o ou tro, fa ça m u m quadrado, são n ú m er o s p la n o s sem elhantes. Sejam os dois números A, B, e o A, tendo m ultiplicado o B, faça o quadrado C; digo que os A, B são números planos semelhantes. Pois, o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o D; portanto, o D é um quadrado. E, como o A, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o D, e, por outro

^ " " ® C ■---------------- ■ 0 .________ .

lado, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portanto, como o A está para o B, o D para o C. E, como o D é um quadrado, mas também o C, portanto, os D, C são planos semelhantes. Portanto, um médio em proporção cai entre os D, C. E, como o D está para o C, assim o A para o B; portanto, um médio em proporção cai entre os A, B. Mas, caso um médio em proporção caia entre dois números, [os] números são planos semelhantes; portanto, os A, B são planos semelhantes; o que era preciso provar.

3. C a so u m n ú m ero cubo, tendo m u ltip lica d o a si m esm o, fa ça a lgu m , o p r o d u z id o será u m cubo. Pois, o número cubo A, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o B; digo que o B é um cubo. Fique, pois, tomado o lado C do A, e o C, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o D. É evidente, então,

_______ _ ^

" "

"

"

que o C, tendo m ultiplicado o D, fez o A. E, como o C, tendo m u ltip li­ cado a si mesmo, fez o D, portanto, o C mede o D, segundo as unidades nele. Mas, de fato, também a unidade mede o C, segundo as unidades nele; portanto, como a unidade está para o C, o C para o D. De novo, como o C, tendo m ultiplicado o D, fez o A, portanto, o D mede o A, segundo as unidades no C. Mas também a unidade mede o C, segundo as unidades

326

O s elementos

nele; portanto, como a unidade está para o C, o D para o A. Mas, como a unidade para o C, o C para o D; portanto, também como a unidade para o C, assim o C para o D, e o D para o A. Portanto, os dois números C, D médios segundo a proporção continuada caíram entre a unidade e o A. De novo, como o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B, portanto o A mede o B, segundo as unidades nele. Mas também a unidade mede o A, segundo as unidades nele; portanto, como a unidade está para o A, o A para o B. E dois números médios em proporção caíram entre a unidade e o A; por­ tanto, dois números médios em proporção cairão entre os A, B. Mas, caso dois médios em proporção caiam entre dois números, e o primeiro seja um cubo, também o segundo será um cubo. E o A é um cubo; portanto, também o B é um cubo; o que era preciso provar.

4. C aso u m n ú m e r o cubo, tendo m u ltip lica d o u m n ú m ero cubo, fa ça algu m , o p r o d u z id o será u m cubo.

,____, A ______ g

Pois, o número cubo A, tendo multiplicado o número cubo B, faça o C; digo que o C é um cubo. Pois, o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o D; portanto, o D é um cubo. E, como o A, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o D, e, por outro

lado, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portanto, como o A está para o B, assim o D para o C. E, como os A, B são cubos, os A, B são sólidos similares. Portanto, dois números médios em proporção caem entre os A, B; desse modo, também dois números médios em proporção cairão entre os D, C. E o D é um cubo; portanto, também o C é um cubo; o que era preciso provar.

3 27

Euclides

5. C a so u m n ú m e r o cubo, tendo m u ltip lica d o a lg u m n ú m ero , f a ç a u m cubo, ta m b ém o q u e f o i m u ltip lica d o será u m cubo. Pois, o número cubo A, tendo m ultiplicado algum número B, faça o cubo C; digo que o B é um cubo. Pois, o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o

■ ■^ ■---------------- ■ B

D; portanto, o D é um cubo. E, como o A, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o D, e, por outro lado, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portan­

,______________ C. ________ _ q

to, como o A está para o B, o D para o C. E, como os D, C são cubos, são sólidos semelhantes. Portanto, dois números médios em proporção caem entre os C, D. E como o D está para o C, assim o A para o B; portanto, dois números médios em proporção caem entre os A, B. E o A é um cubo; portanto, também o B é um cubo; o que era preciso provar.

6. C a so u m n ú m ero , tendo m u ltip lica d o a si m esm o, f a ç a u m cubo, tam bém ele será u m cubo. Pois, o número A, tendo multiplicado a si mesmo, faça o cubo B; digo que também o A é um cubo. Pois, o A, tendo m ultiplicado o B, faça o C. Como, de

_____ ^ ^

fato, o A, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B, e, por outro lado, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portanto, o C é um cubo. E, como o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B, portanto, o A mede o B, segundo as unidades nele. Mas também a unidade mede o A, segundo as unidades nele. Portanto, como a unidade está para o A, assim o A para o B. E, como o A, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portanto, o B mede o C, segundo as unidades no A. Mas também a unidade mede o A, segundo as unidades nele. Portanto, como a unidade está para o A, assim o B para o C. Mas, como a unidade para o A, assim o A para o B; portanto, 328

O s elementos

como o A para o B, o B para o C. E, como os B, C são cubos, são sólidos semelhantes. Portanto, existem dois números médios em proporção entre os B, C. E, como o B está para o C, o A para o B. Portanto, existem tam ­ bém dois números médios em proporção entre os A, B. E o B é um cubo; portanto, também o A é um cubo; o que era preciso provar.

7. C aso u m n ú m e r o com posto, tendo m u ltip lica d o a lg u m n ú m ero , f a ç a a lgu m , o p r o d u z id o será u m sólido. Pois, o número composto A, tendo m ultiplicado ■ ■A ■ ■B ,____________. C Q __

£

_________

algum número B, faça o C; digo que o C é sólido. Pois, como o A é composto, será medido por algum número. Seja medido pelo D, e quantas vezes o D mede o A, tantas unidades estejam no E. Como, de fato, o D mede o A, segundo as unidades

no E, portanto, o E, tendo m ultiplicado o D, fez o A. E como o A, tendo multiplicado o B, fez o C, e o A é o dos D, E, portanto, o dos D, E, tendo mul­ tiplicado o B, fez o C. Portanto, o C é sólido, e os D, E, B são lados dele; o que era preciso provar.

8. C aso n ú m ero s, q u a n tos q u e r q u e seja m , a p a r t i r da u nidade, esteja m em p r o p o r çã o con tin u a d a , p o r u m lado, o terceiro a p a r t i r da u n id a d e será u m qua drado, e os q u e deix am u m no in terva lo entre, e, p o r o u tro lado, o quarto, u m cubo, e todos os q u e deix am dois no in terva lo entre, en q u a n to o sétim o, ao m es m o tempo, u m cu bo e u m qua drado, e todos os q u e deix am cin co no in terva lo entre. Estejam os números A, B, C, D, E, F, quantos quer que sejam, a partir da unidade, em proporção continuada; digo que, por um lado, o terceiro, B, a partir da unidade, é um quadrado e todos os que deixam um no inter­

3 29

Euclides

valo entre, e, por outro lado, o quarto C é um

A .--------.

cubo, e todos os que deixam dois no intervalo entre, enquanto que o sétimo F é, ao mesmo

B ■_______■ ^ _

tempo, um cubo e um quadrado, e todos os que deixam cinco no intervalo entre. Pois, como a unidade está para o A, assim o A para o B, portanto, a unidade mede o A o

" " ■----------------------------- ■

mesmo número de vezes que o A, o B. Mas a unidade mede o número A segundo as unidades nele; portanto, o A mede o B, segundo as unidades no A. Portanto, o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B; portanto, o B é um quadrado. E, como os B, C, D estão em proporção continuada, e o B é um quadrado, portanto, também o D é um quadrado. Pelas mesmas coisas, então, também o F é um quadrado. Do mesmo modo, então, provaremos que todos os que deixam um no intervalo entre são quadrados. Digo, então, que também o quarto C, a partir da uni­ dade, é um cubo e todos os que deixam dois no intervalo entre. Pois, como a unidade está para o A, assim o B para o C, portanto, a unidade mede o A o mesmo número de vezes que o B, o C. Mas a unidade mede o número A, segundo as unidades no A; portanto, o B mede o C, segundo as unidades no A; portanto o A, tendo m ultiplicado o B, fez o C. Como, de fato, o A, por um lado, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B, e, por outro lado, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portanto o C é um cubo. E, como os C, D, E, F estão em proporção continuada, e o C é um cubo, também o F é um cubo. E foi também provado um quadrado; portanto, o sétimo, a partir da unidade, é tanto um cubo quanto um quadrado. Do mesmo modo, então, provaremos que também todos os que deixam cinco no intervalo entre são tanto cubos quanto quadrados; o que era preciso provar.

33o

O s elementos

9. C a so n ú m eros, q u a n to s q u e r q u e seja m , a p a r t i r da u nidade, estejam , su cessiva m en te, em p r o p o r ç ã o con tin u a d a , e o depois da u n id a d e seja u m q ua drado, ta m b ém todos os resta ntes serão quadrados. E, caso o depois da u n id a d e seja u m cubo, ta m b ém todos os resta ntes serão cubos. A B C D

■

Estejam os números A, B,

--------- ■ --------------- . _______________

C, D, E, F, quantos quer que sejam , a p artir da unidade, em proporção continuada, e p

o depois da unidade, o A, seja um quadrado; digo que todos

" os restantes serão quadrados. Que, de fato, o terceiro B, a partir da unidade, é um quadrado, e todos os que deixem um no intervalo entre, foi provado; digo, [en tã o ], que também todos os restantes são quadrados. Pois, como os A, B, C estão em proporção continuada, também o A é um quadrado, [p o rtan to ], também o C é um quadrado. De novo, como [também] os B, C, D estão em pro­ porção continuada, também o B é um quadrado, [portanto], também o D é um quadrado. Do mesmo modo, então, provaremos que também todos os restantes são quadrados. Mas, então, seja o A um cubo; digo que também todos os restantes são cubos. Que, de fato, o quarto C, a partir da unidade é um cubo e todos os que deixam dois no intervalo entre, foi provado; digo, [então], que também todos os restantes são cubos. Pois, como a unidade está para o A, assim o A para o B, portanto, a unidade mede o A o mesmo número de vezes que o A, o B. Mas a unidade mede o A, segundo as unidades nele; portanto, também o A mede o B, segundo as unidades nele. Portanto, o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B. E o A é um cubo. M as, caso um número cubo, tendo multiplicado a si mesmo, faça algum, o produzido é um cubo; portanto, também o B é um cubo. E, como os quatro números A, B, C, D estão em proporção continuada, e o A é um cubo, portanto, também o D é um cubo.

331

Euclides

Pelas mesmas coisas, então, também o E é um cubo, e, do mesmo modo, todos os restantes são cubos; o que era preciso provar.

10. C aso n ú m ero s, q u a n tos q u e r q u e seja m , a p a r t i r da u nidade, estejam em p r o p o r çã o [ co n tin u a d a ] , e o depois da u n id a d e não seja u m qua drado, n em n en h u m o u tro será u m qua drado, exceto o terceiro a p a r t i r da u n id a d e e todos os q u e deix am u m no in terva lo entre. E, caso o depois da u n id a d e não seja u m cubo, n em n en h u m ou tro será u m cubo, exceto o q u a rto a p a r t i r da u n id a d e e todos os q u e deix am dois no in terva lo entre. Estejam os números A, B, C, D, E, F,

A

quantos quer que sejam, a partir da unidade em proporção continuada, e o depois da

B

unidade, o A, não seja um quadrado; digo que nem nenhum outro será um quadrado,

c . D

exceto o terceiro a partir da unidade [ e os que deixam um no intervalo entre]. Pois, se possível, seja o C um quadrado. Mas também o B é um quadra­ do; portanto, os B, C têm, um para o outro, uma razão, a qual um número quadrado, para um número quadrado. E, como o B está para o C, o A para o B; portanto, os A, B têm, um para o outro, uma razão, a qual um número quadrado, para um número quadrado; desse modo, os A, B são planos se­ melhantes. E o B é um quadrado; portanto, também o A é um quadrado; o que não era suposto. Portanto, o C não é um quadrado. Do mesmo modo, então, provaremos que nem nenhum outro é um quadrado, exceto o terceiro a partir da unidade e os que deixam um no intervalo entre. Mas, então, o A não seja um cubo. Digo que nem nenhum outro será um cubo, exceto o quarto a partir da unidade e os que deixam dois no intervalo entre. Pois, se possível, seja o D um cubo. Mas também o C é um cubo; pois, é o quarto a partir da unidade. E, como o C está para o D, o B para o C; portanto, o B tem para o C uma razão, a qual um cubo, para um cubo. E

332

O s elementos

o C é um cubo; portanto, também o B é um cubo. E, como a unidade está para o A, o A para o B, e a unidade mede o A, segundo as unidades nele, portanto, também o A mede o B, segundo as unidades nele; portanto, o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o cubo B. M as, caso um número, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça um cubo, também ele será um cubo. Portanto, também o A é um cubo; o que não foi suposto. Portanto, o D não é um cubo. Do mesmo modo, então provaremos que nem nenhum outro é um cubo, exceto o quarto a partir da unidade e os que deixam dois no intervalo entre; o que era preciso provar.

11. C aso n ú m ero s, q u a n tos q u e r q u e seja m , a p a r t i r da u nidade, esteja m em p r o p o r çã o con tin u a d a , o m e n o r m ed e o maior, seg u n d o a lg u m dos existentes r ea lm en te n os n ú m er o s em p rop o rçã o . Estejam os números B, C, D, E, quantos quer que " "^ ■ "® ■ ■C .___________ . D ^ _

sejam, a partir da unidade, em proporção continuada; digo que o menor B dos B, C, D, E mede o maior E, segundo algum dos C, D. Pois, como a unidade A está para o B, assim o D para o E, portanto, a unidade A mede o número B

o mesmo número de vezes que o D, o E; portanto, alternadamente, a unidade A mede o D o mesmo número de vezes que o B, o E. Mas a unidade A mede o D, segundo as unidades nele; portanto, também o B mede o E, segundo as unidades no D; desse modo, o menor B mede o maior E, segundo algum número dos existentes realmente nos números em proporção. C

o r o l á r io

E é evidente que o que mede tem, a partir da unidade, um posto que é o mesmo que tem também o segundo o qual mede a partir do medido até o antes dele; o que era preciso provar.

333

Euclides

12. C a so n ú m ero s, q u a n tos q u e r q u e seja m , a p a r t i r da u nidade, estejam em p r o p o r ç ã o con tin u a d a , p o r q u a n tos n ú m e r o s p r im o s o ú ltim o seja m edido, p e lo s m es m o s ta m b ém o p r ó x im o à u n id a d e será m edido. Estejam os números A, B, C, D, quantos quer que sejam, a partir da unidade, em proporção continuada; digo que, por quantos números primos o D seja medido, pelos mesmos também o A será

^

^ ■-----------------■

■_______■ G B ._______ . q ___________ _ _____ _ ^

medido. ^ ■ ■ Seja, pois, medido o D por algum número primo, o E; digo que o E mede o A. Pois, não; e o E é primo, e todo primo é primo com todo que não mede; portanto, os E, A são primos entre si. E, como o E mede o D, meça-o segundo o F; portanto, o E, tendo m ultiplicado o F, fez o D. De novo, como o A mede o D, segundo as unidades no C, portanto, o A, tendo m ultiplicado o C, fez o D. M as, de fato, também o E, tendo m ultiplicado o F, fez o D; portanto, o dos A, C é igual ao dos E, F. Portanto, como o A está para o E, o F para o C. Mas os A, E são primos, e os primos são tam ­ bém os menores, e os menores medem os que têm a mesma razão o mesmo número de vezes, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o E mede o C. M eça-o, segundo o G; portanto, o E, tendo m ultiplicado o G, fez o C. Mas, de fato, pelo antes deste, também o A, tendo m ultiplicado o B, fez o C. Portanto, o dos A, B é igual ao dos E, G. Portanto, como o A está para o E, o G para o B. Mas os A, E são primos, e os primos são também os menores, e os números menores medem os que têm a mesma razão com eles o mesmo número de vezes, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o E mede o B. Meça-o, segundo o H; portanto, o E, tendo m ultiplicado o H, fez o B. Mas, de fato, também o A, tendo multiplicado a si mesmo, fez o B; portanto, o dos E, H é igual a o a partir de A. Portanto, como o E está para o A, o A para o H. Mas os A, E são primos, e os primos são também os menores, e os menores medem os que têm a mesma razão o mesmo número de vezes,

334

O s elementos

tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o E mede o A, como um antecedente, um antecedente. Mas, de fato, também não mede; o que é impossível. Portanto, os A, E não são primos entre si. Portanto, são compostos. Mas os compostos são medidos por algum número [prim o]. E, como o E foi suposto primo, e o primo não é medido por outro número senão por si mesmo, portanto, o E mede os A, E; desse modo, o E mede o A. Mas mede também o D; portanto, o E mede os A, D. Do mesmo modo, então, provaremos que, por quantos números primos o D seja medido, pelos mesmos também o A será medido; o que era preciso provar.

13. C aso n ú m ero s, q u a n tos q u e r q u e seja m , a p a r t i r da u nidade, estejam em p r o p o r ç ã o con tin u a d a , e o depois da u n id a d e seja p r im o , o m a i o r p o r n en h u m [ o u t r o ] ser á m ed ido, a lém dos existentes r ea lm en te n os n ú m ero s em p rop o rçã o . Estejam os números A, B, C, D, quan" "^ ■--------- ■ B

^" " tos quer que sejam, a partir da unidade, .----------- . F em proporção continuada, e o depois

.---------------. C

■------ ■ G

da unidade, o A, seja primo; digo que o

________________ p

_____ _ p|

maior deles, o D, por nenhum outro será medido além dos A, B, C.

Pois, se possível, seja medido pelo E, e o E não seja o mesmo que algum dos A, B, C. É evidente, então, que o E não é primo. Pois, se o E é primo e mede o D, também medirá o A, que é primo, não sendo o mesmo que ele; o que é impossível. Portanto, o E não é primo. Portanto, é composto. Mas todo número composto é medido por algum número primo; portanto, o E é medido por algum número primo; digo, então, que será medido por nenhum outro primo, exceto o A. Pois, se o E é medido por um outro, e o E mede o D, portanto, também aquele medirá o D; desse modo, também medirá o A, que é primo, não sendo o mesmo que ele; o que é impossível. Portanto, o A mede o E. E, como o E mede o D, meça-o, segundo o F. Digo

335

Euclides

que o F não é o mesmo que algum dos A, B, C. Pois, se o F é o mesmo que um dos A, B, C, e mede o D, segundo o E, portanto, também um dos A, B, C mede o D, segundo o E. Mas um dos A, B, C mede o D, segundo algum dos A, B, C; portanto, o E é o mesmo que um dos A, B, C; o que não foi suposto. Portanto, o F não é o mesmo que um dos A, B, C. Do mesmo modo, então, provaremos que o F é medido pelo A, mostrando de novo que o F não é primo. Pois, se também mede o D, também medirá o A, que é primo, não sendo o mesmo que ele; o que é impossível; portanto, o F não é primo; portanto, é composto. Mas todo número composto é medido por algum número primo; portanto, o F é medido por algum número primo. Digo, então, que não será medido por um outro primo, exceto o A. Pois, se algum outro primo mede o F, e o F mede o D, portanto, também aquele medirá o D; desse modo, também medirá o A, que é primo, não sendo o mesmo que ele; o que é impossível. Portanto, o A mede o F, e como o E mede o D, segundo o F, portanto, o E, tendo m ultiplicado o F, fez o D. M as, de fato, também o A, tendo m ultiplicado o C, fez o D; portanto, o dos A, C é igual ao dos E, F; portanto, em proporção, como o A está para o E, assim o F para o C. Mas o A mede o E; portanto, também o F mede o C. M eça-o, segundo o G. Do mesmo modo, então, provaremos que o G não é o mesmo que algum dos A, B, e que é medido pelo A. E, como o F mede o C, segundo o G, portanto, o F, tendo m ultiplicado o G, fez o C. Mas, de fato, também o A, tendo m ultiplicado o B, fez o C; portanto, o dos A, B é igual ao dos F, G. Portanto, em proporção, como o A para o F, o G para o B. Mas o A mede o F; portanto, também o G mede o B. M eça-o, segundo o H. Do mesmo modo, então, provaremos que o H não é o mesmo que o A. E, como o G mede o B, segundo o H, portanto, o G, tendo m ultiplicado o H, fez o B. Mas, de fato, também o A, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o B; portanto, o por H, G é igual ao quadrado sobre o A. Portanto, como o H está para o A, o A para o G. Mas o A mede o G; portanto, também o H mede o A, que é primo, não sendo o mesmo que ele; o que é absurdo. Portanto, o maior, D, não será medido por um outro número além dos A, B, C; o que era preciso provar.

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O s elementos

14. C a so u m n ú m e r o seja o m e n o r m ed id o p o r n ú m e r o s p rim o s, será m ed id o p o r n en h u m o u tro n ú m e r o p r im o a lém dos q u e m ed em n o p rin cíp io. Seja, pois, o A o menor número medido pelos

B - C - D

números primos B, C, D; digo que o A não será medido por nenhum outro número primo além dos B, C, D.

Pois, se possível, seja medido pelo primo E, e o E não seja o mesmo que algum dos B, C, D. E, como o E mede o A, meça-o segundo o F; portanto, o E, tendo m ultiplicado o F, fez o A. E o A é medido pelos números primos B, C, D. M as, caso dois números, tendo um m ultiplicado o outro, façam algum, e algum número primo meça o produzido deles, também medirá um dos do princípio; portanto, os B, C, D medirão um dos E, F. Então, de fato, não medirão o E; pois, o E é primo e não é o mesmo que algum dos B, C, D. Portanto, medem o F, que é menor do que o A; o que é impossível. Pois, o A foi suposto o menor medido pelos B, C, D. Portanto, não medirá o A um número primo além dos B, C, D; o que era preciso provar.

15. C a so três n ú m ero s, em p r o p o r çã o con tin u a d a , seja m os m en o res dos q u e têm a m es m a razão co m eles, dois, q u a isq u er q u e seja m , tend o sido com postos, são p r im o s com o restante. Sejam os A, B, C três números em proporção continuada, os menores dos ■ " ^ ____ E____ __ p

que têm a mesma razão com eles; digo que dois, quaisquer que sejam, dos A, B,

mos com o restante, por um lado, os A, B com o C; por outro lado, os B, C com o A, e ainda os A, C com o B. Fiquem, pois, tomados os menores números DE, EF dos que têm a mesma razão com os A, B, C. É evidente, então, que, por um lado, o DE,

337

C, tendo sid

Euclides

tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o A, e, por outro lado, tendo m u ltip li­ cado o EF, fez o B, e ainda o EF, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o C. E, como os DE, EF são os menores, são primos entre si. M as, caso dois números sejam primos entre si, também um, junto com o outro, é primo com cada um; portanto, também o DF é primo com cada um dos DE, EF. Mas, de fato, também o DE é primo com o EF; portanto, os DF, DE são primos com o EF. Mas, caso dois números sejam primos com algum número, também o produzido deles é primo com o restante; desse modo, o dos FD, DE é primo com o EF; desse modo, também o dos FD, DE é primo com o sobre o EF. [Pois, caso dois números sejam primos entre si, o produzido de um deles é primo com o restante.] Mas o dos FD, DE é o sobre o DE junto com o dos DE, EF; portanto, o sobre o DE junto com o dos DE, EF é primo com o sobre o EF. E, por um lado, o A é o sobre o DE, e, por outro lado, o B é o dos DE, EF, e o C é o sobre o EF; portanto, os A, B, tendo sido compostos, são primos com o C. Do mesmo modo, então, provaremos que os B, C são primos com o A. Digo, então, que também os A, C são primos com o B. Pois, como o DF é primo com cada um dos DE, EF, também o sobre o DF é primo com o dos DE, EF. Mas os sobre os DE, EF junto com duas vezes o dos DE, EF são iguais ao sobre DF; portanto, também os sobre os DE, EF junto com duas vezes o dos DE, EF [são] primos com o pelos DE, EF. Por separação, os sobre os DE, EF junto com uma vez somente do dos DE, EF, são primos com o dos DE, EF. Portanto, ainda por separação, os sobre os DE, EF são primos com o dos DE, EF. E, por um lado, o A é o sobre o DE, e, por outro lado, o B é o dos DE, EF, e o C é o sobre o EF. Portanto, os A, C, tendo sido compostos, são primos com o B; o que era preciso provar.

16. C aso dois n ú m er o s seja m p r im o s en tre si, co m o o p r im e ir o p a r a o segu n do, assim o seg u n d o não estará p a r a a lg u m outro. Sejam, pois, os dois números A, B primos entre si; digo que como o A para o B, assim o B não está para algum outro.

33á

O s elementos

._____. A Pois, se possível, como o A para o B, o B esteja para o ,__________ , B C. Os A, B são primos entre si, e os primos também são ____________ Q os menores, e os menores medem os que têm a mesma razão o mesmo número de vezes, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o A mede o B, como o antecedente, o antecedente. E também mede a si mesmo; por­ tanto, o A mede os A, B que são primos entre si; o que é absurdo. Portanto, como o A para o B assim o B não estará para o C; o que era preciso provar.

17. Caso n ú m eros, q u a n tos q u e r q ue sejam , estejam em p r o p o rçã o con tinu ad a, e os ex trem os deles seja m p r im o s en tre si, com o o p r im e ir o p a r a o segundo, assim o ú ltim o não estará p a r a a lg u m outro. .______ . A

^

^

._________. B

£ ^

Estejam os números A, B, C, D, quantos quer que sejam, em proporção continuada, e os extremos A, D deles sejam primos entre si; digo que, como o A para o B, assim o D não

■ " ^ está para algum outro. Pois, se possível, como o A para o B, assim o D esteja para o E; portanto, alternadamente, como o A para o D, o B para o E. Mas os A, D são primos, e os primos são também os menores, e os menores números medem os que têm a mesma razão o mesmo número de vezes, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente. Portanto, o A mede o B. E, como o A está para o B, o B para o C. Portanto, também o B mede o C; desse modo, também o A mede o C. E, como o B está para o C, o C para o D, e o B mede o C, portanto, também o C mede o D. Mas o A media o C; desse modo, também o A mede o D. E também mede a si mesmo. Portanto, o A mede os A, D que são primos entre si; o que é impossível. Portanto, como o A para o B, assim o D não estará para algum outro; o que era preciso provar.

339

Euclides

18 . D a d os dois n ú m eros, ex a m in a r se é p o s s ív e l a ch a r a m a is u m terceiro em p r o p o r çã o co m eles. Sejam os dois números dados A, B, e seja preciso examinar se é possível achar a mais um terceiro em proporção

,_______ , A

.__________ ^ g

com eles. " "^ Então, os A, B ou são primos entre si, ou não. E, se são primos entre si, foi mostrado que é impossível achar a mais um terceiro em proporção com eles. Mas, então, não sejam os A, B primos entre si, e o B, tendo m ultiplicado a si mesmo, faça o C; então, o A ou mede o C ou não mede. Primeiramente meça, segundo o D; portanto, o A, tendo m ultiplicado o D, fez o C. Mas, de fato, também o B, tendo m ultiplicado a si mesmo, fez o C; portanto, o dos A, D é igual ao sobre o B. Portanto, como o A está para o B, assim o B para o D; portanto, foi achado a mais um terceiro número, o D, em proporção com os A, B. Mas, então, o A não meça o C; digo que é impossível achar a mais um terceiro número em proporção com os A, B. Pois, se possível, fique achado a mais o D. Portanto, o dos A, D é igual ao sobre o B. Mas o C é o sobre o B; portanto, o dos A, D é igual ao C. Desse modo, o A, tendo m ultiplicado o D, fez o C; portanto, o A mede o C, segundo o D. Mas foi suposto, de fato, também que não mede; o que é absurdo. Portanto, não é possível achar a mais um terceiro número em proporção com os A, B, quando o A não meça o C; o que era preciso provar.

19. D a d os três núm eros, ex a m in a r quando é p o ssível achar a m ais u m quarto em proporção com eles. Sejam os três números dados A, B, C, e seja preciso examinar quando é possível achar a mais um quarto em proporção com eles.

340

O s elementos

■ B ■------------ ■

Ou, de fato, não estão em proporção continuada, e os extremos deles são primos entre si, ou estão em proporção continuada, e os extremos não são primos

C ._______ . Q ___________ _

entre si, ou nem estão em proporção continuada nem os extremos deles são primos entre si, ou também

______________ _

estão em proporção continuada, e os extremos deles são primos entre si.

A ■

£

Se, de fato, os A, B, C estão em proporção continuada, e os extremos A, C deles são primos entre si, foi mostrado que é impossível achar a mais um quarto número em proporção com eles. Não estejam, então, os A, B, C em proporção continuada, sendo os extremos, de novo, primos entre si. Digo que também assim é impossível achar a mais um quarto em proporção com eles. Pois, se possível, fique achado a mais o D, de modo a estar como o A para o B, o C para o D, e fique produzido, como o B para o C, o D para o E. E, por um lado, como o A está para o B, o C para o D, e, por outro lado, como o B para o C, o D para o E, portanto, por igual posto, como o A para o C, o C para o E. Mas os A, C são primos, e os primos também são os menores, e os menores medem os que têm a mesma razão, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente. Portanto, o A mede o C, como um antecedente, um antecedente. E também mede a si mesmo; portanto, o A mede os A, C, que são primos entre si; o que é impossível. Portanto, não é possível achar a mais um quarto em proporção com os A, B, C. Mas, então, estejam de novo os A, B, C em proporção continuada, e os A, C não sejam primos entre si. Digo que é possível achar a mais um quarto em proporção com eles. Pois, o B, tendo m ultiplicado o C, faça o D; por­ tanto, o A ou mede o D ou não mede. Primeiramente, meça-o, segundo o E; portanto, o A, tendo m ultiplicado o E, fez o D. Mas, de fato, também o B, tendo m ultiplicado o C, fez o D; portanto, o dos A, E é igual ao dos B, C. Portanto, em proporção, como o A [está] para o B, o C para o E; portanto, foi achado a mais um quarto, o E, em proporção com os A, B, C. Mas, então, o A não meça o D. Digo que é impossível achar a mais um quarto número em proporção com os A, B, C. Pois, se possível, fique achado a mais o E; portanto, o dos A, E é igual ao dos B, C. Mas o dos B,

341

Euclides

C é o D; portanto, também o dos A, E é igual ao D. Portanto, o A, tendo m ultiplicado o E, fez o D; portanto, o A mede o D, segundo o E; desse modo, o A mede o D. Mas também não mede; o que é absurdo. Portanto, não é possível achar a mais um quarto número em proporção com os A, B, C, quando o A não meça o D. Mas, então, os A, B, C nem estejam em proporção continuada nem os extremos sejam primos entre si. E o B, tendo m ultiplicado o C, faça o D. Do mesmo modo, então, será provado que, se o A mede o D, é possível achar a mais em proporção com eles, ao passo que, se não mede, é impossível; o que era preciso provar.

20. O s n ú m er o s p r im o s sã o m a is n u m ero so s do q u e toda q u a n tid a d e q u e tenha sido p r o p o sta de n ú m er o s p rim os. Sejam os números primos que tenham sido propostos A, B, C; digo que os nú-

"

meros primos são mais numerosos do que os A, B, C.

■------------ ■ B ,__________, c

"^

^

Fique, pois, tomado o menor medido ^ ___________________ D F pelos A, B, C e seja o DE, e fique acrescida a unidade DF ao DE. Então, o EF ou é primo ou não. Primeiramente, seja primo; portanto, os números primos A, B, C, EF achados são mais num e­ rosos do que os A, B, C. Mas, então, não seja primo o EF; portanto, é medido por algum número primo. Seja medido pelo primo G; digo que o G não é o mesmo que algum dos A, B, C. Pois, se possível, seja. Mas os A, B, C medem o DE; portanto, o G também medirá o DE. E também mede o EF; e o G, sendo um núm e­ ro, medirá a unidade DF restante; o que é absurdo. Portanto, o G não é o mesmo que algum dos A, B, C. E foi suposto primo. Portanto, os números primos achados, A, B, C, G são mais numerosos do que a quantidade que tenha sido proposta dos A, B, C; o que era preciso provar.

342

O s elementos

21. C aso n ú m ero s pares, q u a n tos q u e r q u e sejam , seja m com postos, o todo é par. A "

B

C "

"

Q "

p Fiquem, pois, compostos os números " pares AB, BC, CD, DE, quantos quer que

sejam; digo que o todo AE é par. Pois, como cada um dos AB, BC, CD, DE é par, tem uma meia parte; desse modo, também o todo AE tem uma meia parte. Mas um número par é o dividido em dois; portanto, o AE é par; o que era preciso provar.

22. C aso n ú m er o s ím p ares, q u a n tos q u e r q u e seja m , seja m com postos, e a q u a n tid a d e deles seja par, o todo será par. ^

g

Q

Q

^

Fiquem, pois, compostos os números ímpares AB, BC, CD, DE, quantos quer

que sejam, pares em quantidade; digo que o todo AE é par. Pois, como cada um dos AB, BC, CD, DE é ímpar, tendo sido subtraí­ da uma unidade de cada um, cada um dos restantes é par; desse modo, o composto deles será par. Mas também a quantidade das unidades é par. Portanto, também o todo AE é par; o que era preciso provar.

23. C aso n ú m er o s ím p ares, q u a n tos q u e r q u e seja m , seja m com postos, e a q u a n tid a d e deles seja ímpar, ta m b ém o todo será ímpar.

^

B C

Fiquem, pois, compostos os números ímpares E D a b , BC, CD, quantos quer que sejam, a quantidade

dos quais seja ímpar; digo que também o todo AD é ímpar. Fique subtraída do CD a unidade DE; portanto, o CE restante é par. Mas também o CA é par; portanto, também o todo AE é par. E a DE é uma unidade. Portanto, o AD é ímpar; o que era preciso provar.

343

Euclides

24. C aso de u m n ú m e r o p a r u m p a r seja su btra ído, o resta nte será par. Fique, pois, subtraído o par BC do par AB; digo que o restante CA é par.

A

C

B

Pois, como o AB é par, tem uma meia parte. Pelas mesmas coisas, então, também o BC tem uma meia parte; desse modo, também o restante [o CA tem uma meia parte], [portanto], o AC é par; o que era preciso provar.

25. C aso de u m n ú m e r o p a r u m ím p a r seja su btra ído, o resta nte será ímpar. Fique, pois, subtraído o ímpar BC do par AB; digo que o restante CA é ímpar.

~----------- *—*-------g

Fique, pois, subtraída do BC a unidade CD; portanto, o DB é par. Mas também o AB é par; portanto, também o restante AD é par. E a CD é uma unidade; portanto, o CA é ímpar; o que era preciso provar.

26. C aso de u m n ú m er o ím p a r u m ím p a r seja subtraído, o restante será par. Fique, pois, subtraído do ímpar AB o ímpar BC; digo que o restante CA é par.

£

p -g

Pois, como o AB é ímpar, fique subtraída a unidade BD; portanto, o restante AD é par. Pelas mesmas coisas, então, também o DC é par; desse modo, também o restante CA é par; o que era preciso provar.

27. C aso de u m n ú m er o ím p a r u m p a r seja subtraído, o restante será ímpar. Fique, pois, subtraído do ímpar AB o par BC;

■— ■--------------■------------■ A D

i' digo que o restante nCAk é' impar.

344

C

B

O s elementos

Fique, [pois], subtraída a unidade AD; portanto, o DB é par. Mas tam ­ bém o BC é par; portanto, o restante CD é par. Portanto, o CA é ímpar; o que era preciso provar.

28 . C aso u m n ú m e r o ímpar, tendo m u ltip lica d o u m par, f a ç a a lgu m , o p r o d u z id o será par. . _____.

A

,______ , B ._______ , 0

Pois, o número ímpar A, tendo m ultiplicado o par B, faça o C; digo que o C é par. Pois, como o A, tendo m ultiplicado o B, fez o C, por­

tanto o C é composto de tantos iguais ao B quantas são as unidades no A. E o B é par; portanto, o C é composto de pares. Mas, caso números pares, quantos quer que sejam, sejam compostos, o todo é par. Portanto, o C é par; o que era preciso provar.

29. C aso u m n ú m e r o ímpar, tendo m u ltip lica d o u m n ú m e r o ímpar, f a ç a a lgu m , o p r o d u z id o será ímpar. ■

"^

--------------- ■

■

Pois, o número ímpar A, tendo m ultiplicado o nú■ B mero ímpar B, faça o C; digo que o C é ímpar.

Pois, como o A, tendo m ultiplicado o B, fez o C, portanto, o C é composto de tantos igu

quantas são as unidades no A. E, cada um dos A, B é ímpar; portanto, o C é composto de números ímpares, a quantidade dos quais é ímpar. Desse modo, o C é ímpar; o que era preciso provar.

345

Euclides

30. C aso u m n ú m ero ím p a r m eça u m n ú m e r o par, ta m b ém m ed irá a m eta d e dele. Pois, o número ímpar A meça o número par B; digo que também medirá a metade dele. Pois, como o A mede o B, meça-o segundo o C; digo

_______ ^ g ^

que o C não é ímpar. Pois, se possível, seja. E, como o A mede o B, segundo o C, portanto, o A, tendo m ultiplicado o C, fez o B. Portanto, o B é composto de números ímpares, a quantidade dos quais é ímpar. Portanto, o B é ímpar; o que é absurdo; pois, foi suposto par. Portanto, o C não é ímpar; portanto, o C é par. Desse modo, o A mede o B um número par de vezes. Por isso, então, também medirá a metade dele; o que era preciso provar.

31. C aso u m n ú m e r o ím p a r seja p r im o co m a lg u m n ú m ero , ta m b ém será p r i m o com o dobro dele. Pois, o número ímpar A seja primo com algum número, o B, e seja o C o dobro do B; digo que o A [também] é primo com o C. Pois, se [os A, C] não são primos, algum número

■------■A .____ . B .__________ (L. .--------■ D

os medirá. Meça, e seja o D. E o A é ímpar; portanto, também o D é ímpar. E, como o D, sendo ímpar, mede o C, e o C é par, portanto, [o D] medirá também a metade do C. Mas a metade do C é o B; portanto, o D mede o B. Mas também mede o A. Portanto, o D mede os A, B que são primos entre si; o que é impossível. Portanto, não é o caso de o A não ser primo com o C. Portanto, os A, C são primos entre si; o que era preciso provar.

346

O s elementos

32. C a d a u m dos n ú m e r o s q u e são d o bra dos a p a r t i r de u m a día de é u m n ú m e r o p a r de vezes p a r som ente. ,__, A .____. B ,________ , C

Fiquem, pois, dobrados, a partir da díade A, os números B, C, D, quantos quer que sejam; digo que os B, C, D são um número par de

.___________________ . D vezes pares somente. Que, então, de fato, cada um [dos B, C, D] é um número par de vezes par, é evidente; pois que foi dobrado a partir de uma díade. Digo que também somente. Fique, pois, exposta uma unidade. Como, de fato, a partir da unidade, números, quantos quer que sejam, estão em proporção continuada, e o depois da unidade, o A, é primo, o maior dos A, B, C, D, o D, será medido por nenhum outro, além dos A, B, C. E cada um dos A, B, C é par; portanto, o D é um número par de vezes par somente. Do mesmo modo, então, provaremos que [também] cada um dos B, C é um número par de vezes par somente; o que era preciso provar.

33. C a so u m n ú m e r o tenha a m eta d e ímpar, é u m n ú m e r o p a r de vezes ím p a r som ente. ■

^

"

Tenha, pois, o número A a metade ímpar; digo que o A

é um número par de vezes ímpar somente. Que, então, de fato, é um número par de vezes ímpar, é evidente; pois a metade dele, sendo ímpar, mede-o um número par de vezes. Digo que também somente. Pois, se o A for também um número par de vezes par, será medido por um par, segundo um número par; desse modo, também a metade dele será medida por um número par, sendo ímpar; o que é absurdo. Portanto, o A é um número par de vezes ímpar somente; o que era preciso provar.

347

Euclides

34. C aso u m n ú m e r o n em seja dos q u e são dobra dos a p a r t i r de u m a día de n em tenha a m eta d e ímpar, é tanto u m n ú m e r o p a r de vezes p a r q u a n to u m n ú m e r o p a r de vezes ímpar. Pois, o número A nem seja dos que são dobrados a partir de uma díade nem tenha a metade ímpar; digo que o A é

"

"

tanto um número par de vezes par quanto um número par de vezes ímpar. Que, então, de fato, o A é um número par de vezes par, é evidente; pois não tem a metade ímpar. Digo, então, que também é um número par de vezes ímpar. Pois, caso cortemos o A em dois, e a metade dele em duas, e façamos isso sempre, chegaremos a algum número ímpar que medirá o A, segundo um número par. Pois, se não, chegaremos na díade, e o A será dos que são dobrados a partir da díade; o que não foi suposto. Desse modo, o A é um número par de vezes ímpar. Mas foi provado também um número par de vezes par. Portanto, o A é tanto um número par de vezes par quanto um número par de vezes ímpar; o que era preciso provar.

35. C aso n ú m ero s, q u a n tos q u e r q u e sejam , esteja m em p r o p o r ç ã o con tin u a d a , e seja m su b tra íd os tanto do seg u n d o q u a n to do ú ltim o igu a is ao p r im eir o , com o o excesso do seg u n d o estará p a r a o p r im eir o , assim o excesso do ú ltim o p a r a todos os antes dele m esm o. Estejam os números A, BC, D, EF, quantos quer que sejam, em propor­ ção continuada, começando a partir do menor A, e fique subtraído do BC e do EF cada um dos BG, FH igual ao A; digo que como o GC está para o A, assim o EH para os A, BC, D.

348

A B G C D ■-----------------------------E

J

I

H

F

O s elementos

Fique, pois, posto, por um lado, o FI igual ao BC, e, por outro lado, o FJ igual ao D. E, como o FI é igual ao BC, dos quais o FH é igual ao BG, portanto, o H I restante é igual ao GC restante. E, como o EF está para o D, assim o D para o BC, e o BC para o A, mas, por um lado, o D é igual ao FJ, e, por outro lado, o BC, ao FI, e o A, ao FH, portanto, como o EF está para o FJ, assim o JF para o FI, e o FI para o FH. Por separação, como o EJ para o JF, assim o JI para o FI e o IH para o FH. Portanto, também como um dos antecedentes está para um dos consequentes, assim todos os antecedentes para todos os consequentes; portanto, como o IH está para o FH, assim os EJ, JI, IH para os JF, FI, HF. M as, por um lado, o IH é igual ao CG, e, por outro lado, o FH, ao A, e os JF, FI, HF, aos D, BC, A; portanto, como o CG está para o A, assim o EH para os D, BC, A. Portanto, como o excesso do segundo está para o primeiro, assim o excesso do últim o para todos os antes dele mesmo; o que era preciso provar.

36. C aso n ú m eros, q u a n to s q u e r q u e seja m , a p a r t i r da u nidade, seja m expostos, co n tin u a d a m en te, na p r o p o r ç ã o du plica da, a té q u e o q u e foi com p osto todo j u n t o se torn e p r im o , e o todo ju n t o , tendo sido m u ltip lica d o p e lo ú ltim o, fa ça a lgu m , o p r o d u z id o será perfeito. .—■ A ■— ■ B _______ Q

Fiquem, pois, expostos os números A, B, C, D, quantos quer que sejam, a partir da unidade, na proporção

D

duplicada, até que o que foi composto todo junto se torne primo, e o E seja igual ao todo junto, e o E, tendo m ultiplicado o D, faça o FG. Digo que o FG é perfeito.

Pois, quantos são os A, B, C, D, em quantidade, tantos fiquem tomados, os E, HI, J, L, a partir do E, na proporção duplicada; portanto, por igual posto, como o A está para o D, assim o E para o L. Portanto, o dos E, D é igual ao dos A, L. E o dos E, D é o FG; portanto, também o dos A, L é o FG. Portanto, o A, tendo m ultiplicado o L, fez o FG; portanto, o L mede o FG, segundo as unidades no A. E o A é uma díade; portanto, o FG é o dobro do L. Mas também os L, J, HI, E são, continuadamente, o dobro, um do outro;

349

Euclides

portanto, os E, HI, J, L FG estão em proporção continuada, na proporção duplicada. Fique, então, subtraído, do se­

,

___________ J__________

|_ " .--------■........................................ G M P

gundo HI e do últim o FG, cada um dos H M , FN, igual ao primeiro E; portanto, como o excesso do segundo está para o primeiro, assim o excesso do últim o para todos os antes dele mesmo. Portanto, como o MI está para o E, assim o NG para os L, J, IH, E. E o MI é igual ao E; portanto, também o NG é igual aos L, J, HI, E. E, também o FN é igual ao E, e o E, aos A, B, C, D, e à unidade. Portanto, o todo FG é igual tanto aos E, HI, J, L quanto aos A, B, C, D, e à unidade; e é medido por eles. Digo que também o FG não será medido por nenhum outro, além dos A, B, C, D, E, HI, J, L, e da unidade. Pois, se possível, algum, o O, meça o FG, e o O não seja o mesmo que algum dos A, B, C, D, E, HI, J, L. E, o O mede o FG o mesmo número de vezes quantas unidades estejam no P; portanto, o P tendo m ultiplicado o O, fez o FG. M as, de fato, também o E, tendo m ultiplicado o D, fez o FG; por­ tanto, como o E está para o P o O para o D. E, como os A, B, C, D estão, a partir da unidade, em proporção continuada, portanto, o D será medido por nenhum outro número, além dos A, B, C. E o O foi suposto o mesmo que nenhum dos A, B, C; portanto, o O não medirá o D. M as, como o O para o D, o E para o P; portanto, nem o E mede o P. E o E é primo; e todo número primo [ é ] primo com todos que não mede. Portanto, os E, P são primos entre si. E os primos são também os menores, e os menores medem os que têm a mesma razão o mesmo número de vezes, tanto o anteceden­ te, o antecedente quanto o consequente, o consequente; e, como o E está para o P, o O para o D; portanto, o E mede o O o mesmo número de vezes que o P o D. Mas o D é medido por nenhum outro, além dos A, B, C; por­ tanto, o P é o mesmo que um dos A, B, C. Seja o mesmo que B. E quantos são os B, C, D em quantidade tantos fiquem tomados, os E, HI, J, a partir do E. E os E, HI estão na mesma razão com os B, C, D; portanto, por igual posto, como o B está para o D, o E para o J. Portanto, o dos B, J é igual ao dos D, E; mas o dos D, E é igual ao dos P O; portanto, também o dos P

35o

O s elementos

O é igual ao dos B, J. Portanto, como o P está para o B, o J para o O. E o P é o mesmo que o B; portanto, também o J é o mesmo que o O; o que é impossível; pois o O foi suposto não o mesmo que algum dos expostos. Portanto, nenhum número medirá o FG, além dos A, B, C, D, E, HI, J, L, e da unidade. E foi provado o FG igual aos A, B, C, D, E, HI, J, L, e à unidade. Mas um número perfeito é o que é igual às partes de si mesmo; portanto, o FG é perfeito; o que era preciso provar.

351

Livro X

Definições 1. M agnitudes são ditas comensuráveis as que são medidas pela mesma medida, e incomensuráveis, aquelas das quais nenhuma medida comum é possível produzir-se. 2. Retas são comensuráveis em potência, quando os quadrados sobre elas sejam medidos pela mesma área, e incomensuráveis, quando para os quadrados sobre elas nenhuma área comum seja possível produzir-se. 3. Sendo supostas essas coisas, é provado que existem realmente retas, ilim itadas em quantidade, tanto comensuráveis quanto também in­ comensuráveis com a reta proposta, umas somente em comprimento, outras também em potência. Seja chamada, de fato, por um lado, a reta proposta racional, e as comensuráveis com essa, quer em comprimento e em potência quer em potência somente, racionais, e, por outro lado, as incomensuráveis com essa sejam chamadas irracionais. 4. E, por um lado, o quadrado sobre a reta proposta, racional, e os comen­ suráveis com esse, racionais, e, por outro lado, os incomensuráveis com esse sejam chamados irracionais, e as que servem para produzi-los, irra­ cionais, se forem quadrados, os próprios lados, ao passo que se alguma outra retilínea, as que descrevem quadrados iguais a elas.

353

Euclides

1. S en do expostas d u a s m a g n itu d es desigu a is, caso da m a i o r seja su b tra íd a u m a m a i o r do q u e a m eta d e e, da q u e é deixada, u m a m a io r do q u e a m etade, e isso aco n teça sem pre, a lg u m a m a g n itu d e será deixada, a q ual será m e n o r do q u e a m e n o r m a g n it u d e exposta. Seíam as duas m agnitudes AB,C desi1 quais• a AB .p é, maior; • digo que, guais, das caso da AB seja subtraída uma maior do que a metade e, da que é deixada, uma

1 H "a ■ ■ ■ F

■ uR G

c ■ ■-----^

maior do que a metade, e isso aconteça sempre, será deixada alguma mag­ nitude que será menor do que a m agnitude C. Pois, a C, sendo m ultiplicada, será, alguma vez, maior do que a AB. Fique m ultiplicada, e seja a DE, por um lado, um m últiplo de C, e, por outro lado, maior do que a AB, e fique dividida a DE nas DF, FG, GE iguais à C, e fique subtraída, por um lado, da AB a BH, maior do que a metade, e, por outro lado, da AH, a HI, maior do que a metade, e isso aconteça sempre, até que as divisões no AB se tornem iguais em quantidade às divisões no DE. Sejam, de fato, as AI, IH, HB divisões que são iguais em quantidade às DF, FG, GE; e, como a DE é maior que a AB, e foi subtraída da DE a EG, menor do que a metade, ao passo que da AB, a BH, maior do que a metade, portanto, a GD restante é maior que a HA restante. E, como a GD é maior do que a HA, e foi subtraída da GD a metade GF, ao passo que da HA, a HI, maior do que a metade, portanto, a DF restante é maior do que a AI restante. Mas a DF é igual à C; portanto, também a C é maior do que a AI. Portanto, a AI é menor do que a C. Portanto, foi deixada da m agnitude AB a m agnitude AI que é menor do que a menor m agnitude exposta C; o que era preciso provar. E do mesmo modo, será provado também, caso as coisas subtraídas sejam a metade.

354

O s elementos

2. C aso sen do su b tra íd a , de du as m a g n itu d es [ex p osta s] desigu a is, sem p re p o r su a vez^a m e n o r da maior, a q u e é deixada n u n ca m eça ex a ta m en te a an tes de si m esm a , as m a g n itu d es serão in com en su rá veis.

E

■----- ■ p

F

Pois, sendo as duas magnitudes desiguais AB, CD, e AB a menor, sendo sub-

G A ■— ■------- ■-------- . B

p

traída sempre, por sua vez, a menor da maior, a restante nunca meça exatamente a antes de si mesma; digo que as magnitudes AB, CD são incomensuráveis. Pois, se são comensuráveis, alguma m agnitude as medirá. Meça, se pos­ sível, e seja a E. E a AB, medindo exatamente a FD, reste a CF, menor do que aquela mesma, ao passo que a CF, medindo exatamente a BG, reste a AG, menor do que aquela mesma, e isso sempre aconteça, até que alguma m agnitude seja deixada, a qual é menor do que E. Aconteça, e fique deixada a AG menor do que a E. Como, de fato, a E mede a AB, mas a AB mede a DF, portanto, também a E medirá a FD. Mas também mede a CD toda; portanto, também medirá a CF restante. Mas a CF mede a BG; portanto, também a E mede a BG. Mas também mede a AB toda; portanto, também medirá a AG restante, a maior, a menor; o que é impossível. Portanto, ne­ nhuma m agnitude medirá as magnitudes AB, CD; portanto, as m agnitudes AB, CD são incomensuráveis. Portanto, caso de duas magnitudes desiguais, e as coisas seguintes.

3. D a d a s du as m a gn itu d es com en su rá veis, ach a r a m a io r m ed id a c o m u m delas. Sejam as duas magnitudes co m ensuráveis dadas AB, CD, das quais a AB é a menor; é preciso, então, achar a maior medida comum das AB, CD.

355

Euclides

Pois, a m agnitude AB ou mede a CD ou não. Se, de fato, mede, e mede também a si mesma, portanto, a AB é uma medida comum das AB, CD; e é evidente que é também a maior. Pois, uma maior do que a m agnitude AB não medirá a AB. A AB não meça, então, a CD. E, sendo subtraída sempre por sua vez a menor da maior, a restante medirá, alguma vez, a antes de si mesma pelo não serem incomensuráveis as AB, CD; e, por um lado, a AB, medindo exa­ tamente a ED, reste a EC, menor do que aquela mesma, e, por outro lado, a EC, medindo exatamente a FB, reste a AF, menor do que aquela mesma, e a AF meça a CE. Como, de fato, a AF mede a CE, mas a CE mede a FB, portanto, também a AF medirá a FB. Mas também mede a si mesma; portanto, a AF também medirá a AB toda. Mas a AB mede a DE; portanto, também a AF medirá a ED. Mas também mede a CE; portanto, também mede a CD toda; portanto, a AF é uma medida comum das AB, CD. Digo, então, que é também a maior. Pois se não, existirá alguma m agnitude maior do que a AF que medirá as AB, CD. Seja a G. Como, de fato, a G mede a AB, mas a AB mede a ED, portanto, também a G medirá a ED. E também mede a CD toda; portanto, a G também medirá a CE restante. Mas a CE mede a FB; portanto, também a G medirá a FB. Mas mede também a AB toda, e medirá a restante AF, a maior, a menor; o que é impossível. Portanto, nenhuma m agnitude maior do que a AF medirá as AB, CD; portanto, a AF é a maior medida comum das AB, CD. Portanto, dadas as duas magnitudes comensuráveis AB, CD, foi achada a maior medida comum; o que era preciso provar. C

o r o l á r io

Disso, então, é evidente que, caso uma magnitude meça duas magnitudes, também medirá a maior medida comum delas.

356

O s elementos

4. D a d a s três m a g n itu d es com en su rá veis, a ch a r a m a io r m ed id a c o m u m delas. A .___________ . g ,________ , Q ___________ p

Sejam as três magnitudes comensuráveis dadas A, B, C; é preciso, então, achar a maior medida comum das A, B, C.

Fique, pois, tomada a maior medida comum das A, B, e seja a D; a D, então, ou mede a C ou não Primeiramente, meça. Como, de fato, a D mede a C, e mede também as A, £

F

B, portanto, a D mede as A, B, C; portanto, a D é uma medida comum das A, B, C. E é evidente que também é a maior; pois, uma maior do que a D não mede as magnitudes A, B. A D não meça, então, a C. Digo, em primeiro lugar, que as C, D são co­ mensuráveis. Pois, como as A, B, C são comensuráveis, alguma m agnitude as medirá, a qual, claramente, também medirá as A, B; desse modo, também medirá a maior medida comum D das A, B. Mas também mede a C; desse modo, a dita m agnitude medirá as C, D; portanto, as C, D são comensurá­ veis. Fique tomada, de fato, a maior medida comum delas, e seja a E. Como, de fato, a E mede a D, mas a D mede as A, B, portanto, também a E medirá as A, B. E mede também a C. Portanto, a E mede as A, B, C; portanto, a E é uma medida comum das A, B, C. Digo, então, que é também a maior. Pois, se possível, seja a F alguma m agnitude maior do que a E, e meça as A, B, C. E, como a F mede as A, B, C, portanto, também medirá as A, B e medirá a maior medida comum das A, B. Mas a maior medida comum das A, B é a D; portanto, a F mede a D. E também mede a C; portanto, a F mede as C, D; portanto, a F também medirá a maior medida comum das C, D. Mas é a E; portanto, a F medirá a E, a maior, a menor; o que é impossível. Portanto, nenhuma [m agnitude] maior do que a E mede as m agnitudes A, B, C; portanto, a E é a maior medida comum das A, B, C, caso a D não meça a C, e, caso meça, a própria D. Portanto, dadas as três magnitudes comensuráveis, foi achada a maior medida comum [o que era preciso provar].

357

Euclides

C

o r o l á r io

Disso, então, é evidente que, caso uma magnitude meça três magnitudes, também medirá a maior medida comum delas. Do mesmo modo, então, também nas mais numerosas a maior medida comum será tomada, e o corolário terá lugar. O que era preciso provar.

5. As m a g n itu d es c o m en s u r á v e is têm en tre si u m a razão q u e u m n ú m ero , p a r a u m n ú m ero. Sejam as magnitudes comensuráveis A, B; digo que a A tem para B uma razão que um número, para um número. Pois, como as A, B são comensuráveis, algu-

. . ____ _ q ^

_E—

JL

ma m agnitude as medirá. Meça, e seja a C. E tantas vezes a C mede a A quantas unidades existam no D, e, tantas vezes quantas a C mede a B tantas unidades existam no E. Como, de fato, a C mede a A, segundo as unidades no D, e também a uni­ dade mede o D, segundo as unidades nele mesmo, portanto, a unidade mede o número D o mesmo número de vezes que a m agnitude C, a A; portanto, como a C está para a A, assim a unidade para o D; portanto, inversamente, como a A para a C, assim o D para a unidade. De novo, como a C mede a B, segundo as unidades no E, e também a unidade mede o E, segundo as unidades nele mesmo, portanto, tantas vezes a unidade mede o E quantas a C, a B; portanto, como a C está para a B, assim a unidade para o E. Mas foi provado também como a A para a C, o D para a unidade; portanto, por igual posto, como a A está para a B, assim o número D para o E. Portanto, as m agnitudes comensuráveis A, B têm entre si uma razão que o número D, para o número E; o que era preciso provar.

35á

O s elementos

6. C aso d u a s m a g n itu d es ten h am en tre si u m a razão q u e u m n ú m ero , p a r a u m n ú m ero , as m a g n itu d es serão com en su rá veis. A

B

C

Tenham, pois, as duas m agnitudes ^

A, B entre si uma razão que o núme­ ro D, para o número E; digo que as

" " ———" magnitudes A, B são comensuráveis. Pois, quantas são as unidades no D, em tantas iguais fique dividida a A, e seja a C igual a uma delas; e quantas são as unidades no E, de tantas m agnitudes iguais à C fique composta a F. Como, de fato, quantas são as unidades no D tantas são também as m agnitudes iguais à C na A, portanto, aquela parte que a unidade é do D, a mesma parte também a C é da A; portanto, como a C está para a A, assim a unidade para o D. E a unidade mede o número D; portanto, também a C mede a A. E, como a C está para a A, assim a unidade para o [número] D, portanto, inversamente, como a A para a C, assim o número D para a unidade. De novo, como quantas são as unidades no E tantas são também iguais à C na F, portanto, como a C está para a F, assim a unidade para o [número] E. Mas foi provado também como a A para a C, assim o D para a unidade; portanto, por igual posto, como a A está para a F, assim o D para o E. Mas, como o D para o E, assim a A para a B; portanto, também como a A para a B, assim também para a F. Portanto, a A tem para cada uma das B, F a mesma razão; portanto, a B é igual à F. Mas a C mede a F; portanto, também mede a B. M as, de fato, também a A; portanto, a C mede as A, B. Portanto, a A é comensurável com a B. Portanto, caso duas magnitudes entre si, e as coisas seguintes. C

o r o l á r io

Disso, então, é evidente que, caso existam dois números, como os D, E, e uma reta, como a A, é possível fazer como o número D para o número E, assim a reta para uma reta. E caso também seja tomada uma média em proporção entre as A, F, como a B, como a A estará para a F, assim o sobre

359

Euclides

a A para o sobre a B, isto é, como a p rim eira para a terceira, assim o sobre a p rim eira para o sobre a segunda, o sem elhante e sem elhantem ente descrito. M as, como a A para a F, assim o núm ero D está para o núm ero E; portanto, produziu-se tam bém como o núm ero D para o núm ero E, assim o sobre a reta A para o sobre a reta B; o que era preciso provar.

7. As m a g n itu d es in co m e n su r á v eis não têm en tre si u m a razão q u e u m n ú m ero , p a r a u m n ú m ero. Sejam as m agnitudes incom ensuráveis A, B; digo que a A não

A

tem para a B um a razão que um núm ero, para um núm ero.

g

Pois, se a A tem para a B um a razão que um núm ero, para um núm ero, a A será com ensurável com a B. E não é; portanto, a A não tem para a B um a razão que um núm ero, para um núm ero. Portanto, as m agnitudes incom ensuráveis não têm entre si um a razão, e as coisas seguintes.

8. C aso d u as m a g n itu d es não tenh am en tre si u m a razão q u e u m n ú m ero p a r a u m n ú m ero , as m a g n itu d es serão in com en su rá veis. N ão tenham , pois, as duas m agnitudes A, B entre si um a razão

^

que um núm ero, para um núm ero; digo que as m agnitudes A, B

g

são incom ensuráveis.

"

"

Pois, se forem com ensuráveis, a A terá para a B um a razão que um núm ero, para um núm ero. E não tem. Portanto, as m agnitudes A, B são incom ensuráveis. Portanto, caso duas m agnitudes entre si, e as coisas seguintes.

360

O s elem entos

9. O s q u a d ra d o s sobre as retas co m en s u r á v e is em co m p r im en to têm en tre si u m a razão q u e u m n ú m ero qua drado, p a r a u m n ú m e r o q u a d ra d o ; e os q u a d ra d o s q u e têm en tre si u m a razão q u e u m n ú m e r o qua drado, p a r a u m n ú m e r o qua drado, ta m b ém terão os la d os c o m en s u r á v e is em com p rim en to. E os q u a d ra d o s sobre as retas in c o m e n su r á v eis em co m p rim en to não têm en tre si u m a razão q u e u m n ú m ero qua drado, p a r a u m n ú m ero q u a d ra d o ; e os q u a d ra d o s q u e não têm en tre si u m a razão q u e u m n ú m ero qua drado, p a r a u m n ú m e r o qua drado, n em terão os la d os co m en s u r á v e is em com p rim en to. A

B

Sejam , pois, as A, B com ensuráveis em com pri­ m ento; digo que o quadrado sobre a A tem para

■

"

—

o quadrado sobre a B um a razão que um número quadr ado, para um núm ero quadrado.

Pois, como a A é com ensurável com a B em com prim ento, portanto, a A tem para a B um a razão que um núm ero, para um núm ero. Tenha a que o C, para o D. Com o, de fato, a A está para a B, assim o C para o D, mas a do quadrado sobre a A para o quadrado sobre a B é o dobro da razão da A para a B; pois as figuras sem elhantes estão na razão dupla da dos lados hom ólogos; enquanto a do quadrado sobre o C para o quadrado sobre o D é o dobro da razão do [núm ero] C para o [núm ero] D; pois, existe um núm ero m édio, em proporção, entre dois núm eros quadrados, e o quadrado para o [núm ero] quadrado tem um a razão dupla da que o lado para o lado; portanto, tam bém como o quadrado sobre a A está para o quadrado sobre a B, assim o [núm ero] quadrado sobre o C para o [núm ero]quadrado sobre o [núm ero] D. M as, então, como o quadrado sobre a A esteja para o sobre a B, assim o quadrado sobre o C para o [quadrado] sobre o D; digo que a A é com en­ surável com a B em com prim ento. Pois, como o quadrado sobre a A está para o [quadrado] sobre a B, assim o quadrado sobre o C para o quadrado sobre o D, mas a razão do quadrado sobre a A para o [quadrado] sobre a B é o dobro da razão da A para a B,

3 61

Euclides

ao passo que a razão do [núm ero] quadrado sobre o [núm ero] C para o [núm ero] quadrado sobre o [núm ero] D é o dobro da razão do [núm ero] C para o [núm ero] D, portanto, tam bém como a A está para a B, assim o [núm ero] C para o [núm ero] D. Portanto, a A tem para a B um a razão que o núm ero C, para o número D; portanto, a A é com ensurável com a B em com prim ento. M as, então, seja a A incom ensurável com a B em com prim ento; digo que o quadrado sobre a A para o [quadrado] sobre a B não tem um a razão que o núm ero quadrado, para o núm ero quadrado. Pois, se o quadrado sobre a A tem para o [quadrado] sobre a B um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, a A será com ensurável com a B. E não é; portanto, o quadrado sobre a A não tem para o quadrado sobre a B um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. De novo, então, o quadrado sobre a A não tenha para o [quadrado] sobre a B um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; digo que a A é incom ensurável com a B em com prim ento. Pois se, se a A é com ensurável com a B, o sobre a A terá para o sobre a B um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. E não tem ; portanto, a A não é com ensurável com a B em com prim ento. Portanto, os sobre as com ensuráveis em com prim ento, e as coisas se­ guintes. C

o r o l á r io

E, das coisas provadas, será evidente que as com ensuráveis em com pri­ m ento tam bém são, em todos os casos, em potência, mas as em potência não são tam bém , em todos os casos, em com prim ento. [Se realm ente os quadrados sobre as retas com ensuráveis em com prim ento têm um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, e os que têm um a razão que um núm ero, para um núm ero, são com ensuráveis. Desse modo, as retas com ensuráveis em com prim ento não [são] som ente com ensuráveis em com prim ento, mas tam bém em potência. De novo, como quantos quadrados têm entre si um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, foram provados com ensu36 2

O s elem entos

ráveis em com prim ento, sendo tam bém com ensuráveis em potência, pelo terem os quadrados um a razão que um núm ero, para um número, portanto, quantos quadrados não têm um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, mas sim plesm ente que um núm ero, para um núm ero, os mesmos quadrados serão, por um lado, com ensuráveis em potência e, por outro lado, não m ais tam bém em com prim ento; desse modo, por um lado, os com ensuráveis em com prim ento são tam bém , em todos os casos, em potência, e, por outro lado, os em potência não são tam bém , em todos os casos, em com prim ento, se não tiverem tam bém um a razão que os números quadrados, para os núm eros quadrados. D igo, então, que [tam bém ] as incom ensuráveis em com prim ento não são, em todos os casos, tam bém em potência, porque as com ensuráveis em potência não podem ter um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado, e por isso, sendo com ensuráveis em potência, são incom ensuráveis em com prim ento. Desse modo, as incom ensuráveis em com prim ento não são, em todos os casos, tam bém em potência, mas p o ­ dem, sendo incom ensuráveis em com prim ento, ser tanto incom ensuráveis quanto com ensuráveis em potência. E as incom ensuráveis em potência são, em todos os casos, tam bém incom ensuráveis em com prim ento; pois, se [são] com ensuráveis em com ­ prim ento, serão tam bém com ensuráveis em potência. E foram supostas tam bém incom ensuráveis; o que é absurdo. Portanto, as incom ensuráveis em potência são, em todos os casos, tam bém em com prim ento.] L ema

Foi provado nos relativos à aritm ética, que os núm eros planos sem e­ lhantes têm entre si um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado, e que, caso dois núm eros tenham entre si um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, são planos sem elhantes. E disso é m anifesto que os núm eros planos não sem elhantes, isto é, os que não têm os lados em proporção, não têm entre si um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado. Pois, se tiverem , serão planos sem e­ lhantes; o que não foi suposto. Portanto, os planos não sem elhantes não têm entre si um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. 3 63

Euclides

10. A char d u as retas in c o m e n su r á v eis co m a reta p rop o sta , u m a so m en te em co m p rim en to , a o u tra ta m b ém em potên cia . Seja a reta proposta A; é preciso, então, achar duas

.________. A

retas incom ensuráveis com a A, um a som ente em

g ______________ _

com prim ento, a o utra tam bém em potência.

^

Fiquem , pois, expostos os dois núm eros B, C, não tendo entre si um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, isto é, não planos sem e­ lhantes, e fique produzido como o B para o C assim o quadrado sobre a A para o quadrado sobre a D; pois aprendem os; portanto, o sobre a A é com ensurável com o sobre a D. E como o B não tem para o C um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre a A tem para o sobre a D um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a A é incom ensurável em com prim ento com a D. Fique tom ada a E, m édia em proporção, entre as A, D; portanto, como a A está para a D, assim o quadrado sobre a A para o sobre a E. M as a A é incom ensurável em com prim ento com a D; portanto, tam bém o qua­ drado sobre a A é incom ensurável com o quadrado sobre a E; portanto, a A é incom ensurável em potência com a E. Portanto, foram achadas as duas retas D, E incom ensuráveis com a reta proposta A, a D som ente em com prim ento, enquanto a E claram ente em potência e tam bém em com prim ento [o que era preciso provar].

11. C a so q u a tro m a g n itu d es esteja m em p r o p o rçã o , e a p r im e ir a seja c o m e n s u r á v e l co m a segu n da, ta m b ém a terceira será c o m e n s u r á v e l co m a q u a rta ; e, caso a p r im e ir a seja in c o m e n s u r á v e l co m a segu n da, tam bém a terceira será in c o m e n s u r á v e l com a quarta. Sejam as quatro m agn itu d es em proporção A, B, C, D, como a A para 3 64

^

®■

0 _________ _

q ______ _

'

O s elem entos

a B, assim a C para a D, e a A seja com ensurável com a B; digo que tam bém a C será com ensurável com a D. Pois, como a A é com ensurável com a B, portanto, a A tem para a B um a razão que um núm ero, para um núm ero. E, como a A está para a B, assim a C para a D; portanto, tam bém a C tem para a D um a razão que um número, para um núm ero; portanto, a C é com ensurável com a D. M as, então, seja a A incom ensurável com a B; digo que tam bém a C será incom ensurável com a D. Pois, como a A é incom ensurável com a B, portanto, a A não tem para a B um a razão que um núm ero, para um n ú ­ mero. E, como a A está para a B, assim a C para a D; portanto, nem a C tem para a D um a razão que um núm ero, para um núm ero; portanto, a C é incom ensurável com a D. Portanto, caso quatro m agnitudes, e as coisas seguintes.

12. As c o m en s u r á v e is co m u m a m esm a m a g n it u d e ta m b ém são co m en s u r á v e is en tre si. __ ,

B ._________ .

D

Seja, pois, cada um a das A, B com ensurável com a C. D igo

_F

^ F

— G

.

que também a A é comensurável com a B.

. I

■--------- J

Pois, como a A é com ensu­ rável com a C, po rtan to , a A

tem para a C um a razão que um núm ero, para um núm ero. Tenha a que o D, para o E. De novo, como a C é com ensurável com a B, portanto, a C tem para a B um a razão que um núm ero, para um núm ero. Tenha a que o F, para o G. E, tendo sido dadas razões, quantas quer que sejam , tanto a que o D tem para o E quanto a que o F, para o G, fiquem tom ados os núm eros H , I, J, em sequência, nas razões dadas; de modo a, por um lado, como o D estar para o E, assim o H para o I, e, por outro lado, como o F para o G, assim o I para o J. 3 65

Euclides

Com o, de fato, a A está para a C, assim o D para o E, mas, como o D para o E, assim o H para o I, portanto, tam bém como a A para a C, assim o H para o I. De novo, como a C está para a B, assim o F para o G, mas como o F para o G, [assim ] o I para o J, portanto, tam bém como a C para a B, assim o I para o J. M as tam bém como a A está para a C, assim o H para o I; portanto, por igual posto, como a A está para a B, assim o H para o J. Portanto, a A tem para a B um a razão que o núm ero H, para o núm ero J; portanto, a A é com ensurável com a B. Portanto, as com ensuráveis com a m esm a m agnitude tam bém são co­ m ensuráveis entre si; o que era preciso provar.

13. C aso d u a s m a g n itu d es seja m com en su rá veis, e u m a delas seja in c o m e n s u r á v e l com a lg u m a m a gn itu d e, ta m b ém a resta n te será in c o m e n s u r á v e l co m a m esm a. Sejam as duas m agnitudes com ensuráveis A, B,

A

e um a delas, a A, seja incom ensurável com algum a

^

outra, a C; digo que tam bém a restante B é incom en­ surável com a C. Pois, se a B é com ensurável com a C, mas tam bém a A é com ensurável com a B, portanto, tam bém a A é com ensurável com a C. M as tam bém é incom ensurável; o que é im possível. Portanto, a B não é com ensurável com a C; portanto, é incom ensurável. Portanto, caso duas magnitudes sejam comensuráveis, e as coisas seguintes. L ema

T endo sid o dadas d u a s retas desiguais, a ch a r p o r q u a l a m a io r é m a i o r em p o tên c ia do q u e a menor. Sejam as duas retas desiguais dadas AB, C das quais a AB é a m aior; é preciso, então, achar por qual a AB é m aior em potência do que a C. 3

66

O s elem entos

Fique descrito o sem icírculo A D C na AB, e fique ajustada nele a AD igual à C, e fique ligada a DB. É evidente, então, que o ângulo sob ADB é reto, e que a AB é m aior em potência do que a AD, isto é, a C pela DB. E do mesmo modo, tam bém , tendo sido dadas duas retas, a capaz de produzi-las é achada assim. Sejam as duas retas dadas AD, DB, e seja preciso achar a capaz de produzi-las. Fiquem , pois, postas de modo a conterem o ângulo sob AD, DB, reto, e fique ligada a AB; de novo, é evidente que a capaz de produzir as AD, DB, é a AB; o que era preciso provar.

14. C a so q u a tro retas esteja m em p r o p o rçã o , e a p r im e ir a seja m a i o r em p o tê n c ia do q u e a seg u n d a p e lo sobre u m a c o m e n s u r á v e l co m aquela m es m a [ e m co m p rim en to ] , ta m b ém a terceira será m a i o r em p o tên c ia do q u e a q u a rta p e lo sobre u m a co m en s u r á v e l co m aquela m esm a [ e m co m p rim en to ] . E, caso a p r im e ir a seja m a i o r em p o tên cia do q u e a segu n d a p e lo so b re u m a in c o m e n su r á v el co m a q u ela m esm a [ e m co m p rim en to ] , ta m b ém a terceira será m a io r em p o tên c ia do q u e a q u a rta p e lo sobre u m a in c o m e n su r á v el co m aquela m esm a [ e m co m p rim en to ] . Estejam as quatro retas A, B, C, D em propor­ ção, como a A para a B, assim a C para a D, e seja, por um lado, a A m aior em potência do que a B pelo sobre a E, e seja, por outro lado, a C m aior em potência do que a D pelo sobre a F; digo que tanto se a A é com ensurável com a E, tam bém a C A

B

é com ensurável com a F quanto se a A é incom en­ surável com a E, tam bém a C é incom ensurável com a F.

Pois, como a A está para a B, assim a C para a D, portanto, tam bém como o sobre a A está para o sobre a B, assim o sobre a C para o sobre a D. M as, por um lado, os sobre as E, B são iguais ao sobre a A, e, por outro lado, os sobre as D, F são iguais ao sobre a C. Portanto, como os sobre as E, B 3 67

Euclides

estão para o sobre a B, assim os sobre as D, F para o sobre a D; portanto, por separação, como o sobre a E está para o sobre a B, assim o sobre a F para o sobre a D; portanto, tam bém como a E está para a B, assim a F para a D; portanto, inversam ente, como a B está para a E, assim a D para a F. M as tam bém como a A está para a B, assim a C para a D; portanto, por igual posto, como a A está para a E, assim a C para a F. Se, por um lado, de fato, a A é com ensurável com a E, tam bém a C é com ensurável com a F e, por outro lado, se a A é incom ensurável com a E, tam bém a C é in co ­ m ensurável com a F. Portanto, caso, e coisas seguintes.

15. C aso d u a s m a g n itu d es c o m en s u r á v e is seja m com p osta s, ta m b ém a toda será c o m e n s u r á v e l co m cada u m a delas; e, caso a toda seja c o m en s u r á v e l c o m u m a delas, ta m b ém as m a g n itu d es do p r in cíp io serão com en su rá veis. Fiquem , pois, com postas as duas m ag-

^ _______________________

nitudes com ensuráveis AB, BC; digo que

q

B

tam bém a toda AC é com ensurável com cada um a das AB, BC.

"

"

Pois, como as AB, BC são com ensuráveis, algum a m agnitude as m edirá. M eça, e seja a D. Com o, de fato, a D mede as AB, BC, tam bém m edirá a toda AC. M as, tam bém mede as AB, BC. Portanto, a D mede as AB, BC, AC; portanto, a AC é com ensurável com cada um a das AB, BC. M as, então, seja a AC com ensurável com a AB; digo, então, que tam bém as AB, BC são com ensuráveis. Pois, como as AC, AB são com ensuráveis, algum a m agnitude as m edirá. M eça, e seja a D. Com o, de fato, a D mede as CA, AB, tam bém m edirá a restante BC. M as tam bém mede a AB; portanto, a D m edirá as AB, BC; portanto, as AB, BC são com ensuráveis. Portanto, caso duas m agnitudes, e as coisas seguintes.

368

O s elem entos

16. C aso d u as m a g n itu d es in co m e n su r á v eis seja m com postas, tam bém a toda será in c o m e n s u r á v e l com cada u m a delas; e, caso a toda seja in c o m e n su r á v el co m u m a delas, ta m b ém as m a g n itu d es do p r in c íp io serão in com en su rá veis. F iquem , p o is, com postas as duas m ag n itu d es A

B

C

incom ensuráveis AB, BC; digo que a toda AC é in co ­ m ensurável com cada um a das AB, BC.

"

q

"

Pois, se as CA, AB não são incom ensuráveis, alg u ­ ma m agnitude [as] m edirá. M eça, se possível, e seja a

D. Com o, de fato, D mede as CA, AB, portanto, tam bém m edirá a restante BC. M as tam bém mede a AB; portanto, a D mede as AB, BC. Portanto, as AB, BC são com ensuráveis; e também eram supostas incom ensuráveis; o que não é possível. Portanto, nenhum a m agnitude m edirá as CA, AB; portanto, as CA, AB são incom ensuráveis. Do mesm o modo, então, provaremos que tam bém as AC, CB são incom ensuráveis. Portanto, a AC é incom ensurável com cada um a das AB, BC. M as, então, seja a AC incom ensurável com um a das AB, BC. Seja, então, prim eiram ente, com a AB; digo que também as AB, BC são incomensuráveis. Pois, se forem com ensuráveis, algum a m agnitude as m edirá. M eça, e seja a D. Com o, de fato, a D mede as AB, BC, portanto, m edirá a toda AC. M as tam bém mede a AB; portanto, a D mede as CA, AB. Portanto, as CA, AB são com ensuráveis; M as eram supostas tam bém incom ensuráveis; o que é im possível. Portanto, nenhum a m agnitude m edirá as AB, BC; portanto, as AB, BC são incom ensuráveis. Portanto, caso duas m agnitudes, e as coisas seguintes.

3 69

Euclides

L ema

C aso u m p a r a le lo g r a m o seja ap lica d o a a lg u m a reta, d eficiente p o r u m a f i g u r a q u adrada, o ap lica d o é igu a l ao p e lo s seg m en to s da reta p ro d u z id o s p e la aplicação. Fique, pois, aplicado à reta AB o paralelogram o AD, deficiente pela figura quadrada DB; digo que o AD é igual ao pelas AC, CB. E é evidente por si mesm o. Pois, como o DB é um

C

B

quadrado, a D C é igual à CB, e o AD é o pelas AC, CD, isto é, o pelas AC, CB. Portanto, caso algum a reta, e as coisas seguintes.

17. C aso d u a s retas seja m desiguais, e à m a i o r seja ap lica d o u m ig u a l à q u a rta p a r t e do sobre a menor, d eficiente p o r u m a f i g u r a q u adrada, e d iv id a -a em c o m en s u r á v e is em com p rim en to , a m a i o r será m a i o r em p o tê n c ia do q u e a m e n o r p e lo so b re u m a c o m e n s u r á v e l com aquela m esm a [ e m co m p rim en to ] . E, caso a m a i o r seja m a i o r em p o tê n c ia do q u e a m e n o r p elo so b re u m a c o m e n s u r á v e l co m aquela m esm a [ e m c o m p r im e n to ] e à m a i o r seja ap lica d o u m ig u a l à q u a rta p a r t e do sobre a menor, deficiente p o r u m a f i g u r a q u adrada, d iv id e-a em c o m en s u r á v e is em com p rim en to. Sejam as retas desiguais A, BC, das quais a BC é a maior, e fique aplicado à BC um igual à quarta parte do sobre a menor A, isto é, ao sobre a metade da A, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas BD, D C, e seja a BD com ensurável com a DC em com prim ento; digo que

DC

a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. Fique, pois, cortada a BC em duas, no ponto E, e fique posta a EF igual à DE. Portanto, a restante D C é igual à BF. E, como a reta BC foi cortada, por 37o

O s elem entos

um lado, em iguais, no E, e, por outro lado, em desiguais, no D, portanto, o retângulo contido pelas BD, D C, junto com o quadrado sobre a ED, é igual ao quadrado sobre a EC; tam bém os quádruplos; portanto, quatro vezes o contido pelas BD, D C, junto com o quádruplo do sobre a DE, é igual a quatro vezes o quadrado sobre a EC. M as, por um lado, o quadrado sobre a A é igual ao quádruplo do pelas BD, D C, e, por outro lado, o quadrado sobre a DF é igual ao quádruplo do sobre a DE; pois, a DF é o dobro da DE. M as o quadrado sobre a BC é igual ao quádruplo do sobre a EC; pois, de novo, a BC é o dobro da CE. Portanto, os quadrados sobre as A, DF são iguais ao quadrado sobre a BC; desse modo, o sobre a BC é m aior do que o sobre a A pelo sobre a DF; portanto, a BC é m aior em potência do que a A pela DF. Deve-se provar que tam bém a BC é com ensurável com a DF. Pois, como a BD é com ensurável com a D C em com prim ento, portanto, tam bém a BC é com ensurável com a CD em com prim ento. M as a CD é com ensurável com as CD , BF em com prim ento; pois, a CD é igual a BF. Portanto, tam bém a BC é com ensurável com as BF, CD em com prim ento; desse modo, tam bém a BC é com ensurável com a restante FD em com ­ prim ento; portanto, a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. M as, então, seja a BC m aior em potência do que a A pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a, e fique aplicado à BC um igual a um quarto do sobre a A, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas BD, D C. Deve-se provar que a BD é com ensurável com a DC em com prim ento. Pois, tendo sido construídas as mesmas coisas, do mesmo modo p ro ­ varemos que a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre a FD. M as a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. Portanto, a BC é com ensurável com a FD em com prim ento; desse modo, tam bém a BC é com ensurável com a restante a BF junto com a D C, em com prim ento. M as a BF junto com a D C é com ensurável com a D C, [em com prim ento]. Desse modo, tam bém a BC é com ensurável com a CD em com prim ento. Portanto, por separação, tam bém a BD é com en­ surável com a D C em com prim ento. Portanto, caso duas retas sejam desiguais, e as coisas seguintes.

3 7

1

Euclides

18. C aso d u a s retas seja m desiguais, e seja ap licado à m a i o r u m ig u a l à q u a rta p a r t e do sobre a menor, d eficiente p o r u m a f i g u r a q u adrada, e d iv id a - a em in co m e n su r á v eis [ e m co m p r im en to ], a m a i o r será m a io r em p o tên c ia do q u e a m e n o r p e lo sobre u m a in c o m e n s u r á v e l com aquela m esm a. E, caso a m a i o r seja m a i o r em p o tên cia do q u e a m e n o r p e lo sobre u m a in c o m e n s u r á v e l com aquela m esm a, e seja ap lica d o à m a i o r u m igu a l à q u a rta p a r t e do sobre a menor, d eficiente p o r u m a f i g u r a quadrada, d iv id e-a em in co m e n su r á v eis [ e m co m p r im en to ]. Sejam as duas retas desiguais A, BC, das quais a BC é

A

a maior, e fique aplicado à BC um igual à quarta [parte] do sobre a A, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas BDC, e seja a BD incom ensurável com a DC em

B

F

E

D

C

com prim ento; digo que a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. Pois, tendo sido construídas as mesmas coisas que antes, do mesmo modo provaremos que a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre a FD. Deve-se provar, [de fato ], que a BC é incom ensurável com a DF em com ­ prim ento. Pois, como a BD é incom ensurável com a D C em com prim ento, portanto, também a BC é incom ensurável com a CD em com prim ento. M as a D C é com ensurável com as duas conjuntas BF, D C; portanto, tam bém a BC é incom ensurável com as duas conjuntas BF, D C. D esse modo, tam ­ bém a BC é incom ensurável com a restante FD em com prim ento. E a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre a FD; portanto, a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. Seja, então, de novo, a BC m aior em potência do que a A pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a, e fique aplicado à BC um igual à quarta parte do sobre a A, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas BD, D C. Deve-se provar que a BD é incom ensurável com a D C em com prim ento. Pois, tendo sido construídas as mesm as coisas, do mesmo modo p ro ­ varemos que a BC é m aior em potência do que a A pelo sobre a FD. M as a 37

2

O s elem entos

BC é m aior em potência do que a A pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a. Portanto, a BC é incom ensurável com a FD em com prim en­ to; portanto, tam bém a BC é incom ensurável com a D C em com prim ento; desse modo, tam bém a BC é incom ensurável com a restante, a BF junto com a D C. M as a BF junto com a D C é com ensurável com a D C em com ­ prim ento; desse modo, por separação, tam bém a BC é incom ensurável com a DC em com prim ento. Portanto, caso duas retas sejam , e as coisas seguintes. L ema

Com o foi provado que as com ensuráveis em com prim ento, tam bém , em todos os casos, [são com ensuráveis] em potência, mas as em potência não são, em todos os casos, tam bém em com prim ento, mas, então, podem ser com ensuráveis ou incom ensuráveis em com prim ento, é evidente que, caso algum a seja com ensurável em com prim ento com a racional exposta, é dita racional e com ensurável com ela não som ente em com prim ento, mas tam bém em potência, visto que as com ensuráveis em com prim ento são, em todos os casos, tam bém em potência. E, caso algum a seja com ensurável em potência com a racional exposta, se, por um lado, também em com prim ento, é dita, tam bém assim , racional e com ensurável com ela em com prim ento e em potência; e se, por um lado, algum a sendo, de novo, com ensurável em potência com a racional exposta, seja incom ensurável com ela em com pri­ m ento, é d ita tam bém assim racional com ensurável som ente em potência.

19. O retâ n g u lo con tid o p o r retas ra cio n a is c o m en s u r á v e is em com p rim en to, seg u n d o a lg u m dos m o d o s preditos, é racional. Seja, pois, o retângulo AC contido pelas retas racionais com ensuráveis em com prim ento AB, BC; digo que o AC é racional. Fique, pois, descrito o quadrado AD sobre a AB; por­ tanto, o AD é racional. E, como a AB é com ensurável com 373

Euclides

a BC em com prim ento, e a AB é igual à BD, portanto, a BD é com ensurável com a BC em com prim ento. E, como a BD está para a BC, assim o DA para o AC. Portanto, o DA é com ensurável com o AC. M as o DA é racional; portanto, tam bém o AC é racional. Portanto, o pelas racionais com ensuráveis em com prim ento, e as coisas seguintes.

20. C aso u m ra cio n a l seja ap licado a u m a ra cion al, f a z co m o la rg u ra u m a ra cio n a l e c o m e n s u r á v e l em co m p r im en to com aquela a q u e f o i aplicado. Fique, pois, aplicado o racional AC à racional AB, segun-

D -------- ■

do, de novo, algum dos modos preditos, fazendo a BC como largura; digo que a BC é racional e com ensurável com a BA

"A

^ "

em com prim ento. Fique, pois, descrito o quadrado AD sobre a AB; portan-

^ ^

^

to, o AD é racional. M as tam bém o AC é racional; portanto, o DA é com ensurável com o AC. E, como o DA está para o AC, assim a DB para a BC. Portanto, tam bém a DB é com ensurável com a BC; M as a DB é igual à BA; portanto, tam bém a AB é com ensurável com a BC. M as a AB é racional; portanto, tam bém a BC é racional e com ensurável com a AB em com prim ento. Portanto, caso um racional seja aplicado a uma racional, e as coisas seguintes.

21. O retâ n g u lo con tid o p o r retas ra cion ais, co m en s u r á v e is so m en te em p o tên cia , é irracion a l, e a q u e s er v e p a r a p r o d u z i-lo é irra cion a l, e seja ch a m a d a m edial. Seja, pois, contido o retângulo AC pelas retas AB, BC racionais, com en­ suráveis som ente em potência; digo que o AC é irracional, e a que serve para p roduzi-lo é irracional, e seja cham ada m edial. 374

O s elem entos

Fique, pois, descrito o quadrado AD sobre a AB; portanto, o AD é racional. E, como a AB é incom ensurável com a BC em com prim ento; pois, foram supostas com ensuráveis som ente em potência; mas a AB é igual à BD, portanto, tam bém a DB é incom ensurável com a BC em com prim ento. E, como a DB está para a BC, assim o AD para o AC; portanto, o DA [é] incom ensurável com o AC. M as o DA é racional; portanto, o AC é irracional; desse modo, tam bém a que serve para produzir o AC [isto é, a que serve para produzir um quadrado igual a ele] é irracional, e seja cham ada m edial; o que era preciso provar. L ema

C aso ex istam d u a s retas, co m o a p r im e ir a está p a r a a segu n da, assim o sobre a p r im e ir a p a r a o p e la s du as retas. Sejam as duas retas FE, EG. D igo que como a FE está para a EG, assim o sobre a FE para o pelas FE, EG. Fique, pois, descrito o quadrado DF sobre a FE, e fique com pletado o GD. Com o, de fato, a FE está para a EG, assim o FD para o DG, e, por um lado, o FD é o sobre a FE, e, por outro lado, o DG é o pelas DE, EG, isto é, o pelas FE, EG, portanto, como a FE está para a EG, assim o sobre a FE para o pelas FE, EG. E do mesmo modo, tam bém como o pelas GE, EF para o sobre a EF, isto é, como o GD para o FD, assim a GE para a EF; o que era pre­ ciso provar.

22. O sobre u m a m edial, a p licado a u m a ra cion al, f a ^ c o m o la rg u ra u m a ra cio n a l e in c o m e n s u r á v e l co m aq u ela a q u e f o i aplicado, em com p rim en to. Sejam , por um lado, a m edial A, e, por outro lado, a racional CB, e fi­ que aplicada à BC a área retangular BD igual ao sobre a A, fazendo a CD como com prim ento; digo que a CD é racional e incom ensurável com a CB, em com prim ento. 375

Euclides

Pois, como a A é m edial, serve para produzir

1

um a área contida por racionais com ensuráveis som ente em potência. S irv a para produzir o GF. M as serve para produzir também o BD; portanto,

A

o BD é igual ao GF. M as é tam bém equiângulo com ele; mas, dos paralelogram os tanto iguais quanto equiângulos, os lados ao redor dos ângulos iguais são reciprocam ente proporcionais; portanto, em proporção, como a BC está para a EG, assim a EF para a CD . Portanto, tam bém como o sobre a BC está para o sobre a EG, assim o sobre a EF para o sobre a CD . M as o sobre a CB é com ensurável com o sobre a EG; pois, cada um deles é racional; portanto, tam bém o sobre a EF é com ensurável com o sobre a CD . M as o sobre a EF é racional; portanto, tam bém o sobre a CD é racional; portanto, a CD é racional. E, como a EF é incom ensurável com a EG em com prim ento; pois são com ensuráveis som ente em potência; e, como a EF para a EG, assim o sobre a EF para o pelas FE, EG, portanto, o sobre a EF [é] incom ensurável com o pelas FE, EG. M as o sobre a CD é com ensurável, por um lado, com o sobre a EF; pois são racionais em potência; e, por outro lado, o pelas AC, CB é com ensurável com o pelas FE, EG; pois são iguais ao sobre a A; portanto, tam bém o sobre a CD é incom ensurável com o pelas D C, CB. E, como o sobre a CD para o pelas D C, CB, assim a D C está para a CB; portanto, a D C é incom ensurável com a CB em com prim ento. Portanto, a CD é racional e incom ensurável com a CB em com prim ento; o que era preciso provar.

23. A co m e n s u r á v e l co m a m ed ia l é u m a m edial. S eja a m edial A, e seja a B com ensurável com a A; digo

A

que tam bém a B é m edial.

B •% J

Fique, pois, exposta a racional CD , e fique aplicada, por um lado, à CD a área retangular CE igual ao sobre a A, fazendo a ED como largura; portanto, a ED é ra­ cional e incom ensurável com a CD , em com prim ento. 37

6

\

D

O s elem entos

E fique, por outro lado, aplicada à CD a área retangular CF igual ao sobre a B, fazendo a DF como largura. Com o, de fato, a A é com ensurável com a B, tam bém o sobre a A é com ensurável com o sobre a B. M as, por um lado, o EC é igual ao sobre a A, e, por outro lado, o CF é igual ao sobre a B; portanto, o EC é com ensurável com o CF. E, como o EC está para o CF, assim a ED para a DF; portanto, a ED é com ensurável com a DF em com prim ento. M as a ED é racional e incom ensurável com a DC em com pri­ m ento; portanto, tam bém a DF é racional e incom ensurável com a D C em com prim ento; portanto, as CD , DF são racionais, com ensuráveis som ente em potência. M as a que serve para produzir o pelas racionais com ensuráveis som ente em potência é um a m edial. Portanto, a que serve para produzir o pelas CD , DF é um a m edial; e a B serve para produzir o pelas CD , DF; portanto, a B é um a m edial. C

o r o l á r io

D isso, então, é evidente, que o com ensurável com a área m edial é m edial. [Pois, as retas que servem para produzi-los são as com ensuráveis em p o ­ tência, das quais um a é m edial; desse modo, tam bém a restante é m edial.] E do mesmo modo que nas coisas ditas sobre as racionais e sobre as m ediais, segue a com ensurável com a m edial em com prim ento ser dita m e­ dial e com ensurável com ela não som ente em com prim ento, mas tam bém em potência, porque, em geral, as com ensuráveis em com prim ento são, em todos os casos, também em potência. E, caso algum a seja com ensurável com a m edial em potência, se, por um lado, tam bém em com prim ento, são ditas tam bém assim m ediais e com ensuráveis em com prim ento e em potência, e se, por outro lado, som ente em potência, são ditas m ediais com ensuráveis som ente em potência.

24. O retâ n g u lo con tid o p o r retas m ed ia is c o m en s u r á v e is em com p rim en to , seg u n d o a lg u m dos m o d o s ditos, é m edial. Seja, pois, contido o retângulo AC pelas retas m ediais com ensuráveis em com prim ento AB, BC; digo que o AC é m edial. 377

Euclides

Fique, pois, descrito o quadrado AD sobre a AB; portanto, o AD é m edial. E, como a AB é com ensurável com a BC, mas a AB é igual à BD, portanto, tam bém a DB é com ensurável com a BC em com prim ento; desse modo, tam bém o DA é com ensurável com o AC. M as o DA é m edial; portanto, tam ­ bém o AC é m edial; o que era preciso provar.

25. O retâ n g u lo con tid o p o r retas m ed ia is c o m en s u r á v e is so m en te em p o tên cia é o u ra cio n a l o u m edial. Seja, pois, contido o retângulo AC pelas retas m ediais AB, BC, com ensuráveis som ente em potência; digo que o AC é ou racional ou m edial.

B

BE sobre as AB, BC; portanto, cada um dos

N

LU

Fiquem , pois, descritos os quadrados AD,

C

H

L

1 M J

AD, BE é m edial. E fique exposta a FG racio ­ nal, e, por um lado, fique aplicado à FG o paralelogram o retangular GH, igual ao AD, fazendo a FH como largura, e, por outro lado, fique aplicado à H L o paralelogram o retangular LI, igual ao AC, fazendo a H I como largura, e ainda, sim ilarm ente, fique aplicado à IM o M J, igual ao BE, fazendo a IJ como largura; portanto, as FH, H I, IJ estão sobre um a reta. Com o, de fato, cada um dos AD, BE é m edial, e, por um lado, o AD é igual ao GH, e, por outro lado, o BE, ao M J, portanto, tam bém cada um dos GH, M J é m edial. E foi aplicado à racional FG; portanto, cada um a das FH , IJ é racional e incom ensurável com a FG em com prim ento. E, como o AD é com ensurável com o BE, portanto, tam bém o GH é com ensurável com o M J. E, como o GH está para o M J, assim a FH para a IJ; portanto, a FH é com ensurável com a IJ em com prim ento. Portanto, as FH, IJ são racionais, com ensuráveis em com prim ento; portanto, o pelas FH, IJ é racional. E, como a DB é igual à BA, enquanto NB, à BC, portanto, como a DB está para a BC, assim a AB para a BN. M as, por um lado, como a DB para a BC, assim o DA para o AC; 37

8

O s elem entos

e, por outro lado, como a AB para a BN, assim o AC para o C N ; portanto, como o DA está para o AC, assim o AC para o CN . M as o AD é igual ao GH, ao passo que o AC, ao LI, e o CN , ao M J; portanto, como o GH está para o LI, assim o LI para o M J; portanto, tam bém como a FH está para a HI, assim a H I para a IJ; portanto, o pelas FH , IJ é igual ao sobre a HI. M as o pelas FH , IJ é racional; portanto, tam bém o sobre a H I é racional; portanto, a H I é racional. E, por um lado, se é com ensurável com a FG em com prim ento, o H M é racional; e, por outro lado, se é incom ensurável com a FG em com prim ento, as IH, H L são racionais, com ensuráveis som ente em potência; portanto, o H M é m edial. Portanto, o H M é ou racional ou m edial. M as o H M é igual ao AC; portanto, o AC é ou racional ou m edial. Portanto, o por m ediais com ensuráveis som ente em potência, e as coisas seguintes.

26. U m m ed ia l não excede u m m ed ia l p o r u m racional. Pois, se possível, o m edial AB exceda o m edial AC pelo racional DB, e fique exposta a EF racional, e fique aplicado Q à EF o paralelogram o retangular FH , igual ao AB, fazendo g

a EH como largura, e fique subtraído o FG igual ao AC; portanto, o restante BD é igual ao restante IH. M as o DB

■

é racional; portanto, tam bém o IH é racional. Com o, de fato, cada um dos AB, AC é m edial, e o AB é igual ao FH, enquanto o AC, ao FG, portanto, tam bém cada um dos FH , FG é m edial. E foi aplicado à racional EF; portanto,

I

cada um a das HE, EG é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. E como o DB é racional e é igual ao

IH, portanto, tam bém o IH é racional. E foi aplicado à racional EF; por­ tanto, a GH é racional e com ensurável com a EF em com prim ento. M as tam bém a EG é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento; portanto, a EG é incom ensurável com a GH em com prim ento. E, como a EG está para a GH, assim o sobre a EG para o pelas EG, G H ; portanto, o 379

Euclides

sobre a EG é incom ensurável com o pelas EG, GH. M as, por um lado, os quadrados sobre as EG, G H são com ensuráveis com o sobre a EG; pois ambos são racionais; e, por outro lado, duas vezes o pelas EG, GH é co­ m ensurável com o pelas EG, G H ; pois é o dobro dele; portanto, os sobre as EG, GH é incom ensurável com duas vezes o pelas EG, G H ; portanto, um ju n to com o outro, tanto os sobre as EG, GH quanto duas vezes o pelas EG, GH, o que é o sobre a EH, é incom ensurável com os sobre as EG, GH. M as os sobre as EG, GH são racionais; portanto, o sobre a EH é irracional. Portanto, a EH é irracional. M as tam bém é racional; o que é im possível. Portanto, um m edial não excede um m edial por um racional; o que era preciso provar.

27. A char m ed ia is co m en s u r á v e is s o m en te em p o tê n c ia con ten d o u m racional. Fiquem expostas as duas racionais A, B, com ensuráveis som ente em potência, e fique tom ada a C, m édia em p ro ­ porção entre as A, B, e fique produzido como a A para a B, assim a C para a D. E, como as A, B são racionais comensuráveis som ente em potência, portanto, o pelas A, B, isto é, o sobre a C, é m edial. Portanto, a C é m edial. E, como a A está para a B, [assim ] a C para a D, e as A, B [são] com ensuráveis som ente em potência, portanto, tam bém as C, D são com ensuráveis som ente em potência. E a C é m edial; portanto, também a D é m edial. Portanto, as C, D são m ediais com ensuráveis som ente em potência. D igo que tam bém contêm um racional. Pois, como a A está para a B, assim a C para a D, portanto, alternadam ente, como a A está para a C, a B para a D. M as, como a A para a C, a C para a B; portanto, tam bém como a C para a B, assim a B para a D; portanto, o pelas C, D é igual ao sobre a B. M as o sobre a B é racional; portanto, tam bém o pelas C, D [é] racional. Portanto, foram achadas m ediais com ensuráveis som ente em potência contendo um racional; o que era preciso provar.

380

O s elem entos

28. A char m ed ia is co m en s u r á v e is so m en te em p o tê n c ia con ten d o u m m edial. Fiquem expostas as [três] racionais A, B, C,

A D B

com ensuráveis som ente em potência, e fique tom ada a D , m édia em proporção entre as A,

E C

B, e fique produzido como a B para a C, a D para a E.

Com o as A, B são racionais com ensuráveis som ente em potência, por­ tanto, o pelas A, B, isto é, o sobre a D, é m edial. Portanto, a D é m edial. E, como as B, C são com ensuráveis som ente em potência, e como a B está para a C, a D para a E, portanto, tam bém as D, E são com ensuráveis som ente em potência. M as a D é m edial; portanto, tam bém a E é m edial; portanto, as D, E são m ediais com ensuráveis som ente em potência. D igo, então, que tam bém contêm um m edial. Pois, como a B está para a C, a D para a E, portanto, alternadam ente, como a B para a D, a C para a E. M as, como a B para a D, a D para a A; portanto, tam bém como a D para a A , a C para a E; portanto, o pelas A, C é igual ao pelas D, E. M as o pelas A, C é m edial; portanto, tam bém o pelas D, E é m edial. Portanto, foram achadas m ediais com ensuráveis som ente em potência contendo um m edial; o que era preciso provar.

L ema

A char dois n ú m er o s q u a d ra d o s, de m o d o a ta m b ém o com posto deles s e r u m q uadrado. Fiquem expostos os dois núm eros AB, BC, e sejam ou pares ou ím pares. E como, tanto caso um par seja subtraído de um par quanto caso tanto um ímpar, de um ímpar, o resto é par, portanto, o resto AC C

é par. Fique cortado o AC em dois no D. E sejam tam bém os AB, BC

Euclides

[o] CD , é igual ao quadrado sobre o BD. E o dos AB, BC é um quadrado, porque foi provado que, caso dois planos sem elhantes, tendo sido m u ltip li­ cados entre si, façam algum , o produzido é um quadrado. Portanto, foram achados dois núm eros quadrados, tanto o dos AB, BC quanto o sobre o CD , que tendo sido com postos, fazem o quadrado sobre o BD. E é evidente que foram achados de novo dois quadrados, tanto o sobre o BD quanto o sobre o CD , de modo que o excesso deles, o pelos AB, BC, ser um quadrado, quando os AB, BC sejam planos sem elhantes. M as, quando não sejam planos sem elhantes, foram achados dois quadrados, tanto o sobre o BD quanto o sobre o D C, dos quais o excesso, o pelos AB, BC, não é um quadrado; o que era preciso provar.

L ema

A char dois n ú m er o s q uadrados, de m o d o a não se r o com p osto deles u m q uadrado. Sejam , pois, o dos AB, BC, como dizíam os, um quadrado, e o CA par, e fique cortado o CA em dois no D. Então, é evidente que o quadrado do dos AB, BC, com o quadrado sobre [o] CD é igual ao quadrado sobre [o] BD. F ique subtraída a unidade DE; portanto, o dos AB, BC, junto com o sobre [o] CE é m enor do que o quadrado sobre [o] BD. D igo, de fato, que o quadrado do dos AB, BC, com o sobre [o] CE não será um quadrado. Pois, se for um quadrado, ou bem é igual ao sobre [o] BE ou é m enor do que o sobre [o] BE, mas tam bém nunca é maior, a fim de que a unidade não seja cortada. Seja, se possível, prim eiram ente, o

|-|

dos AB, BC, junto com o sobre CE igual ao sobre BE, e seja o GA

E

o dobro da unidade DE. Com o, de fato, o todo AC é o dobro do todo CD , dos quais o AG é o dobro do DE, portanto, o restante GC é o dobro do restante EC; portanto, o GC foi cortado em dois no E. Portanto, o dos GB, BC, com o sobre CE, é igual ao quadrado sobre BE. M as tam bém o dos AB, BC, com o sobre CE, foi suposto igual ao quadrado sobre [o] BE; portanto, o dos GB, BC, com o sobre CE, é igual ao dos AB, BC, com o sobre CE. E, tendo sido subtraído o sobre CE

38z

O s elem entos

comum, segue que o AB é igual ao GB; o que é absurdo. Portanto, o dos AB, BC, com o sobre [o] CE não é igual ao sobre o BE. D igo, então, que nem m enor do que o sobre BE. Pois, se possível, seja igual ao sobre BF, e o HA, o dobro do DF. E, de novo, seguirá que o H C é o dobro do CF; de modo a, tam bém o C H ser cortado em dois no F, e por isso o dos HB, BC, com o sobre FC, tornar-se igual ao sobre BF. M as também o dos AB, BC, com o sobre CE, foi suposto igual ao sobre BF. Desse modo, tam bém o dos HB, BC, com o sobre CF será igual ao dos AB, BC, com o sobre CE; o que é absurdo. Portanto, o dos AB, BC, com o sobre CE não é igual [ao] m enor do que o sobre BE. M as foi provado que nem a ele mesmo, o sobre BE. Portanto, o dos AB, BC, com o sobre CE não é um quadrado. [M as, sendo possível, tam bém exibir, segundo os num erosos m odos, os ditos núm eros, sejam -nos suficientes os ditos, a fim de que não p rolongue­ mos m ais, sendo m ais longo o assunto.] O que era preciso provar.

29. A char d u a s ra cio n a is c o m en s u r á v e is so m en te em p o tên cia , de m o d o a s e r a m a i o r m a io r em p o tên c ia do q u e a m e n o r p e lo sobre u m a c o m e n s u r á v e l em co m p rim en to co m a q u ela m esm a. Fiquem , pois, expostos algum a racional, a AB, e os dois núm eros quadrados CD , DE, de m odo a o excesso CE deles não ser um quadra­ do, e fique descrito o sem icírculo AFB sobre a AB, e fique feito como o D C para o CE, assim o quadrado sobre a BA para o quadrado sobre a AF, e fique ligada a FB. Com o, [de fato] o sobre a BA está para o sobre a AF, assim o DC para o CE, portanto, o sobre a BA tem para o sobre a AF um a razão, que o número DC, para o número CE; p ortanto, o sobre a BA é com ensurável com o sobre a AF. M as o sobre a AB é racional; portanto, tam bém o sobre a AF é racional; portanto, tam bém a AF é racional. E, como o DC não tem para o CE um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem

3 83

Euclides

o sobre a BA tem para o sobre a AF um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a AB é incom ensurável com a AF em com prim ento; portanto, as BA, AF são racionais com ensuráveis som ente em potência. E, como o D C [está] para o CE, assim o sobre a BA para o sobre a AF, portanto, por conversão, como o CD para o DE, assim o sobre a AB para o sobre a BF. M as o CD tem para o DE um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, tam bém o sobre a AB tem para o sobre a BF um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, a AB é com ensurável com a BF em com prim ento. E o sobre a AB é igual aos sobre as AF, FB; portanto, a AB é m aior em potência do que a AF pela BF, com ensurável com aquela mesma. Portanto, foram achadas as duas racionais BA, AF, comensuráveis som en­ te em potência, de modo a ser a m aior AB m aior em potência do que a menor AF pelo sobre a BF, com ensurável com aquela m esm a em com prim ento; o que era preciso provar.

30. A char d u a s ra cion a is co m en s u r á v e is so m en te em p o tên cia , de m o d o a s e r a m a i o r m a io r em p o tên c ia do q u e a m e n o r p e lo sobre u m a in c o m e n su r á v el com aquela m es m a em com p rim en to. Fiquem expostos a racional AB e os dois números quadrados CE, ED, de modo a não ser o com posto CD deles um quadrado, e fique descrito o sem icír-

^

culo AFB sobre a AB, e fique feito como o DC para o CE, assim o sobre a BA para o sobre a AF, e fique

C

E

D

ligad a a FB. Do mesm o modo, então, provarem os, pelo antes deste, que as BA, AF são racionais com ensuráveis som ente em potência. E, como o D C está para o CE, assim o sobre a BA para o sobre a AF, portanto, por conversão, como o CD para o DE, assim o sobre a AB para o sobre a BF. M as o CD não tem para o DE um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, nem o sobre a AB tem para o sobre a BF um a razão 3 84

O s elem entos

que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a AB é incom ensurável com a BF em com prim ento. E a AB é m aior em potência do que a AF pelo sobre a FB, incom ensurável com aquela mesma. Portanto, as AB, AF são racionais com ensuráveis som ente em potência, e a AB é m aior em potência do que a AF pelo sobre a FB, incom ensurável com aquela m esm a em com prim ento; o que era preciso provar.

31. A char d u a s m ed ia is co m en s u r á v e is s o m en te em p o tê n c ia , con ten d o u m ra cion al, de m o d o a s e r a m a i o r m a i o r em p o tê n c ia do q u e a m e n o r p elo so b re u m a co m e n s u r á v e l co m aquela m es m a em com p rim en to. Fiquem expostas as duas racionais A, B, com ensuráveis som ente em potência, de modo a ser a A, que é a maior, m aior em potência do que a m enor B pelo sobre um a co­ m ensurável com aquela m esm a em com prim ento. E seja o 3

C

D sobre a C igual ao pelas A, B. M as o pelas A, B é m edial; portanto, tam bém o sobre a C é m edial; portanto, tam bém

a C é m edial. E seja o pelas C, D igual ao sobre a B. M as o sobre a B é ra­ cional; portanto, tam bém o pelas C, D é racional. E, como a A está para a B, assim o pelas A, B para o sobre a B, mas, por um lado, o sobre a C é igual ao pelas A, B, e, por outro lado, o pelas C, D é igual ao sobre a B, p o rtan ­ to, como a A para a B, assim o sobre a C para o pelas C, D. M as, como o sobre a C para o pelas C, D, assim a C para a D; portanto, tam bém como a A para a B, assim a C para a D. M as a A é com ensurável com a B som ente em potência; portanto, tam bém a C é com ensurável com a D som ente em potência. E a C é m edial; portanto, tam bém a D é m edial. E, como a A está para a B, a C para a D, e a A é m aior em potência do que a B pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, portanto, tam bém a C é m aior em potência do que a D pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. Portanto, foram achadas as duas m ediais C, D, com ensuráveis som ente em potência, contendo um racional, e a C é m aior em potência do que a D pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em com prim ento.

Euclides

32. A char d u a s m ed ia is c o m en s u r á v e is s o m en te em p o tê n c ia , con ten d o u m m edial, de m o d o a s e r a m a i o r m a i o r em p o tê n c ia do q u e a m e n o r p elo sobre u m a co m en s u r á v e l co m a q u ela m esm a. Fiquem expostas as três racionais A, B, C, com ensuráveis som ente em potência, de m odo a ser a A m aior em potência do que a C pelo sobre um a com ensurável com aquela

" g ._______ .

" ^ "

"

E .___ .

m esm a, e seja, por um lado, o sobre a D igual ao pelas A, B. Portanto, o sobre a D é m edial; portanto, tam bém a D é m edial. E seja, por outro lado, o pelas D, E igual ao pelas B, C. E, como o pelas A, B está para o pelas B, C, assim a A para a C, mas, por um lado, o sobre a D é igual ao pelas A, B, e, por outro lado, o pelas D, E é igual ao pelas B, C, portanto, como a A está para a C, assim o sobre a D para o pelas D, E. M as, como o sobre a D para o pelas D, E, assim a D para a E; portanto, também como a A para a C, assim a D para a E; mas a A é comensurável com a C [som ente] em potência. Portanto, também a D é comensurável com a E som ente em potência. M as a D é m edial; portanto, também a E é m edial. E, como a A está para a C, a D para a E, e a A é m aior em potência do que a C pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a, portanto a D será m aior em potência do que a E pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. D igo, então, que tam bém o pelas D, E é m edial. Pois, como o pelas B, C é igual ao pelas D, E, mas o pelas B, C é m edial [pois as B, C são racionais com ensuráveis som ente em p o tên cia], portanto, tam bém o pelas D, E é m edial. Portanto, foram achadas as duas m ediais D, E, com ensuráveis som ente em potência, contendo um m edial, de modo a ser a m aior m aior em potência do que a m enor pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. Do mesm o modo, então, de novo, será provado tam bém pelo sobre um a incom ensurável, quando a A é m aior em potência do que a C pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma.

386

O s elem entos

L ema

Seja o triân gu lo retângulo ABC, tendo o A reto, e fique traçada a per­ pendicular AD; digo que, por um lado, o pelas CBD é igual ao sobre a BA, e, por outro lado, o pelas BCD é igual ao sobre a CA, e o pelas BD, DC é igual ao sobre a AD, e ainda o pelas BC, AD [é] igual ao pelas BA, AC. E, primeiro, que o pelas CBA [é] igual ao sobre a BA. A

Pois, como em um triân gulo retângulo do ângulo reto até a base foi traçada a perpendicular AD, portanC

to, os triân gulo s ABD, A D C são sem elhantes tanto ao todo ABC quanto entre si. E, como o triân gulo ABC é sem elhante ao triângulo ABD, portanto, como

a CB está para a BA, assim a BA para a BD; portanto, o pelas CBA é igual ao sobre a AB. Pelas mesmas coisas, então, tam bém o pelas BCD é igual ao sobre a AC. E como, caso em um triân gulo retângulo do ângulo reto até a base seja traçada um a perpendicular, a que foi traçada é m édia em proporção entre os segm entos da base, portanto, como a BD está para a DA, assim a AD para a D C; portanto, o pelas BD, D C é igual ao sobre a DA. D igo que tam bém o pelas BC, AD é igual ao pelas BA, AC. Pois, como, conform e falam os, o ABC é sem elhante ao ABD, portanto, como a BC está para a CA, assim a BA para a AD. [M as, caso quatro retas estejam em proporção, o pelos extremos é igual ao pelos m eios.] Portanto, o pelas BC, AD é igual ao pelas BA, AC; o que era preciso provar.

33. A char d u a s retas in co m e n su r á v eis em p o tê n c ia fa z en d o , p o r u m lado, o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas ra cion al, e, p o r o u tro lado, o p o r elas m edial. Fiquem expostas as duas racionais AB, BC, com ensuráveis som ente em potência, de modo a ser a m aior AB m aior em potência do que a m enor BC pelo sobre um a incom ensurável com 3 87

Euclides

aquela mesma, e fique cortada a BC em duas no D, e fique aplicado à AB um paralelogram o igual ao sobre um a ou outra das BD, DC, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas AEB, e fique descrito sobre a AB o sem icírculo AFB, e fique traçada a EF em retos com a AB, e fiquem ligadas as AF, FB. E, como as [duas] retas AB, BC são desiguais, e a AB é m aior em potência do que a BC pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma, e fo i ap li­ cado à AB um paralelogram o igual à quarta do sobre a BC, isto é, ao sobre a metade dela, deficiente por um a figura quadrada e faz o pelas AEB, portanto, a AE é incom ensurável com a EB. E, como a AE está para a EB, assim o pelas BA, AE para o pelas AB, BE, mas, por um lado, o pelas BA, AE é igual ao sobre a AF, e, por outro lado, o pelas AB, BE, ao sobre a BF; portanto, o sobre a AF é incom ensurável com o sobre a FB; portanto, as AF, FB são incom ensuráveis em potência. E, como a AB é racional, portanto, também o sobre a AB é racional; desse modo, tam bém o com posto dos sobre as AF, FB é racional. E como, de novo, o pelas AE, EB é igual ao sobre a EF, mas o pelas AE, EB foi suposto tam bém igual ao sobre a BD, portanto, a FE é igual à BD; portanto, a BC é o dobro da FE; desse modo, tam bém o pelas AB, BC é com ensurável com o pelas AB, EF. M as o pelas AB, BC é m edial; portanto, tam bém o pelas AB, EF é m edial. M as o pelas AB, EF é igual ao pelas AF, FB; portanto, tam bém o pelas AF, FB é m edial. E foi provado tam bém racional o com posto dos quadrados sobre elas. Portanto, foram achadas as duas retas AF, FB, incom ensuráveis em potên­ cia, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas racional, e, por outro lado, o por elas m edial; o que era preciso provar.

34. A char d u a s retas in c o m e n su r á v eis em p o tên cia , fazendo, p o r u m lado, o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas m edial, e, p o r o u tro lado, o p o r elas racional. F iquem expostas as duas m ediais AB, BC, com ensuráveis som ente em potência, contendo o por elas um racional, de modo 388

O s elem entos

a ser a AB m aior em potência do que a BC pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma, e fique traçado sobre a AB o sem icírculo ADB, e fique cortada a BC em duas no E, e fique aplicado à AB um paralelogram o, o pelas AFB, igual ao sobre a BE, deficiente por um a figura quadrada; portanto, a AF [é] incom ensurável com a FB em com prim ento. E fique traçada a p artir do F a FD em retos com a AB, e fiquem ligadas as AD, DB. Como a AF é incomensurável com a FB, portanto, também o pelas BA, AF é incom ensurável com o pelas AB, BF. M as, por um lado, o pelas BA, AF é igual ao sobre a AD, e, por outro lado, o pelas AB, BF, ao sobre a DB; portanto, tam bém o sobre a AD é incom ensurável com o sobre a DB. E, como o sobre a AB é m edial, portanto, tam bém o com posto dos sobre as AD, DB é m edial. E, como a BC é o dobro da DF, portanto, tam bém o pelas AB, BC é o dobro do pelas AB, FD. M as o pelas AB, BC é racional; portanto, tam bém o pelas AB, FD é racional. M as o pelas AB, FD é igual ao pelas AD, DB; desse modo, tam bém o pelas AD, DB é racional. Portanto, foram achadas as duas retas AD, DB, incom ensuráveis em potência, fazendo, [por um lado] o com posto dos quadrados sobre elas m edial, e, por outro lado, o por elas racional; o que era preciso provar.

35. A char d u a s retas in co m e n su r á v eis em p o tên cia , fa z e n d o tanto o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas m ed ia l q u a n to o p o r elas m ed ia l e ain da in c o m e n s u r á v e l com o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas. Fiquem expostas as duas m ediais AB, BC, com ensuráveis som ente em potência, conQ tendo um m edial, de m odo a ser a AB m aior em potência do que a BC pelo sobre um a in ­ com ensurável com aquela mesma, e fique descrito sobre a AB o sem icírculo ADB, e fiquem produzidas as restantes coisas de modo sem elhante às acima. E,

como a AF é incom ensurável com a FB em com prim ento, tam bém a

AD é incom ensurável com a DB em potência. E, como o sobre a AB é medial, portanto, tam bém o com posto dos sobre as AD, DB é m edial. E, como o 3 89

Euclides

pelas AF, FB é igual ao sobre cada um a das BE, DF, portanto, a BE é igual à DF; portanto, a BC é o dobro da FD ; desse modo, tam bém o pelas AB, BC é o dobro do pelas AB, FD. M as o pelas AB, BC é m edial; portanto, tam bém o pelas AB, FD é m edial. E é igual ao pelas AD, DB; portanto, tam bém o pelas AD, DB é m edial. E, como a AB é incom ensurável com a BC em com prim ento, mas a CB é com ensurável com a BE, portanto, tam bém a AB é incom ensurável com a BE em com prim ento; desse modo, tam bém o sobre a AB é incom ensurável com o pelas AB, BE. M as, por um lado, os sobre as AD, DB são iguais ao sobre a AB, e, por outro lado, o pelas AB, FD, isto é, o pelas AD, DB é igual ao pelas AB, BE; portanto, o com posto dos sobre as AD, DB é incom ensurável com o pelas AD, DB. Portanto, foram achadas as duas retas AD, DB incom ensuráveis em potência, fazendo tanto o com posto dos sobre elas m edial quanto o por elas m edial e ainda incom ensurável com o com posto dos quadrados sobre elas; o que era preciso provar.

36. C aso du as ra cion a is co m en s u r á v e is so m en te em p o tên cia seja m com postas, a toda é irracion a l, e seja ch a m a d a binom ial. Fiquem com postas as duas racionais AB, BC, com ensuráveis som ente em potência; digo que a toda

,_________ .______ , ^

B

C

AC é irracional. Pois, como a AB é incom ensurável com a BC em com prim ento; pois são com ensuráveis som ente em potência; mas, como a AB para a BC, assim o pelas ABC para o sobre a BC, portanto, o pelas AB, BC é incom ensurável com o sobre a BC. M as, por um lado, duas vezes o pelas AB, BC é com en­ surável com o pelas AB, BC, e, por outro lado, os sobre as AB, BC são co­ m ensuráveis com o sobre a BC; pois as AB, BC são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, duas vezes o pelas AB, BC é incom ensu­ rável com os sobre as AB, BC. E, por com posição, duas vezes o pelas AB, BC, com os sobre as AB, BC, isto é, o sobre a AC, é incom ensurável com o com posto dos sobre as AB, BC. M as o com posto dos sobre as AB, BC é 39o

O s elem entos

racional; portanto, o sobre a AC [é] irracional; desse modo, tam bém a AC é irracional, e seja cham ada binom ial; o que era preciso provar.

37. C a so d u a s m ed ia is c o m en s u r á v e is s o m en te em p o tên cia , con ten d o u m ra cion al, seja m com postas, a toda é irracion a l, e seja cha m ad a p r im e ir a bim edial. Fiquem , pois, com postas as duas m ediais AB, BC, co­ -------§-----?

m ensuráveis som ente em potência, contendo um racional; digo que a toda AC é irracional.

Pois, como a AB é incom ensurável com a BC em com prim ento, por­ tanto, tam bém os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AB, BC; e, por com posição, os sobre as AB, BC, com duas vezes o pelas AB, BC, o que é o sobre a AC, é incom ensurável com o pelas AB, BC. M as o pelas AB, BC é racional; pois as AB, BC foram supostas contendo um racional; portanto, o sobre a AC é irracional; portanto, a AC é irracional, e seja cham ada p rim eira bim edial; o que era preciso provar.

3 8. C aso du as m ed ia is com en su rá veis so m en te em potên cia, con tendo u m medial, seja m com postas, a toda é irracional, e seja cha m ad a segu n d a bimedial. g A"

Fiquem , pois, com postas as duas m e­

"

"C H

diais AB, BC, com ensuráveis som ente em potência, contendo um m edial; digo que a AC é irracional. Fique, pois, exposta a DE racional, e fique aplicado à DE o paralelogram o DF

igual ao sobre a AC, fazendo a DG como largura. E, como o sobre a AC é igual tanto aos sobre as AB, BC quanto a duas vezes o pelas AB, BC, fique, então, aplicado à DE o EH igual aos sobre as AB, BC; portanto, o 3 9

1

Euclides

H F restante é igual a duas vezes o pelas AB, BC. E, como cada um a das AB, BC é m edial, portanto, tam bém os sobre as AB, BC são m ediais. M as tam bém duas vezes o pelas AB, BC foi suposto m edial. E, por um lado, o EH é igual aos sobre as AB, BC, e, por outro lado, o FH é igual a duas vezes o pelas AB, BC; portanto, cada um dos EH, H F é m edial. E foi aplicado à DE; portanto, cada um a das D H , H G é racional e incom ensurável com a DE em com prim ento. Com o, de fato, a AB é incom ensurável com a BC em com prim ento, e como a AB está para a BC, assim o sobre a AB para o pelas AB, BC, portanto, o sobre a AB é incom ensurável com o pelas AB, BC. M as, por um lado, o com posto dos quadrados sobre as AB, BC é com ensurável com o sobre a AB, e, por outro lado, duas vezes o pelas AB, BC é com en­ surável com o pelas AB, BC; portanto, o com posto dos sobre as AB, BC é incom ensurável com duas vezes o pelas AB, BC. M as, por um lado, o EH é igual aos sobre as AB, BC, e, por outro lado, o H F é igual a duas vezes o pelas AB, BC. Portanto, o EH é incom ensurável com o H F; desse modo, tam bém a D H é incom ensurável com a H G em com prim ento. Portanto, as D H , H G são racionais com ensuráveis som ente em potência. Desse modo, a DG é irracional. M as a DE é racional; M as o retângulo contido por um a irracional e um a racional é irracional; portanto, a área DF é irracional, e a que serve para p ro d u z i[-la] é irracional. M as a AC serve para pro duzir a DF; portanto, a AC é irracional, e seja cham ada a segunda bim edial; o que era preciso provar.

39. C aso du as retas in c o m e n su r á v eis em p o tên cia , fa z en d o , p o r u m lado, o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas ra cion al, e, p o r o u tro lado, o p o r elas m edial, seja m com postas, a reta toda é irracion a l, e seja ch a m a d a maior. Fiquem , pois, com postas as duas retas AB, BC, incom ensuráveis em potência, fazendo as coisas propostas;

.______ ._____. ^

B

C

digo que a AC é irracional. Pois, como o pelas AB, BC é m edial, [portanto,] tam bém duas vezes o pelas AB, BC é m edial. M as o com posto dos sobre as AB, BC é racional; 39

2

O s elem entos

portanto, duas vezes o pelas AB, BC é incom ensurável com o com posto dos sobre as AB, BC; desse modo, tam bém os sobre as AB, BC com duas vezes o pelas AB, BC, o que é o sobre a AC, é incom ensurável com o com posto dos sobre as AB, BC [mas o com posto dos sobre as AB, BC é racio n al]; portanto, o sobre a AC é irracional. Desse modo, tam bém a AC é irracional, e seja cham ada m aior; o que era preciso provar.

40. C aso d u a s retas in co m e n su r á v eis em p o tên cia , fa z en d o , p o r u m lado, o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas m ed ial, e, p o r o u tro lado, o p o r elas ra cion al, seja m com postas, a reta toda é irracion a l, e seja ch a m a d a a q u e ser v e p a r a p r o d u z ir u m ra cio n a l e u m m edial. A

Fiquem , pois, com postas as duas retas AB, BC, incom ensuráveis em potência, fazendo as coisas propostas; digo que a AC é irracional. Pois, como o com posto dos sobre as AB, BC é m edial, e duas vezes

^ n

o pelas AB, BC é racional, portanto, o com posto dos sobre as AB, BC é incom ensurável com duas vezes o pelas AB, BC; desse modo, tam bém o sobre a AC é incom ensurável com duas vezes o pelas AB, BC. M as

duas vezes o pelas AB, BC é racional; portanto, o sobre a AC é irracional. Portanto, a AC é irracional, e seja cham ada a que serve para produzir um racional e um m edial; o que era preciso provar.

41. C aso d u a s retas in c o m e n su r á v eis em p o tên cia , fa z e n d o tanto o com posto dos q u a d ra d o s sobre elas m ed ia l q u a n to o p o r elas m ed ia l e ain da in c o m e n s u r á v e l co m o com p osto dos q u a d ra d o s so b re elas, seja m com postas, a reta toda é irra cion a l, e seja ch a m a d a a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir dois m ediais. Fiquem , pois, com postas as duas retas AB, BC, incom ensuráveis em potência, fazendo as coisas propostas; digo que a AC é irracional. 393

Euclides

Fique exposta a DE racional, e fique aplicado à DE, por

|

um lado, o DF igual aos sobre as AB, BC, e, por outro lado,

^

o GH igual a duas vezes o pelas AB, BC; portanto, o todo D H é igual ao quadrado sobre a AC. E, como o com posto dos sobre as AB, BC é m edial, e é igual ao DF, portanto, tam bém o DF é m edial. E foi aplicado à racional DE;

q

portanto, a DG é racional e incom ensurável com a DE em com prim ento. Pelas mesmas coisas, então, tam bém a GI é

A

B C

racional e incom ensurável com a GF, isto é, a DE em com ­ prim ento. E, como os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AB, BC, o DF é incom ensurável com o G H ; desse modo, tam bém a DG é incom ensurável com a GI. E são racionais; portanto, as DG, GI são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a DI é irracional, a cham ada binom ial. M as a DE é racional; portanto, o DH é irracional e a que serve para produzi-lo é irracional. M as a AC serve para produzir o H D ; portanto, a AC é irracional, e seja cham ada a que serve para produzir dois m ediais; o que era preciso provar. L ema

E q u e as ditas irra cio n a is são dividida s, de u m a ú n ica m a n eira , nas retas das q u a is são com postas, fazendo as espécies proposta s, p r o v a r e m o s im ediatam en te, ex pondo an tes este p e q u en o lem a : Fique exposta a reta AB e fique cortada a toda em de­ siguais em cada um dos C, D, e fique suposta a AC m aior do que DB; digo que os sobre as AC, CB são m aiores do que os sobre as AD, DB. Fique, pois, cortada a AB em duas no E. E, como a AC é m aior do que a DB, fique subtraída a D C com um ; portanto, a AD restante é m aior do que a CB restante. M as a AE é igual à EB; portanto, a DE é m enor do que a EC; portanto, os pontos C, D não estão igualm ente afastados do ponto da bissecção. E, como o pelas AC, CB, com o sobre a EC, é igual ao sobre a EB, mas, de fato, tam bém o pelas AD, DB, com o sobre a DE é igual ao sobre a EB, portanto, o pelas AC, CB, com o sobre a EC, é igual ao pelas 394

O s elem entos

AD, DB, com o sobre a DE; dos quais, o sobre a DE é m enor do que o sobre a EC; portanto, tam bém o pelas AC, CB restante é m enor do que o pelas AD, DB. Desse modo, tam bém duas vezes o pelas AC, CB é m enor do que duas vezes o pelas AD, DB. Portanto, tam bém o com posto dos sobre as AC, CB restante é m aior do que o com posto dos sobre as AD, DB; o que era preciso provar.

42. A b in o m ia l é dividida , em u m só p o n to , nas com pon en tes. ^

Seja a binom ial AB dividida nas com ponentes no C; portanto, as AC, CB são racionais com ensuráveis som ente em potência. D igo que a AB em um outro ponto não é dividida em duas racionais com ensu-

11D ráveis som ente em potência. ,, Q

Pois, se possível, fique dividida tam bém no D, de modo a serem tam bém as AD, DB racionais com ensuráveis som ente em potência. É

hB

evidente, então, que a AC não é a m esm a que a DB. Pois, se possível, seja. Então, tam bém a AD será a m esm a que a CB; e, como a AC estará

para a CB, assim a BD para a DA, e a AB será do mesm o modo pela divisão no C e tendo sido dividida no D; o que não foi suposto. Portanto, a AC não é a m esm a que a DB. Por isso, então, tam bém os pontos C, D não se afastam igualm ente do ponto de bissecção. Portanto, pelo que os sobre as AC, CB diferem dos sobre as AD, DB, por isso também duas vezes o pelas AD, DB difere de duas vezes o pelas AC, CB, pelo serem tanto os sobre as AC, CB, com duas vezes o pelas AC, CB quanto os sobre as AD, DB, com duas vezes o pelas AD, DB iguais ao sobre a AB. M as os sobre as AC, CB diferem dos sobre as AD, DB por um racional; pois, ambos são racionais; portanto, tam bém duas vezes o pelas AD, DB difere de duas vezes o pelas AC, CB por um racional, sendo m ediais; o que é absurdo; pois um m edial não excede um m edial por um racional. Portanto, a binom ial não é dividida em um e outro ponto; portanto, em um só; o que era preciso provar.

395

Euclides

43. A p r im e ir a b im ed ia l é d iv id id a em u m só p o n to. Seja a p rim eira bim edial AB dividida no C, de

■--------------- ■— ■-------- ■

modo a serem as AC, CB m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo um racional; digo que a AB não é dividida em um outro ponto. Pois, se possível, fique dividida tam bém no D, de modo tam bém a serem as AD, DB m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo um racional. Com o, de fato, pelo que duas vezes o pelas AD, DB difere de duas vezes o pelas AC, CB, por isso os sobre as AC, CB diferem dos sobre as AD, DB, mas duas vezes o pelas AD, DB difere de duas vezes o pelas AC, CB por um racional; pois, ambos são racionais; portanto, tam bém os sobre as AC, CB diferem dos sobre as AD, DB por um racional, sendo m ediais; o que é absurdo. Portanto, a p rim eira bim edial não é dividida, em um e outro ponto, nas com ponentes; portanto, em um só; o que era preciso provar.

44. A seg u n d a b im ed ia l é d iv id id a em u m só pon to. Seja a segunda bim edial AB dividida no C, de modo a serem as AC, CB m ediais

DC B

:

_

"

V

com ensuráveis som ente em potência, con­ tendo um m edial; é evidente, então, que o C não está no ponto de bissecção, porque

H

M

não são com ensuráveis em com prim ento. D igo que a AB não é dividida em um outro ponto. Pois, se possível, fique dividida tam bém no D, de modo a não ser a AC a m esm a que a DB, mas a AC maior, por hipótese; é claro, então, que tam bém os sobre as AD, DB, como dem onstram os acim a, são menores do que os sobre as AC, CB; e serem as AD, DB m ediais com ensuráveis som ente em 39

6

O s elem entos

potência, contendo um m edial. E fique exposta a EF racional, e, por um lado, fique aplicado à EF o paralelogram o retangular EI igual ao sobre a AB, e, por outro lado, fique subtraído o EG igual aos sobre as AC, CB; portanto, o H I restante é igual a duas vezes o pelas AC, CB. De novo, então, fique subtraído o EJ igual aos sobre as AD, DB, os que foram provados menores do que os sobre as AC, CB; portanto, tam bém o LI restante é igual a duas vezes o pelas AD, DB. E, como os sobre as AC, CB são m ediais, portanto, [tam bém ] o EG é m edial. E foi aplicado à racional EF; portanto, a EH é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. Pelas mesmas coisas, então, tam bém a H M é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. E, como as AC, CB são m ediais com ensuráveis som ente em potência, portanto, a AC é incom ensurável com a CB em com prim ento. M as, como a AC para a CB, assim o sobre a AC para o pelas AC, CB; por­ tanto, o sobre a AC é incom ensurável com o pelas AC, CB. M as, por um lado, os sobre as AC, CB são com ensuráveis com o sobre a AC; pois, as AC, CB são com ensuráveis em potência. E, por outro lado, duas vezes o pelas AC, CB é com ensurável com o pelas AC, CB. Portanto, tam bém os sobre as AC, CB são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AC, CB. M as, por um lado, o EG é igual aos sobre as AC, CB, e, por outro lado, o H I é igual a duas vezes o pelas AC, CB; portanto, o EG é incom ensurável com o HI; desse m odo, tam bém a EH é incom ensurável com a H M em com prim ento. E são racionais; portanto, as EH, H M são racionais com ensuráveis som ente em potência. M as, caso duas racionais com ensuráveis som ente em potência sejam com postas, a toda é irracional, a cham ada binom ial; portanto, a EM é um a binom ial dividida no H. Segundo as mesm as coisas, então, tam bém as EL, LM serão provadas racionais com ensuráveis som ente em potência; e a EM será um a binom ial dividida em um e outro, tanto o H quanto o L, e a EH não é a m esm a que a LM , porque os sobre as AC, CB são m aiores do que os sobre as AD, DB. M as os sobre as AD, DB são m aiores do que duas vezes o pelas AD, DB; portanto, tam bém os sobre as AC, CB, isto é, o EG é, por m uito, m aior do que duas vezes o pelas AD, DB, isto é, o LI; desse modo, tam bém a EH é m aior do que a LM . Portanto, a EH não é a m esm a que a LM ; o que era preciso provar.

397

Euclides

45. A m a io r é d iv id id a no m es m o p o n t o só. Seja a m aior AB dividida no C, de m odo a serem as AC, CB in ­ com ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre as AC, CB racional, e, por outro lado, o pelas AC, CB

0

m edial; digo que a AB não é dividida em um outro ponto.

C

Pois, se possível, fique dividida tam bém no D, de modo a serem tam bém as AD, DB incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos sobre as AD, DB racional, e, por outro lado, o por elas m edial. E, como, pelo que diferem os sobre as AC, CB dos sobre as AD, DB, por isso difere tam bém duas vezes o pelas AD, DB de duas vezes o pelas AC, CB, mas os sobre as AC, CB excedem os sobre as AD, DB por um racional; pois ambos são racionais; portanto, duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB por um racional, sendo m ediais; o que é im possível. Portanto, a m aior não é dividida em um e outro ponto; portanto, no mesm o som ente; o que era preciso provar.

46. A q u e s er v e p a r a p r o d u z ir u m ra cio n a l e u m m ed ia l é d iv id id a em u m só ponto. Seja a AB, a que serve para produzir um racional e um m edial, divi­ dida no C, de modo a serem as AC, CB incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos sobre as AC, CB m edial, e, por outro lado, duas vezes o pelas AC, CB racional; digo que a AB não é dividida em um outro ponto. Pois, se possível, fique dividida tam bém no D, de modo a serem as AD, DB incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com ­ posto dos sobre as AD, DB m edial, e, por outro lado, duas vezes o pelas AD, DB racional. Com o, de fato, pelo que difere duas vezes o pelas AC, CB de duas vezes o pelas AD, DB, por isso diferem tam bém os sobre as 39

8

O s elem entos

AD, DB dos sobre as AC, CB, mas duas vezes o pelas AC, CB excede duas vezes o pelas AD, DB por um racional, portanto, tam bém os sobre as AD, DB excedem os sobre as AC, CB por um racional, sendo m ediais; o que é im possível. Portanto, a que serve para pro duzir um racional e um m edial não é dividida em um e outro ponto; portanto, é dividida em um ponto; o que era preciso provar.

47. A q u e s e r v e p a r a p r o d u z ir dois m ed ia is é d iv id id a em u m só ponto. Seja a AB, [a que serve para p ro d uzir dois \ [A

M

m ed iais], dividida no C, de modo a serem as AC, CB incom ensuráveis em potência, fazendo, tanto

D

o com posto dos sobre as AC, CB m edial quanto

C

o pelas AC, CB m edial e ainda incom ensurável com o com posto dos sobre elas. D igo que a AB

B

■ »

não é dividida em um outro ponto, fazendo as coisas propostas.

Pois, se possível, fique dividida no D, de modo a, de novo, evidentemente, a AC não ser a m esm a que a DB, mas a AC ser m aior por hipótese, e fique exposta a EF racional, e fique aplicado, por um lado, à EF o EG igual aos sobre AC, CB, e, por outro lado, o H I igual a duas vezes o pelas AC, CB; portanto, o EI todo é igual ao quadrado sobre a AB. De novo, então, fique aplicado à EF o EJ igual aos sobre os AD, DB; portanto, o restante, duas vezes o pelas AD, DB, é igual ao LI restante. E, como o com posto dos sobre as AC, CB foi suposto m edial, portanto, tam bém o EG é m edial. E foi aplicado à racional EF; portanto, a H E é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. Pelas mesmas coisas, então, tam bém a H M é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. E, como o com ­ posto dos sobre as AC, CB é incom ensurável com duas vezes o pelas AC, CB, portanto, tam bém o EG é incom ensurável com o G M ; desse modo, tam bém a EH é incom ensurável com a H M . E são racionais; portanto, as EH, H M são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a 399

Euclides

EM é um a binom ial dividida no H. Do mesmo modo, então, provaremos que foi dividida no L. E a EH não é a mesm a que a LM ; portanto, a binom ial foi dividida em um e outro ponto; o que é absurdo. Portanto, a que serve para produzir dois m ediais não é dividida em um e outro ponto; portanto, é dividida em um [ponto] só.

Segundas definições 1. Sendo supostas um a racional e a binom ial dividida nas com ponentes, da qual a m aior com ponente é m aior em potência do que a m enor pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em com prim ento, caso a m aior com ponente seja com ensurável em com prim ento com a exposta racional, seja cham ada [a toda] p rim eira binom ial. 2. E, caso a m enor com ponente seja com ensurável em com prim ento com a exposta racional, seja cham ada segunda binom ial. 3. E, caso nenhum a das com ponentes seja com ensurável em com prim ento com a exposta racional, seja cham ada terceira binom ial. 4. De novo, então, caso a m aior com ponente seja m aior em potência [do que a m enor] pelo sobre um a incom ensurável em com prim ento com aquela mesma, caso a m aior com ponente seja com ensurável em com pri­ m ento com a exposta racional, seja cham ada quarta binom ial. 5. E nquanto, caso a menor, quinta. 6. M as, caso nenhum a, sexta.

48. A char a p r im e ir a binom ial. F iquem expostos os dois núm eros AC, CD , de modo a, por um lado, ter o

D ■-----------■

H ■----------------- ■

com posto AB deles para o BC um a ra­ zão que um núm ero quadrado, para um número quadrado, e, por outro lado, não ter para o CA um a razão que um número 400

p A

C

B

q

O s elem entos

quadrado, para um núm ero quadrado, e fique exposta algum a racional, a D, e seja a EF com ensurável com a D em com prim ento. Portanto, tam bém a EF é racional. E fique produzido como o número BA para o AC, assim o sobre a EF para o sobre a FG. M as o AB tem para o AC um a razão que um núm ero, para um núm ero; portanto, tam bém o sobre a EF tem para o sobre a FG um a razão que um núm ero, para um núm ero; desse modo, o sobre a EF é com ensurável com o sobre a FG. E a EF é racional; portanto, tam bém a FG é racional. E, como o BA não tem para o AC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre a EF tem para o sobre a FG um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a EF é incom ensurável com a FG em com ­ prim ento; portanto, as EF, FG são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EG é um a binom ial. D igo que é um a prim eira. Pois, como o núm ero BA está para o AC, assim o sobre a EF para o sobre a FG, mas o BA é m aior do que o AC, portanto, tam bém o sobre a EF, do que o sobre a FG. Sejam , de fato, os sobre as FG, H iguais ao sobre a EF. E, como o BA está para o AC, assim o sobre a EF para o sobre a FG, portanto, por conversão, como o AB está para o BC, assim o sobre a EF para o sobre a H. M as o AB tem para o BC um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, tam bém o sobre a EF tem para o sobre a H um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado. Portanto, a EF é com ensurável com a H em com prim ento; portanto, a EF é m aior em potência do que a FG pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. E as EF, FG são racionais, e a EF é com ensurável com a D em com prim ento. Portanto, a EG é um a p rim eira binom ial; o que era preciso provar.

49. Achar a seg u n d a bin om ial. Fiquem expostos os núm eros AC, CB, de modo a, por um lado, o com ­ posto AB deles ter para o BC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, e, por outro lado, não ter para o AC um a razão que 401

Euclides

um número quadrado, para um número quadrado, e fique exposta a D racional, e seja a EF com ensu­

c

rável com a D em com prim ento; portanto, a EF é racional. Fique produzido, então, tam bém como

E

[A D

F

B

o núm ero CA para o AB, assim o sobre a EF para

G

o sobre a FG; portanto, o sobre a EF é com en­ surável com o sobre a FG. Portanto, tam bém a FG é racional. E, como o núm ero CA não tem para o AB um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, nem o sobre a EF tem para o sobre a FG um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. Portanto, a EF é incom ensurável com a FG em com prim ento; portanto, as EF, FG são racio ­ nais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EG é um a binom ial. Deve-se provar, então, que tam bém é um a segunda. Pois, por inversão, como o núm ero BA está para o AC, assim o sobre a GF para o sobre a FE, mas o BA é m aior do que o AC, portanto, [tam bém ] o sobre a GF é m aior do que o sobre a FE. Sejam os sobre as EF, H iguais ao sobre GF; portanto, por conversão, como o AB está para o BC, assim o sobre a FG para o sobre a H. M as o AB tem para o BC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, tam bém o sobre a FG tem para o sobre a H um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. Portanto, a FG é com ensurável com a H em com pri­ m ento; desse modo, a FG é m aior em potência do que a FE pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. E as FG, FE são racionais com ensuráveis som ente em potência, e o com ponente m enor EF é com ensurável com a exposta racional D em com prim ento. Portanto, a EG é um a segunda binom ial; o que era preciso provar.

50. A char a terceira binom ial. Fiquem expostos os dois núm eros AC, CB, de modo a, por um lado, o com posto AB deles ter para o BC um a razão que um número quadrado, para um número quadrado, e, por outro lado, não ter para o AC um a razão que 402

O s elem entos

A_______ C B

um número quadrado, para um número quadrado. E fique exposto tam bém al­

E ■-------- ■

I ■— ■ D ■-------- ■ gum outro núm ero não quadrado D, e

F G H .-------------------.-------------■

não tenha para cada um dos BA, AC um a , j j razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; e fique exposta

algum a reta racional, a E, e fique produzido como o D para o AB, assim o sobre a E para o sobre a FG; portanto, o sobre a E é com ensurável com o sobre a FG. E a E é racional; portanto, também a FG é racional. E, como o D não tem para o AB um a razão que um núm ero quadrado, para um n ú ­ mero quadrado, nem o sobre a E tem para o sobre a FG um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a E é incom ensu­ rável com a FG em com prim ento. F ique produzido, então, de novo, como o número BA para o AC, assim o sobre a FG para o sobre a G H ; portanto, o sobre a FG é com ensurável com o sobre a GH. M as a FG é racional; p o rtan ­ to, tam bém a GH é racional. E, como o BA não tem para o AC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, nem o sobre a FG tem para o sobre a H G um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a FG é incom ensurável com a GH em com ­ prim ento. Portanto, as FG, GH são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a FH é um a binom ial. D igo, então, que é tam bém um a terceira. Pois, como o D está para o AB, assim o sobre a E para o sobre a FG, e, como o BA para o AC, assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, por igual posto, como o D está para o AC, assim o sobre a E para o sobre a GH. M as o D não tem para o AC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, nem o sobre a E tem para o sobre a GH um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a E é incom ensurável com a GH em com prim ento. E, como 0 BA está para o AC, assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, o sobre a FG é m aior do que o sobre a GH. Sejam , de fato, os sobre as GH, 1 iguais ao sobre a FG; portanto, por conversão, como o AB [está] para o BC, assim o sobre a FG para o sobre a I. M as o AB tem para o BC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, tam bém 4 03

Euclides

o sobre a FG tem para o sobre a I um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a FG [é] com ensurável com a I em com prim ento. Portanto, a FG é m aior em potência do que a GH pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. E as FG, GH são racionais com ensuráveis som ente em potência, e nenhum a delas é com ensurável com a E em com prim ento. Portanto, a FH é um a terceira binom ial; o que era preciso provar.

51. A char a q u a rta b in o m ia l. Fiquem expostos os dois números AC, CB, de modo

A

a não ter o AB para o BC, nem, por certo, para o AC D

um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado. E fique exposta a D racional, e seja a EF

C

com ensurável com a D em com prim ento; portanto, tam bém a EF é racional. E fique produzido como o

B

H

núm ero BA para o AC, assim o sobre a EF para o sobre a FG; portanto, o sobre a EF é com ensurável com o sobre a FG; portanto, tam bém a FG é racional. E, como o BA não tem para o AC um a razão que um número quadrado, para um número quadrado, nem o sobre a EF tem para o sobre a FG um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a EF é incom ensurável com a FG em com prim ento. Portanto, as EF, FG são racionais com ensuráveis som ente em potência; desse modo, a EG é um a binom ial. D igo, então, que é tam bém um a quarta. Pois, como o BA está para o AC, assim o sobre a EF para o sobre a FG [m as, o BA é m aior do que o A C ], portanto, o sobre a EF é m aior do que o sobre a FG. Sejam , de fato, os sobre as FG, H iguais ao sobre a EF; por­ tanto, por conversão, como o núm ero AB para o BC, assim o sobre a EF para o sobre a H. M as o AB não tem para o BC um a razão que um número quadrado, para um número quadrado; portanto, nem o sobre a EF tem para o sobre a H um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadra­ 404

O s elem entos

do. Portanto, a EF é incom ensurável com a H em com prim ento; portanto, a EF é m aior em potência do que a GF pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a. E as EF, FG são racionais com ensuráveis som ente em potência, e a EF é com ensurável com a D em com prim ento. Portanto, a EG é um a quarta binom ial; o que era preciso provar.

52. A char a q u in ta binom ial. Fiquem expostos os dois núm eros AC, CB, de modo A

c

D

^

a não ter o AB para cada um deles um a razão que um

, P

núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, e fique exposta algum a reta racional, a D, e seja a EF com en­

B

surável com a D [em com prim ento]; portanto, a EF é H

q

racional. E fique produzido como o CA para o AB, assim o sobre a EF para o sobre a FG. M as o CA não tem para

o AB um a razão que um número quadrado, para um número quadrado; por­ tanto, nem o sobre a EF tem para o sobre a FG um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado. Portanto, as EF, FG são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EG é um a binom ial. D igo, então, que é tam bém um a quinta. Pois, como o CA está para o AB, assim o sobre a EF para o sobre a FG, por inversão, como o BA para o AC, assim o sobre a FG para o sobre a FE; portanto, o sobre a GF é m aior do que o sobre a FE. Sejam , de fato, os sobre as EF, H iguais ao sobre a GF; portanto, por conversão, como o núm ero AB está para o BC, assim o sobre a GF para o sobre a H. M as o AB não tem para o BC um a razão que um número quadrado, para um número quadrado; portanto, nem o sobre a FG tem para o sobre a H um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. Portanto, a FG é incom ensurável com a H em com prim ento; desse modo, a FG é m aior em potência do que a FE pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E as GF, FE são racionais com ensuráveis som ente em potência e a m enor com ponente EF é comensurável com a exposta racional D em com primento. Portanto, a EG é um a qu in ta binom ial; o que era preciso provar. 4 05

Euclides

53. A char a sexta binom ial. Fiquem expostos os dois números AC, CB, de modo a não ter o AB para cada um deles um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; e seja tam bém um outro núm ero, o D, não sendo quadrado nem tendo para cada um dos BA, AC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; e fique

Ii

exposta algum a reta racional, a E, e fique produzido como o D para o AB, assim o sobre a E para o sobre a FG; portanto, o sobre a E é com ensurável com o sobre a FG. E a E é racional; portanto, tam bém a FG é racional. E, como o D não tem para o AB um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado, portanto, nem o sobre a E tem para o sobre a FG um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a E é in co ­ m ensurável com a FG em com prim ento. F ique produzido, então, de novo, como o BA para o AC, assim o sobre a FG para o sobre a GH. Portanto, o sobre a FG é com ensurável com o sobre H G . Portanto, o sobre a H G é racional; portanto, a H G é racional. E, como o BA não tem para o AC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, nem o sobre a FG tem para o sobre a GH um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a FG é incom ensurável com a GH em com prim ento. Portanto, as FG, GH são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a FH é um a binom ial. Deve-se, então, provar que é tam bém um a sexta. Pois, como o D está para o AB, assim o sobre a E para o sobre a FG, mas, tam bém como o BA para o AC, assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, por igual posto, como o D está para o AC, assim o sobre a E para o sobre a GH. M as o D não tem para o AC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, nem o sobre a E tem para o sobre a GH um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a E é incom ensurável com a GH em com pri­ 406

O s elem entos

mento. M as foi provada tam bém incom ensurável com a FG; portanto, cada um a das FG, GH é incom ensurável com a E em com prim ento. E, como 0 BA está para o AC, assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, o sobre a FG é m aior do que o sobre a GH. Sejam , de fato, os sobre as GH, 1 iguais ao sobre [a] FG; portanto, por conversão, como o AB para o BC, assim o sobre FG para o sobre a I. M as o AB não tem para o BC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; desse modo, nem o sobre a FG tem para o sobre a I um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. Portanto, a FG é incom ensurável com a I em com prim ento; portanto, a FG é m aior em potência do que a GH pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a. E as FG, GH são racionais com ensuráveis som ente em potência, e nenhum a delas é com ensurável em com prim ento com a exposta racional E. Portanto, a FH é um a sexta binom ial; o que era preciso provar. L ema

Sejam os dois quadrados AB, BC e fiquem expostos de modo a estar a DB sobre um a reta com a BE; portanto, tam bém a FB está sobre um a reta com a BG. E fique com pletado o paralelogram o AC. D igo que o AC é um quadrado, e que o DG é m édio, em proporção, entre os AB, BC, e ainda o DC é m édio, em proporção, entre os AC, CB. Pois, como, por um lado, a DB é igual à BF, e, por C

outro lado, a BE, à BG, portanto, a DE toda é igual à

E

FG toda. M as a DE é igual a cada um a das AH , IC, en­ quanto a FG é igual a cada um a das AI, H C ; portanto, tam bém cada um a das AH , IC é igual a cada um a das

pi

AI, H C . Portanto, o paralelogram o AC é equilátero; mas tam bém é equiângulo; portanto, o AC é um quadrado.

E,

como a FB está para a BG, assim a DB para a BE, mas, por um lado,

como a FB para a BG, assim o AB para o DG, e, por outro lado, como a DB para a BE, assim o DG para o BC, portanto, tam bém como o AB para o DG, assim o DG para o BC. Portanto, o DG é m édio, em proporção, entre os AB, BC. Digo, então, que também o D C [é] médio, em proporção, entre os AC, CB. 4 07

Euclides

Pois, como a AD está para a DI, assim a IG para a G C; pois, cada um a [é] igual a cada uma; e, por com posição, como a AI para a ID, assim a IC para a CG , mas, por um lado, como a AI para a ID, assim o AC para o CD , e, por outro lado, como a IC para CG, assim o DC para CB, portanto, tam bém como o AC para D C, assim o D C para o BC. Portanto, o D C é m édio, em proporção, entre os AC, CB; as quais coisas era proposto provar.

54. C aso u m a área seja co n tid a p o r u m a ra cio n a l e a p r im e ir a bin om ial, a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir a área é irra cion a l, a ch a m a d a binom ial. Seja, pois, a área AC contida pelas racional

:

AB e prim eira binom ial AD; digo que a que serve para produzir a área AC é irracional, a cham ada binom ial.

H 1

j

Pois, como a AD é um a p rim eira binom ial, fique dividida nas com ponentes no E, e seja a AE a com ponente maior. É evidente, então, que as AE, ED são racionais com ensuráveis

M

som ente em potência, e a AE é m aior em potên­ cia do que a ED pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a, e a AE é com ensurável com a racional exposta AB em com prim ento. Fique, então, cortada a ED em duas no ponto F. E, como a AE é m aior em potência do que a ED pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, portanto, caso seja aplicado à m aior AE um igual à quarta parte do sobre a menor, isto é, ao sobre a EF, deficiente por um a figura quadrada, divide-a em com ensuráveis. Fique, de fato, aplicado à AE o pelas AG, GE igual ao sobre a EF; portanto, a AG é com ensurável com a EG em com prim ento. E fiquem traçadas, a p artir dos G, E, F, as GH, EI, FJ paralelas a qualquer um a das AB, CD ; e, por um lado, fique construído o quadrado SM igual ao paralelogram o AH, e, por outro lado, o M P igual ao GI, e fiquem postos de modo a estar a LM sobre um a reta com a M N ; portanto, tam bém a R M está sobre um reta com a M O . E 408

O s elem entos

fique com pletado o paralelogram o SP; portanto, o SP é um quadrado. E, como o pelas AG, GE é igual ao sobre a EF, portanto, como a AG está para EF, assim a FE para EG; portanto, tam bém como o AH para EJ, o EJ para IG; portanto, o EJ é m édio, em proporção, entre os AH , GI. M as, por um lado, o AH é igual ao SM , e, por outro lado, o GI é igual ao M P; portanto, o EJ é m édio, em proporção, entre os SM , M P M as tam bém o L R é m é­ dio, em proporção, entre os SM , M P; portanto, o EJ é igual ao LR ; desse modo, tam bém é igual ao O N . M as tam bém os AH , GI são iguais aos SM , M P; portanto, o AC todo é igual ao SP todo, isto é, ao quadrado sobre a LN ; portanto, a LN serve para produzir o AC. D igo que a LN é um a binom ial. Pois, como a AG é comensurável com a GE, também a AE é comensurável com cada um a das AG, GE. M as também a AE foi suposta comensurável com a AB; portanto, as AG, GE são com ensuráveis com a AB. E a AB é racional; portanto, tam bém cada um a das AG, GE é racional; portanto, cada um dos AH, GI é racional, e o AH é com ensurável com o GI. M as, por um lado, o AH é igual ao SM , e, por outro lado, o GI, ao M P; portanto, tam bém os SM , M P isto é, os sobre as LM , M N são racionais e com ensuráveis. E, como a AE é incom ensurável com a ED em com prim ento, mas, por um lado, a AE é com ensurável com a AG, e, por outro lado, a DE é com ensurável com a EF, portanto, tam bém a AG é incom ensurável com a EF; desse modo, tam bém o AH é incom ensurável com o EJ. M as, por um lado, o AH é igual ao SM , e, por outro lado, o EJ, ao L R ; portanto, o S M é incom ensurável com o LR . M as, como o S M para LR , a O M para a M R ; portanto, a O M é incom ensurável com a M R . M as, por um lado, a O M é igual à LM , e, por outro lado, a M R , à M N ; portanto, a LM é incom ensurável com a M N . E o sobre a LM é com ensurável com o sobre a M N , e cada um é racional; portanto, as LM , M N são racionais com ensuráveis em potência. Portanto, a LN é um a binom ial e serve para produzir a AC; o que era preciso provar.

409

Euclides

55. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e a seg u n d a bin om ial, a q ue s er v e p a r a p r o d u z ir a área é irra cion a l, a ch a m a d a p r im e ir a bim edial. Seja, pois, a área ABCD contida pelas racio ­

:

nal AB e segunda binom ial AD; digo que a que serve para produzir a área AC é um a p rim eira bim edial.

B

H 1

j

Pois, como a AD é um a segunda binom ial, fique dividida nas com ponentes no E, de modo a ser a AE a m aior com ponente; portanto, as AE, ED são racionais com ensuráveis som ente

M

em potência, e a AE é m aior em potência do que a ED pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, e a m enor com ponente ED é com ensu­ rável com a AB em com prim ento. Fique cortada a ED em duas no F, e fique aplicado à AE o pelas AGE igual ao sobre a EF, deficiente por um a figura quadrada. Portanto, a AG é com ensurável com a GE em com prim ento. E pelos G, E, F fiquem traçadas as GH, EI, FJ paralelas às AB, CD , e fiquem construídos, por um lado, o quadrado S M igual ao paralelogram o AH, e, por outro lado, o quadrado M P igual ao GI, e fiquem postos de modo a estar a LM sobre um a reta com a M N ; portanto, tam bém a R M [está] sobre um a reta com a M O . E fique com pletado o quadrado SP; é evidente, então, do que foi antes provado, que o L R é um m édio, em proporção entre os SM , M P e é igual ao EJ, e ainda a LN serve para produzir a área AC. Deve-se, então, provar que a LN é um a p rim eira bim edial. Como a AE é incom ensurável com a ED em com prim ento, e a ED é com ensurável com a AB, portanto, a AE é incom ensurável com a AB. E, como a AG é com ensu­ rável com a EG, tam bém a AE é com ensurável com cada um a das AG, GE. M as a AE é incom ensurável com a AB em com prim ento; portanto, tam bém as AG, GE são incom ensuráveis com a AB. Portanto, as BA, AG, GE são racionais com ensuráveis som ente em potência; desse modo, cada um dos AH , GI é m edial. Desse modo, tam bém cada um dos SM , M P é m edial. 410

O s elem entos

Portanto, tam bém as LM , M N são m ediais. E, como a AG é com ensurável com a GE em com prim ento, tam bém o AH é com ensurável com o GI, isto é, o SM , com o M P isto é, o sobre a L M com o sobre a M N [porque as LM , M N são com ensuráveis em p o tên cia]. E, como a AE é incom ensurável com a ED em com prim ento, mas, por um lado, a AE é com ensurável com a AG, e, por outro lado, a ED é com ensurável com a EF, portanto, a AG é incom ensurável com a EF; desse modo, tam bém o AH é incom ensurável com o EJ, isto é, o SM , com o LR , isto é, a O M , com a M R , isto é, a LM é incom ensurável com a M N em com prim ento. E as LM , M N foram provadas tam bém m ediais, sendo tam bém com ensuráveis em potência; portanto, as LM. M N são m ediais comensuráveis somente em potência. Digo, então, que tam bém contêm um racional. Pois, como a DE foi suposta com ensurável com cada um a das AB, EF, portanto, tam bém a EF é com ensurável com a EI. E cada um a delas é racional; portanto, o EJ, isto é, o L R é racional; mas, o L R é o pelas LM N . E, caso duas m ediais, com ensuráveis som ente em potência, contendo um racional sejam com postas, a toda é irracional, e foi cham ada p rim eira bim edial. Portanto, a LN é um a p rim eira bim edial; o que era preciso provar.

56. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e a terceira bin om ial, a que s er v e p a r a p r o d u z ir a área é irra cion a l, a ch a m a d a seg u n d a bim edial. Seja, pois, contida a área ABCD pela racio ­ nal AB e a terceira binom ial AD, dividida nas com ponentes no E, das quais a AE é a m aior; H I J

C

digo que a que serve para pro duzir a área AC é irracional, a cham ada segunda bim edial.

S__ P N

M

Fiquem , pois, construídas as mesm as coi­ sas que nos anteriores. E, como a AD é um a terceira binom ial, p o rtan to , as AE, ED são racionais com ensuráveis som ente em potência,

D

e a AE é m aior em potência do que a ED pelo 4 tt

Euclides

sobre um a com ensurável com aquela mesm a, e nenhum a das AE, ED [é] com ensurável com a AB em com prim ento. Do mesmo modo, então, que nas coisas provadas antes, provaremos que a LN é a que serve para produzir a área AC, e as LM , M N são m ediais com ensuráveis som ente em potência; desse modo, a LN é bim edial. Deve-se, então, provar que é tam bém um a segunda. [E] como a DE é incom ensurável com a AB em com prim ento, isto é, com a EJ, mas a DE é com ensurável com a EF, portanto, a EF é incom en­ surável com a EI em com prim ento. E são racionais; portanto, as FE, EI são racionais com ensuráveis som ente em potência. Portanto, o EJ, isto é, o L R é m edial; e está contido pelas L M N ; portanto, o pelas L M N é m edial. Portanto, a LN é um a segunda bim edial; o que era preciso provar.

57. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e a q u a rta bin om ial, a q ue s e r v e p a r a p r o d u z ir a área é irracion a l, a ch a m a d a maior. Seja, pois, contida a área AC pela racional

:

AB e a quarta binom ial AD, dividida nas com ­ ponentes no E, das quais a m aior seja a AE; digo que a que serve para pro duzir a área AC é

H 1

j

irracional, a cham ada maior. Pois, como a AD é um a quarta binom ial, portanto, as AE, ED são racionais com ensu­

M

ráveis som ente em potência, e a AE é m aior em p o tên cia do que a ED pelo sobre um a incom ensurável com aquela m esm a, e a AE [é] com ensurável com a AB em com prim ento. F ique cortada a DE em duas no F, e fique aplicado à AE o paralelogram o pelas AG, GE igual ao sobre a EF; portanto, a AG é incom ensurável com a GE em com prim ento. Fiquem traçadas as GH, EI, FJ paralelas à AB, e as restantes coisas fiquem produzidas as mesm as que as nos antes deste; é evidente, então, que a que serve para pro duzir a área AC é a LN. Deve-se, 412

O s elem entos

então, provar que a LN é um a irracional, a cham ada maior. Com o a AG é incom ensurável com a EG em com prim ento, e o AH é incom ensurável com o GI, isto é, o S M com o M P; portanto, as LM , M N são incom ensuráveis em potência. E, como a AE é com ensurável com a AB em com prim ento, o AI é racional; e é igual aos sobre as LM , M N ; portanto, tam bém o com posto dos sobre as LM , M N [é] racional. E, como a DE [é] incom ensurável com a AB, isto é, com a EI em com prim ento, mas a DE é com ensurável com a EF, portanto, a EF é incom ensurável com a EI em com prim ento. Portanto, as EI, EF são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, o JE, isto é, o L R é m edial. E está contido pelas LM , M N ; portanto, o pelas LM , M N é m edial. E o [com posto] dos sobre as LM , M N é racional, e as LM , M N são incom ensuráveis em potência. M as, caso duas retas incom en­ suráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas racional, e, por outro lado, o por elas m edial, sejam com postas, a toda é irracional, e é cham ada maior. Portanto, a LN é irracional, a cham ada maior, e serve para pro duzir a área AC; o que era preciso provar.

58. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e a q u in ta bin om ial, a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir a área é irracion a l, a ch a m a d a a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir u m ra cio n a l e u m m edial. ■*

:

D

Seja, pois, contida a área AC pela racional AB e a q u in ta binom ial AD, dividida nas com po-

H i

£ j

nentes no E, de modo a ser a AE a m aior com ­ ponente; digo, [en tão ], que a que serve para produzir a área AC é irracional, a chamada a que serve para pro duzir um racional e um m edial.

M

Fiquem , pois, construídas as mesmas coisas que nos provados antes; é evidente, então, que a que serve para produzir a área AC é a LN. Deve-se, então, provar que a LN é a que serve 4 13

Euclides

para produzir um racional e um m edial. Pois, como a AG é incom ensurável com a GE, portanto, tam bém o AH é incom ensurável com o HE, isto é, o sobre a LM com o sobre a M N ; portanto, as LM , M N são incom ensuráveis em potência. E, como a AD é um a quin ta binom ial, e o ED [é] o m enor segm ento dela, p ortanto, a ED é com ensurável com a AB em com prim ento. M as a AE é incom ensurável com a ED; portanto, tam bém a AB é incom en­ surável com a AE em com prim ento. [As BA, AE são racionais comensuráveis som ente em potência.] Portanto, o AI, isto é, o com posto dos sobre as LM, M N é m edial. E, como a ED é com ensurável com a AB em com prim ento, isto é, com a EI, mas a DE é com ensurável com a EF, portanto, tam bém a EF é com ensurável com a EI. E a EI é racional; portanto, tam bém o EJ é racional, isto é, o LR , isto é, o pelas L M N ; portanto, as LM , M N são in co ­ m ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas m edial, e, por outro lado, o por elas racional. Portanto, a LN é a que serve para produzir um racional e um m edial e serve para pro duzir a área AC; o que era preciso provar.

59. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e a sexta bin om ial, a q ue ser v e p a r a p r o d u z ir a área é irracion a l, a ch a m a d a a q u e s e r v e p a r a p r o d u z ir dois m ediais. Seja, pois, contida a área ABCD pela ra­ :

cio n al AB e a sexta b in o m ial AD, d iv id id a

1

nas com ponentes no E, de m odo a ser a AE a m aior com ponente; digo que a que serve para

H I J

pro duzir o AC é a que serve para produzir dois m ediais.

F

Fiquem , [p o is], construídas as mesmas coi­ sas que nos provados antes. É evidente, então,

N

M

que a que serve para produzir o AC é a LN, e que a LM é incom ensurável com a M N em potência. E, como a EA é incom ensurável com 4 14

]

C

O s elem entos

a AB em com prim ento, portanto, as EA, AB são racionais com ensuráveis som ente em potência. Portanto o AI, isto é, o com posto dos sobre as LM, M N é m edial. De novo, como a ED é incom ensurável com a AB em com ­ prim ento, portanto, tam bém a FE é incom ensurável com a EI; portanto, as FE, EI são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, o EJ é m edial, isto é, o LR , isto é, o pelas LM N . E, como a AE é incom ensurável com a EF, tam bém o AI é incom ensurável com o EJ. M as, por um lado, o AI é o com posto dos sobre as LM , M N , e, por outro lado, o EJ é o pelas LM N ; portanto, o com posto dos sobre as L M N é incom ensurável com o pelas LM N . E, cada um deles é m edial, e as LM , M N são incom ensuráveis em potência. Portanto, a LN é a que serve para pro duzir dois m ediais e serve para produzir o AC; o que era preciso provar. [L ema

C aso u m a linha reta seja corta d a em desiguais, os q u a d ra d o s sobre as d esigu a is são m a io re s do q u e d u a s vezes o retâ n g u lo con tid o p e la s desiguais. ^

Seja a reta AB e fique cortada em desiguais no C, e seja a AC a m aior; digo que os sobre as AC, CB são m aiores do que duas vezes o

, Q pelas AC, CB. "C

Fique, pois, a AB cortada em duas no D. Com o, de fato, um a linha reta foi cortada, por um lado, em iguais no D, e, por outro lado, em desiguais no C, portanto, o pelas AC, CB, com o sobre CD é igual

ao sobre AD; desse modo, o pelas AC, CB é m enor do que o sobre AD; portanto, duas vezes o pelas AC, CB é m enor do que o dobro do sobre AD. M as os sobre as AC, CB [são] o dobro dos sobre as AD, D C; portanto, os sobre as AC, CB são m aiores do que duas vezes o pelas AC, CB; o que era preciso provar.]

4 15

Euclides

60. O sobre a bin om ial, ap lica d o a u m a ra cion al, faz ^ com o la rg u ra a p r im e ir a binom ial. Seja a binom ial AB dividida nas com ponentes . M

no C, de m odo a ser a AC a m aior com ponente, e fique exposta a DE racional, e fique aplicado à DE o DEFG igual ao sobre a AB, fazendo como largu­

H

K

N

ra a DG; digo que a DG é um a p rim eira binom ial. Fiquem , pois, aplicado à DE, por um lado, o

A

c

B

D H igual ao sobre a AC, e, por outro lado, o IJ igual ao sobre a BC; portanto, o restante, duas vezes o pelas AC, CB, é igual ao LF. Fique cortada a LG em duas no M , e fique traçada a M N paralela [a cada um a das LJ, G F ]. Portanto, cada um dos LN, M F é igual a um a única vez o pelas ACB. E, como a AB é um a binom ial dividida nas com ponentes no C, portanto, as AC, CB são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, os sobre as AC, CB são racionais e com ensuráveis entre si; desse modo, tam bém o com posto dos sobre as AC, CB [é com ensurável com os sobre as AC, CB; portanto, o com posto dos sobre as AC, CB é racio n al]. E é igual ao DJ; portanto, o DJ é racional. E foi aplicado à racional DE; portanto, a DL é racional e com ensurável com a DE em com prim ento. De novo, como as AC, CB são racionais com ensuráveis som ente em potência, portanto, duas vezes o pelas AC, CB, isto é, o LF é m edial. E foi aplicado à racional LJ; portanto, a LG é racional e incom ensurável com a LJ, isto é, com a DE em com prim ento. M as tam bém a LD é racional e com ensurável com a DE em com prim ento; portanto, a DL é incom ensurável com a LG em com prim ento. E são racionais; portanto, as DL, LG são racionais co­ m ensuráveis som ente em potência; portanto, a DG é um a binom ial. Deve-se, então, provar que é tam bém um a prim eira. Como o pelas ACB é m édio, em proporção, entre os sobre as AC, CB, portanto, tam bém o LN é m édio, em proporção, entre os DH, IJ. Portanto, como o DH está para o LN, assim o LN para o IJ, isto é, como a DI para a LM , a LM para a LI; portanto, o pelas DI, IL é igual ao sobre a LM . E, como o 416

O s elem entos

sobre a AC é comensurável com o sobre a CB, também o DH é comensurável com o IJ; desse modo, tam bém a DI é com ensurável com a IL. E, como os sobre as AC, CB são maiores do que duas vezes o pelas AC, CB, portanto, tam bém o DJ é m aior do que o LF; desse modo, tam bém a DL é m aior do que a LG. E o pelas DI, IL é igual ao sobre a LM , isto é, a um quarto do sobre a LG, e a DI é com ensurável com a IL. M as, caso duas retas sejam desiguais, e seja aplicado à m aior um igual à quarta parte do sobre a menor, deficiente por um a figura quadrada e divida-a em com ensuráveis, a m aior é m aior em potência do que a menor pelo sobre um a comensurável com aquela m esma; portanto, a DL é m aior em potência do que a LG pelo sobre um a comensurável com aquela mesma. E as DL, LG são racionais, e a m aior com­ ponente DL é com ensurável com a exposta racional DE em com prim ento. Portanto, a DG é um a p rim eira binom ial; o que era preciso provar.

61. O sobre a p r im e ir a bim edial, ap licado a u m a ra cion al, f a z co m o la rg u ra a seg u n d a binom ial. ^ ^ ^

1—1

S e ja a p rim e ira b im e d ia l AB d iv id id a nas

11

^

m ediais no C, das quais a AC é a maior, e fique exposta a racional DE, e fique aplicado à DE o

^

H

N

^

paralelogram o DF, igual ao sobre a AB, fazendo

_______ _

_

como largura a DG; digo que a DG é um a segunda

A

B

binom ial.

C

Fiquem , pois, construídas as mesm as coisas que nos antes deste. E, como a p rim eira bim edial AB foi dividida no C, as AC, CB são m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo um racional; desse modo, tam bém os sobre as AC, CB são m ediais. Portanto, o DJ é m edial. E foi aplicado à racional DE; portanto, a LD é racional e incom ensurável com a DE em com prim ento. De novo, como duas vezes o pelas AC, CB é racional, tam bém o LF é racional. E foi justaposto à racional LJ; portanto, tam bém a LG é racional e com ensurável em com prim ento com a LJ, isto é, com a DE; portanto, a DL é incom ensurável com a LG em com prim ento. E são 4 17

Euclides

racionais; portanto, as DL, LG são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a DG é um a binom ial. Deve-se, então, provar que é tam bém um a segunda. Pois, como os sobre as AC, CB são m aiores do que duas vezes o pelas AC, CB, portanto, tam bém o DJ é m aior do que o LF; desse modo, tam bém a DL, do que a LG. E, como o sobre a AC é com ensurável com o sobre a CB, tam bém o DH é com ensurável com o IJ; desse modo, tam bém a DI é com ensurável com a IL. E o pelas DIL é igual ao sobre a L M ; portanto, a DL é m aior em potência do que a LG pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. E a LG é com ensurável com a DE em com prim ento. Portanto, a DG é um a segunda binom ial.

62. O sobre a seg u n d a bim edial, a p licado a u m a ra cion al, faz ^ com o la rg u ra a terceira binom ial. Seja a segunda bim edial AB dividida nas m e­

. M

diais no C, de modo a ser o AC o m aior segm ento, e seja a DE algum a racional, e fique aplicado à DE H V N

o paralelogram o DF igual ao sobre a AB, fazendo como largura a DG; digo que a DG é um a terceira A

binom ial.

C

B

Fiquem construídas as mesmas coisas que nos provados anteriorm ente. E, como a AB é um a segunda bim edial dividida no C, portanto, as AC, CB são m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo um m edial; desse modo, tam bém o com posto dos sobre as AC, CB é m edial. E é igual ao DJ; portanto, tam bém o DJ é m edial. E foi justaposto à racional DE; portanto, tam bém a LD é racional e incom ensurável com a DE em com ­ prim ento. Pelas mesmas coisas, então, tam bém a LG é racional e incom en­ surável com a LJ, isto é, com a DE, em com prim ento; portanto, cada um a das DL, LG é racional e incom ensurável com a DE em com prim ento. E, como a AC é incom ensurável com a CB em com prim ento, e como a AC para a CB, assim o sobre a AC para o pelas ACB, portanto, tam bém o sobre a 418

O s elem entos

AC é incom ensurável com o pelas ACB. Desse modo, tam bém o com posto dos sobre as AC, CB é incom ensurável com duas vezes o pelas ACB, isto é, o DJ com o LF; desse modo, tam bém a DL é incom ensurável com a LG. E são racionais; portanto, a DG é um a binom ial. Deve-se, [e n tão ], provar que é tam bém um a terceira. Do mesmo modo, então, que nos anteriores, concluirem os que a DL é m aior do que a LG, e a DI é com ensurável com a IL. E o pelas DIL é igual ao sobre a L M ; portanto, a DL é m aior em potência do que a LG, pelo sobre um com ensurável com aquela m esm a. E nenhum a das DL, LG é com ensurável com a DE em com prim ento. Portanto, a DG é um a terceira binom ial; o que era preciso provar.

63. O sobre a m aior, ap licado a u m a ra cion al, faz^ com o la rg u ra a q u a rta binom ial. Sejam a m aior AB dividida no C, de modo a

. M

ser a AC m aior do que CB, e a DE um a racional, e fique aplicado à DE o paralelogram o DF igual H

V

N

ao sobre a AB, fazendo como largura a DG; digo que a DG é um a quarta binom ial.

A

C

B

Fiquem construídas as mesmas coisas que nos provados anteriorm ente. E, como a AB é um a

maior, dividida no C, as AC, CB são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o composto dos quadrados sobre elas racional, e, por outro lado, o por elas m edial. Como, de fato, o com posto dos sobre as AC, CB é racio ­ nal, portanto, também o DJ é racional; portanto, também a DL é racional e comensurável com a DE em com primento. De novo, como duas vezes o pelas AC, CB, isto é, o LF é m edial, e está junto à racional LJ, portanto, também a LG é racional e incom ensurável com a DE em com prim ento; portanto, também a DL é incom ensurável com a LG em com prim ento. Portanto, as DL, LG são racionais com ensuráveis som ente em potência. Portanto, a DG é um a binom ial. 4 19

E uclides

Deve-se, [en tão ], provar que tam bém é um a quarta. Do mesm o modo, então, que nos anteriores, provaremos que a DL é m aior do que a LG, e que o pelas DIL é igual ao sobre a LM . Com o, de fato, o sobre a AC é incom ensurável com o sobre a CB, portanto, tam bém o D H é incom ensurável com o IJ; desse modo, tam bém a DI é incom en­ surável com a IL. M as, caso duas retas sejam desiguais, e seja aplicado à m aior um paralelogram o igual à quarta parte do sobre a menor, deficiente por um a figura quadrada, e divida-a em incom ensuráveis, a m aior será m aior em potência do que a m enor pelo sobre um a incom ensurável com aquela m esm a em com prim ento; portanto, a DL é m aior em potência do que a LG pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E as DL, LG são racionais com ensuráveis som ente em potência, e a DL é com ensurável com a exposta racional DE. Portanto, a DG é um a quarta binom ial; o que era preciso provar.

64. O sobre a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir u m ra cio n a l e u m m edial, ap lica d o a u m a ra cion al, f a z com o la rg u ra a q u in ta binom ial. Seja a que serve para produzir um racional e um

. M

m edial, a AB, dividida nas retas no C, de modo a ser a AC a maior, e fique exposta a racional DE, H

e fique aplicado à DE o DF igual ao sobre a AB,

1

N

fazendo como largura a DG; digo que a DG é um a A

qu in ta binom ial.

C

B

Fiquem construídas as mesmas coisas que nos antes deste. Com o, de fato, a AB, a que serve para p roduzir um racional e um m edial, foi dividida no C, portanto, as AC, CB são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas m edial, e, por outro lado, o por elas racional. Com o, de fato, o com posto dos sobre as AC, CB é m edial, portanto, o DJ é m edial; desse modo, a DL é racional e incom ensurável com a DE em com prim ento. De novo, como duas vezes o pelas ACB, isto é, o LF é racional, portanto, a LG é racional e com ensurável com a DE.

420

O s elem en tos

Portanto, a DL é incom ensurável com a LG; portanto, as DL, LG são racio ­ nais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a DG é um a binom ial. D igo, então, que é tam bém um a quinta. Pois, do mesmo modo será provado que o pelas DIL é igual ao sobre a LM , e a DI é incom ensurável com a IL em com prim ento; portanto, a DL é m aior em potência do que a LG pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E as DL, LG são [racionais] com ensuráveis som ente em potência, e a m enor LG é com ensurável com a DE em com prim ento. Portanto, a DG é um a q u in ta binom ial; o que era preciso provar.

65. O sobre a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir dois m ediais, ap licado a u m a racion al, f a z co m o la rg u ra a sexta binom ial. Seja a que serve para pro duzir dois m ediais, a D -----------*—— ----- G AB, dividida no C, e seja a DE um a racional. E fique aplicado à DE o DF igual ao sobre a AB, E

HJ

N

^

fazendo como largura a DG; digo que a DG é um a sexta binom ial.

A

C

B

Fiquem , pois, construídas as m esm as coisas que nos anteriores. E, como a AB, a que serve para

produzir dois m ediais, é dividida no C, portanto, as AC, CB são incom en­ suráveis em potência, fazendo tanto o com posto dos quadrados sobre elas m edial quanto o por elas m edial, e ainda o com posto dos quadrados sobre elas incom ensurável com o por elas; desse modo, segundo as coisas p ro ­ vadas antes, cada um dos DJ, LF é m edial. E foi justaposto à racional DE; portanto, cada um a das DL, LG é racional e incom ensurável com a DE em com prim ento. E, como o com posto dos sobre as AC, CB é incom ensurável com duas vezes o pelas AC, CB, portanto, o DJ é incom ensurável com o LF. Portanto, tam bém a DL é incom ensurável com a LG; portanto, as DL, LG são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a DG é um a binom ial. D igo, então, que é tam bém um a sexta.

421

E uclides

Do mesm o modo, então, de novo, provaremos que o pelas DIL é igual ao sobre a LM , e que a DI é incom ensurável com a IL em com prim ento; e, pelas mesmas coisas, então, a DL é m aior em potência do que a LG pelo so ­ bre um a incom ensurável com aquela m esm a em com prim ento. E, nenhum a das DL, LG é com ensurável com a exposta racional DE em com prim ento. Portanto, a DG é um a sexta binom ial; o que era preciso provar.

66. A c o m e n s u r á v e l co m a b in o m ia l em co m p rim en to , tanto é ela u m a b in o m ia l q u a n to a m es m a n a ordem . Seja a binom ial AB, e seja a CD com ensu-

A

E

B

rável com a AB em com prim ento; digo que a CD é um a binom ial e é a m esm a que a AB, j

■-------------------------■------------■ C

na ordem.

F

D

Pois, com a AB é um a binom ial, fique dividida nas com ponentes no E, e seja a AE a com ponente m aior; portanto, as AE, EB são racionais com ensuráveis som ente em potência. Fique produzido como a AB para a CD, assim a AE para a CF; portanto, tam bém a EB restante está para a FD restante, como a AB para a CD. M as a AB é com ensurável com a CD em com prim ento. Portanto, tam bém a AE é com ensurável com a CF, enquanto a EB, com a FD. E as AE, EB são racionais; portanto, tam bém as CF, FD são racionais. E [com o] a AE está para a CF, a EB para FD. Portanto, al­ ternadam ente, como a AE está para a EB, a CF para a FD. M as as AE, EB [são] com ensuráveis som ente em potência; portanto, tam bém as CF, FD são com ensuráveis som ente em potência. E são racionais; portanto, a CD é um a binom ial. D igo, então, que é a m esm a que a AB, na ordem. Pois, a AE é m aior em potência do que a EB ou pelo sobre um a com en­ surável com aquela m esm a ou pelo sobre um a incom ensurável. Se, por um lado, de fato, a AE é m aior em potência do que a EB pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, tam bém a CF será m aior em potência do que a FD pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. E, se a AE é

422

O s elem en tos

com ensurável com a exposta racional, tam bém a CF será com ensurável com ela, e, por isso, cada um a das AB, CD é um a prim eira binom ial, isto é, são a mesm a, na ordem . Enquanto que, se a EB é com ensurável com a exposta racional, tam bém a FD é com ensurável com ela, e, por isso, de novo, será a m esm a que a AB, na ordem ; pois, cada um a delas será um a segunda b in o ­ m ial. E nquanto que, se, por sua vez, nenhum a das AE, EB é com ensurável com a exposta racional, nenhum a das CF, FD será com ensurável com ela, e cada um a é um a terceira. Se, por outro lado, a AE é m aior em potência do que a EB pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma, tam bém a CF é m aior em potência do que a FD pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E, se a AE é com ensurável com a exposta racional, tam bém a CF é com ensurável com ela, e cada um a é um a quarta. Enquanto que, se EB, tam bém a FD, e cada um a será um a quinta. Ao passo que, se, por sua vez, nenhum a das AE, EB, tam bém nenhum a das CF, FD é com ensurável com a exposta racional, e cada um a será um a sexta. Desse modo, a com ensurável com a binom ial em com prim ento é um a binom ial e a mesm a, na ordem ; o que era preciso provar.

67. A co m en s u r á v e l co m a b im ed ia l em co m p rim en to ela é tanto u m a bim ed ia l q u a n to a m esm a, n a ordem . Seja a bim edial AB, e seja a CD com ensurável com a AB A______ E B F C

em com prim ento; digo que a CD é bim edial e a m esm a que a AB, na ordem.

D

Pois, como a AB é um a bim edial, fique dividida nas m ediais no E; portanto, as AE, EB são m ediais com en­

suráveis som ente em potência. E fique produzido como a AB para a CD, a AE para CF; portanto, a EB restante está para a FD restante, como AB para CD . M as a AB é com ensurável com a CD em com prim ento; portanto, tam bém cada um a das AE, EB é com ensurável com cada um a das CF, FD. M as as AE, EB são m ediais; portanto, tam bém as CF, FD são m ediais. E, como a AE está para EB, a CF para FD, mas as AE, EB são com ensuráveis 4 23

E uclides

som ente em potência, [po rtan to ] tam bém as CF, FD são com ensuráveis som ente em potência. E foram tam bém provadas m ediais; portanto, a CD é um a bim edial. D igo, então, que tam bém é a m esm a que a AB, na ordem. Pois, como a AE está para a EB, a CF para FD, portanto, como o sobre a AE para o pelas AEB, assim o sobre a CF para o pelas CFD ; alternadam ente, como o sobre a AE para o sobre a CF, assim o pelas AEB para o pelas CFD. M as o sobre a AE é com ensurável com o sobre a CF; portanto, tam bém o pelas AEB é com ensurável com o pelas CFD . Se, de fato, o pelas AEB é racional, tam bém o pelas CFD é racional [e, por isso, é um a prim eira b im ed ial]. Ao passo que, se m edial, m edial, e cada um a é um a segunda. E, por isso, a CD será a m esm a que a AB, na ordem ; o que era preciso provar.

68. A co m en s u r á v e l co m a m a io r ta m b ém ela é maior. Seja a AB um a m aior e seja a CD com ensurável com a AB; digo que a CD é um a maior.

C F D ■------ ■— ■

F ique dividida a AB no E; portanto, as AE, EB são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o

^

E B

com posto dos quadrados sobre elas racional, e, por outro lado, o por elas m edial; e fiquem produzidas as mesmas coisas que nos an­ teriores. E, como a AB está para a CD , assim tanto a AE para a CF quanto a EB para a FD, portanto, como a AE para a CF, assim a EB para a FD. M as a AB é com ensurável com a CD . Portanto, tam bém cada um a das AE, EB é com ensurável com cada um a das CF, FD. E, como a AE está para a CF, assim a EB para a FD, e, alternadam ente, como a AE para a EB, assim a CF para a FD, e, portanto, por com posição, como a AB está para a BE, assim a CD para a DF; portanto, tam bém como o sobre a AB para o sobre a BE, assim o sobre a CD para o sobre a DF. Do mesmo modo, então, provaremos que tam bém como o sobre a AB para o sobre a AE, assim o sobre a CD para o sobre a CF. Portanto, tam bém como o sobre a AB para os sobre as AE, EB, 4 24

O s elem en tos

assim o sobre a CD para os sobre as CF, FD ; portanto, alternadam ente, tam bém como o sobre a AB está para o sobre a CD , assim os sobre as AE, EB para os sobre as CF, FD. M as o sobre a AB é com ensurável com o sobre a CD ; portanto, tam bém os sobre as AE, EB são com ensuráveis com os sobre as CF, FD. E os sobre as AE, EB são, juntos, um racional, tam bém os sobre as CF, FD são, juntos, um racional. E do mesmo modo tam bém duas vezes o pelas AE, EB é com ensurável com duas vezes o pelas CF, FD. E duas vezes o pelas AE, EB é m edial; portanto, tam bém duas vezes o pelas CF, FD é m edial. Portanto, as CF, FD são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas juntas racio ­ nal, e, por outro lado, duas vezes o por elas m edial; portanto, a CD toda é irracional, a cham ada maior. Portanto, a comensurável com a maior é uma maior; o que era preciso provar.

69. A co m e n s u r á v e l com a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir u m ra cio n a l e u m m ed ia l é [ tam bém ela] u m a q u e ser v e p a r a p r o d u z ir u m r a cio n a l e u m m edial. C

F D

Seja a que serve para produzir um racional e um m edial a AB e seja a CD com ensurável com a AB; deve-se provar

.______ .___ .

que tam bém a CD é um a que serve para produzir um ra­

A

cional e um m edial.

E B

Fique dividida a AB nas retas no E. Portanto, as AE, EB são incom ensu­ ráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas m edial, e, por outro lado, o por elas racional; e fiquem construídas as m esmas coisas que nos anteriores. Do mesm o modo, então, provaremos que tam bém as CF, FD são incom ensuráveis em potência, e, por um lado, o com posto dos sobre as AE, EB é com ensurável com o com posto dos sobre as CF, FD, e, por outro lado, o pelas AE, EB, com o pelas CF, FD; desse modo, tam bém [por um lado] o com posto dos quadrados sobre as CF, FD é m edial, e, por outro lado, o pelas CF, FD é racional. Portanto, a CD é um a que serve para produzir um racional e um m edial; o que era preciso provar. 4 25

E uclides

70. A c o m e n s u r á v e l co m a q u e ser v e p a r a p r o d u z i r dois m ed ia is é u m a q ue s e r v e p a r a p r o d u z ir dois m ediais. F

Sejam a AB a que serve para p roduzir dois m ediais e a CD com ensurável com a AB; deve-se provar que tam bém

■

D

■ ■

a CD é um a que serve para pro duzir dois m ediais. Pois, como a AB é a que serve para p roduzir dois me-

A

E B

diais, fique dividida nas retas no E; portanto, as AE, EB são incom ensuráveis em potência, fazendo tanto o com posto dos [q u ad ra­ d o s ] sobre elas m edial quanto o por elas m edial e ainda o com posto dos quadrados sobre as AE, EB incom ensurável com o pelas AE, EB; e fiquem construídas as mesmas coisas que nos anteriores. Do mesmo modo, então, provaremos que tam bém as CF, FD são incom ensuráveis em potência e, por um lado, o com posto dos sobre as AE, EB é com ensurável com o com posto dos sobre as CF, FD, e, por outro lado, o pelas AE, EB, com o pelas CF, FD ; desse modo, tam bém o com posto dos quadrados sobre as CF, FD é m edial e o pelas CF, FD é m edial e ainda o com posto dos quadrados sobre as CF, FD é incom ensurável com o pelas CF, FD. Portanto, a CD é um a que serve para produzir dois m ediais; o que era preciso provar.

71. S en do com p ostos u m ra cio n a l e u m m edial, q u a tro irra cio n a is são p rodu z idas, o u u m a b in o m ia l o u u m a p r im e ir a b im ed ia l o u u m a m a i o r o u u m a q u e ser v e p a r a p r o d u z ir u m ra cio n a l e u m m edial. Sejam, por um lado, o racional AB, e, por outro lado, o medial CD; digo que a que serve para produzir a área AD ou é um a binom ial ou um a prim eira bimedial ou um a m aior ou um a que serve para produzir um racional e um medial. Pois, o AB ou é m aior do que CD ou menor. Seja, prim eiram ente, m aior; e fique exposta a racional EF e fique aplicado à EF o EG igual ao AB, fazendo

426

O s elem en tos

como largura a EH; e fique aplicado à EF o H I igual ao D C, fazendo como largura o HK. E, como o AB é racional e é igual ao EG, portanto, tam bém o EG é racional. E foi aplicado à [racio ­ nal] EF, fazendo como largura a EH; portanto, a EH é racional e com ensu­ rável com a EF em com prim ento. De novo, como o CD é m edial e é igual ao HI, portanto, também o H I é m edial. E foi justaposto à racional EF, fazendo como largura a HK; portanto, a HK é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. E, como o CD é m edial, e o AB é racional, portanto, o AB é incom ensurável com o CD ; desse modo, tam bém o EG é incom ensu­ rável com o HI. M as, como o EG para o HI, assim a EH está para a HK; portanto, tam bém a EH é incom ensurável com a HK em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as EH, HK são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EK é um a binom ial dividida no H. E, como o AB é m aior do que o CD , e, por um lado, o AB é igual ao EG, e, por outro lado, o CD , ao HI, portanto, tam bém o EG é m aior do que o H I; portanto, tam bém a EH é m aior do que a HK. Ou, de fato, a EH é m aior em potência do que a HK pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a em com prim ento ou pelo sobre um a incom ensurável. Seja, prim eiram ente, m aior em potência pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma. E, a m aior H E é com ensurável com a exposta racional EF; portanto, a EK é um a p rim eira binom ial. M as a EF é racional; e, caso um a área seja contida por um a racional e a p rim eira binom ial, a que serve para produzir a área é um a binom ial. Portanto, a que serve para produzir o EI é um a binom ial; desse modo, tam bém a que serve para produzir o AD é um a binom ial. M as, então, seja a EH m aior em potência do que a HK pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a; e a m aior EH é com ensurável com a exposta racional EF em com prim ento. Portanto, a EK é um a quarta binom ial. M as a EF é racional; e, caso um a área seja contida por um a racional e a quarta binom ial, a que serve para produzir a área é um a irracional, a chamada maior. Portanto, a que serve para pro duzir a área EI é um a m aior; desse modo, tam bém a que serve para p roduzir a AD é um a maior. 4 27

E uclides

M as, então, seja o AB m enor do que o C D ; portanto, o EG é m enor do que o H I; desse modo, tam bém a E H é m enor do que a HK. M as ou a H K é m aior em potência do que a E H pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a ou pelo sobre um a incom ensurável. Seja em potência, prim eiro, pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em

E ------------- F G ^

K

com prim ento. E a m enor EH é com ensurável com a exposta racional EF em com prim ento; portanto, a EK é um a segunda b in o ­ m ial. M as a EF é racional; e, caso um a área seja contida por um a racional e a segunda binom ial, a que seve para pro duzir a área é um a prim eira bim edial. Portanto, a que serve para produzir a área EI é um a prim eira bim edial; desse modo, tam bém a que serve para p roduzir a AD é um a p rim eira bim edial. M as, então, seja a HK m aior em potência do que a HE pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a. E a m enor EH é com ensurável com a exposta racional EF; portanto, a EK é um a q u in ta binom ial. M as a EF é racional; e, caso um a área seja contida por um a racional e a quin ta binom ial, a que serve para produzir a área é um a que serve para produzir um racional e um m edial. Portanto, a que serve para p roduzir a área EI é um a que serve para produzir um racional e um m edial. Desse modo, tam bém a que serve para produzir a AD é um a que serve para produzir um racional e um m edial. Portanto, sendo com postos um racional e um m edial, quatro irracionais são produzidas, ou uma binom ial ou uma prim eira bim edial ou um a maior ou um a que serve para produzir um racional e um medial; o que era preciso provar.

72. Sen do com p ostos dois m ed ia is in co m e n su r á v eis en tre si, as d u a s irra cio n a is resta ntes são produ z idas, o u u m a seg u n d a b im ed ia l o u [ a ] q u e ser v e p a r a p r o d u z ir dois m ediais. Fiquem , pois, com postos os dois m ediais AB, CD incom ensuráveis entre si; digo que a que serve para produzir a área AD ou é um a segunda bim edial ou um a que serve para produzir dois m ediais.

428

O s elem en tos

Pois o AB ou é m aior do que o CD ou menor. Seja, se por acaso, prim eiram ente, o AB m aior do que o CD ; e fique exposta a racional EF e fiquem aplicados à EF, por um lado, o EG igual ao AB, fazendo como largura a EH, e, por outro lado, o ^ H

^

^

H I igual ao CD , fazendo como largura a HK. E,

^

como cada um dos AB, CD é m edial, portanto,

^

tam bém cada um dos EG, H I é m edial. E foram justapostos à racional EF, fazendo como largura

as EH, HK; portanto, cada um a das EH, H K é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. E, como o AB é incom ensurável com o CD , e, por um lado, o AB é igual ao EG, e, por outro lado, o CD , ao HI, portanto, tam bém o EG é incom ensurável com o HI. M as, como o EG para o HI, assim a EH está para a HK; portanto, a EH é incom ensurável com a HK em com prim ento. Portanto, as EH, HK são racionais com ensuráveis som ente em potência. Portanto, a EK é um a binom ial. M as ou a EH é m aior em potência do que a HK pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a ou pelo sobre um a incom ensurável. Seja em potência, prim eiro, pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em com prim ento. E nenhum a das EH, HK é com ensurável com a exposta racional EF em com prim ento; portanto, a EK é um a terceira binom ial. E a EF é racional; mas, caso um a área seja contida por um a racional e a terceira binom ial, a que serve para produzir a área é um a segunda bim edial; portanto, a que serve para produzir a EI, isto é, a AD é um a segunda bim edial. M as, então, seja a EH m aior em potência do que a HK pelo sobre um a incom ensurável com aquela m esm a em com prim ento. E cada um a das EH, HK é incom ensurável com a EF em com prim ento; portanto, a EK é um a sexta binom ial. M as, caso um a área seja contida por um a racional e a sexta binom ial, a que serve para produzir a área é um a que serve para pro duzir dois m ediais; desse modo, também a que serve para produzir a área AD é a que serve para produzir dois m ediais. [Do mesm o modo, então, provaremos que, caso o AB seja m enor do que o CD , a que serve para pro duzir a área AD ou é um a segunda bim edial ou um a que serve para produzir dois m e d iais.] 429

E uclides

Portanto, sendo com postos dois m ediais incom ensuráveis entre si, as duas irracionais restantes são produzidas, ou um a segunda bim edial ou um a que serve para pro duzir dois m ediais. A binom ial e as irracionais depois dela nem são as mesm as que a m edial nem entre si. Pois, por um lado, o sobre um a m edial, aplicado a um a ra­ cional, faz como largura um a racional e incom ensurável com aquela à qual foi ju stap o sta em com prim ento. E, por outro lado, o sobre a binom ial, aplicado a um a racional, faz como largura a p rim eira binom ial. Ao passo que o sobre a prim eira bim edial, aplicado a um a racional, faz como largura a segunda binom ial. Ao passo que o sobre a segunda bim edial, aplicado a um a racional, faz como largura a terceira binom ial. E o sobre a maior, aplicado a um a racional, faz como largura a quarta binom ial. Ao passo que o sobre a que serve para p roduzir um racional e um m edial, aplicado a um a racional, faz como largura, a q u in ta binom ial. M as o sobre a que serve para pro duzir dois m ediais, aplicado a um a racional, faz como largura a sexta binom ial. E as ditas larguras diferem tanto da p rim eira quanto entre si, por um lado, da prim eira que é racional, e, por outro lado, entre si, que não são as m esm as, na ordem ; desse modo, tam bém as irracionais mesm as diferem entre si.

73. C aso de u m a ra cio n a l seja su b tra íd a u m a ra cion al, sen do co m en s u r á v e l s o m en te em p o tên cia com a toda, a resta nte é irra cion a l; e seja cha m ad o apótom o. Pois, da racional AB fique subtraída a racional BC,

A C

B

sendo com ensurável som ente em potência com a toda; digo que a restante AC é irracional, o chamado apótom o. Pois, como a AB é incom ensurável com a BC em com prim ento, e como a AB está para a BC, assim o sobre a AB para o pelas AB, BC, portanto, o sobre a AB é incom ensurável com o pelas AB, BC. M as, por um lado, os quadrados sobre as AB, BC são com ensuráveis com os sobre a AB e, por outro lado, duas vezes o pelas AB, BC é com ensurável com o pelas AB, BC. 43 o

O s elem en tos

E, visto que os sobre as AB, BC são iguais a duas vezes o pelas AB, BC, com o sobre CA, portanto, tam bém os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com o restante, o sobre a AC. M as os sobre as AB, BC são racionais; portanto, a AC é irracional; e seja chamado apótom o; o que era preciso provar.

74. C aso de u m a m ed ia l seja su b tra íd a u m a m ed ial, sen d o c o m en s u r á v e l so m en te em p o tê n c ia co m a toda, e con ten d o co m a toda u m ra cion al, a resta nte é irra cion a l; e seja ch a m a d a p r im e ir o a p óto m o de u m a m edial. Pois, da m edial AB fique subtraída a m edial BC, sendo com ensurá­ vel som ente em potência com a AB, e fazendo com a AB um racional, o pelas AB, BC; digo que a restante AC é irracional; e seja chamada prim eiro apótom o de um a m edial. Pois, como as AB, BC são m ediais, tam bém os sobre as AB, BC ,,

são m ediais. M as duas vezes o pelas AB, BC é racional; portanto, os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AB, BC;

portanto, tam bém duas vezes o pelas AB, BC é incom ensurável com o sobre a AC restante, visto que, caso o todo seja incom ensurável com um deles, também as m agnitudes do princípio serão incom ensuráveis. M as duas vezes o pelas AB, BC é racional; portanto, o sobre a AC é irracional; portanto, a AC é irracional; e seja cham ada prim eiro apótom o de um a m edial.

75. C aso de u m a m ed ia l seja su b tra íd a u m a m ed ial, sen d o c o m en s u r á v e l s o m en te em p o tê n c ia com a toda, e con ten d o co m a toda u m m edial, a resta n te é irra cio n a l; e seja ch a m a d a seg u n d o a p óto m o de u m a m edial. Pois, da m edial AB fique subtraída a m edial CB, sendo com ensurável som ente em potência com a toda AB, e contendo com a toda AB um m edial, o pelas AB, BC; digo que a restante AC é irracional; e seja chamada segundo apótom o de um a m edial. 4 3

1

E uclides

Fique, pois, exposta a racional DI e, por um lado, fique aplicado à DI o DE, igual aos sobre as AB, BC, fazendo como largura a DG, e, por outro lado,

D

G

fique aplicado à DI o DH, igual a duas vezes o pelas AB, BC, fazendo como largura DF; portanto, o FE restante é igual ao sobre a AC. E, como tam bém os sobre as AB, BC são m ediais e com ensuráveis,

I

H

E

portanto, tam bém o DE é m edial. E foi justap o sto à racional DI, fazendo como largura a DG; portanto, a DG é racional e incom ensurável com a DI em com prim ento. De novo, como o pelas AB, BC é m edial, portanto, tam bém duas vezes o pelas AB, BC é m edial. E é igual ao D H ; portanto, tam bém o D H é m edial. E foi aplicado à racional DI, fazendo como largura a DF; portanto, a DF é racional e incom ensurável com a DI em com prim ento. E, como as AB, BC são com ensuráveis som ente em potência, portanto, a AB é incom ensurável com a BC em com prim ento; portanto, tam bém o quadrado sobre a AB é incom ensurável com o pelas AB, BC. M as, por um lado, os sobre as AB, BC é com ensurável com o sobre a AB, e, por outro lado, duas vezes o pelas AB, BC é com ensurável com o pelas AB, BC; portanto, duas vezes o pelas AB, BC é incom ensurável com os sobre as AB, BC. M as, por um lado, o DE é igual aos sobre as AB, BC, e, por outro lado, o D H , a duas vezes o pelas AB, BC; portanto, o DE [é] incom ensurável com o DH. M as, como o DE para o D H , assim a GD para a DF; portanto, a GD é incom ensurável com a DF. E ambas são racionais; portanto, as GD, DF são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a FG é um apótom o. M as a DI é racional; mas o contido por um a racional e um a irracional é irracional, e a que serve para p roduzi-lo é irracional. E a AC serve para produzir o FE; portanto, a AC é irracional; e seja cham ada segundo apótom o de um a m edial; O que era preciso provar.

43

2

O s elem en tos

76. C aso de u m a reta seja su b tra íd a u m a reta, sen d o in c o m e n su r á v el em p o tê n c ia com a toda, fa z e n d o co m a toda, p o r u m lado, os sobre elas j u n t o s ra cion al, e, p o r ou tro lado, o p o r elas m edial, a resta n te é irra cio n a l; e seja ch a m a d a menor. ■

A

■

■

C

B

Pois, da reta AB fique subtraída a reta CB, sendo in ­ com ensurável em potência com a toda, fazendo as coisas

propostas. D igo que a restante AC é irracional, a cham ada menor. Pois como, por um lado, o com posto dos quadrados sobre as AB, BC é racional, e, por outro lado, duas vezes o pelas AB, BC é m edial, portanto, os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AB, BC; e por conversão, os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com o sobre a AC restante. M as os sobre as AB, BC são racionais. Portanto, o sobre a AC é irracional; portanto, a AC é irracional; e seja cham ada m enor; o que era preciso provar.

77. C aso de u m a reta seja su b tra íd a u m a reta, sen d o in c o m e n su r á v el em p o tê n c ia com a toda, e fa z e n d o com a toda, p o r u m lado, o com posto dos q u a d ra d o s sobre elas m ed ial, e, p o r o u tro lado, d u as vezes o p o r elas ra cion al, a resta nte é irra cion a l; e seja ch a m a d a a q u e f a z co m u m ra cio n a l o todo m edial. ■ A

■------ ■ C

B

Pois, da reta AB fique subtraída a reta BC, sendo in ­ com ensurável em potência com a AB, fazendo as coisas

propostas; digo que a restante AC é a irracional d ita anteriorm ente. Pois como, por um lado, o com posto dos quadrados sobre as AB, BC é m edial, e, por outro lado, duas vezes o pelas AB, BC é racional, portanto, os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AB, BC; portanto, o sobre a AC restante é incom ensurável com duas vezes o pelas AB, BC. E duas vezes o pelas AB, BC é racional; portanto, o sobre a AC é 433

E uclides

irracional; portanto, a AC é irracional; e seja cham ada a que faz com um racional o todo m edial; o que era preciso provar.

78. C aso de u m a reta seja su b tra íd a u m a reta, sen do in co m e n s u r á v e l em p o tê n c ia co m a toda, fa z e n d o co m a toda tanto o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas m ed ia l q u a n to d u a s vezes o p o r elas m edial, e ainda, os q u a d ra d o s sobre elas in c o m e n s u r á v e l co m du as vezes o p o r elas, a resta nte é irra cio n a l; e seja ch a m a d a a q u e fa z ^co m u m m ed ia l o todo m edial.

sendo incom ensurável em p otência com a AB, fazendo as coisas propostas; digo que a restante

D

F

G

1

H

LU

Pois, da reta AB fique sub traíd a a reta BC,

AC é irracional, a cham ada a que faz com um m edial o todo m edial. Fique, pois, exposta a racional DI e, por um lado, fique aplicado à DI o DE igual aos sobre as AB, BC, fazendo como largura a DG, e, por outro lado, fique subtraído o D H igual a duas vezes o pelas AB, BC [fazendo como largura a D F ]. Portanto, o restante FE é igual ao sobre a AC; desse modo, a AC serve para produzir o FE. E, como o com posto dos quadrados sobre as AB, BC é m edial e é igual ao DE, portanto o DE [é] m edial. E foi justaposto à racional DI, fazendo como largura a DG; portanto, a DG é racional e incom ensurável com a DI em com prim ento. De novo, como duas vezes o pelas AB, BC é m edial e é igual ao D H , portanto, o DH é m e­ dial. E foi justaposto à racional DI, fazendo como largura a DF; portanto, tam bém a DF é racional e incom ensurável com a DI em com prim ento. E, como os sobre as AB, BC são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AB, BC, portanto, tam bém o DE é incom ensurável com o D H . M as, como o DE para o D H , assim tam bém a DG está para a DF; portanto, a DG é incom ensurável com a DF. E ambas são racionais; portanto, as GD, DF são racionais com ensuráveis som ente em potência. Portanto, a FG é um apótom o; mas a FH é racional. E o [retângulo] contido por um a racional e um apótom o é irracional, e a que serve para produzi-lo é irracional. E a 434

O s elem en tos

AC serve para p roduzir o FE; portanto, a AC é irracional; e seja cham ada a que faz com um m edial o todo m edial; o que era preciso provar.

79. U m a [ s ó ] reta ra cio n a l a ju sta -se ao ap ótom o, sen do c o m e n s u r á v e l so m en te em p o tê n c ia co m a toda. A

Sejam o apótom o AB e a BC ajustando-se a ele; portanto, as AC, CB são racionais com ensuráveis som ente em potência; digo que um a

u g

o utra racional não se ajusta à AB, sendo com ensurável som ente em potência com a toda. Pois, se possível, ajuste-se a BD; portanto, tam bém as AD, DB são

11 C

racionais com ensuráveis som ente em potência. E como, pelo que os sobre as AD, DB excedem duas vezes o pelas AD, DB, por isso também

os sobre as AC, CB excedem duas vezes o pelas AC, CB; pois ambos excedem pelo m esm o, o sobre a AB; portanto, alternadam ente, pelo que os sobre as AD, DB excedem os sobre as AC, CB, pelo mesmo [tam bém ] duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB. M as os sobre as AD, DB excedem os sobre as AC, CB por um racional; pois ambos são racionais. Portanto, tam bém duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB por um racional; o que é im possível; pois ambos são m ediais, e um m edial não excede um m edial por um racional; portanto, um a outra racional não se ajusta à AB, sendo com ensurável som ente em potência com a toda. Portanto, um a só racional ajusta-se ao apótom o, sendo com ensurável som ente em potência com a toda; o que era preciso provar.

80. U m a só reta m ed ia l a ju sta -se ao p r im e ir o a p óto m o de u m a m edial, sen do co m en s u r á v e l s o m en te em p o tê n c ia com a toda, con ten d o co m a toda u m racional. Seja, pois, a AB um prim eiro apótom o de um a m edial, e seja ajustada à AB a BC; portanto, as AC, CB são m ediais com ensuráveis som ente em po435

E uclides

tência, contendo o pelas AC, BC racional; digo que um a outra m edial não se ajusta à AB, sendo com ensurável som ente em potência com a toda e contendo com a toda um racional. Pois, se possível, ajuste-se tam bém a DB. Portanto, as AD, DB são m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo o pelas AD, DB racional. E como, pelo que os sobre as AD, DB excedem duas vezes o pelas AD, DB, por isso tam bém os sobre as AC, CB excedem duas vezes o pelas AC, CB; pois, [de novo] excedem pelo mesmo, o sobre a AB; portanto, alternadam ente, pelo que os sobre as AD, DB excedem os sobre as AC, CB, por isso tam bém duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB. M as duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB por um racional; pois ambos são racionais. Portanto, tam bém os sobre as AD, DB excedem os [quadrados] sobre as AC, CB por um racional; o que é im possível; pois ambos são m ediais, e um m edial não excede um m edial por um racional. Portanto, um a só reta m edial ajusta-se ao prim eiro apótom o de um a m edial, sendo com ensurável som ente em com prim ento com a toda, e con­ tendo com a toda um racional; o que era preciso provar.

81 . U m a só reta m ed ia l a ju sta -se ao seg u n d o a p óto m o de u m a m edial, c o m e n s u r á v e l s o m en te em p o tê n c ia co m a toda, e con ten d o com a toda u m m edial. Sejam o segundo apótom o de um a m edial AB, e a BC ajustando-se à AB; portanto, as AC, CB são m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo o pelas AC, CB m edial; digo que um a outra reta m edial não se ajustará à AB, sendo co­ m ensurável som ente em potência com a toda, e contendo com a toda um m edial. Pois, se po ssível, aju ste -se a BD; p o rtan to , tam bém as AD, DB são m ediais com ensuráveis 43

6

C D

O s elem en tos

som ente em potência, contendo o pelas AD, DB m edial. E fique exposta a EF racional, e, por um lado, fique aplicado à EF o EG igual aos sobre as AC, CB, fazendo como largura a EL; e, por outro lado, fique subtraído o HG igual a duas vezes o pelas AC, CB, fazendo como largura a H L ; portanto, o EJ restante é igual ao sobre a AB; desse modo, a AB serve para produzir o EJ. De novo, então, fique aplicado à EF o EI igual aos sobre as AD, DB, fazendo como largura a EM . M as tam bém o EJ é igual ao quadrado sobre a AB; portanto, o H I restante é igual a duas vezes o pelas AD, DB. E, como as AC, CB são m ediais, portanto, tam bém os sobre as AC, CB são m ediais. E são iguais ao EG; portanto, tam bém o EG é m edial. E foi justaposto à racional EF, fazendo como largura a EL; portanto, a EL é racional e in co ­ m ensurável com a EF em com prim ento. De novo, como o pelas AC, CB é m edial, tam bém duas vezes o pelas AC, BC é m edial. E é igual ao H G ; portanto, tam bém o H G é m edial. E foi justaposto à racional EF, fazendo como largura a H L ; portanto, tam bém a H L é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. E, como as AC, CB são com ensuráveis som ente em potência, portanto a AC é incom ensurável com a CB em com prim ento. M as, como a AC para a CB, assim o sobre a AC está para o pelas AC, CB; portanto, o sobre a AC é incom ensurável com o pelas AC, CB. M as, por um lado, os sobre as AC, CB são com ensuráveis com o sobre a AC, e, por outro lado, duas vezes o pelas AC, CB é com ensurável com o pelas AC, CB; portanto, os sobre as AC, CB são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AC, CB. E, por um lado, o EG é igual aos sobre as AC, CB, e, por outro lado, o GH é igual a duas vezes o pelas AC, CB; portanto, o EG é in co ­ m ensurável com o GH. M as, como o EG para o H G , assim a EL está para a H L ; portanto, a EL é incom ensurável com a LH em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as EL, LH são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EH é um apótom o, e a H L é a que se ajusta a ela. Do mesmo modo, então, provaremos que tam bém a H M se ajusta a ela; portanto, um a e o utra reta se ajustam ao apótom o, sendo com ensuráveis som ente em potência com a toda; o que é im possível. Portanto, um a só reta m edial ajusta-se ao segundo apótom o de um a m edial, sendo com ensurável som ente em potência com a toda, e contendo com a toda um m edial; o que era preciso provar. 437

E uclides

82. U m a só reta a ju sta -se à menor, sen d o in co m e n s u r á v e l em p o tê n c ia com a toda, fazendo co m a toda, p o r u m lado, o dos q u a d ra d o s sobre elas ra cion al, e, p o r o u tro lado, d u as vezes o p o r elas m edial. Seja a m enor AB, e seja a BC a que se ajusta à AB; portanto, as AC, CB são incom ensuráveis

"

B

C D

"

"

"

em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas racional, e, por outro lado, duas vezes o por elas m edial; digo que um a outra reta não se ajustará à AB, fazendo as mesmas coisas. Pois, se possível, ajuste-se a BD; portanto, tam bém as AD, DB são in co ­ m ensuráveis em potência, fazendo as coisas ditas antes. E como, pelo que os sobre as AD, DB excedem os sobre as AC, CB, por isso tam bém duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB, mas os quadrados sobre as AD, DB excedem os quadrados sobre as AC, CB por um racional; pois ambos são racionais; portanto, tam bém duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB por um racional; o que é im possível; pois ambos são m ediais. Portanto, um a só reta ajusta-se à menor, sendo incom ensurável em p o ­ tência com a toda e fazendo, por um lado, os quadrados sobre ela juntos racional, e, por outro lado, duas vezes o por elas m edial; o que era preciso fazer.

83. U m a só reta a ju sta -se à q u e faz co m u m ra cio n a l o todo m edial, sen do in c o m e n su r á v el em p o tên c ia com a toda, e fazen do co m a toda, p o r u m lado, o com p osto dos q u a d ra d o s so b re elas m edial, e, p o r o u tro lado, du as vezes o p o r elas racional. Seja a AB a que faz com um racional o todo m edial, e ajuste-se a BC à AB; portanto, as AC, CB são incom ensuráveis em potência, fazendo 43

8

^ ____ ? ______ 9______?

O s elem en tos

as coisas propostas; digo que um a o utra não se ajustará à AB fazendo as m esmas coisas. Pois, se possível, ajuste-se a BD; portanto, tam bém as retas AD, DB são incom ensuráveis em potência, fazendo as coisas propostas. Com o, de fato, pelo que os sobre as AD, DB excedem os sobre as AC, CD , por isso tam bém duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB, em concordância com os antes deste, mas duas vezes o pelas AD, DB excede duas vezes o pelas AC, CB por um racional; pois ambos são racionais; por­ tanto, tam bém os sobre as AD, DB excedem os sobre as AC, CB por um racional; o que é im possível; pois ambos são m ediais. Portanto, um a outra reta não se ajustará à AB, sendo incom ensurável em potência com a toda, e fazendo com a toda as coisas ditas antes; portanto, um a só se ajustará; o que era preciso provar.

84. U m a só reta a ju sta -se à q u e fa z l co m u m m ed ia l o todo m ed ial, sen do in c o m e n su r á v el em p o tên c ia co m a toda, e fa z e n d o co m a toda tanto o com p osto dos q u a d ra d o s sobre elas m ed ia l q u a n to d u a s vezes o p o r elas m ed ia l e a in d a in c o m e n su r á v el co m o com p osto dos sobre elas. A

B________ C

:

h

D

Sejam a AB a que faz com um m edial o todo m edial, e a BC a que se ajusta a ela; portanto,

^-r

as AC, CB são incom ensuráveis em potência, fazendo as coisas ditas antes. D igo que um a

i_n

outra não se ajustará à AB, fazendo as coisas

3

ditas antes.

Pois, se possível, ajuste-se a BD, de modo a serem as AD, DB incom en­ suráveis em potência, fazendo tanto os quadrados sobre as AD, DB juntos m edial quanto duas vezes o pelas AD, DB m edial, e, ainda, os sobre as AD, DB incom ensuráveis com duas vezes o pelas AD, DB; e fique exposta a ra­ cional EF e, por um lado, fique aplicado à EF o EG igual aos sobre as AC, CB, fazendo como largura a EL, e, por outro lado, fique aplicado à EF o H G igual a duas vezes o pelas AC, CB, fazendo como largura a H L ; portanto, o 439

E uclides

sobre a AB restante é igual ao EJ; portanto, a AB serve para pro duzir o EJ. De novo, fique aplicado à EF o EI igual aos sobre as AD, DB, fazendo como largura a EM . M as tam bém o sobre a AB é igual ao EJ; portanto, o restante duas vezes o pelas AD, DB [é] igual ao H I. E, como o com posto dos sobre as AC, CB é m edial e é igual ao EG, portanto, tam bém o EG é m edial. E foi justaposto à racional EF, fazendo como largura a EL; portanto, a EL é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. De novo, como duas vezes o pelas AC, CB é m edial e é igual ao H G , portanto, tam bém o H G é m edial. E foi justaposto à racional EF, fazendo como largura a H L; portanto, a H L é racional e incom ensurável com a EF em com prim ento. E, como os sobre as AC, CB são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AC, CB, tam bém o EG é incom ensurável com o H G ; portanto, tam bém a EL é incom ensurável com a LH em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as EL, LH são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EH é um apótom o, e a H L é a que se ajusta a ela. Do mesmo modo, então, provaremos que a EH, de novo, é um apótom o, e a H M , a que se ajusta a ela. Portanto, um a e o utra racionais ajustam -se ao apótomo, sendo com ensuráveis som ente em potência com a toda; o que foi provado im possível. Portanto, um a outra reta não se ajustará à AB. Portanto, um a só reta ajusta-se à AB, sendo incom ensurável em potência com a toda, e fazendo com a toda tanto os quadrados sobre elas juntos m edial quanto duas vezes o por elas m edial, e, ainda os quadrados sobre elas incom ensuráveis com duas vezes o por elas; o que era preciso provar.

Terceiras definições 1. Sendo supostas um a racional e um apótom o, caso a toda seja m aior em potência do que a que é ajustada pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em com prim ento, e a toda seja com ensurável com a ex­ p osta racional em com prim ento, seja cham ada prim eiro apótom o. 2. E, caso a que se ajusta seja com ensurável com a exposta racional em com prim ento, e a toda seja m aior em potência do que a que se ajusta pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, seja chamada segundo apótom o.

440

O s elem en tos

3. E, caso nenhum a seja com ensurável com a exposta racional em com pri­ m ento, e a toda seja m aior em potência do que a que se ajusta pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a, seja cham ada terceiro apótomo. 4. De novo, caso a toda seja m aior em potência do que a que se ajusta pelo sobre um a incom ensurável com aquela m esm a [em com prim ento], e caso a toda seja com ensurável com a exposta racional, em com prim ento, seja cham ada quarto apótom o. 5. E, caso a que se ajusta, quinto. 6 . E, caso nenhum a, sexto.

85. A char o p r im e ir o apótom o. g A■

■

H .______ .

0

■ ■

g

Fique exposta a racional A e seja a BG

■

com ensurável com a A em com prim ento;

■---- ■-------- ■ portanto, tam bém a BG é racional. E fiquem expostos os dois núm eros quadrados DE,

EF, dos quais o excesso FD não seja um quadrado; portanto, nem o ED tem para o DF um a razão que um número quadrado, para um número quadrado. E fique feito como o ED para o DF, assim o quadrado sobre a BG para o quadrado sobre a G C; portanto, o sobre a BG é com ensurável com o sobre a GC. M as o sobre a BG é racional; portanto, também o sobre a GC é racional; portanto, tam bém a GC é racional. E, como o ED não tem para o DF um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre a BG tem para o sobre a GC um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a BG é incom ensurável com a GC em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as BG, GC são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a BC é um apótom o. D igo, então, que tam bém é um prim eiro. Pois, pelo que o sobre a BG é m aior do que o sobre a GC seja o sobre a H. E, como o ED está para o FD, assim o sobre a BG para o sobre a GC, portanto, tam bém , por conversão, como o DE está para o EF, assim o sobre a GB para o sobre a H. M as o DE tem para o EF um a razão que um n ú ­ 4 4

1

E uclides

mero quadrado, para um núm ero quadrado; pois cada um é um quadrado; portanto, o sobre a GB tem para o sobre a H um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado; p ortanto, a BG é com ensurável com a H em com prim ento. E a BG é m aior em potência do que a GC pelo sobre a H ; portanto, a BG é m aior em potência do que a GC pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em com prim ento. E a toda BG é com ensurável com a exposta racional A em com prim ento. Portanto, a BC é um prim eiro apótomo. Portanto, foi achado o prim eiro apótom o BC; o que era preciso provar.

86. A char o seg u n d o apótom o. Fiquem expostas a racional A e a GC com ensu­ rável com a A em com prim ento. Portanto, a GC

.------- —-------- .

é racional. E fiquem expostos os dois núm eros

B

C

G

quadrados DE, EF, dos quais o excesso DF não seja um quadrado. E fique feito como o FD para o

■------- ■

DE, assim o quadrado sobre a CG para o quadrado

E

F

D

sobre a GB. Portanto, o quadrado sobre a CG é com ensurável com o quadrado sobre a GB. M as o sobre a GC é racional. Portanto, tam bém o sobre a GB [é] racional; portanto, a BG é racional. E, como o quadrado sobre a GC não tem para o sobre a GB um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, a CG é incom ensurável com a GB em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as CG, GB são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a BC é um apótom o. D igo, então, que tam bém é um segundo. Pois, pelo que o sobre a BG é m aior do que o sobre a GC seja o sobre a H . Com o, de fato, o sobre a BG está para o sobre a GC, assim o número ED para o núm ero DF, portanto, por conversão, como o sobre a BG está para o sobre a H, assim o DE para o EF. E cada um dos DE, EF é um quadrado; portanto, o sobre a BG tem para o sobre a H um a razão que um 44

2

O s elem en tos

núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a BG é com en­ surável com a H em com prim ento. E a BG é m aior em potência do que a GC pelo sobre a H ; portanto, a BG é m aior em potência do que a GC pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em com prim ento. E a que é ajustada, a CG, é com ensurável com a exposta racional A. Portanto, a BC é um segundo apótom o. Portanto, foi encontrado o segundo apótomo BC; o que era preciso provar.

87. Achar o terceiro apótom o. F ique exposta a racional A e fiquem expostos os ■ F

■

três núm eros E, BC, CD , não tendo entre si um a

H__________ G

razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, mas o CB tenha para o BD um a razão que

" ■ B

D

"

um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, e

■E

fique feito, por um lado, como o E para o BC, assim o C

quadrado sobre a A para o quadrado sobre a FG, e, por outro lado, como o BC para o CD , assim o quadrado

sobre a FG para o sobre a GH. Com o, de fato, o E está para o BC, assim o quadrado sobre a A para o quadrado sobre a FG, portanto, o quadrado sobre a A é com ensurável com o quadrado sobre a FG. M as o quadrado sobre a A é racional. Portanto, tam bém o sobre a FG é racional; portanto, a FG é racional. E, como o E não tem para o BC um a razão que um núm ero qua­ drado, para um número quadrado, portanto, nem o quadrado sobre a A tem para o [quadrado] sobre a FG um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a A é incom ensurável com a FG em com prim ento. De novo, como o BC está para o CD , assim o quadrado sobre a FG para o sobre a GH, portanto, o sobre a FG é com ensurável com o sobre a GH. M as o sobre a FG é racional; portanto, tam bém o sobre a GH é racional; portanto, a GH é racional. E, como o BC não tem para o CD um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre a FG tem para o sobre a GH um a razão que um núm ero quadrado, 443

E uclides

para um número quadrado; portanto, a FG é incom ensurável com a GH em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as FG, GH são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a FH é um apótom o. D igo, então, que tam bém é um terceiro. Pois, por um lado, como o E está para o BC, assim o quadrado sobre a A para o sobre a FG, e, por outro lado, como o BC para o CD , assim o sobre a FG para o sobre a H G , portanto, por igual posto, como o E está para o CD , assim o sobre a A para o sobre a H G . M as o E não tem para o CD um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, nem o sobre a A tem para o sobre a GH um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, a A é incom ensurável com a GH em com prim ento. Portanto, nenhum a das FG, GH é com ensurável com a ex­ posta racional A em com prim ento. Pelo que, de fato, o sobre a FG é m aior do que o sobre a GH seja o sobre a I. Com o, de fato, o BC está para o CD, assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, por conversão, como o BC está para o BD, assim o quadrado sobre a FG para o sobre a I. M as o BC tem para o BD um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, tam bém o sobre a FG tem para o sobre a I um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. Portanto, a FG é com ensurável com a I em com prim ento, e a FG é m aior em potência do que a GH pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. E nenhum a das FG, GH é com ensurável com a exposta racional A em com prim ento. Portanto, a FH é um terceiro apótom o. Portanto, foi encontrado o terceiro apótomo F H ; o que era preciso provar.

88. A char o q u a rto apótom o. F iquem expostas a racio n al A e a BG com ensurável com a A em com prim ento;

A B

portanto, tam bém a BG é racional. E fiquem expostos os dois números DF, FE, de modo a não ter o todo DE para cada um dos DF, EF 444

C G

H F

E

O s elem en tos

um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado. E fique feito como o DE para o EF, assim o quadrado sobre a BG para o sobre a GC. Portanto, o sobre a BG é com ensurável com o sobre a GC. M as o sobre a BG é racional; portanto, tam bém o sobre a GC é racional; portanto, a GC é racional. E, como o DE não tem para o EF um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre a BG tem para o sobre a GC um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, a BG é incom ensurável com a GC em com prim ento. E ambas são racionais. Portanto, as BG, GC são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a BC é um apótomo. [D igo, então, que tam bém é um quarto.] Pelo que o sobre a BG é m aior do que o sobre a GC seja o sobre a H. Com o, de fato, o DE está para o EF, assim o sobre a BG para o sobre a GC, portanto, tam bém , por conversão, como o ED está para o DF, assim o sobre a GB para o sobre a H . M as o ED não tem para o DF um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, nem o sobre a GB tem para o sobre a H um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a BG é incom ensurável com a H em com pri­ m ento. E a BG é m aior em potência do que a GC pelo sobre a H ; portanto, a BG é m aior em potência do que a GC pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E a toda BG é com ensurável em com prim ento com a exposta racional A. Portanto, a BC é um quarto apótom o. Portanto, foi achado o quarto apótom o; o que era preciso provar.

89. A char o q u in to apótom o. Fique exposta a racional A, e seja a CG com ensurável com a A em com ­ prim ento; portanto, a CG [é] racional. E fiquem expostos os dois números DF, FE, de m odo a, de novo, não ter o DE para cada um dos DF, FE um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; e fique feito como o FE para o ED, assim o sobre a CG para o sobre a GB. Portanto, tam bém o sobre a GB é racional; portanto, a BG é racional. E, como o DE 445

E uclides

B

está para o EF, assim o sobre a BG para o sobre a GC, mas o DE não tem para o EF um a razão que um número qua­ drado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre

A

C

,

a BG tem para o sobre a GC um a razão que um núm ero G

quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a BG é incom ensurável com a GC em com prim ento. E ambas são

H

racionais; portanto, as BG, GC são racionais com ensurá­ veis som ente em potência. Portanto, a BC é um apótomo. D igo, então, que tam bém é um quinto. Pois, pelo que o sobre a BG é m aior do que o sobre a GC seja o sobre a H . Com o, de fato, o sobre a BG está para o sobre a GC, assim o DE para o EF, portanto, por conversão, como o ED está para o DF, assim o sobre a BG para o sobre a H . M as o ED não tem para o DF um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, nem o sobre a BG tem para o sobre a H um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, a BG é incom ensurável com a H em com prim ento. E a BG é m aior em potência do que a GC pelo sobre a H ; portanto, a GB é m aior em potência do que a GC pelo sobre um a incom ensurável com aquela m esm a. E a que se ajusta, a CG, é com ensurável com a exposta racional A em com prim ento; portanto, a BC é um quinto apótom o. Portanto, foi achado o quinto apótom o BC; o que era preciso provar.

90. A char o sexto apótom o. Fiquem expostos a racional A e os três núm eros E, BC, CD , não tendo entre si um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado; e, ainda, tam bém o CB não tenha para o BD um a razão que um número quadrado, para um número quadrado; e fique feito, por um lado, como o E para o BC, assim o sobre a A para o sobre a FG, e, por outro lado, como o BC para o CD , assim o sobre a FG para o sobre a GH.

446

"

"

O s elem en tos

Com o, de fato, o E está para o BC, assim o sobre a A para o sobre a FG, portanto o sobre a A é com ensurável com o sobre a FG. M as o sobre a A é racional; portanto, tam bém o sobre a FG é racional; portanto, tam bém a FG é racional. E, como o E não tem para o BC um a razão que um núm e­ ro quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre a A tem para o sobre a FG um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, a A é incom ensurável com a FG em com prim ento. De novo, como o BC está para o CD , assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, o sobre a FG é comensurável com o sobre a GH. M as o sobre a FG é racional; portanto, tam bém o sobre a GH é racional; portanto, tam bém a GH é racional. E, como o BC não tem para o CD um a razão que um núm e­ ro quadrado, para um núm ero quadrado, portanto, nem o sobre a FG tem para o sobre a GH um a razão que um núm ero quadrado, para um número quadrado; portanto, a FG é incom ensurável com a GH em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as FG, GH são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a FH é um apótomo. D igo, então, que tam bém é um sexto. Pois, por um lado, como o E está para o BC, assim o sobre a A para o sobre a FG, e, por outro lado, como o BC para o CD , assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, por igual posto, como o E está para o CD, assim o sobre a A para o sobre a GH. M as o E não tem para o CD um a razão que um número quadrado, para um número quadrado; portanto, nem o sobre a A tem para o sobre a GH um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, a A é incom ensurável com a GH em com prim ento; portanto, nenhum a das FG, GH é com ensurável com a ra­ cional A em com prim ento. Pelo que, de fato, o sobre a FG é m aior do que o sobre a H G seja o sobre a I. Como, de fato, o BC está para o CD , assim o sobre a FG para o sobre a GH, portanto, por conversão, como o CB está para o BD, assim o sobre a FG para o sobre a I. M as o CB não tem para o BD um a razão que um núm ero quadrado, para um núm ero quadrado; portanto, nem o sobre a FG tem para o sobre a I um a razão que um número quadrado, para um núm ero quadrado; portanto a FG é incom ensurável com a I em com prim ento. E a FG é m aior em potência do que a GH pelo sobre a I; portanto, a FG é m aior em potência do que a GH pelo sobre um a 447

E uclides

incom ensurável com aquela m esm a em com prim ento. E nenhum a das FG, GH é com ensurável com a exposta racional A em com prim ento. Portanto, a FH é um sexto apótomo. Portanto, foi achado o sexto apótom o FH ; o que era preciso provar.

91. C aso u m a área seja co n tid a p o r u m a ra cio n a l e u m p r im e ir o a p ótom o, a q u e ser v e p a r a p r o d u z ir a área é u m a p óto m o. Seja, pois, contida a área AB pela racional A C e

A

D

E

C

E

H

F G

pelo prim eiro apótom o AD; digo que a que serve para produzir a área AB é um apótomo. Pois, como a AD é um prim eiro apótom o, seja a DG a que é ajustada a ela; portanto, as AG, GD são racionais com ensuráveis som ente em potência. E a toda AG é com ensurável com a exposta racional

M

o

'Í / J

AC, e a AG é m aior em potência do que a GD pelo sobre um a com ensurável em com prim ento com aquela mesm a; portanto, caso seja aplicado à AG um igual à quarta parte do sobre a DG, deficiente por um a figura quadra­ da, divide-a em com ensuráveis. F ique cortada a DG em duas no E, e fique aplicado à AG um igual ao sobre a EG, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas AF, FG; portanto, a AF é com ensurável com a FG. E fiquem traçadas pelos pontos E, F, G as EH, FI, GK paralelas à AC. E, como a AF é com ensurável com a FG em com prim ento, tam bém a AG é com ensurável com cada um a das AF, FG em com prim ento. M as a AG é com ensurável com a AC; portanto, cada um a das AF, FG é com ensurável com a AC em com prim ento. E a AC é racional; portanto, tam bém cada um a das AF, FG é racional; desse modo, tam bém cada um dos AI, FK é racional. E, como a DE é com ensurável com a EG em com prim ento, portanto, tam ­ bém a DG é comensurável com cada um a das DE, EG em com primento. M as a DG é racional e incom ensurável com a AC em com prim ento; portanto, tam bém cada um a das DE, EG é racional e incom ensurável com a AC em com prim ento; portanto, cada um dos D H , EK é m edial. 44

8

O s elem en tos

Fique posto, então, por um lado, o quadrado JL igual ao AI, e, por outro lado, fique subtraído o quadrado M N , igual ao FK, tendo em com um com ele o ângulo sob JO L ; portanto, os quadrados JL, M N estão à volta da m esm a diagonal. Seja a diagonal O R deles, e fique descrita com pletam ente a figura. Com o, de fato, o retângulo contido pelas AF, FG é igual ao qua­ drado sobre a EG, portanto, como a AF está para a EG, assim a EG para a FG. M as, por um lado, como a AF para a EG, assim o AI para o EK, e, por outro lado, como a EG para a FG, assim o EK para o KF; portanto, o EK é m édio, em proporção, entre os AI, KF. M as, tam bém o LM é m édio, em proporção entre os JL, M N , como foi provado nos anteriores, e o AI é igual ao quadrado JL, enquanto o KF, ao M N ; portanto, tam bém o LM é igual ao EK. M as, por um lado, o EK é igual ao D H , e, por outro lado, o LM , ao JN ; portanto, o DK é igual ao gnôm on Y Q X e ao M N . M as tam bém o AK é igual aos quadrados JL, M N ; portanto, o AB restante é igual ao ST. M as o S T é o quadrado sobre a JM ; portanto, o quadrado sobre a JM é igual ao AB; portanto, a JM serve para produzir o AB. D igo, então, que a JM é um apótomo. Pois, como cada um dos AI, FK é racional, e é igual aos JL, M N , por­ tanto, tam bém cada um dos JL, M N é racional, isto é, o sobre cada um a das JO, O M ; portanto, tam bém cada um a das JO, O M é racional. De novo, como o D H é m edial e é igual ao JN , portanto, tam bém o JN é m edial. Com o, de fato, o JN é m edial, enquanto o M N é racional, portanto, o JN é incom ensurável com o M N ; mas, como o JN para o M N , assim a JO está para a O M ; portanto, a JO é incom ensurável com a O M em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as JO, O M são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a JM é um apótom o. E serve para produzir a área AB; portanto, a que serve para p roduzir a área AB é um apótom o. Portanto, caso um a área seja contida por um a racional, e as coisas se­ guintes.

449

E uclides

92. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e u m seg u n d o ap ótom o, a q u e ser v e p a r a p r o d u z ir a área é u m p r im e ir o a p óto m o de u m a m edial. Fique, pois, contida a área AB pela racional AC

A

D

C

E

■ FG

e o segundo apótom o AD; digo que a que serve para p roduzir a área AB é um prim eiro apótom o de um a m edial. Seja, pois, a DG a que se ajusta à AD; portanto, as AG, GD são racionais com ensuráveis som ente em potência, e a que se ajusta, a DG, é com ensurá­ vel com a exposta racional AC, e a toda AG é m aior

H

m M

o

N

em potência do que a que se ajusta GD pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a em com pri­ m ento. Com o, de fato, a AG é m aior em potência do que a GD pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a, portanto, caso seja aplicado à AG um igual à quarta parte do sobre a GD, deficiente por um a figura quadrada, divide-a em com ensuráveis. Fique, de fato, cortada a DG em duas no E; e fique aplicado à AG um igual ao sobre a EG, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas AF, FG; portanto, a AF é com ensurável com a FG em com prim ento. Portanto, tam bém a AG é com ensurável com cada um a das AF, FG em com prim ento. M as a AG é racional e incom ensurável com a AC em com prim ento. P ortanto, tam bém cada um a das AF, FG é racional e incom ensurável com a AC em com prim ento; portanto, cada um dos AI, FK é m edial. De novo, como a DE é com ensurável com a DG, portanto, tam bém a DG é com ensurável com cada um a das DE, EG. M as a DG é com ensurável com a AC em com prim ento. [Portanto, também cada um a das DE, EG é racional e com ensurável com a AC em co m p rim en to .] Portanto, cada um dos D H , EK é racional. Fique construído, de fato, por um lado, o quadrado JL igual ao AI, e, por outro lado, fique subtraído o M N igual ao FK, estando à volta do m esm o ângulo com o JL, o sob as JO L ; portanto, os quadrados JL, M N estão à volta da m esm a diagonal. Seja a diagonal O R deles, e fique descrita 45o

O s elem en tos

com pletam ente a figura. Com o, de fato, os AI, FK são m ediais e são iguais aos sobre as JO, O M , [portanto] tam bém os sobre as JO, O M são m ediais; portanto, tam bém as JO, O M são m ediais com ensuráveis som ente em p o ­ tência. E, como o pelas AF, FG é igual ao sobre a EG, portanto, como a AF está para a EG, assim a EG para a FG; mas, por um lado, como a AF para a EG, assim o AI para o EK; e, por outro lado, como a EG para a FG, assim [está] o EK para o FK; portanto, o EK é m édio, em proporção, entre os AI, FK. M as tam bém o L M é m édio, em proporção, entre os quadrados JL, M N ; e, por um lado, o AI é igual ao JL, e, por outro lado, o FK, ao M N ; portanto, tam bém o L M é igual ao EK. M as, por um lado, o D H [é] igual ao EK, e, por outro lado, o JN é igual ao L M ; portanto, o todo DK é igual ao gnôm on Y Q X e ao M N . Com o, de fato, o todo AK é igual aos JL, M N , dos quais o DK é igual ao gnôm on Y Q X e ao M N , portanto, o AB restante é igual ao T S . M as o T S é o sobre a JM ; portanto, o sobre a JM é igual à área AB; portanto, a JM serve para produzir a área AB. D igo, [então] que a JM é um prim eiro apótom o de um a m edial. Pois, como o EK é racional e é igual ao JN , portanto, o JN , isto é, o pelas JO, O M é racional. E o M N foi provado m edial; portanto, o JN é incom en­ surável com o M N ; e, como o JN para o M N , assim a JO está para a O M ; portanto, as JO, O M são incom ensuráveis em com prim ento. Portanto, as JO, O M são m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo um racional; portanto, a JM é um prim eiro apótom o de um a m edial; e serve para produzir a área AB. Portanto, a que serve para produzir a área AB é um prim eiro apótom o de um a m edial; o que era preciso provar.

93. C aso u m a área seja co n tid a p o r u m a ra cio n a l e u m terceiro ap ótom o, a q u e ser v e p a r a p r o d u z ir a área é u m seg u n d o a p óto m o de u m a m ed ia l. Seja, pois, contida a área AB pelas racional AC e terceiro apótom o AD; digo que a que serve para produzir a área AB é um segundo apótom o de um a m edial. 4 5

1

E uclides

Seja, pois, a DG a que se ajusta à AD; portanto,

A

D

E FG

C

E

H

as AG, GD são racionais com ensuráveis som ente em potência, e nenhum a das AG, GD é com ensu­ rável com a exposta racional AC em com prim ento, e a toda AG é m aior em potência do que a que se ajusta DG pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. Com o, de fato, a AG é m aior em

M

o

-XP

potência do que a GD pelo sobre um a com ensu­ rável com aquela mesm a, caso seja aplicado à AG um igual à quarta parte do sobre a DG, deficiente por um a figura quadrada, d ivid i-la-á em com ensuráveis. Fique, de fato, cortada a DG em duas no E, e fique aplicado à AG um igual ao sobre a EG, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas AF, FG. E fiquem traçadas pelos pontos E, F, G as EH, FI, GK paralelas à AC; portanto, as AF, FG são com ensuráveis; portanto, tam bém o AI é com ensurável com o FK. E, como as AF, FG são com ensuráveis em com prim ento, portanto, tam bém a AG é com ensurável com cada um a das AF, FG em com prim ento. M as a AG é racional e incom ensurável com a AC em com prim ento; desse modo, tam bém as AF, FG. Portanto, cada um dos AI, FK é m edial. De novo, como a DE é com ensurável com a EG em com prim ento, portanto, a DG é com ensurável com cada um a das DE, EG em com prim ento. M as a GD é racional e incom ensurável com a AC em com prim ento; portanto, tam bém cada um a das DE, EG é racional e incom ensurável com a AC em com pri­ m ento. P ortanto, cada um dos D H , EK é m edial. E, como as AG, GD são com ensuráveis som ente em potência, portanto, a AG é incom ensurável com a GD em com prim ento. M as, por um lado, a AG é com ensurável com a AF em com prim ento, e, por outro lado, a DG, com a EG; portanto, a AF é incom ensurável com a EG em com prim ento. E, como a AF para a EG, assim o AI está para o EK; portanto, o AI é incom ensurável com o EK. Fique, de fato, por um lado, construído o quadrado JL igual ao AI, e, por outro lado, fique subtraído o M N igual ao FK, estando à volta do mesmo ângulo com o JL; portanto, os JL, M N estão à volta da m esm a diagonal. Seja a diagonal O R deles, e fique descrita com pletam ente a figura. Como, de fato, o pelas AF, FG é igual ao sobre a EG, portanto, como a AF está para a 45

2

O s elem en tos

EG, assim a EG para a FG. M as, por um lado, como a AF para a EG, assim o AI está para o EK; e, por outro lado, como a EG para a FG, assim o EK está para o FK; portanto, tam bém como o AI para o EK, assim o EK para o FK; portanto, o EK é m édio, em proporção, entre os AI, FK. M as tam bém o LM é m édio, em proporção, entre os quadrados JL, M N ; e o AI é igual ao JL, ao passo que o FK, ao M N ; portanto, tam bém o EK é igual ao LM. M as o LM é igual ao JN , ao passo que o EK [é ] igual ao D H ; portanto, tam bém o todo DK é igual ao gnôm on Y Q X e ao M N . M as tam bém o AK é igual aos JL, M N ; portanto, o AB restante é igual ao ST, isto é, ao quadrado sobre a JM ; portanto, a JM serve para produzir a área AB. D igo que a JM é um segundo apótom o de um a m edial. Pois, como os AI, FK foram provados m ediais, e são iguais aos sobre as JO, O M , portanto, tam bém cada um dos sobre as JO , O M é m edial; por­ tanto, cada um a das JO, O M é m edial. E, como o AI é com ensurável com o FK, portanto, tam bém o sobre a JO é com ensurável com o sobre a O M . De novo, como o AI foi provado incom ensurável com o EK, portanto, tam bém o JL é incom ensurável com o LM , isto é, o sobre a JO com o pelas JO, O M ; desse modo, tam bém a JO é incom ensurável com a O M ; portanto, as JO, O M são m ediais com ensuráveis som ente em potência. D igo, então, que tam bém contêm um m edial. Pois, como o EK foi provado m edial e igual ao pelas JO, O M , portanto, tam bém o pelas JO, O M é m edial; desse modo, as JO, O M são m ediais com ensuráveis som ente em potência, contendo um m edial. Portanto, a JM é um segundo apótom o de um a m edial; e serve para p roduzir a área AB. Portanto, a que serve para produzir a área AB é um segundo apótom o de um a m edial; o que era preciso provar.

94. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a r a cio n a l e u m q u a rto ap ótom o, a q ue ser v e p a r a p r o d u z ir a área é u m a m enor. Seja, pois, contida a área AB pela racional AC e o quarto apótom o AD; digo que a que serve para p roduzir a área AB é um a menor. 453

E uclides

Seja, pois, a DG a que se ajusta à AD; portanto,

A

[

“

F G

3

H

K

as AG, GD são racionais comensuráveis somente em potência, e a AG é comensurável com a exposta ra­ cional AC em com primento, e a toda AG é maior em potência do que a que é ajustada, a DG, pelo sobre um a incomensurável com aquela mesma em com pri­ mento. Como, de fato, a AG é maior em potência do que a GD pelo sobre uma incomensurável em comprimento com aquela mesma, portanto, caso seja aplicado à AG um igual à quarta parte do sobre a DG, deficiente por um a figura quadrada, dividi-la-á em incomensuráveis. Fique, de fato, cortada a DG em duas no E, e fique aplicado à AG um igual ao sobre a EG, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas AF, FG; portanto, a AF é incomensurável com a FG em comprimento. Fiquem, de fato, traçadas pelos E, F, G as EH, FI, GK paralelas às AC, BD. Como, de fato, a AG é racional e comensurável com a AC em com primento, portanto, o todo AK é racional. De novo, como a DG é incomensurável com a AC em comprimento, e ambas são racionais, portanto, o DK é medial. De novo, como a AF é incomensurável com a FG em com primento, portanto, também o AI é incomensurável com o FK. Por um lado, fique, de fato, construído o quadrado JL igual ao AI, e, por outro lado, fique subtraído o M N igual ao FK, à volta do mesmo ângulo, o sob as JOL. Portanto, os quadrados JL, M N estão à volta da mesma diagonal. Seja a diagonal O R deles, e fique descrita completamente a figura. Como, de fato, o pelas AF, FG é igual ao sobre a EG, portanto, em proporção, como a AF está para a EG, assim a EG para a FG. M as, por um lado, como a AF para a EG, assim o AI está para o EK, e, por outro lado, como a EG para a FG, assim o EK está para o FK; portanto, o EK é médio, em pro­ porção, entre os AI, FK. M as também o LM é médio, em proporção, entre os quadrados JL, M N , e o AI é igual ao JL, ao passo que o FK, ao M N ; portanto, também o EK é igual ao LM. M as o DH é igual ao EK, ao passo que o JN é igual ao LM ; portanto, o todo DK é igual ao gnômon Y Q X e ao M N . Como, de fato, o todo AK é igual aos quadrados JL, M N , dos quais o DK é igual ao gnômon Y Q X e ao quadrado M N , portanto, o AB restante é igual ao ST, isto é, ao quadrado sobre a JM ; portanto, a JM serve para produzir a área AB. D igo que a JM é um a irracional, a cham ada menor. 454

O s elem en tos

Pois, como o AK é racional e igual aos quadrados sobre as JO, O M , portanto, o com posto dos sobre as JO, O M é racional. De novo, como o DK é m edial, e o DK é igual a duas vezes o pelas JO, O M , portanto, duas vezes o pelas JO, O M é m edial. E, como o AI foi provado incom ensurável com o FK, portanto, tam bém o quadrado sobre a JO é incom ensurável com o quadrado sobre a O M . Portanto, as JO, O M são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas racional, e, por outro lado, duas vezes o por elas m edial. Portanto, a JM é irracional, a cham ada m enor; e serve para produzir a área AB. Portanto, a que serve para produzir a área AB é um a m enor; o que era preciso provar.

95. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e u m q u in to ap ótom o, a q ue s er v e p a r a p r o d u z ir a área é a q u e faz, co m u m ra cion al, o todo m edial. A

D

E

F G

Seja, pois, contida a área AB pela racional AC e o quinto apótom o AD; digo que a que serve para produzir a área AB é a que faz, com um racional,

B

h

K

0 N

o todo m edial. Seja, pois, a DG a que se ajusta à AD; portanto, as AG, GD são racionais com ensuráveis som ente em potência, e a que se ajusta, a GD, é com ensu­ rável com a exposta racional AC em com prim ento, e a toda AG é m aior em potência do que a que se ajusta DG pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a. Portanto, caso seja aplicado à AG

um igual à quarta parte do sobre a DG, deficiente por um a figura quadrada, divid i-la-á em incom ensuráveis. Fique, de fato, cortada a DG em duas no ponto E, e fique aplicado à AG um igual ao sobre a EG, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas AF, FG; portanto, a AF é incom ensurável com a FG em com prim ento. E, como a AG é incom ensurável com a CA em com prim ento, e ambas são racionais, portanto, o AK é m edial. De novo, 455

E uclides

como a DG é racional e com ensurável com a AC em com prim ento, o DK é racional. Por um lado, fique construído o quadrado JL igual ao AI, e, por outro lado, fique subtraído o quadrado M N igual ao FK, à volta do mesmo ângulo, o sob JO L ; portanto, os quadrados JL, M N estão à volta da m esm a diagonal. Seja a diagonal O R deles, e fique descrita com pletam ente a figura. Do mesmo modo, então, provaremos que a JM serve para produzir a área AB. D igo que a JM é a que faz, com um racional, o todo m edial. Pois, como o AK foi provado m edial, e é igual aos sobre as JO, O M , portanto, o com posto dos sobre as JO, O M é m edial. De novo, como o DK é racional e é igual a duas vezes o pelas JO, O M , tam bém ele é racional. E, como o AI é incom ensurável com o FK, portanto, tam bém o sobre a JO é incom ensurável com o sobre a O M ; portanto, as JO, O M são incom ensu­ ráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas m edial, e, por outro lado, duas vezes o por elas racional. Portanto, a restante JM é irracional, a cham ada a que faz, com um racional, o todo m edial; e serve para produzir a área AB. Portanto, a que serve para pro duzir a área AB é a que faz, com um racio ­ nal, o todo m edial; o que era preciso provar.

96. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a ra cio n a l e u m sexto ap ótom o, a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir a área é a q u e fa z , com u m m edial, o todo m edial. Seja, pois, a área AB contida pela racional AC

A

[

z

F G

e o sexto apótom o AD; digo que a que serve para pro duzir a área AB é a que faz, com um m edial, o todo m edial. Seja, pois, a DG a que se ajusta à AD; portanto, as AG, GD são racionais com ensuráveis som ente em potência, e nenhum a delas é com ensurável com a exposta racional AC em com prim ento, e a toda AG é m aior em potência do que a que se ajusta DG pelo sobre um a incom ensurável com aquela 45

6

1 C J

3

K

r

M

/P Y/ Xx

1 //

0

O s elem en tos

m esm a em com prim ento. Com o, de fato, a AG é m aior em potência do que a GD pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a em com prim ento, portanto, caso seja aplicado à AG um igual à quarta parte do sobre a DG, deficiente por um a figura quadrada, d ivid i-la-á em incom ensuráveis. Fique, de fato, cortada a DG em duas no [ponto] E, e fique aplicado à AG um igual ao sobre a EG, deficiente por um a figura quadrada, e seja o pelas AF, FG; portanto, a AF é incom ensurável com a FG em com prim ento. E, como a AF para a FG, assim o AI está para o FK; portanto, o AI é incom ensurável com o FK. E, como as AG, AC são racionais comensuráveis somente em potência, o AK é m edial. De novo, como as AC, DG são racionais e incom ensuráveis em com prim ento, tam bém o DK é m edial. Com o, de fato, as AG, GD são com ensuráveis som ente em potência, portanto a AG é incom ensurável com a GD em com prim ento. M as, como a AG para a GD, assim o AK está para o KD; portanto, o AK é incom ensurável com o KD. Por um lado, fique, de fato, construído o quadrado JL igual ao AI, e, por outro lado, fique su b traí­ do o M N igual ao FK, à volta do mesm o ângulo; portanto, os quadrados JL, M N estão à volta da m esm a diagonal. Seja a diagonal O R deles e fique descrita com pletam ente a figura. Do mesmo modo, então, que nos acima, provaremos que a JM serve para produzir a área AB. D igo que a JM é a que faz, com um m edial, o todo m edial. Pois, como o AK foi provado m edial e igual aos sobre as JO, O M , por­ tanto, o com posto dos sobre as JO, O M é m edial. De novo, como o DK foi provado m edial e igual a duas vezes o pelas JO, O M , tam bém duas vezes o pelas JO, O M é m edial. E, como o AK foi provado incom ensurável com o DK, [p o rtan to ], tam bém os quadrados sobre as JO, O M são incom en­ suráveis com duas vezes o pelas JO, O M . E, como o AI é incom ensurável com o FK, portanto, tam bém o sobre a JO é incom ensurável com o sobre a O M ; portanto, as JO, O M são incom ensuráveis em potência, fazendo tanto o com posto dos quadrados sobre elas m edial quanto duas vezes o por elas m edial e, ainda, os quadrados sobre elas incom ensuráveis com duas vezes o por elas. Portanto, a JM é irracional, a cham ada a que faz, com um m edial, o todo m edial; e serve para produzir a área AB. Portanto, a que serve para p roduzir a área é a que faz, com um m edial, o todo m edial; o que era preciso provar. 457

E uclides

97. O so b re u m a p ótom o, ap licado a u m a ra cion al, faz com o la rg u ra u m p r im e ir o apótom o. Sejam o apótomo AB, e a racional CD, e fique ap li­

A

cado à CD o CE igual ao sobre a AB, fazendo como largura a CF; digo que a CF é um prim eiro apótomo.

B

G

C

F

M I L

D

E

N H

Seja, pois, a BG a que se ajusta à AB; portanto, as AG, GB são racionais com ensuráveis som ente em potência. E, por um lado, fique aplicado à CD o C H

igual ao sobre a AG, e, por outro lado, o IJ, ao sobre a BG. Portanto, o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB; dos quais o CE é igual ao sobre a AB; portanto, o restante FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB. F ique cortada a FL em duas no ponto M , e fique traçada pelo M a M N paralela à CD ; portanto, cada um dos FN, JM é igual ao pelas AG, GB. E, como os sobre as AG, GB são racionais, e o DL é igual aos sobre as AG, GB, portanto, o DL é racional. E foi aplicado à racional CD , fazendo como largura a CL; portanto, a C L é racional e com ensurável com a CD em com prim ento. De novo, como duas vezes o pelas AG, GB é m edial, e o FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB, portanto, o FJ é m edial. E foi aplicado à racional CD , fazendo como largura a FL; portanto, a FL é racional e incom ensu­ rável com a CD em com prim ento. E, por um lado, como os sobre as AG, GB são racionais, e, por outro lado, duas vezes o pelas AG, GB é m edial, portanto, os sobre as AG, GB são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AG, GB. E, por um lado, o CJ é igual aos sobre as AG, GB, e, por outro, o FJ, ao duas vezes o pelas AG, GB; portanto, o DL é incom ensurável com o FJ. M as, como o DL para o FJ, assim a CL está para a FL. Portanto, a C L é incom ensurável com a FL em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as CL, LF são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a CF é um apótom o. D igo, então, que é um prim eiro. Pois, como o pelas AG, GB é m édio, em proporção, entre os sobre as AG, GB, e, por um lado, o C H é igual ao sobre a AG, e, por outro lado, o 45

8

O s elem en tos

IJ é igual ao sobre a BG, e o M J, ao pelas AG, GB, portanto, tam bém o M J é m édio, em proporção, entre os CH , IJ; portanto, como o C H está para o M J, assim o M J para o IJ. M as, por um lado, como o C H para o M J, assim a CI está para a M L ; e, por outro lado, como o M J para o IJ, assim a M L está para a IL; portanto, o pelas CI, IL é igual ao sobre a M L , isto é, à quarta parte do sobre a FL. E, como o sobre a AG é com ensurável com o sobre a GB, tam bém o C H [é] com ensurável com o IJ. M as, como o C H para o IJ, assim a CI para a IL; portanto, a CI é com ensurável com a IL. Com o, de fato, as duas retas CL, LF são desiguais, e foi aplicado à CL o pelas CI, IL igual à quarta parte do sobre a FL, deficiente por um a figura quadrada, e a CI é com ensurável com a IL, portanto, a CL é m aior em potência do que a LF pelo sobre um a comensurável em com prim ento com aquela mesma. E a CL é com ensurável com a exposta racional CD em com prim ento. Portanto, a CF é um prim eiro apótomo. Portanto, o sobre um apótomo, aplicado a um a racional, faz como largura um prim eiro apótom o; o que era preciso provar.

98. O sobre u m p r im e ir o a p óto m o de u m a m edial, ap lica d o a u m a racion al, f a z co m o la rg u ra u m seg u n d o apótom o. Sejam a AB um prim eiro apótomo de um a medial e a CD um a racional, e fique aplicado à CD o CE igual F

M

L

ao sobre a AB, fazendo como largura a CF; digo que a CF é um segundo apótomo.

D

E

N h

Seja, pois, a BG a que se ajusta à AB; portanto, as AG, GB são m ediais com ensuráveis som ente em

potência, contendo um racional. E, por um lado, fique aplicado à CD o C H igual ao sobre a AG, fazendo como largura a CI, e, por outro lado, o IJ igual ao sobre a GB, fazendo como largura a IL; portanto, o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB; portanto, tam bém o CJ é m edial. E foi justaposto à racional CD , fazendo como largura a CL; portanto, a CL é racional e in co ­ m ensurável com a CD em com prim ento. E, como o CJ é igual aos sobre as 459

E uclides

AG, GB, dos quais o sobre a AB é igual ao CE, portanto, duas vezes o pelas AG, GB restante é igual ao FJ. M as duas vezes o pelas AG, GB [é] racional; portanto, o FJ é racional. E foi justaposto à racional FE, fazendo como com prim ento a FL; portanto, tam bém a FL é racional e com ensurável com a CD em com prim ento. Com o, de fato, por um lado, os sobre as AG, GB, isto é, o CJ, é m edial, e, por outro lado, duas vezes o pelas AG, GB, isto é, o FJ é racional, portanto, o CJ é incom ensurável com o FJ. E, como o CJ para o FJ, assim a CL está para a FL; portanto, a C L é incom ensurável com a FL em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as CL, LF são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a CF é um apótom o. D igo, então, que tam bém é um segundo. Fique, pois, cortada a FL em duas no M , e seja traçada pelo M a M N paralela à C D ; portanto, cada um dos FN , M J é igual ao pelas AG, GB. E, como o pelas AG, GB é m édio, em proporção, entre os quadrados sobre as AG, GB, e, por um lado, o sobre a AG é igual ao CH , e, por outro lado, o pelas AG, GB, ao M J, e o sobre a BG ao IJ, portanto, tam bém o M J é m édio, em proporção, entre os CH , IJ; portanto, como o C H está para o M J, assim o M J para o IJ. M as, por um lado, como o C H para o M J, assim a CI está para a M L , e, por outro lado, como o M J para o IJ, assim a M L está para LI; portanto, como a CI para a M L , assim a M L está para a IL; portanto, o pelas CI, IL é igual ao sobre a M L , isto é, à quarta parte do sobre a FL. [E, como o sobre a AG é com ensurável com o sobre a BG, tam bém o C H é com ensurável com o IJ, isto é, a CI, com a IL.] Com o, de fato, as duas retas CL, LF são desiguais, e foi aplicado à m aior C L o pelas CI, IL, igual à quarta parte do sobre a LF, deficiente por um a figura quadrada, tam bém divide-a em com ensuráveis, portanto a CL é m aior em potência do que a LF pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a em com prim ento. E a que se ajusta FL é com ensurável com a exposta racional CD em com prim ento; portanto, a CF é um segundo apótomo. Portanto, o sobre um prim eiro apótom o de um a m edial, aplicado a um a racional, faz como largura um segundo apótom o; o que era preciso provar.

460

O s elem en tos

99. O sobre u m seg u n d o a p óto m o de u m a m edial, ap licado a u m a ra cion al, faz^ com o la r g u r a u m terceiro apótom o.

c

A

B

G

Sejam a AB um segundo apótom o de um a m edial e

"

"

"

a CD um a racional, e fique aplicado à CD o CE igual

F

M

L

ao sobre a AB, fazendo como largura a CF; digo que a CF é um terceiro apótomo.

D

E

N H

J

Seja, pois, a BG a que se ajusta à AB; portanto, as AG, GB são m ediais com ensuráveis som ente em

potência, contendo um m edial. E, por um lado, fique aplicado à CD o CH igual ao sobre a AG, fazendo como largura a CI, e, por outro lado, fique aplicado à IH o IJ igual ao sobre a BG, fazendo como largura a IL; por­ tanto, o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB [e os sobre as AG, GB são m ediais.] Portanto, tam bém o CJ é m edial. E foi aplicado à racional CD, fazendo como largura a CL; portanto, a CL é racional e incom ensurável com a CD em com prim ento. E, como o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB, dos quais o CE é igual ao sobre a AB, portanto, o restante JF é igual a duas vezes o pelas AG, GB. Fique, de fato, cortada a FL em duas no ponto M , e fique traçada a M N paralela à CD ; portanto, cada um dos FN , M J é igual ao pelas AG, GB. M as o pelas AG, GB é m edial; portanto, tam bém o FJ é m edial. E foi justaposto à racional EF, fazendo como largura a FL; portanto, tam bém a FL é racional e incom ensurável com a CD em com ­ prim ento. E, como as AG, GB são com ensuráveis som ente em potência, portanto, a AG [é] incom ensurável com a GB em com prim ento; portanto, tam bém o sobre a AG é incom ensurável com o pelas AG, GB. M as, por um lado, os sobre os AG, GB são com ensuráveis com o sobre a AG, e, por outro lado, duas vezes o pelas AG, GB, com o pelas AG, GB; portanto, os sobre as AG, GB são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AG, GB. M as o CJ é igual aos sobre os AG, GB, enquanto o FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB; portanto, o CJ é incom ensurável com o FJ. M as, como o CJ para o FJ, assim a CL está para a FL; portanto, a CL é incom ensurável com a FL em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as CL, LF

461

E uclides

são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a CF é um apótom o. D igo, então, que tam bém é um terceiro. Pois, como o sobre a AG é com ensurável com o sobre a GB, portanto, tam bém o C H é com ensurável com o IJ; desse modo, tam bém a CI, com a IL. E, como o pelas AG, GB é m édio, em proporção, entre os sobre as AG, GB, e o C H é igual ao sobre a AG, enquanto o IJ é igual ao sobre a GB, e o M J é igual ao pelas AG, GB, portanto, o M L é m édio, em proporção, entre os C H , IJ; portanto, como o C H está para o M J, assim o M J para o IJ; mas, por um lado, como o C H para o M J, assim a CI está para a M L , e, por outro lado, como o M J para o IJ, assim a M L está para a IL; portanto, como a CI para a LM , assim a LM está para a IL; portanto, o pelas CI, IL é igual [ao sobre a LM , isto é] à quarta parte do sobre a FL. Com o, de fato, as duas retas CL, LF são desiguais, e foi aplicado à CL um igual à quarta parte do sobre a FL, deficiente por um a figura quadrada, tam bém a divide em com ensuráveis, portanto, a CL é m aior em potência do que a LF pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. E nenhum a das CL, LF é com ensurável com a exposta racional CD em com prim ento. Portanto, a CF é um terceiro apótomo. Portanto, o sobre um segundo apótom o de um a m edial, aplicado a um a racional, faz como largura um terceiro apótom o; o que era preciso provar.

100. O so b re u m a menor, ap licado a u m a ra cion al, f a z co m o la rg u ra u m q u a rto apótom o. Sejam a AB um a m enor e a CD um a racional, e fique aplicado à racional CD o CE igual ao sobre a

A

B

G

AB, fazendo como largura a CF; digo que a CF é um quarto apótomo.

j

F

M

D

E

N

Seja, pois, a BG a que se ajusta à AB; portanto, as AG, GB são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre as AG,

462

L

O s elem en tos

GB racional, e, por outro lado, duas vezes o pelas AG, GB m edial. E, por um lado, fique aplicado à CD o C H igual ao sobre a AG, fazendo como largura a CI, e, por outro lado, o IJ igual ao sobre a BG, fazendo como lar­ gura a IL; portanto, o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB. E o com posto dos sobre as AG, GB é racional; portanto, tam bém o CJ é racional. E foi justaposto à racional CD , fazendo como largura a CL; portanto, a C L é racional e com ensurável com a CD em com prim ento. E, como o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB, dos quais o CE é igual ao sobre a AB, portanto, o restante FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB. Fique, de fato, cortada a FL em duas no ponto M , e fique traçada pelo M a M N paralela a qualquer um a das CD , LJ; portanto, cada um dos FN , M J é igual ao pelas AG, GB. E, como duas vezes o pelas AG, GB é m edial e é igual ao FJ, portanto, o FJ é m edial, e foi justaposto à racional FE, fazendo como largura a FL; portanto, a FL é racional e incom ensurável com a CD em com prim ento. E, como, por um lado, o com posto dos sobre as AG, GB é racional, e, por outro lado, duas vezes o pelas AG, GB é m edial, [p o rtan to ], os sobre as AG, GB são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AG, GB. M as o CJ [é] igual aos sobre as AG, GB, e o FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB; portanto, o CJ é incom ensurável com o FJ. M as como o CJ para o FJ, assim a CL está para a LF; portanto, a C L é incom ensurável com a LF em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as CL, LF são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a CF é um apótomo. D igo, então, que tam bém é um quarto. Pois, como as AG, GB são incom ensuráveis em potência, portanto, tam bém o sobre a AG é incom ensurável com o sobre a GB. E o C H é igual ao sobre a AG, enquanto o IJ é igual ao sobre a GB; portanto, o C H é in ­ com ensurável com o IJ. M as, como o C H para o IJ, assim a CI está para a IL; portanto, a CI é incom ensurável com a IL em com prim ento. E, como o pelas AG, GB é m édio, em proporção, entre os sobre as AG, GB, e o sobre a AG é igual ao C H , enquanto o sobre a GB, ao IJ e o pelas AG, GB, ao M J, portanto, o M J é m édio, em proporção, entre os C H , IJ; portanto, como o C H está para o M J, assim o M J para o IJ. M as, por um lado, como o CH para o M J, assim a CI está para a M L, e, por outro lado, como o M J para o IJ, assim a M L está para a IL; portanto, como a CI para a LM , assim a LM 4 63

E uclides

está para a IL; portanto, o pelas CI, IL é igual ao sobre a LM , isto é, à quarta parte do sobre a FL. Com o, de fato, as duas retas CL, LF são desiguais, e foi aplicado à CL o pelas CI, IL igual à quarta parte do sobre a LF, deficiente por um a figura quadrada, tam bém a divide em incom ensuráveis, portanto, a CL é m aior em potência do que a LF, pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E, a toda CL é com ensurável com a exposta racional CD em com prim ento; portanto, a CF é um quarto apótomo. Portanto, o sobre um a menor, e as coisas seguintes.

101. O sobre a q u e fa z , co m u m ra cion al, o todo m edial, ap lica d o a u m a ra cion al, f a z co m o la r g u r a u m q u in to apótom o. Sejam a AB a que faz, com um racional, o todo m edial e a CD um a racional, e fique aplicado à CD o

c

F

M

E

N

L

CE igual ao sobre a AB, fazendo como largura a CF; digo que a CF é um quinto apótomo.

h

Seja, pois, a BG a que se ajusta à AB; portanto, as retas AG, GB são incom ensuráveis em potência,

A

B

G

fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas m edial, e, por outro lado, duas vezes o por elas racional. E fique aplicado à CD , por um lado, o C H igual ao sobre a AG, e, por outro lado, o IJ igual ao sobre a GB; portanto, o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB. E o com posto dos sobre as AG, GB juntos é m edial; portanto, o CJ é m edial. E foi justaposto à racional CD , fazendo como largura a CL; portanto, a C L é racional e incom ensurável com a CD . E, como o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB, dos quais o CE é igual ao sobre a AB, portanto, o restante FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB. Fique, de fato, cortada a FL em duas no M , e fique traçada pelo M a M N paralela a qualquer um a das CD, LJ; portanto, cada um dos FN , M J é igual ao pelas AG, GB. E, como duas vezes o pelas AG, GB é racional e [é] igual ao FJ, portanto, o FJ é racio ­ nal. E foi justaposto à racional EF, fazendo como largura a FL; portanto, a FL é racional e com ensurável com a CD em com prim ento. E como, por 464

O s elem en tos

um lado, o CJ é m edial, e, por outro lado, o FJ é racional, portanto, o CJ é incom ensurável com o FJ. M as, como o CJ para o FJ, assim a CL para a LF; portanto, a CL é incom ensurável com a LF em com prim ento. E ambas são racionais; portanto, as CL, LF são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a CF é um apótom o. D igo, então, que tam bém é um quinto. Pois, do mesm o modo, provaremos que o pelas CIL é igual ao sobre a M L, isto é, à quarta parte do sobre a FL. E, como o sobre a AG é incom ensu­ rável com o sobre a GB, mas o sobre a AG é igual ao C H , enquanto o sobre a GB ao IJ, portanto, o C H é incom ensurável com o IJ. M as, como o CH para o IJ, assim a CI para a IL; portanto, a CI é incom ensurável com a IL em com prim ento. Com o, de fato, as duas retas CL, LF são desiguais, e foi aplicado à CL um igual à quarta parte do sobre a FL, deficiente por um a figura quadrada, tam bém a divide em incom ensuráveis, portanto, a CL é m aior em potência do que a LF pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E a FL, a que se ajusta, é com ensurável com a exposta racional CD ; portanto, a CF é um quinto apótom o; o que era preciso provar.

102. O sobre a q u e fa z , co m u m m edial, o todo m ed ial, ap licado a u m a ra cion al, faz^ com o la r g u r a u m sexto apótom o.

c

F

M

L

Sejam a AB a que faz, com um m edial, o todo m edial, e a CD um a racional, e fique aplicado à CD o CE igual ao sobre a AB, fazendo como largura a CF;

E

N h

digo que a CF é um sexto apótomo. Seja, pois, a BG a que se ajusta à AB; portanto, as

A

B

G

AG,

GB são incom ensuráveis em potência,

tanto o com posto dos quadrados sobre elas m edial quanto duas vezes o pelas AG, GB m edial e os sobre as AG, GB incom en­ suráveis com duas vezes o pelas AG, GB. Fique, de fato, aplicado à CD , por um lado, o C H igual ao sobre a AG, fazendo como largura a CI, e, por outro lado, o IJ, ao sobre a BG; portanto, o todo CJ é igual aos sobre as AG, GB;

465

E uclides

portanto, tam bém o CJ [é] m edial. E foi justaposto à CD , fazendo como largura a CL; portanto, a CL é racional e incom ensurável com a CD em com prim ento. Com o, de fato, o CJ é igual aos sobre as AG, GB, dos quais o CE é igual ao sobre a AB, portanto, o restante FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB. E duas vezes o pelas AG, GB é m edial; portanto, tam bém o FJ é m edial. E foi justaposto à racional FE, fazendo como largura a FL; portanto, a FL é racional e incom ensurável com a CD em com prim ento. E, como os sobre as AG, GB são incom ensuráveis com duas vezes o pelas AG, GB, e o CJ é igual aos sobre os AG, GB, enquanto o FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB, portanto, o CJ [é] incom ensurável com o FJ. M as, como o CJ para o FJ, assim a CL está para a LF; portanto, a CL é in co ­ m ensurável com a LF em com prim ento. E ambas são racionais. Portanto, as CL, LF são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a CF é um apótomo. D igo, então, que tam bém é um sexto. Pois, como o FJ é igual a duas vezes o pelas AG, GB, fique cortada a FL em duas no M , e fique traçada pelo M a M N paralela à CD ; portanto, cada um dos FN , M J é igual ao pelas AG, GB. E, como as AG, GB são incom en­ suráveis em potência, portanto, o sobre a AG é incom ensurável com o sobre a GB. M as o C H é igual ao sobre a AG, ao passo que o IJ é igual ao sobre a GB; portanto, o C H é incom ensurável com o IJ. M as, como o C H para o IJ, assim a CI está para a IL; portanto, a CI é incom ensurável com a IL. E, como o pelas AG, GB é m édio, em proporção, entre os sobre as AG, GB, e o C H é igual ao sobre a AG, ao passo que o IJ é igual ao sobre a GB, e o M J é igual ao pelas AG, GB, portanto, tam bém o M J é m édio, em proporção, entre os C H , IJ; portanto, como o C H para o M J, assim o M J para o IJ. E, pelas mesm as coisas, a CL é m aior em potência do que a LF pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a. E nenhum a delas é com ensurável com a exposta racional CD ; portanto, a CF é um sexto apótom o; o que era preciso provar.

466

O s elem en tos

103. A co m en s u r á v e l co m o a p ótom o, em co m p rim en to , é u m apótom o, e o m esm o, n a ordem . Seja o apótomo AB, e seja a CD comensurável com a AB ^

^

em com prim ento; digo que tam bém a CD é um apótom o

________ _ C

_

D F

e o mesm o que a AB, na ordem. Pois, como a AB é um apótom o, seja a BE a que se ajus­ ta à AB; portanto, as AE, EB são racionais com ensuráveis

som ente em potência. E pela razão da AB para a CD , fique p roduzida a da BE para a DF; portanto, tam bém como um para um, todos [estão] para todos; portanto, tam bém como a toda AE está para a toda CF, assim a AB para a CD . M as a AB é com ensurável com a CD em com prim ento. Por­ tanto, tam bém , por um lado, a AE é com ensurável com a CF, e, por outro lado, a BE, com a DF. E as AE, EB são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, as CF, FD são racionais com ensuráveis som ente em potência. [Portanto a CD é um apótom o. D igo, então, que tam bém é o mesm o que a AB, na ordem .] Com o, de fato, a AE está para a CF, assim a BE para a DF, portanto, alternadam ente, como a AE está para a EB, assim a CF para a FD. Então, ou a AE é m aior em potência do que a EB pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a ou pelo sobre um a incom ensurável. Se, por um lado, a AE é m aior em potência do que a EB pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, tam bém a CF será m aior em potência do que a FD pelo so ­ bre um a com ensurável com aquela mesm a. E, se a AE é com ensurável com a exposta racional em com prim ento, tam bém a CF, ao passo que, se a BE, tam bém a DF, e, se nenhum a das AE, EB, tam bém nenhum a das CF, DF. Se, por outro lado, a AE é m aior em potência [do que a EB] pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a, tam bém a CF será m aior em potência do que a FD pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a. E, se a AE é com ensurável em com prim ento com a exposta racional, tam bém a CF, ao passo que, se a BE, tam bém a DF, e se nenhum a das AE, EB, nenhum a das CF, FD. 4 67

E uclides

Portanto, a CD é um apótom o e o mesmo que a AB, na ordem ; o que era preciso provar.

104. A co m en s u r á v e l co m o a p óto m o de u m a m ed ia l é u m a p óto m o de u m a m ed ial, e o m esm o, n a ordem . Seja o AB apótom o de um a m edial, e seja a CD comensurável com a AB em com prim ento; digo que a CD é apótom o de um a

A

"

'

C

m edial e o mesm o que a AB, na ordem. Pois, como o AB é apótom o de um a m edial, seja a EB a que se ajusta a ela. Portanto, as AE, EB são m ediais com ensuráveis som ente em potência. E fique produzido como a AB para a CD ,

E n

assim a BE para a DF; portanto, também a AE [é] comensurável com a CF, e a BE com a DF. M as as AE, EB são m ediais com ensuráveis som ente em potência; portanto, tam bém as CF, FD são m ediais com en­ suráveis som ente em potência; portanto, a CD é apótom o de um a m edial. D igo, então, que tam bém é o mesmo que a AB, na ordem. [Pois,] como a AE está para a EB, assim a CF para a FD [m as, por um lado, como a AE para a EB, assim o sobre a AE para o pelas AE, EB, e, por outro lado, como a CF para a FD, assim o sobre a CF para o pelas CF, F D ], portanto, tam bém como o sobre a AE está para o pelas AE, EB, assim o sobre a CF para o pelas CF, FD [e, alternadam ente, como o sobre a AE para o sobre a CF, assim o pelas AE, EB para o pelas CF, F D ]. M as o sobre a AE é com ensurável com o sobre a CF; portanto, tam bém o pelas AE, EB é com ensurável com o pelas CF, FD. Se, de fato, o pelas AE, EB é racional, tam bém o pelas CF, FD será racional, ao passo que se o pelas AE, EB [é] m edial, tam bém o pelas CF, FD [é] m edial. Portanto, a CD é um apótom o de um a m edial e o mesm o que a AB, na ordem ; o que era preciso provar.

468

O s elem en tos

105. A c o m e n s u r á v e l co m a m e n o r é u m a menor. Sejam , pois, a m enor AB e a CD com ensurável com a AB; digo A

^

que a CD tam bém é um a menor. Fiquem , pois, produzidas as mesm as coisas. E, como as AE, EB são incom ensuráveis em potência, portanto, tam bém as CF,

E

FD são incom ensuráveis em potência. Com o, de fato, a AE está ,, p

para a EB, assim a CF para a FD, portanto, tam bém como o sobre a AE está para o sobre a EB, assim o sobre a CF para o sobre a

FD. Portanto, por com posição, como os sobre as AE, EB estão para o so ­ bre a EB, assim os sobre as CF, FD para o sobre a FD [e alternadam ente]; mas o sobre a BE é com ensurável com o sobre DF; portanto, tam bém o com posto dos quadrados sobre as AE, EB é com ensurável com o com posto dos quadrados sobre as CF, FD. M as o com posto dos quadrados sobre as AE, EB é racional; portanto, tam bém o com posto dos quadrados sobre as CF, FD é racional. De novo, como o sobre a AE está para o pelas AE, EB, assim o sobre CF para o pelas CF, FD, e o quadrado sobre a AE é com en­ surável com o quadrado sobre a CF, portanto, tam bém o pelas AE, EB é com ensurável com o pelas CF, FD. M as o pelas AE, EB é m edial; portanto, tam bém o pelas CF, FD é m edial; portanto, as CF, FD são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre elas racional, e, por outro lado, o por elas m edial. Portanto, a CD é um a m enor; o que era preciso provar.

106. A c o m e n s u r á v e l co m a q u e fa z , com u m ra cion al, o todo m ed ia l é u m a q ue fa z , co m u m ra cion al, o todo m edial. Sejam a AB a que faz, com um racional, o todo m edial e a CD com en­ surável com a AB; digo que tam bém a CD é a que faz, com um racional, o todo m edial. 469

E uclides

Seja, pois, a BE a que se ajusta à AB; portanto, as AE, EB

A'

são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre as AE, EB m edial, e, por outro lado, o por elas racional. E fiquem construídas as mesmas coi-

E'

sas. Do mesmo modo, então, que nos anteriores, provaremos que as CF, FD estão na m esm a razão que as AE, EB, e o com ­ posto dos quadrados sobre as AE, EB é com ensurável com o com posto dos quadrados sobre as CF, FD, e o pelas AE, EB, com o pelas CF, FD; desse modo, tam bém as CF, FD são incom ensuráveis em potência, fazendo, por um lado, o com posto dos quadrados sobre as CF, FD m edial, e, por outro lado, o por elas racional. Portanto, a CD é a que faz, com um racional, o todo m edial; o que era preciso provar.

107. A co m en s u r á v e l co m a q u e fa z , com u m m edial, o todo m ed ia l é tam bém ela a q u e fa z , co m u m m ed ial, o todo m edial. Seja a AB a que faz, com um m edial, o todo m edial e seja a CD com ensurável com a AB; digo que tam bém a CD é a que faz, com um m edial, o todo m edial. Seja, pois, a BE a que se ajusta à AB, e fiquem construídas as mesm as coisas; portanto, as AE, EB são incom ensuráveis em potência, fazendo tanto o com posto dos quadrados sobre elas m edial quanto o por elas m edial, e ainda o com posto dos qua­ drados sobre elas incom ensurável com o por elas. E as AE, EB são, como foi provado, com ensuráveis com as CF, FD, e o com posto dos quadrados sobre as AE, EB, com o com posto dos sobre as CF, FD, e o pelas AE, EB, com o pelas CF, FD ; portanto, tam bém as CF, FD são incom ensuráveis em potência, fazendo tanto o com posto dos quadrados sobre elas m edial quanto o por elas m edial, e ainda o com posto dos [quadrados] sobre elas incom ensurável com o por elas. Portanto, a CD é a que faz, com um m edial, o todo m edial; o que era preciso provar. 47o

O s elem en tos

108. S endo su b tra íd o u m m ed ia l de u m ra cion al, a q u e ser v e p a r a p r o d u z ir a área resta nte to rn a -se u m a das d u a s irracion a is, o u u m ap óto m o o u u m a m enor. ^

E B

Fique, pois, subtraído do racional BC o m edial BD; digo que a que serve para produzir o restante EC torna-se um a das duas irracionais, ou um apótom o ou um a

^ -----------jij—

menor. Fique, pois, exposta a FG racional, e,

________________ ^

^

por um lado, fique aplicado à FG o para­ lelogram o retangular GH igual ao BC, e,

pi

|

f

por outro lado, fique subtraído o GI igual ao DB; portanto, o restante EC é igual ao

JH . Com o, de fato, por um lado, o BC é racional, e, por outro lado, o BD é m edial, e o BC é igual ao GH, enquanto o BD, ao GI, portanto, por um lado, o GH é racional e, por outro lado, o GI é m edial. E foi justaposto à racional FG; portanto, por um lado, a FH é racional e com ensurável com a FG em com prim ento, e, por outro lado, a FI é racional e incom ensurável com a FG em com prim ento; portanto, a FH é incom ensurável com a FI em com prim ento. Portanto, as FH , FI são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a IH é um apótom o, e a IF a que se ajusta a ela. Então, ou a H F é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a com en­ surável com aquela m esm a ou não. Seja, prim eiram ente, m aior em potência pelo sobre um a com ensurável. E a toda H F é com ensurável com a exposta racional FG em com prim ento; portanto, a IH é um prim eiro apótom o. M as a que serve para produzir o contido por um a racional e um prim eiro apótom o é um apótomo. Portanto, a que serve para produzir o JH , isto é, o EC é um apótomo. E, se a H F é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a incom ensu­ rável com aquela mesma, e a toda FH é com ensurável com a exposta racional FG em com prim ento, a IH é um quarto apótom o. M as a que serve para 4 7

1

E uclides

pro duzir o contido por um a racional e um quarto apótom o é um menor; o que era preciso provar.

109. S endo su b tra íd o u m ra cio n a l de u m m ed ial, ou tra s d u a s irra cio n a is têm lugar, o u u m p r im e ir o a p óto m o de u m a m ed ia l o u a q u e fa z , com u m ra cion al, o todo m edial. Fique, pois, do m edial BC subtraído o racional BD. D igo que a que serve para p ro ­ duzir o restante EC torna-se um a das duas irracio n ais, ou um prim eiro apótom o de um a m edial ou a que faz, com um racional, o todo m edial. F ique, p o is, exp o sta a racio n al FG e

D C

fiquem aplicadas do mesmo modo as áreas. Por conseguinte, então, por um lado a FH é racional e incom ensurável com a FG em com prim ento, e, por outro lado, a IF é racional e com ensurável com a FG em com prim ento; portanto, as FH, FI são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a IH é um apótom o, e a FI a que se ajusta a ela. Então, ou a H F é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a com ensurável com aquela m esm a ou pelo sobre um a incom ensurável. Se, por um lado, de fato, a H F é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a comensurável com aquela mesma, e a que se ajusta, a FI, é comensurável com a exposta racional FG em com prim ento, a IH é um segundo apótomo. M as a FG é racional; desse modo, a que serve para pro duzir o JH , isto é, o EC é um prim eiro apótom o de um a m edial. E, se a H F é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a incom en­ surável, e a que se ajusta, a FI, é com ensurável com a exposta racional FG em com prim ento, a IH é um quinto apótom o; desse modo, a que serve para produzir o EC é a que faz, com um racional, o todo m edial; o que era preciso provar. 47

2

O s elem entos

110. S en do su b tra íd o de u m m ed ia l u m m ed ia l in c o m e n su r á v el co m o todo, as d u a s resta ntes irra cio n a is têm lugar, o u u m seg u n d o ap óto m o de u m a m ed ia l o u a q u e fa z , co m u m m ed ial, o todo m edial. Fique, pois, subtraído, como nas propostas descritas, do m edial BC o m edial BD incom ensurável com o todo; digo que a que serve para produzir o EC é um a das duas irracionais, ou um segundo apótom o de um a m edial ou a que faz, com um m edial, o todo m edial. Pois, como cada um dos BC, BD é m edial, e o BC é incom ensurável com o BD, por conseguinte, cada um a das FH, FI será racional e incom ensurável com a FG em com prim ento. E, como o BC é incom ensurável com o BD, isto é, o GH com o GI, tam bém a H F é incom ensurável com a FI; portanto, as FH , FI são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a IH é um apótom o [e a FI a que se ajusta. Então, ou a FH é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a com ensurável ou pelo sobre um a incom ensurável com aquela m esm a]. Se, por um lado, então, a FH é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, e nenhum a das FH , FI é com en­ surável com a exposta racional FG em com prim ento, a IH é um terceiro apótom o. M as a IJ é racional, e o retângulo contido por um a racional e um terceiro apótom o é irracional, e a que serve para p roduzi-lo é irracional, e é cham ada segundo apótom o de um a m edial; desse modo, a que serve para produzir o JH , isto é, o EC é um segundo apótom o de um a m edial. Se, por outro lado, a FH é m aior em potência do que a FI pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesm a [em com prim ento], e nenhum a das HF, FI é com ensurável com a FG em com prim ento, a IH é um sexto apótomo. M as a que serve para produzir o por um a racional e um sexto apótom o é a que faz, com um m edial, o todo m edial. Portanto, a que serve para produzir o JH , isto é, o EC é a que faz, com um m edial, o todo m edial; o que era preciso provar.

473

E uclides

11 1. O a p ót o m o não é o m e s m o que a binomial. Seja o apótom o AB; digo que a AB não é o m es-

A ■-----

mo que um a binom ial. Pois, se possível, seja; e fique exposta a racional D C e fique aplicado à CD o retângulo CE igual ao sobre a AB, fazendo como largura a DE. Com o, de fato, a AB é um apótom o, a DE é um prim eiro apótom o. Seja a EF a que se ajusta a ela; portanto, as DF, FE são racionais comensuráveis somente em potência, e a DF é m aior em potência do que a FE pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, e a DF é com ensurável com a exposta racional D C em com prim ento. De novo, como a AB é um a binom ial, portanto, a DE é um a prim eira binom ial. Fique dividida nas com ­ ponentes no G, e seja a DG a com ponente m aior; portanto, as DG, GE são racionais com ensuráveis som ente em potência, e a DG é m aior em potência do que a GE pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, e a m aior DG é com ensurável com a exposta racional D C em com prim ento. Portanto, tam bém a DF é com ensurável com a DG em com prim ento; portanto, a res­ tante GF é com ensurável com a DF em com prim ento. [Com o, de fato, a DF é com ensurável com a GF, e a DF é racional, portanto, tam bém a GF é racional. Com o, de fato, a DF é com ensurável com a GF em com prim ento] mas a DF é incom ensurável com a EF em com prim ento; portanto, tam bém a FG é incom ensurável com a EF em com prim ento. Portanto, as GF, FE [são] racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EG é um apótom o. M as tam bém é racional; o que é im possível. Portanto, o apótomo não é o mesmo que a binomial; o que era preciso provar. C

o r o l á r io

O apótomo e as irracionais depois dele nem são os me sm os que a medial ne m entre si. Pois, por um lado, o sobre um a m edial, aplicado a um a racional, faz como largura um a racional e incom ensurável em com prim ento com aquela, à 474

O s elem en tos

qual foi justaposto e, por outro lado, o sobre um apótom o, aplicado a um a racional, faz como largura um prim eiro apótom o, e o sobre um prim eiro apótom o de um a m edial, aplicado a um a racional, faz como largura um se­ gundo apótom o, e o sobre um segundo apótom o de um a m edial, aplicado a um a racional, faz como largura um terceiro apótom o, e o sobre um a menor, aplicado a um a racional, faz como largura um quarto apótom o, e o sobre a que faz, com um racional, o todo m edial, aplicado a um a racional, faz como largura um quinto apótom o, enquanto o sobre a que faz, com um m edial, o todo m edial, aplicado a um a racional, faz como largura um sexto apótomo. Com o, de fato, as ditas larguras diferem tanto da p rim eira quanto entre si, por um lado, da prim eira, porque é racional, e, por outro lado, entre si, porque não são as mesm as na ordem , é claro que assim tam bém as irracio ­ nais mesm as diferem entre si. E como foi provado, o apótom o não sendo a m esm a que a binom ial, e as depois do apótom o, sendo aplicadas a um a racional, fazem como larguras apótom os, cada um a de acordo com a sua própria ordem , e as depois da binom ial, as binom iais, tam bém elas mesmas de acordo com a ordem , portanto, as depois do apótom o são diferentes e as depois da binom ial são diferentes de m odo a serem, na ordem , todas as irracionais treze, M edial, Binom ial, P rim eira binom ial, Segunda binom ial, M aior, A que serve para p roduzir um racional e um m edial, A que serve para p roduzir dois m ediais, Apótom o, Prim eiro apótom o de um a m edial, Segundo apótom o de um a m edial, M enor, A que faz, com um racional, o todo m edial, A que faz, com um m edial, o todo m edial.

475

E uclides

112. O sobre u m a ra cion al, ap licado à bin om ial, faz^ com o la r g u r a u m ap ótom o, do q u a l as co m p o n en tes são co m en s u r á v e is co m as com p on en tes da b in o m ia l e a in d a n a m esm a razão, e, ainda, o a p óto m o q u e tem lu g a r terá a m esm a o r d em q u e a binom ial. Sejam , por um lado, a ra­ cional A, e, por outro lado, a

^

binom ial BC, da qual seja a

D B ■----- ■--------- ■C

D C a m aior com ponente, e

"

"

seja o pelas BC, EF igual ao

E

G ■--------------------- ■ F

sobre a A; digo que a EF é um apótom o, do qual as com ponentes são com ensuráveis com as CD , DB, e na m esm a razão, e ainda a EF terá a m esm a ordem que a BC. Seja, pois, de novo, o pelas BD, G igual ao sobre a A. Com o, de fato, o pelas BC, EF é igual ao pelas BD, G, portanto, como a CB está para a BD, assim a G para a EF. M as a CB é m aior do que a BD; portanto, tam bém a G é m aior do que a EF. Seja a EH igual à G; portanto, como a CB está para a BD, assim a H E para a EF; portanto, por separação, como a CD está para a BD, assim a H F para a FE. Fique produzido como a H F para a FE, assim a FI para a IE; portanto, tam bém a toda H I está para a IF, como a FI para a IE; pois, como um dos antecedentes para um dos consequentes, assim todos os antecedentes para todos consequentes. M as, como a FI para a IE, assim a CD está para a DB; portanto, tam bém como a H I para a IF, assim a CD para a DB. M as o sobre a CD é com ensurável com o sobre a DB; portanto, tam bém o sobre a H I é com ensurável com o sobre a IF. E, como o sobre a HI está para o sobre a IF, assim a H I para a IE, porque as três H I, IF, IE estão em proporção. Portanto, a H I é com ensurável com a IE em com prim ento; desse modo, tam bém a H E é com ensurável com a EI em com prim ento. E, como o sobre a A é igual ao pelas EH, BD, e o sobre a A é racional, p o rtan ­ to, tam bém o pelas EH, BD é racional. E foi justaposto à BD; portanto, a EH é racional e com ensurável com a BD em com prim ento; desse modo, tam bém a EI, com ensurável com ela, é racional e com ensurável com BD 47

6

O s elem en tos

em com prim ento. Com o, de fato, a CD está para a DB, assim a FI para a IE, e as CD , DB são com ensuráveis som ente em potência, tam bém as FI, IE são com ensuráveis som ente em potência. M as a IE é racional; portanto, tam bém a FI é racional. Portanto, as FI, IE são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, a EF é um apótom o. E, ou a CD é m aior em potência do que a DB pelo sobre um a com ensu­ rável com aquela m esm a ou pelo sobre um a incom ensurável. Se, por um lado, de fato, a CD é m aior em potência do que a DB pelo sobre um a com ensurável [com aquela m esm a], tam bém a FI será m aior em potência do que a IE pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. E, se a CD é com ensurável com a exposta racional em com prim ento, tam bém a FI; enquanto que, se a BD, tam bém a IE; mas, se nenhum a das CD , DB, tam bém nenhum a das FI, IE. Se, por outro lado, a CD é m aior em potência do que a DB pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma, tam bém a FI será m aior em potên­ cia do que a IE pelo sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E, se a CD é com ensurável em com prim ento com a exposta racional, tam bém a FI; enquanto, se a BD, tam bém a IE; mas, se nenhum a das CD, DB, também nenhum a das FI, IE; desse modo, a FE é um apótom o, do qual as com po­ nentes FI, IE são com ensuráveis com as com ponentes CD, DB da binom ial, e na mesm a razão, e tem a m esm a ordem que a BC; o que era preciso provar.

113. O sobre u m a ra cion a l, ap lica d o a u m a p óto m o fa z l co m o la r g u r a a bin om ial, da q u a l as co m p o n en tes são co m en s u r á v e is com as com p on en tes do ap ótom o, e na m esm a razão, e a in d a a b in o m ia l q u e tem lu g a r tem a m es m a ord em q u e o apótom o. Sejam , por um lado, a racional A, e, por outro lado, o apótom o BD, e seja o pelas BD, IH igual ao sobre a A, de m odo que o sobre a racional A, aplicado ao apótom o BD, faz como largura a IH ; digo que a IH é um a binom ial da qual as com ponentes são com ensuráveis com as com ponentes da BD, e na m esm a razão, e ainda a IH tem a m esm a ordem que a BD. 477

E uclides

c

Seja, pois, a D C a que se ajusta à BD; portanto, as BC, CD são racionais com ensuráveis som ente em potência. E seja também o pelas BC, G igual ao sobre a A. M as o sobre a A é racional; portanto, tam bém o pelas BC, G é racional. E fo i aplicado à racional BC;

1

A D B

E F

portanto, a G é racional e comensurável com a BC em com prim ento. Com o, de fato, o pelas BC, G é igual

H

ao pelas BD, IH , portanto, em proporção, como a CB está para a BD, assim a IH para a G. M as a BC é m aior do que a BD; portanto, tam bém a IH é m aior do que a G. F ique posta a IE igual à G; portanto, a IE é com ensurá­ vel com a BC em com prim ento. E, como a CB está para a BD, assim a HI para a IE, portanto, por conversão, como a BC está para a CD , assim a IH para a HE. Fique produzido como a IH para a HE, assim a H F para a FE; portanto, tam bém a IF restante está para a FH , como a IH para a HE, isto é, [com o] a BC para a CD . M as as BC, CD [são] com ensuráveis som ente em potência; portanto, tam bém as IF, FH são com ensuráveis som ente em potência. E, como a IH está para a HE, a IF para a FH, mas, como a IH para a HE, a H F para a FE, portanto, tam bém como a IF para a FH , a H F para a FE; desse modo, tam bém como a prim eira para a terceira, o sobre a p rim eira para o sobre a segunda; portanto, tam bém como a IF para a FE, assim o sobre a IF para o sobre a FH. M as o sobre a IF é com ensurável com o sobre a F H ; pois, as IF, FH são com ensuráveis em potência; portanto, tam bém a IF é com ensurável com a FE em com prim ento; desse modo, tam bém a IF [é] com ensurável com a IE, em com prim ento. M as a IE é ra­ cional e com ensurável com a BC em com prim ento; portanto, tam bém a IF é racional e com ensurável com a BC em com prim ento. E, como a BC está para CD , assim a IF para a FH , alternadam ente, como a BC para IF, assim a D C para a FH . M as a BC é com ensurável com a IF; portanto, tam bém a FH é com ensurável com a CD em com prim ento. M as as BC, CD são racionais com ensuráveis som ente em potência; portanto, tam bém as IF, FH são ra­ cionais comensuráveis som ente em potência; portanto a IH é um a binom ial. Se, por um lado, de fato, a BC é m aior em potência do que a CD pelo sobre um a com ensurável com aquela mesma, tam bém a IF será m aior em potência do que a FH pelo sobre um a com ensurável com aquela mesm a. E 47

8

O s elem en tos

se a BC é com ensurável com a exposta racional em com prim ento, tam bém a IF, ao passo que, se a CD é com ensurável com a exposta racional em com pri­ m ento, tam bém a FH . M as, se nenhum a das BC, CD , nenhum a das IF, FH. Se, por outro lado, a BC é m aior em potência do que a CD pelo sobre um a incom ensurável com aquela m esm a, tam bém a IF será m aior em potência do que a FH pelo sobrepelo núm ero sobre um a incom ensurável com aquela mesma. E, se a BC é com ensurável com a exposta racional em com prim ento, tam bém a IF, ao passo que, se a CD , tam bém a FH , mas se nenhum a das BC, CD , nenhum a das IF, FH. Portanto, a IH é um a binom ial, da qual as com ponentes IF, FH [são] com ensuráveis com as com ponentes BC, CD do apótom o, e na mesm a razão, e ainda a IH terá a m esm a ordem que a BC; o que era preciso provar.

114. C aso u m a área seja con tid a p o r u m a p óto m o e a bin om ial, da q u a l as co m p o n en tes são tanto c o m en s u r á v e is com as co m p o n en tes do a p óto m o q u a n to n a m es m a razão, a q u e s er v e p a r a p r o d u z ir a área é racional. B E

F

Fique, pois, contida um a área, a pelas AB, CD , pelo d

apótom o AB e a binom ial CD , da qual a m aior com po-

■-------- ■-------- ■

nente seja a CE, e sejam as com ponentes CE, ED da

G .________.

b in o m ial tan to com ensuráveis com as com ponentes

pi ___________ _

AF, FB do apótom o quanto na m esm a razão, e seja a G

I

J

L

a que serve para pro du zir a pelas AB, CD ; digo que a G é racional.

Fique, pois, exposta a H racional, e fique aplicado à CD um igual ao sobre a H , fazendo como largura a IJ; portanto, a IJ é um apótom o, da qual sejam as com ponentes IL, LJ com ensuráveis com as com ponentes CE, ED da binom ial, e na m esm a razão. M as tam bém as CE, ED são tanto com en­ suráveis com as AF, FB quanto na m esm a razão; portanto, como a AF está para a FB, assim a IL para a LJ. Portanto, alternadam ente, como a AF está para a IL, assim a BF para a JL; portanto, tam bém a restante AB está para a restante IJ, assim a AF para a IL. M as a AF é com ensurável com a IL; 479

Euclides

portanto, tam bém a AB é com ensurável com a IJ. E, como a AB está para a IJ, assim o pelas CD , AB para o pelas CD , IJ; portanto, tam bém o pelas CD , AB é com ensurável com o pelas CD , IJ. M as o pelas CD , IJ é igual ao sobre a H ; portanto, o pelas CD , AB é com ensurável com o sobre a H. M as o sobre a G é igual ao pelas CD , AB; portanto, o sobre a G é com ensurável com o sobre a H. M as o sobre a H é racional; portanto, a G é racional. E serve para pro duzir o pelas CD , AB. Portanto, caso um a área seja contida por um apótom o e a binom ial, da qual as com ponentes são com ensuráveis com as com ponentes do apótomo, e na m esm a razão, a que serve para produzir a área é racional. COLORÁRIO

E tornou-se-nos tam bém evidente por isso que é possível um a área ra­ cional ser contida por retas irracionais; o que era preciso provar.

115. A partir de u m a medial têm lugar ilimitadas irracionais, e nenhuma é a mesma que nenhuma das anteriores. Seja a m edial A; digo que a p artir da A ilim itadas irracionais têm lugar, e nenhum a é a m esm a que ne-

^ ■

nhum a das anteriores.

B .------------------ .

Fique exposta a racional B e seja o sobre a C igual

■

ç ___________ _

ao pelas B, A; portanto, a C é irracional; pois, o por um a irracional e um a racional é irracional. E a mesm a que nenhum a das anteriores; pois, o sobre nenhum a das anteriores, aplicado a um a racional, faz como largura um a medial. De novo, então, seja o sobre a D igual ao pelas B, C; portanto, o sobre a D é irracional. Portanto, a D é irracional; e a m esm a que nenhum a das anteriores; pois, o sobre nenhum a das anteriores, aplicado a um a racional, faz como largura a C. Do mesmo modo, então, prom ovendo essa ordem ilim itadam ente, é evidente que a p artir da m edial ilim itadas irracionais têm lugar, e nenhum a é a m esm a que nenhum a das anteriores; o que era preciso provar.

480

Livro X I

Definições 1. Sólido é o que tem com prim ento e largura e profundidade. 2. E um a extrem idade de um sólido é um a superfície. 3. E um a reta está em ângulos retos relativam ente a um plano, quando faça ângulos retos com todas as retas que a tocam e que estão no plano [su p o sto ]. 4. U m plano está em ângulos retos relativam ente a um plano, quando as retas traçadas, em um dos planos, em ângulos retos com a seção comum dos planos, estejam em ângulos retos com o plano restante. 5. Inclinação de um a reta relativam ente a um plano é, quando a p artir da extrem idade elevada da reta até o plano seja traçada um a perpendicular, e do ponto produzido até a extrem idade da reta no plano seja ligada um a reta, o ângulo contido pela que foi traçada e a alteada. 6. Inclinação de um plano relativam ente a um plano é o ângulo agudo contido pelas traçadas, em cada um dos planos, em ângulos retos com a seção comum, no mesmo ponto. 7. U m plano é dito ter-se inclinado em relação a um plano sem elhante­ m ente a um outro relativam ente a um outro, quando os ditos ângulos das inclinações sejam iguais entre si. 8. Planos paralelos são os que não se encontram . 9. Figuras sólidas sem elhantes são as contidas por planos sem elhantes iguais em quantidade.

481

Euclides

10. E figuras sólidas iguais e sem elhantes são as contidas por planos sem e­ lhantes, iguais em quantidade e em m agnitude. 11. Â ngulo sólido é a inclinação por m ais de duas retas que se tocam e que não estão na m esm a superfície, relativam ente a todas as retas. De outro m odo: o ângulo sólido é o contido por m ais de dois ângulos planos, que não estão no mesm o plano, construídos em um ponto. 12. P irâm ide é um a figura sólida contida por planos, construída a p artir de um plano até um ponto. 1 3 . P rism a é um a figura sólida contida por planos, dos quais os dois

opostos são tanto iguais quanto tam bém sem elhantes e paralelos, e os restantes são paralelogram os. 14. Esfera é a figura com preendida quando, o diâm etro do sem icírculo perm anecendo fixo, o sem icírculo, tendo sido levado à volta, tenha retornado, de novo, ao mesmo lugar de onde com eçou a ser levado. 15. E eixo da esfera é a reta que permanece fixa, à volta da qual o sem icírculo é girado. 16. E centro da esfera é o mesmo que tam bém o do sem icírculo. 17. E diâm etro da esfera é algum a reta traçada pelo centro e sendo lim itad a em cada um dos lados pela superfície da esfera. 1 8 . Cone é a figura com preendida, quando um lado, dos à volta do ângulo

reto, de um triân gulo retângulo, perm anecendo fixo, o triângulo, tendo sido levado à volta, tenha retornado ao mesm o lugar de onde com eçou a ser levado. E, caso, por um lado, a reta que perm anece fixa seja igual à restante, [a] levada à volta do ângulo reto, o cone será retângulo, caso, por outro lado, menor, obtusângulo, e caso maior, acutângulo. 19. E eixo do cone é a reta que perm anece fixa, à volta da qual o triângulo é girado. 2 0 . E base é o círculo descrito pela reta levada à volta. 2 1 . C ilin dro é a figura com preendida, quando um lado, dos à volta do ângulo reto, de um paralelogram o retângulo, perm anecendo fixo, o paralelogram o, tendo sido levado à volta, tenha retornado ao mesmo lugar de onde com eçou a ser levado. 2 2 . E eixo do cilindro é a reta que perm anece fixa, à volta da qual o p arale­ logram o é girado.

482

O s elem entos

23 . E bases são os círculos descritos pelos dois lados opostos conduzidos à volta. 2 4 . Cones e cilindros sem elhantes são aqueles dos quais tanto os eixos quanto os diâm etros das bases estão em proporção. 2 5 . Cubo é um a figura sólida contida por seis quadrados iguais. 26 . O ctaedro é um a figura sólida contida por oito triân gulo s iguais e eq u i­ láteros. 27 . Icosaedro é um a figura sólida contida por vinte triân gulo s iguais e equiláteros. 2 8 . D odecaedro é um a figura sólida contida por doze pentágonos iguais e

equiláteros e equiângulos.

1. Não está um a p a rte de um a linha reta no plan o suposto e u m a outra parte, em u m m ais elevado. Pois, se possível, esteja um a parte, a AB, da linha reta ABC no plano sup o sto 1 e algum a parte, a BC, no mais elevado. Então, um a reta contínua estará sobre um a reta com a AB no plano suposto. Seja a BD; portanto, a AB é um segm ento com um das retas ABC, ABD; o que é im possí­ vel, visto que, caso com o centro B e o raio AB seja descrito um círculo, os diâm etros cortarão circunferências desiguais do círculo. Portanto, não está um a parte de um a linha reta no plano suposto e a outra, em um m ais elevado; o que era preciso provar.

1

Suposto

significa, aqui, posto por baixo, subjacente, sub-posto (aliás, sub-posto dá,

pela assim ilação do b aop, supposto, e pela redução do fonema geminado a p sim ples, suposto ).

4 83

Euclides

2. Caso duas retas cortem-se, estão em um plano, e todo triângulo está em um plano. C ortem -se, pois, as duas retas AB, CD no ponto E; digo que as AB, CD estão em um plano, e todo triân gulo está em um plano. Fiquem , pois, tom ados os pontos F, G nas EC, EB, encontrados ao acaso, e fiquem ligadas as CB, FG, e fiquem

C H I B

traçadas através as FH , GI; digo, prim eiram ente, que o triân gu lo ECB está em um plano. Pois, se um a parte do triân gu lo ECB, ou a F H C ou a GBI, está no [plano] suposto, e a restante em um outro, tam bém , algum a parte de um a das retas EC, EB estará no plano suposto, e a o utra em um outro. E se a parte FCBG do triân gulo ECB esteja no plano suposto, e a restante em um outro, algum a parte tam bém de ambas as retas EC, EB estará no plano suposto, e a outra em um outro; o que foi provado absurdo. Portanto, o triân gulo ECB está em um plano. M as, no qual está o triân gu lo ECB, nesse tam bém , cada um a das EC, EB, e no qual cada um a das EC, EB, nesse tam bém , as AB, CD . Portanto, as retas AB, CD estão em um plano, e todo triân gu lo está em um plano; o que era preciso provar.

3. Caso dois plan os cortem -se, a seção com u m deles é um a reta. C ortem -se, pois, os dois planos AB, BC, e seja a linha DB B/ \E

a seção com um deles; digo que a linha DB é um a reta. Pois, se não, fiquem ligadas do D até o B, por um lado, a reta DEB no plano AB, e, por outro lado, a reta DFB no plano BC. Então, as extrem idades das duas retas DEB, DFB

F\

/

D

serão as mesm as e, m uito evidentem ente, conterão um a área; o que é absurdo. Portanto, as DEB, DFB não são retas. Do mesmo modo, então, provaremos que nem algum a outra sendo ligada do D até o B existirá, exceto a seção com um DB dos planos AB, BC. 4 84

O s elem entos

Portanto, caso dois planos cortem -se, a seção com um deles é um a reta; o que era preciso provar.

4. Caso um a reta seja alçada em ângulos retos, na seção com um , com duas retas que se cortam, também estará em ângulos retos com o plan o p o r elas. Fique, pois, alteada algum a reta, a EF, em ângulos retos a p artir do E com as duas retas AB, CD que se cortam no ponto E; digo que a EF tam bém está em ângulos retos com o plano pelas AB, CD. Fiquem , pois, cortadas as AE, EB, CE, ED iguais entre si, e fique traçada através algum a pelo E, ao aca­ so, a GEH, e fiquem ligadas as AD, CB, e ainda, a p artir do F, encontrado ao acaso, fiquem ligadas as FA, FG, FD, FC, FH , FB. E, como as duas AE, ED são iguais às duas CE, EB, e contêm ângulos iguais, portanto, a base AD é igual à base CB, e o triân gulo AED será igual ao triân gulo CEB; desse modo, tam bém o ângulo sob DAE [é] igual ao sob EBC. M as tam bém o ângulo sob AEG é igual ao sob BEH. Então, os AGE, BEH são dois triân ­ gulos tendo os dois ângulos iguais aos dois ângulos, cada um a cada um, e um lado, o AE, igual a um lado, o EB, o junto aos ângulos iguais; portanto, terão os lados restantes iguais aos lados restantes. Portanto, por um lado, a GE é igual à EH, e, por outro lado, a AG, à BH. E, como a AE é igual à EB, e a FE é com um e em ângulos retos, portanto, a base FA é igual à base FB. Pelas mesm as coisas, então, tam bém a FC é igual à FD. E, como a AD é igual à CB, e tam bém a FA é igual à FB, então, as duas FA, AD são iguais às duas FB, BC, cada um a a cada um a; e a base FD foi provada igual à base FC; portanto, tam bém o ângulo sob FAD é igual ao ângulo sob FBC. E como, de novo, a AG foi provada igual à BH, mas, certam ente, tam bém a FA é igual à FB, então, as duas FA, AG são iguais às duas FB, BH. E o ângulo sob FAG foi provado igual ao sob FBH ; portanto, a base FG é igual à base FH . E como, de novo, a GE foi provada igual à EH, e a EF é com um, então as duas GE, EF são iguais às duas HE, EF; e a base FG é igual à base FH ;

485

Euclides

portanto, o ângulo sob GEF é igual ao ângulo sob HEF. Portanto, cada um dos ângulos sob GEF, H EF é um reto. Portanto, a FE está em ângulos retos com a GH que foi traçado, casualm ente, pelo E. Do mesm o modo, então, provaremos que a FE fará ângulos retos relativam ente a todas as retas que a tocam e que estão no plano suposto. M as, um a reta está em ângulos retos relativam ente a um plano, quando faça ângulos retos relativam ente a todas as retas que a tocam e que estão no mesmo plano; portanto, a FE está em ângulos retos com o plano suposto. M as, o plano suposto é o pelas retas AB, CD . Portanto, a FE está em ângulos retos com o plano pelas AB, CB. Portanto, caso um a reta seja alçada em ângulos retos, na seção comum, com duas retas que se cortam , tam bém estará em ângulos retos com o plano por elas; o que era preciso provar.

5. Caso u m a reta seja alteada em ângulos retos, na seção com um , com três retas que se tocam, as três retas estão em u m plano. Fique, pois, alteada algum a reta, a AB, em ângulos retos, no ponto de contato B, com as três retas BC, BD, BE; digo que as BC, BD, BE estão em um plano. Pois, não, mas se possível estejam , por um lado, as BD, BE no plano suposto, e, por outro lado, a BC no m ais elevado, e fique prolongado o plano pelas AB, BC; fará, então, como seção comum, um a reta no plano su­ posto. Faça a BF. Portanto, as três retas AB, BC, BF estão em um plano, o traçado pelas AB, BC. E, como a AB está em ângulos retos relativam ente a cada um a das BD, BE, portanto, a AB está em ângulos retos com o plano pelas BD, BE. M as o plano pelas BD, BE é o suposto; portanto, a AB está em ângulos retos relativam ente ao plano suposto. D esse modo, tam bém a AB fará ângulos retos com todas as retas que a tocam e que estão no plano suposto. M as a BF, que está no plano suposto, toca-a; portanto, o ângulo sob ABF é reto. M as o sob ABC tam bém foi suposto reto; portanto, o ân­ gulo sob ABF é igual ao sob ABC. E estão em um plano; o que é im possível.

486

O s elem entos

Portanto, a reta BC não está no plano mais elevado; portanto, as três retas BC, BD, BE estão em um plano. Portanto, caso um a reta seja alteada em ângulos retos, no ponto de contato, com três retas que se tocam , as três retas estão em um plano; o que era preciso provar.

6. Caso duas retas estejam em ângulos retos com o m esm o p la n o , as retas serão paralelas. Estejam as duas retas AB, CD em ângulos retos com o plano suposto; digo que a AB é paralela à CD. Encontrem , pois, o plano suposto nos pontos B, D, e fique ligada a reta BD, e fique traçada a DE em ângulos retos com a BD, no plano suposto, e fique posta a DE igual à AB, e fiquem ligadas as BE, AE, AD. E, como a AB está em ângulos retos relativam ente ao plano suposto, [portanto] tam bém fará ângulos retos com todas as retas que a tocam e que estão no plano suposto. M as cada um a das BD, BE toca a AB, estando no plano suposto; portanto, cada um dos ângulos sob ABD, ABE é reto. Pelas mesm as coisas, então, tam bém cada um dos sob CDB, CDE é reto. E, como a AB é igual a DE, e a BD é comum, então as duas AB, BD são iguais às duas ED, DB; e contêm ângulos retos; portanto, a base AD é igual à base BE. E, como a AB é igual à DE, mas tam bém a AD, à BE, então as duas AB, BE são iguais às duas ED, DA; e a AE é um a base com um deles; portanto, o ângulo sob ABE é igual ao ângulo sob EDA. M as o sob ABE é reto; portanto, tam bém o sob EDA é reto; portanto, a ED está em ângulos retos relativam ente à DA. M as tam bém está em ângulos retos relativam ente a cada um a das BD, D C. Portanto, a ED alteou-se em ângulos retos, no ponto de contato, com as três retas BD, DA, D C; portanto, as três retas BD, DA, D C estão em um plano. M as no qual as DB, DA, nesse tam bém a AB; pois, todo triân gu lo está em um plano; portanto, as retas AB, BD, DC estão em um plano. E cada um dos ângulos sob ABD, BDC é reto; portanto, a AB é paralela à CD. 4 87

Euclides

Portanto, caso duas retas estejam em ângulos retos com o mesmo plano, as retas serão paralelas; o que era preciso provar.

7. Caso duas retas sejam paralelas, e sejam tomados pontos, encontrados ao acaso, em cada u m a delas, a reta sendo ligada nos pon tos está no m esm o plan o que as paralelas. Sejam as duas retas paralelas AB, CD , e fiquem tom ados em cada um a delas os pontos E, F, encon­ trados ao acaso; digo que a reta sendo ligada nos pontos E, F está no mesmo plano que as paralelas. Pois, não, mas, se possível, esteja no mais elevado

C

F

D

como a EGF, e fique traçado através da EGF um plano; fará, então, como seção no plano suposto, um a reta. Faça como a EF; portanto, as duas retas EGF, EF contêm um a área; o que é im possível. Por­ tanto, a reta sendo ligada do E até o F não está no plano mais elevado; por­ tanto, a reta sendo ligada do E até o F está no plano pelas paralelas AB, CD. Portanto, caso duas retas sejam paralelas, e sejam tom ados pontos, en­ contrados ao acaso, em cada uma, a reta sendo ligada nos pontos está no m esm o plano que as paralelas; o que era preciso provar.

8. Caso duas retas sejam paralelas, e u m a delas esteja em ângulos retos com algum plano, também a restante estará em ângulos retos com o m esm o plano. Sejam as duas retas paralelas AB, CD , e esteja um a delas, a AB, em ân­ gulos retos com o plano suposto; digo que tam bém a restante CD estará em ângulos retos com o mesmo plano. Encontrem , pois, as AB, CD o plano suposto nos pontos B, D, e fique ligad a a BD; portanto, as AB, CD , BD estão em um plano. Fique traçada

488

O s elem entos

a DE em ângulos retos com a BD no plano suposto, e fique posta a DE igual à AB, e fiquem ligadas as BE, AE,

AD. E, como a AB está em ângulos retos

m ente ao plano suposto, portanto, tam bém a AB está em ângulos retos relativam ente a todas as retas que a tocam e que estão no plano suposto; portanto, cada um dos ângulos sob ABD, ABE [ é ] reto. E, como a reta BD encontrou as paralelas AB, CD , portanto, os ângulos sob ABD, CDB são iguais a dois retos. M as o sob ABD é reto; portanto, tam bém o sob CDB é reto; portanto, a CD está em ângulos retos relativam ente à BD. E, como a AB é igual à DE, e a BD é comum, então as duas AB, BD são iguais às duas ED, DB; e o ângulo sob ABD é igual ao ângulo sob EDB; pois, cada um é reto; portanto, a base AD é igual à base BE. E, como, por um lado, a AB é igual à DE, e, por outro lado, a BE, à AD, então as duas AB, BE são iguais às duas ED, DA, cada um a a cada uma. E a AE é um a base com um deles; portanto, o ângulo sob ABE é igual ao ângulo sob EDA. M as o sob ABE é reto; portanto, tam bém o sob EDA é reto; portanto, a ED está em ângulos retos relativam ente à AD. E tam bém está em ângulos retos relativam ente à DB; portanto, a ED tam bém está em ângulos retos com o plano pelas BD, DA. Portanto, a ED tam bém fará ângulos retos relativam ente a todas as retas que a tocam e que estão no plano pelas BDA. M as a DC está no plano pelas BDA, visto que as AB, BD estão no plano pelas BDA, e, no qual as AB, BD, nesse tam bém está a DC. Portanto, a ED está em ângulos retos com a D C; desse modo, tam bém a CD está em ângulos retos com a DE. M as tam bém a CD está em ângulos retos com a BD. Portanto, a CD alçou-se em ângulos retos, a p artir da seção comum, o D, com as duas retas DE, DB que se cortam ; desse modo, a CD tam bém está em ângulos retos com o plano pelas DE, DB. M as o plano pelas DE, DB é o suposto; portanto, a CD está em ângulos retos com o plano suposto. Portanto, caso duas retas sejam paralelas, e um a delas esteja em ângulos retos com algum plano, tam bém a restante estará em ângulos retos com o mesm o plano; o que era preciso provar.

4 89

Euclides

9. As paralelas à m esm a reta e que não estão no m esm o plan o que ela, também são paralelas entre si. Seja, pois, cada um a das AB, CD paralela à EF, não estando no mesmo plano que ela; digo que a

B "

AB é paralela à CD .

f

Fique, pois, tom ado o ponto G, encontrado

q

H

A "

___________ * |

q

ao acaso, na EF, e, a p artir dele, fiquem traçadas, por um lado, a GH em ângulos retos com a EF no plano pelas EF, AB, e, por outro lado, a GI de novo em ângulos retos com a EF no pelas FE, CD. E, como a EF está em ângulos retos relativam ente a cada um a das GH, GI, portanto, tam bém a EF está em ângulos retos com o plano pelas GH, GI. E a EF é paralela à AB; portanto, tam bém a AB está em ângulos retos com o plano pelas H G I. Pelas mesm as coisas, então, tam bém a CD está em ângulos retos com o plano pelas H G I; portanto, cada um a das AB, CD está em ângulos retos com o plano pelas H G I. M as, caso duas retas estejam em ângulos retos com o mesmo plano, as retas são paralelas; portanto, a AB é paralela à CD ; o que era preciso provar.

10. Caso duas retas que se tocam sejam paralelas a duas retas que se tocam, não no m esm o plano, conterão ângulos iguais. Sejam , pois, as duas retas que se tocam AB, BC paralelas às duas retas que se tocam DE, EF, não no mesmo plano; digo que o ângulo sob ABC é igual ao sob DEF. Fiquem , pois, cortadas iguais entre si as BA, BC, ED, EF, e fiquem ligadas as AD, CF, BE, AC, DF. E, como a BA é igual e paralela à ED, portanto, tam bém a AD é igual e paralela à BE. 49

0

O s elem entos

Pelas mesm as coisas, então, tam bém a CF é igual e p aralela à BE; portanto, cada um a das AD, CF é igual e paralela à BE. M as as paralelas à m esm a reta e que não estão no mesm o plano que ela são tam bém paralelas entre si; portanto, a AD é paralela e igual à CF. E as AC, DF ligam -nas; portanto, a AC é igual e paralela à DF. E, como as duas AB, BC são iguais às duas DE, EF, e a base AC é igual à base DF, portanto, o ângulo sob ABC é igual ao âng ulo sob DEF. Portanto, caso duas retas que se tocam sejam paralelas a duas retas que se tocam , não no mesmo plano, conterão ângulos iguais; o que era preciso provar.

11. D o pon to elevado dado até o plan o dado traçar um a linha reta perpendicular. Sejam , por um lado, o ponto elevado dado A, e, por outro lado, o plano dado o suposto; é preciso, então, do ponto A até o plano suposto traçar um a linha reta perpendicular. Fique, pois, traçada através algum a reta, a BC, ao acaso, no plano suposto, e fique traçada do ponto A até a BC a perpendicular AD. Se, por um lado, de fato, a AD é perpendicular tam bém ao plano suposto, estaria sendo produzido o que foi prescrito. Se, por outro lado, não, fique traçada do ponto D a DE em ângulos retos com a BC no plano suposto, e fique traçada do A até a DE a perpendicular AF, e fique traçada pelo ponto F a GH paralela à BC. E, como a BC está em ângulos retos com cada um a das DA, DE, p o rtan ­ to, a BC tam bém está em ângulos retos com o plano pelas EDA. E a GH é paralela a ela; mas, caso duas retas sejam paralelas, e um a delas esteja em ângulos retos com algum plano, tam bém a restante estará em ângulos retos com o mesmo plano; portanto, a GH está em ângulos retos com o plano pelas ED, DA. Portanto, tam bém a GH está em ângulos retos relativam ente a todas as retas que a tocam e que estão no plano pelas ED, DA. M as a AF 49t

Euclides

toca-a, estando no plano pelas ED, DA; portanto, a GH está em ângulos retos relativam ente à FA; desse modo, tam bém a FA está em ângulos retos relativam ente à H G . M as a AF tam bém está em ângulos retos relativam ente à DE; portanto, a AF está em ângulos retos relativam ente a cada um a das GH, DE. M as, caso um a reta seja alteada em ângulos retos, na seção, rela­ tivam ente a duas retas que se cortam , tam bém estará em ângulos retos com o plano por elas; portanto, a FA está em ângulos retos com o plano pelas ED, GH. M as o plano pelas ED, GH é o suposto; portanto, a AF está em ângulos retos com o plano suposto. Portanto, do ponto elevado dado A até o plano suposto foi traçada a linha reta perpendicular AF; o que era preciso fazer.

12. L evantar um a linha reta em ângulos retos com o plan o dado a p a r tir do pon to dado sobre ele. Sejam , por um lado, o plano dado o suposto, e, por outro lado, A o ponto sobre ele; é preciso, então, a p artir do ponto A, levantar um a linha reta em ângulos retos com o plano suposto. Fique concebido algum ponto elevado, o B, e, a par­ tir do B até o plano suposto fique traçada a perpendicu­ lar BC, e pelo ponto A fique traçada a AD paralela à BC. Com o, de fato, as duas retas AD, CB são paralelas, e um a delas, a BC, está em ângulos retos com o plano suposto, portanto, tam bém a restante AD está em ângulos retos com o plano suposto. Portanto, foi levantada a AD em ângulos retos com o plano dado a p artir do ponto A sobre ele; o que era preciso fazer.

492

O s elem entos

13. A p a rtir do m esm o pon to não serão levantadas, do m esm o lado, duas retas em ângulos retos com o m esm o plano. Pois, se possível, a p artir do mesm o ponto A fiquem levantadas, do mesmo lado, as duas retas AB, AC em -f

ângulos retos com o plano suposto, e fique traçado atra-

/

vés o plano pelas BA, AC; fará, então, como seção, um a

E

reta pelo A no plano suposto. Faça a DAE; portanto, as retas AB, AC, DAE estão em um plano. E, como a CA

está em ângulos retos com o plano suposto, tam bém fará ângulos retos relativam ente a todas as retas que a tocam e que estão no plano suposto. M as a DAE toca-a, estando no plano suposto; portanto, o ângulo sob CAE é reto. Pelas mesmas coisas, então, tam bém o sob BAE é reto; portanto, o sob CAE é igual ao sob BAE. E estão em um plano; o que é im possível. Portanto, a p artir do mesmo ponto não serão levantadas, do mesmo lado, duas retas em ângulos retos com o mesm o plano; o que era preciso provar.

14. O s plan os serão paralelos, aqueles plan os relativam ente aos quais a m esm a reta está em ângulos retos. Esteja, pois, algum a reta, a AB, em ângu­ los retos relativam ente a cada um dos planos CD , EF; digo que os planos são paralelos. Pois, se não, sendo prolongados, encontrar-se-ão. E ncontrem -se; farão, então, um a reta como seção comum. Façam a GH e fique tom ado, na GH, o ponto I, encontrado ao acaso, e fiquem ligadas as AI, BI. E, como a AB está em ângulos retos re­ lativam ente ao plano EF, portanto, tam bém a AB está em ângulos retos relativam ente à reta BI que está no plano que foi prolongado EF; portanto, 493

Euclides

o ângulo ABI é reto. Pelas mesmas coisas, então, tam bém o sob BAI é reto. Então, os dois ângulos, os sob ABI, BAI, do triân gu lo ABI são iguais a dois retos; o que é im possível. Portanto, os planos CD , EF, sendo prolongados, não se encontrarão; portanto, os planos CD , EF são paralelos. Portanto, os planos são paralelos, aqueles planos relativam ente aos quais a m esm a reta está em ângulos retos; o que era preciso provar.

15. Caso duas retas que se tocam sejam paralelas a duas retas que se tocam, não estando no m esm o plano, os plan os p o r elas são paralelos. Sejam , pois, as duas retas que se tocam AB, BC paralelas às duas retas que se tocam DE, EF, não estando no mesmo plano; digo que, sendo p ro ­ longados, os planos pelas AB, BC, DE, EF não se encontrarão. Fique, pois, traçada a p artir do ponto B até ao plano pelas DE, EF a perpendicular BG, e encontre com o plano no ponto G, e fiquem traçadas pelo G, por um lado, a GH paralela à ED, e, por outro lado, a GI, à EF. E, como a BG está em ângulos retos relativam ente ao plano pelas DE, EF, portanto, fará ângulos retos com todas as retas que a tocam e que estão no plano pe­ las DE, EF. M as cada um a das GH, GI toca-a, estando no plano pelas DE, EF; portanto, cada um dos ângulos sob BGH, BGI é reto. E, como a BA é paralela à GH, p ortanto, os ângulos sob GBA, BGH são iguais a dois retos. M as o sob BGH é reto; portanto, tam bém o sob GBA é reto; portanto, a GB está em ângulos retos com a BA. Pelas mesmas coisas, então, tam bém a GB está em ângulos retos com a BC. Com o, de fato, a reta GB foi alteada em ângulos retos com as duas retas que se cortam BA, BC, portanto, tam ­ bém a GB está em ângulos retos com o plano pelas BA, BC. [Pelas mesmas coisas, então, tam bém a BG está em ângulos retos com o plano pelas GH, GI. M as o plano pelas GH, GI é o pelas DE, EF; portanto, a BG está em ângulos retos com o plano pelas DE, EF. E tam bém a GB foi provada em 494

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ângulos retos com o plano pelas AB, BC.] M as os planos são paralelos, aqueles planos relativam ente aos quais a m esm a reta está em ângulos retos; portanto, o plano pelas AB, BC é paralelo ao pelas DE, EF. Portanto, caso duas retas que se tocam sejam paralelas a duas retas que se tocam , não no mesm o plano, os planos por elas são paralelos; o que era preciso provar.

16. Caso dois plan os paralelos sejam cortados p o r algum p la n o , as seções com un s deles são paralelas. S ejam , p o is, cortados os dois planos paralelos AB, CD pelo plano EFGH, e sejam as EF, GH as seções com uns deles; digo que a EF é p a­ ralela à GH. Pois, se não, sendo prolongadas, as EF, GH encontrar-se-ão, ou no lado dos F, H ou no dos E, G. Fiquem prolongadas como no lado dos F, H, e encontrem -se prim eiram ente no I. E, como a EFI está no plano AB, portanto, tam bém todos os pontos sobre a EFI estão no plano AB. M as o I é um dos pontos na reta EFI; por­ tanto, o I está no plano AB. Pelas mesm as coisas, então, tam bém o I está no plano CD ; portanto, os planos AB, CD , sendo prolongados, encontrar-se-ão. E não se encontram , pelo terem sido supostos paralelos; portanto, as retas EF, GH, sendo prolongadas no lado dos F, H, não se encontrarão. Do mesmo modo, então, provaremos que as retas EF, GH, nem sendo p ro ­ longadas no lado dos E, G, se encontrarão. M as as que não se encontram em nenhum dos lados são paralelas. Portanto, a EF é paralela à GH. Portanto, caso dois planos paralelos sejam cortados por algum plano, as seções com uns deles são paralelas; o que era preciso provar.

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17. Caso duas retas sejam cortadas p o r plan os paralelos, serão cortadas nas m esm as razões. Sejam, pois, cortadas as duas retas AB, CD pelos planos p a­ ralelos G H , IJ, L M nos pontos A, E, B, C, F, D; digo que como a reta AE está para a EB, assim a CF para a FD. M

Fiquem , pois, ligadas as AC, BD, AD, e encontre a AD com o plano IJ no ponto N , e fiquem ligadas as EN, NF. E, como os

dois planos paralelos IJ, LM são cortados pelo plano EBDN, as seções co­ m uns deles EN, BD são paralelas. Pelas mesmas coisas, então, como os dois planos paralelos GH, IJ são cortados pelo plano A N FC, as seções comuns deles AC, N F são paralelas. E, como a reta EN foi traçada paralela a um dos lados, o BD, do triângulo ABD, portanto, em proporção, como a AE está para EB, assim a AN para N D . De novo, como a N F foi traçada paralela a um dos lados, o AC, do triângulo AD C, em proporção, como a AN está para ND, assim a CF para FD. M as foi provado também como a AN para a N D , assim a AE para EB; portanto, também como a AE para EB, assim a CF para FD. Portanto, caso duas retas sejam cortadas por planos paralelos, serão cortadas nas mesmas razões; o que era preciso provar.

18. Caso u m a reta esteja em ângulos retos com algu m p la n o , também estarão em ângulos retos com o m esm o plan o todos os plan os p o r ela. Esteja, pois, algum a reta, a AB, em ângulos retos com o plano suposto; digo que tam bém estão em ângulos retos com o plano suposto todos os planos pela AB. 49

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Fique, pois, prolongado o plano DE pela AB, e seja a CE a seção com um do plano DE e do suposto, e fique tom ado sobre a CE o ponto F, encontrado ao acaso, e a p artir de F fique traçada a FG, no plano DE, em ângulos retos com a CE. E, como a AB está em ângulos retos com o plano suposto, tam bém a AB está em ângulos retos relativam ente a todas as retas que a tocam e que estão no plano suposto; desse modo, tam bém está em ângulos retos relativam ente à CE; portanto, o ângulo sob ABF é reto. M as tam bém o sob GFB é reto; portanto, a AB é paralela à FG. M as a AB está em ângulos retos com o plano suposto; portanto, tam bém a FG está em ângulos retos com o plano supos­ to. E um plano está em ângulos retos relativam ente a um plano, quando as retas traçadas, em um dos planos, em ângulos retos com a seção comum dos planos estejam em ângulos retos com o plano restante. E a FG, tendo sido traçada em um dos planos, o DE, em ângulos retos com a seção com um CE dos planos, foi provada em ângulos retos com o plano suposto. Portanto, o plano DE está em ângulos retos relativam ente ao suposto. Do mesmo modo, então, serão provados tam bém todos os planos pela AB, encontrados ao acaso, em ângulos retos com o plano suposto. Portanto, caso um a reta esteja em ângulos retos com algum plano, tam ­ bém estarão em ângulos retos com o mesmo plano todos os planos por ela; o que era preciso provar.

19. Caso dois pla n os que se cortam estejam em ângulos retos com algum p la n o , também a seção com u m deles estará em ângulos retos com o m esm o plano. Estejam , pois, os dois planos AB, BC em ângulos retos com o plano suposto, e seja a seção com um deles BD; digo que a BD está em ângulos retos com o plano suposto. Pois, não, e fiquem traçadas, a p artir do ponto D, por um lado, no plano AB, a DE em ângulos retos com a reta AD, e, por outro lado, no plano BC, a DF em ângulos retos com a CD . E, como o plano AB está em ângulos retos 497

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relativam ente ao suposto, e a DE foi traçada, no plano AB, em ângulos retos com a seção comum deles, portanto, a DE está em ângulos retos relativam en te ao plano suposto. Do mesm o m odo, então, provaremos que tam bém a DF está em ângulos retos relativam ente ao plano suposto. Portanto, a p artir do mesm o ponto D, duas retas levantadas no mesmo lado estão em ângulos retos com o plano suposto; o que é im possível. Portanto, a p artir do ponto D não será levantada em ângulos retos com o plano suposto, exceto a seção com um DB dos planos AB, BC. Portanto, caso dois planos que se cortam estejam em ângulos retos com algum plano, tam bém a seção com um deles estará em ângulos retos com o m esm o plano; o que era preciso provar.

20. Caso u m ângulo sólido seja contido p o r três ângulos plan os, dois quaisquer, tomados ju n to s de toda m aneira, são m aiores do que o restante. Seja, pois, o ângulo sólido junto ao A

q

contido por três ângulos planos, os sob BAC, CAD, DAB; digo que dois quaisquer dos ângulos sob BAC, CAD, DAB, tom ados juntos de toda m aneira, são m aiores do que

B

o restante. Se, por um lado, de fato, os ângulos sob BAC, CAD, DAB são iguais entre si, é evidente que dois quaisquer são m aiores do que o restante. Se, por outro lado, não, seja m aior o sob BAC, e fique construído, sobre a reta AB e no ponto A sobre ela, o sob BAE, no plano pelas BAC, igual ao ângulo sob DAB, e fique posta a AE igual à AD, e, tendo sido traçada pelo ponto E, a BEC corte as retas AB, AC nos pontos B, C, e fiquem ligadas as DB, D C. E, como a DA é igual à AE, e a AB é com um, duas são iguais a duas. E o ângulo sob DAB é igual ao ângulo sob BAE; portanto, a base DB é igual à 49

8

O s elem entos

base BE. E, como as duas BD, D C são m aiores do que a BC, das quais a DB foi provada igual à BE, portanto, a restante D C é m aior do que a restante EC. E, como a DA é igual à AE, e a AC é comum, e a base DC é m aior do que a base EC, portanto o ângulo sob DAC é m aior do que o ângulo sob EAC. M as tam bém o sob DAB foi provado igual ao sob BAE; portanto, os sob DAB, DAC são m aiores do que o sob BAC. Do mesmo modo, então, provaremos que tam bém os restantes tom ados dois a dois são m aiores do que o restante. Portanto, caso um ângulo sólido seja contido por três ângulos planos, dois quaisquer, tom ados juntos de toda m aneira, são m aiores do que o restante; o que era preciso provar.

21. Todo ângulo sólido é contido p o r ângulos plan os m enores do que quatro retos. Seja o ângulo sólido junto ao A contido pelos ângulos planos sob BAC, CAD, DAB; digo que os sob BAC, CAD, DAB são menores do que quatro retos. Fiquem , pois, tom ados sobre cada um a das AB, AC, AD os pontos B, C, D, encontrados ao acaso, e fiquem ligadas as BC, CD , DB. E, como o ângulo sólido junto ao B é contido por três ângulos planos, os sob CBA, ABD, CBD, dois quaisquer são m aiores do que o restante; portanto, os sob CBA, ABD são maiores do que o sob CBD. Pelas mesm as coisas, então, tam bém , por um lado, os sob BCA, ACD são m aiores do que o sob BCD, e, por outro lado, os sob CDA, ADB, são m aiores do que o CDB; portanto, os seis ângulos, os sob CBA, ABD, BCA, ACD , CDA, ADB, são maiores do que os três CBD, BCD , CDB. M as os três sob CBD, BDC, BCD são iguais a dois retos; portanto, os seis, os sob CBA, ABD, BCA, ACD, CDA, ADB, são m aiores do que dois retos. E, como os três ângulos de cada um dos triân gulo s ABC, ACD, ADB são iguais a dois retos, portanto, os nove 499

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ângulos, os sob CBA, ACB, BAC, ACD , CDA, CAD, ADB, DBA, BAD, dos três triân gulo s, são iguais a seis retos, dos quais os seis ângulos, os sob ABC, BCA, ACD , CDA, ADB, DBA, são m aiores do que dois retos; portanto, os três [ân gulos] restantes, os sob BAC, CAD, DAB, contendo o ângulo sólido, são menores do que quatro retos. P ortanto, todo ângulo sólido é contido por ângulos planos menores do que quatro retos; o que era preciso provar.

22. Caso existam três ângulos planos, dos quais os dois, tomados ju n to s de toda m aneira, são m aiores do que o restante, e retas iguais os contenham, é possível constru ir um triângulo das que ligam as retas iguais. S ejam os trê s

c

__

ângulos planos os sob A B C , DEF, G H I, dos q u a is os dois, tom ados juntos de toda ma­ neira, são m aiores do que o restante, por um lado, os sob ABC, DEF, do que o sob G H I, e, por outro lado, os sob DEF, G H I, do que o sob ABC, e ainda os sob G H I, ABC, do que o sob DEF, e sejam iguais as retas AB, BC, DE, EF, GH, HI, e fiquem ligadas as AC, DF, GI; digo que é possível construir um triân gulo das iguais às AC, DF, GI, isto é, duas quaisquer das AC, DF, GI são m aiores do que a restante. Se, por um lado, de fato, os ângulos sob ABC, DEF, G HI são iguais entre si, é evidente que, tam bém tornando-se iguais as AC, DF, GI, é p o s­ sível construir um triân gulo das iguais às AC, DF, GI. Se, por outro lado, não, sejam d esi­ guais, e fique construído sobre a reta H I e no ponto H sobre ela o sob IH J igual ao ângulo sob ABC; e fique posta a H J igual a um a das AB, BC, DE, EF, GH, HI, e fiquem ligadas as

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IJ, GJ. E, como as duas AB, BC são iguais às duas IH, H J, e o ângulo junto ao B é igual ao ângulo sob IHJ, portanto, a base AC é igual à base IJ. E, como os sob ABC, GH I são m aiores do que o sob DEF, mas o sob ABC é igual ao sob IHJ, portanto, o sob GHJ é m aior do que o sob DEF. E, como as duas GH, H J são iguais às duas DE, EF, e o ângulo sob GHJ é m aior do que o ângulo sob DEF, portanto, a base GJ é m aior do que a base DF. M as a GI, IJ são m aiores do que a GJ. Portanto, as GI, IJ são, por m uito, m aio ­ res do que a DF. M as, a IJ é igual à AC; portanto, as AC, GI são m aiores do que a restante DF. Do mesm o m odo, então, provarem os que tam bém as AC, DF são m aiores do que a GI, e ainda as DF, GI são m aiores do que a AC. Portanto, é possível construir um triân gulo das iguais às AC, DF, GI; o que era preciso provar.

23. D e três ângulos planos, dos quais os dois, tomados ju n to s de toda maneira, são m aiores do que o restante, con stru ir um ângulo sólido; é preciso então serem os três m enores do que quatro retos. S e ja m os trê s ângulos planos da­ dos os sob ABC, D EF, G H I, d o s '

quais os dois, to ­ m ados ju n to s de

toda m aneira, sejam m aiores do que o restante, e ainda os três sejam m e­ nores do que quatro retos; é preciso, então, dos iguais aos sob ABC, DEF, G HI construir um ângulo sólido. Fiquem cortadas iguais as AB, BC, DE, EF, GH, HI, e fiquem ligadas as AC, DF, GI; portanto, é possível, das iguais às AC, DF, GI, construir um triângulo. Fique construído o JL M , de modo a serem, por um lado, a AC igual à JL, e, por outro lado, a DF, à LM , e ainda a GI, à M J, e fique descrito o círculo JL M à volta do triân gu lo JL M , e fique tom ado o centro dele, e seja

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o N , e fiquem ligadas as JN , LN, M N ; digo que

^

L

a AB é m aior do que a JN . Pois, se não, ou a AB é igual à JN , ou menor. Seja, prim eiram ente, igual. E, como a AB é igual à JN , mas, por um lado, a AB é igual à BC, e, por outro lado, a N J, à N L, então

^

as duas AB, BC são iguais às duas JN , N L, cada um a a cada um a; e a base AC foi suposta igual à base JL; portanto, o ângulo sob ABC é igual ao ângulo sob JN L. Pelas mesm as coisas, então, tam bém o sob DEF é igual ao sob L N M , e ainda o sob GHI, ao sob M N J; portanto, os três ângulos sob ABC, DEF, G HI são iguais aos três sob JN L, LN M , M N J. M as os três sob JN L, L N M , M N J são iguais a quatro retos; portanto, tam bém os três sob ABC, DEF, GHI são iguais a quatro retos. M as foram tam bém supostos menores do que quatro retos; o que é absurdo. Portanto, a AB não é igual à JN . D igo que nem a AB é m enor do que JN . Pois, se possível, seja. E fiquem postas, por um lado, a N O igual à AB, e, por outro lado, a N P igual à BC, e fique ligada a OP E, como a AB é igual à BC, tam bém a N O é igual à N P; desse modo, tam bém a restante JO é igual à PL. Portanto, a JL é paralela à OP e o JLN é equiângulo com o O PN ; portanto, como a NJ está para a JL, assim a N O para a OP; alternadam ente, como a JN para a N O , assim a JL para a OP M as a JN é m aior do que a N O ; portanto, tam bém a JL é m aior do que a OP M as a JL foi posta igual à AC; portanto, tam bém a AC é m aior do que a OP Com o, de fato, as duas AB, BC são iguais às duas O N , NP! e a base AC é m aior do que a base OP portanto, o ângulo sob ABC é m aior do que o ângulo sob O N P Do mesm o modo, então, provaremos que tam bém , por um lado, o sob DEF é m aior do que o sob LN M , e, por outro lado, o sob GHI, do que o sob M N J. Portanto, os três ângulos sob ABC, DEF, GHI são m aiores do que os três sob JN L, LN M , M N J. M as os sob ABC, DEF, G HI foram supostos menores do que quatro retos; portanto, os sob JN L, L N M , M N J são, por m uito, menores do que quatro retos. M as são iguais; o que é absurdo. Portanto, a AB não é m enor do que a JN . M as foi provado que nem igual; portanto, a AB é m aior do que a JN . Fique, então, levantada, a p artir do ponto N , a N R em ângulos retos com o plano do círculo JLM , e, pelo que o quadrado sobre a AB é m aior do que o sobre a JN , àquele seja

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igual o sobre a N R , e fiquem ligadas as RJ, R L , R M . E, como a R N está em ângulos retos relativam ente ao plano do círculo JL M , portanto, tam bém a R N está em ângulos retos relativam ente a cada um a das JN , LN, M N . E, como a JN é igual à N L, mas a N R é com um e em ângulos retos, portanto, a base R J é igual à base R L . Pelas mesm as coisas, então, tam bém a R M é igual a cada um a das RJ, R L ; portanto, as três RJ, R L , R M são iguais entre si. E como, pelo que o sobre a AB é m aior do que o sobre a JN , àquele o sobre a N R foi suposto igual, portanto, o sobre a AB é igual aos sobre as JN , N R . M as o sobre a JR é igual aos sobre as JN , N R ; pois, o sob JN R é reto; portanto, o sobre a AB é igual ao sobre a R J; portanto, a AB é igual à RJ. M as, por um lado, cada um a das BC, DE, EF, GH, H I é igual à AB, e, por outro lado, cada um a das R L, R M é igual à R J; portanto, cada um a das AB, BC, DE, EF, GH, H I é igual a cada um a das RJ, R L, R M . E, como as duas JR , R L são iguais às duas AB, BC, e a base JL foi suposta igual à base AC, portanto, o ângulo sob JR L é igual ao ângulo ABC. Pelas mesmas coisas, então, tam bém , por um lado, o sob L R M é igual ao sob DEF, e, por outro lado, o sob JR M , ao sob GHI. Portanto, de três ângulos planos, os sob JR L , L R M , JR M , os iguais aos três dados, os sob ABC, DEF, GHI, foi construído o ângulo sólido junto ao R , contido pelos ângulos sob JR L , L R M , JR M ; o que era preciso fazer. L ema

Q

E do qual modo, pelo que o sobre a AB é m aior do que o sobre a JN , é tom ar igual àquele o sobre a N R ,

g

provaremos assim . Fiquem expostas as retas AB, JN , e seja m aior a AB, e fique descrito sobre ela o sem icírculo

ABC, e fique ajustada no sem icírculo ABC a AC igual à reta JN , que não é m aior do que o diâm etro AB, e fique ligada a CB. Com o, de fato, o ângulo sob ACB está no sem icírculo ACB, portanto, o sob ACB é reto. Portanto, o sobre a AB é igual aos sobre as AC, CB. Desse modo, o sobre a AB é m aior do que o sobre a AC pelo sobre a CB. M as a AC é igual à JN . Portanto, o sobre a AB é m aior do que o sobre a JN pelo sobre a CB. Caso, de fato, cortem os a N R igual à BC, o sobre a AB será m aior do que o sobre a JN pelo sobre a N R ; o que era proposto fazer. 5 03

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24. Caso um sólido seja contido p o r plan os paralelos, os plan os opostos dele são iguais e também paralelogram os. Seja, pois, o sólido C D H G contido

B

H

pelos planos paralelos AC, GF, AH , DF, BF, AE; digo que os planos opostos dele são iguais e tam bém paralelogram os. Pois, como os dois planos paralelos BG, CE são cortados pelo plano AC, as seções com uns deles são paralelas. Portanto, a AB é paralela à D C. De novo, como os dois planos paralelos BF, AE são cortados pelo plano AC, as seções com uns deles são paralelas. Portanto, a BC é paralela à AD. M as tam bém a AB foi provada paralela à D C; portanto, o AC é um paralelogram o. Do mesm o modo, então, prova­ remos que tam bém cada um dos DF, FG, GB, BF, AE é um paralelogram o. Fiquem ligadas as AH , DF. E, como, por um lado, a AB é paralela à DC, e, por outro lado, a BH, à CF, então, as duas AB, BH, que se tocam , são paralelas às duas D C, CF, que se tocam , não no mesmo plano; portanto, conterão ângulos iguais; portanto, o ângulo sob ABH é igual ao sob DCF. E, como as duas AB, BH são iguais às duas D C, CF, e o ângulo sob ABH é igual ao ângulo DCF, portanto, a base A H é igual à base DF, e o triângulo ABH é igual ao triân gulo DCF. E, por um lado, o paralelogram o BG é o dobro do ABH, e, por outro lado, o paralelogram o CE é o dobro do DCF; portanto, o paralelogram o BG é igual ao paralelogram o CE. Do mesmo modo, então, provaremos que tam bém , por um lado, o AC é igual ao GF, e, por outro lado, o AE, ao BF. Portanto, caso um sólido seja contido por planos paralelos, os planos opostos dele são iguais e tam bém paralelogram os; o que era preciso provar.

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25. Caso um sólido paralelepípedo seja cortado p o r u m plan o que é paralelo aos pla n os opostos, com o a base estará pa ra a base, assim o sólido p a ra o sólido.

V /

F /

B/

Y G/

/

Fique, pois, cortado o só­

r

D

lid o p a r a le le p íp e d o A B C D

1 /

/

pelo plano FG que é paralelo aos planos opostos RA, D H ;

/ J

/