Netzplantechnik [3. Aufl. Reprint 2018] 9783486790405, 9783486237283

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Netzplantechnik Von

Dr. Günter Altrogge o. Professor der Betriebswirtschaftslehre an der Universität Hamburg

Dritte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - ClP-Einheitsaufnahme Altrogge, Günter: Netzplantechnik / von Günter Altrogge. - 3. Aufl. - München ; Wien : Oldenbourg, 1996 ISBN 3-486-23728-4

© 1996 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3 - 4 8 6 - 2 3 7 2 8 - 4

Vorwort zur dritten Auflage Die Vorauflage hat eine gute Aufnahme gefunden. Das Konzept des Werkes hat sich bewährt. Die dritte Auflage erscheint daher nahezu unverändert.

Vorwort zur zweiten Auflage Nach d e m Beitrag "Netzplantechnik" in der 1972 erschienenen "Industriebetriebslehre in programmierter

F o r m " und der

1. Auflage "Netzplantechnik"

1979 kann nun die

2. A u f l a g e vorgelegt werden. Verschiedene Überarbeitungen sollen weiterhin z u m guten Verständnis der Abhandlungen beitragen. Zwischenzeitliche Erkenntnisse der Theorie und auch neuere Anforderungen der Praxis des Projektmanagements sind neu a u f g e n o m men w o r d e n . So wird verstärkt auf die für die Praxis sehr wichtige Mehrkalenderplanung eingegangen, obschon es dabei noch an letztendlicher theoretischer Durchdringung fehlt. Ebenfalls hinzugekommen sind Anwendungen in der Ablaufplanung bei der Werkstattfertigung. Dort ergeben sich durch die Differenzierung in Transportlose und Bearbeitungslose wie ebenso in Transportzeiten und Bearbeitungszeiten hochinteressante zeitliche Z u s a m m e n h ä n g e und Potentiale zur Zeitersparnis, Probleme, die heute etwa im Rahmen des Just-in-Time heftigst diskutiert werden. Die

Bedeutung

des

Projektmanagements

etwa bei großen

Bauvorhaben,

bei

der

Softwareentwicklung, bei Organisationsvorhaben oder in Forschung und Entwicklung herausstellen zu wollen hieße, Eulen nach Athen tragen. Die Computerunterstützung im Projektmanagement ist eine Selbstverständlichkeit geworden, obschon die Vielfalt an S o f t w a r e und Datenbanken dem Anwender Kopfschmerzen bereitet. Sicherlich gibt es hier g r a v i e r e n d e Qualitätsunterschiede etwa in überladenen Menüs, in viel zu a u f w e n d i ger H a n d h a b u n g und auch in gravierenden algorithmischen Unterschieden bis zum Angebot falscher oder zumindest unverständlicher und wenig brauchbarer Informationen. Das praktische Projektmanagement ist sicherlich unbestritten durch erhebliche organisatorische

Probleme sowohl im Aufbau wie im Ablauf gekennzeichnet. Das darf aber nicht

dazu f ü h r e n , daß die Bedeutung quantitativer Entscheidungsunterstützung im P r o j e k t m a nagement, und das ist die Netzplantechnik, geringgeachtet wird. Z u r A n w e n d u n g sind theoretische Kenntnisse um das, was an entscheidungsunterstützenden

Informationen

geboten wird, unerläßlich. Ansonsten müssen alle Bemühungen um eine gute Projektplanung und -Überwachung vergeblich sein. Ziel d e s Buches ist es, Möglichkeiten und auch Grenzen der Netzplantechnik im Rahmen des P r o j e k t m a n a g e m e n t s ausführlich darzustellen. Es ist nicht allgemein abgegrenzt, was

VI

Vorwort

zur Netzplantechnik zu rechnen ist. Hier soll auf solche Theorie abgestellt werden, die für die Praxis des Projektmanagements relevant ist. Dazu gehören sicherlich umfassend alle Zeitanalysen und ebenso Scheduling-Probleme aus begrenzten Kapazitäten zumindest in einfachen Versionen. Von mindestens gleicher Bedeutung sind Fragen der Kostenplanung und Kostenkontrolle, mögen die verwendeten Verfahren auch keine großen Algorithmen sein. Schon die Fragen nach Kostenrelevanz und passenden oder zumindest akzeptablen Kostenträgern führen mit Bezug auf Projekte zu fast unlösbaren Problemen. In diesem Rahmen werden einmal die theoretischen Grundlagen möglichst vollständig und unter Beachtung theoretischer Exaktheit anschaulich dargestellt. Hierbei wird eine allgemeingültige Form angestrebt, losgelöst von speziellen Eigenarten

bestimmter

Systeme. Zum zweiten werden die Ergebnisse einer Netzplanrechnung, im wesentlichen Zeitelemente wie kritischer Weg, Zeitpunkte, Termine und Pufferzeiten, und Kosteninformationen aus der Sicht der Anwendung interpretiert, um ihren Wert für verschiedene Situationen der Praxis abschätzen zu können. Damit wird der Leser in die Lage versetzt, Eigenarten und Möglichkeiten spezieller Netzplantechnik- bzw. Projektplanungs- und -verfolgungssysteme zu erkennen und diese Systeme bestmöglich einzusetzen.

Den praktischen Problemen der Netzplantechnik-Anwendung im Projektmanagement wird ein breiter Raum gewidmet. Gesicherte Erkenntnisse der Projektorganisation, der Projektstrukturierung, der Projektplanung und der Projektverfolgung werden dargestellt. Theorie und auch Praxis übersehen immer noch, daß die Netzplantechnik nicht nur bei der Planung, sondern mindestens so gewichtig bei der Steuerung und Überwachung von Projekten eine bedeutende Rolle spielt. Dieser Problembereich wird ausführlich behandelt. Es werden die Besonderheiten von Projektsteuerung und -Überwachung gegenüber der Projektplanung hervorgehoben, um Möglichkeiten und Wege einer optimalen Projektverfolgung aufzuzeigen.

Das bewährte Konzept der Darstellung in Frage und Antwort soll mit einer großen Anzahl von Beispielen die Ausführungen möglichst leicht verständlich machen. Alle behandelten Problembereiche werden zunächst an einem kleinen Beispiel, dann an einer allgemeingültigen Form für beliebig große Probleme bzw. Netzpläne abgehandelt. Diese kleinen Beispiele entsprechen bei weitem nicht praktischen Größenordnungen, das wäre in einem Buch schlicht unmöglich. So wird sich der Leser des öfteren fragen, warum bei den auf der Hand liegenden Lösungen ein derartiger Aufwand betrieben wird. Er sollte sich dann aber auch die Frage beantworten, wie bei praktischen Größenordnungen von

Vorwort

VII

zigtausend Vorgängen zu verfahren sei. Da wird es ohne Datenbanken und ohne scharfe Algorithmen wohl nicht gehen.

T r o t z d e m sei demjenigen Leser, der sich erstmals mit der Netzplantechnik beschäftigt, e m p f o h l e n , sich zum Verständnis der Problembereiche verstärkt mit den Beispielen zu beschäftigen. Er kann die allgemeingültigen Ausführungen bei einem ersten

Durch-

arbeiten überfliegen, ohne befürchten zu müssen, den roten Faden zu verlieren. Er sollte aber immer vor Augen haben, daß es sich im Grunde um Probleme immenser Größenordnungen handelt, die eben nicht einfach und anschaulich darstellbar sind, die in einem einzigen geschlossenen Netzplan eben gar nicht graphisch dargestellt werden können.

Zur allgemeinen Anwendbarkeit der Netzplantechnik werden verschiedene und vielfältige Algorithmen entwickelt. Diese sind zum einen f ü r den mehr theoretisch interessierten Leser gedacht. Z u m anderen stellen sie eine notwendige Basis für die praktische Anwendung der Netzplantechnik dar. Die Algorithmen sind in einem Pidgin-Algol geschrieben und so konzipiert, daß sie relativ einfach in alle gängigen Computersprachen übertragen werden

können. Eine abschließende Zusammenstellung der vielen Begriffe in d e r

Netzplantechnik soll zur Klarheit und damit ebenfalls zum besseren Verständnis der Netzplantechnik beitragen.

O h n e Unterstützung hätte dieses Buch nicht entstehen können. Ganz besonderer Dank gilt meiner Sekretärin Christa Hohlfeld und den studentischen Mitarbeitern des Lehrstuhls Stephan Biallas und Mathias Gehle, die in Erstfassung und Korrekturen mit ganz erheblichem A u f w a n d dieses Buch zu Papier gebracht, immer wieder verbessert und somit letztendlich die Auseinandersetzung mit dem Computer und dem Textverarbeitungsp r o g r a m m gewonnen haben. Gleicher Dank gilt Herrn Dipl.-Volkswirt Martin Weigert v o m Oldenbourg-Verlag, der unkonventionell das Erscheinen dieses Buches ermöglichte und in allen Phasen der Entstehung hilfreich zur Seite stand.

Günter Altrogge

Inhaltsverzeichnis A. Wesen, Bedeutung und Grenzen der Netzplantechnik

1

B. Projektstrukturierung, Zeitplanung und Projektüberwachung bei den Verfahren der Netzplantechnik

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I.

Abgrenzung der Netzplan verfahren

II. 1. 2.

Vorgangspfeil-Netzpläne Grundstruktur zur Darstellung reiner Reihenfolgen der Vorgänge . . . . Allgemeine Struktur zur Darstellung aller möglichen Vorgangsabhängigkeiten Ermittlung frühester und spätester Zeitpunkte für Ereignisse, Vorgänge und Meilensteine Pufferzeiten zur Beschreibung zeitlicher Dispositionsspielräume für einzelne Vorgänge Endgültige Plandaten und Informationswesen zur Projektsteuerung . . . Projektüberwachung

109 119

Vorgangsknoten-Netzpläne, die in den Knoten Vorgangsereignisse - Anfange bzw. Enden - darstellen Struktur der Netzpläne Zeitliche Projektanalyse und Projektüberwachung

132 132 144

3. 4. 5. 6. III. 1. 2. IV. 1. 2.

8 16 16 37 47 67

Vorgangsknoten-Netzpläne, die in den Knoten die gesamten Vorgänge darstellen

164

Struktur der Netzpläne Zeitliche Projektanalyse und Projektüberwachung

164 171

C. Einsatzmittelbedarf und Auswirkungen begrenzter Kapazitäten - Kapazitätsplanung -

194

D . Kostenanalyse und kostenoptimale Projektplanung - Kostenplanung -

215

Begriffe, Definitionen und Kurzzeichen

251

Literaturverzeichnis

263

Stichwortverzeichnis

269

A. Wesen, Bedeutung und Grenzen der Netzplantechnik

1. Was ist Netzplantechnik?

Die Netzplantechnik (NPT) umfaßt die auf der Graphentheorie basierenden Verfahren bzw. Methoden zur Strukturierung, Planung, Steuerung und Überwachung des Ablaufs von großen, komplexen Projekten. Projekte sind abgrenzbare, in sich geschlossene Aufgaben, die zumindest in ihrer speziellen Durchführung einmalig sind und an deren Durchführung mehrere Stellen, verschiedene Abteilungen der eigenen Unternehmung und auch fremder, oft ausländischer Unternehmungen beteiligt sind. Die immer größer und komplexer werdenden Projekte erfordern neben neuen Organisationsformen des ProjektManagements zur Projektdurchführung die Netzplantechnik.

Das Charakteristische der Netzplantechnik ist die Aufspaltung des Projektes in eine Vielzahl von Teilaufgaben, die als Vorgänge bezeichnet werden, und die Erfassung der zeitlichen und funktionalen Abhängigkeiten zwischen diesen Teilaufgaben. Den Vorgängen eines Projektes werden Einsatzmittel wie Arbeitskräfte, Geräte und Anlagen zugeordnet, und es findet eine Zuordnung zwischen Vorgang und ausführender Stelle statt. Damit gewinnt die Netzplantechnik ihre besondere Bedeutung bei der zeitlichen Koordinierung aller an einem Projekt beteiligten Stellen.

2. Wodurch unterscheidet sich die Netzplantechnik von den zuvor üblichen einfachen Verfahren der Ablaufplanung?

Der große Vorteil der Netzplantechnik gegenüber den bis dahin verwandten Balkendiagrammen (Gantt-Diagrammen) besteht in der Trennung zwischen Projektstrukturierung und Zeitplanung.

2

A. Wesen, Bedeutung und Grenzen der Netzplantechnik

Im Gantt-Diagramm werden die einzelnen Teilaufgaben durch Balken, die über einer Zeitachse angeordnet sind, in der geplanten zeitlichen Lage dargestellt. Die Abhängigkeiten der Teilaufgaben untereinander sind aus dem Diagramm kaum zu erkennen, so daß die Auswirkungen von Verschiebungen oder Zeitänderungen in Gantt-Diagrammen nur schwer festzustellen sind, mit Hilfe der Netzplantechnik jedoch recht einfach. Deren Vorteil kommt deshalb besonders deutlich bei der Überwachung eines laufenden Projektes zum Tragen. Eine einmal aufgestellte Projektstruktur ändert sich bis zum Projektabschluß zumindest bei guter Planung und effizienter Strukturierung kaum. Die Netzplantechnik gestattet laufende Zeitkontrollen auf der Basis der vorliegenden Istzeiten und der verbesserten Planzeiten. Als Ergebnis können vom Rechner jeweils aktualisierte Balkendiagramme ausgegeben werden. Wollte man eine solche Projektfortschrittskontrolle mit einem Gantt-Diagramm alleine vornehmen, so wäre dies sehr schwierig. Die Praxis hat gezeigt, daß deshalb ein großer Teil der Balkendiagramme nicht auf dem aktuellen Stand gehalten wird.

Eine Grenze der Gantt-Diagramme bildet die Projektgröße, da die Planung manuell durchzuführen ist. Die Netzplantechnik gestattet bei Einsatz von Computern praktisch die Bearbeitung beliebig großer Projekte.

3. Welche Stufen werden in der Planungsphase des Projektmanagements unterschieden?

Grundlage aller Projekt- und NPT-Analysen ist die Projektstrukturierung mit der Zerlegung des Projektes in Vorgänge und der Darstellung der zeitlichen Abhängigkeiten zwischen diesen Vorgängen. Das Grunderfordernis ist die Vollständigkeit der Projekterfassung. Wie generell bei der Strukturierung von Abläufen widerstreben auch hier die zwei extremen Strukturierungsprinzipien, nämlich die Funktionsorientierung und die Fertigungsorientierung.

Der zentrale Schritt im Projektmanagement und Hauptbestandteil aller Netzplan-Methoden ist die Zeit- bzw. Terminplanung, die insbesondere bei der Beachtung enger

A. Wesen, Bedeutung

und Grenzen

der

Netzplantechnik

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Kapazitäten sehr komplex und schwierig werden kann. Hinzu kommt die Terminüberwachung während des Projektablaufs.

An die zeitliche Planung können in gewissem Umfang Planung und Überwachung von Kapazitäten (Einsatzmitteln) und Kosten angeschlossen werden.

Diese Stufen sind nur bedingt Teile eines Sukzessivplanungssystems. Je nach geforderter Planungsgenauigkeit sind Stufen simultan zu planen. Wegen der Komplexität der Modelle und insbesondere der enthaltenen Reihenfolgeprobleme kommen allerdings regelmäßig nur heuristische Lösungsverfahren in Betracht. Dies gilt insbesondere f ü r Ansätze der Mehrprojektplanung.

4. Auf welche Fragen kann die Netzplantechnik Antwort geben?

Die Zeit- bzw. Terminplanung gibt Auskunft über folgende Fragen:

a) Welche Zeit wird das Projekt unter Berücksichtigung der für die einzelnen Vorgänge benötigten Zeiten in Anspruch nehmen? b) Welche Vorgänge bestimmen diese Projektdauer? c) Zu welchen Zeitpunkten und Terminen müssen die einzelnen Vorgänge beginnen, und wann müssen sie abgeschlossen sein, wenn die Projektdauer eingehalten werden soll? d) Welche Auswirkungen haben zeitliche Verschiebungen und Verkürzungen bzw. Verlängerungen von Vorgängen auf die Projektdauer?

Die Kapazitätsplanung kann in Grenzen Antwort geben zu:

e) Welche Einsatzmittel werden wann und wie lange durch das Projekt beansprucht? f) Wie ist eine möglichst gleichmäßige Auslastung von Kapazitäten erreichbar, und welchen Einfluß hat ein solcher Ausgleich auf die Projektdauer? g) Welches ist die minimal mögliche Projektdauer bei vorgegebenen begrenzten Kapazitäten?

A. Wesen, Bedeutung

4

und Grenzen der

Netzplantechnik

Mit H i l f e der Kostenplanung lassen sich die folgenden Fragen beantworten:

h) W e l c h e Kosten fallen wann bei Durchführung eines Projektes an? i)

W e l c h e Zusatzkosten fallen bei Projektverkürzung an, wenn bestimmte V o r g ä n g e unter Inkaufnahme höherer Kosten verkürzt werden?

j)

Welches ist die optimale Projektdauer, wenn gegenläufig zu den Zusatzkosten die allein von d e r Projektdauer abhängigen Kosten mit sinkender Projektdauer a b n e h m e n ?

5.

Die Entwicklung der Netzplantechnik ist durch das Bekanntwerden verschiedener Netzplan-Methoden

gekennzeichnet.

Welches

sind

diese

charakteristischen

Methoden?

Der Beginn der Netzplantechnik datiert auf die Jahre 1957/58, in denen 3 voneinander unabhängige und unterschiedliche Entwicklungen bekannt wurden:

CPM

Critical Path Method, konzipiert 1957 in den U S A

PERT

Program Evaluation and Review Technique, entwickelt 1958 in den U S A

MPM

Metra Potential Methode, eine französische Entwicklung des Jahres 1958

Diese verschiedenen Netzplan-Methoden sind charakterisiert durch unterschiedliche "Art und W e i s e des Vorgehens nach detaillierten Regeln der Darstellung (z.B. P E R T , M P M und C P M ) , der Berechnung u . s . w . von Netzplänen" (DIN 69 900). Die ersten Versionen von C P M , P E R T und M P M dienten nur der zeitlichen Planung und Verfolgung von Großprojekten. Bei Weiterentwicklungen wurden auch Kosten- und Kapazitätsgesichtspunkte miteinbezogen. P E R T und M P M spielen heute keine Rolle mehr in der Praxis. Leider werden alle drei oft quasi als Gattungsnamen (für Netzplanverfahren) benutzt, was nicht gerade der Klarheit in Abgrenzungen dient.

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und Grenzen

der

Netzplantechnik

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In den Folgejahren wurden weitere charakteristische Netzplan-Methoden bekannt:

PDM

Precedence Diagramming Method, entwickelt 1964 in den USA

HMN

Hamburger Methode der Netzplantechnik, eine deutsche Entwicklung aus dem Jahre 1966

PPS

Projektplanungs- und -steuerungssystem (PPS-System). Die deutsche Entwicklung PPS wurde 1968 in der ersten Konzeption vorgestellt und wird weiterentwickelt.

Seitdem sind keine so ausgeprägten Methoden mehr entwickelt worden, die - aber das ist mit Vorsicht zu genießen - ein Stück weit die allgemeiner definierten Netzplanverfahren repräsentieren.

Insbesondere die ersten NP-Methoden wurden in einer großen Anzahl von EDV-Programmen realisiert, wobei die Grenzen fließend wurden und individuelle Einschränkungen und Erweiterungen charakteristisch sind. Neben den Programmen mit sehr klangvollen Namen sind verschiedene, z.T. eigenwillige firmenbezogene "Netzplantechniken" entstanden und wieder verschwunden. Heute ist offenbar eine Fülle von Softwarehäusern und sonstigen Softwareentwicklern für die schillernde Vielfalt an "Netzplantechniken" verantwortlich. Dabei stehen nicht mehr eigenwillige Methoden im Vordergrund, sondern Datenbankkonzepte, Softwareergonomie, optische und manuelle Benutzerfreundlichkeit etc.

Obwohl sich alle Methoden aus einer umfassenden Projektstrukturierung ableiten lassen, sind Bemühungen um eine Einheitlichkeit in der Netzplantechnik schwierig, da sehr viele unterschiedliche Programmsysteme im praktischen Einsatz sind. Die Schwierigkeiten zeigen sich deutlich bei den von Beginn an fortlaufenden Bemühungen zur Vereinheitlichung von Bezeichnungen in der NPT und im Projektmanagement für die Normen DIN 69 900 und folgende.

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A. Wesen, Bedeutung

und Grenzen der

Netzplantechnik

6. Welches sind die wesentlichen Gründe für die große Verbreitung der Netzplantechnik in Wirtschaft und Verwaltung?

Die immer umfangreicher und komplexer werdenden Projekte forderten neben neuen Organisationsformen dringend neue Methoden der Planung, Steuerung und Überwachung von Projekten. Die früher benutzten Methoden waren weder in der Lage, Projektdauern und Projektkosten einigermaßen gut zu planen, noch waren sie fähig, während der Projektdurchführung die Einhaltung von Planwerten zu kontrollieren. Aus beiden Gründen resultierten Planüberschreitungen, die mit Zeitüberschreitungen bis zum zweifachen und mehr und mit Kostenüberschreitungen bis zum sechsfachen und mehr angegeben werden.

Der richtige Einsatz der Netzplantechnik bewirkt demgegenüber eine erheblich verbesserte Planung und gewichtige Einsparungen an Zeit und Kosten. Die Netzplantechnik hat die üblichen Widerstände gegen neue Planungsverfahren sehr schnell überwunden, weil sie für alle Arten von Projekten gleichermaßen gut geeignet ist, weil die Modelldarstellungen sehr eingängig und die Rechenverfahren relativ einfach und damit gut erklärbar sind, weil damit die Ergebnisse gut verständlich sind und weil die Rechnungen und Ergebnisaufbereitungen schnell und sicher mit Computern und Bibliotheksprogrammen durchgeführt werden können.

7. Welche Kosten werden dem Einsatz der Netzplantechnik zugeschrieben ?

Bei den Kosten der Projektplanung mit Hilfe der Netzplantechnik ist zu unterscheiden zwischen den Kosten der Datenbeschaffung und den Planungskosten im engeren Sinn für das Aufstellen, Korrigieren und Zeichnen von Netzplänen, für Rechnungen auf EDVAnlagen und für das gesamte Berichtswesen. Über die Kosten der Datenbeschaffung kann man generell wenig aussagen. Die Planungskosten im engeren Sinn werden mit 0,1 % bis 2%, im Extrem bis zu 4% der gesamten Projektkosten angegeben.

A. Wesen, Bedeutung

und Grenzen

der Netzplantechnik

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8. Welche Einsparungen werden dem Einsatz der Netzplantechnik zugeschrieben ?

Die Erfolge der Netzplantechnik sind nicht genau angebbar, und sie sind bei den Projekten verschiedenster Art sehr unterschiedlich. Als Mittelwert werden Zeitersparnisse in der Größenordnung von 25 % und Kostenersparnisse um 15 % angegeben, allerdings bei extremen Streuungen.

Diese Einsparungen resultieren im wesentlichen aus dem Zwang zur Projektstrukturierung und aus der zeitlichen Planung und Verfolgung des Projektes. Nach einer Untersuchung von Boehm aus dem Jahre 1973 befassen sich 90 bis 95 % aller bekannten Anwendungen nur mit der Terminplanung. Dies dürfte auch heute noch gelten. Weiterhin werden ca. 80 % der durch die Netzplantechnik erzielbaren Erfolge der Phase vor der zeitbezogenen Durchrechnung des Netzplans, also der Strukturierung des Projektes, zugerechnet (Adam). Dies ist ein Phänomen, das auch in anderen Bereichen der Planungsrechnung festzustellen ist: Die Problemdurchdringung und die intensive Auseinandersetzung mit den Schwachstellen machen Schwierigkeiten bewußt und zwar so frühzeitig, daß befriedigende Lösungen relativ einfach gefunden werden können.

B. Projektstrukturierung, Zeitplanung und Projektüberwachung bei den Verfahren der Netzplantechnik

I. Abgrenzung der Netzplanverfahren

9. Man unterscheidet Netzplanverfahren, Netzplanmethoden und Netzplan-Programmsysteme. Was ist darunter zu verstehen, und wie werden diese gegeneinander abgegrenzt?

Netzplanverfahren sind grundsätzliche Formen der Zuordnung von Vorgängen des Projekts zu Darstellungselementen der Graphentheorie. Bei unterschiedlichen Verfahren handelt es sich also um unterschiedliche Darstellungsarten der Projektstruktur. Damit ergeben sich entsprechend unterschiedliche Formeln einer an sich immer gleichen Zeitplanung. Die Verfahren weisen gewisse Einschränkungen auf gegenüber einer allgemeinen Struktur, aus der sie ableitbar sind.

Zu einem bestimmten Netzplanverfahren gehören verschiedene Netzplan-Methoden wie CPM, PERT oder die vielen firmeneigenen Entwicklungen, die durch detaillierte Regeln der Darstellung und Berechnung gekennzeichnet sind. Die Grenzen sind allerdings nicht immer klar. Zudem sind unter dem Namen einer bestimmten Methode, insbesondere bei CPM, durchaus verschiedene Regeln der Darstellung und Berechnung anzutreffen.

Netzplan-Programmsysteme für Computer umfassen häufig mehrere Methoden. Die Vielzahl der Programme ist durch spezifische Eigenarten und Einschränkungen gekennzeichnet, die einmal durch die Größe der Rechner und Speichermedien bedingt sind, die zum anderen aber oft als mangelnder Komfort anzusehen sind. Vor der Anwendung bestimmter Programmsysteme sollte man die Manuals eingehend durcharbeiten und insbesondere durch Testrechnungen Eigenarten und Grenzen der Programme und auch der Rechner ausloten.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

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10. Skizzieren Sie die Projektaufgliederung unter Benutzung der in der Norm DIN 69 900 angegebenen Definitionen. Wie wird daraus eine vollständige Projektbeschreibung abgeleitet?

Die Projektaufgliederung erfolgt im Extrem entweder nach Objekten (Erzeugnissen) oder nach Funktionsbereichen. Sie wird dargestellt im Projektstrukturplan, einer hierarchischen Projektdarstellung über verschiedene Gliederungsebenen, die als Projektstrukturebenen bezeichnet werden. In Abb. 1 ist ein Beispiel der graphischen Darstellung des Projektstrukturplans wiedergegeben.

Abbildung 1 Mit "x" sind die Arbeitspakete gekennzeichnet. Unter einem Arbeitspaket wird ein Element auf einer beliebigen Projektstrukturebene verstanden, das innerhalb des Projektstrukturplans nicht weiter aufgegliedert ist. Neben dem gesamten Projekt ist eine Teilaufgabe ein "Teil des Projektes, der im Projektstrukturplan weiter aufgegliedert werden kann." (DIN 69 901) Im Zuge einer durchgängigen und konsistenten Projektaufgliederung sollte man bemüht sein, Arbeitspakete möglichst nur auf der untersten Projektstrukturebene anzusiedeln.

Der Projektstrukturplan ist als eine noch relativ grobe Aufgliederung zu verstehen, die als Grundlage für die gesamte Planung, Steuerung und Überwachung des Projektes dient.

Zur Darstellung des Projektes im Netzplan werden die Arbeitspakete weiter unterteilt in Vorgänge. Ein Vorgang ist eine Zeit und meist auch Mittel verbrauchende Aktivität mit definiertem Anfang und Ende. Als Beispiele seien genannt: Beschaffung eines Ag-

10

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

gregates, Fertigung eines bestimmten Teils, Lagerung eines Zwischenproduktes, Transport v o n Bauteilen, Trocknung eines Teils usw.

Zwischen den V o r g ä n g e n eines Projektes bestehen vielfaltige zeitliche Beziehungen, die allgemein als Anordnungsbeziehungen bezeichnet werden. D i e s sind im einfachen Fall Reihenfolgebedingungen der Art, daß ein Vorgang B zeitlich nach einem V o r g a n g A liegen muß, daß B also frühestens dann beginnen kann, wenn A fertiggestellt ist. A l l gemein

beschreiben Anordnungsbeziehungen zwischen

Vorgängen die Grenzen

der

zeitlichen L a g e dieser V o r g ä n g e zueinander.

D u r c h V o r g ä n g e und die zugehörigen Anordnungsbeziehungen w i r d die Struktur eines Projektes vollständig beschrieben.

Im A b l a u f des Projektes ergeben sich bestimmte Durchführungsstadien. Diese werden als Meilensteine bezeichnet.

11. W a s läßt sich z u r sinnvollen Aufgliederung eines Projektes in V o r g ä n g e sagen?

D i e T i e f e der Aufspaltung eines Projektes in Vorgänge ist von Fall zu Fall unterschiedlich zu handhaben. Sie hängt ab von der Struktur des Projektes, von den M ö g l i c h keiten und Kosten der Erhebung der erforderlichen Daten für d i e V o r g ä n g e und natürlich von der Relation der Datenerhebungskosten zu den erzielbaren Vorteilen.

A l s Untergrenze für den U m f a n g eines Vorgangs wird angegeben, daß seine Dauer 0 , 3 % der Gesamtprojektdauer nicht unterschreiten soll.

Eine Untersuchung ( E . v. Wasielewski) von 57 Netzplänen, nach denen Projekte in verschiedenen Industriezweigen durchgeführt und überwacht wurden, ergibt Anhaltspunkte für eine als angemessen angesehene Anzahl von Vorgängen in Abhängigkeit von den K o sten des Projekts. Neben erheblichen Streuungen zeigen sich charakteristische Projektgrößen für einzelne Wirtschaftszweige und darüber hinaus weitere Unterschiede zwischen diesen Bereichen in der Detaillierung. Für den mittleren und als wirtschaftlich ange-

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

11

sehenen Zusammenhang zwischen Projektkosten und Anzahl der Vorgänge zeigt sich aber deutlich, daß die Vorgangsanzahl mit den Kosten des Projektes ansteigt, allerdings nicht proportional. Bei Projektkosten von 20 Millionen DM werden ca. 700 Vorgänge als angemessen angesehen. Verdoppelungen bzw. Halbierungen der Projektkosten bewirken eine entsprechende Änderung der Vorgangsanzahl um den Faktor 1,7. Dies bedeutet beispielsweise auch eine Versechsfachung der Vorgänge bei einer Verzehnfachung der Kosten des Projektes. Bei 200 Millionen DM sind dies 4.200 Vorgänge.

12. Der Darstellung eines Netzplans und insbesondere der zeitlichen Analyse liegt ein gerichteter Graph zugrunde. Beschreiben Sie einen solchen Graphen. Welcher Weg wird in diesem Graphen besonders hervorgehoben?

Ein gerichteter Graph besteht aus einer Knotenmenge und aus einer Menge von gerichteten Kanten, wobei jede Kante einen Anfangsknoten und einen Endknoten hat. Im Rahmen der NPT wird unter einer Kante immer eine gerichtete Kante verstanden, die auch als Pfeil bezeichnet wird. Die hier zu betrachtenden Graphen sind endlich und in den meisten Fällen zusammenhängend. Zudem handelt es sich immer um bewertete Graphen, d.h. alle Kanten haben eine Bewertung, die positiv, negativ oder gleich Null sein kann. Von der Problemstellung her sind Kanten mit identischem Anfangs- und Endknoten ausgeschlossen, die als Schlingen bezeichnet werden. Ein solcher Graph ist in Abbildung 2 dargestellt.

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B, Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Für diesen gerichteten Graphen werden häufig unberechtigterweise Einschränkungen gefordert. Deswegen sei die Allgemeinheit auch verbal betont: a) Parallele Kanten sind zulässig. b) Negative Kantenbewertungen sind zulässig. c) Schleifen der Gesamtlänge 0 sind zulässig. d) Schleifen negativer Gesamtlänge sind zulässig. e) Mehrere ( Start- ) Knoten sind zulässig, in welche keine Kante einmündet. f) Mehrere ( Ziel-) Knoten sind zulässig, von denen keine Kante ausgeht. g) Der Graph muß (im Gegensatz zum Beispielgraphen ) nicht zusammenhängend sein. In obigem Graphen existiert eine Vielzahl von Wegen. Unter einem Weg versteht man eine Folge gerichteter Kanten, wobei der Endknoten einer Kante jeweils der Anfangsknoten der folgenden Kante ist. Die Bewertung einer Kante wird allgemein als deren Länge bezeichnet, so daß sich die Länge eines Weges ergibt als die Summe der längen der Kanten dieses Weges. Im Netzplan stellen die Kantenbewertungen immer zeitliche Mindestabstände zwischen Anfangs- und Endknoten der Kanten dar. Die Länge eines Weges ist dann der minimale zeitliche Abstand zwischen Anfangs- und Endknoten des Weges über die Kantenfolge dieses Weges. Knoten als Verknüpfungspunkte im Graphen haben definitionsgemäß keine Bewertung bzw. keine zeitliche Ausdehnung.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

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Ein bestimmter Weg im Graphen ist insofern ein ausgezeichneter Weg, als er den längsten aller möglichen Wege im Graphen darstellt. Im Beispiel der Abbildung 2 ist der längste Weg besonders hervorgehoben. Die zeitliche Analyse eines Netzplans basiert auf der Ermittlung dieses längsten Weges. Es kann passieren, daß in einem Graphen mehrere längste Wege gleicher Länge existieren. Haben diese gemeinsame Kanten, so spricht man in der Netzplantechnik nicht ganz korrekt weiterhin von einem Weg, der sich aber gabelt.

Als zentralen Merksatz kann man hier festhalten: Das wesentliche Element der NPT ist die Ermittlung des längsten Weges im gerichteten Graphen. Daraus folgen abgeleitete Planungs- und Steuerungsinformationen.

In einem Graphen der beschriebenen Art können Zyklen enthalten sein. Unter einem Zyklus wird ein einfacher Weg verstanden, bei dem Anfangs- und Endknoten identisch sind. Anstatt des in der Graphentheorie üblichen Ausdrucks Zyklus verwendet man in der Netzplantechnik meistens den Ausdruck Schleife. Beide Ausdrücke sollen hier synonym benutzt werden.

Ein längster Weg endlicher Länge existiert in einem Graphen nur dann, wenn keine Zyklen positiver Länge enthalten sind. Existiert nämlich ein solcher Zyklus positiver Länge, so lassen sich Wege beliebiger Länge konstruieren, wenn nur der Zyklus genügend oft durchlaufen wird. Bei Graphen, in denen der längste Weg gesucht wird, sind demnach Zyklen positiver Länge nicht problemadäquat und damit verboten. Entsprechend zeigt sich bei den Netzplänen, daß Schleifen positiver Gesamtlänge vom Ablauf her widersinnig sind.

Genau genommen ergibt sich auch bei Zyklen der Länge Null dann kein eindeutiger längster Weg, wenn auf diesem längsten Weg der Zyklus beliebig häufig durchlaufen werden kann, ohne daß freilich dadurch der Weg länger wird. Für diesen Fall ist festgelegt, daß als längster der Wege deijenige mit den wenigsten Kanten gilt, daß also der Zyklus der Länge Null nicht ganz durchlaufen wird und nicht ganz zum längsten Weg gehört. Es bleibt festzuhalten, daß diese Zyklen der Länge Null ausdrücklich erlaubt sind und bei den Netzplänen eine gewichtige Rolle spielen.

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B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

13. Man unterscheidet verschiedene Netzplanverfahren. Welches sind die Unterscheidungskriterien, und welche Verfahren ergeben sich?

Ein Projekt wird durch seine Vorgänge und die zugehörigen Anordungsbeziehungen beschrieben. Die Elemente eines gerichteten Graphen sind gerichtete Kanten oder Pfeile und Knoten. In der Strukturanalyse werden im wesentlichen die Vorgänge den Elementen eines Graphen zugeordnet. Entsprechend den zwei prinzipiell möglichen Vorgehensweisen unterscheidet man zunächst zwei Netzplan verfahren:

a) Beim Vorgangspfeil-Netzplan (VPN) werden die Vorgänge durch Pfeile dargestellt. b) Beim Vorgangsknoten-Netzplan (VKN) werden die Vorgänge durch Knoten dargestellt.

Im Vorgangspfeil-Netzplan werden die durch den Zeitbedarf charakterisierten Vorgänge mit Hilfe von Pfeilen positiver Bewertung dargestellt. Es kann hier noch offen bleiben, ob dann jeder positiv bewertete Pfeil ein Vorgang sein muß. Die Ablaufstruktur des Projektes ergibt sich im wesentlichen aus der Reihenfolge von Vorgängen, d.h. aus deren Vor- oder Nacheinander. Zudem gestatten mit Null bewertete und negativ bewertete Pfeile die Darstellung weiterer Anordnungsbeziehungen.

Ein Vorgangsknoten-Netzplan stellt laut üblicher Definition die Vorgänge in Knoten dar. Diese Zuordnung ist im Grunde widersinnig, da Vorgänge durch ihre zeitliche Länge definiert sind und Knoten gerade dadurch, daß sie keine zeitliche Ausdehnung haben. Die erste Art von Vorgangsknotennetzen stellt deshalb nur Vorgangsereignisse in den Knoten dar, nämlich entweder Vorgangsanfange oder Vorgang senden. Generell stellt sich aber die Frage, ob ein Netzplan, der primär zur anschaulichen Projektstrukturierung dient, genau die Form eines Graphen haben muß, wie er für die Zeitanalyse gefordert wird. Dies ist sicher solange nicht notwendig, wie der Netzplan durch modifizierte Graphenverfahren in der Zeitanalyse noch bearbeitet werden kann. So stellt die zweite Art von Vorgangsknotennetzen den ganzen Vorgang im Knoten dar, womit der Netzplan dann prima vista kein zulässiger Graph mehr ist. Über einfache Ersatzstrukturen läßt sich aber die Zulässigkeit des Netzplans problemlos wieder herstellen.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

15

Unter einem Vorgangsereignis wird ein bestimmter Zustand im Ablauf eines Vorgangs verstanden. Hervorgehobene Vorgangsereignisse sind Anfang und Ende des Vorgangs. Bei einem Vorgangsknotennetz, das in den Knoten Vorgangsereignisse darstellt, werden in den Knoten entweder generell Vorgangsanfänge oder generell Vorgangsenden erfaßt. Die Pfeile des Netzplans stellen zeitliche Mindestabstände beliebiger Bewertung zwischen diesen Vorgangsereignissen dar. In einem Vorgangsknotennetz, das in den Knoten Vorgangsereignisse darstellt, sind entweder nur Anfang-Anfang-Beziehungen oder nur Ende-Ende-Beziehungen zulässig. Ein solcher Netzplan ist ein direkt berechenbarer, zulässiger Graph, er ist aber weniger anschaulich.

Bei einem Vorgangsknotennetz, das in den Knoten die ganzen Vorgänge darstellt, müssen die Vorgangsereignisse Anfang und Ende hervorgehoben werden. Deshalb verwendet man insbesondere hier ein Rechteck als Darstellungselement für den Knoten, wobei die linke Kante den Vorgangsanfang und die rechte das Vorgangsende repräsentieren. Die Pfeile des Netzplans gestatten die Darstellung von zeitlichen Mindestabständen zwischen beliebigen Paaren aus Vorgangsanfangen und Vorgangsenden. Es sind also Anfang-Anfang-, Anfang-Ende-, Ende-Anfang- und Ende-Ende-Beziehungen zulässig. Man könnte in einem solchen Netzplan auch Anordnungsbeziehungen zulassen, die sich auf nicht ausgezeichnete Vorgangsereignisse, beispielsweise eine 30%ige Durchführung, beziehen. Dies ist aber nicht üblich. Ein Vorgangsknotennetz, das in den Knoten die ganzen Vorgänge darstellt, stellt somit das allgemeinste der Netzplanverfahren dar. Der Netzplan ist kein direkt zulässiger Graph, da den Knoten eine zeitliche Ausdehnung unterstellt wird. Dieser Mangel läßt sich durch graphentheoretische Ersatzschaubilder einfach beheben.

16

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und

Projektüberwachung

II. Vorgangspfeil-Netzpläne

1. Grundstruktur zur Darstellung reiner Reihenfolgen der Vorgänge 14. Skizzieren Sie die Grundstruktur der Vorgangspfeil-Netzpläne, und nennen Sie die wichtigsten zugehörigen Methoden. Vorgangspfeilnetze wurden zunächst konzipiert zur Darstellung von Projektstrukturen, bei denen nur Reihenfolgen von Vorgängen zu berücksichtigen sind. Reihenfolgebedingungen besagen, daß ein oder mehrere Vorgänge erst dann beginnen können, wenn ein oder mehrere vorhergehende Vorgänge abgeschlossen sind. Der zeitliche Abstand zwischen diesen vorhergehenden Vorgängen und den nachfolgenden Vorgängen kann von den Reihenfolgebedingungen her beliebig groß sein. Die Netzplan-Methoden CPM und PERT basieren zumindest in den ersten Versionen auf dieser Grundstruktur. CPM wurde in verschiedene Richtungen erweitert und wird häufig synonym benutzt zu Vorgangspfeil-Netzplänen.

15. Wie wird das folgende kleine Projekt in einem Vorgangspfeilnetz dargestellt? Vorgänge: Vorgang A: Beschaffung einer Maschine 1 Vorgang B: Beschaffung einer Maschine 2 Vorgang C: Herstellung des Teiles a auf Maschine 1 Vorgang D: Herstellung des Teiles b auf Maschine 2 Vorgang E: Montage der Teile a und b zum Endprodukt e Technologische Reihenfolgebedingungen: Bezüglich der Reihenfolge der Vorgänge gilt: Die Vorgänge A und B können gleichzeitig stattfinden; nach Beendigung von A kann C beginnen, nach Been-

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

17

digung von B der Vorgang D. Bei Beginn von E müssen die Vorgänge C und D abgeschlossen sein.

Der in Abbildung 3 wiedergegebene Netzplan stellt das Projekt dar, wobei die Knoten durch Kreise dargestellt werden und die die Vorgänge bezeichnenden Buchstaben an die zugehörigen Pfeile gesetzt sind. Die Knoten sind willkürlich numeriert.

Abbildung 3 Hier sollen die Vorgänge allgemein durch Buchstaben bezeichnet werden, um übersichtliche und nicht an konkrete Probleme gebundene Netzpläne zu haben. Bei praktischen Netzplanberechnungen werden die Vorgänge computerintern fortlaufend numeriert. Die graphische Darstellung von Netzplänen sollte dann die Vorgangsbezeichnungen zumindest in einer Kurzform an die Pfeile setzen. Dazu sind die Pfeile ganz oder teilweise waagerecht zu zeichnen. Die Abbildung 4 gibt eine solche Darstellung des Projektes wieder.

Beschaffung 1

0

Hersteilung a

Montage e

Beschaffung 2

0

Herstellung b

Abbildung 4

0

18

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

16. Was stellen die Knoten im Vorgangspfeilnetz dar? Geben Sie eine Interpretation anhand des Netzplans der Frage 15.

Die Knoten, dargestellt durch Kreise, symbolisieren Ereignisse, d.h. gewisse Durchführungsstadien im Projektablauf.

Jeder Vorgang wird durch sein Anfangsereignis und sein Endereignis begrenzt. Ereignisse stellen Durchführungsstadien dar, an denen ein oder mehrere Vorgänge abgeschlossen sind oder wo ein oder mehrere Vorgänge beginnen können. Der Netzplan hat mindestens ein Startereignis und mindestens ein Zielereignis. Ereignisse während des Projektablaufs zeigen den Abschluß eines oder mehrerer Vorgänge als Bedingung für den Beginn eines oder mehrerer Vorgänge. Zur Beschreibung werden die Ereignisse numeriert.

Im Netzplan der Frage 15 bedeutet Ereignis 9: Vorgang A ist abgeschlossen. Ereignis 10 besagt, daß die Vorgänge C und D und damit natürlich auch A und B abgeschlossen sind. Das Erreichen des Ereignisses 15 beinhaltet die Fertigstellung des Projektes.

17. Wann sind Scheinvorgänge in einem Vorgangspfeilnetz zur Darstellung von Reihenfolgen erforderlich? Stellen Sie das folgende Projekt in einem Vorgangspfeilnetz dar.

Vorgang A: Beschaffung einer Maschine 2 Vorgang B: Beschaffung von Material für die zu fertigenden Teile a und b Vorgang C: Herstellung von Teil a auf der vorhandenen Maschine 1 Vorgang D: Herstellung von Teil b auf Maschine 2 Vorgang E: Gemeinsame Zwischenbehandlung der Teile a und b Vorgang F: Nacharbeiten von Teil a Vorgang G: Nacharbeiten von Teil b Vorgang H: Montage der Teile a und b zum Endprodukt e

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und Projektüberwachung

19

Zunächst seien die ersten 4 Vorgänge A bis D des Projektes betrachtet. Bei Beginn von Vorgang C muß B abgeschlossen sein. Die Struktur muß etwa so aussehen, wie in Abbildung 5 gezeigt.

O^—O—fi—o Abbildung 5

Vor Vorgang D müssen A und B abgeschlossen sein, die Darstellung entspricht etwa Abbildung 6.

Diese beiden Teile müssen zusammengefaßt werden, da der Vorgang B nur einmal auftreten darf. Die vielleicht naheliegende Lösung der Abbildung 7 ist falsch, da sie f ü r C auch die Fertigstellung von A voraussetzt. Dies entspricht aber nicht der Struktur des Problems.

Abbildung 7

20

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Die hier gegebene Struktur kann mit den bisherigen Mitteln nicht dargestellt werden, denn man benötigt offenbar einmal ein Ereignis, bei dem B abgeschlossen ist, und zudem das Ereignis, das den Abschluß von A und B anzeigt. Es sind zusätzlich Scheinvorgänge erforderlich. Dies sind spezielle Anordnungsbeziehungen in Vorgangspfeilnetzen, die hier der Darstellung von Reihenfolgen dienen und zur optischen Unterscheidung als gestrichelte Pfeile ohne Zeitangabe gezeichnet werden. Bei der zeitlichen Analyse werden diese Scheinvorgänge als Mindestabstände der Dauer Null behandelt.

Mit dem auf C und D folgenden Vorgang E ergibt sich der in Abbildung 8 dargestellte erste Teil des Netzplans.

Auf E folgen die beiden parallelen Vorgänge F und G. Nach deren Beendigung kann Vorgang H stattfinden. Der gesamte Netzplan ist in Abbildung 9 wiedergegeben.

Bei großen Netzplänen der Praxis kann man nicht fordern, daß die Projektdarstellung nur die minimal mögliche Anzahl von Scheinvorgängen enthalten darf. Es ist zulässig, zur Darstellung der Reihenfolgen im Grunde beliebig viele Scheinvorgänge zu benutzen,

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und Projektüberwachung

21

wodurch der Netzplan natürlich unübersichtlicher wird. Abbildung 10 zeigt einen anderen zulässigen Netzplan des Projektes, der strukturierter erscheint und mehr als den einen erforderlichen Scheinvorgang enthält.

Abbildung

10

Allgemein sind Scheinvorgänge dann zur Darstellung erforderlich, wenn die Reihenfolge zwischen Gruppen von Vorgängen nicht über ein einziges Ereignis darstellbar ist, d.h. wenn nicht alle Vorgänge der ersten Gruppe vor allen Vorgängen der zweiten Gruppe liegen müssen.

Aus der Freiheit, eigentlich nicht notwendige Scheinvorgänge in den Netzplan einzufügen, resultiert natürlich eine entsprechende Freiheit in der Festlegung von Ereignissen. Daraus folgt insbesondere, daß die Ereignisse nur in Grenzen durch die Projektstruktur vorgegeben sind. Das Ermitteln und Definieren von Ereignissen stellt den für Vorgangspfeilnetze spezifischen und durchaus unangenehmen Aufwand eben dieser anschaulichen Netzpläne dar.

Das Problem, die minimale Anzahl von Scheinvorgängen für einen Netzplan zu ermitteln und die zugehörigen Ereignisse zu definieren, wird seit Beginn der NPT immer wieder diskutiert. Es werden Heuristiken in zwei prinzipiellen Vorgehensweisen vorgeschlagen, leider meist als optimierend apostrophiert. Abgesehen davon, daß eine Minimierung wegen eines Anschauungswertes von Scheinvorgängen nicht gewollt sein muß, erscheint der Aufwand zur Eliminierung eines letzten nicht notwendigen Scheinvorgangs nicht gerechtfertigt.

22

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

18. Was versteht man unter einem Vorgänger, was unter einem Nachfolger? Erläutern Sie die Begriffe an einem Beispiel.

Die Begriffe Vorgänger und Nachfolger dienen der Beschreibung von Reihenfolgen, sind nur dort einwandfrei definiert und beziehen sich immer auf einen bestimmten Vorgang.

Ein Vorgänger zu einem bestimmten Vorgang ist ein unmittelbar vorgeordneter Vorgang, ohne daß andere Vorgänge dazwischenliegen. Entsprechend ist ein Nachfolger zu einem bestimmten Vorgang ein unmittelbar nachgeordneter Vorgang, ohne daß andere Vorgänge dazwischenliegen.

Ein Vorgang kann offenbar mehrere Vorgänger bzw. Nachfolger haben. Als Beispiel sei der folgende Netzplan der Abbildung 11 betrachtet.

Abbildung 11

B hat als Vorgänger den Vorgang A, ebenso hat C den Vorgänger A; A hat seinerseits keinen Vorgänger, ist also ein Startvorgang. Vorgang F hat zwei Vorgänger, nämlich B und C. Vorgang G hat die beiden Vorgänger E und F. C ist hingegen kein Vorgänger von G, da Vorgang F dazwischenliegt. A hat die beiden Nachfolger B und C. Nachfolger von B sind die Vorgänge D, E und F. H und G haben keine Nachfolger und sind damit Ziel Vorgänge.

Die die Projektstruktur ausmachenden Reihenfolgebedingungen lassen sich in Tabellen der Vorgänger und Nachfolger darstellen. Tabelle 1 gibt diese Struktur des Beispiels wieder.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

Vorgänger

Vorgang

Nachfolger

-

A

B, C

A

B

D, E, F

A

C

F

B

D

H

B

E

G

B, C

F

G

E, F

G

-

D

H

-

23

Tabelle 1

Die Aufstellung von Vorgängern und Nachfolgern ist insofern redundant, als sich die Nachfolger aus den Vorgängern ableiten lassen bzw. die Vorgänger aus den Nachfolgern.

19. In der Tabelle 2 ist die Struktur eines Projektes über Vorgänger und Nachfolger angegeben. Stellen Sie den Netzplan auf unter Verwendung sinnvoller Vorgangsordnungen.

Ein Netzplan wird üblicherweise mit den Startknoten beginnend von links nach rechts gezeichnet. Markiert man bei der Darstellung bereits gezeichnete Vorgänge in der Liste der Vorgänger, so kann man sich an die einfache Regel halten, daß als nächster immer ein solcher Vorgang in das Netz einzuführen ist, dessen Vorgänger alle markiert sind.

24

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und Projektüberwachung

Vorgänger

Vorgang

Nachfolger

G

A

J

H

B

D

K

C

-

B, L

D

-

J

E

-

-

F

H, K

-

G

A, H

F, G

H

B, J

-

I

K

A, H

J

E

F, I

K

C, L

K

L

D

Tabelle 2 Die Vorgänge lassen sich zu Gruppen entsprechend dem Projektablauf zusammenfassen. Die Zusammenstellung und Rangreihung dieser Gruppen erfolgt so, daß die Vorgänge einer Gruppe möglichst niedrigen Ranges zugeordnet werden, daß aber alle Vorgänger eines Vorgangs in vorhergehenden Gruppen sind. Die Startvorgänge bilden dabei die Gruppe des Ranges 0. Diese Rangordnung ist für das Projekt in Tabelle 3 angegeben.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

Gruppenrang

Vorgänger

Vorgang

Nachfolger

0

-

F

H, K

-

G

A, H

-

I

K

G

A

J

F, G

H

B, J

F, I

K

C, L

H

B

D

K

C

-

A, H

J

E

K

L

D

B, L

D

-

J

E

-

1

2

3

25

Tabelle 3

Mit Hilfe dieser Rangreihung von Vorgangsgruppen läßt sich der Netzplan besser aufstellen. In der folgenden Abbildung 12 sind die Anfangsknoten der Vorgänge einer Gruppe jeweils übereinander angeordnet.

26

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Bei der Aufstellung des Netzplans ist es wichtig zu wissen, ob zur Darstellung bestimmter Reihenfolgen Scheinvorgänge erforderlich sind oder nicht. In einer anderen Gruppierung der Vorgänge werden Gruppen von jeweils zusammengehörenden Vorgängerund Nachfolgermengen gebildet, die für das Projekt in der Tabelle 4 wiedergegeben sind.

Vorgängermenge

Nachfolgermenge

-

F, G, I

F, G, I

A, H, K

A, H

B, J

K

C, L

B, L

D

J

E

C, D, E

-

Tabelle 4

Die erste Gruppe beinhaltet in der Nachfolgermenge die Startvorgänge, die letzte Gruppe in der Vorgängermenge die Zielvorgänge.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

27

Die sonstige Gruppenbildung erfolgt so, daß man einen Vorgang in die Vorgängermenge aufnimmt und dessen Nachfolger in die Nachfolgermenge. Die Vorgänger der Nachfolgermenge bilden dann die Vorgängermenge usw. Dieses "Aufschaukeln" wird so lange fortgesetzt, bis sich die Mengen nicht mehr ändern. Letztendlich erscheint jeder Vorgang einmal in einer Vorgängermenge und einmal in einer Nachfolgermenge.

Eine solche Gruppe von Vorgänger- und Nachfolgermenge ist genau dann ohne Scheinvorgang darstellbar, wenn jeder Vorgang der Vorgängermenge die gesamte Nachfolgermenge als Nachfolger hat oder wenn gleichbedeutend jeder Vorgang der Nachfolgermenge die gesamte Vorgängermenge als Vorgänger hat. Nur in diesem Fall läßt sich ein einziges Ereignis definieren, das die Beendigung aller Vorgänge der Vorgängermenge darstellt als Bedingung für den Anfang aller Vorgänge der Nachfolgermenge. Es ist generell dann kein Scheinvorgang erforderlich, wenn die Vorgängermenge oder die Nachfolgermenge keinen oder einen Vorgang enthält.

20. Tabelle 5 gibt die Struktur eines Projektes an mit der Rangreihung von Vorgangsgruppen. Stellen Sie das Projekt unter Zuhilfenahme einer weiteren Gruppierung mit Vorgänger- und Nachfolgennengen im Netzplan dar. Zeigen Sie an diesem Beispiel die in der Graphentheorie übliche Definition von Knotenund Kantenrängen. Wie lassen sich daraus Ränge für Vorgänge ableiten?

28

E. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Gruppenrang

Vorgänger

Vorgang

Nachfolger

0

-

A

J, K

-

C

G, K

-

L

E, J, K

L

E

B, G, H

A, L

J

G, H

A, C, L

K

D

E

B

F

C, E, J

G

D

E, J

H

F, I

G, K

D

-

B, H

F

-

H

I

-

1

2

3

Tabelle 5

Die weitere Gruppierung mit Vorgänger- und Nachfolgermengen ist in Tabelle 6 durchgeführt.

Vorgängermenge

Nachfolgermenge A, C, L

A, C, E, J, L

B, E, G, H, J, K

B, H

F, I

G, K

D

D, F, I Tabelle 6

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

29

Die 1. , 4. und 5. Gruppe von Vorgänger- und Nachfolgermengen sind auf jeden Fall ohne Scheinvorgänge darstellbar, da jeweils eine der Mengen einen oder gar keinen Vorgang enthält. Die 2. Gruppe erfordert Scheinvorgänge schon deshalb, weil E und J sowohl in der Vorgängermenge als auch in der Nachfolgermenge enthalten sind. Auch die Beziehungen der 3. Gruppe sind nicht ohne Scheinvorgänge darstellbar, da F und I nicht beide Nachfolger von B und von H sind.

In Abbildung 13 ist der Netzplan des Projektes mit der geringstmöglichen Anzahl von Scheinvorgängen dargestellt, wobei eine Numerierung der Knoten jeweils in der oberen Knotenhälfte angegeben ist.

Abbildung 13 Die Graphentheorie definiert den Rang eines Knotens im zyklusfreien Graphen als die Anzahl der gerichteten Kanten desjenigen Weges zu diesem Knoten, der die größte Anzahl von gerichteten Kanten enthält. Die Unterscheidung der Vorgangspfeilnetze in Vorgänge und Scheinvorgänge ist dabei irrelevant. In Abbildung 13 sind die Knoten gleichen Ranges jeweils übereinander dargestellt, der Rang ist in der unteren Knotenhälfte angegeben.

Diese Ränge definieren eine Halbordnung auf die Knotenmenge derart, daß bei allen Kanten der Endknoten einen höheren Rang hat als der Anfangsknoten. Für die zeitliche Analyse von Netzplänen wird bisweilen eine Ordnung oder Numerierung der Knoten

30

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und

Projektüberwachung

derart gefordert, daß die Nummer des Endknotens einer Kante größer sein muß als die Nummer des Anfangsknotens. Eine derartige aufsteigende Numerierung läßt sich einfach erstellen durch eine fortlaufende Numerierung der Knoten mit steigenden Rängen, wobei die Reihenfolge bei Knoten gleichen Ranges beliebig ist. Es ist aber festzuhalten, daß sich die genannte aufsteigende Numerierung nicht notwendigerweise an der Halbordnung der Ränge ausrichten muß. Dies zeigt die Knotennumerierung der Abbildung 13. Da eine aufsteigende Numerierung bzw. eine Rangbestimmung für alle Knoten nur bei zyklusfreien Graphen möglich ist, ist die Existenz einer solchen Ordnung oder Halbordnung eben ein Nachweis dafür, daß der Graph keinerlei Zyklen enthält.

Die Graphentheorie ordnet auch den gerichteten Kanten einen Rang zu und zwar den Rang des jeweiligen Anfangsknotens. Die Netzplantechnik sucht zur Projektstrukturierung eine Halbordnung allein auf die Vorgänge. Die Mitberücksichtigung von Scheinvorgängen mit der Länge Null bei einer solchen Halbordnung ist aus zwei Gründen hinderlich. Erstens dienen Scheinvorgänge nur der Darstellung von Reihenfolgen, sie haben mit der eigentlichen Projektstruktur nichts zu tun. Zweitens kann ein Netzplan zulässigerweise durch nicht notwendige Scheinvorgänge aufgebläht werden, was höhere Knotenränge zur Folge hätte. Zur eindeutigen Rangreihung von Vorgängen sollte man deshalb die nur der Darstellung von Reihenfolgen dienenden Scheinvorgänge außer acht lassen. Das Projekt ist mit den so definierten Knotenrängen in Abbildung 14 nochmals dargestellt. Die sich danach ergebenden Vorgangsränge als die ohne Berücksichtigung von Scheinvorgängen ermittelten Ränge des jeweiligen Anfangsknotens entsprechen genau der hier vorgegebenen und in der Frage 19 beschriebenen Rangreihung von Vorgangsgruppen.

B. Projektstrukturierung,

1

j

Zeitplanung

und Projektüberwachung

31

i

AbbUdung

14

21. D i e Gesamtheit der Vorgänger oder die Gesamtheit der Nachfolger gibt die reihenfolgebedingte Ablaufstruktur eines Projektes vollständig wieder. W i e wird diese Ablaufstruktur praktisch ermittelt?

Erste Erkenntnisse über die Ablaufstruktur ergeben sich aus der Projektaufgliederung, und z w a r insbesondere dann, wenn die Aufgliederung objektorientiert ist. Zur genauen Ermittlung der Projektstruktur sind die mit der Durchführung der einzelnen V o r g ä n g e befaßten Stellen zu befragen. Für jeden Vorgang sind möglichst alle drei folgenden Fragen zu beantworten:

a)

W e l c h e V o r g ä n g e müssen abgeschlossen sein, bevor dieser V o r g a n g beginnen kann?

b ) W e l c h e V o r g ä n g e können gleichzeitig mit diesem V o r g a n g ausgeführt werden? c)

W e l c h e V o r g ä n g e können nicht begonnen werden, bevor dieser V o r g a n g abgeschlossen ist?

Zur Ermittlung der Struktur genügt theoretisch entweder die erste oder die letzte F r a g e . Bei einer Befragung kann man aber nicht davon ausgehen, daß alle V o r g ä n g e r b z w . N a c h f o l g e r genannt werden. D i e Redundanz der Fragen gestattet eine Kontrolle der A n t -

32

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Worten, die bezüglich einer bestimmten Vorgänger-Nachfolger-Beziehung meist von verschiedenen Stellen abgegeben sind.

Die Antworten auf die erste Frage beinhalten die vorher abzuschließenden Vorgänge, die neben den Vorgängern möglicherweise auch Vorgänger der Vorgänger enthalten, denn man kann nicht erwarten, daß ausschließlich Vorgänger im Sinne der NPT-Definition angegeben werden. Analoges gilt für die dritte Frage und die Nachfolger. Da aber bei der Aufstellung des Netzplanes nur Vorgänger und Nachfolger interessieren, sind die anderen Vorgänge wieder zu eliminieren.

22. Im Projekt der Tabelle 7 sind für die einzelnen Vorgänge unter den vorher abzuschließenden Vorgängen nicht nur die Vorgänger angegeben, sondern darüber hinaus weitere Vorgänge, die vorher abgeschlossen sein müssen. Ermitteln Sie für alle Vorgänge deren Vorgänger und stellen Sie das Projekt im Netzplan dar.

B. Projektstrukturierung, Zeitplanung und Projektüberwachung

Vorgang

vorher abzuschließende Vorgänge

A

B, I, J, K, L

B

i,Q

C

B, J, K, L

D

C, J

E

C, D, P

F

B, J, L

G

C, J

H

A, E, N, R

I

Q

J

-

K

-

L

K

M

C, F , G, 0

N

C, R

O

D, P

P

B, I, J, L

Q

-

R

C, L

33

Tabelle 7

Die in Frage 19 beschriebene Rangreihung von Vorgangsgruppen läßt sich ebenso durchführen, wenn zu den Vorgängern weitere vorher abzuschließende Vorgänge angegeben sind. Tabelle 8 gibt diese Rangreihung an.

34

B. Projektstrukturierung,

Gruppenrang

Zeitplanung und

vorher abzuschließende Vorgänge

0

1

2 3

i,

6

Vorgang

-

J

-

K

-

Q

Q

I

K

L

(Q)

B

B, (I), L, (K), J

A

B, L, (K), J

C

B, L, J

F

B, (I), L, J

P

C, (J)

D

C, (J)

G

C, (L)

R

D, (C), P

E

R, (C)

N

D, P

O

E, N, (R), A

H

0 , (C), G, F

M

4

5

Projektüberwachung

Tabelle 8

In der Spalte "vorher abzuschließende Vorgänge" sind diejenigen Vorgänge, die nicht Vorgänger sind, in Klammern gesetzt und hinter einem solchen Vorgänger angeordnet, der die Eliminierung des eingeklammerten Vorgangs bewirkt. Diese Sortierung kann auch maschinell erfolgen. Auch während des Netzplanaufbaus läßt sich anschaulich gut feststellen, welche der angegebenen Vorgänge keine Vorgänger sind. Der Netzplan des Projektes ist in Abbildung 15 dargestellt.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

35

Abbildung 15 zeigt, daß nicht jeder Netzplan überschneidungsfrei dargestellt werden kann. Größere Netzpläne weisen regelmäßig Überschneidungen von Pfeilen auf. Der mit der Graphentheorie vertraute Leser möge im Netzplan den Kuratowski-Graphen ausfindig machen zum Nachweis dafür, daß eine überschneidungsfreie Darstellung nicht möglich ist. Welches ist der zweite, hier nicht enthaltene Kuratowski-Graph?

23. Zeigen Sie, daß Schleifen im Vorgangspfeilnetz, das nur Reihenfolgen darstellt, der Ablaufstruktur widersprechen und damit zu verbieten sind.

Unter einer Schleife versteht man eine kleinste in sich geschlossene Folge von Pfeilen, d.h. Vorgängen oder Schein Vorgängen.

Der Netzplan der Abbildung 16 enthält eine Schleife, die über die Knoten 3, 9, 4, 7 und 8 verläuft.

36

B. Projekts trukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Knoten 9 stellt die Reihenfolge K vor J dar. Andererseits fordern die Scheinvorgänge über die Knoten 4, 7, 8 und 3 die Reihenfolge J vor K. Es ist offensichtlich, daß beide Bedingungen zusammen widersinnig sind. Derartige Schleifen mit positiver Gesamtlänge widersprechen einer Ablaufstruktur und sind verboten.

Rein theoretisch ist allerdings eine Schleife denkbar, die nur aus Scheinvorgängen besteht und damit die Gesamtlänge Null hat. Eine solche Schleife, die zulässig wäre, stellt aber nur das Aufspalten eines Ereignisses in mehrere dar und ist praktisch irrelevant.

24. Netzpläne praktischer Größenordnungen können nur mit Hilfe von Computern berechnet werden. Die Netzplan-Programmsysteme weisen häufig Einschränkungen auf gegenüber der allgemein zulässigen Projektstruktur. Welches sind die meistgenannten programmbedingten Forderungen an die Struktur von Vorgangspfeilnetzen?

Verschiedene Programme sind so konzipiert, daß nur Netzpläne mit einem einzigen Startknoten und einem einzigen Zielknoten bearbeitet werden können. Diese Bedingung ist durch das Einführen zusätzlicher Schein Vorgänge einfach zu erfüllen. Andere Programme fordern weniger einschneidend, daß die verschiedenen Start- und Zielknoten als solche zu kennzeichnen sind.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

37

Insbesondere ältere Netzplanprogramme setzen eine bestimmte, aufsteigende Knotennumerierung voraus. Auch in neuerer OR-Literatur wird noch der Eindruck erweckt, eine solche aufsteigende Knotennumerierung sei zur Zeitanalyse notwendig.

Das Verbot von parallelen Vorgängen im Netzplan findet sich immer wieder, verbunden mit der Forderung, hier Scheinvorgänge einzuführen. Nach Untersuchungen von MüllerMerbach verarbeiten viele Standardprogramme Parallelvorgänge anstandslos, selbst wenn die Manuals Gegenteiliges aussagen.

Zudem sollte man sich ein Netzplanprogramm immer genau daraufhin anschauen, ob es bei notwendigen und auch bei nichtnotwendigen Scheinvorgängen die Daten der Zeitanalyse alle richtig ausweist. Diese Empfehlung basiert auf vielen schlechten Erfahrungen und sollte sehr ernst genommen werden.

2. Allgemeine Struktur zur Darstellung aller möglichen Vorgangsabhängigkeiten 25. In Vorgangspfeilnetzen sind generell nur Ende-Anfang-Beziehungen zwischen den Vorgängen darstellbar. Welche Darstellungsmittel ergeben sich insgesamt aus dem zugrundeliegenden Graphen?

Die durch den Zeitverbrauch charakterisierten Vorgänge werden im Vorgangspfeilnetz durch ausgezogene Pfeile dargestellt. Reine Reihenfolgen zwischen Vorgängen sind Ende-Anfang-Beziehungen mit dem zeitlichen Mindestabstand von Null. Derartige Reihenfolgen werden meist über Ereignisse dargestellt, in bestimmten Fällen sind aber Schein Vorgänge mit der nicht explizit angegebenen zeitlichen Länge Null erforderlich.

Der zugrundeliegende Graph gestattet auch Pfeile negativer Bewertung, dies können definitionsgemäß nur Scheinvorgänge sein. Darüber hinaus können auch bei Scheinvorgängen positive Bewertungen zugelassen werden. In der Projektstrukturierung stellen

38

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

ein Scheinvorgang beliebiger Bewertung und ein Vorgang genauso immer einen zeitlichen Mindestabstand in Pfeilrichtung dar. Es gilt die Konvention, daß die Bewertung eines Scheinvorgangs nur dann im Netzplan angegeben wird, wenn sie ungleich Null ist.

26. Tabelle 9 gibt zunächst die Reihenfolgebeziehungen für die Vorgänge eines Projektes an.

Vorgang

Vorgänger

A

-

B

-

C

-

D

A

E

A, B

F

A, B, C

G

E

H

D, E

I

F, G Tabelle 9

Zusätzlich gilt: D als Nachfolger von A darf erst 4 Zeiteinheiten nach Beendigung von A anfangen. Für die Vorgänge C und E gelten Anfangs-Planzeitpunkte derart, daß C frühestens 5 und E frühestens 10 Zeiteinheiten nach Projektbeginn anfangen dürfen. Zudem muß E spätestens 15 Zeiteinheiten vor dem Projektende fertiggestellt sein. Stellen Sie das Projekt in einem Vorgangspfeilnetz dar. Nennen Sie Kriterien zur Unterscheidung von Vorgängen und Scheinvorgängen positiver Bewertung.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

39

Abbildung 17 zeigt den Netzplan des Projektes mit der minimal möglichen Anzahl von Scheinvorgängen.

Abbildung 17 Die über die Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen hinausgehenden Bedingungen des Projektes lassen sich durch Scheinvorgänge positiver Bewertung darstellen. Es ist darauf zu achten, daß bei Mindestabständen zum Projektanfang der Scheinvorgang nur das Anfangsereignis des betroffenen Vorgangs tangiert und nicht andere Vorgänge. Dazu sind gegebenenfalls Ereignisse auseinanderzuziehen. Gleiches gilt bei Zeitbezügen zum Projektende. Es ist auch möglich, die auf Projektanfang und Projektende bezogenen Mindestabstände lediglich in der zeitlichen Projektanalyse zu berücksichtigen. Die meisten Netzplanprogramme sind dazu allerdings nicht in der Lage, so daß die obige explizite Angabe in der Struktur erforderlich ist.

Geht man nur vom Kriterium des Zeitverbrauchs aus, so besteht zwischen einem Vorgang und einem Scheinvorgang positiver Bewertung kein Unterschied. Verschiedene Programmsysteme machen sich diese Ansicht zu eigen, definieren beides zu Vorgängen und schließen dann Scheinvorgänge positiver Bewertung aus. Das einzig wesentliche Unterscheidungskriterium ergibt sich neben dem Einsatzmittelbedarf aus der Zeitanalyse. Dort werden Pufferzeiten als der Disposition unterliegende zeitliche Bewegungsmöglichkeiten von Vorgängen ermittelt in Abhängigkeit von der Lage von Vorgängern und Nachfolgern, die als Vorgänge definiert und ihrerseits disponibel sind. Für die Definition eines

40

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Vorgangs folgt damit neben dem Kriterium des Zeitverbrauchs das Kriterium der Disponierbarkeit.

27. Projektabläufe enthalten häufig Strukturen möglicher Überlappungen derart, daß ein Vorgang A nur zu einem bestimmten Teil ausgeführt sein muß, bevor ein Vorgang B beginnen kann, oder derart, daß ein Vorgang B abgeschlossen sein muß, bevor der zweite Teil eines Vorgangs C anfangen kann. Welchen Nachteil hat das für solche Fälle vorgeschlagene Vorgangssplitting? Wie lassen sich diese Abhängigkeiten über Scheinvorgänge negativer Bewertung sinnvoll darstellen?

Zulässige Vorgangsüberlappungen der genannten Art lassen sich auch interpretieren als Reihenfolgen, die auf innere Vorgangsereignisse bezogen sind. Aus dieser Sicht wird eine Aufteilung der Vorgänge vorgeschlagen, hier eine Aufteilung von A in die Teile A] und A2 und von C in C j und C2- In Abbildung 18 ist die entsprechende Struktur wiedergegeben.

Abbildung

18

Eine solche Darstellung ist aufwendig und entspricht wegen der künstlichen Vorgangsaufteilung nicht den wirklichen Verhältnissen, denn diese Anordnung beinhaltet beliebig lange Unterbrechungen zwischen den Teilen eines Vorgangs. Mit Ende-Anfang-Beziehungen ist bei der genannten Ablaufstruktur ein Vorziehen des Anfangs von B gegenüber dem Ende von A und ein Vorziehen des Anfangs von C gegenüber dem Ende von B möglich. Die maximalen Vorziehzeiten sind jeweils die Dauern der Vorgangsteile &2

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und Projektüberwachung

41

und C j . Abbildung 19 zeigt die Darstellung dieser Abhängigkeit mit Hilfe negativ bewerteter Scheinvorgänge.

4

o— —p C

f

—

€

>

c E Z a -

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

D

D ist die maximale Vorziehzeit für den Beginn von B gegenüber dem Ende von A. Anders formuliert stellt D den zeitlichen Höchstabstand zwischen Anfang B und Ende A dar:

EZA


D ist Dg — D diejenige Zeitspanne, die zwischen dem Ende von A und dem Ende von B mindestens vergehen muß.

Bei D > Dg ist D — Dg diejenige Zeitspanne, die zwischen dem Ende von B und dem Ende von A höchstens vergehen darf.

c) Anfang-Anfang-Beziehung

AZB -

AZA

AZA

AZG


DA D -

D DA

Bei D A > D ist D A — D diejenige Zeitspanne, die zwischen dem Anfang von A und dem Anfang von B mindestens vergehen muß.

Bei D > D a ist D — D a diejenige Zeitspanne, die zwischen dem Anfang von B und dem Anfang von A höchstens vergehen darf.

d) Anfang-Ende-Beziehung

EZG -

A Z a > D a + Db -

AZA

EZG

-

< D - Da -

D Db

Bei D A + D g > D ist D A + Dg — D diejenige Zeitspanne, die zwischen dem Anfang von A und dem Ende von B mindestens vergehen muß.

Bei D > D A + Dg ist D — D A — Dg diejenige Zeitspanne, die zwischen dem Ende von B und dem Anfang von A höchstens vergehen darf. Ein solcher Höchstabstand zwischen den Vorgängen B und A bestimmt, daß B vor A liegen kann. Abbildung 21 deutet diese zeitliche Lage der Vorgänge zueinander an.

44

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

29. Abbildung 22 zeigt den Netzplan eines Projektes, das in der Darstellung eine Reihe von Scheinvorgängen benötigt. Welche strukturellen Abhängigkeiten werden hier durch die Scheinvorgänge beschrieben? Welche Schleifen sind allgemein in einem Netzplan zulässig?

Der Scheinvorgang der Länge 8 zwischen den Knoten 5 und 7 stellt einen Mindestabstand von 8 Zeiteinheiten zwischen den Vorgängen D und G sicher. Der Abschluß des Vorgangs G beeinflußt den frühestmöglichen Beginn von vier anderen Vorgängen. K kann erst nach Beendigung von G anfangen. Der Scheinvorgang zwischen

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

45

den Knoten 9 und 10 besagt, daß der Beginn der Vorgänge L und M gegenüber dem Ende von G um maximal 4 Zeiteinheiten vorgezogen werden kann. Der vom Knoten 9 zum Knoten 8 verlaufende Scheinvorgang gestattet ein Vorziehen von Vorgang F gegenüber G so weit, daß F ganz vor G liegt. Die weitere Projektstruktur erzwingt hier sogar die zeitliche Lage F vor G.

Die Abhängigkeiten einmal zwischen C, D und E, dann zwischen H und I und zwischen N und O stellen Schleifen im Netzplan dar. Mit dem Scheinvorgang von Knoten 6 nach 3 wird eine Schleife der Gesamtlänge Null gebildet, die erzwingt, daß die Vorgänge C, D und E ohne zeitlichen Zwischenraum direkt aufeinander folgen. Durch die zweite Schleife der Gesamtlänge — 2 wird festgelegt, daß Vorgang I im Zeitraum zwischen 6 und 8 Zeiteinheiten nach Beendigung von H beginnen muß. Die letzte Schleife der Gesamtlänge —2 bindet den Vorgang O an den Vorgang N derart, daß O frühestens direkt auf N folgt, daß O aber spätestens 2 Zeiteinheiten nach Abschluß von N begonnen werden muß.

Die drei Scheinvorgänge der Bewertung Null sind zur Darstellung von Reihenfolgen im Projekt erforderlich.

Es zeigt sich, daß allgemein in einem Netzplan Schleifen der Gesamtlänge Null oder einer negativen Gesamtlänge sinnvoll und zulässig sind. Schleifen mit einer positiven Gesamtlänge sind generell verboten.

30. Zeigen Sie am Netzplan der Abbildung 22, daß die Definition von Vorgängern und Nachfolgern über Reihenfolgen nicht allgemein anwendbar ist. Was ist dann unter strukturellen Vorgängern ( bedingende Vorgänge) und strukturellen Nachfolgern ( bedingte Vorgänge ) zu verstehen?

Im Projekt der Abbildung 22 begrenzt beispielsweise K als reihenfolgebedingter Vorgänger von Q eben den Vorgang Q bezüglich seiner zeitlich frühesten Lage. Eine entsprechende Begrenzung erfolgt auch durch den Scheinvorgang zwischen den Knoten 9 und 10: Die Vorgänge L und M werden ebenso bezüglich ihrer frühesten Lage be-

46

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

grenzt. Dabei ist aber von dieser Bedingung her eine Überlappung mit G um bis zu 4 Zeiteinheiten möglich, nicht notwendig. Eine Reihenfolge wird nicht mehr erzwungen. Bei den Vorgängen G und F kann keineswegs mehr von einer Reihenfolge gesprochen werden. Der Scheinvorgang vom Knoten 9 nach 8 legt die zeitlich früheste Lage von Vorgang F gegenüber G so fest, daß F ganz vor G, aber auch ganz nach G liegen kann.

Zu den strukturellen Vorgängern eines bestimmten Vorgangs sind alle anderen Vorgänge zu zählen, die diesen Vorgang in seiner zeitlich frühesten Lage direkt begrenzen. Dies sind einmal reihenfolgebedingte Vorgänger über ein verbindendes Ereignis und zudem alle Vorgänge, von deren Endknoten ein Scheinvorgang beliebiger Bewertung zum Anfangsknoten des betrachteten Vorgangs verläuft. Analog gehören zu den strukturellen Nachfolgern eines bestimmten Vorgangs alle anderen Vorgänge, die diesen Vorgang in seiner zeitlich spätesten Lage direkt begrenzen. Dies sind wieder reihenfolgebedingte Nachfolger und zudem alle Vorgänge, zu deren Anfangsknoten ein Scheinvorgang beliebiger Bewertung vom Endknoten des betrachteten Vorgangs aus läuft.

Diese aus der zeitlichen Begrenzung definierten strukturellen Vorgänger und Nachfolger sind erforderlich zur Ermittlung zeitlicher Bewegungsmöglichkeiten von Vorgängen. Bei Schleifen über zwei Vorgänge ist jeder Vorgang jeweils struktureller Vorgänger und struktureller Nachfolger des anderen. Im Projekt der Abbildung 22 sind dies einmal H und I , zum anderen N und O.

Die Begriffe "struktureller Vorgänger" und "bedingender Vorgang" sollten synonym verstanden werden, ebenso die Begriffe "struktureller Nachfolger" und "bedingter Vorgang".

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

3. Ermittlung frühester und spätester Zeitpunkte für

Projektüberwachung

47

Ereignisse,

Vorgänge und Meilensteine

31. Was versteht man in der Projektanalyse allgemein unter Zeitpunkten? Welchen Aussagewert haben die einzelnen Zeitpunkte in der Projektplanung?

Nach DIN 69 900 wird unter einem Zeitpunkt ein festgelegter Punkt im Ablauf verstanden, dessen Lage durch Zeiteinheiten wie Tage oder Wochen beschrieben und auf einen Nullpunkt bezogen ist.

Dieser Nullpunkt ist der Projektanfang. Der zeitliche Abstand zum Projektanfang wird in effektiven Ausführungszeiten für die Vorgänge gemessen. Die Zuordnung von Kalenderdaten und -zeiten erfolgt in einem weiteren Schritt.

Früheste Zeitpunkte beschreiben damit frühestmögliche zeitliche Lagen in bezug auf den Projektanfang, wobei man Ereigniszeitpunkte und bezüglich der Vorgänge Anfangs- und Endzeitpunkte unterscheidet. Analog kennzeichnen späteste Zeitpunkte spätestmögliche zeitliche Lagen unter der Bedingung, daß die minimal mögliche Projektdauer eingehalten wird.

Ereignisse stellen gewisse Durchführungsstadien im Projekt dar. Damit geben Ereigniszeitpunkte das früheste bzw. späteste Erreichen des entsprechenden Projektstadiums an. Für die Projektplanung sind aber nicht alle Ereignisse von Interesse, zumal bei der Projektstrukturierung eine gewisse Willkür in der Definition von Ereignissen gegeben ist. Die wichtigen Ereignisse werden deshalb als Meilensteine markiert. Meilensteine sollten weitergehend definiert werden als definierbare Projektdurchführungsstadien, die projektspezifisch aus den Erfordernissen der Projektsteuerung und -Überwachung festzulegen sind. Meilensteine sind dann geplante Zusammenfassungen von Ereignissen, die jeweils den Abschluß eines oder mehrerer Vorgänge angeben. Zeitpunkte der Meilensteine sind früheste bzw. späteste Zeitpunkte der entsprechenden Projektstadien.

48

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Ein Charakteristikum der Vorgangspfeilnetze im Gegensatz zu den Vorgangsknotennetzen besteht darin, daß die Zeitanalyse in zwei Schritten erfolgen muß, daß Vorgangszeitpunkte erst im zweiten Schritt errechnet werden können. Der erste Schritt dient der Ermittlung von frühesten und spätesten Zeitpunkten für alle Ereignisse des Netzplans. Das ist im Graphen das generelle Vorgehen der Knotenbewertung bei der Ermittlung des längsten Weges. Auf der Basis der Knoten- bzw. Ereigniszeitpunkte lassen sich früheste und späteste Zeitpunkte für Anfang und Ende der Vorgänge ermitteln.

Diese Vorgangszeitpunkte beschreiben die Lage der Vorgänge im Projektablauf und geben verbleibende Freiheitsgrade an. Sie stellen die wichtigsten Informationen der Projektplanung dar und dienen der Koordinierung aller am Projekt beteiligten Stellen, der Planung in diesen Stellen und insbesondere der Bereitstellung aller erforderlichen Einsatzmittel.

32. Welche Informationen sind erforderlich zur Ermittlung von Zeitpunkten für Ereignisse und Vorgänge?

Die Zeitanalyse basiert auf dem Netzplan, dem Ergebnis der Projektstrukturierung. Der Netzplan enthält alle Anordnungsbeziehungen zwischen den Vorgängen, wobei zeitliche Bewertungen von Anordnungsbeziehungen durch die Dauern oder Teildauern der tangierten Vorgänge bestimmt sein können.

Die Ermittlung der für die einzelnen Vorgänge anzusetzenden Plandauern ist sehr aufwendig. Dieser Arbeit sollte aber große Aufmerksamkeit gewidmet werden, denn mit der Güte dieser Zeiten steht und fallt der Wert der Zeitplanung. Die einzelnen Vorgangsdauern sind von den für die Durchführung des Vorgangs Verantwortlichen zu schätzen, da hier die besten Vorstellungen über den Arbeitsablauf und über mögliche Schwierigkeiten gegeben sind. Diese Schätzungen sollten so weit wie möglich durch Erfahrungswerte gestützt sein. Ein besonderes Problem resultiert aus der wechselseitigen Abhängigkeit zwischen Vorgangsdauer und dem Umfang der Einsatzmittel. Vorgangsdauern können nur geschätzt werden, wenn vorher ein sinnvoller Einsatzmittelumfang festgelegt ist. Sind hier sehr große Freiheitsräume gegeben, so wird man die Vorgangsdauer als

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

49

Funktion von Kosten beschreiben und aus einer Zielfunktion der Projektkostenmininiierung später die endgültige Plandauer festlegen.

Die Schätzung der Plandauer eines Vorgangs kann direkt erfolgen oder verfeinert über mehrere und dann üblicherweise drei Zeitschätzungen, die mittels einer Gewichtung zur Schätzdauer zusammengefaßt werden. Bei drei Zeitschätzungen werden pessimistische, Normal- und optimistische Dauer geschätzt. Die Normaldauer ist gegenüber den beiden anderen Werten entsprechend PERT meist vierfach gewichtet. Es ist auch denkbar, aus einer Dreizeitschätzung einfach nur die Normaldauer anzusetzen in der Hoffnung, daß diese eine bessere und ehrlichere Schätzung ist als die direkte Einzeitschätzung.

33. Was versteht man unter dem frühesten Zeitpunkt FZj und dem spätesten Zeitpunkt SZj eines Ereignisses i? Welches sind die grundlegenden Beziehungen zur Ermittlung von Knotenzeitpunkten?

Ein Ereignis i, in das nur Vorgänge einmünden, kann frühestens dann eintreten, wenn diese Vorgänge bei frühestmöglicher Lage alle abgeschlossen sind. Münden auch Scheinvorgänge von weiteren strukturellen Vorgängern ein, so sind auch diese Vorgänge bei frühestmöglicher Lage mit den durch die Scheinvorgänge beschriebenen Abständen einzubeziehen. Allgemein ist der früheste Zeitpunkt FZj eines Ereignisses i die zeitliche Länge des längsten zu i führenden Weges im Netzplan, falls diese Länge nicht negativ ist. Ereignissen, zu denen kein Pfeil und damit kein Weg oder ein Weg negativer Länge verläuft, wird der früheste Zeitpunkt 0 des Projektanfangs zugeordnet. Der früheste Zeitpunkt FZj eines Ereignisses i ist dann deijenige Zeitpunkt, zu dem die von i ausgehenden Vorgänge frühestmöglich beginnen können.

Der späteste Zeitpunkt SZj eines Ereignisses i wird analog durch die von i ausgehenden Vorgänge und die sonstigen, durch einen von i ausgehenden Scheinvorgang verbundenen strukturellen Nachfolger jeweils in ihrer spätestzulässigen zeitlichen Lage bestimmt. Dazu sind das Projektende und die minimal mögliche Projektdauer durch die Beendigung des letzten der Vorgänge bestimmt. Allgemein liegt der späteste Zeitpunkt SZj eines Ereignisses i um die zeitliche Länge des längsten von i ausgehenden Weges vor dem

50

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Zeitpunkt des Projektendes, falls diese Länge nicht negativ ist. Ereignissen, von denen kein Pfeil und damit kein Weg oder ein Weg negativer Länge ausgeht, wird als spätester Zeitpunkt die Projektdauer zugeordnet. Der späteste Zeitpunkt SZj eines Ereignisses i ist dann deijenige Zeitpunkt, zu dem die in i einlaufenden Vorgänge spätestzulässig beendet sein müssen, damit die minimal mögliche Projektdauer eingehalten werden kann.

Knotenzeitpunkte sind bei Vorgangspfeilnetzen Ereigniszeitpunkte. Jede gerichtete Kante von einem Knoten i zum Knoten j stellt einen zeitlichen Mindestabstand zwischen diesen Knoten dar. Es gilt damit generell für eine Kante von i nach j die Grundbeziehung:

Zj

= Knotenzeitpunkt; bei Vorgangspfeilnetzen Ereigniszeitpunkt.

Dy = Dauer oder zeitliche Länge einer gerichteten Kante von i nach j; bei Vorgangspfeilnetzen Vorgangsdauer oder zeitliche Bewertung eines Schein Vorgangs. Für die hier interessierenden frühesten und spätesten Knoten- bzw. Ereigniszeitpunkte ist damit: FZj > FZ; + Dj SZj > SZj + Dy SZ ; < SZj - Dy Bei mehreren Pfeilen von i nach j ist nur deijenige mit der größten Bewertung relevant. Für früheste Knoten- bzw. Ereigniszeitpunkte auf i ergibt sich aus der genannten Beziehung: FZj = max ( FZh + D hi , 0 ) heVj

B. Projektstrukturierung, Vj =

Zeitplanung und Projektüberwachung

51

Menge der Knoten, von denen aus ein Pfeil zu i verläuft; bei Vorgangspfeilnetzen Menge der Vorereignisse von i, d.h. deijenigen Ereignisse, die i über einen Pfeil strukturell unmittelbar vorgeordnet sind.

Für Startknoten i mit Vj = 0 folgt FZj = 0.

Entsprechend ergibt sich für späteste Knoten- bzw. Ereigniszeitpunkte auf i:

SZj = min ( SZ: jeN;

Nj =

D^, T )

Menge der Knoten, zu denen ein Pfeil von i verläuft; bei Vorgangspfeilnetzen Menge der Nachereignisse von i, d.h. deijenigen Ereignisse, die i über einen Pfeil strukturell unmittelbar nachgeordnet sind.

T

=

Länge des längsten Weges im Netzplan, minimal mögliche Projektdauer.

Für Zielknoten i mit Nj = 0 folgt SZj = T.

34. Berechnen Sie für das in Abbildung 23 dargestellte Projekt früheste und späteste Ereigniszeitpunkte.

Abbildung 23

52

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und

Projektüberwachung

Das Projekt beinhaltet nur Reihenfolgen von Vorgängen und hat damit eine sehr einfache Struktur. Für manuelle Berechnungen empfiehlt sich bei schleifenfreien Netzplänen eine lückenlos aufsteigende Knotennumerierung, wie sie in Abbildung 23 schon durchgeführt ist. Da keine Pfeile negativer Bewertung enthalten sind, vereinfacht sich die Beziehung zur Ermittlung frühester Ereigniszeitpunkte zu:

FZj =

max ( FZ h + D w ) heVj

Für den Startknoten 1 gilt F Z j = 0. Legt man die Berechnung der FZ; so an, daß i von 1 bis n verläuft, so ist sichergestellt, daß die jeweils erforderlichen FZ h bereits endgültig berechnet sind. Somit ergibt sich:

FZ,

=

0

fz2

= max ( 0 + 7 )

=

7

fz3 fz4

= max ( 0 + 10 )

=

10

= max ( 7 + 0, 10 + 0 )

=

10

fz5

= max ( 10 + 6 )

=

16

fz6

= max ( 10 + 12, 16 + 0 )

=

22

fz7

= max ( 22 + 16 )

=

38

FZg

= max ( 7 + 3, 38 + 0 )

=

38

FZ9

= max ( 16 + 8, 38 + 0 )

=

38

FZ10

= max ( 38 + 11, 38 + 5 )

=

49

Der früheste Zeitpunkt 49 des Zielknotens 10 ist gleich der minimal möglichen Projektdauer T und damit gleich dem spätesten Zeitpunkt von 10. Die Beziehung zur Ermittlung spätester Ereigniszeitpunkte vereinfacht sich hier zu:

SZj = min ( SZ: - Dj, ) JiN;

Bei der Reihenfolge i = n, . . . , 1 sind die erforderlichen SZj alle endgültig ermittelt. Es ergibt sich:

B. Projektstrukturierung,

sz10

=

SZg

=

FZlO min 49 - 5 )

sz8

=

min

sz.

=

sz6

Zeitplanung

und Projektüberwachung

=

49

=

44

49 - 11 )

=

38

min

44 - 0, 38 - 0 )

=

38

=

min

38 - 16)

=

22

sz5

=

min

44 - 8, 22 - 0 )

=

22

sz4

=

min

22 -

12)

=

10

=

min

22 — 6, 10 —0 )

=

10

=

min

38 - 3, 10 - 0 )

=

10

=

min

10 - 10, 10 -- 7 )

=

0

sz3 SZj SZj

53

Bei überschaubaren Netzplänen werden die Ereigniszeitpunkte häufig direkt in die Knoten des Netzplans eingetragen entsprechend dem linken Muster. Laut Lockyer/ Gordon empfiehlt das "British standard glossary of terms used in project network techniques" (BS 4335: 1987) das rechte Muster.

Abbildung 24 zeigt den Netzplan des Projektes mit den frühesten und spätesten Ereigniszeitpunkten.

54

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

35. Der in Abbildung 25 dargestellte Netzplan weist mehrere Start- und Zielknoten auf und zudem negativ bewertete Scheinvorgänge und Schleifen. Ermitteln Sie früheste und späteste Ereigniszeitpunkte.

Abbildung 25 Da der Netzplan Schleifen enthält, ist eine aufsteigende Knotennumerierung derart, daß Pfeile immer von Knoten niedriger Nummer zu solchen höherer Nummer verlaufen, nicht mehr möglich. Damit wird eine iterative Berechnung der Ereigniszeitpunkte erforderlich. Der Aufwand bei dieser Berechnung läßt sich durch eine sinnvolle Knotennumerierung stark reduzieren, im Prinzip ist aber eine beliebige Knotenreihenfolge möglich. Bei der Abschätzung des Rechenaufwandes ist zu beachten, daß Sortiervorgänge auch auf Computern relativ aufwendig sind.

Die Knoten dieses Netzplanes sind so numeriert, daß für alle nichtnegativ bewerteten Pfeile die aufsteigende Numerierung gegeben ist. Eine solche Ordnung, die wenig Durchläufe bei der Berechnung vermuten läßt, ist bei jedem zulässigen Netzplan möglich.

Für Startknoten i, in die ja kein Pfeil einmündet, gilt endgültig FZj = 0. Die in Frage 33 angegebene Beziehung zur Berechnung der FZj benötigt jetzt auch solche F Z h von Vorereignissen, für die möglicherweise noch nicht einmal ein erster Wert ermittelt wurde. Deshalb ist zunächst für alle Ereignisse der Wert FZj = 0 zu setzen. Bei Be-

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

55

trachtung der Ereignisse in der Reihenfolge ihrer Numerierung sind, wie in Tabelle 10 dargestellt, zwei Durchläufe über alle Ereignisse erforderlich zur Berechnung der endgültigen FZ-Werte. Im zweiten Durchlauf ändern sich nur noch die Werte der Ereignisse 8 und 11. Ein dritter Durchlauf ergibt keine Änderung mehr; dies ist das Kriterium dafür, daß die FZj endgültig berechnet sind.

FZ

Ereignis

1

SZ

0

1

2

0

1

2

0

0

0

88

3

3

2

0

0

0

88

0

0

3

0

0

0

88

2

2

4

0

28

28

88

31

31

5

0

10

10

88

17

15

6

0

16

16

88

16

16

7

0

10

10

88

14

14

8

0

22

24

88

29

29

9

0

34

34

88

37

37

10

0

34

34

88

34

34

11

0

34

35

88

36

36

12

0

44

44

88

47

47

13

0

44

44

88

44

44

14

0

64

64

88

67

67

15

0

62

62

88

66

66

16

0

64

64

88

64

64

17

0

62

62

88

67

63

18

0

85

85

88

88

88

19

0

84

84

88

88

88

20

0

88

88

88

88

88

21

0

83

83

88

88

88

Tabelle 10

Die Berechnung der spätesten Ereigniszeitpunkte erfolgt sinnvollerweise mit absteigender Knotennumerierung. Zunächst wird den SZj die durch den größten FZ-Wert determinier-

56

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

te Projektdauer T = 88 zugeordnet. Entsprechend der in Frage 33 angegebenen Beziehung sind die SZ-Werte nach 2 Durchläufen endgültig berechnet, sie sind in Tabelle 10 angegeben.

36. Formalisieren Sie den in Frage 35 benutzten Weg zur Ermittlung frühester und spätester Ereigniszeitpunkte in einem Algorithmus.

Die Ermittlung der Ereigniszeitpunkte erfolgte über eine definierte Folge der Ereignisse. Der folgende Algorithmus I ist knotenorientiert. Das benutzte Zeichen ": = " stammt aus der Formelsprache ALGOL. Dieses gerichtete Gleichheitszeichen bedeutet soviel wie "soll gesetzt werden gleich".

Algorithmus I

(1) FZj : = 0

für alle Knoten i

(2) FZj := max ( FZ h + D h i , 0 ) heVj

für alle Knoten i in einer definierten Reihenfolge

(3) Schritt (2) ist so oft zu wiederholen, bis sich in den FZj keine Änderungen mehr ergeben. (4) T : = max FZ; i (5) SZi : = T

für alle Knoten i

(6) SZj : = min ( SZj - D^, T ) jeNj

für alle Knoten i in einer definierten Reihenfolge

(7) Schritt (6) ist so oft zu wiederholen, bis sich in den SZ ; keine Änderungen mehr ergeben. Bei schleifenfreien Netzplänen ist eine aufsteigende Knotennumerierung möglich. Ist eine solche Numerierung gegeben, so können die Wiederholungsschritte (3) und (7) dann entfallen, wenn bei (2) die Reihenfolge mit aufsteigender Numerierung und bei (6) die Reihenfolge mit absteigender Numerierung gewählt wird.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

57

In Netzplänen, die nur Reihenfolgen und dazu möglicherweise Mindestabstände zwischen den Vorgängen enthalten, können keine Schleifen enthalten sein. Sind die Knoten dann aufsteigend numeriert, so vereinfacht sich der Algorithmus I zu:

(1) FZ; : = 0

für alle Startknoten

(2) FZj : = max ( F Z h + D h i ) heVj

für alle Knoten i, die nicht Startknoten sind, in der Reihenfolge aufsteigender Numerierung

(3) T : = max FZi

(4) SZj : = T

für alle Zielknoten

(5) SZ; : = min ( SZj - Dj: ) JiNj

für alle Knoten i, die nicht Zielknoten sind, in der Reihenfolge absteigender Numerierung

37. Warum ist der Algorithmus I schwerfällig für Computer? Beschreiben Sie einen anwendungsfreundlicheren Algorithmus zur Berechnung frühester und spätester Ereigniszeitpunkte.

Der knotenorientierte Algorithmus I benötigt bei der Berechnung jedes Knotens alle Pfeile, die in den Knoten einlaufen bzw. alle Pfeile, die von dem Knoten ausgehen. Damit wird jeweils ein aufwendiges Suchen in der Pfeildatei erforderlich. Eine zweifache Pointer- oder Adressverkettung in der Pfeildatei mit Bezug zur Knotendatei würde den Suchaufwand zwar verringern. Eine solche Verkettung ist aber nicht üblich und erfordert in der Erstellung erhebliche Rechenzeiten.

Es bietet sich ein pfeil- oder kantenorientierter Algorithmus II an, der in den Durchläufen die Pfeildatei abarbeitet. Eine Ordnung der Pfeile entsprechend dem Projektablauf verringert natürlich die Anzahl der erforderlichen Durchläufe. Bei diesem Verfahren ist kein Suchen oder keine Adressverkettung mehr erforderlich, da in der Pfeildatei ja die zugehörigen Knoten angegeben sind.

58

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Algorithmus II

(1) FZ; : = 0

für alle Knoten i

(2) FZ; : = max ( FZ;, FZ h + D ^ )

über alle Kanten (h,i) in einer definierten Reihenfolge

(3) Schritt (2) ist so oft zu wiederholen, bis sich in den FZj keine Änderungen mehr ergeben. (4) T : = max FZj

(5) SZj : = T

für alle Knoten l

(6) SZj : = min ( SZj, SZy - Dy )

über alle Kanten (i,j) in einer definierten Reihenfolge

(7) Schritt (6) ist so oft zu wiederholen, bis sich in den SZj keine Änderungen mehr ergeben. Auch hier ist für schleifenfreie Netzpläne eine Vereinfachung bei entsprechender Reihenfolge in den Kanten möglich, aber von geringer praktischer Relevanz.

38. Zeigen Sie die Anwendung des Algorithmus II zur Berechnung der frühesten und spätesten Ereigniszeitpunkte für das Projekt der Frage 35.

Die ersten 4 Spalten der Tabelle 11 enthalten die Angaben zu den Pfeilen des Netzplans, sie entsprechen einer Pfeildatei. Die Reihenfolge der Pfeile wurde so gewählt, daß zunächst die Vorgänge und dann die Scheinvorgänge entsprechend dem Projektablauf angegeben sind.

B. Projektstrukturierung,

Pfeil

Dauer

von Knoten

nach Knoten

Zeitplanung

und Projektüberwachung

FZ Endknoten 1

2

59

SZ Anfangsknoten 1

2

54

3

A

28

1

4

28

B

10

2

5

10

C

16

2

6

16

D

14

3

6

E

10

3

7

10

4

F

12

5

8

22

17

G

5

6

8

H

18

6

10

34

16

I

22

7

11

32

14

J

8

8

9

30

29

K

10

9

12

40

L

10

10

13

44

M

8

11

13

N

20

12

14

60

64

47

O

18

12

15

58

62

48

P

14

13

15

Q

20

13

16

64

44

R

18

13

17

62

49

S

21

14

18

81

85

67

T

22

15

19

80

84

66

U

24

16

20

88

64

V

21

17

21

83

67

(4,9)

6

4

9

34

82

(5,1)

-12

5

1

(10,11)

0

10

11

(12,8)

-20

12

8

(17,11)

-27

17

11

(19,16)

-26

19

16

3

0 2

44

37 34 36

31 15

34 24 35

Tabelle 11

63

60

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

In Tabelle 12 sind die Ereigniszeitpunkte angegeben, wie sie sich im Laufe der Rechnung vorläufig oder endgültig ergeben. Spalte 0 der frühesten Zeitpunkte enthält die Anfangswerte, diese sind laut Schritt (1) des Algorithmus alle 0. Ereignis 0

früheste Zeitpunkte 1 1 ! 1 2 1 1 1 11 1 1J 1

späteste Zeitpunkte 0

1

2

88

54

3

88

0

88

4, 2

1

0

2

0

3

0

4

0

28

!1

88

82

5

0

io

: i

88

17

6

0

16

:i

88

16

7

0

10

!\

88

14

8

0

22

11 24

88

29

9

0

30, 34

!

88

37

10

0

34

:1

88

34

11

0

88

36

12

0

40

!1 44

88

48, 47

13

0

44

!1

88

49, 44

14

0

60

!1 64

88

67

15

0

58

!1 62

88

66

16

0

64

!1

88

64

17

0

62

:»

88

67

18

0

81

! 1

85

88

19

0

80

!1

84

88

20

0

88

!1

88

21

0

83

:i •

88

32, 34, 35 ]

Tabelle 12

3

31 15

63

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

61

In der Abfolge der Pfeile werden verbesserte FZ-Werte für deren Endknoten berechnet, wobei die Rechnung von den bisherigen FZ-Werten der Anfangsknoten ausgeht. Die Ergebnisse dieser kantenorientierten Rechnung sind für die beiden erforderlichen Durchläufe in Tabelle 11 dargestellt, wobei nur verbesserte Werte angegeben sind. Diese verbesserten FZ-Werte der Endknoten werden gleichzeitig in die Tabelle 12 übernommen. Da ein Ereignis Endknoten mehrerer Pfeile sein kann, ist auch eine mehrmalige Verbesserung seines FZ-Wertes in einem Durchlauf möglich, beispielsweise bei Ereignis 11.

Die Ermittlung der SZ-Werte erfolgt in analoger Weise, wobei die Pfeile in umgekehrter Reihenfolge betrachtet werden. Spalte 0 der spätesten Zeitpunkte in Tabelle 12 enthält die Anfangswerte T = 88. Nach 3 Durchläufen sind die SZ-Werte endgültig berechnet.

Die Tabellen 11 und 12 erscheinen deswegen relativ aufwendig, weil zur Reproduzierbarkeit des Verfahrens die Werte in beiden Tabellen angegeben sind und zudem alle Zwischenergebnisse enthalten sind. Bei Computer-Rechnungen werden nur die jeweils letzten Werte in einer Datei der Ereigniszeitpunkte festgehalten, die zum Schluß die endgültigen Werte enthält.

39. Bisweilen werden Planzeitpunkte als Vorgaben für früheste oder späteste zeitliche Vorgangslagen außerhalb der Netzplanstruktur angegeben. Beschreiben Sie derartige Vorgaben. Wie lassen sich solche Planzeitpunkte in den Algorithmen zur Ermittlung von Ereigniszeitpunkten berücksichtigen?

Externe Vorgaben sind entweder Angaben zur frühestmöglichen oder zur spätestzulässigen zeitlichen Lage einzelner Vorgänge. Durch eine Kombination läßt sich ein Vorgang weiter festlegen bis zur Fixierung auf eine ganz bestimmte zeitliche Lage. Bezüglich der frühestmöglichen Lage eines Vorgangs (i,j) kann man extern einen frühesten Anfangszeitpunkt EFAZjj oder einen frühesten Endzeitpunkt EFEZy vorgeben, wobei eine Beschränkung in den Algorithmen auf EFAZ-Werte nicht einschneidend ist. Extern vorgegebene spätestzulässige Lagen von Vorgängen (h,i) können durch späteste Anfangs-

62

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Zeitpunkte ESAZ^ oder durch späteste Endzeitpunkte ESEZ^ beschrieben werden, wobei analog nur ESEZ-Werte in die Berechnung eingehen sollen.

Ein Vorgangsanfang ist beim Vorgangspfeilnetz nur dann direkt ansteuerbar, wenn vom entsprechenden Anfangsknoten kein weiterer Pfeil ausgeht. Entsprechendes gilt für ein anzusteuerndes Vorgangsende. Zur algorithmisch einfachen Berücksichtigung der externen Vorgaben für zeitliche Vorgangslagen ist diese Projektdarstellung erforderlich, die maschinell ohne großen Aufwand herstellbar ist. In den Algorithmen I und II werden die Vorgaben bei der Setzung von Anfangswerten in den Schritten (1) und (5) wie folgt berücksichtigt:

(1) FZj : = EFAZjj

FZ; : = 0

(5) SZj : = ESEZ h i

SZj : = T

für alle Knoten i , die Anfangsknoten eines Vorgangs (i,j) mit vorgegebenem EFAZy sind für alle anderen Knoten i

für alle Knoten i , die Endknoten eines Vorgangs (h,i) mit vorgegebenem ESEZ h j sind für alle anderen Knoten i

Beim Algorithmus I ist zudem in den Schritten (2) und (6) sicherzustellen, daß FZj > EFAZjj bzw. SZj < ESEZ h j erhalten bleiben. Beim vereinfachten Algorithmus I für reine Reihenfolgen lassen sich Vorgaben in gleicher Weise berücksichtigen.

40. Bei Vorgangspfeilnetzen werden früheste und späteste Anfangs- und Endzeitpunkte der Vorgänge in einem zweiten Schritt aus den Ereigniszeitpunkten berechnet. Beschreiben Sie die Beziehungen zwischen diesen Zeitpunkten.

Für Vorgangszeitpunkte gilt entsprechend den DIN-Normen folgende Symbolik:

FAZjj = frühester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs zwischen den Knoten i und j SAZjj = spätester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs zwischen den Knoten i und j FEZjj = frühester Endzeitpunkt eines Vorgangs zwischen den Knoten i und j SEZjj =

spätester Endzeitpunkt eines Vorgangs zwischen den Knoten i und j

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

63

Ein Vorgang (i,j) kann frühestens zum Zeitpunkt FZj des ihn begrenzenden Anfangsereignisses i beginnen. Damit gilt für den frühesten Anfangszeitpunkt FAZy und über die Vorgangsdauer Dy für den frühesten Endzeitpunkt FEZy :

FAZy = FZj FEZy = FAZy + D^ = FZ; + D^

Soll die minimal mögliche Projektdauer T eingehalten werden, so muß ein Vorgang (i,j) spätestens zum Zeitpunkt SZj des ihn begrenzenden Endereignisses j beendet sein. Für den spätesten Endzeitpunkt SEZjj und den spätesten Anfangszeitpunkt SAZy ergibt sich daraus:

S £Zy

S ^jj

Sj^^^jj — SEZJJ Dy = SZj -D|j

41. Für das Projekt der Frage 35 sind dort und auch in Frage 38 die Ereigniszeitpunkte ermittelt. Berechnen Sie für die Vorgänge des Projekts früheste und späteste Anfangs- und Endzeitpunkte.

Die Berechnung der Vorgangszeitpunkte entsprechend den Beziehungen der Frage 40 ist in der folgenden Tabelle 13 angegeben.

64

B. Projektstrukturierung,

Vorgang (ij)

Dauer

A

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

i

j

FZi

SZj

FAZjj

FEZjj

SEZjj

SAZjj

28

1

4

0

31

0

0+28=28

31

31-28=3

B

10

2

5

0

15

0

0+10=10

15

15-10=5

C

16

2

6

0

16

0

0+16=16

16

16-16=0

D

14

3

6

0

16

0

0+14=14

16

16-14=2

E

10

3

7

0

14

0

0+10=10

14

14-10=4

F

12

5

8

10

29

10

10+12=22

29

29-12=17

G

5

6

8

16

29

16

16+ 5 = 2 1

29

29-5=24

H

18

6

10

16

34

16

16+18=34

34

34-18 = 16

I

22

7

11

10

36

10

10+22=32

36

36-22=14

J

8

8

9

24

37

24

24+ 8 = 3 2

37

37-8=29

K

10

9

12

34

47

34

34+10=44

47

47-10=37

L

10

10

13

34

44

34

34+10=44

44

44-10=34

M

8

11

13

35

44

35

35+8=43

44

44-8=36

N

20

12

14

44

67

44

44+20=64

67

67-20 = 4 7

0

18

12

15

44

66

44

44+18=62

66

66-18=48

P

14

13

15

44

66

44

44+14=58

66

66-14=52

Q

20

13

16

44

64

44

44+20=64

64

64-20=44

R

18

13

17

44

63

44

44+18=62

63

63-18=45

S

21

14

18

64

88

64

64+21=85

88

88-21=67

T

22

15

19

62

88

62

62+22 = 84

88

88-22=66

U

24

16

20

64

88

64

64 + 24 = 88

88

88-24=64

V

21

17

21

62

88

62

62+21=83

88

88-21=67

D

ü

Tabelle 13

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

65

42. Zur Beschreibung von Durchführungsstadien im Projektablauf werden Ereignisse und geplante Meilensteine benutzt. Wie sind Projektdurchführungsstadien zu definieren? Wie lassen sich deren Zeitpunkte ermitteln?

Ein Projektdurchführungsstadium stellt den Abschluß bestimmter, projektspezifisch festgelegter Vorgänge dar. Ein solches Stadium ist dann identisch mit einem Ereignis, wenn dieses das Endereignis aller festgelegten Vorgänge ist und wenn zu diesem Ereignis keine weiteren Pfeile führen. Ein Durchführungsstadium kann auch mehrere Ereignisse umfassen oder über Ereignisse gar nicht darstellbar sein. Da bei Vorgangspfeilnetzen auch eine gewisse Willkür in der Definition von Ereignissen möglich ist, sollte man bei Projektdurchführungsstadien generell von Meilensteinen sprechen, wobei eine Identität zwischen Meilenstein und Ereignis möglich ist.

Der früheste Zeitpunkt FZj eines Meilensteins i ist gleich dem Maximum aus den frühesten Endzeitpunkten der den Meilenstein definierenden Vorgänge. Der späteste Zeitpunkt SZj ergibt sich analog aus dem Maximum über die spätesten Endzeitpunkte dieser Vorgänge. Der Meilenstein i liegt zwischen FZj und SZj. Die Größe dieses Zeitraumes kann analog der gesamten Pufferzeit für Ereignisse als gesamte Pufferzeit GP, des Meilensteins i bezeichnet werden. Für diese gesamte Pufferzeit GPj von Ereignissen oder Meilensteinen i gilt:

GPj = SZj - FZj

43. Für das Projekt der Frage 35 sind in Tabelle 14 vier Meilensteine angegeben. Ermitteln Sie früheste und späteste Meilensteinzeitpunkte sowie gesamte Pufferzeiten der Meilensteine.

66

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Meilenstein

Abschluß der Vorgänge

1

F, G

2

K, L, M

3

0, P

4

S, T, U, V Tabelle 14

Nach den in Frage 42 dargestellten Beziehungen ergibt sich:

FZJ

= max ( FEZp, FEZ G )

= max ( 2 2 , 2 1 )

=

22

SZJ

- max ( SEZ F , SEZ G )

= max ( 2 9 , 2 9 )

=

29

FZ 2 = m a x ( F E Z K , F E Z L , F E Z M )

= max ( 4 4 , 4 4 , 4 3 )

=

44

sz2

= max ( S E Z K , S E Z L , S E Z M )

= max ( 4 7 , 4 4 , 4 4 )

=

47

FZ 3

= max ( FEZQ, FEZp )

= max ( 6 2 , 5 8 )

= 62

sz3

= max ( S E Z Q , S E Z P )

= max ( 6 6 , 6 6 )

=

66

FZ 4

= m a x ( FEZ«J, FEZ-p, F E Z J J , F E Z Y )

= max ( 8 5 , 8 4 , 88, 8 3 )

=

88

sz4

= max ( S E Z S , S E Z T , SEZY, S E Z V )

= max ( 8 8 , 88, 8 8 , 8 8 )

=

88

Für die Meilensteinpufferzeiten ergibt sich:

GP, = SZj - ¥ZX

= 29 - 22 = 7

GP 2 = SZ 2 - FZ2 = 47 - 44 = 3 GP 3 = SZ 3 - FZ 3 = 66 - 62 = 4 GP 4 = SZ 4 - FZ 4 = 88 - 88 = 0

Der Meilenstein 4 stellt die Projektfertigstellung dar und bezieht sich damit auf mindestens einen Vorgang, der die Projektdauer bestimmt. Deswegen ergibt sich GP 4 = 0.

B. Projektstrukturierung,

4. Pufferzeiten

Zeitplanung

und Projektüberwachung

zur Beschreibung zeitlicher Dispositionsspielräume

67

für

einzelne Vorgänge

44. Wozu dienen Pufferzeiten von Vorgängen und was versteht man allgemein darunter?

Der früheste Anfangszeitpunkt FAZj und der späteste Anfangszeitpunkt SAZj eines Vorgangs i geben einen maximalen Dispositionsspielraum für den Anfang von i an bei Einhaltung der minimal möglichen Projektdauer T. In diesen Zeitraum ist der Vorgangsanfang endgültig einzuplanen, wobei die Einplanung eines bestimmten Vorgangs häufig die Dispositionsspielräume umgebender Vorgänge einengt. Zur differenzierten Beschreibung der Beeinflussung zeitlicher Bewegungsmöglichkeiten umgebender Vorgänge wird der Zeitraum zwischen FAZj und SAZj quasi weiter unterteilt in sich durchaus überschneidende kleinere Zeiträume, deren Längen als Pufferzeiten bezeichnet werden.

Pufferzeiten von Vorgängen sind Zeitspannen, um die der Anfang eines Vorgangs und damit natürlich der ganze Vorgang gegenüber einem definierten Zeitpunkt bzw. einer definierten Lage verschoben werden kann bei bestimmter Beeinflussung der zeitlichen Bewegungsmöglichkeiten umgebender Vorgänge bzw. bei bestimmter zeitlicher Lage der umgebenden Vorgänge.

Pufferzeiten sind also Zeitspannen, die für Dispositionszwecke durch zugehörige Zeitpunkte im Projektablauf fixiert werden müssen. Zudem sind die Pufferzeiten definiert als Verschiebungszeitspannen für den Vorgangsanfang oder den Vorgang und nicht, wie oft als gleichbedeutend genannt wird, als Ausdehnungszeitspannen unter gleichen Bedingungen. Diese Zeitspannen können gleich sein, müssen es aber nicht.

68

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

45. Wie sind gesamte Pufferzeiten definiert? Geben Sie die Beziehungen zur Berechnung an. Was besagen gesamte Pufferzeiten für die Projektsteuerung?

Nach DIN 69 900 ist eine gesamte Pufferzeit GP definiert als "Zeitspanne zwischen frühester und spätester Lage eines Ereignisses bzw. Vorgangs". Für Scheinvorgänge ergeben sich in gleicher Weise gesamte Pufferzeiten. GP ist eine graphentheoretisch bestimmte Pufferzeit im Gegensatz zu den weiteren Vorgangspufferzeiten. Diese Unterscheidung gewinnt bei den Vorgangspfeilnetzen besondere Bedeutung wegen bestimmter Gestaltungsfreiheiten über Scheinvorgänge.

Für GPf eines Ereignisses i gilt die schon genannte Beziehung:

GPj = SZj -

FZj

Bei einem Vorgang (i j ) gibt GPy den maximalen Dispositionsspielraum für den zu disponierenden Anfang des Vorgangs an:

GPjj = SAZy - FAZjj

Aus Umrechnungen folgt dann weiterhin:

GP y = SEZy = SZj -

FEZy FZj - Djj

Gesamte Pufferzeiten geben maximale Bewegungsspielräume an, deren Kenntnis für die Projektsteuerung wichtig ist. Liegt der geplante Anfang eines Vorgangs (i,j) auf dem Zeitpunkt FAZy, so gibt GPjj die Verschiebungszeitspanne an, die etwa bei unvorhergesehener Verspätung von Vorgängern ohne Beeinträchtigung der geplanten Projektdauer noch ausnutzbar ist. Je kleiner GPy ist, umso eher schlagen derartige Planabweichung auf die Projektdauer durch, zumal gesamte Pufferzeiten zu Vorgangsfolgen gehören und dort nur insgesamt einmal ausgenutzt werden können. Zur Projektsteuerung werden die Vorgänge mit größer werdenden gesamten Pufferzeiten aufgelistet.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

69

46. Was versteht man unter dem kritischen Weg, was unter kritischen Vorgängen, Ereignissen und Anordnungsbeziehungen? Wie sind diese gekennzeichnet?

Der kritische Weg ist in Anlehnung an DIN 69 900 ein Weg mit ausschließlich solchen Anordnungsbeziehungen, Ereignissen bzw. Vorgängen, deren gesamte Pufferzeit ein Minimum ist.

Setzt man, wie üblich, die Projektdauer T gleich dem Maximum der frühesten Ereigniszeitpunkte, so ist dieses Minimum der gesamten Pufferzeiten gleich Null. Vorgänge, Ereignisse und Anordnungsbeziehungen des kritischen Weges sind also durch eine gesamte Pufferzeit GP = 0 gekennzeichnet. Bei Vorgangspfeilnetzen sind unter den Anordnungsbeziehungen u.a. die Scheinvorgänge zu verstehen.

Der kritische Weg ergibt sich aus dem längsten Weg im Netzplan. Auf diesem längsten Weg liegen alle Vorgänge und auch Scheinvorgänge, die die minimal mögliche Projektdauer bestimmen. Jede Verzögerung eines dieser Vorgänge hat eine Verlängerung der Projektdauer zur Folge.

Vorgänge, Ereignisse und Anordnungsbeziehungen, deren gesamte Pufferzeit gleich 0 ist, werden als kritisch bezeichnet. Sie liegen in aller Regel auf dem längsten Weg im Netzplan. Es ist aber auch der Fall möglich, daß von zwei oder mehr Vorgängen, die zeitlich fest aneinandergekoppelt sind, nicht alle zum längsten Weg gehören. Die anderen Vorgänge sind dann auch kritisch, ihre Dauern bestimmen aber nicht die minimal mögliche Projektdauer.

47. Berechnen Sie für das in Frage 34 behandelte Projekt die gesamten Pufferzeiten, und beschreiben Sie den Verlauf des kritischen Weges. Unter einer Pufferkette wird eine Folge von Pfeilen ( Vorgänge und Scheinvorgänge ) und Ereignissen mit gleichgroßen gesamten Pufferzeiten verstanden. Stellen Sie alle Pufferketten des Netzplans dar und zeigen Sie, inwiefern der kritische Weg eine spezielle Pufferkette ist.

70

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

In den Tabellen IS und 16 sind die gesamten Pufferzeiten für die Ereignisse und Pfeile des Projektes angegeben, wie sie sich nach den in Frage 45 angegebenen Beziehungen ergeben. Ereignis

FZ

SZ

GP

1

0

0

0

2

7

10

3

3

10

10

0

4

10

10

0

5

16

22

6

6

22

22

0

7

38

38

0

8

38

38

0

9

38

44

6

10

49

49

0

Tabelle 15

Pfeil

FAZ

SAZ

GP

A

0

0

0

B

0

3

3

C

10

10

0

D

10

16

6

E

22

22

0

F

7

35

28

G

38

38

0

H

16

36

20

I

38

44

6

(2,4)

7

10

3

(3,4)

10

10

0

(5,6)

16

22

6

(7,8)

38

38

0

(7,9)

38

44

6

Tabelle 16

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

71

Die Ereignisse 1, 3, 4, 6, 7, 8 und 10 haben eine gesamte Pufferzeit von 0 und sind damit kritische Ereignisse. Entsprechend sind die Vorgänge A, C, E und G sowie die Scheinvorgänge (3,4) und (7,8) kritisch. Der kritische Weg verläuft über die folgenden Ereignisse, Vorgänge und Scheinvorgänge:

1 - A - 3 - (3,4) — 4 — C — 6 — E — 7 — (7,8) - 8 - G -

10

Eine Pufferkette ist eine Folge von Pfeilen und Knoten gleicher gesamter Pufferzeiten, die abwechselnd Pfeile und Knoten enthält und sowohl mit einem Pfeil als auch mit einem Knoten beginnen und enden kann. Dabei ist ein Knoten zwischen zwei Pfeilen Endereignis des vorhergehenden und Anfangsereignis des folgenden Pfeils.

Die Pufferketten des Projektes sind in Tabelle 17 mit aufsteigenden gesamten Pufferzeiten angegeben. lfd. Nr.

GP

Pufferkette

1

0

l-A-3-(3,4)-4-C-6-E-7-(7,8)-8-G-10

2

3

B-2-(2,4)

3

6

D-5-(5,6)

4

6

(7,9)-9-I

5

20

H

6

28

F Tabelle 17

In Abbildung 26 sind die 6 Pufferketten anschaulich dargestellt, indem sie im Netzplan abgesetzt gezeichnet sind.

Die Knoten enthalten im oberen Teil ihre Nummer und im unteren Teil ihre gesamte Pufferzeit GP. Die Vorgänge sind durch den entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet, generell ist an den Pfeilen der zugehörige GP-Wert angegeben.

72

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Der kritische Weg ist die Pufferkette 1 mit einem GP von 0. Allgemein können mehrere Pufferketten mit einer gesamten Pufferzeit von Null auftreten, die dann zusammen den kritischen Weg ausmachen. Die erste Pufferkette unterscheidet sich nicht nur durch das GP = 0 von den anderen hier, sondern generell auch dadurch, daß sie sowohl mit einem Knoten beginnt als auch mit einem Knoten endet. Alle anderen Pufferketten beginnen und enden jeweils mit einem Pfeil. Dies gilt bei Netzplänen dieser noch näher einzugrenzenden Art mit je einem Start- und Zielknoten generell, denn hier müssen die erste Pufferkette mit GP = 0 und der kritische Weg vom Startknoten zum Zielknoten verlaufen. Die weiteren Pufferketten sind mit gleichbleibendem oder größer werdendem GP zunächst an Knoten der 1. Pufferkette und dann an weitere Knoten quasi angeschlossen, so daß sie immer durch Pfeile begrenzt sind.

Bezeichnet man die Anzahl der Knoten der i-ten Pufferkette mit n; und entsprechend die Anzahl der Kanten mit mj, so gilt für die erste Pufferkette:

nj = mj + 1

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

73

Für alle anderen gilt:

rij = rri| — 1

Bezeichnet man mit p die Anzahl der Pufferketten, mit n die Anzahl der Knoten und mit m die Anzahl der Kanten eines Netzplans, so ergibt die Aufsummierung obiger Beziehungen über alle Pufferketten:

n = m —p + 2

Damit ergibt sich die Anzahl der Pufferketten für Netzpläne der hier betrachteten Art mit je einem Start- und Zielknoten zu:

p = m —n + 2

Die Anzahl der Pufferketten ist darstellungsabhängig in dem Maße, wie über Scheinvorgänge Kanten und Knoten erzeugt werden. Die 6 Pufferketten des betrachteten Netzplans ergeben sich aus der Beziehung z u p = m — n + 2 = 14— 10 + 2 = 6. Frage 49 kommt auf die Anzahl der Pufferketten in beliebigen Netzplänen zurück, wobei die hier gemachten Einschränkungen entfallen.

48. Beschreiben Sie an dem auch in der vorhergehenden Frage behandelten Projekt der Frage 34, wie sich die teilweise oder vollständige Ausnutzung der gesamten Pufferzeit eines Vorgangs auf die verbleibenden gesamten Pufferzeiten anderer Vorgänge auswirkt.

Hierzu seien zunächst der oder die kritischen Vorwärtsbäume des Netzplans betrachtet. Ein gerichteter ( Wurzel- ) Baum ist ein zusammenhängender gerichteter Graph, der genau einen Knoten ( Wurzel) ohne einlaufende Pfeile hat und in dessen andere Knoten genau ein Pfeil mündet. Diese Vorwärtsbäume spannen den Netzplan auf, d.h. jeder Knoten des Netzplans ist in genau einem Baum einmal enthalten. Zu den Vorwärtsbäumen gehören jeweils die Pfeile (i,j), die FZ: bestimmen, für die also gilt:

74

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

FZj = FZ; + Dy

Gilt diese Bedingung für mehrere in einen Knoten j einlaufende Pfeile, so darf nur einer davon im Baum erscheinen. Insofern sind die Vorwärtsbäume nicht eindeutig.

Der betrachtete Netzplan hat genau einen Vorwärtsbaum, der in der Abbildung 27 wiedergegeben ist. Die gesamten Pufferzeiten sind im unteren Teil der Knoten und an den Pfeilen angegeben.

Abbildung 27 Generell gilt, daß die gesamten Pufferzeiten zu den Baumenden hin gleichbleiben oder größer werden. Wird bei einem Vorgang (i,j), der zum Vorwärtsbaum gehört, von der frühesten Lage aus ein Teil der gesamten Pufferzeit GPy ausgenutzt, so vergrößern sich in gleichem Maße FZj und ebenso die FZ-Werte aller Knoten des von j ausgehenden Baumes. Damit verringert sich die gesamte Pufferzeit aller deijenigen Vorgänge und auch Scheinvorgänge um den gleichen Wert, die von j oder den auf j im Baum folgenden Knoten ausgehen.

Im Beispiel der Abbildung 27 bestehen die Äste mit positiven GP-Werten jeweils nur aus einem Vorgang (i,j) bzw. Scheinvorgang (i,j), so daß sich bei einer Ausnutzung von GPy dort nur der Knoten j verschiebt. Verzögert sich beispielsweise B um 1 Zeiteinheit, so

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

75

wird FZ2 = 8, und für die von 2 ausgehenden Pfeile F und (2,4) verringert sich GP um diese eine Zeiteinheit.

Vorgänge, deren Verschiebung von der frühesten Lage aus sofort auf nachfolgende Vorgänge durchschlägt, sind dadurch gekennzeichnet, daß für sie die noch zu betrachtende freie Pufferzeit FP gleich Null ist. Bei Vorgängen, deren freie Pufferzeit größer Null ist, kann dieses FP von der frühesten Lage aus zunächst ganz ausgenutzt werden, ohne daß nachfolgende Vorgänge beeinträchtigt sind. Erst wenn die Verschiebung eines solchen Vorgangs (i,j) FPjj überschreitet, werden FZj und damit die FZ-Werte aller Knoten des von j ausgehenden Baumes verschoben und die gesamten Pufferzeiten der von diesen Knoten ausgehenden Pfeilen entsprechend verringert.

Vorgang H des Projekts gehört nicht zum kritischen Vorwärtsbaum. Für diesen Vorgang ist F A Z h = 16 und F P H = FZg -

FZ S -

D H = 38 -

16 -

8 = 14. Eine Ver-

schiebung des Anfangs von H vom Zeitpunkt FAZ H = 16 aus um bis zu F P H = 14 Zeiteinheiten berührt keinen nachfolgenden Pfeil. Erst eine Verschiebung von mehr als 14 Zeiteinheiten verschiebt FZg und bewirkt eine entsprechende Verringerung von G P j des vom Knoten 9 ausgehenden Vorgangs I.

Wird bei einem Vorgang (i,j) die volle gesamte Pufferzeit GPy ausgenutzt, so wird der Endknoten j kritisch und es ergibt sich von j ausgehend ein weiterer kritischer Weg. Dieser kann über den von j ausgehenden Teil des Vorwärtsbaums verlaufen, muß es aber nicht.

49. Zeigen Sie am größeren Projekt der Frage 35, welchen Einfluß eine Ausnutzung der gesamten Pufferzeit eines Vorgangs auf verbleibende gesamte Pufferzeiten nachfolgender Vorgänge, Ereignisse und Scheinvorgänge hat. Geben Sie die Pufferketten für diesen Netzplan an. Nennen Sie die allgemeingültige Beziehung für die Anzahl der Pufferketten.

76

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Der in Abbildung 25 dargestellte Netzplan des Projekts weist die 2 Startknoten 2 und 3 auf und die 3 Zielknoten 18, 20 und 21. Demnach muß es mindestens 2 kritische Vorwärtsbäume und analog 3 kritische Rückwärtsbäume geben. Knoten 1 ist kein Startknoten, da hier ein Scheinvorgang einmündet. Da F Z j nicht durch diesen Scheinvorgang, sondern durch die allgemeine Bedingung FZj > 0 auf FZj = 0 festgelegt ist, beginnt auch hier ein Vorwärtsbaum. Analog ist Knoten 19 der Ausgangsknoten eines Rückwärtsbaumes. Die Vorwärtsbäume dieses Netzplans sind in Abbildung 28, die Rückwärtsbäume in Abbildung 29 dargestellt. In den unteren Knotenhälften und an den Pfeilen sind wieder die gesamten Pufferzeiten angegeben.

Abbildung 28

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

77

Wird bei einem Vorgang (i,j) die gesamte Pufferzeit von der frühesten Lage aus ganz oder teilweise ausgenutzt, so ergeben sich Auswirkungen in gleichem Maße auf den gesamten auf j folgenden Vorwärtsbaum. Nutzt man z.B. GP^ = 3 bei A ganz aus, so verringern sich die gesamten Pufferzeiten der Knoten 4, 8, 9, 12, 14, 15, 18 und 19 um den Wert 3 und ebenso die gesamten Pufferzeiten aller von diesen Knoten ausgehenden Pfeile (4,9), K, (12,8), J, N, S, O, T und (19,16). Damit läuft der zusätzliche kritische Weg über 4 - (4,9) - 9 - K - 12 - N - 14 - S - 18.

Weist ein Netzplan mehrere Vorwärtsbäume auf, so kann sich eine Ausnutzung der gesamten Pufferzeit in einem Baum auch auf andere Bäume auswirken über Pfeile (i,j), die von einem Knoten i des betrachteten Baums ausgehen, zum Knoten j eines anderen Baums laufen und zu keinem der Bäume gehören. Eine Ausnutzung der gesamten Pufferzeit verringert GPj der Knoten i und genau so die GP-Werte aller von i ausgehenden Pfeile. Ist GPj des Knotens im anderen Baum kleiner als GPjj, so wird der von j ausgehende Baum von da an beeinflußt, da GPj: gleich GP: wird.

78

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Eine Verschiebung von B gegenüber der frühesten Lage um bis zu 2 Zeiteinheiten verringert GP 5 des Knotens 5 und ebenso die GP-Werte der von 5 ausgehenden Pfeile (5,1) und F um diesen Wert. Größere Verschiebungen beeinflussen über (5,1) auch den beim Knoten 1 beginnenden Baum. Eine Verschiebung von beispielsweise 3 Zeiteinheiten verkleinert G P j und GP der von 5 ausgehenden Pfeile um 3 Zeiteinheiten. Die gesamten Pufferzeiten der Knoten 1, 4, 8, 9, 12, 14, 15, 18 und 19 und aller von diesen Knoten ausgehenden Pfeile verringern sich auch, und zwar um 1 Zeiteinheit.

Vorgang G gehört zu keinem Vorwärtsbaum und kann gegenüber der frühesten Lage zunächst um GPQ — GPg = 8 — 5 = 3 Zeiteinheiten verschoben werden ohne Einfluß auf andere GP-Werte. Eine darüber hinausgehende Verschiebung von z.B. 5 Zeiteinheiten verringert GPg und GPj dann um 2 Zeiteinheiten auf 3 Zeiteinheiten. Eine über 5 Zeiteinheiten hinausgehende Verschiebung beeinflußt zudem den von Knoten 9 ausgehenden Baum.

Die Pufferketten des Netzplans sind in Tabelle 18 angegeben und nach gesamten Pufferzeiten geordnet.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

lfd. Nr.

GP

Pufferkette

1

0

2-C-6-H-10-L-13-Q-16-U-20

2

1

R-17-(17,ll)-ll-M

3

2

3-D

4

2

(10,11)

5

3

l-A-4-(4,9)-9-K-12-N-14-S-18

6

4

0-15-T-19

7

4

E-7-I

8

5

B-5-(5,l)

9

5

(12,8)-8-J

10

5

V-21

11

6

(19,16)

12

7

F

13

8

G

14

8

P Tabelle 18

Abbildung 30 gibt die 14 Pufferketten in anschaulicher Darstellung wieder.

79

80

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Drei der Pufferketten beginnen mit einem Knoten, und zwar jeweils mit dem Anfangsknoten eines Vorwärtsbaumes. Analog enden vier der Pufferketten mit einem Knoten entsprechend den vier Rückwärtsbäumen. Die Anzahl der Vorwärtsbäume sei v und die der Rückwärtsbäume r. Damit ergibt sich die Anzahl der Pufferketten allgemein zu p = m —n+v + r Der betrachtete Netzplan hat 21 Knoten und 28 Pfeile. Die Anzahl 14 der Pufferketten folgt aus: p = 28 - 21 + 3 + 4 = 14.

50. In Abbildung 31 ist der Netzplan eines Projektes dargestellt, bei dem zwischen verschiedenen Vorgängen Höchstabstände zu beachten sind. Ermitteln Sie mit Hilfe der in den Knoten eingetragenen Ereigniszeitpunkte die Anfangszeitpunkte und gesamten Pufferzeiten der Vorgänge. Können die gesamten Pufferzeiten ein Maß sein für Vorgangsausdehnungen, welche bei Beibehaltung der Projektdauer möglich sind? Inwieweit lassen sich gesamte Pufferzeiten auch über die zeitliche Lage umgebender Vorgänge definieren?

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und Projektüberwachung

81

Die nach den Beziehungen der Frage 40 ermittelten frühesten und spätesten Anfangszeitpunkte der Vorgänge sind in Tabelle 19 angegeben und ebenso die gesamten Pufferzeiten als Maß für die Größe dieses gesamten Dispositionszeitraumes der Vorgänge.

82

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Vorgang

FAZ

SAZ

GP

A

0

12

12

B

0

0

0

C

0

5

5

D

5

17

12

E

15

27

12

F

10

10

0

G

13

20

7

H

10

15

5

I

21

33

12

J

21

35

14

K

25

25

0

L

25

30

5

M

30

42

12

N

40

52

12

O

40

52

12

P

45

45

0

Q

45

50

5

R

45

54

9

S

50

64

14

T

60

60

0

U

51

60

9

Tabelle 19

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

83

Es wird häufig unterstellt, die gesamte Pufferzeit gebe auch eine Ausdehnungszeitspanne für den Vorgang an, deren Ausnutzung bei Einhaltung der Projektdauer möglich sei. Dies gilt nur bedingt und wird auch dadurch problematisch, daß bei Vorgangspfeilnetzen alle Beziehungen in Ende-Anfang-Beziehungen umgeformt sind. Im betrachteten Projekt kann etwa Vorgang C oder Vorgang H um seinen GP-Wert von 5 Zeiteinheiten ausgedehnt werden oder einer der Vorgänge R oder U um ihr GP von 9 Zeiteinheiten. Bei Vorgängen wie z.B. G, L und Q, zwischen denen hächstens eine bestimmte Zeit liegen darf, kann man aus dem Netzplan heraus eigentlich keinerlei Aussagen über zulässige Verlängerungen machen. Die Schleife üher G, L und Q bleibt zulässig bei Ausdehnungen dieser drei Vorgänge bis zu insgesamt 2 Zeiteinheiten. Man kann aber so nichts dazu aussagen, ob die Projektstruktur bei diesen Ausdehnungen nicht auch eine Änderung in der Bewertung des Scheinvorgangs (14,6) erfordert.

In vielen Fällen kann die gesamte Pufferzeit dargestellt werden als mögliche Verschiebungszeitspanne eines Vorgangs bei frühester Lage der unmittelbar vorgeordneten Vorgänge oder Vorgänger und bei spätester Lage der unmittelbar nachgeordneten Vorgänge oder Nachfolger. So ist beispielsweise C als Vorgänger von H in frühester Lage zum Zeitpunkt 10 beendet. Beginnt dann der Nachfolger L von H zum spätesten Zeitpunkt 30, so verbleibt für H die Spanne zwischen eben den Zeitpunkten 10 und 30. Bei der Dauer D H = 15 beträgt die Verschiebungszeitspanne für H 5 Zeiteinheiten, gerade die gesamte Pufferzeit.

Bei Schleifen ist es häufig gar nicht möglich, daß sich gleichzeitig die Vorgänger in der frühesten und die Nachfolger in der spätesten Lage befinden. Ist z.B. G als ein Vorgänger von L in der frühesten Lage, so kann der Nachfolger Q von L wegen des Scheinvorgangs (14,6) nicht in der spätesten Lage realisiert werden. In dieser Abhängigkeit von der Umgebung kann die zeitliche Beweglichkeit des Vorgangs L maximal 2 Zeiteinheiten betragen im Gegensatz zu GP L = 5. Für den Vorgang E sind D und I beide sowohl strukturelle Vorgänger als auch strukturelle Nachfolger, so daß die gleichzeitige früheste und späteste Lage von D und I eine absurde Voraussetzung ist. Es ist auch problematisch, reihenfolgebedingt D nur als Vorgänger und I nur als Nachfolger anzusehen. Die früheste Lage von D und gleichzeitig die späteste Lage von I ließen sich nur bei einer Verlängerung von E um mindestens 3 Zeiteinheiten realisieren, falls die Höchstabstände

84

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

zeitliche Abstände zwischen D und E bzw. E und I meinen. Für die Verschiebungszeitspanne von E ergäbe sich dann rein rechnerisch ein negativer Wert gegenüber G P E = 12. Ähnliche Probleme treten bei M und N auf, die direkt aufeinander folgen müssen. Auch wenn M reihenfolgebedingt nur als Vorgänger von N angesehen wird und entsprechend N als Nachfolger von M, ergibt sich für beide Vorgänge sogar unabhängig von der Lage des anderen eine zeitliche Beweglichkeit von 0 im Gegensatz zu G P M = GP N = 12.

Die gesamte Pufferzeit ist nicht generell aus der Lage der Umgebung definierbar. Sie ist die Größe des generellen Dispositionsspielraums für einen Vorgang bzw. dessen Anfang, der zwischen FAZ und SAZ liegt.

51. Für Vorgänge werden freie Pufferzeit und freie Rückwärtspufferzeit definiert unter Bezugnahme auf bestimmte zeitliche Lagen umgebender Vorgänge. Was versteht man unter diesen Pufferzeiten? In welcher Beziehung stehen sie zur gesamten Pufferzeit? Beschreiben Sie die entsprechenden Dispositionsbereiche.

Die freie Pufferzeit eines Vorgangs ist nach DIN 69 900 definiert als diejenige Zeitspanne, um die der Vorgang gegenüber seiner frühesten Lage verschoben werden kann, ohne die früheste Lage anderer Vorgänge zu beeinflussen.

Die freie Rückwärtspufferzeit eines Vorgangs ist nach DIN 69 900 definiert als diejenige Zeitspanne, um die der Vorgang gegenüber seiner spätesten Lage verschoben werden kann, ohne die späteste Lage anderer Vorgänge zu beeinflussen.

Es ist wichtig festzuhalten, daß diese Pufferzeiten definiert sind unter Bezugnahme auf Vorgänge, nicht auf Ereignisse. Insofern können Ereigniszeitpunkte erst in zweiter Linie zur Berechnung herangezogen werden.

Die freie Pufferzeit FPy eines Vorgangs (i,j) ist die Größe des Bewegungsspielraums von (i,j) bei frühester Lage der gesamten Umgebung. Die freie Rückwärtspufferzeit ist entsprechend die Größe des Bewegungsspielraums von (i,j) bei spätester Lage der

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und Projektüberwachung

85

Umgebung. Unter Bezugnahme auf diese späteste Lage soll sie hier im Gegensatz zu den Normen mit dem Symbol SPy bezeichnet werden.

Der Anfang der für einen Vorgang (ij) verfügbaren Zeitspanne wird durch die strukturellen Vorgänger bestimmt, das Ende entsprechend durch die strukturellen Nachfolger. Identitäten zwischen strukturellen Vorgängern und strukturellen Nachfolgern sind bei diesen beiden Pufferzeiten unproblematisch, da diese Vorgänger und Nachfolger gleichzeitig in frühester bzw. spätester Lage sind und damit kein Widerspruch in den Bedingungen auftritt.

Ein Vorgang (i,j) kann bei frühester Lage seiner strukturellen Vorgänger frühestens zu einem Zeitpunkt beginnen, der mit FZPj bezeichnet wird. Es gilt:

FZPj = max ( FEZ g h + D h j , 0 ) (g,h)eSV y mit D h i : = 0 für h = i SVjj = Menge der strukturellen Vorgänger des Vorgangs (i,j) Für Startvorgänge (i,j) mit SVy = 0 folgt FZP i = 0.

Da bei jedem Endknoten h eines strukturellen Vorgängers das FZj, durch einen der Vorgänger bestimmt wird, läßt sich obige Beziehung auch einfacher schreiben als:

FZPj = max ( FZ h + D h i , 0 ) heSVj mit D h i : = 0 für h = i SVj = Menge der Endereignisse struktureller Vorgänger des Vorgangs (i,j)

Bei SVj = 0 ergibt sich wieder FZPj = 0.

86

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Gin Vorgang (i,j) muß bei frühester Lage seiner strukturellen Nachfolger spätestens zu einem Zeitpunkt beendet sein, der mit FZPj bezeichnet wird. Hierfür gilt:

FZP: = min ( FAZy - D j k , T ) (k.DeSNy mit Dj k : = 0 für j = k

SNjj =

Menge der strukturellen Nachfolger des Vorgangs (i,j)

Für Zielvorgänge (i j ) mit SNy = 0 folgt FZPj = T.

Auch diese Beziehung läßt sich wegen FAZy = FZ k einfacher schreiben als: FZP: = min ( FZ k - D j k , T ) kcSNj mit Dj k : = 0 für j = k

SNj =

Menge der Anfangsereignisse struktureller Nachfolger des Vorgangs (i j )

Bei SNj = 0 ergibt sich wieder FZPj = T. Bei frühester Lage der gesamten Umgebung kann ein Vorgang ( i j ) somit in der Zeitspanne zwischen FZPj und FZPj stattfinden. Mit der Dauer DJJ ergibt sich der Bewegungsspielraum FPy zu:

FPjj = FZPj - FZP; -

Djj

Die benutzten FZP-Werte sind ereignisbezogen. Damit ergeben sich die Fragen, warum die Beziehungen für Anfangsereignisse i und für Endereignisse j eines Vorgangs (i,j) unterschiedlich sind und wie sich diese FZP-Werte zu den Ereigniszeitpunkten FZj bzw. FZj verhalten. Für ein Ereignis i, von dem ein oder mehrere Vorgänge ausgehen, wurde die Beziehung abgeleitet:

B. Projektstrukturierung,

FZPj =

Zeitplanung und Projektüberwachung

87

max ( FZ h + D h i , 0 ) heSVj mit D h i : = 0 für h = i

Diese Beziehung besagt nichts anderes als die Formel zur Berechnung der FZ;. Es gilt also allgemein: Für Ereignisse i, von denen Vorgänge ausgehen, ist FZPj = FZj. Dies gilt auch für Endereignisse j von Vorgängen ( i j ) , wenn von j seinerseits wieder mindestens ein Vorgang ausgeht. Für FZPj von Vorgangsendereignissen wurde folgende Beziehung hergeleitet:

FZP: =

min ( F Z k keSNj

Djk, T )

mit Dj k : = 0 für j = k

Geht von j mindestens ein Vorgang aus, so ist mindestens einmal der Fall j = k gegeben, so daß wegen FZPj > FZj dann FZPj = FZj gilt.

Damit ist FZj < FZPj < SZj nur möglich bei Knoten j, von denen kein Vorgang ausgeht, d.h. bei Knoten, von denen entweder nur Scheinvorgänge ausgehen oder die Zielknoten ohne ausgehende Pfeile sind. Für derartige Zielereignisse gilt, wie schon gesagt, generell FZPj = T. Für ein Ereignis j, von dem nur Scheinvorgänge ausgehen, ist genau dann FZPj > FZj bei FZj < T, wenn von diesen Scheinvorgängen keiner zum kritischen Vorwärtsbaum gehört. Für ein solches Ereignis j gilt damit:

FZP: =

Nj =

min ( FZP k keNj

Djk, T )

Menge der Nachereignisse des Ereignisses j

Das bisher zur freien Pufferzeit FP und zu den auf die Ereignisse bezogenen und aus der frühesten Lage umgebender Vorgänge resultierenden FZP-Werte Gesagte läßt sich einfach auf die freie Rückwärtspufferzeit SP, auf die Einflüsse umgebender Vorgänge bei spätester Lage und daraus resultierende SZP-Werte für die Ereignisse übertragen.

88

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

Aus der spätesten Lage der strukturellen Vorgänger eines Vorgangs (i,j) folgt:

SZPj = max ( SEZ (g.h^SVjj

h

+ Dhi, 0 )

mit D h i : = 0 für h = i

Diese Beziehung läßt sich wieder einfacher schreiben als:

SZPj = max ( SZ h + D h i , 0 ) heSVj mit D h i : = 0 für h = i

Aus der spätesten Lage der strukturellen Nachfolger eines Vorgangs (i,j) folgt:

SZP: = min ( SAZy - D j k , T ) (k,l ) e SNy mit Dj k : = 0 für j = k

Die einfachere Schreibweise ist:

SZP: = min ( SZ k keSNj

Djk, T )

mit Dj k : = 0 für j = k Die Zeitspanne für den Vorgang (i,j) bei spätester Lage umgebender Vorgänge wird also durch SZPj und SZPj begrenzt. Damit wird die Pufferzeit SPy:

SPy = SZPj -

SZPj - Djj

Für ein Ereignis i gilt allgemein SZPj = SZj auf jeden Fall dann, wenn ein Vorgang in i mündet. Für Startereignisse i gilt generell SZPj = 0. Bei Ereignissen i, in die nur Scheinvorgänge einmünden, gilt SZPj < SZj bei SZj > 0 genau dann, wenn von diesen

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

89

Scheinvorgängen keiner zum kritischen Rückwärtsbaum gehört. Für ein solches Ereignis i gilt dann:

SZPj = max ( SZP h + D h i , 0 ) heVj

Vj = Menge der Vorereignisse des Ereignisses i

Es folgt schon anschaulich, daß FPjj und SPy Teile der gesamten Pufferzeit GPy sind. Für diese Pufferzeiten wurde abgeleitet:

GPij

= SZj — FZj — Dy = SZPj - FZPj - Dy

FPjj

= FZPj - FZPj - Djj

SPy

= SZPj - SZPj -

Dy

Bezüglich der auf Ereignisse i bezogenen Zeitpunkte gilt allgemein: FZj < FZPj < SZPj < SZj

Daraus folgt dann:

FPjj, SPy < GPjj

Bei der Einplanung von Vorgängen genügt es nicht, nur die Größe von Dispositionsbereichen unter bestimmten Bedingungen zu kennen. Es müssen auch Angaben über zugehörige Zeitpunkte gemacht werden. So wurde GPjj definiert als die Zeitspanne zwischen frühestem Anfangszeitpunkt FAZjj und spätestem Anfangszeitpunkt SAZy eines Vorgangs ( i j ) . In Frage 48 wurde gezeigt, daß FPjj gerade den Teil der gesamten Pufferzeit GPjj ausmacht, um den der Anfang des Vorgangs (i,j) gegenüber FAZjj verschoben werden kann, ohne daß gesamte Pufferzeiten nachfolgender Vorgänge

90

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung und

Projektüberwachung

beeinträchtigt werden. Dispositionsobjekt ist der Anfang eines Vorgangs, so daß man sinnvollerweise alle Pufferzeiten explizit auf Vorgangsanfange bezieht, für die sich folgende Zeitpunkte bestimmen lassen:

ZAFVy =

Zeitpunkt für den Anfang des Vorgangs (i,j), bedingt durch die früheste Lage seiner strukturellen Vorgänger

ZASVy =

Zeitpunkt für den Anfang des Vorgangs (i,j), bedingt durch die späteste Lage seiner strukturellen Vorgänger

ZAFNjj =

Zeitpunkt für den Anfang des Vorgangs (i,j), bedingt durch die früheste Lage seiner strukturellen Nachfolger

ZASNjj =

Zeitpunkt für den Anfang des Vorgangs (i,j), bedingt durch die späteste Lage seiner strukturellen Nachfolger

Für diese Zeitpunkte ergeben sich die folgenden Beziehungen:

ZAFVjj = FZPj = FZj =

FAZ

Ü

ZASVjj = SZP;

ZAFNy

= FZPj - Djj

ZASNy

= SZPj - Djj = SZj = SEZjj -

-Djj Djj

= SAZjj

Der maximale Dispositionszeitraum für den Anfang eines Vorgangs (i,j) liegt zwischen den Zeitpunkten ZAFVjj und ZASNjj und hat die Größe GPjj.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Prujektüberwachung

91

Der Dispositionszeitraum für den Anfang eines Vorgangs (i,j) bei frühester Lage der umgebenden Vorgänge liegt zwischen den Zeitpunkten ZAFVJJ und ZAFN^ und hat die Größe FPjj.

Der Dispositionszeitraum für den Anfang eines Vorgangs (i,j) bei spätester Lage der umgebenden Vorgänge liegt zwischen den Zeitpunkten ZASVy und ZASN- und hat die Größe SP::.

52. Ermitteln Sie für die Vorgänge des in Abbildung 32 dargestellten Projekts jeweils die gesamte und die freie Pufferzeit sowie die freie Rückwärtspufferzeit. Geben Sie die zugehörigen Dispositionszeiträume für den Vorgangsanfang an. Stellen Sie als Beispiel die Dispositionszeiträume und Pufferzeiten der Vorgänge G und H anschaulich über der Zeitachse dar.

Abbildung 32

92

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

In Tabelle 20 sind die pufferzeitrelevanten, auf die Ereignisse bezogenen Zeitpunkte FZP und SZP den Ereigniszeitpunkten FZ und SZ gegenübergestellt.

Ereignis

FZ

FZP

SZP

SZ

1

0

0

0

8

2

0

0

0

10

3

0

0

0

0

4

0

0

0

5

5

20

20

28

28

6

20

20

28

38

7

15

20

25

25

8

25

25

25

25

9

22

22

27

27

10

32

32

40

40

11

22

22

28

44

12

35

35

35

35

13

40

40

45

45

14

52

52

60

60

15

52

52

62

62

16

40

52

62

62

17

65

65

65

65

18

60

60

65

65

19

72

80

80

80

20

80

80

80

80

21

75

75

80

80

Tabelle 20

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und Projektüberwachung

93

FZP unterscheidet sich von FZ bei den Ereignissen 7, 16 und 19. Für 19 als Zielereignis gilt FZP = T. 7 und 16 sind solche Endereignisse von Vorgängen, von denen nur Scheinvorgänge ausgehen. Die Nachfolger G, H und I des Vorgangs B können frühestens zum Zeitpunkt 20 bzw. 25 beginnen, so daß sich für das Endereignis 7 von B der Wert FZP = 20 ergibt. Entsprechend wird FZP = 52 des Endereignisses 16 von Vorgang H durch dessen Nachfolger N und O bestimmt, die frühestens zu den Zeitpunkten 52 bzw. 65 beginnen können.

Unterschiede zwischen SZP und SZ ergeben sich für die Ereignisse 1, 2, 4, 6 und 11. Für die Startereignisse 1, 2 und 4 gilt SZP = 0 . 6 und 11 sind solche Anfangsereignisse von Vorgängen, in die nur Scheinvorgänge einmünden. Vorgang G hat die Vorgänger A und B, die spätestens zu den Zeitpunkten 28 bzw. 25 beendet sind. Daraus ergibt sich SZP = 28 für das Anfangsereignis 6 des Vorgangs G. Die Vorgänger von H sind A, B und D mit den spätesten Endzeitpunkten 28, 25 und 27, so daß sich für das Anfangsereignis 11 des Vorgangs H ergibt SZP = 28.

Die FZP- und SZP-Werte stellen die Zeitspannen der Vorgänge dar unter verschiedenen Voraussetzungen. Daraus ergeben sich die Grenzen der Dispositionszeiträume für Vorgangsanfänge, wie sie in Tabelle 21 für den maximalen Dispositionszeitraum sowie für die Dispositionszeiträume bei frühester und bei spätester Lage der umgebenden Vorgänge angegeben sind.

94

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

undProjektüberwachung

Dispositionszeitraum für den Anfang des Vorgangs Vorgang

maximal

bei frühester Lage der umgebenden Vorgänge

von ! bis 1 Größe ZAFV | ZASN i GP = FAZ ! = S A Z

von ZAFV = FAZ

bis ZAFN

Größe FP

bei spätester Lage der umgebenden Vorgänge i von i bis Größe ZASV j ZASN SP 1 1 = SAZ 1•

A

0

|

8

|

8

0

0

0

0

i1

8

8

B

0

i

10

i

10

0

5

5

0

!1

10

10

C

0

I

0

!

0

0

0

0

0

!1

0

0

D

0

!

5

i

5

0

0

0

0

!1

5

5

E

20

!

28

;

8

20

20

0

28

!1

28

0

F

32

!

40

!

8

32

32

0

40

!1

40

0

G

20

|

38

:

18

20

28

8

28

!1

38

10

H

22

!

44

!

22

22

34

12

28

!1

44

16

I

25

!

25

i

0

25

25

0

25

!1

25

0

J

35

]

35

i

0

35

35

0

35

!1

35

0

K

22

i

27

|

5

22

22

0

27

!1

27

0

L

40

!

45

!

5

40

40

0

45

!1

45

0

M

52

!

60

!

8

52

60

8

60

!1

60

0

N

52

!

62

i

10

52

62

10

62

! 1

62

0

0

65

1

65

i

0

65

65

0

65

!1

65

0

P

60

j

65

!

5

60

60

0

65

! i>

65

0

Tabelle 21

D i e verschiedenen Dispositionszeiträume sind für die Anfänge der Vorgänge G und H in Abbildung 3 3 anschaulich über der Zeitachse dargestellt.

B. Projektstrukturierung,

Zeilplanung

und Projektüberwachung

95

Vorgang G ZAFV = FAZ

ZASV ZAFN

20

28

ZASN =SAZ

Vorgang H ZAFV =FAZ

ZASN =SAZ

FP=12

Abbildung 33

Der Anfang des Vorgangs G kann gegenüber dem frühesten Zeitpunkt FAZ von 20 maximal um GP = 18 bis zum Zeitpunkt SAZ von 38 verschoben werden. Eine Verschiebung von mehr als FP = 8 über den Zeitpunkt 28 hinaus beeinträchtigt auch den Nachfolger von G und verringert dessen gesamte Pufferzeit. Die freie Rückwärtspufferzeit SP gibt die Größe des Dispositionszeitraums bei spätester Lage der Umgebung an, dessen Ende durch SAZ markiert ist. Beim Vorgang H überschneiden sich der Zeitraum bei frühester und der bei spätester Lage umgebender Vorgänge um 6 Zeiteinheiten. Aus der Darstellung der Abbildung 33 wird klar, daß die genannten drei Dispositionszeiträume durch deren zeitliche Längen GP, FP und SP sowie durch den frühesten Anfangszeitpunkt FAZ und den spätesten Anfangszeitpunkt SAZ des Vorgangs ausreichend beschrieben sind.

96

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

53. Was beschreibt die unabhängige Pufferzeit? In welcher Beziehung steht sie zu den Pufferzeiten GP, FP und SP? Geben Sie die unabhängigen Pufferzeiten und die zugehörigen Dispositionszeiträume für das Projekt der vorhergehenden Frage an.

Ein weiterer Dispositionszeitraum für den Anfang der Vorgänge liegt zwischen den Zeitpunkten ZASV und ZAFN. Diese Zeitspanne wird als unabhängige Pufferzeit UP bezeichnet.

Für einen Vorgang (i,j) gilt damit:

UPjj

= ZAFN- - ZASVjj = FZP: - SZP; - D:; J 1J

Hieraus folgt für die Größenrelation in bezug auf die anderen Pufferzeiten:

UPij < FP m , SPij < GPjj 'J Zwischen den Pufferzeiten besteht die Relation:

GPij + UPij >J = FPjj + SPjj'J Die insgesamt vier Dispositionszeiträume für den Vorgang H des vorhergehenden Projekts sind in Abbildung 34 dargestellt.

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

97

Vorgang H ZASN -SAZ

ZAFV =FAZ

Abbildung 34

Wenn der Anfang des Vorgangs H im Bereich zwischen den Zeitpunkten 28 und 34 liegt, können auf der einen Seite die vorhergehenden Vorgänge und insbesondere die strukturellen Vorgänger beliebig und auch spätestmöglich liegen und auf der anderen Seite die nachfolgenden Vorgänge und insbesondere die strukturellen Nachfolger beliebig und auch frühestmöglich.

Die unabhängige Pufferzeit UPy eines Vorgangs (i,j) stellt die Größe des Zeitraumes zwischen ZASVy und ZAFNy dar. Bei Einhaltung dieses unabhängigen Dispositionszeitraumes für den Anfang des Vorgangs wird der sonst gegebene maximale zeitliche Bewegungsspielraum für keinen der anderen Vorgänge des Projekts eingeschränkt.

Die unabhängige Pufferzeit steht ausschließlich dem betreffenden Vorgang zur Verfügung. Ihre Kenntnis ist von besonderer Bedeutung bei der sukzessiven Einplanung von Vorgängen, damit man die Freiheitsgrade der weiteren Planung möglichst wenig einschränkt.

Eine positive unabhängige Pufferzeit kennzeichnet einen entsprechenden Dispositionszeitraum. Sind für einen Vorgang (i,j) die Zeitpunkte ZASVy und ZAFNy gleich, so errechnet sich ein UPjj von 0. Dies ist z.B. beim Vorgang G des Projektes der Fall und in Abbildung 33 anschaulich dargestellt. Wird der Anfang des Vorgangs G auf den Zeitpunkt 28 gelegt, so werden die anderen Vorgänge in ihren zeitlichen Dispositionsmöglichkeiten nicht eingeengt. Bei UPj: = 0 bleibt also für den Anfang des Vorgangs

98

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

(i,j) noch ein Dispositionszeitpunkt, bei dessen Ginhaltung die Umgebung nicht tangiert wird.

Die unabhängige Pufferzeit gibt die Größe des unabhängigen Dispositionszeitraumes an, darüber hinaus sind unbedingt Angaben über dessen zeitliche Lage erforderlich. Die von den Programmsystemen üblicherweise ausgegebenen FAZ- und SAZ-Werte sind für die Beschreibung der zu den Pufferzeiten GPjj, FP- und SPjj gehörenden Zeiträume ausreichend, nicht hingegen für die Beschreibung des zu UPy gehörenden Zeitraums. Hier ist ein zusätzlicher Zeitpunkt auszugeben, zweckmäßigerweise ZASVy als Beginnzeitpunkt. Es ist offensichtlich, daß allein die Kenntnis des UP-Wertes nicht ausreicht.

Die unabhängige Pufferzeit ist die einzige, bei der auch negative Werte auftreten können. Diese werden häufig unterdrückt und durch den Wert Null ersetzt, was aus zwei Gründen nicht empfehlenswert ist: Erstens ist dann nicht mehr erkennbar, ob sich ein UPjj = 0 wie beim Vorgang G aus der Rechnung ergeben hat und damit der dargestellte Dispositionszeitpunkt existiert. Zweitens hat auch eine negative unabhängige Pufferzeit durchaus einen Aussagewert.

Die unabhängigen Dispositionszeiträume für die Anfänge der Vorgänge des betrachteten Projekts und die unabhängigen Pufferzeiten sind in Tabelle 22 angegeben.

B. Projektstrukturierung,

Vorgang

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

99

unabhängiger Dispositionszeitraum für den Anfang des Vorgangs von ZAFV

bis ZASN

Größe UP

A

0

0

0

B

0

5

5

C

0

0

0

D

0

0

0

E

28

20

-8

F

40

32

-8

G

28

28

0

H

28

34

6

I

25

25

0

J

35

35

0

K

27

22

-5

L

45

40

-5

M

60

60

0

N

62

62

0

O

65

65

0

P

65

60

-5

Tabelle 22

Für die kritischen Vorgänge C, I , J und O ist die unabhängige Pufferzeit wie alle anderen gleich Null. Darüber hinaus haben auch die Vorgänge A, D, G, M und N ein UP von Null, d.h. für die Anfänge dieser Vorgänge existiert mit ZASV = ZAFN ein unabhängiger Dispositionszeitpunkt. Die Vorgänge B und H weisen entsprechend einen unabhängigen Dispositionszeitraum auf. Bei E ,F ,K ,L und P ist die unabhängige Pufferzeit negativ. Die Bedeutung sei am Beispiel des Vorgangs F mit ZASVp = 40

100

B. Projektstrukturierung,

Zeitplanung

und

Projektüberwachung

und ZAFNp = 32 sowie UP F = -8 dargestellt: Beginnt F zum Zeitpunkt ZASVp = 40, so wird der Bewegungsspielraum des hier einzigen Vorgängers E nicht eingeschränkt, derjenige der Nachfolger M und N allerdings um 8 Zeiteinheiten. Andererseits bleibt beim Anfang zu ZAFNp = 32 der Bewegungsspielraum von M und N, deijenige von E verringert sich um 8 Zeiteinheiten. Liegt der Vorgangsanfang zwischen 32 und 40, so werden Vorgänger und Nachfolger in ihren Bewegungsmöglichkeiten eingeschränkt. Allgemein gilt bei einer negativen Pufferzeit UPjj, daß bei einer Einplanung des Anfangs von Vorgang (i,j) zum Zeitpunkt Zjj zwischen ZAFNjj und ZASVjj die Bewegungsmöglichkeiten der strukturellen Vorgänger um ZASVjj - Zjj = ZAFNjj — UPjj — Zjj und die der strukturellen Nachfolger um Zjj — ZAFNjj = Zjj — UPjj — ZASVjj verringert werden. Die Summe dieser beiden Verringerungen ist immer —UPjj.

54. Beschreiben Sie am Beispiel von Vorgang H des betrachteten Projekts die minimalen Dispositionszeiträume einmal bei spätester Lage der strukturellen Vorgänger und zum anderen bei frühester Lage der strukturellen Nachfolger. In welcher Beziehung stehen die entsprechenden Pufferzeiten zu den bisher betrachteten, insbesondere zur unabhängigen Pufferzeit?

Die späteste Lage struktureller Vorgänger eines Vorgangs (i,j) determiniert nicht nur den Anfangszeitpunkt ZASVjj dieses Vorgangs, sondern möglicherweise auch die zeitliche Lage von neben (i,j) laufenden Vorgängen. Beim betrachteten Projekt verschiebt Vorgang A als Vorgänger von H mit seiner spätesten Lage ebenfalls E und F hier sogar auch bis in deren späteste Lage, so daß Vorgang N als relevanter Nachfolger von H bei spätester Lage des Vorgängers A frühestens zum Zeitpunkt 60 beginnen kann, H also erst zum Zeitpunkt 42 beginnen muß. Die Zeitspanne zwischen ZASV H = 28 und diesem Zeitpunkt 42 wird unter Bezugnahme auf die primäre Festlegung der Vorgänger mit UPV H bezeichnet. Abbildung 35 zeigt diesen Sachverhalt.

B. Projektstrukturierung,

Vorgang H

Zeitplanung

Z A S V

tf^z 22

und

Projektüberwachung

*

ZASN =SAZ

Z A F N

27 28 34 1 1 1 I I 1 1 1 GP=22 i i t i i i 1 FP=12 i i i i i i i im i | UPN=7 | i i i i i

101

42

44

Zeit

SP=16 i i

' i i

UPV=14 i i UP=6

Abbildung 35

Die früheste Lage der Nachfolger von Vorgang H erzwingt über F und E auch eine frühe Lage des Vorgängers A, so daß H unter dieser Bedingung schon zum Zeitpunkt S E Z d = 27 beginnen kann. Abbildung 34 zeigt auch diesen Dispositionszeitraum der Länge UPN H = 7. Will man bei der Einplanung von Vorgang H den gesamten Dispositionszeitraum der Nachfolger verfügbar halten, kann der Anfang von H in den Zeitraum zwischen 27 und 34 gelegt werden.

Für die Größenrelationen der Pufferzeiten eines Vorgangs (i j ) gilt:

U P i j < UPNjj < FPjj
39 und 55 > 53 + 0 + 0 kann über die Optimalität der bisher besten Lösung nichts ausgesagt werden. 4. Die weiteren möglichen Reihenfolgen sind systematisch zu betrachten. Bei Nr. 7 in Tabelle 44 zeigt Kriterium 3, daß bei allen mit A, D, E, F beginnenden Reihenfolgen

C. Einsatzmittelbedarf

und Auswirkungen

begrenzter

Kapazitäten

211

keine Verbesserung mehr möglich ist. Tabelle 45 zeigt die Fortführung ab Nr. 7 mit der Folge A, D, E, H.

Kriterium Nr.

Vorgang

FAZ

Folge der gebundenen Vorgänge

FEZ 1

2

3

7

H geb.

24

34

48

53

51

A, D, E, H

8

J

34

38

-

-

-

A, D, E, H

9

L

34

42

-

-

-

A, D, E, H

10

F geb.

34

41

51

53

53

A, D, E, H, F

11

K

41

51

-

-

-

A, D, E, H, F

12

I geb.

41

53

53

53

53

A, D, E, H, F, I

Tabelle 45

Es ergibt sich wiederum eine verbesserte Lösung mit T = 53. Es sind noch nicht alle möglichen Reihenfolgen einbezogen, nach Schritt 3 ist aber wegen 53 = 53 + 0 + 0 eine optimale Lösung erzielt.

Die ermittelte Reihenfolge der gebundenen Vorgänge ist nicht die einzige, bei der die Projektdauer mit 53 Zeiteinheiten minimal ist, es gibt insgesamt 9 verschiedene Reihenfolgen mit T = 53:

1. A, D, E, H, F, I 2. A, E, D, H, F, I 3. A, E, F, H, D, I 4. A, E, H, D, F, I 5. A, E, H, F, D, I 6. A, H, E, D, F, I 7. A, H, E, F, D, I 8. H, A, E, D, F, I 9. H, A, E, F, D, I

212

C. Einsatzmittelbedarf

und Auswirkungen

begrenzter

Kapazitäten

Das Verfahren gestattet im Prinzip auch die Ermittlung aller dieser Reihenfolge, der erforderliche Aufwand ist aber erheblich.

Mit der festgelegten Reihenfolge ist die endgültige zeitliche Projektanalyse durchzuführen. Ein dieser Zeitanalyse zugrunde liegender Netzplan berücksichtigt sowohl technologische Abhängigkeiten zwischen den Vorgängen als auch kapazitiv bedingte Reihenfolgen. Der Netzplan für das Projekt bei der Reihenfolge A, D, E, H, F, I ist in der Abbildung 77 als Vorgangsknotennetz der Art MPM mit Darstellung der Vorgangsanfange in den Knoten wiedergegeben, wobei im Netzplan — und nur dort — jetzt nicht notwendige Anordnungsbeziehung der Übersichtlichkeit halber nicht dargestellt sind.

Abbildung 77

Die zeitliche Projektanalyse auf der Basis dieses Netzplans ergibt die in Tabelle 46 angegebenen Anfangszeitpunkte der Vorgänge mit den daraus errechneten Pufferzeiten.

C. Emsatzmittelbedarf

und Auswirkungen

begrenzter

Kapazitäten

213

Vorgang

FAZ = ZAFV

ZASV

ZAFN

SAZ = ZASN

GP

UP

FP

SP

A

0

0

0

0

0

0

0

0

B

0

0

9

15

15

9

9

15

C

0

0

12

12

12

12

12

12

D

10

10

10

10

0

0

0

0

E

18

18

18

18

0

0

0

0

F

34

34

34

34

0

0

0

0

G

24

30

25

30

6

-5

1

0

H

24

24

24

24

0

0

0

0

I

41

41

41

41

0

0

0

0

J

34

39

37

39

5

-2

3

0

K

41

43

43

43

2

0

2

0

L

34

39

45

45

11

6

11

6

Tabelle 46

102. Welche Probleme ergeben sich allgemein in der Projektplanung bei vorgegebenen begrenzten Kapazitäten? Nennen Sie die häufigsten heuristischen Lösungsverfahren. Welche Schwierigkeiten treten generell bei Heuristiken auf?

Im Regelfall der Projektplanung sind den einzelnen Vorgängen mehrere Einsatzmittelarten mit unterschiedlichen Bedarfsmengen zugeordnet. Will man die minimale Projektdauer ermitteln bei vorgegebenen Kapazitäten der einzelnen Einsatzmittelarten, so ist ein sehr komplexes Reihenfolgeproblem zu behandeln, dem ein Problem des Mehrfachbedarfs bestimmter Einsatzmittelarten überlagert ist. Derartige Probleme sind auch bei Einsatz schneller Computer nicht mehr geschlossen lösbar zur Erzielung eines optimalen

214

C. Einsatzmittelbedarf

und Auswirkungen

begrenzter

Kapazitäten

Ergebnisses. Man muß vielmehr auf heuristische Verfahren zurückgreifen, die zu einer möglichst guten Näherungslösung führen. Die benutzten heuristischen Verfahren ordnen die jeweils einplanbaren Vorgänge den begrenzten Kapazitäten zu nach Prioritätsregeln, die eine möglichst kurze Projektdauer bewirken sollen. Die Prioritäten werden ermittelt nach einem der Werte FAZ, FEZ, SAZ, SEZ, GP oder auch weiteren, komplizierteren. An Verfahren unterscheidet man einmal statische und dynamische, zum anderen serielle und parallele. Bei statischen Verfahren basieren die Prioritäten auf den Ergebnissen der Zeitanalyse ohne Beachtung der Kapazitätsrestriktionen. Da dann die Prioritäten sehr bald nichts mehr zu tun haben mit der Struktur einschließlich Kapazitätsberücksichtigung, sind mit statischen Verfahren keine guten Ergebnisse zu erwarten. Bei dynamischen Verfahren wird eine solche Zeitanalyse nach jeder Einplanung neu durchgeführt, so daß immer wieder auf der aktuellen Planungssituation aufgesetzt werden kann. Serielle Verfahren planen die einzelnen Vorgänge sukzessiv ein, parallele Verfahren verplanen Bündel der zu einem Zeitpunkt einplanbaren Vorgänge.

Anhand von Testreihen ist untersucht worden, ob Prioritäten etwa nach FAZ, SAZ, FEZ oder SEZ im Durchschnitt zu geringeren Abweichung von der kürzesten Projektdauer führen und wie groß diese durchschnittlichen Abweichungen sind. Sieht man davon ab, daß die Ergebnisse von der Art der Testreihen beeinflußt werden, so verbleibt die generelle Schwäche von Heuristiken: Man kann allenfalls eine durchschnittliche Abweichung vom Optimum angeben, man kann aber im Einzelfall so gut wie nie Grenzen für die Abweichung vom Optimum angeben oder entsprechende Wahrscheinlichkeiten. Auch Relaxationen helfen bei solchen Abschätzungen kaum weiter. Es bleibt wohl nur der Weg, möglichst viele verschiedene Prioritäten auf ein Projekt anzuwenden und das beste der Ergebnisse schlicht zu akzeptieren.

D. Kostenanalyse und kostenoptimale Projektplanung - Kostenplanung -

103. Die Projektdurchführung erfordert die Kontrolle der Kostenwirtschaftlichkeit und ebenso die Finanzplanung zur Bereitstellung liquider Mittel. Beschreiben Sie die für ein Projekt typischen Kosten nach Art und Abhängigkeit in bezug auf Kostenträger.

Projekte sind gekennzeichnet durch eine gewisse Größe und durch eine gewisse Einmaligkeit, so daß Kosten im Zusammenhang mit der Projektplanung nur Plankosten sein können. Hier ergibt sich schon eine gewisse Schwierigkeit, da das betriebliche Rechnungswesen häufig keine Plankosten liefern kann. Zudem sind die anzutreffenden Systeme des Rechnungswesens nicht auf Projekte mit andersartigen Kostenträgern ausgerichtet, eine verursachungsgerechte Kostenzuordnung kann kaum aus dem Rechnungswesen allein erfolgen. Hier ist die Integration eines Projektrechnungswesens dringend erforderlich .

Der wesentliche Kostenträger in der Projektplanung ist der einzelne Vorgang. Die einem Vorgang verursachungsgerecht zurechenbaren Kosten werden als Einzelkosten oder direkte Kosten des Vorgangs bezeichnet und nach dem Grundsatz der relevanten Kosten üblicherweise definiert als diejenigen Kosten, die nicht entstehen würden, wenn der Vorgang nicht durchgeführt würde. Zu den direkten Kosten der Vorgänge zählen im wesentlichen Materialkosten sowie Personal- und Betriebsmittelkosten in dem Umfang, wie sie vom betreffenden Vorgang verursacht werden. Ei ist anzumerken, daß sich die Praxis der Projektplanung gezwungen fühlt, die Kosten den Arbeitspaketen zuzuordnen. Besteht ein Arbeitspaket aus mehreren Vorgängen, so wird eine Umlegung auf die Vorgänge nach sehr mechanischen Gesichtspunkten durchgeführt. Eine solche Umlegung ist nicht mehr verursachungsgerecht und damit im Prinzip abzulehnen; andererseits ist dies der einzig verbleibende Weg bei ungenügend differenzierten Systemen des Rechnungswesens.

216

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Der weitere Kostenträger ist das Projekt als ganzes, dem die einmaligen Projektkosten zugeordnet werden und solche zeitabhängigen laufenden Kosten, die nur dem gesamten Projekt zurechenbar sind. Letztere sind im wesentlichen die Kosten der Bereitstellung von Einsatzmittelkapazitäten. Diese Kosten fallen während der Projektdurchführung oft in unterschiedlicher Höhe an.

Legt man die Vorgänge im Rahmen der Ergebnisse der Zeitanalyse fest, so läßt sich der geplante Kostenverlauf über der Zeit der Projektdurchführung ermitteln. In prinzipiell gleicher Weise ist auch der Finanzmittelbedarf berechenbar. Dabei darf natürlich nur auf Zahlungen abgestellt werden. Dienen die Kosten als Ausgangspunkt zur Ermittlung von Zahlungen, so sind sie auf ihre Liquiditätswirksamkeit hin zu prüfen. Zudem ist eine zeitliche Diskrepanz zwischen Kostenanfall und Zahlung zu berücksichtigen.

104. Ermitteln Sie für das in Frage 34 behandelte Projekt den Verlauf der Plankosten, einmal bei frühestem, zum anderen bei spätestem Beginn aller Vorgänge. An projektabhängigen Kosten fallen während der Projektdauer von 49 ZE gleichbleibend 20 GE/ZE an, also insgesamt 980 GE. Die bei der Durchführung der einzelnen Vorgänge anfallenden direkten Kosten sind ebenfalls zeitproportional. Sie sind mit den Zeitangaben für die Vorgänge in Tabelle 47 angegeben.

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Vorgang

Dauer

FAZ

SAZ

direkte Kosten/ZE

gesamte direkte Kosten

A

10

0

0

20

200

B

7

0

3

25

175

C

12

10

10

15

180

D

6

10

16

40

240

E

16

22

22

10

160

F

3

7

35

20

60

G

11

38

38

35

385

H

8

16

36

20

160

I

5

38

44

25

125

217

Tabelle 47 Die direkten Kosten aller Vorgänge summieren sich zu 1.685 GE. Mit den projektabhängigen Kosten von 980 GE ergeben sich die gesamten Plankosten des Projektes zu 2.665 GE. Der zeitliche Anfall der Kosten hängt ab von der zeitlichen Lage beweglicher Vorgänge und liegt zwischen den beiden Extremen der frühesten und spätesten Lage. Für diese ist der Kostenanfall pro Zeiteinheit in Abbildung 78 dargestellt.

D. Kostenanalyse

218

und kostenoptimale

Projektplanung

Kosten/ZE

früheste Lage aller Vorgange

Fi

t-

0

10

22

38

49

Zeit

Kosten/ZE

spateste Lage aller Vorgange 80-

60-

40-

20-J--

10

22

38

49

Zei

'

Abbildung 78

Der Verlauf der gesamten kumulierten Projektkosten über der Zeit läßt sich leicht ableiten. Er ist in Abbildung 79 angegeben einmal für die früheste Lage der Vorgänge, zum anderen für die späteste.

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

219

kumulierte

Aus einer Darstellung nach Abbildung 79 läßt sich das Ausmaß der möglichen Kostenverschiebungen ersehen. Ein zeitliches Verzögern des Kostenanfalls bewirkt bei den liquiditätswirksamen Kosten -

um sie geht es hier vor allem -

immer einen Zins-

gewinn. Dieser wird verursacht durch ein zeitliches Hinausschieben der Vorgänge, was seinerseits ein höheres Risiko bezüglich des Ehlhaltens der Projektdauer beinhaltet. Eine frühzeitige Kapitalbindung verursacht höhere Kapitalbindungskosten und mindert das Risiko einer Überschreitung der geplanten Projektdauer. Unter diesen beiden Gesichtspunkten sollten die Termine für die einzelnen Vorgänge festgelegt werden. Damit ergibt sich die endgültige Kurve der Projekt-Plankosten über der Zeit, die zwischen den in Abbildung 79 dargestellten Grenzen liegt. Die Darstellung legt eine insofern mittlere Strategie nahe, anfangs aus Zinsersparnisgründen tendenziell spät zu legen und zum Schluß aus Sicherheitsgründen tendenziell früh. Dabei ist die Beachtung

220

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

der zeitlichen Interdependenzen sehr schwierig, die Vorgänge des kritischen Weges sind ohnehin fixiert. Eine algorithmisch basierte Computer-Unterstützung solch mittlerer Strategien dürfte sehr schwierig sein, Implementationen sind auch nicht bekannt.

105. Für das gerade betrachtete Projekt werde im Rahmen der Projektüberwachung zum Zeitpunkt 30 wiederum eine Planrevision einschließlich Kostenkontrolle durchgeführt. Tabelle 48 gibt den Stand der zeitlichen und kostenmäßigen Projektfortschreibung zu diesem Zeitpunkt wieder.

Vorgang

begonnen zum Zeitpunkt

beendet zum Zeitpunkt

Istdauer bzw. aktuelle Plandauer

gesamte direkte Istkosten bzw. neue Plankosten

A

0

11

11

220

B

0

6

6

175

C

11

24

13

200

D

14

21

7

280

E

24

15

160

F

6

6

60

12

420

18

180

8

160

12

G H

21

I Tabelle 48

Die Struktur des Projekts habe sich nicht geändert. Der Ist- und Planwert der projektabhängigen Kosten beträgt unverändert 20 GE/ZE.

Führen Sie die bis zum Zeitpunkt 30 reichende Kostenkontrolle durch und ermitteln Sie die auf ursprüngliche Plankosten bezogenen Soll-Ist-Abweichungen

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

221

sowohl für die einzelnen Vorgänge als auch für das gesamte Projekt. Wie groß sind für diesen Revisionszeitpunkt Fertigstellungswert und der an den Kosten gemessene Fertigstellungsgrad des Projektes? Geben Sie die Plankosten für den weiteren Projektverlauf an.

Zur Kontrolle der Kostenwirtschaftlichkeit werden die direkten Ist-Kosten der abgeschlossenen und laufenden Vorgänge, der wesentlichen Kostenträger, mit den Plankosten verglichen. Bei den noch laufenden Vorgängen E und H sind die Kosten anteilig entsprechend den Fertigstellungsgraden 40% bzw. 50% zu berücksichtigen. Tabelle 49 gibt diese Kosten mit einer Analyse der Abweichungen wieder.

direkte Kosten Vorgang

Kostenabweichung

Plankosten

Istkosten

absolut

relativ

A

200

220

20

10,0%

B

175

175

0

0,0%

C

180

200

20

11,1%

D

240

280

40

16,7%

E

64

64

0

0,0%

F

60

60

0

0,0%

H

80

90

10

12,5%

Summe

999

1089

90

9,0%

Tabelle 49

Die Kostensteigerung gegenüber den Plankosten ist bei den einzelnen Vorgängen unterschiedlich. Es muß natürlich die übliche Abweichungsanalyse folgen, die die Gründe der Abweichungen erforscht und insbesondere Planwerte korrigiert bis hin zu den gesamten Projektkosten. Der zeitbezogene Kostenanfall dient nach entsprechenden Korrekturen der Liquiditäts- und Finanzplanung und berücksichtigt in den Soll-Kosten zeitliche Verschiebungen gegenüber Plan-Kosten-Ansätzen. Zum Zeitpunkt 30 betragen die Ist-Kosten

222

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

der Vorgänge 1.089 GE. Gegenüber den Soll-Kosten von 999 GE macht dies eine Steigerung um 90 GE bzw. 9% aus.

Der zeitliche Verlauf der Sollkosten über der abgelaufenen Projektzeit ergibt sich aus den Ist-Anfangszeitpunkten der Vorgänge, aus den Ist-Dauern bzw. Ist-Teildauern und den geplanten direkten Vorgangskosten, die weiterhin als gleichbleibend über der Vorgangsdauer angesehen werden. Demgegenüber wird der Ist-Kosten-Verlauf nur auf der Basis von Ist-Werten ermittelt. Der Verlauf von Soll- und Ist-Kosten bis zum Zeitpunkt 30 ist in Abbildung 80 wiedergegeben. Eine solche Darstellung zeigt deutlich die Entwicklung der Kostenabweichung während des Projektablaufs.

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

223

kumulierte direkte Kosten der Vorgänge

Abbildung 80

Unter dem Fertigstellungswert eines Projektes werden alle bis zum Bezugszeitpunkt angefallenen Kosten verstanden. DIN 69 903 beschreibt den Fertigstellungswert als "die dem Fertigstellungsgrad entsprechenden Kosten eines Vorganges oder eines Projektes." Dies sind neben den direkten Ist-Kosten der Vorgänge alle anderen projektabhängigen

224

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Kosten. Zum Zeitpunkt 30 beträgt der Fertigstellungswert des betrachteten Projekts damit 1.089 + 30 x 20 = 1.689 GE.

Der kostenbezogene Fertigstellungsgrad ist das Verhältnis des Fertigstellungswerts zu den gesamten Projektkosten, die jeweils aus den Ist-Kosten und den neuesten Plankosten zu ermitteln sind. Die gesamten direkten Kosten aller Vorgänge des Projekts ergeben sich aus der letzten Spalte der Tabelle 48 zu 1.855 GE. Wegen der eingetretenen und zu erwartenden Vorgangsverlängerungen wird die Projektdauer 51 Zeiteinheiten, an projektabhängigen Kosten sind damit 1.020 GE anzusetzen. Die gesamten erwarteten Projektkosten ergeben sich zu 2.875 GE. Die Relation des Fertigstellungswertes von 1.689 GE zu diesen Projektkosten von 2.875 GE stellt den Fertigstellungsgrad 58,7 % zum Zeitpunkt 30 dar.

Für die Projektbeendigung sind insgesamt Kosten von 1.186 GE geplant, davon nichtdisponible projektabhängige Kosten in Höhe von 420 GE. Die restlichen 766 GE sind direkte Kosten laufender bzw. noch nicht begonnener Vorgänge und insofern disponibel, als Vorgang I nichtkritisch ist und damit noch einen zeitlichen Bewegungsspielraum aufweist. Die geplanten direkten Vorgangskosten ab dem Zeitpunkt 30 sind ebenfalls in Abbildung 80 angegeben. Ab dem Zeitpunkt 39 sind die beiden Kosten Verläufe für früheste bzw. späteste Lage von I angegeben. Bei einer Finanzplanung sind natürlich die liquiditätswirksamen projektabhängigen Kosten ebenfalls zu berücksichtigen.

106. Eine kostenoptimale Projektplanung ist letztendlich die optimale Bereitstellungsplanung für Werkstoffe und die optimale Zuteilung von Arbeitskräften und Betriebsmitteln, letztere zusammengefaßt als Einsatzmittel bezeichnet. Welches sind die wesentlichen Kosteneinflußgrößen, denen die Kosten verursachungsgerecht und damit entscheidungsrelevant zugeordnet sind?

Die Vorgänge eines Projekts wurden als wichtige Kostenträger dargestellt. In Abhängigkeit von der Verfügbarkeit von Einsatzmitteln läßt sich zumindest theoretisch deren optimale zeitliche, intensitätsmäßige und gegebenenfalls auch mengenmäßige Anpassung bestimmen und damit die Vorgangsdauer festlegen. Die für einen Vorgang bereitzustel-

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

225

lenden Arbeitsmengen hängen meist von der Vorgangsdauer ab. Die direkten Kosten eines Vorgangs steigen somit bei einer Vorgangsverkürzung, die dabei entstehenden zusätzlichen Kosten werden als Beschleunigungskosten bzw. Zusatzkosten bezeichnet.

Als erste hier entscheidungsrelevante Kosteneinflußgröße zeigt sich die Vorgangsdauer, die in den meisten Fällen innerhalb von Grenzen variierbar ist.

Als zweite entscheidungsrelevante Kosteneinflußgröße ist sicher die Projektdauer anzusehen. Von der Projektdauer abhängig sind Kosten für solche Einsatzmittel, die während der gesamten Projektdurchführung verfügbar sein müssen, zudem Konventionalstrafen, aber auch Opportunitätskosten wie entgangene Deckungsbeiträge, entgangene Mieteinnahmen etc.

Als dritte relevante Kosteneinflußgröße wird die Belastung von Kapazitäten bzw. die Kapazitätsbereitstellung genannt. Diese vage definierte Größe ist ausgesprochen komplex und beinhaltet alle Probleme einer kostenoptimalen Kapazitätsbereitstellungsplanung. Es ist festzustellen, daß die Abhängigkeiten einer kombinierten Kosten- und Kapazitätsplanung allenfalls theoretisch in einem Modell darstellbar sind, daß ein solches Modell aus verschiedenen Gründen nicht praktikabel ist. Die Kosteneinflußgröße der Kapazitätsbelastung und Kapazitätsbereitstellung wird als Residuum behandelt, dem alle die beeinflußbaren Kosten zugerechnet werden, die weder den Vorgangsdauern noch der Projektdauer veursachungsgerecht zurechenbar sind. Diese Kosten sind in einer optimierenden Planung meist nur bei Heuristiken zugänglich.

107. Eine kostenorientierte Projektplanung ermittelt einmal die minimalen Vorgangskosten bei verschiedenen Projektdauern und zum anderen eine kostenminimale Projektdauer. Skizzieren Sie die Zusammenhänge und das prinzipielle Vorgehen der Verfahren.

Für jeden Vorgang eines Projektes existiert eine Maximaldauer, die häufig auch als Normaldauer bezeichnet wird. Diese Dauer D kann oder soll aus bestimmten Gründen nicht überschritten werden, sie wird meist als die Vorgangsdauer mit den geringsten

226

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

direkten Kosten bezeichnet. Zumindest ein Teil der Vorgänge eines Projektes kann unter Inkaufnahme von Zusatz- oder Beschleunigungskosten gegenüber D verkürzt werden bis zu einer Untergrenze, der mehr technisch bedingten Minimaldauer d. In Abbildung 81 ist zunächst der Verlauf der direkten Kosten eines Vorgangs skizziert, wenn diese linear mit abnehmender Vorgangsdauer ansteigen.

direkte Kosten des Vorgangs

Beschleunigungskosten des Vorgangs

Vorgangsdauer

Vorgangsdauer

Abbildung 81 Bei einer Verkürzung des Vorgangs gegenüber seiner Normaldauer D treten Zusatzkosten auf, die mit steigender Verkürzung linear anwachsen. Die Beschleunigungskosten, nach DIN 69 903 definiert als "auf eine Zeiteinheit bezogene Kostenveränderung bei Verkürzung der Dauer eines Vorganges oder eines Projektes", sind hier über der gesamten möglichen Vorgangsdauer konstant. Abbildung 82 stellt einen Fall dar, in dem die direkten Kosten eines Vorgangs stückweise linear von seiner Dauer abhängen und die Beschleunigungskosten bereichsweise konstant mit abnehmender Vorgangsdauer ansteigen.

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

direkte Kosten

Beschleunigungskosten

des Vorgangs

des Vorgangs

0

Vorgangsdauer

Projektplanung

D

227

Vorgangsdauer

Abbildung 82

Die direkten Vorgangskosten sind dann konvex, wenn die entsprechenden Beschleunigungskosten mit abnehmender Vorgangsdauer gleichbleiben oder steigen. Allgemein wird eine Kurve dann als konvex bezeichnet, wenn eine Sehne zwischen zwei beliebigen Kurvenpunkten nie unterhalb der Kurve liegt. Aus den minimalen Vorgangsdauern d resultiert die Mindestprojektdauer. Bei dieser treten die höchsten Zusatzkosten aller Vorgänge auf. Bei der normalen Projektdauer, berechnet mit den normalen Vorgangsdauern D, sind diese Zusatzkosten gleich Null. Für alle innerhalb dieser beiden Grenzwerte liegenden Projektdauern ist die Verkürzung der Vorgänge so zu ermitteln, daß jeweils das Minimum der gesamten Zusatzkosten realisiert wird. Es liegt auf der Hand, daß bei einer Projektdauerverkürzung nur die kritischen Vorgänge für eine Verkürzung in Betracht kommen.

Bei konvexem Verlauf der direkten Vorgangskosten lassen sich die jeweils minimalen Zusatzkosten der Vorgänge ermitteln mit dem Fulkerson-Algorithmus, auch NetzflußAlgorithmus genannt. Das Vorgehen des Algorithmus läßt sich so beschreiben, daß gemäß dem Satz "minimal cut = maximal flow" über die einfacher zu ermittelnden

228

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Flüsse sogenannte minimale Schnitte erzeugt werden. Anschaulich heißt das, daß ausgehend von der normalen Projektdauer jeweils der Vorgang bzw. die Vorgänge des kritischen Weges um 1 Zeiteinheit verkürzt oder möglicherweise auch verlängert werden, die insgesamt die geringsten Beschleunigungskosten verursachen. Die Menge dieser Vorgänge stellt eine Schnittmenge des kritischen Weges dar, und zwar diejenige mit den insgesamt geringsten Beschleunigungskosten. Das Ergebnis sind die minimalen Zusatzkosten über alle Vorgänge eines Projekts in Abhängigkeit von der Projektdauer. Diese Kosten steigen mit sinkender Projektdauer, sie sind ebenso wie die direkten Vorgangskosten konvex. Neben den direkten Vorgangskosten werden Kosten berücksichtigt, die kausal von der Projektdauer abhängen; man denke z.B. an einen Kran, der während eines Bauvorhabens immer zur Verfügung stehen muß. Solche von der Projektdauer direkt abhängigen Kosten nehmen mit sinkender Projektdauer ab.

Die Summe dieser beiden Kosten, Zusatzkosten der Vorgänge und direkt projektdauerabhängige Kosten, ergibt die gesamten hier relevanten Kosten. Der dem Minimum dieser relevanten Kosten zugeordnete Zeitpunkt stellt die kostenoptimale Projektdauer dar.

108. Es wird wiederum das in Frage 34 dargestellte Projekt betrachtet. Die Vorgänge A, B, E, G und H lassen sich verkürzen bis auf ihre unten angegebene Minimaldauer d. Die dabei anfallenden Zusatzkosten hängen linear von der Verkürzung gegenüber D ab, d.h. die Beschleunigungskosten sind über den Bereich möglicher Vorgangsdauern konstant.

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Vorgang

Normaldauer D

Minimaldauer d

Beschleunigungskosten

A

10

6

20

B

7

5

15

C

12

12

-

D

6

6

-

E

16

14

25

F

3

3

-

G

11

10

22

H

8

6

10

I

5

5

229

-

Tabelle 50

Vertraglich sei eine Ausführungszeit für das Projekt von 45 Zeiteinheiten festgelegt. Für das Überschreiten um die 1. ZE ist eine Konventionalstrafe von 20 vereinbart, für die 2. ZE eine solche von 30, und für jede weitere ZE sind es 50. Bei Fertigstellung in einer kürzeren Zeit als 45 wird je ZE ein Betrag von 15 gutgeschrieben. Ermitteln Sie die minimalen Zusatzkosten der Vorgänge in Abhängigkeit von der Projektdauer und außerdem die kostenoptimale Projektdauer.

Abbildung 83 zeigt nochmals den Netzplan des Projekts mit den Normaldauern der Vorgänge. Der kritische Weg auf der Basis dieser Normaldauern ist stark ausgezeichnet.

230

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Unter den kritischen Vorgängen sind A, E und G verkürzbar. Von diesen weist A mit 20 die geringsten Beschleunigungskosten auf, so daß im ersten Schritt A um 1 ZE zu verkürzen ist. Nun ist festzustellen, ob sich der kritische Weg verändert hat. Dazu wird in Tabelle 51 eine Zeitanalyse der Ereignisse durchgeführt. Im stark umrandeten Teil sind FZ/SZ der Ereignisse angegeben.

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

231

Schritt Nr.

0

1

2

3

4

5

6

7

Projektdauer

49

48

47

46

45

44

43

42

A 9

A 8

A 7

G 10

E 15

E 14

A, B 6, 6

-

20

20

20

22

25

25

35

-

20

40

60

82

107

132

167

Verkürzung von auf ... ZE Beschleunigungskosten Zu satzkosten

-

Ereig niszeitp unkte F Z/SZ

Ereignis 1

0/0

0/0

0/0

0/0

0/0

0/0

0/0

0/0

2

7/10

7/9

7/8

7/7

7/7

7/7

7/7

6/6

3

10/10

9/9

8/8

7/7

7/7

7/7

7/7

6/6

4

10/10

9/9

8/8

7/7

7/7

7/7

7/7

6/6

5

16/22

15/21

14/20

13/19

13/19

13/19

13/19

12/18

6

22/22

21/21

20/20

19/19

19/19

19/19

19/19

18/18

7

38/38

37/37

36/36

35/35

35/35

34/34

33'33

32/32

8

38/38

37/37

36/36

35/35

35/35

34/34

33/33

32/32

9

38/44

37/43

36/42

35/41

35/40

34/39

33/38

32/37

10

49/49

48/48

47/47

46/46

45/45

44/44

43/43

42/42

B-2 / kritischer Weg

1-A-3-4-C-6-E7-8-G-10

\

1

4-C-6-E-7-8-G-10

/ A-3

Tabelle 51

Nach dem ersten Schritt bleibt der kritische Weg. Da Vorgang A noch weiter verkürzbar ist, wird seine Zeit im zweiten Schritt wieder um 1 ZE reduziert. Entsprechendes gilt für

232

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

den dritten Schritt. Danach wird auch der Knoten 2 und damit Vorgang B kritisch; der kritische Weg gabelt sich also. Es ergeben sich jetzt folgende Verkürzungsmöglichkeiten: A und B, E oder G; die entsprechenden Beschleunigungskosten sind: 20 + 15 = 35, 25 oder 22. Im vierten Schritt ist also G um eine Zeiteinheit zu verkürzen. Dadurch ändert sich der kritische Weg nicht. Eine weitere Verkürzung von G kommt nicht mehr in Frage, da er bereits auf d reduziert ist. Demnach ist im fünften Schritt E zu verkürzen und, da der kritische Weg bleibt, auch im sechsten. Damit hat auch E die Minimaldauer erreicht, und für den siebenten Schritt bleibt nur noch die gemeinsame Verkürzung von A und B um 1 ZE. Damit ist die Mindestdauer des Projektes erreicht, obwohl B und H noch verkürzbar wären. Man achte darauf, daß eine mögliche Verkürzung von H nicht durchgeführt wurde, da H weder zu Beginn, d.h. bei Normaldauern, noch im Fortgang der Verkürzung kritisch wird.

In Abbildung 84 ist der Verlauf der Zusatzkosten über der Projektdauer wiedergegeben.

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

233

Zusatzkosten der Vorgänge

MindestProjektdauei

Normale Proiektdauer

Abbildung 84

Den Zusatzkosten der Vorgänge stehen die direkt von der Projektdauer abhängigen Kosten gegenüber, nämlich die eventuell anfallenden Konventionalstrafen und die als negative Kosten zu interpretierenden Gutschriften für Zeitunterschreitungen. Die Summe dieser beiden gegenläufigen Kosten stellt die gesamten relevanten Kosten dar zur Bestimmung der kostenoptimalen Projektdauer. Deren tabellarische Ermittlung ist in Tabelle 52 wiedergegeben; Abbildung 85 zeigt die entsprechende graphische Darstellung.

234

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Projektdauer

42

43

44

45

46

47

48

49

Zusatzkosten der Vorgänge

167

132

107

82

60

40

20

0

Projektdauerabhängige Kosten

-45

-30

-15

0

20

50

100

150

Gesamt relevante Kosten

122

102

92

82

80

90

120

150

Tabelle 52

Kosten

MindestProjektdauer

Optimale Projektdauter

Abbildung 85

Normale Projektdauer

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

235

Aus der Rechnung bzw. Darstellung ergibt sich eine kostenoptimale Projektdauer von 46 Zeiteinheiten bei Inkaufnahme einer Konventionalstrafe von 20 GE.

An diesem Beispiel sei sehr deutlich ein immer wieder auftretendes Mißverständnis dargelegt, das bezüglich aller Planungsrechnungen anzutreffen ist. In den seltensten Fällen kann ein Planungsproblem vollständig quantitativ erfaßt werden. In aller Regel ist es so, daß nur ein Teil der verfügbaren Informationen in die Planungsrechnung eingeht, und dies nicht nur wegen der generell gegebenen Datenunsicherheit. Zwangsweise ist die Planungsrechnung dann nur eine Hilfe zur Entscheidungsfindung, sind die Ergebnisse nur Entscheidungshilfen. Bei dem hier betrachteten kleinen Projekt ergibt die Rechnung eine geplante Konventionalstrafe von 20 GE. Bei der endgültigen Entscheidung muß man sich fragen, ob das durch die Konventionalstrafe bewirkte negative Image letztendlich nicht viel teurer ist als die gegenüber der Projektdauer von 45 ZE ohne Konventionalstrafe eingesparten Kosten in Höhe von 2 GE. Mit diesen Überlegungen wird man die Projektdauer wohl auf 45 Zeiteinheiten planen.

109. Ermitteln Sie für das folgende Projekt mit konstanten Beschleunigungskosten der Vorgänge die kostenoptimalen Projektverkürzungen. Im Netzplan der Abbildung 86 ist der kritische Weg auf der Basis der Normaldauern stark ausgezeichnet. Welche Besonderheiten treten auf?

Abbildung 86

236

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Vorgang

Normaldauer D

Minimaldauer d

Beschleunigungskosten

A

10

9

20

B

20

13

16

C

26

25

11

D

10

7

12

E

26

25

8

F

20

12

18

G

10

9

17

Tabelle 53

Mit den Normaldauern der Vorgänge ergibt sich die Projektdauer zu 70 Zeiteinheiten. Von den Vorgängen des kritischen Weges weist D die geringsten Beschleunigungskosten auf, im ersten Schritt wird D um 3 ZE auf seine Minimaldauer verkürzt. In den weiteren vier Schritten werden die übrigen vier ursprünglich kritischen Vorgänge B, G, F und A je um 1 Zeiteinheit verkürzt. Die Beschränkung auf 1 ZE ist bei G und A durch das Erreichen der Minimaldauer bedingt, bei B und F dadurch, daß C bzw. E mit kritisch werden. Nach dem 5. Schritt sind alle Vorgänge kritisch, A, D und G können nicht weiter verkürzt werden. In Tabelle 54 sind diese ersten Verkürzungen mit den zugehörigen Kostenwerten wiedergegeben.

D. Kostenanalyse

Schritt Nr. Verkürzung von um ZE auf ZE Projektdauer Beschleunigungskosten

0

Projektplanung

237

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D 3 7

B 1 19

G 1 9

F 1 19

A 1 9

BD F 3-3 3 16 10 16

EF 1 1 25 15

B C 1 1 15 25

B F 2 2 13 13

70

67

66

65

64

63

60

59

58

56

-

12

16

17

18

20

22

26

27

34

36

16

17

18

20

66

26

27

68

36

52

69

87

107

173

199

226

294

"

zusätzliche Kosten bei dieser Verkürzung gesamte Zusatzkosten

und kostenoptimale

0

Tabelle 54

Im 6. Schritt ergeben sich 3 Verkürzungsmöglichkeiten. Von den 6 möglichen Schnitten des jetzt den gesamten Netzplan umfassenden kritischen Weges beinhalten 3 Schnitte mindestens einen nicht mehr verkürzbaren Vorgang, nämlich der Schnitt durch Vorgang A, der Schnitt durch die Vorgänge C, D, E und der Schnitt durch Vorgang G. Möglich sind zunächst die gemeinsame Verkürzung von B und C mit Beschleunigungskosten von 27 GE/ZE und die gemeinsame Verkürzung von E und F mit Beschleunigungskosten von 26 GE/ZE. Der letzte mögliche Schnitt schneidet B, D und F, D allerdings in der anderen Richtung. Dies bedeutet, daß bei einer Verkürzung von B und F Vorgang D entsprechend wieder verlängert werden kann, daß die Beschleunigungskosten dann 16 + 18 — 12 = 22 GE/ZE betragen. Im 6. Schritt wird diese Verkürzung der Projektdauer um 3 Zeiteinheiten durchgeführt. Danach hat D wieder seine Normaldauer und kann nicht weiter verlängert werden, eine weitere Verkürzung von B und F hätte jetzt Beschleunigungskosten von 34 GE/ZE. In den Schritten 7 bis 9 werden in der Reihenfolge aufsteigender Beschleunigungskosten die Vorgangspaare E und F, dann B und C und schließlich B und F soweit verkürzt, bis jeweils einer der Vorgänge seine Minimaldauer erreicht hat. Es ist bemerkenswert, daß Vorgang D zunächst weitestmöglich verkürzt, dann aber wieder auf die Normaldauer verlängert wird. Bei der Mindestprojektdauer von

238

D Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

56 Zeiteinheiten weist Vorgang D sogar eine Pufferzeit GP = UP = 2 auf, obschon D bei Normaldauern aller Vorgänge und damit bei der normalen Projektdauer kritisch ist.

In Abbildung 87 ist der Verlauf der Zusatzkosten über der Projektdauer graphisch dargestellt.

Zusatzkosten der Vorgänge

300

294

i 226

200

Normale Projektdauer

Abbildung 87

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

239

110. In Abbildung 88 ist der Netzplan eines Projektes dargestellt. Der Netzplan ist ein Serien-Parallel-Netz. Tabelle 55 gibt die Normal- und Mindestdauern der Vorgänge an sowie die nur teilweise konvexen zusätzlichen Kosten bei Vorgangsverkürzungen.

Vorgang

Normaldauer D

Zusatzkosten bei Verkürzung des Vorgangs um ... ZE

Minimaldauer d 0

1

2

3

4

5

10

-

-

A

10

7

0

4

8

B

12

10

0

6

6

-

-

-

C

8

5

0

1

3

8

-

-

D

28

23

0

3

6

9

11

12

E

15

10

0

7

8

9

10

11

F

12

12

0

-

-

-

-

-

G

13

11

0

2

4

-

-

-

H

15

13

0

1

5

-

-

-

I

10

8

0

3

4

-

-

-

J

13

11

0

3

3

-

-

-

Tabelle 55

240

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Ermitteln Sie die minimalen Zusatzkosten in Abhängigkeit von der Projektdauer. Welches ist die kostenoptimale Projektdauer, wenn in Abhängigkeit von der Projektdauer Kosten von 4 GE/ZE anfallen?

Ein wie hier vorliegendes Serien-Parallel-Netz gestattet bei beliebigem Verlauf der Zusatzkosten einmal die Zusammenfassung serieller Vorgänge mittels dynamischer Programmierung und zum anderen die Zusammenfassung paralleler Vorgänge, also einen permanenten Ersatz mehrerer Vorgänge durch jeweils einen Ersatzvorgang. Nach abgeschlossener Serien-Parallel-Reduktion ergeben sich die Zusatzkosten für einen einzigen Ersatz Vorgang, die die minimalen gesamten Zusatzkosten für alle möglichen Projektdauern darstellen.

Es wird zunächst das Teilnetz I zwischen den Knoten 1 und 5 wegweise betrachtet. Mittels dynamischer Programmierung wird für alle möglichen Dauern des Weges A — B — C der Wert der minimalen Zusatzkosten berechnet. In der paarweisen Optimierung werden zunächst die Vorgänge A und B durch einen Ersatzvorgang A-B dargestellt. Dabei werden für jede mögliche Dauer von A-B alle zulässigen Kombinationen aus A und B betrachtet, die kostengünstigste wird ausgewählt. In gleicher Weise wird der Ersatzvorgang A-B mit dem Vorgang C zum Ersatzvorgang A-B-C zusammengefaßt. Tabelle 56 zeigt diese Optimierung. Verkürzung um ... ZE

Zusatzkosten A

B

A-B

0

0

0

0

1

4

6

2

8

3

10

Verkürzung B in A-B

Zusatzkosten

Verkürzung C in A-B-C

C

A-B-C

0

0

0

0

4

0

1

1

1

6

6

2

3

3

2

-

10

2

8

7

2

9

2

4

-

-

14

2

-

5

-

-

16

2

-

13

2 2

6

-

-

-

-

-

17

7

-

-

-

-

-

19

2

8

-

-

-

-

-

24

3

Tabelle 56

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

241

Das Teilnetz I weist neben der Vorgangsfolge A-B-C dazu parallel den Vorgang D und die Folge E-F auf. Da F nicht verkürzbar ist, sind die Zusatzkosten einer Verkürzung von E-F gleich den entsprechenden Zusatzkosten von E. In Tabelle 57 sind die Zusatzkosten dieser drei parallelen Wege in Abhängigkeit von der Gesamtdauer angegeben. Die Addition der Kosten ergibt die gesamten Zusatzkosten des Teilnetzes I in Abhängigkeit von dessen Dauer. Es ist zu beachten, daß die Dauer 22 für das Teilnetz nicht realisierbar ist.

Zusatzkosten

Zusatzkosten des Teilnetzes I

Dauer A-B-C

D

E-F

30

0

-

-

29

1

-

-

1

28

3

0

-

3

27

7

3

0

10

26

9

6

7

22

25

13

9

8

30

24

17

11

9

37

23

19

12

10

41

22

24

11

-

-

0

Tabelle 57

Das Teilnetz II zwischen den Knoten 5 und 8 besteht aus den beiden Vorgangsserien G und H sowie I und J. Die Zusammenfassungen zu Ersatzvorgängen G-H und I-J ist in Tabelle 58 dargestellt.

242

D. Kostenanalyse

Verkürzung um ZE

und kostenoptimale

Zusatzkosten G

H

G-H

0

0

0

0

1

2

1

2

4

3 4

Projektplanung

Verkürzung H in G-H

Verkürzung J in I-J

Zusatzkosten I

J

I-J

0

0

0

0

0

1

1

3

3

3

1

5

3

1

4

3

3

2

-

-

5

1

-

-

6

2

-

-

9

2

-

-

7

2

Tabelle 58

In Tabelle 59 sind die gesamten Zusatzkosten des Teilnetzes II in Abhängigkeit von dessen Dauer ermittelt.

Zusatzkosten des Teilnetzes II

Zusatzkosten Dauer G-H

1-J

28

0

0

27

1

1

26

3

3

25

5

5

24

9

9

23 22 21 20 19 Tabelle 59

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

243

Das Teilnetz II kann maximal auf 24 ZE verkürzt werden, eine Verkürzung der Vorgänge I oder J kommt damit nicht in Betracht. Zum Schluß sind die beiden Ersatzvorgänge für die Teilnetze in Tabelle 60 zu einem Ersatzvorgang für das gesamte Projekt zusammengefaßt.

Verkürzung um ZE

Zusatzkosten

Verkürzung II in I-II

I

II

I-II

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

2

3

3

2

1

3

10

5

4

2

4

22

9

6

2

5

30

-

8

3

6

37

-

12

4

7

41

-

19

4

8

-

-

31

4

9

-

-

39

4

10

-

-

46

4

11

-

-

50

4

Tabelle 60

Die eine optimale Projektverkürzung ausmachenden Vorgangsverkürzungen werden, wie bei der dynamischen Programmierung üblich, durch eine rückwärts laufende Betrachtung ermittelt. Eine Verkürzung des gesamten Projekts um beispielsweise 7 Zeiteinheiten erfolgt nach Tabelle 60 durch Verkürzung von Teilnetz II um 4 ZE und verbleibend um 3 ZE in Teilnetz I. Entsprechend Tabelle 59 erfolgt die Reduzierung von Teilnetz II bei G-H, laut Tabelle 58 durch Verkürzung von G und H um jeweils 2 ZE. Nach Tabelle 57 sind bei Verkürzung von Teilnetz I um 3 ZE die Folge A-B-C um 3 ZE und Vorgang D

244

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

um 1 ZE zu reduzieren. Tabelle 56 zeigt dann an, daß Vorgang C um 2 ZE, dann Vorgang B um 0 ZE und verbleibend Vorgang A um 1 ZE zu verkürzen sind.

In Tabelle 61 sind die Zusatzkosten der Vorgänge in Abhängigkeit von der Projektdauer angegeben. Die von der Projektdauer direkt abhängigen Kosten sind auf den Wert der Mindest-Projektdauer normiert. Die Summe dieser beiden Kosten bestimmt die kostenoptimale Projektdauer. Die graphische Darstellung der Kosten über der Projektdauer erfolgt in Abbildung 89, wobei die eigentlich nur punktweise definierten Kosten geradlinig verbunden sind.

Projektdauer

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

Zusatzkosten der Vorgänge

50

46

39

31

19

12

8

6

4

2

1

0

Projektdauerabhängige Kosten

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

Gesamte relevante Kosten

50

50

47

43

35

32

32

34

36

38

41

44

Tabelle 61

D. Kostenanalyse und kostenoptimale Projektplanung

245

Kosten

Projektdauer

Projektdauer

Projektdauer

Abbildung 89

Ein Optimum bezüglich der Kosten wird erreicht bei einer Projektdauer von 52 oder 53 ZE. In beiden Fällen betragen die relevanten Kosten 32.

Das hier benutzte Verfahren auf der Basis der dynamischen Programmierung stellt keine Voraussetzungen an den Verlauf der Zusatzkosten bei den Vorgängen. Diese können vom Verfahren her auch ganz oder teilweise mit sinkender Vorgangsdauer ebenfalls fallen. Über den Verlauf der minimalen Zusatzkosten der Vorgänge in Abhängigkeit von der Projektdauer läßt sich deshalb a priori ebenfalls nichts aussagen. Das Verfahren muß hier an verschiedenen Tabellen erläutert werden. Dies könnte den Eindruck erwekken, man benötige die Tabellen auch explizit in praktischen Rechnungen und müsse gar

246

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung,

mit dem Finger rückwärts die optimalen Strukturen zusammenklauben. Natürlich erfolgt dies alles im Computer.

Das Verfahren ist in dieser Form nur anwendbar bei speziellen Netzstrukturen. Das Netz muß so gestaltet sein, daß es sich durch fortlaufendes Zusammenfassen von Wegen ohne Abzweigungen und von parallelen Vorgängen auf einen Vorgang reduzieren läßt. Derartige Netze werden als Serien-Parallel-Netze bezeichnet.

111. Abbildung 90 gibt die Struktur eines Projekts wieder. Normal- und Minimaldauern der Vorgänge sowie die Zusatzkosten bei Verkürzungen sind in Tabelle 62 angegeben. Der kritische Weg auf der Basis der Normaldauern ist im Netzplan stark ausgezeichnet. Ermitteln Sie die kostenoptimalen Projektverkürzungen. Diskutieren Sie an diesem Beispiel generelle Berechnungsmöglichkeiten bei beliebigem Verlauf der Zusatzkosten für die Vorgänge.

Abbildung 90

D. Kostenanalyse

Vorgang

Normaldauer D

und kostenoptimale

Minimaldauer d

247

Projektplanung

Zusatzkosten bei Verkürzung des Vorgangs um ZE 0

1

2

3

4 16

A

6

2

0

2

4

7

B

4

1

0

1

3

15

-

C

8

5

0

2

6

12

-

D

12

9

0

1

2

4

-

E

12

9

0

1

2

5

-

F

5

2

0

0

1

3

-

G

8

5

0

2

4

5

-

H

12

8

0

1

3

7

I

10

7

0

2

1

4

-

J

11

8

0

4

6

7

-

K

8

5

0

2

4

8

-

L

20

16

0

1

4

9

14

M

13

10

0

1

2

2

-

N

10

7

0

4

5

5

-

12

Tabelle 62

Der Netzplan läßt sich in zwei Teilnetze zerlegen, und zwar in das einfache Serien-Parallel-Netz I zwischen den Knoten 1 und 5 und in das Teilnetz II zwischen den Knoten 5 und 12, dessen Vorgänge alle konvexe Zusatzkosten aufweisen, allerdings bei keinem Vorgang konstante Beschleunigungskosten über den Bereich der Vorgangsdauer. Die Vorgänge J und N in Teilnetz I können nicht kritisch werden, so daß sich dessen Zusatzkosten aus Verkürzungen der Vorgänge I, G oder M ergeben. Die entsprechenden minimalen Zusatzkosten der Verkürzungen von Teilnetz I sind in Tabelle 63 berechnet.

248

D. Kostenanalyse

Verkürzung um ZE

und kostenoptimale

Zusatzkosten I

G

I-G

0

0

0

0

1

2

2

2

1

3

Projektplanung

Verkürzung G in I-G

Zusatzkosten

Verkürzung M in I-G-M

M

I-G-M

0

0

0

0

2

0

1

1

1

4

1

0

2

1

0

4

5

3

1

2

2

1

4

-

-

5

2

-

3

2

5

-

-

6

3

-

3

3

6

-

-

9

3

-

5

3

7

-

-

-

-

-

7

3

8

-

-

-

-

-

8

3

9

-

-

-

-

-

11

3

Tabelle 63

Da im Teilnetz II die Zusatzkosten der Vorgänge konvex sind, lassen sich die Zusatzkosten des Teilnetzes relativ einfach mittels kostenminimaler Schnitte des kritischen Weges bzw. praktisch mit entsprechenden Flußverfahren ermitteln. Dabei sind nur diejenigen Schnitte relevant, die keine Scheinvorgänge enthalten. Der kritische Weg bleibt im Teilnetz II lange unverändert. Erst bei der letzten Verkürzung von L ist die Vorgangsfolge H-F mit zu verkürzen, die Beschleunigungskosten von F betragen allerdings für die erste Zeiteinheit Null. In Tabelle 64 sind die Zusatzkosten der beiden Teilnetze angegeben und daraus ermittelt die Zusatzkosten für das gesamte Projekt.

D. Kostenanalyse

Verkürzung um ,, ZE

und kostenoptimale

Zusatzkosten

Projektplanung

249

Verkürzung II in I-II

I

II

I-II

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

2

1

3

1

0

3

2

5

2

0

4

3

8

3

0

5

3

13

3

0

6

5

18

4

1

7

7

23

6

1

8

8

-

8

1

9

11

-

9

1

10

-

-

11

2

11

-

-

13

3

12

-

-

16

3

13

-

-

19

4

14

-

-

24

5

15

-

-

29

6

16

-

-

34

7

Tabelle 64

In Abbildung 91 ist der Verlauf der Zusatzkosten über der Projektdauer graphisch dargestellt.

250

D. Kostenanalyse

und kostenoptimale

Projektplanung

Zusatzkosten der Vorgänge

60 MindestProjektdauer

63 Projektdauer Normale Projektdauer

Abbildung 91

Bei diesem Projekt wären die bei einer Verkürzung der Projektdauer auftretenden minimalen Zusatzkosten auch dann weitgehend einfach errechenbar, wenn die Vorgänge des Teilnetzes II keine konvexen, sondern beliebig verlaufende Zusatzkosten hätten. Bei der Anwendbarkeit der Serien-Parallel-Reduktion kommt es primär auf die Struktur des kritischen Weges an und erst in zweiter Linie auf die Struktur des weiteren Netzplanes dann, wenn immer mehr Vorgänge kritisch werden. Die Serien-Parallel-Reduktion bei beliebig verlaufenden Zusatzkosten ist allgemein so lange zur Ermittlung von Zusatzkosten der Projektverkürzung anwendbar, wie der kritische Weg ein Serien-ParallelNetz bleibt. Für die weitgehende Anwendbarkeit dieses Verfahrens spricht auch die Tatsache, daß Netzpläne der Praxis in großen Teilen Serien-Parallel-Netze sind.

Begriffe, Definitionen und Kurzzeichen Die Zusammenstellung enthält die benutzten Begriffe der Netzplantechnik. Soweit Kurzzeichen benutzt werden, sind auch diese angegeben, allerdings ohne die in der Symbolik erforderlichen Indizes. Bei den mit" gekennzeichneten Begriffen ist die Definition wörtlich den Normen DIN 69 900 bis 69 903 entnommen oder in starker Anlehnung an diese Normen erfolgt.

1. Allgemeine Begriffe

Netzplantechnik

NPT

Gesamtheit der auf der Graphentheorie basierenden Verfahren bzw. Methoden zur Strukturierung, Planung, Steuerung und Überwachung des Ablaufs von grossen, komplexen Projekten

Netzplan ( Kurzform: Netz )

NP

Graphische und graphenorientierte Darstellung des Projektablaufs

Netzplanverfahren'

Grundsätzliche Form der Zuordnung von Vorgängen des Projektes zu Darstellungselementen der Graphentheorie ( Vorgangspfeil-Netzplan, Vorgangsknoten-Netzplan )

Vorgangspfeil-Netzplan

VPN

Netzplan eines Verfahrens, bei dem die Vorgänge den Pfeilen zugeordnet werden.

Vorgangsknoten-Netzplan

VKN

Netzplan eines Verfahrens, bei dem die Vorgänge den Knoten zugeordnet werden.

Netzplan-Methode*

Art und Weise des Vorgehens nach detaillierten Regeln der Darstellung, der Berechnung usw. ( z.B. CPM u.a. folgende ) CPM PERT MPM HMN PDM PPS

Critical Path Method Program Evaluation and Review Technique Metra Potential Methode Hamburger Methode der Netzplantechnik Precedence Diagramming Method Projektplanungs- und -steuerungssystem

252

Begriffe,

Definitionen

und

Kurzzeichen

Meilenstein-Netzplan*

Netzplan, in dem ausschließlich Meilensteine durch Anordnungsbeziehungen miteinander verknüpft sind.

Standard-Netzplan*

Netzplan mit festgelegter Ablaufstruktur, der zur wiederholten Anwendung bestimmt ist.

Netzplan-Programmsystem

Programmpaket zur Berechnung von Netzplänen auf Computern

Projektstruktur, Proj ektstrukturierung, Strukturplanung

Zerlegung des Projektes in seine Vorgänge und Darstellung der ablauflogischen bzw. zeitlichen Abhängigkeiten zwischen diesen Vorgängen

Zeitplanung, Terminplanung

Zeitliche Analyse und Planung des Projektes

Kapazitätsplanung

Im wesentlichen zeitliche Projektplanung unter expliziter Berücksichtigung der erforderlichen Einsatzmittel und unter Bezugnahme auf Kapazitätsgrenzen der Einsatzmittel

Kostenplanung

Zeitliche und kapazitive Projektplanung unter Beachtung der Kosten, meist unter der Zielsetzung einer Kostenminimierung

Gerichteter Graph

Graph, dessen Kanten eine Richtung aufweisen.

Knoten

Element eines Graphen, hier nur eines gerichteten Graphen

Gerichtete Kante ( Pfeil, Kante )

Element eines gerichteten Graphen. In der Netzplantechnik sind nur gerichtete Graphen von Belang. Deshalb werden "gerichtete Kante", "Kante" und "Pfeil" synonym benutzt.

Anfangsknoten

Den Anfang eines Pfeils darstellender Knoten

Endknoten

Das Ende eines Pfeils darstellender Knoten

Startknoten"

Knoten, von dem Pfeile nur ausgehen.

Zielknoten'

Knoten, in den Pfeile nur einmünden.

Begriffe,

Definitionen

und

Kurzzeichen

253

Weg

Folge von gerichteten Kanten, wobei der Endknoten einer Kante jeweils der Anfangsknoten der folgenden Kante ist.

Länge eines Weges

Summe der Bewertungen aller Kanten, die zu einem Weg gehören.

Längster Weg

Längster aller möglichen Wege im Graphen. In der Netzplantechnik ist es im Gegensatz zur Graphentheorie üblich, auch dann noch von einem längsten Weg zu sprechen, wenn dieser sich "gabelt".

Zyklus, Schleife

In der Graphentheorie versteht man unter einem Zyklus einen einfachen Weg, bei dem Anfangs- und Endknoten identisch sind. In der Netzplantechnik wird hierfür der Ausdruck Schleife bevorzugt. Beide Begriffe werden hier synonym benutzt.

Rang eines Knotens

R

Anzahl der Kanten desjenigen Weges zum Knoten, der die meisten Kanten enthält. Ränge sind nur für zyklusfreie Graphen bzw. Netzpläne definiert.

Rang einer Kante

R

Rang des Anfangsknotens der Kante

2. Strukturbegriffe Projekt

Abgrenzbare, in sich geschlossene Aufgabe, die zumindest in ihrer speziellen Durchführung einmalig ist und an deren Durchführung mehrere Stellen beteiligt sind.

Projektaufgliederung

Zerlegung des Projektes nach Objekten ( Erzeugnissen ) bzw. Funktionen

Projektstruktur*

Gesamtheit der wesentlichen Beziehungen zwischen den Elementen eines Projektes

Projektstrukturplan

PSP

Hierarchisch über verschiedene Gliederungsebenen aufgebaute Darstellung des Projektes

Projektstrukturebene*

PSE

Gliederungsebene innerhalb der Projektstruktur

254

Begriffe,

Definitionen

und

Kurzzeichen

Teilaufgabe"

Arbeitspaket*

Teil des Projektes, der im Projektstrukturplan weiter aufgegliedert werden kann.

AP

Teil des Projektes, der im Projektstrukturplan nicht weiter aufgegliedert ist und auf einer beliebigen Gliederungsebene liegen kann.

Ereignis

Auf einen oder mehrere Vorgänge bezogenes Durchführungsstadium im Projektablauf, erforderlich zur Aufstellung von Vorgangspfeilnetzen

Vorereignis'

Einem Ereignis im Vorgangspfeilnetz über einen Pfeil unmittelbar vorgeordnetes Ereignis

Nachereignis"

Einem Ereignis im Vorgangspfeilnetz über einen Pfeil unmittelbar nachgeordnetes Ereignis

Startereignis

Durch einen Startknoten dargestelltes Ereignis im Vorgangspfeilnetz

Zielereignis

Durch einen Zielknoten dargestelltes Ereignis im Vorgangspfeilnetz

Vorgang

Aufgabe in einem Projekt mit definiertem Anfang und Ende, die Zeit und i.R. Einsatzmittel erfordert. Vorgänge werden meistens als Teile von Arbeitspaketen verstanden.

Vorgangsereignis

Stadium im Ablauf eines Vorgangs

Vorgangsanfang

Spezielles Vorgangsereignis, nämlich der Anfang des Vorgangs

Vorgangsende

Spezielles Vorgangsereignis, nämlich das Ende des Vorgangs

Anfangsereignis

Den Anfang eines Vorgangs begrenzendes Ereignis

Endereignis

Das Ende eines Vorgangs begrenzendes Ereignis

Begriffe, Definitionen

und

Kurzzeichen

255

Vorgänger

Einem Vorgang durch eine Reihenfolgebedingung unmittelbar vorgeordneter Vorgang, ohne daß andere Vorgänge dazwischen liegen.

Nachfolger

Einem Vorgang durch eine Reihenfolgebedingung unmittelbar nachgeordneter Vorgang, ohne daß andere Vorgänge dazwischen liegen.

Struktureller Vorgänger

Vorgang, von dem aus eine Beziehung (Pfeil) explizit oder im Vorgangspfeilnetz auch implizit über ein Ereignis zum betrachteten Vorgang verläuft. Strukturelle Vorgänger begrenzen den betrachteten Vorgang bezüglich seiner zeitlich frühesten Lage. Ein Vorgänger ist immer auch ein struktureller Vorgänger, umgekehrtes gilt nicht.

Struktureller Nachfolger

Vorgang, zu dem eine Beziehung (Pfeil) explizit oder im Vorgangspfeilnetz auch implizit über ein Ereignis vom betrachteten Vorgang aus verläuft. Strukturelle Nachfolger begrenzen den Vorgang bezüglich seiner zeitlich spätesten Lage. Ein Nachfolger ist immer auch ein struktureller Nachfolger, umgekehrtes gilt nicht.

Startvorgang"

Vorgang, zu dem es im betrachteten Netzplan keinen strukturellen Vorgänger gibt.

Zielvorgang*

Vorgang, zu dem es im betrachteten Netzplan keinen strukturellen Nachfolger gibt.

Meilenstein

M

Definierbares und definiertes Projektdurchführungsstadium

Anordnungsbeziehung*

Quantifizierbare und quantifizierte zeitliche Abhängigkeit zwischen Vorgängen

Ablaufstruktur

Gesamtheit der Anordnungsbeziehungen des Netzplans

256

Begriffe,

Definitionen

und

Kurzzeichen

Ende-Anfang-Beziehung* ( Normalfolge)

NF

Anordnungsbeziehung ( Pfeil ) vom Ende eines Vorgangs zum Anfang eines strukturellen Nachfolgers, einen zeitlichen, auch negativen Mindestabstand darstellend.

Anfang-Anfang-Beziehung" ( Anfangsfolge)

AF

Anordnungsbeziehung ( Pfeil) vom Anfang eines Vorgangs zum Anfang eines strukturellen Nachfolgers, einen zeitlichen, auch negativen Mindestabstand darstellend.

Ende-Ende-Beziehung* ( Endfolge )

EF

Anordnungsbeziehung ( Pfeil ) vom Ende eines Vorgangs zum Ende eines strukturellen Nachfolgers, einen zeitlichen, auch negativen Mindestabstand darstellend.

Anfang-Ende-Beziehung* ( Sprungfolge)

SF

Anordnungsbeziehung ( Pfeil) vom Anfang eines Vorgangs zum Ende eines strukturellen Nachfolgers, einen zeitlichen, auch negativen Mindestabstand darstellend.

Reihenfolgebedingung, Reihenfolgebeziehung

Spezielle Anordnungsbeziehung, die eine reine Reihenfolge beschreibt. Eine Reihenfolgebedingung oder Reihenfolgebeziehung ist eine Ende-Anfang-Beziehung mit einem zeitlichen Mindestabstand von Null.

Scheinvorgang

Spezielle Anordnungsbeziehung im Vorgangspfeil-Netzplan. Ein Scheinvorgang stellt eine Ende-Anfang-Beziehung dar.

3. Zeitbegriffe Vorgangsdauer

D

Plan- oder Ist-Dauer eines Vorgangs. Plandauern können direkt geschätzt werden oder aus einer gewichteten Mittelung mehrerer Schätzwerte resultieren.

Optimistische Dauer*

OD

Dauer eines Vorgangs, die unter besonders günstigen Bedingungen vorkommen kann.

Häufigste Dauer"

HD

Dauer eines Vorgangs, die unter üblichen Bedingungen meistens vorkommt.

Pessimistische Dauer*

PD

Dauer eines Vorgangs, die unter besonders ungünstigen Bedingungen vorkommen kann.

Begriffe, Definitionen

und Kurzzeichen

257

Maximaldauer, Normaldauer

D

Vorgangsdauer, die nicht überschritten werden kann oder aus bestimmten Gründen nicht überschritten werden soll.

Minimaldauer

d

Vorgangsdauer, die nicht unterschritten werden kann oder aus bestimmten Gründen nicht unterschritten werden soll.

Zeitabstand*

Z

Zeitwert einer Anordnungsbeziehung als zeitlicher Mindestabstand zwischen einem bedingenden Vorgangsereignis und einem bedingten Vorgangsereignis. Der Zeitwert kann größer als, kleiner als oder gleich Null sein.

Minimaler Zeitabstand*

MINZ

Zeitwert einer Anordnungsbeziehung, der nicht unterschritten werden kann.

Maximaler Zeitabstand*

MAXZ Zeitwert einer Anordnungsbeziehung, der nicht überschritten werden darf.

Zeitpunkt"

Festgelegter Punkt im Ablauf, dessen Lage durch Zeiteinheiten wie Tage oder Wochen beschrieben und auf einen Nullpunkt bezogen ist.

Ereigniszeitpunkt

Zeitpunkt für ein Ereignis. Es werden verschiedene Ereigniszeitpunkte unterschieden: FZ

Frühester Ereigniszeitpunkt"

SZ

Spätester Ereigniszeitpunkt*

FZP

Pufferzeitrelevanter frühester Ereigniszeitpunkt

SZP

Pufferzeitrelevanter spätester Ereigniszeitpunkt

Vorgangszeitpunkt

Zeitpunkt für ein Vorgangsereignis, insbesondere Vorgangsanfang bzw. Vorgangsende. Es werden verschiedene Vorgangszeitpunkte unterschieden:

AZ

Anfangszeitpunkt allgemein

EZ

Endzeitpunkt allgemein

258

Begriffe, Definitionen

und

Kurzzeichen

FAZ

Frühester Anfangszeitpunkt"

SAZ

Spätester Anfangszeitpunkt*

FEZ

Frühester Endzeitpunkt*

SEZ

Spätester Endzeitpunkt*

EFAZ

Extern vorgegebener frühestmöglicher Anfangszeitpunkt

ESAZ

Extern vorgegebener spätestzulässiger Anfangszeitpunkt

EFEZ

Extern vorgegebener frühestmöglicher Endzeitpunkt

ESEZ

Extern vorgegebener spätestzulässiger Endzeitpunkt

AZ

Ist-Anfangszeitpunkt

EZ

Ist-Endzeitpunkt

ZAFV

Zeitpunkt für den Anfang eines Vorgangs, bedingt durch die früheste Lage der strukturellen Vorgänger.

ZASV

Zeitpunkt für den Anfang eines Vorgangs, bedingt durch die späteste Lage der strukturellen Vorgänger.

ZAFN Zeitpunkt für den Anfang eines Vorgangs, bedingt durch die früheste Lage der strukturellen Nachfolger. ZASN

Zeitpunkt für den Anfang eines Vorgangs, bedingt durch die späteste Lage der strukturellen Nachfolger.

ZEFV

Zeitpunkt für das Ende eines Vorgangs, bedingt durch die früheste Lage der strukturellen Vorgänger.

ZESV

Zeitpunkt für das Ende eines Vorgangs, bedingt durch die späteste Lage der strukturellen Vorgänger.

Begriffe, Definitionen

259

ZEFN

Zeitpunkt für das Ende eines Vorgangs, bedingt durch die früheste Lage der strukturellen Nachfolger.

ZESN

Zeitpunkt für das Ende eines Vorgangs, bedingt durch die späteste Lage der strukturellen Nachfolger.

Meilensteinzeitpunkt

Revisionszeitpunkt

und Kurzzeichen

Zeitpunkt für einen Meilenstein. Es werden zwei Meilensteinzeitpunkte unterschieden: FZ

Frühester Meilensteinzeitpunkt

SZ

Spätester Meilensteinzeitpunkt

RZ

Zeitpunkt der Planrevision, ab dem verbesserte Daten der Projektüberwachung wirksam werden.

Termin*

Durch Kalenderdatum und / oder Uhrzeit ausgedrückter zeitlicher Punkt

Ereignistermin

Termin für ein Ereignis. Es werden zwei Ereignistermine unterschieden: FT

Frühester Ereignistermin"

ST

Spätester Ereignistermin*

Vorgangstermin

Termin für ein Vorgangsereignis, insbesondere Vorgangsanfang bzw. Vorgangsende. Es werden verschiedene Vorgangstermine unterschieden: AT

Anfangstermin allgemein

ET

Endtermin allgemein

FAT

Frühester Anfangstermin"

SAT

Spätester Anfangstermin*

FET

Frühester Endtermin*

SET

Spätester Endtermin*

260

Begriffe, Definitionen und Kurzzeichen

Meilensteintermin

Termin für einen Meilenstein. Es werden zwei Meilensteintermine unterschieden: FT

Frühester Meilensteintermin

ST

Spätester Meilensteintermin

Kritischer W e g

Projektdauer

Längster W e g im Netzplan, wobei dieser Weg bei Vorgangsknotennetzen nicht immer ganz explizit dargestellt ist. T

Minimal mögliche Dauer für das gesamte Projekt. Länge des längsten Weges im Netzplan, des kritischen Weges.

Normale Projektdauer

Projektdauer bei Normaldauern gänge

Mindest-Projektdauer

Projektdauer bei Minimaldauern der Vorgänge

Kritischer Vorwärtsbaum

Den Netzplan in seinen Knoten allein oder zusammen mit weiteren kritischen Vorwärtsbäumen aufspannender Baum, der solche Pfeile enthält, die den frühesten Zeitpunkt des jeweiligen Endknotens bestimmen.

Kritischer Rückwärtsbaum

Den Netzplan in seinen Knoten allein oder zusammen mit weiteren kritischen Rückwärtsbäumen aufspannender Baum, der solche Pfeile enthält, die den spätesten Zeitpunkt des jeweiligen Anfangsknotens bestimmen.

Pufferzeit

Zeitlicher Bewegungsspielraum eines Ereignisses, Vorgangs oder Meilensteins

der

Vor-

Gesamte Pufferzeit eines Ereignisses, eines Meilensteins"

GP

Zeitspanne zwischen frühestem Zeitpunkt FZ und spätestem Zeitpunkt SZ

Gesamte Pufferzeit eines Vorgangs*

GP

Zeitspanne zwischen frühester und spätester Lage eines Vorgangs, ermittelbar als Zeitspanne zwischen frühestem Anfangszeitpunkt F A Z und spätestem Anfangszeitpunkt SAZ

Begriffe, Definitionen

und

Kurzzeichen

261

Freie Pufferzeit eines Vorgangs"

FP

Zeitspanne, um die ein Vorgang gegenüber seiner frühesten Lage verschoben werden kann, ohne die früheste Lage anderer Vorgänge zu beeinflussen, d.h.: Größe des zeitlichen Bewegungsspielraumes eines Vorgangs bei frühester Lage der gesamten Umgebung

Freie Rückwärtspufferzeit eines Vorgangs*

SP

Zeitspanne, um die ein Vorgang gegenüber seiner spätesten Lage verschoben werden kann, ohne die späteste Lage anderer Vorgänge zu beeinflussen, d.h.: Größe des zeitlichen Bewegungsspielraumes eines Vorgangs bei spätester Lage der gesamten Umgebung.

Unabhängige Pufferzeit eines Vorgangs

UP

Zeitspanne als Größe des unabhängigen Dispositionszeitraumes für einen Vorgang, i.R. bezogen auf den Vorgangsanfang. Bei Einplanung des Vorgangsanfangs in diesen Zeitraum werden die ansonsten gegebenen zeitlichen Bewegungsmöglichkeiten bei keinem anderen Vorgang eingeschränkt.

Unabhängige Pufferzeit eines Vorgangs bei spätester Lage der strukturellen Vorgänger

UPV

Zeitspanne als Größe des Dispositionszeitraumes für ein Vorgangsereignis, i.R. den Vorgangsanfang, bei spätester Lage der strukturellen Vorgänger und der dann noch möglichen frühesten Lage struktureller Nachfolger

Unabhängige Pufferzeit eines Vorgangs bei frühester Lage der strukturellen Nachfolger

UPN

Zeitspanne als Größe des Dispositionszeitraumes für ein Vorgangsereignis, i.R. den Vorgangsanfang, bei frühester Lage der strukturellen Nachfolger und der dann noch möglichen spätesten Lage struktureller Vorgänger

Bedingte Pufferzeit eines Vorgangs

BP

Differenz aus gesamter Pufferzeit und freier Pufferzeit eines Vorgangs, ermittelbar als Zeitspanne zwischen den Zeitpunkten ZAFN und ZASN

Bedingte Pufferzeit eines Ereignisses

BP

Zeitspanne zwischen dem pufferzeitrelevanten frühesten Ereigniszeitpunkt F Z P und dem pufferzeitrelevanten spätesten Ereigniszeitpunkt SZP bei Vorgangspfeilnetzen

262

Begriffe,

Definitionen

und

Kurzzeichen

Pufferkette

Folge von Knoten und Kanten gleicher gesamter Pufferzeiten

4. Begriffe der Einsatzmittel und Kosten Einsatzmittel

EM

Gesamtheit der Arbeitskräfte, Geräte, Anlagen, Lagerflächen usw. zur Durchführung von Vorgängen

Einsatzmittelart

Kategorie gleichartiger Einsatzmittel

Ein satzmittelkapazität

Leistungsvermögen einer Einsatzmittelart je Zeiteinheit, verfügbarer Bestand einer Einsatzmittelart

Arbeitsmenge

Arbeitsvolumen einer Einsatzmittelart

Direkte Vorgangskosten

Kosten, die nicht entstehen würden, wenn der Vorgang nicht durchgeführt würde.

Beschleunigungskosten eines Vorgangs*

BK

Auf eine Zeiteinheit bezogene Kostenänderung bei Verkürzung der Dauer eines Vorgangs

Zusatzkosten eines Vorgangs

Zusätzliche direkte Kosten eines Vorgangs bei Verkürzung gegenüber der Normaldauer

Projektabhängige Kosten

Kosten, die nur dem gesamten Projekt verursachungsgerecht zugerechnet werden können.

Fertigstellungswert eines Projektes

FW

Summe der bis zum Bezugszeitpunkt angefallenen Kosten für ein Projekt

Fertigstellungsgrad eines Vorgangs

FG

Verhältnis von abgelaufener Zeit eines Vorgangs zur aktuellen Plandauer. Man kann den Fertigstellungsgrad auch analog über Kosten definieren.

Fertigstellungsgrad eines Projektes

FG

Verhältnis von Fertigstellungswert zu den gesamten Projektkosten nach aktuellem Informationsstand

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Literaturverzeichnis

Wille, H., Gewald, K., Weber, H. D.: Netzplantechnik. Methoden zur Planung und Überwachung von Projekten, Band 1: Zeitplanung, 3. verb. Aufl., München - Wien 1972

Stichwortverzeichnis Abbruchkriterium 207, 209 Ablaufplanung 1 Ablaufstruktur 14, 31, 35, 36, 40, 177, 178 Algorithmus 56-58, 104, 109, 127, 151, 153, 154, 160, 172 Anfang-Anfang-Beziehung 184, 186, 187, 191 Anfang-Ende-Beziehung 43, 136, 168, 172-174 Anfangsereignis 18, 39, 63, 71, 86, 93, 134 Anfangsknoten 11-13, 25, 29, 30, 46, 59, 61, 62, 80, 130 Anfangszeitpunkt 41, 47, 61-63, 67, 80, 81, 89, 95, 100, 122, 123, 127, 129, 142, 144, 145, 147, 149, 150, 156, 159, 160, 162, 172, 173, 179, 181, 202, 204, 212, 222 Anforderungsprofil 109, 121, 194, 195 Anordnungsbeziehung

10, 14, 15, 20, 48, 112, 132, 134, 136, 137, 140, 142, 144,

148, 158, 159, 162, 163-168, 171, 175, 177, 178, 183, 184, 188, 212 —, kritische 69 Arbeitsgang 184 Arbeitsmenge 196, 197, 225 Arbeitspaket 9, 194, 197, 215 Ausdehnungspufferzeit 178-181 Ausdehnungszeitspanne 83 Ausdehnungszeitspannen 67, 174 Auslastungsgrad 200, 205

Balkendiagramm 1 , 2 , 118 Baum, gerichteter 73 Bearbeitungszeit 111 Bereitstellungsplanung 114, 224 Berichterstattung 119-121 Beschleunigungskosten 225-232, 235-237, 247 Betriebskalender 110, 112

270

Stichwortverzeichnis

Bewegungsspielraum

84, 86, 97, 100, 224

Branch-and-bound-Verfahren 206

Computer 2, 6, 8, 36, 54, 57, 61, 118, 123, 127, 150, 171, 175, 213, 220, 246 C P M 4, 8, 16 Critical Path Method 4

Datei 61 DIN 69 900 4, 5, 9, 47, 68, 69, 84, 110 DIN 69 902 194, 197 Dispositionsspielraum 67, 68, 84 Dispositionszeitpunkt 98, 99 Dispositionszeitraum

81, 90, 91, 93-99, 101

Durchführungsstadium 10, 18, 47, 65

EDV-Programm Einsatzmittel

5

1, 3, 48, 109, 113, 117, 118, 120, 121, 194-197, 199, 200, 202, 205,

206, 209, 224, 225 Einsatzmittelart

194, 196, 197, 199, 204, 205, 213

Einsatzmittelbedarf 39, 194-196, 199 Einsatzmittelkapazität

195, 200, 205, 216

Ende-Anfang-Beziehung 37, 40, 42, 83, 132, 134, 138, 139, 167, 173, 174, 178 Ende-Ende-Beziehung Endereignis

18, 63, 65, 71, 85-87, 93, 102, 134

Enderzeugnis Endknoten

15, 42, 137-139, 156, 157, 159, 171-174, 177

188

11-13, 29, 30, 46, 59, 61, 62, 75, 85, 130

Endzeitpunkt 41, 47, 61-63, 65, 93, 122, 127, 144, 145, 153, 155, 156, 159, 172, 173, 179, 181 Enumeration, vollständige 207 Ereignis

18, 20, 21, 27, 36, 37, 39, 41, 46-51, 54-56, 61, 65, 68-71, 75, 84, 86-89,

92, 93, 102, 104, 105, 106, 109, 110, 125, 127, 129, 131, 133, 134, 144, 147, 201, 230 —, kritisches

69,71

Stichwortverzeichnis

271

Ereigniszeitpunkt 47, 48, 50-58, 60-63, 69, 80, 84, 86, 92, 104, 105, 107, 109, 114, 125, 126, 129, 130, 144, 150, 231 Ersatzvorgang 122, 124, 125, 240, 243 Erzeugnis 9 Erzeugnisstrukturbaum 188

Fertigstellungsgrad 120, 221, 223, 224 Fertigstellungswert 221, 223, 224 Fertigung, geschlossene 183, 184, 188, 189, 193 - , intermittierende 184, 186, 188, 191 offene 184 Fertigungslos 183, 184, 186, 188 Fertigungslosgröße 184, 188, 191 Fertigungsstruktur 187 Fertigungsstufe 183, 184 Fertigungszeit 184, 185, 187, 188, 191, 193 Finanzplanung 215, 221, 224 Fulkerson-Algorithmus 227 Funktionsbereich 9

Gantt-Diagramm 1, 2 Graph, gerichteter 11-14, 73 Graphentheorie 1, 8, 13, 27, 29, 30, 35 Grundstruktur 16

Halbordnung 29, 30 Hamburger Methode der Netzplantechnik 5, 138 Heuristik 21, 207, 213, 214, 225 HMN 5, 138, 139, 153, 155, 159 Höchstabstand, zeitlicher 42, 43, 141-143, 168

Istkosten 220-224

272

Stichwortverzeichnis

Kalender

110, 112

Kante, gerichtete 11, 12, 14, 29, 30, 50 Kantenrang

27

Kapazität 3, 194, 195, 199, 200, 202, 207, 209, 213, 214, 225 Kapazitätsauslastung

204

Kapazitätsplanung 3, 194, 225 Kapitalbindung

113,219

Kapitalbindungskosten Knoten

113, 219

12, 14, 15, 17, 18, 29, 35, 36, 44-46, 50, 51, 53, 54, 56-59, 62, 71-76, 78,

80, 87, 104, 127, 128, 132, 136-140, 144, 150, 153, 158, 159, 164-166, 168, 171, 177, 178, 195, 212, 232, 240, 241, 247 Knotendatei 57 Knotennumerierung 29, 30, 37, 52, 54-56, 152 Knotenrang 27, 29, 30 Knotenzeitpunkt 48-50, 144, 150 Konventionalstrafe 225, 229, 233, 235 Kosten 3, 4, 6, 10, 49, 114, 120, 121, 217, 223, 224, 235, 241, 245 - , direkte 215-217, 221, 224-226, 244 - , projektabhängige 216, 217, 220, 223, 224 - , projektdauerabhängige 4, 228, 233, 234, 240, 244 - , relevante 215, 228, 233, 234, 244, 245 Kostenanalyse 215 Kosteneinflußgröße 224, 225 Kostenkontrolle 215, 220 Kostenplanung 4, 215, 225 Kostenstelle

117

Kostenträger 215, 216, 221, 224 Kosten Verschiebung 219 Kostenwirtschaftlichkeit 215, 221 Kuratowski-Graph

35

Maximaldauer 225 Mehrkalenderplanung

112

Stichwortverzeichnis

273

Mehrprojektplanung 3 Meilenstein 10, 47, 65, 66, 109, 110, 117, 120, 134, 137, 146 Meilenstein-Termin

114

Meilenstein-Zeitpunkt 114 Meilensteinhierarchie 115 Meilensteinzeitpunkt 65 Metra Potential Methode 4, 137 Mindestabstand, zeitlicher 37, 38, 41, 42, 44, 50, 111, 134, 140, 141, 143, 146, 168, 169 Mindestprojektdauer 227, 237 Minimaldauer 226, 228, 229, 232, 236, 237, 239, 246, 247 Montagefertigung 188 MPM 4, 137-140, 144, 150, 153, 159, 163, 212

Nachereignis 51, 87, 105, 106 Nachfolger 22-25 , 27-29, 31, 32, 38, 45, 46, 83-85, 93, 95, 100, 101, 168, 170, 181 - , struktureller 45, 46, 49, 83, 85, 86, 88, 90, 97, 100, 146, 147, 149, 155, 165, 170, 171 Nachfolgermenge 26-29 Netzplan

6, 7, 9-15, 17, 18, 20-23, 25-27, 29, 30, 32, 34-39, 41, 44, 45, 48, 49,

51-54, 56-58, 69, 71, 72-78, 80, 83, 101, 114, 118, 119, 122, 123, 125-127, 129, 132-139, 141, 144, 145, 148, 150, 152, 153, 155, 156, 158-160, 163-170, 175, 177, 178, 185, 188, 193, 200, 202, 204, 205, 212, 229, 235, 237, 239, 246, 247, 250 - , aktueller 122, 124-126 —, verallgemeinerter

134

Netzplan-Methode 2, 4, 5, 8, 16, 136, 158, 168 Netzplan-Programmsystem 8, 36 Netzplantechnik 1-8, 13, 30, 117, 194 Netzplanverfahren 4, 5, 8, 14, 15, 146 Netzplanwartung

119, 123, 158

Normaldauer 49, 225, 226, 229, 232, 235-239, 246, 247 Normalkalender Normalverteilung

110 116, 117

274

Stichwortverzeichnis

Objekt 9 Opportunitätskosten

195, 225

Optimalitätstest 208

Paradoxon 181, 183 PDM 5, 168, 169 PERT 4, 8, 16, 49, 115-117 Pfeil 11, 14, 15, 17, 20, 35, 37, 41, 49-52, 54, 57-59, 61, 62, 65, 69-78, 80, 87, 129, 134, 137, 140, 141, 142, 146, 151, 152, 154, 165, 168-170, 172-174, 179 Pfeildatei 57, 58 Plan-Ist-Vergleich 121 Plandauer 48, 49, 120, 122, 124, 194, 220 Plankosten 215-217, 219-221, 224 Planungsrechnung 7, 235 Planzeitpunkt 38, 61, 156 PPS 5, 168-170 Precedence Diagramming Method 5, 168 Priorität

158, 207, 208, 214

Program Evaluation and Review Technique 4 Programmierung, dynamische 240, 243, 245 Projekt 1-4, 6-8, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 21, 24, 26, 27, 29, 32, 34, 38, 39, 44-47, 51-53, 58, 63, 69, 70, 71, 73, 75, 76, 80, 83, 91, 96-98, 100, 102, 105, 107, 110, 111, 113, 116, 117-119, 124, 127, 133, 138, 139, 144, 149, 159, 166, 175, 178, 179, 181, 194, 195-197, 205, 206, 208-210, 212, 214-217, 220, 221, 223-226, 228, 229, 232, 235, 239, 243, 246, 248, 250 Projekt-Management 1, 2, 5 Projektaufgliederung 9, 31 Projektbeschreibung 9 Projektdauer 3, 4, 6, 50, 56, 66, 68, 69, 80, 83, 112, 113, 116, 117, 120, 125, 126, 146, 178, 180, 181, 182, 183, 194, 195, 197, 199, 200, 204, 205, 207-211, 214, 216, 219, 224, 225, 227-229, 231-238, 240, 244, 245, 249, 250 —, kostenminimale 225 - , kostenoptimale 228, 229, 233, 235, 240, 244

Stichwortverzeichnis

275

- , minimale 47, 49-52, 63, 67, 69, 105, 195, 206, 213 - , normale 227, 228, 238 —, optimale 4 Projektfertigstellung 66, 112-114 Projektfortschreibung 120, 121, 124, 129, 220 Projektfortschrittskontrolle 2, 119 Projektinformationssystem 110, 117, 118 Projektkalender 110, 111 Projektkosten 4, 6, 10, 11, 49, 216, 218, 221, 224 Projektplanung 6, 47, 48, 112, 118, 200, 213, 215, 224, 225 Projektplanungs- und -steuerungssystem 5, 168 Projektsteuerung 47, 68, 109, 110, 113, 118, 120, 132, 158 Projektstruktur 8, 16, 21, 22, 30, 31, 36, 45, 83, 122, 166 Projektstrukturebene 9 Projektstrukturierung 1, 2, 5, 7, 8, 14, 30, 37, 47, 48 Projektstrukturplan 9 Projektüberwachung 8, 47, 114, 119, 120, 122-125, 127, 144, 158-160, 163, 171, 204, 220 Projektverfolgung 112, 115 Pufferkette 69, 71-73, 75, 78-80, 114 Pufferzeit 39, 67, 68, 84, 85, 88, 90, 91, 96, 98, 100-102, 105-107, 109, 111, 114, 119, 120, 123, 125, 129, 149, 150, 153, 156, 174-176, 178-180, 188, 193, 202, 204, 205, 208, 212, 238 - , bedingte 102, 107 - , freie 75, 84, 87, 91, 102, 105, 106 - , freie Rückwärts- 84, 87, 91, 95, 105, 106 - . g e s a m t e 65, 68-78, 80, 81, 83, 84, 89, 91, 95, 102, 105, 114, 118, 119, 125, 132, 179, 182, 185, 191 - , unabhängige 96-101, 105, 106 punktkritisch

178-180, 183

Rang 24, 29, 30 Rangreihung 24, 25, 27, 30, 33

276

Stichwortverzeichnis

Rechenaufwand 54, 207, 209 Reihenfolge 14, 16, 18, 20-22, 26, 30, 35-38, 40, 45, 46, 52, 55-58, 61, 62, 104, 109, 119, 128, 130, 138, 141, 145, 147, 151-155, 159, 161, 162, 172-174, 200, 204, 206, 208, 209, 210-212, 237 Reihenfolgebedingung 10, 16, 22, 113, 200, 201 Reihenfolgebedingungen 204 Reihenfolgeproblem 3, 213 Rückwärtsbaum, kritischer 76, 89 Rückwärtsterminierung Rüstzeit

112

183

Scheinvorgang

18, 20, 21, 26, 27, 29, 30, 35-41, 44-46, 49, 50, 54, 58, 68, 69, 71,

73-76, 83, 87, 88, 89, 93, 104, 122, 126, 128, 129, 133, 134, 137, 248 Schleife 12, 13, 35 , 36, 44-46, 54, 57, 83, 112, 142, 165, 170 Serien-Parallel-Netz 239, 240, 246, 247, 250 Serien-Parallel-Reduktion 240, 250 Soll-Ist-Vergleich

121

Sollkosten 221, 222 Startereignis

18, 88, 93

Startknoten

12, 23, 36, 51, 52, 54, 57, 72, 73, 76

Starttermin

110, 112

Startvorgang 22, 24, 26, 85 Strukturanalyse

14

Strukturgenerator

193

Teilnetz 240-243, 247, 248, 250 Termin 3, 109-111, 113-115, 117, 120, 122, 132, 219 —, frühester —, spätester

113,114,118 113, 114

Terminplanung 2, 3, 7, 114 Terminüberwachung Transportlos

3

184-186, 188, 193

Transportlosgröße

184-192

Stichwortverzeichnis

Transportzeit

277

183, 184, 188

Überlappung 40, 41, 46, 141-144

Verkürzung 3, 120, 178, 183, 184, 186, 226-228, 231, 232, 236, 237, 239-243, 246250 Verschiebungszeitspanne 67, 68, 83, 84, 101, 105, 106, 174 Verteilung 115 Vorereignis 51, 54, 89, 105, 106 Vorgang

1-4, 8-11, 14-35, 37-50, 52, 57, 58, 61-63, 65-68, 73-75, 77, 78, 80-91,

93-100, 102, 104, 105, 113-115, 119, 121-125, 127-130, 132-134, 138, 140-147, 149-153, 155-157, 159, 160, 163-166, 168, 171-173, 177, 180-183, 187, 190, 192, 194, 196, 197, 199, 200, 202, 204, 205, 207-217, 219-223, 225, 226, 228, 229, 231, 232, 236-241, 243, 246, 247 - , bedingender 45 , 46, 145, 149, 155, 165, 170 - , bedingter 45, 46, 134, 147, 149, 155, 162, 165, 170 -.gebundener

206,208-211

- , kritischer 69, 71, 99, 109, 120, 148, 178-180, 183, 230, 236 Vorgänger 22-25, 27, 28, 31-34, 38, 39, 45, 68, 83-85, 93, 100, 101, 112, 131, 170, 181, 208 struktureller 45 , 46, 49, 83, 85, 88, 90, 97, 100, 145, 149, 155, 165, 170, 171 Vorgängermenge 26-29 Vorgangsanfang

14, 15, 62, 67, 90, 91, 93, 100, 113, 136-140, 144, 149, 150, 153,

165, 174, 176, 178, 206, 212 Vorgangsausdehnung 80, 178-180, 182-187, 189, 190, 192, 193 Vorgangsbezeichnung Vorgangsdauer

17, 136

48, 50, 63, 111, 112, 115, 122, 134, 136, 140, 155, 158, 159, 171,

176, 187, 197, 222, 224-228, 245, 247 Vorgangsende

14, 15, 62, 136, 137, 139, 144, 153, 165, 174, 176, 178, 180, 206

Vorgangsereignis

14, 15, 40, 132, 136, 144, 150, 159, 165-167, 169-171, 177, 178,

180 Vorgangsgruppe 25, 27, 30, 33, 114 Vorgangsknoten-Netzplan

14, 132, 137-139, 164-166, 175

278

Stichwortverzeichnis

Vorgangsknotennetz 14, 15, 132, 136, 138-140, 144, 150, 158-160, 164-169, 171, 177, 178, 195, 200, 201, 212 Vorgangskosten 222, 224, 225, 227, 228 Vorgangsordnung 23 Vorgangspfeil-Netzplan 14, 16, 134, 138, 201, 205 Vorgangspfeilnetz 16, 18, 20, 21, 29, 35-38, 42, 48, 50, 51, 62, 65, 68, 69, 83, 124, 125, 127, 129, 132-134, 137-139, 144, 150, 158, 160, 163, 177, 201 Vorgangsrang 30 Vorgangssplitting 40 Vorgangsüberlappung 40, 184 Vorgangsverlängerung

178, 183, 224

Vorgangszeitpunkt 48, 62, 63, 144, 150, 153, 159, 160, 163, 171, 172, 174, 176, 179, 182, 194, 208 Vorwärtsbaum, kritischer 73, 75, 76, 87 Vorwärtsterminierung

112

Vorziehzeit 4 0 , 4 2 , 141, 142, 169, 170

Wahrscheinlichkeitsaussage

109, 114, 115

Wartezeit 169, 170 Weg 11-13, 29, 49, 50, 56, 69, 117 - , kritischer 69, 71, 72, 75, 77, 116, 117, 120, 125-127, 148, 178, 183, 186, 187, 193, 197, 205, 220, 228-232, 235-237, 246, 248, 250 - , längster

13, 48, 51, 69, 127, 144, 150, 171

Werkstattauftrag 184

Zeitanalyse

14, 37, 39, 48, 115, 124, 126, 127, 137, 144, 163, 171, 175, 185, 186,

189, 191, 193, 206, 207, 212, 214, 216, 230 Zeitplanung

1-3,8,48,112

Zeitpunkt 3, 47-50, 62, 63 , 65, 67, 68, 75 , 83 , 85 , 86, 89-93 , 95-98, 100-102, 104, 105, 107, 109, 110, 111-116, 122-124, 127, 129, 131, 132, 146, 148-150, 152, 153, 155, 156, 158, 159, 160, 162, 174, 176, 178, 179, 188, 214, 220-222, 224, 228 - , frühester 47-49, 52, 60, 65, 95, 105, 129, 130, 144, 146 - , spätester 47-50, 52, 60, 61, 65, 105, 130, 144, 148

Stichwortverzeichnis

Zeitschätzung 49, 110, 195 Zielereignis 18, 87, 93 Zielknoten 12, 36, 51, 52, 54, 57, 72, 73, 76, 87 Zielvorgang 22, 26, 86 Zusatzkosten 4, 225-229, 231-234, 237-250 Zyklus 13, 30, 120

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